Adaptation d`un algorithme de Bazant au calcul des
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1. formations dans les structures composites base de b ton mortiers etc les comportements visco lastiques et vieillissants pr sent s par ces mat riaux L application de l algorithme de Bazant modifi et g n ralis 4 notre m thode d op rateurs matriciels 81 9 12 a t r alis e par F Sauvage 11 Ceci permet d envisager l application num rique effective aux structures ext rieurement hyperstatiques ossatures poutres continues ou b quilles plaques composites en flexion cylindrique des divers formalismes d crits en 4 Elle permet galement d aborder par une nouvelle m thode galement d crite en 4 le probl me des multilames trait ici Enfin le pr sent programme peut tre utilis au moins dans une premi re approche bidimensionnelle pour tudier le comportement macroscopique de mat riaux composites stratifi s fibr s etc constituants visco lastiques Il peut galement tre utilis pour tudier la r ponse d une structure visco lastique h t rog ne soumise un programme donn d environnement variable varia tions de temp ratures d hygrom trie etc lorsque cas le plus fr quent les propri t s fonction fluage variations dimensionnelles etc des mat riaux constitutifs sont sensibles l environnement mais que lon connait la r ponse de chacun des mat riaux une contrainte chelon sous ce programme d environnemen2. traiter le probl me des multilames sous forme incr mentale de fa on tout fait analogue au cas lastique trait par exemple en 6 3 1 Calcul des contraintes et d formations Les quations de base du multilame sont pour la cote z et l instant t lin arit des d formations sur l paisseur et continuit e z t A t z B t 10 quilibre des contraintes et de leurs moments n z t F o z t dz 11 Zi m z t F o z t z dz 12 Ces quations sont valables tout instant t Par diff rence entre deux instants t et t _ On aura donc ABS AA TAB 13 je EN 14 am o zdz 15 21 L introduction de la loi de comportement 8 et de l quation 13 dans 14 et 15 donne An E AA z E AB dz l E Ae dz 16 1 Z2 Am z E AA z E 4B dz 21 z E Ae dz 7 Z1 o E prend successivement les valeurs E quand on passe d une lame i l autre Les termes de droite dans 16 et 17 sont en 4e z et z de z respectivement Pour chaque lame i 4e z est lui m me fonction lin aire de z de la forme 4e z do z AB AE 2 7 Abn o Aet 4e 2 Aa Z A Bi En effectuant les int grations sur la section des multilames i e entre z et z2 il vient An 44 S Ej a z E 28 E Aet 18 Am AA S z Ep 4B raU i Si z E 5s z Ei des DE 4B 19 o les notations so
3. 6 qui se calculent de proche en proche partir de det 48 57 et o E 58 J5 Jis stdis s 1 l 4 PRISE EN COMPTE DE LA PR CONTRAINTE ET CALCUL DES PERTES DE PR CONTRAINTE Rappelons que la pr contrainte par fils ou c bles qui se d tendent lorsque le b ton flue ou prend du retrait ne peut tre consid r e comme une force restant constante dans le temps Nous avons montr en 4 que pour prendre en compte correctement la pr contrainte et son volution dans le temps il suffit de la consid rer comme une dilatation libre initiale de l acier gale o Cpa Est la pr contrainte initiale juste apr s rel che ment des fils et E le module d lasticit de l acier On peut tenir compte en outre d une relaxation concomitante de l acier Il y a alors lieu d introduire dans les donn es la fonction fluage de l acier duale de sa fonction relaxation le cas non vieillissant tant admis comme cas particulier 5 PROGRAMME MULTIVIBAZ La th orie pr c dente a t appliqu e l laboration d un programme de calcul nomm MULTIVIBAZ crit en FORTRAN V UNIVAC La r daction et la mise au point du programme ont t r alis es par J C Lebegue Technicien sup rieur au CTTB Diverses v rifications ont t effectu es par F Sauvage Ing nieur Civil des Ponts et chauss es 96 Ce programme a t implant en exploitation publique dans un centre de calcul parisien I
4. Adaptation d un algorithme de Bazant au calcul des multilames visco lastiques vieillissants Programme MULTIVIBAZ C Huet Rappel d un algorithme num rique d Bazant et permettant la r solution pas pas des quations de Volterra de la visco lasticit lin aire avec vieillissement Application de cet algorithme au calcul pas pas de l volution de la d formation moyenne et de la courbure dans une structure h t rog ne du type multilame stratifi ou fibr assimilable des poutres h t rog nes charg es dans un plan de sym trie avec conservation des sections planes Calcul pas pas des d formations et contraintes dans chaque lame au niveau des interfaces Calcul des fl ches en une section pour diff rentes port es ramen celui d une port e type et d compos en deux cas d importance pratique courbure parabolique charge transversale uniforme et courbure constante moment constant charge axiale excentr e sans effets du 2 ordre variations dimensionnelles des mat riaux constitutifs Prise en compte de la pr contrainte qui entre dans le formalisme g n ral moyennant l attribution l acier d une pr d formation gale l oppos du quotient de la pr contrainte initiale par le module d lasticit instantan de l acier Indications pratiques sur le programme MULTIVIBAZ et exemple de r sultats 1 INTRODUCTION Le calcul des multilames en tenant compte du fluage et du vieillissemen
5. Il en est r sult la r daction d un programme MULTI VIBAZ permettant l analyse des contraintes et d for mations des multilames visco lastiques comportant un nombre de lames visco lastiques vieillissantes en nombre aussi lev que l on veut les mat riaux pouvant tre tous diff rents 9I Vol 13 N 74 Mat riaux et Constructions 2 ALGORITHME DE BAZANT L algorithme de Ba ant est d crit en 2 Il est le suivant Du point de vue de la loi de comportement local du mat riau la r ponse en d formation e t une contrainte t est donn e lorsqu il existe une dilatation libre t par e t 2 t 0 J t u do u 1 int grale de Stieltj s o J t t est la fonction fluage t instant d observation t instant de chargement Si on discr tise laxe des temps on aura pour l instant t en appliquant 1 la formule des trap zes dans chaque intervalle r _ t l instant t ct pe x o t 0 t l instant t e t t 1 a 5 NE t J t 1 gt ts 1 s s 1 3 ZU Le t J t ts 1 1 s 2 x t Pour un chargement instantan en tm on posera tm 1 tfm dans J t t La diff rence 2 3 s crit e t tp 1 t 6 1 1 2 J tp t J Es t _1 o t 4 _1 1 r 1l 5 L J s RH t s 1 J t1 t J t 1 s 1 t o t 1 4 Cette formule fait apparaitre les incr m
6. Tous ces modes de chargement ont en commun de conduire une courbure constante i e ind pendante de x pour la charge axiale excentr e cela mest vrai qu l approximation du 1 ordre o l on suppose la fl che n gligeable devant l excentricit Du point de vue du calcul des fl ches on peut donc grouper en un seul mode le mode 2 tous ces types de sollicitation On a ainsi successivement en suivant le m me pro cessus que pr c demment 2 Afa b 4B Cte 46 x ce qui donne compte tenu des appuis simples en 0 et Afar 4B x la 47 S Afa 3 548 48 Ceci est une fl che compt e positive vers le haut Si on la prend positive vers le bas alors que les excentri cit s sont compt es positives vers le haut on aura au milieu d une trav e de port e I 1 1 Sja AR 49 sru 3 3 2r 4B est ind pendant de x et lest aussi de la port e De m me que pr c demment on pourra d duire les r sultats pour des port es diverses l de ceux obtenus en pratiquant l it ration pour la seule port e gale l unit On aura ainsi finalement 1 Af U P Afar 1 51 avec An Y Eg Si Aeta AA 52 D Eg Si i 95 Vol 13 N 74 Mat riaux et Constructions Am ZE Sihi A 2 Eg I Abia 4B 53 D En L S h a o Amz est ind pendant de x et TEN 1 r 1 d s E 2 s 2 KE Andes prise 54 AT E bizs 46 24 55 des 4Az2 h B3 5
7. a d 4A h 4B 27 Ao E 46 46 28 En appliquant 28 aux incr ments At ant rieurs At on peut donc calculer tout instant la valeur de Aet qui d pend comme nous l avons vu de 4e et de l ensemble des 40 93 Vol 13 No 74 Mat riaux et Constructions 3 2 Calcul des fl ches Principe Les r sultats pr c dents donnent acc s au calcul des fl ches instantan es et diff r es pour un programme quelconque de variation des chargements ext rieurs et des dilatations libres gonflements ou retraits de chaque mat riau entrant dans la constitution du multi lame Il est toutefois n cessaire de dissocier les divers types de sollicitation suivant leur d pendance par rapport x En effet les calculs du paragraphe 3 1 pr c dent sont valables pour chaque section x en y introduisant les valeurs des sollicitations qui correspondent cette section Par contre le calcul d une fl che demande une double int gration de la courbure AB par rapport x sur toute la port e On peut alors proc der de deux fa ons a r p ter le calcul complet pour un nombre suffisant de sections et sommer num riquement la fin b s parer les diverses contributions et ne faire le _ calcul de fa on s par e que pour une section la double int gration en x se faisant ensuite de fa on analytique pour chaque contribution s par e la fl che totale s obtient alors par addition des fl ches partielle
8. cas particulier on a 4e 0 et par cons quent d apr s 7 bis les Aei x sont combinaisons lin aires des 4c x d L 4 Par cons quent si AG x contient le facteur 1 2 x I x il en sera de m me d apr s 22 23 27 et 28 pour 40 1 Or ceci est vrai pour s 2 puisque l on a ici 4e AA 0 et que Am qui reste seul au num rateur de 23 contient ce facteur Pour ce mode de sollicitation tous les 4 g contiennent donc Vs le facteur commun 1 2 x x qui sort donc du signe somme par rapport s H en r sulte que tous les 4e contiennent Y i le facteur commun 1 2 x l x qui sort donc du signe somme par rapport i Par cons quent 44 x et AB x contiennent tous deux dans ce cas particulier le facteur 1 2 x l x On peut donc crire ae x a Adi 3 x x 33 AB l 4b AB l 34 Dra x r7 lr 3 x x o Aa et Ab sont ind pendants de x et exprim s ici par les valeurs de 44 et AB mi port e On a donc d apr s 30 3 1 rare ayb 35 Ceci s int gre de fa on classique compte tenu des conditions aux limites 4f 0 4f D 0 36 en 4 l P l x Afir x R aBa a 37 A mi port e on a donc 3 gram s 38 fair 53 7 ESE 38 Dans la suite on notera par un ast risque les quantit s mi port e On a donc 5 2 Serre AB 39 3 3 2 Influence de la port e sur la fl che Le calcu
9. ents de c et par Ax x t x t 1 5 Le terme sous le signe gt au deuxi me membre est une combinaison lin aire des incr ments A ox aux intervalles At ant rieurs Pintervalle de temps actuel 4r On peut faire passer ce terme au 1 membre et l assimiler un incr ment de d formation libre fictif qui s ajoute Fincr ment de dilatation libre r el 4 En notant 4e lincr ment de dilatation libre total qui en r sulte 4 peut s crire avec des notations videntes 92 2 Ae Ae J 4 6 6 avec n 1 Fes Or rt Jn r1 7 a S det Ae X J s tJ si s 2 2 lise J 1 s 1 40 7 bis Ceci est une loi de comportement portant sur les incr ments de contraintes et d formations et qui a perdu le caract re h r ditaire la forme est la m me que dans le cas lastique De m me que dans ce cas on peut donc inverser imm diatement par rapport Ag et crire A6 E 4e 4e Les formules 6 et 7 sont des lois de comportement incr mentales qui peuvent donc tre introduites dans un probl me quelconque l une ou l autre suivant la commodit E 1 J 8 En faisant pour le premier pas At t t origine en t de 4e e t 9 on pourra r soudre le probl me pour chaque pas de proche en proche 3 APPLICATION AUX MULTILAMES VISCO LASTIQUES VIEILLISSANTS L application de la loi de comportement incr mentale sous sa forme 8 permet de
10. l nous a donn l occasion d une am lioration de l algorithme de Bazant qui conduit une division par trois du temps de calcul par rapport la version d crite en 2 Cet algorithme modifi est d crit en 4 o nous l avons appliqu notre m thode d op rateurs matriciels 8 9 Lorsque les donn es comprennent des modes de chargement divers mode 1 et mode 2 le calcul it ratif est effectu sur chacun des modes de fa on s par e les r sultats tant ensuite simplement additionn s par application du principe de superposition Les r sultats relatifs chacun des modes sont cepen dant fournis en m me temps que le r sultat total ce qui permet d tudier l influence respective de ces divers modes Les calculs it ratifs en mode 1 sont effectu s pour une seule port e gale 1 m Les r sultats pour des port es diff rentes sont dit s par commande au niveau des donn es Le programme permet galement d tudier avec pr cision et sans difficult particuli re des programmes de chargement comportant des discontinuit s gr ce une technique de pas logarithmique variable une nouvelle origine des temps tant prise au niveau de chaque discontinuit ce qui permet une documentation convenable de l influence de celle ci Les g om tries complexes produits creux etc sont trait es sans difficult par d composition en lames l mentaires section rectangulaire ou trap zoidales Le
11. l pr c dent est valable pour une port e bien d finie On peut penser que lorsque l on prend la m me structure avec une autre port e il est n cessaire de recommencer tout le processus de calcul it ratif Nous allons voir que c est inutile et que Pon n a besoin d effectuer la partie it rative du calcul que pour une seule port e le r sultat pour les autres port es s en d duisant par une formule simple Notons y I une quantit y relative l abscisse 1 2 d une trav e de port e l On a P Par cons quent on aura successivement Aot I P 40t 1 41 4AB I 4B 1 42 Aff U Aft U 43 Il suffit donc de faire l ensemble des calculs it ratifs pour une port e gale l unit par exemple 1 m pour en d duire ensuite par 43 le r sultat pour toutes les port es On calculera donc successivement afi UE 7 485 U 44 Aft U fafi 11 45 Ceci n est bien entendu valable que pour ce mode 1 de chargement o la courbure d pend de x par une fonction en x l x C Huet 3 3 3 Fl che d un multilame sous courbure constante Les autres modes de sollicitation consid r s ici ayant une influence sur la fl che sont moment constant par exemple moment sur appuis suppos s connus charge axiale excentr e les effets du second ordre tant n glig s dilatations libres des mat riaux pour un multilame non sym trique
12. nt celles de 1 z tant l ordonn e du centre d inertie de la lame i et o 1 A4B 3 D Jr s tJ s 1 J 1 s7Jr 1 s 1 E 4B 4 Pis 19 bis De m me que dans le cas lastique on d couple la C Huet r solution en faisant ici chaque pas At un change ment d origine tel que E S h Ei z 2 0 20 ce qui d finit par E S z Za L TE h z 2 21 SE S On a alors finalement pour la d formation 44 en ct la courbure 4B r An Y E S Ae AS 22 ONDES i Am r LES h Aes Y E I ABa AB i 23 D Ep i S ha On reconnait un terme suppl mentaire pr s les formules bien connues pour les multilames lastiques 6 exprim es ici de fa on incr mentale et faisant intervenir les dilatations libres totales r elles et fictives de chaque lame Celles ci interviennent sous forme d un terme en ej qui repr sente la dilatation libre moyenne dans chaque lame et d un terme en AB qui tient compte de ce que les dilatations libres fictives ne sont pas cons tantes sur l paisseur de chaque lame mais varient lin airement avec la cote il en serait de m me dans ce cas pour le multilame lastique On en tire imm diatement les contraintes et d for mations par 4e 44 y 4B 24 avec Y Z Zo 25 et pour la lame i AC E 48 4Ep 26 En particulier pour le centre d inertie de la lame i on
13. pour l volution des contraintes et d formations dans les complexes c ramique b ton 3 Congr s International sur les Ma onneries en briques Essen avril 1973 8 HUET C Op rateurs int grodiff rentiels matriciels pour l tude des syst mes r ponse diff r e pr sentant du vieillissement C R Acad Sc t 278 s rie A 22 vril 1976 p 1119 1122 9 HUET C Op rateurs matriciels en viscoelasticit lin aire avec vieillissement et application aux structures visco lastiques h t rog nes Symposium IUTAM sur la visco lasticit G teborg 1974 10 GAUCHER C Th se de Docteur Ing nieur de l ENPC Paris en pr paration au LCPC Paris 11 SAUVAGE F R daction et mise au point d un ensemble de sous programmes devant permettre l application de la m thode des op rateurs au calcul des structures h t ro g nes comportant un ou plusieurs mat riaux visco lastiques lin aires avec vieillissement Travail de fin d tude cole Nationale des Ponts et Chauss es Paris 1978 12 HUET C Op rateurs matriciels pour la visco lasticit avec vieillissement Cahiers du Groupe Fran ais de Rh ologie t 4 n 6 15 juin 1978 Revue de l Industrie Min rale n sp cial SUMMARY Adaptation of Bazant algorithm to calculation of ageing visco elastic multi layered systems The author restates a numerical algorithm defined by Bazant to solve Volterra equations of linear vi
14. programme MULTIVIBAZ d effectuer des calculs de redistribution de contrainte dans des structures composites ext rieurement isosta tiques bien qu int rieurement hyperstatiques sans qu il y ait lieu de proc der une nouvelle mise en quation dans chaque cas particulier alors m me que ce probl me est souvent consid r comme insoluble en dehors de cas tr s simples Le programme s applique quel que soit le nombre de lames et de mat riaux en pr sence dans les limites compatibles avec les possibilit s de l ordinateur suffi santes pour la plupart des cas pratiques Un grand nombre de mat riaux visco lastiques vieillissants ou non et ventuellement mis en uvre des ges diff rents peuvent tre pr sents simultan ment et pr senter au cours du temps des variations dimensionnelles arbi traires et propres chacun Ce programme a d j donn lieu des applications diverses telles que fl ches diff r es et pertes de pr contraintes dans des planchers composites contraintes induites par les variations dimensionnelles g n es dans les enduits multicouches sur ma onneries contraintes et d formations induites par les gradients de retrait dans des prouvettes de fluage C Huet La comparaison des r sultats obtenus avec ceux fournis par lhypoth se du comportement lastique programmes CTTB de la s rie MULTILAMEL a montr la grande importance que prennent pour l volution des contraintes et d
15. s cause de la lin arit principe de superposition La m thode b est nettement plus conomique sur le plan num rique et c est celle que nous adoptons L quation g n rale pour la fl che f x dans la section x est tout instant t 2 69 B x t 29 o B est la courbure On a donc entre deux instants t et _ 2 3 24 x 4B x 30 On obtient 4f x par double quadrature d s que l on connait la variation de AB avec x Connaissant le r sultat de cette int gration on peut alors calculer Af pour toute section particuli re choisie Nous tudierons ici le cas particulier important pour la pratique d une poutre sur appuis simples soumise outre un moment constant une charge axiale et des dilatations libres une charge transversale uniform ment r partie 3 3 Fl che d un multilame sous charge transversale uniforme Consid rons un multilame o les mat riaux sont sans dilatations libres et qui est soumis une charge transversale uniforme q t Nous notons par l indice 1 les sollicitations relatives ce cas de charge particulier 94 3 3 1 Fl che mi port e pour une port e fixe Le syst me tant ext rieurement isostatique le moment m dans une section d abscisse x est donn suivant la formule classique 3 par 1 m x t 3 x g t 31 Entre deux instants t et t _ on a donc 1 Ami x 3 l x 4q 32 Dans ce
16. s changements de g om trie brusques clavages ou progressifs reprises de b tonnage sont pris en compte automatiquement par quation z ro des modules lastiques des l ments de structure non pr sents ant rieurement et application de la m me technique de pas variable Un jeu de cartes PARAMETER la disposition de l utilisateur permet d optimiser le nombre de lames de mat riaux et de pas de temps en fonction du probl me consid r et des possibilit s de l ordinateur Les r sultats sont dit s des temps fix s par l utili sateur A titre dexemple des co ts du programme le calcul d un plancher poutrelles c ramiques et b ton pr contraint pr fabriqu avec dalle de compression en b ton arm coul en uvre sur entrevous c ramiques structure d compos e en 14 lames 5 mat riaux dont 3 visco lastiques et vieillissants tudi entre 1 jour et 10 ans 45 pas de temps dition des r sultats pour 20 valeurs du temps n cessite environ 36 secondes d ordinateur UNIVAC 1108 pour 120 pages dit es soit un prix de revient de l ordre de 200 F HT Toute personne d sireuse d utiliser ce programme peut le faire en demandant les renseignements et le manuel d utilisation au CTTB 17 rue Letellier 75015 Paris Un exemple de r sultats est fourni en annexe sous forme d un graphique 6 CONCLUSION La formulation g n rale pr sent e dans la premi re partie de cet article permet au
17. sco elasticity with ageing This algorithm is applied to step by step calculation of the development of mean deformation and curvature in a hetero geneous structure of the multi strip type stratified or fibrous which can be likened to heterogeneous beams loaded in a symmetrical plane retaining plane cross sections Stresses and deformations are calculated step by step in each strip at the interfaces The deflexions in a cross section for different spans are expressed in terms of a typical span divided into two cases of practical impor tance parabolic curvature uniform transverse load and constant curvature constant moment eccentric axial load without second order effects dimensional variations in materials used The prestressing is taken into account in the general formalism through the attribution to the steel of a predeformation equal to the opposite of the quotient of the initial prestress to its instantaneous modulus of elasticity The article concludes with practical indications on the MULTIVIBAZ program and example of results 98
18. t ANNEXE PLANCHER 7 1 POUTRELLE 3FILS 1 CAS DE CHARGE 3 5 m PORT ES _ __ 3 0m EVOLUTION DES FLEC Au cours DU TEMPS 97 Vol 13 No 74 Mat riaux et Constructions R F RENCES 1 HueT C Sur l volution des contraintes et d formations dans les syst mes multicouches constitu s de mat riaux visco lastiques pr sentant du vieillissement C R Acad Sc Paris t 270 s rie A 1970 p 213 215 2 BAZANT Z P Numerical determination of stress response to a given strain history in concrete Bulletin d information du Comit Europ en du B ton n 80 f vrier 1972 cf aussi revue RILEM n 5 1972 3 TIMOSHENKO R sistance des mat riaux tome 1 4 HueT C Contributions une th orie de la durabilit des constructions Publication CTTB CSTB Paris 1975 5 Commission charg e de formuler des avis techniques Groupe sp cialis n 3 Structures Ossatures Charpentes Cahier des Prescriptions techniques communes aux Plan chers Additif aux r gles de calcul des planchers poutrelles pr fabriqu es en b ton pr contraint par arma tures adh rentes et table de compression en b ton arm coul in situ calcul des fl ches actives 6 Huert C Bases pour l tude des effets diff r s dans les structures c ramiques b ton Terre Cuite Informations Techniques n 54 3 trimestre 1972 7 Huer C Formules de base
19. t est d une grande importance pour de nombreux probl mes int ressant les structures de b timent fl che diff r e des planchers fissuration des enduits monocouches ou multicouches panneaux de murs composites etc Une solution formelle d une grande g n ralit a t obtenue pr c demment par une m thode d op rateurs rh ologiques 1 4 Son application exige toutefois la connaissance des fonctions relaxations alors que seules les fonctions fluage sont en g n ral connues Un algorithme num rique mis au point relativement r cemment par Bazant 2 permet d une fa on assez C Centre Techniques des Tuiles et Briques 17 rue Letellier 75015 Paris et cole Nationale des Ponts et Chauss es 28 rue des Saints P res 75007 Paris 0025 5432 1980 91 5 5 00 BORDAS DUNOD g n rale de ramener un probl me quelconque de visco lasticit avec vieillissement une suite de probl mes lastiques avec d formations libres ou initiales La th orie des multilames lastiques r solvant juste ment un probl me dilatations libres pour lequel nous avions mis au point un programme MULTI LAMELF d j largement utilis il tait donc tentant d examiner comment le principe de l algorithme de Bazant pouvait tre adapt ce probl me particulier des multilames La pr sente tude montre comment cela est effective ment possible et indique les adaptations faire sur le plan num rique
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