De l`enseignement de la géométrie
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1. On retrouve encore cette conception dans l ouvrage de Jean Dieudonn Alg bre lin aire et g om trie l mentaire ou dans le beau livre de Mich le Audin G om trie l usage des tudiants pr parant les concours d enseignement La question se pose alors de la relation entre cette conception structurale et la tradition g o m trique issue des El ments d Euclide Cette question est loin d tre facile comme on peut le voir lorsque l on demande des tudiants pr parant les concours d enseignement de comparer ces deux sommes de la g om trie publi es aux deux bouts du XX si cle les Le ons de G o m trie El mentaire de Hadamard et l ouvrage de Marcel Berger intitul G om trie On y re trouve les m mes termes et les m mes th or mes mais les d finitions des termes et les d Nous renvoyons ici aux travaux de Von Staudt et aux articles de Fano Carrus et de Sch nflies Tresse dans l Encyclop die des Sciences Math matiques On peut noter ici que le Programme d Erlangen introduit un point de vue structural en g om trie point de vue ind pendant du point de vue formaliste Nicolas Bourbaki Formes sesquilin aires et formes quadratiques 10 monstrations des th or mes sont diff rentes m me si on y retrouve les m mes figures La question est moins de d finir quelle est la bonne g om trie enseigner que de comprendre le rapport entre ces deux ouvrages en quoi ils se ressemblent et en quoi ils diff re2. des triangles Si on veut conserver la caract re physique de la g om trie l mentaire on peut introduire les d placements que l on peut consid rer comme les effets du mouvement Nous nous appuyons pour cela sur la distinction explicit e par Bricard On appelle d placement toute op ration qui fait passer un corps d une position une autre Un d placement r sulte toujours dans la pratique d un mouvement au cours duquel le corps occupe une s rie continue de positions depuis la position initiale la position finale Un d placement donn peut tre r alis par une infinit de mouvements diff rents entre eux soit par leurs d finitions g om triques soit par leurs lois du temps Cette distinction ne va pas de soi et ce peut tre l un des objectifs du coll ge que d amener les l ves prendre conscience de cette distinction On peut alors noncer les axiomes des d placements On d finit d abord le d placement d une demi droite sur une demi droite de la fa on suivante A tout couple de demi droites Ox O x on associe une application appel e d placement de la premi re demi droite sur la seconde qui envoie le point O sur le point O et la demi droite Ox dans la demi droite O x En particulier au couple Ox Ox on associe l application identique On peut alors noncer les axiomes d finissant la composition et l inverse ainsi que des axio mes permettant de d finir les d placements d une droite sur une
3. la crise des fondements et ne prennent sens que pour qui a acquis une pratique math matique et qui peut ainsi comprendre les raisons qui ont conduit ces m thodes Si les m thodes formalistes participent de la mo dernit math matique m me si cette modernit ne se r duit pas aux seules m thodes forma listes ces m thodes ne sauraient s inscrire dans un premier enseignement des math matiques Nous rappelons le d but du mode d emploi qui accompagnait les premi res ditions des El ments de Math matiques de Bourbaki Le trait prend les math matiques leur d but N anmoins le trait est destin plus particuli rement des lecteurs poss dant au moins une bonne connaissance des mati res enseign es dans la premi re ou les deux premi res ann es de l Universit phrase trop souvent oubli e par les promoteurs de la r forme des math matiques modernes Le r le d un enseignement scientifique n est pas de raconter la modernit scientifique c est dire la science qui se fait il consiste en s appuyant sur la science d j faite de donner aux l ves les moyens de comprendre la modernit scientifique La probl matique de l galit Geometry is a physical science crit Clifford dans son ouvrage the common sense of the exact sciences En disant que la g om trie est une science physique on rappelle que la g om trie a pour objet l tude des corps et particuli rement de ceux qui ne chang
4. s de la fonction sur le dessin de la courbe repr sentative construire la courbe repr sentative partir de la fonction Nous n avons repris ici que des exemples classiques On peut citer quelques autres exemples plus sophistiqu s qui mettent en valeur la charge intuitive de la g om trisation Nous nous contenterons de citer le calcul des probabilit s Si on introduit la notion de variable al atoire sur un espace de probabilit on peut d finir sur l ensemble des variables al atoires une structure d espace vectoriel la notion de valeur moyenne comme forme lin aire et les notions d cart quadratique moyen et de covariance on peut alors consid rer la covariance comme produit scalaire et relier la notion d ind pen dance et l orthogonalit Conclusion Le point de vue ensembliste n est pas n cessaire pour d finir la repr sentation graphique d une fonction On peut au contraire consid rer que c est la repr sentation graphique qui permet de comprendre le point de vue ensembliste celui ci tant appr hend via la g om trisation Point n est besoin d un cours d alg bre lin aire pr alable pour d finir ces notions 14 Les remarques ci dessus montre l importance d un regard scientifique sur les disciplines que l on enseigne Mais cela exige de se d barrasser de l id ologie de la centralit de l l ve que cette centralit s exprime travers ce que l on peut appeler les id ologies savantes ou les id o
5. concourantes que Desargues a d fini un point l infini comme le point commun une famille de droites parall les et consid r un tel point comme un point ordinaire Mais plus int ressant est le fait qu une pro jection transforme six points en involution en six points en involution Aujourd hui on dirait plut t qu une projection conserve le birapport le rapport anharmonique de Chasles ainsi le birapport d fini comme rapport de rapports de longueurs et par cons quent d fini en termes m triques est ce que l on appelle un invariant projectif Il faut voir dans cette d couverte des invariants m triques projectifs un point essentiel de l histoire de la g om trie projective C est la d couverte d invariants l o on ne les attendait La d nomination th or me de Thal s est r cente les ann es quatre vingts du XIX si cle Girard Desargues Brouillon project d une atteinte aux v nemens des rencontres du c ne avec un plan 1639 in Ren Taton L Oeuvre math matique de G Desargues PUF Paris 1959 r ditions Vrin Paris 1981 Vrin Institut Interdisciplinaire d Etudes Epist mologiques Paris Lyon 1988 Sur la notion d involution nous renvoyons au m moire cit de Desargues Sur la notion de birapport nous renvoyons l Aper u historique de Chasles p 302 Jean Victor Poncelet Trait des Propri t s Projectives des Figures volume 1 p 5 12 pas qui a permis de donner toute sa richesse
6. de la forme Son premier objectif est donc de pr ciser les notions de grandeur et de forme et c est le r le des deux grandes probl matiques rappel es ci dessus Le second principe est le caract re hypoth tico d ductif de la g om trie c est dire la possi bilit de montrer par le seul raisonnement les v rit s g om triques partir de certaines d en tre elles consid r es comme videntes que l on appelle les axiomes Nous renvoyons ce qu crit Legendre au d but de ses El ments de G om trie Axiome est une propri t vidente par elle m me Th or me est une v rit qui devient vidente au moyen d un raisonnement appel d monstra 3 tion Cette d finition de l axiomatique suppose d abord l existence d objets g om triques ces objets tant d finis partir des corps solides ensuite l nonc de v rit s premi res que l on appr hende par leur caract re d vidence Dans ce cadre la d monstration a une triple fonction Dans le cadre de la th orie des ensembles deux objets sont gaux s ils sont identiques Rudolf Bkouche La g om trie l mentaire une science physique BAdrien Marie Legendre El ments de G om trie p 4 D abord elle permet la d couverte de nouvelles v rit s par le seul usage d un discours conve nablement r gl que constitue une d monstration Ensuite le discours d monstratif permet de comprendre pourquoi une propri t est vraie ce que l on peut expr
7. de la g om trie l mentaire par un terme plus ad quat soit celui de superposabilit soit celui de congruence Mais il ne semble pas utile de changer une terminologie classique lorsque son usage n implique pas de difficult s sp cifiques La polys mie du terme galit comme toute polys mie n emp che pas de comprendre ce terme dans un contexte bien d fini On peut par contre remarquer qu un texte qui se veut monos mique est souvent plus difficile lire comme le montrent par exemple les El ments de Math matiques de Bourbaki La probl matique de la forme On peut dire que deux figures sont semblables si elles ont m me forme on renvoie ainsi la notion intuitive de forme et la question se pose de pr ciser la notion de m me forme C est l objet de la th orie des figures semblables que l on trouve au livre VI des El ments d Euclide Les figures semblables sont celles qui ont les angles gaux chacun chacun et dont les c t s autour des angles gaux sont proportionnels Cette d finition met en jeu des relations entre longueurs la proportionnalit et des galit d angles Ici encore se pose la question de crit res de similitude dans le cas des triangles ce sont les classiques cas de similitude On peut alors montrer que deux triangles ABC et A B C tant donn s les assertions suivantes sont quivalentes a Les c t s AB BC CA sont proportionnels aux c t s A B B C C A b Les ang
8. g n rale des groupes pour introduire la notion de grou pe de transformations On d montre alors les propri t s dont on a besoin in situ quitte met tre l accent sur les analogies de raisonnement qui permettent de d gager la notion g n rale de groupe lorsque cela sera n cessaire Toute classification se d finit dans un contexte La g om trie projective conduit distinguer les droites et les coniques un cercle apparaissant comme une conique particuli re Par contre la g om trie anallagmatique conduit placer droites et cercles dans une m me famille La raison de cette distinction est li e au groupe structural de la g om trie Une question analogue se pose avec l introduction des points l infini En g om trie projective on ajoute un point l infini la droite une droite l infini au plan alors qu en g om trie anallagmatique on ajoute un point l infini au plan On peut comprendre ici l apport du point de vue structural Lin arisation de la g om trie La g om trie l mentaire peut tre d finie sur le plan structural comme un chapitre de l al g bre lin aire et de fa on pr cise comme l tude d un espace affine euclidien de dimension 3 sur le corps des r els La g om trie l mentaire fait l objet du paragraphe 10 du chapitre IX du Livre II des El ments de Math matiques de Bourbaki et on retrouve les grands r sultats de la g om trie l mentaire dans les exercices qui suivent ce paragraphe
9. l mentaire et aboutir aux groupes d isom tries du plan et de l espace On peut aussi tudier les figures r guli res figues invariantes par certains sous groupes d isom tries polygones r guliers poly dres r guliers pavages cristaux une question de terminologie Nous voulons revenir ici sur une question de terminologie le terme cas d galit nous pa raissant plus pertinent que le terme cas d isom trie Le terme isom trie suppose d fini la mesure des longueurs or non seulement les cas d galit des triangles sont ind pendants de toute notion de mesure mais si on se place d un point de vue m trologique c est la superposi tion qui permet de d finir l galit des segments et des angles et par cons quent la mesure des longueurs et des angles Le terme galit a disparu de l enseignement de la g om trie l mentaire avec la r forme des math matiques modernes celle ci s appuyant sur le point de vue ensembliste Du point de vue ensembliste l galit n est autre que l identit Cette notion ensembliste d galit est elle pertinente en g om trie l mentaire Rappelons que le point de vue ensembliste loin d tre l mentaire ne prend sens qu apr s une certaine pratique des math matiques et que enseign trop t t il peut constituer un obstacle l enseignement des math matiques et particuli rement l enseignement de la g om trie On pourrait il est vrai remplacer le terme galit
10. la notion Plus tard les g om tres chercheront une d finition purement projective de ces invariants m triques projectifs mais ce n est pas ici le lieu de d velopper ces travaux Disons seulement que l tude des invariants projectifs conduit une premi re approche de la g om trie projective C est dans ce cadre que l on peut aborder le Programme d rlangen de Klein d j cit et pr ciser le lien entre la g om trie l mentaire m trique et la g om trie projective une fois montr que les isom tries et les similitudes sont des transformations projectives particuli res ce qui permet un nouveau re gard sur la notion d invariant Enfin pour tre complet il faudrait parler des coniques d fi nies comme projection de cercles ceux ci apparaissant alors comme des coniques particuli res Autre transformation qui change la forme l inversion Ici encore on peut mettre en vidence des invariants simples d abord le cercle ce qui demande de consid rer la droite comme un cercle particulier ensuite l angle de deux courbes Une fois l inversion d finie on peut d finir le groupe des transformations circulaires sur le plan augment d un point ou sur la sph re plan et sph re tant reli s par la projection st r ographique ce qui conduit la g om trie anal lagmatique que l on peut relier l tude des nombres complexes Nous terminerons ce paragraphe par deux remarques Il n est pas besoin de faire une th orie
11. question de la g om trisation Il n est pas question dans le cadre de cet article de d velopper la question de la g om trisation dans sa g n ralit Nous nous bornerons rappeler quelques questions classiques que l on peut aborder dans l enseignement secondaire Nous avons d j rappel que l invention de la g om trie analytique s inscrivait la fois dans l alg brisation de la g om trie et dans la g om trisation de la th orie des quations C est un niveau relativement l mentaire une premi re approche de l unit des math matiques Second lieu d intervention de la g om trisation la repr sentation graphique des fonctions repr sentation qui permet une approche globale de la fonction Ici il faut pr ciser que la g o m trisation ne se r duit pas interpr ter une courbe comme la repr sentation d une fonction mais expliciter comment une fonction peut tre repr sent e par une courbe ce qui suppose que les l ves aient construit la main des repr sentations graphiques de fonction Si on d finit une fonction comme une r gle de calcul qui associe toute valeur de la variable d pendante la valeur de la variable d pendante la repr sentation graphique permet une appro che globale de la fonction tudi e la question est alors de comprendre le lien entre la d fini tion calculatoire de la fonction et la courbe qui la repr sente cela exige deux d marches compl mentaires lire les propri t
12. tir s de notre perception mais soumis ensuite une abstraction qui a aussi pour effet de leur donner une forme plus pr cise Par tant de l on arrive par d duction des r sultats abstraits applicables au monde physique LL alors que la g om trie analytique est d finie comme une reformulation de notions nu m riques permettant d tablir une th orie de l espace analytique qui s identifie avec la g om trie sans que l on soit oblig de faire appel l examen des figures ou des notions et op rations g om triques Rappelons que la g om trie analytique a t critiqu e par Leibniz d abord qui pr nait un cal cul g om trique puis par les g om tres projectifs au XIX si cle Nous pourrions citer cette phrase de Poinsot qui tudie g om triquement des questions de mouvement d j tudi es analytiquement par Euler et D Alembert et qui crit au d but de son article Nous voil donc conduits par le seul raisonnement une id e claire que les g om tres n ont pu tirer des formules de l analyse C est un nouvel exemple qui montre l avantage de cette m thode simple et naturelle de consid rer les choses en elles m mes et sans les per dre de vue dans le cours du raisonnement C est cependant la num risation de la g om trie qui a permis de mettre en vidence le lien avec les syst mes d quations lin aires via deux types de probl mes d une part la d termina tion des intersections de droites
13. 2 tomes deuxi me dition Gauthier Villars Paris 1824 1865 1866 Bernhart RIEMANN Sur les hypoth ses qui servent de fondement la g om trie traduction Jules Hou l in Oeuvres Math matiques Blanchard Paris 1968 r dition Gabay Paris 1989 A SCH NFLIES A TRESSE G om trie projective in Encyclop die des Sciences math ma tiques pures et appliqu es dition fran aise r dig e et publi e d apr s l dition allemande sous la direction de Jules Molk r dition Jacques Gabay Paris 1992 tome III deuxi me vo lume p 1 143 Ren TATON L uvre math matique de G Desargues PUF Paris 1959 r ditions Vrin Paris 1981 Vrin Institut Interdisciplinaire d Etudes Epist mologiques Paris Lyon 1988 Hermann WEYL Space Time Matter 1918 translated from the German by Henry L Brose Dover 1952
14. De l enseignement de la g om trie rudolf bkouche IREM de Lille lt rbkouche wanadoo fr gt Nicolas Rouche in memoriam Introduction Toute science a deux objectifs celui de la construction de l intelligibilit du monde et celui de la r solution des probl mes Loin de s opposer ces deux objectifs sont compl mentaires c est pour r soudre les probl mes que l on rencontre que l on est conduit construire l intelligibilit du monde et c est la construction de cette intelligibilit qui permet en retour de r soudre ces probl mes Cette compl mentarit doit appara tre dans l enseignement d une science et n gliger l un de ces objectifs revient mutiler cet enseignement Si la construction de l intelligibilit se traduit pas l laboration d un discours coh rent la r duction de l enseignement au seul discours de la science conduit ce que nous avons appel l illusion langagi re dont l un des exemples em bl matiques reste celui de la r forme dite des math matiques modernes mais la r duction de l enseignement la seule r solution des probl mes conduit au d veloppement d un activisme p dagogique qui r duit l enseignement un ensemble d activit s disparates comme l a montr la contre r forme qui a succ d la r forme des math matiques modernes et qui reste pr sen te comme le montrent les programmes actuels Au volontarisme de la r forme des ann es soixante dix s appuyant sur la notion de str
15. Nicolas Bourbaki El ments d histoire des math matiques p 174 13 Comme nous l avons dit le premier objectif reste toujours actuel et ne saurait tre limin de l enseignement Le second objectif prolonge le premier Les relations de la g om trie l mentaire avec la m canique la g od sie ou l astronomie ne se r duisent pas l application de la g om trie ces domaines mais sont au c ur de la g om trie Cela implique que ces relations loin d tre ren voy es un interdisciplinaire quelque peu magique apparaissent dans le cours de g om trie lui m me Rappelons que nombre de trait s d enseignement de la g om trie l mentaire contiennent des chapitres sur la topographie et la g od sie ainsi les Le ons de G om trie El mentaire de Jacques Hadamard Nous avons d j dit que le calcul vectoriel rel ve de la g om trie et de la m canique et cela doit appara tre la fois dans le cours de math matiques et dans le cours de physique Il faut alors parler de grandeurs orient es en particulier des for ces ce qui permet ensuite de relier l tude des barycentres aux probl mes d quilibre De m me qu il n est pas besoin de faire un expos g n ral de th orie des groupes pour tudier quelques groupes de transformations g om triques il n est pas besoin de s appuyer sur un cours d alg bre lin aire pour mettre en avant les aspects lin aires de la g om trie analytique ou du calcul vectoriel Reste la
16. ante composi tion des parall logrammes Si ABCD est un parall logramme et si CDEF est un parall logramme alors ABFE est un parall logramme propri t qui est la base de la notion de translation et du calcul vectoriel On sait aussi que c est le postulat des parall les qui permet de montrer le th or me de la droite des milieux et par cons quent le th or me de Thal s tout au moins pour les rapports ration nels En l absence d une th orie des nombres r els on peut admettre au coll ge et au lyc e que le th or me de Thal s d montr pour les rapports rationnels est encore vrai pour les rap ports irrationnels mais ce qui importe dans l enseignement de la g om trie l mentaire c est le lien avec le postulat des parall les Il faudrait pour tre complet parler de la similitude du calcul des aires et de la g om trie analytique Passer sous silence le postulat des parall les revient ainsi fausser l enseignement de la g om trie l mentaire Quelques principes pour l enseignement de la g om trie l mentaire Apr s ces n cessaires critiques nous proposons d noncer quelques principes d enseignement de la g om trie qui pr ciseront les deux grands probl matiques dont nous avons parl es Le premier principe s appuie sur le caract re physique de la g om trie l mentaire On peut consid rer la g om trie l mentaire comme l tude des corps solides du point de vue de la grandeur et
17. ations d Euclide elles gardent toute leur validit C est la recherche d un tel calcul pour l espace qui a conduit Hamilton inventer les quaternions T nous faut rappeler ici le r le qu a jou l analyse dans la gen se de l alg bre lin aire cf Jean Dieudonn His tory of functionnal analysis Leszek Kolakowski Horreur m taphysique p 13 12 Cette question est loin d tre anecdotique et ce fut l un des arguments des promoteurs de la r forme des math matiques modernes que de s appuyer sur le caract re obsol te de la physi que aristot licienne pour affirmer le caract re obsol te de la g om trie d Euclide Pour abor der cette question nous reviendrons sur les objectifs de l enseignement de la g om trie Nous avons dit ailleurs que le r le de l enseignement scientifique est moins d enseigner la modernit que d en donner les cl s Cette volont de modernit fut l une des causes de l chec de la r forme des math matiques modernes La modernit scientifique est loin d tre transparente et sa compr hension s appuie sur la science ant rieure On est loin de l opposition science qui se fait vs science d j faite qui a marqu l id ologie des promoteurs de la r for me des math matiques modernes au contraire c est en s appuyant sur ce que l on sait que l on peut appr hender des savoirs nouveaux Mais il faut aussi rappeler que l enseignement scientifique doit permettre celui qui le re oit de c
18. autre Apr s avoir d fini les d placements de demi droites on d finit les applications de drapeaux Un drapeau Ox Q est la donn e d une demi droite Ox et d un demi plan Q bord par la droite Ox A tout couple de drapeaux O0x Q 0 x Q on associe une application appel e d pla cement qui induit le d placement de Ox sur O x et qui envoie le demi plan Q dans le demi plan Q En particulier au couple Ox Q Ox Q on associe l application identique On peut alors noncer les axiomes d finissant la composition et l inverse ainsi que les axio mes permettant de d finir les d placements d un plan sur un plan Les axiomes des d placements tant nonc s on d finit l galit des segments et des angles Deux segments AB et A B sont gaux si le d placement qui envoie la demi droite AB sur la demi droite A B envoie le point B sur le point B Deux angles xOy et x O y sont gaux si le d placement qui envoie le drapeau Ox Q o Q est le demi plan bord par la droite Ox et contenant la demi droite Oy sur le drapeau O x Q Raoul Bricard Cin matique et m canismes p 1 Cela sera pr cis dans un ouvrage para tre crit en collaboration avec Boris Allard o Q est le demi plan bord par la droite O x et contenant la demi droite O y envoie la demi droite Oy sur la demi droite O y Les axiomes des d placements impliquent les propri t s de l galit On peut alors d velopper la g om trie
19. e plus pr cis ment m canique du calcul vectoriel Les vecteurs sont alors une fa on de repr senter des concepts m caniques les forces et les vitesses un vecteur permettant de mesurer les grandeurs correspondantes de la m me fa on que les nombres permettent de mesurer les grandeurs scalaires les longueurs les temps On distingue ainsi les grandeurs scalaires une telle grandeur tant d termin e une fois choi sie l unit de mesure par le nombre qui la mesure et les grandeurs orient es qui pour tre d termin es exigent des informations suppl mentaires On voit ainsi se dessiner une probl matique des grandeurs orient es qui s inscrit autant dans la g om trie que dans la m canique et qui se propose la mise en place d un calcul sur ces grandeurs le calcul vectoriel Le calcul vectoriel en tant qu il est un calcul sur les grandeurs orient es se situe ainsi au carrefour de la g om trie et de la m canique et c est un point qui doit appara tre dans l enseignement Il s agit moins d appliquer le calcul vectoriel la m canique et plus g n ralement la physique que de montrer comment s tablissent des liens entre diverses disciplines On peut alors noter la diff rence entre le calcul vectoriel qui s inscrit dans un calcul portant sur des objets g om triques ou m canique sp cifiques et l alg bre lin aire laquelle participe d un calcul sur les signes ind pendamment de toute signification de ces signes E
20. ent pas de grandeur et de forme lorsqu ils se meuvent c est dire les corps solides On peut consid rer que c est le caract re de toute science que de construire partir d un ensemble de situations particuli res des objets id aux dont les situations particuli res deviennent des repr sentants SL opposition science qui se fait vs science d j faite est un lieu commun du discours des r formateurs des ann es soixante du si cle dernier William K Clifford the commun sense of the exact sciences p 43 L un des premiers probl mes que pose la g om trie est alors celui de pr ciser la notion de m me forme et m me grandeur en explicitant des r gles permettant d affirmer que deux corps ont m me forme et m me grandeur C est l objet du principe de l galit par superposi tion tel que l nonce Euclide dans ses El ments principe que nous noncerons sous la forme suivante Deux objets que l on peut superposer sont gaux L op ration de superposition suppose le mouvement on voit ainsi le r le du mouvement dans la mise en place de la g om trie Cependant l nonc m me du principe de l galit par su perposition marque les limites d application de ce principe En effet si l on peut montrer l ga lit de deux figures planes en les superposant par exemple deux triangles ou deux quadrilat res 1l est impossible de montrer l galit de deux cubes en bois en les superposant On voit ainsi appara t
21. et de plans d autre part la d termination de l quation d une courbe satisfaisant des conditions donn es J peut tre utile de rappeler le r le du postulat des parall les dans la mise en place de la g om trie analytique et du calcul vectoriel L alg brisation de la g om trie propos e par Descartes et Fermat est un calcul sur les grandeurs On peut consid rer le terme synth tique comme une fa on de s opposer au terme analytique Fano Carrus Expos parall le du d veloppement de la g om trie synth tique et de la g om trie analytique pendant le XIX si cle G W Leibniz La caract ristique g om trique 11 Le calcul vectoriel qui s est d velopp au XIXe si cle appara t par contre 0 comme la mise en place du calcul g om trique esp r par Leibniz Dans son ouvrage sur l histoire du calcul vec toriel Crowe nonce trois grandes id es qui ont conduit au calcul vectoriel le parall logram me des forces le calcul g om trique de Leibniz et la repr sentation g om trique des nombres complexes Si les deux derni res id es participent de la mise en place d un calcul portant di rectement sur les objets g om triques c est ainsi que l on peut comprendre la repr sentation g om trique des nombres complexes moins comme une repr sentation g om trique d objets num riques que comme un calcul portant sur les objets g om triques eux m mes la pre mi re renvoie la signification physiqu
22. imer de fa on imag e sous la forme suivante la d monstration a sert comprendre Ce dernier point fait appara tre un caract re essentiel des v rit s ainsi obtenues leur n cessit non seulement la d monstration assure que les propri t s d montr es sont vraies mais elle montre qu elles ne peuvent pas ne pas tre vraies Enfin ces deux aspects connaissance discursive et n cessit conduisent la question de l universalit la d monstration faite sur une situation particuli re la figure sur laquelle on travaille reste vraie pour une autre figure d s que l on peut tenir le m me dis cours c est cette universalit li e au discours qui conduit la notion d id alit math matique Dire que l on raisonne non sur la figure dessin e mais sur la figure id ale qu elle repr sente n a aucun sens pour l apprenti g om tre c est le raisonnement discursif qui conduit penser l objet id al et red finir la figure dessin e comme repr sentant cet objet id al C est donc le raisonnement qui conduit l abstraction sans laquelle il n est pas de science Si on ne met pas l accent sur la fonction de la d monstration cette derni re appara t comme un exercice de style propre aux math maticiens et l on comprend que les l ves s en m fient et la refusent Nous n aborderons pas ici le point de vue formaliste d velopp par Hilbert et ses successeurs les m thodes formalistes sont une r ponse ce que l on a appel
23. ion des relations entre mouvement et transformations au lyc e devant des l ves qui ont acquis une premi re pratique g om trique ibid Nicolas Bourbaki Histoire des Math matiques p 174 Jean Dieudonn The universal domination of geometry Cette expression devenue classique renvoie la question qui est on Les derniers programmes ont supprim translations et rotations mais n ont pas pour autant r solu la question Dire que la longueur est un invariant est une tautologie et n apprend rien Il faut signaler ici une incongruit des programmes l usage de l expression figures isom tri ques plut t que de parler de figures gales ce que l on peut consid rer comme un r sidu de la r forme des math matiques modernes Nous reviendrons plus loin sur cette incongruit Le second exemple qui constitue une lacune dans l enseignement vient de l absence de l non c du postulat des parall les Comment dans ces conditions peut on d montrer que la somme des angles d un triangle vaut deux droits comment peut on d montrer les propri t s des an gles inscrits et comment peut on d monter que les deux d finitions du parall logramme l un parall logramme est un quadrilat re dont les c t s oppos s sont parall les 2 un parall logramme est un quadrilat re dont les diagonales se coupent en leur milieu sont quivalentes C est encore le postulat des parall les qui permet de montrer la propri t suiv
24. la fois comme un langa ge universel et comme un d veloppement de m taphores conduisant ce que Jean Dieudonn a appel des transferts d intuition Critique des programmes actuels Nous avons rappel dans l introduction comment la contre r forme qui a suivi la r forme des math matiques modernes a au nom d un pr tendu retour au concret conduit vider l ensei gnement scientifique de tout caract re th orique Le refus de tout caract re th orique a contri bu non seulement occulter le caract re hypoth tico d ductif de la g om trie mais r duire ce que l on peut appeler le caract re exp rimental del g om trie quelques manipulations dont on esp rait qu elles am neraient les l ves red couvrir la g om trie conform ment au slogan devenu classique on observe on conjecture on d montre Cela a conduit la fois un appauvrissement de l enseignement et des exigences inutiles Nous nous contenterons de donner deux exemples de cette inconsistance des programmes le premier relevant d un exc s d exigence sous pr texte de modernit l autre au contraire condui sant l enseignement de la g om trie la limite du faux Mais qu importe le faux si les l ves ne s en aper oivent pas Apr s la r forme des math matiques modernes que l on peut consid rer comme une caricature de Hilbert la contre r forme peut se d finir en ce qui concerne la g om trie comme une caricature du Prog
25. les BAC ACB CBA sont respectivement gaux aux angles B A C A C B C B A Une figure n est pas un ensemble de points elle est constitu e de points de lignes et de surfaces Rappelons qu au d but du XX si cle on distinguait une droite et l ensemble de ses points 2Les uvres d Euclide o c Livre VI d finition 1 On voit ici appara tre une quivalence entre des relations de proportionnalit et des galit s d angles c est un point fondamental de la th orie de la similitude Notons que la d finition de la similitude donn e ci dessus est purement relationnelle et ne fait pas appel la notion de transformation On peut mettre cela en parall le avec la notion d ga lit si cette derni re fait appel au mouvement via la superposition elle n utilise pas la notion de transformation et les cas d galit font ressortir cet aspect relationnel Une fois d finie la similitude la question se pose de la construction effective de triangles semblables non gaux construction assur e pas une transformation simple l homoth tie Cel le ci joue ainsi un r le essentiel dans la th orie des figures semblables La mise en place de l homoth tie s appuie sur le th or me des lignes proportionnelles le th o r me de Thal s et ce th or me s appuie sur le postulat des parall les On peut ensuite d finir les similitudes comme transformations en remarquant que les asser tions suivantes sont quivalentes a la transforma
26. lles 1837 r dition Jacques Gabay Paris 1989 William K CLIFFORD the common sense of the exact sciences edited and with a preface by Karl Pearson newly edited with an introduction by James R Newman preface by Bertrand Russell Dover Publication New York 1955 Rudolf Bkouche L enseignement scientifique entre l illusion langagi re et l activisme p dagogique Rudolf Bkouche De la transposition didactique 15 Michael J CROWE History of Vector Analysis 1967 Dover Publ New York 1985 Robert DELTHEIL amp Daniel CAIRE G om trie et Compl ments Editions Jacques Gabay Paris 1989 Jean DIEUDONNE Alg bre lin aire et g om trie l mentaire Enseignement des sciences Hermann Paris 1964 Jean DIEUDONNE The universal domination of geometry International Congress of Mathe matical Education IV Berkeley 1980 Jean DIEUDONNE History of functionnal analysis North Holland Publications Amsterdam 1981 EUCLIDE Les uvres d Euclide traduites litt ralement par F Peyrard 1819 nouveau tirage augment d une importante introduction par Jean Itard Blanchard Paris 1993 G FANO S CARRUS Expos parall le du d veloppement de la g om trie synth tique et de la g om trie analytique pendant le XIX si cle in Encyclop die des Sciences math ma tiques pures et appliqu es dition fran aise r dig e et publi e d apr s l dition allemande sous la direction de Jules Molk r dition Jacq
27. logies moralisantes Nous ne reviendrons pas sur les id ologies moralisantes qui ont contri bu en mettant l instruction au second rang remettre en cause l id al de d mocratisation de l enseignement Par contre nous reviendrons sur les id ologies savantes qui via les th ories de l apprentissage et la didactique ont contribu substituer aux obstacles pist mologiques auxquels se heurte tout apprentissage ce que l on peut appeler des obstacles didactiques qui renvoient moins aux difficult s rencontr es par les l ves confront s aux savoirs qu ils tu dient qu aux difficult s rencontr es par ceux qui esp rent construire une th orie scientifique de l apprentissage On retrouve ici un probl me essentiel des sciences de l homme celui de l objectivation du ph nom ne humain Si ce n est pas ici le lieu de discuter de l pist mologie des sciences de l homme rappelons que en substituant la question des obstacles des conte nus de savoir enseign s les questions pos es par les th ories de l apprentissage ou par la di dactique on prend le risque de passer c t des difficult s rencontr es par les l ves pour fabriquer des artefacts qui peuvent s opposer l apprentissage En attendant un article ult rieur sur le sujet nous renvoyons un article ancien sur la transposition didactique Bibliographie Michelle AUDIN G om trie De la licence l agr gation Belin Paris 1999 Marcel BERGER G om t
28. n ce sens le calcul vectoriel ne se r duit pas l alg bre lin aire m me si sur le plan formel il peut n appa ra tre que comme une partie d icelle On peut noter que le terme espace vectoriel n de la ren contre du calcul vectoriel et du calcul lin aire est moins la r duction du calcul vectoriel l al g bre lin aire qu une heureuse m taphore ouvrant vers de nouvelles mani res de penser les situations lin aires d autant plus heureuse qu elle a permis un regard g om trique sur d autres domaines tels par exemple l analyse math matique ou le calcul des probabilit s Il reste dire comment le calcul lin aire et le calcul vectoriel se sont rencontr s nous nous contenterons dans le cadre de cet article de citer deux ouvrages Calcolo Geometrico de Giu seppe Peano et Space Time Matter de Hermann Weyl dans lequel on peut lire d une part une d finition g n rale des espaces vectoriels appel s espaces lin aires par Peano et d autre part comment la g om trie se construit dans ce contexte Modernit de la g om trie l mentaire Dans l un de ses ouvrages le philosophe Leszek Kolakowski crivait Il est plus ais de suivre dans l histoire les sauts accomplis dans les sciences empiriques et dans les humanit s que de r pondre la toute simple question comment se fait il que Galil e et Newton ont laiss sur le carreau d un massacre pist mologique la physique aristot li cienne alors que les d monstr
29. nde autant dire que l intelligibilit du monde est essentiellement une affaire humaine la possibilit de r soudre des probl mes en s appuyant sur des constructions th oriques pouvant tre consid r e comme un crit re de validit de ces constructions Rudolf Bkouche L enseignement scientifique entre l illusion langagi re et l activisme p dagogique Rudolf Bkouche Du caract re exp rimental des math matiques propos des laboratoires de math matiques Nous avons dit ailleurs en quoi cette volont de coh rence mettant en avant une progression purement logique au d triment de toute progression p dagogique constituait une erreur Cf Rudolf Bkouche La place de la g o m trie dans l enseignement des math matiques en France de la r forme de 1902 la r forme des math matiques modernes C est pourquoi nous proposons de revenir ces deux probl matiques mises en place dans les El ments d Euclide en y ajoutant les trois principes mis en avant lors de la r forme de 1902 savoir la fusion consistant ne plus s parer g om trie plane et g om trie dans l espace l in troduction explicite du mouvement et le caract re exp rimental de la g om trie Mais c t de cet aspect de la g om trie l mentaire qui la relie aux sciences physiques il faut ajouter le r le que joue la g om trie comme cl d entr e dans la science contemporaine via ce que l on peut appeler la g om trisation celle ci apparaissant
30. nt Dans la pr face de l ouvrage Alg bre lin aire et g om trie l mentaire cit ci dessus Dieu donn explique que l alg bre lin aire est devenue la voie royale pour tudier l g om trie l mentaire mais la question est moins celle d une voie royale qui s est mise en place la fin du XIX si cle que celle de comprendre en quoi l alg bre linaire constitue une voie royale autrement dit de savoir transformer un probl me de g om trie un probl me d alg bre lin ai re Il nous faut pour cela revenir sur les deux grands moments de cette lin arisation que sont la g om trie analytique d abord et le calcul vectoriel ensuite La g om trie dite analytique peut tre d finie comme une mise en calcul de la g om trie l mentaire c est ainsi qu elle appara t dans les textes fondateurs de Descartes et de Fermat Si pour ces derniers ce calcul porte sur les longueurs le d veloppement des m thodes analyti ques sera marqu par la num risation des coordonn es et conduira une opposition entre les m thodes analytiques et les m thodes dites synth tiques On peut lire cette opposition dans un article de Fano Carrus publi dans l Encyclop die des Sciences Math matiques Nous pouvons tout d abord concevoir la g om trie comme une science autonome n e de consid rations d espace Elle se sert de notions fondamentales point ligne droite etc et s appuie sur une s rie de propositions ou postulats
31. onstruire son propre rapport au monde et celui ci ne rel ve pas de la seule modernit ainsi la g om trie l mentaire dans la mesure o elle d finit le rapport aux objets de l espace est toujours actuelle la fois dans son contenu et dans ses m thodes m me si au long de l his toire contenus et m thodes se sont transform s On pourrait ajouter que c est via les deux pro bl matiques originelles que l on peut comprendre ces transformations Cela nous conduit d finir trois objectifs de l enseignement de la g om trie l mentaire d abord l tude des corps solides du point de vue de la grandeur et de la forme tude qui cons titue le socle de la connaissance g om trique ensuite l tude des relations de la g om trie l mentaire avec d autres domaines de la connaissance ainsi l astronomie la g od sie ou la m canique enfin la g om trisation c est dire l intervention de la g om trie comme langage universel et comme m taphore dans divers domaines de la connaissance soit l int rieur des math matiques comme l usage de la notion d espace en analyse ou en calcul des probabilit s soit dans les divers domaines de la physique Il faut alors remarquer que la g om trisation ne peut tre comprise et ainsi fournir de nouvelles formes d intuition que si on conna t la g om trie l mentaire Sans cette connaissance on ne peut appr hender ce que Dieudonn appelle la domination universelle de la g om trie q
32. ramme d Erlangen de Felix Klein On sait depuis le Programme d Erlan gen que la g om trie est l tude de l action d un groupe de transformations op rant sur un ensemble et des propri t s invariantes par cette action Il fallait donc construire l enseigne ment de la g om trie autour de la notion de transformation donc trouver des transformations convenables pour laborer un programme d enseignement de l vient la progression invent e pas les programmes Chev nement de 1986 sym trie axiale en sixi me sym trie centrale en cinqui me ensuite les translations et les rotations Cette progression pr sente deux inconv nients d abord les transformations ainsi d finies ne transforment pas les objets sur lesquels elles op rent ensuite elles sont en ce qui concerne les translations et les rotations le r sultat d un mouvement ce qui exige de distinguer mouvement et transformation distinction qui ne va pas de soi et que l on ne saurait exiger d un l ve de coll ge A nsi au nom de la modernit et du concret r unis on introduit une notion difficile et ce pour viter les classiques cas d galit des triangles renvoy s dans les poubelles de l histoire de la g om trie Il est vrai que les cas d galit sous le nom de cas d isom trie ont t r introduits en seconde c est dire bien tard alors qu une progression coh rente e t t de parler de cas d galit des triangles au coll ge et d aborder la quest
33. re la n cessit d noncer des crit res pour que deux corps soient super posables c est dire des conditions qui assureront que deux objets sont superposables sans qu il soit besoin de r aliser mat riellement l op ration On peut voir dans l explicitation de telles conditions le d but de la g om trie rationnelle Parmi ces crit res les classiques cas d galit des triangles C est en cela qu ils ont leur place au d but de l enseignement de la g om trie l mentaire Les cas d galit ont un double r le D une part en liminant tout recours au mouvement ils permettent la mise en place d un discours d barrass de tout empirisme D autre part ils mon trent que si la superposition de deux triangles impliquent six galit s galit des c t s et ga lit des angles il suffit de trois d entre elles convenablement choisies pour assurer les trois autres galit s et la superposition Les critiques des promoteurs de la r forme des math matiques modernes l encontre de la g om trie l mentaire portaient sur le manque de rigueur des d monstrations des cas d galit des triangles en particulier l appel au mouvement C tait oublier que si l usage de la super position intervient effectivement dans la d monstration de la proposition 4 du livre I des El ments d Euclide le premier cas d galit des triangles c est justement pour permettre de se passer ensuite de tout usage de la superposition Par contre on pe
34. rie 5 volumes CEDIC Nathan Paris 1977 Rudolf BKOUCHE L enseignement scientifique entre l illusion langagi re et l activisme p da gogique Rep res IREM n 9 octobre 1992 p 5 12 Rudolf BKOUCHE La place de la g om trie dans l enseignement des math matiques en Fran ce de la r forme de 1902 la r forme des math matiques modernes in Les Sciences au Ly c e sous la direction de Bruno Belhoste H l ne Gispert et Nicole Hulin Vuibert Paris 1996 Rudolf BKOUCHE Quelques remarques propos de l enseignement de la g om trie Rep res IREM n 26 janvier 1997 p 49 71 Rudolf BKOUCHE De la transposition didactique Didactiques n 4 IREM de Lorraine Rudolf BKOUCHE La g om trie l mentaire une science physique in Enseigner la G om trie dans le Secondaire Commission Inter IREM G om trie Li ge 2003 IREM de Reims 2004 Rudolf BKOUCHE Du caract re exp rimental des math matiques propos des laboratoires de math matiques Rep res IREM n 70 janvier 2008 p 33 76 Nicolas BOURBAKI Alg bre chapitre IX Formes sesquilin aires et formes quadratiques Hermann Paris Nicolas BOURBAKI El ments d Histoire des Math matiques nouvelle dition augment e Hermann Paris 1974 Raoul BRICARD Cin matique et M canismes cinqui me dition Collection Armand Colin Armand Colin Paris 1947 Michel CHASLES Aper u historique sur l origine et le d veloppement des m thodes en g o m trie Bruxe
35. tion f conserve l alignement et le rapport de segments b la transformation f conserve l alignement et les angles On peut alors d finir une similitude comme une transformation qui satisfait les propri t s a et b et tudier les groupe des similitudes Transformations et invariants Avec le Programme d Erlangen Felix Klein a syst matis les relations entre g om trie th o rie des groupes et th orie des invariants La relation entre transformations et invariants est ancienne et on peut en trouver l une des premi res formulations dans le Brouillon Project d une atteinte aux v nemens des ren contres du c ne avec un plan de Desargues 4 Notons que la notion d invariant devenue au jourd hui une notion fondamentale n est devenue explicite que lorsque l on a mis en vidence des invariants non triviaux Dire que le mouvement conserve les longueurs est une banalit qui ne prend sa pleine signifi cation que dans un contexte plus large plus int ressant est de remarquer que la transforma tion de similitude conserve les rapports de longueurs et les angles Mais la notion d invariant prend son importance dans les transformations qui transforment c est dire qui modifient la forme Parmi les transformations qui transforment la perspective a jou un r le important comme le montrent les travaux de Desargues et de ses disciples C est en remarquant que la perspective peut changer familles de droites parall les et familles de droites
36. ucture on a oppos des activit s tout va cet acti visme p dagogique tant renforc par un usage irraisonn de l informatique celle ci se r dui sant un simple gadget Cet activisme p dagogique s est d velopp au d triment de toute structuration du savoir occultant ainsi le caract re hypoth tico d ductif des math matiques et s appuyant sur une interpr tation quelque peu simpliste de ce que l on peut appeler le caract re exp rimental des math matiques La g om trie l mentaire est n e de deux grandes probl matiques d une part la probl mati que de l galit d autre part la probl matique de la forme Ces probl matiques fondatrices ont t oubli es avec la r forme des math matiques modernes Si l oubli de ces probl matiques avait une certaine coh rence lors de la r forme dans la mesure o celle ci mettait en avant l aspect structural des math matiques la contre r forme au nom d une modernit mal com prise n a pas os revenir ces probl matiques se r fugiant dans l tude de quelques situations dites concr tes lesquelles selon la vulgate constructiviste devraient permettre aux l ves de reconstruire le savoir g om trique Comme nous l avons d j dit la fascination devant l in formatique ne pouvait que renforcer cette tendance Nous n aborderons pas la question de savoir si le monde est intelligible ou non La question est moins celle du monde que celle du rapport de l homme au mo
37. ue comme un simple jeu de langage Lorsque Bourbaki crit dans le chapitre sur l histoire de la g om trie l mentaire D pass e en tant que science autonome et vivante la g om trie classique s est ainsi transfi gur e en un langage universel de la math matique contemporaine d une souplesse et d une commodit incomparables il oublie de dire qu il y a plus qu un langage au sens que ce langage est cr ateur d intuition et que c est cela qui fait sa richesse Nous pourrions citer comme exemple l article de Riemann Sur les hypoth ses qui servent de fondement la g om trie que l on peut lire comme un largissement de l intuition spatiale ou encore la vision g om trique des espaces de fonctions de l analyse fonctionnelle moderne Mais ce n est pas ici le lieu de d velopper la g om trisa tion encore que certains aspects de cette g om trisation puissent tre tudi s d s le coll ge Quelques remarques didactiques L objectif de ce texte n est pas d crire un programme d enseignement de la g om trie pour l enseignement secondaire mais d expliciter quelques l ments pour laborer un tel program me Un tel programme doit reprendre les trois objectifs d finis ci dessus Rudolf Bkouche Quelques remarques propos de l enseignement de la g om trie Lorsque nous parlons de modernit nous prenons ce terme dans son sens chronologique d barrassant l usage de ce terme de ses oripeaux id ologiques
38. ues Gabay Paris 1991 tome III premier volu me p 185 259 Jacques HADAMARD Le ons de g om trie l mentaire 2 volumes Armand Colin Paris 1898 plusieurs r ditions David HILBERT Les principes fondamentaux de la g om trie traduit pas A Laugel Annales ENS 3 s rie tome 17 1900 p 103 129 Jules HOU L Essai critique sur les principes fondamentaux de la g om trie l mentaire Gau thier Villars Paris 1867 Felix KLEIN Le Programme d Erlangen consid rations comparatives sur les recherches g o m triques modernes 1872 traduction de M H Pad pr face de J Dieudonn postface du P Fran ois Russo s j Collection Discours de la M thode Gauthier Villars Paris 1974 Leszek KOLAKOWSKI Horreur m taphysique traduit de l anglais par Michel Barat Payot Paris 1989 Adrien Marie LEGENDRE El ments de G om trie douzi me dition Firmin Didot Paris 1823 G W LEIBNIZ La caract ristique g om trique 1677 1685 Texte tabli introduit et annot par Javier Echeverria traduit annot et postfac par Marc Parmentier Collection Mathesis Vrin Paris 1995 Giuseppe PEANO Calcolo Geometrico secondo l Ausdehnunglehrer di H Grassmann Fra telli Bocca Editori Torino 1888 Louis POINSOT Une nouvelle th orie de la rotation des corps Journal de Math matiques pures et appliqu es tome XVI 1851 p 9 72 73 129 289 336 Jean Victor PONCELET Trait des Propri t s Projectives des Figures
39. ut reprocher cette d mons tration d utiliser implicitement une r ciproque du principe de superposition en ce qui concerne l galit des segments et des angles C est pour viter ces difficult s que Hilbert a nonc les axiomes de congruence qui rempla cent le recours au mouvement Hilbert d finit d abord la relation de congruence entre segments ce qui le conduit noncer l axiome IV 1 Si l on d signe par B deux points d une droite a et par A un point de cette m me droite ou bien d une autre droite a l on pourra toujours sur la droite a d un c t donn du point trouver UN POINT ET UN SEUL B tel que le segment AB soit congruent au seg ment A B ce que l on crit AB A B Tout segment est congruent lui m me Le segment AB est toujours congruent au segment BA Sur le r le du mouvement en g om trie nous renvoyons l ouvrage de Hou l cit dans la bibliographie David Hilbert Les principes fondamentaux de la g om trie traduit par A Laugel Annales ENS 3 s rie tome 17 1900 p 103 129 L axiome IV 2 exprime que la relation de congruence est une relation d quivalence Hilbert d fini de m me la relation de congruence entre les angles IV 6 Dans deux triangles ABC et A B C si les congruences AB A B AC A C 4BAC ZB A C sont v rifi es les congruences ZABC ZA B C et ZACB ZA C B le seront galement On peut alors d montrer le premier cas d galit
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