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ZIMPL User Guide - Institut für Mathematik

1. There are four ways to input the edge weights of the complete graph K n In any case we assume that first two numbers are given number of nodes input mode Mode specifies the input mode for the edge weights All edge weights have to be integers Mode 0 The full matrix of edge weights is given The entries are stored row by row The lower diagonal and the diagonal entries are ignored Mode 1 The matrix of edge weights is given as upper triangular matrix The entries are stored row by row Mode 2 The matrix of edge weights is given as lower triangular matrix The entries are stored row by row Mode 3 The edge weights are given in an edge list of the form ist endnode 2nd endnode edge weight Edges which not present are assumed to have infinite weight The input is ended if the first endnode is less than 1 X X HE HHH HHH X X HHH KH X Xo FI GG GG IGE CR aaa CR aa k a ak CONST max_n 100 maximum number of nodes 78 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 max n2 4950 max n choose 2 number of edges of K n to process larger graphs only max n and max n2 have to be changed maxint infinity inf TYPE arrn2 ARRAY 1 max_n2 OF integer arrn ARRAY 1 max_n OF integer VAR j mode input mode of weights O
2. 239 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 k 23 Falls x gt 2 dann gilt Absch tzung nach Beh 3 w zi w x2 k use i k k 3 w zi gt fxi 16 802 E 5 8 i ti iz 5 1 x 3r 3 Tk gt 1 SS s 5 5 lt 3 Falls x lt 3 dann gilt k w 21 w 22 Absch nach Beh 3 X wiel gt Bio 22 2 13 1 Behauptung 6 5 Eigenschaft 2 Some equ 55 Y Qw r 1 5s s gt 0 Beweis Wir verneinen Behauptung 5 Ist also w x lt 1 so muss eine der vier Voraussetzungen von Behauptung 5 nicht gelten Da wir in Behauptung 6 drei der vier Voraussetzungen fordern muss 1 zy lt 2 verletzt sein Wir definieren t 1 k ae i und nach obiger berlegung gilt t gt 0 Folglich gilt x 2 t lt 1 zp lt 1 und deshalb gibt es Zahlen 17 25 so dass z lt 10 lt 5 lt lt cdd Setzen wir x 2 1 3 k so sind die Voraussetzungen von Behauptung 5 erf llt und wir erhalten SOR w x gt 1 Also gilt w z5 gt w zi w x s 240 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Behauptung 4 impliziert nun Also folgt t gt 3s und damit gilt Sal ZER EE 58 0 Behauptung 7 k k di lt 5 3 w zi lt 5 i l i l Beweis Aufgrund von Behauptung 1 k nnen wir annehmen dass x lt i gilt f r 1 k andernfalls k nnten wir jedes x gt E ersetzen durch x i un
3. A D K B F A A D W K F A Die so gefundene Tour hat die L nge 625 km e Der minimale aufspannende Baum B des Rheinland Problems ist in Abbildung 9 2 a gezeigt Er hat die L nge 348 km Wir verdoppeln die Kanten von B w hlen die folgende orientierte Eulertour AK KD DW WD DK KB BF FB BK KA 200 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 und starten mit A Daraus ergibt sich die in Abbildung 9 2 b gezeigte Rundreise der Lange 664 km a b Abb 9 2 f Im minimalen aufspannenden Baum B siehe Abbildung 9 2 a haben die Kno ten A K W und F ungeraden Grad Das minimale perfekte Matching des durch A W induzierten Untergraphen besteht aus den Kanten M AK WF Sei B BUM Wir w hlen die orientierte Eulertour AK KD DW WF FB BK KA von V B2 starten in A und erhalten die Tour A K D W F A der L nge 648 km Starten wir dagegen in B so ergibt sich die Tour B K A D W F B der L nge 617 km Die durch unsere Heuristiken gefundene k rzeste Rundreise hat also die Lange 617 km und ist in Abbildung 9 3 gezeigt Abb 9 3 Beispiel 9 2 zeigt deutlich dass die Heuristiken durchaus unterschiedliche Ergebnisse liefern k nnen Selbst einunddieselbe Heuristik kann bei verschiedener Wahl der noch of fenen Parameter z B Startpunkt zu stark voneinander abweichenden L sungen f hren
4. C definiert eine Antikette C 2 die trivialerweise das Axiom C 1 aus 5 7 erf llt Also ist das zu dem Zirkuitsystem C geh rige Unabh ngigkeitssystem Z ein Matroid Wir behaupten nun T To CEC Ist Z so ist kein Zirkuit C C in I enthalten folglich ist nach 5 4 J Zc f r alle C C Sei umgekehrt I f r alle C C so hei t dies dass kein Zirkuit C Cin I enthalten ist und somit dass J ein Element von Z ist Die im Beweis von Satz 5 13 angegebene Konstruktion zur Darstellung eines Unab h ngigkeitssystems als Durchschnitt von Matroiden produziert i a eine riesige Zahl von Matroiden die das Gew nschte leisten H ufig kommt man mit viel weniger Matroiden aus 109 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Betrachten wir z B die Menge der Branchings 7 C 2 in einem Digraphen D V A Man kann einfach zeigen dass das zugeh rige Zirkuitsystem C aus den inklusionsmini malen Mengen der Vereinigung der folgenden Antiketten C und C besteht C C A C 2 u die Endknoten der beiden B gen in C sind identisch C5 C A C ist ein Kreis die Bogenrichtungen spielen keine Rolle C ist das Zirkuitsystem eines Partitionsmatroids auf A dessen Unabhingigkeitssystem gegeben ist durch B C A B NA T v lt 1 V v V und Co ist das Zirkuitsystem des graphischen Matroids auf D hierbei wird D als Graph aufgefasst d h die Bogenrich t
5. g U f ist damit eine Basis mit c B lt c B und f UB B Also ist BU f in einer gewichtsminimalen Basis enthalten F hren wir b aus so folgt die Behauptung analog Stellen wir in 2 a fest dass B eine Basis ist so ist nach Induktion c B minimal und EN B eine maximale Cobasis Analog schlie en wir im Falle dass B in 2 b als Cobasis erkannt wird Algorithmus 5 27 ist aufgrund der vielen Freiheitsgrade ein u erst flexibel einsetzbares Instrument zur Konstruktion optimaler Basen und Cobasen Durch geeignete Spezialisie rung erh lt man alle in Kapitel 4 vorgestellten Algorithmen zur Bestimmung minimaler B ume und einige weitere derartige Verfahren 122 Literaturverzeichnis Barahona F and Gr tschel M 1986 On the cycle polytope of a binary matroid Journal of Combinatorial Theory Series B 40 40 62 Bixby R E and Cunningham W H 1995 Matroid Optimization and Algorithms volume 1 chapter 11 pages 551 609 North Holland Amsterdam Edmonds J 1971 Matroids and the greedy algorithm Mathematical Programming 1 127 136 Edmonds J 1979 Matroid intersection Annals of Discrete Mathematics 4 39 49 Gr tschel M and Truemper K 1989 Decomposition and Optimization over Cycles in Binary Matroids Journal of Combinatorial Theory Series B 46 3 306 337 Hausmann D and Korte B 1980 The relative strength of oracles for independence systems In Frehse J Pa
6. 121 d j L xj E 0 1 j E L f r d 0 1 EE Hierdurch wird die wahre Optimall sung approximativ E erreicht 4 F rd 0 1 f hre aus 8 a Ist zi j L die Optimall sung von SGKP4 und gilt 3 1 aja lt b dann wende den Gewichtsdichten Greedyalgorithmus 12 4 auf das folgen de Knapsack Problem an d CjTj JES SKP4 X ap Sb A ajz ba jes jeL xj E 0 1 J E S b Sei 22 3 S die Greedy L sung von dann ist ag 1 n eine L sung von KP 5 W hle die beste der 1 gefundenen L sungen von KP 8 Idee des Algorithmus Man nehme die gr ten Zielfunktionswerte cj j L Versuche in Schritt 3 ungef hr den optimalen Zielfunktionswert zu erreichen wo bei durch Abrunden Fehler in Kauf genommen werden Unter allen m glichen Approximationen w hle man in Schritt 3 jene die am we nigsten vom Rucksack verbraucht Am Schluss f lle man den Rucksack mit dem verbleibenden Kleinkram auf Greedy 261 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 12 16 Beispiel max 930z 858 84623 67424 962 5 860x6 927 8529 8423 67241 9625 8626 lt 250 Tti 0 1 Wir setzen s 250 und t 860 l Cest 930 858 846 2634 2 L j gt 860 1 5 6 S j cj lt 860 2 3 4 3 Fiird 0 1 10 ist zu l sen min gt Qj 9221 9625 8626 jeL SGKP j
7. ein verl ngern also C auf diese Weise Gibt es einen weiteren Knoten auDerhalb des neuen Kreises so wiederholen wir diese Prozedur Gibt es keinen Knoten mehr der nicht in C liegt so haben wir einen hamiltonschen Kreis gefunden Den Satz von Dirac kann man auch als Algorithmusanalyse interpretieren Wir erfinden eine Heuristik erst langen Weg konstruieren diesen zum Kreis schlie en alle restlichen Knoten einbauen und formulieren dann eine Bedingung hier 6 G gt 2 so dass die Heuristik beweisbar einen hamiltonschen Kreis liefert Es ist recht instruktiv graphentheoretische S tze einmal auf die oben beschriebene Weise zu durchleuchten Sehr h ufig sind die Resultate und Beweise auf genau die hier beschrie bene Weise interpretierbar TSP Er ffnungsverfahren Die im nachfolgenden beschriebenen TSP Heuristiken folgen brigens in verschiede ner Hinsicht den gleichen Prinzipien die oben dargelegt wurden Bei der Auswahl der Ausbaustrategie Verl ngerung des bestehenden Weges oder Kreises werden Auswahl regeln benutzt die in einem spezifizierbaren Sinn greedy sind Man versucht bei einer Er ffnungsheuristik den n chsten Schritt so auszuf hren dass er bez glich eines lokalen Kriteriums optimal ist Nat rlich muss gew hrleistet sein dass am Ende eine zul ssige L sung ein hamiltonscher Kreis oder kurz Tour gefunden wird Der Kern aller derartigen Verfahren ist die geschickte Wahl des lokalen Optimalit
8. E B aus b Sind alle Zirkuits von M durch B berdeckt STOP Gib B und B E B aus 3 F hre eine beliebige der folgenden beiden Operationen a b aus a i W hle einen nicht leeren Cozyklus C von M der nicht durch B berdeckt ist Gi Bestimme f C mit cf min c e iii Setze B B U f und gehe zu 2 b i W hle einen nicht leeren Zyklus Z von der nicht durch B berdeckt ist ii Bestimme g Z mit cy max ce e Z iii Setze B B U g und gehe zu 2 5 28 Satz Der obige Algorithmus 5 27 funktioniert Beweis Wir beweisen durch Induktion nach B B dass die jeweils w hrend des Ablaufs des Verfahrens konstruierten Mengen B und in einer gewichtsminimalen Ba sis bzw gewichtsmaximalen Cobasis enthalten sind F r den Induktionsanfang B 0 ist die Behauptung trivial Wir nehmen an dass der Satz gilt wenn B B lt k d h wenn wir Schritt 2 und 3 h chstens k mal ausgef hrt haben Wir beginnen jetzt mit der k 1 ten Ausf hrung von 121 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Schritt 3 und f hren a aus Sei B die bisher konstruierte Menge und B eine gewichts minimale Basis mit B C B Wir w hlen in i einen Cozyklus C und in ii ein Element f C Gilt f B so ist alles klar Anderenfalls sei g CM B ein Element das mit f auf einem Cozirkuit liegt Dann muss wegen ii gelten cy gt B B
9. Output Kantenmenge T DFS Baum falls G zusammenh ngend ist Alle Knoten v V seien unmarkiert 1 Setze T 2 F ralle v V f hre aus Ist v unmarkiert dann CALL SEARCH END 3 Gib T aus Rekursives Unterprogramm PROCEDURE SEARCH v 1 Markiere v 2 F r alle Knoten w N v f hre aus 3 Ist w unmarkiert setze T T U vw und CALL SEARCH w END END SEARCH In Algorithmus 3 7 wird im Hauptprogramm jeder Knoten einmal ber hrt und im Unter programm jede Kante genau zweimal Hinzu kommt die Ausgabe von T Die Laufzeit des Verfahrens ist also O V LEI Diese Laufzeit k nnte man niemals bei der Speicherung von G in einer Adjazenzmatrix erreichen Mit Hilfe des obigen Verfahrens k nnen wir unser mehrmals zitiertes Problem Enthalt G einen Kreis l sen Offensichtlich gilt G enth lt genau dann einen Kreis wenn E nicht leer ist Wir haben somit einen polynomialen Algorithmus zur L sung des Kreis problems gefunden Der DFS Baum von 3 7 produziert hat einige interessante Eigen schaften die man dazu benutzen kann eine ganze Reihe von weiteren Graphenproblemen 65 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 sehr effizient zu l sen Der hieran interessierte Leser sei z B auf das Buch Aho et al 1974 verwiesen 66 Literaturverzeichnis Aho A V Hopcroft J E and Ullman J D 1974 Design and Analysis of Computer Algorithms Addison Wesley Reading
10. Pij END END 2 DOI 1TOn DO 1TOn DOj 1TOn Falls wij gt wi wij setze Wij Wy Wi und pij pij Falls i j und wj lt 0 kann abgebrochen werden END END END 3 Gib W und P aus F r zwei Knoten i j kann der gespeicherte k rzeste i j Weg wie folgt bestimmt werden Setze k 1 und v pij Ist vj dann STOP andernfalls setze pis k k 1 und wiederhole d h wir iterieren so lange bis ein Knoten sagen wir vs der Knoten i ist dann ist i Us 04 190 8 953 U1 J ein k rzester i 7 Weg berzeugen Sie sich dass dies stimmt 6 10 Satz Sei D V A ein Digraph mit beliebigen Bogengewichten c a f r alle a A Sei W die n n Matrix die vom FLOYD Algorithmus produziert wird dann gilt a Der FLOYD Algorithmus liefert genau dann eine K rzeste Wegl ngen Matrix W wenn D keinen negativen gerichteten Kreis enth lt b D enth lt genau dann einen negativen gerichteten Kreis wenn ein Hauptdiagonal element von W negativ ist Beweis Zur Notationsvereinfachung bezeichnen wir die Anfangsmatrix W aus Schritt 1 mit W die Matrix W nach Beendigung des ren Durchlaufs von der u eren Schleife von 2 mit W Durch Induktion ber 0 1 n zeigen wir dass W genau dann die Matrix der k rzesten L ngen von i 7 Wegen bzw 2 2 Kreisen ist bei denen die 137 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Knoten 1 als inn
11. groBe L und kleine S Indizes auf L jeN a gt S S jEN a lt 2 3 L se das Subset Sum Problem max 0323 jeL SSP 3 jeL zj E 0 1 jEL optimal z B durch Enumeration aller L sungen Sei 1 j L eine optimale L sung von SSP und sei LL jeL zj 21 b QjTj jer 235 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 4 Falls f r alle S gilt aj gt b so kann kein x j S zus tzlich auf 1 gesetzt werden Setze Tj 0 j S und STOP 5 Andernfalls finde ein j S so dass b N a gt 0 und diese Differenz minimal ist Setze Uz 103 S S 5 b Uta und gehe zu 4 Algorithmus 12 9 besteht also aus einem Enumerationsverfahren das f r die wichtigsten Indizes eine Optimall sung liefert und einem Greedy Teil Schritte 4 und 5 der die restlichen Variablen festlegt 12 10 Satz Das in 12 9 beschriebene Verfahren ist ein PAS f r das Subset Sum Problem L st man Schritt 3 durch vollst ndige Enumeration aller h chstens K elementigen Teilmengen von L so ist die Laufzeit dieses Algorithmus O n Beweis Gilt am Ende des Verfahrens C L d h gilt in der gefundenen L sung i 1 f r alle S so ist z optimal f r SSP Denn angenommen es g be eine bessere L sung x f r SSP so gilt aufgrund der Optimalit t in Schritt 3 f r SSP X jez aj gt J jer j2 und somit ol Am jr Dyes 923
12. C C A mit einem gerichteten s t Weg Q A und Di ist die Vereinigung von gerichteten Kreisen C7 EET CC A Da P kostenminimal in N k ist gilt w P lt w Q und somit gibt es wegen w P w P w Q i 1 T gt gt w C mindestens einen gerichteten Kreis in A sagen wir K der negative Kosten hat Nach Konstruktion gilt K N B lt C n B 181 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Fall 2 Der Bogen u v ist der einzige Bogen auf P mit v u C N B Wir kon struieren einen gerichteten s t Pfad P C A wie folgt Wir starten in s und folgen bis dann folgen wir dem gerichteten Weg von entlang C bis v und dann wieder dem gerichteten Weg von v entlang P bis t Offenbar ist P in enthalten und ein gerichteter s t Pfad in N Aus Wy w folgt direkt W P w C w P Der gerichte te s t Pfad P ist die Vereinigung eines s t Weges Q und einiger gerichteter Kreise C C Da P ein s t Weg N mit minimalen Kosten ist gilt w Q gt W P und Si k aus w Q Y w C folgt dass mindestens einer der Kreise C negativ ist Da ix alle C in A enthalten sind enth lt A einen negativen Kreis Widerspruch Damit k nnen wir nun einen Algorithmus zur L sung des Minimalkosten Flussproblems angeben 8 8 Algorithmus Input Digraph D V A mit Kapazit ten R4 und Kosten w R zwei verschiedene Knoten s t V und ein Flusswe
13. MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 neare Programm schreiben 8 11 max m a z a 2 ac DM DM xla m a z a 0 Vve SF FF Yen ac t v ac v 2 0 Mio falls v 4 0 Mio falls v 2 aco o a X 10 0 Mio falls v SF 800 0 Mio falls v Yen 25 0 Mio falls v FF La gt 0 Vaca Es gibt in der Literatur einige Vorschl ge zur algorithmischen Behandlung der hier vor gestellten speziellen LP s Aus Zeitgr nden k nnen wir darauf nicht eingehen Wir haben das LP 8 11 f r die zwei Probleme aus den Tabellen 8 1 und 8 2 mit dem Simplexal gorithmus gel st Die Koeffizienten von 8 11 k nnen z B wie folgt gelesen werden m DM si ist am 16 09 1994 gleich 0 6477 und am 16 12 1994 gleich 0 6365 Es ergeben sich die in den Abbildungen 8 3 und 8 4 dargestellten Optimall sungen Man h tte also am 16 09 1994 unter Einsatz von 18 2 Mio DM einen Umtauschgewinn von DM 1004 erzielen k nnen Durch die Summenbeschr nkungen bei den einzelnen W hrungen war kein h herer DM Einsatz m glich Man beachte dass nat rlich aufgrund der im Modell nicht ber cksichtigten Zeitbeschr n kungen alle Umtauschaktionen innerhalb weniger Minuten bzw gleichzeitig ausgef hrt werden m ssen um den Gewinn zu realisieren Dieser wird nat rlich durch die hohen Telefonkosten geschm lert Aber im Prinzip k nnen diese Tauschvorg nge auch nach Kurs nderungen und damit verbundene
14. The MIT Press Cambridge Massachusetts 45 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Gr tschel M and Holland O 1991 Solution of large scale symmetric travel ling salesman problems Mathematical Programming Series A 51 2 141 202 Gr tschel M J nger M and Reinelt G 1984 A Cutting Plane Algorithm for the Linear Ordering Problem Operations Research 32 6 1195 1220 Gr tschel M Monma C L and Stoer M 1992 Computational Results with a Cutting Plane Algorithm for Designing Communication Networks with Low Connectivity Constraints Operations Research 40 2 309 330 Gr tschel M Monma C L and Stoer M 1995 Design of Survivable Net works In Ball M O Magnanti T L Monma C L and Nemhauser G L editors Network Models volume 7 of Handbooks in Operations Research and Management Science pages 617 672 North Holland Halin R 1989 Graphentheorie Akademie Verlag Berlin 2 edition H ssig 1979 Graphentheoretische Methoden des Operations Research Teubner Verlag Stuttgart Hoffman A J and Wolfe P 1985 History In et all Hrsg E L L editor Traveling Salesman Problem A Guided Tour of Combinatorial Optimization pages 1 16 John Wiley amp Sons Chichester K nig D 1936 Theorie der endlichen und unendlichen Graphen Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig mehrfach auf deutsch und in englischer berset zung nachgedruckt Lawl
15. Wir wollen nun untersuchen ob man theoretisch etwas ber die G te der durch diese Heu ristiken gefundenen Rundreisen sagen Zun chst ein negatives Resultat bez glich MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 der M glichkeit eine approximative L sung f r das symmetrische TSP zu finden 9 7 Satz F r ein beliebiges symmetrisches TSP bezeichnen wir mit Toy eine optimale Tour Gibt es eine gt 0 und einen polynomialen Algorithmus der f r jedes symmetri sche TSP eine Tour liefert mit C Topt lt lt 1 dann ist NP d h das e Approximationsproblem des symmetrischen TSP ist NP vollst ndig Beweis Wir wissen dass das folgende Problem NP vollst ndig ist HAM Gibt es einen hamiltonschen Kreis in einem Graphen Es ist klar dass das e Approximations problem f r das TSP in MP ist Um zu zeigen dass dieses Problem A P vollst ndig ist beweisen wir folgendes Wenn es einen Algorithmus mit den obigen Eigenschaften gibt dann gibt es auch einen polynomialen Algorithmus f r HAM Angenommen es existieren ein gt 0 und ein polynomialer Algorithmus H mit obigen Eigenschaften Sei G V E ein beliebiger Graph der Ordnung n und sei M en 2 Wir definieren ein TSP auf n St dten durch die folgenden Entfernungen o 1 falls Je o M sonst Aufgrund dieser Definition gilt G hamiltonsch lt c Topt n Ist T eine Tour die kein hamiltonscher Kreis in G
16. ein kombinatorisches Optimierungsproblem und es sei II P II P hat eine zul ssige L sung F r jedes Problembeispiel P II bezeich ne Copt P den Wert einer Optimall sung von P Um einige Fallunterscheidungen zu vermeiden setzen wir im weiteren voraus da copt P gt 0 gilt Ferner sei A ein Algo rithmus der f r jedes Problembeispiel P II eine zul ssige L sung liefert Den Wert dieser L sung bezeichnen wir mit c4 P F r alle Problembeispiele P II X II setzen Wir cox P 1 a Sei gt 0 eine fest vorgegebene Zahl Falls ein Maximierungsproblem ist gelte zus tzlich e lt 1 Gilt f r jedes Problembeispiel P II ei IcA P Copt P we Copt P so hei t A e approximativer Algorithmus und die Zahl hei t G tegarantie von A R P b Sei A ein e approximativer Algorithmus f r 215 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 61 Ist II ein Maximierungsproblem hei t 1 die Worst Case Schranke von A denn dann gilt cA P gt 1 e copt P bo Ist II ein Minimierungsproblem hei t 1 die Worst Case Schranke von A denn dann gilt cA P lt 1 copt P c Ein Approximationsschema AS f r II ist ein Algorithmus A der zwei Inputs hat n mlich ein Problembeispiel P und eine rationale Zahl gt 0 und der f r jedes P und jedes e gt 0 eine L sung produziert die RA P lt erf llt d Ein Approximatio
17. lit tskriterium erf llt ist Hierbei tauchen h ufig Zielfunktionen auf die nicht li near sind Z B soll ein Feuerwehrdepot so stationiert werden dass die maximale Entfernung vom Depot zu allen Wohnbezirken minimal ist drei Auslieferungsla ger sollen so errichtet werden dass jedes Lager ein Drittel der Kunden bedienen kann und die Summe der Entfernungen der Lager zu ihren Kunden minimal ist bzw die maximale Entfernung minimal ist 2 17 Lineare Anordnungen und azyklische Subdigraphen Gegeben sei ein vollst ndiger Digraph D V A mit Bogengewichten c i j f r alle i j A Das Problem eine lineare Reihenfolge der Knoten sagen wir 2 2 zu bestimmen so dass die Summe der Gewichte der B gen die konsistent mit der linearen Ordnung sind also pa 10 C p ell maximal ist hei t Linear Ordering Problem Das Azyklische Subdigraphen Problem ist die Aufgabe in einem Digraphen D V A mit Bogengewichten eine Bogenmenge B C A zu finden die keinen gerichteten Kreis enth lt und deren Gewicht maximal ist Beim Feedback Arc Set Problem sucht man eine Bogenmenge minimalen Ge wichts deren Entfernung aus dem Digraphen alle gerichteten Kreise zerst rt Die drei in 2 17 genannten Probleme sind auf einfache Weise ineinander trans formierbar Diese Probleme haben interessante Anwendungen z B bei der Trian gulation von Input Output Matrizen der Rangbestimmung in Turniersportarten im Marketing und de
18. x a andern f alls konstruiere das bez glich und D augmentierende Netzwerk N V w und gehe zu 5 Die Korrektheit des Algorithmus folgt unmittelbar aus 8 6 und 8 7 Wir wollen nun die Laufzeit absch tzen Hat D nur nichtnegative Kosten w a bzw enth lt D keinen augmentierenden Kreis mit negativen Kosten so ist der Nullfluss eine kostenoptimaler Fluss mit Wert Null und die Schleife ber die Schritte 2 3 und 4 braucht nicht durchlaufen zu werden Sind alle Kapazit ten ganzzahlig so wird der Flusswert in Schritt 8 um jeweils mindestens eine Einheit erh ht Also sind h chstens f Aufrufe einen Ktirzesten Wege Algorithmus erforderlich 8 9 Satz Ist D V A ein Digraph mit ganzzahligen Kapazit ten c a und nichtne gativen Kosten w a und sind s t zwei verschiedene Knoten und f Z ein vorgegebe ner Flu wert so findet Algorithmus 8 8 in O f V Schritten einen kostenminimalen zul ssigen s t Fluss mit Wert f falls ein solcher existiert Der Algorithmus ist in dieser Form nicht polynomial da seine Laufzeit polynomial in f sein m sste Ferner ist nicht unmittelbar klar wie lange er l uft wenn negative Ko sten erlaubt sind da die Anzahl der Kreise mit negativen Kosten auf denen der Fluss ver ndert werden mu nicht ohne weiteres abgesch tzt werden kann Diese Schwierig keiten k nnen durch neue Ideen Augmentierung entlang Kreisen mit minimalen durch schnittlichen Kosten C C S
19. 1 0 3 31 31 31 1 0 0 4 wo c ve L 5 co 53 50 1 1 6 7 oo oo 72 1 8 co oo 81 1 9 oO 10 co oo 103 1 11 oo Tum 259 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Die letzte Spalte f r 3 enth lt den bez glich des jeweiligen d optimalen L sungs wert Das FPAS f r das 0 1 Knapsack Problem basiert nun darauf dass eine Folge von SGKP s gel st wird deren Anzahl polynomial im Input des 0 1 Knapsack Problems ist und deren L sungsaufwand ebenfalls polynomial im Input ist Wir beschreiben nun das FPAS von Ibarra und Kim wobei wir zun chst noch die geeig nete Wahl der Parameter offen lassen 12 15 FPAS von Ibarra und Kim f r das 0 1 Knapsack Problem Input ouer Z4 j 1 n b Z4 und zwei Parameter s t Output Approximative L sung von n max cj j l KP 3 oan lt b zj 0 1 j 1 m Der Parameter s ist ein Skalierungsparameter der Parameter t wird benutzt um die Variablen in zwei Klassen zu zerlegen 1 Absch tzung f r den Optimalwert Sei k der gr Dte Index so dass a b Setze k 1 Cest y Cj j l siehe Lemma 12 11 2 Zerlegung der Indexmenge L j 1 n cj gt t large indices S j 1 n c lt t small indices 3 L se die speziellen Gleichheits Knapsack Probleme 260 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 min 0323 jeL ER SGKP
20. 1970 zur ckgeht Die wichtigste Phase dieses Algorithmus wurde in 1978 entscheidend verbessert Wir wollen den im nachfolgenden dargestellten Algorithmus nach den vier oben aufgef hrten Autoren be nennen Zur Abk rzung schreiben wir einfach DMKM Algorithmus Aus Zeitgr nden wird nur eine relativ e E Beschreibung des DMKM Algorithmus gegeben Sie ba siert auf S Syslo et al 1983 Eine sehr detaillierte Analyse des Verfahrens mit allen not wendigen und einer sorgf ltigen Absch tzung der Laufzeit kann man E 1984 finden 155 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Der DMKM Algorithmus verfolgt die folgende generelle Strategie Statt wie im Ford Fulkerson Algorithmus im gesamten Digraphen D mit gegebenem s t Fluss x einen augmentierenden s t Weg zu suchen wird aus D und x ein azyklischer Digraph N ge nannt geschichtetes Netzwerk konstruiert der mit weniger Zeitaufwand zu bearbeiten ist Ein besonderes Merkmal dieser Konstruktion ist dass N genau dann den Knoten nicht enth lt wenn der gegenw rtige s t Fluss x maximal ist Ist t in N enthalten so ver sucht man einen m glichst groBen s t Fluss in N zu finden Nach Konstruktion kann jeder s t Fluss N zum 5 t Fluss x in D augmentiert werden und man kann ein neues geschichtetes Netzwerk N bestimmen Da die Bestimmung eines maximalen s t Flusses in N zu aufwendig ist begn gt man sich mit der Bestimmung eines sogenannten saturiert
21. 5 Jedes Knotenpaar aus V ist durch genau einen Weg miteinander verbunden 6 G enth lt keinen Kreis wird irgendeine Kante uv mitu v V und uv d E zuG hinzugef gt so entsteht genau ein Kreis 7 G ist zusammenh ngend und f r alle e E ist G e unzusammenh ngend Beweis 1 lt 4 Definition 4 gt 5 Da G zusammenh ngend ist ist jedes Knotenpaar durch einen Weg mitein ander verbunden Gibt es zwischen einem Knotenpaar zwei verschiedene Wege so ist die Verkn pfung dieser beiden Wege eine geschlossene Kette die offensichtlich einen Kreis enth lt Widerspruch 5 6 Enthielte G einen Kreis so g be es Knotenpaare die durch zwei verschiedene Wege miteinander verbunden sind Also enth lt G keinen Kreis Sei uv E Da G einen u v Weg P enth lt ist P U uv ein Kreis es uv einen weiteren Kreis so g be es in G zwei verschiedene u v Wege ein Widerspruch 6 7 Gibt es f r uv E in G uv einen Kreis so gibt es in G einen u v Weg Daraus folgt dass G zusammenh ngend ist Gibt es eine Kante uv E mit G uv zusammenhingend so gibt es in G uv einen u v Weg P Dann aber ist P U uv ein Kreis in G Widerspruch 7 gt 4 es in G einen Kreis so w re G e f r jede Kante e dieses Kreises 71 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 zusammenh ngend Also enth lt G keinen Kreis 4 gt 2 folgt aus Lemma 4 2 2
22. Copt und offenbar lt Copt also ces lt 2Copt Nach Bemerkung 12 7 a gilt k k 1 k 1 Copt cj S b aj lt Cj Cest j l kti j l nd lt 1 Die zweite Grundlage des FPAS neben einer geeigneten Aufteilung der Variablen und einer geschickten Parameterwahl ist die L sung eines speziellen Gleichheits Knapsack Problems mit Hilfe der dynamischen Programmierung Dieses SGKP hat die folgende Form m min d Qjj m SGK P4 Va ET j l zj 0 1 7 1 m Wobei a w Z4 J 1 m gilt und d eine ganze Zahl zwischen 0 und einer vorge gebenen Zahl N ist Wir sind nicht nur an einer L sung f r ein spezielles d interessiert sondern an Opti mall sungen von SGKP f r d 0 N Der nachfolgende Algorithmus beschreibt 257 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 wie die L sungen von SGKP rekursiv konstruiert werden k nnen Sei min 57 ajrj SGK P ra M jeiwjz 4 zj 0 1 j 1 7 1 lt r lt m 0 lt d lt N und f r d der Optimalwert von SGKP a 12 12 Lemma F r die Funktion f r d 1 lt r lt m 0 lt d N gilt 1 y m0 r 1 m Ofalls d 0 2 f Ld afalls coandernfalls f r 1 d 3 min r gt 2 d gt 1 f r 1 d wr ar falls d lt 0 dann f r 1 d wr oo Beweis Die ersten beiden Beziehungen sind trivial Eine Optimall sung z1 z7 von SGKP erf llt entweder x
23. Enth lt einen Bogen aus 94 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 A sagen wir a dann sei a der Bogen aus C mit h a hila Gilt B N C lt Ci 1 so ist B B a U a ein Branching f r das aufgrund von Schritt 5 gilt c B gt c B Dies widerspricht unserer Annahme dass C N B maximal ist Damit ist auch b gezeigt 4 21 Satz Zu jedem Digraphen D V A mit Gewichten c a f r alle a A liefert Algorithmus 4 17 ein maximales Branching Beweis F hren wir die Iteration der Phase I zum letzten Mal sagen wir k ten Mal aus so haben alle B gen d des gegenw rtigen Branchings By C A die Eigenschaft cr d gt f r alle B gen a mit bridl wegen Schritt 5 F r die Knoten v Vp die nicht Endknoten eines Bogens aus Dj sind gilt wegen Schritt 4 c a lt 0 f r alle a v ist also offensichtlich ein maximales Branching in Dy das nur B gen mit positivem c Gewicht enth lt Durch Induktion zeigen wir nun Ist B ein maximales Branching von D bez glich c mit c b gt Bj so ist das in den Schritten 12 oder 13 definierte Branching D maximal in Dj 4 bez glich c _ mit cj 1 b gt 0 Vb Dj Der Induktionsanfang f r i k ist durch die obige Bemerkung gegeben Wir nehmen an dass die Behauptung f r 2 0 lt i lt k richtig ist und wollen zeigen dass sie auch f r 4 1 gilt Sei also B das durch den Algori
24. Es gilt t gt t2 gt gt t4 Wir behaupten dass die letzte erledigte Aufgabe im LD Belegplan ist W re dies nicht so dann k nnten wir 77 aus un serem Beispiel entfernen wobei die LD L sung des neuen Beispiels unver ndert bliebe die Optimall sung jedoch nicht schlechter w re Dies w re ein Gegenbespiel zur Behaup tung mit n 1 Aufgaben Wenden wir nun Lemma 11 6 mit t tn an und benutzen wir die Annahme dass wir mit einem Gegenbeispiel arbeiten so erhalten wir 1 1 m 1 t 4 C lt lt 1 T jo sl opt 1 MOopt opt 4 1 D 1t m onen 3 3m Copt m Copt 14m 1 m 1 3 m m Copt 1 m 1 t4 m t 3 lt Um 7 Aus Lemma 11 9 folgt nun aber dass Copt gelten muss ein Widerspruch 231 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 11 2 Maschinenbelegung mit abh ngigen Aufgaben Wir betrachten wiederum ein Parallel Shop Problem wie in Abschnitt 11 1 das durch die Anzahl m der Maschinen die Anzahl n der Aufgaben T1 77 und Bearbeitungs zeiten t tn beschrieben ist n M ti tn Eine zus tzliche Komplikation wird dadurch erzeugt dass gewisse Aufgaben nicht un abh ngig voneinander sind d h dass eine Aufgabe T erst in Angriff genommen werden kann wenn eine andere Aufgabe T vollst ndig erledigt ist Solche Beschr nkungen nennt man Reihenfolgebedingungen Schreiben wir symbolisch T T daf r
25. KP Setze Cj o jeL dann gilt 1 1 1 as lt 2 lt zen JEL 263 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Also ist im Algorithmus 12 15 eine Kandidatenl sung 71 mit 2 2 4 E jeL betrachtet worden da in diesem Fall die L sungsmenge nicht leer ist Daraus folgt n CIK 2 regm Copt Des CE M ejt Nor j l jEL jEL jes jes Wir erhalten d im Cj 2 sj a SIS Ji Dyer es 5181 o5 35013 JEL jeL jeL jeL Cj Per ei sl o lt s 8 Y then ok 8 SUE XS LU sux LCJT lt Copt Wenden wir Bemerkung 12 8 b auf SKP an so erhalten wir _ 5 SKPq CGgreedy Cj jT 2 Copt max cj j 5 gt t jes SKPg _ SKPq t gt Copt CGgreedy 2 cj gt CjTj jes jes also S CIK 2 Copt t 12 18 Satz Seis gt 0 setze s Ces und t Ste und wende den Algorithmus 12 15 an Dann gilt a Die Laufzeit von 12 15 ist O n log n O n 4 d h 12 15 ist ein FPAS b F r den durch 12 15 gefundenen Losungswert cy x gilt gt 1 E Copt 264 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beweis a F r die Anwendung des Gewichtsdichten Greedyalgorithmus m ssen wir die p sortieren was O n log n Zeit ben tigt Die Berechnung von s und t erfordert O log n Operationen Die L sung der Pro bleme SGKP in Schritt 3 ben tigt O n lt O 5
26. V der Wert d v eine untere Schranke dieser Enfernung dist p v t ist Der generische Pr fluss Algorithmus hat zu jeder Zeit der Algorithmus Ausf hrung einen Pr fluss x und eine Entfernungsmarkierung d Er schreibt x und d fort wobei Schubope rationen push und Markierungs nderungen relabel vorgenommen werden Um diese beschreiben zu k nnen treffen wir noch einige Definitionen Wir nennen einen Knoten v aktiv wenn s t und e v gt 0 gilt Ein Pr fluss ist also ein Flu wenn kein Knoten aktiv ist Ein Bogen hei t erlaubt wenn u v A also im Residualdigraphen ist und d u d v 1 gilt Der generische Pr fluss Algorithmus beginnt mit dem Pr fluss der auf den B gen a s den Wert x a c a und auf allen brigen den Wert Null hat Der Algorithmus f hrt dann in beliebiger Reihenfolge die Fortschreibungsoperationen aus Formal kann man dies wie folgt beschreiben 7 31 Generischer Pr fluss Algorithmus Input einfacher symmetrischer Digraph D V A mit Kapazit ten c a gt 0 f r alle a A und s t V s Z t 165 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Output maximaler s t Fluss x Inititialisierung Setze 2 8 0 c s v f ralle s v m 0 8 c s v f ralle v s s z a 0 fiir alle a A s U s Setze e v J acs v f r alle v V dal d v 0 f rale v V s 8 on Schleife Solange es noc
27. Verschiedene praktische Fragestellungen f hren auch zu Optimierungsproblemen ber Zirkuits Sind die Elemente e E durch Gewichte ce bewertet so kann man das Problem untersuchen ein Zirkuit C C zu finden das minimales Gewicht c C hat Die Aufgabe in einem Graphen einen k rzesten Kreis zu bestimmen ist z B von diesem Typ Allgemeiner noch ist folgende Frage von Interesse Wir sagen dass eine Menge Z C E ein Zyklus ist wenn Z die Vereinigung von paarweise disjunkten Zirkuits ist d h wenn es Zirkuits C1 Cy gibt mit C N C 0 1 lt i lt j lt k so dass Z JE Ci Sind die Elemente e E mit Gewichten ce belegt so sucht man nach einem Zyklus ma ximalem Gewichts Das Chinesische Postbotenproblem siehe 2 12 und das Max Cut Problem 2 15 sind z B von diesem Typ Aus Zeitgr nden k nnen wir auf Optimierungs probleme ber Zirkuits bzw Zyklen nicht eingehen siehe hierzu S8 undiGrsche and Trumpet 959 5 2 Matroide Wie die Beispiele aus dem vorigen Abschnitt zeigen enthalten Optimierungsprobleme ber Unabh ngigkeitssystemen sowohl polynomial l sbare als auch A P vollst ndige Pro bleme Man wird daher nicht erwarten k nnen dass f r diese Probleme eine gute L sungstheorie existiert Wir wollen nun eine Spezialklasse von Unabh ngigkeitssystemen einf hren f r die es so etwas gibt In einem noch zu pr zisierenden Sinn siehe Folgerung 5 16 ist dies die Klasse der Unabh ngigkeitssysteme
28. Vo vi Un und Kanten menge E wv wi w A Es seien z n max c wi w wi w j A 1 und ce wi w 2 32 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Nach Konstruktion gilt dass jedes Matching in G mit k Kanten ein geringeres Gewicht hat als ein Matching mit 1 Kanten k 0 n 1 Daraus folgt dass es eine L sung des gerichteten Zuordnungproblems bez glich D genau dann gibt wenn jedes maximale Matching M bez glich G und c perfekt ist Ist dies so dann ist B wi w EA 0 eine minimale L sung des gerichteten Zuordnungsproblems mit Gewicht c B c M nz 2 10 Das Matchingproblem Die Grundversion dieses Problems ist die folgen de Gegeben sei ein Graph V E mit Kantengewichten c f r alle e Ist ein Matching M von G maximalen Gewichts c M gesucht so hei t dieses Problem Matchingproblem Sucht man ein perfektes Matching minimalen Ge wichts so wird es perfektes Matchingproblem genannt Diese Probleme k nnen wie folgt verallgemeinert werden Gegeben seien zus tz lich nichtnegative ganze Zahlen b f r alle v V genannt Gradbeschr nkun gen und ue f r alle e E genannt Kantenkapazit ten Ein perfektes b Matching ist eine Zuordnung x von nichtnegativen ganzen Zahlen zu den Kan ten e E so dass f r jeden Knoten v V die Summe der Zahlen x ber die Kanten e E die mit v inzidieren h ch
29. die Menge der B gen deren Anfangs und Endknoten W liegen und mit V B die Menge der Knoten die als Anfangs oder Endknoten mindestens eines Bogens in B auftreten Unterdigraphen induzierte Unterdigraphen aufspannende 10 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Unterdigraphen Vereinigung und Durchschnitt von Digraphen das Entfernen von Bogen oder Knotenmengen und die Kontraktion von Bogen oder Knotenmengen sind genau wie bei Graphen definiert Ist D V A ein Digraph dann hei t der Graph G V E der f r jeden Bo gen i j Aeine Kante ij enth lt der D unterliegende Graph Analog werden der D unterliegende einfache Graph und der unterliegende einfache Digraph definiert Wir sagen dass ein Digraph eine ungerichtete Eigenschaft hat wenn der ihm unterliegende Graph diese Eigenschaft hat z B D ist bipartit oder pla nar wenn der D unterliegende Graph G bipartit oder planar ist Geben wir jeder Kante ij eines Graphen eine Orientierung d h ersetzen wir 77 durch einen der B gen i j oder j i so nennen wir den so entstehenden Digraphen D Orien tierung von G Ein einfacher Digraph hei t vollst ndig wenn je zwei Knoten u 5 v durch die beiden B gen v v verbunden sind Ein Turnier ist ein Digraph der f r je zwei Knoten Z v genau einen der B gen u v oder v u enth lt Der einem Turnier unterliegende Graph ist also ein vollst ndiger Graph jedes Turnier ist die Orien
30. die in einem noch zu pr zisierenden Sinne schwieriger sind und f r die bisher noch keine polynomialen Verfahren gefunden worden sind Eine triviale Bemerkung sei hier gemacht Ein Algorithmus dessen Speicherplatz funktion nicht durch ein Polynom beschr nkt werden kann kann keine polyno miale Laufzeit haben da nach Definition die Benutzung eines Speicherplatzes in die Berechnung der Laufzeitfunktion eingeht 3 3 Hausaufgabe Bestimmen Sie die Laufzeitfunktion und die Speicherplatz funktion des folgenden Algorithmus Input ganze Zahl n k n DOi 1 END Gib n aus 3 2 Die Klassen P und NP NP Vollst ndigkeit Wir wollen nun einige weitere Begriffe einf hren um zwischen einfachen und schwierigen Problemen unterscheiden zu k nnen Wir werden dabei zun chst 53 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 aus technischen Gr nden nur Entscheidungsprobleme behandeln und sp ter die Konzepte auf die uns eigentlich interessierenden Optimierungsprobleme erwei tern Ein Entscheidungsproblem ist ein Problem das nur zwei m gliche Ant worten besitzt n mlich ja oder nein Die Fragen Enth lt ein Graph einen Kreis Enth lt ein Graph einen hamiltonschen Kreis Ist die Zahl n eine Primzahl sind z B Entscheidungsprobleme Da wir uns nicht mit f r uns un wichtigen Feinheiten der Komplexit tstheorie besch ftigen wollen werden wir im weiteren nur solche
31. es wird le diglich die Bedingung x 0 1 durch z N ersetzt Wir l sen diese ebenfalls f rd 0 1 Zur L sung dieser Probleme verwenden wir die folgende Rekursion TENS 0 f ralle d f 1 d E falls w ein Teiler von d oo sonst Ld f r d min f r f r d wr a Der Rest verl uft genauso wie bei 12 15 Insbesondere gilt Satz 12 18 w rtlich eben falls f r das allgemeine Knapsack Problem wie f r das 0 1 Knapsack Problem Vollpolynomiale Approximationsschemata sind auch f r das mehrdimensionale Knapsack Problem 12 1 g und das Multiple Choice Knapsack Problem 12 1 h gefunden wor den FPAS sind ansonsten nur noch f r einige Scheduling Probleme bekannt Man kann zeigen dass f r die meisten kombinatorischen Optimierungsprobleme keine FPAS und keine PAS existieren 266
32. full matrix 1 upper triangular matrix 2 lower triangular matrix 3 edge list min minimum distance ind index of entering edge newnode entering tree node ti t2 entering tree edge outnodes number of nodes not in tree weight weight of tree nchoose2 n integer number of nodes D arrn2 vector of weights dope dope vector for index calculations dist shortest distances to non tree nodes in_t in tree node of shortest edge out t arrn out tree node of shortest edge minimum tree is also stored in in t amp out t connected boolean true lt gt input graph is connected inp input file outp text output file BEGIN MAIN PROGRAM Input of complete graph reset inp rewrite outp number of nodes writeln outp Enter number of nodes read inp n IF n lt 1 OR n gt max_n THEN BEGIN writeln outp Number of nodes too large or not positive HALT END initialize dope vector nchoose2 n n 1 DIV 2 FOR i 1 0 nchoose2 DO w i inf dope 1 1 FOR i 2 TO n DO dope i dope i 1 n i input mode writeln outp Enter input mode read inp mode edge weights CASE mode OF O full matrix BEGIN FOR i 1 TO n DO 79 MARTIN GR TSCHEL FOR j 1 TO n DO BEGIN read inp c IF i lt j THEN w dope i j c END END 1 upper triangul
33. lt Ti jes 0 Nehmen wir an dass mindestens f r ein jo S 2 0 gilt und dass b den Optimalwert bezeichnet so erhalten wir b 1 1 d d aj U gt b ay gt b b 1 JEN jer A wobei H gt b aufgrund von Schritt 5 gilt und somit H gt 1 6 F r Schritt 2 ben tigen wir O n Schritte f r Schritt 3 O Schritte wenn wir alle h chstens K elementigen Teilmengen von N enumerieren und f r die Schritte 4 und 5 nochmals O n Schritte Die Gesamtlaufzeit ist dann O X K also O n bei festem denn zen min 1 n k 1 O nF Nachdem wir bisher den Greedy Algorithmus f r das Knapsack Problem und ein PAS f r das Subset Sum Problem kennengelernt haben wollen wir nun ein FPAS f r das 0 1 Knapsack Problem entwickeln 256 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Gegeben seien cj a N 1 n und b N Wir betrachten j l n lt b j l zj E 0 1 gt o C1 Cn wobei wir wie immer annehmen dass gt po gt gt Pn und aj lt b An i l n Zun chst zeigen wir dass der Wert der Optimall sung einfach abgesch tzt werden kann 12 11 Lemma Sei k der gr te Index so dass ap lt b Setze Cest C1 ex cy 44 Dann gilt Copt lt Cest S 2Copt Beweis Daz 1 2 1 k T 0 sonst eine zul ssige L sung ist gilt c Ck lt
34. neare Programme sind folglich k nnen wir sie effizient l sen Das hei t in der Praxis d rfte der Simplexalgorithmus f r 7 5 und 7 6 in kurzer Zeit gute L sungen liefern w hrend theoretisch die Ellipsoidmethode eine Laufzeit garantiert die polynomial in der 149 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Inputl nge V A ist F r diese besonderen linearen Programme gibt es jedoch effiziente kombinatorische Algorithmen und Spezialversionen des Simplexalgo rithmus die auDerordentlich schnell arbeiten Wir werden drei dieser Verfahren vorstel len Das erste dieser Verfahren geht auf Ford und Fulkerson zur ck Die Idee hinter dieser Me thode kann wie folgt erl utert werden Man starte mit dem zul ssigen s t Fluss x 0 f r alle a A Hat man einen zul ssigen s Fluss dann versuche man im gegebenen Digraphen einen gerichteten Weg von s nach t zu finden auf dem zus tzlich ein positi ver Wert durch das Netzwerk geschoben werden kann Geht dies so erh ht man den gegenw rtigen Fluss und f hrt fort Die Suche nach einem gerichteten s t Weg der die Erh hung des Flusswertes erlaubt f hrt allerdings nicht direkt zum gew nschten Erfolg Betrachten wir z B den Digraphen D in Abbildung 7 1 bei dem die erste Zahl des zu einem Bogen geh renden Zahlenpaares den gegenw rtigen Flusswert des Bogens anzeigt und die zweite Zahl die Kapazit t des Bogen angibt In lt gt Der ge
35. oder Pferden etc die auf einem n x n Schachbrett so plaziert werden k nnen dass keine eine andere schl gt 2 14 F rbungsprobleme Gegeben sei ein Graph G V E Zusatzlich seien Knotengewichte b f r alle v V gegeben Die Aufgabe eine Folge von nicht notwendigerweise verschiedenen stabilen Mengen 5 5 von zu suchen so dass jeder Knoten in mindestens b dieser stabilen Mengen enthalten und t mi nimal ist hei t gewichtetes Knotenf rbungsproblem oder kurz Farbungspro blem Beim gewichteten Kantenfarbungsproblem sind statt Knotengewichten Kantengewichte ce e E gegeben und gesucht ist eine Folge von nicht notwen digerweise verschiedenen Matchings M Ms so dass jede Kante in minde stens c dieser Matchings enthalten und s so klein wie m glich ist Das geographische F rbungsproblem ist uns schon in 2 6 begegnet Hat man eine Farbung der Lander so dass je zwei benachbarte Lander verschie den gef rbt sind so entspricht jede Gruppe von L ndern gleicher Farbe einer sta bilen Menge in G Hat man umgekehrt eine Zerlegung der Knotenmenge von G in stabile Mengen so kann man jeweils die L nder die zu den Knoten ei ner stabilen Menge geh ren mit derselben Farbe belegen und erh lt dadurch eine zul ssige Landkartenf rbung Das Landkartenf rbungsproblem ist also das Kno tenf rbungsproblem des zugeh rigen Graphen mit b 1 f r alle v V Die Aufgabe in einer geographischen Region
36. sind jedoch in wesentlich kompakterer Form gegeben Zum Beispiel ist ein Matrix Matroid 5 11 b durch eine Matrix A mit der Information dass I E unabh ngig genau dann ist wenn die Spalten 4 J linear unabh ngig sind gegeben ein graphisches Matroid 5 11 a durch einen Graphen G V E zusammen 110 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 mit der Information dass J C E unabh ngig ist genau dann wenn J keinen Kreis enth lt ein cographisches Matroid 5 12 a durch einen Graphen G V E zusammen mit der Information dass C C E ein Zirkuit ist genau dann wenn C ein Cokreis ist W rden wir die Inputl nge des Matroids als die L nge der Kodierung der Matrix A f r 5 11 b bzw als die Lange der Kodierung des Graphen G f r 5 11 a definieren hatte unser trivialer Enumerationsalgorithmus exponentielle Laufzeit in der Kodierungsl nge dieses kompakten Inputs Die Frage ist also Was ist eine geeignete Kodierung eines Matroids Motiviert durch die gerade angegebenen Beispiele k nnte man glauben dass die Angabe einer Liste aller unabh ngigen Mengen eine un konomische Methode sei Jedoch geht es im allgemeinen nicht viel besser Man kann n mlich zeigen dass es mindestens n 2 e 97 i Matroide mit n Elementen gibt Daraus folgt dass es bei jeder beliebigen Kodierungsart immer Matroide gibt deren Kodierung eine L nge hat die mindestens 27 betr gt Aufgrund dieser Tatsache hat sic
37. t Flusses ist h chstens so gro wie die mini male Kapazit t eines s t Schnittes Beweis a Aus der Flusserhaltungsbedingung 7 2 folgt valr A za RP 2 Ha E a ac s a s v W ac t v a v a gt Ta ac W a W b Seien AT W ein beliebiger s t Schnitt und x ein zul ssiger s t Fluss dann gilt wegen a 7 1 und 7 2 val z da gu S Ca c 6 W a t W a W W Wir werden sp ter einen kombinatorischen Beweis daf r angeben dass der maximale Wert eines s t Flusses gleich der minimalen Kapazit t eines s t Schnittes ist Hier wollen wir jedoch bereits eine Vorschau auf die lineare Programmierung machen die das Max Flow Min Cut Theorem in einen allgemeineren Kontext einbettet Wir pr sentieren dieses Resultat daher als Anwendung von Resultaten die erst in der Vorlesung Lineare Optimierung behandelt werden Wir schreiben zun chst die Aufgabe einen maximalen s t Fluss wert in D zu finden als lineares Programm Dieses lautet wie folgt max p La La z 6 s x 6 s s ac s z v 2 5 0 A zxa 0 f rallev V s t 7 5 acd v v 0 lt Ta cg f r alle a A Jede zul ssige L sung von 7 5 ist also ein zul ssiger s t Fluss und jede optimale L sung ein optimaler s Fluss Um das zu 7 5 duale lineare Programm
38. und Vierertausche wird so stark reduziert dass die Laufzeit f r Schritt 3 O n bleibt aber immerhin einige vielversprechende Tausche vorgenommen werden Daraus folgt dass jede 2 NODE optimale Tour auch 2 optimal ist In der Praxis sind die obigen Austauschverfahren sehr erfolgreich und k nnen in der Regel die durch die Er ffnungsverfahren 10 1 gefundenen L sungen verbessern Erstaunlich dabei ist die von vielen Heuristikern gemachte Beobachtung dass die Austauschver fahren h ufig bessere L sungen liefern wenn man sie mit zufalligen oder relativ schlech ten Startl sungen beginnt als wenn man mit guten heuristischen L sungen etwa durch FI gefundene beginnt Startet man z B 2 OPT mit der durch NN gefundenen L sung des Rheinlandproblems 10 2 a1 so wird der in Abbildung 10 6 gezeigte 2 Austausch vollzogen Abb 9 6 207 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Diese Tour hat die Lange 617 km Es wurde also eine Verbesserung um 81 km erzielt Die Austausch Verfahren f r das TSP und andere Kombinatorische Optimierungsproble me sind stark von S Lin und B W Kernigham propagiert worden In ihrem Aufsatz An effective heuristic algorithm for the traveling salesman problem Operations Research 21 1973 498 516 zeigen sie z B dass eine dynamische Mischung von 2 OPT und 3 OPT mit O n Lauf zeit empirisch sehr gute L sungen in akzeptabler Laufzeit liefert Es ist vermutlich nicht falsch wenn
39. 0 oder x 1 Ist 0 so ist zj 2a7 eine Optimall sung von SGKP 14 also f r d f r 1 d Ist cf 1 so ist z 2 eine Optimall sung von SGKP 1 41 also f r d f r 1 d w t ar Die Funktion f r d kann man sehr einfach in Tabellenform speichern 12 13 Lemma a Eine Optimall sung von SGKP 4 kann wie folgt aus der Funktionstabelle von f konstruiert werden DOj rTO2BY 1 Falls f j d oo dann gibt es keine L sung STOP 258 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Falls f 7 4 lt oo dann f hre aus Falls f j d f j 1 4 setze x4 0 Falls f j d f 3 1 4 aj setze 14 1 und d d wj END Falls d 0 setze zd 0 andernfalls zd 1 b Die Berechnung von f kann so gestaltet werden da insgesamt nur jeweils zwei Spalten der Funktionstabelle gespeichert werden Die Optimall sung kann auch hierbei konstruiert werden wenn jeweils nach Berechnung einer Spalte r die Opti mall sungen von SGKP 4 gespeichert werden c Der Aufwand zur Berechnung von f m N betr gt O mN Rechenschritte Der Algorithmus ist polynomial Beweis Klar Wir f hren ein Beispiel zur Berechnung von f r d vor 12 14 Beispiel Wir betrachten das folgende 0 1 Knapsack Problem min 3121 2279 5023 Am 2z2 5x3 d 21 22 23 0 1 N 11 Output der Optimall sungen d r 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 OO 0 0 0 2 oo 22 22
40. 1 sind Vorg nger auf P eines Nachbarn von v und mindestens 7 der Knoten v vy 1 sind Nachbarn von Folglich muss es einen Knoten sagen wir vj 1 lt i lt k geben mit v1v 1 E und E Damit ist C 010 mm Pv ein Kreis in Gabe es einen Knoten vo V der nicht in C ist so g be es wegen deg vo gt 5 zwei Nach barn von vo die auf C benachbart sind Wir k nnten also C verl ngern und h tten damit auch einen Weg gefunden der l nger als P ist Widerspruch Also ist C ein hamiltonscher Kreis Die hinreichende Bedingung des Satzes von Dirac ist sukzessive von verschiedenen Auto ren verfeinert worden Wir geben hier zwei Resultate dieser Art an Die Beweise verlaufen hnlich die Konstruktionen sind nat rlich komplizierter Das n chste Resultat stammt von Chv tal und ist aus dem Jahr 1972 Eine Folge di do dn nennen wir Gradsequenz wenn es einen einfachen Graphen mit n Knoten 1 n gibt so da deg z 4 1 n Wir nennen eine Gradse quenz hamiltonsch wenn jeder Graph mit dieser Gradsequenz hamiltonsch ist 9 2 Satz Eine Gradsequenz d do dn ist genau dann hamiltonsch wenn f r jedes 195 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 1 1 lt 1 lt 5 20 di lt i gt dh gt 4 Bondy und Chv tal beobachteten 1974 dass sich der Diracsche Beweis so modifizieren l sst dass man folgende st rkere Bedingung erh lt 9 3 Satz Sei G ein einfache
41. 4 u BE Vi V2 V3 V4 Vs Abb 7 4 Wir wollen nun vom Referenzknoten r ausgehend den zus tzlichen Flusswert POT r durch das gesamte Netzwerk schicken Wir nehmen an dass er in der Schicht liegt Zun chst verteilen wir POT r auf die B gen die aus r hinausgehen Dies ist wegen POT r lt Diet Ela z a m glich Der zus tzliche Fluss POT r kommt also in der Schicht an F r jeden Knoten v verteilen wir die Flussmenge die in v ankommt auf die B gen die aus v herausgehen Aufgrund von 7 18 ist auch dies m glich Damit gelangt der gesamte Wert POT r zur Schicht V 5 und wir fahren so fort bis der Fluss POT r den Zielknoten t V erreicht Das Verteilen von POT r auf die verschiedenen B gen erfolgt durch einfache Listenverarbeitung z B Breadth First Nun gehen wir r ckw rts um aus s den Flusswert PO Dir herauszuziehen Wir vertei len den Flusswert POT r auf alle B gen die r enden F r alle Bogen v V _ vertei len wir den Anteil des Flusswertes PO T r der r ckw rts in v angekommen ist auf die B gen die in v enden Die Wahl des Referenzknoten r garantiert dass dies m glich ist Und wir machen auf diese Weise weiter bis wir zur Quelle s gelangt sind Durch dieses Durchschieben und Herausziehen wird also der Wert des Ausgangsflusses in N um POT r erh ht Wenden wir dieses Verfahren auf unser Beispielnetzwerk aus Abbildung 7 4 an so erhalten wir den in
42. ADM I SS 2003 Wurzel von D minimalen Gewichts zu finden hei t minimales Arboreszenz Problem r Arboreszenz Problem Die im folgenden Punkt zusammengefa ten Probleme geh ren zu den am meisten untersuchten und anwendungsreichsten Problemen 2 12 Routenplanung Gegeben seien n St dte und Entfernungen c zwischen diesen gesucht ist eine Rundreise Tour die durch alle St dte genau einmal f hrt und minimale L nge hat Haben die Entfernungen die Eigenschaft dass cij Cji gilt 1 lt lt 7 n so nennt man dieses Problem symmetrisches Travelling Salesman Problem TSP andernfalls hei t es asymmetrisches TSP Graphen theoretisch l t sich das TSP wie folgt formulieren Gegeben sei ein vollst ndiger Graph oder Digraph G mit Kantengewichten oder Bogengewichten gesucht ist ein gerichteter hamiltonscher Kreis minimaler Lange Beim TSP geht man durch jeden Knoten genau einmal beim gerichteten Chinesischen Postbotenproblem Chinese postman problem durch jede Kante jeden Bogen mindestens einmal d h in einem Graphen Digraphen mit Kantengewichten Bogengewichten wird eine Kette gerichtete Kette gesucht die jede Kante jeden Bogen mindestens einmal enth lt und minimale L nge hat Zu diesen beiden Standardproblemen gibt es hunderte von Mischungen und Vari anten Z B man sucht eine Kette die durch einige vorgegebene Knoten und Kan ten mindestens einmal geht und minimale L nge hat man legt verschi
43. Abbildung 7 5 dargestellten Fluss MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Alle B gen mit za Ta sind saturiert Ist der gegenw rtige s t Fluss in N nicht satu riert muss es noch einen nicht saturierten s t Weg N geben Kein nicht saturierter s t Weg in N kann einen saturierten Bogen enthalten Daher k nnen wir alle saturier ten B gen aus N entfernen Aufgrund unseres Vorgehens gilt f r den Referenzknoten dass entweder alle B gen aus A r oder alle B gen aus r saturiert sind in unserem Beispiel aus Abbildung 7 5 sind alle B gen aus AT 5 saturiert Falls es also einen noch nicht saturierten s t Weg geben sollte kann dieser den Knoten r nicht enthalten Wir k nnen also auch den Knoten r und alle weiteren B gen die r als Anfangs oder End knoten enthalten aus N entfernen Die Herausnahme von und der saturierten B gen kann bewirken dass ein Knoten v W auf keinem s t Weg in dem so reduzierten Digraphen liegt Dies gilt in Abbildung 7 5 nach Wegnahme der saturierten B gen und des Knoten 5 f r den Knoten 2 Alle derartigen Knoten und die mit ihnen inzidenten B gen k nnen ebenfalls aus N entfernt werden Wir entfernen Knoten und B gen so lan ge bis jede Menge 57 v und v der noch verbleibenden Knoten v mindestens eine nicht saturierte Kante enth lt Werden s oder t entfernt k nnen wir aufh ren denn dann ist der gegenw rtige Fluss offenbar saturiert Damit ist eine Iteration d
44. Axiome erf llt L1 BEZ L2 FCGEI FEI H ufig wird auch das Paar E T Unabh ngigkeitssystem genannt Die Teilmengen von E die in 7 enthalten sind hei en unabh ngige Mengen alle brigen Teilmengen von E hei en abh ngige Mengen 99 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Mit jedem Unabh ngigkeitssystem E Z sind auf kanonische Weise andere Mengensy steme gegeben die wir nun kurz einf hren wollen Die bez glich Mengeninklusion minimalen abh ngigen Teilmengen von E hei en Zir kuits oder Kreise d h C E ist ein Zirkuit wenn C abh ngig ist und wenn C keine von sich selbst verschiedene abh ngige Teilmenge enth lt Die Menge aller Zirkuits bzgl eines Unabh ngigkeitssystems Z hei t Zirkuitsystem und wird mit C bezeichnet Ist F C E so hei t jede Teilmenge von F die unabh ngig ist und die in keiner anderen unabh ngigen Teilmenge von enthalten ist Basis von d h B Basis von F B B et BC B C F B B Die Menge aller Basen der Grundmenge E hei t Basissystem bzgl 7 und wird mit B bezeichnet F r jede Menge F C E hei t die ganze Zahl 5 2 r F max B B Basis von F Rang von F Die Rangfunktion r ist also eine Funktion die 2 in die nicht negativen ganzen Zahlen abbildet Offenbar induziert jedes Unabh ngigkeitssystem Z auf E ein eindeutig bestimmtes Zir kuitsystem ein eindeutig bestimmtes Basissystem und eine eindeutig bestimmte Rang funktion Es gilt auc
45. CN uv U up pv und gehe zu 2 FARTHEST INSERT FI Wie NI es wird lediglich Schritt 3 ersetzt durch Bestimme einen Knoten p V V V C so dass ein Knoten q V C existiert mit Cpg 4e V V C CHEAPEST INSERT CI Wie NI es werden lediglich die Schritte 3 und 4 ersetzt durch Bestimme einen Knoten p V V V C und eine Kante uv C mit Cup Cpo min ciy cy Cij ij C k VAC SPANNING TREE Heuristik ST 1 Bestimme einen minimalen aufspannenden Baum von Kp 2 Verdopple alle Kanten aus um einen Graphen V zu erhalten 3 Da jeder Knoten in V einen geraden Grad hat und V B2 zusammenh ngend ist enth lt eine Eulertour Bestimme eine Eulertour C gib ihr eine Orien tierung w hle einen Knoten i V markiere i und setze p i T 0 Sind alle Knoten markiert setze T T U ip und STOP T ist eine Tour 198 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 5 Laufe von p entlang der Orientierung von C bis ein unmarkierter Knoten sagen wir q erreicht ist Setze T T U p ak markiere q setze p q und gehe zu 4 f CHRISTOFIDES Heuristik CH Wie ST lediglich Schritt 2 wird ersetzt durch 2 Sei W die Menge der Knoten in V B mit ungeradem Grad Man beachte W ist gerade a Bestimme im von W induzierten Untergraphen von Kp ein perfektes Matching minimalen Gewicht
46. E r F F f r alle F C E Das uniforme Matroid U34 ist das kleinste nicht bin re Matroid c Partitionsmatroide Sei E eine endliche Menge und E1 Ej seien nicht leere Teilmengen von E mit N E 9 4 4 j und U E E Seien b bj nicht negative ganze Zahlen dann ist 1 E lt bpi 1 k ein Matroid auf E genannt Partitionsmatroid d Transversalmatroide Sei E eine endliche Menge E I sei eine endliche Familie von Teilmengen von E Eine Teilmenge T C E ist eine teilweise Transversale oder partielles Repr sentanten system von Ej I falls es eine Indexmenge J I gibt mit J T und eine Bijektion T gt J so dass t E f r alle t Die Menge aller teilweisen Transversalen ist das Unabh ngigkeitssystem eines Matroids auf E Dieses Ergebnis ist nicht trivial und hatte einen wesentlichen Einfluss auf die Transversaltheorie Wir wollen nun noch einige konkrete Beispiele von Matroiden angeben und ihre Basis Zirkuitsysteme etc explizit auflisten Betrachten wir den folgenden in Abbildung 5 1 dargestellten Graphen G V E mit E 1 2 13 Das Zirkuitsystem C des graphischen Matroids auf E ist gegeben durch die Menge aller Kreise in G d h C 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 11 12 13 9 10 12 13 107 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 5 1 Das Zirkuitsystem C des cographischen Matroids auf E ist gegeben durch
47. Knapsack Problem dessen Wert h chstens um eine Konstante vom Optimalwert diffe genau dann wenn P NP gilt Beweis gt Gegeben sei ein Knapsackproblem KP zj ZL oderz 0 1 Wir bezeichnen den Optimalwert von KP mit c Sei ein polynomialer Algorithmus der eine L sung von KP mit Wert c4 liefert Wir nehmen an dass A eine Differenzga rantie f r alle Knapsackprobleme gibt d h IK Z mit c cAX K T r alle Knapsackprobleme Wir zeigen nun dass unter dieser Annahme ein polynomialer Algorithmus f r KP exi stiert Aus KP konstruieren wir ein neues Knapsackproblem 1 KP indem wir c 1 c als neue Zielfunktion w hlen Offenbar ist eine L sung x f r KP optimal genau dann wenn x f r 1 KP optimal ist 249 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Wenden wir den Algorithmus A auf K 1 KP an so erhalten wir eine L sung mit Wert CA SO dass gilt c4 lt L Bez glich KP gilt offenbar c und die L sung von hat bez glich KP den 1 Wert ca EST Daraus folgt 1 c CA lt 1 K 1 K 1 Da sowohl c als auch ganzzahlig sind muss c gelten Folglich ist A ein Al gorithmus der in polynomialer Zeit eine optimale L sung von KP liefert Da KP NP vollst ndig ist folgt hieraus P NP lt trivial da dann KP polynomial l sbar ist Die Technik des hier gege
48. Kreis Offensichtlich enth lt jeder geschlossene Pfad einen Kreis Ein gerichteter Pfad der jede Kante jeden Bogen eines Graphen Digraphen genau einmal enth lt hei t gerichteter Eulerpfad Ein geschlossener Eulerpfad hei t Eulertour Ein Eulergraph Eulerdigraph ist ein Graph Digraph der eine gerichtete Eulertour enth lt Ein gerichteter Kreis Weg der L nge V bzw V 1 hei t gerichteter Ha miltonkreis Hamiltonweg Ein Graph Digraph der einen gerichteten Ha miltonkreis enth lt hei t hamiltonsch Manchmal sagen wir statt Hamiltonkreis einfach Tour Ein Wald ist ein Graph der keinen Kreis enth lt Ein zusammenh ngender Wald hei t Baum Ein Baum in einem Graphen hei t aufspannend wenn er alle Kno ten des Graphen enth lt Ein Branching B ist ein Digraph der ein Wald ist so dass jeder Knoten aus Zielknoten von h chstens einem Bogen von ist Ein zu sammenh ngendes Branching hei t Arboreszenz Eine aufspannende Arbores zenz ist eine Arboreszenz in einem Digraphen D die alle Knoten von D enth lt Eine Arboreszenz enth lt einen besonderen Knoten genannt Wurzel von dem aus jeder andere Knoten auf genau einem gerichteten Weg erreicht werden kann Arboreszenzen werden auch Wurzelbaume genannt Ein Digraph der keinen ge richteten Kreis enth lt hei t azyklisch Ein Graph hei t zusammenh ngend falls es zu jedem Paar von Knoten s einen s t Weg gibt Ein Digraph
49. Massachusetts Cook W J 1971 The complexity of theorem proving procedures In Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing pages 151 158 Ohio Shaker Heights Cormen T H Leiserson C E and Rivest R L 1990 Introduction to Algorithms MIT Press Cambridge Mass wurde mehrfach neu aufgelegt Garey M R and Johnson D S 1979 Computers and Intractability A Guide to the Theory of NP completeness W H Freeman and Company New York Gr tschel M 2002 P N P Elemente der Mathematik Eine Zeitschrift der Schwei zerischen Mathematischen Gesellschaft 57 3 96 102 siehe URL http www zib de groetschel pubnew biblio htm Johnson D S 1990 A catalog of complexity classes In van Leeuwen 1990 J edi tor Algorithms and Complexity Handbook of Theoretical Computer Science volume Vol A pages 67 161 Elsevier Amsterdam Mehlhorn 1984 Data Structures and Algorithms volume 1 3 Springer Verlag EATCS Monographie edition dreib ndige Monographie Band I liegt auch auf deutsch im Teubner Verlag 1986 vor Meinel C 1991 Effiziente Algorithmen Entwurf und Analyse Fachbuchverlag Leip zig 1 edition Ottmann T and Widmayer P 1990 Algorithmen und Datenstrukturen BI Wissen schaftsverlag Mannheim Reihe Informatik Band 70 Hrsg K H B hling and U Ku lisch and Maurer edition Papadimitriou C H 1994 Computational Complexity Ad
50. Problembeispiele liegen in ko dierter Form vor Die Anzahl der Zellen die notwendig sind um Z vollst ndig 51 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 anzugeben nennen wir die Kodierungsl nge oder Inputl nge 7 von 7 Der Algorithmus liest diese Daten und beginnt dann Operationen auszuf hren d h Zahlen zu berechnen zu speichern zu l schen usw Die Anzahl der Zellen die w hrend der Ausf hrung des Algorithmus A mindestens einmal benutzt wurden nennen wir den Speicherbedarf von A zur L sung von Z blicherweise sch tzt man den Speicherbedarf eines Algorithmus A dadurch nach oben ab da man die Anzahl der von A benutzten Speicherpl tze bestimmt und diesen Wert mit der gr ten Anzahl von Zellen multipliziert die einer der Speicherplatze beim Ablauf des Algorithmus ben tigte Die Laufzeit von A zur L sung von Z ist etwas salopp gesagt die Anzahl der elementaren Operationen die A bis zur Beendigung des Verfahrens ausgef hrt hat Dabei wollen wir als elementare Operationen z hlen Lesen Schreiben und L schen Addieren Subtrahieren Multiplizieren Dividieren und Vergleichen von rationalen oder ganzen Zahlen Da ja zur Darstellung derartiger Zahlen meh rere Zellen ben tigt werden muss zur genauen Berechnung der Laufzeit jede elementare Operation mit den Kodierungsl ngen der involvierten Zahlen multi pliziert werden Die Laufzeit von A zur L sung von Z ist die Anzahl der ele mentaren Rechenoperationen d
51. SKRIPTUM ADM I SS 2003 Korrektheit wir in Satz 6 5 bewiesen haben DIST v 0 enth lt somit die L nge des k rzesten 1 v Weges ohne Richtungswechsel die Behauptung f r m 0 ist richtig Nehmen wir nun an dass unsere Behauptung f r m gt 0 richtig ist und dass wir Schleife 2 zum m 1 sten Male durchlaufen haben Wir m ssen zwei F lle unterscheiden m 1 gerade oder ungerade Wir f hren den Fall m 1 ungerade vor der andere Fall folgt analog Die Menge der s v Wege mit h chstens m 1 Richtungswechseln besteht aus folgenden Wegen a s v Wege mit h chstens m Richtungswechseln b s v Wege mit genau m 1 Richtungswechseln Die Minimall nge der Wege in a kennen wir bereits sie ist nach Induktionsvorausset zung DIST v m Da nach Annahme der erste Bogen eines jeden Weges ein Aufw rts bogen ist ist f r einen s v Weg mit m 1 Richtungswechseln und m 1 ungerade der letzte Bogen ein Abw rtsbogen Zur Bestimmung des Minimums in b f hren wir eine weitere Induktion ber u n n 1 v 1 durch Da jeder Weg der in n endet mit einem Aufw rtsbogen aufh rt gibt es keinen s n Weg mit genau m 1 Richtungs wechseln also gilt DIST n m DIST n m 1 Nehmen wir nun an dass wir wissen dass DIST w m 1 f r n gt w gt u gt v 1 die L nge eines k rzesten s w Weges mit h chstens m 1 Richtungswechseln ist Zur Bestimmung der L nge eines k rzesten s u 1 Weges m ssen
52. SKRIPTUM ADM I SS 2003 i 1 k 0 i k 1 n Dann liefert der Greedy Algorithmus die Greedy L sung J B mit c I r F w hrend f r jede Optimall sung gilt c Io r F Also wird f r diese spezielle 0 1 Zielfunktion die linke Ungleichung in der Aussage des Satzes mit Gleichheit angenommen 5 19 Folgerung Sei Z ein Unabh ngigkeitssystem auf E Dann sind quivalent a E T ist ein Matroid b F r alle Gewichte c R liefert der Greedy Algorithmus 5 16 eine Optimall sung von 5 6 c F r alle Gewichte mit 0 1 Koeffizienten liefert der Greedy Algorithmus 5 16 ei ne Optimall sung von 5 6 5 19 wurde von verschiedenen Autoren unabh ngig voneinander bewiesen zeigte insbesondere wie man den Greedy Algorithmus f r Matroide als ein Ver fahren zur L sung spezieller linearer Programme deuten kann Er liefert in der Tat auch duale L sungen Wir k nnen hier jedoch nicht auf diese Zusammenh nge eingehen Da der Algorithmus 4 7 GREEDY MAX offenbar eine Spezialisierung des Greedy Algorithmus 5 16 f r das graphische Matroid ist liefert Folgerung 5 19 einen weiteren Beweis von Satz 4 8 Satz 5 18 ist ein Prototyp von Absch tzungss tzen f r die Qualit t von heuristischen L sungen wie wir sie sp ter noch mehrfach kennenlernen werden Der Greedy Algorith mus 5 16 ist offenbar orakelpolynomial Immer dann wenn wir den Orakelaufruf Un abh ngigkeitstest in Sch
53. TSP gilt 9 7 nicht 9 8 Satz F r metrische TSP und die Heuristiken aus 9 5 gelten die in Tabelle 9 2 angegebenen G tegarantien Die Laufzeitschranken gelten fiir beliebige Travelling Sales man Probleme Tabelle 9 2 ist wie folgt zu lesen In der Spalte Laufzeit steht die Ordnung der Laufzeit also ist 7 B NI ein O n Algorithmus In der Spalte besagt die dort angegebene Zahl dass die zugeh rige Heuristik immer eine L sung liefert deren Wert nicht gr er als 1 amp c Topc ist Also weichen z B die Werte der von der Christofides Heuristik gefundenen L sungen h chstens um 50 vom Optimalwert ab N chster Nachbar z log n 1 2 Nearest Insert Farthest Insert Cheapest Insert Spanning Tree Christofides Tabelle 9 2 Beweis Die Aussagen ber die Laufzeiten folgen direkt aus den Darstellungen der Al gorithmen in 9 5 Wir beweisen die G teschranken von ST und CHRISTOFIDES Entfernen wir aus einer Tour eine Kante so erhalten wir einen aufspannenden Baum Da bei einem euklidischen TSP alle Kantengewichte nichtnegativ sind folgt daraus dass der Wert eines minimalen aufspannenden Baums B nicht gr er ist als der der optimalen Tour Topt pt Daher gilt f r die Heuristik ST 2cij lt 2e Topt ijcB 203 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Die aus B konstruierte Tour T entsteht dadurch dass Wege in durch Kanten zwischen den Endknoten der Wege ersetzt werde
54. VOR v s Nun versuchen wir die Distanzen DIST v sukzessi ve zu reduzieren Finden wir einen Bogen u v mit DIST u c u v lt DIST v so setzen wir DIST v DIST u c u v und VOR v u Wir f hren diese Iteration so lange fort bis kein Wert DIST u mehr reduziert werden kann Die verschie denen Versionen des Moore Bellman Algorithmus unterscheiden sich durch die Art wie diese Basisiteration ausgef hrt wird d h in welcher Reihenfolge die Knoten und B gen u U mehrfach abgearbeitet werden Wir wollen uns zun chst berlegen unter welchen Umst nden der MOORE BELLMAN Algorithmus bei allgemeinen Gewichten nicht funktioniert Wir betrachten den Digraphen aus Abbildung 6 1 mit den dort eingetragenen Gewichten 130 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 SS 3 4 Oe Abb 6 1 Wir initialisieren mit DIST 1 0 DIST 2 2 DIST 3 DIST 4 VOR 1 i 1 2 3 4 Wir stellen fest dass DIST 3 gt DIST 2 c 2 3 2 und setzen DIST 3 2 VOR 3 2 Wir setzen analog DIST 4 DIST 3 c 3 4 1 VOR 4 3 Nun gilt DIST 2 2 gt DIST 4 c 4 2 4 also setzen wir DIST 2 4 Was ist passiert Der k rzeste Weg von 1 nach 2 besteht offensichtlich aus dem Bogen 1 2 und hat die Lange 2 Wenden wir unser Verfahren an so stellen wir fest dass wir von 1 nach 4 mit der Wegl nge 1 gelangen k nnen Dieser Weg enth lt den Knoten 2 Aber nun k nnen wir
55. Weg in D saturiert ist Man beachte dass jeder maximale Fluss saturiert ist dass aber nicht jeder saturierte Fluss auch maximal ist vergleiche Abbildung 7 1 Wir zeigen nun wie man einen saturierten Fluss in einem geschichteten Netzwerk bestimmen kann Sei also N W B ein geschichtetes Netzwerk mit Schichten Vi V und Bogenka pazit ten c a gt 0 Ferner sei x ein zul ssiger s t Fluss in N Im DMKM Algorithmus wird f r jeden Knoten v W X 5 t der maximale zus tzliche Flusswert der durch den Knoten v geschickt werden kann bestimmt Diesen Wert nennen wir Potenzial von v und bezeichnen ihn mit POT v Er kann wie folgt bestimmt werden 7 18 POT v 2 min X c a 2 a M amp 1 ve W s th och v v Unter allen Knoten v W s t wird ein Knoten mit minimalem Potenzial bestimmt Dieser Knoten sagen wir r wird Referenzknoten genannt d h 7 19 POT r min POT v v E W s t Abbildung 7 4 zeigt ein geschichtetes Netzwerk mit 5 Schichten und 10 Knoten es gilt s 1 t 10 Wie blich gibt die erste Zahl eines Zahlenpaares bei einem Bogen den gegenw rtigen Fluss durch den Bogen und die zweite Zahl die Bogenkapazit t an Aus 7 18 folgt POT 2 4 POT 3 4 POT 4 5 POT 5 3 POT 6 9 POT 7 4 POT 8 4 POT 9 5 157 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Der Referenzknoten ist somit eindeutig bestimmt es ist der Knoten 5 LII sh 4
56. Wegen enthaltenen Kanten keine parallelen Kanten enth lt Eine Kantenmenge F eines Graphen G V E hei t trennend falls G F un zusammenh ngend ist F r Graphen die mehr als einen Knoten enthalten set zen wir A G min F FC E trennend Die Zahl A G hei t Kantenzu sammenhangszahl F r Graphen G mit nur einem Knoten setzen wir A G 0 Falls A G gt k so nennen wir G k fach kantenzusammenh ngend kurz k kantenzusammenh ngend Eine Version des Menger schen Satzes besagt dass k kantenzusammenh ngend genau dann ist wenn jedes Paar s t s t von Knoten durch mindestens k kantendisjunkte s t Wege verbunden ist F r Graphen mit mindestens einem Knoten sind die Eigenschaften G ist zusam menh ngend G ist 1 kantenzusammenh ngend quivalent Analoge Konzepte kann man in Digraphen definieren Man benutzt hierbei den Zusatz stark um den gerichteten Zusammenhang zu kennzeichnen Wir sa gen dass ein Digraph D V A stark k zusammenh ngend bzw stark k bogenzusammenh ngend ist falls jedes Knotenpaar s t s Z t durch minde stens k knotendisjunkte bzw bogendisjunkte s t Wege verbunden ist Wir setzen K D max k D stark k zusammenh ngend und D max k D stark k bogenzusammenh ngend A D hei t die starke Zusam menhangszahl von D A D die starke Bogenzusammenhangszahl von D Ein Kante e von G hei t Br cke oder Isthmus falls G e mehr Komponenten
57. Zahl k hei t L nge der Ket te Anzahl der Kanten bzw B gen in W wobei einige Kanten B gen mehrfach auftreten k nnen und somit mehrfach gez hlt werden Falls in einem Digraphen alle B gen e der Kette W der Form vj 1 v also gleichgerichtet sind so nennt man W gerichtete Kette bzw vo u Kette Ist W vo 1 v1 x Uk eine Kette und sind 7 7 Indizes mit 0 lt 2 lt j lt k dann hei t die Kette vi i 41 er vj das v v Segment bzw v v Segment wenn W gerichtet ist von W Jede gerichtete Kante die zwei Knoten der Kette W mit einander verbindet die aber nicht Element von W ist heibt Diagonale oder Seh ne von W Gibt es in einem Graphen keine parallelen Kanten so ist eine Kette W bereits durch die Folge vo ihrer Knoten eindeutig festgelegt Desgleichen ist in einem Digraphen ohne parallele B gen eine gerichtete Kette durch die Knoten folge vo Ug bestimmt Zur Bezeichnungsvereinfachung werden wir daher h ufig von der Kette vo vi in einem Graphen bzw der gerichteten Ket te vo Up ein einem Digraphen sprechen obgleich bei parallelen Kanten B gen die benutzten Kanten B gen hiermit nicht eindeutig festgelegt sind Diese geringf gige Ungenauigkeit sollte aber keine Schwierigkeiten bereiten Ge legentlich interessiert man sich mehr f r die Kanten B gen einer Kette insbe sondere wenn diese ein Weg oder ein Kreis siehe unten ist In solc
58. auch Wissenschaftler aus der Physik den Ingenieurwissenschaften der Biologie und einigen anderen Bereichen die neue oder bekannte aber mit neuem Namen versehene Heuristiken erfinden h ufig auf Analogien zu physikalischem oder biologischem Vorgehen fuBend und die nicht selten k hne Behauptungen ber die Leistungsfahigkeit dieser Verfahren aufstellen Manches davon findet den Weg in die Tagespresse Ein sehr gutes Buch zum TSP ist der Sammelband Lawler et all 1985 welcher obwohl schon einige Jahre alt ausgezeichnete Information zum TSP enth lt Das Buch enth lt eine sorgf ltige Studie f r Heuristiken zur Bestimmung von unteren und oberen Schranken f r den Wert einer optimalen Tour Die zur Analyse der verschiedenen Verfahren benutzten TSP Beispiele fast alle aus der Praxis sind von G Reinelt elek tronisch verf gbar gemacht worden Diese Sammlung genannt TSPLIB ist inzwischen durch Hinzunahme sehr gro er Problembeispiele erheblich erweitert worden und unter der URL http www iwr uni heidelberg de iwr comopt software TSPLIB95 aufrufbar Sehr gute Informationen zum TSP u a Bilder der Weltrekorde d h der gr Dten exakt gel sten TSPs findet man auf der von D Applegate B Bixby V Chv tal und B Cook angelegten Webpage http www keck caam rice edu tsp Dieses Autorenteam hat derzeit den besten Code zur exakten L sung gro er TSPs Eine 194 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 weitere int
59. bisher bestimmten Mengen 77 in einem minimalen aufspan nenden Baum enthalten Gilt uv so sind wir fertig Ist uv T so enth lt TU uv einen Kreis Folglich muss es eine Kante rs T geben mit r Vi s V V Vi Aufgrund unserer Wahl in b gilt uv lt c rs Also ist T T rs U uv ebenfalls ein minimaler aufspannender Baum und der neue Baum T erf llt unsere Bedingungen Die Korrektheit des Algorithmus folgt aus dem Fall p n 1 Die Laufzeit des Algorithmus 4 12 h ngt nat rlich sehr stark von den Datenstrukturen ab die man zur Ausf hrung des Schrittes 2 implementiert Wir k nnen an dieser Stel le nicht ausf hrlich auf Implementierungstechniken eingehen und verweisen hierzu auf 1984 Vol 2 Kapitel IV Abschnitt 8 Hier wird gezeigt dass bei geeigneten Datenstrukturen eine Laufzeit von O nloglog m Schritten erreicht werden kann F r planare Graphen ergibt sich sogar eine O n Laufzeit Spanning Tree Algorithmen werden h ufig als Unterprogramme zur L sung von Travelling Salesman Problemen ben tigt Speziell ist hier eine Implementation dieser Algorithmen f r vollst ndige Graphen erforderlich Der nachfolgende Algorithmus l sst sich gerade f r diesen Fall vollst ndiger Graphen einfach implementieren und hat sowohl empirisch wie theoretisch g nstige Rechenzeiten aufzuweisen Dieses Verfahren das offensichtlich ebenfalls eine Spezialisierung von 4 12 ist wird h ufig PRIM Algorithmus ge
60. bzw 16 12 1994 Quelle Handelsblatt zwischen 6 wichtigen W hrungen aufgelistet Kann man mit diesen Kursen die angestrebte wunderbare Geldvermehrung bewerkstel ligen 184 MARTIN GR TSCHEL US sl SF 1000 Yen 10 FF US 518 SF 1000 Yen 10 FF 2 4372 1 5440 1 2053 15 6117 2 9265 0 4103 0 6335 0 4945 6 4056 1 2007 0 6477 1 5785 0 7806 10 1112 1 8954 SKRIPTUM ADM I SS 2003 0 8297 2 0221 1 2810 12 9525 2 4280 64 0544 156 1136 98 9000 71 2053 187 4526 Wechselkurse vom 16 09 1994 Handelsblatt 2 4552 1 5707 1 1822 15 6796 2 9006 0 4073 0 6399 0 4815 6 3864 1 1814 Tabelle 8 1 0 6365 1 5627 0 7524 9 9800 1 8462 0 8459 2 0768 1 3285 13 2635 2 4536 63 7770 156 5825 100 1800 75 3950 184 9903 Wechselkurse vom 16 12 1994 sl Handelsblatt 3 4171 8 3282 5 2760 4 1187 53 3468 3 4476 8 4644 5 4151 4 0756 54 0569 Tabelle 8 2 Wir machen zun chst einige zus tzliche Annahmen Wir gehen in unserem Beispiel da von aus dass der Umtausch kursneutral erfolgt dass also keine Geb hren anfallen Diese Annahme ist nat rlich nur f r Banken bzw Devisenh ndler erf llt falls berhaupt Da jedoch Geb hren i a proportial zur Umtauschsumme anfallen kann man diese durch Abschlage im Kurs auf direkte Weise ber cksichtigen Wir probieren nun eine Umtausch sequenz anhand der Tabellen 8 1 und 8 2 aus Diese ist in Abbildung 8 2 dargestellt Wi
61. dann ist der Wert der Greedy L sung mindestens halb so gro wie der Wert der Optimall sung von 5 6 Insbesondere liefert also der Greedy Algorithmus f r Bran chingprobleme L sungen deren Wert mindestens die H lfte des Optimums betr gt F r das Branching Problem haben wir in Kapitel 4 einen polynomialen L sungsalgo rithmus kennengelernt Es gibt also offenbar auch Probleme ber Unabh ngigkeitssy stemen die keine Matroide sind und f r die effiziente Optimierungsverfahren existieren Ein sehr tiefliegendes Resultat ist der folgende von und lLawled gefundene Satz 5 21 Satz Seien E 71 und 7 zwei Matroide gegeben durch Unabh ngigkeits orakel dann gibt es einen Algorithmus der f r jede beliebige Zielfunktion c das Problem I T T5 in orakelpolynomialer Zeit l st Der Algorithmus der den Beweis des obigen Satzes liefert ist relativ kompliziert und sein Korrektheitsbeweis ben tigt Hilfsmittel aus der Matroidtheorie die uns hier nicht zur Verf gung stehen Deshalb verzichten wir auf eine Angabe und Analyse dieses sehr interessanten Verfahrens Man fragt sich nun nat rlich sofort ob auch ber dem Durchschnitt von 3 Matroiden in orakel polynomialer Zeit optimiert werden kann Dies geht vermutlich i a nicht Man kann zeigen dass das Optimierungsproblem f r Unabh ngigkeitssysteme die Durch schnitte von 3 Matroiden sind Probleme enth lt die A P schwer sind z B das asym m
62. daraus folgt 0 0 2 9 1 1 w az z az Macar 2 a lt 0 Der Vektor 7 erf llt trivialerweise die Kapazit tsbedingungen 0 lt z a lt c a Wir zeigen nun dass z auch die Flu erhaltungsbedingungen f r alle v V erf llt TORO TONO Hex 42 aer Blan 22 2 Jaco v z a z a y a 2 z a Vacs v ma Vacst mU a acs v z a falls v V 5 1 val z falls v s val z val x val z falls v t 0 Daraus folgt dass z die Flu erhaltungsbedingungen erf llt und dass val Z 0 gilt Damit ist Behauptung 1 bewiesen Behauptung 2 Es gibt zul ssige s t Fliisse z1 k lt A so dass fol gendes gilt a a a fiir alle g 179 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 b F r jedes i 1 k gibt es einen gerichteten Kreis in N und eine positive Zahl so dass z a a f r alle a C und x 0 f r alle a A Cj Beweis Wir f hren eine Induktion ber die Anzahl p der B gen A mit z a 0 durch Ist p 0 so ist nichts zu zeigen Sei also p gt 1 und sei vo ein Knoten so dass ein Bogen vo v1 A existiert mit z vo v1 0 Da in v die Flusserhaltungsbedingung gilt muss es einen Bogen v1 v3 A geben mit Z v1 v2 0 Fahren wir so weiter fort so erhalten
63. dem Weiteren klar Seine Idee kann man wie folgt beschreiben Wir beginnen im Startknoten s markieren s und ordnen s die permanente Distanz Null L nge des k rzesten Weges von s zu sich selbst zu Alle brigen Knoten v seien un markiert und wir ordnen ihnen als tempor re Distanz L nge des k rzesten bisher gefundenen s v Weges entweder 00 oder die L nge des Bogens s v falls dieser in D existiert zu Der unmarkierte Knoten sagen wir u mit der kleinsten tempor ren Di stanz ist der Knoten der am n chsten zu s liegt Da alle Bogenl ngen nicht negativ sind ist der Bogen s u der k zeste Weg von s nach u Wir markieren daher u und erkl ren die tempor re Distanz von u als permanent weil wir den global k rzesten s u Weg gefunden haben Nun bestimmen wir alle Nachfolger v von u und vergleichen die tem por re Distanz von v mit der permanenten Distanz von u plus der L nge des Bogens u v Ist diese Summe kleiner als die bisherige tempor re Distanz wird sie die neue tempor re Distanz weil der bisher bekannte Weg von s nach v l nger ist als der Weg von s ber u nach v Wir w hlen nun wieder eine kleinste der tempor ren Distanzen erkl ren sie als permanent da der bisher gefundene Weg durch Umwege ber andere Knoten nicht verk rzt werden kann markieren den zugeh rigen Knoten und fahren so fort bis entwe der alle Knoten oder der gesuchte Endknoten t markiert sind Etwas formaler kann man diesen Algorithmus
64. die Menge aller minimalen Schnitte d h C 1 2 1 3 2 3 4 5 14 6 457 5 6 5 7 6 7 8 9 10 9 11 12 9 11 13 10 11 12 10 11 13 12 13 Das Basissystem B des graphischen Matroids des folgenden Graphen G V E siehe Abbildung 5 2 mit E 1 2 3 4 ist gegeben durch B 1 2 3 1 2 4 1 3 4 Abb 5 2 und das Basissystem B des cographischen Matroids bez glich G ist die folgende Anti kette BY 4 3 2 Das graphische Matroid des in Abbildung 5 3 dargestellten Graphen ist das uniforme Matroid U5 Uniforme Matroide k nnen also auch isomorph zu graphischen sein Das uniforme Matroid U ist jedoch nicht graphisch 108 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 5 3 Betrachten wir die Matrix zie 1 11 1 An 11 0 als Matrix ber dem K rper R oder Q Das Zirkuitsystem C des Matrix Matroids bez glich A ist offenbar gegeben durch C 1 2 3 2 3 4 11 4 und das Basissystem B des Matrix Matroids M ist B 111 2 11 3 2 3 2 4 3 4 Wir wollen nun noch einen einfachen aber interessanten Zusammenhang zwischen Un abh ngigkeitssystemen und Matroiden erw hnen 5 13 Satz Jedes Unabh ngigkeitssystem ist als Durchschnitt von Matroiden darstell bar d h ist Z ein Unabh ngigkeitssystem auf E dann gibt es Matroide T Z auf E mit Beweis Sei C das zu Z geh rige Zirkuitsystem Jedes Zirkuit
65. durch Kontraktion einer Kantenmenge F C E erh lt ist der Graph der durch sukzessive Kontraktion in beliebiger Reihenfolge der Kanten aus gewonnen wird Ist e eine Schlinge von G so sind G e und G e identisch Ein einfacher Graph hei t vollst ndig wenn jedes Paar seiner Knoten durch ei ne Kante verbunden ist Offenbar gibt es bis auf Isomorphie nur einen vollst ndigen Graphen mit n Knoten Dieser wird mit IK bezeichnet Ein Graph G dessen Knotenmenge V in zwei disjunkte nicht leere Teilmengen Vi V2 mit Vi U V2 V zerlegt werden kann so dass keine zwei Knoten in V und kei MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 ne zwei Knoten in V2 benachbart sind hei t bipartit oder paar Die Knoten mengen Vi V2 nennt man eine Bipartition oder 2 Farbung von Falls zu je zwei Knoten V und v V2 genau eine Kante uv enth lt so nennt man G vollstandig bipartit Den bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten vollst ndig bipartiten Graphen mit n bezeichnen wir mit Ist G ein Graph dann ist das Komplement G bezeichnet mit G der einfache Graph der dieselbe Knotenmenge wie G hat und bei dem zwei Knoten genau dann durch eine Kante verbunden sind wenn sie in G nicht benachbart sind Ist G einfach so gilt Der Kantengraph englisch line graph L G eines Graphen G ist der einfache Graph dessen Knotenmenge die Kantenmenge von G ist und bei dem zwei Knoten genau dann
66. einzige m gliche Antwort ist dass es eine Aufgabe 7 gibt mit Tj die noch nicht beendet ist Setzten wir nun 417 T so haben wir eine langere Kette von Aufgaben mit den gew nschten Eigenschaften Ein Widerspruch zur Maximalit t von k Sei nun w die gesamte Leerzeit der Maschine Mj f r 1 m dann gilt n m j l i l Sei t die Gesamtausf hrungszeit der Aufgaben T7 dann implizieren die beiden Eigenschaften der Kette T m K wi m 1 2 4 1 Die Leerzeiten fallen erst nach Beginn von an dann ist aber immer eine Maschine besch ftigt Also erhalten wir lt dM m 1 t mCoy m 1 Copt Leider ist kein zu Satz 11 10 analoges Resultat f r Probleme mit Reihenfolgebedingun gen bekannt Forschungsproblem Welche G tegarantie hat die LIST DECREASING Heuristik f r das Parallel Shop Problem mit Reihenfolgebedingungen 234 MARTIN GR TSCHEL 11 3 Das Packen von Kisten Bin Packing SKRIPTUM ADM I SS 2003 Das Problem das wir nun behandeln wollen ist in gewissem Sinne dual zum Parallel Shop Problem mit unabh ngigen Aufgaben Bei diesem haben wir Aufgaben und Ma schinen gegeben und suchen eine m glichst kurze Gesamtfertigstellungszeit Beim Bin Packing Problem hat man dagegen eine Anzahl von Aufgaben und eine sp teste Fertig stellungszeit vorgegeben Gesucht ist eine minimale Zahl von Maschinen um die Aufga ben in de
67. englisch sink Eine Funktion A gt R bzw ein Vektor x R hei t zul ssiger s t Flu wenn die folgenden beiden Bedingungen erf llt sind 7 1 0 55 lt f r alle a A Kapazit tsbedingungen La f raleveV s t Flu erhaltungsbedingungen a v v Ist x R ein zul ssiger s t Fluss dann hei t 7 3 val z gt Za da s ac s der Wert des s t Flusses Wir werden uns in diesem Abschnitt damit besch ftigen eine Charakterisierung des ma ximalen Wertes eines s t Flusses zu finden In den n chsten beiden Abschnitten werden wir Algorithmen zur Bestimmung eines maximalen Flusses angeben Wir erinnern daran dass ein s Schnitt in D eine Bogenmenge der Form 6 W VVW 53 c Wj VAWy mits W C V undt V W ist Die Kapazit t eines Schnittes AT W ist wie blich mit c W Daest w de finiert Aus der Rohrleitungsanwendung wird der Name Schnitt klar Durchschneiden wir alle Rohre irgendeines Schnittes d h entfernen wir alle Bogen eines s t Schnittes aus dem Digraphen dann kann kein Fluss mehr von s nach flie en Diese triviale Beobachtung liefert 146 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 7 4 Lemma a Seien s W t W dann gilt f r jeden zul ssigen s t Fluss x val r La Dies ac W ac W b Der maximale Wert eines zul ssigen s
68. enth lt d h wi lt c K Aus c K UL a lt wi folgt dass mindestens einer der aus K entfernten gerichteten Kreise eine negative L nge hat F r jeden Knoten dieses negativen Kreises muss folglich wi 0 gelten Daraus folgt die Behauptung Der FLOYD Algorithmus liefert also explizit einen Kreis negativer L nge falls ein sol cher existiert 6 11 Folgerung F r einen Digraphen D mit Bogengewichten der keine negativen ge richteten Kreise enth lt kann ein k rzester gerichteter Kreis in O n Schritten bestimmt werden Beweis Wir f hren den FLOYD Algorithmus aus Nach Beendigung des Verfahrens ist in wj 1 n die L nge eines k rzesten gerichteten Kreises der den Knoten i enth lt verzeichnet Wir w hlen einen Wert w der so klein wie m glich ist und re konstruieren aus der Matrix P wie oben angegeben den gerichteten Kreis der enth lt Dieser ist ein k rzester gerichteter Kreis in D Diese Nachbearbeitung erfordert le diglich O n Operationen also ist die worst case Komplexit t des FLOYD Algorithmus auch die Laufzeitschranke f r das Gesamtverfahren Wendet man Algorithmus 6 9 auf Entfernungstabellen in Stra enatlanten an so wird man feststellen dass es h ufig St dte 2 J k gibt mit cij lt Gx Die Entfernungen gen gen also nicht der Dreiecksungleichung Warum ist das wohl so 138 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 6 4 Min Max S tze und weitere Bemer
69. entspricht Wenn wir also Algorithmen betrachten wollen die Eigenschaften von Matroiden ber pr fen so gehen wir immer davon aus dass ein Matroid oder Unabh ngigkeitssystem durch die Grundmenge E und ein Orakel gegeben ist das im Verlaufe des Algorithmus befragt werden kann Bei der Komplexit tsanalyse von Algorithmen f r Matroide Un abh ngigkeitssysteme wird dann ein Orakelaufruf Unterprogrammaufruf als ein Schritt gez hlt Achtung Die Laufzeit beim Lesen der Antwort wird wie blich berechnet Gibt also ein Orakel eine Antwort die z B 2 Speicherpl tze ben tigt so hat der Algo rithmus automatisch eine exponentielle Laufzeit Bei den in 5 14 angegebenen Orakeln kommt so ein Fall allerdings nie vor Man nennt Verfahren die Orakel aufrufen k nnen Orakelalgorithmen Ist ihre Laufzeit in dem oben angegebenen Sinne polynomial in so sagt man dass die Verfahren orakelpolynomial sind Hat man einen Algorithmus dessen Laufzeit orakelpolynomial in E ist so ist der Algo rithmus f r alle die Matroide Unabh ngigkeitssysteme im blichen Sinne polynomial f r die das Orakel durch einen in E polynomialen Algorithmus realisiert werden kann Dies ist zum Beispiel f r Matrix Matroide der Fall Ein Unabh ngigkeitsorakel kann man bei einer gegebenen Matrix durch Rangbestimmung mit Gau Elimination realisieren analog die drei anderen Orakel Dies gilt auch f r graphische und cographische Ma troide die durch
70. f r den Graphen aus Abbildung 3 1 ist die folgende 4 6 1 2 2 3 4 3 3 2 2 2 1 3 Bei der Bogenliste eines Digraphen verfahren wir genauso wir m ssen jedoch darauf achten da ein Bogen immer zun chst durch seinen Anfangs und dann durch seinen Endknoten repr sentiert wird Abb 3 2 Eine Bogenliste des Digraphen aus Abbildung 3 2 ist 3 6 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 3 1 61 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Haben die Kanten oder B gen Gewichte so repr sentiert man eine Kante einen Bogen entweder durch Anfangsknoten Endknoten Gewicht oder macht eine Kanten bzw Bo genliste wie oben und h ngt an diese noch eine Liste mit den m Gewichten der Kanten 1 2 man Abb 3 3 Der gewichtete Graph aus Abbildung 3 3 ist in den beiden folgenden Kantenlisten mit Gewichten gespeichert 4 6 1 2 10 2 1 11 2 4 7 4 3 14 3 1 21 1 4 5 4 6 1 2 1 2 2 4 3 4 1 4 1 3 11 10 7 14 5 21 Der Speicheraufwand einer Kanten bzw Bogenliste betr gt 2 m 1 Speicherpl tze eine Liste mit Gewichten erfordert 3m 2 Speicherplatze Adjazenzmatrizen Ist G V E ein ungerichteter Graph mit V 1 2 n so ist die symmetrische n n Matrix A aij mit aji aj Anzahl der Kanten die i und j verbinden falls 1 Z j Qi 2 Anzahl der Schleifen die i enthalten 7 1 n die Adjazenzmatrix von G Aufgrund der Symmetrie kann man etwa die H lfte der Spei cherpl tze sparen Hat ein Graph keine Sc
71. fiir die Giitegarantie die mit polynomialem Aufwand nicht tiberwunden werden kann c Rmin I 0 d h das Optimum kann durch polynomiale Algorithmen beliebig approximiert werden Offensichtlich kann nur ein Problem mit Rmin II 0 ein PAS oder ein FPAS haben Zum Entwurf von PAS bzw FPAS f r ein Problem IT m ssen wir also zun chst die asymptotische G tegarantie kennen Hier gibt es vier Unterf lle c1 Es gibt ein PAS f r II Es gibt ein FPAS f r II Es gibt einen polynomialen Approximationsalgorithmus mit 0 c4 Es gibt einen polynomialen Approximationsalgorithmus mit Cop P lt f r ein festes K und alle P c II Eine solche Garantie nennt man auch Differenzgarantie Offensichtlich ist die beste aller G tegarantien die man erwarten darf durch c4 be schrieben Der Fall 10 6 a trifft auf das symmetrische Travelling Salesman Problem zu wie Satz 9 7 zeigt Wir wollen nun ein Problem einf hren eine bestm gliche Heuristik angeben und zeigen dass f r dieses Problem 10 6 b zutrifft Den Fall 10 6 c behandeln wir im n chsten Kapitel 219 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 10 7 Das k Zentrumsproblem Gegeben sei ein vollst ndiger Graph Kn V E mit Kantengewichten ce f r alle e E Gesucht ist eine Knotenmenge die Zentren S C V mit h chstens k Elementen so dass 6 in cj c S max miy Cij minimal ist Anwen
72. in den beiden vorangegangenen Abschnitten skizzierten Er ffnungs und Verbesse rungsheuristiken lassen sich auch sehr sch n am Beispiel des Knotenf rbungsproblems darstellen Hier ber wurde in der Vorlesung ein berblick gegeben aber nicht schriftlich ausgearbeitet Der berblick hat sich an dem bereits zitierten Aufsatz von 1991 orientiert sowie an dem bersichtsartikel von Culberson and Luo 1996 212 Literaturverzeichnis Aarts E and Lenstra J K 1997 Local Search in Combinatorial Optimization Wiley Chichester first edition Culberson J and Luo F 1996 Exploring the k colorable Landscape with Iterated Greedy In Johnson D S and Trick M A editors DIMACS Series in Discrete Ma thematics and Theoretical Computer Science volume 26 pages 245 284 und Kapitel 5 des Buches West 1996 American Mathematical Society Providence Johnson D S Aragon C R McGeoch L A and Schevon C 1989 Optimizati on by Simulated Annealing An Experimental Evaluation Part I Graph Partitioning Operations Research 37 865 892 Johnson D S Aragon C R McGeoch L A and Schevon C 1991 Optimization by Simulated Annealing An Experimental Evaluation Part II Graph Coloring and Number Partitioning Operations Research 39 3 378 406 Johnson D S and Papadimitriou C H 1985 Performance guarantees for heuristics In Lawler E L Lenstra J K Kan A R and Shmoys D editors T
73. ist so gilt cf gt n 14 M n 1 en 2 gt lt e n Sei nun Tg die von der Heuristik gefundene L sung und sei hamiltonsch so gilt Top n lt e Tg 1 c Zopt 1 n Da aber f r jede Tour die kein Hamiltonkreis in ist c T gt 1 e n gilt muss ein hamiltonscher Kreis in G sein d h wir k nnen einen hamiltonschen Kreis in G in polynomialer Zeit finden Die Situation des Satzes 9 8 trifft leider auf relativ viele kombinatorische Optimierungs probleme zu Das hei t man kann in polynomialer Zeit nicht einmal eine feste Fehler schranke garantieren Ein Ausweg bleibt allerdings Falls praktische Probleme vorliegen sollte man versuchen spezielle Strukturen zu finden und diese auszunutzen F r die Theo rie hei t das man muss Spezialf lle des Problems bestimmen f r die G tegarantien be wiesen werden k nnen und die m glichst die praxisrelevanten Beispiele umfassen 202 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beim TSP ist der folgende Spezialfall von besonderer Praxisbedeutung Wir nennen ein symmetrisches TSP metrisch wenn f r die Entfernungen die Dreiecksungleichung gilt wenn also f r alle Tripel z 7 k von Knoten gilt Cik Cig Bei Maschinensteuerungsproblemen z B Bohren von L chern in Leiterplatten und bei geographischen Problemen ist die Dreiecksungleichung erf llt Das gilt jedoch h ufig nicht f r Entfernungstabellen in Stra enatlanten F r euklidische
74. man bei einer Adjazenzliste die Nachbarliste von 7 oder 7 durchlaufen und somit Grad von 2 im schlechtesten Fall also n 1 Abfragen durchf hren muss F r d nn besetzte Graphen ist die Speicherung in einer Adjazenzmatrix i a zu aufwendig Es wird zu viel Platz vergeudet Au erdem braucht fast jeder Algorithmus der f r Ad jazenzmatrizen konzipiert ist mindestens O n Schritte da er ja jedes Element von A mindestens einmal anschauen muss um zu wissen ob die zugeh rige Kante im Graphen ist oder nicht Mit Hilfe von Adjazenzlisten kann man dagegen d nn besetzte Graphen in der Regel sehr viel effizienter bearbeiten Das Buch Aho Hopcroft amp Ullman 1974 informiert sehr ausf hrlich ber dieses Thema Wir wollen hier als Beispiel nur einen einzigen einfachen aber vielseitig und h ufig anwendbaren Algorithmus zur Untersuchung von Graphen erw hnen das Depth First Search Verfahren kurz DFS Verfahren bzw auf deutsch Tiefensuche Wir nehmen an dass ein Graph G V E gegeben ist und alle Knoten unmarkiert sind Alle Kanten seien unbenutzt Wir w hlen einen Startknoten sagen wir v und markieren ihn Dann w hlen wir eine Kante die mit v inzidiert sagen wir vw gehen zu w und markieren w Die Kante vw ist nun benutzt worden Allgemein verfahren wir wie folgt Ist x der letzte von uns markierte Knoten dann versuchen wir eine mit x inzidente Kante zy zu finden die noch nicht benutzt wurde Ist y markiert so suchen wir
75. man durch Entfernen oder Subtrahieren aller Knoten in W und aller Kanten mit mindestens einem Endknoten in W gewinnt G W G V W hei t der von W induzierte Untergraph von G Es gilt also GIW W E W F r F E ist G F V E F der Graph den man durch Entfernen oder Subtrahieren der Kantenmenge F enth lt Statt G f schreiben wir G f analog schreiben wir G statt G w f r w V Ein Untergraph W F von G V E hei t aufspannend falls V W gilt Ist G V E ein Graph und W C V eine Knotenmenge so bezeichnen wir mit G W den Graphen der durch Kontraktion der Knotenmenge W entsteht Das hei t die Knotenmenge von G W besteht aus den Knoten V W und einem neuen Knoten der die Knotenmenge W ersetzt Die Kantenmenge von G W enth lt alle Kanten von die mit keinem Knoten aus W inzidieren und alle Kanten die genau einen Endknoten in W haben aber dieser Endknoten wird durch ersetzt also k nnen viele parallele Kanten entstehen Keine der Kanten von G die in E W liegen geh rt zu G W Falls e uv E und falls G keine zu e parallele Kante enth lt dann ist der Graph der durch Kontraktion der Kante e entsteht Bezeichnung G e der Graph G u v Falls G zu e parallele Kanten enth lt so erh lt man G e aus G u v durch Addition von so vielen Schlingen die den neuen Knoten w enthalten wie es Kanten in parallel zu e gibt Der Graph G F den man
76. mit ou gt po max 21 axe 1 Lon lt a 11 29 0 1 Es gilt cop o und CGgreedy 1 also Copt CGgredy _ Q 1 1 Copt OH Beweis b Gilt nach Ausf hrung des Gewichtsdichten Greedyalgorithmus CGgreedy gt 5 so sind wir fertig Andernfalls sei ck maz cj j 1 n und mit 12 7 a gilt dann T Copt gt CGgreedy gt Copt Ck WOTAUS Cy gt folgt F r den Wert CGgreedy des Zielfunktions Greedyalgorithmus gilt trivialerweise CGgreedy Daraus ergibt sich die Behauptung 254 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 F r praktische Anwendungen sind die in der nachfolgenden Bemerkung angegebenen Schranken sicherlich auch recht interessant Bevor wir uns dem Entwurf eines FPAS f r das 0 1 Knapsack Problem zuwenden wol len wir zun chst ein PAS f r das Subset Sum Problem darstellen das besonders einfach ist und das eine der wesentlichen Ideen zur Konstruktion solcher Algorithmen deutlich macht n mlich die Kombination von teilweiser Enumeration und dem Greedy Algorithmus 12 9 Ein PAS f r das Subset Sum Problem Input a Z4 j 1 n b Z4 lt lt 1 gew nschter Approxima tionsgrad Output Zul ssige L sung x von n max diti j 1 SSP 2 lt b j l zj 0 1 j 1 n so dass a z gt 1 e a x ist wobei x eine Optimall sung ist 1 1 Setze K EI p 2 Teile die Indexmenge N 1 n in
77. ngen polynomial in der Inputl nge von P sind Folglich ist auch Schritt 3 polynomial in der Inputl nge von P Wir k nnen o B d A annehmen dass die Zielfunktion ganzzahlig ist Somit sind auch die Werte der optimalen L sungen und der durch B erzeugten L sung ganzzahlig Wir zeigen nun dass cop cA P gilt Ist II ein Maximierungsproblem so gilt cA gt 5Copt P gt 2cA P 1 gt copt P cag P gt 1 1 sector cone P gt 1 zt cove P Copt 1 Da c4 P ganzzahlig und echt gr er als Copt 1 ist folgt c4 P Copt P Ist II ein Minimierungsproblem so erhalten wir Copt P lt P 1 gt gt d PH 217 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Cop P lt c P lt 1 1 P lt 1 sp er eos P Copt P 1 E Aufgrund der Ganzzahligkeit folgt daraus die Behauptung In einem gewissen Sinne ist also ein FPAS das beste was man als appoximatives Verfah ren f r ein NP vollst ndiges Problem erwarten kann Wir f hren nun weitere Mafzahlen ein die im Zusammenhang mit der Analyse appro ximativer Algorithmen interessant sind Die Definition dieser Zahlen ist in der Literatur nicht einheitlich Wir hatten in 10 1 a die Gr e Ica P Copt P Ra P con CP definiert Wir setzen nun 10 4 Definition Sei II ein Optimierungsproblem a b Ist A ein approximativer Algori
78. r alle schwierigen Optimierungsprobleme m glich ist ein polynomiales bzw voll polynomiales AS zu entwickeln Wir werden dies im folgenden theoretisch untersuchen 216 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Man beachte dass ein FPAS nicht polynomial im Gesamtinput ist Nach Definition ist es zwar polynomial in der Inputlange von P II und in 2 jedoch ben tigt man zur Darstellung der rationalen Zahl e A bzw 1 nur amp log log q und nicht p q Speicherplatze 10 3 Satz Sei II ein kombinatorisches Optimierungsproblem Gibt es fiir II ein FPAS das auch polynomial in ist so gibt es einen polynomialen Algorithmus zur L sung aller Problembeispiele in II Beweis Gibt es berhaupt ein FPAS sagen wir A so sind die Kodierungsl ngen sowohl des Wertes der L sung c4 P von A als auch des Optimalwertes copt P polynomial in der Inputl nge von P Ist A polynomial in so k nnen wir einen polynomialen Algorithmus B f r II wie folgt konstruieren 1 Setze 2 und wende A auf P II an Wir erhalten einen Wert 2 Setze im Maximierungsfall ze im Minimierungsfall Sr 3 Wende A auf P mit Genauigkeitsparameter an Wir erhalten eine L sung P Sei B der durch 1 2 und 3 beschriebene Algorithmus so ist die Laufzeit von B offen sichtlich polynomial in der Inputl nge von P denn e 5 ist eine Konstante somit sind CA und Gr en deren Kodierungsl
79. s Schnitte Sei nun d die L nge eines k rzesten Weges und sei Vj 7 1 d die Menge der Knoten v V die von s aus auf einen Weg der L nge kleiner als erreicht werden k nnen Dann sind die Schnitte AT V genau d bogendisjunkte s t Schnitte Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes auf gewichtete Digraphen ist das folgende Resultat 6 13 Satz Seien D V A ein Digraph s t V und c a 24 f r alle a A Dann ist die k rzeste Lange eines s t Weges gleich der maximalen Anzahl k von nicht notwendig verschiedenen s t Schnitten c1 so dass jeder Bogen a A in h chstens c a Schnitten c liegt 139 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beweis Sei P ein s t Weg und seien c c s t Schnitte wie im Satz gefordert dann gilt k k c a gt M Anzahl von i mita A lin P M3 1 i l acP acP 1 1 Also ist das Minimum nicht kleiner als das Maximum W hlen wir die s t Schnitte c 5 V mit V Menge der Knoten aus V die h chstens die Entfernung 1 von s haben i 1 d dann sehen wir dass Gleichheit gilt K rzeste Wege in ungerichteten Graphen Transformieren wir einen ungerichteten Graphen G in einen gerichteten Graphen D in dem wir jeder Kante ij die beiden B gen 2 7 und 7 7 mit demGewicht von ij zuord nen so k nnen wir nat rlich durch Anwendung unserer Verfahren auf D auch k rzeste We
80. t Fluss x in D mit Wert f hat genau dann minimale Ko sten wenn es bez glich x keinen augmentierenden Kreis mit negativen Kosten gibt Beweis Wir beweisen zun chst nur die triviale Richtung Lemma 8 6 beweist die R ckrichtung Gibt es einen augmentierenden Kreis C bez glich x so setzen wir 8 3 xi i j C Vorw rtsbogen min Tij i j C R ckw rtsbogen Definieren wir xij te falls i j C Vorw rtsbogen 8 4 T 4 zij e falls i j C R ckw rtsbogen Tij falls 4 3 ANC dann ist x R trivialerweise ein zul ssiger s t Fluss mit Wert val x f Hat der augmentierende Kreis C negative Kosten lt 0 dann gilt offenbar wae wijzi 296 HEN Gibt es also einen augmentierenden Kreis bez glich x mit negativen Kosten dann kann z nicht kostenminimal sein Um die umgekehrte Richtung zu beweisen m ssen wir etwas mehr Aufwand treiben den wir allerdings direkt bei der Darstellung des Algorithmus benutzen k nnen Ist x ein zul ssiger s t Fluss mit Wert f dann definieren wir einen Digraphen genannt aug mentierendes Netzwerk bez glich N V w wie folgt Es sei Ai a E A za lt ca Ag v u u v A und zw gt 0 Ist a A so schreiben wir bzw ag um den zugeh rigen Bogen aus A bzw A zu bezeichnen Schreiben wir f r a A eine Formel wie etwa x a x a T a z a2 und ist einer de
81. tskri teriums Es muss algorithmisch einfach sein aus Rechenzeitgr nden die lokalen Optima zu bestimmen Zum anderen soll gew hrleistet sein dass das lokale Kriterium zu einer guten L sung im Sinne der globalen Zielfunktion f hrt Beim Greedy Algorithmus be stand die Strategie darin lokal das bez glich des Gewichtes bestm gliche Element zu w hlen und wie Satz 5 18 zeigt f hrt man damit bei Maximierungsproblemen nicht allzu schlecht Bei Minimierungsaufgaben lie sich jedoch keine G tegarantie finden 9 5 Er ffnungsverfahren f r das symmetrische TSP Gegeben sei ein vollst ndiger Graph Kp V E n gt 3 mit Kantenl ngen cij f r 197 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 alleij E a 1 2 3 b N chster Nachbar NN W hle irgendeinen Knoten i V markiere i und setze T p i Sind alle Knoten markiert setze T T U ip und STOP T ist eine Tour Bestimme einen unmarkierten Knoten 7 so dass Cpj min cy k unmarkiert Setze T T U pj markiere j setze p j und gehe zu 2 NEAREST INSERT NI 1 W hle irgendeinen Kreis C der Lange drei 2 Ist V V C 0 STOP ist eine Tour 3 Bestimme einen Knoten p V V V C so dass ein Knoten q V C existiert mit d e Cpg min min e j V C ie V V C Bestimme eine Kante uv C mit Cup Go Cuv MIN Cip c5 ij Setze C
82. u Weges Da ein s v 1 Weg entweder von s direkt nach v 4 1 f hrt das Gewicht dieses Weges ist in DIST v 1 gespeichert oder zun chst zu Zwischenknoten u im Intervall s lt u lt v und dann auf einen Bogen nach v 1 f hrt ist also die Lange des k rzesten s v 1 Weges gegeben durch das Minimum der folgenden beiden Werte c s v 1 DIST v 1 L nge des k rzesten s u Weges c u v 1 DIST u c u v 1 Dieses Minimum wird offenbar bei Ausf hrung der Schleife 3 f r v 1 berechnet Daraus folgt die Behauptung Da das Verfahren 6 4 im wesentlichen aus zwei Schleifen besteht die beide ber maxi mal n 2 Indizes laufen ist die Laufzeit des Verfahrens O n Wir geben nun den MOORE BELLMAN Algorithmus f r beliebige Digraphen in zwei verschiedenen Varianten an 132 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 6 6 MOORE BELLMAN Algorithmus Input Digraph D V A Gewichte c a f r alle a k nnen auch negativ sein ein Knoten s V Output F r jeden Knoten v V ein k rzester s v Weg und seine L nge Korrektheit des Output ist nur dann garantiert wenn D keinen negativen Kreis enth lt Datenstrukturen DIST v VOR v f r alle v V wie in 6 1 1 Setze DIST s 0 DIST v Vv V 5 VOR v s Vv V YEN VARIANTE Wir nehmen hier zur Vereinfachung der Darstellung o B d A an dass V 1 n und s 1 gilt 2 D
83. und die Zielfunktion c definiert ist werden wir kurz von einem kombinatorischen Op timierungsproblem 2 c sprechen Die Zielfunktion haben wir durch Formulierung 2 2 bereits sehr speziell struk turiert Aber Problem 2 2 ist algorithmisch immer noch irrelevant falls wir eine explizite Angabe von Z unterstellen Wir werden nachfolgend und im Verlaufe der Vorlesung noch sehr viel mehr Beispiele des Typs 2 2 kennenlernen Fast alle der dort auftretenden zul ssigen Mengen lassen sich auf folgende Weise cha rakterisieren T I C E I hat Eigenschaft II Wir werden uns damit besch ftigen welche Charakteristika die Eigenschaft II haben muss damit die zugeh rigen Probleme E Z c auf einfache Weise gel st werden k nnen Nehmen wir an dass E insgesamt n Elemente enth lt dann f hrt nat rlich jede Eigenschaft II die impliziert dass Z relativ zu n nur sehr wenige Elemente enth lt dazu dass E Z c einfach l sbar ist Typischerweise haben je doch die interessanten kombinatorischen Optimierungsprobleme eine Anzahl von L sungen die exponentiell in n ist etwa n oder 2 Eine vollst ndige Enumerati 24 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 on der Elemente solcher Mengen ist offenbar auch auf den gr ten Rechnern f r z B n gt 40 nicht in vern nftiger Zeit durchf hrbar Das Ziel der kombinatori schen Optimierung besteht kurz und vereinfachend gesagt darin Algorith men zu entwe
84. von 4 nach 2 zur ckgehen und unsere gerichtete Kette von 1 nach 2 nach 3 nach 4 und wieder zu 2 hat eine geringere Lange als der direkte Weg von 1 nach 2 Der Grund f r diese Wegverk rzung liegt darin dass wir einen Kreis hier den Kreis 2 3 4 entdeckt haben dessen Gesamtl nge negativ ist Laufen wir nun noch einmal durch diesen Kreis so k nnen wir die Wegl nge noch weiter verk rzen d h unser Verfahren wird eine immer kleinere Wegl nge produzieren und nicht enden Nennen wir einen gerichteten Kreis C negativ wenn sein Gewicht c C negativ ist so zeigt die obige berlegung dass negative Kreise in einem Digraphen zum Scheitern des Verfahrens f hren Hat ein Digraph berhaupt keinen gerichteten Kreis ist er also azyklisch so gibt es insbesondere keine negativen Kreise und das MOORE BELLMAN Verfahren funktioniert 6 4 MOORE BELLMAN Algorithmus f r azyklische Digraphen Input Azyklischer Digraph D V A Gewichte c a f r alle a A beliebige negative Gewichte sind zugelassen ein Knoten s V Output F r jeden Knoten v V ein k rzester s v Weg und seine Lange Datenstrukturen DIST v VOR v f r alle v V O B d A nehmen wir an dass V 1 2 n gilt und alle B gen die Form u v mit u lt v haben l Setze 0 ful DIST v 4 00 falls s Z v und s v GA c s v andernfalls VOR v s 131 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 2 DOv s 2TOn 3 DO
85. zeigen beginnen wir mit einem Hilfssatz 230 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Copt 11 9 Lemma Gilt t gt t gt gt 3 dann ist Copt Beweis Offenbar bearbeitet im optimalen Belegungsplan jede Maschine h chstens zwei Aufgaben andernfalls gilt 34 gt Copt Zur Vereinfachung der Beweisf hrung f hren wir 2m n Aufgaben mit Bearbeitungszeit Null ein so dass jede Maschine 2 Aufgaben erledigt wobei wir die Bearbeitungsdauern der Aufgaben auf M mit a und b bezeichnen wollen und a gt b gelten soll Also gilt gt 2 gt gt gt b1 Am gt bm Daraus folgt nat rlich a t Falls a t fir 1 k 1 aber lt tk dann gilt nat rlich t b f r ein lt k 1 denn tj gt ag gt gt Gm und aj gt b f r j k n Tauschen wir nun b und aus so erhalten wir wiederum einen optimalen Belegungsplan denn Copt gt aj bi gt aj gt bi by Nach h chstens m Austauschoperationen dieser Art erhalten wir einen optimalen Belegungsplan mit a 15 Am tm Analog k nnen wir durch Austauschen erreichen dass in einer optimalen L sung bm tm 1 Den 1 tm 2 b1 tam gilt Dies ist aber eine L sung die LD liefert und wir sind fertig 11 10 Satz lt 4 Copt s Beweis Angenommen die Behauptung stimmt nicht dann gibt es ein Gegenbeispiel mit kleinstm glichem n
86. 0 m a z a fi Beim klassischen Maximalflufproblem gilt m a 1 fiir alle a A woraus fs fi folgt hier jedoch gilt i a fs Z f Der Betrag f f wird blicherweise Verlust des Flusses x genannt Es gibt nun verschiedene Optimierungsfragen Z B kann man bei gegebenem Wert fs den Wert f maximieren oder bei gegebenem Wert f den Wert f minimieren oder ft fs maximieren Analog kann man nat rlich auch bei gegebenen Kostenkoeffizienten w a f r alle a einen kostenminimalen Fluss bestimmen wobei entweder f oder f vorgegeben sind Ist letzteres der Fall so erhalten wir ein LP der folgenden Form min 4w a z a 2 aeos v t a m a x a 0 lt za lt c a f rallea c A 0 V s t f falls v t Ein interesantes Devisenspekulationsproblem l t sich als Anwendung des Maximalfluss problems mit Flussmultiplikatoren betrachten Wir wollen auf dem Devisenmarkt W hrun gen ineinander umtauschen und dabei einen Gewinn erzielen Unser Plan ist der fol gende Wir starten mit einer noch zu bestimmenden Summe an DM tauschen diese in Fremdw hrungen um diese m glicherweise mehrmals weiter um und zum Schluss tau schen wir alles wieder in DM zur ck Von Ihren Urlaubsreisen wissen Sie vermutlich dass Sie dabei fast immer Geld verlieren Vielleicht aber kann man es mit Mathematik et was besser machen In den Tabellen 8 1 und 8 2 sind die Umtauschkurse vom 16 09 1994
87. 003 222 Literaturverzeichnis Hochbaum D S and B Shmoys D 1985 A best possible heuristic for the k center problem Mathematics of Operations Research 10 180 184 Hsu W L and Nemhauser G L 1979 Easy and hard bottleneck location problems Discrete Applied Mathematics 1 209 216 223 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 224 Kapitel 11 Weitere Heuristiken Wir besch ftigen uns in diesem Kapitel vornehmlich mit schwierigen d h NP vollst ndi gen kombinatorischen Optimierungsproblemen Da wenn man der Komplexit tstheo rie glauben darf wohl niemals effiziente L sungsverfahren f r derartige Probleme ge funden werden d rften ist es besonders wichtig Algorithmen zu entwerfen die zul ssige L sungen generieren deren Werte nahe beim Optimalwert liegen und die in der Pra xis schnell arbeiten Verfahren die zul ssige aber nicht notwendig optimale L sungen liefern nennt man Heuristiken gelegentlich spricht man auch von Approximationsver fahren besonders dann wenn man genaue Informationen ber die Qualit t der L sungen hat die das Verfahren produziert In diesem Kapitel wollen wir relativ unsystematisch einige Beispiele f r Heuristiken angeben und sie analysieren Hierbei soll die Technik der Analyse von Heuristiken ge bt werden und gleichzeitig werden auch einige weitere kombinatorische Optimierungsprobleme vorgestellt Heuristiken liefern bei Maximierungsproblemen bzw M
88. 1 6 6 5 5 wi 6 w1 1 6 5 5 w1 Man beachte hier dass der Bogen w2 1 dem Bogen w 1 1 entspricht 4 2 Der Bogen b 5 w1 A entspricht dem Bogen 5 wo also hat a 1 4 wo Ci denselben Endknoten wie b By B3U CiMai wo 1 6 5 5 wo 4 wo wo 4 JW 4 wo wo 1 6 5 5 wo wo 4 i 1 Der Bogen b 5 wo Bi A entspricht dem Bogen 5 7 also haben ao 3 7 Co und b denselben Endknoten Bo Bi U Co 2 1 3 7 2 1 6 5 5 7 7 4 i 0 STOP Bo ist optimal U 2 3 3 7 7 2 Die Phase II des Aufblasens stellen wir noch einmal graphisch in Abbildung 4 8 dar Das optimale Branching B hat das Gewicht 2 3 4 5 4 10 28 90 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 4 8 4 19 Beispiel Wir betrachten den in Abbildung 4 9 dargestellten Digraphen mit den eingezeichneten Bogengewichten Wir durchlaufen den Branching Algorithmus nicht mehr so explizit wie im vorangegangenen Beispiel sondern stellen nur noch die Schrump fungsphasen graphisch dar 474 1 20 Abb 4 9 oo w Wir w hlen in Schritt 3 nacheinander die Knoten 1 2 3 und erhalten den gerichteten Kreis Co 1 2 3 mit der Knotenmenge Wo 1 2 3 die zu einem neuen Knoten wo wie in Abbildung 4 10 geze
89. 3 Ist G ein Graph der 2 erf llt so gilt nach Voraussetzung E V 1 und nach Lemma 4 2 2 E 3 deg v Der Durchschnittsgrad deg v V der Knoten ist damit kleiner als 2 In G gibt es daher einen Knoten mit Grad 1 Wir beweisen die Aussage durch Induktion Sie ist offensichtlich korrekt f r V 2 Wir nehmen an dass sie f r alle Graphen gilt mit h chstens n gt 2 Knoten und w hlen einen Graphen G mit n 1 Knoten G enth lt dann wie gerade gezeigt einen Knoten v mit deg v 1 hat n Knoten und n 1 Kanten und enth lt keinen Kreis Nach Indukti onsannahme ist dann v zusammenh ngend Dann aber ist auch G zusammenh ngend 3 gt 4 Angenommen G enth lt einen Kreis Sei e eine Kante des Kreises dann ist G e zusammenh ngend und hat n 2 Kanten Dies widerspricht Lemma 4 3 Eine Kante e eines Graphen G die die Eigenschaft besitzt dass G e unzusammenh ngend ist hei t Br cke Satz 4 4 7 zeigt insbesondere dass G ein Baum genau dann ist wenn jede Kante von G eine Br cke ist Folgerung 4 5 a Ein Graph ist zusammenh ngend genau dann wenn er einen aufspannenden Baum enth lt b Sei G V E ein Wald und sei p die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von dann gilt E V p Die hier bewiesenen Eigenschaften kann man auf analoge Weise auch auf gerichtete B ume und W lder bertragen Wir geben hier nur die Resultate an u
90. 5 100 c 4 wo 1 4 wo 2 3 3 2 x N In D ist Knoten 1 markiert B w 1 Abb 4 6 Wir w hlen Knoten 5 b 6 5 B w 1 6 5 wir markieren 5 Wir w hlen Knoten 6 b w1 6 88 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 10 B w1 1 6 5 wi 6 wir markieren 6 Wir w hlen Knoten w1 b 5 B2 U 5 w enth lt den Kreis Ca w1 6 5 mit Wo w1 5 6 Der neue Digraph V3 mit V3 1 wa ist in Abbildung 4 7 darge stellt y 2 1 3 is Ka Abb 4 7 In Ds ist Knoten 1 markiert w 1 Wir w hlen Knoten wa b 1 w2 B3 U 1 enth lt den Kreis 1 w2 wa 1 mit 1 w2 und 9 Der neue Digraph D4 V4 A4 besteht aus nur einem unmarkierten Kno ten und enth lt keine B gen t Boe Wir w hlen Knoten w3 Wir markieren 4 3 89 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 2 Alle Knoten sind markiert Wir beginnen nun mit Phase II der Rekonstruktion des optimalen Branching von D aus den Branchings Bj i 4 3 2 1 0 11 12 11 12 11 12 13 11 12 13 11 i 4 ist Wurzel des leeren Branchings B4 Bs B4 U Cs bi 1 00 KL w2 we 1 NV 1 ons D 5 3 wa ist Wurzel von B3 By B3 U C2 b2 w1 1 U w
91. 5 9 EPS EI 2 2 7 7 6 W s 2 4 5 1 3 U 5 1 3 VOR 4 ts 2 4 y EPS 2 3 2 2 2 7 3 4 Wir w hlen 5 U U 1 3 5 6 7 3 4 Wir w hlen 1 0 U 3 5 6 7 3 4 Wir w hlen 3 U U 5 W s 2 4 5 1 3 U VOR 4 s 4 2 4 43 EP 2 3 2 2 2 2 ies 6 T A 3 4 Wir w hlen 6 0 0 5 W s 2 4 5 1 3 6 7 U 7 VOR 4 s 4 2 4 3 6 EPS 2 3 2 2 2 2 2 6 7 3 154 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 4 Wir w hlen 7 0 U 0 5 W 5 2 4 5 1 3 6 7 t U t VOR ds 4 2 44 3 4 6 7 EPS 2 3 2 2 2 2 2 2 6 Hier wird noch 8 markiert das ist aber irrelevant da t bereits markiert ist 7 0 W 8 Es gilt VOR t 7 VOR 7 6 VOR 6 3 VOR 3 4 VOR 4 2 VOR 2 s also ist der augmentierende Weg mit EPS t 2 der folgende s 2 4 2 3 4 3 6 6 7 7 t Der neue Fluss ist in Abbildung 7 3 dargestellt Dieser s t Fluss ist maximal ein s t Schnitt minimaler Kapazit t ist 5 Us 2 ein anderer 6 5 1 2 3 4 5 7 3 Der Dinic Malhorta Kumar Maheshwari Algo rithmus In diesem Abschnitt beschreiben wir einen Algorithmus zur L sung des Maximalfluss problems dessen Grundger st auf
92. 50er Jahre des 19 Jahrhunderts mit Wege Problemen besch ftigt und sich besonders daf r interessiert wie man auf dem Dodekaedergraphen siehe Abbildung 2 3 Kreise findet die alle Knoten durchlaufen heute hamiltonsche Kreise genannt und die noch gewissen Zusatzanforderungen gen gen Er fand diese Aufgabe so spannend dass er sie als Spiel vermarktet hat offenbar nicht sonderlich erfolg reich Ein Exemplar dieses Abb 2 3 26 Spiels mit dem Namen The Icosian Game befindet sich noch in der Bibliothek des Trinity College in Dublin Irland siehe Abbildung 2 4 Die Aufgabe in MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 2 4 einem Graphen einen Hamiltonkreis zu finden sieht so hnlich aus wie das Pro blem eine Eulertour zu bestimmen Sie ist aber viel schwieriger Das hamilto nische Graphen Problem hat sich sp ter zum Travelling Salesman Problem ent wickelt Historische Bemerkungen hierzu findet man u a in Hoffman and Wolfd 1985 1985 2 6 F rbung von Landkarten Nach 1984 der die Entwicklung der Graphentheorie anhand der vielf ltigen Versuche das 4 Farben Problem zu l sen darstellt begann die mathematische Besch ftigung mit dem F rbungsproblem im Jahre 1852 mit einem Brief von Augustus de Morgan an William Hamilton Em Student fragte mich heute ob es stimmt dass die L nder jeder Karte stets mit h chstens 4 Farben gef rbt werden k nnen unter der Ma gabe dass angren zende L nde
93. 997 edition Ebert J 1981 Effiziente Graphenalgorithmen Akademische Verlagsgesell schaft Wiesbaden Golombic M C 1980 Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs Acade mic Press New York Gr tschel M and Lov sz L 1995 Combinatorial Optimization In Graham R L Gr tschel M and Lov sz L editors Handbook of Combinatorics Vo lume II pages 1541 1597 Elsevier North Holland 21 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Halin R 1989 Graphentheorie Akademie Verlag Berlin 2 edition H ssig 1979 Graphentheoretische Methoden des Operations Research Teubner Verlag Stuttgart Jungnickel D 1994 Graphen Netzwerke und Algorithmen BI Wissenschafts verlag Mannheim 3 auflage edition K nig D 1936 Theorie der endlichen und unendlichen Graphen Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig mehrfach auf deutsch und in englischer berset zung nachgedruckt Korte B and Vygen J 2002 Combinatorial Optimization Theory and Algo rithms volume 21 of Algorithms and Combinatorics Springer Berlin second edition Oxley J G 1992 Matroid Theory Oxford University Press Oxford Sachs 1970 Einf hrung in die Theorie der endlichen Graphen Teubner Leipzig 1970 und Hanser M nchen 1971 Schrijver A 2003 Combinatorial Optimization Polyhedra and Efficiency Springer Verlag Berlin Wagner K 1970 Graphentheorie BI Wissenschaftsverlag Man
94. Betrachten wir als Beispiel das TSP Entscheidungsproblem und nehmen wir an da alle Problembeispiele durch ganzzahlige Entfernungen zwi schen den St dten gegeben sind Seien s und t die kleinste bzw gr te Zahl die als Entfernung vorkommt Da jede Rundreise n Kanten enth lt ist keine Rund reise k rzer als ns und keine l nger als nt Wir fragen nun den Algorithmus zur L sung des Ion ob es eine Rundreise gibt deren L nge nt s nicht gr er als 5 ist Ist das so fragen wir ob es eine Rundreise gibt de ren Lange h chstens ners ist andernfalls fragen wir ob es eine Rundreise gibt 58 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 mit Lange h chstens Sn e Wir fahren auf diese Weise fort bis wir das Inter vall ganzer Zahlen die als m gliche Lange einer k rzesten Rundreise in Frage kommen auf eine einzige Zahl reduziert haben Diese Zahl mu dann die L nge der k rzesten Rundreise sein Insgesamt haben wir zur L sung des Optimierungs problems das zugeh rige TSP Entscheidungsproblem log n t s 1 mal aufgerufen also eine polynomiale Anzahl von Aufrufen eines Algorithmus vor genommen Dieser Algorithmus findet also in polynomialer Zeit die Lange einer k rzesten Rundreise bei einem gegebenen polynomialen Algorithmus f r das zugeh rige Entscheidungsproblem berlegen Sie sich ob und gegebenenfalls wie man eine k rzeste Rundreise finden kann wenn man ihre Lange kennt De
95. D hei t stark zusammenh ngend falls es zu je zwei Knoten s t von D sowohl einen gerichteten 5 t Weg als auch einen gerichteten t s Weg in D gibt Die Komponenten starken Komponenten ei nes Graphen Digraphen sind die bez glich Kanteninklusion Bogeninklusion maximalen zusammenh ngenden Untergraphen von G maximalen stark zusam menh ngenden Unterdigraphen von D Eine Komponente hei t ungerade Kom ponente falls ihre Knotenzahl ungerade ist andernfalls heiBt sie gerade Kompo nente Sei G V E ein Graph Eine Knotenmenge W C V hei t trennend falls G W unzusammenh ngend ist F r Graphen G V E die keinen vollst ndi gen Graphen der Ordnung V enthalten setzen wir min W W V ist trennend Die Zahl x G hei t Zusammenhangszahl oder Knotenzusam menhangszahl von G F r jeden Graphen G V E der einen vollst ndigen Graphen der Ordnung V enth lt setzen wir x G V 1 Falls x G gt k so 13 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 nennen wir G k fach knotenzusammenh ngend kurz k zusammenh ngend Ein wichtiger Satz der Graphentheorie Satz von Menger besagt dass k fach zusammenh ngend genau dann ist wenn jedes Paar s t s Z t von Knoten durch mindestens k knotendisjunkte s t Wege miteinander verbunden ist Eine Men ge von s t Wegen hei t knotendisjunkt falls keine zwei Wege einen gemeinsa men inneren Knoten besitzen und die Menge der in den s t
96. EEDY MAX arbeitet korrekt Beweis Hausaufgabe Versuchen Sie einen direkten Beweis f r die Korrektheit von Algorithmus 4 7 zu finden Im nachfolgenden Teil dieses Abschnitts und in Kapitel 5 werden wir S tze angeben aus denen Satz 4 8 folgt 74 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Der obige Algorithmus hei t Greedy Max greedy bedeutet gierig oder gefr ig weil er versucht das bez glich der Zielfunktionskoeffizienten jeweils Beste zu neh men das im Augenblick noch verf gbar ist Wir werden sp ter noch andere Algorithmen vom Greedy Typ kennenlernen die bez glich anderer Kriterien das Beste w hlen Der Greedy Algorithmus funktioniert auf analoge Weise f r das Minimum Spanning Tree Pro blem 4 9 GREEDY MIN Input Graph G V E mit Kantengewichten c e f r alle e E Output Maximaler Wald T C E mit minimalem Gewicht c T 1 Sortieren Numeriere die m Kanten des Graphen so dass gilt c e1 c e9 lt clem 2 Setze T 0 3 FOR i 1 TO m DO Falls T U ej keinen Kreis enth lt setze T T U ei 4 Gib T aus Aus Satz 4 8 und unseren berlegungen zur Reduktion des Waldproblems auf das Baum problem und umgekehrt folgt 4 10 Satz Algorithmus 4 9 liefert einen maximalen Wald T d h f r jede Zusam menhangskomponente G V von ist T E ein aufspannender Baum dessen Gewicht c T minimal ist Ist G zu
97. EL SKRIPTUM ADM I SS 2003 4 1 Graphentheoretische Charakterisierungen 67 ee De a PENER SERTA 71 4 2 1 Optimale Branchings und Arboreszenzen 81 97 97 TTE 101 Tp 108 112 117 123 6 1 EinStartknoten nichtnegative Gewichte 125 6 2 Ein Startknoten beliebige Gewichte 128 6 3 K rzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren 134 6 4 Min Max S tze und weitere Bemerkungen 137 7 Maximale Fl sse in Netzwerke 143 7 1 Das Max Flow Min Cut Theorem 144 7 2 Der Ford Fulkerson Aleorithmus e 147 153 7 4 Pr fluss Aleorithmusd 161 7 5 EinigeAnwendungen eee 168 173 8 1 Fl sse mit minimalen Kosten les 173 MEDECIN 182 e 187 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 9 1 Er ffnunesheuristiken f r symmetrisches TSP 192 9 2 _Verbesserungsverfahren 2 00084 203 9 3 F rbunesprobleme 210 10 G temafe f r Heuristike 213 11 Weitere Heuristike 223 224 230 11 3 Das Packen von Kisten Bin Packine 233 12 Das Rucksackproble 245 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Kapitel 1 Graphen Hypergraphen Matroide wichtige Definitionen und Bezeichnungen Bei der nachfolgenden Zusammenstellung von Begriffen und Bezeichnungen aus der Graphen Hypergra
98. Entscheidungsprobleme betrachten f r die L sungsalgo rithmen mit endlicher Laufzeitfunktion existieren Die Klasse aller derjenigen Entscheidungsprobleme f r die ein polynomialer L sungsalgorithmus existiert wird mit P bezeichnet Diese Definition ist recht in formell Wenn wir genauer w ren m ten wir P relativ zu einem Kodierungs schema und zu einem Rechnermodell definieren Die Definition w rde dann etwa wie folgt lauten Gegeben sei ein Kodierungsschema E und ein Rechnermodell M II sei ein Entscheidungsproblem wobei jedes Problembeispiel aus II durch das Kodierungsschema kodiert werden kann II geh rt zur Klasse P bez glich und M wenn es einen auf M implementierbaren Algorithmus zur L sung der Problembeispiele aus II gibt dessen Laufzeitfunktion auf M polynomial ist Wir wollen im weiteren derartig komplizierte und un bersichtliche Definitionen vermeiden und werden auf dem bisherigen informellen Niveau bleiben in der Annahme die wesentlichen Anliegen ausreichend klar machen zu k nnen Wir werden im Abschnitt 3 3 sehen dass das Problem Enth lt ein Graph einen Kreis zur Klasse P geh rt Aber trotz enormer Anstrengungen sehr vieler For scher ist es noch nicht gelungen das Problem Enth lt ein Graph einen hamilton schen Kreis in polynomialer Zeit zu l sen Diese Frage ist offenbar schwieriger Um zwischen den Problemen in P und den schwierigeren formal unterscheiden zu k nnen sind die folg
99. Graphen und Netzwerkalgorithmen Algorithmische Diskrete Mathematik I Skriptum zur Vorlesung im SS 2003 Prof Dr Martin Gr tschel Institut f r Mathematik Technische Universitat Berlin Version vom 21 August 2003 Vorwort Bei dem vorliegenden Skript handelt es sich um die Ausarbeitung der vierst ndi gen Vorlesung Graphen und Netzwerkalgorithmen die die grundlegende Vor lesung des dreisemestrigen Zyklus Algorithmische Diskrete Mathematik bildet Diese Vorlesung wurde von mir im SS 2003 an der TU Berlin gehalten Ziel der Vorlesung ist eine Einf hrung in die Theorie der Graphen und Netzwerke wobei auf algorithmische Aspekte besonderer Wert gelegt wird Vorkenntnisse sind nicht erforderlich alle ben tigten Begriffe und Grundlagen werden in der Vorlesung vorgestellt In der Vorlesung werden insbesondere kombinatorische Optimierungsprobleme behandelt die sich graphentheoretisch formulieren lassen wobei vornehmlich Probleme untersucht werden die mit Hilfe polynomialer Algorithmen gel st wer den k nnen Verfahren die lineare oder ganzzahlige Optimierung benutzen wer den in dieser Vorlesung nicht vorgestellt Es gibt kein einzelnes Buch das den gesamten in dieser Vorlesung abgehandel ten Themenkreis abdeckt Daher sind in die einzelnen Kapitel Literaturhinweise eingearbeitet worden Lesenswerte Einf hrungen in die kombinatorische Optimie rung in algorithmische Aspekte der Graphen und Netzwerktheorie bzw gew
100. I sehr h ufig besser als die brigen Verfahren ist F r gr ere Probleme ist meistens die Christofides Heuristik am besten w hrend FI die zweitbeste Heuristik ist Bedenkt man allerdings dass die Christofides Heuristik als Unterprogramm ein nicht trivial zu implementierendes Verfahren zur L sung von Matching Problemen ben tigt dann zeigt FI nat rlich deutliche praktische Vorteile Da der Christofides Algorithmus ja ohnehin nur eine Heuristik ist kann man nat rlich den Matching Algorithmus durch eine Matching Heuristik ersetzen Dadurch verliert man zwar die globale G tegarantie erh lt aber doch eine empirisch ordentliche Heuristik die relativ leicht zu codieren ist als Matching Heuristik kann man z B den Greedy Algorithmus w hlen Gleichfalls sollte bemerkt werden dass die Spanning Tree Heuristik trotz der nicht schlechten G tegaran tie empirisch in der Praxis im Vergleich mit anderen Verfahren nicht so gut abschneidet Das gleiche gilt f r CI und NI Eine sorgf ltige empirische Analyse der hier genannten und anderer Heuristiken findet man in Damit wollen wir es bez glich Er ffnungsverfahren bewenden lassen und bemerken dass sich die hier dargestellten Ideen mit etwas Einf hlungsverm gen auf alle brigen kom binatorischen Optimierungsprobleme bertragen lassen Bei der Wahl des lokalen Op timierungskriteriums ist es wichtig nicht zu kurzsichtig zu w hlen NN ist 7 B eine relativ schlechte Heuristik Man sol
101. Kanten also enth lt G genau n Kanten Lemma 4 2 impliziert brigens auch dass ein Baum mindestens zwei Knoten mit Grad 1 hat Wie berlegt man sich das Lemma 4 3 Ein Graph V E mit mindestens 2 Knoten und mit weniger als V 1 Kanten ist unzusammenh ngend Beweis W re G zusammenh ngend m sste es in G von jedem Knoten zu jedem anderen einen Weg geben Wir f hren einen Markierungsalgorithmus aus Wir w hlen einen belie 70 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 bigen Knoten v V und markieren v Wir markieren alle Nachbarn von v und entfernen die Kanten die von v zu seinen Nachbarn f hren Wir gehen nun zu einem markierten Knoten markieren dessen Nachbarn und entfernen die Kanten die zu diesen Nachbarn f hren Wir setzen dieses Verfahren fort bis wir keinen Knoten mehr markieren k nnen Am Ende haben wir h chstens m Kanten entfernt sowie v und maximal m weitere Knoten markiert Dam lt V 1 gilt ist mindestens ein Knoten unmarkiert also nicht von v aus auf einem Weg erreichbar Daher ist G unzusammenh ngend Der n chste Satz zeigt dass die Eigenschaft ein Baum zu sein auf viele quivalente Weisen charakterisiert werden kann Satz 4 4 Sei G V E V n gt 2 ein Graph Dann sind quivalent 1 G ist ein Baum 2 G enth lt keinen Kreis und n 1 Kanten 3 G ist zusammenh ngend und enth lt n 1 Kanten 4 G ist zusammenh ngend und enth lt keinen Kreis
102. Kardinalit t einer Kanten berdeckung mit p G Eine Zerlegung der Knotenmenge eines Graphen in stabile Mengen die so ge nannten Farbklassen hei t Knotenf rbung d h die Knoten werden so gef rbt dass je zwei benachbarte Knoten eine unterschiedliche Farbe haben Eine Zer legung der Kantenmenge in Matchings hei t Kantenf rbung die Kanten wer den also so gef rbt dass je zwei inzidente Kanten verschieden gef rbt sind Ei ne Zerlegung der Knotenmenge von G in Cliquen heift Cliquen berdeckung MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 von G Die minimale Anzahl von stabilen Mengen bzw Cliquen in einer Kno tenf rbung bzw Cliquen berdeckung bezeichnet man mit x G bzw SIGI die minimale Anzahl von Matchings in einer Kantenf rbung mit Die Zahl hei t chromatischer Index oder Kantenf rbungszahl x G F rbungs zahl oder Knotenf rbungszahl oder chromatische Zahl Ein Graph G V E kann in die Ebene gezeichnet werden indem man jeden Knoten durch einen Punkt repr sentiert und jede Kante durch eine Kurve oder Linie oder Streckenst ck die die beiden Punkte verbindet die die Endknoten der Kante repr sentieren Ein Graph hei t planar oder pl ttbar falls er in die Ebene gezeichnet werden kann so dass sich keine zwei Kanten d h die sie re pr sentierenden Kurven schneiden au er m glicherweise in ihren Endknoten Eine solche Darstellung eines planaren Graphen G in der Ebene nennt man au
103. Matroide Das in 5 5 b definierte Unabh ngigkeitssystem der W lder eines Graphen G V E ist ein Matroid Ist F C E so zerf llt V F in Zusammenhangskomponenten Vi F3 Gy Vk Fk Die Basen der Zusammenhangskomponenten G1 Gk sind die aufspannenden B ume von G1 Gx Jede Vereinigung von aufspannenden B umen von G Gx ist eine Basis von F Die Zirkuits von Z sind die Kreise des Graphen G daher der Name Der Rang in einer Menge C E ist gegeben durch r F V F Anzahl k der Komponenten von V F F wobei V F die Menge aller Knoten v V bezeichnet die in mindestens einer Kante aus F enthalten sind vergleiche Folgerung 4 5 Die Matroide die wie oben angegeben auf einem Graphen definiert werden k nnen bzw isomorph zu solchen sind hei en graphische Matroide b Matrix Matroide Sei A aij eine m n Matrix ber einem beliebigen K rper K mit Spaltenvektoren Ai n E 1 n sei die Menge der Spaltenindizes von A Eine Teilmenge F C E hei t unabh ngig wenn die Vektoren j F linear unabh ngig in K sind Da jede Teilmenge einer linear unabh ngigen Menge wiederum linear unabh ngig ist ist 105 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 das so definierte Mengensystem Z offenbar ein Unabh ngigkeitssystem Die Menge aller Basen von E ist die Menge aller C E so dass die Vektoren A j B eine Basis des durch die Spaltenvektoren von A aufgespann
104. Om 0 TO n 2 3 Falls m gerade DO v 2 TO n 4 DOu 1TOv 1 Falls u v A und DIST u c u v lt DIST v setze DIST v DIST u c u v und VOR v u END 4 END 3 5 Falls m ungerade DO v 2 n 1 TO 1 BY 1 6 DO u n TO v 1 BY 1 Falls u v A und DIST u c u v lt DIST v setze DIST v DIST c u v und VOR v u END 6 END 5 END 2 Gehe zu 7 133 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 D ESOPO PAPE VARIANTE 2 Initialisiere eine Schlange Q und setze s Q 3 Hole das erste Element aus der Schlange sagen wir u 4 F r alle B gen v die in u beginnen f hre aus 5 Falls DIST u c u v lt DIST v a setze DIST v DIST u c u v und VOR v u b Falls v noch nicht in Q war setze v an das Ende von Q c Falls v schon in Q war aber gegenw rtig nicht in Q ist setze v an den Anfang von Q END 4 6 Ist die Schlange nicht leer gehe zu 3 andernfalls zu 7 7 Falls DIST v lt 00 so enth lt DIST v die L nge eines k rzesten s v Weges und aus VOR v kann wie blich ein k rzester s v Weg rekonstruiert werden Ist DIST v so gibt es in D keinen s v Weg Es ist intuitiv einsichtig dass das MOORE BELLMAN Verfahren ein korrektes Ergebnis liefert falls keine negativen Kreise vorliegen Ebenso leuchtet ein dass die D ESOPO PAPE Variante eine Spezialisierung dieses Verfahrens ist mit einer kon
105. Operationen aufgrund der 8 Rekursivit t braucht nicht jedes SGKP neu berechnet zu werden Lemma 12 13 1 Also wird Schritt 3 in O 5 Schritten erledigt In Schritt 4 wird O mal der Gree dyalgorithmus mit jeweils O n Operationen angewendet also ist der Aufwand in Schritt 4 ebenfalls wodurch wir die Gesamtlaufzeit erhalten b Aufgrund von Lemma 12 11 gilt t lt ZE Also folgt aus Satz 12 17 2 CIK 2 Copt 5 Copt 3 Copt 1 Copt Wir werden uns nun noch berlegen wie man den Algorithmus von Ibarra und Kim so umformen kann dass damit auch das allgemeine Knapsack Problem gel st werden kann Wir betrachten also n max d Cjtj n K Qjj lt b Tj N j 1 n wobei alle Zahlen c a b N sind Wir nehmen wie blich an dass gilt aj lt b j 1 n C1 C2 C ee dE uL Q1 a2 an Den Gewichtsdichten Greedyalgorithmus haben wir in 12 4 dargestellt und in Satz 12 6 haben wir gezeigt dass er ein i approximativer Algorithmus ist Um Ibarra und Kim anwenden zu k nnen ben tigen wir eine Sch tzung Cest und Parame ter s t zur Definition von S und L b 1 Setze Cest C1 larh dann gilt Cest lt CGgreedy lt Copt lt C1 Cest lt 2Cest 2 Definiere L und 5 wie in 12 15 wobei s und t gegeben sind 265 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 3 Die Gleichheits Knapsack Probleme sind die gleichen wie in 12 15
106. SCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 4 3 Wie Beispiel 4 16 zeigt muss ein minimaler Baum nicht eindeutig bestimmt sein ber legen Sie sich bitte wie man feststellen kann ob ein minimaler aufspannender Baum eindeutig ist 4 2 1 Optimale Branchings und Arboreszenzen Die Aufgaben in einem Digraphen D V A mit Bogengewichten c f r alle 2 j ein Branching maximalen Gewichts bzw eine Arboreszenz minimalen Gewichts zu finden sind trivialerweise quivalent Wir wollen nun zeigen dass man ein maximales Branching in polynomialer Zeit konstruieren kann Der Algorithmus hierzu wurde un abh ngig voneinander von 1971 und entdeckt Er ist erheblich komplizierter als die Algorithmen zur Bestimmung maxima ler Walder bzw minimaler aufspannender B ume Insbesondere der Korrektheitsbeweis erfordert einigen Aufwand Wir wollen bei der Beschreibung des Algorithmus die Inzi denzfunktion V V x V eines Digraphen benutzen da mit ihrer Hilfe die Technik des Schrumpfens von Knotenmengen etwas klarer beschrieben werden kann Falls a A schreiben wir V a t a h a um den Anfangs und den Endknoten von a anzuge ben 4 17 Der Branching Algorithmus Input Ein schlingenfreier Digraph D V A mit Bogengewichten c a f r alle a A V t h A V xV sei die Inzidenzfunktion von D Output Ein Branching B dessen Gewicht maximal ist l Initialisierung 83 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I
107. SS 2003 Setze Do D Vo V Ao A Vo to ho t Bo 0 co c i 0 Alle Knoten aus Vg seien unmarkiert Phase I Greedy Auswahl und Schrumpfung von Kreisen 2 3 Sind alle Knoten aus V markiert gehe zu 11 W hle einen unmarkierten Knoten v Me Gilt c a lt 0 f r alle a 6 v C Aj markiere v und gehe zu 2 Unter allen B gen aus 6 v C Aj w hle einen Bogen b mit maximalem positi ven Gewicht c b Ist U b ein Branching setze Bj U b markiere v und gehe zu 2 Ist U b kein Branching dann bestimme den gerichteten Kreis der von b und einigen B gen aus gebildet wird Seien C die Bogen und W die Knotenmenge dieses Kreises Schrumpfe die Knotenmenge Wi d h ersetze die Knotenmenge W durch einen neuen Knoten genannt Pseudoknoten und definiere einen neuen Digraphen Di4 Vii Ae mit Inzidenzfunktion V und Gewichten c 1 wie folgt Lu aes Lb E Hu Se falls tda W und h a W a 2 falls W und Kiel W ci ai falls t a W und h a Wi wobei in der letzten Zuweisung b ein Bogen des Kreises mit c b min c b b Ci ist und a der Bogen des Kreises ist der h a als Endknoten hat Alle Knoten in Vi 1 wi behalten die Markierung die sie in D hatten Der Pseudoknoten sei unmarkiert 10 Setze Bi 41 Ci i
108. TUM ADM I SS 2003 44 Literaturverzeichnis Aigner M 1984 Graphentheorie eine Entwicklung aus dem 4 Farben Problem Teubner Verlag Studienb cher Mathematik Stuttgart Barahona F Gr tschel M J nger M and Reinelt 1988 An application of combinatorial optimization to statistical physics and circuit layout design Operations Research 36 3 493 513 Berge C 1989 Hypergraphs Combinatorics of Finite Sets volume 45 North Holland Mathematical Library Amsterdam Berge C and Ghouila Houri A 1969 Programme Spiele Transportnetze Teubner Verlag Leipzig Bollob s B 1979 Graph Theory An Introductory Course Springer Verlag New York Berlin Heidelberg Bondy J A and Murty U S R 1976 Graph Theory with Applications Ame rican Elsevier New York and Macmillan London Domschke W 1982 Logistik Rundreisen und Touren Oldenbourg Verlag M nchen Wien 4 erweiterte Aufl 1997 edition Ebert J 1981 Effiziente Graphenalgorithmen Akademische Verlagsgesell schaft Wiesbaden Golombic M C 1980 Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs Acade mic Press New York Graham R L Gr tschel M and Lov sz L editors 1995a Handbook of Com binatorics Volume I Elsevier North Holland The MIT Press Cambridge Massachusetts Graham R L Gr tschel M and Lov sz L editors 1995b Handbook of Com binatorics Volume II Elsevier North Holland
109. Testl ufe gezeigt dass die D ESOPO PAPE Variante in der Praxis g nsti gere Laufzeiten erbringt 6 3 K rzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren Nat rlich kann man k rzeste Wege zwischen je zwei Knotenpaaren eines Digraphen D dadurch bestimmen dass man das DIJKSTRA oder das MOORE BELLMAN Verfahren n mal anwendet d h jeder Knoten wird einmal als Startknoten gew hlt Bei Benutzung der DIIKSTRA Methode nicht negative Gewichte vorausgesetzt h tte dieses Verfahren eine Laufzeit von O n falls negative Gewichte vorkommen m sste die YEN Variante verwendet werden was zu einer Laufzeit von O n f hrt Es gibt jedoch einen extrem einfachen O n Algorithmus der das Gleiche leistet Dieses Verfahren geht auf zur ck 6 9 FLOYD Algorithmus Input Digraph D V A 1 n mit Gewichten c a k nnen auch negativ sein f r alle a A Output Eine n n Matrix W so dass f ri j wi die L nge des k rzesten i j Weges und w die L nge eines k rzesten gerichteten Kreises der i enth lt ist ei ne Matrix mit diesen Eigenschaften nennt man Kiirzeste Weglangen Matrix und eine n n Matrix P pij so dass pi der vorletzte Knoten eines k rzesten i j Weges bzw i 1 Kreises ist 1 DO 1 136 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 1TOn c 4 j falls i j A Foo andernfalls i falls i 5 A 0 andernfalls bedeutet zur Zeit kein Weg bekannt Wij
110. V A mit Bogenkapazit ten c a gt 0 f r alle a A und Ko stenkoeffizienten w a f r alle a A gegeben sind s t V zwei verschiedene Knoten und ist f ein vorgegebener Flusswert dann nennt man die Aufgabe einen s t Fluss mit Wert f zu finden dessen Kosten bum minimal sind ein Minimalkosten Netzwerkflussproblem Analog zur LP Formulierung 7 5 des Maximalflussproblems kann man ein Minimalkosten Flussproblem als lineares Programm darstellen Offenbar ist jede Optimall sung des linearen Programms 8 1 ein kostenminimaler c kapazitierter 175 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 s t Fluss mit Wert f min J e A Waka z v z 0 vy 0 VuEeV 5 1 20000 a 0 f 0 Ta xc Mac A 8 1 Minimalkosten Flussprobleme kann man daher mit Algorithmen der linearen Optimie rung l sen In der Tat gibt es besonders schnelle Spezialversionen des Simplexalgorith mus f r Probleme des Typs 8 1 Sie werden Netzwerk Simplexalgorithmen genannt Sie nutzen u a die Tatsache aus dass die Basen von 8 1 durch aufspannende B ume im Digraphen D repr sentiert werden k nnen Alle numerischen Unterprogramme wie Basis Updates Berechnung von reduzierten Kosten etc k nnen daher sehr effizient durch einfache kombinatorische Algorithmen erledigt werden Ein von A L bel Konrad Zuse Zentrum Berlin implementierter Code dieser Art es handelt sich um einen sogenannten primalen und dualen Netzwerk Si
111. adjazent sind wenn die zugeh rigen Kanten in G einen gemeinsamen Endknoten haben Eine Clique in einem Graphen G ist eine Knotenmenge Q so dass je zwei Kno ten aus Q in G benachbart sind Eine stabile Menge in einem Graphen G ist eine Knotenmenge 5 so dass je zwei Knoten aus S in G nicht benachbart sind F r sta bile Mengen werden auch die Begriffe unabh ngige Knotenmenge oder Coclique verwendet Eine Knotenmenge K in G hei t Knoten berdeckung oder ber deckung von Kanten durch Knoten wenn jede Kante aus G mit mindestens ei nem Knoten in K inzidiert Die gr te Kardinalit t Anzahl der Elemente einer stabilen Menge bzw Clique in einem Graphen bezeichnet man mit a G bzw w G die kleinste Kardinalit t einer Knoten berdeckung mit 7 G Eine Kantenmenge M in G hei t Matching oder Paarung oder Korrespondenz oder unabh ngige Kantenmenge wenn M keine Schlingen enth lt und je zwei Kanten in M keinen gemeinsamen Endknoten besitzen M hei t perfekt wenn jeder Knoten von G Endknoten einer Kante des Matchings M ist Ein perfek tes Matching wird auch 1 Faktor genannt Eine Kantenmenge F in G hei t k Faktor wenn jeder Knoten von G in genau k Kanten aus F enthalten ist Ei ne Kanten berdeckung oder berdeckung von Knoten durch Kanten ist ei ne Kantenmenge so dass jeder Knoten aus G mit mindestens einer Kante dieser Menge inzidiert Die gr te Kardinalit t eines Matchings in G bezeichnet man mit v G die kleinste
112. als G hat Ein Knoten v von G hei t Trennungsknoten oder Artikulation falls die Kantenmenge E von G so in zwei nicht leere Teilmengen E und E zerlegt wer den kann dass V NV E2 v gilt Ist schlingenlos mit V gt 2 dann ist v ein Trennungsknoten genau dann wenn v eine trennende Knotenmenge ist d h wenn G v mehr Komponenten als G besitzt Ein zusammenh ngender Graph ohne Trennungsknoten wird Block genannt Bl cke sind entweder isolierte Knoten Schlingen oder Graphen mit 2 Knoten die durch eine Kante oder mehrere parallele Kanten verbunden sind oder falls V gt 3 2 zusammenhingende Gra phen Ein Block eines Graphen ist ein Untergraph der ein Block und maximal bez glich dieser Eigenschaft ist Jeder Graph ist offenbar die Vereinigung seiner Bl cke 14 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 1 5 Hypergraphen Sei V eine endliche Menge und E i I eine endliche Familie von Teilmengen von V hei t endlicher Hypergraph auf V falls E Z 0 f r alle I und U E V gilt Manchmal nennt man auch das Paar V Hypergraph V ist die Ordnung des Hypergraphen die Elemente von V hei en Knoten die Mengen Hyperkanten oder kurz Kanten Die Hyperkanten mit genau einem Element hei en Schlingen Ein Hypergraph hei t einfach wenn alle Kanten voneinander verschieden sind In diesem Falle ist eine Teilmenge von 2 2V bezeichnet die Potenzmenge von V Jeder Graph oh
113. amit dass mindestens ein Bogen aus 67 w positives c Gewicht hat Aus den Vorschriften in 4 17 folgt dass w _ keine Wurzel von B sein kann Das hei t es gibt einen Bogen a B mit h a 1 Ferner sei a 1 der Bogen in C mit h 1 a hi 1 a j 1 Nach Schritt 13 ist dann B _ Bi U Ci 1 a Ferner sei b _ ein Bogen aus C _ mit kleinstem c _1 Gewicht Aufgrund der Auswahlvorschriften in Schritt 5 gilt c 1 C 1 gt c 1 B cj d Ferner ist DI U d ein Branching in D woraus gt c B c d folgt Daraus ergibt sich nun c B ci 1 B ci i d ei 1 B ci B c d ci 1 bi 1 ci 1 di 1 ci 1 B lt ci 1 bi 1 ci 1 di 1 ci 1 B 6 4 Bi ec iia ci 1 i 1 Gai G4 ci 1 di 1 el P lt ci 1 Bi a la ci 1 Ci 1 ci 1 Bi 1 Damit ist die Behauptung bewiesen 96 Literaturverzeichnis Bock F 1971 An algorithm to construct a minimum directed spanning tree in a direc ted network pages 29 44 Gordon and Breach New York in B Avi Itzhack ed Developments in Operations Research edition Camerini P M Fratta L and Maffioli F 1979 A Note on Finding Optimum Bran chings Networks 9 309 312 Chu Y J and Liu T H 1965 On the shortest arborescence of a directed graph Scientia Sinica 4 1396 1400 Edmonds J 1967 Optimum branchings Journal of Research of t
114. ar matrix BEGIN FOR i 1 TO nchoose2 DU read inp w il END 2 lower triangular matrix BEGIN FOR i 2 TO n DO FOR j 1 TO i 1 DO BEGIN read inp c w dope jl il c END END 3 edge list BEGIN read inp i j c WHILE i gt 0 DO BEGIN IF 1 lt 1 OR i gt n OR j lt 1 OR gt THEN BEGIN SKRIPTUM ADM I SS 2003 writeln outp Input error node out of range HALT END IF i lt j THEN w dope il jl ELSE wldope j il read inp i j c END END ELSE invalid mode BEGIN writeln outp Invalid input model HALT END END OF CASE Initialization connected outnodes weight 0 FOR i 1 TO outnodes DO BEGIN in t i out t i dist i END true n 1 1 iti wli Prim s Algorithm WHILE outnodes gt 1 AND connected DO BEGIN determine entering node min inf ind 0 FOR i 1 TO outnodes DO IF dist i lt min THEN BEGIN min dist il ind i 80 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 END IF ind O THEN connected false ELSE BEGIN augment tree weight weight min newnode out t ind ti in t indl t2 out_t ind c dist ind in t ind in t outnodes out t ind out t outnodes dist ind dist outnodes in t outnodes ti out t outnodes t2 dist outnodes outnodes outnodes 1 update dist and in t FOR i 1 TO o
115. arstellung aller L sungen L des durch a und 6 ge gebenen 0 1 Knapsack Problems Das Mengensystem Z 2 ist offenbar ein Unabh ngigkeitssystem Bemerkung 12 5 zeigt dass der Zielfunktionsgreedy bez glich max c I I T beliebig schlecht wer den kann Ist dies nicht ein Widerspruch zu Satz 5 14 in dem eine universelle Schranke f r die G te des Greedyalgorithmus angegeben wurde Nat rlich nicht 12 5 zeigt le diglich dass der Rangquotient q f r das Unabh ngigkeitssystem Z mit wachsendem n beliebig klein werden kann 12 6 Satz Der Gewichtsdichten Greedyalgorithmus ist f r das allgemeine Knapsack Problem ein i approximativer Algorithmus und es gilt Ragreedy i Beweis B d A k nnen wir annehmen dass o gt pa gt gt pn und aj lt b gilt Es gilt offensichtlich b a CGgreedy 2 C131 al und ebenso 5 Copt lt lt all 1 lt 20 E lt 2CGgreedy 252 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 und somit i CGgreedy 2 2 ort Wir zeigen nun dass diese Schranke tats chlich asymptotisch angenommen wird Dazu betrachten wir das folgende Knapsack Problem max 2az 2 a 1 xa az a 1 z lt 2 a 1 21 223 24 Offensichtlich gilt p1 gt CGgreedy 20 Copt 4 0 1 und somit Copt CGgreedy _ 2 4 E 1 Copt da 4 2 Um l stige Trivialbemerkungen zu vermeiden nehmen wir im weiteren an dass die Indi zes so geordnet sind dass gt
116. aschine die Ausf hrung einer Aufgabe begonnen so f hrt sie diese bis zum Ende der Bearbeitungszeit durch Ein Maschinenbelegungsproblem dieser Art kann man einfach durch die Angabe einer Zahlenfolge auf folgende Weise beschreiben M N 04 09 tn 11 2 Beispiel Wir betrachten die Zahlenfolge 3 11 2 4 3 4 4 5 2 1 4 3 2 Das hei t wir haben m 3 Maschinen und n 11 Auftr ge T 73 T4 Ts T7 Ts Tio zu bearbeiten Ein m glicher Belegungsplan der drei Maschinen w re der folgende M bearbeitet Ti 75 T3 T4 M bearbeitet 75 16 19 Ms bearbeitet 7 T8 Tio 711 Einen solchen Belegungsplan kann man bequem in einem Balkendiagramm wie folgt dar stellen 226 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 M T T T j M 5 T 9 M T UH Ti i Abb 11 1 Insgesamt ben tigt man also bei diesem Belegungsplan zur Bearbeitung aller Auftr ge 13 Zeiteinheiten wobei jedoch die dritte Maschine 5 Zeiteinheiten leer steht Ein sinnvolles und f r die Praxis relevantes Optimierungsproblem besteht nun darin einen Belegungsplan zu finden so dass der Gesamtauftrag so fr h wie m glich fertiggestellt ist Zur vollst ndigen Formulierung von 9 1 fahren wir also wie folgt fort 11 1 Fortsetzung e Ist ein Belegungsplan gegeben so bezeichnen wir mit C1 Co die Fertigstellungsdauer zeit der auf den Maschinen M Mm au
117. at ein Graph G einen Kreis Hat ein Graph G einen hamilton schen Kreis sind somit in AND Hat n mlich einen Kreis oder hamiltonschen Kreis so w hlen wir diesen als Objekt Q Dann entwerfen wir einen polynomia len Algorithmus der f r einen Graphen G und eine zus tzliche Kantenmenge Q entscheidet ob Q ein Kreis oder hamiltonscher Kreis von G ist Auch die Frage Ist n N eine zusammengesetzte Zahl ist in MP denn liefern wir als Objekt zwei Zahlen Z 1 deren Produkt n ist so ist n keine Primzahl Die berpr fung der Korrektheit besteht somit in diesem Fall aus einer einzigen Multiplikation Die obige Definition der Klasse NP enth lt einige Feinheiten auf die ich aus dr cklich hinweisen m chte Es wird nichts dar ber gesagt wie das Zusatzobjekt Q zu finden ist Es wird lediglich postuliert dass es existiert aber nicht dass man es z B mit einem polynomialen Algorithmus finden kann Die Laufzeit des Algorithmus in b ist nach Definition polynomial in Z Da der Algorithmus Q lesen muss folgt daraus dass die Kodierungsl nge von durch ein Polynom in der Kodierungsl nge von Z beschr nkt sein muss Auf die Frage Hat die Gleichung 2 y n eine L sung x y ist x n und y 0 ein geeignetes Zusatzobjekt Q aber weder x y 0 5 v0 5 kann nicht endlich bin r kodiert werden noch x 0 die Kodierungsl nge von x ist exponentiell in der Inputl nge des Probl
118. aufschreiben zu k nnen f hren wir f r jeden Knoten v V s t eine Dualvariable z und f r jeden 147 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Bogen a A eine Dualvariable ya ein Das folgende lineare Programm ist dann im Sinne der Theorie der linearen Optimierung zu 7 5 dual min acA Ya tzv 2 gt 0 falls u v A V s t Ya z 2 1 falls a u s u t Ya gt 1 fals a s v v t Ya z 2 0 fals a u t uFs Ya 2 gt 0 fals a 1 0 v s Ya gt 1 fals 5 1 Ya gt 1 fals a t s Ya gt 0 f ralleae A F hren wir zus tzlich zur notationstechnischen Vereinfachung die Variablen zs und z ein und setzen sie mit 1 bzw 0 fest so kann man dieses LP quivalent aber etwas kom pakter wie folgt schreiben min acA Ya Zv zy gt 0 f r alle u v A 205 1 zu 0 Ya 0 fiir allea A 7 6 Wir benutzen nun 7 5 und 7 6 um folgenden ber hmten Satz der auf Ford Jr and Fulkerso 1958 und 54 zur ckgeht zu beweisen 7 7 Das Max Flow Min Cut Theorem Gegeben seien ein Digraph D V mit Bogenkapazit ten cg R cg gt 0 fiir alle a A und zwei verschiedene Knoten s t V Dann ist der maximale Wert eines s t Flusses gleich der minimalen Kapazit t eines s t Schnittes Beweis Aufgrund von Lemma 7 4 gen gt es zu zeigen dass es einen s t Schnitt gibt dessen Kapazit t gleich dem maximalen Fluss
119. be es einen k rzeren gerichteten Weg sagen wir P von s nach u so m sste dieser einen Bogen von einem markierten Knoten zu einem bis her nicht markierten Knoten enthalten Sei v w der erste derartige Bogen auf dem Weg P Der Teilweg des Weges P von s nach w ist also ein s w Weg dessen in nere Knoten markiert sind Folglich gilt nach Induktionsvoraussetzung DIST 1 w lt c P Aus DIST DIST und der Nichtnegativit t der Bogenl ngen folgt DIST c P c P ein Widerspruch Es bleibt noch zu zeigen dass f r die derzeit unmarkierten Knoten v der Wert DIST 1 v die L nge eines k rzesten s v Weges ist der nur markierte innere Knoten enthalten darf Im Update Schritt 3 wird offenbar die Linge eines s v Weges ber markierte Knoten verschieden von u verglichen mit der Linge eines s v Weges ber markierte Knoten der als vorletzten Knoten den Knoten enth lt Angenommen es gibt einen s v Weg P ber markierte Knoten inclusive u dessen vorletzter Knoten w verschieden von u ist und dessen L nge geringer ist als die k rzeste L nge der oben betrachteten Wege Da DIST die L nge eines k rzesten s w Weges ist und es einen solchen sagen wir P gibt der nur markierte Knoten enth lt die verschieden von u sind wurde vor markiert kann der s w Weg auf P nicht k rzer als P sein also ist P nicht k rzer als die L nge von P U w v Widerspruch 0 In der Datens
120. ben wir auch analog v u 2 um den zugeh rigen Bogen v aus Ag zu bezeichnen Nun setzen wir Vj s Ist V bestimmt dann sei 7 22 Vii v E VA WU UVj du V mit u v AiU As Sobald eine solche Knotenmenge sagen wir V den Knoten t enth lt brechen wir ab und setzen V t und W UE Vj Ferner sei k 1 k 1 F i AnlJ ixVa 9 4nlJ x V4 i 1 i 1 Der Digraph W ist ein geschichtetes Netzwerk mit den in 7 21 definierten Bogen kapazit ten Man beachte dass A v 52 0 f r alle Knoten v W s gilt es kann aber Knoten v W t geben mit v 0 Solche Knoten k nnen wir entfernen Wir tun dies sukzessive und erhalten das endg ltige geschichtete Netzwerk W F durch Entfernen von Knoten und B gen wie im vorigen Abschnitt angegeben Betrachten wir den in Abbildung 7 7 dargestellen kapazitierten Digraphen mit dem ange gebenen s t Fluss In Abbildung 7 8 sind die in 7 20 definierten zugeh rigen Bogenmengen A und A an gegeben mit den durch 7 21 definierten Kapazit ten Die B gen aus Ag sind gestrichelt gezeichnet die aus A mit durchgehenden Linien 161 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Mit dem oben beschriebenen Verfahren erhalten wir nun das in Abbildung 7 9 dargestellte geschichtete Netzwerk mit 6 Schichten 02 2 9 Q7 99 Abb 7 9 Das geschichtete Netzwerk N ist so konstruiert da
121. benen Beweises ist sehr allgemein und kann f r viele andere Probleme benutzt werden um zu zeigen dass f r sie keine polynomialen Algorithmen mit Differenzgarantie gefunden werden k nnen siehe 10 6 c4 Wir m ssen uns nur berlegen dass die Multiplikation der Zielfunktion des Problems mit einer beliebigen Konstanten die optimale L sung nicht ndert Daraus folgt dass f r kein kombinato risches Optimierungsproblem mit linearer Zielfunktion eine Differenzgarantie gegeben werden kann Dies wollen wir als wichtige Nebenbemerkung formulieren 12 3 Satz Ist II ein kombinatorisches Optimierungsproblem mit linearer Zielfunktion d h jedes Problembeispiel in II ist von der folgenden Form Gegeben eine endliche Menge E T C P E und c E gt Z gesucht I T mit c I et maximal minimal dann gibt es einen polynomialen Approximationsalgorithmus f r II mit Differenzgarantie genau dann wenn P NP gilt Wir untersuchen nun zwei Versionen des Greedy Algorithmus f r das Knapsack Problem 12 4 Zwei Greedy Algorithmen f r das allgemeine bzw bin re Knapsack Problem Input cj a N j 1 nundb 250 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Output Eine zul ssige approximative L sung f r TL j 1 TL KP bzw 0 1 on lt b gal ge Loder xj 10 15 3 1 1 Zielfunktionsgreedy Ordne die Indizes so dass gt gt gt c gilt 1 Gewichtsdichte
122. ber Unabhangigkeitssystemen Wir wollen nun die Frage untersuchen ob bzw wie gut ein Optimierungsproblem der Form 5 6 max c I I T wobei Z ein Unabh ngigkeitssystem auf einer Grundmenge E ist gel st werden kann Wir betrachten dazu den folgenden trivialen Algorithmus vergleiche 4 1 5 16 Greedy Algorithmus f r Unabh ngigkeitssysteme Input Grundmenge E 1 n mit Gewichten c R f r alle E Ferner ist ein Unabh ngigkeitssystem T C 2 durch ein Unabh ngigkeitsorakel siehe 5 14 a gegeben Output Eine unabh ngige Menge I T 1 Sortiere die Gewichte in nicht aufsteigender Reihenfolge d h nach Beendigung von Schritt 1 k nnen wir annehmen dass c1 gt gt gt c gilt 2 Setze I 3 1 TO n DO Ist c lt 0 gehe zu 4 Ist I U i unabh ngig Orakelaufruf dann setze I I U i 4 Setze I I und gib I aus Der Greedy Algorithmus durchl uft nach der Sortierung in Schritt 1 die Elemente von E genau einmal entweder er nimmt ein Element in die Menge J auf oder er verwirft es f r immer Die am Ende des Verfahrens gefundene L sung J nennen wir Greedy L sung F r eine Menge C E setzen wir 5 17 ru F min B B Basis von F und nennen zu F den unteren Rang von Wir setzen ru F 17 pcEr P gt 0 r F 114 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 und nennen q den Rangquotient von T Ist E T ein Matroi
123. bleme wie das TSP unterle gen sind Inzwischen gibt es eine Vielzahl von Aufs tzen zu Simulated Annealing und Varianten davon Man schaue z B nur das Journal of Heuristics durch Zwei gute Computational Studies die ber Erfahrungen mit Simulated Annealing be richten sind 1989 und 1991 In diesen Papern werden einige konkrete Implementierungen des allgemeinen Verfahrens 9 7 angegeben bez glich verschiedener kombinatorischer Optimierungsprobleme wie das weiter oben vorgestellte Leiterplatten Plazierungsproblem das Subset Sum Problem das Knotenf rbungsproblem f r Graphen und das TSP getestet und mit bekannten Heu ristiken f r diese Probleme verglichen Soweit mir bekannt ist sind Die Erfahrungen sind durchwachsen Ein Buch das Simulated Annealing im Detail beschreibt und insbesondere den stochasti schen Hintergrund erkl rt ist van Laarhoven and Aart 1987 Weitere Verfahren die h ufig Meta Heuristiken genannt werden wurden in der Vorle sung skizziert e Tabu Search e Genetische Algorithmen e Neuronale Netze e Ameisensysteme e Space Filling Curves Eine Ausarbeitung ist nicht erfolgt Literaturhinweise hierzu findet man u a in der bereits zitierten TSPBIB Homepage http www densis fee unicamp br moscato TSPBIB home html 211 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Ein gutes Buch mit bersichtsartikeln zu den verschiedenen heuristischen Techniken ist 1997 9 3 Farbungsprobleme Die
124. ch Einbettung von G in die Ebene 1 3 Digraphen Die Kanten eines Graphen haben keine Orientierung In vielen Anwendungen spielen aber Richtungen eine Rolle Zur Modellierung solcher Probleme f hren wir gerichtete Graphen ein Ein Digraph oder gerichteter Graph D V A besteht aus einer endlichen nicht leeren Knotenmenge V und einer endlichen Menge A von B gen oder gerichteten Kanten englisch arc Eine Bogen a ist ein geordnetes Paar von Knoten also a u v u ist der Anfangs oder Startkno ten v der End oder Zielknoten von a u hei t Vorg nger von v v Nachfolger von a inzidiert mit u und v Um exakt zu sein m ssten wir hier ebenfalls eine Inzidenzfunktion V t h A V x V einf hren F r einen Bogen a A ist dann a der Anfangsknoten englisch tail und h a der Endknoten englisch head von a Aus den bereits oben genannten Gr nden wollen wir jedoch die Inzi denzfunktion nur in Ausnahmef llen benutzen Wie bei Graphen gibt es auch hier parallele B gen und Schlingen Die B gen u v und v u hei en antiparallel In manchen Anwendungsfillen treten auch Graphen auf die sowohl gerichtete als auch ungerichtete Kanten enthalten Wir nennen solche Objekte gemischte Graphen und bezeichnen einen gemischten Graphen mit G V E A wobei V die Knotenmenge E die Kantenmenge und A die Bogenmenge von G bezeichnet Falls D V A ein Digraph ist und W C V B C A dann bezeichnen wir mit A W
125. ch die Materie in die sem kritischen Temperaturbereich organisiert um z B Kristalle zu bilden Da man f r verschiedene technische Prozesse Kristalle ohne Strukturdefekte ben tigt m chte man wissen wie man reale Fl ssigkeiten k hlt und w rmt so da m glichst reine Kristalle entstehen Bevor man heutzutage reale Experimente mit derartigen physikalischen Systemen aus f hrt werden meistens besonders dann wenn die Experimente teuer sind Compu 208 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 tersimulationen dieser Experimente durchgef hrt Hierzu wird ein abstraktes Modell des physikalischen Systems entworfen und implementiert und zuf lligen nderungen unter worfen die z B in der Realit t K hlvorg ngen entsprechen Bei diesen Computerexpe rimenten lernt man die realen Vorg nge besser zu verstehen man kann m glicherweise bereits eine Theorie aufstellen und man braucht sicherlich durch die umfangreichen Vor untersuchungen sehr viel weniger reale Experimente um z B die Herstellung von reinen Kristallen in den Griff zu bekommen Es ist unter einigen Zusatzannahmen m glich viele kombinatorische Optimie rungsprobleme als Realisierung physikalischer Systeme und die Optimierungsvorschrift als Energieminimierung anzusehen Daher sind einige Physiker insbesondere angeregt durch den Aufsatz Kirkpatrick et al 1983 auf die Idee gekommen kombinatorische Optimierungsprobleme mit den relativ ausge
126. ch jeder der Verfahren 7 13 imple mentiert die Edmonds Karp Vorschrift einh lt blicherweise arbeitet man die Knoten in Breadth First Strategie ab Dies f hrt zu augmentierenden Wegen minimaler Bogenzahl Das hei t man implementiert die Menge U der markierten und noch nicht abgearbeiteten Knoten als Schlange Wird ein Knoten in Schritt 5 oder 6 zu U hinzugef gt so kommt er an das Ende der Schlange In Schritt 4 wird immer der Knoten 4 U gew hlt der am Anfang der Schlange steht 7 15 Beispiel Wir betrachten den in Abbildung 7 2 dargestellten Digraphen Die erste Zahl des Zahlenpaares bei einem Bogen gibt den gegenw rtigen Fluss durch den Bogen an die zweite die Kapazit t des Bogens In Abbildung 7 2 starten wir also mit einem Fluss des Wertes 10 Wir f hren einen Durchlauf der Markierungs und berpr fungsphase vor Im weiteren d VOR VOR 1 VOR 2 VOR 8 VOR t EPS EPS 1 EPS 2 EPS 8 EPS t 153 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Das Verfahren beginnt wie folgt 2 W s U s 3 4 Wir w hlen s 0 U 9 5 W 5 2 U 2 SSS EPS EI H 7 7 7 7 d 6 7 3 4 Wir w hlen 2 U U 0 5 6 5 2 4 Hs 4 VOR 8 2 21 02 537 9 EP EI 7 3 4 Wir w hlen 4 U U 5 W 5 2 4 5 U 5 VOR tS 2 4 2 2 2
127. chen Ist man nur an der Bestim mung eines minimalen s Schnittes interessiert so kann man sich das Riickschieben sparen 7 5 Einige Anwendungen In diesem Abschnitt geht es nicht um praktische Anwendungen sondern um Anwen dungen der im Vorhergehenden angegebenen S tze und Algorithmen zur L sung anderer mathematischer Optimierungs Probleme Matchings maximaler Kardinalitat in bipartiten Graphen In 2 9 haben wir das bipartite Matchingproblem kennengelernt Wir wollen nun zeigen wie man die Kardinalit tsversion dieses Problems d h alle Kantengewichte sind 1 mit Hilfe eines Maximalfluss verfahrens l sen kann Ist also V E ein bipartiter Graph mit Bipartition Vi so definieren wir einen Digraphen D W A wie folgt Wir w hlen zwei neue Knoten sagen wir s und t und setzen W V U s t Die B gen von D seien die folgenden Ist e uv E eine Kante von G so geben wir dieser die Richtung von Vi nach Va Ist also u Vj und v V5 so wird aus uv E der Bogen u v andernfalls der Bogen v u Ferner enth lt D die B gen s u f r alle u Vi und die B gen v t f r alle v Va Alle B gen von D erhalten die Kapazit t 1 Die Konstruktion von D aus ist in Abbildung 7 11 an einem Beispiel dargestellt Abb 7 11 7 25 Satz Ist G ein bipartiter Graph und D der wie oben angegeben aus G konstru ierte Digraph dann ist der Wert eines maximalen s t Flusses x in D gleich dem W
128. chf hrbar Es gibt eine Vielzahl von Arbeiten zur Laufzeitverbesserung des generischen Pr fluss Algorithmus Man kann solche z B durch eine geschickte Auswahl der aktiven Kno ten und die Benutzung geeigneter Datenstrukturen erreichen Wird z B in der Schleife immer der Knoten mit dem h chsten berschuss gew hlt so reduziert sich die Lauf zeit auf O n Eine trickreiche Analyse dieses Verfahrens zeigt sogar dass die Lauf zeit O n m betr gt Mit Skalierungsmethoden kann man eine Laufzeitreduktion auf O n log U bzw O nm n log U erreichen wobei U max c u v u v A Ein detaillierteres Eingehen auf diese Tricks w rde den Rahmen der Vorlesung spren gen Wir verweisen hierzu auf die beiden mehrfach erw hnten bersichtsartikel das Buch von 1993 Schrijved 2003 und die dort zitierte Originalliteratur 169 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Es sei noch auf einen fundamentalen Unterschied zwischen den Pr fluss Algorithmen und den anderen bisher besprochenen Maximalfluss Algorithmen hingewiesen Der Ford Fulkerson und der DMKM Algorithmus finden zun chst einen maximalen s t Fluss dessen Maximalit t sie durch Bestimmung eines s t Schnittes mit gleicher Kapazit t nachweisen Der Pr fluss Algorithmus findet unterwegs einen kapazit tsminimalen s t Schnitt berlegen Sie sich wann das der Fall ist und muss anschlie end durch R ckflussoperationen aus dem Pr fluss einen Fluss ma
129. chnen wir mit c Wir setzen co 0 und behaupten 1 ci gt 5i t Cii fir 1 2 m 1 Um 1 zu zeigen stellen wir zun chst fest dass jeder Gegenstand x der in einer der Kisten B liegt h chstens eine H he von i hat denn andernfalls w re nach Eigenschaft 1 sein Gewicht 1 und somit h tte ein Gewicht nicht kleiner als 1 Daraus folgt cj i f r i 1 m 1 denn andernfalls h tte ein Gegenstand aus Di der auch h chstens die H he 5 hat in die Kiste B7 gelegt werden k nnen Daraus k nnen wir schlie en dass jede Kiste B7 mindestens 2 Gegenst nde enth lt denn es gilt c lt i und jeder Gegenstand in B7 hat h chstens die H he 2 Sei nun B7 irgendeine Kiste mit 1 lt 7 lt m 1 und nehmen wir an dass sie mit Objekten der H he z gt gt gt zy gef llt ist Wir wissen bereits dass k gt 2 gilt und somit folgt aus Eigenschaft 2 1 4 zi lt 1 zy 35 Qj gt 3s Tk Da gt c andernfalls w re z in der Kiste B _ gilt 1 Nun gilt aufgrund von 1 1 m 1 m 1 35 lt 2 902772 9 Si lt 5 Ge 1 Cm 1 lt 10 1 2 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 lt 1 Es folgt 8 lt 3 8 lt 2 Die letzte Gleichung impliziert n m ul Dod wlty 5 wt j l i ljeB 8 Tn gt s tm il m m 4m 8 i l gt MFr 2 Andererseits impliziert Eigenschaft 3 n Mopt gt 00 wlth lt mou
130. chteten Netzwerken Wir beginnen mit der Darstellung eines wichtigen Teils des DMKM Algorithmus der Bestimmung eines saturierten Flusses in einem geschichteten Netzwerk 156 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Es sei N W B ein Digraph mit nicht negativen Bogenkapazit ten c a f r alle a B und s t seien zwei voneinander verschiedene Knoten von N Zus tzlich nehmen wir an dass N azyklisch ist also keinen gerichteten Kreis enth lt und dass die Knotenmenge W in Schichten Vi V mit folgenden Eigenschaften zerlegt werden kann V 5 V veW 3ucWViimi uv ce B 1 2 1 7 17 Ve St k 1 B J u v eB ueW ve Vu i 1 Einen derartigen Digraphen nennnen wir ein geschichtetes Netzwerk In einem geschich teten Netzwerk sind also Knoten aus V nicht durch einen Bogen verbunden ebenso gibt es f r Knoten in V und in V mit 7 lt j 1 keinen Bogen der sie miteinander verbindet F r jeden Knoten v V haben alle s v Wege die L nge 4 1 speziell haben alle s t Wege die L nge k 1 F r einen Bogen v B gibt es immer einen Index i mit u Vi vu E Var Ist x ein s t Fluss in einem beliebigen Digraphen D V A mit Bogenkapazit ten c a so nennen wir den Bogen a A saturiert falls x ca gilt Ein s t Weg P hei t saturiert bzgl x falls mindestens ein Bogen aus saturiert ist Der s t Flu in D hei t saturiert wenn jeder s t
131. d zi 3 Aufgrund von Behauptung 2 k nnen wir annehmen dass h chstens ein z kleiner gleich c ist andernfalls k nnten wir z z lt durch 2 x ersetzen Wir unterscheiden vier Falle lt Nile s i k 1 und z lt 3 dann gilt w x1 w 3 i k 22 1 amp z m 2 dann gilt w z1 w x2 zi 29 4 lt S ii k 2 z9 lt i lt a lt dann gilt w zi w z2 wi Lui 5 2 lt t1 lt 2 dann gilt 21 w x2 w x3 21 0 Behauptung 8 Eigenschaft 3 k k lt 1 gt 3 w zi lt i w 1 1 Beweis Falls x lt 2 f r alle i dann impliziert Behauptung 3 3 w 2i lt KI lt 3 lt d 241 alk MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Ist eines der x gr er als 5 sagen wir 21 gt 2 dann folgt aus Behauptung 7 S Ti lt 4 2 k mia lt de i 2 und somit w a1 Ee w zi lt d Damit ist unsere Analyse der FIRST FIT Heuristik beendet Eine m gliche Verbesserung der Methode liegt auf der Hand 11 17 FIRST FIT DECREASING FFD Gegeben sei ein Bin Packing Problem durch Uic das 1 Ordne zun chst alle t so dass gilt t gt t gt gt tn 2 Wende FF an Wir betrachten das folgende Beispiel 11 18 Beispiel Sei d 60 31 6mal 17 6mal 16 6mal 13 12mal so ben tigt FFD 11 Kisten wahrend in der optimalen L sung nur 9 Kisten benutzt werden 6x 31 17 6x 31 16 13 2x 16 16 16 3x 17 17 13 13
132. d so gilt nach 1 3 nat rlich r F r F f r alle F C E und somit q 1 Das folgende Resultat wurde von 1976 bewiesen 5 18 Satz Sei Z ein Unabh ngigkeitssystem auf E seien I eine Greedy L sung von 5 16 und Io eine optimale L sung von 5 6 dann gilt c 15 Io q lt lt 1 a und f r jedes Unabh ngigkeitssystem gibt es Gewichte c 0 1 E so dass die erste Ungleichung mit Gleichheit angenommen wird Beweis Wir k nnen o B d A annehmen dass c gt 0 f r i 1 n und dass gt gt gt cq gilt Aus technischen Gr nden f hren wir ein Element n 1 ein mit Cn 1 0 Wir setzen Bi KE Te erst Es gilt dann offenbar 1 1 Xi Ug N Ei ci ci41 D eo Xi HoN Elte Da Io N E Io gilt Io N E und somit 0 E r E Die Vorgehensweise des Greedy Algorithmus impliziert dass N E eine Basis von E ist also dass 7 N E gt r Ej gilt Daraus folgt ry Ei r Ei Ig gt Hon Ei gt bN Eig 1 und somit c l A Hg N Eillci cii gt ion Eilg ci qY ua Zo N Ei ci 10 9 Die Ungleichung 1 gt at ist trivial Damit haben wir die Giiltigkeit der Ungleichungs kette bewiesen Sei nun F C E mit q amp Mm Wir k nnen annehmen dass F 1 k gilt und dass 1 p F eine Basis von F ist mit B r F Wir setzen 1 115 MARTIN GR TSCHEL
133. das hei en dass wir einfach eine der parallelen Kanten ausw hlen Von jetzt an vergessen wir also die Inzi denzfunktion V und benutzen die Abk rzung G V E um einen Graphen zu bezeichnen Manchmal schreiben wir auch Eg oder E G bzw Vg oder V G zur Bezeichnung der Kanten bzw Knotenmenge eines Graphen G Zwei Graphen G V E und W F heiBen isomorph wenn es eine bijektive Abbildung y V W gibt so dass uv E genau dann gilt wenn p u y v F gilt Isomorphe Graphen sind also bis auf die Benamung der Knoten und Kanten identisch Eine Menge F von Kanten hei t Schnitt wenn es eine Knotenmenge W C V gibt so dass F 6 W uv E u W v W gilt manchmal wird W der durch W induzierte Schnitt genannt Statt v schreiben wir kurz v Ein Schnitt der keinen anderen nicht leeren Schnitt als echte Teilmen ge enth lt hei t Cokreis Wollen wir betonen dass ein Schnitt 6 W bez glich zweier Knoten s t V die Eigenschaft se W und t V bat so sagen wir 6 W ist ein s und t trennender Schnitt oder kurz ein s t Schnitt Generell benutzen wir die eckigen Klammern um anzudeuten dass die Reihenfolge der Objekte in der Klammer ohne Bedeutung ist Z B ist ein s t Schnitt nat rlich auch ein t s Schnitt da 6 W 6 V W gilt Wir haben oben Bezeichnungen wie T v oder 6 W eingef hrt unter der still schweigenden Voraussetzung dass man weif in Bez
134. dass Aufgabe T erst beginnen kann wenn Aufgabe T beendet ist so kann man alle Reihenfolgebedingungen offenbar in einem Rei henfolgedigraphen darstellen Ein solcher ist in Abbildung 11 5 angegeben SS Abb 11 5 Bei einem Reihenfolgedigraphen sind nur unmittelbare Reihenfolgebedingungen darge stellt z B Ti gt T4 gt T6 gt Daraus folgt nat rlich dass To gilt obwohl dies im Diagramm nicht dargestellt ist F gen wir zu einem Reihenfolgedigraphen bzw zu einem allgemeinen Digraphen alle implizierten Reihenfolgebedingungen hinzu so nennt man diesen Digraphen den transi tiven Abschluss des Reihenfolgedigraphen bzw Digraphen Nat rlich ist das Parallel Shop Problem mit Reihenfolgebedingungen ebenfalls A P schwer und wir zeigen nun dass die LIST Heuristik auch f r diesen Problemtyp gute Ergebnisse liefert 11 11 Die LIST Heuristik bei Reihenfolgebedingungen Gegeben sei ein Parallel 232 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Shop Problem durch M T 03 tn und durch einen Reihenfolgedigraphen D 1 Belege die Maschine M mit der ersten verf gbaren Aufgabe sagen wir T 2 Hat eine Maschine ihre gegenw rtige Aufgabe erledigt so weise ihr die n chste verf gbare Aufgabe zu Falls aufgrund der Reihenfolgebedingungen keine Aufgabe zur Verf gung steht bleibt die Maschine leer bis die n chste Aufgabe freigegeben wird 11 12 Beispiel Betrachten wir das Parallel Shop Pr
135. dass das lineare Pro gramm 7 5 ganzzahlige Optimall sungen hat falls alle Kapazit ten ganzzahlig sind 7 12 Satz Sei D V A ein Digraph mit ganzzahligen Bogenkapazit ten cq gt 0 und seien s t V s t Dann gibt es einen maximalen s t Fluss der ganzzahlig ist Beweis Wir f hren einen Induktionsbeweis ber die Anzahl der Additionen augmen tierender Wege Wir starten mit dem Nullfluss Haben wir einen ganzzahligen Flussvektor und ist dieser nicht maximal so bestimmen wir den Wert e durch 7 10 Nach Voraus setzung ist ganzzahlig und folglich ist der neue durch 7 11 festgelegte Flussvektor ebenfalls ganzzahlig Bei jeder Augmentierung erh hen wir den Flusswert um mindestens eins Da der maximale Flusswert endlich ist folgt die Behauptung aus 7 9 Wir k nnen nun den Ford Fulkerson Algorithmus angeben 151 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 7 13 FORD FULKERSON Algorithmus Input Digraph D V A mit Bogenkapazit ten ca R c gt 0 f r alle B gen a A und zwei Knoten s t V s 1 Output Ein zul ssiger s t Fluss x mit maximalem Wert val z und ein kapazit ts minimaler s t Schnitt AT W 1 Initialisierung Sei x xij R ein zul ssiger s t Fluss z B zij 0 f r alle i j A Lege folgende Datenstrukturen an W Menge der markierten Knoten U Menge der markierten aber noch nicht berpr ften Knoten VOR n 1 Vektor in dem d
136. der Maschinen M ihre gegenw rtige Aufgabe erledigt so belege M mit der Aufgabe T Setze i i 1 und wiederhole 2 F r unser Beispiel 11 2 ergibt die LIST Heuristik 11 3 den in Abb 11 3 angegebenen Belegungsplan der offenbar wiederum optimal ist Abb 11 3 Das g nstige Ergebnis bei Beispiel 11 2 sollte jedoch nicht zu Fehlschl ssen f hren Es gibt schlechte Beispiele die zu recht ung nstigen Belegungsbeispielen f hren 11 4 Beispiel 6 n 11 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 6 5 5 228 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 LIST Belegungsplan optimaler Belegungsplan M T T TIT M T DIOR M D E M T T To T mim Me TLI TNITITe Ti 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Abb 11 4 Ganz allgemein kann man Beispiele angeben mit n 2m 1 bei denen die Fertig stellungszeit Cz der LIST Heuristik gleich 2m 1 ist w hrend die optimale Fertigstel lungszeit Copt gleich m ist Simple Modifikation von Beispiel 11 4 Dies ist jedoch der schlechtest m gliche Fall wie der folgende Satz zeigt 11 5 Satz Gegeben sei ein Parallel Shop Problem mit m Maschinen und n Auftr gen Sei die Fertigstellungszeit der LIST Heuristik und die optimale Fertigstellungs zeit dann gilt Cr lt 2 Copt Der Beweis von Satz 11 5 folgt direkt aus dem nachfolgenden Lemma 11 6 zusammen
137. die Sendefrequenzen von Rund funksendern oder Mobilfunkantennen so zu verteilen dass sich die Sender ge genseitig nicht st ren und alle Rundfunkteilnehmer die f r sie gedachten Pro gramme auch empfangen k nnen kann man als F rbungsproblem mit weiteren Nebenbedingungen formulieren 39 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 2 15 Schnitt Probleme Gegeben sei ein Graph G V E mit Kantenge wichten c R f r alle e E Das Problem einen Schnitt 6 W in G zu finden mit maximalem Gewicht c W hei t Max Cut Problem Sind alle Kanten gewichte c nicht negativ so nennt man das Problem einen Schnitt minimalen Gewichts in G zu finden Min Cut Problem Das Min Cut Problem ist der Theorie der Netzwerkfl sse sehr wichtig sie he Kapitel 7 Das Max Cut Problem hat z B eine interessante Anwendung in der Physik und zwar kann man beim Studium magnetischer Eigenschaften von Spingl sern im Rahmen des Ising Modells die Aufgabe einen Grundzustand ener gieminimale Konfiguration bei 0 K zu bestimmen als Max Cut Problem formu lieren Ich will diese Anwendung kurz skizzieren Ein Spinglas besteht aus nichtmagnetischem Material das an einigen Stellen durch magnetische Atome verunreinigt ist Man interessiert sich f r die Energie des Systems und die Orientierung der magnetischen Atome Verunreinigungen bei 0 also f r den so genannten gefrorenen Grundzustand des Spinglases Dieser Grundzustand
138. dison Wesley Amsterdam Shmoys D B and Tardos E 1995 Computational Complexity chapter 29 pages 1599 1645 North Holland Amsterdam R L Graham et al Hrsg edition 67 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Tarjan R E 1983 Data Structures and Network Algorithms In Regional Conference Series in Applied Mathematics number 44 in CMBS NSF Regional conference series in applied mathematics page 131 Philadelphia second printing 1985 van Leeuwen J 1990 Algorithms and Complexity In van Leeuwen J editor Hand book of Theoretical Computer Science volume A pages 525 631 Elsevier Amster dam Wagner K and Wechsung G 1986 Computational Complexity VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 68 Kapitel 4 Minimale Baume maximale Branchings Dieses Kapitel ist einem Thema gewidmet das algorithmisch sehr einfach zu l sen ist Bestimme einen kostenminimalen aufspannenden Baum in einem Graphen Wir werden Varianten dieser Aufgabe und auch gerichtete Versionen betrachten Bevor wir jedoch algorithmischen Fragen nachgehen sollen W lder aus graphentheo retischer Sicht analysiert werden Das Ziel des ersten Abschnitts dieses Kapitels ist nicht eine umfassende Behandlung des Themenkreises sondern das Ein ben typischer graphen theoretischer Beweisargumente B ume sind sehr einfache Objekte Die meisten Eigen schaften von B umen k nnen mit minimalem Aufwand nachgewiesen werden Die dab
139. dungen dieses Standortproblems sind offensichtlich Man m chte z B h chstens k Feuerwehrdepots so verteilen dass die maximale Entfernung irgendeines m glichen Brandherdes zu einem Depot m glichst klein wird Damit soll z B gew hrleistet werden dass jeder Brandherd in einer bestimmten maximalen Zeit erreichbar ist Dieses Problem ist A P schwer selbst dann wenn die Dreiecksungleichung cij gt f r alle 4 j k V gilt Man kann sogar zeigen 10 8 Satz Es gibt eine mit0 lt lt 1 und einen polynomialen Algorithmus A der f r jedes k Zentrumsproblem mit Dreiecksungleichung eine L sung S A liefert die bez glich der Optimall sung Sopt folgende G tegarantie hat c Sopt lt c S4 lt 1 T E c Sopt genau dann wenn P NP gilt Beweis Siehe Hsu and Nemhauser 1979 Mit anderen Worten Das e Approximationsproblem f r das k Zentrumsproblem mit Drei ecksungleichung ist f r 0 lt lt 1 A P vollst ndig Bemerkenswert ist nun dass man die G tegarantie 1 in polynomialer Zeit tats chlich erreichen kann Wir betrachten dazu den folgenden Algorithmus 10 9 1 approximative Heuristik f r das k Zentrumsproblem Input Vollst ndiger Graph Kn V E mit Gewichten ce fiir alle e E Output Eine Menge S C V mit S lt k 1 Wir ordnen die Kanten so dass ce lt ce lt lt Cem gilt und setzen k 0 2 F r jeden Knoten v V legen wir eine Adjazenzliste ADJ v a
140. e benutzte Kiste au er vielleicht der letzten im Durchschnitt mindestens bis zur H lfte also gilt n mer 1 lt Sot lt Mopt d j l Es ist erheblich schwieriger zu zeigen dass der im Beispiel 11 15 gefundene Bruch i asymptotisch der beste ist 11 16 Satz Gegeben sei ein Bin Packing Problem mpp sei die durch FIRST FIT gefundene Kistenzahl die optimale dann gilt 17 MFF lt To Mopt 2 Im Beweis von Satz 11 16 benutzen wir die Existenz einer Funktion 0 1 3 0 1 die die folgenden Eigenschaften hat Eigenschaft 1 iqq e w t 1 Eigenschaft 2 k gt 2 k t t22 2 tk 5 elt A er pud 2t lt tk 58 gt w t 1 8 8 gt 0 Eigenschaft 3 k k X krai J ut lt i 1 i 1 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Wir werden sp ter die Existenz einer solchen Funktion beweisen und nehmen zum Beweis von 11 16 zun chst die Existenz von an Beweis von Satz 11 16 Wir nehmen an dass alle Kisten die H he 1 und die Ge genst nde eine H he von t 5 haben 1 lt lt n Wir nehmen zus tzlich an dass jeder Gegenstand i ein Gewicht w t hat Das Gewicht einer Kiste sei die Summe der Gewichte der in sie gelegten Gegenst nde Betrachten wir die FF L sung so bezeichnen wir mit BT B7 diejenigen Kisten in ihrer Originalreihenfolge die ein Gewicht kleiner als 1 haben und zwar habe B das Gewicht 1 sj 8 gt 0 Die ungenutzte H he von B bezei
141. e entsprechenden Bogenkapazit ten aufaddieren Ist zu einem Bogen v noch kein Gegenbogen v vorhanden so f gen wir v u zum gegenw rtigen Digraphen mit der Kapazit t c v 0 hinzu Jedem Maximalfluss in diesem transfor mierten symmetrischen und einfachen Digraphen entspricht offensichtlich ein Maximal fluss im urspr nglichen Digraphen und umgekehrt Ab jetzt gehen wir daher in diesem Abschnitt davon aus dass Digraphen symmetrisch und einfach sind Ein Pseudofluss auf D ist eine Abbildung x A R mit den folgenden Eigenschaften 7 25 z u v lt c u v f rale u v A 7 26 z u v z v u f ralle u v A In der Kapazit tsbeschr nkung 7 25 verzichtet man hier auf die bliche Nichtnegati vit tsschranke weil die Antisymmetrie Bedingung 7 26 f r den Pseudofluss eine no tationstechnische Erleichterung bringt Hinter 7 26 steckt keine tiefsinnige berlegung Ist ein Pseudofluss x gegeben so definiert man eine berschuss Abbildung e V gt R e steht f r excess durch 7 28 e v K z a f ralle v V och v Beim Vorliegen mehrerer Pseudofl sse sagen wir x und x schreibt man e v bzw ex v um zu kennzeichnen bzgl welches Pseudoflusses der berschuss definiert ist Ist 164 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 e v nichtnegativ so spricht man von einem berschuss bei v sonst von einem Defizit Die Residualkapazit t bez glich x ist ei
142. edene Aus gangspunkte oder Depots fest zu denen man nach einer gewissen Streckenl nge wieder zur ckkehren muss etc Eine relativ allgemeine Formulierung ist die fol gende Gegeben ist ein gemischter Graph mit Knotenmenge V Kantenmenge E und Bogenmenge A Ferner sind eine Menge von Depots W C V von denen aus Reisen gestartet werden m ssen eine Menge U C V von Knoten die minde stens einmal besucht werden m ssen und eine Menge B C EU A von Kanten und B gen die mindestens einmal durchlaufen werden m ssen Gesucht sind ge schlossene Ketten von Kanten und gleichgerichteten B gen so dass jede dieser Folgen mindestens oder genau einen der Knoten aus W enth lt und die Vereini gung dieser Ketten jeden Knoten aus U und jede Kante Bogen aus B mindestens einmal enth lt und minimale L nge hat Anwendungen dieser Probleme in der Routenplanung von Lieferwagen von Stra Denkehrmaschinen der M llabfuhr von Speditionen etc sind offensichtlich Aber auch bei der Steuerung von NC Maschinen zum automatischen Bohren L ten oder Schweifen oder der Verdrahtung von Leiterplatten z B von Testbussen tritt das TSP oder eine seiner Varianten auf Abbildung 2 7 zeigt eine Leiterplat te durch die 441 L cher gebohrt werden m ssen Links unten ist der Startpunkt 35 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 an den der Bohrkopf nach Beendigung des Arbeitsvorganges zur ckkehrt damit eine neue Platte in die Maschine eingelegt werde
143. ediglich ein kombinatorisches Verfahren und die zugrundelie gende Theorie vorstellen Um den Algorithmus und den Satz auf dem seine Korrektheit beruht darstellen zu k nnen f hren wir einige neue Begriffe ein Sei x ein zul ssiger s t Fluss in D und sei C ein nicht notwendigerweise gerichte ter Kreis in D Diesem Kreis C k nnen wir offenbar zwei Orientierungen geben Ist eine Orientierung von C gew hlt so nennen wir einen Bogen auf C der in Richtung der Orientierung verl uft Vorw rtsbogen andernfalls nennen wir ihn R ckw rtsbogen Ein 176 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Kreis C hei t augmentierend bez glich x wenn es eine Orientierung von C gibt so dass La lt Ca f r alle Vorw rtsb gen a C und dass 0 lt ze f r alle R ckw rtsb gen a C gilt vergleiche Definition 7 8 Ein Kreis kann offenbar bez glich beider einer oder keiner Richtung augmentierend sein Sprechen wir von einem augmentierenden Kreis C so unterstellen wir fortan dass eine Orientierung von C fest gew hlt ist bez glich der C augmentierend ist Die Summe der Kostenkoeffizienten der Vorw rtsb gen minus der Summe der Kosten koeffizienten der R ckw rtsb gen definieren wir als die Kosten eines augmentierenden Kreises Wenn ein Kreis in Bezug auf beide Orientierungen augmentierend ist k nnen die beiden Kosten verschieden sein Das zentrale Resultat dieses Abschnitts ist das Fol gende 8 2 Satz Ein zul ssiger s
144. ee Optimum 3x 13 13 13 13 SS mn FFD Ist zeen die Kistenzahl der durch FFD gefundenen L sungen und mop die optimale Ki stenzahl so kann gezeigt werden 11 19 Satz mrrp lt 4 242 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Der Beweis ist in seiner Struktur hnlich wie der von Satz 11 16 Es treten jedoch er heblich kompliziertere technische Detailprobleme auf Der erste Beweis f r Satz 11 19 ben tigte rund 70 Seiten ein k rzerer ist zu finden in 1985 A new proof for the First Fit Decreasing bin packing algorithm Journal of Algorithms 6 pp 47 70 Zum Abschluss m chten wir noch bemerken dass FFD wie auch einige andere Heuri stiken eine paradoxe Eigenschaft hat N mlich die Entfernung eines Gegenstandes kann die Kistenzahl erh hen 11 20 Beispiel Gegeben sei ein Bin Packing Problem durch d 396 285 188 6mal 126 18mal 115 3mal 112 3mal 75 60 51 12 3mal 10 6mal 9 12mal Es werden bei der FFD L sung 12 Kisten ben tigt Entfernen wir den Gegenstand mit H he 75 so gilt mprp 13 Zwischen FF und FFD besteht f r praktische Zwecke ein fundamentaler Unterschied Um FFD anwenden zu k nnen m ssen vor Beginn der Festlegung des Belegplans alle Zahlen t bekannt sein Das ist bei FF nicht der Fall hier wird jede gerade verf gbare Zahl verarbeitet und f r den Algorithmus ist es uninteressant welche und wieviele Zahlen t sp ter noch erschei
145. eeren Menge V einer Menge E und einer Inzidenzfunktion V E Hierbei bezeichnet VO die Menge der ungeordneten Paare von nicht notwendigerweise verschiede nen Elementen von V Ein Element aus V hei t Knoten oder Ecke oder Punkt oder Knotenpunkt englisch vertex oder node oder point ein Element aus E hei t Kante englisch edge oder line Zu jeder Kante e E gibt es also Kno ten u v V mit Ve uv vu In der Literatur werden auch die Symbole u v oder u v zur Bezeichnung des ungeordneten Paares uv benutzt Wir las sen zur Bezeichnungsvereinfachung die Klammern weg es sei denn dies f hrt zu unklarer Notation Zum Beispiel bezeichnen wir die Kante zwischen Knoten 1 und Knoten 23 nicht mit 123 wir schreiben dann 1 23 Die Anzahl der Knoten eines Graphen hei t Ordnung des Graphen Ein Graph hei t endlich wenn V und E endliche Mengen sind andernfalls hei t G unend lich Wir werden uns nur mit endlichen Graphen besch ftigen und daher ab jetzt statt endlicher Graph einfach Graph schreiben Wie werden versuchen die nat rliche Zahl n f r die Knotenzahl und die nat rliche Zahl m f r die Kanten zahl eines Graphen zu reservieren Das gelingt wegen der geringen Anzahl der Buchstaben unseres Alphabets nicht immer Gilt V e uv f r eine Kante e E dann hei en die Knoten u v V End knoten von e und wir sagen dass u und v mit e inzidieren oder auf e liegen dass e die Knoten u und v verbi
146. ehandhabt einen Digraphen mit Bo gengewichten bzw kapazit ten ein Netzwerk zu nennen Sind zus tzlich zwei Knoten s und ausgezeichnet so spricht man von einem s t Netzwerk Wir wollen diese Be zeichnung hier nur gelegentlich bernehmen mit dem Kapiteltitel aber den historischen Bezug herstellen Es wird sich sp ter zeigen dass die Netzwerkflusstheorie als ein Bin deglied zwischen der linearen und der ganzzahligen Optimierung aufgefasst werden kann Netzwerkflussprobleme sind ganzzahlige lineare Programme f r die sehr schnelle kom binatorische L sungsmethoden existieren Der Dualit tssatz der linearen Programmierung hat hier eine besonders sch ne Form Netzwerkfl sse haben folgenden Anwendungshintergrund Wir betrachten Rohrleitungssystem Abwasserkan le Frischwasserversorgung bei dem die Rohre ge wisse Kapazit ten z B maximale Durchflussmenge pro Minute haben Einige typische Fragen lauten Was ist die maximale Durchflussmenge durch das Netzwerk Welche Was sermenge kann man maximal pro Minute vom Speicher zu einem bestimmten Abnehmer pumpen Wieviel Regenwasser kann das System maximal aufnehmen hnliches gilt f r Telefonnetzwerke Hier sind die Rohre die Verbindungen zwischen zwei Knotenpunk ten die Kapazit ten die maximalen Anzahlen von Gespr chen die ber eine Verbindung gef hrt werden k nnen Man interessiert sich z B f r die maximale Zahl von Gespr chen die parallel zwischen zwei Orte
147. ei benutzten Argumente tauchen jedoch in der Graphentheorie meistens in etwas kom plizierterer Form immer wieder auf Wir hoffen diese Beweistechniken hier sichtbar machen zu k nnen 4 1 Graphentheoretische Charakterisierungen von B umen und Arboreszenzen Wir erinnern daran dass ein Graph der keinen Kreis enth lt Wald genannt wird dass ein Graph G zusammenh ngend hei t wenn es in G zwischen je zwei Knoten eine sie verbindende Kette oder quivalent dazu einen sie verbindenden Weg gibt und dass ein Baum ein zusammenhingender Wald ist Ein Untergraph eines Graphen G V E der ein Baum ist und alle Knoten V enth lt hei t aufspannender Baum von Eine Zusammenhangskomponente kurz Komponente eines Graphen G ist ein maxima ler zusammenh ngender Untergraph von G Wir werden nun einige Eigenschaften von 69 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 B umen und W ldern beweisen Wir beginnen mit trivialen Beobachtungen Lemma 4 1 Ein Baum G V E mit V gt 2 hat mindestens zwei Knoten mit Grad l Beweis Da ein Baum zusammenh ngend ist liegt jeder Knoten auf mindestens einer Kante Wir w hlen einen beliebigen Knoten sagen wir v Wir starten in v einen verein fachten DFS Algorithmus Wir markieren v und gehen zu einem Nachbarn sagen wir von v Wir markieren w Hat w den Grad 1 stoppen wir die Suche Andernfalls gehen wir zu einem von v verschiedenen Nachbarn von w und fahren so fort Da e
148. eim am Glan Floyd R W 1962 Algorithm 97 Shortest path Communications ofthe ACM 5 6 345 Glover F Klingman D D and Phillips N V 1985 A New Polynomially Bounded Shortest Path Algorithm Operations Research 33 1 65 73 Lawler E L 1976 Combinatorial Optimization Networks and Matroids Holt Rine hart amp Winston New York Mehlhorn K 1984 Data Structures and Algorithms volume 1 3 Springer Verlag EATCS Monographie edition dreib ndige Monographie Band I liegt auch auf deutsch im Teubner Verlag 1986 vor Moore E F 1959 The shortest path through a maze In Proc Int Symp on Theory of Switching Part IT pages 285 292 Cambridge Mass Harvard University Press Schrijver A 2003 Combinatorial Optimization Polyhedra and Efficiency Springer Verlag Berlin Syslo M M Deo N and Kowalik J S 1983 Discrete Optimization Algorithms with PASCAL programs Prentice Hall Englewood Cliffs N J Thorup M 1997 Undirected single shortest paths in linear time In Proceedings of the 38th IEE Symposium on Foundations of Comp Sci FOCS pages 12 21 143 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 144 Kapitel 7 Maximale Fl sse in Netzwerken In diesem Kapitel behandeln wir ein in sowohl theoretischer als auch praktischer Hin sicht au erordentlich interessantes Gebiet Fl sse in Netzwerken Es war fr her blich und wird aus Traditionsgr nden h ufig weiter so g
149. eine weitere mit z inzidente Kante die noch nicht benutzt wurde Ist y nicht markiert dann gehen wir zu y markieren y und beginnen von neuem y ist nun der letzte markierte Knoten Wenn die Suche nach Kanten die mit y inzidieren und die noch nicht benutzt wurden beendet ist d h alle Kanten auf denen y liegt wurden einmal ber hrt kehren wir zu x zur ck und fahren mit der Suche nach unbenutzten Kanten die mit x inzidieren fort bis alle Kanten die z enthalten abgearbeitet sind Diese Methode nennt man Tiefensuche da man versucht einen Knoten so schnell wie m glich zu verlassen und tiefer in den Graphen einzudringen Eine derartige Tiefensuche teilt die Kanten des Graphen in zwei Teilmengen auf Eine Kante zy hei t Vorw rtskante falls wir bei der Ausf hrung des Algorithmus von ei nem markierten Knoten entlang zy zum Knoten y gegangen sind und y markiert haben Andernfalls hei t zy Riickwartskante Man berlegt sich leicht dass die Menge der Vorw rtskanten ein Wald von G ist der in jeder Komponente von G einen aufspannenden 64 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Baum bildet Ist der Graph zusammenh ngend so nennt man die Menge der Vorw rtskan ten DFS Baum von G Mit Hilfe von Adjazenzlisten kann die Tiefensuche sehr effizient rekursiv implementiert werden 3 7 Depth First Search Input Graph G V E in Form einer Adjazenzliste d h f r jeden Knoten v V ist eine Nachbarliste N v gegeben
150. einem Digraphen DN V mit einer Quelle und einer Senke zur ck gef hrt werden Wir w hlen zwei neue Knoten s t und setzen V V U s t Der Knoten s ist die Quelle t ist die Senke von D Ferner sei c a f rallea c A cla M f rallea A Es reicht z B M X aca cla 1 zu w hlen Man berlegt sich sofort dass jedem zul ssigen s t Fluss in DN ein zul ssiger S T Fluss in D mit gleichem Wert ent spricht Also liefert ein maximaler s t Fluss D einen maximalen S T Fluss in D 171 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 172 Literaturverzeichnis Ahuja R K Magnanti T L and Orlin J B 1989 Network Flows Handbooks in Operations Research and Management Science volume 1 chapter Optimization pages 211 360 Elsevier North Holland Amsterdam L Nemhauser Rinnooy Kan and M J Todd edition Ahuja R K Magnanti T L and Orlin J B 1993 Network Flows Theory Algorithms and Applications Pearson Education Prentice Hall New York first edition Ball M O Magnanti T L Monma C L and Nemhauser G L 1995a Handbooks in Operations Research and Management Science volume 7 Network Models North Holland Amsterdam Ball M O Magnanti T L Monma C L and Nemhauser G L 1995b Handbooks in Operations Research and Management Science volume 8 Network Routing North Holland Amsterda
151. einen Graphen G V E gegeben sind Zum Beispiel kann man die Unabh ngigkeit einer Menge H im graphischen Matroid CN enth lt keinen Kreis durch Depth First Search testen auch die brigen drei Orakel kann man durch Algorithmen realisieren deren Laufzeit polynomial in E ist Eine wichtige Frage ergibt sich sofort Sind die verschiedenen Orakel algorithmisch qui valent Das hei t kann man ein Orakel durch ein anderes Orakel in orakelpolynomialer Zeit simulieren und umgekehrt Zum Beispiel Ist ein Unabh ngigkeitsorakel gegeben kann man dann einen Algorithmus entwerfen der nur dieses Orakel benutzt und orakel polynomial ist der f r jede Menge F C E korrekt entscheidet ob F ein Zirkuit ist oder nicht F r Matroide und die vier oben angegebenen Orakel wurde diese Frage von 1981 wie folgt beantwortet 5 15 Satz Sei M E T ein beliebiges Matroid a Das Unabh ngigkeitsorakel und das Rangorakel sind bez glich M quivalent 112 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 b Das Basisorakel und das Zirkuitorakel k nnen durch das Unabh ngigkeitsorakel sowie durch das Rangorakel in orakelpolynomialer Zeit simuliert werden c Es gibt keine anderen orakelpolynomialen Beziehungen zwischen diesen Orakeln Man kann diesen Satz graphisch durch Abbildung 5 4 veranschaulichen Ein Pfeil in die sem Diagramm besagt dass das Orakel am Ende des Pfeils durch polynomial viele Aufru fe des Orakels an der Spi
152. ems Der wichtigste Aspekt der hier skizzierten Theorie ist dass man zwischen einfachen und schwierigen Problemen zu unterscheiden lernt und dass man sobald man wei dass ein Problem schwierig ist andere Wege Heuristiken etc als bei Problemen in P suchen muss um das Problem optimal oder approximativ zu l sen In dieser Vorle sung soll versucht werden einige der Methoden zu beschreiben mit denen man derartige Probleme angreifen kann 3 3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen Wir wollen hier einige Methoden skizzieren mit deren Hilfe man Graphen und Digraphen speichern kann und ihre Vor und Nachteile besprechen Kenntnisse dieser Datenstruktu ren sind insbesondere dann wichtig wenn man laufzeit und speicherplatzeffiziente oder gar optimale Codes von Algorithmen entwickeln will Kanten und Bogenlisten 60 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Die einfachste Art einen Graphen oder Digraphen zu speichern ist die Kantenliste f r Graphen bzw die Bogenliste f r Digraphen Ist V E ein Graph mit n V Knoten und m Kanten so sieht eine Kantenliste wie folgt aus N m 01 1 432 2 03 3 Am Em wobei aj e die beiden Endknoten der Kante 2 sind Die Reihenfolge des Auff hrens der Endknoten von i bzw den Kanten selbst ist beliebig Bei Schleifen wird der Endknoten zweimal aufgelistet amp 3 Abb 3 1 Eine m gliche Kantenliste
153. ems w ren als Zusatzobjekt Q geeignet um die Korrektheit der 99 ja Antwort in polynomialer Zeit verifizieren zu k nnen 55 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 cr Ferner ist die Definition von NP unsymmetrisch in und nein Die De finition impliziert nicht dass wir auch f r die Problembeispiele mit nein Antworten Objekte Q und polynomiale Algorithmen mit den in 3 4 a und b spezifizierten Eigenschaften finden k nnen Wir sagen da die Entscheidungsprobleme die Negationen von Problemen aus der Klasse MP sind zur Klasse co NP geh ren Zu co NP geh ren folglich die Probleme Hat G keinen Kreis Hat G keinen hamiltonschen Kreis Ist n N eine Primzahl Es ist bekannt dass das erste und das letzte dieser drei Probleme ebenfalls zu NP geh ren Diese beiden Probleme geh ren also zu NPN co NP Vom Problem Hat G keinen hamiltonschen Kreis wei man nicht ob es zu NP geh rt Niemand hat bisher Objekte Q und einen Algorithmus finden k nnen die den Forderungen a und b aus 3 4 gen gen Das Symbol NP ist abgeleitet vom Begriff nichtdeterministischer polynomia ler Algorithmus Dies sind grob gesagt Algorithmen die am Anfang ra ten k nnen also einen nichtdeterministischen Schritt ausf hren k nnen und dann wie bliche Algorithmen ablaufen Ein nichtdeterministischer Algorithmus l st 7 B das hamiltonsche Graphenproblem wie fo
154. en ber sie machen zu k nnen Sei f r jedes Element e E ein Gewicht c R gegeben F r F C E setzen wir wie blich c F K Ce ecF Das Problem eine unabh ngige Menge 7 zu finden so dass maximal ist hei t Optimierungsproblem ber einem Unabh ngigkeitssystem Z d h wir suchen 5 6 max e I I Z Offenbar macht es hier keinen Sinn Gewichte zu betrachten die nicht positiv sind Denn wenn T optimal ist gilt I e E ce 0 T wegen 1 2 und c I gt c I also ist I ebenfalls eine optimale unabh ngige Menge Deswegen werden wir uns im Weiteren bei Optimierungsproblemen ber Unabh ngigkeitssystemen auf Gewichtsfunktionen beschr nken die positiv oder nicht negativ sind Bei Optimierungsproblemen ber Basissystemen ist es dagegen auch sinnvoll negative Gewichte zuzulassen Ist ein Basissystem B auf der Grundmenge E gegeben und sind Ce R Gewichte so nennen wir 5 7 minfe B B B Optimierungsproblem ber einem Basissystem 5 8 Beispiele a Sei V E ein Graph Eine Knotenmenge S C V hei t stabil Clique falls je zwei Knoten aus S nicht benachbart benachbart sind Die Menge der stabilen Knoten mengen Cliquen ist ein Unabh ngigkeitssystem auf V Die Aufgabe bei gegebenen Knotengewichten eine gewichtsmaximale stabile Menge Clique zu finden ist ein Op timierungsproblem ber einem Unabh ngigkeit
155. en dass die Wartung aller Telefonzellen auf der Tour innerhalb einer Schicht durchgef hrt werden kann GH Abb 2 9 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Als Travelling Salesman Problem lassen sich auch die folgenden Anwendungs probleme formulieren Bestimmung einer optimalen Durchlaufreihenfolge der Fl ssigkeiten Char gen in einer Mehrproduktenpipeline Bestimmung der optimalen Verarbeitungsfolge von Lacken in einer Gro lackiererei bei diesen beiden Problemen sollen Reinigungszeiten minimiert werden Bestimmung einer Reihenfolge des Walzens von Profilen in einem Walz werk so dass die Umriistzeiten der WalzstraBe minimiert werden Bestimmung der zeitlichen Reihenfolge von arch ologischen Fundst tten Grablegungsreihenfolge von Gr bern in einem Gr berfeld Besiedlungs reihenfolge von Orten aufgrund von hnlichkeitsma en Distanzen die durch die aufgefundenen Fundst cke definiert werden Umfangreiche Information ber das TSP seine Varianten und Anwendungen kann man in dem Sammelband 1985 finden 2 13 Stabile Mengen Cliquen Knoten berdeckungen Gegeben sei ein Graph G V E mit Knotengewichten c R f r alle v V Das Stabile Mengen Problem ist die Aufgabe eine stabile Menge S C V zu suchen so dass c S maximal ist das Cliquenproblem die Aufgabe eine Clique Q C V zu suchen so dass c Q maximal ist und das Knoten berdeckungsproblem die Aufgabe eine Knoten berdec
156. en s t Flusses in N Ein solcher ist relativ leicht zu finden Das Verfahren zur Auffindung eines saturierten 5 t Flusses in N garantiert dass ein s Fluss mit po sitivem Wert in N gefunden wird falls ein solcher existiert Daraus folgt bereits dass das Verfahren funktioniert Eine weitere Besonderheit ist die Methode zur sukzessiven Verbesserung des s t Flusses in N bis zur Erreichung eines saturierten s t Flusses Hier wird nicht bogenorientiert gearbeitet man versucht stattdessen durch die vorhande nen Knoten soviel Fluss wert wie m glich durchzuschieben Dabei bestimmt man einen Flusswert der mit Sicherheit zum gegenw rtigen Fluss augmentiert werden kann fer ner ist dieser Fluss relativ einfach auf die B gen zu verteilen Bevor wir die Phasen des DMKM Algorithmus einzeln beschreiben fassen wir das formale Konzept des Verfahrens zusammen 7 16 DMKM Algorithmus berblick Input Digraph D V A mit nichtnegativen Bogenkapazit ten ca f r alle a A zwei Knoten s t V Output Maximaler s t Fluss x 1 Setze x 0 f r alle a A 2 Konstruiere aus D und z ein geschichtetes Netzwerk N W B mit Bogenka pazit ten f r alle a B 3 Istt g W STOP Der gegenw rtige s t Fluss ist maximal 4 Bestimme einen saturierten s t Fluss z in N W B 5 Erh he den Fluss x durch Augmentierung von T und gehe zu 2 Saturierte s t Fl sse in geschi
157. en Digraphen ist 1 2 ein R ckw rtsbogen s 2 und 1 t sind Vorw rtsb gen P selbst ist augmentierend bez glich des gegebenen Flusses Der folgende Satz liefert ein Optimalit tskriterium 7 9 Satz Ein s t FluB x in einem Digraphen D mit Bogenkapazit ten ist genau dann maximal wenn es in D keinen bez glich x augmentierenden s t Weg gibt Beweis Ist P ein bez glich x augmentierender s t Weg dann sei 7 10 Je j falls 4 j P Vorw rtsbogen min Tij falls 4 j R ckw rtsbogen Setzen wir xij e falls 4 j P Vorw rtsbogen 7 11 Tij mij e falls i j P R ckw rtsbogen Tij falls 4 3 A P dann ist offenbar xj ein zul ssiger s t Fluss mit val z val z e Also kann nicht maximal sein Angenommen z besitzt keinen augmentierenden Weg Dann sei W die Knotenmenge die aus s und denjenigen Knoten v V besteht die von s aus auf einem bez glich x augmentierenden s v Weg erreicht werden k nnen Definition 7 8 impliziert Ca f r alle a W und za 0 f r alle a 6 W Daraus ergibt sich val z z 0 W z 60 W z 6 W c 6 W Aufgrund von Lemma 7 4 b ist somit maximal Der Beweis von Satz 7 9 liefert einen Schnitt 0 W mit val z c 0 W Zu sammen mit Lemma 7 4 b ergibt dies einen kombinatorischen Beweis des Max Flow Min Cut Theorems Aus dem Beweis von Satz 7 9 folgt ebenfalls
158. en Pro grammierung vorzubereiten Man beachte dass der obige Beweis des Max Flow Min Cut Theorems konstruktiv ist Aus jeder optimalen L sung des dualen linearen Programms 7 6 k nnen wir in polyno mialer Zeit einen s t Schnitt konstruieren der den gleichen Wert wie die Optimall sung von 7 6 hat und somit ein s t Schnitt in D minimaler Kapazit t ist Aus jedem s t Schnitt AT W k nnen wir durch Yo 1 f rallea 6 W 0 f rallea AV W Ey f r alle v c W Zv 0 f ralleveV W auch eine L sung von 7 6 konstruieren und daraus folgt dass das lineare Programm 7 6 immer auch ganzzahlige optimale L sungen hat Wir k nnen somit also das ganz zahlige Programm bestehend aus 7 6 plus Ganzzahligkeitsbedingungen f r y und 2 durch das im Beweis von 7 7 angegebene Verfahren l sen Wir werden im n chsten Abschnitt zeigen dass auch das LP 7 5 immer ganzzahlige Optimall sungen hat wenn alle Kapazit ten ganzzahlig sind Die diesem Beweis unter liegende Konstruktion ist der Startpunkt f r effiziente Algorithmen zur L sung des Maxi malflussproblems Das Max Flow Min Cut Theorem hat vielf ltige Anwendungen in der Graphentheorie und kombinatorischen Optimierung Aus Zeitgr nden k nnen wir an dieser Stelle nicht darauf eingehen Wir verweisen u a auf 1993 und 2003 7 2 Der Ford Fulkerson Algorithmus Wir haben gesehen dass das Maximalflussproblem und das Minimalschnittproblem li
159. ende Axiom erf llt ist BJ B B2 gt Jy E B mit B U y x c c Eine Funktion r 2 Z ist die Rangfunktion eines Matroids auf E genau dann wenn eines der beiden folgenden quivalenten Axiomensysteme erf llt ist RI r 0 0 R2 lt r FU e r F 4 1 R 3 SC Emitr FU g r F f r F beziehungsweise 104 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 RI F C E 0 lt r F lt F r ist subkardinal R2 FC GC E r F lt ist monoton R3 F G C E r FUG r FNG r F r G ristsubmodular U Es gibt noch einige hundert weitere quivalente Definitionen von Matroiden die quiva lenz ist auch in den obigen F llen nicht immer offensichtlich Wir wollen uns jedoch mit den obigen begn gen Ist 7 ein Matroid auf einer Grundmenge E und 72 ein Matroid auf E so hei en Z und isomorph falls es eine bijektive Abbildung E gibt mit ist unabh ngig in Z9 lt gt F ist unabh ngig in 71 Eine Teilmenge F C E hei t abgeschlossen bez glich Z falls gilt r F lt r FU e f rallee c E F Die Matroidtheorie kann man als eine gemeinsame Verallgemeinerung gewisser Aspekte der Graphentheorie und der linearen Algebra ansehen Die beiden Beispiele aus denen die Matroidtheorie entstanden ist wollen wir daher zuerst vorstellen 5 11 Beispiele a Graphische
160. enden Begriffe gepr gt worden Wir sagen zun chst einmal informell dass ein Entscheidungsproblem zur Klasse NP geh rt wenn es die folgende Eigenschaft hat Ist die Antwort f r ein Problembeispiel Z II ja dann kann die Korrektheit der Antwort in polyno mialer Zeit berpr ft werden Bevor wir etwas genauer werden betrachten wir ein Beispiel Wir wollen heraus finden ob ein Graph einen hamiltonschen Kreis enth lt Enth lt er einen und je mand hat ihn gefunden und alle Kanten des Kreises rot angestrichen dann k nnen wir auf einfache Weise berpr fen ob die rot angemalten Kanten tats chlich einen hamiltonschen Kreis darstellen Bilden sie einen solchen Kreis so haben wir die Korrektheit der ja Antwort in polynomialer Zeit verifiziert 54 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Nun die ausf hrliche Definition 3 4 Definition Ein Entscheidungsproblem geh rt zur Klasse NP wenn es die folgenden Eigenschaften hat a F r jedes Problembeispiel f r das die Antwort ja lautet gibt es mindestens ein Objekt Q mit dessen Hilfe die Korrektheit der ja Antwort berpr ft werden kann b Es gibt einen Algorithmus der Problembeispiele und Zusatzobjekte Q als Input akzeptiert und der in einer Laufzeit die polynomial in Z ist berpr ft ob Q ein Objekt ist aufgrund dessen Existenz eine ja Antwort f r L gegeben werden muss Die Probleme H
161. enge M c T gibt mit M C bzw M C M M T hei t ein gr tes bzw kleinstes Element von 2 wenn M lt M bzw M gt M gilt f r alle M T So sind z B bez glich eines Unabh ngigkeitssystems T und einer Menge F C E die Ba sen von F genau die maximalen Elemente von Zp I Z I F Nicht jede Basis ist auch ein gr tes Element von Zr Z B sind nicht alle maximalen Mat chings maximalen stabilen Knotenmengen in einem Graphen gr te Matchings gr te stabile Mengen Ist E Z jedoch ein Matroid so sind alle maximalen Elemente von Zr auch gr te Elemente von Zr In einem zusammenh ngenden Graphen sind 7 B alle maximalen W lder aufspannende B ume Gute Einf hrungen in die Matroidtheorie sind die B cherlOxleyl 1992 und Welshl 1980 16 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 17 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 1 7 Liste einiger in der Graphentheorie verwende Ss me E 9 4 rn Ca Co S QQAQQQT er 0Q c wa ae S x Ss ter Symbole bezeichnet meistens einen Graphen bezeichnet meistens einen Digraphen Anzahl der Knoten eines Graphen wenn m glich Anzahl der Kanten eines Graphen wenn m glich Stabilit tszahl maximale Kardinalit t einer stabilen Menge in G Cliquenzahl maximale Kardinalit t einer Clique in G Knoten berdeckungszahl minimale Kardinalitat eine
162. enge alle B gen von D mit Anfangs und Endknoten in W Menge aller Knoten aus G bzw D die Endknoten bzw Anfangs oder Endknoten mit mindestens einer Kante bzw eines Bogens aus H sind vollst ndiger Graph mit n Knoten vollst ndig bipartiter Graph mit Vi m und V2 n Kantengraph von G Komplement von G gt MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 19 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 20 Literaturverzeichnis Ahuja R K Magnanti T L and Orlin J B 1993 Network Flows Theory Algorithms and Applications Pearson Education Prentice Hall New York first edition Aigner M 1984 Graphentheorie eine Entwicklung aus dem 4 Farben Problem Teubner Verlag Studienb cher Mathematik Stuttgart Berge C and Ghouila Houri A 1969 Programme Spiele Transportnetze Teubner Verlag Leipzig Bollob s B 1998 Modern Graph Theory Springer Verlag New York Bondy J A and Murty U S R 1976 Graph Theory with Applications Ame rican Elsevier New York and Macmillan London Cook W J Cunningham W H Pulleyblank W R and Schrijver A 1998 Combinatorial Optimization John Wiley amp Sons Inc New York Diestel 1996 Graphentheorie Springer Verlag Heidelberg 1 edition Diestel 2000 Graphentheorie Springer Verlag Heidelberg 2 edition Domschke W 1982 Logistik Rundreisen und Touren Oldenbourg Verlag M nchen Wien 4 erweiterte Aufl 1
163. er E L Lenstra J K Kan A H G R and Shmoys D B 1985 The Traveling Salesman Problem A Guided Tour of Combinatorial Optimization Wiley Chichester Lengauer T 1990 Combinatorial Algorithms for Integrated Circuit Layout Teubner Stuttgart und Wiley Chichester Chichester Lenstra J K 1976 Sequencing by Enumerative Methods PhD thesis Mathe matisch Centrum Amsterdam Oxley J G 1992 Matroid Theory Oxford University Press Oxford Reinelt G 1985 The Linear Ordering Problem Algorithms and Applications Heldermann Verlag Berlin Sachs H 1970 Einf hrung in die Theorie der endlichen Graphen Teubner Leipzig 1970 und Hanser M nchen 1971 46 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Stoer M 1992 Design of Survivable Networks In Lecture Notes in Mathema tics volume 1531 Springer Verlag Berlin Heidelberg Truemper K 1992 Matroid Decomposition Academic Press Boston Wagner K 1970 Graphentheorie BI Wissenschaftsverlag Mannheim Walther H and Nagler G 1987 Graphen Algorithmen Programme VEB Fachbuchverlag Leipzig Welsh D J A 1976 Matroid Theory Academic Press London 47 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 48 Kapitel 3 Komplexitatstheorie Speicherung von Daten In diesem Kapitel f hren wir einige der Grundbegriffe der Komplexit tstheorie ein die f r die algorithmische Graphentheorie und die kombinatorische Opti mi
164. er Vorg nger eines Knoten auf einem augmentierenden s v Weg gespeichert wird EPS n 1 Vektor zur sukzessiven Berechnung von 7 10 Markieren und berpr fen 2 Setze W s U s EPS s 3 Ist U dann gehe zu 9 4 W hle einen Knoten i U aus und setze U U i 5 F hre f r alle B gen i j A mit j W folgendes aus Ist 24 lt cij dann setze VOR j 7 EPS j min cij zij EPS i W WU 7 U UU j 6 F hre f r alle B gen j i A mit j W folgendes aus Ist zji gt 0 dann setze VOR j i EPS j min zj EPS i W W U j U U U j 7 Giltt W gehe zu 8 andernfalls zu 3 Augmentierung 8 Konstruiere einen augmentierenden Weg und erh he den gegenw rtigen Fluss um EPS t d h bestimme j VOR t falls VOR t gt 0 setze 25 4 EPS t andernfalls setze xtj xj EPS t Dann bestimme ja VOR j1 falls VOR j1 gt 0 setze rj EPS t andernfalls ii EPS t usw bis der Knoten s erreicht ist Gehe zu 2 Bestimmung eines minimalen Schnittes 9 Der gegenw rtige s t Fluss x ist maximal und AT W ist ein s t Schnitt mi nimaler Kapazitit STOP Aus den S tzen 7 9 und 7 12 folgt dass Algorithmus 7 13 f r ganzzahlige Kapa zitaten korrekt arbeitet und nach endlicher Zeit abbricht Sind die Daten rational so kann man wie blich alle Kapazit ten mit dem klei
165. ere Knoten auftreten k nnen wenn D keinen negativen Kreis in der Knotenmenge 1 besitzt Ist letzteres der Fall so gilt wh lt 0 f r ein i 1 J F r 0 ist die Behauptung offenbar richtig Angenommen sie ist f r gt 0 richtig und wir haben die u ere Schleife von 2 zum l 1 sten Male durchlaufen Bei diesem Durchlauf haben wir folgenden Schritt ausgef hrt Falls wj gt Vina dann setze wir ULL d h wir haben die nach Induktionsvoraussetzung k rzeste L nge eines 2 7 Weges ber die Knoten 1 verglichen mit der Summe der k rzesten L ngen eines 4 l 1 Weges und eines l 1 7 Weges jeweils ber die Knoten 1 Die letztere Summe repr sentiert also die L nge eines k rzesten 2 7 Weges ber 1 1 der den Knoten 2 l bd l l 1 enth lt Falls diese Summe kleiner als Ui ist setzen wir w j deu Tow 1 andernfalls wif wi Daraus folgt die Behauptung es sei denn j gt 41t wi TE und die Verkettung sagen wir K des 2 1 Weges mit dem l 1 7 Weg ist gar kein Weg d h K ist eine gerichtete 7 j Kette die einen Knoten mindestens zweimal enth lt Die Kette K enth lt nat rlich einen i j Weg sagen wir K und K geht aus K dadurch hervor dass wir die in K vorkommenden gerichteten Kreise entfernen Der Knoten 1 ist nach Konstruktion in einem der Kreise enthalten also ist X ein i j Weg der nur Knoten aus 1
166. eressante Homepage zum TSP ist TSPBIB http www densis fee unicamp br moscato TSPBIB home html wo Verweise zu vielen anderen elektronischen Quellen zum TSP zu finden sind u a zu Seiten wo man die Ausf hrung einiger Heuristiken graphisch verfolgen kann Hamiltonsche Kreise Bevor wir uns dem TSP zuwenden wollen wir kurz der Frage nachgehen unter welchen Bedingungen an einen Graphen auf die Existenz eines hamiltonschen Kreises geschlossen werden kann Da das Problem A P vollst ndig ist kann man nat rlich keine vollst ndige L sung des Problems erwarten Alle hinreichenden Bedingungen fordern im Prinzip dass ein Graph viele gut verteilte Kanten haben muss wenn er hamiltonsch sein soll Eine einfache Idee ist f r jeden Knoten zu fordern dass er einen hohen Grad hat Die Idee funktioniert jedoch nicht direkt Man berlegt sich leicht dass es zu jedem d N einen Graphen mit Minimalgrad 6 G gt d gibt der keinen hamiltonschen Kreis besitzt Ein Klassiker des Gebiets ist die folgende Beobachtung von Dirac aus dem Jahre 1952 9 1 Satz Ist G V E ein einfacher Graph mit n V gt 3 und Minimalgrad 6 G gt 5 so enth lt G einen Hamiltonkreis Beweis Sei P v1 vx ein l ngster Weg in G H tte v einen Nachbarn au erhalb von k nnte der Weg verl ngert werden was wegen seiner Maximalit t nicht geht Analog lie gen auch alle Nachbarn von v in P Mindestens 7 der h chsten n 1 Knoten vi vg
167. erlegt sei in drei disjunkte Teilmengen Va Vn und V Die Knoten aus V bezeichnen wir als Angebotsknoten Bei ihnen flie t ein Strom in das Netzwerk ein Die Knoten V bezeichnen wir als Nachfrageknoten bei ihnen verl t der Strom das Netz und die Knoten V werden als Umladeknoten bezeichnet hier wird der Fluss erhalten Jedem Bogen a A sind eine Kapazit t c a und ein Kostenkoeffizient w a zugeordnet Ferner sei bei jedem Angebotsknoten v V4 die Menge a v verf gbar und bei jedem Nachfrageknoten die Menge b v erw nscht Die Aufgabe einen Plan zu ermitteln der Auskunft dar ber gibt von welchen Anbietern aus ber welche Transport wege der Bedarf der Nachfrager zu decken ist damit die Kosten f r alle durchzuf hrenden Transporte minimiert werden heibt Umladeproblem Offenbar kann man ein Umladeproblem wie in 8 13 angegeben als lineares Programm schreiben min Y w a a a 0 falls v Vy 8 13 z 8 v z v 4 falls v V a v falls v V 0 x a lt Vac A 8 13 ist offensichtlich h chstens dann l sbar wenn b v a v gilt Das lineare Programm 8 13 kann in ein Minimalkosten Flu problem 8 1 wie folgt trans formiert werden Wir f hren eine k nstliche Quelle s und eine k nstliche Senke t ein Die Quelle s verbinden wir mit jedem Knoten v durch einen Bogen s v mit Ko sten Null und Kapazit t a v Jeden Knoten v V verbinde
168. erreichen kann Er benutzt dazu sogenannte Atomic Heaps deren Vewendung n V 7 212 voraussetzt Das bedeutet dass diese Methode zwar theo retisch gut aber f r die Praxis ungeeignet ist Thorup diskutiert in seinem Aufsatz auch implementierbare Varianten allerdings haben diese eine schlechtere Laufzeit z B 140 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 O l4C m nlylnlnn wobei C das gr te Kantengewicht bezeichnet Bei Routenplanern wie sie z B im Internet oder den Bordcomputern von Autos angeboten werden treten Digraphen mit mehreren Millionen Knoten auf die in der Regel nur einen kleinen Grad haben Die Anbieter solcher Programme haben f r derartige Probleme bei denen ja der Grundgraph der auf der CD gespeichert ist fest bleibt Spezialverfahren ent wickelt z B durch intensives Preprocessing und die Abspeicherung wichtiger k rzester Verbindungen die K rzeste Wege Probleme dieser Art l sen 141 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 142 Literaturverzeichnis Ahuja R K Magnanti T L and Orlin J B 1993 Network Flows Theory Algorithms and Applications Pearson Education Prentice Hall New York first edition Bellman E 1958 On a routing problem Quarterly of Applied Mathematics 16 1 87 90 Dijkstra E W 1959 A note on two problems in connexion with graphs Numer Math 1 269 271 Domschke W 1972 K rzeste Wege in Graphen Verlag A Hain Meisenh
169. ert 170 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 eines maximalen Matchings in D Ferner kann ein maximales Matching M direkt aus x konstruiert werden Beweis Hausaufgabe Zusammenhangsprobleme Graphen und Digraphen Mit Hilfe von Maximalfluss algorithmen k nnen ferner f r einen Digraphen die starke Zusammenhangszahl und die starke Bogenzusammenhangszahl in polynomialer Zeit be stimmt werden Analog k nnen in einem ungerichteten Graphen die Zusammenhangszahl und die Kantenzusammenhangszahl in polynomialer Zeit ermittelt werden Mehrere Quellen und Senken Die Festlegung dass wir in einem Digraphen einen Fluss von nur einer Quelle zu nur einer Senke schicken wollen scheint auf den ersten Blick eine starke Einschr nkung zu sein Jedoch k nnen Maximalfluss probleme mit mehreren Quellen und Senken sehr einfach auf das von uns behandelte Problem zur ckgef hrt werden Gegeben sei ein Digraph D V A mit Bogenkapazit ten c a gt 0 f r alle a A Ferner seien S 81 8 C V Quellen und T t t V Senken Es gelte S N T 0 Ein zul ssiger S T Fluss in D ist ein Vektor x R mit folgenden Eigenschaften 0 2 f r allea c A z 6 v 57 v f r alle v V SUT Der Wert eines zul ssigen S T Flusses 2 ist definiert als val z 3 z 6 s 218 8 ses Die Bestimmung eines maximalen 5 T Flusses in D kann wie folgt auf ein Maximal flu problem in
170. erung von Bedeutung sind Wir behandeln insbesondere die Klassen P und NP und das Konzept der A P Vollst ndigkeit Die Darstellung erfolgt auf in formellen Niveau Gute B cher zur Einf hrung in die Komplexit tstheorie sind 1979 und Papadimitriou 1994 weiterf hrende Aspekte wer 1986 und behai delt Shmoys und Tardos 1995 ist ein guter bersichtsartikel Einen detaillierten berblick ber Komplexit tsklassen gibt 1990 Komplexit tstheorie kann man nicht ohne Grundkenntnisse in Kodierungstechni ken betreiben Noch wichtiger aber sind Datenstrukturen beim Entwurf effizienter Algorithmen Diesen Themenkreis streifen wir kurz in Abschnitt 3 3 Zur Ver tiefung dieses Gebietes empfehlen yz Abo tall 274b Kommen eal 1990 1984 1991 1990 und 1983 3 1 Probleme Komplexit tsma e Laufzeiten In der Mathematik und nicht nur hier kann das Wort Problem sehr verschie dene Bedeutungen haben F r unsere Zwecke ben tigen wir eine einigerma en pr zise Definition Ein Problem ist eine allgemeine Fragestellung bei der meh rere Parameter offen gelassen sind und f r die eine L sung oder Antwort gesucht 49 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 wird Ein Problem ist dadurch definiert dass alle seine Parameter beschrieben werden und dass genau angegeben wird welche Eigenschaften eine Antwort L sung haben soll Sind alle Parameter eines Problems mit expliziten Daten belegt dann spr
171. es Verfahrens zur Bestimmung eines saturierten s t Flusses beschrieben Diese Herausnahme von Knoten und B gen aus N induziert nat rlich eine nderung der Knotenpotentiale der vorhandenen Knoten Wir k nnen somit mit dem reduzierten Netzwerk von neuem beginnen durch 7 18 die Potentiale bestimmen und mit der obigen Methode fortfahren Das geschichtete Netzwerk das aus dem Netzwerk aus Abbildung 7 5 durch die obige Reduktionsmethode entsteht ist in Abbildung 7 6 dargestellt 1 5 0 5 Abb 7 6 Man beachte dass die in Abbildung 7 6 angegebenen Flusswerte keinen zul ssigen Fluss des Digraphen 7 6 darstellen F gen wir die aus dem Digraphen entfernten Knoten und B gen mit den f r sie bereits bestimmten Fluss werten hinzu so erhalten wir einen zul ssigen Fluss im urspr nglichen Digraphen aus Abbildung 7 5 Die Berechnung der Potentiale der Knoten aus Abbildung 7 6 ergibt POT 3 4 POT 4 2 5 POT 6 9 POT 7 2 POT 8 4 POT 9 4 159 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Als Referenzknoten m ssen wir nun den Knoten 7 w hlen und POT 7 aus s 1 her ausziehen bzw in t 10 hineinschieben Damit ist das Verfahren zur Bestimmung eines saturierten s Flusses in geschichteten Netzwerken beschrieben Wir starten zun chst mit dem Nullfluss bestimmen die Poten tiale aller Knoten v V s t w hlen das kleinste Potential mit dem Referenzknoten r und schieben POT r durch das Net
172. eten Graphen auf einfache Weise auf gerichtete Probleme reduziert werden k nnen Denn ist ein Graph G V E mit Kantenl ngen c e gt 0 f r al le e E gegeben so ordnen wir diesem Graphen den Digraphen D V A mit A i j j i ij E und c i 5 c 3 2 c ij zu Den ungerichte ten u v Wegen in G entsprechen dann die gerichteten u v Wege bzw v u Wege in D und umgekehrt Einander entsprechende Wege in G und D haben nach Definition gleiche L ngen Also liefert uns ein k rzester u v Weg oder ein k rzester v u Weg in D einen k rzesten u v Weg in G K rzeste Wege Probleme spielen in der kombinatorischen Optimierung eine gro e Rol le Es ist daher nicht berraschend dass es zu diesem Problemkreis eine auBerordentlich umfangreiche Literatur und sehr viele L sungsvorschl ge gibt Wenn man dann noch Va riationen hinzunimmt wie Berechnung l ngster Wege oder zuverl ssiger Wege von We gen maximaler Kapazit t der k k rzesten Wege von Wegen mit gerader oder ungerader Bogenzahl etc so liefert das den Stoff einer gesamten Vorlesung Wir wollen in dieser Vorlesung lediglich drei Algorithmen f r unterschiedliche Spezialf lle behandeln Der Leser der sich f r umfassendere Darstellungen interessiert sei auf die B cher 1983 verwiesen Es werden derzeit immer noch neue Algorithmen oder Modifikationen bekannter Algorithmen entdeckt die aus theoretischer oder praktischer Sicht schneller a
173. etrische TSP Wir wollen uns nun noch kurz dem Optimierungsproblem 5 7 ber Basissystemen zu wenden Wie bei B umen und W ldern vorgef hrt siehe Abschnitt 4 2 kann man ein Maximierungsproblem des Typs 5 6 mit Hilfe einer polynomialen Transformation in ein Minimierungsproblem 5 7 berf hren und umgekehrt Analog l sst sich auch aus 5 16 ein Minimierungsalgorithmus ableiten 5 22 Greedy Minimierungsalgorithmus f r Basissysteme Input Grundmenge E 1 n mit Gewichten c R f r alle i E ein Un abh ngigkeitssystem T C 2 gegeben durch ein Unabh ngigkeitsorakel Output Eine Basis 1 117 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 1 Sortiere die Gewichte in nicht absteigender Reihenfolge nach Beendigung von Schritt 1 gelte c1 lt cg lt Col 2 Setze I 3 FOR 1 TO n DO Ist I U i T Orakelaufruf dann setze I I U i 4 Setze I und gib aus Offenbar ist B eine Basis der Grundmenge E des Unabh ngigkeitssystems Z geh rt also zum zugeh rigen Basissystem B Folgerung 5 19 impliziert 5 23 Satz Sei Z ein Unabh ngigkeitssystem auf E und B das zugeh rige Basissystem Dann sind quivalent a 7 ist ein Matroid b Fiir alle Gewichte c R liefert der Greedy Algorithmus 5 22 eine Optimall sung von min c B B Bj c F r alle Gewichte c 0 1 liefert der Greedy Algorithmus 5 22 eine Opti mall sung von m
174. euristiken gelegt Wir haben gesehen dass P N co NP gilt Auch bez glich der Verh ltnisse dieser drei Klassen zueinander gibt es einige offene Fragen 56 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Gilt P NP co NP Gilt NP co NP Aus NP co NP w rde P NP folgen da offenbar P co P gilt Die Klassenzugeh rigkeit des oben erw hnten und bereits von den Griechen un tersuchten Primzahlproblems war lange Zeit offen Das das Primzahlproblem in co P ist haben wir oben gezeigt Rivest gelang es 1977 zu zeigen dass das Prim zahlproblem auch in ist Beginnend mit dem Sieb des Erathostenes sind sehr viele Testprogramme entwickelt worden Erst 2002 gelang es drei Indern einen polynomialen Algorithmus zu entwickeln der in polynomialer Zeit herausfindet ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist oder nicht siehe URL http www cse iitk ac in users manindra primality ps Wir wollen nun innnerhalb der Klasse A P eine Klasse von besonders schwierigen Problemen auszeichnen 3 5 Definition Gegeben seien zwei Entscheidungsprobleme II und Il Eine polynomiale Transformation von in II ist ein polynomialer Algorithmus der gegeben ein kodiertes Problembeispiel ein kodiertes Problembeispiel T produziert so dass folgendes gilt oor Die Anwort auf T ist genau dann ja wenn die Antwort auf T ja ist Offenbar gilt folgendes Ist II in polynomial transformie
175. eweise nicht vollst ndig an und verweisen auf die bersichtsartikel 1989 und Goldbere et al 1990 und die dort zitierte Originalliteratur Wir gehen im weiteren davon aus dass ein einfacher symmetrischer Digraph D V A mit Bogenkapazit ten c a gt 0 und zwei Knoten s t Z t gegeben sind und dass n V und m gilt 7 33 Lemma In jedem beliebigen Stadium der Ausf hrung des generischen Pr fluss Algorithmus mit zugeh rigem Pr fluss x gibt es von jedem Knoten mit positivem berschuss e u gt 0 einen gerichteten Weg von u zur Quelle s im Residualgraphen Dieses Lemma impliziert dass bei jeder RELABEL Operation das Minimum nicht ber der leeren Menge gebildet wird Die n chsten Aussagen sind f r die Laufzeit Analyse von Bedeutung 7 34 Lemma In jedem Stadium der Ausf hrung des generischen Pr fluss Algo rithmus gilt d v lt 2n 1 f r jeden Knoten v V 7 35 Lemma a Die Entfernungsmarkierung eines Knoten wird h chstens 2n 1 mal erh ht b Insgesamt werden h chstens 2n 1 RELABEL Operationen ausgef hrt c Die Anzahl der saturierenden PUSH Operationen ist h chstens nm d Die Anzahl der nichtsaturierenden PUSH Operationen ist h chstens 2n m 7 36 Satz Der generische Pr fluss Algorithmus endet mit einem maximalen Fluss Er ben tigt O n m Fortschreibungsoperationen Mit geeigneten Datenstrukturen ist das in O n m arithmetischen Operationen dur
176. f r die der Greedy Algorithmus siehe 4 7 eine Optimall sung liefert 5 9 Definition Ein Matroid M besteht aus einer Grundmenge E zusammen mit ei nem Unabh ngigkeitssystem T C 2 das eine der folgenden quivalenten Bedingungen erf llt 1 3 I J ez I J 1 gt 3j J I mit TU j ez A3 I J T I lt J 3K CJ Imit IUK J soda IUK ET 1 3 F C E und B Basen von F B B Das hei t also das Unabh ngigkeitssystem eines Matroids auf E ist ein Mengensystem T C 2F das die Axiome 1 1 1 2 und eines der Axiome 1 3 1 3 1 3 erf llt Ein solches System erf llt automatisch auch die beiden brigen der drei Axiome 1 3 1 3 SCH Ein Wort zur Terminologie Nach der obigen Definition ist ein Matroid M ein Paar E T mit den oben aufgef hrten Eigenschaften Wenn klar ist um welche Grundmenge E es sich handelt spricht man h ufig auch einfach von dem Matroid Z ohne dabei E explizit zu erw hnen Man sagt auch M bzw 7 ist ein Matroid auf E 103 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 In Definition 5 9 haben wir von den quivalenten Bedingungen 1 3 I 3 I 3 ge sprochen Diese Aquivalenz muss nat rlich bewiesen werden Da wir hier jedoch keine Vorlesung ber Matroide halten wollen k nnen wir auf die Beweise aus Zeitgr nden nicht eingehen Das gleiche gilt f r die nachfolgend gemachten Aussagen ber Zirkuit Basissysteme und Rangfunktionen Bewei
177. fach zu sehen dass M eeM c lt 0 ein Matching in G ist das maximal bez glich der Gewichtsfunktion c ist Zuordnungsproblem gerichtetes Zuordnungsproblem Wir zeigen nun dass man das Zuordnungsproblem mit einem Algorithmus f r das gerichtete Zu ordnungsproblem l sen kann Gegeben sei also ein bipartiter Graph G V E mit Bipartition V V und Kantengewichten ce Es gelte Vj Ju us Un Vo vi v5 Un Wir definieren einen Digraphen D W A mit 1 Wn Zwei Knoten w W sind genau dann durch einen Bogen wi wj verbunden wenn u v E gilt Das Gewicht c wi w des Bogens wi w sei das Gewicht c u v der Kante u v Ist B eine minimale L sung des gerichteten Zuordnungsproblems bez glich D und c so ist M uiv wi wj B offenbar ein minimales perfektes Matching in G bez glich der Gewichtsfunktion c Es ist ebenfalls sofort klar dass das gerichtete Zuordnungsproblem bez glich D eine L sung genau dann hat wenn G ein perfektes Matching enth lt Gerichtetes Zuordnungsproblem bipartites Matchingproblem Schlie lich wollen wir noch vorf hren dass man das gerichtete Zuordnungsproblem auf das Matchingproblem in bipartiten Graphen zur ckf hren kann Gegeben sei also ein Digraph D W A mit W w1 Wn und Bogengewich ten c wi w f r alle w w A Wir definieren einen bipartiten Graphen G V E mit Bipartition Vj ui u4
178. festen Schema eine Teilmenge aller zul ssigen L sungen die S enthalten oder man benutzt wieder ein lokales Optimalit tskriterium um eine derartige L sung zu bestimmen Ist unter den erzeugten zul ssigen L sungen eine die besser als T ist nennen wir diese 7T und wiederholen die Prozedur Gibt es keine bessere L sung als T entfernen wir andere Elemente aus T und verfahren analog Wir beenden das Verfahren wenn alle nach einer vorgegebenen Regel m glichen Austauschschrit te keine bessere L sung produziert haben F r das symmetrische TSP wollen wir drei Varianten dieses Austauschverfahrens genauer darstellen 9 9 Austauschverfahren f r das symmetrische TSP a Zweier Austausch 2 OPT 1 W hle eine beliebige Anfangstour T 44 49 dg 2 Setze Z ipip 1 igiqui p 1Z 4 7 a a c1z p 1E p lt 3 F r alle Kantenpaare ipip 1 tgig41 Z f hre aus Ist Cipipri Cigiqui gt Cipig Setze T T ipip 1 iqiq 1 U ipiq 1 4 1 und gehe zu 2 4 Gib T aus b r Austausch r OPT 205 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 1 W hle eine beliebige Anfangstour T 2 Sei Z die Menge aller r elementigen Teilmengen von T 3 F r alle R Z f hre aus Setze S T R und konstruiere alle Touren die S enthalten Gibt es unter diesen eine die besser als T ist nenne sie T und gehe zu 2 4 Gib T aus c Austausch zweier Knoten 2 NODE OPT 1 W hle eine beliebi
179. fig nur nicht so formuliert weil die Autoren entweder m glichst kurze Beweise geben wollen oder an Algorithmen nicht wirklich interessiert sind Schauen wir uns also den Beweis des Satzes von Dirac genauer an und interpretieren wir ihn als Heuristik Wir w hlen einen beliebigen Knoten von G V E sagen wir v dann gehen wir zu einem Nachbarn von v sagen wir v von v aus besuchen wir einen Nachbarn den wir bisher nicht besucht haben Wir f hren diese Depth First Suche solange durch bis wir zu einem Knoten kommen dessen Nachbarn alle bereits in dem bisher konstruierten Weg sind Dann gehen wir zur ck zu v w hlen einen weiteren noch nicht besuchten 196 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Nachbarn von v und verl ngern den Weg so lange wie m glich Wir erhalten auf diese Weise einen Weg P v1 v so da alle Nachbarn von v und von vx in P liegen Dies ist eine Trivialheuristik zur Konstruktion eines maximalen nicht notwendigerweise l ngsten Weges in Nun gehen wir genau wie im Beweis von Satz 9 1 vor Aufgrund der Bedingung G gt 5 k nnen wir einen Knoten 0 1 lt i lt k finden mit v1 vp E und vj vy E Wir schlie en P zu einem Kreis C vivi Pu vjP v1 Gibt es einen Knoten vo V der nicht in ist so hat vo wegen deg vo gt 2 zwei Nachbarn in C die auf C benachbart sind sagen wir v j und vj 1 Wir entfernen die Kante v vj aus C und f gen die beiden Kanten vjvo und
180. fundene gerichtete Kreis mit Knotenmenge W _1 und sei ein bez glich _1 maximales Branching von D _1 das eine minimale Zahl von B gen aus A W _ enth lt Ein solches Branching hat nach Lemma 4 20 a h chstens einen Bogen in W _1 Wir setzen B B U B U B mit B A W 1 U Wii B B nA W Bu B n Wii Nach Annahme ist DI entweder leer oder elementig Sei B das durch den Algorithmus bestimmte Branching von D das nach Induktionsannahme in D maximal bez glich der Gewichte ist und dessen B gen positive c Gewichte haben Sei 1 der in Schritt 7 der Iteration 1 gefundene gerichtete Kreis und bj_1 sei ein Bogen des Kreises C 1 mit kleinstem positivem c 1 Gewicht 1 Fall B 0 Nach Lemma 4 20 b ist dies gleichwertig mit c a lt 0 f r alle a 6 w _1 Aj Also ist B 16 1 0 Aufgrund der Auswahl der B gen in Schritt 5 gilt c 4 C i bi gt ci 1 B Ferner ist B ein Branching in Dj woraus c B c B folgt Da w _ eine Wurzel in B ist gilt nach Schritt 12 B _ U Ci 1 bi 1 Daraus ergibt sich ci 1 Bi 1 ei 1 Bi ei 1 C i 1 bi 1 Ba ei 1 Ci 1 X bi 1 gt c B e alB ci 1 B c 1 B ci 1 B Mithin ist B _ c 1 maximal in D 1 2 Fall B d Es sei d _ der Bogen in Cj_1 mit h 1 d 1 hi 1 d Nach Lem ma 4 20 b ist B gleichwertig d
181. ge Anfangstour T 2 Sei Z v y v und y nicht benachbart auf 3 F r alle Knotenpaare v y Z f hre aus B d A habe T die folgende Gestalt Konstruiere aus die folgenden 5 Touren 2 I N 2 Z y x 2 y x Abb 9 5 Ist eine der Touren k rzer als nenne sie T und gehe zu 2 4 Gib T aus 9 10 Bemerkung a F r einen Durchlauf der Schleife 3 ben tigen 2 OPT und 2 NODE OPT O n Schritte w hrend r OPT O n Schritte ben tigt Es ist nicht bekannt ob die drei Heuristiken aus 10 5 eine polynomiale Laufzeit haben 206 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 b Man kann zeigen dass f r metrische TSP gilt c Topt e Tr opt lt 2 Zeller F rr gt 4ist das r Austauschverfahren aus Laufzeitgr nden praktisch nicht durchf hrbar aber auch bei r 3 treten bei gr eren TSP Instanzen erhebliche Rechenzeitprobleme auf Dagegen laufen 2 OPT und 2 NODE OPT empirisch mit vern nftigen Rechenzeiten Es ist blich eine Tour die durch einen r Austausch nicht mehr verbessert werden kann r optimal zu nennen r optimale Touren sind sogenannte lokale Optima aus denen man mit Hilfe des r Austausches nicht herauskommt Man beachte dass 2 NODE OPT als eine Mischung des 2 OPT 3 OPT und 4 OPT Verfahrens angesehen werden kann wobei alle Zweiertausche aber nur wenige der Dreier und Vierertausche ausgef hrt werden Die Zahl der Dreier
182. ge bzw Kreise in G bestimmen Man beachte jedoch dass ein negatives Kantenge wicht c ij in G automatisch zu einem negativen gerichteten Kreis i j 7 4 in D f hrt Mit unseren Methoden k nnen wir also nur k rzeste Wege und Kreise in Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten bestimmen Es sei an dieser Stelle jedoch darauf hingewiesen dass auch in Graphen mit negativen Kantengewichten k rzeste Wege und Kreise bestimmt werden k nnen falls kein Kreis negativ ist Dies geschieht mit Methoden der Matching Theorie auf die wir hier aus Zeit gr nden nicht eingehen k nnen Laufzeiten Genaue Laufzeitanalysen von verschiedenen Varianten der hier vorgestellten Algorithmen zur Berechnung von k rzesten Wegen findet man z B in 1993 auf den Seiten 154 157 ebenso wie einen kurzen geschichtlichen berblick Umfangreiche historische Bemerkungen zur Theorie und Algorithmik von k rzesten We gen bietet das Buch von Schrijver Dx In den Abschnitten 7 5 und 8 6 sind z B Ta bellen zu finden die die Verbesserungen der Worst Case Laufzeiten von K rzeste Wege Algorithmen dokumentieren Ein Algorithmus zur Bestimmung k rzester Wege muss jeden Bogen des gegebenen Di graphen D V A mindestens einmal anfassen Eine untere Schranke f r die Lauf zeit eines jeden Algorithmus dieser Art ist somit O m m 1997 hat gezeigt dass man diese Laufzeit f r ungerichtete Graphen mit nichtnegativen Kantenge wichten tats chlich
183. genw rtige Fluss hat den Wert 3 und offenbar hat der Maximalfluss den Wert 4 Es gibt im Digraphen von Abbildung 7 1 aber keinen gerichteten s t Weg auf dem der gegenw rtige Fluss verbessert werden k nnte Auf allen drei gerichteten s t Wegen ist mindestens ein Bogenfluss an seiner maximalen Kapazit t Eine M glichkeit den Fluss entlang eines ungerichteten Weges zu erh hen haben wir jedoch Wir betrachten den s t Weg mit den Bogen s 2 1 2 1 t und erh hen den Fluss der B gen s 2 1 t um jeweils 1 erniedrigen den Fluss durch 1 2 um 1 Dadurch wird weder eine der Kapazit tsbedingungen 7 1 noch eine der Flusserhaltungsbedingungen verletzt aber der Flusswert um 1 erh ht Wir treffen daher folgende Definition 7 8 Definition Sei D V A ein Digraph mit Bogenkapazit ten c f r alle a A seien s t v V s t und sei x ein zul ssiger s t Fluss in D In einem ungerichte ten v Weg P nennen wir einen Bogen i j der auf in Richtung s nach v verl uft Vorw rtsbogen andernfalls hei t i j Riickwartsbogen P hei t augmentierender s v Weg bez glich des s t Flusses x falls lt f r jeden Vorwartsbogen i j gilt und xij gt 0 f r jeden R ckw rtsbogen i j gilt Wenn wir nur augmentierender Weg sagen so meinen wir immer einen augmentierenden s t Weg 150 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Im oben angegebenen Weg P des in Abbildung 7 1 gezeigt
184. gsproblem hat folgende Anwendung Gegeben seien n M nner und n Frauen f r 1 lt 7 7 lt n sei ci ein Antipathiekoeffizient Gesucht ist eine Zuordnung von M nnern zu Frauen Heirat so dass die Summe der Antipathie koeffizienten minimal ist Dieses Problem wird h ufig Heiratsproblem genannt Das Matchingproblem in bipartiten Graphen kann man folgenderma en interpre tieren Ein Betrieb habe m offene Stellen und n Bewerber f r diese Positionen Durch Tests hat man herausgefunden welche Eignung Bewerber f r die Stelle 7 hat Diese Kompetenz sei mit cj bezeichnet Gesucht wird eine Zuordnung von Bewerbern zu Positionen so dass die Gesamtkompetenz maximal wird Das Zuordnungsproblem und das Matchingproblem in bipartiten Graphen sind offenbar sehr hnlich die Beziehungen zwischen dem Zuordnungsproblem und seiner gerichteten Version sind dagegen nicht ganz so offensichtlich Dennoch sind diese drei Probleme in folgendem Sinne quivalent man kann sie auf sehr einfache Weise ineinander transformieren d h mit einem schnellen Algorithmus zur L sung des einen Problems kann man die beiden anderen Probleme l sen ohne komplizierte Transformationsalgorithmen einzuschalten Transformationstechniken die einen Problemtyp in einen anderen berf hren sind auBerordentlich wichtig und zwar sowohl aus theoretischer als auch aus prak tischer Sicht In der Theorie werden sie dazu benutzt Probleme nach ihrem Schwie rigke
185. h oder push relabel Algorithmen genannt Wir nennen sie hier Pr fluss Algorithmen ber blicke zu diesem Themenkreis finden sich u a in den Artikeln 1989 und 163 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Goldberg et al 1990 sowie in dem Buch Ahuja et al 1993 Implementierungswettbe werbe in letzter Zeit deuten an dass die besten Pr fluss Algorithmen bei groBen Graphen in der Praxis schneller sind als die bisher bekannten Verfahren wobei nicht unbedingt die bez glich der worst case Laufzeit schnellsten Algorithmen auch in der praktischen Ausf hrung am schnellsten sind Die Entwicklung speziell hinsichtlich praktisch effizi enter Implementierungen ist noch nicht abgeschlossen Es hat sich aus Notationsgr nden eingeb rgert Pr fluss Algorithmen etwas anders dar zustellen als die brigen Maximalfluss Verfahren Wir folgen hier diesem Brauch Wie immer ist ein Digraph D V A mit nichtnegativen Bogenkapazit ten c a gege ben Wir lassen wie blich zu dass c a auch den Wert oo annehmen kann Wir verlan gen dass D V A keine parallelen B gen besitzt also einfach ist und ferner dass D zu jedem Bogen u v auch seinen Gegenbogen v u enth lt Digraphen mit letzterer Eigenschaft hei en symmetrisch Wenn wie blich ein beliebiger Digraph gegeben ist so k nnen wir ihn in diese Stan dardform wie folgt transformieren Parallele B gen ersetzen wir durch einen einzigen Bogen wobei wir di
186. h aktive Knoten gibt w hle einen aktiven Knoten Gibt es noch erlaubte B gen mit Anfangsknoten u wiihle einen solchen Bogen u v und f hre PUSH u v aus gibt es keinen erlaubten Bogen mit Anfangsknoten f hre RELABEL u aus RELABEL u Ersetze d u durch min d v u v Az 1 PUSH v v Erh he den Fluss auf dem Bogen u v um den Wert 6 wobei 0 lt 6 min e u rz u v gelten muss Die PUSH Operation schiebt also zus tzlichen Fluss durch einen Bogen Im allgemeinen und so machen wir es hier auch wird man nat rlich den Fluss um den gr tm glichen Wert min e v r u 0 erh hen es gibt jedoch Skalierungsalgorithmen bei denen kleinere Werte gew hlt werden Falls 6 r u v so nennt man einen solchen Schub saturierend Nach einem saturierenden Schub ist ein Bogen nicht mehr erlaubt da der Fluss durch ihn die Kapazit tsgrenze erreicht hat und er aus dem Residualgraphen entfernt wird Die Entfernungsmarkierung von u wird dann erh ht wenn kein erlaubter Bogen verlasst weil jeder Bogen u v A entweder keine Restkapazit t mehr hat oder die Entfer nungsmarken der Nachfolger von u zu hoch sind Das Ziel der RELABEL Operation ist mindestens einen weiteren erlaubten Bogen zu erzeugen Der generische Pr fluss Algorithmus muss keineswegs mit der Entfernungsmarkierung d v 0 f r alle v V s beginnen In der Praxis hat es sich als au erordentlich n tzlich erwiesen die We
187. h die Umkehrung Zirkuitsysteme und Basissysteme sind nach Definition Antiketten Clutter d h Sys teme von Mengen so dass keine zwei Mengen ineinander enthalten sind Ist B Z eine Antikette auf E so ist 5 3 T ICE 3BeBmitICB ein Unabh ngigkeitssystem auf E und B ist das zu Z geh rige Basissystem Ist C Z 0 eine Antikette auf E so ist 5 4 T I E I enth lt kein Element von ein Unabh ngigkeitssystem und C ist das zu Z geh rige Zirkuitsystem Die oben definierte Rangfunktion hat folgende Eigenschaften Sie ist subkardinal d h f r alle F C E gilt r F lt F sie ist monoton d h f r alle F C E gilt F C G r F lt r G 100 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 und sie ist stark subadditiv d h f r alle F C E f r alle ganzen Zahlen k gt 1 und f r alle Familien F i K von Teilmengen F mit der Eigenschaft dass 7 K e F k f r alle e F gilt k r F M r F Istr 22 gt Z eine subkardinale monotone stark subadditive Funktion so ist 5 5 T ICE r n 1 ein Unabh ngigkeitssystem dessen Rangfunktion die Funktion r ist Unabh ngigkeitssysteme 7 auf einer Grundmenge E definieren also mathematische Struk turen die quivalent durch Zirkuitsysteme Basissysteme oder Rangfunktionen gegeben werden k nnen Unabh ngigkeitssysteme sind sehr allgemeine Objekte und besitzen zu wenig Struktur um tiefliegende Aussag
188. h ein anderes Konzept der Repr sentation von Matroiden durchgesetzt und als au erordentlich n tzlich erwiesen Matroide werden durch Orakel dargestellt Wir treffen folgende Definition Die Kodierungsl nge eines Matroids M 7 ist die Anzahl der Elemente E Das Matroid selbst ist in einem Orakel versteckt wobei das Orakel als ein Computerprogramm Subroutine interpretiert werden kann das Fragen eines speziellen Typs beantwortet Wir geben einige Beispiele diese gelten nat rlich nicht nur f r Matroide sondern analog auch f r Unabh ngigkeitssysteme und gehen davon aus dass wir die Grundmenge E kennen 5 14 Beispiele f r Orakel a Unabh ngigkeitsorakel F r jede Menge F C E k nnen wir das Orakel fragen ob F unabh ngig ist Das Orakel antwortet mit ja oder nein b Zirkuitorakel F r jede Menge F C E k nnen wir das Orakel fragen ob F ein Zirkuit ist Das Orakel 66599 antwortet mit ja oder nein c Basisorakel F r jede Menge F C E k nnen wir das Orakel fragen ob F eine Basis von E ist Das 66s 99 Orakel antwortet mit ja oder nein 111 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 d Rangorakel F r jede Menge F C E k nnen wir das Orakel fragen wie gro der Rang F ist Die Antwort des Orakels ist r F Man sieht sofort dass dieses theoretische Orakelkonzept dem Konzept von Unterpro grammen der Programmierung
189. he National Bureau of Standards Section B 71 233 240 Graham R L and Hell P 1982 On the History of the Minimum Spanning Tree Pro blem Annals of the History of Computing 7 43 57 Mehlhorn 1984 Data Structures and Algorithms volume 1 3 Springer Verlag EATCS Monographie edition dreib ndige Monographie Band I liegt auch auf deutsch im Teubner Verlag 1986 vor Tarjan E 1977 Finding Optimum Branchings Networks 7 25 35 97 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 98 Kapitel 5 Matroide und Unabhangigkeitssysteme Wir werden nun einige sehr allgemeine Klassen von kombinatorischen Optimierungspro blemen kennenlernen Diese enthalten die im vorigen Kapitel betrachteten Probleme Die in Kapitel 4 besprochenen Algorithmen sind ebenfalls auf die neuen Probleme bertrag bar Allerdings treten bei der algorithmischen Behandlung dieser Probleme einige Schwie rigkeiten auf die wir eingehend diskutieren miissen Gute Biicher tiber Matroidtheorie sind 1992 Truemper 1992 und Welsh 1976 ein neuerer bersichtsartikel 1995 Optimierungsprobleme auf Matroiden werden z B in Bixby and Cunningham 1995 ausf hrlich behandelt 5 1 Allgemeine Unabhangigkeitssysteme E sei im folgenden immer eine endliche Menge 2 bezeichne die Menge aller Teilmen gen von E 5 1 Definition Eine Menge Z C 2E hei t Unabh ngigkeitssystem oder monotones Mengensystem auf E wenn 7 die folgenden
190. he Travelling Salesman Problem pages 145 180 Wiley amp Sons Inc New York Kirkpatrick S Jr C D G and Vecchi M P 1983 Optimization by simulated anne aling Science 220 671 680 Lawler E L Lenstra J K Kan A H G R and Shmoys D B 1985 The Traveling Salesman Problem A Guided Tour of Combinatorial Optimization Wiley Chichester Reinelt G 1994 The Traveling Salesman Computational Solutions for TSP Applicati ons Springer van Laarhoven P J M and Aarts E H L 1987 Simulated Annealing Theory and Applications D Reidel Publishing Co Dordrecht 213 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 214 Kapitel 10 G tema e f r Heuristiken In diesem Kapitel wollen wir die G tekriterien zur Bestimmung des Approximationsver haltens von Heuristiken verfeinern Im vorhergehenden Kapitel haben wir Beispiele f r heuristische Verfahren angegeben f r die gewisse G tegarantien bewiesen werden k nnen Wir haben auch gesehen dass es bei manchen Problemen berhaupt nicht m glich ist mit polynomialem Rechenaufwand zu garantieren dass eine fast optimale L sung gefunden werden kann falls P NP Ferner gibt es Probleme bei denen bestm gliche Worst Case Schranken existieren die mit polynomialen Verfahren erreicht aber nicht verbessert werden k nnen Um diese und andere F lle besser klassifizieren zu k nnen hat sich die folgende Terminologie gebildet 10 1 Definition Sei
191. hen Fallen ist es zweckm figer eine Kette als Kantenfolge e1 er zu betrachten Ist C die Menge der Kanten B gen eines Kreises oder eines Weges so spricht man dann einfach vom Kreis oder Weg C w hrend V C die Menge der Knoten des Kreises oder Weges bezeichnet Je nach behandeltem Themenkreis wird hier die am besten geeignete Notation benutzt Eine Kette in der alle Knoten voneinander verschieden sind heiBt Weg Eine Kette in der alle Kanten oder B gen verschieden sind hei t Pfad Ein Weg ist also ein Pfad aber nicht jeder Pfad ist ein Weg Ein Weg oder Pfad in einem Digraphen der eine gerichtete Kette ist hei t gerichteter Weg oder gerichteter Pfad Wie bei Ketten sprechen wir von u v Wegen u v Wegen etc Im Englischen hei t Kette walk oder chain Im Deutschen benutzen z B Domschkd iud 1969 ebenfalls das Wor Kette dagegen schreiben Aigner 1984 Diestell 2000 und 1970 Kantenzug w hrend 1936 ge benutzen Ebert schlie lich nennt unsere Ketten ungerichtete Pfade Dieses Wirrwarr setzt sich bez glich der Begriffe Pfad und Weg auf ahnliche Wei se fort 12 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Eine Kette hei t geschlossen falls ihre L nge nicht Null ist und falls ihr Anfangs knoten mit ihrem Endknoten bereinstimmt Ein geschlossener gerichteter Pfad bei dem der Anfangsknoten und alle inneren Knoten voneinander verschieden sind hei t Kreis gerichteter
192. hleifen unser Normalfall dann gen gt es die obere oder untere Dreiecksmatrix von A zu speichern Man macht das z B in der Form Q12 013 Qin 923 424 D n 434 An I1 n Die Adjazenzmatrix des Graphen in Abbildung 3 1 sieht wie folgt aus 0 0 1 0 62 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Hat ein Graph Kantengewichte und ist er einfach so setzt man aij Gewicht der Kante 25 i j 1 n Ist eine Kante 77 nicht im Graphen G enthalten so setzt man Qij 0 Qij 00 oder Qij 00 je nachdem welche Gewichtszuordnung f r das Problem sinnvoll ist und die Benutzung dieser Kante ausschlie t Wiederum braucht man von der so definierten Matrix A nur die obere Dreiecksmatrix zu speichern Die Adjazenzmatrix eines Digraphen D V E mit V 1 2 n ohne Schleifen ist definiert durch Qi 0 i 1 2 n ou Anzahl der B gen in E mit Anfangsknoten 7 und Endknoten j i j Bogengewichte werden wie bei Adjazenzmatrizen von Graphen behandelt Der Speicher aufwand von Adjazenzmatrizen betr gt n bzw 3 Speicherpl tze falls bei einem unge richteten Graphen nur die obere Dreiecksmatrix gespeichert wird Adjazenzlisten Speichert man f r einen Graphen G V E die Anzahl der Knoten und f r jeden Kno ten v V seinen Grad und die Namen der Nachbarknoten so nennt man eine solche Datenstruktur Adjazenzliste von G F
193. hlen Knoten 2 b 7 2 Bo 2 1 7 2 wir markieren 2 Wir w hlen Knoten 3 b 2 3 Bo 2 1 7 2 2 3 wir markieren 3 86 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 10 Wir w hlen Knoten 7 b 3 7 Bo U 3 7 enth lt den gerichteten Kreis Co 3 7 2 es ist Wo 2 3 7 Der neue Digraph Vi mit Vj wo 1 4 5 6 sieht wie in Abb 4 5 gezeigt aus und hat die in Abb 4 5 angegebenen Gewichte c Gewichts nderungen ergeben sich nur bei B gen mit Anfangsknoten in Vo V Wo und Endknoten in Wo also ci 1 wo co 1 2 2 3 co 7 2 3 4 5 2 1 4 co 4 3 2 3 c0 2 3 3 4 4 3 ci 9 wo 0 5 7 co 2 3 c0 3 7 3 4 5 2 Markierungen von Knoten sind durch ein angedeutet In D ist nur Knoten 1 markiert Bi 1 Wir w hlen Knoten 4 b wo 4 By wo 1 wo 4 wir markieren 4 87 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 3 10 Wir w hlen Knoten wo b 4 wo B U 4 enth lt den Kreis C1 4 wo wo 4 mit W 4 wo Der neue Digraph Da V2 Ag hat die Knotenmenge V2 w1 1 5 6 und ist in Abbildung 4 6 mit seinen Bogengewichten und Markierungen dargestellt Die Bogengewichts nderungen ergeben sich aus c2 1 w1 c 1 wo c 4 wo m c1 4 wo 2 3 3 2 co 5 w1
194. hnell in Fallen bzw lokale Minima aus denen die Verbesserungsvorschriften nicht herausf hren Geht man jedoch auf eine schlechtere L sung zur ck so kann man durch einen erneuten und weitere Aus tausche u U zu einer wesentlich besseren L sung gelangen Hierzu liefert Abbildung 9 7 eine suggestive Anschauung Abb 9 7 Tr gt man auf der z Achse die L sungen auf und auf der y Achse deren Wert und be trachtet man die Methode in der linken oberen Ecke einen Ball laufen zu lassen als Ver 210 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 besserungsheuristik so ist klar dass der Ball in Abbildung 9 7 h ufig in den Nebent lern lokale Minima h ngen bleibt St t man den Ball jedoch zwischendurch gelegentlich an so kann er abh ngig von der Sto richtung und st rke aus dem Tal herauskatapul tiert werden und in ein tieferes Tal rollen Dies zeigt dass gelegentliches Verschlechtern langfristig zu besseren L sungen f hren kann All diese berlegungen sind jedoch nur berzeugende Prinzipien bei denen nicht direkt klar ist ob sie sich auch in effiziente heuristische Verfahren bersetzen lassen Methoden des Typs 9 7 sind sehr n tzlich in Bezug auf kombinatorische Optimierungsprobleme mit wenig untersuchten Strukturen und Nebenbedingungen Nach meinen Erfahrungen sind Verfahren dieser Art insbesondere wegen der hohen Laufzeiten in der Regel den recht sophistifizierten Heuristiken f r intensiv studierte Pro
195. i 1 und gehe zu 2 Phase II Rekonstruktion eines maximalen Branchings Bei Beginn von Phase II sind alle Knoten des gegenw rtigen Digraphen D markiert und die Bogenmenge B ist ein Branching in D mit maximalem Gewicht 84 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 11 Falls 0 STOP Das Branching Bo ist ein optimales Branching des gegebenen Digraphen D Do 12 Falls der Pseudoknoten w _ von Dj die Wurzel einer Arboreszenz des Branchings Dj ist dann setze Bi Bi U Ci 1N bi 1 wobei b _ ein Bogen des Kreises C _ ist der unter den B gen aus C _ minima les Gewicht cj 1 b 1 hat Setze i 1 und gehe zu 11 13 Gibt es einen Bogen b in mit h b 1 d h ist w _ keine Wurzel dann bestimme den Bogen a _ C 1 mit hj 1 b hi_ a _ und setze _1 BU Ci 1 ai 1 Setze i 1 und gehe zu 11 Der Witz von Algorithmus 4 17 liegt in der geschickten Definition der modifizierten Kosten in Schritt 8 f r die B gen aus A W des Digraphen D Die Greedy Bogenauswahl hat einen gerichteten Kreis C mit Knotenmenge W produziert Die Kosten des Kreises seien K c C Da ein Branching keinen Kreis enthalten darf entfernt man den bil ligsten Bogen b und erh lt damit einen gerichteten Weg P b mit Kosten K K c bj Dieser Weg ist ein potentieller Kandidat zur Aufnahme in das optimale Branching Es gibt jed
196. ialer Algorithmen mit bestimmten G tegarantien ausgeschlossen werden kann Dieses Kapitel dient auch zur Vorbereitung auf die Vorlesung ADM II die sich mit li nearer und ganzzahliger Optimierung besch ftigt Das Rucksackproblem ist in einem ge wissen Sinne eines der einfachsten aber dennoch A P schweren ganzzahligen Optimie rungsprobleme Das Rucksackproblem kann folgenderma en beschrieben werden Gegeben seien n ver Schiedene Arten von Gegenst nden die in einen Rucksack gef llt werden sollen Der Rucksack hat ein beschr nktes Fassungsverm gen b Jeder Gegenstand einer Art 7 hat ein Gewicht a und einen Wert Der Rucksack soll so gef llt werden dass seine Kapazit t nicht berschritten wird und der Gesamtinhalt so wertvoll wie m glich ist Von diesem Problem haben wir in Kapitel 1 siehe 1 10 und 1 11 bereits zwei Varianten kennengelernt Hier formulieren wir einige weitere 12 1 Definition Seien a c Z j 1 2 n und b N a Das Problem KP Ne lt b 247 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 hei t allgemeines Knapsack Problem oder Rucksackproblem b Fordern wir zus tzlich dass x 0 1 j 1 n gilt so hei t KP bin res Knapsack Problem oder 0 1 Knapsack Problem c Das Problem n max 3 CT GKP KS Qj tj b hei t Gleichungs Knapsack Problem Mit der Zusatzforderung x 0 1 j 1 n hei t dieses Problem bin res oder 0 1 Gleichung
197. icht man im Englischen von einem problem instance Im Deutschen hat sich hierf r bisher kein Standardbegriff ausgepr gt Es sind u a die W rter Einzel fall Fallbeispiel Problembeispiel Probleminstanz oder Problemauspr gung ge br uchlich Ebenso wird auch das allgemeine Problem manchmal als Problem typ oder Problemklasse bezeichnet In diesem Skript werden wir keiner starren Regel folgen Aus dem Kontext heraus d rfte 1 a klar sein was gemeint ist Das Travelling Salesman Problem ist in diesem Sinne ein Problem Seine offe nen Parameter sind die Anzahl der St dte und die Entfernungen zwischen diesen St dten Eine Entfernungstabelle in einem Autoatlas definiert ein konkretes Bei spiel f r das Travelling Salesman Problem Aus mathematischer Sicht kann man es sich einfach machen Ein Problem ist die Menge aller Problembeispiele Das Travelling Salesman Problem ist also die Menge aller TSP Instanzen Das ist nat rlich nicht sonderlich tiefsinnig verein facht aber die mathematische Notation Wir sagen dass ein Algorithmus Problem II l st wenn er f r jedes Problem beispiel Z II eine L sung findet Das Ziel des Entwurfs von Algorithmen ist nat rlich m glichst effiziente Verfahren zur L sung von Problemen zu finden Um dieses Ziel mit Inhalt zu f llen m ssen wir den Begriff Effizienz mef bar machen Mathematiker und Informatiker haben hierzu verschiedene Komple xit tsma e definiert Wir werden uns hier nu
198. ichtet Tell mit den nachsten Weg nach Arth uno KAu nacht Fischer Die offne Stra e zieht sich ber Steinen Den k rzern Weg und heimlichern Kann Euch mein Anabe uber Lomerz f hren Tell gibt ihm die Hand Gott lohn Euch Eure Guttat Lebet wohl Figur 6 2 Vierwaldst t ter See Figur 6 1 F Schiller Figur 6 3 W Tell Der Fischer l st f r Tell in dieser Szene offensichtlich ein graphentheoretisches Optimie rungsproblem In einem Graphen Wegenetz am Vierwaldst tter See mit Kantenl ngen Reisezeit soll der k rzeste Weg zwischen zwei vorgegebenen Punkten Altdorf und K nacht bestimmt werden Tell behandelt sogar eine kompliziertere Variante mit einer 126 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 zus tzlichen Nebenbedingung Die Summe von Verhaftungskoeffizienten muss unter halb eines sicheren Grenzwertes bleiben 6 1 Ein Startknoten nichtnegative Gewichte Das Verfahren das wir nun darstellen wollen ist mehrfach entdeckt worden Es wird allgemein nach benannt Wir gehen davon aus dass ein Digraph D V A mit Gewichten bzw L ngen oder Entfernungen c a gt 0 f r alle a A gegeben ist Ferner seien ein Startknoten s und m glicherweise ein Endknoten gegeben Das Verfahren findet einen k rzesten gerichteten Weg von s zu allen anderen Knoten bzw einen k rzesten s t Weg Der Algorithmus wird h ufig als Markierungsmethode bezeichnet Warum wird aus
199. ie A ausgef hrt hat um eine L sung von Z zu finden multipliziert mit der Kodierungsl nge der bez glich der Kodierungsl nge gr ten ganzen oder rationalen Zahl die w hrend der Ausf hrung des Algorith mus aufgetreten ist Wir tun also so als h tten wir alle elementaren Operationen mit der in diesem Sinne gr ten Zahl ausgef hrt und erhalten somit sicherlich eine Absch tzung der echten Laufzeit nach oben 3 2 Definition Sei A ein Algorithmus zur L sung eines Problems II a Die Funktion f4 N gt N definiert durch fa n max Laufzeit von A zur L sung von Z T IL und T n heibt Laufzeitfunktion von A b Die Funktion s4 N gt N definiert durch sa n max Speicherbedarf von A zur L sung von T T 7 hei t Speicherplatzfunktion von A 52 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 c Der Algorithmus A hat eine polynomiale Laufzeit kurz A ist ein polyno mialer Algorithmus wenn es ein Polynom N N gibt mit faln lt p n f rallen N Wir sagen fa ist von der Ordnung h chstens n geschrieben f 4 O n falls das Polynom p den Grad k hat d Der Algorithmus A hat polynomialen Speicherplatzbedarf falls es ein Polynom q N N gibt mit sa n lt f rallen N Wir werden uns in der Vorlesung haupts chlich mit Problemen besch ftigen f r die polynomiale Algorithmen existieren Wir werden aber auch Probleme behan deln
200. ie f r unsere Belange nicht so wichtig sind In der nachfolgenden Tabelle haben wir einige der Beispiele von kombinatori schen Optimierungsproblemen aufgelistet die wir in fr heren Abschnitten ein gef hrt haben und die A P schwer sind das symmetrische Travelling Salesman Problem das asymmetrische Travelling Salesman Problem 59 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 das Chinesische Postbotenproblem f r gemischte Graphen fast alle Routenplanungsprobleme das Stabile Mengen Problem das Cliquenproblem das Knoten berdeckungsproblem das Knotenf rbungsproblem das Kantenfarbungsproblem das Max Cut Problem die meisten Standortprobleme das Linear Ordering Problem das azyklische Subdigraphenproblem das Feedback Arc Set Problem Einige hundert weitere A P vollst ndige bzw NP schwere Probleme und eini ge tausend Varianten von diesen sind in dem bereits zitierten Buch von Garey amp Johnson 1979 aufgef hrt Probleme die mit diesem Themenkreis zusam menh ngen wurden auch in einer seit 1981 ber mehr als zehn Jahre laufenden Serie von Aufs tzen von D S Johnson mit dem Titel The A P completeness co lumn an ongoing guide im Journal of Algorithms behandelt Der vorl ufig letzte Artikel No 23 ist 1992 erschienen Im Internet finden Sie unter der URL http www nada kth se viggo problemlist compendium html ein Compendium of A P Optimization Probl
201. ige Gewichte Das Problem einen k rzesten Weg in einem Digraphen mit beliebigen Bogengewichten zu bestimmen ist trivialerweise quivalent zum Problem einen l ngsten Weg in einem Digraphen mit beliebigen Bogengewichten zu finden G be es f r das letztere Problem einen polynomialen Algorithmus so k nnte man in polynomialer Zeit entscheiden ob ein Digraph einen gerichteten hamiltonschen Weg enth lt Dieses Problem ist aber MP vollst ndig also ist das K rzester Weg Problem f r beliebige Gewichte MP schwer Andererseits kann man dennoch in beliebig gewichteten Digraphen k rzeste Wege finden wenn die negativen Gewichte gut verteilt sind oder der Digraph bestimmte Eigenschaf ten hat Der DIIKSTRA Algorithmus funktioniert bei negativen Gewichten nicht im In duktionsschritt des Beweises von 6 2 wurde von der Nichtnegativit t explizit Gebrauch acht Wir wollen nun auf ein Verfahren eingehen das unabh ngig voneinander von und Bellmanl vorgeschlagen wurde Zu diesem Verfahren gibt es ei ne Vielzahl von Verbesserungsvorschl gen siehe hierzu z B hoa 1983 1983 Die Idee hinter diesem Verfahren l sst sich wie folgt beschreiben Wir wollen vom Start knoten s aus zu allen anderen Knoten v einen k rzesten s v Weg bestimmen Wir in itialisieren DIST v wieder mit 00 oder mit c s v DIST v enth lt also die L nge des k rzesten zur Zeit bekannten s v Weges mit einer bestimmten Eigenschaft und setzen wie in 6 1
202. igt geschrumpft wird 91 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 4 10 Nun wahlen wir in Schritt 3 nacheinander die Knoten wo 4 5 6 Da alle in enden den B gen negatives Gewicht haben wird wo in Schritt 4 markiert aber kein Bogen mit Endknoten wo gew hlt Es ergibt sich der Kreis C1 4 6 5 mit W 4 5 6 Der Schrumpfungsprozess ergibt den in Abbildung 4 11 gezeigten Digraphen 11 Abb 4 11 In Schritt 3 w hlen wir nun nacheinander die Knoten w1 7 8 Es ergibt sich der gerichtete Kreis Ca 7 8 mit W2 7 8 Wir schrumpfen Wa zu w2 wie in Abbildung 4 12 gezeigt 92 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 4 12 Nun ist lediglich noch nicht markiert Wir erhalten den Bogen wo w2 der ein opti males Branching des in Abbildung 4 12 gezeigten Digraphen Dg ist Alle Knoten von Ds sind markiert Wir beginnen die Phase II und rekonstruieren das optimale Branching von D Dieser Vorgang ist in Abbildung 4 13 dargestellt Das optimale Branching besteht aus den B gen 1 2 2 3 3 8 8 7 5 4 und 4 6 o Abb 4 13 Der Branching Algorithmus 4 17 kann so implementiert werden dass seine Laufzeit f r einen mit m B gen und um Enoten O m log n bzw bei Digraphen mit vielen B gen O n betr gt siehe hierzu Tarjanl 1977 icy Ce nie 1979 Im letztge nannten Artikel werden einige teste Ge des Tarjan Aufsatzes richtiggestellt Z
203. in Baum keinen Kreis enth lt kehrt dieses Verfahren niemals zu einem bereits markierten Knoten zur ck Da der Graph endlich ist muss das Verfahren irgendwann mit einem Knoten mit Grad 1 aufh ren Hat der Anfangsknoten v auch Grad 1 k nnen wir aufh ren Falls nicht gehen wir zu einem von verschiedenen Nachbarn von v und wiederholen das obige Verfahren Auf diese Weise finden wir einen zweiten Knoten mit Grad 1 Der Beweis ist etwas l nglich geraten Der Grund daf r ist einmal zu zeigen wie durch einfache Analyse eines sehr einfachen Algorithmus Eigenschaften von Graphen nach gewiesen werden k nnen Was k nnen Sie aus diesem Beweisverfahren herausholen wenn Sie den Algorithmus statt mit einem beliebigen Knoten v mit einem Knoten v mit maximalem Grad beginnen Lemma 4 2 a F r jeden Graphen V E gilt 2 E deg v veV b F r jeden Baum V E gilt E V 1 Beweis a Da jede Kante genau zwei nicht notwendig verschiedene Knoten enth lt wird bei der Summe der Knotengerade jede Kante genau zweimal gez hlt b Beweis durch Induktion Die Behauptung ist offensichtlich richtig f r V 1 und V 2 Wir nehmen an dass die Behauptung korrekt ist f r alle B ume mit h chstens n gt 2 Knoten Sei G V E ein Baum mit n 1 Knoten Nach Lemma 4 1 enth lt G einen Knoten v mit Grad 1 G v ist dann ein Baum mit n Knoten Nach Induktions voraussetzung hat G v genau n 1
204. in c B B B Sortiert man in Schritt 1 von 5 22 die Gewichte in nicht aufsteigender Reihenfolge so erh lt man offenbar eine Basis maximalen Gewichts Satz 5 23 gilt analog wenn man min durch max ersetzt Leider kann man die sch ne Absch tzung aus Satz 5 18 f r die G tegarantie von 5 16 nicht ohne weiteres auf Algorithmus 5 22 bertragen In der Tat gibt es keine univer selle Konstante die bez glich eines Problems die Qualit t des Ergebnisses von 5 22 un abh ngig von den Zielfunktionskoeffizienten beschr nkt Betrachten wir z B das Cliquen Problem auf dem in Abbildung 5 6 dargestellten Graphen O Abb 5 6 mit der Gewichtsfunktion c 1 cp M gt 2 2 Das zugeh rige Unabh ngig keitssystem hat die Basen 1 2 und 3 Bei Anwendung von 5 22 erhalten wir immer die Greedyl sung B 1 2 mit Gewicht 1 M w hrend die Optimalbasis Bo das Gewicht 2 hat Der Quotient aus B und Bo geht also gegen oo falls M gt oo 118 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 5 5 Ein primal dualer Greedy Algorithmus Die Matroidtheorie ist aufgrund ihres technischen Apparates besonders gut dazu geeignet eine gemeinsame Verallgemeinerung des primalen und des dualen Greedy Algorithmus zur Berechnung minimaler aufspannender B ume siehe 4 9 und 4 11 zu formulieren Grundlegend hierf r ist der folgende 5 24 Satz und Definition Sei M ein Matroid auf einer Grundmenge E mi
205. ine Antikette also Basissystem ei nes Unabh ngigkeitssystems Das asymmetrische TSP ist also ein Optimierungsproblem ber einem Basissystem Wir k nnen es aber auch als Optimierungsproblem ber einem Unabh ngigkeitssystem auffassen Dies geht wie folgt Setzen wir T ICA 3T 7T mitI C T d max le i j A 1 ej so ist 7 ein Unabh ngigkeitssystem und jede L sung von max c I I 7 ist eine Tour die bez glich der Gewichte c minimales Gewicht hat Auf die gleiche Weise kann man viele andere Optimierungsprobleme ber Basissystemen in Optimierungspro bleme ber Unabh ngigkeitssystemen berf hren Ebenso ist das symmetrische TSP ein Optimierungsproblem ber einem Basissystem e Gegeben sei ein gerichteter Graph D V A Ein Branching in D ist eine Bogen menge B C A die keinen Kreis im ungerichteten Sinne enth lt und die die Eigenschaft hat dass jeder Knoten v V Endknoten von h chstens einem Bogen aus B ist Die Men ge aller Branchings ist ein Unabhingigkeitssystem auf A siehe Kapitel 4 und 2 11 Das Problem in einem vollst ndigen Digraphen eine minimale aufspannende Arboreszenz zu finden ist ein Optimierungsproblem ber einem Basissystem berlegen Sie sich welche der brigen Beispiele aus Abschnitt 2 3 als Optimierungspro bleme ber Unabh ngigkeits oder Basissystemen aufgefasst werden k nnen und welche nicht 102 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003
206. inem k rzesten Weg gerader oder ungerader Lange fragen Nat rlich kann man in allen bisher angesprochenen Problemen das Wort kiirze ster durch l ngster ersetzen und erh lt dadurch Probleme der l ngsten We ge verschiedener Arten H tten wir beim Problem des k rzesten Weges nicht die Beschr nkung c gt 0 f r die Zielfunktionskoeffizienten w ren die beiden Pro blemtypen offensichtlich quivalent Aber so sind sie es nicht Ein Spezialfall Zielfunktion c 1 f r alle e E des Problems des l ngsten Weges ist das Problem zu entscheiden ob ein Graph einen hamiltonschen Weg von u nach v enth lt Anwendungen dieses Problems und seiner Varianten sind offensichtlich Alle Rou tenplaner die im Internet zur Fahrstreckenplanung angeboten werden oder zur Unterst tzung von Autofahrern in Bordsysteme eingebaut sind basieren auf Algo rithmen zur Bestimmung k rzester Wege Die Route jeder im Internet verschick ten Nachricht wird ebenfalls durch mehrfachen Aufruf eines K rzeste Wege Algorithmus ermittelt Eine Anwendung aus der Wirtschafts und Sozialgeogra phie die nicht unbedingt im Gesichtsfeld von Mathematikern liegt sei hier kurz erw hnt Bei Fragen der Raumordnung und Landesplanung werden sehr umfang reiche Erreichbarkeitsanalysen angestellt um Einzugsbereiche bzgl Stra en Nahverkehrs und Bahnanbindung festzustellen Auf diese Weise werden Mittel und Oberzentren des l ndlichen Raumes ermittelt und Ve
207. infach einzusehen dass die Cokreise ge rade die minimalen nicht leeren Schnitte von sind Sind 6 W und 6 W verschiedene Cokreise und ist die Kante ij in beiden enthalten so ist 6 W AW ein Schnitt der 4j nicht enth lt Hier bezeichnet W AW die symmetrische Differenz W UW W N W Ist 6 W AW kein Cokreis so enth lt er einen Cokreis der nat rlich j auch nicht enth lt Daraus folgt dass die Antikette der Cokreise das Axiom C 1 erf llt und somit das Zir kuitsystem eines Matroids auf E ist Ein Matroid das isomorph zu einem so definierten Matroid ist hei t cographisch Ist G V E ein zusammenh ngender Graph und M das cographische Matroid auf G so ist das Basissystem B von M gegeben durch B B E 3 aufspannender Baum T C E mit B E T b Uniforme Matroide Sei E eine Menge mit Elementen dann ist die Menge aller Teilmengen von E mit h chstens k Elementen ein Matroid auf E Dieses Matroid hei t uniform und ist durch die Angabe von k und n bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt Dieses Matroid wird mit 106 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Ux bezeichnet Das Basissystem von Ug wird durch die Menge der Teilmengen von E mit genau k Elementen gebildet Das Zirkuitsystem von 7 besteht aus den Teilmengen von E mit k 1 Elementen Die Matroide U n d h die Matroide in denen alle Mengen unabh ngig sind hei en frei oder trivial F r freie Matroide gilt C 0 B
208. inimierungsproblemen untere bzw obere Schranken f r den Wert einer Optimall sung Um die G te einer heuristi schen L sung absch tzen zu k nnen bedient man sich h ufig weiterer Heuristiken die dann obere bzw untere Schranken f r den Optimalwert liefern Diese Heuristiken nennt man duale Heuristiken und spricht dann auch von primalen Heuristiken um die dualen Heuristiken von den oben eingef hrten Verfahren zu unterscheiden Das Wort primal in diesem Zusammenhang kommt daher dass diese Verfahren zul ssige L sungen f r das Ausgangsproblem also in der LP Theorie das primale Problem liefern Die L sungen sind also primal zul ssig 225 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 11 1 Maschinenbelegung mit unabh ngigen Aufga ben Wir betrachten das folgende Problem der Maschinenbelegungsplanung 11 1 Parallel Shop Problem a Gegeben seien m identische Maschinen oder Prozessoren M Ms3 Mm z B Drucker eines Computers Offset Drucker Walzstra en Pressen Stanzen b Gegeben seien n Aufgaben oder Auftr ge oder Operationen oder Jobs Tis T5 In z B Druckjobs auftrage zu walzende Profile Press und Stanzauftr ge c Jeder Auftrag hat eine Ausf hrungszeit oder Bearbeitungszeit t1 to tn in Zeiteinheiten und jeder Auftrag ben tigt nur eine Maschine zu seiner Bearbeitung d Die Maschinen arbeiten parallel und jede kann nur eine Aufgabe gleichzeitig er ledigen Hat eine M
209. ion pages 211 360 Elsevier North Holland Amsterdam L Nemhauser A G Rinnooy Kan and M J Todd edition Ahuja R K Magnanti T L and Orlin J B 1993 Network Flows Theory Algorithms and Applications Pearson Education Prentice Hall New York first edition Ford Jr L R and Fulkerson D R 1962 Flows in Networks Princeton University Press Princeton Goldberg V Tardos E and Tarjan R E 1990 Network Flow Algorithms In B Korte et al editor Paths Flows and VLSI Layout Springer Verlag Berlin Hu T C 1969 Integer Programming and Network Flows Addison Wesley Reading Massachusetts Jensen P A and Barnes J W 1980 Network Flow Programming Wiley amp Sons Inc New York Kennington J and Helgason R 1980 Algorithms for Network Programming Wiley amp Sons Inc New York Lawler E L 1976 Combinatorial Optimization Networks and Matroids Holt Rine hart amp Winston New York Shigeno M Iwata S and McCormick S T 2000 Relaxed most negative cycle and most positive cut canceling algorithms for minimum cost flow Mathematics of Opera tions Research 25 76 104 191 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 192 Kapitel 9 Primale Heuristiken f r schwere Probleme Er ffnungs und Verbesserungsverfahren Es ist leider so dass viele der in der Praxis vorkommenden kombinatorischen Opti mierungsprobleme gro und im Sinne der K
210. isse Teilbereiche dieser Gebiete sind die in den Literaturverzeichnissen von Kapi tel 1 und 2 aufgef hrten B cher Ahuja Magnanti Orlin 1993 und Cook Cun ningham Pulleyblank Schrijver 1998 Diestel 1996 Jungnickel 1994 Korte Vygen 2002 Schrijver 2003 West 1996 und der bersichtsartikel Gr tschel und Lov sz 1995 Dies ist ein Vorlesungsskript und kein Buch Obwohl ich mit der gebotenen Sorg falt geschrieben habe war nicht gen gend Zeit f r intensives Korrekturlesen und das Einarbeiten umfassender Literaturhinweise Die daher vermutlich vorhande nen Fehler bitte ich zu entschuldigen und mir wenn m glich mitzuteilen Das Thema wird nicht ersch pfend behandelt Das Manuskript enth lt nur die wesent lichen Teile der Vorlesung Sommer 2003 M Gr tschel Inhaltsverzeichnis 3 1 1 Grundbegriffe der Graphentheoriel 3 CI 4 TI 8 9 13 13 16 2 Optimierungsprobleme auf Graphe 21 2 1 Kombinatorische Optimierungsprobleme 21 2 2 Klassische Fragestellungen der Graphentheorie 23 27 3__Komplexit tstheorie Speicherung von Date 47 3 1 Probleme Komplexit tsma e Laufzeiten 47 32 Die Klassen P und NP P Vollst indiekeit 51 3 3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen 58 4 Minimale Baume maximale Branchings 67 1 MARTIN GR TSCH
211. ist experimentell nicht herstellbar und die Physiker haben unterschiedliche sich z T widersprechende Theorien ber einige Eigenschaften dieses Grundzustandes Mathematisch wird dieses Problem wie folgt modelliert Jeder Verunreinigung 7 wird ein Vektor 5 RR zugeordnet der bei einem gegebenen Bezugssytem die Orientierung des Atomes im Raum d h den magnetischen Spin beschreibt Zwischen zwei Verunreinigungen 2 7 besteht eine magnetische Interaktion die durch Hij J ri Si 5 beschreiben wird wobei J r eine Funktion ist die vom Abstand rj der Verun reinigungen abh ngt und 5 5 das innere Produkt der Vektoren 5 5 ist In der Praxis wird J bei gewissen physikalischen Modellen wie folgt bestimmt J rij cos Krj r ij wobei K eine materialabh ngige Konstante ist z B K 2 4 x 10 Die gesamte Energie einer Spinkonfiguration ist gegeben durch H J ri Si Sj 3 P wobei ein u eres magnetisches Feld ist Der Einfachheit halber nehmen wir im folgenden an F 0 Ein Zustand minimaler Energie ist also dadurch charak terisiert dass 3 J ri S Sj maximal ist 40 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Das hierdurch gegebene Maximierungsproblem ist mathematisch kaum behandel bar Von Ising wurde folgende Vereinfachung vorgeschlagen Statt jeder beliebi gen r umlichen Orientierung werden jeder Verunreinigung nur zwei Orientierun gen erlaubt Nordpol oben oder Nordpo
212. it kleinerem Gewicht als B Widerspruch ii gt iii Angenommen es existieren ein Cozirkuit C und e C XV B mit ce lt f Sei Ke der durch e mit B erzeugte fundamentale Zirkuit Dann existiert nach 5 25 a ein Element f Ke e N C Aber dann gilt f r e EN B und f ce lt Widerspruch iii gt i Sei B eine gewichtsminimale Basis so dass B N B so gro wie m glich ist Angenommen es existiert ein Element f B B Sei der von f mit E erzeugte fundamentale Cozirkuit Da B eine Basis ist gilt B N Cy Sei ge BOC mit cy min c e BN Cy Nach iii gilt wegen f Cy cf gt cg Nun aber ist B B f U g eine Basis von M mit c B lt c B und B N B gt BN B Widerspruch Daraus folgt B B und somit ist B gewichtsminimal 120 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 iv v gt vi gt iv folgt aus Dualit tsgr nden D 5 27 Primal dualer Greedy Algorithmus Input Grundmenge E mit Gewichten ce f r alle e E und ein Matroid M E T durch ein Unabh ngigkeitsorakel Output Eine gewichtsminimale Basis von M und eine gewichtsmaximale Cobasis B von M Terminologie Wir nennen eine Menge S durch eine Menge F berdeckt falls F N S 0 1 Setze B B 2 F hre einen beliebigen der beiden folgenden Tests aus a Sind alle Cozirkuits von M durch B berdeckt STOP Gib B und B
213. its analog ist ein Cozyklus die Vereinigung paarweise disjunkter Cozirkuits Die nachfolgenden einfachen Beobachtungen sind f r die anschlie enden Betrachtungen wichtig 5 25 Satz a Ein System C von Teilmengen von E ist genau dann die Zirkuitmenge eines Ma troids M auf E wenn C genau die minimalen nichtleeren Teilmengen C C E enth lt so dass gilt C N C 1 f r alle Cozirkuits C von M 119 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 b Sei B eine Basis Cobasis eines Matroids M und sei e E X dann enth lt BU e genau ein Zirkuit Cozirkuit Ce der e enth lt Ce hei t der durch e und B erzeugte fundamentale Zirkuit Cozirkuit 5 26 Satz Sei M ein Matroid auf E mit Gewichten c f r alle e E Sei B eine Basis von M Dann sind die folgenden Aussagen quivalent B ist eine gewichtsminimale Basis ii F r jedes Element e E B gilt Ce gt cy f r alle f aus dem von e und B erzeugten fundamentalen Zirkuit Ke F r jeden Cozirkuit C gilt min ce e C min ce e Bn C iv E B ist eine gewichtsmaximale Cobasis v F r jedes Element e B gilt Ce lt f r alle f aus dem von e und E X B erzeugten fundamentalen Cozirkuit Ce vi F r jeden Zirkuit K gilt max ce e K max ce ee ENB n Beweis i lt v Trivial i Gi Angenommen es existieren e E B und f Ke mit c lt Dann ist B f U e eine Basis m
214. itsgrad zu klassifizieren siehe Kapitel 3 in der Praxis erm glichen sie die Benutzung eines einzigen Algorithmus zur L sung der verschiedensten Proble me und ersparen daher erhebliche Codierungs und Testkosten Anhand der drei vorgenannten Probleme wollen wir nun derartige Transformationstechniken de monstrieren Bipartites Matchingsproblem Zuordnungsproblem Angenommen wir ha ben ein Matchingproblem in einem bipartiten Graphen und wollen es mit einem Algorithmus f r Zuordnungsprobleme l sen Das Matchingproblem ist gegeben durch einen bipartiten Graphen V E mit Bipartition V V und Kan tengewichten c R f r alle e E B d A k nnen wir annehmen dass m lt V3 n gilt Zur Menge V f gen wir n m neue Knoten W k nst liche Knoten hinzu Wir setzen HI V U W F r je zwei Knoten i Vj und j Vo die nicht in benachbart sind f gen wir eine neue k nstliche Kante 27 31 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 hinzu Die Menge der so hinzugef gten Kanten nennen wir E und den Graphen VI U Va E U EI bezeichnen wir mit G ist der vollst ndige bipartite Graph Wir definieren neue Kantengewichte wie folgt 0 falsec c 4 0 falsec Eunde lt 0 c falls e E und c gt 0 L sen wir das Zuordnungsproblem bez glich G mit den Gewichten e EU EI so erhalten wir ein perfektes Matching M minimalen Gewichts bez glich c Es ist nun ein
215. kalierungstechniken berwunden werden so dass Ver sionen von Algorithmus 8 8 existieren die polynomiale Laufzeit haben Aus Zeitgr nden k nnen diese Techniken hier nicht dargestellt werden Es sei hierzu wiederum auf die schon mehrfach erw hnten bersichtsartikel und das Buch von Ahuja Magnanti und Or lin verwiesen die auch ausf hrlich auf die historische Entwicklung eingehen Der Aufsatz Shigeno Iwata und McCormick 2000 pr sentiert zwei neue Skalierungsmethoden und gibt dabei eine gute Vergleichs bersicht ber die meisten der bekannten Min Cost Flow Algorithmen 183 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 8 2 Netzwerke mit Flussmultiplikatoren Gelegentlich werden Fl sse in Netzwerken nicht konserviert es k nnen Verluste Sicker verluste bei Wasserleitungen durch undichte Stellen oder Umwandlungen Geldtausch chemische Prozesse auftreten In solchen Fallen kann man diese Verluste oder Trans formationen durch sogenannte Multiplikatoren ber cksichtigen bzw modellieren Dies geschieht dadurch dass man jedem Bogen a A nicht nur eine Kapazit t c a und einen Kostenkoeffizienten w a sondern noch eine Zahl m a den Flussmultiplikator zuord net Bei den Zwischenknoten bekommt dann die Flusserhaltungsbedingung die folgende Form z a M 0 VveV st v och v und f r die Quelle s bzw die Senke gilt 6 s z a y s m a z a fs Dacosta zla 3
216. keine zwei B gen einen gemeinsamen Endknoten be sitzen ist dieser Kreis gerichtet Daraus folgt dass B und somit B einen gerich teten vj v 1 Weg enth lt Enthielte Pj nur B gen des Kreises C dann erg be sich Pj C vj 1 vj daraus folgte dass au er v kein weiterer Knoten aus W Endknoten eines Bogens aus A sein k nnte Dies widerspr che unserer Annahme k gt 2 Mithin enth lt P mindestens einen Bogen aus A Sei d der letzte gesehen in Richtung vj nach v 1 Bogen von Pj der in A liegt Dann muss d der Bogen uj 1 vj 1 sein da jeder gerichtete Weg in B von irgendeinem Knoten v V V vj 1 vj 1 1 vj 1 2 0 1 zum Knoten vj den Weg 031 031 1 vj 1 enthalten mu und v in B nur ber den Bogen 05 51 051 zu erreichen ist Mithin enthalt B einen gerichteten Weg P von v nach v _1 Diese Aussage gilt f r j 1 k wobei vo vy Zu setzen ist Setzen wir diese Wege wie folgt zusammen Uk Pk Vk 1 Pr 1 b U2P2 v1 P1 v0 Ve so ergibt sich eine geschlossene gerichtete Kette Diese Kette enth lt einen gerichteten Kreis und dieser Kreis ist eine Teilmenge von Widerspruch Damit ist der Beweis von a erledigt Sei nun ein maximales Branching das a erf llt und f r das C N B maximal ist Enth lt B keinen Bogen aus Aj so ist nach a B N A W U W Ci Trivialerweise muss dann B N C Ci 1 gelten
217. ken in zwei Verfahrensklassen aufteilen also nur 193 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 eine ganz grobe Gliederung vornehmen Die beiden Klassen wollen wir mit Er ffnungs verfahren oder Startheuristiken und mit Verbesserungsverfahren bezeichnen Unter Er ffnungsverfahren versteht man solche Algorithmen f r kombinatorische Op timierungsprobleme die mit der leeren Menge oder einer trivialen Anfangsmenge beginnend sukzessive eine zul ssige L sung aufbauen wobei beim Aufbau lokale Op timierungs berlegungen angestellt werden Ein typisches Beispiel hierf r ist der uns bereits bekannte Greedy Algorithmus Verbesserungsverfahren sind solche Algorithmen die mit einer zul ssigen Anfangsl sung beginnen und wiederum unter Ber cksichtigung lokaler Optimalit tsbedingungen gewisse Anderungen an der bisherigen L sung vornehmen und so fortschreitend zu einer lokalen Optimall sung gelangen 9 1 Er ffnungsheuristiken f r symmetrisches TSP Wir erinnern daran dass das symmetrische Travelling Salesman Problem TSP die Auf gabe ist in einem ungerichteten vollst ndigen Graphen K V E mit Kantengewich ten einen hamiltonschen Kreis auch Tour genannt zu finden der m glichst geringes Gewicht hat Das TSP ist das vermutlich am besten untersuchte kombinatorische Opti mierungsproblem Die Anzahl der Ver ffentlichungen ist fast un bersehbar Das TSP ist auch eine beliebte Spielwiese f r Amateure dazu geh ren
218. kreten Angabe der Bearbeitungsreihenfolge Wir wollen nun noch die Korrektheit der YEN Variante vorf hren 6 7 Satz Die YEN Variante des MOORE BELLMAN Verfahrens arbeitet korrekt falls D keinen negativen gerichteten Kreis enth lt Beweis Wir geben dem Vektor DIST eine Interpretation aus der die Korrektheit einfach folgt Wir haben in 6 6 angenommen dass s 1 gilt und die Knoten mit 1 2 n be zeichnet sind Wir nennen einen Bogen u v einen Aufwartsbogen falls u v gilt an dernfalls heifit u v Abwartsbogen Wir sprechen von einem Richtungswechsel wenn in einem s v Weg ein Abw rtsbogen auf einen Aufw rtsbogen folgt oder umgekehrt Da s 1 ist der erste Bogen immer ein Aufw rtsbogen also ist der erste Richtungswech sel immer aufw rts nach abw rts Um einfacher argumentieren zu k nnen bezeichnen wir mit DIST v m den Inhalt des Vektors DIST v nach Beendigung der m ten Iteration der u eren Schleife Wir behaupten nun dass DIST v m 0 lt m lt n 2 die L nge des k rzesten aller der 1 v Wege enth lt bei denen nur m Richtungswechsel erlaubt sind Da ein 1 v Weg h chstens n 1 B gen und somit h chstens n 2 Richtungs wechsel besitzt folgt der Satz aus dem Beweis unserer Behauptung Wir beweisen unsere Behauptung durch Induktion ber m F r m 0 ist der Durchlauf der Schritte 3 und 4 nichts anderes als Algorithmus 6 4 angewendet auf s 1 dessen 134 MARTIN GR TSCHEL
219. kung K C V zu suchen so dass c K minimal ist Die drei oben aufgef hrten Probleme sind auf triviale Weise ineinander berf hr bar Ist n mlich S C V eine stabile Menge in so ist S eine Clique im komple ment ren Graphen G von G und umgekehrt Also ist das Stabile Menge Problem f r G mit Gewichtsfunktion c nicht anders als das Cliquenproblem f r G mit der selben Gewichtsfunktion und umgekehrt Ist ferner 5 C V eine stabile Menge in G so ist V V S eine Knoten berdeckung von Daraus folgt dass zu jeder gewichtsmaximalen stabilen Menge 5 die zugeh rige Knoten berdeckung V 5 gewichtsminimal ist und umgekehrt Das Stabile Menge Problem das Cliquen problem und das Knoten berdeckungsproblem sind also drei verschiedene For mulierungen einer Aufgabe Anwendungen dieser Probleme finden sich z B in folgenden Bereichen Einsatzplanung von Flugzeugbesatzungen Busfahrereinsatzplanung Tourenplanung im Behindertentransport Auslegung von Flie b ndern 38 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Investitionsplanung Zuordnung von Wirtschaftspr fern zu Pr ffeldern Entwurf von optimalen fehlerkorrigierenden Codes Schaltkreisentwurf Standortplanung Wiedergewinnung von Information aus Datenbanken Versuchsplanung Signal bertragung Aber auch das folgende Schachproblem kann als Stabile Menge Problem formu bert werden Bestimme die maximale Anzahl von Damen oder T rmen
220. kungen Es folgen in einem kurzen berblick ein paar Zusatzbemerkungen zum Problemkreis K rzeste Wege Zwei Min Max Satze In der Optimierungstheorie sind so genannte Dualit ts oder Min Max S tze von beson derer Bedeutung Diese S tze sind von folgendem Typ Man hat eine Menge P und eine Zielfunktion c die jedem Element x von P einen Wert c z zuordnet Gesucht wird minic z x P Dann gelingt es manchmal auf nat rliche Weise und unter gewissen technischen Voraus setzungen eine Menge D und eine Zielfunktion b zu finden die jedem y D einen Wert b y zuweist mit der Eigenschaft minic x x maz b y y D Wie wir sp ter sehen werden ist die Existenz eines Satzes dieser Art h ufig ein Indi kator daf r dass das Minimierungs und das Maximierungsproblem gut gel st werden k nnen F r das Ktirzeste Wege Problem gibt es verschiedene Min Max S tze Wir geben zwei Beispiele an 6 12 Satz Sei D V A ein Digraph und seien s t V Dann ist die minimale L nge Anzahl der B gen eines s t Weges gleich der maximalen Anzahl bogendis junkter s t Schnitte Beweis Jeder s t Weg enth lt aus jedem s t Schnitt mindestens einen Bogen Gibt es k bogendisjunkte s Schnitte so hat jeder s t Weg mindestens die L nge Also ist das Minimum d h die k rzeste L nge eines s t Weges mindestens so gro wie das Maximum gebildet ber die Anzahl bogendisjunkter
221. l unten Die dreidimensionalen Vek toren 5 werden dann in diesem Modell durch Variable 5 mit Werten in der zwei elementigen Menge 1 1 ersetzt Unter Physikern besteht bereinstimmung dar ber dass dieses Ising Modell das wahre Verhalten gewisser Spingl sern gut widerspiegelt Das obige Maximierungsproblem lautet dann bez glich des Ising Modells gt 8 1 1 1H Nach dieser durch die Fachwissenschaftler vorgenommenen Vereinfachung ist der Schritt zum Max Cut Problem leicht Wir definieren einen Graphen G V E wobei jeder Knoten aus V eine Verunreinigung repr sentiert je zwei Knoten 2 7 sind durch eine Kante verbunden die das Gewicht c J riz tr gt Ist rj gro so ist nach Definition cj sehr klein und blicherweise werden Kanten mit kleinen Gewichten c gar nicht ber cksichtigt Eine Partition von V in V und V entspricht einer Orientierungsfestlegung der Variablen z B Vi i V i repr sentiert eine Verunreinigung mit Nordpol oben V2 i V der Nordpol von i ist unten Bei gegebenen Orientierungen der Atome Partition Vi V2 von V ist die Energie des Spinglaszustandes also wie folgt definiert d Cij d Cij d Cij i Vi j Vo HA 1 7 Vo Der Zustand minimaler Energie kann also durch Maximierung des obigen Aus drucks bestimmt werden Addieren wir zu diesem Ausdruck die Konstante C jevy Cij SO folgt daraus dass der Grundzustand eines Spingla
222. lgt Am Anfang rat er einen ha miltonschen Kreis Gibt es keinen so h rt das Verfahren auf Gibt es einen so berpr ft er ob das geratene Objekt tats chlich ein hamiltonscher Kreis ist Ist cr das so so antwortet er mit Trivialerweise gilt P C NP da f r Probleme in P Algorithmen existieren die ohne Zusatzobjekte Q in polynomialer Zeit eine oder nein Antwort lie fern Also gilt auch P C co NP Eigentlich sollte man meinen dass Algorith men die raten k nnen m chtiger sind als bliche Algorithmen Trotz gewaltiger Forschungsanstrengungen seit den 70er Jahren ist die Frage ob NP gilt oder nicht immer noch ungel st Meiner Meinung nach ist dieses Problem ei nes der wichtigsten offenen Probleme der heutigen Mathematik und Informatik Jeder der sich mit diesem Problem besch ftigt hat glaubt dass P NP gilt Eine f r die allgemeine Leserschaft geschriebene Diskussion dieser Frage ist in zu finden K nnte diese Vermutung best tigt werden so w rde das wie wir gleich sehen werden bedeuten dass f r eine sehr gro e Zahl pra xisrelevanter Probleme niemals wirklich effiziente L sungsalgorithmen gefunden werden k nnen Wir werden uns also mit der effizienten Auffindung suboptimaler L sungen zufrieden geben und daher auf den Entwurf von Heuristiken konzen trieren m ssen Deswegen wird auch im weiteren Verlauf des Vorlesungszyklus viel Wert auf die Untersuchung und Analyse von H
223. lisierungsschritt aus Dar aus ergibt sich der in Abb 7 10 b gezeichnete Residualgraph mir den angedeuteten bersch ssen e v und den durch Kiirzeste Wege Berechnung bestimmten Entfernungs markierungen d v Die Knoten 2 und 3 sind aktiv Wir w hlen Knoten 2 aus Da der Bogen 2 t eine Restkapazit t von 1 hat und da d 2 d t 1 ist ist der Bogen 2 t erlaubt Da der berschuss von Knoten 2 den Wert 2 hat k nnen wir einen Fluss vom Wert min r 2 t e 2 min 1 2 1 durch den Bogen 2 t schieben Diese Fluss erh hung reduziert den berschuss von Knoten 2 auf 1 der Bogen 2 4 wird da der Fluss durch ihn die Kapazit tsgrenze erreicht hat der Schub also saturierend war aus dem Re sidualgraphen entfernt der Gegenbogen t 2 wird mit Kapazit t 1 hinzugef gt Der neue Residualgraph ist in Abb 7 10 c gezeigt Der Knoten 2 ist immer noch aktiv Wir k nnen ihn also ausw hlen Die B gen 2 s und 2 3 haben positive Restkapazit t aber die Ent fernungsbedingung f r die B gen u i d h d u 4 1 ist nicht erf llt Die Bogen sind also nicht erlaubt Wir m ssen daher ein RELABEL machen damit erh lt der Knoten 2 die neue Entfernungsmarkierung d 2 min d 3 d s 1 min 1 4 1 2 siehe Abb 7 10 d Der Korrektheitsbeweis f r den generischen Pr fluss Algorithmus basiert auf den fol 168 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 genden berlegungen Aus Zeitgr nden geben wir die B
224. llaschke D and Trottenberg U editors Special topics of applied mathematics functional analysis numerical analysis and optimization pages 195 211 North Holland Amsterdam Hausmann D and Korte B 1981 Algorithmic versus axiomatic definitions of matroids Mathematical Programming Study 14 98 111 Jenkyns T A 1976 The efficacy of the greedy algorithm In Hoffman F Lesniak L and et al R M editors Proceedings of the 7th Southeastern Conference on Combi natorics Graph Theory and Computing Baton Rouge Lawler E L 1975 Matroid intersection algorithms Mathematical Programming 9 31 56 Oxley J G 1992 Matroid Theory Oxford University Press Oxford Truemper K 1992 Matroid Decomposition Academic Press Boston Welsh D J A 1976 Matroid Theory Academic Press London Welsh D J A 1995 Matroids Fundamental Concepts In et al Hrsg R L G edi tor Handbook of Combinatorics volume I chapter 9 pages 481 526 North Holland Amsterdam 123 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 124 Kapitel 6 K rzeste Wege Wir wollen uns nun mit der Aufgabe besch ftigen in einem Digraphen mit Bogengewich ten k rzeste gerichtete Wege zu finden Wir werden Algorithmen vorstellen die k rzeste Wege von einem Knoten zu einem anderen oder zu allen anderen oder k rzeste Wege zwischen zwei Knoten finden Wir beschr nken uns auf Digraphen da derartige Pro bleme in ungericht
225. ls die bekannten Verfahren sind oder sonstige Vorz ge haben Es gibt keinen Algorithmus zur Bestimmung eines k rzesten s t Weges der nicht zu mindest implizit auch alle brigen k rzesten Wege von s nach v s Z v Z t berechnet Die Algorithmen f r K rzeste Wege Probleme kann man in zwei Kategorien einteilen 125 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 und zwar solche die negative Bogenl ngen zulassen und solche die nur nichtnegative Bogenl ngen behandeln k nnen Von jedem der beiden Typen stellen wir einen Vertre ter vor Ferner wollen wir noch einen Algorithmus behandeln der die k rzesten Wege zwischen allen Knoten berechnet Vermutlich haben sich die Menschen schon in grauer Vorzeit mit der Bestimmung k rzester Wege besch ftigt um z B Transporte zu vereinfachen den Handel zu erleichtern etc Ma thematik im heutigen Sinne wurde dabei sicherlich nicht verwendet Eines der ltesten uns bekannten Wegeprobleme der belletristischen Literatur kommt aus einer klassi schen Quelle Friedrich Schillers 1759 1805 Schauspiel Wilhelm Tell Dieser konnte bereits 1291 nicht nur gut schieBen sondern auch optimieren Und nur mit dieser Kombi nation konnte er die Schweiz befreien Tell befindet sich nach dem Apfelschuss am Ufer des Vierwaldst tter Sees unweit des Ortes Altdorf Er muss unbedingt vor dem Reichs vogt Hermann Ge ler die Hohle Gasse in K nacht erreichen siehe Abb 6 2 Schiller ber
226. lte hier globale Aspekte ber cksichtigen Dies ist z B bei FI gut gel st wie folgende heuristische berlegung zeigt W hlt man wie bei CI den lokalen bestm glichen Einbau eines Knotens in den gegenw rtigen Kreis so kann man in Fallen laufen d h am Ende m ssen einige ung nstig gelegene Knoten eingebaut 204 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 werden die in den bisherigen Kreis nicht passen Bei FI versucht man diese globalen Routenf hrungsfehler dadurch zu vermeiden dass man immer denjenigen Knoten ko steng nstigst einbaut der gegenw rtig am weitesten entfernt liegt Dadurch kann man am Ende nicht all zu viele Fehler machen 9 2 Verbesserungsverfahren Hat man durch ein Er ffnungsverfahren oder auf irgendeine andere Weise eine zul ssi ge L sung gefunden so sollte man versuchen die gegenw rtige L sung durch Modifi kationen zu verbessern Die wichtigste Verfahrensklasse in der Kategorie der Verbesse rungsheuristiken sind die Austauschverfahren Die Idee hinter Austauschverfahren ist die folgende Entferne einige Elemente aus der gegenw rtigen L sung T um eine Menge 6 zu erhalten Ist die L sungsmenge ein Unabh ngigkeitssystem so ist S nat rlich zul ssig i a wie z B beim TSP muss S keine zul ssige L sung sein Nun ver suchen wir alle m glichen zul ssigen L sungen die S enthalten zu erzeugen Falls dies einen zu groBen Rechenaufwand erfordert generiert man entweder nach einem
227. m Dinic E A 1970 Algorithm for solution of a problem of maximal flow in a network with power estimation Soviet Math Dokl 11 1277 1280 Edmonds J and Karp R M 1972 Theoretical improvement in algorithmic efficiency of network flow problems J ACM 19 248 264 Elias P Feinstein A and Shannon C E 1956 Note on maximum flow through a network JRE Trans on Inform Theory 2 117 119 Ford Jr L R and Fulkerson D R 1956 Maximal flow through a network Canadian Journal of Mathematics 8 399 404 Ford Jr L R and Fulkerson D R 1962 Flows in Networks Princeton University Press Princeton Frank A 1995 Connectivity and Network Flows In R L Graham et al Hrsg editor Handbook of Combinatorics chapter 2 pages 111 177 North Holland Amsterdam 173 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Goldberg V 1987 Efficient graph algorithms for sequential and parallel computers PhD thesis Laboratory for Computer Science M I T Cambridge erh ltlich als Tech nical Report TR 374 Goldberg V Tardos E and Tarjan R E 1990 Network Flow Algorithms In B Korte et al editor Paths Flows and VLSI Layout Springer Verlag Berlin Goldberg V and Tarjan R E 1988 A new approach to the maximum flow problem J Assoc Comput Mach 35 4 921 940 Malhorta V M Kumar M P and Maheshwari N 1978 An o V algorithm for finding the maximum flows in netwo
228. m gr ten oder kleinsten Wert f J aus Falls die Elemente J Z algorithmisch bestimmbar und f auswertbar ist hat der eben beschriebene Enumerationsal gorithmus eine sogenannte lineare Laufzeit da jedes Element von Z nur einmal betrachtet wird MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Die blicherweise auftretenden kombinatorischen Optimierungsprobleme sind je doch auf andere wesentlich strukturiertere Weise gegeben Die Menge Z ist nicht durch explizite Angabe aller Elemente spezifiziert sondern implizit durch die An gabe von Eigenschaften die die Elemente von Z haben sollen Ebenso ist die Funktion f nicht punktweise sondern durch Formeln definiert In dieser Vorlesung wollen wir uns haupts chlich auf den folgenden Problemtyp konzentrieren 2 2 Kombinatorisches Optimierungsproblem mit linearer Zielfunktion Gegeben seien eine endliche Menge E genannt Grundmenge eine Teilmenge T der Potenzmenge 2 von E die Elemente von T hei en zul ssige Mengen oder zul ssige L sungen und eine Funktion c E F r jede Menge FC E definieren wir ihren Wert durch gt c e ecF und wir suchen eine Menge I so dass c I so gro oder klein wie m glich ist 0 Zur Notationsvereinfachung werden wir in Zukunft einfach kombinatorisches Optimierungsproblem sagen wenn wir ein Problem des Typs 2 2 meinen Da ein derartiges Problem durch die Grundmenge E die zul ssigen L sungen Z
229. m aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein dass die oben beschriebene Methode zur Reduktion des Travelling Salesman Problems auf das zugeh rige Entscheidungsproblem nichts anderes ist als das bekannte Verfahren der bindren Suche Mit diesem oder hnlichen Tricks lassen sich viele Optimierungsprobleme durch mehrfachen Aufruf von Algorithmen f r Entscheidungsprobleme l sen Wir nen nen ein Optimerungsproblem II A P leicht falls es ein Entscheidungsproblem in gibt so da II durch polynomial viele Aufrufe eines Algorithmus zur L sung von IT gel st werden kann NP leichte Probleme sind also nicht schwerer als die Probleme in Unser Beispiel oben zeigt da das TSP auch A P leicht ist Wir nennen ein Optimierungsproblem A P quivalent wenn es sowohl MP leicht als auch A P schwer ist Diese Bezeichnung ist im folgenden Sinne ge rechtfertigt Ein NP quivalentes Problem ist genau dann in polynomialer Zeit l sbar wenn P NP gilt Wenn jemand einen polynomialen Algorithmus f r das TSP findet hat er damit gleichzeitig P NP bewiesen Wir wollen im Weiteren dem allgemein blichen Brauch folgen und die feinen Unterschiede zwischen den oben eingef hrten Bezeichnungen f r Entscheidungs und Optimierungsprobleme nicht so genau nehmen Wir werden h ufig einfach von NMP vollst ndigen Optimierungsproblemen sprechen wenn diese NP schwer sind Die Begriffe NP leicht und NP quivalent werden wir kaum gebrauchen da s
230. man die Lin Kernigham Heuristik bzw Varianten davon als die beste der zeit bekannte TSP Heuristik bezeichnet Es ist jedoch keineswegs trivial sie so zu implementieren dass sie effektiv un in ak zeptabler Laufzeit arbeitet Eine sorgf ltige Darstellung dieser Heuristik der benutzten Datenstrukturen und vieler Implementationstricks findet man in D Applegate R Bixby V Chv tal amp W Cook Finding Tours in the TSP Dieser Aufsatz soll Kapitel 2 eines geplanten TSP Buches der vier Autoren werden und ist ber die Website http www math princeton edu tsp papers elektronisch erh ltlich Eine gute bersicht ber Heuristiken f r das Travelling Salesman Problem gibt der Auf satz Johnson and Papadimitrioul 1985 Im gleichen Buch wird im Aufsatz P C Gilmore E L Lawler amp D B Shmoys Well solved special cases pp 87 143 gezeigt dass gewisse Heuristiken f r Spezialf lle des TSP immer Optimall sungen lie fern Ein Verbesserungsverfahren das in den letztern Jahren einige Aufmerksamkeit erregt hat ist die Methode des Simulated Annealing Dies ist ein Verfahren das erwachsen ist aus Simulationsmethoden der statistischen Mechanik In dieser physikalischen Theorie untersucht man u a Phasen berg nge wie Kristallisation von Fl ssigkeiten oder das Ent stehen von Magneten Derartige Ph nomene treten bei gewissen kritischen Temperaturen auf z B friert Wasser bei 0 C und man m chte wissen wie si
231. mit der berlegung dass Copt gt t wobei t die Bearbeitungszeit der Aufgabe ist die als letzte im LIST Belegungsplan ausgef hrt wird 11 6 Lemma Istt die Bearbeitungszeit der Aufgabe die als letzte im LIST Belegungsplan ausgef hrt wird dann gilt lt Cop 1 Bat T Copt Beweis Zum Zeitpunkt Cz t ist aufgrund der Definition der LIST Heuristik keine Maschine leer Eine beendet gerade ihre gegenw rtige Aufgabe und wird mit der Aufgabe der L nge t belegt Es gilt also 229 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 MCopt gt ie bi n RER gt t del 1 gt Mop 2 mt Cr lt Copp t m 1 Cr O 14 2 L gt opt m m Wir betrachten nun eine geringf gig modifizierte Version von LIST 11 7 LIST DECREASING LD Gegeben sei ein Parallel Shop Problem M N 04 09 tn 1 Ordne die Aufgaben so dass gilt t gt tg gt gt tm 2 Wende LIST an Ein Problem bei dem LIST DECREASING ein relativ schlechtes Ergebnis liefert ist das folgende 11 8 Beispiel m 6 n 13 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 6 LD ergibt hier einen Belegungsplan mit Cp 23 w hrend das Optimum 18 betr gt Optimaler Belegungsplan Mi T Tio T T9 T3 Tg Ma T4 T7 Ms 75 6 Me Tu Tiz I a gibt es Beispiele mit n 2m 1 4m 1 und Copt 3m Jedoch sind diese die schlechtest m glichen Beispiele Um dies zu
232. mmen berein mit der Summe der Kostenkoeffizienten des zugeh rigen gerichteten Kreises in N Damit ist unser Exkurs zur Definition von augmentierenden Netzwerken beendet Wir formulieren nun Theorem 8 2 unter Benutzung dieses neuen Konzepts um 8 6 Satz Sei x zul ssiger 8 t Fluss in D mit Wert f und N V W sei das bez glich x und D augmentierende Netzwerk dann gilt folgendes Der Fluss x ist unter allen zul ssigen s t Fl ssen in D mit Wert f genau dann kostenminimal wenn es in N keinen gerichteten Kreis mit negativen Kosten gibt 178 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beweis Gibt es in N einen gerichteten Kreis mit negativen Kosten so folgt analog zum Beweis des einfachen Teils von 8 2 dass x nicht minimal ist Nehmen wir umgekehrt an dass x nicht kostenminimal ist dann m ssen wir in N einen gerichteten Kreis mit negativen Kosten finden Sei also x ein zul ssiger s t Fluss in D mit Wert f und w x lt w x F r jeden Bogen T setzen wir 0 2 z a fallsa ai max 0 z a a a fallsa as d h es gilt Z a1 Z ag x a x a Wir weisen zun chst einige Eigenschaften von 7 R nach Behauptung 1 z ist ein zul ssiger s t Fluss N mit Wert 0 und ij lt 0 Beweis Wir zeigen zun chst dass z negative Kosten hat F r alle a A gilt offenbar z a1 U a1 z a2 u a 2 a z a w a und
233. mplex Algorithmus ist auf dem ZIB Server f r akademische Nutzung verf gbar http www zib de ptimization Software Mcf Mit diesem Code namens MCF k n nen Minimalkosten Flussprobleme mit mehreren tausenden Knoten und hundertmillio nen B gen in wenigen Minuten gel st werden MCF findet derzeit u a in verschiede nen Planungssystemen f r den ffentlichen Nahverkehr Anwendung MCF ist als ei ner der Integer Benchmark Codes in die SPEC CPU2000 Suite aufgenommen worden mit der Leistungsevaluierungen moderner Computersysteme vorgenommen werden s http spec org Es gibt viele kombinatorische Spezialverfahren zur L sung von Minimalkosten Flusspro blemen Alle Tricks der kombinatorischen Optimierung und Datenstrukturtechniken der Informatik werden benutzt um schnelle L sungsverfahren f r 8 1 zu produzieren Ein Ende ist nicht abzusehen Es gibt zur Zeit kein global bestes Verfahren weder bez glich der beweisbaren Laufzeit noch in bezug auf Effizienz im praktischen Einsatz Die Lite ratur ist allerdings voll mit Tabellen mit derzeitigen Weltrekorden bez glich der worst case Laufzeit unter speziellen Annahmen an die Daten Alle derzeit g ngigen Verfahren k nnen gut implementiert Probleme des Typs 8 1 mit zigtausenden von Knoten und Hunderttausenden oder gar Millionen von B gen m helos l sen Wir haben in dieser Vorlesung nicht gen gend Zeit um auf diese Details und Feinheiten einzugehen Wir werden l
234. n Da die Dreiecksungleichung gilt ist der Wert dieser Kanten nicht gr er als die Summe der Werte der Kanten der Wege Daraus folgt c T e B2 2c Toyc was zu zeigen war Bei der Christofides Heuristik m ssen wir den Wert des minimalen perfekten Matchings M absch tzen Seien 71 27 die ungeraden Knoten des aufspannenden Baumes und zwar so numeriert wie sie in vorkommen d h Top 21 01 2 Q2 Q2m 1 12m 2m Wobei die a m glicherweise leere Folgen von Knoten sind Wir be trachten nun die beiden Matchings 142 d3i4 iom 102m Ma ioda dais 42m 2lam 1 Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt c Topt gt e M Da M optimal ist gilt somit lt 5 c Topt Wie vorher folgt daraus f r die Christofides Tour T lt c B2 c B c M lt c Topt 3 c Topt 3 Die G tegarantie der Christofides Heuristik ist die beste derzeit bekannte G tegarantie f r das symmetrische TSP Kann man aus der G tegarantie ablesen wie gut sich eine Heuristik in der Praxis verh lt Leider kann man diese Frage nicht uneingeschrankt bejahen Es scheint so dass zur Beur teilung immer noch praktische Tests an vielen und repr sentativen was auch immer das ist Beispielen ausgef hrt werden m ssen So wird z B in der Literatur relativ berein stimmend berichtet dass bez glich der hier vorgestellten Heuristiken bis zu etwa 200 Knoten F
235. n Diese Sammlung ist nicht im geringsten vollst ndig sondern umfasst nur einige in der Literatur h ufig diskutierte oder besonders anwendungsnahe Probleme Wir benutzen dabei gelegentlich englische Namen die mittlerweile auch im Deutschen zu Standardbezeichnungen geworden sind Fast alle der nachfolgend aufgef hrten Probleme bestehen aus mehreren eng miteinander verwandten Problemtypen Wir gehen bei unserer Auflistung so vor dass wir meistens zun chst die graphentheoretische Formulierung geben und dann einige Anwendungen skizzieren 2 8 K rzeste Wege Gegeben seien ein Digraph D V A und zwei ver schiedene Knoten u v V stelle fest ob es einen gerichteten Weg von u nach v gibt Falls das so ist und falls Entfernungen c gt 0 f r alle i j A bekannt sind bestimme einen k rzesten gerichteten Weg von u nach v d h einen u v Weg P so dass c P minimal ist Dieses Problem wird blicherweise Problem des k rzesten Weges shortest path problem genannt Zwei interessante Varian 20 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 ten sind die folgenden Finde einen k rzesten u v Weg gerader bzw ungerader Lange d h mit gerader bzw ungerader Bogenzahl Das Problem des k rzesten Weges gibt es auch in einer ungerichteten Version Hier sucht man in einem Graphen G V E mit Entfernungen c gt 0 f r alle e bei gegebenen Knoten u v V einen k rzesten u v Weg Analog kann man nach e
236. n L ndern gef hrt werden k nnen Dar ber hinaus treten Netzwerkflussprobleme in vielf ltiger Weise als Unter oder Hilfs probleme bei der L sung komplizierter Anwendungsprobleme auf Insbesondere werden Netzwerkflussalgorithmen sehr h ufig als Separierungsroutinen bei Schnittebenenverfah ren eingesetzt Das klassische Werk der Netzwerkflusstheorie ist das Buch Ford Jr and Fulkerso 1962 145 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Es ist auch heute noch lesenswert Es gibt unz hlige Ver ffentlichungen zur Theorie Al gorithmik und den Anwendungen der Netzwerkflusstheorie Durch neue algorithmische Ans tze Pr fluss Techniken Skalierungsmethoden und effiziente Datenstrukturen sind Ende der 80er und zu Beginn der 90er Jahre sehr viele Artikel zu diesem Thema erschie nen Gute Darstellungen hierzu sind in den umfangreichen und sehr informativen ber sichtsartikeln Ahuja et al 1989 Goldberg et al 1990 und Eran 1995 zu finden Ein sehr empfehlenswertes Buch ist 1993 Die beiden Handb cher Ball et al 19952 Ball et 1995b enthalten umfassende Informationen zur Theorie Algorith mik und zu den Anwendungen von Netzwerken 7 1 Das Max Flow Min Cut Theorem Im Folgenden sei D V A ein Digraph mit Bogenkapazit ten c a c a gt 0 f r alle a Ferner seien s und zwei voneinander verschiedene Knoten aus V Der Knoten s hei t Quelle englisch source und t hei t Senke
237. n auf der die Nachbarn u von v in nicht absteigender Reihenfolge bez glich der Kantengewichte Cuv auftreten Mit G V Ej bezeichnen wir den Untergraphen von Kp mit Kantenmenge E e1 2 ei 220 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 3 Falls k V dann gib V aus und STOP 4 LOW 1 bedeutet S kann die Menge V sein HIGH m bedeutet S besteht nur aus einem Element 5 Bin re Suche Ist HIGH LOW 1 gehe zu 9 6 Setze i e Low und konstruiere G V Ej und die zugeh rigen sortierten Adjazenzlisten AD J v Setze S 0 und T V 7 Ist T 0 so w hle einen Knoten v T und f hre aus S SUI T T N v U w w Nachbar von v in G und gehe zu 7 8 Falls S lt k dann setze HIGH i und S S andernfalls LOW i Gehe zu 5 9 Gib S aus Hochbaum and B Shmoys 1985 haben gezeigt 10 10 Satz Der Algorithmus 10 10 liefert f r k Zentrumsprobleme bei denen die Dreiecksungleichung gilt eine Knotenmenge S C V S lt k mit c S lt 2c Sopt in O E log E Zeit Dieser Algorithmus eine Mischung aus Greedy und bin rer Suche ist also in der Tat bestm glich unter allen approximativen Algorithmen f r das k Zentrumsproblem mit Dreiecksungleichung Aus 10 10 und 10 8 folgt 10 11 Folgerung Sei II das k Zentrumsproblem mit Dreiecksungleichung dann gilt allt l 221 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2
238. n Neuberechnungen immer wiederholt werden so dass sich theoretisch relativ hohe Gewinne ansammeln k nnen Jedoch scheitert die ses Verfahren i a zumindest f r Nicht Devisenh ndler am technisch nicht realisierbaren direkten Marktzugang Nur wenige H ndler haben eine Lizenz zur Durchf hrung dieser Transaktionen 187 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 12 053 303 426 6 070 Einsatz 18 228 248 Gewinn 1 004 Einsatz 23 983 535 Gewinn 365 188 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 8 3 Transshipment Transport u Zuordnungsprob leme Wie beim Maximalflussproblem ist es nat rlich m glich Minimalkosten Flussprobleme bei denen mehrere Quellen und Senken vorkommen und bei denen von Null verschiedene untere Kapazit tsschranken f r die B gen auftreten zu l sen Sie k nnen auf einfache Weise auf das Standardproblem 8 1 reduziert werden Es gibt noch eine Reihe von Varianten des Minimalkosten Flussproblems die in der Li teratur groBe Beachtung gefunden und viele Anwendungen haben Ferner gibt es f r alle dieser Probleme Spezialverfahren zu ihrer L sung Aus Zeitgr nden k nnen wir diese nicht behandeln Wir wollen diese Probleme jedoch zumindest aus Bildungsgriinden erw hnen und zeigen wie sie in Minimalkosten Flussprobleme transformiert werden k n nen 8 12 Transshipment Probleme Umladeprobleme Gegeben sei ein Digraph D A dessen Knotenmenge z
239. n kann Abbildung 2 7 zeigt eine optimale L sung dieses 442 St dte TSP Die Bohrmaschine muss eine Wegl nge von 50 069 Einheiten zur ckzulegen Abb 2 8 Abbildung 2 8 zeigt 666 St dte auf der Weltkugel W hlt man die Luftliniendi stanz bez glich eines GroBkreises auf der Kugel als Entfernung zwischen zwei 36 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 St dten so zeigt Abbildung 2 8 eine k rzeste Rundreise durch die 666 Orte dieser Die Lange dieser TN ist 294 358 km lang Abbildungen 2 7 und 2 8 sind Gr tschel and Holland entnommen In Internet finden Sie unter der URL http www math princeton edu tsp interessante Informationen zum TSP sowie weitere Bilder von TSP Beispielen Daten zu vielen TSP Beispielen wurden von G Reinelt gesammelt und sind unter der folgenden URL zu finden http www iwr uni heidelberg de iwr comopt software TSPLIB95 Eine weitere Webpage zum TSP mit lauff higen Codes etc ist http www densis fee unicamp br moscato TSPBIB home html In Abbildung 2 9 sind die eingezeichneten Punkte Standorte von Telefonzellen in der holl ndischen Stadt Haarlem Der Stern in der Mitte ist das Postamt Die Aufgabe ist hier eine Routenplanung f r den sich w chentlich wiederholenden Telefonzellenwartungsdienst zu machen Die einzelnen Touren starten und enden am Postamt diese Verbindungen sind nicht eingezeichnet und f hren dann so zu einer Anzahl von Telefonzell
240. n wir mit der Senke t durch einen Bogen v t mit Kosten null und Kapazit t b v Offenbar liefert der kostenmini 189 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 male s t Fluss in diesem neuen Digraphen mit Wert c b v eine optimale L sung des Umladeproblems 8 14 Transportprobleme Ein Transshipment bei dem gilt hei t Transport problem Hier wird also von Erzeugern direkt zu den Kunden geliefert ohne den Zwi schenhandel einzuschalten 8 15 Zuordnungsproblem Ein Transportproblem bei dem V V b v 1 f r alle v V und a v 1 V v V gilt hei t Zuordnungsproblem vergleiche 2 9 Zur L sung von Zuordnungs und Transportproblemen gibt es besonders schnelle Algo rithmen die erheblich effizienter als die Algorithmen zur Bestimmung kostenminimaler Fl sse sind Naheres hierzu wird in den bungen behandelt Aber auch in diesem Bereich kann man nicht wie bei Algorithmen zur Bestimmung von Fl ssen mit Minimalko sten davon sprechen dass irgendein Verfahren das schnellste in der Praxis ist Immer wieder gibt es neue Implementationstechniken die bislang unterlegene Algorithmen er heblich beschleunigen und anderen Verfahren berlegen erscheinen lassen Siehe hierzu Ahuja et al 1993 190 Literaturverzeichnis Ahuja R K Magnanti T L and Orlin J B 1989 Network Flows Handbooks in Operations Research and Management Science volume 1 chapter Optimizat
241. nannt 4 14 PRIM Algorithmus Input Zusammenh ngender Graph G V E mit Kantengewichten c e f r alle e E Output Aufspannender Baum minimalen Gewichts c T W hle w V beliebig setze T 0 W w V 2 VN w 2 Ist V 0 dann gib T aus und STOP 3 W hle eine Kante uv mit u V so dass c uv min c e e 6 W 77 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 4 Setze T T U uv W WU 0 V V v und gehe zu 2 Das PRIM Verfahren hat bei geeigneten Datenstrukturen eine Laufzeit von O m 4 n log n und f r den vollst ndigen Graphen so implementiert werden dass seine Laufzeit O n betr gt was offenbar bez glich der Ordnung also bis auf Multiplikation mit Kon stanten und bis auf lineare Terme bestm glich ist da ja jede der Kanten minde stens einmal berpr ft werden muss Bereits bei dieser berpr fung sind O n Schritte notwendig Nachfolgend finden Sie eine Liste eines PASCAL Programms f r Algorith mus 4 14 das f r die Bestimmung minimaler aufspannender B ume im konzipiert Ist 4 15 PASCAL Implementierung von Algorithmus 4 14 PROGRAM prim inp outp EEE E EE E EE E E E E E E E EE E E E E E E E E E E E E E kk E E E E E E E E a kk Prim s Algorithm to Determine a Minimum Spanning Tree in a Complete Graph With n Nodes G Reinelt
242. nd laden den Le ser ein die Beweise selbst auszuf hren Ein Digraph der keinen Kreis enth lt und bei dem jeder Knoten den Innengrad h chstens 1 hat also deg v lt 1 hei t Branching Ein zusammenh ngendes Branching hei t Arboreszenz Jedes Branching ist also ein Wald jede Arboreszenz ein Baum Ein Knoten v in einem Digraphen hei t Wurzel wenn jeder Knoten des Digraphen von v aus auf einem gerichteten Weg erreicht werden kann Ein Digraph D hei t quasi stark zusammenh ngend falls es zu jedem Paar u v von Knoten einen Knoten w in D abh ngig von u und v gibt so dass es von aus einen gerichteten Weg zu u und einen gerichteten Weg zu v gibt Es ist einfach zu sehen dass jede Arboreszenz genau eine Wurzel hat und dass ein Di graph genau dann quasi stark zusammenh ngend ist wenn er eine Wurzel besitzt 72 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Satz 4 6 Sei D V A ein Digraph mit n gt 2 Knoten Dann sind die folgenden Aussagen dquivalent 1 D ist eine Arboreszenz 2 D ist ein Baum mit Wurzel 3 D hat n 1 B gen und ist quasi stark zusammenh ngend 4 D enth lt keinen Kreis und ist quasi stark zusammenh ngend 5 D enth lt einen Knoten so dass es in D f r jeden anderen Knoten v genau einen gerichteten r v Weg gibt 6 D ist quasi stark zusammenh ngend und f r alle a A ist D a nicht quasi stark zusammenh ngend 7 D ist quasi stark zusammenh ngend besitzt ei
243. ndet und dass u und v Nachbarn bzw adjazent sind Wir sagen auch dass zwei Kanten inzident sind wenn sie einen gemeinsa men Endknoten haben Eine Kante e mit V e uu hei t Schlinge Kanten e f mit V e uv V f hei en parallel man sagt in diesem Falle auch dass die Knoten u und v durch eine Mehrfachkante verbunden sind Graphen die weder Mehrfachkanten noch Schlingen enthalten hei en einfach Der einfache Graph der zu jedem in G adjazenten Knotenpaar u v mit u v genau eine u und v verbindende Kante enth lt hei t der unterliegende einfache Graph Mit v bezeichnen wir die Menge der Nachbarn eines Knotens v Falls v in einer Schlin ge enthalten ist ist v nat rlich mit sich selbst benachbart r W U cw T v ist die Menge der Nachbarn von W C V Ein Knoten ohne Nachbarn hei t isoliert 6 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Die Benutzung der Inzidenzfunktion V f hrt zu einem relativ aufwendigen For malimus Wir wollen daher die Notation etwas vereinfachen Dabei entstehen zwar im Falle von nicht einfachen Graphen gelegentlich Mehrdeutigkeiten die aber i a auf offensichtliche Weise interpretiert werden k nnen Statt V e uv schreiben wir von nun an einfach e uv oder quivalent e vu und meinen damit die Kante e mit den Endknoten u und v Das ist korrekt solange es nur eine Kante zwischen u und v gibt Gibt es mehrere Kanten mit den Endknoten und v und sprechen wir von der Kante uv so soll
244. ne Abbildung r A R definiert durch 7 29 r u v c u v z u v Dir alle u v c A Wiederum schreibt r u v wenn man den betrachteten Pseudofluss hervorheben will Der Residualdigraph bez glich ist der Digraph D V A mit Ag u v A rz u v gt 0 Ein s t Pr fluss oder kurz Pr fluss ist ein Pseudofluss x bei dem f r alle Knoten v V s t der berschuss e v nichtnegativ ist Die Flusserhaltungsbedingung 7 2 liest sich in der gegenw rtigen Notation e v 0 Also ist ein s Fluss ein Pseudo oder Pr Fluss mit e v 0 f r alle v V X s t Wir beschreiben nun einen generischen Pr fluss Algorithmus in Anlehnung an Goldberg and Tarja 1988 1988 7 30 Definition Sei D V A ein Digraph mit Kapazit ten c a gt 0 f r alle a A seien s t V s t und sei x ein s t Pr fluss Eine Entfernungsmarkierung distance labeling ist eine Funktion d V Z mit den Eigenschaften 0 d s n V d v 4 1 f r alle Bogen u v A des Residualdigraphen Dy ex IA Il Hinter dieser Begriffsbildung liegt der folgende Gedanke Wir setzen die L nge aller B gen a A des Residualdigraphen D mit 1 fest nur die L nge von s t wird n gesetzt F r jeden Knoten v V t k nnen wir dann seine Entfernung dist p v t zur Senke t berechnen also die L nge des k rzesten v t Weges in D Man kann zeigen dass f r alle v
245. ne isolierte Knoten kann also als Hypergraph aufgefasst werden dessen Hyper Kanten h chstens 2 Elemente enthalten Ein einfacher Graph oh ne isolierte Knoten ist ein einfacher Hypergraph mit E 2 f r alle i J Es ist gelegentlich n tzlich graphentheoretische Objekte als Hypergraphen auf zufassen Sei z B D V A ein Digraph und seien s t V zwei festgew hl te Knoten Sei A die Menge der B gen die auf mindestens einem s t Weg liegen Seien P B P ist die Bogenmenge eines s t Weges E C C B ist ein s t Schnitt in V B dann sind B 1 und B E2 zwei interessante Hypergraphen die uns in der Theorie der Blocker wiederbe gegnen werden In dieser Theorie sind besonders Antiketten oder Clutter von Interesse Das sind Hypergraphen V so dass f r je zwei Kanten E F weder E C F noch F C E gilt Der oben definierte Hypergraph B 1 ist f r jeden Digraphen D eine Antikette dies gilt jedoch nicht f r den Hypergraphen E2 1 6 Matroide Unabhangigkeitssysteme Ist E eine endliche Menge und Z C 2 eine Menge von Teilmengen von E dann hei t Z oder das Paar 7 Unabh ngigkeitssystem auf E falls gilt Ll get L2 ICJeEeT TEL Die Elemente von Z hei en unabh ngige Mengen die Mengen in 2 Z abh n gige Mengen E Z 0 ist also ein einfacher Hypergraph Beispiele graphen theoretisch interessanter Unabh ngigkeitssysteme sind etwa die Me
246. nen Das Bin Packing Problem ist sicherlich nicht das anwendungsreichste kombinatorische Optimierungsproblem aber es ist die beliebteste Spielwiese der Heuristik Designer Die hier angegebenen Heuristiken FF und FFD sind nicht die besten bez glich des be weisbaren Worst Case Verhaltens Es gibt polynomiale Verfahren die f r jedes feste eine L sung garantieren die nicht schlechter als das 1 des Wertes der Opti mall sung ist Diese Verfahren sind allerdings recht kompliziert und basieren auf der El lipsoidmethode Die Literatur zum Bin Packing Thema ist au erordentlich umfangreich Der Aufsatz E G Coffman M R Garey amp D S Johnson 1983 Approximation algorithms for bin packing an updated survey Preprint Bell Laboratories Murray Hill 1983 beschreibt den gegenw rtigen Stand der Forschung und gibt einen berblick ber die bisherige Entwicklung 243 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 244 Literaturverzeichnis Baker B S 1985 A new proof for the First Fit Decreasing bin packing algorithm Journal of Algorithms 6 47 70 245 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 246 Kapitel 12 Das Rucksackproblem Die in Kapitel 10 bereitgestellte Maschinerie von Begriffen wollen wir anhand eines kom binatorischen Optimierungsproblems ausloten um zu zeigen mit welchen Tricks man gewisse G tegarantien erreichen kann bzw mit welchen Beweismethoden die Existenz polynom
247. nen Knoten r mit deg r 0 und erf llt deg v 1 f r alle v V r 8 D ist ein Baum besitzt einen Knoten r mit deg r 0 und erf llt deg v 1 f r alle v 9 D enth lt keinen Kreis einen Knoten r mit deg r 0 und erf llt deg v 1 f r alle v 4 2 Optimale Baume und Walder Das Problem in einem Graphen mit Kantengewichten einen aufspannenden Baum mi nimalen Gewichts oder einen Wald maximalen Gewichts zu finden haben wir bereits in 2 11 eingef hrt Beide Probleme sind sehr effizient l sbar und haben vielf ltige Anwen dungen Einen umfassenden berblick ber die Geschichte dieser Probleme ihre Anwen dungen und die bekannten L sungsverfahren gibt der Aufsatz Graham and Hel 1982 Wir wollen hier jedoch nur einige dieser L sungsmethoden besprechen Zun chst wollen wir uns berlegen dass die beiden Probleme auf sehr direkte Weise quivalent sind Angenommen wir haben einen Algorithmus zur L sung eines Maximalwald Problems und wir wollen in einem Graphen G V E mit Kantengewichten ce e E einen minimalen aufspannenden Baum finden dann gehen wir wie folgt vor Wir setzen M max ce e E 1 und bestimmen einen maximalen Wald W in G bez glich der Gewichtsfunktion c Falls 73 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 G zusammenh ngend ist ist W ein aufspannender Baum denn andernfalls g be es ei ne Kan
248. nge aller Mat 15 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 chings M E M Matching oder die Menge aller stabilen Knotenmengen 1S S stabil eines Graphen G V E oder die Menge aller Branchings A V B Branching eines Digraphen D V A Ein Unabh ngigkeitssystem 7 hei t Matroid falls gilt 13 I JET I J 1 Jee I Jmit JU e 7 Ist E Z ein Unabh ngigkeitssystem und F E dann hei t jede Menge B F mit B 7 die in keiner weiteren Menge mit diesen beiden Eigenschaften enthalten ist Basis von F Die Zahl r F max B B Basis von F ist der Rang von F bez glich E 7 F r Matroide E Z folgt aus 1 3 dass f r jede Menge F C E alle Basen von F die gleiche Kardinalitat besitzen Eine abh ngige Menge C C E die die Eigenschaft hat dass C e unabh ngig ist f r alle e C hei t Zirkuit oder Kreis des Unabh ngigkeitssytems E T Ein klassisches Beispiel f r Matroide ist das folgende Sei G V E ein Graph Dann ist Z F E V F Wald das Unabh ngigkeitssystem eines Matro ids auf E Dieses Matroid wird das graphische Matroid bez glich G genannt Die Zirkuits von E Z sind die Kreise von G die Basen einer Kantenmen ge F sind die Vereingungen von aufspannenden B umen der Komponenten von V F F Ist E eine Menge und Z C 2 ein Mengensystem so nennen wir eine Menge M T maximal bzw minimal bez glich Z wenn es keine M
249. ngreedy Berechne die Gewichtsdichten p di 1 2 n und ordne die Indizes so dass p gt p2 gt gt Pn gilt 2 DO j 1 TO n allgemeiner Knapsack en b Setze j laz und b b Lag 0 1 Knapsack Falls a gt b setze x 0 Falls a lt b setze xj 1 und b b aj END Die Laufzeit von der in 12 4 beschriebenen Algorithmen ist offensichtlich O n log n Wobei das Sortieren die Hauptarbeit erfordert 12 5 Bemerkung Der Zielfunktionsgreedy kann f r das allgemeine und auch f r das bin re Knapsack Problem beliebig schlechte L sungen liefern d h Rgreeay oc Beweis a allgemeines Knapsack Problem Wir betrachten das folgende Beispiel mit gt 2 max az Us az lt a zi t2 Z4 251 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Offenbar gilt Cgreedy und Copt o o 1 Daraus folgt Copt Cgreedy _ ala 2 o 2 Ber Copt o a 1 o 1 Mithin gilt Rgreeay 00 b 0 1 Knapsack Problem Wir betrachten max nt n 1 amp 2 n 1 amp n DEZ In lt Tj 0 1 Trivialerweise gilt Cgreedy n und Copt n n 1 also Copt Cgreedy _ n n 1 n _ n 2 ST Copt n n 1 n 1 Wir wollen uns hier noch einmal an Kapitel 5 erinnern F r a N b N sei E 1 2 n L x 0 1 a x lt b und T ICE 3x Lmitx z dann ist Z eine mengentheoretische D
250. nheim Walther and Nagler 1987 Graphen Algorithmen Programme VEB Fachbuchverlag Leipzig Welsh D J A 1980 Matroid Theory Academic Press New York West D B 1996 Introduction to Graph Theory Prentice Hall Upper Saddle River first edition West D B 2001 Introduction to Graph Theory Prentice Hall Upper Saddle River second edition 22 Kapitel 2 Optimierungsprobleme auf Graphen eine Einf hrung Dieses Kapitel enth lt eine Liste von algorithmischen Fragestellungen der Gra phentheorie Wir werden neben historisch interessanten Aufgaben insbe sondere Optimierungsprobleme auff hren die ein weites Anwendungsspektrum besitzen 2 1 Kombinatorische Optimierungsprobleme Bevor wir auf graphentheoretische Optimierungsprobleme eingehen f hren wir kombinatorische Optimierungsprobleme in allgemeiner Form ein 2 1 Allgemeines kombinatorisches Optimierungsproblem Gegeben seien eine endliche Menge 7 und eine Funktion f Z die jedem Element von T einen Wert zuordnet Gesucht ist ein Element I T so da f I so gro oder klein wie m glich ist Eine Problemformulierung dieser Art ist relativ sinnlos da ber ein Problem das wie oben gegeben ist kaum vern nftige mathematische Aussagen gemacht wer den k nnen Algorithmisch ist 2 1 auf triviale Weise l sbar man durchlaufe alle Elemente J von 2 werte die Funktion f aus und w hle das Element J mit de
251. nsschema A f r II hei t polynomiales Approximationsschema PAS wenn die Laufzeit von A polynomial ist in der Inputl nge von P c II e Ein Approximationsschema A f r II hei t voll polynomiales Approximations schema FPAS wenn die Laufzeit von A polynomial in P 2 ist also polyno mal in der Inputl nge von P II und polynomial in i ist Die Unterscheidung zwischen G tegarantie und Worst Case Schranke ist etwas k nst lich und haufig werden auch von mir die beiden Begriffe durcheinander gebracht 10 2 Beispiele a Der Greedy Algorithmus siehe 5 18 liefert die G tegarantie q und ist somit ein Algorithmus mit Worst Case Schranke 1 q f r Maximierungsprobleme ber allgemeine Unabhingigkeitssysteme J c wobei q der Rangquotient ist b Die Christofides Heuristik 9 5 f ist ein i approximatives Verfahren f r das eu klidische symmetrische TSP c Ist P II hat P die Inputl nge n und hat ein Algorithmus z B die Lauf zeit O n so ist A ein polynomiales Approximationsschema Hat z B die Laufzeit O n ER mit Konstanten k und so ist A ein voll polynomiales Approximationsschema Keine der Heuristiken die wir bisher kennengelernt haben ist ein polynomiales oder gar voll polynomiales Approximationsschema Die G tegarantien gelten nur f r ein bestimm tes und alle gr feren Werte Es stellt sich nat rlich sofort die Frage ob es f
252. nsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Nen ner multiplizieren Man erh lt so ein quivalentes ganzzahliges Maximalflussproblem 152 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Also funktioniert 7 13 auch bei rationalen Daten L sst man zumindest theoretisch auch irrationale Kapazit ten zu so kann man Beispiele konstruieren bei denen Algorith mus 7 13 nicht nach endlicher Zeit abbricht Aber auch bei ganzzahligen Daten gibt es Probleme Ein Durchlauf der Markierungs und berpr fungsphase und der Augmentie rungsphase kann offenbar in O m m A Schritten durchgef hrt werden Nach jedem Durchlauf wird der Flusswert um mindestens 1 erh ht Ist also v der Wert des maximalen s t Flusses so ist die Laufzeit von 7 13 O m v Diese Laufzeit ist nicht polynomial in n m EA Ae A ca und wenn man die im Verfahren 7 13 noch nicht exakt spezi fizierten Schritte ungeschickt ausf hrt kann man tats chlich zu exorbitanten Laufzeiten kommen Allerdings haben Edmonds and Karp 1972 gezeigt 7 14 Satz Falls in Algorithmus 7 13 jeder Augmentierungsschritt entlang eines aug mentierenden s t Weges mit minimaler Bogenzahl durchgef hrt wird dann erh lt man einen Maximalfluss nach h chstens 5 Augmentierungen Also ist die Gesamtlaufzeit dieser Version des Verfahrens 7 13 O m n 0 Satz 7 14 gilt f r beliebige auch irrationale Bogenkapazit ten Es ist in diesem Zu sammenhang interessant zu bemerken dass praktis
253. o gemacht dass man f r je zwei Knoten bestimmt ob das Netz noch eine Verbindung zwischen diesen beiden Knoten besitzen soll wenn ein zwei drei Kanten oder einige ande re Knoten ausfallen Dann wird ein Netzwerk bestimmt also eine Teilmenge von so dass alle Knoten miteinander kommunizieren k nnen alle Sicherheits anforderungen erf llt werden und die Baukosten minimal sind Mit Hilfe dieses Modells und zu seiner L sung entwickelter Algorithmen werden derzeit z B in den USA Glasfasernetzwerke f r so genannte LATA Netze entworfen und ausge legt siehe und von einer gro en Stadt in den USA das Netzwerk der m glichen direkten Kabelverbindungen Ab bildung 2 10 b zeigt eine optimale L sung Hierbei sind je zwei durch ein Qua drat gekennzeichnete Knoten gegen den Ausfall eines beliebigen Kabels gesch tzt d h falls ein Kabel durchschnitten wird gibt es noch eine nicht notwendig di rekte sondern auch ber Zwischenknoten verlaufende Verbindung zwischen je zwei dieser Knoten alle brigen Knotenpaare wurden als relativ unwichtig erach tet und mussten nicht gegen Kabelausf lle gesch tzt werden u ko MV D s T d em N M ve el uses 1 pe 9 LI foe X AU 7 M m d 1 NI oo pet al Lon v T CIE Dt Jl pt SCH NA NEA C Leg Ke EA Lo vi A N vor aims pd H LA Dr i un UN _ Ai n L 2 Abb 2 10 Abb 2 106 43 MARTIN GR TSCHEL SKRIP
254. oblem 3 10 1 2 1 2 1 1 3 6 2 1 mit dem Reihenfolgedigraphen aus Abbildung 11 5 so erhalten wir als LIST L sung den in Abbildung 11 6 angegebenen Belegungsplan mit 9 P E 1 2 3 4 5 6 7 amp 9 Abb 11 6 Es ist erstaunlich dass die Schranke aus Satz 11 5 auch f r diesen komplizierteren Fall gilt 11 13 Satz Gegeben sei ein Parallel Shop Problem mit Reihenfolgebedingungen Sei Cz die Fertigstellungszeit der LIST Heuristik und Copt die optimale Fertigstellungszeit Dann gilt CL lt 2 Copt 233 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beweis Wir bezeichnen mit TT eine Aufgabe die im LIST Belegplan als letzte endet Sei k die gr te ganze Zahl f r die es eine Menge von Aufgaben Ti ee gibt so dass die folgende Eigenschaft erf llt ist Falls zu irgendeinem Zeitpunkt zwischen der Startzeit von T und der Endzeit Cz von eine Maschine leer ist dann wird irgendeine der Aufgaben 7 bearbeitet Es ist offensichtlich dass es berhaupt so eine Folge T gibt Der Hauptschritt des Beweises ist der Beweis der folgenden Behauptung Zu jedem Zeitpunkt vor dem Beginn der Ausf hrung von sind alle m Maschinen belegt Nehmen wir an dass diese Behauptung falsch ist Dann finden wir einen letzten Zeit punkt vor dem Beginn von zu dem eine Maschine leer steht Warum bearbeitet diese Maschine nicht Die
255. och noch Alternativen zum Weg P die zu pr fen sind Statt einfach den billigsten Bogen aus K zu entfernen kann man einen Bogen a mit Endknoten in W und Anfangsknoten auDerhalb von W zum Kreis K hinzuf gen Um ein Branching zu erhalten mu dann der eindeutig bestimmte Bogen a des Kreises K der zum Endknoten von a f hrt aus K entfernt werden Dadurch erh lt man einen gerichteten Weg P Die Kosten einer solchen Modifikation des Kreises C zum Weg P sind K ci a c ai K c a ci bi ci ai Der neue Zielfunktionswert von a c 1 a c b c a mi t also den Wert des Weges P im Vergleich zur Wahl des Weges P Ist c a positiv ist die Alternative P g nstiger als P Bevor wir die Korrektheit des Algorithmus beweisen besprechen wir ein Beispiel 4 18 Beispiel Wir betrachten den in Abbildung 4 4 dargestellten Digraphen D V A mit Knotenmenge 1 und den eingetragenen Bogengewichten 85 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 4 4 Wir durchlaufen nun die einzelnen Schritte von Algorithmus 4 17 Die B gen bezeich nen wir nicht mit einem Namen sondern mit ihrem jeweiligen Anfangs und Endknoten In Schritt 1 initialisieren wir wie angegeben Boo Da Do Boo Da up hei t die angegebene Bedingung ist nicht erf llt und wir machen nichts Wir w hlen Knoten 1 b 2 1 Bo 2 1 wir markieren 1 und gehen zu 2 Wir w
256. oder w hle eine aus I zuf llig erzeugte neue L sung b Wird eine L sung I gefunden deren Wert besser als der von ist setze I auf L Gilt c I lt c Io setze Io I 209 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 c Wird keine L sung produziert die besser als I ist setze die beste produzierte L sung I mit Wahrscheinlichkeit p auf Wichtig p sollte w hrend des Verfah rens variieren und die Wahrscheinlichkeit des Akzeptierens schlechter L sungen sollte mit zunehmender Ausf hrungsdauer abnehmen 5 Ist L leer STOP und gib Io aus andernfalls setze L und gehe zu 4 Das oben beschriebene Verfahren hat sehr viele offene Parameter von deren Wahl der Erfolg stark abh ngt Leider ist es nicht einfach herauszufinden wann welche Strategie bei welchen Problemen zu einer guten Heuristik f hrt Die Idee hinter dem Verfahren ist einfach erkl rt Man bearbeitet parallel mehrere L sun gen um auf verschiedenen Wegen Fortschritte zu erzielen und so u U in mehrere lokale Minima hineinzulaufen von denen vielleicht eines das globale Minimum ist Manche Verfahren des Simulated Annealing arbeiten jedoch nur mit k 1 also einer gegenwarti gen L sung Der meiner Meinung nach wichtigste Aspekt besteht darin dass man gewillt ist gelegentlich auch Verschlechterungen hinzunehmen Hinter diesem Schritt steckt die folgende Erfahrung Verbesserungsverfahren laufen relativ sc
257. omplexit tstheorie schwer sind Fer ner m ssen viele dieser Probleme h ufig in beschr nkter Zeit mit nicht allzu gro en Computern gel st werden Diesen Praxisanforderungen kann man mit zwei m glichen Ans tzen entsprechen Entweder man entwickelt falls das m glich ist Verfahren die f r die vorliegenden speziellen Probleme exakt arbeiten und empirisch f r die gege benen Gr enordnungen vertretbaren Rechenaufwand erfordern oder man entwirft ap proximative Verfahren Heuristiken die in kurzer Zeit obere und untere Schranken f r den Optimalwert liefern und somit gewisse G teaussagen erlauben F r spezielle Anwendungsprobleme mit problemspezifischen Nebenbedingungen k nnen nat rlich individuelle Heuristiken entwickelt werden die auf die besonderen Nebenbe dingungen abgestellt sind Es gibt jedoch einige Prinzipien die mit geeigneten Modifi kationen bei allen schwierigen kombinatorischen Optimierungsproblemen zur Entwick lung von Heuristiken eingesetzt werden k nnen Diese Prinzipien sollen in diesem Kapitel erl utert und meistens anhand des symmetrischen Travelling Salesman Problems einge hend erkl rt werden Wir wollen solche Heuristiken die zul ssige L sungen des vorliegenden Optimierungs problems liefern primale Heuristiken nennen Es gibt unz hlige Versuche Heuristiken zu klassifizieren Wir wollen diese Versuche hier nicht weiter kommentieren und werten Im weiteren werden wir primale Heuristi
258. ou s 1TOv 1 Falls u v A und DIST u c u v lt DIST v setze DIST v DIST u c u v und VOR v u END 3 END 2 4 Falls DIST v lt 00 so enth lt DIST v die L nge des k rzesten gerichteten Weges von s nach v und aus VOR kann ein k rzester s v Weg entnommen werden Falls DIST v 00 so existiert in D kein s v Weg 6 5 Satz Algorithmus 6 4 funktioniert f r beliebige azyklische Digraphen D und beliebige Bogengewichte Beweis Nach Voraussetzung haben alle B gen in D die Form u v mit u v Folglich gibt es in D keinen s v Weg f r v s Nach Definition ist die L nge eines s s Weges gleich Null Ferner enth lt jeder s v Weg mit v gt s nur innere Knoten u mit s lt u lt v Es gibt h chstens einen s s 1 Weg n mlich den Bogen s s 1 falls er in D existiert also enth lt DIST v f r 1 v s 1 die L nge eines k rzesten s v Weges in D Ist v gt s 1 so folgt durch Induktion ber die Schleifenindizes der Schleife 2 dass DIST u die L nge eines k rzesten 5 u Weges f r 1 lt u lt v enth lt Aus formalen Gr nden lassen wir Schleife 2 mit v s 1 beginnen Dadurch wird kein Wert DIST u in Schritt 3 ge ndert F r v s 4 1 ist somit nach obiger Bemerkung die Behauptung korrekt Sei also die Behauptung f r v richtig und betrachten wir den Knoten v 1 Nach Induktionsvoraussetzung enth lt DIST u 1 lt u lt v die L nge eines k rzesten s
259. p2 gt gt py gilt und dass a b gilt f r j 1 n Leider gilt die sch ne Schranke aus 12 6 nicht f r das 0 1 Knapsack Problem 12 7 Bemerkung Gegeben sei ein 0 1 Knapsack Problem Dann gilt a F r k 0 1 n 1 gilt k k Ck 1 cop ZH ay m Ak 1 j 1 j l b CGgreedy gt Copt max cj 7 1 Beweis a Sei 27 2 eine optimale L sung des 0 1 Knapsack Problems und k 0 1 n 1 Dann gilt QjCk 1 Ck 1 Ck 1 Com Men sus DEDERE jM Zi j k 1 1 5 e E pora e mm dk k k k 1 p aj 7 1 1 7 1 253 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 b Ist b so liefert der Greedy Algorithmus offenbar die optimale L sung und die Behauptung ist korrekt Sei also k lt n der gr te Index so dass gt a lt b Dann gilt k 0 lt b 3 o lt k41 j l und aus a folgt Ck 1 1 CGgreedy Ck 1 1 k Cop lt woraus b folgt 12 8 Bemerkung a Der Gewichtsdichten Greedyalgorithmus kann im Falle des 0 1 Knapsack Problems beliebig schlechte L sungen liefern d h Ragreeay oo b F hren wir sowohl den Gewichtsdichten als auch den Zielfunktions Greedyalgo rithmus f r ein 0 1 Knapsack Problem aus so ist dieses kombinierte Verfahren ein i approximativer Algorithmus Beweis a Wir betrachten das folgende Beispiel
260. ph G entsteht also 33 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 aus der Vereinigung von G mit Ga u v unter Hinzuf gung der Kanten u w siehe Abbildung 2 6 Man berlegt sich leicht dass jedes perfekte Matching in G einem ungeraden u v Weg in G entspricht und dass jedes minimale perfekte Matching in einen minimalen ungeraden v Weg bestimmt Abb 2 6 In Abbildung 2 6 entspricht z B dem ungeraden u v Weg u v7 vo v das per fekte Matching M uiu ugus u3ws usws und umgekehrt Hausaufgabe Finden Sie eine hnliche Konstruktion die das Problem einen k rzesten u v Weg gerader L nge zu bestimmen auf ein perfektes Matching problem zur ckf hrt 2 11 Walder Baume Branchings Arboreszenzen Gegeben sei ein Graph V E mit Kantengewichten c R f r alle e E Die Aufgabe einen Wald W E zu finden so dass c W maximal ist hei t Problem des maximalen Waldes Die Aufgabe einen Baum T C E zu finden der G aufspannt und dessen Gewicht c T minimal ist hei t Problem des minimalen aufspannenden Baumes mini mum spanning tree problem Diese beiden Probleme haben auch eine gerichtete Version Gegeben sei ein Digraph D V A mit Bogengewichten c R f r alle a A Die Aufgabe ein Branching A maximalen Gewichts zu finden hei t ma ximales Branching Problem die Aufgabe eine Arboreszenz mit vorgegebener 34 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM
261. phen und Matroidtheorie handelt es sich nicht um eine didaktische Einf hrung in das Gebiet der diskreten Mathematik Dieses Kapitel ist lediglich als Nachschlagewerk gedacht in dem die wichtigsten Begriffe und Bezeichnungen zusammengefasst und definiert sind 1 1 Grundbegriffe der Graphentheorie Die Terminologie und Notation in der Graphentheorie ist leider sehr uneinheitlich Wir wollen daher hier einen kleinen Katalog wichtiger graphentheoretischer Be griffe und Bezeichnungen zusammenstellen und zwar in der Form wie sie in der Regel in meinen Vorlesungen benutzt werden Definitionen werden durch Fett druck hervorgehoben Nach einer Definition folgen gelegentlich in Klammern weitere Bezeichnungen um auf alternative Namensgebungen in der Literatur hin zuweisen Es gibt sehr viele B cher ber Graphentheorie Wenn man zum Beispiel in der Datenbank MATH des Zentralblattes f r Mathematik nach B chern sucht die den Begriff graph theory im Titel enthalten erh lt man ber 260 Verweise Bei rund 50 B chern taucht das Wort Graphentheorie im Titel auf Ich kenne nat rlich nicht alle dieser B cher Zur Einf hrung in die mathematische Theorie empfeh 5 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 le ich u a IBollob s 1998 2000 Bondy and Murty 1976 und Starker algorithmisch orientiert und anwendungsbezo sowie 1994 und 1 2 Graphen Ein Graph G ist ein Tripel V E V bestehend aus einer nicht l
262. r starten mit DM 1 Million tauschen dann in US dann in franz sische Franc und wieder zur ck in DM 185 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 16 9 1994 16 12 1994 Abb 8 2 Am 16 12 1994 ergibt sich dadurch ein Verlust von DM 247 oder rund 0 02 96 des eingesetzten Betrags w hrend sich am 16 09 1994 ein Gewinn von DM 63 einstellt Durch Erh hung des eingesetzten Betrags kann man in unserem Modell den Gewinn beliebig erh hen Jedoch haben wir dabei nicht ber cksichtigt dass erh hte Nachfra ge bzw erh htes Angebot zu Kurs nderungen f hrt In der Praxis ist es so dass Devi senh ndler die Umtauschkurse nur f r gewisse maximale Geldbetr ge garantieren und das auch nur f r wenige Minuten Dies liegt daran dass sich alle Devisenb rsen der Welt gleichzeitig beobachten und Kursschwankungen an einer B rse sofort zu Kurs nderungen bei den anderen f hren Je nach Sachlage kann man die Umtauschsummenbeschr nkun gen dadurch ber cksichtigen dass man Bogenkapazit ten einf hrt oder dass man Um tauschbeschrankungen an jeder Devisenb rse festlegt In unserem Beispiel folgen wir der zweiten Methode Wir nehmen an dass Tauschvorg nge die folgenden Grenzen an einem B rsenplatz nicht berschreiten London 2 000 000 New York 81 4 000 000 Z rich SF 10 000 000 Tokio Yen 800 000 000 Paris FF 25 000 000 keine Kurs nderungen induzieren Damit k nnen wir unser Problem als das folgende li 186
263. r B gen a bzw a nicht definiert d h es gilt entweder a Ca oder 177 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 0 dann ist der Wert z a1 bzw z a als Null zu betrachten Wir setzen A A10 An man beachte dass A parallele B gen enthalten kann Ferner sei f r A c a x a fallsa a z a falls ag w a falls a1 w a falls a In Abbildung 8 1 a ist ein Digraph mit einem s t Fluss x des Wertes 4 dargestellt Die drei Zahlen bei einem Bogen a geben an Fluss durch a Kapazit t von a Kosten von a Das augmentierende Netzwerk N bez glich D und z ist in 8 2 b gezeichnet Die beiden Zahlen bei einem Bogen a in 8 1 b geben an Kapazit t von a Kosten von a Abb 8 1 Der Kreis 2 t 1 2 1 in Abbildung 8 1 a ist ein augmentierender Kreis mit Kosten 3 7 4 8 Dieser Kreis entspricht in b dem gerichteten Kreis 2 t t 1 1 2 wobei von den beiden zwischen 1 und 2 parallel verlaufenden B gen nat rlich der mit negativen Kosten zu w hlen ist Aufgrund der Konstruktion von N ist folgende Beziehung offensichtlich 8 5 Lemma Ist D V A ein Digraph mit Kapazit ten c RA und Kosten w R ist x ein zul ssiger s t Fluss in D und ist N V A c w das zu D und x geh rige augmentierende Netzwerk dann entspricht jeder augmentierende Kreis in D genau einem gerichteten Kreis in N Die Kosten eines augmentierenden Kreises in D sti
264. r Graph mit n Knoten und seien u v V zwei nichtadjazente Knoten so dab deg u 4 deg v 2 n Dann gilt G ist hamiltonsch genau dann wenn G uv hamiltonsch ist Sei ein beliebiger Graph mit n Knoten Der Abschluss von ist derjenige Graph den man aus G dadurch erh lt dass man rekursiv f r jedes Paar u v nichtadjazenter Knoten mit Gradsumme gt n die Kante uv zu G hinzuf gt Man kann leicht zeigen dass der Abschluss eindeutig bestimmt also unabh ngig von der Reihenfolge des Hinzuf gens ist Satz 9 3 liefert dann durch Rekursion 9 4 Satz Ein einfacher Graph G ist genau dann hamiltonsch wenn sein Abschluss hamiltonsch ist Ist insbesondere der Abschluss von der vollst ndige Graph so kann man daraus schlieBen dass G hamiltonsch ist Die Bedingungen der oben angegebenen S tze implizieren dass jeder Graph mit n Kno ten der eine solche Bedingung erf llt O n Kanten enth lt Die Theorie der Zufallsgra phen liefert sch rfere Resultate Man kann zeigen dass ein zufalliger Graph mit O n log n Kanten mit hoher Wahrscheinlichkeit hamiltonsch ist Warum werden S tze vom Typ 9 1 9 2 oder 9 3 in einem Kapitel ber Heuristiken betrachtet Ein Grund daf r neben dem Wunsch des Vortragenden ein paar interessante Resultate der Graphentheorie zu vermitteln ist dass die Beweise der S tze algorithmisch sind In der Tat sind sehr viele Beweise in der Graphentheorie algorithmisch sie werden hau
265. r Knoten berdeckung von G Kanten berdeckungszahl minimale Kardinalitat einer Kanten berdeckung von G Matchingzahl maximale Kardinalit t eines Matchings in G F rbungszahl chromatische Zahl 2 minimale Anzahl von stabilen Mengen in einer Knotenf rbung von G Cliquen berdeckungszahl minimale Anzahl von Cliquen in einer Cliquen berdeckung von G Kantenf rbungszahl chromatischer Index minimale Anzahl von Matchings in einer Kantenf rbung von G maximaler Grad eines Knotens von G minimaler Grad eines Knotens von G der durch die Knotenmenge W induzierte Schnitt Menge aller B gen mit Anfangsknoten in W und Endknoten in V W Menge aller B gen mit Endknoten in W und Anfangsknoten in V V W Zusammenhangszahl maximales so dass amp zusammenh ngend ist starke Zusammenhangszahl maximales so dass stark amp zusammenh ngend ist Kantenzusammenhangszahl maximales so dass kantenzusammenhiingend ist starke Bogenzusammenhangszahl maximales so dass D stark amp bogenzusammenh ngend ist Menge der Nachbarn der Knotenmenge W der von der Knotenmenge W induzierte Untergraph von G der aus G durch Entfernung der Knotenmenge W entstehende Graph der aus G durch Entfernung der Kantenmenge F entstehende Graph der aus G durch Kontraktion der Knotenmenge W entstehende Graph der aus G durch Kontraktion der Kantenmenge F entstehende Graph Grad des Knoten v Menge aller Kanten von G mit beiden Endknoten in W M
266. r Psychologie Weitergehende Informationen finden sich in Gr tschel et al 1984 und in 1985 Einige konkrete Anwendungsbei spiele werden in den bungen behandelt 2 18 Entwurf kosteng nstiger und ausfallsicherer Telekommunikationsnetz werke Weltweit wurden in den letzten Jahren und das geschieht weiterhin die Kup ferkabel die Telefongespriche etc bertragen durch Glasfaserkabel ersetzt Da Glasfaserkabel enorm hohe bertragungskapazit ten haben wurden anfangs die stark vermaschten Kupferkabelnetzwerke durch Glasfasernetzwerke mit Baum struktur ersetzt Diese Netzwerkstrukturen haben jedoch den Nachteil dass beim 42 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Ausfall eines Verbindungskabels z B bei Baggerarbeiten oder eines Netzkno tens z B durch einen Brand grofe Netzteile nicht mehr miteinander kommuni zieren k nnen Man ist daher dazu bergegangen Telekommunikationsnetzwer ke mit h herer Ausfallsicherheit wie folgt auszulegen Zun chst wird ein Graph G V E bestimmt hierbei repr sentiert V die Knotenpunkte die in einem Telekommunikationsnetz verkn pft werden sollen und E stellt die Verbindungen zwischen Knoten dar die durch das Ziehen eines direkten Glasfaser Verbin dungskabels realisiert werden k nnen Gleichzeitig wird gesch tzt was das Le gen einer direkten Kabelverbindung kostet AnschlieBend wird festgelegt welche Sicherheitsanforderungen das Netz erf llen soll Dies wird s
267. r den Graphen aus Abbildung 3 1 sieht die Adja zenzliste wie folgt aus Knotennummer l 4 1 2 2 3 2 5 4 73 3 2 2 3 4 L2 2 4 4 1 3 T Grad Die Liste der Nachbarknoten eines Knoten v hei t Nachbarliste von v Jede Kante 27 i j ist zweimal repr sentiert einmal auf der Nachbarliste von 4 einmal auf der von j Bei Gewichten hat man wieder zwei M glichkeiten Entweder man schreibt direkt hinter jeden Knoten j auf der Nachbarliste von 4 das Gewicht der Kante 27 oder man legt eine kompatible Gewichtsliste an Bei Digraphen geht man analog vor nur speichert man auf der Nachbarliste eines Knoten nur die Nachfolger von Man nennt diese Liste daher auch Nachfolgerliste Ein Bogen wird also nur einmal in der Adjazenzliste eines Digraphen repr sentiert Wenn es f r 63 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 das Problem g nstiger ist kann man nat rlich auch Vorg ngerlisten statt Nachfolgerlisten oder beides anlegen Zur Speicherung einer Adjazenzliste eines Graphen braucht man 2n 1 2m Speicher pl tze f r die Adjazenzliste eines Digraphen werden 2n 1 m Speicherpl tze ben tigt Kanten bzw Bogenlisten sind die kompaktesten aber unstrukturiertesten Speicherfor men Will man wissen ob die Kante ij enth lt muss man im schlechtesten Fall die gesamte Liste durchlaufen und somit 2m Abfragen durchf hren Eine derartige Frage ben tigt bei der Speicherung von G in einer Adjazenzmatrix nur eine Abfrage w hrend
268. r mit den beiden f r uns wichtigsten Begriffen Zeit und Speicherkomplexit t besch ftigen Haupts chlich werden wir ber Zeitkomplexit t reden Es ist trivial dass die Laufzeit eines Algorithmus abh ngt von der Gr e eines Problembeispiels d h vom Umfang der Eingabedaten Bevor wir also Laufzeit analysen anstellen k nnen m ssen wir beschreiben wie wir unsere Problembei spiele darstellen bzw kodieren wollen Allgemein kann man das durch die An gabe von Kodierungsschemata bewerkstelligen Da wir uns jedoch ausschlie lich mit Problemen besch ftigen die mathematisch darstellbare Strukturen haben reicht es f r unsere Zwecke aus Kodierungsvorschriften f r die uns interessie renden Strukturen anzugeben Nat rlich gibt es f r jede Struktur beliebig viele Kodierungsm glichkeiten Wir werden die gel ufigsten benutzen und merken an dass auf diesen oder dazu in einem spezifizierbaren Sinn quivalenten Kodie rungsvorschriften die gesamte derzeitige Komplexit tstheorie aufbaut 50 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Ganze Zahlen kodieren wir bin r Die bin re Darstellung einer nicht negativen ganzen Zahl n ben tigt log n 1 Bits oder Zellen Hinzu kommt ein Bit f r das Vorzeichen Die Kodierungslange n einer ganzen Zahl n ist die Anzahl der zu ihrer Darstellung notwendigen Bits d h 3 1 n log n 1 1 Jede rationale Zahl r hat eine Darstellung r mit p q Z p und q
269. r verschiedene Farben erhalten Der Urheber der Frage war Francis Guthrie 27 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Aus einer Landkarte kann man einen Graphen machen indem jedes Land durch einen Knoten repr sentiert wird und je zwei Knoten genau dann durch eine Kan te verbunden werden wenn die zugeh rigen Lander benachbart sind Abbildung 2 5 a zeigt die Karte der deutschen Bundesl nder Der Bundesl ndergraph in Abbildung 2 5 b hat daher je einen Knoten f r die 16 Lander und einen weite ren Knoten f r die Au enwelt Dieser Knoten ist mit allen Bundesl nderknoten verbunden die an das Ausland oder das Meer wie etwa Niedersachsen grenzen 5 i Abb 2 5 a Abb 2 5 b Landkartengraphen kann man nach Konstruktion in die Ebene so zeichnen dass sich je zwei Kanten genauer die Linien die die Kanten in der Ebene repr sen tieren nicht schneiden auDer nat rlich in ihren Endpunkten wenn sie einen ge meinsamen Knoten besitzen Landkartengraphen sind also planar Das 4 Farben Problem in etwas allgemeinerer Form lautet dann Kann man die Knoten eines planaren Graphen so farben dass je zwei benachbarte Knoten verschiedene Far ben besitzen Der Weg zur L sung des 4 Farben Problems war sehr lang siehe hierzu 1984 Die erste vollst ndige L sung unter Zuhilfenahme von Computerpro grammen wurde 1976 1977 von K Appel und W Haken vorgelegt Die Doku mentation eines transpa
270. r vorgeschriebenen Zeit zu erledigen Es ist blich dieses Problem als Kistenpackungsproblem zu beschreiben Jede Kiste ha be eine H he d und jeder Gegenstand eine H he 1 nat rlich kann man auch Gewichte etc w hlen Das Ziel ist eine minimale Zahl von Kisten zu finden die alle Gegenst nde aufnehmen F r dieses Problem betrachten wir die folgende Heuristik 11 14 FIRST FIT FF Gegeben sei ein Bin Packing Problem durch die Folge d t1 Die Gegenst nde werden in der Reihenfolge wie sie in der Liste vorkommen behandelt Jeder Gegenstand wird in die erste Kiste in die er passt gelegt 11 15 Beispiel Gegeben sei ein Bin Packing Problem durch die Kistenh he d 101 und die folgenden 37 Gegenst nde 6 7mal 10 7mal 16 3mal 34 10mal 51 10mal Die FF L sung ist in Abbildung 11 7 dargestellt 6 7x 10 5 92 10 2 16 3 68 5 34 7 10x 51 1x Abb 11 7 Das heiDt bei der FF L sung werden 17 Kisten ben tigt Die optimale L sung ben tigt nur 10 Kisten wie Abbildung 11 8 zeigt 3x 7x 51 34 16 51 34 10 6 235 stn MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 11 8 Daraus folgt dass 5 ist die durch FF bestimmte Kistenzahl und mopt die opti male Kistenzahl m durchaus H sein kann Die folgende Absch tzung lt 1 2Mopt ist trivial denn die FF L sung f llt jed
271. rbar und gibt es einen polynomialen Algorithmus zur L sung von II dann kann man auch in polyno mialer Zeit l sen Man transformiert einfach jedes Problembeispiel aus II in eine Problembeispiel aus II und wendet den Algorithmus f r II an Da sowohl der Transformationsalgorithmus als auch der L sungsalgorithmus polynomial sind hat auch die Kombination beider Algorithmen eine polynomiale Laufzeit Nun kommen wir zu einem der wichtigsten Begriffe dieser Theorie der spezifi ziert welches die schwierigsten Probleme in der Klasse NP sind 3 6 Definition Ein Entscheidungsproblem TI hei t NP vollstandig falls NP und falls jedes andere Problem aus NP polynomial in transformiert werden kann Jedes NP vollst ndige Entscheidungsproblem II hat also die folgende Eigen schaft Falls II in polynomialer Zeit gel st werden kann dann kann auch jedes 57 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 andere Problem aus MP in polynomialer Zeit gel st werden in Formeln II A P vollst ndig und II P P Diese Eigenschaft zeigt dass bez glich polynomialer L sbarkeit kein Problem in NP schwieriger ist als ein A P vollst ndiges Nat rlich stellt sich sofort die Frage ob es berhaupt NP vollst ndige Probleme gibt Dies hat Cook 1971 in einer f r die Komplexti tstheorie fundamentalen Arbeit beweisen In der Tat sind leider fast alle praxisrelevanten Probleme NMP vollst ndig Ein Beispiel Da
272. reiften Simulationstechniken der statischen Mechanik zu behandeln Dies ist der Grund daf r dass man bei den Darstellungen dieser Methoden viel physikalisches Vokabular findet hinter dem man i a mehr vermutet als einige recht simple heuristische Ideen Sorgf ltige Implementierungen zeigen dass Simulated Annealing bei einigen interessan ten Problemen relativ konsistent sehr gute heuristische L sungen erzeugt bereinstim mende Erfahrung ist jedoch dass Simulated Annealing viel Parameter und Feintuning erfordert und bis zur Generierung guter L sungen sehr hohen Zeitaufwand erfordert Al lein aus dem letzten Grunde ist Simulated Annealing f r viele speziell gro e praktische Probleme nicht sonderlich geeignet ist Nach der langen Vorrede nun eine kurze Beschreibung des Verfahrens ohne physikali sches Brimborium 10 7 Simulated Annealing Verfahren berblick Wir nehmen an dass ein kombi natorisches Minimierungsproblem ET c vorliegt 1 W hle mehrere Startheuristiken zur approximativen L sung von E T c Seien Jh Ip die hierbei gefundenen L sungen Sei die beste dieser L sungen 2 W hle ein oder mehrere Verbesserungsverfahren 3 Initialisiere zwei Listen L und von jeweils k gt 1 L sungen von E T Setze I Ir auf Liste L 4 F r alle L sungen I auf Liste L f hre aus a Wende eines oder alle Verbesserungsverfahren auf I an oder w hle eines der Ver fahren zuf llig
273. reise enth lt aber haben bisher verschwiegen wie man das effektiv entdeckt Wie man das bei der D ESOPO PAPE Variante auf einfache Weise machen kann ohne andere Algorithmen einzuschal ten ist mir nicht bekannt Bei der YEN Variante gibt es eine simple Modifikation die das Gew nschte leistet 135 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 6 8 Bemerkung Nehmen wir an dass jeder Knoten des Digraphen D von s 1 auf einem gerichteten Weg erreicht werden kann D enth lt einen negativen Kreis genau dann wenn bei einer zus tzlichen Ausf hrung der Schleife 2 der YEN Variante also f r m n 1 der Wert DIST v f r mindestens einen Knoten v V ge ndert wird Der Beweis dieser Bemerkung sei dem Leser berlassen Im n chsten Abschnitt werden wir auf das Thema negative Kreise noch einmal zur ckkommen Die YEN Variante des MOORE BELLMAN Algorithmus hat da drei Schleifen ber ma ximal n Indizes ineinander geschaltet sind eine Laufzeit von O n F r die D ESOPO PAPE Variante gibt es konstruierte Beispiele mit exponentieller Laufzeit siehe bungs aufgabe Dennoch hat sie sich in der Praxis als sehr schnell erwiesen und ist fast immer der YEN Variante berlegen Sind alle Gewichte positiv und sollen k rzeste s v Wege f r alle v V bestimmt werden so ist die DIJKSTRA Methode f r Digraphen mit vielen B gen d h O n B gen die bessere Methode bei Digraphen mit wenigen B gen ha ben extensive
274. renten Beweises von N Robertson D P Sanders P Sey 28 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 mour und R Thomas der weiterhin auf der berpr fung vieler Einzelf lle durch Computerprogramme beruht ist auf der Homepage von Robin Thomas zu finden http www math gatech edu thomas FC fourcolor html 2 7 Planaritat Durch das 4 Farben Problem gelangte die Frage wann kann man einen Graphen so in die Ebene einbetten dass sich je zwei Kanten nicht berschneiden in den Fokus der Forschung Nat rlich wurde sofort verallgemei nert Finde eine gute Charakterisierung daf r dass ein Graph in die Ebene auf dem Torus in die projektive Ebene auf Henkelfl chen etc berschneidungsfrei einbettbar ist Kuratowski gelang 1930 ein entscheidender Durchbruch Es ist einfach zu sehen dass weder der vollst ndige Graph noch der vollst ndige Graph planar sind Kuratowski bewies dass jeder nicht planare Graph einen der Graphen oder K3 enth lt Das hei t ist nicht planar so kann man aus durch Entfer nen und durch Kontraktion von Kanten entweder den oder den erzeugen Dies ist auch heute noch ein keineswegs triviales Ergebnis 2 3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme Einige Beispiele In diesem Abschnitt wollen wir mehrere Beispiele von kombinatorischen Opti mierungsproblemen die sich mit Hilfe von Graphentheorie formulieren lassen und einige ihrer Anwendungen aufliste
275. rfen die erheblich schneller als die Enumeration aller L sungen sind 2 20 Klassische Fragestellungen der Graphentheorie Nachfolgend werden eine Reihe von graphentheoretischen Problemen skizziert die die Entwicklung der Graphentheorie nachhaltig beeinflusst haben 2 3 Euler und das Konigsberger Br ckenproblem Fast jedes Buch ber Graphentheorie enth lt einen Stadtplan von K nigsberg und erl utert wie Euler die K nigsberger Karte zu dem Graphen aus Abbildung 2 1 abstrahiert hat Abb 2 1 Euler hat die Frage untersucht ob es in diesem K nigsberger Br ckengraphen einen geschlossenen Pfad gibt der alle Kanten genau einmal enth lt Heute nen nen wir einen solchen Pfad Eulertour Er hat das Problem nicht nur f r den Gra phen aus Abbildung 2 1 gel st sondern f r alle Graphen Ein Graph enth lt eine Eulertour genau dann wenn er zusammenh ngend ist und jeder Knoten einen geraden Grad hat Diesen Satz hat Euler 1736 bewiesen und damit die Graphen theorie begr ndet 2 4 Das Haus vom Nikolaus Jeder kennt die Aufgabe aus dem Kindergarten Zeichne das Haus des Nikolaus siehe Abbildung 2 2 in einem Zug 25 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 O O Abb 2 2 Was hat diese Fragestellung mit dem K nigsberger Br ckenproblem zu tun 2 5 Hamiltonsche Kreise Der irische Mathematiker Sir William Hamilton z B durch die Erfindung der Quaternionen bekannt hat sich Ende der
276. ritt 3 durch einen polynomialen Algorithmus realisieren k nnen ist der Greedy Algorithmus ein polynomialer Algorithmus im blichen Sinne Eine sol che polynomiale Realisation ist z B auf triviale Weise f r das Cliquenproblem Stabile Menge Problem Travelling Salesman Problem und azyklische Subdigraphenproblem m g lich W rde der Greedy Algorithmus auch in diesen F llen immer Optimall sungen lie fern h tten wir einen Beweis f r P N P gefunden da alle gerade aufgelisteten Probleme NP schwer sind Wir k nnen also nicht erwarten dass der Greedy Algorithmus immer optimale Antworten produziert Die Frage wie schlecht im schlechtest m glichen Falle eine Greedy L sung ist beantwortet Satz 5 18 auf bestm gliche Weise Er gibt eine so genannte G tegarantie an die besagt dass der Wert c Ig jeder Greedy L sung nicht schlechter ist als gc Io Der Quotient hei t in der Literatur auch Rangquotient Der Rangquotient liefert als eine G tegarantie f r die L sungsqualit t des Greedy Algorithmus Der Rangquotient ist im allgemeinen nicht einfach auszurechnen Eine Absch tzung wird gegeben durch 116 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 5 20 Satz Sei ein Unabh ngigkeitssystem auf E und E 7 i 1 k sei eine minimale Zahl von Matroiden mit T N Ti dann gilt min r F FCE r F 2 w Daraus folgt zum Beispiel Ist Z ein Unabh ngigkeitssystem das Durchschnitt von 2 Ma troiden ist
277. rks Inform Process Lett 7 227 278 Mehlhorn K 1984 Data Structures and Algorithms volume 1 3 Springer Verlag EATCS Monographie edition dreib ndige Monographie Band I liegt auch auf deutsch im Teubner Verlag 1986 vor Schrijver A 2003 Combinatorial Optimization Polyhedra and Efficiency volume Springer Verlag Berlin Syslo M M Deo N and Kowalik J S 1983 Discrete Optimization Algorithms with PASCAL programs Prentice Hall Englewood Cliffs N J 174 Kapitel 8 Weitere Netzwerkflussprobleme Das im vorhergehenden Kapitel behandelte Maximalflussproblem ist eines der Basispro bleme der Netzwerkflusstheorie Es gibt noch weitere wichtige und anwendungsreiche Netzwerkflussprobleme Wir k nnen hier jedoch aus Zeitgr nden nur wenige dieser Pro bleme darstellen und analysieren Der Leser der an einer vertieften Kenntnis der Netz werkflusstheorie interessiert ist sei auf die am Anfang von Kapitel 7 erw hnten B cher und bersichtsartikel verwiesen 8 1 Fl sse mit minimalen Kosten H ufig tritt das Problem auf durch ein Netzwerk nicht einen maximalen Fluss senden zu wollen sondern einen Fluss mit vorgegebenem Wert der bez glich eines Kostenkriteri ums minimale Kosten verursacht Wir wollen hier nur den Fall einer linearen Kostenfunk tion behandeln obwohl gerade auch konkave und st ckweise lineare Kosten bei Men genrabatten eine wichtige Rolle spielen Sind ein Digraph D
278. rsorgungsgrade der Be v lkerung in Bezug auf rzte Krankenh user Schulen etc bestimmt Ebenso er folgen Untersuchungen bez glich des Arbeitsplatzangebots Alle diese Analysen basieren auf einer genauen Ermittlung der StraBen Bus und Bahnentfernungen in Kilometern oder Zeiteinheiten und Algorithmen zur Bestimmung k rzester Wege in den Verbindungsnetzwerken 2 9 Das Zuordnungsproblem assignment problem Gegeben sei ein bipar titer Graph G V E mit Kantengewichten c R f r alle e E gesucht ist ein Matching in G maximalen Gewichts Man nennt dieses Problem das Mat chingproblem in bipartiten Graphen oder kurz bipartites Matchingproblem Haben die beiden Knotenmengen in der Bipartition von V gleiche Kardinalit t und sucht man ein perfektes Matching minimalen Gewichts so spricht man von einem Zuordnungsproblem Es gibt noch eine weitere Formulierung des Zuord nungsproblems Gegeben sei ein Digraph D V A der auch Schlingen haben 30 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 darf mit Bogengewichten meistens wird unterstellt dass D vollst ndig ist und Schlingen hat gesucht ist eine Bogenmenge minimalen Gewichts so dass jeder Knoten von D genau einmal Anfangs und genau einmal Endknoten eines Bogens aus ist B ist also eine Menge knotendisjunkter gerichteter Kreise so dass je der Knoten auf genau einem Kreis liegt Wir wollen dieses Problem gerichtetes Zuordnungsproblem nennen Das Zuordnun
279. rt f Output Ein zul ssiger s t Fluss x mit Wert f der kostenminimal unter allen zul ssi gen s t Fl ssen mit Wert f ist oder die Aussage dass kein zul ssiger s t Fluss mit Wert f existiert Setze x a 0 f r alle a A bzw starte mit einem zul ssigen s t Fluss mit Wert nicht groBer als f 2 Konstruiere das augmentierende Netzwerk N V w bez glich D und x 3 Wende einen K rzeste Wege Algorithmus z B den Floyd Algorithmus 6 9 an um im Digraphen N V A mit den Bogenl ngen w A einen negati ven gerichteten Kreis C zu finden Gibt es keinen dann gehe zu 5 4 Augmentierung entlang Bestimme min c a a C setze f ra A z a te falls a C x a falls a C z a andernfalls und gehe zu 2 Hier erhalten wir einen Fluss mit gleichem Wert und geringeren Kosten 5 Ist val z f STOP gib x aus 182 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Bestimme mit einem K rzeste Wege Algorithmus z B einer der Varianten des Moore Bellman Verfahrens 6 6 es gibt keine negativen Kreise einen s t Weg P N mit minimalen Kosten 7 Gibt es in N keinen s t Weg dann gibt es in D keinen zul ssigen s t Fluss mit Wert f STOP 8 Augmentierung entlang P Bestimme min a P min e f val x setze f ra A 2 fallsa P z a 4 2 e falls a P
280. rte d v so gut wie m glich mit dist p v t in bereinstimmung zu bringen Dies ist zwar rechnerisch teuer lohnt sich jedoch Man setzt zu Beginn einfach d v dist v t f r alle v V X s durch breadth first search fest Dann schreibt man d v durch die RELABEL Operation fort Man sollte aber d v periodisch neu berechnen um die Werte wieder in Einklang mit den Distanzen im gegenw rtigen Residualgraphen zu bringen Die Initialisierung erledigt verschiedene wichtige Aufgaben Zun chst wird jeder Nach folger von s mit einem positiven berschuss versehen so dass der Algorithmus mit einem aktiven Knoten beginnen kann Ferner ist nach der Initialisierung keiner der B gen aus 166 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 6 s erlaubt da alle PUSH Operationen saturierend waren Da alle v t Wege in D h chstens die L nge n 1 haben wird durch dal n sichergestellt dass d u lt d s 1 f r alle u s A gilt Man beachte dass D keinen gerichteten s 1 Weg enth lt und damit d s n auch eine untere Schranke f r distp 5 t ist Da die Entfernungsmar kierungen im Verlaufe des Verfahrens nicht fallen bleibt garantiert dass D w hrend der Ausf hrung des Pr fluss Algorithmus nie einen gerichteten s t Weg enthalten wird Es wird also nie mehr n tig sein aus s Fluss herauszuschieben Es ist f r das Verst ndnis des Vorgehens sehr hilfreich sich den Pr fluss Algorithmus anhand eines Rohrleitungss
281. ruiert werden kann das den Knoten enth lt Die Regeln zur Konstruktion des geschichteten Netzwerkes aus D und dem gegenw rtigen Fluss sind so gestaltet dass es dann zu D und dem gegenw rtigen s t Fluss keinen augmentierenden s t Weg mehr gibt Aus Satz 7 9 folgt dann dass der gegenw rtige s t Fluss maximal ist Aus der letzten Bemer kung ist klar wie wir bei der Auswahl der B gen vorzugehen haben Die Schichten des Netzwerkes werden nach dem Breadth First Prinzip bestimmt Ist also D V A mit Bogengewichten c a f r alle a A ein Digraph sind s t zwei verschiedene Knoten aus D und ist x ein zul ssiger s t Fluss dann wird aus D c und x ein geschichtetes Netzwerk N W F mit Kapazit ten c a wie folgt konstruiert Es seien Aj Ag 7 20 u v u v A und zy lt Cw v u v A und zw gt 0 160 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 7 21 Cus f r alle u v A1 Cuv 1 Lou f r alle v A Auf den B gen aus A kann der Fluss erh ht auf denen aus Aa erniedrigt werden Ein Bogen kann sowohl in A als auch in sein Mit bezeichnen wir die Verei nigung von A und Ag bei der ein Bogen zweimal auftreten kann Ist u v A mit Zuv lt SO Schreiben wir wenn es f r das Verst ndnis hilfreich ist u 0 um den zu u v geh rigen Bogen aus A zu bezeichnen Ist u v A mit zu gt 0 so schrei
282. s b Setze B BU M Achtung hier k nnen Kanten doppelt vorkommen Wir wollen nun an einigen Beispielen die Wirkungsweisen der 7 oben angegebenen Heu ristiken vorf hren 9 6 Beispiel Wir betrachten das durch Tabelle 9 1 definierte 6 St dte Problem das Rheinland Problem Die Daten sind Stra enkilometer und entstammen einem StraBen atlas Aachen Bonn D sseldorf Frankfurt K ln Tabelle 9 1 Die geographische Lage der sechs Orte ist in Abb 9 1 ungef hr ma stabgetreu angedeutet 199 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 C Abb 9 1 a Wir wenden NN an a1 Startpunkt A Es ergibt sich die Rundreise A K B D W F A mit der Lange 698 km ag Startpunkt F Wir erhalten die Tour F B K D W A F der Lange 658 km b Wir wenden NI mit dem Startkreis K D B K an Dabei werden sukzessive die folgenden Kreise erzeugt K D B K K D W B K K A D W B K K A D W F B Die so entstandene Tour hat die L nge 617 km c Wir wenden FI mit dem Startkreis A an Wir erhalten sukzessiv die folgenden Kreise K A F K K A F W K K A F W D K K A B F W D K Die durch FI gefundene Tour hat die L nge 648 km d Mit CI und dem Startkreis A B F A erhalten wir A B F A A K B F
283. s j l 4 1 jE Es gilt L lt 1 mit lt H Insgesamt gilt also lt pcm mit 2 lt 2 Um den Beweis von Satz 11 16 zu vervollst ndigen m ssen wir noch die Existenz der Funktion mit den angegebenen Eigenschaften nachweisen Wir geben diese Funktion an 6 falls 0 lt lt 1 27 2 falls I lt a lt i w x Geib falls b lt a lt d 1 falls lt lt 1 Graph von w x 238 MARTIN GROTS SKRIPTUM ADM I SS 2003 oun olw ole olor Lm 3 4 6 6 AIN 1 6 Abb 11 9 w hat offenbar die Eigenschaft 1 Der Beweis der brigen Eigenschaften ist recht kompli ziert wir spalten die Kette der Argumente in mehrere Behauptungen auf Behauptung 3 i w 3 w z i w r trivial Behauptung2 0 lt z y lt z w x lt w x y trivial Behauptung3 0 lt lt 2 lt w x lt iz trivial Behauptung4 lt 1 lt 5 lt 2 1 trivial k gt 2 Behauptung EIOS as ppc 2m w z 21 Beweis Wir k nnen folgendes annehmen z S 2 denn sonst w rew z1 1 lt 3 denn sonst w rew zi w z2 gt 2 w 4 1 Tk gt 4 denn sonst w re dm Ti gt d und aus Behauptung 3 w rde folgen 3 w zi Sy P KE Wir betrachten zun chst den Fall k 2 21 29 gt 1 29 gt gt z gt 1 2 gt gt q gt 2 12 gt 172 Und somit 1 w z2 5 222 4 gt i 5 17 21 2 1
284. s Knapsack Problem d Ein bin res Knapsack Problem das die folgende Bedingung erf llt C1 Cj 7 3255 a1 Qj hei t wertunabh ngiges Knapsack Problem e Ein wertunabh ngiges Knapsack Problem mit Cj Qj y hei t Subset Sum Problem Dieses kann wie folgt dargestellt werden 2 0 1 j 1 n f Zul ssigkeitstest Gibt es einen Vektor x 0 1 mit Gibt es ein x Z mit b g Sei A eine m n Matrix mit aij Z und b N c N dann hei t Inax cz Ar lt b 248 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 ea mehrdimensionales Knapsack Problem Falls x 0 1 gefordert wird so hei t dieses Problem mehrdimensionales 0 1 Knapsack Problem h Multiple Choice Knapsack Problem Gegeben n m N b N aij Zo 1 lt i m 1 j lt n Gesucht ist ein ganzzahliger oder 0 1 Vektor der L nge m x z11 Zen mit hi 355 gaang b h2 F r jedes i 1 m gibt es h chstens ein j 1 n mit zij gt 0 ha 2 25 1 CijTij ist maximal Wir wollen nun einfache Heuristiken f r verschiedene Typen von Knapsack Problemen darstellen und ihr Verhalten analysieren Zun chst wollen wir zeigen dass weder f r das allgemeine noch f r das 0 1 Knapsack Problem eine Differenzgarantie siehe 10 6 c4 gegeben werden kann 12 2 Satz Es gibt einen polynomialen Algorithmus A f r das allgemeine oder bin re
285. s bezeichnen wir mit DIST v den Wert der in 6 1 berechneten Distanzfunktion nach dem k ten Durchlaufen der Schritte 2 3 und 4 F r den DIJKSTRA Algorithmus gilt aufgrund der Auswahlvorschrift nach der k ten Markierungsphase Folgendes Sind die Knoten in der Reihenfolge V1 U9 Uy markiert worden so gilt DIST v1 DIST vy DIST v f r alle bisher unmarkierten Knoten v 6 2 Satz Der Dijkstra Algorithmus arbeitet korrekt Beweis Wir zeigen durch Induktion ber die Anzahl k markierter Knoten Folgendes Ist v markiert so enth lt DIST v die L nge eines k rzesten s v Weges ist v un markiert so enth lt DIST v die L nge eines k rzesten s v Weges wobei als innere Knoten nur markierte Knoten zugelassen sind Falls DIST 0 00 so wird dies als Nichtexistenz eines s v Weges bzw eines s v Weges ber markierte innere Knoten interpretiert Hieraus folgt offenbar die Behauptung Ist nur ein Knoten also s markiert so ist unsere Behauptung aufgrund der Definiti on in Schritt 1 korrekt Wir nehmen nun an dass die Behauptung richtig ist f r mar kierte Knoten und dass das Verfahren in Schritt 2 einen 4 1 sten Knoten sagen wir 128 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 u markiert und Schritt 3 durchlaufen hat Nach Induktionsvoraussetzung ist DIST die L nge eines k rzesten s u Weges der als innere Knoten nur die ersten k markier ten Knoten benutzen darf G
286. s hamiltonsche Graphenproblem Enthalt G einen hamiltonschen Kreis ist NP vollst ndig Wir wollen nun Optimierungsprobleme in unsere Betrachtungen einbeziehen Aus jedem Optimierungsproblem kann man wie folgt ein Entscheidungsproblem ma chen Ist II ein Maximierungsproblem Minimierungsproblem so legt man zus tz lich zu jedem Problembeispiel Z noch eine Schranke sagen wir B fest und fragt Gibt es f r Z eine L sung deren Wert nicht kleiner nicht gr er als B ist Aus dem Travelling Salesman Problem wird auf diese Weise ein Entscheidungs problem man fragt einfach Enth lt das Problembeispiel eine Rundreise deren L nge nicht gr er als 157 Wir nennen ein Optimierungsproblem A P schwer wenn das wie oben angege bene zugeordnete Entscheidungsproblem A P vollst ndig ist Diese Bezeichnung beinhaltet die Aussage dass alle P schweren Optimierungsprobleme minde stens so schwierig sind wie die A P vollst ndigen Probleme K nnten wir n mlich ein A P schweres Problem wie das Travelling Salesman Problem in polynomia ler Zeit l sen dann k nnten wir auch das zugeh rige Entscheidungsproblem in polynomialer Zeit l sen Wir berechnen den Wert w einer Optimall sung und ver gleichen ihn mit B Ist bei einem Maximerungsproblem Minimierungsproblem w gt B B so antworten wir ja andernfalls nein H ufig kann man Entscheidungsprobleme dazu benutzen um Optimierungspro bleme zu l sen
287. sammenh ngend so ist T ein aufspannender Baum von G minimalen Gewichts c T Die Laufzeit von Algorithmus 4 7 bzw 4 9 kann man wie folgt absch tzen Mit den g ngigen Sortierverfahren der Informatik z B HEAP SORT kann man die Kanten von E in O k logy k bzw O m logy m Schritten in der geforderten Weise ordnen In Schritt 3 ruft man k bzw m mal ein Unterprogramm auf das berpr ft ob eine Kantenmenge einen Kreis besitzt oder nicht Durch Benutzung geeigneter Datenstrukturen kann man einen derartigen Aufruf in h chstens O n Schritten abarbeiten Daraus folgt dass Schritt 3 in h chstens O mn Schritten ausgef hrt werden kann Dies ist auch die Gesamtlaufzeit des Verfahrens Mit speziellen Implementierungstricks kann die Laufzeit von Schritt 3 auf O m 4 n log n gesenkt und damit die Gesamtlaufzeit sogar auf O m log m Schritte reduziert werden In der Literatur wird Algorithmus 4 9 h ufig Kruskal Algorithmus genannt Einen gewichtsminimalen aufspannenden Baum kann man brigens auch mit folgendem Verfahren finden 75 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 4 11 Dualer Greedy Algorithmus Input Zusammenh ngender Graph G V E mit Kantengewichten c e f r alle e E Output Aufspannender Baum T C E minimalen Gewichts c T 1 Sortieren Numeriere die m Kanten des Graphen G so dass gilt 1 gt gt gt elem 2 Setze T E 3 FORi 1 TO m DO Falls T X ei z
288. se der hier gemachten Aussagen findet der in teressierte Leser z B sed und Welsh ez Wie wir bereits gesehen haben k nnen Unabh ngigkeitssysteme ber Zirkuits Basen oder Rangfunktionen beschrieben werden Ist M E Z ein Matroid und sind C das zugeh rige Zirkuit Basissystem bzw die zugeh rige Rangfunktion so ist nat rlich Z durch die Angabe von C B oder r eindeutig beschrieben Gelegentlich werden daher auch die Paare E C E als Matroide bezeichnet meistens dann wenn es bei einer speziellen Untersuchung sinnvoller erscheint mit Zirkuits Basen oder Rangfunktionen statt mit Unabh ngigkeitssystemen zu arbeiten Sicherlich induzieren nicht alle Zirkuit oder Basissysteme oder alle Rangfunktionen Un abh ngigkeitssysteme von Matroiden Diese Antiketten bzw Funktionen m ssen spezi elle Eigenschaften haben damit das zugeh rige Unabh ngigkeitssystem das Axiom 1 3 erf llt Einige solcher Eigenschaften wollen wir kurz auflisten 5 10 Satz a Eine Antikette C C 2 C 0 ist das Zirkuitsystem eines Matroids auf E genau dann wenn eine der beiden folgenden quivalenten Bedingungen erf llt ist C 1 C1 C2 C C1 Co z 303 C mit C1U C3 Mz C 1 C1 C2 E C C2 y Co gt Yz Cu N C5 3 5 C mit U C2 x b Eine Antikette C 29 B 4 ist das Basissystem eines Matroids auf E genau dann wenn das folg
289. ses durch die L sung des Max Cut Problems max ci Vi Partition von V bestimmt werden kann Eine genauere Darstellung und die konkrete Berechnung von Grundzust nden von Spingl sern sowie weitere Literaturhinweise kann man in 1988 Barahona Gr tschel J nger Reinelt 1988 finden Dieses Paper beschreibt auch eine Anwendung des Max Cut Problems im VLSI Design und bei der Leiterplattenherstellung Die Lagenzuweisung von Leiterbah nen so dass die Anzahl der Kontaktl cher minimal ist 2 16 Standortprobleme Probleme dieses Typs tauchen in der englischspra chigen Literatur z B unter den Namen Location oder Allocation Problems Lay out Planning Facilities Allocation Plant Layout Problems oder Facilities Design 41 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 auf Ihre Vielfalt ist hnlich wie bei 2 12 kaum in wenigen Zeilen darstell bar Ein relativ allgemeiner Standardtyp ist der folgende Gegeben sei ein Graph oder Digraph dessen Knoten St dte Wohnbezirke Baupl tze m gliche Fabri kationsst tten etc repr sentieren und dessen Kanten Verkehrsverbindungen Stra Den Kommunikations oder Transportm glichkeiten etc darstellen Die Kanten besitzen Gewichte die z B Entfernungen etc ausdr cken Wo sollen ein Kran kenhaus ein Flughafen mehrere Polizei oder Feuerwehrstationen Warenh user Anlieferungslager Fabrikationshallen errichtet werden so dass ein Optima
290. sgef hrten Auftr ge f Optimierungsziel Finde einen Belegungsplan so dass die gr te Fertigstellungs dauer so klein wie m glich ist Daf r schreiben wir min max Belegungspl 7 1 ym oder kurz min Cmax mit Cmax i 1 m Der Belegungsplan in Abb 11 2 f r das Beispiel 11 2 ergibt eine bessere L sung als der in Abb 11 1 angegebene i T i T S D 5 T Abb 11 2 22 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 In Abb 11 2 werden insgesamt nur 12 Zeiteinheiten ben tigt Dieser Belegungsplan ist sogar optimal denn insgesamt sind 34 Zeiteinheiten auf 3 Maschinen zu verteilen und es ist offenbar unm glich 34 Zeiteinheiten auf 3 Maschinen zu jeweils 11 Zeiteinheiten Bearbeitungsdauer aufzuteilen Das hier vorgestellte Maschinenbelegungsproblem 11 1 ist schwierig im Sinne der Komplexit tstheorie Selbst das Problem mit 2 parallelen iden tischen Maschinen ist bereits A P vollst ndig Es ist daher sinnvoll nach heuristischen Verfahren zu suchen die schnell arbeiten und einen gewissen Grad an Genauigkeit garantieren Wir wollen zun chst die simpelste Heu ristik untersuchen die man f r dieses Problem angeben kann 11 3 Die LIST Heuristik Gegeben sei ein Parallel Shop Problem durch M Nn 03 09 tn 1 Initialisierung Belege die Maschinen M Mm mit den Aufgaben T 15 Setze i m 1 2 Hat eine
291. ss jeder zul ssige s t Fluss N eine Vereinigung augmentierender s t Wege in D ist genauer 7 23 Satz Sei D V A ein kapazitierter Digraph und N W F sei das oben aus D und dem zul ssigen s t Fluss x konstruierte geschichtete Netzwerk mit den Ka pazit ten c dann gilt a ist ein maximaler s t Fluss in D genau dann wenn t W b Istz ein zul ssiger s t Fluss in N dann ist z R definiert durch Le t Xa Ta f r alle a u v A ein zul ssiger s t Fluss in D mit Wert val x val z Die Formel in b zur Berechnung von x ist wie folgt zu interpretieren Ist a u v A und 0 lt zy lt Cw 50 ist a u v A und ag v u Ag und die Formel ist wohldefiniert Ist x 0 so ist v u Aa und zy ist als Null zu betrachten Ist Luy Cyy SO gilt u v Z und zy ist als Null zu betrachten 162 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beweis b Wir m ssen zeigen dass x die Kapazit ts und die Flusserhaltungsbedin gungen 7 1 7 2 erf llt Sei u v A beliebig dann gilt 0 lt Tuv Tou da Lu Cyy gt Zon lt Tag Tuv Xy da Fy 2 0 Tw lt Lay Tw da 20 lt da Tw Cw Tw gt Tw Also ist 7 1 erf llt Sei nun v V s t ein beliebiger Knoten x 8 v z 0 z 9 v 26 v N A1 z 9 v A2 2 5 v z 6 v N A1 z 6 v N A 2 6
292. ssystem vergleiche 2 13 101 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 b Ein Wald in einem Graphen G V E ist eine Kantenmenge die keinen Kreis enth lt Die Menge aller W lder bildet ein Unabh ngigkeitssystem auf E Das Problem einen maximalen Wald in G zu finden war Hauptthema von Kapitel 4 siehe auch 2 11 Offenbar ist in einem zusammenh ngenden Graphen G die Menge der aufspannenden B ume genau die Menge der Basen des Unabh ngigkeitssystems der W lder Das Pro blem einen minimalen aufspannenden Baum zu finden ist somit ein Optimierungspro blem ber einem Basissystem c Ein Matching in einem Graphen G V E ist eine Kantenmenge M C E so dass jeder Knoten aus V in h chstens einer Kante aus M enthalten ist Die Menge aller Matchings ist ein Unabh ngigkeitssystem auf E Das Matchingproblem 2 10 ist also ein Optimierungsproblem ber einem Unabh ngigkeitssystem Die Aufgabe in einem vollstindigen Graphen mit Kantengewichten ein minimales perfektes Matching zu finden ist ein Optimierungsproblem ber einem Basissystem d Gegeben sei ein vollst ndiger Digraph D V A mit n Knoten und Bogenl ngen cij f r alle i j A Eine Tour gerichteter Hamiltonkreis ist ein gerichteter Kreis in D der jeden Knoten enth lt Die Aufgabe eine Tour mit minimalem Gewicht zu fin den hei t asymmetrisches Travelling Salesman Problem siehe 2 12 Die Menge 7 aller Touren ist kein Unabh ngigkeitssystem jedoch e
293. stens exakt b ist Das unkapazi tierte perfekte b Matchingproblem ist die Aufgabe ein perfektes b Matching zu finden so dass gt maximal minimal ist Sollen die ganzzah ligen Kantenwerte x f r alle e E zus tzlich noch die Kapazit tsschranken 0 lt a lt u erf llen so spricht man von einem perfekten u kapazitierten b Matchingproblem An dieser Stelle wollen wir noch eine nicht offensichtliche Problemtransfor mation vorf hren Und zwar wollen wir zeigen dass die Aufgabe in einem unge richteten Graphen G V E mit Kantengewichten c gt 0 f r alle e E einen k rzesten Weg ungerader Lange zwischen zwei Knoten u v V zu bestimmen mit einem Algorithmus f r das perfekte Matchingproblem gel st werden kann Und zwar konstruieren wir aus G einen neuen Graphen G wie folgt Nehmen wir an dass V vi Un gilt Die Graphen Gi U E1 mit U ui Un und Go W E2 mit W w1 Wn seien knotendisjunkte isomorphe Bilder also Kopien von so dass die Abbildungen v gt u und v Wi i 1 n Isomorphismen sind Aus Ga entfernen wir die Bilder der Knoten und v dann verbinden wir die brigen Knoten W mit ihren isomorphen Bildern u U durch eine Kante u w Diese neuen Kanten u w erhalten das Ge wicht c u w 0 Die Kanten aus und u v die ja Bilder von Kanten aus G sind erhalten das Gewicht ihrer Urbildkanten Der Gra
294. t Fl ssen mit Wert f ist und sei N V A c w das zugeh rige augmentierende Netzwerk Sei P ein s t Weg in N mit minimalen Kosten w P und sei ein zul ssiger s t Fluss in N so dass z a gt 0 fiir alle P und z a 0 f r allea A P dann ist der Vektor z R definiert durch z a z a1 a2 f rallea A ein zul ssiger s t Fluss in D mit Wert f val Z der kostenminimal unter allen Fl ssen dieses Wertes in D ist 180 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Beweis Trivialerweise ist x R ein zul ssiger s t Fluss mit Wert f val z Wir zeigen dass x kostenminimal ist Angenommen dies ist nicht der Fall dann gibt es nach Satz 8 6 einen negativen gerichteten Kreis im bez glich x augmentierenden Netzwerk N V Al c uw Wir beweisen dass dann auch ein negativer gerichteter Kreis in N bez glich 2 existiert Wir bemerken zun chst dass das augmentierende Netzwerk N aus N dadurch hervor geht dass die B gen aus P C A neue Kapazit ten erhalten und m glicherweise ihre Richtung und damit ihre Kosten ndern Sei B C P die Menge der B gen aus A die in N eine andere Richtung als N haben und sei v u A u v Wir untersuchen nun den gerichteten Kreis C A N mit negativen Kosten Gilt C N B H so ist C in enthalten und somit ein negativer Kreis N Dann w re nach 8 6 nicht kos
295. t Basissy stem B Setze B E B B B Dann ist B das Basissystem eines Matroids M auf E M wird das zu M duale Matroid genannt Offensichlich gilt f r ein Basissystem B B d h das zu M duale Matroid ist das Matroid M Wir haben bereits ein Matroid und das dazu duale Matroid kennengelernt Ist n mlich M das graphische Matroid auf einem Graphen G siehe 5 11 a so ist das cographische Matroid auf G siehe 5 12 a das zu M duale Matroid M F r Matrix Matroide siehe 5 11 b kann man auf einfache Weise das duale Matroid konstruieren Wir nehmen an dass M durch die m x n Matrix A ber irgendeinem K rper definiert ist O B d A k nnen wir annehmen dass vollen Zeilenrang m hat Mit Hilfe der Gau Elimination bringen wir A in Standardform d h wir formen A so um dass A B gilt wobei die m x m Einheitsmatrix ist M glichweise sind hierzu Zeilen und Spaltenverbindungen erforderlich Man kann nun zeigen dass das zu M duale Matroid M durch die Matrix definiert ist Hierbei ist J eine n m n m Einheitsmatrix In der Matroidtheorie hat sich die folgende Sprechweise eingeb rgert Ist M ein Matro id und eine Basis oder ein Zirkuit des dualen Matroids M so nennt man auch eine Cobasis oder ein Cozirkuit von M Analog hei t der Rang von bez glich der Rangfunktion von M auch der Corang von Ein Zyklus ist die Vereinigung von paar weise disjunkten Zirku
296. te e E so dass W W U ein Wald ist und wegen c gt 0 w re c W gt c W Aus der Definition von d folgt direkt dass W ein minimaler aufspan nender Baum von G bez glich c ist Ist W nicht zusammenh ngend so ist auch G nicht zusammenh ngend also existiert kein aufspannender Baum Haben wir einen Algorithmus der einen minimalen aufspannenden Baum in einem Gra phen findet und wollen wir einen maximalen Wald in einem Graphen G V E mit Kantengewichten e E bestimmen so sei Kp V En der vollst ndige Graph mit n V Knoten und folgenden Kantengewichten ce f ralle e E mit ce gt 0 Ge M f raleec E e E ce gt 0 wobei wir z B setzen M n max ce ee E 4 1 Ist B ein minimaler aufspannender Baum von bez glich der Kantengewichte c dann ist offenbar aufgrund unserer Konstruktion W B e B ein Wald in G maximalen Gewichts Der folgende sehr einfache Algorithmus findet einen maximalen Wald 4 7 GREEDY MAX Input Graph G V E mit Kantengewichten c e f r alle e E Output Wald W C E mit maximalem Gewicht c W 1 Sortieren Ist k die Anzahl der Kanten von G mit positivem Gewicht so nume riere diese k Kanten so dass gilt c e1 gt c eo gt gt c ex gt 0 2 Setze W 0 3 FOR 1 TO k DO Falls W U ej keinen Kreis enth lt setze W WU ei 4 Gib W aus 4 8 Satz Der Algorithmus GR
297. teilerfremd und q 0 Wir nehmen an dass jede rationale Zahl so dargestellt ist und k nnen daher sagen dass die Kodierungsl nge von r 5 gegeben ist durch Wir werden im weiteren auch sagen dass wir eine ganze oder rationale Zahl r in einem Speicherplatz oder Register speichern und wir gehen davon aus dass der Speicherplatz f r r genau die ben tigten r Zellen besitzt Die Kodierungsl nge eines Vektors 1 n Q ist i 1 und die Kodierungsl nge einer Matrix A Q ist m n A ais i l j l F r diese Vorlesung besonders wichtig sind die Datenstrukturen zur Kodierung von Graphen und Digraphen Auf diese werden wir in Abschnitt 3 3 genauer ein gehen Sind alle Kodierungsvorschriften festgelegt so m ssen wir ein Rechnermodell entwerfen auf dem unsere Speicher und Laufzeitberechnungen durchgef hrt wer den sollen In der Komplexit tstheorie benutzt man hierzu i a Turing Maschinen oder RAM Maschinen Wir wollen auf diese Rechnermodelle nicht genauer ein gehen Wir nehmen an dass der Leser wei was Computer sind und wie sie funk tionieren und unterstellen einfach dass jeder eine naive Vorstellung von einer vern nftigen Rechenmaschine hat Dies reicht f r unsere Zwecke aus Wir stellen uns den Ablauf eines Algorithmus A der in Form eines Rechner programms vorliegt auf einer Rechenanlage wie folgt vor Der Algorithmus soll Problembeispiele Z des Problems II l sen Alle
298. ten linearen Teilraums von X bilden Das Basisaxiom B 1 ist in diesem Falle aufgrund des Steinitz schen Austauschsatzes erf llt Dieser Satz war die Motivation f r B 1 Matroide die auf die hier angegebe ne Weise konstruiert werden k nnen hei en Matrix Matroide Die Rangfunktion von T entspricht der aus der linearen Algebra bekannten Rangfunktion des K beschr nkt auf die Spalten von A Ist Z ein Matroid auf E und gibt es einen K rper K und eine m n Matrix ber so dass Z zu dem Matrix Matroid bez glich isomorph ist dann hei t Z repr sentierbar ber K Nat rlich kann man hier etwas verallgemei nern und anstelle von K rpern Schiefk rper oder andere geeignete Objekte betrachten und Repr sentierbarkeit ber diesen studieren Matroide die ber dem zweielementigen K rper GF 2 repr sentierbar sind hei en bin r Eine umfassende Untersuchung dieser wichtigen Klasse von Matroiden findet sich in Fruemper 1992 Matroide die ber allen K rpern repr sentierbar sind nennt man regul r Es folgt nun eine Liste weiterer interessanter Matroide 5 12 Beispiele a Cographische Matroide Gegeben sei ein Graph G V E Ein Cokreis ist eine Kantenmenge deren Entfernung aus G die Komponentenzahl erh ht und die mengeninklusionsweise minimal bez glich dieser Eigenschaft ist Ein Schnitt ist eine Kantenmenge der Form KW TjeEliEWJjEV W WCV Jeder Cokreis ist offenbar ein Schnitt und es ist e
299. tenoptimal was unserer Voraussetzung widerspricht Wir k nnen daher annehmen dass C B gilt Der Beweis verl uft nun wie folgt Wir konstruieren aus dem s t Weg P und dem ge richteten Kreis einen s t Weg Q C A und einen gerichteten Kreis K A mit den Eigenschaften WP w C gt TQ w K IO op gt K n B Durch iterative Wiederholung dieser Konstruktion erhalten wir nach h chstens B Schrit ten einen s Weg N und einen gerichteten Kreis N dessen Kosten negativ sind und der keinen Bogen aus B enth lt Folglich ist dieser Kreis ein negativer Kreis in N Widerspruch Die Konstruktion verl uft wie folgt Da C N B Z 0 gibt es einen Bogen u v P mit v u C Wir w hlen denjenigen Bogen u v P der auf dem Weg von s nach t entlang P der erste Bogen mit v u ist Wir unterscheiden zwei F lle Fall 1 C N B enth lt mindestens zwei B gen Sei y 2 der n chste Bogen auf dem gerichteten Kreis C nach v der in B ist Wir konstruieren einen s t Pfad P C A wie folgt Wir gehen von s aus entlang P nach dann von entlang C nach y und von y entlang P nach t Starten wir nun in v gehen entlang P zu x und dann entlang C nach v so erhalten wir eine geschlossene gerichtete Kette P A Aus Wy w und w folgt dass W P J w C W P w P gilt P ist die Vereinigung von gerichteten Kreisen C1
300. thmus f r II dann hei t Ra inf e gt 0 RA P lt _ ftir alle P c II die absolute Giitegarantie von A und R inf e gt 0 Es gibt ein no N so dass RA P f r alle P II mit cop gt hei t die asymptotische G tegarantie von A Bei Maximierungsproblemen II geschieht die Infimumsbildung ber alle mit 0 lt lt 1 Rmin Il gt 0 bzw 0 lt lt 1 bei Maximierungsproblemen Es gibt einen polynomialen Approximationsalgorithmus A mit R e hei t die bestm gli che asymptotische G tegarantie von Es ist Rmin Il falls kein solches existiert 218 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 10 5 Beispiel Die FIRST FIT Heuristik FF siehe 11 14 f r das Bin Packing Problem hat eine asymptotische G tegarantie von Rp A Die absolute G tegarantie ist nicht 1 i wegen des konstanten Terms 2 in Satz 11 16 Rmin II ist nat rlich eine der wichtigsten Gr en dieser Analysetechniken da durch Rmin die bestm gliche Approximierbarkeit beschrieben wird 10 6 Bemerkung F r Rmin II sind drei F lle von Bedeutung a Rain d h f r Maximierungsprobleme dass f r kein 0 lt amp lt 1 ein polynomialer approximativer Algorithmus existiert und f r Minimierungsprobleme dass f r kein gt 0 ein polynomialer e approximativer Algorithmus existiert b Rmin II gt 0 d h es gibt eine Schranke
301. thmus gefundene maximale Bran ching von D bez glich cj sei Cj 1 B U b der in Schritt 7 gefundene gerichtete Kreis mit Knotenmenge W _1 sei bj 1 ein Bogen minimalen c _1 Gewichts und sei B ein bez glich c _ maximales Branching von D das die Bedingungen a und b von Lemma 4 20 erf llt 1 Fall B N W _ 1 sagen wir a B N 67 Wi Dann hat B die Form B B U a U G 1 a 1 wobei B C 6 W 1 U A W _ und hi a hi 1 aj 1 gilt und B U a ein Branching in D ist Da B ein c maximales Branching von Dj ist gilt G B ei 1 B U aJ ei i Ci 1 ai 1 cj B U aJ ei 1 bi 1 ci 1 ai 1 ei 1 Ci 1N ai_ 1 ci Bi ci 1 Ci 1N bi Enth lt B keinen Bogen aus 6 W 1 so ist B U C 1 b _ das in Schritt 12 konstruierte Branching 1 Aus c B B folgt cj 1 Bj 1 gt cji 1 B und damit die Maximalit t von B Dj 4 bez glich c Enth lt B einen Bogen b A Wii und ist de C mit hi 1 b so gilt B _ B U Ci 1 dj_1 und folglich GB Gleb a0 ad ecildia ci 1 Ci 1 di 1 e Bi 1 1 1 2 ci 1 B Also ist B _ maximal 95 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 2 Fall B 16 W _1 0 Der Beweis verl uft analog zum 1 Fall Sei also B maximal in D bez glich der Gewichtsfunktion Sei Cj C Bj 1U b der in Schritt 7 ge
302. tierung eines vollst ndigen Graphen F r W C V sei W i 5 Alte W Z W 5 2 9 V AW und 6 W 6 W Ud W Die Bogenmenge bzw AC W hei t Schnitt Ist se W und t W so hei t 6 W auch s t Schnitt Achtung in einem Digraphen ist ein s t Schnitt kein t s Schnitt Statt 6 v 67 v 6 v schreiben wir v A v 6 v Der AuBengrad Innengrad von v ist die Anzahl der B gen mit Anfangsknoten Endknoten v Die Summe von Au engrad und Innengrad ist der Grad von v Ein Schnitt 0 W 0 W V hei t gerichteter Schnitt falls A W 0 d h falls W t W Ist r W so sagen wir auch dass W ein Schnitt mit Wurzel r ist 1 4 Ketten Wege Kreise B ume Das gr te Durcheinander in der graphentheoretischen Terminologie herrscht bei den Begriffen Kette Weg Kreis und bei den damit zusammenh ngenden Namen Wir haben uns f r folgende Bezeichnungen entschieden In einem Graphen oder Digraphen hei t eine endliche Folge W vo v1 U9 k Ux k gt 0 die mit einem Knoten beginnt und endet und in der Kno ten und Kanten B gen alternierend auftreten so dass jede Kante jeder Bogen 11 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 mit den beiden Knoten v und v inzidiert eine Kette Der Knoten vg hei t Anfangsknoten v Endknoten der Kette die Knoten v v _1 hei en innere Knoten W wird auch vo v Kette genannt Die
303. truktur VOR merken wir uns zu jedem Knoten v seinen Vorg nger in ei nem k rzesten s v Weg Einen k rzesten s v Weg erh lt man also in umgekehrter Reihenfolge durch die Knotenfolge v VOR v VOR VOR v VOR VOR VOR v Durch VOR ist offenbar eine Arboreszenz mit Wurzel s in D definiert Daraus folgt so fort 6 3 Satz Sei D V A ein Digraph mit nichtnegativen Bogengewichten und s V dann gibt es eine Arboreszenz B mit Wurzel s so dass f r jeden Knoten v V f r den es einen s v Weg in D gibt der eindeutig bestimmte gerichtete Weg in B von s nach v ein k rzester s v Weg ist An dieser Stelle sei darauf hingewiesen dass der PRIM Algorithmus 4 14 und der DIJKSTRA Algorithmus 6 1 im Wesentlichen identische Algorithmen sind Sie un terscheiden sich lediglich bez glich einer Gewichtstransformation In Schritt 3 von 4 14 wird min c e e 6 W gesucht in Schritt 2 von 6 1 wird auch ein derartiges Minimum gesucht jedoch sind vorher in Schritt 3 die Gewichte der B gen des Schnittes modifiziert worden Den DIJKSTRA Algorithmus kann man ohne Schwierigkeiten so implementieren dass seine Laufzeit O V betr gt Bei Digraphen mit geringer Bogenzahl kann die Laufzeit 129 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 durch Benutzung spezieller Datenstrukturen beschleunigt werden siehe hierzu z B Ahuja et al scis 1993 oder Schriive 2003 6 2 EinStartknoten belieb
304. tze des Pfeils simuliert werden kann Ist zwischen zwei K stchen kein Pfeil in irgendeiner der beiden Richtungen so besagt dies auch dass es keine ora kelpolynomiale Simulation dieser Art gibt Z B kann man das Basisorakel nicht durch das Zirkuitorakel in orakelpolynomialer Zeit simulieren und umgekehrt Dies zeigt man dadurch dass man eine Klasse von Beispielen angibt bei denen zur Entscheidung der Frage ob eine Menge J eine Basis ein Zirkuit ist eine Anzahl von Aufrufen des Zirkui torakels Basisorakels notwendig ist die exponentiell in ist BASIS gt UNABHANGIGKEIT ZIRKUIT gt RANG Abb 5 4 1980 haben dieselbe Fragestellung auch f r allgemeine Unabh n gigkeitssysteme untersucht die wie wir in Abschnitt 5 1 gesehen haben quivalent durch Zirkuitsysteme Basissysteme oder Rangfunktionen gegeben werden k nnen Der entsprechende Satz ist bildlich in Abbildung 5 5 veranschaulicht Interpretation wie bei Abbildung 5 4 BASIS UNABH NGIGKEIT gt RANG NY ZIRKUIT Abb 5 5 113 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Insbesondere folgt dass bei Unabh ngigkeitssystemen das Rangorakel das st rkste ist Durch dieses lassen sich die brigen Orakel in orakelpolynomialer Zeit simulieren Je doch sind hier keine zwei Orakel algorithmisch quivalent sie sind nat rlich logisch quivalent 5 4 Optimierung
305. ug auf welchen Graphen diese Mengen definiert sind Sollten mehrere Graphen involviert sein so werden wir wenn Zweideutigkeiten auftreten k nnen die Graphennamen als Indizes ver wenden also z B l a v oder G V schreiben Analog wird bei allen anderen Symbolen verfahren Der Grad oder die Valenz eines Knotens v Bezeichnung deg v ist die An zahl der Kanten mit denen er inzidiert wobei Schlingen doppelt gez hlt werden Hat ein Graph keine Schlingen so ist der Grad von v gleich v Ein Graph hei t k regul r wenn jeder Knoten den Grad hat oder kurz regul r wenn der Grad k nicht hervorgehoben werden soll MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Sind W eine Knotenmenge und F eine Kantenmenge in G V E dann be zeichnen wir mit E W die Menge aller Kanten von mit beiden Endknoten in W und mit V F die Menge aller Knoten die Endknoten mindestens einer Kante aus P sind Sind G V E und W F zwei Graphen so hei t der Graph V UW EU die Vereinigung von G und und V NW E n F hei t der Durchschnitt von G und G und hei en disjunkt falls V O W 0 kantendisjunkt falls EN F 0 Wir sprechen von einer disjunkten bzw kantendisjunkten Vereinigung von zwei Graphen wenn sie disjunkt bzw kantendisjunkt sind Sind V E und EI Graphen so dass W C V und F C E gilt so hei t H Untergraph oder Teilgraph von Falls W C V so bezeich net G W den Graphen den
306. uhu Y l3 s 321 325 326 jeLl 1 25 6 0 1 Wir erhalten hierfiir T 21 35 21 215 476 dr 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 92 92 86 4 oo 5 6 Ka 188 178 7 Ka Ka Ka 8 oo 9 Ka Ka 274 10 d 0 x 0 zb 0 0 Wert 0 3 0 22 0 z2 1 Wert 860 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 150 Wert 1790 z 0 2 1 Wert 2752 aa Il 8 nm Il 8 Mo 4 Die Knapsack Probleme haben die folgende Form max M 85822 84623 67414 jes SKP 3 8503 8413 6724 lt ba JES L2 23 24 0 1 wobei bo 250 b3 164 und bg 72 bg kommt nicht in Betracht da gt eL our 274 gt b 250 Wir haben also die drei Knapsackprobleme SKPo SKP3 und SKPo mit dem Gewichtsdichten Greedy Algorithmus zu l sen Es ergeben sich die folgenden L sungen 5 z9 1 z2 1 1 Wert 2378 SKP3 z2 1 zi 0 zj 1 Wert 1532 5 z 0 z 0 sz 1 Wert 674 5 Wir erhalten drei L sungen von KP mit den Werten 2378 2392 und 2464 Also hat die L sung von SGKP zusammen mit der L sung von SKPg die beste L sung x l z2 0 z3 0 u 1l 25 0 1 ergeben mit Wert 2464 12 17 Satz Seic x der durch Algorithmus 12 15 gefundene L sungswert dann gilt 8 CIK 2 Copt 7 Copt s t Beweis Sei zj 27 eine optimale L sung von
307. um Abschluss des Kapitels wollen wir die Korrektheit des Branching Algorithmus 4 17 beweisen 93 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 4 20 Lemma Bei der i ten Iteration der Phase I sei in Schritt 7 bei der Addition des Bogens b zum Branching B der gerichtete Kreis C C B U b mit Knotenmenge W gefunden worden Dann existiert in D Vi A ein bez glich der Gewichtsfunktion maximales Branching mit folgenden Eigenschaften B n U 9o sx veW b B nCi Ci 1 Beweis Wir nehmen an dass Behauptung 2 falsch ist Setze A U 6 v V C Wir w hlen ein Branching B von D maximalen Ge veW wichts bez glich cj so dass die Anzahl der B gen in A B A minimal ist Zur Notationsvereinfachung nehmen wir an dass C 1 2 r und A uj vj j 1 k gilt nach Annahme gilt k gt 2 Wir k nnen ferner o B d A annehmen dass die Knoten v W so numeriert sind dass vp lt vg gilt falls lt q Wir untersuchen nun die Mengen Bj B uj vj U vj 1 v f r j 1 k Ware f r irgendeinen Bogen uj vj A die Menge B ein Branching so w re aufgrund der Auswahlvorschriften in Schritt 5 c B7 ci B ei vj 1 vj ci uj vj gt 0 D h Bj ware ein maximales Branching mit weniger B gen in A als B ein Widerspruch zu unserer Minimalit tsannahme Folglich enthalt D einen Kreis der vj 1 vj enth lt Da in B
308. ungen werden ignoriert Daraus folgt dass das Unabh ngigkeitssystem der Branchings Durchschnitt von 2 Matroiden ist F r den vollst ndigen Digraphen D mit n Knoten hatte die Konstruktion im Beweis von Satz 5 13 insgesamt Ud e n verschiedene Matroide geliefert Das Unabh ngigkeitssystem T der Teilmengen von Touren im vollst ndigen Digraphen Dp mit n Knoten siehe 5 8 d ist als Durchschnitt von Matroiden darstellbar Haus aufgabe Also ist das asymmetrische Travelling Salesman Problem als Optimierungspro blem ber dem Durchschnitt von 3 Matroiden formulierbar 5 3 Orakel Um Eigenschaften von Matroiden oder Unabh ngigkeitssystemen berpr fen zu k nnen muss man sich nat rlich fragen wie man Matroide geeignet darstellt um z B ein Com puterprogramm schreiben zu k nnen das Matroide als Input akzeptiert Betrachten wir zum Beispiel das in 5 6 formulierte Optimierungsproblem max c I T T ber einem Unabh ngigkeitssystem Z auf E Spezialfall E T ist ein Matroid Ist Z als Liste aller unabh ngigen Mengen gegeben so ist das Optimierungs problem v llig trivial Wir durchlaufen die Liste rechnen f r jede Menge J der Liste den Wert c Z aus und w hlen eine Menge I so dass c I maximal ist Die Laufzeit dieses trivialen Algorithmus ist linear in der Inputl nge des Unabh ngigkeitssystems Viele der Matroide und Unabh ngigkeitssysteme die wir in den voraufgegangenen Ab schnitten definiert haben
309. usammenh ngend ist setze T T ei 4 Gib T aus Der Korrektheitsbeweis f r Algorithmus 4 11 bleibt einer bungsaufgabe berlassen Wie bereits erw hnt gibt es eine Vielzahl weiterer Verfahren zur Bestimmung minimaler aufspannender B ume Ein gemeinsames Skelett f r mehrere dieser Algorithmen kann wie folgt skizziert werden 4 12 Algorithmus Input Zusammenh ngender Graph G V E mit Kantengewichten c e f r alle e E Output Aufspannender Baum von G minimalen Gewichts 1 Initialisierung FOR ALL V DO Setze V i und T 0 2 DO V 1 TIMES a W hle eine nicht leere Menge V b W hle eine Kante uv E mitu Vi v VV V und c uv lt c pq f r alle pge E mitp Vq E VM Vj c Bestimme j so dass v Vj d Setze V Vi U Vj Vj e Setze Ti Ti U Tj U uv T 0 76 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 3 Gib diejenige Kantenmenge T mit T aus Algorithmus 4 9 ist ein Spezialfall von Algorithmus 4 12 berlegen Sie sich wieso 4 13 Satz Algorithmus 4 12 bestimmt einen aufspannenden Baum minimalen Ge wichts Beweis Wir zeigen durch Induktion ber p T 7 dass G einen minimalen aufspannenden Baum T enth lt mit 7 C f r alle 2 Ist p 0 so ist nichts zu zeigen Sei uv eine Kante die bei einem Durchlauf von Schritt 2 in b gew hlt wurde Nach Induk tionsvoraussetzung sind alle
310. utnodes DO BEGIN IF newnode lt out t i THEN c w dope newnode out t i1 ELSE c w dopelout_t il newnode IF c lt dist i THEN BEGIN in t i newnode distlil c END END END END insert the last edge IF connected THEN IF dist 1 gt inf THEN connected ELSE weight false weight dist 1 Output of minimum spanning tree writeln outp IF NOT connected THEN writeln outp The graph is disconnected ELSE BEGIN writeln outp Minimum spanning tree writeln outp writeln outp FOR i n 1 DOWNTO 1 DO writeln outp in t i 5b out t i 3 gt dist i 1 writeln outp writeln outp Weight weight 6 writeln outp END END Wir wollen nun noch ein Beispiel angeben das die Vorgehensweise der Algorithmen 4 9 4 11 und 4 14 verdeutlicht 4 16 Beispiel Wir betrachten den in Abbildung 4 1 dargestellten Graphen 81 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Wir wenden Algorithmus 4 9 an Zun chst sortieren wir die Kanten in nicht absteigender Reihenfolge hi bc ab ac de ef eg be bf cf dg ad ae hf he hg In Schritt 3 von 4 9 werden die in der Abbildung 4 2 gezeichneten Kanten ausgew hlt Abb 4 2 Den Prim Algorithmus 4 14 starten wir mit dem Knoten a Es ergibt sich der in Abbildung 4 3 gezeichnete minimale aufspannende Baum 82 MARTIN GR T
311. v z 9 v z 6 v 8 0 0 0 0 Der Wert von z ist offenbar val z val z a Jedem s t Weg in N entspricht ein augmentierender s t Weg in D Nach Kon struktion gibt es D einen augmentierenden s t Weg genau dann wenn es N einen s t Weg gibt Die Behauptung folgt dann direkt aus b und Satz 7 9 Damit ist der DMKM Algorithmus vollst ndig beschrieben Unter Verwendung geeigne ter Datenstrukturen kann man folgendes zeigen siehe 1984 7 24 Satz Der DMKM Algorithmus findet in einem kapazitierten Digraphen mit n Knoten und m B gen einen maximalen s t Fluss in 0 n Schritten Eine Implementation des DMKM Algorithmus in PASCAL in der alle oben informell dargestellten Details explizit ausgef hrt sind kann man in Syslo Deo und Kowalik 1983 finden 7 4 Ein generischer Pr fluss Algorithmus In seiner Doktorarbeit aus dem Jahre 1987 und einigen z T vorher erschienenen ge meinsamen Ver ffentlichungen mit anderen Autoren hat A V Goldberg einige neue und einige bekannte Ideen auf originelle Weise kombiniert und dabei die Grundlagen zu ei ner neuen Klasse von Maximalfluss Algorithmen gelegt In einer Vielzahl von Folge ver ffentlichungen verschiedener Autoren sind diese Ideen erg nzt und verfeinert wor den und die Laufzeiten der Algorithmen sind durch verbesserte Datenstrukturen verrin gert worden Diese Algorithmen werden in der englischen Literatur h ufig preflow pus
312. wert ist Da alle Variablen beschr nkt sind und der Nullfluss zul ssig ist hat 7 5 eine optimale L sung Sei also z ein opti maler zul ssiger s t Fluss mit Wert val z Aufgrund des Dualit tssatzes der linearen Programmierung gibt es eine L sung sagen wir a A und z v V des zu 7 5 dualen Programms 7 6 mit val z 3 e 4 cay Wir setzen W V z gt 0 und zeigen dass AT W ein s t Schnitt mit c 6 W val z ist Offenbar gilt s W t W also ist W ein s t Schnitt Ist a u v ATI dann gilt z gt 0 2 lt O und folglich y gt 26 z gt 0 Aufgrund des Satzes vom schwachen komplement ren Schlupf muss dann in der zu y geh rigen Ungleichung 148 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 La lt des primalen Programms 7 5 Gleichheit gelten Also erf llt der optimale s Fluss z die Gleichung 7 Ist a u v 6 W so gilt z gt 0 z lt 0 und somit da gt 0 z5 tz gt 25 gt 0 Die Ungleichung ist also locker Der Satz vom komplement ren Schlupf impliziert nun dass die zugeh rige Primalvariable x gt 0 nicht positiv sein kann Also gilt x 0 Daraus folgt ti W z 6 W z 6 W 2 5 s a s valle DO Vielen Lesern des Manuskripts mag der obige Beweis noch unverst ndlich sein Er wurde jedoch aufgenommen um hier schon Beispielmaterial f r die Theorie der linear
313. wie folgt aufschreiben 6 1 DIJKSTRA Algorithmus Input Digraph D V A Gewichte c a gt 0 f r alle a ein Knoten s V und m glicherweise ein Knoten t V X s Output K rzeste gerichtete Wege von s nach v f r alle v c V und ihre L nge bzw ein k rzester s t Weg Datenstrukturen DIST v Lange des k rzesten s v Weges 127 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 VOR v Vorg nger von v im k rzesten s v Weg 1 Setze 8 DIST v c s v Vv V mit s v A v 00 Vu V mit s v GA VOR v s 45 Markiere s alle brigen Knoten seien unmarkiert 2 Bestimme einen unmarkierten Knoten u so dass DIST u min DIST v v unmarkiert Markiere u Falls u t gehe zu 5 3 F r alle unmarkierten Knoten v mit u v A f hre aus Falls DIST v gt DIST u c u v setze DIST v DIST u c u v und VOR v u 4 Sind noch nicht alle Knoten markiert gehe zu 2 5 F r alle markierten Knoten v ist DIST v die L nge eines k rzesten s v Weges Falls v markiert ist und DIST v lt so ist VOR v der Vorg nger von v in einem k rzesten s v Weg d h durch R ckw rtsgehen bis s kann ein k rzester s v Weg bestimmt werden Brechen wir das Verfahren nicht in Schritt 2 ab und gilt am Ende DIST v so hei t das dass es in D keinen s v Weg gibt Zur Notationsvereinfachung f r den nachfolgenden Bewei
314. wir die L nge eines k rzesten s u 1 Weges mit h chsten m Richtungswechseln diese ist in DIST u 1 m gespeichert vergleichen mit der L nge eines k rzesten s u 1 Weges mit genau m 1 Richtungswechseln Im letzteren Fal le ist der letzte Bogen eines solchen s u 1 Weges ein Abw rtsbogen Der vorletzte Knoten w erf llt also 1 lt w lt n Ist f r u 1 lt w n P ein k rzester s w Weg und hat P h chstens m Richtungswechsel so ist falls w u 1 A PU w u 1 ein s u 1 Weg mit h chstens m Richtungswechseln Hat P m 1 Richtungswechsel so ist der letzte Bogen in P nach obiger Bemerkung ein Abw rtsbogen also hat auch PU w u 1 genau m 1 Richtungswechsel Nach Induktionsvoraussetzung befin det sich in DIST w m 1 f r u 1 lt w lt n die L nge eines k rzesten s w Weges mit h chstens m 1 Richtungswechseln also ist min DIST w m 1 c w u 1 u 1 lt v lt nicht gr er als die L nge des k rzesten s u 1 Weges mit genau m 1 Richtungswechseln Dieses Minimum wird offenbar in der Schleife 6 bestimmt und mit DIST u 1 m verglichen Damit ist gezeigt dass der Induktionsschritt der zwei ten Induktion korrekt ist Hieraus folgt die Korrektheit der ersten Induktion und wir sind fertig Wir haben festgestellt dass die beiden Varianten des MOORE BELLMAN Verfahrens korrekt arbeiten wenn der gegebene Digraph keine negativen K
315. wir einen gerichteten Weg vo v1 v2 Da N endlich ist muss irgend wann ein Knoten auftreten der schon im bisher konstruierten Weg enthalten ist Damit haben wir einen gerichteten Kreis C gefunden Sei o der kleinste Wert z a der unter den B gen a des Kreises Cp auftritt Definieren wir 1 a f rallea Cp Lp 0 sonst 50 ist Zp IR ein s t Fluss mit Wert 0 Setzen wir nun Tp T Tp SO ist Tp ein s t Fluss mit Wert 0 und die Zahl der B gen A mit T 0 ist kleiner als p Nach Induktionsvoraussetzung gilt die Behauptung f r und somit gilt sie nach Konstruktion auch f r T Somit ist Behauptung 2 bewiesen Damit k nnen wir den Beweis von 8 6 beenden F r die nach Behauptung 2 existieren den s t Fl sse x gilt offenbar k wiz 101 2 i 1 Da 017 lt 0 nach Behauptung 1 ist muss einer der Werte W x kleiner als Null sein dass hei t wir haben in N einen gerichteten Kreis mit negativen Kosten gefunden Satz 8 2 bzw Satz 8 6 sind Optimalit tskriterien f r zul ssige s t Fl sse Man kann beide Aussagen was algorithmisch noch wichtiger ist benutzen um zu zeigen dass Kostenminimalit t erhalten bleibt wenn man entlang Wegen minimaler Kosten augmen tiert 8 7 Satz Sei D V A ein Digraph mit gegebenen Knoten s t V Kapazit ten c Ri und Kosten w R Sei x ein zul ssiger s t Fluss in D mit Wert f der kostenminimal unter allen s
316. ystems vorzustellen Die B gen des gegebenen Graphen re pr sentieren Rohre die flexible Verbindungsst cke haben und bewegt werden k nnen Die Knoten stellen die Rohrverbindungen dar Eine Entfernungsmarkierung misst wie weit ein Knoten vom Boden entfernt ist In diesem Netzwerk wollen wir Wasser von der Quelle zur Senke schicken wobei Wasser in den Rohren jeweils nur abw rts flie en kann in Richtung der Senke Gelegentlich ger t der Fluss in eine lokale Senke n mlich dann wenn ein Knoten keinen Nachbarn hat der tiefer liegt In diesem Falle heben wir durch ein RELABEL den Knoten auf eine Ebene h her als sein niedrigster Nachbar an und das Wasser kann wieder abflie en Da wir die Knoten immer weiter anheben flie t der verbleibende berschuss der die Senke nicht mehr erreichen kann an den inneren Knoten des Netzwerkes irgendwann zur ck zur Quelle Der Algorithmus endet wenn die maximale Wassermenge von der Quelle zur Senke flie t und kein Knoten aus V 5 1 mehr berschuss hat also ein richtiger Fluss flie t 7 32 Beispiel Wir betrachten das in Abb 7 10 a angegebene Netzwerk mit den bei den B gen aufgelisteten Kapazit ten Dieser Digraph ist symmetrisch aber die jeweiligen Gegenpfeile sind aus bersichtlichkeitsgr nden nicht gezeichnet Diese haben alle die Kapazit t 0 167 MARTIN GR TSCHEL SKRIPTUM ADM I SS 2003 Abb 7 10 Wir f hren mit dem Netzwerk aus Abb 7 10 a den Initia
317. zwerk Dann reduzieren wir das Netzwerk iterativ um alle saturierten B gen und einige Knoten und beginnen von neuem Dies f hren wir so lange durch bis es im gegenw rtigen reduzierten Digraphen keinen Weg von s nach t mehr gibt Da bei jeder Reduktion mindestens ein Knoten entfernt wird ist dies nach sp testens n 1 Iterationen der Fall Bestimmung eines geschichteten Netzwerks Wir wissen nun wie in einem geschichteten Netzwerk ein saturierter aber nicht notwen dig maximaler s t Fluss bestimmt werden kann Diese Methode wollen wir uns zunut ze machen um in einem beliebigen Digraphen einen maximalen Fluss zu konstruieren Dabei gehen wir in mehreren Stufen wie folgt vor Zun chst konstruieren wir aus dem gegebenen Digraphen D ein geschichtetes Netzwerk sagen wir N Vom Nullfluss ausgehend bestimmen wir einen saturierten s t Fluss x N Diesen s t Fluss z k nnen wir nach Konstruktion in einen s t Fluss in D transformieren Aus D und dem derzeitigen Fluss x Konstruieren wir ein neues geschich tetes Netzwerk N und bestimmen wiederum einen saturierten s t Fluss x in N Den Fluss x kann man wie bei der Addition augmentierender Wege zu x hinzuf gen und erh lt einen s t Fluss in D mit Wert val z val z Nun bestimmen wir aus D und dem neuen s t Fluss ein weiteres geschichtetes Netzwerk und fahren so fort bis aus D und dem gegenw rtigen s t Fluss kein neues geschichtetes Netzwerk mehr konst

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