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1. deux voies d am lioration pour la deuxi me Abstract The aim of this study is to predict the failure probability of a locking system The failure probability will be assessed by two complementary methods approximation methods FORM SORM and Monte Carlo simulations both implemented in the reliability software called Phimeca Software The limit state function which threshold triggers the feared event will include a response surface that establishes the analytical relation between the random variables material properties geometry data load and structural responses The use of a response surface is mandating because the direct coupling between the reliability software and the locking system finite elements model built thanks to Abaqus CA is not tractable The results obtained in two configurations of the locking system showed the large sturdiness of the first system and enabled us to determine two ways of improvement for the second system thanks to a sensibility analysis Mots clefs Calculs l ments finis FORM SORM Monte Carlo 1 Introduction Dans le cadre de la conception s re d un distributeur pneumatique la probabilit de d faillance Pf du syst me de verrouillage doit tre valu e par rapport l v nement redout suivant accostage de la but e par le piston en cas de mise en marche accidentelle de la commande pneumatique du distributeur figure 2 La sp cification en terme de probabilit de d faill2. mentaires sont g n ralement utilis es la premi re est bas e sur des m thodes d approximation du 1 ordre et du 2 ordre respectivement appel es FORM First Order Reliability Method et SORM Second Order Reliability Method et la seconde est la simulation de Monte Carlo M thodes d approximation FORM SORM La premi re tape est la recherche de la distance minimale p aussi appel indice de fiabilit entre la courbe d tat limite G x 0 et l origine du rep re standard figure 1 Ce calcul d optimisation sera effectu par l algorithme d Abdo Rackwitz Abdo et al 1990 Le point de l tat limite minimisant cette distance est appel point de conception ou P et correspond au point de d faillance le plus probable Le passage de l espace physique l espace standard espace dans lequel toutes les variables suivent une loi normale centr e r duite s effectue par une transformation T dite isoprobabiliste Lemaire 2005 La deuxi me tape est l approximation Elle peut tre soit du type FORM soit du type SORM L tat limite est respectivement approxim par un hyperplan tangent la courbe d tat limite passant par P ou par une hyper surface quadratique Dans le cas FORM la probabilit de d faillance Pf se calcule de la fa on suivante Pf P p tant la fonction de distribution cumul e de la loi normale centr e r duite Dans le cas SORM cette probabilit est corrig e pour mieux prendre en compte la
3. 0 n est pas tenue cependant le diagramme des lasticit s figure 4 permet d identifier les variables ayant le plus d influence sur Pf et donc de pouvoir d terminer des voies d am lioration Les deux variables ayant le plus d influence sont Pression et Engage 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 6 Am liorations possibles du syst me B 1 voie d am lioration Pression suit une loi uniforme car seul son domaine de variation est connu Les lasticit s figure 4 montrent que la borne sup rieure not e Pression Sup est pr pond rante Ainsi si par une tude sp cifique 1l est possible de montrer que La borne maximale n est plus 1200 bar utilis e dans cette tude mais 1180 bar alors la probabilit de d faillance passe de 6 45 10 2 69 10 Ceci pourrait faire l objet d une sp cification La densit de r partition suit une loi normale de moyenne 1000 bar d cart type 50 born e entre 800 et 1200 bar alors la probabilit de d faillance passe de 6 45 10 9 57 10 Il s av re que les gains sur la probabilit de d faillance sont importants La bonne connaissance des distributions statistiques des variables al atoires est primordiale en particulier pour la variable al atoire Pression 2 voie d am lioration La variable Engage et plus sp cialement sa moyenne not e Engage Moy figure 4 est aussi tr s influente sur Pf Il est donc possible de diminuer cette p
4. 1 ao t 2007 Syst me Syst me B Doigt de verrou Zone de contact fi distributeur fa Le En LL J Mn J contact Corps du distributeur F Encastrement Lecture de U2 Joonia Pression Pression Figure 3 Maillage des deux configurations du syst me de verrouillage Le maillage est r alis l aide d l ments 3D hexa driques du second ordre int gration r duite C3D20R pour l ensemble des mod les sauf pour le doigt de verrou du syst me A qui lui est maill avec des l ments 3D t tra dres du second ordre modifi s C3D10M 4 2 M thodologie de r solution Le nombre total de variables al atoires pour chaque syst me est donc de cinq Pression Jeontacts Engage Accost Limite dont trois appartenant aux mod les EF Par ailleurs compte tenu de la complexit des mod les EF il est vident qu il ne sera pas possible d utiliser la m thode de Monte Carlo ni m me les m thodes d approximation FORM SORM par couplage direct entre Phim ca Software et Abaqus Il est donc n cessaire de construire une surface de r ponse pour chacun des deux syst mes Cette surface de r ponse permettra d exprimer le d placement du doigt de verrou U2 de fa on analytique et de rendre ainsi possible l valuation de la fonction de performance La fonction de performance s crira donc sous la forme G Limite Accost U2 avec U2 Pression J Engage polyn me de degr deux contact Les
5. 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 Analyse m cano fiabiliste d un syst me de verrouillage Nicolas M alier Fr d ric Dau Laurent Guillaumat Philippe Arnoux CEA CESTA B P 2 33114 Le Barp Laboratoire de Mat riaux Endommagement Fiabilit et Ing nierie des Proc d s LAMEFIP ENSAM Esplanade des Arts et M tiers 33400 Talence nicolas mealier gmail com R sum Cette tude a pour but de d terminer la probabilit de d faillance d un syst me de verrouillage Cette probabilit de d faillance est estim e par deux m thodes compl mentaires les m thodes d approximation FORM SORM et les simulations de Monte Carlo l aide du logiciel fiabiliste Phim ca Software La fonction de performance traduisant l v nement redout est mod lis e par une surface de r ponse permettant d tablir une relation analytique entre les variables al atoires caract ristiques mat riaux dimensions g om triques chargement et les r ponses m caniques du syst me En effet le syst me de verrouillage faisant l objet d un mod le num rique complexe construit gr ce Abaqus CAE le couplage direct entre ces deux codes conduirait des temps de calcul prohibitifs Les r sultats obtenus sur deux configurations du syst me de verrouillage ont permis d une part de montrer la tr s grande robustesse de la premi re et d autre part de d gager par l interm diaire de l analyse de sensibilit
6. ance pour ce genre d quipement est de 10 Evaluer cette probabilit par essais n est pas envisageable L alternative retenue est l utilisation de la m thode m cano fiabiliste m thode aujourd hui prouv e dans de nombreux domaines nucl aire civil Sang Min et al 2005 Sudret et al 2005 structures offshore Shah et al 2005 mais aussi dans le g nie civil pour les ouvrages d arts exceptionnels Schotanus et al 2004 L objectif de ce travail est d valuer la probabilit de d faillance pour deux configurations du syst me de verrouillage de r aliser une tude de sensibilit par rapport aux variables al atoires l mentaires intervenant dans les mod les Pour cela deux logiciels seront utilis s le logiciel l ments finis EF Abaqus et le logiciel fiabiliste Phim ca Software utilisant les m thodes FORM SORM et permettant les simulations de Monte Carlo 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 2 Les m thodes m cano fiabilistes classiquement utilis es L v nement redout est traduit par une fonction de performance G x R x1 S x1 R sistance Sollicitation s appuyant sur un mod le physique d pendant en partie des variables du syst me suppos es al atoires x xi x2 xn Par d finition il y a d faillance du syst me quand G x lt 0 et G x 0 est appel e quation d tat limite Pour estimer la probabilit de d faillance deux techniques compl
7. courbure de l tat limite Lemaire 2005 En plus d obtenir les coordonn es du point de conception et la probabilit de d faillance la m thode FORM permet d avoir acc s la sensibilit de Pf par rapport aux diff rentes variables al atoires et surtout aux caract ristiques de leurs lois de distribution moyenne cart type etc p domaine de d faillance domaine de s curit LA T x imation SORM EU PEPREEEE EE EEE EEE EEE EEE F SERCESCEECE CE EE EE EE EE ETES Origine Figure 1 Etat limite s parant le domaine de d faillance du domaine de s curit Simulation de Monte Carlo La m thode de Monte Carlo ne permet pas d obtenir les sensibilit s des variables al atoires mais elle permet en revanche d estimer l erreur faite sur le calcul de la probabilit de d faillance La simulation de Monte Carlo servira donc de r f rence par rapport aux r sultats obtenus par les m thodes FORM SORM La m thode consiste g n rer un jeu de r alisation des variables al atoires suivant leurs lois de distribution compter le nombre de d faillances et le comparer au nombre de tirages total La probabilit de d faillance Pf se calcule donc selon l quation suivante P f z lim N d faillances X N d faillances 1 P f Nti de N tirages N N tirages P T Pour atteindre une probabilit de d faillance de 10 il faut effectuer entre 10 et 10 tirages pour une erreur de 10 sur Pf Cela
8. de sur ces carts type et d autre part que Pf serait peu affect e par un contr le qualit en fabrication moins rigoureux R sultats des simulations de Monte Carlo par Phim ca Software Syst me Syst me B Monte Carlo Tirage d Importance Monte Carlo classique Pf Coeff Var Pf Nb tirages Pf Coeff Var Pf Nb tirages 4 68 10 1 3 10 6 45 10 5 6 10 Les temps de calculs sont tr s courts inf rieurs la minute Pour le syst me A la m thode de Monte Carlo par Tirage d Importance a t utilis e car la probabilit de d faillance est trop faible pour tre calcul e par la m thode classique Ces r sultats provenant des simulations de Monte Carlo font office de r f rence A la lecture des deux tableaux pr c dents on remarque que les r sultats Monte Carlo et SORM sont relativement proches Ce qui indique d une part que les tats limites ne sont pas plans et d autre part que l approximation SORM prend correctement en compte les courbures de ces tats limites Conclusion Pour le syst me A la probabilit de d faillance calcul e est inf rieure 10 ce qui est tr s inf rieur au 10 demand Cet quipement de s curit est tr s s r m me avec des hypoth ses pessimistes faites sur le mod le m canique et sur les distributions des variables al atoires Pour le syst me B la probabilit de d faillance calcul e est inf rieure 10 La sp cification de 1
9. e le piston et le doigt de verrou appel e Accost et consid r e comme al atoire le d placement du doigt de verrou not U2 lu au niveau de la fl che rouge figure 3 d sa d formation sous l action de la pression La fonction de performance s crit donc G Limite Accost U2 La d faillance du syst me est observ e quand G lt Q Pour valuer la fonction de performance 1l faut valuer la d formation du doigt de verrou sous l effet de la pression Un mod le EF est donc n cessaire La d formation du doigt sera fonction de la g om trie des pi ces des caract ristiques mat riaux des variables Pression Engage et Jeontact qUi Seront consid r es comme al atoires Engage repr sente la hauteur d engagement du doigt de verrou dans le piston Jeontact repr sente le jeu existant entre le corps du distributeur et le doigt de verrou 4 1 Mise en place des mod les l ments finis Les mod les EF pour les deux syst mes sont mis en oeuvre avec le module CAE du logiciel Abaqus figure 3 Ces mod les donnent lieu des calculs quasi statiques non lin aires Deux types de non lin arit s sont consid r s non lin arit mat rielle un comportement lasto plastique est adopt pour les mat riaux constituant le doigt de verrou et le corps du distributeur non lin arit due au contact entre le doigt de verrou et le corps du distributeur 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 3
10. es r sidus Lemaire 2005 Si cela s av re n cessaire il est possible de construire une nouvelle surface de r ponse en enrichissant la pr c dente par de nouveaux calculs EF Devictor 1996 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 5 R sultats R sultats FORM SORM par Phim ca Software Syst me Syst me B Pf 3 22 6 50 10 Accost Moy Engage Moy Jeu Moy Linita Mir Pression Sup Accost Moy Engage Moy Jeu May Limite Moy Pression Sup Figure 4 Diagrammes des lasticit s provenant du logiciel Phim ca Software Les temps de calculs sont tr s courts de l ordre de quelques secondes La convergence a t obtenue en 365 it rations pour le syst me A et 281 pour le syst me B L lasticit d un param tre moyenne cart type est un indicateur adimensionn du poids relatif de ce param tre sur l valuation de Pf manuel d utilisation de Phim ca 2004 L interpr tation de l histogramme des lasticit s figure 4 pour le syst me B montre qu une augmentation de 1 de la borne sup rieure de la variable Pression entra nerait une augmentation de pr s de 220 de Pf alors qu une augmentation de 1 de la moyenne de la variable Engage entra nerait une forte diminution de Pf Les lasticit s des carts type ont t supprim es de la figure 4 pour des raisons de lisibilit car trop faibles On peut en d duire d une part que le mod le est tol rant une incertitu
11. lance cr ation d un mod le de type analytique ou num rique m canique thermique etc prise en compte des variabilit s au niveau des param tres l mentaires al a de chargement variabilit des caract ristiques mat riaux impr cision des dimensions g om triques Les r sultats obtenus sont riches En plus de calculer la probabilit de d faillance du syst me par rapport un v nement redout par approches diff rentes et compl mentaires les m thodes d approximation FORM SORM et les simulations de Monte Carlo elle permet d obtenir les mesures des sensibilit s de cette probabilit par rapport aux moyennes et aux carts type de chaque variable al atoire Gr ce aux sensibilit s ou lasticit s donn es par une approche FORM SORM cette m thode peut tre un outil d aide la conception ou un outil permettant de choisir les variables sur lesquelles imposer des sp cifications R f rences Abdo T Rackwitz R 1990 A new beta point algorithm for large time invariant and time variant reliability problems Reliability and Optimisation of Structures 1 11 3th WG 7 5 IFIP conference Devictor Nicolas 1996 Fiabilit et m canique m thodes FORM SORM et couplages avec des codes d l ments finis par des surfaces de r ponse adaptatives Th se Lemaire Maurice 2005 Fiabilit des structures couplage m cano fiabiliste statique Collection G ni Civil Edition Lavoisier Hermes Science Man
12. peut conduire des temps de calcul tr s importants d o l int r t de la m thode FORM SORM Lemaire 2005 avec erreur 200 tirages 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 3 Description du syst me tudi Le syst me de verrouillage du distributeur pneumatique est d crit sch matiquement figure 2 Il est constitu par un doigt de verrou l ment de s curit permettant d viter le d placement du piston jusqu l accostage de la but e lors d une mise en pression intempestive du dispositif 1l s agit de l v nement redout Corps du distributeur mt Doigt de verrou en position s ret Engage le TAR Pression Limite Teontact A Accost ES Figure 2 Sch ma du m canisme de verrouillage Deux configurations du syst me de verrouillage vont tre tudi es Elles diff rent par la g om trie du doigt de verrou figure 3 et seront appel es syst me A et syst me B 4 Le probl me m cano fiabiliste Vis vis de l v nement redout accostage de la but e par le piston lors d une mise en pression intempestive le doigt de verrou tant en position s ret le terme de R sistance est la distance s parant initialement la but e du piston Elle est appel e Limite et consid r e comme al atoire Le terme Sollicitation est le d placement du piston Le d placement du piston est la somme de deux composantes le rattrapage de la distance entr
13. quatre variables al atoires Jcontac Engage Accost et Limite sont des variables g om triques calcul es par des cha nes de cotes Elles ont donc une valeur moyenne mini et maxi De plus en prenant l hypoth se r aliste d une r partition uniforme pour chaque cote entrant dans le calcul de la cha ne le retour d exp rience en mati re de fabrication a permis de v rifier que cette cha ne de cotes ob it une loi normale Ces quatre variables al atoires suivront donc des lois normales tronqu es Pour la variable al atoire Pression seul son domaine de variation est connu Elle suivra donc une loi uniforme 4 3 Construction des surfaces de r ponse Pour chaque mod le le polyn me du second degr U2 Pression J Engage qui est donc la contact surface de r ponse est calcul par une approximation des moindres carr s bas e sur un nombre restreint de calculs EF Afin de r duire le nombre de calculs EF les configurations de ces derniers sont choisies judicieusement l aide d un plan d exp rience de Box Behnken Le nombre de variables al atoires composant chaque mod le EF est de 3 ce qui n cessite 13 calculs EF pour la construction d une surface de r ponse une par syst me Les calculs fiabilistes qui vont suivre FORM SORM et Monte Carlo seront donc bas s sur ces surfaces de r ponse Leurs capacit s repr senter fid lement la r alit sont donc primordiales Cette qualit est quantifi e gr ce aux calculs d
14. robabilit de d faillance en augmentant la hauteur d engagement du doigt de verrou dans le piston Cette hauteur d engagement est directement fonction de la profondeur du lamage sur le haut du NN OO O O M Corps du distributeur N Profondeur or de lamage Figure 5 Vue en coupe du piston En diminuant cette profondeur de lamage le ph nom ne de flexion du doigt de verrou serait diminu en faveur du ph nom ne de cisaillement qui d forme beaucoup moins le doigt de verrou C est pourquoi la probabilit de d faillance diminuerait L tude param trique ci apr s figure 6 permet de quantifier la diminution de la probabilit de d faillance en fonction de la hauteur d engagement du doigt de verrou dans le piston Evolution de Pf en fonction de la valeur moyenne de Engage 1 0 10 4 1 0 10 6 45 10 1 0 10 1 0 10 1 0 10 Pf 1 0 10 Moyenne de Engage Figure 6 Etude param trique volution de Pf en fonction de Engage En diminuant la profondeur du lamage du piston de 0 2 mm la probabilit de d faillance passe de 6 45 10 3 12 10 7 C est un gain consid rable 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 7 Conclusion Les avantages de la m thode m cano fiabiliste sont nombreux Elle permet une analyse fine du syst me m canique consid r par une bonne compr hension de la physique choix du mode de d fail
15. uel d utilisation de Phim ca Software Phim ca Engineering S A 2004 Sang Min Lee Yoon Suk Chang Jae Boong Choi Young Jin Kim 2005 Failure probability assessment of wall thinned nuclear pipes using probabilistic fracture mechanics Nuclear Engineering and Design Schotanus M LJ Franchin P Lupoi A Pinto P E 2004 Seismic fragility analysis of 3D structures Structural Safety 26 421 441 Shah A A Umar A Siddiqui N A 2005 A methodology or assessing the reliability of taut and slack mooring systems against instability Ocean Engineering 32 1216 1234 Sudret B Gu d Z 2005 Probabilistic assessment of thermal fatigue in nuclear components Engineering and Design 235 1819 1835
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