pendule
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1. 17h00 votre compte rendu imprim dans le casier pr vu cet effet et vos fichiers Scilab d pos s sur TEIDE Tout retard devra m tre justifi en personne Modalit s pratiques Ce TP est r aliser en bin me Aucun trin me n est accept Vous devez vous inscrire sur TEIDE avant le 29 F vrier 17h Pour toute question commentaire ou demande de pr cisions vous avez trois solutions La page web du TP accessible depuis le Kiosk de l Ensimag Le mail tous les jours toute heure Vous pouvez aussi venir me voir l Ensimag o j assurerai une permanence L ho raire sera indiqu sur le Kiosk C Lucas Carine Lucas imag fr Le probl me du pendule simple en apparence peut donner des r sultats surprenants D un point de vue math matique son tude n est pas si facile La mod lisation de cet exemple classique en m canique nous donne une quation diff rentielle sur l angle du pendule quation qui d pend des diff rents param tres physiques 1 Etude d un pendule simple Nous commen ons ce travail par l tude d un pendule classique compos d une tige de masse n gligeable de longueur l gt 0 l extr mit de laquelle est plac e une masse m On note 0 l angle de la tige avec la verticale voir Figure 1 La a k m A e F G 1 Pendule simple g gt S gt 2 D apr s les lois de la m canique on a la relati2. ENSIMAG 1 re ann e 2007 2008 TP M thodes Num riques Objectifs Les objectifs de ce TP sont de revenir sur les m thodes de r solution des quations diff rentielles vues en cours de MN d utiliser un logiciel de calcul scientifique Scilab pour impl menter et r soudre les algorithmes et visualiser les r sultats le tout partir d un exemple classique en m canique le pendule Compte rendu Vous devez r diger un compte rendu de TP dans lequel vous r pondrez toutes les questions de l nonc expliciterez les m thodes employ es pr senterez et commenterez les r sultats obtenus La qualit de la r daction de la synth se de l analyse des r sultats obtenus sont des crit res importants pour la note Notez que ce sujet ne constitue que la base de ce qui vous est demand soyez critique par rapport vos r sultats proposez d autres id es solutions ou tests La derni re page de votre compte rendu devra tre une sorte de manuel d utilisation o vous expliquerez comment utiliser vos programmes Le compte rendu sera dactylographi de pr f rence avec le logiciel TEX vous aurez votre disposition un fichier de r ponses Ce compte rendu n exc dera pas 10 pages et ne comportera pas de programmes Vous me ferez galement parvenir vos fichiers Scilab la lisibilit du code et la pertinence des commentaires seront pris en compte Le TP est rendre au plus tard le lundi 17 Mars 2008
3. des m thodes d Euler et de Runge Kutta Scilab utilise une autre m thode de r solution programm e dans la commande ode avec les options par d faut Question 1 5 R solvez analytiquement sur R l quation p t 8 E 0 0 g 0 1 et comparez cette solution th orique aux r sultats donn s par les m thodes d Euler de Runge Kutta et le solveur de Scilab Que pouvez vous dire 1 3 Premi res simulations num riques Question 1 6 On choisit 0 0 et 0 0 0 357 Tracez 0 et 0 en fonction du temps t pour t variant entre 0 et 10s On d finit l nergie cin tique Fe et l nergie potentielle p par 1 E t zm E E t mgl 1 cos 0 t et l nergie totale par la somme de Ee et Ep Question 1 7 Montrez th oriquement que l nergie totale du pendule reste constante Question 1 8 En prenant par exemple les valeurs num riques de la question 1 6 tracez ces trois nergies en fonction du temps Question 1 9 Tracez enfin le portrait de phase c est dire 0 t en fonction de 0 De fa on obtenir un portrait de phase le plus complet possible faites varier les deux condi tions initiales sur une grande plage de valeurs 2 Le pendule amorti Nous introduisons maintenant un amortissement dans notre syst me L quation 1 devient alors o t a sin O t A0 t o est le coefficient d amortissement Question 2 1 Menez la m me tude que pour le pendule s
4. imple trac s de 0 et 0 des nergies et du portrait de phase Vous pouvez prendre 0 157 par exemple Comparez vos r sultats au cas sans amortissement 3 Le pendule double A la masse de ce pendule nous accrochons un second pendule de mani re tre dans la configuration suivante on est toujours en deux dimensions F1G 2 Pendule double On peut montrer que les quations du mouvement sont donn es par ma Mo l101 mol202 cos 01 02 Mmol20 sin 01 02 ma M2 gsin 8 0 3 1107 cos 01 02 120 1102 sin 01 02 g sin d 0 4 3 1 Un cas simplifi le premier pendule est entra nement circulaire uni forme Pour simplifier les quations 3 4 nous commen ons par poser 0 w constante Question 3 1 Ecrivez l quation correspondant 4 avec cette hypoth se Question 3 2 Tracez la trajectoire de l extr mit du pendule double Il faudrait que luti lisateur puisse entrer lui m me les valeurs de son choix pour les diff rents param tres valeurs initiales plage de temps nombre de points valeurs des masses longueurs des pendules Vous pourrez galement avec la commande xpause montrer le mouvement du pendule d crivant cette trajectoire Question 3 3 Faites varier les param tres Donnez les diff rents types de courbes obte nues Que peut on observer en choisissant w 4 g l2 3 2 Le pendule double quelconque On ne fait plus aucune hypoth se sur
5. la vitesse angulaire du premier pendule Question 3 4 Comment pouvez vous r crire les quations 3 4 pour en programmer simplement la r solution de la m me fa on que le pendule simple Question 3 5 Donnez quelques exemples de trajectoire de l extr mit du pendule 4 Conclusion Question 4 1 Avec le menu GUI and Dialogs de l aide de Scilab cr ez une inter face graphique qui permette de choisir les m thodes les param tres physiques les pa ram tres de r solution Cette interface doit permettre de r pondre la majorit des ques tions num riques de ce TP Question 4 2 Conclusions personnelles sur ce TP int r t difficult s rencontr es temps de travail planning
6. on ma T P o est l acc laration T repr sente la tension et P le poids On d compose alors cette relation dans la base orthonorm e e eg et on obtient les deux galit s suivantes ml0 mgsnmb ml0 mgcos0 T o g d signe la constante universelle de gravitation nous prendrons g 9 81m s Ainsi l acc l ration angulaire 9 t du pendule v rifie o t 7 sin t tER 1 Pour r soudre cette quation et obtenir langle 0 en fonction du temps nous devons pr ciser 0 0 et 0 0 valeurs initiales respectives de l angle et de la vitesse angulaire 1 1 R duction du mod le Question 1 1 Montrez que l quation 1 peut se mettre sous la forme YY FfY teR 2 en pr cisant Y et f Explicitez galement la condition initiale de cette quation 1 2 Equations diff rentielles et Scilab Question 1 2 Rappelez bri vement quelles sont les diff rentes m thodes de r solution des quations diff rentielles vues en cours ainsi que quelques unes de leurs propri t s Question 1 3 Programmez sous Scilab les sch mas d Euler explicite et d Euler impli cite Pour le second vous utiliserez la commande fsolve l aide de la commande ode trouvez les options pour utiliser la m thode de Runge Kutta d ordre 4 Question 1 4 En vous int ressant par exemple la r solution sur R de ER xz 0 1 tablissez num riquement les ordres
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