Programmation mathématique et modélisation énergétique
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1. 1985 4 DANIEL T E H M GOLDBERG Dynamic equilibrium energy modeling the Canadian balance model Operations Research 29 5 1981 5 DANTZIG G B Linear Programming and Extensions Princeton Univer sity Press Princeton New Jersey 1963 6 DOE The integrating model of the project independence evaluation system U S Department of Commerce National Technical Information Service 1979 7 GINSBURGH V J L WAELBROECK Activity Analysis and General Equilibrium Modelling North Holland Amsterdam 1981 8 GINSBURGH V L VAN DER HEYDEN Equilibrium with government intervention policies the single consumer case Centre d conomie Math matique et d conom trie Universit Libre de Bruxelles 1983 9 GREENBERG H J F H Murpuy Computing regulated market equilibria with mathematical programming 10 ICF Inc The National Coal Model Description and Documentation Washington DC 1976 11 IEA World energy outlook International Energy Agency Paris 1982 12 IEA ETSAP Energy after the eighties a project report pa raitre en 1984 13 IEJE Le mod le MEDEE 3 Institut conomique et Juridique de l nergie Universit des Sciences Sociales de Grenoble novembre 1982 14 KENNEDY M An economic model of the world oil market Bell Journal of Economics Management Science 5 2 1974 15 MANNE A S ETA a model for energy tech2. 46 L ACTUALIT CONOMIQUE nzo RB 0 91 o II est le vecteur des variables duales l optimum du probl me Toute restructuration du secteur j correspond un choix de la colonne B dans 5 celle ci est profitable si Max IT Bo 92 S C q Bo So 93 est positif Supposons que tous les secteurs aient t examin s et soit BS l les colonnes profitables ainsi trouv es on peut alors construire un nou veau ma tre probl me pour continuer la proc dure B Prise en compte de plusieurs agents consommateurs pour la demande finale La modification la plus importante apporter au mod le vient certes de la prise en compte de plusieurs agents consommateurs et d une r gle de r partition du revenu Ce besoin se pr sente naturellement si on veut prendre en compte l existence de plusieurs cat gories d agents consom mateurs ce qui est l interpr tation la plus habituelle du probl me des comportements d pargne Boucher Erlich Ginsburgh et Smeers 1985 ou une contrainte de balance de paiements avec fonction de demande du pays et ou du reste du monde Ginsburgh et Waelbroeck 1981 On peut aussi tre amen introduire artificiellement des agents consommateurs suppl mentaires pour des raisons techniques comme la mod lisation d effets d horizon ou d imperfections de march comme des rigidit s de prix Ginsburgh et Van der Heyden 1983 Plusieurs techniques ont t propos es qui r sol
3. Article Programmation math matique et mod lisation nerg tique Jacqueline Boucher et Yves Smeers L Actualit conomique vol 61 n 1 1985 p 24 50 Pour citer cet article utiliser l adresse suivante http id erudit org iderudit 601320ar Note les r gles d criture des r f rences bibliographiques peuvent varier selon les diff rents domaines du savoir Ce document est prot g par la loi sur le droit d auteur L utilisation des services d rudit y compris la reproduction est assujettie sa politique d utilisation que vous pouvez consulter l URI http www erudit org apropos utilisation html rudit est un consortium interuniversitaire sans but lucratif compos de l Universit de Montr al l Universit Laval et l Universit du Qu bec Montr al Il a pour mission la promotion et la valorisation de la recherche rudit offre des services d dition num rique de documents scientifiques depuis 1998 Pour communiquer avec les responsables d rudit erudit umontreal ca Document t l charg le 11 August 2012 04 33 L Actualit Economique Revue d analyse conomique vol 61 no 1 mars 1985 PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE Jacqueline BOUCHER et Yves SMEERS Nous examinons les possibilit s d utilisation des mod les d optimisation de flux nerg tiques dans des syst mes int gr s incluant des mod les de demande cono m triques d optimisation ou de simul
4. 1984 tant t des mod les conom triques de la demande IEA 1982 L interaction entre ces diff rents types de repr sentation a fait l objet de nombreux travaux organis s autour de mod les particuliers et donc difficiles appr hender de mani re globale Les techniques d velopp es 26 L ACTUALIT CONOMIQUE l occasion des mod les nerg tiques sont utilisables dans d autres do maines et leur transposition b n ficierait certainement d une pr senta tion unifi e Ceci est d autant plus vrai que leurs mises en oeuvre requi rent en g n ral des d veloppements de logiciels particuliers organis s partir d outils plus classiques de programmation math matique L identi fication de besoins communs plusieurs de ces m thodes tirerait parti de l exp rience acquise dans ces programmes sophistiqu s et permettrait un d veloppement plus efficace de ces logiciels avec entre autres des possibi lit s d acc s plus flexibles aux diff rentes composantes des optimiseurs existant sur le march Enfin les int r ts intellectuels des mod lisateurs et des constructeurs d algorithmes se trouveraient sans doute favoris s par une pr sentation vitant les d tails de l un et l autre aspect C est l objectif de ce texte de fournir une synth se des techniques de couplage mises en oeuvre en se r f rant aussi peu que possible aux d tails particuliers des mod les sur lesquels elles se basent Le support de la discussion
5. II d signe le co t marginal du combustible 7 la production on a dans ce cas Pj Il tj 80 et t repr sente donc la diff rence entre le co t marginal du combustible et le prix affich pour le consommateur 7 Le principe de l approche de Greenberg et de Murphy est de faire jouer t le r le d une diff rence entre le co t marginal et le prix au consommateur tel qu tabli par un principe de tarification Pour en illustrer l application supposons que la r gle de tarification puisse se repr senter par une correspondance et consid rons IL un vecteur de solutions primale et duale du MARKAL PRODUCTION modifi 76 77 78 79 On d finit un nouveau mod le transform en posant ti PL Il 82 quiest la diff rence entre le prix calcul par le principe de tarification et le coat marginal Des r sultats de convergence ainsi que des discussions de circonstances ayant men a des cyclages sont disponibles Il est videmment toujours possible d utiliser un algorithme en dehors des circonstances pour lesquelles sa convergence est prouv e le prix payer est l absence de garantie quant au r sultat trouv Cette d marche semble la seule possible lorsque le syst me de demande est d riv d un mod le de simulation comme MEDEE IEJE 1982 Des notions impor tantes pour le couplage comme les variables duales perdent alors toute signification et la seule proc dure utilisable dans ce cas
6. des Hautes tudes Commer ciales Montr al 27 octobre 1983 PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 25 sectoriels r pondant des questions d exploitation ou d investissement ponctuelles on a vu se d velopper partir de 1973 une classe de mod les globaux consid rant tout la fois l ensemble des producteurs et transfor mateurs d nergie et une part plus ou moins importante de ses consom mateurs Bien que souvent formul s selon les m mes principes que les mod les sectoriels ces outils apparaissent avec un r le diff rent construits par des organismes plus ou moins ind pendants des secteurs ils fournissent une image globale du r le des divers vecteurs nerg tiques dans l conomie plut t que d aider directement des prises de d cision ponctuelles Leur manque de finesse dans la repr sentation des secteurs cons quence directe de leur pr tention la globalit les emp cherait d ailleurs bien souvent d entrer en concurrence directe avec les outils de ces derniers Plut t que d aider l analyse fine d un projet leur int r t r side dans la repr sentation des interactions au niveau de la production et de la consommation d nergie qu ils permettent En ce sens ils ont pour objectif d clairer plusieurs des questions qui se sont pos es apr s 1973 tel le r le possible des nouvelles technologies des conomies d nergie ou des substitutions entre vecteurs nerg tiques Parmi les nomb
7. est fourni par MARKAL dont nous n utilisons cependant que certaines caract ristiques partag es par la plupart des mod les de flux nerg tiques Nous esp rons ainsi rester suffisamment proches de la r alisation concr te sans pour autant nous encombrer de d tails particu liers un outil sp cifique Le texte est organis comme suit la section 2 rappelle quelques carac t ristiques principales de MARKAL et en introduit deux versions particu li res sur lesquelles le reste de la discussion est articul La premi re version se pr te au couplage avec des mod les de demande d nergie finale dans le cadre d un quilibre partiel ce point est trait la section 3 La deuxi me version de MARKAL introduite dans la section 2 m ne directement des mod les d quilibre g n ral qui sont discut s en section 4 2 MARKAL CARACT RISTIQUES G N RALES DEUX VERSIONS PARTICULI RES Le type d lasticit pris en compte dans la repr sentation de la de mande nerg tique finale est une des caract ristiques essentielles des mod les de flux nerg tiques Nous rappelons ici qu on entend par demande finale d nergie celle qui s exprime en combustibles nerg ti ques particuliers comme l lectricit le gaz les distillats moyens la demande d nergie utile traduit quant elle la demande de service fourni par l nergie Nous consid rons trois types de mod les selon que la demande d nergie finale y est e
8. le est constitu essentiellement de contraintes exprimant des conservations de mati res production et consommation d nergie en chaque p riode volution de stocks d ner gie primaire ou de mati res fissiles ou fertiles sur plusieurs p riodes de relations liant des variables d exploitation d une technologie PRC CON ou DMD sa capacit et enfin de contraintes techniques permet tant d arriver une repr sentation satisfaisante des proc d s PRC et des quipements de production de chaleur et ou d lectricit CON Les contraintes liant x et xo sont d s lors uniquement constitu es de relations de livraison des activit s de production et de transformation aux activit s de consommation Il est ainsi ais de construire une version de MARKAL o la demande d nergie finale est exog ne Supposons un mode de fonctionnement r alisable du secteur consommateur celui ci est repr sent par un vecteur x qui satisfait Xo 0 et Ago Xo bo La version cherch e de MARKAL s crit Min c x 9 C q Ai X1 bi 10 Ag X1 bg Age Xo 11 x 0 12 Ce mod le reprend essentiellement la description des sources proc d s et moyens de conversion Nous nous y r f rons dans la suite comme le mod le MARKAL PRODUCTION La construction d un MARKAL avec demande d nergie finale d pendant du revenu est plus complexe et requiert des notations suppl mentaires Partant de MARKAL PRODUCTION nous pa
9. probl me Consid rons un nouveau MARKAL PRODUCTION modifi crit comme Min c x q y 59 S C q Aj xi 5 60 o1x1 9y 0 61 x 2 0 62 Ce probl me est quivalent a MARKAL si y est d fini comme p y Min c x 63 S C q Agg Xo bo y 64 A32 x2 bs 65 X9 0 66 y est une fonction polyh drale qu il est possible de repr senter par l ensemble de ses plans supports soit Max II bo y v bs 67 t 42 L ACTUALIT CONOMIQUE o IT sont les variables duales associ es au MARKAL DEMANDE 64 65 66 Le couplage entre les deux mod les s tablit comme suit Consid rons le MARKAL PRODUCTION modifi Min c1 x 68 S C q Ay xX by 69 Ag xX y 0 70 E II gt Ibo v bs os eee 71 o II v k 1 K sont les variables duales obtenues au cours des cycles pr c dents de l algorithme Soit 3 la valeur de y dans la solution de ce dernier probl me On r soud le MARKAL DEMANDE suivant Min co x 72 S C q Age X9 bo yF 73 Aso X9 bg 74 X gt 0 75 dont la solution fournit un nouveau vecteur II v permettant de mettre jour MARKAL PRODUCTION pour un nouveau cycle Si l approche pr c dente est parfaitement valable en principe elle ne semble gu re attrayante en pratique dans le cas du couplage entre MARKAL DEMANDE et PRODUCTION Outre la n cessit d ajouter des lignes dans MARKAL PRODUC
10. semble tre l extension du PIES telle que propos e par Greenberg et Murphy 4 DEVELOPPEMENTS DE MARKAL ECONOMIE Le mod le MARKAL ECONOMIE r sulte d un couplage entre MARKAL PRODUCTION et un mod le multisectoriel de l conomie Nous oublierons dans cette section les composants du mod le int gr pour consid rer celui ci comme un tout dont certaines parties nerg ti ques ont fait l objet d un d veloppement particulier Plusieurs critiques peuvent tre faites au mod le ainsi d fini qu il est possible de lever par des consid rations techniques suppl mentaires Nous consid rons pour la suite de cette section que le mod le MARKAL ECONOMIE est repr sent comme suit Max U x 83 PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 45 scq x By lt b 84 o U x est une fonction d utilit d riv e d un syst me de demande B estla matrice de production de l conomie Ce mod le peut faire l objet de diff rentes g n ralisations nous discute rons ici la repr sentation de substitutions dans les secteurs industriels et la prise en compte de plusieurs agents pour repr senter la consommation finale A Introduction de coefficients techniques variables MARKAL CONOMIE divise l conomie en deux parties les sec teurs nerg tiques font l objet d une description d taill e de leurs act vit s le reste de l conomie est repr sent par une colonne pour chaque secteur non nerg tiq
11. 14 de bilan mati res Dc et Vu 30 L ACTUALIT CONOMIQUE repr sentent respectivement la demande due la consommation finale et aux investissements Ay est la production nette m et e sont respectivement les importations et exportations La contrainte 15 lie les activit s dans l conomie aux investissements pass s toutes les autres contraintes sont r sum es sous 16 Il n est sans doute pas opportun de discuter longue ment ici les interpr tations conomiques sous tendant ce type de repr sentation et nous nous contenterons pour cette section de noter que le modele est consid r comme d crivant un quilibre g n ral multitempo rel U c est alors la fonction d utilit d un consommateur rationnel unique L introduction dans MARKAL d une demande d nergie finale d pendant du revenu peut se faire en couplant MARKAL PRODUCTION nous ne discutons pas icile couplage d autres versions de MARKAL avec le mod le conomique multisectoriel Celui ci d termine en effet l volu tion du PNB en chaque ann e et sa r partition entre consommation priv e et investissement MARKAL PRODUCTION en choisissant les niveaux d activit et d investissement dans les secteurs nerg tiques d termine galement les co ts marginaux des diff rents vecteurs mis sur le march Le couplage des deux mod les m ne une demande d nergie finale d pendant la fois du revenu et des prix Il se fait selon trois principes que nous
12. AL PRODUCTION DEMANDE nergie finale PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 35 Cette d composition am ne plusieurs remarques On peut n tre gu re satisfait de la description des technologies de demande adopt es dans MARKAL lechoix y est en effet essentiellement limit la satisfaction de l nergie utile et il n est gu re facile dans le contexte du logiciel existant de mod liser des ph nom nes comme le choix de nouveaux proc d s de fabrication ou des contraintes propres aux technologies de consomma tion Par ailleurs chaque secteur de demande est repr sent par un ensemble d quipements types chacun de ceux ci ayant une dur e de vie un co t d investissement un rendement propre Cette description si elle s adapte bien au secteur nerg tique o les quipements sont raisonna blement standardis s n est gu re ad quate pour repr senter les secteurs consommateurs o la taille des firmes influence directement via les rendements d chelle les co ts des diff rentes unit s La parade cette difficult est simple en principe il suffit de d crire plus finement les secteurs consommateurs en augmentant le nombre de proc d s et en stratifiant chaque secteur selon la taille de ses entreprises Le secteur consommateur est dans ce cas repr sent sch matiquement comme indi qu la figure 4 celle ci se distingue essentiellement de la figure 1 par le fait qu on y a repr sent explic
13. CTUALIT CONOMIQUE Le probl me compl mentaire lin aire approximant le probl me d qui libre est obtenu en rempla ant 44 par bo d SE 1 x DII 0 44 B y II est obtenu partir d un mod le d optimisation Nous r f rant au couplage de MARKAL PRODUCTION et d un MARKAL DEMANDE plus ou moins d velopp y II est obtenu comme solution du probl me Min co II Ago xo 45 Ago X2 y O 46 S C q Ago X9 bg 47 xo 0 48 La correspondance y II est constante par morceaux l espace des vec teurs II est partitionn en un ensemble de r gions o la base optimale du probl me 45 46 47 48 reste constante Il semble videmment naturel dans ce cas d tablir une proc dure it rative entre MARKAL PRODUCTION etle MARKAL DEMANDE modifi 45 46 47 48 Ceci a t propos par Wagner 1981 pour d composer le National Coal Model ICF 1976 L algorithme est le suivant Si II est le vecteur obtenu une certaine it ration et y II la demande correspondante on r soud MARKAL PRODUCTION pour trouver le co t minimum de satisfaction de y c est dire Min x 49 S C q A11 X1 5 50 A21 xi y 51 x 20 52 soit II le vecteur des variables duales de 51 le nouveau prix est choisi comme Mm AN 1 X II 53 o A est compris entre 0 et 1 La solution du probl me fournie par l algorithme est obtenue en concat nant des solution
14. NERG TIQUE 31 ui La demande en provenance de la partie non nerg tique de l conomie pour les produits d un secteur nerg tique tels que repr sent s dans MARKAL PRODUCTION s obtient en d sagr geant la demande correspondante du mod le conomique Pour examiner l application de ces principes consid rons une parti tion des lignes et colonnes des contraintes 14 et 15 en composantes nerg tiques et non nerg tiques nous supposons sans restriction r elle que V n a pas de lignes nerg tiques et notons par la sous matrice de A obtenue comme l intersection des ensembles a et b de lignes et colonnes si a ou best l ensemble de toutes les lignes ou colonnes il est d sign par DE c VNE NE UNE VNE E UE ANE NE YNE NE E YE 14 Myne ene S WNE Dg c ENE YNE EE VE ME eg SWE 14 KNE NE UNE NE 2 157 Keg ve yg Ske 15 L application du principe i conduit l limination compl te des contraintes 15 les liaisons entre les variables d exploitation et de capa cit dans les secteurs nerg tiques sont en effet enti rement prises en compte dans MARKAL PRODUCTION La formation brute de capital dans le secteur nerg tique r sulte par ailleurs des investissements r alis s dans celui ci ce qui s exprime comme U x4 16E 17 o a est un vecteur convertissant les unit s physiques de MARKAL dans celles du mod le conomique C
15. ON n est pas r gul et que seule la formation des prix aux secteurs consommateurs fait l objet de distorsions par rapport au co t marginal Cette situation est repr sent e sch matiquement la figure 5 o apparaissent le d couplage des diff rents secteurs consom mateurs et des arcs illustrant les m canismes de formation des prix Le principe de la modification du PIES propos e par Greenberg et Murphy est d imposer ces arcs des co ts de transport correspondant aux diff rences entre le co t marginal et le prix r el affich au secteur consomma teur En introduction la discussion consid rons le mod le d fini comme suit Soit J l ensemble des composantes de y y est la quantit du vecteur nerg tique d livr e par MARKAL PRODUCTION y est r parti entre les diff rents secteurs consommateurs soit ij la quantit du combustible livr e au secteur j et t le co t de transport unitaire sur l arc 7 7 Nous supposons que chacun des secteurs consommateurs a un syst me de demande int grable y P o P est le prix des vecteurs nerg tiques pour le secteur 7 le probl me Min X 2 bis Vi 22 gt U y 76 2 7 7 C q Ai x by 77 Ag x y 0 78 Au Ii 79 J 44 L ACTUALIT CONOMIQUE simule un quilibre concurrentiel entre le secteur producteur d nergie et les secteurs de demande lorsque la livraison de l nergie est affect e d un co t unitaire suppl mentaire t Si
16. TION une op ration peu naturelle cause de l organisation en colonnes des donn es d un programme lin aire elle requiert de traiter un MARKAL DEMANDE non d com posable les ressources globales portent en effet sur l ensemble des secteurs consommateurs qui se trouvent ainsi coupl s entre eux Les m thodes discut es jusqu pr sent s appliquent essentiellement des syst mes o la demande est fonction de prix gaux aux co ts margi naux Beaucoup de march s nerg tiques ne satisfont pas cette condi tion il en est en particulier ainsi lorsque les prix incluent des taxes ou sont calcul s comme des moyennes Murphy et al 1981 Un autre cas int res sant est celui o il existe des rigidit s sur les prix Ces circonstances apparaissent dans la tarification du gaz et de l lectricit Greenberg et Murphy ont abord le probl me dans le cadre d une modification de l algorithme du PIES comme pour ce dernier on suppose que le syst me de demande est contin ment diff rentiable Des hypoth ses suppl men taires n glig es ici doivent galement tre impos es au syst me d offre pour garantir la convergence PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 43 FIGURE 5 FORMATION DE PRIX DIFF RENTS DES CO TS MARGINAUX secteurs consommateurs formation des prix MARKAL PRODUCTIO O O nergies finales Nous supposons que le secteur de production repr sent dans MARKAL PRODUCTI
17. ation La discussion est conduite partir des mod les MARKAL et EFOM Mathematical programming and energy modelling We consider the possibilities of using energy flows optimization models into integrated systems including eco nometric demand models optimization models or simulation models This ques tion is conducted using models such as MARKAL and EFOM as examples INTRODUCTION La mod lisation nerg tique et la programmation math matique ont fait ensemble leurs premiers pas C est la fin des ann es 50 que A Manne 1963 construisit son mod le de gestion des raffineries qui allait imm diatement se r v ler un test important pour les premiers logiciels d optimisation Orchard Hays 1978 la m me poque Electricit de France Mass et Gibrat 1957 laborait dans le cadre de la programmation lin aire les mod les de planification des quipe ments de production dont les successeurs sont sous diverses formes largement utilis s aujourd hui Ces premiers pas communs ne sont pas rest s sans suite et la mod lisation l int rieur des secteurs nerg tiques a toujours largement aliment divers domaines de la programmation math matique en probl mes test Les ann es qui ont suivile premier choc p trolier ont vu l apparition d une nouvelle classe de mod les nerg ti ques Alors que l accent avait surtout t mis jusque l sur les outils Texte pr sent au s minaire MEDEE MARKAL cole
18. conde partie du mod le o nous supposons connu le vecteur II des prix des vecteurs nerg tiques en chaque p riode de l horizon Le choix des secteurs consommateurs se fera en r solvant le probl me Min co II Age xo 21 S C q A39 X9 bs 22 Si nous d signons respectivement par xe II et y II la solution du probl me et l expression bg A xo II le mod le MARKAL peut tre crit comme suit trouver II et xo II tels que le vecteur des variables duales du deuxi me bloc de contraintes 26 dans MARKAL PRODUCTION Min ci x 24 S C q Ay x bi 25 Ag x JO 0 26 X9 0 27 soit gal a IL PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 37 Avant d examiner quelques alternatives de traitement de ce probl me il est int ressant de mentionner certains avantages de la d composition la diff rence de MARKAL PRODUCTION qui se pr sente comme un bloc fortement int gr MARKAL DEMANDE se pr te ais ment une d composition en bloc Le secteur consommateur d un mod le de flux nerg tiques se pr sente en effet comme un ensemble de sous secteurs qui ne sont coupl s entre eux que par des relations de conserva tion des vecteurs nerg tiques Dans la version de MARKAL DEMANDE repr sent e par 21 22 et 23 les secteurs consommateurs sont d coupl s les uns des autres et peuvent faire l objet d une optimisation s par e La m me d composition peut tre poursuivie si
19. e est variable dans l ann e dans ce cas la chaleur et l lectricit et les autres Le mod le est alors formul comme un pro gramme lin aire plusieurs p riodes dans lequel la demande d nergie utile est exog ne De mani re g n rale et sans entrer ici dans une quel conque analyse de ses variables et contraintes le mod le se pr sente sous la forme Min cx 1 S C q Ax b 2 x 0 3 Consid rons alors un partitionnement de l ensemble des activit s du syst me nerg tique en production et transformation d une part consommation de l autre Les sources SRC proc d s PRO et conver sions CON constituent ainsi le premier sous ensemble les activit s de demande DMD le second Si nous d signons par x et x les vecteurs relatifs ces deux classes d activit la matrice des contraintes peut tre partitionn e en sous matrices A 11 0 Ao1 Age 0 A392 ou Ar 0 est l ensemble des contraintes qui n impliquent que des activit s de production et transformation 0 A32 est l ensemble des contraintes qui n impliquent que des activit s de consommation A91 Ago est l ensemble des autres contraintes 28 L ACTUALIT CONOMIQUE Le mod le MARKAL peut ainsi s crire Min c1 x1 Co xo 4 C q Aji x bi 5 Ag x Age X9 b 6 Ago X9 bg 7 x 20 xo 0 8 Il est utile pour interpr ter ce partitionnement de bri vement passer en revue la structure MARKAL Le mod
20. epr sentation input output de l conomie peut d j tre r alis dans le cadre strict de la programmation lin aire D autres couplages se basent essentiellement sur les techniques de g n ration de colonnes et sur la r solution d une suite de programmes math matiques Seules quelques m thodes plus r centes font appel la solution d une suite de probl mes compl mentaires mais pour elles aussi les liens avec la programmation lin aire sont troits La r alisation de ce genre d outils s est jusqu pr sent limit e des cas d esp ces Une mise en oeuvre plus formalis e et plus syst matique constituerait sans doute un apport significatif une p n tration plus profonde de la programmation math matique dans la mod lisation conomique PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 49 BIBLIOGRAPHIE 1 ABILOCK H C BERGSTROM J BRADY A DOERNBERG A Ex L FISHBONE D HILL M HIRANO R KAVANAGH S Koyama K Larsson G Leman P LOVE M Moy V SAILOR O Sato F SHORE T Sina T TEICHMANN and C O WENE MARKAL A multiperiod linear programming model for energy systems analysis in Energy Systems Analysis R Kavanagh d D Reidel 1980 2 AHN B Computation of Market Equilibria for Policy Analysis Garland New York 1979 3 BOUCHER J Z ERLICH V GINSBURGH Y SMEERS End effects and implicit discount rate in infinite horizon competitive equilibria
21. es regroupant les activit s de chaque secteur La d finition des variables de livraison est plus compliqu e elle demande l introduction dans le mod le de relations faisant le bilan de toutes livraisons de chaque secteur par forme d nergie Enfin l utilisation de variables de capacit pour l extraction implique une modification tr s l g re de la repr sentation du syst me nerg tique qui peut se traduire par quelques changements dans le comportement du mod le Nous ne discuterons pas plus longuement ce sujet et supposerons par la suite que MARKAL PRODUCTION permet le recours aux variables x3 et x4 Consid rons un mod le conomique multisectoriel crit sch matique ment comme suit Max U c 13 s c q Dc Vu Ay m e lt 14 Ku y k 15 autres contraintes 16 o y d signe le vecteur des niveaux d activit des diff rents secteurs de l conomie A est la matrice entr e sortie relative ces secteurs w est un vecteur de ressources exog nes K est une matrice de capital output ratio capital par unit de valeur ajout e k est le stock initial de capital Comme pour la description de MARKAL nous n gligeons ici afin de simplifier les notations toute r f rence explicite l aspect intertemporel du probl me L interpr tation des relations du mod le est imm diate U c est une fonction d utilit intertemporelle qui d pend de la consom mation finale c Dans les contraintes
22. itement une segmentation des secteurs consommateurs selon la taille des firmes apr s avoir introduit un niveau suppl mentaire de substitution pour le choix des proc d s techniques FIGURE 4 REPR SENTATION PLUS D SAGR G E DE LA DEMANDE secteur consommateur C taille 1 nergie non O taille 2 substituable e D To ye A er b en Se dE Ur subst sext technologies de consommation 36 L ACTUALIT CONOMIQUE Nous ne pousserons pas plus loin l investigation des aspects de mod lisa tion de cette d marche elle m ne un outil plus r aliste dans la mesure o les substitutions sont mieux repr sent es la contrepartie est videm ment la taille du mod le auquel on arrive C est ce dernier point qui va maintenant retenir notre attention Quel que soit le niveau de d sagr gation adopt pour repr senter la demande le mod le MARKAL ainsi tendu se pr sente toujours sous la forme Min c X1 Co Xo 4 S C q Ai1 X1 b 5 Ag X1 Age x2 bo 6 A32 X9 b3 7 x20 x20 8 introduite dans la section pr c dente le fait nouveau est maintenant la taille de la partie consommateur du mod le Plusieurs approches rigoureuses ou empiriques permettent de tirer parti de la structure traduite par les relations 5 7 elles sont toutes bas es sur une s para tion du mod le en ses composantes MARKAL PRODUCTION et reste du mod le que nous d signerons par MARKAL DEMANDE Consid rons cette se
23. la repr senta tion des secteurs est stratifi e en fonction de la taille des firmes chaque partie d un secteur correspondant une certaine taille agit en face de prix nerg tiques II ind pendamment des autres consommateurs La demande II se pr sente ainsi comme une somme de demandes indivi duelles 5 II correspondant chacun des segments de secteur La formulation 24 27 de MARKAL se pr te d autres interpr ta tions y II ne doit pas n cessairement provenir dun MARKAL DEMANDE formul comme probl me d optimisation mais peut r sulter d un mod le conom trique ou de simulation Le probl me pos est ainsi celui de l interaction d un syst me de demande Il avec un mod le du type MARKAL PRODUCTION L interaction peut tre limit e au cas o II est un vecteur de variables duales elle peut aussi s tendre des situations o les prix sont calcul s par des m thodes plus complexes La fin de cette section est consacr e quelques approches permettant de traiter ce probl me Deux cas sont consid r s y II est tabli l aide d un mod le conom trique ou vient d un probl me d optimisation D autres circonstances sont examin es plus loin A y 11I d rive d un mud le conom trique On suppose dans ce cas que y II est contindment diff rentiable et on distinguera deux sous probl mes en fonction des propri t s d int grabi lit de y II A 1 ID est int grable Supposons que II s
24. ng donnant la demande d nergie finale r sultant de c et yyg ainsi que des ressources initiales g la demande d nergie finale de MARKAL PRODUCTION est alors ZE Dg c ANE JNE WE 20 Nous nous r f rons dans la suite au mod le coupl comme MARKAL CONOMIE 3 COUPLAGE MARKAL PRODUCTION MOD LE DE DEMANDE La demande dans MARKAL est sp cifi e en nergie utile Pour passer l nergie finale le mod le choisit les technologies de consomma tion DMD permettant de satisfaire les services nerg tiques au moindre co t Le calcul de la demande d nergie finale d pend donc la fois de la mod lisation plus ou moins fine des consommateurs et du calcul des prix des combustibles qui leur sont vendus On peut envisager plusieurs exten sions possibles de la repr sentation actuelle de la demande dans MARKAL qui m nent des formulations plus ou moins diff rentes du mod le C est ces extensions que la section est consacr e La figure 1 donne un sch ma de la description de la consommation d nergie dans MARKAL La demande est ventil e en un certain nombre de secteurs pour lesquels on donne les besoins en nergie utile une fraction de celle ci est sp cifi que c est dire qu elle se traduit directement en combustibles particu liers Le reste peut tre aliment par plusieurs technologies qui chacune font appel un ensemble de combustibles dans des proportions donn es La concurrence entre le
25. nology assessment Bell Journal of Economics 7 2 1976 50 L ACTUALIT CONOMIQUE 16 MANNE A S H P CH40 R WILSON Computation of competitive equilibria by a sequence of linear programs Econometrica 48 4 1980 17 Mass P AND M GIBRAT Application of linear programming to investments in the electric power industry Management Science 3 2 1957 18 Murpny F H S SANDERS S H SHAW ET R THRASHER Modeling natural gas regulatory proposals using the project independence evaluation system Operations Research 29 1981 19 O NEILL A P M WiLLIARD B WILKINS R PIKE A mathematical programming model for allocation of natural gas Operations Research 17 5 1979 20 OncHARD Hays W History of mathematical programming sys tems in Design and Implementation of Optimization Software H Greenberg ed Sijthoff and Noordhoff 1978 21 PRECKEL P Intertemporal equilibrium models development and results Ph D Dissertation Stanford 1983 22 SHAPIRO J F D E WHITE A hybrid decomposition method for integrating coal supply and demand models Operations Research 30 5 1982 23 VAN DER VooRr The EFOM 12C energy supply model within EC modelling system OMEGA The International Journal of Manage ment Science 10 5 1982 24 WAGNER M H Supply demand decomposition of the national coal model Operations Research 29 6 1981
26. non ons avant d en discuter l application D signons comme pr c demment par E l ensemble des secteurs ner g tiques de MARKAL PRODUCTION Nous partitionnons l ensemble des secteurs du mod le conomique en nerg tiques et non nerg tiques et supposons que l ensemble des activit s d un secteur nerg tique dans MARKAL PRODUCTION correspond la d finition de celui ci dans le mod le conomique Cette hypoth se commode pour la suite de l ex pos n est pas sans imposer d ventuelles modifications aux mod les le secteur des mines dans l conomie comprendra souvent d autres activit s que l extraction de combustibles nerg tiques satisfaire l hypoth se de mande de d sagr ger le secteur mine du mod le conomique de mani re arriver un sous secteur recouvrant exactement une classe d activit s de MARKAL PRODUCTION Nous pouvons maintenant noncer les prin cipes permettant de r aliser la liaison entre les mod les Principes de couplage 1 La formation brute de capital d un secteur nerg tique dans le mod le conomique est obtenue en agr geant les investissements de ce secteur dans MARKAL PRODUCTION L volution du stock de capital est celle d crite dans MARKAL PRODUCTION 11 Le niveau d activit d un secteur nerg tique dans le mod le co nomique est obtenu partir des variables d activit et de livraison de ce secteur dans MARKAL PRODUCTION PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION
27. ns le cas de mod les statiques et tendue au cas dynamique dans le mod le BA LANCE Daniel et Goldberg 1981 Un de ses avantages est de se pr ter a une mise en oeuvre bas e sur des logiciels existants de programmation lin aire Le principe fondamental de l algorithme du PIES est de se ramener un syst me de demande int grable en n gligeant chaque cycle les effets prix crois s Les syst mes de demande lin aires JAI d DII 39 se pr tent des calculs d quilibre qui ne requi rent pas des simplifica tions aussi drastiques mais demandent la r solution d un probl me compl mentaire lin aire Une approche naturelle du probl me d qui libre est donc de la reformuler comme un probl me compl mentaire non lin aire que l on traite par une suite de probl mes compl mentaires lin aires Cette approche introduite par Mathiesen a t explor e num riquement par Preckel 1983 Son principe est le suivant En vue de reformuler le probl me du couplage MARKAL PRODUCTION avec le syst me de demande consid rons le programme compl mentaire suivant trouver x u II tel que x 20 40 C1 uA IL Ag 2 0 41 C1 X1 uA x IL Ao x 0 42 b Ay x 0 43 bo Ag x y O 44 Sill est le vecteur de prix trouv un certain stade de l algorithme on d finit le syst me de demande approch n x oy ed ID ID II II mor v d DII 40 L A
28. oit galement inversible et d signons par Il y son inverse II y est int grable s il existe une fonction U y telle que V U y Hp 28 Cette propri t sera v rifi e lorsque les effets prix sont sym triques c est dire Ou 0 29 aul all 38 L ACTUALIT CONOMIQUE Coupler MARKAL PRODUCTION au mod le de demande revient traiter le mod le int gr Min c x U y 30 S C q Aj x 31 Agi x y 9 32 x 20 33 pour lequel les conditions d optimalit correspondent aux conditions d quilibre Les avantages de cette approche sont vidents d une part les conditions d int grabilit sym trie des effets prix sont souvent ais es a v rifier et d autre part le mod le peut tre trait comme un programme non lin aire usuel Cette approche a t mise en oeuvre dans divers mod les nerg tiques Kennedy 1974 et Manne 1976 A 2 y II n est pas int grable Le cas le plus g n ral est celui o la correspondance ne satisfait pas les conditions d int grabilit Les causes en sont soit la sp cification du mod le de demande qui ne garantit pas des effets prix sym triques soit le fait que ce dernier est tabli pour un revenu constant c est le cas des mod les d quilibre partiel et ne satisfait pas normalement ces pro pri t s Ahn 1979 Il faut alors recourir des algorithmes sp ciaux nous mentionnerons bri vement deux approches particuli remen
29. onsid rons maintenant l application du deuxi me principe de liai son Le niveau d activit y d un secteur nerg tique s obtient partir des activit s et livraisons de ce secteur dans MARKAL PRODUCTION On a donc Yi B x1i EE 18 o B s lectionne les activit s pertinentes la construction de y par exemple uniquement les livraisons et effectue les transformations d unit Puisque la consommation due l ensemble des secteurs nerg ti ques est explicitement prise en compte dans MARKAL PRODUCTION le terme Ag z yg peut tre limin de 14 Par ailleurs les variables mg et eg disparaissent galement pour laisser la place des variables d importation et d exportation variables de SRC plus fines dans MARKAL PRODUCTION Ayant effectu ces transformations 14 exprime la 32 L ACTUALIT CONOMIQUE demande d nergie finale des secteurs non nerg tiques de l conomie soit ZE Dg C E NE NE p 19 Le troisi me principe de couplage ventile la demande d nergie finale du mod le conomique dans celle de MARKAL PRODUCTION Plusieurs approches sont possibles selon l information disponible nous suppose rons ici la situation la plus favorable o la consommation nerg tique peut tre ventil e par secteur industriel ou poste de consommation Si E d signe l ensemble des biens apparaissant dans la demande finale de MARKAL PRODUCTION et si nous supposons qu il existe des matrices Dg et A
30. orts exports la solution optimale et II le vecteur dual correspondant l algorithme de t tonnement ajuste a la hausse si II v est positif et la baisse autrement La convergence est obtenue lorsque le solde est nul La m thode de Manne Chao Wilson 1980 consid re les deux ensembles U V U U x V V u v etx u v By lt b 105 U V U max U x IIx lt Ib V max V u v Il u v 20 106 qu elle essaye de s parer par un hyperplan La m thode recourt la g n ration de colonnes Dantzig 1963 Enfin la m thode par succes sions de probl mes compl mentaires lin aires consid re la fonction de demande x II u II et v II solution des probl mes d optimisation repr sentant le comportement des agents et pose le probl me compl mentaire non lin aire Trouver ILy tel que x ID w II wII By xb 107 IL b x ID wu II wl By 0 108 Ce probl me est trait par une suite de programmes compl mentaires lin aires 48 L ACTUALIT CONOMIQUE 5 CONCLUSION Si l criture pure et simple d un mod le nerg tique comme pro gramme lin aire appara t souvent limit e les outils de base de la pro grammation math matique peuvent tre consid r s comme une pierre angulaire de mod les beaucoup plus satisfaisants d un point de vue co nomique Ainsi un syst me int gr combinaison d un mod le de flux nerg tiques et d une r
31. reux outils d analyse d velopp s apr s 1973 les mo d les de flux nerg tiques jouent sans doute un r le particulier du fait qu ils se basent sur des descriptions du syst me nerg tique tr s sem blables celles utilis es dans les secteurs et qu ils rel vent de m thodolo gies connues et prouv es Ils sont d une certaine mani re des standards de mod lisation MARKAL Abilock et al 1980 qui est au centre de notre pr occupation dans ce texte est utilis dans 14 pays de l Agence Internationale de l nergie EFOM Van der Voort 1982 un mod le voisin construit la Commission des Communaut s Europ ennes est exploit dans les 10 pays membres ainsi qu au Portugal et en Espagne Enfin tant formul s comme des probl mes de programmation lin aire ces mod les se basent sur des logiciels puissants et robustes qui sont accessibles commercialement travers le monde Malgr ces diff rents avantages les mod les de flux nerg tiques ne suffisent pas n cessairement l analyse de la politique nerg tique Le gouvernement du Qu bec dans son approche des questions nerg tiques projette d utiliser la fois MARKAL et le mod le de demande MEDEE IEJE 1982 La Commission des Communaut s Europ ennes suit la m me approche et dans ses analyses long terme DG XII se base galement sur un mod le de flux nerg tiques EFOM et sur MEDEE Enfin les tudes de l A L E utilisent tant t MARKAL IEA ETSAP
32. rtitionnons le vecteur x des activit s selon les secteurs nerg tiques dont elles rel vent Si E d note l ensemble de ceux ci x est d compos en 1x E o xj d signe les activit s du secteur ainsi que les variables de livraison d ner gie de 7 aux autres secteurs nerg tiques ou la demande finale Il est noter que ces partitionnements ne sont pas naturels MARKAL et PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 29 peuvent m me demander l introduction de nouvelles variables par exemple pour calculer la livraison totale d une forme d nergie par un secteur Nous reviendrons bri vement sur ce point plus loin MARKAL tant un mod le multitemporel contient la fois des variables repr sen tant l exploitation et les investissements en chaque proc d Soit x1 et x respectivement les vecteurs des composantes de x d crivant l exploita tion et les investissements dans le secteur 7 Nous supposons que ces variables existent non seulement pour les proc d s et activit s de conver sion ce qui est le cas mais galement pour l extraction que MARKAL repr sente actuellement sans capacit de production Comme mentionn auparavant la prise en compte de ces notions requiert des modifications au logiciel de g n ration du mod le le concept du secteur nerg tique n est pas naturel MARKAL son introduction peut cependant se faire peu de frais en compl tant les donn es par des class
33. s de base dans MARKAL PRODUCTION et MARKAL DEMANDE Il s agit l d une base particuli re du mod le MARKAL complet qui peut donc ne pas tre optimale La proc dure doit donc tre consid r e comme une m thode heuristique permettant de trouver une tr s bonne solution de d part pour le simplex r vis habi tuel ou pour une approche de d composition Nous consid rons bri ve ment ce second cas PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 41 Soit I k 1 K un ensemble de vecteurs prix trouv s lors d une proc dure it rative quelconque entre MARKAL PRODUCTION et MARKAL DEMANDE soit x les vecteurs de demande correspon dants Il est possible d initialiser une proc dure convergente de r solu tion du mod le MARKAL complet par le MARKAL PRODUCTION modifi suivant Min c x X co x8 54 keK S C q Aj X bi 55 Aoi Xi X A22 x bo 56 keK 2 M 1 57 keK x 0 A 0 58 Si II est le vecteur dual des contraintes 56 du probl me et x est la solution de MARKAL DEMANDE qui lui est associ il est possible d augmenter le probl me 54 58 du nouveau vecteur co x5 Ao x9 1 et de continuer ainsi la proc dure D autres modifications de MARKAL PRODUCTION peuvent tre envisag es pour r aliser le couplage Shapiro et White 1982 appliquent au National Coal model ICF 1976 une proc dure de d composition pouvant se transposer naturellement notre
34. s technologies de demande se fait au niveau des co ts d investissement et d exploitation y compris les co ts de combus tibles Un exemple de cette mod lisation est fourni par le chauffage des habitations unifamiliales repr sent la figure 2 on y envisage diff rents proc d s dont le chauffage lectrique direct et accumulation ainsi que les chauffages individuels au mazout et au gaz PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 33 FIGURE 1 SCH MA DE LA REPR SENTATION DE LA DEMANDE DANS MARKAL nergie finale technologies de demande ze O O Secteurs de demande Les chauffages lectriques se diff rencient par leur co t d investissement et leur consommation d lectricit de jour et de nuit de mani re g n rale les modes de chauffage diff rent par leurs co ts d investissement et de fonctionnement MARKAL d termine les co ts marginaux des diff rents combustibles partir desquels se fait l arbitrage entre proc d s Il est possible d examiner cette repr sentation de la demande par rapport au mod le MARKAL PRODUCTION d fini dans la section pr c dente ceci est illustr la figure 3 34 L ACTUALIT CONOMIQUE FIGURE 2 COMP TITION ENTRE DIVERS MODES DE CHAUFFAGE lectricit de jour lectricit de nuit demande d nergie de chauffage mazout gaz naturel FIGURE 3 D COMPOSITION DE MARKAL EN PRODUCTION ET DEMANDE MARKAL MARKAL MARK
35. t attrayantes L algorithme PIES remplace le probl me formul avec une corres pondance Il non int grable par une suite de probl mes construits partir de syst mes de demande approch s II satisfaisant les propri t s d int grabilit Ainsi si I d signe le vecteur de prix obtenu un certain stade de l algorithme le syst me approch ILII est d fini par SLIS x y 113 tty deg IT IS res ITS 34 Les effets prix crois s y sont nuls et satisfont donc trivialement les pro pri t s de sym trie L algorithme du PIES est alors d fini en consid rant le probl me d quilibre approch Min c x y 35 S C q Au x 5 36 Agi x 9 0 37 x 20 i 38 o U y est la fonction de surplus calcul e par la correspondance II L algorithme s nonce comme suit partant d un probl me approch PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 39 donn trouver les variables duales II des contraintes 37 et la demande correspondante y II Calculer la correspondance II II approch e et d finir un nouveau probl me d quilibre Les conditions de convergence de cet algorithme ont t tudi es en d tail dans Ahn 1979 Des r sultats globaux existent pour le cas de syst mes de demande lin aires et des conditions de convergence locale sont disponibles dans le cas de demande non lin aire La m thode a t utilis e abondamment dans les travaux du DOE 1979 da
36. ue Cette derni re mod lisation ne permet pas de repr senter les changements pouvant apparaitre en r ponse aux prix dans la structure de la consommation des secteurs et il est int ressant d examiner dans quelle mesure des mod les conom triques de demande industrielle peuvent tre utilis s pour rem dier cette situation Soit 1 72 une partition du vecteur y en ses composantes nerg tiques qui font l objet d une description d taill e et non nerg tique pour lesquelles la repr sentation consiste en un vecteur coefficients fixes par secteur Nous r crivons le mod le comme Max U x 85 S C q X B pes gt Bo 2 lt b 86 J Bo So 87 X V1 Y2 O 88 o So est un ensemble convexe qui repr sente les possibilit s de substitu tion des inputs du secteur j d crites par le mod le conom trique de celui ci S5 est l ensemble de production d crit par la fonction de produc tion du secteur Le mod le 85 86 87 88 ainsi formul inclut alors une repr sentation des substitutions dans les secteurs nerg tiques et non nerg tiques La r solution du mod le peut se faire ais ment en recourant une proc dure de construction de colonnes Dantzig 1963 Si B k 1 K est un ensemble de propositions correspondant des structures de demandes du secteur j on d finit le ma tre probl me suivant Max U x 89 K S C q x Biy s BS o lt b 90
37. vent les probl mes d quilibre l aide de programmes math matiques Celles ci n ayant rien qui soit particuli rement li la mod lisation nerg tique nous nous contenterons d en donner un bref apercu renvoyant le lecteur la litt rature sp cialis e Consid rons comme exemple particulier le cas de la balance des payements Si u v d signe le vecteur des importations et exportations du pays le syst me des relations de conservation de mati re s crit x vu u By lt b 94 Le mod le comporte deux agents le pays et le reste du monde qui maximisent leur utilit sous une contrainte budg taire si II est un sys t me de prix la consommation x du pays satisfait Max U x 95 S C q IIx lt IIb 96 x 0 9 7 PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 47 De la m me mani re le reste du monde choisit un vecteur u v qui maximise une utilit V u v Max V u v 98 S C q Iu Ilu gt 0 99 u 0 v 0 100 Enfin le syst me de production est en quilibre soit Ib x v u By 0 101 Plusieurs m thodes recourent la programmation math matique per mettant de r soudre ce probl me Ginsburgh et Waelbroeck 1981 pro posent une approche par t tonnement o le probl me initial est remplac par une suite de programmes d optimisation Max U x a V u v 102 S C q x u v By lt b 103 Xx u V y 0 104 Si u v est le vecteur des imp
38. xog ne d pend des prix uniquement ou est fonction la fois des prix et du revenu MARKAL part d une demande d nergie utile exog ne mais permet des substitutions de technologie au niveau de la satisfaction de celle ci la demande d nergie finale y d pend donc uniquement des prix Nous introduisons dans cette section deux PROGRAMMATION MATH MATIQUE ET MOD LISATION NERG TIQUE 27 nouvelles versions de MARKAL la demande d nergie finale est exo g ne dans la premi re d entre elles elle d pend la fois des prix et du revenu dans la seconde MARKAL est formul comme un mod le de l ensemble du syst me nerg tique allant des activit s d extraction d nergie primaire celles de consommation d nergie utile Une description d taill e peut en tre trouv e dans Abilock et al 1981 ou dans le manuel d utilisation Les quelques l ments qui suivent sont rappel s pour faciliter la discussion MARKAL subdivise l ensemble du syst me nerg tique en quatre ensembles principaux d activit la mise disponibilit d nergie pri maire SRC extraction importation exportation mise en stock et pr l vement partir des stocks les proc d s PRC de transformation d une forme d nergie en une autre les installations de production CON de chaleur et ou d lectricit et les activit s de demande DMD Il consi d re galement deux grandes classes de vecteurs nerg tiques savoir ceux dont la demand
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