9. Manual de Usuario del Identificador Gráfico de
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1. 9 7 Ejemplos A continuaci n se describen dos ejemplos en los que se usa algunas de opciones del IGB ver 4 para la identificaci n de bifurcaciones en un sistema din micos continuo y uno discreto Para el primero se expone como ejemplo el an lisis de la funci n que describe la forma normal de la bifurcaci n de Hopf el cual se encuentra implementado dentro de los ejemplos del IGB En el caso del sistema discreto se ha hecho un an lisis sobre la funci n log stica en que tiene un comportamiento ca tico caracterizado por la aparici n de continuas bifurcaciones flip 228 9 7 1 Sistema din mico continuo La bifurcaci n de Hopf es la bifurcaci n asociada con la aparici n de dos valores propio complejos conjugados 1 2 i CON o gt 0 Tal como se ha visto en el cap tulo 3 la forma normal de esta bifurcaci n est descrita por Xy QAX1 X2 xl xo X gt X1 AX2 x x x2 El primer an lisis sobre este sistema din mico continuo es la construcci n de su retrato de fase mediante simulaci n Para esto se selecciona del men Configuraci n del IGB la opci n Retrato de fase Simulaci n Esta opci n nos exige la definici n del sistema din mico continuo a simular Se crea as un archivo HOPF M con las descripci n de la funci n y se coloca el nombre HoPF en el como variable IGB de funci n continua function yp hogpf y x1l y 1 x2 y 2 alfa y 3 yp alfa x1 x2 x12. Nueva gr fica IGSPLOT Vista 2D 3D IGVIEW2D 3D Grid on off IGGIRDON OFF Hold on off IGHOLDON OFF 223 9 3 5 Men An lisis Las opciones de este men permiten iniciar o detener el an lisis y ver el registro de datos y los resultados referentes a las bifurcaciones encontradas An lisis Simular Detener Registro Resultado Figura 9 6 Men An lisis Cada uno de los puntos calculados durante el an lisis del sistema din mico se grafica y se registra en el archivo REGISTRO TXT Del mismo modo cuando se utiliza el m todo directo de la funci n de prueba para la identificaci n de las bifurcaciones y una bifurcaci n es encontrada este dato se consigna en el archivo RESULTAD TXT Los comandos y funciones IGB utilizadas por las opciones de este men son ARS A AN Comando i n del Men An lisi 2 cer Funci n IGB Simular IGSIMULA Detener IGSTOP Registro FEDIT Resultado FEDIT 9 3 6 Men Ayuda En este men se encuentran la Ayuda en l nea de cada funci n IGB utiliza por los m todos para el an lisis del sistema y la informaci n Acerca de la versi n IGB yuda Ayuda Acerca de IGB10 Figura 9 7 Men Ayuda 224 En la versi n 4 y anteriores la ayuda en l nea se muestra dentro de la ventana principal de MATLAB A partir de la versi n 4 esta ayuda aparece en una ventana 9 4 Gr fica En la gr fica
3. par metro Cabe anotar que todos los puntos graficados son registrados en el archivo registro m que puede ser editado haciendo clic sobre el bot n Registro Para estas condiciones el archivo generado tiene un tama o de 2 1MB Para identificar las bifurcaciones presentes en el sistema se puede hacer un paneo por todo el espacio graficado utilizando el m todo de Newton Raphson multipunto que permite identificar todas los puntos fijos estables e inestables a partir de m ltiples condiciones iniciales De esta manera se deben definir tres funciones m s La primera es el Jacobiano de la funci n discreta J x a J x a 4a 8ax As mismo se define la funci n continua f x a y su Jacobiano J x a necesarios para la implementaci n del m todo de Newton Rapshon multiparam trico Ax a 4ax 4ax2 x J x a 4a 8ax 1 Estas funciones son definidas en los archivos LOGDJ M LOGC M LOGCJ M del siguiente modo function J ValPr 10g9d y x y 1 alfa y 2 J 4 alfa 8 x alfa ValPr eig J function yp logc y x y 1 alfa y 2 yvp 4 alfa x 4 alfa x 2 x function J ValPr Z 1090CJ y x y 1 alfa y 2 J 4 alfa 8 x alfa 1 ValPr eig J Z 4 x 4 x 2 233 El resultado es la identificaci n de todos los puntos fijos del sistema en el espacio graficado 4 Identificador Gr fico de Bifurcaciones ioj xi Fie Edit Window Help Archivo Configuraci
4. 9 1 Preparaci n A continuaci n se describen los requerimientos del sistema el procedimiento de instalaci n y el contenido del IGB 213 9 1 1 Requerimientos del sistema Como se sabe el IGB es un programa que corre bajo MATLAB as que como requisito b sico el PC debe tener instalada una versi n de MATLAB 4 x para IGB 4 o MATLAB 5 x para IGB 5 El IGB es un programa que ocupa menos de 1MB en disco duro Durante su ejecuci n puede generar archivos de texto donde consigna los valores de los puntos que se grafican que pueden superar los 3 MB 9 1 2 Instalaci n 1 Copie el contenido del disco de instalaci n en la carpeta donde tiene instalado Matlab En IGB versi n 4 para Matlab 4 x se crear n los siguientes directorios MATLAB IGB40 MATLAB IGB40 IGBCOM MATLAB IGB40 IGBFUN MATLAB IGB40 USUARIO MATLAB IGB40 EJEMPLOS 0000 En la versi n 4 para Matlab 5 x se crear n los siguientes directorios C ARCHIVOS DE PROGRAMAAMATLABAIGB50 C XARCHIVOS DE PROGRAMA MATLAB IGB50 IGBCOM C ARCHIVOS DE PROGRAMAAMATLABANIGB50XIGBFUN C ARCHIVOS DE PROGRAMAAMATLABAIGB50ONUSUARIO C NARCHIVOS DE PROGRAMAAMATLABNY IGB50MEJEMPLOS 2 A continuaci n debe adicionar al PATH de MATLAB los directorios de IGB Para MATLAB 4 x debe editar el archivo MATLABCR M Ubicado en el directorio del programa C IMATLAB Ubique la l nea que dice matlabpath y a continua
5. el usuario En las dos versiones de IGB es posible cargar archivos de ejemplo desde el men Archivo En este mismo men se encuentran las opciones de Nuevo con la que se carga las opciones por defecto consignadas en el archivo IGNI EW M Del mismo modo se puede acceder al comando con el cual se cierra la aplicaci n desde la opci n salir Los comandos IGB de cada una de estas opciones son 220 Opci n del Men Archivo Comando IGB Nuevo IGNEW Abrir IGOPEN Guardar IGSAVE Guardar como IGSAVEAS Bifurcaci n Fold Sistema Continuo IGFOLD Bifurcaci n Hopf Sistema Continuo IGHOPF Bifurcaci n Flip Sistema Discreto IGFLIP Bifurcaci n Fold Sistema Discreto IGFOLDD Bifurcaci n Neimark Sacker Sistema Discreto IGSACKER Salir IGCLOSE Disponible en IGB v4 9 3 2 Men Configuraci n El men configuraci n permite seleccionar el tipo de sistema que se va a analizar continuo o discreto y el tipo de an lisis o salida retrato de fase o diagrama de bifurcaci n Configuraci n v Sistema cont nuo Sistema discreto Retrato de fase Simulaci n Gr fica de tiempo v Diagrama de bifurcaci n Figura 9 3 Men Configuraci n Con la opci n de Retrato de fase Simulaci n se puede seleccionar los valores de los par metros del sistema y visualizar su comportamiento en el tiempo Esta opci n es conveniente cuando el comportamiento del sistema es descono
6. expone el contenido de cada una de las carpetas del IGB MATLAB IGBXX CONTENTS Archivo con la informaci n sobre el contenido del IGB FILELIST Archivo de texto con el contenido del IGB ABOUT Archivo de texto con la informaci n sobre el IGB About CONTACT Archivo de texto con los datos de los creadores del IGB GETPROFL Librer a necesaria para la ejecuci n del editor de texto dentro de IGB en IGB 4 215 NIGBFUN Carpeta con las funciones del IGB NIGBCOM Carpeta con los comandos del IGB NUSUARIO Carpeta con los archivos del usuario NEJEMPLOS Carpeta con archivo de ejemplo MATLAB IGBXX IGBFUN CONTENTS Archivo con la informaci n sobre las funciones del IGB NEWTON M todo de Newton para la localizaci n de equilibrios NEWTONMP M todo de Newton para la localizaci n de equilibrios en sistemas multiparam tricos SECANT M todo secante para la localizaci n de equilibrios SECANTMP M todo secante para la localizaci n de equilibrios en sistemas multiparam tricos SEIDEL M todo de Seidel para la localizaci n de puntos fijos SEIDELMP M todo de Seidel para la localizaci n de puntos fijos en sistemas multiparam tricos BOLZANO M todo de bisecci n de Bolzano para la localizaci n de equilibrios FBRUTA Identificaci n de bifurcaciones por fuerza bruta XVST Gr fica decomportamiento contra el
7. n M todo Gr fica An lisis Ayuda Sistema discreto Hold ON Loge L mites de la gr fica T x y 1 gt Y om f on 0 8 F 7 1557 Precisi n ad Deta Epsilon x 0 4 F Punto inicial o2l J II T Posiciones de par metros ra a po 0 7 0 75 0 8 0 85 0 9 0 95 1 Posiciones de ploteo 2 1 Diagrama de btucaci al Newton Raphson multipunto Funci n disc Editar Jacobiano disc Logdi Funci n cont Loge Jacobiano cont Logej EET O E ES Figura 9 16 M todo del disparo m ltiple en el IGB Tal como se esperaba a lo largo del sistema se encuentra un ramal de equilibrios que sufre un cambio de estable a inestable Aunque el par metro del sistema din mico tiene m ltiples valores cr ticos y bifurcaciones de doblamiento de periodo solo hay un ramal identificable por el m todo de Newton Raphson multiparam trico 234 Para identificar de que tipo de bifurcaci n se trata y el valor cr tico del par metro se utiliza un m todo de continuaci n y una funci n de prueba Se escoger el m todo de continuaci n con predictor secante y la funci n de prueba TFUND 4 Identificador Gr fico de Bifurcaciones olx File Edit Window Help Archivo Configuraci n M todo Gr fica An lisis Ayuda pea ero Loge BER L mites dela gr fica 1 T T T Xx Y z P7 ter Sta Paso Precisi n oer Delta Epsilon 0 4 F Punto inicial 10 4213 0 7 0 2 F Posiciones
8. n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n PMUL IGSECANT Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n PSECANT IGSEIDEL Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n PSEIDEL IGCSC Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n CSC CSCD IGCSCP Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n CSCP CSCPD IGCTC Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n CTC CTCD IGCTCP Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n CTCP CTCPD IGTFUN Prepara la interfaz para el uso de funci n de prueba IGABOUT Muestra el Help About IGB IGHELP Muestra la Ayuda en l nea del IGB FEDIT Funci n interna para la edici n de archivos MATLAB IGBXX EJEMPLOS CONTENTS Archivo con la informaci n sobre las ejemplos del IGB FOLD Forma normal de la bifurcaci n fold continua FOLDJ Jacobiano de la funci n FOLD FOLDP Parametrizaci n de la funci n FOLD FOLDJP Jacobiano de la funci n FOLDP FOLDD Forma normal de la bifurcaci n fold discreta FOLDJD Jacobiano de la funci n FOLDD HOPF Forma normal de la bifurcaci n de Hopf HOPFJ Jacobiano de la funci n HOPF HOPFP Parametrizaci n de la funci n HOPF HOPFJP Jacobiano de HOPFP FLIP Forma normal de la bifurcaci n flip en formato de funci n continua FLIPJ Jacobiano de la funci n FLIP FLIPP Parametrizaci n de la funci n FLIP FLIPJIP Jacobiano de la funci n FLIPP FLIPD Forma normal de la bifurcaci n flip FLIPID Jacobiano de la
9. tiempo en IGB 5 PUNI Continuaci n con corrector Newton Raphson para sistemas continuos PUNID Continuaci n con corrector Newton Raphson para sistemas discretos PMUL Corrector Newton Raphson a partir de varios puntos en sistemas continuos PMULD Corrector Newton Raphson a partir de varios puntos en sistemas discretos PSECANT Continuaci n con corrector Secante para sistemas continuos PSECANTD Continuaci n con corrector Secante para sistemas discretos PSEIDEL Continuaci n con corrector Seidel para sistemas discretos CSC Continuacion con predictor secante para sistemas continuos CSCD Continuacion con predictor secante para sistemas discretos CSCP Continuacion con predictor secante para sistemas continuos parametrizados CSCPD Continuacion con predictor secante para sistemas discretos parametrizados CTO Continuacion con predictor tangente para sistemas continuos CTCD Continuacion con predictor tangente para sistemas discretos CTCP Continuacion con predictor tangente para sistemas continuos parametrizados CTCPD Continuacion con predictor tangente para sistemas discretos parametrizados MATLAB IGBXX IGBCOM CONTENTS Archivo con la informaci n sobre las funciones del IGB IGB Comando para el inicio de la interfaz del IGB IGNEW Creaci n de un archivo IGB nuevo IGCLOSE Permite salir del IGB en IGB 4 IGFOLD Preparaci n de la interfaz para el ejemplo de bifurcaci n FOLD continua IGHOPF Preparaci n de la interfaz para el ejemplo de bifurca
10. unipunto Funci n cont y Editar Jacobiano cont GradFun Editar Funci n param rural Editar Jacobiano param GradFunP Editar sima Deiener regio Jf Resurado NN agua s Figura 9 1 Interfaz del IGB La interfaz de IGB est constituida por los siguientes elementos Men s Gr fica Variables IGB externas tipo vector Variables IGB externas tipo funci n Botones de comando Informaci n sobre todas las variables IGB puede encontrarse en el cap tulo 7 del informe 9 3 Men s Los men s permiten configurar las variables IGB internas que son las que controlan la ejecuci n de las funciones Cada cambio realizado en las opciones de los men s se refleja sobre la interfaz Los men s del IGB son Archivo Configuraci n M todo Gr fica An lisis Ayuda 219 Los men s File Edit Window y Help pertenecen a MATLAB 9 3 1 Men Archivo El men archivo permite manejar las opciones relacionadas con el entorno del IGB Archivo Nuevo Abrir Guardar Guardar como Ejemplos Bifurcaci n Fold Sistema Continuo Salir Bifurcaci n Flip Sistema Bifurcaci n Hopf Sistema Continuo Bifurcaci n Fold Sistema Discreto Discreto Bifurcaci n Neimark Sacker Sistema Discreto Figura 9 2 Men Archivo En la actualidad es posible cargar una archivo que pueda ser le do por IGB 4 Este contiene las opciones de configuraci n seleccionadas por
11. 212 9 Manual de Usuario del Identificador Gr fico de Bifurcaciones El Identificador Gr fico de Bifurcaciones IGB es una herramienta que permite localizar valores cr ticos de par metros independientes en sistemas din micos aut nomos multiparam tricos continuos y discretos En su an lisis gr fico m todo indirecto el IGB utiliza dos estrategias simulaci n y continuaci n Para la localizaci n exacta del valor cr tico y tipo de bifurcaci n m todo directo el IGB utiliza funciones de prueba El IGB se ha desarrollado como un toolbox para MATLAB En la actualidad existen dos versiones IGB 4 para MATLAB 4 x e IGB 5 para MATLAB 5 x la cual incorpora las ventajas propias de su plataforma operativa y mejor presentaci n gr fica Este Manual de Usuario presenta la interfaz del IGB mediante la cual se pueden ejecutar las funciones del toolbox Esta es la forma m s r pida y sencilla de operar el IGB En el Manual de Referencia se exponen las funciones y la forma de ejecutarlas directamente a mano El Manual de Usuario del IGB trata los siguientes temas Preparaci n En la preparaci n se describen los requerimientos del sistema el procedimiento de instalaci n y el contenido del IGB Interfaz En esta secci n se presenta el contenido del la interfaz gr fica del IGB men s variables gr fica y botones de comando Ejemplos Se presenta un ejemplo de aplicaci n para un sistema din mico continuo y otro para uno discreto
12. aso Precisi n Delta Epsilon 10 5 10 5 Punto inicial Posiciones de par metros Posicic de ploteo xi da E P F 8 1 2 Continuaci n secante sin parametrizaci n Diagrama de bifurcaci r Jacobiano cont Hopk Edta Jacobiano disc MT O A SEA Figura 9 14 Continuaci n 3D en el IGB Como se observa en la figura se ha utilizado como la funci n de prueba descrita en el archivo TFUN M que identifica bifurcaciones de codimensi n 1 en sistemas din micos continuos De esta forma se consigue identificar directamente el tipo de bifurcaci n presente en este sistema Para ver el resultado basta con hacer clic sobre el bot n Resultado 231 IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACION ver 4 T EJ un ARCHIVO DE RESULTADOS 25 May 2000 M todo Predictor Secante Continuo Archivo de la funci n Hopf Archivo del Jacobiano HopfJ Archivo de la funci n de prueba TFun Punto inicial YO 0 0 1 Posiciones de los par metros 3 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n HOPF entre los equilibrios Y 0 0 0 01537 e valor 0 01537 1 1 0 01537 1 1 Y 0 0 0 001948 e valor 0 001948 1i 1 0 001948 i 1 Se puede comprobar que el sistema tiene un equilibrio en el punto y O O 0 cuyo valor propio al ser evaluado en el Jacobiano es 14 1 es decir i Lo cual coincide con el resultado arrojado por IGB 9 7 2 Sistema din mico discreto Consid rese la ecuaci n
13. ci n FLIP IGFOLDD Preparaci n de la interfaz para el ejemplo de bifurcaci n FOLD discreta IGFLIP Preparaci n de la interfaz para el ejemplo de bifurcaci n FLIP IGSACKER Preparaci n de la interfaz para el ejemplo de bifurcaci n NEIMARK SACKER IGCON Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de un sistema continuo IGDIS Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de un sistema discreto IGRFASE Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n RFASE IGXVST Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n XVST en IGB 5 IGDBIF Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de un diagrama de bifuraci n simulaci n IGSPLOT Crea o modifica la gr fica de acuerdo a los par metros dados por el usuario IGVIEW2D Visualiza gr fica en 2D IGVIEW3D Visualiza gr fica en 3D IGGRIDOF Oculta la grilla de la gr fica IGGRIDON Muestra la grilla de la gr fica 216 IGHOLDOF Permite la opci n HOLD OFF de la gr fica IGHOLDON Permite la opci n HOLD ON de la gr fica IGGINPUT Obtenci n de las coordenadas de un punto haciendo clic sobre la gr fica TGSIMULA Comando para iniciar el ploteo IGSTOP Detiene el ploteo y registro de datos IGFBRUTA Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n FBRUTA IGPUNI Preparaci n de la interfaz para la ejecuci n de la funci n PUNI IGPMUL Preparaci
14. ci n agregue estos tres renglones 214 c imatlabligb40 c Amatlabligb40ligbcom c Amatlabligb40ligbfun c Amatlabligb40lusuario c Amatlabligb40l1ejemplos Otro procedimiento es la edici n o creaci n del archivo STARTUP M del directorio MATLAB TOOLBOX LOCAL al cual se le pueden agregar las siguientes l neas igbpath C AMATLABNigb40 C AMATLABNigb40Nigbcom C AMATLABNigb40Nigbfun C AMATLABMigb40lMusuario C MATLAB igb40 ejemplos path igbpath path Para MATLAB 5 x puede editar el archivo STARTUP M adicionando las l neas addpath C ARCHIVOS DE PROGRAMAAMATLABYigb50 C ARCHIVOS DI C ARCHIVOS DI C NARCHIVOS DI C NARCHIVOS DI PROGRAMAAMATLAB igb50ligbcom PROGRAMAAMATLABligb50ligbfun PROGRAMAAMATLABligb50Xusuario PROGRAMAAMATLABligb50lejemplos EJ Eno Ed E La pr xima vez que inicie MATLAB podr utilizar el IGB 9 1 3 Contenido del programa La carpeta del IGB denominada IGB40 para en la versi n 4 e IGB50 en la versi n 5 contiene todas las subcarpetas funciones comandos y archivos del toolbox Los archivos del IGB se encuentran distribuidos en cuatros subcarpetas IGBFUN para las funciones IGBCOM para los comandos EJEMPLOS donde hay funciones de ejemplo y USUARIO donde est n las plantillas de los archivos que puede modificar el usuario A continuaci n se
15. ci n de prueba para bifurcaciones en sistemas continuos TFUND Funci n de prueba para bifurcaciones en sistemas discretos FUN Plantilla para la funci n del sistema continuo GRADFUN Plantilla para el Jacobiano de la funci n del sistema continuo FUNP Plantilla para la funci n parametrizada del sistema continuo GRADFUNP Plantilla para el Jacobiano de la funci n parametrizada del sistema continuo FUND Plantilla para la funci n del sistema discreto GRADFUND Plantilla para el Jacobiano de la funci n del sistema discreto 9 2 Interfaz La interfaz del IGB ha sido dise ada de tal forma que el usuario pueda configurar el sistema para su estudio en una sola pantalla Todas las variables que el IGB necesita para su ejecuci n pueden ser configuradas desde la interfaz En las versiones 4 y 5 de IGB la interfaz tiene la misma disposici n y las herramientas implementadas para la identificaci n de bifurcaciones son las mismas En este sentido las dos versiones son iguales y la nica diferencia es la versi n de MATLAB para la cual fueron desarrolladas 218 Es Identificador Gr fico de Bifurcaciones File Edit Windows Help Archivo Configuraci n M todo Gr fica An lisis Ayuda cea continuo Nueva gr fica Hold IN L mites de la gr fica 1 05 Precisi n Epsilon 0 Punto inicial 0 5 Posiciones de par metros 1 1 0 5 D 0 5 1 x Posiciones de ploteo Diagrama de bifurcaci n Newton Raphson
16. cido y se desea establecer los valores de los par metros para la detecci n de sus bifurcaciones Con esta opci n se utiliza la funci n RrFASE descrita en el Manual de Referencia Gr fica de tiempo muestra el comportamiento del sistema din mico aut nomo continuo o discreto en el tiempo En el caso de los sistemas discretos no se hace necesario definir un paso de tiempo ya que cada unidad de tiempo es definida por los estados del sistema 221 Para los sistemas continuos se define la unidad de paso del tiempo At y a partir de un punto inicial se calcula el siguiente as usando la aproximaci n Ax At f x La opci n de Diagrama de bifurcaci n permite la utilizaci n de varios m todos para la detecci n e identificaci n de bifurcaciones Los comandos IGB de cada una de estas opciones son Opci n del Men Archivo Comando IGB Sistema continuo IGCON Sistema discreto IGDIS Retrato de fase Simulaci n IGRFASE Gr fica de tiempo IGXVST Diagrama de bifurcaci n IGDBIF 9 3 3 Men M todo El men M todo se activa cuando se selecciona la opci n Diagrama de bifurcaci n del men Configuraci n En este men se puede seleccionar el m todo para el an lisis del sistema din mico Los comandos de este men ejecutan las funciones descritas en el Manual de Referencia M todo Fuerza bruta Y Newton Raphson unipunto Newton Raphson multipunto Secante Seidel Predictor secante Predic
17. d Y A 0 7 0 75 0 8 0 85 0 9 0 95 1 al Posiciones de ploteo Continuaci n secante sin parametrizaci n Diagrama de bifurcaci n AA DEA Figura 9 17 Continuaci n 2D en el IGB Los resultados consignados en el archivo RESULTAD TXT son IDENTIFICADOR GRAFICO DE BIFURCACIONES ver 4 ARCHIVO DE RESULTADOS 25 May 2000 M todo Predictor Secante Discreto Archivo de la funci n Logc Archivo del Jacobiano Logcj Archivo del Jacobiano Logdj Archivo de la funci n de prueba TFunD Punto inicial Y0 0 4213 0 7 Posiciones de los par metros 2 BIFURCACIONES ENCONTRADAS Bifurcaci n FLIP entre los puntos fijos Y 0 6661 0 7488 e valor 0 9953 Y 0 6667 0 7501 e valor 1 235 El valor cr tico de la bifurcaci n podr a precisarse disminuyendo el tama o de paso tanto como se desee Por ejemplo con un tama o de paso de 107 el valor cr tico del par metro independiente se encuentra entre Y 0 6666 0 7499 e valor 0 9998 Y 0 6667 0 7501 e valor 1 Este valor puede ser comprobado anal ticamente determinando el punto en el que el multiplicador caracter stico del punto fijo tiene norma de 1 Como se aprecia de la ecuaci n del sistema discreto adem s de la soluci n trivial x 0 se encuentra un punto fijo siempre que x 1 4a lo cual es v lido siempre que a gt 0 25 El multiplicador caracter stico de este punto fijo evaluado en el Jacobia
18. del IGB se visualiza en tiempo real el progreso en el desarrollo de los m todos para el an lisis del sistema din mico Cada punto calculado es graficado y registrado en el archivo de registro Bistema continuo Hold ONI Lorenz Retrato de fasg Figura 9 8 Simulaci n en el IGB Del mismo modo la gr fica muestra la informaci n acerca de 9 5 Tipo de sistema discreto o continuo seleccionado en el men Configuraci n Tipo de an lisis diagrama de bifurcaci n o retrato de fase seleccionado en el men Configuraci n M todo utilizado para el an lisis seleccionada en el men M todo Estado sobre el repintado de la gr fica de la opci n Hold del men Gr fica Variables externas IGB Tal como se explic en el cap tulo 7 el IGB maneja dos tipo de variables internas y externas Las variables por lo general se modifican con las opciones del men Las 225 variables externas aparecen ante el usuario en el IGB y el usuario puede configurarlas a su acomodo Dentro de las variables externas se pueden distinguir dos tipos vector y funci n Las variables tipo vector como lo dice su nombre son vectores o n meros Las de tipo funci n pues son funciones o en realidad nombres de funciones Las primeras su localizan a la izquierda de la gr fica y las segundas debajo de esta Ver Figura 9 1 9 5 1 Variables IGB externas tipo vector Estas variables configuran las entradas num ricas de
19. funci n FLIPD SACKER Forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker en formato continuo SACKERJ Jacobiano de la funci n SACKER SACKERP Parametrizaci n de la funci n SACKER SACKERJP Jacobiano de la funci n SAKCERP SACKERD Forma normal de la bifurcaci n de Neimark Sacker SACKERJID Jacobiano de la funci n SACKERD LOGISTIC Funci n log stica discreta ROBERT Funci n de Robertson o variaci n de la log stica discreta RICKER Funci n de Ricker discreta en formato de funci n continua RICKERJ Jacobiano de la funci n RICKER FORK Forma normal de la bifurcaci n fork en formato de funci n continua FORKJ Jacobiano de la funci n FORK ADAMS1 Funci n de Adams continua ADAMSJ Jacobiano de la funci n de Adams BIF1 Comando para graficar la bifurcaci n fold 217 BIF2 Comando para graficar la bifurcaci n fork BIF3 Comando para graficar la bifurcaci n de Neimark Sacker HOPFEX Funci n para trazar c rculos Requerida por BIF 3 ORENZ Funci n de Lorenz ORENZA Simula la funci n de Lorenz TEST Funci n de muestra expuesta en el informe TESTIJ Jacobiano de la funci n TESTI TEST2 Funci n de muestra expuesta en el informe TEST3 Funci n de muestra expuesta en el informe NOTA Constantamente se realizan pruebas sobre el IGB y se adicionan a esta carpeta nuevos ejemplos AMATLABN IGBXXXUSUARIO CONTENTS Archivo con la informaci n sobre las plantillas del IGB TFUN Fun
20. las funciones del IGB De acuerdo al tipo de funci n seleccionada en el men aparecen las variables involucradas en el an lisis L mites de la gr fica Z x Y GEL S AL Paso Precisi n Epsilon Punto inicial Posiciones de par metros Posiciones de ploteo Figura 9 9 Variables externas tipo vector Las variables IGB externas tipo vector son Variables IGB externas tipo vector S mbolo L mites de la gr fica PLIM Tama o de paso S Precisi n PREC Medidas de convergencia DELTA EPSILON N mero de iteraciones totales e iniciales ITTOT ITINI Tolerancia TOL Posici n de los par metros independientes PPAR Posici n de las variables de ploteo PPLT 226 9 5 2 Variables IGB externas tipo funci n Las variables IGB externas tipo funci n son como su nombre lo sugiere funciones para la descripci n de la funci n necesarias para la ejecuci n de las funciones del IGB Estas funciones son modificables Para esto IGB ha implementado botones de comando que permite utilizar el editor de texto configurado en MATLAB para abrir los archivos referenciados Funci n cont Funci n disc Editar Jacobiano cont E GradFunD Editar Funci n param Funci n prueba Editar Jacobiano param Figura 9 10 Variables externas tipo funci n No es requisito utilizar esta opci n para la edici n de los archivos pero si es requisito que el nombre de la f
21. log stica definida por Xk 1 7 4ax 1 X1 descrita en el archivo LOGD M como function yp 1l0gd y x y 1 alfa y 2 yp 4 alfa x 1 x En un primer an lisis que puede hacerse sobre este sistema din mico discreto es la generaci n de un diagrama de bifurcaci n con el m todo de la fuerza bruta Para esto se seleccionan las opciones de Sistema discreto y Diagrama de bifurcaci n del men Configuraci n luego se selecciona el m todo de Fuerza bruta del men M todo En el campo de texto de la variable IGB Funci n Discreta se escribe el nombre del archivo logd Despu s de configurar el tama o de paso y la gr fica el resultado es el siguiente 232 4 Identificador Gr fico de Bifurcaciones ioj x File Edit Window Help Archivo Configuraci n M todo Gr fica An lisis Ayuda Sistema discreto Logd L mites de la gr fica 1 T T T x Yi z Paso Precisi n dt E e E aek w COMES Iterac iniciales 1000 gt 0 4 F Punto inicial 0 125 0 705 Posiciones de par metros pa 0 7 0 75 0 8 0 85 1 Posiciones de ploteo 0 2 Fuerza bruta Funci n cont Funci n disc Jacobiano cont Jacobiano disc Funci n param Funci n prueba Jacobiano param Figura 9 15 M todo de la fuerza bruta en el IGB El punto inicial para este sistema debe asegurar un valor para la variable distinto de cero ya que en este caso siempre se encontrar an puntos fijos para cualquier valor del
22. no de la funci n discreta es Nx 2 4a De esta forma x se vuelve un punto fijo inestable cuando a S El otro valor posible para a ser a a gt pero as x no podr a definirse De tal forma que el punto de bifurcaci n es con toda exactitud A S e valor 1 a A Lo cual implicar a la aparici n de una bifurcaci n flip que coincide con el resultado arrojado por IGB
23. opf L mites de la gr fica x 2 z A Paso Precisi n NN i 4 T Tolerancia 1015 Punto inicial 0 9944 0 009259 0 5 Posiciones de par metros Posiciones de ploteo 1 D 5k x2 0 5 F m s a e nen Figura 9 13 Retrato de fase 2D en el IGB En las dos figuras anteriores se obtuvieron los retratos de fase para valores de par metro independiente menor y mayor a cero La presencia de la bifurcaci n se puede comprobar con alguno de los m todos de continuaci n por ejemplo el m todo de continuaci n con 230 parametrizaci n Para esto se debe seleccionar la opci n Diagrama de Bifurcaci n de men Configuraci n y luego la opci n Predictor secante del men M todo Este m todo nos exige la definici n del Jacobiano de la funci n continua ya que el corrector se basa en el m todo de Newton Raphson multiparam trico 2 2 0630 x3 1 2x4x2 1 2xx a x 3x Este Jacobiano se define en el archivo HOPFJ M de la siguiente manera function J ValPr Z hopfJ y x1l y 1 x2 y 2 alfa y 3 J alfa 3 x1 2 x2 2 1 2 x1 x2 1 2 x1 x2 alfa x1 2 3 x2 2 ValPr eig J Z x1 x2 La vista en 3D de la gr fica ayudar a visualizar la aparici n de la bifurcaci n 4 Identificador Gr fico de Bifurcaciones olx File Edit Window Help Archivo Configuraci n M todo Gr fica An lisis Ayuda Sistema continuo GA 7 L mites de la gr fica P
24. tor secante parametrizado Predictor tangente Predictor tangente parametrizado v Funci n de prueba Figura 9 4 Men M todo Los comandos y funciones IGB que se utilizan en cada una de estas opciones son 222 Opci n del Men Archivo Comando IGB Funci n IGB Fuerza bruta IGFBRUTA FBRUTA Newton Raphson unipunto IGPUNI PUNI PUNID Newton Raphson multipunto IGPMUL PMUL PMULD Secante IGSECANT SECANT SECANTD Seidel IGSEIDEL SEIDEL Predictor secante IGCSC CSC CSCD Predictor secante parametrizado IGCSCP CSCP CSCPD Predictor tangente IGCTC CTC CTCD Predictor tangente parametrizado IGCTCP CTCP CTCDT Funci n de prueba IGTFUN TFUN TFUND La labor de los comandos IGB ejecutados es la de preparar la interfaz para guiar al usuario en el empleo de las funciones creadas para el an lisis de los sistemas 9 3 4 Men Gr fica El men gr fica permite configurar su presentaci n La opci n Nueva gr fica permite limpiar la gr fica actual y genera una nueva La opci n Vista permite visualizar la gr fica en 2 y 3 dimensiones Grid muestra u oculta la grilla y Hold permite activar las opciones de hold on y hold off para graficar borrando o sin borrar los datos previamente graficados Gr fica Nueva gr fica Wista gt Grid Hold gt Figura 9 5 Men Gr fica Los comando IGB utilizados por estas opciones son Opci n del Men Gr fica Comando IGB
25. unci n aparezca en los cuadros de texto cuyo tono de letra es negro Cuando el tono de la letra es gris significa que ese archivo no es necesario para le ejecuci n de la funci n En algunas funciones del IGB la presencia de alg n archivo que aparece como requerido en letras negras puede ser opcional Para saber cuando puede no suministrarse un archivo opcional debe consultarse la ayuda en l nea del IGB o la ayuda del IGB en MATLAB As mismo toda la informaci n acerca de las funciones se encuentra analizada en el cap tulo 7 y recopilada en el Manual de Referencia Las variables IGB externas tipo funci n y sus plantillas para la creaci n o edici n son Variables IGB externas tipo funci n Plantilla Funci n continua FUN Jacobiano de la funci n continua GRADFUN Funci n continua parametrizada FUNP Jacobiano de la funci n parametrizada GRADFUNP Funci n discreta FUND Jacobiano de la funci n discreta GRADFUND 227 9 6 Botones de comando Los botones de comando tienen como funci n facilitar la ejecuci n de las funciones de an lisis y las que se consideran de m s utilidad para el usuario Existen siete botones de comando en las versiones 4 y 4 del IGB cada uno de los cuales utiliza alg n comando o funci n de IGB Bot n de comando ella Simular IGSIMULA Detener IGSTOP Registro FEDIT Resultado FEDIT Ayuda IGHELP Salir IGCLOSE Editar FEDIT
26. x1 2 x2 2 x1l alfa x2 x2 x1 1 x2 2 A partir de distintos puntos iniciales y variando el valor del par metro puede simularse el comportamiento del sistema as 4 Identificador Gr fico de Bifurcaciones olx File Edit Window Help Archivo Configuraci n M todo Gr fica An lisis Ayuda Sistema continuo L mites de la gr fica Precisi n Tolerancia 1015 Punto inicial E 11 Posiciones de par metros El Posiciones de ploteo Funci n cont Funci n disc Jacobiano cont Fo Hop Editar Jacobiano disc sia sr Figura 9 11 Retrato de fase 3D en el IGB 229 Del mismo modo pueden realizarse distintos retratos de fase en 2D variando en cada uno el valor del par metro y los puntos iniciales Estos puntos iniciales pueden ser seleccionados con el mouse utilizando la opci n Punto inicial del men Gr fica Identificador Gr fico de Bifurcaciones Fie Edit Window Help Archivo Configuraci n ti todo Gr fica An lisis Ayuda Sistema continuo Hold ONJ Hopf 1 T T L mites de la gr fica x e z PN Paso Precisi n Tolerancia 1015 El NY Punto inicial Jal AA H 0 009259 1 Posiciones de par metros Posiciones de ploteo D 5t Figura 9 12 Retrato de fase 2D en el IGB 4 Identificador Gr fico de Bifurcaciones ioj x File Edit Window Help Archivo Configuraci n H todo Gr fica An lisis Ayuda Sistema continuo Hold ON H
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