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d3f - GRS

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1. 0 15 7 Mittlere Durchbruchskurve _ bei einem Entnahmebrunnen _ bei zwei Entnahmebrunnen bei vier Entnahmebrunnen 0 10 y Fit z a o a N cial S F x Fr 0 05 2 A _ reco H 0 00 T T T T T T T T T T T T T T T T 0 00 5 00 10 00 15 00 20 0 Zeit t a Abb 9 7 Durchbruchskurven in den Entnahmebrunnen nach Modellrechnungen mit d f Bei der Entnahme aus zwei bzw vier Brunnen ist die mittlere Konzentration dargestellt 182 nen Bei Verwendung von vier statt zwei Brunnen erfolgt ein weiterer R ckgang in der Salzkonzentration der Durchbruchskurven aber der Unterschied f llt geringer aus Somit wird klar da durch Erh hung der Anzahl von Entnahmebrunnen die Qualit t des ent nommenen Wassers wesentlich verbessert werden kann
2. Abb 6 12 Die Salzverteilung mit zwei Salzfingern im station ren Zustand 143 Die Symmetrie der L sung tritt trotz asymmetrischen Gitters und asymmetrischer Anfangsbedingung auf zweigen die zwei bei 35 beobachteten station ren Salzverteilungen w rden ber die Anfangsinstabilit t ausgew hlt Wird die Simulation hingegen zu einem sp teren Zeit punkt gestartet so m te die L sung schon zum Einzugsbereich einer der station ren L sungen des Elder Problems geh ren und St rungen w hrend der transienten Rech nung d rften die L sung nicht mehr zu einer anderen station ren L sung f hren Wenn sich durch ge nderte Anfangsbedingungen gezielt bestimmte station re L sungen des Problems unabh ngig von L sereinstellungen und Diskretisierung anlaufen lassen so sollte das analytische Problem ber eine station re L sung in der N he der numerischen station ren L sung verf gen Von der Idee kommend da die station re L sung des El der Problems sich aus mehreren Benard Zellen zusammensetzen mu wurde ange 122 N eg ge ee EEE EEE FY As pe HT Ten ee ee E Tee en TH OK Ar FF PP EEE FO me ee SN a NR re ee ee N en oe a ee ee een Cae Se a x x DP RRs amp NEE es de a SEIT aca eee eee as pa a en a b Neo ee E ee ee v Y y A ee eee Se EEE gf TRE gt f Abb 6 13 Geschwindigkeitsfeld mit einem Salzfinger im station ren Zustand 143 Diese L sung w
3. 100 101 Lanczos C Solution of systems of linear equations by minimized iteration J Res Nat Bur Standards 49 33 53 1952 Lang S Adaptive refinement and coarsening of unstructured grid hierarchies Technical report Institut f r Computeranwendungen der Universit t Stuttgart 1997 in preparation LaVenue A M Cauffman T L Pickens J F Ground Water Flow Modeling of the Culebra Dolomite Volume l Model Calibration Contractor Report SAND89 7068 2 Sandia National Laboratories Albuquerque 1990 Cauffman T L LaVenue A M McCord J P Ground Water Flow Modeling of the Culebra Dolomite Volume Il Data Base Contractor Report SAND89 7068 1 Sandia National Laboratories Albuquerque 1990 Leijnse A Free convection for high concentration solute transport in porous media In Contaminant Transport in Groundwater ed Kobus amp Kinzelbach Bal kema Rotterdam 1989 Leijnse A Glasbergen P Nijhoff Pan l Sauter F J Calculation of Ground water Flow and Particle Tracking for the Gorleben Site with METROPOL RIVM Report 728516001 Bilthoven 1989 Leijnse A Three dimensional modeling of coupled flow and transport in porous media PhD thesis University of Notre Dame Indiana 1992 Leijnse A Comparison of solution methods for coupled flow and transport in porous media In Computational methods in surface and subsurface hydrology ed Russell Brebia Gray and Pinder 1992 Le
4. Unabh ngig von dieser Neuentwicklung eines Spezialprogrammes wird die Weiter entwicklung und Pflege von bereits vorhandenen bergreifend einsetzbaren Pro grammen zur Untersuchung verschiedener Einzeleffekte die das geforderte schnelle Programm nicht enthalten wird als unbedingt notwendig erachtet Solche Programme sind auch f r begleitende Rechnungen bei der Entwicklung des neuen Grundwasserprogramms erforderlich Sie dienen dabei der Verifizierung des neuen Programmes Andererseits werden sie auch f r die Bereitstellung von speziellen Eingabeparametern zur Ber cksichtigung von Spezialeffekten ben tigt die in dem schnellen Programm nicht enthalten sind Im Anschlu daran wurde in dem Bericht Strategie zur Entwicklung eines schnellen Grundwasserprogramms mit variabler Dichte 46 das Vorgehen zur Umsetzung dieser Empfehlungen einschlie lich grober Absch tzungen von Personalaufwand und Kosten zusammengestellt Auf dem BMFT Workshop Grundwasserprogramme vom 3 4 November 1992 in Freu denstadt wurden die Aussagen des oben erw hnten Statusberichts von den Teilnehmern von AEA Atomic Energy Authority Decomissioning amp Radwaste Harwell UK BfS BGR BMFT Bundesministerium f r Bildung Wissenschaft Forschung und Technolo gie GRS GSF IfE Institut f r Energetik Dresden Leipzig KfK Kernforschungszen trum Karlsruhe Projekttr ger des BMFT f r Entsorgung Universit t Hannover Institut f r Str m
5. 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Brezina M Vanek P Mandel J Algebraic multigrid on unstructured meshes Technical Report ftp server tiger denver colorado edu Burnett R D Frind E O Simulation of Contaminant Transportin Three Dimen sions 2 Dimensionality Effects Water Resources Research 23 4 695 ff 1987 Cabrol B Leedom L Imaging Vector Field Using Line Integral Convolution Computer Graphics Proceedings Annual Conference Series 1993 Callaghan P T Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy Claren don Press Oxford 1991 Carrington A A D McLachlan A D Introduction to Magnetic Resonance Chapman and Hall London 1979 Barret R Berry M Chan T Demmel J Donato J Dongarra J Eijkhout V Pozo R Romine C van der Horst H Templates for the solution of linear systems Building blocks for iterative methods 2nd edition SIAM Phil adelphia PA 1994 Deuflhard P Bornemann F Numerische Mathematik Il Walter de Gruyter amp Co Berlin 1994 Diersch J G Interactive Graphics based Finite Element Simulation System FEFLOW for Modeling Groundwater Flow Contaminant Mass and Heat Trans port Processes FEFLOW User s manual Version 4 5 Berlin 1996 d f A Simulator for Density Driven Flow User s Manual Compiled by E Fein Gesellschaft f r Anlagen und Reaktorsicherheit mbH Braunschweig 1999 df A Si
6. nungen erreicht werden kann 11 4 Vorteile von d f gegen ber anderen Dichtestr mungsprogrammen Die mit Dichtestr mungsprogrammen erzeugten Ergebnisse m gen noch so beeindruk kend aussehen aber wenn es keine objektive M glichkeit zur Einsch tzung ihrer Genau igkeit gibt sind sie von zweifelhaftem Wert Zu Beginn der Entwicklung von d f stand die Anforderung einer maximalen Anzahl von Knoten 10 Millionen im Vordergrund mit de nen gerechnet werden sollte Die praktische Erfahrung zeigt jedoch da die Nutzungs strategie anders sein sollte Das Programm wird in der Praxis immer zuerst mit relativ 204 wenig Knoten 10 000 100 000 verwendet werden Dieses kann f r viele Aufgabenstel lungen insbesondere bei adaptiver Diskretisierung bereits v llig ausreichen In der Re gel wird man immer mit geringer Knotenzahl beginnen um erste Absch tzungen zu ma chen die Zeit und Ortsdiskretisierungsstrategie zu optimieren und gute Einstellungen f r die numerischen Steuerparameter zu finden Das bedeutet aber da d f bei Verwen dung von wenigen Knoten genauso bequem handhabbar sein sollte wie andere kommer zielle Codes Danach kann dann das neue Programm seine Vorteile bei hohen Knoten zahlen ausspielen um auch die Gitterkonvergenz nachzuweisen Diese Knotenreserve von 1 bis 10 Millionen Knoten wird in vielen Fallen erforderlich sein um diesen Nachweis f hren zu k nnen Die Knotenreserven k nnen strategisch g
7. 13 Oktober 1995 234 rolkovic P Knabner P Tapp C Thiele K Numerical Study of Density driven Flows in Porous Media Gordon Research Conference Modeling of Flow in Permeable Media 4 9 8 1996 Andover USA Oswald S Schwarz C Kinzelbach W Visualization of flow and transport processes in artificial porous media NMR in Soil Sciences 16 September 1996 Wageningen The Netherlands Knabner P rolkovi P Tapp C Thiele K Density driven flow through porous media Workshop Fachkompetenz im Technisch Wissenschaftlichen H chstleistungsrechnen Uni Erlangen N rnberg 23 5 1997 Schneider A Fein E Recent Developments in the Modelling of Groundwater Flow at High Salinity SEDE Workshop Use of Hydrogeochemical Information in Testing Ground water Flow Models 1 3 September 1997 Borgholm Schweden Schneider A Fein E The Modelling of Groundwater Flow at High Salinity in Large and Hydrogeologically Complex Regions DisTec 98 9 11 September 1998 Hamburg 15 3 Dissertationen Im Rahmen dieses Projektes wurden folgende Dissertationen zumindest teilweise gef r dert Birken Klaus Ein Modell zur effizienten Parallelisierung von Algorithmen auf komplexen dynamischen Datenstrukturen Dissertation Universitat Stuttgart 1997 Johannsen Klaus Robuste Mehrgitterverfahren f r die Konvektions Diffusions Glei chung mit wirbelbehafteter Konvektion Dissertation Universita
8. Dabei treten aber folgende Schwierigkeiten auf F r den ausgew hlten Diskretisierungsansatz siehe Kapitel 5 3 2 m ssen die Git ter an den Blockgrenzen bereinstimmen Dies kann bei einer gro en Anzahl von Bl cken sehr aufwendig sein und f hrt zu einem sehr feinen Gitter Algorithmen zur automatischen Zerlegung beliebiger Geometrien existieren Aller dings sind die bisher bekannten Implementierungen nicht hinreichend stabil und reagieren empfindlich auf kleine nderungen in der Geometrie 53 5 3 1 1 Realisierte L sung Da die Entwicklung und Nutzung eines Gittergenerators f r Hexaeder im Rahmen des Projektes f r die gestellte Aufgabenstellung nicht m glich war wurde beschlossen sich bei der weiteren Entwicklung des Gittergenerators auf simpliziale Elemente Dreiecke in 2D und Tetraeder in 3D zu beschr nken dazu den Tetraedergittergenerator NETGEN 142 zu benutzen und geeignet zu modifizieren Im weiteren Verlauf des Projekts kam eine Erweiterung auf Prismen hinzu In den n chsten Abschnitten wird auf die die Art der Elementgenerierung und die not wendigen Modifikationen eingegangen 5 3 1 2 Advancing Front Eine Klasse von Algorithmen zur Erzeugung von Dreiecks bzw Tetraedernetzen sind die Advancing Front Verfahren 56 57 J 122 und 123 Hier wird ausgehend von ei ner Oberfl chenvernetzung das Innere eines Volumens mit Dreiecken bzw Tetraedern ausgelegt 2D Dreiecke Aufgrun
9. chenaufwandes ist das exponential upwind Verfahren ist 67 Weiterhin wurde die sogenannte Aligned Finite Volume Diskretisierung von K Johann sen implementiert Dadurch wird der generelle Nachteil aller Upwind Methoden der so genannte Grid Effekt reduziert 79 4 36 54 5 3 2 3 1 Diskretisierung des Darcyschen Gesetzes Die Bestimmung der Str mungsgeschwindigkeiten ist ein wichtiger Teil der numerischen Simulation von Dichtestr mungen in por sen Medien Die Notwendigkeit f r eine extrem hohe G te der Approximation ergibt sich aus der Abh ngigkeit des Konvektionsanteils und des Dispersionstensors im dispersiv diffusiven Anteil der Transportgleichung von der Darcy Geschwindigkeit Zus tzlich wird der wichtigste Anteil der nichtlinearen Kopplung von Str mungs und Transportgleichung durch die Abh ngigkeit der Darcy geschwindig keit von der Dichte hervorgerufen Die numerische Approximation der Darcy Geschwindigkeit ist in der implementierten Fi nite Volumen Diskretisierung in d f von gleicher G te wie die anderer physikalischer Gr Ben wie z B Konzentration und Druck Die Ursache hierf r liegt in den neuen Ergebnis sen dieses Projektes auf dem Gebiet der konsistenten Geschwindigkeitsapproximation aber auch in der insgesamt sorgf ltig durchgef hrten Diskretisierung Die Variabilit t der Geschwindigkeit wird niemals durch die Diskretisierung unn tigerwei se eingeschr nkt Dazu werden an je
10. well _ palagonite tuff ee N er As g sea E u W S En I N 4 basalt F lt gt x A Tr gt x transition zone saltwater Abb 9 1 Vertikalschnitt durch Gebietsgeologie nach 102 Geologisch ist die Insel aufgebaut aus einer nicht wasserf hrenden Tuffschicht der eine Schicht aus stark gekl ftetem Basalt folgt die den obersten Aquifer darstellt Darunter folgen unter einer Tonschicht eine Schicht aus Mittelsand eine weitere trennende Ton schicht und eine m chtige Feinsandschicht als unterster Aquifer siehe Abbildungen 9 1 und 9 2 Die Aquiferbasis besteht aus einem geringleitenden Sandstein 102 Im Be reich der Mittelsande treten die h chsten Permeabilitaten auf Die Tonschichten haben stellenweise Fenster die aber nicht einzeln ber cksichtigt wurden 9 1 2 Vorgehen zur Simulation von Weizhou mit d f Die hydrogeologischen Rahmenbedingungen wie Schichtaufbau Geometrie der Schich ten Parameter der einzelnen Schichten bzw Variation der Parameter in der obersten Schicht und Randbedingungen basieren auf einem bestehenden dreidimensionalen Mo 176 Schematischer Schichtaufbau oberer Teil des Basalt 28m unterer Teil des Basalt 33m obere Tonschicht 04m Mittelsandschicht 30 m untere Tonschicht 03m 49m Feinsandschicht oben Feinsandschicht Mitte 269m Feinsandschicht unten 370m Abb 9 2 Schichtenfolge im Modellgebiet Weizhou d
11. 25 die als Gutachter zu die sem Problem hinzugezogen wurden stellten folgenden Sachverhalt fest F r nichtlineare Gleichungssysteme kann mit Hilfe von Mehrgitterverfahren die notwendige Konvergenz beschleunigung erreicht werden um Salztransportrechnungen durchzuf hren Das ist durch andere Anwendungen f r ebenfalls komplexe Modellstrukturen deutlich gezeigt worden Diese L sungsverfahren k nnen auf der Basis einer Finite Volumen Diskretisie rung so optimiert werden da die Merkmale der Parallelverarbeitung auf modernen Rechnerarchitekturen voll ausgenutzt werden 10 Eine zus tzliche Reduzierung der ben tigten Rechenoperationen kann durch die Ver wendung adaptiver Gitter f r die r umliche und zeitliche Diskretisierung erreicht werden 173 50 172 128 9 Dadurch wird auch eine konomisch sinnvolle Durch f hrung einer Vielzahl von Rechnungen wie sie z B f r Sensivit tsanalysen notwendig sind erm glicht 2 2 Ziel der Programmentwicklung Unter Ber cksichtigung der vorliegenden Ergebnisse und basierend auf den damaligen Erfahrungen mit Salz S wassermodellen lie sich ein Katalog von Minimalanforderun gen f r ein Programm ableiten das insbesondere in der Lage sein mu te sowohl kom plexe dreidimensionale hydrogeologische Strukturen als auch den Salzgehalt des Grund wassers zu ber cksichtigen Da infolge des Energietransports die temperaturinduzierten Str mungen kleiner sind als diejenige
12. Gesellschaft f r Anlagen und Reaktorsicherheit GRS mbH d f Ein Programm paket zur Modellie rung von Dichtestr mungen AbschluBbericht GRS 139 Gesellschaft f r Anlagen und Reaktorsicherheit GRS mbH d f Ein Programmpaket zur Modellierung von Dich testromungen Zusammengestellt und be arbeitet von Eckhard Fein und Anke Schneider Braunschweig Oktober 1999 Anmerkung Die diesem Bericht zugrundelie genden Arbeiten wurden mit Mit teln des Bundesministeriums f r Bildung und Forschung BMBF unter dem F rderkennzeichen FKZ 02 C 0465 0 mit dem Titel Entwicklung eines schnellen Programms zur Modellierung von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte gef rdert Die Arbeiten wurden von der Gesellschaft f r Anlagen und Reaktorsicherheit GRS mbH bzw in ihrem Auftrage durchge f hrt Die Verantwortung f r den Inhalt dieser Ver ffentlichung liegt allein bei den Autoren GRS 139 ISBN 3 923875 97 5 Danksagung An dieser Stelle m chten wir all jenen danken die durch ihre Arbeit zum erfolgreichen Abschlu des Projektes Entwicklung eines schnellen Programmes zur Modellierung von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte und zum Zustandekommen dieses Be richtes beigetragen haben Zu nennen sind dabei an erster Stelle die Mitarbeiter der Ar beitsgruppen von Prof W Kinzelbach an der ETH Z rich Prof P Knabner an der Uni versit t Erlangen N rnberg Pr
13. Schelkes K Modellrechnungen zur Grundwasserbewegung mit va riabler Dichte f r einen Aquifer ber einem Salzstock Dokumentation erster Er gebnisse Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe Hannover 1991 Vogel P Schelkes K Modellrechnungen zur Grundwasserbewegung mit va riabler Dichte f r ein Modellgebiet in Norddeutschland Ergebnisse zur ther misch bedingten Konvektion an einer Salzstockflanke Bundesanstalt f r Geo wissenschaften und Rohstoffe Hannover 1992 Vogel P Schelkes K Modellrechnungen zur Grundwasserbewegung mit va riabler Dichte f r einen Aquifer ber einem Salzstock Dokumentation der Ergeb nisse einiger Parametervariationen zur hydrodynamischen Dispersion Bundes anstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe Hannover 1992 van der Vorst H BICGSTAB a fast and smoothly converging variant of BiCG for the solution of nonsymmetric linear systems SIAM J Sci Stat Comp 13 631 644 1992 Voss C l Souza W R Variable Density Flow and Solute Transport Simulation of Regional Aquifers Containing a Narrow Freshwater Saltwater Transition Zone Water Resources Research 23 10 1857ff 1987 Welty C Gelhar L W Stochastic Analysis of the Effects of Fluid Density and Viscosity Variability on Macrodispersion in Heterogeneous Porous Media Water Resources Research 27 8 2061ff 1991 Weast R C Ed Handbook of Chemistry and Physics CRC Press Inc Boca Raton Florida
14. und der Variablen wie Druck und Konzentration Ebenso werden Rand und Anfangsbedingungen gemessen oder vorgegeben Auf jeden Fall sind all diese Gr en fehlerbehaftet Bei Feldfallen also Problemgebieten die in wirklichem geologischem Umfeld liegen ist in aller Regel die r umliche Dichte der Me punkte bez glich geologischer Parameter Anfangs bedingungen und Druck und Konzentrationsverteilung nicht ausreichend um ei nen derartigen Fall als Test f r ein numerisches Programm sinnvoll verwenden zu k nnen Statt dessen wird in solchen F llen eine Eichung des Modells durchge f hrt was also eine Anpassung von Modellparametern ber den Vergleich der Re chenergebnisse mit Me werten bedeutet Aus diesem Grund kommen nur klein oder mittelskalige vollst ndig kontrollierbare Problemf lle also Laborexperimente als echte Testf lle in Frage nicht aber Feldf lle Zum Vergleich der Resultate m ssen Kriterien gefunden werden anhand derer der Vergleich durchgef hrt werden kann Leicht berschaubare Vergleichsgr en sind etwa die Position von Isofl chen oder Isolinien und die Ganglinien an ausgew hlten Punkten Im Idealfall sollte eine Reihe von Vergleichskriterien vorliegen die sensi tive und weniger sensitive Verhaltensmerkmale abdecken 133 Die berwiegende Anzahl der bereits zur Verf gung stehenden physikalischen Testf lle sind lediglich zweidimensional 138 113 114 71 174 def soll jedoch ins
15. 126 ist der Vergleich von zwei grundlegenden Linearisierungsverfah ren f r unser Problem n mlich der Newton und der Picard Linearisierung angegeben 5 3 2 1 Approximation der Konzentration Eine der Prim rvariablen ist die Konzentration Massenbruch deren Wertebereich auf ein physikalisch bestimmtes Intervall beschr nkt ist Genau diese Einschr nkung mu auch f r die numerische N herung gelten Die Hauptursache f r die Verletzung dieser Einschr nkung sind Situationen in denen die Konvektion ber die Diffusion dominiert Werden keine speziellen numerische Verfahren verwendet k nnen starke nicht physi kalische Oszillationen auftreten Damit werden Verletzungen der Wertebereichsein schr nkung der Konzentration sehr wahrscheinlich Die einfachste Methode solche Schwierigkeiten zu vermeiden ist die Einhaltung der lokalen Peclet Zahl durch ein lokal ausreichend feines Gitter Vereinfachend kann gesagt werden da kein unphysikalisches Verhalten von numerischen L sungen in konvektions dominierten Bereichen auftritt falls alle lokalen Peclet Zahlen kleiner als eine feste kritische Peclet Zahl sind Da die lokalen Peclet Zahlen direkt proportional zu einer charakteristische Elementl nge z B der Kan tenl nge sind kann diese Bedingung durch Gitterverfeinerung erreicht werden Dabei ist klar da f r fast hyperbolische Probleme d h wenn der diffusive Anteil fast vernachl s sigbar ist die Gitterverfeinerung zu nicht mehr ha
16. 1980 Weatherhill N P The integrity of geometrical boundaries in the two dimensional Delaunay triangulation Comm Appl Num Methods Vol 6 101 109 1990 Wesseling P Introduction to multigrid Wiley New York 1992 227 171 172 173 174 175 Wei Y Stabilized finite element methods for miscible displacement in porous media MAN Mathematical Modelling and Numerical Analysis 28 5 611 665 1994 Wittum G On the Robustness of ILU Smoothing SFB 123 Universit t Heidel berg Preprint Nr 451 Heidelberg 1988 Wittum G Effiziente L ser f r Str mungsprobleme IWR Universit t Heidel berg BMFT Workshop Grundwasserprogramme Freudenstadt 3 4 Novem ber 1992 Wooding R A Tyler S W White l Convection in groundwater below an eva porating salt lake 1 Onset of instability Water Resources Research 33 6 1199ff 1997 Younes A Ackerer Ph Etude sur modele tridimensionnel du devenir des sau mures a forte concentration au droit et a l aval des terrils MDPA Rapport de fin de contrat Institut de M canique des Fluides Universit Louis Pasteur Stras bourg Frankreich 1996 228 13 Notation Generell wird folgende Schreibweise benutzt Die einzelnen Gr en werden durchg ngig folgenderma en abgek rzt Variable pP Vektoren g n Tensoren D To Dateinamen Computerbefehle homefb d3f Buttons von graphischen Oberfl chen E
17. Verwirklicht wurde daher eine Methode die auf der Absch tzung der zeit lichen Gradienten beruht Dieses heuristische Verfahren geh rt in der Literatur zu den Standardmethoden und wird mit viel Erfolg angewendet Eine zus tzliche Restriktion der Zeitschrittweite entsteht aus der gew hlten Linearisierung einiger zeitabh ngiger Koeffi zienten Hier werden nichtlineare Anteile durch Werte aus dem vorhergehenden Zeit schritt approximiert Dies f hrt bei gro en nderungen innerhalb eines Zeitschritts zu un physikalischen Ergebnissen Um dies zu verhindern war eine Erweiterung der Zeitschritt 75 weitensteuerung notwendig Das wurde durch einen zus tzlichen Term realisiert der auf der Differenz der Nichtlinearit ten vom aktuellen zum vorhergehenden Zeitschritt der zur Linearisierung benutzt wird beruht In numerischen Test hat sich gezeigt da diese Vor gehensweise sinnvoll ist und zu guten Ergebnissen f hrt Zus tzlich zu diesen Arbeiten wurde recherchiert ob in der Literatur geeignete Zeitdiskretisierungsverfahren zu finden sind Letztlich wurde aber die implizite Eulermethode mit der heuristischen Zeitschritt steuerung beibehalten 5 3 3 2 Softwareentwicklung Ein wesentlicher Teil der Arbeit bestand in der Entwicklung der Software Die in Abschnitt 5 3 3 1 entwickelten Fehlerabsch tzungen mu ten in einen Algorithmus eingebunden werden und in das Programmpaket UG implementiert werden Zu Projektbeginn lag eine sehr ei
18. besondere f r dreidimensionale Situationen getestet werden Dreidimensionale Messun gen von Dichtestr mungen waren kaum als Testfall geeignet 120 oder sind noch nicht abgeschlossen 175 Deshalb war es eine der Zielsetzungen dreidimensionale physi kalische Testf lle zu entwerfen Messungen durchzuf hren und mit Rechnungen zu ver gleichen Das MeBverfahren und die Testf lle werden in den folgenden Unterkapiteln be sprochen 7 1 Experimentelles Verfahren Eines der verf gbaren Verfahren zur Gewinnung von dreidimensionalen Daten ist die Kernspintomographie NMR eingesetzt als bildgebendes Verfahren Magnetic Reso nance Imaging MRI 120 121 Haufig arbeiten die MRI Apparate nur auf einer Fre quenz die geeignet ist um Wassermolek le zu detektieren Durch spezielle Verfahren ist es aber auch m glich solche Apparate zur indirekten Messung anderer in Wasser gel ster Stoffe zu verwenden Solche Tracer Verfahren bieten die M glichkeit in der Me dizin eingesetzte Standard Tomographen auch f r die Messung der dreidimensionalen Verteilung von bestimmten gel sten Stoffen einzusetzen Durch wiederholte Messung kann auch die zeitliche Entwicklung dieser r umlichen Stoffverteilung verfolgt werden siehe auch 116 F r die hier dargestellten Experimente wurden zwei unterschiedliche Magnettomographen verwendet das Magnetom SP 63 84 Siemens Erlangen 1 5 Tes la und ein Philips Gyroscan ACS NT 1 5 T Beide sind dimens
19. e dreidimensionale und hydro geologisch komplexe Modellgebiete durchzuf hren Die Entwicklung eines effizienten parallelen L sers erm glicht es die dabei entstehenden gro en Gleichungssysteme in nerhalb praktikabler Rechenzeiten zu l sen Hierdurch wird es m glich die den bisheri gen Rechnungen f r Langzeitsicherheitsanalysen anhaftenden berkonservativit ten und Unsicherheiten abzubauen Dar ber hinaus ist die Integration moderner leistungs f higer numerischer Verfahren in ein komplexes Programmsystem unter Verwendung so 206 wohl serieller als auch paralleler Rechnerarchitekturen gelungen Somit wurden Fort schritte auf den Gebieten Langzeitsicherheitsanalyse Numerik und Softwareengineering gemacht 207 208 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Literatur Andersson K Grundfelt B Hodgkinson D P Lindbom B Jackson C P Hy drocoin Level 1 Final Report Verification of groundwater flow models Technical report Swed Nucl Power Insp SKI Stockholm 1986 Angermann L An a posteriori estimation for the solution of elliptic boundary va lue problems by means of upwind FEM IMA Journal of Numerical Analysis 12 201 215 1992 Angermann L Balanced a posteriori error estimates for finite volume type dis cretizations of convection dominated elliptic problems Computing 55 305 323 1995 Angermann L An upwind scheme of finite volume type with
20. hrleistung des diskreten Minimum Maximum Prinzips ge troffen werden stammen aus der Herleitung f r die die Laplace Gleichung Sie sind not wendige Voraussetzung auch f r diese erheblich komplizierteren Gleichungen Die wich tigste Voraussetzung ist eine gute Qualit t des Gitters Daf r darf ein Dreiecks Element keinen Winkel gr er als 2 2 haben Weiterhin kann das Minimum Maximum Prinzip ver letzt werden wenn die Diffusion innerhalb eines Elementes variieren kann Im allgemei nen werden f r realistische Anwendungen nicht beide Bedingungen eingehalten werden Besonders f r sehr komplexe Gebiete mit komplizierten Strukturen geringm chtiger Schichten ist es unm glich insgesamt eine ausreichende Qualit t des Gitters zu errei chen Der Diffusionstensor variiert in unserem Falle nicht innerhalb eines Elementes Bei dem Dispersionstensor werden solche Variationen aber zur gr eren Genauigkeit der Approximation bevorzugt f r Einzelheiten siehe Kapitel 5 3 2 2 65 Es zeigte sich sehr h ufig da nur dann lokal einige negative Werte der Konzentration auftraten wenn alle oben aufgef hrten Negativfaktoren im gleichen Teil des Domains auftraten n mlich dort wo die Gitterqualit t schlecht war gro e Winkel und wo alle Pa rameter gro e Variationsbreiten aufwiesen Durch numerische Experimente wird nahegelegt da alle in 54 dargestellten Ergeb nisse auch auf andere Elementtypen bertragen werden k nnen
21. ngigkeit von der Temperatur sind folgender ma en implementiert 1 Konstante Viskosit t H_ 8 1 4 45 2 Reale Viskositat 1 7 Ho 0 en exp 3 073 10 2 1 002 4 46 1 303 10 0 0 4 5 3 Die Hydrogeologischen Parameter Die Permeabilit t Die Permeabilit t wird f r jede hydrogeologische Einheit angegeben Sie ist ein symme trischer Tensor zweiter Stufe In d f sind folgende Standardangaben implementiert F r ein isotropes Medium ist die Permeabilit t eine skalare Gr e die konstant oder eine Ortsfunktion sein kann Zur Beschreibung von kleinskaligen Heterogenit ten die nicht explizit modelliert werden kann die Permeabilit t der entsprechenden hydrogeologischen Einheit stochastisch beschrieben werden siehe Unterkapitel 5 3 6 In diesem Fall wird der Typ der Verteilungsfunktion sowie die Korrelationsfunktionen mit den jeweils zuge h rigen Parametern vorgegeben Zur Zeit sind folgende M glichkeiten in d f ent halten e Verteilungsfunktionen f r die Permeabilit t Normal oder Lognormal Verteilung mit Mittelwert und Varianz als Parameter e Korrelationsfunktion Normal oder Exponentialverteilung jeweils isotrop oder anisotrop mit einer bzw drei Korrelationsl ngen 37 Die Permeabilitatsverteilung wird dann auf einem quidistanten Gitter mit Hilfe ei ner Cholesky Zerlegung der fouriertransformierten Autokorrelationsmatrix 129 bestimmt Im Falle anisotroper Korre
22. 4 2 oder 4 3 die zur Vervollst ndigung des Satzes an Differentialgleichungen f r das System benutzt wird ist von parabolischem Typ in der Unbekannten Salzmassenbruch c Damit handelt es sich um ein System aus einer elliptischen Differentialgleichung im Druck p und einer parabo lischen Differentialgleichung im Salzmassenbruch c Der elliptische Charakter der Glei chung 4 8 resultiert direkt aus der Vernachl ssigung von Speichertermen der Druck stellt sich instantan in einem Gleichgewicht mit der gerade herrschenden Salzmassen verteilung ein Ohne diese Vereinfachung w rde die Gleichung 4 8 noch zus tzlich ei nen Druckspeicherterm 9 6 pae enthalten wodurch die Differentialgleichung zu einer parabolischen Gleichung w rde Dieser zus tzliche Speicherterm erm glicht es da Vo lumen nderungen durch Zugaben Entnahmen oder Vermischung s o lokal aufgefan gen werden Ohne diese Speicherung mu ein entsprechender Ausgleich ber den Rand 21 des Gebietes geschehen was aber nicht bei allen Randbedingungen m glich ist Dieser Unterschied spielt keine Rolle f r geologische Formationen mit L ngenabmessungen im Bereich mehrerer Kilometer und einer Tiefe von ein paar hundert Metern weil die Zeit f r den Druckausgleich in vertikaler Richtung bei diesen Skalen typischerweise zwischen Stunden und einigen Tagen betr gt die Transportzeiten f r das Salz aber im Zeitrahmen vieler Jahre liegen 4 3 Der Dispersionste
23. 4 5 1 Die Dichte Unter der Annahme da Dichte nderungen in Folge von Konzentrations oder Tempe ratur nderungen unabh ngig voneinander sind kann die Dichte durch einen Separati onsansatz p c 8 Py P le Pg 0 4 32 approximiert werden Es ist dem Benutzer freigestellt f r seine Belange ad quate rela tive Dichtefunktionen p c 0 0 P c c 8 p c und pg 8 4 33 Po Po zu definieren Dabei entspricht die Dichte p der Konzentration c 0 Frischwasser und der Referenztemperatur 8 20 C F r reine NaCl Lauge gilt Po P C 0 8 20 C 998 2 kg m und Pmax P C 1 8 20 C 1197 2 kg m f r ges ttigte NaCl Lauge bei der Konzentration Caps max 0 26 und 8o 20 C 33 Abh ngigkeit von der Konzentration F r die relative Dichtefunktion p sind folgende Funktionen in def implementiert 1 konstante Dichte Pc c 1 4 34 2 Lineare Dichte A Pmax Po p c 1 mit Tp pe 4 35 3 Reale Dichte p y p_ c ze a h mit y 0 7 4 36 0 Diese Funktion beschreibt die experimentellen Daten am besten 74 100 4 Ideale Dichte c Po Cmax P max oder 4 37 ee P c Pmax Po 34 Abh ngigkeit von der Temperatur Die Auswirkungen von Temperatur nderungen auf die Dichte sind wesentlich kleiner als die von Konzentrations nderungen Es wird angenommen da der Temperaturbere
24. 5 10 zu klein ist Gr ne Bereiche kennzeichnen beson ders geringe Abweichungen Abb 6 21 Abweichung zwischen berechneter und vorgegebener Konzentration Rot bedeutet da der Wert von d f um ca 7 104 zu gro ist blau da die Konzentration um ca 6 104 zu klein ist 1 liegen die Fehler f r den Druck bei ca 0 tel Promille und in der Konzentration immer noch unter einem Promille Diese Abweichungen sind ungef hr viermal so gro wie der Fehler bez glich der Supremumsnorm bei der besten Approximation der exakten L sun gen auf dem verwendeten Rechengitter Die Verteilung der Fehler ber das Gebiet zeigt zum gr ten Teil eine Abh ngigkeit des Fehlers vom Abstand vom Rand Da die Fehler auf dem Rand verschwinden ist aufgrund der Fragestellung als Dirichlet Problem schon 130 vorgegeben Lediglich die Salzverteilung hat eine sehr gro e Abweichung von der exak ten L sung in der N he des unteren Randes Dieses l t sich auf die gro en Gradienten der Salzmassenzugabe in diesem Bereich zur ckf hren Diese Quellverteilung kann auf dem verwendeten Gitter nur grob approximiert werden Daraus resultieren lokale Fehler die aber auch das globale Verhalten beeinflussen Es ist anzunehmen da die Fehler in der Konzentration bei einem glatteren Quellverlauf noch geringer w ren Die mit d f be rechnete L sung stimmt hervorragend mit der vorgegebenen analytischen L sung ber ein In den neueren Versi
25. Algorithmus von Voss amp Souza nur n herungsweise gilt Dieser Algorithmus wurde in der implementiert und getestet F r bi quadrangles bzw trilineare hexahedra Elemente waren die Er gebnisse zufriedenstellend f r lineare triangles und tetrahedra Elemente nicht 69 Ein beobachtbarer Nachteil dieses Algorithmus ist da er f r diese Elemente nicht ein deutig definiert ist Es k nnen n mlich in Abh ngigkeit von der Wahl der linearen Trans formation zwischen globalen und lokalen Elementen unterschiedliche Werte f r die kon sistente Geschwindigkeitsapproximation die alle sowohl physikalisch als auch nume risch akzeptabel erscheinen berechnet werden Der Idee von Voss amp Souza strikt folgend mu vorausgesetzt werden da bei konsisten ter Geschwindigkeitsapproximation der Geschwindigkeitsvektor f r lineare Elemente in nerhalb eines Elementes konstant sein mu falls die Variabilit ten von Permeabilitat und Viskosit t innerhalb eines Elementes vernachl ssigt werden Dieses folgt aus der Tatsa che da die Approximation des Druckgradienten f r lineare Elemente konstant ist und die Abh ngigkeit des Gravitationsterms die gleiche sein sollte siehe Abbildung 5 12 lin ker Teil Diese Bedingung von Voss and Souza stellte sich als zu restriktiv heraus Es konnte ge zeigt werden da ein Verfahren ohne Transformation auf ein lokales Referenzelement d h insbesondere unabh ngig von der Benutzung einer speziell
26. Aquifer bei Salzwasserintrusion im sta tion ren Zustand eine effektive Dispersion aufweist die mit der mikroskopischen Disper sionsl nge bereinstimmt Um diese Theorie zu testen wurde ein hnliches Problem der Seewasserintrusion auf einem l nglichen dreidimensionalen Gebiet mit stochastischer Permeabilitatsverteilung entworfen siehe Abbildung 8 6 Die Randbedingungen sind hnlich gew hlt wie bei dem 168 h IN N UN KON Abb 8 6 Logarithmus der Permeabilitatsverteilung auf einem Schnitt durch das Gebiet f r ein heterogenes Modell eines K stenaquifers Die Permeabilit t berstreicht vier Zehnerpotenzen gro e Permeabilitaten sind rot und sehr kleine blau dargestellt oben vorgestellten Problem die Meeresseite ist in allen Abbildungen links Die Abbildung 8 7 zeigt die Entwicklung der Salzzunge auf einem Schnitt durch das Gebiet Durch die Heterogenit ten rauht sich die Front erst auf aber w hrend des weiteren Vordringens in das Gebiet nimmt diese Rauhigkeit ab ohne da die Breite der Vermischungszone zu nimmt Wenn gleichzeitig mehrere Schnitte durch das Gebiet betrachtet werden so ist die Salzzunge f r die fr hen Zeiten in den Schnitten unterschiedlich weit vorgedrungen F r gr ere Zeiten nimmt diese Differenz ab Dieses l t sich dadurch erkl ren da die eindringende Salzfront sich erst wie ein Tracer verh lt und eine gro e Makrodispersion sieht Im station ren Zustand abe
27. Aquifern In vielen Aquifern sind bei der Betrachtung von Transportprozessen die Heterogenit ten des Mediums nicht zu vernachl ssigen Ihre Wirksamkeit wird durch ihre Gr e und die Permeabilitatskontraste bestimmt F r die Gorlebener Rinne z B werden Permeabilitats kontraste von mehreren Gr enordnungen erwartet 47 Entsprechend starke Hetero genit ten werden auf verschiedenen L ngenskalen beobachtet Jussel 83 beobachte te in Kiesgruben in der Schweiz Linsen von Rollkies mit L ngsausdehnungen im Meter bereich und H hen im Dezimeterbereich deren Leitf higkeit um vier Zehnerpotenzen ber der des umgebenden Materials liegen In 93 finden sich hnliche Variationen der Leitf higkeit mit Korrelationsl ngen von ber 300 m Da bei der Modellierung von Aqui fern mit mehreren Kilometern Ausdehnung die kleinskalige Heterogenit t nicht explizit dargestellt werden kann und im brigen auch nicht im Detail bekannt ist mu sie in effektiven Ersatzgesetzen parametrisiert werden Die gro r umige Heterogenit t mu dagegen explizit aufgel st werden Wenn die mittel oder gro skalige Heterogenit t nicht aus geophysikalischen Untersuchungen und Bohrungen bekannt ist so k nnen mit Hilfe von stochastischen Permeabilitatsverteilungen nur wahrscheinlichste Aquiferverhaltens weisen oder Sensitivitaten hinsichtlich Permeabilitatsvariationen bestimmt werden Dar aus ergeben sich drei Vorgehensweisen bei Heterogenitaten Ef
28. Aquifers Abb 8 2 Nat rlicher Logarithmus der Permeabilitatsverteilung Die gr ten Permeabilitaten sind rot die kleinsten blau dargestellt Die untere Einheit hat im Mittel die f nffache Permeabilit t der oberen Ein heit die beiden schlechtdurchl ssigen Zungen haben im Mittel ein Hun dertstel der Durchl ssigkeit der oberen Schicht Die Permeabilit ten wur den isotrop die Korrelationsfunktion anisotrop modelliert Als Anfangsbedingung wurde der salzfreie Zustand dieses Aquifers gew hlt und das tran siente Verhalten berechnet Dabei hat df seine F higkeit bewiesen solche Probleme zu l sen Das Verhalten der L sung sieht intuitiv realistisch aus wenn wie bei der in Abbil dung 8 3 dargestellten L sung die Zeitschritte kurz gew hlt werden Bei gr eren Zeit schritten wurden f r dieses Problem und auch bei anderen Oszillationen in der Salz verteilung beobachtet wenn die Abh ngigkeit der Dispersion von der Geschwindigkeit explizit in der Diskretisierung angesetzt wurde Die Arbeitsgruppe in Stuttgart hat f r die ses Problem f r den station ren Zustand Gitterkonvergenz zeigen wollen doch die Kon zentration an einzelnen Punkten nderte sich beim bergang von 100 000 Knoten zu 400 000 Knoten auf dem Rechengitter noch im Prozentbereich Die fehlende Gitterkon vergenz l t sich vielleicht dadurch erkl ren da schmale Walzenstrukturen an den Grenzen zum Salzstock auftreten die erst bei sehr feinen Gittern
29. Auch die Konzentrationen in den Brunnen sind kaum zu unterschei den Die maximal angenommene Salzkonzentration ist nur wenig gr er als diejenige in der Rechnung mit Ber cksichtigung von Dichteeffekten siehe Abbildung 9 14 In diesem Modell ist der Einflu von Dichteunterschieden auf die Entwicklung der Kon zentrationsverteilung nicht wichtig Er erzeugt in den Durchbruchskurven lediglich eine Abweichung im Bereich von einigen Prozenten 191 Se a ee RE ST RN NR Abb 9 15 _Konzentrationsverteilung der station ren L sung Dargestellt sind Horizontalschnitte mit einer z Koordinate von 870 m 860 m und 845 m von oben nach unten Das unterste Bild gibt die Geschwindigkeiten in der untersten Schnittebene an 192 10 Rechenzeiten Eines der Ziele bei der Entwicklung von def vergl Unterkapitel 2 2 war es die Simulation der Grundwasserbewegung unter Ber cksichtigung der Salinit t f r gro e dreidimensio nale und hydrogeologisch komplexe Gebiete in praktikablen Rechenzeiten zu erm gli chen Um die Effizienz und Schnelligkeit nachzuweisen wurden Rechenzeitvergleiche mit einem konventionellen Rechenprogramm durchgef hrt Zus tzlich wurde zum Ende der Projektlaufzeit an einem dreidimensionalen Modell die Leistungsf higkeit von d f de monstriert 10 1 Rechenzeitvergleich zwischen d f und Saltflow Anhand von R
30. Bende Triangulation Mit Hilfe der 2D Methoden werden offene Randpolygone ermittelt Diese k nnen ausgew hlt und so bearbeitet werden da durch Verbindung der Endpunkte eine Fl che beschrieben wird Diese wird anschlie Bend trianguliert Liegen keine zuein ander passenden Polygonz ge vor k nnen diese auch interaktiv innerhalb beste hender Fl chen erzeugt werden interaktive Anpassung des Randes an vorhanden Fl chen Nach Auswahl der entsprechenden Polygonz ge werden diese verschmolzen d h die Punkte des freien Randes werden auf bestehende Punkte verschoben Dieses Vorgehen ist zur Modellierung von auslaufenden Schichten geeignet 48 Abb 5 6 Das Verschneiden von Fl chen Nach Anwendung einer oder mehrerer dieser Methoden entsteht ein zusammenh ngen des Fl chennetz ohne offene R nder Aus diesem Netz l t sich nun ein dreidimensio nales geometrisches Modell erzeugen Zuerst werden automatisch die Elementgruppen ermittelt Dabei wird eine Elementgruppe durch Kanten im Netz mit mehr als zwei Nach barn berandet Entlang dieser Kanten ist eine Orientierung der benachbarten Fl chen m glich Dies wurde dazu benutzt eine automatische Volumenerkennung zu implemen tieren W hrend der Projektlaufzeit wurden mehrere dreidimensionale Datens tze erzeugt sie he Abb 5 7 Dabei zeigte sich da aufgrund von numerischen Ungenauigkeiten nicht in allen F llen automatisch konsistente Fl chennetze produzi
31. Dabei ist die starke Anisotropie der zu erwarten den Rechengebiete zu beachten Die Diskretisierung mu so gew hlt sein da sie auf unstrukturierten gemischten Gittern genaue und stabile L sungen liefert Auch die Ein haltung physikalischer Grundgleichungen Erhaltungss tze mu erf llt sein Die Fehler indikatoren sollen es erm glichen problemangepa te Rechengitter automatisch zu er zeugen Auch die Zeitschrittweiten sollen automatisch an das Problem angepa t werden F r alle drei Teilgebiete mu ten als Grundlage umfangreiche theoretische Arbeiten ge leistet werden F r Probleme wie sie vorgegeben waren existierten in allen drei Teilbe reichen nur unzureichende Kenntnisse So war es n tig sowohl eigene theoretische Ar beiten zu leisten als auch bereits vorhandene Ergebnisse auf die wesentlich komplexere Aufgabenstellung zu bertragen Die so entwickelten Algorithmen wurden innerhalb des Programmpaketes UG der Universit t Stuttgart implementiert und getestet 51 5 3 1 Gittergenerator Ziel dieses Aufgabengebietes war die Entwicklung eines Gittergenerators der in der Lage ist komplexe geologische Strukturen zu verarbeiten Dabei waren mehrere Punkte zu beachten Die zu untersuchenden Modellgebiete bestehen aus vielen Teilgebieten die durch das Grobgitter aufgel st werden m ssen Die Ausdehnung des Gebietes ist in x und y Richtung viel gr er als in z Richtung Die Anzahl der Knoten und Elemente
32. Differentialgleichungen 4 2 und 4 3 sehr h ufig aufge rufen wird und einen betr chtlichen Teil der Rechenzeit verbraucht wurde ein schneller Algorithmus ben tigt der zu einem gegebenem Subkontrollvolumen d h einem beliebi gen konvexen Polyeder die Schnitte mit allen Punkt und Linienquellen liefert Eine Um stellung des Programmes auf eine Vorgehensweise da jedes Element nach einem In itialisierungsschritt einen Verweis auf alle Quellen Senken mit Punkten innerhalb des Ele mentes verwaltet war nicht m glich da der gitterverwaltende Kern des Programmes UG auch in anderen Projekten verwendet wird und dadurch die Kompatibilit t dieses Kerns mit anderen Modulen verlorengegangen w re Au erdem w re die Nachf hrung dieser Verweise bei Gitteradaption oder Lastumverteilung kaum nachvollziehbar Dementspre chend wurde eine eigene Struktur zur dynamischen Verwaltung von punktf rmigen Ob jekten in n oder weniger Dimensionen entwickelt die eine schnelle Nachfrage auf alle Punkte die in einem Quader liegen inklusive der entsprechenden Aufbau Umbau und Suchoperationen implementiert Diese Baumstruktur basiert auf einer wiederholten ko ordinatenweisen Bisektion eines Quaders bis nurnoch maximal ein Punkt in jedem Qua der liegt Zweige dieses Baumes bei denen die Separation fr her geschieht werden nicht weiter verfeinert Eine derartige Struktur wird in zwei Dimensionen Quadtree und in drei Dimensionen Octtree genannt Die ein
33. Druckumschlaglinie Referenzh he Porosit t Erdbeschleunigung Permeabilitat Viskositat molekulare Diffusionskonstante Dichteableitung T Oo A p Y Ax Az Xs Zs 0 g u Dm dc p c Po ce 1 O le Zustandsgleichung f r die Dichte Die Verteilungen der Zugaben und Entnahmen in den Abbildungen 6 16 und 6 17 zeigen beide eine recht gro e fast quellfreie Fl che im oberen Bereich so da in diesem Be reich ein quellfreier Fall getestet wird Auch die sonstige Quellverteilung stimmt gut mit der Idee eines Problems mit einer Salzzugabe am unteren Rand berein Dieser Fall scheint geeignet einen Test f r Dichtestr mungscodes f r F lle mit Salzablaugung im unteren Aquiferbereich und einer oben induzierten globalen Str mung zu liefern Das Programm d f wurde mit der so aufgestellten Aufgabe konfrontiert wobei die exakte L sung f r den Druck und die Konzentration als Anfangsbedingungen gew hlt wurden damit die Simulation im Falle mehrerer station rer L sungen die gew nschte ansteuert 127 Abb 6 16 Analytisch berechnete Verteilung der Gesamtmassenzugabe T rkis stellt die Linie dar auf der die Massenzugabe den Wert Null hat Die Zugabe ist zum gr ten Teil auf einen Bereich rechts unterhalb der Mitte konzentriert un a Abb 6 17 Analytisch berechnete Verteilung der Salzmassenzugabe Die Linie auf der keine Salzmassenzugabe stattfindet ist hellblau Die Zugab
34. In diesen AbschluBbericht wurden Teile der End berichte bernommen die redaktionell durch die GRS berarbeitet und mit Erg nzungen versehen wurden F r diesen Abschlu bericht wurden Beitr ge von folgenden Autoren herangezogen Wollfgang Kinzelbach Sascha Oswald Carsten Schwarz Thomas Rother Christoph Tapp Peter rolkovic Kathrin Thiele Peter Knabner Gabriele Beddies Klaus Johannsen Stefan Lang Joachim Becker Neben diesem Abschlu bericht wurden gemeinsam von allen Beteiligten ein Benutzer handbuch d f A Simulator for Density Driven Flow User s manual 36 und eine Test fallbibliothek df A Simulator for Density Driven Flow Test Case Library 37 in eng lischer Sprache erstellt IV Inhaltsverzeichnis 2 1 2 2 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 1 4 4 2 4 5 4 5 1 4 5 2 4 5 3 5 1 5 1 1 5 1 2 5 2 5 2 1 Ee Oa E a T l NOE WO 1 Re EEE REIT HRRSEFIERNELREL EINE PETELTHEREELEURUEEREEENERELT FE TTRERSEEELEE ll Inhaltsverzeichnis 2 V EUG TUNA aona arae ee a Aa a OA Aaaa A ENES Aa 1 Aulgabenstellung 2 3 20 Kenne dawlsancasssaanntwessavarsnntuncenesiinesttenesneuace 7 Stand der Dichtestr mungsmodellierung zu Projektbeginn 8 Ziel der Programmentwicklung 2 eH8 eek 11 Organisation und Management der Softwareentwicklung 15 Physikalisches Modell und mathematische Beschreibung 17 Die partiellen Differentialgleichu
35. Proc of 1st International Symposium on Finite Volumes for Complex Applications 15 18 Juli 1996 Rouen Frankreich in Finite Volumes for Complex Applications Hermes Paris 1996 Johannsen K Aligned 3D finite volumes for convection diffusion problems Proc of 1st International Symposium on Finite Volumes for Complex Applications 15 18 Juli 1996 Rouen Frankreich in Finite Volumes for Complex Applications Hermes Paris 1996 Johannsen K An Aligned 3D Finite Volume Method for Convection Diffusion Problems Notes on Numerical Fluid Mechanics Volume 59 Modeling and Computation in Envi reonmental Sciences eds R Helmig W Jager W Kinzelbach P Knabner g Wittum Vieweg 1997 Knabner P rolkovic P Tapp C Thiele K Adaptive Finite Volume Discretization of Density Driven Flows in Porous Media Lecture Notes INRIA Transport de contaminants multiespeces en milieux poreux 2 5 Juni 1997 Rocquencourt Frankreich Rother T Kasper H Kolditz O Taniguchi T Geometric Modelling of Complicated Structures GAMM 97 Kiel 15 2 Poster Oswald S Kinzelbach W Ackerer Ph Kuvaev A Density driven flow a comparison of benchmarks computed with different transport codes 1 GAMM Seminar am ICA in Stuttgart 12 13 Oktober 1995 rolkovic P Knabner P Thiele K Tapp C Development of software package for the simulation of density driven subsurface flows 1 GAMM Seminar am ICA in Stuttgart 12
36. Quelle s 2 und der Gebietsh he 1 Gem 166 l t sich dieses Problem auch als Transport und Str mungsproblem f r Salzwasser in por sen Medien auffassen Um zu physikalischen Gr en der Parame ter zu kommen wird Elders dimensionsloses Problem auf ein Gebiet der Gr e 600 m X 150 m skaliert f Abb 6 6 Definition des Elder Problems Die dicke Randlinie bedeutet c 1 die d nne steht f r c 0 Dabei werden folgende physikalische Parameter verwendet Permeabilit t k 4 845 10 m Dynamische Viskosit t v 1 0 10 kg mts Fluiddichte p c 1000 200 c kg Porositat o 0 10 Dispersionsl ngen a ar Om Diffusionskoeffizient D 3 565 10 m s Druckanfangsbedingung hydrostatische Druckverteilung Konzentrationsanfangswerte c 0 116 Die R nder sind gem 166 alle undurchl ssig f r das Fluid F r die Konzentrationen gelten die Dirichletwerte c 1 in der Mitte des oberen Randes und c 0 sonst Da der Druck durch die Anfangs und Randbedingungen noch den Freiheitsgrad einer additiven Konstanten aufweist halten 166 den Druck in den beiden oberen Ecken auf 0 fest Aus Symmetriegr nden reduzieren manche Autoren z B 99 das Problem auf die linke H lfte des Gebietes Am dabei eingef gten neuen rechten Rand gelten Neumann Rand bedingungen mit Wert 0 f r Gesamt und Salzmassenflu als Symmetriebedingung 6 3 2 Volumenerhaltung beim Elder Problem In 166 sind in den Geschwindi
37. Sai a 03232 23 Die nichtgenannten Eintr ge von a ijkl verschwinden mit Ausnahme von 1 ann 421 ut TH H 4 18 Bei der zus tzlichen Bedingung von Bear 14 Seiten 605 ff wird ary y ayy d h die transversale Dispersionsl nge in horizontaler Richtung bei vertikaler Str mung stimmt mit der transversalen Dispersionsl nge in vertikaler Richtung bei horizontaler Str mung berein Aus obiger Interpretation von apy y und ary und den Arbeiten von Bear 14 ist kein Grund f r die von ihm angenommene bereinstimmung ersichtlich In 13 zeigt Bear die G ltigkeit der Annahme aj apj nur f r isotrope Medien Der Ansatz von Jensen et al 78 D an i e372 ee q q q Dy m F ga T T q q q D33 Be u E q q q l t sich nicht auf das Modell 4 4 4 12 4 18 zur ckf hren Obwohl die Isotro pieannahmen an das Medium mit der z Achse als ausgezeichneter Richtung die gleichen sind ist die von Jensen vorgenommene Vernachl ssigung der Nichtdiagonalelemente mit einem rotationsinvarianten Dispersionsansatz nicht vereinbar Nur f r Str mungen in Richtung einer der Koordinatenachsen ist Jensens Modell eine Vereinfachung des Mo dells 4 4 4 12 4 18 wobei der Korrelationsparameter a in diesen Fallen keine Rolle spielt und die transversal horizontale Dispersionsl nge bei vertikaler Str mung gleich der transversal vertikalen Dispersionsl nge gesetzt ist F r nicht achsparallele S
38. Schema und eine Finite Differenzen Diskretisierung auf einem 21 x 81 Gitter f r das Gleichungssystem 4 2 und 4 3 mit Overbeck Boussinesq Approxima tion in der Stromfunktionsformulierung fur zwei Dimensionen s u Diese Rechnung wur de anschlie end von vielen Autoren z B 166 99 und 35 als Entwurf eines Benchmarkproblems f r dichteabh ngige Grundwasserstr mungen auch im Zusam menhang mit Salztransport benutzt Dementsprechend finden sich in der Literatur viele L sungen zu der Aufgabe so da dieses Problem sich zum Inter Code Vergleich anbie tet 114 6 3 1 Problemformulierung In 38 ist dieses Problem mit a Jacobi Operator A dimensionslose Rayleigh Nummer Temperatur y Stromfunktion dimensionsfrei f r W rmetransport formuliert als 08 Ar 2 2 oF oY Ox Oz 6 71 50 26 F es Ox Oz JO ur F ot Das ist eine Stromfunktionsformulierung der Overbeck Boussinesq Approximation des Gleichungssystem 4 2 4 3 und 4 5 Diese N herung betrachtet in der Gesamt massenerhaltungsgleichung 4 2 die Dichte auBer im Gravitationsterm der Darcy Ge schwindigkeit als konstant und wird deshalb durch die Volumenerhaltung V q 5 ersetzt Dazu verwendet Elder die Randbedingungen Yo auf allen R ndern 6 72 1 1 1 en 0 6 73 0 sonst 6 74 115 und die Anfangsbedingungen Y 0 t 0 6 75 0 t 0 6 76 auf einem Gebiet der Lange e 4 mit einer Lange der
39. Volumen 58 Diese Methode ist nahe verwandt mit der Finite Elemente Methode 77 64 4 und profitiert davon auch bei der Benutzung der Standardinterpolation von finiten Elementen f r die Approximation des tensoriellen diffusiv dispersiven Flusses und der Diskretisierung von flu abh ngigen Randbedingungen Die aufgef hrten Eigenschaften stellen die Hauptvorteile im Vergleich zu anderen Finite Volumen Klassen den sogenannten zellenzentrierten cell centered Methoden dar Eine gemischte Finite Elemente Methode wurde ebenfalls in Erw gung gezogen Diese Methode f hrt zu einem erh hten Speicherbedarf und zu einer gr eren Komplexit t der Berechnungen bietet jedoch eine bessere Approximation der Darcy Geschwindigkeit Ein weiterer Vorteil ist die lokale Massenerhaltung direkt in den finiten Elementen Daher werden die Fl sse an physikalischen Grenzen an denen sich die Permeabilit t sprung haft ndert durch eine geeignete harmonische Mittelung approximiert werden siehe z B 119 Testrechnungen mit der Standard Finite Volumen Diskretisierung f r die Transportglei chung und einer gemischten Finite Elemente Diskretisierung f r die Str mungsglei chung best tigten die oben erw hnten Vorteile im Vergleich zur baryzentrischen Finite Volumen Diskretisierung 89 Gleichzeitig zeigte sich da dieser Vorteil durch riesige Anforderungen an Computerresourcen und durch den erwarteten gro en Zeitaufwand f
40. adaptive Git tersteuerung eingesetzt werden da dann keine Konvergenz erreicht wurde Dieselben Beobachtungen wurden auch bei dem Fall Palla Road gemacht Auch der Versuch einen Dispersionstensor im anisotropen Medium zu verwenden f hrte zu Konvergenzproble men Die Erfahrungen in der Testphase zeigen da nicht nur objektiv die Eigenschaften des Programms sondern auch die Beherrschung des Programms durch den Nutzer ge testet werden Die Problematik der Dichtestr mungen ist kompliziert und es gibt viele Einstell und Wahlm glichkeiten f r den Nutzer die ber die Konvergenz mitentscheiden Schon allein die besten Einstellungen zu finden mit denen eine gute Konvergenz erreicht wird erfordert manchmal viel Zeit Eigentlich konnte die Gitterkonvergenz bei den Test f llen nie gesichert erreicht werden Diese ist heutzutage mit seriellen Rechnern im Grun de nur mit der adaptiven Gitteranpassung von dr erreichbar wenn der Einsatz von klei nen Gitterelementen auf die Bereiche mit gro em gesch tzten Fehler konzentriert wer den kann Hier zeigt sich die Wichtigkeit der Neuentwicklung d f besonders deutlich da sie als einzige im Prinzip mit dem Rechenergebnis den Nachweis der Genauigkeit zu sammen liefern kann Bis zum fehlerfreien Funktionieren ist noch einiger Aufwand an Tests und Korrekturen im Programm notwendig Die Investition in diese Arbeiten ist sehr lohnend da nur so eine neuer Standard in der Qualit t numerischer Str mungsberech
41. auch wenn dieselbe Menge an Wasser gef rdert wird Dies setzt nat rlich voraus da die Gesamtentnahme deutlich kleiner als die Grundwasserneubildung ist Das Verh ltnis im betrachteten Fall lag bei etwa 1 3 92 Palla Road Aquifer Botswana mit seitlicher Salzwasserintrusion Salzeintrag in einen Aquifer kann nicht nur an der K ste oder durch Kontakt zu einem Salzstock erfolgen sondern auch durch Salzaufstieg aus einem angrenzenden Aquifer mit salinarem Wasser Solch eine Situation wird hier behandelt Eine besondere Proble matik ist hierbei die Entnahme von gro en Wassermengen aus dem Aquifer da sie zu einem erh hten Salzeintrag und damit zur Beeintr chtigung der Grundwasserqualitat f hren kann 9 2 1 Beschreibung des Palla Road Aquifers Dieser Aquifer befindet sich im semiariden s d stlichen Botswana Das Untersuchungs gebiet erstreckt sich etwa ber eine L nge von 50 km und eine Breite von 20 km Der Aquifer besteht aus einem gekl fteten Sandstein von etwa 80 bis 100 m Machtigkeit und Durchl ssigkeiten im Bereich von 5 10 bis 5 10 m Im unteren Teil des Aquifers ist die Permeabilit t durch Vorhandensein undurchl ssigerer Einlagerungen reduziert wes halb der Aquifer vereinfacht als aus zwei bereinanderliegenden Schichten bestehend angenommen wurde Die Aquiferbasis wird von einer Schicht aus Tonstein gebildet Der Aquifer wird zum gr ten Teil durch eine Basaltschicht von etwa 100 m M chtigkeit ber dec
42. da die vorhandenen Rechenpro gramme an die Grenze ihrer Leistungsfahigkeit stie en und e bisher nur die Nachbildung ein oder zweidimensionaler Modellstrukturen er laubten e ber kleine Modellgebiete oder eine grobe Diskretisierung nicht hinauskamen e nur einfachste hydrogeologische Modelle abbildeten sowie einen enormen Bedarf an Rechenzeit und Speicherkapazitat hatten Auf dem Markt war eine Reihe von Grundwasserprogrammen verf gbar in denen Glei chungen zur Simulation des Salztransports im Grundwasser implementiert waren Mit diesen Rechenprogrammen konnten damals wegen des enormen Bedarfs an CP Zeit und Speicherkapazit t faktisch keine Grundwasserberechnungen unter Ber cksichti gung der Salinit t f r gro e dreidimensionale und komplexe geologische Gebiete durch gef hrt werden F r eine realit tsnahe Modellierung sind solche Berechnungen jedoch unerl lich Aus diesem Grund ist es unumg nglich alle M glichkeiten die sowohl Rech nerarchitekturen Vektorprozessoren Parallelrechner als auch numerische Verfahren boten auszunutzen Die Durchf hrung von Rechnungen zum Salztransport im Grundwasser ist wegen der stark nichtlinearen Struktur des zugrundeliegenden Gleichungssystems ohne effiziente L sungsverfahren sowie ohne Nutzung modernster Rechnerarchitekturen nicht durch f hrbar Die Ausf hrungen der GMD IfMG Gesellschaft f r Mathematik und Datenverar beitung Institut f r methodische Grundlagenforschung
43. der Schicht 2 5 mm x 2 5 mm bzw 2 34 mm x 2 34 mm Schichtdicke gleich Voxelh he 4 mm bzw 5 mm 136 Abb 7 1 Kalibrierung auf c 1 Gew dienten sorgen Situationen stabiler Schichtung treten in der Natur h ufig auf wenn sich instabile somit schnell ausgleichende Situationen bereits in die stabilere Situation ver wandelt haben Ausstrom Einstrom gt 03 ya _ 61 __ SUsswasser 14 cm Salzwasser 6 cm y 20 cm lt gt 20 cm Abb 7 2 Versuchsaufbau des Saltpool Problems Im unteren Teil befindet sich eine Schicht aus Salzwasser das durch die ffnung 5 zugegeben wurde Dar ber befindet sich S wasser Die Grenzschicht ist etwa horizontal und nur wenig vermischt An zwei der vier ffnungen im Deckel 1 4 wird ein Einstrom von S wasser bzw gegen ber ein Ausstrom von Wasser initiiert Eine zus tzlich auftretende Str mung ver ndert allerdings die Situation insbesondere wenn nach oben gerichtete Str mungskomponenten beteiligt sind Dies ist in realen Si tuationen etwa bei artesischen Quellen oder Grundwasserentnahme aus Brunnen der Fall In dieser Situation stellt sich ein effektives Str6mungsverhalten ein das sich aus dem Zusammenwirken der nach unten gerichteten Gravitationskraft auf dichtere Fluidvolumen und aus aufw rts gerichteten hydraulischen Kr ften ergibt Dabei tritt zudem noch hydro dynamische Dispersion auf Insgesamt kann die L s
44. der geometrischen Informationen in Auto CAD d rfen ausschlie lich die Zeichnungselemente Linie Polylinie und 3D Polylinie bzw Polylinie mit einer Erhebung verwendet werden siehe 84 Beim Konvertieren der geometrischen Information k nnen Tiefenwerte wie folgt zugeordnet werden Ist ein Tiefenwert in einem Zeichnungselement explizit als z Wert oder Erhebung enthalten kann er verwendet werden Ist kein Tiefenwert im Zeichnungselement enthalten kann der Name des Layers ausgewertet und der in ihm enthaltenen Tiefenwert verwendet werden Desweiteren werden allen geometrischen Informationen innerhalb eines Layers unter schiedlichen Geometriegruppen zugeordnet Zur Analyse Bereinigung und Filterung der Basisdaten wurden verschiedene Methoden entwickelt 42 5 2 2 1 Analyse von Vertikalschnitten Die Darstellung von Vertikalschnitten basiert auf Linien bzw Polygonz gen Der Simula tor des Programmpaketes def verlangt als geometrisches Modell eine Eingabedatei geo metry in der ein Domain durch mehrere Subdomains beschrieben wird Diese werden durch berandende Polygonz ge Boundaries definiert Jede Boundary im Inneren des Gebietes wird daher zur Beschreibung von genau zwei Subdomains verwendet F r eine konsistente Beschreibung des Modells mu gew hrleistet sein da keine doppelten Punkte und Linien keine sich schneidenden Linien und keine im Gebiet endenden Linien a
45. die von Ort und Zeit anh ngen genommen werden f r die Parameter und Zustandsglei chungen im Gleichungssystem 4 2 und 4 3 Werte bzw Funktionen festgelegt wer den und aus Gleichung 4 2 die Quelldichte s f r die Gesamtmasse und aus Gleichung 4 3 die Quelldichte s f r die Salzmasse berechnet wird Aus dem Definitionsbereich der beiden Funktionen wird eine glattberandete Teilmenge Q x To T als Gebiet f r das Problem gew hlt Die Randbedingungen seien von Dirichlet Typ mit p Plao und c Die am Anfang gew hlten Funktionen p und c sind L sungen dieses ao Problems ber die Eindeutigkeit l t sich leider nichts aussagen _ I Immun PO ae a CE Abb 6 15 Analytisch vorgegebene Druckverteilung Der hydrostatische Druck ist berlagert mit einem Druckgef lle von links nach rechts mit nach unten abnehmender Wirkung 125 Derart gebastelte transiente Testf lle bringen das Problem mit sich da die Quell und Senkenterme das Geschehen dominieren k nnen und somit nur noch die Diskretisierung der Zeitableitungen und nicht die Ortsdiskretisierung getestet wird Bei station ren Benchmarks sind die Quellen und Senken von derselben Ordnung wie der Differential operator des Ortes in den Gleichungen Es wird also die Ortsdiskretisierung getestet Wegen der Nichtlinearit ten der Differentialgleichungen 4 2 und 4 3 l t sich aus der Approximationseigenschaft der Diskretisierung f r einen Testfall nu
46. die hydrogeologischen Parameter nach der Gittergenerierung im Prinzip ele mentweise und schichtweise zugeordnet In def dagegen m ssen zuerst die Untereinhei 179 ten bestimmt und innerhalb des Preprocessing durch ein Oberfl chengitter beschrieben werden Dann sind sie mit jeweils einem Satz von hydrogeologischen Parametern zu be legen Auch Anfangs und Randbedingungen k nnen innerhalb von Subdomains auf be stimmte Weise r umlich ver nderlich sein Da nicht eine zeitliche Entwicklung sondern die Berechnung des station ren Zustandes erw nscht war wurde keine reale Anfangsbedingung f r die Salzkonzentration ben tigt Die Anfangsbedingung wurde als fl chig nach unten zunehmend angesetzt und ber die Vorgabe eines diskreten Konzentrationsfeldes realisiert 9 1 3 Simulation und Ergebnisse Das bei d f verwendete Grobgitter hatte 2 832 Knoten und 12 715 Elemente Die Rech nungen wurden auf einem global einfach verfeinerten Gitter mit 22 490 Knoten durchge f hrt Die Permeabilit t war anisotrop n mlich in vertikaler Richtung reduziert im Ver gleich zu den jeweiligen horizontalen Permeabilitaten Das eindringende Meerwasser hatte eine Dichte von 1 023 2 kg m und besa die Maximalkonzentration c 3 5 wo hingegen die Grundwasserneubildung mit c 0 eine Dichte von 998 2 kg m aufwies Abb 9 5 Station re Konzentrationsverteilung im Vertikalschnitt von Nordwesten nach S dosten nach Modellrechnungen mit
47. diese mit Experimenten belegt werden 70 In diesem Projekt wird im allgemeinen der Dispersionstensor f r isotrope Medien aus Gleichung 4 11 verwendet aber auch der Tensor 4 4 4 12 4 18 ist im Programm der implementiert wobei eine durch die Eulerwinkel gegebene Drehung die z Achse auf die Normalenrichtung der Isotropieebene abbildet Dichteabh ngige effektive Dispersivit 25 ten gem 167 sind im Programm nicht implementiert da die Struktur des Mediums zumindest ab einer bestimmten Gr enskala aufgel st werden soll und damit von dieser Skala an keine makroskopischen effektiven Parameter gebraucht werden 4 4 Anfangs und Randbedingungen Ein gekoppeltes System aus einer elliptischen und einer parabolischen Differentialglei chung ben tigt im allgemeinen zur eindeutigen L sbarkeit eine Anfangsbedingung die zweite Unbekannte ergibt sich dann aus der elliptischen Differentialgleichung und aus dieser Anfangsbedingung und f r jede Gleichung eine Randbedingung f r jeden Rand punkt Diese Randbedingungen k nnen den Wert einer Variablen die sogenannte Dirich let Randbedingung oder den Flu ber den Rand auch in Abh ngigkeit von der L sung auf dem Rand festlegen Die zweite Randbedingung hei t Neumann Randbedingung wenn der Flu unabh ngig von der L sung auf dem Rand angegeben wird und Cauchy Randbedingung wenn eine Linearkombination aus Flu und Randwert gegeben ist Bei den Flu randbedi
48. dritten Phase an gepa t werden konnte wie dies bei Fe flow m glich war F r beide Experimente bietet die am Ausla gemessene Durchbruchskurve eine weitere empfindliche Vergleichsm g lichkeit Zum einen spiegelt sie integral den Vermischungsproze des gesamten Grenz schichtbereichs wider und ist somit auch sensitiv auf numerische Dispersion Zum ande 156 0 12 5 4 Durchbruchskurve gem ss 0 10 4 X X C Messung a Rechnung FEFLOW 0 08 ss A Rechnung d3f X X Rechnung SALTFLOW frig vane C 0 06 004 4 0 02 ap 0 00 wh 0 0 20 0 40 0 60 0 80 0 100 0 120 0 140 0 t min Abb 7 14 Durchbruchskurven am Ausla f r Versuch a Feflow mit 50 978 Knoten d f mit 70 785 Knoten und Salt flow mit 299 975 Knoten ren zeigt sie den zeitlichen Verlauf des Dichtestr mungsverhaltens auf In Abbildung 7 14 ist f r den Versuch a zu erkennen da die Feflow Simulation auf dem mittleren Gitter GF1 den Austrag von Salz im Maximum etwas bersch tzt aber ansonsten sehr gut re produziert F r die Salt low Rechnungen bei denen die Konzentration ber die vier Ausla knoten gewichtet mit der jeweilige Elementfl che und Geschwindigkeit gemittelt wurden ergibt sich da die Konzentration generell deutlich ber der gemessenen liegt Der Zeitpunkt des Maximums in der Durchbruchskurve ist bei beiden Programmen fast identisch zur Messung Bei
49. durch Diskre tisierung der Gleichungen auf den jeweiligen Gitterebenen Eine matrixabh ngige Pro longation Restriktion findet beim algebraischen Mehrgitter zur L sung der Grobgitterma trizen Anwendung 84 Zur Beschleunigung des linearen Mehrgitters wurden mehrere Verfahren untersucht Es wurden Tests mit dem Verfahren der konjugierten Gradienten CG und damit verwandten Verfahren wie dem verallgemeinerten Verfahren der minimalen Residuen GMRES dem bi konjugierten Gradienten Verfahren BiCG und einer stabilisierten Version BiCG Stab durchgef hrt Sie dienen sowohl der Beschleunigung als auch zur Konstruktion alternativer robuster Mehrgitterverfahren Das konjugierte Gradienten Verfahren wurde 1952 von M R Hestenes und E Stiefel 150 entwickelt Es wurde urspr nglich als exakter Gleichungsl ser f r symmetrisch positiv definite Matrizen konzipiert F r praktische Anwendungen ist es aufgrund von Rundungsfehlern als exakter L ser jedoch nicht geeignet Sp ter zeigte sich jedoch da es als iteratives Verfahren ein sehr effizientes Verfahren sein kann Der Nachteil des CG Verfahrens ist da es nur auf symmetrische Matrizen angewandt werden kann Stabilit t des Verfahrens ist sogar nur f r symmetrische positiv definite Matrizen gew hrleistet Es wurden nun verschiedene Anstrengungen unternommen die verschiedenen Nachteile zu beseitigen Das BiCG Verfahren wurde entwickelt 49 94 welches auch auf un sym
50. in L sung gebracht und so eine bestimmte Dichte des Salzwassers erreicht Dies hat zus tzlich den Vorteil da die Viskosit t des Salzwassers im wesentlichen von NaCl bestimmt ist Bei der Interpretation der Signalbilder als Konzentrationsverteilung wird dann davon ausge gangen da die Cu Konzentrationsverteilung mit der Verteilung der NaCl Konzentra tion identisch ist da die zwei Salze in L sung also nicht unterschiedlich mischen oder transportiert werden Diese Annahme ist gerechtfertigt da die untersuchten Ph nomene im wesentlichen eine Ver nderung in Lage und Form der Salz S wasser Grenzschicht beinhalten nicht aber eine ausgesprochene Vermischung von Salzwasser mit S was ser Zudem sind die Diffusionskonstanten von Cu 1 43 10 m s bei 25 C und Na 1 33 10 m s bei 25 C in w rigen L sungen sehr hnlich ebenso die von CI und So Die Kalibrierungsmessung siehe Abbildung 7 1 wurde f r Verd nnungsreihen durchge f hrt die auf L sungen basierten wie sie in zwei der NMR Experimente verwendet wur den Zur Interpolation konnte ein linearer Ansatz verwendet werden wie dies auch schon in anderen F llen beobachtet wurde z B f r Mn 62 oder Ni2 120 Somit ist auch eine einfache bertragung von Signalbildern auf Konzentrationsbilder m glich Weitere Parameter die bei den Messungen f r stabile Schichtung bzw instabile Schichtung be nutzt wurden sind Voxelgr e innerhalb
51. ins Innere der Insel nach Sind langfristig die hydrologischen Bedingungen konstant etwa Grundwasserneubildung Meeresspiegel Durchschnittstemperatur und Gezeiten so ergibt sich auf einer Zeitskala von Jahren ein dynamischer aber station rer Zustand Die kurzzeitigen periodischen Schwankungen er geben in der Regel einen Effekt der als zus tzliche diffusionsartige Vermischung be schrieben werden kann Durch Entnahme von Grundwasser aus Brunnen auf der Insel wird der station re Zustand ver ndert Bei zeitlich konstanter Entnahmerate stellt sich ein neues Gleichgewicht ein in dem die S wasserlinse kleiner als im Ausgangszustand ge worden ist und eventuell ein Salzwasseraufstieg unterhalb der Entnahmebrunnen statt findet Diese gesamte Situation ist hnlich der eines K stengebietes nur k nnen der dreidimensionale Charakter und die Sensibilit t auf Grundwasserentnahmen hier st rker ausgepr gt sein 175 9 1 1 Beschreibung von Weizhou Weizhou ist eine Insel im s dchinesischen Merr Provinz Guangxi Ihre Form ist bis auf eine Einbuchtung im S den etwa kreisf rmig der Durchmesser betr gt rund 6 km mit einer Fl che von etwa 24 km Der Teil des Sockels unter dem Meeresspiegel der mit ins Modellgebiet integriert ist hat einen Durchmesser von 8 bis 9 km Der h chste Punkt der obersten Aquiferschicht der Insel liegt im Modell bei 13 6 m N N der tiefste Punkt der untersten Schicht bei 758 m N N Borna
52. me dial surface subdivision Part solids with convex edges International Journal for Numerical Methods in Engineering 38 3335 3359 1995 Putti M Paniconi C Picard and Newton linearization for the coupled model of saltwater intrusion in aquifers Advances in Water Resources 18 3 159 170 1995 Quateroni A Valli A Numerical approximation of partial differential equations Berlin 1994 Reichert H Wittum G Solving the Navier Stokes Equations on Unstructured Grids Interdisziplinares Zentrum fur Wissenschaftliches Rechnen der Universi tat Heidelberg Preprint 92 13 Heidelberg 1992 Robin M J L Gutjahr A L Sudicky E A Wilson J L Cross Correlated Ran dom Field Generation With the Direct Fourier Transform Method Water Re sources Research 29 7 pp 2383 1993 222 130 131 132 133 134 135 136 Rother T Geometrische Analyse geomorphologischer St tzpunktfelder zur Fi nite Element Analyse von Str mungs und Transportprozessen Diplomarbeit Institut f r Str mungsmechanik und Elektronisches Rechnen im Bauwesen Uni versit t Hannover 1996 Rother T Abschlu bericht der Arbeitsgruppe Zielke zum Projekt Entwicklung eines schnellen Programms zur Modellierung von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte Universit t Hannover Institut f r Str6mungsmechanik und Elektronische Rechnen im Bauwesen 1998 Rumpf M Schmidt A GRAPE G
53. n In diesem Projekt eingesetzte Randbedingungen f r den Druck sind Die Dirichletbedingung f r den Druck p x t px t flrxe T 4 23 Dabei wird der Druck auf dem Rand festgehalten Die Neumann Randbedingung f r den Massenflu 4 21 als Funktion von Ort und Zeit 0p f x t firxe T 4 24 Die Normalkomponente der massengemittelten Darcy Geschwindigkeit wird angegeben 0 P pg x t f rx er 4 25 n wobei g x t vorgegeben wird und p vom Salzmassenbruch auf dem Rand ab h ngt Je nach Randbedingung f r den Salzmassenbruch c kann diese Randbe dingung wie auch die folgende von der unbekannten L sung auf dem Rand ab hangen Die letzte Bedingung f r den Gesamtmassenflu ist die Bedingung keines Volu menverlustes ber den Rand dP n D D n Vp c p c n D D n Ye f r xe T 28 Diese Randbedingung kann benutzt werden um Salzeintrag an R ndern von Mo dellgebieten ohne Volumen nderung zu modellieren was vor allem bei komplett abgeschlossenen Gebieten wichtig sein kann Bemerkungen dazu finden sich im Unterkapitel 6 3 Genauso vielf ltig sind die Randbedingungen f r den Salzmassenbruch bzw den Salzmassenflu 4 22 ber den Rand 5 Auch f r den Salzmassenbruch gibt es eine Dirichletbedingung c x t c x t f rx e I 4 27 die den Salzmassenbruch auf dem Randst ck festh lt Die Neumannbedingung f r den Salzmassenflu 4 22 kennt diese
54. nicht J dem oberen Rand bekannt und h ngt von der jeweiligen berechneten Druckverteilung ab Die hydrogeolo gischen Parameter sind ber das ganze Gebiet konstant Dieser Problemfall war gedacht als Vergleichsm glichkeit zwischen verschiedenen nu merischen Programmen und ist auch als solcher h ufig verwendet worden Allerdings ist die L sung nicht bekannt somit lassen sich die mit verschiedenen Programmen berech neten Ergebnisse nur ber Plausibilit tsbetrachtungen oder im Vergleich untereinander beurteilen So gab und gibt es auch unterschiedliche Vorstellungen ber das generelle Str mungsmuster der L sung insbesondere auch in Zusammenhang mit der Wahl ver schiedener Parameter wie etwa Diffusionskoeffizient und Dispersivit ten und verschie dener numerischer Verfahren 74 112 AYAYAY AYAY NYAYA AYAYAY TAYAVANVAYAYANAN RR DAK PAAR DOK ROA VV VVV VVV DRT AAAS SEU AAAAAAL ROA TAVANA VAYAN ENARA AAYAN AVAVA Se VAVA TAVAS AVAVA ma YAVAVAVAVAVAVAS ANVVVVVV Coes WV VV VV VAL Adaptiv angepaBtes Gitter nach 150 Jahren Abb 6 2 110 Dieses Problem wurde mit der Bezeichnung Saltdome in die Testfallbibliothek aufgenom men Die Ergebnisse zeigen eine L sung siehe Abb 6 3 die etwa derjenigen in 74 I SE SE SE ST SO SO SO SO SOSE SE SE SOTE TE Sn FETTE A AA AAA AAAA s EEEE eee OOD OAL TIT id i ddd dbdddd dd ld ay y FOLIVEEEEEE L
55. numerische Artefakte vermie den Weiterhin werden alle Nichtlinearit ten und Kopplungen der Gleichungen erhalten D h im Normalfall werden keine Vereinfachungen wie Oberbeck Boussinesq Approximation explizite Zeitschrittverfahren oder Picard artige Linearisierungen benutzt Die Ausnahme bildet die Bestimmung der Umschlagpunkte zwischen Einstrom und Ausstromgebieten in der sog inout Randbedingung Diese werden mit einem expliziten Verfahren aus dem vorhergehenden Zeitschritt bestimmt Im anderen Fall k nnten nicht triviale Probleme w hrend der Iterationen des nichtlinearen L sers auftreten die durch das Umschalten zwischen der Dirichlet und der Flu randbedingung entstehen F r ihre Behebung w re eine nderung des Gesamtkonzeptes von UG n tig gewesen Alle Nichtlinearit ten des algebraischen Gleichungssystems werden unter Verwendung analytischer Funktionen f r die Ableitungen der nichtlinearen Koeffizienten Dichte Vis kosit t Scheidegger Dispersion behandelt Die Erfahrungen in 126 bez glich der Konvergenz der nichtlinearen L ser wurde best tigt D h da eine vollst ndige nicht ver einfachte analytische Linearisierung n tig war um die Konvergenz der numerischen L ser f r komplexe Probleme mit gro en Dichtekontrasten und anisotroper von der Ge schwindigkeit abh ngender Dispersion sicherzustellen Es wurden viele Testrechnungen durchgef hrt um durch eine Vereinfachung der analytischen Linearisierung
56. r weitere Forschungsarbeiten und die Implementierung wieder zu nichte gemacht wird Daraufhin wurde beschlossen nur mit der baryzentrischen Finite Volumen Diskretisie rung weiterzuarbeiten Erfahrungen lie en vermuten da die Benutzung einer neuen konsistenten Geschwindigkeitsapproximation siehe Kapitel 5 3 2 2 eine Approximation von vergleichbarer G te wie die von Druck und Konzentration erlaubt und da die Un zul nglichkeiten in der N he von Grenzen mit springenden Koeffizienten durch lokale Git terverfeinerungen aufgehoben werden k nnen Dadurch k nnen die oben geschilderten Nachteile vernachl ssigbar klein gehalten werden ber knotenzentrierte Finite Volumen Diskretisierungen f r Dichtestr omungen gab es keine Literatur In der Vergangenheit wurden Finite Elemente Methoden 166 99 171 126 bevorzugt und nur f r einen Integrale Finite Differenzen Simulator lag 59 eine knappe Beschreibung vor 112 ber die numerische Behandlung von speziellen Randbedingungen wie z B gekoppelte Ausstromrandbedingungen oder implizit gegebe ne Einstrom Ausstromgebiete gab es praktisch keine Literatur Erst k rzlich wurden von Konikow et al 90 einige Konzepte f r Randbedingungen bei Salzstrukturen ver ffent licht Die Diskretisierung des mathematischen Modells f hrt auf ein riesiges nichtlineares al gebraisches System Zum Zwecke der numerischen L sung mu dieses zuerst lineari siert werden In
57. recht unabh ngig von der Permeabilitatsverteilung relativ gerade nach unten Damit scheint die mittel und langfristige Salzverteilung zumindest wenn die Quelle gr er als die Korrelationsl nge ist nahezu unkorreliert mit der Permeabilitatsverteilung zu sein 7A 9 Realit tsnahe Testf lle Typisch f r reale Situationen sind ein ausgesprochen gro es Verh ltnis von horizontaler zu vertikaler Ausdehnung des Gebietes um Gr enordnungen springende Permeabili t ten lange inh rente Zeitskalen oder komplexe dreidimensionale Gebietsgeometrien Im Gegensatz zu den physikalischen Testf llen besteht bei realit tsnahen Testf llen kei ne oder keine vollst ndige Vergleichsm glichkeit der Rechenergebnisse mit Me daten Getestet wird in diesem Fall also die F higkeit des Programms die oben erw hnten cha rakteristischen Eigenschaften einer realen Situation umzusetzen sie rechnerisch zu be w ltigen und Ergebnisse zu liefern die plausibel sind und mit gegebenenfalls vorhande nen Me werten bereinstimmen 9 1 Meeresinsel Weizhou mit Meerwasserintrusion Eine Meeresinsel kann auf nat rlichem Wege nur durch Grundwasserneubildung aus Niederschlag eine Zufuhr von S wasser erhalten Dieses S wasser legt sich in Form einer Linse auf das Salzwasser auf und str mt letztlich nach au en ins Meer wobei es sich mit Salzwasser vermischt F r das durch Dispersion ausgetragene Salzwasser str mt in der Tiefe Salzwasser vom Meer
58. sungen mit dem gleichen Code bei unterschiedlichen Diskretisie rungen Gittern Modellapproximationen und Zeitschrittweiten finden Diese Unterschie de lassen vermuten da das Elder Problem mathematisch instabiles Verhalten zeigt oder die Gitterfeinheit noch deutlich au erhalb des Konvergenzbereiches der Diskretisie rung liegt Um die Stabilit t des Elder Problems zu untersuchen wurde die Anfangsbedingung f r die Konzentration im Inneren des Gebietes durch eine gau glockenf rmige Salzvertei lung um einen inneren Punkt abge ndert und das so perturbierte Problem im Vergleich zu den Originalanfangsbedingungen mit dem Programm d f berechnet Abbildung 6 9 Der Finger oberhalb der St rung w chst beim gest rten Problem deutlich schneller als im Originalproblem und hat nach f nf Jahren simulierter Zeit den linken Finger schon auf gesogen Die Entstehung dieses starken Fingers l t sich am besten verstehen wenn das anf ng liche Geschwindigkeitsfeld Abbildung 6 10 betrachtet wird Die Gravitationskr fte las sen den Salztropfen nach unten sinken und in Form einer Walze zieht er Fl ssigkeit von 119 Zeit ungest rtes Problem gest rtes Problem o 0 1 Jahre 2 0 Jahre 5 0 Jahre Abb 6 9 Zeitentwicklung der Konzentrationsverteilung ohne Volumenflu links ungest rtes Problem rechts geringf gige Ab nderung der Anfangsbedingung 143 ob
59. teilweise betr chtlich Es stellte sich heraus da dieser Testfall mit induzierter Konvektion zu kompliziert war Dieser Test fall wurde in Level 3 nochmals aufgegriffen um den m glichen Einflu von Unsicherhei ten in der Datenbasis zu untersuchen In Level 2 wurde in einem anderen Testfall die freie Konvektion untersucht Dabei machte man sich die Analogie von w rme und konzentra tionsinduzierten Dichtestr mungen zunutze Die physikalischen Eigenschaften des Ex perimentes von Elder 39 bei dem das zweidimensionale System von unten erhitzt wur de wurden in ein quivalentes System bei dem an der Oberkante Salz in L sung geht transformiert Da vom Experiment von Elder nur Abbildungen vorliegen konnten bei die sem Testfall nur qualitative Vergleiche zwischen Rechnungen und Experiment gemacht werden Beim Testfall 13 des INTRAVAL Projektes handelt es sich um Laborexperimente die bei dem Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieuhygiene RIVM in den Niederlanden durchgef hrt wurden In einer quaderf rmigen vertikalen S ule wird Wasser niedriger Salzkonzentration von unten durch Salzwasser h herer Konzentration verdr ngt Durch Variation der Anzahl der Einla ffnungen im Boden der S ule konnten dabei sowohl ein als auch zweidimensionale Dichtestr mungen erzeugt werden An verschiedenen Orten in unterschiedlichen vertikalen Abst nden wurden Durchbruchskurven in Abh ngigkeit von der Zeit gemessen Die Simulationen der
60. the tensor form of dispersion J Geophys Res 66 4 S 1185ff 1961 Bear J Dynamics of Fluids in Porous Media Elsevier New York 1972 Becker J Abschlu bericht der Arbeitsgruppe Kr ner Rumpf zum Projekt Ent wicklung eines schnellen Programms zur Modellierung von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte Universit t Freiburg Institut f r Angewandte Ma thematik 1998 Beddies G Johannsen K Abschlu bericht der Arbeitsgruppe Wittum zum Projekt Entwicklung eines schnellen Programms zur Modellierung von Grund wasserstr mungen mit variabler Dichte Universit t Stuttgart Institut f r Com puteranwendungen 3 1998 Bey J Tetrahedral grid refinement SFB 382 Universit t T bingen Report Nr 18 Juni 1995 Bieterman M Babuska l The finite element method for parabolic equations A posteriori error estimation Numerische Mathematik 40 339 371 1982 Bieterman M Babuska l The finite element methode for parabolic equations Il A posteriori error estimation and adaptive approach Numerische Mathema tik 40 373 406 1982 210 20 21 22 23 24 25 26 27 Birken K Ein Modell zur effizienten Parallelisierung von Algorithmen auf kom plexen dynamischen Datenstrukturen PhD Thesis Universit t Stuttgart in Vor bereitung 1998 Birken K Bastian P Dynamic Distributed Data DDD in a parallel pro gramming environment specifi
61. tter eignen sich f r die hier betrachteten Gleichungen vor allem das Gau Seidel Verfahren das symmetrische Gau Seidel Verfahren oder das ILUs Verfahren eine Variante des ILU Bei Verwendung dieser Verfahren werden die Knoten der verschiedenen Gitter lexikographisch angeordnet Neben der lexikographischen Anordnung der Knoten wurden verschiedene str mungs abh ngige Anordnungsstrategien f r die Unbekannten untersucht Au erdem wurde ein einfacher auf die Anordnungsstrategien abgestimmter Schurkomplement Glatter imple mentiert Die str mungsabh ngige Anordnungsstrategie findet ihre Anwendung bei ex trem konvektionsdominanten Str mungen Dies ist bei den realistischen Problemen der dichtegetriebenen Grundwasserstr mungen nicht der Fall so da auf die Anwendung dieser Strategie verzichtet wird Grobgitterl ser Bei kleinen Grobgittermatrizen findet als Grobgitterl ser eine exakte LU Zerlegung An wendung F r die L sung der gro en Grobgittermatrizen wurden zwei Strategien verfolgt optimaler exakter L ser mit Bandbreitenoptimierung algebraisches Mehrgitter nach Ruge St ben Das algebraische Mehrgitter basiert auf algebraischem Gittertransfer sowie einer Galer kin Approximation der Gleichungssysteme Die Untersuchung an Modellproblemen zeig te da gro e Grobgittermatrizen nur mit dem algebraischen Mehrgitterverfahren effizient l sbar sind Da ein Einsatz als Black Box Verfahren f r die vielschichtigen Problem
62. unterhalb der Entnahme ffnung nach oben gezogen Es vermischt sich mit ausstr mendem S wasser und flie t als leicht salziges Wasser aus Am Ende des 140 Abb 7 4 Durchbruchskurve am Ausla f r Versuch a mit c 1 Experiments befindet sich nur noch ein Teil des Salzes im por sen Medium siehe Abbil dung 7 3 W rde man das Experiment lange genug fortsetzen so w re die Konzentrati on letztlich im gesamten Beh lter null Dieses Auswaschen des Salzwassers zeigt sich auch in den Durchbruchskurven die am Ausla gemessen wurden siehe Abbildung 7 4 Am Anfang erh ht sich die Konzentra tion im ausflie enden Wasser da die Salzwasserschicht unterhalb der Entnahme nach oben gezogen wird Upconing Dann nimmt die Konzentration aber wieder ab da zuneh mend Salz aus dem System entfernt und die Salzwasserschicht immer d nner wird 7 2 2 2 MeBresultate Versuch b In diesem Versuch zeigt sich ein deutlich anderes Verhalten da das Salzwasser jetzt eine wesentlich h here Konzentration c 10 hat Die Str mung des einflie enden S wassers kann nicht mehr bis zum Boden durchgreifen Die Salzwasserschicht wird ledig lich aufgrund des Druckunterschieds leicht gekippt und das von oben kommende S wasser str mt an der Grenzschicht entlang zum Ausla Dabei wird durch Diffusion und Dispersion Salz in die Str mung gemischt und in einer Fahne zum Ausla getragen In dieser Fahne sind die Konzentrationen aber deut
63. verursachten St rungen nachbil den Zum Vergleich mit Rechnungen ist die Konzentration an einem bestimmten Ort ber der Zeit oder die momentane Konzentrationsverteilung im Raum nicht geeignet da die anf ngliche Fingerentstehung nicht deterministisch bestimmt ist Statt dessen m s sen charakteristische Gr en gefunden und bestimmt werden die einen Vergleich der Rechenergebnisse mit dem gemessenen Verhalten erlauben Dieses sind etwa Finger wachstumsgeschwindigkeit oder Fingerbreite bzw Fingeranzahl Ansonsten kann das berechnete Verhalten nur auf einem qualitativen Niveau mit den Messungen verglichen und beurteilt werden 7 3 1 Aufbau und Ablauf des Experiments Der Versuchsbeh lter war ein W rfel mit innerer Kantenlange von 24 cm Es gab keine Zugabe oder Entnahme ffnungen Bis auf den Einbau eines besser durchl ssigen Be reichs in der Mitte des Beh lters quaderf rmig 4 cm Kantenl nge horizontal 16 cm ver tikal entsprach der Aufbau demjenigen des Upconing Experiments Zur Pr paration der anf nglichen Salzwasserschicht war eine d nne Plastikmatte in einer H he von 16 cm ber dem Boden des por sen Mediums eingesetzt Diese wurde zum Start des Experi ments seitlich herausgezogen 151 7 3 2 Messung der Fingering Testfalle Ein erstes Experiment wurde mit einem Durchlassigkeitskontrast von etwa 3 durchge f hrt ein weiteres mit einem Durchl ssigkeitskontrast von etwa 5 wobei die Permeabilitat in der Einlage
64. von der Frequenz und der Autokorrelationsfunktion bestimmt werden und die r cktransformierte Verteilung ist eine Realisation der gew nschten Statistik Sei H x ein normalverteiltes Zufallsfeld mit Mittelwert 0 und Varianz 1 und bezeichne H k aan k n H x dx 5 50 die Fouriertransformierte Die Fouriertransformation l t sich invertieren durch f EUR H x Ak dk 5 51 n 95 Mit dem Skalarprodukt H G H x G x dx 5 52 n R gilt die Identit t von Plancherel G H G 5 53 Weiterhin bezeichne C x Hx H x H t H t x dt 5 54 n R die Faltung von H mit sich selbst Unter den obigen Annahmen an 7 ist C die Autokorre lationsfunktion von A Es gilt C k A k H k 5 55 Dieses bedeutet da das zweite Moment der Fourierkomponenten des Zufallsfeldes die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion ist Wegen der Umformung H x dx H x 1 dx 0 gilt gemaB der Identitat von Plancherel 5 53 die Gleichung A 0 A 6 0 d h H hat an der Stelle k 0 eine Nullstelle Die Gleichung 5 55 l t sich umgekehrt nutzen um ein Feld mit der Autokorrelationsfunktion C x zu generieren Sei jetzt G k eine Realisation eines Zufallsprozesses bei dem die Autokorrelation verschwindet und sei der Erwartungswert von G f r jede Frequenz Null 96 EIG k E G 6 0 5 56 und der Erwartungswert des Quadrates von G die transfo
65. wurde als Fluidflu auf einer Fl che von 36 mm vorgegeben Die Konzentration war hier auf c 1 festgelegt An den vier Ausla ffnungen im Deckel mit einer Fl che von je 4 mm war ein festes einheitliches Druckniveau vorgegeben und die Konzentrationsrandbedingung war entsprechend dem 146 Austritt von Fluid jeweils eine Ausstromrandbedingung Zu Anfang war die Konzentration im gesamten Gebiet c 0 Die Dichte wurde als linear von der Salzkonzentration abh n gig spezifiziert die Viskosit tsabh ngigkeit in einer Form die die experimentellen Werte gut beschreibt siehe Unterkapitel 4 5 2 Viskosit tsfunktion real Die Rechnungen zur dritten Phase wurden mit nichtadaptivem Gitter durchgef hrt Das verwendete Gitter hat te 70 785 Knoten und ging aus einem Grobgitter mit 12 Knoten durch globale f nffache Verfeinerung hervor Das Diskretisierungsschema war ein Galerkin Verfahren no modi fications Als Anfangsbedingung wurde jeweils eine Unterschichtung von Salzwasser unter S wasser mit horizontaler Grenzschicht ohne Vermischungsbreite vorgegeben Die Menge an Salzwasser im Beh lter betrug dabei 867 5 ml bei Versuch a bzw 901 7 ml bei Versuch b entsprechend der Zugabe in der ersten Phase der jeweiligen Versuche Zugabe und Entnahme waren als punktf rmige Quelle bzw Senke mit dem entsprechen dem Volumenflu vorgegeben Die Dichteabhangigkeit von der Salzkonzentration wurde als ideal spezifiziert siehe Unterkapitel 4
66. zeitabh ngigen Gleichungen werden mit einem voll impliziten Zeitintegrationsverfahren gel st Dabei wurde neben der entwickelten Zeitschrittweitenkontrolle eine konvergenzabh ngige Strategie zur Steue rung der Zeitschrittweiten entwickelt Die nichtlinearen Gleichungen werden mit Hilfe ei nes optimierten Newton Verfahrens voll gekoppelt gel st Das dabei entstehende lineare Gleichungssystem wird mit Hilfe des BiCGStab Verfahrens mit einem linearen Mehrgit terverfahren als Vorkonditionierer gel st Zur L sung der Grobgittermatrizen finden zwei Strategien Anwendung und zwar ein exakter L ser mit Bandbreitenoptimierung und ein algebraisches Mehrgitterverfahren F r den Fall konvektionsdominanter Str mungen wurde das Aligned Finite Volumen Ver fahren entwickelt Hierbei handelt es sich um ein modifiziertes Finite Volumen Verfahren bei dem die Kontrollvolumina der Elemente optimal an der Konvektion ausgerichtet wer den Es wurde f r Dreiecks und Tetraederelemente implementiert Die Parallelisierung von d f basiert auf einem nachrichtengekoppelten Modell F r den Nachrichtenaustausch zwischen den Prozessoren wurde die maschinenunabh ngige Schnittstelle PPIF parallel processing interface implementiert Diese setzt auf einem SPMD Programmiermodell single program over multiple data stream auf das sich be sonders gut f r numerische Anwendungen eignet Die parallele dynamische Verwaltung der Datenstruktur wurde den Erfordernissen a
67. 0 m im Vergleich zur vertikalen Ausdehnung des Aquifers von etwa 80 m relativ gro was eine starke dispersive Vermischung in der Vertikalen verursachen kann Die den Aquifer bildende Sandsteinschicht ist relativ stark nach S den und etwas nach Osten gekippt siehe Abbildung 9 10 rechts Der Salzwassereinstrom erfolgt im s dli chen Bereich und daher an einer tiefliegenden Stelle des Aquifers F r diesen Salzeintrag wurde angenommen da er seitlich im unteren Bereich des Aquifers erfolgt da Bohr lochmessungen darauf hinweisen da die Salzkonzentrationen im unteren Aquiferbe reich wesentlich gr er als im oberen Bereich sind Die Konzentration des einstr men den Salzwassers wurde entsprechend dieser Messungen zu Cmax 1 3 gew hlt Die Dichte ergibt sich dann f r eine reine NaCl L sung zu p 1 0075 g cm Die Zustrom rate an Salzwasser ist nicht bekannt und wurde im Modell in der Weise angepa t da die sich in station ren Rechnungen einstellende Salzkonzentrationsverteilung mit der ge messenen Verteilung abgeglichen wurde Dabei ergab sich auf einer Fl che von 2 35 10 m ein Wert von 5 93 10 m a Das sonst einstromende Wasser hat Kon zentrationen zwischen c 0 04 und c 0 07 Der relative Dichteunterschied zwi schen diesen Werten betr gt etwa 0 0087 g om was etwa den Verh ltnissen von Ver such a des Saltpools entspricht siehe Unterkapitel 7 2 186 Abb 9 10 Ansicht der Aquifersohle
68. 2 2 048 Level 2 128 X 64 8 192 Level 3 256 X 128 32 768 Level 4 512 X 256 131 072 Das Henry Problem wurde ausgehend von einer Konzentrationsanfangsbedingung c 0 im Aquifer und bis zum Erreichen der station ren L sung berechnet Da dabei eine zeit liche Entwicklung des Konzentrationsfeldes durchlaufen wird die sich auf das numeri sche Verhalten auswirken k nnte wurde die Rechenzeit zu drei verschiedenen Modell zeitpunkten 20 Minuten 100 Minuten und 200 Minuten verglichen Tabelle 10 3 Anwachsen des Rechenaufwandes mit der Gittergr e Vergleichszeitpunkt Saltflow def opt At 10 min 100 min 200 min Durchschnitt Da die Konvergenzkriterien in beiden Programmen sehr unterschiedlich sind konnten sie nicht identisch gew hlt werden Sie wurden aber so weit wie m glich aufeinander abge stimmt Die Zeitschrittweiten wurden bei den Rechnungen mit Salt flow m glichst gro 194 gesetzt Bei den Rechnungen mit df wurden die Zeitschrittweiten zun chst gleich zu de nen in Salt flow gew hlt In einer zweiten Rechnung wurden gr ere Zeitschritte ver wendet was aufgrund der L serkonvergenz zul ssig war Die Ergebnisse zur station ren Konzentrationsverteilung entsprachen bei beiden Programmen denjenigen aus Unterka pitel 6 2 Die Ergebnisse des Vergleichs siehe Abbildung 10 1 zeigten da f r Gitter mit einigen tausend Knoten d f deutlich langsamer ist als das konve
69. 4 2 eP cL 43 eine Gleichung ohne Zeitableitungsterm die in Kombination mit einer beliebigen der beiden Ausgangsglei chungen 4 2 oder 4 3 und den gleichen Anfangs und Randbedingungen wieder den gleichen L sungsraum beschreibt Diese zus tzliche Gleichung y a D oP 2 deal 5YE D De s 48 20 l t sich als Volumenerhaltungsgleichung interpretieren Die Geschwindigkeit des Mas senaustausches g wird hierbei durch eine Geschwindigkeit des Volumentransportes be Vp 4 v 4 D Da 4 9 im weiteren kurz Volumengeschwindigkeit genannt ersetzt Die Quell und Senkenter me setzen sich aus einer Volumenanderung des Fluides bei Gemischbildung durch dif fusive dispersive Prozesse und einem Volumenzugabeterm S Se 1 m 4 10 y te p 5 l als Linearkombination der beiden Massenquellen s und s zusammen Die Gleichung 4 10 ist als Differentialgleichung f r den Druck p interpretiert im allgemeinen von ellip tischem Typ die zweiten Ableitungen von p nach den Ortsvariablen kommen aber sowohl aus der Abh ngigkeit der Geschwindigkeit g von Vp als auch aus der Abh ngigkeit des Dispersionskoeffizienten D von Vp Durch den Anteil an zweiten Ableitungen aus dem Dispersionskoeffizienten kann die Gleichung aber je nach gew hltem Dispersionsan satz lokal entarten Im weiteren wird vom allgemeinen Falle der elliptischen Differenti algleichung in p ausgegangen Die weitere Differentialgleichung
70. 48 Finite Elemente Methode 59 G GauB Seidel Verfahren 84 Geschwindigkeit 62 69 Gittergenerator 2244uum4 4er 52 Beinen 55 NETGEN sa 55 Galerien 86 GRAPE ine 104 Gravitation eanseneenneneeeeeennnnenenen 38 229 H Heterogenit t 37 163 Hexaeder nnneseiee dessa 52 hydrogeologische Einheit 47 Ingestionsdosis 44r4snnn nn 7 Insel Weizhou ue 244s44 175 K Kernspintomographie NMR 134 Kompressibilitat 20 Konzentration eccceeeeeeeeeee ee ee 60 229 241 Masse pro Volumen 18 Massenbruch se 18 L Layered Saltdome 164 Linearisierung NEWionsen eek 60 PiC lrderssennn ses 60 Liniensuchverfahren 83 L ser elfizienlen undse ee 80 Grabgitter n nsae ee 86 linearen ee 84 nichtlingarer seeen 83 L sungsalgorithmen 80 M Magnetic Resonance Imaging MRI 134 Materialeigenschaften 32 Meerwasserintrusion 166 175 Mehrgitterverfahren 84 Min Max Prinzip 44 gt 62 65 Modell dreidimensionales 47 hydrogeologisches 40 zweidimensionales 46 M
71. 5 1 die Viskosit t als real wie in den Rech nungen zur ersten Phase 7 2 3 2 Ergebnisse Im Vergleich mit einer entsprechenden Messung zeigt sich da die Vermischungszone am Ende der ersten Phase zwar noch breiter als die beobachtete ist f r die geringe Kno tenzahl aber zufriedenstellend wiedergegeben wird siehe Abbildung 7 8 Auch scheint das Salzwasser bei der Rechnung nicht so weit nach au en vorgedrungen zu sein was aber teilweise auch durch die Differenz der Vergleichszeitpunkte begr ndet sein kann Die stufigen Spr nge an der Flanke der Konzentrationsverteilung der Messung spiegeln die jeweiligen Voxelh hen wider Diese vertikale Ortsaufl sung der Messung ist auf den Halbbildern der ersten Phase mit jeweils 4 mm merklich gr ber als in der zweiten und dritten Phase mit 2 5 mm da in letzteren Versuchsphasen blicherweise Vollbilder auf genommen wurden Die Simulation der dritten Phase des Versuchs a liefert Resultate bei denen die Vermischungszone schmal ist aber das Upconing unter dem Brunnen st r ker ausgepr gt ist als in den Messungen und die Grenzschicht zwischen Salzwasser und S wasser schneller zum Ausla hin wandert als beobachtet siehe Abbildung 7 9 147 bb 7 8 Vergleich zwischen berechneter und gemessener Konzentration im vertikalen Querschnitt nach 10 3 min bzw nach 10 9 min der ersten Phase links Simulation rechts Messung in der unteren H lfte des Beh lters Die Konzentration
72. 5 3 2 3 2 Upwind Methoden Upwind Verfahren haben einige Vorteile bei der numerischen Behandlung des Konvekti onsanteils der Transportgleichung Sie sind sehr gut untersucht und verstanden und aus f hrlich in der Literatur beschrieben Sie zerst ren nicht die lokale Massenerhaltung der Finite Volumen Diskretisierung und sie werden von der UG Software Bibliothek 12 massiv unterst tzt Sowohl die verf gbare Literatur als auch theoretische und numerische Untersuchungen zeigen da es sich bei typischen realit tsnahen Anwendungen um konvektionsdominier te Probleme handelt Deshalb wird f r hinreichend feine Gitteraufl sung lokales nicht physikalisches Verhalten der L sung im allgemeinen nur an Stellen beobachtet an denen die Geschwindigkeiten ihre gr ten Werte erreichen Vergleiche Abbildung 5 10 f r das Elder Problem wo signifikante negative Oszillationen in der N he des Randes mit den vorgegebenen gro en Dichte gradienten auftreten Abb 5 10 Gitter und numerische L sung f r no upwind 66 Das einfachste Upwind Verfahren das sogenannte full upwind ist einfach zu implemen tieren und liefert Diskretisierungsmatrizen mit guten Eigenschaften bez glich der Kon vergenz der numerischen L ser M Matrix Eigenschaft Der Preis hierf r sind die gro en Modifikationen der Standarddiskretisierung die durch das Hinzuf gen einer k nstlichen Diffusion entsteh
73. 98 11 Zusammenfassung und Ausblick In den vergangenen Jahren konnte in Modellierungen der Einflu der Versalzung auf Grundwasserstr mungen nicht ber cksichtigt werden Die Gr nde hierf r sind einerseits numerische Probleme bei Rechnungen mit vorhandenen Programmen und andererseits beschr nkte Rechnerkapazit ten bei gro en Modellgebieten mit komplexer geologischer Struktur Lediglich in zweidimensionalen Modellen konnten Dichtestr mungen behandelt werden So wurden bis zum heutigen Zeitpunkt alle genehmigungsrelevanten Str mungsmodellierungen f r S wasser durchgef hrt die allenfalls durch zweidimensiona le Salzwassermodelle erg nzt wurden Da von einer Weiterentwicklung bereits vorhandener Programme generell keine ausrei chende Beschleunigung der Rechenleistung wie sie f r gro e und komplexe Modellge biete notwendig ist erwartet werden konnten sollte ein neues Rechenprogramm entwi kkelt werden Die ben tigte Beschleunigung konnte nur unter Nutzung moderner nume rischer Verfahren die die heute gegebenen Hardwarem glichkeiten voll aussch pfen erreicht werden 11 1 Der Entwicklungsstand von d r Das Projekt wurde von mehreren unabh ngigen Arbeitsgruppen an verschiedenen Standorten bearbeitet die die einzelnen Teile des Programmpakets in Eigenverantwor tung entwickelten Zur erfolgreichen Durchf hrung des Projektes war eine enge Koope ration zwischen den Arbeitsgruppen notwendig Die Projektkoordination umf
74. An Experimental Investigation of Variable Density Flow and Mixing in Homogeneous and Heterogenous Media Water Re sources Research 26 10 S 2317ff 1990 Schmelzer l Anisotropic grid generation with intersection based geometry in terface Technical report Institute for Mathematic and its Application IMA 1993 Schneiders R B nten R Automatic generation of hexahedral finite element meshes Computer Aided Geometric Design 12 693 707 1995 Sch berl J An automatic mesh generator using geometric rules on two and three space dimensions Technical report 95 3 Department of Mathematics Jo hannes Kepler University A 4040 Linz Austria 1995 Sch berl J NETGEN An advancing front 2D 3D mesh generator based on abstract rules Computing and Visualization in Science 1 41 52 1997 Schwarz C Dichteabh ngige Str mungen in homogenen und heterogenen po r sen Medien Dissertation ETH Z rich in Vorbereitung 1998 Segol G Classic Groundwater Simulations PTR Prentice Hall New Jersey 1994 Sicherheitskriterien f r die Endlagerung radioaktiver Abf lle in einem Bergwerk Bundesanzeiger 35 2 1983 224 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 Siegfried T Kinzelbach W Modelling of groundwater withdrawal and its con sequences to the aquifer A case study in semi arid Botswana Projektbericht des Instituts f r Hydromechanik un
75. Das Aligned Finite Volumen Verfahren ist eine Modifikation der Finiten Volumen Es wur den speziell zur Diskretisierung konvektionsbehafteter Probleme entwickelt Es erm g licht die Konstruktion eines robusten Gl tters f r die Konvektions Diffusions Gleichung und die diskretisierten Gleichungen der Grundwasserstr mung In einem triangulierten Gitter wird jedes Dreieck in drei abgeschlossene Teilmengen die Teilkontrollvolumina zerlegt Die Idee war es die R nder der Teilkontrollvolumina die in nerhalb eines Dreiecks liegen m glichst optimal an der Konvektion auszurichten Die Idee zu diesem Verfahren wurde gleichzeitig von Bastian 11 und von Angermann 4 entwickelt und von Johannsen 79 80 auf den dreidimensionalen Fall erweitert Jedem Dreieck wird dabei eine Geschwindigkeit zugeordnet Im Falle der Konvektions Diffusions Gleichung w re dieses z B die Konvektionsgeschwindigkeit im Schwerpunkt des Dreiecks Im Falle einer Grundwasserstr mung w re dies z B die Darcy Geschwin digkeit Je nach Lage des Dreiecks relativ zur Richtung der Geschwindigkeit m ssen in der Konstruktion drei F lle unterschieden werden Das auf diese Weise konstruierte Git ter bezeichnet man als ausgerichtetes Gitter Auf folgende Eigenschaften der ausgerich teten Finite Volumen sei besonders hingewiesen Reduktion der numerischen Querdiffusion bessere Matrixeigenschaften durch reduzierten Matrix Stern Aufgrund dieser Eigenschaft
76. Das Programm wurde auf allen Ebenen modular organisiert Die Wartung alter sowie die Integration neuer Module ist so in einfacher Weise m glich Die Modularisierung erlaubte zudem eine transparente Parallelisierung des Programms Es wurde ein Verfeinerungs algorithmus implementiert der Verfeinerung und Vergr berung erlaubt und bez glich des Einbaus verschiedener Verfeinerungsregeln f r unterschiedliche Elementtypen flexibel ist Die modulare Struktur war die Grundvoraussetzung f r eine effektive Zusammenar beit zwischen den Teilprojekten Programmteile die au erhalb entwickelt wurden konn ten so effizient in die bestehende Struktur eingebunden werden Vorgehensweise Zun chst wurde ein einfaches zweidimensionales Dichtestr6mungsmodell implemen tiert um die grundlegenden Verfahrenskomponenten zu untersuchen Die Implementie rung umfa te verschiedene Diskretisierungsverfahren auf der Basis knotenzentrierter li nearer Ansatzfunktionen Als L sungsverfahren wurde ein einfacher Newton L ser mit einem linearen Mehrgitter L ser implementiert Zur Verifizierung wurden zun chst fol gende Probleme gerechnet eigene Testprobleme das Elder Problem und das Benard Problem 81 Die Funktionalit t des Modells wurde sukzessive erweitert strukturierte Gitter gt unstrukturierte Gitter global verfeinern lokal adaptive Verfeinerung Vergr berung unter Verwendung des Fehlersch tzers siehe Abschnitt 5 3 3 einfache Modell
77. Datenformat ist speicherplatzspa rend und erm glicht eine maschinenunabh ngige bergabe der Daten 39 5 2 Der Pr prozessor Der Pr prozessor ist ein interaktives Werkzeug mit dem alle Modelldaten die f r eine Simulation ben tigt werden erzeugt oder editiert werden k nnen Seine Inhalte und Auf gaben zur Erstellung eines hydrogeologischen Modells HGM 85 wurden in einem An forderungskatalog 48 festgelegt Schwerpunkte waren der Aufbau und die Bearbeitung eines geometrischen Modells als Eingangsgr e f r den Grobgittergenerator des Simu lators und die Erstellung einer interaktiven Benutzeroberfl che zur Erstellung und Bear beitung eines solchen Geometriemodells und zur Eingabe und Bearbeitung aller weiteren Eingabedaten hydrogeologische Parameter Anfangs und Randbedingungen sowie Quellen und Senken Folgende Arbeiten wurden durchgef hrt Entwicklung von Datenstrukturen f r die geometrische Modellierung Entwicklung eines Konverters zum Einlesen von Tiefenlinien bzw Querschnittspl nen im dxf Format 5 Analyse der Vertikalschnitte basierend auf Polylinien Analyse der Tiefenlinienpl ne mittels der Quadtree Technik Entwicklung einer Methode zur Vektorisierung zur Randerkennung von Tiefenlini enpl nen 5 Erweiterung des Algorithmus zur Triangulation hinsichtlich der Erhaltung von Struk turlinien im Gebietsinneren constrained Delaunay Entwicklung von Werkzeugen zum Auffinden und Korrigi
78. EME ELL YS FSM LEONE Y N N N N N N N N N N N x N N N N M ur tan tn Ta Tun Te AE a ee TE ST TINTE N Im mern nn nn m ern a m nenn ST en g E Abb 6 3 Konzentrations und Geschwindigkeitsfeld 150 Jahre nach Beginn mit S wasser innerhalb des Gebietes entspricht Es treten mehrere Walzen ber dem Salzstock und neben dem Salzstock auf Die Walze auf der stromaufw rts gerichteten Seite h ngt in ihrer Ausdehnung sensitiv von der verwendeten Gitterfeinheit in diesem Bereich ab siehe Abbildung 6 2 6 2 Das Henry Problem Dieses Problem stellt den abstrahierten Fall einer Meerwasserintrusion in einen K sten aquifer in einem zweidimensionalen Schnitt senkrecht zur K stenlinie dar Es wurde von Henry erstellt 72 73 und ist mittels dimensionsloser Parameter definiert Dabei ge lang Henry in Form einer Reihenentwicklung die Angabe einer L sung f r die station re Salzkonzentrationsverteilung dieses Problems Diese L sung ist eine sogenannte semi analytische L sung siehe auch Unterkapitel 6 4 die Henry auch n herungsweise aus werten konnte Das Modellgebiet ist zweidimensional und hat eine Rechtecksgeometrie zwei L ngeneinheiten in der Horizontalen und eine L ngeneinheit in der Vertikalen Die hydrogeologischen Parameter sind im Gebiet homogen verteilt Auf dem oberen und un Aaa 2m gt Abb 6 4 Definition des Henry Problems teren Rand sind Neumann Ra
79. In these situations the groundwater flow and hence a potential radionuclide transport is strongly effected by variations of density and viscosity due to the presence of dissolved salt Since the prediction of the radionuclide transport in the geosphere over thousands or even million of years is part of long term safety assessments it is important to study groundwater flow modelling at high salinity For that flow models have to take into consideration the various effects of salinity That means they have to deal with strongly nonlinear coupled three dimensional partial differ ential equations Additionally for realistic modelling of the hydrogeology of those sites heterogeneities and anisotropies have to be taken into account eg permeability contrasts of several orders of magnitude and thin confining layers may occur Besides the complex hydrogeological structure of the systems the models may cover areas up to 10 000 km and extend up to 2 km in depth Supplementary the assessment of the long term safety of disposal sites requires extremely long time periods to be modelled With the soft and hardware previously available it was not possible to model the systems above described taking into account the effects of salinity In general three dimensional model calculations could only be performed with the simplifying assumption of constant water density Variable density could be accounted for in two dimensional models only In order to remedy t
80. M Format er kannt und die einzelnen Subdomains identifiziert Weiterhin dient diese Methode der Kor rektur topologischer und geometrischer Inkonsistenzen wie z B im Gebiet endende Polygonz ge oder sich schneidende Linien Desweiteren wurde eine Clipping Routine zur Definition eines beliebigen Ausschnitts des Untersuchungsgebietes implementiert RI esd L__ _ 55 Ei Ar D man a ate Wie My 4 ll HAN niit Hy Mn N a N N he UN Un NG IN SS A VANS ANNE O A RONN on nesta ei M Nr iN PARNE Abb 5 4 Triangulierter Ausschnitt Basierend auf den HGM Strukturen ist eine weitere Datenausd nnung m glich Einer seits kann wiederum der Douglas Peucker Algorithmus f r einzelne Polygonz ge ange wendet werden anderseits ist auch L schen Vereinigen und Bearbeiten von Polygonz gen m glich Eine Vereinfachung erh lt man auch durch die Vergabe gleicher Eigen schaften an benachbarte Gebiete Dabei ist allerdings zu beachten da innerhalb eines Gebietes auftretende Strukturlinien vom Grobgittergenerator des Simulators als Struktur linien erkannt und entsprechend generiert werden 46 5 2 4 Dreidimensionale Modelle Die Triangulierung eines Tiefenlinienplanes f hrt zu einer diskretisierten Basisfl che ei ner hydrogeologischen Einheit allerdings ohne korrekte Tiefe der R nder Die Randh hensch tzung kann bereits w hrend der Analyse mit dem Qua
81. Problem indem er in einem ersten Schritt das hy drostatische Druckfeld zur Anfangskonzentrationsverteilung als Startwertverteilung f r den Druck berechnet 4 4 2 Randbedingungen Die notwendigen Randbedingungen f r das Problem 4 2 und 4 3 werden nicht auf dem ganzen Gebietsrand T dQ angegeben sondern st ckweise f r einzelne Randst k ke Daf r wird der Rand in eine endliche Zahl von offenen Randst cken T i 1 zer legt d h NT f ri j 4 19 Ur r 4 20 F r jedes Randst ck T wird ein Satz von zwei Randbedingungen ben tigt eine f r den Druck in der Gesamtmassenerhaltungsgleichung und eine f r die Konzentration bzw die Salzmassenerhaltung Die Darstellung der Randbedingungen folgt im weiteren den Be schreibungen in 52 und 36 Als erstes werden die Randbedingungen f r den Druck oder wenn Fl sse vorgegeben werden f r die Gesamtmassenerhaltung 4 2 bespro chen danach die Randbedingungen f r die Konzentration bzw die Salzmassenerhal tungsgleichung 4 3 Schlie lich folgt noch eine Aufz hlung von Kombinationen von Randbedingungen mit besonderer physikalischer Bedeutung d h im letzten Teil dieses Unterkapitels werden schon vorher besprochene Randbedingungen in Zusammenhang mit physikalischen Situationen gebracht F r die Flu randbedingungen werden zur Ver einfachung die folgenden Bezeichnungen verwendet pn q 4 21 n 27 oc pn gc D D m Yc 4 22
82. RAphics Programming Environment Report 8 SFB 256 Bonn 1990 Rumpf M Wierse A GRAPE Eine objektorientierte Visualisierungs und Nu merikplattform Informatik Forschung und Entwicklung 7 145 151 1992 Rumpf M Schmidt A Siebert K G Functions defining arbitrary meshes a flexible interface between numerical data and visualization routines Report 14 SFB 256 Bonn 1994 Schelkes K Knoop R M Beushausen N Gei ler N 1990 INTRAVAL II Test Case Saline Groundwater Movement in an Erosional Channel Crossing a Salt Dome Part 1 Bericht Nr 13 106 90 Bundesanstalt f r Geowissenschaf ten und Rohstoffe Hannover 1990 Schelkes K Vogel P Klinge H Knoop R M Modelling of Variable Density Groundwater Flow with Respect to Planned Radioactive Waste Disposal in West Germany Validation Activities and First Results In Proc of NEA SKI Symp Validation of Geosphere Flow and Transport Models GEOVAL Stockholm 14 17 5 1990 Paris France OECD 328 335 1990 223 137 138 139 140 141 142 143 144 145 Schelkes K Grundwassermodelle mit variabler Wasserdichte Validierung von Laborexperimenten und Modellrechnungen zur Tiefenwasserbewegung in Norddeutschland Abschlu bericht des BMFT Vorhabens mit dem F rderkenn zeichen KWA 58020 Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe Hannover 1991 Schincariol R A Schwartz F W
83. Rechnungen mit zunehmender Gitterverfeinerung 194 Anwachsen des Rechenaufwandes mit der Gittergr e 194 Projektveranstaltungen esse ee 231 240 Stichwortverzeichnis A Advancing Fl nt reset 54 algebraisches Mehrgitter 86 Aligned Finite Volumen 88 Anfangsbedingungen 26 78 AUSSION ASS een 31 Autokorrelation ccccceeeseeeees 38 B Benchmarking 124 BiCGStab Verfahren 85 Build TOPOlOGY nn 46 C CIIPDING krna e aa 46 D Darcy GeSetZ ceeeeceeeeereeeees 19 68 Datenausd nnung 43 Dichte sans 33 35 229 DiffUSION cccccccceceeeeeseeeeeeeeeees 38 229 Diff sivit t sense 229 Diskretisierung 222 444 44 4 58 DISPETSION Ga seen 19 87 Dispersionstensor r r4r2 22 Douglas amp Peucker Algorithmus 43 DISIEcke A ee 54 Druck zen sense 17 AXZ MS Riinan 42 dxf Format eren enaa kae 41 E Eingabedatei boundary n se 50 geometry 0 eee cette eeee eter eee 43 50 hydrogeology u 50 WAAL perinne 50 SOUICO ai cece cue cage a a 50 EINS OM ats ae 31 Elder Problem Eindeutigkeit 121 Stabilit t seen 119 Entwickler sionanaim 15 Erhaltungsgleichung Gesamtmasse unnnsssnennnnnnnnn 17 DAIZMASSE u nee 17 F Fehlersch tzer 74 77 FINgerING see 1
84. S wasser rot im Salzwas ser 145 7 2 3 Simulation der Saltpool Testf lle mit d f 7 2 3 1 Modellierung Eine erste Rechnung mit d F Version 1 5 bezog sich lediglich auf die erste Phase des Versuchs a In weiteren Rechnungen wurde dann die dritte Phase von Versuch a und Ver such b mit der Version 1 15 von d f simuliert Die entsprechenden Parameter sind in Ta belle 7 1 aufgelistet die Durchfl sse entsprachen den gemessenen Werten Tabelle 7 1 Modellparameter zur Simulation der Experimente a und b Parameter Permeabilitat k 9 8 10 1 m AP Versuch a 0 0071 Po AP Versuch b 0 0726 Po Porositat o 0 372 longitudinale Dispersivitat 1 2 10 m transversale Dispersivitat ar 1 210 m effektive Diffusionskonstante Dm 8 7 10 m s Bei der Rechnung zur ersten Phase wurde die F higkeit von d f benutzt das Gitter ad aptiv anzupassen und so mit geringer Knotenzahl die Vermischungszone relativ fein dis kretisieren zu k nnen Die kleinsten Elemente entsprachen einer f nffachen Verfeinerung des Ausgangsgitters mit 365 Knoten Da bereits das Ausgangsgitter sehr kleine Elemente enthielt um die Zugabe und Entnahme ffnungen wiedergeben zu k nnen variierte die Gitterweite des Ausgangsgitters im Gebiet erheblich Die Gesamtknotenzahl ver nderte sich w hrend der Rechnung infolge der adaptiven Gitteranpassung und betrug am Ende 31 423 Knoten Die zentrale Zugabe in der Bodenmitte
85. Wasser In einer ersten Phase wurde durch die zentrale untere ffnung eine Salzwasserl sung aus einer Mariotteschen Flasche zugegeben Letztere h lt das Druckniveau w hrend der Zugabe konstant Das verdr ngte S wasser flo aus den vier oberen ffnungen aus dem Beh lter Auch hier war das Druckniveau fixiert und bei allen vier ffnungen identisch Dadurch ergab sich insgesamt eine zeitlich etwa konstante Zu flu rate f r das Salzwasser da bei den verwendeten Konzentrationen die Ver nderung des treibenden Druckgef lles im Verlauf der Zugabe gering war Nach etwa 12 Minuten wurde die Zugabe von Salzwasser gestoppt Das por se Medium war dann zu etwa ei nem Drittel mit Salzwasser gef llt In einer zweiten Phase waren alle ffnungen f r etwa eine halbe Stunde geschlossen Das Salzwasser flo aufgrund der Dichteunterschiede von der Mitte weiter nach au en und bildete ber den gesamten Querschnitt eine fast horizontale Grenzschicht mit dem S wasser aus Die beiden ersten Phasen dienten der 139 Herstellung einer stabilen Salzwasser S wasserschichtung mit einer Grenzschicht die nicht zu stark aufgeweitet sein sollte In der anschlie enden dritten Phase wurde dann das zus tzliche Str mungsfeld appliziert Dabei fand in einer der oberen Ecken ein Zu strom von S wasser auf konstantem Druckniveau und in der diagonal gegen berlie genden ffnung im Deckel eine entsprechende Entnahme ebenfalls auf konstantem Drucknive
86. Waters from the Konrad Mine Germany In Proc of the 7th Interna tional Symposium on Water Rock Interaction 1117 1120 Balkema Rotterdam 1992 Knabner P rolkovic P Consistent velocity approximations in finite element and volume discretizations of density driven flow in porous media In Aldama A A etal editor Computational Methods in Water Resources XI 93 100 Computational Mechanics Publications Southampton Boston 1996 Knabner P Tapp C Thiele K Adaptive finite volume discretization of density driven flows in porous media Acta Mathematica Universitatis Comenianae 67 1 1998 Konikow L F Sanford W E Campbell P J Constant concentration boundary condition Lessons from the HYDROCOIN variable density groundwater bench mark problem Water Resources Research 33 10 2253 2261 1997 Kolditz O Str mung Stoff und Warmetransport im Kluftgestein Gebr Born traeger Berlin Stuttgart 1997 Krohn K P Zur Modellierung der Grundwasserstr mung mit variabler Dichte Sensitivit tsstudien auf der Grundlage eines Laborexperiments von Elder Tech nischer Bericht Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe 1994 Lake L W Carrol H B Jr Wesson T C Editoren Reservoir Characterizati on Il Proceedings of the Second International Reservoir Characterization Con ference held in Dallas Texas June 1989 San Diego 1991 218 94 95 96 97 98 99
87. a te dabei vor allem technische und terminliche Absprachen Die wichtigsten Ergebnisse der einzel nen Arbeitsgruppen werden im folgenden zusammengefa t Aufbauend auf den Erfahrungen zur L sung einer skalaren zweidimensionalen Konvek tions Diffusionsgleichung wurde ein robustes Mehrgitterverfahren zur L sung der Glei chungen der dichtegetriebenen Grundwasserstr mung entwickelt Durch die Benutzung der Software Toolbox UG Unstrukturierte Gitter erlaubte die modulare Struktur des Si mulators die Kombination einzelner Untermodule zu komplexen Algorithmen 199 Es wurden Generatoren zur Erzeugung von Gittern aus Tetraedern Prismen und Pyra miden bzw aus Dreiecken entwickelt Hierdurch wird es m glich auch komplexe aniso trope Gitter mit relativ geringer Knotenanzahl zu generieren Die Diskretisierung der bei den nichtlinear gekoppelten Gleichungen wurde mit Hilfe der Methode der finiten Volu men f r unstrukturierte Gitter durchgef hrt Dabei wird die lokale Massenerhaltung durch Einbeziehung aller implementierten Randbedingungen und der Quell und Senkenterme gew hrleistet Zur Steuerung der r umlichen und zeitlichen Adaptivit t wurden Fehlerin dikatoren entwickelt auf deren Grundlage ein effizienter Algorithmus zur Steuerung der Gitter und Zeitschrittweitenl nge aufgebaut wurde Dichtegetriebene Grundwasserstr mungen werden durch zwei nichtlineare gekoppelte zeitabh ngige Differentialgleichungen beschrieben Die
88. ate erkennbar von der gemessenen Isolinie ab Die bessere bereinstimmung der Feflow Resultate ist unter Umst nden 155 NMR Messung q Rechnung mit FEFLOW j Rechnung mit d3f l Rechnung mit SALTFLOW Z m 0 10 Gd see zZ i 0 00 0 04 008 0 12 016 020 0 24 0 28 Diagonalrichtung m Abb 7 13 Vergleich der der berechneten Konzentrationsisolinie c 0 5 in der vertikalen Diagonalebene zwischen Ein und Ausla am Ende der dritten Phase von Versuch a NMR Messung nach 140 2 min Rechnung mit Fef low auf 315 120 Knoten nach 140 2 min Rechnungen mit d f auf 70 785 Knoten nach 140 2 min und Rechnungen mit Salt flow auf 299 975 Knoten nach 139 5 min durch das Zeitdiskretisierungsschema h herer Ordnung begr ndet da die Lage der Iso linie insbesondere im unteren Bereich das zeitliche Verhalten charakterisiert Die Simu lation mit d f ist au erdem mit einem Gitter durchgef hrt worden dessen Struktur nicht speziell an die Str mungssituation angepa t war und das im Vergleich die wenigsten Knoten besa M gliche Gr nde f r die Abweichung der Salt flow Resultate sind zum einen die Verwendung einer N herung die der Boussinesq Naherung entspricht da hier der Speicherkoeffizient null war denn bei der Verdr ngung des Salzwassers treten hier auch Str mungen in Richtung von Konzentrationsgradienten auf zum anderen die Ver wendung einer Gitterstruktur die nicht so gut an die Verh ltnisse in der
89. au statt 7 2 2 Messung der Saltpool Testf lle Das oben beschriebene Experiment wurde mit zwei unterschiedlichen Salzkonzentratio nen der Zugabel sung durchgef hrt n mlich mit c 1 Gew Versuch a und mit c 10 Gew Versuch b Die Werte der sonstigen Parameter wurden identisch gew hlt bzw ergaben sich bei der Versuchsdurchf hrung als etwa gleich bei beiden Versuchen Lediglich war bei Versuch b das Druckniveau der Zugabe in der ersten Phase erh ht in folge der gr eren Dichte der Zugabel sung Deshalb wurde bei etwas k rzerer Zuga bezeit ein etwas gr eres aber vergleichbares Volumen an Salzwasser zugegeben 7 2 2 1 Me resultate Versuch a Das einstr mende S wasser flie t aufgrund der Geometrie der Anordnung zum gro en Teil auf dem k rzesten Weg durch den oberen Bereich des por sen Mediums zum Aus flu Ein Teil flie t jedoch auch durch den unteren Bereich Ohne die Dichteunterschiede im Fluid l ge eine reine Potentialstr mung vor und es g be auch Bahnlinien die vom Einstromrand bis zum Boden entlang der undurchl ssigen Berandung und dann zum Ausla verlaufen w rden Da hier die Salzwasserschicht eine niedrige Konzentration c 1 hat ist die Dichte im Vergleich zum S wasser nur um 1 3 erh ht und die Str mung verh lt sich in gewissem Ma e hnlich zum Fall ohne Dichteunterschiede Das unterschichtete Salzwasser wird langsam durch S wasser vom Einla her verdr ngt und gleichzeitig
90. aufgel st werden k n nen Vielleicht ist diese fehlende Gitterkonvergenz aber auch auf die numerischen Oszil lationen in der Dispersion zur ckzuf hren F r die zweite M glichkeit spr chen auch die in Abbildung 8 3 wellenartig oszillierenden Geschwindigkeiten in der Mitte der unteren hydrogeologischen Einheit Auff llig bei dieser L sung ist da nicht wie in Hydrocoin 165 Tr etl et eh a SSE E a e e e a e r e MA p M aaa ARORA AANA AAA a MMU TAR EAR I PRR s s gt heehee Ad GRAPH AMA A DER BO i ene E i g A a EE E m e y FT aa Ze Zeus teena AN m e ate vawe prn Abb 8 3 L sung des Layered Saltdome Problems nach einer dimensionslosen Zeit 1 90 Im oberen Bild ist die Salzvertei lung als Farbverlauf dargestellt blau bedeutet Frischwasser und rot ent spricht ges ttigter Salzlauge Im unteren Bild ist ein Ausschnitt aus dem Geschwindigkeitsfeld gezeigt Level 1 Case 5 156 J eine globale Walze ber dem Salzstock auftritt Am rechten Ende des Salzstockes ist jedocheine lokale Walze in den Geschwindigkeiten zu sehen Ob ein Gef lle eines Randst ckes zu einem Salzstock immer globale Walzen zugunsten von lo kalen Walzen unterdr ckt l t sich derzeit nicht sagen Der Unterschied zum Hydrocoin Testfall kann neben den Geometrieunterschieden auch in den ver nderten physikali schen Parametern und der Heterogenit t des Mediums liegen 8 2 Heterogenit t bei Meerwasserintrusion In einem w rfe
91. aus Westen Ab 1988 erfolgte eine Grundwasserentnahme in dem in West Ost Richtung liegenden Brunnenfeld die den station ren Zustand in einen instation ren verwandelt Im Modell wurde diese Entnahme durch einen Brunnen im stlichen Teil des Brunnenfeldes und ei nen Brunnen im westlichen Teil ber cksichtigt Die Brunnen sind dabei ber die ganze Aquifertiefe verfiltert weshalb sie im Modell als entsprechende senkrechte Liniensenken realisiert wurden Es wurde ein Szenario analog zur bestehenden Studie 146 verwen det das von einem weiteren Anstieg der Entnahme bis zum Jahr 2000 ausgeht um dann auf dem dortigen Niveau beibehalten zu werden siehe Abbildung 9 11 Sie betr gt 6 5 107 m a im westlichen Brunnenfeld und 9 2 107 m a im stlichen Infolge der relativ gro en Entnahme sinkt der Ausstrom aus dem Gebiet betr chtlich ab Aus den Zustromgebieten mu zudem eine gr ere Wassermenge in den gespannten Aquifer einstr men Eine Entspeicherung infolge Kompressibilit t konnte in d f nicht ber cksich tigt werden ebensowenig eine Entspeicherung im Falle von freien Aquiferbereichen 187 75E 6 50E 6 1 25E 6 00E 6 7 50E 5 Fluss m a 5 00E 5 7 2 50E 5 0 00E 0 a a a a a a a ma ma a m 1980 00 1985 00 1990 00 1995 00 2000 00 2005 00 2010 00 Zeit Jahre Abb 9 11 Grundwasserentnahme im Brunnenfeld gepunktete Linie und Ausstrom aus dem Modellgebiet dur
92. bei achsparallelen Linienquellen nur gibt es in diesem Fall keine Vorauswahl der m glichen Kandidaten Die bergabe der Quellst rke an die Diskretisie rung stimmt wiederum mit den achsparallelen Linienquellen berein 5 3 8 Integrierte Oberfl che Der Simulator wurde auf der Basis des Programmpakets UG entwickelt Dieses stellt als Schnittstelle zur Steuerung des Programmablaufs eine Skript Sprache zur Verf gung Die Anwendung der Skript Sprache erfordert jedoch aufgrund ihrer Komplexit t eine ge wisse Einarbeitung Um eine effiziente Handhabbarkeit des Programms zu gew hrlei sten wurde eine dem Problem angemessene graphische Benutzeroberfl che entwickelt Hierbei wurden verschiedene Programmkomponenten integriert Die Benutzeroberfl che erlaubt auch einem unge bten Anwender sein Modell zu konfi gurieren und Rechnungen zu starten In der Benutzeroberfl che wurden nur die f r die Steuerung des Programmablaufs n tigen Parameter konfigurierbar gemacht Eine Ver wendung der Skript Sprache f r fortgeschrittene Benutzer ist auch weiterhin m glich 5 3 9 Verifizierung Zur Verifizierung des Rechenprogramms wurden neben den klassischen Modellproble men Henry Problem Eindringen von Salzwasser niedriger Konzentration in einen Aquifer Hydrocoin Level 2 Case 2 Elder Problem Problem mit freier Konvektion aufbauend auf einem Laborexperiment 102 Hydrocoin Level 1 Case 5 Salzwassertransport in einem por
93. cation and functionality Forschungs und Ent wicklungsbericht RUS 22 Rechenzentrum der Universit t Stuttgart Germany September 1994 Borisov S Yakirevich A Sorek S Henry s problem improved numerical re sults Nicht ver ffentlicht pers nliche Korrespondenz mit Alexander Yakirewich Water Resources Research Center J Blaustein Institute for Desert Research Ben Gurion University of the Negev Israel 1996 Blacker T D Stephenson M B Paving A new approach to automated quadri literal mesh generation International Journal for Numerical Methods in Enginee ring 32 811 847 1991 Blacker T D Meyers R J Seams and wedges in plastering A 3 d hexahedral mesh generation algorithm Engineering with Computers 9 83 93 1993 Brakhagen F Sch ller A Zur Bedeutung von Parallelrechnerarchitekturen und effizienten Algorithmen bei der numerischen Simulation von Transportvor gangen in por sen Medien Gesellschaft fur Mathematik und Datenverarbeitung mbH GSF Seminar am 4 Juni 1991 in Braunschweig Braess D Finite Elemente Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1992 Brewitz W Busch W Key Issues of the German R amp D Programme on Long Term Safety Aspects for Radioactive Waste Repositories in Salt Formations Proceedings of the Third International Conference On Nuclear Fuel Reproces sing and Waste Management RECOD 91 Held in Sendai Japan April 14 18 1991 solls 28
94. ch Testrechnungen wahrend der Entwicklungszeit des Programmpakets besta tigt Ziel der analytischen Linearisierung war es alle Nichtlinearitaten zu ber cksichtigen und in ihrer urspr nglichen Form zu betrachten Die Dispersion wurde demnach aus den aktuell bekannten Geschwindigkeiten entwickelt und die Abh ngigkeit wurde in die ana lytische Linearisierung einbezogen implizite Behandlung Tests zeigten da solche Rechnungen m glich sind Da jedoch das dynamische Verhalten der Geschwindigkeit w hrend einer Simulation sehr komplex ist ben tigt das voll implizite Verfahren im allge meinen reduzierte Zeitschritte Um diesen Nachteil zu beheben wurde eine weitere Stra tegie implementiert Dabei wird die Dispersion explizit betrachtet d h die Geschwindig keit wird aus den Werten der Unbekannten des alten Zeitschritts bestimmt Diese Stra tegie besitzt neben hinreichender Stabilit t auch bei gro en Zeitschritten ein wesentlich verbessertes Konvergenzverhalten Wie alle explizite Verfahren hat auch diese Strategie Nachteile Bei zeitlich starken Schwankungen der Geschwindigkeiten wird zur L sung der Gleichungen eine nicht korrespondierende Dispersion verwendet Zu gro e Zeit 87 schritte f hren zu lokalen Instabilit ten Dies tritt nicht mehr auf wenn ad quate Zeit schritte benutzt werden wie sie vom Fehlersch tzer vorgeschlagen werden Dieser wur de auf diese Problematik hin abgestimmt 5 3 4 3 Aligned Finite Volumen
95. chgezogene Linie 9 2 3 Simulation und Ergebnisse Es wurden sowohl eine Rechnung unter Ber cksichtigung der Effekte durch die auftre tenden Dichteunterschiede als auch eine Rechnung unter Vernachlassigung dieser Ef fekte durchgef hrt Daraus l t sich dann auch ersehen ob sich die Dichtestr mung in dem behandelten Fall auf die Entnahme auswirkt und ob generell ein dichteabh ngiges Modell zu verwenden ist Zun chst wurde jeweils ein station rer Zustand berechnet Dazu wurde von einer verschwindenden Konzentration im gesamten Gebiet ausgegan gen und die zeitliche Entwicklung unter den vorliegenden Randbedingungen berechnet bis sich die Salzkonzentrationsverteilung nicht mehr ver nderte Dieses war nach einigen tausend Jahren simulierter Zeit erf llt Als Konsequenz aus dem negativen Einflu der Upwind Verfahren auf die Approximationsgenaugkeit der L sung beim Saltpool Problem siehe 117 wurde f r den letzten Zeitraum kein Upwind sondern ein Galerkin Verfah ren benutzt 188 Die station re Konzentrationsverteilung ist in Abbildung 9 15 dargestellt wobei horizon tale Schnitte durch das Aquifergebiet verwendet wurden Die Ausdehnung des Salzwas sergebietes erstreckt sich insbesondere im unteren Bereich bis zu dem Gebiet im Osten in dem die Str mung stark von dem von Norden einstr menden Wasser niedriger Konzentration bestimmt wird siehe Abbildung 9 15 unterstes Bild Ausgehend von der station ren Situatio
96. chten austausch zwischen den Prozessoren wurde eine maschinenunabh ngige Schnittstelle PPIF Parallel Processing Interface entwickelt Diese wurde f r eine Vielzahl von Paral lelrechnern mit der schnellsten herstellereigenen Software implementiert Parsytec PA RIX Intel Paragon Cray T3E Au erdem stehen Implementierungen in den portablen Schnittstellen PVM und MPI message passing interface zur Verf gung In der d Anwendung seizt das PPIF auf einem SPMD Programmiermodell single pro gram over multiple data streams auf d h jeder Prozessor f hrt den gleichen Programm code aus durch Auswertung der Prozessornummer k nnen aber verschiedene Zweige durchlaufen werden Das SPMD Programmiermodell ist in nat rlicher Weise f r numeri sche Anwendungen geeignet Neben Speicherplatzgr nden verwendet man Parallel rechner zur Beschleunigung der Simulation Als Ma der Effizienz eines parallelen Pro gramms werden verschiedene Parameter herangezogen Um die Performance bei der Benutzung eines parallelen Programms zu messen vergleicht man die sequentielle Re chenzeit eines Simulationsproblems mit der Rechenzeit auf P Prozessoren Dieser Fak tor SCP wird Beschleunigung speedup genannt und ist gegeben durch 2 TP ship 5 48 Dabei ist Ty P die Ausf hrungszeit die ben tigt wird um das Problem X auf P Pro zessoren zu rechnen 76 Ein weiteres Ma ist die parallele Effizienz Um Parallelrech ner effizient zu benu
97. coin Project Groundwater Hydrology Modelling Strategies for Performance Assessments of Nuclear Waste Disposal Level 1 Code Verification NEA SKI 1988 Level 2 Model Validation NEA SKI 1990 Level 3 Uncertainty and Sensivity of Groundwater Flow Models NEA SKI 1991 Summary Report NEA SKI 1992 The International Intraval Project To study validation of geosphere transport models for performance assessment of nuclear waste disposal Phase 1 Case 13 Experimental study of brine transport in porous media NEA SKI 1992 Phase 2 Summary Report NEA SKI 1997 Thiele K An error estimation for density driven flow problems in porous media PhD thesis Institut f r Angewandte Mathematik Universitat Erlangen N rnberg 1998 in preperation Visvalingam M Whyatt J D The Douglas Peucker Algorithm for Line Simplifi cation Re evaluation through Visualization Computer Graphics Forum 9 213 228 1990 Vogel P Zur Theorie bin rer Fluidgemische in por sen Medien Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe Hannover 1995 Vogel P Schelkes K Klinge H Geissler N Analysis of Density Dependent Deep Groundwater Movement in Nothern Germany Influenced by High Salinity In Volume of Poster Papers of Conf Calibration and Reliability in Groundwater Modelling ModelCare 90 Den Haag Niederlande 3 6 9 1990 226 162 163 164 165 166 167 168 169 170 Vogel P
98. d Wasserwirtschaft ETH Z rich 1997 Sloan S W A fast algorithm for constructing Delaunay triangulations in the pla ne Adv Eng Software Vol 9 n 1 pp 34 55 1987 Sonnevelt P CGS a Lanczos type solver for nonsymmetric linear systems SIAM J Sci Comp 10 36 52 1989 Stalling D Hege C Fast and Resolution Independent Line Integral Convoluti on Proceedings SIGGRAPH 95 1995 Stiefel E Hestenes M R Methods of conjugate gradients for solving linear sy stems J Res Nat Bur Standards 49 409 436 1952 Storck R Methodik des Sicherheitsnachweises von Endlagern vor dem Hinter grund bestehender Unsicherheiten KTG Tagung Fachgruppe Chemie und Ent sorgung Braunschweig 1991 St ben K Ruge J W Algebraic Multigrid in McCormick S F Multigrid Me thods SIAM Philadelphia Pennsylvania 1987 Summ G On the Invertibility of the isoparametric map for pyramidal and pris matic elements Technical report Institut fur Angewandte Mathematik Universi tat Erlangen Nurnberg 1998 in preparation Taniguchi T Interactive automatic mesh generation for transient area Comp Methods in Flow Analysis Vol 1 1988 Taniguchi T and Ohta C Application of Delaunay triangulation to arbitrary 2D domain with straight boundaries Proc of Japan Society of Civil Engng 432 in Japanisch 1991 225 156 157 158 159 160 161 The International Hydro
99. d fr herer Entwicklungen in der Arbeitsgruppe Wittum stand ein solcher Gitterge nerator f r Dreiecke bereits zur Verf gung Dieser mu te an die neuen Eingabedaten an gepa t werden Es stellte sich aber sp ter heraus da diese Implementierung nicht alle Geometrien vernetzen konnte In der Arbeitsgruppe Knabner wurde der Kern des beste henden Gittergenerators nach dem Auftreten dieser Probleme neu implementiert Nun sind beliebige Geometrien mit beliebigen Schrittweiten m glich Zus tzlich konnte ge zeigt werden da die in 2D generierten Dreiecksnetze die gestellten Anforderungen der Numerik erf llen siehe Kapitel 5 3 2 54 3D Tetraeder Der Gittergenerator NETGEN lieferte die M glichkeit Gebiete als Schnitt einfacher geo metrischer Objekte zu definieren und anschlie end in Tetraeder zu zerlegen Dabei stell te sich im Laufe der Arbeit heraus da die notwendigen Modifaktionen und Erweiterun gen wesentlich aufwendiger waren als urspr nglich angenommen Die Entscheidung auf den geplanten Gittergenerator IBG zu verzichten machte es n tig das zu triangulierende Gebiet in einer ganz anderen Art zu beschreiben Dazu wurde das LGM Domain Konzept entwickelt Dabei werden die Strukturen hierarchisch beschrieben 36 Beschreibung des Gebietes durch Teilgebiete Beschreibung jedes der Teilgebiete durch die umschlie enden Oberfl chen Beschreibung der Oberfl chen durch eine Liste von Dreiecken und eine Liste vo
100. daher im wesentlichen von dem zur L sung die ser Gleichungssysteme verwendeten Ansatz ab Da der Aufwand f r Simulationsschritte wie Assemblierung adaptive Gitterverfeinerung etc bei d nnbesetzten diskreten Opera toren sich typischerweise wie O n verh lt ist die Komplexit t des Gesamtverfahrens be stimmt durch diejenige des L sungsverfahrens 65 Daher sind bei sehr gro em n nur Methoden aussichtsreich die die optimale Komplexit t O n aufweisen wie dies bei Mehrgitterverfahren der Fall ist 63 170 Zu diesem Zweck wurde ein Mehrgitterver fahren f r die Differentialgleichungen der dichtegetriebenen Str mung im por sen Medi um entwickelt Die entwickelten Algorithmen bis auf die Grobgittergenerierung und das graphische Postprocessing mu ten ferner eine Parallelisierung zulassen Die Implemen tierung sollte sowohl auf seriellen Rechnern Workstation Netzen als auch auf Mehrpro zessormaschinen mit bis zu einigen hundert Prozessoren lauff hig sein Aufgrund der stark unterschiedlichen Kommunikationsleistungen dieser Rechner sollte die Granularit t der Algorithmen in weiten Grenzen einstellbar sein Ziel war es ein auf Parallelrechnern lauff higes Programm zur Aufstellung und L sung der diskretisierten Gleichungen f r die Simulation dichtegetriebener Grundwasserstr mungen zu erstellen Dazu sollte ein effizienter paralleler adaptiver L ser entwickelt wer den Desweiteren sollte eine Benutzeroberfl che installi
101. de contaminants multiespeces en milieux poreux Jun 2 6 1997 rolkovi P Maximum principle and local mass balance for numerical solutions of transport equation coupled with variable density flow Acta Mathematica Uni versitatis Comenianae 67 1 1998 rolkovic P Knabner P Tapp C Thiele K Abschlu bericht der Arbeitsgrup pe Knabner zum Projekt Entwicklung eines schnellen Programms zur Modellie rung von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte Universit t Erlangen Nurnberg Institut fur Angewandte Mathematik 1998 214 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 George P L Automatic mesh generation Wiley 1993 George P L Seveno E The advancing front mesh generation method revisi ted International journal for numerical methods in engineering 37 3605 3619 1994 Goldstein H Klassische Mechanik Akademische Verlagsgesellschaft Frank furt a M 3 Auflage 1974 GRAPE manual SFB 256 University of Bonn http www iam uni bonn de main html Bonn 1995 GRAPE GRAphics Programming Environment Reference Manual SFB 256 Bonn 1994 Greiner A Schreiber W Brix G Kinzelbach W Magnetic Resonance Ima ging of Paramagnetic Tracers in Porous Media Quantification of flow and trans port parameters Water Resources Research 33 6 S 1461ff 1997 Guillot G Kassab G Hulin J P Rigord P Monitoring of tracer disp
102. def in der Darstellung ist die z Richtung f nffach berh ht 180 Es wurde eine linearer Zusammenhang zwischen Dichte und Konzentration benutzt die Viskosit t ver nderte sich mit der Konzentration nach der als real bezeichneten Funk tion siehe Unterkapitel 4 5 1 und 4 5 2 Ein kleiner See auf der Oberfl che der Insel wur de anstelle der im Modell von 102 verwendeten festen Druckh he als Randbedingung mit festem S wasserzuflu angesetzt Dadurch sollte in der Rechnung mit Grundwas serentnahme ein unrealistischer Zuflu ins Gebiet vermieden werden F r die Rechnungen wurden das Partial Upwind Verfahren und die explizite Dispersi on benutzt Da zun chst nicht die zeitliche Entwicklung sondern der station re Zustand gesucht war wurde eine plausible Konzentrationsverteilung als Anfangsbedingung be nutzt Sie wurde ber die Vorgabe eines diskreten Konzentrationsfeldes realisiert Dann wurde gerechnet bis sich ein station rer Zustand eingestellt hatte was nach etwa 200 Jahre simulierter Zeit geschah Hiervon ausgehend wurden anschlie end Rechnungen mit punktf rmigen Entnahmebrunnen durchgef hrt Die Rechnungen mit def ergaben die station re L sung der Salzkonzentrationsverteilung der Meerwasserintrusion wie sie in Abbildung 9 5 dargestellt ist Unterhalb der Insel exi stiert eine S wasserlinse die in einer breiten Vermischungszone in salziges Wasser bergeht Abb 9 6 Konzentrat
103. dem Integrationspunkt an dem die Geschwindigkeit bestimmt werden mu die aktuellen nichtlinearen Werte von Konzentration und Druck benutzt Die Geschwindigkeitsapproximation ist in den Diskretisierungen von Str mungs und Transportgleichung identisch Dieses ist eine nicht nur vom physikalischen Gesichtpunkt selbstverst ndliche Anforderung Sie ist ebenfalls erforderlich um nichtphysikalische Os zillationen der Konzentration auszuschlie en siehe Kapitel 5 3 2 1 Da die Dispersion von der Geschwindigkeit abh ngt wurde die bliche Einschr nkung der Diffusion auf eine Konstante innerhalb eines Elementes f r die Dispersion selbst auf gegeben Das hei t da wiederum an jedem Integrationspunkt die aktuellen nichtlinea 68 ren Werte von Konzentration und Druck benutzt werden Damit wird in der hier benutzten numerischen Approximation die Dispersion variabel innerhalb eines finiten Elementes Vom theoretischen Standpunkt aus kann eine solche Approximation lokale nichtphysika lische Oszillationen bewirken Dieses kann insbesondere dann auftreten wenn die Va riationen der Geschwindigkeit innerhalb eines Elementes sehr gro und zus tzlich die geometrischen Eigenschaften des Elementes schlecht sind siehe auch 54 Trotzdem haben die numerischen Testrechnungen keinen signifikanten Hinweis auf das Auftreten solcher numerischen Artefakte ergeben Somit profitieren die Simulationen mit d f von der besseren numerischen Ap
104. den d f Rechnungen wird das Maximum nur wenig spater an genommen wobei diese kleine Verz gerung durch die nicht vermischte Konzentrations verteilung zu Beginn der dritten Phase begr ndet sein kann ansonsten liegt die Durch bruchskurve zwischen den beiden anderen Rechnungen 157 0 30 Messung df 0 25 X SALTFLOW a I E a E FEFLOW FEFLOW verfeinert 0 20 Ea FEFLOW verm Disp _ C 0 15 AR X H X XXX x XXX My ERK K XX KKK KKK KY 0 05 x sett ATRSEERERN X ptt 1 oonooononooonn 0 0000000 00 E a A Eu 0 20 40 60 80 100 120 140 160 t min Abb 7 15 Durchbruchskurven am Ausla f r Versuch b Auch beim Versuch b zeigt der Vergleich der Durchbruchskurven deutliche Abweichun gen auf siehe Abbildung 7 15 Alle drei Programme ergeben zu gro e Konzentrationen Dies ist sicher auch darin begr ndet da die auf den verwendeten Gittern noch auftre tende numerische Dispersion in diesem Versuch eine wesentliche Rolle spielt was ins besondere f r die transversale Dispersion an der Grenzschicht zutrifft Die Salt flow Simulation ergibt einen Abfall der Konzentrationen nach Annahme eines Maximums was zumindest qualitativ einen Verlauf darstellt wie er f r kleinere Ausgangs konzentrationen und andeutungsweise auch f r diese Ausgangskonzentration festzustel len war siehe Abbildung 7 6 Die d f Simulation dagegen beschreibt den Verlauf der Durchbruchskurve sehr g
105. der Prismen sind denen der Hexaeder sehr hnlich Tests haben gezeigt da auch f r komplexe anisotrope Geo 57 metrien Gitter mit wenig Knoten generiert werden k nnen Im Zweidimensionalen zeigte sich da die Generierung von Dreiecksnetzen ausreicht um die Anforderungen der Nu merik zu erf llen 5 3 2 Diskretisierung Das Ziel der Arbeiten war eine Diskretisierung der Modellgleichungen f r Dichtestr mun gen f r unstrukturierte Gitter mit unterschiedlichen Elementtypen basierend auf einem Finite Volumen Schema mit lokaler Massenerhaltung mit exakter Geschwindigkeitsapproximation auch im Falle springender Koeffizien ten mir Erhaltung wichtiger qualitativer Eigenschaften wie z B der Positivitat der Kon zentration und dem Ausschlu numerischer Artefakte bei Geschwindigkeiten zu entwickeln Da die Methode der finiten Volumen als Diskretisierung verlangt war wur de die Forderung nach lokaler Massenerhaltung automatisch erf llt Die verschiedenen Klassen der Finiten Volumen Methode unterscheiden sich haupts chlich in der Konstruk tion der finiten Volumen in denen die lokale Massenerhaltung gilt Zun chst wurden die sogenannte knotenzentrierten node centered Klasse untersucht siehe Abb 5 8 Eine spezielle Variante davon die sogenannte baryzentrischen finite Volumen waren bereits in der UG Bibliothek implementiert 12 Abb 5 8 Baryzentrische Zirkumzentrische und Aligned Finite
106. die Eingabe der Modelldaten wurde ein interaktiver graphischer Pr prozessor ent wickelt mit dem alle f r eine Simulation ben tigten Daten erzeugt bzw editiert werden k nnen Schwerpunkt dieser Arbeiten war die Erstellung eines Geometriemodells dabei wird im zweidimensionalen von digitalisierten Querschnitten und im dreidimensionalen von digitalisierten Tiefenlinienpl nen ausgegangen die mit Hilfe verschiedener Werkzeu ge verschnitten werden k nnen Um eine interaktive Handhabung zu erm glichen wurde der Pr prozessor innerhalb der graphischen Programmierumgebung GRAPE GRAphi cal Programming Environment erstellt F r den Postprozessor wurde ein ebenfalls auf GRAPE aufbauendes hierarchisches Vi sualisierungskonzept realisiert Da die Datenmengen die bei der Modellierung von gro Ben Gebieten zur Visualisierung anfallen k nnen unter Umst nden enorm gro sind wurde eine adaptive Darstellung auch nicht adaptiv berechneter Daten erforderlich Durch diese effiziente Aufbereitung der Datenbasis k nnen selbst sehr gro e Datens tze in Echtzeit dargestellt werden Neben den blichen M glichkeiten zur Darstellung von 201 Isolinien und fl chen Geometrien Geschwindigkeiten etc stehen auch Particle Tracking Verfahren zur Verf gung Zus tzlich gibt es die M glichkeit Animationen zu er stellen 11 2 Verifizierung von d f Nach einer berpr fung der Formulierung der Gleichungen der Konsistenz von Rand und An
107. dimensionale Version stimmt jedoch nicht mit einem bin ren Baum berein Dieser Baum verwaltet Referenzen auf Objekte deren Typ er nicht kennt kann also in dr auch in anderem Zusammenhang als f r Punkt und Lini enquellen verwendet werden Zu dieser Baumstruktur gibt es die Operationen Create Tree DeleteTree InsertinTree und DeleteObjinTree zum Auf und Umbau und die Operationen Get First LeafinQuader und GetNext LeafinQuader zur Su che von Punkten in einem Quader Zur Suche von Punktquellen und senken in Subkon trollvolumen werden alle Kandidaten die in einem umgebendem Quader liegen mittels der gerade beschriebenen Struktur und Operationen bestimmt Fur jeden einzelnen wird dann gepr ft ob er innerhalb des Subkontrollvolumens liegt Um Mehrfachzahlung von Punktquellen die auf Seitenflachen Kanten oder Ecken von Subkontrollvolumen liegen zu verhindern wurden sie zusatzlich noch mit einem used Flag versehen das vor jeder Diskretisierung gel scht werden mu Die Diskretisierung bekommt von den entspre chenden Suchalgorithmen die Summe s der Zugabevolumina Entnahme wird durch ne 100 gative Zugabe gekennzeichnet und f r positive Zugabevolumina das volumengewichtete Mittel c der Zugabekonzentration zur ckgeliefert Damit ist die ber das Subkontrollvo lumen integrierte Gesamtmassenquelle aus Gleichung 4 2 J sdx p c s 5 67 SCV und das entsprechende Integral der Salzmassenquelle aus Gleichun
108. dtree durchgef hrt wer den wird jedoch auch durch auf den triangulierten Basisfl chen basierenden Methoden unterst tzt Strukturlinien innerhalb des Gebietes werden durch eine Erweiterung des Netzgenerators zur Erzeugung von Zwangslinien generiert Damit ist die Bearbeitung der Tiefenlinienpl ne abgeschlossen und der Aufbau der 3D Modelle kann erfolgen Es gibt zwei verschiedene Konzepte zur realit tsnahen dreidimensionalen Modellierung auf der Basis von Tiefenlinienpl nen Bei der ersten Modellierungsvariante werden zuerst alle Tiefenlinienpl ne diskretisiert und anschlie end mit parallelen Fl chen im Raum ver schnitten Als Resultat erh lt man benachbarte Vertikalschnitte Diese k nnen dann mit den entwickelten 2D Methoden analysiert und bearbeitet werden Anschlie end m ssen Linien gleicher Basisfl chen benachbarter Vertikalschnitte identifiziert und miteinander verbunden werden Da der gr te Teil der hydrogeologischen Basisfl chen nicht das ge samte Untersuchungsgebiet berdeckt w rde dieses Vorgehen erhebliche Schwierigkei ten bei der Modellierung von auslaufenden Schichten hervorrufen Verwendet wurde die se Konzept daher vor allem zur Generierung von 3D Modellen durch Expansion von Ver tikalschnitten siehe Abb 5 5 Abb 5 5 Vertikal expandiertes 3D Modell 47 Bei der zweiten Variante werden die Boundaries des Modells einerseits aus den Tiefen linienpl nen gebildet andererseits werden L cken zwisc
109. e Abbildung 9 8 Das so gew hlte Gebiet ist geeignet die Konzentrationsverteilung durch die Salzwasser intrusion mit und ohne Grundwasserentnahmen zu beschreiben Die R nder auf den Grundwassergleichen des zweidimensionalen Modells werden als entsprechende Dirich 30000 20000 10000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000 Abb 9 8 Lage des Modellgebiets f r das 3D Modell gr ne Linie innerhalb des 2D Modells mit Entnahmen 184 let R nder f r den Druck implementiert Durch die Grundwasserentnahmen ndert sich das Str mungs und Grundwasserh henlinienbild somit auch in gewissem Ma e der Verlauf der im 3D Modell als fest angenommenen Druck Dirichlet R nder Aus den Rech nungen mit dem zweidimensionalen Modell ging aber hervor da die Ver nderungen auch auf den hier gew hlten R ndern gering sind Zur Geometriebeschreibung wurden zun chst ausgehend von Bohrlochdaten Profilquerschnitte des Aquifers in Nord S d und West Ost Richtung erstellt Durch lineares Verbinden der einzelnen Punkte Aquife roberkante Grenze der beiden Aquiferschichten Aquiferbasis wurde eine dreidimensio nale Aquifergeometrie erzeugt siehe Abbildung 9 9 Um diese Geometriebeschreibung einfach und direkt ins Geometrieformat von d f Datei geomet ry umsetzen zu k nnen wurde auf eine Konstruktion von Tiefenlinien verzichtet Stattdessen wurden die Oberfla chen von Hand in Dreiecke eing
110. e nicht erreicht wurde wurden entsprechende Parameter zur Einstellung des algebraischen Mehrgitters konfigurierbar gemacht Optimierung der Approximationseigenschaft Eine Optimierung der Approximationseigenschaft f r die Gleichungen konnte durch fol gende Strategien erreicht werden 86 Hierarchischer Abgleich der Randbedingungen Geeignete Wahl der approximierten Inversen auf gr beren Gittern Galerkin Dis kretisierung Die Konvektions Diffusions Gleichung Parallel zur Entwicklung eines effizienten L sers f r Dichtestr mungen wurde ein robu ster L ser auf der Basis einer zweidimensionalen Konvektions Diffusions Gleichung ent wickelt Bei dieser Gleichung handelt es sich um den gleichen Typ wie bei den diskreti sierten Gleichungen der Dichtestr mung Der robuste L ser basiert auf Mehrgitterverfah ren f r den diffusiven und Anordnungsstrategien f r den konvektiven Anteil Die bei dieser Entwicklung gewonnenen Erfahrungen wurden auf das Dichtestr mungsmodell bertra gen Der robuste L ser f r die zwei dimensionale Konvektions Diffusions Gleichung ba sierte bei Abschlu der Entwicklung auf einem anordnungsbasiertem Gl tter mit BiCG Stab Beschleunigung und einer verbesserten Grobgitter Korrektur 5 3 4 2 Die Behandlung der Dispersion Die Geschwindigkeitsabhangigkeit der anisotropen Dispersion ist eine der komplexen Eigenschaften der Simulation von dichtegetriebenen Grundwasserstr mungen Dies wurde dur
111. e zur Entwicklung eines schnellen Grundwasserprogramms mit variabler Dichte Abteilungsbericht IfT 9 92 GSF Forschungszentrum f r Um welt und Gesundheit GmbH 1992 218 47 48 49 50 51 52 53 54 55 Fein E Entwicklung eines schnellen Programms zur Modellierungvon Grund wasserstr mungen mit Variabler Dichte Fachliches Feinkonzept Abteilungsbe richt IfT 3 93 GSF Forschungszentrum f r Umwelt und Gesundheit GmbH 1993 Fein E Pr prozessor Anforderungskatalog Internes Papier 1997 Fletcher R Proc Dundee Biennal Conf on Numerical Analysis Chapter Con jugate gradient methods for indefinite system 33 53 Springer New York 1975 Fogwell T Endlagersicherheit Grundwasserprogramme mit variabler Dichte International Technology Corporation Martinez California 94553 1992 rolkovi P Finite volume discretizations of density driven flows in porous me dia In Vilsmeier R Benkhaldoun F editors Finite Volumes for Complex Appli cations 433 440 Hermes Paris 1996 rolkovi P Schwarz C Some remarks on d f s boundary conditions Interne Notizen Erlangen Zurich 1998 rolkovi P Knabner P Tapp C Thiele K Adaptive finite volume discretiza tion of density driven flows in porous media Preprint 220 Institut fur Angewand te Mathematik Universitat Erlangen N rnberg FR Germany 1997 Lecture No tes to INRIA Rocquencourt Transport
112. echnungen zum zweidimensionalen Henry Problem siehe Unterkapitel 6 2 wurde im Oktober 1996 ein erster Vergleich der von def ben tigten Rechenzeit mit derjenigen von einem anderen konventionellen FE Dichtestr mungsprogramm Salt low durchgef hrt Die Eigenschaften bzw die verwendeten Einstellungen der beiden Programme waren dabei Tabelle 10 1 Eigenschaften von Salt flow und def Saltflow Version 2 0 Version vom 07 10 96 Galerkin FE 3D eine Elementschicht 2D ohne Gitteradaption expliziter Advektionsterm strukturiertes Gitter ohne Zeitschrittsteuerung vordefinierte Zeitschrittweiten Compiler f90 f77 optimiert O2 Compiler gcc optimiert O2 Die Rechnungen wurden auf den folgenden zwei Workstations ausgef hrt DEC alpha 600 5 333 256 MB Hauptspeicher specfp95 13 2 193 SGI Indigo R 10000 256 MB Hauptspeicher specfp95 13 8 Da die Rechenleistungen nicht ganz identisch sind wurde in den wenigen F llen die auf der SGIl Workstation berechnet wurden die Rechenzeit mittels Vergleichsrechnungen auf die Rechenzeit der DEC Workstation korrigiert Die Anzahl der verwendeten Gitter elemente wurde f r beide Programme gleicherma en gesteigert bis die Speichergrenze der verwendeten Rechner erreicht war siehe Tabelle 10 2 Tabelle 10 2 Parameter der Rechnungen mit zunehmender Gitterverfeinerung Elementan Courant zahi At min Peclet Zahl Zahl Level 0 32 X 16 512 Level 1 64 X 3
113. eindimensionalen Experimente f hrten zu dem Ergebnis da das 1 Ficksche Gesetz f r die Dispersion bei hohen Salzkonzentra tionsunterschieden erweitert werden mu Die zweidimensionalen Experimente wurden nur von sehr wenigen Teilnehmern bearbeitet Diese Rechnungen konnten nicht erfolg reich beendet werden Gleichzeitig wurden verst rkt Rechenprogramme mit Ber cksichtigung von Dichteein fl ssen f r Endlager relevante Untersuchungen eingesetzt Hierzu geh rten die Untersu chungen f r die WIPP Site Waste Isolation Pilot Plant in den USA 96 oder die Arbei ten des RIVM RijksInstituut voor Volkgezondheid en Milieuhygiene im Rahmen des EG Projektes PAGIS 98 Insbesondere wurden auch von der BGR Modellrechnungen zur Grundwasserbewegung mit variabler Dichte durchgef hrt 136 161 137 162 163 164 und 87 Die ersten Arbeiten bezogen sich auf die Tiefenwasserbewegung f r stark vereinfachte Modellschnitte aus dem Bereich der norddeutschen Tiefebene Die Ergebnisse zeigten da in Salz S wassersystemen g nzlich andere Grundwasserstr mungsmuster ent stehen als in reinen S wassersystemen Grunds tzlich kleinere Flie geschwindigkei ten und das Vorkommen von Konvektionszellen kennzeichneten den Salzwasserbereich bei diffusiv dominiertem Stofftransport Wegen des in diesem Tiefenwassersystem vor herrschenden diffusiven Transportes gestalteten sich die Modellrechnungen f r solche Salzwassersys
114. ell dieser Insel 102 Die Eichung der Parameter wurde aus diesem Modell bernom men Der Wertebereich der wichtigsten auftretenden Parameter ist in Tabelle 9 1 ange geben Tabelle 9 1 Parameter zur Modellierung von Weizhou Parameter Minimalwert Maximalwert Permeabilit t kjorizontal 2 315 10 4 m 5 787 10 m Permeabilit t ky ential 1157410 m 3 472 10 m Porositat o 0 032167 0 2198 Dispersionslange a 12m 521m Dispersionsl nge ar 2 13 m 13m 177 Obere Begrenzing Untere Begrenzung des Basaltaguifers dee Basaltaguifers Obere Begrenzung Untere Begrenzung des Mittelsandaquifers des Mittelsandaquifers Abb 9 3 Beschreibung verschiedener Schichten durch Tiefenlinienpl ne Zun chst wurde der Rand des Gebietes auf einen Polygonzug bertragen Dieser war f r alle Schichten gleich da die seitliche Randfl che als vertikal gew hlt wurde Dann wurde der zweidimensionale Verlauf der Schichtobergrenzen bzw Untergrenzen auf ein zweidimensionales Gitter interpoliert Aus diesen Daten wurde dann eine Darstellung der Tiefenlinien erzeugt die ber AutoCad in schichtweise Tiefenlinienpl ne im dxf Format umgesetzt wurde siehe Abbildung 9 3 Jede Tiefenlinie ist dabei durch einen Polygon zug dargestellt der entweder geschlossen ist oder auf Punkten des Randpolygonzuges endet Jeder Tiefenlinie ist eine Kennung zugeordnet die den Wert der jeweiligen Tiefe angibt Der Randpolygonzug hat eine be
115. ema waren verschieden und die Zeitschrittweiten variierten Ohne auf die De tails der jeweiligen Modellierung n her einzugehen werden hier einige Ergebnisse vor gestellt und ansonsten auf 117 verwiesen Eine gute Vergleichsm glichkeit stellt die Konzentrationsisolinie im vertikalen Diagonal schnitt dar Beim Versuch a ist hierzu zum einen der Zeitpunkt an dem das Maximum des Upconings erreicht ist gut geeignet zum anderen der Zeitpunkt der letzten Messung am Ende des Versuchs da sich hierbei das Verhalten ber den gesamten beobachteten Zeitraum auf die Konzentrationsverteilung auswirkt F r diesen Versuch werden in Abbil dung 7 13 die L sungen von Feflow d f und Saltflow mit der gemessenen Isolinie verglichen Die L sung von Feflow istin der Flanke der Isolinie praktisch identisch mit der gemessenen Isolinie am Boden liegt sie nicht ganz so weit links Das Upconing unter der Entnahme reicht bei den Simulationen generell zu weit nach oben Da die horizontale Abweichung der Isolinien in diesem Bereich nur gering ist kann der Unterschied in der H he des Upconing eventuell durch eine kleine horizontale Verschiebung infolge der m glichen Positionierungsfehler siehe Abschnitt 7 4 3 innerhalb der Messung erkl rt werden Allerdings w rde dann die gemessene Isolinie insgesamt weiter links liegen so da im unteren Bereich die Abweichungen gr er w ren Denn hier weichen die d f Re sultate und noch deutlicher die Salt flow Result
116. en Diese besitzt kein physikalisches Analogon und verschmiert auf un physikalische Weise die Konzentrationsfront In der bereits zu Projektbeginn existierenden Literatur bersicht werden weiterentwickelte Upwind Methoden f r zwei und dreidimensionale unstrukturierte Gitter beschrieben aber nur f r zirkumzentrische Finite Volumen Diskretisierungen vorgeschlagen Es konnte gezeigt werden da diese Ideen auch auf die hier verwendete Finite Volumen Diskretisierung und auf alle Upwind Methoden verallgemeinert werden k nnen Dazu ge h rt auch die am besten geeignete Methode das exponential upwind Verfahren Mit dieser Methode erh lt man L sungen die das diskrete Minimum Maximum Prinzip erf l len aber nicht die Nachteile der full upwind Methode besitzen Theoretische Ergebnisse sind in 54 aufgef hrt F r den Vergleich verschiedener Upwind Methoden siehe Abbil dung 5 11 Abb 5 11 Vergleich verschiedener Upwind Methoden full upwind links partial upwind rechts Alle oben erw hnten Verfahren sind in d implementiert so da der Benutzer unter ver schiedenen Upwind Verfahren w hlen kann Dazu geh rt die no upwind Methode falls eine h here L sungsgenauigkeit verlangt wird und die Gitteraufl sung fein genug ist Den besten Kompromi stellt das partial upwind Verfahren dar w hrend die numerisch am besten angepa te Methode die gleichzeitig auch die komplexeste bez glich des Re
117. en so definiert da die zugeh rigen Parameter als konstant angenommen werden k nnen In diesem Falle m ssen diese Werte angegeben werden In d f k nnen Permeabilitaten und Porosit ten auch als einfache Funktionen des Ortes definiert werden Dann m ssen die Funktionsnamen und die zugeh rigen Funktionsparameter angegeben werden Die Salzlauge wird durch zwei Materialgesetze beschrieben die Dichte p sowie die dy namische Viskosit t u h ngen von der Konzentration c Massenbruch des Salzes und von der Temperatur 8 ab siehe Gleichungen 4 1 Diese Funktionen sind nicht explizit orts und druckabh ngig Hier werden die Parameter f r NaCl L6sungen in Wasser unter atmosph rischem Druck bei einer Temperatur von 20 C angegeben Die Temperatur In d f wird keine Energietransport berechnet Um aber dennoch den Einflu der Tempe ratur naherungsweise zu ber cksichtigen kann ein r umlich und zeitlich ver nderliches Temperaturfeld vorgegeben werden Da die Zustandsgleichungen f r Dichte und dyna mische Viskosit t von der Temperatur abh ngen geht die lokale Temperatur in diese Gr en ein Die Temperatur kann als globale Konstante oder als globale Funktion oder 394 aber f r jede hydrogeologische Einheit als Konstante oder Funktion angegeben werden Es kann auch eine zeitliche Ver nderung der Temperatur vorgegeben werden Dazu wird f r bestimmte Zeitintervalle ein jeweils zeitlich konstantes Temperaturfeld definiert
118. en Gesamtmassen ist der Massenbilanzfehler d h die Masse die durch die zus tzlichen Fl sse ber die Ecken in das Gebiet str mt Bei Gitterverfeinerung bleibt der Massenbilanzfehler der gleiche Deshalb bleiben die Fl sse ber die Randst cke zu den beiden Dirichletknoten die gleichen und somit w chst die artifizielle Geschwindigkeit umgekehrt proportional zu der Gitterweite Wer den die undurchl ssigen Randbedingungen f r die Gesamtmasse durch die Bedingung verschwindenden Volumenflusses ersetzt und wird gleichzeitig die lineare Abh ngigkeit der Dichte p vom Salzmassenbruch c durch eine lineare Abh ngigkeit der inversen Dich ten 1 i ef ve ey z 6 79 P c Plc ay P O max ersetzt Gleichung 4 37 definiert das ideale Fluid bei dem das Mischvolumen die Summe der Volumina der Komponenten ist so verschwinden entsprechende Differen zen zwischen den beiden Massenberechnungen wie das Stokesintegral von Gleichung 4 8 zeigt und es treten keine artifiziellen Geschwindigkeiten in den Ecken auf Abbil dung 6 8 118 Abb 6 8 Anfangsgeschwindigkeit ohne Volumenflu ber den Rand Das Geschwindigkeitsfeld weist keinen Einstrom in der oberen linken Ecke auf 143 6 3 3 Stabilit t der L sung Die von verschiedenen Autoren pr sentierten L sungen des Elder Problems zeigen in allen Phasen der Simulation nennenswerte Differenzen Bei Diersch 35 lassen sich so gar verschiedenste L
119. en Salz und S wasser aus der bei dem Saltpool Problem wesentlich ist Des halb k nnen sie sich auch erheblich auf die Rechenergebnisse auswirken sofern die Dispersion nicht von numerischer Dispersion dominiert wird Die L ngsdisper sivit t wurde zwar experimentell bestimmt es ist aber m glich da der wirkliche Wert noch etwas kleiner war Die Transversaldispersivit t ist sogar nur gr enord nungsm ig bekannt Diese Unsicherheit kann sich bei ausreichender Gitterfein heit besonders bei Versuch b im Vergleich einer Simulation mit der Messung be merkbar machen da in diesem Versuch die Transversaldispersion eine besonders gro e Rolle spielen d rfte Wie am Anfangs dieses Kapitels erw hnt kann die Positionierung des Bildes relativ zu der wirklichen Ausdehnung des por sen Mediums maximal um eine Voxelbreite abweichen Dies kann entsprechend beim Vergleich mit Rechenergebnissen be r cksichtigt werden So betr gt die maximale Abweichung auf der Diagonalen 4 7 mm also 2 4 der Gesamtdiagonall nge 161 Der angegebene Zeitpunkt eines Bildes ist ein mittlerer Wert da jedes Bild insge samt ber einen Zeitraum von 3 Minuten gemessen wurde und somit eine Abwei chung um 1 5 Minuten denkbar ist Dies d rfte sich aber nur in den Zeitr umen mit gro en nderungen der Konzentrationsverteilung bemerkbar machen also in der ersten Phase und zu Beginn der dritten Phase 162 8 Dichtestr mungen in heterogenen
120. en im unteren Bereich kaum durch diese unphysikalische Wahl der Randbedingung beeinflu t wird Um die Vergleichbarkeit mit der semi analytischen L sung zu gew hrleisten wurden die Testfallrechnungen mit den Originalrandbedingungen durchgef hrt sita Die in fr heren Arbeiten bzw Rechnungen aufgetretenen Differenzen zwischen der von Henry angegebenen L sung und berechneten L sungen beruhen zum einen auf einer fehlerhaften Umsetzung des Diffusionskoeffizienten gegen ber Henrys L sung zum an deren wurde Henrys L sung nicht genau genug berechnet weil bei der Auswertung der unendlichen Reihe nur eine nicht ausreichende Zahl Terme h herer Ordnung in Bezug zur heute gew nschten Genauigkeit ber cksichtigt wurden Dies wurde von Segol 144 gezeigt Eine verbesserte korrigierte Berechnung der L sung von Henry wurde angegeben Bei Verwendung dieser L sung reduzieren sich die Abweichungen der Re sultate verschiedener numerischer Programme deutlich 115 Eine nochmals verbesserte Berechnung der semi analytischen L sung wird in 22 an gegeben Die Abweichungen der numerischen Berechnungen von dieser L sung sind mi 1 00 revised HENRY UG ee FEFLOW MARCEAU 0 80 SALTFLOW 0 60 Y 0 40 0 20 0 00 1 00 1 20 1 40 1 60 1 80 2 00 x Abb 6 5 Vergleich der dr Ergebnisse mit Rechnungen anderer Programme und mit der L sung nach 22 Dargestellt sind die 20 50 und 80 Konz
121. en kann neben einer verbesserten Approximation ein g n stigeres L sungsverhalten erzielt werden In speziellen F llen f hren die Aligned Finite Volumen auf eine Zweipunkt Diskretisierung die eine Konstruktion eines robusten Glat ters auf der Basis von Gau Seidel artigen Verfahren unter Umst nden erst erm glicht 88 5 3 5 Parallelisierung adaptiver Mehrgitterverfahren Im Rahmen der Aufgabenstellung des Projekts sollten alle Komponenten des Simulators bis auf die Grobgittergenerierung und das graphische Postprozessing parallelisiert wer den F r die Komponenten Diskretisierung und Fehlersch tzer ist dies problemlos m g lich w hrend sowohl dynamische Lastmigration und parallele Gitteradaption einen ho hen Entwicklungsaufwand erfordern Die Parallelisierung robuster Mehrgitterverfahren erfordert eine besondere Behandlung der Kopplungsr nder der Teilgebiete um ein nu merisch konsistentes L sungsverfahren zu erhalten Eine hohe parallele Effizienz wird durch Minimierung des Verh ltnisses von Kommunikations zu Rechenzeit erreicht Dazu ist die Zuordnung m glichst zusammenh ngender gleich gro er Teilgebiete zu den Pro zessoren notwendig Da die Position der Gitterverfeinerung a priori nicht bekannt ist ist ein dynamischer Lastausgleich zwischen den Prozessoren erforderlich Bei der Imple mentierung erforderte insbesondere die dynamische verteilte Verwaltung der komplexen Datenstruktur welche sowohl bei Lastmigration al
122. en nach Dadurch wird an der entsprechenden Stelle am oberen Rand mehr Salz ab gelaugt und bildet dort einen Salzfinger der durch die Gravitation sein eigenes Wachs tum verst rkt Im Verlaufe des Fingerwachstums beim Elder Problem breitet sich auch die zu jedem Salzfinger geh rende Str mungswalze in die transversale Richtung aus und kleinere Finger werden von den Walzen gr erer Finger in denselben hineingezo gen Beim gest rten Elder Problem bernimmt so der zus tzliche Finger die Kontrolle ber den Finger am Rand der Salzzugabelinie Diese Untersuchung zeigt da das Elder Problem sehr empfindlich auf kleine St rungen des Problems ist Solche St rung m ssen nicht unbedingt in der Anfangsbedingung auftreten Sie k nnen im Rahmen von numeri schen Berechnungen aufgrund von Diskretisierungsfehlern aus dem Abbruchkriterium des L sers oder der Genauigkeit der Darstellung von Flie kommazahlen entstehen 120 Abb 6 10 Anfangsgeschwindigkeit f r das gest rte Problem Die Walze im Geschwindigkeitsfeld in der N he der St rung zieht vom oberen Rand im weiteren Verlauf einen Salzfinger nach unten vergleiche Abbildung 6 8 143 Dementsprechend ist das transiente Verhalten der L sung des Elder Problems ungeeig net um durch Inter Code Vergleiche oder fortgesetzte Gitterverfeinerung einen Code f r Dichtestr mungen bez glich seiner Approximationseigenschaften zu verifizieren 6 3 4 Eindeutigkeit der station ren L sun
123. en numerischen Metho de abgeleitet werden kann Dazu mu nur ein Teil der Dichtevariation auf eine konsisten te Form bez glich des Druckgradienten reduziert werden w hrend der restliche Teil wei terhin in der blichen nicht reduzierten Form ber cksichtigt wird Dieser Algorithmus f r eine konsistente Geschwindigkeitsapproximation wurde in diesem Projekt entwickelt und ist erstmals in 36 beschrieben F r hydrostatische Bedingungen hat er eine identische Form wie die Verallgemeinerung 88 des Algorithmus von Voss and Souza F r allge meine hydrodynamische Bedingungen jedoch erh lt man eine andere und insbesondere qualitativ bessere Approximation Dieser Algorithmus ist in d f f r Dreiecke and Tetraeder implementiert In einer Vielzahl numerischer Tests zeigte sich eine signifikante Verbesserung der Approximation wie auch in Abbildung 5 12 deutlich wird Obwohl dieser neue Algorithmus f r eine konsistente Geschwindigkeitsapproximation formal auch f r beliebige finite Elemente ableitbar ist wird er in d f nicht f r andere Ele mente benutzt Die Ursache hierf r ist der Hauptnachteil von isoparametrischen Elemen ten Vierecke Prismen Pyramiden und Hexaeder da die spezielle Form der Interpo 70 M pE E AE AE EAE BE AE AE E E E E E EEE WEEE RRS nv ee Baa Abb 5 12 Geschwindigkeitsapproximationen links Verallgemeinerung des Algorithmus von Voss amp Souza rechts Neue konsistente Geschwindigkei
124. en sind sehr stark am unteren Rand konzentriert Rechts in mittle rer H he sind leichte Salzentnahmen zu erkennen Die so gew hlte Anfangsbedingung war in der Diskretisierung noch nicht der station re Fall aber nach zw lf Zeitschritten war die nderung innerhalb eines Zeitschrittes um mehr als vier Zehnerpotenzen reduziert so da diese L sung als station re L sung des diskretisierten Problems aufgefa t werden kann Diese L sung ist in den Abbildungen 6 18 und 6 19 visualisiert 128 Abb 6 18 Mit d f berechnete Druckverteilung Optische Unterschiede zu der vorgegebenen Druckverteilung basieren haupts chlich auf der dynamisch angepa ten Farbskala gt Abb 6 19 Mit d f berechnete Salzverteilung Diese l t sich optisch auch durch bereinanderlegen nicht von der vorgegebenen Verteilung unterscheiden Um die Genauigkeit der Ergebnisse mit d f besser beurteilen zu k nnen stellen die Ab bildungen 6 20 und 6 21 die Differenzen zwischen exakter L sung und berechneter L sung dar Der maximale Fehler im Druck betr gt 5 10 bei Dr cken im Gebiet zwischen 0 und 1 13 von denen der nicht hydrostatische Anteil zwischen 0 und 0 13 liegt Im Salz massenbruch ist der maximale Fehler 7 10 bei einem Wertebereich von 0 bis 1 Damit 129 Abb 6 20 Abweichung zwischen berechnetem und vorgegebenem Druck Rot bedeutet da der Wert von d f um ca 4 10 zu gro ist blau da der Wert um ca
125. en zu den station ren L sungen wurden mit adaptiver Gitteranpassung auf dem ganzen Gebiet des Elder Problems keine Reduktion wegen der Symmetrie durch gef hrt Auch bei symmetrischen Anfangsbedingungen zeigten sich im transienten Ver lauf Asymmetrien die von der schon genannten Instabilit t des transienten Elder Pro blems herr hren Dadurch wurden die Gitter im Laufe der Simulation asymmetrisch ver feinert und vergr bert Die station ren L sungen lassen sich auffassen als zwei verschiedene L sungen f r das halbierte Problem auf den unterschiedlichen Gittern der linken und rechten Gebietsh lfte Um diese Tests ber die Symmetrie zu verst rken wur den die Anfangsbedingungen leicht asymmetrisch gew hlt Dementsprechend l t sich aus der Symmetrie der station ren L sung auf eine Stabilit t dieser L sung bez glich des Rechengitters und leichter St rungen in der Anfangsbedingung schlie en Diese sta tion ren L sungen des Elder Problems mit einem und mit zwei Fingern lassen sich ver wenden um entsprechende Simulatoren bez glich der Diskretisierung der Ortsableitun gen und der Randbedingungen zu testen Leider sind die publizierten Ergebnisse zum Elder Problem z B in 39 oder auch in 166 f r einen derartigen Vergleich zwischen verschiedenen Codes ungeeignet da die simulierten Zeiten h ufig bei 20 Jahren aufh ren und zu diesem Zeitpunkt das qualitative Verhalten ein oder zwei Finger noch nicht einmal immer ersic
126. ene Stellen des por sen Mediums eingespritzt Die markierten Fluidvolumina hatten im Bereich des Salzwas sers durch zus tzliches NaCl eine Dichte die etwa derjenigen des umgebenden Salz wassers entsprach Im Bereich des S wassers war die Dichte der markierten Fluidvo lumina allerdings infolge des CuSO gr er als diejenige des umgebenden S wassers Aufgrund verschiedener experimenteller Schwierigkeiten lie en sich keine einzelnen Bahnlinien aus den Versuchen gewinnen Der Eindruck aus den gewonnenen Bildern Abbildung 7 7 best tigt aber die Vorstellungen ber das Str mungsfeld bei den beiden Versuchen Insbesondere war zu erkennen da beim Versuch b mit gr erer Dichte des Salzwassers die Str mungsgeschwindigkeiten im Bereich des Salzwassers minimal im Vergleich zum dar berliegenden S wasser sind W hrend nach einer Stunde die im S wasserbereich gesetzten Tracerpunkte den Beh lter bereits verlassen haben sitzen die Tracerpunkte im Salzwasserbereich praktisch noch an ihrer Startposition Das Str mungsfeld greift in diesem Fall also nicht bis zum Boden des Beh lters durch Um aber eine walzenf rmige Bewegung in diesem Bereich entsprechend den Rechnungen ex plizit nachweisen zu k nnen waren die zur ckgelegten Bahnl ngen zu klein 144 Abb 7 7 Markierte Fluidvolumina f r Versuch b oben vor der dritten Phase unten nach einer Stunde der dritten Phase Der Ausla befindet sich links oben blau im
127. entrationsisolinien von links nach rechts nimal Die Rechnungen mit verschiedenen numerischen Programmen Feflow Marceau Salt flow siehe Abschnitt 7 4 geben diese L sung sehr gut wieder Unter schiede ergeben sich bei der Verwendung von vergleichsweise groben Gittern d h Git terweiten gr er als etwa 0 05 L ngeneinheiten Die Verwendung der Overbeck Boussi iS nesq Approximation die bei der Bestimmung der semi analytischen L sung benutzt wurde scheint in der Praxis nicht kritisch zu sein Auch wurde schon in der Literatur 166 darauf hingewiesen da dieser Testfall nichts ber die Konsistenz der Geschwin digkeitsapproximation oder ber die Behandlung schmaler mehr realistischer Vermi schungszonen aussagt Das Henry Problem ist also kein sensitiver Testfall um die qua litative Leistungsf higkeit von numerischen Programmen beurteilen zu k nnen Es stellt lediglich eine Mindestanforderung dar Auch d f liefert Resultate die sehr genau mit der L sung nach Borisov und den Berech nungen mit den anderen Programmen bereinstimmen siehe Abbildung 6 5 Dieses Problem ist auch in der Testfallbibliothek enthalten 6 3 Das Elder Problem F r dichtegetriebene Str mungen in por sen Medien die von Temperaturgradienten in duziert wurden hat Elder Experimente in Hele Shaw Zellen durchgef hrt 38 und eines dieser Experimente numerisch nachgerechnet und analysiert 39 Er benutzte ein Pi card Iterations
128. er nichtlinearen L ser signifikant verbessert Durch die Diskretisierung der Transportgleichung und der Str mungsgleichung mit varia bler Dichte entstehen in d f algebraische Gleichungen deren L sung das Minimum Ma ximum Prinzip erf llen Diese Bedingung kann nur verletzt werden in Bereichen mit schlechter Gitterqualit t gro e Winkel wenn gleichzeitig gro e Datenvariationen auf treten Werden diese F lle ausgeschlossen so k nnen bei impliziter Linearisierung der Dispersion keine ber oder Unterschreitungen des Konzentrationsminimums oder ma ximums und auch keine unphysikalischen Oszillationen auftreten 72 F r die in diesem Projekt zu l senden konvektionsdominierten Differentialgleichungen sind Upwind Methoden sehr gut geeignet Hierdurch stehen dem Benutzer in Abh ngig keit von der Komplexit t der Probleme und von der gew nschten Genauigkeit der Appro ximation eine stattliche Anzahl von M glichkeiten zur Verf gung Durch eine sorgf ltige Diskretisierung der Darcy Geschwindigkeit und durch die Anwen dung neuer Erkenntnisse bez glich der Konsistenz von Geschwindigkeiten wird eine Ap proximationsg te erreicht die der Prim rvariablen Druck und Konzentration vergleichbar ist Die Implementierung in d f ist ohne signifikanten Verlust an Approximationsg te effi zient und konomisch Es besteht daher keine Notwendigkeit auf eine andere Diskreti sierungsmethode wie zum Beispiel gemischte finite Elemente zu
129. eren von Inkonsistenzen Implementierung von Methoden zur Anbindung benachbarter Schichten Integration s mtlicher Funktionen in GRAPE Schnittstellen fur den Simulator und den Postprozessor Programmierung der graphischen Benutzeroberflache in GRAPE Um eine interaktive Erstellung und Bearbeitung des HGM zu erm glichen wurden die entwickelten Methoden innerhalb der graphischen Programmierumgebung GRAPE im plementiert Eine detaillierte Beschreibung der Methoden befindet sich im Benutzerhand buch 36 40 Aufgrund der vorliegenden M glichkeiten zur Gittergenerierung und der angestrebten Advancing Front Methode zur Grobgittergenerierung wurde ein Randbeschreibungsmo dell f r die geometrische Modellbeschreibung entwickelt Dabei wird das zu modellieren de Gebiet Domain in mehrere Teilgebiete Subdomains unterteilt Diese werden durch ihre R nder Boundaries beschrieben Im Falle zweidimensionaler Modelle bestehen die Boundaries aus Polygonz gen im dreidimensionalen Fall aus Dreiecksnetzen Neben der geometrischen Beschreibung k nnen mit den entwickelten HGM Strukturen auch to pologische Informationen beispielsweise Materialeigenschaften verwaltet werden 5 2 1 Basisdaten Die Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe BGR hat zu Beginn der Pro jektlaufzeit zwei Datens tze 135 als Testf lle f r zu erstellende Geometriemodelle zur Verf gung gestellt Beide Datens tze beschreiben die Untersuchungs
130. ersion in porous media by NMR imaging J Phys D Appl Phys 24 S 763ff 1991 Hackbusch W Multi Grid Methods and Applications Springer Verlag 1985 Hackbusch W On first and second order box schemes Computing 41 277 296 1989 Hackbusch W Iterative L sung gro er schwachbesetzter Gleichungssysteme Teubner Studienb cher Mathematik 1991 H fner F Boy S Behr A Wagner S Entwicklung von Verfahren und Pro grammen zur Kalibrierung von Str mungs und Transportmodellen Endbericht des BMBF Vorhabens mit dem F rderkennzeichen 02 C 0244 8 Institut f r Bohrtechnik und Fluidbergbau der TU Bergakademie Freiberg 1998 215 67 68 69 70 71 72 73 74 75 Happe R T Polthier K Rumpf M Wierse M Visualizing Data from Time Dependent Adaptive Simulations Proceedings Visualisierung 95 Bremen 1995 Hassanizadeh S M Derivation of basic equations of mass transport in porous media Part 1 Macroscopic balance laws Advances in Water Resources 9 12 S 196ff 1986 Hassanizadeh S M Derivation of basic equations of mass transport in porous media Part 2 Generalized Darcy s and Fick s laws Advances in Water Re sources 9 12 S 207ff 1986 Hassanizadeh S M Experimental Study of Coupled Flow and Mass Transport A Model Validation Exercise Proceedings der ModelCARE 90 in Den Haag IAHS Publikation Nr 195 1990 Hassanizadeh S M Lei
131. ert werden um eine effiziente Handhabbarkeit des Programms zu gew hrleisten 5 3 4 1 Effiziente Loser fur Dichtestromungen Bei den diskretisierten Gleichungen der dichtegetriebenen Grundwasserstr mungen handelt es sich um ein nichtlinear gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen vom Konvektions Diffusions Typ 45 47 Typische Schwierigkeiten denen bei der Entwicklung von Mehrgitterverfahren f r diese Gleichungen Rechnung zu tragen ist be stehen in der Heterogenit t des Untergrundes die zu stark variierenden Koeffizienten 80 f hrt sowie im singul r gest rten Charakter der Gleichungen der zwischen diffusions und konvektionsdominiert wechseln kann Weitere Schwierigkeiten liegen in der Nichtli nearit t der Gleichungen die zus tzliche nichtlineare L sungsstrategien fordert und in der Tatsache da es sich um ein System von Differentialgleichungen mit lokal durchaus unterschiedlichem Verhalten und nichtlinearer Kopplung handelt Zur Behandlung sind robuste Mehrgittermethoden erforderlich deren Effizienz gegen ber den genannten Schwierigkeiten unempfindlich ist Da starke Heterogenit t und das Auftreten von wandernden Fronten und Konvektionswalzen die Verwendung unstruktu rierter adaptiv verfeinerter Gitter erforderlich macht m ssen die verwendeten Verfahren ebenfalls f r solche Gitter geeignet sein Ferner m ssen die Algorithmen eine Paralleli sierung zulassen Das Programmpaket UG
132. ert werden k nnen Deshalb wurden zus tzlich Funktionen zur interaktiven Fehlererkennung und beseitigung zur Verf gung gestellt Eine ausf hrliche Beschreibung aller Methoden zur Modellerstellung findet man im Be nutzerhandbuch von d f 36 49 Abb 5 7 Beispiele f r 3D Modelle Insel Weizhou Gorlebener Rinne 20 Subdomains 15 Subdomains 57 Boundaries 5 2 5 Graphische Oberfl che Die oben beschriebenen Werkzeuge zur Geometrieerstellung und bearbeitung stehen unter einer graphischen Benutzeroberfl che zur Verf gung Diese Oberfl che dient gleichzeitig zur interaktiven Erzeugung der vom Simulator ben tigten Eingabedateien die die hydrogeologischen Parameter Rand und Anfangsbedingungen sowie Quellen und Senkenenthalten Als Ergebnis des Preprocessings liegen folgende f nf Dateien vor geometry hydrogeology boundary initial und source siehe 36 50 5 3 Der Simulator d f Bei der Entwicklung des Simulators wurden folgende Schwerpunkte die im folgenden einzeln beschrieben werden bearbeitet Gittergenerierung Diskretisierung Fehlerschatzer Effiziente L ser z Parallelisierung adaptiver Verfahren Zufallszahlengenerator f r die stochastische Modellierung der Permeabilit t An die einzelnen Teilbereiche wurden hohe Anforderungen gestellt So mu der Gitter generator in der Lage sein die komplexen hydrogeologischen Strukturen mit unter schiedlichen Elementtypen aufzul sen
133. et Hierbei wurde neben der Fehlerbeseitigung gr ter Wert auf die Untersuchung und Verbesserung der vorhandenen Algorithmen gelegt Basierend auf Ar beiten von B nsch 8 wurden unterschiedliche m gliche Algorithmen untersucht Insbesondere da die theoretischen Grundlagen nicht ersch pfend bewiesen werden konnten war eine intensive berpr fung der Leistungsf higkeit des Algorithmus und der Fehlerindikatoren notwendig Es wurden numerische Tests f r Beispiele mit unterschied licher Komplexit t durchgef hrt Diese Untersuchungen haben gezeigt da die aus dem entwickelten Fehlersch tzer resultierenden Indikatoren sehr gute Ergebnisse liefern Auch f r komplexe Probleme z B mit unstetigen Koeffizienten entsprechen die erhalte nen Gitter den zu erwartenden Ergebnissen Vergleiche mit uniform verfeinerten Rechen gittern mit wesentlich h herer Anzahl von Unbekannten haben gezeigt da mit den an gepa ten Gittern gleiche Ergebnisse in k rzerer Zeit zu erhalten sind Ein besonderer Schwerpunkt lag bei den Testrechnungen auch darauf eine einfache Handhabung des Algorithmus zu erreichen Es wurden Voreinstellungen f r die Steue rungsparameter gesetzt Hier mu jedoch gesagt werden da nicht alle Parameter pro blemunabh ngig voreingestellt werden k nnen Testreihen f r die Zeitschrittweitensteue rung zeigten da das heuristische Verfahren gute Ergebnisse liefert Auch im Fall der Linearisierung mit Werten aus dem vorher
134. eteilt und anhand derer die geomet ry Datei mit insge samt vier Gebietsuntereinheiten Subdomains generiert Dieses Vorgehen kann unter Umstanden auch mittels kommerzieller Programme z B ProEngineer automatisiert werden falls entsprechende Schnittstellen geschaffen werden Abb 9 9 d f Gitter zur Ansicht der Modellgeometrie von oben aus s dlicher Richtung 80fach berh ht Die hydrogeologischen Parameter wurden aus dem zweidimensionalen geeichten Mo dell bernommen und durch gemessene Werte erg nzt siehe Tabelle 9 2 Der Aquifer wurde in insgesamt vier Untereinheiten eingeteilt wobei im wesentlichen nur die Perme abilit t variierte Diese ist anisotrop Sie ist in vertikaler Richtung gegen ber dem Wert in horizontaler Richtung reduziert Die transversale Dispersion konnte leider nicht nach ho rizontaler und vertikaler Richtung unterschieden werden Daher ist die transversale Di 185 Tabelle 9 2 Modellparameter zur Simulation des Palla Road Aquifers Parameter Zone MM1 Zone MM2 Zone TM1 Zone TM2 horizontale 2 13 12 15 14 Permeabilitat Khorizontal LM 6 83 10 3 25 10 6 83 10 3 25 10 vertikale Permeabilitat vertika M Porosit t o 0 20 0 20 0 10 0 10 longitudinale Dispersion 1 371018 6 50 10 1 37 10 6 5 10 a m transversale Dispersion Krim Diffusions koeffizient Dm m s spersionsl nge von 6
135. eteilt werden Die verbleibende Aufgabe war dann die Elemente und die abh ngigen Datenobjekte auf ihr neues Ziel zu bertragen Aufgrund der Flexi bilitat der implementierten Datenstruktur war dies eine hochkomplexe Aufgabe In den Proze der Lastmigration werden alle Prozessoren einbezogen Er erfordert das L schen von alten horizontalen und vertikalen berlappungsgebieten sowie das Erstellen neuer berlappungsgebiete F r das L schen der berlappungsgebiete wurde eine L schhier archie implementiert Die Realisierung der Lastmigration auf Ebene der Nachrichten bertragung PPIF w rde zu einer parallelen Software f hren die schwierig zu entwickeln und zu warten ist Aus diesem Grunde wurden neue Programmiermodelle entwickelt die die Funktionalit t des Verteilens von Datenobjekten zwischen lokalen Speichern von Parallelrechnern unter st tzen F r die Anwendung des d f erwies sich das DDD Dynamic Distributed Data als geeignetes Modell 21 20 Die Mehrgitterstruktur des d f wurde an das Schema der verteilten Graphen angepa t Das DDD minimiert au erdem das Volumen des Daten transfers zwischen den Prozessoren und die Anzahl der Nachrichten bertragungen 93 5 3 5 4 Transparenz W hrend der Entwicklung des parallelen Programmcodes des d f war es das Ziel dem Anwender die gleiche Arbeitsumgebung und Funktionalitat wie in der seriellen Version zu gewahrleisten Dieses Ziel konnte in vollem MaBe erreicht werde
136. ethod for Convection Diffusion Problems Notes on Num Fluid Mech 59 227 243 1997 Johannsen K Lang S Neuss N Rentz Reichert H Bastian P Birken K Wieners C UG a flexible software toolbox for solving partial differential equa tions Computing and Visiualization in Science 1 27 40 1997 Juttner U Der Konverter dxf2msh Institut f r Str mungsmechanik und Elektro nisches Rechnen im Bauwesen Universitat Hannover 1997 Jussel P Stauffer F Dracos T Transportmodeling in heterogeneous aqui fers 1 Statistical description and numerical generation of gravel deposits Water Resources Research 30 6 1803ff 1994 Kasper H Rother T Geometrische Beschreibung der hydrogeologischen Si tuation Internes Papier 1996 Kasper H Taniguchi T Kosakowski G Dreidimensionale Hydrogeologische Modelle zur Finite Elemente Analyse geogener Str mungs und Transportpro zesse In GIS in Forschung und Praxis Hrsg Dr G Buziek Konrad Wittwer Ver lag 1995 217 86 87 88 89 90 91 92 93 Kinzelbach W Oswald S Schwarz C Abschlu bericht der Arbeitsgruppe Kinzelbach zum Projekt Entwicklung eines schnellen Programms zur Modellie rung von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte ETH Z rich Institut f r Hydromechanik und Wasserwirtschaft 1998 Klinge H Vogel P Schelkes K Chemical Composition and Origin of Saline Formation
137. etraeder generiert Dabei k nnen am Rand Elemente entstehen die nicht optimal sind Prismengenerierung Wie oben beschrieben werden zwischen zwei Dreiecken drei Tetraeder generiert Dieses Volumen kann aber ebenso mit einem Prisma gef llt werden Das prisma tische Element hat den Vorteil da es im Gegensatz zu Tetraedern anisotrop ver feinert werden kann Beim anistropen Verfeinern werden einzelne Richtungen vom Verfeinern ausgeschlossen Dadurch kann nach mehreren Verfeinerungen ein iso tropes Gitter entstehen Die Seitenfl chen der Prismen bestehen aus Vierecken Hier k nnen als Nachba relemente keine Tetraeder verwendet werden da e ein nichtkonformes Gitter entstehen w rde und e die Seitenflachen der Prismen bilineare Fl chen sind die sich nicht mit zwei Dreiecksfl chen berdecken lassen ohne da ein Restvolumen brigbleibt Deshalb werden diese Seitenfl chen mit Pyramiden mit einer viereckigen Grund seite abgeschlossen Das verbleibende Volumen kann dann mit Tetraedern ge schlossen werden 5 3 1 6 Zusammenfassung Die bisher triangulierten Geometrien und die entsprechenden Rechnungen haben ge zeigt daB ein Gittergenerator entwickelt wurde der die gestellten komplexen Anforderun gen erf llt Die Erzeugung von Hexaedergittern hat sich als nicht als sinnvoll erwiesen Statt dessen wurde ein Generator zur Erzeugung eines Gitters aus Prismen Pyramiden und Tetraedern implementiert Die numerischen Eigenschaften
138. expandiertes 3D Modell 22 u424444444444RH RR RR 47 Das Verschneiden von Fl chen s444444444HHHRn nn nn nnnnnn ann 49 Beispiele f r 3D M delle nnm nee ee 50 Baryzentrische Zirkumzentrische und Aligned Finite Volumen 58 Analytische L sungen f r eine 1D Gleichung r4 444 61 Gitter und numerische L sung f r no upwind eee eee eee eeeeeeeeee es 66 Vergleich verschiedener Upwind Methodenn 2224444444HHHR nenne 67 Geschwindigkeitsapproximationen uuu 22244ssn sn nnnnennnnnnnnnnnnnnnnnnnn nen 71 Modellgebiet mit verschiedenen hydrogeologischen Einheiten 105 Modell Grenzen der hydrogeologischen Einheiten Grobgitter 106 Eine oder mehrere Isofl chen zur Konzentrationsdarstellung 106 Isolinien auf einer Schnittebene Grid Mode und Patch Mode 106 Geschwindigkeitsdarstellung Vektor und Schlierendarstellung 107 Darstelluingsm glichkeiten f r Particle Tracking n 107 Darstellung mit der Methode Probe uuuuur 24444nnnnnnnnnn ernennen 108 Problemdefinition nach 38 von Hydrocoin Level 1 Case 5 110 Adaptiv angepa tes Gitter nach 150 Jahren sse nenn 110 Konzentrations und Geschwindigkeitsfeld ss4444 gt 111 Definition des Henry Problems 444004444nnn0nnnnnnnnonn
139. fangsbedingungen und einer Untersuchung des Dispersionstensors wurden drei Wege zur Verifizierung des neuen Modellcodes d f beschritten Zun chst wurden die in der Literatur verwendeten Benchmarks auf ihre Verwend barkeit untersucht Dabei wurde festgestellt da sie entweder insensitiv sind Hen ry Problem keine exakte bzw analytische L sung besitzen Hydrocoin Level 1 Case 5 oder keine eindeutige L sung besitzen und als Experiment zu ungenau dokumentiert sind Elder Problem F r ein zweidimensionales stationares Problem konnte eine exakte L sung kon struiert werden Allerdings ist sie wieder durch die Stationarit t und die geringere Dimensionalit t in ihrer Testm glichkeit eingeschr nkt Da Bedarf nach objektiven Tests insbesondere nach instation ren Testf llen in drei Dimensionen bestand wurden sehr sorgf ltig kontrollierte Laborversuche durch gef hrt Diese wurden mit def nachgerechnet Bei den durchgef hrten Verifizierungsrechnungen zeigte sich da d f in der Lage ist die gestellten Aufgaben zu l sen Beim Henry Problem stimmen der analytische und nume rische L sung sehr gut berein Die L sung f r das Problem Hydrocoin Level 1 Case 5 entspricht denjenigen aus der Literatur Die Vergleichbarkeit h ngt jedoch sehr stark von der verwendeten Gitterfeinheit ab Anhand des Elder Problems wurden Untersuchungen zur Stabilit t und Eindeutigkeit der L sung durchgef hrt Leider sind die publizierte
140. fassung W hrend der Projektlaufzeit konnten gro e Fortschritte im Bereich der Fehlersch tzung und Gitteradaption f r die gegebenen Modellgleichungen gemacht werden Ein quantita tiver Fehlersch tzer wurde entwickelt Trotzdem ein komplexes nichtlineares Problem vorlag konnten Fehlerindikatoren zur Gitteradaption abgeleitet werden Es wurde ein ef fizienter Algorithmus zur Gitteradaption entwickelt und implementiert Auch wenn die theoretischen Grundlagen nicht bis ins letzte Detail gekl rt sind so ist doch ein solides Werkzeug entstanden um komplexe Problemstellungen auf gro en Modellgebieten zu berechnen Umfangreiche numerische Tests haben gezeigt da die entwickelten Fehlerindikatoren gut geeignet sind Die Gitteradaption erm glicht Berechnungen auf gro en Gebieten da die Gitterfeinheit in Teilbereichen grob gehalten werden kann Auch im Bereich der Zeit schrittweitensteuerung konnte allen auftretenden Schwierigkeiten begegnet werden Die implementierte Zeitschrittweitensteuerung hat gezeigt da sie auch bei komplexen Pro blemstellungen stabil arbeitet und gute Ergebnisse liefert 79 5 3 4 L sungsalgorithmen f r Dichtestromungen Die mathematische Modellierung von dichtegetriebenen Str mungen in por sen Medien f hrt bei Anwendung auf realistische Probleme zu sehr gro en Gleichungssystemen Diese Systeme k nnen dabei durchaus n 10 bis 107 Unbekannte haben Die Kom plexit t der gesamten Simulation h ngt
141. fektive Gesetze werden fur kleinskalige Permeabilitatskontraste benutzt deren typische Korrelationslangen unterhalb der Gitterfeinheit liegen Stochastische Modellierung wird zur Bestimmung der effektiven Gesetze fur den ersten Fall eingesetzt und f r gro skalige Heterogenit t in einem Aquifer deren r umliche Verteilung nicht bekannt ist x Explizite Darstellung von unterschiedlichen hydrogeologischen Einheiten werden eingesetzt wenn diese bekannt und gro genug zur Repr sentation auf dem Re chengitter sind In d f sind f r die letzten beiden Ans tze entsprechende Werkzeuge vorhanden Das Mo dell geht von mehreren hydrogeologischen Einheiten die vom Gitter exakt aufgel st wer den aus die ihrerseits eine interne stochastische Permeabilitatsverteilung haben k n nen Die effektiven Gesetze lassen sich in d f f r jede geologische Einheit einzeln ein setzen solange diese immer noch die Form der Gleichungen 4 2 4 3 4 5 und 163 4 4 haben Um diese M glichkeiten auch nutzen zu k nnen wurden zwei Testf lle ent wickelt die die F higkeit von def zeigen sollen mit explizit aufgel sten gro skaligen He terogenit ten und in dem 2D Testfall mit zus tzlichen Permeabilitatsvariationen innerhalb der geologischen Einheiten umzugehen Zum anderen wurden systematische Untersu chungen zur Wechselwirkung von Dichtestr mungen und Heterogenit ten durchgef hrt die einen Beitrag zum Problem effektiver Paramete
142. ffizienten und der anderen Koeffizienten der Gleichungen von den Unbekannten p und 19 c durch Materialgesetze und Zustandsgleichungen zu spezifizieren F r die Porosit t nehmen wir an da sie nur eine Funktion des Ortes ist Die Dichte wurde als Funktion von Salzmassenbruch und Temperatur angesetzt Damit wird eine Speicherung durch Kompressibilit t von Matrix oder Fluid mit Koeffizient s 999 gt pp vernachl ssigt In den meisten F llen ist diese Vernachl ssigung m glich da die Zeiten f r den Druck ausgleich deutlich kleiner sind als die Transportzeiten des Salzes In einigen Situationen aber kann diese Vernachl ssigung zu Problemen f hren Eine weitere Diskussion dieser Problematik findet sich im n chsten Unterkapitel Das durch die Gleichungen 4 1 4 2 und 4 3 definierte Problem kann erst eindeutig gel st werden wenn Anfangs und Randbedingungen angegeben werden die m glichen und sinnvollen Anfangs und Randbedingungen k nnen erst nach einer genaueren Bestimmung des Typs der Glei chungen festgelegt werden deshalb werden diese erst im Unterkapitel 4 4 besprochen 4 2 Der Charakter der Gleichungen Die Gleichungen 4 1 4 2 und 4 3 haben in den Ableitungen nach der Zeit unter den obigen Bedingungen an p und 6 nur den Salzmassenbruch aber nicht den Druck p stehen dementsprechend gelten die Umformungen IHP 9 pd c 46 A Opc PP cdp 4 7 Damit ist die Linearkombination 1 eP aL
143. g Wenn das transiente Verhalten des Elder Problems schon sehr empfindlich auf kleine n derungen reagiert so k nnte wenigstens noch die station re L sung dieses Problems sofern es sie gibt geeignet sein Benchmarking f r Codes zur Simulation von Dichtestr mungen im Grundwasser zu betreiben Doch die publizierten Salzverteilungen beim El der Problem f r lange Zeiten weisen auch Unterschiede auf Bei 35 finden sich sowohl L sungen mit einem Salzfinger und zwei Konvektionswalzen als auch solche mit zwei Salzfingern und vier Konvektionswalzen Wenn es f r das Elder Problem mehrere statio n re L sungen gibt so k nnte die gerade besprochene Instabilit t des transienten Ver haltens von der Originalanfangsbedingung zu verschiedenen station ren L sungen ver ol oo gt N a PT x h q ee ee x A R I gt gt FH Inn lt A AN ga en een N ae ele lt NY ad Vi a ree ee lAa ae ee ee ee a 2 Y ID y O oe fie a a Y A Poy wy NS ees Coe ren reat AA ps e a e a ae a Fell isa a eae date gh A eet ded eu Kyy NAAN y TAA ee ee l ee Abb 6 11 Geschwindigkeitsfeld mit zwei Salzfingern im station ren Zustand 143 Diese L sung wurde auf einem adaptiven Gitter mit bis zu 160 000 Unbekannten im transienten Verlauf mit einer asymmetrischen Anfangsbedingung berechnet Die simulierte Zeit betr gt 200 Jahre und die Ergebnisse sind in guter N herung station r
144. g 4 3 J sde c p c s 5 68 SCV wobei c c f rs gt Oundc c Konzentration im Gebiet sonst ist Linienquellen die parallel zur z Achse ausgerichtet sind werden in der Projektion in die xy Ebene in der sie als Punkte erscheinen in einem Quadtree verwaltet Zur Bestim mung welche achsparallelen Linienquellen sich mit einem gegebenen Subkontrollvolu men schneiden wird auch dieses Subkontrollvolumen in die xy Ebene projiziert Dann werden alle Kandidaten in einem umgebenden Rechteck gesucht Nur f r diese Linien quellen werden die Schnittpunkte der Linie mit den Seitenfl chen des Subkontrollvolu mens bestimmt aus diesen Schnittpunkten und den Endpunkten der Linie ergibt sich die Schnittmenge deren L nge vor allen Dingen interessant ist Sie entspricht der Lange des Teilst ckes des Brunnens der im betrachteten Volumen enthalten ist Die integrierten Quellterme werden in diesem Falle durch sdx Ip c s 5 69 SCV beziehungsweise s dx Ic p c s 5 70 SCV 101 berechnet wobei in diesem Falle s die Volumenzugabe pro Brunnenl nge ist Nicht achsparallele Linienquellen werden nur sequentiell gespeichert und lassen deshalb keine schnellen Suchoperationen zu Dementsprechend sollten so viele Linienquellen wie m glich durch achsparallele Linienquellen dargestellt werden Die Berechnung der Schnittl nge mit einem Subkontrollvolumen geschieht bei nicht achsparallelen Linien quellen genauso wie
145. g ist der Effekt der das Tracerexperiment erm glicht Die Gr e 1 T verh lt sich unter geeigne ten Bedingungen n herungsweise proportional zur Konzentration des paramagnetischen lons in L sung 32 110 wohingegen der Einflu der Konzentration auf T gt f r kleine Konzentrationen nur gering ist Beide Wechselwirkungszeiten T4 und Tp bestimmen zu sammen mit den Parametern des Me verfahrens wie etwa Tp und T und die Struktur 135 des por sen Mediums das gemessene Signal innerhalb eines Voxels Mittels einer Ei chung die die gemessenen Signalst rken in Verbindung zur effektiv vorhandenen Kon zentration des NMR Tracers setzt l t sich aus der jeweiligen Signalstarke die Konzen tration bestimmen Allerdings ist diese Eichung abh ngig vom Me verfahren von der po r sen Matrix und eventuell auch von gel sten Stoffen die neben dem NMR Tracer im Wasser vorhanden sind Die Parameter des Me verfahrens wurden so gew hlt da f r eine CuSO L sung in dem verwendeten por sen Medium eine monotone in guter N herung lineare Abh ngigkeit der Signalst rke von der Konzentration zu beobachten war Dabei wurden Konzentrationen in einem Bereich zwischen 0 mmol l und 12 mmol l ver wendet Diese Konzentrationen reichen aber nicht aus um die f r den hydrodynamischen Versuchsablauf notwendige Dichte berh hung gegen ber tracerfreiem S wasser zu erzielen Deshalb wurde zus tzlich zum NMR Tracer CuSO auch noch NaCl
146. gebiete im dxf For mat Im 2D Fall wird ein Gebiet in Form eines Vertikalschnittes und im 3D Fall in Form von mehreren Tiefenlinienpl nen und des Planes der Gel ndeoberkante dargestellt Sol che Dateien k nnen z B mit AutoCAD erzeugt werden Um eine m glichst einfache und fehlerfreie Konvertierung der Daten zu gew hrleisten sind bei der Erstellung die in 84 beschriebenen Vorgaben einzuhalten Unter einem Vertikalschnitt versteht man die Darstellung der Schichtenabfolge auf einer vertikalen Fl che siehe Abb 5 1 Die Vertikalschnitte enthalten Polygonz ge die die Grenzen zwischen benachbarten hydrogeologischen Einheiten beschreiben Neben den geometrischen Informationen sind z B Bohrlochlokationen und Legenden in den Dateien enthalten F r die Modellierung m ssen die f r die geometrische Beschreibung relevan ten Informationen herausgefiltert und analysiert werden Im dreidimensionalen Raum werden die Grenzen benachbarter hydrogeologischer Ein heiten durch Fl chen beschrieben deren Beschreibungen i a in Form von Tiefenlinien pl nen vorliegen siehe Abb 5 1 41 bb 5 1 Vertikalschnitt und Tiefenlinienplan 5 2 2 Datenaufbereitung Mit dem entwickelten Filter dxf2msh 82 werden die geometrischen Informationen aus den dxf Dateien automatisch in ein f r den Pr prozessor lesbares Format konvertiert F r die Darstellung der Tiefenlinien und allgemein
147. gebietes definiert sind m ssen zur L sung ebenfalls angegeben werden Das Gleichungssystem ist entsprechend den gegebenen Verh ltnissen f r gro e geolo gisch komplexe Systeme dreidimensional und zeitabh ngig eventuell bis zum Erreichen station rer Verh ltnisse zu l sen Die hydrogeologische Situation Permeabilitaten Po rositaten Diffusivit ten und Dispersionslangen die durch gro e Inhomogenitaten und starke Anisotropien gepr gt sein kann mu modelliert werden k nnen Dabei k nnen z B Permeabilitatskontraste mehrere Gr enordnungen betragen Auch sind Quellen und Senken f r Wasser und gel stes Salz bei der Modellierung in Betracht zu ziehen 2 1 Stand der Dichtestr mungsmodellierung zu Projektbeginn In den Jahren 1984 bis 1994 ist im Rahmen der hydrogeologischen Vergleichsrech nungen von Hydrocoin 156 und Intraval Phase 1 und Phase 2 157 44 137 ver st rkt an und mit Grundwassermodellen f r Dichtestr mungen gearbeitet worden In Hy drocoin Level 1 wurde eine sehr einfache zweidimensionale Idealisierung homogen iso trop eines Deckgebirges ber einem Salzstock in Anlehnung an die Verh ltnisse in Norddeutschland modelliert W hrend im oberen Teil des Grundwasserleiters in diesen Modellrechnungen S wasser angetroffen wird ist das Grundwasser in einer Tiefe von 300 m nahezu salzges ttigt Die Ergebnisse der einzelnen Bearbeitergruppen mit ver schiedenen Computerprogrammen unterscheiden sich
148. gehenden Zeitschritt konnten gute Ergebnisse erzielt werden Massenerhaltung Einer der Anspr che an die Software war da die Erhaltungsgleichungen erf llt sind Die Diskretisierung erf llt diesen Anspruch Durch die Gitteradaption kann es zu Fehlern in der zeitlich globalen Massenerhaltung kommen Dies ist darauf zur ckzuf hren da bei einem Gitterwechsel die Daten auf ein neues Gitter interpoliert werden m ssen Es zeigt sich da durch Verfeinern der Gitter keine Fehler in der Massenbilanz auftreten nur durch Vergr bern kann es zu Fehlern kommen Als einfachstes Restriktionsverfahren werden die Werte auf die Knoten projiziert die im gr beren Gitter die gleichen Koordina ten haben Falls ein solcher Knoten nicht existiert wird der Wert im weiteren ignoriert 77 Dieses Verfahren erzeugt Fehler in der Massenbilanz Es wurden weitere m glicher Ver fahren erarbeitet die geringere oder gar keine Fehler in der Massenbilanz erzeugen Praktische Rechnungen haben gezeigt da die Fehler in der Massenbilanz die L sung nur unwesentlich oder gar nicht ver ndern Dies liegt unter anderem daran da die Mas sen nur dann nicht erhalten werden wenn das Gebiet vergr bert wird In den Bereichen in denen vergr bert wird sind die nderungen in der L sung relativ klein Somit ist auch der Einflu des Defektes in der Massenbilanz zu vernachl ssigen Punkt und linienf rmige Quellen und Senken Punkt und linienf rmigen Quel
149. gen Mit der Zeit wachsen die Finger sowohl S wasser als auch Salzwasserfinger weiter an Die Finger k nnen sich gegenseitig beeinflussen Es kann zur Vereinigung von Fingern zu einem neuen breiteren Finger kommen Durch Dispersion vermischen sich Salz und SUBwasser auch in gewis sem Ma e bei diesen Flie vorg ngen ebenso durch molekulare Diffusion aber auf der beobachteten Zeitskala bleibt die Grenzschicht zwischen Salz und S wasser schmal 149 Abb 7 10 Berechnete Konzentrationsverteilung zu Versuch b nach 12 5 min Die Berechnungen wurden mit Hexaederelementen und einem Zeitdiskretisierungsschema h herer Ordnung durchgef hrt Um ein Ma f r die Instabilit t angeben zu k nnen werden oft dimensionslose Stabili t tszahlen verwendet So gibt es f r eine Situation eines linearen Konzentrationsgradi enten von einem oberen Rand mit c 1 und einem unteren Rand mit c 0 die Rayleigh Zahl Ap k g H wobei H die H he angibt Seitlich ist das System dabei unendlich ausgedehnt F r den hier beschriebenen Fall des Fingerings ausgehend von einer instabilen berschichtung mit sehr schmaler Grenzschicht ist die Rayleigh Zahl nicht ad quat da hier nicht von einem linearen Konzentrationsgradienten in der Grenzschicht ausgegangen werden kann Geht man aber dennoch n herungsweise davon aus so gibt die Rayleigh Zahl f r Breiten der Vermischungszone gr er als einige Millimeter an da die Situation nicht stabi
150. gitters sicher 94 5 3 6 Zufallsgenerator f r stochastische Modellierungen der Permeabilitat Physikalische ortsabh ngige Eigenschaften des Aquifers werden im Programmpaket def im allgemeinen schichtweise angegeben wobei innerhalb der Schicht die Eigenschaft eine Konstante oder eine einfache Funktion der Orts und Zeitkoordinaten sein kann die noch ber eine Parameterliste spezifiziert werden kann Doch f r die Permeabilitat die zentrale Gr e bei der Grundwassermodellierung werden gro e Variationen beobach tet Gleichzeitig ist eine Vermessung dieser Gr e nur eingeschr nkt m glich Dieses Problem wird zum einen durch die Annahme einer homogenen Permeabilitat mit einem wahrscheinlichen Mittelwert der Permeabilit t umgangen als auch durch sogenannte Monte Carlo oder Multirealisationsrechnungen Um im Programmpaket d f auch beide M glichkeiten einfach realisieren zu k nnen wurde ein Zufallsgenerator in das Pro gramm eingebaut dessen Zufallsfeld alternativ zu den einfachen Funktionen oder den Konstanten als Permeabilit tsverteilung genutzt werden kann Dieser Generator orien tiert sich an dem in 129 vorgestellten Generator f gen Beide Generatoren nutzen die Entkopplung der Frequenzen der Fouriertransformierten der Autokorrelationsfunktion Dementsprechend k nnen im Fourierraum f r unterschiedliche Frequenzen statistisch unabh ngige normalverteilte komplexe Zufallswerte mit Mittelwert und Varianz in Ab h ngigkeit
151. gkeitsfeldern zum Anfangsverhalten des Elder Problems nach innen gerichtete Geschwindigkeiten in den beiden Ecken mit Dirichlet Randbedin gung f r den Druck zu sehen Diese Geschwindigkeiten sollten in einem abgeschlosse nen Modell nicht vorkommen und es stellte sich die Frage ob diese Geschwindigkeiten auf numerischen Fehlern oder auf Inkonsistenzen in der Problemformulierung beruhen Bei Rechnungen mit d f siehe Abbildung 6 7 konnten diese artifiziellen Geschwindig keiten in den Ecken auch beobachtet werden und sie wurden mit zunehmender Verfei nerung immer gr er Dadurch wird das globale Str6mungsfeld durch einen Flu aus der Ecke in die Mitte des Gebietes dominiert Aus den Gleichungen 4 2 und 4 3 l t sich jeweils die nderung der Gesamtmasse im Gebiet berechnen Nach Gleichung 4 2 ist Abb 6 7 Anfangsgeschwindigkeit mit inkonsistenten Randbedingungen Aus Symmetriegr nden wird nur die H lfte des Modellgebietes abgebil det 143 Aes dm fop Ja op Ve pq pq n 6 77 Q Q Q r D h die Masse im Gebiet ndert sich wegen der undurchl ssigen R nder nicht Aber nach der Salzmassenerhaltung 4 3 gilt die Absch tzung dm fop f pp f pa c gt 0 6 78 Q Q weil f r die Anfangszeit berall c 2 0 und am oberen Rand strikt d c gt 0 ist Somit haben wir einen Widerspruch zwischen der Gleichung 6 77 und der Ungleichung 6 78 Die Differenz zwischen den beid
152. halten des nichtlinearen Glei chungssystem ber cksichtigt Um den Aufwand des nichtlinearen L sers zu minimieren wurde ein Verfahren entwickelt das eine Linearisierung aus dem nichtlinearen iterativen Proze als approximierte Jacobi Matrix verwendet Die Steuerung zur Anwendung die ses Verfahrens wurde an die nichtlineare Konvergenz angepa t Neben dem Newton Verfahren wurde ein nichtlineares Mehrgitterverfahren mit nichtli nearem Gau Seidel Verfahren oder nichtlinearem symmetrischem Gau Seidel Ver fahren als Gl tter implementiert Beim nichtlinearen Mehrgitterverfahren wendet man das Mehrgitterverfahren direkt auf die gegebene nichtlineare Gleichung an Die Rechnung setzt sich wieder aus Gl ttungsschritten und Grobgitter Korrekturen zusammen Vor al lem letztere bekommen einen nichtlinearen Charakter Das nichtlineare Mehrgitterverfah ren unterscheidet sich vom linearen durch die Transformation der Grobgitter Korrektur sowie des Gl ttungsverfahrens Eine Optimierung des Verfahrens das auch eine Optimierung der Datenstruktur in UG f r das nichtlineare Mehrgitter erfordert konnte im Rahmen des Projekts nicht mehr durchgef hrt werden Bei bisher durchgef hrten Modellrechnungen wurde ein deutlich h herer Aufwand als mit dem Newton Verfahren festgestellt Linearer L ser Das aus dem Newton Verfahren entstehende lineare Gleichungssystem wurde mit dem klassischen Mehrgitterverfahren gel st Die Grobgittermatrizen erh lt man
153. hen benachbarten Tiefenlinien pl nen durch neue k nstliche Fl chen geschlossen Der Modellaufbau erfolgt dabei durch sukzessives Hinzuf gen der einzelnen Tiefenlinienpl ne zu einem bereits vorhan denen Modell Dieses Modell besteht am Anfang entweder aus einer u eren Berandung in Form eines Dreiecksnetzes oder nur aus einer oberen Grenze z B der Gel ndeober kante wobei diese auch aus einem Tiefenlinienplan erzeugt werden kann Ein Tiefenlinienplan wird hinzugef gt indem das Ausgangsmodell ein beliebiges Drei ecksnetz mit dem neuen Tiefenlinienplan verschnitten wird siehe Abb 5 6 Dieser Pro ze f hrt zu Fl chennetzen mit teilweise isolierten oder im Raum endenden Fl chen Bei der Modellierung ist au erdem auf eine konsistente Abbildung der Subdomains zu ach ten d h m gliche Durchdringungen der modellierten Fl chen m ssen lokalisiert und kor rigiert werden F r die Generierung der Randbeschreibung eignen sich diese Fl chen nicht da hiermit kein geschlossenes Volumen definiert werden kann Drei Methoden zum Schlie en der L cken wurden entwickelt 5 Erstellung eines vertikalen Randes und Verschneidung Basierend auf dem freien Randpolygon einer Fl che wird eine neue vertikale Fl che erzeugt die mit dem bestehenden Modell verschnitten wird Man erh lt wieder im Raum endende Fl chen Diese k nnen lokalisiert und weiterverarbeitet oder ge l scht werden interaktive Auswahl von Polygonz ge und anschlie
154. her Logarithmus der Permeabilit tsverteilung 165 L sung des Layered Saltdome Problems uus sssr244s ss ennneeeen 166 Gebiet und Randbedingungen f r das Coast Problem 167 Salzverteilung auf einem Schnitt nach 1 bzw 2 5 Jahren 168 Logarithmus der Permeabilit tsverteilung uusuus4 444er 169 Konzentrationsverteilung nach 1 2 1 und 3 Jahren 170 Logarithmische Darstellung der Permeabilitatsverteilung 171 Konzentrationsverteilungen mit stochastischer Permeabilitat 172 Geschwindigkeitsfeld nach 5 18 Jahren c ssscccceeeeeessseeseeeeeeees 173 238 Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb 8 11 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 9 10 9 11 9 12 9 13 9 14 9 15 10 1 10 2 10 3 Korrelation zwischen Permeabilitat und Konzentration 174 Vertikalschnitt durch Gebietsgeologie nach 102 176 Schichtenfolge im Modellgebiet Weizhou usr2244440 nennen 177 Beschreibung verschiedener Schichten durch Tiefenlinienpl ne 178 Unterteilung der obersten Schicht in Untergebiete 179 Station re Konzentrationsverteilung im Vertikalschnitt 180 Konzentration 20 Jahre nach Beginn der Gru
155. his insufficiency a fast computer code named df distributed density driven flow was developed In contrast to the other codes already existing hydrogeolog ical units have only to be defined by structure contour maps or cross sections Hydroge ological parameters as for instance permeabilities porosities and tortuosities may be de fined as spatial functions High importance was attached to numerical algorithms Linear and nonlinear solving strategies based on unstructured grids were implemented as well as adaptivity in space and time controlled by quantitative error estimators allowing refine ment and coarsening respectively Multigrid techniques are used as fast solvers In ad dition to serial computing the code can be run on massively parallel computers Graphi cally interactive pre and postprocessing tools were developed After completion ofthe developmental work the def program package offers a tool to mod el large hydrogeologically complex regions With the use of massively parallel comput ers the computing time can also be kept within acceptable limits with this program The numerous test calculations and applications performed are documented in this final re port Future application fields for d f include the following problems Modelling of salt water in trusion in coastal areas or the ascent of salt water into wells upconing and groundwater movements in the region surrounding salt domes Despite the progress achieved
156. htlich ist Damit bleibt das Elder Problem nur noch zum Benchmarking durch wiederholte Gitterverfeinerung nutzbar Die hier pr sentierten station ren L sun gen wurden mit 100 000 bis 160 000 Unbekannten berechnet 6 4 Benchmarking mit vorgegebener L sung Zu den Gleichungen 4 2 und 4 3 gibt es keine nicht trivialen Probleme bei denen die analytische L sung bekannt ist Das von 73 vorgeschlagene Meerwasserintrusi onsproblem das in diesem Bericht im Unterkapitel besprochen wurde besitzt keine ana 124 lytische L sung Das von Henry pr sentierte L sungsverfahren ist ein spektrales Galer kin Verfahren es stellt nur eine ungebr uchliche Diskretisierung dar 127 Zum ande ren basiert sein Problem auf der Overbeck Boussinesq Annahme so da beim Vergleich zwischen einer semi analytischen L sung von Henrys Aufgabe und einer numerischen L sung des Gleichungssystems 4 2 und 4 3 sowohl Fehler in der semi analytischen L sung als auch Approximationsfehler durch die Overbeck Boussinesq Annahme wie Fehler der numerischen L sung aussehen k nnen Gerade deshalb ist es notwendig ei nen weiteren Testfall zu kreieren dessen L sung im Rahmen der vorgestellten Gleichun gen exakt bekannt ist und bei dem Abweichungen von dieser L sung nur auf Fehlern in der numerischen Approximation beruhen k nnen Derartige Beispiele lassen sich kon struieren indem zwei beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen p und c
157. iablen dienen der Druck p und der relative Salzmassenbruch c Im Gegensatz zu anderen Autoren wie z B 66 75 und 91 wird auf die Verwendung der Oberbeck Boussinesq Approximation ver zichtet Bei dieser N herung die zu einer erheblichen Vereinfachung der Differential gleichungen f hrt werden alle Dichte nderungen bis auf die in dem Auftriebsterm pg in der Darcy Gleichung 4 5 vernachl ssigt Diese Approximation ist aber nur f r geringe Konzentrationen anwendbar 97 Von besonderer Bedeutung ist die Angabe der Konzentration Sie wird als relativer Mas senbruch f r Salz angegeben Cc m bs Sal C rel Cabs max MSalz F MHo Hierbei sind die Konzentrationen auf der rechten Seite der Gleichung absolute Massen br che Im folgenden repr sentiert das Symbol c stets den relativen Massenbruch c Das Maximum der Konzentration kann entweder der Massenbruch ges ttigter Salzlauge oder aber der im konkreten Problem auftretende maximale Massenbruch sein Konsistent dazu wird die maximale Dichte die zu dieser maximalen Konzentration geh rt bei Refe 17 renztemperatur angegeben In diesem Modell wird der Einflu der Temperatur auf die S ttigungkonzentration vernachl ssigt Es werden also Effekte wie z B Nachl sung nicht ber cksichtigt Der Zusammenhang der Konzentrationsangabe als Massenbruch caps mit der Angabe als Masse pro Volumen cy ist durch CVol zZ Cabs pP gegeben 4 1 Die partiel
158. ich von 0 C bis 100 C reicht Folgende Funktionen sind f r die relative Dichte pg implemen tiert 1 Konstante Dichte Po 8 1 4 38 2 Reale Dichte _ 999 79 Po 998 2 LES EE 4 39 6 562 10 2 166 ee 4 5 2 Die Viskosit t F r die dynamische Viskosit t in Abh ngigkeit von Konzentration und Temperatur wird ebenfalls ein Separationsansatz benutzt u c 8 po HCC Ho 0 4 40 Analog m ssen relative Viskosit ten in Abh ngigkeit von Konzentration und Temperatur vorgegeben werden u c 0 89 c Co 0 M c und Ho 0 4 41 Ho Ho 35 Hierbei entspricht uo der Konzentration c 0 und der Referenztemperatur 09 20 C Dieses ist die Frischwasserviskosit t ly Wlc 0 0 20 C 1 002 x10 kgm ss Der Wert der maximalen Viskosit t Wmax bei der maximalen Konzentration Caps max 0 26 und bei 85 20 C betr gt 1 c 1 0 20 C 1 990x10 kgm s Umax Abh ngigkeit von der Konzentration F r die relative Viskosit t u sind folgende Funktionen implementiert 1 Konstante Viskosit t u c 1 4 42 2 Lineare Viskosit t u u u c eyi nity 28 4 43 c u u u 0 3 Reale Viskosit t ERTL BL cee ae He z 3 abs max 2 abs max 4 44 44 5 c Cc abs max Diese Relation beschreibt die Messungen an NaCl Lauge bei 20 C am besten 101 36 Abh ngigkeit von der Temperatur Die relativen Viskosit tsfunktionen in Abh
159. iel dieses Aufgabenbereiches war es einen a posteriori Fehlersch tzer f r die Finite Volumen Diskretisierung zu entwickeln Dieser Fehlersch tzer soll als Grundlage f r ei nen Algorithmus zur Gitteradaption verwendet werden Eine Gitteradaption ist notwendig da Modellgebiete von hoher Komplexit t und gro er Ausdehnung bearbeitet werden m ssen Durch adaptive Gitter k nnen solche Probleme mit einer verh ltnism ig gerin gen Anzahl von Unbekannten hinreichend genau approximiert werden Zus tzliche sollte eine M glichkeit geschaffen werden die Zeitschrittweiten zu steuern Im allgemeinen werden f r die Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen Fi nite Element Verfahren benutzt Aus diesem Grund liegen auch f r diese Art der Appro ximation die meisten Untersuchungen ber Fehlersch tzer vor F r Finite Volumen Ver fahren existieren nur wenige Arbeiten F r unsere Arbeit grundlegend war eine Arbeit von Angermann 5 f r ein lineares Modellproblem mit konvektivem Anteil Die wesentlichen Arbeiten bez glich a posteriori Fehlerabsch tzungen f r elliptische Differentialgleichun gen beziehen sich auf lineare oder schwach nichtlineare Probleme F r die Behandlung von parabolischen Problemen liegen Arbeiten von Eriksson amp Johnson 40 41 42 und 43 aus den Jahren 1991 und 1995 vor Hier werden jedoch ebenfalls nur lineare und schwach nichtlineare Probleme und eine spezielle Zeitdiskretisierung betrachte
160. igen Simulationen weniger auswirken als im Fall Versuch a auch weil die Str mungssituation an sich nicht mehr so empfindlich auf kleine Dichte nderungen reagiert 160 Der Wert der Permeabilit t hat beim Saltpool Problem ebenfalls einen wesentli chen Einflu Zwar ist der Durchflu festgelegt und ergibt sich somit nicht wie im Falle eines vorgegebenen Druckgradienten aus der vorliegenden Permeabilitat Aber umgekehrt gibt die Permeabilitat bei vorgegebenem Durchflu den Druckab fall innerhalb des por sen Mediums vor Die Gr e dieses Druckabfalls durch die Str mung legt aber fest welche relative Gr en die Druck berh hungen besitzen die sich aus den Dichteunterschieden ergeben Davon h ngt ab wie stark sich die Dichteunterschiede auf die Str mung auswirken k nnen Letztlich sollte sich also eine verdoppelte Permeabilitat des por sen Mediums etwa so bemerkbar machen wie dies eine Verdoppelung des Dichteunterschieds tun w rde Durch Adsorption von Cu an den Glaskugeln k nnte eine Retardierung des NMR Tracers hervorgerufen werden Bei den vorliegenden Verh ltnissen kann eine solche Adsorption nicht vollst ndig ausgeschlossen werden Gegebenfalls betr gt der adsorbierte Anteil an Cu2 maximal einige Prozent vom nichtadsobierten Anteil Somit k nnte der Retardierungsfaktor maximal um wenige Prozent gr er als eins sein Die Gr e der Dispersivit ten wirkt sich stark auf den Vermischungsproze zwi sch
161. in 88 und 36 erl utert Das hei t da f r gro e Geschwindigkeitsvariationen innerhalb von Pyramiden numerische Artefakte in den ge schwindigkeiten entstehen k nnen Die nicht konsistente Form der Approximation von Darcy Geschwindigkeiten wird im Falle von Pyramiden benutzt da hier die Transforma tion auf das lokale Referenzelement unstetig ist Pyramiden werden jedoch nur aus geo metrischen Gr nden ben tigt um gemischte Gitter aus Prismen und Hexaedern zu er m glichen d h sie treten nur als Abschlu elemente und daher in relativ geringer Zahl auf Vom numerischen Standpunkt aus besitzen sie generell keine guten Eigenschaften 5 3 2 4 Zusammenfassung Die Diskretisierung bei Dichtestr mungsproblemen beruht auf einer Finite Volumen Me thode f r unstrukturierte gemischte Gitter Die Eigenschaft der lokalen Massenerhaltung ist gew hrleistet Dies gilt auch f r die Diskretisierung aller implementierten Randbedin gungen und der Quellen und Senkenterme Alle Nichtlinearit ten und Kopplungen der beiden Gleichungen werden in einer nicht ver einfachten Form erhalten nur die Umkehrpunkte zwischen Einstrom und Ausstrombe reichen werden explizit aus der L sung im dem vorhergehenden Zeitschritt berechnet F r Simulationen mit sehr gro en Zeitschritten steht eine explizite Linearisierung der Di spersion optional zur Verf gung Die gesamte analytische Linearisierung ist so imple mentiert da sie das Verhalten d
162. in Grundwassermodellrechnungen verwendete vereinfachende Ansatz mit Wasser konstanter Dichte S wasser f hrt im allgemeinen im Salzwasserbereich zu gr eren berechneten Flie geschwindigkeiten und damit im Sinne einer konservativen Betrachtungsweise zu k rzeren konvektiven Transportzeiten f r Radionuklide Derartige Rechnungen sind jedoch oft weit von der Realit t entfernt und k nnen unter Umst nden auch zu nicht konservativen Ergebnissen bez glich der potentiellen Ingestionsdosis f h ren Die Anforderungen die prinzipiell an Modelle f r Dichtestr mungen gestellt werden m s sen ergeben sich aus den realen Bedingungen die in den die Salzst cke umgebenden Grundwassersystemen vorliegen Neben den komplexen hydrogeologischen Gegeben heiten sind dabei Ablaugungsvorg nge Einfl sse von Temperatur und Salinit ts nde rungen Diffusionsvorg nge u zu ber cksichtigen F r die numerische Modellierung dieser Systeme stellen drei nichtlinear gekoppelte zeitabh ngige partielle Differential gleichungen f r Str mung Transport des gel sten Salzes und Transport der Energie die physikalischen Grundlagen dar Diese Gleichungen k nnen mit den unabh ngigen Va riablen Wasserdruck Salzkonzentration und Temperatur formuliert werden Die Kopplung erfolgt ber Stoffgesetze f r Dichte und Viskosit t Anfangsbedingungen f r die drei Va riablen sowie Randbedingungen die jeweils f r bestimmte Bereiche der Oberfl che des Modell
163. in the field of density driven flow modelling by the development of dF such modelling still rep resents a challenge to modellers and hardware even though many problems can now be solved Vorwort Das diesem Bericht zugrundeliegende Vorhaben wurde mit Mitteln des Bundesministe riums f r Wirtschaft und Technologie BMWi in der Zeit vom 1 Oktober 1994 bis 31 Dezember 1995 unter dem F rderkennzeichen 02 C 0254 6 und in der Zeit vom 1 Januar 1996 bis 31 August 1998 unter dem F rderkennzeichen 02 C 0465 0 gef r dert Die hier beschriebenen Arbeiten wurden von der GRS und in ihrem Auftrag von einer Arbeitsgruppe aus Mitarbeitern verschiedener Hochschulen durchgef hrt Dieser Arbeitsgruppe geh rten Mitglieder des Instituts f r Hydromechanik und Wasserwirt schaft der ETH Z rich Prof Dr W Kinzelbach des Institutes f r Angewandte Mathe matik der Universit t Erlangen N rnberg Prof Dr P Knabner des Institutes f r Ange wandte Mathematik der Universit t Freiburg Prof Dr D Kr ner des Institutes f r Angewandte Mathematik der Universit t Bonn Prof Dr M Rumpf des Institutes f r Computeranwendungen 3 der Universit t Stuttgart Prof Dr G Wittum und des Institu tes f r Str mungsmechanik und Elektronisches Rechnen im Bauwesen der Universit t Hannover Prof Dr W Zielke an Der vorliegende Abschlu bericht basiert auf den Endberichten der beteiligten Institutio nen 86 55 J 15 16 und 131
164. ion 20 Jahre nach Beginn der Grundwasserentnahme in einem einzelnen Brunnen Vertikalschnitt nach Modellrechnungen mit a in vertikaler Richtung f nffach berh ht dargestellt 181 Ausgehend vom berechneten station ren Zustand wurde die Situation einer Grundwas serentnahme untersucht Dazu wurde verschiedene Realisationen einer Entnahme in ih ren Auswirkungen auf die resultierende Salzkonzentration in dem entnommenen Grund wasser verglichen In der ersten Variante erfolgte die Entnahme in einem Brunnen in wei teren Varianten dann in zwei bzw vier Brunnen Dabei wurde die Entnahmemenge von 7000 m d jeweils gleichm ig auf die Brunnen aufgeteilt Die zwei bzw vier Brunnen wurden auf den Ecken eines Quadrats mit Kantenl nge 1 000 m zentral um den Standort des Einzelbrunnens positioniert In Abbildung 9 6 ist zu sehen wie ein Upconing der S Salzwassergrenzschicht unterhalb des Einzelbrunnen stattfindet Das Upconing in der Variante mit mehreren Brunnen ist dagegen weit weniger ausgepr gt Der Vergleich der Durchbruchskurven in den Entnahmebrunnen siehe Abbildung 9 7 zeigt da bei Entnahme in einem Einzelbrunnen der Anstieg der Salzkonzentration im entnommenen Wasser weit st rker ausgepr gt ist als in der Variante mit mehreren Brun
165. ioniert als Ganzk rperto mographen f r medizinische Zwecke Dementsprechend waren der Gr e des Experi ments Grenzen gesetzt Das Me verfahren benutzt eine zweidimensionale Spinechosequenz bei der in Abst n den der Zeit Tp jeweils ein Anregungspuls gefolgt von einem Lesepuls nach der Zeit Tg eingestrahlt wird Das dreidimensionale Volumen wird dabei in Schichten zeitlich kurz aufeinanderfolgend gemessen und zum 3D Gesamtvolumen zusammengesetzt Jede einzelne Schicht wird aus einem orthogonalen Raster von diskreten Me volumina auf gebaut die Voxel genannt werden F r jedes einzelne Voxel erh lt man in der Messung eine Signalst rke die dann dem Mittelpunkt des Voxels zugeschrieben wird siehe z B 134 61 Jede Schicht bestand hier aus einer Matrix von 128 X 128 Voxeln Die verwendete Spinechozeit Tg war 15 ms und die Wiederholungszeit Tp betrug 300 ms F r jede Mes sung wurden die gemessenen Signalst rken aus zwei Durchl ufen gemittelt um das Ver h ltnis vom Signal zum Rauschen zu verbessern Bei diesen Einstellungen dauerte eine Messung etwa 3 Minuten Als NMR Tracer eignen sich paramagnetische lonen wie Ni2 Cu oder Mn Sind diese in Wasser gel st so ver ndern sie durch ihren Spin das Ver halten des sie umgebenden Wassers und dadurch das gemessene Signal Allerdings be einflu t auch schon das Vorhandensein eines por sen Mediums die Reaktion der Was sermolek le signifikant gegen ber einer Tracer Was
166. jnse A A non linear theory of high concentration gra dient dispersion in porous media Advances in Water Resources 18 4 S 203ff 1995 Henry H R Salt Intrusion into Coastal Aquifers Doktorarbeit Columbia Univer sity 1960 Henry H Effects of dispersion on saltwater encroachment in coastal aquifers Sea water in coastal aquifers Geological Survey Water Supply Paper 1613 C pages C70 C84 1964 Herbert A W Jackson C P Lever D A Coupled Groundwater Flow and Solu te Transport With Fluid Density Strongly Dependent Upon Concentration Water Resources Research 24 10 S 1781ff 1988 Holzbecher E Modeling Density Driven Flow in Porous Media Springer Ver lag Berlin Heidelberg 1998 216 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 Hwang K Advanced Computer Architecture McGraw Hill 1993 Ikeda T Maximum principle in finite element models for convection diffusion phenomena North Holland Amsterdam New York Oxford 1983 Jensen K H Bitsch K Bjerg P L Large Scale Dispersion Experiments in a Sandy Aquifer in Denmark Observed Tracer Movements and Numerical Analy ses Water Resources Research 29 3 S 673 ff 1993 Johannsen K Aligned 3d finite volumes for convection diffusion problems In Vilsmeier R Benkhaldoun F editor Finite Volumes for Complex Applications 291 300 Hermes Paris 1996 Johannsen K An aligned 3D Finite Volume M
167. kalischen L sungen bemerkbar macht produziert In den obengenannten Ver ffentlichungen werden besser geeignete Verfahren wie exponenti al partial und hybrid upwind vorgeschlagen Alle Upwind Methoden k nnen praktisch dadurch erkl rt werden da sie die standardm ige lineare Interpolation f r reine Diffu Abb 5 9 Analytische L sungen f r eine 1D Gleichung f r verschiedene Verh ltnisse von Diffusion zu Konvektion lineare Kurve reine Diffusion unterste Kurve fast reine Konvektion 61 sionsprobleme durch eine besser geeignete exponentielle Interpolation ersetzen 4 In Abb 5 9 sind die L sungen f r eine einfache eindimensionale Konvektions Diffusions Gleichung f r unterschiedliche Werte f r Konvektion und Diffusion dargestellt Die obere lineare Kurve zeigt die L sung f r reine Diffusion w hrend die untere Kurve f r sehr star ke Konvektion gilt F r 2D und 3D Probleme ist die Situation nur f r sog zirkumzentrische Finite Volumen Voronoi Diagramme verstanden und in der Literatur beschrieben Dort erlaubt die spe zielle geometrische Situation es die lokale Diskretisierung wie im 1D Fall zu behandeln Unter Ausnutzung dieser Eigenschaft k nnen weit fortgeschrittene Upwind Modelle ent wickelt und ihre Auswirkung auf das Minimum Maximum Prinzip untersucht werden F r Dichtestr mungen und die hier gew hlte Finite Volumen Diskretisierung waren solche einfachen Erweite
168. keit der station ren L sung usssressssnnnnnnnnennnnnnnnnnnnnnnnnnn nn 121 Benchmarking mit vorgegebener L sung 22244s4HHnnnen nennen 124 Neue physikalische Testf lle in 3D uuuuuuunsnnnnennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnnn 133 Experimentelles Verfahren se see ee 134 Saltpool Testfall Upconing 2s2sor4nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 137 Aufbau und Ablauf des Experiments 240 4444440enn nennen nennen 139 Messung der Saltpool Testf lle u 24440004nnnnnnonnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 140 Me resultate Vers ch a u 2 140 Me resultate Versuch DB ee 142 Messung von Streichliniena 222 ae 144 Simulation der Saltpool Testf lle mit d f uaennaneaeanenenennenennenenennnnnenennnnn 146 Modellierung see a ee er ee 146 Ergebnisse ae ee 147 Eingering m eier 148 Aufbau und Ablauf des Experiments 240u4442440nn ne nnenennnnnnnnennnnnnnn 151 VII 7 3 2 7 3 3 7 4 7 4 1 7 4 2 7 4 3 8 1 8 2 8 3 9 1 9 1 1 9 1 2 9 1 3 9 2 9 2 1 9 2 2 9 2 3 10 10 1 10 2 11 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 Messung der Fingering Testf lle on sneenneeeeneeeseerrrrerrnnnrsrerrssrrrnnerrnn 152 Simulation des Fingering Testfalls mit df anneaenseneannenennnenennnnnnenennnnn 153 Vergleich mit anderen Rechencodes uunnsoreseennnnnnnnesnenennnnnsonsnnnnnnn 155 Rechnungen zum Saltpool Testfall zuurssssnnenssnnn
169. kt Gespeist wird der Aquifer im Untersuchungsgebiet von einem Zustrom im Westen Norden und S dosten Insbesondere das Gebiet n rdlich des jetzigen Brunnenfeldes sorgt f r einen Zustrom von Wasser guter Qualit t da dort keine berdeckende Basalt schicht vorliegt und eine vergleichsweise hohe Infiltration in den Aquifer stattfindet siehe auch Abbildung 9 8 Im Osten str mt das Grundwasser an einem bergang in eine an 183 dere geologische Formation aus dem Gebiet aus In der bestehenden Studie 146 ber das Modellgebiet wurde ein zweidimensionales horizontales Modell des Aquifers im Un tersuchungsgebiet erstellt In diesem Modell wurde die station re Str mung f r die Zeit vor den Grundwasserentnahmen unter Ber cksichtigung des Transports von Salz be rechnet und dann der bergang der letzten Jahre zum Verhalten mit Grundwasserent nahmen simuliert Allerdings wurden Dichteeffekte hierbei nicht ber cksichtigt 9 2 2 Vorgehen zur Simulation des Palla Road Aquifers mit d f Da das Gesamtgebiet sehr gro ist wurde nur der zentrale Teil des Gebietes f r die 3D Simulation mit d f ber cksichtigt Dazu wurde aus dem Grundwasserh henlinienbild des zweidimensionalen Modells wahrend der Grundwasserentnahmen ein Gebiet extra hiert das die Brunnen einschlie t das Randst ck mit dem Salzeintrag in den Aquifer ent h lt und als R nder ansonsten Grundwassergleichen des Modells oder undurchl ssige R nder besitzt sieh
170. l ist Faktisch ist das System aber von Anfang an instabil Solche Situationen treten auch in der Natur auf meist allerdings begleitet von einer zus tzlichen Querstr mung von Salz und oder S wasser Es handelt sich dabei charakteristischerweise um instation re Probleme wenn etwa eine Salzfront die auf einer undurchl ssigen Schicht vordringt ein Fenster mit h herer Durchl ssigkeit oder das Ende der undurchl ssigen Schicht er 150 reicht und dort nach unten sinkt Auch bei Sickerung aus Deponien k nnen Fahnen hoher Dichte entstehen die dann unter Bildung von Fingern absinken Die Verbindung des Ph nomens mit heterogenen Bodeneigenschaften wurde in diesem Testfall auch untersucht indem in den homogenen Beh lter ein Bereich mit erh hter Durchl ssigkeit eingebaut wurde Dieser kann bis zu einem gewissen Ma e auch das Wachstum der Finger kana lisieren Im durchl ssigeren Bereich ist die Entstehung von Fingern im Vergleich zum ge ringleitenden Teil beg nstigt da die Instabilit t gr er ist Die instabile Situation ist so wohl von der Ph nomenologie als auch von der numerischen Simulation her sehr an spruchsvoll So m ssen f r die Simulation anf ngliche St rungen verwendet werden die geeignet sind Finger zu initiieren Diese St rungen sollten aber andererseits den physi kalischen Charakter der Fingerentstehung nicht verf lschen Idealerweise sollten sie so gar explizit die durch die experimentellen Bedingungen
171. lation wird dieses Gitter um die Eulerwinkel ro tiert 5 F r anisotrope Medien wird der Permeabilitatstensor durch seine drei Eigenwerte und die drei Eulerwinkel welche die Rotation vom Hauptachsensystem der Perme abilit t in das Koordinatensystem des Modells beschreiben bestimmt Sowohl die Eigenfunktionen als auch die Eulerwinkel k nnen Konstante oder Ortsfunktionen sein Die Porosit t Hiermit ist die effektive Porosit t also diejenige die der Str mung zug nglich ist gemeint Sie wird f r jede hydrogeologische Einheit gesondert angegeben und kann ebenfalls kon stant oder eine Ortsfunktion sein Die Diffusion Die Diffusionskonstante im por sen Medium wird als Produkt aus freier molekularer Dif fusionskonstante mit Porosit t d und Tortuositat T angenommen Dm PmotTo 4 47 Es wird dabei davon ausgegangen da die freie Diffusion in jeder hydrogeologischen Einheit als konstant angesehen werden kann Im allgemeinen ist die Tortuosit t ein Ten sor zweiter Stufe um anisotrope Diffusion beschreiben zu k nnen Obwohl die in def verwendete Diskretisierung dieses zulie e wird nur isotrope Diffusion behandelt T kann konstant oder eine einfache Ortsfunktion sein Die Gravitation Der Gravitationsvektor zeigt in der Voreinstellung in die negative z Richtung und hat den Wert 9 81 ms Der Benutzer kann auch mit einem gedrehten Koordinatensystem arbei ten Dazu m ssen die entsprechenden Komponenten des Gravitations
172. len Differentialgleichungen Dichteabh ngige Str mungen werden durch zwei Massenerhaltungsgleichungen be schrieben von denen die eine die Erhaltung der Gesamtmasse und die andere die Er haltung der Salzmasse darstellt Mit den Bezeichnungen 6 f r die effektive Porositat p f r die Dichte des Fluids in Abh ngigkeit von Temperatur 6 und Salzmassenbruch c s f r die Massenzugabe pro Volumen Quell und Senkenterm und der Zerlegung des Mas senflusses in ein Produkt aus Geschwindigkeit g und Dichte l t sich die Gesamtmas senerhaltung in der Form dpp V qp s 4 2 schreiben F r die Salzmassenerhaltung wird angenommen da der Flu von Salzmas se sich aus einem konvektiven Flu der Salzmasse mit der oben definierten Geschwin digkeit q und einem dispersiven Flu gem Fickschem Gesetz zusammensetzt Damit wird diese Erhaltungsgleichung zu d opc V qpe p D Dp Ye So 4 3 18 wobei der Diffusions Dispersionskoeffizient in zwei Teile die molekulare Diffusionskon stante D und den Dispersionskoeffizienten D zerlegt wurde Dabei h ngt D nur vom Ort aber nicht von den Unbekannten der Differentialgleichungen ab w hrend D hinge gen von Druck p dem Salzmassenbruch c und deren Ableitungen abh ngen kann bli cherweise wird der Dispersionskoeffizient mit dem Scheidegger Ansatz 1 Dy u tijan ve Er angesetzt wobei der Tensor vierter Stufe Ayk sich je nach Isotropie Eigenschaften des Mediums a
173. len und Senken kommt aus mehreren Gr nden in der Git teradaption eine Sonderbehandlung zu Sie stellen Singularit ten in der L sung dar Die entwickelten Indikatoren sind f r solche Aufgabenstellungen nur unzureichend geeignet Singul re Problemstellungen w rden eine andere Theorie erfordern die aber noch nicht hinreichend entwickelt ist Um diese Schwierigkeit zu umgehen werden die Quellen und Senken nicht als punkt bzw linienf rmig angenommen sondern durch Quellen und Sen ken mit geringer Ausdehnung approximiert Dies stellt nur einen sehr kleinen Eingriff in die Berechnungen dar da sichergestellt wird da die Ausdehnung einer Quelle oder Senke kleiner ist als die kleinste m gliche Elementgr e so da die jeweiligen Finite Volumen Diskretisierungen identisch sind Solche Singularit ten f hren dazu da die L sung an Regularitat verliert Es ist zu er warten da der Approximationsfehler in der N he einer Quelle oder Senke wesentlich h her ist als in dem restlichen Gebiet Dies zeigen auch die praktischen Rechnungen Aus mathematischer Sicht w re es sinnvoll nur in der Umgebung einer Quelle oder Sen ke ein feines Gitter und im Rest des Gebietes ein grobes Gitter zu haben Aus praktischer Sicht ist man aber in der Regel nicht nur an dem Verhalten der L sung nahe der Quelle interessiert so da der Algorithmus geeignet modifiziert werden mu te Dabei werden die Elemente in der N he von Quellen oder Senken gesondert be
174. lf rmigen Gebiet mit zwei quaderf rmigen Einbauten wurde ein Testfall f r Meerwasserintrusion in drei Dimensionen entwickelt siehe Abbildung 8 4 Auch in die sem Fall wurde eine salzfreie Anfangsbedingung gew hlt und der Aquifer transient simu liert Bei den ersten Simulationen wurde am Meeresrand statt der Dirichlet Bedingung f r 166 Abb 8 4 Gebiet und Randbedingungen f r das Coast Problem Die rot und blau umrandeten K sten haben eine um den Faktor 100 klei nere Leitf higkeit als das restliche Gebiet Blaugestreift ist die hydrosta tische Randbedingung zum Meer angezeigt dort gilt eine Dirichlet Bedingung mit Meerwasserkonzentration Grau bedeutet Grundwasser neubildung aus dem salzfreien Niederschlag und braun hinterlegt ist der Rand mit hydrostatischer Frischwasserdruckverteilung und Konzentration null als Dirichletbedingung Die anderen Randfl chen sind impermeabel die Konzentration noch die Umschaltbedingung zwischen Ausstrom und Dirichlet Bedin gung gew hlt Doch diese Simulationen hatten gro e Konvergenzprobleme Eine Analy se der Geschwindigkeitsfelder ergab da es bei dieser Randbedingung zu verschiede nen transienten L sungen kommen kann Eine dieser L sungen hatte auch einen Aus strombereich unterhalb der schwachdurchl ssigen Schicht zur Meerseite und bei der anderen fand der ganze Ausstrom zur See im oberen Bereich des Randes statt F r die unstetige Randbedingung kann eine derartige Mehrdeu
175. lich geringer als in der Salzwasser schicht siehe Abbildung 7 5 Die gemessenen Durchbruchskurven variieren in diesem Fall etwas von Messung zu Messung Dies zeigt auf da diese Str mungssituation sehr sensitiv auf kleine nderun gen der Parameter reagiert Die Durchbruchskurven zeigen ein schwach ausgepr gtes Maximum bzw einen immer flacher werdenden Anstieg siehe Abbildung 7 6 Auf jeden Fall ist das Konzentrationsmaximum hier deutlich niedriger als im Versuch a sowohl in absoluten Konzentrationseinheiten als auch in relativen 142 Abb 7 6 Durchbruchskurven am Ausla f r Versuch b mit c 10 7 2 2 3 Messung von Streichlinien Mit dem verwendeten Me verfahren kann lediglich die Konzentrationsverteilung im Ge biet bestimmt werden nicht aber Dr cke oder Bahnlinien Um dennoch Informationen ber das Str mungsfeld zu bekommen wurde f r die Versuche a und b des Saltpool Testfalls jeweils eine zus tzliche Messung mit einer anderen Vorgehensweise vorgenom men Ziel war es die Bewegung von einzelnen markierten Fluidvolumina sichtbar zu ma chen und so Aussagen ber den Verlauf von Bahnlinien zu bekommen Me verfahren Versuchsaufbau und Vorgehen wurden analog zu den fr heren Versu chen gew hlt allerdings wurde das einstr mende Salzwasser nicht mit dem NMR Tracer Cu markiert Stattdessen wurde am Ende der zweiten Phase kleine Volumina mit CuSO L sung durch spezielle ffnungen im Beh lter in verschied
176. lick uuususssssnsnnnnnnnennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nn 199 Der Entwicklungsstand von O escesesccsessessesssesecsesssesesscsstseestseeeeecees 199 Verifizierung von df are 202 Feldanwendungen 222 see 204 Vorteile von d f gegen ber anderen Dichtestr mungsprogrammen 204 W nschenswerte Weiterentwicklungen von A n 205 Res mee ai Re ER ee etal l cakes 206 VIII 12 13 14 15 15 1 15 2 15 3 ETON ACU ar e E ctcacavecceceesceedeusaueseauaszesuscasvesaqeestoud see A A EET 209 Notation 0 Dee AEEA ae a EE E EAS E 229 Veranstallungen unse een 231 Ver ffentlich ungen i255 22 2 a de cacece GM Geue eet cea ese ear nnne 233 BAD a cs dedicat ee 233 POSIOR es rent ee nalen ee 234 Dissertationen zs elle 235 AbbildungsverzeiehniS 2 0 a eeaund 237 TabellenverzeichniS 24 3 00 042040020000B 0ER aaa aana anaE Parin E 240 Stichwortverzeichnis uus0 2000 000nan00nnannnnannunnannnnannnnannnnnannnn anne 241 IX 1 Einleitung Dichtebeeinflu te Grundwasserstr mungen treten in den verschiedensten Bereichen auf und sind deshalb von erheblichem Interesse So k nnen in K stengebieten durch tech nische Ma nahmen wie Trinkwassergewinnung Bew sserung und Abpumpen von Pol dergebieten Ver nderungen in den Grenzbereichen zwischen Salz und S wasser ent stehen Auf vielen Inseln sind die Bewohner zur Deckung ihres Trinkwasserbedarfs auf die Vorr te in S wasserlinse
177. llt In Abstimmung zwischen den oben genannten Institutionen wurden die Anforde rungen an ein schnelles Grundwasserprogramm im Hinblick auf die Str mungsverh lt nisse ber Salzst cken definiert Au erdem wurden die M glichkeiten entsprechender national und international bereits existierender Programme aufgezeigt sowie der dama lige Stand von Numerik und Hardware bez glich der Schnelligkeit und Effizienz der Re chenprogramme ausgewiesen Der Statusreport 45 diente vorrangig der Information des BMFT und des BMFT Sach verst ndigenkreises Endlagerung um Einvernehmen ber das weitere Vorgehen zu er reichen Er enthielt folgende Empfehlung der beteiligten Institutionen und des BfS f r das zuk nftige Vorgehen bei der Bereitstellung eines speziellen Grundwasserprogrammes zur Ber cksichtigung der Versalzung Die Hauptanforderungen an ein schnelles Grundwasserprogramm sind Effizienz und Rechengeschwindigkeit Diese sind nur durch Anwendung von Mehrgitterver fahren aufbauend auf einer Finite Volumen Diskretisierung und unter Nutzung moderner Parallelrechnerarchitekturen zu erf llen Keines der untersuchten Pro gramme ist in dieser Hinsicht zur Weiterentwicklung zu einem schnellen Grundwas serprogramm mit Ber cksichtigung von Dichteeffekten geeignet Eine Anpassung an diese Verfahren kommt einer Neuentwicklung gleich Deshalb ist ein Programm das diese Anforderungen erf llt zweckm igerweise neu zu entwickeln
178. lung ist es die Rechenleistung zwischen allen Prozessoren die f r die Simulation verwendet werden auszugleichen Unausgeglichene Verteilung bedeutet einen Verlust an Rechenzeit Die Last ist gegeben durch die Arbeit in jedem Zeitschritt der parallelen Simulation Assemblierung L sen Fehlersch tzung Gitterad aption und der Lastausgleich selbst Im Rahmen des Projekts wurde eine elementbasier te Verteilung implementiert da die elementbasierten Schritte Assemblierung Fehler sch tzer Gitteradaption die Knoten Vektor zentrierten Schritte im L sungsschritt ber wiegen Dies wurde mit Hilfe eines graphenbasierten Konzepts realisiert Hierbei m ssen folgende Punkte optimiert werden die die Qualit t der Lastverteilung beeinflussen Lastgleichheit zwischen den Prozessoren Aufwand der horizontalen Kommunikation w hrend des Gl ttungsschrittes Aufwand der vertikalen Kommunikation wenn der Defekt aufsummiert wird 92 In der Praxis k nnen diese Bedingungen nicht direkt minimiert werden Es wurden jedoch verschiedene Anstrengungen unternommen um das Problem einer guten Elementver teilung zu bew ltigen Eine einfache Strategie ist die Rekursive Koordinaten Bisektion RCB die auch in d f Anwendung findet 5 3 5 3 Lastmigration Eine neue Lastverteilung findet statt wenn dies durch das Schema der Lastverteilung bestimmt wird d h alle Elemente des Mehrgitters erhalten dann die Information ber den Prozessor dem sie zug
179. m eine Vereinfachung der Problemeingabe 205 die Schaffung bzw Vervollkommnung von M glichkeiten nicht nur graphische In formation sondern auch numerische Ergebnisdaten aus dem Programm zu bezie hen f r r umliche und zeitliche Massenbilanzen ber beliebige Fl chen e Durchbruchskurven an beliebigen Punkten Daneben gibt es eine Vielzahl von Erweiterungen f r dF die die Anwendungsm glich keiten wesentlich erweitern k nnen Bei der Konzeption und der Zusammenstellung der Anforderungen an eine Neuentwicklung lag das Schwergewicht auf der Anwendung effi zienter Algorithmen und moderner Rechnerarchitekturen Zu deren Gunsten wurden da mals verschieden F higkeiten die von einem fortgeschrittenen Programm zur Modellie rung von Dichtestr mungen erwartet werden k nnen nicht gefordert Um d f einem brei teren Anwendungsbereich zuf hren zu k nnen w ren folgende sinnvolle Erweiterungen denkbar die Ber cksichtigung der Wasserspeicherung durch Kompressibilit t freie Grundwasseroberfl che Zur Modellierung von Salzwasserintrusionsproblemen in K stengebieten ist die letzte Option unverzichtbar Erweiterung auf W rmetransport W rmeleitung der Gesteinsmatrix simultaner W rme und Salztransport E Transportprogramm mit R ckhaltemechanismen 11 6 Res mee Mit der Fertigstellung des Programmpakets d f ist es nunmehr m glich Berechnungen von Grundwasserstr mungen mit variabler Dichte f r gro
180. m Fallkann es notwendig sein sowohl zeitlich als auch r umlich zu interpolieren falls der betrachtete Zeitpunkt in einem Zeitschritt liegt beidem das Gitter adaptiv ge ndert wird Im folgenden sollen einige Darstellungsmethoden die in den Postprozessor integriert wurden und damit zur Visualisierung der Ergebnisse von Rechnungen mit d f zur Verf gung stehen dargestellt werden Der Einfachheit halber sollen in Unterkapitel 5 4 1 nur einige Beispiele f r die Darstellung von Daten dreidimensionaler Modelle gegeben wer den Analoge M glichkeiten stehen f r zweidimensionale Modelle zur Verf gung Weiter hin gibt es die M glichkeit Animationen zu erstellen Diese tragen nicht unerheblich zum Verstehen der komplexen Vorg nge bei Dichtestr mungen bei da sie die zeitliche Kom ponente der Prozesse sichtbar machen 5 4 1 Darstellungen von Daten Es gibt unterschiedliche M glichkeiten Modellgebiete darzustellen In Abbildung 5 13 ist ein dreidimensionales Modellgebiet im Patch Mode dargestellt Dabei sind den einzelnen hydrogeologischen Einheiten unterschiedliche Farben zugeordnet Abb 5 13 Modellgebiet mit verschiedenen hydrogeologischen Einheiten 105 In Abbildung 5 14 ist dasselbe Gebiet dargestellt Im linken Bildteil sind die Grenzen der hydrogeologischen Einheiten als R hren dargestellt w hrend im rechten Teil im Grid Mode ein Grobgitter zu sehen ist ASQ SSSR WES SSN a Abb 5 14 Modell Gre
181. me dadurch gel st werden da man das Problem linearisiert und iterativ l st z B durch ein Newton Verfahren Es mu si chergestellt werden da die Jacobi Matrix des nichtlinearen Problems nicht singul r ist Zur L sung der Gleichungen der dichtegetriebenen Grundwasserstr mung wurde ein Newton Verfahren implementiert Das nach jedem Iterationsschritt entstehende lineare Gleichungssystem wird dabei approximativ gel st Das Newton Verfahren wurde in fol gender Hinsicht optimiert Liniensuche nach Braess Geschachtelte Iteration Lineare Steuerung Steuerung zur approximierten Linearisierung Es wurde das Liniensuchverfahren nach Braess 26 implementiert Hierbei wird der D mpfungsparameter so gew hlt da der Quotient der Defektnormen aus neuem zu al tem Iterationsschritt monoton f llt Eine D mpfung des Newton Verfahrens erweitert des 83 sen Einzugsbereich Bei Iterationsverfahren zur L sung nichtlinearer Gleichungen kann es vom Startwert abh ngen ob die Iteration konvergiert Ein Verfahren zur Berechnung der Startwerte ist die geschachtelte Iteration die auf der Mehrgitter Idee beruht Mit Hilfe der geschachtelten Iteration lassen sich approximierte Startwerte durch Interpolation der L sungen von gr beren Gittern berechnen Es wurde eine an die nichtlineare Konver genz angepa te Steuerung des linearen L sers entwickelt die eine optimale lineare Re duktion gew hrleistet Dabei wurde das spezielle Ver
182. metrische Probleme angewandt werden kann Bei spezieller Konfiguration f llt das BiCG Verfahren mit dem konjugierten Gradienten Verfahren zusammen Bei Vorkonditio nierung des BiCG Verfahren mu neben dem Vorkonditionierer auch die Transponierte bekannt sein Dies ist im Falle eines Mehrgitterverfahrens f r unsymmetrische Probleme nicht ohne Schwierigkeiten m glich Eine Weiterentwicklung des BiCG zum CGS Ver fahren Conjugate Gradient Squared das letzteren Nachteil vermeidet stammt von P Sonnevelt 148 Das Verfahren konvergiert oder divergiert im allgemeinen doppelt so schnell wie das BiCG Verfahren Eine stabilisierte Variante namens BiCGStab wurde von H A van der Vorst entwickelt 165 Der resultierende Algorithmus verh lt sich stabiler als das CGS bei etwa gleicher Konvergenzgeschwindigkeit Der Vorteil der CGS auf die adjungierte Matrix verzichten zu k nnen bleibt erhalten Damit ist es m glich das Bi CGStab Verfahren mit einem unsymmetrischen Mehrgitterverfahren vorzukonditionieren Zur L sung der diskretisierten Gleichungen der Grundwasserstr mungen hat sich die stabilisierte Variante des BiCG das BiCGStab Verfahren mit einem linearen Mehrgitter verfahren als Vorkonditionierer am stabilsten erwiesen 85 Glatter Das lineare Mehrgitterverfahren verwendet verschiedene Iterationsverfahren als Glatter In dem Numerik Modul des Programmpakets UG sind alle klassischen Iterationsverfah ren implementiert Als Gl
183. mtknotenzahl die im Laufe der Rechnungen infolge der Gitteradaption variierte betrug bis zu 30 000 Die Simulation zeigt eine sehr schnelle Fingerentstehung in der Einlagerung mit h herer Permeabilitat siehe Abbildung 7 12 Im u eren Bereich niedrigerer Permeabilit t sind Finger nur andeutungsweise zu erkennen was allerdings nach dieser kurzen Zeit auch nicht anders zu erwarten ist Im Verlauf der Rechnung traten gro e numerische Oszillationen bis zu 70 der Maximalkonzentration c 1 auf Da diese das Fingerwachstum verst rken k nnen ist nicht klar inwieweit das Fingering le diglich auf diesen numerischen Fehlern beruht und inwieweit es durch die Anfangsst rungen initiiert wurde 154 7 4 Vergleich mit anderen Rechencodes Zu Vergleichszwecken wurden auch Rechnungen mit den Dichtestr6mungsprogrammen Saltflow 106 und Feflow 35 durchgef hrt Beim Henry Problem siehe Unterka pitel 6 2 wurden auch Ergebnisse von Marceau 118 verwendet Abgesehen vom Henry Problem handelt es sich hierbei um die Simulation der physikalischen Testf lle 7 4 1 Rechnungen zum Saltpool Testfall Beide Versuche wurden mit Feflow und Salt flow in allen drei aufeinanderfolgenden Phasen des Experiments simuliert Die hydrogeologischen Parameter waren analog zu denen der Experimente und der def Rechnungen Allerdings wurden im Detail unter schiedliche Dichte und Viskosit tsfunktionen verwendet die Gitter und das Diskretisie rungssch
184. mu beschr nkt bleiben um Speicherproble me zu verhindern und die Effizienz des Mehrgitteransatzes zu erhalten Zerlegt werden sollten diese Gebiete in 2D Dreiecke Vierecke 3D Tetraeder und oder Hexaeder Der Plan den in der Arbeitsgruppe Knabner entwickelten Gittergenerator IBG 139 f r die gew nschten Erfordernisse zu modifizieren und zu erweitern mu te aufgegeben werden da Tests dieses Gittergenerators folgende Probleme zeigten Um die gegebenen Geometrien sinnvoll aufzul sen m ssen sehr kleine Schrittwei ten gew hlt werden Die Anzahl der entstehenden Knoten und Elemente f r reale Geometrien wird zu gro Es kann nicht garantiert werden da die Geometrie durch das entstehende Gitter richtig repr sentiert wird Es konnte passieren da zusammenh ngende Gebiete zerteilt und entstehende Teile falschen Teilgebieten zugeordnet wurden In der Literatur sind viele unterschiedliche Algorithmen zur Gittergenerierung in 2D be kannt aber nicht alle lassen sich auf 3D Probleme erweitern Im folgenden werden kurz die untersuchten Algorithmen und ihre Beschr nkungen aufgezeigt Paving Plastering Der Algorithmus erlaubt die Generierung von Vierecksnetzen in 2D 23 und Hexaeder netzen in 3D 24 Als Eingabe ben tigt der Paving Algorithmus in 2D eine explizite Be 52 schreibung des Randes in Form von Geradenst cken Ausgehend von diesen Geraden st cken werden nun Vierecke im Gebiet generier
185. mulator for Density Driven Flow Test Case Library Compiled by E Fein Gesellschaft f r Anlagen und Reaktorsicherheit mbH Braunschweig 1999 212 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Elder J W Steady free convection in a porous medium heated from below Journal of Fluid Mechanics 27 1 S 29ff 1966 Elder J W Transient Convection in a Porous Medium J Fluid Mech 27 609ff 1967 Eriksson K Johnson C Adaptive finite element methods for parabolic pro blems I A linear model problem SIAM Journal on Numerical Analysis 28 1 43 77 1991 Eriksson K Johnson C Adaptive finite element methods for parabolic pro blems II Optimal error estimates in LoL2 and LoL SIAM Journal on Numerical Analysis 32 3 706 740 1995 Eriksson K Johnson C Adaptive finite element methods for parabolic pro blems IV Nonlinear problems SIAM Journal on Numerical Analysis 32 6 1729 1749 1995 Eriksson K Johnson C Adaptive finite element methods for parabolic pro blems V Long time integration SIAM Journal on Numerical Analysis 32 6 1995 Fein E Intraval Test Case 13 Brine Transport in Porous Media at High Salinity GSF Bericht 5 91 GSF Forschungszentrum f r Umwelt und Gesundheit GmbH 1991 Fein E Statusreport Grundwasserprogramme mit variabler Dichte GSF Be richt 31 91 GSF Forschungszentrum fur Umwelt und Gesundheit GmbH 1991 Fein E Strategi
186. n berandenden Linien Beschreibung der Linien durch eine Punkteliste 5 3 1 3 Oberflachentriangulierung Der existierende Gittergenerator bot die M glichkeit die Oberfl chen einfacher geome trischer Objekte zu triangulieren Im Rahmen des Projekts war diese Aufgabe aber kom plexer und aufwendiger Alle Oberfl chen wurden prinzipiell durch eine Liste von Dreiek ken beschrieben Prinzipiell h tten diese als Ausgangspunkt f r die Tetraedergenerie rung benutzt werden k nnen Dies h tte aber zu folgenden Problemen gef hrt Die Elementgr6Be ware nicht mehr beeinfluBbar gewesen Aufgrund der Entstehung dieser Oberflachenbeschreibungen als Ergebnis des Praprozessors ist die Gr e der beschreibenden Dreiecke unterschiedlich Weiter hin kann die Struktur der Elemente schlecht sein 55 Dies kann auf ein sehr schlechtes Volumengitter f hren da diese Dreiecksflachen als Seiten der Tetraeder wieder auftauchen m ssen Es kann sogar soweit kommen da das Generieren eines Gitters unm glich wird Die genannten Gr nde machten die Entwick lung eines Algorithmus zur Retriangulierung der Oberfl chen notwendig Das implemen tierte Verfahren ist ausf hrlich in 36 beschrieben 5 3 1 4 Schrittweitenfunktion Neben den komplexen geologischen Strukturen sind von der Geometrie her einfache La borgeometrien von Interesse Hier kann es sinnvoll sein lokal mit einem feineren Gitter zu beginnen falls der Anwender a pri
187. n was zu einem paral lelen Code f hrte bei dem die Parallelisierung f r den Anwender verborgen bleibt und somit eine einfache Bedienung erm glicht 5 3 5 5 Der Verfeinerungsalgorithmus Lokal verfeinert nennen wir ein Mehrgitter das auf verfeinerten Gitterebenen neue Frei heitsgrade nur noch in den lokal verfeinerten Regionen speichert und bearbeitet Es wer den keine Kopien der Gitter auBerhalb dieser Regionen angelegt Auf diese Weise erhalt man auch bei starker lokaler Verfeinerung ein optimal komplexes Verfahren 10 Die bestehenden Algorithmen zur Handhabung von allgemeinen geometrischen Elemen ten allg Element Konzept wurden berarbeitet Die 3D Elemente vorher nur Tetraeder wurden erweitert Es sind jetzt auch Hexaeder und eingeschr nkt auf Abschlu elemen te Pyramiden und Prismen verf gbar F r die neuen Elementtypen wurden die wichtigen Verwaltungsfunktionen Create Dispose Connect implementiert Ferner wurde eine Adaptionsstrategie auf der Basis eines allgemeinen Element Konzepts konzipiert und im plementiert Der Verfeinerungsalgorithmus wurde f r zwei und drei Raumdimensionen f r die F lle uniformer und adaptiver Verfeinerung parallelisiert Die Realisierung der Lastmigration zwischen den Prozessoren war als Vorarbeit notwendig um nach der Gitteradaption wei terhin effizient parallel rechnen zu k nnen Die Gitteradaption stellt seriell wie parallel die Konsistenzeigenschaft des lokalen Mehr
188. n Er gebnisse auf Grund der kurzen Modellzeiten zu einem Vergleich mit d f Ergebnissen nicht geeignet Hierf r werden Modellzeiten von mehr als 200 Jahren ben tigt Au erdem konnte eine Inkonsistenz die in der Beschreibung der Randbedingung existierte unter sucht und beseitigt werden 202 Der Vergleich einer vorgegebenen exakten L sung und der dazugeh rigen numerischen L sung ergab da der maximale Fehler beim Druck bei 0 05 und bei der Konzentra tion unter 1 liegt Dieser Test beschr nkt sich leider auf zweidimensionale station re Problemstellungen Das wichtigste Experiment f r die berpr fung des numerischen Modells ist das Salt pool Experiment in den beiden Versionen mit geringer und hoher Dichte der Salzschicht Bei der Simulation mit d f treten Abweichungen zu den experimentellen Ergebnissen auf Gr nde f r die Abweichungen sind wahrscheinlich die Approximationseigenschaften der verwendeten Elemente und die zeitliche Diskretisierung Unter Umst nden m te die Knotenzahl noch gesteigert werden In einigen F llen treten noch Konvergenzprobleme auf insbesondere wenn der Dispersionstensor eine im Vergleich zur horizontalen gerin gere vertikale Querdispersivit t enth lt Auch scheint nicht vollst ndig sichergestellt da die Rechnung noch stabil abl uft wenn bei adaptiver Gitteranpassung eine zu gro e An zahl von Knoten erzeugt wird f r die der zur Verf gung stehende Rechenspeicher nicht ausreiche
189. n Flu schon a priori d c h x t f rxeT 4 28 Eine Ablaugungsbedingung de a x t c c x t f r x e T 4 29 n die mathematisch zu einer Cauchy Bedingung quivalent ist Auf dem Randst ck m ssen eine Ablaugungskonstante a x t und der Salzmassenbruch c x t der Lauge definiert sein Die Bedingung verschwindender diffusiver dispersiver Salzfl sse ber den Rand die auch Ausstromrandbedingung genannt wird pn D D m Ye 0 f r x e T 4 30 0 pn qe 29 Sie stellt eine Approximation f r einen Ausstromrand n q gt 0 dar bei dem weder die Konzentration am Rand noch der Flu ber denselben bekannt sind Diese Be dingung l t an entsprechenden Stellen die M glichkeit da sich sowohl die Kon zentration als auch der Salzflu frei einstellen kann Eine Randbedingung die dynamisch in Abh ngigkeit von der Richtung der Ge schwindigkeit zwischen einer Dirichlet Bedingung f r den Salzmassenbruch und der Ausstromrandbedingung umschaltet Hierbei ist n q lt 0O fiir c x t c x t und x oe 4 31 d c pn qc n q gt 0O Der Dirichlet Wert f r den Salzmassenbruch mu f r das gesamte Randst ck an gegeben sein auch wenn er nur in Bereichen mit Einstrom n q lt 0 verwendet wird Diese implizite Randbedingung ist nicht differenzierbar und kann sowohl nume risch als auch analytisch ung nstige Eigenschaften haben Wenn eine Neumann Randbedingung f r den Gesam
190. n in Folge von Konzentrations nderungen wurde auf die simultane Berechnung der Energieausbreitung verzichtet Statt dessen sollte nur der Einflu eines f r jeden Zeitschritt fest vorgebbaren Temperaturfeldes auf die beiden Stoffgesetze welche die Kopplung beschreiben ber cksichtigt werden Somit wurde auf folgende Effekte verzichtet um Machbarkeit und Rechenbarkeit unter den zur Zeit gel tenden Software und Hardwarebedingungen zu gew hrleisten E Transportgleichung f r die Energie L sung der station ren Str mungs und Transportgleichungen Str mungen in der unges ttigten Bodenzone Ber cksichtigung von Einzeleffekten wie Kluftstrukturen Retardation und Cauchy sche Randbedingungen Aus diesen Anforderungen wurde das Ziel des geplanten Vorhabens die Erstellung ei nes Programmes das in der Lage ist in praktikablen Rechenzeiten die Grundwas serbewegung unter Ber cksichtigung der Salinitat fur gro e dreidimensionale und komplexe hydrogeologische Gebiete m glichst realit tsnah zu berechnen ab geleitet 11 Insgesamt werden folgende im Statusreport 45 begr ndete Anforderungen an das Grundwasserprogramm gestellt instation re Str mung instation rer Transport von Salz r umlich variierendes f r jeden Zeitschritt vorgebbares Temperaturfeld Konvektion Ficksche Diffusion E Dispersion 3 dimensional 2 dimensional vertikal ges ttigtes por ses heterogenes und anisotropes i
191. n nenn Hann nnnnnnn nenn 47 Graphische Oberfl che 50 Ber Similar dot ee 51 Gittergenerator ee uaccateet aint 52 Re lisierte L SUNG zus ee 54 Advancing Front a ll 54 Oberfl chentriangulierung 444440444n4Hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnnnnnnannnnn 55 Schrittweitenfunktion u head 56 Triangulierung d nner Schichten 2 see 56 Zusammenfassung u eier 57 DISKFEISISTUNG Ge ee ee ie 58 Approximation der Konzentration 24 44444444Hnnnnnnnnnnan nennen nenn 60 Geschwindigkeitsapproximation sssrsssnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnnnnnn 62 Entwicklungen und Ergebnisse us444444444HRHnRRnnn nenn nn ann nnnn nennen 63 Minimum Max mum Prinzip s 22 65 Upwind Methoden 22 sure 66 Diskretisierung des Darcyschen Gesetzes snnusunennnnnnnnnnnnnnenn nennen 68 Konsistente Geschwindigkeitsapproximation uuuusssnnnnennennnnennnnnnnnn 69 ZUSammenlassung semene a r a ENE ets E 72 EANA az E TT 74 Theoretische Grundlagen 224 444444404444HHnBnn nn nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnannnnnnannnnn 74 Softwareentwicklung ee use ebenen 76 Algorithmusuntersuchungen ur ss4 444444444 nnn nn nnnnnnnnan nennen nenn 77 Zusammenfassung SersssiieeeskeeieMirsnie air 79 L sungsalgorithmen f r DichtestrOMUNGEN 222susnssnnnennennnnnnnn nenn 80 Effiziente L ser f r Dichtestr mungen uusnssnnnsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
192. n stellt folgende Ei genschaften sicher Die Verbindung zwischen den Elementen wird verteilt repr sentiert es gehen keine Nachbarschaften verloren Fehlersch tzer und Defektberechnung k nnen lokal ohne Kommunikation durch gef hrt werden Um obiges Konzept zur Verteilung der Daten f r parallele numerische Rechnungen zu realisieren mu ten folgende Probleme angegangen werden Eine geeignete Datenverteilung mu bestimmt werden Lastverteilung Es mu ein Mechanismus existieren der es erlaubt Mehrgitterobjekte auf die Pro zessoren zu verschieben Lastmigration 91 Es m ssen Kommunikationen stattfinden die sicherstellen da der numerische Al gorithmus richtig abl uft Diese Kommunikationen sorgen f r die Konsistenz der parallel berechneten numerischen Werte Zun chst wurde die parallele dynamische Verwaltung der Datenstruktur berarbeitet Mit Abschlu dieser Arbeit deckt die Funktionalit t des Gitterverwaltungmoduls alle Bed rf nisse ab die bei der Parallelisierung entstehen Es wurde daf r die Funktionalit t des parallelen Gittermanagers erweitert Ein Grobgitter kann auf einem Prozessor eingelesen werden und konsistent auf beliebig viele Prozes soren verteilt werden Im weiteren Berechnungsverlauf kann das Gitter den L sungsei genschaften entsprechend parallel adaptiert und bei ung nstigen Lastzust nden neu verteilt werden 5 3 5 2 Lastverteilung Die Aufgabe der Lastvertei
193. n unter den Inseln angewiesen Durch berm ige Was serentnahme kann es auch wenn die Brunnen nur im S wasserbereich verfiltert sind leicht zum Aufstieg von Salzwasser dem sogenannten Upconing in der Umgebung von Entnahmebrunnen kommen Dieses f hrt letztlich dazu da die Brunnen nur noch ver salzenes Wasser f rdern und damit nicht mehr brauchbar sind In Deutschland sind Salz st cke als Wirtsgestein f r die Endlagerung von gef hrlichen Abf llen vorgesehen Des halb kommt den Dichtestr mungen in der Umgebung der Salzst cke eine besondere Be deutung zu Ein weiterer wichtiger Bereich ist die Geothermie bei der Dichte nderungen durch Temperaturunterschiede hervorgerufen werden Um eine langfristige W rmeent nahme zu gew hrleisten m ssen die entnommenen Wassermengen so bemessen wer den da die Aufrechterhaltung der Temperaturverteilung im Entnahmebrunnen gew hr leistet ist In allen erw hnten Bereichen ist eine belastbare Simulation des Dichtestr mungsfeldes f r eine nachhaltige Wasserbewirtschaftung bzw f r einen Langzeitsicherheitsnachweis unabdingbar Die R ckkopplung des Salz bzw W rmetransportes auf die das Salz bzw die W rme transportierende Str mung bewirkt besondere Eigenschaften von Dichtestr mungen die aus der gew hnlichen Potentialstr mung nicht bekannt sind So k nnen in Dichtestr mungen Walzen mit geschlossenen Stromlinien und Gravitationsinstabilit ten Fingering auftreten Diese Ph n
194. n wurde anschlie end die Zeitentwicklung be ginnend mit der Grundwasserentnahme simuliert Innerhalb der ersten Jahre ndert sich die Konzentrationsverteilung kaum aber ber l ngere Zeitr ume betrachtet macht sich die neue Str mungssituation auch in der Konzentrationsverteilung bemerkbar siehe Ab bildung 9 12 Dieses entspricht den langen Zeitr umen die zum Erreichen des statio i Ki a i ae NN RL man py Ux a Abb 9 12 Horizontalschnitt der Konzentrationsverteilung in H he 845 m im Jahre 2 100 oben und entsprechendes Geschwindig keitsfeld unten 189 Abb 9 13 _Konzentrationsverteilung ohne Ber cksichtigung von Dichteeffekten Horizontalschnitt in 845 m H he Station re Verteilung oben und im Jahre 2100 unten n ren Zustandes n tig waren Das im Aquifer vorhandene salinare Wasser verschiebt sich teilweise nach Osten zu den Brunnen hin Dort vermischt es sich zum einen mit dem im S dosten einstr menden Wasser das dann direkt nach Osten zum Ausstromrand des Aquifers flie t wird aber zum anderen auch zu den Brunnen hingezogen was beim st lichen Brunnenfeld mit dem Hauptteil der Entnahme gut zu sehen ist Wie die Salzkonzentration in den Brunnen ansteigt ist in Abbildung 9 14 dargestellt W hrend im westlichen Brun
195. nalen Testgebietes in die dritte Dimension lungen wurden im 3D Fall konstante Mittelwerte benutzt Dieses Modell das der Gorle bener Rinne nachempfunden ist wurde mit ca 2 8 Millionen Unbekannten Druck und Konzentration auf einem massiv parallelen Rechner Cray T3E mit 256 Prozessoren bis zur Stationarit t berechnet Dazu wurden knapp zehn CPU Stunden ben tigt Damit wur de der Nachweis erbracht da d f die geforderten Leistungen erbringt An diesem Bei spiel wird au erdem deutlich da durch diese Neuentwicklung nicht mehr die Software sondern die Hardware durch den Kernspeicher die Grenzen f r die Gr e von Modellen setzt In der Abb 10 3 sind die Str6mungsgeschwindigkeiten in drei Ebenen des Modellgebie tes in Schlierendarstellung zu sehen Die im oberen Bildteil dargestellte Ebene ist die ver tikale Mittelebene des Modellgebietes w hrend die beiden anderen orthogonal auf die ser stehen Bemerkenswert an diesen beiden vertikalen Querebenen ist da bereits in diesem bez glich der dritten Dimension sehr homogenen Modellgebiet Rotationswalzen 196 auftreten Dieses zeigt im Nachhinein die Richtigkeit der Entscheidung das Rechenpro gramm d f f r die Modellierung dreidimensionaler Dichtestr mungen entwickeln zu las sen Abb 10 3 Schlierendarstellung der Geschwindigkeiten in Langsrichtung oben und in Querrichtung unten Die Lage der beiden orthogonalen Schnitte ist oben angezeigt 197 1
196. nd Heterogenit ten des Mediums wurde das Elder Problem siehe Unterkapitel 6 3 gew hlt da neben der Instabilit t des Problems hier eine Regularisierung an den u eren Punkten des Zugaberandes zu finden ist Somit kann die Wirkung der Hetero genit t auf die Salzverteilung mit der St rke dieser Randfinger verglichen werden In Ab bildung 8 8 ist eine Realisierung aus einem stochastischen Ensemble lognormal verteil ter Permeabilit ten mit dem arithmetischen Mittelwert 5 51013 m und einer Varianz 5 106 m bei isotroper exponentieller Autokorrelationsfunktion mit Korrelationsl nge ii Abb 8 9 Konzentrationsverteilungen mit stochastischer Permeabilitat f r 0 52 a 1 03 a 3 05 a 5 18 a 7 10 a 10 38 a 15 37 a und 31 42 a simulierter Zeit 30 m dargestellt Au er der ge nderten Permeabilitat sind alle anderen Parameter die gleichen wie im Unterkapitel 6 3 Die resultierende Konzentrationsverteilung in Abh n gigkeit von der Zeit findet sich in der Abbildung 8 9 In der Anfangsphase entstehen die beiden Finger am Rand des Zugabebereiches wobei der linke auf eine gr ere Permeabilitat f llt als der rechte und dementsprechend schnel ler w chst Neben dem rechten Randfinger bildet sich recht fr h ein zweiter Finger im lokalen Permeabilit tsmaximum auf dem Zugaberand Wie die anf ngliche St ru
197. nd ist Vergleichsrechnungen mit anderen Rechencodes zeigen da keines der Programme in der Lage ist die Me daten in allen Dichtebereichen zu reproduzieren Dieses gelingt mit d f im Bereich hoher Dichten am besten Der Testfall Fingering bereitet allen Programmen Schwierigkeiten Mit d f kann die Ent wicklung von Instabilit ten prinzipiell nachvollzogen werden Die Rechnung mit def fingert aber zu stark Aus den Rechnungen wird ersichtlich da numerische Effekte wie nume rische Dispersion durch gro e Gitterweiten oder Upwind Verfahren zu einer D mpfung der physikalischen Instabilit t f hren k nnen Daher ist die Verwendung von Standard Galerkin Verfahren empfehlenswert um eine ad quate Entwicklung von Finger Instabili t ten zu erlauben Hier kann allerdings im Falle numerischer Oszillationen eine uner w nscht starke Anfachung der Instabilit ten erfolgen Die Rechnungen sollten auf jeden Fall mit den physikalisch relevanten Anfangsst rungen durchgef hrt werden anstatt sich nur auf die durch numerische Fehler bedingte Anfachung des Fingering zu verlassen 203 11 3 Feldanwendungen Diese Tests sollten im Grunde nur zeigen da realistischere Geometrien behandelt wer den k nnen und da Optionen wie Punkt und Linienbrunnen sowie die Anisotropie der Permeabilitat funktionieren Dieses war prinzipiell auch m glich aber es konnten im Fall der Insel Weizhou weder eine hohe Gitterverfeinerung eingestellt noch die
198. ndbedingungen mit dem Wert 0 f r Druck und Konzentra tion vorgegeben so da diese R nder undurchl ssig sind Ein Einstrom von Frischwas ser erfolgt auf dem landseitigen vertikalen Rand Auf dem meerseitigen vertikalen Rand herrscht ein hydrostatischer Druck von Meerwasser mit c 1 was einer Dichte vom 1 025fachen der S wasserdichte entspricht Die Konzentration ist dort entsprechend auch als Dirichlet Randbedingung mit dem Wert 1 vorgegeben siehe Abbildung 6 4 Im unteren Bereich des meerseitigen Randes erfolgt ein Einstrom von Salzwasser im obe ren Bereich flie t das landseitig eingestr mte Wasser zum Meer hinaus und in der Mitte gibt es einen Ausstrom von Mischwasser Gegen ber einer realen Situation hat dieses Problem den Schwachpunkt einer Aus stromrandbedingung zum Meer hin die unphysikalisch ist Es wird n mlich f r die Kon zentration auf dem meerseitigen Rand die Meerwasserkonzentration fest vorgegeben obwohl im oberen Bereich nicht Meerwasser eindringt sondern Wasser mit r umlich va riierender Salzkonzentration Somit w re in diesem Bereich eine Ausstromrandbedin gung vorzugeben F r die Umsetzung einer solchen Randbedingung im numerischen Modell besteht im allgemeinen allerdings die Schwierigkeit da die Lage des Randpunk tes an dem der Umschlag von einem Ausstrom oberhalb zu einem Einstrom unterhalb erfolgt nicht von vornherein bekannt ist Rechnungen zeigen jedoch da der Verlauf der Konzentrationsisolini
199. ndbuch 36 werden zur Laufzeit des Gra phikprogramms die Visualisierungs Datenstrukturen tempor r und lokal mit denen des Benutzers gef llt Auf dieser Basis wurde dann ein Konzept f r die Visualisierung von hierarchisch organisierten Daten wie sie bei Mehrgitterrechnungen entstehen entwik kelt Diese hierarchischen Datenstrukturen wurden in der Graphiksoftware GRAPE im plementiert Somit k nnen die anfallenden Datens tze effizient visualisiert werden Wei terhin wurde in diesem Konzept eine adaptive Visualisierung auch von nichtadaptiv be rechneten Daten realisiert 67 Durch diese effiziente Aufbereitung der Datenbasis k nnen selbst sehr gro e Datens tze in Echtzeit dargestellt werden F r dieses hierarchische Datenkonzept wurde eine komfortable Schnittstelle zu UG ent wickelt Dadurch ist es m glich die Datens tze ohne zus tzlichen Speicherbedarf zu bergeben da bei der graphischen Auswertung direkt auf die UG Daten zugegriffen wird Hierdurch wird au erdem sichergestellt da die volle Funktionalit t von GRAPE nutzbar bleibt 104 Desweiteren beinhaltet dieses Graphikpaket die M glichkeit zeitabh ngige Datens tze zu visualisieren Dazu mu unter Umst nden wenn man sich nicht direkt auf einem Zeit punkt befindet f r den berechnete Daten abgespeichert worden sind zwischen den be nachbarten Zeitpunkten interpoliert werden Schlie lich k nnen auch adaptiv gerechnete Daten visualisiert werden In diese
200. ndhabbaren Speicheranforderungen f hren kann Dann sollten andere Methoden wie z B die Methode der Charakteristiken benutzt werden Falls zus tzlich die Dispersion ber cksichtigt wird erscheint die Verwen dung solcher spezieller Methoden f r fast hyperbolische Situationen nicht n tig Dieses wird auch in der Literatur unterst tzt 166 99 112 60 Trotzdem wurden einige numerische Methoden f r konvektions dominierte Probleme ent wickelt Speziell f r Probleme vom Typ Elder wo es keine Dispersion gibt die Diffusion sehr klein ist und gro e Konvektionsgeschwindigkeiten auftreten sind insbesondere f r drei dimensionale Rechnungen diese Methoden n tig Schlie lich soll ein Benutzer nicht zum ausschlie lichen Arbeiten mir sehr feinen Gittern gezwungen werden Vielmehr soll te eine Diskretisierung entwickelt werden die auch auf groben Gittern physikalisch ak zeptable L sungen erm glicht Aus dieser Sicht bieten sich f r den konvektions domi nierten Transport Upwind Methoden an da sie die Diskretisierungseigenschaft der loka len Massenerhaltung nicht zerst ren bereits erfolgreich im Zusammenhang mit UG benutzt wurden und in der Literatur f r Konvektions Diffusions Probleme empfohlen wer den Numerische Tests verschiedener Upwind Methoden zeigten wie auch in 4 77 und 119 dargestellt da die einfachste Variante das sog full upwind zuviel numerische Dispersion die sich in unphysi
201. ndwasserentnahme 181 Durchbruchskurven in den Entnahmebrunnen uuuusersssssneennnnnen 182 Lage des Modellgebiets f r das 3D Modell uern4uurs sense 184 d f Gitter zur Ansicht der Modellgeometrie uununanaeeseneeneneneneenennnnnnn 185 Ansicht der Aquifersohle aus Westen uuerssssssnnnsnnnnnnnnnnnnnnnn nn 187 Grundwasserentnahme im Brunnenfeld 4s4nn nennen 188 Horizontalschnitt der Konzentrationsverteilung 4444444H gt 189 Konzentrationsverteilung ohne Ber cksichtigung von Dichteeffekten 190 Salzkonzentration in den Entnahmebrunnen u 24444en nennen 191 Konzentrationsverteilung der station ren L sung uuuserssssseeennnneen gt 192 Rechenzeit als Funktion der Anzahl der Gitterelemente 195 Dreidimensionales Modellgebiet 4444444444H4RRRRnHHn nen 196 Schlierendarstellung der Geschwindigkeiten 197 239 Tabellenverzeichnis Tab Tab Tab Tab Tab Tab Tab Tab 6 1 7 1 9 1 9 2 10 1 10 2 10 3 14 1 Parameter des Benchmark Problems 4444444BH nennen nennen 127 Modellparameter zur Simulation der Experimente a und 146 Parameter zur Modellierung von Weizhou 2244ssenenn nennen 177 Modellparameter zur Simulation des Palla Road Aquifers 186 Eigenschaften von Saltflow und I 193 Parameter der
202. nenfeld nur ein kurzes und schwaches Ansteigen zu bemer ken ist steigt die Konzentration im stlichen Brunnenfeld st rker an nimmt nach etwa 100 Jahren einen Maximalwert von c 0 044 an und f llt dann wieder ab F r den Be trieb der Brunnen bedeutet dies da innerhalb dieses Szenarios die Salzkonzentration in einem moderaten Bereich bleibt und somit die Qualit t des entnommenen Wassers 190 0 044 x stl Brunnenfeld Rechnung mit Dichte x ai West Brunnenfeld Rechnung mit Dichte x 0 042 x D x stl Brunnenfeld Rechnung ohne Dichte T By Westl Brunnenfeld Rechnung ohne Dichte 4 x x 0 040 x x x O l 0 038 N x 9 gah x k hss 8 0 036 a RR x x 0 034 amp x x 0 032 Peosco a T T T T T T Ty 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Zeit Jahren Abb 9 14 _Salzkonzentration in den Entnahmebrunnen in Zeiten nach Beginn der Entnahme nicht beeintr chtigt wird Allerdings l t sich auch daraus schlie en da generell in sol chen Situationen aus einer Beobachtung der Salzkonzentrationen ber kurze Zeitr ume noch nicht auf das langfristige Verhalten geschlossen werden kann Die Rechnungen ohne Dichteeinflu zeigen ein fast identisches Verhalten im Vergleich zu den Rechnungen mit Ber cksichtigung der Dichteunterschiede siehe Abbildung 9 13 Die station re Konzentrationsverteilung und die Verteilung im Jahre 2100 zeigen dasselbe Verhalten
203. nenn 80 Die Behandlung der Dispersion uusssessssssnnnnnnnnnnnnnnnnn nenn nnnnnnn nen 87 AlignediFiniie Volumen n nn 88 Parallelisierung adaptiver Mehrgitterverfahren 2244s444 nennen 89 Konzept f r die Parallelisierung ss 424244044444nnBnnnnnnnnnnnnnennnennn nenn 91 VI 5 3 5 2 5 3 5 3 5 3 5 4 5 3 5 5 5 3 6 5 3 7 5 3 8 5 3 9 5 4 5 4 1 6 1 6 2 6 3 6 3 1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 4 7 1 7 2 7 2 1 7 2 2 7 2 2 1 7 2 2 2 7 2 2 3 7 2 3 7 2 3 1 7 2 3 2 7 3 7 3 1 LastverteilUNG em Here ek 92 EASIMIGrAalOn seta ee ee re ee 93 Transparenz Une ae 94 Der Verfeinerungsalgorithmus 4444s0444444Bnnnnnnnnnnnnnnannnnn ernennen 94 Zufallsgenerator f r stochastische Modellierungen der Permeabilitat 95 Singul re Quellen und Senken uusurssssnnsnnsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 99 Integrierte Oberfl che u ee 102 Verifizierung ee ee ee er Henigr 102 Der PoSiproz8550r un ces Hacke 104 Darstellungen von Daten au ea 105 Verifizierung der Numerik 000000222000000nnnnn nn rnnnnnnnannnnnnnnnnnn ann 109 Das Problem Hydrocoin Level 1 Case 5 unnnsessennnnneennnnnnnnnnnennnn 109 Das Henry Problem u eee ees 111 Das Elder Problem nee ee en tetanus 114 Problemformulierung ss 115 Volumenerhaltung beim Elder Problem u u44424444444BHHnn nenne nennen 117 Stabilit t der Losung Zr a er A eA Basins 119 Eindeutig
204. nfache Version eines Gitteradaptionsalgorithmus im Programmpaket vor die als Vorlage benutzt werden konnte Die wesentliche Entwicklungsarbeit wurden jedoch w h rend der Projektlaufzeit geleistet Die entwickelten lokalen Fehlerindikatoren wurden implementiert Es wurde ein Algorith mus erarbeitet der aus den berechneten lokalen Indikatoren die Elemente f r die Verfei nerung und Vergr berung ausw hlt Die so ausgew hlten Elemente werden dann in ei nem anderen Programmteil weiterverarbeitet Der Gitteradaptionsalgorithmus ist so im plementiert da er f r alle vorkommenden Elementtypen benutzt werden kann Dreiecke und Vierecke in 2D und Tetraeder Prismen und Pyramiden in 3D Eine Erweiterung auf andere Elementtypen ist jederzeit m glich Auch die Zeitschrittweitensteuerung mit einem passenden Algorithmus wurde in das Pro gramm eingearbeitet Die Implementierung der einzelnen Teile ist so gehalten da Er weiterungen durch neue Elementtypen und Indikatoren oder auch Modifikationen der Al gorithmen schnell m glich sind In einem zweiten Arbeitsschritt wurde das erstellte Pro gramm neu strukturiert um ein effizientes Arbeiten zu gew hrleisten Das Ergebnis ist ein Gitteradaptionsalgorithmus der auf allen vorkommenden Elementtypen effizient ar beitet und gute Ergebnisse liefert 76 5 3 3 3 Algorithmusuntersuchungen Begleitend zur Implementierung wurden die neu entwickelten Programmteile an Stan dardbeispielen getest
205. ng im Abschnitt 6 3 3 w chst dieser Finger schneller als der u ere Finger und nimmt diesen in sich auf F r mittlere Zeiten drei bis zehn Jahre ist die Position der Finger nicht so sehr durch die allgemein leitf higen Pfade gegeben sondern wird durch die Fingerent stehungsorte am oberen Rand dominiert Diese h ngen wie schon gesagt fast nur von 72 KANN NH ia EE u pho fog Roy y yy Abb 8 10 Geschwindigkeitsfeld nach 5 18 Jahren der Permeabilitatsverteilung am oberen Rand ab Die Konzentrationsverteilung scheint in diesem Zeitraum relativ unkorreliert zur Permeabilitatsverteilung zu sein Anders sieht es f r die Geschwindigkeiten aus Die Geschwindigkeiten nach f nf Jahren siehe Abbil dung 8 10 sind in den leitf higen Bereichen am gr ten doch die Geschwindigkeitsrich tung ist unabh ngig von der Permeabilitat In der Abbildung 8 11 ist die Korrelation zwischen der Permeabilitat und der Konzentra tion ber die Zeit aufgetragen Der Wert dieser Korrelationsfunktion zur Zeit Null stellt die Abweichung der mittleren Permeabilit t am Eingaberand von der im Gesamtgebiet dar In der Anfangsphase nimmt die Korrelation zwischen diesen beiden Gr en unterbro chen von einem kurzen Einbruch zu d h die Finger entstehen haupts chlich in Berei chen hoher Leitf higkeit Sp ter jedoch nimmt die Korrelation deutlich ab die schon vor handenen Finger wachsen von ihrem Entstehungsort wei
206. ngen 22444444444 nn nennen nenn 18 Der Charakter der Gleichungen 4444440444nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnannnn nn 20 Der Bispersionstensor un nee 22 Anfangs und Randbedingungen 4440u444H4n0nnnnnnnnnnnnnnnnnanannnnnnnnnn 26 Anfangsbedingungeni an ca sc ee 26 Randbedingungen a 27 Zustandsgleichungen und Materialeigenschaften u e nn 32 Die Dichle sense ee ee en ee 33 Bie WISKOSIVAL drta ee 35 Die Hydrogeologischen Parameter 2 2244444444444n nn nnHHan nennen nenn 37 Das Programmsystem IP A EEE A E 39 Die Programm Schnittstellen san nee 39 Pr prozessor Simulator 4 een 39 Simulator POSIPIOZESSOM turen ieh nee green 39 Der PraprozeSson vv ae RR ee 40 Basisdaten ans ee ee seen gene 41 5 2 2 5 2 2 1 5 2 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 3 5 3 1 5 3 1 1 5 3 1 2 5 3 1 3 5 3 1 4 5 3 1 5 5 3 1 6 5 3 2 5 3 2 1 5 3 2 2 5 3 2 3 5 3 2 3 1 5 3 2 3 2 5 3 2 3 1 5 3 2 3 2 5 3 2 4 5 3 3 5 3 3 1 5 3 3 2 5 3 3 3 5 3 3 4 5 3 4 5 3 4 1 5 3 4 2 5 3 4 3 5 3 5 5 3 5 1 Datenaufbereitung une 42 Analyse von Vertikalschnitten 444444444H nnnnn nennen nennen nenn 43 Analyse von Tiefenlinienpl nen 44444400nnn nn nnnnnnnnnnnnennnnnnnnnnnn 44 Zweidimensionale Modelle 2 msrr44444444HHH Rn nnnnnnnnnnnnannnnnnnnn nenn 46 Dreidimensionale Modelle 2 r444444440HRnnRnnnn
207. ngepa t und daraufhin berarbeitet F r die Datenaufteilung des Mehrgitters auf die verschiedenen Prozessoren wurde ein spe zielles elementbasiertes berlappungskonzept erarbeitet 200 Die Aufgabe der Lastmigration bernimmt das Programmiermodell DDD Dynamic Dis tributed Data das die Funktionalit t des Verteilens von Datenobjekten zwischen den lo kalen Speichern der Parallelrechner bietet Das DDD minimiert au erdem den Daten transfer zwischen den Prozessoren und die Anzahl der Nachrichten bertragungen um eine bestm gliche Effizienz des Gesamtverfahrens zu erhalten Die Mehrgitterstruktur des df mu te an das Schema der verteilten Graphen dem das DDD zugrunde liegt an gepa t werden Es wurde eine Verfeinerungsstrategie auf der Basis eines allgemeinen Element Kon zepts f r zwei und drei Raumdimensionen realisiert Die Verwaltung der unstrukturierten lokal verfeinerten Mehrgitterhierarchie f r zwei und dreidimensionale Gitter wurde ber arbeitet Die Realisierung einer beliebigen Elementverteilung auf die Prozessoren wurde als Vorarbeit zum lokalen parallelen Verfeinern erm glicht Um eine effiziente Handhabbarkeit des Simulationsprogramms zu gew hrleisten wurden den verschiedenen Aufgabenstellungen angemessene graphische Benutzeroberfl chen entwickelt Von diesen graphischen Oberfl chen aus k nnen sowohl serielle als auch parallele Anwendungen sowie das Pr und Postprocessing gestartet werden F r
208. ngungen sind aber auch deutlich kompliziertere Abh ngigkeiten von den Randwerten m glich 4 4 1 Anfangsbedingungen Bei dem System partieller Differentialgleichungen 4 2 und 4 3 handelt es sich um ein gekoppeltes System das im allgemeinen den Charakter einer elliptischen Differenti algleichung in p und einer parabolischen Differentialgleichung in c hat vgl Unterkapitel 4 2 Dementsprechend mu f r den Salzmassenbruch c eine Anfangsverteilung cy an gegeben werden woraus sich der Anfangsdruck py gem Volumenerhaltung 4 8 aus den Massenerhaltungsgleichungen ergibt Ohne Vernachl ssigung des Speicherkoeffizi enten m te noch eine Anfangsbedingung f r den Druck angegeben werden Abwei chungen dieser beiden Druckverteilungen voneinander w rden exponentiell abge schw cht wobei die Zeitkonstante der D mpfung bei vertikalen Ausdehnungen von ein paar hundert Metern typischerweise im Bereich von Stunden bis wenigen Tagen liegt Auch wenn ein Speicherterm in den Gleichungen benutzt wird k nnen die Druckanfangs bedingungen nicht frei gew hlt werden Leijnse 99 Seite 51 bemerkt dazu de 26 finition of arbitrary initial conditions will in general lead to physically unrealistic initial velocity fields in the domain Experience so far has shown that such a situation usually leads to numerical problems as well very small time steps are required to suppress nu merical instabilities Er umgeht dieses
209. nkompressibles Medium gespanntes Aquifersystem inkompressibles Fluid Stoffgesetze f r Dichte und Viskosit t in Abh ngigkeit von der Konzentration des gel sten Salzes und der Temperatur Anfangsbedingungen f r Druck und Konzentration Dirichletsche und Neumannsche Randbedingungen Flu randbedingungen f r Druck und Konzentration Ablaugung ohne Geometriever nderung Quellen und Senken Au erdem waren folgende Punkte zu beachten Anforderungen an Hard und Software bez glich Effizienz und Schnelligkeit Erfordernis einer Schnittstelle zu Radionuklidtransportrechnungen Notwendigkeit von Pr und Postprozessoren Verifizierung Dokumentation Verf gbarkeit und Weiterentwicklungspotential Aufbauend auf dem schnellen Grundwasserprogramm sollte es durch sp tere Program merweiterungen au erdem m glich sein Ausbreitungsrechnungen f r ideale Tracer zur Bestimmung von Transportwegen und Laufzeiten durchzuf hren Weiterhin k nnten sol 12 che Transportrechnungen auf Radionuklide unter Ber cksichtigung des radioaktiven Zerfalls Zerfallsketten und der Adsorption Henry Isotherme und unter Umst nden so gar auf Mehrphasenstr mungen ausgedehnt werden 13 14 3 Organisation und Management der Softwareentwicklung Das Rechenprogramm d f distributed density driven flow wurde von einer Arbeits gruppe aus Mitarbeitern verschiedener Hochschulinstitute entwickelt Ihr geh rten f
210. nnannennnnnnnnnnnnnn 155 Rechnungen zum Fingering Testfall u 44444044 nn nnnnnnnnnnnnnnn nenn 159 Zusammenftassung reitirnir errearen aa rE e a aa asia i aket iei 160 Dichtestr mungen in heterogenen Aquifern uunnssnnssnnennnnnnnnnnnnnnnnn 163 Layered Saltdome Testfall f r mittel und gro skalige Heterogenit ten 164 Heterogenit t bei Meerwasserintrusion uussrsesessnnnnnnnennennnn nennen nenn 166 Salzfinger in heterogenen Medien 444444Hnnnnnonnnnn nennen anna 170 Realit tsnahe Testf lle nununsnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnn 175 Meeresinsel Weizhou mit MeerwasserintruSion uussssessrss seen 175 Beschreibung von Weizhou nnzussseannannnnnnnnnnnnnnannnnnnnnnnnnnnnnnnnannnnnnnnen 176 Vorgehen zur Simulation von Weizhou mit AM n 176 Simulation und Ergebnisse 4 ee 180 Palla Road Aquifer Botswana mit seitlicher Salzwasserintrusion 183 Beschreibung des Palla Road Aquifers usnn22440sunnnnnnnennnnnnnnnnnnnnn 183 Vorgehen zur Simulation des Palla Road Aquifers mit d f naeananannnnannen 184 Simulation und Ergebnisse 42444044nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nn nnnnnnnnnnn 188 Rechenzeilenis a u een nur 193 Rechenzeitvergleich zwischen d f und Saltflow uaanaananeannennenennenennennnnn 193 Leistungsf higkeit von Of aeannensnnenennnnnnennnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnnnennennnnnnnnnnnn 196 Zusammenfassung und Ausb
211. nnnenennnnnnnnnnnennnenenen 129 Mit d f berechnete Salzverteilung unaeasenenenenennnnenennnnnnennnnnnennennn 129 Abweichung zwischen berechnetem und vorgegebenem Druck 130 Abweichung zwischen berechneter und vorgegebener Konzentration 130 Kalibrierung auf c 1 GeW R ea 137 Versuchsaufbau des Saltpool Problems u 244400n nennen 138 Gemessene Signalst rke bei Versuch a Mit C 1 nn 141 Durchbruchskurve am Ausla f r Versuch a mit C 1 141 Gemessene Signalst rke bei Versuch b mit C 10 nen 143 Durchbruchskurven am Ausla f r Versuch b mit c 10 143 Markierte Fluidvolumina f r Versuch b u 22244444n nenn 145 Vergleich zwischen berechneter und gemessener Konzentration 148 Berechnete Konzentrationsverteilung zu Versuch a 149 Berechnete Konzentrationsverteilung zu Versuch b 150 Vertikalschnitt der Konzentrationsverteilung 4444444HH 152 Simulation der Fingerentstehung nach 8 5 min en 154 Vergleich der der berechneten Konzentrationsisolinie c 0 5 156 Durchbruchskurven am Ausla f r Versuch a uusssssmeenenennnnn 157 Durchbruchskurven am Ausla f r Versuch b sn 158 Fingerwachstumsgeschwindigkeit bei Saltflow 0 159 Gebiet und Randbedingung f r das Layered Saltdome Problem 164 Nat rlic
212. nnnnnn 112 Vergleich der d f Ergebnisse mit Rechnungen anderer Programme 113 Definition des Elder Problems 444444444n4B0nnnnnnnnnonnnnnnnn 116 Anfangsgeschwindigkeit mit inkonsistenten Randbedingungen 117 Anfangsgeschwindigkeit ohne Volumenflu ber den Rand 119 Zeitentwicklung der Konzentrationsverteilung ohne Volumenflu 120 Anfangsgeschwindigkeit f r das gest rte Problem 121 Geschwindigkeitsfeld mit zwei Salzfingern 444 nn 122 Die Salzverteilung mit zwei Salzfingern ss022240sn nennen 122 Geschwindigkeitsfeld mit einem Salzfinger 4444 nn 123 237 Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb 6 14 6 15 6 16 6 17 6 18 6 19 6 20 6 21 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 7 11 7 12 7 13 7 14 7 15 7 16 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 8 10 Die Salzverteilung mit einem Salzfinger 4ss nenn 123 Analytisch vorgegebene Druckverteilung 444 444444444422 gt 125 Analytisch berechnete Verteilung der Gesamtmassenzugabe 128 Analytisch berechnete Verteilung der Salzmassenzugabe 128 Mit d f berechnete Druckverteilung uauanaeasesnenenen
213. nnsen Stefan Lang George Mazurkevich Henrik Rentz Reichert Graphische Benutzeroberfl che effiziente L sungsalgorith men Parallelisierung Dokumentation Institut f r Str mungsmechanik und Elektronisches Rechnen im Bauwesen Universit t Hannover Appelstra e 9A D 30167 Hannover Prof Dr Werner Zielke Udo Juttner Harald Kasper Thomas Rother Erstellung eines hydrogeologischen Strukturmodells Doku mentation Die technische Leitung und die Koordination der Zusammenarbeit zwischen den einzel nen Hochschulen wurde von Klaus Johannsen Universit t Stuttgart wahrgenommen 16 4 Physikalisches Modell und mathematische Beschreibung Die Gleichungen die zur Modellierung von dichteabh ngigen Grundwasserstr mungen verwendet wurden waren zu Projektbeginn schon weitgehend bekannt und im Rahmen des fachlichen Feinkonzeptes 47 festgelegt Nichtdestoweniger bestand die Notwen digkeit den gegebenen Satz von partiellen Differentialgleichungen auf seine physikali sche Richtigkeit zu berpr fen und ihn gleichzeitig durch einen Satz von physikalisch sinnvollen und notwendigen Anfangs und Randbedingungen zu vervollst ndigen Gleichzeitig wurden sie durch erweiterte Dispersionsans tze abgerundet Die Dichtestr mung wird durch zwei Erhaltungsgleichungen f r die Gesamtmasse und f r die Salzmasse beschrieben Zus tzlich wird angenommen da die Fluidgeschwin digkeiten dem Darcyschen Gesetz gen gen Als Prim rvar
214. nsor Der Dispersionstensor D wird h ufig mit dem Ansatz 4 4 ausgedr ckt 14 In der ein schl gigen Literatur finden sich auch andere funktionale Zusammenh nge f r den dis persiven Flu jp pDVe in Abh ngigkeit von der Druck und Konzentrationsvertei lung 71 167 Diese Ans tze enthalten noch eine zus tzliche D mpfung des disper siven Flusses bei hohen Dichtekontrasten und stabiler Schichtung W hrend Welty 167 bei instabiler Schichtung von einem divergierenden Dispersionskoeffizienten spricht verwendet Hassanizadeh 71 auch in diesen Situationen einen ged mpften Wert f r den dispersiven Flu In dem Artikel von Jensen et al 78 wird auf die Trans formationseigenschaften des Dispersionstensors unter Drehungen des Koordinatensy stems verzichtet Dieser ist damit koordinatenabh ngig In diesem Projekt wird der An satz aus Gleichung 4 4 weiter verwendet Aufgrund seines Konstruktionsprinzips hat dieser gegen ber dem Zugang von Jensen 78 den Vorteil gegen Rotationen des Ko ordinatensystems invariant zu sein Zus tzliche Dichteabhangigkeiten wie in 167 oder auch in 71 beschrieben werden aber vernachl ssigt da sie in bedeutendem Ma e erst als makroskopische Effekte auftauchen Durch die explizite Auflosung der Heteroge nit ten des Aquifers im Modell werden diese Effekte mitberechnet Wie schon in 14 beschrieben ergibt sich aus der Gleichung 4 4 f r isotrope Medien der h ufig ve
215. nstig eingesetzt werden durch die adaptive Verfeinerung Au er d f kann dieses kein anderes Programm leisten Allerdings sollte neben der berpr fung der Gitterkonvergenz der Rechnungen mit einem Modell erst dessen prinzipielle Richtigkeit etwa durch den Vergleich mit Messungen ge sichert werden Selbst dieses setzt aber auch schon Rechnungen mit gro en Knoten zahlen voraus An dieser Stelle mu noch erw hnt werden da eine stochastische Un tergrundstruktur erzeugt und auf das Gitter von def aufgebracht werden kann 2D Berech nungen der Salzstr mungsph nomene wie Fingering und Walzen zeigten da die Heterogenit t mit den von homogenen Medien bekannten Ph nomenen interagiert Ins besondere k nnen Walzen durch Heterogenit t zerst rt werden 11 5 W nschenswerte Weiterentwicklungen von d r Die Entwicklung von d f kann noch nicht als abgeschlossen angesehen werden Da df noch ein sehr junges Programm ist kann nicht verwundern daB es noch nicht Uber eine Infrastruktur wie ltere Programme verf gt Aus dem gleichen Grund mu auch noch immer mit kleineren Fehlern und Unzul nglichkeiten im Programm gerechnet werden die sich erst bei einer gen gend gro en Anzahl von Anwendungsf llen zeigen werden Da die Handhabbarkeit von df derzeit noch nicht vergleichbar ist mit der von kommerzi ellen Programmen mu in der Folgezeit die entsprechende Weiterentwicklung mit Prio rit t fortgef hrt werden Dazu geh ren unter andere
216. ntionelle Programm Ab Gittergr en von etwa 5 10 Knoten ist d f schneller als das konventionelle Programm Bei Ausnutzung der M glichkeit zu gr eren aber vorgegebenen Zeitschrittweiten ist def schon ab etwa 5 104 Knoten schneller Das Anwachsen der Rechenzeit als Potenzfunk tionzu den einzelnenModellzeitpunkten zeigt Tabelle 10 3 1 0E 5 Vergleich des Rechenaufwands 1 0E 4 _ Saltflow mit Standard dt def mit Standard dt 1 0E 3 d3f mit opt dt 1 0E 2 1 0E 1 Rechenzeit min 1 0E 0 1 0E 1 1 0E 2 T T N LLC T TTP I T rrim T EEEE 1 0E 2 1 0E 3 1 0E 4 1 0E 5 1 0E 6 Anzahl Gitter Elemente Abb 10 1 Rechenzeit als Funktion der Anzahl der Gitterelemente Kurz vor Ende der Projektlaufzeit wurde von der Gruppe von Professor Wittum in Stuttgart ein weiterer Rechenzeitvergleich mit einer aktuelleren Version von dr durchgef hrt der deutlich k rzere Rechenzeiten von d f ergab 195 10 2 Leistungsf higkeit von d r Zum Ende der Entwicklungszeit wurde eine Testrechnung durchgef hrt um zu demon strieren da d f in der Lage ist effizient mit gro en Anzahlen von Unbekannten umzu gehen Dazu wurde das zweidimensionale Testbeispiel aus Unterkapitel 8 1 in die dritte Dimension erweitert siehe Abb 10 2 Anstelle der stochastischen Permeabiltatsvertei Abb 10 2 Dreidimensionales Modellgebiet entstanden durch Expandierung des in Abb 8 1 dargestellten zweidimen sio
217. nzen der hydrogeologischen Einheiten Grobgitter Konzentrationsverl ufe k nnen im Dreidimensionalen durch Isofl chen dargestellt wer den Es k nnen wahlweise eine Isofl che oder aber wie Abbildung 5 15 zeigt auch meh rere Fl chen in einem Bild dargestellt werden Ny SSS lt SSN S Abb 5 15 Eine oder mehrere Isofl chen zur Konzentrationsdarstellung Eine weitere M glichkeit ist die Darstellung von Konzentrationen in beliebigen Schnitte benen Dabei k nnen Isolinien einzeln farbig oder aber als Farbverl ufe dargestellt wer den siehe Abbildung 5 16 Selbstverst ndlich k nnen Druckverl ufe mit denselben Me thoden visualisiert werden Abb 5 16 Isolinien auf einer Schnittebene Grid Mode und Patch Mode 106 Geschwindigkeiten k nnen ebenfalls aus beliebigen Schnittebenen entweder als Vek toren oder als Schlierenbild visualisiert werden Dabei ergeben die Schlierenbilder f r station re F lle einen besseren visuellen Eindruck des Geschwindigkeitsfeldes siehe Abbildung 5 17 ee Abb 5 17 Geschwindigkeitsdarstellung Vektor und Schlierendarstellung In Abbildung 5 18 sind mehrere Methoden zur Particle Tracking Darstellung gezeigt Links oben ist eine Schar von Partikeln zu sehen deren Farbe sich im zeitlichen Verlauf ndert Links unten sind die Bahnen mehrer Partikel dargestellt Rechts oben wird ge zeigt wie sich ein geometrische
218. odellierung stochastische 2 net 95 Multi Block Verfahren 53 N Newton Verfahren 83 Notaliona en ne ee 229 O Oberbeck Boussinesq Approximation 17 Oberfl che graphische rear een 50 integrierte eeekeeee 102 Oberfl chentriangulierung 55 P Palla Road Aquifer Botswana 183 Parallelisierung 444444 89 Konzeptes ee 91 Lasimigration auesnasnesee 93 Lastverteilung r4 4444 92 Transparenz 94 Verfeinerung read 94 Pavino ae eai 52 PetleiZahl ns 60 Permeabilit t 19 37 95 229 physikalische Testf lle 133 Rlasteringe Mami 52 Porosit t nr ataei 18 38 229 P sipr zess r ana 104 PIAplOZeSSOn He 40 Prisme austreten 57 Pyramide sieniniai erruit 57 Q QU ACCS peia an 47 Quellen ee 99 R Randbedingungen 22 28 29 Raster Algorithmus 44 gt 53 Rechenzeitvergleich 193 S DAUM OW ie 193 saltpo0l n2 n ae 137 Salzlingen cn ee 170 DAIZSIOCK un ee 31 Salzwasserintrusion 183 Schadstoffe 242 chemotoxische un224 nennen 1 radioaktive 1 Scheidegger Ansatz nen 19 Senke un 99 SIMIC ALO he see 51 Streichlinie 444444 en 144 SUDAOMAIN eannan aa 48 Symmetrieachse 4444e 31 T Tetirasder
219. of D Kr ner an der Universit t Freiburg Prof M Rumpf an der Universit t Bonn Prof G Wittum an der Universit t Stuttgart und Prof W Zielke an der Universit t Hannover Bei ihnen bedanken wir uns f r die konstruktive Zusammen arbeit und ihr pers nliches Engagement das weit ber eine normale Erf llung vertraglich vereinbarter Arbeitsaufgaben hinausging Besonderer Dank geb hrt dabei Herrn K Jo hannsen von der Universit t Stuttgart f r die Koordination der engen Zusammenarbeit der einzelnen Arbeitsgruppen Bedanken m chten wir uns auch bei den Mitarbeitern der Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe des Bundesamtes f r Strahlen schutz und der Abteilung Endlagerung des Fachbereiches Entsorgung der GRS die be ratend t tig waren Schlie lich danken wir auch Herrn W Brewitz Herrn W Thomas und Herrn R Storck von der GRS sowie Herrn W Steininger vom Projekttr ger Entsorgung des Forschungszentrums Karlsruhe die sich sehr daf r einsetzten da dieses Projekt durchgef hrt werden konnte Eckhard Fein Anke Schneider Abstract Salt has been selected as a potential host medium for radioactive and toxic waste dis posal in Germany and a number of other countries In Northern Germany the salinity of groundwater generally increases with depth in some cases up to saturation However in the vicinity of salt domes brine is already encountered at low depth eg in the Gorleben area approximately at 250 m below m s I
220. ol gende Personen an Institution Verantwortlicher Leiter Mitarbeiter Vorhaben Institution Verantwortlicher Leiter Mitarbeiter Vorhaben Institution in Zusammenarbeit mit Verantwortliche Leiter Institut f r Hydromechanik und Wasserwirtschaft ETH H nggerberg CH 8093 Z rich Prof Dr Wolfgang Kinzelbach Sascha Oswald Carsten Schwarz Physikalischen Grundlagen Modellierung Dokumentation Institut f r Angewandte Mathematik Universit t Erlangen N rnberg Martensstra e 3 D 91058 Erlangen Prof Dr Peter Knabner Peter rolkovic Christoph Tapp Kathrin Thiele Gittergenerierung Diskretisierungsverfahren Fehlersch tzer Dokumentation Institut f r Angewandte Mathematik Universit t Freiburg Hermann Herder Stra e 10 D 79104 Freiburg Institut f r Angewandte Mathematik Universit t Bonn WegelerstraBe 6 D 53115 Bonn Prof Dr Dietmar Kr ner Prof Dr Martin Rumpf 15 Mitarbeiter Vorhaben Institution Verantwortlicher Leiter Mitarbeiter Vorhaben Institution Verantwortlicher Leiter Mitarbeiter Vorhaben Joachim Becker David B rkle Martin Metscher Ralf Neu bauer Mario Ohlberger Susanne Reck Monika Wierse Graphisches Postprocessing Dokumentation Institut f r Computeranwendungen 3 Universit t Stuttgart Pfaffenwaldring 27 D 70569 Stuttgart Prof Dr Gabriel Wittum Gabriele Beddies Klaus Birken Dirk Feuchter Klaus Joha
221. omene erfordern eine genaue L sung der Str mungs gleichungen wie aus offenen strittigen Fragen im Zusammenhang mit Testrechnungen zur berstr mung eines Salzstockes ersichtlich ist 74 112 Im Zusammenhang mit der Endlagerung von gef hrlichen Abf llen ist die Grundwasser str mung im Deckgebirge ber den Salzst cken und als Folge davon auch ein m glicher Transport von radioaktiven oder chemotoxischen Schadstoffen nach einer st rfallbeding ten Freisetzung aus dem Salzstock von besonderer Bedeutung Die Simulation des Schadstofftransportes und damit auch die Berechnung der Grundwasserstr mung ber Tausende von Jahren sind Bestandteile einer Langzeitsicherheitsanalyse 27 145 Um diesen Anforderungen nachkommen zu k nnen wurde in der Zeit vom November 1990 bis September 1991 im Rahmen eines BMFT gef rderten FE Vorhabens von einer Arbeitsgruppe die sich aus Mitarbeitern des Bundesamtes f r Strahlenschutz BfS der Bundesanstalt f r Geowissenschaften und Rohstoffe BGR der Gesellschaft f r Reak torsicherheit GRS und der GSF Forschungszentrum f r Umwelt und Gesundheit GSF zusammensetzte der Statusreport Grundwasserprogramme mit variabler Dich te 45 erstellt In diesem wurden die fachlichen Grundlagen f r eine Entscheidung Uber die Entwicklung eines Grundwasserprogrammes mit dem Str mungen von versalzenen Grundwassern in gro en komplexen Gebieten berechnet werden k nnen zusammen geste
222. onen von d f ist dieser Test nicht mehr anwendbar Das Konzept der Quell und Senkenterme wurde von Massenfl ssen auf Volumenfl sse und Konzentra tionen umgestellt Das oben vorgestellte Problem l t sich daher nicht mehr in dieser Weise formulieren 131 132 7 Neue physikalische Testf lle in 3D Um letztlich die Aussagef higkeit eines numerischen Codes realistisch beurteilen zu k n nen m ssen Testf lle verwendet werden die eine reale Situation beschreiben Beim Ver gleich von numerischen L sungen mit den Ergebnissen von Experimenten sind folgende Punkte f r einen solchen Testfall zu beachten Die Ergebnisse der Rechnungen basieren sowohl auf den kontinuierlichen Glei chungen als auch auf den numerischen L sungsverfahren Beim Vergleich der Er gebnisse mit einer exakten L sung falls vorhanden kann direkt die Qualit t der numerischen L sung des Problems getestet werden Im Falle eines Vergleichs mit experimentellen Ergebnissen ist dies anders Nur wenn die kontinuierlichen Glei chungen die betrachtete reale Situation ad quat beschreiben stellt ein Vergleich unter Ber cksichtigung der MeBfehler einen Test ausschlie lich f r die Numerik dar Die G ltigkeit der Gleichungen f r die hier verwendeten Situationen ist aller dings nicht beweisbar sondern mu vorausgesetzt werden Eine reale Situation wird erfaBt durch Messungen der verschiedenen involvierten Parameter wie Permeabilitat Geometrie etc
223. or sen Medien Experimente und Modellie rung Dissertation ETH Z rich Nr 12812 1998 Oltean C Ackerer Ph Bues M Solute Transport in 3D Laboratory Model through an homogeneous porous medium Behaviour of Dense Phase and Si mulation Computational Methods in Water Resources X S 521ff Kluwer aca demic publishers Dordrecht Niederlanden 1994 Patankar S V Numerical heat transfer and fluid flow Hemisphere Publishing Corporation 1980 Pearl Z Magaritz M Bendel P Measuring Diffusion Coefficients of Solutes in Porous Media by NMR Imaging Journal of Magnetic Resonance 95 S 597ff 1991 221 121 122 123 124 125 126 127 128 129 Pearl Z Magaritz M Bendel P Nuclear Magnetic Resonance Imaging of Miscible Fingering in Porous Media Transport in Porous Media 12 107ff 1993 Peraire J Vahdati M Morgan K Zienkiewicz O C Adaptive remeshing for compressible flow computations Journal of Computational Physics 72 449 466 1987 Peraire J Peiro J Morgan K Adaptive remeshing for three dimensional compressible flow computations Journal of Computational Physics 103 269 285 1992 Polthier K Rumpf M A Concept for Timedependent Processes Scientific Vi sualization M Goebel H Mueller B Urban eds Springer Verlag Berlin Hei delberg 1995 Price M A Armstrong C G Sabin M A Hexahedral mesh generation by
224. ori wei wo eine feinere Aufl sung im Gitter w nschenswert ist oder extrem kleine Strukturen schon vom Grobgitter aufgel st werden m ssen Die L sung dieses Problems war die Implementierung einer Schrittweitenfunktion die die Elementgr e in Abh ngigkeit vom Ort bestimmt 5 3 1 5 Triangulierung d nner Schichten Der verwendete Ansatz f r den Gittergenerator geht von den R ndern aus und generiert im Innern des Volumens die Elemente Bei isotropen Geometrien mit gr enordnungs m ig gleichen L ngenausdehnungen macht dies keine Schwierigkeiten Im Gegensatz dazu k nnen bei anisotropen Geometrien Elemente entstehen die den Anforderungen der Numerik nicht gen gen Solche Situationen sind weitgehend zu vermeiden Die dazu notwendigen Modifikationen sind Anpassung der Oberflachentriangulierungen Die oben beschriebenen Probleme resultieren aus der Tatsache daB die die Ober fl che beschreibende Triangulierung an den gegen berliegenden Fl chen unter schiedlich ist Um die Elementqualitat zu verbessern wurde ein Vorgehen entwik 56 kelt das die Triangulierung der oberen und unteren Oberfl che aneinander anpa t Dazu wird ein zus tzliches ebenes Dreiecksgitter generiert Dieses wird dann auf alle nahezu flachen Oberfl chen bertragen Es ist klar da dieses Vorgehen auf das Innere der Oberfl chen beschr nkt und nicht f r die R nder anwendbar ist Zwischen diesen beiden Dreiecken werden nun drei T
225. owski G Hydrogeologische Systemanalyse Modellierung von Str mungs und Transportprozessen Zbl Geol Pal ont teil 1 1995 H 9 863 880 Stuttgart April 1997 Oswald S Schwarz C Kinzelbach W Benchmarking in Numerical Modelling of Den sity Driven Flow SWIM 16 21 Juni 1996 Malm Schweden Oswald S Schwarz C Kinzelbach W Benchmarking for Density Driven Flow IFARE Workshop 16 17 Juni 1996 Strasbourg Frankreich Schwarz C Oswald S Kinzelbach W Some mathematical problems in the context of density flow modelling IFARE Workshop 16 17 Juni 1996 Strasbourg Frankreich rolkovi P Consistent Velocity Approximations in Finite Element or Volume Discretiza tions of Density Driven Flow Workshop Porous Media Oberwolfach 25 2 2 3 1996 Thiele K Angermann L Knabner P An error estimator for a finite volume discretiza tion of density driven flow in porous media Proc of ICMS Grid Adaption in computational PDEs Theory and Applications Edinburgh 1 5 Juli 1996 to appear in Applied Nume rical Mathematics Knabner P rolkovic P Consistent velocity approximation for finite volume or element discretizations of density driven flow in porous media Proc of 11th International Confe rence on Computational Methods in Water Resources CMWR 96 22 6 26 6 1996 Cancun Mexico 233 rolkovi P Finite volume discretizations of density driven flows in porous media
226. probleme realistische Testf lle E 2D gt 3D Da die tats chliche Effizienz stark implementierungsabh ngig ist wurde besonderes Ge wicht auf eine gleichzeitig transparente und effiziente programmtechnische Umsetzung gelegt Entwicklung des L sers Wie einleitend bereits erw hnt wurde das Programmpaket UG auf allen Ebenen modu larisiert Das Numerikmodul des Simulators stellt ein flexibles modulares System von L serkomponenten zur Verf gung Diese Untermodule k nnen nach einem Baukastenprin zip zu komplexen Algorithmen zusammengesetzt werden Die einzelnen Untermodule sind Repr sentanten verschiedener Klassen wie z B lineare Iteratoren lineare L ser nichtlineare L ser Zeitintegrationsroutinen usw Auf diese Weise sind klassische Mehr gitterverfahren Newtonverfahren die die linearen Teilprobleme mit Hilfe von Mehrgitter verfahren l sen Zeitintegrationsverfahren die wiederum solche nichtlinearen L ser ver wenden realisierbar Zur L sung der Gleichungen der dichtegetriebenen Grundwasser str mung kommt ein L sungsverfahren folgender Struktur zum Einsatz Zeitintegrationsverfahren Nichtlineare L ser Linearer L ser Gl tter Grobgitterl ser Zeitintegrationsverfahren Zunachst wurde ein implizites Eulerverfahren implementiert Dieses ist von erster Ord nung und erweist sich als stabil bei groBen Zeitschritten Fur das voll implizite Schema gibt es keine Begrenzung f r den Zeitschritt um S
227. proximation der Dispersion Zusammenfassend kann zu der Geschwindigkeitsapproximation gesagt werden da eine hohe Genauigkeit f r die Darcy Geschwindigkeit erwartet werden kann solange die wichtigste Bedingung n mlich die konsistente Geschwindigkeitsapproximation erf llt ist 5 3 2 3 2 Konsistente Geschwindigkeitsapproximation Wie bereits in 5 3 2 2 erw hnt wurde erf llten die in der Literatur beschriebenen Algo rithmen f r konsistente Geschwindigkeitsapproximationen die Anforderungen nicht zu friedenstellend Die Methoden waren nur f r rechteckige 166 und quaderf rmige 99 finite Elemente bekannt Dabei wurde zus tzlich noch von hydrostatischen Bedingungen und einer linearen Abh ngigkeit der Dichte von der Konzentration ausgegangen In diesem Projekt wurden die Methoden f r andere Elementtypen entwickelt und weiter hin auf allgemeine hydrodynamische Situationen und auf eine beliebige Abh ngigkeit der Dichte von der Konzentration erweitert Dazu wurde der Algorithmus von Voss amp Souza zun chst auf lokale Referenzelemente erweitert 88 51 Damit war die Ableitung der konsistenten Geschwindigkeitsapproximation f r beliebige affine und isoparametrische finite Elemente auch f r nicht hydrostatische Zust nde gegeben F r eine lineare Abh n gigkeit der Dichte von der Konzentration ist der in 88 dargestellte Algorithmus identisch mit dem von Voss amp Souza w hrend f r nichtlineare Abh ngigkeiten der
228. r ckzugreifen Diese Methoden erfordern erheblich mehr Aufwand an Speicher und Rechenzeit und sie sind sowohl algorithmisch als auch theoretisch f r die hier vorliegenden Probleme in der Lite ratur noch nicht ausreichend untersucht Neue Erkenntnisse bez glich der Verallgemeinerung des Algorithmus von Voss und Sou za 166 sind in 88 und 51 ver ffentlicht Sie erweitern den Algorithmus auf allge meine hydrodynamische Verh ltnisse und auf beliebige Abh ngigkeiten der Dichte von der Konzentration Der Algorithmus ist f r Vierecks Prismen und Hexaederelemente implementiert Ein neuer Algorithmus f r eine konsistente Geschwindigkeitsapproximation wurde ent wickelt 36 und erfolgreich f r Dreiecke und Tetraeder implementiert Alle theoretischen Untersuchungen und numerischen Tests zeigten da die Geschwindigkeitsapproxima tionen f r diese Elemente Eigenschaften haben die mit denen von Elementen h herer Ordnung wie z B Prismen vergleichbar sind Auf Grund dieser Tatsachen empfiehlt es sich aus numerischer Sicht im zweidimensio nalen Fall Dreiecks oder in einfachen F llen Vierecksgitter zu benutzen In dreidimen sionalen Fall wird die Benutzung von Tetraedern oder alternativ Hexaedern empfohlen Gemischte Gitter die aus Tetraedern Prismen und Pyramiden bestehen werden emp fohlen wenn andere Kriterien wie z B anisotrope Verfeinerung von gr erer Bedeutung sind 73 5 3 3 Fehlersch tzer Z
229. r ger Entsorgung PTE aufgefordert einen ent sprechenden Projektantrag zu stellen Dieser wurde im April 1994 abgegeben und mit Schreiben des BMFT vom 15 September 1994 bewilligt Der vorliegende Abschlu bericht ist wie folgt gegliedert In Kapitel 2 werden der Entwick lungsstand auf dem Gebiet der Dichtestr mungsmodellierung zu Projektbeginn und das daraus abgeleitete Ziel der Programmentwicklung dargestellt Kapitel 3 zeigt die Organi sation und das Management der Softwareentwicklung Kapitel 4 enth lt das physikali sche Modell und seine mathematische Beschreibung In Kapitel 5 wird das Programm system d f mit den Entwicklungsbeschreibungen des Praprozessors des Simulators und des Postprozessors vorgestellt In Kapitel 6 sind die Arbeiten zur Verifizierung der Nume rik dokumentiert Die Arbeiten zur Erstellung dreidimensionaler Testfalle sind in Kapitel 7 und die Simulation von Dichtestr mungen in heterogenen Aquiferen in Kapitel 8 darge stellt Kapitel 9 enth lt die realit tsnahen Testf lle Ein Rechenzeitvergleich wird in Kapi tel 10 beschrieben Eine Zusammenfassung und ein kurzer Ausblick der auch sinnvolle Weiterentwicklungsm glichkeiten aufzeigt werden in Kapitel 11 gegeben Kapitel 12 ent h lt das Literaturverzeichnis und Kapitel 13 die Bezeichnungen w hrend in den Kapiteln 14 und 15 Veranstaltungen bzw Ver ffentlichungen aus der Laufzeit des Projektes zu sammengestellt sind 2 Aufgabenstellung Der bisher
230. r wenn Laufzeitunterschiede auf verschiedenen Wegen keine Rolle mehr spielen wird die bergangszone wie ein Boundary Layer durch die mi kroskopische Vermischungsbreite bestimmt d h die effektive Dispersionsl nge f r den station ren Zustand scheint nicht gegen ber der mikroskopischen Dispersionsl nge er h ht zu sein W hrend zu den Anfangszeiten die Eindringgeschwindigkeit der Salzzunge vergleichbar ist mit der eines homogenen Aquifers mit mittlerer Leitf higkeit erreicht der heterogene Aquifer seine station re L sung deutlich sp ter Durch langsamen Salzein trag in den schlecht leitf higen Bereichen ver ndert sich das Druckfeld in der Umgebung und die Salzzunge kriecht auch in den besserleitf higen Bereichen noch weiter in den Aquifer In diesem Falle war der homogene Aquifer schon nach 2 5 Jahren station r der heterogene aber selbst nach 3 7 Jahren noch nicht 169 INN IR NR NN Abb 8 7 Konzentrationsverteilung nach 1 2 1 und 3 Jahren f r den stochastischen K stenaquifer auf einem L ngsschnitt durch das Gebiet 143 8 3 Salzfinger in heterogenen Medien Besonders interessant ist die Interaktion von instabiler Schichtung mit heterogenen Me dien Dieser Fall bereitet der Theorie effektiver Dispersionskoeffizienten als Ersatzeigen schaft f r diverse Vermischungsprozesse gro e Schwierigkeiten da die entsprechenden Integrale f r die effektive Disper
231. r K rper im Laufe der Zeit verformt Das Bild rechts unten entspricht der dar ber angeordneten Abbildung hier werden jedoch zus tzlich gleichlan ge Zeitr ume durch einen Farbwechsel sichtbar gemacht bb 5 18 Darstellungsm glichkeiten f r Particle Tracking 107 Abb 5 19 Darstellung mit der Methode Probe In Abbildung 5 19 ist die Ausgabe mit der Probe Methode dargestellt Dazu wird in einer beliebigen Schnittebene eine Linie markiert In einem separaten Fenster wird ein xy Plot des Konzentrationsverlaufs l ngs dieser Linie dargestellt Gleichzeitig werden diese Wer te in eine permanente Datei zur weiteren Verwendung geschrieben 108 6 Verifizierung der Numerik Die folgenden Probleme wurden als Testf lle f r d f ausgesucht Sie stellen die in der Literatur am h ufigsten verwendeten Testf lle in 2D dar und werden in den folgenden Abschnitten im einzelnen diskutiert Hydrocoin Level 1 Case 5 z Henry Problem Elder Problem Die Aussagekraft dieser Probleme ist im Hinblick auf reale Anwendungen beschr nkt aber auch als 2D Testf lle haben sie Schw chen Sie sind entweder zu wenig sensitiv Henry die L sung ist nicht wirklich bekannt Elder Hydrocoin die Eindeutigkeit der L sung ist nicht gew hrleistet zumindest im Sinne einer stabilen L sung Elder Hy drocoin es werden einfache Geometrien und homogene Verh ltnisse vorausgesetzt El der Henry Hydrocoin es wird en
232. r auf tretenden Integrale So setzt sich der Fehlersch tzer aus vier wesentlichen Indikatoren zusammen dem Residuum der Gleichungen dem Sprung der Flu terme ber die Ele mentkanten und zwei Indikatoren als Repr sentanten des Quadraturfehlers Es hat sich gezeigt da ein a posteriori Fehlersch tzer entwickelt wurde der gute Er gebnisse f r die Gitteradaption liefert Der Fehlersch tzer konnte nicht nur f r simpliziale Elemente sondern auch f r andere Elementtypen hergeleitet werden F r solche Ele menttypen lagen bisher keine Untersuchungen vor Die Grundlagen k nnen in den fol genden Arbeiten nachgelesen werden 6 53 J 89 und 158 F r die Zeitschrittweitensteuerung wurde auf allgemein bekannte Verfahren zur ck ge griffen Hier war eine eingehende Betrachtung der benutzten Diskretisierung notwendig Zur Zeitdiskretisierung ist das implizite Eulerverfahren benutzt worden Diese Methode bietet von sich aus keinen Ansatz f r eine Zeitschrittweitensteuerung Ein wesentliche Restriktion bei der Auswahl der geeigneten Methode war da m glichst keine Rechnun gen mehrmals durchgef hrt werden sollten Diese Einschr nkung f hrte dazu da Stan dardverfahren die darauf basieren durch zus tzliche Berechnungen f r kleinere Schritt weiten Vergleichswerte zu erzeugen nicht geeignet sind Auch Verfahren die auf dem L sen eines linearisierten Problems basieren w ren nur mit gro em Aufwand realisier bar gewesen
233. r etwas sagen ber die Approximationseigenschaft hnlicher Anfangsrandwertprobleme zu den partiel len Differentialgleichungen Deshalb wurde eine Salz und Druckverteilung angesetzt die eine gewisse hnlichkeit mit dem Testfall Hydrocoin Level 1 Case 5 156 hat der in Unterkapitel 6 1 vorgestellt wurde Diese Funktionen verf gen noch ber frei zu w hlen de Parameter so wie auch in den Gleichungen Parameter noch gew hlt werden k nnen Diese Freiheitsgrade wurden nach analytischer Berechnung der Quellterme so bestimmt da diese Quellterme klein sind und somit der Testfall m glichst nahe an einem realisti schen quellfreien Fall liegt Der Salzmassenbruch und die Druckverteilung wurden f r ein dimensionsloses gew hltes Problem angenommen als p 1 2z gPo A Jz 2 A 3 x 2 2 6 80 9 2z 2 N y ed x Bz C Bee une 6 81 Yy mit den in Tabelle 6 1 angegebenen Freiheitsgraden und Parametern Die Druck und Konzentrationsverteilungen sind in den Abbildungen 6 15 bzw 6 16 dar gestellt Mit Hilfe mathematischer Algebraprogramme wurden die beiden Quellterme analytisch berechnet und als C Quellcode generiert 126 Tabelle 6 1 Parameter des Benchmark Problems Symbol Wert Bezeichnung 20 Stromlinienbetonung 12 Gewichtsfaktor Achsenverh ltnis Scherung Frischwasserdichte Normierung mittlerer Druckgradient in x Richtung mittlerer Druckgradient in z Richtung
234. r leisten 8 1 Layered Saltdome Testfall f r mittel und gro skalige Heterogenit ten In zwei Dimensionen wurde ein synthetischer Testfall siehe Abbildung 8 1 konzipiert der die berstr mung eines Salzstockes in einem Aquifer aus drei Einheiten zeigt Jede dieser Einheiten weist in sich noch eine stochastische Permeabilitatsvariation siehe Ab Abb 8 1 Gebiet und Randbedingung f r das Layered Saltdome Problem Bei den Randbedingungen stellt schwarz impermeable R nder dar rot die Grenze zum Salzstock blau eine hydrostatische Druckverteilung und Konzentration 0 als Dirichletbedingung Einstromrand gr n Grundwas serneubildung und violett eine Austrombedingung mit vorgegebenem Ausstrom Graue Linien markieren die Grenzen der hydrogeologischen Einheiten Das Gebiet ist nicht berh ht dargestellt bildung 8 8 auf Die Permeabilitat variiert innerhalb einer Schicht um ca eine Zehnerpo tenz im gesamten Gebiet berstreicht sie einen Bereich von drei Zehnerpotenzen Die ser Testfall beschreibt einen sehr gut leitf higen Aquifer ber einem Salzstock Dieser Aquifer ist durch ein Fenster etwas links der Mitte des Gebietes in der schwachdurch l ssigen Trennschicht mit dem oberen Aquifer verbunden Das Str mungsfeld wird von 164 dem oberen Aquifer erzeugt Von rechts kommt Frischwasser aus dem oberstromliegen den Teil des Aquifers und verl t links das Modellgebiet in die stromabwartsliegende Fortsetzung dieses
235. reduced crosswind diffusion Technical Report 165 Institut fur Angewandte Mathematik Universitat Erlangen Juli 1995 Angermann L A posteriori error estimates for approximate solutions of nonline ar equations with weakly stable operators Preprint 209 Institut fur Angewandte Mathematik Universit t Erlangen N rnberg 1996 Angermann L Knabner P Thiele K An error estimator for a finite volume dis cretization of density driven flow in porous media IMACS Journal Applied Nu merical Mathematics 26 179 191 1998 Babuska l Rheinboldt W C Error estimates for adaptive finite element com putations SIAM Journal on Numerical Analysis 15 4 736 754 1978 Bansch E Numerical experiments with adaptivity for the porous medium equa tion Acta Math Univ Comenianae 64 2 157 172 1995 Bastian P Locally Refined Solution of Unsymmetric and Nonlinear Problems In Proc of the Eighth GAMM Seminar Kiel 1992 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Bastian P Parallele Adaptive Multigridverfahren Teubner Skripten zur Nume rik Teubner Verlag 1996 Bastian P Pers nliche Mitteilung an K Johannsen 1996 Bastian P Birken K Eckstein K Johannsen K Lang S Neuss N Rentz Reichert H UG a flexible software toolbox for solving partial differential equa tions Computing and Visualization in Science 1 1 27 40 1997 Bear J On
236. rkapitel 7 2 Ein Teil der Testf lle ist in den Kapiteln 6 7 und 8 dokumentiert Weiterhin sei auf Kapitel 9 hingewiesen in dem die Bearbeitung realit tsnaher Testf lle dokumentiert ist Einige der in diesem Bericht beschriebenen Testf lle wurden auch in die Testfallbibliothek 37 bernommen 103 5 4 Der Postprozessor Der Postprozessor des Programmpaketes d f basiert auf der Grafiksoftware GRAPE GRAphical Programming Environment die seit 1987 im Sonderforschungsbereich 256 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen der Universitat Bonn und seit 1992 in Zu sammenarbeit mit dem Institut f r Angewandte Mathematik der Universit t Freiburg ent wickelt wird 59 60 132 133 Da die bei der Modellierung von gro en Gebieten anfallende Datenmengen enorm gro werden k nnen mu te vermieden werden da die mit dem Simulator erzeugten Daten in ein vorgegebenes Format konvertieren werden m ssen Deshalb wurde zun chst ein prozeduraler Ansatz f r die Visualisierung erarbeitet Dadurch kann der Benutzer sofort auf seinen eigenen Datenstrukturen mit denen er auch im Simulator gearbeitet hat vi sualisieren Dazu sind lediglich einige Funktionen zur Verf gung zu stellen Die Graphi kroutinen arbeiten dabei auf einem prozeduralen Baum und der Benutzer mu Funktio nen wie first element und next element zur Verf gung stellen Durch diese und einige weitere Funktionen siehe auch Benutzerha
237. rmalverteilten reellen Zahl Der ganze Algorithmus ist de terministisch und kann durch einen Integer Wert initialisiert werden Anderenfalls wird dieser Startwert aus der Zeitvariablen genommen und die Realisation ist in Unkenntnis dieses Wertes nicht reproduzierbar Beispielfelder die mit diesem Generator produziert wurden befinden sich im Kapitel 8 5 3 7 Singulare Quellen und Senken Im Programmpaket d f wird die Problemstellung unabh ngig von einem Gitter f r die Nu merik repr sentiert Dazu wird das Modellgebiet in Untereinheiten sogenannte Subdo mains zerlegt die durch ihre Oberfl chen definiert werden Die meisten Eigenschaften des Aquifers sind unabh ngig vom Ort oder orientieren sich an den geologischen Schich ten die durch diese Subdomains aufgel st werden Brunnen zur Zugabe oder Entnahme von Wasser und oder Lauge hingegen orientieren sich nicht an diesen geometrischen Vorgaben und sind zu klein um als eigene Untereinheit repr sentiert zu werden Im Nor malfall sind sie so klein da eine Approximation als Punkt oder Linie angebracht ist Nun wird w hrend der Diskretisierung der Differentialgleichung die entsprechende Quellst r ke element genauer subkontrollvolumen weise ben tigt und das auch bei adaptivem Gitterumbau durch Verfeinerung und Vergr berung und einer Umverteilung der Elemente 99 zwischen den Prozessoren eines Parallelrechners Weil die Diskretisierung bei nichtli nearen Problemen wie den
238. rmierte Autokorrelationsfunkti on E G k G k C k 5 57 Weiterhin bezeichne f se Hajas K G k dk 5 58 die R cktransformierte von G und schlie lich sei G k G k 5 59 Dann ist H x e R und es gilt aufgrund der Eindeutigkeit der inversen Fouriertrans formation gem Gleichung 5 56 Hae 2 Graet eR 5 60 und gem Gleichung 5 57 E H H C x 5 61 D h wegen der Gleichung 5 60 f r k 0 ist H ein Zufallsfeld mit Mittelwert 0 und die Gleichung 5 61 zeigt daB die Varianz 1 und Autokorrelationsfunktion C ist Die Glei chung 5 60 f r beliebige k R zeigt die Stationarit t des Zufallsprozesses Die Ei genschaften 5 60 und 5 61 werden ausgenutzt um aus unkorrelierten normalver teilten Zufallszahlen ein Zufallsfeld mit der gew nschten Korrelationsstruktur C x zu ge winnen Der R wird durch ein regelm iges Gitter mit Gittervektoren e x Achse ie 1 n auf einem Rechteck bzw Quader der Ausdehnung L ap 97 proximiert Jedem Punkt des zugeh rigen Fouriergitters wird eine Zufallszahl G k mit Erwartungswert Null und Erwartungswert des Quadrates C k zugeordnet Zu dieser Gitterfunktion G wird die inverse diskrete fouriertransformierte Gitterfunktion 2TIx Hx Le EG k 5 62 berechnet Durch periodische Fortsetzung und n lineare Interpolation zwischen den Git terpunkten wird H4 zu einer Funktion auf dem R erwei
239. rung der Generalisierung m glich Die nicht mehr verfeinerten Quadrate des Qua dtree werden als Bl tter bezeichnet Die Bl tter sind die Tr ger der Informationen hier enthalten sie die St tzpunkte In Abbildung 5 3 c ist ein Tiefenlinienplan der mit Hilfe der Quadtree Methode analysiert wurde dargestellt Zur Ermittlung geschlossener Randpolygone wurde eine Vektorisierungsmethode ent wickelt Hierbei war zu beachten da mehrere Teilfl chen innerhalb eines Tiefenlinine planes enthalten sein k nnen Ausgehend von einem zu w hlenden Randblatt kann ein Randpolygon eines zusammenh ngenden Gebietes ermittelt werden 130 Sind au er halb der Gebietsbeschreibung Isolinen und damit auch St tzpunkte vorhanden ist keine korrekte Triangulierung m glich 45 Randh hensch tzung ist einerseits f r die teilweise nicht geschlossenen Tiefenlininepl ne und andererseits f r die Identifizierung mehrerer Teilfl chen innerhalb eines Tiefenli nienplanes erforderlich Neben der Vektorisierung ist auch eine Generalisierung der Ba sisdaten durch Punktselektion m glich 5 2 3 Zweidimensionale Modelle Nachdem ein Vertikalschnitte in den Pr prozessor eingelesen und gegebenenfalls mit den oben beschriebenen Methoden aufbereitet wurde mu die Eingabedatei zur geome trischen Beschreibung f r den Simulator erzeugt werden Dazu dient die Methode Build Topology Mit ihrer Hilfe werden die erforderlichen Datenstrukturen HG
240. rung gleich blieb Die Konzentration in der Salzl sung betrug insgesamt 3 0 g l Beim ersten Experiment wurde die Konzentration in einem horizontalen Bereich um die Grenzschicht gemessen bei dem zweiten wurde der mittlere Bereich des por sen Mediums ber die volle H he aufgenommen X cm Abb 7 11 Vertikalschnitt der Konzentrationsverteilung Die Hauptfinger haben bereits das Ende der Heterogenitat erreicht Das Verhalten ist in beiden Fallen qualitativ ahnlich Bereits nach den ersten Minuten sind einzelne Fingeransatze vorhanden In der Zone der erh hten Permeabilitat erfolgt die Fingerentstehung zuerst und am schnellsten Dies bedingt da nach einiger Zeit die Fin ger dort am gr ten sind Allerdings wachsen auch in den u eren Bereichen mit gerin gerer Permeabilitat zahlreiche unregelm ig verteilte Finger Dabei wachsen sowohl Salzwasserfinger nach unten als auch S wasserfinger nach oben In der Einlagerung mit h herer Permeabilitat sto en diese Finger dann an die Oberkante des por sen Me diums bzw das Ende der Einlagerung nach unten an siehe Abbildung 7 11 Aufgrund ee verschiedener Schwierigkeiten sind die Me ergebnisse nicht in vollem Umfang f r einen Vergleich geeignet So werden durch das Herausziehen der Plastikmatte nach vorne wahrscheinlich bereits kleine St rungen der Grenzschicht verursacht und am hinteren Rand wird eine S wasserwalze ausgel st Zum anderen k nnen dabei an manchen S
241. rungen nicht m glich Es zeigte sich da nur einfache Upwind Metho den realisiert werden konnten Auch konnte nur f r das full upwind die G ltigkeit des Minimum Maximum Prinzips gezeigt werden All das lie eine Verallgemeinerung der oben erw hnten upwind Verfahren notwendig erscheinen 5 3 2 2 Geschwindigkeitsapproximation In dem h ufig zitierten Papier von Voss und Souza wird festgestellt da der wichtigste Beitrag f r eine erfolgreiche Modellierung von Dichtestr mungen die konsistente Ge schwindigkeitsapproximation ist 166 Seite 1852 ff Es werden die Ursachen f r nu merische Artefakte in den Geschwindigkeiten falls nicht modifizierte nicht konsistente Geschwindigkeitsapproximationen benutzt werden erl utert sowie die dadurch entste henden Einfl sse beschrieben Die Autoren stellen fest da leicht k nstliche unphysi kalische Geschwindigkeiten in der Gr enordnung von einigen Hundert m a bei ge w hnlichen Modellrechnungen entstehen k nnen Am einfachsten kann die Fehlerursa che im hydrostatischen Grenzfall verstanden werden wenn die Fluiddichte sich nur in vertikaler Richtung ndert Um hydrostatisches Gleichgewicht zu erhalten mu die Druck nderung eine Ordnung h her als die Dichte nderung sein Das bedeutet aber z B f r konstante Dichte da sich der Druck in Richtung der Gravitation linear ndern mu hnliches gilt nat rlich auch f r andere r umliche Variabilit ten der Dichte
242. rwen dete Dispersionstensor ET D lgla I qg 4 11 22 wobei qi der transponierte Vektor zu q g der Betrag von q und die Einheitsmatrix ist Obiger Dispersionstensor hat noch zwei Freiheitsgrade die longitudinale Dispersionslan ge a f r Dispersion in Richtung der Geschwindigkeit q und die transversale Dispersions l nge a f r Dispersion senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung F r Medien mit einer ausgezeichneten Richtung f r die weitere Herleitung sei es ohne Einschr nkung der Allgemeinheit die z Achse und Isotropie in den auf dieser Richtung senkrecht stehenden Ebenen l t sich der Dispersionsansatz 4 4 auf sechs Freiheitsgrade reduzieren Die sechs Freiheitsgrade sind die longitudinale Dispersionsl nge bei horizontaler Str mung a 4 12 LH gt fun 7 12222 die transversale Dispersionsl nge in horizontaler Richtung f r horizontale Str mungen Q 4 13 TH H 7 iz 7 znin die transversale Dispersionsl nge in vertikaler Richtung bei horizontaler Str mung Ory y si gt 933 4 14 die longitudinale Dispersionsl nge f r vertikale Str mungen Groy T aia 4 15 die transversale Dispersionsl nge bei vertikaler Str mung OTH v us 42233 4 16 die in horizontaler Richtung wirkt und schlie lich ein Parameter der die Kopplungsst rke des Dispersionsellipsoids an die Str mungsrichtung mit der Kopplung an die Ausrichtung des Mediums vergleicht amp 4 17 T aizi 2233
243. s auch bei Gitterver nderungen erfor derlich ist ein sorgf ltiges Softwaredesign mit einer sich daran anschlie enden umfang reichen Testphase Befa t man sich mit paralleler Hardware findet man verschiedene Rechnerarchitekturen vor Eine Betrachtungsweise parallele Rechnerarchitekturen zu klassifizieren ist die Un terscheidung nach der Art wie die Prozessoren auf den Speicher zugreifen 76 Im shared memory Modell haben alle Prozessoren Zugriff auf einen gemeinsamen Speicher Die Kommunikation und Synchronisation zwischen den Prozessoren er folgt durch Speicheroperationen Normalerweise sind der gemeinsame Speicher und die Netzwerkknoten physikalisch getrennt Dieses Modell erfordert wenig Pro grammieraufwand ist jedoch begrenzt in der Skalierung Im distributed memory Modell hat jeder Prozessor seinen eigenen Speicher auf den die anderen Prozessoren nicht direkt zugreifen k nnen Die Kommunikation und Synchronisation erfolgt durch den Austausch von Nachrichten die ber ein Verbindungsnetzwerk gesendet werden Dieses Modell ist schwieriger zu verwen den als das shared memory Modell jedoch bei richtiger Anwendung erh lt man eine Skalierung ohne Performanceverlust 89 Wir unterscheiden also speichergekoppelte und nachrichtengekoppelte Rechner Die def Anwendung basiert auf dem distributed memory Konzept da es ohne viel Aufwand m g lich ist diese Anwendung auf das shared memory zu bertragen F r den Nachri
244. s f r eine nachfolgende Triangulierung der Fl che Hierf r wird ein vorhandener auf dem Delau nay Kriterium 147 basierender Netzgenerator verwendet 154 155 F r die Trian gulierung nicht konvexer Gebiete mu ein geschlossenes Randpolygon vorhanden sein zur Approximation der vertikalen Ausdehnung entsprechende St tzpunkte innerhalb der Gebietsberandung 169 Aus den Erfahrungen mit den zur Verf gung stehenden Da tens tzen ergaben sich folgende Anforderungen Ermittlung geschlossener Randpolygone Randh hensch tzung Ermittlung eines St tzpunktfeldes innerhalb der Gebietsgrenzen Generalisierung der Ausgangsdaten 44 F r die Bearbeitung dieser Anforderungen wurden Methoden basierend auf einer Quad tree Repr sentation der Tiefenlinienpl ne entwickelt 130 Der Quadtree ist ein Algo rithmus der auf einer rasterf rmigen hierarchischen Datenstruktur siehe Abbildung 5 3 a und b beruht Die Gr e der einzelnen Zellen geben den Grad der Generalisierung eines Objektes an Abb 5 3 Hierarchische Datenstruktur der Quadtree Repr sentation Hier werden die St tzpunkte der Isolinien und der Randpolygone innerhalb der Tiefenli nienpl ne zur Initialisierung des Quadtree verwendet Dazu werden alle St tzpunkte in ein Einheitsquadrat transformiert und durch rekursive Unterteilung in kleinere Quadrate aufgeteilt Mit unterschiedlichen Abbruchkriterien f r die Unterteilung ist eine gezielte Steue
245. sen gesattigtem Medium zus tzliche Testf lle erarbeitet Diese Modellprobleme dienten dazu die verschiedenen Teilprobleme der Dichtestr mung zu erfassen und das Programm daraufhin zu testen Im einzelnen handelt es sich um folgende Testf lle Das Layered Saltdome Problem zweidimensional besteht aus 4 Teilgebieten mit unterschiedlichen Permeabilitaten Dieses Modell diente haupts chlich als Test f r das stochastische Modell f r die Permeabilitats verteilung siehe Unterkapitel 8 1 Das Komplex Problem zweidimensional besteht aus 49 Teilgebieten und entspricht in etwa einem realistischen Gebiet wur de jedoch in vertikaler Richtung gestreckt An diesem Beispiel wurde das Verhalten des L sers bei stark springenden Koeffizienten untersucht Das Layered Saltdome Problem dreidimensional entspricht dem o g Testfall gleichen Namens Es wurde in die dritte Raumdimen sion fortgesetzt und diente dem Nachweis da d f in der Lage ist groBe komplexe Gebiete in akzeptablen Rechenzeiten zu bearbeiten Das Coast Problem dreidimensional behandelt das Eindringen von Salzwasser in einen S wasseraquifer In die kubi sche Geometrie sind zwei Schichten mit niedrigerer Permeabilitat eingelagert sie he Unterkapitel 8 2 Das Saltpool Problem dreidimensional ist ein Modellproblem das auf eigens durchgef hrten Experimenten beruht Die nu merischen Resultate wurden mit den experimentellen Ergebnissen verglichen sie he Unte
246. ser L sung ohne por ses Medium So werden die Spin Gitter Relaxationszeit T4 und die Spin Spin Relaxationszeit T f r Definitionen siehe 31 im por sen Medium verkleinert Wesentlich dabei ist die Gr e der wassergef llten Poren und die Porosit t Schwanken diese Eigenschaften innerhalb des gemessenen Volumens so schwankt dadurch auch die Signalst rke Aber selbst in einem aus hydrodynamischer Sicht homogenen Medium aus kugelf rmigen K rnern ist die Porosit t von Voxel zu Voxel etwas verschieden solange ein Voxel nicht eine sehr gro e Anzahl von K rnern enth lt Zudem sind in jedem realen homogenen Medium auch immer kleine Schwankungen der Porosit t vorhanden Hat das Material des por sen Mediums paramagnetische oder sogar ferromagnetische Bestandteile oder sind solche als Verunreinigungen im Wasser vorhanden so kann dies das Signal einer ganzen Gruppe von Voxeln vollkommen verf lschen hnlich w rden sich auch eingeschlossene Luftblasen auswirken Letztlich zeigt das por se Medium durch seinen Aufbau eine r umliche Variation der Signalst rke bis hin zum lokalen Ver lust eines verwertbaren Signals Weitere St rungen des Signals sind bei hohen Konzen trationen des Salzwassers auch durch Abschirmeffekte m glich Diese St rungen ver langen neben dem Rauschen eine geeignete Ber cksichtigung bei der Interpretation der gemessenen Bilder Die Variation der magnetischen Eigenschaften mit der Konzentration der L sun
247. sion bei 167 divergieren Diese Probleme beruhen dar auf da z B translationsinvariante Probleme nichttranslationsinvariante L sungen auf weisen k nnen siehe dazu auch Unterkapitel 7 2 Die L sungen derartiger Probleme weisen in sich L ngenskalen auf die unabh ngig sind von der vorgegebenen Geometrie 470 Abb 8 8 Logarithmische Darstellung der Permeabilitatsverteilung f r eine Realisation mit Korrelationsl nge 30 m Gew nschter Mittelwert der Permeabilitat war 5 5 10 m der Mittelwert in diesem Ausschnitt der Realisierung ist 6 048 1 03 m Eine solche probleminh rente L ngenskala ist die Fingerbreite die sich im Laufe der Fin gerentwicklung durch Zusammenwachsen mehrerer Finger vergr ert siehe Absatz 6 3 3 In einem heterogenen Aquifer kann diese L nge kleiner als die Korrelationsl nge der Per meabilit t sein In diesem Falle wird durch fortgesetzte Fingervereinigungen die Finger breite irgendwann die Korrelationsl nge erreichen und bersteigen Zum anderen k nnte die Korrelationsl nge des Mediums kleiner sein als die anf nglich auftretenden Finger Da bei den numerischen Experimenten mit homogenen Medien und Unstetigkeit in der Anfangssalzverteilung keine kleinste Fingerbreite beobachtet werden konnte sie scheint deutlich unterhalb der verwendeten Gitterweiten zu liegen l t sich der zweite Fall kaum untersuchen Als Ausgangsbasis zur Analyse der Wechselwirkung zwischen Dichtefin gern u
248. sondere Kennung Als Begrenzungsfl che f r 178 den obersten Aquifer wurde der Grundwasserspiegel aus einer Rechnung mit dem be stehenden Modell verwendet Dies war n tig da der wirkliche obere Aquifer ungespannt ist wohingegen in d f von einem gespannten Aquifer ausgegangen wird Deshalb mu te auf diese Weise eine feste Oberfl che f r den Grundwasserbereich vorgegeben werden Die oberste Schicht ist in Teilgebiete aufgeteilt innerhalb derer jeweils ein hydrogeolo gischer Parameter konstant ist Durch Verschneiden aller Teilgebiete f r die verschiede nen Parameter und nach kleineren Vereinfachungen wurde die oberste Schicht letztlich in 14 Untereinheiten aufgeteilt siehe Abbildung 9 4 In jeder dieser Untereinheiten sind alle hydrogeologischen Parameter und auch die Randbedingungen konstant 32700 32200 31700 31200 30700 30200 29700 29200 28700 28200 27700 27200 26700 26200 25700 25200 24700 24200 237 Be P7200 12200 13200 14200 15200 16200 17200 18200 19200 Abb 9 4 Unterteilung der obersten Schicht in Untergebiete Dieses Vorgehen zun chst alle geometrischen Untereinheiten mit einem jeweils kon stanten Satz von hydrogeologischen Parametern zu charakterisieren stellt eine konzep tuelle Besonderheit von d f dar Andere Programme erzeugen oft die Dreidimensionalit t durch Aufeinandersetzen von Schichten aus Volumenelementen Bei diesem Vorgehen werden
249. speziell die des Dispersionstensors die Konvergenzrate der linearen L ser zu erh hen Dabei zeigte es sich da jede Abweichung von einer kompletten analytischen Linearisierung eine Ver ringerung der Konvergenzrate des nichtlinearen L sers bewirkt F r die Linearisierung wurde auch eine numerische Differentiation implementiert und insbesondere zu Beginn des Projektes benutzt Es stellte sich aber heraus da diese Art der Linearisierung f r 64 hoch nichtlineare Probleme versagt und au erdem signifikant h here Rechenzeiten be n tigt Einzelheiten zur Linearisierung und zur Diskretisierung von dichtegetriebenen Str mungen in por sen Medien k nnen in 54 und 36 gefunden werden 5 3 2 3 1 Minimum Maximum Prinzip Die Diskretisierung sollte so beschaffen sein da die berechnete L sung f r die Konzen tration das sogenannte diskrete Minimum Maximum Prinzip erf llt d h da diese be kannte Eigenschaft der analytischen L sung f r die Konzentration auch von der numeri schen L sung erf llt wird Dieses Ziel wurde erreicht F r Dreieck Elemente ist der theoretische Hintergrund in 54 beschrieben Es wird unter minimalen Voraussetzungen gezeigt da der Minimal bzw Maximalwert der numerischen L sung der Transportgleichung vorgegeben werden mu durch einen Wert einer Dirichlet Randbedingung von Anfangsbedingungen einer Einstromrandbedingung eines Quellterms Die Annahmen die zur Gew
250. sverteilung aus einer Simulation des Versuchs b mit Hexaederelemen ten und Zeitdiskretisierungsschemata h herer Ordnung ist exemplarisch in Abbildung 7 10 dargestellt Au erdem wird auf den Vergleich der Durchbruchskurven im Unterka pitel 7 4 verwiesen wo die Ergebnisse einer Simulation des Versuchs b mit Tetraederele menten und Zeitdiskretisierungsschema niedriger Ordnung verwendet werden 73 Fingering Im Gegensatz zum Testfall des Upconings mit stabiler Dichteschichtung wurde hier der umgekehrte Fall einer instabilen Dichteschichtung betrachtet Eine Schicht aus salzigem Wasser liegt am Anfang ber einer Schicht aus S wasser Diese Situation ist ein labiles Gleichgewicht da auf das schwerere Salzwasser oben eine gr ere Gravitationskraft wirkt als auf das leichtere S wasser darunter aber bei absolut horizontaler Grenz schicht ein labiles Kr ftegleichgewicht herrscht Durch kleinste St rungen wird der Aus tausch des Salzwassers mit dem S wasser in Gang gesetzt Dies erfolgt in 3D in Form 148 Abb 7 9 Berechnete Konzentrationsverteilung zu Versuch a Anfangsbedingung der dritten Phase nach 5 8 min 21 1 min und 104 2 min Die schwarze Linie kennzeichnet die anf ngliche Lage der Grenzschicht von tingerartigen Ausbeulungen der Grenzschicht Diese Finger sind begleitet von einer walzenartigen Str mungsbewegung um sie herum da Salzwasserfinger nach unten auf grund der Kontinuitat SUBwasserfinger nach oben erzeu
251. t Aus diesen Grund konnten die Ergebnisse von Eriksson amp Johnson nicht auf das vorliegende Problem bertragen werden Zusammenfassend kann gesagt werden da es f r nicht lineare Gleichungen wie sie in unserem Fall vorliegen zum Zeitpunkt des Projektbeginns keine a posteriori Fehlersch tzer gab 5 3 3 1 Theoretische Grundlagen F r die adaptive Gitterverfeinerung war die Entwicklung eines quantitativen a posteriori Fehlersch tzers notwendig Der von Angermann 2 entwickelte Fehlersch tzer wurde auf nichtlineare Problem bertragen F r die Gitteradaption ist nur die Betrachtung des elliptischen Anteils des Fehlers n tig Die Trennung des elliptischen und des zeitabh n gigen Fehlers der Approximation wurde nach der Methode von Bieterman amp Babuska voll zogen 18 19 Ein Gesamtfehlerschatzer f r das parabolische Problem konnte auf 74 Grund der Komplexit t der Problemstellung in der K rze der Zeit nicht entwickelt werden Auch der Fehlersch tzer f r den elliptischen Anteil konnte nicht ersch pfend bis in letzte Detail bewiesen werden Hierf r w re ein l ngerfristige Untersuchung der Gleichungen und der gew hlten Diskretisierung notwendig gewesen Der Fehlersch tzer f r den elliptischen Anteil entspricht in seinen Grundz gen denen die aus der Literatur f r Finite Element Verfahren bekannt sind Durch die Finite Volu men Diskretisierung entstehen jedoch zwei zus tzliche Terme aus der Quadratur de
252. t Das Verfahren ist relativ einfach Die einzige Einschr nkung an die Eingabedaten besteht darin da die Anzahl der Geraden st cke gerade sein mu Es existiert eine Erweiterung des Paving auf dreidimensionale Probleme Statt der Vierecke m ssen nun Hexaeder generiert werden Ausgehend von einer Beschreibung des Gebietes durch Vierecke werden die Hexaeder im Gebiet gene riert Allerdings werden im Dreidimensionalen sehr schnell die Grenzen des Algorithmus deutlich Es ist selbst f r relativ einfache Probleme unklar wie eine Hexaederzerlegung aussieht obwohl theoretisch eine solche Zerlegung existiert Bis heute ist f r dieses Pro blem noch keine L sung gefunden worden Raster Algorithmus Im Gegensatz zum Paving Plastering geht dieser Ansatz nicht vom Rand des Gebietes aus sondern erzeugt im Inneren ein strukturiertes Gitter und versucht dieses am Rand anzupassen 140 Dieses Vorgehen funktioniert sowohl in 2D als auch in 3D Es tritt aber eine wesentliche Einschr nkung auf Das Verfahren l t sich nicht auf Gebiete mit mehreren Teilgebieten erweitern da sich im allgemeinen die Gitter an den Gebietsgren zen nicht konform aneinander anschlie en lassen Dieser Ansatz war daher ebenso nicht sinnvoll f r die gestellte Aufgabe Multi Block Verfahren Die Idee des Multi Block Verfahrens 57 und 125 besteht darin das Gebiet in einfa che konvexe Teilgebiete zu zerlegen die dann relativ einfach trianguliert werden k nnen
253. t Heidelberg 1998 Lang Stefan Eine parallele Softwareplattform f r unstrukturierte Mehrgitterberechnun gen Dissertation Universit t Heidelberg in Vorbereitung 1999 235 Oswald Sascha Dichtestr mungen in por sen Medien Experimente und Modellierung Dissertation ETH Z rich Nr 12812 1998 Schwarz Carsten Dichteabh ngige Str mungen in homogenen und heterogenen por sen Medien Dissertation ETH Z rich in Vorbereitung 1999 Thiele Kathrin Adaptive Finite Volume Discretization of Density Driven Flows in Porous Media Dissertation Uni N rnberg Erlangen in Vorbereitung 1999 Tapp Christoph Anisotrope Gitter Generierung und Verfeinerung Dissertation Uni N rnberg Erlangen in Vorbereitung 1999 236 Abbildungsverzeichnis Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb Abb 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 5 11 5 12 5 13 5 14 5 15 5 16 5 17 5 18 5 19 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 6 10 6 11 6 12 6 13 Vertikalschnitt und Tiefenlinienplan ccceeceeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeees 42 Der Douglas Peucker Algorithmus ccccceeeeeeeseeeeeeceeeeeeeeeeneeeeee 44 Hierarchische Datenstruktur der Quadtree Repr sentation 45 Triang lierter AuSSEhNilt aueesaeeee 46 Vertikal
254. tabilit t zu gew hrleisten Die erste Imp 82 lementierung beinhaltete eine einfache Strategie zur Zeitschrittweitensteuerung Bei gu ter Konvergenz wird der Zeitschritt verdoppelt bei schlechter Konvergenz oder Divergenz wird der Zeitschritt halbiert Die Entwicklung zeigte da die einfache Strategie zur Zeit schrittweitensteuerung f r Langzeitsimulationen nicht effizient genug ist Es wurde dar aufhin eine konvergenzabh ngige Steuerung implementiert bei der sich der Zeitschritt mit der Wurzel des Quotienten aus der Anzahl der ben tigten nichtlinearen Schritte und der optimalen Anzahl nichtlinearer Schritte multipliziert Mit dieser Zeitschrittweitensteue rung wurden neben dem neuentwickelten Verfahren sehr gute Erfahrungen gemacht Ne ben dem impliziten Eulerverfahren wurden noch zwei weitere Verfahren zweiter Ordnung untersucht das Crank Nicholson Verfahren mit konstanter Schrittweite und ein Zwei schritt BDF Verfahren Backward Difference Formula mit variabler Schrittweite Diese er wiesen sich jedoch in der Anwendung auf die dichtegetriebene Grundwasserstr mung als nicht hinreichend stabil Nichtlineare L ser Die aus der Zeitdiskretisierung entstehenden Gleichungen werden voll gekoppelt gel st Die Hauptschwierigkeit liegt in der nichtlinearen Kopplung zwischen der Dispersion in der Stofftransportgleichung und der Str mungsgeschwindigkeit Nichtlineare Probleme k n nen mit dem Mehrgitterverfahren f r lineare Proble
255. tellen Luftblasen eindringen die dann lokal sowohl eine Konzentrationsbestimmung als auch das Durchstr men vereiteln 7 3 3 Simulation des Fingering Testfalls mit d f Die Rechnungen wurden mit der Version 1 11 von df durchgef hrt Es wurden insgesamt vier Subdomains definiert n mlich zwei zur Beschreibung der Salzwasser S wasser anfangsbedingung die jeweils wiederum in zwei Bereiche mit unterschiedlicher Perme abilit t eingeteilt wurden Das Grobgitter im Bereich der Grenzschicht wurde durch Ver wendung einer Gewichtungsfunktion mit etwas geringerer Gitterweite generiert Die An fangsbedingung wurde ber ein Wertefeld eingegeben Dabei wurden innerhalb der Grenzschicht Werte aus einer Gleichverteilung zwischen 0 und 1 als St rung der idealen Anfangsbedingung verwendet Dieses soll eine Fingerenstehung initiieren Oberhalb der Grenzschicht waren die Konzentrationswerte gleich 1 unterhalb gleich 0 gesetzt Das verwendete Raster zur Vorgabe der Anfangskonzentrationen hatte dabei in den beiden horizontalen Richtungen Abst nde von 2 4 mm und in der Vertikalen 2 0 mm Die Per meabilitat im u eren Bereich war entsprechend dem zweiten Experiment auf einen Wert von 3240 m gesetzt Da das Modellgebiet vollkommen geschlossen ist wurde mit der idealen Dichtefunktion siehe Unterkapitel 4 5 1 und 4 5 2 gearbeitet um so in der Rechnung ber oder Unterdr cke durch Volumen nderungen zu vermeiden Die Visko sit ts nderungen mit der Sal
256. teme einfacher als f r konvektiv dominierte Grundwassersyteme Erste einfache Rechnungen die im Zusammenhang mit dem Testfall Gorlebener Rinne im Rahmen von Intraval durchgef hrt wurden zeigten da die Ergebnisse sehr deutlich von der Durchl ssigkeitsverteilung den Anfangsbedingungen f r die Salzkonzentration der Gr e der transversalen Dispersivit t und des Salinarkontaktes sowie des zu betrach tenden Modellzeitraumes abh ngen Die Ergebnisse wiesen darauf hin da die heutige Salzwasserschichtung und das zugeh rige Flie system noch nicht station r sind Unter suchungen zum Temperatureinflu auf die Bewegung von Tiefenwasser haben eine nur untergeordnete Bedeutung f r Salz S wassersysteme gezeigt Bez glich der durchgef hrten Rechnungen mit Dichteeffekten war festzustellen Sie wiesen die Machbarkeit der Modellierung des Transports von Grundwasser und seiner Inhaltsstoffe bei von der Salzkonzentration abh ngiger Wasserdichte in Hin blick auf komplexere F lle auf Sie zeigten gleichzeitig da f r eine Anwendung der Rechenprogramme in Genehmigungsverfahren noch erheblicher Entwicklungsbe darf bestand Sie belegten die herausragende Bedeutung des Einflusses des Salzgehaltes und der damit variablen Dichte auf das gesamte Grundwassersystem Entsprechend geeignete Rechenprogramme w rden die realistischere Modellierung von komple xen FlieBsystemen erm glichen Sie zeigten bei Betrachtung der Ergebnisse
257. ter nach unten und erkunden dabei zuf llig schwach und gutleitf hige Bereiche Die Schwankungen in der Korrelati onskurve spiegeln diese Zuf lligkeiten bei der Erkundung wieder Selbst bei der Ann herung an den station ren Zustand Zeiten oberhalb zehn Jahren richtet sich die Salz verteilung nicht besonders stark nach den leitf higen Bereichen Die Korrelation zwi schen Permeabilitat und Salzmassenbruch ndert sich kaum noch Sowohl die Str mung dichten Fluids nach unten als auch die Frischwasserstr mung aufw rts w rden gerne die schnellen Pfade bevorzugen aber f r einen station ren Zustand m ssen beide auch auf schw cher leitf hige Bereiche ausweichen so da die Salzfinger keine nennenswerte Korrelation mit der Permeabilit t aufweisen Dieser Zeitverlauf konnte f r mehrere Rea lisationen des oben genannten Ensembles und f r einige Realisationen eines Ensembles mit Korrelationsl nge 50 m beobachtet werden Dementsprechend l t sich annehmen s170 Abb 8 11 Korrelation zwischen Permeabilitat und Konzentration Die Kurve zeigt die mittlere von der Konzentration gesehene Permeabili t t ke in 1018 m gegen die Zeit in Jahren Die mittlere Permeabilitat ist gestrichelt eingezeichnet Die Abweichung zwischen den beiden Kurven stellt die Korrelation dar da die Fingerentstehung mit der Permeabilitatsverteilung gekoppelt ist dieser Effekt wird Pinning genannt aber die so entstandenen Finger entwickeln sich
258. tert F r diese Fortsetzung gilt lim E H 0 5 63 l gt e gt 0 und lim E H H C x 5 64 I gt e gt 0 D h das diskrete Zufallsfeld ist eine gute Approximation f r eine Realisation des ge w nschten Zufallsfeldes wenn die Ausdehnung des Referenzrechteckes bzw quaders gro gegen die Korrelationsstruktur und die Gitterabst nde des diskreten Gitters klein ge gen die Korrelationsstruktur sind Absch tzungen des Approximationsfehlers und Bei spiele finden sich in 129 Im Programmpaket d f wurde entsprechend der gerade skizzierten Theorie ein Zufalls feldgenerator implementiert der f r exponentielle C x e 5 65 oder glockenf rmige 98 C x e 5 66 l Korrelationsfunktionen auf Referenzgittern mit u en Oh entsprechende Realisatio le nen erzeugt Fur die diskrete Fouriertransformation wird die schnelle Fouriertransforma tion FFT verwendet daraus folgt auch die Einschrankung auf Zweierpotenzen als Kno tenzahl Zufallsfelder mit Mittelwert ungleich Null und oder Varianz ungleich Eins werden durch lineare Transformation der auf R fortgesetzten Gitterfunktion Hx gewonnen Die Erzeugung der normalverteilten unkorrelierten Zufallswerte im Fourierraum geschieht durch einen auf modulo Berechnung basierenden Generator f r gleichverteilte nat rliche Zahlen in einem endlichen Zahlenbereich und geeigneter Transformation von mehreren dieser Zufallszahlen zu einer no
259. tfall durch gef hrt siehe auch 117 Die Hauptschwierigkeit lag in der Initiierung des Finger wachstums Es wurden Rechnungen mit und ohne anf ngliche St rungen der Grenz schicht durchgef hrt 1090 X Experimentelle Daten MRI Gitter 1 140 000 Knoten Gitter 2 verfeinert 240 000 Knoten 80 0 A Gitter 1 gest rte Anfangsbedingung xL F F x a 60 0 x wy x 4 D x A 6 x 40 0 x g x x J v gA X a y K 20 0 2 af x Ax l 4 x K x x a 7 a 0 0 8AL peee l T 0 0 40 0 80 0 120 0 160 0 200 0 Zeit min Abb 7 16 Fingerwachstumsgeschwindigkeit bei Salt flow 159 Zwar konnte in keinem der F lle ein Fingerwachstum im u eren Bereich erreicht wer den jedoch bildeten sich im zentralen durchl ssigeren Bereich Finger aus Diese Finger zeigen im Vergleich mit den gemessenen die richtige Fingerwachstumsgeschwindigkeit Allerdings tritt eine deutliche Verz gerung bis zum Einsetzen des Fingerings auf siehe Abbildung 7 16 Diese Verz gerung nimmt bei weiterer Gitterverfeinerung deutlich ab Ebenso ist die Verz gerung wesentlich geringer f r die Rechnung mit anf nglicher St rung der Grenzschicht als in den Rechnungen ohne St rung wobei dann allerdings die richtige Wachstumsgeschwindigkeit nicht mehr so gut reproduziert wird Im Vergleich zu diesen Rechnungen l t sich festhalten da d f in der Lage ist ein Finger
260. tigkeit ohne weiteres zu Proble men f hren Es ist nicht einmal klar ob das Problem wohlgestellt ist Deshalb wurde im weiteren mit der Dirichlet Bedingung an der Seeseite gearbeitet und der Boundary Layer im oberen Bereich dieses Randes als lokaler Fehler akzeptiert Die L sungen dieses Pro blems konnten mit d f siehe Abbildung 8 5 mit adaptiven Gittern berechnet werden Es stellte sich heraus da das Problem nicht nur auf der Seeseite mit dem Boundary Layer 167 Abb 8 5 Salzverteilung auf einem Schnitt nach 1 bzw 2 5 Jahren am oberen Rand schlecht gestellt ist sondern auch die Druckunterschiede zwischen der Meerseite und dem landzugewandten Rand zu gering waren so da im unteren Aquifer bereich die Salzstr mung zum landzugewandten Rand durchbrach F r dieses Problem h tte also ein gr eres Gebiet gew hlt werden m ssen damit die Salzzunge ganz im Gebiet bleibt Ansonsten wird der landseitige Rand auch nur mit einer Umschaltbedin gung zwischen Dirichlet und Ausstromrandbedingung f r die Konzentration sinnvoll be handelt Von diesen Problemen abgesehen zeigt dieses Beispiel da Salz wie auch erwartet wird zuerst in die die durchl ssigen Schichten eindringt Aber Rechnungen die in Stutt gart durchgef hrt wurden zeigen da im station ren Zustand die Salzzunge in den schlechtdurchl ssigen Bereichen gleich weit vorgedrungen ist wie im restlichen Aquifer Deshalb lie sich vermuten da ein heterogener
261. tigungskonzentration der Lauge als Dirichletwert vorgegeben werden oder der Ablaugungsproze ber die Randbedingung mitmodelliert werden Der erste Ansatz f hrt h ufig zu nichtkom patiblen Anfangs und Randbedingungen so da der Ablaugungsansatz vorzuzie hen ist Die Kritik an der Salzmassenbruch Dirichlet Randbedingung findet sich un ter anderem auch in 90 Einstrombereiche werden unter anderem mit einem vorgegebenem Gesamtmas senflu f x t gem Gleichung 4 24 oder Geschwindigkeit g x t gem Glei chung 4 25 und einer Neumann Bedingung f r den Salzflu 4 28 wobei die Flu rate f r die Salzmasse sich im ersten Falle zu h x t CL Ax t undim zweiten Falle zu h x t c Plc F x t aus dem GesamtmassenfluB be ziehungsweise der Geschwindigkeit und der Konzentration im Oberstrom c be rechnet Hierbei wird der dispersive diffusive Flu ber den Rand vernachl ssigt Alternativ l t sich auch der Salzmassenbruch mit einer Dirichletbedingung mit Wert c auf dem Einstromrand festhalten Dieses zweite Vorgehen stellt bei Ge schwindigkeiten mit gro er Komponente parallel zum Rand eine schlechte N he rung dar R nder mit Ausstrom sind a priori als solche zu identifizieren wenn wiederum ent weder der Gesamtmassenflu ber den Rand Neumann Randbedingung oder die Geschwindigkeit ber den Rand vorgegeben ist Eine sinnvolle Approximation f r den Salzflu ist die Vernachl ssigung dispersiver diff
262. tmassenflu oder die Geschwindigkeit ber den Rand auf dem Randst ck T gilt l t sich diese Randbedingung direkt in eine Di richlet oder Ausstromrandbedingung berf hren Die Ablaugungsbedingung die Ausstromrandbedingung und nat rlich die implizite Rand bedingung h ngen von der L sung auf dem Rand ab Die letzten beiden sind sogenannte nicht lineare Randbedingungen Im Prinzip lassen sich die Randbedingungen aus beiden Aufz hlungen beliebig kombinieren doch sind z B die Dirichletwerte nicht auf jedem Randst ck a priori bekannt Deshalb ist es wichtig den Rand des Modellgebietes physi kalisch zu w hlen und nach den physikalischen Eigenschaften des Randst ckes ein ge eignetes Paar von Randbedingungen zu w hlen Besonders h ufig auftretende Situatio nen sind die folgenden Undurchl ssige R nder werden durch Neumannrandbedingungen mit Flu st rke null sowohl f r den Gesamtmassenflu als auch den Salzmassenflu repr sentiert 30 Symmetrieachsen k nnen wie undurchl ssige W nde mit Neumann Null Bedin gungen realisiert werden Die Bereiche in denen der Aquifer an einen Salzstock grenzt k nnen f r den Ge samtmassenflu wie geschlossene R nder betrachtet werden oder als R nder mit verschwindendem Volumenflu ber denselben In 99 finden sich Einw nde ge gen die Behandlung von Salzst cken als geschlossene R nder f r die Gesamt masse F r den Salzmassenbruch kann entweder die S t
263. tr mungen geht der Ansatz von Jensen auch mit den Nebenbedingungen ary Ory und ay Azp Nicht in den blichen Scheideggerschen Ansatz 4 11 Uber 24 Eine weitere Version eines Dispersionstensors f r ein Medium mit einer ausgezeichneten Richtung findet sich bei Burnett Frind 29 Diese Autoren gehen wiederum von der aus gezeichneten z Achse aus und erg nzten das Modell des isotropen Mediums 4 11 durch eine Unterscheidung der transversalen Dispersionsl nge nach vertikal transversa ler Dispersion und horizontal transversaler Dispersion D amp Eee rn Be 11 Eg DR Vg Dj a en RR 2 22 TG ca TV G D a soc aa 0A 1343 33 w eg Le 414 Pie Boe a re 1193 OB aS rm o e a app Dieses Modell ist ein Spezialfall von 4 4 4 12 4 18 wobei die longitudinalen Dispersionsl ngen miteinander und die transversal horizontale Dispersionsl nge bei ver tikaler Str mung mit der transversal vertikalen Dispersionsl nge identifiziert werden und die Kopplungsst rke sich aus den anderen Freiheitsgraden errechnet a 1 2 a ary Die Modelle 71 und 167 lassen sich wegen der zus tzlichen Abh ngigkeit von der Konzentration bzw dem Dichtegradienten nicht auf den Ansatz 4 4 zur ckf hren Vom Ansatzpunkt her erweitern sie das einfache Modell 4 11 durch zus tzliche D mp fung bei gro en Dichtekontrasten wobei diese Modelle entweder nur f r stabile Schich tungen gelten 167 oder nur f r
264. trachtet In der Regel werden diese Elemente so weit verfeinert bis die maximale Gitterfeinheit erreicht ist Der verbleibende Teil des Modellgebietes wird gesondert verfeinert oder vergr bert Interpolationsfehler in den Anfangsdaten In den numerischen Untersuchungen hat sich gezeigt da ein Fehler in den Anfangsda ten sich auf den gesamten zeitlichen Verlauf der Rechnung auswirkt Dies ist besonders 78 der Fall bei unstetigen Anfangsdaten Eine Unstetigkeit in den Anfangsdaten kann von den normalen Fehlerindikatoren nicht erkannt werden Aus diesem Grund mu te f r solche Situationen eine zus tzlicher Indikator entwickelt werden Um auch die Anfang daten hinreichend gut zu interpolieren und mit einem angepa ten Startgitter die Rech nungen zu beginnen wird vor Beginn der eigentlichen Rechnung ein Startschritt durch gef hrt In diesem Schritt wird unter anderem aus den vorgegebenen Anfangsdaten ein Startgitter entwickelt Die Gitteradaption in diesem Schritt basiert auf dem lokalen Inter polationsfehler der durch die Interpolation der Anfangsdaten auf das Gitter entsteht An den Stellen an denen der Interpolationsfehler gro ist wird das Gitter verfeinert und die Anfangsdaten werden auf das modifizierte Gitter interpoliert Auf diese Weise k nnen auch unstetige Anfangsbedingungen hinreichend gut durch das Startgitter abgebildet werden und der Fehler im Anfangsschritt bleibt verh ltnism ig klein 5 3 3 4 Zusammen
265. tsapproximation lationsfunktionen nicht explizit f r globale Koordinaten sondern nur f r das lokale Refe renzelement bestimmt werden kann Somit kann die neue konsistente Geschwindigkeits approximation f r isoparametrische Elemente nicht wie bei linearen Elementen explizit sondern nur numerisch berechnet werden Dies w re numerisch sehr aufwendig und zu dem wahrscheinlich numerisch instabil Aus diesen Gr nden und best rkt durch einige Testimplementationen wird f r Vierecke Prismen Pyramiden und Hexaeder die konsi stente Geschwindigkeitsapproximation in d f mit Hilfe des in 88 beschriebenen Algo rithmus basierend auf dem lokalen Referenzelement berechnet F r Tetraeder und Hexaeder zeigten theoretische und numerische Untersuchungen da der Algorithmus eine Approximation von guter Qualit t erzeugt hnliche Erfahrungen konnten f r Prismen gewonnen werden Dennoch mu darauf hingewiesen werden da die Implementation der Prismen erst kurz vor Projektende zur Verf gung stand und des halb keine ausreichend gro e Anzahl von Tests durchgef hrt werden konnten Aus theo retischer Sicht m ssen f r Prismen zumindest teilweise hnliche Nachteile wie f r Drei ecke erwartet werden Nichteindeutigkeit 71 Auch f r Pyramiden steht die konsistente Geschwindigkeitsapproximation aus 88 f r erfahrene Benutzer zur Verf gung Die Standardeinstellung default ist jedoch nicht kon sistente Form Einzelheiten sind
266. tweder nur hydrodynamische Dispersion Hydrocoin oder nur molekulare Diffusion verwendet Henry Elder und die Randbedingungen sind numerisch problematisch Elder Hydrocoin oder nicht berall physikalisch sinnvoll Hen ry Wegen fehlender Referenzl sungen f r das Elder und Hydrocoin Problem wurde ein Beispiel mit vorgegebener analytischer L sung konstruiert In den Kapiteln 7 8 und 9 werden erarbeitete Testf lle vorgestellt die in der Komplexit t der Fragestellung ber die obengenannten Testf lle aus der Literatur hinausgehen 6 1 Das Problem Hydrocoin Level 1 Case 5 Dieses Problem wurde in 156 in Anlehnung an die Verh ltnisse oberhalb eines Salz stockes definiert Abb 6 1 Das Modellgebiet ist ein vertikaler 2D Schnitt durch einen Aquifer mit abstrahierter einfacher Rechtecksgeometrie In der Mitte der Aquiferbasis ist eine Dirichlet Randbedingung f r die Salzkonzentration gesetzt die einen Salzstock im Kontakt mit dem Aquifer repr sentiert Der restliche untere Rand und die seitlichen R n der sind undurchl ssig Auf dem oberen Rand liegt ein lineares Druckgef lle an das ei nen Zustrom von S wasser auf der einen Seite verursacht und auf der anderen Seite einen Ausstrom von Wasser aus dem Gebiet zur Folge hat Die Lage des Punktes auf 109 Outflow Level 1 Case 5 J Problemdefinition nach 38 von Hydrocoin Abb 6 1 bei dem der Zustrom in einen Ausstrom bergeht ist a priori
267. tzen mu die Anzahl der Prozessoren an die Problemgr e ange pa t werden Die parallele Effizienz S p ist definiert durch P Ty 1 S Sy p Tu l 5 49 90 Dabei ist Tpy P die Zeit die ben tigt wird ein Problem das P mal so gro ist wie das Problem X auf P Prozessoren zu berechnen Beide Faktoren Beschleunigung und parallele Effizienz zeigen optimale Performance falls keine sequentiellen Anteile bottle necks im Programmcode verbleiben und die Last auf alle Prozessoren gleichm ig ver teilt ist Der Proze zur Bestimmung des Lastausgleichs wird Lastverteilung genannt Lastverteilung und die eigentliche Lastmigration sind Teil des Gesamtverfahrens deren Zeitbedarf in einem ausgewogenem Verh ltnis zur erzielten Effizienz im Assemblierungs und L sungsschritt stehen mu 5 3 5 1 Konzept f r die Parallelisierung Der nat rliche und direkte Weg vom sequentiellen zum parallelen Rechnen ist die Daten auf der eine Simulation arbeitet zu verteilen Dies wurde in diesem Projekt so realisiert da das Mehrgitter in Gebiete aufgeteilt wird und jeder Prozessor dann auf den Mehrgit terobjekten des ihm zugeteilten Gebiets arbeitet 95 Die Datenaufteilung des Mehrgit ters erfolgt mit der berlappungstiefe 1 ber die Elementnachbarschaften innerhalb einer Gitterebene horizontale berlappung und den Vater Sohn Beziehungen zwischen den Gitterebenen vertikale berlappung Die berlappung von Elemente
268. uf zwei oder mehr Hauptwerte vereinfachen l t Eine Diskussion der Werte von a Unter verschiedenen Isotropie Annahmen findet sich im Unterkapitel 4 3 Bei die sem Ansatz erscheint die Abh ngigkeit der Dispersion von der Konzentration und dem Druck nur indirekt ber die Geschwindigkeit manche Autoren 167 71 nehmen noch zus tzlich eine direkte Abh ngigkeit von der Konzentration an Bei der Geschwindigkeit q wird angenommen da sie dem verallgemeinerten Darcy Gesetz k P p c 0 q Vp pg mit 4 5 H u c 0 T II gehorcht Dabei ist k die Permeabilit t des Mediums die nur vom Ort abh ngt u die Vis kositat die vom Salzmassenbruch c und der Temperatur 8 abh ngen kann und ortsun abh ngig ist Im Laufe dieses Projektes kam es zu einer Diskussion ob die massenge mittelte Geschwindigkeit der Fluidkomponenten q mit der Darcy Geschwindigkeit zu identifizieren sei oder ob nicht z B eine volumengemittelte Geschwindigkeit dem Darcy Gesetz gehorchen m sse 160 Da die Darcy Geschwindigkeit aus einer Homogenisie rung der Impulserhaltung stammt siehe z B 14 68 und 69 werden nicht Ge schwindigkeiten sondern Impulse gemittelt und diese Herleitung f hrt aufgrund der Kon struktion zu massengemittelten Geschwindigkeiten Genauso wie das Darcy Gesetz die Gleichungen 4 1 4 2 und 4 3 bez glich des Geschwindigkeitsfeldes erg nzt sind noch die Abh ngigkeiten der darin enthaltenen Ko e
269. uftreten Die zur Erzeugung einer solchen Datei notwendigen Methoden stehen zur Ver f gung und werden in 82 ausf hrlich beschrieben Im allgemeinen m ssen die zur Verf gung stehenden Daten ausged nnt werden um zu sinnvollen Knotenzahlen zu gelangen Dieses ist bereits w hrend der Konvertierung mit Hilfe des Douglas amp Peucker Algorithmus 159 m glich Mit diesem Algorithmus lassen sich Polygonz ge in der Form vergr bern da in Abh ngigkeit einer Schranke e nur die signifikanten Punkte f r die Beschreibung des Polygonzuges ausgew hlt werden siehe Abb 5 2 So kann z B eine gerader Polygonzug nur durch seine beiden Endpunkte be schrieben werden Dem Benutzer wird automatisch ein Wert e angeboten mit dem sich eine ca 50 ige Ausd nnung der Daten erg be Da die erzielten Ergebnisse sehr stark von den urspr nglichen Polygonz gen abh ngen ist die direkte Anwendung bei der Kon vertierung nicht zu empfehlen In ung nstigen F llen kann es zu degenerierten Struktu ren kommen z B wenn flache Linsen aufgrund eines zu gro en e Wertes nur durch eine Linie approximiert werden 43 a Abb 5 2 Der Douglas Peucker Algorithmus 5 2 2 2 Analyse von Tiefenlinienpl nen Tiefenlinienpl ne beschreiben Grenzfl chen benachbarter hydrogeologischer Einheiten Innerhalb der HGM Strukturen werden diese Fl chen in Form von Dreiecksnetzen be schrieben Das Ziel der Analyse ist die Generierung einer geeigneten Datenbasi
270. und Mehrgitter PhD thesis Universitat Heidel berg 1996 Niendorf H P Haustein J Grundlagen der MRT und MRS Kontrastmittel In M Reisser and W Semmler Herausgeber Magnetresonanztomographie Springer Verlag Berlin Heidelberg S 83ff 1992 Ohlberger M Rumpf M Hierarchical and Adaptive Visualization on Nested Grids Mathematische Fakultat Freiburg Preprint 22 1996 220 112 113 114 115 116 117 118 119 120 Oldenbourg C Pruess K Dispersive transport dynamics in a strongly coupled groundwater brine flow system Water Resources Research 31 2 289 302 1995 Oostrom M Hayworth J S Dane J H G ven O Behavior of Dense Aque ous Phase Leachate Plumes in Homogenous Porous Media Water Resources Research 28 8 S 2123ff 1992 Oostrom M J H Dane J H Experimental Investigation of Dense Solute Plu mes in an unconfined Aquifer Model Water Resources Research 28 9 2315ff 1992 Oswald S Schwarz C Kinzelbach W Benchmarking in numerical modelling of density driven flow Proc of 14th Salt Water Intrusion Meeting SWIM 96 Re port Nr 87 Geological Survey of Sweden Uppsala Schweden 32ff 1996 Oswald S Kinzelbach W Greiner A Brix G Observation of flow and trans port processes in artificial porous media via magnetic resonance imaging in three dimensions Geoderma 80 3 4 417ff 1997 Oswald S Dichtestr mungen in p
271. ung dieses Problems recht an 138 spruchsvoll f r eine numerische Berechnung sein Von ihrem Charakter her ist eine sol che Situation hnlich zum zweidimensionalen Hydrocoin Problem Level 1 Case 5 siehe Unterkapitel 6 3 7 2 1 Aufbau und Ablauf des Experiments F r NMR Messungen wurde die oben beschriebene Situation in 3D auf folgende Weise realisiert Ein w rfelf rmiger Beh lter aus Plexiglas mit Kantenl nge 20 cm wurde mit einer m glichst homogenen Sch ttung aus Glaskugeln gef llt Diese Glaskugeln waren ausgesiebt so da der Durchmesser der Kugeln zwischen 1 0 mm und 1 3 mm lag In guter N herung kann man von einer uniformen Korngr e von 1 2 mm ausgehen Die Glaskugeln waren weitestgehend rund und glatt Durch die besondere Art und Weise des Einf llens der Glaskugeln wurde verhindert da Luftblasen im por sen Medium einge schlossen wurden Letztere w rden eine NMR Messung lokal stark st ren Au erdem wurde so eine fast vollst ndig homogene Verteilung von Porosit t und Permeabilitat er reicht Die Kompressibilit t des por sen Mediums und des Beh lters wird als gering an gesehen Es befanden sich vier ffnungen in den Ecken der Oberseite und eine ffnung in der Mitte der Unterseite des Beh lters Durch diese ffnungen konnte ber weiterf h rende Schl uche Fluid zugegeben oder entnommen werden Am Anfang des Experiments war das por se Medium vollst ndig ges ttigt mit entsalztem und entgastem
272. ungsmechanik und elektronisches Rechnen im Bauwesen und Universitat Hei delberg Institut f r Angewandte Mathematik im vollen Umfang best tigt Insbesondere wurde festgestellt da die Ber cksichtigung der Dichteeffekte f r ein belastbares Grund wassermodell notwendig ist und da die bisherigen Erkenntnisse ein dreidimensionales Modell zur Nachbildung der wichtigsten Vorg nge erfordern Von der Weiterentwicklung bereits vorhandener Programme wurde allgemein keine ausreichende Beschleunigung der Rechenleistung wie sie f r komplexe Modellgebiete notwendig ist erwartet Somit wurde die Neuentwicklung eines schnellen Grundwasserprogramms erforderlich Dabei wurde eine Begleitung der Entwicklungsarbeiten durch die Institutionen die dieses Grundwasserprogramm zuk nftig vorwiegend anwenden w rden als wichtig erachtet Im Hinblick auf eine z gige Realisierung wurde die Erarbeitung des fachlichen Feinkonzepts empfohlen das sp ter der Erstellung fachlicher Unterlagen zur Ausschreibung und Ein holung von Angeboten f r die Programmentwicklung dienen sollte Von Januar bis Mai 1993 wurde das fachliche Feinkonzept 47 erarbeitet und im Entwurf am 3 und 4 Juni 1993 auf einem zweiten BMFT Workshop in Freudenstadt vorgestellt und diskutiert Die Ergebnisse sind im folgenden kurz zusammengefa t 5 Die grunds tzliche Notwendigkeit einer Neuentwicklung wurde entsprechend den Ergebnissen des ersten Workshops nicht in Frage gestellt Jedoch w
273. ur f r hydrostatische Zust nde und einen linearen Zusammenhang von Dichte und Kon zentration verstanden Letztlich wird das Problem der Geschwindigkeitsapproximation von vielen Autoren ein fach ignoriert Der Grund daf r liegt darin da viele Rechnungen nur f r einfache Test probleme mit strukturierten Gittern aus Rechtecken oder Quadern durchgef hrt werden siehe z B 112 F r diese Beispiele reduzieren speziell gew hlte Integrationspunkte oder sehr feine Gitteraufl sungen in vertikaler Richtung die Effekte von k nstlichen Ge schwindigkeitskomponenten 5 3 2 3 Entwicklungen und Ergebnisse Alle Algorithmen die f r die Diskretisierung entwickelt wurden sind im Benutzerhandbuch 36 ausf hrlichst beschrieben An dieser Stelle werden nur die Neuentwicklungen vor gestellt und gezeigt da die Anforderungen 47 erf llt werden 63 Eine Finite Volumen Diskretisierung basierend auf baryzentrischen Elementen wurde f r Drei und Vierecke in 2D und f r Tetraeder Prismen Pyramiden und Hexaeder in 3D im plementiert Hierdurch wird erreicht da allgemeine unstrukturierte und gemischte Gitter zur numerischen L sung zur Verf gung stehen und die Masse lokal erhalten bleibt Das gleiche gilt auch f r die Diskretisierung von Quellen bzw Senken und f r alle geforderten Randbedingungen Insbesondere bei der Kombination der Randbedingungen Ausstrom f r die Konzentration und Dirichlet f r den Druck werden
274. urabh ngig keit der L slichkeitsgrenze vernachl ssigt Im folgenden wird anstelle von c nur noch c benutzt 230 14 Veranstaltungen In der Projektlaufzeit wurden folgende Veranstaltungen durchgef hrt Tabelle 14 1 Projektveranstaltungen Veranstaltung 1 Statusgespr ch 22 23 M rz 95 Braunschweig Veranstalter GSF Minisymposium Model ling Density Driven Flow in Porous Media 30 M rz 95 Heidelberg AG Kinzelbach Spezialsession ber Dich testr mung im GAMM Se minar Modelling and Computation in Environ ICA Stuttgart 12 13 Oktober 95 Prof Wittum Stuttgart mental Sciences 2 Statusgesprach 16 17 Oktober 95 Heidelberg AG Kinzelbach 3 Statusgesprach 25 26 Marz 96 Stuttgart AG Wittum 4 Statusgesprach 14 15 Oktober 96 Erlangen AG Knabner 5 Statusgesprach 20 21 Marz 97 Freiburg AG Kr ner 6 Statusgesprach 1 2 Oktober 97 Hannover AG Zielke 7 Statusgesprach 30 31 Marz 98 Zurich AG Kinzelbach AbschluBgesprach 25 Juni 98 231 Stuttgart GRS 232 15 Ver ffentlichungen 15 1 Paper Kasper H Taniguchi T Kosakowski G Dreidimensionale Hydrogeologische Modelle zur Finite Elemente Analyse geogener Str mungs und Transportprozesse Beitrag in GIS in Forschung und Praxis Konrad Wittwer Verlag 1995 Kolditz O Kasper H Kosak
275. urde auf adaptiven Gittern mit fast 110 000 Unbekannten im transienten Verlauf mit einer asymme trischen Anfangsbedingung berechnet Die simulierte Zeit betr gt 200 Jahre und die Ergebnisse sind in guter N herung station r S Die Salzverteilung mit einem Salzfinger im station ren Zustand 143 Auch diese L sung ist trotz asymmetri Abb 6 14 scher Anfangsbedingung und asymmetrischen Gitters symmetrisch nommen da sich die unterschiedlichen station ren Zust nde des Elder Problems durch die Zahl der Finger und damit durch die Zahl der Konvektionszellen unterscheiden Sym metriebetrachtungen legen nahe da es nur L sungen mit einem Finger und zwei Kon vektionszellen mit zwei Fingern und vier Zellen mit drei Fingern und sechs Benard Zel len usw geben kann Dementsprechend wurde mit wellenf rmigen Konzentrationsan fangsbedingungen unterschiedlicher Frequenzen versucht gezielt eine der Moden anzuregen 123 Durch dieses Verfahren konnten station re L sungen mit einem und mit zwei Fingern be rechnet werden bei Anregungen mit h heren Frequenzen in der Anfangsbedingung ver einigten sich einige der Finger und das System tendierte wieder zu einer der beiden ge nannten station ren L sungen Das l t darauf schlie en da es station re L sungen mit mehr Fingern entweder nicht gibt oder da deren Einzugsbereich im Raum aller An fangsbedingungen sehr klein ist Die Rechnung
276. urden einzelne inhaltlichen Anforderungen erneut intensiv diskutiert um letztlich die bereits formu lierten Anforderungen zu best tigen So wurde die Gro r umigkeit und Komplexit t des zu behandelnden Modellgebiets durch die Spezifikation einer erforderlichen Knotenzahl von gr enordnungsm ig 10 untermauert Der Geschwindigkeitsgewinn eines neuentwickelten Programms gegen ber den damals aktuellen Programmen wurde sowohl als Beschleunigungsfaktor in der Gr enordnung von 1000 als auch als maximale Laufzeit einer Modellrechnung von 24 Stunden diskutiert Die Vorgabe eines Beschleunigungsfaktors wurde als nicht sinnvoll erachtet da damalige Programme auf Gitternetze mit mehreren Mil lionen Knoten praktisch nicht anwendbar waren Somit sollte die maximale Laufzeit im Sinne einer gr enordnungsm igen Anforderung verstanden werden 5 Die Erfolgsaussichten der Neuentwicklung insbesondere im Hinblick auf den zu er zielenden Geschwindigkeitsgewinn wurden bei den einzusetzenden numerischen Verfahren als gut angesehen Um zuk nftige Fortschritte bei der Entwicklung nu merischer Verfahren ber cksichtigen zu k nnen sollte die Charakterisierung des einzusetzenden numerischen Verfahrens als Minimalanforderung verstanden wer den Nach einer Sitzung des Sachverst ndigenkreises Endlagerung SKE im September 1993 wurde das Institut f r Tieflagerung der GSF jetzt Fachbereich f r Endlagersicher heitsforschung der GRS vom Projektt
277. us seien 55 Tiefenlinienplan 41 44 TOHUOSsil l ne en 229 Triangulierung au asnee 44 U BIE EE HER ARE NO A NEHREE SEES REEL RE VPEREERERCERE 81 UDCONING u He asara aiat 137 UBwind nsinse ers 66 EXponenlal naar 61 1101 e are iira 61 hybrid e e 61 partial aerer ee 61 V Veranstaltungen sesse 231 Verifizierung 22 4444444 HH nenn 102 Coast SDs sr er 103 Elder 2D us an ee 102 Elder Problem 22222 114 Henry D rear 102 Henry Problem 22222 111 Hydrocoin 1 5 22 103 109 Komplex 2D nsee 103 Layered Saltdome 3D 103 Saltdome 2D uu2222mr nn 103 Saltpool 3D 22uuummnssennnnnnnnn 103 Ver ffentlichungen Dissertationen uuuuee 235 Papeterie 233 Posler u aeeeen 234 Vertikalschnitt u 4 444 41 VIETSCKe ans en 52 Viskosit t eeeeeneeeneeeneenneeen 19 35 229 Z Zeitintegration a s enesnsagene 82 Zufallsgenerator 4444 95 Zustandsgleichung gt 32 243
278. usiver Vermischung ber denselben Dieses wird durch die Ausstromrandbedingung f r den Salzmassenflu 4 30 realisiert Im Gegensatz zum vorhergehenden Fall ist hierbei die Konzen tration im Unterstrom nicht bekannt R nder mit vorgegebenem Druck k nnen vorkommen wenn aus einem gr eren Aquifermodell ein Teilbereich ausgeschnitten wird um diesen detaillierter zu stu dieren oder aber an den berg ngen zu offenen Gew ssern innerhalb derer sich der Druck aus der Wassertiefe ergibt Diese R nder sollten meist mit der impliziten sad Randbedingung f r das Salz verkn pft werden bei der der Randwert aus der Kon zentration im Gew sser oder den Werten im gr eren Modell stammt Wenn die Str mungsrichtung ber diese R nder bekannt ist k nnen sie f r den Salztrans port auch je nach Richtung der Str mung wie die Ausstrom bzw Einstromr nder behandelt werden 4 5 Zustandsgleichungen und Materialeigenschaften Die Hydrogeologie des modellierten Gebietes wird durch Dispersivit ten Diffusionskon stanten Permeabilitaten Porosit ten und Tortuosit ten beschrieben Diese Gr en sind im allgemeinen ortsabh ngig Um eine einfachere Handhabbarkeit zu erreichen kann das Modellgebiet in unterschiedliche hydrogeologische Einheiten zerlegt werden F r jede dieser Einheiten m ssen Dispersivitat Diffusionskonstante Permeabilitat Porositat und Tortuosit t vorgegeben werden Im allgemeinen werden hydrogeologische Einheit
279. ut Die Konzentrationswerte sind hierbei zwar einerseits noch deutlich gr er als die gemessenen liegen aber anderseits tiefer als diejenigen der an deren Programme Die Konzentrationswerte bei den Fef 1ow Simulationen sind wesent lich zu hoch und die Kurve steigt zudem immer weiter an ohne erkennbar ein Maximum anzustreben Eine verminderte Dispersivit t reduziert die Gr e der Abweichung nicht aber den Verlauf der Kurve Wird dagegen die Gitterfeinheit in z Richtung erh ht Gitter weite Az 0 625 mm im H henbereich zwischen 4 cm und 20 cm f r die dritte Phase um die numerische Dispersion in dieser Richtung zu vermindern so ndert sich die be 158 rechnete Durchbruchskurve grundlegend Am Anfang wird zun chst ein Maximum ange nommen dann fallen die Konzentrationswerte wieder ab Dieses Verhalten ist hnlich wie in den Salt flow Rechnungen allerdings sind die Konzentrationswerte bei Feflow noch deutlich gr er Dies zeigt da bei der Simulation des Versuchs b die Ergebnisse noch st rker von der Verwendung einer hohen Gitterfeinheit abh ngen als bei Versuch a Erst mit noch deutlich gr eren Knotenzahlen oder zumindest mit deutlich kleineren Gitterweiten im Grenzschichtbereich kann erwartet werden da die beobachtete Durch bruchskurve bzw das Verhalten insgesamt richtig wiedergegeben werden k nnen 7 4 2 Rechnungen zum Fingering Testfall Mit dem Programm Salt flow wurden auch Rechnungen zum Fingering Tes
280. vektors angege ben werden gt 38 5 Das Programmsystem d f Das entwickelte Programmpaket d f besteht aus drei eigenst ndigen Programmen dem Pr prozessor dem Simulator auf der Basis des Programmpakets UG und dem Postpro zessor basierend auf dem Programmpaket GRAPE 5 1 Die Programm Schnittstellen Innerhalb des Programmpakets d f existieren zwischen den einzelnen eigenst ndigen Programmen wohldefinierte Schnittstellen 5 1 1 Pr prozessor Simulator Die Konfigurationsdateien zur Beschreibung der geophysikalischen Daten und des geo physikalischen Modells werden vom Pr prozessor erstellt und in das File System Envi ronment FSE des Modellproblems geschrieben Sie werden mittels eines Parsers vom Simulator eingelesen und entsprechende Listen zur Beschreibung der Koeffizienten funktionen und Randbedingungen werden gef llt Die Schnittstelle zwischen dem Pr prozessor und dem Simulator wurde dabei so konzipiert da der Pr prozessor zum Schreiben der Konfigurationsdateien auf das gleiche File System zugreift wie der Simu lator zum Einlesen der Dateien Dies gew hrleistet da einheitliche Dateiformate ver wendet werden und erm glicht eine einfache Wartung 5 1 2 Simulator Postprozessor Die Schnittstelle zwischen dem Simulator und dem Postprozessor beruht auf Daten und Mehrgitterfiles Diese werden vom Simulator in einem f r den Postprozessor lesbaren File Format herausgeschrieben Das hierbei benutzte
281. ver D A Jackson C P On the Equations for the Flow of Concentrated Salt Solution through a Porous Medium Harwell Laboratory Oxfordshire report AERE R 11765 1985 219 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 Li G M Saltwater intrusion in island aquifers Development and application of a threedimensional finite element model Doktorarbeit in Chinesisch China University of Geosciences Wuhan 1994 L hner R Surface gridding from discrete data In 4th Annual International Meshing Roundtable Albuquerque New Mexico 1995 McCormick S F Multigrid Methods SIAM Philadelphia Pennsylvania 1987 Metscher M Rumpf M Wierse M Integrating Vector Fields on Arbitrary Ad aptive Meshes in preparation 1998 Molson J W Frind E O Saltflow Version 2 0 Density dependent flow and mass transport model in three dimensions User Guide Waterloo Centre for Groundwater Research University of Waterloo Waterloo Ontario Kanada 1994 Neubauer R Ohlberger M Rumpf M Schw rer R Efficient Visualization of Large Scale Data on Hierarchical Meshes W Lefer M Grave eds Visualiza tion in Scientific Computing 97 Springer Verlag Berlin Heidelberg 1997 Neubauer R Ohlberger M Metscher M Rumpf M Schw rer R Multireso lutional Visualization on a Procedural Interface on Nested Grids to appear 1998 Neuss N Homogenisierung
282. wachstum ohne zeitliche Verz gerung zu liefern wobei die Rechnungen dann allerdings von nu merischen Oszillationen begleitet sind Wenn diese reduziert werden k nnten dann soll te sich auch ein Fingering in realistischer Weise in Modellrechnungen ergeben 7 4 3 Zusammenfassung Beim Testen von Programmen anhand der Ergebnisse einer Messung mu beachtet wer den wie sich die relevanten Parameter auswirken und wie genau sie bekannt sind Des halb wird hier noch einmal kurz auf die wichtigsten Me parameter und ihren Einflu auf das Verhalten der Dichtestr mung eingegangen E Wesentlich f r die Entwicklung der Konzentrationsverteilung ist die Dichte Die wirkliche Dichte berh hung y des Versuchs a liegt zwischen 1 0062 und 1 0076 ndert man innerhalb dieser Fehlergrenzen die in den Simulationen verwendete Dichte so hat dies einen kleinen aber sp rbaren Einflu auf die resultierende Kon zentrationsverteilung Daher sollte eine Rechnung die Me resultate wiedergeben k nnen wenn die dabei verwendete Dichte berh hung innerhalb dieses Intervalls liegt Bei dem Versuch b dagegen ist die Dichte berh hung besser bekannt da re lativ gesehen weniger NMR Tracer in L sung war und der absolute Wert der Dich te berh hung wesentlich gr er ist Die wirkliche Dichte berh hung y dieses Ver suchs sollte 1 073 0 001 betragen Die Unsicherheit der wirklichen Dichte ber h hung sollte sich in Versuch b demzufolge in den zugeh r
283. wenn bei Abwesenheit von Quellen oder Senken im hydrostatischen Fall sich die Geschwindig 62 keit Null einstellen mu Ungl cklicherweise ist dieses nicht der Fall f r Diskretisierungen bei denen im allgemeinen k nstliche numerische Geschwindigkeiten f r nicht triviale Dichteabh ngigkeiten auftreten k nnen Voss amp Souza 166 folgerten daraus da bei einer konsistenten Geschwindigkeitsapproximation die Approximationen von Dichte und Druckgradient das gleiche r umliche Verhalten haben m ssen Im Falle von Dreiecks und Tetraeder Elementen hei t das da die standardm ige li neare Interpolation von Druck und Konzentration entweder durch eine Interpolation h herer Ordnung f r den Druck oder aber niederer Ordnung f r die Dichte ersetzt wird Das erste kam wegen der gro en numerischen Komplexit t besonders im Zusammenhang mit einer gro en Anzahl von Unbekannten nicht in Frage Die zweite M glichkeit w rde dazu f hren da die Dichte genau wie der Druckgradient in einem Element als konstant angesehen w rde Das Resultat w re eine L sungsgenauigkeit die f r Dichtestr mungsberechnungen nicht akzeptabel ist F r Elementtypen Quader Prismen etc wo der Druckgradient innerhalb eines Elementes variieren kann f hrt die Approximation von Voss und Souza formal zu zufriedenstellenden Ergebnissen Ungl cklicherweise geben die Autoren den Algorithmus nur f r bilineare Elemente an Zudem ist der Algorithmus n
284. xit Symbol Bezeichnung Einheit p Druck Pa c Konzentration Massenbruch p Dichte kg m 6 effektive Porosit t t Zeit S g Gravitationsvektor ms k Permeabilitatstensor m u dynamische Viskosit t kg m s s Quellen und Senken f r Fluidmasse Gesamtmasse kg ms Sc Quellen und Senken f r Salzmasse kg ms D Dispersionstensor m s Dm molekulare Diffusionskonstante m s Dmo freie Diffusivit t m a To Tortuosit tstensor 8 Temperatur C F r die Angabe aller Gr en werden das MKS System und die daraus abgeleiteten Benennungen verwendet Temperaturen werden in C und Winkel in angegeben Im folgenden werden noch die f r mathematische Beschreibungen ben tigten Symbole definiert 229 Symbol Erkl rung Einheit nach au en gerichteter Normalenvektor symmetrischer Einheitstensor n dimensionaler Vektorraum ber den reelen Zahlen Von besondere Bedeutung ist die Angabe der Konzentration Sie wird als relativer Mas senbruch des Salzes angegeben Cabs rel 7 Cabs max Hierbei ist c der absolute Massenbruch _ Malz Cabs oe sea st salz H O w hrend Cabs max den Maximalwert des Massenbruchs in dem speziellen Problem dar stellt Dabei ist darauf zu achten da die Konzentration immer bez glich dieses Maxi malwertes angegeben wird Der Maximalwert der Dichte entspricht dabei immer dieser Maximalkonzentration bei der Referenztemperatur Dabei wird die Temperat
285. zkonzentration wurden hier ebenfalls ber cksichtigt Obwohl sie sehr klein sind sorgen sie f r einen prinzipiellen Unterschied zwischen einem Salz wasser und einem S wasserfinger der sich auf das Str mungsmuster auswirken k nn te Die Rechnung wurde am Anfang ohne Upwindverfahren durchgef hrt um numerische Dispersion zu vermeiden die eine Entstehung von kleinen Fingern unterdr cken k nnte Ebenso wurde die hydrodynamische Dispersion vernachl ssigt Nach einer simulierten Zeit von 6 Minuten wurde dann mit dem Partial Upwind Verfahren weitergerechnet um die Ausbildung von numerischen Oszillationen zu verringern 153 NA N N j X Abb 7 12 Simulation der Fingerentstehung nach 8 5 min Gitter und Konzentration im Vertikalschnitt in Farbdarstellung zwischen 0 und 1 blau c lt 0 rot c 1 Das Basisgitter des Mehrgitterverfahrens Grobgitter bestand aus 281 Tetraedern die Gitterweite lag bei etwa 40 mm Bei den Simulationen wurde die Option zu adaptiver Git terverfeinerung benutzt so daB die Grenzschicht mit sehr kleinen Elementen beschrie ben werden kann die anderen Bereiche aber nur auf gr beren Elementen berechnet wer den siehe Abbildung 7 12 Dadurch verringert sich die Gesamtknotenzahl deutlich ge gen ber einer Verfeinerung des Gesamtgebietes Die maximale Verfeinerungsstufe war eine f nffache Verfeinerung des Grobgitters was einer Gitterweite von etwa 1 25 mm ent spricht Die Gesa

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