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Konzepte zur Schwingungsminderung

1. 0 0 1 0 2 0 3 0 4 s 0 5 Bild 3 5 1 Erforderliches Antriebsmoment fur einen Direktantrieb des Arbeitsorgans und fur den Antrieb durch ein Kurbelgetriebe mit unterschiedlichen Bauteildicken Im Hinblick auf die Antriebe ist gerade bei schnell laufenden Getrieben eine Leichtbauweise vor teilhaft Nachteilig k nnen allerdings zunehmende Elastizitaten sein so dass die Bauteildimensio nierung n vielen lteren Forschungsarbeiten als Optimierungsaufgabe formuliert und gel st wurde Sung und Thompson 1984 nehmen eine Materialoptimierung vor Cleghorn u a 1981 Erdman und Sandor 1972 sowie Imam und Sandor 1973 optimieren die Querschnittsflache und Kahn u a 1978 und Thornton u a 1979 optimieren sowohl die Querschnittsflache als auch die Quer schnittsform der Bauteile Zum Einsatz kommen unterschiedliche numerische Optimierungsverfah ren Die Optimierung der Bauteilparameter mit dem Ziel der Vermeidung st render Schwingungen 3 5 Prozessbaustein Bauteildimensionierung 25 bei gleichzeitig leichten Bauteilen geh rt zur Gruppe der Ma nahmen zur passiven Schwingungs minderung Von Klanke und Dittrich 2001 wurde hierf r eine Software zur Analyse und Optimie rung des Schwingungsverhaltens von ungleichm ig bersetzenden Getrieben mit elektrischem Antrieb erstellt Das Programm SALOP arbeitet weitgehend mit algebraischen Systemmodellen Diese werden in dem Programm ausgehend von den
2. Motordaten Sollspannung Ankerkreis Ra 6 3 Q Motormoment La 35 mH Motorstrom u 0 035H 630 5 6 107 ms R Bild 5 1 2 Dynamisch quivalentes Motormodell des Servomotors Im Bild 5 1 2 ist ein Simulink Modell des Asynchron Servomotors vom Pr fstand abgebildet Auch die Kaskadenregelung des Servoverst rkers wurde in Simulink modelliert Die Regelung besteht aus einer PID Drehzahlregelung und einer unterlagerten PI Stromregelung Die Einstellung der Reglerparameter wurde nach dem Einstellverfahren des Hersteller vorgenommen Die Konstanten die f r die Berechnung der s bertragungsfunktion Gpyp eines kontinuierlichen PID Reglers Kp Gpip Kp KplIys A 5 1 5 Ins ben tigt werden k nnen aus den Einstellparametern des verwendeten Servoverstarkers Gy Ipeak Viim Gyry und Gyr gt berechnet werden F r die Drehzahlregelung ergibt sich Gylpeak _ 8 6A A Kp 0 1529 _ 5 1 6 Vim 3000 2mrad rad 60s S Ty GVTN 0 002 S 5 1 7 Tn Gy 0 010 S 5 1 8 Bei der Stromregelung entf llt der letzte Term in Gl 5 1 5 und f r die anderen beiden Konstanten gilt 5 2 Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und Getriebe77 M U Ge ON N ae 5 1 9 Teak 6A A Ty KTN 0 0006 s 5 1 10 Die Einstellparameter des Servoverst rkers k nnen als ASCH Datei aus dem Servoverst rker aus gelesen bzw umgekehrt aus einer ASCII Datei n den Verst rker eingel
3. be Bild 4 4 3 Uberschwingen des Abtriebsorgans in der Decklage und der Strecklage Das Uberschwingen im Bereich der Totlagen kann aber durch eine Ver nderung der kinematischen Abmessungen vermieden werden Zu diesem Zweck wurde ein Algorithmus zur Totlagensynthese in MAPLE umgesetzt Mit dem bekannten funktionalen Zusammenhang zwischen den Linearisie 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 63 rungstrajektorien Yag und Y4o und der Zeit kann der Verlauf der quasistatischen Abweichung Y4 o t aus Gl 4 2 17 x t Q t hg t zun chst in Abh ngigkeit vom Antriebswinkel umparametriert werden so dass man Y4 erh lt Im Gegensatz zu Gl 4 4 2 die ausschlie lich die kinetostatische Belastung ber cksichtigt wird bei den hier zugrundeliegenden Berechnungen zus tzlich noch das Antriebsmoment M gem der PI Drehzahlregelung im Erregervektor h t ber cksichtigt Die so gewonnene Glei chung f r Y4 P kann f r die beiden Werte der Antriebswinkel und in der u eren und der inneren Totlage ausgewertet werden wodurch s ch die beiden quas statischen Durchbiegung AWa Y4 Pa bzw AWi Y4 ergeben Dabei sind A u v und i A u v wiederum Funktionen der Gliedl ngenverh ltnisse L4 L4 u L L4 und v L L4 Anschlie end wird eine Totlagensynthese nach VDI 1984 f r einen Starrk rpermechanismus vorgenommen Die Gliedl ngen werden so neu berechnet dass der Schwingwink
4. 5 4 Prozessbaustein Auslegung semiaktiver Stellglieder Neben den zuvor behandelten Elektromotoren und anderen aktiven Stellgliedern findet die Klasse der semiaktiven Stellglieder bei Ma nahmen zur Schwingungsminderung Anwendung Im Ver gleich zu aktiven Stellgliedern m ssen einige Besonderheiten beachtet werden Ein typisches Bei spiel f r semiaktive Aktuatoren sind steuerbare Reibelemente die durch die Bewegung des Systems Haft und oder Gleitreibungsphasen erfahren In Gaul u a 2000 wird ein Simulationsmodell fur derartige Reibelemente hergeleitet und durch Experimente berpr ft Uber Stellglieder kann mit geringem Energieaufwand die Normalkraft eingestellt werden so dass diese Aktuatoren geregelt betrieben werden k nnen Bei dem Pr fstand Bild 3 5 2 w rd eine andere Art von Aktuatoren n mlich magnetorheologische Bremsen verwendet um die Momente Mp und Mpo in den Gelen ken B und Bo aufzubringen vgl Bild 4 2 1 Dadurch dass die Bremsen ansteuerbar sind kann durch entsprechende Stellgesetzte eine PD Regelung f r den Abtriebswinkelfehler y4 und au erdem eine St rgr enaufschaltung umgesetzt werden Harmeling und Corves 2004 Die Modellierung erfolgt genau wie bei der Analyse des Einflusses von Reibelementen im Abschnitt 4 4 1 f r eine gef hrte Bewegung P Y t so dass der Abtriebswinkelfehler ya mit dem Biegewinkel der Schwinge identisch ist In dem Stellgesetz Mpg t Pp B Ya Pp B Ya Ms B t 5 4 1 Mgo
5. 0 010 0 005 0 000 0 004 rad Drehgeber Balkenmodell 0 002 u EN FE Modell ur NAA AAA INN AALY 0 5 10 15 Hz 20 Bild 4 3 5 Gegen berstellung der Amplituden zwischen Messung mit den Drehgebern und Simulation mit dem FE und dem Balkenmodell 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 51 Die Untersuchung bestimmter Betriebszust nde wie sie in Bild 4 3 4 und in Bild 4 3 5 dargestellt sind ist nur geeignet um qualitativ zu berpr fen ob m Modell alle relevanten Effekte vorhanden sind die auch bei dem Pr fstand auftreten Eine quantitative Aussage ist aber nur begrenzt m glich da im Betrieb eine Anregung nur mit diskreten Frequenzen erfolgt Kleine Unterschiede in der Eigenfrequenz k nnen bereits zu gro en Unterschieden in den Amplituden f hren Bei 1 8 Hz Antriebsfrequenz trifft die 8 Ordnung 14 4 HZ recht genau die Eigenfrequenz des Pr fstands aber nicht die der Simulationsmodelle Daher tritt am Pr fstand ein deutlich gr erer Peak auf Bei 1 5 Hz Antriebsfrequenz sind die Verhaltnisse umgekehrt Erst die Bestimmung der vollstandigen Amplitudenfrequenzgange fur den gesamten Bereich der Anregungsfrequenzen erlaubt einen quan titativen Vergleich Bei linearen Systemen kann der Amplitudenfrequenzgang durch eine Modal analyse experimentell bestimmt werden Dazu wird das System mit einem Hammer impulsartig oder durch einen Shaker harmo
6. 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 158 mindert werden Im Abschnitt 4 4 2 wurden die kinematischen Abmessungen des Kurbelgetriebes so ver ndert dass der Abtriebswinkelverlauf des ver nderten Starrk rpermechanismus U sich zusammen mit den zus tzlich berlagerten quasistatischen Deformationen Bild 4 4 5 in den singu l ren Stellungen zu einem Gesamtabtriebswinkel erg nzen der dem gew nschten Abtriebswinkel U des original Starrk rpermechanismus entspricht Im Bild 7 1 1 sind die Ergebnisse f r die Kombination dieser Ma nahme zur Optimierung der kinematischen Abmessung mit der Zustands regelung zur Minimierung der Eigenschwingungen bei einer Antriebsdrehzahl von 120 U min dargestellt Gegen ber dem PID Drehzahlgeregeltem Originalsystem original DZR und dem kinematisch verandertem System optimiert DZR zeigt das System mit einer Zustandsregelung optimiert ZR abklingende vibrodynamische Schwingungsanteile Der Verlauf des Abtriebswin kels U y ist zur Kennzeichnung der singularen Stellungen die in der Streck und der Decklage auftreten eingezeichnet In den Bewegungsabschnitten zwischen den singularen Stellungen tritt allerdings noch eine relativ gro e Abweichung des Abtriebswinkels auf Daher soll nur der quasi statische Deformationsanteil durch die inversionsbasierte Trajektorienplanung minimiert werden 0 04 2 60 ya rad U rad 0 02 1 30 oo tN i OA RAN aan AA 065 APIS 0 01
7. Ausgangsdynamik kann in einer der Regelungsnormalform 6 1 1 hnlichen Form angegeben werden Allg wer und Gilles 1995 y WI Pu 6 1 5 W a w b w u Darin sind der Ausgang und all seine Ableitungen also auch die Ableitungen y und die h heren Ableitungen in dem Zustandsvektor w zusammengefasst Die interne Dynamik wird durch erg n zende Differentialgleichungen f r die h heren Ableitungen yt und h her beschrieben Wry Pr 1 W 6 1 6 Wn By w Die Nichtlinearitat in der Ein Ausgangsdynamik 6 1 5 kann mit dem R ckf hrungsgesetz _ v a w 6 1 7 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 98 analog zu dem zuvor beschriebenen Vorgehen bei der exakten Zustandslinearisierung linearisiert werden Daher wird die Transformation auf die Byrnes Isidori Normalform auch als Ein Ausgangslinearisierung bezeichnet Im Gegensatz zur Brunovsky Form kann hier also nur ein Teil der Zustandsgr en linearisiert werden Damit l sst sich fur das nichtlineare System eine lineare Ausgangsr ckf hrung s Abschn 6 2 2 bestimmen Bei Mehrgr ensystemen muss mit allen Freiheitsgraden entsprechend verfahren werden Im All gemeinen kann es sehr aufw ndig sein ein nichtlineares Mehrgr ensystem in die Byrnes Isidori Normalform zu berf hren Bei den Differentialgleichungen der Bewegungssysteme ist die ber f hrung in die Byrnes Isidori Normalform jedoch zumeist relat v einfach Dazu wird der Zustands vek
8. Bild 4 3 7 Wasserfalldiagramm berechneter Winkelfehler am Abtrieb beim Balkenmodell 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 53 Die zuvor schon angesprochenen Unterschiede zwischen Messung und Berechnung in den Ampli tuden der niedrigen Ordnungen bei Antriebsfrequenzen unter 1 5 Hz vgl Bild 4 3 4 ist ebenfalls vorhanden allerdings in den gew hlten Darstellungen kaum zu erkennen Insgesamt best tigen sich die quantitativen Unterschiede zwischen Mess und S mulationsergebnissen aus den zuvor darge stellten Untersuchungen einzelner Betriebspunkte Es zeigen s ch aber keine qualitativen Unter schiede Offenbar macht sich bei niedrigen Antriebsdrehzahlen und entsprechend niedrigen kine tostatischen und vibrodynamischen Kraften ein Effekt bemerkbar der bei hohen Drehzahlen in den Hintergrund tritt Insgesamt kann davon ausgegangen werden dass das Modell in der Lage ist 1m oberen Drehzahlbereich alle wesentlichen Schwingungsph nomene die sich auf die Abtriebsgr e auswirken abzubilden Abschlie end wird noch unersucht ob ein bislang nicht modellierter Effekt namlich die Lagerrei bung bei niedrigen Drehzahlen unter 45 U min zu einer besseren bereinstimmung von Simulation und Messung f hrt Um einen Anhaltswert f r die Lagerreibung zu erhalten wurden Berechnungs vorschriften des Lagerherstellers angewendet Diese gelten zwar nur f r den station ren Betrieb mit konstanter Drehzahl liefern aber denn
9. sl Ov 0 4 M T 0 6 0 8 i 1 2 1 4 1 6 1 8 t s 2 Beobachter PIZR 1 20 20 Beobachter DZR Interpolation PIZR 1 20 20 Interpolation DZR Bild 6 2 21 Durch Interpolation und durch den Beobachter ermittelte Abtriebswinkelge schwindigkeit f r ein drehzahlgeregeltes und ein PI zustandsgeregeltes System Beim Betrieb mit der PI Zustandsregelung auf Basis der Beobachtersignale stellt sich bei der An triebswinkelgeschwindigkeit in Bild 6 2 20 ein stark schwingendes Drehzahlverhalten ein Dies wirkt sich zeitweise auch stark auf den Winkelfehler am Abrieb in Bild 6 2 21 aus Dieser Effekt am Abtrieb ist unter anderem im Zeitbereich um 1 2 s herum zu sehen Dabei ist der vom Beobach ter gesch tzte Winkelgeschwindigkeitsfehler gr ne Kurve sehr viel gr er als der von der Interpo lation gemessene Winkelgeschwindigkeitsfehler rote Kurve In diesem Bereich liegt ein gro er Sch tzfehler des Beobachters vor Das stark schwingende Verhalten tritt bei vergleichbaren Simula tionen z B Bild 6 2 13 und Versuchen am Pr fstand s Bild 6 2 15 wo die interpolierten Win kelgeschwindigkeitssignale als Eingang f r die PI Zustandsregelung verwendet werden nicht auf Die Signalinterpolation nach Bild 5 5 1 erweist sich in diesem Fall also als robuster und ist au er dem einfacher umzusetzen Zwar werden die Eigenwerte der Regelung selbst durch das Einf hren eines Beobachters nicht ver ndert was hei
10. 2 h es F6Ux9U 29 29 G3 435 EETLEETR END 4 4 1 0 2J5 Uoo Die Schwinge erf hrt eine Erregung durch die kinetostatische Biegebelastung 2J UNyy3o Bei einer konstanten Antriebswinkelgeschwindigkeit Yvo als Linearisierungstrajektorie ist die kinema tische bertragungsfunktion zweier Ordnung U10 Y20 ma gebend f r die Frequenzanteile der Schwingungsanregung w hrend das Massentr gheitsmoment Js und die konstante Winkelge schwindigkeit Y gt 9 nur die St rke der Anregung beeinflussen Die Ausnutzung dieser Zusammen h nge zwecks einer gezielten Gestaltung der Anregung wird im Abschnitt 4 4 3 erl utert Hier soll hingegen auf die Abstimmung der dynamischen Bauteileigenschaften auf diese Anregung einge gangen werden Die kinetostatischen Kr fte also die dynamischen Kr fte und Momente die beim 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 59 Starrk rpermechanismus auftreten Gl 3 2 7 wirken auch beim elastizitatsbehaftetem Mecha nismus Ihren zeitlichen Verlaufen werden vibrodynamische Krafte die aus den Schwingungen des realen Mechanismus resultieren uberlagern Dresig 2001 Entsprechend ist in der Schwingungs antwort die Uberlagerung einer kinetostatischen und einer vibrodynamischen Verformung zu erwar ten Dieser Sachverhalt spiegelt sich auch in der Messung Drehgeber und Simulation FE Modell und Balkenmodell der station ren Schwingungsantwort in Bild 4 4 1 wieder Durch die Referen
11. Epureanu und Hashmi 2006 nutzen Poincar Abbildungen um Attraktoren f r intakte und defekte Systeme zu berechnen Im Betrieb 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 46 wird anschlie end mit Hilfe von Sensitivit tsvektoren d e aus Taylorreihenentwicklungen gewon nen wurden aus den gemessenen Trajektorien auf die Ver nderung der Systemparameter geschlos sen Es werden also nur die nderungen nicht aber die absoluten Werte der Systemparameter bestimmt Die Bestimmung der absoluten Parameterwerte wird 1m nachfolgenden Abschnitt behan delt 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellpara meter F r eine zuverl ssige und gute Modellierung ist zum einen wichtig dass alle relevanten Effekte im Modell enthalten sind und zum anderen ist wichtig dass die Modellparameter bekannt sind Insbe sondere wenn erstmalig das Modell eines Systems erstellt wird ist es schwierig die Relevanz denkbarer Schwingungseffekte zu beurteilen und die Werte der Modellparameter zu bestimmen Hierbei ist ein teratives Verschachteln von Modellierung Berechnung und experimenteller Analyse der tats chlichen Systemeigenschaften hilfreich Ziel der experimentellen Analyse ist einerseits die Identifikation von nicht modellierten Effekten und andererseits die Adaption der Modellparameter Im ersten Schritt muss ein Konzept zur berpr fung des Modells erstellt werden Die Simulations rechnungen und die Messungen m
12. Gross motion planing A survey In ACM Computing Surveys 24 No 3 1992 Ider u a 2002 Ider S K zg ren M K Ay V Trajectory tracking control of robots with flexible links In Mechanism and Machine Theory vol 37 issue 11 2002 S 1377 1394 Ider 2005 Ider S K Inverse dynamics of parallel manipulators in the presence of drive singularities In Mechanism and Machine Theory Vol 40 Issue 1 2005 S 33 44 Imam und Sandor 1973 Imam I Sandor G N A General Method of Kineto elastodynamic design of high speed mechanisms In Mechanism and Machine Theory vol 8 No 5 1973 S 497 516 Innocenti 1995a Innocenti C Polynomial Solution of the Spatial Burmester Problem In ASME Hg JOURNAL OF MECHANICAL DESIGN vol 117 1995 S 64 68 Innocenti 1995b Innocenti C Polynomial Solution to the Position Analysis of the 7 Link Assur Kinematic Chain with one Quarterny Link In Mechanism and Machine The ory vol 30 1995b S 1295 1301 Inoue u a 1981 Inoue T Nakano M Kubo T Matsumotot S Baba H High accuracy Control for a Servomechanism for repeated contouring In Proceedings of the 10th Annual Symposium in Incremental Motion Control Systems and Devices 1981 S 258 292 Inoue u a 1983 Inoue T Nakano M Iwai High accuracy control of a proton synchro tron magnet power supply In Proceedings of the 8th IFAC World Congrss Kyoto Japan 1983 S 216
13. 11 2000 S 1501 1514 Koller 1994 Koller R Konstruktionslehre fiir den Maschinenbau 3 vollig neu bearbeitete und erweiterte Auflage Berlin Springer Verlag 1994 Koller und Nastrup 1994 Koller R Nastrup N Prinzipl sungen zur Konstruktion techni scher Produkte Berlin Springer Verlag 1994 Konigorski 2004 Konigorski U Entwurf von Zustandsregelungen Vorlesungsskript Claus thal Technische Universitat Clausthal Institut f r Elektrische Informationstechnik 2004 Konigorski 2003a Konigorski U Regelungstechnik I Vorlesungsskript Clausthal Techni sche Universit t Clausthal Institut f r Elektrische Informationstechnik 2003 Konigorski 2003b Konigorski U Regelungstechnik II Vorlesungsskript Clausthal Techni sche Universit t Clausthal Institut f r Elektrische Informationstechnik 2003 Konigorski 2003c Konigorski U Systemtheorie Vorlesungsskript Clausthal Technische Universit t Clausthal Institut f r Elektrische Informationstechnik 2003 Konigorski 2003d Konigorski U Digitale Regelungssysteme Vorlesungsskript Clausthal Technische Universit t Clausthal Institut f r Elektrische Informationstechnik 2003 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 186 Kositza u a 2003 Kositza N Fleck C Schlosser A Abel D Repetitive Control am Beispiel eines Dieselmotors GMA Kongress 2003 VDI Berichte Nr 1756 D ssel dorf VDI Verlag 2003 Kota 1990 Ko
14. 4 2 2 Diese besondere Eigenschaft erleichtert die sp tere Transformation der Systemgleichungen auf bestimmte Normalformen erheblich Hierauf w rd m Abschnitt 6 1 m Zusammenhang mit dem Entwurf des Regelungssystems eingegangen 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 36 F r das Beispielsystem in Bild 4 2 1 k nnen unterschiedliche nat rliche Koordinaten als Minimal koordinaten gew hlt werden Es bietet sich beispielsweise die Verwendung von q t oft Yalt F oder q t Q t w t an Im ersteren Fall wird mit Y4 t der Biegewinkel in der Feder also ein Relativwinkel verwendet Dieser Winkel kann durch Dehnmessstreifen auf der elastischen Schwinge unmittelbar gemessen werden Die Verwendung des Relat vwinkels ist f r die Analyse der Verformung und der Belastung innerhalb des Bauteils Schwinge g nstig Glei chungen die das Systemverhalten mit dem Relativwinkel als Freiheitsgrad beschreiben werden sp ter genutzt um f r die Trajektorienplanung auf einfache Weise die kinetostatische Durchbie gung der Schwinge zu berechnen Im zweiten Fall wird mit w t der Absolutwinkel des Abtriebsor gans verwendet Er kann am Pr fstand mit dem Drehgeber in Bo bestimmt werden Der Winkel y beschreibt also den absoluten Lagefehler am Abtrieb der sowohl Anteile aus einer Fehlstellung der Kurbel als auch Anteile aus der Deformation der Schwinge enth lt Der Absolutwinkel entspricht dem Syst
15. 6 1 14 Bei diesem Beispiel treten mit den gegebenen Parameterwerten keine singul ren Stellungen auf Bei dem zweiten Beispiel wird nur der Hauptmotor als Stellglied verwendet u M Hier liegt ein System vor bei dem eine interne Dynamik besteht Wird die prozessrelevante Bewegung y Yy4 Ya bzw y w W als Ausgang gew hlt so sind die Zustandsgr en der internen Dy namik gegeben durch z y2 Y2 Und die Matrix By y Y Z4 Z2 t weist bei der Transformation 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 101 in die Byrnes Isidori Normalform f r U ypo 0 eine s ngul re Stellung auf wie im Zusammen hang mit Gl 6 1 4 bereits erl utert wurde F r einen Ausgang y Y Y w rde eine solche singulare Stellung nicht existieren Allerdings ist y der Antriebswinkel des Getriebes und nicht die prozessrelevante Abtriebsbewegung so dass die Wahl dieses Ausgangs weniger s nnvoll ist Die Existenz von s ngul ren Stellungen h ngt also allgemein auch von der Wahl des zu regelnden Aus gangs y ab Das dritte Beispiel bei dem eine singulare Stellung nur f r bestimmte kinematische Abmessungen auftritt st eine konstruktiv modifizierte Form des Kurbelgetriebepr fstands aus Allmendinger 2007 Dort ist eine Kopfmasse an einer Blattfeder auf der Koppel montiert Die Blattfeder befindet sich bei der Darstellung in Bild 6 1 2 in der Ruhelage so dass die Kopfmasse deckungsgleich mit dem Koppelpunkt K eines Starrk rpermechan
16. Beide Gleichungen zusammen sind eine vollst ndige Beschreibung der Systemdynamik und sind g nstig um gleichzeitig die Trajektorien f r den Systemausgang y f r die n Zustandsgr en des autonomen Teilsystems z und f r den Systemeingang u zu planen Das Ziel bei der Planung der Trajektorien y und z ist es zum einen sowohl fur die m Freiheitsgrade des Ausgangs y als auch f r die n Freiheitsgrade der internen Dy namik z die vorgegebenen 2 m n Anfangs und vorgegebenen 2 m n Endzustande zu realisie ren Zum anderen ist es das Ziel zu gew hrleisten dass die Trajektorien z dem nat rlichen Sys temverhalten entsprechen Dies bedeutet dass die Trajektorie z eine L sung des Differentialglei chungssystems der internen Dynamik sein muss Z Ez J l re ois ple Hs so ees 7 1 5 Z n gt y y 2 2 t B gt y y 2 2Z t B y y 2 Z t y n y y 2 Z t Dadurch ergeben sich Einschr nkungen f r die vorzugebende Trajektorie y des Ausgangs Durch y wird die Bewegung z des autonomen Teilsystems die durch den Eingang u nicht unmittelbar gesteuert werden kann gem Gl 7 1 5 indirekt beeinflusst Es gilt y t so zu gestalten dass sich f r z eine L sung z t der Gl 7 1 5 einstellt die den gew nschten Anfangszustand z to und den gew nschten Endzustand z tg des autonomen Teilsystems besitzt Der Verlauf von z zwischen diesen Zust nden kann nicht beliebig geplant werden sondern ergibt sich aus Gl 7 1 5
17. Die allgemeine L sung einer gew hnlichen Differentialgleichung der Ordnung r enth lt die Anzahl von r beliebigen Konstanten d e durch das L sen eines Randwertproblems so bestimmt werden k nnen dass r gew nschte Randbedingungen erf llt werden Bronstein und Semendjajew 1991 Mit dem Differentialgleichungssystem erster Ordnung 7 1 5 stehen also nur 2n unbekannte Kon stanten zur Bestimmung einer L sung die 2n der insgesamt 4 m n Anfangs bzw Endzustande f r y t und z t erf llt zur Verf gung Die fehlenden 2n 4m Designparameter werden durch eine geeignete Ansatzfunktion y a t 7 1 6 f r die zu planende Trajektorie y zur Verf gung gestellt Geeignete Funktionen a t sind bei spielsweise Polynome mit gen gend Koeffizienten Zeitz u a 2005 Graichen und Zeitz 2006 Die Trajektorien y und y werden durch Integration aus y ermittelt und in Gl 7 1 5 einge setzt Das so gewonnene Randwertproblem mit ausreichend Unbekannten wird in Zeitz u a 2005 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 132 in MATLAB mit dem Befehl bvp4c gel st und die Trajektorien y und z werden in die Inverse der Ein Ausgangsdynamik Gl 6 1 11 ee he u B y y z Z t m y y z 2Z t 7 1 7 eingesetzt um die notwendigen Stellgr en u f r eine Vorsteuerung zu berechnen Der Aspekt einer zeitoptimalen Bewegung unter Ber cksichtigung von Stellgr enbeschr nkungen kann durch die Anpassung der bergan
18. MB Y4o t oM oMn oM oM J454 Kr Bo B a a B Jra 4 4 4 Der Relativwinkel y4 ist identisch mit dem absoluten Fehler am Abtrieb Die partiellen Ableitungen auf der linken Seite sind auf die Linearisierung des Reibungsgesetzes zur ckzuf hren Diese Glei chung zeigt dass Torsionsd mpfer in den Gelenken B und Bog zu einer Verschlechterung des Schwingungsverhaltens f hren k nnen da in der Differentialgleichung prinzipbedingt neben der erw nschten D mpfung der Biegeschwingungen auf der linken Seite der Differentialgleichung gleichzeitig zus tzliche Erregerterme im Vektor h auf der rechten Seite der Differentialgleichung existieren Harmeling und Corves 2004 Im Hinblick auf die periodisch schwingende Abtriebsbe wegung ist bei der realen Ausf hrung von D mpfern die Existenz von Haft und Gleitreibungspha sen von Bedeutung In Hartung u a 2001 wird gezeigt dass die Form des Reibgesetztes also die Form des bergangs von Haft in Gleitreibung eine untergeordnete Rolle spielt Hingegen hat die Existenz ausgepr gter Haftphasen eine wichtige Bedeutung Sie f hren in Verbindung mit entspre chend gro en Gleitwegen zu einer gro en Energiedissipation und Schwingungsminderung Da aufgrund des Wechsels von Haft und Gleitphasen ein Strukturwechsel im System stattfindet wird der optimale Reibwert in Hartung u a 2001 mit den Methoden der statistischen Versuchsplanung durch Experimente und Simulationen bestimmt 4 4 2 Prozessba
19. Tomizuka u a 1989 Bei zeitdiskreten 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 116 Systemen mit gro er Periodendauer ist die Speicherung der vielen Signale f r die R ckf hrung aufw ndig In Yamada u a 1999 wird daher eine einfache Berechnungsvorschrift fur die Filter auslegung angegeben die den Vorteil hat dass der Realisierungsaufwand unabh ngig von der Periodendauer bzw der Verz gerungszeit ist Au erdem wird der Zusammenhang zwischen den Filtern und den resultierenden Polen des Systems beleuchtet In Tammi 2007 wird ein Repetetive Control Algorithmus mit einer adapt ven Anpassung der Verz gerungszeit f r ein rotordynami sches System entworfen Der Einsatz der Repetetive Control Strategie ist generell bei Systemen mit periodischem St rgr enverlauf sinnvoll vor allem aber bei Systemen mit unbekannten oder schwer berechenbaren periodischen St rgr en In Cong Shuan 1997 wird die Strategie bei spielsweise f r ein System mit Reibung angewendet In Cole u a 2006 wird eine Repetetive Control Regelung f r ein Magnetlager angewendet Dabei wird eine Wavelet Analyse benutzt um auf Basis dieses Signals sowohl die Stellgr e zu berechnen als auch um den Bewegungszustand zu klassifizieren und die Reglerparameter entsprechend anzupassen Bei dem Kurbelgetriebepr fstand sind die periodischen St rgr en im Wesentlichen kinetostatische Kr fte also bekannte Kr fte die durch eine St rgr enkom
20. a 2008 Abel D Epple U Spohr G U Integration von Advanced Control in der Prozessindustrie Weinheim Wiley VCH 2008 ADAMS 2003 ADAMS N N 2003BFLXTH 01 Programmhandbuch USA MSC Software Corporation 2003 Agirrebeitia u a 2003 Agirrebeitia J Avil s R de Bustos I F Ajuria g Inverse posi tion problem in highly redundant multibody systems in environments with obstac les In Mechanism and Machine Theory vol 38 Issue 11 2003 S 1215 1235 Albers und Schyr 2005 Albers A Schyr C Modellgestiitzte Methodik zur Erprobung von mechatronischen Antriebskomponenten In Mechatronik 2005 Innovative Produkt entwicklung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 211 227 Allgower und Gilles 1995 Allg wer F Gilles E D Einf hrung in die exakte und n he rungsweise Linearisierung nichtlinearer Systeme In Engell S Hg Entwurf nicht linearer Regelungen M nchen Wien Oldenbourg Verlage 1995 S 23 52 Allmendinger 2007 Allmendinger F Anwendung regelungstechnischer Methoden zur Schwingungsminderung in elastizit tsbehafteten Getrieben mit elektrischem Aktuator Diplomarbeit Aachen RWTH Institut f r Getriebetechnik und Maschinendynamik 2007 Altenbach und Altenbach 1994 Altenbach J Altenbach H Einf hrung in die Kontinuums mechanik Stuttgart Teubner Verlag 1994 Altschuller 1984 Altschuller G S Erfinden Wege zur L sung technischer Probleme Ber lin Technik Ver
21. cksichtig werden m ssen Matthes 2002 Unterst tzt wird diese Entscheidung durch weitere Werkzeuge f r die automatisier te Ma synthese und CAD basierte Grobgestaltung aller Getriebe aus der Datenbank In den m Abschnitt 2 bereits erw hnten Forschungsarbeiten zu selbstoptimierenden Systemen des Maschinenbaus Gausemeier 2005a und Gausemeier 2005b wird eine verhaltensorientierte Synthesestrategie die auf Methoden des Software engineerings zur ckgreift entwickelt Die Er mittlung von Prinzipl sungen selbstoptimierender mechatronischer Systeme m Rechner umfasst und erweitert die Aufgaben der Bewegungsspezifikation und Struktursynthese f r ein spezielles Bewegungssystem Sie stellt gro e Herausforderungen an die Spezifikationstechnik In Hestermeyer u a 2004 wird beispielsweise sowohl die Trajektorie f r ein Schienenfahrzeug geplant als auch die optimale Konfiguration des Fahrwerks ermittelt Im Hinblick auf die 1m Rech ner erfassten Aspekte zur Beschreibung der Umfelder Anwendungsfalle und Zieldefinitionen werden bekannte L sungselemente durch geeignete Algorithmen iterativ zu optimalen Prinzipl sungen kombiniert Giese u a 2004 Auch Expertensysteme sind ein Beispiel f r Softwarewerkzeuge die verhaltensorientierte Synthese strategien umsetzen und dabei auf L sungssammlungen zur ckgreifen M ller 1997 und Han 1999 Schlie lich bieten algebraische Ans tze eine vielversprechende M glichkeit die Strukt
22. die Eigenschaften der verwendeten Systemkomponenten die Kenntnis ber die Wechselwirkungen zwischen den Systemkomponenten sowie die Kenntnis uber die Entwurfsparameter und methoden zur Gestaltung der Eigenschaften In den vorhergehenden Abschnitten wurde dargestellt durch welche konkreten Auslegungsschritte Berechnungsverfahren und Berechnungswerkzeuge das abstrakte Vorgehensmodell nach der VDI Richtlinie 2206 VDI 2004b f r mechatronische Bewe gungssysteme und insbesondere f r einige Beispielsysteme umgesetzt werden kann Dabei wurden zahlreiche Wechselwirkungen und Querverbindungen zwischen den Komponenten des mechatroni schen Systems aufgezeigt Die zuvor dargestellten Grundlagen erm glichen die zielgerichtete Ges taltung der dynamischen Eigenschaften des Gesamtsystems Damit das Bewegungssystem seine Aufgabe in dem Be Verarbeitungsprozess optimal erf llen kann bedarf es aber zus tzlich einer Planung der Trajektorien fur die Antriebsfreiheitsgrade und f r die elastischen Freiheitsgrade Die Trajektorienplanung ist ein Prozessbaustein der das Verstandnis der Dynamik des Gesamtsystems in besonderem Ma e voraussetzt und im Abschnitt 7 1 dargestellt wird Dieser Prozessbaustein verschmilzt mit dem Prozessbaustein der Bewegungsspezifikation Abschnitt 3 1 und schlie t damit den Kreis zum Anfang des Auslegungsvorgangs Die Verkn pfung der einzelnen Ausle gungsschritte zu einem Vorgehen das die Methoden der Getriebetechnik der Schwingun
23. die f r den bergang ben tigt wird m glichst gering sein Die Erf llung der Ziele wird dabei durch ein G tema e J bewertet Konigorski 2003c Das Lagrange sches G tema te J fo x t u t t dt z B fy x t Qx t u_ t Su t 6 2 33 to bewertet das Systemverhalten w hrend eines gewissen Zeitraums t bis t Das Mayer sches G tema l T x te te z B f X t Tx te 6 2 34 bewertet das Endverhalten zum Zeitpunkt t Das Bolza sches G tema ist eine Kombination der vorherigen beiden Als Ricattiregler werden Regler bezeichnet bei denen eine Kombination aus einem verlaufsoptimalen und einem energie bzw verbrauchsoptimalen G tema verwendet wird 1 co as x t Qx t u t Su t dt 6 2 35 0 Darin sind Q und S positiv definite Gewichtungsmatrizen Die Bestimmung der optimalen Regler faktoren ist jedoch mit erheblichem rechnerischem Aufwand verbunden Dies wird beispielweise an der Bestimmung der Reglerfaktoren R S BIP f r Ricattiregler deutlich Hierzu muss zuvor P entweder als die symmetrische positiv definite L sung der nichtlinearen Riccati Gleichung Follinger 1994 PBS BTP PA ATP Q 0 6 2 36 oder als L sung der Matrix Ricattidifferentialgleichung Konigorski 2003c P PA PBS B P Q A P 6 2 37 bestimmt werden Au erdem k nnen die Verfahren fur zeitinvariante Systeme wegen des integralen Charakters des G tema es nur mit hohem Aufwand echtzeitfahig auf
24. dkologi sche organisatorische politische rechtliche sicherheitstechnische und soziale Einfl sse zu nennen Allein diese Aufz hlung vermittelt einen Eindruck von der ungeheuren Komplexit t des sozio konomischen Gesamtsystems n das der Entwurfsprozess zur technischen Produktentwicklung eingebetet ist In Wulf 2001 legt der Autor anhand dreier Fallstudien dar dass die L sungsfindung im praktischen Alltag nicht formalistischen Vorgehensmodellen folgt sondern stark durch die diskursive Losungssuche in Form von Fachdiskussionen gepr gt ist und als politischer Prozess stark durch soziale Randbedingungen beeinflusst wird Ein Vorgehensmodell das versucht alle Einfl sse auf die Produktentwicklung in der industriellen Praxis detailliert zu ber cksichtigen muss in seinem Anspruch scheitern Es ist lediglich m glich den Schwerpunkt der Vorgehensmodelle auf einzelne Aspekte des Gesamtzusammenhangs zu legen Wulf und Schuller 2000 betrachten bei spielsweise organisatorische Aspekte bei der Entwicklung von mechatronischen Systemen Fur die hier behandelte Thematik der Umsetzung von Konzepten zur Schwingungsminderung bei mechatronischen Bewegungssystemen k nnen Vorgehensmodelle die sich auf technische Aspekte Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 5 bei der Produktentwicklung konzentrieren einen n tzlichen handlungsorganisatorischen Rahmen liefern Diese Vorgehensmodelle schaffen beim Konstrukteur e
25. on ist aufgrund von Polstellen in den Bestimmungsgleichungen z B Gl 6 2 12 f r den Abtriebsfreiheitsgrad nicht m glich Die St rterme k nnten aus der Bewegungsgleichung eliminiert werden indem das System bez g lich der statischen Gleichgewichtslage linearisiert wird Dann m ssten die Systemzust nde aller dings entlang einer von Null abweichenden Trajektorie gef hrt werden um die Bewegung eines Starrk rpermechanismus zu realisieren Dies erfordert die Einf hrung eines Vorfilters M vgl Bild 6 2 4 auf dessen Auslegung weiter hinten in diesem Abschnitt noch eingegangen wird und ohne den keine station ren Endwerte die von der statischen Gleichgewichtslage abweichen eingestellt werden k nnen Die Realisierung eines Vorfilters ist be1 diesem System aufgrund der Singularitaten jedoch ebenfalls nicht m glich Anschaulich gesprochen k nnen die gew hlten Soll zust nde eines dealen Starrk rpermechanismus durch das Getriebe bei dem die elastische Schwin ge eine gewisse kinetostatische Last bertragen muss nicht erf llt werden Daher wird an sp terer Stelle eine Anpassung der kinematischen Abmessungen des elastizitatsbehafteten Getriebes 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 125 vgl Abschnitt 4 4 2 mit einer Umplanung der F hrungstrajektorien Abschnitt 7 1 2 kombiniert um die quas statischen Verformungsanteile zu kompensieren Durch die Wahl der beiden Realteile 6 und f r den Antr
26. sich bei umlaufender Kurbel nicht vermeiden lassen sondern durchlaufen werden m ssen Sowohl bei Bewegungssystemen mit nur einem Antrieb als auch bei Parallelkinematiken bestehen aber M glichkeiten singulare Stellungen ohne Instabilit t in den Vorsteuerungen zu durchlaufen Ein ebenes f nfgl edriges parallelkinematisches Handha bungsger t mit zwei rotator schen Antrieben besitzt zwei Bewegungsbereiche Bei dem Wechsel von dem einen in den anderen Bewegungsbereich kann einer der beiden Antriebe abgeschaltet werden Last u a 2005 so dass das dadurch verursachte autonome Teilsystem seiner Eigenbewe gung folgt In Ider 2005 w rd eine Methodik zur Planung von Trajektorien die es erlaubt das System durch singulare Stellungen hindurch zu bewegen vorgestellt Die Planung der Abtriebstra jektorien f r ein f nfgliedriges Handhabungsgerat wird so vorgenommen dass die Bewegung des autonomen Teilsystems im Bereich um die Singularitat herum durch ein Polynom so geplant wird dass die Bewegung im s ngul ren Punkt selbst exakt der Eigenbewegung entspricht also derjenigen Bewegung die ohne Aktuatorkr fte auf das autonome Teilssystem erfolgt Ider nennt diese Anfor derung an die Trajektorien Konsistenzbedingungen und stellt diese Bedingungen f r den Wechsel des Bewegungsbereichs auf Durch das vor bergehende Deaktivieren eines Antriebs existiert f r den entsprechenden Trajektorienabschnitt permanent ein autonomes Teilsystem das bei aktive
27. tigt werden Dies kann durch ein iteratives vernetztes Vorgehen realisiert werden s Bild 7 2 1 Dazu muss eine sinnvolle Abfolge der Abarbeitung der Prozessbausteine gew hlt werden S e kann sich zwar an der Reihenfolge orientieren in der die Prozessbausteine in dieser Arbeit vorgestellt wurden es gibt aber keinen K nigsweg f r d e Reihenfolge der Abarbeitung der Prozessbausteine Es sind immer wieder R ckspr nge und erneute Durchl ufe von vorherigen Prozessbausteinen notwendig die zu Beginn des Auslegungsprozesses kaum planbar sind Bei dem iterativen Vorge hen liegen in den Systemmodellen zunehmend detailliertere Systeminformationen vor Es entstehen laufend neue Entwurfsgenerationen bei denen neue Zielsetzungen f r noch unber cksichtigte Ei genschaften erg nzt werden oder bei denen Zielsetzungen f r bestimmte Eigenschaften ver ndert werden In der industriellen Praxis umfasst der Entwicklungsprozess auch die Umsetzung einzelner Entwurfsgenerationen in Produktgenerationen die gefertigt und verkauft werden Dadurch ergeben sich wirtschaftliche organisatorische und fertigungstechnische Randbedingungen die den weiteren Entwurfsprozess stark beeinflussen Darauf wird aber n dieser Arbeit aber nicht n her eingegangen 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 166 Die Vorgabe der Zielsetzung und das Treffen von Richtungsentscheidungen setzt die Kenntnis der Komponenteneigenschaften und ihrer Auswirkung auf das Systemverhalten sowie die Ken
28. 015 Simulation DZR Messung DZR Messung PIZR 1 20 20 Simulation PIZR 1 20 20 Bild 6 2 15 Winkelabweichung am Abtrieb bei der Simulation und der praktischen Erprobung der Zustandsregelung 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 129 Es best tigt sich dass das verwendete Modell das reale Pr fstandsverhalten sehr gut abbildet und dass m Zuge der Produktentwicklung Untersuchungen am virtuellen Modell entsprechende Unter suchungen am realen System ersetzen k nnen Dies gilt jedoch nur so lange im Modell alle relevan ten Effekte vorhanden sind Ein Effekt der beachtet werden muss ist dass Spillover Spillover beschreibt das Ph nomen dass bei Bed mpfung bestimmter Eigenformen eine Anregung meist h herer Schwingungsformen erfol gen kann und somit Resonanzen auftreten Yang und Sheu 2006 Bei dem Beispielsystem ist der Imaginarteil des Antriebseigenwerts durch die Polplatzierung auf den Wert von 200 2 1 31 gelegt worden Dies f llt mit keiner der Eigenfrequenzen des Systems zusammen s Bild 5 5 2 Bei Be darf k nnen durch eine entsprechende Bauteildimensionierung s Abschnitt 4 4 1 die Eigenfre quenzen so gestaltet werden dass sie in einem unkritischen Bereich liegen Ist dies nicht m glich so k nnen aus dem zur Regelung zur ckgef hrten Sensorsignal die kritischen Anteile herausgefil tert werden In Swevers u a 1994 wird zu diesem Zweck ein Tief
29. 1993 Subbian und Flugrad 1991 und Subbian und Flugrad 1993 sowie die Intervallanalyse Hargreaves 2002 Rump 1999 und neuronale Netze Vasiliu und Yannou 2001 In Corves und Harmeling 2007 wird ein Verfahren vorgestellt bei dem die Formulierung der Syntheseaufgabe anschaulich und komfortabel durch ein geeignetes Mehrk rpermodell unter Verwendung von Standard Modellelementen und der grafischen Benutzeroberfl che eines Mehrk rpersimulationsprogramms erfolgt Vom MKS Programm wird dann intern e n differential algebraisches Gleichungssystem Deskriptor System erstellt und gel st Das Beispielsystem das in dieser Arbeit theoretisch und experimentell untersucht werden soll muss keine bestimmte Prozessbewegung realisieren Daher wurden die kinematischen Abmessungen s Bild 3 2 1 so gewahlt dass ein umlauffahige Kurbelschwinge entsteht L 0 2 m L2 0 5 m L3 0 4m L4 0 5m 3 4 1 Beim wiederholten Durchlauf des Prozessbausteins kinematische Ma synthese k nnen ber die klassische Lagensynthese hinaus zusatzlich dynamische Anforderungen bei der Ermittlung der kinematischen Abmessungen angemessen ber cksichtigt werden Die berechneten Bahnabweichun gen k nnen beispielsweise fur eine Anpassung der kinematischen Abmessungen an das dynamische Verhalten des Getriebes mit elastischen Bauteilen verwendet werden Au erdem k nnen Synthese gleichungen auf Basis der dynamisch relevanten kinematischen bertragungsfunktionen h h
30. 2002 demonstriert Der Entwurf der Input Shaper also das L sen der Randwertaufgabe erfolgt h ufig m Zeitbereich ist aber auch 1m Frequenzbereich m glich Insbesondere bei Mehrgr ensystemen mit n Freiheitsgra den die u a in Baumgart und Pao 2001 Baumgart und Pao 2002 Cutforth und Pao 1999a Cutforth und Pao 1999b behandelt werden kann der Entwurf im Frequenzbereich vorteilhaft sein da er nur eine Folge von 2n 1 Impulsen und nicht wie beim Entwurf im Zeitbereich 2 Impulse liefert Bei MehrgroBensystemen k nnen die Shaper f r jeden Eingang getrennt besser aber ge meinsam ausgelegt werden da letzteres zu k rzeren Impulsfolgen f hrt Pao 2000 Die anf nglich f r lineare Systeme entwickelte Methode des Input Shap ngs kann problemlos auf nichtlineare Systeme bertragen werden wenn die Nichtlinearit t durch ein erg nztes Teilsystem kompensiert werden kann so dass insgesamt e n lineares System entsteht Dieses Vorgehen st analog zum Entwurf von nichtlinearen Regelungen s z B F llinger 1993 und wird in Lawrence u a 2005 angewendet um ein System mit Coulomb scher Reibung zu behandeln Die Stellgr e wird um einen Reibungskompensierenden Anteil erg nzt vgl Gl 6 1 2 so dass dieser Anteil zusam men mit der Strecke ein lineares System bildet In Pao und Singhose 1995b wird hergeleitet dass die Laplacetransformierte G s der Impulsfolge g t eine Folge von Nullstellen darstellt d e d e Polstelle
31. Bewegungsdesign Eine Kernkompetenz des Getriebetechnikers VDI Berichte Nr 1567 Dusseldorf VDI Verlag 2000 S 1 23 Bronstein und Semendjajew 1991 Bronstein I N Semendjajew K A Taschenbuch der Mathematik Stuttgart B G Teubner 1991 Bucher und Rosenstein 2006 Bucher I Rosenstein M Determination of External Forces Application to the Calibration of an Electromagnetic Actuator In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 5 2006 S 545 554 Burmester 1888 Burmester L Lehrbuch der Kinematik Leipzig Verlag von Arthur Felix 1888 Butcher 2000 Butcher E A Normal Forms and the Structure of Resonance Sets in Nonlin ear Time Periodic Systems In Nonlinear Dynamics Vol 23 No 1 2000 S 35 55 Callesen und Braune 2004 Callesen M Braune R Kombination von gesteuerten Antrie ben mit Koppelgetrieben Nutzungspotenziale und Konzipierungsaspekte In VDVVDE Hg Elektrisch mechanische Antriebssysteme Innovationen Trends Mechatronik Berlin VDE Verlag 2004 S 283 302 Capi u a 2002 Capi G Kaneko S Mitobe K Baroll L Nau Y Optimal trajectory generation for a prismatic joint biped robot using genetic algorithms In Robotics and Autonomous Systems vol 38 2002 S 119 128 Caracciolo und Trevisani 2001 Caracciolo R Trevisani A Simultaneous rigid body mo tion and vibration control of a flexible four bar linkage In Mechanis
32. CU 10720 40 U 10 2 11 2 Z z hy 255 U10V59 U1020 J45 40 e2 Ujo Ya0 k Uj Yoo Yao U10 Die Eigenschaft der Linearitat der Stellgr en u t die bereits bei der nichtlinearen Bewegungs gleichung 3 2 11 vorlag geht durch die formale Linearisierung nicht verloren so dass der Erre gervektor h t in zwei Anteile aufgeteilt werden kann h t hs t B t u t 4 2 12 Es ist allerdings zu beachten dass die Stellgr en u t nach der Linearisierung auch in den Matrizen Q t und P t enthalten sein k nnen Die Elemente auf den Nebendiagonalen dieser Matrizen geben Aufschluss ber die Starke der Kopplung zwischen den Freiheitsgraden Die Gl 4 2 9 zeigt in der ersten Zeile nur ber die Massenmatrix eine Kopplung mit dem zweiten Freiheitsgrad Diese Eigen schaft lag auch bei der nichtlinearen Gleichung 4 2 3 bereits vor Der Anteil hg t verschwindet wenn f r die Linearisierungstrajektorie die quasi statische Gleichgewichtslage gew hlt wird Dieser Anteil kann auch als bekannter St rgr enverlauf der das System in die statische Gleichge 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 41 wichtslage dr ngt interpretiert werden Er kann durch eine St rgr enaufschaltung die 1m Ab schnitt 6 2 1 erl utert wird kompensiert werden Die linearisierte Bewegungsgleichung 4 2 8 ist eine Gleichung mit zeitvarianten Koeffizientenmatrizen Im station ren Betrieb h
33. Drehbewegung der Motoren ruft Unwuchtkr fte hervor die das mechanische System zu Schwingbewegungen anregen Die Schwingbewegung hat aber zugleich eine R ckwirkung auf die Drehbewegung der Motoren Es liegt eine starke Kopplung zwischen den elektrischen Freiheits graden des Motors und dem mechanischen Teilsystems vor Dies kann bei der Modellierung wie zuvor beschrieben entsprechend ber cksichtigt werden 5 3 Prozessbaustein Dimensionierung der Elektromotoren 82 5 3 Prozessbaustein Dimensionierung der Elektromotoren Die Ausf hrungen m vorherigen Abschnitt machen deutlich dass eine gute Dimensionierung der Elektromotoren notwendig ist um unerw nschte Einfl sse des elektrischen Teilsystems zu vermei den Das Dimensionieren eines Elektromotors bedeutet beim Entwurf von Bewegungssystemen n der Regel allein aus wirtschaftlichen Gr nden die Auswahl eines auf dem Markt erh ltlichen Mo tors anhand geeigneter Kriterien F r einzelne Anwendungen kann es aber auch sinnvoll sein spezi fische Motoren die gew nschte elektrodynamische Eigenschaften haben zu entwerfen und bauen zu lassen Darauf soll hier aber nicht weiter eingegangen werden Der Motor und das Vorgelege bersetzungsgetriebe haben aufgrund ihres Massentr gheitsmo ments Einfluss auf die Masseeigenschaften des Gesamtsystems und folglich auch auf die Antriebs belastung Dieser Zusammenhang muss bei der Auswahl des Motors ber cksichtigt werden Ein systematisches und zugle
34. Drehgeber SM digital in Kombination mit der Interpolation der Winkelgeschwin digkeit die auch am Pr fstand verwendet werden simuliert Da sich bereits bei der praktischen Uberpriifung der Regelung s Bild 6 2 15 eine gute Ubereinstimmung zwischen dem Verhalten des realen Pr fstands und des Modells zeigte wird auf eine praktische berpr fung der erg nzenden Minderungsma nahmen und der damit verbundenen konstruktiven Ver nderung des Pr fstands verzichtet Als Referenzlinie ist in Bild 7 2 2 noch der Abtriebswinkelverlauf eingezeichnet Es ist zu erkennen dass im Bereich der Decklage des Getriebes die gr ten Schwingungsamplituden verbleiben Es handelt sich um Eigenschwingungen die von der Regelung in der Nahe der singula ren Stellungen nur unzureichend beeinflusst werden k nnen 0 04 rad 0 02 0 01 0 0 01 0 02 0 03 0 04 1 5 16 17 18 19 2 2 1 22 23 2 4 s 2 5 DZR SManallg SM digital Referenz Bild 7 2 2 Verlauf des Abtriebswinkelfehlers f r das Referenzsystem und f r ein System mit drei kombinierten Ma nahmen zur Schwingungsminderung Zusammenfassung 171 8 Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein Konzept zur Schwingungsminderung bei mechatronischen Bewegungssys temen vorgestellt Bei dem Konzept wird die Zielsetzung verfolgt einen Kompromiss zwischen der Qualit t der prozessrelevanten Bewegung einerseits sowie den beiden wirtschaftlich relevanten Faktoren Leichtbau und e
35. Einfl sse von Spiel in Gelenken und Lagern von elastischen Deformationen und von Schwingungen der Glieder stets so gering sind dass sie die Bewegungen hinreichend wenig beeinflussen Dresig 2006 Das Starrk rpermodell st insbesondere n fr hen Entwurfsphasen z B bei der Auswahl des Antriebs Abschnitt 5 3 als erstes Modell des mechan schen Systemteils n tzlich Es beschreibt f r viele Bewegungssysteme mit ungleichm ig berset zenden Getrieben bereits die wesentlichen nichtlinearen Systemeigenschaften Im Mittelpunkt dieser Arbeit stehen Getriebe mit nur einem Antrieb und entsprechend einer skala ren Eingangsgr e q Viele der besonderen Eigenschaften der zwangl ufigen ungleichm ig ber setzenden Getriebe lassen sich durch kinematische Funktionen die den nichtlinearen Zusammen hang zwischen der Eingangsgr e q und den Ausgangsgr en des Getriebes die im Vektor y zu sammengefasst werden mathematisch erfassen Die kinematischen Funktionen sind bei r umlichen Getrieben gem der drei m glichen Translations und Rotationsrichtungen des Abtriebsbauteils eine Abbildungsfunktion ge R gt y q e RK ke 1 2 3 4 5 6 3 2 1 3 2 Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen 13 Im Ausgang y werden nur diejenigen Anteile der r umlichen Bewegung ber cksichtigt f r die im Rahmen der Bewegungsspezifikation Anforderungen definiert wurden Die Dimension k des Aus gangs y wird an sp terer Stelle ein
36. Friedmann u a 1977 auf zwei weitere Vorgehensweisen zur Stabilit tsbetrachtung zeitvarianter Systeme hinweisen die in Sinha u a 1993 kurz erl utert werden Dies sind zum einen Methoden die auf der St rungstheo rie basieren und nur f r kleine zeitliche Ver nderungen der Parameter anwendbar sind Meirovitch 1970 und zum anderen die Infinite Determinante Methode nach Hill die allerdings nur Stabili t tsgrenzen im Parameterraum liefert nicht aber Aussagen ber die Gr e der Schwingungsampli tuden f r bestimmte Parameterwerte erlaubt Bei Verwendung der magnetorheologischen Aktuatoren muss deren Totzeiteffekt bei der Stabili tatsuntersuchung ber cksichtigt werden In Sipahi und Olgac 2003 wird der Einfluss von Totzeit auf die Stabilitat von Bewegungssystemen mit Regelungen zur aktiven Schwingungsminderung betrachtet Die Untersuchung beschrankt sich dabei auf lineare zeitinvariante Systeme Der Steue rungsrechner s Bild 6 1 1 arbeitet zeitdiskret Stabilit t ist bei zeitdiskreten Systemen so definiert dass ein System als stabil bezeichnet wird wenn bei einer beschr nkten Eingangsfolge auch die Ausgangsfolge beschr nkt ist In Konigorski 2003d wird dargestellt wie die Stabilitatsuntersu chung fur zeitdiskrete Systeme auf die Anwendung der Methoden fur zeitkontinuierliche Systeme zur ckgef hrt werden kann Bei dem Pr fstand treten durch die Zeitdiskretisierung keine Probleme auf Es zeigte sich aber dass die
37. Getriebe79 15 rad s 10 0 0 5 1 1 5 2 2 5 tis 3 Bild 5 2 1 Simulation und Messung der Antriebswinkelgeschwindigkeit f r station re Be triebszust nde Die S mulationsergebnisse zeigen gegen ber den gemessenen Winkelgeschwindigkeitsverl ufen keine berlagerten hochfrequenten Schwingungsanteile Bild 5 2 2 Die Ursachen f r diese berla gerten hochfrequenten Anteile sind in nicht modellierten Systemteilen zu suchen und k nnen an hand einer Ordnungsanalyse naher untersucht werden 12 5 0 BE Ta KR i N 11 5 ar aN FAR RT ee a a y A ud T aiddi 10 5 a A penile ieee Bere ee fee u Messung 5 8 5 23 2 6 2 7 2 8 2 9 tis 3 Bild 5 2 2 Unterschiede des gemessenen und simulierten Winkelgeschwindigkeitsverlaufs In Bild 5 2 3 sind die Frequenzanteile des Antriebswinkelgeschwindigkeitsverlaufs als Ordnungen der Kurbelumdrehungen aufgetragen Analog zu demjenigen Anteil des Winkelfehlers am Abtrieb der auf die kinetostatische Belastung zur ckzuf hren ist und sich haupts chlich aus den Frequenz anteilen der niedrigen Kurbelordnungen zusammensetzt s Bild 4 4 2 ist auch im Antriebswinkel geschwindigkeitsverlauf ein Anteil enthalten der als Schwingungsantwort auf das kinetostatische Lastmoment anzusehen ist und einen Beitrag zu den den Amplituden der ersten Zehn Kurbelord 5 2 Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und Getriebe80 nungen leistet R ckwirkung der E
38. Maximum von U auftritt Zwei Werte und Op fur Antriebswinkel die in der Nachbarschaft von Q ax liegen werden in die algebraische Gleichung fur U eingesetzt so dass zwei Ausdr cke fur U und U p entstehen die nur noch von den kinematischen Abmessungen abh ngen Fur U und U p werden Werten vorgegeben die um einige Prozent kleiner sind als die Werte f r U und U p des Ursprunggetriebes mit den originalen kinematischen Abmessungen Damit sind zwei neue Synthesegleichungen gewonnen Allgemein kann abhangig von den Ergebnissen der Analyse der station ren Schwingungsantwort selbstverst ndlich auch die Anregung f r einen ande ren Antriebswinkel als max verringert werden Jede dieser beiden Gleichungen wird zusammen mit jeweils vier polynomialen Gleichungen zur Genaulagensynthese f r vier Lagevorgaben K bis Ky durch eine nichtlineare Optimierung gel st Abh ngig von den vorzugebenden Startwerten f r die beiden Gleichungssysteme werden wieder L sungen f r die Lagen der Gelenke gefunden vgl Abschnitt 4 4 2 In Bild 4 4 12 ist zu erken nen dass die Koppelkurve durch die Veranderung der kinematischen Abmessungen im rechten Bereich eine geringere Krummung aufweist als die Ausgangskurve Im linken Bereich ist eine gro e Abweichung von der Ausgangskurve zu sehen da die f nfte Lagenvorgabe K vgl Bild 4 4 9 zu Gunsten der beiden neuen Synthesegleichungen aufgegeben wu
39. Mess und die Simulationsergebnisse s Abschnitt 6 2 3 f r das Pr fstandsgetriebe bei dem nur der Hauptantrieb als Stellglied verwendet wird u M Ap zeigen dass das System den willk rlich vorgegebenen Trajektorien nicht folgen kann F r den Antriebswinkel und fur den Abtriebswinkel y wurden dort die Antriebs und die Abtriebstrajektorie eines kinematisch aquiva lenten Starrk rpermechanismus vorgegeben Bei dem Betrieb des Bewegungssystems muss die elastische Schwinge Kr fte und Momente bertragen so dass eine Deformation der Schwinge unvermeidlich ist Daher muss mindestens einer der beiden Freiheitsgrade Antriebswinkel und Abtriebswinkel von der Trajektorie des Starrk rpermechanismus abweichen Wenn ein inversions basierter Vorsteuerungsentwurf gelingt wird erreicht dass der Abtriebswinkel als Ausgang y yw des Systems der gew nschten Starrk rpertrajektorie y folgt w hrend der Antriebswinkel als auto nomes Teilsystem z q der internen Dynamik folgt und damit von der Starrk rpertrajektorie abweicht Die zugeh rige Vorsteuerung u folgt dann aus der inversen Ein Ausgangsdynamik Gl 6 1 11 ae re yes l I u B y y Z Z t Y n y y 2 2 t In Devas a und Chen 1996 und Wang und Unbehauen 2002 wird dieses Vorgehen erfolgreich f r die Trajektorienplanung und den Vorsteuerungsentwurf eines eingliedrigen elastischen Bewe gungssystems angewendet Dies Verfahren setzt neben der stabilen internen Dynamik voraus dass
40. Oliver u a 1985 Oliver J H Wysocki D A Thompson B S The Synthesis of Flexible Linkages by Balancing the Tracer Point Quasi Static Deflections Using Microproces 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 189 sor and Advanced Materials Technologies In Mechanism and Machine Theory vol 20 No 2 1985 S 103 114 Ouyang und Zhang 2005 Ouyang P R Zhang W J Force Balancing of Robotic Mecha nisms Based on Adjustment of Kinematic Parameters In JOURNAL OF MECHANI CAL DESIGN vol 127 Issue 3 2005 S 433 440 Ozer und Royston 2005 Ozer M B Royston T J Extending Den Hartog s Vibration Absorber Technique to Multi Degree of Freedom Systems In Journal of Vibration and Acoustics vol 127 issue 4 2005 S 341 350 Pahl u a 2005 Pahl G Beitz W Feldhusen J Grote K H Konstruktionslehre Metho den und Anwendungen 6 Auflage Berlin Springer Verlag 2005 Pao und Singhose 1995 Pao L Y Singhose W E A Comparison of Constant and Vari able Amplitude Command Shaping Techniques for Vibration Reduction In Proceed ings of the fourth IEEE Conference on Control Applications Albany NY 1995 S 875 881 Pao 1996 Pao L Y An Analysis of the Total Insensitivity of Input Shaping Designs In Proceedings of the AIAA Guidance Navigation and Control conference San Diegeo CA USA 1996 Pao und Singhose 1995b Pao L Y Singhose W E On the Equivalence of Minimum Time Input Sh
41. Pro grammebene Co Simulation miteinander gekoppelt Die Regelungskonzepte werden durch Co Simulation mit ADAMS an einem virtuellen Pr fstand der in dem MKS Programm modelliert wird erprobt Da die Simulationsschrittweite deutlich unter der kleinsten Periodendauer von auftre tenden Schwingungen liegen muss bedeutet eine Ber cksichtigung des PI Stromreglers dass die 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 94 Schrittweite des Gleichungsl sers deutlich unter dem n Gl 5 1 10 angegebenen Wert der Zeit konstanten Ty 0 6 ms liegen muss Bei der Co Simulation ist nicht nur die Schrittweite eines einzelnen Gleichungsl sers sondern auch das Kommunikationsintervall zwischen den beiden Glei chungsl sern von den Zeitanforderungen betroffen Durch den h ufigen Datenaustausch l uft die Co Simulation relativ langsam Die modellbasierten adapt ven Vorsteuerungen und Regelungen k nnen f r die praktische Erpro bung am realen Pr fstand mit Hilfe der Erweiterungsmodule Realtime Workshop RTW und XPC Target XPC f r MATLAB Simulink direkt auf den Steuerungsrechner oben links in Bild 6 1 1 exportiert werden Das XPC Target Modul erm glicht es das virtuell erprobte Simu link Modell der Regelung einschlie lich der Datenerfassungsfunktion f r das Zielsystem zu kompi lieren Das Zielsystem ist der Steuerungsrechner auf dem das Betriebssystem XPC Target l uft Das kompilierte Modell kann ber eine TCP IP Verbindung
42. Programmen weit verbreitet Die FEM f hrt aber zu sehr gro en Gleichungssystemen die f r die Verwendung der FE Modelle in einem Mehr k rpersimulationsprogramm MKS oder f r eine weitere analytische Behandlung beispielsweise bei der Vorsteuerungs und Reglerauslegung noch kondensiert werden m ssen Die Kondensation erfolgt numerisch und wird von FE und MKS Programmen weitgehend automatisiert unterst tzt Die Matrizen die das kondensierte Modell beschreiben werden h ufig in generischen Dateiforma ten und gelegentlich auch im ASCII Format abgelegt Theodore und Ghosal 2003 leiten her dass bei der Verwendung der reduzierten Modelle Umsicht geboten ist da eine Regelung auf Basis der Modellgleichungen instabil werden kann wenn ein Modell mit zu hoch modellierten Eigenfrequen zen verwendet wird F r die Anwendung der Programmfunktionalitat ist daher das Verst ndnis der grundlegenden Zusammenh nge bei der Modellkondensation wichtig um kondensierte Modelle zu erhalten d e das Ausgangssystem ausreichend gut ann hern Die Grundlagen der Modellkondensa tion sind nachfolgend kurz zusammengefasst Das Ziel der Kondensation ist es das statische und das dynamische Verhalten eines Systems durch ein Gleichungssystem mit einer geringeren Anzahl von Freiheitsgraden exakt oder n ausreichend 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t 30 guter N herung zu beschreiben Bei der statischen Kondensation wird nur die Verformung aufgrun
43. Rake 1993 f t g t I F T g t t dt Lit Lelt F s G s 7 1 3 Das Ergebnis der Integration in Gl 7 1 2 ist eine stufige Trajektorie h t deren Verlauf eine Zeit verz gerung der Werte gegen ber der urspr nglichen Trajektorie aufweist die abh ngig von der gewahlten Impulsfolge g t ist Ist die ursprungliche Trajektorie f t eine Sprungfunktion so ent spricht die Zeitverz gerung der Lange der Impulsfolge g t Singh und Singhose 2001 Daher wird f r das Input Shaping in der Regel eine Folge g t mit m glichst wenigen Impulsen gew hlt Im pulsfolgen die fur das Input Shaping gebr uchlich sind werden an sp terer Stelle noch vorgestellt Besteht die urspr ngliche Trajektorie f t aus einer zeitdiskreten Folge von mehreren ver nderten Werten so muss eine Uberlagerung der Impulsfolgen g t vermieden werden indem die Dauer der Impulsfolge g t k rzer ist als der Abstand zwischen zwei Werten n f t Pao und Singhose 1996 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 148 Das Totzeitverhalten von h t aufgrund der Faltung muss au erdem bei der Reglerauslegung be r cksichtigt werden Anschaulich beschrieben bewirkt die Faltung mit der Impulsfolge dass der urspr nglichen Trajek torie f t eine zus tzliche Schwingungsanregung durch die Faltung mit der Impulsfolge berlagert wird Diese Anregung wird so gestaltet dass die daraus resultierenden Schwingungen m glichst gut die Schwingungen kompen
44. Rauschunterdr ckung eingesetzt wird Konigorski 2003c Werden sowohl die R ckf hrung R als auch die Beobachter matrix L mit einem Riccati Entwurf ausgelegt so wird der Gesamtentwurf auch als Linear Quadratic Gaussian LQG Entwurf bezeichnet Sannah u a 1995 und Sannah und Smaili 1998 bringen zwei Paare von piezoelektrischen Sensoren Aktuatoren auf der Koppel einer Kurbel schwinge mit elastischer Koppel und elastischer Schwinge an und nehmen einen LQG Entwurf fur das zeitvariante linearisierte System vor Sung und Chen 1991 wahlen ein ahnliches Vorgehen fur die Schwingungsminderung bei einer Kurbelschwinge mit elastischer Schwinge Sie merken an dass die Wahl der Gewichtungsfaktoren fur die optimale Regelung einiger heuristischer Versuche bedurfte Das heuristische Vorgehen ist aber auch f r die Bestimmung geeigneter Polvorgaben typisch In Cho u a 1998 wird der LQG Entwurf f r ein Kurbelgetriebe mit elastischer Kurbel Koppel und Schwinge behandelt Wenn wie bei dem Pr fstandsbeispiel einige Zustandsgr en messbar sind ist es s nnvoll diese direkt in der Regelung zu verwenden und nur die nicht messbaren Gr en durch einen reduzierten Beobachter zu ermitteln Die Struktur eines reduzierten Beobachters ist im Bild 6 2 19 dargestellt 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 139 Regelstrecke Bild 6 2 19 Konstante Ausgangsr ckf hrung mit reduziertem Zustandsbeobachter Die Zustandsgleich
45. VA Vi AA RER tos 0 03 ee no pooo EEE ZH EEE EEE E 1 5 1 7 1 9 2 1 23 tls 25 original DZR optimiert DZR optimiert ZR U Bild 7 1 1 Winkelfehler am Abtrieb Fur die kinetostatikbasierte Trajektorienplanung wird die Systemgleichung f r das System mit ver nderten kinematischen Abmessungen verwendet Der Systemausgang y y4 beschreibt darin die Abweichung des Abtriebswinkels von der Linearisierungstrajektorie Als Linearisierungstrajek torie wird der Abtriebswinkelverlauf U des kinematisch ver nderten Starrk rpermechanismus gew hlt Die gew nschte Abweichung y y4 wird so gew hlt dass insgesamt der Abtriebswin kelverlauf U des original Starrk rpermechanismus erreicht wird Ya U1 9 U 7 1 14 Die Gleichung 7 1 13 kann in MAPLE f r das System ausgewertet werden um d e entsprechende Trajektorie f r die Abweichung y des Antriebswinkels von der Linearisierungstrajektorie zu berechnen 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 159 c24 J4_5 U1 20 20 UlY20 Y30 7 1 15 E 5 UT 20 20 UT 20 30 ky U Y20 o9 2U1 V20 Dabei wurden keine zeitabh ngigen Lastmomente Mp oder Mpo ber cksichtigt Die so geplante Abweichungstrajektorie f r den Antriebsfreiheitsgrad y gt in Bild 7 1 2 ber cksichtigt die kinetosta tische Deformation der Schwinge In dem Diagramm ist der Verlauf von U der die singul ren Stellungen kenntlich macht
46. Verlag 1995 Fliess u a 1995 Fliess M L vine J Martin P Rouchon P Flatness and Defect of Nonlinear Systems Introductory Theory and Examples In International Journal of Control Vol 61 No 6 1995 S 1327 1361 Flocke 1931 Flocke K A Zur Konstruktion von Kurvenscheiben bei Verarbeitungsmaschi nen In VDI Forschungsheft 345 Berlin VDI Verlag 1931 Follinger 1993 Follinger O Nichtlineare Regelungen Band II 7 Auflage M nchen Ol denbourg Verlag 1993 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 180 Follinger 1994 Follinger O Regelungstechnik 8 Aufl Heidelberg H thig Verlag 1994 Frank u a 2004 Frank U Giese H Klein F Oberschelp O Schmidt A Schulz B V cking H Witting K In Gausemeier J Hg Selbstoptimierende System des Maschinenbaus Definition und Konzepte Band 155 Paderborn HNI Verlagsschriftenreihe 2004 Frank und Gausemeier 2005 Frank U Gausemeier J Specification of the Principle Solution of Self Optimizing Systems In Journal of Research in Engineering Design 2005 Franke 1948 Franke R Vom Aufbau der Getriebe Berlin Beuth Vertrieb 1948 Freudenstein und Dobrjanskyj 1964 Freudenstein F Dobrjansky L On a theory of type synthesis of mechanisms In Proceedings of the Eleventh International Conference of Applied Mechanics ASME 1964 S 420 428 Freudenstein und Maki 1979 Freudenstein F Maki The creation o
47. Via Chebyshev Polynomials In Journal of Vibration and Acoustics Vol 115 1993 S 96 102 Sinha u a 1996 Sinha S C Pandiyan R Bibb J S Liapunov Floquet Transformation Computation and Applications to Periodic Systems In ASME Hg Journal of Vi bration and Acoustics Vol 118 No 2 1996 S 209 219 Sinha u a 1998 Sinha S C Butcher E A David A Construction of Dynamically Equivalent Time Invariant Forms for Time Periodic Systems In Nonlinear Dynam ics Vol 16 No 2 1998 S 203 221 Sinha und Wooden 2007 Sinha S C Wooden S Analysis of periodic quasiperiodic nonlinear systems via Lyapunov Floquet transformation and normal forms In Nonlinear Dynamics No 47 2007 S 263 273 Sipahi und Olgac 2003 Sipahi R Olgac N Active Vibration Suppression With Time De layed Feedback In Journal of Vibration and Acoustics vol 125 2003 S 384 388 Skudelny 1989 Skudelny H Ch Elektrische Antriebe und Steuerungen Vorlesung sumdruck Aachen RWTH Institut f r Stromrichtertechnik und elektrische Antriebe 1989 Smaili und Diab 2007 Smaili A Diab N Optimum synthesis of hybrid task mechanisms using an gradient search method In Mechanism and Machine Theory Vol 42 Issue 1 2007 S 115 130 Smith 2004 Smith R OPEN DYNAMICS ENGINE V0 5 USER GUIDE Im Internet unter http ode org ode html 2004 Song u a 2005 Song X Ahmadian M Southward S Mil
48. Wendt und Lutz 2002 Zun chst muss die Steuerbarkeit f r die gew hlte Regelungsstruktur berpr ft werden Die Eigen schaft der Steuerbarkeit bedeutet dass f r ein System der Form x Ax Bu 6 2 26 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 117 eine Eingangsvariable u t existiert so dass die Zustandsvariable x t in endlicher Zeit von einem beliebigen Anfangszustand in den Endzustand x t 0 berf hrt werden kann Steuerbarkeit be deutet jedoch nicht dass das System in einen beliebigen Zustand berf hrt werden kann oder dass der Zustand x t 0 bei Anwesenheit eines St rgr envektors bg erreicht werden kann In der linearisierten Zustandsgleichung mechanischer Bewegungssysteme Gl 4 2 14 existiert ein Stor gr envektor sobald die Linearisierungstrajektorie nicht mit der statischen Gleichgewichtslage identisch ist Steuerbarkeit kann mit Hilfe der Steuerbarkeitsmatrix Qs berpr ft werden Vollst n dige Steuerbarkeit liegt vor wenn gilt det Qs 0 6 2 27 Falls det Qg 0 ist sind nicht alle Zustandsgr en steuerbar Wendt und Lutz 2002 Konigorski 2003b Die Steuerbarkeitsmatrix berechnet sich dabei zu Qs B AGBg Ag Bg Ag Bg 6 2 28 Die Steuerbarkeit soll hier speziell fur mechanische Bewegungssysteme betrachtet werden Darin wird ber cksichtigt dass ein Integralanteil nur f r die Verlagerungsgr en nicht aber f r die Ge schwindigkeitsgr en sinnvoll i
49. abh ngen hinzu so m ssen entsprechende linearisierte Terme erg nzt werden Ein einfaches Beispiel f r die Erg nzung der Terme ist 1m Abschnitt 5 4 in den Gln 5 4 1 und 5 4 1 zu sehen Analog zur Lineartisierung der Gl 4 2 3 die eine Systembeschreibung mit dem Relativwinkel enth lt kann die Gl 4 2 4 mit dem Absolutwinkel w des Abtriebsorgans als zweiten Freiheitsgrad und mit t Y20 t Y2 t und w t Yao t Ya t bez glich der Trajektorien Ypo t und Yao t linearisiert werden Anzu 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 40 merken ist dass y4 t in diesem Fall der absolute Fehler am Abtrieb ist also eine andere Bedeutung hat als in Gl 4 2 9 MOO P t x t Q t x t h t mit xo Ya 2 2 J12 J 3 4J5 U 0 J6U gt 0 2J5U 9 M t 2509 J45 2 M 2 M 2 2 P t 23 U qU o 2J6U20U30 W 20 k UG 45 Uj0Y20 k2Uj0 k2 Ul c Q t ee W WW b M 2J5 Y U10 Uj9 Ya9 K2 20U 10 Uioc2 C2 Wo 2 mo ne 2 Q11 J3 4J5 ZU U10Y gt 0 Uj 9 UU Uj9 Y gt 30 Wo 2 m 2 36 2U 49 U 2020 Uno U 99 U 20 IY20 k 2U 020 Y40 U 10 2 U 9 Y40 Uj0 Un Utoc2 2MpUig MBU 49 255V4 Ufo hi 1 CU 0 Man mo ZU U Mp h2 0 sj ae BO oe Wee 2 7 2 7 hy J12Y20 J3 4J5XU10U10Y 20 U10 20 tc2CU 10 Y40 U10 Z Sa M 2 2 a Z 3 23 5U10V 49 J6 U20U ag Va9 U 29 V29 K2
50. bei dem die Abtriebswinkel des Starrk rpersystems mit ver nderten kinematischen Abmessungen y W zusammen mit der berlagerten kinetostatischen Deforma tion des Ausgangsgetriebes Aw Ay in den Totlagen genau den geforderten Winkeln entsprechen Var Yasi t AWg AU V t 4 4 11 Daher ist sp ter noch zu pr fen ob auch f r die quasistatische Deformation des ver nderten Getrie bes Ay und Ay mit ausreichend gute Naherung gilt Wa silt Wasi t AWa j7 AMY t 4 4 12 Mit der Ver nderung der Gliedl ngenverh ltnisse hat sich die kinematische bertragungsfunktion ver ndert Insbesondere weichen die neuen Antriebswinkel Q Ag und 9 9 AQ f r die u ere und die innere Totlage von den urspr nglichen Werten bzw ab Im Allgemeinen muss daher durch eine kinematische R ckw rtsrechnung ein korrigierter Antriebswinkelverlauf Yo t berechnet werden um den gew nschten Zeitverlauf des Abtriebswinkels zu erhalten Das Vorgehen wird im Zusammenhang mit der Trajektorienplanung im Abschnitt 7 1 2 n her beschrie ben Um dabei einen m glichst gleichf rmigen Antriebswinkelverlauf yo t zu erhalten ist es g nstig die beiden Abweichungen Ag und Ag die im Allgemeinen unterschiedlich sind aneinan der anzugleichen Dazu werden Q Ag und 9 Ag in die Gln 4 4 9 und 4 4 10 eingesetzt Die Losung des Gleichungssystems 4 4 7 bis 4 4 10 liefert dann die drei gesuchten Glied
51. der Rege lung F llinger 1994 fa r gr pr pq gt n r 6 2 19 l 12 5 p q 1 n pq p a D 6 2 20 damit ausreichend Entwurfsparameter f r die Gestaltung der Dynamik aller n r Zustandsgr en des Systems zur Verf gung stehen Sind die Matrizen Ap Br Cr und Dp nicht voll besetzt so ist dies entsprechend zu ber cksichtigen Je mehr Entwurfsparameter zur Verf gung stehen umso mehr zus tzliche Nebenbedingungen k nnen beim Reglerentwurf verwirklicht werden Dabei muss allerdings auch immer der damit verbundene apparat ve Aufwand f r d e zugeh rigen Stellglieder beachtet werden Es m ssen nicht alle fa Entwurfsparameter die bei der allgemeinen Ausgangs r ckf hrung Bild 6 2 4 zur Verf gung stehen verwendet werden Indem bestimmte Parameter zu Null gesetzt werden kann eine spezielle Struktur der Regelung umgesetzt werden Zwei in dieser Arbeit verwendete Strukturen n mlich die vollst ndige Zustandsr ckf hrung und die PI Zustandsregelung werden n diesem Abschnitt noch erl utert 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 112 Die ausreichende Anzahl von Entwurfsparametern f4 stellt bei der Bestimmung der Reglerstruktur nur eine notwendige aber keine ausreichende Bedingung dar Zus tzlich muss f r d e untersuchte Reglerstruktur berpr ft werden ob die Stellgr en auf alle relevanten Zustandsgr en wirken und ob sie diese beeinflussen k nnen Das hei t es mu berpr ft we
52. der Stabilitat von periodischen linearen Systemen wenden Friedmann u a 1977 das Floquet Lyapunov Theorem an Die L sung der homogenen und der inhomogenen linearen Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten kann mit Hilfe des Floquet Theorems bestimmt werden Klotter 1988 Fur die Betrachtung der theoretischen Zusam menh nge ist es g nstig die Form der linearen bzw der nichtlinearen Zustandsgleichung Gl 4 2 13 bzw 4 2 6 zu verwenden Die lineare Gleichung 4 2 13 w t A t w t b t kann nach der Floquet schen Theorie mit der periodisch zeitvarianten Lyapunov Floquet Transformationsmatrix L t C L t w 6 2 50 in eine zeitinvariante Form mit konstanter aber komplexer Matrix C transformiert werden Muller 1977 6 CC L t b t 6 2 51 Fur dieses zeitinvariante lineare Gleichungssystem kann anhand der Eigenwerte der Matrix C die Stabilitat untersucht werden Ansorge und Oberle 2000 Auch das Auftreten von Resonanz auf grund einer periodischen Erregung durch b t kann anhand der Eigenwerte von C untersucht wer den Butcher 2000 Au erdem k nnen die freien Schwingungen d h b t 0 aufgrund der Para metererregung in L t bestimmt werden Mit den Anfangsbedingung Cp L t Wo ist die homogene Losung C t eFt Lito wo 6 2 52 w t L t e L to wo 6 2 53 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 133 Mit Gl 6 2 53 kann die berf hrungsmatrix t t des
53. die Eigenfrequenzen der Systemteile aufeinander abzustimmen um nicht zu hohe dynamische Anforde rungen an den Antrieb zu stellen Es ist empfehlenswert die Bauteile so zu dimensionieren dass die Eigenwerte des Systems deutlich oberhalb der maximalen Antriebsfrequenz liegen um Resonanzen zu vermeiden und zugleich deutlich unterhalb der Reglereigenfrequenz liegen um unerw nschte Wechselwirkungen die im Abschnitt 6 2 3 noch n her erl utert werden zu vermeiden Auch sollte die Periodendauer der auftretenden Schwingung oberhalb der Zeitkonstanten der Stellglieder liegen damit diese den Schwingungen effektiv entgegen wirken k nnen s Abschnitt 5 2 und 5 4 Die Lage bzw Platzierung der Systemeigenwerte ist au erdem von Bedeutung im Zusammenhang mit Parametererregung aufgrund zeitvarianter Koeffizienten und u erer Erregung mit bestimmten Frequenzen da Resonanzen auftreten k nnen Im linearisierten System sind vor allem die perio disch ver nderlichen kinetostatischen Kr fte und periodisch ver nderliche Antriebsmomente zu beachten Dresig und Rockhausen 2002 Beide sind im Erregervektor h t enthalten Bei einfachen Systemen wie dem Beispielsystem k nnen die gew nschten Eigenfrequenzen bzw die Steifig keitswerte und die Bauteilabmessungen durch Abschatzungen leicht bestimmt werden In anderen F llen ist es aber auch m glich die Methode der Polplatzierung aus der Regelungstechnik Ab schnitt 6 2 3 f r die Berechnungen der gew nsch
54. die Ermittlung der reduzierten Federsteifigkeit c g und D mpfung k g f r die Schwinge wurde im vorherigen Abschnitt bereits eingegangen s Bild 4 1 1 und Bild 4 1 2 F r das Feder Dampfer Element CGetr KGetr Wurden progressive Kennlinien verwendet um das Spiel nachzubilden Die kinematischen Ubertragungsfunktionen U und U gt beschreiben die Dreh winkel der Schwinge und der Koppel des Starrk rpersystemteils Die Momente M t Mpo t und Mp t sind Momente die von au en auf das mechanische System wirken Sie k nnen sowohl An teile die von den Stellgliedern erzeugt werden als auch Anteile die aus anderen Effekten resultie ren enthalten 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 34 y U1 Ya Ausgangssystem mit Kontinuumschwinger konzentriert parametrisches Schwingungsmodell Bild 4 2 1 Reduktion des Pr fstandsmodells auf ein m glichst einfaches Schwingungsmodell Zum Aufstellen der Systemgleichungen existiert eine Vielzahl von Verfahren Diese werden in die Gruppe der direkten synthetischen Methoden und die Gruppe der analytischen Methoden aufge teilt Corves 2007 Hadwich 1998 Arczewski und Pietrucha 1993 Sie k nnen in algebraisch oder numerisch arbeitenden Mathematikprogrammen implementiert werden Die direkten Methoden basieren auf einer Formulierung von Bilanz oder Erhaltungsgleichungen f r einzelne Systemele men
55. die Inverse B existiert was bei den beiden Literaturbeispielen gegeben ist Bei dem Kurbelge triebepr fstand sind es jedoch erneut die singul ren Stellungen in denen die Inverse B nicht existiert Aber selbst bei einer regul ren Matrix B ist die zweifache Integration von z als kritisch zu betrachten Kleine Fehler aufgrund von Abweichungen in den Modellparametern werden ebenfalls zweimal integriert und f hren mit zunehmender Integrationszeit zu Trajektorien z die immer weniger dem dynamischen Verhalten des realen Systems entsprechen Insbesondere wenn die gew nschte Trajektorie y Frequenzanteile 1m Bereich von Resonanzfrequenzen des Systems hat f hrt die inversionsbasierte Vorsteuerung zu entsprechend stark schwingenden Verl ufen der Frei heitsgrade z des autonomen Teilsystems Hier verursachen kleine Fehler in den Dampfungspara metern gro e Amplituden und Phasenabweichungen zwischen dem Modell und dem realem Sys tem Dies ist unerw nscht da die Trajektorien y und z fur die Berechnung der Vorsteuerung u verwendet werden W hrend bei den D mpfungswerten eine gr ere Parameterunsicherheit vorliegt kann die Steifig keit einzelner Bauteile relativ zuverlassig bestimmt werden Daher ist ein robusterer Vorsteuerungs 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 157 entwurf m glich indem in Analogie zu Cree und Damaren 2001 nur die quasistatischen Deforma tionen in die inversionsbasierte Trajektorienplanung
56. ebenfalls eingezeichnet 0 015 2 rad 0 005 0 0 005 0 01 0 015 0 9245 90 135 180 225 Pi 270 3159 360 Bild 7 1 2 Verlauf der Abweichungstrajektorie f r den Antriebsfreiheitsgrad bei kinetosta tikbasierter Trajektorienplanung In den s ngul ren Stellungen zeigt die Antriebstrajektorie erwartungsgem Polstellen Sie muss so umgeplant werden dass sicher gestellt ist dass die Abweichungen der Freiheitsgrade von der Li nearisierungstrajektorie nicht zu gro werden Die s ngul ren Stellungen sind die beiden im Ab schnitt 4 4 2 erlauterten Totlagen des Getriebes und die beiden zugeh rigen Antriebswinkel und k nnen leicht bestimmt werden Fur einen kleinen Winkelbereich um diese Totlagen herum wird ein Polynom f nften Grades als Ubergangsfunktion f r y verwendet s Bild 7 1 2 Dadurch ist ein stetiger Beschleunigungsverlauf f r die geplante Abweichung y von der Linearisierungstrajekto rie gew hrleistet und au erdem ist eine umlaufende Bewegung des Antriebs sicher gestellt Fur die so umgeplante Trajektorie y gt der internen Dynamik z y2 und fur die geplante Trajektorie y4 des Ausgangs y y4 kann mit Gl 7 1 12 das erforderliche Antriebsmoment zur Vorsteuerung berechnet werden Die Trajektorienplanung ist in den beiden Bereich der singularen Stellungen aufgrund der Umpla nung unwirksam In diesen Bereichen wirkt sich aber die Ver nderung der kinematischen Abmes sungen Absc
57. einzubeziehen statt wie zuvor beschrieben die vollst ndige interne Dynamik zu invertieren In Bayo u a 1989 wird hierf r ein numerisch itera tives Verfahren zur Trajektorienplanung verwendet Betrachtet wird ein Handhabungsger t mit serieller Struktur und elastischen Gliedern die als Timoshenko Balken modelliert werden Das System wird durch eine linearisierte zeitvariante Bewegungsgleichung beschrieben Im ersten Schritt erfolgt die Planung der Trajektorien f r einen Starrk rpermechanismus und es werden die kinetostatischen Lasten die im Starrk rpermechanismus auftreten berechnet Durch die Inversion der Steifigkeitsmatrix Q kann mit der Gl 4 2 17 anschlie end die quasistatische Verformung bestimmt werden Im n chsten Rekursionsschritt werden die geplanten Trajektorien f r die An triebsfreiheitsgrade so korrigiert dass diese quasistatische Verformung kompensiert wird Auch in den Arbeiten von Scheideler 1995 und Bormann und Ulbrich 1996 wird eine Trajektorienpla nung mit der Zielsetzung Bahnabweichungen aufgrund kinetostatischer Belastungen zu kompensie ren vorgenommen Minimiert wird die Bahnabweichung des Koppelpunktes einer Kurbelschwinge mit elastischer Koppel hnlich der Darstellung in Bild 4 4 8 Es werden Zusatzaktuatoren einge setzt die die urspr nglich gestellfesten Gestellgelenken B und Bo translatorisch bewegen Den Arbeiten von Bayo u a 1989 Scheideler 1995 und Bormann und Ulbrich 1996 ist ge m
58. er als 60 U min eine unergeordnete Rolle Daher werden die modellbasierten Ma nahmen zur aktiven Schwingungsminderung auf Bas s eines einfachen Systemmodells das ausschlie lich den Effekt der Bauteilelastizitat ber cksichtigt umgesetzt Alle weiteren Effekte einschlie lich der Reibung und des Spiels werden be den nachfolgenden Untersuchungen zur Wirksamkeit der Ma nahmen als St reffekte betrachtet 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung In diesem Abschnitt wird eine bersicht ber die vielf ltigen Ma nahmen zur passiven Schwin gungsminderung gegeben Die passive Schwingungsminderung ist insbesondere aufgrund der ge ringen Kosten interessant da keine zus tzlichen Aktuatoren eingesetzt werden Passive Schwin gungsminderung bedeutet eine schwingungsgerechte Gestaltung der Systemeigenschaften durch die Ermittlung g nstiger Werte f r die Systemparameter Dabe kann auch eine Erweiterung der Sys temstruktur vorgenommen werden Die Applikation von Schwingungstilgern ist ein Beispiel f r eine Strukturerweiterung Abh ngig von den Problemen die 1m Einzelfall durch Schwingungen hervorgerufen werden ergeben sich f r die Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung unterschiedlichste Zielsetzungen deren Bandbreite n diesem Abschnitt nur angedeutet werden kann Die Vielzahl der Zielsetzungen kann letztendlich auf die Gestaltung einer geringeren Anzahl von Systemeigenschaften zur ckgef hrt werden Zu den bedeutendsten Eigens
59. f r Getriebe technik und Maschinendynamik der RWTH Aachen 1998 Harmeling und Corves 2004 Harmeling F Corves B Einsatz von Antriebs Regelungs und Mechanikmodellen bei dem Entwurf von Ma nahmen zur Schwingungsminderung bei ungleichm ig bersetzenden Getrieben In VDI VDE Hg Elektrisch mechanische Antriebssysteme Innovationen Trends Mechatronik Berlin VDE Verlag 2004 S 329 345 Hartenberg und Denavit 1964 Hartenberg R S Denavit J Kinematic Synthesis of Linkages New York McGraw Hill 1964 Hartung u a 2001 Hartung A Schmieg H Vielsack P Passive vibration absorber with dry friction In Archieve of Applied Mechnics vol 71 Springer Verlag 2001 S 463 472 Heertjes u a 2005 Heertjes M Graaff K de Toorn J G van der Active Vibration Isola tion of Metrology Frames A Modal Decoupled Control Design In Journal of Vibra tion and Acoustics vol 127 issue 3 2005 S 223 233 Henneberger 1990 Henneberger G Elektrische Maschinen I II Vorlesungsumdruck Aa chen RWTH Institut F r Elektrische Maschinen 1990 Henrichfreise und Jusseit 2001 Henrichfreise J Jusseit J Modellpr diktive Zustandsrege lung f r einen elastischen und reibungsbehafteten Positionierantrieb In VDI Hg 4 VDI Mechatroniktagung 2001 Innovative Produktentwicklung VDI Berichte Nr 1631 D sseldorf VDI Verlag 2001 Herb u a 2000 Herb R Herb T Kohnhauser
60. f r das Kompilieren ist dass das Simulink Modell nur diskrete und keine kontinuierlichen Elemente enth lt F r den XPC Target Export wurden daher nicht die 1m Ab schnitt 5 1 angegebenen kontinuierlichen sondern die quivalenten zeitdiskreten Modelle der Reg ler s Wendt und Lutz 2002 erstellt W hrend des Betriebs st es au erdem wichtig dass keine Division durch Null stattfindet da sonst eine Fehlermeldung ausgegeben und ein Notstopp ausgef hrt wird Daher muss insbesondere bei den Gleichungen die mit MAPLE automatisiert erzeugt und nach MATLAB Simulink exportiert werden sichergestellt werden dass vor dem Export in allen Br chen die gemeinsamen Nullstellen von Z hlern und Nennern gek rzt werden Kritisch sind auch die singularen Stellungen Streck und Decklage des Mechanismus Hier treten beispielsweise bei der inversionsbasierten Trajekto 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 95 rienplanung Abschnitt 7 1 2 oder bei der St rgr enkompensation Abschnitt 6 2 1 Divisionen durch Null auf so dass eine Umplanung der Trajektorie bzw des Kompensationssignals vorgesehen ist Die Umplanung wird in Simulink durch das Hin und Herschalten zwischen zwei Berechnungs zweigen realisiert Dabei muss durch entsprechende Schaltungen verhindert werden dass in dem nicht ben tigten Berechnungszweig eine Division durch Null ausgef hrt wird Ein weiterer wichtiger Aspekt bei der praktischen Umsetzung der Regelungskonzepte
61. fremderregt selbst erregt permanenterregt Reihenschluss werden eingesetzt Die Funktionsweise und die Differenti algleichungen dieser Motoren werden in der Fachliteratur behandelt Hier sind unter anderem Justus 1993 Milde 1993 Fischer 1995 Henneberger 1990 Seinsch 1993 Skudelny 1989 und Vogel 1985 zu nennen Die elektrodynamischen Vorg nge werden in der Regel durch diskre tisierte Differentialgleichungen oder durch die Finite Elemente Modelle beschrieben Schlensok 2005 Bei Bewegungssystemen k nnen die Motormodelle h ufig stark vereinfacht werden und der Ein fluss der Leistungselektronik Zwischenkreis Stromumrichter etc muss nur in Ausnahmefallen betrachtet werden Das dynamische Verhalten von Motoren die in einem station ren Betriebspunkt arbeiten kann insbesondere f r berschlagsrechnungen durch eine Linearisierung der station ren Drehmoment Drehzahl Kennlinie ausreichend genau beschrieben werden Bei instationaren Vor g ngen entspricht die Motordynamik in guter N herung einem Verz gerungselement erster Ord nung PT 1 so dass der Motor unabh ngig von seiner tats chlichen Bauart durch einen dynamisch aquivalenten Gleichstrommotor mit Permanenterregung beschrieben werden kann Daher werden von den Motorherstellern h ufig nur die Kenngr en des dynamisch quivalenten Gleichstrommo tors angegeben Erst wenn Motoren m Grenzbereich betrieben werden oder m mechanischen System hochfrequente Effekte au
62. hrungsgetrieben mit Kurbel Kurven oder Servoantrieb in den rechnerunterst tz ten Konstruktionsprozess In Im Internet unter http www tu chemnitz de mb MechAntrTech pdf abericht_scho604_5 pdf Chemnitz 2001 Schordered und Gm r 2004 Schordered A Gm r T Structural Dynamics Optimization Based on a Hybrid Inverse Synthesis Method Using a Quadratic Approximation In Journal of Vibration and Acoustics vol 126 issue 2 2004 S 253 259 Schreiber 2000 Schreiber H Ma synthese ebener Kurbelgetriebe durch Kreispunktsucht und Homotopieverfahren Dissertation Aachen IGM RWTH 2000 Schuller 1995 Schuller J Modellierung von Kurven Kurbelgetrieben mit elastischen Getrie begliedern und Simulation ihres Eigenverhaltens sowie des station ren und instatio 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 192 ndren Zeitverhaltens VDI Fortschrittsberichte Reihe 11 Schwingungstechnik Nr 222 Dusseldorf VDI Verlag 1995 Schwabe 2002 Schwabe J H Schwingungstechnische Auslegung von Betonrohrfertigern Dissertation Chemniz Technische Universitat 2002 Schwarz 1980 Schwarz H R Methode der finiten Elemente Stuttgart B G Teubner 1980 Sechelmann 1993 Sechelmann C E Vollst ndige digitale Zustandsregelung von Perma nentmagnet Synchronservomotoren fiir den Einsatz am Roboter Dissertation Berlin Technische Universitat Fachbereich Elektrotechnik 1993 Seinsch 1993 Seinsch H O Grundlagen elektrische
63. im Entwurfsprozess im Sinne einer Detaillierung oder Pr zisierung wiederholt durchlaufen werden 3 1 Prozessbaustein Bewegungsspezifikation 10 3 1 Prozessbaustein Bewegungsspezifikation Einer der ersten Schritte bei der Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme ist die Planung und Spezifikation der zu realisierenden Bewegung Maschinen erf llen vielf ltige Be und Verar beitungsprozesse die Bewegungen erfordern Diese Bewegung wird als Sollbewegung bezeichnet Bild 2 1 H ufig l sst sich die Sollbewegung jedoch nicht unmittelbar aus der Betrachtung oder Analyse des Prozesses ableiten Vielmehr l sst sich zun chst nur das Ziel das mit der Bewegung erreicht werden soll definieren Es soll z B ein Strohhalm auf einer Getr nkepackung appliziert werden In der Regel f hren viele m gliche Bewegungen zu dem gew nschten prozesstechnischen Ziel so dass weitere G tekriterien herangezogen werden k nnen um diese L sungsmenge einzu schr nken Die Bewegungen k nnen z B danach beurteilt werden w e schnell und energieeffizient sie sind ob sie 1m erlaubten Arbeitraum liegen oder ob sie durch die Weiterentwicklung vorhande ner Bewegungssysteme mit bereits bekannten Technologien realisiert werden k nnen Die Definiti on der Bewegungsaufgabe aus produktionstechnischer Sicht kann also durch eine Vielzahl von technischen konomischen ergonomischen arbeitsorganisatorischen und weiteren Merkmalen erg nzt werden Bei den zu treffenden Ent
64. interner Dynamik findet sich in Ridley und Algra 2004 Dort wird ein Ziehbagger mit mehreren Antrieben der in gewissen Bereichen des Arbeitsraums dynamische Instabilit t be sitzt untersucht Bei Bewegungssystemen mit einem Antriebsfreiheitsgrad muss die Dynamik entlang der geplanten Trajektorie und in den Bereichen um diese Trajektorie herum auf Stabilit t untersucht werden Hierzu k nnen die Methoden aus Abschnitt 6 2 4 oder andere geeignete Verfah ren verwendet werden In Blekhman und Sperling 2004 wird beispielsweise die Methode der direkten Bewegungsteilung angewendet um ein Pendel mit elastischer Aufh ngung auf Stabilit t zu berpr fen Bei gegebener Stabilit t kann die zeitoptimale Trajektorie durch eine Optimierung bestimmt wer den Die Optimierungsaufgabe kann mit vielf ltigen Methoden gel st werden Die Methoden erfor dern im Allgemeinen die Simulation des trans enten Systemverhaltens und damit einen hohen nu merischen Aufwand Eine Methode die mit geringerem Aufwand auskommt da s e weitgehend analytisch arbeitet wird im Folgenden vorgestellt 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 147 In Pao und La orpacharapan 2004 wird vorgeschlagen f r ein elastizitatsbehaftetes System zu n chst eine zeitoptimale Bang Bang Steuerung fur die Starrk rperbewegung eines Bewegungs systems zu entwerfen Die Steuerungstrajektorie wird anschlie end durch ein geeignetes Input Shaping ver ndert Das Prinzip de
65. k nnen die zeitvar anten Regelungen f r jeden Zeitpunkt mit den Methoden der Reg lerauslegung f r zeitinvariante Regler ausgelegt werden ohne dass das System instabil wird Rosenbrock 1963 und Freund 1971 In S lva u a 2005 findet s ch ein Beispiel eines gesteuert adaptiven Reglers f r ein einfaches System mit zeitlich ver nderlichen Elastizitaten Der Entwurf des gesteuert adapt ven Reglers MRAS wird mit einem Reglerentwurf auf Basis eines MIAS Referenzmodells das ber einen Adaptionsalgorithmus und eine Fehlermessung angepasst wird verglichen und zeigt Vorteile beim Entwurfsaufwand Die Realisierung eines gesteuert adapt ven Reglers f r Bewegungssysteme wird in Abschnitt 6 2 3 erl utert Ist die Voraussetzung der langsamen nderung nicht gegeben so kann das zeitvariante System durch die Lyapunov Floquet Transformation die im Rahmen von Stabilitatsbetrachtungen im Ab schnitt 6 2 4 noch n her erl utert wird in ein zeitinvariantes System berf hrt werden F r dieses k nnen wiederum Entwurfsmethoden f r zeitinvariante Regler aus Abschnitt 6 2 3 angewendet werden Durch eine R cktransformation erh lt man die zeitlich ver nderlichen Reglerparameter In Spiteri u a 1998 und Sz sz und Flowers 2001 wird dieses Vorgehen genutzt um den Adapti onsalgorithmus des Reglers zu entwerfen Systeme mit Strukturwechseln Abschnitt 3 3 weisen eine pl tzliche nderung der Systemeigen schaften auf Wie Strukturwechse
66. kann als verteilt parametrischer Kontinuumschwinger oder als konzentriert parametrisches Finite Elemente oder Mehrk rpermodell abgebildet werden Die aufw ndigste Modellierung durch Kontinuumsmodelle wird m Folgenden kurz skizziert F r ausf hrliche Information se auf die Fachliteratur verwiesen z B Altenbach und Altenbach 1994 Mase 1970 und Itzkov 2007 Die Modellierung als Kontinuumschwinger erfolgt indem f r Volumenelemente des Bauteils Ener gieerhaltungsgleichungen aufgestellt und ber das gesamte Volumen gel st werden Dazu werden die Deformationen bzw L ngen nderungen eines Volumenelements in Richtung eines rechtwinkli gen oder schiefwinkligen Koordinatensystems durch Verzerrungstensoren beschrieben Die Darstel lung der Spannungen erfolgt durch Spannungstensoren Ein Forschungsgebiet der Kontinuumsme 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t 27 chan k ist es f r unterschiedliche Materialien den richtigen Zusammenhang zwischen der Verzer rung und der Spannung zu beschreiben Zwischen Spannungen und Dehnungen kann entsprechend des Hookschen Gesetzes oder des Saint Venon Kirchhoffschen Gesetzes ein linearer Zusammen hang angenommen werden Aber auch nichtlineare Zusammenh nge finden Anwendung Der Green Lagrange Verzerrungstensor enth lt z B eine n chtlineare Beschreibung der Dehnung bezo gen auf den Ausgangszustand Er kann aufgrund der nichtlinearen Terme auch f r gro e Verfor mungen verwendet
67. mechatronischen Bewegungssystems m Mittelpunkt In diesem Abschnitt wird mit dem Rege lungssystem die informationstechnische Ebene hinzugenommen Charakteristisch f r Regelungssys teme ist dass ihre Struktur und Dynamik weitgehend frei gestaltet wird Die Eingliederung der Komponenten des Regelungssystems in das mechatronische Gesamtsystem ist m Bild 6 1 darge stellt eobachter Strecke Aktuatoren Sensoren St rgr en aufschaltung Bild 6 1 Komponenten eines mechatronischen Bewegungssystems Die Regelung Abschnitt 6 2 2 und 6 2 3 oder genauer die Erzeugung von Stellgr en auf Grund lage der R ckf hrung von Zustandsgr en bildet den Kern des Regelungssystems Die Regelung kann zur Verbesserung des dynamischen Verhaltens des mechatronischen Gesamtsystems durch eine St rgr enaufschaltung Abschnitt 6 2 1 und eine Vorsteuerung Abschnitt 7 1 erg nzt wer den Ein Beobachter Abschnitt 6 2 5 erm glicht die Bestimmung messtechnisch nicht zugangli cher Gr en Die Trajektorienplanung Abschnitt 7 1 bietet den wesentlichen Zugang zur system gerechten Gestaltung der Bewegungsaufgabe also der Soll Prozesstrajektorie vgl Abschnitt 3 1 6 Regelungssystem 91 Durch modellbasierte Gestaltungsmethoden erfolgt eine optimale Abstimmung der Regelungskom ponenten auf die Strecke Ein zentraler Aspekt bei dem mechatronischen Systementwurf st daher die Nutzung einer durchg ngigen Modellierung der Stre
68. nge 1m Momentenverlauf angeregt werden Nach einer Ver nderung des Vor steuermoments zu einer stetigen weniger Schwingungen anregenden Zeitfunktion wird zus tzlich die Bewegung des Starrk rpermechanismus f r dieses ver nderte Moment berechnet und als F h rungsgr e verwendet Es zeigen sich deutlich verringerte Schwingungen da die stetigen Momen tenverl ufe den elastischen Eigenschaften eher gerecht sind als sprungbehaftete Momente Es ist also vorteilhaft und teilweise zwingend notwendig die elastischen Systemeigenschaften in die Trajektorienplanung einzubeziehen Elastische Freiheitsgrade bedingen ein autonomes Teilsystem das durch die Stellglieder der Hau pantriebe nicht entlang beliebiger Trajektor en gef hrt werden kann Bei dem Beispiel des Kurbel getriebes existiert ein autonomes Teilsystem falls nur ein Aktuator u M verwendet wird Die Momente Mgo t und Mg t haben in der Bewegungsgleichung dann die Bedeutung von St rgr en z B Reibung nicht aber von Eing ngen Wenn Kenntnis ber das autonome Teilsystem vorhan den ist kann diese n die Planung einer zeitoptimalen Trajektorie einbezogen werden um Nebenbe dingungen wie m glichst geringe Schwingungen und m glichst geringe Stellgr en zu realisieren Dazu muss die interne Dynamik des autonomen Teilsystems global stabil oder zumindest im ge planten Bewegungsbereich bzw Arbeitsraum stabil sein Ein Beispiel f r ein System mit bereichs weise instabiler
69. rgr enverlauf beschreibenden Zustandgleichung 6 2 13 um eine homogene Zustandsglei chung handelt Die Zustandsgleichung der Strecke x Ax Bu z kann um die Zustandsgleichung der St rgr e erweitert werden Se SICH es Im Grunde wird das Modell eines um den St rmechanismus erweiterten Systems erstellt Dieses gleicht in seiner Struktur dem System in Gl 6 2 80 f r das sp ter im Abschnitt 6 2 5 ein reduzier ter Beobachter erstellt wird Daher kann mit dem sp ter noch beschriebenen Vorgehen zum Entwurf eines reduzierten Beobachters auch ein Beobachter f r die St rgr en entworfen werden Konigorski 2003c Fur die nachfolgenden Betrachtungen zur Auslegung der Regelung up werden die letzten beiden Summanden in Gl 6 2 1 also die St rgr en und die entsprechenden Kompensationsterme weg gelassen Sie k nnen bei Bedarf jederzeit gem dem Superpositionsprinzip berlagert werden 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 108 6 2 2 Prozessbaustein Auswahl geeigneter Reglerstrukturen Bei der Festlegung der Regelungsstruktur besteht wie eingangs erl utert ein gro er Gestaltungs spielraum Er umfasst unter anderem die Festlegung der Schnittstellen zur Strecke also zum Bewe gungssystem Dazu geh rt die Auswahl der Eingangsgr en u und der zugeh rigen Aktuatoren sowie der Ausgangsgr en y und der zugeh rigen Messglieder Aber auch die Struktur des Reglers selbst kann auf vielf ltige Weis
70. schlie lich nur bestimmte Freiheitsgrade beteiligt sind Dadurch ist eine einfache Bestimmung der Polvorgaben f r die Berechnung der Reglerparameter m glich vgl Abschnitt 6 2 3 Nullstellen in der dynamischen bertragungsfunktion der Strecke f hren zu Instabilit ten der Vorsteuerung falls eine Ausgangstrajektorie gew nscht ist die Frequenzanteile mit der Tilgungsfrequenz besitzt Durch eine Anpassung der elastodynamischen Streckeneigenschaften k nnen die Nullstellen n der dynamischen bertragungsfunktion in unkritische Frequenzbereiche verschoben werden Durch das iterative vernetzte Vorgehen ist es also m glich die Trajektorien prozessgerecht und zugleich sys tem und antriebsgerecht zu gestalten Bei Entscheidungen die eine starke Auswirkung auf die Struktur des Gesamtsystems haben muss deren Auswirkung auf das Gesamtsystem in besonderem Masse beachtet werden Die kinematische Struktursynthese in Kombination mit der kinematischen Ma synthese Abschnitt 3 4 beinhaltet solche Entscheidungen Hierbei muss zugleich die Auswirkung der Designparameter auf die Pro zesstrajektorie und auf den Antrieb beachtet werden s z B Abschnitte 3 2 und 4 4 3 Die Festle gung der Grobgestalt der Bauteile st ein zweites Beispiel f r eine stark strukturrelevante Entschei dung Die Bauteile k nnen mit Hilfe von numerischen oder analytischen Methoden so dimensio niert Abschnitt 4 4 1 werden dass die Bauteile die f r die gew nschte Systemt
71. t dass die Stabilit t der Regelung gew hrleistet bleibt aber andere dynamische Eigenschaften werden meist negativ beeinflusst Das uber einen Beobachter geregelte System kann sehr empfindlich reagieren wenn das Streckenmodell nicht exakt genug mit der realen Strecke bereinstimmt Follinger 1994 Eben dieser Effekt ist bei dem Kurbelgetriebeprufstand wiederzu erkennen Ursache f r die Instabilit t sind Wechselwirkungen zwischen dem Beobachter und dem nicht modellierten Spiel des Planetengetriebes das sich zwischen dem Motor und dem Drehgeber n Ag befindet Die Genauigkeit des Modells kann bei Bedarf erh ht werden indem ein nichtlineares Modell das das Spiel ber cksichtigt verwendet wird In R benack 2004 wird der entsprechende Beobachterentwurf f r ein nichtlineares System dass in die Byrnes Isidori Normalform transfor miert werden kann beschrieben 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 143 7 Integrative Auslegung mechatronischer Bewegungssyste me Das Ziel dieser Arbeit ist es ein Konzept zur fach bergreifenden integrativen Auslegung me chatronischer Bewegungssysteme vgl Bild 6 1 vorzustellen Der Schwerpunkt liegt auf Bewe gungssysteme die durch ungleichm ig bersetzende Getriebe mit geregeltem elektrischem An trieb gekennzeichnet sind und au erdem elastische schwingungsf hige Bauteile aufweisen Die wichtigsten Voraussetzungen f r einen erfolgreichen Auslegungsvorgang s nd die Kenntnis ber
72. technischen Daten des realen Systems automa tisch erstellt Die Verwendung von algebraischen Modellen erm glicht es die Datenbanken mit den berechenbaren Getriebe und Motortypen um beliebige neue Typen zu erweitern Harmeling 1998 Erst die Analyse und Optimierungsrechnungen erfolgen numerisch Der ganzheitliche Ansatz zur Auslegung eines Bewegungssystems geht ber die Zielsetzung der zuvor angesprochenen Optimierung hinaus Der Mechan smus soll nicht zwangsl ufig als System mit m glichst starren Bauteilen gestaltet werden Beim wiederholten Durchlaufen der Bauteildi mensionierung werden die elastischen Eigenschaften die 1m nachfolgenden Abschnitt beschrieben werden zunehmend in die Auslegung einbezogen Auf die konkreten Zielsetzungen die spezifi schen Ver nderungen an dem Bewegungssystem und auf die Methoden und Werkzeuge um diese Ver nderungen vorzunehmen wird an sp terer Stelle bei der Beschreibung weiterer Ma nahmen zur Schwingungsminderung noch eingegangen Bei dem Demonstrationsbeispiel wird trotz der Ergebnisse aus Bild 3 5 1 nur die Schwinge 5 in elastischer Bauweise ausgef hrt um f r sp tere Erl uterungen m glichst bersichtliche System gleichungen zu erhalten Bei der konstruktiven Umsetzung des Pr fstands der in Bild 3 5 2 darge stellt ist wurde durch variable Klemmelemente ber cksichtigt dass die Schwinge in unterschiedli chen Dicken ausgef hrt werden kann Au erdem ist an der Koppel 4 eine Befest
73. temgleichungen Hierf r st die Verwendung von konzentriert parametrischen Modellen stabf rmi ger Kontinuumschwinger n tzlicher Da f r diese die Modellparameter bei komplizierten Geomet rien nicht einfach zu bestimmen sind k nnen Berechnungsergebnisse von FE Modellen zur Para meteradaption herangezogen werden Dieser Weg wurde auch fur das Ersatzmodell aus Bild 4 1 1 beschritten Im Falle einer stillstehenden Kurbel kann der Biegebalken fur das betrachtete Beispiel in Bild 4 1 1 Eigenschwingungen ohne berlagerte Starrk rperbewegung vollf hren An diesen Schwingungen nehmen die beiden Tr gheitsmomente J4 und J teil Die Frequenz dieser Schwin gung berechnet s ch zu Wy ed_ 117 63Hz 4 1 1 J4 rs Dieser Wert entspricht exakt dem Wert der auch nach Timoshenko fur einen beidseitig durch Drehgelenke gelagerten frei schwingenden Biegebalken ermittelt wird Gasch und Knothe 1989 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t 32 Das Ersatzmodell aus Bild 4 1 1 wurde in ADAMS implementiert und zeigt dort die links in Bild 4 1 2 dargestellte Eigenschwingungsform a 19 Frequency 105 9113 Hd o Frequency 117 6732 Hz Bild 4 1 2 Erste Eigenschwingungsform des zweiseitig gelagerten Biegebalkens a fur ein Modell aus zwei Massen und einem masselosen Balken b fur ein kondensiertes FE Modell c fur ein Modell aus 20 Massen und 19 masselosen Balken Anzumerken ist dass bei den Berechnungen f r Bild 4 1 2 anders a
74. u a 2002 und Wittwer u a 2004 Abh ngig von den Ergebnissen der Toleranzuntersuchungen ist gegebenenfalls eine Neubestimmung der kinematischen Abmessungen oder ein Rucksprung zum Prozessbaustein Struk tursynthese s nnvoll 3 5 Prozessbaustein Bauteildimensionierung Neben der kinematischen Struktur und den kinematischen Abmessungen sind die Bauteilmassen und Massentragheitsmomente die dritte Gruppe der Gestaltungsparameter eines Starrk rpersystems Durch eine Optimierung derjenigen Designparameter durch die die Massen die Lagen der Schwer punkte und die Massentragheitsmomente festgelegt werden k nnen die kinetostatischen Belastun gen im Getriebe und die Wirkungen auf das Gestell beeinflusst werden In der Richtlinie VDI 1999c und auch in der Literatur zur Maschinendynamik z B Kr mer 1984 Dresig 2006 Mabie und Reinhotz 1987 wird die Minimierung der kinetostatischen Anregung durch einen Massen und Momentenausgleich und die Verringerung der Antriebsbelastung durch einen Leis tungsausgleich umfassend behandelt Dabei gilt es 1m Allgemeinen einen Kompromiss zwischen den Gelenkkr ften den Gestellkr ften und dem Antriebsmoment zu finden wie auch Kochev 2000 in seiner Arbeit feststellt Im Hinblick auf die Auslegung mechatronischer Systeme ist die vorteilhafte Auswirkung eines Massenausgleichs auf das dynamische Verhalten geregelter Antriebe interessant Die Abh ngigkeit des Antriebsmoments von den Bauteilparametern und
75. und schlie lich Werkzeuge und Methoden zum integrativen Entwurf vorzustellen Dies wird zum einen auf der Ebene abstrakter algebraischer Systemgleichungen vollzogen Die abstrakten Systemgleichungen werden hinsichtlich der strukturellen Systemeigenschaften analys ert und klassifiziert Die Kenntnis ber die Systemklasse st dabei der Schl ssel zur Anwendbarkeit bestimmter Methoden zur Schwingungsminderung und f r die bertragung der Methoden auf Systeme die nicht im Mittel punkt dieser Arbeit standen Hier sind beispielsweise Systeme mit mehreren Antrieben oder mit hydraulischen und pneumatischen Systemkomponenten zu nennen Zum anderen wird erg nzend zu den abstrakten Betrachtungen die Anwendung und Wirksamkeit einiger Methoden anhand von Beispielsystemen demonstriert und an einem Kurbelgetriebepr fstand theoretisch und praktisch berpr ft Au erdem werden f r nahezu alle Prozessbausteine Literaturstellen mit weiterf hrender Theorie weiteren Anwendungsbeispielen oder Abwandlungen der Vorgehensweisen angegeben Eine wesentliche Neuerung dieser Arbeit liegt in der systematischen Ber cksichtigung und Ausnut zung der Wechselwirkungen im mechatronischen Bewegungssystem Beispielsweise s nd hier die Ber cksichtigung der elastischen Deformationen und der Antriebsdynamik bei der Starrk rpersyn Zusammenfassung 172 these und bei der Trajektorienplanung oder auch die systemspezifische Kombination mehrerer Minderungsma nahmen zu nenn
76. vgl Bild 7 2 1 e Die Prozesstrajektorie mit ihren geometrischen und ihren zeitlichen Eigenschaften wird durch Designparametern n den mathematischen Beschreibungsfunktionen gestaltet e Das Starrk rpersystem mit seinen kinematischen und kinetostatischen Eigenschaften wird durch die kinematische Struktur durch die kinematischen Abmessungen und durch die Bau teildimensionen gestaltet Nichtlineare Effekte wie Eingriffsst e oder trockene Reibung wurden in dieser Arbeit nur am Rande betrachtet e Das elastische Teilsystem ist durch die Deformationsfreiheitsgrade 1m mechanischen Sys temteil und durch Abweichungen von der Starrk rperbewegung gekennzeichnet Die Gestal tung der dynamischen Eigenschaft erfolgt insbesondere ber Bauteilparameter e Die Dynamik der Stellglieder und der Messglieder wird in dieser Arbeit zwar ber cksichtigt aber n cht in dem Sinne gestaltet dass Parameter dieser Systemkomponenten ver ndert wer den Sehr wohl wird aber die topologische Anordnung der Mess und der Stellglieder im Gesamtsystem gestaltet e Die Struktur und die dynamischen Eigenschaften des Regelungssystems k nnen durch De signparameter in den beschreibenden Differentialgleichungen sehr frei gestaltet werden e Die geometrischen und die zeitlichen Eigenschaften der Antriebstrajektorien und F h rungstrajektorien werden ebenfalls durch Designparameter n den Beschreibungsfunktionen gestaltet Der Entwurf der Struktur bzw d
77. vom Entwurfsrechner auf den Steue rungsrechner bertragen werden Der Steuerungsrechner kann den Pr fstand dann autonom betrei ben Der Entwurfsrechner fungiert als bergeordnete Leitebene Die aufgezeichneten Messergebnis se werden wiederum per TCP IP Verbindung vom Steuerungsrechner auf den Entwurfsrechner bertragen Das RTW Modul stellt eine Bibliothek mit Schnittstellenbl cken f r g ngige Ein Ausgabekarten die im Steuerungsrechner eingebaut werden zur Verf gung Die Schnittstellenbl cke stellen die Verbindung zwischen der entworfenen Regelung und dem realen Pr fstand her so dass der virtuelle Pr fstand im S mulink Modell hierdurch ersetzt werden kann Im Pr fstands Steuerungsrechner ist die Datenerfassungskarte PCI DAS 1200 von ComputerBoards eingebaut um ber zwei analoge Eing nge das Dehnmessstreifensignal und die Monitorsignale des Servoverst rkers einzulesen und ber zwei digitale Ausg nge den Servoverst rker und die magnetorheologischen Bremsen ansteuern zu k nnen Als Schnittstelle zu den beiden Drehgebern dient die Datenerfassungskarte APCI 1710 von ADDI Data Diese Karte kann f r unterschiedliche Timer und Counter Funktionen konfiguriert werden Der vorhandene RTW Schnittstellenblock unterst tzt allerdings keine Coun ter Funktion mit SSI Protokoll Daher wurde im Rahmen dieser Arbeit hierf r ein neuer Treiber programmiert und als Block in die Simulink Bibliothek aufgenommen Eine Voraussetzung
78. von CAMeL View In Computeralgebra Rundbrief 35 2005 Hain 1955 Hain K Die Analyse und Synthese achtgliedriger Gelenkgetriebe VDI Berichte Band 5 1955 S 81 93 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 182 Hain 1967 Hain K Getriebeatlas fiir verstellbare Schwing Dreh Bewegungen Braun schweig Vieweg und Sohn 1967 Hain 1973 Hain K Getriebebeispielatlas Dusseldorf VDI Verlag 1973 Hall und McAree 2005 Hall A S McAree P R Robust bucket position tracking for a large hydraulic excavator In Mechanism and Machine Theory Vol 40 Issue 1 2005 S 1 16 Han 1999 Han Y Conceptual Design of Mechanisms Synthesis of Design Alternatives and Spatial Configuration Design Dissertation Im Internet unter cite seer ist psu edu han99conceptual html 1999 Hannig 2003 Hannig S Semiaktive Schwingungsddmpfung mit magnetorheologischen Aktu atoren in ungleichm ig bersetzenden Getrieben Studienarbeit Aachen RWTH Institut f r Getriebetechnik und Maschinendynamik 2003 Hargreaves 2002 Hargreaves G I Interval Analysis in MATLAB In Numerical Analysis Report No 416 Manchester Gro britannien The University of Manchester Depart ments of Mathematics 2002 Harmeling 1998 Harmeling F Konzeption und Erstellung eines Programmoduls zur Unter suchung des Einflusses von verschiedenen Antriebsaggregaten auf das Schwingungs verhalten von Kurven Kurbelgetrieben Diplomarbeit Aachen Institut
79. werden F r kleine Verformungen kann der Verzerrungstensor linearisiert wer den Chen und Chian 2001 zeigen allerdings am Beispiel einer Schubkurbel mit elastischer Kop pel dass die Verwendung eines linearisierten Verzerrungstensors bei der Modellierung der Koppel einen starken Einfluss auf die Simulationsergebnisse hat Nur bei kleinen Langenverhaltnissen zwischen Kurbel und Koppell nge sowie bei Antriebswinkelgeschwindigkeiten deutlich unterhalb der 1 Eigenkreisfrequenz liefern die linearisierten Gleichungen hnliche Ergebnisse wie die Rech nung mit dem nichtlinearen Green Lagrange Verzerrungstensor Bei h heren Antriebswinkelge schwindigkeiten f hren die nichtlinearen Terme zu einer Versteifung des Systems Au erdem zei gen die nichtlinearen Gleichungen bei der Berechnung der station ren L sung ein chaotisches Verhalten Multipliziert man den Verzerrungstensor mit dem Spannungstensor so erh lt man die Arbeit die bei der Deformation verrichtet wird Dabei muss beachtet werden dass die Beschreibung der Span nungen und der Dehnungen in identischen Koordinatensystemen erfolgt Das Aufstellen der Ener gieerhaltungsgleichungen f hrt auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen Diese Differenti algleichungen k nnen nur f r einfache Geometrien auf analytischem Wege geschlossen gel st werden und finden daher nur selten Anwendung Abh ngig von den gegebenen Randbedingungen und den Anregungsgr en k nnen mehrere h ufig unen
80. zu k nnen wurden alle Kurven auf das Quadrat der An triebswinkelgeschwindigkeit 50 normiert Die normierte kinetostatische Durchbiegung Y ist demnach unabh ngig von der Antriebswinkelgeschwindigkeit 4 4 3 Y 40 29 2 Y30 2 5 E 05 rad s 1U s 1 5 U s 1 8U s I U s 3 E 05 1 5 U s Referenz 2 E 05 1 E 05 0 E 00 Bild 4 4 2 FFT der normierten Messergebnisse f r die Abweichung am Abtrieb Erwartungsgema zeigt die Ordnungsanalyse der Referenzfunktion y 49 bei den niedrigen Ordnun gen eine gute bereinstimmung mit den Messergebnissen Bei h heren Ordnungen ist in den Mess ergebnissen eine Resonanz aufgrund der Anregung der Eigenfrequenz der Schwinge berlagert Bei einer Antriebsfrequenz von 1 Hz liegt die 14 bzw 15 Ordnung nahe der Eigenfrequenz Bei der Messung mit 1 8 Hz Antriebsfrequenz fallt die 8 te Ordnung der Erregung exakt mit der Eigenfre quenz der Schwinge zusammen Es entsteht eine sehr gro e Schwingungsamplitude die in der normierten Darstellung einen Wert von 0 00012 rad s erreicht Bei dem Beispielgetriebe kann eine Verringerung des Eigenschwingungsanteils durch eine Erh hung der Bauteileigenfrequenz der Schwinge erreicht werden Dazu k nnen bei dem einfachen Beispielsystem wiederum algebraische Zusammenh nge zwischen den Systemparametern der Anregung und der stationaren Schwingungsantwort die mit Hil
81. 0 Die Formulierungen in Gl 6 2 50 und Gl 6 2 51 mit einer komplexen T periodischen Lyapu nov Floquet Transformationsmatrix L t und einer komplexen Matr x C kann auch n eine Formu lierung mit einer reellen 2T periodischen Lyapunov Floquet Transformationsmatrix Q t und einer reellen Matrix R berf hrt werden Sinha u a 1998 S Q t w 6 2 61 Ro Q7 t b t 6 2 62 Dabei gilt R C C 6 2 63 P t OstsT 6 2 64 Q t Q Te T lt t lt 2T Die Eigenwerte der reellen Matrix R k nnen wie die Eigenwerte der Matrix C aus Gl 6 2 59 zur Stabilitatsaussage herangezogen werden Die Stabilit t der zeitinvarianten linearen Zustandsglei chung Gl 4 2 13 des Kurbelgetriebepr fstands mit elastischer Schwinge und mit einer PI Drehzahlregelung wurde aufbauend auf die Bestimmung der station ren Schwingungsantwort mit der Methode der Chebysheff Polynome s Abschnitt 4 2 in MAPLE umgesetzt Die Berechnung der Matrix C erfolgt nach Gl 6 2 59 Nach Gl 6 2 63 ergibt sich R zu 15 28 0 099 0 0011 0 0001 1 06 0 094 0 0013 0 013 R 6 2 65 128 63 0 270 14 55 0 097 290 01 171 19 1 41 0 097 Dabei ist f r die Bestimmung von R und f r die Bestimmung der Eigenwerte von R die Verwen dung von 200 Nachkommastellen notwendig Ay 14 95 0 068 I A 14 92 0 068 I A3 4 0 089 1 47 I 6 2 66 Das erste Eigenwertpaar ist nicht exakt konjungiert komplex was noch geringe numerische Unge naui
82. 001 Kalnas R S Kota S Incorporating Uncertainity into Mechanism Synthesis In Mechanism and Machine Theory Vol 36 2001 S 843 851 Kapila u a 2000 Kapila V Tsez A Yan Q Closed Loop Input Shaping for Flexible Structures Using Time Delay Control In ASME Hg Journal of Dynamic Systems Measurement and Control Vol 122 2000 S 454 462 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 185 Karampetakis und Vardulakis 2006 Karampetakis N P Vardulakis A I G Special issue on the use of computer algebra systems for computer aided control system design In International Journal of Control vol 79 No 11 2006 Karkoub und Yigit 1999 Karkoub M A Yigit A S Vibration control of a four bar mechanism with very flexible coupler In Journal of Sound and Vibration vol 222 No 2 1999 S 171 189 Karkoub und Zribi 2000 Karkoub M A Zribi M Hybrid neuro PD control of flexible slider crank mechanism In International Journal of Knowlegde Based Intelligent Engineering Systems vol 4 No 2 2000 S 118 129 Karkoub und Zribi 2001 Karkoub M A Zribi M Active damping of the elastodynamik vibration of a flexible slider crank mechanism using an energy approach In Journal of Multi body Dynamics vol 215 No K1 2001 S 7 20 Kenison und Singhose 2002 Kenison M Singhose W Concurrent Design of Input Shap ing and Proportional Plus Derivative Feedback Control In ASME Hg Jour
83. 005 Die Berechnung muss mit unterschiedlichen Startwerten durchgef hrt werden um die L sung f r alle Gelenke zu erhalten In Bild 4 4 10 ist zu erkennen wie die rote Kurve des elastischen Mechanismus in drei der f nf Vorgaben von der gew nschten Position abweicht Die Abweichung kann numerisch ermittelt werden und ist in Bild 4 4 11 f r zwei Bauteildicken als Abweichung in Normalenrichtung darge stellt Die Abweichungswerte k nnen verwendet werden um drei ver nderte Lagenvorgaben K K und K3 zu bestimmen Die verschobenen Vorgabepositionen K bis K3 sind in Bild 4 4 10 durch graue Punkte gekennzeichnet Die Pfeile in Bild 4 4 10 und in Bild 4 4 11 deuten die Ver schiebung der drei Vorgaben an Die anderen beiden Lagenvorgaben werden unver ndert gelassen da sie den Geradf hrungsbereich nicht beeinflussen Die Lagevorgaben K bis K3 werden zu sammen mit zwei unver nderten Lagevorgaben Ky und Ks f r eine neue Genaulagensynthese ver wendet 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 69 0 015 sim I Abweichung in wl o SN Vorgabepositionen 0 005 8 8 5 9 95 Zeit s 10 Elastische Bauteile 5 mm dick Elastische Bauteile 8 mm dick Bild 4 4 11 Abweichung des Koppelpunkts in tangentialer Richtung Die Durchf hrung einer Genaulagensynthese mit den ver nderten Lagevorgaben liefert geringf gig ge nderte kinematische Abmessungen die beim Starrk rpermechanismus zu der grauen K
84. 2006 S 473 481 Dresig 2001 Dresig H Schwingungen mechanischer Antriebsysteme Berlin Springer Ver lage 2001 Dresig und Rockhausen 2002 Dresig H Rockhausen L Vom Schwingungsph nomen zur Schwingungsursache bei schnell laufenden Mechanismen In VDI Hg Kurvengetriebe Koppelgetriebe gesteuerte Antriebe VDI Berichte Nr 1887 D sseldorf VDI Verlag 2002 Dresig und Rockhausen 2005 Dresig H Rockhausen L Schwingungen in Verarbeitungs maschinen In VDI Hg Schwingungen in Verarbeitungsmaschinen V DI Berichte Nr 1887 D sseldorf VDI Verlag 2005 S 83 92 Dresig 2006 Dresig H Maschinendynamik 7 Auflage Berlin Springer 2006 Dusch 2001 Dusch T Einsatz des Internet zur Akquisition und Vermittlung technischer Sachverhalte am Beispiel kinematischer Problemstellungen Fortschrittsberichte VDI Reihe 10 Nr 679 D sseldorf VDI Verlag 2001 Dwivedy und Eberhard 2006 Dwivedy S K Eberhard P Dynamic analysis of flexible manipulators a literature review In Mechanism and Machine Theory Vol 41 Issue 7 2006 S 749 777 Dyla 2002 Dyla A Modell einer durchg ngigen rechnerbasierten Produktentwicklung Dissertation Munchen Institut fur Maschinen und Fahrzeugtechnik Lehrstuhl fur Maschinenelemente TU M nchen 2002 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 179 Edberg u a 1991 Edberg D L Bicos A S Fetcher J S On Piezoelectric Energy Con version of Electroni
85. 221 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 184 Isermann 1987 Isermann R Digitale Regelungssysteme Band II 2 Aufl Berlin Springer Verlag 1987 Isermann 1992 Isermann R Identifikation dynamischer System Berlin Springer Verlag 1992 Isermann 2002 Isermann R Mechatronische Systeme f r den Maschinenbau Weinheim Wiley VCH 2002 Isermann 2008 Isermann R Mechatronische Systeme Berlin Springer Verlag 2008 Isidori 1989 Isidori A Nonlinear control systems 2nd edition Berlin Springer Verlag 1989 Itzkov 2007 Itzkov M Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers Berlin Springer Verlag 2007 Jahr und Knechtel 1938 Jahr W Knechtel P Grundz ge der Getriebelehre zweiter Band Leipzig J necke Verlag 1938 Jandrey 2007 Jandrey H Erstellung einer Vorsteuerung f r ein koppelkurvengesteuertes Malteserkreuzgetriebe Studienarbeit Aachen RWTH Institut f r Getriebetechnik und Maschinendynamik 2007 Jazar und Naghshineh Pour 2005 Jazar G N Naghshineh Pour A Floating time algo rithm for time optimal control of multi body dynamic systems In Journal of Multi body Dynamics vol 219 No K3 2005 S 225 236 Jeong u a 2004 Jeong J 1 Kang D Cho Y M Kim J Kinematic Calibration for Re dundantly Actuated Parallel Mechanisms In JOURNAL OF MECHANICAL DE SIGN vol 126 issue 2 2004 S 307 318 Jerreling und Dankowicz 2006 Jerreling J Dankowic
86. 345sU1 J6Us J4 5U M q t J4 5U J45 2 M 2 2 M gt 2 3451 U10 J6U U g q q t eo z R J4_5U Crea Y4 KredYa 1 A w U Man Bu U U3 M 0 M Bo 4 2 3 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 37 Darin bezeichnen die Abk rzungen J2 J Jas Ja Js und J345 J3 J4 J sowie J4 s J4 Js die konstanten Werte der Massentr gheitsmomente des Systems aus Bild 4 2 1 Die Steifigkeit c eq und die D mpfungskonstante k g sind ebenfalls Konstanten w hrend die kinemati schen Ubertragungsfunktionen U und U p den vom Antriebswinkel abh ngigen Drehwin kel der Schwinge bzw der Koppel des Starrk rpermechanismus beschreiben Die m Abschnitt 3 2 eingef hrten kinematischen bertragungsfunktionen nullter und h herer Ordnung verk rpern neben den Termen mit den Quadraten der Winkelgeschwindigkeit die Nichtlinearitaten im System M Mp und Mpo sind Stellmomente die am Antrieb im Belenk B oder im Gelenk Bo angreifen und dort auf die Kurbel bzw auf die Koppel wirken s Bild 4 2 1 Bei Verwendung des Absolutwin kels als Freiheitsgrad in q t Q t w t ergeben sich andere Gleichungen M q t q g q q t Bu mit 0 q Y 2 2 7 Ji2 J3 4J 5 U JgU5 J U wav i 2 U J45 2 M 2 M 2 2 2 2 2 2 J3 4J5 U U J6U U U Oo y JU kred U W U Cred g q 4 t y 32 MD 2 2J5U U oO y K re
87. 43 143 144 153 161 171 173 Einleitung und Zielsetzung l 1 Einleitung und Zielsetzung Die Montage und Handhabungstechnik die Nahrungsmittel und die Verpackungsmaschinenin dustrie oder auch die Druckereimaschinen und die Textilmaschinenindustrie sind Beispiele f r Industriezweige bei denen die Herstellungs und Verarbeitungsprozesse schnelle pr zise und 1m mer wiederkehrende Bewegung von Werkzeugen oder Produkten entlang bestimmter Prozesstrajek torien erfordern H ufig erf llen ungleichm ig bersetzende Getriebe mit elektrischen Antrieben die Kernfunktion der Maschine wodurch ihnen eine gro e technische und wirtschaftliche Bedeu tung zukommt Dabei sind die ausschlaggebenden Vorteile von ungleichm ig bersetzenden Ge trieben mit nur einem Antrieb im Vergleich zu Robotern die geringeren Herstellungskosten die hohe Ausfallsicherheit und das Verm gen gro e Kr fte zu realisieren Gegenstand der Betrachtun gen in dieser Arbeit ist daher eine Klasse von mechatronischen Bewegungssystemen die durch eine hohe Arbeitsgeschwindigkeit und genauigkeit ungleichm ig bersetzende Getriebe elastische Bauteile in Leichbausweise und elektrische Antriebe charakterisiert sind Schwingungen in den Bewegungssystemen vermindern die Qualit t der Fertigungsprozesse und Produkte Das Vorgehen zur schwingungsarmen Auslegung der machatronischen Bewegungssys teme wird in dieser Arbeit behandelt Kennzeichen des integrativen Vo
88. 9 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 19 Rustemeier u a 2005 Rustemeier C Liu Henke X Goldau A J ker K P Simulationsumgebung zur Modellkopplung von Black Box Modellen mechatroni scher Funktionsmodule und MKS Fahrzeugmodellen In Mechatronik 2005 Innova tive Produktentwicklung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 191 209 Sacks u a 2002 Sacks E Joskowicz R Schultheiss R Kyung M Robust Kinematic Synthesis of Mechanical Systems with the Configuration Space Method Im Internet unter citeseer ist psu edu sacks02robust html 2002 Salmon 1985 Salmon G Modern Higher Algebra Dublin Hodges Figgs amp Co 1985 Sanchez Marin und P rez Gonzales 2003 Sanchez Marin F T P rez Gonzales A Global optimization in path synthesis based on design space reduction In Mechanism and Machine Theory vol 38 Issue 6 2003 S 579 594 Sanchez Marin und P rez Gonzales 2004 Sanchez Marin F T P rez Gonzales A Open path synthesis of linkages through geometrical adaptation In Mechanism and Ma chine Theory vol 39 Issue 9 2004 S 943 955 Sancibrian u a 2004 Sancibrian R Viadero F BGarcia P Fernandez A Gradient based optimization of path synthesis problems in planar mechanisms In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 8 2004 S 839 856 Sannah u a 1995 Sannah M Smaili A Lahdhiri T Digital Optimal Multivariable Con trol a of Smart Structure Featureri
89. 94 Koller 1994 Linde und Hill 1993 Pahl u a 2005 Rodenacker 1970 Roth 2000 Roth 2001 VDI 1982 und VDI 1997 Es existieren Vorgehensmodelle die hnliches f r die Elektrotechnik und Informatik leisten Mohringer 2005 Der Stand der Technik bez glich der gesamtheitlichen Entwurfsmethodik fur mechatronische Sys teme ist in M hringer 2005 zusammengestellt und wird hier mit Blick auf die Eingliederung der schwingungsarmen Auslegung in den gesamtheitlichen Entwurfsvorgang zusammengefasst Die n der Literatur bekannten Vorgehensmodelle die den Entwurfsmethoden zugrunde liegen sind uber wiegend pr skriptiv Das hei t sie beschreiben eine systematische Abfolge von Handlungen und zugeh rigen Methoden von der erwartet wird dass diese Abfolge die Entwicklungszeiten deutlich verk rzt und die Entwicklungskosten insgesamt senkt Deskriptive Modelle die empirisch be schreiben wie die Produktentwicklung in der Praxis tats chlich abl uft sind kaum bekannt Mohringer 2005 Dies ist nicht verwunderlich wenn man sich die Grenzen und Zielsetzungen der Vorgehensmodelle vor Augen fuhrt Ein Vorgehensmodell dass die Entwicklung technischer Pro dukte beschreibt kann allein aus Kapaz t tsgr nden nicht die unz hligen Randbedingungen und Restriktionen die in der Arbeitswelt aufgrund zahlreicher Einfl sse existieren ber cksichtigen oder beschreiben Hier sind unter anderem arbeitswissenschaftliche kulturelle konomische
90. 977 M ller 1997 M ller J Entwicklung eines Expertensystems zur Auswahl von Greifern f r Handhabungsger te Dissertation Aachen IGM RWTH 1997 Niebuhr und Lindner 2002 Niebuhr J Lindner G Physikalische Me technik mit Sensoren M nchen Oldenbourg Industrieverlag 2002 Niemeyer 2000 Niemeyer J Das Getriebelexikon Wissensverarbeitung in der Getriebe technik mit Hilfe der Internettechnologie In Dittrich G Hg IGM Kollogium Ge triebetechnik 2000 Forschung und Lehre 1972 2000 Aachen Mainz 2000 S 53 66 Niemeyer 2003 Niemeyer J Methodische Entwicklung von Prinzipl sungen bei der Ausle gung ungleichm ig bersetzender Getriebe unter Verwendung eines praxisorientier ten interaktiven Wissensspeichers Dissertation Aachen Shaker Verlag 2003 Nitz 1997 Nitz G Gesteuerter Antrieb f nfgliedriger Drehgelenkgetriebe mit gefilterten skalierten Bewegungsfunktionen zur Vermeidung von Schwingungen der Getriebeglie der Dissertation Aachen IGM RWTH 1997 Oh u a 2004 Oh H U Onoda J Minesugi K Semiactive Isolator With Liquid Crystal Type ER Fluid for Momentum Wheel Vibration Isolation In Journal of Vibration and Acoustics vol 126 issue 2 2004 S 272 277 Olfati Saber 2001 Olfati Saber R Nonlinear Control of Underactuated Mechanical Systems with Application to Robotic and Aerospace Vehicles Massachusetts Massachusetts Institut of Technology Phd Thesis 2001
91. B Apxp gt Xp An DpAj 2 xXp 6 2 85 durch die Methode der Polplatzierung festgelegt werden Die wird im Folgenden f r den Kurbelge triebeprufstand umgesetzt Bei dem Pr fstand k nnen die Geschwindigkeiten aufgrund der Diskretisierung nicht ausreichend gut bestimmt werden so dass ein Beobachter f r r x und y x ausgelegt werden soll Der Ver gleich von Gl 6 2 80 mit der Zustandsgleichung 4 2 13 und dem Erregervektor 4 2 15 liefert Ap M 1P Dp 5 6 2 86 Bp u Dp B 6 2 87 L M P D Dg M Q 6 2 88 Die homogene Zustandsgleichung des Beobachters Gl 6 2 85 fur den Kurbelgetriebeprufstand lautet damit xp M P Dp xp 6 2 89 Aus der Forderung dass das charakteristische Polynom dieser Gleichung p A AE M P Dg mit dem gew nschten Polynom p A A a tib A a ib identisch ist folgt ein berbestimmtes Gleichungssystem zur Bestimmung der Elemente von Dp Der Zeilenindex und der Spaltenindex der Matrixelemente werden im Folgenden in eckigen Klam mern angegeben F r das Beispielsystem wurde Dp 2 1 b und D5 2 1 a festgelegt damit alle Elemente der Matrix Dp von gleicher Gr enordnung sind und damit keine Nullstellen in den Nennen auftreten Mit dieser Voraussetzung ergibt sich f r die anderen beiden Matrixelemente 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 141 Dp 1 1 a M 1P 2 2 M P 1 1 6 2 90 Dpfl 2 M PJ 1 2 b ne M P
92. Bayo u a 1989 Bayo E Papadopoulos P Stubbe J Inverse Dynamics and Kinematics of Multi Link Elastic Robots An Iteratve Frequency Domain Approach In The Interna tional Journal of Robotics Research vol 8 no 6 1989 S 49 62 Becker und Alijev 2000 Becker W J Alijev F Handbuch elektrische Me technik Heidel berg H thig Verlag 2000 Beggs 1983 Beggs J T Kinematics Hemisphere Publishing Corporation 1983 Behzadipour und Khajepour 2004 Behzadipour S Khajepour A Design of reduced DOF parallel cable based robots In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 10 2004 S 1051 1065 Belfiore und Pennestri 1997 Belfiore N P Pennestri E An Atlas of Linkage Type Robotic Grippers In IFTOMM Hg Mechanism and Machine Theory Vol 32 No 7 1997 S 811 833 Bernstein 1998 Bernstein H Sensoren und Mefelektronik praktische Anwendungen ana loge und digitale Signalverarbeitung elektronische Me technik PC Me technik M nchen Pflaum Verlag 1998 Bertram u a 2000 Bertram T Pertersen J Heckes M u a Ein objektorientiertes Abbil dungskonzept f r Ordnungsstrukturen mechatronischer Systeme in Kraftfahrzeu gen In Mechatronik Mechanisch Elektrische Antriebstechnik VDI Berichte Nr 1533 D sseldorf VDI Verlag 2000 S 219 240 Blekhman und Sperling 2004 Blekhman I I Sperling L Zum Einfluss eines inneren Freiheitsgrades auf das Verhalten eines Pendels m
93. DI 1989 VDI n n Richtlinie VDI 2126 Ebene Gelenkgetriebe bertragungsg nstige Umwandlung einer Drehschwing in eine Schubbewegung Berlin Beuth Verlag 1989 VDI 1991a VDI n n Richtlinie VDI 2727 Konstruktionskataloge L sung von Bewegungs aufgaben mit Getrieben Erzeugung hin und hergehender Schubbewegungen Antrieb gleichf rmig drehend Blatt 2 Berlin Beuth Verlag 1991 VDI 1991b VDI n n Richtlinie VDI 2727 Konstruktionskataloge L sung von Bewegungs aufgaben mit Getrieben Grundlagen Blatt 1 Berlin Beuth Verlag 1991 VDI 1991c VDI n n Richtlinie VDI 2727 Konstruktionskataloge L sung von Bewegungs aufgaben mit Getrieben Erzeugung gleichsinniger Drehbewegungen mit Rast en Anjtrieb gleichsinnig drehend Blatt 3 Berlin Beuth Verlag 1991 VDI 1991d VDI n n Richtlinie VDI 2727 Konstruktionskataloge L sung von Bewegungs aufgaben mit Getrieben Erzeugung von Schwingbewegungen mit Rast en Antrieb gleichsinnig drehend Blatt 4 Berlin Beuth Verlag 1991 VDI 1991e VDI n n Richtlinie VDI 2728 L sung von Bewegungsaufgaben mit symmetri schen Koppelkurven bertragungsaufgaben D sseldorf VDI Verlag 1991 VDI 1994 VDI n n Richtlinie VDI 2142 Auslegung ebener Kurvengetriebe Auslegung Profilberechnung und Konstruktion Berlin Beuth Verlag 1994 VDI 1995 VDI n n Richtlinie VDI 2740 Blatt 1 Mechanische Einrichtungen in der Hand habungstechnik Greifer f r Handha
94. Die kinematischen bertragungs funktionen nullter bis vierter Ordnung Abschnitt 3 2 wurden beispielsweise mit dieser Technik n parametrischer Form also als Funktion der kinematischen Abmessungen in eine MATLAB S function exportiert und konnten so in den unterschiedlichsten Regelungskonzepten verwendet wer den lt _MAPLE gt MATLAB Simulink lt ADAMS gt da i Virtueller Pr fstand reale eh Entwicklungs ynienen arent Servomotor umgebung MR Aktuatoren f N i Kurbelgetriebe Bild 6 1 1 Werkzeugkette und Pr fstandsarchitektur F r die Umsetzung der Steuerung und der Regelung und f r die Simulation des Motors unten rechts in Bild 6 1 1 wurde Simulink gew hlt Das Programm erm glicht eine effiziente Modellierung und bietet durch die Integration mit MATLAB umfangreiche Werkzeuge zur Matrizenrechnung Dar ber hinaus besteht die M glichkeit gekoppelte Simulationen mit vielen anderen Programmen durchzuf hren Bei der gekoppelten Simulation werden Teilmodelle mit unterschiedlichen Simula tionswerkzeugen erzeugt und auf der Modellebene eingebettete Simulation oder auf der
95. Durch drei aufeinander abgestimmte Ans tze zur Schwingungsminderung wird gegen ber dem Ausgangssys tem eine Reduktion der Schwingungsamplitude um 87 1 erreicht ohne zus tzliche Stellglieder einzusetzen s Bild 7 2 2 Die kinematischen Abmessungen werden mit der Zielsetzung die Ab weichung im Bereich um die singularen Stellungen herum zu verringern an die dynamischen Ei genschaften des Mechanismus angepasst Die inversionsbasierte Planung der Trajektorien f r den Antriebsfreiheitsgrad erfolgt unter Ber cksichtigung der kinetostatischen Deformationen im Me chanismus Die Trajektorie muss im Bereich um die singularen Stellungen herum allerdings umge plant werden Die kinematische Optimierung und die inversionsbasierte Trajektorienplanung mini mieren zusammen den kinetostatischen Anteil der Abweichung in der Abtriebsbewegung Der vibrodynamische Anteil wird durch eine dritte Ma nahme n mlich eine aktive Schwingungsminde rung durch eine Zustandsregelung fur den Hauptantrieb minimiert Die berechneten Winkelfehler 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 170 am Abtrieb sind f r das Ausgangssystems mit Drehzahlregelung DZR und f r das System mit den Ma nahmen zur Schwingungsminderung SM im Bild 7 2 2 dargestellt Bei allen Simulatio nen wurde das Spiel im Planetengetriebe ber cksichtigt F r das System mit Schwingungsminde rungsma nahmen wurden zum einen analoge Drehgeber SM analog und zum anderen wurden die digitalen
96. Enge und Mai er 2000 und Enge und Maier 2003 einen elektromechanischen Mikrospiegel Sie erstellen auf Basis der Systemgleichungen eine Zielfunktion die verwendet wird um die Eigenfre quenzen des Systems numerisch zu optimieren Die Verwendung von numerischen Optimierungen hat jedoch allgemein den Nachteil dass die Ergebnisse nicht auf andere Systeme tibertragen werden k nnen und dass keine Aussagen ber Gultigkeitsbereiche und kritische Parameterkonfigurationen getroffen werden k nnen Auf spezielle Prozessbausteine zur schwingungsarmen Gestaltung von Teilsystemen eines me chatronischen Bewegungssystems die in das Vorgehensmodell nach VDI 2004b eingegliedert werden k nnen wird in den nachfolgenden Abschnitten noch eingegangen Literatur die diese Prozessbausteine n die Probleml sungszyklen einbindet und dabei die speziellen Eigenschaften der Bewegungssysteme sowie die Wechselwirkungen zwischen den Teilsystemen ber cksichtigt ist nicht bekannt so dass hier noch Forschungsbedarf zu verzeichnen ist Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 7 Ein grundlegender Schritt bei der Umsetzung der Methoden zur Analyse und Synthese von me chatronischen Bewegungssystemen ist die durchg ngige Modellbildung und Simulation De Silva 2005 Auf die Modellierung der Systeme wird in den nachfolgenden Kapiteln noch detailliert eingegangen Allgemein ist aber die Verwendung von konzentriert parametrischen Modellen Stand
97. Gl 4 2 14 von rechts an jede der Blockmatrizen heranmultipliziert wird Das mehrfache Vorkommen identischer Blockmat rizen er ffnet die M glichkeit zur numerisch effizienten Berechnung der Steuerbarkeitsmatrix da f r Gl 6 2 32 letztendlich nur die mittlere Zeile mit Blockmatrizen berechnet werden muss und die anderen Blockmatrizen kopiert werden k nnen Dies st bedeutsam da die Steuerbarkeitsmatrix aufgrund der gew hlten Linearisierungstrajektorie f r die Streckengleichung zeitvariant sein kann und f r eine gesteuert adaptive Regelung bei jedem Zeitschritt neu berechnet werden muss Die Berechnung der zeitvarianten Determinante der Steuerbarkeitsmatrix kann im Computer Algebra Programm umgesetzt werden Dort kann auch f r unterschiedliche Linearisierungstrajektorien berpr ft werden ob die Determinante zu Null wird Dieses Vorgehen wurde f r eine PI Zustandsregelung nach Gl 6 2 25 f r das Beispielsystem bei dem nur der Hauptantrieb u M als Stellelement verwendet wird umgesetzt In Bild 6 2 7 st der Verlauf der Determinante der Steuerbarkeitsmatrix f r das Beispielsystem und d e gew nschte Betriebsdrehzahl von 120 U min dargestellt 1 E 09 det Qs Bild 6 2 7 Determinante der Steuerbarkeitsmatrix uber dem Kurbelwinkel aufgetragen Uber die rein numerische Analyse fiir einen bestimmten Antriebswinkelgeschwindigkeitsverlauf hinaus kann in im Computer Algebra Programm auch eine symbolisch algebraische Auswert
98. Gleichungssystems 4 2 13 die den Systemzustand w ty zum Zeitpunkt tg in den Zustand w t t to w to zum Zeitpunkt t ber f hrt bei linearen periodischen Systemen in der Form amp lt ty Lt eC Lito 6 2 54 angegeben werden M ller 1977 Vor der Stabilit tsbetrachtung Gl 6 2 51 und der Berechnung der freien Schwingungen GI 6 2 54 muss allerdings die Matrix C und was bedeutend schwieri ger ist die Lyapunov Floquet Transformationsmatrix L t berechnet werden Die Matrix C kann mit Hilfe der berf hrungsmatrix zum Endzeitpunkt der Periode t T berechnet werden F r die Lyapunov Floquet Transformationsmatrix gilt L t 9 L T E und somit nach Gl 6 2 54 amp T 0 el 6 2 55 Falls die unabh ngige Variable Zeit t so normiert wird dass die Periodendauer f r diese Zeit T 1 betr gt l sst sich mit Gl 6 2 55 eine einfache Beziehung zwischen den Eigenwerten der Matrix C und den Eigenvektoren der berf hrungsmatrix T 0 f r den Endzeitpunkt T 1 der Periode T 1 0 ef 6 2 56 herstellen um damit letztendlich die Matrix C In T 1 0 6 2 57 zu bestimmen Friedmann u a 1977 Mit Hilfe der Modalmatrix W und der darin enthaltenen Eigenvektoren von T 0 kann T 0 diagonalisiert werden Daa WO T 1 0 W7 6 2 58 Es gilt f r die gesuchte Matrix C C In T 1 0 W7 In q W 6 2 59 falls die Frobenius Norm von E kleiner 2 ist Der Schwerpunkt
99. I Reihe 1 Nr 109 D sseldorf VDI Verlag 1933 Dittrich 1985 Dittrich G Systematik der Bewegungsaufgaben und grunds tzliche L sungs m glichkeiten VDI Berichte Nr 576 D sseldorf VDI Verlag 1985 S 1 20 Dittrich u a 1995 Dittrich G M ller J Nitz G Schmeink M Wehn V IGM Getriebesammlung 52062 Aachen Eilfschornsteinstr 18 G nter Dittrich Selbstver lag 1995 Dittrich u a 1996 Dittrich G Braune R Meyer I Die Struktursynthese am Anfang der Auslegung von Getrieben In VDI Hg VDI Getriebetagung 96 Kurvengetriebe Gelenkgetriebe Gesteuerte Antriebe Probleml sungen in der Bewegungstech nik VDI Berichte Nr 128 D sseldorf VDI Verlag 1996 S 1 15 Dittrich und M ller 1996 Dittrich G M ller J Bahnplanung In Ameling E Hg Flexible Handhabungsger te im Maschinenbau Grundlagen Komponenten Applikationen Ergebnisse aus dem Sonderforschungsbereich 208 Grundlagen und Komponenten flexibler Handhabungsger te im Maschinenbau der RWTH Aa chen Deutsche Forschungsgemeinschaft Weinheim VCH Verlagsgesellschaft mbH 1996 S 56 65 Dittrich und Wehn 1988 Dittrich G Wehn V Getriebetechnische L sungssammlung In Der Konstrukteur 19 1988 S 85 88 Doulgeri und Golfakis 2006 Doulgeri Z Golfakis A Nonlinear Manipulation Control of a Compliant Object by Dual Fingers In Journal of Dynamic Systems Measurement and Control vol 128 Issue 3
100. J 1 2 M P 2 1 b 6 291 M P 2 1 b Der Beobachterpol wird auf den Wert 30 1300 gelegt so dass die Beobachterfrequenz oberhalb der h chsten Eigenfrequenz des geregelten Systems liegt Der so ausgelegte Beobachter ist in der Lage die An und die Abtriebswinkelgeschwindigkeit aus den diskreten Drehgebersignalen f r den An und den Abtriebswinkel zu ermitteln F r beide Gr en sind in Bild 6 2 20 und Bild 6 2 21 die vom Beobachter ermittelten Werte den von der Messdatenaufbereitung nach Bild 5 5 1 ermittelten Werte gegen ber gestellt Die Benennung der Kurven erfolgt n den Bildern daher mit Beobach cc ter und Interpolation Bei den beiden zugrundeliegenden Simulationen wurde einmal die Drehzahlregelung DZR und einmal die Zustandsregelung PIZR 1 20 20 s Ab schnitt 6 2 3 verwendet Im zweiten Fall war der Beobachter zur Ermittlung der Eingangsgr en f r den Zustandsregler in den Regelkreis eingebunden l 1 2 1 4 1 6 1 8 t s 2 Interpolation PIZR 1 20 20 Interpolation DZR Beobachter PIZR 1 20 20 Beobachtern DZR Bild 6 2 20 Durch die Interpolation und durch den Beobachter ermittelte Fehler der Antriebs winkelgeschwindigkeit f r ein drehzahlgeregeltes und ein PI Zustandsgeregeltes System 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 142 0 8 y4 rad s 0 4 0 2 N A En PAT m I 1 man TUT 0 2
101. Kinematics Development in The Last Forty Years John Wiley amp Sons Inc 1993 Erdman und Sandor 1997 Erdman A Sandor N Mechanism Design Analysis and Synthe sis 3 ed Upper Saddle River New Jersey Prentice Hall Inc 1997 Ewald 1975 Ewald O L sungssammlungen f r das methodische Konstruieren D sseldorf VDI Verlag 1975 Fassois 2001 Fassois S D MIMO LMS ARMAX IDENTIFICATION OF VIBRATING STRUCTURES PART I THE METHOD In Mechanical Systems and Signal Proc essing Vol 15 No 4 2001 S 723 735 Fassois und Hemez 2001 Fassois S D Hemez F M MIMO LMS ARMAX IDENTIFICA TION OF VIBRATING STRUCTURES PART II A CRITICAL ASSESSMENT In Mechanical Systems and Signal Processing Vol 15 No 4 2001 S 737 758 s Fehn 2000 Fehn A A R Modellierung und Regelung einer Scheibenwischeranlage Dip lomarbeit Stuttgart Institut fur Systemdynamik und Regelungstechnik 2000 Felszeghy 2005 Felszeghy S F Steady State Residual Vibrations in High Speed Dwell Type Rotating Disk Cam Follower Systems In Journal of Vibration and Acoustics vol 127 issue 1 2005 S 12 17 Filipovic u a 1996 Filipovic D Schr der D Straub S Absorption mechanischer Schwin gungen mittels Linearem Aktivem Resonator Einmassen Mehrfrequenz Absorber VDI Berichte Nr 1285 D sseldorf VDI Verlag 1996 S 507 520 Fischer 1995 Fischer R Elektrische Maschinen 9 Auflage M nchen Hanser
102. Konzepte zur Schwingungsminderung Von der Fakult t f r Maschinenwesen der Rheinisch Westf lischen Technischen Hochschule Aachen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation vorgelegt von Frank Harmeling Berichter Univ Prof Dr Ing B Corves Univ Prof Dr Ing D Abel Tag der m ndlichen Pr fung 18 11 2010 Diese Dissertation st auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verf gbar IN 11 nn Kl ll und un ii ha ai Inhalt 1 Einleitung und Zielsetzung 2 Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 3 Auslegung des Starrk rper Systemteils 3 1 3 2 9 3 4 3 3 Prozessbaustein Bewegungsspezifikation Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen Prozessbaustein Struktursynthese Prozessbaustein Kinematische Ma synthese Prozessbaustein Bauteildimensionierung 4 Auslegung des elastischen Systemteils 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 1 4 4 2 4 4 3 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung Prozessbaustein Gestaltung der Systemeigenschaften durch Elastizitatsparameter Prozessbaustein Kompensation von elastischen Deformationen Prozessbaustein Gestaltung der Anregung durch die nichtlineare bertragungsfun
103. Maschine und Antriebe 3 Auflage Stuttgart Teubner Verlag 1993 Sen u a 2003 Sen S Dasgupta B Mall k A K Variational approach for singularity free path planning of parallel manipulators In Mechanism and Machine The ory vol 38 Issue 11 2003 S 1165 1183 Serban und Freeman 2001 Serban R Freeman J S Identification and Identifiability of Unknown Parameters in Multibody Dynamic Systems In Multibody System Dynam ics Vol 5 2001 S 335 350 Shaw und Pierre 1993 Shaw S W Pierre C Normal Modes for Non Linear Vibration Systems In Journal of Sound and Vibration Vol 164 No 1 1993 S 85 96 Shchuka und Goldenberg 1989 Shchuka A Goldenberg A A Tip control of a single link flexible arm using a feedforward technique In Mechanism and Machine Theory Vol 24 1989 S 439 455 Shigang 2000 Shigang Yue Weak vibration configurations for flexible robot manipulators with kinematic redundancy In Mechanism and Machine Theory vol 35 issue 2 2000 S 165 178 Silva u a 2005 Silva L A Austin E M Inman D J Time Varying Controller for Tem perature Dependent Viscoelasticity In Journal of Vibration and Acoustics vol 127 issue 3 2005 S 215 222 Singh und Singhose 2001 Singh T Singhose W Tutorial on Input Shaping Time Delay control of Maneuvering Flexible Structures USA Buffalo Department of Mechan cal and Aeronautical Engineering University
104. Modellierung der Elastizit t 28 elastischer K rper eingebaut Da die Berechnung auf quasistatische Betrachtungen beruht k nnen diese Modelle jedoch nicht f r Systeme in denen Schwingungen auftreten verwendet werden Ein einfaches algebraisches Systemmodell ist f r die sp teren modellbasierten Auslegungsschritte von zentraler Bedeutung Die Erstellung konzentriert parametrischer Modelle f r stabf rmige K r per erfordert die f r jeden Anwendungsfall spezifische Entscheidung welche Eigenformen ber ck sichtigt werden sollen Die Modelle f hren auf die kompakteste Systembeschreibung in algebrai scher Form die au erdem die Informationen ber die Einfl sse der Bauteilparameter enth lt Diese Art der Beschreibung von Elast z t t ist wegen der geringen Anzahl an Modellparametern f r die Auslegung von Bewegungssystemen besonders gut geeignet Au erdem kann durch eine geschickte Erstellung von konzentriert parametrischen Modellen f r das mechanische System mit Elastizitaten h ufig erreicht werden dass die Nichtlinearit ten des Systems allein durch die kinematischen ber tragungsfunktionen eines Starrk rpergetriebes vgl Abschn 3 2 beschrieben werden kann Klanke und Dittrich 2001 Die Modellierung der elastischen Schwinge des Beispielsystems aus Bild 3 5 2 wurde nach dem Vorgehen aus Klanke und Dittrich 2001 mit einem Computer Algebra Programm umgesetzt Links in Bild 4 1 1 ist die Schwinge als Kontinuumsmodell dargestel
105. Regelungssystems also des logischen Systemteils s Abschnitt 6 2 2 Die Struktur des logischen Systemteils kann ebenfalls durch Zustandsgr en und Differentialgleichungen beschrieben werden Hier sind unz hlige Strukturen Abschnitt 6 2 2 m glich die in dieser Arbeit aber auf Strukturen mit einer linearen Zustandsregelungen s Ab schnitt 6 2 3 die gegebenenfalls durch einen Beobachter Abschnitt 6 2 5 und eine St rgr en kompensation Abschnitt 6 2 1 erg nzt wird beschr nkt wurden Au erdem ist eine Trajekto rienplanung und eine Vorsteuerung Abschnitt 7 1 vorgesehen 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 165 Einige strukturelle Eigenschaften des Gesamtsystems ergeben sich erst aus dem Zusammenwirken der Teilstrukturen Hier sind beispielsweise die Steuerbarkeit und die Existenz autonomer Teilsys teme zu nennen Diese ergeben s ch aus der Topologie der Stellglieder und des mechanischen Sys temteils Die Beobachtbarkeit h ngt von der Topologie der Messglieder und gleichzeitig von der Topologie des mechanischen Systemteils ab Die strukturellen Eigenschaften einzelner Komponen ten sind also h ufig mit den strukturellen Eigenschaften des Gesamtsystems verkn pft Wenn im Rahmen der Bauteildimensionierung beispielsweise eine Leichtbauweise realisiert wird und so die Topologie des elastischen Systemteils ver ndert wird hat dies Auswirkungen auf die Anzahl und Anordnung der notwendigen Aktuatoren f r bestimmte Ma nahmen zur Schwin
106. SIGN vol 125 2003 S 119 123 Z h u a 2005 Zah M F Thieke S Gratz F Unterst tzung der Entwicklung von Werk zeugmaschinen durch interaktive Kopplung von Entwicklungswerkzeugen In Me chatronik 2005 Innovative Produktentwicklung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 153 172 Zeitz u a 2005 Zeitz M Graichen K Meurer T Vorsteuerung und Trajektorienplanung als Basis einer Folgeregelung In GMA Kongress 2005 Automation als interdiszipli n re Herausforderung VDI Berichte 1883 2005 S 795 806 Zhang und Grandin 1982 Zhang Ce Grandin H T Kinematical Refinement technique in Optimum Design of Flexible Mechanisms In ASME Hg ASME Paper no 82 DET 21 1982 Zhang und Grandin 1985 Zhang Ce Grandin H T Optimum Design of Flexible Mecha nisms In Journal of Mechanisms Transmissions and Automation in Design vol 105 1985 S 267 272 Zhang und Li 1999 Zhang W J Li Q Design For Control A proposed methodology for developing mechatronic systems In 12th International Conference on Engineering Design Munchen 1999 Zhao u a 2006 Zhao C Chen L Chen D Semi Active Static Output Feedback Variable Structure Control for Two Stage Vibration Isolation System In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 5 2006 S 627 634 Zheng u a 2006 Zheng X Zolotas A C Wang H Mathematica implementation of output feedback pole assignment for u
107. Slider Crank Mechanism Featuring a Macroscopically Smart Connecting Rod with Ceramic Piezoelectric actuators and Strain Gage Sensors In Machine Elements and Machine Dynamics DE 71 The 1994 ASME Design Technical Conference 23rd Biennial Mechanisms Confer ence Minnesota Minneapolis 1994 S 63 69 Thornton u a 1979 Thornton W A Willmert K D Khan M R Mechanism Optimiza tion via Optimality Criterion Techniques In JOURNAL OF MECHANICAL DE SIGN vol 101 1979 S 392 397 Timoshenko u a 1974 Timoshenko S Young D H Weaver Jr W Vibration problems in engineering 4 Edition New York John Wiley amp Sons 1974 Tomizuka u a 1989 Tomizuka M Tsao T C Chew K K Analysis and synthesis of discrete time repetitive controllers In Journal of Dynamic Systems Measurement and Control Vol 11 1989 S 353 358 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 195 Trankler 1992 Tr nkler H R Taschenbuch der Me technik mit Schwerpunkt Sensortech nik M nchen Oldenbourg Verlag 1992 Ulbrich und Stein 2002 Ulbrich H Stein H v A Combined Feedforward Feedback Con trol Strategy for Improving the Dynamics of a Flexible Mechanism In Multibody Sys tem Dynamics vol 7 ssue2 2002 S 229 248 Unbehauen 1992 Unbehauen H Regelungstechnik I Braunschweig Wiesbaden Vieweg Verlag 1992 Vadran u a 1990 Vadran V K Hong S Y Vadran V V Piezoelectric Sensors and Actuators
108. T ete I aan Yx m e Lagenvorgabe 0 8 Si ane fiir Synthese wt If TI II TANT O kA Originalabmessung starre Koppel PING 0 7 P ING ee ote Koma j T GNT 0 65 TCNG Ean See ane DE HE HE HE HE e EEE EEE BE ER 0 3 0 35 0 4 0 45 0 5 0 55 0 6 0 65 0 7 0 75 0 8 0 85 0 9 Xx m 1 0 55 0 5 Bild 4 4 9 Koppelkurven eines Starrk permechanismus und eines elastizitatsbehafteten Mechanismus 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingunssmindrung 68 0 65 Yx m om Originalabmessung starre Koppel Veranderte Abm starre Koppel Originalabmessung elastische Koppel Veranderte Abm elastische Koppel 0 6 0 68 0 73 0 78 0 83 0 88 0 93 XK m 1 03 Bild 4 4 10 Abweichungen der Koppelkurven im Geradf hrungsbereich Um die kinematischen Abmessungen des Getriebes so zu verandern dass die elastizitatsbedingte Abweichung kompensiert wird kann ein klassisches Verfahren zur Genaulagensynthese verwendet werden Bei der Genaulagensynthese die auf der Burmesterschen Kreis und Mittelpunktsuche basiert werden funf Lagen K bis Ks Position und Orientierung des Koppelpunkts K des Starr k rpergetriebes als Eingangsgr e verwendet In Bild 4 4 9 sind f nf solcher Lagen durch schwarze Punkte angedeutet Das Verfahren wird in MAPLE umgesetzt Dabei wird ein polynomiales Glei chungssystem aus f nf Gleichungen mit einem nichtlinearen Optimierungsverfahren gel st um die Positionen der Gelenke zu bestimmen Corves 2
109. Track Following Control With Active Vibration Damping of a PZT Actuated Suspension Dual Stage Servo System In Journal of Dynamic Systems Measurement and Control vol 128 Issue 3 2006 S 568 576 Liao und Sung 1991 Liao C Y Sung C K Vibration Suppression of flexible Linkage Mechanism Using Piezoelectric Sensors and Actuators In Journal of Intelligent Ma trial Systems and Structures vol 2 1991 S 177 197 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 187 Liao und Sung 1993 Liao C Y Sung C K An Elastodynamic Analysis and Control of Flexible Linkages Using Piezoceramic Sensors and Actuators In ASME Hg JOURNAL OF MECHANICAL DESIGN vol 115 1993 S 658 665 Lichtenheld 1961 Lichtenheld W Konstruktionslehre der Getriebe Berlin Akademie Verlag 1961 Lin 1995 Lin C K Synthese viergliedriger sph rischer Drehgelenkgetriebe zur Erf llung von Punkten einer bertragungsfunktion Aachen IGM RWTH 1995 Linde und Hill 1993 Linde H Hill B Erfolgreich erfinden widerspruchsorientierte Inno vationsstrategien f r Entwickler und Konstrukteure Darmstadt Hoppenstedt Technik Tabellen Verlag 1993 Liu und McPhee 2005 Liu Y McPhee J Automated Type Synthesis of Planar Mecha nisms Using Numeric Optimization With Genetic Algorithms In ASME Hg JOURNAL OF MECHANICAL DESIGN vol 127 Issue 5 2005 S 901 909 Liu Henke u a 2000 Liu Henke X Lickel J Jaker K P Gan
110. V TRIZ Der systematische Weg zur Innova tion Landsberg Lech Verlag moderne Industie 2000 Hestermeyer u a 2004 Hestermeyer T Oberschelp O K Giese H STRUCTURED INFORMATION PROCESSING FOR SELF OPTIMIZING MECHATRONIC SYS TEMS In Araujo H Vieira A Braz J Encarnacao B Carvalho B Hg Proceedings of Ist International Conference on Informatics in Control Auto mation and Robotics ICINCO 2004 Setubal Portugal 2004 Hiller und Muller 2000 Hiller M Muller J Design und Realisierung des autonomen Schreitfahrwerks ALDURO In Mechatronik Mechanisch Elektrische Antriebstech nik VDI Berichte Nr 1533 Dusseldorf VDI Verlag 2000 S 323 341 Hoffmann und Adunka 2002 Hoffmann J Adunka F Taschenbuch der Messtechnik M n chen Fachbuchverlag Leipzig m Carl Hanser Verlag 2002 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 183 Hohenbichler und Abel 2006 Hohenbichler N Abel D Robust PID Controller Design Meeting Pole Location and Gain Phase Margin Requirements for Time Delay Sys tems In at automatisierungstechnik Nr 10 2006 S 495 501 Hohenbichler und Six 2006 Hohenbichler N Six K Potenziale aktiver und semiaktiver Skyhook Regelgesetzte in der Sekund rfederstufe von Schienenfahrzeugen In at automatisierungstechnik Nr 3 2006 S 130 138 Hoover und Rinderle 1989 Hoover S Rinderle A A synthesis strategy for mechanical devices In Research in Engineering De
111. Wertdiskretisierung der Drehgeber ein instabiles Systemverhalten verursacht Es lasst sich aber durch Simulationsrechnungen und Versuche auch zeigen dass die Messdatenaufbereitung s Bild 5 5 1 das System wieder stabilisiert Bei der Messdatenaufberei tung wird die Winkelgeschwindigkeit durch eine Extrapolation ermittelt Alternativ dazu ist der Einsatz eines Beobachters zur Ermittlung der Winkelgeschwindigkeiten m glich 6 2 5 Prozessbaustein Beobachterentwurf Wenn nicht alle Zust nde des Systems messtechnisch zug nglich sind k nnen Folgebeobachter auf Basis des linearisierten Streckenmodells entworfen werden um diese Zust nde zu ermitteln Ein Beispiel f r nicht messbare Gr en sind die Winkelgeschwindigkeiten am Antrieb und am Abtrieb des Pr fstands die durch eine diskrete Differentiation des Winkelsignals ohne Messdatenaufberei tung nicht mit ausreichender Qualit t ermittelt werden k nnen vgl Abschnitt 5 5 Beobachter werden f r den geschlossenen Regelkreis entworfen Wendt und Lutz 2002 Voraussetzung ist dass Steuerbarkeit s Abschnitt 6 2 3 und Beobachtbarkeit vorliegen und dass die Zustandsrege lung R bereits ausgelegt wurde Beobachtbarkeit ist gegeben wenn der Anfangszustand x in endli cher Zeit bei bekanntem Eingangsvektor u t durch Messung des Ausgangsvektors y t bestimmbar ist Die Beobachtbarkeit kann mit Hilfe der Beobachtbarkeitsmatrix Qp berpr ft werden Voll st ndige Beobachtbarkeit liegt vor we
112. a CU W Cred an Bu 2U U3 d a E i M Bo 4 2 4 Die meisten Bewegungssysteme sind gew hnliche mechanische Systeme und weisen eine regul re Massenmatrix M auf Die nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 4 2 2 kann aufgrund der regul ren Massenmatrix M unter Hinzunahme der Identit tsbeziehung q Eq in eine nichtli neare Zustandsgleichung erster Ordnung der Form a Eq q q t q q t b t 4 2 5 len n q q z ju n q q l i Mgaa M Bu N transformiert werden Darin enth lt der Vektor b t die Stellgr en die auf das System wirken Die Stellgr en u werden auch als Eingangsgr en bezeichnet und die Matrix B wird als Eingangsmat rix bezeichnet Mit dem Zustandsvektor w q q kann Gl 4 2 5 kompakter geschrieben wer den w n w t b t 4 2 6 Auch n cht gew hnliche mechanische Systeme lassen s ch n diese Form bringen wenn die S ngu laritat der Massenmatrix M darauf zur ckzuf hren ist dass ein Teilsystem nur durch eine Differen tialgleichung erster Ordnung beschrieben wird Ein derartiges System entsteht beispielsweise durch 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 38 die Reihenschaltung von zwei Koppelelementen z B Federn oder D mpfer ohne dass ein masse behafteter K rper dazwischen modelliert wird Corves 2007 Die Zustandsgr e die die Ver schiebung des Knotenpunkts beschreibt erscheint nur m
113. a 1994 Park J H Asada H Concurrent design optimization of mechanical structure and control for high speed robots In Journal of Dynamic Systems Meas urement and Control vol 116 1994 S 344 356 Pennock und Hasan 2002 Pennock G R Hasan A A Polynomial Equation for a Coupler Curve of the Double Butterfly Linkage In Journal of mechanical engineering vol 124 2002 S 39 46 Petersmann 1986 Petersmann n n Substrukturtechnik und Kondensation bei der Schwin gungsanalyse Reihel11 Nr 76 D sseldorf VDI Verlag 1986 Petsounis und Fassois 2001 Petsounis K A Fassois S D PARAMETRIC TIME DOMAIN METHODS FOR THE IDENTIFICATION OF VIBRATING STRUCTURES A CRITI CAL COMPARISON AND ASSESSMENTS In Mechanical Systems and Signal Pro cessing Vol 15 No 6 2001 S 1031 1060 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 190 Pfeiffer 1986 Pfeiffer F G Optimierungsgesichtspunkte der Bahnplanung Bahnsteuerung und regelung In Steuerung und Regelung von Robotern D sseldorf VDI Verlag 1986 S 415 430 Pfeiffer und Johanni 1987 Pfeiffer F G Johanni R A Concept for Manipulator Trajectory Planning In Journal of Robotics and Automation RA 3 1987 S 115 123 Pfeiffer 1990 Pfeiffer F G Path and Force Control of Elastic Manipulators In Proc of the 28th Conf on Dec and Contr 1990 S 514 519 Pil und Asada 1996 Pil A C Asada H Integrated structure control design of mecha
114. achter als ausreichend klein erwie sen Problematischer war die Wert und Zeitdiskretisierung der Drehgebersignale so dass f r die Bestimmung der Ist Werte die in Abschnitt 5 5 beschriebene Interpolation erstellt wurde 6 1 2 Modellierung und Klassifikation der Systeme Nicht alle Ma nahmen zur Schwingungsminderung k nnen f r alle Klassen von Systemen und von Bewegungsaufgaben angewendet werden Ausgangspunkt f r viele Entw rfe von Minderungsma nahmen s nd Normalformen der Systemgleichungen Daher kann f r beliebige mechatronische Bewegungssysteme anhand der M glichkeit zur berf hrung in entsprechende Normalformen berpr ft werden welche Ma nahmen zur Schwingungsminderung angewendet werden k nnen Die Transformation in die Normalform kann wiederum mit MAPLE realisiert werden In der Sys temtheorie und in der Regelungstechnik sind zahlreiche Normalformen bekannt Eine Ubersicht zu weiterf hrender Literatur zu diesen Normalformen ist in Olfati Saber 2001 zu finden Im Folgen den werden einige Normalformen und ihrer Bedeutung f r mechanische Bewegungssysteme die bei dem sp teren Entwurf von Ma nahmen zur aktiven Schwingungsminderung Anwendung finden zusammengestellt 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 96 Zun chst ist die n chtlineare Regelungsnormalform zu nennen Allg wer und Gilles 1995 Diese ist dadurch gekennzeichnet dass die Nichtlinearit ten und der Eingang u nur in den Gleichungen der h chste
115. analytischen Modelle sind geeignet um ein Zustandsmodell daraus zu entwickeln Zustandsmodelle wurden im Abschnitt 4 2 und Kapitel 5 bereits verwendet um die mechanischen und elektrischen Systemteile zu modellieren Aus der Zustandsraumdarstellung k nnen leicht bertragungsfunktionsmodelle generiert werden bertragungsfunktionsmodelle repr sentieren lineare zeitinvariante Systeme im Laplace Bereich und analog repr sentieren Frequenzmodelle Systeme m Fourier Bereich Die Frequenzgangmatrix Corves 2007 ist ein Beispiel f r ein Frequenzmodell zur Bestimmung von Amplitudenfrequenzg ngen bertragungsfunktionsmodelle und Frequenzmodelle eigenen sich besonders gut f r die Analyse und Substrukturierung komplexer Systeme Edelmann 1961 Rubin 1967 Bei komplexen Modellen ist h ufig auch die Verwendung von experimentell ermittelten Antworten auf eine Impulserregung eine Sprungerregung oder eine harmonische Erregung anstelle theoretische ermittelter Modelle n tzlich Da auch Reglerstrukturen gut durch Zustandsmodelle dargestellt werden k nnen werden in dieser Arbeit analytische Zustandsmodelle in Form von alge braischen Differentialgleichungen zur durchgangigen Beschreibung und Auslegung mechatroni scher Systeme verwendet Hierauf wird im nachfolgenden Abschnitt noch n her eingegangen Zuvor wird die Werkzeugkette zur Modellierung Umsetzung und Erprobung der Ma nahmen zur Schwingungsminderung erl utert Die Verwendung durchg ngiger Werkz
116. andelt es sich in der Regel um periodisch ver nderliche Koeffizienten Die periodisch ver nderlichen Koeffizienten in den Koeffizientenmatrizen f hren zu einer Parametererregung des Systems und der periodisch ver nderliche Erregervektor hs t f hrt zu einer zus tzlichen Schwingungsanregung Bevor auf die Berechnung der station ren Schwingungsantwort f r derartige Systeme mit Hilfe der Lyapunov Floquet Transformation eingegangen wird wird die linearisierte Differentialgleichung zweiter Ordnung noch in eine quivalente linearisierte Differentialgleichung erster Ordnung berf hrt Unter der Voraussetzung dass die Massenmatrix M t invertierbar ist kann die linearisierte zeitva riante Bewegungsgleichung in eine lineare zeitvariante Zustandsgleichung berf hrt werden x t 0 w t A t w t b t eons 02 DEN a 4 2 13 M t Q t MW PA x MORO Darin ist w t der Zustandsvektor der in der oberen H lfte die Verlagerung x t und in der unteren H lfte die entsprechenden Geschwindigkeiten enth lt Mit Gl 4 2 12 kann auch der Erregervektor b t der Zustandsgleichung in einen zeitabh ngigen St rgr enanteil bs t und einen linearen Stell gr enanteil B t u t aufgeteilt werden w t Alt w t bs t B t u t 4 2 14 Darin sind be t 8 d B t j 4 2 15 on l POS MOBO en Zum Abschluss dieses Abschnitts wird noch kurz auf die Analyse einiger Eigenschaften der Syste me eingegangen F r sp tere Betrachtung
117. anism and Machine Theory vol 40 Issue 8 2005 S 977 992 Dangelmaier u a 2004 Dangelmaier W Giese H Klein F Renken H Scheideler P SHARED EXPERIENCES IN INTELLIGENT TRANSPORTATION SYSTEMS In Proc of the IAV 2004 The 5th Symposium on intelligent Autonomous Vehicles Lis bon Portugal IFAC 2004 De Silva 2005 De Silva C W Mechatronics An Integrated Approach Boca Raton Lon don CRC Press 2005 Deckers u a 2000 Deckers J Nissing D Schwarz R Erprobung neuer Regelungskon zepte zur aktiven Schwingungsd mpfung am Beispiel eines Schmiederoboters In Me chatronik Mechanisch Elektrische Antriebstechnik VDI Berichte Nr 1533 D ssel dorf VDI Verlag 2000 S 465 482 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 178 Den Hartog 1934 Den Hartog J P Mechanical Vibrations New York McGraw Hill 1934 Deshmukh u a 2006 Deshmukh V Butcher E A Sinha S C Order Reduction of Pa rametrically Excited Linear and Nonlinear Structural Systems In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 4 2006 S 458 468 Devas a und Chen 1996 Devasia S Chen D Nonlinear inversion based output tra cking In Transaction on Automation and Control Vol 41 1996 S 930 942 Dittrich u a 1983 Dittrich G Braune R Franzke W Algebraische Ma synthese ebener viergliedriger Kurbelgetriebe Programmalgorithmen f r Tisch und Gro rechner Fortschrittsberichte VD
118. annimmt Voraussetzung ist dass die R ckf h rungsmatrix Kg bereits entworfen worden ist und dass der geschlossene Regelkreis stabil ist Au Berdem muss die Anzahl der Regelgr en q gleich der Anzahl der Stellgr en p sein Auf das Bei spielgetriebe bertragen bedeutet dies dass zur Realisierung station rer Werte f r die beiden Aus lenkungen Y2 und Y4 zwei Aktuatoren notwendig sind Die Berechnungsvorschrift f r das Vorfilter Mg folgt aus einer Betrachtung der Laplace transformierten Systembeschreibung 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 130 xG Ag Bg KGCg xg BaMcWw gt xg s s1 Ag BGKGCc BGMGw s y CGx 6 2 44 gt y s Cg sl Ag BgKgCg Bg Mawi G W Damit kann der Systemausgang y s kurz als y s G s Mg w s angegeben werden Mit dem Endwertsatz der Laplace Transformation ergibt sich Vo G MGW W amp Mc G 0 6 2 45 Mg Cg BgKGCg Ag Bg 6 2 46 und schlie lich F llinger 1994 Mg Kg Cg Ag Bo 6 2 47 Bei der Zustands und Ausgangsregelung ist M 0 und bei der PI Zustandsregelung ist M E und es muss nur das Vorfilter M bestimmt werden Vor diesem Hintergrund leitet F llinger 1994 aus der Betrachtung eines gesteuerten Systems Bild 6 2 16 eine alternative Berechnungsformel f r die Bestimmung des Vorfilters M her Regelstrecke YR Bild 6 2 16 Gesteuertes System mit Vorfilter M gt Im station ren Zustand gi
119. aping with Traditional Time Optimal Control In Proceedings of the fourth IEEE Conference on Control Applications Albany NY 1995 S 1120 1125 Pao und Singhose 1996 Pao L Y Singhose W E UNITY MAGNITUDE INPUT SHAP ERS AND THEIR RELATION TO TIME OPTIMAL CONTROL In IFAC World Con gress San Diegeo CA USA 1996 S 385 390 Pao u a 1997 Pao L Y Chang T N Hou E Input Shaper Designs for Minimizing the Expected Level of Vibration in Flexible Structures In Proceedings of the American Control conference Alburquerque NM USA 1997 S 3542 3546 Pao und Lau 2000 Pao L Y Lau M A Robust Input Shaper control Design for Parame ter Variations in Flexible Structures In ASME Hg Journal of Dynamic Systems Measurement and Control Vol 122 No 2 2000 S 63 70 Pao 2000 Pao L Y Strategies for Shaping Commands in the Control of Flexible Struc tures In Proceedings Japan USA Vietnam Workshop on Research and Education in Systems Computation and Control Engineering 2000 S 309 318 Pao und La orpacharapan 2004 Pao L Y La orpacharapan C Shaped Time Optimal Feed back Controllers for flexible Structures In Journal of Dynamic Systems Measure ment and Control 2004 S 173 186 Parenti Castelli und Venanzi 2005 Parenti Castelli V Venanzi S Clearance influence analysis on mechanisms In Mechanism and Machine Theory Vol 40 Issue 12 2005 S 1316 1329 Park und Asad
120. ar sh und Parker 2006 w rd der Effekt der Schwingungstilgung n einem Planetengetriebe ebenfalls durch eine gezielte Gestaltung der Schwingungsformen erreicht Gestaltungsparameter ist dabei der Kraftangriffswinkel der sich durch die Verzahnungsgeometrie ergibt Auch bei der Gestaltung des Ubertragungsverhaltens finden wiederum Methoden aus der Regelungstechnik Anwendung In Asami u a 2002 und Starek und Inman 2004 werden Metho den zur Auslegung einer optimalen Regelung Ha and H gt Optimierung f r die Bestimmung der Dampfungskonstanten bei einem Zweimassenschwinger verwendet Mit der gleichen Methodik wird in Zuo und Nayfeh 2005 und Zuo und Nayfeh 2006 ein Mehrmassensystem ausgelegt Zusammenfassend kann festgehalten werden dass durch die Ma nahmen zur passiven Schwin gungsminderung f r den jeweiligen Anwendungsfall spezifische Frequenzbereiche des Systemver haltens gestaltet werden k nnen Die umfangreichen Zusammenh nge zwischen den Systemparametern und dem dynamischen Sys temverhalten werden m Folgenden am Beispiel des Kurbelgetriebepr fstands erl utert Die Analy se der algebraischen Gleichungen des Erregervektors des Beispielsystems n Gl 4 2 11 zeigt welche Bauteilparameter Einfluss auf die Erregung haben Dies sind die Massentr gheitsmomente Jz J4 Js und Jg vgl Bild 4 2 1 die kinematischen Ubertragungsfunktionen und der Verlauf der Linearisierungstrajektorien Yo t und Y4o t 0 we 2 Ww gt
121. aren Eingangsmatrix B q q t relativ einfach Zumeist kann der Zustand w q q zugleich als flacher Ausgang y Eww Ey verwendet werden und die Bestimmung einer geeigneten Parametrierungen X fur den Eingang u ist gleichbedeutend mit der Losung der zweiten Wittenbauerschen Grundaufgabe Abschnitt 3 2 also der Bestimmung der notwendigen Antriebsgr en u f r eine gew nschte Bewegung y t Die Parametrierung des Eingangs u x y vay ergibt sich unmittelbar aus der nichtlinearen Bewegungsgleichung 3 2 11 u B M q N B g q t 6 1 13 Entspricht der flache Ausgang y der Regelgr e y so ist ein Vorsteuerungsentwurf leicht m glich Hagemeyer und Zeitz 2004 Die Trajektorien der Vorsteuerungsgr en k nnen einfach mit Gl 6 1 13 aus der gew nschten Ausgangstrajektorie y q q berechnet werden Das Vorgehen erfordert die Planung geeigneter stetig differenzierbarer Trajektorien f r den flachen Ausgang und wird in Abschnitt 7 1 2 n her erl utert Zu beachten ist dass eine endliche Anzahl von Zeitableitun gen des Ausgangs vorgegeben werden muss Anzumerken ist noch dass flache Systeme sich wegen der invertierbaren Eingangsmatrix auch immer n die Brunovsky Form berf hren lassen Im Ver gleich zum R ckf hrungsgesetz 6 1 2 wo der nichtlineare Anteil der Systemdynamik f r die Ist Zust nde kompensiert wird kompensiert eine flachheitsbasierte Vorsteuerung nach Gl 6 1 13 nur den nichtlinearen Anteil der Systemdynam
122. aterial auch die kinematischen Abmessungen mit dem Ziel die Abwei chung am Abtriebsorgan zu minimieren In Corves u a 2006 wird fur das Kurbelgetriebe Beispielsystem ein Vorgehen vorgestellt das auf eine numerische Optimierung verzichtet und stattdessen analytische Gleichungen verwendet um die ver nderten kinematischen Abmessungen zu bestimmen Dieses Beispiel wird hier aufgegriffen Die Analyse des linearisierten Erregervektors n Gl 4 4 1 zeigt dass die Schwinge eine kinetosta tische Biegebelastung erf hrt Die station re Schwingungsantwort setzt sich folglich aus einer quasistatischen Deformation aufgrund der kinetostatischen Belastung und einer berlagerten Schwingung zusammen Bild 4 4 2 In diesem Abschnitt soll nur d e quas statische Deformation ber cksichtigt werden da der vibrodynamische Anteil gut durch Ma nahmen zur aktiven Schwin gungsminderung beeinflusst werden kann Die quas statische Abweichung des Abtriebswinkels 4 t kann w hrend der Bewegung im mittleren Abtriebswinkelbereich zwischen den beiden Endlagen durch eine Anpassung der Solltrajektorie des Antriebswinkels Yo t kompensiert werden Die entsprechende Trajektorienplanung wird im Abschnitt 7 1 beschrieben In den Totlagen Deck und Strecklage liegt jedoch eine singulare Stellung des Mechanismus vor Daher kann das in Bild 4 4 3 skizzierte berschwingen des Abtriebstr gheitsmoments durch antriebsseitige Ma nah men nicht verhindert werden
123. atischen bertragungsfunktionen erster Ordnung U und U3 entgegengerichtet Die beiden bertra gungsfunktionen erster Ordnung sind in Bild 5 4 1 dargestellt Das gew nschte Moment zur St r gr enkompensation nach Gl 5 4 4 ist f r eine konstante Antriebsdrehzahl proportional zur ki nematischen bertragungsfunktion zweiter Ordnung U q ist Diese ist ebenfalls im Diagramm in Bild 5 4 1 eingetragen 5 4 Prozessbaustein Auslegung semiaktiver Stellglieder 85 90 180 270 360 Strecklage Decklage Bild 5 4 1 Kinematische bertragungsfunktionen als Grundlage f r die Schaltlogik semiak tiver Aktuatoren Der Gl 5 4 4 ist zu entnehmen dass die Bremse in B immer dann aktiviert werden kann wenn U und U entgegengesetzte Vorzeichen haben w hrend die Bremse in B immer aktiviert werden kann wenn U3 und U gleiche Vorzeichen haben Die erlaubten Einschaltzeiten sind im Bild 5 4 1 durch farbige Pfeile gekennzeichnet F r jeden Aktuator existieren bei der St r gr enkompensation nur vier Schaltzeitpunkte pro Kurbelumdrehung Die Schaltfunktion zum Aktivieren oder Deaktivieren der Bremsen kann bez glich der entsprechenden bertragungsfunkti on erster Ordnung U oder U3 parametriert werden Um dabei eine Sprungerregung der Biegeschwingung zu vermeiden werden die Bremsmomente beim Aktivieren oder Deaktivieren mit stetigen bergangsfunktione
124. atz elektrischer Komponenten zur passiven Schwingungsminderung eingegangen 4 4 1 Prozessbaustein Gestaltung der Systemeigenschaften durch Elastizit tsparameter Durch die Bestimmung g nstiger Werte nicht nur f r die Bauteilmassen sondern auch fur die Bau teilparameter Federsteifigkeit und Dampfung konnen die kinetostatischen und die vibrodynami schen Eigenschaften der Bauteile gestaltet werden Die Belastungen und Eigenschaften sind letzt lich abh ngig von denjenigen Systemparametern die in den Erregervektor h t oder in die Koeffi zientenmatrizen M t P t und Q t der linearisierten Bewegungsgleichung 4 2 8 eingehen Die Koeffizientenmatrizen und der Erregervektor hangen aber zusatzlich auch von der gewahlten Linea risierungstrajektorie ab Daher ist erg nzend zur Anregung von Eigenschwingungen durch h here Harmonische in den kinetostatischen Kraften auch eine Anregung der Eigenschwingungen durch Spr nge in der Linearisierungstrajektorie bzw Sollwertvorgabe zu beachten Spr nge sollten m g lichst vermieden oder durch geeignete Methoden z B das Input Shaping gestaltet werden Darauf wird im Abschnitt 7 1 naher eingegangen Die dynamischen Eigenschaften des Systems k nnen abh ngig von den Koeffizienten in den Matri zen M P und Q der linearisierten Bewegungsgleichung bzw von den Koeffizienten in der Sys temmatrix A der linearen Zustandsgleichung 4 2 13 numerisch oder algebraisch ermittelt werden vgl Bild 4 2 3 H uf
125. auf die Prozesstrajektorie kann auch durch eine Ver nde 3 5 Prozessbaustein Bauteildimensionierung 24 rung der kinematischen Abmessungen verfolgt werden sofern die Bewegungsspezifikation den Spielraum daf r l sst Eine Methodik f r das Vorgehen wird in Abschnitt 4 4 3 vorgestellt Das kinetostatische Antriebsmoment das sich als L sung der 2 Wittenbauerschen Grundaufgabe aus Gl 3 2 7 ergibt kann au erdem f r die Dimensionierung des Antriebs s Abschnitt 5 3 verwendet werden Es st aber auch f r die strukturelle Entscheidung ob statt des ungleichm ig bersetzenden Getriebes ein Direktantrieb verwendet wird n tzlich Links in Bild 3 5 1 ist der Grobentwurf des Beispielsystems im Mehrk rpersimulationsprogramm dargestellt Die Charakteris tik des Antriebsmoments M t folgt aus der Gl 3 2 6 und h ngt sowohl von den Massen als auch von den kinematischen Ubertragungsfunktionen ab Eine Berechnung der Antriebsmomente fiir verschiedene Bauteildicken rechts in Bild 3 5 1 zeigt fur die Realisierung der schwingenden Be wegung des Abtriebstragheitsmoments von 0 05 Kg m nur bei Bauteildicken von weniger als 10 mm geringere Spitzenmomente als beim Direktantrieb Der Einsatz eines Getriebes das nicht in Leichtbauweise ausgef hrt ist ist also nicht sinnvoll vorausgesetzt der Direktantrieb gen gt auch allen anderen dynamischen Anforderungen die im Abschnitt 5 3 noch behandelt werden 1 Kurbel 2 Koppel 3 Schwinge
126. aufgabe durch die Vorgabe mehrerer Lagen durch Positionen und Orientierungen des Abtriebsorgans die aus dem Prozessbau stein Bewegungsspezifikation Abschnitt 3 1 folgen Die Verfahren zur Festlegung der kinemati schen Abmessungen k nnen n grafische und rechnerische Verfahren eingeteilt werden Grafische Verfahren k nnen mit Geometrieprogrammen Corves 2004a oder CAD Systemen Corves und 3 4 Prozessbaustein Kinematische Ma synthese 22 Niggemann 2004 automatisiert werden Bei den rechnerischen Verfahren wird die Syntheseaufga be h ufig zun chst algebraisch durch polynomiale Gleichungssysteme formuliert Bottema und Roth 1990 Dittrich u a 1983 Innocenti 1995a Innocenti 1995b und Salmon 1985 Zwei konkrete Verfahren zur kinematischen Ma synthese die im Rahmen der passiven Schwingungs minderung angewendet werden werden n den Abschnitten 4 4 2 und 4 4 3 kurz erl utert Im All gemeinen m ssen die Gleichungssysteme aufgrund ihrer Gr e in der Regel numerisch gel st werden wof r vielf ltige Berechnungsverfahren zur Verf gung stehen Zu nennen sind hier bei spielsweise die nichtlineare Optimierung das Bootstrap und das Homotopieverfahren Schreiber 2000 Garcia und Zangwill 1981 Stolle und Corves 2002 Stolle u a 2004 Stolle 2005 Luo und Dai 2007 Sanchez Marin und P rez Gonzales 2003 Sanchez Marin und P rez Gonza les 2004 Sancibrian u a 2004 Smaili und Diab 2007 Starns und Flugrad
127. aufgrund ihrer Allgemeinheit und der Mannigfaltigkeit der mechatroni schen Systeme keine konkreten Prozessbausteine also Berechnungsverfahren und methoden f r die Dimensionierung beliebiger Systeme bereitstellen Dies ist aufgrund des Um fangs immer nur f r bestimmte Klassen von Systemen und Zielsetzungen m glich Die Forschungsarbeiten von Frank u a 2004 Gausemeier 2005a und Gausemeier 2005b zum DFG Sonderforschungsbereich Selbstoptimierende Systeme des Maschinenbaus behandeln bei spielsweise den Entwurfsprozess f r Algor thmen und Steuerungen die es mechatronischen Syste Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 6 men erlauben einen system bzw aufgabenspezifischen Zielvektor an ge nderte Umweltbedingun gen anzupassen und dementsprechend die Struktur die Verhaltensweise und Systemparameter autonom zu ndern Gausemeier u a 2004 In erg nzenden Arbeiten wird ein Entwurfsinstrumen tarium entwickelt dass ber das makroskopische Vorgehen hinaus auch die Realisierung von Pro zessbausteinen f r die mikroskopischen Auslegungsschritte Prozessbausteine vgl Bild 2 2 um fasst Dangelmaier u a 2004 Hestermeyer u a 2004 Giese u a 2004 und Frank und Gause meier 2005 Die Umsetzung eines makroskopischen Vorgehensmodells mit der Zielsetzung f r die Klasse mechatronischer Bewegungssysteme mit ungleichm ig bersetzenden Getrieben und elektrisch geregelten Antrieben eine schw
128. b zu 3 4 Prozessbaustein Kinematische Ma synthese 21 hoch sind Abschnitt 5 3 immer wieder berdacht und eventuell ver ndert werden Insgesamt ist ein iteratives Durchlaufen der Struktursynthese geeignet um neben der Bewegungserzeugung auch dynamische Anforderungen zu ber cksichtigen und so das Potential einer integrativen Auslegung des Bewegungssystems auszunutzen Auf die Anwendung einer formellen Struktursynthese f r das Beispielsystem wird verzichtet Es wird ein ebenes viergliedriges Kurbelgetriebe dessen Strukturbild in Bild 3 2 1 bereits dargestellt wurde untersucht Diese Struktur ist die einfachste m gliche Struktur die bei ausschlie licher Verwendung von Drehgelenken eine geschlossene kinematische Kette und einen Antriebsfreiheits grad aufweist Sie kann aufgrund der Verwendung von Drehgelenken mit wenig Aufwand und preiswert gefertigt werden und sp ter bei Bedarf zu einem Getriebe mit mehr Gliedern erweitert werden F r die Demonstration der Methoden zur Schwingungsminderung kann eine skalare oder mehrdimensionale Abtriebsbewegung gew hlt werden Dadurch dass die Abtriebsgr en so ge w hlt werden k nnen dass der Antrieb nicht unmittelbar auf diese Abtriebsgr e wirkt k nnen w hrend der Bewegung Antriebssingularitaten auftreten Auf deren Bestimmung wird f r das Bei spielsystem m nachfolgenden Abschnitt noch eingegangen 3 4 Prozessbaustein Kinematische Ma synthese Die Festlegung der kinematischen Abm
129. barkeit der Eingangsmatrix Bi y Z4 Z2 t f r dieses System bei dem u M als Eingang und y s als Ausgang verwendet wird Nur wenn die Eingangsmatrix invertierbar ist kann der Antrieb u M auf den Ausgang y s wirken Ein Nulldurchgang der Funktion Up ist gleichbedeutend damit dass die Bewegungsrichtung des Koppelpunktes K w hrend dieses Nulldurchgangs rein normal zur Koppel also in Richtung von x ausgerichtet ist Dies sind diejenigen Stellungen in denen der Momentanpol der Koppel auf der y Achse liegt Ob eine solche Lage des Momentanpols existiert h ngt von den gew hlten kinematischen Abmessun gen des Getriebes ab Zusammenfassend l sst sich festhalten dass Abweichungen von den Trajektorien von Starrk rper mechanismen typische Systemausg nge von Bewegungssystemen sind und dass singul re Stellun gen f r diese Systeme h ufig anhand geeigneter kinematischer bertragungsfunktionen die die Trajektorie des Starrk rpermechanismus beschreiben identifiziert werden k nnen Die singul ren Stellungen fallen bei konstanter Antriebswinkelgeschwindigkeit h ufig mit den Nullstellen der kinematischen bertragungsfunktionen erster Ordnung zusammen Singul re Stellungen k nnen dadurch vermieden werden dass die Stellglieder m glichst direkt auf die Abtriebsglieder wirken Je mehr kinematische Maschen an der bertragung der Antriebsgr en auf den Abtrieb beteiligt sind umso mehr singul re Stellungen k nnen
130. bilen G s und einen nichtminimalphasigen G m S Anteil aufteilt G s G s G m S zu finden Dieses Vorgehen ndert nichts an der Tatsache dass eine geplante Trajektorie y eventuell nicht realisierbar ist Es stellt lediglich sicher dass die Vorsteuerung u realisierbar bleibt und dass die Fehler der tats chlichen Ausgangstrajektorie y gegen ber der geplanten Trajektorie y mini miert werden Eine Strategie der Vermeidung von Ausgangstrajektorien y s f r die die bertragungsfunktion G s des Systems nicht invertierbar ist ist mit dem inversionsbasiertem Vorsteuerungsentwurf 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 151 gegeben Der inversionsbasierte Vorsteuerungsentwurf ist eine Methodik die auf Basis der nichtli nearen Systemgleichungen arbeitet und der das Prinzip zugrunde liegt die Trajektorien systemge recht zu planen Es wird gleichzeitig f r den Systemausgang y und f r die Zustandsgr en des autonomen Teilsystems z eine Trajektorienplanung vorgenommen die sowohl y als auch z in einer gegebenen Zeit von einem Zustand in einen anderen Zustand berf hrt Das Vorgehen wird n Abel u a 2008 Hagemeyer und Zeitz 2004 Graichen u a 2005 Zeitz u a 2005 Graichen und Zeitz 2006 ausf hrlich und hier nur zusammengefasst vorgestellt Ausgangspunkt ist die Sys temgleichungen in der Byrnes Isidori Normalform mit der inversen der Ein Ausgangsdynamik Gln 6 1 11 und mit der internen Dynamik 6 1 12
131. bration Derivative Input Shaping Singhose u a 1994b Pao und Singhose 1995 Pao 1996 Pao und Singhose 1996 Pao und Lau 2000 e fur die Zeitdauer der Impulsfolge e fur die Begrenzung der Stellamplituden und e f r die verbleibende Abweichung von der Solltrajektorie formuliert Singhose u a 1996b W hrend die ersten vier Randbedingungen darauf abzielen durch die Faltung mit der Impulsfolge bei gegebenen Aktuatorleistungen m glichst kleine Abwei chungsbewegungen z B von der Starrk rperbewegung zu erhalten stellt die letzte Randbedin gung sicher dass die aus der Faltung der urspr ngliche Trajektorie f t mit der Impulsfolge g t hervorgegangene ver nderte Trajektorie h t ebenfalls geeignet ist die gew nschte Trajektorie z B Starrkorperbewegung zu realisieren Singhose und Pao 1997 Zur Losung der Randwert aufgabe werden G tekriterien ben tigt die die Einhaltung der Randbedingungen beschreiben In Pao u a 1997 Kozak u a 2006 und Chen u a 2006 werden geeignete G tekriterien erl utert Die Formulierung der Randwertaufgabe erfolgt in lteren Arbeiten auf Basis des gesteuerten Sys tems S e kann aber auch f r geregelte Systeme formuliert werden so dass das Input Shap ng d h die Trajektorienplanung und der Regelungsentwurf integrativ vorgenommen werden k nnen Dies 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 149 wird beispielsweise in Kapila u a 2000 und Kenison und Singhose
132. bsbewegung eine ungleichf rmige Abtriebsbewegung zu erzeugen oder umgekehrt e um aufgrund der Zwangl ufigkeit von geschlossenen kinematischen Ketten mit nur einem Antrieb eine ebene oder r umliche F hrungsbewegung zu erzeugen e um durch eine parallele Anordnung der angetriebenen Bauteile eine hohe strukturmechani sche Steifigkeit zu realisieren oder e um hohe Kraft bersetzungsverh ltnisse zu erlangen Nockengetriebe Hubkolbenmaschinen Scheibenwischer Parallelkinematiken Pressen und Tief ziehmaschinen mit Kniehebelgetrieben sind Anwendungsbeispiele f r die Ausnutzung der Vorteile von ungleichm ig bersetzenden Getrieben F r die schwingungsarme Auslegung des mechatroni schen Gesamtsystems sind die kinematischen und dynamischen Eigenschaften der ungleichm ig bersetzenden Getriebe von Bedeutung und m ssen daher mathematisch beschrieben werden Dazu werden die Getriebe in diesem Abschnitt als Starrk rpersysteme betrachtet Ein Starrk rpersystem stellt ein zwangl ufiges System massebehafteter starrer K rper dar dessen Bewegung bei gegebener Antriebsbewegung aufgrund holonomer Zwangsbedingungen eindeutig bestimmt ist Durch ver nderbare kinematische Abmessungen k nnen die Getriebe an unterschied liche Bewegungsaufgaben angepasst werden Russel und Sodhi 2005 Die Starrk rpermodellie rung ist eine vergleichsweise einfache Form zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Getrieben und ausreichend wenn die
133. bung und Montage In VDI VDE Hg GMA Kongress 2005 Auto mation als interdisziplindre Herausforderung Dusseldorf VDI Verlag 2005 S 243 2535 Lawrence u a 2005 Lawrence J Singhose W Hekman K Friction Compensating Com mand Shaping for Vibration Reduction In Journal of Vibration and Acoustics vol 127 ssue 4 2005 S 307 314 Lenzen 1994 Lenzen A Singul rwertzerlegung und Systemidentifikation In Mitteilungen aus dem Institut f r Mechanik Ruhr Universit t Bochum Heft 94 Bochum Institut f r Mechanik 1994 S 2 12 Lerch 2007 Lerch R Elektrische Messtechnik analoge digitale und computergest tzte Verfahren Berlin Springer Verlag 2007 Li u a 2000 Li Q Tso S K Zhang W J Improving motion tracking of closed loop mechanisms using mass redistribution In Mechanism and Machine Theory vol 35 2000 S 1033 1045 Li u a 2001 Li Q Zhang W J Chen L Design for Control A Concurrent Engineering Approach for Mechatronic Systems Design In Transactions on Mechatronics vol 6 no 2 2001 S 161 170 Li und Romer 2005 Li W Y Romer S Entwicklung von Verfahren und Komponenten zur Funktionspriifung und Erzeugnisoptimierung von Sondermaschinen durch Hardware in the Loop Simulation In Mechatronik 2005 Innovative Produktentwick lung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 403 426 Li u a 2006 Li Y Q Marcassa F Horowitz R Oboe R Evans R
134. bungsger te und Industrieroboter Berlin Beuth Verlag 1995 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 196 VDI 1996 VDI n n Richtlinie VDI 2728 L sung von Bewegungsaufgaben mit symmetri schen Koppelkurvengetrieben Ubertragungsaufgaben Blatt 1 Berlin Beuth Verlag 1996 VDI 1997 VDI n n Richtlinie VDI 2222 Konstruktionsmethodik Methodisches Entwickeln von L sungsprinzipien Berlin Beuth Verlag 1997 VDI 1999a VDI n n Richtlinie VDI 2740 Blatt 3 Mechanische Einrichtungen in der Hand habungstechnik Getriebe zur Erzeugung zeitweiliger Synchronbewegungen Berlin Beuth Verlag 1999 VDI 1999b VDI n n Richtlinie VDI 2740 Mechanische Einrichtungen in der Automatisie rungstechnik Getriebe zur Erzeugung zeitweiliger Synchronbewegungen Blatt 3 Berlin Beuth Verlag 1999 VDI 1999c VDI n n Richtlinie VDI 2149 Getriebedynamik Starrk rpermechanismen Berlin Beuth Verlag 1999 VDI 2002 VDI n n Richtlinie VDI 2740 Blatt 2 Mechanische Einrichtungen in der Hand habungstechnik F hrungsgetriebe Berlin Beuth Verlag 2002 VDI 2004a VDI n n Richtlinie VDI 2741 Kurvengetriebe f r Punkt und Ebenenf hrung Berlin Beuth Verlag 2004 VDI 2004b VDI n n Richtlinie VDI 2206 Entwicklungsmethodik f r mechatronische Sys teme Berlin Beuth Verlag 2004 Vogel 1985 Vogel J Grundlagen der elektrischen Antriebstechnik mit Berechnungsbeispie len 3 Auflage Heidelberg H thig Ve
135. c Passive Damping Enhancement In Proceedings of Dam ping Paper No GBA 1 San Diego 1991 Edelmann 1961 Edelmann H Die Berechnung von Impedanz Admittanz und gemischten Matrizen f r besondere Klemmenpaare eines Netzes In Archiv fiir Elektrotech nik Ausg 46 Nr 5 1961 S 325 336 Eicker 2000 Eicker C Toleranz und Gelenkspieluntersuchungen an mehrgliedrigen ebenen Punkt F hrungsgetrieben Dissertation Aachen Institut f r Getriebetechnik und Ma schinendynamik RWTH 2000 Enge und Mai er 2000 Enge O MaiBer P Virtuelles Prototyping elektromechanischer Systeme In Institutsreport 6 00 DFG Sonderforschungsbereiches 379 Mikrome chanische Sensor und Aktorarrays Chemnitz Institut f r Mechatronik e V TU Chemnitz 2000 Enge und Mai er 2003 Enge O MaiBer P Investigation of a micro electromechanical bandpassfilter based on a tongue array In Gesser T Hg Annual Report 2003 Center for Microtechnologies ZfM Chemnitz ZfM 2003 Epureanu und Hashmi 2006 Epureanu B I Hashmi A Parameter Reconstruction Based on Sensivity Vector Fields In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 6 2006 S 732 740 Erdman und Sandor 1972 Erdman A G Sandor G N A General Method of Kineto elastodynamic analysis and synthesis of mechanisms In ASME Hg Journal for Engineering Industry vol 94 1972 S 1193 1205 Erdman 1993 Erdman A G Modern
136. ch die strukturellen Systemeigenschaften sich andern Dadurch verandern sich die algebraischen Systemgleichungen und es liegt gegebenenfalls sogar eine neue Systemklasse vor Strukturwechsel treten beispielsweise bei Malteserkreuzgetrieben und anderen Schrittgetrieben oder bei Freilaufen und einseitigen Kontakten die sich wahrend des Pro zesses ffnen und schlie en auf Sie bedeuten eine Unstetigkeit die unter anderem bei Reglern zu Stabilit tsproblemen f hren kann wenn sie bei der Reglerauslegung nicht angemessen ber cksich tigt wird s Abschnitt 6 2 2 Strukturwechsel sind bei den hier betrachteten Bewegungssystemen insgesamt eher selten zu finden und werden daher nur am Rande betrachtet Singulare Stellungen k nnen hingegen bei der Mehrzahl der Getriebestrukturen existieren Das tats chliche Auftreten der Singularit ten st aber n cht allein von der Struktur sondern auch von den kinematischen Parametern abh ngig Die Existenz von singularen Stellungen ist insbesondere beim Entwurf von Ma nahmen zur aktiven Schwingungsminderung Abschnitt 6 2 und bei der Trajekto rienplanung Abschnitt 7 1 bedeutsam Hier wird ein zus tzlicher Aufwand notwendig um das System durch Singularitaten hindurch zu f hren und einige Minderungsma nahmen verlieren in den s ngul ren Stellungen ihre Wirksamkeit Daher muss die kinematische Struktur in diesem Fall und auch in anderen Entwurfsphasen wenn z B die dynamischen Anforderungen an den Antrie
137. chaften muss gew hrleistet werden dass die verformungsbedingten Ab weichungen von der Linearisierungstrajektorie im Betrieb nicht zu gro werden so dass die Line ar sierung g ltig bleibt Abschnitt 4 2 Dar ber hinaus muss den singularen Stellungen Beachtung geschenkt werden Singulare Stellungen f hren insbesondere bei inversionsbasierten Ma nahmen zur Schwingungsminderung zu Problemen Beispiele f r diese Ma nahmen sind die Trajekto rienplanung Abschnitt 8 1 und die St rgr enkompensation Abschnitt 6 2 1 Im Bereich um diese Stellungen herum zeigen die berechneten Kraft oder Bewegungsverl ufe h ufig Polstellen so dass das System durch eine geeignete bergangsfunktion durch die singul re Stellung hindurch gef hrt werden muss Dadurch geht allerdings die Wirksamkeit der Minderungsma nahme in die sem Bereich verloren Die Existenz von singularen Stellungen s Abschnitt 3 2 ist eine strukturelle Eigenschaft der Getriebe die aber zugleich von den kinematischen Abmessungsparametern ab h ngt Sie kann daher durch eine Ver nderung der kinematischen Struktur s Abschnitt 3 3 oder der kinematischen Abmessungen s Abschnitt 3 4 beeinflusst werden und gegebenenfalls n g ns tigere Bewegungsabschnitte verlegt werden Abschlie end ist anzumerken dass die obige Ausf hrung nur einige wichtige Wechselwirkungen zwischen den Komponenten von Bewegungssystemen mit ungleichm ig bersetzenden Getrieben umfasst Die Wechselwirk
138. chaften z hlen kine tostatische und dynamische Systemeigenschaften Hier sind unter anderem e die Gr e und der Zeitverlauf der kinetostatischen Bauteil und Gestellanregungen 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 55 e die Gr e und der Zeitverlauf der Belastung der Antriebe und e das station re Schwingungsverhalten aufgrund periodischer Anregung zu nennen Die Gestaltung dieser Eigenschaften kann wiederum auf die Ermittlung bestimmter Systemparameter zur ckgef hrt werden Die Ma nahmen zur pass ven Schwingungsminderung k nnen daher nach der Art der Bauteilparameter die dabe festgelegt werden unterschieden wer den Sie umfassen unter anderem die Dimensionierung der Bauteilmassen und der Massentrag heitsmomente Diese Ma nahmen wurden m Abschnitt 3 5 bereits beschrieben Weitere Ma nah men die auch die Bestimmung der Feder und Dampfereigenschaften der Bauteile einbeziehen k nnen aus der im Abschnitt 4 2 beschriebenen Analyse der _linearisierten Bewegungsgleichung 4 2 8 abgeleitet werden Diese Ma nahmen werden m Abschnitt 4 4 1 beschrieben Im Anschluss daran wird erl utert wie auch die kinematischen Abmessungen ange passt werden k nnen um die Auswirkung der elastischen Bauteildeformationen zu minimieren Abschnitt 4 4 2 und um die Anregung durch das ungleichm ig bersetzende Verhalten des Ge triebes zu minimieren Abschnitt 4 4 3 Erg nzend wird sp ter im Abschnitt 5 noch kurz auf den Eins
139. chen Systemmodelle und werden f r viele Auslegungsschritte bei der Synthese mechatronischer Systeme ben tigt Die Er 3 2 Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen 14 mittlung der ben tigten kinematischen bertragungsfunktionen wurde in dieser Arbeit mit dem Computer Algebra Programm MAPLE in symbolischer Form automatisiert durchgef hrt Es wurde ein standardisierter Algorithmus der auf der kombinierten Verwendung der Hartenberg Denavit Notation Hartenberg und Denavit 1964 und homogener Koordinaten Carbone u a 2006 beim Aufstellen und L sen von Maschengleichungen basiert implementiert Ein Vorteil dieses Vorge hens ist die bertragbarkeit auf r umliche Getriebe Neben der bertragungsfunktion selbst finden auch hre partiellen Ableitungen nach der Lagegr e q Eingang in die Systemgleichungen U q a U gq PU A U q BIC 3 2 4 dq 3 Ula q Diese Ableitungen werden als Ubertragungsfunktion erster zweiter dritter etc Ordnung bezeich net bertragungsfunktionen bilden die zentrale Nichtlinearit t des Systems ab Daher wird ihnen bei vielen Entwurfsschritten eine besondere Bedeutung zukommen Beispielsweise kann das Errei chen von singul ren Stellungen die weiter unten noch erl utert werden anhand der Nullstellen bestimmter bertragungsfunktionen erster Ordnung identifiziert werden Diese Eigenschaft wird ausgenutzt um singul re Stellungen bei der St rgr enaufschaltung Abschnit
140. chungen kann sinngem vorgegangen werden um die unterschiedlichen Teilsysteme zu koppeln Oft ist vor der Modellierung einzelner Teilsysteme eine Absch tzung ob relevante Wechselwirkun gen auftreten k nnen als Entscheidungsgrundlage f r die notwendige Modellierungstiefe erforder lich Die Absch tzung ist anhand der Zeitkonstanten die f r das dynamische Verhalten der Teilsys teme charakteristisch sind m glich Liegen bei zwei Teilsystemen Zeitkonstanten von gleicher Gr enordnung vor so sind Wechselwirkungen zwischen diesen beiden Teilsystemen wahrschein lich Die Zeitkonstanten Ty 2 ms und Ty 10 ms der Drehzahlregelung in den Gln 5 1 7 und 5 1 8 sind von hnlicher Gr enordnung wie die Periodendauer ca 70 ms der Eigenschwingung der elastischen Schwinge Eine Wechselwirkung zwischen der Drehzahlregelung und der elasti schen Schwinge ist nicht auszuschlie en Die Zeitkonstanten der Stromregelung in Gl 5 1 10 und des Motors in Bild 5 1 2 sind hingegen um 2 bzw 4 Gr enordnungen kleiner Entsprechend des Amplitudenfrequenzgangs des elastomechanischen Teilsystems werden dynamische Effekte auf grund der Stromregelung und des Motors nur in sehr abgeschw chter Form auf die Prozesstrajekto rie bertragen Sie sind bei der Betriebsschwingungsanalyse am Pr fstand in der gemessenen Ab triebsbewegung in Bild 4 3 6 nicht sichtbar Bei dem Beispielsystem muss daher nur die Drehzahl regelung in der Simulation ber cksic
141. cke und einer Werkzeugkette hierf r Diese werden m Abschnitt 6 1 dargestellt und erlauben es d e n dieser Arbeit vorgestellten Berech nungsmethoden auf eine Vielzahl von Bewegungssystemen zu bertragen und automatisiert durch f hren Die Grundlagen zu den Regelungsstrukturen und zu den Reglerentwurfsverfahren sind in den ein schl gigen Lehrb chern sehr gut beschrieben F r den Einstieg s nd F llinger 1993 und F llinger 1994 besonders zu empfehlen Die Schreibweise im Ingenieursstil erleichtert den Zugang und das Verst ndnis der theoretischen Materie Unbehauen 1992 stellt in seinem Buch viele Ausle gungsverfahren sehr bersichtlich zusammen Leser die mit der Matrizenalgebra vertraut sind finden in Konigorski 2003a Konigorski 2003b und Konigorski 2003c eine sehr kompakte Zusammenstellung der Theorie wobei Konigorski sich oft auf F llinger und Unbehauen bezieht Wendt und Lutz 2002 haben ein Kompendium der Regelungstechnik zusammengestellt das sehr gut den Stand der Technik repr sentiert In Abel u a 2008 sind neben den Grundlagen der Rege lungstechnik vor allem auch viele moderne und praxisorientierte Regelungserfahren zusammenge stellt Voraussetzung f r das Verst ndnis ist allerdings Grundwissen in der Regelungstechnik Dar ber hinaus existieren zahlreiche weitere gute Ver ffentlichungen die hier nicht alle genannt werden k nnen Die Grundlagen werden in diesem Kapitel nur soweit aufbereitet
142. d statischer Kr fte betrachtet so dass nur die Steifigkeitseigenschaften des Systems ber cksichtigt werden m ssen F r ein System mit statischem Verhalten wird durch das Kondensationsverfahren ein Modell erzeugt dass nur die Bewegung bestimmter interessierender Freiheitsgrade nicht aber die Bewegung der restlichen Freiheitsgrade beschreibt Die Freiheitsgrade des kondensierten Mo dells werden m Folgenden als kondensierte Freiheitsgrade bezeichnet Kondensationsverfahren s nd auch f r Substrukturen die sich zu einer komplexeren Struktur zusammensetzen anwendbar Die Substrukturtechnik wurde entwickelt um gro e elektrische oder mechanische Systeme n be herrschbare Teilsystem zu zerlegen Edelmann 1961 Rubin 1967 Bei der Modellkondensation wird das Gesamtsystem dazu n Subsysteme aufgeteilt und die Bewegungen der Knoten n den Schnittstellen der Subsysteme werden erg nzend zu weiteren interessierenden Freiheitsgraden als kondensierte Freiheitsgrade f r das Teilsystem verwendet Das dynamische Verhalten eines Systems wird durch die Eigenwerte und Eigenformen des Systems charakterisiert Im Hinblick auf das dynamische Systemverhalten st bei der Kondensation zus tz lich zu ber cksichtigen dass Massenkr fte und andere innere Effekte des Systems geschwindig keits oder beschleunigungsabhangig sind In Schwarz 1980 wird ein Verfahren zur exakten dy namischen Kondensation beschrieben das die Massenkr fte ber cksichtigt Es
143. den bekannten Parametern geschrieben werden kann X A 0 X B X B Rp Dpj RpiBpij Cpr C Ww 6 2 25 XR Bp 0 XR 0 E XR 0 E XG AG XG BG XG BG Mg Der Gl 6 2 25 sind die Berechnungsvorschriften f r die Ausgangsmatrizen zur Bestimmung der Reglerparameter in der dritten Spalte von Tabelle 6 2 1 entnommen Abschlie end sei noch einmal darauf hingewiesen dass auch eine Vielzahl anderer Reglerstruktu ren zur aktiven Schwingungsminderung geeignet ist Caracciolo und Trevisani 2001 implementie ren beispielsweise eine Mehrebenen Mehrschichten Regelungen aus zwei unabh ngigen Reglern f r die Starrk rperbewegung PID Regelung und f r die elastische Verformung Zustandsrege lung eines Bewegungssystems Au erdem wird eine St rgr enkompensation f r Gewichtskr fte vorgenommen In Karkoub und Zribi 2000 wird der Hauptantrieb einer Schubkurbel mit elasti scher Koppel als Stellglied verwendet Dort w rd eine kombinierte Regelung mit einem PD Regler und einem neuronalen Netz umgesetzt In Karkoub und Zribi 2001 wird f r das gleiche System ein energiebasierter Ansatz f r eine Regelung umgesetzt Es wird ein modales Modell der Koppel verwendet wobei die Anzahl der modellierten Schwingungsformen zu einem autonomen Teilsys tem mit entsprechender Dimension f hren In Henrichfreise und Jusseit 2001 findet sich ein einfa ches Beispiel f r eine modellpr diktive Regelung eines elastischen reibungsbehafteten Sy
144. den kinemati schen Abmessungen kann nach Gl 3 2 6 algebraisch ermittelt werden Die algebraischen Zusam menh nge bilden den Ausgangspunkt um m Rahmen eines Leistungsausgleichs nach der VDI Richtlinie 2149 VDI 1999c ein m glichst kleines Spitzenmoment oder ein wenig schwankendes Antriebsmoment zu erhalten Zhang und Li 1999 und Li u a 2000 optimieren die Masseparame ter eines Kurbelgetriebes um die dynamischen Eigenschaften des Mechanismus auf den PD drehzahlgeregelten Antrieb abzustimmen In Ouyang und Zhang 2005 wird das reduzierte Mas sentr gheitsmoment eines funfgliedrigen Handhabungsger ts durch eine Ver nderung der Massen und Schwerpunktslagen vergleichm igt Dieses Vorgehen hat jedoch den Nachteil dass die be wegten Bauteilmassen und damit auch die kinetostatischen Belastungen der Bauteile erheblich vergr ert werden Mit einer erh hten kinetostatischen Bauteilbelastung geht eine gr ere Defor mation elastischer Bauteile einher Daher f hren Yu und Lin 2003 statt zus tzlicher Massen einen zus tzlichen Stellmotor in dem abtriebsseitigen Gelenk B einer Kurbelschwinge mit elastischen Bauteilen ein um die Wirkung der Massenkr fte auf die elastischen Bauteile zu reduzieren Dieses Vorgehen f hrt allerdings bei dem Zusatzmotor naturgem zu einem Stellmoment das mit dem erforderlichen Moment eines Direktantriebs vergleichbar st Die Zielsetzung der Verringerung der Auswirkung von Bauteildeformationen
145. der Arbeit Friedmann u a 1977 liegt darauf effiziente numerische Berechnungsverfahren f r T 0 zu entwickeln Diese bas eren darauf die periodischen Koeffizienten der Systemmatrix A t durch abschnittsweise kon stante Stufenfunktionen anzun hern Um die numerische Integration bei der L sung des Glei chungssystems 6 2 53 zu umgehen werden die periodischen Koeffizienten der Systemmatrix t 0 in Sinha u a 1993 durch Chebysheff Polynome angen hert Dies bringt erhebliche nume rische Vorteile mit sich da in diesem Fall lediglich ein lineares Gleichungssystem gel st werden muss um C aus der berf hrungsmatrix t t zu bestimmen Die berf hrungsmatrix t tg wurde im Abschnitt 4 2 bereits f r die Bestimmung der station ren Schwingungsantwort verwendet Dort war anders als in Gl 6 2 54 f r die Berechnung von t t keine explizite Bestimmung der Lyapunov Floquet Transformationsmatrix L t notwendig Allerdings zeigte sich dass aus 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 134 numerischen Gr nden ein Chebysheff Polynom mit 126 Koeffizienten notwendig war um die Zeitverl ufe der Zust nde bzw den Verlauf von t t ber eine vollst ndige Periode ausrei chend genau zu beschreiben Die Matrix L t kann aber bei Bedarf durch Umformung von Gl 6 2 54 explizit aus der Matrix t 0 die mit Chebysheff Polynomen angen hert wurde ermittelt werden L t t tg e t Leto 6 2 6
146. der Modellparameter 48 0 04 rad DMS Drehgeber 0 50 100 150 200 250 300 350 Hz 400 Bild 4 3 2 Zeitverlauf des Biegewinkels und Frequenzanteile beim Ausschwingversuch In Messergebnissen sind im Allgemeinen immer Anteile zu finden die in den Simulationsergebnis sen nicht vorhanden sind Sind diese Anteile f r die Qualit t der Abtriebsbewegung des Systems relevant so muss das Modell um zus tzliche Effekte erweitert werden Am Getriebepr fstand ist beispielsweise eine deutliche Schwankung der Antriebsdrehzahl zu sehen Daher wird im Modell f r alle nachfolgend behandelten Simulationen die Drehzahlregelung des Pr fstands nachgebildet vgl Abschnitt 5 1 Bei dem Beispielgetriebe werden au erdem zwei bisher noch nicht modellierte Effekte die das dynamische Verhalten des Abtriebs m glicherweise beeinflussen untersucht das Spiel m Planetengetriebe zwischen Motor und Kurbel Laut Hersteller maximal 0 2 und die Reibung in den Lagern Um das Spiel im Planetengetriebe zu simulieren wurde zwischen dem Rotortr gheitsmoment und der Kurbel eine Torsionsfeder cco vgl Bild 4 2 1 mit progressiver Federkennlinie implementiert In Bild 4 3 3 sind die Winkelabweichungen y2 im Planetengetriebe und y4 am Abtrieb fur eine Simulation mit dem Balkenmodell dargestellt Dabei hat das System nach dem Hochlaufvorgang ab dem Zeitpunkt 1 s eine Antriebsfrequenz von 0 9 Hz erreicht Aufgrund des Spiels wird am Ant
147. der Technik In Hadwich 1998 findet sich eine sehr gute Darstellung wie das Prinzip der virtuel len Arbeit zur Modellierung konzentriert parametrischer Systeme verwendet werden kann um eine mathematische Beschreibung in symbolischer Form zu erhalten Dieses Prinzip kann sehr gut mit Computer Algebra Programmen wie MAPLE oder MathCad umgesetzt und automatisiert werden Hahn 2005 Computer Algebra Programme gewinnen auch eine wachsende Bedeutung f r die modellbasierte Reglerauslegung Karampetakis und Vardulak s 2006 Viele der sp ter noch vorge stellten Berechnungs und Auslegungsschritte setzen voraus dass ein mathematisches Modell des mechatronischen Systems in Form von symbolischen Gleichungen bekannt ist Einige basieren auf der unmittelbaren Manipulation algebraischer Gleichungen w hrend bei anderen die Gleichungen numerisch gel st werden m ssen Die Verfahren unterscheiden sich nicht nur in der Repr sentati onsform der Systeme sondern auch in der notwendigen oder sinnvollen Modellierungstiefe und in der Art und Weise wie das System behandelt wird Zurzeit existiert aber keine Software die alle Repr sentationsformen Modellierungsmethoden und Verfahrensweisen unterst tzt Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll mehrere Modelle des Systems in unterschiedlichen Programmen zu erstellen und eine m glichst durchg ngige Werkzeugkette aufzubauen Die Wahl der Programme h ngt nicht nur von den technischen Anforderungen sondern auch von d
148. derungen im Hinblick auf Linea rit t St runempfindlichkeit Temperaturverhalten Totzeit Aufl sung bertragungsrate usw ausreichend gut erf llt werden k nnen die Sensoren als idealisierte Komponente angesehen wer den Tr nkler 1992 In den F llen wo dies nicht gegeben ist muss der Sensor als eigenst ndige dynamische Komponente des mechatronischen Systems ber cksichtigt werden M hl 2008 und Niebuhr und Lindner 2002 Bei dem Pr fstand bereitet beispielsweise der wert und zeitdiskrete Charakter der Drehgebersignale Schwierigkeiten wenn anspruchsvolle Regelungskonzepte wie die Zustandsregelung in Abschn 6 2 2 umgesetzt werden Die mit 8192 Inkrementen pro Umdrehung zwar hohe aber dennoch zu geringe Aufl sung der Drehgeber f hrt dazu dass selbst bei Maximal drehzahl mehrere Abtastintervalle vergehen bevor die Drehgeberinkremente sich um Eins erh hen Dadurch ist ein diskretes Differenzieren dieser Signale nicht m glich Daher wurde in Simulink eine spezifische Interpolation zur Aufbereitung des Drehgebersignals umgesetzt Bild 5 5 1 Aus der Zeit die zwischen zwei Inkrementenspr ngen vergeht wird die mittlere Winkelgeschwindigkeit f r dieses Intervall berechnet und bis zum n chsten Inkrementensprung extrapoliert Alte Srpungh he Bild 5 5 1 Interpolation des Drehgebersignals 5 5 Prozessbaustein Auslegung der Sensoren und der Messkette 88 Neben den Eigenschaften der einzelnen Sensoren m ssen auch die Eigen
149. die Rechnung ein Die Stellgr enbeschr nkung darf dabei nicht als unveranderbare Randbedingung angesehen werden Die Stellgr enanforderungen durch die Vorsteuerung und die Stellgr enbe schr nkung durch den Motor k nnen namlich durch ein iteratives Durchlaufen der Prozessbausteine Dimensionierung der Antriebe Abschnitt 5 3 und Vorsteuerungsentwurf Abschnitt 7 1 aufeinan der abgestimmt werden Nat rlich muss bei der Trajektorienplanung und beim Vorsteuerungsent wurf auch der Zusammenhang mit den Eigenschaften des mechanischen Systemteils beachtet wer 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 167 den Der auszuregelnde Fehler im Systemausgang enth lt h ufig gro e Schwingungsanteile mit der Eigenfrequenz des mechanischen Systemteils Die Eigenfrequenzen schlagen sich beim inversions basierten Vorsteuerungsentwurf Abschnitt 7 1 au erdem in den geplanten Trajektorien nieder Daher muss bei der Antriebsdimensionierung Abschnitt 5 3 darauf geachtet werden dass die Stellantriebe diese Frequenzen realisieren k nnen und keine st renden Wechselwirkungen auftreten Abschnitt 5 2 und 5 4 Umgekehrt ist auch die Anpassung der Eigenfrequenzen des mechanischen Systemteils an die Antriebe und an die Regelung m glich s Abschnitt 4 4 1 Zielsetzung ist es dabei eine gegenseitige Anregung zu vermeiden s Abschnitt 6 2 3 Zus tzlich kann durch eine g nstige Gestaltung der Eigenformen erreicht werden dass an einzelnen Eigenformen nahezu aus
150. dlich viele Schwingungsformen als L sung der partiellen Differentialgleichungen berechnet werden Durch eine Idealisierung und Auswahl der relevanten Schwingungsformen k nnen die partiellen Differentialgleichungen in gew hnliche Differentialgleichungen berf hrt werden Gasch und Knothe 1989 Die Auswahl der relevanten Eigenschwingungsformen kann intuitiv oder wie weiter unten beschrieben auch formell durch eine Modellkondensation erfolgen Stabf rmige Kontinuumschwinger k nnen unter Vernachl ssigung der Scherdeformation und der Massentr gheitsmomente der Balkenelemente als Euler Bernoulli Balken Schuller 1995 oder ohne diese Vernachl ssigung als Timoshenko Balken Gasch und Knothe 1989 Timoshenko u a 1974 modelliert werden Weitergehende Theorien ber cksichti gen au erdem Querkontraktionseffekte In der Literatur bersicht Dwivedy und Eberhard 2006 ist eine Vielzahl von Literaturstellen mit Beispielen f r Balkenf rmige Bauteile mit unterschiedlichen Randbedingungen und Anregungen zusammengestellt Als Alternative zur Verwendung von Ti moshenko Balken und anderen vereinfachten Ersatzmodellen mit elastischen Freiheitsgraden wird in Dado 2005 die Verwendung von Starrk rpermodellen mit veranderlichen kinematischen Ab messungen vorgeschlagen Die kinematischen Abmessungen werden als Funktion des Antriebswin kels so berechnet dass die restlichen Getriebeglieder die gleiche Bewegung vollfuhren als ware ein 4 1 Prozessbaustein
151. dynamische Verhalten nicht mehr gen gen Wendt und Lutz 2002 Die Vorteile kommen m Allgemeinen nur dann zum tragen wenn genaue mathematische Modelle der Strecke Bewegungssystem bekannt oder durch Parametersch tzverfahren bestimmbar sind Das Vorgehen zur Erstellung und zur Verifikation der algebraischen Systemmodelle wurde im Abschnitt 4 2 und im Kapitel 5 bereits erl utert Durch die Anwendung geeigneter Softwarewerkzeuge k nnen zumeist ausreichend genaue Modelle erstellt werden so dass nur bei Anwendungen mit unbekannten Systembestandteilen wie z B unbekann ten Massen die von dem Bewegungssystem transportiert werden auf Verfahren zur Parameteriden tifikation zur ckgegriffen werden muss In diesen F llen kann beispielsweise der 1m vorherigen Abschnitt beschriebene St rgr enbeobachter zur Parameteridentifikation eingesetzt werden Die zeitvar anten linearen Zustandsgleichungen der Bewegungssysteme beschreiben die zeitlich ver nderlichen Eigenschaften des zu regelnden Systems Daher ist es f r eine gute Regelg te wich tig eine adaptive Regelung zu entwerfen Isermann 1987 teilt die Adaptionsalgorithmen zur An passung der Reglerparameter in zwei Gruppen ein Adaptionsalgorithmen auf Basis eines Refe renzmodells MRAS Model Reference Adaptive System oder auf Basis eines Identifikationsmo dells MIAS Model Identification Adaptive System des Systems Aus der Abweichung des tat s chlichen Fuhrungsverhaltens der Streck
152. e 2003 Maier T Woernle C Flachheitsbasierte Bahnsteuerung von seilgef hrten Handhabungssystemen In at automatisierungstechnik Nr 6 2003 Martins und Guenther 2003 Martins D Guenther R Hierarchical kinematic analysis of robots In Mechanism and Machine Theory vol 38 Issue 6 2003 S 497 518 Mase 1970 Mase G E Theory and Problemsof Continuum Mechanics USA New York Mc Graw Hill Inc 1970 Matthes und Sch nherr 2000 Matthes J Sch nherr J Integration des Bewegungsdesigns f r ebene F hrungsgetriebe in ein CAD System Proceedings of IFToMM 2000 S 445 450 Matthes 2002 Matthes J Systematische Auslegung von Kurvenkoppelgetrieben f r F h rungsbewegungen Dissertation Chemniz Technische Universit t 2002 Meinders 1997 Meinders T Rotordynamik eines elastischen Radsatzes In DFG Zwischen berichtt 1997 Meirovitch 1970 Meirovitch L Methods of Analytical Dynamics USA New York Mc Graw Hill Inc 1970 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 188 Meng u a 2004 Meng C F Zhang C S Lu Y H Shen Z G Optimal design and control of a novel press with an extra motor In Mechanism and Machine The ory vol 39 Issue 8 2004 S 811 818 Merlet 1989 Merlet J P Singular Configurations of Parallel Manipulators and Grassmann Geometry In The International Journal of Robotics Research vol8 No 5 1989 S 45 56 Merten 1999 Merten F w Untersuchungen zu
153. e Literaturstellen zur Auslegung von Tilgern fiir Systeme mit einem und mit mehreren Freiheitsgraden gegeben Ozer und Royston 2005 bertragen eine Me thodik die in Den Hartog 1934 f r die Auslegung von ged mpften Tilgern f r unged mpfte Sys teme mit einem Freiheitsgrad entwickelt wurde auf unged mpfte Systeme mit mehreren Freiheits 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 58 graden Ziel ist es dabei die Schwingungsantwort in einem der Freiheitsgrade des Systems f r ein breites Spektrum von Anregungsfrequenzen zu minimieren Bei dem Verfahren wird ausgenutzt dass in der dynamischen bertragungsfunktion Amplitudenfrequenzgang zwei Punkte existieren bei denen die Amplituden jeweils unabh ngig von der D mpfung des Tilgers sind Die beiden Frequenzen bei denen diese Invarianz der Amplituden zu beobachten ist h ngen von der Steifig keit des Tilgers ab Im ersten Schritt wird die optimale Steifigkeit des Tilgers so bestimmt dass die Amplituden bei eben diesen beiden Frequenzen gleich gro sind Im zweiten Schritt werden optima le D mpfungsparameter berechnet indem die partielle Ableitung der dynamischen bertragungs funktion f r diese beiden Frequenzen nach der Anregungsfrequenz zu Null gesetzt wird In Filipovic u a 1996 wird ein adaptiver Tilger f r ein Mehrfreiheitsgradsystem ausgelegt Das Adaptionsgesetz wird aus Tilgungsbedingungen die mit Hilfe der Frequenzgangmatr x berechnet werden abgeleitet In Amb
154. e entscheidende Bedeutung f r den Aufwand bei der Auslegung von Ma nahmen zur Schwingungsminderung f r elastizitatsbehaftete Systeme haben Als Beispiel ist hier der Entwurf von Regelungen zur aktiven Schwingungsminderung Abschnitt 6 2 3 zu nen nen F r k gt 1 werden gegebenenfalls Zusatzaktuatoren notwendig um die Steuerbarkeit des elasti zitatsbehafteten Systems zu gew hrleisten Zun chst werden jedoch reine Starrk rpersysteme be trachtet Bei diesen Systemen kann jede einzelne Komponente y des Ausgangsvektors y in der Eingangsgr e q parametriert werden Damit st q eine geeignete Gr e um den dynamischen Freiheitsgrad des Systems zu beschreiben und wird als Lagegr e bezeichnet Dresig und Rock hausen 2002 Die funktionale Abh ngigkeit einzelner Ausgangsgr en y q yi U q ke 1 2 3 45 6 3 2 2 wird in der Getriebetechnik als Ubertragungsfunktion oder Lagefunktion bezeichnet Volmer u a 1995 Eine Lage bzw Ubertragungsfunktion U q beschreibt allgemein die rein geometrische Abhangigkeit eines Wegs oder Winkels von einer oder mehreren LagegroBen Die Ausgangstrajek torie y t ist aufgrund der Parametrierung in q durch die Eingangstrajektorie q t eindeutig festge legt y t y q t Die Ausgangstrajektorie soll der gew nschten Prozesstrajektorie entsprechen In den beiden nachfolgenden Abschnitten 3 3 und 3 4 wird beschrieben mit welchen Methoden ein Getriebe gefunden werden kann bei dem die Menge Yc RK
155. e gestaltet werden Auf letzteres wird in diesem Ab schnitt eingegangen w hrend die zuvor genannten strukturellen Entscheidungen im Abschnitt 7 2 im Kontext des mechatronischen Gesamtsystems behandelt werden In der Praxis hat sich die Ver wendung von Vorsteuerungen zur Linearisierung des Systemverhaltens kombiniert mit linearen Regelungen etabliert Prinzipiell ist aber auch die Verwendung von nichtlinearen Regelungen und Sonderformen von Reglern denkbar Darauf soll aber an dieser Stelle n cht n her eingegangen werden denn bei den betrachteten Bewegungssystemen liegt mit der Systembeschreibung in Bru novsky Form der Byrnes Isidori Normalform oder als linearisierte zeitvariante Zustandsgleichung ein geeignetes Referenzmodell vor um eine lineare Regelung fur das System auszulegen Bei Ver wendung der linearisierten Zustandsgleichung ist zu beachten dass die unkompensierten St rgr Ben nicht zu gro werden M gliche Strukturen f r lineare Zustandsregler werden weiter hinten in diesem Abschnitt beschrieben Zustandsregelungen arbeiten im Gegensatz zu den klassischen Methoden der Regelungstechnik nicht im Frequenz sondern 1m Zeitbereich Direkte Methode Der Vorteil der Zustandsregelung liegt darin dass auch nichtlineare und zeitvar ante Systeme oder Systeme mit mehreren Ein und Ausgangsgr en gut geregelt werden k nnen Sie k nnen auch dann eingesetzt werden wenn einschleifige oder Kaskadenreglungen den hohen Anforderungen an das
156. e mit elastischen Gliedern angewendet Anzumerken ist noch dass die empirische Stabilitatsuntersuchung durch Simulation bei linearen und bei nichtlinearen Systemen h ufig eine pragmatische Alternative zum symbolischen Vorgehen darstellt Die dabei getroffenen Stabilitatsaussagen konnen allerdings nicht verallgemeinert werden sondern gelten nur 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 132 f r die untersuchten Betriebszustande Wenn gro e Modellunsicherheiten vorliegen empfiehlt sich auch eine experimentelle Verifikation der Regelungen Die beiden nichtlinearen Gleichungen 4 2 3 und 4 2 4 s nd zwei Beispiele f r d e Klasse der periodischen nichtlinearen Gleichungssysteme die charakteristisch f r Bewegungssysteme mit ungleichm ig bersetzenden Getrieben und mit konstanter Antriebsgeschwindigkeit sind Bei diesen Systemen sind die Koeffizienten n der Massenmatrix M t und die Koeffizienten in den Vektoren g t und d t aus Gl 4 2 1 periodisch Nach der Linearisierung f hren diese nichtlinea ren Gleichungen auf die linearen zeitvarianten Bewegungsgleichungen 4 2 9 und 4 2 9 mit peri odischen Koeffizientenmatrizen M t P t und Q t Die Zeitvarianz der Koeffizientenmatrizen fuhrt zu einer Parametererregung Zur Stabilitatsuntersuchung bei allgemeinen linearen zeitvarian ten Systemen existieren spezielle Methoden wie z B die Integration der Eigenwerte Ansorge und Oberle 2000 Fur die Untersuchung
157. e von dem gew nschten F hrungsverhalten der Strecke 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 109 k nnen die unbekannten Modell und Reglerparameter f r ein MIAS Modell durch einen Adapti onsalgor thmus berechnet werden Durch die R ckf hrung von inneren Signalen ber den Adapt onsalgorithmus zum Regler entsteht ein geschlossener dem eigentlichen Regler berlagerter Regel kreis In Hu und Vukovich 2001 wird eine solche MIAS Regelung f r einen Roboter mit flexiblen Gelenken entworfen Es handelt sich um eine Mehrschichtregelung bestehend aus einer langsamen Regelung fur die Gelenkkrafte bzw Positionen die auch eine Vorsteuerung auf Basis des Starrk r permodells enth lt und um eine schnelle Regelung f r die Adaption der Modellparameter die insbesondere bei der Aufnahme der Nutzlast wichtig ist Die Realisierung eines MRAS ist weniger aufw ndig Wenn die sich ver ndernden Systemeigenschaften auf Basis von Messsignalen bere chenbar sind und bekannt ist wie die Regelung auf Basis der Messsignale angepasst werden muss kann die Anpassung des Reglers ohne R ckf hrung von inneren Signalen des Regelkreises erfol gen also gesteuert werden Es handelt sich um einen gesteuert adapt ven Regler Isermann 1987 Vielfach verlaufen die zeitlichen Ver nderungen der Systemeigenschaften langsam im Vergleich zu den St rungen die ausgeregelt werden sollen und 1m Vergleich zur Dynamik der Regelung Ist dies gegeben so
158. eb nisse f r einen station ren Betriebszustand bei 1 Hz Antriebsfrequenz n her untersucht In Bild 4 3 4 sind die Winkelabweichungen 1m Zeit und im Frequenzbereich dargestellt Messung u Simulation ohne Spiel Messung u Simulation mit Spiel 0 010 0 010 Fr p d a 0 005 0 005 3 ET 0 000 0 000 Muy Mi Ni 0 005 0 005 ee e 0 010 0 010 1 5 2 2 5 3 tis 3 5 DMS Drehgeber FE Modell Drehg FE Modell Balkenmod 0 002 rad Drehgeber Balkenmodell FE Modell 0 001 0 000 Bild 4 3 4 Winkelabweichung am Abtrieb bei Messung mit DMS und Drehgeber und bei Simulationen mit Modellen ohne Spiel links und mit Spiel rechts und unten 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 50 Im linken oberen Diagramm ist zu erkennen dass die Messgr en von Drehgeber und DMS nahe zu identisch sind da die h herfrequenten Eigenformen die bei der Modalanalyse zu unterschiedli chen Ergebnissen gef hrt hatten vgl Bild 4 3 2 nicht angeregt werden Beide Kurven zeigen deutlich die Biegeeigenschwingungen der Schwinge die dem Verlauf der quas statischen Verfor mung berlagert s nd In dem S mulationsmodell bei dem die Schwinge als FE Modell abgebildet wurde und kein Spiel im Planetengetriebe modelliert ist sind diese Eigenschwingungen kaum ausgepr gt nur die quasistatische Verformung ist zu erkennen Im Gegensatz dazu zeig
159. eff Reihen angen hert werden Die Koeffizienten A i j G j 1 4 der Systemmatrix A t des Gleichungssys tems 4 2 13 wurden durch Chebysheff Reihen mit bekannten Koeffizienten angen hert und die Elemente w i des Zustandsvektors werden durch Chebysheff Reihen mit unbekannten Koeffizien ten ersetzt Die Bestimmung der Chebysheff Koeffizienten a ist in der Regel nur numerisch m g lich In dem Computer Algebra Programm MAPLE existiert ein Befehl zur numerischen Bestim mung der Chebysheff Koeffizienten Die Betr ge der Chebysheff Koeffizienten f r die Chebysheff Reihen zur Ann herung der einzelnen A 1 J sind links in Bild 4 2 2 dargestellt Die G te der Ann herung des tats chlichen Zeitverlaufs der AJ j steigt mit zunehmender Zahl der Koeffizien ten Die Anzahl der erforderlichen Koeffizienten h ngt davon ab wie stark die approximierte Funk tion sich ndert F r die Ann herung der Al j sind weniger Koeffizienten erforderlich als zur Beschreibung der gesuchten Zustandsgr en wii Allerdings ist bei den weiteren Berechnungs 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 43 schritten f r beide Gruppen von Funktionen eine identische Anzahl von Koeffizienten Vorausset zung Da sich bei sp teren Berechungen herausstellt dass f r die Zustandsgr en w i 126 Koeffi z enten erforderlich sind sind in Bild 4 2 2 auch f r die A 1 J die sehr kleinen Koeffizienten h he rer O
160. ehrk rpersimulationsprogrammen wie z B ADAMS in Harmeling und Corves 2004 ALASKA in Gerlach u a 2005 CAMeL in Hahn und Koch 2000 Rustemeier u a 2005 und Liu Henke u a 2000 Dymola in Guserle u a 2005 und Mobile in Hiller und Muller 2000 erlauben durch eine grafische Oberflache eine komfortable Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 8 Modellierung und Variation der kinematischen und dynamischen Eigenschaften der Systeme Sie bieten eine effiziente Unterst tzung f r die Analyse der mechanischen Systeme und gestatten die Modellierung einfacher mechatronischer Systemkomponenten Ein detaillierter Entwurf der Bau teilgestalt geh rt zurzeit nicht zum typischen Leistungsspektrum von Mehrk rpersimulationspro grammen Lediglich der Import von CAD Daten erm glicht eine detailgetreue Abbildung der Bau teilgestalt Programme auf Basis der Finite Elemente oder Boundary Elemente Methode FEM BEM erm glichen es gro e stark nichtlineare Verformungen zu berechnen Bei Systemen die durch eine Vielzahl von Kontakten zwischen K rpern gekennzeichnet sind ist die Verwendung von Diskrete Elemente Methode DEM Programmen sinnvoll Rheologische und fluiddynamische Vorgange konnen mit Computational Fluid Dynamics CFD Programmen behandelt werden Diese Programme werden allerdings fur die hier betrachtete Problemstellung ebenso wenig ben tigt wie Software f r d e Eingliederung des Entwurfsprozesses n den
161. ehrt unter Ber cksichtigung der u eren Kr fte und Momente die f r die gew nschte Bewegung erforderlichen kinetostatischen Antriebskrafte und momente zu berechnen 2 Wittenbauersche Grundaufgabe Volmer u a 1995 Letztere Berechnung wird beispielsweise bei dem Vorsteuerungsentwurf Abschnitt 7 1 oder bei der St rgr enaufschaltung Abschnitt 6 2 1 verwendet um elastizit tsbehaftete Systeme bez glich der Starrk rperbewegung zu linearisieren Die L sung der 2 Wittenbauerschen Grundaufgabe also des inversen dynamischen Problems ist nicht immer m glich Wenn die Eingangsmatrix B nicht regular und damit nicht invertierbar ist kann kein Eingangsvektor u bestimmt werden der die gew nschte Bewegung reali siert Der Vektor auf der linken Seite von Gl 3 2 11 liegt au erhalb des Raums der von den Spal ten der Eingangsmatrix B aufgespannt wird Ider 2005 Der Rangabfall tritt in besonderen Ge triebestellungen auf die als singulare Stellung bezeichnet werden Genauer gesagt handelt es sich um Antriebs Singularitaten Daneben existieren noch weitere Klassen von Singularitaten die aber fur Systeme mit einem Antriebsfreiheitsgrad nicht von Bedeutung sind Fur weitergehende Informa tion sei auf die Literatur verwiesen z B Gosselin und Angeles 1990 Ider 2005 Merlet 1989 und Martins und Guenther 2003 Singularitaten werden im Abschnitt 6 1 2 bei der Transformation der Systemgleichungen auf Normalformen zwecks Klassifikatio
162. eilige System die jeweilige Ziel setzung und den jeweiligen Randbedingungen vorgenommen werden Eine starke Standardisierung des Vorgehens ist nur f r eine h ufig wiederkehrende Auslegung sehr spezifischer Produkte sinn voll Ein praxistaugliches Vorgehen zur Auslegung eines mechatronischen Bewegungssystems kann sich am handlungsorganisatorischen V Modell nach der VDI Richtlinie 2206 oder auch an anderen Vorgehensmodellen orientieren s Abschnitt 2 Wichtig ist dass die Vorgehensweise folgende Merkmale aufweist e cine Gliederung des Gesamtsystems in Teilsysteme e die Ber cksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Systemteilen e cine starke Vernetzung der Auslegungsschritte und e ein iteratives Vorgehen mit zunehmendem Detaillierungsrad Wie diese vier Merkmale sich im gesamtheitlichen Entwurf von mechatronischen Bewegungssys temen manifestieren wird in diesem Abschnitt erlautert Eine Bestimmung der optimalen Designpa rameter des mechatronischen Gesamtsystems in einem Schritt ist aufgrund der Vielfalt der Zielset zungen und der Randbedingungen praktisch nicht m glich Das Gesamtsystem wird im Bild 7 2 1 durch den u eren Ring symbolisiert und muss in Komponenten die in aufeinanderfolgenden Pro zessbausteinen ausgelegt werden gegliedert werden 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 162 g D A Ay Ld o gt a O J S Q Bild 7 2 1 Schematische Darstellung des iterativen Entwurfsprozesses Die Proze
163. einsam dass anstelle der vollst ndigen nichtlinearen Systemgleichungen nur die kinetostatischen Zusammenh nge aus der linearisierten Bewegungsgleichung des Bewegungssystems gem Gl 4 2 16 zur Planung der Sollantriebstrajektorie verwendet Wird diese kinetostatische Bezie hung zwecks einer systematischen Betrachtung in die Byrnes Isidori Normalform gebracht so ergeben sich im Vergleich zu Gl 6 1 11 und Gl 6 1 12 einfachere Formen f r die Inverse der Ein Ausgangsdynamik u t a y z 7 1 12 und fur die interne Dynamik z B y 7 1 13 In diesen Gleichungen sind keine Ableitungen des Ausgangs y oder der Zustandsgr en des auto nomen Teilsystems z enthalten so dass die Problematik der Integration von Fehlern entf llt Die Problematik der nicht regul ren Eingangsmatrix B in den singul ren Stellungen bleibt allerdings bestehen so dass hier die Trajektorie gegebenenfalls umgeplant werden muss Dies soll anhand des Beispielsystems verdeutlicht werden Bei dem Beispielsystem tritt w hrend des Betriebs eine Deformation der elastischen Schwinge auf die sich aus einem quasistatischen Anteil der durch die kinetostatischen Lasten hervorgerufen wird und aus einem Anteil der auf die Anregung von Schwingungen im Bereich der Eigenfrequenz zur ckzuf hren ist zusammensetzt s z B Bild 4 3 6 Die Schwingungsamplitude des letztge nannten Anteils kann durch die Polplatzierung bei der Auslegung der Zustandsregelung stark ge
164. el des Starrk rper getriebes y in der u eren bzw w in der inneren Totlage um den Wert der jeweiligen kinetosta tischen Durchbiegung Aw bzw Aw kleiner ist als der entsprechende Winkel w bzw w des Aus gangsgetriebes Bild 4 4 4 Ya VWa AW Al V t 4 4 5 Wi Wi Ayi ALY t 4 4 6 Bild 4 4 4 Deck und Strecklagen der Kurbelschwinge Quelle Corves 2005 Die Synthesegleichungen fur die Totlagensynthese ergeben sich aus einer Betrachtung der Streck und der Decklage des Kurbelgetriebes Corves 2005 A 2 vcos y v 1 0 4 4 7 M A 2 vcos w v 1 0 4 4 8 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 64 v 2 A u cos p A U 1 0 4 4 9 v 2 u A cos 0 u A 1 0 4 4 10 Mit diesen Gleichungen k nnen vier der insgesamt sieben verwendeten Gr en in Abh ngigkeit der anderen drei bestimmt werden Die beiden neu berechneten Schwingwinkel w und y nach den Gln 4 4 5 und 4 4 6 werden in die Gln 4 4 7 und 4 4 8 eingesetzt Man erh lt damit zwei Gleichungen mit denen zwei neue Gliedl ngenverh ltnisse z B u und v berechnet werden k nnen w hrend das dritte Gliedl ngenverh ltnis z B X beibehalten wird Dabei sind die Glied l ngenverh ltnisse des Ausgangsgetriebes sehr gute Startwerte f r den Algorithmus zur numeri schen L sung des Gleichungssystems Die L sung beschreibt gem der Zielvorgaben Gl 4 4 5 und Gl 4 4 6 ein Getriebe
165. el ver schiedene Modellierungtiefen und methoden fur die Abbildung der elastodynamischen Eigenschaf ten geeignet Daher wird im Abschnitt 4 1 zun chst er rtert mit welchen Werkzeugen und Metho den die Bauteilelastizitat modelliert werden kann Auf eine Klasse von Modellen die algebraischen Systemmodelle wird im Abschnitt 4 2 ausf hrlicher eingegangen Sie bilden die Grundlage f r modellbasierte Ma nahmen zur Schwingungsminderung und gestatten au erdem eine strukturelle Analyse der Systeme sowie die Formulierung von Zusammenh ngen zwischen Modellparametern und Schwingungserscheinung Die ausreichend genaue Bestimmung der Modellparameter ist eine wesentliche Voraussetzung fur die Robustheit der Ma nahmen zur Schwingungsminderung und wird im Abschnitt 4 3 behandelt Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung die sich auf die Ver nderung von Designparametern des elastischen Systemteils und des Starrk rpersystemteils vgl Abschnitt 3 5 beschr nken werden m Abschnitt 4 4 diskutiert Dabei werden die Eigenschaf ten des Antriebs und der Regelung n den Berechnungen ber cksichtigt auch wenn s e nicht ver n dert werden 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t Im Zusammenhang mit der mathematischen und rechentechnischen Behandlung der Systemglei chungen kann bei den Modellen zwischen der Klasse der verteilt parametrischen und der Klasse der konzentriert parametrischen Modelle unterschieden werden Ein elastisches Bauteil
166. ele Reglereinstellungen die die gew nsch ten Eigenwerte garantieren k nnen Dadurch wird die Ber cksichtigung weiterer Nebenbedingun gen wie z B der Verzicht auf die Messung einiger Gr en oder die Forderung nach Robustheit m glich Die robuste Reglerauslegung st eine Standardaufgabe der Regelungstechnik und kann h ufig durch Softwarewerkzeuge automatisch durchgef hrt werden F r zeitinvar ante Systeme steht in MATLAB der Befehl place zur Berechnung einer robusten Regelung zur Verf gung Horsch 2005 In Zheng u a 2006 wird eine symbolische Implementierung von Entwurfsalgo rithmen f r Mehrgr ensysteme in dem Computer Algebra Programm Mathematica vorgestellt Dort werden die R ckf hrungsmatrizen durch Algorithmen so bestimmt dass sie f r gegebene Wertebereiche der unsicheren Parameter m glichst robust sind In Hohenbichler und Abel 2006 wird ein Verfahren zur Auslegung robuster PID Regeler f r Totzeitsysteme vorgestellt das sicher stellt dass beim Entwurf gegebene Restriktionen f r d e Lage der Pole des Systems eingehalten werden Zur Bestimmung der Reglerwerte f r Mehrgr ensysteme wird in F llinger 1994 und Konigorski 2004 die modale Regelung nach dem Verfahren von H H Rosenbrock vorgestellt Dabe w rd die homogene Zustandsgleichung mit Hilfe der Modalmatr x W n d e Jordansche Nor malform die auch Modalform genannt wird transformiert Die Reglerparameter werden nicht f r die Zust nde x so
167. emausgang also der prozessrelevanten Abtriebsbewegung des Bewegungssystems Dieser Winkel ist daher f r Regelungsaufgaben zur Minimierung des absoluten Fehlers am Abtrieb g ns tig Allgemein kann die Wahl unterschiedlicher Lagegr en auch zu unterschiedlichen strukturellen Eigenschaften der Systemgleichungen ein und desselben Systems f hren Die Verwendung kartesi scher Koordinaten kann beispielweise bei einigen rotator schen Systemen zu nichtlinearen Differen tialgleichungen f hren w hrend die Verwendung von Polarkoordinaten f r das gleiche System auf lineare Differentialgleichungen f hrt Lineare Systeme k nnen h ufig durch Verwendung modaler Koordinaten Eigenformen anstelle physikalischer Koordinaten z B L ngen und Winkel entkop pelt werden Dies kann den Reglerentwurf Abschnitt 6 2 3 vereinfachen Je nach Aufgabenstel lung kann also sp ter d e jeweils g nstigste Form der Systembeschreibung gew hlt werden Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen des Beispielsystems werden sp ter als Grundlage f r einige modellbasierte Ma nahmen zur Schwingungsminderung ben tigt Dabei wird das Spiel im Plane tengetriebe nicht ber cksichtigt so dass J und Jy zu J zusammengefasst werden und da der Drehwinkel der Kurbel dem Antriebsfreiheitsgrad entspricht vgl Bild 4 2 1 Fur die Verwen dung des Relativwinkels in q t t Ya t lautet die Bewegungsgleichung M q t q g q q t Bu_ mit lr q _ V4 2 2 Ji2 J
168. emiaktive P Regelung Der rot dargestellte Verlauf des Biegewinkels f r das ungeregelte System entspricht nicht den Messergebnissen in Bild 4 3 4 die beim Pr fstand ohne Bremsen aufgezeichnet wurden Die Unter schiede s nd auf die zus tzliche Reibung der Bremsen zur ckzuf hren Hier st insbesondere die Haftreibung in den Umkehrlagen zu erw hnen da diese unabh ngig von der Sollwertvorgabe durch die Regelung ein Moment von bis zu 50 des Maximalmoments der Bremsen hervorrufen kann Aselmann 2004 Der Zeitverlauf mit den sprungartigen Ver nderungen des Schwingungsanteils mit Eigenfrequenz hnelt daher den S mulationsrechnungen mit Gelenkreibung in Bild 4 3 8 Die erhebliche Haftreibung ist eine Nichtlinearitat die in den Entwurf der Regelung einbezogen werden muss um die Aktuatoren zuverlassig einzusetzen Dies kann analog zu dem Vorgehen wie es in Song u a 2005 f r das Ph nomen der Hysterese von magnetorheologischen Aktuatoren demonst riert wird durch den Entwurf einer optimalen Regelung s Abschnitt 6 2 3 geschehen Auch in Oh u a 2004 werden elektrorheologische Aktuatoren mit Hysterese erfolgreich zur Schwin gungsminderung eingesetzt Eine weitere Unzulanglichkeit der magnetorheologischen Bremsen liegt in ihrer Totzeit Die An sprechzeit der magnetorheologischen Bremse betragt ca 16 ms was 22 5 der Periodendauer der Eigenschwingung 71 ms entspricht Hier liegt die Zeitkonstante des Stellglieds also in der Gr B
169. en Ein zentraler Bestandteil des vorgestellten Konzepts ist die Nutzung einer durchg ngigen Werk zeugkette f r den Systementwurf Es wurden f r die relevanten Systemklassen Berechnungswerk zeuge in einem Computer Algebra Programm erstellt Erg nzt werden diese durch numerische Simulationswerkzeuge aus dem Bereich der Mehrk per Finite Elemente und Dynamiksimulation Der zielgerichtete Einsatz von markt blichen Softwarewerkzeugen erleichtert Forschern und Ent wicklern den Zugang zu den Erfahrungen und den Methoden zur Durchf hrung der komplexen Entwicklung von mechatronischen Bewegungssystemen Insgesamt ist ein praxistaugliches Konzept entstanden das sowohl konkrete Anweisungen welche Berechnungen bei den Auslegungsschritten durchzuf hren sind als auch eine Werkzeugkette die es erlaubt diese Rechnungen f r eine Viel zahl Bewegungssystemen automatisiert durchf hren umfasst 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 173 9 Literatur Abd Elwahab und Sherif 2006 Abd Elwahab M Sherif H A Pre tensioned Layer Damp ing as a New Approach for Vibration Control of Elastic Beams In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 3 2006 S 338 346 Abel 1993 Abel D Entwurf und Realisierung digitaler Steuerungen und Regelungen Vor lesungsumdruck Aachen RWTH Institut f r Regelungstechnik 1993 Abel und Bollig 2006 Abel D Bollig A Rapid Control Prototyping Berlin Springer Verlage 2006 Abel u
170. en Simulati onen mit einem FE Modell und einem Balkenmodell die das Spiel jeweils ber cksichtigen deutlich die Eigenschwingungen im Abtriebswinkelverlauf Die entsprechenden Ergebnisse sind oben rechts in Bild 4 3 4 dargestellt Au erdem ist in dem Diagramm das gemessene Drehgebersignal als Refe renzkurve abgebildet Die geringf gig unterschiedlichen Eigenfrequenzen des FE Modells und des Balken Modells f h ren zu Unterschieden m Zeitverlauf der Schwingungen vgl Bild 4 3 3 Im Frequenzbereich unten in Bild 4 3 4 ist im Bereich der Resonanzfrequenzen von ca 14 5 Hz zu erkennen dass die 14 und die 15 Ordnung der Antriebsfrequenz jeweils relat v starke Schwingungen anregen Die niederfre quenten Anteile der Schwingungsantwort sind erzwungene Schwingungen und werden im Ab schnitt 4 4 1 noch n her unersucht Es ist aber zu erkennen dass die Amplituden bei der Messung kleiner sind als bei der Simulation Dieses Ph nomen war allgemein bei niedrigen Antriebsfrequen zen zu beobachten Bei h heren Antriebsfrequenzen liegt eine gute bereinstimmung der Amplitu den der Mess und Simulationsergebnisse im Bereich der erzwungenen Schwingungen vor Dies ist in Bild 4 3 5 f r die Antriebsfrequenzen von 1 5 Hz und 1 8 Hz dargestellt Die zugeh rigen Zeit verl ufe sind weiter hinten in Bild 4 4 1 dargestellt Winkelabweichung am Abtrieb bei Antriebsfrequenz 1 8 Hz 0 020 rad Drehgeber Balkenmodell FE Modell
171. en wird die statische Gleichgewichtslage des Systems von Bedeutung sein Die statische Gleichgewichtslage w ist dadurch gekennzeichnet dass dort die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen der Freiheitsgrade unter den wirkenden Kr ften Null sind Sie kann auch f r zeitvariante Systeme und zeitvariante Erregervektoren angegeben werden obwohl s e sich bei diesen Systemen aufgrund von Schwingungen nicht tats chlich einstellt Be Q t P t Q t M t ____0____ W th A Mbit u a Soe T Be on er 4 2 16 _ u BE _ R Q t hg t te 0 0 In Gl 4 2 16 wurde ausgenutzt dass die Inverse der Systemmatrix immer die angegebene beson dere Struktur hat Das gleiche Ergebnis hatte sich nat rlich auch direkt aus der linearisierten Bewe gungsgleichung herleiten lassen Bei den Bewegungssystemen beschreibt die statische Gleichge 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 42 wichtslage den Anteil am Lagefehler der sich aufgrund der kinetostatischen Belastung bs t ein stellt Bei quasistatischen Vorg ngen ist dieser Lagefehler x t eine gute N herung f r das statio n re Bewegungsverhalten Er kann mit der Matrix Q t aus der Gleichung 4 2 16 abh ngig vom Verlauf der Linearisierungstrajektorien zu x t Q t hg t 4 2 17 berechnet werden und wird unter anderem m Abschnitt 7 1 f r die Trajektorienplanung verwendet F r periodische Systeme kann eine genaue Berechn
172. enordnung der Schwingungsperiodendauer vgl Abschnitt 5 2 so dass starke Wechselwirkungen zwischen dem Stellglied und dem mechanischen Systemteil vorliegen Mit dieser Zeitverz gerung ist eine Minderung des Schwingungsanteils mit Eigenkreisfrequenz n cht m glich Erst die Einf h rung einer zus tzlichen Totzeit von 55 ms f r die Regler Stellgr en f hrte zu den brauchbaren Ergebnissen in Bild 5 4 2 Mit der zus tzlichen Totzeit wirken die Reglermomente um eine Periode 5 5 Prozessbaustein Auslegung der Sensoren und der Messkette 87 der Eigenschwingungen zeitverz gert Bei der St rgr enkompensation kann das Kompensations moment einfach auf der Zeitachse um 16 ms nach vorne verschoben werden so dass die blaue Kurve in Bild 5 4 2 nahezu nur noch Schwingungen mit der Eigenfrequenz zeigt Um die Ergebnis se fur dieses periodische System zu verbessern k nnte die Regelung nach dem Repetetive Control Ansatz Abschnitt 6 2 3 ausgelegt werden 5 5 Prozessbaustein Auslegung der Sensoren und der Messkette Die Sensoren dienen zur Erfassung des Systemausgangs und sind daher ein wichtiges Bindeglied zwischen der Regelung und der Strecke Es werden vielf ltige physikalische Effekte genutzt um unterschiedlichste Messgr en in analoge oder digitale Messsignale umzuwandeln Bernstein 1998 Zun chst muss jeder Sensor genauso wie der Aktuator als eigenst ndige Komponente eines mechatronischen Systems angesehen werden Nur wenn die Anfor
173. entlich werden aber auch heuristische Ans tze verwendet In Sechelmann 1993 werden beispielsweise die Pole abh ngig von der H he des F hrungsgr en sprungs mehr oder weniger weit nach links gelegt um immer eine optimale Dynamik zu erhalten ohne die Stellgr engrenze zu verletzen Die Gestaltung der Systemdynamik durch Polvorgaben und die Auswirkung der Vorgaben 1m Zeitbereich wird im Folgenden anhand des Kurbelgetriebe pr fstands erl utert Die Eigenwerte des Kurbelgetriebepr fstands mit deaktiviertem Motor sind in Bild 4 2 3 darge stellt Aufgrund der zugehorigen Eigenformen ist eine eindeutige Zuordnung des einen Eigenwerts zu einer starken aber nicht ausschlieBlichen Bewegung des Antriebs und des anderen Eigenwerts zu einer starken aber nicht ausschlie lichen Bewegung des Abtriebs m glich Die beiden Eigenwerte werden daher im Folgenden als Antriebseigenwert und als Abtriebseigenwert bezeichnet Die Methode der Polvorgabe wird angewendet um den Realteil 6 des Antriebseigenwerts und den Realteil 65 des Abtriebseigenwerts f r das geregelte System auf gew nschte Werte zu legen Es wird sowohl eine vollst ndige Zustandsr ckf hrung als auch eine PI Zustandsr ckf hrung erprobt Bei der PI Zustandsregelung hat das erweiterte System nach Gl 6 2 23 eine weitere Zustandsgr Be m Vektor xp Entsprechend existiert ein weiterer Eigenwert der durch die Polplatzierung als reiner Realteil 63 ohne Imagin rteil er
174. er Antriebswinkelgeschwindigkeit Es sei noch angemerkt dass im Antriebswinkelgeschwindigkeitsverlauf bei Frequenzen oberhalb von 500 Hz Eigenfrequenzen enthalten sind die m glicherweise dem nicht modellierten elektri schen Systemteil Leistungselektronik etc zuzuordnen sind Aber die Amplituden dieser Fre quenzanteile waren von unbedeutender Gr e so dass diese Eigenschwingungen nicht n her unter sucht werden mussten Zusammenfassend kann an dieser Stelle festgehalten werden dass bei dem Beispielgetriebe im station ren Betrieb nur im Zeitverlauf des Antriebsfreiheitsgrad nicht aber am Abtrieb Einfl sse des Motors bzw der Leistungselektronik zu erkennen sind Wenn Unsicherheit ber die St rke von Wechselwirkungen und die notwendige Modellierungstiefe besteht ist die Durchf hrung von Testrechnungen hilfreich Beispielsweise kann die Annahme dass im Hinblick auf die Abtriebsbewegung die Einfl sse des Motors und des Stromreglers vernachlas sigt werden d rfen durch eine Co S mulation berpr ft werden Die Kaskadenregelung Gl 5 1 5 bis 5 1 10 und der Motor Gl 5 1 1 werden dabei in MATLAB Simulink implementiert und der mechanische Systemteil wird in ADAMS implementiert Bei der Simulation zeigen sich nur gering 5 2 Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und Getriebe81 f gige Unterschiede in den Momenten die von der bergeordneten Drehzahlregelung Mpeg ge fordert und durch de
175. er Grobgestaltung Die Elastizitat von Bauteilen oder die Auslegung der Regelung und der Vorsteuerung wird dabe allerdings n cht ber cksichtigt Die etablierten Werkzeuge und Methoden der klassischen Getriebetechnik k nnen problemlos als Prozessbaustein in das V Modell nach der VDI Richtlinie 2206 Bild 2 2 oder n andere Entwurfsverfahren f r mechatronische Systeme eingegliedert werden In den nachfolgenden Abschnitten wird eine ber sicht ber die wichtigsten Werkzeuge und Methoden und thre Eingliederung in den Gesamtentwurf zusammengestellt Dabei wird insbesondere auf die relevanten gestaltbaren Eigenschaften von Starrk rpermechanismen Abschnitt 3 2 und auf die Wechselwirkungen mit den anderen Teilsys temen eingegangen Die Spezifikation der gew nschten Bewegung Abschnitt 3 1 und die Be stimmung geeigneter Getriebestrukturen Abschnitt 3 3 sind Prozessbausteine die zu Beginn des Auslegungsprozesses durchlaufen werden m ssen und m fortgeschrittenen Auslegungsprozess wiederholt durchlaufen werden k nnen Durch diese beiden Prozessbausteine werden grundlegende Systemanforderungen und eigenschaften festgelegt so dass nderungen hieran zumeist einem Neuentwurf des mechanischen Systemteils gleichkommen Dies bedeutet dass alle nachfolgenden Schritte noch einmal durchlaufen werden m ssen Die Bestimmung der kinematischen Abmessun gen Abschnitt 3 4 und die Bauteildimensionierung Abschnitt 3 5 sind hingegen Prozessbaustei ne die
176. er Topologie des Gesamtsystems erfolgt in dem iterativen Ausle gungsprozess nicht in einem gesonderten Prozessbaustein sondern ist integraler Bestandteil der verschiedenen Prozessbausteine Die Struktur wird suksezzive festgelegt und immer wieder ver n dert indem die Eigenschaften einzelner Komponenten ver ndert werden W hrend des gesamten Auslegungsvorgangs ist daher die vorausschauende Planung der strukturellen Eigenschaften des Gesamtsystems wichtig Im Hinblick auf die Topologie des Gesamtsystems ist es das Ziel das g nstigste Konzept f r die kinematische Struktur f r die denkbaren Bauteilelastizitaten f r die Stellglieder und die Messglieder sowie f r das Regelungssystem zu bestimmen In einer fr hen Phase des Auslegungsprozesses wird beispielsweise 1m Prozessbaustein der kinematischen Struk tursynthese Abschnitt 3 3 zunachst nur die Realisierbarkeit der geforderten Bewegung durch ein Starrk persystem ber cksichtigt Beim wiederholten Durchlauf m ssen aber dar ber hinaus weitere technologische wirtschaftliche und konstruktive Aspekte ber cksichtigt werden Modler und Gr n 2000 betrachten beispielsweise f r einen Mechanismus mit gegebener Getriebestruktur die Zu sammenh nge zwischen der topologischen Anordnung der Antriebe und der Arbeitsgenauigkeit des Systems 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 164 Welche dynamische Struktur einzelner Komponenten f r die Leistungsf higkeit des Gesamtsystems die g nstigste ist is
177. er sich st ndig wandelnden Softwarelandschaft von wirtschaftlichen Erw gungen und von gewachsenen Strukturen ab Eine Abbildung dynamischer Systeme 1m Rechner die sich nicht an den Bewegungsgleichungen sondern an den Systemkomponenten und deren Struktur orientiert ist das objektorientierte Abbil dungskonzept Bertram u a 2000 Die zugeh rigen Systemgleichungen in symbolischer Form werden dabei vom Programm erstellt und sind nur bei wenigen Programmen dem Benutzer zug ng lich Zwei Beispiele f r frei erh ltliche Programmsysteme bei denen auf eine grafische Bedienober fl che verzichtet wird und das Modell durch Quelltext beschrieben werden muss sind ODE Smith 2004 und Modelica Albers und Schyr 2005 Einzug in die Forschung und in die industrielle Praxis haben jedoch Programme mit grafischer Oberfl che gehalten Zu den Programmen mit einer Eingabemoglichkeit in Form von Blockschaltbildern z hlen z B DRESP Gold u a 2006 DSHplus Kett 2005 ITI S m Li und R mer 2005 Simulink und Vissim um nur einige zu nen nen Alle verwenden zwar die blockorientierte Art der Modellierung Komfort und Leistungsf hig keit der Programme h ngen aber in starkem Ma e von dem Angebot an Komponentenbibliotheken f r die unterschiedlichen Teilsysteme ab Fur die mechanischen Teilsysteme haben sich geometrie orientiert arbeitende Programme bew hrt da sie eine weniger abstrakte M glichkeit der Modellie rung bieten Die Verwendung von M
178. erer Ordnung erstellt werden um die Schwingungsanregung gezielt zu gestalten Diese beiden Ans tze werden erst n den Abschnitten 4 4 2 und 4 4 3 vorgestellt da f r das Verst ndnis zuvor noch wich tige Zusammenh nge erl utert werden m ssen Stellt sich n einem sp teren Auslegungsschritt heraus dass unerw nschte S ngular t ten in bestimmten Bewegungsabschnitten auftreten so k n nen diese eventuell in andere Bewegungsabschnitte verlegt werden indem ein Ersatzgetriebe das eine identische Abtriebstrajektorie erzeugt verwendet wird F r das Beispielsystem k nnen Ersatz getriebe nach Roberts verwendet werden Roberts 1875 Wampler 2004a Wampler 2004b Erg nzend zu den dynamischen Eigenschaften kann das Getriebe auch m Hinblick auf konstruktive Eigenschaften analysiert werden H s ng 1996 entwickelte beispielsweise ein Rechnerprogramm um die Empfindlichkeit des kinematischen bertragungsverhaltens bez glich L ngentoleranzen der 3 5 Prozessbaustein Bauteildimensionierung 23 Gliedl ngen ebener Kurbelgetriebe zu berechnen H sing und Corves 1997 Eicker 2000 zog die Untersuchung von Gelenkspiel in diese Berechnungen ein Parenti Castell und Venanz 2005 stellen eine bersicht ber existierende Algorithmen zur Toleranzanalyse zusammen und heben einen Algorithmus der f r statische und dynamische Berechnungen verwendet werden kann her vor Weitere Literaturquellen die dieses Thema behandeln sind Sacks
179. erheblich Sie findet in Kombination mit einem linearen Regler vielfach An wendung Die Autoren von Goldenberg und Rakhsha 1985 und Shchuka und Goldenberg 1989 behandeln einen flex blen Roboterarm Es wird eine St rgr enkompensation bzw Vorsteuerung auf Basis der Starrk rperbewegung und der damit verbundenen kinetostatischen Belastungen ent worfen und durch einen PD Regler zur Restfehlerbehandlung erg nzt Auch n Zimmermann 1990 wird f r ein SCARA Handhabungsger t eine Vorsteuerung bzw St rgr enkompensation mit Hilfe des inversen Starrk rpersystemmodells entwickelt Die Lageregelung wird in Form einer Kaska denstruktur aus mehreren linearen Reglern realisiert Wenn die Anzahl der Regelgr en q gleich der Anzahl der Stellgr en p ist also B quadratisch ist und au erdem H chstrang hat ist eine vollst ndige StorgroBenkompensation mit uz B z 6 2 2 m gl ch Ein einfaches Beispiel f r ein Eingr ensystem dass diese Anforderung erf llt wurde in Abschnitt 5 4 gezeigt F r dieses Beispiel wird durch die St rgr enkompensation der quasistati sche Anteil der Abweichung der auf die kinetostatischen Lasten zur ckzuf hren ist verringert siehe Bild 5 4 2 Ist q gt p so existieren mehrere L sungen die B u z 0 realisieren Ist hingegen q lt p kann mit Hilfe der Moore Penrose Pseudoinversen B B B eine StorgroBenkompensation uz B B B z 6 2 3 die das Quadrat des Betrages der verb
180. esamtsystems gelten Wird f r das Beispielsystem nur ein Stellglied verwendet und eine Ausgangsr ckf hrung in Form einer PI Drehzahlregelung entworfen vgl Abschnitt 5 1 so ist die Gleichung 6 2 20 nicht erf llt Der Gleichung 6 2 19 ist mit p 1 q 2 n 4 und r 0 zu entnehmen dass die Anzahl der Entwurfsparameter f 2 1 lt 4 kleiner als die Ordnung des Systems ist F r diesen Fall empfiehlt Follinger 1994 die Auslegung einer vollst ndigen Zustandsr ckf hrung und eine anschieBende Approximation dieser Regelung durch die Ausgangsr ckf hrung Bei der PI Zustandsregelung in Bild 6 2 6 findet ein Vergleich der F hrungsgr e w und des Aus gangs yp Statt Der Fehler xp wird durch einen PI Regler ausgeregelt so dass nicht nur ein gutes Fuhrungsverhalten sondern gleichzeitig eine verschwindende Reglerdifferenz fur konstante Stor gr en erreicht wird F llinger 1994 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 114 Regelstrecke Bild 6 2 6 PI Zustandsregelung Anders als bei der Zustands bzw bei der Ausgangsr ckf hrung in Bild 6 2 5 ist bei der PI Zustandsregelung in Bild 6 2 6 der Zusammenhang mit der allgemeinen dynamischen Ausgangs r ckf hrung in Bild 6 2 4 nicht direkt offensichtlich Er zeigt sich erst durch den Vergleich der Zustandsgleichung des Systems mit PI Zustandsregelung x Ax B Dpj Rp Bp x BCpIXR BRpw XR B p x W X A 0 X ri B 0 Dpj Rp Bp Cp C 0 X n
181. esen werden Es s nd nur geringf gige nderungen an der Syntax dieser ASCII Datei notwendig um diese Daten nach MAPLE oder MATLAB zu importieren so dass f r den Datenaustausch mit dem Servoverstarker leicht eine automatisierte Werkzeugkette aufgebaut werden kann Die Zeitkonstanten sind charakte ristisch f r die Dynamik der Regelung s Rake 1993 und k nnen wiederum f r die Bestimmung einer geeigneten S mulationsschrittweite verwendet werden Au erdem sind hnliche Zeitkonstan ten verschiedener Teilsysteme ein Indikator f r das m gliche Auftreten von Wechselwirkungen zwischen den Teilsystemen 3 2 Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und Getriebe Wechselwirkungen f hren dazu dass das Schwingungsverhalten eines an das Gesamtsystem ge koppelten Teilsystems sich von dem Schwingungsverhalten eines identischen aber isolierten Teil systems unterscheidet Die Unterschiede sind in den Amplitudenfrequenzg ngen einzelner Frei heitsgrade f r das isolierte und das gekoppelte Teilsystem sichtbar Durch die Kopplung ndert sich die Eigenschwingungsform bzw die Schwingungsform der station ren Schwingungsantwort des Teilsystems Die Starke der Wechselwirkungen kann daher anhand der Analyse der Veranderung in den Amplitudenfrequenzg ngen beurteilt werden Bei dem Beispielsystem ist der Amplitudenfre quenzgang des Abtriebswinkelfehlers relevant Er kann zum einen fur das isolierte System mit einer gefu
182. essungen eines Starrk rpermechanismus wird als Ma syn these bezeichnet Dabei werden die kinematischen Abmessungen so bestimmt dass die Prozesstra jektorie mit einer einfachen zumeist umlaufenden Antriebsbewegung realisiert werden kann Un gleichm ig bersetzende Getriebe gestatten d e exakte Erf llung von Bewegungsaufgaben m Allgemeinen nur f r Bewegungsaufgaben die aus einer kleinen Menge Y von vorgegebenen Ab triebslagen bestehen Die Anzahl der Lagen ist dabei abh ngig von der Getriebestruktur Die kine matischen Abmessungen k nnen mit klassischen Verfahren zur Genaulagensynthese bestimmt werden Diese Syntheseverfahren sind zumeist f r bestimmte kinematische Strukturen spezifisch und werden in zahlreichen Lehrb chern zur Getriebetechnik erl utert z B in Burmester 1888 Erdman 1993 Erdman und Sandor 1997 Flocke 1931 Jahr und Knechtel 1938 Kerle u a 2007 Lichtenheld 1961 Luck und Modler 1987 Rauh 1954 Volmer 1976 und Volmer u a 1995 und in den VDI Richlinien z B VDI 1984 VDI 1987a VDI 1989 VDI 1994 und VDI 1999b Vereinzelt findet sich auch eine Anwendung dieser Verfahren auf nicht exakte Bewegungsvorgaben z B in Kalnas und Kota 2001 Lin 1995 Eine gr ere Menge von Lagen kann nur n herungsweise erf llt werden so dass in diesen F llen Optimierungsverfahren zur Ma synthese verwendet werden m ssen Ausgangspunkt der Ma synthese ist die Formulierung der Synthese
183. eten Momentenverlaufen liefern Die Bedingung U q 2U q tritt in Getriebestellungen auf wo der Momentanpol der Koppel sich auf der Verbindungsgerade durch die Gelenke By und B im Abstand 2 L3 vom Ge lenkpunkt B befindet Es kann also eine oder mehrere Getriebestellungen geben in denen die Inver se B nicht existiert und somit keine Flachheit vorliegt Der Verlust der Flachheit tritt unabh ngig von der Verwendung des Absolutwinkels s Gl 4 2 4 oder des Relat vwinkels s Gl 4 2 3 zur 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 155 Beschreibung der elastischen Deformation der Schwinge auf Es handelt sich um eine antr ebsbezo gene Singularitat des Mechanismus In dieser Stellung k nnen die Antriebe nicht in gew nschter Weise auf alle Freiheitsgrade wirken Das System hat in dieser Stellung ein autonomes Teilsystem und zugleich einen redundanten Antrieb der jedoch nicht auf das autonome Teilsystem wirken kann Die Existenz von s ngul ren Stellungen ist ein Problem dass in Forschungsarbeiten zu parallelki nematischen Handhabungssystemen vielfach behandelt wird Der groBte Teil der Arbeiten behan delt eine Trajektorienplanung mit dem Ziel singulare Stellungen zu vermeiden Dieses Prinzip der Vermeidung l sst sich aber nicht ohne weiteres auf die hier behandelten Bewegungssysteme mit einem umlaufenden Antrieb bertragen Am obigen Kurbelgetriebe Beispiel wird deutlich dass singulare Stellungen sofern sie existieren
184. etrischen Eigenschaften einge gangen da diese f r den restlichen Teil der Arbeit relevant sind Die geometrischen Vorgaben k nnen abschnittsweise kontinuierlich sein oder sie k nnen auch diskret n Form von Start und Endpunkt eines Bewegungsabschnitts vorliegen Es k nnen auch Vorgaben existieren die Bereiche ausschlie en weil diese beispielsweise au erhalb des verf gba ren Bauraums liegen Auch die zeitlichen Vorgaben k nnen unterschiedlich pr zise formuliert sein Sie k nnen z B dar n bestehen dass eine Bewegung m glichst schnell innerhalb einer fest defi n erten Zeit synchron zu einer anderen Bewegung oder mit einer definierten Geschwindigkeit 3 1 Prozessbaustein Bewegungsspezifikation 11 erfolgen soll Es k nnen Vorgaben existieren eine maximale Beschleunigung nicht zu berschrei ten um Besch digungen am Produkt zu vermeiden Alternativ oder erg nzend zu zeitlichen Vorga ben f r den Bewegungsablauf k nnen auch Vorgaben f r Kr fte oder Momente die w hrend der Bewegung auftreten existieren Gegenstand dieser Arbeit sind Konzepte zur Schwingungsminde rung Der Schwerpunkt liegt daher naturgem auf der Realisierung geometrischer und zeitlicher Bewegungsvorgaben Die gleichzeitige Realisierung bestimmter Kr fte oder anderer Randbedin gungen k nnen bei den sp ter angewendeten Verfahren h ufig in Form von Nebenbedingungen ber cksichtigt werden An sp terer Stelle werden die verschiedenen Auslegungsschr
185. etzt wird dass fur den geschlossenen Regelkreis bereits eine stabile Regelung R ausgelegt wurde muss f r die voll st ndige Bestimmung der Reglerparameter nur noch die Beobachtermatrix L ermittelt werden Sie hat zur Aufgabe den Schatzfehler x x xpdes Beobachters gegen Null konvergieren zu lassen F r den Schatzfehler x x Xp gilt X X Xp Ax Bu Axg LCxp Bu LCx 6 2 73 x A LC x 6 2 74 Die Struktur der Gl 6 2 74 entspricht einer Regelung nach Gl 6 2 21 wobei L die Rolle der R ckf hrung R bernimmt Sie kann mit den Methoden aus Abschnitt 6 2 3 ausgelegt werden Bei der Polvorgabe sollten die Eigenwerte der Matrix A LC so gew hlt werden dass Sie links von denen des geschlossenen Regelkreises ohne Beobachter liegen Sie sollten aber auch nicht zu weit links legen da sonst ein differenzierendes System entsteht das das Messrauschen noch verst rkt Konigorski 2003c Die Eigenwerte des durch den Beobachter geschlossenen Systems sind die Summe der Eigenwerte des Beobachters und des geschlossenen Regelkreises ohne Beobachter Daher ist es legitim den Regler und den Beobachter getrennt voneinander zu entwerfen Separati onstheorem Follinger 1994 Wenn zur Beobachterauslegung nicht die Methode der Polvorgabe verwendet wird sondern durch einen Riccati Entwurf f r L das verlaufsoptimale G tema Gl 6 2 35 minimiert wird entspricht der Beobachter einem station ren Kalmanfilter das in der Messtechnik zur
186. eugketten f r das Rapid Control Prototyping ist in der Regelungstechnik die seit jeher mit mechatronischen Systemen konfrontiert ist eine g ngige praxis Das methodische Vorgehen beim Rapid Control Prototyping und der Aufbau von rechnerbasierten Entwurfswerkzeugen ist in Abel und Bollig 2006 ausf hr lich beschrieben Die Werkzeugkette f r den Entwurf von Ma nahmen zur Schwingungsminderung wurde mit ma rkt blicher Software umgesetzt und ist unten in Bild 6 1 1 dargestellt Als Grundlage f r den mo dellbasierten Entwurf auf dem Entwurfsrechner wird das am st rksten vereinfachte konzentriert 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 93 parametrische Mehrk rpermodell aus Bild 4 1 1 mit dem vereinfachten Gleichstrommotormodell aus Bild 5 1 1 f r den Servomotor verwendet Die Systemgleichung f r das mechatronische System kann n einem MAPLE Arbeitsblatt n algebraischer Form automatisch aufgestellt werden vgl Abschnitt 4 2 Daraus k nnen wiederum algebraische Berechnungsvorschriften oder zu l sende Gleichungssysteme f r die Ma nahmen zur passiven Abschnitt 4 4 oder zur aktiven Schwingungsminderung Abschnitt 6 2 abgeleitet werden Sofern die Berechnung oder Glei chungsl sung nicht in MAPLE erfolgt k nnen die algebraischen Gleichungen als C Code oder als m Code exportiert werden Geike und McPhee 2003 Auf diese Weise kann eine zuverl ssige und schnelle bertragung langer Gleichungen gew hrleistet werden
187. f mechanisms accord ing to kinematic structure and function In Environment and Planing B vol 6 1979 S 375 391 Freund 1971 Freund E Zeitvariable Mehrgr ensysteme Darmstadt Springer Verlag 1971 Friedmann u a 1977 Friedmann P Hammond C E Woo T H Efficient Numerical Treatment of Periodic Systems with Application to Stability Problems In Interna tional Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 11 1977 S 1117 1136 Fung u a 2004 Fung E H K Zou J Q Lee H W J Lagrangian Formulation of Rotat ing Beam With Active Constrained Layer Damping in Time Domain Analysis In JOURNAL OF MECHANICAL DESIGN vol 126 issue 2 2004 S 359 364 Garcia und Zangwill 1981 Garcia C B Zangwill W I Pathways to Solutions Fixed Points and Equilibira New Jersey Prentice Hall 1981 Gasch und Knothe 1987 Gasch R Knothe K Strukturdynamik Band 1 Diskrete Systeme Berling Springer Verlag 1987 Gasch und Knothe 1989 Gasch R Knothe K Strukturdynamik Band 2 Kontinua und ihre Diskretisierung Berling Springer Verlag 1989 Gaul u a 2000 Gaul L Albrecht H Wirnitzer J Schwingungsreduktion in Leichtbau strukturen durch Reibung VDI Berichte Nr 1550 Dusseldorf VDI Verlag 2000 Gausemeier u a 2004 Gausemeier J Bauch W M ller W Radkowski R Shen Q Paelke V L sungselement basiertes Virtual Prototyping von selbstoptimierenden mechatroni
188. fbrechen um eine gesamtheitliche Auslegung zu erm glichen The dynamic coupling between various components of the system dictates however that an accurate design of the system should consider the entire system as a whole De S lva 2005 Bewegungsaufgabe Be und Ver arbeitungsprozess Prozesstrajektorie Ist Bewegung Sollbewegung Abtriebsorgan Bewegungssystem F hrungs Mechanisches trajektorien System Stellglieder Messglieder Steuerungs und Regelungssystem Bild 2 1 Gliederung der Bewegungsaufgabe und des mechatronischen Bewegungssystems in Teilsysteme Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 4 Die schwingungsarme Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme ist ein Teilbereich des all gemeinen Entwurfs mechatronischer Systeme Es sind vor allem die Dimensionierung der System komponenten und gegebenenfalls eine Ver nderung der Wirkstruktur nicht aber ein vollst ndiger Neuentwurf der Wirkstruktur des mechatronischen Systems von Bedeutung Die Methoden der klassischen Konstruktionslehre bieten Vorgehensmodelle die sich auf die Ent wicklung beliebiger technischer Systeme anwenden lassen Die Vorgehensweisen stellen einen handlungsorganisatorischen Rahmen dar der das systematische Erarbeiten von Prinzipl sungen und Wirkstrukturen erlaubt Sie werden in zahlreicher Literatur beschrieben unter anderem in Altschuller 1984 Gimpel u a 2000 Herb u a 2000 Koller und Nastrup 19
189. fe der Frequenzgangmatrix berech net wird benutzt werden um die Systemparameter zu bestimmen Fur komplizierte Geometrien sind FEM Programme die eine Topologieoptimierung unterst tzen ein geeignetes Werkzeug Bei der numerischen Optimierung des FE Modells k nnen Eigenfrequenzen Eigenformen Gewicht und andere Kenngr en durch Verwendung geeigneter Zielfunktionen optimiert werden Erl ute rungen zu den Grundlagen und ein Beispiel aus dem Bereich des Fahrzeugbaus finden s ch n Schordered und Gm r 2004 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 61 Bei der Auslegung von Steifigkeiten und Dampfungen 1m Rahmen der passiven Schwingungsmin derung ist zu beachten in welcher Form Federn und D mpfer technisch realisierbar sind Ist bei dem Beispielsystem eine Erh hung der D mpfung beabsichtigt ohne die Schwinge selbst zu ver n dern so k nnen zu diesem Zweck Momente Mg und Mpo durch Reibelemente in den Gelenken B und Bo erzeugt werden Bild 4 1 1 Die Untersuchung einer gef hrten Bewegung bei der dem System die Bewegung Ypo t aufgepr gt wird so dass am Antrieb kein Winkelfehler vorliegt y2 0 erfordert die Bewegungsgleichung eines Systems mit nur einem Freiheitsgrad Diese kann auch direkt aus der zweiten Zeile von Gl 4 2 9 abgelesen werden wenn dort 0 eingesetzt wird und zudem die Ausdr cke f r die Momente Mp und Mpg linearisiert werden BO STB by B Fe OY4 y4 Ma ur UjY2o us MBo Ya0
190. fen der kinematischen Ma synthese Abschnitt 3 4 um dort erg nzend zu den prozesssei tigen Lagevorgaben auch Vorgaben f r die kinematische bertragungsfunktion zweiter Ordnung zu ber cksichtigen Die Erkenntnisse aus der Analyse des Erregervektors in Gl 4 2 12 bzw 4 4 1 und der Analyse der station ren Schwingungsantwort in Gl 4 2 17 bzw 4 4 2 zeigen bei dem Beispielsystem eine ma gebliche Abh ngigkeit der Schwingungsanregung und antwort von der kinematischen bertragungsfunktion zweiter Ordnung U Analoge Zusammenh nge ergeben sich 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 70 f r das Kurbelgetriebe mit elastischer Koppel n Bild 4 4 8 Anhand des Beispielsystems n Bild 4 4 8 wird skizziert wie die klassischen Ma syntheseverfahren die lediglich Syntheseglei chungen f r die Erf llung der kinematischen bertragungsfunktion nullter Ordnung vgl Gl 3 2 2 ber cksichtigen zwecks Gestaltung der Anregung modifiziert und erweitert wer den k nnen Die Schwingungsanregung durch kinetostatische Kr fte h ngt auch bei diesem Getriebe gem Gl 3 2 6 von einer rein kinematischen Lagefunktion ab die hier als U bezeichnet wird Die Lagefunktion wird im Computer Algebra Programm in algebraischer Form bestimmt Sie ist eine Funktion des Antriebswinkels und der kinematischen Abmessungen Es wird derjenige Antriebs winkel max im Bereich vor Eintritt in die Geradf hrung bestimmt bei dem ein
191. for Active Damping using Digital Control In Ultrasonic Symposium 1990 S 1211 1214 Valero u a 2006 Valero F Mata V Besa A Trajectory planning in workspaces with obstacles taking into account the dynamic robot behaviour In Mechanism and Ma chine Theory vol 41 issue 5 2006 S 525 536 Vasiliu und Yannou 2001 Vasiliu A Yannou B Dimensional synthesis of planar mecha nisms using neural networks application to path generator linkages In Mechanism and Machine Theory vol 36 issue 2 2001 S 299 310 VDI 1976 VDI n n Richtlinie VDI 2062 Schwingungsisolierung Berlin Beuth Verlag 1976 VDI 1980 VDI n n Richtlinie VDI 2143 Blatt 1 Bewegungsgesetze f r Kurvengetriebe Theoretische Grundlagen Berlin Beuth Verlag 1980 VDI 1982 VDI n n Richtlinie VDI 2222 Konstruktionsmethodik Erstellung und Anwen dung von Konstruktionskatalogen Blatt 2 Berlin Beuth Verlag 1982 VDI 1984 VDI n n Richtlinie VDI 2130 Getriebe fiir Hub und Schwingbewegungen Konstruktion und Berechnung viergliedriger ebener Gelenkgetriebe fiir gegebene Tot lagen Berlin Beuth Verlag 1984 VDI 1987a VDI n n Richtlinie VDI 2125 Ebene Gelenkgetriebe bertragungsg nstige Umwandlung einer Schub in eine Drehschwingbewegung Berlin Beuth Verlag 1987 VDI 1987b VDI n n Richtlinie VDI 2143 Blatt 2 Bewegungsgesetze f r Kurvengetriebe Praktische Anwendung Berlin Beuth Verlag 1987 V
192. ftreten ist die Ber cksichtigung der exakten n chtlinearen Diffe rentialgleichung einschlie lich thermischer Vorg nge und des Effekts der Stromverdr ngung erfor derlich Durch das Zusammenwirken der elektromagnetischen Felder n Rotor und Stator des Gleichstrom motors wird der Rotor in Drehung versetzt Der Gleichstrommotor ist ein dynamisches System das durch zwei Zustandsgr en n mlich durch die Winkelgeschwindigkeit des Rotors OR und durch den Strom 1 in der Ankerwicklung beschrieben wird Dem Ersatzschaubild Bild 5 1 1 des perma 5 1 Eigenschaften und Modellierung von Elektromotoren 75 nenterregten Gleichstrommotors ist zu entnehmen dass der Widerstand der Ankerwicklung Ra und die Induktivitat La das dynamische Verhalten beeinflussen IA Ankerwicklung Permanentmagneten uA Bild 5 1 1 Ersatzschaubild des permanenterregten Gleichstrommotors Die angelegte Ankerkreisspannung u wirkt als Erregung auf das System Motor Durch den Effekt der Selbstinduktion wird m Motor eine Spannung aufgebaut die der Ankerkreisspannung entgegen wirkt Die selbstinduzierte Spannung ist proportional zur Rotorwinkelgeschwindigkeit und wird mit Hilfe der Konstante k jp berechnet Damit ergibt sich die Differentialgleichung f r den Ankerstrom wie folgt Te CA ksb Pro Ra iA 5 1 1 Betrachtet man nur den Strom als dynamisch ver nderliche Gr e und geht man von einer kon stanten Ankerkreisspannung u und einer konstanten Rotor
193. gegeben Die Abhangigkeit zwischen den Energiespeichern wird durch Differen tialgleichungen in Minimalkoordinaten beschrieben Diese beschreiben zudem den Energiefluss ber die Systemgrenzen hinweg der beispielweise durch Prozesslasten oder St rgr en erfolgt Die innere Struktur des mechanischen Systemteils ist im Wesentlichen durch die Anzahl der Antriebs freiheitsgrade und der elastischen Freiheitsgrade gepragt Sie ist mathematisch z B in der System matrix A eines linearen Systems Gl 4 2 14 manifestiert Die Gestaltung der inneren strukturellen Eigenschaften des mechanischen Systemteils erfolgt durch die kinematische Struktursynthese Ab schnitt 3 3 und durch die Dimensionierung der Getriebebauteile Abschnitt 3 5 und 4 4 Die Ges taltung der inneren strukturellen Eigenschaften der Stellglieder und der Messglieder wird in dieser Arbeit auf die zielgerichtete Auswahl markt blicher Komponenten mit gegebener dynamischer Struktur beschr nkt Abschnitt 5 Die innere dynamische Struktur dieser Komponenten wird wie derum durch Differentialgleichungen s z B Abschnitte 5 1 5 5 beschrieben Die Topologie der Stellglieder ist mathematisch in der Eingangsmatrix B erfasst Die Topologie der Messglieder findet sich in der R ckf hrungsmatrix C wieder s Bild 6 2 4 Die Festlegung der Anzahl und der An ordnung der Mess und der Stellglieder sowie ihrer inneren dynamischen Struktur sind integraler Bestandteil der Gestaltung der Struktur des
194. gen zum Einsatz dieser Art von Aktuatoren zur akti ven Schwingungsminderung Weitere Literaturstellung zur Anwendung in Bewegungssystemen werden im Abschnitt 6 angegeben Arbeiten die sich mit der Modellierung unter anderem von mehrschichtigen Piezoaktuatoren besch ftigen sind Abd Elwahab und Sherif 2006 Fung u a 5 1 Eigenschaften und Modellierung von Elektromotoren 74 2004 Georgiu und Mrad 2006 und Hagood u a 1990 Elektrische Netzwerke mit piezoelektri schen Elementen lassen sich aber auch zur passiven Schwingungsminderung s Abschnitt 4 4 einsetzen Dabei wird die elektrische Spannung die in den Piezoelementen durch Verformung erzeugt wird an ein elektrisches Netz mit Kondensatoren Spulen und Widerstanden angelegt Die Dynamik des elektrischen Teilsystems kann durch die Wahl der Kapazitaten Induktivitaten und Widerst nde gestaltet werden Hierf r k nnen genau wie bei der Dimensionierung der mechani schen Bauteile Abschnitt 4 4 1 Methoden aus der Regelungstechnik z B die Polvorgabe Ab schnitt 6 2 3 angewendet werden Beispiele f r dieses Vorgehen finden s ch n Gosav und Kelkar 2004 und Tang und Wang 2004 5 1 Eigenschaften und Modellierung von Elektromotoren In der Praxis werden Motoren mit unterschiedlichen Wirkprinzipien eingesetzt H ufig finden Synchronmaschinen und Asynchronmaschinen Verwendung Aber auch der E nphasen Rei henschlussmotor und Gleichstrommaschinen unterschiedlicher Bauart z B
195. gestaltung in Leichbauweise und f hren so zu einer Verringerung der Antriebsmomente vgl Bild 3 5 1 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 72 0 015 m Originalabmessung 5mm Originalabmessung 8mm Max U um 5 verringert Max U um 10 verringert 8 8 5 9 95 Zeit s 10 Bild 4 4 13 Abweichung des Koppelpunkts elastizitatsbehafteter Getriebe in Normalenrich tung von der Koppelkurve eines kinematisch aquivalenten Starrk rpermechanis mus Das Vorgehen l sst sich auf vielfaltige Anwendungsf lle bertragen bei denen die Anregung oder Belastungen durch algebraische Funktionen die von den kinematischen Abmessungen abhangen gepr gt wird Insbesondere ist hier die Verringerung des Antriebsmoments s Abschnitt 3 5 zu nennen Ein weiterer wichtiger Ansatz zur Minimierung der Anregung durch eine Ver nderung der kinematischen Abmessungen wird in VDI 1999c erw hnt H ufig sind gewisse Frequenzanteile in den kinetostatischen Erregerkraften bzw in den entsprechenden kinematischen Lagefunktionen storend Die storende Wirkung kann beispielsweise auf der Anregung von Eigenfrequenzen beru hen Diese Frequenzanteile k nnen bei konstanter Antriebsdrehzahl den Ordnungen der Antriebs drehzahl zugeordnet werden Durch eine iterative Ver nderung der kinematischen Abmessungen kann erreicht werden dass diese Ordnungen in den Lagefunktionen m Rahmen der gegebenen Freir ume in der Bewegungsspezifikation minim
196. gkeiten erkennen l sst Die negativen Realteile lassen aber auf Stabilit t des Systems schlie en Die Eigenwerte charakterisieren das Eigenverhalten f r eine Systembeschreibung in den Lagegr Ben gs die durch die zeitvariante Koordinatentransformation 6 2 61 in die Zustandsgr en w 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 135 berf hrt werden k nnen Daher sind in den Imaginarteilen von Gl 6 2 66 nicht unmittelbar die Eigenfrequenzen der Systemmatrix A t die in Bild 4 2 3 f r ein System mit deaktiviertem Antrieb dargestellt wurden erkennbar Die Berechnung der homogenen Losung erfolgt mit der 2T Periodischen Lyapunov Floquet Transformationsmatrix Q analog zu Gl 6 2 53 w t Q t e Q to wo 6 2 67 In Bild 6 2 17 sind drei Beispiele f r die Verl ufe der Koeffizienten aus Q t ber dem Kurbelwin kel aufgetragen In den Randbereichen sind in den Verl ufen von Q 3 1 und Q 4 1 starke Schwankungen aufgrund von numerischen Ungenauigkeiten bei der Ann herung durch Chebysheff Polynome zu erkennen 250 gg erat ora27 l 0 AA n n ta so LI NA AA AN AAN A A A A A A th Ni IM THIALATALAAAAAA AAT A N SEN SINN III TINTS LYST mm i a as a 150 200 250 0 90 180 270 360 Bild 6 2 17 Beispiele f r Koeffizienten der reellen Lyapunov Floquet Transformationsmatrix Das vorangehend beschriebene Verfahren kombiniert numerische Methoden zur Bestim
197. gliedriger ebener Glied f hrungs und Ubertragungsgetriebe Dissertation Aachen Shaker Verlag 2005 Stra berger 1997 StraBberger M Aktive Schallreduktion durch modale Zustandsr ckf h rung mit Hilfe Piezo elektrischer Aktoren In Mitteilungen aus dem Institut f r Me chanik Ruhr Universit t Bochum Heft 111 Bochum Institut f r Mechanik 1997 S 34 44 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 194 Subbian und Flugrad 1991 Subbian T Flugrad D R Four Bar Path Generation Synthesis by a Continuation Method In ASME Hg JOURNAL OF MECHANICAL DE SIGN vol 113 1991 S 63 69 Subbian und Flugrad 1993 Subbian T Flugrad D R Five Positions Triad Synthesis with Applications to Four and Six Bar Mechanisms In ASME Hg JOURNAL OF MECHANICAL DESIGN vol 115 1993 S 262 268 Subramanian und Wang 1993a Subramanian D Wang C S Kinematic Synthesis with Configuration Spaces 1993 Subramanian und Wang 1993b Subramanian D Wang C S Constraint Based Kinematic Synthesis In IJCAI 1993b Sun und Mills 2002 Sun D Mills J K Manipulating Rigid Payloads With Multiple Ro bots Using Compliant Grippers In Transactions on Mechatronics Vol 7 No 1 2002 S 23 34 Sung und Thompson 1984 Sung C K Thompson B S Material Selection An Important Parameter in the Design of High speed Linkages In Mechanism and Machine The ory vol 19 Issue 4 1984 S 389 396 Sung u
198. grammierung nach Bellmann entworfen Dabei werden die m glichen bergangstrajektorien vom Ausgangszustand zum Wunschzustand mit den zugeh rigen Stellentscheidungen durch G tefunktionale bewertet und der optimale bergang wird ausgew hlt In Zhao u a 2006 wird die M glichkeit zur Schwingungsminderung f r einen elektrorheologi schen Aktuator im Bypass Betrieb zu einem gew hnlichen D mpfer im Fahrwerk eines Kraftfahr zeugs untersucht Fur die Berechnung der gew nschten Stellgr e wird dort eine Regelung f r ein aktives Stellglieder entworfen Der semiaktive Aktuator wird schaltend betrieben und immer dann aktiviert wenn er die Stellgr e in die gew nschte Richtung realisieren kann Die Stabilit t und die Wirksamkeit wird f r einen Zweimassenschwinger durch Simulation nachgewiesen Ein hnliches Vorgehen wurde f r den Pr fstand untersucht Im Gegensatz zu dem Zweimassenschwinger in Zhao u a 2006 werden bei dem Pr fstand die Schaltzeitpunkte nicht allein durch die Schwingbe wegung sondern durch die Summe aus der Schwingbewegung und der berlagerten Starrk rperbe wegung bestimmt Simulationsrechnungen haben gezeigt dass bei der Bestimmung der Relativwin kelgeschwindigkeit n den Gelenken der Winkelgeschwindigkeitsanteil aufgrund des Biegewinkels y4 der Schwinge y4 f r die Schaltlogik vernachl ssigt werden kann Hannig 2003 Die Wirkrich tung bzw das Vorzeichen der realisierbaren Bremsmomente ist in diesem Fall den kinem
199. gro e Schwankung dieses Eigenwerts sind darauf zur ckzuf hren dass er f r ein System ohne den geregelten Antrieb also mit freier Kurbel berechnet wurde Durch die Antriebsre gelung werden beide Eigenwertpaare beeinflusst Aufgrund der schwachen Kopplung die be1 dem Beispielsystem vorliegt wird aber vor allem die Trajektorie des zweiten Eigenwertpaars abhangig von den Reglerfaktoren zu gr eren Imaginarteilen hin verschoben Die zeitweise positiven Realtei le der Eigenwerte deuten darauf hin dass die Abweichung bei der Bewegung entlang oder in der Nahe der Linearisierungstrajektorie zeitweise nicht abklingt sondern zunimmt 100 Im 93 5 50 93 25 92 5 0 92 25 91 5 50 m 91 06 0 3 0 03 06 100 20 10 0 10 Re 20 Bild 4 2 3 Eigenwerte f r ein zeitvariantes System 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 45 Die Eigenwerte wurden in MAPLE mit algebraischen Gleichungen berechnet Diese algebraischen Gleichungen k nnen auch verwendet werden um die Eigenwerte durch eine gezielte Ver nderung der Designparameter in gew nschte Wertebereiche zu legen Wie im Abschnitt 4 4 noch erl utert wird stehen dabei unter anderem Bauteilparameter und Reglerparameter als Designparameter zur Verfugung Am Pr fstand wird ein Zahnradgetriebe verwendet das spielbehaftet ist Durch die kurzzeitige Entkopplung von Antrieb und Kurbelgetriebe wahrend de
200. gsfunktion des Systems sind durch eine geeignete Berechnung von R auf die gew nschten Werte Ap Ap gelegt werden Die Grundlagen des Verfahren und das Vorgehen werden in zahlreichen Lehrb chern zur Regelungstechnik z B in Konigorski 2003b und Konigorski 2003c oder F llinger 1994 ausf hrlich beschrieben Die Bestimmungsgleichungen f r die Koeffizienten in der Matrix R ergeben sich aus dem charakteristischen Polynom p A mit Koeffizienten a die von den gesuchten Reglerfaktoren in R abh ngen p A det sE Ag BGR s a _ R s 4a9 R 6 2 38 G G n a 0 Dieses soll gew nschte Koeffizienten p aufweisen die aus den gew nschten Eigenwerten Ap folgen l p A s g s gR2 S Aprn S Pn aS Po 6 2 39 Ein Koeffizientenvergleich liefert das Gleichungssystem zur Bestimmung der Reglerparameter Bei EingroBensystemen kann die Bestimmung der Reglerparameter unter Ausnutzung des Cayley Hamilton Theorems in die Formel von J Ackermann F llinger 1994 berf hrt werden R q IpoE AA Ag 6 2 40 Darin ist de die letzte Zeile der invertierten Steuerbarkeitsmatrix Qs 1 Bei der numerischen Be rechnung kann vorteilhaft ausgenutzt werden dass die Potenzen der Systemmatrix Ag bereits f r die Berechnung der Steuerbarkeitsmatrix ermittelt wurden Aufgrund der besonderen Struktur der Steuerbarkeitsmatrix n Gl 6 2 31 bzw Gl 6 2 32 kann die Inverse der Steuerbarkeitsmatri
201. gsmatrix B ist in diesem Fall nach Gl 4 2 7 durch die erste Spalte der Matrix B in Gl 4 2 3 multipliziert mit der Inversen der Massenmatrix gegeben 6 1 4 l J45 ro ro E U Im y 13J4 J3J5 40 435 JUN 4 50 Bei der Darstellung in Regelungsnormalform wird f r dieses Beispiel in den singularen Stellungen U 0 wo die 2x1 Matrix B an der zweiten Stelle eine Null hat direkt offensichtlich dass das Antriebsmoment nicht unmittelbar auf die h chste Ableitung des zweiten Freiheitsgrads wirken kann Das Bewegungssystem mit weniger Aktuatoren als Freiheitsgraden besitzt aber auch in den nicht singularen Stellungen ein autonomes Teilsystem mit einer internen Dynamik die nicht direkt von den Stellgliedern beeinflusst werden kann Um diesen Sachverhalt deutlicher zu machen wird derjenige Differentialgleichungsteil der die interne Dynamik beschreibt bei der berf hrung der Systemgleichungen in die Byrnes Isidori Normalform Isidori 1989 getrennt dargestellt von dem jenigen Differentialgleichungsteil der das dynamische Verhalten Ein Ausgangsverhalten be schreibt Die Byrnes Isidori Normalform wird zun chst f r ein System mit einem Freiheitsgrad w4 der zugleich der Systemausgang y wy ist erl utert Hier wird die Ein Ausgangsdynamik durch eine Differentialgleichung f r die h chste Ableitung des Ausgangs y w die explizit vom Eingang u abh ngt beschrieben Dabei ist r der relative Grad des Ausgangs y und die Ein
202. gstechnik und der Regelungstechnik zu einem Gesamtentwurf zusammenf hrt wird m Abschnitt 7 2 behan delt Das gesamtheitliche Vorgehen gew hrleistet dass bei den Auslegungsmethoden aus den ein zelnen Disziplinen die Randbedingungen aus den jeweils anderen Disziplinen nicht als unver nder lich gegeben vorausgesetzt werden 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf Als Ergebnis der Bewegungsspezifikation liegt eine Beschreibung der gew nschten Prozesstrajek torie vor Abschnitt 3 1 Dabei kann es sich um Punkt zu Punkt Bewegungen oder um genau definierte kontinuierliche Zeitverlaufe handeln In manchen F llen kann der Geschwindigkeits oder der Beschleunigungsverlauf die prozessrelevante Gr e sein Beispiele hierf r sind der Tiefzieh vorgang bei dem der Geschwindigkeitsverlauf an die Duktilit t des Materials angepasst werden muss und der Siebsortierer bei dem der Beschleunigungsverlauf an die Masse des Sortierguts angepasst werden muss Der Glasumformprozess ist ein Beispiel f r einen Vorgang bei dem auch 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 144 die Kraft entlang der Bahn prozessrelevant ist Die Planung der Geometrie der Prozesstrajektorie ist w e n Abschnitt 3 3 beschrieben wurde eng mit der kinematischen Ma synthese verbunden Zus tzlich muss f r den Prozess eine geeignete Zeitfunktion f r den Verlauf des Abtriebsorgans entlang der Prozesstrajektorie ermittelt werden Der zeitliche Verlauf en
203. gszeit erfolgen Die Planung systemgerechter Trajektorien f r die Aus g nge y und f r das autonome Teilsystem z unterliegt also der Einschr nkung dass die Trajektorie y ausreichend oft stetig differenzierbar sein muss und dass y eine Funktion mit ausreichend Designparametern sein muss Ein Vorteil dieses Vorgehens ist dass diese Trajektorien auch als Linearisierungstrajektorie f r die Ermittlung der zeitvarianten linearen Zustandsgleichung geeignet s nd Die Vorsteuerung kann also sehr gut durch eine adapt ve lineare Zustandsregelung erg nzt werden vgl Abschnitt 6 2 3 Beispielsweise wendet Luca 2000 das Vorgehen f r einen Roboter arm mit elastischen Gelenken und elastischen Gliedern an Bei dem Kurbelgetriebepr fstand ohne Zusatzaktuatoren ist zu berpr fen ob die inversionsbasierte Vorsteuerung verwendet werden kann um den Ausgang y w trotz autonomen Teilsystems z durch den Eingang u M entlang einer gew nschten Trajektorie zu f hren Dazu m ssen die entsprechenden Voraussetzungen erf llt sein Zum einen muss das autonome Teilsystem z stabil sein was bei dem Beispielsystem gegeben ist vgl Bild 4 2 3 Zum anderen muss der Teil B der Eingangsmatrix B regul r sein Die Regular t t der Matrix B ist eine strukturelle Eigenschaft des Gesamtsystems die von der topolo gischen Anordnung der Aktuatoren auf die im Abschnitt 7 2 noch eingegangen wird abh ngt Zugleich kann die Existenz der Inversen von B abe
204. gungsminderung Sind aufgrund der gew hlten Signalart z B analoge oder digitale Drehgeber oder aufgrund der Anordnung der Sensoren s Abschnitt 5 5 bestimmte Gr en messtechnisch unzug nglich so kann dies in der Regelungsstruktur einen zus tzlichen Beobachter erforderlich machen Bei Verwendung gut dimensionierter Motoren kann die Struktur des Motors einschlie lich der Leistungselektronik in der Regel durch Verz gerungselemente erster Ordnung Abschnitt 5 1 beschrieben werden und muss 1m Hinblick auf die Schwingungsminderung vielfach nicht beachtet werden Abschnitt 5 2 Werden Stellglieder der Klasse der semiaktiven Aktuatoren verwendet Abschnitt 5 4 so muss beachtet werden dass dort nur die Amplitude nicht aber die Wirkrichtung der Stellglieder frei vorgegeben werden kann Dies macht gegebenenfalls redundante Aktuatoren und eine geeignete Schaltungsstruktur m logischen Systemteil notwendig Es m ssen insbesondere die Struktur des Regelungssystems und die Struktur des restlichen Teilsystems aufeinander abgestimmt sein F r die Umsetzung der Synthese der Struktur des Gesamtsystems k nnen Werkzeuge und Vorgehensweisen der allgemeinen Konstruktionsmethodik s Abschnitt 2 angewendet werden um die problemspezi fischen Entscheidungen zu treffen Neben den strukturellen Auswirkungen muss bei der Festlegung der Eigenschaften und der Design parameter eines Teilsystems auch immer die Auswirkung auf die anderen Teilsysteme ber cksich
205. h aufw ndige Invertierung musste f r das Beispielsystem in MAPLE mit einer Genauigkeit von 64 Nachkommastellen durchgef hrt werden Der einzige Vorteil dieses Verfahrens gegen ber einer numerischen Integration ist daher darin zu sehen dass aus den bekannten Chebysheff Koeffizienten in wenigen Berechnungsschritten zwei Matrizen n mlich die berf hrungsmatrix und die Lyapu nov Floquet Transformationsmatrix die f r die Stabilitatsanalyse ben tigt werden ermittelt werden k nnen Die Stabilit tsanalyse wird im Abschnitt 6 2 4 erl utert wobei das Berechnungsbeispiel aus Bild 4 2 2 wieder aufgegriffen wird Ein Ansatz die station re Schwingungsantwort einfacher Systeme mit Faltungsintegralen analytisch zu bestimmen wird in Felszeghy 2005 vorgestellt Es ist aber bei den weniger einfachen Funktio nen der Koeffizienten Al j der Systemmatrix als begrenzt geeignet F r Zeitinvariante lineare Systeme kann die station re Schwingungsantwort mit einer Fourier Reihenentwicklung des Erre 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 44 gervektors und mit der Frequenzgangmatrix bestimmt werden Dieses Verfahren ist in zahlreichen Lehrb chern u a Corves 2007 beschrieben und wird daher hier nicht weiter erl utert Lineare zeitinvariante Systeme k nnen durch Eigenschaften wie das Eigenverhalten das Verhalten bei harmonischer Erregung oder durch das Sprungverhalten charakterisiert werde
206. hat den Vorteil dass das frequenzabh ngige Systemverhalten exakt modelliert wird Nachteilig ist dass es trotz des kleineren Gleichungssystems f r das kondensierte Modell numerisch hnlich aufw ndig ist wie die Berechnung mit dem nicht kondensierten Modell Daher wurden Verfahren zur gen herten dynami schen Kondensation entwickelt Eines der bekanntesten Verfahren das n der Vergangenheit h ufig in Mehrk rpersimulationsprogrammen umgesetzt wurde ist die Guyan Reduktion ADAMS 2003 Dabe handelt es sich um eine statische Kondensation zur Berechnung der kondensierten Steifigkeitsmatrix Um ein vollst ndiges Differentialgleichungssystem zu erhalten werden in einer nachgeschalteten Berechnung die Dampfungsmatrix und die Massenmatrix durch lineare Transfor mationen ermittelt wobei allerdings keine Massenkr fte ber cksichtigt werden Meinders 1997 In Petersmann 1986 wird hergeleitet dass ein Modell das ein Subsystem enth lt welches nach der Guyan Reduktion kondensiert wurde nur verwendet werden darf solange die Schwingungsfre quenzen ausreichend weit unterhalb der ersten Eigenfrequenz des Subsystems liegen Die Ursache daf r liegt in der Tatsache dass die Massenkr fte innerhalb der Substruktur bei der Guyan Reduktion nicht ber cksichtigt werden Daher st bei der Substrukturtechnik darauf zu achten dass die zu kondensierenden Teilsysteme jeweils eine ausreichend hohe Eigenfrequenz besitzen was bei mechanischen Systemen meis
207. hl die Trajektorien des Ausgangs y als auch der internen Dynamik geplant werden Diese Trajektorien k nnen jedoch nicht mehr unabh ngig von einander geplant werden In Doulgeri und Golfakis 2006 wird die Ein Ausgangslinearisierung f r die Regelung zweier redundanter Bewegungssysteme mit serieller Struktur die ein elastisches Objekt bewegen angewendet Dabei m ssen jedoch s ngul re Stellungen der Bewegungssysteme vermieden werden da f r die Ein Ausgangslinearisierung eine regul re Eingangsmatrix B vor ausgesetzt wird F r den Entwurf der Vorsteuerung Abschnitt 7 1 ist die differentielle Flachheit des Systems eine wichtige Eigenschaft da keine Integration von Trajektorienverlaufen die mit Modellgleichungen berechnet wurden vorgenommen werden muss Die Integration ist h ufig problematisch da Model lierungsfehler ebenfalls integriert werden und zu unbrauchbaren Trajektorien f hren Die Eigen schaft der differentiellen Flachheit und ein methodisches Vorgehen zum Vorsteuerungsentwurf wird unter anderem in Fliess u a 1995 und Rothfusss u a 1997 erl utert Flache Systeme lassen sich lokal ber einen flachen Ausgang y f w in den Zust nden w F y yor und in den Eingangsgr en u X Yy Vasy YD parametrieren Das Finden geeigneter Parametrierungen dund X ist im Allgemeinen schwierig gestaltet sich bei vielen mechanischen Systemen mit einer nichtlinearen Bewegungsgleichung in der Form 3 2 11 und einer invertierb
208. hl eine direkte Methode Newton Euler als auch ein analyt sche Methode Lagrange in einem Algorithmus umgesetzt Dieser erlaubt es die nichtlinearen und die linearisierten symboli schen Bewegungsgleichungen f r beliebige konzentriert parametrische Mehrk rpersysteme automa tisch aufzustellen Im Folgenden wird kurz auf die unterschiedlichen Klassen von Systemgleichun gen die mit diesem Werkzeug generiert werden k nnen eingegangen Die elastischen Deformationen machen im Vergleich zu Starrk rpermechanismen zus tzliche La gegr en zur eindeutigen Beschreibung der Position oder Orientierung aller Bauteile erforderlich Diese zus tzlichen Gr en s nd erg nzend zu den Starrk rperfreiheitsgraden Bestandteil des Lage vektors q t Ausgehend von der Definition der Ortsvektoren und der Drehmatrizen in Abh ngigkeit der Minimalkoordinaten q t kann die n chtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung aufge stellt werden Die allgemeine Schreibweise der Differentialgleichung unterscheidet sich nicht von der Gleichung 3 2 7 des Starrk rpersystems M q t q g q q t d q q t 4 2 1 Es ist auch festzuhalten dass die Stellgr en u und die Beschleunigungsgr en q bei den betrach teten elastizit tsbehafteten Systemen in gleicher Weise wie bei den Starrk rpersystemen s Abschnitt 3 2 immer linear eingehen Dementsprechend kann auch die Gl 4 2 1 in die Form von Gl 3 2 11 berf hrt werden M q 0 2 q 4 t Bu
209. hnitt 4 4 2 schwingungsmindernd aus so dass die quas statische Deformation im Vergleich zum System ohne diese beiden Minderungsma nahmen stark reduziert werden kann Im Bild 7 1 3 sind Simulationsergebnisse f r drei Systemkonfigurationen die jeweils mit Drehzahlre gelung betrieben wurden dargestellt Es handelt sich um das Getriebe mit den urspr nglichen ki nematischen Abmessungen original um das Getriebe mit den optimierten kinematischen Ab messungen optimiert und um letztgenanntes Getriebe mit zus tzlicher Trajektorienplanung 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 160 optimiert TP Bei ersteren beiden wird eine konstante Antriebsdrehzahl als Sollwert vorgege ben Bei letzterem wird der Antriebswinkelverlauf gem der Trajektorienplanung 7 1 15 mit anschlie ender Umplanung in den Polstellen vorgegeben Au erdem ist als Referenz der Verlauf des Abtriebswinkels w eingezeichnet um die singularen Stellungen s chtbar zu machen 0 04 Ya rad 0 02 A TL AMAR ers oo W I erin N Zorn te I IT ern 0 01 2 23 2 4 2 6 2 8 3 32 3 4 s Bild 7 1 3 Reduktion der quasistatischen Abweichungen am Abtrieb durch die Trajekto rienplanung und die Optimierung der kinematischen Abmessungen Die station re Schwingungsantwort setzt sich im Wesentlichen aus der quasistatischen Deformation und den angeregten Schwingungen mit der Eigenfrequenz zusammen Letztere sind i
210. hrten Antriebsbewegung aus Gl 4 4 4 und zum anderen fur das gekoppelte System berechnet werden Die Kopplung der Gleichungen erfolgt am besten auf Zustandsebene Hadwich 1998 Die Systemmatrizen linearer Teilsysteme werden zur Systemmatrix Ag des Gesamtsystems zusammen gef hrt Dabei wird der StellgroBenanteil B t u t im Erregervektor b der linearen Zustandsglei chung 4 2 14 des mechanischen Systems durch einen entsprechenden Kopplungsterm Kwe der die Abh ngigkeit der Motormomente von den elektrischen Zustandsgr en beschreibt ersetzt Es bleibt nur der St rgr enanteil M hg im Erregervektor bg des Gesamtsystems erhalten Bei dem Beispielmotor aus dem vorherigen Abschnitt wird die Kopplung durch die Motorkonstante in Gl 5 1 4 beschrieben Auch n der Zustandsgleichung des linearen elektrischen Teilsystems z B Gl 5 1 1 existieren Kopplungsterme Kam Ke mi so dass die Zustandsgleichung des Gesamtsys tems letztendlich die Form 5 2 Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und Getriebe78 W t Ag t wg t bg t 0 E 0 x t 0 Be ee er 5 2 1 EM ON ER Binde 20 i u Kin el Kin ell Ag Xel t ha hat Die Stellgr en im elektrischen Anteil h des Erregervektors sind die Schnittstelle zum Rege lungssystem Die Zustandsgleichung des elektromechanischen Systems kann analog durch die Zustandsgleichung des Regelungssystems erweitert werden Bei nichtlinearen Systemglei
211. htigt werden Ein Beispiel bei dem es notwendig ist neben der Regelung auch das Stellglied aufgrund seiner Zeitkonstanten zu ber cksichtigen wird im Ab schnitt 5 4 behandelt Uber die Drehmomentkonstante kyot in der Gleichung des Antriebsmoments 5 1 4 ist das mecha nische Teilsystem an die elektrische Zustandsgr e Ankerstrom gekoppelt Die Winkelgeschwin digkeit des Rotors ist nur im Gesamtsystem eine Zustandsgr e w hren sie in den isolierten Teil systemen Gl 4 4 4 und Gl 5 1 1 eine gegebene Zeitfunktion ist Beim Gesamtsystem sind in ihrem Verlauf Einfl sse beider Teilsysteme wiederzufinden Aufgrund der schwankenden kinetosta tischen Momentenbelastung durch das Getriebe stellt sich selbst bei Vorgabe einer konstanten Solldrehzahl eine ungleichf rmige Antriebsdrehzahl ein Zus tzlich sind vibrodynamische Anteile im Antriebswinkelgeschwindigkeitsverlauf enthalten Diese werden im Folgenden f r den Pr fstand und f r ein Simulationsmodell in dem vom elektrischen Systemteil nur die Drehzahlregelung imp lementiert ist untersucht In Bild 5 2 1 ist der Antriebswinkelgeschwindigkeitsverlauf be1 Simulati onen eines Hochlaufvorgangs mit anschlie ender station rer Phase den Messergebnissen von stati on ren Betriebszustanden gegen ber gestellt Der Ungleichformigkeitsgrad der Antriebswinkelge schwindigkeit liegt in der Gr enordnung von 10 5 2 Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und
212. i B 0 Rpj W XR 0 0 XR 0 E Bp 0 0 E XR 0 E E XG Ag XG Bc Kg CG XG Bo Mc 6 2 23 6 2 22 mit der Gleichung 6 2 18 Mit den Zusammenhangen A 0 By Bpj M E 6 2 24 Ca Cp Da Dp RpyBpy M2 Rp kann das eine System leicht in das andere berf hrt werden Die Entwurfsparameter in R Kg Cg k nnen analog zur vollst ndige Zustandsr ckf hrung mit den Entwurfsverfahren in Abschnitt 6 2 3 bestimmt werden nachdem zuvor die Steuerbarkeit anhand der der Erweiterten Systemmatrix Ag und der Matrix Bg berpr ft wurden siehe Tabelle 6 2 1 Dabei ist zu ber ck sichtigen dass die Berechnung der Reglerparameter zun chst nur Bestimmungsgleichungen f r die Summe der unbekannten Entwurfsparameter in der Blockmatrix D4 Dp Rp Bpr die Be standteil von Kg ist liefert Erst nachdem anschie end das Vorfilter Mg ausgelegt wurde so dass die Entwurfsparameter in Rp bekannt sind k nnen auch die Entwurfsparameter in Dp berechnet werden Der Berechnungsaufwand bei der Reglerauslegung l sst sich reduzieren indem einige 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 115 Entwurfsparameter n mlich diejenigen in der Matrix Bp a priori vorgegeben werden Diese Vor gabe entspricht einer Auswahl der Zustandsgr en d e ber den Integrator zur ckgef hrt werden Die Matrix Kg mit den zu bestimmenden Reglerparametern hat dann eine entsprechend kleinere Dimension sodass Bp in die Matrix Ag mit
213. ich sehr pragmatisches Vorgehen zur Auswahl geeigneter Motoren und bersetzungsgetriebe f r die dynamischen Antriebsaufgaben von Bewegungssystemen wird in Cusimano 2003 Cusimano 2005 und Cusimano 2007 vorgestellt Mit einem Starrk rpermodell des Bewegungssystems wird f r eine gef hrte Bewegung das kinetostatische Lastmoment f r den Antrieb ermittelt vgl Abschnitt 3 2 2 Wittenbauersche Grundaufgabe Dieses Lastmoment greift an dem auf die Abtriebswelle des Vorgeleges reduzierten Massentragheitsmoment des Antriebs an Der Drallsatz f r das reduzierte Massentr gheitsmoment des Antriebs dessen Wert von dem ge w hlten Motor und bersetzungsgetriebe abh ngt liefert die Beziehung zwischen dem Lastmoment und demjenigen Moment das letztendlich vom elektrischen Feld m Motor erzeugt werden muss Durch diese Gleichgewichtsbeziehung k nnen verschiedene Kennwerte wie z B e das maximal erforderliche Motormoment e das Nennmoment oder e das Beschleunigungsverm gen als Funktion des reduzierten Massentr gheitsmoments der zur Auswahl stehenden Motoren angege ben werden Eine geeignete Normierung und Auswertung der Funktionswerte f r die zur Auswahl stehenden Motor Vorgelege Kombinationen erlaubt die Bestimmung eines geeigneten Antriebs f r das Bewegungssystem Durch eine Ver nderung der Bauteilmassen s Abschnitt 3 5 kann n einem iterativen Prozess eine Abstimmung des Getriebes auf den am Markt verf gbaren Antrieb erfolgen S
214. icht beliebig geplant werden da die Zustandsgr en realer physikalischer Syste me keinen beliebigen Trajektorien folgen k nnen Nicht stetige sprungartige Verl ufe sind ein einfaches Beispiel f r nicht realisierbare Trajektorien Ziel der Trajektorienplanung ist es die Be wegung nicht nur prozessgerecht sondern zugleich system und antriebsgerecht zu gestalten Oliver u a 1985 f hren beispielsweise bei einer Kurbelschwinge mit elastischer Koppel ein Zu satzstellglied in einem der beiden gestellfesten Gelenke ein Dadurch k nnen alle ber cksichtigen Freiheitsgrade n mlich der Antriebsfreiheitsgrad und die erste Eigenschwingungsform der Koppel durch die Aktuatoren beeinflusst werden Die Autoren planen system und antriebsgerechte Trajek torien nach einem heuristischen Ansatz in der Form dass diese m glichst dem nat rlichen System verhalten entsprechen F r den Hauptantrieb wird die Trajektorie eines entsprechenden Starrk r permechanismus gew hlt und f r die Zusatzaktuatoren wird die Stellbewegung mit Hilfe der kine matischen und kinetostatischen Beziehungen so berechnet dass die Bewegung der Zusatzaktuatoren die quasistatischen Deformationen der elastischen Koppel kompensiert Ein systematisches Vorgehen ist durch den flachheitsbasierten Vorsteuerungsentwurf gegeben Abel u a 2008 Bei einer geeigneten Topologie des Bewegungssystems kann durch die Anord nung der Stellglieder erreicht werden dass die Eingangsmatrix B de
215. ie Koppelkurven von maximal 18 Ordnung Lohse 1983 und bei achtgliedrigen Getrieben von maximal 84 Ordnung Pennock und Hasan 2002 Allgemeiner kann gesagt werden dass die Klasse der realisierbaren Bewegungsfunktionen eine strukturelle Eigenschaft des Getriebes ist Daher wird bei den in der Literatur bekannten Synthese verfahren die endg ltige Spezifikation der Sollbewegung bzw Prozesstrajektorie Abschnitt 3 1 direkt mit der Synthese der kinematischen Struktur des Bewegungssystems verbunden Eingangsgr e f r den Prozessbaustein der kinematischen Struktursynthese sind unterschiedliche Beschreibungsformen der gew nschten Prozesstrajektorie Die zum Teil rechnerbasierten Ans tze arbeiten immer mit L sungssammlungen die eine Zuordnung von den Bewegungsaufgaben und den kinematischen Eigenschaften eines Bewegungssystems enthalten Sie haben zum Ziel f r die gegebene Bewegungsaufgabe einen passenden Mechanismus zu finden Die Verfahren setzen Techniken zur Beschreibung des gew nschten Bewegungsverhaltens und des erzeugenden Mecha nismus sowie einen Algorithmus zur Findung des Mechanismus voraus Sie k nnen dementspre 3 3 Prozessbaustein Struktursynthese 18 chend bez glich der Repr sentationsform f r das Bewegungsverhalten bez glich der Repr sentati onsform f r den Mechanismus und bez glich des Algorithmus klassifiziert werden Im Folgenden werden einige Syntheseverfahren beginnend mit sehr spezifischen hin zu immer abstrak
216. ie zugeh rige Ausgangsgr e y sondern auch weitere Ausgangsgr en beeinflusst In einigen F llen kann f r das geregelte System eine gute Dynam k und eine Verbesse rung des F hrungsverhaltens erreicht werden indem eine Entkopplung vorgenommen wird Durch die Entkopplung wird erreicht dass eine Ausgangsgr e y nur noch von einer einzigen F hrungs gr e w beeinflusst Konigorski 2004 Dazu muss die F hrungs bertragungsmatrix G s eine Diagonalmatrix sein Die F hrungs bertragungsmatrix G s ergibt sich aus der L sung der Zu standsgleichung im Laplace Bereich x Ag BaR XG T BGMcow x s sI F AG BGR BgMgw s y CoXG y s C sI Ag BoR BgMg w s 6 2 42 Jg Gy 5 ZU G s Cg sI Ag BGR BMG 6 2 43 In der Literatur zur Regelungstechnik z B Follinger 1993 Follinger 1994 und Konigorski 2004 werden Verfahren zur Bestimmung der F hrungs bertragungsmatrix beispielsweise die Anwendung der Synthesegleichungen nach Falb Wolovich ausf hrlich beschrieben Die zuvor behandelten Methoden zur Bestimmung der Reglerparameter lassen sich in Computer Algebra Programmen sehr gut algorithmisch umsetzen Die Wirksamkeit der so ausgelegten Regler hangt aber immer auch sehr stark von den Gewichtungsmatrizen oder Polvorgaben ab Diese sys temspezifischen Vorgaben m ssen vom Menschen gemacht werden H ufig ist ein iteratives Testen der Gute der Vorgaben durch Simulationsrechnungen notwendig Der e
217. iebetechnik und Maschinendynamik der RWTH Aachen 2005 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 177 Corves u a 2005 Corves B Brix T Henkel V H hne G Kloppenburg J Sammlung Aufbereitung und Vernetzung von getriebetechnischem Expertenwissen in der Digita len Mechanismen und Getriebebibliothek DMG Lib In 50 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Ilmenau Technische Universitat 2005 Corves u a 2006 Corves B Abel D Plesken W Harmeling F Maschuw J Robertz D Methoden und Werkzeuge zum Entwurf mechatronischer Bewegungssysteme mit un gleichm ig bersetzenden Getrieben In VDI VDE Hg Elektrisch mechanische Antriebssysteme Innovationen Trends Mechatronik D sseldorf VDI Verlag 2006 S 557 573 Corves 2007 Corves B Schwingungstechnik Vorlesungsskript Aachen Institut f r Getrie betechnik und Maschinendynamik der RWTH Aachen 2007 Corves und Harmeling 2007 Corves B Harmeling F Ma synthese Mehrk rpersimulation und elastizit tsbehaftete Getriebe In Lohe R Hg Getriebetechnik Kollogium Siegen 2007 S egen Lehrstuhl f r Konstruktionsmethodik CAD Mechatronik 2007 S 34 59 Cottin 2001 Cottin N DYNAMIC MODEL UPDATING A MULTIPARAMETER EIGEN VALUE PROBLEM In Mechanical Systems and Signal Processing 2001 S 649 665 Cree und Damaren 2001 Cree A G Damaren C J Causal Approximate Inversion for control of Structurally Fle
218. iebs und den Abtriebseigenwert kann die Aufteilung des verbleibenden Fehlers auf den Antriebs und den Abtriebsfreiheitsgrad beein flusst werden Als Folge der Zielsetzung den Abtriebsfehler zu verringern zeigen d e Zustandsre gelungen m Vergleich zur Drehzahlregelung dementsprechend gr ere Abweichungen am Antrieb Bild 6 2 9 Eine hnliche Charakteristik ist auch in Liao und Sung 1991 und Liao und Sung 1993 zu finden Dort wird eine Kurbelschwinge mit elastischer Schwinge und piezoelektrischen Aktuatoren betrachtet und es wird eine modale Regelung f r die niederfrequenten Eigenformen s Gl 6 2 41 der Schwinge entworfen Die Autoren erreichen eine starke Minderung der Eigen schwingungen wahrend die kinetostatischen Abweichungen verbleiben 0 050 y rad 0 025 0 000 0 025 DZR ZR 10 20 ZR 20 10 ZR 5 10 0 050 4 4 2 4 4 4 6 4 8 t s 5 Bild 6 2 9 Verlauf der Abweichung am Antrieb f r die Drehzahlregelung und Zustandsrege lungen mit verschiedenen Polpaaren Bei noch weiter links liegenden Werten des Realteils 6 vom Abtriebseigenwert k nnen in Simula tionsrechnungen noch bessere Ergebnisse f r die Abweichung am Abtrieb ermittelt werden Dies ist allerdings mit einem sehr hohen Stellaufwand verbunden und f hrt zu einem unrealistisch hohen Antriebsmoment Bei den Reglerparametern die in Bild 6 2 8 untersucht wurden sind die An triebsmomente durchweg kleiner als die Mo
219. iert werden k nnen 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 73 5 Auslegung der Stellglieder der Messglieder und der Messkette Neben den bisher behandelten mechanischen Komponenten sind Antriebe und Steuerungen integra ler Bestandteil mechatronischer Bewegungssysteme Die elektrischen hydraulischen oder pneuma tischen Antriebskomponenten k nnen jeweils durch Zustandsgleichungen beschrieben werden Die Grundlagen dazu sind in der Literatur zu mechatronischen Systemen wie z B De Silva 2005 Isermann 2002 und Isermann 2008 oder auch in der dom nenspezifischen Fachliteratur zu fin den Die Zustandsgleichungen der elektrischen mechanischen und weiteren Teilsysteme k nnen zu Systemgleichungen die die Dynamik des Gesamtsystems beschreiben zusammengefasst werden Hadwich 1998 Die Modellierungstiefe f r die einzelnen Teilsysteme ist f r jeden Anwendungsfall spezifisch zu wahlen Die dynamischen Effekte die 1m mechanischen Systemteil der Bewegungssysteme auftre ten haben eine starke Auswirkung auf die erzeugte Prozesstrajektorie so dass fur das mechanische Teilsystem oft eine detaillierte Modellierung sinnvoll ist Gleiches gilt f r die Modellierung der dynamischen Effekte in denjenigen Antrieben die unmittelbar auf die Prozesstrajektorie wirken Wirkt der Antrieb nur mittelbar durch ein dynamisches Teilsystem hindurch auf den Abtrieb so beeinflusst das vibrodynamische Ubertragungsverhalten des Teilsystems die Auswirk
220. ig ist eine Analyse des Systemverhaltens im Frequenzbereich hilfreich um das dynamische Verhalten zu gestalten Amplitudenfrequenzg nge k nnen herangezogen werden um das Systemverhalten zu charakterisieren und Zielsetzungen f r die Minderungsma nahmen zu formulieren Eine solche Zielsetzung k nnte beispielsweise sein die Existenz von Eigenfrequenzen in einem gewissen Anregungsfrequenzbereich zu vermeiden Die gleichzeitige Verwendung alge braischer Gleichungen hat den Vorteil dass der Zusammenhang zwischen den Bauteilparametern und den Eigenschaften in den Bestimmungsgleichungen erhalten bleibt Dadurch wird beispielswei 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 56 se eine gezielte Gestaltung der Eigenfrequenzen durch eine Anpassung der Bauteilparameter m g lich H ufig ist es praktikabel nur die ver nderbaren Bauteilparameter in algebraischer Form beizu behalten und alle anderen numerisch anzugeben da die Gleichungen dann kompakter werden Die Realisierung mehrerer Ziele sollte nicht getrennt voneinander betrachtet werden da diese Ziele von den gleichen Systemparametern abh ngen k nnen Es existieren gegebenenfalls konkurrierende Zielsetzungen so dass der Einsatz von numerischen Optimierungsmethoden s Abschnitt 2 erfor derlich sein kann Bei dem Beispielsystem kann durch die Gestaltung der Systemparameter das Ziel der Verringerung des quasistatischen Deformationsanteils der in der Simulationsrechnung oben links in B
221. igenschaften und weitere Kriterien herangezogen werden um die g nstigs te Struktur auszuw hlen Ein Beispiel f r solche dynamischen Kriterien sind die Frequenzanteile die n den Bewegungsverl ufen enthalten sind Viele Eigenschaften des Bewegungssystems zeigen sich erst be der Detaillierung des Systems So wird in VDI 1999c f r mehrere zur Auswahl ste hende Getriebestrukturen ein Massenausgleich vorgenommen um diejenige Struktur zu bestimmen die zu einem Bewegungssystem mit moglichst geringsten Gestellkraften fuhrt Die eingangs darge stellten Syntheseverfahren ber cksichtigen keine dynamischen Kriterien Sie konzentrieren sich ausschlie lich auf das Ziel der Realisierung der Prozessbewegung die in einem engen Zusammen hang mit einer strukturellen Eigenschaft der Getriebe n mlich der Klasse der realisierbaren Bewe gungsfunktion steht Im unmittelbaren Zusammenhang mit der Klasse der Bewegungsfunktion steht auch die Klasse der inversen dieser Funktion die in sp teren Berechnungsschritten f r die kinematische Ruckwartsrechnung ben tigt wird F r das dynamische Systemverhalten gewinnen zwei weitere strukturelle Eigenschaften an Bedeutung Dies sind die Existenz von Strukturwechseln und die Existenz und H ufigkeit singularer Stellungen s Abschnitt 3 2 die w hrend des Betriebs auftreten k nnen Strukturwechsel bedeuten dass Kopplungen im System nicht dauerhaft existent sind so dass die Systemtopologie und dementsprechend au
222. igenschwingungen der elastischen Schwinge vgl Abschnitt 4 3 auf das Drehzahlverhalten treten mit der Frequenz von 14 5 Hz auf Bei n 1 U s entspricht die Schwingeneigenfrequenz der 14 5 Kurbelordnung bei n 1 5 U s der 9 6 Kurbelordnung und bei n 1 8 U s der 8 1 Kurbelordnung In Bild 5 2 3 sind aber dar ber hinaus auch bei h heren Kur belordnungen Amplituden von gleicher Gr enordnung zu sehen Insbesondere bei der 25 und be der 50 Kurbelordnung treten gro e Amplituden auf Das bersetzungsverh ltnis des Vorgeleges ist 25 1 so dass die 25 Kurbelordnung der 1 Motorordnung entspricht und die 50 Kurbelordnung der 2 Motorordnung entspricht Die Amplituden bei den h heren Ordnungen sind erzwungene Schwingungen die beispielsweise auf Rundlauffehler von Wellen auf Zahneingriffe im Planeten getriebe und auf elektromagnetische Vorg nge m Zusammenhang mit den Ankerwicklungen auf den Polschuhen des Motors zur ckzuf hren sein k nnten Die technische Ursache kann bei Bedarf durch weiterf hrende Untersuchungen gekl rt werden Bei dem Beispielsystem sind diese Fre quenzanteile f r die Bewegungsaufgabe jedoch von untergeordneter Bedeutung da sie wie Ein gangs bereits erl utert nicht auf den Abtrieb des Kurbelgetriebes bertragen werden 0 035 ragsp tt tt TET ET EEE EE HE ES 0 025 u 0 020 0 015 0 010 0 005 TPA YT Pl raa TATA a UL ir 0 20 40 60 80 Kurbelordn 100 Bild 5 2 3 Ordnungsanalyse d
223. igungsm glich keit fur gegebenenfalls elastische Abtriebsorgane vorgesehen Als Hauptantrieb wird ein Synchron Servomotor 1 eingesetzt und an den Gelenken B und Bo sind demontierbare magnetorheologische Bremsen 7 angebracht S e k nnen sowohl als Zusatzstellglieder fungieren als auch zum Aufbrin gen von Lasten verwendet werden Das Abtriebstragheitsmoment 6 betr gt 0 05 Kg m Servomotor Planetengetriebe Kurbel Koppel Schwinge O Tr gheitsmoment Magnetorheologischer Aktuator Pr fstandsrahmen Bild 3 5 2 Kurbelgetriebeprufstand mit elastischer Schwinge 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t 26 4 Auslegung des elastischen Systemteils Im vorherigen Kapitel wurde die Dynamik von Starrk rpersystemen als Differentialgleichung in den Antriebsfreiheitsgraden formuliert Von der kinetostatischen Belastung aufgrund der Starrk r perbewegung geht eine Belastung und Schwingungsanregung f r die elastischen Bauteile und den Antrieb aus In den Antriebsfreiheitsgraden tritt eine Abweichung von der Starrk rperbewegung auf und es treten zus tzlich Deformationen n den elastischen Freiheitsgraden auf so dass es zu einer berlagerung der kinetostatischen und vibrodynamischen Effekte kommt Wie die Schwingungs antwort des Systems auf die Anregung ausf llt h ngt stark von den elastodynamischen Eigenschaf ten des Mechanismus ab Bei den sp teren Auslegungsschritten sind je nach Berechnungszi
224. ik f r die geplante Trajektorie also f r die Sollbewe gung In vielen Anwendungsfallen ist dies eine ausreichende Linearisierung des Systemverhaltens so dass die flachheitsbasierte Vorsteuerung u in Kombination mit einer linearen Zustandsregelung sehr gute Ergebnisse liefert kann 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 100 Die zuvor beschriebenen Normalformen und die flachheitsbasierte Vorsteuerung werden angewen det um ein nichtlineares Systemverhalten zu linearisieren und anschlie end Ma nahmen zur Schwingungsminderung f r ein lineares System zu entwerfen Auf die Normalformen muss also nur zur ckgegriffen werden wenn das System nicht von vornherein bez glich einer geeigneten Trajek torie linearisiert werden kann s Abschnitt 4 2 Bei linearisierbaren Systemen kann das sich erge bende lineare zeitvariante Modell zum Entwurf einer zeitvarianten Zustandsregelung genutzt wer den Freund 1971 Damit steht das breite Feld der linearen Zustandsregelung zur Verf gung Die Normalformen s nd Ausgangspunkt f r sp ter noch zu behandelnde Methoden zur aktiven Schwingungsminderung Je nach Methode werden unterschiedliche Anforderungen an die Ein gangsmatrizen B B und B gestellt Daraus resultieren Anforderungen f r den Entwurf der Topo logie des Gesamtsystems wo die Anzahl und die Anordnung der Stellglieder geplant wird s Abschnitt 7 2 Die M glichkeit zur Transformation auf einzelne Normalformen ist also eine strukture
225. il Abschnitt 3 2 bis 3 5 realisiert den f r die Erzeugung der Pro zesstrajektorien entscheidenden nichtlinearen Zusammenhang zwischen Eingangs und Ausgangsgr en e Der elastische Systemteil Abschnitt 4 ist durch die Deformationen einzelner Bauteile ver ursacht und f hrt zu Abweichungen von der Starrk rperbewegung e Stellglieder und Messglieder Abschnitt 5 stellen die Schnittstelle zwischen dem physikali schen und dem logischen Systemteil dar und k nnen au erdem mit einer eigenen Dynam k behaftet sein e Das Regelungssystem Abschnitt 6 ist der logische Systemteil der wiederum aus den Teil systemen St rgr enaufschaltung Beobachter Regler Vorsteuerung etc bestehen kann e Die F hrungstrajektorien s nd Eingangsgr en f r das Regelungssystem und werden unter Ber cksichtigung der Eigenschaften und des Verhaltens des mechatronischen Gesamtsys tems zugleich prozess und systemgerecht geplant Abschnitt 7 1 Abschlie end wird in Abschnitt 7 2 dargestellt wie unter Ausnutzung der Kenntnis ber die Funk tionen und die dynamischen Eigenschaften der Teilsysteme sowie der Kenntnis ber die Wechsel wirkungen zwischen den Teilsystemen das mechatronische Bewegungssystem in einem ge samtheitlichen iterativen Prozess so ausgelegt werden kann dass es seine Bewegungsaufgabe opti mal erf llt Dazu werden zahlreiche Proze bausteine die in den Abschnitten 3 bis 7 1 beschrieben werden m S nne der Vorgehensmode
226. ild 4 3 4 gut zu erkennen ist mit Hilfe der Gleichung 4 2 17 f r die statische Gleichgewichtslage x t er reicht werden Die zeitvariante statische Gleichgewichtslage beschreibt in guter Naherung die stati on re Systemantwort auf die quasistatischen kinetostatischen Belastungen Die Gl 4 2 17 liefert damit den algebraischen Zusammenhang zwischen x t und den Steifigkeitsparametern in Q t sowie den Masseparametern in h t Es konnen beispielsweise Grenzwerte fur die Verformung in den Umkehrlagen der Schwinge in die Gleichung eingesetzt werden und anschlie end kann die Gleichung nach der gesuchten Steifigkeitsvariable aufgel st werden Existieren in einem System elastische Bauteile die aufgrund der gew nschten Sollbewegung des Systems eine starke Deformation erfahren so kann die Gestaltung dieser Elastizit t im Hinblick auf die Minimierung der Antriebsbelastung s nnvoll sein Hier sind zum Beispiel Systeme mit Fest stoffgelenken zu nennen In Khatait u a 2006 wird das Antriebsmoment f r eine Kurbelschwinge mit Feststoffgelenken in B und B s Bild 3 2 1 durch die Bestimmung optimaler Steifigkeiten und Vorspannungen dieser beiden Gelenke minimiert Die Optimierung erfolgt durch kinetostatische Betrachtungen Wenn die Ubertragung von Belastungen ab einer gewissen Frequenz auf den Antrieb verhindert werden soll kann analog zur Schwingungsisolierung von Maschinen eine Elastizitat in den Kraft fluss zwischen Motor und Bewegu
227. in Bewusstsein f r den technisch notwendigen Ablauf und unterst tzen so ein zielstrebiges Arbeiten Hier soll exemplarisch nur die VDI Richtlinie 2206 VDI 2004b vorgestellt werden Die Richtlinie ist ein Rahmenwerk mit einem allgemeinen Vorgehensmodell f r die Synthese beliebiger mechatronischer Systeme Das Vorgehensmodell basiert auf der Verwendung eines V Modells als Makrozyklus und eines Prob leml sungszyklus als Mikrozyklus Bild 2 2 Der Entwurfsprozess wird vom Konstrukteur bzw Entwickler durch das Aneinanderreihen und Verschachteln einzelner Vorgehenszyklen Probleml sungszyklen so strukturiert dass der Entwurfsvorgang an die Anforderungen der jeweiligen Ent wurfsaufgabe angepasst st Prozessbausteine bieten dabei eine Unterst tzung durch konkrete Me thoden und Werkzeuge V Modell Probleml sungszyklus Prozessbausteine Richtschnur f r das Strukturiertes Vorgehen Unterst tzung f r wieder makroskopische Vorgehen auf Mikroebene kehrende Arbeitsschritte Situationsanalyse Methodik amp Werkzeugkette Zieldefinition Werkzeug Eingangsgr en gt Vordefinierte T tigkeiten gt Ausgangsgr en Analyse u Bewertung Entscheidung Planen Lernen Bild 2 2 Handlungsorganisatorischer Ansatz nach VDI 2206 mit dem V Modell als Mak rozyklus und dem Probleml sungszyklus als Mikrozyklus Die VDI Richtlinie 2206 und auch die anderen Vorgehensmodelle die in Mohringer 2005 vorge stellt werden k nnen aber
228. industriellen Arbeitsablauf Zu letzte ren geh ren z B Programme die den Konstruktionsprozess die Arbeitsorganisation die Auftrags verwaltung usw unterst tzen Zah u a 2005 3 1 Prozessbaustein Bewegungsspezifikation 9 3 Auslegung des Starrkorper Systemteils Zur Zeit der industriellen Revolution legten Reuleaux 1875 Willis 1870 und Burmester 1888 die Grundlagen der systematischen Analyse und Synthese k nematischer Strukturen mit starren Bauteilen Seit dem hat s ch f r ungleichm ig bersetzende Getriebe ein mehrstufiger Ausle gungsprozess durchgesetzt Dittrich u a 1996 Luck und Modler 1987 Sch nherr 2001 und Volmer u a 1995 l Bewegungsspezifikation 2 Struktursynthese 3 Ma synthese 4 Bauteildimensionierung In fr heren Arbeiten wurden die Auslegungsschritte weitgehend getrennt voneinander durchgef hrt In neueren Arbeiten ist eine immer st rkere mechatronische Betrachtungsweise und Verkn pfung der Arbeitsschritte zu beobachten Dyla 2002 bleibt dabei im Wesentlichen auf einer konzeptio nellen Ebene W hrend aus den Arbeiten von Kertscher und Matthes 1999 Sch nherr 2001 und Matthes und Sch nherr 2000 auch ein Werkzeug zur Umsetzung der vorgestellten Konzepte hervorgeht Dort wird eine CAD integrierte Entwicklungsumgebung f r F hrungsgetriebe nach VDI 1991a erstellt Sie bietet Unterst tzung im Bereich der Bewegungssynthese der Struktursyn these der Ma synthese und d
229. iner vollst ndigen Zustandsr ckf hrung Bild 6 2 5 m ssen alle Zustandsgr en gemessen werden d h C E und die Anzahl der Ausgangsgr en gleich der Anzahl der Zunstandsgr en ist q n Wenn nur ein Teil der n Zustandsgr en messtechnisch zug nglich ist besteht entweder die M glichkeit die unzug nglichen Gr en durch einen Beobachter zu sch tzen Abschnitt 6 2 5 oder eine Ausgangsr ckf hrung mit C E und q lt n zu verwenden 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 113 Regelstrecke Bild 6 2 5 Vollst ndige Zustandsr ckf hrung und Ausgangsr ckf hrung Die Zustandsgleichung der vollst ndigen Zustandsr ckf hrung bzw der Ausgangsr ckf hrung lautet x Ax BDpCx BM gt w 6 2 21 Die Anzahl der Entwurfsparameter f r die Reglerauslegung ist allein durch die Anzahl p q der Eintr ge in der Matrix Dp gegeben Bei dem Kurbelgetriebepr fstand Bild 4 2 1 k nnen entspre chend der vier Zustandsgr en entweder eine vollst ndige Zustandsr ckf hrung in Verbindung mit nur einem Stellglied u M oder eine Ausgangsr ckf hrung mit nur zwei Zustandsgr en in Verbindung mit zwei Stellgliedern verwendet werden um der Gleichung 6 2 20 zu gen gen Ersteres bedeutet den geringeren apparat ven Aufwand und wird m Abschnitt 6 2 3 umgesetzt Das Vorgehen richtet sich nach Tabelle 6 2 1 wobei die in der zweiten Spalte angegebenen Berech nungsvorschriften f r die Matrizen des G
230. ingungsarme Auslegung unter Ber cksichtigung der Wechselwir kungen zwischen den Teilsystemen zu realisieren erfordert spezifische Prozessbausteine Zu einzelnen Prozessbausteinen sind in der Literatur zahlreiche Ausf hrungen zu finden Ein Bei spiel f r einen Prozessbaustein der f r vielf ltige Probleml sungszyklen eingesetzt werden kann ist die numerische Optimierung von Zielfunktionen Li u a 2001 stellen mit der Design for Control Methodik ein Vorgehensmodell und zugeh rige Prozessbausteine f r eine integrierte Auslegung der Designparameter aus den Bereichen der Mechanik und der Regelung vor Das Vor gehen bas ert auf einer Formulierung der Designaufgabe als Optimierungsproblem und einer nume rischen Optimierung Es wird exemplarisch f r eine viergliedrige Kurbelschwinge als Starrk rper mechanismus mit PD Antriebsregelung angewendet um das dynamische Verhalten des Systems zu verbessern Vergleichbare Vorgehensweisen finden sich auch in Park und Asada 1994 und Pil und Asada 1996 Park und Asada 1994 bestimmen optimale Parameter f r einen PD Regler als Funktion der mechanischen Parameter eines zweigliedrigen Roboters und optimieren anschlie end die mechanischen Parameter Auch in Pil und Asada 1996 findet sich eine Methodik zur ge samtheitlichen Optimierung von mechatronischen Systemen die allerdings auf der terativen Ver nderung von Rapid Prototyping Modellen basiert In einem j ngeren Beispiel betrachteten
231. ismus mit identischen kinematischen Abmessungen ist Die Koppelkurve des Punktes K des Starrk rpermechanismus dient als Referenzkurve Die Kopfmasse vollf hrt eine Schwingbewegung s t die in guter Naherung parallel zur Verbindungs gerade durch die beiden Gelenk A und B erfolgt Die Trajektorie der Kopfmasse weicht von der Koppelkurve des Punktes K des kinematisch quivalenten Starrk rpermechanismus ab wie in Bild 6 1 2 dargestellt ist y Koppelkurve des Starrk rper mechanismus ULQ U Trajektorie des elastischen Mechanismus Bild 6 1 2 Kurbelgetriebe mit elastischem Ausleger und Kopfmasse Der Vektor U U vom Inertialsystem zum Koppelpunkt K des Starrk rpermechanismus ist eine Beschreibung der Lage des Koppelpunkts K in einem k rperfesten Xp Y Koordinatensystem das seinen Ursprung im Punkt K hat und dessen Achsen normal x und paral lel y zur Verbindungsgerade durch die Gelenke A und B ausgerichtet sind Die Bewegungskom ponente des Koppelpunkts U in Tangentialrichtung ist eine geeignete kinematische Ubertra gungsfunktion um s ngul re Stellungen zu identifizieren Denn sie beschreibt die vom Antriebs winkel abh ngige Bewegung des Fu punktes der Blattfeder n Richtung der Abweichungsbewe gung s t der Kopfmasse Die Nullstellen der bertragungsfunktion erster Ordnung Up entschei 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 102 den ber die Invertier
232. ist die Echt zeitfahigkeit Bei den Versuchen stellte sich heraus dass die Standardfunktion zur Matrixinvertie rung die von Simulink zur Verf gung gestellt wird selbst bei der Invertierung einer 2 x 2 Matrix zu langsam arbeit da die Matrix numerisch invertiert wird Sehr viel schneller laufen die Berech nungen ab wenn die Matrix zuvor in MAPLE symbolisch invertiert wird und anschlieBend die symbolischen Formeln in Simulink implementiert werden Besonders gro e Geschwindigkeitsvor teile resultierten aus den symbolischen Berechnungen bei der Ermittlung der letzten Zeile der Inver sen der 5 x 5 Steuerbarkeitsmatrix in Abschnitt 6 2 3 Erst nach der Optimierung aller Berechnungen l uft auch das aufw ndigste Regelungskonzept mit inversionsbasierter Trajektorienplanung und Vorsteuerung Abschnitt 7 1 2 mit St rgr enkom pensation Abschnitt 6 2 1 reduziertem Beobachter Abschnitt 6 2 5 und adapt ver PI Zustandsregelung Abschnitt 6 2 2 auf dem verwendeten Pentium III Rechner 800 MHz mit einer maximalen Ausf hrungszeit von 0 165 ms Dadurch konnte die Taktzeit f r die Regelung auf den Wert von 0 2 ms gesetzt werden Eine weitere Reduzierung der Taktzeit ist aus technischen Gr n den kaum m glich da die Kommunikation zwischen Steuerungsrechner und Servoverst rker ber eine serielles Interface mit 8 KHz 0 125 ms erfolgte Die Taktzeit von 0 2 ms hat sich aber auch f r die diesbez glich anspruchsvollen Zustandsregler und Beob
233. it der ersten nicht aber mit der zweiten Ableitung in der Differentialgleichung die das Kr ftegleichgewicht f r den Knotenpunkt be schreibt Der Systemteil der durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben wird kann gem Gl 4 2 5 in eine Differentialgleichung erster Ordnung berf hrt werden und mit dem Systemteil der von vornherein durch eine Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben wurde zu der Zustandsgleichung f r das Gesamtsystem in der Form 4 2 6 zusammengef hrt werden Wird f r das Beispielsystem nur der Hauptantrieb als Stellglied verwendet so st der Eingang u M und es ist die 2x1 Eingangsmatrix B durch die erste Spalte der Matrix B in Gl 4 2 3 multipliziert mit der Inversen der Massenmatrix gegeben 4 2 7 l J45 _ k bd 7 Im 2 J3J4 J3J 5 4J4J5 U 4 5 An der Eingangsmatrix B ist sehr sch n zu erkennen dass bei dem elastizit tsbehafteten System genau wie beim Starrk rpermechanismus Antriebsingularit ten auftreten k nnen vgl Ab schnitt 3 2 In diesem speziellen Fall ist die singul re Stellung durch Nullstellen der bertragungs funktion erster Ordnung U gekennzeichnet In dieser Stellung kann die Eingangsgr e Mp nicht unmittelbar auf die Abtriebsgr e w w rken und das inverse dynamische Problem ist in dieser Stel lung nicht l sbar Singul re Stellungen m ssen daher bei vielen sp teren Auslegungsschritten ge sondert behandelt werden Allgemein
234. it einem Vielfachen der Antriebsfrequenz angeregt In der Draufsicht oben rechts in Bild 4 3 6 sind die Amplituden aufgrund der erzwungenen Schwingungen mit der Antriebsfrequenz der Kurbel deut lich zu sehen Sie fallen entlang der Zeitachse gem der Exponentialfunktion ab Immer wenn eine Vielfache der Antriebsfrequenz mit der Eigenfrequenz zusammen f llt sind gro e Amplitu den berh hungen zu sehen Die gr te Amplitude von 0 012 rad tritt auf wenn die 8 Ordnung der Antriebsfrequenz mit der Eigenfrequenz zusammenf llt Qualitativ sehr hnliche Ergebnisse ergeben s ch auch f r das Balkenmodell In Bild 4 3 7 st das Wasserfalldiagramm in zwei Ansichten dargestellt Die Amplitude die auftritt wenn die 8 Ordnung der Antriebsfrequenz die Eigenschwingung anregt betr gt hier nur 0 008 rad und ist somit deutlich kleiner als am Pr fstand Dies deckt sich mit den Ergebnissen in Bild 4 3 5 und k nnte n einer zu hoch modellierten D mpfung begr ndet sein Die D mpfung hat 1m Resonanzbe reich eine starke Auswirkung auf die Schwingungsamplitude Im Messergebnis liegt das Amplitu denmaximum bei 14 2 Hz und im S mulationsergebnis bei 14 5 Hz vor Abweichungen in gleicher Gr enordnung von ca 3 sind auch in Scheideler 1995 zu finden Draufsicht 0 009 0 008 0 007 0 006 0 005 0 004 0 003 Winkelabweichung rad 0 002 0 001 3 02E 008 B 4S1E OM 2 0077 0 0025 0 0033 0 0042 0 005 0 0059 0 0087 0 0075 0 0084
235. it vibrierender Aufh ngung In TECHNISCHE MECHANIK Band 24 Heft 3 4 2004 S 277 288 Bock 1982 Bock A Arbeitsbl tter f r die Konstruktion von Mechanismen Suhl Kammer der Technik Bezirksverband Suhl 1982 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 175 Bonfig 1996 Bonfig K W Me technik und Me signalverarbeitung Renningen Malmsheim expert Verlag 1996 Bonsch und Corves 2005 Bonsch F Corves B Optimierung von Bewegungsprofilen In IGM Kollogium Getriebetechnik 2005 Aachen Shaker Verlag 2005 Bormann und Ulbrich 1996 Bormann J Ulbrich H Optimierung der Dynamik nichtlinea rer bersetzungsgetriebe durch geregelte Stelleingriffe Theorie und Experiment VDI Berichte Nr 1285 D sseldorf VDI Verlag 1996 S 547 556 Bottema und Roth 1990 Bottema O Roth B Theoretical Kinematics New York Dover Publications 1990 Bowong und Kakmeni 2006 Bowong S Kakmeni F M Chaos Control of Uncertain Chaotic Systems via Backstepping Approach In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 1 2006 S 21 27 Braccesi und Cianetti 2001 Braccesi C Cianetti F An interaction model between flexible structures and piezoelements useful in multi body modelling In Journal of Multi body Dynamics vol 215 No K4 2001 S 207 217 Bremer und Pfeiffer 1992 Bremer H Pfeiffer F Elastische Mehrk rpersysteme Stuttgart Teubner Verlag 1992 Braune 2000 Braune R
236. itte anhand eines einfachen elastizitatsbehafteten Beispielsystems das in den nachfolgenden Abschnitten noch n her vorgestellt wird demonstriert Dabei wird nicht die Realisierung eines konkreten Fertigungs oder Verarbeitungsprozesses betrachtet Vielmehr soll das Beispielsystem zur Aufgabe haben trotz der elastischen Verformungen die Trajektorie eines Starrk rpermechanismus zu erf llen Bei der Behandlung der Prozessbausteine wird jeweils erl utert welche zeitlichen oder geometrischen Gestaltungsfreir ume in der Bewegungsspezifikation Voraussetzung fur die Anwendbarkeit der dargestellten Methoden s nd Bei den Bewegungsmerkmalen k nnen sowohl die geometrischen als auch die zeitlichen Vorgaben durch die Eigenschaften kontinuierlich oder diskret und exakt oder unscharf klassifiziert werden Unscharfe Vorgaben k nnen durch Intervalle und Toleranzschl uche anstelle von exakten Werten oder Trajektorien gemacht werden F r kontinuierliche exakte Bewegungsvorgaben sind unter Anderem Beschreibungsfunktionen die in homogenen Koordinaten durch Schraubungen oder durch konjungierte Fl chen formuliert werden gebr uchlich Che 2006 Diskrete Bewegungsvor gaben erfolgen durch Lagen Geschwindigkeiten etc die zu gewissen Zeitpunkten vorliegen sol len Der bergang von einer Lage zur n chsten ist ein Gestaltungsspielraum der beispielsweise im Abschnitt 7 1 f r eine systemgerechte Trajektorienplanung ausgenutzt wird Fur ein effizie
237. kann das Auftreten von s ngul ren Stellungen anhand der Eingangsmatrix B analysiert werden Fur viele Berechnungen ist eine lineare Differentialgleichung vorteilhaft Ein formalisiertes Vorge hen das im Rahmen dieser Arbeit als Algorithmus in einem Computer Algebra Programm umge setzt wurde ist die Linearisierung durch eine Taylorreihenentwicklung Corves 2007 Durch die Taylorreihenentwicklung der Matrix M und der Vektoren g und d und durch eine anschlieBende Streichung der Terme von h herer Ordnung als kann die nichtlineare Gleichung 4 2 1 bez glich einer beliebigen zeitvarianten Trajektorie qs t linearisiert werden Die linearisierte Gleichung wird in den kleinen Abweichungsgr en x t beschrieben Es ist h ufig sinnvoll die Starrkorperbewe gungen als Linearisierungstrajektorie qs t und Abweichung x t von der Lage des Starrk rperme chanismus als kleine Schwingungsgr e zu verwenden Die linearisierte Bewegungsgleichung ist eine zeitvariante lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung M t x t P t x t Q t x t h t 4 2 8 Die Gleichung 4 2 3 mit dem Relativwinkel y4 t kann mit t Yo9 t y2 t und Yalt Yao t Yalt bez glich der Trajektorien Yo t und Y4o t linearisiert werden W hrend 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 39 der Biegewinkel Y4 t noch beliebig gro sein darf unterliegt die Abweichungsgr e y4 t der Einschr nkung dass es eine k
238. ke 1 2 3 4 5 6 der moglichen Lagen des Abtriebsbauteils die Menge der gew nschten Lagen als Teilmenge enth lt In einem anschlie Benden Auslegungsschritt kann eine geeignete Trajektorie q t die eine gew nschte Prozesstrajek torie y t erzeugt bestimmt werden Dazu muss bei dem Starrk rpersystem die bertragungsfunkti on Gl 3 2 2 invertiert werden q t Ul y t 3 2 3 Bei vielen Getrieben muss dabei beachtet werden dass die Ubertragungsfunktion nicht bijektiv ist so dass mehrere L sungen fur Gl 3 2 3 bestehen Die L sungen stellen zum Teil physikalisch nicht realisierbare Systeme und zum Teil Getriebe in unterschiedlichen Bewegungsbereichen dar Kerle u a 2007 Mit dem entsprechenden getriebetechnischen Fachwissen kann aus mehreren algebraischen L sungen die relevante L sung selektiert werden Damit kann auch das inverse ki nematische Problem 3 2 3 der Bestimmung der Trajektorie q t gel st werden Somit ist bereits n einer fr hen Entwurfsphase n mlich nach der kinematischen Ma synthese s Abschnitt 3 4 eine Absch tzung m glich ob die geforderten Antriebsgeschwindigkeiten und beschleunigungen durch markt bliche Motoren realisiert werden k nnen s Abschnitt 5 3 Die Auswirkung zus tzlicher elastischer Freiheitsgrade auf die Trajektorie q t wird zu einem sp teren Zeitpunkt im Rahmen der Trajektorienplanung Abschnitt 7 1 behandelt Kinematische bertragungsfunktionen sind Bestandteil der algebrais
239. kinematischen Abmessungen um letztere auf einen gewahlten Antrieb s Abschnitt 5 3 abstimmen zu k nnen Das Vorgehen wird im Abschnitt 4 4 3 erl utert allerdings 3 2 Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen 15 mit dem Unterschied dass dort die Belastung eines elastischen Freiheitsgrads anstelle des Spitzen antriebsmoments als Z elgr e verwendet wird Das dynamische Verhalten eines Starrk rpermechanismus bei dem neben den Massenkraften auch weitere Kr fte z B Feder oder Dampferkrafte wirken wird durch eine nichtlineare Differential gleichung zweiter Ordnung beschrieben M q t q g q q t d q q t 3 2 7 Darin ist M q t die Massenmatrix g q q t der Vektor der Coriolis und Zentrifugalkr fte d q q t der Vektor der verallgemeinerten Krafte und q der Vektor der Minimalkoordinaten deren Anzahl dem Wert f r den Freiheitsgrad entspricht Der Vektor der verallgemeinerten Kr fte kann dabei mit Hilfe der Jacobimatrizen der Translation Jr und der Rotation Jp aus den eingepr gten Kr ften fg und Momenten mg auf die p K rper des Systems i 1 p gewonnen werden Corves 2007 P AT T ts d gt Jhifri I angi e J ges dE Oar i l xt 37 I re Jip J 13 ee JT E T T T T T T T dE eT feo f p mgp mgp mpr Gee Offensichtlich gehen alle eingepragten Krafte und Momente linear in die nichtlineare Bewegungs gleichung ein Dieser Zusammenhang wird sich bei dem Entwurf von Vorsteue
240. ktion 5 Auslegung der Stellglieder der Messglieder und der Messkette 5 1 5 2 J3 5 4 bye Eigenschaften und Modellierung von Elektromotoren Prozessbaustein Analyse der Wechselwirkungen zwischen elektrischem Antrieb und Getriebe Prozessbaustein Dimensionierung der Elektromotoren Prozessbaustein Auslegung semiaktiver Stellglieder Prozessbaustein Auslegung der Sensoren und der Messkette 6 Auslegung des Regelungssystems 6 1 6 1 1 6 1 2 6 2 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems Aufbau einer durchgangigen Werkzeugkette Modellierung und Klassifikation der Systeme Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung II 10 12 I7 21 23 26 26 33 46 54 55 6l 69 73 74 77 82 83 87 90 92 92 95 102 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 7 1 7 1 1 7 12 T2 Prozessbaustein Auslegung einer St rgr enaufschaltung bzw Vorsteuerung Prozessbaustein Auswahl geeigneter Reglerstrukturen Prozessbaustein Reglerauslegung Prozessbaustein berpr fung auf Stabilit t Prozessbaustein Beobachterentwurf Integrative Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf Prozessbaustein Trajektorienplanung f r Punkt zu Punkt Prozesstrajektorien Prozessbaustein Trajektorienplanung f r kontinuierliche Prozesstrajektorien Iterativer Auslegungsprozess 8 Zusammenfassung 9 Literatur III 103 108 116 131 136 1
241. kzeug zur rechnerunterstutzten Anwendung von Losungssammlungen Untersuchungen zum Aufbau und zur Generierung von Wissensdatenbanken 3 3 Prozessbaustein Struktursynthese 19 finden s ch beispielsweise n Corves und Niemeyer 2004 Corves u a 2005 Dusch 2001 Niemeyer 2000 und Niemeyer 2003 F r die automatisierte Nutzung der L sungssammlung ist es notwendig dass die produktionstechnische Repr sentation bzw Beschreibungsform der Bewe gungsaufgabe zun chst vom Konstrukteur n eine technologieorientierte auf die Eigenschaften von Bewegungssystemen zugeschnittene Beschreibungsform umgewandelt wird Die Beschreibung erfolgt durch solche Merkmale die f r die Klassifikation von Abtriebsbewegungen der Getriebe in einer L sungssammlung geeignet sind In Sch nherr 2001 wird eine Klassifikation von Fuhrungs bewegungsaufgaben vorgestellt die weitgehend auf eine Realisierung der Bewegung durch ebene Kurven Kurbelgetriebe zugeschnitten ist Die Klass f kationsmerkmale werden n Matthes und Sch nherr 2000 und Matthes 2002 herangezogen um in einem Softwarewerkzeug eine grafische Eingabe einer F hrungsbewegung zur gew hren und anschlie end die Auswahl m glicher Struktu ren aus einer Wissensdatenbank vorzunehmen Die Entscheidung welche der m glichen Strukturen gew hlt wird liegt letztendlich beim Konstrukteur da hier hnlich wie bei der Bewegungsspezifi kation vielfaltige und anwendungsfallspezifische Randbedingungen ber
242. l bildung der Umfang des algebraischen Modells auf das technisch erforderliche Minimum reduziert wird Konzentriert parametrische Systeme f hren zu differential algebraischen Gleichungen die sich auch immer durch eine Transformation auf Minimalkoordinaten in gew hnliche Differentialglei chungen berf hren lassen Hadwich 1998 Das Vorgehen wird in Abschnitt 4 2 erl utert Zuvor werden die konzentriert parametrischen Modelle die aus der Reduktion von Kontinuumschwingern folgten den konzentriert parametrischen Finite Elemente Modellen gegen ber gestellt Bei der Finite Elemente Methode FEM steht eine r umliche Diskretisierung des Systems im Vordergrund Eine komplexe Geometrie wird in eine begrenzte Anzahl einfacher Elemente Stab Balken Schalenelemente etc unterteilt Die Elemente sind massebehaftete elastische K rper die an einer endlichen Zahl von Knotenpunkten miteinander verbunden s nd Das Verformungsverhal ten der Elemente wird f r die Knotenpunkte durch ein dynamisches Kr ftegleichgewicht beschrie ben Diese Diskretisierung f hrt zu den lokalen Bewegungsgleichungen die durch die Verbindung der Knotenpunkte aller Elemente und unter Ber cksichtigung der Randbedingungen in die globalen Bewegungsgleichungen berf hrt werden Die FEM ist insbesondere fur die Modellierung komple xer Geometrien geeignet und in der Praxis aufgrund der M glichkeit zu einer automatischen Ver netzung und der Verkn pfung von CAD und FEM
243. l ngenverh ltnisse A u v und den Wert fiir Ag Im Einzelnen ergeben sich f r das Bei spielgetriebe die in Tabelle 4 4 1 dargestellten Werte 0 0036 0036 100119 0119 0004 004 0 004 004 0394 394 0997 997 2 2789 1 51334 71096 Tabelle 4 4 1 Vorgabewerte und neu berechnete kinematische Abmessungen 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 65 Um die G te der N herung Gl 4 4 12 ist die quasistatische Deformation Y4 ist f r das Bei spielssystem in Bild 4 4 5 dargestellt Dort sind zwei Kurven f r das Originalsystem mit den Aus gangsgliedl ngenverh ltnissen A u v und fiir das optimierte System mit den ver nderten Glied l ngenverh ltnissen A u v zu sehen Das zu erwartende berschwingen in den Totlagen die am Nulldurchgang der bertragungsfunktion erster Ordnung U zu erkennen sind ist bei dem optimierten Getriebe und dem urspr nglichen Getriebe nahezu identisch w hrend bei den Extrem werten kleine Unterschiede zu erkennen sind Die N herung Gl 4 4 12 ist also ausreichend gut erf llt 0 02 weal l an ee wal O o T T ew 0 005 ao va original S u 0 01 optimiert 0 015 haa U 0 02 N 0 Pa 45 90 135 180 225 Fi 270 315 1360 Bild 4 4 5 Vergleich der quasistatischen Abweichungen bei dem Ausgangsgetriebe und dem Getriebe mit den optimierten kinematischen Abmessungen Die Grundlage f r die Neuberechnung der kinematischen Abmess
244. l beim Reglerentwurf ber cksichtigt werden k nnen wird n dieser Arbeit nicht weiter behandelt Es sei lediglich auf zwei Literaturstellen zum Reglerentwurf f r Bewegungssystem mit Strukturwechsel hingewiesen In der Arbeit von Jerreling und Dankowicz 2006 wird eine bergeordnete Regelung f r den transienten bergang zwischen zwei Betriebsfre quenzen eines Braille Hammers entworfen Die Arbeit baut auf Vorg ngerarbeiten in denen eine Regelung zur Stabilisierung einer periodischen Bewegung mit konstanter Periodendauer ber Struk turwechsel hinweg realisiert wurde auf Auch Gelenkspiel bedeutet einen Strukturwechsel und kann zu chaotischem Verhalten f hren In Bowong und Kakmeni 2006 wird ein Regelungskon zept f r solche Systeme unter Ber cksichtigung von Messunsicherheiten vorgestellt 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 110 Zusammenfassend kann an dieser Stelle festgehalten werden dass f r die hier betrachteten me chatronischen Bewegungssysteme ein gesteuert adaptiver linearer Zustandsregler auf Basis eines Referenzmodells geeignet ist Dieser wird im Folgenden erl utert Der erste Schritt zur Regleraus legung ist die Wahl einer geeigneten Reglerstruktur In der Literatur finden sich unterschiedliche Strukturen fur Zustandsregelungen Die gebrauchlichsten werden in diesem Abschnitt erlautert Sie k nnen alle als Sonderfall der allgemeinen dynamischen Ausgangsr ckf hrung die in Bild 6 2 4 dargeste
245. l in Gl 6 2 4 ist zu erken nen dass die Inverse von B wiederum nur existiert falls die Kompensation f r den ersten Frei heitsgrad vorgenommen wird so dass gilt B4 det M J45 Im Gegensatz dazu liegen bei dem zweiten Freiheitsgrad in den Todlagen wieder Polstellen vor da gilt Bj det M J4_5 Ujo 6 2 7 Eine n here Betrachtung des Ansatzes uz B 2 zeigt dass dadurch nur die unmittelbare St rung auf x beseitigt wurde aber ber die Kopplungsterme in der Systemmatrix A die bleibende St rung z f r die restlichen Freiheitsgrade x dennoch zu einer quasistatischen Abweichung x und gegebenenfalls zu berlagerten vibrodynamischen Anteilen f hrt Die quasistatische Abwei chung berechnet sich gem Gl 4 2 16 zu B e ms 0 BOOM 6 2 8 Wird x f r die relevanten Freiheitsgrade in x zu Null gesetzt so folgt aus dem oberen Teil der Gl 6 2 8 eine Berechnungsvorschrift f r u die die quasistatische Abweichung aufgrund der St rgr en kompensiert Bei dem Beispielsystem wird die statische Abweichung x Y4 f r den relevanten zweiten Freiheitsgrad in der Systembeschreibung mit y4 als Absolutwinkel Gl 4 2 11 zu Null gesetzt Y4 o 9 eal Q t hs t B t u 6 2 9 mit B 1 0 kann u M aus der Forderung Y4 0 mit den Abk rzungen aus Gl 4 2 11 wie folgt bestimmt werden Qa hs Wiles Hates 6 2 10 n det Q l det Q 6 2 Ma nahmen zur ak
246. l time trajectory modification algorithm In Robotica vol 19 2001 S 395 405 Rosenbrock 1963 Rosenbrock H H The stability of linear time dependent control sys tems In Jounal of Electronics and Control No 15 1963 S 73 80 Roth 2000 Roth K H Konstruieren mit Konstruktionskatalogen Band 1 Konstruktionsleh re 3 erw u neu gestaltete Auflage Berlin Springer Verlag 2000 Roth 2001 Roth K H Konstruieren mit Konstruktionskatalogen Band 2 Kataloge 3 wesentl erg Auflage Berlin Springer Verlag 2001 Rothfusss u a 1997 Rothfusss R Rudolph J Zeitz M Flachheit Ein neuer Zugang zur Steuerung und Regelung nichtlinearer Systeme In at automatisierungstechnik 1997 S 518 525 Rubin 1967 Rubin S Mechanical Immittance and Transmission Matrix Concepts In Journal of the Acoustical Society of America Vol 41 No 5 1967 S 1171 1179 Rudolph und Woittennek 2003 Rudolph J Woittennek F Flachheitsbasierte Steuerung eines Timoshenko Balkens In ZAMM Z Angew Math Mech Ausg 83 No 2 2003 S 119 127 Rump 1999 Rump S M INTLAB INTerval LABoratory In Csendes T Hg Development in Reliable Computing dordrecht Niederlande Kluwer Verlag 1999 S 77 105 Russel und Sodhi 2005 Russel K Sodhi R S On the design of slider crank mechanisms Part I multi phase motion generation In Mechanism and Machine Theory Vol 40 Issue 3 2005 S 285 29
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248. ld und Konigorsky 2007 Arnhold U Konigorsky U Ein ganzheitlicher systemtheo retischer Ansatz fiir die Regelung von Werkzeugmaschinenachsen In VDI Berichte 1971 2007 S 293 306 Artobolevsky 1975 76 77 Artobolevsky I Mechanism in Modern Engineering Design vols 1 3 Moskau MIR Publishers 1975 76 77 Asami u a 2002 Asami T Nishihara O Baz A M Analytical Solutions to H and H2 Optimization of Dynamic Vibration Absorbers Attached to Damped Linear Systems In Journal of Vibration and Acoustics Vol 124 No 2 2002 S 284 295 Aselmann 2004 Aselmann G Theoretische und experimentelle Verifikation einer Regelung f r eine semi aktive Schwingungsddmpfung in ungleichm ig bersetzenden Getrie ben Studienarbeit Aachen RWTH Institut f r Getriebetechnik und Maschinendy namik 2004 Bailey und Hubbard Jr 1985 Bailey T Hubbard Jr J E Distributed Piezoelectrc Polymer Active Vibration Control of a Cantilever Beam In Journal of Guidance Control and Dynamics vol 8 No 5 1985 S 601 611 Baumgart und Pao 2001 Baumgart M D Pao L Y Cooperative Multi Input Shaping for Arbitrary Inputs In Proc American Control Conf Arlington VA USA 2001 S 275 280 Baumgart und Pao 2002 Baumgart M D Pao L Y Discrete Time Optimal Command Shapers and Controls for Multi Input Multi Output System In Proc American Con trol Conf Anchorage AK USA 2002 S 2279 2284
249. leibenden Gesamtstorung Bu 4 minimiert realisiert werden F llinger 1994 Ulbrich und Stein 2002 Angewendet auf das Beispiel des Kurbelgetrie bes mit zwei Freiheitsgraden bei dem nur der Hauptantrieb u M als Stellelement verwendet wird folgt f r die Systembeschreibung mit y4 als Relativwinkel aus Gl 4 2 15 bzw 6 1 4 0 0 0 l o oo aa ne aa det M J aaa Jas J12 J345U10 J6U20 J4 5U10 En cet gt 2 2 yi AD _ Jas 12 J3asUi0 Ic U 4 50 70 2 FR o 0 J45 EA 6 2 5 J45 J4_5U 9 Der Nenner in Gl 6 2 5 weist keine Polstellen auf so dass diese StorgroBenkompensation reali sierbar ist 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 105 Der zuvor beschriebene Ansatz minimiert den Betrag der Gesamtst rung Geh rt aber nur ein Teil x der Zustandsgr en x zum Ausgang y so ist es sinnvoller nur die St rung die auf diese Zu standsgr en wirkt zu minimieren Dazu werden die Zustandgr en in der Zustandsgleichung 6 2 1 so umsortiert dass die Freiheitsgrade mit x4 und ohne x2 St rgr en kompensation zusammengefasst sind i 0 0 0 X _4r 0 0 0 A X B Up B u A 6 2 6 X2 B2 B2 2 Analog zu Gl 6 2 2 wird durch uz B z die unmittelbare St rung fur die ausgew hlten Freiheitsgrade x eliminiert Dabei muss die Anzahl der Stellglieder der Anzahl der Zustandsgr en in x entsprechen damit B quadratisch ist Bei dem einfachen Beispie
250. leine Schwingungsgr e ist M t x t P t x t Q t x t h t mit Y4 2 2 Jin Jaas Um J6U Ja_ lt U mcty 12 345 G 6U20 J4 509 34 5010 J45 P t oe 2J6Ux0U 20420 0 2J4_5U10Y20 k2 Q t Q11 0 ED M m 2 J4 5 209U10 Uj 9 20 M 2 m2 Q11 J345 2U U10V29 U10 UU 19 Y20 Won 2 m lt 2 J6 2U U 20V 9 U20 U5 U 59 Y20 Mgo Mg Ujo MBU 49 J4 5 40U10 nm 1 wu uw 10 a Uio U20 Un Mp ho 0 Mpo we ji We 2 2 sa hy J12Y20 J345 U10U10Y20 U10020 I ae w e 2 2 s J4 5U10 40 J6 U 59 U 20720 U30Y 50 4 2 9 w 2 Z hy Y40 2 Yaoka J4 5 U10Y20 U10220 J45Va0 Neben den zuvor erw hnten Konstanten aus Gl 4 2 3 enth lt die Gleichung 4 2 9 einige zeitab hangige Terme Dies sind die Linearisierungstrajektorien Y t Yao t Y20 t Yao 0t Yo t Yao t und die bertragungsfunktionen nullter oder h herer Ordnung die jeweils f r die Lineari sierungstrajektorie ausgewertet werden und daher reine Zeitfunktionen sind U10 Vio UM Ay 4 2 10 Auf die explizite Angabe der Zeitabh ngigkeit wurde in Gl 4 2 9 aus Gr nden der bersichtlich keit verzichtet Auch die die u eren Momente M Mp und Mpo wurden bei der Linearisierung als reine Zeitfunktion ber cksichtigt also als St rgr e behandelt Kommen aufgrund einer Rege lung noch weitere Momentenanteile die von den Schwingungsgr en
251. len insbesondere wenn kein Integralanteil in der Regelung vorhanden ist kann aber durch eine St rgr enkompensa tion durchaus eine Verbesserung der Regelg te erreicht werden 0 04 rad 0 02 0 01 5 AN rr TN Vf I VISE PRA ony i WY fF NN 0 04 4 4 2 4 4 4 6 4 8 s 5 Bild 6 2 2 Station re Schwingungsantwort f r Systeme mit und ohne St rgr enkompensa tion Nicht alle St rgr en lassen sich so gut vorausberechnen wie die kinetostatischen Massenkr fte Bei dem koppelkurvengesteuerten Malteserkreuzgetriebe in Bild 6 2 3 konnen durch den Eingriff 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 107 des Treiberbolzens Sto kr fte auftreten die deutlich gr er sind als die kinetostatischen Massen kr fte Jandrey 2007 Bild 6 2 3 Koppelkurvengesteuertes Malteserkreuzgetriebe In diesen F llen kann eine St rgr enaufschaltung durch einen St rgr enbeobachter realisiert werden Das Verfahren arbeitet mit einer Sch tzung von nicht messbaren St rgr en durch mathe matische Modelle in St rgr enbeobachtern Wendt und Lutz 2002 Dazu muss der zeitliche Cha rakter d h die prinzipielle zeitliche Ver nderung der St rgr en soweit bekannt sein dass der St rgr enverlauf z t durch eine Zustandsgleichung Xs Asxs 6 2 13 Z Csxs 6 2 14 beschrieben werden kann F llinger 1994 Au erdem wird vorausgesetzt dass es sich bei der den St
252. ler L R An Adaptive Semiac tive Control Algorithm for Magnetorheological Suspension Systems In Journal of Vibration and Acoustics vol 127 ssue 5 2005 S 493 502 Spiteri u a 1998 Spiteri R J Montagnier P Angeles J CONTROL OF A SHAKING BELT CONVEYOR BY A NOVEL APPLICATION OF FLOQUET LYAPUNOV THE ORY 1998 Starek und Inman 2004 Starek L Inman D J Design of Nonproportional Damped Sys tems via Symmetric Positive Inverse Problems In Journal of Vibration and Acous tics Vol 126 issue 3 2004 S 212 219 Starns und Flugrad 1993 Starns G Flugrad D R Five Bar Path Generation Synthesis by Continuation Methods In ASME Hg JOURNAL OF MECHANICAL DE SIGN vol 115 1993 S 988 994 Stolle und Corves 2002 Stolle G Corves B Mafsynthese mehrgliedriger ebener Drehge lenkgetriebe durch Kreispunktsuche und Homotopieverfahren In VDI Hg Kurvengetriebe Gelenkgetriebe gesteuerte Antriebe Probleml sungen in der Bewegungstechnik VDI Berichte Nr 1707 D sseldorf VDI Verlag 2002 S 101 121 Stolle u a 2004 Stolle G Corves B Husing M Dimensional Synthesis of 6 and 8 Bar Planar Mechanisms Using Centerpoint Search and Polynomial Continuation Method in Automotive Engineering Proceedings of the 11th World Congress in Mechanism and Machine Science Vol 3 Tianjin China China Machine Press 2004 Stolle 2005 Stolle G Verfahren zur Ma synthese sechs und acht
253. lle Eigenschaft der spezifischen Bewegungssysteme Sie h ngt von topologischen Gege benheiten ab F r eine Transformation in die Brunovsky Form Gl 6 1 3 muss die Anzahl der Stellglieder der Anzahl der Freiheitsgrade entsprechen so dass die Matrix B eine quadratische Matrix ist Bei dem Beispielgetriebe aus Bild 3 5 2 w re eine exakte Zustandslinearisierung nur mit zwei Aktuatoren m glich z B u Man Mpo Erg nzend zu den topologischen Gegebenheiten muss aber auch die Abh ngigkeit von Parameter werten beachtet werden F r gewisse Parameterwerte k nnen singul re Stellungen auftreten in denen der Eingang u nicht unmittelbar auf die Ableitung y des Systemausgangs wirken kann Die Parameterabh ngigkeit und die Bedeutung der singul ren Stellungen bei der Transformation auf die Normalformen werden anhand dreier Beispiele beleuchtet Als erstes Beispiel wird der Kurbelgetriebepr fstand mit zwei Aktuatoren u M Mpo betrach tet Es ist zu berpr fen ob die Invertierbarkeit der 2x2 Eingangsmatrix B gegeben ist damit das R ckf hrungsgesetz 6 1 2 f r die exakte Zustandslinearisierung realisiert werden Aus der Formu lierung der Bewegungsgleichung mit Absolutwinkeln 4 2 4 kann entnommen werden dass die Eingangsmatrix B M B f r dieses spezielle Beispiel dentisch mit der inversen der Massenmat rix M ist a ve 2J U B 2 2 3 2 2 J45 Ji2 J3 4J 5 U JgU5 AJzZU 2J5U Jiz J3 4J5 U J6U5
254. lle aus Abschnitt 2 zu einem integrativen Entwurfsproze zusammengef hrt Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme 3 2 Vorgehensmodelle zu Auslegung mechatronischer Bewe sungssysteme In nahezu jedem Industriezweig erfordern die Herstellungs und Verarbeitungsprozesse die Bewe gung von Werkst cken oder Produkten entlang einer Prozesstrajektorie Aus den Prozessen resultie ren Bewegungsaufgaben die durch Bewegungssysteme realisiert werden Bild 2 1 Eine Abwei chung der Ist Bewegung von der Sollbewegung st h ufig unerw nscht und kann durch vielf ltige Verfahren zur Schwingungsminderung verringert werden Die Verfahren greifen bei den einzelnen Teilsystemen des mechatronischen Bewegungssystems an Innerhalb der beteiligten Disziplinen existieren f r die Auslegung einzelner Eigenschaften und Komponenten eines mechatronischen Systems eine Reihe von ausgereiften Entwurfsmethoden und werkzeugen Auf Literatur zu diesen Verfahren die den Disziplinen der Getriebetechnik der Maschinendynamik der Elektrotechnik und der Regelungstechnik entstammen wird an geeigneter Stelle noch eingegangen Es sei aber an dieser Stelle schon angemerkt dass dort zumeist Randbedingungen von nicht betrachteten Teilsys temen oder aus jeweils anderen Disziplinen als unver nderlich angenommen werden In diesem Abschnitt wird auf Methoden und Werkzeuge eingegangen die im Gegensatz dazu die Grenzen zwischen den Disziplinen und Teilsystemen au
255. llt ist betrachtet werden F llinger 1994 Konigorski 2003c Durch die Matrizen C und Da werden Zustandsgr en proportional zur ckgef hrt Falls die Matrix C eine Einheitsmatrix ist C E werden alle n Zustandsgr en zur ckgef hrt und es wird von einer vollst ndigen Zustands r ckf hrung oder kurz Zustandsr ckf hrung gesprochen F llinger 1994 Wird nur ein Teil der Zustandsgr en zur ckgef hrt so wird dies als Ausgangsr ckf hrung bezeichnet Regelungen nach diesen beiden Prinzipen s nd geeignet um st rungsbedingte Abweichungen von der F hrungsgr e w t 0 auszuregeln Regelstrecke 1 9 Bild 6 2 4 Allgemeine dynamische Ausgangsr ckf hrung Die Auslegung der Reglerparameter in D erfolgt so dass ein gutes St rverhalten also eine gute Dynamik beim Ausregeln von Anfangsst rungen oder impulsartigen St rungen vorliegt Soll das System einer F hrungsgr e w t 0 folgen so kann durch eine geeignete Auslegung des Vorfil ters My ein gutes F hrungsverhalten sichergestellt werden Das System kann so station re Endwerte ohne bleibende Regeldifferenz erreichen Unterliegt das System nicht nur einer Anfangsst rung oder einer kurzzeitigen St rung sondern l nger andauernden oder konstanten St rgr en so kann dies zu einer bleibenden Regeldifferenz f hren Wendt und Lutz 2002 Die Regeldifferenz kann durch eine St rgr enkompensation Abschnitt 6 2 1 oder durch Hinzunahme eines Integralantei
256. ls mittels der Matrizen By und C4 reduziert werden Hierbei wird auch die Matrix M ben tigt Die Matrix A wird f r die Realisierung eines Beobachters Abschnitt 6 2 5 ben tigt Auf die tieferge 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 111 hende Bedeutung der Matrizen wird an sp terer Stelle eingegangen Die Zustandsgleichung der Strecke also des Bewegungssystems rechts im Bild lautet x Ax Bu 6 2 16 Das gesamte System kann durch die Differentialgleichungen x Ax B D Cx Caxp BM gt w a wv gt 6 2 17 a b XR AAXR B Cx M w y beschrieben werden Diese Matrizen k nnen zu einer linearen Zustandsgleichung zusammengefasst werden x A 0V x B 0Y D C C 0 x B M Ne w 6 2 18 XR 0 0 XR 0 E Ba Aa 0 E XR 0 E M XG Ag XG Bc Ko Cc XG Bo Mg Darin ist xg der erweiterte Zustandsvektor Ag die erweiterte Systemmatrix und Kg die Ausgangs r ckf hrung Die Festlegung der Reglerstruktur ist gleichbedeutend mit der Entscheidung welche Matrixelemente aus Gl 6 2 18 im Einzelnen verwendet werden sollen Unterschiedliche Regler strukturen besitzen eine unterschiedliche Anzahl der Stellgr en p und der Ausgangsgr en q Die Anzahl der Entwurfsparameter fy der allgemeinen Ausgangsr ckf hrung ist die Anzahl der Ele mente in den Matrizen Ag Br Cr und Dg w hrend die Ordnung des Gesamtsystems n r ist Somit folgt f r die Anzahl der notwendigen Entwurfsparameter fa bzw der Ordnung r
257. ls bei sp teren Berechnungen f r den eingebauten Zustand der Schwinge bei dem Modellparameter J4 kein Anteil f r ein zus tzliches Abtriebstragheitsmoment Jap ber cksichtigt wurde Zur Verifikation der Modellparameter wurde au erdem ein FE Modell eines balkenf rmigen zweiseitig drehbar gelagerten Biegeschwingers erstellt Dieses Modell wurde in ADAMS automatisch nach einer Modifikation der Craig Bampton Methode kondensiert wobei die ersten 30 Eigenformen ber cksichtigt wurden Das Modell zeigt eine erste Eigenfrequenz von 117 67 Hz mit der Schwingungsform die in der Mitte von Bild 4 1 2 dargestellt ist Beide Modelle stimmen also gut berein Eine weitere experimentelle berpr fung der Modelle kann soweit m glich und n tig zur iterativen Anpassung der Modellparameter genutzt werden und wird im Abschnitt 4 3 beschrieben Wenn mehr als eine Eigenschwingungsform ber cksichtigt werden muss ist dies durch die Ver wendung mehrerer gekoppelter Timoshenko Balkenelemente m glich Werden 20 K rper durch 19 masselose elastische Balken miteinander verbunden rechts in Bild 4 1 2 so zeigt dieses Modell eine Eigenfrequenz von 117 55 Hz Dabei wurden die Masse und das Massentragheitsmoment entsprechend der Geometrie eines kurzen Balkenelements dessen Lange eine Zwanzigstel der Gesamtbalkenlange entspricht berechnet Durch diese Art der Modellierung kann ein Modell er stellt werden dass mehrere Eigenformen abbildet und gleichzeitig die Informati
258. lt 5 m EN W Ui Y4 Vr UY Ya Koppe Ig 3 Schwinge y U f 4 Kontinuumschwinger schwingt mit der ersten Eigenform Bild 4 1 1 Erstellung eines konzentriert parametrischen Modells rechts f r stabformige Kontinuumschwinger links Der Kontinuumschwinger wird als Euler Bernoulli Balken der nur mit der ersten Eigenform der Biegung schwingt modelliert Dadurch entsteht ein System mit einem Schwingungsfreiheitsgrad der bei dem Ersatzsystem durch eine Feder c g erm glicht wird Die D mpfungskonstante k g wird nach dem in Kr mer 1984 beschriebenen Vorgehen anhand von Richtwerten f r die Materi ald mpfung in Stahl ermittelt Rechts in Bild 4 1 1 sind zwei gleichwertige Repr sentationsformen 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t 29 dieses Ersatzsystems dargestellt Bei dem ersten Ersatzsystem sind die Massentr gheitsmomente J4 und J durch eine Blattfeder verbunden Sie k nnen sich relativ zum starren K rper Jy verdrehen Bei dem zweiten Ersatzsystem ganz rechts ist J4 ber eine Torsionsfeder an das gestellfeste Gelenk Bo des starren Stegs Jg angebunden J ist durch ein Drehgelenk in B am gleichen Steg gebunden und k mmt ber eine Zahnradpaarung mit J4 Der starre K rper Jg schlie t als Schwinge die Ma sche des Starrk rper Kurbelgetriebes Durch diese Modellierung sind der nichtlineare und der elastische Systemteil voneinander getrennt Vorteilhaft ist dass bei diesen Verfahren der Model
259. lt f r das gesteuerte System x 0 Ax BM w amp x A BM w 6 2 48 yR B Cx BACA BM gt w w 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 131 Falls die Dimension des Ausgangs yp gleich der Anzahl p der Stellgr en ist also M eine px n Matrix ist kann aus der Forderung dass im station ren Zustand gilt yp w aus der unteren Glei chung eine Berechnungsvorschrift f r M abgeleitet werden BpCA BM E 6 2 49 M BpCA B Die Berechnung des Vorfilters sollte wiederum im Computer Algebra Programm vorgenommen werden um die Matrixinvertierungen symbolisch durchzuf hren und die Ergebnisformeln so weit wie m glich zu vereinfachen Dies f hrt zu einer erheblichen Reduzierung der Taktzeit mit der die Regelung auf dem Steuerungsrechner arbeiten kann 6 2 4 Prozessbaustein berpr fung auf Stabilit t Entwurfsverfahren wie die Polvorgabe die im vorherigen Abschnitt erl utert wurde garantieren Stabilit t f r zeitinvariante lineare Systeme F r gesicherte Aussagen ber die Stabilit t zeitvarian ter linearer Systeme muss die Stabilit t des geregelten Systems jedoch gesondert untersucht werden Eine M glichkeit besteht darin die Stabilit t des nichtlinearen Ausgangssystems zu untersuchen Hierf r werden in der Fachliteratur zur Regelungstechnik und zur Systemtheorie z B F llinger 1993 Konigorski 2003c mehrere Verfahren erl utert Vor allem ist die direkte Methode nach Lyapunov zu ne
260. m Antrieb nur in der singul ren Stellung existieren w rde Die Trajektorienplanung f r diesen Bewe gungsabschnitt kann auf die inversionsbasierte Trajektorienplanung f r Punkt zu Punkt Bewe gungsaufgaben zur ckgef hrt werden Damit ist eine M glichkeit zum Durchlaufen singularer Stellungen gegeben F r den so geplanten Trajektorienabschnitt gelten die Einschr nkungen die m vorherigen Abschnitt beschrieben wurden Wenn die Ausgangstrajektorie y t kontinuierlich und exakt vorgegeben ist und keinen Gestal tungsspielraum zul sst kann die zugeh rige Trajektorie z t der internen Dynamik aus Gl 6 1 12 Z Ez ral on j en be pO en es be _ Boy y Z Z t By y y Z Z t y PPE berechnet werden An den Ausgang des Systems wird wiederum die Forderung nach zweifacher stetiger Differenzierbarkeit gestellt so dass auch y geben ist Obige Gleichung liefert zun chst 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 156 die zweite Ableitung z der Zustandsgr en der internen Dynamik Die Trajektorien f r z und z ergeben sich durch Integration von z Sie folgen zwangsl ufig aus der internen Dynamik und k nnen selber nicht geplant werden Die so berechnete Trajektorie z t hat gegen ber einer will k rlich vorgegebenen Trajektorie den Vorteil dass sie durch das System realisiert werden kann Sie ist daher auch als Linearisierungstrajektorie f r das System und als F hrungsgr e f r die Regelung geeignet Die
261. m Bild 7 1 3 noch stark enthalten und k nnen durch eine Zustandsregelung gut bed mpft werden s Abschnitt 6 2 3 Die Wirksamkeit der Kombination der Zustandsregelung mit der kintetostatik basierten Trajektorienplanung und der Ver nderung der kinematischen Abmessungen optimiert TP PiZR 1 20 20 ist in Bild 7 1 4 zu erkennen Im Vergleich zur Drehzahlregelung in Bild 7 1 3 aber auch im Vergleich zur Zustandsregelung PIZR 1 20 20 sind die maximalen Amplituden im Bereich der Strecklage von 0 03 rad auf 0 003 gesunken Dies entspricht einem R ckgang um 90 Im gesamten restlichen Winkelbereich liegt die verbleibende Schwingungs amplitude unter 0 001 rad 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 161 ac NNT f a A naa aA a AH pal hae ves ya y i WM H Wo WE 0 03 1 95 0 04 2 6 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 2 2 2 4 s PIZR 1 20 20 optimiert PIZR 1 20 20 optimiert TP PIZR 1 20 20 Referenz Bild 7 1 4 Reduktion der quasistatischen Abweichung und der angeregten Schwingungen mit Eigenfrequenz 1 2 Iterativer Auslegungsprozess Zum Abschluss dieser Arbeit wird die Integration aller zuvor behandelten Prozessbausteine zu einem Gesamtentwurf dargestellt Der Auslegungsvorgang l sst sich weder bez glich der Abfolge der Prozessbausteine noch bez glich der verwendeten Werkzeuge und Methoden in ein standardi siertes Schema zwangen Er muss vielmehr spezifisch f r das jew
262. m and Machine Theory vol 36 issue 2 2001 S 245 259 Carbone u a 2006 Carbone G Lim H o Takanishi A Ceccarelli M Stiffness analysis of biped humanoid robot WABIAN RIV In Mechanism and Machine Theory vol 41 issue 1 2006 S 17 41 Chakrabarti und Bligh 1983 Chakrabarti A Bligh T P An Approach to Functional Syn thesis of Solutions in Mechanical Conceptional Design In ASME Hg Journal of Mechanisms Transmissions and Automation in Design vol 105 No 2 1983 S 259 268 Chakrabarti 1991 Chakrabarti A Design by function PhD thesis University of Cambridge 1991 Che 2006 Che C H Geometrical way for describing body motion and equations of rela tionships between geometrical and kinematical parameters In Mechanism and Ma chine Theory vol 41 issue 3 2006 S 283 306 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 176 Chen und Chian 2001 Chen J S Chian C H Effects of Crank Length on the Dynamics Behaviour of a Flexible Connecting Rod In Journal of Vibration and Acoustics vol 123 2001 S 318 323 Chen u a 2002 Chen C L Yau H T Li Y Subharmonic and Chaotic Motions of a Hybrid Squeeze film Damper Mounted Rigid Rotor With Active Control In Journal of Vibration and Acoustics Vol 124 No 2 2002 S 198 208 Chen u a 2006 Chen K S Yang T S Yin J F Residual vibration Suppression for Duffing Nonlinear Systems With Electromagnetical Actuatio
263. mente bei der Drehzahlregelung Bild 6 2 10 Bei der Konfiguration mit 6 20 sind besonders ausgepr gte hochfrequente Anteile im Momentenverlauf zu sehen Diese stehen im Zusammenhang mit dem Spiel im Planetengetriebe das auch entspre chende hochfrequente Schwingungsanteile im Antriebsfreiheitsgrad s Bild 6 2 9 verursacht 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 126 500 Ma Nm 300 2 4 4 4 6 4 8 t s 5 Bild 6 2 10 Verlauf des Antriebsmoments f r die Drehzahlregelung und Zustandsregelungen mit verschiedenen Polpaaren Die Reglerfaktoren werden tber einen Adaptionsalgorithmus so eingestellt dass die Eigenwerte der zeitvarianten Strecke zusammen mit der zeitvarianten Regelung immer die geforderten Werte an nehmen Der Verlauf der Reglerfaktoren ist in Bild 6 2 11 dargestellt Charakteristisch f r das Kurbelgetriebe ist dass die beiden Reglerfaktoren R2 f r den Abtriebswinkel und R4 f r die Ab triebswinkelgeschwindigkeit 1m Laufe einer Umdrehung beim Erreichen der Streck oder Decklage einen Vorzeichenwechsel aufweisen da die Bewegungsrichtung des Abtriebsorgans sich in diesen Punkten umkehrt 4 4 2 4 4 4 6 4 8 tis 5 Bild 6 2 11 Verlauf der Verst rkungsfaktoren des gesteuert adapt ven Zustandsreglers Die Simulationsergebnisse zweier Zustandregelungen mit Integraleinteil f r den Antriebsfreiheits grad sind in Bild 6 2 12 mit PIZR und den drei Wer
264. mung der Chebysheff Koeffizienten f r die Elemente der zeitvarianten Systemmatrix A t mit algebraischen Methoden zur Transformation des zeitvarianten Systems in ein zeitinvariantes System und an schlieBender Bestimmung der Stabilitat des zeitinvarianten Systems Der Vorteil dieses Vorgehens gegen ber einer rein numerischen Simulation des Systemverhaltens liegt darin dass Aussagen ber die Eigenschaft der Stabilit t des Systems und nicht nur Aussagen ber das Verhalten f r die simu lierten Zust nde m glich sind Die Stabilitatsaussagen bleiben aber dennoch beschr nkt auf die Zustande fur die die Systemmatrix A t als Linearisierung des nichtlinearen Systems gultig ist Dies sind in der Regel Zust nde in der N he der gew hlten Linearisierungstrajektorie Die Berech nungszeit war bei dem Beispiel aufgrund der gro en Anzahl von Chebysheff Koeffizienten 10 bis 100 mal l nger als bei der rein numerischen Simulation eines Betriebszustands Die Methodik der Verwendung von Chebysheff Polynomen zur Stabilitatsuntersuchung wird in S nha u a 1996 und S nha u a 1998 auch auf periodische Systeme mit nichtlinearem An teil n t und mit periodischer Erregung b t erweitert 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 136 C CC L On O L t b t 6 2 68 Au erdem wird das Verfahren in Sinha und Wooden 2007 auf nichtlineare Systeme mit quasipe riodischen Koeffizienten erweitert Erg nzend sei noch erw hnt dass
265. n Die Berech nungsvorschriften und Zusammenh nge zwischen bestimmten Systemparametern und gewissen Eigenschaften gelten mathematisch stringent nur f r zeitinvar ante Systeme Dennoch ist es bei der Analyse vieler zeitvarianter Systeme hilfreich die Vorschriften und Zusammenh nge in analoger Weise anzuwenden Hier sind beispielsweise Systeme zu nennen bei denen die Koeffizientenmatri zen sich im Vergleich zur zeitlichen Ver nderung der Schwingungsgr en x t nur langsam ndern Dies tr fft auch f r das Beispiel des Kurbelgetriebes zu wenn eine n cht zu gro e konstante An triebswinkelgeschwindigkeit als Linearisierungstrajektorie in die linearisierte Bewegungsgleichung Gl 4 2 11 eingesetzt wird Die Eigenwerte k nnen fur dieses System f r jeden Zeitpunkt berech net werden In Bild 4 2 3 sind die Ergebnisse f r das Beispielsystem dargestellt Die zwei Paare konjungiert komplexer Eigenwerte wandern w hrend einer Kurbelumdrehung entlang einer Trajek tor e Der rechts in der Vergr erung dargestellte Eigenwert geh rt zu einer Eigenschwingungsform bei der haupts chlich Biegeschwingungen der Schwinge auftreten Der Imaginarteil bewegt sich im Frequenzbereich von 14 5 bis 14 8 Hz Die Schwankung ist relativ gering Daher wird m Folgen den h ufig von der Eigenfrequenz gesprochen Das andere Eigenwertpaar geh rt zu einer Schwingungsform bei der die Kurbel sich sehr stark bewegt Die Lage in der Nahe der Abzissen achse und die
266. n Polynom 5 Ordnung auf den gew nschten Wert gebracht Die Regelabweichungen y4 bzw y4 wechseln ihr Vorzeichen mit der Eigenfrequenz des Systems also sehr viel h ufiger als das gew nschte Vorsteuermoment Dies erfordert eine entsprechende Schaltdynamik der Aktuatoren Zugleich kann den Verlaufen von U und U3 in Bild 5 4 1 entnommen werden dass immer kurz nach den Totlagen des Getriebes die an den Nulldurchg ngen der Funktion U zu erkennen sind beide Aktuatoren nur in die gleiche Richtung wirken k n nen so dass je nach Vorzeichen der Regelabweichung y4 bzw y4 entweder kein Aktuator oder beide Aktuatoren eingeschaltet werden k nnen In diesen Bereichen ist die Stabilit t der Regelung nicht gesichert Au erdem tritt in den Umkehrlagen durch die Haftreibung in den Aktuatoren eine Schwingungsanregung auf Diese Bereiche sind in Bild 5 4 2 durch Pfeile gekennzeichnet In dem Bild sind Messergebnisse die an dem Pr fstand f r ein ungeregeltes System ein System mit P Regelung und ein weiteres System mit zus tzlicher St rgr enkompensation aufgezeichnet wurden dargestellt In den gekennzeichneten Bereichen um die Totlagen herum zeigen die Messergebnisse hohe verbleibende Schwingungsamplituden 5 4 Prozessbaustein Auslegung semiaktiver Stellglieder 86 04 05 06 0 7 08 09 I 11 12 13 14 15 1 6 s 1 7 ungeregelt St rgr enaufschaltung St rgr u P Regler U3 200 U1 50 Bild 5 4 2 S
267. n Ableitungen der Freiheitsgrade auftreten Be1 mechanischen Systemen sind dies die Gleichungen der Beschleunigung also die untere H lfte der Zustandsgleichung 4 2 5 Alle n edri geren Ableitungen der Freiheitsgrade sind nur durch einen integrativen Zusammenhang verbunden Kurzum entspricht die n chtlineare Regelungsnormalform bei mechanischen Bewegungssystemen der Zustandsgleichung 4 2 5 bzw 4 2 6 meson Gu mm w n w t b t mit w n w t und b t ju 6 1 1 q B t Die Regelungsnormalform Gl 6 1 1 kann durch eine spezielle auf den nichtlinearen Anteil in der unteren H lfte von n w t angepasste Form des Eingangs u B w t M g w t v 6 1 2 in die Brunovsky Form berf hrt werden Allg wer und Gilles 1995 Bei dieser Normalform kompensiert das nichtlineare statische R ckf hrungsgesetz 6 1 2 d e Nichtlinearit t des Systems und q W gt ist identisch zum neuen Eingang v ne 6 1 3 W V Die zuvor beschriebenen Transformationen werden als exakte Zustandslinearisierung bezeichnet und er ffnen die M glichkeit die Stellgesetze f r den Eingang v mit den Methoden der linearen Zustandsregelung s Abschnitt 6 2 2 auszulegen Ein nichtlinearer Regelungsentwurf kann so vermieden werden Es ist allerdings zu beachten dass n einigen F llen bereits kleine Fehler in dem Streckenmodell den linearisierenden Effekt zunichte machen k nnen und dass daher keine Robust heit und Stabilit t garantiert werde
268. n Antrieb mit Stromregelung My realisiert werden Bild 5 2 4 Die Spit zenwerte des realisierten Moments s nd aufgrund der Strombegrenzung m Motor etwas kleiner als das geforderte Moment Die Tatsache dass die Strombegrenzung erreicht wird zeigt dass die Reg lereinstellungen nicht optimal sind und dass der Regler nahe am Stabilitatsrand arbeitet ln Ta 1 T o o Nm d ial HOTT nn amans anini iai my al Hi ATA i ene ha LI 100 Reglerausgang 100 Motorausgang 300 LL UNTO WAN RECTORY ERY Repay ir sof l EEE BE 4 4 2 4 4 4 6 48 tls 5 Bild 5 2 4 Soll und Istmoment am Motor bei Verwendung einer Drehzahlregelung Bei einer besser eingestellten Zustandsregelung vgl Abschn 6 2 2 ergeben sich nahezu identische Soll und Istmomentenverl ufe Bild 5 2 5 Hier arbeiten der Stromregler und der Motor wie ein ideales bertragungsglied und haben keine Auswirkung auf das dynamische Verhalten des Getrie bes 300 ro EEE KEN T ood dhA ean A i ih Ai uk a Nr oo FM WN A S N N IM U a HE U HERE DE BE 200 300 4 4 2 4 4 4 6 48 tis 5 Bild 5 2 5 Soll und Istmoment am Motor bei Verwendung einer Zustandsregelung Bei ungeregelten Motoren die direkt am Netz oder am Frequenzumrichter betrieben werden kann auf eine Modellierung des Motors zumeist nicht verzichtet werden Merten 1999 behandelt einfa che Beispiele mit elastischen Tragsystemen auf denen elektrisch betriebene Unwuchtmotoren mon tiert sind Die
269. n Using Nonlinear com mand Shaping Techniques In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 6 2006 S 778 789 Chironis 1965 Chironis N P Mechanisms Linkages and Mechanical Controls New York McGraw Hill 1965 Cho u a 1998 Cho K S Hori N Angeles J Feedback Control of Planar Linkages Using a Linearizing Filter Theory and Experiments In Multibody System Dynam ics Vol 2 1998 S 253 276 Choi u a 1994 Choi S B Cheong C C Thompson B S Gandhi M V Vibration Control of Flexible Mechanisms Using Piezoelectric Films In Mechanism and Ma chine Theory vol 29 No 4 1994 S 535 546 Choi u a 1999 Choi S B Cho S S Shin H C Kim H K Qantitative feedback theory control of a single link flexible manipulator featuring piezoelectric actuator and sen sor In Smart Materials Structures and Mathematical Issues 1999 S 338 349 Chyzak u a 2004 Chyzak F Quadrat A Robertz D Effective Algorithms for Parametriz ing Linear Control Systems over Ore Algebras Rapport de Recherche No 5181 Frankreich Le Chesnay Institut national de recherche en informatique et en automati que 2004 Cleghorn u a 1981 Cleghorn W L Fenton R G Tabarrok B Optimum Design of High Speed Flexible Mechanisms In Mechanism and Machine Theory vol 16 1981 S 339 406 Cole u a 2006 Cole M O T Keogh P S Burrows C R Sahinkaya Adapti
270. n der Laplacetransformierten F s der urspr nglichen sprungbehafteten Trajektorie f t kompensieren Daher kann die Methode des Input Shapings auch als Filterung der urspr nglichen Trajektorie der F hrungsgr e f t betrachtet wer den Zuo u a 1995 Das Input Shap ng kann aber n cht nur auf die F hrungsgr e angewendet werden Es ist auch m glich das Input Shaping Filter im Regelkreis im Vorw rtszweig unmittelbar vor dem Regler oder m R ckf hrungszweig unmittelbar hinter dem Regler anzuordnen Zuo u a 1995 Im Vergleich zu den anderen zuvor genannten Filter Techniken FIR und IIR zeigt das Input Shaping eine sehr viel k rzere Zeitverz gerung und aufgrund der Auslegung mit dem Ziel der Schwingungsausl schung kleinere verbleibende Schwingungen n den Endlagen S nghose u a 1995b Das Input Shaping und die Filterung sind geeignet um die dynamischen Unzul nglichkeiten von zuvor geplanten stufigen Trajektorienverl ufen f r Punkt zu Punkt Bewegungen zu kompensieren Sie verfolgen das Ziel durch eine geeignete Gestaltung der Fuhrungstrajektorie w t f r den Sys temausgang y t die Schwingungsanregung gering zu halten oder so zu gestalten dass die verblei benden Schwingungen in den Freiheitsgraden z t des autonomen Teilsystems m glichst klein bleiben Sie k nnen auf die zumeist nichtlinearen Bewegungssysteme angewendet werden wenn diese sich im Rahmen der exakten Zustandslinearisierung Abschnitt 6 1 in die Brunovsk
271. n der Systeme eine wichtige Rolle spielen D 2 D 1 3 D D 4 0 Bild 3 2 1 Kinematisches Strukturbild und kinematisches Schema einschlie lich kinemati scher Abmessungen eines Kurbelgetriebes Die gestaltbaren Systemparameter eines Starrk rpermechanismus sind die kinematische Struktur die kinematischen Abmessungen und die Massen bzw Massentragheitsmomente der Bauteile Als kinematische Struktur wird die Topologie des Getriebes die durch die Anzahl der Getriebeglieder und die Festlegung der Verknupfung der Glieder durch Gelenke gekennzeichnet ist bezeichnet Kerle u a 2007 Erst wenn diese Strukturinformationen um Informationen ber die kinematischen Abmessungen erg nzt werden kann die Kinematik des Getriebes durch bertragungsfunktionen 3 3 Prozessbaustein Struktursynthese 17 vollst ndig beschrieben werden Die Werte der kinematischen Abmessungen definieren die Abstan de und Kreuzungswinkel der Gelenkachsen sowie die Lage des Abtriebsorgans auf dem zugehori gen Getriebeglied In Bild 3 2 1 ist links das kinematische Strukturbild und rechts das kinematische Schema eines Kurbelgetriebes zu sehen Es sind einige konstante Langen und Winkel als Beispiel f r kinematische Abmessung eingezeichnet Je nach Aufgabenstellung k nnen aber auch andere L ngen und Winkel als kinematische Abmessung verwendet werden In den nachfolgenden drei Abschnitten werden Werkzeuge und Methoden f r die Bestimmung der Parameterwerte der drei a
272. n k nnen Allg wer und Gilles 1995 Au erdem wird eine regul re Eingangsmatrix B vorausgesetzt Die Regularit t der Eingangsmatrix bedeutet dass alle Freiheitsgrade unabh ngig voneinander durch den Eingang u beeinflusst werden k nnen Ist dies nicht gegeben so befindet sich das System in einer singul ren Stellung Singulare Stellungen exis tieren f r Starrk rpermechanismen Abschnitt 3 2 aber auch f r d e elastischen Systeme Auf die besondere Bedeutung der s ngul ren Stellungen wird am Ende dieses Abschnitts noch eingegangen Systeme bei denen der Eingang u nicht unmittelbar auf die h chste Ableitung aller Freiheitsgrade wirkt k nnen nicht in die Brunovsky Form berf hrt werden Derartige Systeme findet man bei spielsweise h ufig bei der Regelung verfahrenstechnischer Prozesse die meist durch Differential gleichungen von deutlich h herer als zweiter Ordnung beschrieben werden Mechanische Systeme k nnen unter anderem dann nicht auf die Brunovsky Form transformiert werden wenn die Ein gangsmatrix B nicht invertierbar ist Dies ist beispielsweise gegeben wenn die Anzahl der Frei heitsgrade die Anzahl der Stellglieder bersteigt Dies gilt auch f r das Beispielsystem bei dem nur der Hauptantrieb als Stellglied verwendet wird Es sind w w w gt q 0 Y4 0 v4 die 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 97 Zust nde des Beispielsystems aus Bild 4 1 1 Der Eingang ist u M und die 2x1 Eingan
273. n u f r die Vorsteuerung nach Gl 7 1 8 Auch f r Frequenzen im Bereich um Qr herum und bei Anwesenheit einer geringen D mpfung sind nicht realisierbare Stellgr en u zu erwarten In diesen F llen ist bei dem inversionsbasiertem Vorsteuerungsentwurf eine Umplanung der Ansatzfunktion vorgesehen Dadurch wird sicher gestellt dass die geplanten Trajektorien realisierbar sind und zugleich die gew nschten Endzust nde erreicht werden 7 1 2 Prozessbaustein Trajektorienplanung f r kontinuierliche Prozesstrajektorien Im vorherigen Abschnitt wurde die Trajektorienplanung f r Punkt zu Punkt Bewegungsaufgaben beschrieben In diesem Abschnitt wird die Trajektorienplanung f r eine andere Klasse von Bewe gungsaufgaben die durch die Vorgabe kontinuierlicher Trajektorien f r die prozessrelevante Bewe gung des Abtriebsorgans oder kurz durch kontinuierliche Prozesstrajektorien gekennzeichnet ist Die Planung der Prozesstrajektorie wurde im Abschnitt 3 1 behandelt Im vorliegenden Ab schnitt wird die Planung der Trajektorien f r die zus tzlichen elastischen Freiheitsgrade in die Planung der F hrungstrajektorien f r die Antriebe einbezogen Zun chst werden steuerbare Systeme ohne autonomes Teilsystem betrachtet Dies sind Systeme bei denen die Anzahl der Stellglieder der Anzahl der Freiheitsgrade entspricht und zudem jeder Frei heitsgrad durch den Eingang bzw durch die Aktuatoren beherrscht werden kann Dennoch k nnen die Trajektorien n
274. n unmittelbar mit den Dehnmessstreifen DMS gemessen und zum anderen indirekt aus den Drehgebersignalen berechnet Dazu wurde aus dem Winkelsignal des Drehgebers im Gelenk Ay der entsprechende Abtriebswinkel eines Starrk rpergetriebes berechnet und anschlie end von dem im Gelenk By gemessenen tats chlichen Abtriebswinkel abgezogen Im DMS Signal sind neben der Biegeeigenfrequenz von 14 65 Hz zwei weitere Frequenzanteile mit 95 8 Hz und 300 Hz zu erkennen Diese sind auf weitere Eigenformen der Schwinge zuruckzufth ren die nicht mit dem Balkenmodell wohl aber mit dem FE Modell aus Bild 4 3 1 abgebildet werden konnen Die nachfolgend dargestellten experimentellen Untersuchungen werden zeigen dass die hohe Modellierungstiefe des FE Modells dennoch nicht notwendig ist da im Betrieb nur die erste Eigenform so stark angeregt wird dass sie die Abtriebsbewegung beeinflusst Dies ist auch bereits 1m Bild 4 3 2 daran zu erkennen dass das Drehgebersignal im Frequenzbereich nur einen deutlichen Peak bei 14 65 Hz zeigt Auf die Anregung und die Messungen der weiteren Eigenfor men der Schwinge wird auch im Abschnitt 5 5 noch einmal eingegangen Die tats chliche erste Eigenfrequenz der eingebauten Schwinge liegt in der untersuchten Stellung zwischen den beiden Werten des FE Modells und des Balkenmodells Diese Aussage gilt allerdings zun chst nur f r die eine untersuchte Getriebestellung vgl Bild 4 2 3 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption
275. nal of Dynamic Systems Measurement and Control Vol 124 2002 S 398 405 Kerle u a 2007 Kerle H Pittschellis R Corves B Einf hrung n die Getriebelehre 3 bearbeitete und erg nzte Auflage Stuttgart Teubner Verlag 2007 Kertscher und Matthes 1999 Kertscher U Matthes J Neue Werkzeuge f r die Konstrukti on von ebenen und r umlichen Kurvengetrieben In Tagungsband zur 7 Chemnitzer Textilmaschinentagung 1999 S 219 220 Kett 2005 Kett R Einbindung von Hardwarereglern in die Simulation hydraulisch mechanischer Systeme In Mechatronik 2005 Innovative Produktentwick lung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 449 463 Khatait u a 2006 Khatait J P Mukherjee S Seth B Compliant design for flapping mechanism A minimum torque approach In Mechanism and Machine Theory vol 41 issue 1 2006 S 3 16 Klanke und Dittrich 2001 Klanke H Dittrich G Untersuchung und Optimierung des Schwingungsverhaltens von Kurven Kurbelgetrieben unter Beriicksichtigung der Cha rakteristik elektrischer Antriebsmotoren Fortschrittsberichte VDI Reihe 11 Nr 293 Dusseldorf VDI Verlag 2001 Klotter 1988 Klotter K Technische Schwingungslehre I Teil A Lineare Schwingungen 2 korr Auflage Berling Springer Verlag 1988 Kochev 2000 Kochev I S General theory of complete shaking moment balancing of pla nar linkages a critical review In Mechanism and Maschine Theory Vol 35 Issue
276. ncertain systems via symbolic algebra In In ternational Journal of Control Vol 79 No 11 2006 S 1431 1446 Zimmermann 1990 Zimmermann U J Regelung gekoppelter Handhabungsger teachsen Dissertation Aachen RWTH Institut f r Regelungstechnik 1990 Zuo u a 1995 Zuo K Drapeau V Wang D Closed Loop Sahped Input Strategies for Flexible Robots In The International Journal of Robotics Research Vol 14 No 5 1995 S 510 529 Zuo und Nayfeh 2005 Zuo L Nayfeh S A Optimization of the Individual Stiffness and Damping Parameters in Multiple Tuned Mass Damper Systems In Journal of Vibra tion and Acoustics vol 127 ssue 1 2005 S 77 83 Zuo und Nayfeh 2006 Zuo L nayfeh S A The Two Degree of Freedom Tuned Mass Damper for Suppression of Single Mode Vibration Under Random and Harmonic Ex citation In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 1 2006 S 56 65
277. nd Mills 2002 Suryawanshi u a 2003 und Valero u a 2006 zu nennen Die Methoden zur Trajektorienplanung arbeiten modellbasiert und k nnen anhand der Klasse der verwendeten Systemmodelle unterschieden werden Im Folgenden werden Methoden zur Trajekto r enplanung und zum Vorsteuerungsentwurf f r zwei Klassen von Systemmodellen betrachtet Systeme ohne und Systeme mit autonomen Teilsystem Dabei wird jeweils unterschieden werden ob d e gew nschte Prozesstrajektorie eine Punkt zu Punkt Bewegung Abschnitt 7 1 1 oder eine kontinuierliche Zeitfunktion Abschnitt 7 1 2 ist bei der nicht nur der Anfangs und der Endzu stand sondern auch der Verlauf der Trajektorie zwischen diesen Zust nden prozessrelevant ist Mit der Trajektorienplanung geht der Entwurf einer Vorsteuerung einher Bei einer Vorsteuerung wird der f r eine geplante F hrungstrajektorie notwendige Stellgr enverlauf berechnet und auf das System aufgeschaltet s Bild 6 1 Dadurch wird anschaulich eine Linearisierung des Systems bez glich des F hrungsgr enverlaufs vorgenommen was zu einer Verbesserung der Systemdy namik f hrt 7 1 1 Prozessbaustein Trajektorienplanung fur Punkt zu Punkt Prozesstrajektorien Die Spezifikation von Prozesstrajektorien f r Bewegungsaufgaben umfasst zumeist einen oder mehrere Bahnabschnitte bei denen nur der Anfangs und der Endzustand und gegebenenfalls die bergangszeit festgelegt sind Im Folgenden werden zun chst Methoden zur T
278. nd Chen 1991 Sung C K Chen Y C Vibration Control of the Elastodynamic Response of High Speed Flexible Linkage Mechanisms In Journal of Sound and Vi bration vol 113 1991 Suryawanshi u a 2003 Suryawanshi A B Joshi M B Dasgupta b Biswas A Domain mapping as an expeditionary strategy for fast path planning In Mechanism and Ma chine Theory vol 38 Issue 11 2003 S 1237 1256 Swevers u a 1994 Swevers J Torfs D u a Theoretical Aspects of Lightweight Robot Control In Faillot J L Hg Vibration Control of Flexible Servo Mecha nisms Berlin Springer Verlag 1994 Szasz und Flowers 2001 Szasz G Flowers G T Time Periodic Control of a Bladed Disk Assembly Using Shaft Based Actuation In Journal of Vibration and Acoustics vol 123 2001 Tammi 2007 Tammi K Active control of radial rotor vibrations In Disserta tion Finnland Helsinki University of Technology 2007 Tang und Wang 2004 Tang J Wang K W Vibration Confinement via Optimal Eigenvec tor Assignment and Piezoelectric Networks In Journal of Vibration and Acous tics Vol 126 issue 1 2004 S 27 36 Theodore und Ghosal 2003 Theodore R J Ghosal A Robust Control of multilink flexible manipulators In Mechanism and Machine Theory vol 38 issue 4 2003 S 367 ST Thompson und Tao 1994 Thompson B S Tao X A note on the Experimentally Determined Elastodynamically Response of a
279. ndern f r die Eigenvektoren x mit x Wx 6 2 41 entworfen Durch die R cktransformation in die urspr ngliche Form werden die entsprechenden Reglerparameter f r die Zust nde x bestimmt Aufgrund der berz hligen Entwurfsparameter k n nen zus tzlich zur gew nschten Systemdynamik f r die Eigenformen auch die Verh ltnisse der Amplituden der verschiedenen Zustandsgr en zueinnander gestaltet werden Konigorski 2004 Ein Vorteil der modalen Regelung ist dass die Stabilit t f r jede Eigenform getrennt als SISO Problem betrachtet werden kann Heertjes u a 2005 In seiner Dissertation beschreibt Gr nnewig 2000 den Entwurf einer modalen Zustandsregelung und eines Beobachters zur Minimierung von 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 122 Strukturschwingungen an Flachentragwerken mit der Polvorgabe Das Vorgehen und die Problema tik des weiter unten noch erl uterten Spillovers wurden anhand von Simulationen und an einem Versuchsaufbau berpr ft Auch in Gawronski 1996 und Gawronski 1998 finden sich Beispiele f r die Anwendung von modalen Regelungen im Zusammenhang mit elastischen Strukturen Im Allgemeinen liegt bei den Bewegungssystemen eine Kopplung und damit auch eine gegenseitig Beeinflussung der Zustandsgr en vor Da die Ausgangsgr en y bei den Bewegungssystemen zumeist eine Untermenge der Zustandsgr en sind bedeutet dies dass die Vorgabe einer F h rungsgr e w nicht nur d
280. nergie und durch ihre Lage n einem Poten tialfeld Schwerefeld auch potentielle Energie Bei elastischen K rpern wird in deren Verformung zus tzlich potentielle Energie gespeichert Bei den sp ter noch betrachteten elektrischen Systemen ist der Strom eine typische Zustandsgr e Das dynamische Verhalten eines mechatronischen Sys tems wird durch die nderung der Zustandsgr en also dem Energietransport zwischen den Ener giespeichern und ber die Systemgrenzen hinweg bestimmt Das Zusammenwirken der Energie speicher aufgrund unterschiedlichster physikalischer Effekte kann mathematisch durch Zustands gleichungen beschrieben werden Um unn tigen Modellierungs und Berechnungsaufwand zu vermeiden empfiehlt es sich eine m glichst starke Diskretisierung des realen Systems vorzuneh men und nur die relevanten Zustandsgr en m Modell zu ber cksichtigen Das Beispielsystem kann ber mehrere Zwischenschritte auf das unten in Bild 4 2 1 dargestellte Schwingungsmodell reduziert werden Das diskretisierte System besteht aus sechs Massentr gheitsmomenten J bis Jg und zwei reduzierten Feder D mpferelementen c cd Kred SOWIE CGetr KGetr Diese Feder Dampfer Elemente bilden die Elastizit t der Schwinge sowie das Spiel im Planetengetriebe im Modell ab Wird das Spiel vernachl ssig so entf llt das Feder Dampferelement CGetr KGetr und die beiden Massentragheitsmomente J und Jy k nnen zu einem Massentr gheitsmoment J zusammengefasst werden Auf
281. ng Piezoelectric Sensors and Actuators In ASME Hg 15 Biennial Conference on Mechanical Vibrations and Noise MA Boston 1995 Sannah und Smaili 1998 Sannah M Smaili A Active Control of Elastodynamic Vibra tions of a Four Bar Mechanism System With a Smart Coupler Link Using Optimal Multi Variable Control Experimental Implementation In JOURNAL OF ME CHANICAL DESIGN vol 120 1998 S 316 326 Santiba ez und Kelly 2001 Santiba ez V Kelly R PD control with feedforward compen sation for robot manipulators analysis and experimentation In Robotica Vol 19 2001 S 11 19 Smaili und Diab 2007 Smaili A Diab N Optimum synthesis of hybrid task mechanisms using ant gradient search method In Mechanism and Machine Theory Vol 42 Issue 1 2007 S 115 130 Scheideler 1995 Scheideler E M Dynamik von aktiven Getriebemechanismen Fortschritts berichte VDI Reihe 11 Nr 221 D sseldorf VDI Verlag 1995 Schlemmer und Hiller 2001 Schlemmer M Hiller M Bahnplanung kinematisch redun danter Manipulatoren In ZAMM Z Angew Math Mech Ausg 81 Nr 3 2001 S 175 184 Schlensok 2005 Schlensok C Numerische Berechnung und Optimierung einer Asynchron maschine mit K figl ufer zur elektrischen Lenkunterst tzung im Kfz Dissertation Aachen RWTH Institut f r elektrische Maschinen 2005 Sch nherr 2001 Sch nherr J Integration der Auslegung und Grobgestaltung von ebenen F
282. ngesprochenen Klassen von gestaltbaren Systemparametern behandelt 3 3 Prozessbaustein Struktursynthese In einer fr hen Entwicklungsphase muss die Struktur bzw Topologie des Gesamtsystems bestehend aus dem Mechanismus mit elastischen Bauteilen den Stellgliedern den Messgliedern und dem Regelungssystem gem der technologischen und wirtschaftlichen Zielsetzungen konzipiert wer den Der Prozessbaustein der kinematischen Struktursynthese ist ein Bestandteil der Struktursynthe se f r das Gesamtsystem welche 1m Abschnitt 7 2 ausf hrlicher beschrieben wird Zur Bestimmung geeigneter kinematischer Strukturen eines Mechanismus der die gew nschte Bewegung realisieren kann existieren bew hrte Methoden und auch einige Softwarewerkzeuge die 1m ersten Teil dieses Abschnitts vorgestellt werden Im zweiten Teil dieses Abschnitts wird auf die Einbindung der ki nematischen Struktursynthese in den mechatronischen Gesamtentwurf eingegangen Die geometrischen Grundz ge der Bewegungstrajektorien werden im Wesentlichen durch die Ki nematik eines Getriebes mit starren Bauteilen gestaltet Abh ngig von der Struktur des Getriebes unterscheidet sich beispielsweise die Ordnung der realisierbaren Koppelkurven oder es kann eine unterschiedlich gro e Menge Y von vorgegebenen Lagen des Abtriebsbauteils exakt erf llt werden Die Koppelkurven viergliedriger Getriebe Bild 3 2 1 sind algebraische Kurven von maximal 6 Ordnung Bei sechsgliedrigen Getrieben sind d
283. ngssystem eingebracht werden Ein elastischer Zahnriemen zwischen Motor und Getriebe wirkt sich beispielsweise wie ein mechanisches Tiefpassfilter aus das hochfrequente Kraftanteile nur schwach auf den Antrieb bertr gt Das Vorgehen zur Auslegung ist dadurch gekennzeichnet dass zun chst die algebraische Bestimmung der station ren Schwingungs antwort aufgrund der Anregungskr fte erfolgt und dass diese Ergebnisse anschlie end n die Bewe gungsgleichung eingesetzt werden um die damit verbundenen Antriebsmomente zu berechnen Die gesuchten Steifigkeitsparameter sind dabei als Variablen in den Gleichungen enthalten und k nnen abh ngig von den Vorgegebenen Grenzwerten f r gewisse Frequenzanteile 1m Antriebsmoment bestimmt werden Der Einsatz von elastischen Elementen zur Schwingungsisolierung des Antriebs ist praktisch aber nur in Ausnahmef llen sinnvoll da durch die Entkopplung f r hohe Frequenzen auch umgekehrt nur eine geringe Beeinflussung des Systems durch den Antrieb m glich ist E n denkbares Anwendungsbeispiel ist ein Bewegungssystem in das durch einen schlagartigen Prozess 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 57 kurzzeitig hochfrequente Kraftanteile eingeleitet werden die nicht bis zu dem Antrieb weiter gelei tet werden sollen In den meisten F llen soll der geregelte Antrieb jedoch nicht vor auftretenden Schwingungen ge sch tzt werden sondern er soll diesen Schwingungen entgegenwirken Dazu ist es notwendig
284. nisch angeregt und die Schwingungsantwort wird im Verhaltnis zur Anregungsst rke ausgewertet Der Pr fstand ist aber unter anderem aufgrund des Spiels im Plane tengetriebe ein n chtlineares System Daher wird f r den quantitativen Vergleich der Modelle mit dem Pr fstand eine Betriebsschwingungsanalyse f r einen kombinierten Hochlauf und Abbrems vorgang durchgefuhrt Da dabei ebenfalls alle Frequenzen angeregt werden liefert diese ahnliche Information wie die Modalanalyse 0 015 0 01 Winkelabweichung rad 0 005 u ee 0 97 Startzeit s Hz gt 1 3161E 007 0 0013 0 0025 0 0038 0 005 0 0063 0 0076 0 0088 0 0101 0 0114 0 0126 Bild 4 3 6 Wasserfalldiagramm f r den gemessenen Winkelfehler am Abtrieb Der Hochlaufvorgang setzt sich aus drei Phasen zusammen Ein linearer Anstieg der Antriebswin kelgeschwindigkeit auf ca Ar rad s ein Bereich konstanter Drehzahl und ein exponentieller Abfall der Drehzahl Der exponentielle Abfall wurde gew hlt um bei niedrigen Antriebs bzw Anre 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 2 gungsfrequenzen noch ein Einschwingen der erzwungenen Schwingungen zu erm glichen Im Wasserfalldiagramm Bild 4 3 6 sind Fast Fourier Transformationen FFT s von 2s Zeitabschnitten des Messsignals mit fortschreitenden Startzeiten der Zeitabschnitte aufgetragen Durch das un gleichm ig bersetzende Verhalten des Getriebes werden erzwungene Schwingungen m
285. nn gilt det Qp lt gt 0 Falls det Qp 0 ist sind nicht alle Zustandsgr en beobachtbar Die Beobachtbarkeitsmatrix berechnet sich zu 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 137 C CA Qp CA 6 2 69 INE Nach der berpr fung auf Beobachtbarkeit kann ein vollst ndiger Beobachter oder ein reduzierter Beobachter ausgelegt werden Das Ziel des vollst ndigen Beobachters Luenberger Beobachter ist es einen ausreichend schnellen Beobachter f r alle Zustandsgr en Xp x 6 2 70 zu Erstellen Der Beobachter wird dazu mit einer Zustandsr ckf hrung R kombiniert Bild 6 2 18 Regelstrecke Bild 6 2 18 Konstante Zustandsr ckf hrung mit Luenberger Beobachter Die Zustandsgleichung des Gesamtsystems JE eye ey R E a W XB 0 0 XB 0 EL Ap LCp BpR 0 E XB 0 E BM XG Ag XG Bg Kg Co XG BG Mg 6 2 71 kann mit den Zusammenhangen A Ap LCp BpR Ba L M BM 6 2 72 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 138 wiederum in die Gleichung der allgemeinen dynamischen Ausgangsr ckf hrung Gl 6 2 18 ber f hrt werden Die R ckf hrungsmatrix Kg wird allerdings nicht als Ganzes bestimmt sondern es wird eine Strategie verfolgt Teilmatrizen von Kg einzeln nacheinander zu bestimmen Das mathe matische Modell der Strecke das ausreichend genau bekannt sein muss wird zur a priori Festle gung der Matrizen Ap A Bp B und Cg C verwendet Da au erdem vorausges
286. nnen F llinger 1993 Queiroz und Dawson 2000 Bei dieser Methode wird die nichtlineare Bewegungsgleichung nicht gel st sondern es wird die Dissipation der Energie betrach tet Dabei wird der Zeitverlauf der Gesamtenergie im physikalischen Sinne oder der Zeitverlauf einer verallgemeinerten Energiefunktion die auch als Lyapunov Funktion bezeichnet wird unter sucht Die Energiefunktion bzw die Lyapunov Funktion zu bestimmen ist im Allgemeinen aller dings schwierig In Santiba ez und Kelly 2001 ist beispielsweise f r ein Bewegungssystem mit offener kinematischer Kette eine geeignete Lyapunov Funktion zur berpr fung auf globale asym ptotische Stabilit t zu finden In Konigorski 2003c wird mit der direkten Methode nach Lyapunov gezeigt dass Stabilit tsaussagen die f r ein bez glich der Ruhelage linearisiertes System getroffen werden auf die Ruhelage des nichtlinearen Systems bertragen werden k nnen Die Stabilit tsun tersuchung anhand der linearisierten Gleichung wird in diesem Abschnitt ausf hrlich behandelt Methoden zur symbolisch analytischen Stabilit tsuntersuchung nichtlinearer Systeme z B Popow Kriterium Kreiskriterium harmonische Balance etc werden nicht betrachtet Hier sei auf die oben genannte Fachliteratur oder auf Literatur mit konkreten Anwendungsbeispielen verwiesen In Yu und Cleghorn 2002 wird beispielsweise die Methode der harmonischen Balance f r die Stabilitats untersuchung bei einem Kurbelgetrieb
287. ntes Vorgehen bei der Auslegung ist es n tzlich in einem fr hen Stadium des Entwurfsprozesses zu kl ren welche Gestaltungsfreir ume aufgrund von diskreten oder unscharfen Vorgaben bestehen Diese k nnen genutzt werden um die Prozesstrajektorie 1m weiteren Auslegungsprozess auf das dynamische Verhalten des Mechanismus des Antriebs und der Regelung abzustimmen Braune 2000 Callesen und Braune 2004 Die unterschiedlichen zun chst unvollst ndigen prozess bzw technologieorientierten Beschreibungsformen der Bewegungsaufgabe sind Ausgangspunkt f r die kinematische Struktursynthese und werden erst m Laufe des Auslegungsprozesses weiter vervoll standigt Die kinematische Struktursynthese ist der erste Auslegungsschritt zur Gestaltung des mechanischen Systemteils des mechatronischen Bewegungssystems Bereits n der Struktursynthese werden einige kinematische und dynamische Eigenschaften des mechanischen Systemteils die fur das spatere Schwingungsverhalten wichtig sind festgelegt Diese Eigenschaften werden im nach folgenden Abschnitt erl utert bevor anschlie end auf die Struktursynthese eingegangen wird 3 2 Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen 12 3 2 Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen Ungleichm ig ubersetzende Getriebe k nnen aufgrund ihrer kinematischen und dynamischen Eigenschaften bei Be und Verarbeitungsprozessen vorteilhaft eingesetzt werden e um aus einer gleichf rmigen Antrie
288. ntnis der Gestaltungsm glichkeiten voraus Diese Kenntnis ist die essentielle Voraussetzung fur den erfolg reichen Entwurf eines mechatronischen Bewegungssystems Im Folgenden wird daher die Vernet zung der Teilsysteme und der Auslegungsschritte zusammengefasst Eine besonders intensive Vernetzung liegt zwischen der Trajektorienplanung und der Gestaltung aller anderen Systemkomponenten vor Aus den geplanten Prozess und F hrungstrajektorien erge ben sich Randbedingungen und Restriktionen fur alle anderen Auslegungsschritte Erfolgt die Defi nition der gew nschten Prozesstrajektorie bereichsweise durch nicht kontinuierliche oder durch unscharfe geometrische Vorgaben s Abschnitt 3 1 so existieren Entwurfsfreiheitsgrade die nutz bar sind um bei der kinematischen Struktur und Ma synthese s Abschnitte 3 3 und 3 4 ergan zend zur prozessgerechten Geometrie der Trajektorie auch die Kompensation von elastischen De formationen s Abschnitt 4 4 2 die Belastung des Antriebs s Abschnitt 3 2 die St rke der Anre gung s Abschnitt 4 4 3 oder weitere hier nicht behandelte Anforderungen wie Toleranzu nempfindlichkeit zu ber cksichtigen Die geometrischen aber auch die zeitlichen Entwurfsfreiheits grade erm glichen au erdem die Anwendung unterschiedlicher Verfahren zur Trajektorienplanung f r die F hrungsgr en s Abschnitt 7 1 Sind nur Punkt zu Punkt Bewegungsaufgaben s Ab schnitt 7 1 1 vorgegeben so k nnen zus tzliche Kri
289. nwendungsfalls zu beachten Durch die Platzierung der Sensoren k nnen die beiden Eigenschwingungsformen Bild 5 5 2 a b gezielt gemessen oder auch herausgefiltert werden Dieser Filtereffekt kann vorteilhaft ausgenutzt werden um ein Spillover vgl Abschnitt 6 2 3 zu vermeiden Er kann aber auch nachteilig sein da diese Eigenschwingungsform nicht geregelt werden kann Anzumerken ist noch dass die beiden Eigenschwingungsformen Bild 5 5 2 a b im normalen Betrieb offenbar nicht angeregt werden Daher sind s e w hrend des Abbrems und Hochlaufvorgangs s Abschnitt 4 3 weder m Drehge ber noch im DMS Signal enthalten Zwei weitere Eigenschwingungsformen bei denen der Verdrehwinkel des Abtriebstragheitsmo ments ebenfalls gering ist wurden beim Ausschwingversuch nicht angeregt und sind daher in der Messung nicht wiederzufinden Bei den Schwingungen mit 541 7 Hz bzw 697 4 Hz handelt es sich um eine Zug Druck Schwingung und um eine Biegeschwingung die 1m Anregungspunkt einen Schwingungsbauch hat Bild 5 5 2 c d 6 Regelungssystem 90 6 Auslegung des Regelungssystems Das Regelungssystem der elektrische Antrieb und das mechanische System sind drei Systemteile des Gesamtsystems die jeweils isoliert betrachtet eine sehr unterschiedliche Eigendynamik aufwei sen k nnen Zwischen diesen Systemteilen treten aber zum Teil auch erhebliche Wechselwirkungen auf In den vorhergehenden Abschnitten standen die elektromechanischen Komponenten eines
290. och erste Anhaltswerte d e als Ausgangspunkt f r eine expe rimentelle Modellverifikation dienen k nnen Der Vergleich von Messungen Drehgeber mit S mulationsrechnungen Balkenmodell und FE Modell mit Reibung in Bild 4 3 8 und ohne Reibung z B Bild 4 3 4 zeigt jedoch dass die vorherigen Simulationen ohne Reibung bessere Ergebnisse lieferten Dies ist insbesondere in dem markierten Bereich an den gro en qualitativen Unterschieden zwischen Messung und Simulation zu erkennen Au erdem laufen Rechnungen ohne Reibung erheblich schneller als Rechnungen mit Reibung Daher w rd m Folgenden keine Reibung ber cksichtigt 0 015 rad Drehgeber Balkenmodell FE Modell AN 0 005 0 000 0 005 0 010 0 015 Bild 4 3 8 Winkelabweichung am Abtrieb bei Simulation von Gelenkreibung Insgesamt zeigt das Modell das ohne a priori Kenntnisse des realen Systems erstellt wurde im Rahmen der Modellverifikation eine ausreichende Qualit t f r die nachfolgenden Untersuchungen Auf eine Adaption der Modellparameter f r die D mpfung und das Spiel wird in dieser Arbeit verzichtet Allgemein stehen aber f r d e Adapt on der Parameter der algebraischen Systemmodelle 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 54 formale Methoden zur Parameteridentifikation zur Verf gung und sind in der entsprechenden Fach literatur z B Abel 1993 Isermann 1992 und Lenzen 1994 erl ute
291. of Buffalo 2001 Singhose u a 1994a Singhose W E Singer N C Seering W P Design and Implemen tation of Time Optimal Negative Input Shapers In ASME Hg Int Mech Engr Confress and Expo Chicago IL 1994 S 151 157 Singhose u a 1994b Singhose W E Derezinski S Singer N Input Shapers for Improv ing the Throughput of Torque Limited Systems In Hg Proceedings of the 1994 Conference on Control Applications 1994 Singhose u a 1995b Singhose W Singer N Seering W P Comparison of Command Shapings Methods for Reducing Residual Vibrations In Proceedings of the 1995 European Control Conference 1995 Singhose u a 1996b Singhose W Singer N Seering W P TIME OPTIMAL REST TO REST SLEWING OF MULTI MODE FLEXIBLE SPACECRAFT USING ZVD RO BUSTNESS CONSTRAINTS In Guidance Navigation and Control Conference San Diegeo CA USA 1996b Singhose und Pao 1997 Singhose W Pao L A COMPARISON OF INPUT SHAPING AND TIME OPTIMAL FLEXIBLE BODY CONTROL In Control Engineering Prac tise vol 5 No 4 1997 S 459 467 Sinha und Wu 1991 Sinha S C Wu D H An efficient computational scheme for the analysis of periodic systems In Journal of Sound and Vibration Vol 151 No 1 1991 S 91 117 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 193 Sinha u a 1993 Sinha S C Wu D H Juneja V Joseph P Analysis of Dynamic Sys tems With Periodically Varying Parameters
292. ofern die Bewegungsspezifikation dies zul sst k nnen auch die kinematischen Abmessungen verandert werden um das Getriebe antriebsgerecht zu gestalten vgl Abschnitt 3 5 In Meng u a 2004 werden die kinematischen Abmessungen eines siebengliedrigen Getriebes und die Leistungs bzw Geschwindigkeitskennwerte der zwei ben tigten Antriebe durch eine Optimierung so aufein ander abgestimmt dass ein tr ger Hauptmotor die gro en Prozesskrafte und ein dynamischer Hilfsmotor die schnellen Bewegungen realisiert In VDI 1999c wird au erdem zur Betrachtung von alternativen Getriebestrukturen vgl Abschnitt 3 3 mit geeigneten kinematischen Abmessun gen geraten 5 4 Prozessbaustein Auslegung semiaktiver Stellglieder 83 Es sind aber auch schwingungstechnische Kriterien die ber die Starrk rperdynamik hinausgehen von Bedeutung Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde findet aufgrund der elektromagneti schen Vorg nge im Motor eine Anregung mit der Umlauffrequenz des Motors und entsprechend der Polpaarzahl auch mit der Vielfachen dieser Frequenz statt Diese Effekte haben f r das akustische Verhalten eine gro e Relevanz Schlensok 2005 sind jedoch f r die Erf llung der Bewegungs aufgabe zumeist von untergeordneter Bedeutung Zur Bestimmung eines optimalen Antriebs k n nen au erdem weitere z B wirtschaftliche Kriterien herangezogen werden und mit den Methoden der allgemeinen Konstruktionssystematik s Abschnitt 2 bewertet werden
293. on ber die Einfl s se der Bauteilparameter enthalt Es handelt sich im Prinzip um ein sehr einfaches FE Modell des Balkens In Kuo u a 2006 wird gezeigt dass f r diese Art der Modellierung auch einfache Ansat ze z B kubische Funktionen f r die Schwingungsform der einzelnen Elemente verwendet werden k nnen 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften 33 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaften F r die schwingungsgerechte Gestaltung des Bewegungssystems und f r die Umsetzung von Mab nahmen zur Schwingungsminderung sind die Kenntnis der Systemeigenschaften und die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen diesen Eigenschaften und den Modellparametern von zentraler Bedeutung Diese Kenntnis kann aus algebraischen Systemgleichungen gewonnen werden In die sem Abschnitt wird erl utert mit welchen Werkzeugen und Methoden algebraische Systemglei chungen die so kompakt wie m gl ch sind aufgestellt werden k nnen Au erdem wird erl utert wie daraus einige wichtige dynamische Eigenschaften bestimmt werden k nnen Der Zustand eines dynamischen Systems wird ber Zustandsgr en die den Energieinhalt der Energiespeicher des Systems wiedergeben beschrieben Gasch und Knothe 1987 Positionen und Geschwindigkeiten sind typische mechanische Zustandsgr en Starre K rper in mechanischen Systemen speichern n der bewegten Masse kinetische E
294. opologie erforderli chen Steifigkeitseigenschaften aufweisen und dass Ma nahmen zur Schwingungsminderung umge setzt werden k nnen Es kann auch eine strukturelle Erweiterung des Systems durch Tilgermassen vorgenommen werden Auf Wechselwirkungen zwischen den elastodynamischen Systemeigen schaften des mechanischen Systemteils und der Regelung oder dem Antrieb wurde oben schon eingegangen Aber auch die Abstimmung der kinematischen und der kinetostatischen Eigenschaften des mechanischen Systemteils auf den Motor und die Regelung ist wichtig Anhand kinetostatischer Berechnungen Abschnitt 3 5 k nnen die Massen die Massentr gheitsmomente und die Schwer punktslagen der Bauteile so gestaltet werden dass ein optimaler Kompromiss zwischen den Gestell und Gelenkkr ften dem Gestellmoment sowie dem notwendigen Antriebsmoment erzielt wird Das Auslegungsziel ist dabei die Verringerung der Anregung der Schwingungen einerseits und der Belastung des Antriebs andererseits Nicht zuletzt k nnen die kinematischen Abmessungen auch an das elastische Bauteilverhalten Abschnitt 4 4 2 angepasst werden Berechnete Bauteildeformatio nen werden zur Generierung neuer Vorgabewerte f r klassische Ma syntheseverfahren die f r Starrk rpermechanismen entworfen wurden Abschnitt 3 4 eingesetzt Der Vorteil dieser Ma 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 168 nahme liegt darin dass sie auch n s ngul ren Stellungen wirksam ist wo einige Ma nahmen zur akt
295. oppel kurve und beim elastizitatsbehafteten Mechanismus zu der orangefarbenen Koppelkurve in Bild 4 4 10 f hren Deutlich ist zu erkennen dass die orange Kurve n her an der geforderten schwarzen Koppelkurve liegt und dass sie die schwarze Kurve n den drei vorgegebenen Positionen genau trifft Dies ist darauf zur ckzuf hren dass die Ver nderungen der kinematischen Abmessun gen in dem Beispiel klein sind so dass die Abweichung der elastischen Kurve von der jeweiligen Starrk rperkurve f r das Ausgangsgetriebe und das optimierte Getriebe nahezu identisch ist Bei anderen Anwendungsf llen wo dies nicht der Fall ist kann das Vorgehen iterativ wiederholt wer den bis die gew nschte Genauigkeit erreicht ist Um die Abweichung gelbe Kurve im Geradf h rungsbereich noch weiter zu verringern kann die Schwingungsanregung aufgrund des nichtlinearen bertragungsverhaltens des Getriebes gestaltet werden Dies wird f r das Beispiel im nachfolgen den Abschnitt beschrieben 4 4 3 Prozessbaustein Gestaltung der Anregung durch die nichtlineare bertragungs funktion Erg nzend zum Massenausgleich Abschnitt 3 5 der einen Ansatz zur Reduktion der Schwin gungsanregung durch die Ver nderung der Masseeigenschaften bietet wird in diesem Abschnitt ein Ansatz vorgestellt der eine Reduktion der Anregung durch eine Ver nderung der kinematischen Abmessungen erlaubt hnlich wie bei den Methoden im vorherigen Abschnitt erfolgt ein erneutes Durchlau
296. optimiert DZR 0 015 0 0 5 1 1 5 2 2 5 tls 3 Bild 4 4 7 Abtriebswinkelfehler bei halbierter Antriebsdrehzahl Bei dem Beispielsystem einem Ubertragungsgetriebe konnte die Totlagensynthese erfolgreich angewendet werden um die elastizitatsbedingte quasistatische Abweichung am Abtrieb zu kompen sieren Welches Verfahren zur Lagensynthese bei der Optimierung der kinematischen Abmessun gen Anwendung findet h ngt vom Einzelfall ab Zum Abschluss dieses Abschnitts w rd noch e n Beispiel f r ein viergliedriges Kurbelgetriebe das als F hrungsgetriebe eingesetzt wird betrachtet Dabei wird ein Verfahren zur Genaulagensynthese zur Optimierung eingesetzt Die kinematischen Abmessungen des Kurbelgetriebes mit elastischer Koppel in Bild 4 4 8 wurden gem des Expertenwissens aus der getriebetechnischen Fachliteratur 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 67 s Abschnitt 3 3 so gew hlt dass die Koppelkurve des Starrk rpermechanismus eine gen herten Geradf hrung realisiert Bild 4 4 9 Gen u Xx x Z Bild 4 4 8 Beispiel fur ein Kurbelgetriebe mit elastischer Koppel Die Koppelkurve des elastizitatsbehafteten Mechanismus ist in Bild 4 4 9 ebenfalls eingezeichnet und zeigt eine Abweichung von der gew nschten Kurve des entsprechenden Starrk rpermechanis mus In der Ausschnittsvergr erung in Bild 4 4 10 sind die Abweichungen 1m Geradf hrungsbe reich besser zu erkennen 0 9 Pt tT t
297. passfilter eingesetzt Dadurch wird f r einen eingliedrigen Roboter mit elastischem Arm und einer Regelung durch Polvorgabe ein Spillover durch die Anregung h herer Eigenfrequenzen vermieden Ein Filtereffekt kann auch erreicht werden indem die Sensoren in den Schwingungsknoten der m glicherweise anregbaren h herfrequenten Eigenformen platziert werden siehe Abschnitt 5 5 So werden diese Schwin gungsanteile gar nicht erst durch die Sensoren erfasst Abschlie end wird in diesem Abschnitt noch auf den letzten Schritt zu Auslegung einer Regelung n mlich auf die Auslegung eines Vorfilters eingegangen Durch die zuvor beschriebene Auslegung der R ckf hrungsmatrix R Kg Cg wird bestimmt mit welchem Abklingverhalten Auslenkungen aus der Linearisierungslage verschwinden so dass xg zum Nullvektor wird Die R ckf hrung allein kann prinzipbedingt keine gew nschten station ren Endwerte der Ausgangsgr en realisieren Dies wird erst durch die Hinzunahme des Vorfilters Mg zur allgemeinen dynamischen Ausgangsr ck f hrung Gl 6 2 18 die wie folgt lautete m glich x _ A OV x B OY Dy caye oy x B 0YM W XR 0 0 XR 0 E Ba Aa 0 E XR 0 E M a SS SS eg a ee NER EL cee XG AG XG Bg Ko Co XG Bc Mg Das Auslegungsziel beim Entwurf des Vorfilters Mg ist es also ein gutes F hrungsverhalten f r station re F hrungsgr en w zu gew hrleisten Konigorski 2003c F llinger 1994 so dass yg Cg xg den station ren Endwert y w
298. pensation Abschnitt 6 2 2 kompensiert werden k nnen Reibungskrafte spielen eine untergeordnete Rolle vgl Abschnitt 4 3 Daher wird die Repetetive Control Regelung fur das Beispiel nicht weiter verfolgt 6 2 3 Prozessbaustein Reglerauslegung Auf die Festlegung einer geeigneten Struktur f r den linearen Zustandsregler die im vorherigen Abschnitt beschrieben wurde folgt die Bestimmung der Reglerparameter Die grundlegenden Aus legungsschritte hierf r sind in diesem Abschnitt zusammengestellt Aufgrund des in der Regel gut bekannten Systemverhaltens und St rgr enverlaufs werden nur deterministische Regelungen betrachtet Im Allgemeinen ist es aber wichtig zu ber cksichtigen ob das zeitliche Verhalten des zu regelnden Prozesses und der St rgr en deterministisch oder stochastisch ist um eine hohe Regel g te zu erreichen Denn Entwurfsverfahren f r parameteroptimale Regelungen liefern nur f r St r signale die das beim Entwurf vorausgesetzte Aussehen haben optimale Reglerwerte Isermann 1987 Die Bestimmung der Reglerparameter umfasst wie 1m vorherigen Abschnitt erl utert wurde die vier Auslegungsschritte berpr fung auf Steuerbarkeit Berechnung der Reglerparameter Ausle gung des Vorfilters und berpr fung auf Stabilit t Die hier vorgestellten Algorithmen k nnen sowohl f r Systeme bei denen die Prozesszust nde kontinuierlich verarbeitet werden als auch fur zeit und oder wertdiskrete Systeme umgesetzt werden
299. r Leistungsfahigkeit von Berech nungshardware und software er ffnet sich zurzeit die M glichkeit die f r das formal algebraische Vorgehen notwendigen detaillierten Modellierungsmethoden und die aufw ndigen Auslegungsme thoden zu automatisieren und au erdem leistungsf hige modellbasierte Regelungsalgorithmen auf den Maschinensteuerungen umzusetzen Dadurch wird es m glich die einzelnen Auslegungsaufga Einleitung und Zielsetzung 2 ben systematisch zu l sen den Entwicklungsaufwand und die Entwicklungszeit zu reduzieren und damit die Chancen f r eine wirtschaftlich erfolgreiche Umsetzung deutlich zu steigern An eine bersicht ber die in der Literatur bekannten Vorgehensmodelle f r den dom nen bergrei fenden Entwurf mechatronischer Systeme m Abschnitt 2 schlie t sich eine detaillierte Beschrei bung der Systemeigenschaften der Designparameter der Auslegungsmethoden und der Berech nungswerkzeuge zur Gestaltung dieser Systemeigenschaften an F r diese Beschreibung ist eine Gliederung des Gesamtsystems in Teilsysteme mit definierten Schnittstellen zweckm ig Es wird eine Gliederung n folgende Teilsysteme verwendet e Die Prozesstrajektorien Abschnitt 3 1 dienen zur Realisierung der Kernfunktion des Be wegungssystems S e stellen Eingangsgr en f r den hier vorgestellten Entwurfsprozess dar werden aber m S nne einer ganzheitlichen Auslegung nicht als unver nderlich betrachtet e Der Starkk rpersystemte
300. r Selbstsynchronisation unwuchtiger Rotoren Dissertation Magdeburg Otto von Guericke Universitat 1999 Milde 1993 Milde F Dynamisches Verhalten von Drehfeldmaschinen Offenbach VDE Verlag 1993 Miller 1981 Miller S Some Remarks on Finding a Solution for the Structure when Design ing a Mechanism In IFTOMM Hg Mechanism and Machine Theory Vol 16 No 6 1981 S 645 651 Modler und Gr n 2000 Modler K H Gr n J Einfl sse auf die Bahngenauigkeit offener Mechanismenketten mit lagegeregelten hydraulischen Linearantrieben In Mechatro nik Mechanisch Elektrische Antriebstechnik VDI Berichte Nr 1533 D sseldorf VDI Verlag 2000 S 442 464 M hr nger 2005 M hringer S Gibt es ein gemeinsames Vorgehen in der Mechatronik In Mechatronik 2005 Innovative Produktentwicklung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 229 251 Moosheimer und Waller 1996 Moosheimer J Waller H Adaptive Schwingungsminderung mittels Elektrorheologischer Fluide in Echtzeit Theorie und Experiment VDI Berichte Nr 1285 D sseldorf VDI Verlag 1996 S 521 546 M hl 2008 M hl T Einf hrung in die elektrische Messtechnik Grundlagen Messverfah ren Ger te Wiesbaden Vieweg Teubner 2008 M ller und Schiehlen 1976 M ller P C Schiehlen W O Lineare Schwingungen Wiesba den Akademische Verlagsgesellschaft 1976 M ller 1977 M ller P C Stabilit t und Matrizen Berlin Springer Verlag 1
301. r auch parameterabh ngig sein Bei dem Bei spielsystem ist B in den singularen Stellungen s Abschnitt 6 1 2 nicht regular Dadurch treten Polstellen in den berechneten Beschleunigungen z auf die letztendlich zu unbrauchbaren Trajekto rien z t und y t f r die Berechung der Vorsteuerung u f hren Eingangsbeschrankungen also Grenzwerte f r die Stellgr en m ssen be diesem Verfahren durch eine entsprechende Umplanung der Ansatzfunktion a in Gl 7 1 6 ber cksichtigt werden Graichen und Zeitz 2006 Die StellgroBenbeschrankungen in die Berechnung einzubeziehen ist wichtig damit sichergestellt ist dass die geplanten Trajektorien y und die Vorsteuerung u reali sierbar sind Beim inversionsbasierten Vorsteuerungsentwurf wird also die Planung einer nicht realisierbaren Bewegung y t verhindert Um dies zu verdeutlichen wird wiederum das Beispiel des Zweimassenschwingers aufgegriffen Die Inverse der Ein Ausgangsdynamik Gl 6 1 11 ist fur den Zweimassenschwinger durch die Zustandsgleichung fur die Masse m gegeben u m Xj CX CX9 7 1 8 Die interne Dynamik Gl 6 1 12 entspricht der Zustandsgleichung f r die Masse mp i 0 No 0 lan LE era sais 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 153 Offensichtlich f hrt eine Ansatzfunktion x Q t die harmonische Anteile mit der Kreisfre quenz Qr hat zu einer Resonanz der grenzstabilen internen Dynamik x gt und damit zu nicht reali sierbaren Stellgr e
302. r zwei Aufgaben zu Die Festlegung der Freiheitsgrade die als kondensierte Freiheitsgrade verwendet werden und die Festlegung der zu ber cksichtigenden Eigenfrequenzen der Subsysteme Es kann gesagt werden dass die kondensierten Freiheitsgrade so gewahlt werden sollten dass sie die Kraft einleitungsstellen und die Bindungsstellen umfassen und auBerdem die wesentlichen Bewegungs m glichkeiten der Substruktur beschreiben Die Kondensation periodischer Systeme wird in Deshmukh u a 2006 behandelt Die Technik beruht darauf die zeitvarianten linearen oder nichtlinearen Systemgleichungen durch eine Lyapu nov Floquet Transformation vgl Abschn 4 2 in eine zeitinvar ante Gleichung zu transformieren So entstehen zeitinvariante lineare Differentialgleichungen die mit den oben beschriebenen Tech niken kondensiert werden k nnen oder zeitinvariante nichtlineare Differentialgleichungen die nach einer Methode die in Shaw und Pierre 1993 vorgestellt wird kondensiert werden k nnen Zusammenfassend kann gesagt werden dass FE Modelle einzelner Bauteile und auch Mehrk per systeme mit eingebundenen kondensierten FE Modellen gut geeignet sind um das dynamische Systemverhalten numerisch zu simulieren Braccesi und Cianetti 2001 Das kondensierte FE Modell eignet sich aber aufgrund seiner Gr e und der bei der Kondensation verloren gegangenen Information ber die Einfl sse der Bauteilparameter nicht zum Aufstellen von algebraischen Sys
303. rajektorienplanung 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 145 die die Zielsetzung eines zeitoptimalen Zustands bergangs und einer geringen Schwingungsanre gung verfolgen vorgestellt Im Anschluss daran wird auf Methoden f r eine systemgerechte Trajek tor enplanung die die Auswirkung von Bauteildeformationen auf die Prozesstrajektorie minimie ren eingegangen Die Problemstellung eines zeitoptimalen Ubergangs vom Anfangs zum Endzustand wird vor allem in Forschungsarbeiten zum Themengebiet der Robotik behandelt In Pfeiffer und Johanni 1987 Pfeiffer 1986 und Pfeiffer 1990 wird ein Konzept und ein Algorithmus zur Bestimmung einer zeitoptimalen Trajektorie fur Roboter angegeben In der Arbeit von Jazar und Naghshineh Pour 2005 werden zahlreiche Literaturstellen fur Methoden zur Bestimmung einer zeitoptimalen Trajek torie fur Bewegungssysteme genannt Au erdem wird eine Methode die auf einer Bang Bang Steuerung basiert n her vorgestellt Diese Methode ist insbesondere f r Starrk per Bewegungssysteme mit mehreren Antrieben geeignet Die grundlegende Idee der zeitoptimalen Bang Bang Steuerung ist es die maximal verf gbare Antriebsleistung auszunutzen um h chst m gliche Beschleunigungen und Geschwindigkeiten zu erreichen Die Antriebe werden bei diesem Verfahren mit Momentenspr ngen zwischen Null und dem Maximalwert beaufschlagt Dieses einfache Prinzip f hrt jedoch nur f r Systeme mit einem Antrieb
304. rats um die Schwingungsanregung zu vermindern Als Filter werden Finite Impulse Filter FIR und Infinite Impulse Filter IIR z B Butterwerworth Chebychev Elliptic etc eingesetzt Bonsch und Cor ves 2005 zeigen f r das gleiche System dass die Filterung der Prozesstrajektorie des Arbeitspunk tes einen entscheidenden Einfluss auf die realisierbare Geschwindigkeit und die Genauigkeit der Bewegung hat Bei der Filterung muss beachtet werden dass die ver nderte Trajektorie skaliert werden muss um den urspr nglich geplanten Endwert zu erreichen 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 146 Die Verwendung von vornherein stetigen bergangsfunktionen wie sie f r Rast in Rast Kurvengetriebe verwendet werden s VDI 1980 VDI 1987b f hrt m Vergleich zu den sprungbehafteten Momentenverl ufen zu einer deutlich geringeren Schwingungsanregung In Aoustin und Formal sky 1999 wird ein zweigliedriges Handhabungsgerat mit flexiblen Gliedern und einer gew hnlichen Zustandsregelung betrachtet Zun chst wird f r den Starrk rpermechanis mus gem der Bang Bang Strategie ein zeitoptimales Vorsteuermoment mit Spr ngen berechnet und auf das System aufgepr gt Die Analyse der Schwingungsantwort zeigt zwei Anteile Dies sind zum einen w hrend der Phasen mit dem konstanten maximalen Antriebsmoment station re quasi statische Abweichung infolge der kinetostatischen Belastung und zum anderen freie Schwingungen die durch die Spr
305. rde Bei der Anwendung dieses Verfahrens st also zu pr fen ob die Ergebnisse mit der Spezifikation der Be wegungsaufgabe Abschnitt 3 1 vertr glich s nd 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 71 pit tT ttm tt tT ER aD P AN ow Originalabmessung starr Max U um 10 verringert Max U um 5 verringert Originalabmessung elastisch TTN Be 2 ERR Vee Ae pit ee RR u DR 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 Xx m 1 1 Bild 4 4 12 Koppelkurven vor und nach der Verringerung der kinematischen Ubertragungs funktion zweiter Ordnung U F r zwei Getriebevarianten mit elastischen Bauteilen ist die Abweichung 6 der Koppelkurve in Normalenrichtung von der Koppelkurve eines jeweils kinematisch dentischen Getriebes mit starren K rpern in Bild 4 4 13 dargestellt Bei den beiden Getriebevarianten die durch die Vorgabe von um 5 bzw 10 verringerten Werten f r U y und U Yg entstanden betrug die Bauteildicke der elastischen Koppel jeweils 5 mm Es wird eine signifikante Verringerung der Extremwerte der Schwingungsamplituden erreicht Auch die Amplitude des Schwingungsanteils mit der Eigenfre quenz der Schwinge ist geringer Zum Vergleich ist noch die Abweichung f r ein Getriebe mit steiferen Bauteilen 8 mm Dicke und originalen kinematischen Abmessungen eingezeichnet Die Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung erlauben bei diesem Beispiel also eine Bauteil
306. rden Bei dem Ausschwingversuch vgl Bild 4 3 2 werden bei der Messung der Durchbiegung der Schwinge vom Dehnmessstreifen zwei Schwingungsanteile gemessen die eine Frequenz von 95 8 Hz und 300 Hz haben Der Anteil mit 95 8 Hz ist in dem Signal das aus den Messgr en der Drehgeber generiert wird nur sehr gering und der Anteil mit 300 Hz ist dort gar nicht vorhanden Kontrollmessungen mit einem Be schleunigungsaufnehmer der in tangentialer Richtung auf dem Abtriebstragheitsmoment montiert wurde haben ergeben dass dieses tats chlich nur vernachl ssigbare Schwingungen mit 95 8 Hz ausf hrt Es st also davon auszugehen dass die Messungen mit den Drehgebern gewisse Schwin gungsanteile nicht erfassen Eine Aussage dar ber welche zus tzlichen hochfrequenten Anteile mit den DMS gemessen werden k nnen w rd anhand einer S mulationsrechnung mit dem FE Modell m glich Es handelt sich um zwei Eigenschwingungsformen die mit gro en Kr mmungen in der Schwingenmitte und nur sehr kleinen Verdrehungen der Schwingenenden verbunden sind Bild 5 5 2 a b Die beiden zugeh rigen berechneten Eigenkreisfrequenzen s nd 94 9 Hz und 288 5 Hz Bild 5 5 2 Eigenschwingungsformen mit geringen Verdrehungen der Abtriebswelle 5 5 Prozessbaustein Auslegung der Sensoren und der Messkette 89 Es bleibt also festzuhalten dass die Form der Eigenschwingungen im Messkonzept ber cksichtigt werden muss Es sind die spezifischen Gegebenheiten des jeweiligen A
307. rden ob das System steuerbar ist Wie auf Steuerbarkeit berpr ft werden kann wird im Abschnitt 6 2 3 erl utert Sind die notwendigen Voraussetzungen gegeben so k nnen die Vorgabe des gew nschten dynami schen Verhaltens der Freiheitsgrade und die Bestimmung der entsprechenden Reglerparameter erfolgen Das dynamische Systemverhalten das ohne die Regelung alle n durch die Systemmatrix Ag bestimmt w rde wird durch die Reglerparameter R Kg Cg und durch das Vorfilter Mg in der Zustandsgleichung des Gesamtsystems 6 2 18 gestaltet Mogliche Zielvorgaben f r das dyna mische Verhalten und Entwurfsverfahren fur die Reglerparameter werden im Abschnitt 6 2 3 be schrieben Sofern von den Entwurfsverfahren die die Stabilit t des Systems garantieren abgewi chen wird muss eine abschlie ende berpr fung auf Stabilit t erfolgen Die Auslegung der allge meinen Ausgangsr ckf hrung Gl 6 2 18 und nat rlich auch der daraus abgeleiteten Sonderf lle erfolgt in vier Schritten nach Tabelle 6 2 1 deren algor thmische Umsetzung in Abschnitt 6 2 3 beschrieben wird Zustands Aus PI Zustandsregelung gangsr ckf hrung 1 berpr fung der Steuerbarkeit anhand der Matrizen Ag und Bg 2 Auslegung der Regelung R KG Coc 3 Auslegung des Vorfilters Mg 4 berpr fung auf Stabilit t Tabelle 6 2 1 Auslegungsschritte zur Bestimmung von Reglerparametern und Berechnungsvor schriften f r die ben tigten Matrizen Bei e
308. rdnung bestimmt worden Als Folge ist die Abweichung der Approximation f r die A 1 J von den tats chlichen Werten die rechts in Bild 4 2 2 dargestellt ist um weit ber Zehn Gr enordnung kleiner als die Werte selbst Abweichung der approximierten Chebysheff Koeffizienten Werte von den exakten Werten 1 E 07 1 0E 12 1 E 05 8 0E 13 1 E 03 if 6 0E 13 2 1 E 01 E nae 4 0E 13 E 1E 2 0E 13 oe NIIT Pe 44444 cl 2 1 E 07 2 0E 13 f gt 12 00 an IM gt IEN TE 6 0E 13 1 E 15 8 0E 13 1 E 17 1 0E 12 l 31 61 91 Nr 121 0 90 180 270 360 Bild 4 2 2 N herung der Koeffizienten der Systemmatrix durch Chebysheff Polynome Bei den g ngigen Verfahren zur Bestimmung der inhomogenen L sung der Zustandsgleichung ist eine Matrixintegration notwendig Corves 2007 In Sinha und Wu 1991 wird gezeigt dass diese Integration dank der Chebysheff Polynome auf die L sung eines linearen Gleichungssystems zu r ckgef hrt werden kann Das lineare Gleichungssystem muss gel st werden um die unbekannten Chebysheff Koeffizienten f r die Chebysheff Reihe zur Ann herung der station ren L sung w t zu berechen Dabei ist wegen der groen Anzahl von Chebysheff Koeffizienten allerdings die In vertierung einer sehr gro en zudem schlecht konditionierten Matrix notwendig Die numerisc
309. ren wie z B Bock 1982 Dittrich 1985 Dittrich und Wehn 1988 Dittrich u a 1995 Ewald 1975 Freudenstein und Dobrjanskyj 1964 Freudenstein und Maki 1979 Hain 1967 Hain 1973 und G nzel 1995 sind hier vor allem auch die zahlreichen VDI Richtlinien VDI 1987a VDI 1989 VDI 199la VDI 1991b VDI 1991c VDI 1991d VDI 1991e VDI 1995 VDI 1996 VDI 1999a VDI 1999b VDI 2002 und VDI 2004a von Bedeutung Haufig wird das gew nschte Ein Ausgangsverhalten in einfache Teilfunktionen zerlegt Mehrere Mechanismen aus einer L sungssammlung die jeweils einzelne Teilfunktionen realisiert k nnen werden dann zu einem Gesamtmechanismus kombiniert Neben diesen funktions bzw verhaltensorientierten Ansatzen sind der Vollstandigkeit halber auch strukturorientierte Ans tze zu nennen Sie basieren darauf die Gesamtheit aller m glichen Getrie bestrukturen f r verschiedene Anzahlen von Gliedern und Gelenken zu finden und bez glich ihrer Eignung fur die vorliegende Aufgabe zu analysieren Crossley 1964 Franke 1948 Hain 1955 Die Verwendung der Graphentheorie ist dabei f r die Getrieberepr sentation vorteilhaft Lu und Leinonen 2005 Es ist allerdings eine erhebliche Rechenleistung notwendig um unter allen Getrie bestrukturen die beste zu finden Die L sungsfindung kann aber z B durch genetische Algorithmen beschleunigt werden Liu und McPhee 2005 Datenbanken sind ein geeignetes Softwarewer
310. rfolgt eine harmonische Anregung durch u mit eben dieser Tilgungskreisfrequenz Qr so bleibt die Masse m in Ruhe Corves 2004b da die bertragungsfunktion G s Y s U s bei dieser Frequenz eine Nullstelle hat Eine Vorsteuerung auf Basis der inversen bertragungsfunktion U s G s Y s ist f r eine geplante Bewegung y t die Frequenzanteile mit der Tilgungskreis frequenz Qp besitzt aufgrund der Division durch Null nicht realisierbar Eine solche Trajektorie ist anschaulich gesprochen nicht systemgerecht da die Masse mj nicht mit der Tilgungskreisfre quenz Q schwingen kann Zur Vermeidung der Instabilit t der inversen bertragungsfunktion wird in der Arbeit von Cree und Damaren 2001 eine Strategie der n herungsweisen Invertierung der bertragungsfunktion angewendet In der Arbeit wird unter anderem ein dreigliedriges serielles Handhabungsger t mit flexiblen Gliedern behandelt Aufgrund eines nichtminimalphasigen Systemteils G s kann die exakte Inverse G s der Gesamt bertragungsfunktion der Strecke G s G s G s nicht ge bildet werden Die n herungsweise Invertierung G s G 0 G s vermeidet die Instabili t t der exakten Form der Inversen G s indem die Inverse des nichtminimalphasigen Systemteils G m s durch eine statische Inverse G 0 angen hert wird In der Arbeit wird eine Methodik vorgestellt um die daf r erforderliche Faktorisierung die die Gesamt bertragungsfunktion in einen sta
311. rgehens ist dass die Ausle gung der mechanischen elektrischen und informationstechnischen Komponenten des Bewegungs systems sowie die Planung der Sollbewegung nicht getrennt voneinander sondern ganzheitlich erfolgt Die integrierte Synthese von mechatronischen Bewegungssystemen erm glicht es bisher ungenutzte Potenziale zu erschlie en und so die Genauigkeit und Leistungsf higkeit ohne starke Kostenerh hung weiter zu steigern Das Ziel dieser Arbeit ist es ein Konzept zur integrativen Aus legung elastizitatsbehafteter Bewegungssysteme sowie die daf r notwendigen Berechnungsmetho den und werkzeuge vorzustellen Dar ber hinaus soll die Erstellung einer durchgangigen Werk zeugkette fur die schwingungsarme Auslegung der Systeme eingegangen werden Die Umsetzung der oft abstrakten Berechnungsmethoden soll fur einfache Beispielsysteme demonstriert werden Die Wirksamkeit und Erfolge der unterschiedlichen Moglichkeiten zur Systemgestaltung sollen durch Simulationen und durch praktische Versuche auf einem eigens daf r entworfenen Versuchs stand berpr ft werden Das Konzept zur integrativen Auslegung soll bew hrte dom nenspezifische und dom nen bergreifende Entwurfsmethoden ber cksichtigen Die dom nen bergreifende Behandlung der Systeme erfordert ein mathematisches Modell in sym bolischer Form um einen formalen Zugang zu den Auslegungsmethoden der verschiedenen Diszip linen zu erlangen Durch die stetig fortschreitende Entwicklung de
312. rieb ein Verdrehwinkel von y gt 0 0017 rad berechnet und es finden erwartungsgem immer dann Flankenwechsel statt wenn das hier nicht dargestellte Antriebsmoment vgl Bild 3 5 1 Nulldurch g nge hat Zum Zeitpunkt 1 55 s und 2 7 s liegen Flankenwechsel vor Diese f hren zu einer Schwingungsanregung Bei dem Balkenmodell ist im Zeitverlauf des Schwingwinkels y4 zu den Zeitpunkten 1 95 s bzw 3 05 s ein pl tzliches Verschwinden der Eigenschwingungen zu beobach ten Dies sind genau die Zeitpunkte zu denen ebenfalls ein Flankenwechsel im spielbehafteten Planetengetriebe stattfindet Offenbar zeigt sich hier ahnlich wie es beim Input Shaping Ab schnitt 7 1 1 beabsichtigt ist eine Ausloschung des vorhandenen Schwingungsanteils durch den neu angeregten Schwingungsanteil Der Ausloschungseffekt ist bei einer nicht weiter dargestellten 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 49 Rechnung mit dem FE Modell aufgrund der geringf gig anderen Eigenfrequenzen bei dieser Dreh zahl nicht zu beobachten 0 075 IT LT I IT TOT el Le i Ml u er RE oe Var T eee T pe u u emp ug oof TT BE paee yere e 0 9 1 4 1 9 2 4 2 9 3 4 t s 3 9 0 075 Bild 4 3 3 Ausl schungseffekt beim Abtriebswinkelfehler y4 aufgrund von St en durch Flankenwechsel im Verlauf des Winkels y2 des spielbehafteten Planetengetriebes Die Auswirkung des Spiels auf die Winkelabweichung am Abtriebsorgan wird anhand der Erg
313. rlag 1985 Volmer 1976 Volmer J Getriebetechnik Kurvengetriebe Berlin Technik Verlag 1976 Volmer u a 1995 Volmer J Leistner F Brock R Dog M Getriebetechnik Grundlagen Berlin Technik Verlag 1995 Wampler 2004a Wampler C W Singular foci of planar linkages In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 11 2004 S 1123 1138 Wampler 2004b Wampler C W The geometry of singular foci of planar linkages In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 11 2004 S 1139 1153 Wang und Unbehauen 2002 Wang G L Unbehauen H Note on the relative degree of a flexible manipulator and implications to inverse dynamics for tracking control In Robotica vol 20 No 2 2002 S 33 48 Wang und Cheng 2005 Wang P W Cheng C C Natural Frequency Tuning Using Struc tural Patches In Journal of Vibration and Acoustics vol 127 issue 1 2005 S 28 3 Wang und Mills 2006 Wang X Mills J K Dynamic modeling of a flexible link planar parallel platform using a substructuring approach In Mechanism and Machine The ory vol 41 issue 6 2006 S 671 687 Weck 1996 Weck M Werkzeugmaschinen Fertigungssysteme Band 2 D sseldorf VDI Verlag 1996 Weichert und W lker 2000 Weichert N W lker M Messtechnik und Messdatenerfassung M nchen Oldenbourg Verlag 2000 Wendt und Lutz 2002 Wendt W Lutz H Taschenbuch der Regelungstechnik 4 Aufl Frankfurt a M Harr
314. rm n Rudolph und Woittennek 2003 Der flach heitsbas erte Vorsteuerungsentwurf kann ohne weiteres von nichtlinearen Systemen auf lineare Systeme bertragen werden Der Vorsteuerungsentwurf f r lineare Systeme kann in MAPLE mit der Toolbox OreModules Chyzak u a 2004 durch das Aufrufen weniger Befehle schnell und systematisch durchgef hrt werden Corves u a 2006 F r das nichtlineare Beispielsystem mit dem Eingang u MAp Mpo zeigt sich bei der Verwen dung der Systembeschreibung mit Absolutwinkeln Gl 4 2 4 dass beide Eingangsgr en jeweils nur auf eine Beschleunigungsgr e wirken In diesem Fall ist die Matrix B q q t E invertierbar Be dem Beispielsystem w re eine derartige Vorsteuerung technisch allerdings kaum s nnvoll Das Einsetzen von M und g aus 4 2 4 in Gl 7 1 10 zeigt dass dann allein der Antrieb im Gelenk Bo das Moment zur Beschleunigung des Abtriebsorgans dessen Massentr gheitsmoment in der Vari able J4 enthalten ist aufbringen muss Der Verzicht auf das Kurbelgetriebe zugunsten eines Direkt antriebs w re folglich das sinnvollere Konzept Bei der Wahl eines anderen Eingangs u Mpg Mpo f r das gleiche System ist die Matrix B q q t ebenfalls invertierbar l mead WU CU U want 2U q U q An Gl 7 1 11 ist zu erkennen dass die Inverse allerdings fur U q 2U q nicht gebildet werden kann Die Berechungsformel wurde Polstellen in den berechn
315. rreichbare Arbeitsgeschwindigkeit andererseits zu erzielen Das vorge stellte Konzept umfasst sowohl eine Methodik zur ganzheitlichen Auslegung des mechatronischen Systems als auch Werkzeuge zur Umsetzung dieser Methodik Die Methodik greift das abstrakte Vorgehensmodell zur Auslegung mechatronischer Systeme aus der VDI Richtlinie 2206 auf Kennzeichnend f r dieses und auch f r andere in der Literatur be kannte Vorgehensmodelle ist ein iteratives Abarbeiten von Prozessbausteinen zur Gestaltung ein zelner Systemkomponenten Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf dem Entwurf mechatronischer Bewegungssysteme die einen geregelten elektrischen Antrieb und ein ungleichm ig bersetzendes Getriebe mit elastischen Bauteilen umfassen F r diese Gruppe von Systemen werden Prozessbau steine in Form von konkreten Auslegungsschritten und Berechnungsverfahren aus der Getriebe technik der Schwingungstechnik und der Regelungstechnik zu einem fach bergreifenden integra tiven Gesamtentwurf zusammengef hrt Die essentielle Voraussetzung f r eine erfolgreiche gesamtheitliche Synthese st die Kenntnis der Eigenschaften der Systemkomponenten und ihrer Auswirkung auf das Gesamtsystemverhalten sowie die Kenntnis der Gestaltungsm glichkeiten Ein Beitrag dieser Arbeit liegt darin die wesent lichen Eigenschaften und Designparameter der betrachteten Gruppe von Bewegungssystemen zu sammenzustellen die Wechselwirkungen zwischen den Teilsystemen aufzuzeigen
316. rschiedene Zu 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 124 standsregelungen eingezeichnet Darin ist die Referenzsimulation mit der Drehzahlregelung durch DZR gekennzeichnet Die Kennzeichnung der Zustandsregelungen erfolgt durch ZR und den in Klammern angegeben Realteilen f r den Antriebs und Abtriebseigenwert 65 Im Vergleich zum Referenzsystem wurde durch die Zustandsregelung eine erhebliche Verbesserung der Regelg te erzielt Die angeregten Eigenschwingungen k nnen durch die Zustandsregelung zum schnelleren Abklingen gebracht werden als bei dem Referenzsystem da die Dynamikmatrix Ag des Systems gezielt gestaltet werden kann Der Vergleich der drei Kurven f r die Zustandsregelungen zeigt dass ein Realteil von 65 20 zu einem schnellen Abklingen der berlagerten Schwingungen am Abtrieb f hrt w hrend ein Realteil von 65 10 noch nicht ausreicht 0 04 y4 rad 0 02 0 01 0 0 01 0 02 0 03 DZR ZR 10 20 ZR 20 10 ZR 5 10 0 04 4 4 2 4 4 4 6 4 8 t s 5 Bild 6 2 8 Verlauf der Abweichung am Abtrieb fur die Drehzahlregelung und Zustandsrege lungen mit verschiedenen Polpaaren Durch die Zustandsregelung k nnen Schwingungen aufgrund von kurzzeitigen St rungen verringert werden Es verbleibt jedoch ein station rer Fehler infolge der station ren St rgr en durch die kinetostatischen Lasten vgl Bild 4 4 2 Eine St rgr enkompensat
317. rste Schritt zur Bestimmung der Reglerparameter mittels Polvorgabe ist die Wahl geeigneter Eigenwerte Die Eigenwerte k n nen aus einer gew nschten Systemdynamik abgeleitet werden Die Ber cksichtigung der notwendi gen Stellgr en ist dabei allerdings nicht unmittelbar m glich Im Hinblick auf die Stellgr en ist es bei elastizitatsbehafteten mechanischen Systemen allgemein g nstig Eigenwerte zu w hlen deren Imagin rteil n der N he der Imagin rteile der Eigenwerte des ungeregelten Systems liegen und nur den Realteil hin zu st rkeren D mpfungen zu verschieben Treten dabei aufgrund hoher Eigenfrequenzen Konflikte mit der Taktzeit der Regelung mit Totzeiten oder Geschwindigkeitsbe schr nkungen der Aktuatoren auf so sollte durch einen R cksprung zur Bauteildimensionierung Abschnitt 4 4 1 gegebenenfalls eine Anpassung der Streckeneigenwerte vorgenommen werden 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 123 F r die Wahl der Eigenwerte werden in Unbehauen 1992 mehrere Standardformen und ihre Ei genschaften erl utert Dies sind unter anderem die Binominalform die der Hintereinanderschaltung von mehreren PT1 Elementen entspricht und kein berschwingen aufweist und die Butter worthform bei der die Pole in der linken H lfte gleichm ig auf einem Halbkreis angeordnet wer den In Arnhold und Konigorsky 2007 finden sich praxisorientierte Richtlinien f r die Polplatzie rung bei Werkzeugmaschinen Geleg
318. rt Besonders f r zeitinva riante lineare Systeme existieren zahlreiche Verfahren In Petsounis und Fassois 2001 werden beispielsweise vier stochastische und drei deterministische Methoden zur Parameteridentifikation im Zeitbereich am Beispiel eines Fahrzeugmodells miteinander verglichen Hinsichtlich des Kon vergenzverhaltens erweisen sich dabei Methoden bei denen nur lineare Optimierungen vorgenom men werden m ssen als vorteilhaft Fassois und Hemez 2001 und Fassois 2001 Die Verwen dung der zuvor genannten Methoden f r zeitinvar ante Systeme ist bei den betrachteten Bewe gungssystemen nur m glich wenn die Messdaten im Stillstand ermittelt werden da die Systeme nur m Stillstand durch zeitinvariante lineare Differentialgleichungen beschrieben werden k nnen Sich bewegende Systeme werden durch zeitvariante lineare Differentialgleichungen oder durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben s Abschnitt 4 2 Eine nichtlineare Least Squares Methode Levenberg Marquardt wird n Serban und Freeman 2001 zur Optimierung der Parameter nichtlinearer Modelle genutzt Die ben tigten Jacobimatrizen werden dabei aus den algebraischen Modellgleichungen gewonnen Im Hinblick auf Ma nahmen zur Schwingungsminderung ist die Beseitigung des Spiels eine Ma nahme zur passiven Schwingungsminderung die sich durch konstruktive nderungen des Pr f standsaufbaus realisieren l sst Die Reibungseffekte spielen bei Antriebsdrehzahlen gr
319. rt In der Mehrzahl der Arbeiten besteht das Ziel dar n auftretende Schwingungen in Bewegungssystemen zu minimieren nicht jedoch Deformationen zuzulassen und in die Planung des Bewegungsverhaltens einzubeziehen 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 92 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 6 1 1 Aufbau einer durchg ngigen Werkzeugkette De Silva 2005 gruppiert die Modelle von mechatronischen Systemen in vier Kategorien physika lische Modelle Prototypen analytische Modelle numerische Computermodelle und experimen telle Modelle F r d e Auslegung von mechatronischen Systemen werden analyt sche Modelle verwendet Von analytischen Modellen liegt gew hnlich eine mathematische Beschreibung vor die auch verwendet wird um das dynamische Verhalten vorauszusagen und zu gestalten Mit Hilfe des analytischen Modells werden Ergebnisse erarbeitet die auf das reale physikalische Modell ange wendet werden Als analytisches Modell eignen sich Zustandsmodelle Lineare Graphen Bond Graphen bertragungsfunktionsmodelle und Modelle im Frequenzbereich die ein Sonderfall der bertragungsfunktionsmodelle sind Bei Bond Graphen stellen Linien Zustandsgr en dar die aus Modellelementen Knoten hervorkommen w hrend die Knoten bei linearen Graphen Zustandsgr Ben repr sentieren und Pfeile Systemelemente darstellen Bond Graphen geben dabei die Ordnung des Systems und die kausalen Zusammenh nge besser wieder Beide Formen der
320. rungen und Rege lungen als vorteilhaft erweisen Der Vektor der eingepr gten Kr fte und Momente dp kann in zwei Anteile namlich in die Stellgr en de u die durch Aktuatoren als Eingangsgr en auf das System wirken und in die restlichen Kr fte und Momente dz test die aus regelungstechnischer Sicht auch als St rgr en betrachtet werden k nnen aufgeteilt werden de dg u dE rest gt d JIgesdE u J ges dE Rest 3 2 10 Der Vektor deu hat genau wie der Vektor dp entsprechend der sechs Freiheitsgrade je K rper 6 p Elemente von denen allerdings in der Regel ein gro er Teil Null ist Durch Streichen der Null Zeilen n deu entsteht ein Vektor u mit ebensoviel Eintr gen wie Stellgr en vorhanden sind Durch Streichen der entsprechenden Spalten in J gt q q t kann der Term J A d u leicht in die Form Bu berf hrt werden Mit der Eingangsmatrix B kann die Gleichung 4 2 1 mit 2 q q t g q q t J Bene immer auch in der Form M q 0 Z q t Bu 3 2 11 geschrieben werden Bei gew hnlichen mechanischen Systemen ist die Massenmatrix M regul r so dass die Gleichung 3 2 7 in eine Differentialgleichung erster Ordnung berf hrt werden kann wie in Abschnitt 4 2 noch erl utert wird Die Differentialgleichung erm glicht es aus den wirkenden 3 2 Eigenschaften und Modellierung von Starrk rpersystemen 16 Kr ften das resultierende Bewegungsverhalten zu bestimmen 1 Wittenbauersche Grundaufgabe oder umgek
321. s Flankenwechsels tritt ein Strukturwech sel auf Zur Klasse der Systeme mit Strukturwechsel geh ren allgemein Systeme bei denen Spiel in Gelenken Zahnradgetrieben oder in anderer Form vorliegt Diese Systeme sind nichtlineare Syste me deren Verhalten sich bei der nderung gewisser Parameter pl tzlich ndern kann Zum Beispiel kann ein System das zuvor eine station re Bewegungstrajektorie besa nach der Parameter nde rung zwischen zwei Trajektorien hin und her springen also zwei H ufungspunkte Attraktoren aufweisen Dieses Ph nomen wird als Bifurkation bezeichnet und die Systeme geh ren zu der Gruppe der deterministisch chaotischen Systeme Die Parameter die zu einer Bifurkation f hren k nnen sind h ufig einige der Zustandsgr en des Systems Einfache Systeme k nnen mit Hilfe von symbolischen Gleichungen analys ert werden um den Zusammenhang zwischen den System zust nden und dem Auftreten von Bifurkation zu beschreiben In Luo 2006 wird beispielsweise eine linear bewegte Masse auf die st ndig ein D mpfer aber nur bei berschreiten einer Mindest auslenkung auch eine Feder wirkt betrachtet Ein um eine Feder und zwei D mpfer erweitertes System der Braille Hammer wird in Jerreling und Dankowicz 2006 behandelt F r begrenzte Wertebereiche der Zustandsgr en werden dort d e Differentialgleichung des Systems und auch eine analytische L sungsgleichung angegeben Die Phasenportraits der deterministisch chaotischen S
322. s Input Shapings ist es einen gewissen Zeitabschnitt einer F h rungstrajektorie so zu ver ndern dass das System am Ende dieser Zeitspanne m glichst kleine Abweichungen von der geplanten Trajektorie aufweist und au erdem nach dieser Zeitspanne m g lichst kleine Schwingungen um die geplante Trajektorie vollf hrt Dieses Prinzip der Schwin gungsminderung ist besonders f r Trajektorien gut geeignet bei denen die Schwingungsanregung nur w hrend eines begrenzten Zeitabschnitts auftritt Kurvenscheiben mit Rast n Rast Bewegungen und Koppelkurven zur Realisierung von Punkt zu Punkt Bewegungen sind hier als wichtigste Bei spiele zu nennen Mathematisch wird das Input Shaping realisiert indem die gew nschte Trajektorie f t mit einer geeigneten Impulsfolge g t A a A g t oe i 7 1 1 i te ce Ge gefaltet wird Bei dieser Schreibweise sind in der zweiten Zeile die Schaltzeitpunkte t 1 n und in der ersten Zeile die Amplituden A i 1 n der Impulse angegeben Die Faltung wird durch den Operator gekennzeichnet und bedeutet eine Integration ber das Produkt der Trajekto rie f t mit der gespiegelten und verschobenen Impulsfolge ber den gesamten Definitionsbereich D der beiden Funktionen Abel 1993 h f g he f t g t dt 7 1 2 Die Laplacetransformierte G s der Impulsfolge g t kann mit der Laplacetransformierten F s der ursprunglichen Trajektorie f t nach dem Faltungstheorem multiplikativ verknupft werden
323. s nichtlinearen Systems regul r ist Enth lt der Ausgang y nur die Lagegr en q so ist das System zugleich ein flaches System s Abschn 6 1 2 Als systemgerecht kann in diesem Zusammenhang eine geplante Trajektorie y q t bezeichnet werden deren zweite Ableitung q t stetig geplant wird Diese Trajektorie 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 154 kann abgesehen von den auszuregelnden St rungen des Systems durch eine Vorsteuerung u nach Gleichung 6 1 13 f r den Systemeingang u u B M q t q B g q q t 7 1 10 realisiert werden Um die geplante Trajektorie q t nicht nur system sondern auch antriebsgerecht zu gestalten m ssen in dem Ansatz f r q t Designparameter vorgesehen werden Diese k nnen dann mit Hilfe von Gl 7 1 10 so bestimmt werden dass Stellgr enbeschr nkungen oder andere Randbedingungen seitens des Antriebs eingehalten werden In Fehn 2000 ist ein Scheibenwi schergetriebe mit Kreuzlenker als Anwendungsbeispiel zu finden In Maier und Woernle 2003 findet sich ein Beispiel f r die Anwendung flachheitsbasierter Vorsteuerungen f r ein seilgefuhrtes Handhabungsger t das zeigt dass die Berechnungsgleichung 7 1 10 fur die Stellgr en u sehr umfangreich werden kann Daher ist der Einsatz von Computer Algebra Programmen sinnvoll Dies gilt auch f r die Behandlung von verteilt parametrischen Systemen wie beispielsweise dem ein gliedrigen Bewegungssystem mit elastischem A
324. schaften der gesamten Messkette beachtet werden Dies betrifft unter anderem das bertragungsverhalten der Messkette Bei dem Beispielsystem zeigen sich an den Schnittstellen des Leitrechners auf dem die Regelung l uft sowohl zu den analogen Eing ngen zu den Sensoren als auch zu den analogen Ausg ngen zu den Aktoren Nichtlinearit ten Die Kal brierung erfordert f r jede Drehzahl unterschiedliche Offsets und Kalibrierungswerte die in Simulink in einer Look up Table hinterlegt werden k nnen Mit diesen Ma nahmen arbeitet die Messkette des Pr fstands mit ausreichender Qualit t F r eine ausf hrliche Betrachtung der Aspekte der Messtechnik und der Signalaufbereitung sei an dieser Stelle auf die Fachliteratur verwiesen z B Antoniou 2006 Becker und lijev 2000 Hoffmann und Adunka 2002 Lerch 2007 und Weichert und W lker 2000 Auch topologische Eigenschaften der Messkette s nd von Bedeutung Aufgrund der Platzierung der Messaufnehmer kann das Messsignal nicht nur die zu messende Gr e sondern auch noch weitere Anteile enthalten die durch eine Messdatenaufbereitung voneinander getrennt werden m ssen In Bucher und Rosenstein 2006 wird beispielsweise ein Verfahren vorgestellt um den Anteil der Massenkrafte und den Anteil der externen Kr fte auf das Bewegungssystem in einem Messsignal zu trennen Umgekehrt kann aber durch die Platzierung der Sensoren auch verhindert werden dass bestimmte Schwingungsanteile mit gemessen we
325. scheidungen m ssen vielf ltige Szenarien und Anforde rungen ber cksichtigt und abgew gt werden Das einfache Beispiel eines Zweimassenschwingers der zur Betonverdichtung eingesetzt wird Schwabe 2002 zeigt bereits eine erhebliche Komplex1 t t n der Formulierung der Bewegungsaufgabe und der Wechselwirkungen zwischen dem Bewe gungssystem und dem Prozess Die produktionstechnische Spezifikation der Bewegungsaufgabe l sst sich aufgrund dieser vielen Sichtweisen und Repr sentationsformen nur schwer durch Rechnermodelle und Algor thmen sys tematisch bearbeiten sondern muss nach derzeitigem Stand der Technik immer durch Menschen vorgenommen werden Erst die Erstellung der mathematischen Beschreibungsform aus den zuvor erarbeiteten Bewegungsvorgaben ist automatisiert m glich Die mathematische Repr sentations form der prozessrelevanten Bewegung wird im Folgenden als Prozesstrajektorie bezeichnet und ist Eingangsgr e f r den algorithmisch erfassbaren Teil des Entwurfsprozesses der im restlichen Teil dieser Arbeit behandelt wird Softwarewerkzeuge die d e Erstellung einer mathematischen Be schreibungsform der Bewegungsaufgabe als Eingangsgr e f r die kinematische Struktursynthese unterst tzen werden im Abschnitt 3 3 behandelt Daher wird an dieser Stelle nicht auf Werkzeuge und Methoden zur Bewegungsspezifikation eingegangen sondern es wird nur kurz auf die Klass f kation von Bewegungsaufgaben anhand ihrer zeitlichen und geom
326. schen Systemen 2004 Gausemeier 2005a Gausemeier J Entwicklung selbstoptimierender Systeme In Konstruk tion 57 Jahrgang Heft 10 2005 Gausemeier 2005b Gausemeier J DESIGNING TOMORROW S MECHANICAL ENGI NEERING PRODUCTS In Proceedings of the ITI 3rd International Conference on Information amp Communication Technology ICICT 2005 5 6th December 2005 Cairo Egypt 2005b Gawronski 1996 Gawronski W Balanced Control of flexible structures London Springer Verlag 1996 Gawronski 1998 Gawronski W Dynamics and Control of Structures A Modal Approach Berlin Springer Verlag 1998 Geike und McPhee 2003 Geike T McPhee J Inverse dynamic analysis of parallel ma nipulators with full mobility In Mechanism and Machine Theory vol 38 Issue 6 2003 S 549 562 Georgiu und Mrad 2006 Georgiu H M S Mrad R B Electromechanical Modeling of Piezoceramic Actuators for Dynamic Loading Applications In Journal of Dynamic Systems Measurement and Control vol 128 Issue 3 2006 S 558 567 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 181 Gerlach u a 2005 Gerlach E Zimmermann K Tr bs A Simulationsgest tzter Entwurf einer hochpr zisen Positioniereinrichtung f r Nanopositionier und Nanomessma schinen In Mechatronik 2005 Innovative Produktentwicklung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 125 136 Giese u a 2004 Giese H Burmester S Sch fer W Oberschelp W Modular De
327. sieren die aus dem urspr nglichen Signal resultieren w rden Gestal tungsparameter sind die Amplituden A die Anzahl n und die Dauer t t _ der Impulse die der Trajektorie berlagert werden Die Zeitdauer t t _ h ngt dabei immer von der Eigenfrequenz des Systems ab weswegen die Eigenfrequenz a priori bekannt sein muss Die Summe der positiven und der negativen Amplituden in der Impulsfolge g t muss gleich Eins sein damit die ver nderte Tra jektorie h t zum Endzeitpunkt t der Impulsfolge wieder exakt der urspr nglichen Trajektorie f t entspricht und damit zugleich die Amplituden der Stellgr en nicht gr er werden als bei der ur spr nglichen Trajektorie Pao und Singhose 1996 Pao und Lau 2000 Wenn nicht nur Impulse mit positiven Amplituden sondern auch Impulse mit negativen Amplituden moglich sind kann die Zeitdauer t der Impulsfolge g t verk rzt werden Singhose u a 1994a Der Vergleich von Input Shapern mit variabler und mit konstanter Amplitude in Pao und Singhose 1995 zeigt dass erstere nur auf numerische und letztere auch auf analytische Weise ausgelegt werden konnen Das Vorgehen zur Auslegung eines Input Shapers ist im Wesentlichen auf das L sen einer Rand wertaufgabe zur ckzuf hren Es werden jeweils Randbedingungen e f r die Minimierung der verbleibenden Schwingungen ZeroVibration Input Shaping Singhose u a 1994b e f r die Ber cksichtigung von Parameterunsicherheiten Zero Vi
328. sign and Verification of Component Based Mechatronic Systems with Online Reconfigura tion In Proc of 12th ACM SIGSOFT Foundations of Software Engineering 2004 FSE 2004 Newport Beach USA 2004 Gimpel u a 2000 Gimpel B Herb R Herb T Ideen finden Produkte entwickeln mit TRIZ M nchen Hanser Verlag 2000 Gold u a 2006 Gold W Schelenz R Augustino R Frenschek W Kube A M ller D Benutzerhandbuch zum Drehschwingungssimulationsprogramm DRESP Frank furt a M Forschungsvereinigung Antriebstechnik e V 2006 Goldenberg und Rakhsha 1985 Goldenberg A A Rakhsha F Feedforward control of a single link flexible robot In Mechanism and Machine Theory Vol 21 1985 S 325 335 Gosavi und Kelkar 2004 Gosav S V Kelkar A G Modelling Identification and Passiv ity Based Robust Control of Piezo actuated Flexible Beam In Journal of Vibration and Acoustics vol 126 issue 2 2004 S 260 271 Gosselin und Angeles 1990 Gosselin C Angeles J Singularity analysis of closed loop kinematic chains In IEEE Trans on Robotics and Automation Vol 6 No 3 1990 S 281 290 Graichen u a 2005 Graichen K Hagemeyer V Zeitz M A New Approach to Inversion Based Feedforward Control Design for Nonlinear Systems In Automatica 2005 Graichen und Zeitz 2006 Graichen K Zeitz M Inversionsbasierter Vorsteuerungsentwurf mit Ein und Ausgangsbeschr nkungen In at au
329. sign vol 1 1989 Horsch 2005 Horsch R Entwurf eines Zustandsbeobachters und einer Zustandsregelung fiir ein System zur aktiven Schwingungsminderung bei ungleichm ig bersetzten Getrie ben mit elastischen Bauteilen Diplomarbeit Aachen RWTH Institut f r Getriebe technik und Maschinendynamik 2005 Hu und Vukovich 2001 Hu Y R Vukovich G Position and force control of flexible joint robots during constrained motion tasks In Mechanism and Machine Theory vol 36 issue 7 2001 S 853 871 Husing 1996 Husing M Toleranzbedingte Bewegungsfehler von mehrgliedrigen Kurbelge trieben exakt bestimmen In VDI Hg VDI Getriebetagung 96 Kurvengetriebe Gelenkgetriebe gesteuerte Antriebe Probleml sungen in der Bewegungstechnik VDI Berichte Nr 1283 Dusseldorf VDI Verlag 1996 S 199 214 H sing und Corves 1997 Husing M Corves B Toleranzuntersuchungen an einem Me chanismus zur Hohlglaserzeugung In Hirschmann K H und Ch Woernle Hg Getriebetechnik Warnem nde 8 10 September 1997 Rostock 1997 S 93 102 Huston u a 2003 Huston R L Liu C Q Li F Equivalent Control of Constrained Mul tibody Systems In Multibody System Dynamics vol 10 no3 2003 S 313 321 Husty 1994 Husty M L An Algorithm for Solving the Direct Kinematic Of Stewart Gough Type Platforms Im Internet unter http citeseer ist psu edu husty94algorithm html 1994 Hwang 1992 Hwang Y
330. ssbausteine werden im Bild 7 2 1 durch den inneren Ring symbolisiert Der formale Zu gang zu den Systemkomponenten und deren Eigenschaften erfolgt durch mathematische Modelle die im mittleren Ring abgebildet sind Wesentlich f r den Erfolg des Auslegungsprozesses ist dass die Auslegung der einzelnen Teilsysteme vernetzt und unter Ber cksichtigung des dynamischen Verhaltens des Gesamtsystems erfolgt Dies ist im Bild 7 2 1 durch die Pfeile angedeutet Die ein zelnen Systemkomponenten wurden in den vorherigen Abschnitten ausf hrlich behandelt und auch auf zahlreiche Wechselwirkungen zwischen den Komponenten wurde bereits eingegangen Im Folgenden wird dargestellt wie diese Komponenten sich zu einem Gesamtsystem zusammenf gen und wie die Struktur des Gesamtsystems geplant werden kann Anschlie end wird dargestellt wie die Wechselwirkungen durch eine Vernetzung der einzelnen Prozessbausteine und durch ein iterati ves Vorgehen ber cksichtigt werden k nnen um die gew nschten Eigenschaften des Gesamtsys tems zu erlangen 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 163 Das Bewegungssystem kann durch die Gesamtheit seiner Eigenschaften und seiner Funktionen abstrakt beschrieben werden Die Eigenschaften und die Funktionen werden durch Designparameter gestaltet und k nnen in mehrere Gruppen bzw Teilsysteme gegliedert werden In dieser Arbeit wird eine Gliederung in folgende Teilsysteme mit ihren charakteristischen Eigenschaften und Parametern verwendet
331. ssen so konzipiert werden dass Schwingungsph nomene die R ckschl sse auf die Modellparameter zulassen auftreten und gemessen werden k nnen Weichert und W lker 2000 Das Vorgehen ist f r jedes einzelne System spezifisch Es existieren aber einige Untersuchungsmethoden die sehr h ufig angewendet werden k nnen Hier ist bei linearen zeitinva rianten Systemen vor allem die Modalanalyse zu nennen Hoffmann und Adunka 2002 Nach einer Impulsartigen Anregung an einer Stelle des stillstehenden Systems werden die Schwingungs antworten an mehreren Stellen gemessen Auf diese Weise kann das bertragungsverhalten des Systems analys ert werden Insbesondere k nnen Eigenfrequenzen und formen bestimmt werden Bonfig 1996 Diese sind wiederum durch die Modellparameter in der Systemmatrix A des linearen Systems Gl 4 2 14 festgelegt Bei zeitvarianten linearen Systemen ist die Unersuchung von stati on ren Zust nden und der Vergleich mit der berechneten station ren Schwingungsantwort Gl 4 2 16 n tzlich um die Modellparameter und Effekte zu berpr fen Um Aussagen aus der Betrachtung einzelner stationarer Zustande zu verallgemeinern empfiehlt sich die Untersuchung quasistationarer Vorgange 1m Rahmen einer Betriebsschwingungsanalyse Muhl 2008 Das Vor gehen zur Modellverifikation ist sehr stark vom Einzelfall abhangig und soll hier anhand des Bei spielsystems demonstriert werden Dabei werden zugleich diejenigen Schwingungsph nomene
332. st so dass die rechte H lfte von Bp bpy 0 eine Nullmatrix ist Die Betrachtung der erweiterten Systemmatrix in Blockmatrizenschreibweise Fr 0 E 0 Kes 2 gt M Q M P 0 6 2 29 oe Gy ee ee ee ite PI b5 0 0 erlaubt eine rekursive symbolische Berechnung der Steuerbarkeitsmatrix Wird f r die k te Potenz Ack der erweiterten Systemmatrix folgende Namensgebung f r die Blockmatrizen eingef hrt Kay Ap 0 Ag An Ago 0 6 2 30 Az Ago 10 So ist k l 0 E 0 Aq An 0 k l lp A M Q M P 0 kA Ag 10 bpj 0 0 EA A 0 i 3 6 2 31 Ay An 0 M Q KAj MIP Aoi MQ KAj MP SA 10 ee A ee 21 8 14 2 22 bpj Aji bpj An 0 Die k 1 te Spalte der Steuerbarkeitsmatrix Qs ergibt sich indem Ack von rechts mit der erweiter ten Eingangsmatrix Bg multipliziert wird Diese setzt sich nach Gl 6 2 25 aus einer Nullmatrix 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 118 und aus der Matrix B aus der Zustandsgleichung der Strecke Gl 4 2 14 Soll bei dem Kurbelge triebeprufstand der Integralanteil n der Regelung nur f r eine der vier Zustandsgr en realisiert werden so ist bp ein Zeilenvektor der eine Eins und ansonsten nur Nullen enth lt und es gilt 0 E MP MQ M pm pP L 6 2 32 Qs E MP M Q MPM P o o B 0 0 bp bp Mp bp M Q M pM P Darin bedeutet das Kronecker Symbol dass die Eingangsmatrix B aus
333. stems Die Theorie zur modellpr diktiven Regelung wird in der dort angef hrten weiterf hrenden Literatur erl utert Fur die mit konstanter Drehzahl betriebenen Bewegungssysteme ist auch die Repetetive Control Strategie interessant In Kositza u a 2003 wird diese Strategie z B mit dem Ziel eine m glichst gleichf rmige Antriebsdrehzahl n einem Verbrennungsmotor zu realisieren eingesetzt Die Kern idee des Repetetive Controls ist es erg nzend zur Regelabweichung auch die Stellgr e mit einer Zeitverz gerung zur ckzuf hren wobei d e Verz gerungsdauer der Periodendauer der St rung entspricht Inoue u a 1981 Inoue u a 1983 Diese R ckf hrung ist anschaulich gesprochen das Ged chtnis der Regelung n dem die Stellgr e aus der vorherigen Periode gespeichert ist Sie wirkt sich hnlich wie eine St rgr enaufschaltung aus Problematisch ist dass dabei die Perioden dauer ausreichend genau bekannt sein muss da sonst eine stabilitatsmindernde Phasenverschiebung zwischen dem zur ckgef hrten Zustand und dem aktuellen Zustand auftritt Inoue u a 1981 Bei der Umsetzung in diskreten Systemen wird die zeitverz gerte R ckf hrung der Stellgr e durch ein geeignetes Filter erreicht Der Verst rkungsfaktor f r die zeitverz gerte R ckf hrung des Ausgangs wird durch einen geeigneten Adaptionsalgor thmus abh ngig von der Stellgr e ver n dert um die Stabilit t und Konvergenz zu verbessern
334. t Pp Bo Ya Pp Bo Ya Mst Bot 5 4 2 sind Pp g Ppp Pp Bo und Pp go die Reglerfaktoren der beiden PD Regelungen f r die Aktuatoren in den Gelenken B und Bo Durch Ms g und Msr po wird die St rgr enkompensation umgesetzt Die linearisierte Bewegungsgleichung 4 4 4 wird damit zu Jasit4 Krea Pp Bo Pp Wa Crea Pp Bo Pp Na ie mw 2 Pas A ur U1Y20 4 5 Ms Bo t Mst B t Ziel der St rgr enkompensation ist es wie 1m Abschnitt 6 2 1 noch n her erl utert wird den Erregervektor zu minimieren Es muss daher gelten Mst Bolt Mst Bt ener U1 20 4 5 5 4 4 5 4 Prozessbaustein Auslegung semiaktiver Stellglieder 84 Semiaktive Aktuatoren haben allgemein die Eigenschaft dass nur der Betrag nicht aber die Wirk richtung der Stellgr e eingestellt werden kann So wirkt auch das Moment der magnetorheologi schen Bremsen immer entgegen der Relativgeschwindigkeit im Gelenk B bzw im Gelenk B Daher kann das erw nschte Moment nach Gl 5 4 1 bzw 5 4 2 nur zeitweise realisiert werden F r semiaktive Stellglieder muss daher immer eine Schaltlogik realisiert werden die dies ber ck sichtigt In Hohenbichler und Six 2006 werden vor diesem Hintergrund ein semiaktives und ein aktives Skyhook Regelgesetz f r Fahrwerke von Schienenfahrzeuge miteinander verglichen In Moosheimer und Waller 1996 wird eine echtzeitfahige Regelung fur elektrorheologische Dampfer nach dem Prinzip der dynamischen Pro
335. t 6 2 1 oder bei der Trajektorienplanung Abschnitt 7 1 automatisch zu erkennen und geeignet zu behandeln Die kinematischen Lage bzw bertragungsfunktionen erster und zweiter Ordnung U q und U q haben einen erheblichen Einfluss auf die kinetostatischen Bauteilbelastungen Die Beschleu nigungen jeglicher K rper von Starrk rpergetrieben mit dem Laufgrad 1 und der zugeh rigen An triebsgroBe q t k nnen durch das zweifache zeitliche Ableiten geeigneter Lagefunktionen U q ermittelt werden _ d U q t TEN ae Uy I Ua U 3 2 5 Dementsprechend lassen sich alle Kraftgr en F die durch Massenkrafte verursacht werden in der Form Fn t Mm 4 A t gm0 4 O 3 2 6 angeben Dresig und Rockhausen 2002 und Dresig und Rockhausen 2005 Die verallgemeiner ten Massen m q und die Terme g q sind stellungsabh ngige Faktoren die au erdem von den kinematischen Abmessungen und von den Masseparametern eines Mechanismus abh ngig sind Die Kraftgr en F t werden als verallgemeinerte kinetostatische Kr fte bezeichnet Es kann es sich um Lager oder Gelenkkr fte handeln aber auch um das Antriebsmoment oder die Biege und Torsionsmomente beliebiger Getriebeglieder Daher ist die Gl 3 2 6 geeignet um daraus fur die kinematische Ma synthese Abschnitt 3 4 Synthesegleichung zur Minimierung des Spitzen Antriebsmoment zu formulieren Sie liefert die algebraischen Zusammenhange zwischen dem Spit zenmoment und den
336. t einer Aufteilung in kleine Teilsysteme entspricht Auf weitere Richt linien zur Aufteilung in Substrukturen wird in Meinders 1997 und Petersmann 1986 eingegan gen In Petersmann 1986 wird ein Verfahren zur n herungsweisen dynamischen Kondensation vorgestellt das eine fre w hlbare Anzahl von Eigenschwingungsformen der zu kondensierenden Teilsysteme ber cksichtigt Dadurch wird die Grenze f r die Schwingungsfrequenzen die mit dem Gesamtmodell zuverl ssig berechnet werden k nnen heraufgesetzt Die Schwingungsfrequenz muss nur noch ausreichend weit unterhalb der niedrigsten nicht modellierten Eigenfrequenz aller 4 1 Prozessbaustein Modellierung der Elastizit t 31 Substrukturen liegen Bei dem Verfahren das zur Gruppe der Verfahren der modalen Kopplung geh rt wird bei der Eigenwertermittlung von einer festen Einspannung an den Schnittstellen der Subsysteme ausgegangen In Petersmann 1986 wird aber auch kurz auf andere Verfahren der modalen Kopplung eingegangen bei denen andere Randbedingungen f r die Einspannstellen z B frei Lasteinwirkung etc ber cksichtigt werden Die Verfahren der modalen Kopplung werden gegenw rtig in den g ngigen FE und MKS Programmen unterst tzt In ADAMS 2003 steht z B eine modifizierte Form der Craig Bampton Methode f r die Modellkondensation zur Verf gung Diese wird in Wang und Mills 2006 f r die Simulation einer Parallelkinematik angewendet Allgemein kommen dem Programmanwende
337. t immer auch parameterabh ngig Abh ngig von den Bauteildimensionen kann eine Struktur mit Direktantrieb oder eine Struktur mit ungleichm ig bersetzendem Getriebe g nstiger sein s Abschnitt 3 5 Erst mit der Kenntnis des quantitativen Einflusses einzelner elasti scher Verformungen oder Schwingungsformen auf die Prozesstrajektorie kann ber die Notwendig keit bestimmter Ma nahmen zur Schwingungsminderung oder ber die Erforderlichkeit bestimmter Stellglieder entschieden werden Daher ist es wichtig bei der Festlegung der Eigenschaften einzel ner Systemkomponenten auch immer wieder die Auswirkung auf die Gesamtstruktur zu berpr fen und gegebenenfalls die Gesamtstruktur zu ndern Um die strukturelle Bedeutung einzelner Entscheidungen oder Gestaltungsvarianten beurteilen zu k nnen kann deren Auswirkung auf die strukturellen Eigenschaften des mathematischen System modells z B Gl 6 2 18 analysiert werden Zu den strukturellen Eigenschaften des Gesamtsys tems z hlt unter anderem die M glichkeit der Transformation auf bestimmte Normalformen die w ederum Voraussetzung f r bestimmte Ma nahmen zur Schwingungsminderung sind s Abschnitt 6 1 2 Das Gesamtsystemmodell st dabei immer aus Bestandteilen zusammengesetzt die die einzelnen Systemkomponenten repr sentieren vgl Gl 5 2 1 Die Struktur der drei phys kalischen Systemkomponenten Mechanismus Stellglied und Sensor ist durch die Verkn pfung von Energiespeichern
338. ta S Qualitative motion synthesis Towards automating mechanical systems configuration In Proceedings of the NSF Design and Manufacturing System Confer ence 1990 S 77 91 Kota und Chiou 1992 Kota S Chiou S Design representation and computational synthe sis of mechanical motions In Taylor D L Stauffer L A Hg Design Theory and methodology vol 42 ASME 1992 S 365 372 Kozak u a 2006 Kozak K Singhose W Ebert Uphoff I Performance Measures For Input Shaping and Command Generation In Journal of Dynamic Systems Measure ment and Control vol 128 Issue 3 2006 S 731 736 Kramer 1984 Kramer E Maschinendynamik Berling Springer Verlag 1984 Kuo u a 2006 Kuo Y L Cleghorn W L Behdinan K Fenton R G The h p r refinement finite element analysis of a planar high speed four bar mechanism In Mechanism and Machine Theory vol 41 issue 5 2006 S 505 524 Lange 2003 Lange F Adaptiv Vorausplanende Steuerung f r schnelle sensorbasierte Robo terbewegung Dissertation Karlsruhe Technische Hochschule Fakult t f r Informa tik 2003 Laribi u a 2004 Laribi M A Mlika A Romdhane L Zeghloul S A combined genetic algorithm fuzzy logic method GA FL in mechanisms synthesis In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 7 2004 S 715 735 Last u a 2005 Last P Hesselbach J Wahl F M Hochdynamische Parallelroboter im Bereich Handha
339. tation mit einem Steuervektor u der in die zwei Anteile der Regelung up und der St rgr enkompensation u aufgeteilt wird x Ax Bu z Ax Bug Bu z 6 2 1 Die Wahl der Linearisierungstrajektorie unterliegt einer gewissen Beliebigkeit W rde die statische Gleichgewichtslage als Linearisierungstrajektorie gew hlt so w re der St rgr envektor z 0 und die St rgr enkompensation w re berfl ssig Allerdings entspricht die statische Gleichgewichts lage m Allgemeinen n cht der gew nschten Bewegung so dass e n von Null abweichender F h rungsgr enverlauf w dann ein Vorfilter M erfordert das hnliches bewirkt wie die St rgr en kompensation Die Bedeutung und die Auslegung eines Vorfilters M wird im nachfolgenden Ab schnitt 6 2 2 erlautert Der Erregervektor des Beispielsystems enth lt zwei Anteile von St rgr en u ere Lasten in Form der Momente Mgo und Mp und kinetostatische Belastungen vgl Gl 4 2 9 und 4 2 11 Die kinetostatischen Belastungen s nd diejenigen Belastungen die auftreten wenn das Getriebe s ch 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 104 entlang der Linearisierungstrajektorie bewegt S e sind reine Zeitfunktionen Die Kompensation dieses kinetostatischen Belastungsanteils kann auch als Vorsteuerung f r den Starrk rpersystemteil angesehen werden Wie die Aufschaltung zur Kompensation der kinetostatischen Lasten bezeichnet wird ist letztlich un
340. te Im Bereich der Mechanik sind hier z B die Newton Eulerschen Gleichungen und im Be reich der Elektrotechnik die Kirchhoffschen Gesetze zu nennen Die Verbindung der einzelnen mechatronischen Systemelemente durch Reaktionsgr en in den Schnittstellen muss durch geson derte Beziehungen formuliert werden um die Einzelgleichungen der Systemteile zu einem Glei chungssystem f r das Gesamtsystem zusammenzuf hren F r die Kopplung zweier mechanischer Systemteile wird z B das 3 Newton sche Axiom actio reactio zur Formulierung von Reakti onsgr en verwendet Die Kopplung eines mechanischen Systems mit einem Gleichstrommotor erfolgt ber die Beziehung z B Gl 5 1 3 zwischen dem Motorstrom und dem Motormoment M in Bild 4 2 1 Ein Vorteil der direkten Verfahren ist dass die Reaktionsgr en in dem Glei chungssystem enthalten sind und somit auch unmittelbar berechnet werden Ein Nachteil ist der damit verbundene vergr erte Rechenaufwand Es ist allerdings m glich das System durch eine geeignete Transformation in Richtung der Freiheitsgrade zu projizieren und so eine Formulierung der Gleichungen in Minimalkoordinaten zu erhalten Bremer und Pfeiffer 1992 Die analytischen Methoden basieren auf dem Prinzip der virtuellen Arbeit und bedienen sich des mathematischen Werkzeugs der Variationsrechnung Hadwich 1998 Das Hamilton Prinzip und 4 2 Prozessbaustein Aufstellen der Systemgleichungen und Analyse der Systemeigenschaf
341. ten 35 die Lagrange schen Gleichungen zweiter Art sind zwei Beispiele f r Verfahren die automatisch zu einer Systembeschreibung durch eine gew hnliche Differentialgleichung in Minimalkoordinaten f hren Falls zus tzlich die Auswertung von ReaktionsgroBen oder abh ngigen Koordinaten ge w nscht ist kann ein mechanisches System gem der Lagrange schen Gleichungen erster Art und mit Hilfe von Bindungsgleichungen zwischen den abh ngigen und den unabh ngigen Koordinaten formuliert werden Dabei werden die Bindungsgleichungen durch Multiplikation mit Lagrange Faktoren in das Gleichungssystem eingef hrt so dass das e n differential algebraisches Gleichungs system entsteht das in seiner Gr e an die Bed rfnisse anpassbar ist In Hadwich 1998 wird sehr fundiert dargelegt wie insbesondere d e analytischen Methoden zum Aufstellen der Systemglei chungen f r mechatronische Systeme verwendet werden k nnen F r die interdisziplin re Formulie rung der Systemgleichungen von mechatronischen Systemen mit den direkten Verfahren kann eine vorherige abstraktere graphische Repr sentation durch Netzwerke oder Bondgraphen n tzlich sein Hadwich 1998 Die Gleichungen des elektrischen Systemteils und die Gleichungen der Steuerung und Regelung sind in dieser Arbeit relativ einfach Daher wurde nur das Aufstellen der Gleichungen f r den auf w ndigeren mechanischen Systemteil mit einem Computer Algebra Programm automatisiert Dazu wurde sowo
342. ten Systemparameter anzuwenden In Wang und Cheng 2005 wird beispielsweise ein Vorgehen angewendet das an d e Methodik der Polvorgabe angelehnt ist um die Steifigkeit einer Blattfeder zu gestalten Erg nzend zur Platz erung der Eigenwerte k nnen auch Tilgungsfrequenzen durch die Bestimmung entsprechender Systemparameter platziert werden Eigenfrequenzen und Tilgungsfrequenzen kenn zeichnen die Polstellen und die Nullstellen im Amplitudenfrequenzgang eines unged mpften Sys tems Durch die Platzierung der Pol und Nullstellen wird das bertragungsverhalten des Systems in einem engen Bereich um diskrete Frequenzen herum gestaltet Im Gegensatz dazu wird be der Schwingungsisolierung von Maschinen das bertragungsverhalten in einem gr eren Frequenzbe reich gestaltet Auslegungsrichtlinien hierf r finden sich beispielsweise in Corves 2004b VDI 1976 und Weck 1996 In den Bereich der Gestaltung des bertragungsverhaltens f llt auch die Auslegung von Dampfungselementen zur Dissipation von Schwingungsenergie Allgemein wird zwecks Gestaltung des bertragungsverhalten die station re Schwingungsantworten des Systems in Abh ngigkeit der Bauteilparameter bestimmt vgl Abschnitt 4 2 um daraus letztendlich Bestim mungsgleichungen f r die Bauteilparameter zu generieren Die Auslegung von einfachen Tilgern wird in vielen Lehrb chern unter anderem in Corves 2004b erl utert In Ozer und Royston 2005 wird ein berblick ber weiter
343. ten f r 6 65 53 die in Klammern folgen 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 127 gekennzeichnet F r die Realteile 6 1 6 20 und 63 20 ist eine Verbesserung gegen ber der reinen Zustandsregelung erkennbar Der Abtriebsfehler enth lt au er der kinetostatischen und vibrodynamischen Durchbiegung der Schwinge noch einen weiteren Anteil der durch die Fehlstel lung des Antriebs und damit des gesamten Getriebes verursacht wird Offenbar wirkt sich das schnellere Zur ckgehen des Antriebswinkelfehlers s Bild 6 2 13 aufgrund des Integralanteils n diesem Zusammenhang g nstig auf den Abtriebsfehler aus An dieser Stelle zeigt sich eine Schw che des Verfahrens der Polvorgabe Die Auswirkung der Platzierung der Pole auf das Zeitverhalten ist nicht einfach vorhersehbar und erfordert daher h ufig ein iteratives Vorgehen zur Bestimmung der Reglerparameter Dabei m ssen auch die Stellgr en beachtet werden die f r die zuletzt be trachteten PI Zustandsregelung in Bild 6 2 14 dargestellt sind 0 04 y4 rad 0 02 0 01 0 0 01 0 02 0 03 0 04 4 4 2 4 4 4 6 4 8 t s 5 Bild 6 2 12 Abtriebswinkelfehler f r verschiedene Regelungen 0 050 2 rad 0 025 0 000 0 025 DZR ZR 10 20 PIZR 10 20 1 PIZR 1 20 20 0 050 4 4 2 4 4 4 6 4 8 t s 5 Bild 6 2 13 Antriebswinkelfehler f r verschiedene Regelungen 6 2 Ma nahmen zur ak
344. terabhangige Bestimmung der Existenzbedingungen f r s ngul re Stellungen s Abschnitt 3 2 zu nennen F r quantitative Analysen und f r die konkrete Dimensionierung von Systemkomponenten k nnen FEM und Mehrk rpersimulationsprogramme Abschnitt 4 1 und 4 2 eingesetzt werden Die Modelle k nnen gegebenenfalls durch experimentel le Verfahren verifiziert werden und es kann eine Anpassung der Modellparameter vorgenommen werden Abschnitt 4 3 Die St rke des vernetzten Vorgehens zeigt s ch eindrucksvoll an dem Beispiel des Kurbelgetriebe pr fstands Das dynamische Verhalten des Gesamtsystems wird im Wesentlichen durch die Dyna mik des mechanischen Systemteils und durch die Regelung bestimmt Die Eigenfrequenzen der Teilsysteme sind so aufeinander abgestimmt dass die Eigenfrequenz des mechanischen Systemteils oberhalb der 7 Ordnung der maximalen Antriebsfrequenz liegt Die Eigenfrequenz die dem An triebsfreiheitsgrad zugeordnet werden kann ist durch die Reglerauslegung mittels Polplatzierung wiederum deutlich oberhalb der ersten Eigenfrequenz des mechanischen Systemteils gelegt Gleich zeitig ist beachtet worden dass Stellgr en mit dieser Frequenz durch den Stellantrieb noch reali sierbar sind Durch die Anordnung der Sensoren in den Abtriebsgelenken wird erreicht dass Schwingungen mit der zweiten Eigenform durch die Sensoren kaum erfasst werden Somit werden Wechselwirkungen zwischen der Regelung und dieser Schwingungsform minimiert
345. teren Rep r sentationsformen vorgestellt Die funktionsorientierten Verfahren zur Struktursynthese gehen unmittelbar von einer Beschreibung der Funktion des Bewegungssystems d h von der prozesstechnischen Repr sentationsform einer Bewegungsaufgabe aus um ein geeignetes Bewegungssystem zu finden Aufgrund des Fehlens einer allgemeinen Theorie die die Funktion Bewegungsaufgabe und die kinematische Struktur des Bewegungssystems in Verbindung setzt Subramanian und Wang 1993a existieren nur weni ge Losungssammlungen die den Versuch unternehmen die vielfaltigen Bewegungsaufgaben zu katalogisieren und ihnen kinematische Strukturen und zum Teil auch kinematische Abmessungen zuzuordnen Hier sind unter anderem Artobolevsky 1975 76 77 Belfiore und Pennestri 1997 Chakrabarti und Bligh 1983 Chakrabarti 1991 Chironis 1965 Kota und Chiou 1992 Muller 1981 und Jones u a 1930 1967 zu nennen Fur die Bewegungsspezifikation in Verbindung mit einer Struktursynthese bewahrt haben sich L sungssammlungen die nicht Bewegungsaufgaben katalogisieren sondern umgekehrt die Getrie bestrukturen katalogisieren und diesen die realisierbaren Bewegungsaufgaben zuordnen Sie werden als verhaltensorientierte Syntheseverfahren bezeichnet da die Kataloge auf dem Verhalten der Getriebestrukturen basieren Die Klassifikation der Bewegungsaufgaben richtet sich also nach den kinematischen Grundstrukturen Neben den L sungssammlungen einzelner Auto
346. terien wie ein zeitoptimaler bergang ber ck sichtigt werden Dabei muss besonders beachtet werden ob aufgrund der strukturellen Eigenschaf ten des elastischen Systemteils im Zusammenspiel mit der Topologie der Mess und der Stellglieder autonome Teilsysteme existieren und ob die Dynamik dieser autonomen Teilsysteme stabil oder instabil ist Durch eine geeignete Gestaltung der F hrungsgr en mittels Filterung Input Shaping etc kann die Anregung in den Freiheitsgraden des autonomen Teilsystems minimiert werden Durch einen inversionsbasierten Vorsteuerungsentwurf kann die Bewegung in den Freiheitsgraden des autonomen Teilsystems gezielt in die Planung einbezogen werden Dabei wird mit der Planung der Trajektorien gleichzeitig die Vorsteuerung f r die Stellglieder berechnet Bei der Planung von kontinuierlichen Bewegungsaufgaben Abschnitt 7 1 2 sollten d e F hrungstrajektorie und die Vorsteuerung systemgerecht gestaltet werden Bei differentiell flachen Systemen bedeutet dies dass die zu planenden Beschleunigungsverl ufe stetig sein m ssen Bei Systemen mit autonomem Teil system kann eine systemgerechte Trajektorienplanung wiederum durch einen inversionsbasierten Vorsteuerungsentwurf vorgenommen werden Dabe kann es unter anderem aufgrund der Parame terunsicherheit ratsam sein nicht die vollst ndige Dynamik sondern nur die Quasistatik zu invertie ren Beim Vorsteuerungsentwurf flie en Stellgr enbeschr nkungen als Nebenbedingung in
347. tiven und semiaktiven Schwingungsminderung 106 Y4 o 0 6 2 11 Q21 s1 Qi hs Qi l gt M an St r le hs 1 t oO Q21 Q21 Darin sind Q4 und Q74 die beiden Elemente aus der ersten Spalte der Matrix Q in Gl 4 2 11 Die Nullstellen des Nenners 2 m 2 Q21 255 Vo U0 U Y20 kK2Y20U10 Uloc2 6 2 12 f hren zu Polstellen im berechneten Antriebsmoment May St r f r diese Art der St rgr enaufschal tung Der nach Gl 6 2 11 berechnete Momentenverlauf muss m Bereich um diese Polstellen herum umgeplant werden und durch eine stetige Trajektorie z B Polynom 5 Grades durch diesen Bereich hindurch gef hrt werden Die Polstellen k nnen f r eine gegebene Linearisierungstrajekto rie Ypo t mit Hilfe von Gl 6 2 12 abh ngig vom Antriebswinkel ermittelt werden Die St rgr enkompensation mit entsprechender Umplanung des Momentenverlaufs ist als Erg n zung zu einer PI Zustandsregelung die im Abschnitt 6 2 2 noch n her erl utert wird umgesetzt worden Im Bild 6 2 2 ist zu erkennen dass in dem betrachteten Beispiel der Winkelfehler am Abtrieb durch die StorgroBenkompensation PIZR Storgr keine bemerkenswerte Verbesserung der Regelg te gegen ber dem PI Zustandsgeregelten System ohne St rgr enkompensation PIZR auftritt Als Referenz ist au erdem noch die Abweichung am Abtrieb f r das Ausgangs system mit Drehzahlregelung DZR eingezeichnet In anderen Anwendungsf l
348. tiven und semiaktiven Schwingungsminderung 128 500 Man Nm 300 4 4 2 4 4 4 6 4 8 tis 5 Bild 6 2 14 Antriebsmomente f r verschiedene Regelungen An die iterative Bestimmung der Reglerparameter durch Simulation schlie t sich die praktische Erprobung der Regelung an Im Abschnitt 5 5 wurde bereits erl utert dass bei dem realen Pr fstand der Effekt der Zeit und Wertdiskretisierung der Messsignale auftritt Insbesondere bei geringen Drehzahlen tr tt be1 den Drehgebern erst nach vielen Abtastintervallen der Regelung ein Sprung im Winkelinkrement auf Dieses Verhalten wurde in das Simulationsmodell aufgenommen Auch die Interpolation aus Bild 5 5 1 f r die Drehgeber wurde umgesetzt Die Simulationsergebnisse und Messergebnisse f r eine Drehzahl von 60 U min sind in Bild 6 2 15 dargestellt Die virtuell erprob te Regelung Simulation PIZR 1 20 20 wurde mit XPC target auf den Pr fstand bertragen vgl Bild 6 1 1 Bei den praktischen Versuchen stellt sich in der Winkelabweichung am Abtrieb Messung PIZR 1 20 20 genau wie bei der Simulation eine starke Verringerung des Abtriebs winkelfehlers gegen ber dem Referenzsystem Messung DZR ein Auf die Unterschiede zwischen S mulation und Messung wurde m Abschnitt 4 3 bereits eingegangen 0 015 a EEE HE HE es a 0 005 atten THAD Wt AAAA al 5 000 ee ua YN VE re 0 005 Mo W eee Ny M A o T w o BEE W S S S e e eee 0 0 5 1 1 5 2 2 5 s 3 0
349. tlang der Prozesstrajektorie wird im Wesentlichen durch eine geeignete Steuerungstrajektorie des Hauptantriebs des Bewe gungssystems realisiert Die Geometrie der tats chlichen Prozesstrajektorie ist aber nicht allein durch die Kinematik des Starrk rpermechanismus sondern auch durch die elastische Bauteildefor mation bestimmt Die Prozesstrajektorie wird au erdem durch die Trajektorien der Zusatzantriebe beeinflusst Die Planung der Steuerungstrajektorie f r den Hauptantrieb und der Trajektorien der zusatzlichen Aktuatoren unter Beachtung der dynamischen Eigenschaften des Gesamtsystems wird in diesem Abschnitt erortert Typische Zielsetzungen bei der Trajektorienplanung sind es eine zeitoptimale Bewegung zu erzie len die Schwingungsanregung zu minimieren oder die Auswirkung der Schwingung auf die Pro zesstrajektorie zu minimieren Bei Robotern und anderen Systemen mit mehreren kinematischen Freiheitsgraden m ssen zus tzliche Aspekte wie die Arbeitsraumanalyse oder der Umgang mit redundanten Antrieben ber cksichtigt werden Zu den letztgenannten Problemstellungen die m Rahmen dieser Arbeit jedoch nicht betrachtet werden existiert zahlreiche Literatur Hier sind z B Agirrebeitia u a 2003 Altuzarra u a 2006 Behzadipour und Khajepour 2004 Capi u a 2002 Dittrich und M ller 1996 Hall und McAree 2005 Hwang 1992 Lange 2003 Rogozin u a 2001 Schlemmer und Hiller 2001 Sen u a 2003 Shigang 2000 Sun u
350. tomatisierungstechnik Nr 4 2006 Gr nnewig 2000 Grinnewig J Optimierte aktive Schwingungsd mpfung von Leichtbau strukturen Dissertation Aachen RWTH Institut f r Regelungstechnik 2000 Gunzel 1995 G nzel D Koppelkurvenatlas ebener viergliedriger Gelenkgetriebe Aachen Shaker Verlag 1995 Guserle u a 2005 Guserle R Alvarez C Feldmann K Z h M F Multidisziplindre Simulation und Optimierung mechatronischer Systeme am Beispiel einer Werkzeug maschine In Mechatronik 2005 Innovative Produktentwicklung D sseldorf VDI Verlag 2005 S 173 189 Hadwich 1998 Hadwich V Modellbildung in mechatronischen Systemen In VDI Fort schrittsberichte Reihe 8 Nr 704 D sseldorf VDI Verlag 1998 Hagemeyer und Zeitz 2004 Hagemeyer V Zeitz M Flachheitsbasierter Entwurf von linearen und nichtlinearen Vorsteuerungen In at automatisierungstechnik Ausg 1 2004 S 3 12 Hagood u a 1990 Hagood N W Chung W H Flotow A V Modelling of Piezoelectric Actuator Dynamics for active Structural Vibrations In Journal if Intelligent Material Systems and Structures vol 1 1990 S 327 354 Hahn und Koch 2000 Hahn M Koch T CAMeL View Ein Werkzeug zum integrierten CAD gest tzten Entwurf mechatronischer Systeme In SIM 2000 Simulation im Ma schinenbau Dresden 2000 Hahn 2005 Hahn M Einsatz von Computeralgebrasystemen zum Entwurf mechatronischer Systeme am Beispiel
351. tor w in Gl 6 1 1 in vier Teilvektoren n mlich die Zust nde des Ausgangs y y und die Zust nde des autonomen Teilsystems z z aufgeteilt W y w 2 6 1 8 W3 Z W4 Z Die Zustandsgleichung 4 2 5 bzw 6 1 1 kann durch einfaches Umsortieren der Freiheitsgrade wie folgt umgeschrieben werden Ey 0 SE u 6 1 9 n y y Z Z t B y y Z Z t n y y Z Z t B gt y y Z Z t N St Ne lt Der Ausgang y muss so gew hlt werden dass seine Dimension mit der Dimension des Eingangs u bereinstimmt und dass d e Matrix B f r alle Getriebestellungen regul r ist Falls bestimmte Zustandsgr en als Ausgang y gew nscht sind kann durch eine entsprechende Platzierung der Aktuatoren w hrend der Planung der Topologie des Gesamtsystems s Abschnitt 7 2 erreicht werden dass die Matrix B regul r ist Die dritte Zeile der Gl 6 1 9 enth lt die Blockmatrizen der Ein Ausgangsdynamik n y z t B y z t u 6 1 10 die invertierbar ist falls B invertierbar ist a oie NE E ce f u B y y z z t Y n y 2 2 t 6 1 11 Die interne Dynamik wird durch eine Gleichung der Form Z Ez aJ l o ee onei 6 1 12 Z n gt y y Z 2 t B gt y y 2 2Z t B y y 2 Z t y n y y 2 Z t 6 1 Prozessbaustein Analyse des Gesamtsystems 99 beschrieben Die letzten beiden Gleichungen bilden den Ausgangspunkt f r die inversionsbasierte Trajektorienplanung Abschnitt 7 1 bei der sowo
352. tron ics systems using a recursive experimental optimization method In IEEE ASME Transactions on Mechatronics vol 1 1996 S 191 203 Preiswerk und Venkatesh 1994 Preiswerk M Venkatesh A An Analysis of Vibration Control Using Piezoceramic in Planar Flexible Linkage Mechanisms In Journal of Smart Materials and Structures vol 3 1994 S 290 300 Queiroz und Dawson 2000 Queiroz M De Dawson D Liapunov Based conrtol of Me chanical Systems USA Boston Birkhauser 2000 Rake 1993 Rake H Regelungstechnik A Vorlesungsumdruck Aachen RWTH Institut fur Regelungstechnik 1993 Rauh 1954 Rauh K Praktische Getriebelehre 2 Band Berlin Springer Verlag 1954 Reuleaux 1875 Reuleaux F Theoretische Kinematik Grundz ge einer Theorie des Maschi nenwesens Braunschweig Vieweg und Sohn 1875 Ridley und Algra 2004 Ridley P Algra R Dragline bucket and rigging dynamics In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 9 2004 S 999 1016 Robenack 2004 R benack K Zum High Gain Beobachterentwurf fiir eingangs ausgangslinearisierbare SISO Systeme In at automatisierungstechnik Ausg 52 Nr 10 2004 S 481 488 Roberts 1875 Roberts S On three bar motion in plane space In Proc London Math Society VIII 1875 S 14 23 Rodenacker 1970 Rodenacker W G Methodisches Konstruieren Berlin Springer Verlag 1970 Rogozin u a 2001 Rogozin V Yael E Tamar F A rea
353. und so die ge w nschten dynamischen Eigenschaften zu erhalten 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 103 6 2 1 Prozessbaustein Auslegung einer St rgr enaufschaltung bzw Vorsteuerung Eine Besonderheit der linearisierten Bewegungs bzw Zustandsgleichungen ist dass a priori be kannte St rgr en existieren die als Eingangsgr e f r eine St rgr enkompensation genutzt werden k nnen Die linearisierten Systemgleichungen 4 2 12 bzw 4 2 14 zeigen m Erregervek tor St rgr enanteile hs t bzw bs t deren Existenz auf eine Linearisierungstrajektorie die nicht der statischen Gleichgewichtslage entspricht zur ckzuf hren ist Die konstanten oder zeitlich ver nderlichen St rgr en die im Folgenden immer mit z bezeichnet werden k nnen bei einigen Regelungsstrukturen zu bleibenden Reglerdifferenzen f hren Durch eine erg nzende St rgr en aufschaltung u in Bild 6 2 1 kann dies vermieden werden 1994 Bild 6 2 1 Ausgangs bzw Zustandsregelung mit StorgroBenaufschaltung Die Notation der Zustandsgleichung 4 2 14 wird f r die weiteren Betrachtungen an die in der Regelungstechnik bliche Notation angepasst indem der Zustandsvektor mit x statt mit w und der St rgr enverlauf bs mit z bezeichnet wird Der Vollst ndigkeit halber sei noch angemerkt dass in Bild 6 2 1 mit w die F hrungsgr e bezeichnet wird Die Zustandsgleichung 4 2 14 der Strecke lautet in der neuen No
354. ung X A 0 X 5 B 0 R Dp T R gt R C 0 X ie B 0 M gt wW XB 0 0 XB 0 E BpR Dp F R gt L Ap BpR 0 E XB 0 E BBM XG AG XG Bg Kg Co XG Bg Mg 6 2 75 ist mit Aa Ap BpR Ba BgR Dg R L M BpM gt 6 2 76 Ca Rj Da R Dg R3 wiederum eine Sonderform der allgemeinen Ausgangsr ckf hrung Die Teilmatrizen der R ckf h rungsmatrix Kg werden genau wie beim Luenberger Beobachter wieder einzeln bestimmt F llinger 1994 Dabei wird davon ausgegangen dass die Messgr en y eine Teilmenge der Zu standsgr en x sind Die restlichen Zustandsgr en sind im Vektor r zusammengefasst x z 6 2 77 r Die Zustandsgleichung f r die Beobachter Zustandsgr en Xp r Dgy 6 2 78 kann aus Bild 6 2 19 abgelesen werden XB Apxp Bpu zn Ly 6 2 79 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 140 Fur die Beobachterzustandsgr en kann au erdem aus der Zustandsgleichung der Regelstrecke Ay A B se 211102 9 1 6 2 80 r A2 An Ar Bo abgelesen werden XB Any F Ar Dp A 1y Ajor Bou DpBu 6 2 8 1 Offensichtlich berf hrt folgende Substitution die Gl 6 2 79 in die Gl 6 2 81 Ap Ay2 Dp A 6 2 82 Bp B gt Dp Bj 6 2 83 L A22 DB Aj2 Dp T Ap Dp Ait 6 2 84 Es muss also nur noch die unbekannte Matrix Dp fur die R ckf hrung Kg bestimmt werden Dies kann geschehen indem die Eigenwerte f r die homogene Zustandsgleichung des Beobachters X
355. ung der Determinante der Steuerbarkeitsmatrix vorgenommen werden Dabei zeigt sich dass bei Trajek torien die auf einer konstanten Antriebswinkelgeschwindigkeit beruhen nur dann Nullstellen der Determinante auftreten konnen wenn die Antriebswinkelgeschwindigkeit Null ist und das Getriebe sich zugleich gerade in einer singularen Stellung U 0 befindet In den singularen Stellungen kann der Systemeingang bei Stillstand nicht unmittelbar auf die hochste Ableitung des Systemaus gangs wirken vgl Gl 6 1 4 Ist die Antriebswinkelgeschwindigkeit nicht Null so stellen Kopp 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 119 lungsterme aus den Koeffizientenmatrizen der linearisierten Bewegungsgleichung sicher dass die Determinante nicht Null wird und somit die Steuerbarkeit des Systems erhalten bleibt Nach der berpr fung der Steuerbarkeit kann die R ckf hrungsmatrix R Kg Cg der Ausgangs r ckf hrung aus Gl 6 2 18 ausgelegt werden Hierf r stehen mehrere Verfahren die sich in der Art und Weise der Zielvorgabe und im Berechnungsaufwand erheblich unterscheiden zur Verf gung Auf einige der Verfahren wird hier kurz eingegangen Bei der Auslegung einer optimalen Regelung werden zwei Ziele verfolgt Follinger 1994 Das System soll zum einen nach einer Anfangsst rung m glichst schnell in den gew nschten Endzu stand berf hrt werden also gutes St rverhalten zeigen und zum anderen soll die Energie
356. ung der An triebseffekte auf die Prozesstrajektorie Das Ubertragungsverhalten des zwischengeschalteten dy namischen Teilsystems z B eines elastizitatsbehafteten Getriebes zeigt oft eine Verst rkung bei den Eigenfrequenzen des Teilsystems und eine Abschw chung bzw Filterung f r hohe Frequenzan teile Hier kann die Modellierungstiefe f r den Antrieb so gew hlt werden dass hochfrequente Effekte unber cksichtigt bleiben Dieses Vorgehen wird auch f r den gesteuerten elektrischen Antrieb in dieser Arbeit umgesetzt Elektrische Antriebe umfassen neben den eigentlichen Motoren auch die Leistungselektronik und die Steuerungselektronik Auf die Modellierung der relevanten dynamischen Eigenschaften elektrischer Antriebe wird 1m Abschnitt 5 1 eingegangen Eine erg n zende Betrachtung der Eigenschaften semiaktiver Aktuatoren erfolgt 1m Abschnitt 5 4 Zwischen dem elektrischen Antrieb und dem mechanischen Teilsystem treten Wechselwirkungen auf Diese werden im Abschnitt 5 2 behandelt Im Abschnitt 5 3 wird eine Methodik beschrieben nach der die Auswahl geeigneter Antriebe erfolgen kann Abschlie end wird in diesem Kapitel noch auf die Eigenschaften von Sensoren und Messgliedern eingegangen Abschnitt 5 5 Nur am Rande erw hnt seien die piezoelektrischen Aktuatoren In lteren Arbeiten z B in Bailey und Hubbard Jr 1985 Choi u a 1999 Edberg u a 1991 Stra berger 1997 und Vadran u a 1990 finden s ch grundlegende Untersuchun
357. ung der station ren Schwingungsantwort unter Ber cksichtigung der Parametererregung mit Hilfe von Chebysheff Polynomen nach einem Vorge hen dass n S nha und Wu 1991 und Sinha u a 1993 vorgestellt w rd durchgef hrt werden Um das Vorgehen zu skizzieren wird im Folgenden die Anwendung dieses Verfahrens f r das Beispiel des Getriebepr fstands umrissen Bei dem Vorgehen wird die Starrk rperbewegung Y5o t Art und Yao t Uj Y gt o t als Linearisierungstrajektorie verwendet und die beiden Lastmomente Mp t und Mpo t werden zu 0 gesetzt Fur das Antriebsmoment M t wird die PI Drehzahlregelung des Pr fstands s Abschnitt 5 1 modelliert Allgemein k nnen Funktionen f t die von einem normierten Parameter t abh ngen der nur Werte aus dem Intervall t e 0 1 ann mmt durch Chebysheff Reihen der Form f t Si Ta t 4 2 18 n l mit T t cos 2n arccos t 4 2 19 approximiert werden Sinha und Wu 1991 Darin sind a n 1 m die konstanten Chebysheff Koeffizienten und T t die verschobenen Chebysheff Polynome Die Bezeichnung Chebysheff Polynom fur T t resultiert daher dass die trigonometrischen Funktionen in Gl 4 2 19 jeweils auch als Polynom geschrieben werden k nnen Durch die Substitution t 2 t wird t als normierter Parameter der w hrend einer Kurbelumdrehung von 0 bis 1 l uft in die Zustandsgleichung 4 2 13 eingef hrt Anschlie end k nnen alle zeitvarianten Gr en durch Chebysh
358. ungen ist eine quasistatische Betrachtung Der vibrodynamische Schwingungsanteil kann durch eine erganzende Antriebsrege lung zur aktiven Schwingungsminderung reduziert werden Bereits allein aufgrund der veranderten kinematischen Abmessungen zur Verbesserung des Verhaltens in den Totlagen also ohne Umpla nung der Sollantriebstrajektorie y9 t und ohne eine zus tzliche Regelung zur aktiven Schwin gungsminderung zeigt sich eine deutliche Verbesserung in der Regelabweichung des Abtriebswin kels Bild 4 4 6 Der Verlauf U ist wiederum die bertragungsfunktion erster Ordnung deren Nulldruchg nge die Totlagen kennzeichnet 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 66 0 04 Ya rad 0 02 0 01 0 0 01 0 02 0 03 original optimiert 0 04 3 3 25 3 5 3 75 4 4 25 t s 4 5 Bild 4 4 6 Verringerung des Winkelfehlers am Abtrieb durch Anpassung der kinematischen Abmessungen f r eine gef hrte Bewegung Der Nachteil der Ver nderung der kinematischen Abmessungen ist darin zu sehen dass die Opti mierung nur f r einen zugrunde gelegten Betriebszustand erfolgt Wird das Getriebe dessen kine matische Abmessungen f r eine Antriebsdrehzahl von 120 U min angepasst wurden mit nur 60 U min betrieben so zeigen sich bei diesem Getriebe gr ere Abweichungen als bei dem ur spr nglichen Getriebe Bild 4 4 7 u Mn IT MT m aos LT FREI Minan ant Mar e s MM AAM MW N NN i fo wlan 0 01
359. ungen sind vielf ltig und je nach betrachtetem System unterschiedlich stark ausgepr gt so dass s e f r jedes System spezifisch beachtet werden m ssen Um dies zu tun und um das wiederholte Durchlaufen von Prozessbausteinen effizient durchf hren zu k nnen ist zum einen die Verwendung algebraischer Systemmodelle und zum anderen die Nutzung einer 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 169 durchg ngigen Werkzeugkette notwendig s Abschnitt 2 und 6 1 Insbesondere die Verwendung von Computer Algebra Programmen erm glicht die echtzeitfahige Implementierung modellbasier ter Schwingungsminderungsma nahmen da beispielsweise numerisch aufw ndige Matrizeninver tierungen offline symbolisch vorgenommen werden k nnen Abschnitt 6 2 3 und da die Gleichun gen in eine rechnergerechte Form ohne Nullstellen n den Nennern gebracht werden k nnen Ab schnitt 6 1 Durch Exportfunktionalit ten wird au erdem der Aufbau parametrischer Modelle in Simulationsprogrammen unterst tzt Beispielsweise k nnen die kinematischen bertragungsfunkti onen h herer Ordnung Abschnitt 3 2 die die wesentliche Nichtlinearitat des Systems beschreiben und f r viele Auslegungsschritte eine zentrale Bedeutung haben 1m Computer Algebra Programm berechnet und anschlie end exportiert werden Durch die Automatisierung werden bertragungs fehler minimiert Au erdem sind im Computer Algebra Programm strukturelle Analysen m glich Als einfaches Beispiel ist hier die parame
360. untersucht f r die sp ter Minderungsma nahmen entworfen werden Bei dem Beispielsystem ist insbesondere die Abtriebsbewegung von Interesse da diese die Zielgr Be des Systems ist Die Anpassung und Verifikation des Modells erfolgt beginnend mit der Uber pr fung der notwendigen Modellierungstiefe f r die Schwingenelastizitat Betrachtet werden das FE Modell der Schwinge und das Ersatzmodell nach Bild 4 1 1 das im Folgenden wegen seines balkenartigen Charakters als Balkenmodell bezeichnet wird Im eingebauten Zustand andern sich 4 3 Prozessbaustein Identifikation und Adaption der Modellparameter 47 aufgrund der Anbauteile an den Enden der Blattfeder die Eigenfrequenzen mit denen die Biege schwingungen auftreten gegen ber dem isolierten Zustand in Bild 4 1 2 Bei dem FE Modell der Schwinge betr gt die Eigenfrequenz in der Startstellung 14 4 Hz und bei dem Balkenmodell 14 8 Hz Die entsprechenden Eigenschwingungsformen sind n Bild 4 3 1 dargestellt und s nd m Ge gensatz zu den Annahmen die den Berechnungen in Abschnitt 4 1 zugrunde lagen nicht mehr exakt symmetrisch Verdrehung der Bild 4 3 1 Eigenschwingungsformen im eingebauten Zustand f r das kondensierte FE Modell links und das Balkenmodell rechts Zur experimentellen berpr fung der Eigenfrequenz wurde das Getriebe bei ausgeschaltetem Mo tor durch einen Schlag auf die Schwinge zu Eigenschwingungen angeregt Die Biegeschwingungen in Bild 4 3 2 wurden zum eine
361. ur synthese n eine durch Rechnerwerkzeuge automatisierte ganzheitliche Auslegung mechatronischer Bewegungssysteme einzubeziehen So k nnen Bewegungen z B abstrakt durch Vektoren und Eigenschaften z B Umlaufsinn beschrieben werden Kota 1990 was die M glichkeit er ffnet sie mit den Methoden der Algebra zu behandeln Die abstrakten Methoden der Mathematik sind geeignet um Bewegungen und Getriebe alle n durch qualitative strukturelle Eigenschaften zu be schreiben Damit sind die Voraussetzungen geschaffen um die Bewegungen und die Aufgabe des Mechanismus durch algebraische Moduln zu beschreiben Diese sehr abstrakte Repr sentation eines Bewegungssystems wird z B in Joskowicz und Neville 1992 entwickelt und angewendet Die Reprasentation eines konkreten kinematischen Schemas ist aber auch mit den Mitteln der Graphen 3 3 Prozessbaustein Struktursynthese 20 theorie m glich Beide Repr sentationsformen werden in Subramanian und Wang 1993a verwen det In Subramanian und Wang 1993b wird ein darauf aufbauender constraint basierter Algorith mus zur Synthese der Getriebe vorgestellt Das Vorgehen in Hoover und Rinderle 1989 ist ahn lich beschr nkt sich aber auf Systeme mit ausschlie lich Drehfreiheitsgraden H ufig sind mehrere Strukturen geeignet die geforderten Bewegungsaufgaben zu erf llen so dass zun chst mehrere L sungen verfolgt werden m ssen Im fortschreitenden Auslegungsprozess k n nen dynamische Systeme
362. ustein Kompensation von elastischen Deformationen Im vorherigen Abschnitt stand die Gr e der Schwingungsantwort in unterschiedlichen Bereichen des Amplitudenfrequenzgangs im Mittelpunkt In diesem Abschnitt wird ein Ansatz zur Verringe rung der Auswirkung von elastischen Deformationen ohne dabei die Deformationen selbst zu ver ringern vorgestellt Dazu wird die kinematische Ma synthese Abschnitt 3 4 erneut durchlaufen um die kinematischen Abmessungen unter Ber cksichtigung der elastischen Deformation gezielt zu ver ndern Die Vorteile dieses Vorgehens liegen darin dass es nicht zu einer Vergr erung des Bauteilgewichts f hrt dass es zu keiner Erh hung der Herstellungskosten f hrt und dass es auch in den singul ren Stellungen wirksam ist wo sp ter Abschnitt 6 2 noch behandelte Verfahren zu aktiven Schwingungsminderung prinzipbedingt ihre Wirksamkeit verlieren In der Literatur finden 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 62 sich einige Anwendungsbeispiele die vornehmlich die Methode der Optimierung zur Bestimmung der kinematischen Abmessungen einsetzen Zhang und Grandin 1982 Zhang und Grandin 1985 Laribi u a 2004 sowie Kakatsios und Tricamo 1987 und Kakatsios und Tricamo 1988 ver n dern beispielsweise nicht nur die elastischen Eigenschaften der Getriebebauteile sondern auch die kinematische bertragungsfunktion Sie optimieren dazu neben den Bauteilparametern Quer schnittsgeometrie und M
363. ve Control of Rotor Vibration Using Compact Wavelets In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 5 2006 S 653 665 Cong Shuan 1997 Cong Shuan An Innovative Repetetive Control System In International Confrerence on Intelligent Processing Systems Peking China 1997 S 640 644 Corves 2004a Corves B Computer aided Lectures and Exercises Graphical Analysis and Synthesis In Mechanism Theory Proceedings of the 11th World Congress in Mecha nism and Machine Science Vol 2 April 1 4 Tianjin China China Machine Press 2004 S 673 677 Corves 2004b Corves B Maschinendynamik I Vorlesungsskript Aachen Institut f r Ge triebetechnik und Maschinendynamik der RWTH Aachen 2004 Corves und Niemeyer 2004 Corves B Niemeyer J Das IGM Getriebelexikon als Instru ment der Wissensverarbeitung in der Getriebetechnik Proceedings of the IX Interna tional Conference on the Theory of Machines and Mechanism Liberec Czech Repub lic 2004 Corves und Niggemann 2004 Corves B Niggemann H CAD gestiitzte grafische Ma syn these sphdrischer und r umlicher Ubertragungskurvengetriebe mit dem Programm CADiS In VDI EKV Hg Bewegungstechnik L sung von Bewegungsaufgaben mit Koppelgetrieben Kurvengetrieben und gesteuerten Antrieben VDI Berichte Nr 1845 D sseldorf VDI Verlag 2004 S 145 167 Corves 2005 Corves B Getriebetechnik I und II Vorlesungsskript Aachen Institut fur Getr
364. ven Schwingungsminderung ihre Wirksamkeit verlieren Die zuvor beschriebene Ber cksichtigung von Wechselwirkungen zwischen den Systemteilen mit dem Ziel der Abstimmung der Komponenteneigenschaften aufeinander kann zu dem Bereich der passiven Schwingungsminderung gez hlt werden Diese kann durch eine aktive Schwingungsmin derung erg nzt werden Dazu m ssen in der Topologie des Gesamtsystems entsprechende Stellglie der vorgesehen sein Den Kern der aktiven Schwingungsminderung bilden die dynamischen Ge setzm igkeiten nach denen die Stellglieder betrieben werden Diese werden durch die Regelung und durch die Trajektorienplanung erzeugt Unerw nschte Abweichungen von den vorgegebenen Trajektorien werden erfasst und durch geeignete R ckf hrungen Abschnitt 6 2 2 werden daraus Stellgr en erzeugt Wie oben schon erw hnt m ssen die Reglerdynamik und die Dynamik der Stellglieder sowie die Dynamik des mechanischen Systemteils aufeinander abgestimmt werden um unerw nschte Wechselwirkungen zu vermeiden Um die gew nschte Abstimmung zu erhalten kann dabei jede Systemkomponente ver ndert werden Soll eine lineare Zustandsregelung verwendet werden so werden Systemgleichungen ben tigt die bez glich geeigneter Trajektorien linearisiert sind Diese Linearisierungstrajktorien k nnen neben der Starrk rperbewegung auch kinetostatische Verformungen und andere Bewegungsanteile umfassen Abschnitt 7 1 Durch die Gestaltung der elastischen Systemeigens
365. vorliegen Dies muss bei der kinematischen Struktursyn these Abschnitt 3 3 bzw bei der Platzierung der Aktuatoren w hrend der Planung der Topologie des Gesamtsystems Abschnitt 7 2 ber cksichtigt werden 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminde rung Verfahren zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung sind durch geregelte Aktuatoren gekennzeichnet Sie unterscheiden sich zwar in der Art der Aktuatoren aber die grundlegenden Prozessbausteine zur Auslegung einzelner Komponenten des mechatronischen Systems aus Bild 6 1 sind identisch Der Begriff der semiaktiven Schwingungsminderung bezieht sich auf Systeme mit einer Klasse von Aktuatoren die nur Energie aus dem System abf hren nicht aber Energie in das System einbringen k nnen Die Aktuatoren wurden im Abschnitt 5 4 bereits behandelt Die Umset zung der Ma nahmen zur semi aktiven Schwingungsminderung umfasst zum einen den Entwurf der Regelungsstruktur Abschnitt 6 2 2 und zum anderen die Bestimmung der Reglerparameter mittels eines Reglerentwurfverfahrens Abschnitt 6 2 3 Durch den Entwurf des Regelungssystems kann die Dynamik des Gesamtsystems in starkem Ma e gestaltet werden Au erdem sind die Ges taltungsmethoden aus der Regelungstechnik auch auf andere Bereiche wie die Bauteildimensionie rung bertragbar Dort k nnen die gleichen Berechnungstechniken und werkzeuge verwendet werden um die Systemparameter des mechanischen Systemteils zu bestimmen
366. wie es f r das Verstandnis der umgesetzten Verfahren zur aktiven Schwingungsminderung notig ist Ma nahmen zur aktiven Schwingungsminderung bei elastizitatsbehafteten Bewegungssystemen sind in der Literatur vielfach zu finden In zahlreichen Forschungsarbeiten werden piezoelektrische Sensoren und Aktuatoren auf biegeelastischen Bauteilen angebracht um die auftretenden Bauteilde formationen zu minimieren Grundlegende Betrachtungen zur Verwendung von piezoelektrischen Stellgliedern zur Schwingungsminderung finden sich z B in Anderson u a 1992 Choi u a 1994 setzen bei einer Schubkurbel mit elastischer Koppel eine Mehrgr enregelung ein Bei einem hnlichen Mechanismus verwenden Thompson und Tao 1994 eine einfache Lager ckf hrung zur Regelung w hrend Preiswerk und Venkatesh 1994 eine Reglerstruktur mit dem Biegewinkel und der Biegewinkelgeschwindigkeit als Regelgr e w hlen und die Reglerauslegung mittels Polvorga be vornehmen Typische Ma nahmen zur aktiven Schwingungsminderung werden auch in der Arbeit von Cho u a 1998 f r eine Kurbelschwinge mit elastischer Kurbel Koppel und Schwinge umgesetzt Eine Vorsteuerung linearisiert das System bez glich der Starrk rperbewegung ein Kalman Filter wird zur Sch tzung der Zust nde verwendet und eine optimale Regelung wird zur Schwingungsreduktion eingesetzt Zahlreiche weitere Arbeiten zu speziellen Aspekten der aktiven Schwingungsminderung werden an sp terer Stelle noch zitie
367. winkelgeschwindigkeit Op aus so ist der Faktor vor dem Ankerstrom i zugleich der rein reelle Eigenwert des Systems Er beschreibt wie schnell ein Anfangsstrom Ip der nicht dem station ren Endwert I entspricht dem station ren Endwert entgegenstrebt Nach der Zeit TR 5 1 2 Ra hat sich die Differenz Ip I um den Faktor e 0 37 verringert Daher ist Tp eine charakteristi sche Zeitkonstante die einen Anhaltswert f r die maximale Schrittweite bei der Simulation des Motors herangezogen liefern kann Zwischen dem Ankerstrom i und dem Motormoment Myot besteht in erster N herung ein proportionaler Zusammenhang der durch die Motorkonstante kyot ausgedr ckt wird Mmot KMot 14 5 1 3 Falls die Motorkonstante nicht angegeben ist kann sie aus dem Nennmoment My und dem Nenn strom In berechnet werden 5 1 Eigenschaften und Modellierung von Elektromotoren 76 kMot EN 5 1 4 In Die Simulation der diskretisierten elektrischen Systeme ist mit zahlreichen Softwarewerkzeugen m glich In dieser Arbeit wurden gr ere Systeme wegen der komfortableren Eingabem glichkei ten in Matlab Simulink umgesetzt w hrend kleinere Systeme im Mehrk rpersimulationsprogramm ADAMS implementiert wurden Ein Vorteil der diskretisierten elektrischen Systeme ist dass sie mit verh ltnism ig geringem Aufwand durch Quelltexte beschreibbar s nd und so leicht mit Free ware Gleichungsl sern simuliert werden k nnen Harmeling 1998
368. x symbolisch berechnet werden Durch den Verzicht auf eine numerische Invertierung l sst sich die Ermittlung der Reglerparameter f r zeitvariante Systeme echtzeitfahig umsetzen Die symbolische 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 121 Berechnung wurde f r das Beispielsystem in MAPLE vorgenommen und ber den CodeGenerati on Befehl in eine MATLAB S Function exportiert s Abschnitt 6 1 Die Echtzeitf higkeit und die anschauliche Gestaltung der dynamischen Systemeigenschaften sind Vorteile der Methode der Polvorgabe gegen ber der optimalen Regelung In Ider u a 2002 wird die Anwendung der Methodik der zeitvarianten Polvorgabe daher f r gesteuert adaptive Regelun gen von Mehrgr ensystemen vorgeschlagen Das Vorgehen w rd anhand des Beispiels eines ebe nen zweigliedrigen seriellen Bewegungssystems dargestellt In Silva u a 2005 wird ein gesteuert adaptiver Regler mit einer zeitvarianten Polvorgabe f r einen Einmassenschwinger mit zeitvarianter Steifigkeit ausgelegt Deckers u a 2000 realisieren eine aktive Schwingungsminderung indem sie analog zum Verfahren der Polplatzierung aus einer gew nschten stark ged mpften Systemdy namik Reglerparameter f r eine Geschwindigkeitsregelung von Hydraulikzylindern eines Schmie deroboters generieren Bei Mehrgr ensystemen folgt aus den Gln 6 2 38 und 6 2 39 ein vielfach unterbestimmtes Gleichungssystem Das hei t es existieren unendliche vi
369. xible Manipulators Using Nonlinear Inner Outer Factoriza tion In Journal of Robotic Systems Vol 18 No 7 2001 S 391 399 Crossley 1964 Crossley F E The Permutation of Ten Link Planar Kinematic Chain In Antriebstechnik Band 3 Nr 5 1964 S 181 185 Cusimano 2003 Cusimano G A procedure for a suitable selection of laws of motion and electric drive systems under inertial loads In Mechanism and Machine The ory Vol 38 Issue 6 2003 S 519 533 Cusimano 2005 Cusimano G Generalization of a method for the selection of drive systems and transmissions under dynamic loads In Mechanism and Machine Theory vol 40 Issue 5 2005 S 530 558 Cusimano 2007 Cusimano G Optimization of the choice of the system electric drive device transmission for mechatronic applications In Mechanism and Machine The ory vol 42 Issue 1 2007 S 48 65 Cutforth und Pao 1999a Cutforth C Pao L Y An Analysis of Frequency Domain Input Shaping Designs for Three Mode Flexible Systems In American Control Confer ence San Diegeo CA USA 1999 S 4388 4392 Cutforth und Pao 1999b Cutforth C Pao L Y A Modified Method for Multiple Actuator Input Shaping In American Control Conference San Diegeo CA USA 1999 S 66 70 Dado 2005 Dado M H F Limit position synthesis and analysis of compliant 4 bar mecha nisms with specified energy levels using variable parametric pseudo rigid body model In Mech
370. y Deutsch Verlag 2002 Willis 1870 Willis R Principles of mechanisms London John W Parker West Strand 1870 Wittwer u a 2004 Wittwer J W Chase K W Howell L L The direct linearization method applied to position error in kinematic linkages In Mechanism and Machine Theory vol 39 Issue 7 2004 S 681 693 Wulf und Schuller 2000 Wulf J Schuller J Entwicklungsmethodik f r mechatronische Karosseriesysteme In Mechatronik Mechanisch Elektrische Antriebstechnik VDI Berichte Nr 1533 D sseldorf VDI Verlag 2000 S 181 198 7 2 Iterativer Auslegungsprozess 197 Wulf 2001 Wulf Elementarmethoden zur L sungssuche M nchen Hut Verlag 2001 Yamada u a 1999 Yamada M R adh Z Funahashi Y Design of Discrete Time Repeti tive Control System for Pole Placement and Application In Transactions on Mecha tronics vol 4 No 2 1999 Yang und Sheu 2006 Yang S M Sheu G J On the Spillover of Steady State Unbalance Response of a Rotating Shaft Under Velocity Feedback In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 2 2006 S 143 147 Yu und Cleghorn 2002 Yu S D Cleghorn W L Dynamic instability analysis of high speed flexible four bar mechanisms In Mechanism and Machine Theory vol 37 Is sue 11 2002 S 1261 1285 Yu und Lin 2003 Yu Y Q Lin J Active Balancing of a Flexible Linkage with Redundant Drives In JOURNAL OF MECHANICAL DE
371. y Form transformieren lassen oder wenn die zeitvar ante lineare Systemgleichung durch eine Lyapunov Floquet Transformation in eine zeitinvariante Systemgleichung berf hrt werden kann Abschnitt 6 2 4 Die Ma nahmen sind besonders dann geeignet wenn nur geringe Kenntnis ber das System vorhanden ist 7 1 Trajektorienplanung und Vorsteuerungsentwurf 150 Es existieren aber auch Methoden die das Ziel verfolgen durch eine Invertierung des dynamischen Systemverhaltens die F hrungstrajektorien so zu berechnen dass der Systemausgang trotz der Deformationen in den elastischen Freiheitsgraden des autonomen Teilsystems exakt der gew nsch ten Prozesstrajektorie folgt Dabei wird gleichzeitig eine Vorsteuerung f r das System entworfen Urspr nglich wurden dynamische Vorsteuerungen f r lineare Systeme meist durch das Aufstellen der inversen bertragungsfunktion G s der Strecke bestimmt Die Schwierigkeit dieses Vorgehens ist die Instabilit t der inversen bertragungsfunktion bei nichtminimalphasigen Systemen Rake 1993 Dies kann leicht am Beispiel eines unged mpften Zweimassenschwingers verdeutlicht wer den Die beiden Massen m und m sind durch die Feder c verbunden Die Position der beiden Massen im Inertialsystems ist durch die beiden Lagegr en x und xy gegeben wobei y xj als Ausgang dienen soll Auf die Masse m wirkt ein translatorisches Stellglied u Dieses System besitzt die Tilgungskreisfrequenz OTER 7 1 4 m2 E
372. ysteme mit Strukturwechsel k nnen in Bereiche eingeteilt werden die den Strukturvarianten des Systems zugeordnet werden k nnen In Luo 2006 werden beispielsweise f r die Analyse des Systemverhaltens Anfangzust nde bestimmt die zu einem Strukturwechsel und damit zu einem ver nderten Systemverhalten f hren Zur grafischen Darstellung werden Poincar Abbildungen benutzt um Strukturwechsel zu kennzeichnen Die Poincare Abbildung P bildet den Zustand x zum Zeitpunkt t a injektiv auf den Zustand zum Zeitpunktt bab x t a gt x t b Px t a In Phasenportraits werden diejenigen Zust nde x t a deren Poincar Abbildungen in einem anderen Bereich des Phasenportraits liegt kenntlich gemacht werden Dieses Vorgehen zur Bestimmung zulassiger Wertebereiche f r Zustandsgr en bei denen keine Bifurkation auftritt kann auf die Analyse des dynamischen Verhaltens eines Systems mit Gelenkspiel oder Zahnflankenspiel ber tragen werden Die Kenntnis der Wertebereiche kann m n chsten Schritt ausgenutzt werden um eine Betriebsstrategie zu entwickeln die SpielstoBe m System vermeidet Dies ist f r das Beispiel system aufgrund des notwendigen Wechsels zwischen antreibendem und bremsendem Motorverhal ten vgl Bild 3 5 1 aber offensichtlich nicht m glich und wird daher nicht weiter verfolgt Ein weiterer Einsatzbereich f r die Analyse des Auftretens von Bifurkation ist die Parameteridentifika tion und Schadensdiagnose bei mechanischen Systemen
373. z H A Global Control Strategy for Efficient Control of a Braille Impact Hammer In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 2 2006 S 184 189 Jones u a 1930 1967 Jones F D Horton H L Newell J A Ingenious Mechanisms for Designers and Inventors vols 1 4 Industrial Press 1930 1967 Joskowicz und Neville 1992 Joskowicz L Neville D A representation language for mechnism design In Technical Report University of Washington 1992 Junkins und Kim 1993 Junkins J L Kim Y Introduction to Dynamics and control of Flexible Structures USA Wahington AIAA 1993 Justus 1993 Justus O Dynamisches Verhalten elektrischer Maschinen 2 Auflage Braun schweig Vieweg Verlag 1993 Kahn u a 1978 Kahn M R Thornton W A Willmert K D Optimality Criterion Tech niques Applied to Mechanism Design In JOURNAL OF MECHANICAL DE SIGN vol 100 1978 S 319 327 Kakats os und Tricamo 1987 Kakatsios A J Tricamo S J Integrated Kinematic and Dynamical Optimal Design of Flexible Planar Mechanisms In ASME Hg Journal of Mechanisms Transmissions and Automation in Design 109 1987 S 338 347 Kakatsios und Tricamo 1988 Kakatsios A J Tricamo S J Integrated Kinematic and Dynamical Optimal Design of Flexible Planar Mechanisms In ASME Hg Journal of Mechanisms Transmissions and Automation in Design vol 152 1988 S 407 416 Kalnas und Kota 2
374. zeitvariante Systeme ange wendet werden um gesteuert adaptive Regelungen zu entwerfen Auch die separate Behandlung der 6 2 Ma nahmen zur aktiven und semiaktiven Schwingungsminderung 120 s ngul ren Stellungen ist bei diesem Entwurf schwierig Cho u a 1998 Diese Verfahren werden daher an dieser Stelle nicht weiter verfolgt In der Literatur sind aber durchaus Anwendungen zu finden Scheideler 1995 und Bormann und Ulbrich 1996 setzten sie bei einer Kurbelschwinge mit elastischer Koppel hnlich Bild 4 4 8 Zusatzaktuatoren ein die die urspr nglich gestellfesten Gestellgelenken Ag bzw Bo translatorisch bewegen Fur diese Aktuatoren entwerfen sie optimale Regler Die Stellglieder werden in Ulbrich und Stein 2002 mit einer zeitvarianten optimalen Rege lung betrieben Die Regelung wird mit der Methode der dynamischen Programmierung nach Bell mann ausgelegt Weitere Literaturstellen zur Anwendung optimaler Regelungen fur Bewegungssys teme mit elastischen Bauteilen werden im Zusammenhang mit dem Beobachterentwurf im Ab schnitt 6 2 5 angef hrt Das Verfahren der Polvorgabe stellt aufgrund der kompakten Berechnungsvorschriften eine prakti kable M glichkeit zur Bestimmung der Reglerparameter f r ein System dessen homogene Zu standsgleichung in der Form xg Ag BgGR xq gegeben ist dar Der Name Polplatzierung r hrt daher dass bei dem Verfahren die Eigenwerte des dynamischen Systems die zugleich Pole der dynamischen Ubertragun
375. zeugt wird Der Regler wird auf Basis der linearisierten zeitvarianten Zustandsgleichung 4 2 13 die aus der Bewegungsgleichung mit Absolutwinkeln 4 2 11 erstellt werden kann ausgelegt Es werden die Bewegungstrajektorien eines dealen Starrk rpermechanismus als F hrungstrajektorien f r den Antriebs und den Abitriebsfreiheitsgrad gew hlt Das hei t dass die Abweichungsgr en y und Y4 Null sein sollen Wegen des zeitvarianten Charakters der Systemgleichung ist eine Adaption der Reglerparameter notwendig Bei dem Beispielsystem wird konkret die Ackermannformel 6 2 40 f r jeden Zeitschritt neu ausgewertet Es handelt sich also um einen gesteuert adapt ven Regler auf Basis der linearisierten zeitvarianten Systemgleichung Das Ziel der Zustandsregelungen ist es eine Verbesserung des Schwingungsverhaltens am Abtrieb zu erlangen Daher wird der Realteil 65 des Abtriebseigenwerts weiter nach links gelegt als der Realteil des Antriebseigenwerts Der Imagi narteil des Abtriebseigenwerts wird auf den Wert 91 1 2 7 14 5 gelegt damit er der urspr ngli chen Eigenfrequenz der Schwinge entspricht Der Imaginarteil des Antriebseigenwerts ist auf 200 gelegt Als Referenzsystem zur Beurteilung der Wirksamkeit dient das Ausgangssystem mit einer gew hnlichen Drehzahlregelung In einem iterativen Prozess haben sich f r die Zustandsregelung die Realteile 6 10 und 20 als geeignet erwiesen Im Bild 6 2 8 sind Simulationsergebnisse f r ve
376. zheitlicher Entwurf eines aktiven Feder Neigemoduls In Mechatronik Mechanisch Elektrische Antriebstech nik VDI Berichte Nr 1533 D sseldorf VDI Verlag 2000 S 91 107 Lohse 1983 Lohse P Getriebesynthese Bewegungsabl ufe ebener Koppelmechanismen Berlin Springer Verlag 1983 Lu und Leinonen 2005 Lu Y Leinonen T Type synthesis of unified planar spatial me chanisms by systematic linkage and topology matrix graph technique In Mechanism and Machine Theory Vol 40 Issue 10 2005 S 1099 1208 Luca 2000 Luca A de Feedforward Feedback Laws for the Control of Flexible Robots In Proceedings of the 2000 IEEE Internatioal Conference on Robotics and Automation 2000 Luck und Modler 1987 Luck K Modler K H Getriebetechnik Wien Springer Verlag 1987 Luck und Modler 1995 Luck K Modler K H Getriebetechnik 2 Aufl Berlin Springer Verlag 1995 Luo 2006 Luo A C J Grazing and Chaos in a Periodically Forced Piecewise Linear System In ASME Hg Journal of Vibration and Acoustics Vol 128 No 1 2006 S 29 34 Luo und Dai 2007 Luo Z Dai J S Patterned Bootstrap A New Method That Gives Effi ciency tor some Precision Position Synthesis Problems In ASME Hg Journal of Mechanical Design Vol 129 No 2 2007 Mabie und Reinhotz 1987 Mabie H M Reinhotz C F Mechanisms and Dynamics of Machinery 4 Edition John Wiley and Sons 1987 Maier und Woernl
377. zkurve ist der kinetostatische Verformungsanteil gekennzeichnet Die Simulationsmodelle haben wie 1m Abschnitt 4 3 bereits erw hnt geringf gig unterschiedliche Eigenfrequenzen und zeigen daher bei der Antriebsfrequenz von ca 1 8 Hz eine kleinere Amplitude als der Pr fstand bei dem die 8 Ordnung der Antriebsfrequenz sehr nahe an der Eigenfrequenz von 14 5 Hz die im Hochlaufvorgang n Bild 4 3 6 bestimmt wurde liegt Winkelabweichung am Abtrieb bei Antriebsfrequenz 1 8 Hz AM AAAAARA A AAAAAMA JAN VA VAS NAY WE WE T WE voo y w L3 2 29 3 t s 3 5 Bild 4 4 1 Gemessene und berechnete Winkelabweichung f r verschiedene Drehzahlen In einer Ordnungsanalyse k nnen der kinetostatische und der vibrodynamische Anteil der Schwin gungsantwort besser verdeutlicht werden Der kinetostatische Anteil entspricht in guter N herung der kinetostatischen Durchbiegung Y4 nach Gl 4 2 17 w 2 _ 2s U10720 Y4 TI 4 4 2 C2 4 4 Ma nahmen zur passiven Schwingungsminderung 60 Eben diese kinetostatische Durchbiegung wurde in Bild 4 4 1 als Referenzkurve eingezeichnet Bei der Ordnungsanalyse in Bild 4 4 2 wurden die kinetostatische Durchbiegung sowie die gemessenen Winkelabweichungen durch eine Fast Fourier Transformation in den Frequenzbereich bertragen und als Ordnungen der Antriebsfrequenz aufgetragen Um die Ergebnisse f r verschiedene An triebsfrequenzen miteinander vergleichen
378. zu den theoretisch k rzesten bergangszeiten Bei Systemen mit zwei oder mehr Antrieben darf die Ansteuerung der Antriebe nicht unkoordiniert mit jeweils maximaler Leistung erfolgen da zum einen die geometrische Lange der Trajektorie sich dann unn tig verl ngern kann und da zum anderen die bei gegebenem Moment erreichbaren Beschleunigung von der Position im Arbeitsraum abh ngt Da die kinematische ber tragungsfunktion von Starrk per F hrungsgetrieben s Abschnitt 3 2 eine Abbildung der Ein gangsgr e qe R auf die Prozesstrajektorie y R ist kann Elastizit t im System bedeuten dass ohne Zusatzaktuatoren ein Teil der Prozesstrajektorie y zum autonomen Teilssystem geh rt und durch den Hauptantrieb nicht entlang beliebiger Trajektorien gef hrt werden kann Daher tritt bei der praktischen Umsetzung der Bang Bang Steuerung das Problem der Schwingungsanregung auf so dass am Ende der Bewegung immer noch ein Ausschwingen der elastischen Freiheitsgrade be r cksichtigt werden muss In einem nachgeschalteten Auslegungsschritt kann die geplante Trajektorie berarbeitet werden um die Schwingungsanregung zu minimieren Ohne jegliche Kenntnis der Dynamik der Antriebe und der Eigenschaften eines gegebenenfalls existierenden autonomen Teilsystems kann dies durch eine Gl ttung der sprungbehafteten Trajektorien geschehen Beispielsweise benutzt Nitz 1997 Filter zur Glattung der Trajektorien f r die Antriebsfreiheitsgrade eines Handhabungsge

Konzepte zur Schwingungsminderung

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