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Usages d`une calculatrice dans un cours de - Espace Ecole

1. Er e D monstration _ eR F787 o V8 V7 BE ee _ 18 47 V8 4V7 gt 48 47148 47 1 _ BV 8 V7 ha 1 V8 V7 S 48 47 48 47 1 EAT gt v8 J v7 1 v8 47 50 gt 151 87 a B7 Sl 1 2 l V8 47 a o Ea 1 2 Conjecture Soit n un entier positif Alors on a n 1 4n an Ne 3 D monstration 1 4Vn 4n n 1 Vn Vn 1 4n ld EE di JE Da Lan a 7 1 Vn 1 4n Jaish n l n 1 lan nl ln Remarque la d monstration est aussi valable pour des valeurs de n non enti res neR 180 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 20 La d finition math matique de la racine carr e est souvent mal connue gt retravailler en particulier en insistant sur le fait qu une racine carr e de a est le nombre r el positif b tel que b Les concepts de conjecture et de d monstration ne sont pas anodins soit 1ls ont d j t travaill s et les l ves peuvent comprendre l nonc soit on peut utiliser cette activit pour introduire ces concepts aupr s des l ves en discutant l activit directement avec tous les l ves en classe Analyse priori de l activit enjeux de l activit d marches possibles Les l ves peuvent avoir de la difficult introduire V8 difficult s relances 1 1 mise en commun 7 et encore plus EA a la calculatrice V7 Lien possible avec la d monstr
2. Ceci signifie que la calculatrice n a pas d autres chiffres en m moire apr s le dernier 1 Elle a donc un affichage de 10 chiffres et un registre contenant 13 chiffres Essaie avec un autre exemple comme 1 13 ou V2 Une balle rebondit aux 17 24 de sa hauteur de chute Calcule les hauteurs des rebonds successifs Suite arithm tique Une suite est constitu e de termes num rot s de 1 n Dans une suite arithm tique on obtient le terme suivant en ajoutant toujours le m me nombre appel raison et not r au terme pr c dent a r Calcule en utilisant ta calculatrice le 20 terme d une suite arithm tique de terme initial a 1 5 et de raison 0 505 Aurais tu pu viter de calculer tous les termes interm diaires et trouver directement le 20 terme Suite g om trique Une suite est constitu e de termes num rot s de 1 n Dans une suite g om trique on obtient le terme suivant en multipliant le terme pr c dent par un nombre r appel raison a an x r Calcule en utilisant ta calculatrice le 20 terme d une suite g om trique de terme initial a 100 et de raison 0 999 Aurais tu pu viter de calculer tous les termes interm diaires et trouver directement le 20 terme 252 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques x origine n r f rences voir contenu ou objectif math matique bibliographie Programmati 11_37 p10 on et bo te noire Program p
3. Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Proposition s de Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate d roulement du groupe la classe Discussion avec la classe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation A A A e e e ET e a a a e a a a e PO a e a Travailler de facon semblable avec d autres fractions Quantit de d veloppements possibles avec des exercices Prolongements de th orie des nombres possibles Parler de nombres irrationnels d montrer l irrationalit de racine de 2 Possibilit de faire le lien avec la division polynomiale lr A A A A J ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves A E D en A A A AAA 171 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 18 Ce que l l ve doit avoir retenu Fraction d finition Nombre rationnel d finition Lien entre fraction et nombre rationnel Division euclidienne avec reste Algorithme de division de deux entiers DOC D Recherche de p riodes Penser si
4. la longueur du plus grand c t est bien inf rieure la somme des deux autres c tes on conna t 3 c t s donc par cas d isom trie CCC la solution est unique Cas 1 P 180 75 03 40 14 69 83 Cas 2 pP 180 104 97 40 14 34 89 On v rifie en utilisant le th or me du cosinus ou du sinus dans les deux cas et on voit que la solution correcte est celle du cas 2 Remarque pour cet exercice si on en a le choix 1l serait plus prudent de continuer utiliser le thm du cosinus pour d terminer q on se serait pargn tous ces probl mes 216 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 24 Analyse a priori de l activit enjeux de l activit Ce type de vacherie risque de laisser perplexe plus d marches d un l ve Attention de bien expliquer et faire possibles difficult s comprendre les enjeux de cette activit apr s coup relances mise en commun Recherche individuelle ou en bin me Peut galement se travailler par groupes par exemple en distribuant des nonc s diff rents aux groupes et en faisant pr senter les r sultats obtenus devant la classe par un membre du groupe tir au sort o nonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux Proposition s de l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de d roulemeni r diger en commun une ac tate Tirer au sort un
5. En utilisant des signes x et une fois des nombres de la liste 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 40 50 et 60 on peut former par exemple l galit 30x2 4x3x5 En respectant cette r gle chercher d autres galit s qui comportent le plus possible de signes x Deux joueurs une calculatrice Entrer la calculatrice le nombre donn puis le signe Le premier joueur doit entrer un nombre tel que le r sultat de l op ration soit dans le domaine donn Il a droit deux essais Ensuite les joueurs changent de r le Ecrire tous les r sultats obtenus 1 1250 Domaine Entre 26 et 29 compris 1250 11 999 Domaine Entre 20 et 23 compris Compl ter la division 19372 27 Quelles sont les solutions possibles 6 14 24 26 56 Utilise deux nombres parmi les cinq propos s et les signes ou pour fabriquer des calculs dont la r ponse est un nombre qui se termine par 0 Faire afficher le nombre 249861 Soustraire un nombre de telle sorte que le 4 chiffre depuis la droite se transforme en 0 Variante Soustraire des nombres de fa on transformer tous les chiffres en z ro du chiffre le plus petit au plus grand En 2P J affiche 5 je n utilise pas la touche J affiche je n utilise pas les touches o En 5P Tu dois trouver 189 sans utiliser les chiffres de 2 9 Tu dois trouver 1000 sans utiliser les chiffres 1 2 3 4
6. Lorsque tu es parvenu au nombre de la deuxi me carte continue de la m me mani re pour les nombres des cartes suivantes 69 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 IO 707 73 78 79 75 76 77 78 zrani 80 81 82 85 86 87 88 89 92 93 94 90 91 92 95 96 97 98 99 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre Activit 02 Analyse priori de Intentions l activit a D velopper en fonction des nombres en jeu les enjeux de activite proc dures de calcul des l ves les r pertoires m moris s d marches possibles additifs et soustractifs le calcul r fl chi et l estimation difficult s relances mise en commun D marches possibles faire des essais au hasard compter sur les doigts faire un dessin faire des pas de len1 5 1 gt 1 1 8 faire des pas de 10 et de 1 5 10 1 1 17 utiliser la calculatrice pour d terminer une diff rence essayer d autres op rations que l addition et la soustraction passer syst matiquement par 0 15 15 26 26 appuyer sur la touche ON C utiliser la droite num rique consulter la table d addition ou de soustraction utiliser des proc dures de calcul r fl chi Difficult s potentielles comprendre de la consigne dans son ensemble respecter tous le
7. aire du triangle ABC 130 q r 360 2 3609 2 b h _130 2 2 4 532 11 18 79 m Volume du remblai largeur du tunnel U aire du segment circulaire 2800x18 79 198 52601 m Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Correction exercice 4 a 1 Aire d une face triangulaire EN o Trigonom trie sin O v lo x gt a sin 0 3 0 D x gt x 2 a sin 0 a 2 a sin O 2 2 Finalement Aire totale 4 faces triangulaires 4 a sin O Donc l aire d une face triangulaire s 2 aire base hauteur x x y x y a 2 Volume de la pyramide py 3 3 3 Trigonom trie cos 0 2 gt y a cos 0 a 2 a sin a cos 0 3 _ 4 a sin 0 a cos 0 3 Finalement Volume de la pyramide E 4 a sin 0 cos 0 3 b Si a 187 m et 0 40 Kheops alors Aire totale 89 910 6 m Volume 2 759 640 m 199 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Correction exercice 5 e On cherche q 180 2 a 15 360 29 2 5220 58 a 5400 So 58 ar 180 a gt 3 1039 180 2 0 29 15 3600 e On cherche TS TL TL 384 000 sma TS ARE TS sin a sin 3 103 lt gt TS 7 101 278 km Remarque Aristarque de Samos 310 230 av J C fut le premier proposer une m thode rationnelle permettant de d terminer la distance Terr
8. Coefficients dans IN Coefficients dans IQ Applications lin aires 0 5 x 1 2 x ou x 2 0 2 x 1 5xoux 5 1 2 x 6 5 x ou 6x 5 2 5 x 5 2 x ou 5x 2 0 01 x 1 100 x ou x 100 Applications affines 98 2x 4 3 10 x 0 5 3x 0 7 0 5 x 4 0 1 x 3 Autres applications 0 5 x 1 2 x 0 1 x 1 10 x 1 5 x 3 2 x Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques l ments pour la synth se Activit 05 Une application num rique comme celles qui sont propos es ci dessus est une relation entre deux ensembles de nombres telle que tout l ment de l ensemble de d part a une image unique dans l ensemble d arriv e Il s agit donc en premier lieu de distinguer clairement ces deux ensembles Il n est videmment pas question de formaliser l criture des fonctions ni m me d introduire l utilisation du x ou l initiale f pour d signer une application mais bien de d couvrir la machine qui transforme un nombre en un autre Il est important de relever et d expliciter les constats faits par les l ves Par exemple pour les applications propos es ci dessus ily a des machines qui ne transforment pas le O f 0 0 d autres qui le transforment 0 0 Dans le deuxi me cas il y a addition ou soustraction dans le premier cas non il y a des machines qui donnent toujours un nombre plus grand ou plus petit Dans ce cas 1l n y a qu une addition ou une soustractio
9. Dur e estim e 90 minutes pour un choix d exercices Choix d exercices tir s de situations r elles n cessitant l utilisation de la trigonom trie Type d usage de la calculatrice Degr s concern s EXECUTER Contenus Mod lisation math matiques e vis es Exercer la trigonom trie dans un triangle quelconque Trigonom trie dans un triangle quelconque Pr requis Connaissance de l utilisation des touches des fonctions trigonom triques avec la calculatrice Trigonom trie mod lisation Trigonom trie avec g om trie analytique Swokowski et Cole Ed LEP Adaptation Serge Picchione et Jean Marie Delley 219 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Enonc l ve activit 25 Exercices pr paratoires connaissance de la calculatrice en trigonom trie dans le triangle quelconque 1 Comment convertir un angle d une mesure l autre degr en radian ou radian en degr 1 Convertir 45 en radians 2 Convertir 1 12 en degr s 2 Calculer le sinus de 112 degr s et donner un r sultat arrondi au milli me 3 Calculer la tangente de 4x 3 radians et donner un r sultat arrondi au milli me 4 Calculer l angle compris entre O et 180 degr s dont le cosinus vaut 0 2015 et donner un r sultat en degr s arrondi au dixi me 5 Calculer les angles compris entre O et 180 degr s dont le sinus vaut 0 54785 Donner un r sultat en degr s arrondi au
10. Exemple 456 3 459 459 9 51 51 9 60 60 6 10 Joue une partie de retour a 10 avec un e camarade A tour de r le chacun donne un nombre l autre D couvre une strat gie efficace pour gagner Peut on gagner avec n importe quel nombre Fermat pensait que les nombres de la forme F 205 1 taient premiers Estime le nombre de chiffres de Fio en sachant que 2 1024 Calculez Fo Fs F gt F et F4 Parmi tous les rectangles d aire 24 cm lequel a le plus grand p rim tre Solution Les l ves exp rimentent les d compositions enti res de 24 et r alisent que 1x24 donne le plus grand p rim tre et puis il y a un saut conceptuel quand l un dans la classe tente un nombre d cimal comme 0 5 qui permet de d passer 24 pour la longueur La calculatrice n est pas indispensable au d but mais elle permet si les l ves sont encore peu l aise avec des multiplications de tr s petits nombres comme 0 0001 de retrouver la longueur quand la largeur est un d cimal tr s petit Dans une classe le calcul du pourcentage de filles arrondi un chiffre apr s la virgule est de 65 2 Peut on d terminer le nombre de filles et de gar ons de la classe ou bien Dans l Essai philosophique sur les probabilit s du grand math maticien Laplace 1749 1827 appara t le rapport du nombre de gar ons au nombre de filles la naissance gal 1 047 Exprimez ce rapport sous forme d une fa on plus parlante Exp
11. activit 24 1 Thm cosinus c a b 2abcos y donc donc 2 Thm sinus 3 a p y 180 gt gt 4 Thm cosinus a b c 2ab 10 642 6 32 7 12 2 10 64 6 3 0 76448 _ 10 64 6 3 7 P PRE 2 10 646 3 cos y l 4 pr 40 14 sin 0 _sin 6 _sin yY donc C b sin z sin 7 a C Es 10 64 7 1 gt a Ce 7 1 S 0 96608 donc a sin RIADA 7 1 75 039 P 180 a y 180 75 03 40 14 B 69 83 b a c 2accos f 6 3 10 64 7 1 2 10 64 7 1 cos 69 83 214 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques gt 39 69 111 52 c est faux Explication dans le calcul de amp en 2 on utilise la fonction sin de la calculatrice qui pour rester bijective ne s applique qu des angles de l intervalle 90 909 la fonction cos s applique des angles de elle l intervalle 0 180 Chaque fois qu on utilise les touches sin et cos il faut donc tre tr s attentif se poser la question de savoir si il n y aurait pas d autres solutions au probl me consid r autrement dit si les angles qu on cherche sont bien dans l intervalle de d finition de la calculatrice pour les fonctions sin et cos Dans ce cas lorsqu on r sout un triangle quelconque l utilisation du thm du cosinus pour rechercher un angle ne cause pas de probl me puisque la machine donnera l unique solution comprise da
12. commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves 234 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 26 Ce que l l ve devrait avoir retenu a Logarithmes et exponentielles d finitions et propri t s a Connaissance de l utilisation des calculs avec log exp avec la calculatrice touches et gestion de cha nes de calculs Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 235 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercices de consolidation activit 26 Exercice 1 La p riode de l iode 121 est de 60 jours Au bout de combien de temps l activit d un chantillon d iode radioactif 1 gt 1 sera t elle gale a la moiti de l activit initiale b au quart de l activit initiale c au huiti me de l activit initiale d au 512 ME de l activit initiale Note Un peu de r flexion permet de r pondre sans calcul Exercice 2 L intensit radioactive d un rayon d cro t en traversant un mat riau donn selon la loi I 19 10 KI o Ip est l intensit initiale en rad I est l intensit apr s avoir traverse une paisseur 1 en rad l est l paisseur du mat riau en cm k est une constante qui d pend du mat riau en 1 cm a S1 l on sait qu un rayon de radiation gamma est r duit de mille cent rad apr s avoir travers une pl
13. le pack On peut rendre tous les packs non entam s Quel est le b n fice sur les bolssons 7 Calculs utilises tute R sultato le calcul mental EE PE E Ae CO ESO EE E E En CE EA Un grand Ape No mie a T t ses 10000 Jours Combien soufferat ell de bougies sur le g teau de son prochain anniversaire 7 EOS COMA ES CO ENTES UA TICS COMA ES CO RC ES O CO rr TA TT 268 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques ET origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie Vy IL76 p15 G Epreuve cantonale Il_77 de maths 6P mai Calcul d Aire 2001 question 9 Epreuve cantonale Il_78 de maths 6P 2004 10 000 jours question 8 Pour I1_79 MERS Momibres 7 R l app AS op rations dans Z et Op rations e de notions nouvelle 50 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 269 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc fiches GRUNER L aire d un rectangle est de 13 075 cm Le grand c t de ce rectangle mesure 5 23 cm Auriane vient de f ter ses 10 000 jours Mais quel ge Auriane aura t elle lors de son prochain anniversaire voir EX 74 Les exercices MERM du livre Nombres et Op rations 44 Que trouves tu et 49 Quoi de plus pour l tude de l addition soustraction dans Z Effec
14. noter Prolongements Tout autre probl me additif soustractif multiplicatif ou possibles divisif Il ne s agit pas de proposer des probl mes sp cifiques faire avec la calculatrice mais de saisir toutes les occasions o la calculatrice peut s av rer utile soit parce que les nombres en jeu sont trop grands soit pour conceptualiser une op ration soit pour v rifier les calculs Toa a a etes tete et tete ie jen foi fon om So So om om om mm m m om mi om m om om cm mm ms Fa ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves ANN O CNN NN NN ENEE 85 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques l ments pour la synth se Activit 03 La n cessit de se repr senter un probl me de dessiner de faire un sch ma Le lien de r ciprocit entre les op rations l addition et la soustraction la multiplication et la division Les op rations inverses la soustraction et la division ne sont pas commutatives contrairement l addition et la multiplication L criture conventionnelle des op rations avec l utilisation des symboles sp cifiques Quelques termes somme diff rence produit quotient termes facteurs dividende diviseur reste Sensibiliser les l ves aux erreurs d critures par exemple 4 x 5 20 3 23 est erron car 4 X 57203 L ordre dans lequel la calculatrice effectue les op rations par exemple pour 3 4 x 5 la ca
15. simplifie la fraction par le plus petit facteur premier commun On peut aussi choisir le facteur de simplification en crivant le facteur de simplification choisi entre et ENTER La calculatrice affiche si la fraction peut encore tre simplifi e En r p tant ON arrive in vitablement a une fraction irr ductible En mode automatique 2nd FracMode O Auto ENTER 101040105010 111 407 FA MEA 3 5 La r ponse est directement donn e sous forme de fraction irr ductible gt Attention L criture des nombres sous forme de fraction n est possible sur la calculatrice que si num rateur et d nominateurs sont des nombres entiers positifs et le d nominateur un nombre positif Si ce n est pas le cas il faut utiliser l op rateur division 2210 5 FT u 21300 257 SYNTAX SYNTAX Error Error a Parade possible CLEAR ENTER CLEAR ENTER 2 5 y 3 2 i 0 4 0 86602 5404 Ans gt F f DS a Exception T Angles en radians 2nd DR RAD ENTER x 1 6 x 6 j Pi 6 31 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques gt Simplification de fractions La calculatrice ne simplifie pas toutes les fractions r ductibles 856 1712 DOMAIN Error a Parade possible En mode manuel 2nd FracMode 6 Manual ENTER 856 7 1712 ENTER Simp 5 ENTER 856 1712 Ans gt F i Ans gt Simp 5 0 5 5 10 L N D gt n d En mode automatique 2nd FracMod
16. toile la plus proche d 300000 60 60 24 365 4 3 78 10 km 3 Ca grouille n 1 2 2 gt 2 autant de fois 2 qu il y a de p riodes de 20 minutes dans 12 h gt 1 R 2 1203 6 87 10 bact ries 4 Que de secondes t 1510 365 24 60 60 4 73 10 secondes 5 L humanit en bo te a A 4 n 12756 2 04 10 m b Si on compte 6 5 milliards d humains 2006 et 1 m par personne A 6 5 107 m 16 5 10 8 06 10 m r 5 x A donc un carr d environ 8 06 10 m tres de c t ou encore d environ 806 km de c t 163 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 6 5 10 0 5 3 25 10 m 3 3 2510 1 48 10 m donc un cube d environ 1 48 10 m tres de c t ou encore d environ 1 48 km de c t d A 510 10 6 5 10 0 078 km donc chaque individu disposerait d environ 0 078 km soit environ 78000 m ce qui met disposition de chacun un carr de 280 m de c t c V 164 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques activit de r vision de consolidation ou de re d couverte Il s agit de discuter les diff rentes critures possibles avec la calculatrice et de leurs sens respectifs 10 9 ou 10 EE 9 criture scientifique Certains l ves vont utiliser 3 14 pour Pi d autres la touche Pi de la calculatrice gt discussion possible sur va
17. 166 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 18 Quelle p riode Soustire D terminer la p riode parfois tr s longue de nombres rationnels simples Il s agit de trouver la p riode de nombres rationnels Parfois elle est vidente d autres fois elle est un peu plus compliqu e mais la calculatrice la donne sans difficult s Par contre dans d autres cas encore correspondant des fractions qui peuvent tre simples par exemple 2 la p riode est tr s longue et m me la machine ne permet pas de l obtenir imm diatement Comment faire alors Contexte d usage de APPROFONDIR la calculatrice Contenus et Fractions Nombres rationnels Lien entre les deux comp tences P riode math matiques vis s Pr requis Division euclidienne avec reste Calcul de fraction Algorithme de la division de deux entiers fractions nombre rationnel p riode division euclidienne avec reste Jean Marie Delley 167 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 18 l 29 Quelle est la p riode de z Que r pond la machine lorsqu on lui demande de calculer 2 Interpr ter le r sultat Quelle est la p riode de 4 On s int resse maintenant a la p riode de 3 17 Quelle est la r ponse de la machine b Comment expliquer que l on trouve une deuxi me fois le chif
18. 54785 R ponse 33 220 degr s La calculatrice ne donne qu une r ponse il faut utiliser le cercle trigonom trique pour repr senter la situation et donner lautre solution 180 33 220 146 780 Possible en un seul calcul avec l arrondi comme pr c demment 224 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig exercice 1 C b a 2 B c a B 90 51 39 et c 4 km Thm sinus E SAR 6 donc sin _ Sin B a b C a b 3 sin 0 _sin 39 a b gt sin a sin 3 9 quation I Soit t le temps en heures n cessaires au banc de poissons et au bateau pour atteindre le point C a_16t_2 b 40t et a 16t donc D 407 Un dans l quation 1 sin a sin 39 sin 39 donc a sin sin 39 14 6 Comme 90 14 6 75 4 la direction prendre est N75 4 E b y 180 39 14 4 126 4 a aaa sny _ RSS pa 4sin 39 3 12 km 4 7 7 sin 126 4 Be ARE A gt t 10 40 0 08h 5 min Corrig exercice 2 d X 54 m All 45 m a y 54m 225 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Thm sinus sin 53 3 _ sin p C 45 sin 53 3 sin b 54 45 Ss sin f Psin 53 3 54 donc B sin sin 53 3 41 92 a 180 53 3 41 92 84 78 0 90 a 90 84 78 5 22 b sin 9 4 2 lt d 54sin 0 54sin 5 22 4 91m Corrig exercice 3 A d but du tunnel c 15m B entr e de la mine
19. Activit 16 Dernier chiffre Fiche de pr sentation Soustire Trouver un moyen pour d terminer le dernier chiffre de T 10PO toutes fili res aussi possible plus t t d s la 8CO Degrets concernels voir encore plus t t Dur e estim e R sum Trouver un moyen pour d terminer le dernier chiffre de dE Contexte d usage de DECOUVRIR la calculatrice Contenus et Diff rence entre chiffre et nombre comp tences o criture en base 10 math matiques vises l ou 2 p riodes de 45 minutes Puissances enti res positives Observation et conjecture D montrer selon le niveau des l ves Pr requis e iti Calcul de puissances enti res positives ICC E 156 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 16 D terminer le dernier chiffre de 7 157 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 16 o M thode 1 7 1977326743 est la derni re puissance de 10 pour laquelle on est s r du r sultat donn par la machine On crit ensuite 7 7 7 1977326743 7 1977326740 3 7 197732674 10 3 7 197732674 10 7 3 7 197732674 7 10 21 197732674 7 gt 10 se termine par 0 donc 197732674 7 10 21 par 1 o M thode 2 plut t pour les enseignant e s si on veut formaliser avec le calcul modulo faisable avec les l ves si on reste
20. Entre 1 et 2004 il y donc le m me nombre de multiples de 8 ce sont d ailleurs les m mes qu entre 1 et 2000 2000 est le plus grand multiple de 8 inf rieur a 2004 c est dire 250 100 jour En observant ce tableau on constate que dans la colonne mercredi il n y a que des multiples de 7 que tous les multiples de 7 plus 1 sont des jeudis que tous les multiples de 7 plus 2 sont des vendredis 100 est un multiple de 7 plus combien R pondre a cette question permet de d terminer la colonne dans laquelle se trouve 100 Pour cela l outil le plus appropri est la division euclidienne 100 7 14 reste 2 100 est un multiple de 7 plus 2 ce sera donc un vendredi Amniversaire L outil de r solution le plus appropri pour r soudre ce probl me est nouveau la division euclidienne 10000 365 27 reste 145 et 10000 366 27 reste 118 Que l on compte avec des ann es de 365 ou de 366 jours S raphine aura 28 ans lors de son prochain anniversaire On peut aussi consid rer qu une ann e moyenne comporte 365 25 jours 10000 365 25 27 3785 et une bonne interpr tation de la partie d cimale permet de donner le r sultat 107 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Carrelage Ce probl me est un probl me tiroirs pour d terminer le nombres de paquets 1l s agit d abord de trouver le nombres de catelles Mais pour cela il faut comparer les dimensions de la pi ce avec celles d une catelle
21. Trouver deux rectangles d aire 24 cm et de p rim tre sup rieur 10 000 cm largeur cm longueur cm L e p rim tre cm Autre formulation St phane affirme qu il peut dessiner un rectangle d aire 24 cn et de p rim tre 10 000 cm T rence pr tend qu il bluffe Qu en pensez vous 127 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 11 Choisir une largeur diviser l aire par cette largeur pour trouver la longueur du rectangle puis additionner la largeur et la longueur pour trouver le demi p rim tre et terminer en multipliant par deux Utiliser un tableau pour pr senter les r sultats geste A IC IEA ACA IC CA IC cd E MEA ACA AE E Il est ainsi possible de remplir le tableau avec des p rim tres aussi grands que l on veut Par exemple choisir 1 10 000 pour largeur donne une longueur de 240 000 et un p rim tre sup rieur a 2 x 240 000 soit 480 000 Il est noter que dans ce calcul du p rim tre on peut n gliger les deux largeurs Commentaires pour le ma tre activit 11 Les l ves cherchent les d compositions de 24 en nombres Analyse priori de entiers et trouvent que 1x24 donne le plus grand p rim tre l activit Certains l ves ne pensent utiliser que des nombres enjeux de l activit entiers d marches possibles difficult s Lorsqu un l ve utilise un nombre d cimal inf rieur 1 relances
22. ces questions Guin amp Trouche 2003 Floris amp Conne 2007 Montrant la na vet de certaines approches selon lesquelles la d l gation de t ches techniques des logiciels favoriserait automatiquement la conceptualisation les recherches en didactique ont montr le r le important de certaines techniques de calcul instrument ou non dans le processus de conceptualisation Il semble par exemple aujourd hui que l usage des calculatrices peut tre un apport int ressant pour mettre en place la num ration d s l cole enfantine Del Notaro amp Floris 2004 2005 Il a t TPG Transports Publics Genevois 10 MITIC M dias Images et Technologies de l Information et de la Communication Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques montr aussi que l introduction de la calculatrice n cessite une instrumentation des l ves et de l enseignement Rabardel 1995 Guin amp Trouche 2003 sans laquelle on ne voit que des utilisations rudimentaires Al Parall lement ce courant de r flexion qui per oit de fa on positive cet outil et l volution qu il permet force est de constater une grande m fiance de nombreux math maticiens enseignant e s et parents Deux d bats principaux mergent Au niveau culturel d abord apr s 4000 ans de th ories math matiques comment accepter l introduction d outils lectroniques dans la recherche Quel est le statut de r sultats obt
23. http maths creteil iufm fr Second_degre module_info documen ts calculatrice lycee 2002 2003 pdf Calcul num rique l cole primaire Comp tences devant tre TE acquises MES http maths creteil iufm fr Second_ degre module_info documen ts competences calculatrice primaire pdf Minist re Utiliser les calculatrices en classe education http www eduscol education fr prog nationale FR Package p dagogique multim dia A http rmdiscala developpez com cours Direction enseignement scolaire Utiliser les calculatrices en classe http rmdiscala developpez com cours Rapport d tape sur l informatique et l enseignement des math matiques http smf emath fr Enseignement commissionKahane Rapportin fomath html RapportInfoMath html Rapport Kahane Complexit de l interaction homme machine dans les Luc Trouche environnements informatis s d apprentissage http www irem univ montp2 fr Trouche 53 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Exp rimenter et prouver faire des math matiques au lyc e avec Luc Trouche des calculatrices symboliques 38 variations sur un th me impos IREM de Montpellier Montpellier 1998 Structures fonctionnement cologie des organisations Mich le Artaud didactiques propos de la calculatrice et In J L Dorier amp al Eds Actes de la XIe cole d t de Jo l Denisot didactique des math matiqu
24. l ve par groupe pour pr senter l ac tate du groupe la classe Organiser un d bat avec la classe Reprendre les r sultats obtenus les hi rarchiser les organiser et proposer des activit s de consolidation Prolongements possibles ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves lmmmmmmmmmmmmmmm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm ee ee ne eo ee ee ee eo ee A O A O O A A A O A O O O A A O O A O A 7 217 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 24 Ce que l l ve devrait avoir retenu a La calculatrice ne donne pas toutes les solutions des quations trigonom triques a Importance de savoir utiliser judicieusement le cercle trigonom trique pour repr senter les situations tudi es a Importance de garder un sens critique face toute solution obtenue par calcul Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 218 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 25 Ouah la trigo Fiche de pr sentation Titre de l activit Ouah la trigo Utiliser la trigonom trie dans des situations r elles 11PO toutes fili res concern es par l enseignement de la trigonom trie dans un triangle quelconque
25. quatoriale c est dire sur une orbite peu pr s circulaire dans le plan d termin par l quateur terrestre S1 le satellite tourne autour de la terre une altitude a 35 700 km sa vitesse angulaire est identique la vitesse de rotation de la terre pour un observateur situ sur l quateur le satellite para t stationnaire on dit alors que son orbite est synchrone a En posant R 6400 km pour le rayon de la terre R d terminer quel pourcentage de la longueur de l quateur est accessible au signal de ce satellite b La deuxi me figure montre trois satellites dispos s distances gales sur des orbites quatoriales synchrones D terminer O pour expliquer pourquoi tout point de l quateur est port e de signal d au moins un des trois satellites La figure ci dessous montre la zone desservie par un satelliti te autour d une plan te de rayon R une altitude a La portion de la surface de la plan te couverte par le satellite est une calotte sph rique de hauteur d dont l aire est A 27Rd c Exprimer d en fonction de R et 0 d Estimer le pourcentage de la surface de la Terre qu un seul satellite peut couvrir s il est sur une orbite quatoriale synchrone 205 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercice D3 a Un polygone n c t s est inscrit dans un cercle de rayon r Trouver le p rim tre et l aire du polygone
26. tre d gag pour approfondir la compr hension des concepts math matiques compr hension souvent occult e par l apprentissage de trucs permettant de r ussir a cibler l enseignement sur la prise de d cision pour l l ve choisir l op ration appropri e au probl me donn est la principale difficult La reconnaissance des lois additives et multiplicatives devient ainsi un des objectifs de l enseignement a augmenter le champ des situations trait es son utilisation dans la r solution des probl mes permet de proposer des situations qui avec des strat gies de calcul crit demanderaient un traitement exag r ment long a remotiver les l ves qui chouent pour des raisons de lacunes op ratoires chercher de mani re empirique en effectuant des essais successifs Apprendre utiliser une calculatrice Bien souvent une bonne estimation est suffisante pour entrer dans une situation ou pour avoir une id e de l ordre de grandeur de la r ponse attendue Dans tous ces cas la calculatrice doit rester un outil de v rification Pour permettre aux l ves d utiliser leur calculatrice bon escient pour tre bon avec une calculatrice il est n cessaire d tre tr s fort en calcul mental il est indispensable de d velopper le sens du nombre et des op rations Les apprentissages tels que o connaissance des nombres o connaissance de la grandeur des nombres et comparaison o connaissance des relations entre l
27. CO PO Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques r glage par d faut 135 60 2nd FracMode d e Auto 135 60 5264223052 4 FT FracMode d e Manual r glage par d faut 2nd FracMode d e Auto 2nd FracMode Ab c Manual 2nd FracMode Anb c Auto 135 60 135 60 N D gt n d Ans gt Simp 45 20 N D gt n d Ans gt Simp 9 4 135 60 9 4 5 6 2 3x5 4 DOI N D n d 5 6 F2 3x5 4 DAI 5 6 2 3x5 4 lu8 12 N D gt n d 5 6 2 3x5 4 lu2 3 46 Dans le premier cas simplifie la fraction par le plus petit facteur premier commun On peut aussi choisir le facteur de simplification en crivant le facteur de simplification choisi entre et ENTER La calculatrice affiche si la fraction peut encore tre simplifi e En r p tant ENTER on arrive in vitablement une fraction irr ductible Dans le second cas r duit directement la fraction sa forme irr ductible L criture des nombres sous forme de fraction n est possible sur la calculatrice que si num rateur et d nominateur sont des nombres entiers De plus le d nominateur doit tre positif Si ce n est pas le cas il faut utiliser l op rateur division La calculatrice peut tre r gl e de mani re afficher les r sultats en notation fran aise notation habituelle des fractions Gen ve ou en notation anglo saxonne les nombres rationnels sont crits c
28. Commentaires pour le ma tre activit 22 Analyse a priori de l activit enjeux de l activit d marches possibles difficult s relances mise en commun LAA SS Y MA AT PE ATT O OP A A A EE Paro a as FF Travail individuel ou en bin me Bien faire comprendre que chaque l ve ou groupe d l ve va choisir des a et b diff rents pour commencer la suite et qu on pourra alors comparer les r sultats de chacun Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Proposition s de Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate d roulement du groupe la classe Discussion avec la classe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation tude des suites de Fibonacci et de leur propri t s en particulier 1l est possible de d montrer que dans le cas particulier o a b 1 alors Ft est un multiple de Fn Prolongements Liens avec le nombre d or possibles Voir le site de la Semaine des Math matiques 2005 http wwwedu ge ch cem ventuels commentaires apres les avoir test es du ma tre des l ves A 191 Usages d une calculatrice de poche dans un cours
29. Dur e estim e 1 ou plusieurs p riodes de 45 minutes Exercices de r solution de triangles en trigonom trie avec la calculatrice Dans certains cas il peut y avoir deux solutions mais la machine n en fournit qu une seule Type d usage de la calculatrice EXECUTER R solution de triangles avec la trigonom trie Contenus math matiques vis es Lien avec les cas d isom trie des triangles Trigonom trie dans le triangle quelconque Pr requis Th or mes du sinus et du cosinus Connaissance de l utilisation des touches trigonom triques avec la calculatrice Trigonom trie triangle cas d isom trie Adaptation Jean Marie Delley 212 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Enonc l ve activit 24 Pour tout cet exercice on donnera les r sultats arrondis au centi me Par ailleurs on prendra garde d utiliser la machine au mieux pour minimiser les erreurs et leur propagation On considere le triangle AABC ci dessous tel que a 10 64 b 6 30 et c 7 10 1 Utiliser le th or me du cosinus pour d terminer y Utiliser le th or me du sinus pour d terminer a D terminer gr ce au th or me sur la somme des angles dans un triangle RE a Appliquer le th or me du cosinus a b c et pour v rification Que constate t on Expliquer 213 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill
30. Mr Carpenter dit elle je peux faire des calculs simples comme ceux que vous faites en ce moment Par exemple 828 464 280 multipli s par 4 692 438 921 donnent 3 887 518 032 130 241 880 L objet de ce devoir est de v rifier ce calcul en utilisant vos connaissances de math matiques et votre calculatrice Sans poser les operations trouve parmi les nombres propos s le nombre le plus proche de chaque produit Entoure le v nf e ta r ponse en calculant les produits avec la calculette Choisir parmi ces 4 nombres le plus proche du produit donne 2498 37 x 25 38 29 x 19 x 95 73500 13 000 150 000 100 O0 500 000 264 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Es origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie Vy Casio Marc Ferrand C STAT4 EI EVE ndf Casio Marc Ferrand E Op rateurs 2operateurs pdf 11_70 j2 criture 48 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier utilisation des fonctions de la calculatrice Statistiques moyenne pond r e Avec fiche corrig e 265 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc C _STAT4 ELEVE pdf dans le dossier bibliographie il est accompagn de la correction En France la temp rature s exprime en degr Celsius not e ai On m era parese male que la trpim ue
31. Prendre en compte les r alit s du terrain en particulier les difficult s potentielles rencontr es par les enseignant e s Historiquement et aujourd hui encore on doit constater que ces machines ont t mises disposition sans que leur statut soit clairement tabli dans la continuit par l institution scolaire en d l guant aux ma tres la responsabilit de leur utilisation ou non sur la base des quelques l ments figurant dans les PE et ME A l EP le statut de la calculatrice est celui d un outil de calcul parmi les autres alors qu au CO un th me entier du plan d tudes lui est consacr au m me niveau que l initiation au raisonnement et la recherche Au PO quasi aucune mention 17 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques de cet outil et de son statut Bien s r quelques formations ont t propos es voir impos es mais l impact r el sur le terrain reste extr mement faible Une int gration r ussie ne se fera qu en emportant la conviction des ma tres Des exemples concrets des apports possibles de ces outils pour la p dagogie font souvent d faut sauf dans les moyens d enseignement du CO les MERM Esp rons que cette brochure et les offres de formation qui l accompagnent participeront l am lioration de cette situation gt Exploiter les dispositifs existants et futurs favorisant l int gration de l enseignement avec calculatrice calculatrice transparente
32. Thm cosinus b a c2 2accos f 132 152 2 13 15 cos 78 312 91 donc b 17 69 m La distance creuser est d environ 17 69 m sin P _sin a Thm sinus b a sin 78 sin a 17 69 13 es sin o 3_sin 78 17 69 donc a sin 3 sin 78 45 96 Si on creuse 10km h 10 km h 1e m s _ 17 69 3 6 10 ON d wte1769 1iet 36 6 37 secondes Il faut creuser pendant environ 6 37 secondes 226 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig exercice 4 On cherche ST RP 3000m a 37 et p 21 ca RP ___RP _ 3000 _ sin a E SP Go 7 934 92 m _ RP __RP __3000 _ sin B Tp TP in A sin 21 8371 84 m Thm cosinus ST SP TP 2 STTP cos 110 123484153 3 m donc b 11112 3 m La distance entre le bateau et le sous marin est d environ 11112 3 m B l r C Corrig exercice 5 Cerf volant p NY Fer de lance A i D a lt BAP lt PAD lt DCP lt PCB 36 Le triangle PCB est isoc le donc les angles lt CBP et lt BPC sont gaux Par ailleurs lt CBP lt BPC 180 lt PCB 180 36 144 donc lt CBP lt BPC 72 lt APB 180 lt BPC 180 72 108 Enfin lt PBA 180 lt APB lt BAP 180 108 36 36 b Thm cos BP CP CB 2 CP CB cos 36 1 1 2 1 1 cos 36 0 38 donc BP 0 62 c lt BOC 180 lt OCB lt CBO 180 lt PCB lt CBD 180 3
33. Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Annexes 7 1 La calculatrice dans les plans d tudes et les moyens d enseignement 7 1 1 EP L un des enjeux de la nouvelle dition de Math matiques 5 me et Math matiques 6 me est de faire voluer les attitudes et les conceptions dans le domaine des outils de calcul pour que la calculatrice Math matiques 6 me d 2002 M thodologie Commentaires pp 22 23 Documents romands o Plan d tudes romand de math matiques Degr s 1 6 COROME 1997 Volet Op rations fonctions et lin arit Intention Choisir l outil de calcul le mieux adapt la situation et ses propres comp tences Comp tence attendue Accepter ou refuser l affichage d un r sultat par estimation de l ordre de grandeur ou la connaissance de propri t s des op rations Progression Temps de construction de structuration et de consolidation de la 1P la 6P Moyens d enseignement romands O Commentaires Didactiques sur les Moyens d Enseignement pour les Degr s 1 4 de l Ecole Primaire pages jaunes 8 Les outils de calcul La calculatrice p 142 143 Math matiques 3e ann e primaire Livre du ma tre Module 3 p 120 121 et Module 4 p 161 Math matiques 4e ann e primaire Livre du ma tre Module 3 p 122 123 et Module 4 p 165 Math matiques 5e ann e primaire M thodologie Commentaires Introduction p 22 23 th me 3 p 71
34. b La compagnie qui vous emploie fabrique des colonnes en b ton Ces colonnes sont creuses pour en diminuer la masse Trois mod les sont offerts r gulier fort et extra fort Ces piliers sont produits en longueurs de 10 m Calculer le volume de b ton pour couler une colonne de chaque mod le SON gt a ENT R gulier Fort Extra fort Exercice D4 En observant le sommet d un gratte ciel depuis le sommet d un b timent haut de 15 m l angle d l vation est de 59 S1 on observe ce m me sommet au niveau de la route l angle d l vation est de 62 a Faire un sch ma puis calculer la hauteur du gratte ciel b Calculer la distance la plus courte qui s pare les sommets des deux b timents c Y a t il d autres moyens plus simples pour calculer la hauteur du gratte ciel 206 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Correction exercice D1 M a Rayon R 6370 km HM Se sin 40 O GU gt HM R sin 40 6370 sin 40 HM 4094 56 km P rim tre longueur du parall le 2 z HM 2 7 4094 56 25 713 84 km M b Rayon R 6370 km r sin 30 30 gt r R sin 30 6370 sin 30 Nge 60 o gt r 3185 km Longueur du parall le P rim tre 27 r 27 3185 20011 95km c 20 11 99 Formule de la longueur d arc E 2m 360 O Q amp r 2 T d 9 3185 500 3 km 360 nn
35. ce un dispositif technologique ad quat permettre tous de voir ce qui se passe chez un l ve particulier qui est alors appel l ve sherpa Cette terminologie est en particulier pratiqu e par Luc Trouche avec des TI89 Trouche 1998 On peut imaginer de pouvoir bient t le faire avec de simples calculatrices 2 Plusieurs exp riences ont eu lieu ces derni res ann es en particulier dans des coll ges mais on n a pas encore port de regard r troactif pour les valuer et estimer de quelle fa on ces outils influent sur les enseignements et les apprentissages 18 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 4 Propositions d activit s 4 1 Activit s d taill es Les enseignant e s et plus g n ralement toute personne int ress e trouveront 1c1 26 activit s d taill es pr sent es selon un canevas commun consistant en principe en une fiche de pr sentation un nonc leve un corrig d taill des commentaires pour le ma tre des l ments de synth se institutionnaliser d ventuels exercices de consolidation Certaines de ces activit s proposent des questions de recherche ou de d veloppement d autres des exercices dans lesquels il s agit d utiliser la calculatrice d autres encore un travail plus sp cifique sur la calculatrice elle m me Dans tous les cas elles se placent clairement dans le contexte d un cours de math matiques et ont comme objectif de
36. ce qui implique un changement d unit s Ce probl me comporte de plus deux implicites les catelles sont pos es parall lement aux c t s de la pi ce et elles sont pos es bord bord il n y a pas de joint entre elles Exprim es en centim tres la largeur et la longueur de la pi ce sont respectivement de 325 cm et de 410 cm Combien de catelles peut on placer en largeur combien en longueur La division ou la division euclidienne permet de r pondre cette question 325 12 27 reste 1 ou 325 12 27 08333 410 12 34 reste 2 ou 410 12 34 1666 En supposant que pour chaque fraction de catelle le carreleur doit prendre une nouvelle catelle 1l placera 28 catelles en largeur et 35 en longueur et aura donc besoin de 980 catelles En supposant que le carreleur parvienne partager sans casse les catelles en 6 morceaux rectangulaires de 2 cm de large ou en 12 morceaux de 1 cm de large il lui faudra exactement 926 catelles 918 catelles enti res 34 morceaux de 1x12 cm d coup s dans 3 catelles et 27 morceaux de 2x12 cm et un morceau de 2x1 cm d coup s dans 5 catelles Pour 980 catelles le carreleur doit acheter au moins 41 paquets de 24 980 24 40 reste 20 Pour 926 catelles le carreleur doit acheter au moins 39 paquets de 24 926 24 38 reste 14 119e d cimale 126 37 3 405405405 Effectuer cette division l aide de l algorithme par les changes permet de comprendre la p riodicit de la partie
37. http www forum umontreal ca numeros 1999 2000 Forum00 03 06 article02 html Dominique Nancy L ordinateur pour enseigner les math matiques sous la direction de Bernard Cornu http www sens neuchatel ch bulletin fr bull htm Louis Olivier Pochon 52 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Enseignement des math matiques et TICE http www educnet education fr math textes_officiels cadrage _ math et tice pdf Petit vade mecum pour l utilisation de la calculatrice TI34 au CO Laura Weiss http www unige ch fapse SSE teachers floris Imedidmath Uf71 2 calculatrice vademecumTI34 pdf Difficult s et erreurs caract ristiques li es a l utilisation de la Laura Weiss calculatrice DIP Gen ve tude sur quelques obstacles d usage des calculettes l cole l mentaire Eric Bruillard Grand N n 53 http www ac grenoble fr irem new2006 revues Inspection g n rale France Les math matiques de la maternelle jusqu a 18 ans http www apmep asso fr article php37 1d article 557 Le calcul et la calculatrice dans les programmes du cycle 3 de l cole l mentaire http maths creteil iufm fr Second_degre module_info documen ts calculatrice primaire pdf La calculatrice au coll ge IUFM Cr teil http maths creteil iufm fr Second_degre module_info documen IUFM Cr teil ts calculatrice college pdf Une calculatrice au lyc e IUFM Cr teil
38. m r aire d un cercle de rayon r n n b Pilier r gulier 0R n r DES e 2n 2n 1n 5 209 hexagone Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 11 44 6 28 cos 2 sin aa 12 12 1 44 6 28 31 a EEN 4045 23 cm 2 2 2 Pilier fort Aire de la section aire du disque de rayon aire du carr poly r gulier TR n 1 co TE 2n 2n n 44 4 28 cos Jesin 2 ARE dd O 2 2 9 4514 12 cm Extra fort A n 44 3 28 144 2328 5063 68 cm 210 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Correction exercice D4 a et b Inconnues x et h h 1 tan 599 Trigo h syst me de 2 quations 2 inconnues tan 62 X h x tan 59 15 h x tan 62 gt x tan 62 x tan 59 15 15 gt gt x tan 62 tan 59 15 gt gt A an 62 tan 59 69 3 m Ensuite h 69 3 tan 62 0 130 3 m c Par exemple calculer le nombre d tages et multiplier par la hauteur d un tage 211 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 24 Vacherie Fiche de pr sentation Titre de l activit Vacherie Exercices de r solution de triangles en trigonom trie avec la calculatrice Degr s concern s 11PO toutes fili res concern es
39. mise en 0 5 par exemple certains l ves ne trouvent pas la commun longueur correspondante ici la calculatrice permet d ex cuter les calculs ne Proposition s de Recherche individuelle ou en bin me avec affichage au d roulement tableau du plus grand p rim tre trouv _ Repr senter dans un rep re les points correspondants au Prolongements tableau donnant le p rim tre en fonction de la largeur possibles Parmi tous les rectangles d aire 24 cm lequel a le plus petit p rim tre ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma itre des l ves CE O O O O O O O O E O O O O O O O O O O O O O l ments pour la synth se activit 11 128 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Exercices de consolidation activit 11 Exercices tir s du site Mathenpoche La calculatrice ne sera utilis e que pour v rifier les r ponses Calcule mentalement les multiplications et les divisions suivantes et note le r sultat dans ton cahier a 1 000 x 0 05 b 10 000 x 0 05 c 5 3x0 1 d 3 42 x 0 001 34000 x 0 1 f 3000 x 0 00001 g 3 35 x 0 001 h 8 4 16000 1 0 045 10 J 25000 100 k 5600 10000 Complete les pointill s par x ou gt D 56 100 0 56 m 0 4 0 001 400 n 0 045 10 0 0045 o 450 0 1 4500 p 25000 100 250 q 5 0 01 500 r 1000 10 1010 s 3100 100 3 000 t 2500 100 2 600 u
40. n 14 Grands nombres Act n 17 Rechercher Limites machine Vacherie Explorer Act n 15 Act n 24 Dernier chiffre De simples racines Appliquons la trigo Radiobiolopopulo Act n 16 Act n 20 Act n 23 Act n 26 Approfondir A la recherche de V8 Premier de cord e Ouahlatrigo Conceptualiser Act n 19 Act n 21 Act n 25 Quelle p riode O sont les lapins Act n 18 Act n 22 V rifier Tableau r capitulatif B 3 activit s class es par type d apprentissages et de contexte d utilisation pour le PO Rappel les activit s elles m mes sont disponibles en un dossier ind pendant en annexe 7 3 24 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 4 1 3 Tableaux r capitulatifs C1 C2 et C3 parcours chronologiques dans les activit s par cycle d apprentissage Tableau r capitulatif C 1 liens entre les activit s et les th mes et modules des moyens d enseignement romands D couverte de la Module 3 des probl mes pour conna tre l addition calculatrice Utiliser des critures math matiques Act OI Module 3 des probl mes pour conna tre l addition Nombres la cha ne Utiliser des outils pour calculer Act 02 Module 3 des probl mes pour conna tre l addition Champ B Apprendre calculer Module 3 des probl mes pour conna tre l addition Probl mes additifs Reconna tre des probl mes additifs et soustractifs multiplicat
41. paration de ce travail Il tait impossible de les d crire toutes pr cis ment mais il a t choisi d en garder trace afin que les enseignant e s puissent ventuellement y puiser d autres id es Elles sont list es dans l annexe 7 4 class es par types d l ves concern s cette classification tant parfois tr s subjective 1l ne faut pas h siter regarder les activit s d autres degr s Ces activit s sont disponibles en un dossier ind pendant dans l annexe 7 4 5 Manipulation d une calculatrice 5 1 Utilisations judicieuses et limites de la calculatrice TI 34 II Ci dessous se trouvent des exemples de quelques utilisations judicieuses et de quelques limites de la calculatrice la division euclidienne l ordre des op rations les op rateurs constants le calcul avec des fractions la simplification des fractions le nombre de d cimales la notation scientifique et le calcul de moyennes A chaque s quence de touches est associ e une capture d cran de la calculatrice e Division euclidienne 2nd INT Un chocolatier vient de confectionner 283 pralin s identiques Il a pr vu de placer ces pralin s dans des boites contenant chacune 12 pralin s Combien de boites parviendra t il remplir au maximum et combien de pralin s non emball s restera t il 283 2nd INT 12 283 Int 12 i 23 7 Q R R ponse 23 boites remplies et 7 pralin s restent non emball s La division
42. son criture chiffr e et inversement Passer du code oral ou crit sa d composition en unit s dizaines centaines et inversement OFL Accepter ou refuser l affichage d un r sultat Source Secteur des Math matiques de l Enseignement Primaire 62 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Consigne Activit 01 L enseignant Je vous ai distribu un objet Je vous laisse un moment pour partir sa d couverte Lorsque vous d couvrez quelque chose vous le notez votre mani re Sur une feuille pour ne pas l oublier Tout l heure vous me direz tout ce que vous avez d couvert et je le noterai au tableau 63 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre Activit 01 Cette activit peut facilement tre propos e avec n importe quelle calculatrice quatre op rations Certains constats seront videmment diff rents li Analyse priori de Intentions l activit Faire connaissance avec un nouvel outil et son enjeux de l activit maniement d marches possibles Rep rer les symboles connus difficult s relances Distinguer les touches nombres des touches mise en commun op ratoires Distinguer chiffre et nombre D marches possibles Appuyer sur les touches pour faire appara tre des nombres Composer un num ro et utiliser la calculatrice comme un t l phone portable crire puis ef
43. th me 6 p 120 Math matiques 6e ann e primaire M thodologie Commentaires Introduction p 22 23 th me 2 p 57 th me 6 p 154 155 Activit s calculatrice extraites des moyens math matiques COROME 3P module 2 des probl mes pour approcher le nombre et lui donner du sens o Champ 2 B comparer les nombres Mauvaise touche p 85 o Champ 2 C tablir des liens entre une collection organis e en unit s dizaines et son criture chiffr e et sa d signation orale Touch p 104 4P module 2 des probl mes pour approcher le nombre et lui donner du sens o Champ 2 B comparer les nombres Touch p 97 SP th me 3 approche des nombres rationnels 55 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques o L 5 Multiplication lacunaire p 29 o L 7 Touche pas a mes touches p 29 SP th me 8 op rations dans Q o L 17 Touche ab m e p 82 6P th me 2 nombres naturels et op rations o L3 Le plus grand nombre o L9 D fi a la calculatrice Document produit la le secteur des math matiques de l enseignement primaire o Algorithmes de calcul lesquels enseigner p 11 12 7 1 2 Au cycle d orientation CO 7 1 2 1 Plan d tudes gt Dans le livret 10 Usages de la calculatrice et des outils informatiques on trouve les intentions suivantes Permettre aux l ves de manipuler correctement une calculatrice Permettre aux l ves d avoir un regard crit
44. tre a un r le important jouer dans le choix des applications qu il propose ses l ves Il peut proposer les m mes applications tous de mani re permettre une mise en commun portant sur les m mes objets Il peut galement diff rencier les applications rechercher en fonction des comp tences des l ves la mise en commun portera alors plut t sur les notations utilis es et sur le choix des nombres introduits S1 une application n a pas t d couverte par un l ve ou un groupe d l ves elle peut tre propos e l ensemble de la classe et donner lieu une recherche collective Les applications ne sont pas toutes du m me niveau de difficult Voici quelques constats que l enseignement devrait avoir en t te lorsqu il propose des applications il est plus facile de d couvrir une fonction dans laquelle n intervient qu une seule op ration qu une fonction compos e de deux op rations il est plus facile de d couvrir les fonctions lorsque les op rateurs sont des nombres entiers que lorsque ce sont des nombres non entiers il est plus facile de d couvrir les fonctions mettant en Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques jeu une addition qu une soustraction une multiplication qu une division 1l est difficile de d couvrir les fonctions qui l vent les donn es au carr ou au cube L criture des op rations peut rev tir diff rentes formes multipli
45. 0 891 S1 on veut un arrondi par la machine 2nd MATH O ENTER choisir round 2nd ANS 2nd gt 3 r ponse 0 891 En un seul calcul 2nd MATH O EME End TRIG 63 2nd 3 2 Palma Ho EA ris OO EE 25 Ed gt 2 R ponse 0 91 3 2nd MATHIO ENTER 2nd TRIG HONDO 25 2nd gt 2 R ponse 0 47 4 TRIG OO 2015 R ponse environ 78 4 degr s 5 TRIG BHO 2 2015 R ponse environ 65 6 Correction exercice 1 tan 79 2 gt lt gt h 60 tan 79 2 lt gt h 314 53 m Correction exercice 2 T a RN ee Coupe lat rale du tunnel AA d d gt S 2000 A gt 197 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques tan 36 Ae et 1 gt 2000 d tan 36 3225 gt d tan 36 2000 tan 36 3225 3225 2000 tan 36 gt d tan 36 gt dl 2438 8 m Finalement la longueur du tunnel est d d 2800 m Correction exercice 3 360 230 2 2B 230 360 gt 65 B y 90 180 gt y 90 25 Trigo sin y gt h r sin y 5 sin 25 2 11m tan 60 E d 1500 gt 1500 d tan 60 3225 gt d tan 60 1500 tan 60 3225 _ 3225 1500 tan 60 tan 60 _ 626 9 _ gt d 22362 m 1 732 cos y b r gt b r cos y 5 cos 25 4 53m Aire du segment circulaire aire du secteur de disque rayon r et angle 26
46. 10 100 1 000 Pour chaque produit calcule le facteur manquant en indiquant au pr alable l op ration effectuer pour le trouver O pi x4 5 5 4 SA o AS ici donc x 4 5 5 4 x 1 13 0 904 eerren ENNS donc cocnncccnnnocos USA o O ieTaoe DeRiia OSIE ios ONO son SE E a COR e Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Recopie et effectue les op rations suivantes v 0 1x 7 x 1000 w 5 6 x 0 01 x 0 1 x 3 5 x 0 01 x 10 y 1 5 0 1 x 0 1 z 4x0 01 10 aa 1000 0 01 x 4 56 bb 34 0 01 cc 0 64 10 dd 9 4 0 0001 ee 0 945 0 0001 ff 12 7 0 1 gg 5 9458 0 00001 Complete les pointill s par le nombre qu convient hh x 5 45 5450 11 298x 0 0298 J 3 45x 0 345 kk 10 000 X 0 3 11 2 345x 234 5 mm 10 x 0 01423 nn 34 3 4 oo 100 0 00034 pp 1 000 56 qq 0 045 0 00045 rr 400 0 04 ss 250 000 25 Compl te les pointill s par 0 1 0 01 0 001 a b c d e f 34x 0 034 12 Q 345 x 0 0345 34x 0 034 X 0 1 0 01 x 9 800 0 98 130 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 12 Tant que a Fiche de pr sentation Soie O oc O CN EN s agit de retrouver le pourcentage Contexte d usage de la calculatrice APPROFONDIR la notion de pourcentage Contenus et comp tences
47. 1000 3 Avec la machine LOG 1000 R ponse 3 R log 100000 log 100000 6 Avec la machine LOG 100000 R ponse 5 Ze a m 0 2600 1 0 51e 2600 1 0 51 Avec la machine 2600 1 51 3 R ponse environ 305 9 kg b m 20 2600 1 0 51e 20 Avec la machine 2600 1 51 LOGIDOOEENTER 5 075 x 20 3 R ponse environ 1809 6 kg c m x 2600 1 0 51e 9 1800 gt 1 0 51e 1800 2600 i 0 075ex _ 19 gt 1 0 5le o 0 075ex _ 4 3 9 lt gt 0 51e l 13 0 075ex _ r 3 9 3 1 ES e TATA 0 SS 0 075x In 1 TIRS B a E _ MAS 55 0 075 Avec la machine LOGJDOLENTER 01 2 3 4 1 09 E 13 1 51 07D 6 075 EM R ponse environ 19 8 ann es X Remarque on peut bien s r utiliser les m moires pour simplifier le calcul mais cela peut tre un d fi lanc aux l ves de r aliser le calcul en une seule tape On peut galement demander de r pondre en ann e heure minute 232 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques T 8310In 0 04 Avec la machine 1 8310 LOGIOO ENTER 04 R ponse environ 26749 ann es 10000 83 101n x In x 10000 8310 gt x e 10000 8310 Avec la machine LOGJD OOEENTER 10000 5 8310 R ponse environ 0 3 0 693 3 A 10006 si Avec la machine 1000 LOGIDOOENTER 5 693 x 3 8 08 R ponse environ 773 d sint grations par seconde 0 6
48. 207 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Correction exercice D2 a a 35 700 km R 6 400 km Trigo cos 2 i lt gt Co E 2 R a 2 R a a R E o amp 0 2 c0s ec 0 152 162 51 100 x 360 162 51 Donc si b Tout point de l quateur est port e du signal d un moins un des trois satellites car 0 162 51 gt 120 d Si le satellite est sur une orbite synchrone alors 0 162 51 voir point b donc Surface totale de la Terre A 2 x R 2 R 4 7 R car d 2 R Avec R 6 400 km gt A 514 718 540 4 km 208 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Surface de la terre qu un seul satellite peut couvrir AZ DR D RR 1 co 2 voir point c Avec R 6 400 km et 9 162 51 A 218240661 1 km 218 231 104 x Pourcentage gt x2424 514 718 540 100 gt Correction exercice D3 a Trigo COS a z gt a r cos op de wli 2n 60 t 2H y hd sin 2 pa gt c 2rsin A N Y 2n r n T RA C Donc P rim tre d un polygone de rayon r n c t s el n c n 2 r sin 2n a a C 5 360 360 Aire d un polygone de rayon r n c t s n n r cos sin 2 2n 2n Quand n le nombre de c t s tend vers linfini alors O n 2 sin 3 2n J gt 2 n r p rim tre d un cercle de rayon r et n cos 2 e Jr
49. 21 1 2 4 On considere l expression n n 41 pour n un entier naturel l Calculer la valeur de cette expression pour n 1 2 3 4 et 5 Noter les r sultats dans le tableau ci dessous Remarque on peut remplir ce tableau en utilisant la calculatrice de fa on classique mais aussi en tant plus performant dans cette utilisation en la programmant avec les op rateurs constants OP1 et OP2 2 Ces nombres sont tous premiers 3 Conjecture Soit n un entier naturel alors n n 41 est un nombre premier 4 5 Elle est fausse Contre exemple si n 41 alors n n 41 41 41 41 41 41 1 1 41 43 est n est donc pas premier Remarque il y a aussi 40 comme contre exemple qui pr c de Et les contre exemples qui suivent ne sont pas seulement les multiples de 41 Cependant il peut tre pertinent de montrer aux l ves que si on trouve un nombre p pour lequel le nombre p p 41 est non premier alors tous les multiples de p donnent aussi un nombre compos pour cette expression 185 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 21 Il est difficile d anticiper le fait que les l ves d couvrent ou non la propri t de primalit qu on essaye de mettre en vidence si personne ne le fait donner quelques l ments pour qu ils pensent cette caract ristique potentielle Analyse priori de fo
50. 2x g 4 g g 4 g g g 4 Plus petit multiple commun ppcm 12 20 Plus grand diviseur commun Simplification 135 _ de fractions 60 pecd 10 395 6930 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Popii 2 3 OP1 x2 3 4 0Px 4x2 3 1 6x2 3 1 ND o i OP2Bx2 x N E D N E D N ND a No a r lem 12 20 JO Z E mii m D Z m gcd 10395 6 SO 2nd FracMode d e Manual 45 60 3405 Pour m moriser un op rateur en OPI ou OP2 1 Appuyer sur gt OP1 ou 2nd gt OP2 2 Entrez l op ration toute combinaison de nombres d op rateurs ou des fonctions et leurs arguments 3 Appuyer sur pour sauvegarder l ensemble 4 ou rappelle et affiche l op ration sur la ligne d entr e La calculatrice donne automatiquement le r sultat sans appuyer sur ENTER du c t gauche de la ligne du r sultat Si l on appuie plusieurs fois sur ou OP2 le compteur s incr mente de 1 chaque fois Il est aussi possible de faire en sorte que la calculatrice n affiche que le compteur et le r sultat en excluant l entr e Pour cela il faut appuyer POP1 ou POP2 puis appuyer sur 0 jusqu ce que le soit mis en surbrillance 5 Il suffit de r p ter la man uvre pour d sactiver ce r glage Il existe deux modes de simplification manuel ou automatique Op rations avec des fractions
51. 778 0 75 0 724 0 7 22 1 467 1 375 1 294 1 222 1 158 1 1 1 048 1 0 957 0 917 0 88 0 846 0 815 0 786 0 759 0 733 23 1 533 1 438 1 353 1 278 1 211 1 15 1 095 1 045 1 0 958 0 92 0 885 0 852 0 821 0 793 0 767 24 1 6 1 5 1 412 1 333 1 263 1 2 1 143 1 091 1 043 1 0 96 0 923 0 889 0 857 0 828 0 8 25 1 667 1 563 1 471 1 389 1 316 1 26 1 19 1 136 1 087 1 042 1 0 962 0 926 0 893 0 862 0 833 26 1 733 1 625 1 529 1 444 1 368 1 3 1 238 1 182 1 13 1 083 1 04 1 0 963 0 929 0 897 0 867 27 1 8 1 688 1 588 1 9 1 421 1 35 1 286 1 227 1 174 1 125 1 08 1 038 1 0 964 0 931 0 9 28 1 867 1 75 1 647 1 556 1 474 1 4 1 333 1 273 1 217 1 167 1 12 1 077 1 037 1 0 966 0 933 29 1 933 1 813 1 706 1 611 1 526 1 45 1 381 1 318 1 261 1 208 1 16 1 115 1 074 1 036 1 0 967 30 2 1 875 1 765 1 667 1 579 14 5 1 429 1 364 1 304 1 25 1 2 1 154 1 111 1 071 1 034 1 132 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill de l activit 12 suite Si on ne peut pas utiliser un tableur on peut commencer par crire 65 2 sous la forme d une fraction simplifi e po E 326 163 16 1000 500 250 25 25 est un nombre raisonnable pour une classe Voici un tableau d essais pour une recherche organis e partir de la fraction 16 25 nombre de filles 15 pourcentage de filles 0 640 0 66 7 0 680 0 654 0 630 0 625 0 652 dans la classe au 1 1000 Cette r ponse est elle unique En t
52. As At uns ne die ne As A Un de en AU Un Ans ne ee ue ee ns ss Anne nee Dee ne ns a e e ee A ne ess e ee A ps crire le plus grand nombre possible avec la calculatrice Chercher diff rentes mani res pour crire 0 Chercher les chiffres que l on peut aussi lire en retournant la calculatrice Chercher les nombres qui peuvent tre lus en retournant la calculatrice Rechercher des op rations qui ne changent pas le nombre de d part Trouver une toutes les addition s dont la somme est 6 Trouver toutes les mani res de trouver 10 A partir d un nombre rechercher les op rations qui ne changent pas le nombre de d part mm ventuels commentaires apr s les avoir test es du maitre des l ves I FR TT PT REA EO ROE II ane E S SS RRA 1 I Productions d l ves LE a E mm mm mt mm EE a a ii a a a a ii e a ia a mm mm 66 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques l ments pour la synth se Ouverture et fermeture du bo tier Mise en marche et arr t de la machine Remise 0 de la calculatrice Les touches chiffres et leur disposition Les touches et en lien avec les connaissances des l ves Les touches Jet t ce quoi elle servent Les autres touches que celle cit es ci dessus peuvent tre nomm es mais ne sont pas utilis es pour l instant 67 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques
53. E A A O e o o e o e l ventuels commentaires apres les avoir test es du ma tre des l ves Productions d leves Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 19 Ce que l l ve doit avoir retenu l l E DO CO O O racine carr e d finition nombres rationnels vs irrationnels d veloppements d cimaux finis infinis p riodiques ou infinis non p riodiques irrationalit des racines carr es sauf pour les racines de carr s parfaits approximation estimation encadrement arrondis statut d un nombre irrationnel dans une machine selon le niveau des l ves d monstration de l irrationalit de 8 ou de 2 Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 177 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 20 De simples racines CON On utilise la calculatrice pour conjecturer un r sultat autour de racines carr es puis on manipule ces nombres alg briquement pour d montrer la conjecture Cette activit suit naturellement l activit A la recherche de 8 Contexte d usage de la calculatrice APPROFONDIR Contenus et Racines carr es d finition manipulation avec une comp tences machine manipulation alg brique math matiq ues Nombres irrationnels d veloppement d cimal fini infini VISES p riodique ou pas Distinguer une
54. Exemples de constats ou de relations entre les nombres La somme de 2 nombres impairs est un nombre pair Tous les multiples de 5 se terminent par 5 ou Q 17 12 7 2 Multiplier par 4 c est prendre le double du double 75 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Calcul r fl chi Le calcul r fl chi s appuie sur les propri t s du syst me de num ration d composition d un nombre en facteurs de puissances de 10 ou en facteurs de 1 10 100 etc et sur les propri t s des op rations associativit commutativit l ment neutre distributivit de la multiplication sur l addition la soustraction Les proc dures de calcul r fl chi sont personnelles et volutives Il est d s lors important que l enseignant permette a ses aux l ves de montrer la classe les proc dures de calcul r fl chi qu ils ont utilis es Ensuite 1l doit donner aux l ves l occasion d exp rimenter ces diff rentes proc dures dans de nouveaux calculs de mani re ce que chaque l ve puisse choisir celle qui lui est la plus efficace Exemples de d marches pour calculer 25 19 25 10 9 20 19 5 25 20 1 25120 On lira avec int r t les textes des moyens d enseignement concernant les r pertoires m moris s et le calcul r fl chi LM IP p 226 229 LM 2P p 258 262 LM 3P p 115 117 LM 4P p 117 119 Commentaires didactiques sur les moyens d enseignement pour les degr s 1 4 de l cole p
55. RECHERCHER EXPLORER l l ve aborde des notions math matiques O nouvelles ou les travaille sous un angle qu il ne conna t pas encore la calculatrice permet de d couvrir de conjecturer de produire et d effectuer des calculs interpr ter Elle participe l exp rimentation et au processus de compr hension Exemples activit OI bo tes noires d crypter fractions continues au PO APPROFONDIR CONCEPTUALISER l l ve approfondit des notions math matiques d j abord es afin d am liorer sa compr hension du concept ou de la technique utilis s C est aussi l occasion de d aiguiser son sens critique Exemples activit 08 tude des propri t s des suites de nombres EXECUTER l l ve est dans un contexte de math matiques connues la machine ex cute des t ches acquises mais fastidieuses longues ou r p titives en se substituant un autre outil de calcul Exemples la multiplication en 2 EP le logarithme en 11 PO quelle diff rence entre ces deux puces sous traiter les calculs acquis mais complexes longs ou r p titifs ex d monstration par exhaustion lors de situations comportant un nombre fini de cas recherche de facteurs premiers 7 8 COJ VERIFIER la calculatrice permet de v rifier une estimation ou un calcul effectu l aide d un autre outil de t te la main Exemples activit 02 estimation d un r sultat gt
56. autres nombres choisis par vous Le premier nombre aura 9 chiffres et le deuxi me 11 chiffres D composez chacun des deux nombres en unit s milliers millions etc Tracez un tableau comme pr c demment pour calculer les produits n cessaires Compl tez le tableau l aide de votre calculatrice 11 pourra tre judicieux de travailler au crayon Calculez toujours la calculatrice la somme de chaque colonne attention aux retenues pour obtenir le r sultat final Nous v rifierons votre r sultat en salle informatique quand vous rendrez le devoir 136 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques PA S B e o Tilos Millions 88410 ooo o o o o ofofo ofo o o o en 1 1 oo o o oj of of of ol of oj o e A A o o ao aooo o sa SS A A S Too o o o o 4410 oo o o oof o ofo o o o sme ASSAI foo o o o o o o o M Mi PHP a ley some PIP ppp some APP pp smm CELA Pp ose LL O 0 A E somme oite Pp PL LP pd 137 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 13 RE SE PS TS PE Tios Bilios Milios 1 884107 3 3 1 2 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 010 0 en s 7 219 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 esse 3 6 2 6f6 afo o ojoofoojoo essa 7j6lo ssjsloofjoofoo aero J18 s 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 010 0 ari 3 2 10 jsisfjooojoofjoojoo ario ll AP 2folsf
57. beaucoup de chance S1 l l ve propose 21 x 12 comme op ration on le mettra en garde sur le fait que la r ponse trouver est 21 et non 252 83 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre Activit 03 Analyse priori de Intentions l activit Pour chaque probl me pos l aspect conceptuel des enjeux de l activit op rations devrait primer sur l aspect calculatoire Le but d marches possibles est avant tout que l l ve comprenne le probl me et pose difficult s relances correctement l op ration ou les op rations mise en commun Dans certains cas l l ve n est pas capable de trouver la r ponse par calcul car l ordre de grandeur des nombres et la m connaissance des algorithmes mettent en chec les strat gies qu il sait utiliser compter sur ses doigts faire un dessin utiliser la droite num rique les tables Dans ce cas l la calculatrice ne fait qu ex cuter les calculs Dans d autres cas l l ve pose une addition ou une multiplication lacunaire La calculatrice peut alors lui permettre de prendre conscience de l utilit des op rations inverses et de leur donner du sens Dans d autres cas enfin l l ve est capable d effectuer les calculs pos s algorithme ou utilisation experte du calcul r fl chi Dans ce cas l la calculatrice sert v rifier les r sultats obtenus Difficult s et relances potentielles L appropriatio
58. bo te noire avec la touche OP1 de la calculatrice voir activit n 05 Bo tes noires en utilisant la formule ANS ANS 1 x3 3 6 o Pour utiliser le programme taper un nombre puis ENTER puis OP r p ter avec d autres nombres 119 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 09 En programmant cette bo te noire avec la calculatrice c est l occasion de mettre en vidence la priorit des op rations Analyse priori de et l utilisation des parenth ses Ainsi on peut compl ter l activit rapidement le tableau et mieux mettre en vidence la enjeux de l activit propri t cherch e d marches possibles Apr s que les l ves se soient convaincus que cette difficult s relances s quence d op rations restitue toujours le nombre initial mise en commun on peut leur faire crire la formule avec une variable et leur montrer pourquoi cela se passe toujours ainsi Proposition s de d roulement Les l ves travaillent par deux chacun invente un nonc Prolongements et le fait chercher l autre possibles Exercice 44 livre Calcul Litt ral des MERM nonc similaire ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves nn mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm meme 120 Usages d une calculatrice dans un co
59. c Sion voulait placer toute l humanit dans un gigantesque cube en supposant qu une personne occupe 0 5 m quelle devrait tre l ar te de ce cube en kilom tres d Si on r partissait galement toute l humanit sur l espace des terres merg es soit environ 510 millions de km de quel espace disposerait chaque individu On peut pr ciser l nonc ainsi Donner un r sultat exact et arrondi au centi me Donner un r sultat dans telle ou telle unit 6 On peut supprimer l exercice 5c si on ne veut pas travailler avec une racine cubique On peut modifier l nonc en ne donnant aucune constante et en demandant aux l ves de les trouver eux m mes soit dans des livres soit sur Internet On peut demander aux l ves d valuer l effet des approximations dans les donn es par exemple vitesse de la lumi re ou le rayon de la Lune initiation au calcul d erreur 162 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 17 Remarques On prendra soin de diff rencier les notations pour les valeurs exactes lorsque cela est possible et les valeurs approch es on utilisera la touche x sur la calculatrice et non 3 14 On prendra garde de trouver le r sultat avec la calculatrice sans tape interm diaire afin de minimiser la propagation des erreurs 1 Le volume de la lune V 4 3 x 1800 2 44 10 km 2 L
60. calculatrice Act n 01 Probl mes additifs multiplicatifs Act n 03 Bo tes noires Act n 05 Mettre z ro Act n 04 Probl mes divisifs Act n 07 Nombres a la cha ne Act n 02 O Estimation Act n 06 Probl mes additifs multiplicatifs Act n 03 Tableau r capitulatif B 1 activit s class es par type d apprentissage et de contexte d utilisation pour l EP Rappel les activit s elles m mes sont disponibles en un dossier ind pendant en annexe 7 3 22 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Fonctions et Calcul litt ral proportionnalit Aire et P rim tre Recherche de preuve par Act n 11 l alg bre Act n 09 Nombres et op rations Grandeurs et mesures Rechercher Recherche de strat gies Explorer Act n 10 Algorithme Act n 13 o Approfondir Pourcentage et estimation Conceptualiser Racine carr e et valeurs Act n 12 approch es Act n 08 V rifier Act n 10 et Act n 11 Act n 12 et Act n 13 Act n 08 et Act n 09 Tableau r capitulatif B 2 activit s class es par type d apprentissages et de contexte d utilisation pour le CO Rappel les activit s elles m mes sont disponibles en un dossier ind pendant en annexe 7 3 23 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Calcul num rique Calcul alg brique Log Exp Connaissance de base de la machine Act
61. crit bien une vision des rapports entre calcul et raisonnement Dans la culture les deux termes calcul math matique et raisonnement apparaissent comme antagonistes Le calcul est oppos au raisonnement tant dans les d marches de pens e qu il met en uvre que dans les formes d apprentissage qu il requiert Le calcul renvoie une activit m canique automatisable sans intelligence il est r duit sa part m canis e Son apprentissage renvoie l id e d entra nement purement r p titif En bref le calcul est per u comme renvoyant aux basses uvres du travail math matique tandis que sa partie noble celle li e au raisonnement est plut t associ e la r solution de probl mes g om triques Cette image ancr e dans la culture est aussi port e par l enseignement C est une g om trie synth tique sans calcul qui est presque exclusivement mobilis e quand il s agit d initier les l ves la rationalit math matique de leur apprendre d montrer et lorsque l on demande des enseignants quelles sont les fonctions de l alg bre au coll ge la fonction d outil de preuve n est g n ralement pas identifi e On estime par ailleurs que si l on dispose d instruments pour effectuer la partie m canis e du calcul il n y a plus rien apprendre puisque le calcul s y r duit Le calcul qu il soit num rique ou alg brique est en fait r duit ses traces et le raisonnement qui le guide reste invisible Ses r sultats
62. d cimale 1 2 6 y 1 11 3 405405 150 148 2 0 0 185 1 50 148 2 a O0 Ur Qn On constate d abord que les chiffres des d cimales se r p tent avec une p riodicit de 3 On observe que le chiffre des 1 4 7 10 13 d cimales est toujours 4 que le chiffre des 2 5 8 11 14 d cimales est toujours O et que le chiffre des 3 6 9 12 15 d cimales est toujours 5 Autrement dit 5 est le chiffre de toutes les d cimales dont la position est un multiple de 3 4 est le chiffre de toutes les d cimales dont la position est un multiple de 3 plus 1 et 0 est le chiffre de toutes les d cimales dont la position est un multiple de 3 plus 2 Comme 119 est un multiple de 3 plus 2 119 3 39 reste 2 ou 3 x 39 2 119 le chiffre de la 119 d cimale du quotient de 126 par 37 est un O 108 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre Activit 07 Analyse priori de Intentions l activit Cette activit permet aux l ves enjeux de l activit de consolider les concepts de multiplication et de d marches possibles division et d expliciter les liens entre les deux difficult s relances op rations mise en commun E prendre conscience de la relation entre dividende diviseur quotient et reste dans une division euclidienne d effectuer des divisions l aide de diff rents outils de calcul D marches possibl
63. est aussi l occasion de discuter de la diff rence entre chiffre et nombre faire le lien entre le nombre soustrait et la position du chiffre A la fin de la mise en commun certains termes peuvent tre institutionnalis s unit s dizaines centaines chiffre nombre Variables didactiques En fonction du niveau des l ves il est possible de modifier l ordre de grandeur des nombres 3 chiffres 7 chiffres Pour les l ves de SP 6P cette activit peut tre reprise avec des nombres d cimaux Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Proposition s de Les l ves prennent connaissance individuellement de la d roulement consigne Ils engagent le travail en fonction de ce qu ils ont compris Une mise en commun interm diaire portant sur la compr hension de la consigne peut tre propos e par l enseignant Les l ves poursuivent leur travail en notant leurs r sultats mais en notant galement les constats et d couvertes La mise en commun finale porte sur les observations faites par les l ves et l institutionnalisation de certains termes Prolongements Effectuer une seule op ration de telle sorte qu chaque possibles fois le plus petit chiffre soit remplac par 9 mais que tous les autres chiffres restent les m mes jusqu n obtenir que des 9 Effectuer une seule op ration de telle sorte qu un des chiffres augmente diminue de 1 que les chiffres inf
64. et0 248 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques x origine y n r f rences voir contenu ou objectif math matique bibliographie Explorer pS nombres cons cutifs Activit s pour mieux ma triser les propri t s du syst me en base 10 base 10 p9 ou A Deledicq 11_30 la magie du 9 A Miracles Activit s pour faire sentir le besoin calcul d de la preuve alg brique Kangourou 4 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 249 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Explorer les suites de 3 nombres cons cutifs et leurs propri t s Idem pour 4 5 nombres cons cutifs Affiche le nombre 123 45 sur ta calculatrice Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des unit s du nombre augmente de 1 diminue de 1 Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des dizaines du nombre augmente diminue de 1 Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des centaines du nombre augmente diminue de 1 Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des dixi mes du nombre augmente diminue de 1 etc Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour d placer la virgule d un cran vers la gauche vers la droite Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour d placer la virgule de deux crans vers la gauche droite
65. exact et celle du calcul approch en insistant aupr s des l ves sur la pertinence de telle ou telle approche sur les avantages et inconv nients respectifs et sur les notations associ es 3 2 3 Diff rents outils de calcul Pour trouver des r sultats aux op rations arithm tiques qu on a choisi d effectuer 1l existe diff rents moyens r unis sous la d nomination g n rique d outils de calcul En plus de la calculatrice ces outils de calculs sont les r pertoires m moris s le calcul r fl chi les algorithmes et l estimation Ils sont de natures tr s diff rentes plus ou moins efficaces selon les situations donn es et susceptibles de g n rer des difficult s potentielles sp cifiques lors de leur utilisation R pertoires m moris s Les r pertoires m moris s sont les r sultats des op rations sommes diff rences produits quotients racines valeurs trigonom triques que l l ve conna t par c ur Ces r pertoires s laborent au fil des activit s d abord sous forme d inventaires plus ou moins organis s toutes les sommes gales 0 1 10 12 tous les produits gaux 2 3 20 36 100 puis sont pr sent s sous forme de tables tables d addition de multiplication En construisant ses propres r pertoires l l ve peut se rendre compte qu un nombre peut se pr senter sous diff rentes critures toutes quivalentes sous forme de d composition additive ou multiplica
66. jours on constate qu il reste 105 atomes de polonium dans une masse Combien y avait il d atomes au temps 0 Exercice 12 a Quel capital faut il placer a 4 25 pendant 15 ans pour avoir finalement 33 000 francs b A quel taux faut il placer un capital pour qu il triple en 24 ans c Que serait devenu le ler janvier 1990 un capital de 100 plac au d but du si cle 4 5 d Combien de jours au minimum faut il placer un million un taux de 7 pour obtenir plus de 18 000 francs d int r ts 239 R ponses Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques a 60 jours b 120 jours c 180 jours d 1 1 2 ann e a 12 5 cm b 10 rad a 12 216 watt b voir ci dessous c 179 56 jours 50 0 50 100 150 200 jours a a 0 0001 1 m b 12 770 60 m a 150 b 381 c voir ci dessous d au milieu du 338M8 mois voir ci dessous a 4 07 b 344 831 habitants c 370 990 habitants 263 grains 9 22 1018 2d 600000 500000 400000 300000 200000 100000 Ex 8 Ex 9 100 mois mois a 311 feuilles 117 147 feuilles b 21 jours a 35 549 habitants b 183 c 946 Ex 10 1 6834 Ex 11 a 1 00504 b 210 Ex 12 a 17 675 55 Fr b 4 68 c 5027 45 d 95 jours 240 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 7 4 Autres id es d activit s origine n r f rences voir degr bibliogr
67. la vitesse de la lumi re vaut approximativement 300 000 km s Solution Ce probl me est plus facile pour les l ves que de calculer la distance correspondant une ann e lumi re ce qui reste plus abstrait Avec une ann e arrondie 365 jours on trouve d 3 78 1013 km Ca grouille Calcule le nombre de bact ries qu on aura dans un bouillon de culture partir d une seule bact rie apr s un jour de travail du laboratoire 12 heures en sachant que les bact ries se reproduisent par mitose toutes les 20 minutes approximativement Que de secondes Combien s est 1l coul de secondes depuis le Big Bang celui ci se serait produit il y a 15 milliards d ann es L humanit en bo te S1 on voulait placer toute l humanit dans un gigantesque terrain carr raison de 1 m2 par individu quelle serait la taille de ce carr Et si on voulait placer toute l humanit dans un gigantesque cube en supposant qu une personne occupe 0 5 m3 quelle devrait tre son ar te 100 m 1 km 10 km 100 km 1000 km Et si enfin on r partissait galement toute l humanit sur l espace des terres merg es soit environ 510 millions de km2 de quel espace disposerait chaque individu Quelques calculs Peux tu comprendre ces r sultats 3x103 5x104 530003x104 5x104 80000 3x103 5x105 503000 3x103 x 5x104 150000000 etc Explique comment on les trouve Avec ton voisin faites d autres essais et contr lez les r s
68. machines 57 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 7 2 2 COMMENTAIRES DE LA SOUS COMMISSION Int grer les outils lectroniques dans l apprentissage Dans notre soci t si les besoins en habilet dans l appr hension d un r sultat num rique restent toujours primordiaux le d veloppement des calculatrices a rendu l apprentissage des objectifs d agilit et de rapidit dans l utilisation des algorithmes du calcul crit nettement moins important Cette rupture d quilibre entre l importance du calcul mental et du calcul crit l apparition explicite de l utilisation de la calculatrice dans les plans d tudes programmes et exercices du primaire et du cycle comme un des outils de calcul propos s aux l ves la syst matisation des activit s probl mes dans l enseignement des math matiques rendent n cessaire le choix d un mod le unique de calculatrice et l introduction d un apprentissage de son maniement La calculatrice comme outil p dagogique La calculatrice aide a replacer les math matiques au centre de l apprentissage la calculatrice est un outil pour atteindre les buts fix s La ma trise des algorithmes de calcul crit n tant plus un objectif prioritaire savoir bien calculer n est plus la justification des cours de math matiques a renforcer la compr hension des concepts une partie du temps d volu l apprentissage et l entra nement des techniques devrait pouvoir
69. math matiques vis s Utilisation d un tableau de valeurs pour organiser des r sultats Conjecture Statut du vrai et du faux en math matique contre exemple d monstration Conjecturer d apr s des observations calculatoires D montrer une conjecture simple Pr requis Nombres premiers Calcul alg brique nombre premier conjecture contre exemple Classique Adaptation Jean Marie Delley 183 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 21 1 2 4 On considere l expression n n 41 pour n un entier naturel 1 Calculer la valeur de cette expression pour n 1 2 3 4 et 5 Noter les r sultats dans le tableau c1 dessous n 2 3 4 5 PO IESO MES IS RE 2 Que pouvez vous observer quant aux propri t s qu ont ces nombres 3 Enoncer une conjecture a ce sujet 4 Poursuivre l exploration avec d autres nombres pour infirmer ou conforter votre conjecture 5 Cette conjecture est elle vraie Justifier Remarque si on veut viter de parler de la notion de nombre premier ou qu on trouve difficile de demander aux l ves de conjecturer on peut remplacer cet nonc par celui ci Affirmation Soit n un entier naturel Alors tous les nombres de la forme n n 1 sont divisibles soit par 3 soit par 5 soit par 7 184 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit
70. ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation On peut donner les constantes ou demander aux l ves de les chercher tables libres Internet 165 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Ajouter des exercices similaires avec des tr s petits nombres gt travail sur les puissances n gatives selon le Prolongements niveau des l ves cela pourrait alors devenir une activit possibles de d couverte Possible galement de continuer avec d autres bases ou avec des puissances fractionnaires ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves l ments pour la synth se activit 17 Ce que l l ve doit avoir retenu puissances enti res positives d finition manipulations propri t s O les diff rentes critures possibles pour les puissances avec la calculatrice et leur sens 10 9 ou 1 EE 9 criture scientifique diff rence entre valeur exacte et valeur approch e notations appropri es diff rents arrondis pour les valeurs approch es mod lisation changements d unit s de temps de longueur d aire de volume DOCO CO O la fa on d effectuer les calculs si possible sans tape interm diaire pour minimiser la propagation d erreurs a racines carr es et cubiques d finitions propri t s Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation
71. n est probablement pas n cessaire d en parler aux l ves pour qui cette d duction devrait tre naturelle 6 La machine donne 48 2 828427125 On en d duit que 2 82842712 lt 48 lt 2 82842713 M me remarque que ci dessus 7 On obtient 8 La machine conserve pour ses calculs plus de d cimales que pour l affichage Elle ne tombe donc pas dans le pi ge qu on lui a tendu et peut proposer V8 8 Pour un nombre de cette nature un irrationnel toute criture sous forme d cimale finie est forc ment une approximation de la valeur exacte puisque celle ci est infinie non p riodique S1 veut manipuler V8 en conservant la valeur exacte on est donc contraint de travailler avec la repr sentation symbolique V8 ceci est impossible avec des calculatrices simples mais peut se faire avec d autres types de machines ou d ordinateurs 175 Commentaires pour le ma tre activit 19 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Analyse priori de l activit enjeux de l activit d marches possibles difficult s relances mise en commun Des l ves auront probablement de la peine manipuler les racines carr es avec la machine gt pr voir une r vision de cette fonction de base si n cessaire Il n est pas vident de bien comprendre la diff rence entre les exercices a b et l exercice g Etre attentif que les l ves comprennent les nonc s La d fin
72. n cessaire donner des exercices de consolidation 172 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 19 A la recherche deg Fiche de pr sentation Titre de l activit A la recherche de 48 Sous titre Approximations de V8 avec une calculatrice Degr s concern s 10PO 11PO toutes fili res Travail autour de 8 pour faire prendre conscience de l existence d un d veloppement d cimal complexe ni fini ni p riodique d o la difficult de repr senter ce type de nombre avec la calculatrice mais aussi de le concevoir Cette activit peut naturellement tre suivie de l activit De simples racines Contexte d usage de APPROFONDIR la calculatrice Racines carr es d finition manipulation avec une machine Contenus et comp tences math matiques vis s D veloppement d cimal fini infini p riodique ou pas Distinguer une valeur exacte d une valeur approch e D velopper le regard critique porter sur ses r sultats fournis par une machine mais aussi en g n ral Pr requis Racines carr es D veloppements d cimaux Approximations racine carr e d veloppement d cimal approximation Base IUFM Paris http maths creteil iufm fr second degre module info calculatrice college htm Toc21856478 Adaptation Jean Marie Delley 173 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit
73. n est pas un entier positif Le nombre plac avant ou apr s la parenth se est implicitement multipli Dans de nombreux cas on peut faire l conomie de la touche x et de la touche D En effet l absence de signe op ratoire est comprise comme une multiplication toutes les fois o il n y a pas d ambiguit et ferme toutes les parenth ses ouvertes Il n est pas n cessaire d entrer le O pour les nombres d cimaux dont les chiffres gauche de la virgule sont nuls Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Ordre des op rations EP Ordre des op rations CO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ordre des op rations PO 1 2 41 Expressions entre parentheses Fonctions qui sont introduites apr s l argument telles que x Puissances Multiplications et divisions Additions et soustractions termine toutes les op rations et ferme toutes les parenth ses ouvertes Expressions entre parenth ses Fractions Fonctions qui sont entr es apr s l argument telles que x Puissances A et racines y Signe du nombre relatif Multiplications multiplications implicites divisions Additions et soustractions Conversions Ab c lt d e XF D pDMS termine toutes les op rations et ferme toutes les parenth ses ouvertes Expressions entre parenth ses Fonctions qui ont besoin d une parenth se et qui pr c dent l argument telles que les fonct
74. n est pas possible de trouver le r sultat de 3 0 En effet aucun nombre r el multipli par 0 ne donne 3 Si l on fait ce calcul la calculatrice la machine affiche 36 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques un E erreur tout gauche de la ligne d affichage Correction 12 4 16 12 15 La touche ON C permet d une faute de ON C d effacer le dernier chiffre ou la frappe 120 10 5 16 poe op ration op rateur et 12 x 10 ON C Op rateur 2 3 2 3 S Attention contrairement aux constant 4 3 autres op rations lors d une 2 6 multiplication c est le premier 36 facteur qu est r p t 3x8 3x 15 PAIE 15 3 87 3 3 3 Ordre des 3 8 x5 La calculatrice TI 106 effectue N T les op rations dans l ordre o elles sont saisies les r sultats 3 8Xx5 interm diaires sont affich s 5x 3 8 imm diatement lors de la saisie d un nouvel op rateur op rations D autres fonctions racine carr e exposant entier inverse pourcentage mise en m moire sont pr vues sur la calculatrice TI 106 mais ne concernent pas les programmes de math matiques 1P 4P Pour l utilisation de ces fonctions pri re de se r f rer au mode d emploi fourni avec la calculatrice el Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 5 2 2 TI 34 Il __ Fonctions Exemples Remarques criture in math matique Touches a utiliser Affichage Mise en march
75. participer l acquisition de savoirs et comp tences math matiques except celle qui concerne les connaissances de base de la machine Elles sont class es selon trois cat gories a le degr auquel elles sont priori destin es par cycle d apprentissage 1 2 3 4 EP 5 6 EP 7 8 9 CO 10 11 PO a l organisation des apprentissages sp cifique chaque ordre d enseignement num ration op rations pour l EP nombres et op rations grandeurs et mesures fonctions et proportionnalit calcul litt ral pour le CO calcul num rique calcul alg brique trigonom trie logarithmes et exponentielles pour le PO a le contexte d utilisation de la calculatrice rechercher explorer approfondir conceptualiser ex cuter v rifier Voir les tableaux A toutes les activit s d taill es ainsi que les trois tableaux r capitulatifs B 1 B 2 et B 3 les activit s d taill es pr sent es par types d l ves d apprentissages et de contextes d utilisation pages suivantes 2 EP cole primaire CO cycle d orientation PO post obligatoire 19 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Enfin dans le but de proposer aux enseignants qui le souhaitent un travail avec l outil calculatrice qui soit non seulement ponctuel mais qui puisse galement s inscrire dans la dur e nous proposons un parcours progressif qui relie les activit s entre elles et qui peut tre ef
76. rieurs 5 soient doubl s que les chiffres pairs soient diminu s de moiti D autres questions peuvent tre pos es Quelle op ration permet d augmenter de 1 chaque chiffre 9 devient alors 0 Quelle op ration permet de d placer la virgule d un cran vers la droite ou vers la gauche Quelle op ration permet d intervertir deux chiffres cons cutifs du nombre Quelle op ration permet d intervertir deux chiffres non cons cutifs du nombre Activit s du module 2 champ C A a a a mm a mt nt ee E o o o o o o Se te al ventuels commentaires apres les avoir test es du ma tre des l ves Productions d l ves 90 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques l ments pour la synth se Activit 04 Dans notre syst me d cimal de num ration tout nombre peut tre exprim comme somme de puissances de 10 Par exemple 12504 est un nombre qui s obtient par la s quence d op rations 1x10000 2 x1000 5 x100 4 ou encore 1x10 2x10 sx102 0x10 4x1 L activit propos e met bien en vidence cette valeur positionnelle des chiffres Un 1 plac tout droite n a pas la m me valeur qu un 1 plac en 4 position depuis la droite Dans le premier cas il repr sente une unit et vaut 1 dans le second cas il repr sente un millier et vaut donc 1000 Pour en savoir plus Gagnebin A Guignard N Jaquet F 1998 Apprentissage et enseig
77. rifier 271 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Les exercices MERM du livre Nombres et Op rations 55 Plus ou moins et 57 Diviser pour r gner pour l tude de la multiplication division dans Z Effectue puis confronte tes r sultats avec ceux que tu obtiens l aide de ta calculatrice o y gt 8 12 3 20 10 100 Effectue puis confronte tes r sultats avec ceux que tu obtiens l aide de ta calculatrice 12 12 12 ev a 0 0 12 Procede de m me pour les calculs suivants 8 2 e 18 36 4 f 12 12 2 g 140 20 100 20 h 1000 100 Comment diviser un nombre par un autre qu ils soient positifs ou n gatifs Choisis un nombre compris entre 30 et 60 Calcule le produit de tous ses diviseurs Compare le r sultat avec ton voisin et cherche le nombre qui donne le plus grand r sultat possible Dans cette Commission qui r unit neuf Sages Chacun marmonne dans son coin Jana x a mara ota ias ib l bo A A gi gt s Is lt Je pars de 1 et j ajoute le dernier nombre obtenu pour passer au suivant Thierry Je pars de 1 et je Juxtapose simplement un O chaque fois OC Aa nar de O at aj a Char 3 ane 3 M gt fred Je pars de O et j ajoute cnaque etape le plus petit nombre impair non encore utilis Jean Paul Je pars de O et j
78. selon un canevas commun consistant en principe en une fiche de pr sentation un nonc l ve un corrig d taill des commentaires pour le ma tre des l ments que les l ves devraient retenir a institutionnaliser pour la synth se d ventuels exercices de consolidation Certaines de ces activit s proposent des questions de recherche ou de d veloppement d autres des exercices dans lesquels il s agit d utiliser la calculatrice d autres encore un travail plus sp cifique sur la calculatrice elle m me Dans tous les cas elles se placent clairement dans le contexte d un cours de math matique et ont comme objectif de participer l acquisition de savoirs et comp tences math matiques except l activit qui concerne les connaissances de base de la machine 60 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Liste des activit s d taill es Domaine D couverte de la calculatrice de la D couverte de la calculatrice 12EP 2 12EP Num ration Num ration op rations Nombres la cha ne 1 2 3 4 EP Outils de calcul addition soustraction DES Probl mes additifs multiphicatifs 1 2 3 4 EP Probl mes additifs multiplicatifs Mettre Z ro Z ro 3 4 5 6 EP 3 4 5 6 EP 5 6 EP Syst me de num rica Syst me de num ration num ration i 5 6 EP no CI Los Racine cante et valeurs approct os 74000 Guest 09 Recherche de preuve par a
79. sont vus comme des donn es ils n ont pas valeur de preuve Il y a dans l enseignement lutter contre cette vision r ductrice du calcul C est en particulier n cessaire si l on veut poser de fa on correcte la question de l instrumentation du calcul par les technologies informatiques L utilisation des calculatrices peut c est ce que nous esp rons essentiellement montrer au travers des activit s propos es participer pleinement au d veloppement de cette vision dans laquelle calcul et raisonnement se compl tent mutuellement Longtemps le calcul a occult d autres phases essentielles de la r solution de probl mes au point qu on a consacr la pratique intensive des algorithmes la majeure partie du temps r serv l enseignement des math matiques Si l objectif de savoir compter et calculer est toujours honor dans les programmes on lui a adjoint certaines conditions on le lie la construction des op rations au sens qu on donne ces op rations et leurs applications dans les diff rentes situations qui se pr sentent 3 2 2 Calcul exact ou approch Le monde du calcul est un monde multiforme C est aussi un monde o s entrecroisent deux grands types de calcul le calcul exact et le calcul approch Calcul exact et calcul approch sont deux facettes compl mentaires du calcul dont les liens se tissent tout au long de son histoire Il y a la une continuit majeure susceptible d aider struc
80. sultats fournis par une machine mais aussi en g n ral Distinguer une valeur exacte d une valeur approch e Pr requis Manipulation de puissances enti res positives et n gatives Connaissances des manipulations alg briques de base niveau identit s remarquables Calculatrice nombre machine repr sentation d un nombre regard critique Y Monka Coll ge Albert Camus de Soufflenheim www col camus soufflenheim ac strasbourg fr Page php IDD 45 Adaptation JM Delley 150 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 15 Avec la calculatrice toutes les op rations demand es doivent tre effectu es d un seul coup en utilisant si besoin est des parenth ses Pour chaque exercice il faudra pouvoir d crire ce qui a t tap sur la calculatrice Exercice 1 a PE Calculer l aide de la calculatrice l expression pour x 10 et y 10 puis pour x 10 et y 10 b R duire alg briquement le plus possible l criture du nombre C pour x et y quelconques Que peut on conclure des calculs pr c dents Exercice 2 Calculer l aide de la calculatrice le nombre D 1234567899 1234567898 Que pensez vous du r sultat Sans calculatrice calculer le nombre D l aide de l identit remarquable diff rence de deux carr s a b Que peut on d duire des calculs pr c dents Exercice 3 C
81. tous les autres chiffres restent les m mes A nouveau effectue une seule op ration de sorte que le plus grand chiffre suivant soit remplac par 0 ou par un vide mais que tous les autres chiffres restent les m mes Continue de la m me mani re jusqu ce que tu obtiennes 0 Note le nombre de d part et chaque fois l op ration effectu e et le r sultat obtenu 88 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre Activit 04 Analyse priori de Intentions l activit a Par cette activit c est le syst me de num ration que l on enjeux de activite cherche consolider et en particulier la d composition de d marches possibles tout nombre en somme de puissances de 10 difficult s relances mise en commun l D marches possibles essayer d autres op rations que la soustraction faire des essais en notant les r sultats obtenus passer directement 0 en soustrayant le nombre de d part crire un nombre commen ant par 0 ne pas tenir compte de l ordre d croissant des chiffres ne proposer que des nombres dont les chiffres sont cons cutifs Relances inciter l l ve noter ce qu il fait proposer de commencer par des nombres ayant moins de chiffres imposer un nombre de d part Mise en commun Lors de la mise en commun les l ves expriment et comparent leurs d marches rapportent les observations et constats qu ils ont faits C
82. un tableau o figurent le nombre de pi ces de 2 F de 5 F et la somme d argent correspondante Le nombre de grains de riz sur l chiquier un grain de bl pour la premi re case deux grains pour la deuxi me case quatre grains pour la troisi me on double le nombre d une case l autre On estime 5g la masse de 100 grains Quels sont tous les nombres entiers impairs qui peuvent s crire comme somme d au moins 3 nombres entiers non nuls cons cutifs Solution Il faut faire suffisamment d essais pour pouvoir poser une conjecture correcte Trouver la caract ristique des nombres pour lesquels a marche ce sont les nombres impairs compos s tablir une preuve de la conjecture si on peut montrer que a marche avec les nombres compos s 1l est difficile de prouver que a ne marche pas avec les nombres premiers Relances Pour ceux qui auraient de la peine d marrer on peut donner des exemples le nombre 9 convient car 9 2 3 4 le nombre 15 convient car I5 1 2 3 4 5 Quel peut tre le nombre de termes de la d composition Pair Impair Faire un lien avec les diviseurs d un nombre impair donn 2 3 5 7 sont premiers 4 6 8 9 sont compos s Quels sont les nombres premiers somme de deux nombres compos s Exemple le nombre 31 convient car 31 6 25 L un des int r ts de cette activit est que la preuve est facilement accessible aux l ves Par exemple tout nombre premie
83. unanimit moins une abstention de faire parvenir aux directions g n rales de l enseignement primaire et du cycle la proposition ci dessous 7 2 1 Proposition de la CEM La calculatrice est un outil reconnu socialement techniquement et didactiquement parlant A Gen ve les plans d tudes et moyens d enseignement en vigueur au primaire et du cycle d orientation la mentionnent explicitement Apr s concertation entre les trois ordres d enseignement et par souci de coh rence la CEM propose que les l ves de la 5e primaire la 9e du CO disposent du m me mod le Ses caract ristiques op rationnelles minimales se trouvent dans les commentaires En ce qui concerne les l ves du d but du primaire 1P 4P le choix se portera sur un mod le plus simple Cette proposition r sultant du travail de la sous commission UTILISATION DES MOYENS ELECTRONIQUES PERSONNELS celle ci a tenu a faire figurer ci apr s les commentaires qui la justifient 24 P n On trouve dans ces documents les diff rentes raisons qui ont motiv cette introduction De l avis des enseignants du PO les caract ristiques op rationnelles minimales demand es pour ce mod le cf p 3 Liste des exigences Mod le 2 permettent son utilisation jusqu au 11 degr de la plupart des fili res du secondaire ll exception faite d un probl me identifi quant l utilisation de l criture scientifique et qui devra tre pris en compte lors du renouvellement des
84. ves par algorithme R ponse 63 points 81 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques LE 3P p 12 Au manoir probl me 3 128 131 67 R ponse 326 fleches Plusieurs l ves de 3P sont d j capables d effectuer cette addition l aide d un algorithme Dans ce cas la calculatrice peut tre utilis e comme outil de v rification Mais pour la plupart des l ves s agissant d une somme de 3 termes la calculatrice est encore bien utile LM 3P p 175 Placage 8 x 216 ou 216 8 R ponse 27 plaques La multiplication lacunaire demande plusieurs essais avant de parvenir la solution contrairement la division qui permet d obtenir le r sultat en faisant une seule op ration L nonc ne donne aucune indication sur la forme de la surface recouvrir Pour que le probl me soit soluble on doit supposer soit que la forme de la surface est telle qu on peut la recouvrir avec des plaques enti res sans trous ni chevauchements soit que l on peut couper les plaques LM 4P p 127 Haute fid lit D marches possibles de l l ve O Concernant l invention de probl mes Poser des questions uniquement sur le prix des articles Combien co tent T Poser des questions sur la diff rence entre prix des articles et montant disposition Combien restera t il apr s avoir achet Combien manque t il pour acheter Combien de cassettes pourrait on acheter O C
85. 0 exposant de 10 Les chiffres de la mantisse sont cod s en binaire mais un nombre limit de bits tant r serv au codage de la mantisse tous les chiffres ne peuvent pas n cessairement tre pris en compte dans ce codage et donc dans les calculs voir ci apr s Les exposants vont de 99 99 et sont aussi cod s en binaire tout comme le signe Il faut bien s r distinguer le nombre saisi au clavier la repr sentation du nombre en m moire et l affichage du nombre sur l cran de la calculatrice Les calculatrices affichent aujourd hui un maximum de 10 12 chiffres significatifs mais calculent avec 12 13 et le plus souvent 14 chiffres ce qui permet de limiter les effets des erreurs d arrondi dans les successions de calculs Exercices de consolidation activit 08 116 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 09 Retour case d part Fiche de pr sentation ECT R sum L l ve utilise une bo te noire fonctionnelle doit faire une conjecture et la r soudre Contexte d usage EX CUTER de la calculatrice Contenus et Utiliser un algorithme de calcul pour assimiler le passage comp tences du langage parl aux conventions d criture math matiques vis s Prouver en utilisant le calcul litt ral Calcul alg brique distributivit r duction Extrait s du Alg bre 9 Ce domaine doit permettre d utiliser plan d tudes l alg bre dans d
86. 19 1 Calculer 8 avec votre machine et noter le r sultat sur une feuille Appelons x ce nombre 2 Introduire ce nombre x la calculatrice et calculer x Que peut on d duire de ce r sultat sur la fiabilit du r sultat obtenu en a 3 VS est il gal 2 Justifier 4 V8 est il gal 3 Justifier 5 Trouver un encadrement de V8 au milli me pr s c est dire deux nombres a et b tels que a lt V8 lt betb a lt 10 6 Quel est l encadrement le plus pr cis possible que fournit votre machine 7 Effectuer les op rations suivantes avec la machine calculer la racine carr de 8 puis directement mettre le r sultat au carr Que conclure du r sultat fourni par la machine 8 Finalement quelle est la valeur exacte de V8 174 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill 1 On obtient x 2 828427125 2 Calculer x 2 828427125 8 0000000001 On peut en d duire que V8 2 828427125 3 La d finition de 4 8 est 4 8 est un nombre positif dont le carr est gal 8 Argument 2 4 donc 2 8 donc V8 2 4 La d finition de 8 est 4 8 est un nombre positif dont le carr est gal 8 Argument 3 9 donc 3 8 donc V8 3 5 La machine donne 48 2 828427125 On en d duit que 2 828 lt V8 lt 2 829 Remarque on utilise bien s r 1c1 le fait que la fonction racine carr e est continue et strictement croissante mais 1l
87. 20 2 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 210 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Les exercices MERM du livre Nombres et Op rations 67 Parenth ses indispensables 71 Qui a raison et 85 Comment proc der tes mais les parenth ses qui donnaient l ordre ns ont ete enlevees les sont n cessaires Observe ces galit s parfaitement correctes puis note les proc dures qui te permettent de trouver le r sultat de n importe quel autre calcul du m me type Addition et soustraction a 5 5 150 9999 ma 20 Multiplication g 4 4 63 4 A KI Division o 3 r qe El vation une puissance w 35 gr On recherche d sesp r ment des nombres rationnels qui correspondent aux signalements suivants son criture d cimale est 4 42857142857142 son criture d cimale est 4 571428571428 son criture d cimale est 5 090909 son criture d cimale est 4 8888 Phi pr tend avoir trouv un nombre exactement sup rieur de 1 son inverse Phi a t 1l raison 274 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques ES origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie Vy Quelques exercices MERM Nombres pour 1m et Op rations apprentissa
88. 227 0 217 0 208 0 2 0 192 0 185 0 179 0 172 0 167 6 0 4 0 375 0 353 0 333 0 316 0 3 0 286 0 273 0 261 0 25 0 24 0 231 0 222 0 214 0 207 0 2 7 0 467 0 438 0 412 0 389 0 368 0 35 0 333 0 318 0 304 0 292 0 28 0 269 0 259 0 25 0 241 0 233 8 0 533 0 5 0 471 0 444 0 421 0 4 0 381 0 364 0 348 0 333 0 32 0 308 0 296 0 286 0 276 0 267 9 0 6 0 563 0 529 0 5 0 474 0 45 0 429 0 409 0 391 0 375 0 36 0 346 0 333 0 321 0 31 0 3 10 0 667 0 625 0 588 0 556 0 526 0 5 0 476 0 455 0 435 0 417 0 4 0 385 0 37 0 357 0 345 0 333 11 0 733 0 688 0 647 0 611 0 579 0 55 0 524 0 5 0 478 0 458 0 44 0 423 0 407 0 393 0 379 0 367 12 0 8 0 75 0 706 0 667 0 632 0 6 0 571 0 545 0 522 0 5 0 48 0 462 0 444 0 429 0 414 0 4 13 0 867 0 813 0 765 0 722 0 684 0 65 0 619 0 591 0 565 0 542 0 52 0 5 0 481 0 464 0 448 0 433 14 0 933 0 875 0 824 0 778 0 737 0 7 0 667 0 636 0 609 0 583 0 56 0 538 0 519 0 5 0 483 0 467 15 1 0 938 0 882 0 833 0 789 0 75 0 714 0 625 0 6 0 577 0 556 0 536 0 517 0 5 16 1 067 1 0 941 0 889 0 842 0 8 0 762 0 727 0 696 0 667 0 64 0 615 0 593 0 571 0 552 0 533 17 1 133 1 063 1 0 944 0 895 0 85 0 81 0 773 0 739 0 708 0 68 0 654 0 63 0 607 0 586 0 567 18 1 2 1 125 1 059 1 0 947 0 9 0 857 0 818 0 783 0 75 0 72 0 692 0 667 0 643 0 621 0 6 19 1 267 1 188 1 118 1 056 1 0 95 0 905 0 864 0 826 0 792 0 76 0 731 0 704 0 679 0 655 0 633 20 1 333 1 25 1 176 1 111 1 053 1 0 952 0 909 0 87 0 833 0 8 0 769 0 741 0 714 0 69 0 667 21 1 4 1 313 1 235 1 167 1 105 1 05 1 0 955 0 913 0 875 0 84 0 808 0
89. 6 72 90 sin 36 BO e BO 0 59 donc BD 2BO 1 18 Aire du cerf volant A BDPO IA 0 59 22 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 25 Analyse priori de mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm e o o og l activit T i arar Travailler des exercices de mod lisation am ne un niveau enjeux de l activit lexit l les l d marches e complexit suppl mentaire pour les l ves mais peut donner du sens au travail et permettre une meilleure ibles difficult s eal mati possibles difficult s repr sentation des outils math matiques relances mise en commun Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ves travailler en groupes de 3 4 leur demander de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate Proposition s de du groupe la classe d roulement _ Discussion avec la classe Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sente leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation I I AAA A EE EE E ere J Comment la calculatrice fait elle pour calculer des sin co
90. 6 a L Le Ls e S PUE En E A E A A O E OAE E 39 BIBLIOGRAPHIE nnecs reves Ses Rc ai ENKE 32 Ol DOCUMENTS DE R F RENCES SR al toi ei a 52 O AUIRES RE SOURCE Rd a 52 ANNEN ES coor EEN 55 7 1 LA CALCULATRICE DANS LES PLANS D ETUDES ET LES MOYENS D ENSEIGNEMENT cocococooooocccncnnnnnnnnnnnnss 55 A A EE 55 742 MC le APOT an CO Lada a haie 56 DEN o es de 56 7 1 2 2 Moyens Enseignement Romands des Math matiques Indigo cocccccccccncnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnss 56 TO OR E 57 TAIL Fih re maturit AA A a y Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Rls gt PORMAtOn prolessionne lle er a 37 Taaa a A A CENA RIE ENTRA EDEN 57 o E SA ET E IEE E A NA 57 7 2 CAHIER DES CHARGES DE LA CALCULATRICE REDIGE PAR LA CEM EN 1999 57 712 4 L TOPOS ON dela CE M ads 57 7 2 2 COMMENTAIRES DE LA SOUS COMMISSION ts 38 7 2 3 Annexe Mandat de la SOUS COMMISSTON dos 60 TS INCTIVITE DETAILS e edit ac ie naes ete detecte dde dc de 60 Activite 01 Decouverte de la Calculatric yaranan ds nn nt AE ne D Aa le dt tt A 62 Acivie O Nom A IEC RARE Donea de e ee e de ed 68 Activit 03 Probl mes additifs multiplicatifs oooccccccncnncnnononononennnnnennnnncnoninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnninnnnnns vor Ace OU XCM TIR O en n aso 87 Activite US Boites DOTES Ni ta 92 ACUE DO KESMA A A a Re a ai ba 100 Activte 07 lt EPTODi MES AVISA ai 105 Activite 0s Valeur exacte t approch e Dans en Nine 112 ACUVIHE 00
91. 93 2 Cor A 1000 e ss Avec la machine 1000 LOGIDODIENTE 0 693 x 20 8 08 R ponse environ 180 d sint grations par seconde Remarque 1l est bien plus indiqu de peut reprendre l entr e pr c dente et modifier uniquement le 3 en 20 attention de bien ma triser les touches et and INS 0 693 8 08 A 1000 0 sis Avec la machine 1000 LOGOOOIENTER 693 R ponse environ 500 d sint grations par seconde Remarque 1l est bien plus indiqu de reprendre l entr e pr c dente et supprimer la multiplication inutile par 8 05 comme propos ci dessus Au bout de 48 heures 48 6 8 donc 6 doublements c d une multiplication par 2 100 2 6400 Avec la machine 100 x 2 1 6 R ponse 6400 bact ries au bout de 5 jours 5 24 120 heures 120 158 donc 15 doublements c d une multiplication par 2 100 2 6400 Avec la machine 100 x 2 A 15 R ponse 3276800 bact ries 3 24 72 heures 72 9 8 donc 9 doublements c d une multiplication par gt x 2 10000 gt x 10900 x 2 19 53 R ponse au moins 20 233 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 26 Analyse a priori de l activit N f arar Travailler des exercices de mod lisation am ne un niveau enjeux de l activit d lexit l les l d marches e complexit supp
92. Activit 02 Nombres la cha ne Fiche de pr sentation Titre de l activit Nombres la cha ne Degr s concern s 1 2 3 4 EP Dur e estim e Une premi re p riode de 45 minutes puis plusieurs moments d une quinzaine de minutes Passer d un nombre un autre en faisant un minimum d op rations Contexte d usage de VERIFIER la calculatrice Contenus et Calcul r fl chi comp tences R pertoires m moris s additif et soustractif math matiques Estimation vis s Pr requis Connaissance des quatre op rations Extrait s Calcul r fl chi du plan d tudes PE Utiliser des propri t s des op rations et du syst me de num ration pour effectuer des calculs de fa on efficace R pertoires m moris s de 0 0 9 9 de 0 0 19 9 Addition soustraction r pertoires m moris s calcul r fl chi estimation Source Secteur des Math matiques de l Enseignement Primaire 68 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve Activit 02 Nombres la cha ne M lange les cartes Prends en 5 au hasard Aligne ces 5 cartes faces visibles les unes la suite des autres Ecris le premier nombre sur ta calculatrice A partir de ce nombre effectue sur ta calculatrice un minimum d op rations de mani re obtenir le deuxi me nombre Chaque op ration est effectu e partir du dernier r sultat que tu as obtenu Note tout ce que tu fais
93. EMPLE Srina A aa 6 LA EN SUISSE ROMANDE dl M tl 7 Za OBJECTIFS DE CETTE BROCHURE tr E s QUELQUES ELEMENTS DE R FLEXION nent ecsensseessesssdnen een tanenosescesnsstenessnscee 8 D EEC ONIT RA 8 3 CALCUES OUTIES DECA LC UL ri 10 Jade Calcul VEIS US TOTES ONE AAA AAA AAA A AA A RA 10 2222 COCHA ONAP OCE aa 10 Fao IET OU DO CA CU A A A A A A 11 ds IES QUES ION eaaa Te 13 3 4 QUELQUES ARGUMENTS EN FAVEUR DE SON UTILISATION oooccccncnnoccnnncnnnconnnnnnnocnnnnnnnconnnnnnnoonnnnnnnccnnnannnoss 14 3 5 QUELQUES ARGUMENTS EN DEFAVEUR DE SON UTILISATION occcocooccnnnnnnoconnnonnnocnnnnnnoronnnnnnnconnnannnconnnananoss 14 07 DUE CONCURRE a tonne de a a te Ce tie 15 Ole Trouver leo CUIDE An 15 SOZ ALTOVA EKS UV OOUT E A Re te terne 15 10 1 Ouel s Fe COMMITTEE E E AENA 16 SOA POFSDOCHVES d AVENT A AS 18 PROPOSITIONS D ACTIVITES ica orcas 19 Ale ACHES DE TAME Sd 19 4 1 1 Tableau r capitulatif A toutes les activit s d taill es 20 4 1 2 Tableaux r capitulatifs B 1 B 2 et B 3 activit s class es par type d l ves d apprentissages elde CONTESTO AE ASAS IAEA EE ENEE 22 4 1 3 Tableaux r capitulatifs Cl C2 et C3 parcours chronologiques dans les activit s par cycle d appren SS nr nd AS a dd N aAA 25 izo AUTRES ID ES D ACTI TES Sie RMS ad 28 MANIPULA HON D UNE CALCULATRICE aaa ls 28 5 1 UTILISATIONS JUDICIEUSES ET LIMITES DE LA CALCULATRICE TI 34 If 28 5 2 ELEMENTS DE MODE D EMPLOL lia 36 O iee EE E E ETE E EEE NE AE 3
94. Efface la ligne en cours d dition D place le curseur vers la derni re entr e de l historique registres m moris s quand l affichage est vide DEL Supprime le caract re l emplacement du curseur Supprime tous les caract res droite quand la touche est maintenue enfonc e supprime ensuite 1 caract re gauche du curseur chaque fois que la touche DEL est enfonc e i Y E RESET N Y Restaure les r glages par d faut de la machine efface les variables en m moire les op rations en attentes l historique les op rateurs R initialisation de la calculatrice 43 calculatrice M moires CO PO Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques et CLEAR MEM CLEARED 15 STO gt ABCDE 15 gt A 7 x TR 2nd RCL ABCDE PES 7x15 1575 STO gt ABCDE Ans gt B RIADA MEAR RER L573 ENTER 4 ENTER B4 393 75 2na CLAVAR Y CLR VAR Y N 44 m moris s et Ans La calculatrice permet de conserver 5 variables en m moire A B C D E Il est possible de stocker un nombre r el ou une expression dont le r sultat est un nombre r el dans une variable en m moire MEMVAR acc de au menu des variables STO permet de stocker les valeurs des variables RCL rappelle les valeurs des variables CLRVAR efface toutes les valeurs des variables Op rateurs m moris s f x 2x 3 i 4 f 6 g x
95. Estimation d un pourcentage math matiques vis s Pr requis D finition d un pourcentage NO 8 a partir d un pourcentage et d une grandeur Extrait s du plan d tudes calculer l autre grandeur NO 8 Dans les probl mes d estimation 1l s agit d arrondir des d cimaux Lien s avec les moyens d enseignement Mots cl s pourcentage arrondir valeur approch e nonc l ve activit 12 Dans une classe le pourcentage de filles arrondi un chiffre apr s la virgule est de 65 2 Peut on d terminer le nombre de filles et de gar ons de la classe Utiliser un tableau pour pr senter les diff rents essais num riques effectu s 4 nonc n II 61 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 131 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 12 Fillesiclasse 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 0 067 0 063 0 059 0 056 0 053 0 05 0 048 0 045 0 043 0 042 0 04 0 038 0 037 0 036 0 034 0 033 2 0 133 0 125 0 118 0 111 0 105 0 1 0 095 0 091 0 087 0 083 0 08 0 077 0 074 0 071 0 069 0 067 3 0 2 0 188 0 176 0 167 0 158 0 15 0 143 0 136 0 13 0 125 0 12 0 115 0 111 0 107 0 103 0 1 4 0 267 0 25 0 235 0 222 0 211 0 2 0 19 0 182 0 174 0 167 0 16 0 154 0 148 0 143 0 138 0 133 5 0 333 0 313 0 294 0 278 0 263 0 25 0 238 0
96. HEMAQUES c est MABIQUE Vous fouvez lt lt Vous FAIRE DISAR TRE Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 10 Afficher 10 Fiche de pr sentation Titre de l activit Afficher 10 15 minutes recherche la maison 45 minutes Le d fi est de faire au plus 4 op rations avec des nombres entiers a 1 chiffre pour obtenir 10 partir d un nombre quelconque inf rieur 1000 jouer 2 en changeant les r les Contexte d usage RECHERCHER de la calculatrice Contenus et D couvrir Justifier une strat gie com p tences o Comprendre et comparer les effets des quatre op rations math matiques vises avec des entiers Extrait s du Initiation la recherche 7 8 9 les cadres de plan d tudes pr dilection des probl mes de recherche sont au niveau du CO la num ration la g om trie et les jeux de strat gie Lien s avec les moyens d enseignement Mots cl s chiffre jeux strat gie op rations Moyen d enseignement canadien Carrousel 1 ann e tome 1 p 95 MERM Logique et Raisonnement n 125 Le maximum 32 nonc n II 58 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 122 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve activit 10 A partir d un nombre entier compris entre 100 et 1000 faire afficher 10 sur la calculatrice comme r sultat de 4 op rations au max
97. Reou CAS Dc decai caes 117 ACUSE TO lt A O LOS er moe ia dr amet a ae nu a td ss en 122 Activit 11 Une aire et beaucoup d P TIMELTES Piirros ieda dat titane 126 ACUC o 131 Activit 13 GUN produita LO COTE A AAA At 135 Activit 14 Connaissance de base de la calculatrice ss 140 ACV LS GLASS EMAIL A un dut did te CEA 150 Actvite lo Dentro a dal ds soe 156 ACHEL Grands NOMOS D nn iieta 161 Aevi Ts LOQUE PEI NSR 167 Activit 19 A la recherche dede usais 173 ACUVILE 20 DESMANES 178 ACTIVE XCPI MM R de COSES et ARR dd tt tt tada 183 ACUVH 22 gt GOL SOM ES ADIOS Lana emma entit s 188 ACV 23 lt Apphquons Me O LR Re R sine lee initie rent tee 193 ACV 24 Vae eE us e o a bl elas dedo dl e dol nn la e 212 ACUVH 23 XCOUAN la O oa 219 Activit 26 Radiobiolopopulo a ts 229 Tar AU RES ID ES D ACTIVI E in cou AA AAA 241 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 1 Introduction A la fin des ann es 70 le prix des calculatrices de poche disponibles sur le march devient accessible on assiste alors aux premi res exp riences d utilisation de ces nouveaux outils dans les milieux scolaires surtout au secondaire Dans les ann es 80 l cole primaire EP quelques mallettes de calculatrices 4 op rations sont mises par l institution disposition des enseignant e s int ress e s et on fournit aux ma tres du cycle d orientation CO ces m mes outils pour qu ils l
98. Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commission genevoise de l Enseignement des Math matiques CEM http wwwedu ge ch cem Usages d une calculatrice dans un cours de mathematiques de la premi re primaire au onzieme degr PROPOSITIONS D ACTIVITES PISTES DE REFLEXION OCTOBRE 2006 Brochure r alis e par Eric Burdet EP Pierre Marie Charri re CO et Jean Marie Delley PO Licence CreativeCommons Paternit NonCommercial ShareAlike 2 5 Avec le soutien de SERVICE ECOLE MEDIAS SEM DIRECTION GENERALE DE L ENSEIGNEMENT PRIMAIRE DGEP DIRECTION GENERALE DU CYCLE D ORIENTATION DGCO DIRECTION GENERALE DE L ENSEIGNEMENT POST OBLIGATOIRE DGPO Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Remarques O Par calculatrice scientifique on entend une calculatrice ni graphique ni symbolique Durant la r daction de cette brochure nous avons travaill avec les mod les de calculatrices TI106 et TI34II qui sont actuellement en 2006 utilis s dans l enseignement genevois mais ce document et les activit s propos es se veulent ind pendants du choix de tel ou tel mod le O Cette brochure est appel e tre modifi e et compl t e suite aux futures utilisations par les enseignants des activit s propos es tant dans le travail quotidien dans les classes que lors de formations O Tous les l ments qui composent cette brochure notamment les activit s peuvent tre libremen
99. a3r2 oofjoofoo ara IP Lp 11 eraa ololo soaa App 11 2pofoopojoofoojoo peer Pp _volsi7 jpojoofoocjoo sossa LULU elelee olo e S 111 E a 5i7rj8fl8s0 OEA EESERESERTNERRERCCZEL EE smc S eoe EN e a 11 1 sommegea sp Pf 1 P 4 A 41d mmetoa jsjejef7jsjifejoja 2 1 j3jof2j4j1jsj8jo 138 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires activit 13 Sous la forme propos e l exercice est un devoir la maison devant inventer un exemple l l ve devra fournir un travail personnel Analyse a priori de Il pourrait tre demand en classe les l ves travaillant par l activit groupe enjeux de l activit d marches possibles difficult s relances mise en commun Poser l op ration ne doit pas tre d valoris 1l serait amusant de savoir si la m thode recommand e par l nonc est plus rapide que la pose de l op ration Les deux demandent ordre et rigueur dans l ex cution L int r t de la distributivit est sa g n ralisation sous la forme d un programme Proposition s de d roulement LARA A A A A R EE EE O A A o a Prolongements possibles gt SS me do ss oap da dap dap dep dep dep dep def def dop Sop cap Sop dop dop os dep dep def dep dep def Sef gt gt gt os gt gt gt cep dep dep dep def dep def dep Sep def Sop Sop Sop Sop cop dop cop cep dap dep dep dep dep def def def deg Saf n
100. age de EXECUTER la calculatrice APPROFFONDIR CONCEPTUALISER Contenus Multiplication division math matiques vis es Lien s avec les plans OA Traduire les donn es d un probl me en op rations d tudes et moyens arithm tiques d enseignement PE OFL R soudre des probl mes multiplicatifs et divisifs Interpr ter un r sultat Traduire des calculs en criture divisive Th me 6 Th me 2 Division division euclidienne interpr tation d un reste Moyens d enseignement Math matiques sixi me ann e Michel Chastellain Corome 2002 Livre de l l ve p 24 preuves cantonales de maths 6 primaire Secteur des Math matiques de l Enseignement Primaire 105 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve Activit 07 Bouteilles transporter Patrick et Christiane ont 1000 bouteilles de limonade transporter Combien leur faudra t il de voyages s ils mettent 36 bouteilles dans leur caisse Patrick pr tend qu il faudrait moins de voyages en mettant une bouteille de plus par caisse Est ce vrai Multiples de 8 Entre 1 et 2004 combien y a t il de multiples de 8 100 jour Cette ann e l le premier jour fut un jeudi le deuxi me jour fut donc un vendredi et le troisi me jour un samedi Quel jour de la semaine fut le 100 jour Carrelage Un carreleur doit recouvrir le sol d une pi ce rectangulaire de 3 25 m sur 4 10 m avec des catelle
101. ages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercice 3 Avec la calculatrice on trouve E 0 E x x 2 x 2 E x x 4 4 Cf la remarque initiale Exercice 4 Avec la calculatrice on trouve H 0 1016 4x10 16 108 2 10 3 2 1016 4x10 16 1016 4 100 4 10 16 1016 4x10 16 1016 4 1 0041016 4 Cf la remarque initiale 153 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 15 Il y a de grandes chances pour que les l ves obtiennent des r sultats diff rents cause d erreurs Analyse priori de d utilisation de la calculatrice Cela donnera l occasion de l activit rappeler comment l utiliser de fa on ad quate cf enjeux de l activit l activit 14 Connaissances de base d marches possibles Comprendre la diff rence entre nombre saisi au clavier difficult s relances repr sentation du nombre en m moire et affichage du mise en commun nombre sur l cran de la calculatrice repr sente un difficult certaine Selon le niveau des l ves il faudra bien r fl chir ce qu on veut exactement leur transmettre Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ves travailler en groupes de 3 4 leur demander de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr sente
102. ajoute tout simplernent 1000 cl ague tape lo Aldo Je pars de 1 et je multiplie par 10 pour passer l tape suivante Laura Je pars de 0 je passe 1 la premi re tana r c t ve Je pars de U je passe 1 a la premi re etape puis pour obtenir le nombre QUI Suit ajoute chaque fos la somme des deux nombres qui le pr c dent Yves Je pars de 5 et je multiplie toujours le nombre que al par 5 pour passer au suivant Ewa Je pars de 1 milioni me de mill onieme et je multiplie chaque tape par 100 Herv Je pars de 100 ie divise par 10 la nrami ra Atare ai y 48 pars de 100 je divise par 10 la premi re tape PUIS je multiple le r sultat par 100 la deuxi me je divise par 10 la troisi me et ainsi de suite equel atteindra en Premier le milliard et en combien d tapes 7 Cherche l aide des nombres entiers naturels de 1 10 le quotient de toutes les divisions qu il est possible de faire Regroupe les ensuite par familles De Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques E E origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie V Pour valider MERM Nombres des et Op rations V op rations et rendre l l ve autonome MERM Nombres et Op rations A Signalements Rationnel n 143 MERM Nombres et Op rations 10 A Pi inverse quation n 2
103. al c est dire en changeant le chiffre des unit s avec celui de centaines Ajoutez les deux nombres Retranchez le double de S Divisez le r sultat par 9 Retranchez du quotient le double de S Divisez encore par 9 Ajoutez au quotient le chiffre des dizaines Aviez vous pr vu le r sultat Choisissez un nombre entier de 3 chiffres Renversez le Soustrayez le plus petit du plus grand Renversez la diff rence Ajoutez la diff rence et son renvers Expliquez Choisissez un nombre de 1 chiffre Multipliez le par 9 Multipliez votre ge par 10 Soustrayez du d cuple de votre ge 9 fois le nombre Donnez moi le r sultat et je peux trouver votre ge Comment 250 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Es E origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie V p10 Vraisemblance des r sultats Ainsi sur la m me p10 calculatrice on trouve 105 10 5 105 0 mais 105 10 4 105 0 0001 Dans le o o p10 p10 Les touches qui conomisent 4l Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 251 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Paul est un paresseux qu calcule toujours avec sa montre calculatrice m me dans les cas les plus simples Mal parfols ll appule mal sur les touches su
104. alculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve Activit 05 a cris un nombre sur ta calculatrice puis appuie sur la touche la calculatrice affiche un r sultat Lorsque tu utilises la touche la calculatrice effectue toujours la ou les m mes op rations sur les nombres donn s Quelle est cette op ration ou quelles sont ces op rations b M me question pour la touche 93 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre Activit 05 Analyse priori de Cette activit est une variante d activit s propos es dans l activit les moyens d enseignement de 5P Bo tes noires th me 9 enjeux de l activit Applications fiches 3 et 4 et de 6P th me 7 d marches possibles Applications exercice 16 difficult s relances Les commentaires propos s dans les livres du ma tre SP mise en commun LM p 177 et 178 6P LM p 183 restent pertinents et leur lecture est vivement conseill e Par rapport la version papier la variante avec calculatrice permet l l ve de choisir librement les nombres de d part faire autant d essais qu il le d sire faire des hypoth ses et les v rifier directement De plus comme l application est d finie par une fonction programm e et non par une suite restreinte d exemples 1l n y a plus l quivoque relev e dans la remarque importante qui figure dans le livre du ma tre 5P p 177 Le ma
105. alculer a l aide de la calculatrice le nombre E 123456789 123456787 x 123456791 Poser x 123456789 et exprimer E en fonction de x D velopper et r duire l expression trouv e en b Comparer avec le r sultat du a et conclure Exercice 4 Calculer l aide de la calculatrice le nombre F 101 4x10 10 2x10 8 D velopper l aide d une identit remarquable le nombre 10 2 x 10 y En utilisant le r sultat du b et sans utiliser la calculatrice calculer F Comparer avec le r sultat du a et conclure 151 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 15 Remarque Pour tous ces exercices les probl mes proviennent de la repr sentation des nombres dans la calculatrice Le principe en est le suivant le nombre est mis sous forme scientifique signe mantisse appartenant 1 10 exposant de 10 Les chiffres de la mantisse sont cod s en binaire mais un nombre limit de bits tant r serv au codage de la mantisse tous les chiffres ne peuvent pas n cessairement tre pris en compte dans ce codage et donc dans les calculs voir c1 apr s Les exposants vont de 99 99 et sont aussi cod s en binaire tout comme le signe Il faut distinguer le nombre saisi au clavier la repr sentation du nombre en m moire et l affichage du nombre sur l cran de la calculatrice La calculatrice affiche un maximum de 10 chiffres significa
106. and on veut introduire ou stabiliser de nouvelles op rations que les l ves ne ma trisent pas sur le plan technique ou pour travailler le sens d une notion sans le confondre avec des techniques algorithmes qui lui sont associ es pour que les l ves s interrogent sur des ph nom nes math matiques et aient envie d en conna tre la raison allant si possible jusqu une d marche d monstrative Ils entrent alors dans des d marches de math matiques exp rimentales o de nombreux essais permettent d mettre des conjectures o est indispensable avec des l ves en grande difficult pour qu ils ne renoncent pas d avance r soudre un probl me cause de probl mes de calcul 16 Par exemple 1 2EP 3 6EP 7 9CO 10 11PO 7 Par exemple les tables d addition et de multiplication l EP les carr s parfaits au CO certaines valeurs trigonom triques au PO S Laura Weiss MathEcole 215 16 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques quand on travaille une notion pour laquelle la connaissance technique n est pas au programme ou qui n cessiterait le recours aux tables num riques extraction de racines calcul de rapports trigonom triques logarithmes gt Expliciter les diff rents contextes d utilisation de la calculatrice De m me qu il existe diff rents types de calculs on peut distinguer les diff rents contextes dans lesquels peuvent tre les calculatrices o
107. ans un cours de math matiques Enonc l ve activit 23 Exercices pr paratoires Connaissance des touches trigonom trie de la calculatrice 1 Calculer le sinus de 63 degr s et donner un r sultat arrondi au milli me 2 Calculer le cosinus de 25 degr s et donner un r sultat arrondi au centi me 3 Calculer la tangente de 25 degr s et donner un r sultat arrondi au centi me 4 Quel est l angle compris entre 0 et 90 degr s dont le cosinus vaut 0 2015 5 Quel est l angle compris entre 0 et 90 degr s dont la tangente vaut 2 2015 194 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercice 1 Quand le sommet de la tour Eiffel est vu d une distance de 60 m de sa base l angle d l vation est de 79 2 Estimer la hauteur de la tour Eiffel au m tre pres Exercice 2 On doit percer un tunnel pour une nouvelle autoroute travers une montagne de 3225 m de haut A une distance de 2000 m de la base de la montagne l angle d l vation est de 36 Sur l autre face l angle d l vation une distance de 1500 m de la base est de 60 Calculer la longueur du tunnel Exercice 3 La vo te d un tunnel est un arc de cercle dont l angle au centre vaut 230 Le rayon du cercle int rieur est de 5 m et la longueur du tunnel de 2800 m 3 Calculer le volume de pierre en m n cessaire au remblai du tunnel Rev tement en b ton Chauss e en asphalte Remblai en pi
108. ap sap sap sop oop oap oap oap ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves o e le o a E l ments pour la synth se activit 13 Exercices de consolidation activit 13 139 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 14 Connaissance de base de la calculatrice COI TT De nombreux l ves ne savent pas bien utiliser leur calculatrice Cette activit leur permettra de la prendre en main de fa on beaucoup plus approfondie afin d un faire un outil de calcul r ellement efficace Contexte d usage de DECOUVRIR EXERCER la calculatrice Contenus et comp tences math matiques vis s Pr requis Connaissance de manipulations l mentaires avec la calculatrice 140 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 14 Avec la calculatrice tous les calculs demand s doivent tre effectu es d un seul coup en utilisant si besoin est des parenth ses ou les m moires Pour chaque calcul il faudra savoir d crire la fa on dont la calculatrice a t utilis e 1 Calculer l aide de la calculatrice la valeur arrondie au milli me de a 4 2 3 b 2 5 c 544 d le quart de la r ponse pr c dente e 3 T f 2 sin 30 g 0 25 0 5 y 325 201569 2 82589 42 52 6 76 0 95 Lo B00 2 Effectuer les calculs suivants en utilisant l c
109. aphie Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique Essayer le plus t t possible de gt diff rencier associativit et distributivit car cette confusion est tenace lien num rique alg brique L alg bre permet ici de mieux b2 ac tudier le num rique Voir aussi Une activit en Or p16 La touche carr Pratiquer une d marche Calcul bouch exp rimentale Conjecturer b Associer le calcul d un quotient et Inverse NN E la multiplication par l inverse Mettre en parall le le calcull Le bon Prendre conscience des r gles de mental et le calcul machine compte priorit et de leur n cessit Autre version Combien de fois faut il plier une tres grande feuille de papier pou obtenir un cahier d au moins 500 pages 11 IUFM Cr teil IL_2 Ruhal Floris 113 IUFM Cr teil 11_4 IUFM Cr teil IL_5 IUFM Cr teil Le mille IL 6 IUFM Cr teil s feuilles Utiliser le facteur constant es es 36 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 241 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques V rifier que 35 30 1050 Remplacer le point d interrogation par un seul nombre pour calculer chacun de produits 35x 60 1050 x 70x30 1050 x 70x60 1050 x 140 x30 1050 x 1 sans machine Choisir trois entiers cons cutifs a b et c calculer b ac Que constat
110. aque de m tal de coefficient k 0 08 d terminer l paisseur de cette plaque b Quelle serait l intensit d un rayon de mille rad apr s avoir travers une plaque de m tal de 25 cm d paisseur Exercice 3 Un satellite est aliment par une pile radio isotopique La puissance de cette pile au cours du temps est donn e par la loi P Py e t 259 o Poest la puissance initiale de la pile en watt P est la puissance apr s t jours en watt t est le temps en jours 236 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques a Quelle sera la puissance de cette pile au bout d une ann e b Repr senter graphiquement l volution de la puissance de la pile au cours du temps Echelle 1 cm 20 jours c En combien de temps cette pile ne donnera t elle plus que la moiti de sa puissance Exercice 4 Dans des conditions ordinaires de temp rature et de pression si Po est la pression atmosph rique au niveau de la mer altitude O m tre la relation P Ppeah permet de calculer la pression P une altitude de h m tres a est une constante a 5500 m la pression P est gale la moiti de la pression P Que vaut la constante a b A quelle altitude se trouve t on si la pression P est gale au cinqui me de la pression au niveau de la mer Exercice 5 Une compagnie entreprend une campagne publicitaire pour mieux faire conna tre son produit Le volume des ven
111. arithmes et exponentielles Logarithmes et exponentielles d finitions propri t s Pr requis Lo Connaissance de l utilisation des touches log exp avec la calculatrice Mois Logarithmes exponentielles mod lisation Classique Adaptation Alain Klopfenstein 229 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 26 1 Sur l chelle de Richter la magnitude R d un tremblement de terre d intensit I est I S SEE donn e par R log m OU I est une intensit minimale donn e O a Si l intensit d un tremblement de terre est de 100 fois l intensit minimale donn e d terminer sa magnitude b M me question pour un tremblement de terre d intensit 1000 fois I 100000 fois v 2 La masse m en kg d une l phante d Afrique l ge t en ann es est approximativement donn e par m t 2600 1 0 51e 7 a Donner approximativement sa masse la naissance b Donner approximativement sa masse a 20 ans c valuer l ge d une l phante d Afrique ayant une masse de 1800 kg Peut on consid rer cette formule toujours valable 3 La technique de datation au carbone 14 est utilis e pour d terminer l ge de sp cimens arch ologiques et g ologiques La formule T 8310In x est parfois utilis e pour donner l ge T en ann es d un os fossile x tant le pourcentage exprim sous forme d cimale de carbone 14 pr sent dans le
112. atifs Probl mes additifs multiplicatifs 20 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 13 Algorithme 7 8 9 CO Approfondir Nombres et Op rations DECEO 5 timicsmacine 101170 Rene Caoatlgirique 16 Demiercitre ion ro Approtondir Caleu num rique 18 Quete periode 1011 PO Approfondir Calc mum rigue A la recherche 10 11 PO A a Calcul A ds B pprofondir alcul num rique Cao De simples 1011 PO Approfondir Caca lgirique Pat Premi decos 10 PO Approfondir Calc lgbrique 22 oson tesapins 10 11 PO Approfondir Calc atgsbriaue Ces apptiquentaigo 1 101170 Approfondir Trisonom rie 2a vacrerie 101170 Rechercher Trigonom rie Cas fous 101170 Approfondir Trisonom rie 7 10 11 PO Logarithme as Radiobiolopopulo Lu Approfondir EXponenticlle Les activit s elles m mes sont disponibles en un dossier ind pendant en annexe 7 3 21 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 4 1 2 Tableaux r capitulatifs B 1 B 2 et B 3 activit s class es par type d l ves d apprentissages et de contexte d utilisation Num ration Op rations Num ration _ GA Rechercher Explorer Approfondir Conceptualiser V rifier D couverte de la calculatrice Act n 01 Mettre z ro Act n 04 Probl mes additifs multiplicatifs Act n 03 Probl mes divisifs Act n 07 D couverte de la
113. ation de l irrationalit de V8 d 2 97 Le passage la forme alg brique g n ralisation peut galement poser des difficult s sp cifiques L encore soit les l ves y sont d j habitu s soit on peut travailler avec eux ce passage partir de cette activit Hs e EE RS ES SE ETES ER ES SERRES ER TER ES ENT ERT ER SERRES PER SERRES FERTER TERMES ERNEST RER UE Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Proposition s de Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate d roulement du groupe la classe Discussion avec la classe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation 181 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Cette activit peut naturellement tre pr c d e par l activit A la recherche de V8 Travailler de facon semblable avec d autres calculs apparemment complexes mais dont le r sultat est finalement tr s simple Prolongements possibles Ed Poursuivre le travail de manipulation alg brique de racines Poursuivre le travail de conjecture et de d monstration Montrer les limites du calcul
114. ations de base Multiplication implicite conomie de touches Parenth ses Ordre des op rations R ponse pr c dente Entr es pr c dentes R p tition des op rations Division euclidienne R ponse pr c dente EP Effacement Correction R initialisation de la calculatrice M moires Op rateurs m moris s Plus petit multiple commun ppcm pgcd Simplification de fractions Op rations avec des fractions Conversion d une fraction en criture d cimale et r ciproquement Puissances Racines Notation scientifique Nombre de d cimales valeur arrondie Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 149 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 15 Limites machine Fiche de pr sentation Titre de l activit Limites machine Quelques exemples pour montrer certaines limites du calcul avec la machine Degr s concern s 10PO 11PO toutes fili res Les l ves d couvrent au travers de quelques exemples que la calculatrice peut fournir des r sultats faux On s interroge sur la raison de ces probl mes Contexte d usage de DECOUVRIR la calculatrice Contenus et Manipulations num riques et alg briques de base com p tences Ra Connaissance de la fa on dont un nombre est repr sent math matiques vis s dans une machine Prendre conscience des limites de calcul de toute machine D velopper le regard critique porter sur ses r
115. auvetage la vitesse de 10 m h combien d heures seront n cessaires pour atteindre l enfant 221 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercice 4 Un avion radar de reconnaissance P volant 3000 m au dessus d un point R la surface de l eau d tecte un sous marin S la surface de l eau avec un angle de d pression de 37 et un bateau de ravitaillement T avec un angle de d pression de 21 De plus l angle entre le sous marin l avion et le bateau est mesur 110 Faire un sch ma puis calculer la distance entre le sous marin et le bateau de ravitaillement Exercice 5 Les pav s de Penrose ont la forme de losanges ABCD dont la longueur des c t s est 1 et dont un angle int rieur BAD mesure 72 On situe un point P sur la diagonale AC une distance du sommet C De ce point partent les deux segments de droite PB et PD rejoignant les deux autres sommets du losange Les deux pav s ainsi form s sont appel s fer de lance le plus petit et cerf volant le plus grand On utilise des compos s analogues mais en trois dimensions en chimie mol culaire a Calculer les mesures en degr s des angles lt BPC lt APB et lt ABP b Calculer la longueur du segment BP c Calculer l aire d un fer de lance et d un cerf volant 222 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 25
116. avec une machine quelle qu elle soit ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves l ments pour la synth se activit 20 Ce que l l ve devrait avoir retenu racine carr e d finition propri t s des racines carr es nombres rationnels vs irrationnels DOCO D O d veloppements d cimaux finis infinis p riodiques ou infinis non p riodiques irrationalit des racines carr es sauf pour les racines de carr s parfaits multiplication par le conjugu manipulations alg briques de racines statut d un nombre irrationnel dans une machine 0 ET O0 DO DO selon le niveau des l ves d monstration de l irrationalit de 8 ou de 2 Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 182 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 21 Premier de cord e Fiche de pr sentation tude de la valeur de l expression n n 41 pour des n successifs Degr s concern s 10PO 11PO toutes fili res l ou 2 p riodes de 45 minutes tude de la valeur de expression n n 41 pour des n successifs Toutes les premi res valeurs de n donnent des r sultats premiers ce qui am ne conjecturer que n n 41 est premier pour toute valeur de n Cela est faux Il ne suffit pas d exhiber des exemples pour d montrer une conjecture la calculatrice Nombres premiers Contenus et comp tences
117. calculatrice dans un cours de math matiques 2nd DR 45 DEG RAD SMA 61000 2nd DR DR RAD Pnd TRIG O ms tan tan 5 x L 4 ENTER tan 5x 4 DR DEG 2nd TRIG sin 60 60 0 866025404 gt EEES sin sin 50 2nd DR affiche un menu pour choisir l unit d angle degr s DEG ou radians RAD Pour convertir un angle d une unit dans une autre 1 choisir dans ce menu l unit d arriv e 2 entrer la valeur de l angle et l unit de d part l aide de la touche ou inversement 2nd TRIG affiche le menu de toutes les fonctions trigonom triques sinus sin arc sinus sin cosinus cos arc cosinus cos tangente tan et arc tangente tan Fonctions logarithme et exponentielle PO Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques LOG LOG affiche un menu des fonctions logarithmes et exponentielles log 10 In e La calculatrice utilise pour e la valeur ENTER l approch e 2 718281828459 Loc ens 5 1 648721271 51 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 6 Bibliographie L utilisation de nouveaux outils en classe suscite r flexions et exp rimentations voici quelques propositions de documents de r f rence pour qui souhaite aller plus loin dans la r flexion ainsi que d autres ressources glan es durant la r alisation de ce travail 6 1 Documents de r f rence CEM Rappo
118. calculatrice tout au long de l ann e 3 6 3 Quelques recommandations Pour ce faire plusieurs conditions nous paraissent devoir tre r unies gt Identifier beaucoup plus clairement sur tout le cursus d un l ve probablement par cycles d apprentissage de deux ou trois ans les connaissances de base qui sont du domaine des r pertoires m moris s et qui sont indispensables pour la poursuite des tudes sans pour autant r duire les enseignements de math matiques leurs uniques apprentissages Parall lement clarifier galement les comp tences attendues en termes de ma trise de l outil calculatrice gt Investir l usage plut t les usages de la calculatrice d un regard professionnel et explicite par exemple en d terminant les situations o la calculatrice o doit tre proscrite quand la le on ou l valuation vise tous les niveaux l entra nement de proc dures num riques ou litt rales o est utile pour que les l ves puissent contr ler leurs r sultats en travail autocorrectif pour diff rencier l enseignement peut tre utilis e par certains l ves et pas par d autres peut tre utilis e certains moments et pas d autres quand on veut que les l ves r ussissent r soudre des probl mes faisant appel par exemple la mod lisation d une situation en pouvant essayer des calculs pour voir O est n cessaire qu
119. calculs pour revenir en arri re a Mod le 2 Primaire 5P 6P 8 Cycle 7 9 les quatre op rations o la division euclidienne o possibilit de conserver et de modifier les calculs 59 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques o deux lignes d affichage o op rations sur les fractions possibilit de conversion o fonctions carr et racine carr e o fonction inverse o op rations avec des puissances quelconques enti res o parenth ses o au moins trois m moires 7 2 3 Annexe Mandat de la sous commission La sous commission UTILISATION DES MOYENS ELECTRONIQUES PERSONNELS a pour mandat l tude de l int r t p dagogique et didactique des diff rents moyens de calculs lectroniques dans les trois ordres d enseignement genevois En particulier elle se prononcera sur o le type de calculatrice le plus favorable pour les l ves de la scolarit obligatoire o la coordination de leur utilisation entre le primaire et le cycle d orientation o les attentes op ratoires des enseignants du cycle O T utilisation de calculatrices programmables avec cran graphique avec langage symbolique et des ordinateurs portables dans I enseignement postobligatoire Elle consultera les hautes coles pour conna tre leurs attentes 7 3 Activit s d taill es Les enseignant e s et plus g n ralement toute personne int ress e trouveront ici 26 activit s d taill es pr sent es
120. centi me 220 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Enonc 1 Un bateau de p che industriel utilise un sonar pour d tecter un banc de poissons 4 km l est du bateau qui se d place en direction N51 W la vitesse de 16 km h Nord Banc de poissons a Sile bateau avance une vitesse de 40 km h calculer 0 1 pres la direction suivre pour intercepter le banc de poissons b Calculer le temps la minute pr s qu il faudra au bateau pour atteindre le banc de poissons Exercice 2 A l origine la Tour de Pise tait perpendiculaire la surface du sol et mesurait 54 m de haut Comme elle s enfonce dans le sol elle penche maintenant d un angle O par rapport la perpendiculaire Lorsque le sommet de la tour est observ partir d un point distant 45 m du centre de sa base l angle d l vation est de 53 3 a Faire un sch ma puis calculer l angle b Calculer la distance d qui exprime de combien le centre du sommet de la tour s est loign de la perpendiculaire Exercice 3 Un enfant est prisonnier au fond du puits d une mine dont le couloir rectiligne mesure 13 m et forme un angle de 78 avec l horizontale Un tunnel de sauvetage rectiligne est creus 15 m de louverture de la mine sur le sol a Faire un sch ma puis d terminer quel angle O le tunnel de sauvetage doit tre creus b Si on peut creuser le tunnel de s
121. chi mais aussi suffisamment proche pour atteindre la cible Par exemple si le nombre de d part est 327 et la cible entre 13 et 18 On pourrait calculer exactement 327 15 5 ou 327 16 16 tant encore relativement au milieu de la cible Mais des op rations proches comme 320 16 ou 330 15 voire m me 300 15 que l on peut ais ment calculer suffisent pour d terminer un diviseur qui atteint la cible Si un nombre ne permet pas d atteindre la cible la question se poser est de savoir s il faut proposer ensuite un autre plus petit ou plus grand Par exemple si le nombre de d part est 2704 et la cible entre 40 et 45 on peut proposer 60 2700 45 60 semble tre une bonne approximation Mais 2704 60 gt 45 Faut il alors essayer 61 ou 59 Il est souhaitable qu un d bat puisse avoir lieu entre les l ves Il devrait en ressortir que plus le diviseur est grand plus le quotient est petit et inversement 104 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 07 Probl mes divisifs Fiche de pr sentation Titre de l activit Bouteilles de limonade a transporter et autres petits probl mes Sous titre Probl mes divisifs impliquant une division euclidienne Dur e estim e 10 90 minutes en fonction du nombre de probl mes propos s et de l insertion ou non d autres probl mes dont la r solution ne passe pas par une division R sum R soudre des probl mes divisifs Contexte d us
122. commun I I DD E E EE E E E EE AAA iii PEIEE ENEE EE E EEEE E A EEEE ENEE J I I I Travail individuel ou en bin me Pour le premier exercice on peut demander chaque l ve de calculer puis noter toutes les solutions au tableau 1l y en aura probablement de nombreuses diff rentes ce qui permettra une discussion et clarification int ressantes Peut galement se travailler par groupes nonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux _ l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de Proposition s de _ r diger en commun une ac tate d roulement Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate du groupe la classe Discussion avec la classe Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation lmmmmmmmmmmm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm a Prolongements possibles ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves dd e e 148 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 14 Ce que l l ve devrait savoir faire avec sa calculatrice Op r
123. d analyser et de conna tre les b n fices et les risques de cette int gration souvent r alis e au pas de charge afin d en garantir une utilisation raisonnable et raisonn e Cette volution touche galement les math matiques o on constate un recours toujours plus important aux technologies Les savoirs math matiques voluent des domaines comme l analyse num rique ou les statistiques grands utilisateurs de MITIC voient leur importance et les moyens qui leur sont allou s cro tre de fa on importante L enseignement des math matiques est lui aussi touch D abord quant aux sujets d tude choisis la th orie des nombres les statistiques ou la g om trie sont revaloris s presque toujours en lien avec la proposition d utiliser tel ou tel outil technologique pour en favoriser les enseignements et apprentissages D autres sujets se voient eux remis en question connaissance m moris e de tables d op rations ou de valeurs remarquables ma trise de certains algorithmes Deux questions fondamentales se posent alors a faut il encore apprendre certaines manipulations que l on peut faire facilement avec des machines si oui lesquelles et pourquoi a quel quilibre recherche t on entre les aspects calculatoires et ceux qui sont plus li s la compr hension du sens des math matiques La didactique en particulier des math matiques a beaucoup nous apporter pour tenter de r pondre
124. d e Auto 135 7 60 ENTER r ponse 9 4 2nd Frac Mode r gler sur d e Auto 51642130 517 4 9 r ponse 5 3 2nd FracMode r gler sur d e Auto 135 60 D ENER r ponse 2 25 143 E 2 TRIG 30 r ponse 1 g 25 x 5 r ponse 0 125 h 325 201569 2 2 82589 42 52 r ponse 7 715 i 4 7 Q 6 76 95 5 001 r ponse 5 505 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 135 71 60 r ponse 3 6 FX OOOO choisir 3 2 r ponse 6 283 autre possibilit 2nd MATHO EMER choisir round 2 m Bad b 3 r ponse 6 283 7 Remarque si on a utilis la fonction FIX on peut remettre l affichage habituel en faisant JEIX c d choisir F MATH D D O 3644 2nd 4568 r ponse ppcm 3644 4568 4161448 MATH D 000000 23456656 2nd 2234544 ENTER r ponse pgcd 23456656 2234544 16 8 28313 INT 29 r ponse 976 bo tes 9 restent Remarque une autre fonction ne donne que le reste de la division euclidienne MATH DODDDDODOO c d choisir REMAINDER 28313 2nd 29 r ponse 9 9 Ordre des op rations 1 Expressions entre parenth ses 2 Fonctions qui ont besoin d une et pr c dent l argument telles que les fonctions trigonom triques ou logarithmiques 3 Fractions 4 Fonctions qui sont entr es apr s l argument telles que x et les convertisseurs
125. d unit d angle r g 5 Puissances A et racines y 144 10 IT 12 13 14 15 16 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 6 Signe du nombre relatif 7 Arrangements nPr et combinaisons nCr 8 Multiplications multiplications implicites divisions 9 Additions et soustractions 10 Conversions Ab c lt d e PF PD PDMS 11 termine toutes les op rations et ferme toutes les parenth ses ouvertes Remarque attention seulement aux pyramides de puissances dont l interpr tation 2 DY r he d r A 3 A n est pas toujours commune tous les math maticiens 2 est il gal e a L Pour la machine c est L Le symbole repr sente l op ration soustraction alors que le symbole permet de repr senter l oppos d un nombre 3 E 3 E r ponse 9 x 9 ENTER r ponse 81 2 End N End ans r ponse 9 Apr s l valuation d une expression les touches et permettent de faire d filer les entr es pr c dentes qui sont stock es dans la m moire de la calculatrice EP ANS l 2 CLEAR CLEAR Efface un message d erreur Efface la ligne en cours d dition D place le curseur vers la derni re entr e de l historique quand l affichage est vide Supprime le caract re l emplacement du curseur Supprime tous les caract res droite quand la touche est maintenue enfonc e supprime
126. dans un cours de math matiques IL 27 39 EX origine R r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie V Selon le mod le de la calculatrice on POUTA Ordonner 10 Putiliser pour trouve sands Ordre de grandeur l ordre ajouter des 9 Identit s remarquables pour obliger le calcul nop E alg brique Diviseurs del Division euclidienne Diviseurs p8 p8 Division p8 2P page 210 Voir aussi commentaires didactiques g n raux page Calcul r fl chi et 115 ss z ro calculette voir livre du ma tre 2P naoa 942 et IRA Le compte est p8 bon QP 5P pS Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 247 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Ordonner les trois nombres suivants A 999 999 999 999 x 999 999 999 999 B 999 999 x 999 999 x 999 999 x999 999 C 999 999 999 999 999 999 x 999 999 On estime ais ment l ordre de grandeur des trois nombres 10 mais ensuite Il faut passer par une criture en utilisant les puissances par exemple A 10 1 ou introduire une notation alg brique x 999 999 et faire le calcul alg briquement Calculer la plus grande puissance de 7 possible D terminer tous les diviseurs de 72 en utilisant une calculatrice et en un minimum d op rations Utiliser la division enti re si possible
127. de deux 22222222 Partager en deux parties gales le display de la calculette 44445550 222266661 crire trois tas le 3 335 cing fois le 5 55555 crire le plus grand nombre possible avec la calculette Dict e de nombres deux huit quatre cing neuf Chercher diff rentes mani res pour crire Chercher les nombres qui peuvent Etre lus en retournant la calculette crire les nombres de haut en bas du clavier de bas en haut de gauche droite de droite gauche en diagonak crire un nombre plus grand que plus petit que crire les nombres affich s sur le clavier du plus petit au plus grand et inversement crire les nombres qu il ya entre 1 et 5 Z et 9 6 et 8 Chercher les nombres entre 4 et 5 7 et amp 1 et 2 Le premier nombre est la moitie du suivant le deuxi me nombre est le double du pre mier 2 45 e premier nombre est le double du suivant le deuxi me nombre est la mol t du premier 5 4 E ae 266 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Es origine i R l r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie V IS l Hoo Grosse multi Lo o STE a Calcul mental Les l ves interpr tent ce type 11_75 324 5 V ou d exercices comme un d fi calculatrice calculer mentalement Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualis
128. de math matiques l ments pour la synth se activit 22 Ce que l l ve doit avoir retenu a Multiples diviseurs suite s rie a Conjecture contre exemple d monstration th or me Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 192 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 23 Appliquons la trigo Fiche de pr sentation Titre de l activit Appliquons la trigo Choix d exercices d application de la trigonom trie dans le triangle rectangle li s a des situations r elles 10PO 11PO toutes fili res concern es par Degr s concern s l enseignement de la trigonom trie dans le triangle rectangle Dur e estim e 2 3 ou 4 p riodes de 45 minutes Choix d exercices d application de la trigonom trie dans le triangle rectangle li s a des situations r elles Type d usage de la calculatrice EXECUTER APPROFONDIR Contenus Mod lisation math matiques Trigonom trie dans le triangle rectangle exercer VISEES approfondir Trigonom trie dans le triangle rectangle Pr requis o Connaissance de l utilisation des fonctions trigonom triques avec la calculatrice Trigonom trie triangle rectangle mod lisation Adaptation Serge Picchione et Jean Marie Delley Trigonom trie avec g om trie analytique Swokowski1 et Cole Ed LEP 193 Usages d une calculatrice de poche d
129. di corpahuscin ent STE j En Angleterre la temp rature s exprime en degr haa Farenheit not e F Quand on conna t une temp rature en C pour l obtenir en F il faut multiplier par 1 8 et ajouter 32 Par exemple lo tenpiroturz du coi sit 147 x 18433 0 0 SF Te Utilise les op rateurs Fl et F2 pour compl ter le premier tableau 2 Trouve les op rateurs Fi et F2 qui te permettront de compl ter le second tableau En France la temp rature s exprime en degr Celsius not e E Wn ntem par enamplz que la tarpiralure du corps human sit are j En Angleterre la temp rature s exprime en degr ee al Farenheit not e F Quand on connd t une temp rature en c pour l obtenir en F il faut multiplier par 1 8 et ajouter 32 Par ccorgle la terp rmone du corpiert 172 18 12e AEF 1 Utilise les op rateurs Fi et F2 pour compl ter le premier tableau t Trouve les op rateurs Fl et FZ quite permettront de compl ter le second tableau Indique dans chaque case la touche sur laquelle tu presses pour effectuer les travaux demand s Indique dans chaque case la touche sur laquelle tu presses pour effectuer les travaux demand s 1 x1 8 dans F1 Jp nn dans F2 ne EDLC CE neoon plo aii 32 dans F2 21 8 dans FT SE 000000 Score lossamra amag E F z 122 G 3 sfkhsgs 2operateurs pdf dans le dossier bibliographie Chercher librement des configurations de nombres sur la cakuktte crire tout plein
130. difficult s et pour favoriser la d marches possibles th orisation on peut proposer d atteindre des nombres 1 difficult s relances autour de 100 en deux puis trois tapes mise en commun Commencer l exercice en fin de s ance 15 minutes afin 1 az de s assurer que chaque l ve ait compris la consigne etle Proposition s de but du jeu d roulement Le jeu continue le lendemain apr s une recherche la maison de la strat gie Prolongements i i possibles ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves U u O Q em O O 12 Q D D lt D 12 l ments pour la synth se activit 10 Une des strat gies pour r soudre un probl me est de travailler rebours ici il s agit de partir de 10 et non du nombre qu a t choisi Cette activit est a mettre en lien avec la d composition d un nombre en produit de facteurs et avec la division euclidienne Exercices de consolidation activit 10 Voici diff rents exemples o on travaille rebours MERM Logique et Raisonnement n 125 Le maximum Place chacun des op rateurs dans l une des cases carr es de mani re obtenir le plus grand nombre possible la fin du parcours 125 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques e es 2 e 2 e 33 Activit 11 Une aire et beaucoup de p rim tres Fiche de
131. du Centaure en sachant qu un rayon de lumi re met environ 4 ans pour nous parvenir de cette toile et que la vitesse de la lumi re vaut approximativement 300 000 km s 4 x 365 lt 24 x 3600 x 3 EE 5 EFF 4x365x24x36 MS AS R ponse Proxima du Centaure se trouve approximativement 3 78 10 km du syst me solaire 33 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques gt permet d entrer une valeur en notation scientifique criture d un nombre d cimal diff rent de O sous la forme d un produit de deux facteurs le premier tant un nombre d cimal sup rieur ou gal 1 et strictement inf rieur a 10 et le second facteur une puissance enti re de 10 La calculatrice T1 34 II ne permet ni la conversion d une notation d cimale en notation scientifique ni l inverse Bien plus la calculatrice impose la notation pour les r sultats en valeur absolue sup rieurs ou gaux 10000000000 1 10 ou strictement inf rieurs 0 000000001 1 10 et la notation d cimale pour les r sultats compris en valeur absolue entre ces deux bornes Appuyer sur EE quivaut frapper x 10 N Ainsi pour entrer 5 10 il suffit de taper 5 EE 12 gt Attention si on tape 5 x 10 EE 12 on obtient 5 10 gt Attention encore Les r sultats affich s d pendent du nombre de chiffres significatifs que la calculatrice peut stocker En effet la machine tronque les nombres partir d une certain
132. e 6 Auto ENTER 856 1712 ENTER 856 1712 j Ans gt F g 0 5 1782 criture d cimale criture fractionnaire La calculatrice ne tient compte que d un certain nombre de d cimales En voici des exemples 0 33333333 8 d cimales 0 33333333 0 333353333 mais 0 3333333339 10 d cimales 0 333333333 gt 1 3 De m me 0 1234567891 0 123456789 0 123456789 gt de Ve mais 0 12345678912 0 1234567891 0 123456789 O 32 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Nombre de d cimales 2nd FIX Autour d une piscine rectangulaire de 32 m tres de p rim tre on a install par s curit une barri re 2 m tres des bords Quelle est la longueur de la barri re La r ponse est donner avec une pr cision de l ordre du centim tre 2nd FIX 2 32 2 x 2 ENTER 30970 i 44 57 Fix R ponse 44 57 m tres gt FIX 2 n a d effet que sur l affichage du r sultat arrondi au centi me la machine calculant en prenant une approximation de x 3 14159265359 Le r sultat est diff rent si on prend une approximation au centi me de T 2nd FIX LJ 32 E 2 x 3 14 x 2 NA 32 2x3 14x2 f 44 56 Fix R ponse 44 56 m tres gt Autre exemple 2nd FIX 4 2567 x 7ER Nan A Ansx7 l 3 5714 25 0000 Mais 3 574 x 7 3 5714x7 4 24 9998 FIX e Notation scientifique Calcule la distance du syst me solaire Proxima
133. e des l ves RE SE N NP TR EE A PS EP NP PEN RP EP PR a 186 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 21 Ce que l l ve doit avoir retenu e Nombre premier d finition e Utilisation d un tableau de valeurs pour organiser des r sultats e Statut du vrai et du faux en math matique contre exemple d monstration e Conjecture contre exemple d monstration th or me e Conjecturer d apr s des observations calculatoires e D montrer une conjecture simple Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 187 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 22 O sont les lapins Fiche de pr sentation Titre de l activit O sont les lapins tude de propri t s d une suite de nombres du type Fibonacci Degr s concern s 10PO 11PO toutes fili res tude de suites du typea b atb a 2b 2a 3b 3a 5b pour des a et b diff rents Pour quels n n 1 est 1l un diviseur de la somme des n premiers termes de la suite Suites possibles vers Fibonacci d o les lapins voir annexe le nombre d or les liens avec la nature calculatrice Contenus Nombres entiers diviseurs multiples math matiques vis es Suite de nombres entiers Abstraction math matique G n ralisation alg brique D marche math matique conjecture d mon
134. e Soleil Il avait observ que la dur e s parant le premier et le dernier quartier tait diff rente de la dur e s parant le dernier et le premier quartier La m thode d Aristarque de Samos donne une id e de l loignement du Soleil environ 7 millions de km avec une erreur tr s importante puisque la distance r elle est de 149 6 millions de km Son erreur vient de l estimation des dur es entre deux quartiers de Lune car cette mesure est particuli rement difficile l cart entre ces deux dur es tant tr s faible Toutefois Aristarque a r ussi montrer que le Soleil est beaucoup plus loign de nous que la Lune 200 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Correction exercice 6 On cherche x tan 62 5 31 m tan 62 2 gt Xx X On cherche y y 7 x 7 5 31 1 68 m y 1 69 m est la hauteur maximum que peut atteindre la haie avant de cacher une partie du lac Donc 2 m c est trop gt e 5 2 12 53 5 amp B 2 tan z 43 5 P 5 2 201 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 23 Attention l id e 1c1 est de travailler uniquement avec la trigonom trie dans le triangle rectangle les l ves ne connaissent en principe que les sin cos et tan des angles compris entre 0 et 90 ni les radians On suppose aussi qu ils savent utiliser les touches sin co
135. e d cimale en fonction du nombre de chiffres qu il y a avant la virgule Ainsi selon les cas on peut obtenir un r sultat exact ou compl tement erron Voici un exemple 10 10 10 10 O EE 5 EE 5 2 EE 5 DJ E EE 5 EN E S ES E 5 T Mais 10 10 10 107 O EE 5 EE 5 O E 5 DJ E EE s FA ES ETS ES5 O e Calcul de moyennes Durant le trimestre les l ves ont effectu 3 r citations 2 preuves et une preuve trimestrielle L preuve trimestrielle compte pour un tiers de la moyenne trimestrielle la moyenne des r citations pour un deuxi me tiers et la moyenne des preuves pour le dernier tiers Voici les notes de Marie RI 2 R2 4 R3 4 R4 4 5 R ID EL 25 E2 4 Trim 4 5 Quelle est la moyenne trimestrielle au dixi me de Marie 34 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Chaque r citation compte pour 1 15 2 30 de la moyenne chaque preuve pour 1 6 5 30 de la moyenne et l preuve trimestrielle pour 1 3 10 30 Cela se traduit par une fr quence de 2 pour chaque r citation de 5 pour chaque preuve et par 10 pour l preuve trimestrielle 2nd FIX 1 r sultat au dixi me STAT 1 VAR EVAR VAR DATA 20 2 JC FRQ O40204 020450205502025050405045010 X n X Sx Ox 3 9 Marie a donc une moyenne trimestrielle insuffisante et ce malgr l vidente progression en cours de trimestre Une fois les f
136. e en marche Extinction Z _ La a s teint automatiquement si aucune touche n est enfonc e pendant environ 5 minutes Op rations de 5 x 12 45 ENTER Attention ne pas confondre la soustraction base i touche et le signe d un nombre relatif EP touche Lorsque l on divise un nombre par 0 la calculatrice affiche un message d erreur Op rations de 5 12 45 5x 12 45 Attention ne pas confondre la soustraction base 15 touche et le signe d un nombre relatif CO PO touche 0 R p tition des Suite des i op rations puissances de 2 x 2 ENTER 39 Division euclidienne Parentheses EP Parentheses CO PO Multiplication implicite conomie de touches CO PO 4 2 3 2 5 5 44 le quart de la r ponse pr c dente 3 T 2 sin 30 0 25 0 5 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 13 2nd INT 4 4 x 0 2 4 3 OT EM 4x 2 3 20 4 lx 9 2430 410 2 4 3 D EM 4x 2 3 4 2 3 20 10203 e 2 E 5 ET 5 250 107 4 E 1 2 4 nd ANS EF 3 1 ET 2 258 reia EXT 30 25 x 5 ENTER 40 20 Divise 2 entiers positifs et affiche le quotient Q et le reste R Seul le quotient est stock dans Ans La division euclidienne n a de sens que si le dividende et le diviseur sont des nombres entiers La calculatrice affiche un message d erreur si l un de ces deux nombres
137. e la 5 en Act 12 II 42 calculatrice r partir dans l ann e Logique H 31 61 15 51 04 II 47 I 07 II 35 Il 54 11 10 II 48 en 9 touches et x puissances Nombres II 39 II 49 Il 45 11 85 IL_11 Act 08 Probl mes arithm tique II 62 11 55 II 57 11 74 11 53 11 60 Racines et Puissances Nombres premiers II 56 Problemes Nombres relatifs I 79 Calcul litt ral I 40 Act 11 Fonction Probl mes nombres IL 06 II 66 Act 13 o II 03 II 52 Calcul litt ral 11 13 Op rateur constant Calcul litt ral Programmation 16 11 38 11 69 11 37 IL 14 Act 09 11 30 II 49 11 02 Statistiques II 68 26 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Tableau r capitulatif C 3 parcours chronologique dans les activit s PO d taill es dans l annexe 7 3 Connaissance de base de la machine Act 14 v Limites machines Act 15 y Dernier chiffre Act 16 y Grands nombres Act 17 Quelle p riode Act 18 A la recherche de V8 Act 19 De simples racines Act 20 Premier de cord e Act 21 Ou sont les lapins Act 22 Appliquonslatrigo Act 23 Radiobiolopopulo Act 26 Vacherie Act 24 Ouahlatrigo Act 25 27 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 4 2 Autres id es d activit s De nombreuses autres activit s ont t r pertori es durant la pr
138. emple a 4 et b 7 2 atb lli La suite est 4 7 11 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 4 La somme des six premiers nombres 4 7 11 18 29 47 116 le cinqui me terme 29 On observe que 29 est un diviseur de 116 116 4 29 Quel que soit le choix de a et b initial on observe la m me propri t 5 Conjecture Dans une suite du type a b a b a 2b 2a 3b 3a 5b 5a 8b o a et b sont des entiers la somme des six premiers termes est toujours un multiple du le cinqui me terme 6 La suite g n rale a b a b a 2b 2a 3b 3a 5b 5a 8b La somme des six premiers termes 8a 12b 4 2a 3b Il s agit bien d un multiple du cinqui me terme 2a 3b 7 La s rie correspondante le ni me terme de la s rie est la somme des n premiers termes de la suite sie SEE SE mr CANCIO Ciaran ia site Sa 13a 21a 34a 55a 9a 144a be 13b 21b 34b 55b 89b 144b 233b cia 21a 34a 55a 89a 144a 233a 37 7a 33b 54b 88b 143b 232b 377b 610b Non 8 On observe que somme des 10 premiers termes 55a 88b 11 5a 8b non par le 9 me mais par le 7 me On observe par exemple aussi que 2a 2b 2 a b donc que la somme des 3 premiers termes est toujours divisible par le 3 me 9 Poursuivre par une pr sentation de Fibonacci d o les lapins le nombre d or les liens avec la nature voir annexe 190 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques
139. ensuite caract re gauche du curseur chaque fois que la touche est enfonc e Ins re un caract re l emplacement du curseur 145 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 17 CLRVAR 15 7 RCL O MEMVAR O ETF E 4 EE 18 2nd RESET Y ou et CLEAR 19 Programmation OP OP1 A POP2 4 MEMVAR 5 MEMVAR 6 OP2 gt 4A 5A 6 Utilisation 0 0 8 3 4A 5A 6 i 4A 5A 6 k 1 6 1 0 56 l 0 7 l 4A 5A 6 4A 5A 6 1 0 54 1 0 5 OP OP 0 75 0Px OP2 D 2 OP OP2 4A 5A 6 4 4A 5A 6 4A 5A 6 1 DS 1 0 1 146 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 20 Programmation POP MEMVAR y MEMVAR E 4 MEMVAR MEMVAR O ENTER D DJ E O 2 MEMVAR bord O O MENA E Cod h FEMME O C 4 MEMAR VEAR EF 0 O O 2 MEMVAR Utilisation 4 5 ET 6 SI O A gt A H 5 gt B A 6 gt C A 4 5 JE OP OP2 BABES CB V B i 1 0 75 1 LEA 147 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 14 Analyse priori de l activit De nombreux l ves ne savent pas bien utiliser leur enjeux de l activit calculatrice Cette activit leur permettra de la prendre en d marches possibles main de fa on beaucoup plus approfondie afin d un faire difficult s relances un outil de calcul r ellement efficace mise en
140. enus l aide de calculs informatiques Certains refusent d entrer en mati re alors que d autres r torquent que c est justement ainsi qu on d bloque des situations sans issue apparente qu on pousse plus avant les investigations qui m neront de nouvelles d couvertes Pourtant la manipulation de symboles que permettent les outils lectroniques s inscrit dans la suite logique de l utilisation des bouliers abaques et autres pascalines et du d veloppement du symbolisme math matique criture d cimale calcul Iitt ral Ces nouveaux outils ont dynamis les math matiques exp rimentales et par suite la th orisation math matique calcul des d cimales du nombre 7 Au niveau p dagogique ensuite si les l ves ont une machine disposition et ne calculent plus de t te ou a la main leur investissement dans la r solution d un probl me est moindre 1ls essaient n importe quoi sans r flexion pr alable n exercent plus leur m moire les nombres finissent par avoir tous le m me statut ne sont pas organis s selon leurs propri t s et leurs comportements dans les op rations Mais contrario si les l ves disposent d une calculatrice ils peuvent se d charger des t ches techniques pour se concentrer sur l appropriation du concept on peut leur demander d effectuer plusieurs essais pour d couvrir une notion essais auxquels ils renonceraient face l investissement demand et qui seraient par a
141. er V rifier 267 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Add itlonner toujours 1 au r sultat pr c dent 14 1 2 241 3 YHl 4 4 1 5 La cible 20 sl Je tas 141 1 estee que J arrive 207 Etsi je fais 24242 7 Et avec 37Etaeca Si Je fais 6 4 8 jusqu 30 quels sont les nom bres par lesquels Je passe el quel sont les nombres par lesquels je ne passe pas crire 1 et appuyer sur la touche de mani re r p t s pour obtenir la suite des nombres avec un Intersale de 1 Meme exercice avec 2 5 Avec la racine carr e r p t e r duire 1 par d faut le plus grand nombre inscrit sur la calculette Le 0 qu ne change pas le nombre 424 0 42 4 538 0 4538 Le 02 qu ne change pas le nombre 527 0 527 29 0 29 Le xl gt qu ne change pas le nombre 5x1 5 66x1 86 Le 202 qui transfome le plus grand nombre en O 54749863x0 01 Le 02 qu traretorme le plus grand nombre en 0 avec Error 65230674 0 0 El Passage la dizaine la centaine au millier la dizaine de millier avec 1 94 1 10 991 100 999 1 1000 9239941 10000i 12 Trouver une addition dont le r sultat est 6 Frends n importe quel nombre entler entre 1 et 99 et essale de le ramener z ro en trois pas ou maire en utilisant seulement les nombres 1 Set les quatre op rations de base x Le m me nombre peut tre utllls pusteurs tois mal
142. er un nombre par 1 5 quivaut soit multiplier ce nombre par 3 puis le diviser le produit par 2 soit diviser ce nombre par 2 puis multiplier le quotient par 3 multiplier un nombre par 5 puis soustraire 15 au produit quivaut soustraire 3 ce nombre puis multiplier la diff rence par 5 Mise en commun L enseignant anime une mise en commun qui peut porter sur la notation des r sultats la distinction entre nombre de d part nombre d arriv e l organisation des essais les nombres int ressants la possibilit de repr senter graphiquement les applications mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mmmmm mm Proposition s de d roulement Nombre d l ves Toute la classe travail individuel ou par groupes de deux Mat riel Une calculatrice par l ve ou pour deux l ves Cahier de maths ou feuilles quadrill es Avant de proposer cette activit l enseignant doit emprunter les calculatrices de ses l ves pour les programmer cf pr paration des calculatrices c1 dessous Il est conseill de proposer des applications diff rentes de mani re ce que les l ves puissent s changer les machines et viter que l enseignant doive les reprogrammer en cours d activit Il peut tre pratique galement de num roter les machines petit autocollant de mani re les distinguer et les rep rer ais ment L enseignant distribue les mach
143. erre Coupe transversale du tunnel Exercice 4 Les pyramides gyptiennes de Gizeh sont 3 pyramides droites base carr e a Calculer en fonction l aide de a et O a 1 l aire A des quatre faces triangulaires a 2 le volume V de la pyramide rappel volume aire de la base x hauteur 3 b Calculer l aire des quatre faces triangulaires et le volume de la pyramide de Kh ops a 187m et 0 40 195 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercice 5 En consid rant que la Lune met 15 jours pour passer du premier quartier PQ au dernier quartier DQ et qu elle en met 14 pour passer du dernier au premier quartier d terminer la distance Terre Soleil Distance Terre Lune 384 400 km AS DO a 14 29 JEU em 15 29 lt d un tour MY Terre d un tour PQ a Lune Exercice 6 Vous habitez au 2 tage de l immeuble dessin ci dessous Actuellement depuis la fen tre vous voyez le lac dans son int gralit La loi autorise votre voisin faire pousser sa haie de thuyas une hauteur maximale de 2 m de haut Lorsque celle ci aura atteint la hauteur maximale autoris e par la loi risque t elle de cacher une partie du lac Justifier votre raisonnement par un sch ma et des calculs 196 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 23 1 2nd TRIG ENTER 63 ENTER R ponse
144. es NB on donne ici des indications pour le premier probl me transposer pour les autres r p ter l addition de 36 pour atteindre 1000 puis compter le nombre de fois que 36 a t additionn 36 36 36 36 36 36 pour atteindre 1000 L 2 3 4 3 O soustraire un certain nombre de fois 36 1000 pour atteindre 0 puis compter le nombre de soustractions 1000 36 36 36 36 EL 52 32 aj ou bien 1000 360 360 36 36 10 20 21 22 puis de la m me mani re avec 37 faire plusieurs essais pour r soudre la multiplication lacunaire 36 x 1000 36 x 20 720 36 x 30 1080 36 x 27 972 36 x 28 1008 donc 27 voyages puis de la m me mani re avec 37 r soudre la division par algorithme avec quotient et reste 1000 36 27 reste 28 r soudre la division par algorithme avec partie d cimale 1000 36 27 777777 r soudre la division avec la calculatrice sans utilisation de la division euclidienne r soudre la division avec la calculatrice en utilisant la touche division euclidienne interpr ter correctement ou non le reste mm mm mm mm O E ee O eo ee e e E e e E E O O e e e e O e e A e e oe O oe O e e e e e e oe e O e e e oe O e e oe e e oe e e T Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Proposition s de d roulement Difficult s potentielles ne pas comprendre ce qui est demand ce que l on doit chercher effectuer des op
145. es pp 97 107 Grenoble La Pens e Sauvage ditions Laura Weiss Activit s Calcul DIP Gen ve Floris Ruhal M moire et formules et Gruner DIP Gen ve Griner 7 Calculatrice DIP Gen ve Apprentissage et enseignement des math matiques Alain Gagnebin Commentaires Didactiques sur les Moyens d Enseignement pour Ninon Guignard les Degr s 1 4 de l cole Primaire pages jaunes Fran ois Jaquet http www erz be ch site fr comeo planification maths 3p Danalet Dumas Studer Villars Kneub hler Math matiques 3P Livre du ma tre DIP Gen ve Danalet Dumas _ Studer Villars Math matiques 4P Livre du ma tre Kneub hler DEEDEE Algorithmes de calcul lesquels enseigner Roger Foggiato DIP Gen ve Fran ois Jaquet La calculatrice dans les coles de Suisse romande quelques Louis Olivier Pochon rep res historiques Math Ecole 216 octobre 2005 Le ons d peu pr s seat christian bourgeois diteur M Chastellain MERM Indigo DIP Gen ve J A Calame M Br chet Des compl ments bibliographiques collect s durant ce travail sont disponibles sur simple demande aupr s des auteurs ou directement sur le site de la CEM l adresse http wwwedu ge ch cem brochurecalc html Eric Burdet eric burdet edu ge ch Pierre Marie Charri re pierre marie charriere edu ge ch et Jean Marie Delley ean marie delley Wedu ge ch 54
146. es d monstrations simples d utiliser l alg bre dans sa fonction g n ratrice pour produire des formules Lien s avec les moyens d enseignement Mots cl s alg bre formule r duire preuve Exercice 44 livre Calcul Litt ral des MERM nonc similaire 31 nonc n II 14 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 117 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve activit 09 Choisir un entier relatif lui ajouter son successeur imm diat multiplier le r sultat obtenu par 3 puis retrancher 3 diviser le r sultat par 6 a Comparer votre r sultat celui de vos camarades Bizarre non b Pourrait on tre certain de la propri t mise en vidence Prolongement Choisir un nombre non entier lui ajouter 1 ajouter les deux nombres multiplier le r sultat obtenu par 3 puis retrancher 3 diviser le r sultat par 6 Obtient on toujours la m me propri t 118 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 09 Pr senter les essais l aide d un tableau pour mettre en vidence le passage du langage parl aux conventions d criture ainsi que la fonction g n ratrice de l alg bre prolongement morer Jo p a fe 2 os a eo or Csom suvam h fe fo fs a e fe mos e nombres successifs nenas fo fe fa pe Pa fa Tae fae Le quotient par 6 0 7 o Pour programmer cette
147. es en commun suivantes Exemples de constats voir aussi l ments institutionnaliser ci dessous Les touches ne sont pas toutes de la m me couleur Les touches sont de diff rentes tailles Il y a des symboles connus et d autres qu on ne conna t pas Quand on tape un nombre en commen ant par 0 le 0 dispara t On ne peut pas crire plus de 8 symboles bn _ 65 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Proposition s de d roulement Prolongements possibles Nombre d l ves Toute la classe travail individuel ou par groupes de 2 Mat riel 1 calculatrice par l ve ou pour deux l ves Feuilles de papier brouillon Feuilles grand format affiches L enseignant distribue une calculatrice ferm e et une feuille de papier chaque l ve ou pour 2 l ves Il nonce la consigne puis laisse 20 a 30 minutes aux l ves pour exp rimenter et noter leurs d couvertes Lors de la mise en commun les d couvertes sont not es par l enseignant sur l affiche Ensuite un deuxi me temps est laiss aux l ves pour explorer les d couvertes faites par leurs camarades Lors d une seconde mise en commun la liste des 9 d couvertes est compl t e et confirm e C est l occasion pour l enseignant institutionnaliser quelques points de l utilisation de la calculatrice EA A ere em er e e e gani ganli gani es re es fe ee An AU ne UT QU AU nn es An An de
148. es et la douzi me est diff rente L affichage de neuf d cimales ne permet pas de les distinguer l affichage sur la calculatrice Mais les calculs ne sont pas effectu s seulement avec les d cimales affich es la calculatrice utilise des valeurs approch es plus pr cises ce qui permet de montrer avec la calculatrice que ces deux nombres ne sont pas gaux 665857 665857 665857e 665857 470832 470832 470832 e 470832 nombre pair et ne peut donc pas tre un nombre entier gt Preuve est le quotient d un nombre impair par un 114 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 08 Voir Une activit en Or a l adresse c1 dessous http www ac grenoble fr irem new2006 Debat scientifique pour une analyse priori un compte rendu de devoir la maison et une proposition de gestion de la classe Analyse a priori de l activit Cette activit devrait se d rouler apr s l introduction aux enjeux de l activit nombres irrationnels et devrait avoir pour objectif l tude d marches possibles du fonctionnement de la calculatrice en lien avec la difficult s relances diff rence entre une valeur exacte et une valeur approch e mise en commun a E Relancer les l ves qui ne voient pas l erreur en leur demandant de chercher pourquoi le carr de la fraction n est pas un nombre entier La correction collective permettra de fa
149. es nombres o choix et utilisations des nombres et des op rations appropri s o intuition de l effet des op rations sur les nombres utilis s o d veloppement de comp tences en calcul mental et r fl chi 58 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques font partie des composantes du bon usage de la calculatrice De plus l habilet a calculer mentalement estimer approximer substituer qui fait partie du champ d application du calcul contenu dans nos programmes est unanimement consid r e par la soci t de l an 2000 comme un de ses besoins en math matiques Si la prise en charge de l apprentissage de son maniement technique ainsi que le guidage de son utilisation dans les activit s propos es sont indispensables des tudes ont montr que l absence de prise en charge du guidage de cet apprentissage avait men les l ves une utilisation contre productive de leur calculatrice cet apprentissage ne fait pas partie des finalit s de l enseignement des math matiques Pour en faire un vrai outil p dagogique les r ponses aux questions quand faut il l utiliser pour quel usage comment s en servir devraient tre les principales pr occupations relatives son utilisation en classe e Choix d un mod le unique de la 5P la 9e du CO Avec comme principales pr occupations de a assurer la coh rence des pratiques de calcul mental et lectronique entre le primaire et le cyc
150. es plus petits pour que l affichage de la calculatrice soit exact Nous allons pour cela d composer les nombres et utiliser la distributivit de la multiplication sur l addition En d composant le premier facteur en unit s milliers et millions sous la forme a x10 bx107 c on obtient 828 464 280 828x10 464x107 280 Ce nombre multipli par 4 692 438 921 donne en d veloppant une somme de 3 termes crivez la D composez de m me le deuxi me facteur cette fois il faut aller jusqu aux milliards 10 et il y a donc 4 termes Quand on d veloppe finalement l expression obtenue au 4 on obtient une somme de douze termes tous calculables la calculatrice puisqu il s agit de produits d entiers de 3 chiffres maximum Pour faciliter le travail on crit les calculs dans un tableau o on a plac les chiffres par groupes de 6 A vous de le compl ter 7 Ensuite 1l n y a plus qu faire la somme de tous ces termes ce qui est assez facile car 1l y a 8 9 10 11 12 13 14 beaucoup de z ros C est ce qu on fait dans la suite du tableau Attention Chaque colonne ne peut contenir que 6 chiffres maximum Si on d passe 6 chiffres ce qui peut arriver quand on fait la somme des colonnes A B C et D les chiffres suppl mentaires doivent tre crits dans la colonne imm diatement gauche c est ce qu on appelle une retenue Pour conclure on vous demande de recommencer ce travail avec 2
151. es utilisent en classe Au post obligatoire PO chaque l ve est tenu de s acheter une calculatrice non graphique et non programmable dont le mod le est laiss son libre choix A l poque la r gle implicite consiste autoriser aux l ves l utilisation d un outil technologique une fois qu ils ma trisent la technique de calcul qu il permet Depuis la fin des ann es 90 avec l importance que prend l informatique dans le monde du travail l apparition g n ralis e de calculettes dans la soci t et sous la pouss e de quelques enseignant e s particuli rement motiv e s l institution scolaire d cide qu il faut int grer les nouvelles technologies dans les pratiques p dagogiques Les plans d tudes et moyens d enseignement en pr conisent d sormais l usage voir annexe 7 1 et le mat riel technologique disposition dans les tablissements cro t de mani re importante Des logiciels comme CabriG om tre Mapple Mathematica ainsi que d autres outils MITIC CD DVD Internet sont de plus en plus souvent utilis s lors de la production ou de la mise en pratique de s quences p dagogiques Ce ph nom ne touche tous les ordres d enseignement ainsi que l Universit Ces volutions ne vont par sans susciter quelques r sistances de la part de certains acteurs enseignant e s ou parents L mergence de nouvelles technologies a souvent suscit de telles r actions s1 l on prend soin de d
152. et programmes dit s par le CNDP gt Voir galement l annexe 7 pour r f rencer la place donn e aujourd hui aux calculatrice dans les plans d tude et moyens d enseignement EP CO PO Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 2 2 En Suisse romande D s 1998 le plan d tudes romand de math matiques de l enseignement primaire mentionne la calculatrice comme outil de calcul partir de la premi re primaire Lors de la r criture du plan d tudes du cycle d orientation un livret sp cifique sur l usage de la calculatrice et des outils informatiques a t int gr En 1998 la Commission genevoise de l Enseignement des Math matiques CEM a pris position dans ce d bat en recommandant d introduire l utilisation syst matique des calculatrices dans les cours de math matiques des l cole primaire ainsi qu en produisant un cahier des charges pour les machines voir annexe 7 2 La CEM a propos de distinguer deux p riodes d apprentissage 1EP 4EP et 5EP 9CO Suivant cette recommandation le D partement de l Instruction Publique DIP genevois met depuis septembre 1999 disposition a d s la 1 primaire des calculatrices effectuant les 4 op rations les r r 7 machines restent en classe et sont g r es par l enseignant e a d s la 5 primaire et jusqu la fin du Cycle d Orientation des calculatrices scientifiques avec calcul de fractions de puissances me
153. etc Quelle op ration faire avec ta calculatrice pour augmenter de 1 tous les chiffres du nombre diminuer de 1 Recommence toutes les tapes en affichant 199 99 Que se passe t il Choisissez un entier s crivant avec 3 chiffres crivez le deux fois c te c te pour avoir un nombre de 6 chiffres ou bien crivez un nombre de six chiffres tels que le chiffres des unit s soit le m me que le chiffre de milliers que le chiffre des dizaines soit le m me que le chiffre des dizaines de mille et que le chiffre des centaines soit le m me que celui des centaines de mille Divisez successivement ce nombre par 7 puis par 11 puis par 13 Expliquez le r sultat Idem avec un nombre de six chiffres dont le chiffre des unit s des centaines et des dizaines de mille est le m me et le chiffre des dizaines des milliers et des centaines de mille le m me Divisez le par 3 puis par 7 puis par 13 puis par 37 Pourquoi obtenez vous ce que vous obtenez Formez tous les nombres possibles avec trois chiffres et calculez leur somme S Calculez aussi s la somme des trois chiffres Divisez S par s Justifiez ce r sultat Choisissez un nombre entier de 3 ou 4 chiffres Faites en un autre avec les m mes chiffres Pourquoi la diff rence entre ces nombres est un multiple de 9 Choisissez un nombre entier de 3 chiffres Calculez S la somme de ses chiffres crivez un autre nombre de 3 chiffres en renversant l criture du nombre initi
154. euclidienne n a de sens que si le dividende et le diviseur sont des nombres entiers La calculatrice affiche un message d erreur si l un de ces deux nombres n est pas un entier positif e Multiplication implicite Dans de nombreux cas on peut faire l conomie de la touche x et de la touche gt En effet l absence de signe op ratoire est comprise comme une multiplication toutes les fois O il n y a pas d ambiguit et ferme toutes les parenth ses ouvertes 28 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Ainsi pour les op rations suivantes Il suffit d appuyer sur les touches 4 2 3 4 0 2 3 ENE 2 5 2 x 5 5 V4 5 End K 4 ET le quart de la r ponse pr c dente 1 4 ANS 3 T 3 2 sin 30 2 TRIG 30 Ordre des op rations L ordre des op rations est respect galement lorsque l on utilise les op rateurs m moris s gt Attention d s lors si l on veut par exemple lever des nombres n gatifs au carr O 4 0P1 OP1 _4 1 1 16 La calculatrice effectue 4 ce qui correspond bien l ordre des op rations indiqu gt Parade possible 2nd 0P 2nd ANS x2 ENTER D 4 ENTER OP1 OP1 Ans Ans i 1 16 Ainsi c est l op ration 4 qui est effectu e Op rateurs constants et Pour quelles valeurs la fonction f x 4x 5x 6 s annule t elle gt Par t tonnement en calculant les valeurs f x pour un grand nombre de valeurs de la var
155. eut remplacer une suite d op rations plus ou moins longues additions ou soustractions r p t es ou al atoires multiplication lacunaire Ces probl mes sont aussi l occasion montrer comment r aliser une division euclidienne sur la calculatrice TI 341II que les l ves ont disposition touches INT Division euclidienne Si l on prend deux entiers naturels non nuls a et b il existe deux uniques entiers naturels q et r tels que a b q ravec0 lt r lt b On dit alors qu on a r alis la division euclidienne de a par b q est le quotient et r le reste de cette op ration Par exemple dans la division euclidienne de 23 par 4 le quotient est 5 et le reste est 3 En effet 23 4 x 5 3 111 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 08 Valeur exacte et approch e Fiche de O CC COIE TT APPROFONDIR Le quotient est gal a la valeur affich e par la calculatrice pour la racine carr e 1l faut expliquer cette erreur Contexte d usage de la calculatrice Contenus et comp tences Existence de nombres irrationnels math matiques vis s Pr requis D finition de la racine carr e NO 9 Sensibiliser les l ves au fait qu il existe d autres nombres que les rationnels NO 9 Outils de v rification retour au sens de la Extrait s du a puissance comme multiplication r p t e plan d tudes NO 9 Obstacles et erreurs accepter qu une cri
156. ez vous A partir de votre observation et apr s avoir ventuellement calcul la valeur de l expression alg brique b ac pour d autres valeurs enti res cons cutives a b et c formulez une conjecture propos de cette expression 2 avec ou sans machine Votre conjecture est elle v rifi e pour des nombres n gatifs 3 avec machine Votre conjecture est elle v rifi e pour des nombres tr s grands On a ensuite calcul 123456 2 12345x10 6 2 via une identit remarquable Cette activit a t test e avec des l ves qui avaient abord le probl me de l approximation lors d une autre activit autour de la racine de 2 Dans la suite de nombres 54 58 gt 89 chaque nombre est la somme des carr s des chiffres du nombre qui le pr c de Quels sont les nombres suivants Bizarre non D terminer une valeur exacte ou approch e de chacun des calculs suivants gt 3 dr 1 pu La touche est associ e au parenth sage dans ce dernier cas sans utiliser la touche de division ni celle de fraction mais la touche Lx souvent not e Compl ter la s quence 5 6 7 8 pour obtenir un r sultat donn en rempla ant par une addition ou une multiplication sans employer de parenth ses Combien obtient on de r sultats diff rents Quel est le plus grand nombre que l on peut obtenir en rempla ant les pointill s de l expression 5 6 7 8 avec une addition ou une mu
157. facer des nombres crire la suite des nombres naturels crire le plus grand nombre possible Choisir un nombre et essayer de l afficher l cran Essayer de lire un nombre affich Chercher le plus grand nombre possible que l on peut afficher Faire des op rations et v rifier le r sultat Difficult s potentielles Ouvrir et mettre en marche la machine Effacer ce qui est affich Comprendre la signification des diff rents symboles Comprendre ce que signifie le E affich en bas gauche de l cran mm mm mm mm me ee ee ee ee O eo ee ee ee ee O ee ee O O A O E O E O O O O 64 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Analyse priori de Mise en commun l activit enjeux de l activit d marches possibles difficult s relances mise en commun Lors de la mise en commun les l ves font part des leurs d couvertes observations remarques ou constats que l enseignant note sur une affiche sans mettre de jugement Les observations contradictoires les avis divergents sont des occasions de d bats et l enseignant s efforce de ne pas trancher dans un premier temps Par contre lorsqu il reformule ce que dit un l ve 1l utilisera les termes qui conviennent La liste des observations et des constats peut tre compl t e par la suite Les l ves continueront d explorer leur machine et feront de nouvelles d couvertes qui seront consign es lors des mis
158. fectu durant un cycle d apprentissage Rappelons que de mani re g n rale toutes ces ressources sont consid rer comme des pistes et peuvent tre adapt es ou modifi es Ces parcours sont disponibles dans le tableau r capitulatif C voir 4 1 3 4 1 1 Tableau r capitulatif A toutes les activit s d taill es De r s Contexte Domaine 9 d utilisation math matique PQ ere 1 2 EP Rechercher Num ration op rations calculatrice Nombres la cha ne 1 2 3 4 EP V rifier DATE de calcul addition soustraction Ex cuter 1 2 3 4 EP V rifier Conceptualiser applications o rmn Ex cuter Probl mes divisifs V rifier Division euclidienne Conceptualiser RAGE Gates et 7 8 9CO Ex cuter Calcul litt ral valeurs approch es Fe o s 7 8 9 CO Rechercher Nombres et Op rations preuve par l alg bre to Aire et P rim tre et P rim tre 7 8 9 78900 Approfondir Fonctions FE 7 8 9 CO Approfondir Nombres et Op rations estimation 2 Toutes ces ressources sont sous licence Creative Commons Paternit NonCommercial ShareAlike 2 5 voir page 2 Elles sont galement disponibles en format lectronique en faisant la demande l un des auteurs eric burdet edu ge ch pierre marie charriere wedu ge ch ou jean marie delley edu ge ch Enfin elles sont aussi disponibles en t l chargement sur le site de la CEM l adresse http wwwedu ge ch cem brochurecalc html Probl mes additifs multiplic
159. fossile a Donner approximativement l ge d un os fossile qu contient 4 de carbone 14 trouv dans une quantit gale de carbone d un os humain b valuer le pourcentage de carbone 14 pr sent dans un fossile de 10000 ans 230 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 4 La d croissance de l activit radioactive d une mati re radioactive peut tre calcul e l aide de la formule suivante A Apre 06930T Ag tant l activit initiale en d sint grations par seconde A l activit au temps t t le temps et T la p riode t et T tant exprim s dans la m me unit de temps On sait que la p riode de l iode 1131 est de 8 08 jours S1 l activit initiale d un chantillon d iode radioactif est de 1000 d sint grations par seconde quelle sera son activite a au bout de 3 jours b au bout de 20 jours c au bout de 8 08 jours 5 Le nombre de bact ries double toutes les 8 heures a 20 C a Si l on a 100 bact ries au d but d une exp rience combien y en aura t il au bout de 48 heures Et au bout de 5 jours de 24 heures b Si l on d nombre plus de 10 000 bact ries au bout de 3 jours combien y en avait 1l au minimum au d but de l exp rience 231 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 26 E a R log 100 log 100 2 Avec la machine LOG 100 R ponse 2 b R log 1000 10g
160. fre 7 sans que cela signifie la fin de la p riode c Comment trouver la p riode de 168 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 18 1 2 0 666 0 6 sa p riode est donc 6 3 Discussion possible sur le sens du symbole dans ce contexte voir annexe 2 2 0 666666667 3 La calculatrice affiche les r sultats avec dix chiffres et arrondit SES d 0 571428571 0 571428 sa p riode est donc 571428 2 0 176470588 b On est 1c1 confront une fausse id e classique d s qu on a trouv une r p tition d un chiffre dans le quotient on peut s arr ter car la p riode est forc ment trouv e C est vrai si le d nominateur de la fraction est un entier lt 10 voir plus bas mais faux dans en g n ral Dans notre cas il s agit d effectuer la division euclidienne avec reste de 3 par 17 puis les divisions des restes successifs par 17 jusqu arriver la r p tition d un reste d j rencontr c est seulement ainsi qu on aura d termin la p riode Tous les restes tant compris entre 0 et 16 cf la d finition de la division euclidienne avec reste voir annexe 1l y a 17 possibilit s la longueur maximale de la p riode sera donc de 17 On peut trouver deux fois le chiffre 7 dans la p riode car on divise par un nombre sup rieur 9 deux num rateurs diff rents peuvent don
161. gagner du temps sans s interroger sur elle et sans porter de regard critique sur les r sultats affich s Voil pourquoi la majorit des apprentissages relatifs son fonctionnement interviennent en interaction directe avec les sujets trait s 56 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 7 1 3 PO 7 1 3 1 Fili re maturit gymnasiale Programme de math matiques ann e 1 et 2 De m me les outils technologiques calculatrice simple calculatrice graphique et symbolique logiciels sp cifiques de repr sentations graphiques de g om trie CABRI de calcul formel DERIVE MATHEMATICA peuvent participer dans le cadre d une utilisation raisonn e a la compr hension des concepts th oriques et des applications 7 1 3 2 Formation professionnelle Aucune mention dans les programmes 7 1 3 3 SCAI Rien n est pr cis dans le plan d tudes quant l usage de la calculatrice Remarque disposition dans l cole un stock de calculatrices toutes simples 4 op rations la racine carr e pr t es aux l ves pendant les cours o elles sont utilis es ce qui est peu fr quent 7 1 3 4 ECG Aucune mention dans les programmes 7 2 Cahier des charges de la calculatrice r dig par la CEM en 1999 Lors de sa pl ni re du 24 septembre 1999 la CEM s est pench e sur l introduction et l utilisation des calculatrices dans l enseignement obligatoire genevois Elle a d cid l
162. ge int gr du fonctionneme nt des touches IL 87 5 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier DS Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Les exercices MERM du livre Nombres et Op rations 90 Sur cette calculatrice 101 Comment s y prendre 102 En panne 88 La bascule 129 Quelles touches 213 Petite frappe 211 Faire des bulles 214 D pit Prevois le r sultat de chaque s quence puis v rifie a A 2 4 b 15 1 Tr Y 1 T X EPI weji rij bre ui P riode Ligu Valeur Bi IT f dal Wi e Dd i del 1 Pig 214 276
163. i mation p10 les grands nombres IL 39 9 A apparaissent sur la Grands et la d couverte de l criture Autres exemples calculatrice en criture petits scientifique dans J13 scientifique Deux chemii Cet exercice est une pr paration auxi j quations mais surtout comme le p10 7 R pour le m me resila pr c dent permet de se promene dans les familles de nombres Y Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 253 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Tu programmes une op ration avec la touche op rateur de ta calculatrice Tu la passes ensuite ton voisin qui doit retrouver l op ration que tu as programm e par essais successifs ou en reconnaissant la fonction affich e dans l op rateur Introduis avec la touche op rateur constant x T Tu donnes ensuite x la valeur du rayon et l op rateur constant te restitue directement l aire du disque Comment ferais tu pour obtenir l aire d un carr ou le p rim tre d un carr d un disque ou d un triangle quilat ral avec cette m me touche Le volume de la lune Calcule le volume de la Lune en sachant que son rayon est de 1800 km le volume de la boule est donn par V 4 3 x r3 L toile la plus proche Calcule la distance du soleil Proxima du Centaure en sachant qu un rayon lumineux met environ 4 ans pour nous parvenir de cette toile et que
164. iable CO a Programmation Pop OP1 A POP2 4 MEMVAR 5 MEMVAR 6 OP2 4A 5A 29 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques a Utilisation 0 l 0 5 AA 5A 6 AA 5A 6 AA 5A 6 1 6 1 3 1 25 0 8 0 7 0 75 AA 5A 6 f 4A7 5A 6 f 4A 7 5A 6 E 1 0 56 1 0 54 1 O 3 1 2 AA 5A 6 i 4A 7 5A 6 i AA 5A 6 j 1 15 1 mA 1 O gt En utilisant la formule de Vi te PO a Programmation OP MEMVAR v MEMVAR 4 MEMVAR MEMVAR E D D G 0 2 MEMVAR EER D ENT OP1 B V B POP2 MEMVAR 2na v MEMVAR E 4 MEMVAR MEMVAR O ENTER D DJ E O 2 MEMVAR a Utilisation 4 3 O 6 DO 4 gt A j 5 gt B j 6 gt 0C 1 4 5 6 OP OP2 B V B 4A B Y B 4A 1 0 75 1 Ton Calcul avec des fractions Pierre et Jean et ont entam un g teau Pierre a pris un quart du g teau Jean a pris le cinqui me de ce qui restait Quelle est la part du g teau qui reste apr s le passage de Pierre et de Jean Sur la calculatrice TI 34 II il existe deux modes de simplification manuel r glage par d faut ou automatique 30 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques En mode manuel 2nd FracMode Manual ENTER META dl TAS OTA VEA Ed EM ER 1 1 4 1 5 1 Ans Simp Ans Simp 1 12 20 6 10 275 111141151010 1101 40 EME Simp 4 EN 1 1 4 1 5 17 Ans gt Simp 4 12 20 DAC N D n d
165. ici un nonc On a 252 ufs On veut les ranger dans des bo tes Une bo te pleine contient 12 ufs M lanie a trouv 21 avec sa calculatrice en faisant une seule op ration Ecris l op ration qu elle a faite sur sa calculatrice 80 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill Activit 03 LM 1P p 180 Le Cort ge avant dernier probl me 20 32 ou 32 20 R ponse 12 bonbons Plusieurs d marches de calcul peuvent tre utilis es par les l ves dessin et d nombrement utilisation d un boulier ou de la bande num rique ou bien s r la calculatrice LM 2P p 198 F te foraine probl me 14 84 126 ou 126 84 R ponse 42 pirates En 2P les l ves ne connaissent pas encore l algorithme qui leur permettrait de calculer cette diff rence et les nombres en jeu ne permettent pas des proc dures de dessin et d nombrement La calculatrice est alors n cessaire preuve cantonale 2P 2006 Le match de basket Plusieurs d marches sont possibles Effectuer les deux op rations 38 25 et 27 32 et comparer les r sultats Observer que les chiffres des dizaines sont les m mes pour les deux quipes comparer la somme des chiffres unit s 8 5 et 7 2 et ne calculer la somme des points que pour l quipe gagnante Les calculs peuvent tre fait soit avec le support d un dessin soit par calcul r fl chi soit pour certains l
166. ient 2 reste 16 160 9 17 7 quotient 9 reste 7 70 4 17 2 quotient 4 reste 2 20 1 17 3 quotient 1 reste 3 gt reste d j trouv gt on recommence 3 0 17 3 quotient O reste 3 30 1 17 13 quotient 1 reste 13 donc E 0 176470588235294 Avec la machine on peut acc l rer un peu ce processus 2nd MATH c d choisir REMAINDER 3 gt 17 c d le reste de la division de 3 par 17 10 MATH and ANS 2nd gt 17 10 etc peut encore tre am lior via la programmation des touches 0P1 et 170 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 18 2 Certains l ves auront peut tre param tr leur machine en mode calcul de fraction Il faut tre attentif ce qui ce passe en fin d affichage de la Analyse priori de machine car c est l qu elle arrondit l activit e Pour effectuer une division euclidienne avec reste on peut enjeux de activite proc der totalement la main sous traiter la liste des d marches possibles calculs la machine ou utiliser la touche division difficult s relances euclidienne de la machine mise en commun On peut aborder ce type de probl me de fa on assez th orique voir la correction selon le niveau des l ves et les objectifs on d veloppera cet aspect ou on restera plus calculatoire
167. ifs oo si Act 03 Module 3 et 4 des probl mes pour conna tre l addition la multiplication Champ A Reconna tre des probl mes additifs soustractifs multiplicatifs et divisifs Module 2 des probl mes pour approcher le nombre et lui donner du sens M 7 s r A 1 en Th me 2 Nombres naturels et op rations amp Th me 3 Approche des nombres rationnels Act 04 Th me 2 Nombres naturels et op rations amp Th me 6 Nombres rationnels et op rations Bo tes noires SP Th me 9 Applications Act 05 6P Th me 7 Applications Estimation SP Th me 6 Division dans IN 6P Th me 2 Nombres naturels et op rations Probl mes divisifs SP Th me 6 Division dans IN Th me 2 Nombres naturels et op rations 25 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Tableau r capitulatif C 2 parcours chronologique dans les activit s CO proposant aussi bien les activit s num rot es d taill es dans l annexe 7 3 et celles de l annexe 7 4 dont le num ro commence par IT en 7 touches des 4 op rations des calculs en cha ne de correction des parenth ses des m moires de l criture fractionnaire Approximation Op rations II 05 II 43 II 51 IL 01 11 32 11 67 Priorit op rations J II 63 II 58 Act 10 en 8 touches des relatifs Pi 1 x carr et racines carr e et cubique criture scientifique Nombres ve II 81 II 83 I 61 Particularit d
168. illeurs chronophages dans un cours de math matiques sans la calculatrice Pour faire suite a ces premiers l ments de r flexion entrons maintenant plus avant dans la description de ce qu on entend aujourd hui par calcul et outils de calcul l L exemple le plus connu est certainement celui de la d monstration du th or me des 4 couleurs Il s agit de d montrer que toute carte qui comprend des zones s par es par des fronti res peut tre colori e avec seulement 4 couleurs diff rentes de telle sorte qu aucunes zones de m mes couleurs ne se touchent En 1989 K Appel et W Haken ont montr en reprenant des travaux ant rieurs qu il fallait finalement consid rer 1482 cartes critiques qu il suffisait de traiter une par une travail qu a t r alis par ordinateur Cette d monstration a donn lieu un long d bat dans la communaut des math maticiens Comment v rifier ce que fait l ordinateur Est ce quivalent une d monstration humaine Doit on la valider Depuis lors les techniques de preuve par ordinateur se d veloppent et ont fait voluer ce qui est accept comme preuve Une exigence est par exemple que le r sultat ait t obtenu ind pendamment au moins deux fois Voir par exemple http www cecm sfu ca pborwein Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 3 2 Calculs outils de calculs 3 2 1 Calcul versus raisonnement Le rapport de la Commission Kahane d
169. imum en n op rant qu avec des nombre sentiers compris entre et 9 Exemple 456 3 459 459 9 51 51 9 60 60 6 10 Joue une partie de Afficher 10 avec un e camarade tour de r le chacun donne un nombre l autre D couvrez une strat gie efficace pour gagner Peut on gagner avec n importe quel nombre 123 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 10 M thode experte le probl me peut tre pris l envers et l nonc devient En partant de 10 quels nombres peut on obtenir en un maximum de 4 op rations en n utilisant que des nombres compris entre 1 et 9 Voici la construction d une solution pour tous les nombres entiers de 10 1000 10 99 2 op rations suffisent multiplier par le chiffre des dizaines puis ajouter le chiffre des unit s Exemple 74 10x7 4 Pour afficher 10 on va donc soustraire le chiffre des unit s puis diviser par le chiffre des dizaines 90 899 Commencer par obtenir les nombres de 10 99 en deux op rations item pr c dent puis troisi me op ration multiplier par 9 pour obtenir les multiples de 9 suivants 90 99 108 882 891 Ajouter quatri me op ration 1 2 ou 8 pour obtenir n importe quel nombre entier compris entre ces multiples de 9 Lors du jeu la tactique consiste soustraire pour obtenir un multiple de neuf puis diviser par 9 puis reprendre la tactique pour les n
170. ines programm es et l nonc de l activit Il demande instamment ses l ves Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Prolongements possibles de ne pas utiliser simultan ment les touches et la r initialisation de la machine efface les op rations en m moire Les l ves prennent connaissance individuellement de la consigne La compr hension de la consigne et l organisation de la recherche doivent rester la charge des l ves L enseignant observe le travail de ses l ves se garde de toute validation et propose des relances ceux qui rencontrent de grosses difficult s ou qui se d couragent tout en se gardant de valider les r ponses Proposer des applications mettant en jeu la division euclidienne par exemple OP nd INT 3 1 ou OP nd InT 2 x 5 Attention les applications avec division euclidienne comme ci dessus donnent parfois un message d erreur En effet la division euclidienne n est possible qu avec des nombres naturels c est dire des nombres entiers positifs De plus la calculatrice ne retient que le quotient entier pour la suite des calculs Cela a pour cons quence que deux nombres diff rents peuvent avoir la m me image Proposer aux l ves de programmer eux m mes leur calculatrice et demander leurs camarades de d couvrir les applications Activit s du th me 9 en 5P Activit s du th me 7 en 6P ventuels commentaires apr s les av
171. ions trigonom triques ou logarithmiques Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 3 Fractions 4 Fonctions qui sont entr es apr s l argument telles que x et les convertisseurs d unit d angle r g 5 Puissances A et racines y 6 Signe du nombre relatif 7 Arrangements nPr et combinaisons nCr 8 Multiplications multiplications implicites divisions 9 Additions et soustractions 10 Conversions Ab cod e F D b PDMS 11 termine toutes les op rations et ferme toutes les parenth ses ouvertes R ponse 3 x 3 ENTER Ans est l abr viation du mot anglais answer qui pr c dente veut dire r ponse C est le r sultat du calcul EP pr c dent 3 R ponse 3 x 3 Ans est l abr viation du mot anglais answer qui pr c dente veut dire r ponse C est le r sultat du calcul CO PO pr c dent 3 3 2 End LY Xx 2nd ANS 42 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Entr es 1 1 Apr s l valuation d une expression les pr c dentes touches et permettent de faire d filer les entr es pr c dentes qui sont stock es dans les 2 412 registres de la calculatrice EP Cette fonction est particuli rement utile pour que l l ve puisse revenir sur des essais qu il a ILHS effectu s pr c demment sans les noter EP 4E 4575 OOO 2na 2 ENER Effacement CLEAR Efface un message d erreur Correction
172. ique sur les r sultats affich s par la calculatrice D charger partiellement les l ves des calculs pour leur permettre de se consacrer plus la r flexion et la d marche math matique Utiliser la calculatrice comme moyen participant l apprentissage de notions math matiques 7 1 2 2 Moyens Enseignement Romands des Math matiques Indigo gt Dans le livre Structure et Organisation on peut lire L un des enjeux de Math matiques 7 8 9 est de faire voluer les attitudes et les conceptions dans le domaine des outils de calcul pour que la calculatrice y trouve sa place en tant qu instrument de calcul pour effectuer ou valider des op rations et en tant qu objet d investigation scientifique par exemple pour d couvrir de nouveaux nombres ou de nouvelles relations Une des ambitions premi res est de confronter la calculatrice les algorithmes crits et le calcul r fl chi pour montrer que ce dernier reste ma tre des deux autres lorsqu il s agit d estimer un r sultat d op ration ou de juger de sa vraisemblance de d cider de l ordre de grandeur ou du degr de pr cision d une r ponse obtenue Dans le livre Nombres et Op rations il est pr cis il serait cependant faux de d buter par un apprentissage syst matique du fonctionnement de chacune de ses touches Il serait tout aussi erron de l utiliser comme un simple presse bouton dans le but de
173. ire merger les d cimales de r serve ESTA a Apa Ape ca i Saa rpa aa ur A E A A NO EN E A E A A ASA E A AEA O AA A A N R AEA REER DR A AG NARA ANA NEN A A A A A ATA RA A RA A A A IA A Proposition s de Br ve recherche individuelle Vote d roulement D bat avec correction collective et prolongement A ee es ne je AA A A a aa a o a a ad a Mad a ua a uu aa aa da aaa a aaa a a aa a a ua aaa UY a uma a ua aaa aaa ma am um G Faire afficher 1 3 et calculer le triple du nombre affich Puis calculer 1 3 3 pour montrer qu ici aussi la calculatrice ne calcule pas seulement avec les chiffres affich s l cran Prolongements possibles Calculer 777 777 777 777 777 777 777 776 puis TI TI IN IT TATI EVITAR ATT TO Le premier r sultat sera 1 mais le deuxi me 0 Calculer 123456789123456 123456789000000 ventuels commentaires apres les avoir test es du ma tre des l ves mm mm mm mm ee IA O A O O O O E O O E A O A O O O O E O O O e e o a e ae a 115 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 08 La repr sentation des nombres dans une calculatrice est bas e sur le principe de codage appel DCB D cimal Cod Binaire et ce n est pas le m me que celui effectu dans les logiciels de math matiques professionnels Le principe en est le suivant tout nombre est mis sous forme scientifique signe mantisse appartenant 1 1
174. ision diviseur dividende quotient estimation Source Secteur des Math matiques de l Enseignement Primaire 2 nonc n II 23 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 100 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve Activit 06 R gle du jeu pour deux joueurs Mat riel une calculatrice papier crayons Le premier joueur choisit 1 un nombre entre 200 et 400 qu il tape sur la calculatrice suivi de la touche division 2 une des cibles suivantes entre 10 et 15 entre 11 et 16 entre 12 et 17 entre 13 et 18 entre 14 et 19 entre 15 et 20 Le second joueur doit introduire un nombre tel que le r sultat de le quotient soit dans la cible ll a droit plusieurs essais mais tous les r sultats obtenus sont crits Ensuite les joueurs changent de r le Le but est d atteindre la cible avec le moins possibles d essais Exemple E as Cible entre 13 et 18 AL E vrsgesvue CO N N Il 101 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill Activit 06 Soit N un nombre donn C la valeur inf rieure de la cible et C2 la valeur sup rieure de la cible L ensemble des solutions est compris entre les valeurs N C2 et N C Si l on se limite aux nombres entiers les solutions sont comprises entre la valeur arrondie par exc s de N C2 et la valeur arrondie par d faut de N C Par exemple si le n
175. ition math matique de la racine carr e est souvent mal connue gt retravailler en particulier en insistant sur le fait qu une racine carr e de a est le nombre r el positif b tel que b Tout un travail possible autour des diff rentes approximations possibles Lien possible avec la d monstration de l irrationalit de V8 ou de 2 Proposition s de d roulement Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate du groupe la classe Discussion avec la classe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation is is Prolongements possibles Cette activit peut naturellement tre directement suivie de l activit De simples racines Travailler de fa on semblable avec d autres nombres irrationnels autres racines carr es ou cubiques Pi Poursuivre la d couverte des irrationnels Poursuivre la r flexion sur les limites du calcul avec une machine quelle qu elle soit gt voir l activit Limites machine mm me ee ee E ef 7 A A A A O A A A A O O A O A A O O
176. k o p10 p10 Toujours Le tiers exclus et les r gles du d bat vraie math matique B Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 255 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc On choisit un nombre entier S 1l est pair on le divise par deux s il est impair on le multiplie par 3 et on ajoute deux On recommence avec le nombre obtenu Quel est le parcours des diff rents nombres Ecris les nombres de 1 9 sur une ligne En dessous cris leur carr encore en dessous leur cube puis les puissances 4e et Se Observe les derniers chiffres des 45 nombres obtenus en colonne pour chaque nombre n n2 n3 n4 n5 et en ligne tous les carr s tous les cubes etc Ecris 5 remarques ce propos Quel est le dernier chiffre de 20022002 Si on multiplie un nombre entier par lui m me alors le r sultat ne se terminera jamais par le chiffre 3 Vrai ou Faux Calcule par crit puis l aide de la calculatrice 1 3 et 2 3 Comment expliques tu la suite de 3 obtenus dans la division 1 3 Comment expliques tu la suite des chiffres que tu obtiens dans le quotient de 2 3 Quel en est le dernier chiffre Compare les deux quotients obtenus Les septi mes sont des fractions tonnantes leur criture d cimale est p riodique et comporte les 6 chiffres 142857 Calcule successivement les quotients 1 7 2 7 3 7 etc
177. l Pour convertir un angle d une unit dans une autre o choisir dans le menu 2nd DR l unit d arriv e O introduire la valeur de l angle et l unit de d part l aide de la touche a DR choisir l unit RADIAN 45 R ponse P1 4 b 2nd DR choisir l unit DEGRE 112 L JOOLEN R ponse 15 2 tre s r qu on est bien en unit DEGRE si on est en radian un petit rad est affich en bas droite de l cran and DR TRIG ER 12 EE R ponse 0 927 Si on veut un arrondi par la machine CndjMATHIO ENTER choisir round 2nd ANS 2nd gt 3 r ponse 0 927 En un seul calcul avec l arrondi 2nd MATHIO EME End TRIG 112 2nd gt 3 3 tre s r qu on est bien en unit RADIAN si on est en radian un petit rad est affich en bas droite de l cran DR O En un seul calcul TRIG DODO 4 x 7133 R ponse 1 732 Possible en un seul calcul avec l arrondi comme pr c demment 4 tre s r qu on est bien en unit DEGRE si on est en radian un petit rad est affich en bas droite de l cran End DR Re OOO EA 2015 223 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques R ponse 78 4 degr s Possible en un seul calcul avec l arrondi comme pr c demment tre s r qu on est bien en unit DEGRE si on est en radian un petit rad est affich en bas droite de l cran DR TRIG
178. l adapt par Laura Weiss 161 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 17 1 2 3 4 5 Le volume de la lune Calculer le volume de la Lune en sachant que son rayon est de 1800 km Rappel le volume de la sph re est donn par V 4 36 Te r3 L toile la plus proche Calculer la distance du soleil a Proxima du Centaure l toile la plus proche en sachant qu un rayon lumineux met environ 4 ans pour nous parvenir de cette toile et que la vitesse de la lumi re vaut approximativement 300 000 km s Ca grouille Calculer le nombre de bact ries qu on aura dans un bouillon de culture partir d une seule bact rie apr s un jour de travail du laboratoire 12 heures en sachant que les bact ries se reproduisent par mitose toutes les 20 minutes approximativement Que de secondes Combien s est 1l coul de secondes depuis le Big Bang sachant que celui ci se serait produit 1l y a environ 15 milliards d ann es L humanit en bo te a Calculer la superficie totale de la Terre sachant que son diam tre moyen est de 12756 km Rappel la surface d une sph re est donn e par A 4 n r b Si on voulait placer toute l humanit dans un gigantesque terrain carr raison de 1m par individu quelle serait la taille en kilom tres de ce carr Indication on estime la population terrestre environ 6 5 milliards d individus
179. l mentaire pour les l ves mais peut donner du sens aux calculs et permettre une meilleure possibles difficult s representation relances mise en commun Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ves travailler en groupes de 3 4 leur demander de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate Proposition s de qu groupe la classe d roulement _ Discussion avec la classe Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation Comment la calculatrice fait elle pour calculer ces log exp on peut poser la question pour relever que ce n est pas trivial pour ce qui est des r ponses donner utilisation de Prolongements d veloppements en s rie convergentes tronqu s on possibles laissera au ma tre le choix d en parler de fa on informative ou pas selon le niveau et le degr d int r t de ses l ves nn ER RE PR ER ER OR ER Ent Alma ee cs ce De ee De Le De ce Le Dee De ee De ee De Le De ele De Le Le Lee De Le le De Le De ee De Le De ee De Le De ce 0e De ee De Le De ee De Le De ce 0e De ee De Le De as asus ventuels
180. lculatrice donne comme r ponse 60 alors que le r sultat correct est 23 On lira bien s r avec int r t les introductions des modules des moyens d enseignement LM 1P p 169 LM 2P p 181 LM 3P p 112 et 156 LM 3P p 114 et 152 86 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 04 Mettre z ro Fiche de pr sentation Degr s concern s 3 4 EP o 5 6 EP cf Variables dans l analyse a priori des Commentaires pour le ma tre A partir d un nombre donn soustraire des milliers des unit s des centaines des dizaines jusqu obtenir 0 Contexte d usage de APPROFONDIR la calculatrice Contenus et Syst me de num ration comp tences Base 10 math matiques vis es Pr requis Avoir quelques notions de notre syst me de num ration Lien s avec les plans Lire crire d composer des nombres entiers d tudes et moyens d enseignement NEN Produire un nombre plus grand ou plus petit qu un nombre donn d une unit d une centaine d une dizaine Module 2 champ C 22 nonc n II_ 28 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 87 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Enonc l ve Activit 04 Sur ta calculatrice cris un nombre de 4 chiffres dont tous les chiffres sont diff rents Effectue une seule op ration de telle sorte que le plus grand chiffre soit remplac par 0 ou par un vide mais que
181. lculatrices et ordinateurs sont des outils performants qui permettent des gains de temps et ouvrent de nouvelles perspectives Au premier degr on pr conise l usage de calculatrices comme outils d investigation pour les propri t s des nombres et des op rations Au deuxi me degr les ressources et les limites des calculatrices scientifiques doivent devenir famili res aux l ves Le recours aux calculatrices graphiques et aux ordinateurs est vivement conseill Ils facilitent l tude des fonctions et de l alg bre Le programme de la formation qu b coise pr cise que la technologie qui influe sur la math matique et sur son utilisation ne saurait se substituer aux activit s intellectuelles Elle demeure cependant d une grande utilit Elle permet notamment l l ve de faire des apprentissages en math matique d explorer des situations plus complexes de manipuler un grand nombre de donn es d utiliser une diversit de modes de repr sentation de simuler et de faciliter des calculs fastidieux Il peut ainsi se consacrer des activit s signifiantes d velopper ses aptitudes en calcul mental et approfondir le sens des concepts et des processus math matiques On constate donc que l int gration p dagogique des MITIC en particulier des calculatrices est maintenant largement institu e dans les cantons et pays francophones proches du notre Bulletin officiel BO hors s rie n 1 du 14 f vrier 2002
182. le a simplifier l appropriation de l outil par l l ve on peut pr voir que si la calculatrice sera un outil p dagogique en classe elle sera galement consid r e par l l ve la maison comme un outil de travail a faciliter l enseignement des math matiques dans la scolarit obligatoire tous les l ves ayant le m me mod le la t che des enseignants sera plus ais e Nous avons choisi l option de proposer la remise chaque l ve d une calculatrice en 5 primaire calculatrice dont il sera responsable jusqu la fin de la 9 du cycle Pour faciliter le choix d un mod le dans un premier temps nous avons recens les besoins techniques et p dagogiques du primaire et du cycle Apr s ce travail et une tude des mod les disponibles sur le march nous avons constat que des mod les r cents satisfaisaient toutes les attentes op ratoires mentionn es dans la liste des exigences op ratoires ci dessous e Choix d un mod le pour les l ves de la 1P a la 4P Toutes les calculatrices r pondant au premier crit re retenu les quatre op rations les autres crit res en particulier l ergonomie deviennent d terminants pour le choix du mod le O Liste des exigences op ratoires auxquelles doivent r pondre les mod les choisis a Mod le 1 Primaire 1 P 4P o les quatre op rations o bonne lisibilit de l affichage o tr s bonne qualit ergonomique o et si possible o possibilit de conserver les
183. ler le volume du cylindre V en fonction du rayon w de la base 3 Pour quelle valeur de x au centi me pres a t on FT tr 7 V Y4 Pr paration Le mode FIX permet de fixar le nombre de d cima las Tapez MODE MODE MODE 1 pour rentrer dans le mode FIX Choisir le nombre de decimales destees FIX 0 97 Tapez Sur l ecran s afiche 0 00 Dor navant tous vos resultats seront arrondis au cen theme Travail Le mode CALC permet de rentrer une formule de calcul et de l appliquer a diferentes valeurs de la variable Tapez TX X XX 5 CALC il s afiche X 7 vous de rentrer les valeurs que vous voulez pour le rayon Four vous aider completar le tableau c dessous COMMENTAIRES Visualisation avec la GRAFH 25 retoproetable Le programme VOLUME donne une valeur approche pr cise souhait dans le cas pr c dent o V 60 cn VOLUMEZ prolonge l exercice a toutes dimensions posables du prisme donnees au debut Ad a Fous anr au modo normal Tapez MODE MODE MODE 3 15 Horm 1 2 7 Tapez 2 Si voca d sirez chassar de noie de decima Tapez MODE MODE MODE 1 Choir lo soarana scenbra de d cimale Le dossier complet Volu pdf dans bibliographie Dans le livre Le pays d esprit de Robert F Voung auteur am ricain de science fiction on peut lire le passage suivant Mercy se pencha en avant et l observa avec attention S1 cela peut vous faciliter les choses
184. leur exacte valeur approch e Analyse priori de Pour L humanit en bo te il faut savoir calculer une l activit racine carr e puis cubique si c est trop difficile on peut enjeux de l activit supprimer cet exercice d marches possibles Il y a un travail possible autour des diff rents arrondis difficult s relances possibles et des notations appropri es pour diff rencier mise en commun valeur exacte et approch e Il y a un travail n cessaire autour des changements d unit s On peut discuter de la fa on d effectuer les calculs en cascade soit en arrondissant chaque tape avec une propagation des erreurs soit en essayant d obtenir le r sultat le plus proche possible de la valeur exacte Discussions recommand es aussi autour des donn es choisies des r sultats trouv s et des situations explor es Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate du groupe la classe Proposition s de i Discussion avec la classe d roulement Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl
185. lisation de la calculatrice dans les cours de math matiques a Cela entra ne plus de motivation chez les l ves tant pour les plus forts que pour les plus faibles Les premiers peuvent ainsi aborder des probl mes plus stimulants en sous traitant les parties techniquement difficiles ou longues la machine les seconds d passer d ventuels blocages psychologiques par exemple devant le calcul alg brique et utiliser la calculatrice soit pour contourner leurs difficult s soit pour traiter des nonc s qui am nent plus de sens a on valorise dans le cadre scolaire la ma trise de certains outils technologiques acquise par des l ves hors de l cole a on contribue d velopper un esprit critique par rapport l emplo1 de la technologie a cela participe lorsqu un travail sp cifique est entrepris la compr hension de certains concepts math matiques dissociation du nombre de sa graphie repr sentation des nombres explicitation de certaines notations identiques utilis es dans des contextes diff rents travail autour des grands et petits nombres a on poss de ainsi un excellent outil pour encourager les l ves essayer pour produire des conjectures production de nombreux essais co t moindre donc pratiquer pleinement la d marche scientifique explorer rechercher d couvrir raisonner conjecturer argumenter infirmer valider d montrer a on augmente le champ des si
186. ltiplication sans parenth ses Les questions pr c dentes peuvent tre reprises en autorisant les parenth ses Un long ruban pais de 1 millim tre d paisseur est pli en deux On plie de nouveau ce ruban en deux L paisseur est ainsi de 4 millim tres Peut on poursuivre les pliages assez longtemps pour que la hauteur totale du ruban pli d passe la hauteur de la tour Eiffel La hauteur de la Tour est de 320 m tres soit 320 000 millim tres 242 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 37 origine pl n r f rences voir degr Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie Mettre en place l utilisation de l outil calculatrice en liaison avec l criture Registres IUFM Cr teil d affichages d expressions math matiques num riques IUFM Cr teil Manipuler la fonction Somme oi e me a E p exp rimentale en organisant carr et la touche x carr s recherche IUFM Cr teil syst me de Prendre conscience du syst me de num ration num ration Prendre conscience de la d finition Aborder le probl me des de la racine carr e d un nombre approximations effectu es i E par la calculatrice et de notre Racine D velopper un algorithme de devoir de v rification huit recherche Voir le commentaire de l exercice 2 IUFM Cr teil IUFM Cr teil IUFM Cr teil 10 37 Ex cuter Reche
187. ltre 7 8 9 CO Nombres et Op rations 10 Recherche de strat gies 7900 Grandeurs ot Mesures Ci hieetPeimene 7900 Fonctions C2 rouen simon 72000 Nombres Op ra 13 atome eco Nombres er Op rations 14 Comaisanss de ase dela machine 10 11 PO Caca mum rique 15 timermacine 1011 PO Caetalgtique 716 emierehe 101190 Caca mum nque 18 que p re ron PO Calea mum nque 19 AlarecherchedeJ 1011PO Calcul num rique 20 e simple acnes 1011 PO Cauta iqe at Premier de cord e iONPO Canton 22 ousomtesapins 1011 PO Cataalg nique 23 appina toa PO Trigonom rie a aneis Jionro rigoron Cas Townes orpo Trigonom rie e Logarithme as Radiobiolopopulo 10 11 PO Ponele 61 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 01 D couverte de la calculatrice Fiche de pr sentation Titre de l activit D couverte de la calculatrice Degr s concern s 1 2 EP voir Commentaires pour le ma tre Prolongements R sum Partir la d couverte de la calculatrice Contexte d usage de RECHERCHER la calculatrice Contenus chiffre nombre math matiques vis s aspect cardinal du nombre addition et soustraction Pr requis Lien s avec les plans OA Lire crire d composer des nombres entiers d tudes et moyens Utiliser des critures additives et soustractives d enseignement PE NEN Passer du mot nombre
188. ment du nombre cherch au milli me pres d Poursuivez votre recherche jusqu la pr cision maximale de votre machine e lever au carr le nombre trouv ou les valeurs approch es les plus pr cises Obtient on 8 f Comparer les nombres de cet encadrement avec le r sultat obtenu en utilisant la s quence sur la calculatrice Que peut on en conclure g Elever au carr le nombre trouv apr s avoir tap la s quenced 3 sur la calculatrice Que pourriez vous en conclure si vous n tiez pas vigilant 665857 el Comparer l aide de la calculatrice 470832 Ces deux nombres sont ils gaux Pourquoi Comparer l aide de la calculatrice 1 432 et Br Ces deux nombres sont ils gaux 244 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques x origine n r f rences voir Usage s de la calculatrice contenu ou objectif math matique bibliographie Conjecturer provoquer le passage IUFM Cr teil E Fibonnaci d un calcul num rique au calcul litt ral pour d montrer Utiliser un algorithme de calcul pour assimiler le passage du Retour casel langage parl aux conventions E d part d criture Motiver le besoin d une preuve litt rale A manier avec pr caution en raison de la notation IUFM Cr teil Ne doit pas tre dissoci des criture alg brique sur cran pou 115 IUFM Cr teil 8 A r gles d criture habituelles Ecriture assurer la ma t
189. mi les critures suivantes lesquelles d signent le m me nombre m V2 y l 4 E E E S E UT FA F A Hi E t EE METT AC t JEn E JIS 2510 End da 10 lx JF TAE Pour donner la r ponse tu peux utiliser ta calculatrice pour trouver si n cessaire des valeurs approch es et classer tes r sultats dans un tableau selon l criture mod le de l expression o a et b d signent des entiers positifs criture d cimale exacte ou approch e Va a vb E Ya b va vb Ya b Va vb Varb Val vb autre Trouve une criture de 6 puis de 4 5 sous la forme d une somme de deux respectivement trois termes une diff rence un produit de deux respectivement trois facteurs un quotient une fraction de d nominateur 10 une fraction de d nominateur 2 une fraction de num rateur 300 Trouve si possible une criture de 9 4 puis de 8 sous la forme d une somme de deux termes une diff rence un produit de deux facteurs un quotient un carr respectivement une racine carr e une racine carr e une fraction de d nominateur 100 une fraction de num rateur 720 Trouve si possible une criture de 2 3 puis de V6 sous la forme de une somme de deux termes respectivement une diff rence un produit de deux facteurs un quotient un carr respectivement une racine carr e 258 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Es E origine R n r f rences voir deg
190. n ily a des machines qui sont proportionnelles Si je propose 6 j obtiens le double de ce que j obtiens si je propose 3 Ce sont les applications qui se contentent de multiplier le nombre de d part par un facteur m me si on n introduit que des nombres naturels on obtient parfois des nombres n gatifs parfois des nombres non entiers L introduction du th me 9 des moyens d enseignement 5P p 161 a 166 et l introduction du th me 7 des moyens d enseignement SP p 173 a 182 contiennent des l ments math matiques et didactiques pour l enseignement des applications Leur lecture est donc vivement conseill e 99 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 06 Estimation Fiche de pr sentation Dur e estim e Une premi re p riode de 45 minutes puis plusieurs moments d une quinzaine de minutes R sum Estimer le diviseur en fonction du dividende et du quotient Contexte d usage de VERIFIER la calculatrice Contenus Division math matiques vis es Estimation Pr requis Conna tre le concept de division Lien s avec les plans OA Utiliser des propri t s des op rations et du syst me d tudes et moyens de num ration pour effectuer des calculs de fa on d enseignement efficace OFL Utiliser des propri t s des op rations et du syst me de num ration pour effectuer des calculs de fa on efficace ME 5P Th me 6 ME 6P Th me 2 Mots cl Div
191. n du probl me est la principale difficult que rencontrent les l ves L enseignant peut demander s il y a des mots qui n ont pas t compris demander l l ve ce qu il a compris demander de reformuler la consigne Souvent le fait de relire et de reformuler l nonc permet l l ve de comprendre du moins partiellement ce qui lui est demand L enseignant peut aussi encourager les l ves faire un dessin un sch ma Mise en commun La mise en commun devrait permettre de mettre en vidence la mani re de se repr senter un probl me le choix des op rations et la fa on de les noter les calculs proprement dits Il ne s agit pas de faire une correction de chaque probl me mais d abord de comparer les diff rentes proc dures des l ves 84 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Proposition s de ll est important que l enseignant confronte ses l ves des d roulement probl mes de diff rents types composition d tats EEE comparaison d tats ECE transformations d tats ETB composition de transformations TTT et faisant appel diff rentes op rations Pour chaque probl me travail individuel dans un premier temps Dans un deuxi me temps les l ves peuvent comparer par 2 les r sultats obtenus et les mani res d y arriver La mise en commun porte avant tout sur la compr hension de l nonc les op rations choisies et la mani re de les
192. nces Calcul avec des puissances de dix math matiques vis s Algorithme de la multiplication Minutie et pers v rance lors d un travail math matique Extrait s du NO 8 Multiplier des nombres en criture scientifique plan d tudes NO 8 Appliquer la distributivit pour d velopper Lien s avec les moyens d enseignement Mots cl s distributivit multiplication puissance algorithme 3 nonc n Il 66 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 135 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc du devoir l ve activit 13 1 2 3 4 5 6 Dans le livre Le pays d esprit de Robert F Young auteur am ricain de science fiction on peut lire le passage suivant Mercy se pencha en avant et l observa avec attention S1 cela peut vous faciliter les choses Mr Carpenter dit elle je peux faire des calculs simples comme ceux que vous faites en ce moment Par exemple 828 464 280 multipli s par 4 692 438 921 donnent 3 887 518 032 130 241 880 L objet de ce devoir est de v rifier ce calcul en utilisant vos connaissances de math matiques et votre calculatrice On peut bien s r poser l op ration tailler son crayon et se retrousser les manches Qui est ce qui se lance Tout d abord constatez qu il est na f de tenter le calcul directement avec une calculatrice Pourquoi Il faut donc travailler avec des nombr
193. ndamentale de nombres entiers l activit enjeux de l activit d marches possibles difficult s relances mise en commun Les concepts de conjecture contre exemple et de d monstration ne sont pas anodins soit 1ls ont d j t travaill s et les l ves peuvent comprendre l nonc soit on peut utiliser cette activit pour introduire ces concepts aupr s des l ves en discutant l activit directement avec tous les l ves en classe L utilisation d un tableau pour r sumer des calculs est un outil m thodologique souvent utile Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Proposition s de Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate d roulement du groupe la classe Discussion avec la classe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation a a a a dust don a a es Propri t s des nombres premiers Algorithmes pour la recherche de primalit pour la Prolongements factorisation possibles l Lien possible avec la cryptographie Autres conjectures vraies ou fausses ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tr
194. nement des math matiques Commentaires didactiques sur les moyens d enseignement pour les degr s 1 4 de l cole primaire COROME chapitre 6 91 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques e 2 A 2 Activit 05 Bo tes noires Fiche de pr sentation Sous titre D couverte de la notion d application Degr s concern s 5 6 EP Introduire des nombres et les comparer aux r sultats donn s par la machine pour d couvrir l op ration ou les op rations programm e s Contexte d usage de RECHERCHER la calculatrice Cette activit peut tre propos e avec toute calculatrice permettant la m morisation d op rations Contenus et suites de nombres comp tences applications math matiques vis s applications lin aires Pr requis Connaissance des op rations de base Lien s avec les plans OA Reconna tre tablir quelques suites de nombres d tudes et moyens d enseignement PE NEN Reconna tre tablir des suites num riques et exprimer leur loi de formation OFL Reconna tre et r soudre des situations de lin arit Dans une suite de nombres rep rer une r gularit SP th me 9 6P th me 7 Op rations Applications D apr s l activit Bo tes noires du th me 9 des moyens d enseignement SP et l exercice 16 du th me 7 des moyens d enseignement 6P 28 nonc n II_ 37 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 92 Usages d une c
195. ner le m me quotient mais bien s r pas le m me reste lors de la division par 17 par exemple 130 17 donne un quotient de 7 et un reste de 13 et 120 17 donne un quotient de 7 et un reste de 1 Cela n est pas possible si le d nominateur est lt 10 Dans ce cas les restes seront forc ment tous lt 10 et on ne pourra pas avoir deux dizaines diff rentes 10 fois le reste pr c dent qui donnent deux quotients gaux mais pas le m me reste lors de la division par ce d nominateur Illustration dans le cas d un d nominateur gal 7 on aurait 10 n q 7 r et 10 m q 7 c ad 10 n r 10 m r gt donc 10 n m r2 r D o 10 diviserait r2 r avec r et r2 deux entiers positifs inf rieurs a 10 ce qui est impossible sauf si r2 r 0 c d t2 r 169 C Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 3 0 17 3 quotient O reste 3 30 1 17 13 quotient 1 reste 13 130 7 17 11 quotient 7 reste 11 110 6 17 8 quotient 6 reste 8 80 4 17 12 quotient 4 reste 12 120 7 17 1 quotient 7 reste 1 10 0 17 10 quotient 0 reste 10 100 5 17 15 quotient 5 reste 15 150 8 17 14 quotient 8 reste 14 140 8 17 4 quotient 8 reste 4 40 2 17 6 quotient 2 reste 6 60 3 17 9 quotient 3 reste 9 90 5 17 5 quotient 5 reste 5 50 2 17 16 quot
196. ns l intervalle 0 180 ce qu correspond toujours ce qu on cherche Si on cherche un c t toujours avec le thm du cosinus on aura r soudre une quation du deuxi me degr qui aura z ro une ou deux solutions selon les informations connues sur le triangle il peut n y avoir aucune solution si la longueur du plus grand c t est sup rieure la somme des deux autres c t s une seule solution si on est dans l un des trois cas d isom trie des triangles CCC CAC ACA ou deux solutions dans les autres cas Par contre lorsqu on utilise le thm du sinus on risque de faire des erreurs c est le cas sin 40 14 10 64 Tal solutions possibles et la machine n en donne qu une celle qui est dans 90 90 Il faut penser trouver la seconde gale l angle suppl mentaire a la premi re solution compl mentaire 180 de la premi re puis voir laquelle sera celle qui est solution du probl me dans cet exercice Quand on doit r soudre sin 1l y a en fait deux R solution correcte avec le thm du sinus donc Thm sinus ROLE snt b sin a _sin y a C sin a sin 40 14 gt 10 64 71 Es HG OO 7 1 0 96608 T i a sin 40 14 10 64 7 1 75 030 ou a 180 75 03 104 97 215 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Il y a deux candidats solutions alors qu on sait qu il n y a qu une unique solution au probl me car
197. nus d roulants respect de l criture math matique les machines sont distribu es gratuitement aux l ves qui en sont alors responsables durant toute leur scolarit obligatoire Qu en est il maintenant de la r alit sur le terrain De quelle fa on les enseignant e s ont ils int gr ces calculatrices dans leurs pratiques Force est de constater qu il ne suffit pas de mettre disposition un outil pour qu une utilisation raisonn e et raisonnable s institue De nombreux ma tres surtout l EP estiment que les calculatrices n ont pas leur place dans les cours de math matiques d autres plut t au CO ou au PO continuent de penser qu il s agit exclusivement d une aide au calcul et qu il est de la responsabilit de l l ve d apprendre l utiliser l enseignant d cidant seulement quand son usage est autoris 2 3 Objectifs de cette brochure Cette brochure se propose de contribuer au d bat avec deux objectifs principaux a mettre en avant pour tous ceux que cela int resse ma tres mais aussi parents ou d cideurs un certain nombre d informations autour des diff rents usages possibles d une calculatrice dans les cours de math matiques d s l cole primaire avec les b n fices attendus mais aussi les co ts et les risques d une telle d marche a proposer a tous les enseignants des activit s cl s en main de la premi re primaire 1EP au onzi me degr du po
198. oir test es du ma tre des l ves mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm m 96 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Pr paration des machines ici la TI 34 IT Avant de proposer cette activit l enseignant doit pr parer les calculatrices de ses l ves c est dire introduire les op rations qu il veut faire d couvrir par ses l ves Exemples d op rations possibles a Xe 2 55 X P0P1 CLEAR x 2 5 CLEAR Remarques 1 Le premier CLEAR n est utile que si une op ration est d j en m moire 2 Lorsque la touche 0P1 ou est utilis e la calculatrice rappelle et affiche l op ration sur la ligne et sur la ligne du r sultat droite le r sultat et gauche le compteur Pour viter que l op ration ne s affiche sur la ligne d entr e il faut appuyer sur 0 de mani re ce que le signe soit en surbrillance B b x 3x 2 2nd gt OP1 CLEAR x 3 2 ENTER CLEAR c xe xf 1 P0P1 CLEAR x2 1 CLEAR d xb2x P0P1 CLEAR N 3 x 2 CLEAR De la m me mani re 1l est possible de programmer sur les machines des applications lin aires x gt a x a e IR oua e IQ des applications affines x ax b a et b e IR ou IQ des applications de la forme xH ax b aetb e IR ou IQ n e IN 97 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Propositions d applications a faire d couvrir
199. ombre de d part est 327 et la cible comprise entre 13 et 18 N 327 Ci 13 et C2 18 les solutions seront comprises entre 327 18 et 327 13 c est dire en valeurs enti res sup rieures ou gales 19 et inf rieures ou gales 25 Commentaires pour le ma tre Activit 06 Analyse priori de Intentions l activit Cette activit permet enjeux de l activit de travailler l estimation de multiplications ou de d marches possibles divisions difficult s relances derevoirle concept de division mise en commun E de jouer avec l ordre de grandeur des nombres D marches possibles essayer des nombres au hasard essayer des nombres en tenant compte des r sultats pr c dents chercher un nombre qui multipli par un nombre compris dans la cible donne le nombre de d part diviser le nombre de d part par un nombre compris dans la cible faire des op rations approch es utiliser des proc dures de calcul r fl chi utiliser les algorithmes pour effectuer des multiplications ou des divisions Mise en commun La mise en commun est l occasion pour les l ves de faire part de leur d marches d tablir le rapport de r ciprocit entre multiplication et division de faire le lien entre dividende diviseur et quotient de mettre plat les d marches personnelles de calcul r fl chi d en discuter et de les comparer Usages d une calculatrice dans un cours de math mati
200. ombres entre 10 et 99 899 1000 sauf 955 962 et 982 998 L id e suivante consiste obtenir les multiples de 9 compris entre 899 et mille pour cela on cherche obtenir des nombres entre 100 et 111 en deux op rations d abord par une addition puis avec une multiplication On obtient 10 7 x6 102 10 3 x 8 104 10 5 x 7 105 10 2 x 9 108 10 4 x8 112 La multiplication par 9 de ces cinq nombres donne 918 936 945 972 1008 La a op ration sera l addition ou la soustraction des chiffres 1 9 909 927 927 945 936 954 963 981 999 et 1000 901 908 955 962 982 998 Il reste atteindre 901 908 955 962 et 982 998 pour terminer On peut obtenir un multiple de 10 compris dans les zones encore non atteintes en trois op rations 901 908 10x2x5x9 900 La quatri me op ration ajouter 1 2 ou 9 donne les nombres manquants 955 962 10x3x4x8 960 Terminer en ajoutant ou soustrayant les nombres de 1 a 9 981 989 10x2x7x7 980 Terminer par l addition 991 9 10x4x5x5 1000 Soustraire 990 10 1 puis 11x2x5x9 990 Il y a en g n ral plusieurs fa ons d obtenir un nombre 124 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 10 Analyse a priori de ii l activit Le travail rebours ne doit pas tre sugg r trop vite enjeux de l activit Pour des l ves ayant des
201. omme somme d un nombre entier et d une fraction strictement comprise entre 0 et 1 Dans tous les cas les r sultats qui ne peuvent pas tre affich s en tant que fraction sont affich s sous forme d cimale approch e Conversion d une fraction en criture d cimale et r ciproquement CO PO Puissances Racines EP Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 2nd FracMode d e Manual r glage par d faut 135 60 ENTER 2nd FracMode d e Auto 23 2 ET 2nd V7 25 D EM 5 4 3 EN 3 2na 7 8 EE 135 60 135 60 N D gt n d Ans D PAD Ans gt F 225 100 N D gt n d 135 60 9 4 Ans D RS Ans gt F 9 4 47 La conversion de fractions en criture d cimale est selon les cas exacte ou approch e La calculatrice ne convertit les nombres d cimaux en fraction que dans la mesure de ses possibilit s Puissances Racines CO PO Notation 7 28 10 3 10 Scientifique CO PO 7 2810 8 10 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 2 x2 2 ENTER 2na Y 25 D EN 5 N 3 ENTER 3 nd Y 8 ENT FracMode d e Manual r glage par d faut 3 4 2nd x ENTER 3 47 4 3 2 90 119 2D DAI AA 1 71 2 2nd x 2 828427125 7 28 5 x 3 8 7 28E5x3E8 permet d entrer une valeur en notation DIS scientifique criture d un nombre d cimal diff ren
202. ompr hension de la consigne se fait petit petit et peut faire l objet d une premi re mise en commun Dans un second temps les l ves cherchent des strat gies pour obtenir le plus rapidement possible le nombre de la carte suivante Les constats les mani res de noter ses r sultats le choix des op rations les d marches utilis es pour s approcher le plus possible devraient faire l objet d une deuxi me mise en commun Il est alors indispensable que l enseignant mette en vidence les proc dures de calcul r fl chi utilis es par l un ou l autre de mani re ce qu elles puissent tre essay es par les autres l ves lorsque l activit est reprise En effet pour tre utile et d velopper les comp tences calculatoires des l ves cette activit doit tre propos e plusieurs reprises Elle peut d ailleurs tre faite individuellement et tre mise disposition dans le coin math matique Variables didactiques En fonction du niveau des l ves 1l est possible d augmenter ou de diminuer l ordre de grandeur des nombres en jeu Il est aussi possible de proposer des cha nes de nombres plus ou moins longues mm mm mm mm mm mm mm mm mm mmmmmmmmmmmmmlemmmmmm 74 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Prolongements Lorsqu elle est bien comprise cette activit peut galement possibles tre propos e sous forme de jeu o pour 2 ou 3 l ves le premier l ve
203. on pourrait souhaiter c est d assister une volution dans laquelle les pratiques actuelles un outil auquel on assigne un type unique d utilisation ex cuter souvent enti rement d l gu e aux l ves se voient enrichies de la vision d un v ritable outil p dagogique dont l usage doit tre clairement et explicitement pilot par l enseignant e sans chercher opposer utilisation de la calculatrice et ma trise de savoirs de base mais bien plut t en faisant en sorte que la seconde puisse s appuyer sur la premi re 3 6 2 Travailler sur la dur e La recherche en didactique des math matique et les exp riences dans les classes montrent qu il est illusoire de penser qu on peut d l guer aux seuls l ves la responsabilit de d velopper leur rapport la calculatrice pour qu elle devienne l un des outils qu ils pourront raisonnablement choisir d utiliser lorsqu ils pratiqueront les math matiques en ayant conscience de ses avantages et limites Un travail sp cifique et explicite des enseignant e s doit tre fait sur la dur e pour construire cette repr sentation C est pourquoi au del d activit s isol es nous proposons galement des parcours voir 4 1 3 15 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques qui sur un cycle scolaire la 5 6 EP la 7 9 du CO et les degr s 10 11 du PO devraient permettre aux ma tres d envisager globalement la place donner la
204. oncernant les proc dures de r solution Utiliser un outil de calcul calcul r fl chi algorithme droite num rique calculatrice estimation Utiliser diverses op rations additions et soustractions multiplications et divisions 82 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques LE 4P p 21 Carrousel probleme 8 Exemple de d marche Longueur de la frise pour 1 chambre de 4 m de c t p rim tre d un carr de 4 m de c t 4 x 4 Longueur de la frise pour 20 chambres de 4 m de c t 4 x 4 x 20 Longueur de la frise pour 1 chambre de 5 m de c t 4 x 5 Longueur de la frise pour 12 chambres de 4 m de c t 4 x 5 x 12 Longueur de la frise pour toutes les chambres de l h tel 4 x 4 x 20 4 x5 x 12 Nombre de rouleaux n cessaires 4 x 4 x 20 4 x 5 x 12 50 R ponse 12 rouleaux Outre la repr sentation du probl me et les nombreuses tapes de sa r solution la derni re difficult r side dans le fait que le quotient 560 50 n est pas entier ou qu il n y a pas de nombre entier qui multipli par 50 donne 560 50 x 560 Une interpr tation de cette derni re op ration est encore n cessaire Attentes fin de 4P p 22 Bo tes d ufs L op ration correcte est 252 12 La calculatrice est l pour contraindre l l ve utiliser la division En effet la calculatrice ne permet de r soudre en un seul essai l op ration lacunaire 12 x 252 a moins d avoir
205. ou transforme les fractions correspondantes en nombres d cimaux avec la touche de ta calculatrice Qu observes tu Peux tu expliquer cette r gularit Choisir deux nombres a et b tels que a b 1 Calculer a2 b et a b2 Que se passe t il Comment le prouver Le nombre n2 n 11 est il toujours premier Voici un exemple plus simple n n 1 est toujours divisible par 3 5 ou 7 quand n est plus grand que 2 Dans la cour dessiner la craie un carr de 6 m tres de c t Calculer son aire Relier les milieux des c t s et pour former un nouveau carr Quelle sera l aire du nouveau carr D terminer la mesure du c t du nouveau carr Solution Les l ves mesurent le c t du petit carr On les encourage v rifier leur r sultat s ils n y pensent pas pour retrouver l aire de 18 36 2 Avec les valeurs mesur es ils n obtiennent pas 18 On va donc passer une mesure plus pr cise mais on est limit par la pr cision du double d cam tre On passe alors des encadrements du c t de l encadrement de l aire l encadrement du c t 16 lt 18 lt 25 donc 4 lt c lt 5 on cherche une longueur entre 4m et 5 m donc entre 40 dm et 50 dm Quels sont les carr s qui encadrent 1800 dm2 On cherche avec la calculatrice des carr s qui puissent convenir Ici on a encore des indices li s au r sultat de la mesure 1764 lt 1800 lt 1849 42 lt c lt 43 A l tape suivante on cherche
206. our approcher la valeur d sir e Une pr sentation soign e des essais permet une meilleure interpr tation S Recherche en bin me ou individuelle Proposition s de a E d roulement Cette activit pourrait tre donn comme sujet de narration de recherche faire la maison A partir du tableau voir correction remplacer 65 2 par Prolongements une autre valeur possibles Comparer les fractions a b et a 1 b 1 ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves RSS NE PRE SRE ER ER A SES RSS SR CS CE EC RCE ER SR l ments pour la synth se activit 12 Exercices de consolidation activit 12 134 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 13 Un produit 19 chiffres Fiche de pr sentation Titre de l activit Un produit 19 chiffres Application et compr hension de l algorithme de la multiplication Dur e estim e Devoir la maison 30 minutes pour corriger Dans une calculatrice on peut introduire deux nombres ayant beaucoup de chiffres mais le produit de ces nombres ne sera pas exact si le nombre de ses chiffres est trop grand Cet exercice utilise la distributivit pour calculer la valeur exacte la calculatrice peut ex cuter des produits de nombres jusqu 5 chiffres 1c1 on lui fera ex cuter des produits de nombres 3 chiffres de la calculatrice Contenus et Distributivit comp te
207. oute g n ralit NON mais on doit prendre en compte des conditions r alistes avec le nombre d l ves d une classe compris entre 14 et 31 Dans ce cas la page pr c dente donne la r ponse pour un nombre d l ves compris entre 14 et 31 11 y a une seule r ponse Autre voie on peut aussi partir de la fraction 60 100 soit 6 10 ou 3 5 R ponse en prenant en compte des conditions r alistes pour le nombre d l ves d une classe 1l n y a qu une r ponse possible 15 filles et 8 gar ons 133 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Commentaires pour le ma tre activit 12 Autre nonc possible Dans l Essai philosophique sur les probabilit s du grand math maticien Laplace 1749 1827 appara t le rapport du nombre de gar ons au nombre de filles la naissance gal 1 047 Exprimez ce rapport d une fa on plus parlante Analyse priori de l activit enjeux de l activit d marches possibles difficult s relances mise en commun Il est habituel lors d une recherche de solution de commencer par une phase d essais en tous sens puis d affiner sa d marche 1c1 la calculatrice permet de faire des essais m me inutiles pour se repr senter la situation et voir comment le pourcentage change avec des nombres diff rents Puis l l ve parviendra augmenter ou diminuer soit le nombre de filles soit le nombre total d l ves p
208. para t donc opportun de nous questionner en tudiant dans quelle mesure une int gration raisonn e des calculatrices peut s op rer au sein des enseignements de math matiques La situation actuelle 2 1 Quelques exemples En Suisse dans les programmes 7 8 9 canton de Vaud on trouve l enseignant propose des activit s stimulantes qui engagent la participation de tous individuellement ou en groupes et veillent la curiosit jeux histoire des math matiques usage de la calculatrice de logiciels informatiques construction de mod les de solides etc Il s agit d utiliser la calculatrice avec pertinence puisque d usage courant dans notre soci t la calculatrice remplace efficacement divers algorithmes fastidieux En France l cole primaire les travaux num riques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approch sous diff rentes formes souvent compl mentaires le calcul mental le calcul la main dans le cas de nombres courants et d op rations techniquement simples l emploi d une calculatrice Au coll ge Il s agit de conduire tous les l ves du cycle central une ma trise des calculatrices scientifiques l mentaires Le programme officiel pr cise que la calculatrice est un objet courant une utilisation optimale n cessite un apprentissage sur plusieurs points Voici ce que l on peut lire dans les programmes officiels en Belgique Ca
209. passer les changes d arguments d finitifs ass n s de part et d autre l emporte pi ce ces r sistances permettent d interroger les pratiques des pr curseurs et de poser de bonnes questions a Quel statut donner ces outils simples substituts de calcul ou r elles aides la construction de savoirs math matiques a Doivent ils tre g r s de fa on autonome par les l ves ou pris en compte par les ma tres dans leur enseignement a Doivent ils toujours tre laiss s la libre disposition des l ves ou plut t tre g r s en alternance avec du calcul la main particuli rement durant les valuations a Qu en est il r ellement des b n fices attendus mais aussi des co ts et des risques d une telle d marche d int gration Cette brochure n a pas pour objectif de traiter en profondeur toutes ces questions les auteurs n en ont m les moyens n1 les comp tences Nous partons de la constatation qu aujourd hui les calculatrices de poche sont devenues tr s bon march et conviviales qu elles offrent des possibilit s en constant d veloppement qu elles permettent de sous traiter des calculs math matiques qui auparavant ne pouvaient qu tre r alis s exclusivement la main op rations sur les fractions statistiques MITIC M dias Images et Technologies de l Information et de la Communication Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Il nous
210. pour la r troprojection l ve sherpa crans interactifs 3 6 4 Perspectives d avenir Tout ce travail devra galement se faire en tant attentif aux in vitables d veloppements en cours ou venir de ces outils et en anticipant les volutions qui leur tour ne manqueront pas de venir interroger les pratiques actuelles a L arriv e prochaine d outils de base int grant des possibilit s graphiques les calculatrices graphiques sont explicitement mentionn es dans de nombreux PE et programmes de pays environnants Cela aura immanquablement un impact important sur le domaine de l tude des fonctions d s les premiers degr s repr sentations graphiques possibles facilitation d une vision dynamique des math matiques a L mergence d outils sp cifiques propos s par les constructeurs pour accompagner l utilisation p dagogique de leurs produits de base a La possibilit pour le ma tre de programmer des calculatrices de base pour proposer des activit s sp cifiques aux l ves probl mes de type bo te noire d tournement de certaines fonctions a La baisse des co ts des calculatrices symboliques et graphiques CAS qui permettent d effectuer des manipulations formelles factorisation d riv es et dont l impact sur les enseignements sera probablement important 2 Si dans une classe tous les l ves disposent d un outil de calcul personnel on peut parfois gr
211. pr sentation Titre de l activit Une aire et beaucoup de p rim tres Sous titre Interd pendance de laire et du p rim tre Il s agit de maximiser le p rim tre avec une contrainte sur Paire d un rectangle Contexte d usage EXERCER de la calculatrice Non indispensable au d but la calculatrice permet de faire des essais avec des nombres inf rieurs 1 Contenus et Distinguer les notions d aire et de p rim tre comp tences Dans l ensemble des nombres positifs on obtient un math matiques vis s nombre sup rieur quand on divise par un nombre inf rieur al Pr requis Formule pour le calcul de l aire et du p rim tre d un rectangle Extrait s du GM 7 tablir la distinction et l interd pendance des plan d tudes notions de longueur de p rim tre et d aire laire du rectangle par exemple d pend de ses dimensions mais pas de son p rim tre GM 8 Obstacles et erreurs caract ristiques Multiplication et division par un nombre compris entre 0 et 1 Lien s avec les moyens d enseignement Mots cl s rectangle p rim tre aire maximum 33 nonc n II 60 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 126 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve activit 11 Parmi tous les rectangles d aire 24 Cm lequel a le plus grand p rim tre Utiliser un tableau pour pr senter les r sultats Question facultative
212. ques Proposition s de d roulement Prolongements possibles Nombre d l ves Toute la classe par groupes de 2 Mat riel Calculatrice personnelle Cette activit peut faire l objet d un atelier tre a disposition dans le coin math matique ou faire l objet d un concours Dans un premier temps cependant 1l est n cessaire de proposer l activit de mani re collective de mani re ce que chaque l ve puisse s approprier les r gles du jeu et que les d marches des l ves puissent tre mises en commun Comme beaucoup de jeux dans lesquels des comp tences calculatoires sont vis es ce jeu doit tre r p t a de nombreuses reprises Cette activit peut tre diff renci e en jouant sur l ordre de grandeur des nombres Il est vident que cette activit est plus int ressante si les l ves sont appel s utiliser des proc dures de calcul r fl chi La calculatrice ne devrait donc tre utilis es que pour v rifier les op rations propos es Elle peut cependant permettre certains l ves de mieux concevoir la t che et les inciter faire des divisions plut t que des multiplications ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves A mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm e 103 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Changements de variables Cette activit peut tre propos e avec d autres valeurs n
213. qui ne fait afficher que des nombres impairs successifs Trouver une formule qui ne fait afficher que des nombres impairs successifs et telle qu O corresponde 5 Trouver une formule qui ne fait afficher que des nombres impairs successifs et telle qu O corresponde 1 Trouver deux autres formules qui ne font afficher que des nombres impairs successifs Trouver une formule qui ne fait afficher que des multiples de 3 Faire afficher des nombres pairs puis leurs carr s dans la colonne droite Que peut on conjecturer sur le carr de nombres pairs Trouver une formule qui affiche la somme de deux nombres impairs cons cutifs et qui montre qu il s agit de deux nombres impairs cons cutifs Trouver ensuite une formule plus simple 3 me colonne Montrer que le nombre 5x 2 est pair ou impair suivant les valeurs de x entier Formuler une conjecture propos de la parit du nombre x lorsque n est pair puis lorsque n est impair Montrer que la somme de deux nombres pairs cons cutifs est un nombre pair qui n est jamais divisible par 4 Sans utiliser la touche x et un minimum d op rations sur la calculatrice calculer les produits suivants 387 x 204 et 387 x 199 Avec la calculatrice on ne peut utiliser que les touches x et 2 On affiche au d part le nombre 18 Sans effacer n1 teindre comment peut on atteindre le nombre 330 en utilisant le moins possible de calculs 246 Usages d une calculatrice de poche
214. qui r ussit atteindre le nombre suivant re oit la carte le vainqueur tant celui qui a le plus de cartes la fin du jeu o par quipes de 3 l ves une s rie de nombres tant affich e au tableau noir l quipe qui arrive a faire toute la cha ne des op rations correctes et que ces op rations sont correctes en un minimum de temps a gagn L mulation provoqu e par le jeu devrait inciter les l ves adopter des d marches de plus en plus rapides et ainsi leur permettre de renforcer leurs r pertoires m moris s et les proc dures de calcul r fl chi ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves T aa ai ai iani a o Sah Gan inh l ah o Y l ments pour la synth se R pertoires m moris s Les r pertoires m moris s sont les r sultats des op rations ici sommes diff rences voire produits ou quotients que l l ve doit conna tre par c ur Ces r pertoires s laborent au fil des activit s d abord sous forme d inventaires plus ou moins organis s toutes les sommes gales a 0 1 10 12 tous les produits gaux 2 3 20 36 100 puis sont pr sent s sous forme de tables table d addition de multiplication L enseignant a un r le extr mement important jouer dans l organisation de ces r sultats et dans la mise en vidence de nombreux constats et relations num riques qui favoriseront l apprentissage des r pertoires
215. r A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie V Cette recherche est mettre en parall le avec celle du rectangle de p rim tre donn et d aire maximale qui est un classique Le plus grand produit de Le plus grand des produits Une fortune i o ie MO k MERM Nombres et Op rations n 78 1_57 p10 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier Premiers compos s preuve facilement accessible Sommer Ral Observer sans d montrer 259 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc On d compose un nombre entier en somme de deux nombres entiers Quand est ce que le produit de deux termes obtenus est le plus grand Chercher parmi les d compositions additives d un nombre entier en somme de nombres entiers celle s qui correspondent au plus grand produit Solutions M me avec un nombre relativement petit la combinatoire des possibilit s est grande pour 10 il y a 11 possibilit s en excluant les d compositions comportant des O et des 1 que les l ves liminent rapidement Cette recherche demande organisation et r flexion La solution g n rale est la maximalisation du nombre de termes gaux 5 Jo lle a 147 F dans sa tirelire en pi ces de 2 F et de 5 F Elle a en tout 39 pi ces Combien a t elle de pi ces de chaque sorte proposer de pr senter les calculs dans
216. r quences entr es il n est plus n cessaire de les r introduire Ainsi pour Joseph qui est dans la m me classe et qui a obtenu les notes suivantes RI 5 RZ IO R3 5 R4 4 5 RS 4 EI 4 EZ 35 Trim 3 5 DATA 5 DO 5500500150050 01003509003 5 STATVAR X n X Sx ox 4 0 35 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 5 2 l ments de mode d emploi 5 2 1 TI 106 Remarques Touches math matique utiliser Mise en O i gt y EA Nombre de chiffres conserv s en m moire dans les registres R sultat n gatif R sultat le plus grand maximum R sultats rationnels non d cimaux La calculatrice s teint d elle m me lorsque le couvercle est remis en place La calculatrice ne conserve que les 8 premiers chiffres d un nombre Ainsi si l on tape le calcul 123456789 12345678 le r sultat donn est 0 La calculatrice indique les r sultats inf rieurs 0 par un tout gauche de l cran La calculatrice n affiche que les r sultats inf rieurs 100 000 000 10 Si le r sultat est sup rieur la machine l indique par un E erreur gauche de l affichage La calculatrice ne garde en m moire qu une approximation des r sultats Ainsi si l on tape 8 3 x 3 S le r sultat affich est 7 9999998 et non 8 m ECTS ON ON pe pansa ES Division 156 6 156 6 La division d un nombre par 0 n a pas de solution dans IR Par exemple 1l
217. r s enjeux de l activit avoir calcul les premi res puissances de 7 ne mobilisant d marches possibles pas dans cette situation num rique leurs connaissances sur difficult s relances les r gles des puissances mise en commun Beaucoup d l ves n ont jamais constat la p riodicit du chiffre des unit s des puissances d un nombre et risquent de ne pas le voir dans les calculs qu ils feront De m me ce qui est sous jacent savoir l criture en base 10 peut galement poser des difficult s Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr senter l ac tate Proposition s de du groupe la classe d roulement Discussion avec la classe Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation Prolongements cas plus simple o la p riodicit appara t mieux 97 possibles mais aussi tous les nombres se terminant par 9 ou 4 p riodicit 2 159 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques ventuels commentaires apr s le
218. r sup rieur ou gal 13 peut s crire comme la somme du nombre compos 9 et d un nombre pair plus grand que 2 Quels sont les nombres entiers qui sont la somme d au moins deux nombres entiers cons cutifs Solution La r ponse est que tous les nombres entiers conviennent except les puissances de 2 Si les l ves font suffisamment d essais ils peuvent parvenir ce r sultat Par contre il nous semble difficile d en tablir une preuve math matique leur niveau mais ils peuvent voir comment cela semble fonctionner 260 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques x origine n r f rences voir contenu ou objectif math matique bibliographie Retour 10 Nombres Une aire et IL 60 p10 7 E beaucoup de p rimetres Tout l int r t est d approximer le r sultat avant de se lancer dans tous Tant que a les calculs possibles partir d un as Fractions continues d l ves dans la classe de 12 28 313 voir aussi MERM Nombres et Op rations n 215 Les chasseurs de PT 46 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 261 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc A partir d un nombre compris entre 100 et 1000 il faut afficher 10 comme r sultat en un maximum de 4 op rations mais en n utilisant que des nombres compris entre 1 et 9 apr s l op ration
219. r l ac tate Proposition s de du groupe la classe d roulement se Discussion avec la classe Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sent leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm T Trouver d autres exemples dans lesquels la machine est Prolongements prise en d faut possibles Et les ordinateurs M me probl me Im mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm A ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves ESS ee Eee en eV E On Ce ee den a cn y 154 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques l ments pour la synth se activit 15 Ce que l l ve devrait avoir retenu a diff rence entre nombre saisi au clavier repr sentation du nombre en m moire et affichage du nombre sur l cran de la calculatrice a toute calculatrice et tout ordinateur a des limites quant la pr cision des calculs qu elle peut effectuer Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 155 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques
220. ra des carr s des nombres compris entre 420cm et 430cm On continue de m me en passant au mm maison risque d tre limit par l affichage On a ainsi investigu des nombres et on s est pos des questions Peut tre est il possible de faire d j constater ici la vanit de la recherche de c En effet on augmente de plus en plus le nombre de ses d cimales tout en voulant obtenir un carr qui se termine par des Z ros au fur et mesure on s enfonce dans des unit s plus petites 256 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques E E origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie V p10 Voir aussi MERM Nombres et Op rations n 100 D racin s NN 4 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 257 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Parmi les critures suivantes lesquelles d signent le m me nombre 5 5 3 5x 2 Z5 2 5 7 5 0 5 s 3 512 75 5 E 25 TOD 2 E DF EZ 12 56 7 1 2 7 0 5 E v rifier si necessalre vos r ponses avec la calculatrice 510 5 M me exercice avec des racines carr es et des fractions plus difficiles 10 6 0 6 425 18 sx 11 4x15 Vo 0 5x1 2 6 10 D 30 3 35 5 Quand les nombres ont t regroup s tu peux utiliser ta calculatrice pour v rifier tes r sultats Par
221. rall le de mat riel peut tre particuli rement profitable Pour chaque op ration 1l existe diverses proc dures algorithmiques Pour choisir quel algorithme adopter pour chaque op ration enseigner on a privil gi Gen ve a l algorithme le plus proche des r gles de notre syst me de num ration et des propri t s des op rations a l algorithme permettant d associer les actions de l l ve des transformations du calcul crit et par l m me de donner du sens sa construction Ainsi Gen ve sont aujourd hui enseign s a pour l addition l algorithme en colonnes a pour la soustraction l algorithme par changes a pour la multiplication l algorithme en colonnes avec produits partiels a pour la division l algorithme par changes Si l enseignement de certains algorithmes perdure dans le temps d autres ont t abandonn s par exemple l extraction de racines carr es et l interpolation pour les tables trigonom triques Estimation L estimation prend appui sur le calcul r fl chi C est m me une forme tr s volu e du calcul r fl chi que l on utilise la plupart du temps de mani re tr s intuitive Elle est d finie comme une proc dure personnelle que l on met en place lorsqu on prend conscience que l on peut se contenter d un r sultat approch d une estimation pour fournir une r ponse que l on pourrait obtenir par des op rations effectu es g n ralement en utilisant un algo
222. rations avec les donn es num riques du probl me mais sans leur donner de sens ne pas parvenir interpr ter le r sultat d un calcul oublier le sens d une op ration apr s en avoir fait le calcul r aliser que le r sultat ne peut pas tre non entier sans savoir qu en faire Proposer ces probl mes divisifs avec des probl mes multiplicatifs ou additifs pour mettre en vidence les diff rentes op rations L emploi de la calculatrice doit tre propos e aux l ves qui r solvent ces probl mes sans passer par la division avec comme relance Est il possible de r soudre ce probl me en faisant moins d op rations ou Comment trouver le r sultat en ne faisant qu une seule op ration sur la calculatrice Inciter les l ves qui utilisent la calculatrice pour faire une division se poser des questions sur le r sultat notamment sur la partie d cimale Monter galement comment effectuer une division euclidienne sur la calculatrice et faire le lien avec l algorithme Prolongements possibles ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves 110 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques r l ments pour la synth se Activit 07 Parmi les diverses d marches pour r soudre ces probl mes la division euclidienne est la plus efficace L emploi de la calculatrice permet de d couvrir et ou donner du sens une op ration la division qui p
223. rcher explorer Approfondir conceptualiser V rifier Valeurs Distinguer une valeur exacte i f 8 exactes etl Voir les exercices 2 et 10 d une valeur approch e approch es Utiliser les r gles formelles de calcul Hors programme de troisi me France Comparer et racines 243 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Ecrire la s quence de touches correspondantes a chacune des expressions suivantes a 2 3x4 2xX3 4x5 5 3 a b _ p 5 5 6x7 2x4 6 4 1 A quelle expression correspond chacune des s quences suivantes 3 04 E 5 El 4 E 016 4 8 9 2 45 4 16 lx 16 2 8 Ecrire l expression conventionnelle correspondant a l affichage cran suivant Effectuer ce calcul sans calculatrice puis avec calculatrice Montrer que 30 est la somme de quatre carr s d entiers inf rieurs 10 Montrer que 2001 est la somme de quatre carr s d entiers Nombre afficher seule op ration ie eee A ee changer les autres en une seule op ration 497 407 Changer le chiffre des centi mes et celui des dizaines sans changer les autres en une seule op ration On cherche un nombre positif dont le carr soit 8 ou d faut un encadrement de ce nombre a 1 est il ce nombre pourquoi Sinon 2 est il ce nombre pourquoi Sinon 3 est il ce nombre b 2 1 est il ce nombre c Trouver un encadre
224. rigo Exercices de d veloppement Exercice D1 Coordonn es g ographiques Pour rep rer un point sur le globe terrestre on utilise des coordonn es nombres d finies par deux mesures d angle voir un atlas g ographique mondial o la longitude Est not E ou Ouest not W est rep r e par rapport au m ridien de Greenwich o la latitude Nord not N ou Sud not S est rep r e par rapport l quateur Exemple Le point P du dessin ci contre a pour longitude 40 E et pour latitude 80 N OR a G _ M ridien de Greenwich a Un point M a la surface de la Terre assimil e une sph re de 6370 km de rayon est sur un parall le correspondant la latitude SO N H est le centre du cercle correspondant ce parall le Quelle est la longueur du rayon HM de ce parall le Quelle est la longueur de ce parall le b Un point A a pour latitude 60 N Quel est le rayon r du parall le passant par A et quelle est la longueur de ce parall le On prendra 6370 km pour rayon de la Terre 204 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques c Oslo en Su de et Saint P tersbourg en Russie ont pour coordonn es g ographiques respectivement 11 E 60 N et 20 E 60 N Quelle est la distance la surface de la Terre entre ces deux villes le long du 60 parall le Nord Exercice D2 La premi re figure repr sente un satellite de communication sur une orbite
225. rimaire p 119 128 76 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Activit 03 Probl mes additifs multiplicatifs Fiche de pr sentation Titre de l activit Probl mes additifs multiplicatifs Degr s concern s 1 2 3 4 EP Une trentaine de minutes par probl me R soudre des probl mes additifs soustractifs multiplicatifs divisifs Contexte d usage de EXECUTER la calculatrice VERIFIER CONCEPTUALISER Contenus et Reconnaissance de probl mes additifs ou soustractifs comp tences multiplicatifs ou divisifs math matiques vis s ES AAA R soudre des probl mes additifs et soustractifs du plan d tudes R soudre des probl mes multiplicatifs et divisifs Mots cl s Probl me additif soustractif multiplicatif divisif COI vom 26 nonc n II_ 74 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 77 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve Activit 03 LM 1P p 180 Le Cort ge avant dernier probl me Arthur a un collier avec 32 bonbons Il en mange 20 d un coup Combien a t il encore de bonbons manger Note comment tu as fait LM 2P p 198 F te foraine probl me 14 Sur le bateau 1l y a 126 pirates 84 pirates d barquent l Ile Bleue pour y rester Combien de pirates continuent le voyage preuve cantonale 2P 2006 Le match de basket Les kangourous et les girafes jouent au basket Pendan
226. rimer une approximation de x l aide d une fraction plus de d tail dans l Annexe au rapport de calcul 113 3 5 Calcule AT la main et puis avec ta calculatrice As tu le m me r sultat Plusieurs l ves ont fait ce m me calcul avec leur calculatrice et ont trouv 7 833333333 0 8 3 5 5 333333333 Explique comment ils ont proc d Pour que les calculs math matiques donnent les m mes r sultats pour tous les math maticiens se sont mis d accord sur des r gles de proc dure qui donnent un r sultat unique Quelles sont ces r gles 262 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques origine k r f rences voir degr bibliographie Ruhal Floris M moire et Gruner formule Casio E Arrondir les A se m Charri re ones M me volume volu p EN Un produit a 19 chiffres o HE LE 47 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier Usage s de la calculatrice contenu ou objectif math matique lt gt I 263 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques memoiretformule pdf est une fiche l ve indiquant comment utiliser la m moire ainsi que l op rateur constant elle se trouve dans le dossier num rique bibliographie On donne Le prane et le eyimdre ont m me hauteur em Le prisme droit est base tnangulare de base 6 cm et de hauteur 4 cm l Calculer le volume du prosme Y 2 Calcu
227. rise des r gles de qui restent l objecti priorit r dactionnel quoi que penser a la r solution d un cvct me 91 1 27 9 Utiliser la touche Op rateur Ruhal Floris R Mootiiser ou bien avec l alg bre un tableur A po peo fe 11_17 38 Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V rifier 245 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc Choisir deux nombres entiers a et b Leur somme constitue le troisi me nombre d une s rie de nombres le quatri me nombre de cette s rie est la somme des deux pr c dents le cinqui me galement ainsi que les suivants D terminer les 10 premiers nombres de la s rie Comparer la somme des six premiers nombres au cinqui me Comparer votre remarque celle de vos voisins Pourrait on tre certain de la propri t mise en vidence Choisir un entier relatif lui ajouter son suivant imm diat multiplier le r sultat obtenu par 3 puis retrancher 3 diviser le r sultat par 6 a Comparer votre r sultat celui de vos camarades Bizarre non b Pourrait on tre certain de la propri t mise en vidence 2 5KX4 s crit 2 35X4 243 2 3j4 s crit 2 gi HOR cria a A _ 4 4 comme le pensent parfois des l ves Le calcul formel permet aussi de r soudre pas pas des quations ou in quations en utilisant les bonnes r gles Trouver une formule
228. rithme de calcul ou la calculatrice 12 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Cette approximation est elle m me le r sultat exact d une op ration proche de l op ration de d part par modification des nombres vers une simplification de ceux ci r sultat que l on obtient alors par calcul r fl chi 24 9 x 6 05 25 x 6 c est dire 150 Si on explicite ces diff rents outils de calcul et qu on effectue un travail sp cifique avec chacun d entre eux en en fixant les limites et les avantages on peut esp rer permettre aux l ves d acqu rir une certaine aisance et choisir en connaissance de cause l outil le plus appropri selon le calcul effectuer 3 3 Des questions Il est maintenant possible de s rier plus pr cis ment un certain nombre de questions fondamentales lorsqu on envisage l utilisation de calculatrices dans un cours de math matiques a Faut il encore enseigner l algorithme de la division l addition des fractions les m thodes d int gration etc alors qu on peut s appuyer sur des outils s rs rapides et efficaces a La d couverte l exploration la compr hension de certains concepts math matiques peuvent elles tre favoris es par leur manipulation avec la calculatrice Autrement dit qu apporte t elle un enseignement des math matiques a Quand et comment faire intervenir l outil calculatrice dans ces processus d enseignement et d apprentissage a Pl
229. riture scientifique a 7 28 10 3 10 b 7 28 10 3 108 3 Simplifier gt l aide de la calculatrice 4 Calculer 22 a l aide de la calculatrice N S 5 Convertir 192 en nombre d cimal puis exprimer le r sultat sous forme de fraction 60 irr ductible 6 Utiliser la machine pour obtenir directement une estimation de 2 1 arrondie au milli me 7 Trouver le ppem de 3644 et 4568 et le pgcd de 23456656 et 2234544 141 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Un chocolatier vient de confectionner 28313 pralin s identiques Il a pr vu de placer ces pralin s dans des boites contenant chacune 29 pralin s Combien de boites parviendra t 1l remplir au maximum et combien de pralin s non emball s restera t 11 On aimerait utiliser la calculatrice de fa on optimale pour r soudre ce probl me Comment faire Comment la calculatrice traite t elle l ordre des op rations Effectuer des calculs pour v rifier si l ordre des op rations est le m me que celui convenu par les math maticiens Pourquoi y a t 1l deux symboles disposition Dire quoi correspond chacun d entre eux Comment effectuer cette suite de trois calculs le plus efficacement possible avec la calculatrice 3 3 3 3 9 V3 3 9 Peut on retrouver r utiliser modifier un calcul effectu pr c demment Comment fai
230. rt sur les calculatrices 1999 4 p voir Annexe 7 2 Guin D et Trouche L Eds 2003 Calculatrices symboliques Transformer un outil en un instrument de travail math matique un probl me didactique Grenoble La Pens e Sauvage Floris R et Conne F Eds 2007 Environnements informatiques enjeux pour l enseignement des math matiques Commission KAHANE Rapport Kahane sur le calcul Annexe au rapport http eduscol education fr D0015 LLPHAGO3 htm 44p 17p IREM GRENOBLE Groupe D BAT SCIENTIFIQUE Une activit en or mars 2006 http www ac grenoble fr irem new2006 Debat_ scientifique 20p IUFM CR TEIL Une calculatrice un outil part enti re http maths creteil iufm fr Second degre module info calculatrice presentation htm MATH ECOLE A l cole obligatoire la calculatrice peut elle contribuer l apprentissage des maths n 215 juillet 2005 9p MATH ECOLE Quelques id es et des activit s en coh rence pour un enseignement des maths avec la calculatrice n 215 juillet 2005 9p 6 2 Autres ressources Auteur s Titre source Luca Del Notaro L utilisation de la calculette l cole l mentaire Ruhal Floris Math cole n 215 juillet 2005 Math matiques calcul formel programmation Un point de vue didactique Bulletin n 429 APMEP Jean Baptiste Lagrange Donner du sens aux math matiques
231. rtout quand l le fait en cachette sous le pupitre Dare cette suite de r sultats faux explique ce qu a bien pu se passer quand il a ti p les nombres ou les signes des operations 3 16 36 3000 600 900 3 51 100 0035 l1 2 3 44 6 24 72 04 18 5x10 500 000 5 800 1245 13 75 1 25 151 On peut ensuite leur demander d inventer de tels exercices pour leurs camarades Voici des r sultats obtenus lors d op rations par plusieurs l ves qui ne calculent pas tous juste Sans faire le calcul exclus les r sultats qui te semblent impossibles et explique pourquoi tu les as exclus V rifie ensuite avec la calculatrice si les valeurs que tu as exclues devaient l tre Calcul T23 176 7456 53 201 21 x 532 8 10720468 590 125 3871123 297 Calculez avec la machine A 10 10 10 10 B 10 10 10 10 Quel est le r sultat de la calculatrice Et quel votre r sultat a la main Qui a raison Pour savoir le nombre de chiffres avec lesquels travaille ta calculatrice tu peux effectuer une division par exemple effectue 10 7 1 428571429 Essaie de savoir combien de chiffres sont stock s dans le registre de la calculatrice Pour cela tu soustrais la partie enti re du quotient le ou les chiffres avant la virgule ici 1 puis tu multiplies cette diff rence par 10 et tu recommences On voit ainsi appara tre successivement 4 285714286 puis 2 857142857 puis 8 571428571 puis 5 71428571 puis 7 1428571
232. s l ments de l nonc choisir la bonne op ration l addition ou la soustraction noter les op rations effectu es Relances relire ou faire relire tout ou partie de l nonc inciter les l ves adopter des d marches rapides proposer de s aider de la droite num rique inciter les l ves de se passer des tables ou de la bande num rique Mise en commun voir d roulement mm mm mm mm ee ee ee ne ne eo ne ne o eo O O ee o ee eo ee o oo ee O A O o eo ee o eo ee O oo ee m 73 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Proposition s de Nombre d l ves d roulement Toute la classe par groupes de 2 ou 3 Mat riel 1 calculatrice par l ve jeu de cartes nombres de 0 a 10 1P par groupe jeu de cartes nombres de 0 a 20 2P par groupe jeu de cartes nombres complet 3P 4P par groupe annexe a photocopier sur carton l ger en agrandissant ventuellement puis couper En 1P 2P l enseignant lit la consigne haute voix et la r p te En 3P 4P il distribue l nonc et les l ves en prennent connaissance La premi re t che des l ves consiste s approprier cette consigne Dans un premier temps l enseignant observe ses l ves et les laisse se d brouiller seuls Il favorise cependant les interactions au sein des groupes et relit une partie de la consigne ou met le doigt sur une partie de l nonc qui n est pas prise en compte La c
233. s tg On peut poser la question pour relever que ce n est pas trivial Pour ce qui est des r ponses donner on laissera au ma tre le choix d en parler de fa on informative ou pas selon le niveau et le degr d int r t de ses l ves Contrairement ce qui est souvent dit ce n est pas qu une question de d veloppements en s rie voir http www trigofacile com maths trigo calcul cordic cordi c htm pour des explications d taill es Prolongements possibles ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves mmmmmmmmmmmmmmm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm a Un O O O 0 Un O O O O O O O E O O O O O O O O O O em l 228 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 26 Radiobiolopopulo Fiche de pr sentation Titre de l activit Radiobiolopopulo Sosa Utiliser les log exp dans des situations r elles j 11PO toutes fili res concern es par l enseignement des Degre s concerne s log exp Choix d exercices radioactivit croissance de population n cessitant l utilisation des log exp Type d usage de la EXECUTER calculatrice Contenus Mod lisation math matiques vis s Exercer log
234. s carr es de 12 cm de c t vendues par paquets de 24 Combien de paquets de catelles ce carreleur doit il acheter Anniversaire S raphine vient de f ter ses 10 000 jours Mais quel ge S raphine aura t elle lors de son prochain anniversaire 119 d cimale Lorsque l on divise 126 par 37 quel est le chiffre de la 119 d cimale 106 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill Activit 07 Bouteilles transporter 1000 36 27 reste 28 Patrick et Christiane devront donc faire 28 voyages en transportant par exemple 36 bouteilles lors des 27 premiers voyages et les 28 bouteilles restantes pour le dernier voyage Patrick a tort S ils suivaient son id e Patrick et Christiane feraient 27 voyages avec 37 bouteilles 27 x 37 999 et un 28 voyage pour transporter la derni re bouteille En effet la division donne 1000 37 27 reste 1 Multiples de 8 2004 8 250 5 ou 2004 8 250 reste 4 Le probl me r side dans l interpr tation de la partie d cimale du quotient ou dans l interpr tation du reste La r ponse ne pouvant tre qu un nombre entier est ce 250 ou 251 Pour un nombre multiple de 8 par exemple 40 le nombre de multiples de 8 entre 1 et 40 est le r sultat de la division de 40 par 8 donc 5 multiples 8 16 24 32 40 Pour les nombres suivants 41 42 43 44 47 le nombre de multiples reste inchang puisqu il n y a pas de nouveau multiple de 8
235. s ie et tan ainsi que sin cos ettan de leur machine Si cela n est pas le cas 1l faudrait faire pr c der cette activit d exercices sp cifiques pr paratoires par exemple calculer sin cos et tan d angles entre 0 et 90 Analyse priori de explorer les th or mes de trigonom trie de base avec la l l activite calculatrice calculer sin x cos x et contr ler que tout enjeux de l activit 1e monde trouve bien 1 pour plusieurs valeurs de x idem d marches pour sin x cos x tan x possibles difficult s vu 3 relances mise en calculer sin cos ettan pour des valeurs entre O et 1 commun essayer pour des valeurs sup rieures 1 Attention certains l ves pourraient avoir param tr leur machine avec les radians comme mesure d angle On peut galement travailler sur la diff rence entre un calcul effectu en une seule op ration avec les m moires ou en arrondissant chaque tape ce qui provoque une propagation des erreurs Travailler des exercices de mod lisation am ne un niveau de complexit suppl mentaire pour les l ves mais peut en revanche donner du sens Travail individuel ou en bin me Peut galement se travailler par groupes Enonc l ve travailler en groupes de 3 4 demander aux l ves de r fl chir ensemble au probl me pos et de r diger en commun une ac tate Tirer au sort un l ve par groupe pour pr sen
236. s avoir test es du ma tre des l ves o o ii ESS SES ias l ments pour la synth se activit 16 Ce que l l ve devrait avoir retenu Diff rence entre chiffre et nombre criture en base 10 Puissances enti res positives d finition propri t s Conjecture 0D oO ODODO D montrer selon le niveau des l ves Penser si n cessaire donner des exercices de consolidation 160 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Activit 17 Grands nombres Fiche de pr sentation Sous titre Calculs avec des grands nombres l aide de la calculatrice Degr s concern s 10PO toutes fili res l ou 2 p riodes de 45 minutes Manipuler des grands nombres issus de diff rentes situations r elles l aide de la calculatrice Contexte d usage de EXECUTER la calculatrice Contenus et Puissances positives de 10 consolidation et ou comp tences approfondissement math matiq ues criture scientifique VISes Valeur exacte valeur approch e Mod lisation Utilisation correcte de la calculatrice pour minimiser la propagation d erreurs Utilisation d une notation appropri e Pr requis Puissances positives de 10 Utilisation de l criture scientifique Savoir calculer une racine carr e et une racine cubique seul pour ex 5b et c Mots cl s puissance approximation mod lisation Source rapport Kahane annexe rapport calcu
237. s tu dols crire seulement une operation par ligne Il s agit d une adaptation pour le primaire d une activit fig 6 propos e par Williams Stephens 1992 et tudi e dans des classes du secondaire par Kieran amp Guzman 2003 La gosse multiplikation Y a Calculer 999 999 999 2 avec la calculatrice Calculerercuite 9 999 999 900 2 Que signifie le r sultal affich Esta le r sultat exact bi Onvweutmalntenant calculer 123456 x 123456 Le faire en utilisant la Calculatrice et noter la aleur obtenue ci Poser la multiplication et la faire par crit en utilisant la calculatrice pour multiplier chaque chiffre du nombre d en bas par celui d en haut Vous pouvez galement utiliser la calculatrice pour effectuer les additions Comparer le r sultat obtenu avec caul d avant combien de chiffres exacts la Calculatrice amp t lle fournis On decompose le nombre 123466 12346 x 10 6 de telle sorte que la multiplication devienne 123456 x 12545 x 10 6 D velopper ce cakul en utilisant la distributivite Faire ersulte la calculatrice les calculs 1234566 x 12345 et 23456 x 6 et tem iner par crit Comparer avec le r sultat not en ci Trouver 1X2x353x4 x6 x 156 en utilesnt une m thode analogue et en regroupant cer tans facteurs pour avoir des multiples de 10 Voir ex 66 B n fke liquide Lors d une f te on vend 1256 boutellles 2 la boutal lle Ces bouteilles ont t ache t s par packs de 12 au prix de amp
238. st obligatoire 11PO qui soient directement en phase avec les plans d tudes et les moyens d enseignement et qui en illustrent les diff rents types d usages Ces activit s se veulent incitatives vari es modifiables con ues pour donner des id es et proposer des pistes EP cole primaire CO cycle d orientation PO post obligatoire 7 Jusqu en juin 2007 le mod le choisi est la TI 106 Jusqu en juin 2007 le mod le choisi d s la 5P est la TI 34 II Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 3 Quelques l ments de r flexion 3 1 Le contexte Qu on la subisse ou qu on s en r jouisse il n est plus possible aujourd hui d ignorer la g n ralisation d outils technologiques d un acc s toujours plus ais et moindres co ts Portables SMS t l commandes jeux distributeurs de billets TPG les comp tences moyennes de la population dans la manipulation de ces objets se sont accrues en un temps record Associ e la g n ralisation d Internet et des lignes ADSL on peut sans risque de se tromper affirmer que notre soci t est aujourd hui entr e dans une re MITIC Cette vidence de disponibilit d utilit et d efficacit entra ne une pression pour que le milieu scolaire int gre d une part des apprentissages compl mentaires li s a ces usages ma triser tel ou tel logiciel d autre part une r flexion li e au besoin de comprendre
239. stration Pr requis Calcul num rique diviseurs multiples Calcul alg brique Nombre entier suite Fibonacci conjecture d monstration Classique Adaptation Jean Marie Delley 188 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques nonc l ve activit 22 1 Choisir deux nombres entiers a et b quelconques Choisissez deux de votre choix 2 Calculer leur somme On a une suite de trois nombres a b et a b 3 Le quatri me nombre de cette suite est obtenu comme somme des deux pr c dents le troisi me et le deuxi me puis le cinqui me comme somme du troisi me et du quatri me et ainsi de suite jusqu au dixi me terme de la suite Calculer les tous 4 Comparer la somme des six premiers nombres de la suite termes des nombres avec le cinqui me terme Comparer votre remarque celle de vos voisins 5 Enoncer une conjecture qui g n raliserait ce qui a t observ en 4 pour la somme des six premiers termes 6 Peut on d montrer cette conjecture Comparer la somme des dix premiers nombres de la suite nombres avec le neuvi me La propri t observ e en 4 est elle toujours valable 8 La somme des dix premiers nombres est elle divisible par un autre des n premiers termes de la suite 9 Pourquoi ce titre bizarre pour cet exercice 189 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 22 l Par ex
240. sur des observations non d montr es On peut aussi lister les puissances successives de 7 pour observer la r gularit des derniers chiffres 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 on conjecture un cycle de longueur 4 pour les derniers chiffres 7 9 3 1 gt par exemple Conjecture 7 1 mod 10 D monstration dis 7 mod 10 2401 mod 10 1 mod 10 1 mod 10 gt ctaussi Conjecture 7 3 mod 10 D monstration ne 7 77 mod 10 2401 343 mod 10 1 3 mod 10 3 mod 10 Comme 12 4 3 est de la forme 7 le dernier chiffre de7 est bien 1 gt Remarque on peut aussi d montrer ce genre de conjecture par r currence 158 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques eo M thode 3 T STT T DAT Le produit de nombres qui se terminent par 1 est un nombre qui se termine par 1 thm qui se d montre puis exploiter l algorithme de la multiplication ou la distributivit comme fait ci dessus on n a ainsi pas besoin du calcul modulo Comme il y a de nombreuses fa ons de d montrer le r sultat il faut anticiper le niveau des l ves pour savoir quoi on veut arriver Commentaires pour le ma tre activit 16 Pour certains l ves la diff rence entre un chiffre et un Analyse priori de nombre n est pas tr s claire l activit Beaucoup d l ves risquent de se trouver bloqu s ap
241. t que pour les l ves en cas de perte ou casse Est ce vraiment une priorit d investir dans cette direction 3 6 Que conclure 3 6 1 Trouver le bon quilibre Il n y a certainement pas de r gle absolue et d finitive du type la calculatrice est bannir ou elle est LA solution Ce qui para t par contre certain c est qu elle est aujourd hui bel et bien pr sente dans le paysage scolaire et qu il s agit de la prendre en compte Les l ves en disposent et l utilisent On peut d cr ter que cet usage est de leur responsabilit exclusive mais 1l nous para t qu une r elle plus value potentielle aux enseignements et aux apprentissages ne sera r alis e qu travers une utilisation clairement et explicitement cadr e par les enseignants Selon le sujet abord la m thodologie choisie et les objectifs vis s l enseignant e devra se questionner a Pourquoi la calculatrice 1c1 a Dans quel s r le s a Quand en introduction apr s l enseignement en proc dant par allers retours a Comment Quels avantages en attend t on Quel investissement cela n cessite t 1l par exemple pour explorer et faire ma triser la simple manipulation de certaines fonctions de la machine a Quels risques ventuels aussi par exemple celui que l l ve croie pouvoir se reposer sur la machine et d sinvestisse ses apprentissages a Quelle valuation Finalement ce qu
242. t de 0 sous la forme d un produit de deux facteurs le premier tant un nombre d cimal sup rieur ou gal a 1 et strictement inf rieur 10 et le second une puissance 7 28 EE 5 x 3 EE 8 7 28E 5x3E8 enti re de 10 21840 N B Taper EE quivaut frapper x 10 48 Nombre de d cimales CO PO Valeur arrondie PO Valeur de 2 7 arrondie au milli me Valeur de 2 7 avec une valeur de m arrondie au milli me Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 2 m E FIX 3 ou ENTER FIX LJ FIX 2 149 7 x 7 ENTER Par contre 21 29 x 7 ENTER 2 2nd MATH O 1 End 3 EA o F0123456789 FIX 2T 6 283 2T 6 283185307 149 7 21 29 Ansx 7 149 00 FIX DARCOS 149 03 FIX abs round 2round 71 3 6 284 49 La calculatrice n affiche un r sultat en notation scientifique que s il est sup rieur ou gal 10000000000 1 10 ou strictement inf rieur 0 000000001 1 107 en valeur absolue FIX permet d afficher les r sultats avec un nombre de d cimale d termin Il est possible de r gler le nombre de d cimale entre 0 et 9 nd FIX ou 2nd FIX F restaure le format de notation standard point flottant Cette fonction n a d effet que sur l affichage Conversion 45 rad d angles PO Fonctions trigono m triques PO sin 60 Usages d une
243. t des connaissances de celui qui le pratique Il ne s agit pas d appliquer des trucs ou des formules toutes faites mais de choisir la meilleure proc dure dans une situation donn e C est donc un calcul intelligent personnel et volutif Il se distingue en cela du calcul mental traditionnel De plus le calcul r fl chi ne signifie pas une absence de traces crites Elles peuvent tre utiles voire souhaitables pour soutenir une d marche ou pour m moriser un r sultat interm diaire Le calcul r fl chi permet l l ve de se d brouiller dans un calcul sans avoir recourir syst matiquement aux algorithmes ou la calculatrice Les proc dures de calcul r fl chi sont l pour lui simplifier la t che gagner du temps et de l assurance Les limites de ces proc dures justifient par ailleurs l utilisation d autres techniques op ratoires algorithmes Algorithmes de calcul Un algorithme est une suite finie de r gles appliquer dans un ordre d termin un nombre fini de donn es pour arriver avec certitude c est dire sans ind termination ou ambigu t en en nombre fini d tapes un certain r sultat et cela ind pendamment des donn es Les algorithmes de calcul mettent en uvre les r gles de notre syst me de num ration et les propri t s des op rations Pour que l l ve puisse donner du sens aux algorithmes abord s 1l faut qu il en comprenne les propri t s sous jacentes En cela l emploi en pa
244. t la premi re m1 temps l quipe des kangourous marque 38 points et l quipe des girafes marque 27 points Pendant la deuxi me mi temps les kangourous marquent 25 points et les girafes 32 points Combien de points en tout a marqu l quipe qui gagne le match Montre comment tu fais pour trouver la r ponse LE 3P p 12 Au manoir probl me 3 Elsa s est entra n e pendant trois jours elle a tir 128 fl ches le premier jour 131 fl ches le deuxi me jour et 67 fl ches le troisi me jour Combien Elsa a t elle tir de fl ches en tout 78 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques LM 3P p 175 Placage Trouve combien il faut de plaques rectangulaires comme celle ci pour recouvrir une surface form e de 216 carreaux comme celui ci LM 4P p 127 Haute fid lit LE 4P p 41 Haute fidelite Un client du magasin v rifie le contenu de son porte monnaie Voici ce qu il a invente un probl me Cherche la r ponse puis donne ton probl me r soudre un camarade LE 4P p 21 Carrousel probl me 8 L H tel Palace comprend 20 chambres carr es de 4 m de c t et 12 chambres carr es de 5 m de c te Un tapissier doit coller une frise sur le haut des murs de toutes les chambres La frise est fournie en rouleaux de 50 m Combien de rouleaux faudra t il 79 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Attentes fin de 4P p 22 Bo tes d ufs Vo
245. t on pour r cup rer le r sultat du dernier calcul par exemple pour le r utiliser dans un nouveau calcul Comment effectuer la r p tition successive de la m me op ration par exemple calculer les puissances successives de 2 Comment efface t on un message d erreur ou la ligne en cours d dition Quelle diff rence y a t il entre les touches INS DEL et CLEAR Mettre 15 dans la premi re m moire puis utiliser cette m moire pour calculer 11 7x15 puis m Comment r initialiser la calculatrice Pour les l ves qui travaillent d j les fonctions du deuxi me degr 19 2 On cherche calculer des images de la fonction f X 4x4 3x 6 Programmer les op rateurs constants et pour permettre de faciliter ces calculs Pour les l ves qui travaillent d j avec la formule de Vi te 20 Pour ceux qui connaissent la formule de Vi te pour r soudre les quations du deuxi me degr programmer les op rateurs constants et pour obtenir directement les solutions avec la calculatrice 142 U Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill e activit 14 a 4 02 3 r ponse 20 b 2 5 r ponse 20 c 5 NT 4 r ponse 10 d 1 4 2nd ANS ENTER r ponse 2 5 e 3 r ponse 9 424 a 7 28 EE D 5 x 3 EE 8 ENTER r ponse 2 184 10 b 0072 EE O 50 3 E E r ponse 21840 2nd FracMode r gler sur
246. t utilis s adapt s et modifi s par les enseignants Ils sont soumis la licence Creative Commons Paternit NonCommercial ShareAlike 2 5 ce qui signifie qu il suffit de citer les auteurs du document d origine que toute utilisation commerciale est interdite et que toutes les ventuelles modifications doivent tre mises disposition de la communaut selon ces m mes conditions O Ils sont t l chargeables sur le site de la CEM l adresse suivante http wwwedu ge ch cem brochurecalc html Cette photo montre la calculette hydraulique construite pour la Cit des Sciences de la Villette Elle additionne deux nombres binaires de quatre chiffres Tous nos remerciements vont aux personnes qui ont contribu directement ou indirectement la r alisation de cette brochure tout particuli rement Laura Weiss Ruhal Floris et les formateurs du secteur des math matiques de l cole primaire pour leur relecture Cette cr ation est mise disposition selon le Contrat Paternit NonCommercial ShareAlike 2 5 disponible en ligne http creativecommons org licenses by nc sa 2 5 ou par courrier postal Creative Commons 559 Nathan Abbott Way Stanford California 94305 USA 2 Avec l aimable autorisation de l inventeur Bernard Gitton Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Table des matieres INTRODUCTION ci REA ARRE dei Nantes 5 SEA SFTUATION ACTUELDEE dai ratio 6 2 As CUE LE QUES EX
247. ter l ac tate Proposition s de du groupe la classe d roulement Discussion avec la classe Les nonc s peuvent tre identiques ou diff rents pour chaque groupe Apr s que tous les groupes aient pr sente leurs r sultats le ma tre clarifie hi rarchise organise am ne les compl ments th oriques et propose si n cessaire des exercices de consolidation Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Comment la calculatrice fait elle pour calculer des sin cos tg On peut poser la question pour relever que ce n est pas trivial Pour ce qui est des r ponses donner on laissera au ma tre le choix d en parler de fa on informative ou pas selon le niveau et le degr d int r t de ses l ves Prolongements POSSIRIES Contrairement ce qui est souvent dit ce n est pas qu une question de d veloppements en s rie voir par exemple http www trigofacile com maths trigo calcul cordic cordi c htm pour des explications d taill es ventuels commentaires apr s les avoir test es du ma tre des l ves mmmmmmmmmmmmm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm ee ne ee ee eo ee ef o A A O O O 7 A O O e o o oe o o l 203 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercices suppl mentaires activit 23 Appliquons la t
248. tes s accro t selon le mod le suivant le temps t est en mois V t 800 650 e 0 22t a Quel est le volume des ventes avant la campagne publicitaire b Quel est le volume des ventes apr s deux mois de campagne c Tracer le graphique de l volution des ventes au cours du temps d Sachant que le co t mensuel de la campagne est de 12 000 francs et que la vente d un article apporte un profit de 500 francs d terminer quel moment la campagne n est plus rentable 29 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Exercice 6 En 1978 le canton de Gen ve comptait une population de 339 273 habitants En 1979 on en recensait 340 654 a Quel a t en pour mille l accroissement de la population entre 1978 et 1979 b Sice taux d accroissement est rest stable quelle tait la population de Gen ve en 1982 c Dans ces m mes conditions combien y aura t 1l d habitants Gen ve en l an 2000 Exercice 7 Si l on place un grain de bl sur la premi re case d un chiquier deux grains sur la deuxi me case quatre grains sur la troisi me huit grains sur la quatri me et ainsi de suite combien y aura t il de grains sur la 644M case Exercice 8 Le nombre de feuilles d une plante aquatique triple chaque jour a Si l on place dans un tang une telle plante ayant 3 feuilles combien de feuilles aura t elle au bout de 10 jours b Si le tiers de l tang est reco
249. tifs en 2006 mais calcule avec 12 13 et le plus souvent 14 chiffres ce qui permet de limiter les effets des erreurs d arrondi dans les successions de calculs Quel que soit le nombre fini de chiffres avec lequel elle calcule on pourra donc toujours acculer une calculatrice ses limites et la prendre en d faut avec ce type de calcul Il est fondamental que les l ves prennent conscience de ces limites pour qu ils soient toujours capables d avoir un esprit suffisamment critique quant aux r sultats produits par une machine et par eux m mes galement Pour les manipulations des puissances et l criture scientifique avec la calculatrice voir l activit 14 Exercice 1 Pour x 10 et y 107 on trouve C 1 ce qui est correct Par contre pour x 10 et y 107 on trouve C 0 erreur due aux limites de pr cision de la machine C 1 pour tout y non nul Exercice 2 Avec la calculatrice on trouve D 2469000000 Le r sultat est forc ment faux puisque 1234567899 se terminera par 1 et 1234567898 par 4 donc la diff rence se terminera par 7 et non par 0 ab a b a b 1234567899 12345678981 1234567899 123456789 2469135797 1 2469135797 Peut on pour autant tre certain du r sultat Il faut savoir quand on est aux limites de la calculatrice et quand on peut avoir confiance tout en gardant toujours un esprit suffisamment critique Cf la remarque initiale 152 Us
250. tive C est ce stade que peuvent appara tre certaines propri t s des op rations qui seront tr s importantes dans le calcul r fl chi L apprentissage des tables a longtemps t consid r comme un acte de m morisation passive Les recherches sur la m morisation montrent que si l apprentissage par c ur n est pas n gliger mettre en m moire des listes de mots nombres isol s une m moire dans laquelle les nombres sont structur s par des relations de parent est beaucoup plus efficace La m morisation proprement dite est du ressort de l l ve mais l enseignant doit collaborer activement la mise en relation des nombres l organisation des tables ainsi qu au contr le du travail qui y est associ La m morisation des tables et leur ma trise restent indispensables pour que le calcul r fl chi et les algorithmes puissent se construire solidement sur ces bases Calcul r fl chi Le calcul r fl chi s appuie sur les propri t s du syst me de num ration d composition d un nombre en facteurs des puissances de 10 et sur les propri t s des op rations associativit commutativit l ment neutre distributivit de la multiplication sur l addition la soustraction La mise en uvre plus ou moins consciente de ces Rapport Kahane sur le calcul p 9 http smf emath fr Enseignement CommissionKahane 11 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques propri t s d pend de l ge e
251. tuations possibles et leur vari t tant dans des contextes connus qui peuvent tre abord s sous de nouveaux angles que pour en d couvrir de nouveaux a on aborde de nouveaux champs d tude et des concepts nouveaux statistiques simulation estimation calcul approch algorithmique qui ont d sormais une grande place dans le monde scientifique a on autonomise le travail a on autorise plus de cr ativit 3 5 Quelques arguments en d faveur de son utilisation Contradictoirement d autres avancent galement des arguments en d faveur d une utilisation de la calculatrice en classe a Ily a un risque de masquer des lacunes quant la ma trise des techniques de base indispensables pour la bonne suite des tudes et pour les math matiques sociales a on perd trop de temps sur les heures d di es l enseignement des math matiques pour arriver une ma trise correcte de l outil 5 Voir Donner du sens aux math matiques Dominique Nancy mars 2000 http www forum umontreal ca numeros 1999 2000 Forum00 03 06 article02 html 14 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques a il y a un risque que les manipulations techniques crasent certaines repr sentations possibles de concepts math matiques a on investit du temps pour acqu rir des comp tences qui voluent tr s vite a qu en est il du co t financier induit par l achat de ce mat riel tant pour la collectivi
252. tue ces calculs puis confronte tes r sultats ceux que tu obtiens l aide de ta calculatrice n H j Py l 2i gt Mm El Procede de m me pour les calculs suivants a 18 15 e 12 8 D 6 4 f 19 12 C 12 27 g 4 17 d 10 HI h 10 100 Comment additionner deux nombres qu ils soient positifs ou n gatifs Effectue puis confronte tes r sultats ceux de ta calculatrice 7 2 7 2 7 2 EN 2 Proc de de m me pour les calculs suivants a 18 15 e 12 8 D 6 4 f 12 2 C 12 27 g 3 17 d 10 33 h 10 100 Comment soustraire un nombre d un autre qu ils soient positifs ou n gatifs 270 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques pr x origine R n r f rences voir degr A Usage s de la calculatrice TITRE contenu ou objectif math matique bibliographie Vy MERM Nombres et Op rations n 8 Le plus grand Diviseurs Une commission op rations et puissances en or MERM Nombres et Op rations n 82 MERM Nombres et Op rations n 142 La division ss f criture d cimale et fraction blind e Pour j MERM Nombres l apprentissag ions dans Z et Op rations e de notions nouvelle l Ex cuter Rechercher explorer Approfondir conceptualiser V
253. ture sous forme d op rations non effectu es repr sente un nombre Lien s avec les moyens MERM Nombres et op rations n 214 D pit d enseignement rationnel irrationnel racine valeur exacte valeur approch e IUFM Cr teil 3 nonc n II 11 de la liste compl te des activit s propos es en 7 4 112 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques nonc l ve activit 08 A l aide de la calculatrice comparer les deux nombres suivants 665857 gi A 40852 v2 Ces deux nombres sont ils gaux Pourquoi 113 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques Corrig d taill activit 08 Avec la calculatrice on obtient les valeurs approch es 665857 470832 V2 1 414213562 x 1 414213562 Ces deux nombres semblent gaux La racine carr e de 2 est un nombre irrationnel il ne pourra jamais s crire comme le rapport de nombres entiers Les deux nombres ne sont donc pas gaux mais leur diff rence est tr s petite Comment expliquer cela gt Revenons la d finition de la racine et calculons avec la calculatrice le carr de la fraction 665857 gt 470832 1 414213562 1 999999999 On a aussi 2 665857 2450102 470832 mais 665857 470832 V2 1 414213562 3 731e10 1 4142133562 3 747e10 gt Conclusion La fraction est une valeur approch e de la racine carr e les onze premi res d cimales sont identiqu
254. turer l enseignement et nous souhaitons lui accorder une importance toute particuli re En fait l opposition entre calcul exact et calcul approch dans la A la demande des associations de math maticiens APMEP SMAI SMF et UPS le minist re fran ais de l ducation a donn mission en avril 1999 au professeur Jean Pierre Kahane de r unir un groupe d enseignants et de chercheurs pour conduire une r flexion globale et long terme sur l enseignement des math matiques de l cole l mentaire l universit Plusieurs rapports ont t r dig s sur la g om trie le calcul les outils informatiques les statistiques et probabilit s la formation des enseignants voir http smf emath fr Enseignement CommissionKahane 10 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques culture renvoie aussi plus ou moins implicitement la distinction entre math matiques pures et math matiques appliqu es et a toutes les hi rarchies de valeurs dont cette distinction a t porteuse Aujourd hui cette distinction semble de plus en plus inadapt e car s il y a des pratiques math matiques diff rentes elles tiennent plus aux types de probl mes que le math maticien cherche r soudre qu aux objets et aux domaines math matiques eux m mes El Peut tre a t on un peu n glig la part du calcul approch dans nos enseignements La aussi un usage pertinent de la calculatrice permettrait d quilibrer la part du calcul
255. ultats sur la calculatrice Les exposants n gatifs Essaie avec ta calculatrice SEE 6 12 EE 3 8EE7 5 3EE 2 0 09EE 3 Qu en conclus tu Essaie avec d autres exemples pour v rifier ta supposition On propose aux l ves de retrouver la r gle correspondant l criture a 10 n partir de plusieurs exemples num riques Une discussion entre les l ves permet normalement de trouver comment comprendre cette notation On cherchera ensuite des exemples en physique dimensions des atomes ou biologie pour appliquer cette notation Enfin on en justifiera la coh rence en montrant ce qui se passe quand on divise successives par 10 On a une calculatrice avec op rateur fixe ou avec it ration automatique de la m me op ration On affiche 0 et on fait 4 ou on utilise l op rateur constant un certain nombre de fois On recommence en affichant 13 et on it re plusieurs fois 5 On a trouv le m me nombre Quel peut bien tre le nombre trouv Les l ves sont r partis en deux groupes qui se partagent le travail pour essayer de trouver les diff rents nombres qui conviennent 254 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques origine N r f rences voir Usage s de la calculatrice contenu ou objectif math matique bibliographie IL 41 7 E Probl me Probl me simple dont on ne conna t a ouvert pas la solution 11_47 p10 Le dernier Carr finissant par 3 p10 7 R
256. um riques Nombre de d part Cibles possibles entre 400 et 700 entre 600 et 1000 entre 850 et 1500 entre 1200 et 2000 entre 1500 et 2500 entre 1800 et 3000 entre 15 et 20 entre 16 et 21 entre 20 et 25 entre 21 et 26 entre 25 et 30 entre 26 et 31 entre 30 et 35 entre 31 et 36 entre 35 et 40 entre 36 et 41 entre 40 et 45 entre 41 et 46 entre 45 et 50 entre 46 et 51 entre 17 et 22 entre 18 et 23 entre 22 et 27 entre 23 et 28 entre 27 et 32 entre 28 et 33 entre 32 et 37 entre 33 et 38 entre 37 et 42 entre 38 et 43 entre 42 et 47 entre 43 et 48 entre 47 et 52 entre 48 et 53 entre 19 et 24 entre 20 et 25 entre 24 et 29 entre 25 et 30 entre 29 et 34 entre 30 et 35 entre 34 et 39 entre 35 et 40 entre 39 et 44 entre 40 et 45 entre 44 et 49 entre 45 et 50 entre 49 et 54 entre 50 et 55 entre 2500 et 4000 l ments pour la synth se Activit 06 Dans cette activit la t che consiste d terminer approximativement un diviseur tel que le quotient soit dans la cible Pour ce faire la d marche la plus efficace consiste diviser le nombre de d part par un des nombres compris dans la cible Pour viter des calculs algorithmiques fastidieux inutiles d ailleurs puisque des calculs exacts ne sont pas n cessaires vu la largeur de la cible les l ves doivent d terminer une op ration voisine la fois plus simple de mani re tre calcul e par calcul r fl
257. urs de math matiques l ments pour la synth se activit 09 Exercices de consolidation activit 09 Exercice 141 du livre Calcul Litt ral MERM pour exercer la traduction Exercice 11 Droit au but du livre Calcul Litt ral MERM pour des d monstrations l aide de l alg bre Enonc ci dessous V rifie les affirmations qui figurent dans chacun des cas et trouve une justification a Choisis un nombre a a Ajoute 2 Multiplie par 2 Retranche 2 Divise par 2 Le r sultat est sup rieur d une unit au nombre choisi Choisis un nombre Multiplie par 2 Ajoute 4 Divise par 2 Ajoute 5 Multiplle par 8 Retranche 16 Divise par 4 Retranche 10 Le r sultat est le double du nombre choisi Choisis un nombre Ajoute 10 Multiplie par 3 Soustrais le nombre que tu as choisi Divise par 2 Retranche 15 Le r sultat est gal au nombre choisi a 121 Choisis un nombre Double le Ajoute 1 Multiplie par 5 Retranche 12 Multiplie par 10 Ajoute 70 Le r sultat est le centuple du nombre choisi Choisis un nombre El ve le au carr Ajoute le double du nombre que tu as choisi Divise par le nombre que tu as choisi Le r sultat est sup rieur de deux unit s au nombre choisi Choisis un nombre Multiplie par le nombre qui le surpasse de 2 Ajoute 1 Le r sultat est le carr du nombre qui est sup rieur d une unit au nombre choisi Vous AUEL VOIR LES MA
258. us sp cifiquement est il possible de faire comprendre certains concepts math matiques sans passer par la pratique calculatoire de nombreux enseignants primaires n osent par exemple pas se lancer dans des probl mes qui font appel des op rations dont les l ves ne ma trisent pas encore l algorithme a Quelle articulation entre travail sur le sens et acquisition d une ma trise technique Ces deux axes doivent 1l tre travaill s s par ment successivement conjointement a Comment valuer l impact de la calculatrice Mais des questions plus op rationnelles sont aussi pos es a L apprentissage et l utilisation de la calculatrice ou des MITIC sont ils de la responsabilit de l l ve ou du ma tre a Quelle place leur donner durant les valuations Quel sens cela peut il avoir de tester des l ves sur des comp tences techniques prises en charge par ces outils a Comment former les enseignant e s une utilisation raisonn e a Quelle formation initiale et continue aux MITIC pour les enseignant e s Ce qui revient finalement une question formul e simplement mais dont la r ponse ne l est certainement pas comment int grer ces outils de fa on efficace dans l enseignement des math matiques 13 Usages d une calculatrice dans un cours de math matiques 3 4 Quelques arguments en faveur de son utilisation Relevons ici les arguments les plus souvent mis en avant pour justifier l uti
259. uvert en 20 jours combien de jours faudra t il pour recouvrir tout l tang Exercice 9 Selon les donn es recueillies par une compagnie de construction de maisons unifamiliales le nombre de personnes vivant dans une maison unifamiliale est toujours gal au tiers de la population L volution de la population de la ville au cours du temps est d crite par la formule P t 32 000 e0 017t o t est le temps en ann es a Quelle sera la population dans un an 238 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques b Selon les donn es de la compagnie combien de personnes d cideront elles d acheter une maison unifamiliale au cours de la prochaine ann e c Combien devrait 1l y avoir de demandes de constructions de maisons unifamiliales au cours des cinq prochaines ann es Exercice 10 quelle puissance faut il lever le nombre 13 28 pour obtenir 77 77 Exercice 11 Consid rons une masse de polonium qui contient Ny atomes au temps t 0 jours Au cours du temps certains atomes se d sint grent en mettant une particule et de ce fait se transforment en plomb Le nombre N d atomes de polonium subsistant au temps t peut tre calcul l aide de la formule suivante N Noa O estune constante a Calculer la valeur de la constante a du polonium sachant que la p riode du polonium est de 138 jours Arrondir le r sultat a 5 chiffres apr s la virgule b Apr s 138
260. valeur exacte d une valeur approch e Conjecturer d apr s des observations calculatoires D montrer une conjecture simple D velopper le regard critique porter sur ses r sultats fournis par une machine mais aussi en g n ral Pr requis Racines carr es D veloppements d cimaux approximations Conna tre et avoir pratiqu les concepts de conjecture et de d monstration si ce n est pas le cas on peut utiliser cette activit pour introduire ces concepts racine carr e nombre irrationnel approximation calcul alg brique conjecture d monstration Base IUFM Paris http maths crete1l 1ufm fr second_degre module info calculatrice college htm Toc21856478 Adaptation Jean Marie Delley 178 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques 7 Enonc l ve activit 20 1 Calculer avec votre machine 48 v7 puis l 847 o Quelle fiabilit ont ces r sultats Que peut on conjecturer quant la comparaison de ces deux nombres o Peut on d montrer cette conjecture 2 Peut on g n raliser la conjecture tablie en 1 et la d montrer 179 Usages d une calculatrice de poche dans un cours de math matiques Corrig d taill activit a J8 7 0 182675813 et 0 182675813 ET e Comme le calcul effectu par la machine est approch on ne peut tre s r que ces deux nombres soient ne il ne s agit donc que d une conjecture e Conjecture Ver

Usages d`une calculatrice dans un cours de - Espace Ecole

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