Le calcul : du calcul numérique au calcul littéral
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1. Etre en mesure de pr voir un ordre de grandeur Contr ler les r sultats d un calcul crit ou avec la calculatrice a posteriori Travailler sur les diff rentes critures d un nombre enrichir la vision des nombres en construisant des repr sentations mentales adapt es au calcul propos par exemple 2 0 5 0 25 20 1 5 0 20 Enrichir ainsi le catalogue des images mentales des nombres Faciliter la m morisation d un r pertoire de r sultats et entretenir des automatismes op ratoires pour lib rer la pens e qui est alors disponible pour d autres t ches Travailler sur la num ration pour une somme ajouter les dizaines puis les unit s Contribuer l appropriation des propri t s calculatoires et participer la ma trise du calcul litt ral la distributivit en 5 a d j t rencontr e lors du calcul d un produit par 19 ou par 51 de m me les r gles avec les puissances 30 et ab M moriser un r pertoire de formes par exemple les identit s remarquables en cours d apprentissage les l ves se trouvent oblig s d apprendre faire en une tape au lieu de d velopper pas pas Cette m morisation all ge la charge de travail lors d exercices plus complexes comprenant ces calculs l mentaires Multiplier les rencontres avec les exercices erreurs 22et 2 la r solution de 2 x 0 C est l occasion d une reprise de revoir avec les l ves peut tre avec de nouveaux outils2. la machine En particulier le calcul mental permet la consolidation de connaissances dont celle des tables de multiplication ainsi que le contr le de l utilisation de la calculatrice en d terminant l ordre de grandeur du r sultat Deuxi me partie Calculatrices Les nouveaux programmes propos s pour le coll ge font appara tre la n cessit d un travail avec des calculatrices tout en veillant ce que chacun acqui re des connaissances suffisantes en calcul crit et mental La calculatrice est un objet courant et une utilisation optimale n cessite un apprentissage sur plusieurs points notamment le contr le des ordres de grandeur le contr le des ordres de grandeur et de la vraisemblance des r sultats peut se faire l aide du calcul mental Contenus pour la classe de troisi me B Travaux num riques La pratique du calcul num rique exact ou approch sous diff rentes formes compl mentaires calcul mental calcul la main calcul la machine ou avec un ordinateur a les m mes objectifs que dans les classes ant rieures ma trise des r gles op ratoires de base acquisition de savoir faire dans la comparaison des nombres r flexion et initiative dans le choix de l criture appropri e d un nombre selon la situation Contenus Comp tences exigibles Commentaires 4 Nombres entiers et rationnels Fractions irr ductibles see SEES Fe Simplifier une fract
3. L volution technologique perturbe les quilibres traditionnels du calcul dans l enseignement et une r flexion doit tre engag e Sans r elle int gration dans le cours de math matiques les l ves ma trisent tr s peu ces objets et dans ces conditions leur usage ne sert ni le d veloppement du calcul ni l articulation entre calcul et raisonnement L apprentissage de leur utilisation ne peut tre enti rement laiss la charge de l l ve Il semble n cessaire que les l ves disposent d un mode d emploi sp cifique au mod le de leur calculatrice et r dig en fonction des programmes du coll ge celui du fabricant est bien souvent inaccessible aux l ves ou au moins difficile utiliser Des exercices d entra nement doivent galement tre propos s et les comp tences acquises se doivent d tre valu es Tout apprentissage a un co t et les l ves n y consentiront que s ils en voient le gain L int r t de son utilisation appara t lors de certaines activit s elle permet entre autres de Lib rer de la charge du calcul la recherche d un probl me Valoriser des recherches par essais et erreurs L instrumentation du calcul va permettre certains d acc der un travail math matique qui serait impossible sans cette assistance Utiliser les performances de la calculatrice pour donner du sens des notions au programme les priorit s op ratoires Si l utilisation de la calculatrice doit tre d ve
4. le raisonnement conduire Formuler oralement peut favoriser la compr hension par exemple deux tiers plus cinq tiers Exiger une lecture et une coute rigoureuse le carr de la somme de a et b ou a plus b au carr Effectuer un calcul r fl chi II demande d abord l vocation rapide de proc dures souvent multiples puis l estimation de leur pertinence en fonction des nombres propos s et enfin de choisir et d ex cuter Du calcul mental au calcul crit La correction d un calcul mental peut se faire par passage l crit L crit peut rendre compte de l organisation mentale du calcul Tr s souvent les l ves pensent qu une seule proc dure est bonne c est l occasion lors de la correction de montrer les diff rentes possibilit s L crit vient au secours de la m moire pour l l ve qui veut s entra ner ou retrouver une proc dure Le calcul pos Mis en place l cole primaire il se doit d tre entretenu au coll ge Souvent les professeurs par manque de temps r duction horaire entre autres le d laissent Cependant de nombreux exemples montrent qu il contribue lui aussi au raisonnement Int r ts du calcul pos Entretenir le sens de la position des chiffres dans l criture des nombres Travailler le sens avant d installer un automatisme ou reprendre leur justification Le calcul instrument Utilise ou ne pas utiliser les instruments de calcul est une question qui ne se pose pas
5. troncature d veloppement naturel dans le calcul mental et dans grandeur d un r sultat Proposer des ordres de grandeur de Pusage des calculatrices On apprendra notamment deux nombres et les utiliser pour pr voir et contr ler des calculs la machine par donner un ordre de grandeur de leur des calculs mentaux approch s somme et ventuellement pour contr ler un calcul sur machine Accompagnement du programme de 6 I Conception g n rale de l enseignement E Place des calculatrices et de l informatique 1 Calculatrices On mettra donc en place des situations qui n cessitent un contr le notamment au niveau de l ordre de grandeur qui rendent commode l utilisation de la m moire et des op rateurs constants qui conduisent calculer mentalement Dans ce contexte le calcul mental portant sur les nombres inf rieurs 100 reste une n cessit On visera en particulier la ma trise des tables de multiplication de l addition des petits nombres et des relations arithm tiques entre les nombres notamment les multiples de 2 3 4 5 10 12 15 par exemple 60 c est 3 x 20 ou 4 x 15 ou 6 x 10 ou 5 x 12 etc V Activit s num riques A Calcul mental et ordre de grandeur Les activit s d estimation et de recherche d un ordre de grandeur sont fondamentales Elles prennent de plus en plus d importance avec l utilisation de calculatrices Elles sont associ es au
6. de tous les modes de calcul doit tre assur tout au long du coll ge tant ils sont compl mentaires les un des autres et accompagnent la mise en place du calcul litt ral Introduction pour le coll ge 1996 Introduction pour la classe de sixi me II Organisation de l enseignement D Le travail effectu permet aussi l l ve d acqu rir et de parfaire l usage d instruments de mesure et de dessin de d velopper le calcul mental et l utilisation rationnelle des calculatrices de poche de s initier tr s progressivement au raisonnement d ductif Contenus pour la classe de sixi me 2 Travaux num riques Les travaux num riques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approch sous diff rentes formes le calcul mental le calcul la main dans le cas de nombres courants et d op rations techniquement simples l emploi d une calculatrice Contenu Comp tences exigibles Commentaires 2 1 Nombres entiers et d cimaux criture et op rations e Techniques op ratoires n q p Addition soustraction et multiplication savoir effectuer ces op rations sous les trois formes de calcul mental la main la calculatrice dans des situations n exigeant pas de virtuosit technique e Proc d s de calcul approch Prendre l arrondi l unit ou la Les proc d s de calcul approch trouveront un troncature et arrondi ordre de x gt
7. regard critique qu il est n cessaire de porter sur tout calcul Anticiper la taille d un r sultat par une estimation et se poser chaque fois la question de la vraisemblance des r sultats obtenus doivent devenir des pr occupations constantes pour les l ves La r solution de probl mes num riques et plus tard le calcul alg brique supposent une bonne ma trise des relations arithm tiques entre les nombres inf rieurs 100 Le professeur entretiendra donc les acquis de l cole l mentaire et conduira de nombreuses activit s de calcul mental pour am liorer les performances des l ves dans ce domaine Introduction pour le cycle central Contenus pour la classe de cinqui me B Travaux num riques Les travaux num riques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approch sous diff rentes formes souvent compl mentaires le calcul mental le calcul la main dans le cas de nombres courants et d op rations techniquement simples l emploi d une calculatrice Contenus Comp tences exigibles Commentaires 1 Encha nement d op rations sur les nombres entiers et d cimaux positifs Conventions de priorit s entre Se Organiser pour l effectuer op rations mentalement avec papier crayon ou la calculatrice une succession d op rations au vu d une criture donn e de la forme Re AL a b c c b c c 2 2 Nombres en criture fractionna
8. Le calcul du calcul num rique au calcul litt ral Le calcul est souvent oppos au raisonnement il renvoie une activit m canique et son apprentissage renvoie l id e d entra nement purement r p titif Avec les nouveaux instruments il ne resterait plus rien apprendre Le raisonnement est associ la r solution de probl mes et la d monstration Si l on interroge des professeurs sur la fonction de l alg bre au coll ge rarement la fonction d outil de d monstration est voqu e Il y a donc lutter contre cette vision r ductrice du calcul Le calcul s effectue sous diff rentes formes Le calcul mental Actuellement sa pratique est obligatoire l cole primaire et si elle est maintenue en 6 elle tend dispara tre au fil des ans Cependant elle a toute sa place tous les niveaux du coll ge et jusqu au lyc e Modalit s La question est pos e soit oralement soit par crit Le temps de recherche est limit et l l ve n a qu une r ponse crire parfois m me seulement vrai ou faux Des s quences d une dizaine de questions sont propos es en tant qu valuation diagnostique ou formatrice ou sommative Une s quence ne dure qu une quinzaine de minutes correction comprise Cette pratique se d roule avec la participation de tous les l ves et remporte l adh sion de tous quelle que soit par ailleurs leurs performances Comp tences d velopp es par le calcul mental
9. ement utilis es acquisition de savoir faire dans la comparaison des nombres r flexion et initiative dans le choix de l criture appropri e d un nombre suivant la situation Contenus Comp tences Exemples d activit s commentaires 2 1 Nombres entiers et rationnels e Fractions irr ductibles Simplifier une fraction donn e La connaissance de relations arithm tiques entre pour la rendre irr ductible nombres que la pratique du calcul mental a permis de d velopper permet d identifier des diviseurs communs au num rateur et au d nominateur 2 3 Ecritures litt rales e Puissances ic pe EE eee v Conna tre dans le cas g n ral et La m morisation de ces galit s est favoris e par utiliser sur des exemples les Pentra nement leur utilisation en calcul mental galit s a x a A ann a fa a a m n a mn ab a b a b a b o a et b sont des nombres non nuls et m et n des entiers relatifs
10. ion donn e pour Depuis la classe de cinqui me les l ves ont pris la rendre irr ductible Phabitude de simplifier les critures fractionnaires la factorisation du num rateur et du d nominateur se fait gr ce aux crit res de divisibilit et la pratique du calcul mental Accompagnement du programme de 3 B Calcul num rique Il convient ici de souligner que dans toutes les activit s la pratique du calcul mental doit tre pr dominante Ainsi pour 2 23 SK passer de la forme 3 7 la forme Pi les l ves devraient tre capables de fournir la r ponse directement sans passer par la 3 ann E A k forme i pour exprimer le nombre 3 et sans crire explicitement les deux fractions avec le m me d nominateur De la m me fa on la r duction d une criture comme 48 doit pouvoir tre r alis e rapidement en une ou deux tapes sans recourir des d compositions explicites de 36 et 48 en facteurs premiers ni un algorithme pour calculer le PGCD de deux nombres ue p Ka a 3 Putilisation consciente de la seule galit kb 7 ventuellement plusieurs fois est suffisante Introduction pour le coll ge 2005 H Organisation des contenus B Nombres et calcul poursuivre l apprentissage du calcul sous toutes ses formes mental pos instrument Introduction pour la classe de sixi me Le programme de la classe de sixi me a pour objectifs princi
11. ire Multiplication Toutes les activit s num riques fourniront des occasions de pratiquer le calcul mental et d utiliser Comparer deux nombres en une calculatrice Plusieurs objectifs sont vis s en criture fractionnaire dans le cas o particulier d velopper la capacit les d nominateurs sont les m mes et pr voir les ordres de grandeur dans le cas o le d nominateur de op rer en conservant l criture fractionnaire Pun est un multiple du utiliser le vocabulaire appropri terme facteur d nominateur de l autre num rateur d nominateur contr ler des r sultats par des calculs mentaux approch s Contenus pour la classe de quatri me B Travaux num riques La pratique du calcul exact ou approch sous diff rentes formes compl mentaires calcul mental calcul la main calcul la machine ou avec un ordinateur a pour objectifs la ma trise des r gles op ratoires de base acquisition de savoir faire dans la comparaison des nombres la r flexion et l initiative dans le choix de l criture appropri e d un nombre selon la situation Contenus Comp tences exigibles Commentaires Accompagnement des programmes du cycle central Premi re partie Nombres et calcul num rique Les commentaires du programme insistent sur le maintien tout au long du coll ge de l entra nement la pratique des diverses op rations la main mentalement et
12. lopp e elle doit s accompagner d une tude critique elle a en effet des limites Un autre objet pour instrumenter le calcul le tableur Puissant outil de calcul son utilisation en classe avec un vid o projecteur d s la classe de 6 ou en salle d informatique va permettre de r soudre de nouveaux probl mes ou de montrer des calculs non envisageables autrement Tout comme la calculatrice il peut permettre d mettre des conjectures et par la suite motiver la d monstration d une formule La mise en place dans le tableur des formules est un premier pas vers l criture litt rale tape qui pr c de le calcul litt ral Calcul exact ou calcul approch Le calcul approch n a pas tre pr sent comme ce quoi on est r duit quand on ne peut faire le calcul exact Ces deux calculs ne sont pas mettre en opposition et de plus il n y a pas de hi rarchie tablir entre les deux Le travail sur l alg bre met l accent sur le calcul exact alors que les exercices avec les puissances de 10 par exemple avec la physique vont valoriser le calcul approch Ils peuvent tre du calcul mental ou crit ou m me instrument c est le type de probl me pos qui permet de d finir le calcul le mieux appropri Renforcer les rapports avec calcul et raisonnement d velopper l intelligence du calcul sont des objectifs qui ne peuvent tre atteints qu avec un minimum de m morisations et d automatismes Un usage r fl chi
13. nelle des calculatrices Contenus pour la classe de cinqui me 2 Nombres et calculs Toutes les activit s num riques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approch sous toutes ses formes utilis es en interaction calcul mental automatis ou r fl chi calcul pos emploi d une calculatrice A travers ces activit s plusieurs objectifs sont vis s en particulier ceux qui contribuent au d veloppement des capacit s e contr ler ou anticiper des r sultats par des calculs mentaux approch s L entretien et le d veloppement des comp tences en calcul mental sont indispensables ces comp tences tant n cessaires dans de nombreux domaines Contenus Comp tences Exemples d activit s commentaires 2 1 Nombres entiers et d cimaux positifs calcul divisibilit sur les entiers e Encha nement d op rations Effectuer une succession d op rations donn es sous diverses formes par calcul mental pos ou instrument uniquement sur des exemples num riques 2 2 Nombres positifs en criture fractionnaire sens et calculs e Comparaison Comparer deux nombres en criture fractionnaire dans le cas o les d nominateurs sont les m mes et dans le cas o le d nominateur de l un est un multiple du d nominateur de l autre Diff rentes proc dures sont mises en uvre dans le cas o le d nominateur et le num rateur sont diff ren
14. paux e dans la partie nombres et calculs de d velopper le calcul mental et l utilisation rationnelle des calculatrices Contenus pour la classe de sixi me 2 Nombres et calculs Les travaux num riques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approch sous ses diff rentes formes souvent utilis es en interaction calcul mental automatis ou r fl chi calcul pos ou instrument A la suite de l cole primaire le coll ge doit en particulier permettre aux l ves d entretenir et de d velopper leurs comp tences en calcul mental ces comp tences tant indispensables dans de nombreux domaines Contenus Comp tences Exemples d activit s commentaires 2 1 Nombres entiers et d cimaux Conna tre les tables d addition et La ma trise des tables est consolid e par une e Op rations addition TS i REA de multiplication et les r sultats qui pratique r guli re du calcul mental sur des entiers et soustraction et multiplication en d rivent des d cimaux simples Savoir effectuer ces op rations La ma trise des diff rents moyens de calcul doit sous les diverses formes de calcul devenir suffisante pour ne pas faire obstacle la mental pos instrument r solution de probl mes l l ve tant capable de faire le choix du moyen de calcul le plus appropri dans une situation donn e La capacit calculer mentalement est une p
15. riorit et fait l objet d activit s r guli res 2 2 Division quotient Calculer le quotient et le reste Dans ce domaine galement le calcul mental en d une division d un entier par un particulier approch constitue l objectif prioritaire entier dans des cas simples calcul mental pos instrument e Division euclidienne Eiiurehactionnaire Multiplier un nombre entier ou Les l ves doivent tre entra n s effectuer d cimal par un quotient de deux mentalement des calculs utilisant les expressions entiers sans effectuer la division double moiti triple tiers quadruple quart sur des nombres entiers ou d cimaux simples Reconna tre dans des cas simples Le fait qu un quotient ne change pas quand on que deux critures fractionnaires multiplie son num rateur et son d nominateur par diff rentes sont celles d un m me un m me nombre est mis en vidence et utilis La nombre connaissance des tables de multiplication est notamment exploit e cette occasion Calculer un quotient d cimal de deux nombres entiers ou d un d cimal par un entier dans des cas simples calcul mental pos instrument e Extension aux nombres d cimaux Introduction pour le cycle central Le programme du cycle central du coll ge a pour objectifs principaux e dans la partie nombres et calcul de poursuivre la pratique du calcul mental et l utilisation ration
16. ts mise au m me d nominateur dans des cas accessibles par le calcul mental 2 Nombres et calculs Contenus pour la classe de quatri me La pratique du calcul num rique exact ou approch sous ses diff rentes formes en interaction calcul mental calcul la main calcul la machine ou avec un ordinateur a pour objectifs la ma trise des proc dures de calcul effectivement utilis es acquisition de savoir faire dans la comparaison des nombres la r flexion et l initiative dans le choix de l criture appropri e d un nombre suivant la situation Contenus Comp tences Exemples d activit s commentaires 2 1 Calcul num rique e Op rations x sur les nombres relatifs en criture d cimale ou fractionnaire non n cessairement simplifi e Calculer la somme de nombres relatifs en criture fractionnaire L addition de deux nombres relatifs en criture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas o un calcul mental est possible 2 Nombres et calculs Contenus pour la classe de troisi me La pratique du calcul num rique exact ou approch sous ses diff rentes formes en interaction calcul mental calcul la main calcul la machine ou avec un ordinateur a les m mes objectifs que dans les classes ant rieures ma trise des proc dures de calcul effectiv
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