Dérivons en vitesse
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1. MM2 droite MM1 tangente en M la courbe D droite passant par M et de coefficient directeur g xm IV D rivabilit D rivons en vitesse 4 2 Utilisation On peut tout moment changer de fonction Le point M se d place sur la courbe quand on d place le point m Le segment ab se d place On peut d placer m sur le avec le point m en restant segment ab Il entra ne horizontal avec lui m M et M On peut agir sur t donc sur M et sur A donc sur M et M l aide des poign es m et m L imagiciel peut faire appara tre les valeurs de f t et au choix celles de V t h et W t h ou celles de P t h et M t h Le dessin se modifie instantan ment lorsqu on d finit une nouvelle fonction et sa d riv e On peut zoomer sur M IV D rivabilit D rivons en vitesse 5 JE NOTE TECHNIQUE SUR L UTILISATION DE Derive Pour calculer rapidement les valeurs approch es obtenues en utilisant l une ou l autre des formules on peut utiliser un logiciel de calcul formel Avec DERIVE cela donne etc Entrer une fonction blanc pour initialiser la variable F F t D finir le nombre d riv de la fonction F en On utilise la d finition du nombre d riv en un point DERIVE n acceptant pas f comme nom de fonction on appelle cette fonction DF DF t im Eto TO On utilise ici e pour viter tout conflit2. ab voir dessin page suivante et le point M de la courbe L abscisse de m ym ordonn e de m rep re Roxy repr sente la variable du probl me xm abscisse de m rep re Roxy Cr er une constante d finissant la demi longueur du segment ab Cette constante repr sente la variation maximale de la variable h utilis e dans le probl me Cr er le segment ab a point de coordonn es xm d ym b point de coordonn es xm d ym Segment ab Cr er un point libre sur le segment ab et son m2 point libre sur le segment ab sym trique par rapport m Ce point est la deuxi me poign e qui d finit le nombre h du probl me diff rence entre l abscisse de ce Sme point et l abscisse de m xml xm h m1 point de coordonn es xm1 ym xm2 abscisse de m2 D finir la fonction f loi horaire du 1 Ariy f fonction t gt mouvement sa d riv e et leurs courbes T repr sentatives 1 g fonction t gt t C1 courbe d finie par Y f T T d crivant xm d xm d 300 points rep re Roxy C2 courbe d finie par Y g T T d crivant xm d xm d 300 points rep re Roxy 7 Placer les points M instant M point de coordonn es xm f xm M instant h M instant r h sur la courbe repr sentant f M1 point de coordonn es xm1 f xml M2 point de coordonn es xm2 f xm2 8 Tracer les droites MM MM MM et la Droite M1M2 droite
3. D RIVONS EN VITESSE Objectif Comparer deux approximations du nombre d riv d une fonction num rique en un point l une issue de la d finition math matique usuelle l autre utilis e par les calculatrices Outils Nombre d riv et interpr tation graphique Cette s quence a t publi e dans la brochure Espace modules Math matiques premi re S CRDP d Aquitaine 1996 Go h fo h 2h valeurs approch es du nombre d riv de la fonction f en t Le deuxi me qui semble donner une meilleure approximation que le premier est utilis par les calculatrices On se propose ici de comparer ces nombres et d tudier la l gitimit de ces approximations Fo h fo h Lorsque h est assez petit les nombres et sont des om E Un point M se d place sur une droite Sa position l instant est caract ris e par son abscisse dans le rep re O I x f t o f est une fonction d rivable en t Par d finition on appelle vitesse instantan e de M l instant r le nombre d riv de f en r f to Dans la pratique on utilise deux valeurs approch es de cette vitesse fto h fto h 2h Fo h fo h Vo h pour h assez petit W to h pour h assez petit On se propose de comparer ces deux approximations cet effet on introduit les nombres p t h V t h f t etu t h W t h f t j REMARQUE V t h est le coefficient directeur de
4. ant h4 gt 0 eth lt 0 o 10 lt h lt 10 b Donner les valeurs exactes de V 1 10 V 1 10 W 1 10 etW 1 10 c Peut on utiliser ces r sultats pour mettre des conjectures sur la vitesse de la balle l instant t 1 fa h fA h 2 a Montrer que admet une limite lorsque h tend vers z ro par valeurs n gatives et lorsque h tend vers z ro par valeurs positives Ces limites sont respectivement appel es nombre d riv de f gauche en 1 et nombre d riv de f droite en 1 On les note f 1 et f 1 La fonction f est elle d rivable en 1 b Calculer UNORE AO Que constate t on 3 Plus g n ralement soit une fonction num rique f de la variable r elle r d finie sur un intervalle ouvert I admettant en un point r de l intervalle I un nombre d riv gauche f t et un nombre d riv droite f t D montrer que V t h a pour limite Si Go F lorsque tend vers z ro IV D rivabilit D rivons en vitesse 3 DOCUMENT PROFESSEUR NOTE TECHNIQUE SUR L UTILISATION DE G oplan 1 Cr ation de l imagiciel L imagiciel a t cr avec G OPLAN POUR WINDOWS Charger ou ex cuter suivant configuration le fichier G oplan Voici la liste des objets construire et des actions effectuer pour cr er cet imagjiciel Objets cr er 2 D finir un point libre m et ses coordonn es m m point libre est la poign e qui permettra de d placer le segment
5. it Les deux approximations du nombre d riv de f en t supposent videmment la d rivabilit de f enr pass e peut tre inaper ue Soit f t r La fonction f est elle d rivable en z ro Calculer V 0 h et W 0 h Donner les valeurs exactes de V 0 10 et de W 0 10 Conciure D La machine dicte sa loi De nombreuses calculatrices donnent le nombre d riv d une fonction en un point f mais elles affichent en fait la valeur de V t h pour h tr s petit Selon les calculatrices le param tre h peut ou doit tre d fini par l utilisateur voir mode d emploi IV D rivabilit D rivons en vitesse 2 Remplir le tableau ci contre en indiquant le nombre d riv de la fonction f en t affich par la calculatrice Certaines r ponses sont aberrantes Pourquoi E Sujet d tude l instant z 0 on l che une balle sans vitesse initiale d une hauteur de 5 m On suppose que durant sa chute la distance f t entre la balle et le sol est d finie par f t 5f 5 que la balle touche le sol l instant 1 puis rebondit On suppose alors que entre le premier et le second rebond l instant 2 5 la distance entre la balle et le sol est d finie par f t 5f 17 5t 12 5 f 5 5 si0 lt 1 lt 1 En r sum 3 fE 5t 17 5t 12 5 sil lt t lt 2 5 1 l instant rs 1 on consid re va mn 10 ETC et wan F0 IO a Calculer V 1 h et W 1 h en distingu
6. la droite M M W t h est le coefficient directeur de la droite MM IV D rivabilit D rivons en vitesse 1 A L gitimit de l approximation de f to par V to h Soit f une fonction d rivable en t et f t le nombre d riv de f en ce point 1 D montrer que Jim II H f t 2 V rifier que V t h ew fwa et en d duire lim V 5h f to B Comparaison des approximations dans des cas particuliers 1 Mouvement uniforme f t at b a 0 a Calculer f t V t h W t h b Calculer t h etu t h Expliquer g om triquement ces r sultats c Conclure 2 Mouvement uniform ment acc l r f t at bt c az 0 a Calculer F t V tK h W t h b Calculer t h etu t h Expliquer g om triquement ces r sultats c Conciure 3 Mouvement de loi horaire fo r a Calculerf t V tK h W t h b Calculer t h etu t h c On se place l instant 4 1 expliciter 1 h etu 1 h 2 2e 1 h D montrer que pour tout h l ment de 0 1 0 1 ona ES lt 1 Conclure f 1 4 Mouvement de loi horaire FO sur l intervalle 0 a Calculer ft V t h W t h f P to h b Calculer t h u t h et c D terminer un nombre r el strictement positif s tel que pour tout nombre r el h l ment de P to h l intervalle e e ona lt 1 Conclure U t h C R le de l hypoth se de d rivabil
7. ult rieur avec l emploi de h DF t LIM F t te F t e e 0 F t h F t h 2h D finir la fonction V V t h V t h F t h F t h 2 h D finir la fonction W W t h Ferh ro W t h F t h F t h D finir une fonction R permettant d obtenir la valeur du nombre d riv puis les valeurs approch es obtenues par V et par W R t h f DE x V 2 V x h W W x h Entrer la fonction F F t a t b Formuler la requ te R t h Simplifier ce r sultat touche S On obtient alors L E ai y7 re W ral Entrer une nouvelle fonction F F t a t 2 b t c Sur la TI92 on peut formuler les requ tes de mani re semblable IV D rivabilit D rivons en vitesse 6
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