Notice pour la construction de modèles réduits en [...]
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1. 12 5 1 Construction d une base compl te sur le mod le des corrections statiques pour l amortissement Hyst r tique et ou VISQUEUX 5325880820 drindursmanetntanaenutenute anne hobet aan dant u ete aAA 12 5 2 Prise en compte de la particularit du probl me 13 5 3 Filtrage de la Dase de T dUGTIONE 222 20e onde nan en en pee ndn en her tonte tennis 13 5A iterations Sur les FESidUS ocinko heina aaa aaa aai aada a aaa tam laantaue Saba iantde tas 14 5 5 R duction de mod les incluant des variables internes ou interm diaires 15 5 5 1 Introduction rapide la visco lasticit lin aire 15 5 5 2 Principes de construction d une base de r duction adapt e ss 17 5 5 3 Construction de la correction associ e aux efforts statiques ss 18 5 54 Mise en uvre IH TOmMAatQUe h 6101000 rreurmmlenarnmtnetntnereennntene ane titine donner 20 5 5 41 D finition des MAt TIAUX aooiie inanan mn sorti d entend aada 21 5 5 4 2 Calcul des modes libres et encastr s Ur 21 5 5 4 3 Calcul de la correction associ e aux degr s de libert s physiques 22 5 5 4 4 Construction des bases de projections compl tes 22 5545 COMIMENTAIF S ee aaa aeaaea teen in Ann un tata sun 26 6 Cas test pour Code ASIOP 28 0h nmenonnsrnnnnetaneetanamedinnnntdrannten dates au aa EA aAa aoai 26 6 1 Note sur les tudes pr sent es esunmtianaeiaennseron2. D w 29 Les efforts ext rieurs ont alors une forme particuli re et les modes complexes sont assimil s aux r ponses de la structure conservative ces efforts particuliers On cherche donc de la m me fa on que celle pr sent e dans le paragraphe 2 4 d composer la r ponse sur une base construite partir des premiers modes propres de la structure en respectant la r gle de troncature de Hurty En introduisant la matrice de commande des efforts visqueux B Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster Hot Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 13 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 B jK A D 30 5 2 5 3 on peut crire directement K M y B W 31 Ind pendamment de la nature particuli re du terme commandant l excitation 4 la base de projection pertinente pour r soudre ce probl me est de la forme de celle utilis e pour r soudre un probl me plus g n rique qu on pourrait mettre sous la forme LK s M q s B u s 32 Pour ce probl me particulier la base not e T prend alors la forme donn e au paragraphe 2 4 en s parant les composantes li es aux efforts visqueux et aux efforts hyst r tiques soit T p p K K K7 D 33 Cette base permet de projeter le probl me
3. Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster ul Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 2 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Table des Mati res RL RERO LS LE LE c LOIE Ne a 3 2 2 R duction de mod le et correction statique ssniisiisioiuaiin nunnana niiata 4 2 3 Hypo th se d r duction de Mod le osecas iaaa 5 24 D finition de la Correction statig e sriaiadninsaa ndn aaa an aa aa aaa aiaa 5 2 5 Cas tests illustrant l utilisation des corrections statiques T 2 6 Indications pour le contr le a posteriori de la qualit du mod le r duit 8 2 6 1 Cas g n ral pour un calcul sur un mod le r duit eus 8 2 6 2 Cas particulier du calcul des modes d un mod le g n ralis oonnnnssssssrrrsssssnrrnnneneenne 8 4 R duction de mod le pour la sous structuration dynamique 9 4 1 M thodes classiques Craig amp Bampton et MacNeal amp Rubin 10 4 2 Utilisation de MOE SOIMM TAC S osinean dansant teste naaa iaaa aiiai 11 4 3 Calcul des modes d INTerRACS 2282202020 ent La de sine menu ratlenen ane ste antiques ia led e ind iraane sages 12 5 Construction d une base adapt e au probl me dissipatif
4. dans la m me commande DEFI BASE MODALE soit par l utilisation d une nouvelle occurrence de la commande DEFI BASE MODALE avec l utilisation du mot cl ORTHO_ BASE L orthonormalisation peut tre obtenue par normalisation de la famille orthogonale par utilisation de la commande NORM MODE U4 52 11 Le processus d orthogonalisation est surtout important pour liminer les vecteurs trop colin aires issues de la concat nation de plusieurs familles de vecteurs Une famille contentant des vecteurs presque colin aires conduira dans le pire des cas des matrices projet es singuli res et un probl me mal pos Un alternative l utilisation de DEFI BASE MODALE consiste projeter les matrices de masse et de raideur du probl me sur la famille compl te de vecteurs et calculer les modes du probl me ainsi r duit L utilisateur s lectionne ensuite les vecteurs d int r t pour construire la base finale de projection Cette approche plus complexe mettre en uvre permet d ajuster au mieux la base de projection au calcul mais est r server aux utilisateurs avertis NB Note sur le nombre de modes propres prendre en compte Dans le cas d un probl me avec un chargement ext rieur connu il est classiquement recommand d utiliser une famille de modes propres dont la fr quence propre la plus lev e est de l ordre de 1 5 2 fois la fr quence d int r t du cal
5. 3185 pr sente dans la base des tudes 5 5 4 1 D finition des mat riaux Pour r aliser l ensemble de ces calculs avec Code Aster il faut assembler la matrice de masse M ainsi que les diff rentes matrices de raideurs K et K indispensables aux calculs des modes dans les diff rentes configurations ainsi qu au calculs des termes correctifs Par cons quent il est n cessaire de d finir plusieurs sous mat riaux tous rattach s au mat riau visco lastique de d part pour assembler ces matrices Pour chaque mat riaux on pourra utiliser deux d finitions La premi re qui correspond au comportement quasi statique utilis e pour le calcul de K et une seconde utilis e pour le calcul de K Dans l exemple de l tude 3185 pr sente dans la base on utilise l ISD 112 Les deux mat riaux sont donc d fini par ISD112 O DEFI MATERIAU Pour l assemblage de KO ISD112 v DEFI MATERIAU Pour l assemblage de Kv On aura pr alablement d clar les diff rents modules d Young E et les fr quences w d finissant le comportement du mat riau Ek E 0 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E I sum Ek omk omi om2 om3 om4 oms5 for il in range len omk ak i1 Ek i1 1 E I Cependant par construction pour notre probl me les composantes de K associ s des degr s de libert s n appartenant pas au mat riau visco lastique doivent tre nu
6. 39 Si dans le couple T pW on a un mode propre et une valeur propre alors le r sidu F est nul par d finition Dans le cas contraire on peut construire une mesure de l cart l quilibre partir de la r ponse statique de la structure ce chargement On note R le r sidu en d placement associ chaque mode complexe calcul Par d finition on a K R F 40 Une mesure de l cart l quilibre est donn e par l nergie potentielle lastique de la structure soit E 2Ir k R 2 41 Si cet cart d passe un crit re pr alablement d fini comme un pourcentage de la premi re pulsation propre par exemple alors on enrichit nouveau la base de r duction en utilisant les parties r elle et imaginaire des r sidus en d placements associ s aux modes pr sentant un cart l quilibre important On d finit ainsi un processus it ratif tel que Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster ou Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 15 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 RE T ay R R S R 42 5 5 R duction de mod les incluant des variables internes ou interm diaires Les m thodes de r ductions permettent galement moyennant quelques d veloppements de prendre en compte de
7. Phi l n CREA_ CHAMP TYPE CHAM NOEU DEPL R NUME DDL Num OPERATION EXTR RESULTAT Mo lib NOM CHAM DEPL NUME MODE n 1 calcul de Kv Phi KvPhi n PROD_MATR_CHA ATR ASSE K v CHAM NO Phi l nl transformation en chargement FV n AFFE CHAR MECA MODELE MODELE VECT ASSE KvPhiln nom cas p Tp str n l DDL physiques Calcul des Ko Kv Phi Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 23 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 if n 0 Tp MACRO_ELAS_ MULT MODELE MODELE CHAM MATER CHMAT 0 NUME DDL Num CHAR MECA GLOBAL COND_LIM CAS CHARGE F NOM CAS nom cas p CHAR MECA FvVIn else Tp MACRO ELAS MULT reuse Tp MODELE MODELE CHAM MATER CHMAT 0 CHAR MECA GLOBAL COND LIM _F NOM CAS nom cas p CHAR MECA FvVIn 5 5 4 4 Construction des bases de projections compl tes Les briques l mentaires pour le calcul des matrices r duites sont mainte
8. t introduit Les r sultats obtenus pour les calculs de modes complexes sont tr s bons et d montrent la pertinence de ces techniques L int r t de ces technique dans le cas des approches par sous structuration classique R4 06 021 cyclique R4 06 031 ou d composition de domaine 11 a d ailleurs t largement d montr par ailleurs Les m thodes pr sent es sont con ues pour faciliter le calcul sur des mod les importants ou les calculs r p t s r ponse harmonique par exemple sur des mod les de moyenne grande taille plusieurs dizaine de millier de degr s de libert Lorsque la taille du mod le est faible et sous les hypoth ses d amortissement hyst r tique Nota bene puisque ce n est pas possible dans le cas le plus g n ral avec Aster on pourra donc privil gier le calcul complet En revanche pour des moyens gros mod les incluant un mat riau dissipatif m me si la zone o l amortissement est important est de petite taille l ensemble du probl me devra tre trait comme un probl me complexe Il devient donc extr mement int ressant de construire un mod le r duit sur la base des modes propres du probl me r el enrichie par les r sidus ou d adopter une approche par sous structuration Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster Ms Titre Notice pour la const
9. tude n 3185 Calcul des modes complexes d une plaque sandwich incluant un mat riaux visco lastique les diff rentes techniques pr sent es Ces exemples permettent galement de pr senter l impl mentation des m thodes dans Code Aster R duction de mod le principe de la correction statique Dans cette partie on pr sente les principes des m thodes de r duction de mod le adapt es aux cas des structures non dissipatives Ces principes seront ensuite tendus aux cas des structures dissipatives On commence par rappeler les relations de la dynamique associ es la mod lisation aux l ments finis de la structure On introduit ensuite le probl me aux valeurs propres que l on souhaite r soudre Les hypoth ses associ es la r duction de mod le sont alors introduites et une m thode de construction d une base engendrant un sous espace adapt est alors propos e On s int resse alors la r duction optimale de cette base et son enrichissement ult rieur partir d une m thode d it ration sur les r sidus Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Do Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 4 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 2 1 Description et notations 2 2 Consid rons le mod le au
10. AFFE F GROUP MA MATER ACIER v _F GROUP MA MATER ISD112 v 5 5 4 2 Calcul des modes libres et encastr s Une fois les mat riaux d finis il suffit d assembler les diff rentes matrices de rigidit de masse KE KE EM O CALC MATR ELEM OPTION RIGIT MECA CHAM MATER CHMAT 0 EM v CALC MATR ELEM OPTION RIGI MECA CHAM MATER CHMAT v MEL M CALC MATR ELEM OPTION MASS MECA CHAM MATER CHMAT 0 K O ASSE MATRICE MATR ELEM KELEM O NUME DDL K v ASSE MATRICE MATR ELEM KELEM v NUME DDL M ASSE MATRICE MATR ELEM MELEM NUME DDL La matrice K K est obtenue par combinaison lin aire pour avoir Ke Kv Ko Kv somme alpha k entre 1 et n K_Ev COMB MATR ASSE COMB _R CF MATR ASSE K O COEF R 1 _F MATR ASSE K v COEF R sum ak FU F On peut donc maintenant calculer les modes libres et les modes encastr s 5 5 4 3 Calcul de la correction T associ e aux degr s de libert s physiques L ensemble des termes T pk et T V k est construit par combinaison lin aire des modes propres libres et du terme correctif K K Ce dernier terme est obtenu par bouclage sur les vecteurs de for n in range Nb Extraction des modes
11. e les efforts appliqu s la sous structure d int r t par les sous structures adjacentes Les deux bases de r ductions classiquement retenues pour la construction d un mod le r duit pour la sous structuration sont les bases dites de Craig amp Bampton et de MacNeal amp Rubin voir 8 pour plus de d tails sur les formulations La base de type Craig amp Bampton est construite partir e des modes propres de la sous structure encastr e au niveau des interfaces avec les sous structures adjacentes e des rel vements statiques de la sous structure des d placements unitaires impos s successivement aux degr s de libert des interfaces avec les sous structures adjacentes e des ventuels modes de d chargement inertiel si la structure compl te poss de des modes de corps rigides ou peut tre soumise des acc l rations importantes d interface cas du s isme par exemple La base de type MacNeal amp Rubin est construite partir e des modes propres de la sous structure libre au niveau des interfaces avec les sous structures adjacentes e des modes de corps rigide si la sous structure est libre quand les interfaces avec les autres sous structures sont laiss es libres e des d placements statiques de la sous structure des efforts unitaires impos s successivement aux degr s de libert des interfaces avec les sous structures adjacentes Dans le cas o la sous structure pr sente des mo
12. on a K R F 22 Une mesure de l cart l quilibre est donn e par l nergie potentielle lastique de la structure soit 2 E RTK R 2 23 Cas particulier du calcul des modes d un mod le g n ralis Le m me principe peut tre mis en uvre mais de fa on un peu plus pr cise de sorte faire appara tre des carts particuliers aux diff rents quilibres En effet dans le cas d un calcul par sous structuration avec utilisation de modes d interfaces il est important de pouvoir d terminer plus pr cis ment l origine d un calcul impr cis Les sources d impr cisions sont e la mauvaise repr sentation des d placements aux interfaces pour chaque sous structure e le comportement dynamique des parties internes pour chaque sous structure e les d placements diff rentiels d collement pouvant appara tre aux interfaces entre les sous structures La commande CALC CORR SSD U4 52 16 permet sur la base des calculs des travaux associ s ces diff rents efforts de construire des termes de corrections permettant d am liorer s par ment les comportements d interfaces et les comportements dynamiques internes de chacune des sous structures Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster E Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02
13. on rappelle que des d veloppements ont t tudi s pour optimiser cette proc dure Cependant il s agit d illustrer la d marche pour permettre l utilisateur de reproduire et d adapter la m thodologie Les principaux points d int r t sont mis en lumi re Il s agit principalement de e La d finition des mat riaux On doit en effet d finir doublement les mat riaux pour r aliser le calcul des r sidus e l faut assigner un amortissement hyst r tique chaque mat riau sous peine que celui ci ne soit pas correctement pris en compte Pour les mat riaux non dissipatifs il faut donc fixer un amortissement hyst r tique nul e Les options pour le solveur de modes propres Ce dernier doit tre utilis avec l option CENTRE uniquement m me si les modes recherch s sont les premiers de la structure Les autres options ne sont pas support es par le solveur Exemple num rique avec amortissement hyst r tique L exemple retenu pour cette tude est une plaque carr e de 1 m tre de cot et de 6 centim tres d paisseur compos e d un mat riau sandwich acier mat riau visco lastique acier Les couches sont lin aires lastiques et isotropes parfaitement coll es et d paisseur 2 centim tres Le mod le l ments finis est pr sent sur la Figure 6 2 a Cette plaque est encastr e sur un bord et on s int resse aux 10 premiers modes de cette structure Le module d Young du mat riau visco
14. 2013 Page 9 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Les d tails de cette approche sont donn es dans la documentation de r f rence sur la sous structuration dynamique R4 06 02 Prise en compte d efforts ext rieurs et ou de chocs La premi re application des m thodes de r duction concerne le calcul transitoire d une structure en pr sence d efforts ext rieurs et ou de chocs La base de r duction adapt e un tel calcul est directement celle d crite la relation 17 Cette base contient donc la fois des modes propres et des d form es statiques corrections La famille issue de la concat nation des deux sous familles doit ensuite tre orthogonalis e ou orthonorm e afin de d finir une base e Les modes propres d int r t sont calcul s par les op rateurs MODE ITER SIMULT U4 52 03 ou MODE ITER INV U4 52 04 e Les termes de corrections statiques peuvent tre calcul s avec MECA STATIQUE U4 51 01 ou avec MACRO ELAS MULT U4 41 02 dans le cas de chargements multiples plusieurs sollicitations diff rentes n uds directions de chocs etc e Ces diff rentes familles de vecteurs doivent alors tre concat n es Cette op ration est r alis e au moyen de la commande DEFI BASE MODALE U4 64 02 en utilisant le mot cl RITZ La famille ainsi construite peut alors tre orthogonalis e soit par l utilisation du mot cl ORTHO
15. dans la bande de fr quence d int r t En g n ral on consid re des modes jusqu 1 5 fois la fr quence maximale d int r t du probl me r gle semi empirique dite de Hurty 7 Dans ces conditions les fr quences propres des modes en dehors de la bande sont plus importantes que la fr quence maximale d int r t on suppose alors SKW pour k gt N 12 et on peut donc crire en s parant les termes de 10 en fonction de leur appartenance la bande de fr quence d int r t no 0 p Pi Buls 2 2 2 k 1 S Op k N 1 Ok 13 La base de r duction associ e ce mod le est donc compos e des M premiers modes propres mais galement des diff rentes contributions quasi statiques T co T T Preg 14 2 k N 1 O ok Pour calculer efficacement T on peut crire la solution statique q du probl me pour l ensemble des chargement B en utilisant la d composition spectrale de Ke 1 Il vient alors T a lKk B2 Peteja 15 k 1 Wok Dans ces conditions on peut r crire la relation 13 en utilisant cette r ponse statique et il vient T T 2 i T 1 2 hs 1 2 E Pr br 1 Ona p K p 0 Si wy 0VK alors D K p Q do K bQ p k 1 Wok Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster ou Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Dat
16. dissipatif complet pour estimer correctement les modes complexes En revanche si les zones dissipatives sont largement r parties sur la structure les matrices K et D sont de grande taille La taille de la base T est alors en proportion et son calcul et son utilisation deviennent co teux Prise en compte de la particularit du probl me Pour limiter la taille de la base de r duction conserver on consid re l encore qu on ne s int resse qu une petite partie du spectre de la structure et qu en l occurrence les longueurs d ondes des ph nom nes transitant travers les mat riaux dissipatifs sont de l ordre de celles d crites par les premiers modes propres de la structure On peut donc de fa on analogue la troncature modale tronquer l enrichissement aux excitations qui se d composent sur les premiers modes propres Les termes correctifs associ s aux modes d ordres sup rieurs peuvent tre n glig s On construit donc la base de r duction pour le probl me dissipatif partir des modes propres calcul s pour le probl me conservatif et des corrections statiques associ s aux efforts d amortissement calcul s pour chaque mode normal La base de r duction T retenue s crit donc Ty lla K K K7 D p px 34 Ces termes d enrichissement sont aussi appel s r sidus statiques La base ainsi construite permet de d composer les oscillations libres de la structure en l absence d amortissement avec les modes propr
17. et E le module de relaxation Ce module peut tre repr sent dans le domaine temporel par une s rie de Prony N E t E 2 Eexp t r 44 Le module d Young peut se mettre sous diverses formes 12 Dans notre cas on choisira la repr sentation issue de la mod lisation partir du champs de d placement an lastique 14 On peut d s lors introduire des variables internes pour repr senter les termes de relaxation la loi de comportement s crit alors o E e t E e t 45 k 1 o chaque Ealt suit une loi de relaxation par rapport elt E TE tE E 0 46 E Dans le domaine fr quentiel la loi de comportement s crit simplement o s E s el s 47 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 16 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Avec n w i 48 k 1 S W Les param tres caract ristiques du mat riaux sont accessibles partir d essais dynamique en traction et en cisaillement ou par identification des nomogrammes fournis par les fabricants Cette forme de loi permet de construire un mod le d ordre deux compatible avec Code_Aster En revanche la mise en forme n est pas directe Pour construire ce mod le il faut introduire des variables int
18. on se propose de construire un mod le r duit poss dant les m mes propri t s spectrales que le probl me complet On postule donc l existence d une base de r duction T qui permette la repr sentation raisonnable du comportement de la structure sur la bande de fr quence d int r t Dans ces conditions on a donc g T gq 7 Les termes q de la combinaison lin aire correspondent aux amplitudes g n ralis es du probl me complet projet sur la base T Ces amplitudes v rifient donc dans le cas g n ral e pour les r ponses temporelles TTK T Ja T DT 0 T7 MT t T Bult 8 e pour les r ponses harmoniques 2 4 TT K jK K s sD s M T q s T Bu s 9 Le probl me ainsi r duit doit conserver les m mes caract ristiques spectrales Il est donc naturel de construire T sur la base des modes propres d du syst me conservatif associ Cependant les modes propres ne sont suffisants pour repr senter correctement la r ponse du syst me que si l on en consid re un nombre tr s important En pratique le calcul d un grand nombre de modes est irr aliste pour des probl mes industriels de grande taille Il faut donc enrichir la base de projection pour am liorer la repr sentativit de T D finition de la correction statique Pour calculer efficacement la r ponse d une structure une sollicitation ext rieure on choisit g n ralement de projeter le syst me sur une base con
19. 30 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 523 22 523 22 Tableau 6 3 2 Comparaison des r sultats Fr quences et amortissements Les r sultats obtenus sont tr s bons et l erreur pour les dix premiers modes est tr s faible qu il s agisse des fr quences ou des amortissements 7 Conclusions sur l utilisation des m thodes de r duction On a bri vement pr sent les principes de la r duction de mod le bas e sur la construction initiale d un sous espace puis de son enrichissement partir de calculs de r sidus Toutes ces techniques reposent sur le principe de la correction statique et donc sur l introduction dans la base de r duction d une estimation de la r ponse de la structure divers efforts Ces efforts peuvent tre des sollicitations ext rieures comme dans le cas de la correction statique classique mais aussi des efforts appliqu s par des sous structures adjacentes comme dans le cas des m thodes de sous structuration ou encore des efforts internes comme dans le cas des structures dissipatives Ces techniques ont t illustr es dans le cadre particulier du calcul de modes complexes pour une structure fortement dissipative pr sentant du mat riau amortissant L amortissement a d abord t repr sent en utilisant un comportement hyst r tique puis un comportement visco lastique d crit par des variables internes Un cas test simple de structure sandwich fortement dissipative a
20. 6 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster Version default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 25 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 _F CHAM GD Tp nn COEF R ak k omk k Tc2 k CREA RESU 0PERATION AFFE TYPE RESU MULT ELAS AFFE F CHAM GD Temp DETRUIRE CONCEPT F NOM Temp Tce3 k Temp CREA CHAMP OPERATION ASSE ASSE F CHAM GD Phi l n COEF R coef mo Tc3 k CREA RESU 0PERATION AFFE TYPE RESU MULT ELAS NOM AFFE F CHAM GD Temp DETRUIRE CONCEPT F NOM Temp Definition des bases de projections BM Tci DEFI BASE MODALE RITZ F MODE MECA Mo lib _F MULT ELAS Tcl NUME REF Num BM Tc2 k DEFI BASE MODALE RITZ F MODE MECA Mo lib _F MULT ELAS Tc2 k NUME REF Num BM Tc3 k DEFI BASE MODALE RITZ F MODE MECA Mo zero _F MULT ELAS Tc3 k NUME REF Num Construction de Ck par projection de Kv sur Tce2 k nom C Ck_ str k PROJ BASE BASE BM Tc2 k NB VE
21. 7 Les r sultats obtenus avec les diff rents mod les sont pr sent s dans le Tableau 6 2 2 et le Tableau 6 2 3 g complet modes complet r sidus es por p f o o Tableau 6 2 2 Fr quences propres en Hz du mod le sandwich Les fr quences calcul es partir du mod le r duit sur 10 modes et 10 r sidus sont quasiment identiques celles calcul es partir du mod le complet Les fr quences obtenues partir du mod le Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster au Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 29 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 6 3 r duit sur la base des 20 premiers modes normaux sont raisonnables mais pr sentent n anmoins une erreur significative Complet Complet modes ee me e E 54 29 60 58 63 03 60 47 e E 56 95 ai hsi hs p peo o Tableau 6 2 3 Amortissements en du mod le sandwich Le calcul des amortissements r duits est en revanche beaucoup plus tranch Les r sultats obtenus avec le mod le r duit sur les modes normaux uniquement l exception du mode 6 conduit une surestimation tr s nette de l amortissement L int gration des r sidus dans la base de r duction du mod le am liore tr s nettement les r sultats L erreur maximale sur le cal
22. CT 3 Nb PROFIL PLEIN MATR ASSE GENE F MATRICE MATR AS Construction de Kk par projection de K nom K Kk str k PROJ BASE BASE BM Tc3 k NB _VECT 3 Nb PROFIL PLEIN MATR ASSE GENE _F MATRICE MATR AS CO nom C SE K_v v sur Tc2 k CO nom K SE K v Il ne reste qu a sommer l ensemble des matrices l mentaires Ck et ajouter toutes les Ck la matrice Kg et a r soudre le probl me r duit Cependant pour que la num rotation de toutes ces matrices soient coh rentes il convient de proc der partir de matrices toutes projet es sur la m me Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 26 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 5 5 4 5 6 base On projette donc trois matrices sur BM Tcl afin de construire ensuite les matrices de masse d amortissement et de raideur r duites PROJ BASE BASE BM Tcl NB_VECT 3 Nb PROFIL PLEIN MATR ASSE GENE _F MATRICE CO M g MATR ASSE M F MATRICE CO K g MATR ASSE K O _F MATRICE CO C g MATR ASSE K v Num gene NUME DD
23. Code Aster Po Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 1 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Notice pour la construction de mod les r duits en dynamique R sum Les mod les utilis s pour les calculs de r ponses en dynamique lin aire sont de plus en plus gros Pour am liorer significativement les temps de calculs il est possible de construire un sous espace de dimension r duite qui permet de projeter le probl me complet et ainsi acc l rer les diff rents calculs de r ponse Ces mod les de composants r duits peuvent galement tre utilis s dans des approches de sous structuration et certaines analyses non lin aires chocs On propose galement une m thodologie permettant de condenser les variables internes pour une analyse de dynamique lin aire Ce manuel se propose d aider les utilisateurs dans la construction de mod les r duits en dynamique et propose un cadre pour valuer la qualit des mod les r duits construits On insiste sur l int r t du processus d orthogonalisation des bases de projection op rateur DEFI BASE MODALE mot cl ORTHO BASE permettant d liminer les vecteurs trop colin aires issues de la concat nation de plusieurs familles de vecteurs Une famille contentant des vecteurs presque colin aires conduira dans le pire des cas des matrices projet es singuli res et un probl me mal pos
24. Date 28 02 2013 Page 24 31 Responsable Mathieu CORUS NOM CHAM D AFFE F CHA Debut de construction de for k in range len ak for n in range Nb Cl U2 06 04 R vision 10554 EPL GD Phi efn Tc2 k et Tc3 k boucle sur les etats internes Tc2 k CREA RESU OPERATION AFFE TYPE RESU MUL NOM CHAM DEPL AFFE F CHAM GD Zero Tc3 k CREA RESU 0P FFE TYPE RESU MULT ELAS P 1 NOM CHAM DE Ei Eal EA D ep mi RATION AFFE 3 or AFFE F CHAM GD Phi_e n Complement de Tc1 for k in range len ak for n in range Nb Temp CREA CHAMP OPERATION ASSE ASSE _F CHAM_GD Tp nn TOUT OUI CUMUL 0UI COEF R ak k omk k Tci CREA RESU OPERATION AFFE TYPE RESU MULT ELAS for k in range len ak for 1 in range len ak if k coef mo 1 omk k else coef mo 0 for n in range Nb Te2 K E remp CREA CHAMP NOM CHAM DEPL AFFE Complement de Tc2 k et Tc3 k DETRUIRE CONCEPT F NOM Temp 1 OPERATION ASSE ASSE _F CHAM GD Phi lin COEF R coef mo Manuel d utilisation Fascicule u2 0
25. L GENE BASE BM Tcl NB _VECT 2 len ak Nb La somme de ces matrices est r alis e apr s extraction des diff rentes matrices projet s des concepts associ s Kt K g EXTR MATR GENE Ct 0 C g EXTR MATR GENE for k in range len ak exec Ct Ct ak k omk k Ck str k EXTR MATR GENE exec Kt Kt ak k ERK str k EXTR_MATR_GENE Puis r introduction des matrices dans les concepts ECU MATR GENE Ct C_g R K_g RECU MATR GENE Kt Mo c g MODE ITER SIMULT MATR RIGI K g MATR MASS M g MATR AMOR C g TYPE RESU DYNAMIQUE METHODE QZ CALC FREQ F OPTION TOUT SEUIL FREQ 1e 6 T VERI MODE F STOP ERREUR NON Commentaires Cette approche est pour l instant r serv e aux utilisateurs exp riment s puisque la r duction de mod le en pr sence d tats internes peut conduire des comportements singuliers Cette pr sentation permet n anmoins de montrer les possibilit s offertes par Code_Aster en terme de modularit La recherche de valeurs propres ne peut se faire qu avec un seul op rateur de recherche de valeurs propres e __it rations simultan es MODE ITER_SIMULT U4 52 03 Cependant pour le calcul des modes propres du mod le r duit il est recommand d utiliser le solveur plein ME
26. THODE QZ en recherchant toutes les valeurs propres OPTION TOUT On notera par ailleurs que les choix de conceptions de MODE ITER SIMULT font que les p les r els sont filtr s et ne sont pas affich s dans les r sultats Cas test pour Code_Aster Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster uit Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 27 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 6 1 6 2 Pour mettre en uvre le calcul de modes complexes sur un mod le r duit on introduit un exemple simple Le calcul des modes sur cette structure sera r alis avec Code Aster On comparera les r sultats obtenus en utilisant d abord le mod le complet puis diff rents mod les r duits On d taillera ensuite le fichier de commande type permettant de r aliser ce calcul en insistant sur les points non abord s dans la documentation officielle Note sur les tudes pr sent es Les fichiers de commande utilis s pour les calculs des modes complexes des mod les r duits sont disponibles dans la base des tudes sous le num ro d tude 3185 Ils ne pr sentent pas une mani re optimis e de r aliser les calculs en particulier dans le calcul des r sidus et la construction des bases de projection Sur ce point
27. able Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 4 1 ensuite assembl s pour construire un mod le r duit global de la structure compl te Quelques l ments sur la constructions de bases adapt es la r solution du probl me par sous structuration dynamiques sont rappel s dans cette section Les pr sentations compl tes de ces approches incluant en particulier les aspects de mise en uvre dans Code Aster sont disponibles dans les documentations R4 06 021 sous structuration dynamique classique et R4 06 03 sous structuration dynamique cyclique On pourra aussi se reporter aux r f rences 6 9 M thodes classiques Craig amp Bampton et MacNeal amp Rubin De la m me fa on que pour la r duction d un mod le unique la r duction pour la sous structuration dynamique doit prendre en compte deux aspects e conserver les propri t s spectrales du probl me dans la bande de fr quence d int r t e prendre en compte correctement les effets quasi statiques des efforts ext rieurs appliqu s chaque sous structure La premi re contrainte est satisfaite en choisissant un nombre de modes suffisant pour la sous structure consid r e de sorte que le crit re de Hurty soit v rifi La seconde contrainte est v rifi e en consid rant que les efforts ext rieurs appliqu s une sous structure donn e sont e de r els efforts ext rieurs appliqu s dans l int rieur du domaine de la sous structure consid r e
28. aux valeurs propres associ en consid rant les diff rents types d amortissement se met sous la forme Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster ut Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 5 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 K j K K Ao A D A M W 0 5 2 3 o les sont les valeurs propres complexes et y les modes complexes Dans le cas du mod le non dissipatif les modes propres etles pulsations propres w v rifient LK wiM p 0 6 Les outils permettant de r soudre le probl me complet l exception du cas visco lastique sont disponibles dans Code Aster par le biais de la commande MODE ITER SIMULT Cependant la matrice complexe jK est sym trique et non hermitienne De ce fait les propri t s alg briques des matrices consid r es dans le probl me dissipatif ne permettent pas de mettre en uvre les algorithmes les plus efficaces Pour des d tails compl mentaires sur les algorithmes de recherche de valeurs propres on pourra se reporter 1 4 5 Hypoth se de r duction de mod le La r solution du probl me sur la base du mod le complet pr sent dans la relation 5 n est donc pas envisageable pour des mod les de taille industrielle Pour contourner cette difficult
29. cul Si cette fr quence n est pas connue a priori elle peut tre estim e sur la base de transform es de Fourier de l excitation r alis es par exemple avec CALC FONCTION U4 32 04 En revanche dans le cas d un probl me faisant intervenir des chocs il est difficile de r aliser a priori une estimation de la fr quence maximale d int r t Une r gle classique consiste regarder pour un m me chargement initial l volution des temps de chocs dur e pendant laquelle la structure est au contact de l obstacle La convergence des temps de choc indique en g n ral une bonne repr sentativit de la base retenue pour le calcul L utilisation de corrections statique pour le calcul de la r ponse d une structure en pr sence de chocs est illustr e dans le cas test SDNL301 V5 02 301 R duction de mod le pour la sous structuration dynamique Lorsqu on souhaite r soudre un probl me de grande taille en dynamique des structures on proc de en g n ral en d composant la structure principale en diff rentes sous structures On construit alors un mod le r duit de chaque sous structure sur la base de ses modes propres Ces mod les r duits sont Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Ho Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 10 31 Respons
30. cul par rapport au mod le de r f rence est en effet juste sup rieure au pour cent pour une base de projection de taille quivalente dans les deux cas Exemple num rique avec amortissement visco lastique d crit par des variables internes La m me g om trie a t reprise pour construire cette tude Cependant il n est pas possible de construire de cas test de r f rence utilisant le mod le non r duit avec Code Aster Les r sultats de r f rence calcul s sur le mod le complet ont donc t obtenus avec Matlab et la Structural Dynamic Toolbox Les caract ristiques des mat riaux utilis s sont pr sent s dans le tableau 6 3 1 Mat riau Module de Young Coefficient de Masse a u Temps Pa Poisson kg m relaxation s Acier 1 210 0 3 7800 o D 3 51 10 oro 3 20 10 es 3 01 rte 4 58 10 te 5 93 10 Tableau 6 3 1 Propri t s des mat riaux utilis s Les r sultats obtenus avec le mod le complet et le mod le r duit sont pr sent s dans le tableau 6 3 2 Le mod le r duit a t construit sur la base des dix premiers modes propres de la structure non dissipative 186 38 186 17 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Fo Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page
31. des de corps rigide il faut r gulariser le calcul des d placements statiques par une technique de d calage du spectre par ajout de masse la matrice de raideur ou de calcul des charges auto quilibr es voir 6 par exemple Pour fixer les id es en partitionnant les matrices de masse et de raideurs en fonctions des degr s de libert d interface indic s z et des degr s de libert s compl mentaires indic s c la base de r duction compl te pour Craig amp Bampton est donn e par Per K K Ko M Per Tags 24 CB Jog 1 0 24 et la base de MacNeal amp Rubin par Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 11 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Ters Per Pa des 25 Pir Pi dis 4 2 Les derniers vecteurs correspondent au calcul de la r ponse du d placement de la structure des chargements unitaires impos s l interface en l absence de modes de corps rigide pour la sous structure K cc Ka q cS Ke Kull dis 0 I 26 P r sont les modes de la structure interfaces fix es p les modes libres et p les modes de corps rigide de la sous structure libre aux interfaces Ces deux approches sont directement dispon
32. e 28 02 2013 Page 7 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 N f N T p p Buls p p Buls qls RL Bu s D k SHO k 1 O ok Soit N T T P Pr 1 qg s gt il Bu s K Bus 16 k 1 SOx Ok 2 5 D apr s la relation 16 on peut donc construire une base de projection efficace pour calculer la r ponse du probl me dynamique Cette base T est donc construite autour des V premiers modes propres de la structure et de la r ponse statique de la structure des efforts unitaires appliqu s de la m me fa on que les efforts pour lequel on cherche la r ponse On a donc T p Py KB 17 La base de projection ainsi construite constitue un tr s bon sous espace pour la recherche de la r ponse dynamique de la structure En revanche pour son utilisation pratique il est recommand d orthogonaliser la famille de vecteur obtenue par la relation 17 NB Correction inertielle D un int r t plus modeste on peut d finir de fa on analogue une correction basses fr quences si la bande d analyse d int r t ne comporte pas les premiers modes de la structure La relation 10 peut se d composer de la mani re suivante M T N T T aara A E CR A m k 1 E 2 S k M 1 S Ok k N 1 Ok Le premier terme correspond la d composition spectrale de M et on peut donc enrichir la base de projection selon le m me principe et construire T M B_ pr K B 19 Cas tests illus
33. ernes qui font le lien entre les degr s de libert s physiques impact s par la pr sence d un mat riau visco lastique et les grandeurs d finissant le comportement Pour chaque param tre interne on introduit une variable q qui d crit l tat de relaxation du mat riau En repartant des relations 47 et 48 on crit e q s Ese 4 s E HE 49 a o s E e g s E L op rateur elq s est lin aire par rapport aux d placements Pour une loi de comportement mod lis e par l quation 48 le lien entre chaque degr de libert interne et le degr de libert physique qui lui correspond et lin aire pilot par l quation suivante w quts q s 50 S Les grandeurs E E et w sont des param tres intrins ques du mat riau associ s aux volutions de raideurs et aux dur es de relaxation Les degr s de libert s g constituent un sous i me ensemble de degr s de libert s associ au k couple de param tres E w s En introduisant ces degr s de libert s internes et en distinguant les parties purement lastiques et les parties visco lastiques le syst me dynamique s crit F 0 ql gl EAK nK Qu q Do Z dvr K 21M O0 51 w 0 0 avec E JE K correspond la matrice de raideur associ e aux degr s de libert s des mat riaux visco lastiques assembl e avec le module de Young E On peut illustrer les relations d crivant ce co
34. es mais aussi de repr senter les comportements li s la pr sence d amortissement gr ce la construction du r sidu en d placement autour de la r ponse statique des efforts li s la dissipation Filtrage de la base de r duction La base T construite au paragraphe 5 2 peut tre utilis e directement pour r aliser la projection du probl me complet Cependant certains vecteurs peuvent tre tr s colin aires entra nant ainsi des probl mes de conditionnement du probl me r duit On peut donc choisir d orthogonaliser les vecteurs de T en calculant les modes du probl me homog ne non dissipatif r duit sur cette base Soient ne w les modes propres du syst me r duit T K w MIT D 0 35 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster or Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 14 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 5 4 Les pulsations propres de ce probl me r duit permettent d op rer une s lection parmi les vecteurs de T pour ne conserver que les vecteurs ayant une influence pour la repr sentation du comportement basse fr quence La valeur de troncature indicative est d finie par le crit re de Hurty qui consiste ne retenir que les vecteurs associ s une fr quence propre inf
35. hnique employ e pour construire le mod le r duit reste la m me ceci pr s que les corrections prendre en compte sont associ es des efforts internes On propose de construire T en utilisant les premiers modes propres calcul s partir du mod le de la structure n incluant pas la dissipation et un enrichissement associ aux r sidus en d placement induits par ces modes La construction de ce r sidu en d placement s inspire de la construction des corrections statiques pour le calcul de la r ponse une sollicitation ext rieure mais en tenant compte des particularit s de la r ponse recherch e On ne pr sente ici que la partie associ e l enrichissement pour prendre en compte l amortissement Dans le cas d un calcul de r ponse il faut aussi prendre en compte les enrichissements associ s aux chargements externes Construction d une base compl te sur le mod le des corrections statiques pour l amortissement hyst r tique et ou visqueux On se concentre dans cette section sur les deux mod les d amortissement utilisables directement dans Code Aster La construction d un mod le r duit prenant en compte les variables internes visco lasticit g n rale sera pr sent e dans la section suivante Les modes propres complexes de la structure v rifient la relation 5 En assimilant les efforts associ s la partie dissipative des efforts ext rieurs on peut r crire la relation sous la forme K a M y jK
36. ibles directement dans Code_Aster en combinant les r sultats des op rateurs d di s DEFI BASE MODALE U4 64 02 e EFI_INTERF DYNA U4 64 01 EFI BASE MODALE U4 64 02 D D e MACR ELEM DYNA U4 65 01 D EFI MODELE GENE U4 65 02 e e Z Utilisation de modes d interfaces N anmoins dans le cas d un composant pr sentant des interfaces tendues les mod les ainsi r duits restent de taille importante D autre part la projection des matrices de masse et de raideur sur ces base de projection fait perdre le caract re creux des matrices assembl es d origine Dans ces conditions il n est pas toujours int ressant de construire un mod le r duit comme pour le calcul d une r ponse harmonique par exemple En revanche lorsque le nombre de calculs r alis autour du mod le augmente la r duction devient int ressante surtout lorsqu on peut encore r duire la taille du probl me En effet si l on reste dans le cadre de la dynamique basse fr quence l ensemble des modes de contrainte ou d attache n est pas n cessaire pour repr senter la dynamique du probl me La longueur d onde des ph nom nes devant transiter l interface est limit e par celle des ph nom ne que l on peut retrouver dans les domaines On peut donc op rer une s lection judicieuse parmi les modes de contrainte ou d attache Des m thodes de constructions de ces modes appel s ici m
37. l des modes encastr s Repr sentation du syst me un seul degr de libert quivalent Enfin pour prendre en compte le comportement des amortisseurs associ s aux tats internes on calcule la correction statique associ e aux mouvements des tats internes d finis pour les premiers modes de la structure A n a fa Im k e N f Au K 4l M K Figure 4 Calcul des corrections statiques visco lastiques Repr sentation du syst me un seul degr de libert quivalent De la m me fa on qu on a d fini un enrichissement associ aux degr s de libert s appartenant au mat riau poss dant un amortissement hyst r tique on peut associer un terme de correction statique l image de ceux donn s par la relation 33 pour chaque couple E w de param tres internes La base de r duction T pour le mod le visco lastique prend alors la forme D T 1 Vkelln 53 T sel p lv 0 Ty Les sous matrices T T sont construites partir des probl mes statiques KE AR TOR ma K Tr 0 UE amp K 0 0 T6 nr 54 K 0 AK 0 Le vk a K 0 0 a K Tel 0 avec le chargement d fini par Q k p Fa ES 55 wW Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster M Titre Notice pour la construction de mod
38. lastique n est pas r aliste Il a t ajust pour obtenir des amortissements raisonnables malgr l paisseur de la couche Ces propri t s sont rappel es dans le Tableau 6 2 1 Mat riau Module de Young Pa Coefficient de Masse ous Taux Poisson kg m En a 2 1 10 1800 RE LL S Tableau 6 2 1 des mat riaux utilis s pour le calcul Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster ut Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 28 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Figure 6 2 a Mod le E F de la structure de r f rence Le mod le est construit en utilisant des l ments volumiques lin aires avec un total de 9610 n uds soient 27900 degr s de libert Les 10 premiers modes de la structure amortie sont calcul s en utilisant Code Aster Dans chaque cas on r alise le calcul sur un mod le r duit construit partir des 20 premiers modes normaux uniquement base T et un mod le r duit construit partir des 10 premiers modes normaux enrichi avec les r sidus associ s ces 10 modes normaux base 7 Un calcul de r f rence r alis avec le mod le complet non r duit est galement r alis Les bases de r ductions utilis es sont donc T 1P P 66 et 1 Tool Bd K K So 6
39. les r duits en Date 28 02 2013 Page 19 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 On peut alors r soudre le probl me projet sur la base T probl me qui prend en compte le comportement visco lastique global d fini pour les mat riaux 5 5 3 Construction de la correction associ e aux efforts statiques Gr ce la topologie de la matrice de raideur compl te on peut trouver simplement une expression de la matrice inverse C est une matrice ou chaque bloc vaut 1 K K 1 D a 56 k 1 que l on notera Ke l exception des blocs sur la diagonale pour les degr s de libert s internes o le bloc vaut 1 amp K K5 On notera d ailleurs que K correspond la raideur statique du mod le Pour chaque couple de param tres E w la Solution du syst me 54 peut se mettre sous la forme FA Ke Ko K T 0 0 0 0 0 Polk UAK Ko K7 Ko 0 G To Re Ke l a K K Ke alw lK S Ton K K 1 amp K K 0 On a ainsi pour chaque groupe de degr s de libert des expressions simples calculer Pour les degr s de libert s physiques il vient NE a A pK 0 vlv 58 w Et pour les sous ensembles d tats internes on a T 5T pk VIZRk 59 Et ra 1 TaT pt Pn 60 w pour le sous ensemble q quand on s int resse au couple E w Chaque vecteur est ainsi construit gr ce au calcul de la r ponse du syst me initial libre tel que pr sent sur la figure 2 une so
40. lles Pour satisfaire cette condition on va d finir les autres mat riaux en double Une premi re d finition du mat riau compl te sera utilis e pour l assemblage de K et une seconde o le terme de raideur sera choisi tr s faible bien inf rieur la valeur de E retenue pour assembler K Dans l exemple le mat riau choisi est l acier On aura donc deux d finitions pour le mat riaux ACIER O DEFI MATERIAU ELAS F E 2 1E11 NU 0 3 RHO 7800 AMOR HYST 0 0 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Pa default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 22 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Puis on d finira un second mat riau pour lequel les propri t s de raideurs sont nulles ACIER v DEFI MATERIAU ELAS F E 0 NU 0 3 RHO 7800 AMOR HYST 0 0 Les diff rentes matrices l mentaires du probl mes sont alors construites sur la base de ces diff rents mat riaux On d fini un premier champ mat riau prenant en compte l ensemble des propri t s pour le probl me statique CHMAT_O AFFE MATERIAU AFFE F GROUP MA MATER ACIER O0 _F GROUP MA MATER ISD112 0 et un second pour l assemblage de K CHMAT_v AFFE MATERIAU
41. llicitation elle m me construite partir des modes libres du m me syst me Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Ho Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 20 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 T p T pk E PB 0 T T T T sel l vl pk pn 61 0 Ta Fe TL 0 T pi T pk Eo Note Calcul des matrices projet es Apr s avoir construit les blocs de la base de projection T il ne reste qu a construire les matrices r duites en d taillant le calcul de la projection ve Pour la matrice de masse r duite M on a rapidement T P a a M 0 r 0 Ta Ml P T p Tii Ex 62 l T 1 Le calcul de M est donc r alis par simple projection de la matrice de masse du probl me sur la base contenant les modes libres les modes encastr s et les corrections T De la m me fa on la construction de la matrice d amortissement r duite C est assez simple du fait de sa topologie On a donc directement 00 0 0 gt amp 0 0 0 0 Ar s T X T EC 63 tet w 0 0 K 0 ve w l 00 0 0 O est donn simplement par T lv 0 X glor Ge T p K 0 Ty Tr Ti 64 a Ta Pour la matrice K apr s simplifications il vient Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Co
42. mportement en consid rant un syst me masse ressort pour lequel le ressort poss de un comportement qui peut tre repr sent par n variables internes Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster ba Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 17 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 C dm k Ps N C A k M K 5 5 2 0 Figure 1 Repr sentation du mod le visco lastique variables internes pour un syst me un degr de libert de d placement et n variables internes Pour cette repr sentation simplifi e on a les relations suivantes n Qk K K amp K K a k et C K 52 k 1 wW Principes de construction d une base de r duction adapt e En l tat Code_Aster ne permet pas de prendre en compte de telles lois de comportement pour les analyses dynamiques lin aires La solution adopt e pour r soudre ce probl me consiste construire une base de r duction adapt e Cette base de r duction est construite autour de modes propres et des r ponses statiques de la structure aux efforts visco lastiques engendr s par les modes de la m me fa on que pour la prise en compte de l amortissement visqueux ou hyst r tique Les diff rents comportements reten
43. nant construites il ne reste qu a construire les diff rentes bases modales On r sume ici les principales tapes de cette construction construction des bases base base base rcl Phi L Phi e Tpl Tpn calcul de Mg et Kg rc2 k Phi 1 0 Tpl Tvk Tpn calcul de Ck lc3 k 0 Phi e 0 Phi 1 omk 0 calcul de Kk es N 3 Ww 3 Zero CREA CHAMP ASSE F CHAM GD Phi 1 0 TOUT 0UI CUMUL 0UI COEF R 0 0 Debut de construction de Tcl Extraction des modes encastres Phi e Extraction des vecteurs de Tp Tp_n Construction de modes identiquement nuls Mo zero for n in range Nb Phi e n CREA_CHAMP OPERATION EXTR RESULTAT Mo enc NUME MODE n 1 nom cas_p Tp_ str n 1 Tp_n n CREA_CHAMP OPERATION EXTR RESULTAT Tp NOM CAS nom cas p Mo zero CREA RESU OPERATION AFFE TYPE RESU MODE MECA NOM CHAM DEPL AFFE F CHAM GD Zero Tci CREA RESU OPERATION AFFE TYPE RESU MULT ELAS Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster Version default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en
44. nt mode synthesis method Mathematical Modelling and Numerical Analysis 1992 G Rousseau et J M Cros Amelioration des m thodes de synth se modale vis a vis d une implantation dans le logiciel Code_Aster Note H P50 1999 04449 FR E Balmes et J M Lecl re Viscoelastic Vibration Toolbox User s guide V 1 0 2007 E M Austin Influences of Higher Order Modeling Techniques on the Analysis of Layered Viscoelastic Damping Treatments Ph D Thesis Virginia Polytechnic institute and State University 1998 L A Da Silva Internal Variable and Temperature Modeling Behavior of Viscoelastic Structures A Control Analysis Ph D Thesis Virginia Polytechnic institute and State University 2003 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html
45. odes d interfaces ont t propos s notamment par Craig amp Chang voir 10 pour l approche par sous structuration puis par Bourquin et D Hennezel voir 11 dans une optique de d composition de domaine La m thode propos e par Craig amp Chang pr sente l avantage de la simplicit et a t retenue pour la construction des mod les r duits dans Code Aster avec l op rateur DEFI MODELE GENE U4 65 02 OPTION REDUIT Cette m thode consiste simplement projeter les matrices de masse et de raideur du mod le de la sous structure sur la base des modes de contrainte ou d attache et r soudre le probl me aux valeurs propres associ T K MT 0 27 avec K K Ke K4 E la K K 0 1 28 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Fo Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 12 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 4 3 Les modes d interfaces sont class s par rapport leurs pulsations propres et une troncature est op r e pour ne s lectionner que les composantes les plus basses fr quence Les modes de contraintes ou d attaches sont alors avantageusement remplac s par les vecteurs T dans la base de projection Le gain est r alis la fois su
46. pe Craig amp Bampton ou McNeal utilis s pour les approches en sous structuration dynamique Ces deux m thodes peuvent tre vues comme la g n ralisation des enrichissements par corrections statiques On pr sentera galement des techniques permettant de limiter la taille de ces mod les en particulier pour la repr sentation des comportements d interfaces Dans la troisi me partie on tend les concepts pr sent s aux cas des structures pr sentant des efforts internes tels que dans les cas amortis On discutera principalement des mod les d amortissement visqueux hyst r tiques et visco lastiques Les deux premi res approches sont en effet celles retenues usuellement pour les tudes en dynamique Le cas de l amortissement associ une loi visco lastique est int ressant puisque cette loi introduit des variables internes non pr sentes dans la loi de comportement initiale du mat riau mais qui peuvent tre prises en compte par le biais de la r duction Le cas particulier du mod le d amortissement de Rayleigh utilis fr quemment pour les analyses sismiques n est pas pr sent puisque dans ces cas particuliers les modes propres du syst me diagonalisent aussi les matrices associ es la dissipation et la base ainsi construite ne n cessite pas d enrichissement particulier en dehors de ceux associ s aux efforts ext rieurs Dans la quatri me partie on pr sente l aide d une tude vers e dans la base de Code Aster
47. pyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster default Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 21 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 De r f T p i e n 0 1 RETIRE 8 Ty Tu Tatlo S K 0 amp 0 0 65 7 k 1 gr Ww Tog l P w T Tr 0 5 5 4 Mise en uvre informatique Les d tails pour la mise en uvre de ces techniques dans Code Aster sont pr sent s dans cette section En effet Code Aster permet de r soudre le probl me dissipatif r duit mais sa construction n est pas directe En effet l ajout des tats internes complique la construction du mod le r duit puisqu on ne peut pas assembler directement les matrices pour le probl me complet pas plus qu on ne peut assembler directement les vecteurs associ s la base de r duction en particulier les corrections associ es aux efforts visco lastiques d finies par les relations 54 et 55 Il faut donc d abord construire les vecteurs de la base de projection puis construire ensuite les matrices projet es La solution adopt e consiste assembler diff rents mod les afin de pouvoir r soudre plusieurs syst mes successifs et construire les matrices r duites pour chaque sous syst me par simple sommation Un exemple d taill pour la mise en uvre de ces m thodes est pr sent avec l tude n
48. r la taille de la matrice qui peut tre sensiblement r duite si l interface est de grande taille et sur sa topologie puisque par construction la projection des matrices de masse et de raideur du syst me sur cette nouvelle base conduit des matrices diagonales Seuls les matrices rectangulaires associ es au couplage par la masse restent des matrices pleines Calcul des modes d interface L approche pr sent e n est pas efficace puisqu il reste n cessaire de construire les modes de contraintes ou d attache qui sont en nombre important lorsque les interfaces sont tendues et qu il faut ensuite projeter les matrices Quelques solutions ont t propos es et test e avec Code_Aster voir 11 La solution retenue consiste construire un pr conditionneur du probl me pour limiter les calculs de rel vement statique partir de la topologie des interfaces on construit un treillis de poutre topologiquement quivalent l interface et on en calcul les premiers modes Ces modes sont relev s statiquement sur l ensemble du mod le et ce sont ces modes tendus qui sont utilis s en lieu et place de T et permettent d acc l rer consid rablement le calcul Ce point est d taill dans la documentation de r f rence R4 06 02 Sous structuration dynamique classique Construction d une base adapt e au probl me dissipatif 5 1 Lorsque la structure ou une sous structure pr sente des m canismes d amortissement la tec
49. rieure 1 5 fois la fr quence maximale d int r t du probl me En consid rant que seules les M premi res fr quences propres r pondent ce crit re la base de projection retenue pour le calcul des modes complexes devient TT y 36 On calcule alors les modes complexes r duits issus de la projection du probl me complet sur cette base T K jK D MIT W 0 37 Les modes complexes sont alors approxim s par restitution sur les degr s de libert s initiaux WNT aW 38 Cette tape cependant n est pas obligatoire Pour les mod les de petites tailles ou lorsque le nombre de modes retenu pour l analyse est faible lt 50 pour fixer les id es elle peut tre omise sans d gradation des r sultats Cette tape devient n cessaire quand le solveur modal complexe converge difficilement It rations sur les r sidus La base de r duction T d finie par les relations ci dessus constitue un bon point de d part pour le calcul du spectre du mod le complet dissipatif Cependant il peut s av rer que la qualit des r sultats obtenus ne soit pas satisfaisante Les modes calcul s sur la base T sont en effet une approximation des modes complexes exacts et les p les associ s peuvent aussi tre diff rents des vrais p les du syst me Pour caract riser cet cart l quilibre on utilise le principe du r sidu en effort Ce r sidu en effort F est calcul pour chaque mode complexe par LK jK D X MIT 4 F
50. ruction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 31 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 8 R f rences 1 10 11 12 13 14 A Bobillot M thodes it ratives pour le recalage Applications au cas d Ariane 5 Th se de Doctorat Ecole Centrale Paris 2002 G Kergourlay Mesure et pr diction vibroacoustique de structures visco lastiques Application une enceinte acoustique Th se de Doctorat Ecole Centrale Paris 2004 B Groult Extension d une m thode de modification structurale pour la conception de dispositifs dissipatifs int grant des mat riaux visco lastiques Th se de Doctorat Ecole Centrale Paris 2008 F Tisseur et J Meerbergen The Quadratic Eigenvalue Problem SIAM REVIEW Vol 43 No 2 pp 235 286 2001 W H Press S A Teukolsky W T Vetterling and B P Flannery Numerical Recipes in C second edition Cambridge University Press 1992 M G radin et D Rixen Th orie des vibrations application la dynamique des structures Elsevier Masson 1997 W Hurty Dynamic analysis of structural systems using component modes AIAA journal 1965 R R Craig A review of time domain and frequency domain component mode synthesis methods Journal of Modal Analysis 1987 59 72 R R Craig et C J Chang Substructure Coupling for Dynamic Analysis and Testing NASA CR 2781 1977 F Bourquin et F D Hennezel Numerical study of an intrinsic compone
51. s mod lisations de comportement non disponible en l tat dans Code_Aster On peut ainsi envisager de r aliser des calculs couplant la m canique avec d autres physiques dans la mesure o les ph nom nes compl mentaires peuvent tre d crites l aide des degr s de libert repr sentant les ph nom nes m caniques Ce cas d application des m thodes de r duction permet essentiellement de pr senter la d marche dans un cas plus complet lorsque les propri t s du mat riau d pendent du temps ou de la fr quence des sollicitations Ce type d approche permet galement de g n raliser le mod le d amortissement hyst r tique Dans la section pr c dente on consid re un module d Young et un taux de perte constant On peut enrichir cette relation en postulant que le module d Young et le taux de perte sont des grandeurs qui d pendent de la fr quence C est par exemple le cas pour les mod les de comportement de mat riaux visco lastique Ces mod les donnent acc s un mod le dynamique causal qui est donc utilisable pour traiter les r ponses harmoniques et transitoires de structures avec des mat riaux visco lastiques 5 5 1 Introduction rapide la visco lasticit lin aire Ce mod le repose sur l existence d une loi de comportement permettant de d terminer l tat de contrainte en fonction de l historique des d formations t OE T o E e t E t T PN 43 E T o E repr sente le module d Young haute fr quence
52. s sont l amortissement visqueux et l amortissement hyst r tique On introduit galement l amortissement visco lastique qu il est int ressant de traiter dans le cadre des m thodes de r duction de mod le Dans ces conditions l quation d quilibre dans le domaine de Laplace peut se mettre sous la forme K j K K s sD ss Ma s Bu s a K est la matrice repr sentant le comportement hyst r tique K la matrice repr sentant le comportement visco lastique Pour ces deux mod les d amortissement la mod lisation adopt e n a de sens que dans le domaine de Laplace L amortissement hyst r tique tel qu il est introduit n est pas causal N anmoins en supprimant ce terme on retrouve les quations standards associ es au probl me visqueux et visco lastique licites m me pour s 0 R duction de mod le et correction statique La construction d un mod le r duit peut s envisager pour r soudre des probl mes de diff rentes natures qu il s agisse du calcul de la r ponse temporelle ou harmonique d une structure une sollicitation par l utilisation d un mod le r duit unique ou du calcul de modes propres et de valeur propres par une approche par sous structuration couplage de mod les r duits ou par condensation dynamique r duction de tout ou partie d une structure Les probl mes de calcul de r ponse se mettent sous la forme 1 ou 4 selon qu on consid re un chargement temporel ou harmonique Le probl me
53. stitu e des modes dont les fr quences propres sont dans la bande de fr quence d int r t du probl me Cette bande comprend en g n ral les modes de fr quences les plus basses mais pas n cessairement Or pour assurer une bonne repr sentation de la r ponse il est souvent n cessaire de prendre en compte un nombre beaucoup plus important de modes que ceux pr sents dans la bande de fr quence Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster ui Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 6 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 Consid rons le syst me conservatif associ la relation 6 En d composant la r ponse de ce syst me sur la base modale il vient en utilisant abusivement la notation o pour d signer la taille du probl me lt p p Buls sk EE 2 2 k 1 S HOw qls 10 Si on ne consid re que les M premiers modes de la structure on obtient une solution tronqu e approximative dont la validit d cro t tr s rapidement avec le nombre de modes p p Buls 2 2 kz 1 SHOK q s 11 Pour limiter les effets de troncature on choisit un nombre de modes suffisant pour repr senter le comportement dynamique et on compl te cette base de mode en incluant les effets quasi statiques des modes tronqu s
54. t particuli rement int ressante lorsqu on doit tenir compte des dispositifs internes de dissipations propres chaque structure La m thode propos e pour enrichir un sous espace initial construite sur la base des modes propres du syst me s appuie sur les m thodes de r sidus 1 2 Cette m thode permet partir d une solution approch e de la solution de construire des vecteurs permettant d am liorer la pr diction pour un probl me donn Cette m thode it rative donne de tr s bons r sultats avec un nombre limit d it rations en g n ral deux it rations suffisent La premi re it ration est en g n ral r alis e en calculant les termes appel s classiquement corrections statiques ou modes statiques Ce point est d velopp dans la premi re section de ce document Cette technique est particuli rement adapt e pour la r duction de mod les en pr sence d efforts ext rieurs peu nombreux m me s ils pr sentent une distribution spatiale pression fluctuante gravit etc Cette approche permet galement de traiter efficacement les probl mes de chocs en adoptant une m thode de p nalisation sous r serve qu on s int resse aux ph nom nes loin de la zone de chocs On donne galement dans cette partie des indications importantes pour contr ler la qualit des mod les r duits construits avec cette approche Dans la deuxi me partie on discutera des cas particuliers des mod les r duits de ty
55. teeranreenotadidrinndilenne 26 6 2 Exemple num rique avec amortissement hyst r tique 26 6 3 Exemple num rique avec amortissement visco lastique d crit par des variables internes 28 7 Conclusions sur l utilisation des m thodes de r ductiGn sieur 29 6 REETA E E EEE E EE A EA 30 Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster Pa Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 3 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 1 Introduction La taille des mod les utilis s pour les calculs de r ponses en dynamique lin aire est de plus en plus importante et les besoins sur la pr cision des r sultats conduisent mener des calculs plus fins et plus co teux Pour am liorer significativement les temps de calculs des r ponses de ces syst mes aux diverses sollicitations il est int ressant de construire un sous espace de dimension r duite qui permet de projeter le probl me complet et ainsi acc l rer les diff rents calculs de r ponse Ces mod les de composants r duits peuvent tre utilis s soit seuls soit dans des approches par sous structuration pour des analyses lin aires mais aussi pour certaines analyses non lin aires telles que la pr sence de chocs Cette approche est galemen
56. trant l utilisation des corrections statiques De nombreux cas tests de Code_Aster utilisent d j les principes de la correction statique On peut par ailleurs noter que cette correction peut tre appliqu e diff rents instant dans l tude esoit elle est int gr e directement dans la base de r duction conform ment la pr sentation qui vient d tre faite esoit elle est superpos e apr s calcul la r ponse dynamique de la structure sur la seule base des modes propres Ces deux approches sont quivalentes et fournissent bien videmment les m mes r sultats On choisira l une ou l autre pour des questions de simplicit On choisit en g n ral la premi re approche pour les calculs harmoniques ou fr quentiels alors que la seconde est privil gi e dans le cas des calculs de r ponses transitoires ou temporelles On peut citer parmi les cas tests pr sentant l utilisation de la correction statique les tudes suivantes e V2 01 030 SDLD30 R ponse sismique spectrale d un syst me 2 masses et 3 ressorts multi support V2 01 105 SDLD105 r ponse un s isme d un syst me masses ressorts avec correction statique V2 01 301 SDLD301 R ponse sismique spectrale d un syst me 2 masses et 3 ressorts multi support excitations corr l es ou d corr l es Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyle
57. tt fdl html Code Aster Fo Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 8 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 2 6 2 6 1 2 6 2 V2 02 023 SDLL23 Poutre encastr e libre soumise un s isme r ponse spectrale V2 02 112 SDLL112 Analyse sismique d une poutre multi support e r ponse spectrale Indications pour le contr le a posteriori de la qualit du mod le r duit Un des principes permettant de valider la qualit d un mod le r duit consiste estimer a posteriori l cart l quilibre qui peut exister apr s calcul Cas g n ral pour un calcul sur un mod le r duit Pour caract riser cet cart l quilibre on utilise le principe du r sidu en effort Ce r sidu en effort F est calcul e pour les r ponses temporelles KT la t D T t MT t Bu t F 1 20 e pour les r ponses harmoniques K j K K s sD 8 M T q s Bu s F s 21 On peut galement adopter la m me d marche pour le calcul des modes propres complexes d taill e en section 14 Si la solution obtenue est exacte alors le r sidu F est nul par d finition Dans le cas contraire on peut construire une mesure de l cart l quilibre partir de la r ponse statique de la structure ce chargement On note R le r sidu en d placement associ chaque mode complexe calcul Par d finition
58. us pour construire la base de r duction correspondent des tats limites du syst me Pour repr senter le comportement quasi statique on suppose que les amortisseurs associ s aux degr s de libert s internes ne travaillent pas Les degr s de libert s internes suivent quasi statiquement les modes du syst me en l absence des amortisseurs en supposant que les degr s de libert internes sont libres Les premiers vecteurs pris en compte sont donc les modes libres du syst me que l on peut repr senter de la fa on suivante qd n q ENN Figure 2 Calcul des modes libres Repr sentation du syst me un seul degr de libert quivalent Pour repr senter le comportement l infini on suppose que les amortisseurs associ s aux degr s de libert s internes sont bloqu s Les degr s de libert s internes sont donc suppos s encastr s Les vecteurs pris en compte sont donc les modes libres du syst me que l on peut repr senter de la fa on suivante Manuel d utilisation Fascicule u2 06 Dynamique Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster au Titre Notice pour la construction de mod les r duits en Date 28 02 2013 Page 18 31 Responsable Mathieu CORUS Cl U2 06 04 R vision 10554 q vn q Mai K a N q vi gt K M K 0 Figure 3 Calcu
59. x l ments finis E F d une structure lin aire pr sentant des m canismes de dissipations interne soumise des efforts ext rieurs pouvant aussi bien tre connus a priori chargements que devant tre valu s au fur et mesure efforts de chocs contact etc Dans le domaine temporel la relation d quilibre s crit K ql t D t M t Bu t 1 o K est la matrice de raideur de la structure D la matrice associ e la dissipation visqueuse et M la matrice de masse On note par ailleurs q le vecteur des degr s de libert Le terme d efforts ext rieur est d fini par le produit d une matrice de localisation des efforts B et d un vecteur u pr cisant l volution temporelle de l excitation Cette criture permet de s parer les composantes spatiales et temporelles d un effort souvent not f t On aura donc dans ce cas f t Bu t 2 En pr sence de chocs on pourra par exemple s parer les termes li s aux chargements et ceux li s aux chocs f t B eff ext u eff ext t B rocs u chocs t 3 B est le terme qui localise les degr s de libert de chocs et us d termine l volution de l effort Dans le cas simple d un choc au niveau du degr de libert q trait par p nalisation on crira par exemple chocs e Uchoclt 0 s il n y a pas de contact e umelt kq t s il y a contact Concernant l amortissement les deux mod les consid r s classiquement dans ces probl me
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