Approximation forte et topologie des variétés sur un corps valué
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1. X G XAQ Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 17 29 Suite de l expos esquisse de d monstration du principe de Hasse approch m thode due Becker Denef Lipshitz van den Dries 1979 Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 18 29 Ultraproduits d finition Soient W un ensemble infini et A Aw wew une famille d ensembles On voit comme un faisceau A sur l espace discret W On a un plongement ouvert dense canonique j W W compactifi de Stone Cech universel de W d o un faisceau j A sur W Soit u pt W un point de W W La fibre UJA A est par d finition l ultraproduit de A associ u not ulim Aw notation de H Schoutens Le point u correspond un ultrafiltre non trivial 77 c Z W la d finition habituelle de la fibre donne alors ulim lim A WU w W EY w EW Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 19 29 Ultraproduits d finition WU w lm A wey wEW Si chaque Aw est non vide on a la formule plus connue ulim Aw 44 x WU w wEW o la relation d quivalence g est l galit 7 presque partout wlw V wE E Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 20 29 Si les A sont un m me A on obtient l ultrapuissance A upw A U qui contient A comme sous ensemble Si les Aw s2. Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 12 29 Espaces homog nes Donn es un X groupe alg brique G un K sch ma en groupes de type fini e un sous groupe alg brique H de G On note X l espace homog ne G H On s int resse au morphisme canonique f G gt X G H On note xo f e X K la classe neutre En passant aux points rationnels l application fop G K X K induit une bijection continue G K H K G K x X K Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 13 29 Espaces homog nes points rationnels G K H K gt G K x0 C X K L orbite G K x est elle localement ferm e voire ferm e dans X K e La bijection ci dessus est elle un hom omorphisme La r ponse est oui pour les deux questions si H est lisse exemple car K 0 et K hens lien dans ce cas l orbite G K x est ouverte et ferm e K F t Bernstein Zelevinsky 1976 Le deuxi me cas se d duit du th or me de constructibilit et d un argument classique G K est localement compact base d nombrable et l orbite est un espace de Baire Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 14 29 G n ralisation Th or me 3 Gille LMB On suppose que K est un corps valu complet de rang 1 et de caract ristique p gt 0 et que K KP lt o l espace K est base d nombrable c d s pa
3. lien et K K s parable Soit X un K sch ma de type fini Alors X admet une base d ouverts ayant la propri t suivante pour tout K morphisme f X Y o Y est s par de type fini et tout VE Y l image frop V est ferm e dans Y K Prendre pour l ensemble des amp R o X parcourt les R mod les de X Remarque c est trivial si K est un corps local prendre pour l ensemble des ouverts compacts Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 10 29 Corollaire 2 On suppose R hens lien et K K s parable Soit f X Y un morphisme propre de K sch mas de type fini Alors f X K est ferm dans Y K Remarque si K est un corps local ftop X K Y K est propre Mais en g n ral fop nest pas ferm e Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 11 29 Le th or me de constructibilit Th or me 2 Bernstein 1976 Soit K un corps local et soit f X Y un morphisme de K vari t s Alors fop X K est constructible dans Y K Remarques c est imm diat en caract ristique nulle et plus g n ralement pour K hens lien de caract ristique nulle on peut stratifier X et Y de telle sorte que f induise des morphismes lisses entre les strates G n ralisation Gille LMB K hens lien de caract ristique p gt 0 K KP lt oo condition suppl mentaire sur l extension K1 P K Laurent Moret
4. Approximation forte et topologie des vari t s sur un corps valu Laurent Moret Bailly IRMAR Universit de Rennes 1 Conf rence en l honneur de G rard Laumon Orsay 25 juin 2012 Une partie des r sultats de cet expos fait l objet d un travail en cours avec Philippe Gille CNRS Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 1 29 Notations pour tout l expos R un anneau de valuation le plus souvent hens lien K Frac R le groupe de la valuation F a EF a gt 0 v K gt T U o00 la valuation Pour a T on pose gt l x R v x gt a id al principal de R gt Ra R l o R lim Ra K Frac R les compl t s de R et de K Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 2 29 La topologie de la valuation Le corps valu K est un corps topologique les id aux la de R a e F4 forment une base de voisinages de 0 Par suite pour tout K sch ma X de type fini on a une topologie naturelle sur X K une base d ouverts est form e des ensembles xe U K v fi x gt 0 1 1 m pour U C X ouvert affine et f HU Guy Autre base d ouverts quivalente les ensembles IM Z R X K o X parcourt les R sch mas de pr sentation finie fibre g n rique X Un K morphisme f X Y induit une application continue fop X K gt Y K Laurent Moret Bailly IRMAR A
5. logie Laumon 25 06 2012 6 29 Suite de notre programme pr sentation d outils plus sp cialis s gt le principe de Hasse approch gt un th or me de constructibilit Bernstein gt un th or me de compactification Gabber application des morphismes particuliers torseurs Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 7 29 Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Le principe de Hasse approch Th or me 1 On suppose R hens lien et K s parable sur K Pour tout R sch ma X de pr sentation finie on a l quivalence X R Z0 lt gt Vaer X R 0 R sulte du th or me d approximation fort gt Greenberg 1966 si F Z i e si R est un Avdex anneau de valuation discr te d excellence LMB 2011 en g n ral voir fin de l expos Laumon 25 06 2012 8 29 Interpr tation topologique du principe de Hasse approch Proposition 4 On suppose R hens lien et K K s parable Sif K est un morphisme de R sch mas de pr sentation finie l image f X R c Z R est ferm e pour la topologie de la valuation Cet nonc est quivalent au P H A exercice Si Y est s par on en d duit que l image de R est aussi ferm e dans W K puisque Z R est ferm dans Z K Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 9 29 Corollaire 1 On suppose R hens
6. ont munis d une structure du premier ordre groupes ensembles ordonn s anneaux il en est de m me de l ultraproduit Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 21 29 Ultraproduits mode d emploi Point cl les ultraproduits pr servent les propri t s du premier ordre Par exemple pour une famille Aw d anneaux commutatifs unitaires d ultraproduit not A A est un corps lt we W A est un corps 7 car est un corps quivaut la formule 1 0 et vx x 0 ou 3y xy 1 dans laquelle tous les quantificateurs portent sur les l ments de A Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 22 29 Ultraproduits mode d emploi Un peu plus labor A est un corps de caract ristique nulle gt quivaut la conjonction des propri t s suivantes A est un corps cf ci dessus pour chaque entier n gt 1 la propri t P n 1k 0 Il est clair que chaque P est du premier ordre donc la propri t corps de caract ristique nulle l est aussi et est conserv e par ultraproduits Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 23 29 Ultraproduits mode d emploi Par exemple les propri t s d anneaux suivantes sont du premier ordre donc conserv es par ultraproduit int gre r duit corps de caract ristique p premier donn anneau de
7. pproximation et topologie Laumon 25 06 2012 3 29 La topologie de la valuation le cas des R sch mas Si X est un R sch ma s par de pr sentation finie alors X R s identifie par l injection X R L K Xk K un ouvert ferm de X K Pour ferm on utilise le th or me de compactification de Nagata Remarque on peut d finir la topologie de Z R directement m me si 2 n est plus n cessairement s par L espace X R est alors toujours s par Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 4 29 Probl me tr s g n ral tude des propri t s topologiques des espaces X K et des applications continues 64 X K Y K Par exemple ftop ouverte ferm e fop X K Y K ouvert ferm constructible Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 5 29 Premi res r ponses Proposition 1 On suppose K hens lien Si f X Y est lisse alors fop X K Y K est ouverte Si f est tale alors fop X K Y K est un hom omorphisme local Proposition 2 On suppose K alg briquement ferm dans K Si f X Y est fini alors top X K Y K est ferm e Proposition 3 LMB On suppose K alg briquement clos Conditions quivalentes pour f X Y donn f est universellement ouvert fop X K Y K est ouverte Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topo
8. rable Alors pour G H X xy comme pr c demment G K xo est localement ferm dans X K et la bijection naturelle G K H K G K xo est un hom omorphisme C est une cons quence de la g n ralisation du th or me de constructibilit avec le m me argument que pr c demment la compacit locale est remplac e par le corollaire 1 existence d une base d ouverts d images ferm es Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 15 29 Utilisation d une compactification Soit G un X groupe alg brique Il existe un plus grand sous K sch ma en groupes lisse Go de G l adh rence de Zariski de l ensemble des points de G corps r siduel s parable sur K Th or me 4 Gabber Le quotient Q G Go admet une compactification projective G quivariante Q telle que Q Q n ait aucun point s parable sur K On en d duit le th or me suivant Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 16 29 Utilisation d une compactification Th or me 5 Gille LMB On suppose que K est un corps local Soient G un K groupe alg brique Y une K vari t et f X Y un Gy torseur Alors l image de cp X K Y K est localement ferm e et f induit un hom omorphisme X K G K Im fop Pour la d monstration on introduit la compactification Q de Q G Go th or me pr c dent et l on d compose f en X Z Z Y
9. ret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 27 29 On a donc les implications Va X R 0 gt X R I5 A0 X R IP Z0 d j vu ls C P Posons R R P C est un anneau de valuation hens lien contenant R son groupe de valuation est l enveloppe convexe de F dans F On a une suite de morphismes R R R induisant un diagramme d ensembles X R X R X R Z 0 On v rifie parce que R est local que X R upw X R En particulier WU X R 0 X R b Il suffit donc de montrer que X R implique X R En fait Th or me 6 rel vement Sous les hypoth ses du th or me 1 et avec les notations ci dessus l application X R X R est surjective amon AU ai x Th or me 6 rel vement Sous les hypoth ses du th or me 1 et avec les notations ci dessus l application X R X R est surjective La d monstration utilise la propri t de Hensel pour R et la s parabilit de K K Cette derni re sert montrer que Frac R est s parable sur K Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 29 29
10. valuation corps alg briquement clos anneau local hens lien corps de caract ristique nulle Les 4 premi res sont m me d finissables par une seule formule Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 24 29 Ultraproduits mode d emploi Les propri t s suivantes ne sont pas du premier ordre corps de caract ristique positive anneau noeth rien e anneau de valuation discr te Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 25 29 Preuve du P H A esquisse R anneau de valuation hens lien K K s parable X R sch ma de pr sentation finie On veut montrer si X Ra pour tout a F alors X R 0 On suppose donc que X Ra 0 acl Ceci quivaut X El ra les Ra sont locaux acl Si l on fixe un ultrafiltre sur W T cette condition entra ne X uim Ra AU JQ Laurent Moret Bailly IRMAR Approximation et topologie Laumon 25 06 2012 26 29 Q X uim Ra Q L anneau ulim Ra s identifie R l5 o Q R upw R anneau de valuation hens lien contenant R de groupe U upw I U ET est l l ment diagonal ulim a classe de la famille Q aer Choisissons contenant tous les ensembles y oo c F4 Alors est infiniment grand plus grand que F Donc l5 C P x R v x gt T ce P est un id al premier de R Laurent Mo
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