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O Raciocínio Matemático dos alunos do 7.º ano em tarefas de

1. Figura 23 Ficheiro GeoGebra para a introdu o do conceito de ngulo Existindo v rios conte dos para trabalhar planifiquei esta aula de modo a Introduzir duas rela es entre ngulos que seriam fundamentais no decorrer da unidade ngulos verticalmente opostos e ngulos alternos internos Ao mesmo tempo pretendia tamb m que os alunos tivessem oportunidade de realizar experi ncias e formular e testar conjecturas Atendendo a estes objectivos seleccionei para esta aula as duas primeiras fichas A primeira a propor aos alunos seria ent o a ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos Uma vez que o objectivo do meu estudo visa o racioc nio matem tico pretendia tamb m que os alunos se familiarizassem com o processo de demonstra o pelo que optei por introduzir na discuss o desta tarefa a demonstra o de que os ngulos verticalmente opostos s o congruentes visto n o exigir grandes pr requisitos e nem necessitar praticamente de artif cios sendo portanto ideal para uma primeira abordagem A seguir dado que pretendia ainda abordar os ngulos alternos internos seleccionei para esta aula tamb m a ficha de trabalho Rela es entre ngulos I No entanto ao analisar o tempo dispon vel pareceu me que este n o seria suficiente para que os alunos pudessem investigar convenientemente todas as rela es envolvidas pelo que planeei que nesta aula se realizaria apenas a primeira parte desta segu
2. do trabalho dos alunos durante a realiza o da tarefa podendo contemplar tamb m a apresenta o de conjecturas que n o sejam verdadeiras 5 4 Como conclus o registar a rela o de congru ncia entre os ngulos Se as rectas s o estritamente paralelas ent o os ngulos alternos internos s o congruentes alternos internos 5 5 Com recurso ao GeoGebra apresentar exemplos que corroborem a rela o entre o paralelismo e a congru ncia dos ngulos alternos Internos 5 5 1 Questionar os alunos se n o sendo as rectas paralelas poder o tirar a mesma conclus o relativamente aos ngulos alternos internos 5 5 2 A partir do ficheiro GeoGebra ang alt int ggb mostrar uma outra figura com uma nova recta pr xima da paralela 5 5 3 Medir os ngulos que se obt m 5 5 4 Questionar os alunos sobre se conseguem retirar alguma rela o entre os ngulos 5 5 5 Mover a recta para que os alunos possam analisar v rios casos 5 5 6 Questionar os alunos sobre se ser poss vel que existam ngulos alternos internos congruentes sem que as rectas sejam paralelas 5 6 Fazer um levantamento das conjecturas formuladas pelos alunos na quest o 4 5 6 1 Pedir aos alunos que apresentem as conclus es a que chegaram explicando como procederam Se as conjecturas n o incluirem os casos dos ngulos correspondentes e dos ngulos alternos externos fazer surgi los 5 6 2 Registar as conclus es apresentadas 5 6 3 Q
3. tamb m afirma es que necessitam de ser provadas Ramos 2009 p 15 Deste modo uma conjectura n o uma conclus o tendo um car cter provis rio Ponte Brocado amp Oliveira 2003 A formula o de conjecturas utiliza um racioc nio essencialmente indutivo que se pode basear na observa o directa de dados na manipula o dos mesmos ou at na analogia com outras conjecturas entre outras formas Ponte Brocado amp Oliveira 2003 O estudo de padr es e a procura de regularidades e de rela es s o exemplos de actividades que possibilitam o surgimento de conjecturas NCTM 2008 A formula o de conjecturas nem sempre simples para os alunos conforme assinalam Ponte Brocado e Oliveira 2003 existindo alguma tend ncia para que as conjecturas n o sejam apresentadas de modo completamente expl cito O registo escrito pode ent o ser uma mais valia na medida em que ao confrontarem se com a necessidade de explicarem as suas ideias ajuda os a clarificarem nas como constatam os mesmos autores O professor pode ainda ajudar os alunos a formularem conjecturas n o s proporcionando lhes m ltiplas oportunidades e contextos de aprendizagem enriquecedores e envolventes NCTM 2008 p 62 necess rios para que desenvolvam esta capacidade mas tamb m atrav s da coloca o de quest es como por exemplo O que achas que vai acontecer a seguir Qual o padr o Isto sempre verdade ou s algumas
4. 6 2 Fundamenta o das afirma es A fundamenta o das afirma es deveria de ter sido partida um aspecto transversal a todas as tarefas propostas aos alunos no entanto no decorrer da minha pr tica lectiva penso que acabei por n o lhe dar o devido realce perante os alunos Ainda assim existiram diversas situa es em que os alunos evidenciam come ar a dar passos no sentido de justificar as suas afirma es em alguns casos recorrendo ao racioc nio matem tico de car cter dedutivo Na quest o 3 da ficha Rela es entre ngulos P o Daniel e a Andreia fundamentam a sua afirma o acerca da exist ncia de ngulos alternos externos utilizando uma analogia com a defini o de ngulos alternos internos obtendo uma nova defini o 19 No trabalho de casa do manual que foi analisado no ponto 5 3 os alunos procuraram fundamentar as suas conclus es fazendo uso das propriedades conhecidas nomeadamente dos ngulos verticalmente opostos alternos internos e da soma dos ngulos internos de um tri ngulo Para al m disso para ajudar a elaborar as justifica es v rios alunos utilizaram ngulos auxiliares tal como tinha sido feito em outras fichas de trabalho anteriores Assim sendo em algumas resolu es surgiram pequenas cadeias dedutivas para justificar as conclus es apresentadas Tal como aconteceu noutras tarefas os alunos mostraram uma tend ncia para n o fundamentarem as suas afirma es relativ
5. Colocar aos alunos algumas quest es de modo a que compreendam a necessidade de realizar uma demonstra o 5 7 1 Perguntar se a rela o que obtiveram se verifica sempre 5 7 2 Perguntar como o podem ter a certeza de que tal verdade 5 7 3 Perguntar a raz o pela qual a rela o v lida 5 8 Com a colabora o dos alunos construir a tabela seguinte utilizando os valores dados pelo GeoGebra 5 8 1 Pedir exemplos aos alunos dos ngulos a B e y 5 8 2 Utilizando o contra exemplo atribuir valores distintos a a e a y e concluir que p seria diferente 5 9 Realiza o de uma demonstra o informal da propriedade interior 5 9 1 Questionar os alunos em rela o ao valor da soma dos ngulos a e P e registar no quadro la B 180 5 9 2 Questionar os alunos em rela o ao valor da soma dos ngulos 6 e y e registar no quadro 5 y 180 5 9 3 Questionar os alunos em rela o ao que se pode concluir e registar que e que portanto a yl 6 Distribui o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos I aos alunos e indica o da metodologia de trabalho Indica o de que a ficha ser realizada a pares no GeoGebra Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas as estrat gias que utilizem Indica o de que para resolverem apenas as quest es 1 e 2 7 Realiza o das quest es 1 e 2 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Caso os alunos n o con
6. e Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo numa turma do 7 ano da Escola B sica 2 3 Maria Alberta Men res no ano lectivo de 2010 2011 Deste modo ao longo deste estudo pretendo reflectir sobre em que medida a unidade de ensino leccionada p de contribuir para o desenvolvimento do racioc nio matem tico Este trabalho composto por diversos cap tulos desenvolvidos tendo em conta os objectivos do estudo e a unidade did ctica em que se enquadra Deste modo primeiramente apresento alguma literatura de refer ncia relativa ao racioc nio matem tico e ao ensino da Geometria no cap tulo Enquadramento te rico O cap tulo seguinte A unidade de Ensino incide sobre a unidade did ctica subjacente a este estudo e procura explicitar as estrat gias de ensino utilizadas e as tarefas propostas atendendo s orienta es curriculares vigentes e apresenta ainda uma s ntese das aulas leccionadas Em seguida apresento os M todos de recolha de dados utilizados no decorrer do estudo A An lise de dados constitui o cap tulo 5 No ltimo cap tulo procuro responder s quest es em estudo e reflectir sobre a minha pr tica lectiva no mbito da unidade de ensino que lecciones 2 Enquadramento da problem tica A problem tica em estudo foca se essencialmente no estudo do racioc nio matem tico no mbito do tema da Geometria no 7 ano de escolaridade Deste modo este cap tulo centra
7. es entre ngulos IP Ficha de trabalho T P C Rela es entre ngulos HI Powerpoint correcao tpc angulos I ppt Manual de Matem tica do 7 ano Parte II Desenvolvimento da aula SERA previsto 1 Registo do sum rio no quadro Anota o dos alunos que faltam 10min 2 Entrega aos alunos das fichas de trabalho realizadas nas ltimas duas aulas bem como dos trabalhos de casa da aula anterior 2 1 Ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos 2 2 Ficha de trabalho T P C Angulos I 2 3 Ficha de trabalho Rela es entre ngulos P 3 Discuss o do trabalho de casa ficha de trabalho T P C ngulos P ibis E 3 1 Projectar o powerpoint correcao tpc angulos I ppt 3 2 Chamar a aten o dos alunos para 3 2 1 A forma de assinalar os ngulos 3 2 2 O facto de ngulo obtuso ter n o s mais de 90 mas tamb m menos de 180 3 2 3 A forma de assinalar ngulos rasos 3 2 4 A defini o de ngulos verticalmente opostos salientando a necessidade de terem o v rtice comum 3 3 Apresentar o ltimo slide e pedir a um aluno para assinalar um par de ngulos alternos internos 4 Discuss o da quest o 3 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos P 4 1 Pedir ao Rodrigo que explique a conjectura a que o par chegou pedindo que justifique porque pensa que verdadeira 0 f y P em R n G Aro mac i AT 4 1 1 Registar a conjectu
8. ngulos Identificar ngulos verticalmente opostos e ngulos alternos internos Formular e testar conjecturas Raciocinar dedutivamente Recursos Materiais Computador com possibilidade de acesso ao GeoGebra Quadro interactivo Ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Ficha de trabalho Rela es entre ngulos IP Ficha de trabalho T P C Angulos ID Ficheiro de GeoGebra relacaoangulol ggb Ficheiro GeoGebra ang alt int ggb Manual de Matem tica do 7 ano Parte II Tempo Desenvolvimento da aula previsto 1 Registo do sum rio no quadro Anota o dos alunos que faltam Recolha _ i a N min do trabalho de casa ficha de trabalho T P C Angulos T 2 Revis o dos principais conceitos da aula anterior fo 2 1 Questionar os alunos relativamente ao que aprenderam na ltima aula 15 mm 2 2 Projectar o ficheiro GeoGebra relacaoangulol ggb 2 3 Pedir a um aluno que assinale o ngulo HAG 2 4 Pedir a outro aluno que indique um ngulo obtuso 96 2 4 1 Utilizar as informa es fornecidas pelo aluno para introduzir a nota o de ngulo 2 4 2 Pedir aos aluno que utilizem a nota o para indicar ngulos 2 5 Questionar os alunos sobre se na figura existem ngulos verticalmente opostos 2 6 Pedir a um aluno que indique um par de ngulos verticalmente opostos 2 6 1 Utilizando o exemplo fornecido pelo aluno introduzir a nota o de amplitude 2 6 2 Pedir ao
9. o nico recurso que os alunos mobilizam neste tipo de actividade pelo contr rio alguns alunos procuram tamb m analisar os dados atendendo aos conhecimentos e experi ncias que j possuem Para al m disso a formula o de conjecturas n o t o simples para os alunos como inicialmente pensei Na realidade requer bastante tempo e que os alunos fa am v rias experi ncias e uma observa o mais ou menos criteriosa Para tal n o basta dizer para experimentarem mais do que um caso ou uma d zia deles necess rio levar os alunos a fazerem no Assim sendo penso que nas primeiras tarefas que propus poderia ter explorado melhor estas ideias no sentido de fornecer ferramentas que pudessem ser teis na formula o de novas conjecturas 83 Em rela o ao teste e justifica o de conjecturas os alunos n o tendem a realiz los mas estes processos t m um papel muito importante n o s por fazerem parte integrante da actividade matem tica mas tamb m porque possibilitam uma melhor compreens o da pr pria conjectura Por exemplo se na ficha Angulos externos de um Tri ngulo se tivesse procurado testar as conjecturas formuladas os alunos poderiam compreender melhor o significado de cada uma facilitando assim a compreens o da propriedade em causa Muito embora a demonstra o n o seja simples para os alunos esta n o totalmente inacess vel neste n vel de escolaridade Muito pelo contr rio Todavia como tud
10. o de cada al nea 5 Interpreta o e resolu o da quest o 2 da ficha de trabalho Tri ngulos 5 1 Em rela o al nea 2 1 5 1 1 Elaborar um esbo o da figura 5 1 2 Questionar os alunos sobre quais os dados fornecidos 5 1 3 Questionar os alunos sobre o que se pretende saber 5 1 4 Recordar que devem de justificar a resposta recorrendo as propriedades estudadas 10 min 5 1 5 Sugerir que para simplificar se denote os dois angulos nao assinalados na figura por b e c 5 2 Para a al nea 2 2 5 2 1 Elaborar um esbo o da figura 5 2 2 Questionar os alunos sobre os dados fornecidos 5 2 3 Questionar os alunos sobre o que se pretende saber 5 3 Resolu o a pares da quest o 2 da ficha de trabalho Tri ngulos I 6 Correc o e discuss o da quest o 2 da ficha de trabalho Tri ngulos 6 1 Para cada uma das quest es 10 min 6 1 1 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o no quadro 119 explicando a aos colegas 6 1 2 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se seguiram uma estrat gia diferente ou chegaram a outra conclus o 7 Distribui o da ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo e indica o da metodologia de trabalho 7 1 Indicar que a ficha ser realizada no GeoGebra a pares 7 2 Interpretar conjuntamente com a turma a ficha de trabalho 7 2 1 Projectar o ficheiro GeoGebra anguloexternolL ggb 7
11. 2005 Aprendizagem em ambientes de geometria din mica 8 ano Tese mestrado Universidade de Lisboa 129 Ficha de trabalho T P C Angulos I T P C ngulos I 1 A rede apresentada na figura seguinte formada por tr s feixes de rectas paralelas 1 1 De todos os ngulos que podes encontrar na figura assinala utilizando cores distintas 1 2 ngulos agudos 1 2 ngulos obtusos 111 1 ngulo raso iv 1 ngulo giro v 4 pares de ngulos verticalmente opostos vi 3 pares de ngulos alternos internos vit 5 ngulos congruentes 1 2 Efectua uma legenda indicando a que corresponde cada uma das cores utilizadas 130 Ficha de trabalho Rela es entre ngulos II Rela es entre ngulos II 1 Considera a figura em quer e s s o rectas paralelas 1 1 Das seguintes afirma es indica justificando se s o verdadeiras ou falsas 1 1 1 ZDCA 40 e ZCAB 50 1 1 2 ZECD 140 e ZCAB 40 1 1 3 ZECF 40 e ZCAB 40 1 2 Se ZECD 130 quanto mede o ngulo CAH 2 Sem recorrer ao transferidor determina a amplitude dos ngulos representados pelas letras nas figuras seguintes Explica como obtiveste a tua resposta 2al 131 2 2 res s o paralelas Adaptado de Neves M A F amp Faria M L M 1998 Matem tica parte 2 matem tica 7 ano Porto Porto Editora 2 5 res s o paralelas r 37 a s 30 Adap
12. Geometria O NCTM 2008 define a visualiza o espacial como sendo a constru o e manipula o de representa es mentais de objectos bi e tridimensionais e a percep o de um objecto a partir de diferentes perspectivas p 44 A visualiza o inclui de acordo com Ponte e Sousa 2010 v rios aspectos coordena o visual motora mem ria visual percep o figura fundo const ncia perceptual percep o da posi o no espa o const ncia perceptual percep o da posi o no espa o percep o de rela es espaciais e discrimina o visual p 22 Deste modo a visualiza o abrange n o s a observa o mas tamb m a manipula o e a transforma o dos objectos e representa es assim como a Interpreta o das rela es entre objectos e entre estes e as suas representa es sendo por conseguinte uma capacidade relacionada com a forma de percepcionar o mundo dos alunos Ponte amp Sousa 2010 Veloso 1998 considera que a visualiza o se pode treinar utilizando m todos activos de constru o e manipula o de modelos p 133 A Geometria um tema prop cio a um ensino de natureza explorat ria e investigativa como referem Ponte Brocardo e Oliveira 2003 assim poss vel conceber tarefas que na sua explora o contribuem para uma compreens o das no es e rela es geom tricas bem como formular e testar conjecturas podendo assim ajudar o aluno a aprender a raciocinar de forma
13. ao facto de a sua discuss o ter sido um ponto de partida para os alunos trabalharem a demonstra o matem tica Al m das fichas de trabalho j referidas voltadas para a formula o de conjecturas considerei para analisar neste estudo uma outra tarefa que consistiu numa quest o do manual que os alunos resolveram em casa A escolha desta tarefa prendeu se essencialmente com o facto de esta ter permitido aos alunos utilizarem os v rios conte dos abordados ao longo da unidade com a excep o dos ngulos externos Para 52 al m disso esta quest o era uma oportunidade para os alunos elaborarem justifica es pelo que considerei que seria Interessante verificar se estas justifica es apresentariam j um car cter dedutivo 4 2 Observa o com registo v deo e udio Uma vez que o objectivo deste estudo se prende com o Racioc nio Matem tico era importante procurar recolher dados que me permitissem ter pelo menos uma ideia de como os alunos raciocinam matematicamente Assim sendo como nem sempre as resolu es escritas dos alunos revelam todos os racioc nios e estrat gias que estes utilizam considerei que para uma melhor an lise seria necess rio recorrer a outros m todos de recolha de dados Atendendo s estrat gias de ensino adoptadas neste estudo os momentos de discuss o em grande grupo seriam fundamentais uma vez que possibilitariam que os alunos argumentassem as suas ideias justificassem as suas conjec
14. de uma pequena demonstra o da propriedade v lida com o objectivo de procurar perceber at que ponto compreendiam o que era uma demonstra o e que dificuldades revelavam discutindo a em seguida em grande grupo Por sua vez a segunda parte da aula corresponderia soma dos ngulos externos de um tri ngulo Inicialmente pensei em seleccionar uma ficha de trabalho que permitisse aos alunos explorar e formular testar e demonstrar a conjectura relativa a esta propriedade No entanto tendo notado nas ltimas aulas algum cansa o por parte dos alunos relativamente realiza o de fichas de trabalho optei por n o propor nenhuma nesta aula Em vez disso planeei utilizar o GeoGebra e o quadro interactivo para dinamizar em grande grupo a discuss o da propriedade utilizando as 49 potencialidades destes dois recursos para que os alunos formulassem conjecturas e construissem uma demonstra o da propriedade Por fim a ltima parte da aula consistiria na discuss o das tarefas pendentes Uma vez que se tratava da ltima aula que 1a leccionar o meu objectivo principal era conseguir terminar o trabalho a que me proponha relativamente aos ngulos externos Seguindo a planifica o elaborada a aula iniciou se pela discuss o das conjecturas da ficha de trabalho Angulos externos de um Tri ngulo No entanto visto que ao fazer um levantamento das conjecturas dos alunos n o me deparei com nenhuma inv lida optei por pas
15. deo e udio ceccccccccccceeeseeeeeeeeceeeeeaeeeeees 53 Di Anaise de DAdOS sai assa cata Rabo ago a yt 56 5 1 Ficha de trabalho ngulos verticalmente opostos 56 5 2 Ficha de trabalho Rela es entre ngulos P sssseeeeenees 60 do Manda pacima SSquest o O raan si D 63 5 4 Ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo 68 5 5 Discuss o sobre a soma dos ngulos externos de um Tri ngulo 74 Ou IRC TERA ORA co ar tesserae cen art A TI 6 1 Formula o teste e justifica o de conjecturas ssseeeeeesssssseeeeeees J 6 2 Fundamenta o das afirma es cccccseesscccceceeseeeccceeaeeseeceeseaaneeeees 19 Do Diticuidadesdos alunos assess a ssa si EE n 81 Ge C on NUDE 60 nee etme errrrere erm reer E a Gac a 83 Rererencias BiblOST TICAS sis iss rsarig asa E ati vada ias wats 86 OMC KOS pra a O a A Di a eee 89 Anexo t Planos de AA sessao gas irao E RS Ran 90 e XO FT CLAS suar tatoo o atado hee aed RR a E q 128 Anexo II AutoriZagGe ccc ecccccccssssseeccceeeeseeeecceaenseecccsseuseeeeceseeaseseeeeaas 140 Vill Indice de F IgUras Figura 1 N veis obtidos pelos alunos em estudo no 1 per odo na disciplina de Matomai eara ps da Ren RR SUR E UR ORE RR 14 Figura 2 Niveis obtidos pelos alunos em estudo no 2 periodo na disciplina de PA elio go p A eis MRE RDNS DE EINE DO E O RARE TRIER ND DRE 14 Figura Elementos de Uni
16. es com as amplitudes dos ngulos Ser que podia ter feito de outra forma Talvez no entanto e atendendo s dificuldades que surgiram e a que alguns alunos como o Daniel e a Andreia procuravam algo igual em todas as linhas penso que se tivesse optado por uma solu o em que n o eram dadas indica es se corria o risco de a tarefa se tornar demasiado complexa e de por conseguinte os alunos perderem o interesse Nesta ficha foi igualmente evidente a influ ncia dos valores num ricos na formula o de conjecturas O Jorge e o Telmo por exemplo acabam por se centrar nos valores que obt m n o prestando muita aten o ao tri ngulo em si Portanto embora nestas tarefas a observa o permitisse estabelecer conjecturas variadas n o o nico recurso utilizado pelos alunos tendo estes mobilizado tamb m os seus conhecimentos e experi ncias anteriores na sua actividade O teste de conjecturas acabou por n o ser um aspecto muito vis vel neste estudo Na realidade os dados analisados n o nos fornecem praticamente informa o sobre o teste de conjecturas Aparentemente tal como salientam Ponte Brocado e Oliveira 2003 o teste de conjecturas esteve intimamente ligado com a sua formula o ou seja as experi ncias utilizadas para a formula o da conjectura acabaram por constituir 78 o pr prio teste Assim sendo de que forma se poder trabalhar o teste de conjecturas Ao olharmos para as situa es apresent
17. es entre ngulos IT 2 1 Para a al nea 1 1 3 da quest o 1 2 1 1 Pedir a aluno que apresente no quadro a sua resolu o 2 1 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 20 min 2 2 Para as quest es 1 2 2 2 2 3 2 4 e 2 5 2 2 1 Pedir a um aluno que apresente no quadro a sua resolu o 2 2 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 2 2 3 Questionar a turma se algu m seguiu uma estrat gia diferente 3 Introdu o soma dos ngulos internos de um tri ngulo fo 3 1 Questionar os alunos relativamente ao que um ngulo interno de um tri ngulo 3 2 Projectar o ficheiro powerpoint triangulos pptx 5 min 3 3 Questionar os alunos sobre se acham que pode existir alguma propriedade comum a todos os tri ngulos no que diz respeito aos ngulos 4 Distribui o da ficha de trabalho ngulos internos de um Tri ngulo I aos alunos e indica o da metodologia de trabalho Indica o de que a ficha ser realizada a pares Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas as estrat gias que utilizem 5 Realiza o a pares da ficha de trabalho Angulos internos de um Tri ngulo P 5 1 Na quest o 1 caso surjam d vidas poderei questionar os alunos sobre 5 1 1 Qual o ngulo que se obt m somando os ngulos ABD ABC e 10 min CBE 5 1 2 Como se pode classificar esse ngulo 5 2 Na qu
18. esclarecimento Com os melhores cumprimentos Cristina Rei Santos Tapada das Merc s 4 de Janeiro de 2010 141
19. ngulo BCA vai dar o CAB Mesmo assim note se que este par reparou essencialmente nos valores num ricos pelo que n o fazem uma liga o entre o que observaram e o tri ngulo tanto que os alunos n o referem o facto de os ngulos envolvidos serem internos e externos Por sua vez a Andreia e o Daniel dividiram a tabela para que contemplasse as diferentes explora es que realizaram para estes ngulos Assim come aram tal como os pares referidos anteriormente por somar os tr s ngulos Figura 45 Figura 45 Resolu o da quest o 1 realizada pela Andreia e pelo Daniel No entanto como n o observavam nada optaram por experimentar adicionar apenas os ngulos internos ou seja os ngulos Z BCA e Z CAB Figura 45 Esta ideia foi motivada por uma segunda leitura do enunciado da tarefa como podemos perceber atrav s do di logo ocorrido quando os alunos constataram que n o conseguiam obter nenhuma conclus o a partir da soma dos tr s ngulos Professora Pois se calhar n o para somar tudo Se n o tiraram nenhuma conclus o Andreia Olha Pod amos somar Aqui ta a falar dos dois ngulos internos e de um externo Pod amos agora tentar somar s dois ngulos internos e ver se havia alguma rela o Professora Muito bem Mesmo assim os alunos tiveram ainda algumas dificuldades em encontrar alguma rela o entre os ngulos em parte porque procuravam um valor que fosse comum a todas s somas
20. nio dedutivo argumentando com os colegas Assim ao contr rio da conjectura da ficha ngulos externos de um Tri ngulo em que primeiramente foi pedido que os alunos pensassem a pares em como se poderia provar o resultado na demonstra o desta ltima conjectura procurou se que toda a turma participasse na sua elabora o Para apoiar este trabalho foi ent o utilizado um ficheiro 74 GeoGebra com um tridngulo em que estavam marcados os angulos externos de modo a facilitar a apresenta o e discuss o dos racioc nios dos alunos servindo de suporte a argumenta o Figura 50 Uma das primeiras interven es partiu do Rodrigo que observou o seguinte Rodrigo Professora ali no ponto A 122 58 180 e no ponto C 138 42 180 ou seja a soma dos dois ngulos externos 180 180 360 Assim o Rodrigo adicionou um ngulo interno e um externo adjacente e repetiu o processo para outros dois ngulos e somou os dois resultados obtendo os 360 graus Figura 50 Ficheiro GeoGebra utilizado para a discuss o da soma dos ngulos externos do tri ngulo No entanto o seu racioc nio assentava apenas nos valores num ricos como fol percept vel ao question lo no sentido de perceber como tinha chegado conclus o Para al m disso o seu racioc nio n o era suficiente para se chegar conclus o pretendida uma vez que os 360 graus resultavam de adicionar apenas dois ngulos externos e n o tr s como pretendido
21. Por fim coloquei uma ltima al nea solicitando a marca o de cinco pares de ngulos congruentes Com esta pretendia levar os alunos a relacionar de modo informal as duas propriedades j estudadas atrav s da transitividade da congru ncia uma vez que este tipo de racioc nio seria necess rio ao longo de toda a unidade Portanto o objectivo desta tarefa era por um lado a consolida o de conhecimentos e por outro a introdu o do tipo de racioc nio que pretendia que os alunos desenvolvessem ao longo do resto da unidade 34 3 5 4 Rela es entre ngulos II Esta ficha vem no seguimento das duas primeiras e constitu da por v rias quest es onde se pretende que os alunos pratiquem e a aprofundem os conceitos e rela es j estudados em especial os ngulos verticalmente opostos e os alternos Internos A primeira quest o divide se em duas al neas A primeira centra se na rela o entre a exist ncia de rectas paralelas e a congru ncia dos ngulos alternos internos Esta al nea pretende que os alunos comentem a veracidade de v rias afirma es sobre as amplitudes de dois ngulos distintos Deste modo para al m de procurar que os alunos recorram s propriedades estudadas utilizando j um racioc nio de car cter dedutivo permite tamb m trabalhar a ideia de contradi o em especial na justifica o das afirma es falsas Enquanto isso a segunda procura que os alunos utilizem as propriedades que conhece
22. Um ngulo nulo Figura 5 o ngulo convexo cujos lados se sobrep em Figura 5 ngulo nulo Um ngulo raso Figura 6 aquele cujos lados est o no prolongamento um do outro om Figura 6 ngulo raso Um ngulo recto Figura 7 um ngulo igual a metade de um ngulo b Figura 7 Angulo recto raso Um ngulo agudo Figura 8 aquele que menor do que um ngulo recto e maior do que um ngulo nulo m Figura 8 Angulo agudo 19 e Um ngulo obtuso Figura 9 aquele que maior do que um ngulo recto mas menor que um ngulo raso Sa Figura 9 Angulo obtuso e Um ngulo giro Figura 10 o ngulo c ncavo cujos lados se e Figura 10 ngulo giro sobrep em Apesar de existirem diversas unidades utilizadas para medir a amplitude de um ngulo neste estudo consideraremos apenas uma das principais medidas o grau Esta unidade fixada tendo por base o ngulo recto considerando se que se dividirmos o ngulo recto em 90 partes iguais obtemos um grau Para al m disso a unidade de medida da amplitude do ngulo um sistema sexagesimal pelo que um grau se divide em 60 minutos que por sua vez se dividem cada um em 60 segundos Assim sendo a amplitude de um ngulo recto mede 90 a de um raso 180 a de um nulo 0 a de um giro 360 e a amplitude um ngulo agudo mede entre 0 e 90 enquanto a de um ngulo obtuso mede entre 90 e
23. a prova n o justificou Os seus passos no entanto oralmente conseguiu complet la utilizando o ngulo raso e a soma dos ngulos internos de um tri ngulo Na soma dos ngulos externos de um tri ngulo o Rodrigo recorreu ao exemplo concreto que tinha sido apresentado apoiando se nos valores num ricos das amplitudes dos ngulos para justificar as suas afirma es em rela o ao valor da soma dos ngulos que estava a considerar um ngulo externo e o interno adjacente ser 180 n o tendo utilizado nenhuma propriedade Em contrapartida para completar a demonstra o de 80 que a soma da amplitude dos ngulos externos igual 360 a Andreia recorreu a propriedade que tinham acabado de estudar ou seja que a amplitude de um ngulo externo igual soma das amplitudes de dois internos n o adjacentes com o objectivo de relacionar os dois ngulos internos que ainda apareciam no racioc nio que a turma estava a elaborar com o ngulo externo que ainda n o tinha sido considerado Para al m dos valores num ricos e das propriedades para justificar esta ltima propriedade o Bernardo e o Tom s apelaram tamb m para a visualiza o na medida em que referiram que se pegassem nos ngulos externos poderiam agrup los formando um ngulo giro 6 3 Dificuldades dos alunos Dos v rios aspectos do racioc nio matem tico trabalhados no decurso desta unidade pensei que a formula o de conjecturas fosse talvez o
24. algumas pequenas altera es no decorrer da unidade Para al m disto a escolha do trabalho a pares deveu se tamb m ao facto de um dos recursos seleccionados ser o GeoGebra Por um lado como refere Jiang in press v rios alunos volta de um computador torna mais f cil o processo de formula o de conjecturas a partir da observa o das altera es que ocorrem no ecr Por outro como o recurso tecnologia n o totalmente pac fico e o software a utilizar n o era ainda do conhecimento geral dos alunos existia uma possibilidade maior de surgirem algumas d vidas relacionadas com o mesmo Deste modo pareceu me que este modo de trabalho seria vantajoso na medida que possibilita que os alunos troquem impress es entre si ajudando se mutuamente n o deixando o esclarecimento das d vidas unicamente a cargo do professor No entanto a utiliza o de um computador por mais de dois alunos diminui a possibilidade de cada um dos alunos interagir com o computador criando momentos de distrac o e desaten o dado que estes poder o perder grande parte do interesse Note se ainda que no caso particular da turma em estudo o espa o entre os computadores reduzido e que n o existem computadores suficientes para que os alunos trabalhem individualmente dificultando por conseguinte a utiliza o de outra estrat gia Portanto no decorrer desta interven o procurei essencialmente que os alunos tivessem oportunidades de expl
25. amplitude num caso particular analisando depois o que acontecia ao moverem uma das rectas No inicio da tarefa estes alunos conseguiram ainda que com alguma ajuda identificar os pares de ngulos verticalmente opostos existentes na constru o que tinham realizado no GeoGebra Figura 27 como podemos compreender atrav s do seguinte di logo Professora O que que s o ngulos verticalmente opostos Bernardo S o os que t m um v rtice em comum e os lados de um est o no prolongamento dos lados do outro Professora Exacto Ent o conseguem dar algum exemplo de ngulos verticalmente opostos Bernardo V rtice comum e lados no prolongamento dos lados do outro Hum N o estou a perceber isto Tom s Ent o o deo beoaeoc Professora de b podes dizer de outra forma de b queres dizer o qu Tom s Professora Exacto DEP e o outro Tomas AEC Professora Exacto DEBe o AFC Ent o esses pares de ngulos s o dois ngulos um par chamam se Bernardo Vertical Professora Verticalmente opostos exacto E h mais Bernardo Sim tamb m s o o CEB e AED Figura 27 Ficheiro GeoGebra elaborado pelo Bernardo e pelo Tom s 58 No entanto nao conseguiram associar a defini o dada situa o proposta uma vez que durante a resolu o da tarefa o Bernardo e o Tom s procuram encontrar forma de atrav s da posi o relativa destes ngulos conseguirem explicitar a rela o que estav
26. as argumenta es se podem considerar como uma demonstra o quando deixam de se apoiar em argumentos emp ricos p 16 Apesar de a demonstra o e a justifica o n o serem a mesma coisa Rodrigues 2009 refere que uma justifica o tamb m se considerar uma demonstra o desde que seja suficientemente geral e encerre um racioc nio dedutivo Deste modo podemos dizer que a demonstra o central ao raciocinio tipicamente matem tico Oliveira 2008 p 3 fazendo parte do car cter distintivo da Matem tica enquanto ci ncia e por isso mesmo desempenhando um papel preponderante na constru o da pr pria Matem tica conforme salienta Veloso 1998 A demonstra o tamb m uma das dimens es do racioc nio matem tico que o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 apenas introduz no 3 ciclo pretendendo se n o s demonstrar conjecturas e fazer demonstra es simples mas tamb m distingui la tanto de um teste de conjecturas como de uma argumenta o informal e ainda seleccionar e usar varios tipos de racioc nio e m todos de demonstra o p 64 Apesar disso Rodrigues 2009 NCTM 2008 e Veloso 1998 chamam a aten o para o facto de por exemplo uma demonstra o que recorra ao contra exemplo ser acess vel aos alunos mais novos A constru o do que uma demonstra o assim feita de forma gradual por parte dos alunos Veloso 1998 tendo como ponto de partida a justi
27. chegado a procurar outro tipo de rela es Tal como este par houve mais alguns alunos que n o conseguiram progredir nas suas explora es tendo apenas preenchido as linhas da tabela com os dados dos ngulos obtidos utilizando o GeoGebra e a ltima coluna com a soma de todos os ngulos No entanto houve diversas estrat gias entre os pares que conseguiram ultrapassar esta fase O Jorge e o Telmo come aram tamb m por registar na ltima tabela a soma dos tr s ngulos referidos na tabela No entanto tendo verificado que por esse caminho n o conseguiam chegar a nenhuma conclus o acabaram por centrar a sua aten o na subtrac o ou seja observando os valores num ricos os alunos repararam que se subtra ssem ao ngulo da primeira coluna o da segunda obteriam o da terceira coluna Assim sendo os alunos conclu ram que poderiam descobrir o valor do terceiro ngulo a partir dos outros dois Por esta raz o a conjectura que registaram n o especifica quais os ngulos a subtrair Figura 44 E e C Made a 4 UXO N s a 0 Covtnoimdo A awn ly de em A Pit dao ceblumes 3 amauto Figura 44 Resolu o do Jorge e do Telmo 69 No entanto quando na aula seguinte a prop sito da discuss o da tarefa questionei o par sobre a conjectura a que tinham chegado a resposta do Telmo ja incluiu essa informa o Telmo N s chegamos conclus o que a amplitude do ngulo CBE e subtrair essa amplitude pelo
28. como refere o NCTM 2008 a formula o de conjecturas que n o sejam v lidas tamb m importante para a aprendizagem dos alunos Deste modo penso que a experi ncia de optar por uma estrat gia que n o funciona e necessitar de pensar noutra faz tamb m parte do desenvolvimento do racioc nio matem tico mesmo significando que a tarefa pode demorar um pouco mais de tempo a ser conclu da Nesta ficha mesmo os alunos que conseguiram perceber a rela o existente entre os ngulos da tabela mostraram dificuldades em generalizar essa rela o para os restantes ngulos do tri ngulo Associada a esta tarefa estava tamb m prevista a elabora o de uma demonstra o A demonstra o foi talvez a rea do racioc nio matem tico onde tenham surgido mais dificuldades o que n o de estranhar uma vez que em geral n o um tema f cil para os alunos conforme referido no cap tulo 2 e era a primeira vez que contactavam com ela Ao pedir aos alunos que elaborassem uma prova da conjectura obtida na ficha Angulos externos de um Tri ngulo as primeiras dificuldades surgiram com o pr prio pedido uma vez que a maioria dos alunos n o compreendeu exactamente o que se pretendia Por um lado a demonstra o era um t pico recente para os alunos pelo que era natural que ainda n o estivesse interiorizado Por outro creio que podia ter sido mais clara em rela o ao que pretendia 82 Ao discutir a prova elaborada pelo Ricardo to
29. conjecturas que formularam nesta tarefa procuraram relacionar os conhecimentos que j tinham sobre a classifica o de ngulos com a situa o com que se depararam Esta situa o evidencia o papel importante que os conhecimentos pr vios dos alunos podem ter na formula o de conjecturas levando os a estabelecer rela es que o professor n o tenha antecipado Algumas das conjecturas formuladas na resolu o da quest o 3 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos I como o caso da exist ncia de quatro pares de ngulos verticalmente opostos exemplificam tamb m a utiliza o dos conhecimentos matem ticos pr vios na identifica o de rela es Para al m disso o facto de a Daniela e o Rodrigo terem formulado nesta quest o uma conjectura referente recta perpendicular sendo esta uma situa o que j tinham trabalhado a prop sito da primeira ficha revela que os alunos tamb m utilizam conjecturas anteriores para formular novas Por sua vez para formularem as conjecturas que lhes eram solicitadas na ficha Angulos externos de um Tri ngulo alguns alunos utilizaram uma tabela para organizar os dados por sugest o da pr pria ficha come ando por adicionar os ngulos No entanto este tipo de manipula o dos dados pode ter tido alguma influ ncia minha uma vez que tanto na apresenta o da tarefa como no apoio aos alunos fui sugerindo que esta rela o poderia necessitar que realizassem algumas opera
30. cuidadosa sobre as no es geom tricas NCTM 2008 A Geometria fornece um contexto apropriado e natural para o desenvolvimento do racioc nio matem tico em particular do racioc nio indutivo dedutivo e das capacidades de argumenta o NCTM 2008 Tanto o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 como o NCTM 2008 referem que os ambientes de geometria din mica desempenham um papel Importante no ensino da Geometria Estes programas possuem uma fun o que permite o arrastamento de pontos ou partes de figura que como Candeias 2005 refere respeita as propriedades das constru es geom tricas Deste modo permite que os alunos criem muitos exemplos facilitando a formula o de conjecturas Portanto a problem tica definida neste estudo enquadra se bem no mbito da Geometria uma vez que um contexto adequado para o desenvolvimento dos diferentes aspectos do racioc nio matem tico 12 3 A Unidade de Ensino O presente estudo tem por base a minha interven o lectiva numa turma do 7 ano de escolaridade da Escola B sica Maria Alberta Men res no in cio do 3 Per odo do presente ano lectivo 2010 2011 mais precisamente entre os dias 26 de Abril e 12 de Maio de 2011 A planifica o desta unidade que se integra no t pico Tri ngulos e Quadril teros foi realizada tendo em conta os objectivos a atingir as orienta es curriculares e as caracter sticas da turma Neste cap tulo apresento ent o a
31. da Sofia do trabalho de casa 00 ccceeeeeeeeeeeeeeeeeees 67 Figura 42 Trabalho de casa realizado pela Andreia ii eeeeeeeeene 68 Figura 43 Tabela preenchida pela Diana e pelo DIMmIS cc ceeennereeeeeeeeeeeeees 69 Figura 44 Resolu o do Jorge e do Telmo session cess ede da Sa aa 69 Figura 45 Resolu o da quest o 1 realizada pela Andreia e pelo Daniel 70 Figura 46 Resolu o da quest o 2 realizada pela Andreia e pelo Daniel 71 Figura 47 Resolu o do Afonso e da Sofia eeesssssssssssssseseeeerrresssssssssssssssseeeeereeeeeee T2 Figura 48 Prova realizada pelo Ricardo 0 cccccssssssssssssssssssssssescccccceecccscceeeeassssssssees 12 Figura 49 Esquema do exemplo elaborado pelo Dinis ssssseeseeesssssssssssssssseeerereeeeees 73 Figura 50 Ficheiro GeoGebra utilizado para a discussao da soma dos angulos externos LO VAIO UNG aes eottceomeres DRDS PER IRD RE PORN maaan asian tanamuon A PRE 75 ndice de Quadros Quadro Subt picos a trabalhar no mbito do t pico Tri ngulos e Quadrilateros 17 Quadro 2 Calendariza o das fichas de trabalho ce eccccccccssssseccceceeeeeeceeeeaeeeeees 32 Quadro 3 T picos e objectivos espec ficos do racioc nio matem tico no 3 ciclo ME 2O De OT a A T E A A T E TE S 55 1 Introdu o A Matematica sempre foi a disciplina que mais me fascinou A sua estru
32. de 2010 de http sitio dgidc min edu pt recursos Lists Repositrio 20Recursos2 Attachments 158 programa_Matem atica_2CicloO2 pdf Minist rio da Educa o 2007 Programa de Matem tica do Ensino B sico http sitio dgidc min edu pt matematica Documents ProgramaMatematica pdf Minist rio da Educa o 2008 T picos a leccionar aos alunos do programa anterior na entrada do 3 8 de m 7 anos http sitio dgidc min edu pt matematica Documents topicos_leccionar_alunos_actualizado_25_nov pdf Moreira L 2008 Resolvo problemas logo penso Educa o e Matem tica 100 11 15 NCTM 2001 Normas para o curr culo e avalia o escolar em Matem tica escolar colec o de Adendas anos de escolaridade 5 8 Geometria nos 2 e 3 ciclos Trad Lisboa APM Obra original publicada em 1992 NCTM 2008 Princ pios e normas para a Matem tica Escolar Trad Lisboa APM Obra original publicada em 2000 86 Oliveira P 2008 O racioc nio matem tico luz de uma epistemologia soft Educa o e Matem tica 100 11 15 Pedemonte B 2000 Some cognitive aspects of the relationship between argumentation and proof in mathematics Recuperado de a 15 de Maio de 2011 de http wwwdidactique imag fr preuve Resumes Pedemonte Pedemonte01 PDF Ponte J P amp Matos J F 1996 Processos cognitivos e interac es sociais nas Investiga es matem ticas In P Abrantes L C Leal amp J P Ponte
33. de base a este estudo ocorreu apenas no subt pico Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo Para al m disso uma vez que esta turma s este ano Integrou o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 a minha interven o englobou tamb m o subt pico ngulos amplitude e medi o do t pico Figuras no Plano do 2 ciclo que de acordo com as orienta es do Minist rio da Educa o um dos t picos a ser leccionado aos alunos do programa de Matem tica anterior O Programa refere que no mbito do subt pico Angulos amplitude e medi o se deve procurar atingir os seguintes objectivos espec ficos e Medir em graus a amplitude de um ngulo e construir um ngulo sendo dada a sua amplitude e Estabelecer rela es entre ngulos e classificar ngulos e Distinguir ngulos complementares e suplementares e identificar ngulos verticalmente opostos e ngulos alternos internos ME 2007 p 37 Para al m disto tamb m sugerido que se proponham situa es para que os alunos estimem a ordem de grandeza dos ngulos e que se utilize uma aproxima o ao grau na medi o de amplitudes dos ngulos O programa do 2 ciclo 1991 contemplava j alguns destes objectivos pelo que de acordo com este documento se espera que os alunos tenham atingido o primeiro objectivo e parte do segundo ou seja que sejam capazes de e Identificar e tra ar ngulos rectos agudos obtu
34. de todas as linhas das tabelas 70 Para al m disso ao contr rio da maioria dos pares a Andreia e o Daniel procuram experimentar com outro ngulo externo recorrendo para isso a uma tabela semelhante que foi proposta na primeira quest o Figura 46 Deste modo este par aparentemente compreendeu o papel da tabela na organiza o dos dados das experi ncias realizadas para a formula o de conjecturas 9 Do rea ma Lae i 7 ae fi qf Se te CR A ERE TRE grt mt OM e ONS Figura 46 Resolu o da quest o 2 realizada pela Andreia e pelo Daniel Nesta segunda tabela apesar de considerarem um outro ngulo externo os ngulos internos s o os mesmos que utilizaram na quest o 1 pelo que n o chegaram a perceber completamente a rela o envolvida Isto tamb m vis vel na conjectura que a Andreia e o Daniel apresentaram turma Andreia N s cheg mos conclus o de que se som ssemos os ngulos internos do tri ngulo a sua soma era igual amplitude do ngulo CBE O facto de os alunos n o terem compreendido totalmente a rela o envolvida pode tamb m dever se a os alunos nao terem conseguido terminar o seu trabalho O Afonso e a Sofia partiram tamb m da soma dos ngulos internos 2 BCA e ZCAB Figura 47 tendo registado na ltima coluna essa opera o No entanto a conjectura que registaram aproximou se mais da rela o em causa uma vez que procuraram restrin
35. disciplina de Matem tica 14 Em rela o ao comportamento a turma n o apresenta normalmente muitos problemas muito embora existam alguns elementos destabilizadores De um modo geral a turma bastante faladora apesar de existirem tamb m v rios alunos muito t midos O Projecto Curricular de Turma aponta ainda como uma das fragilidades da turma a falta de h bitos de trabalho e de organiza o de muitos alunos bem como o n o cumprimento das regras de sala de aula Estes diferentes aspectos reflectem se na aula de Matem tica em que o seu comportamento um pouco irregular N o obstante normalmente a turma participativa e trabalha nas tarefas propostas em aula ainda necess rio salientar que o comportamento melhorou significativamente neste 3 per odo A heterogeneidade da turma revela se tamb m nas suas expectativas quanto ao futuro onde surgem op es que v o desde o futebol e a moda arquitectura e medicina bem como muitas outras profiss es como por exemplo massagista Em rela o s habilita es liter rias dos encarregados de educa o estas s o diversificadas sendo que apenas dois possuem estudos superiores e um possui unicamente o 1 ciclo 15 3 2 A unidade de ensino no programa A proposta pedag gica apresentada neste estudo foi aplicada no 7 ano e enquadra se no t pico Tri ngulos e Quadril teros do tema Geometria do 3 ciclo No entanto a minha interven o que serve
36. estudo tem por objectivo o racioc nio matem tico procurou se que a an lise de dados se guiasse pelas orienta es definidas pelo Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 No entanto sendo este um estudo baseado em apenas seis aulas nem todos os objectivos e orienta es do programa foram abordados no decurso do mesmo Assim sendo das orienta es program ticas para o 3 ciclo seleccionaram se os seguintes objectivos espec ficos e notas e Formular testar e demonstrar conjecturas e Distinguir entre uma demonstra o e um teste de uma conjectura e fazer demonstra es simples e Identificar e usar racioc nio indutivo e dedutivo e Compreender o papel das defini es em matem tica e Pedir aos alunos para identificar casos particulares formular generaliza es e testar a validade dessas generaliza es e Proporcionar situa es em que os alunos raciocinem indutivamente formulando conjecturas a partir de dados obtidos 54 na explora o de regularidades e dedutivamente demonstrando essas conjecturas e Pedir a fundamenta o de afirma es atrav s de conceitos propriedades ou procedimentos matem ticos ou contra exemplos ME 2007 p 64 Racioc nio matem tico e Formular testar e demonstrar e Pedir aos alunos para identificar conjecturas casos particulares formular e Distinguir entre uma generaliza es e testar a validade demonstra o de demonstra o e um teste de dessas general
37. mais simples para os alunos e que n o fosse levantar muitos problemas pelo menos nas tarefas iniciais visto que na minha opini o uma observa o ainda que cuidada lhe daria as pistas praticamente todas No entanto tal n o se verificou Uma das primeiras dificuldades sentidas pelos alunos foi compreender o que se pretendia com a formula o de conjecturas o que tinham de fazer como revelam os momentos iniciais da primeira ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos Nesta ficha de trabalho os alunos revelaram uma outra dificuldade Embora a maioria dos alunos tenha at conseguido compreender a rela o existente entre os ngulos verticalmente opostos poucos alunos foram capazes de registar de forma clara a conjectura Uma das raz es que provavelmente esteve na origem desta dificuldade foi o facto de n o ter sido realizada uma introdu o pr via ficha de trabalho em quest o nem explorado com os alunos a defini o de ngulos verticalmente opostos que era ali apresentada Assim a falta de tomada de consci ncia dessa defini o e a dificuldade em estabelecer uma liga o entre a defini o e a situa o em estudo como aconteceu com o Bernardo e o Tom s tornou mais complicado o registo escrito desta conjectura Ao procurar ajudar os alunos a ultrapassar esta dificuldade a introdu o da ficha Rela es entre ngulos I foi mais cuidada procurando se que compreendessem minimamente a defini o
38. me chamou mais a aten o Em especial considerei particularmente interessante as tarefas de explora o e investiga o pois possibilitavam aos alunos o contacto com um tipo de racioc nio que durante muito tempo eu n o associel a esta disciplina mas sem o qual a Matem tica tamb m n o existiria o racioc nio indutivo Assim e tendo em conta as orienta es metodol gicas do Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 para que os alunos tenham diversos tipos de experi ncias matem ticas atrav s das tarefas propostas pelo professor pretendo neste estudo valorizar as tarefas de explora o e investiga o levando os alunos a descobrirem um pouco mais sobre a actividade matem tica Deste modo a problem tica a desenvolver tem como objectivo estudar o racioc nio matem tico dos alunos no mbito do t pico Tri ngulos e Quadril teros recorrendo em particular a tarefas de explora o e investiga o Tendo em conta este objectivo formulei as seguintes quest es 1 Como que os alunos formulam testam e justificam as suas conjecturas na resolu o de tarefas de exploracao investigacao 1 Como que os alunos fundamentam as suas afirma es usando conceitos e propriedades geom tricas 11 Que dificuldades evidenciam os alunos no que se refere ao racioc nio matem tico O estudo apresentado neste relat rio foi desenvolvido no mbito da lecciona o dos subt picos Angulos amplitude e medi o
39. minha prima Marta pela disponibilidade que tiveram para me ajudar sempre que precisei Aos meus pais por todo o amor carinho apoio e compreens o que sempre me dispensaram e que fizeram de mim o que sou hoje por nunca me terem deixado desistir e por tudo o que fizeram para que pudesse completar os meus estudos Ao meu irm o pela paci ncia que teve ao longo destes meses e por todas as vezes que me fez rir A todas as pessoas que neste ltimo ano fizeram parte da minha vida e que me proporcionaram a mais rica experi ncia de aprendizagem da minha vida 1i Resumo Ao longo deste relatorio apresenta se um estudo realizado numa turma do 7 ano no mbito da lecciona o no t pico Tri ngulos e Quadril teros O seu objectivo analisar o racioc nio matem tico dos alunos nos subt picos ngulos amplitude e medi o e Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo recorrendo em particular a tarefas de explora o e investiga o Para tal formulei as seguintes quest es Como que os alunos formulam testam e justificam as suas conjecturas na resolu o de tarefas de explora o investiga o Como que fundamentam as suas afirma es usando conceitos e propriedades geom tricas Que dificuldades evidenciam no que se refere ao racioc nio matem tico Os dados analisados neste estudo foram recolhidos essencialmente atrav s de dois m todos as produ es escritas dos alunos e as g
40. o Cristina Rei Santos Tapada das Merc s 5 de Janeiro de 2011 Autoriza o Autorizo que o meu educando participe nas grava es v deo e udio necess rias para a realiza o do trabalho acima referido O Encarregado de Educa o do aluno Assinatura do Encarregado de Educa o 140 Ex Sra Directora da Escola Basica 2 3 Maria Alberta Men res Informo que no mbito de um trabalho de investiga o orientado pela professora H lia Oliveira Instituto de Educa o da Universidade de Lisboa no presente ano lectivo estou a desenvolver um estudo relacionado com a minha pr tica lectiva Para isso entre Mar o e Maio de 2011 as aulas de Matem tica da turma do 7 C ser o por mim leccionadas com orienta o da professora Cristina Ramos Para a realiza o deste trabalho pretendo obter grava es em v deo e em udio de algumas das aulas por mim leccionadas assim como grava es udio de entrevistas que ser o feitas a alguns dos alunos da turma Fica desde j garantida a privacidade dos alunos Em qualquer situa o de apresenta o p blica ou de publica o ser o usados nomes fict cios para identifica o dos diferentes intervenientes Alunos e respectivos Encarregados de Educa o foram informados destes procedimentos Aguardo a sua permiss o para solicitar a autoriza o dos Encarregados de Educa o para proceder s referidas grava es Tenho inteira disponibilidade para prestar qualquer
41. os identificassem e exemplificassem No entanto esta ficha pretende ir mais longe uma vez que o seu objectivo principal a explora o da rela o existente entre estes ngulos Portanto esta ficha procura que os alunos a partir da observa o de v rios casos formulassem conjecturas relativamente congru ncia dos ngulos verticalmente opostos 3 5 2 Rela es entre ngulos I Ao seleccionar a segunda ficha pretendia que esta incluisse a rela o trabalhada na tarefa anterior Para al m disso procurava ainda que seguisse um esquema semelhante ao da ficha anterior de modo que os alunos pudessem estabelecer algum paralelismo mas que ao mesmo tempo fosse um pouco mais longe Sendo o conte do seguinte a abordar os ngulos alternos Internos seleccionei uma tarefa que tal como anterior introduzisse a defini o de ngulos alternos internos permitindo que os alunos os 1dentificassem e exemplificassem numa situa o concreta No entanto a situa o n o podia ser t o geral como a da tarefa anterior visto que as rela es que teriam algum interesse apenas se verificam num sistema de duas rectas paralelas intersectadas por uma secante Como tal a situa o base da ficha exactamente essa um sistema de duas rectas paralelas intersectadas por uma secante 33 Assim sendo dividi a ficha em duas quest es uma directamente relacionada com os ngulos alternos internos em que se pretendia a identifica o e exempl
42. para assinalar 4 3 4 Questionar os alunos sobre qual a raz o pela qual a conjectura apresentada verdadeira 4 3 5 A partir das respostas dos alunos registar a justifica o matem tica da conjectura apresentada O ngulo HAG congruente com o ngulo BAC pois s o ngulos verticalmente opostos O ngulo BAC congruente com o ngulo DCA pois s o ngulos alternos internos O ngulo DCA congruente com o ngulo FCE porque s o ngulos verticalmente opostos Logo os ngulos HAG e FCE s o congruentes 5 Distribui o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos II aos alunos e indica o da metodologia de trabalho Indica o de que a ficha de trabalho ser realizada a pares Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas as estrat gias que utilizem Indica o de que para realizar apenas a quest o 1 6 Realiza o a pares da quest o 1 da ficha de trabalho Rela es entre 5 min 104 ngulos IV 7 Correc o e discuss o da quest o 1 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IV 7 1 Pedir a um par de alunos que apresente no quadro a sua resolu o da al nea 1 1 1 da quest o 1 7 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 10 min 7 3 Prosseguir com a correc o das restantes al neas da quest o 1 seguindo a estrat gia anterior As resolu es a apresentar ser o sele
43. para fazer Inicialmente houve mesmo alguns pares que ao terminarem a constru o das rectas no GeoGebra pensavam que tinham tamb m conclu do a tarefa Um dos pares em que surgiu esta dificuldade foi a Daniela e o Rodrigo Para que compreendessem o que se pretendia foi solicitado que lessem o enunciado e questionados sobre o que se seria necess rio fazer para investigar rela es entre ngulos a que a aluna respondeu Marcar os ngulos Este par conjecturou ent o a partir da observa o de um nico caso constru do no GeoGebra que estes ngulos seriam congruentes Figura 24 56 Cs X o Aion ay Go TEA gt de cova rventes A i ANS z ca e v tiii di i Yos a gvars Figura 24 Resolu o da Daniela e do Rodrigo Note se que na sua conjectura os alunos utilizaram inicialmente o termo igual tendo s acrescentado que eram congruentes depois de questionados no sentido de se o termo igualdade seria o correcto que se transcreve em seguida Professora ngulos iguais Rodrigo Opostos Os ngulos opostos t m a mesma amplitude Professora Iguais n o d Ent o podemos dizer outra coisa outra palavra parecida Daniela Congruentes Apesar de lhes ter sido solicitado que apresentassem as estrat gias e racioc nios utilizados este par apenas registou esta conjectura No entanto na sequ ncia da resolu o desta ficha os alunos analisaram tamb m o caso espec fico em que as rec
44. pode aplicar na situa o e depois determina a amplitude dos ngulos justificando o atrav s das propriedades conhecidas No entanto tal como a maioria dos colegas ao utilizar a propriedade da congru ncia dos ngulos alternos internos o Daniel n o refere que s poss vel devido ao facto de as rectas serem paralelas Mesmo assim o Daniel utiliza j um racioc nio de car cter dedutivo para elaborar as suas justifica es sendo de salientar o uso que faz de express es como assim e logo Figura 38 que s o utilizadas frequentemente em racioc nios dedutivos agma AG XMLICLO 6 Ny fa uti Qua O maulo Jardo o Hum Lm TIND GH Agua chy e defie A TMA rom en lore Le EO A aay lal lagoa Lo X E e r WF an j CACC 3 fa e ll a das fi Ugi Lanat Sta Qual O MmgyNO 2 an delete Olt go Am auto hay O Bing ule e T ULA mR T EA Yar On AMA Cs e A gt Z a cb a g AA ago E a 16 PA Lot o Bila oer do q atime MT LAMO A 6 Q bo a AiO BO g L PORSA SARN OND as b hopo Lb 56 lt C P Q San v lo Noam Sa ar Yo LOT LA O amg u Cy LO 00 Ss dati colonies 2 Ojos as de topo 5 ACmS RF Figura 38 Trabalho de casa elaborado pelo Daniel A determina o de outros ngulos auxiliares para conseguirem justificar as suas respostas foi utilizada por mais alguns alunos para al m do Daniel O Tom s foi um desses alunos No entanto contrariamente ao Daniel o Tom s n o apresent
45. que n o seja poss vel fazer o racioc nio tarefa 6 6 5 Questionar os alunos sobre quando que a conclus o que retiraram verdadeira 6 6 6 Concluir que independentemente do tri ngulo que se considere esta conclus o sempre v lida uma vez que podemos sempre aplicar esta estrat gia 7 Distribui o da ficha de trabalho Tri ngulos I aos alunos e indica o da metodologia de trabalho Indica o de que a ficha ser realizada a pares Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas as estrat gias que utilizem 8 Resolu o a pares da ficha de trabalho Tri ngulos I 20 min 114 Caso seja necess rio poderei fazer em grande grupo as quest es 1 1 e 2 1 e solicitar aos alunos que realizem as quest es 1 2 e 2 2 a pares 9 Correc o e discuss o da ficha de trabalho Tri ngulos I 9 1 Para as quest es 1 e2 9 1 1 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o no quadro 9 1 2 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se seguiram uma estrat gia diferente ou chegaram a outra conclus o 9 2 Para a quest o 3 10 min 9 2 1 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o no quadro 9 2 2 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se seguiram uma estrat gia diferente ou chegaram a outra conclus o 9 2 3 Questionar os alunos sobre se a partir dos dados que disp e ap
46. rias para as aulas seguintes A primeira parte da aula correspondente correc o da ficha T P C Angulos I n o se afastou muito do que tinha previsto No entanto a discuss o da quest o 3 demorou mais tempo do que o planeado uma vez que procurei que os alunos tivessem 45 um papel activo na constru o das justifica es das conjecturas apresentadas para al m de que lhes solicitei que registassem tanto as conjecturas como as justifica es Na resolu o da quest o 1 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos II os alunos sentiram muitas dificuldades tendo passado o tempo previsto para a realiza o dessa quest o sem que a maioria tivesse conseguido resolv la ou mesmo compreend la Como tal optei por parar a resolu o e discutir a primeira afirma o com a turma de modo a ajudar os alunos a compreenderem o que se pretendia Ap s esta pequena discuss o voltei ent o a dar mais um pouco tempo para que tentassem agora resolver as quest es em falta Dado que a aula j estava bastante atrasada e ainda pretendia introduzir os conceitos de ngulos suplementares e complementares optei por fazer uma outra altera o ao planeado discutindo apenas a quest o 1 1 2 e passando logo para a realiza o da al nea 2 1 em grande grupo Uma vez que j n o restava muito tempo de aula e que um aluno j tinha referido antes os conceitos de ngulos suplementares optei por utilizar a al nea 2 1 para Intr
47. se em alguns dos aspectos do racioc nio matem tico e em algumas considera es relativas ao ensino da Geometria 2 1 O Racioc nio Matem tico Na sociedade dos nossos dias existe a ideia de que a Matem tica tem um papel fundamental no desenvolvimento do racioc nio Ponte amp Sousa 2010 No entanto o que se entende por racioc nio n o assim t o evidente como poss vel perceber recorrendo por exemplo a um dicion rio Se o racioc nio s por si n o claro o racioc nio matem tico ent o encerra ainda mais quest es Como refere Saraiva 2008 a interpreta o do que o racioc nio matem tico varia bastante p 29 uma vez que depende da perspectiva que cada um tem sobre o que a Matem tica p 29 Embora Oliveira 2008 refira que a express o designa um conjunto de processos mentais complexos atrav s dos quais se obt m novas proposi es conhecimento novo a partir de proposi es conhecidas ou assumidas conhecimento pr vio p 3 salienta ainda que o racioc nio matem tico n o se restringe apenas ao racioc nio dedutivo mas que inclui tamb m outras vertentes de car cter mais intuitivo e relacionadas com um trabalho de cariz experimental Neste sentido o NCTM 2008 refere que o racioc nio matem tico constitui uma forma eficaz de desenvolver e expressar intui es sobre uma vasta gama de fen menos p 61 De certo modo como refere Moreira 2008 o racioc nio matem
48. vel iniciar a discuss o da ficha do trabalho Todavia devido ao atraso inicial da aula e s dificuldades surgidas na resolu o da ficha esta discuss o foi realizada um pouco pressa n o se tendo conseguido chegar a discutir a ltima quest o da ficha Portanto os objectivos definidos para esta aula n o foram totalmente atingidos tendo ficado tamb m por realizar a ficha de trabalho Tri ngulos 47 3 6 5 Quinta aula 10 de Maio de 2011 Esta aula destinava se inicialmente aos ngulos externos de um tri ngulo mais precisamente rela o entre estes e os Internos No entanto uma vez que a planifica o da quarta aula n o foi cumprida na sua totalidade n o se atingindo todos os objectivos tornou se necess rio Introduzir algumas altera es nesta aula Deste modo planeei iniciar a aula pela discuss o da tarefa ngulos internos de um tri ngulo visto que a propriedade seria necess ria para a concretiza o dos objectivos desta quinta aula Seguidamente optei por propor a realiza o da ficha de consolida o deste conte do Tri ngulos embora devido falta de tempo tenha escolhido n o realizar a quest o 3 uma vez que pretendia ir um pouco mais al m Al m disto optei tamb m por realizar a primeira quest o em grande grupo para possibilitar que os alunos com mais algumas dificuldades compreendessem o que estava em causa Ap s esta primeira parte da aula planeei abordar ent o os n
49. 1 Colocar aos alunos a quest o 4 2 11 1 Movimentar os v rtices do tri ngulo ABC de modo a obter um tri ngulo completamente diferente como por exemplo um tri ngulo isdsceles 2 11 2 Questionar os alunos se a soma dos ngulos deste tri ngulo tamb m 180 pedindo que justifiquem a sua opini o 2 11 3 Mover os v rtices do tri ngulo para salientar que poderiam fazer o mesmo tipo de racioc nio para outros tri ngulos diferentes 2 11 4 Questionar os alunos se conseguem construir um tri ngulo em que n o seja poss vel fazer o racioc nio acima 2 11 5 Salientar que o racioc nio efectuado para concluir que a soma dos ngulos internos de um tri ngulo 180 n o usa valores para os ngulos 2 11 6 Chamar a aten o dos alunos para o facto de que o racioc nio utilizado pode ser aplicado a qualquer tri ngulo independentemente da sua forma e concluir que independentemente do tri ngulo que se considere a conclus o sempre v lida 3 Distribui o da ficha de trabalho Tri ngulos aos alunos fo 4 Resolu o em grande grupo da quest o 1 da ficha de trabalho Tri ngulos 4 1 Para cada uma das al neas 4 1 1 Elaborar um esbo o da figura 4 1 2 Questionar diferentes alunos sobre quais os dados fornecidos pela figura sd 4 1 3 Questionar diferentes alunos relativamente ao que que precisamos de saber 4 1 4 Questionar os alunos sobre como podem obter o valor de x 4 1 5 Registar no quadro a resolu
50. 180 Neste estudo denotaremos a medida da amplitude de um ngulo utilizando o s mbolo 4 Tal como acontece com outros elementos geom tricos tamb m nos ngulos poss vel estabelecer rela es Na Geometria uma das principais rela es entre dois objectos a congru ncia Dizemos ent o que duas figuras planas s o congruentes quando se podem fazer coincidir ponto por ponto Por conseguinte tamb m dois ngulos se dizem congruentes quando poss vel faz los coincidir ponto por ponto ou seja dois ngulos s o congruentes se e s se a medida das suas amplitudes igual 20 Rela es entre pares de ngulos A parte da congru ncia podem se definir outras rela es entre pares de ngulos que dao origem a algumas propriedades importantes Definicao Angulos adjacentes Dizemos que dois ngulos s o adjacentes se t m o v rtice e um lado comum estando situados para lados opostos em rela o ao lado comum ou seja n o est o sobrepostos Figura 11 Figura 11 Exemplo de um par de ngulos adjacentes Defini o Angulos suplementares Dois ngulos dizem se suplementares se a sua soma igual a um ngulo raso ou seja se a soma da medida das suas amplitudes 180 Figura 12 do gb Figura 12 ngulos suplementares Defini o Angulos complementares Dois ngulos cuja soma igual a um ngulo recto isto cuja soma da medida das suas amplitudes 90 denominam se de ngu
51. 1998 a demonstra o deve sempre que poss vel surgir das conjecturas dos alunos para al m de que assim garantiria que todos conheceriam a propriedade que se queria provar Uma vez que esta tarefa n o implicava necessariamente a realiza o de experi ncias por parte dos alunos considerei que a utiliza o do GeoGebra n o seria vantajosa para a concretiza o dos objectivos como tal escolhi n o o utilizar nesta aula Tendo demonstrado a propriedade considerei que seria indicado que os alunos contactassem com a sua utilidade praticando pelo que optei por seleccionar ainda para esta aula a realiza o da ficha Tri ngulos Portanto esta aula foi concebida com o objectivo de trabalhar os ngulos Internos de um tri ngulo e o racioc nio dedutivo Para o in cio desta aula estava planeado a discuss o das quest es em falta no entanto esta discuss o demorou muito mais tempo do que o planificado Assim uma vez que o principal objectivo desta aula era a soma dos ngulos internos de um tri ngulo optei por interromper esta discuss o deixando pendentes as al neas 2 4 e 2 5 pois as quest es discutidas davam j aos alunos uma ideia do tipo de racioc nio utilizado Continuei seguindo o plano da aula com a introdu o da soma dos ngulos Internos de um tri ngulo Na resolu o da ficha de trabalho surgiram algumas dificuldades que n o permitiram que este momento da aula fosse mais r pido Apesar disso foi ainda poss
52. 1n solving exploration and investigation tasks How do students justify their claims using geometric concepts and properties What are the difficulties they face with regard to mathematical reasoning The data analyzed in this study were collected mainly through two methods the students written productions and audio and video recordings of classes From these data I could conclude that the formulation of conjectures is essentially based on the observation of some particular cases as well as being influenced by students knowledge and past experiences The test of conjectures does not come as an independent process as it 1s embedded in the formulation of the conjecture To justify their claims students not only use the definitions and geometric properties but also the visualization and the numerical values This study shows that students still have many difficulties with the demonstration which is natural because it constitutes the first contact with this facet of mathematical reasoning However some students positive reactions show that it can be explored in these school grades Keywords mathematical reasoning geometry conjecture justification demonstration vi Indice do ABIROQUC O saradas rigan dios dreads A ES Coal l 2 Engquadtamentorda problemali aee E naw enetan awe 3 2k O Raciocmio Matematico asas aii E EE EE T eau 3 22 Qensno da GeOMe nla era E dsais Aa DiCe nina nas is aaa 11 J A Unidade de CASIO rsss ais S
53. 2 2 Analisar a defini o de ngulo externo 7 2 3 Informar que a constru o geom trica pedida j se encontra guardado nos computadores na pasta 7 C com o nome anguloexternol ggb 7 2 4 Chamar a aten o que na quest o 2 se pretende verificar se a rela o encontrada na quest o 1 ou n o v lida para os outros ngulos externos 7 2 5 Salientar que na quest o 3 a conjectura refere se rela o identificada na quest o 1 7 3 Indicar que t m 25 minutos para resolver a ficha de trabalho 7 4 Relembrar os alunos de que devem registar todas as estrat gias que utilizem 8 Realiza o a pares da ficha de trabalho Angulos externos de um Tri ngulo Caso os alunos tenham dificuldades em progredir nas suas investiga es 25 min sugerir que utilizem a ltima coluna da tabela para efectuarem as somas dos dois ngulos internos que se encontram na tabela 9 Discuss o e s ntese das conclus es obtidas pelos alunos na realiza o da ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo 9 1 Questionar os alunos em rela o utiliza o que fizeram da ltima coluna da tabela 15 mm 9 2 Pedir a um par de alunos que explique a conjectura que formulou sobre a rela o entre os ngulos internos do tri ngulo e o ngulo externo CBE 9 3 Questionar os restantes alunos relativamente ao que pensam sobre a 120 conjectura dos colegas e se formularam alguma conjectura diferente 9 4 A partir d
54. 4 Registar os racioc nios referidos 10 3 Para a quest o 2 4 106 10 3 1 Pedir a um par de alunos que apresente no quadro a sua resolu o 10 3 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 10 3 3 Questionar a turma se algu m seguiu uma estrat gia diferente 10 3 4 Registar os racioc nios referidos 10 3 5 Introduzir o conceito de ngulo complementar i Utilizar como refer ncia os ngulos assinalados na figura desta quest o como exemplo de ngulos complementares ii Registar que Dois ngulos sao complementares se a soma das medidas das suas amplitudes igual a 90 10 4 Para a quest o 2 5 10 4 1 Pedir a um par de alunos que apresente no quadro a sua resolu o 10 4 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 10 4 3 Questionar a turma se algu m seguiu uma estrat gia diferente 10 4 4 Registar os racioc nios referidos As resolu es a apresentar ser o seleccionadas tendo em conta observa o do trabalho dos alunos durante a realiza o da tarefa podendo tamb m incluir algumas resolu es que apresentem Incorrec es comuns 11 Distribui o da ficha de trabalho T P C Rela es entre ngulos II para trabalho de casa 12 Recolha do trabalho de casa da aula anterior Trabalhos para casa Tarefas Extra Ficha de trabalho T P C Rela es e Pagina 13 quest o 7 en
55. ANQUIO asa sapos baia R 18 PiU SANGO BO aiii a N 19 Fisura Ss OO ters aye estos Gamat eee Sees naa Go ee Sse 19 FEDORA aoe en nT ra aiii 19 Ficura T Anoo Te Onana a eo 19 Figura 8 ngulo agudo eee 19 Pista 9 Angulo ODS O osso E E ERE 20 Figura 10 Angulo giro c ccccccccsssssssscssssesesescscevevsvscscscscscecscscevsvsvavacacacscecesesesvavavavans 20 Figura 11 Exemplo de um par de ngulos adjacentes nnoessssooeeessssssssserrressssssee 21 Figura 12 Angulos suplementares 21 Figura 13 ngulos complementares cccccccccsesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesessen 21 Figura 14 Angulos verticalmente opostos 22 Figura 15 ngulos formados por duas rectas CONCOITeEntesS cece esses eeeseeeeeeeeeeee 22 Figura 16 ngulos num sistema de duas rectas e uma secante 23 Figura Reta Ce e a a E 24 Figura 18 Sistema de duas paralelas e uma secante 00 0 0 cceeccccccccccececeeeeeeeeeeeeeeeeeeees 24 Figura 19 Angulos de um tri ngulo 26 Figura 20 Esquema do tri ngulo ABC e recta DE eee 26 Figura 21 ngulo externo CBE ccccceccccsccsssesesesescsesesesescscsescsvscscscscscssssscssevseesseeeeneen 2d Figura 22 Angulos externos do tri ngulo ABC 28 Figura 23 Ficheiro GeoGebra para a introdu o do conceito de ngulo 4 Figura 24 Resolu o da Daniela e do Rodrigo e erre eeeereererena 57
56. Ae IO o 4 o Panclela gt Se SO O enguo a Co Aih Acoee GOR dese DO t EA LAA AC 4 A E A s A o tR GAN f le 4 la Ae ci amp C F a e a NEO venticcmunto Opostos pon SSG v o lea Cc Mame ampl o de Somanros oS SE 63 MG Os Enculoc Ci 2h Roe mau RANA A CAGUNG Cano OU Soja do lgo WO Ma 66 o Goaulo he a Km 66 Figura 41 Parte da resolu o da Sofia do trabalho de casa A Andreia apresentou ainda uma resolu o diferente das dos seus colegas apesar de incorrecta Figura 42 Esta aluna considerou que os tr s ngulos no topo da figura eram iguais pelo que como formavam um ngulo raso bastaria dividir 180 graus por 3 para obter a medida da amplitude de cada um deles Assim sendo a aluna foi iludida pelo que via na figura n o tendo confrontado a sua intui o com os dados num ricos da figura 67 AW A 4 A tA a E J i ES das sm SIC s eg Mm Ce Cy w Ee e D O EN A Bi co QD lt Ne M S EYLe AOS 2 SD TA Na gt Zo Aarh i 5 4 e a DOYLE UKO ot LO So Cs EEVEE iS A Em DE ee Lave Sis Ao mese ed S PA O w us sy ai Cyc lt GA L chy aa os a EO SALAS 3 j DAES SO 7 CY LO TA CEN A Q O SOS VEN Vi CC aIYVvey e Ossos tas Figura 42 Trabalho de casa realizado pela Andreia Portanto esta tarefa permitiu que os alunos utilizassem os seus conhecimentos para determinarem as amplitudes de angulos e em alguns casos que
57. Figura 25 Esbo o da constru o do Lu s e da V nia em GeoGebra 11 seeeeeeeeeeees 57 Figura 26 Resolu o do Lu s e da V nia sisal aaa Gaia IML 58 Figura 27 Ficheiro GeoGebra elaborado pelo Bernardo e pelo Tom s 58 Figura 28 Resolu o do Bernardo e do Tomas erre 59 Figura 29 Resolu o da Andreia e do Damiel sociscienca 60 IX Figura 30 Resolu o da Jacinta da pergunta 2 1 oo cccecceeeccccceceeeeeeeeeeeaeeeeeeeeeeeeees 61 Figura 31 Resolu o da Andreia e do Daniel da pergunta 2 1 ceeeeeeeeeeeees 61 Figura 32 Resposta do Ricardo quest o 2 2 ccccsssesssssseeeeeeeccceeeeeeeeeeeeaaeeeeeeeeeeeeees 61 Figura 33 Rela o identificada pela Andreia e pelo Daniel na quest o 3 62 Figura 34 Rela o identificada pelo Rodrigo e pela Daniela na quest o 3 63 Figura 35 Imagem da quest o 6 da p gina 39 do manual ccceeseneeeeeeeeeeeeeees 63 Figura 36 Trabalho de casa realizado pelo Telmo i erre 64 Figura 37 Resolu o do trabalho de casa da Jacinta eee 64 Figura 38 Trabalho de casa elaborado pelo Daniel erre 65 Figura 39 Trabalho de casa realizado pelo Tom s erre 66 Figura 40 Trabalho de casa realizado pelo Jorge 0 ccecececcccccccsssesseecceeeeeeaaeeseeeeeees 66 Figura 41 Parte da resolu o
58. Orgs Investigar para aprender Matem tica pp 119 137 Lisboa CIEFCUL e APM Ponte J P amp Sousa H 2010 Uma oportunidade de mudan a na Matem tica no Ensino B sico In GTI Ed O Professor e o Programa de Matem tica do Ensino B sico pp 11 41 Lisboa APM Ponte J P 2005 Gest o curricular em Matem tica In GTI Ed O professor e o desenvolvimento curricular pp 11 34 Lisboa APM Recuperado de http repositorio ul pt bitstream 1045 1 3008 1 05 Ponte_GTI tarefas gestao pdf Ponte J P Brocardo J amp Oliveira H 2003 Investiga es matem ticas na sala de aula Belo Horizonte Aut ntica Ponte J P Oliveira P amp Candeias N 2009 Tri ngulos e quadril teros Materiais de apoio ao professor com tarefas para o 3 ciclo 7 ano Lisboa DGIDC http area dgidc min edu pt materiais_NPMEB 002_Sequencia_Geometria_TrianguloseQuadrilateros_ NPMEB 3c 28actuall maio2010 pdf Ramos C 2009 A argumenta o na aula de Matem tica um estudo colaborativo Tese de mestrado Universidade de Lisboa Rodrigues M 2009 As capacidades transversais no novo programa do ensino b sico desafios sua integra o Educa o e Matem tica 105 38 40 Saraiva M J 2008 Raciocinar em Matem tica com imagens vagas e com intui o Educa o e Matem tica 100 29 32 Steen L 1999 Twenty questions about mathematical reasoning In Leo Stuff Ed Developing Mathematical R
59. Universidade de Lisboa Relat rio da Pr tica de Ensino Supervisionada O Racioc nio Matem tico dos alunos do 7 ano em tarefas de explora o e investiga o no t pico Tri ngulos Cristina Rei Santos Mestrado em Ensino de Matem tica no 3 ciclo do Ensino B sico e no Secund rio 2011 Universidade de Lisboa Relat rio da Pr tica de Ensino Supervisionada O Racioc nio Matem tico dos alunos do 7 ano em tarefas de explora o e investiga o no t pico Tri ngulos Cristina Rei Santos Orientadora Prof Doutora H lia Oliveira Co orientadora Prof Doutora Suzana N poles Mestrado em Ensino de Matem tica no 3 ciclo do Ensino B sico e no Secund rio 2011 Agradecimentos A minha orientadora a Professora Doutora H lia Oliveira por todos os valiosos conselhos e sugest es pelo constante incentivo e pela disponibilidade sempre demonstrada por n o ter deixado de acreditar em mim A Professora Doutora Suzana N poles minha co orientadora pela ajuda ao longo do ano lectivo A Professora Cristina Ramos por tudo o que me ensinou pela ajuda que sempre me disponibilizou e por todo o tempo dispensado comigo Escola B sica 2 3 Maria Alberta Men res pela forma como me recebeu e por me ter possibilitado a realiza o deste estudo Aos alunos da turma participante no estudo pela aten o participa o esfor o e disponibilidade que demonstraram A minha Tia Bela e
60. a a pares Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas as estrat gias que utilizem 4 Realiza o a pares da ficha de trabalho ngulos verticalmente opostos Caso os alunos n o consigam progredir nas suas investiga es poderei Sugerir aos alunos que me am os ngulos existentes na figura 15 mm Sugerir que procurem ngulos congruentes Sugerir que arrastem os pontos de modo a experimentar outros casos Sugerir que analisem o caso em que as rectas s o perpendiculares 5 Discuss o dos resultados obtidos pelos alunos e realiza o de uma s ntese a partir das conclus es por eles retiradas 5 1 Ap s a conclus o da ficha de trabalho os alunos devem regressar aos seus respectivos lugares 5 2 Projectar o ficheiro GeoGebra anguloverticaloposto_original ggb 5 3 Pedir aos alunos que indiquem quais os pares de ngulos verticalmente opostos existentes na figura 5 4 Pedir a um par de alunos que apresente as conclus es que retiram relativamente aos ngulos verticalmente opostos e que expliquem em que se basearam e porque lhes parece verdadeira 20 min 5 5 Perguntar turma se mais algu m chegou s mesmas conclus es e o que pensam em rela o s conjecturas apresentadas pedindo que justifiquem a sua opini o 5 6 Como s ntese salientar e registar a rela o existente entre os ngulos verticalmente opostos Dois ngulos verticalmente opostos s o congruentes 5 7
61. a da resolu o apresentada 6 2 Para al nea 2 5 6 2 1 Elaborar um esbo o da figura 6 2 2 Questionar os alunos relativamente ao que pretendemos saber 6 2 3 Questionar os alunos sobre quais os dados fornecidos 126 6 2 4 Pedir Vania que apresente a sua resolu o aos colegas explicando como pensou 6 2 5 Questionar os restantes alunos sobre o que pensam da resolu o apresentada 6 2 6 Pedir Diana que apresente a sua resolu o aos colegas explicando como pensou 6 2 7 Questionar os restantes alunos sobre o que pensam da resolu o apresentada Tarefas Extra e Correc o da quest o 3 da ficha de trabalho Tri ngulos Avalia o e As tarefas realizadas ser o recolhidas para posteriormente serem analisadas e avaliadas as produ es dos alunos bem como o seu desempenho 127 Anexo II Tarefas Ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos Angulos verticalmente opostos Esta tarefa sera realizada com recurso ao GeoGebra Dois ngulos dizem se verticalmente opostos se t m o v rtice comum e os lados de um est o no prolongamento dos lados do outro Desenha uma recta que passe por dois pontos e B Desenha a recta CD de modo a que intersecte a recta AB Assinala o ponto de intersec o das duas rectas e denota o por E Investiga que rela es existem entre os ngulos verticalmente opostos formados pelas duas rectas Regista alg
62. a um esbo o da figura pelo que acaba por n o identificar os ngulos que considera Figura 39 65 Assim sendo embora pare a a primeira vista que tamb m o Tom s elaborou um racioc nio com caracter sticas dedutivas utilizando correctamente as propriedades estudadas a sua resolu o n o totalmente clara visto n o se poder ter a certeza dos ngulos por ele considerados D quo egt 5677 26 SCG Zs A a 2 A 3 ef VAO A CA o O al femmes iW Arerod amp amam giclee bre lt a A 4 s 3 L Rage e g JS b o am P alt Arno O imlenmes fe Aedo L Fc ANG 4 nn ice Ce PO GA EAI S ery pes 3 E A Mi T 4 ho p lt Gsvo o5 hos de Cm O cmedatnro si f r O pu Q 3 a E Q 2 t ne i Figura 39 Trabalho de casa realizado pelo Tom s A resolu o do Jorge por sua vez n o faz uso de nenhum ngulo auxiliar Figura 40 Em vez disso o aluno optou por aplicar sucessivamente as propriedades de modo a relacionar os dados da quest o com a conclus o a que pretendia chegar elaborando assim uma pequena cadeia dedutiva mg EVEN Ri 180 114 6G A 58 POOP AML Cook Mk PATRIE gals an ang Wia bd cal 58 a rf AT F d B Uma 1 a an Figura 40 Trabalho de casa realizado pelo Jorge Deste modo para determinar a amplitude do ngulo a a maioria dos alunos recorreu soma dos ngulos internos de um tri ngulo apesar de nenhum d
63. adas na an lise de dados podemos destacar duas em que o teste de conjecturas poderia ter tido um papel muito importante uma na ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos e a outra na ficha Angulos externos de um Tri ngulo No caso da primeira uma boa explora o da segunda conjectura da Andreia e do Daniel sendo uma conjectura que se verifica para um grande n mero de casos mas n o para todos poderia ter constitu do uma oportunidade de os alunos compreenderem o papel do teste de conjecturas na sua refuta o No entanto na altura n o me apercebi bem da sua import ncia e como estava com dificuldades na gest o do tempo penso que acabei por n o tornar este momento t o rico como potencialmente seria Por sua vez a quest o 2 da ficha ngulos externos de um Tri ngulo pretendia justamente levar os alunos a testarem as suas conjecturas no entanto apenas a Andreia e o Daniel chegaram a trabalhar essa quest o Mesmo assim atendendo s d vidas observadas nesta rela o o teste com outros ngulos externos poderia ter tido uma fun o de permitir uma melhor compreens o da conjectura Dos dados analisados as situa es em que os alunos procuraram justificar as suas conjecturas foram extremamente raras Mesmo quando questionados nesse sentido os alunos mostraram dificuldades em faz lo Assim este tipo de justifica o realizou se maioritariamente atrav s das demonstra es realizadas em grande grupo
64. adro pedindo que a explique 4 4 3 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se chegaram a uma conclus o diferente 4 4 4 Pedir a um aluno cuja resposta esteja correcta que apresente a sua resolu o no quadro pedindo que a explique 4 4 5 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se chegaram a uma conclus o diferente 5 Correc o e discuss o da ficha de trabalho T P C AngulosI 5 1 Para cada al nea da quest o 1 5 1 1 Elaborar um esbo o da figura 5 1 2 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o explicando a aos colegas 5 1 3 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada 10 min 5 2 Para a questao 2 5 2 1 Elaborar um esbo o da figura 5 2 2 Questionar os alunos relativamente aos aspectos que consideram que se encontram errados na mesma pedindo que justifiquem as respostas 5 2 3 Questionar os alunos relativamente a que altera es se poderiam efectuar na figura de modo a que esta estivesse correcta 6 Correc o e discuss o das quest es 2 4 e 2 5 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IJ 6 1 Para a al nea 2 4 6 1 1 Elaborar um esbo o da figura 6 1 2 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o explicando a aos colegas 10 min a 6 1 3 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerc
65. am a observar Tal pode observar se no excerto do di logo entre os alunos decorrido enquanto procuravam registar o que tinham feito e especificar quais os ngulos que estavam a considerar Bernardo Agora n o sei o que que hei de dizer Determinamos que os ngulos eram iguais verticalmente horizontalmente Mas como que isto aqui o qu Diagonal Bernardo Como que isto agora aqui se diz Tom s verticalmente Bernardo N o diagonal Apesar de o Tom s ainda ter referido o termo correcto o Bernardo n o conseguiu relacion lo com o que pretendia acabando por na resolu o escrita utilizar o termo diagonal Figura 28 Assim estes alunos apesar de aparentemente terem compreendido a rela o envolvida tendo compreendido que os pares de ngulos s o sempre congruentes mostram dificuldades ao procurar formular e registar a conjectura de forma clara tentando utilizar a posi o relativa dos ngulos e acabando por n o fazer uso da defini o de ngulos verticalmente opostos que foi apresentada bos fomes vey e amp ami Trte Que co A 09 Ou NY YA 2 A gugis we Dias ee ME Je ma Arg a AeO gt 91 A ryto A E ts oF s Modo C E R244 A rga D E R g q i Redornes Mean qe Yrgulo KCO LEEB Kim mara ap ideale A dude am gt o Chare Lf se que mas e erm MAME CAG sea 2 Grade De 3 a A EC Lorn A ann Gry a o at mem Dot nos a 1 w
66. amb m a oportunidades de resolver algumas quest es por si Assim sendo propus aos alunos que tam terminando que tentassem resolver a quest o 3 Deste modo foi apenas poss vel introduzir a no o de ngulo externo e que os alunos realizassem a ficha de trabalho Angulos externos de um Tri ngulo tendo ficado por realizar a discuss o da tarefa Portanto os objectivos n o foram cumpridos na totalidade faltando especialmente a demonstra o de conjecturas Dado que n o foi poss vel cumprir o plano de aula optei por alterar o trabalho de casa pedindo em alternativa aos alunos que realizassem a quest o 6 da p gina 39 do manual 3 6 6 Sexta aula 12 de Maio de 2011 O objectivo desta sexta aula prendia se com a soma dos ngulos externos de um tri ngulo Ao mesmo tempo pretendia que os alunos formulassem testassem e demonstrassem conjecturas relacionadas com o tema Para al m disto sendo esta a ltima aula era tamb m necess rio realizar a discuss o de algumas tarefas pendentes nomeadamente de alguns trabalhos de casa de aulas anteriores Deste modo planifiquei a aula de modo a dividi la essencialmente em tr s partes A primeira parte seria destinada discuss o da tarefa da aula anterior que n o tinha ainda sido realizada Atendendo ao objectivo do meu estudo para discuss o desta tarefa planeei al m da apresenta o e discuss o de algumas conjecturas formuladas pedir aos alunos a realiza o a pares
67. amente soma dos ngulos internos de um tri ngulo na sua resolu o escrita ou seja apresentam apenas os c lculos sem registarem o porqu No entanto creio ter uma ideia da origem desta que se dever em parte ao facto de na primeira tarefa de aplica o da soma dos ngulos internos de um tri ngulo ter optado por n o registar esta justifica o uma vez que era a nica envolvida Assim os alunos parecem ter seguido esse mesmo esquema omitindo a propriedade no registo escrito embora quando questionados oralmente a maioria consiga explicar o seu racioc nio fundamentando o atrav s da propriedade Simultaneamente nesta tarefa ao utilizarem o facto de os ngulos alternos Internos serem congruentes os alunos normalmente n o referem que isso se deve ao facto s rectas serem paralelas Deste modo na resolu o das suas tarefas os alunos utilizam algumas propriedades geom tricas que estudaram sem no entanto as explicitar provavelmente por considerarem que a professora compreender que est o a fazer uso delas Embora as resolu es escritas da ficha Angulos externos de um Tri ngulo n o forne am grandes contributos a n vel da fundamenta o de afirma es uma vez que os alunos ao formularem as suas conjecturas n o as procuraram fundamentar a discuss o realizada em torno da demonstra o forneceu alguns dados interessantes Assim relativamente demonstra o da propriedade em causa o Ricardo ao registar
68. antes de trabalharem de forma aut noma Deste modo o registo escrito das conjecturas apresentou se bastante mais simples nesta situa o 81 A resolu o do Lu s e da Vania da ficha Angulos verticalmente opostos revela que tiveram tamb m alguma dificuldade em generalizar ou seja conseguiram encontrar a rela o existente para um caso espec fico mas n o chegam a formular a conjectura para quaisquer outros pares de ngulos verticalmente opostos A realiza o da ficha de trabalho ngulos externos de um tri ngulo colocou aos alunos diversas dificuldades Mesmo realizando uma apresenta o com algum cuidado e recorrendo a tabelas para organizar os dados os alunos tiveram muitas dificuldades em encontrar a rela o e em formular uma conjectura Assim ao contr rio do que aconteceu com a ficha ngulos verticalmente opostos nesta tarefa a principal dificuldade residiu mesmo na identifica o da rela o envolvida N o sendo uma rela o id ntica s que tinham trabalhado anteriormente os alunos mostraram alguma dificuldade em observar a rela o A tabela permitiu aos alunos organizarem melhor os dados e atrav s da sua an lise estabelecer a rela o Uma vez que esta rela o n o fol evidente deveria ter optado por orientar mais a tarefa referindo quais os ngulos a adicionar na ltima coluna Do que pude observar destas aulas n o creio que essa op o tivesse sido a mais Indicada uma vez que tal
69. as conclus es das conjecturas formuladas pelos alunos registar a rela o entre os ngulos internos e externos do tri ngulo Em qualquer tri ngulo a amplitude de um ngulo externo igual soma das amnlitudes dos ngulos internos do tri ngulo n o adiacentes 9 5 Questionar os alunos sobre de que forma podemos garantir que n o conseguimos encontrar um tri ngulo em que n o se verifique esta rela o 9 6 Questionar os alunos relativamente a que propriedade conhecem dos ngulos internos de um tri ngulo 9 7 Registar que ZBCA ZCAB ZABC 180 9 8 Questionar os alunos sobre o que podem dizer sobre os ngulos ABC e CBE 9 9 Registar que Z2CBE ZABC 180 Trabalhos para casa em folha a parte Tarefas Extra e Pagina 17 quest es 2 e Pagina 17 questao 3 e Pagina 39 quest es 7 e 9 Avaliacao e As tarefas realizadas ser o recolhidas para posteriormente serem analisadas e avaliadas as produ es dos alunos bem como o seu desempenho 121 Sexta aula 12 de Maio de 2011 Unidade Tematica Geometria Li es N meros 119 e 120 Data 12 05 2011 Sala 12 T pico Tri ngulos e Quadril teros Sub t picos Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo Sum rio Conhecimentos pr vios Conclus o da aula anterior N e Angulos verticalmente opostos Soma dos ngulos externos de um e Angulos alternos internos tri ngulo Correc o do T P C e Soma do
70. as das quest es que surgiram durante a discuss o 42 nao foram tao aprofundadas como deveriam de ter sido nomeadamente acabei por nao insistir tanto quanto seria necessario que os alunos justificassem as suas conjecturas Apesar de tudo foi ainda poss vel a demonstra o da propriedade em causa Desta forma o plano de aula estabelecido n o foi cumprido tendo ficado por realizar a parte da aula que seria dedicada aos ngulos alternos internos pelo que os objectivos propostos tamb m n o foram totalmente concretizados 3 6 2 Segunda aula 28 de Abril de 2011 Dado que n o tinham sido cumpridos todos os objectivos propostos para a primeira aula foi necess rio integra los nesta aula Assim planifiquei esta aula de modo a trabalhar os ngulos alternos internos e as rela es existentes entre os ngulos num sistema de duas paralelas intersectadas por uma secante Para al m disto pretendia ainda que os alunos realizassem alguma pr tica com os conceitos e rela es ja introduzidos Deste modo planeei realizar a segunda ficha de trabalho Rela es entre ngulos I preparada para a aula anterior Nesta aula no entanto planifiquei realizar a tarefa na sua totalidade incluindo por conseguinte a explora o das v rias rela es existentes num sistema de duas rectas paralelas intersectadas por uma secante Para al m disso atendendo s dificuldades que tinham surgido na aula anterior resolvi alterar um pouco o plan
71. ca como obtiveste a tua resposta Retirado de Neves M A F Leite A Silva A P amp Silva J N 2010 Matem tica parte 2 matem tica 7 ano Porto Porto Editora 139 Anexo III Autoriza es Escola B sica 2 3 Maria Alberta Men res Ex Sr Encarregado de Educa o Informo que no mbito de um trabalho de investiga o orientado pela professora H lia Oliveira Instituto de Educa o da Universidade de Lisboa no presente ano lectivo estou a desenvolver um estudo relacionado com a minha pr tica lectiva Para 1sso entre o inicio de Mar o e o fim de Maio de 2011 as aulas de Matem tica da turma C do 7 ano ser o por mim leccionadas com orienta o da professora Cristina Ramos Para a realiza o deste trabalho pretendo obter grava es em v deo e em udio de algumas das aulas por mim leccionadas assim como grava es udio de entrevistas que ser o feitas a alguns dos alunos da turma Fica desde j garantida a privacidade do seu educando Em qualquer situa o de apresenta o p blica ou de publica o ser o usados nomes fict cios para identifica o dos diferentes intervenientes A Direc o da Escola foi informada deste trabalho e dos procedimentos necess rios relativos s grava es Para o efeito solicito a sua autoriza o para proceder s grava es manifestando inteira disponibilidade para prestar qualquer esclarecimento que considere necess rio Agrade o a sua aten
72. ccionadas tendo em conta observa o do trabalho dos alunos durante a realiza o da tarefa podendo tamb m incluir algumas resolu es que apresentem Incorrec es comuns 8 Realiza o em grande grupo da quest o 2 1 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IJ 8 1 Questionar os alunos relativamente ao que pedido nesta al nea 8 2 Questionar os alunos sobre quais as rela es entre pares de ngulos estudadas que podem ser utilizadas 8 3 Questionar os alunos se a partir dessas propriedades poss vel tirar alguma conclus o sobre o ngulo x ou sobre o ngulo y 8 4 Registar que Zy 30 porque y verticalmente oposto ao ngulo de 30 8 5 Questionar os alunos sobre como podem obter o valor de x 10 min 8 6 Registar que Como Zx 30 180 pois formam um ngulo raso ent o 4x 180 30 150 8 7 Questionar os alunos se era necess rio determinar primeiro o y para se obter 0 x 8 8 Questionar os alunos sobre como se poderia resolver a quest o optando por obter primeiro o valor de x 8 9 Chamar a aten o dos alunos para a possibilidade de existir mais do que uma estrat gia v lida 8 10 Chamar ainda a aten o para a necessidade de justificar todos os 105 passos utilizando as rela es que conhecem entre os ngulos 8 11 Introduzir o conceito de ngulo suplementar 8 11 1 Utilizar como refer ncia os ngulos assinalados na figura d
73. cessidade de a partir das conclus es dos alunos salientar a rela o de congru ncia entre os ngulos alternos internos Se as rectas s o estritamente paralelas ent o os ngulos alternos internos s o congruentes 9 Realiza o de algumas quest es do manual em grande grupo apelando participa o dos alunos 10 min 9 1 P gina 13 quest o 1 2 e 5 10 Distribui o da ficha de trabalho T P C Angulos I para trabalho de casa 94 Trabalhos para casa e Ficha de trabalho Relacoes entre Tarefas Extra ngulos I quest o 3 e Pagina 13 questao 3 4 e Ficha de trabalho T P C ngulos e P gina 38 quest o 2 1 Avaliacao As fichas de trabalho realizadas ser o recolhidas para posteriormente serem analisadas e avaliadas as produ es dos alunos bem como o seu desempenho Os ficheiros de GeoGebra realizados no decorrer da tarefa ser o tamb m recolhidos para an lise posterior 95 Segunda aula 28 de Abril de 2011 Unidade Tematica Geometria Li es N meros 111 e 112 T pico Figuras no plano 2 ciclo Data 28 04 2011 Sub t picos ngulos amplitude e medi o Sala 12 Sum rio Conhecimentos pr vios Continua o da aula anterior e No o de ngulo Resolu o de uma ficha sobre rela es entre e Classifica o de ngulos pares de ngulos e Angulos verticalmente opostos Objectivos Estabelecer rela es entre ngulos e classificar
74. cha de trabalho Rela es entre ngulos IP 10 min Caso surjam d vidas na al nea 2 5 sugerir aos alunos que prolonguem os segmentos de recta da figura 11 Distribui o da ficha de trabalho T P C ngulos II para trabalho de casa Trabalhos para casa e Concluir a ficha de trabalho Rela es Tarefas Extra entre ngulos IJ e P gina 38 quest es 3 e 5 e Ficha de trabalho T P C Angulos IP Avalia o As fichas de trabalho realizadas ser o recolhidas para posteriormente serem analisadas e avaliadas as produ es dos alunos bem como o seu desempenho 101 Terceira aula 3 de Maio de 2011 Unidade Tem tica Geometria Li es N meros 113 e 114 T pico Figuras no plano 2 ciclo Data 03 05 2011 Sub t picos ngulos amplitude e medi o Sala 14 Conhecimentos pr vios Sum rio p e No o e classifica o de ngulos Angulos complementares e suplementares E l e Angulos verticalmente opostos Resolu o de uma ficha de trabalho e Angulos alternos internos Objectivos Distinguir ngulos complementares e suplementares e identificar ngulos verticalmente opostos e ngulos alternos internos Raciocinar dedutivamente Demonstrar conjecturas Recursos Materiais Ficha de trabalho ngulos verticalmente opostos Ficha de trabalho T P C Angulos T Ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Ficha de trabalho Rela
75. confirma o experimental da veracidade da demonstra o outras conseguiremos ter uma ideia do que est por tr s da demonstra o e noutras ainda podemos mesmo conseguir realizar verdadeiras demonstra es Veloso 1998 O professor poder ajudar os alunos a justificarem as suas conjecturas colocando algumas quest es Isto resulta sempre Algumas vezes Nunca Porqu NCTM 2008 p 63 Tal como o pr prio racioc nio matem tico a argumenta o n o de simples defini o como salienta Duval 1990 No entanto encontra se intimamente relacionada com as outras componentes do racioc nio matem tico como por exemplo a justifica o a formula o o teste e a justifica o de conjecturas e at a pr pria demonstra o A argumenta o introduzida pelo Programa de Matem tica do Ensino B sico 2007 no 2 ciclo continuando presente no 3 ciclo De acordo com Duval 1990 a argumenta o est relacionada com a pr tica do discurso possuindo uma l gica n o formal que corresponde a um racioc nio espont neo e natural A argumenta o recorre a racioc nios para justificar explicar ou mesmo convencer algu m Uma demonstra o de acordo com o NCTM 2008 um argumento que consiste na dedu o rigorosa e l gica de conclus es a partir de hip tese iniciais pelo que podemos consider la como um caso particular da argumenta o tal como salienta Pedemonte 2000 Ramos 2009 salienta que
76. da qual os alunos poderiam demonstrar que a soma da amplitude dos ngulos internos de um tri ngulo 180 utilizando as propriedades dos ngulos trabalhadas nas tarefas anteriores Uma vez que pretendia que os alunos elaborassem a demonstra o da forma mais aut noma poss vel optei por dividir a tarefa em v rias quest es primeira quest o tem como objectivo chamar a aten o dos alunos para a exist ncia de um ngulo raso formado pela soma de tr s ngulos Por sua vez a segunda pedia que os alunos identificassem pares de ngulos na figura e justificassem de modo a que relacionassem os ngulos que formavam o ngulo raso com os ngulos do tri ngulo utilizando as propriedades estudadas A terceira quest o pretende que os alunos olhem para as duas quest es anteriores e que estabele am que a soma da amplitude dos ngulos internos de um tri ngulo 180 Por fim a ltima quest o tem como objectivo levar os alunos a compreender a generalidade do racioc nio que desenvolveram nas quest es anteriores ou seja que este n o depende da forma particular do tri ngulo considerado Jl 3 5 8 Triangulos No seguimento da ficha anterior esta procura que os alunos pratiquem os conteudos estudados de modo a consolidar os seus conhecimentos Assim a primeira questao foi pensada para aplicacao directa da propriedade anterior enquanto por sua vez a segunda relaciona a soma dos ngulos alternos internos com as restantes pr
77. denominam por lados do ngulo Figura 3 Atendendo defini o de ngulo os lados do ngulo dividem o plano em duas partes sendo que uma delas cont m os prolongamentos das semi rectas chamando se ngulo c ncavo enquanto a outra parte se diz ngulo convexo Figura 3 AE lados do ngulo ve angulo convexo angulo concavo Figura 3 Elementos de um ngulo No entanto ao longo deste estudo considerou se que ao se referir ngulos apenas se estaria a pensar no ngulo convexo exceptuando quando fosse dada alguma informa o em contr rio 18 Em rela o a nota o utilizada para definir um ngulo esta pode entre outras coisas recorrer s letras que denotam os 3 pontos que definem os seus lados sendo que a letra correspondente ao seu v rtice figura entre as outras duas Pode se tamb m por exemplo quando n o existir perigo de confus o utilizar apenas a letra do v rtice De um modo geral para denotar um ngulo utiliza se o s mbolo 4 Assim sendo se tivermos um ngulo de v rtice B e lados BA e BC Figura 4 podemos designa lo por 4ABC ou 4B Apesar disso neste estudo foi utilizada uma nota o simplificada substituindo se o s mbolo 4 pela palavra ngulo como recomendam Ponte Oliveira e Candeias 2009 pelo que no exemplo acima o ngulo seria denotado Figura 4 ngulo ABC simplesmente por ngulo ABC poss vel distinguir v rios tipos de ngulos
78. dn as teas Stns crac S 13 Sula Caractenizad o da U aee a ERAS na e Rueda iecieencien 13 3 2 A unidade de ensino no programa ccccccccessseeseeeeeeeeeeaeeeeeseeeeeeeeeaas 16 3 3 Conceitos e propriedades matem ticos relativos a unidade 18 Sis ESTRALCSIAS CO CNSINO gatas ccran a TN cates 29 dude A SEQUENCIA de lare aSa a ea a EE 32 3 5 1 Angulos verticalmente Opostos 33 9 5 2 Relacocs entre anulos Lorenei T 33 do TLC nO eC a gene EN 34 3 5 4 Rela es entre ngulos I eeccccccccccceeesseeeeeceeeeeeasenseeeeeees 33 350 T ACA Anos M areren betes SESI sen mvareaeacetes 36 3 5 6 T P C Rela es entre ngulos M ss saciid eneniancedds Shewanes 36 3 5 7 Angulos internos de um tri ngulo 37 KIG VAIO OS grasses dasa see es aise sec eae 38 3 5 9 Angulos externos de um tri ngulo 38 DOs As quias IECCIONA CAS ecese ar E iscas ia usas 40 3 6 1 Primeira aula 26 de Abril de 2011 sen eccceesceesseeeees 40 3 6 2 Segunda aula 28 de Abril de 2011 eeen eine 43 3 6 3 Terceira aula 3 de Maio de 2011 44 3 6 4 Quarta aula 5 de Maio de 2011 ranerne a a 46 3 6 5 Quinta aula 10 de Maio de 2011 oo nie 48 vil 3 6 6 Sexta aula 12 de Maio de 2011 woe eee 49 A Metodos de recolha de dados aan E catia Ai nice o aaa 51 AN Recolha documental sasdam ao grado ita St tie caaictes Seetnstyualustaavndeeoadaenss 51 4 2 Observa o com registo v
79. e MWN MANOA ao ke de g roa cod o haere rare ES 4 Unit Mino 0 naguinso Solow Figura 28 Resolu o do E a Bernardo e do Tom s Nro AEDS bas e 4 PS ACD 4 Amge E E t b g s Dior dna mena ope noy Adarra AS ok He IN coma ol A RA A A On rgulo Om op acl oflibode A Yok g 0 abe Vor ary ON Quen A YYA a UY mf de p A i O neiu nm Guat ATA Magon l nu che ko A 0 TU ROT KARA retirem CA VY DA perc dnp Lied Ss 59 Deste modo na sua resolu o Figura 28 os alunos apresentam dois exemplos das explora es que efectuaram explicando o que fizeram e o que determinaram com cada uma delas e procuram no fim sintetizar e generalizar que os dois pares de ngulos AED com CEB e AFC com DEB s o sempre congruentes O registo escrito das conjecturas parece assim ter sido uma das principais dificuldades sentidas pelos alunos no decorrer da tarefa existindo v rias resolu es em que a conjectura fica impl cita Al m das conjecturas que iam ao encontro da congru ncia dos ngulos verticalmente opostos a Andreia e o Daniel formularam uma outra conjectura Figura 29 apesar de n o ser verdadeira relacionada com a classifica o dos ngulos a partir da observa o de alguns casos Ao analisarem os pares de ngulos estes alunos n o se limitaram a observar que eram congruentes mas procuraram encontrar outros aspectos em comum Assim os alunos procuraram relacionar estes n
80. e dependiam de dois ngulos internos Apesar de ser um pouco especulativo a ideia com que fiquei da resposta do aluno foi de que procurava apenas uma soma de ngulos cujo resultado fosse 360 Em discuss o a sua resolu o foi sendo completada come ando se por salientar que n o seriam necess rios valores num ricos para se obter esse resultado Apesar disso continuavam a n o estar ainda contemplados explicitamente todos os ngulos externos A prova foi completada pela Andreia ao observar que Andreia N s t nhamos descoberto que este com este aponta para os ngulos internos CAB e BCA davam este aponta para o ngulo externo CBE e agora nos temos 15 estes dois aponta para os angulos externos BAD e ACF Depois falta substituir estes dois aponta para os angulos internos BCA e CAB que este aponta para o ngulo externo CBE Deste modo a aluna completou o racioc nio que estava a ser trabalhado pela turma utilizando a propriedade que tinha sido deduzida anteriormente pelo que aparentemente apreendeu aspectos fundamentais deste tipo de racioc nio tamb m Importante notar que o facto de a aluna ter completado a sua apresenta o com gestos tornou mais f cil para os colegas acompanhar o seu racioc nio Para al m destas duas contribui es ao procurar um caminho que permitisse demonstrar a propriedade o Tom s e o Bernardo sugeriram que se poderia ir tamb m por outra via Tom s Se eu juntar e
81. e do ngulo em falta Apresenta todos os calculos que efectuares 2 Determina os valores da amplitude dos angulos representados por letras nas figuras sem recorrer ao transferidor Explica como obtiveste a tua resposta Zekel ZZ 5 Determina os valores da amplitude dos angulos representados por letras na figura seguinte sem recorrer ao transferidor Explica como obtiveste a tua resposta Adaptado de Serra M 2008 Discovering geometry Berkley Key Curriculum Press 137 Ficha de trabalho Angulos externos de um Tri ngulo A Angulos externos de um Tri ngulo I Constr i um tri ngulo ABC Prolonga os seus lados semelhan a da figura ao lado e marca os pontos D E e F Um ngulo externo de um tri ngulo um ngulo formado por um dos lados do tri ngulo e o prolongamento de outro lado do tri ngulo Assim dizemos que ngulo CBE um ngulo externo do tri ngulo ABC 5 Determina a amplitude do ngulo externo CBE Move um dos v rtices do tri ngulo e vai registando as amplitudes dos ngulos internos e do ngulo externo CBE Consegues detectar alguma rela o Qual 6 Verifica o que acontece com outro ngulo externo do tri ngulo 7 Formula e regista uma conjectura Justifica a 138 Manual pagina 39 questao 6 Na figura seguinte as rectas se t s o estritamente paralelas Determina a amplitude dos ngulos representados pelas letras a De c Expli
82. ealizadas pelos alunos pretendia perceber as estrat gias que utilizam as suas conjecturas e o caminho que seguem tanto para as formular como para as testar bem como algumas dificuldades que pudessem sentir Ao mesmo tempo desejava tamb m realizar alguma compara o entre as tarefas uma vez que me possibilitaria uma an lise do racioc nio matem tico e um ponto de vista mais evolutivo Numa primeira fase analisei todas resolu es dos alunos de modo a poder ter uma ideia geral do trabalho realizado Atendendo a essa an lise preliminar considerei que seria Importante seleccionar para uma an lise mais aprofundada tarefas nas quais os alunos tivessem tido oportunidade de formular e testar conjecturas Deste modo escolhi 51 as fichas de trabalho Angulos verticalmente opostos Rela es entre ngulos IP e Angulos externos de um Tri ngulo Uma das raz es que me levou a seleccionar a ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos foi o facto de ter sido a primeira tarefa a ser proposta aos alunos no mbito deste estudo que implicava a formula o de conjecturas Assim sendo considerei que seria um bom ponto de partida uma vez que possibilitaria fazer um diagn stico de como os alunos reagiam a este tipo de racioc nio Dado que a ficha Rela es entre ngulos tem uma parte de car cter mais aberto do que a maioria das tarefas propostas quest o 3 possibilitaria que os alunos fizessem explora
83. easoning in Grades K 12 pp 37 44 Reston Va NCTM Veloso E 1998 Geometria Temas actuais Lisboa Instituto de Inova o Educacional 87 Bibliografia Amorim D P 2004 Comp ndio de Geometria Lisboa Sociedade Portuguesa de Matem tica Concei o A Almeida M Concei o C amp Costa R 2010 MSI 5 matem tica sob investiga o parte 1 Porto Areal Editores NCTM 2001 Geometria nos 2 e 3 Ciclos normas para o curr culo e avalia o em matem tica escolar colec o adendas anos de escolaridade 5 8 Lisboa APM Obra original publicada em 1992 Neves M A F amp Faria M L M 1998 Exerc cios de matem tica parte 2 matem tica 7 ano Porto Porto Editora Neves M A F amp Faria M L M 1998 Matem tica parte 2 matem tica 7 ano Porto Porto Editora Neves M A F Leite A Silva A P amp Silva J N 2010 Matem tica parte 2 matem tica 7 ano Porto Porto Editora Palma A 1956 Elementos de Geometria para os 3 4 5 anos dos liceus Lisboa Livraria did ctica Serra M 2008 Discovering geometry Berkley Key Curriculum Press 88 Anexos 89 Anexo I Planos de Aula Primeira aula 26 de Abril de 2011 Unidade Tem tica Geometria Li es N meros 109 e 110 T pico Figuras no plano 2 ciclo Data 26 04 2011 Sub t picos ngulos amplitude e medi o Sala 12 Sum rio Con
84. eles ter verdadeiramente registado que a estava a utilizar ou seja limitaram se a apresentar os c lculos A Sofia por m apresentou uma resolu o bastante diferente das anteriores Figura 41 Em vez de como a maioria dos alunos ter come ado por determinar o 66 ngulo a esta aluna optou por determinar os outros dois ngulos utilizando para tal ngulos auxiliares tal como o Daniel e o Tom s e utilizando o facto de existirem ngulos alternos internos e verticalmente opostos No entanto esta aluna a nica que refere o facto de as rectas em quest o serem paralelas para justificar congru ncia dos ngulos alternos internos Todavia a aluna n o identificou correctamente os ngulos alternos internos o que se reflectiu na solu o que apresentou para os ngulos De c Mesmo assim a Sofia utilizou estes ngulos para invocando o facto de formarem um ngulo raso determinar a amplitude de um ngulo verticalmente oposto a a Os A Nulo las 2 A t o anaulo AGO 6 pen CAOS iS G o e gt i SGO congruent e Aann b m JO O G PROS Va RAGS log o reese GD Roctan A et MO hike do amplitude SE cnwd POSTO GO Enc IMO Q engulo b Q Veq co nmonte a Ancul OD CAOCLNG o O o Q e i aa ad f Q AGanlv as Sc O c NELAS GATOR OMS i DACO WIS j rh UNOS PER MAO O angulo e Sem S6 e Commo o Enguio 22 NeQicoimonte osto cO O a C A CAs lo C tera g pen i A A iain i ab LA N e Gm J E A
85. em conta o n vel dos alunos bem como os seus conhecimentos Nos primeiros anos as justifica es resultam da combina o de v rios processos entre os quais a percep o as evid ncias emp ricas e pequenas cadeias de racioc nio dedutivo Inicialmente os alunos podem ter tend ncia para procurar justificar as suas afirma es reportando se a outras pessoas ou tentando ir a votos podem ainda utilizar estrat gias de tentativa e erro ou a experimenta o n o sistematizada NCTM 2008 Ao longo do tempo os alunos devem ent o compreender n o s quais os argumentos v lidos mas tamb m realizar as suas justifica es de modo sistem tico saber quando experimentaram todos os casos poss veis e construir os seus argumentos com base nesses casos NCTM 2008 A formula o o teste e a prova de conjecturas s o t picos importantes do racioc nio matem tico citados por diversos autores Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 NCTM 2008 Oliveira 2008 Veloso 1998 devido em parte ao facto de estarem relacionados com a pr tica da matem tica tipificando o trabalho de um matem tico Tal como o NCTM tamb m o Programa de Matem tica do Ensino B sico 2007 os refere como t picos a trabalhar no mbito desta capacidade transversal estando a formula o e o teste presentes nos tr s ciclos de escolaridade enquanto a prova aparece somente no 3 ciclo As conjecturas correspondem a uma suposi o informada NCTM 2008 sendo
86. ens o a resolu o de exerc cios rotineiros e a realiza o de tarefas padronizadas Oliveira 2008 p 8 s o condi es que n o s o prop cias a este desenvolvimento conforme salienta este autor referindo Steen 1999 A tecnologia quando associada a tarefas adequadas pode ser uma forma de tornar o racioc nio matem tico mais potente desde que utilizada apropriadamente uma vez que pode ser um apoio na formula o de conjecturas e at fornecer ideias para o racioc nio dedutivo Oliveira 2008 O desenvolvimento do racioc nio matem tico constitui tamb m um desafio para o pr prio professor tanto ao n vel das dificuldades dos alunos como da gest o curricular Um dos principais desafios que o professor enfrenta prende se com o tempo tanto na gest o curricular como na gest o da pr pria aula Rodrigues 2009 refere que encontrar tempo que permita trabalhar o racioc nio matem tico de uma forma Integrada um dos desafios que se colocam e que de acordo com a autora se poderia conseguir abordando a gest o curricular de uma forma integrada e conectada Oliveira 2008 chama a aten o para a necessidade de n o se procurar precipitar o fim do per odo experimental da tarefa p 8 de modo a chegar mais rapidamente demonstra o Um outro desafio que se coloca ao professor como refere Veloso 1998 compreender quando que o argumento ou a justifica o de um aluno se pode ou n o considerar uma demons
87. eremos o tri ngulo ABC Tracemos a recta DE paralela ao lado AC e que passa por B Figura 20 Figura 20 Esquema do tri ngulo ABC e recta DE Como a recta DE paralela ao lado AC temos ent o que eZCAB ZDBA porque os ngulos CAB e ABD s o ngulos alternos internos eZBCA ZCBE porque os ngulos BCA e CBE s o ngulos alternos internos Para al m disso temos tamb m que ZABD ZABC ZCBE 180 porque os ngulos ABD ABCe CBE formam um ngulo raso Logo ZBCA ZABC ZBCA 180 26 Teorema 6 Num triangulo um angulo externo igual a soma dos angulos internos nao adjacentes Demonstra o Consideremos o ngulo externo CBE do tri ngulo ABC Figura 21 Temos ent o que eZCBE ZABC 180 porque os angulos CBE e ABC sao Figura 21 Angulo externo CBE suplementares eZCAB ZABC ZBCA 180 porque a soma dos ngulos internos do tri ngulo ABC Donde obtemos que ZCBE ZABC ZCAB ZABC ZBCA Portanto LZCBE ZCAB ZBCA Note se que a demonstra o apresentada n o nica podendo se tamb m por exemplo considerar tal como aconteceu para a soma dos ngulos internos uma paralela a AC e chegar conclus o por meio das rela es entre os ngulos Do mesmo modo tamb m o resultado seguinte possui v rias demonstra es tendo se para apresentar aqui apenas uma Teorema 7 A soma das amplitudes dos tr s ngulos externos do tri ngulo igual am
88. erno adjacente 2 7 2 Registar que ZCBE ZABC 180 porque s o ngulos suplementares 2 7 3 Questionar os alunos sobre o que sabem sobre os ngulos internos de um tri ngulo 2 7 4 Registar que 2BCA ZCAB ZABC 180 2 7 5 Concluir que ZCBE ZBCA ZCAB 3 Discuss o em grande grupo sobre a soma dos ngulos externos de um tri ngulo 3 1 Utilizando o ficheiro GeoGebra anguloexternol ggb apresentar aos alunos diferentes valores de ngulos externos e das respectivas somas 3 1 1 Marcar os ngulos externos no ficheiro 3 1 2 Somar os ngulos externos do tri ngulo 3 1 3 Mover os v rtices do tri ngulo e registar alguns dos valores obtidos 3 2 Questionar os alunos sobre que conjectura podem formular relativamente soma dos ngulos externos de um tri ngulo a partir dos valores observados 3 3 Demonstra o da conjectura com a participa o dos alunos 20 min 3 3 1 Questionar os alunos sobre de que modo podem provar que a conjectura verdadeira 3 3 2 Questionar os alunos sobre o que pretendemos concluir 3 3 3 Questionar os alunos relativamente s propriedades que conhecem dos ngulos externos 3 3 4 Questionar os alunos sobre o que sabem sobre os ngulos internos de um tri ngulo 3 3 5 Questionar os alunos se o racioc nio efectuado depende do tri ngulo que se considere 3 4 Registar a conclus o ngulos III 4 1 Para a quest o 1 4 1 1 Projectar a quest o 1 da ficha de trabalho 4 1 2 Anal
89. es de ngulos ou seja que um ngulo s poderia ser alterno interno relativamente a outro ngulo Todavia com o decorrer do trabalho procurou se ir chamando a aten o dos alunos para esse facto pelo que a maioria das resolu es evidencia que compreenderam essa no o Na resolu o da Jacinta Figura 30 no entanto verifica se que ainda se limita a enumerar os ngulos envolvidos n o salientando os pares Mesmo assim a ordem pela qual os ngulos foram apresentados parece ter tido esse aspecto em considera o 2 1 Escreve todos os ngulos alternos internos que encontraste na figura A Figura 30 Resolu o da Jacinta da pergunta 2 1 A resolu o da Andreia e do Daniel Figura 31 revela que houve alguma evolu o uma vez que os alunos come aram por apenas enumerar os ngulos reformulando depois de modo a tornar evidente os pares procurando recorrer nota o utilizada pelo GeoGebra Figura 31 Resolu o da Andreia e do Daniel da pergunta 2 1 A resolu o da segunda al nea tamb m n o apresentou grandes diferen as entre os v rios pares De um modo geral os alunos moveram os pontos e compararam os ngulos que na al nea anterior tinham considerado como sendo alternos internos apercebendo se que os ngulos alternos internos t m sempre a mesma amplitude tal como se esperava O Ricardo por exemplo conjecturou que a amplitude entre os ngulos alternos internos sempre a mesma exem
90. es mais diversificadas e com diferentes abordagens Como tal considerei que seria pertinente que esta quest o fosse alvo de uma an lise mais aprofundada o que foi refor ado pelo facto de ter visto que as resolu es dos alunos mostravam v rias abordagens Para al m disso a maioria das rela es existentes eram poss veis de justificar a partir dos resultados conhecidos pelos alunos aplicando o racioc nio dedutivo Considerei tamb m importante analisar a quest o 2 desta ficha uma vez que sendo o tipo de racioc nio em causa semelhante ao da ficha Angulos verticalmente opostos seria uma forma de observar o progresso dos alunos neste aspecto A selec o da ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo prendeu se com o facto de a propriedade que se pretendia estudar com esta ficha n o depender da simples observa o dos dados mas implicar a sua manipula o Para al m disso tamb m o teste de conjecturas poderia ter um tratamento diferente uma vez que n o bastaria testar com v rios tri ngulos distintos mas seria tamb m necess rio ver o que acontecia com os v rios ngulos externos Assim sendo optei por englobar esta tarefa na an lise de dados visto que me possibilitava contactar com a forma como os alunos lidavam com este tipo de conjecturas nomeadamente como generalizavam a rela o para qualquer ngulo externo em qualquer tri ngulo Simultaneamente a escolha desta ficha de trabalho deveu se tamb m
91. est o 2 caso surjam d vidas poderei sugerir aos alunos que 5 2 1 Tentem prolongar os lados do tri ngulo 112 5 2 2 Recordem as propriedades dos angulos trabalhadas nas ultimas aulas e verifiquem quais as que se podem aplicar situa o em estudo 5 3 Na quest o 3 caso surjam d vidas poderei sugerir aos alunos que 5 3 1 Verifiquem quais os ngulos que s o congruentes aos ngulos Internos do tri ngulo 5 3 2 Comparem os ngulos internos do tri ngulo com os ngulos referidos na quest o 1 5 4 Na quest o 4 caso surjam d vidas poderei sugerir aos alunos que 5 4 1 Desenhem um tri ngulo de outro tipo equil tero isdsceles rect ngulo ou obtus ngulo 5 4 2 Tracem uma paralela a outro lado do tri ngulo passando por outro v rtice e verifiquem o que obt m 6 Apresenta o discuss o e s ntese dos resultados obtidos pelos alunos 6 1 Para a quest o 1 6 1 1 Identificar com a ajuda dos alunos quais os ngulos em causa 6 1 2 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o 6 1 3 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se chegaram a uma outra conclus o pedindo que justifiquem as suas afirma es 6 2 Para a quest o 2 6 2 1 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o 6 2 2 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se chegaram a uma outra 15 min conclus o pedindo q
92. esta quest o como exemplo de ngulos suplementares 8 11 2 Registar que Dois ngulos s o suplementares se a soma das medidas das suas amplitudes igual a 180 Caso as respostas dos alunos sejam no sentido de se calcular primeiro o ngulo x as quest es a colocar continuaram nessa linha apresentando se no fim a alternativa de calcular o y em primeiro lugar A justifica o para o ngulo x pode ser alterada consoante as respostas dos alunos apontem para o ngulo de 30 ou para o ngulo y 9 Realiza o a pares das restantes al neas da quest o 2 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IP 15 mm Caso surjam d vidas na al nea 2 5 sugerir aos alunos que prolonguem as rectas da figura 10 Correc o e discuss o al neas 2 2 a 2 5 da quest o 2 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IJ 10 1 Para a quest o 2 2 10 1 1 Pedir a um par de alunos que apresente no quadro a sua resolu o 10 1 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 10 1 3 Questionar a turma se algu m seguiu uma estrat gia diferente 10 1 4 Registar os racioc nios referidos 15 min 10 2 Para a questao 2 3 10 2 1 Pedir a um par de alunos que apresente no quadro a sua resolucao 10 2 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 10 2 3 Questionar a turma se algu m seguiu uma estrat gia diferente 10 2
93. fica o e a argumenta o No entanto a demonstra o n o habitualmente um tema f cil para os alunos NCTM 2008 Veloso 1998 defende ainda que as demonstra es devem decorrer da actividade dos alunos como por exemplo da prova das conjecturas por eles formuladas uma vez que existe uma muito maior motiva o para demonstrar os resultados pr prios que os alheios e a demonstra o adquire desta forma outro significado e valor p 373 No entanto Veloso 1998 considera que para al m das demonstra es efectuadas pelos alunos o pr prio professor deve apresentar lhes algumas demonstra es que representem resultados importantes e com relev ncia na hist ria da Matem tica de modo a que possam adquirir uma melhor compreens o do que esta ci ncia e do poder da demonstra o bem como analisar m todos de demonstra o que n o sejam habituais Para que tal aconte a a escolha das demonstra es deve ser bastante criteriosa A demonstra o tal como o pr prio racioc nio matem tico mais globalmente n o podem ser trabalhados apenas numa nica unidade como por exemplo a Geometria pelo contr rio devem ser transversais ao curr culo NCTM 2008 Deste modo para desenvolverem os diversos t picos associados ao racioc nio matem tico os alunos dever o tal como defende o NCTM 2008 p 310 ter uma pr tica diversa e frequente com o racioc nio matem tico atrav s da an lise de padr es e estruturas
94. ficam conjecturas e fundamentam as suas afirma es e quais as principais dificuldades que apresentam atendendo aos dados analisados no cap tulo anterior 6 1 Formula o teste e justifica o de conjecturas No decurso das aulas que leccionei procurei que os alunos tivessem v rias oportunidades para trabalhar com conjecturas em especial a sua formula o As fichas de trabalho ngulos verticalmente opostos Rela es entre ngulos I e ngulos externos de um tri ngulo pretendiam 1r ao encontro desse objectivo Atendendo s caracter sticas destas tr s fichas de trabalho ao procurarem formular conjecturas os alunos passaram por uma primeira fase em que utilizando a ferramenta ngulo do GeoGebra come aram por marcar e medir ngulos Em paralelo tamb m a observa o de alguns casos particulares recorrendo movimenta o de objectos no GeoGebra foi uma das principais bases para a formula o das diferentes conjecturas No caso da ficha ngulos verticalmente opostos muitos pares basearam as suas conjecturas apenas na an lise de um n mero muito reduzido de casos existindo mesmo alguns como o Rodrigo e a Daniela que retiraram a conclus o a partir de uma nica experi ncia Por outro lado a observa o que o Bernardo e o Tom s realizaram foi desde o inicio direccionada ou seja come aram a sua explora o procurando ngulos congruentes T1 O Daniel e a Andreia numa das
95. firme ou invalide a conjectura dos colegas 2 3 4 A partir das respostas dos alunos registar um contra exemplo da conjectura 2 4 Seleccionar a conjectura correspondente a rela o entre os ngulos Internos e o ngulo externo 2 4 1 Pedir ao par de alunos respons vel pela conjectura que a explique aos colegas explicitando aquilo em que se basearam para a formular 2 4 2 Questionar os restantes alunos relativamente ao que pensam da conjectura dos colegas pedindo que justifiquem a sua opini o 2 4 3 Questionar os alunos sobre se poss vel encontrar um exemplo que confirme a conjectura em causa 2 5 Atendendo conjectura formulada pelos alunos registar a rela o entre os ngulos internos e externos do tri ngulo Em qualquer tri ngulo a amplitude de um ngulo externo igual soma das amplitudes dos ngulos internos do tri ngulo n o adiacentes 2 6 Pedir aos alunos que elaborem a pares uma demonstra o da propriedade numa folha parte 2 6 1 Questionar os alunos sobre de que forma podemos garantir que n o conseguimos encontrar um tri ngulo em que n o se verifique esta rela o 2 6 2 Questionar os alunos sobre como podemos ter a certeza de que em qualquer tri ngulo se verifica a rela o que encontraram 2 7 Atendendo s respostas dos alunos elaborar e registar a demonstra o 2 7 1 Questionar os alunos relativamente a qual a rela o existente entre o ngulo externo e o ngulo int
96. gir quais os ngulos internos que poderiam ser utilizados para o ngulo externo Todavia n o tendo conseguido experimentar o que acontecia para outro ngulo externo os alunos n o compreenderam totalmente a rela o que tinham obtido sendo que na conjectura que formularam apesar de referirem que os ngulos internos s o n o adjacentes n o completamente expl cito a que ngulo que n o s o adjacentes Esta situa o tornou se clara em conversa com os alunos na aula seguinte quando pedi a demonstra o pois o Afonso acabou por considerar que todos os ngulos internos 71 teriam um ngulo externo adjacente e que por isso mesmo a conjectura n o seria verdadeira ou seja n o se tinha apercebido que para cada ngulo externo que se consideravam os Internos n o adjacentes 1 O Mg 3 J CYA TVA C Je ACH men 7 ge E n I s e s N 5 f A bf a Figura 47 Resolu o do Afonso e da Sofia Para al m do trabalho de formula o de conjecturas ao planear esta ficha pretendia que esta fosse um ponto de partida para trabalhar a demonstra o matem tica o que se veio a verificar na sexta aula Apesar de em aulas anteriores j terem sido demonstradas em grande grupo algumas conjecturas ao propor aos alunos que tentassem a pares elaborar uma demonstra o de que a amplitude de um ngulo externo de um tri ngulo era igual soma das amplitudes dos dois ngulos internos n o adjacentes a
97. gulos com a classifica o de ngulos que conheciam como se pode verificar na resposta que apresentam Figura 29 gt 2 j M CSMS q UA aD nda 2X e P EN wn a mo aS as GO pan gt gt o Y Les a j a gt e LALO s hj r a os F a i a o to Cantus pm Q SOS SS V O N o ol yi Y a Db ae Co Tu h wno U Y a lt lt gt YX 1 lt 2 Sex Figura 29 Resolu o da Andreia e do Daniel Para al m das dificuldades j referidas muitos alunos revelaram tamb m algumas dificuldades no uso do GeoGebra nomeadamente na marca o de ngulos 5 2 Ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Esta ficha de trabalho pretendia tal como a anterior que os alunos formulassem conjecturas Assim a ficha tinha duas quest es sendo uma primeira voltada para os ngulos alternos internos e uma outra que para al m de ter como objectivo explorar as rela es existentes entre os ngulos formados por um sistema de duas rectas paralelas e uma secante procurava possibilitar que raciocinassem dedutivamente justificando essas rela es pelo menos nos momentos de discuss o colectiva Na primeira quest o al nea 2 1 os alunos necessitavam de identificar os ngulos alternos internos e de explorar a rela o existente entre eles A maioria dos 60 pares conseguiu identifica los apesar de em alguns casos terem surgido dificuldades em reconhecer que se estava a falar de par
98. gulos externos de um tri ngulo Para tal seleccionei para esta aula a ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo Devido natureza da tarefa e ao facto de exigir que se experimentem v rios tri ngulos optei por utilizar o GeoGebra para a sua realiza o uma vez que para al m disso o objectivo do trabalho a propor aos alunos n o era a constru o do tri ngulo mas sim a compara o entre os ngulos de v rios tri ngulos Por esta mesma raz o escolhi fornecer aos alunos um ficheiro com a constru o j realizada Portanto esta aula foi planeada com o objectivo de consolidar a soma dos ngulos internos de um tri ngulo e de formular testar e demonstrar conjecturas relativas rela o entre os ngulos internos e externos de um tri ngulo Seguindo o plano de aula esta quinta aula iniciou se pela discuss o da ficha Angulos internos de um Tri ngulo no entanto esta demorou um pouco mais do que o previsto tendo optado por n o colocar algumas das quest es pensadas para este momento Por sua vez a resolu o da quest o 2 da ficha de trabalho foi bastante heterog nea ou seja enquanto alguns pares de alunos terminaram a quest o muito rapidamente outros sentiram algumas dificuldades pelo que necessitaram de mais tempo do que o previsto Como tal optei por prolongar o tempo de resolu o da quest o de modo a conseguir dar assist ncia aos alunos com mais dificuldades e que 48 estes tivessem t
99. gura dada Indica o de que a ficha ser realizada a pares no GeoGebra Indica o de que a constru o pedida na quest o 1 se encontra no ficheiro de GeoGebra relacaoangulol ggb guardado na pasta 7 C no ambiente de trabalho Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas os racioc nios que utilizem 4 Realiza o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos Caso os alunos n o consigam progredir nas suas investiga es poderei 10 min Questionar quantos pares de ngulos alternos Internos existem Sugerir que procurem os pares de ngulos congruentes 5 Discuss o dos resultados obtidos e realiza o de uma s ntese a partir das conclus es obtidas 5 1 Ap s a conclus o da ficha de trabalho os alunos devem regressar aos seus lugares 5 2 Na quest o 2 5 2 1 Pedir a um aluno que identifique os pares de ngulos alternos internos 5 2 2 Questionar a turma relativamente escolha realizada pelo coset 20 min 5 2 3 Questionar os alunos se existir mais algum par de ngulos alternos Internos 5 3 Na quest o 3 5 3 1 Pedir a um par de alunos que apresente as suas conclus es e que expliquem em que se basearam e porque lhes parece verdadeira 5 3 2 Questionar a turma se mais algu m chegou s mesmas conclus es e sobre o pensam em rela o s conjecturas apresentadas pedindo que justifiquem a sua opini o As conjecturas a apresentar ser o seleccionadas a partir da observa o
100. hecimentos pr vios Revis es dos conhecimentos do 2 ciclo sobre ngulos e No o de ngulo Rela es entre pares de ngulos e Classifica o de ngulos Objectivos Estabelecer rela es entre ngulos e classificar ngulos Identificar ngulos verticalmente opostos e ngulos alternos internos Formular testar e demonstrar conjecturas Fazer demonstra es simples Raciocinar dedutivamente Recursos Materiais Computador com possibilidade de acesso ao GeoGebra Quadro interactivo Ficha de trabalho ngulos verticalmente opostos Ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Ficha de trabalho T P C Angulos I Ficheiro de GeoGebra def class_angulo ggb Ficheiro de GeoGebra ang vert oposto original ggb Manual de Matem tica do 7 ano Parte ID Ficha de trabalho Manual do utilizador T Desenvolvimento da aula ES previsto 1 Registo do sum rio no quadro Anota o dos alunos que faltam o 10 min 2 Revis o em grande grupo da no o de ngulo bem como da sua classifica o l 15 min 2 1 Projectar o ficheiro de GeoGebra def class_angulo ggb 2 1 1 Deixar que o ficheiro corra at ao fim do aparecimento das 90 2 1 2 Questionar os alunos relativamente ao que entendem por angulo 2 1 3 Pedir aos alunos que utilizando a figura procurem explicar o que um ngulo 2 1 4 Permitir que o ficheiro avance mostrando as diferentes representa es do ngulo FGB 2 1 5 Quest
101. icar ngulos Angulos demonstrar conjecturas l e Distinguir ngulos complementares amplitude e e Distinguir entre uma e suplementares e identificar ngulos medi o demonstra o e um teste verticalmente opostos e ngulos de conjecturas e fazer alternos internos demonstra es simples Soma dos ngulos e Deduzir a soma dos ngulos e Usar racioc nio indutivo Internos e externos internos e externos de um tri ngulo e dedutivo de um tri ngulo Quadro 1 Subt picos a trabalhar no mbito do t pico Tri ngulos e Quadril teros 17 3 3 Conceitos e propriedades matem ticos relativos a unidade A Geometria foi o tema matem tico sobre o qual incidiu o presente estudo Assim sendo a unidade did ctica aqui apresentada centrou se no estudo dos ngulos e dos tri ngulos atendendo s orienta es curriculares vigentes Deste modo apresento em seguida os conceitos e rela es matem ticos abordados ao longo desta unidade bem como outros conceitos que embora possam n o ter sido desenvolvidos nas aulas leccionadas se encontram intimamente relacionados com o tema e que por essa mesma raz o considero necess rios ter em aten o na planifica o e prepara o destes t picos Um ngulo cada uma das por es ou regi es de plano compreendidas entre duas semi rectas com a mesma origem Figura 3 A origem das semi rectas damos ent o o nome de v rtice do ngulo enquanto as semi rectas se
102. icas p 16 29 A problem tica deste estudo centra se em torno do racioc nio matem tico pelo que por conseguinte procurei que a formula o e o teste de conjecturas tivessem um papel preponderante no tipo de actividade que pretendia que os alunos desenvolvessem Os ambientes de geometria din mica possuem algumas caracter sticas que podem contribuir n o s para a aprendizagem da geometria mas tamb m para o desenvolvimento do racioc nio matem tico Se por um lado estes programas permitem a realiza o de constru es geom tricas variadas possibilitam como refere Candeias 2005 o arrastamento de pontos ou partes de figuras A movimenta o destes elementos permite que se observe uma resposta din mica dos restantes elementos a essa altera o de condi es o que permite a an lise das rela es matem ticas uma vez que este tipo de software mantem as rela es espec ficas essenciais da constru o original como explica Jiang in press Assim sendo esta tecnologia possibilita que os alunos criem muitos exemplos ajudando os a formular e a explorar conjecturas NCTM 2008 Jiang in press salienta ainda que os ambientes de geometria din mica podem tamb m beneficiar os alunos no desenvolvimento das suas capacidades de provar matematicamente Para al m disso estes programas contribuem para melhorar tanto o racioc nio espacial como a visualiza o NCTM 2008 Portanto neste estudo procurei que os alunos uti
103. ideia de como os poderiam corrigir A escolha deste recurso deveu se ao facto de que a reprodu o da imagem no quadro seria mais demorada e complexa dificultando a apresenta o de v rias resolu es Para esta apresenta o optei ainda por utilizar o DataShow visto ser o recurso que teria dispon vel na sala e que me permitiria a projec o da apresenta o preparada De seguida procurei ent o Integrar a planifica o da aula anterior pelo que decidi come ar com a realiza o da discuss o da ltima quest o da tarefa da aula anterior Rela es entre ngulos I Para a discuss o optei ent o por seleccionar apenas tr s conjecturas que sintetizavam as diferentes explora es realizadas pelos alunos Sendo objectivo deste trabalho o racioc nio matem tico e por conseguinte a justifica o de conjecturas procurei tamb m ao planificar esta discuss o contemplar a justifica o destas conjecturas Nesta aula pretendia ainda abordar o conceito de ngulos suplementares e o de ngulos complementares Uma vez que existia algum constrangimento relativamente ao tempo e que estas defini es correspondiam a propriedades j conhecidas e utilizadas seleccionei duas quest es da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IP que contemplavam estes conceitos para os referir Portanto a planifica o desta aula procurou continuar o trabalho com as rela es entre ngulos e fornecer aos alunos as ferramentas necess
104. iedade de ngulos alternos internos em rectas paralelas serem congruentes de forma incorrecta Assim sendo a Jacinta revela ainda algumas dificuldades nestes conceitos uma vez que os ngulos que identifica como sendo alternos internos se assemelham a ngulos verticalmente opostos apesar de n o o serem Figura 37 Resolu o do trabalho de casa da Jacinta Por sua vez o Telmo consegue determinar o valor correcto dos tr s ngulos e procura justificar os valores que obt m utilizando as propriedades que conhece em especial a congru ncia dos ngulos verticalmente opostos No entanto o aluno ainda n o se apercebe que a justifica o que apresenta n o suficiente para obter a conclus o a que chegou uma vez que ainda n o permite relacionar os ngulos dados no enunciado com os ngulos a be c Ria o myt a fem 66 56458 ma gP S66 b e 4 o fem 26 OS 2 Verlhcel amme er Ag bao Y O a Mou Xo C Tem be AS 2 AR COLO mte oposto Co Ks 5 6 i Ve cd a e tem 56 i g CO ja p Lu mte amau lo pe le NA S g jo n e o MYW 2 nie VJ k Figura 36 Trabalho de casa realizado pelo Telmo 64 Por sua vez o Daniel tamb m conseguiu determinar correctamente os ngulos pedidos Para tal come ou por assinalar mais dois ngulos auxiliares que lhe permitiam determinar os ngulos pedidos atrav s das propriedades estudadas Figura 38 Assim O Daniel explica quais as propriedades que
105. ifica o destes pares de ngulos bem como que os alunos explorassem a rela o existente entre estes ngulos na situa o apresentada ou seja quando se t m rectas paralelas e uma outra quest o mais aberta em que se procura que os alunos explorem outras rela es existentes entre os pares de ngulos da situa o que formulem e testem conjecturas e ainda que tentem justifica las Esta segunda quest o possibilita al m do mais que os alunos recorram propriedade dos ngulos verticalmente opostos quer atrav s da sua identifica o na situa o proposta quer por meio da sua utiliza o na justifica o das suas conjecturas Por conseguinte com esta ficha pretendo que os alunos a partir da observa o de v rios casos consigam formular e testar conjecturas relativamente congru ncia de ngulos em rectas paralelas 3 5 3 T P C Angulos I Esta tarefa foi constru da essencialmente com duas fun es rever a classifica o dos ngulos e p r em pr tica as rela es entre ngulos introduzidas pelas duas fichas anteriores Para al m disso com esta ficha procurava perceber at que ponto os alunos teriam j compreendido as duas no es introduzidas pelas fichas anteriores Com este objectivo construi uma rede com tr s conjuntos de rectas paralelas para que os alunos nela identificassem os v rios tipos de ngulos solicitando tamb m que fossem marcados ngulos verticalmente opostos e alternos internos
106. ificar resultados matem ticos p 31 A justifica o tamb m um subt pico a aprofundar no 2 ciclo procurando se levar o aluno a explicar e justificar os processos resultados e ideias matem ticos recorrendo a exemplos e contra exemplos e an lise exaustiva de casos ME 2007 p 47 Como refere o NCTM 2008 Parte da beleza da Matem tica consiste no facto de que quando se verificam ocorr ncias Interessantes existe geralmente uma boa raz o p 62 ou seja a Matem tica algo que faz sentido A justifica o de resultados uma das formas de levar os alunos a compreenderem e acreditarem nesta caracter stica da Matem tica Ao mesmo tempo a justifica o como refere Rodrigues 2009 uma precursora da demonstra o uma vez que os alunos come am por se apoiar em casos particulares e evoluem para justifica es cada vez mais gerais Para tal necess rio que os alunos compreendam que as suas afirma es t m de ser justificadas ou seja que pelo menos t m de ser suportadas ou refutadas atrav s de evid ncias conforme refere o NCTM 2008 A coloca o de quest es aos alunos como Porque que isto resulta NCTM 2008 p 63 Porque pensas que isto verdade NCTM 2008 p 61 ou Algu m aqui acha que a resposta diferente e porque NCTM 2008 p 61 uma das formas de os fazer compreender a necessidade de justificarem As justifica es devem no entanto ter
107. ionar os alunos se as marca es existentes na figura correspondem ou n o ao mesmo ngulo 2 1 6 Atendendo s respostas obtidas apresentar a defini o de ngulo para que os alunos registem ngulo a regi o do plano limitada por duas semi rectas que possuem a mesma origem que se designa por v rtice do ngulo 2 1 7 Salientar a diferen a entre ngulo e amplitude de um ngulo 2 1 8 Chamar a aten o dos alunos para a nota o para ngulos ngulo ABC assim como para a nota o utilizada para amplitude de um ngulo ZABC 2 2 Questionar os alunos relativamente ao significado de ngulos congruentes e explicar que dois ngulos congruentes s o ngulos que t m a mesma amplitude 2 2 1 Pedir a um aluno volunt rio que me a alguns dos ngulos da figura 2 2 2 Pedir aos alunos que indiquem alguns pares de ngulos congruentes 2 3 Questionar os alunos relativamente ao tipo de ngulos que conhecem 2 3 1 Apresentar os ltimos ngulos do ficheiro e pedir aos alunos que os classifiquem 2 3 2 Apresentar a tabela que sintetiza a classifica o de ngulos o J lt meo Aeae Om Ro Gr aes more mo mr 91 E ER RR 80 o PR 2 3 3 Pedir aos alunos que indiquem um ngulo de cada tipo 3 Distribui o da ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos aos alunos e indica o da metodologia de trabalho Indica o que a ficha ser realizada no GeoGebr
108. ira aula da minha Interven o e simultaneamente a primeira do 3 per odo foi necess rio alterar a planta da sala de modo a formar os pares de trabalho atrasando assim um pouco a aula relativamente ao previsto A revis o dos conte dos tamb m levou bastante mais tempo do que o planeado devido entre outras coisas a alguns problemas de ordem t cnica Assim ao tentar n o atrasar tanto a planifica o acabei por me esquecer de introduzir a nota o de ngulo Deste modo a realiza o da ficha de trabalho acabou por se iniciar apenas perto do fim dos primeiros 45 minutos da aula como tal dificilmente conseguiria cumprir o plano de aula na sua totalidade Para al m disto o ritmo da turma n o foi de todo homog neo na realiza o da tarefa Muitos alunos demonstraram alguma dificuldade na realiza o da mesma em especial a elaborar a constru o pedida pois n o tinham tido ainda muitas oportunidades de trabalhar com o GeoGebra n o se recordando de alguns aspectos relativos sua utiliza o Ao mesmo tempo os alunos sentiram tamb m dificuldades em compreender o que se pretendia com a tarefa Deste modo para que houvesse um maior n mero de alunos a encontrar a rela o existente e a formular alguma conjectura optei por conceder bastante mais tempo do que o que tinha previsto para a realiza o da tarefa Assim sendo apenas foi poss vel realizar a discuss o da tarefa No entanto como estava bastante atrasada algum
109. isar as imagens correspondentes s situa es em que os ngulos s o adjacentes i Questionar os alunos sobre que aspectos encontram em comum nas quatro imagens 4 1 3 Analisar as imagens correspondentes as situa es em que os ngulos n o s o adjacentes i Questionar os alunos sobre se encontram tamb m aspectos comuns entre as v rias imagens deste novo grupo ii Questionar os alunos que aspectos distinguem este novo grupo de imagens das primeiras 4 1 4 Para cada uma das imagens do Ultimo grupo i Questionar um aluno sobre se a imagem representa um par de alguns adjacentes pedindo que justifique a sua opini o 4 2 Atendendo an lise realizada na quest o 1 questionar os alunos relativamente defini o de ngulos adjacentes e registar a defini o Dois ngulos s o adjacentes se t m o mesmo v rtice e um lado comum n o estando nenhum deles contido no outro 4 3 Para as al nea 2 1 e 2 41 da quest o 2 4 3 1 Interpretar conjuntamente com os alunos o enunciado 4 3 2 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o no quadro pedindo que a explique 4 3 3 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se chegaram a uma conclus o diferente 4 4 Para as al neas 2 2 2 3 e 2 4 excepto 2 41 4 4 1 Interpretar conjuntamente com os alunos o enunciado 4 4 2 Pedir a um aluno cuja resposta esteja incorrecta que apresente a sua resolu o no qu
110. iza es uma conjectura e fazer e Proporcionar situa es em que os demonstra es simples alunos raciocinem indutivamente e Indu o e dedu o e Identificar e usar racioc nio formulando conjecturas a partir indutivo e dedutivo de dados obtidos na explora o de e Compreender o papel das regularidades e dedutivamente defini es em matem tica demonstrando essas conjecturas e Distinguir uma argumenta o Salientar o papel das defini es informal de uma na dedu o de propriedades por demonstra o exemplo no estudo dos e Formula o teste e conjecturas e Argumenta o e Seleccionar e usar v rios quadril teros tipos de racioc nio e m todos Realizar uma pesquisa hist rica de demonstra o sobre os Elementos de Fuclides e a organiza o axiom tica desta obra Salientar os significados de axioma teorema e demonstra o Analisar a demonstra o da primeira proposi o dos Elementos e Fazer refer ncia an lise exaustiva de casos e redu o ao absurdo como m todos de demonstra o e Pedir a fundamenta o de afirma es atrav s de conceitos propriedades ou procedimentos matem ticos ou contra exemplos Quadro 3 T picos e objectivos espec ficos do racioc nio matem tico no 3 ciclo ME 2007 p 64 55 5 An lise de Dados Ao longo deste cap tulo procurarei apresentar e analisar alguns dos dados recolhidos tendo por base as quest es formulada
111. justificassem os passos da sua resolu o atrav s de pequenas cadeias dedutivas Apesar disso o alunos revelaram ainda algumas dificuldades neste t pico 5 4 Ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo O objectivo desta ficha de trabalho era que os alunos compreendessem a rela o entre a amplitude de um ngulo externo de um tri ngulo e os ngulos internos Assim tendo em conta a ficha que propus aos alunos pretendia que estes formulassem e testassem conjecturas Para al m disso pretendia em especial na discuss o da tarefa trabalhar a justifica o e demonstra o dessas conjecturas A introdu o e explica o do conceito de ngulo externo foram realizadas num primeiro momento antes de se iniciar a tarefa Foi tamb m neste primeiro momento feita uma pequena explica o da ficha Ao acompanhar o decorrer do trabalho dos alunos na aula reparei que para a maioria descobrir a rela o n o foi um processo simples Assim de um modo geral os pares depois de terem medido os ngulos envolvidos utilizando o GeoGebra come aram por experimentar adicionar a amplitude de todos os ngulos referidos na tabela ou seja os ngulos ZCBE ZBCA e ZCAB colocando o resultado na ltima coluna como aconteceu com a Diana e o Dinis Figura 43 68 Figura 43 Tabela preenchida pela Diana e pelo Dinis No caso deste par n o foi registada nenhuma conjectura relativamente ao que tinham observado n o tendo
112. lar s paralelas Assim sendo os alunos conjecturaram que neste caso obteriam oito ngulos congruentes Figura 34 do E psconds fA frrfordicules on odo porako p R AR Ate Ongadion old TAO Bes Figura 34 Rela o identificada pelo Rodrigo e pela Daniela na quest o 3 5 3 Manual p gina 39 quest o 6 Esta tarefa tinha como objectivo consolidar os conhecimentos dos alunos relativamente s rela es entre pares de ngulos e soma dos ngulos internos de um tri ngulo Em rela o ao racioc nio matem tico pretendia que os alunos justificassem as suas respostas atrav s da elabora o de pequenas cadeias dedutivas Assim a tarefa pedia que os alunos calculassem os ngulos assinalados pelas letras na Figura 35 Figura 35 Imagem da quest o 6 da p gina 39 do manual Uma vez que se tratava de um trabalho de casa esta tarefa acabou por n o ser resolvida por todos os alunos Apesar disso de um modo geral os alunos que a resolveram procuraram incluir na sua resolu o as justifica es dos passos que lhes permitiram obter as suas respostas utilizando para 1sso as propriedades estudadas No 63 entanto nem todos os alunos conseguiram nesta tarefa aplicar todas as propriedades correctamente A Jacinta come ou por utilizar o resultado conhecido acerca da soma dos ngulos internos de um tri ngulo correctamente apesar de n o justificar os c lculos efectuados Figura 37 Em seguida aplicou a propr
113. las come ando por em cada uma expor o plano inicial e apresentando seguidamente uma s ntese dessa mesma aula comparando a com a que foi a planeada inicialmente 3 6 1 Primeira aula 26 de Abril de 2011 Dado que esta era a primeira aula era por conseguinte fundamental introduzir as no es que seriam necess rias ao longo da unidade Como tal uma das no es a considerar seria a de congru ncia pois como s este ano os alunos integraram o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 esta terminologia era lhes desconhecida Por outro lado era tamb m importante rever alguns dos conte dos estudados nos anos anteriores e que seriam utilizados com alguma frequ ncia ao longo da unidade de modo a que todos os intervenientes das aulas se conseguissem entender Deste modo era ent o necess rio rever o conceito de ngulo e a sua classifica o Assim pensei numa introdu o que partisse de uma imagem da realidade onde fossem claramente vis veis v rios tipos de ngulos e que permitisse explorar a no o de ngulo a congru ncia de ngulos e classifica o de ngulos Para tal planifiquei utilizar um ficheiro GeoGebra Figura 23 a partir do qual colocaria aos alunos quest es que lhes permitissem compreender as no es em causa 40 V defini o ngulo a regi o do plano limitada por duas semi rectas que possuem a mesma ongem que se designa por v rtice do ngulo classifica o
114. lizassem um software de Geometria Din mica na realiza o das tarefas de car cter explorat rio e investigativo De entre os v rios programas computacionais dispon veis optei por utilizar o GeoGebra visto ser o que se encontrava dispon vel nos computadores da escola e tamb m por ser um software de acesso livre e consequentemente acess vel aos alunos mesmo fora da escola Dado que como ja referi a discuss o ocupa um papel importante nestas aulas e que a utiliza o do GeoGebra na resolu o das tarefas tamb m central optei tamb m por utilizar o quadro interactivo em especial como apoio a estes momentos De facto este recurso ao permitir a utiliza o do GeoGebra com todas as suas potencialidades pareceu me poder facilitar a apresenta o dos alunos das suas conjecturas bem como a an lise das mesmas e a explora o de outras que com estas estivessem relacionadas Em rela o ao modo de trabalho dos alunos procurei ter em considera o as caracter sticas das salas onde decorrem as aulas e a forma de trabalho com que estavam mais familiarizados Assim tendo em conta que os alunos j se encontram sentados a pares e que est o mais habituados a este tipo de trabalho privilegiei essencialmente o 30 trabalho a pares Estes pares foram formados no inicio deste estudo tendo em conta as orienta es da reuni o do conselho turma no final do 2 per odo e as caracter sticas dos alunos tendo apesar de tudo sofrido
115. los complementares Figura 13 a Figura 13 Angulos complementares 2d Note se que dois angulos complementares ou suplementares de um terceiro angulo sao congruentes Definicao Angulos verticalmente opostos Dizemos que dois angulos sao verticalmente opostos quando os lados de um estao no prolongamento dos lados do outro Figura 14 Figura 14 Angulos verticalmente opostos Em rela o a estes pares de ngulos poss vel provar algumas propriedades Propriedade 1 Dois ngulos verticalmente opostos s o congruentes Demonstra o Sejam a 5 y e os ngulos formados pela intersec o de duas rectas Figura 15 Temos ent o que Za 4f 180 porque ae 5 s o ngulos suplementares 4y 4f 180 porque 5 e y s o tamb m ngulos suplementares Figura 15 ngulos formados Assim sendo Za Zy pelo que os ngulos a i A ad 8 por duas rectas concorrentes e p s o congruentes De igual modo tamb m os ngulos fe s o congruentes Portanto os ngulos verticalmente opostos s o congruentes 22 Consideremos duas rectas r e s e uma recta t secante ou seja que intersecta re s Neste caso formam se ent o oito ngulos Figura 16 Figura 16 Angulos num sistema de duas rectas e uma secante Se atendermos s rectas r e s podemos considerar os ngulos como internos quando est o entre as rectas ou seja os ngulos 0 y de 5 e como externos os
116. m Ao longo deste estudo compreendi que existem ainda v rios aspectos que preciso de trabalhar de modo a proporcionar uma melhor aprendizagem aos alunos A introdu o das tarefas um deles Na primeira tarefa que propus aos alunos n o lhes forneci praticamente nenhuma informa o ou seja limitei me a entregar a ficha No entanto com o decorrer da aula pude perceber que essa n o tinha sido a melhor op o A introdu o de uma tarefa tamb m um momento fundamental da aula e n o algo 84 dispensavel Este momento possibilita que todos os alunos compreendam a actividade que se pretende realizar verdade que se fornecermos demasiada informa o podemos limitar a tarefa mas se n o dermos nenhuma arriscamo nos a que os alunos n o compreendam o que t m de fazer e fiquem perdidos Se compararmos os planos de aula com as aulas realizadas apercebemo nos que em nenhuma aula este foi cumprido na ntegra O que se passou ent o Por um lado a maioria dos planos determinava v rias tarefas para a mesma aula sendo que por isso mesmo o tempo n o deixava uma grande margem de manobra Por outro os alunos levaram bastante mais tempo do que o previsto para realizarem as suas explora es no GeoGebra pelo que acabei por prolongar sempre a realiza o destas tarefas Ainda assim esta pareceu me a op o mais correcta uma vez que n o faria sentido come ar a discutir uma tarefa que apenas um ou dois alunos tinham realizado Por
117. m para determinarem a amplitude de um ngulo sabendo a amplitude do outro Por sua vez a segunda quest o constitu da por cinco al neas que fazem apelo utiliza o das v rias propriedades para a partir de ngulos conhecidos se determinar outros ngulos continuando assim o trabalho da segunda al nea da quest o anterior Estas al neas est o organizadas por uma ordem crescente de dificuldade sendo que a ltima al nea 2 5 possu j um car cter problem tico necessitando da utiliza o de objectos geom tricos auxiliares contrariamente s restantes Para al m disto ao pedir que expliquem a forma como obtiveram a resposta em cada al nea pretendo que esta quest o contribua tamb m para que os alunos comecem a procurar elaborar cadeias dedutivas para justificarem as suas respostas recorrendo para isso s propriedades estudadas Por essa mesma raz o optei por utilizar amplitudes nas imagens que n o correspondem s indicadas nas mesmas com o objectivo de que o recurso ao transferidor n o seja uma op o para a resolu o Portanto esta ficha de trabalho procura ir ao encontro das orienta es program ticas exigindo a elabora o de justifica es que produzam pequenas cadeias dedutivas 35 3 5 5 T P C Angulos II A semelhan a da ficha Rela es entre ngulos II tamb m esta ficha tem como objectivo a consolida o dos conhecimentos dos alunos Assim a primeira quest o necessita de
118. ma acabando por demonstrar as suas conjecturas Este trabalho desenvolvido de forma gradual iniciando se com a procura de justifica es aceit veis tendo por base o racioc nio plaus vel e os conhecimentos dos alunos e vai evoluindo para a elabora o de pequenas provas consoante os alunos v o aumentando as suas ferramentas matem ticas e interiorizando a necessidade de justifica o Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 Deste modo a justifica o das conjecturas desempenha um papel central devendo procurar se contornar a tend ncia de a deixar para segundo plano ou mesmo esquecida Segundo Veloso 1998 deve se ent o solicitar aos alunos que argumentem em defesa das suas conjecturas procurando explica es para as mesmas No entanto necess rio ter em aten o se os conhecimentos dos alunos permitem encontrar uma justifica o a favor da conjectura ou mesmo um contra exemplo NCTM 2008 uma vez que mesmo algumas conjecturas simples escondem processos de prova bastante complexos mesmo para o professor Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 p 50 Apesar disso o professor n o deve deixar de abordar investiga es Interessantes pelo facto de n o se poderem demonstrar todos os resultados Veloso 1998 p 370 poder como sugere o NCTM 2008 salientar junto dos alunos que a demonstra o exige mais conhecimentos do que aqueles que possuem nesse momento Assim sendo algumas vezes apenas teremos a
119. maioria mostrou grandes dificuldades em compreender o que era pedido n o conseguindo chegar demonstra o Na realidade apenas o Ricardo conseguiu delinear o caminho da demonstra o da propriedade Assim o Ricardo utilizou o facto de o ngulo interno e o externo adjacentes serem suplementares bem como o facto de a soma dos ngulos internos de um tri ngulo ser 180 para retirar a propriedade Apesar disso na resolu o escrita o aluno apenas registou os passos que tinha realizado n o apresentando a justifica o de cada um deles tal como se pode observar na Figura 48 Na sua resolu o chamou me tamb m a aten o o facto de ele optar por denotar os ngulos com letras min sculas em vez de utilizar os v rtices do tri ngulo Figura 48 Prova realizada pelo Ricardo 72 As justifica es foram surgindo medida que o Ricardo foi apresentando a sua resolu o aos colegas atrav s de quest es que foram sendo colocadas ao Ricardo e a turma de modo a que compreendessem e justificassem o que estava a ser feito Assim o Ricardo referiu que a b 180 pois a e b estavam alinhados ou como mais tarde o Bernardo acrescentou formavam um ngulo raso No que diz respeito rela o b c d 180 foi salientado que se devia ao facto de ser a soma dos ngulos Internos de um tri ngulo No entanto o facto de que destas duas propriedades se retirava que a c d acabou por se mostrar de dif cil compreen
120. mais um plano de recupera o no 13 2 per odo Neste 2 per odo foi ent o considerado que sete alunos apresentavam grandes dificuldades na generalidade das disciplinas Simultaneamente t m sido tamb m destacados v rios alunos como apresentando um aproveitamento excepcional Esta heterogeneidade tamb m vis vel na disciplina de Matem tica No 1 per odo esta foi uma das disciplinas em que os alunos revelaram mais dificuldades sendo a m dia da turma de 2 68 numa escala de 1 a 5 e a taxa de insucesso de 52 muito embora se deva ter em conta que os n veis 1 atribu dos se devem falta de assiduidade dos alunos A Figura 1 sintetiza o aproveitamento desta turma na disciplina de Matem tica no 1 per odo Classifica es a Matem tica no 1 Per odo 0 1 1 2 Nivel 1 E Nivel 2 N vel 3 E N vel 4 N vel 5 O N o avaliado O Sem dados Figura 1 N veis obtidos pelos alunos em estudo no 1 per odo na disciplina de Matem tica O aproveitamento a Matem tica melhorou consideravelmente no 2 per odo Figura 2 tendo aumentado tanto o n mero de alunos com o n vel 3 como com o n vel 5 passando a m dia da turma a aproximadamente 3 2 numa escala de 1 a 5 Classifica es a Matem tica no 2 Per odo p 1 4 E Nivel 1 E Nivel 2 Nivel 3 E N vel 4 BD N vel 5 O N o avaliado O Sem dados Figura 2 N veis obtidos pelos alunos em estudo no 2 per odo na
121. na procura de regularidades da formula o de generaliza es e conjecturas a partir de regularidades observadas da valida o de conjecturas e da constru o e avalia o de argumentos matem ticos Ao mesmo tempo importante que o aluno discuta o seu racioc nio tanto com o professor como com os colegas elaborando defendendo e analisando argumentos matem ticos nomeadamente ao explicar qual a base das suas conjecturas e a l gica seguida A apresenta o de argumentos tanto plaus veis como inconsistentes por parte dos alunos aos colegas proporcionam momentos de discuss o podem contribuir para alterar consolidar ou fortalecer os seus argumentos ou raciocinio NCTM 2008 p 64 Para tal Ponte e Sousa 2010 destacam que necess rio partir de tarefas apropriadas matematicamente ricas mas suscept veis de ser entendidas pelos alunos e principalmente manter um discurso que convide participa o justifica o e reflex o por parte dos alunos p 32 As tarefas de explora o e as tarefas de investiga o s o assim a partida apropriadas para promover o desenvolvimento do racioc nio matem tico uma vez que na sua realiza o temos por um lado a formula o de conjecturas sobre um objecto especifico ou gen rico apoiada numa raz o e por outro lado a defini o de uma estrat gia de teste de uma conjectura Ponte amp Sousa 2010 p 31 Em contrapartida a memoriza o sem compre
122. ncluir algumas resolu es que apresentem Incorrec es comuns 9 Realiza o em grande grupo da quest o 2 1 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IJ 9 1 Questionar os alunos relativamente ao que pedido nesta al nea 9 2 Questionar os alunos sobre quais das rela es entre pares de ngulos estudadas podem ser utilizadas 5 min 9 3 Questionar os alunos se a partir dessas propriedades poss vel tirar alguma conclus o sobre a amplitude do ngulo x ou sobre a amplitude do ngulo y 9 4 Questionar os alunos sobre como podem obter o valor da amplitude 100 de x 9 5 Questionar os alunos se seria necess rio determinar primeiro o y para se obter o x 9 6 Questionar os alunos sobre como se poderia resolver a quest o optando por obter primeiro o valor de x 9 7 Chamar a aten o dos alunos para a possibilidade de existir mais do que um caminho v lido 9 8 Chamar ainda a aten o para a necessidade de justificar todos os passos utilizando as rela es que conhecem entre os ngulos Caso as respostas dos alunos sejam no sentido de se calcular primeiro o ngulo x as quest es a colocar continuaram nessa linha apresentando se no fim a alternativa de calcular o y em primeiro lugar A justifica o para o ngulo x pode ser alterada consoante as respostas dos alunos apontem para o ngulo de 30 ou para o ngulo y 10 Realiza o a pares das restantes al neas da quest o 2 da fi
123. nda ficha correspondente aos ngulos alternos internos Para definir os recursos a utilizar na aula analisei as tarefas seleccionadas e os objectivos das mesmas de modo a verificar o que mais se adequava e se seria necess rio proceder a alguma altera o Assim como as tarefas implicavam que os 41 alunos observassem e testassem v rios casos pareceu me que o GeoGebra seria o recurso mais indicado Para al m disto seleccionei tamb m o quadro interactivo para os momentos de discuss o uma vez que aliado ao GeoGebra seria um elemento que partida facilitaria a apresenta o das conjecturas por parte dos alunos assim como a discuss o das mesmas sendo uma mais valia para estes momentos Para al m das tarefas anteriores seleccionei ainda para esta aula uma ltima tarefa constitu da por algumas quest es do manual que contemplavam aspectos mais rotineiros com o objectivo de consolidar os conte dos introduzidos e que simultaneamente permitisse aos alunos inteirassem da utiliza o das propriedades e que produzissem pequenas cadeias dedutivas Portanto procurei planificar esta primeira aula de modo a introduzir os conceitos e rela es que seriam fundamentais para o desenrolar da unidade No entanto este plano n o foi integralmente cumprido no decorrer da aula n o tendo sido poss vel cumprir todos os objectivos estabelecidos O in cio da aula n o decorreu tal como havia sido planeado uma vez que como era a prime
124. ngulos an Ee Para al m disso quaisquer dois destes ngulos em rela o secante podem estar no mesmo semi plano definido por ela e diremos que s o ngulos da mesma parte ou em semi planos distintos designando se ent o por alternos Assim sendo os pares de ngulos 1 Oe ye p dizem se ngulos internos da mesma parte se s o da mesma parte e ambos internos lil me amp ae denominam se por ngulos externos da mesma parte quando para al m de serem ngulos da mesma parte s o ambos externos iii 7e 6 Oe amp ae 5 ye dizem se ngulos correspondentes quando s o ngulos da mesma parte mas um externo e o outro interno iv de 5 de ydizem se ngulos alternos internos v ne amp ae edizem se ngulos alternos externos Teorema 1 Se dois ngulos alternos internos s o congruentes ent o as rectas s o paralelas 23 Teorema 2 Se duas rectas sao paralelas entao os angulos alternos internos determinados por uma secante sao congruentes Demonstra o Suponhamos que DC AB Seja IC uma recta tal que os ngulos ACI e a s o congruentes ou seja que ZACI Za Figura 17 Temos ent o que e C AB pelo teorema anterior uma vez que ACI e a sao ngulos alternos internos congruentes e C e DC s o coincidentes pois por C passa Figura 17 Recta ZC uma e uma s paralela a AB postulado de Euclides e amp 4f pois como IC coincide com DC 4P ZACI e por hip te
125. nto o Dinis n o conseguia explicar como tinha determinado o valor do ngulo externo Pelo que se pode perceber pareceu me que tinha utilizado a ideia dos ngulos correspondentes para retirar essa conclus o n o tendo em aten o que n o se estava em presen a de rectas paralelas Por sua vez ao Bernardo a ideia n o lhe parecia correcta 5 5 Discuss o sobre a soma dos ngulos externos de um Tri ngulo Para al m da discuss o da ficha de trabalho Angulos externos de um Tri ngulo a sexta aula teve um outro momento de discuss o correspondente explora o em grande grupo da soma das amplitudes dos ngulos externos de um tri ngulo tendo por base um ficheiro de GeoGebra e realiza o da demonstra o dessa propriedade Desta forma esta ltima aula do meu estudo tinha como objectivo trabalhar a demonstra o matem tica Assim n o foi planeada nenhuma ficha de trabalho espec fica como ja foi referido no cap tulo 3 A formula o desta ltima conjectura ou seja de que a soma das amplitudes dos ngulos externos de um tri ngulo sempre 360 foi bastante mais simples para os alunos do que as anteriores A partir da marca o e medi o dos ngulos externos os alunos foram respondendo o valor da soma e medida que se foi alterando o tri ngulo alguns foram dizendo que era sempre 360 A demonstra o desta conjectura pretendia ser um momento que possibilitasse que os alunos utilizassem o racioc
126. o implica que os alunos tenham oportunidades para o fazer As discuss es em grande grupo s o uma boa hip tese para a introdu o da demonstra o uma vez que possibilita a troca de ideias e que se construam os racioc nios em conjunto No entanto ao realizar demonstra es com os alunos dois aspectos chamaram a minha aten o por um lado algo que para n s bvio para alguns alunos pode por vezes representar uma grande dificuldade compreens o do que se est a fazer por outro os alunos conseguem por vezes mesmo com pouca experi ncia elaborar demonstra es surpreendendo nos ao seguirem por um caminho igualmente v lido mas que n o nos tinha ocorrido Quando inicialmente analisei os objectivos do Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 em termos do racioc nio matem tico pensei que n o seria poss vel neste estudo abordar o papel das defini es em Matem tica Hoje vejo que n o podia estar mais enganada N o h melhor forma de perceber a import ncia de algo do que sentir a sua falta Assim ao analisar os dados obtidos e ao reflectir sobre o decorrer das aulas apercebi me que em v rias situa es eram os pr prios alunos que ao procurarem registar as conjecturas relativas s rela es observadas sentiam necessidade dessas mesmas defini es como aconteceu por exemplo na ficha ngulos verticalmente opostos em que alguns alunos acabaram por procurar outras formas de expressar o que observava
127. o de realiza o da tarefa Como tal optei por ap s distribuir a tarefa e antes de iniciar a sua resolu o explorar com os alunos o conceito de ngulos alternos internos Apesar de manter o recurso ao GeoGebra e ao quadro interactivo para esta tarefa optei por fornecer aos alunos o ficheiro com a constru o de modo a permitir que se concentrassem essencialmente nas rela es existentes Para al m disto seleccionei tamb m para esta aula a realiza o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IV Portanto neste segunda aula procurei que os alunos explorassem as rela es existentes entre duas rectas paralelas e que consolidassem os conte dos j trabalhados A primeira parte da aula n o diferiu muito do que estava previsto em especial em rela o ao tempo Apesar disso devido a algumas d vidas que surgiram optei por dedicar um pouco mais de aten o revis o do conceito de ngulos verticalmente 43 opostos n o tendo no entanto retomado a quest o dos ngulos verticalmente opostos em rectas perpendiculares como estava planeado Na introdu o da ficha demorei um pouco mais do que o planeado uma vez que me pareceu necess rio que os alunos compreendessem bem a defini o de ngulos alternos internos No entanto foi na realiza o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos I que a aula se afastou verdadeiramente do que havia sido planeado ao n vel do tempo Por um lado apesar de a con
128. o e Angulos internos de um 90 min Soma dos triangulo ngulos II ngulos je Angulos internos de um 10 de Maio internos e tri ngulo 90 min externos de e Angulos externos de um um tri ngulo 12 de Maio tri ngulo e Angulos externos de um cA 90 min tri ngulo Quadro 2 Calendariza o das fichas de trabalho Seguidamente apresento ent o as tarefas salientando o objectivo de cada uma bem como a sua rela o com as outras tarefas 32 3 5 1 Angulos verticalmente opostos A ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos constitu da por uma nica tarefa e foi pensada para ser a primeira a ser proposta aos alunos pelo que procurei que n o exigisse muitos pr requisitos e que fosse simples Assim sendo esta tarefa de natureza mais fechada e direccionada para um nico conte do os ngulos verticalmente opostos Esta decis o teve tamb m em linha de conta que seria a primeira explora o a propor aos alunos pelo que considerei conveniente que fosse um pouco mais focada para evitar que estes se perdessem Esta ficha apresenta a defini o de ngulos verticalmente opostos e pede aos alunos que construam simplesmente duas rectas concorrentes e procurem rela es entre esses pares de ngulos Deste modo a tarefa foi concebida de modo a que os alunos contactassem com a defini o e que atrav s da constru o de uma situa o espec fica onde estes pares de ngulos se encontrassem
129. o longo de todo o Ensino B sico e que transversal a todos os temas matem ticos Esta ideia tamb m corroborada pelo NCTM 2008 que salienta ainda a import ncia desta capacidade referindo que ser capaz de raciocinar essencial para a compreens o da matem tica p 61 Deste modo o NCTM 2008 indica que ao longo da escolaridade se dever procurar habilitar todos os alunos para e Reconhecer o racioc nio matem tico e a demonstra o como aspectos fundamentais da matem tica e Formular e investigar conjecturas matem ticas e Desenvolver e avaliar argumentos e provas matem ticos e Seleccionar e usar diversos tipos de racioc nio e m todos de demonstra o p 61 Oliveira 2008 observa que devido complexidade do racioc nio matem tico n o se sabe exactamente como que este se pode desenvolver No entanto como referem Ponte e Sousa 2010 p 32 aprende se a raciocinar raciocinando e analisando Os racioc nios realizados por n s e pelos outros O desenvolvimento do racioc nio matem tico pode ent o iniciar se pela justifica o e explicita o dos racioc nios evoluindo ao longo da escolaridade A justifica o assim ao n vel do 1 ciclo um dos subt picos essenciais associados ao racioc nio matem tico no Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 conforme referem Ponte e Sousa 2010 estando associado ao objectivo espec fico explicar ideias e processos e just
130. oduzir estes conceitos pedindo a participa o do aluno que j tinha demonstrado saber as no es em causa Como n o foi poss vel realizar todas as quest es da ficha de trabalho na aula resolvi pedir aos alunos que as terminassem em casa Apesar de n o ter conseguido cumprir integralmente o plano elaborado para esta aula penso que os objectivos estabelecidos para esta aula foram conseguidos 3 6 4 Quarta aula 5 de Maio de 2011 Nesta aula tinha como objectivo introduzir a soma dos ngulos internos do tri ngulo pretendendo simultaneamente que os alunos trabalhassem a demonstra o Apesar disso optei na planifica o por iniciar a aula pela discuss o de algumas quest es da ficha de trabalho Rela es entre ngulos II que tinham ficado pendentes na terceira aula visto que possibilitavam a utiliza o de diferentes estrat gias de resolu o bem como de pequenas cadeias dedutivas sendo por conseguinte uma mais valia para o trabalho que pretendia realizar nesta aula 46 Ap s este momento planifiquei a realiza o da ficha de trabalho Angulos internos de um tri ngulo Uma vez que esta ficha n o contemplava o trabalho experimental ou seja n o pretendia a formula o de conjecturas optei por introduzir a tarefa utilizando exemplos de v rios tri ngulos constru dos por mim de modo a possibilitar que a demonstra o surgisse a partir de conjecturas formuladas pela turma pois como refere Veloso
131. opriedades estudadas Inclui ainda uma outra questao com um grau dificuldade mais elevado e que apela a todos os conte dos anteriores Esta quest o foi pensada para trabalhar a justifica o recorrendo a um racioc nio dedutivo Todavia pretende levar os alunos um pouco mais longe na medida em que a sua resolu o n o imediata necessitando que estabele am uma estrat gia de resolu o pelo que tem j um car cter problem tico sem exigir mais conhecimentos Esta ficha foi ent o elaborada tendo em vista a consolida o de conhecimentos 3 5 9 Angulos externos de um tri ngulo Os ngulos externos de um tri ngulo eram partida um conte do novo para os alunos pelo que procurei que a ficha de trabalho regressasse ao formato das primeiras tarefas ou seja introduzia o conceito e permitia a explora o de rela es Apesar de existirem duas rela es fundamentais a amplitude de um ngulo externo como soma de dois Internos n o adjacentes e a soma dos ngulos externos a tarefa seleccionada apenas pretende explorar a primeira propriedade Para orientar a explora o favorecendo o estabelecimento de conjecturas a ficha constitu da por tr s quest es que pretendem auxiliar o aluno no seu trabalho A primeira quest o sugere a explora o da rela o entre um ngulo externo espec fico e os dois internos n o adjacentes e dado que esta rela o implica mais do que a simples observa o dos dados necess rio mani
132. orar situa es que permitissem a formula o de conjecturas de modo a permitir lhes ter um papel activo na constru o do seu conhecimento Para al m das estrat gias de ensino foram tomadas outras op es tendo em conta os objectivos pretendidos para cada a aula enunciados nos planos de aula Anexo I nomeadamente a selec o e constru o das tarefas Anexo II 31 3 5 A Sequ ncia de tarefas Na planifica o de uma unidade did ctica n o basta seleccionar as tarefas ou os recursos a utilizar importante definir uma sequ ncia de tarefas que permita aos alunos atingir os objectivos pretendidos Deste modo elaborei para esta unidade uma sequ ncia de tarefas que permitisse aos alunos por um lado compreender os conceitos e rela es geom tricas em estudo e por outro desenvolver os diferentes aspectos do racioc nio matem tico As fichas de trabalho aqui apresentadas foram trabalhadas ao longo das seis aulas desta unidade sendo que algumas delas foram abordadas em mais do que uma aula tal como mostra o quadro abaixo Quadro 2 e outras foram trabalhadas pelos alunos em casa Fichas de trabalho Calendariza o Sub t picos 26 de Abril ngulos verticalmente opostos A N 7 e Angulos I 90 min A l Rela es entre ngulos I l Angulos amplitude e n e Angulos II 90 min medi o Rela es entre ngulos I 3 de Maio Rela es entre ngulos I e Rela es entre 90 min ngulos II 5 de Mai
133. permitir lhes observar analisar relacionar e construir figuras geom tricas Programa de Matem tica do Ensino B sico 2007 p 36 Por conseguinte importante que o estudo tanto dos conceitos como dos objectos geom tricos e at mesmo das rela es seja realizado do ponto de vista experimental e indutivo Ponte Brocado amp Oliveira 2003 p 83 Assim ao longo desta unidade procurei que os conceitos e rela es geom tricas em estudo fossem introduzidos atrav s de tarefas de car cter explorat rio e Investigativo que possibilitassem aos alunos estudar e compreender factos e rela es geom tricas formulando testando e sempre que poss vel provando conjecturas Atendendo natureza desta estrat gia os momentos de discuss o ap s a resolu o da tarefa desempenham um papel fundamental uma vez que permitem ao aluno reflectir sobre a sua actividade contribuindo assim para a sua aprendizagem Ponte 2005 Ao mesmo tempo dado que a discuss o possibilita que os alunos comparem as suas ideias com as dos outros pode ent o contribuir para alterar consolidar ou fortalecer os seus argumentos ou racioc nio NCTM 2008 p 64 favorecendo assim o desenvolvimento da argumenta o e da comunica o matem tica Para al m estes momentos representam ainda de acordo com Ponte 2005 momentos por excel ncia para a sistematiza o de conceitos a formaliza o e o estabelecimento de conex es matem t
134. plificando um dos casos estudados Figura 32 2 2 Move o ponto A Investiga as rela es que existem entre os ngulos alternos internos Regista alguns exemplos das explora es que realizaste nd r wo Un TD As him pu y ado 0A E A A f i A f ma OF tm fie UM Yr it 4 t e di y 3 Mm ai A t X ATE 7 n or y f n Tal f se f w t gt paid it A A G f AR o ad L ue Ww Figura 32 Resposta do Ricardo quest o 2 2 61 A segunda quest o da ficha quest o 3 pretendia ent o que os alunos observassem as rela es existentes entre os ngulos para al m da encontrada para os alternos internos Nesta quest o as explora es diferiram bastante umas das outras Uma das rela es identificada pela maioria dos pares a exist ncia ngulos verticalmente opostos que tinha sido trabalhada na aula anterior No entanto para al m destas foram formuladas outras conjecturas como se exemplifica a seguir Para al m da exist ncia de ngulos verticalmente opostos a Andreia e o Daniel referem de entre as rela es que identificaram a congru ncia dos ngulos alternos externos Figura 33 HAG 2 ECE DCE 2 GAS Figura 33 Rela o identificada pela Andreia e pelo Daniel na quest o 3 Apesar de a defini o de ngulos alternos externos n o ter sido ainda abordada quando os alunos realizaram esta ficha este par recorreu explica o que lhes tinha sido dada pa
135. plitude um ngulo giro ou seja 360 Demonstra o Consideremos o tri ngulo ABC cujos ngulos externos s o os ngulos BAD ACF e CBE Figura 22 21 Figura 22 Angulos externos do tri ngulo ABC Temos ent o que eZCAB ZBAD 180 porque os ngulos CAB e BAD s o suplementares eZBCA ZACF 180 porque os ngulos BCA e ACF s o suplementares eZCBE ZCAB ZBCA pelo teorema anterior Ent o obtemos que ZCAB ZBAD ZBCA ZACF 180 180 360 donde substituindo os angulos internos pelo externo obtemos que ZBAD ZACF ZCBE 360 28 3 4 Estrat gias de ensino A actividade que os alunos realizam de acordo com Ponte 2005 um dos factores que condicionam a sua aprendizagem podendo esta actividade ser suscitada pelo professor atrav s de tarefas adequadas ou seja de certo modo como refere o NCTM 2008 os alunos aprendem matem tica atrav s das experi ncias que os professores propiciam p 17 No caso da Geometria Ponte Brocado e Oliveira 2003 referem que A Geometria particularmente prop cia desde os primeiros anos de escolaridade a um ensino fortemente baseado na explora o de situa es de natureza explorat ria e investigativa p 71 Do mesmo modo tamb m as orienta es curriculares actuais salientam que o trabalho em Geometria reveste se preferencialmente de um cunho explorat rio e Investigativo pelo que as tarefas a propor aos alunos devem
136. pula los inclu uma tabela com o objectivo de ajudar os alunos a organizar os dados A ficha inclui uma segunda quest o que pretende conduzir observa o do que se verifica com um outro ngulo externo de modo a ajudar o aluno a compreender quais os ngulos envolvidos A ltima quest o a s ntese das anteriores ou seja corresponde formula o e justifica o da conjectura 38 Portanto esta ficha de trabalho tem por objectivo que os alunos compreendam o que um ngulo externo e de que forma se relaciona com os Internos recorrendo a formula o teste e justifica o de conjecturas 39 3 6 As aulas leccionadas A planifica o das aulas leccionadas neste estudo foi elaborada de forma faseada Assim embora inicialmente tivesse realizado uma planifica o de todas as aulas da unidade esta foi sendo ajustada em virtude do modo como decorreram as aulas que foram sendo leccionadas e que foram condicionando as que se lhes seguiram Deste modo a an lise dos planos de aula elaborados e que se encontram em anexo dever ter em conta este factor Tal como poss vel compreender analisando a sequ ncia de aulas planificadas a maioria das aulas desta interven o n o decorreu exactamente de acordo com o planeado De modo a clarificar e justificar as op es tomadas e as estrat gias e tarefas seleccionadas tendo em conta os conte dos a abordar e os objectivos a atingir apresento em seguida cada uma das au
137. ra a defini o de ngulos alternos Internos ngulos entre as rectas situados de lados diferentes da recta secante para constru rem a defini o de ngulos alternos externos Identificarem dois pares de ngulos com estas caracter sticas e reconheceram cada par de ngulos como congruentes o que foi poss vel compreender quando os alunos apresentaram a conjectura turma Professora Porque que se chamam ngulos alternos externos Daniel Ent o porque est o em lados opostos da secante e fora das paralelas Tal como aconteceu nas conjecturas anteriores tamb m nesta os alunos partiram da observa o para poderem chegar rela o como explicou a Andreia na discuss o com toda a turma Professora Como que voc s descobriram que eles eram congruentes Andreia Porque n s fomos movimentando as rectas tal como a st ra dizia para fazer e reparamos que sempre que as mov amos tal como os alternos internos os externos que eram alternos entre si tamb m mantinham sempre a mesma amplitude 62 Assim sendo este par conseguiu tirar partido das funcionalidades do GeoGebra para formular as suas conjecturas e utilizou os raciocinios anteriores para descobrir uma nova rela o Um outro par Rodrigo e a Daniela tamb m teve em aten o o trabalho realizado anteriormente neste caso na ficha de trabalho Angulos verticalmente opostos uma vez que exploraram o caso em que a recta secante era perpendicu
138. ra do aluno 4 1 2 Questionar os restantes alunos relativamente ao que pensam sobre a conjectura apresentada pelo colega 4 1 3 Elaborar um esbo o da situa o apresentada 4 1 4 Questionar os alunos sobre qual a raz o pela qual a conjectura l 15 min apresentada verdadeira 4 2 Pedir Sofia que explique a conjectura a que o par chegou pedindo que justifique porque pensa que verdadeira clo inke Vicon pe AIM Jum conau COM G mma OM pm A 08 4 2 1 Registar a conjectura da aluna 4 2 2 Questionar os restantes alunos relativamente ao que pensam sobre a conjectura apresentada pelo colega 4 2 3 Elaborar um esbo o da situa o apresentada 4 2 4 Questionar os alunos sobre qual a raz o pela qual a conjectura apresentada verdadeira 103 4 2 5 A partir das respostas dos alunos registar a Justifica o Cada um dos angulos da figura tem um angulo verticalmente oposto Como os ngulos verticalmente opostos s o congruentes cada ngulo tem um ngulo congruente a ele matem tica da conjectura apresentada 4 3 Pedir ao Daniel que explique a conjectura a que o par chegou pedindo que justifique porque pensa que verdadeira 9 Angulo atun eum wer VD Im S amp S E aD A ON gumis C OA MA N O gt HAS 2 ECE gt DEE 2 cas 4 3 1 Registar a conjectura do aluno 4 3 2 Questionar os restantes alunos relativamente ao que pensam sobre a conjectura apresentada pelo colega 4 3 3 Utilizar o esbo o anterior
139. rabalho muito positivo em que tinham trocado opini es e trabalhado colaborativamente Outro par seleccionado foi o Bernardo e o Tom s Apesar de terem tido uma avalia o ligeiramente inferior Andreia e ao Daniel nivel 4 no 2 Per odo estes alunos costumam ter uma participa o bastante activa nas aulas de Matem tica em especial o Bernardo Para al m disso ao longo do ano apresentaram algumas estrat gias e resolu es bastante criativas com racioc nios diferentes Este par de trabalho j tinha trabalhado em conjunto durante o 2 Per odo entendendo se muito bem Para o ltimo par procurei escolher alunos que apresentassem mais algumas dificuldades na disciplina de Matem tica Assim optei por seleccionar o Rodrigo e a Daniela apesar de anteriormente nunca terem trabalhado em conjunto na aula de Matem tica A avalia o destes dois alunos no 2 Per odo foi de n vel 3 Apesar disso o Rodrigo um aluno que ao longo do ano tem tido uma participa o nas aulas bastante positiva apresentando muitas vezes racioc nios bastante interessantes J a Daniela uma aluna bastante t mida n o participando muito na aula e fazendo por vezes algumas confus es Deste modo mesmo sendo alunos com classifica es semelhantes n o s o propriamente id nticos pelo que considerei que a troca de ideias entre os dois poderia fornecer dados Interessantes para o estudo visto que s o ambos alunos esfor ados Uma vez que o presente
140. rava es udio e v deo das aulas A partir desses dados pude concluir que a formula o de conjecturas assenta essencialmente na observa o de alguns casos particulares sendo tamb m influenciada pelos conhecimentos e experi ncias anteriores dos alunos O teste de conjecturas n o surge como processo independente estando Incorporado na pr pria formula o da conjectura Ao justificarem as suas afirma es os alunos n o utilizam apenas as defini es e propriedades geom tricas recorrendo tamb m visualiza o e aos valores num ricos Este estudo revela que os alunos manifestam ainda muitas dificuldades com a demonstra o o que natural visto ser o seu primeiro contacto com esta faceta do racioc nio matem tico contudo algumas reac es positivas evidenciam que poss vel esta ser trabalhada neste n vel de escolaridade Palavras chave racioc nio matem tico geometria conjecturas justifica o demonstra o 111 1V Abstract Throughout this report we present a study in a class of grade 7 based on a teaching unit under the topic Triangles and Quadrilaterals Its purpose is to analyze the students mathematical reasoning in subtopics Angles amplitude and measurement and Sum of internal and external angles of a triangle using specially exploration and investigation tasks To this end I formulated the following questions How do students formulate test and justify their conjectures
141. reendam que a exist ncia de v rios exemplos n o suficiente para que se estabele a a verdade de uma conjectura p 220 e que poss vel refutar uma conjectura atrav s de um contra exemplo Como tal os alunos devem de ser encorajados a procurar contra exemplos NCTM 2008 Ponte Brocado amp Oliveira 2003 Neste ponto a formula o de conjecturas incorrectas desempenha um papel fundamental uma vez que permite n o s o recurso ao contra exemplo como ainda possibilita a an lise da raz o pela qual a conjectura sendo aparentemente verdadeira acaba por se verificar falsa NCTM 2008 Para al m disso estas conjecturas incorrectas podem servir de base formula o de uma nova conjectura v lida como exemplificam Ponte Brocado e Oliveira 2003 Assim os processos de formula o de conjectura e o seu teste formam um ciclo que pode repetir se algumas vezes Ponte amp Matos 1996 p 124 Numa investiga o matem tica a ultima etapa diz respeito a argumenta o a demonstra o e avalia o do trabalho do trabalho realizado Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 p 20 ou seja corresponde justifica o e valida o da conjectura Em Matem tica a valida o de um resultado passa pela sua demonstra o que tem que ser considerada v lida pela comunidade matem tica conforme explicitam Ponte Brocardo e Oliveira 2003 Assim seria tamb m desej vel que os alunos seguissem este mesmo esque
142. rnos de um Tri ngulo Ficha de trabalho Tri ngulos Ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo Ficheiro GeoGebra ang_int_triang ggb Ficheiro GeoGebra anguloexternol ggb Manual de Matem tica do 7 ano Parte ID Calculadora Desenvolvimento da aula Tempo previsto 1 Registo do sum rio no quadro Anota o dos alunos que faltam Recolha En o min 117 de um Tri ngulo 2 1 Questionar os alunos sobre qual o objectivo da ficha de trabalho 2 2 Projectar o ficheiro GeoGebra ang int triang geb 2 3 Questionar os alunos sobre o valor da soma das amplitudes dos ngulos internos do tri ngulo 2 4 Chamar a aten o para o facto de termos procurado relacionar os ngulos internos do tri ngulo com os ngulos que formam o ngulo raso 2 5 Relembrar que os ngulos BAC e DBA s o congruentes bem como os ngulos BCA e CBE uma vez que s o alternos internos 2 6 Salientar que como os ngulos s o congruentes e ZDBA ZABC ZCBE 180 podemos concluir que ZCAB ZABC ZBCA 180 2 7 Chamar a aten o dos alunos que a este tipo de racioc nio chamamos uma demonstra o ou prova 2 8 Referir que uma demonstra o uma sequ ncia de passos baseados em propriedades matem ticas que nos permite chegar a uma conclus o 2 9 Questionar os alunos sobre qual a conclus o obtida neste caso 2 10 Registar o resultado matem tico que acabaram de demonstrar 2 1
143. rnou se evidente uma outra dificuldade O Ricardo utilizou na sua prova o facto de um angulo interno e um externo serem suplementares e de a soma dos ngulos internos de um tri ngulo ser 180 para provar que a amplitude de um ngulo externo era igual soma das amplitudes dos dois ngulos internos n o adjacentes O recurso a estas duas propriedades n o suscitou grandes d vidas No entanto o facto de da conjun o destas duas se poder retirar a propriedade pretendida foi muito complicado para os alunos entenderem Esta dificuldade j tinha sido sentida embora de modo muito mais suave na demonstra o em grande grupo de que dois ngulos verticalmente opostos s o congruentes Na realidade este tipo de conclus es envolve um tipo de racioc nio l gico com o qual os alunos n o est o ainda familiarizados Assim sendo de que forma poderiam os alunos compreender o que estava em causa Penso que talvez a utiliza o de exemplos de ngulos concretos de modo a que se pudesse aplicar o mesmo tipo de racioc nio poderia neste caso ter sido uma mais valia 6 4 Concluindo Ao longo deste estudo e em especial ao analisar os dados recolhidos tomei consci ncia de v rios aspectos relacionados tanto com as quest es em estudo como com a minha pr tica lectiva Deste modo atrav s dos dados analisados pude compreender que embora a observa o de v rios casos tenha um papel fundamental na formula o de conjecturas este n o
144. s ngulos internos de um tri ngulo Objectivos Deduzir o valor da soma de ngulos externos de um tri ngulo Formular testar e demonstrar conjecturas Distinguir entre uma demonstra o e um teste de uma conjectura e fazer demonstra es simples Recursos Materiais Computador com possibilidade de acesso ao GeoGebra Quadro interactivo Ficha de trabalho ngulos externos de um Tri ngulo Ficha de trabalho T P C Rela es entre ngulos HI Ficha de trabalho Angulos II Ficha de trabalho Tri ngulos Ficheiro GeoGebra anguloexternol ggb Manual de Matem tica do 7 ano Parte ID Calculadora Desenvolvimento da aula Tempo previsto 1 Registo do sum rio no quadro Anota o dos alunos que faltam Recolha do trabalho de casa ae 2 Discuss o e s ntese das conclus es obtidas pelos alunos na realiza o da Ca ficha de trabalho Angulos externos de um Tri ngulo 2 1 Projectar o ficheiro GeoGebra anguloexternol ggb 2 2 Questionar os alunos sobre quais as conjecturas que formularam 2 3 Seleccionar uma conjectura que nao seja valida 2 3 1 Pedir ao par de alunos respons vel pela conjectura que a explique aos colegas explicitando aquilo em que se basearam para a formular 2 3 2 Questionar os restantes alunos relativamente ao que pensam da conjectura dos colegas pedindo que justifiquem a sua opiniao 2 3 3 Questionar os alunos se poss vel encontrar um exemplo que con
145. s a resolu o da quest o conseguem encontrar paralelas 10 Distribui o da ficha de trabalho T P C Rela es entre ngulos IIT para trabalho de casa Trabalhos para casa Tarefas Extra Ficha de trabalho T P C Rela es entre e P gina 39 quest o 8 ngulos HI e P gina 39 quest o 6 Avalia o As tarefas realizadas ser o recolhidas para posteriormente serem analisadas e avaliadas as produ es dos alunos bem como o seu desempenho 115 Powerpoint triangulos pptx 60 75 45 180 116 Quinta aula 10 de Maio de 2011 Unidade Tematica Geometria Li es N meros 117 e 118 Data 10 05 2011 Sala 12 T pico Tri ngulos e Quadril teros Sub t picos Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo Sum rio Conclus o da aula anterior Conhecimentos pr vios Resolu o de uma ficha de trabalho sobre A l e Angulos verticalmente opostos ngulos internos de um tri ngulo A e Angulos alternos internos ngulos externos de um tri ngulo Objectivos Deduzir o valor da soma de ngulos Internos de um tri ngulo Compreender a no o de ngulo externo de um tri ngulo Formular testar e demonstrar conjecturas Distinguir entre uma demonstra o e um teste de uma conjectura e fazer demonstra es simples Recursos Materiais Computador com possibilidade de acesso ao GeoGebra Quadro interactivo Ficha de trabalho ngulos inte
146. s o para os alunos bem como que a raz o se prendia com o facto de o b ser comum s duas express es Tal s ficou claro mais tarde Um outro aspecto que aparentemente tamb m n o ficou claro para os alunos logo de inicio foi o facto de que n o podem utilizar a propriedade que pretendem provar na prova uma vez que alguns alunos procuravam justificar que a amplitude de um ngulo externo a soma das amplitudes dos ngulos internos n o adjacentes utilizando a pr pria propriedade Ainda no mbito desta propriedade o Dinis pensou que tinha encontrado um tri ngulo em que esta n o funcionava Esta ideia foi ent o exposta turma sendo semelhante ao esquema apresentado na Figura 49 a 97 a gt Figura 49 Esquema do exemplo elaborado pelo Dinis Ao tentar reproduzir o exemplo constru do pelo aluno gerou se um momento de discuss o interessante uma vez que o Dinis acreditava que um ngulo externo e um Interno n o adjacente eram congruentes como se pode ver no seguinte excerto Professora O externo o externo que igual a 97 Dinis Este igual a este apontando para o ngulo interno de 97 e para o externo Professora Porque que este igual a este 73 Professora O que o Dinis esta a dizer faz sentido Bernardo Nao Professora Porqu Bernardo Bernardo Como que ele sabe que o 97 debaixo igual ao 97 de cima Professora Eu tamb m gostava de saber No enta
147. s alunos que escrevam as amplitudes de mais ngulos usando a nota o 2 7 Questionar os alunos se dois ngulos verticalmente opostos s o sempre agudos ou obtusos de acordo com o exemplo dado pelo aluno 2 8 Pedir aos alunos que na aula anterior exploraram a situa o com as rectas perpendiculares para apresentarem a conclus o a que chegaram 2 9 Mover a recta secante de modo a obter uma recta perpendicular Caso seja necess rio para uma melhor compreens o poder o ser pedidos aos alunos mais exemplos que possibilitem a utiliza o da nota o introduzida 3 Distribui o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos I aos alunos e indica o da metodologia de trabalho 3 1 Entregar as fichas aos alunos 3 2 Interpretar a ficha de trabalho conjuntamente com a turma 3 2 1 Analisar a defini o de ngulos alternos internos i Questionar os alunos sobre o que uma recta secante ii Salientar que fazendo alus o ao facto de estarem sinalizados a Rm cores distintas a ae P s o ngulos alternos internos b y e s o ngulos alternos internos ili Explicar a origem do nome de ngulos alternos internos a Internos devido ao facto de se encontrarem entre as duas 97 rectas consideradas re s b Alternos porque se encontram em lados diferentes relativamente a recta secante 3 2 2 Pedir a um aluno que de acordo com a defini o indique um par de ngulos alternos internos na fi
148. s neste estudo Deste modo analisarei o trabalho realizado pelos alunos em quatro fichas de trabalho recorrendo tanto a produ es escritas como a extractos de di logos dos pares e em grande grupo Para al m disto analisarei tamb m alguns momentos da ltima aula 5 1 Ficha de trabalho ngulos verticalmente opostos O objectivo principal desta primeira ficha no que diz respeito ao racioc nio matem tico era proporcionar aos alunos a oportunidade de formularem e testarem conjecturas Para tal pretendia se que explorassem e investigassem as rela es entre os ngulos formados por duas rectas concorrentes mais precisamente entre os ngulos verticalmente opostos Foi solicitado aos alunos o registo de alguns exemplos de explora es de modo a por um lado orient los na formula o de conjecturas e por outro possibilitar uma melhor compreens o da actividade realizada A defini o de ngulos verticalmente opostos era assim tamb m um objectivo desta ficha tendo esta sido colocada na ficha Ao introduzir a tarefa todavia n o foi mencionada esta defini o nem o que era pretendido da ficha apenas foi entregue o enunciado e referido que era para ser realizada a pares utilizando o GeoGebra Ao acompanhar o trabalho dos alunos na resolu o da tarefa proposta pude observar que revelavam algumas dificuldades em compreender o que era pretendido com a ficha de trabalho questionando v rias vezes Stora o que que
149. sar directamente para a conjectura que interessava Ao solicitar aos alunos que procurassem demonstrar a conjectura surgiram diversas dificuldades pelo que a aula sofreu um atraso relativamente ao planeado Para al m disso uma vez que um dos alunos conseguiu elaborar a demonstra o do resultado a discuss o realizou se a partir dela Na procura da demonstra o surgiu ainda uma situa o constru da por um aluno que conduzia a um absurdo Resolvi assim alterar a planifica o e discuti la com a turma dado que este tamb m um Importante m todo de demonstra o e as orienta es curriculares referem que ao longo da sua escolaridade os alunos devem de contactar com os diversos m todos de demonstra o Assim sendo esta parte da aula acabou por utilizar bastante mais tempo do que o previsto inicialmente Na discuss o do valor da soma da amplitude dos ngulos externos de um tri ngulo acabei por n o realizar tantas experi ncias nem registar muitos valores visto que os alunos intuiram a propriedade praticamente logo no momento e formularam a conjectura Assim optei por continuar para a prova da demonstra o pedindo a participa o dos alunos Devido a alguns atrasos em todo o trabalho a discuss o das tarefas anteriores acabou por se limitar primeira parte da ficha Rela es entre ngulos III correspondente aos ngulos adjacentes Portanto n o foi poss vel cumprir tudo o que se tinha planeado N o obstan
150. se ZACI Za e y Z pois ye s o suplementares de ngulos congruentes ve 5 Portanto a e p s o congruentes assim como ye e por conseguinte os ngulos alternos internos s o congruentes Teorema 3 Se os ngulos alternos internos s o congruentes ent o os ngulos alternos externos tamb m s o congruentes Demonstra o Suponhamos que a e B s o congruentes e que ye s o congruentes ou seja que Za 4p e que Zy 26 Figura 18 Temos ent o que e Zy 2a porque qe y s o ngulos verticalmente opostos e Z N 4f porque por hip tese Za Zp Figura 18 Sistema de duas paralelas e uma secante 24 e 5 Ze porque fe s o ngulos verticalmente opostos Logo Zn Ze e por conseguinte 7 e s o congruentes Para al m disso temos que e O s o congruentes porque s o ngulos suplementares de ngulos congruentes 7 e respectivamente Portanto os ngulos externos s o congruentes Teorema 4 Se os ngulos alternos internos s o congruentes ent o os ngulos correspondentes tamb m s o congruentes Demonstra o Suponhamos que we 5 s o congruentes e que ye s o congruentes ou seja que Za Lf eque Zy 26 Figura 18 Temos ent o que e Z Lf porque ce p s o ngulos verticalmente opostos e Z Za porque por hip tese ae 5 s o congruentes eZ1n Za porque a e y s o ngulos verticalmente opostos e ZN Zf porque por hip tese
151. sigam progredir nas suas investiga es poderei 10 min Questionar quantos pares de ngulos alternos internos existem Sugerir que procurem os pares de ngulos congruentes Sugerir que registem alguns exemplos das explora es que realizaram por exemplo numa tabela 93 8 Discuss o dos resultados obtidos e realiza o de uma s ntese a partir das conclusoes obtidas 8 1 Ap s a conclus o da ficha de trabalho os alunos devem regressar aos seus respectivos lugares 8 2 Na quest o 1 pedir a um aluno que elabore a constru o pedida utilizando o quadro interactivo 8 3 Na quest o 2 1 8 3 1 Pedir a um aluno que identifique os pares de ngulos alternos internos 8 3 2 Questionar a turma relativamente escolha realizada pelo colega 8 3 3 Questionar os alunos se existir mais algum par de ngulos alternos Internos 8 4 Na quest o 2 2 8 4 1 Pedir a um par de alunos que apresente as suas conclus es e que 10 min expliquem em que se basearam e porque lhes parece verdadeira 8 4 2 Questionar a turma se mais algu m chegou as mesmas conclus es e sobre o pensam em rela o s conjecturas apresentadas pedindo que justifiquem a sua opini o As conjecturas a apresentar ser o seleccionadas a partir da observa o do trabalho dos alunos durante a realiza o da tarefa podendo contemplar tamb m a apresenta o de conjecturas que n o sejam verdadeiras 8 5 Na s ntese ter em aten o a ne
152. sos rasos e Medir em graus a amplitude de um ngulo p 25 Por sua vez em rela o soma dos ngulos internos e externos o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 define como objectivo espec fico deduzir o valor da soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo uma vez que esta propriedade teria sido j explorada no 2 ciclo O programa do 2 ciclo 1991 tamb m faz refer ncia a uma parte deste objectivo salientando que os alunos devem de 16 descobrir experimentalmente o valor da soma das amplitudes dos ngulos internos de um tri ngulo p 25 O Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 refere ainda em rela o a este subt pico que se pode tamb m propor aos alunos com um melhor desempenho a dedu o das f rmulas destas somas para um pol gono com n lados Deste modo na planifica o desta unidade did ctica procurei atender aos objectivos do Programa de Matem tica do Ensino Basico ME 2007 tendo no entanto em considera o o que de acordo com o programa do 2 ciclo 1991 poderia ja ter sido trabalhado pelos alunos nos anos anteriores Portanto no decorrer das aulas por mim leccionadas foram trabalhados os subt picos Angulos amplitude e medi o e Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo abaixo apresentados Quadro 1 Subt picos Objectivos espec ficos e Estabelecer rela es entre ngulos e e Formular testar R classif
153. spectos ligados observa o experimenta o e a constru o p 82 Assim o ensino da Geometria baseava se na apresenta o de uma axiomatica organizando se as actividades dos alunos a partir da mesma Veloso 1998 Em contrapartida Loureiro 2009 refere que na actualidade a Geometria apontada como a parte da Matem tica em que predomina o racioc nio visual Neste sentido as tend ncias actuais de acordo com Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 salientam o papel fundamental da Geometria para compreender o espa o em que nos movemos e para perceber aspectos essenciais da actividade matem tica p 83 Deste modo pretende se acima de tudo que estudando geometria os alunos possam aprender as formas e as estruturas geom tricas e o modo de analisar as suas caracter sticas e rela es NCTM 2008 p 44 Para tal Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 referem que importante que os conceitos e objectivos sejam trabalhados de um ponto vista mais experimental e que se explorem aplica es da Geometria vida real Em particular o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 defende que na Geometria se procure ao longo destes anos desenvolver o sentido espacial 11 especialmente a visualiza o e a compreens o das propriedades das figuras geom tricas assim como a utiliza o dos conhecimentos e capacidades na resolu o de problemas A visualiza o est ent o fortemente ligada
154. ste com este com este formam um ngulo giro que 360 Apesar de inicialmente ter pensado que o seu racioc nio se tinha baseado nos valores num ricos ao questionar os alunos sobre a forma como tinham pensado o Bernardo respondeu que Bernardo Como eu j sabia que a soma dos ngulos externos 360 reparei que se junt ssemos duas pe as ao desenho t nhamos um ngulo giro Assim sendo os alunos relacionaram os ngulos externos reparando que se os deslocassem poderiam junt los e formar um ngulo giro por conseguinte o Bernardo e o Tom s recorreram visualiza o para tentar justificar a rela o em causa Portanto as interven es de v rios alunos possibilitaram ent o que a turma conseguisse elaborar a demonstra o da propriedade 16 6 Reflex o final No decorrer deste trabalho procurei compreender mais aprofundadamente o racioc nio matem tico dos alunos na resolu o de algumas das tarefas propostas Neste ltimo cap tulo procuro assim dar resposta s tr s quest es formuladas no in cio do estudo Como que os alunos formulam testam e justificam as suas conjecturas na resolu o de tarefas de explora o investiga o Como que os alunos fundamentam as suas afirma es usando conceitos e propriedades geom tricas Quais as dificuldades que os alunos evidenciam no que se refere ao racioc nio matem tico Assim sendo procurei perceber como que os alunos formulam testam e justi
155. stru o ja estar realizada e de a ter ja ter assinalado durante a explica o os pares de ngulos alternos internos v rios alunos demonstraram algumas dificuldades nesta primeira parte da tarefa Ao mesmo tempo na segunda quest o os alunos mostraram se entusiasmados na procura de rela es desejando procurar mais Para al m disso o pr prio processo de formula o de conjecturas foi tamb m demorado Deste modo acabei por deixar que a resolu o da ficha se prolongasse durante muito mais tempo do que o previsto de modo a possibilitar que os alunos tivessem oportunidade de formular e explorar algumas conjecturas Assim sendo em vez dos 10 minutos planeados foi dedicada realiza o da ficha mais de meia hora Por conseguinte a aula sofreu um grande atraso tendo sido apenas poss vel realizar a discuss o da primeira quest o da ficha relativamente aos ngulos alternos internos Deste modo para al m da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IT ficou ainda por realizar a discuss o das outras rela es existentes num sistema de rectas paralelas cortadas por uma secante Apesar disso dos objectivos propostos para esta aula apenas um deles n o foi de todo conseguido raciocinar dedutivamente 3 6 3 Terceira aula 3 de Maio de 2011 Dado que a planifica o da aula anterior n o foi completamente cumprida esta terceira aula teria de ter isso em considera o Ao mesmo tempo havendo mais um t pico a leccionar e
156. tado de Neves M A F amp Faria M L M 1998 Exerc cios de matem tica parte 2 matem tica 7 ano Porto Porto Editora 132 Ficha de trabalho T P C Angulos II T P C Angulos II 1 Sem recorrer ao transferidor determina a amplitude dos angulos representados pelas letras nas figuras seguintes Explica como obtiveste a tua resposta 1 1 2 Observa a imagem seguinte A recta r paralela a s e a recta t paralela a u O que encontras de errado Justifica a tua resposta Adaptado de Serra M 2008 Discovering geometry Berkley Key Curriculum Press 133 Ficha de trabalho T P C Rela es entre ngulos II T P C Rela es entre ngulos III ngulos adjacentes 1 Os seguintes ngulos a e B s o adjacentes B a a a B Os seguintes ngulos a e B n o s o adjacentes Z Nbe gt lt M Em cada uma das seguintes figuras a e B s o ngulos adjacentes Justifica a tua resposta EIk Dois ngulos s o adjacentes Adaptado de NCTM 2001 Geometria nos 2 e 3 Ciclos normas para o curr culo e avalia o em matem tica escolar colec o adendas anos de escolaridade 5 8 Lisboa APM Obra original publicada em 1992 134 2 Diz se s o verdadeiras ou falsas as seguintes afirma es Elabora um desenho que exemplifique cada uma delas 2 2 Dois ngulos quaisquer que tenham 2 1 Dois ngulos adjacentes quaisquer x um lado com
157. tanto este estudo permitiu me uma reflex o sobre a minha pr tica lectiva tanto no sentido de compreender o racioc nio matem tico dos alunos e como posso desenvolv lo como em rela o aos aspectos que tenho ainda de trabalhar de modo a contribuir para uma melhor aprendizagem dos alunos 85 Refer ncias Bibliogr ficas Bogdan R amp Biklen S 1994 Investiga o qualitative em educa o Uma introdu o teoria e aos m todos Porto Porto Editora Candeias N 2005 Aprendizagem em ambientes de geometria din mica 8 ano Tese mestrado Universidade de Lisboa Duval R 1990 Pour une approche cognitive de l argumentation Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 3 195 221 Strasbourg IREM de Strasbourg Recuperado a 20 de Maio de 2011 de http www Jettredelapreuve 1t OldPreuve indexFR html Jiang Z in press Explorations and reasoning in the dynamic geometry nvironment In the Proceedings of the Thirteenth Asian Conference on Computers in Education Recuperado a 295 de Abril de 2011 de http atcm mathandtech org EP2008 papers_full 2412008_15336 pdf Loureiro C 2009 Geometria no novo programa de matem tica do ensino b sico contributos para uma gest o curricular reflexiva Educa o e Matem tica 105 61 66 Minist rio da Educa o 1991 Organiza o curricular e programas 2 ciclo do ensino b sico Lisboa Imprensa Nacional Casa da Moeda Recuperado a 13 de Dezembro
158. tas s o perpendiculares e conclu ram que obtinham apenas ngulos rectos tal como salientou o Rodrigo Deu nos sempre um ngulo recto As resolu es em que os alunos apenas registaram a sua conjectura foram bastante frequentes nesta tarefa Todavia n o deixaram de ser tamb m apresentadas resolu es muito distintas dessas O Lu s e a V nia na sua resolu o analisaram com o GeoGebra Figura 25 um nico caso procurando uma rela o entre os pares de ngulos observados mas n o generalizaram o que observaram nesse caso para todos os pares de ngulos nas mesmas condi es Deste modo n o chegaram a formular uma conjectura registando apenas a rela o existente no caso que observaram ou seja que existiam dois pares de ngulos verticalmente opostos congruentes Figura 26 Figura 25 Esbo o da constru o do Lu s e da V nia em GeoGebra 57 a gt aconice PA A Ae tr Ye S jo gt ane oto Ss Varsi ear Pra As a a Fos Q de an O ia tom LAM co ANNY GN Seg e Os 2 Os T Sn OS ET s A i lt 4 Sow VA o Pontes E O E gt f Tani an Pari oe r lt gt Le d gt TERM Yaa s os 3 D E 1B 5 Vea modinn com gt yay Vas L A4 2 yee Ga gt Pe a SAVETE Tae Ce SE Figura 26 Resolu o do Lu s e da V nia Por sua vez o Bernardo e o Tom s come aram por marcar e medir os ngulos utilizando o GeoGebra e por procurar ngulos com a mesma
159. te penso que os objectivos gerais da aula foram alcan ados 50 4 M todos de recolha de dados Uma vez que o presente estudo pretende ser um estudo de car cter Investigativo a selec o de m todos de recolha de dados tamb m uma fase necess ria e importante do trabalho realizado Ao longo do presente estudo tive de desempenhar simultaneamente dois pap is por um lado o de investigadora e por outro o de professora uma vez que a lecciona o das aulas em quest o esteva a meu cargo Assim os m todos de recolha de dados foram pensados de modo a que nenhum dos pap is comprometesse o outro uma vez que tanto a recolha dos dados poderia p r em causa o meu papel enquanto professora como vice versa Para al m disto foi tido tamb m em linha de conta o facto de ser um estudo essencialmente qualitativo e que como tal recomendado que a recolha de dados n o se limite a um nico de m todo Bogdan amp Biklen 1994 Deste modo foram utilizados essencialmente dois m todos de recolha de dados a recolha documental e a observa o com registo v deo e udio Para as grava es foram atempadamente solicitadas as autoriza es ao conselho executivo da escola e aos Encarregados de Educa o Anexo III 4 1 Recolha documental A recolha documental neste caso baseou se essencialmente na recolha das resolu es escritas das tarefas realizadas pelos alunos tanto em aula como em casa Com a an lise das tarefas r
160. tempo a gerir era importante terminar o t pico Angulos amplitude e medi o nesta aula Ao mesmo tempo seria importante proporcionar aos alunos oportunidades de utilizarem as propriedades estudadas na elabora o de justifica es visto que isto seria necess rio para as aulas seguintes Para al m disso pretendia tamb m introduzir dois conceitos com os quais os alunos j tinham vindo a trabalhar de forma informal os ngulos complementares e suplementares Deste modo 44 optei por realizar nesta aula as fichas de trabalho que estavam previstas para as aulas anteriores concluindo ent o a planifica o pendente Inicialmente pensei em dividir a aula em duas partes a discuss o da segunda parte da ficha de trabalho Rela es entre ngulos e a realiza o da ficha Rela es entre ngulos II No entanto ao analisar a resolu o da ficha enviada para trabalho de casa na 1 aula ngulos I encontrei alguns erros em especial referentes no o de ngulos verticalmente opostos pelo que decidi que seria importante dar algum feedback oral aos alunos com o objectivo de esclarecer algumas confus es existentes Posto isto precisava ent o planear de que forma o fazer Escolhi elaborar uma apresenta o de PowerPoint com extractos das resolu es dos alunos umas correctas outras nem tanto de modo a que pudessem compreender quais os erros cometidos e a sua raz o e ao mesmo tempo tivessem uma
161. tico n o se deixa encaixar em nenhuma defini o p 11 ou seja n o tem um conjunto de caracter sticas definidoras necess rias e suficientes p 11 Assim v rios autores Oliveira 2008 Saraiva 2008 Veloso 1998 consideram que uma das formas de compreender o racioc nio matem tico ter em conta o racioc nio dos pr prios matem ticos ao trabalharem e criarem a Matem tica Desta forma poss vel pelo menos encontrar algumas das componentes deste racioc nio Ponte e Sousa 2010 referem no mbito do racioc nio matem tico a Import ncia do racioc nio dedutivo e do indutivo e chamam ainda a aten o para o processo de racioc nio envolvido no estabelecimento de rela es entre objectos tanto matem ticos como n o matem ticos como um processo de racioc nio fundamental Por sua vez o Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 aponta o racioc nio matem tico como uma capacidade fundamental que envolve a formula o e o teste de conjecturas bem como numa fase mais avan ada a sua demonstra o Para al m disto considera tamb m que envolve a constru o de cadeias argumentativas que come am pela simples justifica o de passos e opera es na resolu o de uma tarefa e evoluem progressivamente para argumenta es mais complexas p 6 que utilizam a linguagem dos v rios temas matem ticos Assim o racioc nio matem tico visto como uma capacidade que deve ser desenvolvida a
162. tir da observa o de conjuntos Para tal a tarefa seleccionada apresenta aos alunos um conjunto de imagens de pares de ngulos adjacentes um conjunto de imagens de ngulos n o adjacentes e um ltimo conjunto em que se pretende que seleccionem os ngulos adjacentes atrav s da observa o dos aspectos comuns aos diferentes exemplos antes apresentados Assim espera se que os alunos construam a defini o de ngulos adjacentes atendendo s propriedades que identificaram 36 A segunda parte da ficha tem como objectivo por um lado consolidar os conhecimentos e ao mesmo tempo trabalhar a justifica o de conjecturas falsas atrav s do contra exemplo Assim a quest o composta por v rias afirma es sobre as quais o aluno deve intuir a sua veracidade ou n o apresentando exemplos que justifiquem a sua opini o Deste modo esta proporciona aos alunos a possibilidade de justificarem conjecturas que n o s o formuladas por eles e de compreender o papel do contra exemplo 3 5 7 ngulos internos de um tri ngulo Esta ficha enquadra se j no segundo subt pico Nas primeiras tarefas o ponto de partida foi a formula o de conjecturas no entanto como existia a possibilidade de os alunos j terem anteriormente tomado contacto com o resultado da soma dos ngulos Internos de um tri ngulo procurei que tivessem agora contacto com outra faceta do racioc nio matem tico Assim seleccionei e adaptei uma tarefa a partir
163. tra o Uma justifica o em que se analise todos os exemplos conhecidos poder constituir uma justifica o plaus vel mas no entanto para o autor n o se trata de uma demonstra o Por outro lado uma justifica o que a partir de um exemplo generaliz vel ou seja da demonstra o da afirma o num caso particular mas de tal modo que o leitor ficar convencido que essa prova ser v lida no caso 10 geral corresponde aos processos de demonstra o do s c XVII e pode se dever por exemplo ao facto de o aluno ainda n o possuir nota o que lhe permite chegar ao caso geral poder ser considerada uma demonstra o Um ltimo aspecto a ter em aten o e que pode constituir um obst culo ao desenvolvimento do racioc nio matem tico a auto estima dos alunos Apesar de se dizer que errar humano e de o m todo de tentativa e erro fazer tamb m parte da actividade matem tica a verdade que os falhan os podem desencadear frustra o e des nimo nos alunos devastando a sua auto estima inibindo a sua capacidade de raciocinar matematicamente ou o seu desejo de o fazer Oliveira 2008 p 8 2 2 O ensino da Geometria As perspectivas relativas ao ensino da Geometria t m evolu do com o tempo Durante o movimento da Matem tica Moderna a Geometria era vista como uma Ilustra o do car cter axiomatico e dedutivo da Matem tica Ponte Brocardo amp Oliveira 2003 desvalorizando se os a
164. tre ngulos IIT e P gina 39 quest o 8 Avalia o As tarefas realizadas ser o recolhidas para posteriormente serem analisadas e avaliadas as produ es dos alunos bem como o seu desempenho 107 ee ee Lf a Quarta aula 5 de Maio de 2011 Unidade Tematica Geometria Li es N meros 115 e 116 Data 05 05 2011 Sala 12 T pico Tri ngulos e Quadril teros Sub t picos Soma dos ngulos internos e externos de um tri ngulo Conhecimentos pr vios No o de ngulo Sum rio Classifica o de ngulos Correc o do TPC ngulos verticalmente opostos ngulos internos de um Distinguir ngulos complementares de ngulos tri ngulo suplementares ngulos alternos internos Objectivos Compreender e deduzir o valor da soma dos ngulos Internos de um tri ngulo Distinguir entre uma demonstra o e um teste de uma conjectura e fazer demonstra es simples Utilizar o racioc nio dedutivo Recursos Ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Ficha de trabalho ngulos internos de um Tri ngulo Ficha de trabalho Tri ngulos Ficha de trabalho T P C Rela o entre ngulos IIT Projector de video Ficheiro powerpoint triangulos pptx Manual de Matem tica do 7 ano Parte II Tempo Desenvolvimento da aula previsto 111 2 Correc o e discuss o do trabalho de casa al neas 1 1 3 1 2 e 2 2 a 2 5 da ficha de trabalho Rela
165. tura em que tudo se prova atrav s de algumas defini es e axiomas em conjuga o com regras l gicas pareceu me desde o princ pio fascinante uma vez que possibilitava que sabendo apenas alguns conceitos se pudesse construir todo o conhecimento necess rio simplesmente raciocinando A Geometria dentro de todos os temas matem ticos o que mais me encanta Desde pequena que aprecio a quantidade de informa o que se consegue retirar a partir de uma pequena quantidade de dados e como 1sso pode ser til no mundo real Ao longo do ensino b sico fazia me alguma confus o que os meus colegas tivessem tantas dificuldades nesta disciplina e que estudassem tanto sem conseguirem resultados uma vez que para mim a nica coisa que era preciso fazer era pensar Deste modo sempre considerei que a Matem tica estava intimamente ligada ao racioc nio e que este seria por conseguinte a base para se aprender esta disciplina Curiosamente na actualidade o racioc nio matem tico considerado pelo Programa de Matem tica do Ensino B sico ME 2007 como uma capacidade transversal que se deve procurar desenvolver ao longo de todo o Ensino B sico e em todos os temas Por outro lado a exist ncia de diferentes tipos de tarefas e a necessidade de n o nos limitarmos a utilizar um nico tipo de modo a podermos proporcionar aos alunos diferentes experi ncias de aprendizagem foi um dos assuntos abordados neste mestrado em Ensino da Matem tica que
166. turas Para al m disso seria nesses momentos que se pretendia tamb m trabalhar a demonstra o Como tal seriam partida momentos ricos para o analisar o racioc nio matem tico Deste modo considerei que a observa o com registo v deo das aulas e em especial destes momentos possibilitar me ia a an lise de dados importantes para responder minha problem tica O trabalho aut nomo dos alunos implicava de acordo com o apresentado no cap tulo 3 a formula o e o teste de conjecturas entre outras vertentes do Racioc nio Matem tico Deste modo para o presente estudo era tamb m importante conseguir compreender estes momentos Deste modo optei por recorrer grava o udio do trabalho realizado por tr s pares de alunos A escolha dos tr s pares procurou ter em linha de conta o desempenho dos alunos na disciplina de Matem tica bem como a sua participa o nas aulas e o tipo de estrat gias que normalmente apresentam na resolu o das tarefas propostas A Andreia e o Daniel s o dois alunos excelentes a Matem tica tendo ambos obtido n vel 5 no final do 2 Per odo O Daniel um aluno habitualmente muito participativo e que exp e as suas d vidas Por sua vez a Andreia um pouco mais t mida mas as suas participa es s o habitualmente muito pertinentes e ricas Para al m 53 disto estes alunos ja tinham trabalhado juntos numa outra ocasiao juntamente com um terceiro aluno tendo na altura realizado um t
167. turma os conceitos matem ticos relevantes para a unidade e os objectivos program ticos Para al m disso exponho ainda as estrat gias de ensino adoptadas e as aulas leccionadas 3 1 Caracteriza o da turma Este estudo incide sobre a turma C do 7 ano de escolaridade da escola acima referida situada na Tapada das Merc s no conselho de Sintra A turma participante constitu da por 27 alunos dos quais 17 s o rapazes e 10 s o raparigas As idades dos alunos no in cio do presente ano lectivo estavam compreendidas entre os 11 e os 16 anos existindo 9 alunos que j ficaram pelo menos uma vez retidos ao longo do seu percurso escolar A turma foi formada neste ano lectivo sendo que a maioria dos alunos frequentou no ano anterior diferentes turmas do 6 ano nesta mesma escola Existem ainda dois alunos repetentes do ano anterior e dois alunos que vieram transferidos de outras escolas um dos quais repetente Para al m destes no decurso do ano lectivo Integraram a turma dois novos alunos um dos quais foi entretanto transferido para outra turma De um modo geral esta uma turma bastante heterog nea tanto no aproveitamento como na postura na sala de aula Em rela o ao aproveitamento este tem sido considerado pelo conselho de turma como satisfat rio tanto no 1 como no 2 per odo No entanto no 1 per odo foram elaborados seis planos de recupera o e um plano de acompanhamento tendo sido preparado
168. ue justifiquem as suas afirma es Os diferentes pares de ngulos congruentes dever o ser assinalados na figura com cores distintas Caso seja necess rio para facilitar a compreens o de quais os ngulos congruentes e da justifica o poder se prolongar os lados do tri ngulo 6 3 Para a quest o 3 6 3 1 Pedir a um aluno que apresente a sua resolu o 6 3 2 Questionar os restantes alunos relativamente sua opini o acerca da resolu o apresentada e se chegaram a uma outra conclus o pedindo que justifiquem as suas afirma es 6 4 Registar o resultado matem tico obtido pelos alunos 6 5 Reorganizar as respostas obtidas s quest es 1 1 1 2 e 1 3 formando assim uma pequena demonstra o 6 5 1 Apelando participa o dos alunos registar que A recta DE paralela ao lado AC ent o e ZBAC ZABD porque os ngulos BAC e ABD s o ngulos alternos internos e ZBCA ZCBE porque os ngulos BCA e CBE s o ngulos alternos Internos ZABD ZABC ZCBE 180 porque os ngulos ABD ABC e CBE formam um ngulo raso Logo ZBCA ZABC ZBCA 180 6 6 Para a questao 4 6 6 1 Questionar os alunos sobre qual a resposta que deram a esta questao 6 6 2 Desenhar um tri ngulo is sceles 6 6 3 Questionar os alunos se a soma dos ngulos deste tri ngulo tamb m 180 pedindo que justifiquem a sua opini o 6 6 4 Questionar os alunos se conseguem construir um tri ngulo em
169. uestionar a turma relativamente ao que pensam de cada uma das conjecturas pedindo que justifiquem as suas opini es 5 6 4 Para as conjecturas verdadeiras procurar construir conjuntamente com os alunos pequenas cadeias dedutivas a partir 99 das propriedades estudadas na ultima aula angulos verticalmente opostos e angulos alternos internos 5 6 5 Caso alguma das conjecturas apresentadas seja falsa dar um contra exemplo da mesma 6 Distribui o da ficha de trabalho Rela es entre ngulos II aos alunose indica o da metodologia de trabalho Indica o de que a ficha de trabalho ser realizada a pares Indica o de que devem registar na ficha de trabalho todas as estrat gias que utilizem Indica o de que para realizar apenas a quest o 1 7 Realiza o a pares da quest o 1 da ficha de trabalho Rela es entre 5 min ngulos IV 8 Correc o e discuss o da quest o 1 da ficha de trabalho Rela es entre ngulos IV 8 1 Pedir a um par de alunos que apresente no quadro a sua resolu o da al nea 1 1 1 da quest o 1 8 2 Questionar a turma se concordam com a resposta do colega ou se chegaram a outra conclus o 10 min 8 3 Prosseguir com a correc o das restantes al neas da quest o 1 seguindo a estrat gia anterior As resolu es a apresentar ser o seleccionadas tendo em conta observa o do trabalho dos alunos durante a realiza o da tarefa podendo tamb m i
170. um s o suplementares s o congruentes 2 3 Dois ngulos de alternos internos s o sempre congruentes 2 4 Duas rectas quaisquer distintas que se intersectem formam sempre 1 Dois pares de ngulos verticalmente 111 Pelo menos um par de ngulos opostos suplementares iv Pelo menos um par de ngulos complementares 1 Pelo menos um par de ngulos adjacentes Adaptado de Concei o A Almeida M Concei o C amp Costa R 2010 MST 5 matem tica sob investiga o parte 1 Porto Areal Editores 135 Ficha de trabalho Angulos internos de um Tri ngulo A Angulos internos de um Tri ngulo I Observa O tri ngulo ABC representado na figura ao lado A recta DE paralela ao lado AC do tri ngulo e que passa pelo v rtice B 1 Qual o valor da soma dos ngulos DBA ABC e CBE Porqu 2 Identifica os pares de ngulos congruentes existentes na figura Justifica 3 Atendendo s respostas s quest es anteriores qual ent o o valor da soma dos ngulos internos do tri ngulo ABC Porqu 4 A conclus o que tiraste na quest o anterior permaneceria v lida se tiv ssemos considerado outro tri ngulo Porqu Adaptado de Candeias N 2005 Aprendizagem em ambientes de geometria din mica 8 ano Tese mestrado Universidade de Lisboa 136 Ficha de trabalho Triangulos Triangulos I 1 Para cada um dos tri ngulos seguintes determina a amplitud
171. um tipo de racioc nio semelhante ao de algumas quest es da ficha anterior sendo no entanto um pouco mais simples do que algumas das da anterior uma vez que esta foi pensada para ser realizada em casa e que pretendia que fosse tamb m acess vel aos alunos que pudessem ter mais dificuldades Por sua vez a quest o 2 utiliza um tipo de racioc nio ligeiramente diferente dado que procura que os alunos descubram o erro Considerei que esta quest o era pertinente pois ainda que utilizando as mesmas propriedades implica uma compreens o diferente das rela es e recorre tamb m contradi o indo ao encontro do trabalho realizado na ficha anterior 3 5 6 T P C Rela es entre ngulos II Inicialmente tinha pensado realizar e discutir em aula duas fichas diferentes uma primeira para Introduzir e trabalhar a no o de ngulo adjacente e uma segunda de aplica o de todas as propriedades e conceitos abordados no subt pico ngulos amplitude e medi o que recorreria ao contra exemplo No entanto devido a constrangimentos de tempo as duas fichas foram adaptadas de modo a puderem juntar se e ser realizadas em casa Deste modo esta ficha divide se em duas partes primeira parte correspondente primeira quest o diz respeito exclusivamente a no o de ngulo adjacente A ideia subjacente a esta primeira quest o que o aluno construa uma determinada no o matem tica neste caso a de ngulo adjacente a par
172. uns exemplos das explora es que realizaste Adaptado de Ponte J P Oliveira P amp Candeias N 2009 Tri ngulos e quadril teros Materiais de apoio ao professor com tarefas para o 3 ciclo 7 ano Lisboa DGIDC retirado de http area dgidc min edu pt materiais_NPMEB 002_Sequencia_Geometria_TrianguloseQuadrilateros_NPMEB_3c 28actual 17maio2010 pdf 128 Ficha de trabalho Rela es entre ngulos I Rela es entre ngulos I Consideremos duas rectas re s e uma recta t secante as duas Dos ngulos determinados pela secante dizemos que os pares a e B y e 6 se chamam ngulos alternos internos pre y 1 Constr i de acordo com as etapas abaixo indicadas duas rectas paralelas e uma terceira recta de modo a que intersecte as outras duas Etapas 1 Constr i a recta AB 1 Marca o ponto C de modo a que n o perten a recta AB 111 Constr i a recta paralela a recta AB e que passa por C iv Constr i a recta AC v Marca os pontos D E F Ge H de acordo com a figura 2 Mede os oito ngulos existentes na figura 2 1 Escreve todos os ngulos alternos internos que encontraste na figura 2 2 Move o ponto A Investiga as rela es que existem entre os ngulos alternos internos Regista alguns exemplos das explora es que realizaste 3 Regista outras rela es que encontres entre os v rios ngulos da figura Justifica Adaptado de Candeias N
173. vezes NCTM 2008 p 62 Sabemos que as conjecturas depois de formuladas precisam de ser testadas Ponte amp Matos 1996 Como referem estes autores o teste de conjecturas pode ser realizado de diversas maneiras por exemplo avaliando casos escolhidos especificamente ou casos escolhidos de modo aleat rio ou ainda procurando uma tentativa de prova Os testes de conjecturas acabam por vezes por se fundir com o pr prio processo indutivo da formula o de conjecturas uma vez que a manipula o dos dados come a a apontar no sentido de certa conjectura para logo em seguida ser refutada por um caso em que n o se verifica Ponte Brocado amp Oliveira 2003 p 33 Estes testes conferem uma maior credibilidade conjectura ou seja a repeti o de experi ncias bem conduzidas aumenta a nossa convic o de que a conjectura verdadeira faz crescer a sua plausibilidade Veloso 1998 p 361 No entanto citando Polya Veloso 1998 chama a aten o para o facto de que por muitos testes ou verifica es que se realizem conjectura esta continua sem estar provada Apesar de o teste de conjecturas ser um processo que os alunos interiorizam facilmente na verdade estes t m alguma tend ncia para considerar as conjecturas v lidas apenas a partir da verifica o de um n mero reduzido de casos conforme referem Ponte Brocado e Oliveira 2003 Deste modo necess rio que tal como refere o NCTM 2008 que comp
174. we 5 s o congruentes e Z porque fe s o ngulos verticalmente opostos e Ly porque por hip tese ye s o congruentes eZ0 y porque de y s o ngulos verticalmente opostos e 20 Z porque por hip tese ye s o congruentes Deste modo we s o congruentes bem como os pares Se n Ge y Ge Portanto os ngulos correspondentes s o congruentes Tri ngulos Um tri ngulo um pol gono de tr s lados Como tal os seus elementos fundamentais s o os lados e os ngulos Apesar disso o estudo apresentado neste relat rio incidiu mais fortemente nos ngulos raz o pela qual os conceitos e propriedades aqui apresentados dizem apenas respeito aos ngulos do tri ngulo 25 Num tri ngulo tal como em qualquer outro pol gono convexo podemos considerar dois tipos de angulos os angulos internos e os externos Figura 19 Denominamos por ngulo interno dum tri ngulo o ngulo formado por dois lados consecutivos tendo por v rtice o v rtice do pol gono Por sua vez chamamos ngulos externos dum tri ngulo aos ngulos formados por cada lado com o prolongamento do outro que lhe cont guo no mesmo v rtice Assim sendo os ngulos internos e externos s o suplementares mM ngulos externos ngulos internos Figura 19 Angulos de um tri ngulo Teorema 5 A soma dos tr s ngulos internos de um tri ngulo igual a um ngulo raso Demonstra o Consid

O Raciocínio Matemático dos alunos do 7.º ano em tarefas de

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