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1. 3774 37 16 63 30 35 8 245 235 82 4019 39 17 10 35 40 9 342 244 85 4361 42 17 87 40 45 3 126 247 865 4487 44 18 17 45 50 0 0 50 95 0 0 55 60 0 0 60 65 4 249 251 87 4736 46 18 87 65 70 2 131 253 88 4867 47 19 24 70 75 3 218 256 89 5085 49 19 86 75 80 3 230 259 90 5315 52 20 52 80 85 0 0 85 90 3 266 262 91 5581 54 21 30 90 95 1 94 263 91 5675 55 21 98 95 100 0 0 100 105 0 0 105 110 1 108 264 92 5783 56 21 91 110 115 2 224 266 92 6007 58 22 58 115 120 0 0 120 125 2 241 268 93 6248 61 23 31 125 130 1 129 269 93 6377 62 23 71 130 135 3 396 272 94 6773 66 24 90 135 140 0 0 140 145 1 142 273 95 6915 67 25 33 145 150 1 146 274 95 7061 69 25 77 150 155 0 0 155 160 2 314 276 96 7375 72 26 72 160 165 1 160 277 96 7535 73 27 20 165 170 0 0 170 175 0 0 175 180 0 0 180 185 0 0 185 190 1 188 278 97 7723 75 27 78 190 195 0 0 195 200 0 0 200 205 0 0 205 210 0 0 210 215 0 0 215 220 1 215 279 97 7938 77 28 45 220 225 0 0 225 230 1 229 280 97 8167 79 29 17 230 235 1 233 281 98 8400 81 29 89 235 240 1 236 282 98 8636 84 30 62 240 245 0 0 245 250 1 248 283 98 8884 86 31 39 250 255 0 0 255 260 1 255 284 99 9139 89 32 18 260 265 0 0 265 270 0 0 270 275 0 0 275 280 1 277 285 99 9416 91 33 04 280 285 0 0 285 290 1 289 286 99 9705 94 33 93 290 295 0 0 295 302. gies de r solution une s rie de tests combinant les diff rents outils et algorithmes disposition dans H2D2 a t r alis e sur des pas de temps probl matiques a partir desquels une divergence de la solution tait observ e Les strat gies de r solution s av rant les plus efficaces pour ces pas de temps ont ensuite t inclues l int rieur de strat gies d int gration temporelle puis test es sur une p riode de simulation de 24 heures afin de comparer leur comportement global en termes de convergence et de temps de calcul 13 14 5 R sultats 5 1 Identification de strategies de r solution Parmi les diff rentes combinaisons d algorithmes test es deux strat gies de r solution se sont av r es tres efficaces pour les pas de temps dont la convergence tait plus probl matique Ces strat gies comprennent une combinaison des algorithmes de Picard et de Newton avec pour chacun un nombre d iterations distinct Une arborescence des deux strat gies d velopp es est pr sent e la Figure 10 chaque n ud des strat gies la branche de gauche est emprunt e en cas de convergence alors que la branche de droite est emprunt e dans le cas non converg Aucune r initialisation n est effectu e la fin de chaque n ud la solution progresse d un n ud l autre de la strat gie La premi re strat gie comprend 15 it rations de Newton suivies d une boucle de 5 it rations de Picard et de 10 it ration
3. 13 JL R sultats saatna ESE ta A AI CA T Se M Pn SSE LE a Toe 15 5 1 Identification de strat gies de r solution ss 15 5 1 1 Impact Tocal du Miter dd 17 5 1 2 Impact local du backtracking issus ananas 17 5 1 3 Impact local de la relaxation de la matrice tangente 21 5 2 Identification de strat gies d int gration temporelle ooooonncnnnncninccnocnnooncnononannninnncnn conos 21 5 2 1 Impact global de la formulation du couvrant d couvrant 22 522 Impact global de la bissection du pas de temps 24 6 Probl mes stationnaltes a Ha eae vansa 27 Hi PEET US TOIM a cade mAn Saman Ba e dd us 29 Dar 7 S 0 6 Samana tas bin lee saa ia mahtia tat N tres ne Ar 31 111 iv Liste des figures Figure 1 D finition du backtracking l int rieur du fichier de commande dans H2D2 5 Figure 2 D finition du limiteur l int rieur du fichier de commande dans H2D2 5 Figure 3 Diagramme repr sentant la s quence de n uds formant une strat gie 7 Figure 4 Ecoulement surface libre avec zones couvertes et d couvertes 8 Figure 5 Variation du coefficient de Manning n en fonction de la profondeur H pour la A NS ls ete non jaaa 9 Figure 6 Mod le de couvrant d couvrant dans H2D2 formulation CDYS ene 9 Figure 7 Mod le de couvrant d couvrant dans H2D2 formul
4. de plusieurs strat gies de r solution et d int gration temporelle et de d terminer les conditions optimales de simulation Deux strat gies de r solution ont t retenues et combin es l int rieur des strat gies d int gration temporelle Les r sultats des tests effectu s permettent de tirer les conclusions suivantes Un limiteur sur l incr ment de solution trop restrictif peut ralentir la convergence de fa on significative ses limites sont fix es 10 m s en d bits sp cifiques et 1 m en niveaux d eau Un backtracking sur Newton est n cessaire afin d emp cher l algorithme de diverger mais ne doit pas forcer de trop grands incr ments minimum tmin et tmax sont fix es 0 001 et 1 respectivement pour un backtracking quadratique Un backtracking sur Picard peut dans certains cas tre avantageux s il s agit du premier bloc de la strat gie mais ne garantit pas la convergence des blocs de Newton qui le suivent La relaxation de la matrice tangente ne pr sente aucun avantage La formulation du couvrant d couvrant CDY2 m ne a des temps de calcul inf rieurs par un facteur 2 aux temps obtenus de la formulation CDYS La bissection du pas de temps permet de r cup rer les pas de temps non converg s mais ajoute une charge de calcul consid rable Une strat gie d int gration temporelle dont le n ud de bissection est bas sur la Strat gie de r solution 1 est l g rement plus efficace
5. 0 1 299 287 100 10004 97 34 86 300 305 1 303 288 100 10307 100 35 79 26 6 Problemes stationnaires Il est possible de s inspirer des strat gies de r solution pr sent es a la section 5 1 et de transposer l analyse la r solution de probl mes en r gime stationnaire Toutefois quelques adaptations devront tre faites qui seront notamment fonction de la solution initiale utilis e Pour arriver faire converger un syst me partir d une solution initiale relativement loin de la solution recherch e il peut tre n cessaire de modifier les strat gies en augmentant le nombre d it rations du premier bloc de Picard en jouant avec les param tres du backtracking ou en se faisant succ der plusieurs blocs de r solution pour lesquels on relaxe graduellement les propri t s globales contr lant la viscosit damping P clet longueur de m lange voir Figure 18 pgll 13 amortissement pgl2 19 amortissement en d couvrement h_pglfpgl1 1 0e 004 h pgl pg12 1 0e 004 h solver solve h sol h_cria h_lim h pst t_ini h_pgl pgl1 h_pgl pg12 h_solver solve h_sol h_cria h_lim h_pst t_ini 0 0 Figure 18 Exemple d une s quence de r solution en stationnaire avec changement de propri t s globales Vinterieur du fichier de commande dans H2D2 27 28 7 Conclusion Les diff rents outils a disposition dans H2D2 ont permit d valuer la performance
6. D 22 Figure 17 Traceur de convergence pour une simulation avec la formulation du couvrant d couvrant CDY2 haut et CDYS bas iii 23 Figure 18 Exemple d une s quence de r solution en stationnaire avec changement de propri t s globales l int rieur du fichier de commande dans H2D2 21 vi Liste des tableaux Tableau 1 Statistiques globales repr sent es par classe de nombre d it rations n cessaires la CONVELSENEE app di kka asusid 25 vii viii 1 Introduction N Ce rapport rassemble les r sultats de tests effectu s dans H2D2 visant a valuer la performance de differentes strategies de r solution en non stationnaire et leur impact sur la convergence de la solution et les temps de calcul globaux Diff rentes strategies de r solution et d int gration temporelle ont t identifi es lors des tests et sont propos es comme point de d part d une simulation en non stationnaire pouvant tre raffin e en fonction du type de probl me trait Le rapport pr sente d abord quelques l ments d algorithmique et outils de visualisation a disposition dans H2D2 Il introduit ensuite le protocole d analyse suivi lors des tests puis pr sente les r sultats obtenus Une br ve discussion sur les probl mes stationnaires suivie d une conclusion viennent clore le rapport Pour une documentation plus d taill e des outils et algorithmes a disposition dans H2D2 s
7. H2D2 D veloppement de strategies de resolutions non stationnaires et non lin aires Rapport de recherche R 1147 Mars 2010 H2D2 DEVELOPPEMENT DE STRATEGIES DE RESOLUTIONS NON STATIONNAIRES ET NON LINEAIRES par Yves SECRETAN Pascal MATTE Institut national de la recherche scientifique INRS ETE Qu bec Qu bec Canada GIK 9A9 Rapport de recherche N R 1147 Mars 2010 Equipe de r alisation Institut National de la Recherche Scientifique Centre Eau Terre Environnement Yves Secretan Ph D professeur Pascal Matte Etudiant au doctorat INRS ETE 2010 Pour fins de citations Secretan Y et Matte P 2010 H2D2 D veloppement de strategies de r solutions non stationnaires et non lin aires Rapport de recherche R 1147 INRS ETE 31 pp Table des matieres Liste des FOULS tit v Liste des tableur nan dl Eee vil l PAE OCUG OMR seen ne ten aa me nr ee er 1 2 l ments Balgonthmiqness un sea el 3 2 1 Algorithmes de Picard et de Newton iii iii sanieren 3 225 A asien t 4 29 Limieurs Aal 5 2 4 Relaxation de la matrice tai ro 5 2 5 Caract ristiques des SOLVEUIS ski 6 2 6 Strat gies de r solution et d int gration temporelle ooooconnnocccnnocacinnccconncnononcnonnnccnnnncno 6 2 7 Formulation du Couvrant d convrantssass s ee s sada Olai asa ket Rae ese 8 3s Outils DS VIS Ua SAONE SRE AAA cn ne te 11 3 1 Traceurside Convergence ii aa dias 11 4 Protocole d analyse toa asi
8. a troisieme formulation CDY2 reprend la formulation CDYS en la repr sentant sous forme d une boucle d hyst r se dans laquelle le passage d un n ud de l tat couvert d couvert se fait diff remment du passage de l tat d couvert couvert La Figure 7 illustre cette diff rence Figure 7 Mod le de couvrant d couvrant dans H2D2 formulation CDY2 Les trois formulations portent dans P ordre les appellations suivantes dans H2D2 leur syntaxe dans le fichier de commande de H2D2 est pr sent e a la Figure 8 SV2 SV2 SV2 D Conservatif C D Conservatif CI D Conservatif CI DMH NN DYS NN DY2 NN h frm form SV2D Conservatif CDY2 NN Figure 8 D finition de la formulation l int rieur du fichier de commande dans H2D2 10 3 Outils de visualisation 3 1 Traceurs de convergence L outil de traceur permet a l utilisateur de suivre la progression et le comportement de la r solution pendant la simulation aussi bien qu une fois termin e Pour ce faire il extrait l information synth se contenu dans le fichier de trace g n r par H2D2 au moyen de la commande pr sent a la Figure 9 L outil de visualisation porte en graphique la norme associ e au critere d arr t en fonction du temps coul se referer a la section 5 pour des exemples de traces hn tra tracer h tra set file sim dir tracer log Figure 9 D finition du tr
9. aceur l int rieur du fichier de commande dans H2D2 Deux outils de traces sont inclus dans H2D2 CTTracer porte en graphique l historique de convergence d une simulation avec H2D2 Lorsgue la simulation tourne toujours la figure s actualise mesure que progresse le calcul CTCompare porte en graphique en parall le l historique de convergence de deux simulations avec H2D2 Le traceur de convergence permet galement de sortir un tableau de statistiques globales pour une simulation donn e regroupant par classes de 5 it rations le nombre de pas de temps converg s le nombre total d it rations effectu es et des statistiques sur la proportion cumul e de pas de temps et d iterations r alis s et sur le nombre moyen d iterations par pas de temps se referer au Tableau 1 pour un exemple de ce type de r sum 11 12 4 Protocole d analyse Les tests ont t r alis s partir de deux mod les num riques de terrain de l estuaire fluvial du Saint Laurent le premier couvrant la portion Grondines le aux Grues et le second couvrant le secteur Trois Rivi res le aux Grues Un sc nario de crue et de mar e de vive eau correspondant a la p riode du 22 au 23 mai 1974 a t simul Un sch ma temporel d Euler implicite avec un pas de temps global de 5 minutes a t utilis Les solveurs matriciels mkl_pardiso et mumps ont t employ s Afin de tester la performance de diff rentes strat
10. ant La Figure 4 pr sente le mod le de couvrant d couvrant implant dans H2D2 pour lequel aucune limite n est impos e sur la position de la surface libre qui peut plonger sous le lit de la rivi re et g n rer des profondeurs autant n gatives que positives dry area wet area bottom Figure 4 Ecoulement surface libre avec zones couvertes et d couvertes Trois formulations du couvrant d couvrant sont disponibles dans H2D2 La premi re CDMH est celle employ e dans Hydrosim Heniche et al 2000 ot le coefficient de friction de Manning n est augment lin airement dans la zone d couverte proportionnellement la profondeur d eau n gative dans le but de geler l coulement dans cette r gion voir Figure 5 Le frottement de Manning s exprime comme suit en zones couvertes et d couvertes respectivement Has 5M 13 nue n 1 BA 14 n gt 0 0 H gt 0 Figure 5 Variation du coefficient de Manning n en fonction de la profondeur H pour la formulation CDMH La seconde formulation CDYS pose une limite a la profondeur minimale admissible et introduit une zone de profondeurs d limit e par une profondeur seuil H nresnoia et la profondeur minimale Hi l int rieur de laquelle tous les param tres varient lin airement de leur valeur en zone couverte a leur valeur en zone d couverte voir Figure 6 Figure 6 Modele de couvrant d couvrant dans H2D2 formulation CDYS L
11. ation CDY2 10 Figure 8 D finition de la formulation l int rieur du fichier de commande dans H2D2 10 Figure 9 D finition du traceur l int rieur du fichier de commande dans H2D2 11 Figure 10 Arborescence des deux strat gies de r solution d velopp es 16 Figure 11 D finition des strat gies de r solution l int rieur du fichier de commande dans D D LAN PR E UT ER saan SN e TEE SE TK AOR 16 Figure 12 Traceur de convergence pour un limiteur 10 m s en d bits sp cifiques et 1 men niveaux d eau haut et pour un limiteur 4 m s en d bits sp cifiques et 0 3 m en niveaux d A DAS A SES KAS E ere AE Stadia he oha N At O REA eq en en 18 Figure 13 Traceur de convergence pour un backtracking quadratique sur Newton avec tmin gal 0 001 haut et gal 0 1 bas r sultats obtenus avec la Strat gie 1 19 Figure 14 Traceur de convergence pour une simulation sans backtracking sur Picard haut et avec backtracking quadratique sur le premier bloc de Picard avec tmin gal 0 001 bas r sultats obtenus avec la SEI Fi SIIS AA asio laa ds 20 Figure 15 Arborescence des deux strat gies d int gration temporelle d velopp es 22 Figure 16 D finition des strat gies d int gration temporelle l int rieur du fichier de Commande das L
12. ctions suffisamment grandes sur la solution 17 Figure 12 Traceur de convergence pour un limiteur 10 m s en d bits sp cifiques et 1 m en niveaux d eau haut et pour un limiteur 4 m s en d bits sp cifiques et 0 3 m en niveaux d eau bas 18 Figure 13 Traceur de convergence pour un backtracking guadratigue sur Newton avec tmin gal 0 001 haut et gal 0 1 bas r sultats obtenus avec la Strat gie 1 19 miksen s Figure 14 Traceur de convergence pour une simulation sans backtracking sur Picard haut et avec backtracking guadratigue sur le premier bloc de Picard avec tmin gal 0 001 bas r sultats obtenus avec la Strat gie 2 20 5 1 3 Impact local de la relaxation de la matrice tangente Les tests r alis s pour diff rentes valeurs entre 0 et 1 de la propri t de relaxation de la matrice tangente n ont men a aucune amelioration de la convergence pour les pas de temps probl matiques test s 5 2 Identification de strategies d integration temporelle Deux strat gies d int gration temporelle ont t labor es en combinant les deux strat gies de r solution d velopp es la section 5 1 La Figure 15 en pr sente l arborescence Pour chaque strat gie on retrouve trois n uds faisant appel l une ou l autre des strat gies de r solution de la section 5 1 la fin de chaque n ud une r initialisation de la solution est e
13. de Picard peuvent galement s av rer utiles pour rediriger les corrections sur la solution vers le minimum global et ainsi emp cher une stagnation de la convergence Une combinaison des algorithmes de Picard de Newton et de backtracking l int rieur de strat gies de r solution peut donc permettre de limiter les incr ments sur la solution risquant de faire diverger le syst me et ainsi assurer une convergence pour un maximum de pas de temps en fournissant un meilleur contr le sur la descente du r sidu 2 6 Strat gies de r solution et d int gration temporelle Diff rentes strat gies de r solution et d int gration temporelle peuvent tre d velopp es dans H2D2 permettant un contr le optimis de la convergence en cours de r solution Les strat gies permettent de combiner les algorithmes de r solution et d int gration temporelle a l int rieur d un arbre d cisionnel A chaque n ud de l arbre sont associ s un algorithme et une expression valuer laquelle d termine la prochaine branche emprunter Certains n uds ont des fonctions particuli res comme le n ud for permettant l ex cution d algorithmes en boucle et le n ud de bissection du pas de temps permettant de diviser le pas de temps de fa on r duire les carts entre la solution du pas pr c dent et la solution recherch e La Figure 3 pr sente sous forme sch matis e la mani re dont est d finie une strat gie dans H2D2 Ce dia
14. de descente repr sent e par l incr ment de solution La mise jour de la solution a chaque it ration quation 7 est remplac e par Ula Wi J atau 11 ou le facteur a est choisi de facon a minimiser le residu R u t Au En fonction du type de backtracking la recherche du residu minimum sera lin aire avec n pas r guliers entre tmin et tmax ou bas e sur une approximation polynomiale du second ou du troisi me ordre L algorithme cherche une valeur de t comprise entre tmin et tmax qui minimise le r sidu La Figure pr sente la syntaxe de H2D2 pour la d finition du backtracking backtracking npas tmin tmax backtracking lin aire backtracking 2 tmin tmax backtracking quadratique h_btrk3 backtracking_3 tmin tmax backtracking cubique Figure 1 D finition du backtracking l int rieur du fichier de commande dans H2D2 Le backtracking minimise le r sidu localement dans la direction de descente mais n a pas une vision globale de l espace solution Il s agit d un outil la fois tr s puissant d aide la convergence mais peut aussi diriger le syst me vers un minimum local et l y maintenir 2 3 Limiteurs chaque it ration les incr ments sur la solution calcul s pour chaque degr de libert peuvent tre limit s afin d emp cher la solution d effectuer de trop grands sauts et possiblement de diverger yt ul sign Au min Au AUmax 12 La Figure 2 pr
15. e r f rer au site du Groupe de Recherche et d Etude en Eco Hydraulique Num rique de l INRS http www gre ehn inrs ete uquebec ca 2 El ments d algorithmique 2 1 Algorithmes de Picard et de Newton Le syst me non stationnaire du premier ordre r soudre peut s crire sous la forme matricielle suivante Dhatt et al 2005 clu K tu F 1 Pour un sch ma implicite on exprime U par diff rences finies centr es droite un Wud 2 Le syst me r soudre peut tre r crit comme suit C MIKU AHF x c v in 3 Sous forme incr mentale ona C ArlK AU J Ar K Hu 4 Win t J AU 5 Pour des probl mes non lin aires la r solution du syst me matriciel ce fait de fa on it rative c est dire par une r solution successive du syst me suivant K Nau f R 6 Wie Win HAU 7 R Ar RU CN J i 8 La forme de la matrice X quation 6 est fonction de l algorithme de r solution employ Pour l algorithme de Picard aussi appel m thode de substitution sa forme est la suivante K c aku 9 Pour Palgorithme de Newton Raphson sa forme est la suivante kul lk che ade ea Au 10 t At 2 2 Backtracking Le backtracking est un algorithme de globalisation implant dans H2D2 sous trois types lin aire quadratique et cubique Il effectue une recherche du r sidu minimum le long de la direction
16. ffectu e si cette derni re n est pas converg e Le dernier n ud des strat gies d int gration temporelle consiste en une bissection du pas de temps qui comprend deux niveaux une premi re division par deux du pas de temps est r alis e suivie d une division par quatre si le dernier sous pas de temps n arrive pas convergence Le n ud de bissection est bas sur la Strat gie 1 dans le cas de la premi re strat gie d int gration temporelle alors qu il est bas sur la Strat gie 2 dans le cas de la seconde La bissection du pas de temps est la solution de dernier recours lorsqu aucune autre strat gie n a men le syst me convergence Elle permet d effectuer de plus petits sauts dans le temps et ainsi de r duire les carts entre la solution du pas pr c dent et la solution recherch e Toutefois ce processus augmente consid rablement la charge de calcul 21 Int gration 1 Int gration 2 Strat gie 1 Strat gie 1 R initialisation R initialisation Strat gie 2 Strat gie 2 R initialisation R initialisation Strat gie 1 Strat gie 2 Bissection Bissection Figure 15 Arborescence des deux strat gies d int gration temporelle d velopp es La Figure 16 pr sente la portion du fichier de commande dans H2D2 qui permet de d finir les strat gies d int gration temporelle d crites la Figure 15 Algorithmes d int gration temporelle delt 5 60 5 m
17. fficace que lorsque bas e sur la Strat gie 2 Globalement on passe d une moyenne de 37 12 it rations par pas de temps une moyenne de 35 79 ce qui repr sente une conomie de pr s d une heure en temps de calcul sur une trentaine d heures de simulation L impact de la bissection peut se lire travers le fichier de statistiques globales pr sent au Tableau 1 ce tableau est g n r partir de l outil CTTracer de H2D2 voir section 3 1 On y lit que 91 des pas de temps ont t converg s l int rieur des deux premiers blocs de strat gie soit avant bissection 95 premi res it rations 86 des pas de temps convergent l int rieur du premier bloc de 45 it rations Strat gie 1 5 convergent l int rieur du second bloc de 50 it rations Strat gie 2 La bissection permet donc d amener a convergence les 9 restants Toutefois ce pourcentage repr sente un co t de calcul non n gligeable puisgu il fait passer le nombre moyen d it rations par pas de temps de 21 58 a 35 79 24 Tableau 1 Statistiques globales repr sent es par classe de nombre d it rations n cessaires la convergence ques g Pp p g Classes Cumulated class nseq niter nseq iter it sq 0 5 0 0 519 16 140 16 6 140 1 8 75 10 15 116 1357 132 46 1497 15 11 34 15 20 10 160 142 49 1657 16 11 67 20 25 33 752 175 61 2409 23 13 77 25 30 52 1365 227 79
18. gramme doit se lire de bas en haut sa structure est tr s similaire une structure if else endif Deux principaux points caract risent cette structure Les algorithmes et les strat gies sont interchangeables le n ud d une strat gie peut avoir comme algorithme de r solution une autre strat gie Un algorithme peut tre vu comme une strat gie avec un seul n ud sans expression ni n ud fille Figure 3 Diagramme repr sentant la s quence de n uds formant une strat gie La strat gie de r solution est d finie par son n ud de t te L algorithme contenu dans le n ud de t te est ex cut Si le r sultat est converg le processus s arr te ce niveau branche de gauche sinon le second algorithme contenu dans le n ud de droite branche de droite est ex cut en utilisant la strat gie ou la m thode d finie sur ce n ud et ainsi de suite jusqu ce que le processus s arr te au dernier n ud ind pendamment du r sultat de convergence la fin de chaque n ud d une strat gie une r initialisation de la solution est possible Cette option est particuli rement utile pour des r solutions non stationnaires lorsqu utilis e l int rieur d une strat gie d int gration temporelle Elle donne ainsi la possibilit de repartir de la solution initiale dans le cas o une strat gie de r solution s av re inefficace un pas de temps donn 2 7 Formulation du couvrant d couvr
19. in h euler2 euler h_stgyl delt 2 1 0 Implicite h_eulerl euler h stgy2 delt 1 0 Implicite h_euler0 euler h_stgyl delt 1 0 Implicite Strat gie d int gration temporelle Int gration 1 h node eulr2 algo_node_bi h_euler2 2 0 0 0 0 h node eulrl algo node h_eulerl 0 0 h node eulr2 1 h node eulr0 algo node h euler0 0 0 h node eulri 1 h solver h node eulr0 Figure 16 D finition des strat gies d int gration temporelle l int rieur du fichier de commande dans H2D2 5 2 1 Impact global de la formulation du couvrant d couvrant Deux formulations du couvrant d couvrant ont t test es soit CDYS et CDY2 pour des simulations en non stationnaire totalisant 24 heures de mar es L impact de la formulation s est av r consid rable puisqu avec la formulation CDY2 les temps de calcul totaux ont t r duits de moiti par rapport a la formulation CDYS La Figure 17 illustre le comportement de convergence pour les deux formulations test es sur une fen tre de 2 heures 22 Figure 17 Traceur de convergence pour une simulation avec la formulation du couvrant d couvrant CDY2 haut et CDYS bas 23 5 2 2 Impact global de la bissection du pas de temps Une comparaison des simulations r alis es pour l une ou l autre des strat gies d int gration temporelle montre qu une bissection bas e sur la Strat gie 1 est l g rement plus e
20. qu avec la Strat gie 2 Les travaux futurs pourront tre orient s de fa on Tester l impact global du limiteur sur la convergence valuer le comportement de convergence global pour diff rentes combinaisons de backtracking sur le premier bloc d it rations de Picard 29 Raffiner les strat gies de r solution pour potentiellement r duire le nombre de pas de temps n cessitant la bissection Elaborer des strat gies de r solution adapt es aux sp cificit s des probl mes en conditions stationnaires 30 8 References Dhatt G Touzot G et Lefrancois E 2005 M thode des l ments finis Une presentation Hermes Lavoisier 601 p Dub P et Secretan Y 2009 Manuel d utilisation Logiciel H2D2 Rapport de recherche R 1051 INRS ETE 13 p Heniche M Secretan Y Boudreau P et Leclerc M 2000 A two dimensional finite element drying wetting shallow water model for rivers and estuaries Advances in Water Resources 23 359 372 31
21. s de Newton r p t e deux reprises La seconde strat gie d bute avec 10 it rations de Picard encha ne avec 10 it rations de Newton puis termine par une boucle de 5 it rations de Picard et de 10 it rations de Newton r p t e deux reprises La premi re strat gie demeure g n ralement tr s efficace lorsque la solution varie peu d un pas de temps l autre La seconde strat gie permet quant elle d abaisser le r sidu au tout d but de la r solution et peut s av rer efficace lorsque la solution au pas de temps pr c dent est relativement loin de celle du pas de temps courant Les it rations de Picard l int rieur du bloc Picard Newton ont pour but d emp cher la r solution de s effectuer autour d un minimum local qui pourrait faire stagner la convergence Elles permettent de rediriger Newton vers la recherche du r sidu minimum global 15 Strat gie 1 Strat gie 2 NEWTON PICARD 15 it rations 10 it rations PICARD NEWTON 5 it rations 10 it rations NEWTON 10 it rations PICARD 5 it rations x2 NEWTON 10 it rations Figure 10 Arborescence des deux strat gies de r solution d velopp es La Figure 11 pr sente en r sum les blocs du fichier de commande dans H2D2 correspondant a la d finition des deux strat gies de la Figure 10 incluant la d finition du backtracking du solveur matriciel et des diff rents algorithmes de r solution employ s a chacun des noeuds des s
22. sente la syntaxe de H2D2 pour la d finition du limiteur h_lim limiter h sol 1 0e 01 1 0e 01 1 0e 00 Figure 2 D finition du limiteur l int rieur du fichier de commande dans H2D2 2 4 Relaxation de la matrice tangente La matrice tangente K peut tre relax e au moyen de la propri t globale de relaxation Cette propri t consiste en un facteur multiplicatif plac devant le dernier membre de droite de l quation 10 Sa valeur est comprise entre O et 1 O correspondant a l algorithme de Picard et 1 correspondant l algorithme de Newton Raphson 2 5 Caract ristiques des solveurs L algorithme de Newton converge de fa on quadratique lorsque le syst me est assez proche de la solution mais peut s av rer tr s inefficace si la solution courante est loin de la solution recherch e L algorithme de Picard quant lui r sous le syst me de fa on lin aire Il est moins co teux mais ne peut lui seul fournir une solution ad quate au probl me non lin aire r soudre Son r le est plut t d abaisser le r sidu de fa on faciliter la convergence avec Newton Par exemple lorsque la solution initiale est relativement loin de la solution recherch e un certain nombre d it rations de Picard peut permettre d abaisser le r sidu au tout d but de la r solution Dans le cas o Palgorithme de Newton combin au backtracking maintiennent la solution autour d un minimum local des it rations
23. t inf rieure 1 5 1 2 Impact local du backtracking Le backtracking sur Newton est n cessaire puisqu il emp che la solution de diverger et permet d avoir un meilleur contr le sur la descente du r sidu Pour la Strat gie 1 un backtracking quadratique avec tmin gal 0 001 et 0 1 ont t test s voir Figure 13 Les r sultats montrent qu en for ant un incr ment de solution trop lev la convergence peut s en trouver affect e Le meilleur comportement a t obtenu avec un tmin gal 0 001 soit la valeur minimale par d faut dans H2D2 Des tests similaires ont t r alis s partir de la Strat gie 2 en imposant un backtracking quadratique sur le premier bloc d it rations de Picard avec tmin gal 0 001 voir Figure 14 Les r sultats montrent que la convergence globale du pas de temps test est beaucoup plus rapide sans backtracking sur Picard Cependant en pr sence de backtracking une descente plus rapide du r sidu est observ e sur les 10 premi res iterations de Picard que l algorithme de Newton n arrive pas r cup rer au bloc suivant Le backtracking sur Picard l int rieur des blocs Picard Newton s av re inefficace puisqu il limite les corrections sur la solution une fraction de l incr ment total calcul Le r le de l algorithme de Picard l int rieur de ces blocs est pr cis ment de sortir le syst me d un ventuel minimum local en effectuant des corre
24. trat gies Backtracking h btrk0 0 h_btrk2 backtracking_2 0 001 1 Solveur matriciel h matslv mumps linear solver Algorithmes de r solution h pcrd05 picard h btrk0 h matslv 5 h perdl0 bktr picard h btrk2 h matslv 10 h nwtnlO newton h btrk2 h matslv 10 h nwtnl5 newton h btrk2 h matslv 15 Strat gies de resolution h node2 algo node h perd05 0 h_nwtn10 0 h_nodel algo_node_for h_node2 0y Ur Uy 23 h node0 algo node h_nwtn15 0 h_nodel 0 h_stgyl h node0 h_node4 algo_node h_nwtn10 0 0 h nodel 0 h node3 algo node h_pcrd10_bktr 0 0 h node4 0 h_stgy2 h_node3 Figure 11 D finition des strat gies de r solution l int rieur du fichier de commande dans H2D2 16 5 1 1 Impact local du limiteur Les tests effectu s sur quelques pas de temps ont permis d observer l impact du limiteur sur la convergence des pas de temps concern s Deux cas ont t test s le premier avec une limite fix e 10 m s en d bits sp cifiques et 1 m en niveaux d eau et le second avec une limite fix e a 4 m s en d bits sp cifiques et 0 3 m en niveaux d eau Les r sultats montrent dans ce cas pr cis qu un limiteur trop restrictif peut ralentir consid rablement la convergence La Figure 12 illustre ce point en abscisse se trouve le temps coul et en ordonn e la norme associ e au crit re d arr t La solution est jug e converg e lorsque la norme es
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