Utiliser les calculatrices en classe
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1. dans le cas des nombres d cimaux ou de la division de ne prendre en compte que la partie significative de l affichage voir aussi les paragraphes exploration de ph nom nes num riques et fonctionnalit s Autrement dit il s agit de travailler au bon usage simultan de la calculatrice et de la feuille de papier 3 La calculatrice et ses fonctionnalit s Au cycle 2 on ne cherche pas comprendre le fonctionnement de la calculatrice au del de son usage pour effectuer des calculs simples A ce moment de la scolarit seules sont utilis es les touches marche arr t et chiffres et celles relatives aux op rations connues et au signe d galit Au cycle 3 il est par contre n cessaire de mieux conna tre les ressources de la machine en vue d une utilisation plus compl te Plusieurs fonctionnalit s peuvent alors tre tudi es avec les l ves Mise en marche gestion de l affichage voir aussi 1 On peut s int resser au syst me marche arr t qui varie d une machine l autre touches s par es ou non voire absence de touche arr t sur certaines calculatrices solaires touche unique ou touches s par es pour mise en route et correction On peut galement noter l affichage de 0 lors d une mise en marche ou d une r initialisation L usage des touches correction et r initialisation ou remise z ro permet galement une meilleu2. quel moment et pour quels l ves l usage de la calculatrice est pertinent Au moment de la v rification des r ponses c est dire au moment o par exemple on cherche savoir si la r ponse 7 images par enfant propos e par un l ve convient pour le probl me propos la calculatrice peut devenir un outil qui permet de d cider rapidement apr s avoir reconnu que pour v rifier il suffit d ajouter 4 fois le nombre 7 Utiliser les calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 5 Utiliser la calculatrice bon escient A chaque occasion l attention des l ves doit tre attir e sur l opportunit d utiliser tel ou tel moyen de calcul par exemple savoir choisir entre calcul mental et calcul avec la calculatrice Des activit s plus sp cifiques peuvent tre propos es en compl ment de cette r flexion permanente sur le choix du moyen de calcul le plus appropri par exemple l aide d un exercice du type suivant calcul utilises Ai r sultat la calculatrice le calcul mental 8 2 47 18 8 1 7 7 7 7 7 50 20 67 38 200 200 200 100 40 5 47 X 13 L exp rience montre que tr s rapidement les l ves interpr tent ce type d exercices comme un d fi calculer mentalement 2 2 Au cycle des approfondissements Dans le prolongement du cycle 2 l objectif essentie
3. 18 images 3 enfants Combien chaque enfant aura t il d images Certains l ves vont dessiner 18 images et 3 enfants et simuler une distribution D autres vont dessiner 18 images et tenter de r aliser 3 paquets identiques D autres vont dessiner 3 colonnes chaque colonne tant associ e un enfant et indiquer par des nombres les tapes d une distribution un par un ou deux par deux 2 2 2 6 2 2 2 12 1 1 1 15 1 1 1 18 D autres peuvent choisir successivement des nombres qu ils ajoutent trois fois pour essayer d atteindre 18 par exemple avec un crit du type 4 4 4 12 7 7 71 gt 21 6 6 6 gt 18 Au moment de la r solution la calculatrice n est d aucune aide pour les deux premi res proc dures Pour les deux suivantes il n est pas certain que l l ve ait reconnu que l addition tait pertinente dans le denier cas on voit certains enfants compter de 4 en 4 avec leurs doigts alors qu ils connaissant l galit 4 4 8 A un moment de l apprentissage la calculatrice peut devenir utile pour les deux derni res proc dures lorsque l l ve a reconnu que les calculs effectuer relevaient de l addition notamment si le m me type de probl me est pos avec des nombres plus grands par exemple 36 images r partir entre 4 enfants Dans ce type d activit le r le de enseignant est tr s important En fonction de l analyse qui vient d tre faite il lui appartient de d cider
4. et contenus comp tences Document d application Cycle des 1 Exploitation de donn es 3 3 Calcul instrument 3 Calcul introduction apprentissages num riques 3 3 Calcul instrument fondamentaux 3 Calcul commentaire relatif aux comp tences attendues Cycle des Introduction du programme 4 3 Calcul instrument 4 Calcul introduction approfondisse de math matiques du cycle 3 4 3 Calcul instrument ments 4 Calcul commentaire relatif aux comp tences attendues Le travail avec les calculatrices l cole primaire doit galement tenir compte de l utilisation qui en sera faite au coll ge L ouvrage Qu apprend on au coll ge fournit ce sujet des indications qui sont en continuit avec les recommandations faites pour l cole primaire Le coll gien doit avoir recours la calculatrice de fa on naturelle Mais une utilisation pertinente n est pas spontan e et rel ve d un apprentissage organis et encadr par le professeur Les calculatrices permettent de multiplier les exemples et les tentatives mais galement d laborer une d marche pour r soudre un probl me en lib rant momentan ment les l ves des calculs effectuer Dans tous les cas c est une lecture critique des r sultats obtenus qui est d velopp e en liaison avec le calcul mental Remarques pr alables Dans les suggestions qui suivent plusieurs moments et usages diff r
5. fonctionnement des touches M M RM ou MR Je tape Je vois par exemple Commentaire 10 10 M 10 CE C 0 RM 10 RM rappelle le contenu de la m moire 10 7 7 M 1 CE C 0 RM 17 M additionne 7 10 5 5 M 3 CE C 0 RM 22 M additionne 5 17 Cette exp rience permet de conclure que M additionne le contenu de ce qui est affich ce qui est d j contenu de la m moire De m me on d couvre que M soustrait le contenu de ce qui est affich ce qui est d j contenu de la m moire De m me qu existe la r gle suivante un calcul entre parenth ses est prioritaire sur un calcul sans parenth ses Ce qui permet de relativiser la toute puissance de la machine et sa soumission aux contraintes technologiques de construction Les nouveaux programmes de l cole primaire Math matiques Page 8 Des situations de type bilan avec recettes et d penses sont ainsi susceptibles de plusieurs proc dures la calculatrice par exemple en utilisant M et M recettes en 345 215 56 d penses en 123 58 245 En tapant successivement 345 M 215 M 56 M on stocke la premi re recette puis on lui additionne successivement la seconde puis la troisi me En appuyant sur MR on obtient le total des recettes Puis en tapant successivement 123 M 58 M 245 M on retire les trois d penses au con
6. gle de priorit ci dessus de pr ciser le type de calculatrice que poss de l l ve elle poss de la priorit int gr e ou elle calcule de gauche droite et de faire noter cela dans le mode d emploi de faire transformer la suite 6 5 x 2 pour obtenir le calcul effectif de 6 5x2 notamment en utilisant parenth ses ou m moire Certaines calculatrices disposent en effet de touches et qui permettent de calculer directement des expressions comportant des parenth ses Les touches m moires Pr cisons tout d abord qu il existe deux types de m moires les m moires fonctionnelles permettent d op rer sur leur contenu par exemple de proc der des ajouts ou des retraits au contenu de la m moire c est le cas pour la plupart des calculatrices ordinaires avec les touches M ou M les m moires non fonctionnelles qui permettent seulement de stocker un r sultat qui peut tre rappel La question peut tre pos e de savoir calculer une expression de type 254 x 26 89 x 57 avec une calculatrice qui ne respecte pas les priorit s op ratoires habituelles et qui ne comporte pas de touches parenth ses ce sont souvent les m mes mais qui poss de une m moire fonctionnelle Une initiation l utilisation des touches m moires peut alors se r v ler utile Elle peut commencer par leur usage dans plusieurs situations du type suivant qui am ne inf rer le
7. nombre plus grand il a avanc de 2 entra nant le chiffre des dixi mes Il faut donc ajouter 2 centi mes et donc taper 0 02 5 L l ve utilise plusieurs connaissances rep rage des chiffres valeur du chiffre en fonction de sa position quivalence entre 2 centi mes et 0 02 Utiliser les calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 13 Multiplication sans x Il s agit sans utiliser la touche x et un minimum d op rations sur la calculatrice de calculer les produits suivants 387 x 204 et 387 x 199 Pour le premier produit les l ves peuvent par exemple calculer l aide de la calculatrice 38 700 38 700 387 387 387 387 et pour le second 38 700 38 700 387 Ils ont d utiliser implicitement la distributivit de la multiplication sur l addition multiplier 387 par 204 revient faire la somme de 387 x 200 et de 387 x 4 l quivalence entre multiplication et addition it r e 387 x 4 c est comme 387 387 387 387 le fait que multiplier 387 par 200 revient multiplier 387 par 100 puis le r sultat par 2 Trouver un quotient et un reste avec une calculatrice ordinaire Comment avec une calculatrice qui ne poss de pas de touche division euclidienne obtenir la solution du probl me suivant le confiseur range 2 748 chocolats dans des bo tes de 45 chocolats Combien de bo tes pleines obtient il et combien reste t
8. paragraphes consacr s l exploration de ph nom nes num riques et l tude des fonctionnalit s de la calculatrice 2 La calculatrice outil de calcul La calculatrice est d abord un outil de calcul largement utilis dans la soci t actuelle D s le cycle 2 c est ainsi qu elle est reconnue par les l ves Son usage intervient alors essentiellement dans le cadre de la r solution de probl mes 2 1 Au cycle des apprentissages fondamentaux Il convient de bien cerner les circonstances dans lesquelles la calculatrice peut tre utilis e avec profit et donc aussi celles dans lesquelles son usage n est pas compatible avec les apprentissages vis s Des cas o l usage de la calculatrice est une aide pour les l ves D s le cycle 2 pour certains types de probl mes c est la reconnaissance directe de l op ration pertinente qui est vis e Par exemple vers la fin du cycle un probl me comme Combien y a t il de Les nouveaux programmes de l cole primaire Math matiques Page 4 timbres dans un album de 15 pages dans lequel on a coll 18 timbres sur chaque page on attend que la majorit des l ves reconnaissent que la r ponse peut tre obtenue en calculant le produit de 15 par 18 Mais peu d l ves sont ce moment l capables de r aliser par crit par un calcul r fl chi ou pos un tel calcul sans risque d erreurs La calculatrice est alors l outil pertinent pour obte
9. qu un outil de calcul elle est v ritablement un moyen de faire des investigations sur les nombres qui seraient plus difficiles autrement Son utilisation ne s oppose alors pas la r flexion de l l ve bien au contraire 5 La calculatrice support d exercices ou de probl mes Non seulement la calculatrice peut tre utiliser pour r soudre des probl mes mais elle peut l tre galement pour en poser 5 1 Au cycle des apprentissages fondamentaux Les quatre exemples suivants rendent compte des possibilit s offertes par la calculatrice Num ration passer d un nombre un autre Un premier nombre est affich sur l cran de la calculatrice par exemple 769 Sans teindre la calculatrice ni effacer le nombre affich il s agit d obtenir l affichage de 789 en tapant le minimum de touches Pour r pondre l l ve doit remarquer que le chiffre des dizaines a avanc de 2 et qu il faut donc ajouter 2 dizaines et donc taper 20 S Il utilise plusieurs connaissances rep rage des chiffres valeur du chiffre en fonction de sa position quivalence entre 2 dizaines et 20 Certains de ces exercices peuvent tre propos s tr s t t par exemple faire afficher 25 sans effacer faire afficher 26 etc faire afficher 10 sans effacer faire afficher 20 etc faire afficher 25 sans effacer faire effacer 35 ete faire afficher 10 sans effacer faire afficher 50 etc faire afficher 36
10. rentes opportunit s pour l introduction des calculatrices dans la classe au cours de la deuxi me ann e du cycle Voici quelques possibilit s introduction au moment o est pr sent le premier signe op ratoire pour montrer la compatibilit entre criture propos e par exemple 4 3 7 et codage des touches frapp es introduction un moment o on souhaite tudier un ph nom ne num rique par exemple pour observer la g n ration d une suite de nombres l aide de la s quence de touche 1 5 introduction au moment o un l ve apporte de lui m me une calculatrice l cole Une exploration libre peut tre envisag e dans un premier temps Elle permet aux l ves de savoir mettre en route et arr ter la machine de rep rer ce qu ils reconnaissent touches affichage et d tre inform s qu ils ont toute l cole primaire pour apprendre bien se servir de cet outil selon les calculatrices disponibles dans la classe on peut m me pr ciser que certaines touches ne seront utilis es que plus tard apr s l cole primaire Cette exploration libre peut par exemple trouver sa place dans une s ance ou deux s ances de d couverte au cours de laquelle les l ves sont conduits rep rer les touches lettres chiffres et signes rep rer que la mise en route de la calculatrice provoque l affichage de 0 remarquer que lorsqu on tape par exemple 436 on voit l affic
11. 7 F Autre exemple le signe peut remplacer le signe l int rieur d une suite de calculs puisque le r sultat interm diaire peut s afficher Il est important de d cider avec les l ves d un codage de ce qu on tape ainsi le tap ne s crira pas comme le math matique Il sera par exemple entour Il en va de m me pour tous les symboles op ratoires tap s Tr s rapidement peuvent tre propos es des activit s dans lesquelles la calculatrice est un outil pour travailler des notions en cours d apprentissage ou pour entra ner des notions tudi es ant rieurement se reporter aux paragraphes 3 et 4 1 2 Au cycle des approfondissements Au cycle 3 la calculatrice doit devenir un outil de calcul banalis La meilleure solution consiste donc la mettre la disposition des l ves d s le d but de l ann e scolaire au m me titre que tous les autres instruments utilis s par les l ves apr s avoir consacr une s ance une familiarisation voir ci dessus en cycle 2 Dans certaines circonstances lorsque les apprentissages vis s le n cessitent l enseignant en interdit l usage par exemple pour mettre en place une technique crite de calcul Comme cela est expliqu plus loin certaines fonctionnalit s des calculatrices utilis es par les l ves font l objet d un apprentissage sp cifique En particulier un travail doit tre fait propos de la division voir les
12. Dex b Les nouveaux programmes Libert galit Fraternit de l cole primaire R PUBLIQUE FRAN AISE Math matiques Document d accompagnement minist re Education nationale Utiliser les calculatrices en classe Cycles des apprentissages fondamentaux Cycles des approfondissements Direction de l enseignement scolaire Bureau du contenu des enseignements www eduscol education fr prog Utiliser les calculatrices en classe Intentions Ce document a pour objet de fournir quelques pistes pour l utilisation des calculatrices aux cycles 2 et 3 dans quatre directions les calculatrices pouvant tre utilis es comme outil de calcul comme instrument dont on cherche comprendre certaines fonctionnalit s comme support l exploration de ph nom nes num riques comme source de probl mes et d exercices R f rences dans les programmes et dans le document d application Pour les consid rations g n rales relatives aux enjeux de l enseignement du calcul l cole primaire on peut se reporter l introduction du document d application La question du calcul aujourd hui La place respective des diff rents moyens de calcul y est pr cis e calcul mental calcul instrument et calcul crit Pour les apprentissages d velopper aux cours des diff rents cycles on peut se reporter aux parties suivantes du texte des programmes et du document d application Objectifs
13. alcul et d afficher le r sultat sans avoir ressaisir la s quence de calcul ne pas proposer la notation exponentielle c est dire que si l affichage comporte huit chiffres elle ne peut pas afficher de nombre sup rieur 99 999 999 en plus des touches usuelles chiffres 4 op rations signe pour l obtention du r sultat comporter des touches parenth ses et une touche pour la division euclidienne permettant d obtenir l affichage du quotient et du reste entiers ne pas comporter de touches ni de touche de changement de signe permettre de stocker un r sultat partiel offrir la possibilit de d finir m moriser et rappeler un op rateur constant l aide d une touche sp cifique effectuer les calculs en respectant les priorit s op ratoires habituelles Utiliser les calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 15
14. ation n cessite un v ritable apprentissage La calculatrice n est pas un outil miracle qui r sout toutes les difficult s Si son utilisation pour r soudre des probl mes ne fait pas l objet d un apprentissage explicite elle peut m me tre la source de nouvelles difficult s Il est en effet n cessaire de conduire un travail avec les l ves dans au moins cinq directions la n cessit de choisir le mode de calcul le plus appropri dans une situation donn e calcul r fl chi recours une technique op ratoire ou calcul instrument chaque fois que le calcul r fl chi est possible il faut renoncer la calculatrice qui n est pas toujours l outil le plus rapide ou le plus performant Les nouveaux programmes de l cole primaire Math matiques Page 6 la n cessit de planifier et d organiser autant que possible la suite des calculs effectuer c est dire d anticiper au moins une partie de ces calculs d autres pourront appara tre n cessaires en cours de route et de les pr parer de fa on claire sur une feuille la n cessit de noter au fur et mesure les calculs r alis s et les r sultats obtenus ainsi que leur interpr tation dans le contexte de la situation voqu e la n cessit de contr ler les r sultats obtenus par un calcul approch par un contr le sur le chiffre des unit s ou le nombre de d cimales et de se m fier des erreurs de frappe la n cessit
15. calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 9 Tout se passe comme si la machine avait m moris la s quence 13 x Elle en a fait un op rateur constant multiplicatif gauche Exemple 2 On veut obtenir la suite des nombres de 101 en 101 partir de 256 voir aussi 3 2 ci dessous La s quence 256 101 B S F B F S permet de la g n rer facilement pour une machine op rateur constant additif droite La s quence 101 est utilis e comme op rateur constant Exemple 3 Paul envoie une lettre 3 amis qui envoient eux m mes une lettre 3 amis diff rents Ceci se r p te 7 fois Combien de timbres seront n cessaires pour le dernier envoi La s quence 3 x 3 S S S S F S permet de g n rer la r ponse pour une machine op rateur constant multiplicatif 4 La calculatrice outil pour explorer des ph nom nes num riques Par la facilit de calcul qu elle offre la calculatrice permet de g n rer rapidement des r sultats et donc d observer des ph nom nes num riques par exemple des r gularit s dans des suites de nombres g n r es l aide de la calculatrice 4 1 Au cycle des apprentissages fondamentaux L observation de suites de nombres obtenues en appuyant plusieurs fois de suite sur la s quence de touches 1 S partir d un nombre donn permet de travailler sur la suite crite des nombr
16. der tel ou tel mod le de calculatrice dans la mesure o il n existe pas de cahier des charges pour un type de calculatrice une proposition dans ce sens est cependant faite en annexe Il appartient donc chacun de d cider en fonction des possibilit s de l cole si tous les l ves doivent disposer ou non du m me mod le La solution id ale consiste doter la classe d un stock de calculatrices une par l ve ou au moins une pour deux l ves Dans tous les cas les l ves deviennent rapidement habiles dans l utilisation mat rielle de la machine qui de ce point de vue ne pose donc pas de difficult particuli re Cette ma trise de l outil est aid e par l laboration progressive d un mode d emploi de la calculatrice qu ils utilisent une proposition de grille pour un tel mode d emploi est fourni en annexe Deux strat gies d utilisation sont possibles elles peuvent m me tre utilis es successivement dans la classe les calculatrices ne sont mises disposition des l ves que lorsque l enseignant le juge pertinent les calculatrices sont en permanence disposition des l ves l enseignant choisissant d en interdire l utilisation dans certaines activit s Les activit s envisag es ici peuvent tre conduites avec des calculatrices ordinaires 1 1 Au cycle des apprentissages fondamentaux En fonction de sa progression et de ses choix didactiques l enseignant peut choisir diff
17. ents de la calculatrice sont voqu s une phase de familiarisation voir 1 ou de meilleure connaissance de ses fonctionnalit s au cycle 3 voir 3 l utilisation en vue d all ger la charge de calcul dans un probl me dit classique ou d inciter trouver tout de suite l op ration experte par exemple dans les probl mes du domaine additif et soustractif avec des grands nombres au cycle 2 voir 2 l utilisation en vue de favoriser des investigations sur les nombres de mettre en uvre une d marche de type heuristique voir 3 Ce document a t labor par la Commission math matique rattach e au Groupe d experts pour les programmes de l cole primaire Les nouveaux programmes de l cole primaire Math matiques Page 2 l utilisation en vue de proposer des moments de renforcement de comp tences en cours d tude par exemple sur les comp tences relatives la ma trise de l criture des nombres entiers ou d cimaux la compr hension des op rations et leur lien avec la num ration d cimale enti re aux comp tences dans le domaine du calcul approch ou des ordres de grandeur voir 4 Il est conseill de lire l ensemble de ce document certains aspects d velopp s pour le cycle des apprentissages fondamentaux n tant pas repris pour le cycle des approfondissements 1 Introduction et choix de l outil Il n est pas possible actuellement de recomman
18. es de un en un d observer ou de pr voir et de contr ler les affichages successifs Les jeunes l ves peuvent ainsi tre mis en situation de faire des hypoth ses sur les r gularit s et les changements qui se produisent et de v rifier ces hypoth ses en poursuivant le processus La mise en relation avec le fonctionnement d un compteur permet d enrichir ce travail Le m me type d tude peut tre prolong avec d autres s quences de touches par exemple la s quence 10 ou la s quence 100 gt partir d un nombre donn la s quence 5 S partir d un nombre donn fait appara tre un autre type de r gularit la s quence 2 partir de 0 ou de 1 permet de g n rer les nombres pairs ou les nombres impairs 4 2 Au cycle des approfondissements Le m me type de travail peut tre repris au cycle 3 dans diff rents domaines De plus on peut recourir la fonctionnalit op rateur constant propos e sur la plupart des calculatrices voir le paragraphe Fonctionnalit s Voici trois exemples en lien avec le programme du cycle 3 Les suites de nombres Sur les nombres entiers on peut par exemple avancer ou reculer de 101 en 101 avec en partant par exemple de 2 409 la s quence 2409 101 101 101 101 101 101 ou 2409 101 S S S A S gt F si la machine a un op rateur constant additif droite Sur les nomb
19. hage le 4 se d caler vers la gauche pour laisser la place qu il occupait au 3 puis au 6 Quelques exercices simples peuvent tr s rapidement tre propos s pour compl ter cette premi re prise de contact par exemple Je tape sur la touche Je vois sur l cran par exemple Commentaire possible On 0 On allume la calculatrice 4 4 Utiliser les calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 3 5 45 6 456 CE C 0 CE C efface ce qui est affich et crit 0 La calculatrice allum e affiche toujours quelque chose 0 Je tape la touche Je vois sur l cran par exemple Commentaire possible 5 5 57 3 3 8 La calculatrice calcule faire afficher le plus grand nombre que l on conna t de un chiffre de 2 chiffres de 3 chiffres idem avec le plus petit entier de un chiffre deux chiffres faire taper 5 3 S observer les affichages successifs et constater que le r sultat appara t apr s l appui sur la touche ou apr s la touche ou une autre touche d op ration Ainsi les signes de la calculatrice n ont pas exactement les m mes significations que les signes math matiques correspondants Par exemple le signe n est pas sym trique 4 3 7 et 7 4 3 sont deux critures math matiques quivalentes la machine affiche 7 quand on tape 4 3 S mais toujours 7 si on tape
20. ication de la partie d cimale La calculatrice peut alors tre utilis e pour obtenir des quotients d cimaux exacts ou approch s en tant vigilant sur le choix des chiffres qui ont une signification dans la situation tudi e Certaines calculatrices poss dent une fonction division euclidienne qui peut bien entendu tre utilis e Cette touche donne simultan ment deux nombres r sultats le quotient et le reste entiers alors que toute autre touche op ratoire ne donne qu un seul r sultat Utiliser les calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 7 Les priorit s op ratoires et les touches parenth ses Soit effectuer avec la machine les deux calculs suivants A gt 5x2 6 et B gt 6 5x2 Si on tape dans l ordre les l ments du calcul A toutes les calculatrices affichent le r sultat 16 Par contre si on tape dans l ordre les l ments du calcul B certaines calculatrices affichent le r sultat 22 d autres affichent le r sultat 16 Pourtant du point de vue math matique les deux expressions sont gales en fonction de la r gle conventionnelle de priorit op ratoire en l absence de parenth ses la multiplication a priorit sur l addition et la soustraction Autrement dit par convention math matique 5x2 6 5x2 6 e 6 5x2 6 5x2 La confrontation des deux r sultats renvoy s par les machines est l occasion pour le ma tre de pr ciser la r
21. il de chocolats non rang s En calculant 2 748 45 la calculatrice affiche 61 066666 Le nombre de bo tes ne peut tre que 61 On peut en d duire que le quotient entier est 61 On peut alors obtenir le multiple de 45 imm diatement inf rieur 2 748 en calculant 45 x 61 r sultat 2 745 Ce qui permet de calculer le reste 2 748 2745 3 Les l ves peuvent v rifier le r sultat en s appuyant sur l galit fondamentale de la division euclidienne 2 748 45 x 61 3 Pour certains l ves ma trisant les d cimaux la question se pose de savoir quoi correspond la partie 0 0666666 qui d ailleurs est 0 06666667 pour certaines calculatrices elle correspond la part de bo tes que remplirait le reste de bonbons On peut retrouver ce reste 3 ou le plus souvent une valeur approch e de ce reste par exemple 2 999997 en enlevant 61 au quotient fourni et en multipliant cette valeur par 45 R soudre un probl me en r fl chissant et en exp rimentant Avec la calculatrice on ne peut utiliser que les touches X F et 2 On affiche au d part le nombre 18 Sans effacer ni teindre comment peut on atteindre le nombre 330 en utilisant le moins possible de calculs Les l ves peuvent d abord exp rimenter diverses solutions pour en tirer des conclusions sur la solution la plus conomique qui consiste s approcher rapidement du nombre atteindre par des multiplications par 2 Dans ce cas alle
22. l est de rendre les l ves progressivement responsables du choix du moyen de calcul utiliser dans telle ou telle circonstance en particulier de faire le choix d utiliser le calcul mental exact ou approch chaque fois que son usage permet de traiter la t che propos e La calculatrice outil de calcul dans la r solution de probl mes Trois pistes d utilisation sont sugg r es b a La calculatrice est la disposition de tous les l ves et ils en ont la libre utilisation pour obtenir des r sultats lorsque les calculs r aliser ont t d termin s C est le cas notamment dans les probl mes tapes chaque fois que la taille des nombres ne permet pas le recours au seul calcul mental La calculatrice est un outil de diff renciation mise disposition des l ves qui ont des difficult s pour effectuer par eux m mes les calculs n cessaires Elle peut leur viter la peur du calcul qui freine leur raisonnement ou leur en fait perdre le fil et m me pour certains provoque le refus d crire un calcul qu ils savent pertinent mais qu ils n osent pas crire parce qu ils ne savent pas le mener son terme La calculatrice est un outil d investigation Par exemple dans un probl me comme Existe t il trois nombres qui se suivent et dont la somme est gale 771 son usage facilite le recours une proc dure par essais et ajustements mais dont l utilis
23. lcul utilis O l on prend conscience que le plus rapide n est pas toujours celui qu on croit et que le calcul direct d une expression n est pas toujours la proc dure la plus conomique Par exemple 1 calculer vite 25 10 mentalement la main ou la calculatrice 136 10 145 200 etc 2 calculer la calculatrice le plus vite possible 13 13 13 13 13 13 13 ici taper 13 x 7 ou 7 x 13 est plus rapide 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 ici remarquer qu on a 10 fois 27 permet d crire directement le r sultat 3 retrouver le plus vite possible le nombre juste mentalement la main ou la calculatrice 28 15 parmi 102 45 43 32 x 10 parmi 300 320 250 10 x 13 parmi 300 103 130 etc 5 2 Au cycle des approfondissements Les trois exemples suivants rendent compte de quelques possibilit s offertes par la calculatrice au cycle 3 Les nouveaux programmes de l cole primaire Math matiques Page 12 Concours de calcul Dans ces exercices cf description pour le cycle 2 on offre le choix l l ve du moyen de calcul utilis et on lui permet de prendre conscience que le moyen plus rapide n est pas toujours celui qu on croit et que le calcul direct d une expression n est pas toujours la proc dure la plus conomique Par exemple 1 calculer vite 350 50 mentalement la main ou la calculatrice 13 6 x 10 4 5 5 5 etc 2 calculer la calculatrice le plus vite po
24. nir un r sultat ici 15 x 18 ou 18 x 15 qu ils ne sont pas encore capables de r aliser par eux m mes Son usage renforce m me la reconnaissance du caract re multiplicatif du probl me pos dans la mesure o elle ne rend pas cette reconnaissance d pendante des capacit s de calcul de l l ve Il appartient cependant l enseignant de distinguer les cas o la calculatrice peut tre mise disposition des l ves de ceux o son usage n est pas n cessaire notamment lorsqu une r solution mentale est possible par exemple ici avec un album de 4 pages de 10 timbres L encore la situation peut varier d un l ve l autre pour certains calculs Des cas o l usage de la calculatrice doit tre d cid avec prudence Dans une premi re tape des apprentissages num riques les l ves r solvent la plupart des probl mes en ayant recours des proc dures personnelles labor es dans chaque situation propos e sans qu il y ait au pr alable reconnaissance d une proc dure de r solution imm diate L laboration de ces proc dures s appuie souvent sur diff rents moyens utilis s simultan ment dessin d nombrement comptage de tant en tant ou calculs successifs Le recours la calculatrice peut alors constituer une entrave au raisonnement de l l ve dans la mesure o il incite chercher un moyen d obtenir imm diatement le r sultat cherch Exemple On se propose de distribuer quitablement
25. r d abord de 18 20 puis de 20 40 80 160 et 320 puis par ajouts successifs de 2 de 320 330 D autres cibles peuvent tre propos es Ainsi si le nombre atteindre tait 360 il serait plus rapide d aller d abord 22 avant de commencer doubler Bibliographie La revue Grand N dit e par IREM de Grenoble BP 41 38402 Saint Martin d H res Cedex a consacr plusieurs articles l utilisation des calculatrices l cole dans ses num ros 53 54 55 57 Un num ro sp cial de cette revue consacr au CM comporte galement deux articles consacr s aux calculatrices 1981 Exemples d activit s sur petites machines au CM Croquette et Guinet 1 parte Guinet 2 partie Les cinq ouvrages de la s rie ERMEL Apprentissages num riques et r solution de probl mes du CP au CM2 comportent galement des activit s faisant appel l utilisation des calculatrices ditions Hatier partir de 1991 Deux citations d enfants montrent que les l ves ont conscience des limites de l instrument Une calculatrice sert trouver le r sultat d une op ration qu on lui pose et qui est tr s difficile calculer de t te exemple 5 780 954 X 6 984 voir sur la calculatrice Ce n est pas toujours facile calculer avec Laissons un enfant conclure a peut tre pratique et a peut m me tre dr le Les nouveaux programmes de l cole primaire Ma
26. re utilisation de la machine Ces diff rentes fonctionnalit s peuvent tre mises en vidence par les l ves dans un travail d exploration qui aboutit la mise en place d un d but de mode d emploi qui sera poursuivi avec d autres fonctionnalit s Il est galement n cessaire de mettre en vidence les limitations de la machine en particulier celles relatives au nombre de chiffres affich s Au moment de l approche des nombres d cimaux il est galement noter que sur les calculatrices la virgule est remplac e par un point Les touches op rations C est bien entendu la touche qui devra faire l objet d un travail particulier Au d part certains l ves pensent que son utilisation fournit le quotient entier gauche du point et le reste droite du point La comparaison avec des r sultats obtenus mentalement par un calcul crit r fl chi ou en utilisant une technique op ratoire permet de d mentir cette hypoth se tout en confirmant qu on obtient bien le quotient entier en ne retenant que ce qui est affich gauche du point Il est alors possible de poser la question de l obtention du reste l aide de la calculatrice Cf 4 2 ci apr s Il faudra attendre le moment o par un calcul r fl chi la main on cherche poursuivre le calcul de la division en convertissant les unit s en dixi mes puis les dixi mes en centi mes pour prendre conscience de la signif
27. res d cimaux on peut travailler sur des suites de 0 1 en 0 1 ou de 0 001 en 0 01 ou encore de 1 1 en 1 1 Les nouveaux programmes de l cole primaire Math matiques Page 10 Les multiples d un nombre De la m me mani re on peut poser des probl mes ou v rifier une hypoth se par exemple 1 304 est un multiple de 4 en exp rimentant avec la calculatrice de deux fa ons produire une suite de 4 en 4 partir d un multiple connu par exemple partir de 1 000 en utilisant la s quence 1000 4 4 4 4 ou 1000 4 S 5 S A S si la machine a un op rateur constant additif droite s 9 essayer d atteindre 1 304 par des produits dont le premier op rateur est toujours 4 en utilisant le fait que sur une machine ordinaire le premier op rateur est gard comme op rateur constant on peut donc par exemple essayer 4 x 300 puis 350 puis 320 S Les grands nombres Que se passe t il si on coupe plusieurs fois de suite une feuille de papier en deux Combien de morceaux obtient on Combien de fois faut il couper pour avoir plus de 10 000 morceaux La s quence de touches 2 x S5 A S S F permet sur une calculatrice ordinaire de v rifier l hypoth se qui a pu tre mise par les l ves et si on prolonge le processus de voir la rapidit de croissance des nombres Ces exemples montrent que ici la calculatrice est plus
28. rque 1 point Par rapport l exercice pr c dent celui ci conduit l un des l ves crire en chiffres les nombres et calculs dict s par l autre joueur Calcul d un nombre l autre en au plus 3 tapes Un premier nombre est affich sur l cran de la calculatrice par exemple 85 Sans teindre la calculatrice ni effacer le nombre affich il s agit d obtenir l affichage de 812 en au plus trois op rations Selon les connaissances des l ves on peut obtenir par exemple les s quences suivantes les r sultats interm diaires correspondent aux nombres encadr s 85 700 gt 785 15 gt 800 12 F 812 85 x 10 850 30 820 8 gt 812 Cette activit favorise un travail d anticipation et une premi re approche des ordres de grandeur Elle peut s accompagner ou non d une traduction crite de la suite des calculs effectu s par exemple pour le deuxi me calcul 85 x 10 850 850 30 820 820 8 812 Calcul affichages sous contraintes Un nombre doit tre obtenu l affichage en respectant certaines contraintes pour provoquer cet affichage Par exemple faire afficher 16 en tapant aussi sur ou sur X faire afficher 16 sans taper ni 1 ni 6 Concours de calcul Dans ces exercices qui peuvent tre propos s en fin de cycle 2 et repris au cycle 3 on offre le choix l l ve du moyen de ca
29. sans effacer faire afficher 40 etc faire afficher 10 sans effacer faire afficher 7 etc faire afficher 58 sans effacer faire afficher 50 etc faire afficher 40 sans effacer faire afficher 36 etc faire afficher 70 sans effacer faire afficher 50 etc etc le but tant toujours d essayer de minimiser le nombre de touches frapp es et de discuter des diff rentes m thodes utilis es Utiliser les calculatrices Cycles des apprentissages fondamentaux Cycle des approfondissements Page 11 Table d addition L activit peut prendre la forme d un jeu deux L un des l ves tape une s quence du type 8 7 en annon ant l autre ce qu il tape Le deuxi me l ve annonce oralement un r sultat Le premier l ve appuie alors sur Si le r sultat affich correspond au r sultat annonc le deuxi me l ve marque l point sinon c est l autre joueur qui marque 1 point Cette activit constitue une occasion de s entra ner sur la connaissance de la table d addition Calcul interrogation mutuelle L activit voisine de la pr c dente est r alis e avec deux l ves L un des l ves tape une s quence du type 21 7 en annon ant l autre ce qu il tape Le deuxi me l ve doit crire le calcul dict et le r sultat Le premier l ve appuie alors sur Si le r sultat affich correspond au r sultat crit le deuxi me l ve marque 1 point sinon c est l autre joueur qui ma
30. ssible le quotient et le reste de 149 divis par 7 23 7 23 7 23 7 23 7 23 7 23 7 23 7 23 7 23 7 23 7 ici remarquer qu on a 10 fois 23 7 permet d crire directement le r sultat Calculs d passant la capacit d affichage de la calculatrice Prenons l exemple d une calculatrice dont l cran permet l affichage de 8 chiffres Calculer avec la calculatrice 74 400 000 53 000 789 les deux nombres sont affichables mais la frappe sur ne donne pas le r sultat attendu selon les calculatrices il affiche ERREUR ou passe en notation exponentielle un nombre virgule suivi d une puissance de 10 Le calcul la main permet de trancher De plus cet essai prouve qu il est n cessaire avant d utiliser la calculatrice de v rifier l ordre de grandeur du r sultat pour savoir s il tiendra sur l cran d affichage Un travail int ressant peut tre men sur l aide que peut apporter la calculatrice dans de tels cas Exemple 1 calculer avec la calculatrice 85 156 426 78 562 256 Une frappe directe ne permet de conclure une proc dure possible est de scinder le nombre par exemple de taper 156 426 562 256 d crire le r sultat 718 682 puis de taper 85 78 d crire le r sultat en lui affectant sa valeur dans le nombre cherch soit 163 000 000 et de faire la main la somme des deux nombres obtenus Exemple 2 calculer avec la calculatrice 123 456 x 789 Le r
31. sultat est inf rieur 124 000 x 789 le calcul la machine 124 x 789 donne 97 836 le r sultat est affichable directement car inf rieur 97 836 000 Le r sultat a 8 chiffres il est lisible l affichage Exemple 3 calculer avec la calculatrice 231 456 x 789 Le r sultat est inf rieur 231 000 x 789 le calcul la machine 231 x 789 donne 182 259 on obtient un nombre de 9 chiffres Le r sultat est sup rieur 230 000 x 789 le calcul la machine 23 x 789 donne 18 47 le r sultat est donc sup rieur 18 470 000 il n est pas affichable directement Proc dure possible d composer le nombre en 231 000 456 effectuer s par ment les calculs 231 x 789 et 456 x 789 la calculatrice recomposer le r sultat par crit 182 259 000 359 784 effectuer les derniers calculs par tranches Les calculs pr c dents impos s par les limitations de la calculatrice sont de v ritables probl mes pour les l ves ils n cessitent de r investir des connaissances en num ration et sur la compr hension des techniques op ratoires D cimaux passer d un nombre un autre Un premier nombre est affich sur l cran de la calculatrice par exemple 4 785 Sans teindre la calculatrice ni effacer le nombre affich il s agit d obtenir l affichage de 4 805 en une seule op ration Pour r pondre l l ve doit remarquer que le chiffre des centi mes est pass de 8 0 pour obtenir un
32. tenu de la m moire En appuyant sur MR on obtient le bilan ici l exc dent des recettes sur les d penses La touche MC ou CM permet de vider le contenu de la m moire ce qui est indispensable avant tout nouveau calcul Attention pour effacer le contenu de la m moire il faut parfois taper successivement deux fois sur la touche RM Calculer l expression 254 x 26 89 x 57 revient taper 254 x 26 M puis sans effacer le contenu de la m moire 89 x 57 M puis MR pour demander l affichage du r sultat Au del d un apprentissage de l usage des touches m moires c est celui de la ma trise des critures de calculs avec ou sans parenth ses qui est vis Les touches op rateurs constants Comme celui des touches m moires cet apprentissage sera n cessairement guid par l enseignant Les fonctionnalit s des diff rentes machines sont extr mement variables sur ce sujet Certaines ne poss dent pas de fonctions op rateurs constants d autres les poss dent de mani re implicite pas de touches sp cifiques d autres encore de fa on explicite existence d une touche sp cifique OP par exemple Comment v rifier que la calculatrice a un op rateur constant implicite Pour un op rateur constant additif il suffit de taper 5 2 gt gt touche deux fois si la calculatrice affiche 7 elle n a pas de op rateur constant addi
33. th matiques Page 14 Annexe 1 Proposition de grille pour que chaque enfant labore le mode d emploi de la calculatrice qu il utilise Ce mode d emploi est gard avec la calculatrice L l ve y consigne ce qui correspond sa machine Il peut tre compos des l ments suivants 1 Un dessin libre de la calculatrice 2 Le plus grand nombre entier affichable sur l cran pour comprendre que la machine est limit e et que l homme sait crire des nombres beaucoup plus grands 3 La liste des touches avec leur effet En particulier Touche correction ou retour en cas de double affichage M moire fonctionnelle ou m moire non fonctionnelle Existence d un op rateur constant implicite ou explicite Priorit op ratoire ou non Racine carr e si elle existe nous apprendrons nous en servir plus tard Etc 4 Quelques exemples de calcul li s la machine Pour calculer une expression avec deux signes op ratoires diff rents 25 17 x 12 je l cris d abord avec des parenth ses 25 17 x 12 Si ma machine a la priorit je peux taper 25 17 x 12 Sinon je dois taper 25 17 x 12 ou 25 M 17 x 12 M RM ou 17 x 12 25 3 Annexe 2 Proposition de cahier des charges pour une calculatrice adapt e pour l cole primaire Une calculatrice pour l cole primaire doit comporter un cran de deux lignes d affichage permettant d diter et de corriger une s quence de c
34. tif si elle affiche 9 le deuxi me signe signifie 2 elle a un op rateur constant additif droite si elle affiche 12 le deuxi me signe signifie 5 elle a un op rateur constant additif gauche Pour un op rateur constant multiplicatif il suffit de taper 5 x 2 F F touche deux fois si la calculatrice affiche 10 elle n a pas d op rateur constant multiplicatif si elle affiche 20 le deuxi me signe signifie x 2 elle a un op rateur constant multiplicatif droite si elle affiche 50 le deuxi me signe signifie x 5 elle a un op rateur constant multiplicatif gauche La particularit de la machine est consign e sur le mode d emploi Pour la multiplication c est en g n ral le premier nombre tap celui de gauche qui devient op rateur constant pour les trois autres op rations c est en g n ral le deuxi me celui de droite Citons deux utilisations possibles des op rateurs constants avec une calculatrice ordinaire sans touche sp cifique Exemple 1 On veut chercher si 1 805 est un multiple de 13 ou entre quels multiples cons cutifs de 13 il se situe En tapant 13 x 90 on affiche 1 170 On souhaite essayer un nombre plus grand par exemple 120 il suffit alors de taper 120 pour obtenir le r sultat 1 560 Puis la s quence 150 donne pour r sultat 1 950 et on peut poursuivre l exploration de cette mani re Utiliser les
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