introduction a la demons tration et apprentissage du
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1. La conviction qu entra ne un raisonne ment valide suit la compr hension de son fonctionnement car c est dans cette com pr hension que la conclusion acquiert la valeur pist mique de n cessit pour celui qui effectue le raisonnement Ce simple rappel suffira nous l esp rons r veiller le sentiment que le domai ne de la d monstration en math matique et plus particuli rement en g om trie ne se r duit pas au plan d limit par ces trois points Il y a la recherche et il y a les figures Et la recherche est autrement plus complexe et plus riche Sa projection sur le plan que nous avons d limit ne vient qu en dernier Une fois qu on a trouv cette projection serait seconde Alors pourquoi ne pas commencer par l pourquoi m me ne pas s en tenir ces aspects plus riches et pourquoi au contraire lier l introduction la d monstration l apprentissage du rai sonnement d ductif Ce sentiment se traduit g n ralement au niveau de l enseignement secondaire par la distinction entre trois phases la pr paration dans laquelle intervient la construction de la figure la recherche et enfin la r daction La page de manuel dont nous avons cit un extrait plus haut en est une illustration typique Et naturel lement c est la phase de recherche qui est consid r e comme la phase importante Aussi vouloir mettre d abord en avant la compr hension du fonctionnement du rai sonnemen2. la r flexion cela n a rien de surprenant Les figures donnent lieu diff rents modes d appr hension dont le plus automatis celui qui sert de base la perception spontan e et dont la Ges talttheorie a entrepris l analyse est loin d tre suffisant Duval 1988 Entre l enseignant et l l ve de Coll ge il y a bien la m me figure regard e mais ce ne sont exactement le m me mode d appr hension auquel l un et l autre font appel Selon le champ conceptuel mobilis ce ne sont pas les m mes traitements figu raux qui se r v lent pertinents En r ali t un travail sp cifique sur les traite ments figuraux s av re n cessaire Et les exp riences men es en ce sens jusqu pr sent donnent des r sultats tr s pro 137 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF metteurs L monidis 1990 Padilla 1992 Un introduction la d monstration exige donc des apprentissages en parall le d une part des diff rents traitements figu raux sans lesquels un figure perd toute f condit heuristique et d autre part du fonctionnement du raisonnement d ductif en tant que celui ci est le type de base de raisonnement valide en langue naturelle Et un tel apprentissage doit jouer sur deux registres diff rents un registre non dis cursif et le registre discursif par excellence 138 REPERES IREM n 12 juillet 1993 qui est celui la langue famil
3. l organisation d un pas en fonction du seul statut Le d faut des deux autres perceptions est moins visible bien qu il ait des effets aussi graves Ainsi un des obstacles non imm diatement rep rables la pratique du rai sonnement d ductif est la compr hension syncr tiste des th or mes il n y a pas de discrimination entre la partie Conditions et la partie Conclusion Un l ve peut savoir ses th or mes et ne pas du tout percevoir la s paration entre leurs deux parties La perception de cette s paration ne se fait que dans la t che de v rification d un recouvrement de chaque condition avec une pr misse 2 Organisation globale et progression vers l nonc cible Le niveau global d organisation corres pond l encha nement des diff rents pas de d duction Le principe d organisation peut tre nonc tr s simplement pour deux pas de d duction deux pas de d duc tion sont encha n s en un seul raisonne ment lorsqu il y a recyclage de la conclusion du premier pas comme l une des pr misses du second Lorsqu il y a davantage de pas et surtout qu il a plusieurs encha nements qui sont d velopp s de fa on ind pendante avant de confluer en un seul encha ne ment structure d arbre le principe d orga nisation reste le m me les conclusions des REPERES IREM n 12 juillet 1993 diff rentes branches sont r unies comme pr misses d un nouveau pas de d d
4. la d monstration Educational Studies in Mathematics 22 233 261 Duval R 1992a S miosis et No sis pr print Duval R 1992b Argumenter d montrer expliquer continuit ou rupture cognitive Petit X n 31 p 37 61 Egret M A amp Duval R 1989 Comment une classe de quatri me a pris de conscience de ce qu est une d marche de d monstration An de Did et de Sci Cog 2 p 41 64 Egret M A 1990 Propositions pour introduire des l ves de coll ge l activit de d monstration Publ de l Institut de Recherche de Math matiques de Rennes Fascicule Didactique des math matiques p 1 10 Glaeser G 1971 Math matiques pour l l ve professeur Paris Hermann Gaud D amp Guichard J P 1984 Apprentissage de la d monstration Petit X 4 p 5 25 Guin D 1989 R flexions sur les logiciels d aide la d monstration en g om trie An de Did et de Sci cog 2 p 89 109 Guin D amp alii 1991 Mod lisation de la d monstration g om trique dans Geometry Tutor An de Did et de Sci Cog 4 p 5 40 L monidis E C 1990 Conception R alisation et R sultats d une exp rien ce d enseignement de l homoth tie Th se U L P Strasbourg 139 REPERES IREM n 12 juillet 1993 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF Piaget J 1967 Le Jugement et le Raisonnement chez l Enfant Neuch tel amp Niestl Padilla V 1990 Les Figures aident elle
5. ABCD C est le point de concours des diagonales AC et DB qui se coupent en leur milieu nonc du cours de 5 me O est donc le milieu de AC et DO est une m diane du triangle ADC Les trois droites DB CM et AJ tant les trois m dianes du triangle ADC sont concourantes nonc 1 2 du cours REPERES IREM n 12 juillet 1993 remarques Deux pr misses donc deux propositions sont fusionn es en une seule proposition grammaticale Deux conclusions de deux pas diff rents sont donn es en une seule phrase cfrt le graphe de la figure 3 Ici les pr misses sont sim plement donn es par la construction du participe pr sent et elles ne font pas l objet d un nonc comme pour le pas ci dessus Fig 4 Analyse de la r daction propos e par un manuel de deux pas de d duction dans la m me d monstration On peut voir que d un pas un autre ce ne sont pas les m mes choses qui sont omises En outre les propositions ayant un statut de pr misses donnent parfois lieu un nonc ind pendant et d autres fois non Cette varia tion tonnante dans l expression qui n affecte pas la validit du raisonnement traduit cependant une scotomisation de la sp cificit et de l ind pendance des unit s propositionnelles dont l nonc constitue un pas de d duction 128 REPERES IREM n 12 juillet 1993 d pend de deux niveaux d organisation Cet crasement des d
6. D Mais cette m diane s appelle aussi BD et les autres m dianes de ADC sont bien CM et AJ Jai gagn Je peux tenter de r diger les d ductions dans l ordre hypoth ses conclusion HI R daction O est le centre du parall logramme ABCD C est le point de concours des diagonales AC et DB qui se coupent en leur milieu nonc du cours de 5 me O est donc le milieu de AC et DO est une m diane du triangle ADC Mais O tant sur DB DO et DB sont la m me droite M tant le milieu de AD CM est une m diane du triangle ADC Et J tant le milieu de DC AJ est une m diane du triangle ADC Les trois droites DB CM et AJ tant les trois m dianes du triangle ADC sont concourantes nonc 1 2 du cours 123 REPERES IREM n 12 juillet 1993 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF REPERES IREM n 12 juillet 1993 L organisation globale correspond la progression des pas vers l nonc cible Elle ne concerne donc pas toutes les propo sitions mais seulement celles qui sont obtenues comme conclusions interm diaires Or cette progression pr sente des caract ristiques inhabituelles par rapport l organisation de toute autre pratique discursive ou argumentative elle se fait par substitution les unes aux autres des conclusions comme dans le d roulement d un calcul et non par accumulation de toutes les propositions c
7. d tre spontan e ou facile acqu rir chez la grande majorit des l ves Et cela pour une raison toute simple elle va l encontre de la production discursive pra tiqu e dans toute discussion et dans toute argumentation En effet dans une argu mentation les propositions y interviennent d abord en fonction de leur contenu et on ne se limite pas un ensemble de proposi tions dont le statut a t pr alablement et syst matiquement fix Duval 1992b En outre les propositions qui pourraient tre consid r es comme des nonc s tiers savoir les principes et les r gles y sont uti lis es comme des arguments et non pas comme des moules contenant d j la conclusion d tacher La distinction entre les pr misses et l nonc tiers de structure bi partite ainsi que la relation de v rifica tion qui les unit sont donc trang res au raisonnement argumentatif C est pourquoi la pratique discursive de l argumentation fait cran cette triple perception requise pour la production ou pour la compr hen sion d un pas de d duction 122 REPERES IREM n 12 juillet 1993 Il n est donc pas surprenant que des l ves qui l on a soigneusement fait s parer les hypoth ses et la conclusion oublient ensuite cet tiquetage dans la conduite de leur d monstration Le vice de raisonnement que cet oubli entra ne ne refl te que le d faut de la premi re per ception celle relative
8. d couvert que par le d veloppement de d monstra tion Mobilisation de l implication person REPERES IREM n 12 juillet 1993 nelle des l ves en les pla ant dans une situation o ils aient d battre entre eux et donc argumenter pour ou contre une solution Entra nement la manipulation d outils logiques en proposant des exercices sur les connecteurs Visualisation des diff rentes tapes dans le d veloppement de la d monstration en proposant des outils de type graphe propositionnel L h t rog n i t des solutions propos es suffirait mon trer que ce qui est simple et objectif aux yeux du professionnel des math matiques cache en fait une complexit et des d ci sions peu videntes que l on ne remarque pas ou que l on passe sous silence tout simplement parce qu elles ne rel vent pas des math matiques Mais lorsqu il s agit de s adresser un public de non profession nels lorsqu il s agit d enseignement et par cons quent d apprentissage par des jeunes coll giens ou lyc ens une telle complexit ne peut plus tre ignor e Comment leur faire comprendre ce qu est une d monstra tion et ce qui n en est pas une On ne peut pas oublier que toute d monstration est ins parable d une activi t cognitive l uvre aussi bien dans la recherche d une d monstration que dans sa pr sentation ou que dans la compr hension d une d monstration d j produite Or
9. l analyse de cette activit cognitive com plexe sous jacente toute d monstration a jusqu pr sent peu retenu l attention Il suffit d ailleurs de voir le caract re tr s g n ral de tout ce qui est crit sur le rai sonnement pour s en rendre compte Mais avant d entrer plus avant dans le probl me il importe de s arr ter sur le mot d monstration C est un mot sen sible Il suscite souvent des r actions vives de la part du math maticien d s que celui qui l emploie n est pas un math maticien INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF la d monstration cela ne peut pas tre ce que pr sente et ce qu analyse le non pro fessionnel C est aussi un mot qui suscite des associations Qui dit d monstration dit m thodes de d monstration Et on peut en num rer un certain nombre sus ceptibles d tre enseign es Glaeser 1971 p 99 112 Sans pr tendre res treindre une exp rience dont la d fense vive par les professionnels ferait croire qu elle est autant mystique que rationnel le nous d signerons dans cet article sous le terme d monstration tout raisonne ment valide permettant tablir la justes se valeur de v rit vraie d une proposi tion Le probl me de l introduction la d monstration dans l apprentissage des math matiques est donc celui de la d cou verte de ce qu est un raisonnement valide e
10. ne serait omis de ce qui concerne l organisation locale de chaque pas et l autre dans lequel tout ce qui concerne l organisation locale des pro positions serait omis La r duction de l expression la seule organisation globa le pr sente l int r t de rendre plus imm diatement accessible l id e de la d mons tration effectu e ce qui en commande l heuristique L explicitation compl te de l organisation locale de chaque pas per met une v rification de la validit mais elle pr sente l inconv nient de rendre plus difficile la compr hension de lorga nisation globale Naturellement entre ces deux extr mes de nombreux choix r dac tionnels d explicitation ou d omission sont possibles L omission de ce qui concerne l organi sation locale va dans le sens d une d g n rescence des textes de d monstration parce qu elle tend ne retenir qu un seul niveau d organisation alors que le fonc tionnement du raisonnement d ductif 127 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF organisation du pas O centre de ABCD BCD parall ogramme E T le centre d un paral est le mileu des diag O milieu de AC DB m diane du triangle est une m diane angle ADC AX est une m diane u triangle ADC E T Les troi m dianes concourent en un point Les trois droites DB CM et AJ sont concourantes O est le centre du parall logramme
11. s agit d approfondir les acquis des l ves dans les domaines suivants construction de figures explorations des figures c est dire retrouver des analogies d gager des conjectures etc Pluvinage 1986 D finitions et propri t s sont bien s r formul es en langue naturelle mais des repr sentations Guin 1989 de ces r gles doivent tre propos es de telle sorte que les l ves puissent appr hender de mani re op ratoire les nonc s tiers cest dire distinguer la partie Conditions d un nonc tiers de la partie d tacher la par tie Conclusion Deuxi me tape Dans cette tape de courte dur e une heure il s agit de provoquer une discussion dans la classe propos de diff rents nonc s et de conduire les l ves douter de la fa on dont ils comprennent le sens des nonc s qu ils lisent ou qu ils cri vent INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF Exemple d activit Proposer la classe de r fl chir aux r ponses la question de l exercice 1 four nies par deux l ves El ve MB OICD est un parall logramme parce que ses diagonales OC et ID se coupent en leur milieu El ve SM Si M est le milieu de ID et si OICD est un parall logramme alors M est le milieu de OC parce que les diagonales d un 133 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF parall logr
12. soit exprimer la valeur pist mique correspondant au statut th orique qui d termine le statut op ratoire c est dire employer un verbe d attitude proposition nelle on sait que on a suppos que on nous a dit que il est n cessaire que il s en suit que Une variante de cette seconde solution consiste pr fixer la d nomination du statut de la proposition c par hypoth se par d finition en vertu du th or me Dans les deux cas l ajout de connec teurs comme or car donc est pure ment stylistique il facilite la lecture ou l coute du raisonnement en donnant du liant une succession de propositions qui autrement serait locutivement trop heurt e D ailleurs c est seulement dans l expression d une explication ou dans celle d une argumentation que les connecteurs remplissent une r elle fonc tion d encha nement ou d organisation des propositions Ils y marquent des rela tions tablies entre le contenu des propo sitions nonc es relation de cause effet relation d opposition relation de restriction relation de condition etc Ces relations s mantiques ne doivent pas tre confondues avec l op ration de d ta chement d une conclusion laquelle consti tue le pas de d duction On voit donc que le raisonnement d ductif la diff rence de argumentation ou de l explicat
13. utilisant non pas des connecteurs mais des expressions d attitude propositionnelle on sait que pr misse gr ce au th or me je suis s r que conclusion Dans cette phase il n y a pas non plus de corrig type au tableau Seuls quelques extraits diff rents sont lus Dans la classe de quatri me o a eu lieu lexp rience une douzaine d heures de cours ont t consacr es l apprentissage de la d monstration les deux tiers de la classe proposent alors des textes dans les quels sont sous jacents les deux niveaux d organisation du raisonnement d ductif ces textes sont longs r dig s de mani re un peu lourde en un ou plusieurs paragraphes Ce n est que par la suite qu une nette vo lution dans le style et la concision des textes des l ves appara t Conclusion Il n est peut tre pas inutile de rappe ler les trois points gui d limitent le domai ne des analyses pr c dentes et des exp riences auxquelles elles r f rent Par d monstration nous avons d si gn tout raisonnement valide permettant d tablir la justesse valeur de v rit vraie d une proposition 136 REPERES IREM n 12 juillet 1993 Le raisonnement d ductif c est dire celui qui fonctionne par op ration de d ta chement sur des propositions organis es en fonction de statuts th oriques pr alable ment fix s est le raisonnement type du rai sonnement valide
14. viter au plan discursif la f cheuse impression de r p tition De m me si l nonc tiers utiliser pour passer des pr misses la conclusion est trop trivial il peut galement se trouver omis Pour montrer les al as d expression que cela entra ne nous avons sch matis dans le tableau de la page suivante Fig 4 l analyse de la r daction du manuel de 4 me que nous avons cit e plus haut cf Partie II Qu on ne se trompe pas sur le choix et sur la port e de l exemple choisi On peut faire les m mes constatations sur la r daction des d monstrations dans tous les manuels Et m me dans certains la r daction appara t hautement fantaisiste INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF Alors comment un l ve peut il s y retrou ver En fait seuls les nonc s de toutes les conclusions interm diaires chappent cette possibilit d omission ou de saut l exception parfois de ceux qui paraissent trop vidents ou presque tautologiques Cela revient dire que la seule expres sion qui soit importante et irr ductible est celle qui concerne le seul niveau glo bal d organisation d ductive celui qui correspond la progression vers l nonc cible et ses principales tapes Tout ce qui concerne le niveau local d organisa tion peut tre omis L expression du raisonnement d duc tif peut donc varier entre deux extr mes l un dans lequel rien
15. IJ JB Soient K et L deux points du segment AC tels que AK KL LC D montrer que les droites IK JL et BC sont parall les REPERES IREM n 12 juillet 1993 Mise en commun possible pour mon trer que les droites IK et BC sont paral l les tracer la droite BK et s int resser au point d intersection de cette droite et de la droite JL Se placer ensuite dans le tri angle BKC La dur e approximative de cette phase est environ de 35 40 min Cette phase est sans doute la plus difficile Pendant l exp rience il s est r v l que le fait d avoir com pris ce qu est l organisation d ductive chan geait le sens du travail au cours de cette phase de recherche Principe 2 proposer de construire un graphe propositionnel r seau pour repr senter dans un registre de repr sentation non discursive l organisation d ductive des propositions Pour repr senter une d monstration par un r seau graphe propositionnel nous donnons aux l ves d s la construc INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF tion du premier graphe les consignes sui vantes des pr misses hypoth ses ou conclu sions interm diaires partent une fl che les nonc s tiers d finitions th o r mes sont des n uds il n aboutit qu une seule fl che une conclusion si elle n est pas la conclusion finale il doit repartir une fl che Ce
16. REPERES IREM n 12 juillet 1993 INTRODUCTION A LA DEMONS TRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF R DUVAL et M A EGRET Irem de Strasbourg Diderot a d velopp le Paradoxe sur le Com dien On pourrait dans le m me sens d velopper le Paradoxe du Math maticien lorsque celui ci s adresse un public de non professionnels de sa discipline La d marche qui est ses yeux vraiment objective qui seule permet d tablir la v rit d une affir mation et qui exclut toute obscurit comme toute ambigu t d interpr tation se r v le tre la moins communicable et la plus sujet te quivoque d s qu il ne s adresse plus un pair Davantage m me non seulement les efforts d ploy s ne l vent pas les incom pr hensions rencontr es ma s ils renforcent une r pulsion l gard de la d monstration qui s tend l image des math matiques Et 114 cela aussi bien aupr s d un public d l ves de coll ge que de lyc ens ou m me d tu diants de DEUG Pourtant ce n est pas le nombre et la vari t des solutions propos es qui man quent Au total on a essay de jouer sur tous les tableaux Effet de s duction en proposant une activit de recherche sur des probl mes conduisant de beaux r sul tats math matiques Effet de surprise ou de suspense en restreignant les d mons trations aux situations dans lesquelles ce qui est d montrer ne peut tre
17. aitement occult es sans nuire la r ussite de la t che De l autre c t la valeur pist mique d une proposition li e son sta tut th orique ou son statut op ratoi re dans le fonctionnement d un pas de d duction pr misse nonc tiers conclusion ne peut tre exprim e que dans le registre de la langue naturelle Et on se rappelle que l expression la plus spontan e la plus habituelle la plus struc turelle aussi des valeurs d une proposition est l emploi de verbes dit d attitudes pro positionnelles ou l emploi de constructions quivalentes savoir que dire que 132 REPERES IREM n 12 juillet 1993 conclure que affirmer que supposer que tre certain que tre vident que L articulation entre les deux registres est donc n cessaire pour qu il y ait prise de conscience du fonc tionnement du raisonnement d ductif Le travail dans le registre non discursif permet de prendre conscience du fait que la conclusion r sulte d une op ration de d ta chement reposant sur le double statut th orique et op ratoire des propositions nonc es L expression dans le registre de la langue naturelle permet de prendre conscience du changement de valeur pist mique pour la proposition qui acquiert le statut de conclusion dans un pas de d duc tion Or pour qu une telle prise de conscien ce puisse se produire il est essentiel que la t che d exp
18. amme se coupent en leur milieu Donner la consigne suivante voici des nonc s dans des tiquettes suppri mer les connecteurs des deux phrases ci dessus Relier ces tiquettes par des fl ches pour que repr sentations et phrases aient la m me signification La r action des l ves est tonnante pour le premier nonc certains propose un sens de fl che correct d autres se trompent de sens et quelques uns proposent de mettre une fl che dans les deux sens Le conflit est l int rieur de la classe Pour le deuxi me nonc plus complexe rares sont les l ves proposer un graphe correct au cours de l exp rimentation l l ve SM elle m me nous dit je me rends compte que je n avais pas compris ce que j avais crit Mais la variation de sens de la m me proposition OICD est un parall lo gramme en fonction de ses statuts diff rents dans les deux phrases est apparue Egret 1989 Ce court travail permet de faire prendre conscience aux l ves de la diff rence de sens entre ces deux nonc s Cependant nous n allons pas plus loin dans l explication des deux phrases On peut bien s r cr er ce conflit en extra yant d un travail de la classe le m me type d nonc s Troisi me tape rappelons en les trois principes Duval amp Egret 1989 1 S parer la phase heuristique de la phase d organisation d ductive 2 Proposer de construire u
19. arche et d en tablir ainsi la v rit Et nous avons vu que le point essentiel sur lequel le raisonnement d ductif divergeait de l argumentation ainsi que de tout fonctionnement discur sif en langue naturelle tait l organisa tion locale de chaque pas La compr hen sion du fonctionnement d un pas de d duction appara t donc comme le point strat gique pour l apprentissage du rai sonnement d ductif et pour la d couverte de ce que sont un raisonnement valide et 129 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF une d monstration C est seulement dans cette compr hension que la conclusion acquiert la valeur pist mique de n cessi t pour celui qui effectue le pas de d duc tion La conviction qu entra ne un raison nement valide d coule intrins quement de cette compr hension de son fonctionne ment La compr hension du fonctionnement d un pas de d duction implique une d cen tration du contenu des propositions au pro fit de leur statut op ratoire ainsi qu une utilisation des th or mes dans le sens d une op ration de d tachement et non dans celui d une justification causale l ga le ou autre Quelles t ches permettent de faire atteindre ces deux objectifs 1 N cessit d un travail dans le registre d une repr sentation non discursive La diff renciation entre le contenu et le statut d une proposition est une distinction trang re au
20. de d duction apr s v rification que les pr misses correspon dent bien l autre partie de l nonc tiers celle qui est parfois introduite par si Cette op ration de d tachement ne se retrouve dans aucune autre forme de pratique discursive y compris l argumen tation Donner un argument pour justifier une affirmation n est pas pratiquer une op ration de d tachement On comprend donc que le fonctionnement d un pas de d duction soit insoup onnable de la plu part des l ves En effet la production ou la compr hension d un pas de d duction par un l ve n cessite une triple perception la perception que l organisation des pro positions constituant un pas se fait en fonc 121 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF tion de leur seul statut op ratoire d termi n par le statut th orique la perception de la s paration en deux parties des nonc s tiers une partie de propositions qui doivent tre donn es comme pr misses la partie Conditions et une partie d tacher la partie Conclusion la perception que la seule t che effec tuer pour effectuer un pas de d duction est de comparer les pr misses la partie Conditions de l nonc tiers S il y a recou vrement mapping on ne produit pas une autre proposition on d tache seulement la partie Conclusion de l nonc tiers Cette triple perception est loin
21. du raisonnement d ductif et l expression du raisonnement d ductif en langue naturelle Elle conduit m me opposer le fonctionnement du raisonne ment d ductif toutes les pratiques dis cursives qui sont spontan es ou habi tuelles dans le cadre d une discussion ou dans celui d une explication La question INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF de la n cessit ou de utilit de la t che de r daction d une d monstration du moins dans le cadre d un apprentissage du rai sonnement d ductif et d une d couverte de ce qu est une d monstration s impose donc Est il vraiment n cessaire de demander des l ves de Coll ge d crire une d monstration ou au contraire ne serait ce pas la phase de recherche sur la figure qui serait la seule phase importante pour un bon apprentissage des math ma tiques Que peut leur apporter la t che de r daction lorsqu ils ont trouv ou lorsqu on les a aid s trouver les th o r mes ou les propri t s utiliser pour d montrer un nonc cible d termin Et de toutes fa ons cette t che ne serait elle pas au dessus des moyens de nombre d l ves de Coll ge IV Le probl me de l apprentissage Nous avons vu qu un raisonnement tait une d marche discursive dont le but est de modifier la valeur pist mique d un nonc cible dans le sens de la n cessit de son assertion en cas de vali dit de la d m
22. e ou celle induite pour celui qui est adres s e l argumentation C est en raison du recours une double valeur pist mique s mantique qu une argumentation ne fonc tionne pas par modus ponens comme un pas de raisonnement d ductif Ainsi une situation d argumentation peut devoir g rer un conflit non pas entre une valeur pist mique th orique et une valeur pist mique s mantique mais entre les valeurs pist miques s mantiques propres REPERES IREM n 12 juillet 1993 chaque interlocuteur En revanche il ne peut pas y avoir de conflit entre deux valeurs pist miques th oriques hormis le cas de paradoxe On voit donc le point fondamental que le raisonnement d ductif et l argumenta tion ont en commun ils jouent tous les deux sur la valeur pist mique des proposi tions Mais on voit aussi la premi re diff rence importante qui les oppose Le raison nement d ductif joue indirectement sur la valeur pist mique des propositions par le biais de statuts fix s de fa on externe cf fig 2 L argumentation au contraire joue directement sur la valeur pist mique des propositions sans para tre se soucier de leur statut C est en raison de cette diff rence que le raisonnement d ductif est un raisonnement dont la validit peut tre contr l e tandis que l argumentation est un raisonnement dont il est impossible de contr ler la validit mais dont il est seule ment possib
23. ents un statut th orique et un statut op ratoire Le statut th orique est fix avant m me la production du raisonnement par un nonc qui donne les hypoth ses l nonc du probl me et par un corpus d axio mes de d finitions et de th o r mes d j acquis et constituant le r ser voir de moyens dans lequel on peut pui ser ce dont on a besoin pour d montrer le r sultat demand ou cherch L explici tation et la distinction des diff rents sta tuts th oriques possibles pour une propo sition nonc e est naturellement tr s ancienne Elle est la base des l ments d Euclide Ce qu on a appel la forme euclidienne ou encore le raisonnement more geometrico repose sur l explica tion syst matique et pr alable du statut th orique conf r aux diff rentes proposi tions qui vont servir de cadre et d appui la production des raisonnements la forme euclidienne c est la forme d mons trative Caveing 1990 p 114 M me si la liste des diff rents statuts th oriques dis tingu s s est trouv e un peu modifi e 118 REPERES IREM n 12 juillet 1993 depuis Euclide le principe d une explici tation syst matique et pr alable de sta tuts th oriques reste le m me Le statut op ratoire est interne l organisation du pas de raisonnement G n ralement pour d finir le raisonne ment on se contente de mentionner la rela tion entre deux sta
24. es qui ne sont pas vraies et des propositions vraies qui ne sont pas videntes De m me il y a des propositions qui ont t re ues comme absurdes et dont on a d montr la v rit La valeur pist mique d une proposition nonc e reste souvent implicite Son expli citation se fait par le recours des verbes dits d attitude propositionnelle c est dire des verbes ou des expressions qui introduisent comme compl tives la propo sition dont ils explicitent la valeur croire que penser que imaginer que admettre que affirmer que supposer que savoir que dire que tre certain que tre vident que etc C est partir de cette double distinc tion que l on peut analyser le fonctionne semantiq 117 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF ment d un raisonnement et plus particu li rement celui d un raisonnement valide effectu avec des propositions nonc es en langue naturelle comme c est le cas pour les d monstrations en g om trie Cette double distinction entra ne un jeu de d pendances qui peut tre repr sent par le sch ma de la page pr c dente fig 1 1 Le statut d une proposition est fix par le contexte d nonciation fl che 1 Il ne d pend en rien du contenu de la proposi tion 2 Une m me proposition peut avoir dans le cours d un raisonnement deux sta tuts diff r
25. eux niveaux en un seul a des effets didactiques pervers que l on retrouve jusque dans la fa on dont pr sente g n ralement la d monstration un chemin qui part d hypoth ses et qui va vers une conclusion en appliquant des th or mes Deledicq 1988 p 166 Cela peut m me tre visualis en crivant d un c t d une feuille ou d un cran les hypo th ses qui sont donn es au d part et de l autre c t la conclusion d montrer Cela revient mettre en avant l organisa tion globale alors que le probl me de com pr hension concerne d abord l organisation locale d un pas et son fonctionnement En privil giant la concision c est dire en privil giant l omission ou la contraction de ce qui rel ve du niveau de l organisation locale et en marquant le statut des propo sitions par des connecteurs c est dire en masquant le fait que les propositions s arti culent uniquement en fonction de leur sta tut op ratoire on obtient des textes de d monstration qui sont que des textes d g n r s Ils ne traduisent plus le fonc tionnement sp cifique au raisonnement d ductif et ils ne peuvent tre assimil s au mieux par des non professionnels des math matiques qu des textes d argumen tation sans aucune vigueur propre toute discussion et sans force de conviction Toute cette analyse de l expression en langue naturelle conduit s parer le fonc tionnement
26. i re Et c est seulement dans l interaction de traite ments effectu s et progressivement ma tri s s dans ces diff rents registres que se d veloppe l aptitude faire de la g om trie dans le sens qu un professionnel donne cette expression Pour la d mons tration comme pour toutes les autres acti vit s qui ne sont pas acquises de fa on inn e c est dans la coordination de sys t mes d action ou de repr sentation h t rog nes entre eux que se forme ce qui au terme de l acquisition para t simple et imm diat REPERES IREM n 12 juillet 1993 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF R f rences Anderson J R amp Franklin Boyle C 1987 Cognitive principles in the design of computer tutors in Morris P ed Modelling Cognition John Wiley amp Sons Ltd p 93 133 Blanch 1980 Raisonnement Encyclop dia Universalis Paris Caveing M 1990 Introduction g n rale in Euclide Les l ments tr Vitrac vol I Paris P U F Duval R 1988 Approche cognitive des probl mes de g om trie en termes de congruence Annales de Didactique et de Sciences cognitives 1 p 57 74 Duval R amp Egret M A 1989 L organisation d ductive du discours inter action entre structure profonde et structure de surface dans la d monstration An de Did et de Sci Cog 2 p 25 40 Duval R 1991 Structure du raisonnement d ductif et apprentissage de
27. ion ne requiert l emploi d aucun connecteur 126 REPERES IREM n 12 juillet 1993 Pourtant cest des connecteurs que l on recourt surtout pour exprimer dans l expression d une d monstration lorga nisation des propositions dans un pas de d duction et plus particuli rement abominable si alors Comment comprendre cet usage massif de connec teurs et pourquoi qualifier d abominable l emploi du si alors Ind pendam ment de a promotion abusive comme point cl de Pacc s au raisonnement for mel qui en fut faite dans l enseignement apr s les ann es 70 et sous la caution de la th orie piag tienne le si alors est employ indiff remment dans les textes de d monstration pour exprimer deux choses totalement diff rentes D une part les statuts fonctionnels de v rit ceux d ant c dent et de cons quent dans une relation d implication mat rielle souvent employ e pour la formulation de certains th or mes D autre part les statuts non ciatifs d assertion ceux de pr misse et de conclusion dans le fonctionnement d un pas de d duction Employer le si alors pour exprimer ces deux types de statut revient assimiler entre elles l expression d une relation qui fait l objet d une seule assertion et l expression d un pas de raisonnement qui articule plu sieurs assertions celle de chaque pr mis se et celle de la conc
28. l ne suffit pas de pr senter des orga nigrammes de d monstration ou de les faire construire pour faire op rer la diff renciation entre statut et contenu ainsi que la d centration du contenu au profit du sta tut Il faut que la t che demand e dans ce registre et les moyens donn s pour ex cuter cette t che aient pour objet cette dif f renciation et cette d centration Autre ment dit il faut que la t che et les moyens donn s portent en priorit sur le fonction nement d un pas de raisonnement et non sur l organisation globale structure d arbre du raisonnement d ductif On peut en effet demander une construction du graphe propositionnel en fixant la t che de la fa on suivante trouver un chemin qui joigne les hypoth ses et la conclusion plac es respectivement droite ou gauche en haut ou en bas d un cran ou d une feuille La t che de construction porte alors sur le choix des d finitions ou des th or mes qui en partant de la conclu sion ou en partant des hypoth ses permet tent de faire la jonction Il s agit d une t che essentiellement heuristique REPERES IREM n 12 juillet 1993 On peut aussi demander une construc tion du graphe propositionnel en fixant la t che tout autrement Des consignes de construction sont donn es qui concernent strictement le statut des propositions des hypoth ses il part une fl che mais il n y en arrive aucune il arrive une fl che l no
29. le d valuer la pertinence Duval 92b Il nous faut maintenant examiner le fonctionnement du raisonnement d ductif lequel joue indirectement sur les valeurs pist miques c est dire prend les proposi tions nonc es non pas par rapport leur contenu mais par rapport aux statuts que le contexte nonciatif d termine H Les deux niveaux d organisation dans le fonctionnement du raisonnement d ductif Si on compare l organisation d un rai sonnement d ductif celle dune argumen tation on d couvre que le raisonnement INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF d ductif comporte deux niveaux d organisa tion pour les propositions nonc es et non pas un seul Il y a d une part l organisa tion locale des propositions propre chaque pas de d duction et d autre part l organisa tion globale des propositions propre l orientation vers l nonc cible Ces deux niveaux ne rel vent pas des m mes prin cipes et ne correspondent pas au m me fonctionnement cognitif 1 Organisation et fonctionnement d un pas de d duction L organisation d un pas de d duction d pend enti rement du statut op ratoire des propositions nonc es et non pas de leur contenu Cela permet d effectuer une op ration tr s particuli re une partie de l nonc tiers celle qui est parfois intro duite par alors est d tach e comme conclusion du pas
30. lexit cognitive cach e sous ce qu on appelle d monstration et d en montrer les cons quences pour l enseignement 116 REPERES IREM n 12 juillet 1993 I Qu est ce qui est mobilis par le fonctionnement d un raisonnement Chacun sait que raisonner ce n est pas d crire ou expliquer Les fonctions et le fonctionnement cognitif de ces activit s sont tr s diff rents Mais peut on dire de fa on pr cise o se situent ces diff rences et plus particuli rement en quoi consiste le fonctionnement sp cifique du raisonnement par rapport celui d une explication ou celui d une description Chacun peut alors vite se rendre compte que r pondre ces questions en parlant de logique de rigueur d encha nement rel ve d asso ciations toutes faites et que cela naide en rien cerner ce qui fait le fonctionnement sp cifique d un raisonnement Comme toute explication et comme toute description un raisonnement met en jeu des propositions qui sont nonc es c est dire qui sont soit affirm es soit ni es soit suppos es soit mises en ques tion Or d s qu il y a nonciation de pro positions il est n cessaire de prendre en compte deux distinctions concernant les propositions celle entre leur contenu et leur statut et celle entre leur valeur pist mique et leur valeur de v rit Ces deux distinctions sont fondamentales pour ana lyser le fonctionnemen
31. lusion via nonc tiers Mais par del cette duplicit d emploi du si alors dans les d monstrations le recours aux connec teurs pour exprimer les statuts noncia tifs cr e une illusion au sens fort du terme l articulation des propositions en un pas de d duction para t d pendre des connecteurs et non plus des propositions connect es Il n y a rien d tonnant alors ce que le statut d hypoth se et celui de conclusion d montrer soient oubli s au profit du seul contenu des propositions et REPERES IREM n 12 juillet 1993 que par suite on m lange les hypoth ses et la conclusion 2 la variabilit r dactionnelle du raisonne ment d ductif et la d g n rescence des textes de d monstration Il y a beaucoup de degr s de libert dans l expression d un raisonnement d ductif et les choix effectu s n affectent en rien sa validit Nous venons de voir par exemple qu il y avait diff rentes mani res de marquer le statut des propo sitions et que le marquage du statut n tait pas n cessaire m me s il est utile titre de rappel Mais le principal facteur de variation tient au fait qu il n est pas n cessaire d noncer toutes les proposi tions intervenant effectivement dans l organisation d un pas de raisonnement Ainsi si la conclusion recycler en pr mis se appartient au pas juste ant rieur et vient d tre nonc e elle peut tre omise pour
32. n c cible mais il n en part aucune il peut arriver plusieurs fl ches aux nonc s tiers mais il n en part qu une seule les hypo th ses et l nonc cible ne sont pas d j repr sent s comme extr mit s d un arbre et une recherche pr alable a d j permis de s lectionner les nonc s tiers utiliser La construction du graphe prend alors une signification diff rente la t che de construction porte sur la d termination du statut des propositions organiser En outre les consignes de construction servent de moyens de contr le extr mement simples que les l ves peuvent eux m mes utiliser pour valuer et corriger leurs pro ductions Il ne s agit plus alors d une t che heuristique mais d une t che d organisation d ductive Contrairement ce qu on pourrait croire les diff rences entre ces deux t ches de construction ne sont pas des dif f rences n gligeables D une part pour une bonne proportion d l ves il n est pas trivial de placer toutes les hypoth ses sans les relier successivement ou sans les faire d pendre d une autre proposition une extr mit de l arbre D autre part il appara t que les th or mes sont repr sen t s sans tre reli s des pr misses comme des arguments dans le discours ordinaire Les premi res t ches d organi sation d ductive sont en fait une occasion spectaculaire pour les l ves d objectiver leur compr hension du raison
33. n graphe propo 134 REPERES IREM n 12 juillet 1993 sitionnel r seau pour repr senter dans un registre de repr sentation non discursive l organisation d ductive des propositions 3 R diger ce qui permet la prise de conscience de tout ce qu implique l labora tion d un graphe et son organisation Principe 1 appliquer d s le d part s parer la phase heuristique de la phase d organisation d ductive Les l ves travaillent par groupes de trois ou quatre pendant une vingtaine de minutes puis proposent un plan de solution cela peut tre trouver une figure extraite ou rajouter une construction qui permet de trouver un ou des th or mes appliquer L enseignant r pond aux demandes des groupes il coute les propo sitions des groupes et rappelle soit le but fix soit les nonc s de d part ou propose des aides possibles ou encourage pers v rer dans une voie qui para t int ressante Une mise en commun orale la figure est dessin e au tableau est alors faite et tous les l ves ont une id e de la solution la fin de cette phase Voici par exemple la mise en commun d un exercice propos Rauscher 1989 des l ves en fin de qua tri me d but troisi me qui ne connaissent que le cas particulier du th or me de Tha l s appliqu aux milieux voir figure page suivante ABC est un triangle Soient I et J deux points du segment AB tels que AI
34. nement de la contr ler et de la faire voluer et pour les enseignants de prendre conscience de INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF difficult s qui ne sont pas toujours appa rentes chez des l ves capables de repro duire des explications ou des textes accep tables Plus particuli rement ces pre mi res t ches d organisation d ductive mettent en pleine lumi re la d ficience chez la plupart des l ves de cette triple perception qui est n cessaire la compr hension d un pas de d duction voir plus haut II 1 2 N cessit de l expression en langue natu relle Le travail dans un registre de repr sentation non discursive n est qu un d tour La production d un graphe propositionnel juste ne peut pas tre consid r comme suf fisante Un retour au registre la langue naturelle est absolument n cessaire Pour quoi Cette affirmation peut en effet d autant plus surprendre que nous avons longuement insist sur la s paration entre le fonctionnement du raisonnement d duc tif et son expression en langue naturelle Il y a tout d abord une raison essentiel le sur laquelle Piaget a insist dans ses premi res recherches sur les rapports entre le langage et la pens e c est dans l expres sion discursive spontan e qu un sujet prend conscience de propri t s ou de distinctions dont il peut tenir compte dans l action sans pour autant l a
35. omme dans les autres formes de pratique discursive Les conclusions se remplacent comme dans un affichage sur cran elles ne contribuent pas d couvrir une vision d ensemble comme les multiples traits de pinceau constituant un tableau III L expression du raisonnement d ductif en langue naturelle La question de l expression du raison nement d ductif ne peut videmment tre _ pos e et tranch e qu partir d une analyse de son organisation et de son fonctionne ment Nous la formulerons donc ainsi comment l organisation locale des proposi tions en fonction de leur statut et celle glo bale des pas de d duction par recyclage des conclusions ant rieures peuvent elles tre linguistiquement marqu es Cette ques tion de l expression du raisonnement d ductif est une question dont l enjeu est important il s agit de savoir si la pr senta tion linguistique d un raisonnement d duc tif peut en exprimer le fonctionnement Toutes les analyses pr c dentes nous assu rent d j de deux points importants INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF l organisation d un pas de d duction et lencha nement des diff rents pas ne d pen dent en aucun cas de l emploi de connec teurs l expression du raisonnement d ductif comprend autant de degr s de libert que l on veut En examinant par rapport ces deux points les textes de d monstrations pr
36. opo s s aux l ves ou les normes de r daction qu on tente d imposer on constate que les textes propos s ou souhait s d guisent le fonctionnement du raisonnement d ductif ils renforcent illusion langagi re des connecteurs crasent la diff rence entre les deux niveaux d organisation et introduisent des raccourcis tr s subjectifs 1 L illusion langagi re des connecteurs Que l on examine l organisation locale des propositions en un pas de d duction ou celle globale du raisonnement le recours des connecteurs est inutile et non perti nent Cela est imm aiat pour l organisation globale puisque l encha nement des pas se fait par une reprise de la conclusion ant rieure en pr misse du pas suivant Cela demande un peu plus d attention pour l organisation locale des propositions en un pas de d duction Il faut tout d abord se rappeler deux choses L organisation locale d pend du sta tut th orique pr alablement fix pour chaque proposition utilisable Et le statut d une proposition d termine non pas sa valeur de v rit mais sa valeur pist mique Pour exprimer l articulation des 125 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF propositions en un pas de d duction il y a donc deux solutions possibles soit se contenter d noncer les propo sitions sans aucune autre pr cision puisque leur statut op ratoire est d j fix et connu
37. propositions voit bien que la proposition n a aucune vidence th orique tant qu elle ne peut pas tre n cessairement d riv e de propositions d j tablies Et il ne comprend pas que l apposition d une tiquette chaque propo sition pour indiquer son statut th orique et l explication du mode d emploi aient peu ou pas d efficacit aupr s des l ves De l interpr ter les checs et les confusions comme une absence de maturit ou comme une incapacit raisonner il n y a qu un petit pas 5 Une valeur de v rit est associ e chaque valeur pist mique fig 1 trait 4 Mais cette association n est pas la m me dans toutes les disciplines et dans toutes les situations de discussion Ainsi on n a pas les m mes associations en math ma tiques dans les sciences exp rimentales en histoire ou encore dans le cadre d une conversation sur un sujet d actualit Par exemple la valeur pist mique vident et la valeur de v rit vrai sont spontan ment et g n ralement associ es C est pour quoi il est incompr hensible de vouloir d montrer ce dont le contenu a une valeur pist mique s mantique d vidence De m me on associe g n ralement les valeurs absurde et faux Mais en math matiques la valeur de v rit vrai est exclusivement associ e la valeur pist mique n cessaire laquel le peut seulement tre obtenue par le sta
38. r contraste avec celui d une argumentation Partie Il Nous en arrive rons naturellement au probl me de l expression en langue naturelle d une d monstration c est dire au probl me de ses normes de ses caract ristiques et sur tout celui de son utilit Partie TT C est alors seulement que nous pourrons poser le probl me crucial de l apprentissage toutes les analyses pr c dentes permettent elles de d gager un point d appui solide et per mettent elles galement de comprendre sur quoi jouent les diff rentes solutions propos es jusqu pr sent et d estimer leur perti nence Partie IV Une mise en uvre didactique sera alors seulement ensuite propos e Partie V Malheureuse ment le cadre d un seul article est trop troit pour replacer cet aspect d cisif de la d couverte de ce qu est un raisonnement valide et pour situer ce qu il apporte par rapport d autres aspects comme lheuris tique et le travail sur des figures Nous nous contenterons d en voquer les grandes lignes en conclusion Naturelle ment toutes les analyses qui seront d ve lopp es ici s appuient sur des exp riences et sur l observation de l volution des pro ductions d l ves au cours de ces exp riences Elles ont t expos es dans d autres articles Duval 1989 1991 Egret 1989 1990 Plut t que de r p ter ce qui peut tre lu ailleurs il nous a paru plus utile de bien mettre en vidence la com p
39. ression demand e soit libre c est dire n impose ou ne propose ni contraintes ni mod le de r daction Et c est justement l ind pendance entre le fonction nement du raisonnement d ductif d une part et son expression en langue naturelle d autre part qui permet la t che de r daction de jouer un r le essentiel dans cette prise de conscience Fixer au d but ou en cours d apprentissage des normes d expression est un contre sens qui a pour effet de bloquer chez beaucoup d l ves le processus de prise de conscience Car le probl me de l apprentissage n est ni une question de savoir ou de savoir faire por tant sur des th or mes ou sur l utilisation de connecteurs ou encore sur des m thodes de d monstration ni une question de matu rit qui viendrait avec l accumulation des exercices ou des ann es d enseignement cest d abord une question de prise de conscience Et qui dit prise de conscience dit distanciation par rapport un mode de fonctionnement familier habituel ou domi REPERES IREM n 12 juillet 1993 nant et objectivation d un autre mode de fonctionnement V L organisation de l apprentissage en classe Ces t ches visant la prise de conscience du fonctionnement sp cifique du raisonnement d ductif peuvent tre propos es aux l ves de coll ge en trois tapes Premi re tape A partir de la 6 me un travail en amont de la d monstration doit tre men Il
40. s voir en g om trie An de Did et Sci Cog 3 p 223 252 Padilla V 1992 L influence d une acquisition de traitements purement figuraux pour l apprentissage des math matiques Th se U L P Stras bourg Pluvinage F amp Rauscher J C 1986 La g om trie construite l essai Petit X 11 p 5 36 Rauscher J C 1989 Le th or me des tiers Suivi scientifique 3 me p 75 79 140
41. s consignes simples permettent de comprendre l organisation d un pas de d duction elles sont un moyen de contr le efficace pour l l ve soi m me entre les l ves et entre l l ve et l enseignant Aucun r seau type n est impos il n y a ni ordre ni pr sentation obligatoires Les l ves construisent seuls leur graphe Tout r seau est accept et l enseignant propose individuellement des corrections par exemple il signale que la partie Conditions de ce th or me a deux pr misses et cepen dant il n y a qu une seule fl che qui abou tit l nonc tiers Toutefois les id es int ressantes trouv es par l un ou l autre l ve pour am liorer la prise de conscience sont communiqu es la classe par exemple rajouter des couleurs pour diff rencier les diff rents statuts Apr s trois ou quatre s ances une par semaine le graphe propositionnel qui n est qu un outil n est plus contr l par l ensei gnant Principe 3 r diger ce qui permet la prise de conscience de tout ce qu implique F la boration d un graphe et son organisation 135 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF Nous demandons aux l ves apr s 2 ou 3 semaines d crire un texte qui n est en fait que la description de leur graphe Les l ves voient alors la figure travers l organisation du graphe Ils vont marquer le statut des propositions en
42. t cognitif sp cifique du raisonnement et pour pouvoir le distin guer de celui d une explication ou de celui d une description La distinction entre le contenu et le statut d une proposition est une distinction presque vidente Une m me proposition peut tre nonc e dans des d veloppements discursifs diff rents avec des r les diff rents elle peut tre introduite comme r gle comme hypoth se comme d finition REPERES IREM n 12 juillet 1993 comme argument comme conclusion Plus g n ralement les propositions nonc es ont toujours deux faces leur contenu et leur contexte d nonciation Le statut d pend du contexte d nonciation La distinction entre valeur pist mique et valeur de v rit est peut tre moins imm diate saisir Elle s impose cependant d une fa on aussi ind niable que la pr c dente D un c t une proposition nonc e est ou vraie ou fausse ou d une valeur de valeur de v rit non encore d termin e D un autre c t une proposi tion nonc e appara t d embl e vidente absurde vraisemblable arbitraire n ces saire ou possible Ces valeurs pist miques doivent tre soigneusement distin gu es des valeurs de v rit car elles en sont ind pendantes Il est trivial mais non INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF pas inutile de rappeler ici qu il y a des propositions vident
43. t d ductif n quivaudrait il pas REPERES IREM n 12 juillet 1993 attacher trop d importance la phase de r daction C est ce partage entre phase de recherche et phase facultative de r dac tion qu il importe de remettre en question La s paration entre une phase de recherche et une phase de r daction ou plus pr cis ment une phase de mise en forme de la d monstration trouv e est une s paration didactiquement trompeuse En effet cette s paration ne correspond pas du tout au m me partage d activit pour celui qui a compris ce qu est un raisonnement valide et comment fonctionne un raisonnement valide et pour celui qui ne l a pas compris Et cela concerne en priorit la phase de recherche celui qui n a pas compris le fonctionnement d un raisonnement valide ne dispose ni de v ritables rep res ni de v ritables crit res dans sa recherche Et il ne dispose pas de cadre pour assimiler des d marches heuristiques Il est d ailleurs surprenant de constater que le plus sou vent les phases de recherche sont d crites et organis es en fonction de ce que nous avons appel l organisation globale d un raisonnement d ductif Il suffit par exemple de se reporter la pr sentation de la phase de recherche dans la page du manuel cit e pour haut elle n est qu une autre r daction acceptable de la d monstration Autrement dit la s para tion entre phase de recherche et phase de r dac
44. t de la compr hension de son fonctionne ment Or ce probl me devient particuli re ment aigu lorsqu il s agit de raisonne ments valides mettant en jeu des nonc s en langue naturelle comme c est le cas en g om trie Car il s agit alors de ne pas confondre un raisonnement dont la validi t peut tre contr l e comme le raisonne ment d ductif avec des raisonnements dont la validit ne peut pas tre contr l e comme une argumentation Et plus parti culi rement il s agit de d couvrir ce qu apporte un raisonnement valide ta blissant la justesse d une proposition d j nonc e et connue par rapport la valeur pist mique que cette proposition pouvait avoir avant sa d monstration Nous n allons donc pas pr senter direc tement une solution ou une s quence didactique d crivant comment s y prendre pour qu enfin a marche Nous allons plut t commencer par remonter en amont 1 La valeur pist mique est le degr de certitu de ou de conviction attach une proposition 115 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF en analysant le mode sp cifique sous lequel les propositions nonc es intervien nent dans un raisonnement par contraste avec celui sous lequel elles interviennent dans une explication une description ou un r cit Partie I Puis nous d crirons en d tail le fonctionnement du raisonnement d ductif pa
45. tion se fait sur le pr requis de la com pr hension du fonctionnement d un raison nement valide La recherche comme la r daction requi rent cette acquisition Le type d apprentissage que toutes les ana lyses pr c dentes conduisent mettre en valeur est un travail d organisation d duc tive qui doit se faire dans deux registres Il n a d aucune mani re l objectif que l on INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF assigne ordinairement la phase de r dac tion Reste la question de l heuristique lors qu on a compris le fonctionnement du rai sonnement d ductif Dans le travail de recherche au moins dans la g om trie qui est enseign e au Coll ge ou au Lyc e un part importante est classiquement recon nue aux figures Elles fournissent un appui intuitif qui permet une grande conomie dans la reconnaissance des objets math matiques et dans l appr hension de leurs relations on voit sur la figure que Mais en r alit les figures aident elles vraiment voir en g om trie Remplis sent elles v ritablement et spontan ment ce r le qu on leur pr te tr s souvent na ve ment de domaine commun au math mati cien et au d butant sur lequel les deux pourraient s entendre et se comprendre Force est de constater que ce n est pas le cas sur les figures et les questions les plus simples et historiquement parmi les plus anciennes Padilla 1990 Et
46. tut op ratoire de conclusion M me l asso ciation entre absurde et faux n est pas accept e on a tabli la v rit de proposi 120 REPERES IREM n 12 juillet 1993 tions dont la valeur pist mique tait celle de l absurdit Cette restriction dans l association entre valeur pist mique et valeur de v rit vient ajouter au facteur d incompr hension que nous venons de mentionner Toute cette analyse permet d j de comprendre l une des deux diff rences essentielles qui s pare un raisonnement valide effectu avec des propositions non c es en langue naturelle et une argumen tation men e dans la cadre d une discus sion o il s agit de prendre en compte les objections ou les contradictions d un inter locuteur ventuel ou effectivement pr sent pour d fendre ou pour r futer une th se Une argumentation ne se d veloppe pas dans un double contexte d nonciation pour la simple raison que les propositions nonc es n ont pas pour la plupart sinon pour toutes de statut th orique Cette absence de statut th orique entra ne une absence de statut op ratoire explicitement d termin pour les propositions L argumentation doit donc directement faire appel la valeur pist mique des pro positions induite par le contenu valeur pist mique s mantique Et cette valeur pist mique induite par le contenu peut tre celle induite pour celui qui argument
47. tuts op ratoires passa ge des pr misses une conclusion En rai son de la possibilit d inf rences directes on passe sous silence le statut op ratoire d nonc tiers Blanch 1980 Le statut op ratoire est d termin par le statut th o rique Fig 1 fl che 5 On a ainsi la corres pondance indiqu e par la figure 2 de la page ci contre 3 Chaque statut th orique induit une valeur pist mique fig 1 fl che 3 Le sta tut de th or me est li la valeur pist mique de n cessit puisqu il ne peut concer ner que des propositions dont la v rit a t d montr e c est dire obtenue comme conclusion d un raisonnement valide En revanche certains statuts th o riques peuvent induire diff rentes valeurs pist miques Ainsi dans la pens e grecque le statut d axiome d abord limit des propositions dont le contenu semblait vident a induit la valeur pist mique d vidence Consid r depuis le XIX me comme une convention il induit la valeur pist mique de neutralit Le statut op ratoire de conclusion qui n est d termin par aucun statut th orique Il cr e la valeur pist mique de n cessit lorsque l organisation du pas correspond l application de la r gle de d tachement classiquement appel e modus ponens voir Fig 2 REPERES IREM n 12 juillet 1993 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET 4 Toute proposition nonc e en lang
48. uction Autrement dit l encha nement se fait sys t matiquement et exclusivement par r p tition de chaque conclusion pr c demment obtenue dans l organisation du pas suivant Simplement la proposition r p t e change de statut op ratoire de conclusion elle devient pr misse ABCD est un parall logramme de centre O INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF Voici titre dexemple le graphe pro positionnel repr sentant l organisation d un raisonnement d ductif Fig 3 ci apr s Nous l avons labor partir d un probl me et de la r daction de sa solution qui sont pr sent s dans un manuel de 4 me comme exemple de recherche et de r daction d une d monstration Deledicq amp Lassave amp Missenard 4 me 1988 p 166 M et J sont les milieux respectifs des segments AD et DC D montrer que les droites AJ CM et BD sont concourantes I Pr paration trac d une figure recensement des hypoth ses conclusion d montrer II Recherche En regardant la conclusion si les trois droites AJ CM et DB taient les m dia trices les hauteurs les m dianes ou les bissectrices d un triangle alors je pourrais conclure qu elles sont concourantes A partir des hypoth ses O est centre du parall lo 66 gramme je pense plut t milieu et m diane et je vois que DO est la m diane de ADC issue de
49. ue naturelle a une valeur pist mique s man tique qui est automatiquement induite par la compr hension que l on a de son contenu Fig 1 fl che 2 Ce qui est nonc appara t vident absurde vraisemblable etc en fonction des connaissances dont on dispose de ce qu on per oit des croyances et des normes du milieu auquel on appartient etc Cette valeur pist mique induite par le contenu ne doit pas tre confondue avec celle qui est induite par le statut th orique fl che 3 APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF Naturellement pour une proposition donn e il peut y avoir un cart important entre la valeur pist mique s mantique et la valeur pist mique th orique Et quand une seule de ces deux valeurs est privil gli e ou seulement per ue il en r sulte une situation d incompr hension sans issue au niveau d une explication ou d une discus sion Cela est fr quemment le cas lors de l enseignement de la g om trie au Coll ge L l ve qui ne per oit pas l importance des statuts th oriques et qui donc per oit uni quement la valeur pist mique s mantique 119 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF des propositions ne peut pas comprendre ce que a apporte de d montrer une pro position dont le contenu est vident L enseignant qui au contraire a pris l habi tude de ne s attacher qu la valeur pist mique th orique des
50. voir remarqu Piaget 1967 p 79 Un l ve peut parfaitement parvenir construire un graphe proposi tionnel correct pour une d monstration sans avoir pris conscience des diff rences de statuts et du double niveau d organisa tion impliqu s dans la repr sentation qu il aura reconstruite Or cette prise de 131 INTRODUCTION A LA DEMONSTRATION ET APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT DEDUCTIF conscience est essentielle dans un appren tissage Ne serait ce que pour qu il puisse se lib rer de ce type de repr sentation et distinguer un texte qui est une d monstra tion correcte et un texte qui ne peut pas tre une d monstration Mais il y a aussi une autre raison inh rente aux relations entre statut valeur pist mique et valeur de v rit des proposi tions sur lesquelles repose le fonctionne ment du raisonnement cf 1 re partie Ce ne sont pas les m mes aspects qui appa raissent selon que l on se situe dans un registre non discursif ou dans un registre discursif D un c t le travail d organisation d ductive dans le cadre de la construction d un graphe proposition nel ne mobilise explicitement que le seul statut des propositions D ailleurs les consignes donn es pour la construction ne concernent que le statut que les proposi tions ont dans un contexte th orique fix hypoth se th or me La valeur pist mique et la valeur de v rit des proposi tions peuvent donc y tre parf
51. x pratiques discursives habi tuelles Toute proposition est comprise en fonction de son contenu et sa relation aux autres propositions pour la compr hension d un discours est g n ralement inf r e partir des rapports de contenu entre cette proposition et les autres Organiser locale ment un discours en fonction du statut th orique des propositions est une pratique discursive bizarre du moins au regard d un non professionnel des math matiques pour lui ce qui importe c est ce que dit la propo sition et non pas le statut qu on lui conf re La d centration du contenu au profit d un statut qui en est ind pendant va donc contre la pratique langagi re la plus spon tan e et la plus normale Et ce n est ni en 130 REPERES IREM n 12 juillet 1993 faisant s parer respectivement les hypo th ses les th or mes et la conclusion d montrer ni en demandant directement un texte ni en s en tenant des explica tions orales en fran ais naturellement que l on peut esp rer faire sortir de cette pra tique langagi re dominante Le d tour par un autre registre de repr sentation est n cessaire Le registre de repr sentation qui semble le plus naturel est celui des graphes C est celui en tous cas qui a t retenu par diff rentes recherches psycholo giques ou didactiques sur la d monstration Anderson 1987 Gaud 1984 Guin et al 1990 1991 Mais ici il faut faire tr s atten tion I
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