Métropole La Réunion 11 septembre 2015
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1. a Baccalaur at ES L M tropole La R union s 11 septembre 2015 EXERCICE 1 7 points Commun tous les candidats Lors d une op ration promotionnelle un magasin d lectrom nager propose deux mod les de t l viseurs un mod le A et un mod le B On s int resse aux acheteurs qui profitent de cette promotion 70 des acheteurs choisissent un t l viseur de mod le A Pour ces deux t l viseurs le magasin propose une extension de garantie de 5 ans 40 des acheteurs du t l viseur de mod le A choisissent l extension de garantie et 50 des acheteurs du t l viseur de mod le B choisissent cette extension On interroge au hasard un acheteur la sortie du magasin Dans tout l exercice donner des valeurs approch es des r sultats au milli me Les parties B et C peuvent tre trait es de mani re ind pendante On note A l v nement Un acheteur choisit le t l viseur de mod le A B l v nement Un acheteur choisit le t l viseur de mod le B E l v nement Un acheteur choisit l extension de garantie On note p A la probabilit de l v nement A Partie A 1 Construire un arbre pond r illustrant la situation 2 Calculer la probabilit qu un acheteur choisisse le mod le A avec l extension de garantie 3 Montrer que p E 0 43 4 Un acheteur n a pas pris l extension de garantie calculer la probabilit qu il ait achet le mod le A Partie B Le directeur du2. 0 75 et pr ciser vo b En d duire alors que pour tout entier naturel n un 700 x 0 75 1 200 c Calculer uo arrondir l entier Donner une interpr tation concr te de la valeur trouv e 4 On souhaite crire un algorithme qui permette d afficher l ann e partir de laquelle le nombre d abonnements sera sup rieur 1 190 On propose trois algorithmes Algorithme 1 Affecter n la valeur 0 Affecter U la valeur 500 Tant que U lt 1190 Affecter n la valeur n 1 Affecter U la valeur 700 x 0 75 1200 Fin Tant que Affecter n la valeur n 2014 Afficher n Algorithme 2 Affecter n la valeur 0 Affecter U la valeur 500 Tant que U lt 1190 Affecter U la valeur 700 x 0 75 1200 Affecter n la valeur n 1 Fin Tant que Affecter n la valeur n 2014 Afficher n Algorithme 3 Affecter n la valeur 0 Affecter U la valeur 500 Tant que U lt 1190 Affecter n la valeur n 1 Affecter U la valeur 700 x 0 75 1200 Affecter n la valeur n 2014 Fin Tant que Afficher n Parmi ces trois algorithmes d terminer lequel convient pour r pondre au probl me pos et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l enseignement de sp cialit Dans une soci t d assurance les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois paiement mensuel ou en une fois paiement annuel On constat
3. Si oui pr ciser leur s abscisse s Partie B tude de la fonction La fonction f est d finie sur 0 5 par f 5xe 1 Justifier que la fonction f est positive sur l intervalle 0 5 2 Montrer que la fonction F d finie sur 0 5 par F x 5x 5 e est une primitive de f sur 0 5 3 D terminer alors la valeur exacte de l aire en unit s d aire du domaine d li mit par la courbe de f l axe des abscisses et les droites d quation x 0 et x l EXERCICE 3 5 points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de sp cialit candidats de L Dans une ville un op ra d cide de proposer partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles M tropole La R union 2 11 septembre 2015 Baccalaur at ES L A P M E P L volution du nombre d abonn s d une ann e la suivante est mod lis e par le di recteur de l op ra qui pr voit que 75 des personnes abonn es renouvelleront leur abonnement l ann e suivante et qu il y aura chaque ann e 300 nouveaux abonn s Ainsi pour tout entier naturel n un mod lise le nombre d abonn s pour l ann e 2014 n Pour l ann e 2014 il y a 500 abonn s autrement dit uo 500 1 Calculer u et u2 Arrondir l entier 2 Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n Un 1 0 75un 300 3 On d finit la suite vn par pour tout entier naturel n Vn Un 1200 a Montrer que la suite vn est g om trique de raison
4. e que 30 de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement men suel l ann e suivante alors que 85 de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l ann e suivante En 2014 60 des clients paient en une fois et 40 paient mensuellement Dans toute la suite de l exercice n d signe un nombre entier naturel On note e an la probabilit qu un client choisi au hasard paie en une fois pour l ann e 2014 n M tropole La R union 3 11 septembre 2015 Baccalaur at ES L A P M E P e bnlaprobabilit qu un client choisi au hasard paie mensuellement pour l an n e 2014 n On a 0 6 et bo 0 4 et on note P l tat probabiliste pour l ann e 2014 n Ainsi Po 0 6 0 4 On note e AT tat le client paie en une fois e Bl tat le client paie mensuellement 1 Repr senter un graphe probabiliste de sommets A et B 2 crire la matrice de transition M associ e ce graphe en prenant les sommets dans l ordre alphab tique 3 D terminer la probabilit qu un client paie en une fois durant l ann e 2018 arrondir les r sultats au milli me 4 D terminer l tat stable et en donner une interpr tation 5 Pour tout entier naturel n justifier que an 1 0 554 O 15 6 On cherche d terminer le plus petit entier n tel que an lt 0 3334 a crire un algorithme permettant de d terminer cet entier n b On admet que pour tout entier naturel n 4 n
5. l An x 0 55 15 3 D terminer par le calcul le plus petit entier n tel que an lt 0 3334 EXERCICE 4 3 points Commun tous les candidats On consid re la fonction f d finie par f x 2x2 ln x sur 0 2 10 et on note c F sa courbe repr sentative dans un rep re du plan Le but de cet exercice est de prouver que la courbe c f admet sur 0 2 10 une seule tangente passant par l origine du rep re On note f la fonction d riv e de la fonction f 1 Montrer que pour x 0 2 10 f x 2x 2ln x 1 2 Soit a un r el de 0 2 10 montrer que la tangente la courbe c f au point d abscisse a a pour quation y 2a 2ln a 1 x 2a n a 1 3 R pondre alors au probl me pos M tropole La R union 4 11 septembre 2015
6. magasin souhaite estimer parmi tous ses clients le pourcentage de personnes qui trouvent l op ration promotionnelle int ressante Pour cela il interroge au hasard 210 clients et note que 123 la trouvent int ressante Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 pour la proportion de clients qui trouvent l op ration promotionnelle int ressante Partie C Pour sa prochaine promotion le directeur s int resse l ge de ses clients On mod lise l ge des clients en ann es par une variable al atoire X qui suit une loi normale de moyenne u 40 et d cart type o 8 1 Calculer la probabilit qu un client ait plus de 60 ans 2 Calculer la probabilit qu un client ait un ge compris entre 30 et 50 ans EXERCICE 2 5 points Commun tous les candidats On consid re une fonction f d finie sur l intervalle 0 5 Partie A l aide d un graphique On a repr sent ci dessous la courbe C fr de la fonction d riv e f ainsi que la courbe c pn de la fonction d riv e seconde f sur l intervalle 0 5 Le point A de coordonn es 1 0 appartient C pr et le point B de coordonn es 2 0 appartient la courbe C pr A P M E P Baccalaur at ES L A P M E P 1 D terminer le sens de variation de la fonction f Justifier 2 D terminer sur quel s intervalle s la fonction f est convexe Justifier 3 La courbe de f admet elle des points d inflexion Justifier
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