Home

ALGORITHMES PROBABILITÉS ET SIMULATIONS AVEC R

1. el 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Longueur maximale de chaine dans les 200 tirages Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD S 84200 CARPENTRAS page 11 sur 45 R_SimulEtProbal odt 14 Simuler le probl me des chapeaux de Montmort ou permutations sans point fixe Avant de rentrer en r union 20 personnes suspendent leurs chapeaux aux crochets l ext rieur de la salle Un petit farceur m lange tous les chapeaux de fa on al atoire On veut calculer la probabilit qu aucune personne ne retrouve son chapeau la place o il l avait laiss Estimation de la probabilit d un v nement chapeauxp function m 20 nsim 1000 crochets lt seq 1l m nbfixes lt vector length nsim for i in l nsim chapeaux lt sample crochets m fixes lt crochets chapeaux nbfixes i lt sum fixes 0 sansfixe lt sum nbfixes 0 HXXAKKKEXLEAKKX Affichage des r sultats k k dkk kk kkk kk cat Estimation de la probabilit d aucun des m chapeaux leur place n cat sansfixe nsim n chapeauxp m 2 nsim 10000 Estimation de la probabilit d aucun des 2 chapeaux leur place 0 4959 chapeauxp m 5 nsim 10000 Estimation de la probabilit d aucun des 5 chapeaux leur place 0 3709 chapeauxp m 10 nsim 10000 Estimation de la probabilit d aucun des 10 chapeaux leur place 0 3728 chapeauxp m 20
2. simanivp Une estimation de la probabilit qu au moins deux personnes aient le m me jour anniversaire dans une assembl e de 10 personnes vaut 0 122 11 Simuler un mod le d urne chantillonnage SANS remise Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules blanches On tire au hasard 4 boules SANS remise Quelle est la probabilit d obtenir 3 boules rouges Quelle est la probabilit d obtenir 3 boules blanches Il y a deux m thodes possibles soit construire une fonction qui reproduit le mod le d urne soit utiliser la fonction rhyper qui g n re des nombres distribution hyperg om trique Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 9 sur 45 07 09 11 R SimulEtProbal odt Estimation de la probabilit d un v nement simurnsansp function n 4 r 3 b 5 k 3 nsim urne lt rep c 1 0 c r b cpteven lt 0 for i in 1 nsim vectepreuv lt sample urne n replace F resultexpe lt sum vectepreuv if resultexpe k cpteven lt cpteven 1 HXXAKKKEXLEAKKX Affichage des r sultats kikk dikk k kkk k k cat Estimation de la probabilit de k cpteven nsim n 1000 boules rouges simurnsansp Estimation de la probabilit de 3 boules rouges 0 085 simurnsansp r 30 b 50 Estimation de la probabilit de 3 boules rouges 0 121 simurnsansp r 300 b 500 Estimation de la probabilit de 3 boules rouges
3. ALGORITHMES PROBABILIT S ET SIMULATIONS AVEC R Table des mati res A INTRODUCTION munarter RER Re 2 B SIMULATIONS D EXP RIENCES AL ATOIRES DISTRIBUTIONS SIMUL ES eeenennes 3 1 Le sens fr quentiste de la probabilit mettre en uvre la loi des grand nombres 3 2 Simuler la somme des valeurs des faces obtenues en lan ant 2 d s 6 faces quilibr es 3 3 Simuler le probl me historique du grand duc de Toscane seen 3 4 Simuler le probl me historique du chevalier de M r ss 4 5 Simuler le probl me historique du croix ou pile de d Alembert see 5 6 Simuler la distribution du rang de la premi re boule rouge tir e tirage AVEC remise 6 7 Simu ler l probl me du QCM sms er esre enes Ee E EEA inde tnt EEE EEEE AEE EP AEAEE tente das onmene res cs seit 7 8 Simuler un mod le d urne chantillonnage AVEC remise seen 7 9 Simuler l intervalle de fluctuation IF d une proportion 8 10 Simuler le probl me du match France Irlande par le XV de France anniversaires 9 11 Simuler un mod le d urne chantillonnage SANS remise 9 12 Simuler la distribution du rang de la premi re boule rouge tir e tirage SANS remise 10 13 Simuler le probl me des chaines de longueur 6 sostier joisa s ra ri Er NE ES e Nr ES EAR RE ES iEn EnS 11 14 Simuler le
4. Histogram of seriesim Distribution simul e et estimation d une probabilit seriesim lt rbinom 1000 4 3 8 hist seriesim breaks c 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 g breaks 1 0 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 a counts 1 161 382 313 124 20 length seriesim seriesim 3 1000 1 0 124 9 Simuler l intervalle de fluctuation IF d une proportion Exemple 1 document de l inspection Monsieur Z chef du gouvernement d un pays lointain affirme que 52 des lecteurs lui font confiance On interroge 100 lecteurs au hasard la population est suffisamment grande pour consid rer qu il s agit de tirages avec remise et on souhaite savoir partir de quelles fr quences au seuil de 5 on peut mettre en doute le pourcentage annonc par Monsieur Z dans un sens ou dans l autre Sur les 100 lecteurs interrog s au hasard 43 d clarent avoir confiance en Monsieur Z Peut on consid rer au seuil de 5 l affirmation de Monsieur Z comme exacte L algorithme va permettre de simuler un tirage avec remise d un chantillon de n individus statistiques dans une population pour laquelle on fait une hypoth se pour la valeur de p Dans l exemple 1 L IF est simul partir des 52 de la d claration de Monsieur Z L IF est obtenu partir des quantiles de la s rie simul e et l on note si les 43 43 personnes favorables dans un chantillon al atoire et simple de 100 personnes
5. e b est le plus petit entier tel que P X lt b gt 0 975 L algorithme est faire Le m me probl me se pose lors de la recherche du meilleur intervalle de confiance d une proportion calcul partir d une variable parent binomiale Mais dans ce cas il existe une litt rature abondante traitant de ce probl me dont voici trois r f rences significatives que je tiens votre disposition On voit bien que le probl me ne date pas d aujourd hui 1 Clopper C J Pearson E S 1934 The Use of Confidence or Fiducial Limits Illustrated in the Case of the Binomial Biometrika Vol 26 No 4 pp 404 413 2 Blyth C R Still H A 1983 Binomial Confidence Intervals J A S A Vol 78 No 381 pp 108 116 3 Casella G 1986 Refining Binomial Confidence Intervals The Canadian Journal of Statistics La Revue Canadienne de Statistique Vol 14 No 2 pp 113 129 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 33 sur 45 R_SimulEtProbal odt 9 Calcul de l intervalle de confiance IC d une proportion terminale S Il y a plusieurs m thodes de calcul d un IC exact d une proportion cause du caract re discret de la variable binomiale Les m thode asymptotiques sont les r sultats de diff rentes approximations Celle propos e dans le programme de terminale se met en uvre par un simple calcul num rique dont on peut comparer les r sultats avec quelques m thodes classique
6. 0 25 Probabilit de gagner la partie 0 5 En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire qu il n y a pas d apprentissage la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 0 984375 La distribution de X est 2 1 3 0 50 0 25 0 25 L esp rance de X est 0 Probabilit s 04 05 06 03 2 4 variable al atoire gain en Probabilit s 005 0 10 D15 0 20 025 0 30 0 35 0 00 e 1 a variable al atoire gain en Probabilit s 2 3 variable al atoire gain en Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 38 sur 45 07 09 11 x R_SimulEtProbal odt 2 2011 S Mars Nouvelle Cal donie villages sport Probabilit s conditionnelles et loi binomiale Distributions de variables qualitatives villagesport function jetons c 1 4 1 4 1 4 1 4 JL 7 2 1 names jetons lt c V R P L names JL lt c LV LR LP vectProba lt vector length 6 names vectProba lt c V R P LY LR LP vectProba 1 3 lt jetons 1 3 vectProba 4 6 lt jetons 4 JL ProbaVRP lt vectProba 1l 3 vectProba 4 6 probaVelo lt sum vectProba which names vectProba Vv names vectProba Lv l probaVelo lt sum vectproba 1l vectproba 4 pLlsachVelo lt vectProba which names vectProba LV probaVelo pL
7. appartiennent cet intervalle La d marche est identique pour les exemples 2 et 3 cf ProbaEtAlgorithmesl odt il suffit de changer la valeur de p dans les param tres de la fonction R Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 8 sur 45 R_SimulEtProbal odt simulif function n 100 p 52 nsim 1000 tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n vecbino lt rbinom nsim n p effec lt table vecbino minvec lt min vecbino maxvec lt max vecbino nbminmax lt maxvec minvec 1 tablominmax lt vector length nbminmax names tablominmax lt minvec maxvec tablominmax as numeric names effec minvec 1 lt effec tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec cuminmax lt cumsum tablominmax quantiles lt quantile vecbino probs e 5 1 2 5 5 25 50 75 95 97 5 99 99 5 100 0 01 Ettectit 20 40 60 80 Ettectit 20 40 60 80 o Distribution simul e d une variable les 52 de Mr Z DS 0 3 6 912 16 20 24 26 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 8 92 96 100 Nombre de succ s Uno HXXAKEKELEAKKEX Affichage des r sultats ikk d kkk k kkk kk B 1 4 46 4 4 print tablominmax cat n print Quantiles print quantiles par mfrow c 3 1 barplot tabloeffec xlab Nombre de succ s ylab 1000 600 Eftectit cumul s 49 51 5
8. 2 4 variable X continue centr e r duite PN variable X continue centr e r duite variable X continue centr e r duite Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 29 sur 45 R_SimulEtProbal odt 8 Calcul d un intervalle de fluctuation IF bilat ral binomial exact et asymptotique gt La d finition de l IF dans le programme de seconde est la suivante L intervalle de fluctuation au seuil de 95 relatif aux chantillons de taille n est l intervalle centr autour de p proportion du caract re dans la population o se situe avec une probabilit gale 0 95 la fr quence observ e dans un chantillon de taille n Avec une telle d finition cet IF n existe pas dans la plupart des applications num riques Il faut donc trouver une autre d finition gt Dans le programme de premi re on trouve Exploiter l intervalle de fluctuation un seuil donn d termin l aide de la loi binomiale pour rejeter ou non une hypoth se sur une proportion Mais il n est pas donn de d finition de l IF Un document de l inspection g n rale de math de l E N pr cise une d finition qui est en fait un mode de calcul de l IF D finition L intervalle de fluctuation IF 95 d une fr quence correspondant la r alisation sur un chantillon al atoire de taille n d une variable al atoire X de loi binomiale est l intervalle a n b n d fini par e a est le plu
9. tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec tabloeffecum2 lt cumsum tabloeffec tabloeffec 1 tabloeffecum2 1 lt tabloeffec 1 HXXAXEKEXEAKKX Affichage des r sultats ik d kkk kd kkk k print tabloeffec nsim print tabloeffec nsim print tabloeffecum2 nsim print tabloeffecum2 nsim par mfrow c 2 1 barplot tabloeffec xlab Rang du premier croix ylab Effectif barplot tabloeffecum2 xlab Rang Maxi du jeu gagn ylab Effectif croixpilegenef 1 tabloeffec nsim 0 1 2 3 4 5 6 0 020 0 496 0 231 0 142 0 065 0 029 0 017 1 tabloeffecum2 nsim 0 1 2 3 4 5 6 0 020 0 496 0 727 0 869 0 934 0 963 0 980 300 Effectif 0 100 0 1 2 3 4 5 6 Rang du premier croix 600 Effectif 0 1 2 3 4 5 6 Rang Max du jeu gagn Lors d un jeu en 6 lancers au plus une estimation de la probabilit de gagner en 4 coup au plus est 0 934 6 Simuler la distribution du rang de la premi re boule rouge tir e tirage AVEC remise Mod le d urne Une urne contient m boules dont r rouges On tire successivement avec remise n boules dans l urne et on note leurs couleurs dans l ordre La variable al atoire X tudi e est le rang de la premi re rouge tir e 0 si aucune rouge tir e au bout de n fois variable 30 m 100 nsim Distribution
10. 0 132 Distribution simul e d une variable simurnsansd function n 4 r 3 b 5 urne lt rep c 1 0 c r b DistSim lt vector length nsim tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n for i in 1 nsim vectepreuv lt sample urne n replace F vectexpe lt sum vectepreuv DistSim i lt vectexpe effec lt table DistSim tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec HXXAKEKEXEAKKX Affichage des r sultats ikid kkk k kkk k print tabloeffec nsim print tabloeffec nsim barplot tabloeffec xlab Nombre de boules rouges ylab Effectif nsim 1000 Simurnsansd 1 tabloeffec nsim 0 1 2 3 4 0 068 0 426 0 436 0 070 0 000 300 1 ectf Ef 200 1 100 fi o 1 2 3 4 Nombre de boules rouges Utilisation de la fonction rhyper r sultat de 1000 simulations Distribution simul e et estimation d une probabilit seriesim lt rhyper 1000 3 5 4 hist seriesim breaks c 5 5 1 5 2 5 3 5 breaks 1 0 5 0 5 1 5 2 5 3 5 counts 1 73 438 415 74 length seriesim seriesim 3 1000 1 0 074 Histogram of hyper Frequency 300 400 1 200 L 100 hyper Il est int ressant de comparer les r sultats avec ceux obtenus avec un tirage avec remise 8 12 Simuler la distribution du rang de la premi
11. 1 6 gagne 8 point3lancers lt vector length 27 proba3lancers lt vector length 27 pgi lt 07 p92 lt 7 pos lt 0 y Les L for i in 1 3 if point i gt gagne pg1l lt pg1l proba i for j in 1 3 1 if point i lt gagne amp point i point j gt gagne pg2 lt pg2 proba i proba j for k i 1 3 if point i point j lt gagne amp point i point j point k gt gagne pg3 lt pg3 probali proba j probalk point3lancers L lt point i point j point k proba3lancers L lt probali proba j probalk L lt L 1 tablopoint lt table point3lancers nbpoint lt length tablopoint distpoint lt vector length nbpoint names distpoint lt as numeric names tablopoint for i in 1 nbpoint distpoint i lt sum proba3lancers which point3lancers as numeric names tablopoint i probaperdre lt sum distpoint as numeric names distpoint lt gagne probagagner lt pgl pg2 pg3 distribX lt c probaperdre pg3 pg2 names distribX lt c 2 1 3 esperanceX lt sum distribX as numeric names distribX kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk x Affichage des r sultat s a d dkk ded kkk k k k k k cat Distribution de la variable nombre de points l issue de 3 lancers n print distpoint cat n R partition de la variable nombre de points l issue de 3 lancers n print cumsum distpoint cat n Proba cumul
12. gagne 5 Probabilit de perdre la partie 0 375 Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P gl 0 1666667 Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 0 25 Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 0 2083333 Probabilit de gagner la partie 0 625 En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire qu il n y a pas d apprentissage la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 0 997219 La distribution de X est 2 1 3 0 3750000 0 2083333 0 2500000 L esp rance de X est 0 2083333 troislancers gagne 6 Probabilit de perdre la partie 0 5 Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P gl 0 Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 0 25 Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 0 25 Probabilit de gagner la partie 0 5 En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire qu il n y a pas d apprentissage la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 0 984375 La distribution de X est 2 1 3 0 50 0 25 0 25 L esp rance de X est 0 Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 36 sur 45 07 09 11 x R_SimulEtProbal odt 2011 S Avril Pondich ry fl chettes interruption des lancers lorsque la partie est gagn e Partie B 3 4 Arbre partiel Distributions d une variable al atoire discr te L algorithme arr te le parcours de l arbre quand la par
13. lt 0 while croix 0 amp i lt n jeu lt sample c 0 1 1 if jeu 1 c oix lt 1 xtronk lt i else croix lt 0 xtronk lt 0 i lt i 1 if xtronk 0 statOcroix lt stat0Ocroix 1 else if xtronk lt k statkcroix lt statkcroix 1 HXXAXEKEXEAKKX Affichage des r sultats ikk de dkk k kd kkk k cat Une estimation de la probabilit de gagner en cat k coups n au plus en jouant au plus n fois est if k 0 cat stat0croix nrep n else cat statkcroix nrep A o A gt On peut modifier la simulation pr c dente pour obtenir la distribution simul e du rang d apparition du premier croix Le nom de cette distribution appara t dans le programme de premi re On peut alors en d duire un tableau donnant la probabilit de gagner au sens de D Alembert cumul croissant partir de 1 sans 0 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 5 sur 45 R_SimulEtProbal odt Distribution simul e d une variable croixpilegenef function n 6 nsim 1000 distsim lt vector length nsim tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n for j in l nsim i lt i croix lt 0 while croix 0 amp i lt n jeu lt sample c 0 1 1 if jeu 1 croix lt 1 xtronk lt i else croix lt 0 xtronk lt 0 D LA distsim j lt xtronk effec lt table distsim
14. nsim 10000 Estimation de la probabilit d aucun des 20 chapeaux leur place 0 374 chapeauxp m 40 nsim 10000 Estimation de la probabilit d aucun des 40 chapeaux leur place 0 3611 chapeauxp m 100 nsim 10000 Estimation de la probabilit d aucun des 100 chapeaux leur place 0 3677 chapeauxd function m 20 nsim 1000 0 crochets lt seq l m 11 for i in l nsim chapeaux lt sample crochets m fixes lt crochets chapeaux nbfixes i lt sum fixes 0 effec lt table nbfixes tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec print tabloeffec nsim print tabloeffec nsim cat n cat Estimation de la probabilit d aucun des m chapeaux leur place n cat tabloeffec 1 nsim n barplot tabloeffec xlab Nombre de points fixes ylab Effectif Distribution simul e d une variable chapeauxd et estimation d une probabilit 1 tabloeffec nsim 0 368 0 375 0 176 0 061 0 012 0 008 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 sansfixe lt 0 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 nbfixes lt vector length nsim tabloeffec lt rep 0 m 1 Estimation de la probabilit d aucun des 20 chapeaux leur place names tabloeffec lt 0O m 0 368 L 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 350 nl 300 fi Effectif 200 fi 150 i 0123456789 1 4
15. p 2 nbpoints 40 8 1 sigma sqrt n p 1 p x lt seq 4 4 length out nbpoints lt function v dbinom floor v 5 n p g lt function v sigma f n p sigma v Affichage des r sultats et des graphiques xxxxxx plot x g x type l ity 2 xlab variable X continue centr e r duite ylab Densit p p subdivision de main paste Binomiale n n points x dnorm x 0 1 type 1 col red nbpoints binogausrob n 100 p 2 binogausrob n 100 p 5 binogausrob n 100 p 9 Binomiale n 100 p 0 5 subdivision de 321 04 Densit 02 L ue ai mean aaa Densit 02 03 f 1 at te ou e ii Fi FT Densit Binomiale n 100 p 0 9 subdivision de 321 02 1 0 1 00 N i 02 04 Densit o 4 2 0 2 variable X continue centr e r duite variable X continue centr e r duite binogausrob n 10 p 2 binogausrob n 10 p 5 Pama AE 0 pro ubao eget Binomiale n 10 p 0 5 subdivision de 321 3 z a 2 2 F 3 21 8 5 5 8 aj 2 s7 A 5 p 2 A A E E 34 z4 34 e e T T T T r r r r r r r r i 2 j 4 4 2 0 2 2
16. probabilit 0 02 L 0 01 L MetT 0 00 L MetnonT NonMetT v nements Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 41 sur 45 R_SimulEtProbal odt D R CHANTILLONNAGE OU BOOTSTRAP POUR D TERMINER UN INTERVALLE DE CONFIANCE 1 Intervalle de confiance r chantillonn 1C d une proportion La proc dure standard consiste tirer avec remise un grand nombre nbsim d chantillons de taille n dans une urne dans laquelle la proportion de succ s est celle de l chantillon r ellement observ On obtient ainsi une s rie de nbsim valeurs simul es du nombre de succ s On calcule la s rie des proportions simul es correspondantes L intervalle de confiance simul de la proportion dans la population se d termine par les quantiles de la s rie simul e correspondants aux seuils de probabilit voulus Certains modes de calcul de l IC asymptotique d une proportion sont au programme de terminale S Distribution r chantillonn e bootstrap et IC r chantillonn d une proportion ICpropboot function n 100 kobs 43 nbsim 1000 nbclass 5 ppop 52 proba 95 urne lt 1 n vectprop lt vector length nbsim for i in 1 nbsim reechant lt sample urne n replace T vectprop i lt sum reechant lt kobs n quantiles lt quantile vectprop probs c 2 5 5 25 50 75 95 97 5 100 if ppop gt quantile vectprop
17. 09 11 x R_SimulEtProbal odt 4 2010 S Septembre Antilles Bovins malades et test d pistage probabilit s conditionnelles loi binomiale Estimation de la probabilit d un v nement testbovmal function pmalpop 01 ptposmal 85 ptpossain simpop lt runif nbsim population simul e de bovins nbmal lt sum simpop lt pmalpop effectif bovins malades de M dans cette population simul e nbsa in lt nbsim nbmal effectif bovins non malades de M dans cette population simul e simpopmal lt runif nbmal population simul e de bovins malades dans simpop nbposmal lt sum simpopmal lt ptposmal effectif de tests positifs parmi les malades simpopsain lt runif nbsain population simul e de bovins sains dans simpop nbpossain lt sum simpopsain lt ptpossain effectif de tests positifs parmi les non malades de M FRRELLLLLLLLLEL k ke ke k ke Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkk cat Proba estim e de malade et test positif nbposmal nbsim n cat Proba estim e de test positif nbposmal nbpossain nbsim n cat Proba estim e de bovin malade sachant test positif nbposmal nbposmal nbpossain n Estimation de la probabilit d un v nement cingbovins function n 5 p 058 k 1 nbsim vecnbmal lt vector length nbsim for j in l nbsim vecnbmal j lt sum runif n lt p nbaumoinsk lt sum vecnbmal gt k FRRELLLLLELLLLEL k ke ke k ke A
18. 22 000000000 23 000000000 24 00000000 25 00000000 26 00000000 27 00000000 28 00000000 29 00000000 30 00000000 31 00000000 32 00000000 Probabilit s 0 004355644 0 007953785 0 01358772 0 02174034 0 03261052 O0 04589628 0 06064866 0 07528799 0 08783599 0 09633625 0 09934675 Densit s 0 017422576 0 031815138 0 05435086 0 08696138 0 13044207 0 18358513 0 24259464 0 30115196 0 35134396 0 38534498 0 39738701 0 25 0 5 0 75 i 1 25 1 5 1 75 2 2 25 2 5 X 33 00000000 34 00000000 35 00000000 36 00000000 37 00000000 38 00000000 39 00000000 40 00000000 41 000000000 42 000000000 Probabilit s 0 09633625 0 08783599 0 07528799 0 06064866 0 04589628 0 03261052 0 02174034 0 01358772 0 007953785 0 004355644 Densit s 0 38534498 0 35134396 0 30115196 0 24259464 0 18358513 0 13044207 0 08696138 0 05435086 0 031815138 0 017422576 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 27 sur 45 R_SimulEtProbal odt Un autre exemple bingausshub n 25 p 2 binf 4 bsup 4 X est de loi binomiale n 25 p 0 2 Subdivision de 16 intervalles d tendue 0 5 Histogramme de Z en jaune densit gaussienne courbe rouge Les probabilit s binomiales sont indiqu es en haut des rectangles 0 2 0 3 0 4 fi Densit 0 0 fi 4 0 3 5 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 15 2 0 25 3 0 35 4 0 variable Z X npyracine np 1 p 1 Tableau des valeurs de Z X probabilit s binomiales densit s A 3 5 3
19. 5 25 50 75 95 97 5 2 5 5 25 50 75 95 97 5 0 32 0 34 0 39 0 43 0 46 0 51 0 52025 0 3300 0 3495 0 3900 0 4300 0 4600 0 5100 0 5203 La proportion dans l chantillon observ est 0 43 La proportion dans l chantillon observ est 0 43 La d cision est l hypoth se ppop 0 52 est Accept e La d cision est l hypoth se ppop 0 52 est Refus e Distribution simul e d une variable proportion de succ s Distribution simul e d une variable proportion de succ s g i r T T T T T 1 0 30 0 35 040 045 0 50 0 55 0 30 035 040 045 0 50 0 55 0 60 Proportion de succ s chantillons de taille 100 Proportion de succ s chantillons de taille 100 R partition simul e d une variable proportion de succ s R partition simul e d une variable proportion de succ s J o 5 NS 0 30 035 040 045 0 50 0 55 ds ne R BA P3 pa ne Proportion de succ s chantillons de taille 100 Proportion de succ s chantillons de taille 100 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 42 sur 45 R_SimulEtProbal odt 2 Intervalle de confiance r chantillonn d une moyenne BTS Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 43 sur 45 R_SimulEtProbal odt E NONC S DES SUJETS DE BAC TUDI S 1 2011 S Avril Pondich ry fl chettes preuves successives r p t es trois issues Un jeu consiste lancer des fl chettes sur une cible La cible est partag e en quatre sect
20. 54 56 58 60 62 variable binomiale R partition de la loi binomiale n 100 p 0 52 IF m thode inspection BS 5 3 A 2 2 xj y Z o pe se 5 4 x Q ee e r A A on N 0 20 40 60 80 100 variable binomiale Probabilit d IF binomial n 20 p 0 25 IF m thode Brigitte et Claudine 8 p o 5 3 8 2 o z pe F o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 variable binomiale R partition de la loi binomiale n 20 p 0 25 IF m thode inspection D Z8 fa N S q o pe 2 5 2 5 os T T T T T 0 5 10 15 20 variable binomiale Probabilit d IF binomial n 100 p 0 2345 IF m thode Brigitte et Claudine 8 5 8 5 3 2 F E i Baal g 1 15 17 19 21 23 25 27 29 31 variable binomiale R partition de la loi binomiale n 100 p 0 2345 IF m thode inspection v 2 5 E 3 g 3 5 E a T T T T T T 0 20 40 60 80 100 variable binomiale 0 1345 0 3345 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 32 sur 45 R_SimulEtProbal odt Avec R la fonction qbinom r pond presque la d finition de l IF qhinom proba n ppop calcule le plus petit entier k telle que P X lt k gt proba la loi de X tant une loi binomiale de param tre n et ppop Il peut tre int ressant de rechercher des exemples o les deux d finitions divergent D termination de a D termination de b qbinom 025 100 52 100 qbinom 975 100 52 100 1 0 42 1 0 62
21. 9 10 12 4 416 18 20 HrkkkkkKKKKKKKEX Affichage des r sultats dkk kk kkk kkk print tabloeff nsim print tabloeff nsim print cumdecroi nsim print cumdecroi nsim par mfrow c 2 1 barplot tabloeff xlab Nombre de r ponses justes ylab Effectif barplot cumdecroi xlab Nombre de r ponses justes ylab Effectif cumul s d croissants 0 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 12 14 16 18 20 200 Effectif 0 50 100 Nombre de r ponses justes 1000 600 Effectif cumul s d croissants 0 200 a Nombre de r ponses justes 8 Simuler un mod le d urne chantillonnage AVEC remise Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules blanches On tire au hasard 4 boules AVEC remise Quelle est la probabilit d obtenir 3 boules rouges Quelle est la probabilit d obtenir 3 boules blanches Il y a deux m thodes possibles soit construire une fonction qui reproduit le mod le d urne soit utiliser la fonction rbinom qui g n re directement des nombres distribution binomiale Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 7 sur 45 R_SimulEtProbal odt Estimation de la probabilit d un v nement simurnremp simurnremp function n 4 r 3 b 5 k 3 nsim 1000 Estimation de la urne lt
22. Dans toutes ces fonctions j ai fait figurer des valeurs de param tre par d faut indiqu es dans la premi re ligne du code de la fonction On peut donc ex cuter ces fonctions sans pr ciser de valeur de param tre entre les ce sont les param tres par d faut qui seront effectifs Pour utiliser d autres valeurs il suffit de les indiquer l int rieur des Exemple simurnremd r alise 1000 simulations d un chantillon de 4 tirages avec remise dans une urne contenant 3 rouges et 5 blanches et d termine la distribution du nombre de rouges obtenues alors que simurnremd n 6 r 10 b 30 nsim 2000 r alise 2000 simulations d un chantillon de 6 tirages avec remise dans une urne contenant 10 rouges et 30 blanches et d termine la distribution du nombre de rouges obtenues Pour ex cuter nouveau la fonction il suffit d appuyer sur la fl che puis valider On peut donc ainsi ex cuter la fonction plusieurs fois tr s simplement et observer les variations des s ries de simulations Les algorithmes pr sent s ne sont pas forc ment les plus l gants j ai favoris l utilisation de commandes vari es de R afin de constituer une sorte de biblioth que Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 2 sur 45 R_SimulEtProbal odt B SIMULATIONS D EXP RIENCES AL ATOIRES DISTRIBUTIONS SIMUL ES 1 Le sens fr quentiste de la probabilit mettre en uvre la loi des grand nombres gt Exempl
23. En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire qu il n y a pas d apprentissage la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 0 9122085 La distribution de X est 2 1 3 0 6666667 0 1944444 0 1388889 L esp rance de X est 0 7222222 flechearret gagne 5 Branches gagnantes et points obtenus au moins gaux 5 1 2 3 4 5 6 T 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 O O0 5 0 6 5 5 8 5 0 6 5 6 6 5 5 8 5 5 8 5 8 6 24 25 26 27 5 5 8 5 Probabilit de perdre la partie 0 375 Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P gl 0 1666667 Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 0 25 Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 0 2083333 Probabilit de gagner la partie 0 625 En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire qu il n y a pas d apprentissage la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 0 997219 La distribution de X est 2 1 3 0 3750000 0 2083333 0 2500000 L esp rance de X est 0 2083333 flechearret gagne 6 Branches gagnantes et points obtenus au moins gaux 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 o 0 O 6 8 O 810 0 6 8 6 6 8 8 810 O0 810 8 6 24 25 26 27 8 10 8 10 Probabilit de perdre la partie 0 5 Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P gl 0 Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 0 25 Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3
24. INTERVALLE DE CONFIANCE 42 1 Intervalle de confiance r chantillonn 1C d une proportion sise 42 2 Intervalle de confiance r chantillonn d une moyenne BTS 43 E NONC S DES SUJETS DE BAC BEUDI S nn animent ne nm nteinnee es 44 1 2011 S Avril Pondich ry fl chettes preuves successives r p t es trois ISSUES 44 2 2011 S Mars Nouvelle Cal donie villages sport Probabilit s conditionnelles et loi binomiale 44 3 2010 S Novembre Nouvelle Cal donie urne boules tirages avec et sans remise probabilit s conditionnelles 45 4 2010 S Septembre Antilles Bovins malades et test d pistage probabilit s conditionnelles loi binomiale 45 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 1 sur 45 R_SimulEtProbal odt ALGORITHMES PROBABILIT S ET SIMULATIONS AVEC R Hubert RAYMONDAUD LEGTA de Carpentras Serres A INTRODUCTION Les statistiques descriptives et les probabilit s sont un terrain privil gi pour l apprentissage et la mise en uvre de l algorithmique de la seconde au BTS Le programme de seconde aborde l approche fr quentiste de la probabilit que l on peut illustrer par des simulations l mentaires le programme de premi re propose de simuler des distributions g om triques tronqu es et des distributions binomiales on y trouve l intervalle de fluctuation IF d une
25. boules tirages avec et sans remise probabilit s conditionnelles Probabilit d v nements et distribution d une variable cingboules function vertes 2 rouges 3 n 2 AEA k k ke ke de k ke kk k k k QUESTIONS 1 k x k xkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk urne lt vertes rouges Plvv lt vertes urne vertes 1 urne 1 Plvr lt vertes urne rouges urne 1 Plrv lt rouges urne vertes urne 1 Plrr lt rouges urne rouges 1 urne 1 distriblpaires lt c Plvv Plvr Pilrv Pirr names distriblpaires lt c VV VR RV RR P1_ Overte lt distriblpaires 4 distriblX lt dhyper 0 n vertes rouges n names distrib1X lt 0 n esperancelX lt sum distriblX as numeric names distriblX P1A lt sum dhyper c 0 2 vertes rouges n Ark kk kk kk kkk k k QUESTIONS 2 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk P2vv lt vertes urne vertes 1 urne 1 P2vr lt vertes urne rouges urne 1 P2rv lt rouges urne vertes urne P2rr lt rouges urne rouges urne distrib2paires lt c P2vv P2vr P2rv P2rr names distrib2paires lt c VV VR RV RR P2C lt distrib2paires 2 distrib2paires 3 P2sach lt distrib2paires 2 P2C kkkkkkkkkkkkkxkx x Affichage des r sultats idii kkk kkk k cat n Proba de 0 verte P1 Overte n cat n Distribution des probabilit s 1 des paires r sultats n print distriblpaires
26. en 3 lancers 0 1965 Estimation de la proba de gagner 0 3315 Estimation de la proba degagner au moins une partie sur 6 0 91075 tablogagne as numeric names table vectgagne 1 lt table vectgagne AuMoinsisur6 lt 1 tablogagne 1 nbsim 6 distribX lt c tablogagne 1 tablogagne 4 tablogagne 3 nbsim names distribX lt c 2 1 3 esperanceX lt sum distribX as numeric names distribX fE K k ke ke k ke k ke ke ke ke k ke k k k Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkxk Distribution sumul e de la variable al atoires X 2 1 3 0 6685 0 1965 0 1350 cat n Distribution simul e du rang du lancers gagnant sur 3 Esperance de X 0373993 lancers n print tablogagne nbsim cat n Estimation de la proba de perdre apr s 3 lancers tablogagne 1 nbsim n cat Estimation de la proba de gagner en 1 lancer tablogagne 2 nbsim n cat Estimation de la proba de gagner en 2 lancers C j O tablogagne 3 nbsim n p i cat Estimation de la proba de gagner en 3 lancers tablogagne 4 nbsim n cat Estimation de la proba de gagner sum tablogagne 2 4 nbsim n 02 04 06 fr quence sumul e 00 rang du lancer gagnant cat Estimation de la proba degagner au moins une partie sur 6 S AuMoinslsur6 n z3 cat n Distribution sumul e de la variable al atoires X n a print distribX z7 B au cat Esp rance de X espe
27. geot n barplot distribX xlab valeurs de la variable ylab probabilit main paste Loi g om trique tronqu e n n et p p Distribution de la g o tronk n 10 p 0 3 0 1 2 3 0 02824752 0 30000000 0 21000000 0 14700000 4 5 6 7 0 10290000 0 07203000 0 05042100 0 03529470 8 9 10 0 02470629 0 01729440 0 01210608 Probabilit de 2 lt X lt 6 0 582351 Loi g om trique tronqu e n 10 etp 0 3 probabilit a Hiin 5 6 7 8 9 40 valeurs de la variable 4 Calculs de probabilit s de distributions binomiales Calcul de P A lt X lt B X tant une v a de distribution binomiale de param tres n 100 et p 0 52 Les exemples choisis peuvent servir de base une r flexion sur les diff rentes fa ons de d terminer un intervalle de fluctuation partir de l exemple 1 Monsieur Z P 42 lt X lt 62 P X lt 41 sum dbinom 42 62 100 52 1 0 9649486 P 43 lt X lt 62 sum dbinom 43 62 100 52 1 0 9541022 P 42 lt X lt 61 sum dbinom 42 61 100 52 1 0 95416 P X lt 61 pbinom 41 43 100 52 1 0 01772803 0 02857444 0 04442366 pbinom 61 63 100 52 1 0 9718881 0 9826766 0 9897262 P X lt 42 P X lt 43 P X lt 62 P X lt 63 Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 24 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt plot dbinom 0 100
28. lt sample c 1 6 1000 replace TRUE somme lt del de2 Histogram of somme hist somme breaks seqg 1 5 12 5 1 3 breaks LI 1 5 2 5 3 5 AS 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 65 11 5 12 5 i counts J 1 32 67 69 114 140 162 129 121 85 56 25 sum somme 7 1000 estimer une probabilit _ 1 0 162 Une estimation de la probabilit d obtenir la somme 7 est 162 1000 3 Simuler le probl me historique du grand duc de Toscane Le Duc de Toscane qui avait sans doute observ un grand nombre de parties du jeu consistant faire la somme des nombres obtenus en jetant 3 d s avait constat que la somme 10 apparaissait l g rement plus souvent que la somme 9 Le paradoxe que le Duc avait expos Galil e 1554 1642 r side dans le fait qu il y a autant de fa ons d crire 10 que 9 comme sommes de trois entiers compris entre 1 et 6 Elaborons une simulation correspondant ce probl me Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 3 sur 45 R_SimulEtProbal odt Estimation de la probabilit d un v nement toscanep toscanep function nsim 1000 Fr quence des neuf del lt sample 1 6 nsim replace T Fr quence des dix de2 lt sample 1 6 nsim replace T toscanep de3 lt sample 1 6 nsim replace T Fr quence des neuf jeu lt del de2 de3 Fr quence des dix neuf lt sum jeu 9 toscanep 10000 d
29. pond r correspondant la situation Pour les questions suivantes on donnera les r sultats arrondis au milli me 2 Calculer la probabilit qu un concurrent effectue le trajet v lo 3 Sachant qu un concurrent a effectu le trajet v lo quelle est la probabilit qu il ait tir le jeton sur lequel figure la lettre L 4 On admet que les r sultats des diff rentes ann es sont ind pendants les uns des autres L exp rience des ann es pr c dentes permet de consid rer que la probabilit pour le vainqueur d avoir Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 44 sur 45 R_SimulEtProbal odt effectu le trajet v lo est 2 3 Calculer la probabilit qu au cours des six prochaines ann es l preuve soit remport e au moins une fois par un concurrent non cycliste 3 2010 S Novembre Nouvelle Cal donie urne boules tirages avec et sans remise probabilit s conditionnelles Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher deux vertes et trois rouges 1 On extrait simultan ment et au hasard deux boules de l urne On note X la variable al atoire gale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage a V rifier que P X 0 3 10 puis d terminer la loi de probabilit de la variable al atoire X b Calculer l esp rance math matique de la variable al atoire X c Calculer la probabilit de l v nement suivant A les deux boules tir es sont de m m
30. proportion que l on peut aussi obtenir par simulation L TF sert illustrer l utilisation des probabilit s binomiales pour prendre une d cision en situation d incertitude Autant d exercices propices l utilisation de l algorithmique On peut utiliser l algorithmique pour calculer ou estimer des probabilit s pour r soudre des probl mes en simulant des exp riences al atoires pour simuler des variables al atoires de distribution donn e pour obtenir des distributions simul es pour simuler des intervalles de fluctuation en premi re pour simuler des intervalles de confiance IC en terminale pour faire de l inf rence en BTS La recherche de strat gies de simulation pour r soudre des probl mes de probabilit et de statistique constitue une v ritable alternative la r solution classique et peut offrir une ouverture pour des l ves peu l aise avec la formalisation math matique Les algorithmes sont peu techniques et peuvent facilement tre mis en uvre sur des machines pour aboutir des r sultats concrets Il est important de bien diff rencier les deux fa ons d aborder le calcul des probabilit s e soit par la simulation en utilisant des mod les d urnes on obtient alors des valeurs estim es par simulation e soit formellement par l utilisation de mod les math matiques exprimant des lois de probabilit bas es sur des hypoth ses on obtient alors des valeurs exactes Pour i
31. qbinom 05 30 2 30 qbinom 95 30 2 30 1 0 1 1 0 3333333 On peut aussi utiliser sum dbinom vectx n ppop pour explorer des intervalles Dans le cas de l exemple 1 Monsieur Z il existe 2 intervalles meilleurs c est dire plus petits que ceux d termin s en appliquant les deux m thodes pr sent es 43 62 et 42 61 au lieu de 42 62 P 42 lt X lt 62 P 42 lt X lt 61 sum dbinom 42 62 100 52 sum dbinom 42 61 100 52 1 0 9649486 1 0 95416 P 43 lt X lt 62 sum dbinom 43 62 100 52 1 0 9541022 Dans l exemple 2 c est la m thode inspection qui donne le plus petit intervalle mais on trouve un autre intervalle proche de m me tendue de probabilit gt 0 95 P lt X lt 8 sum dbinom 1 8 20 25 1 0 9559036 Dans l exemple 3 c est la m thode Brigitte et Claudine qui donne le plus petit intervalle mais on trouve aussi un autre intervalle proche de m me tendue de probabilit gt 0 95 P 16 lt X lt 32 sum dbinom 16 32 100 2345 1 0 9549184 On pourrait aussi soumettre la comparaison la troisi me m thode suivantes Autre d finition L intervalle de fluctuation IF 95 d une fr quence correspondant la r alisation sur un chantillon al atoire de taille n d une variable al atoire X de loi binomiale est l intervalle a n b n d fini par e a est le plus grand entier tel que P X gt a gt 0 975
32. rant pas encore les probl mes particuliers aux bornes 0 et n stop p lt sum dbinom a3 b3 n ppop probabillc a3 1 b3 1 lt c p p Zprobabil lt probabil a3 1 b3 1 names Zprobabil lt a3 b3 HXXXXKXKXXKXXKXX deux IF asymptotiques m thodes seconde et premi re xkXkxxxx cl lt qnorm 1 1 proba 2 0 1 sqrt ppop 1 ppop n asymptl lt ppop cl bsymptl lt ppop cl asympt2 lt ppop 1 sqrt n bsympt2 lt ppop 1 sqrti n ARR R e e He e He He ke He e He e ke e Affichage des r sultats kkk kk kkk kkk kkk kkk print print Zprobabil print par mfrow c 2 1 barplot Zprobabil xlab variable binomiale ylab probabilit s bilat rales main paste Probabilit d IF binomial n n p ppop n IF m thode Brigitte et Claudine abline h proba plot 0 n repartil type p xlab variable binomiale ylab probabilit s cumul es cex 4 main paste R partition de la loi binomiale n n p ppop n IF m thode inspection abline h c 1 proba 2 1 1 proba 2 cat nTableau partiel de la r partition de X n print repartil a 1 a print repartil b 1 b cat nL IF exact des comptages m thode inspection est n a 1 b 1 de probabilit probaab nL IF exact des proportions m thode inspection est n a 1 n b 1 n n Hypoth se p popul
33. rep c 1 0 c r b probabilit de 3 boules cpteven lt 0 rouges 0 123 for i in 1 nsim simurnremp k 1 vectepreuv lt sample urne n replace T Estimation de la resultexpe lt sum vectepreuv probabilit de 3 boules if resultexpe k cpteven lt cpteven 1 blanches 0 364 simurnremp r 300 b 500 HXXAKKKEXLEAKKEX Affichage des r sultats 4 44404 dkk k kkk k k Estimation de la cat Estimation de la probabilit de k boules probabilit de 3 boules rouges cpteven nsim n rouges 0 128 Distribution simul e d une variable simurnremd simurnremd function n 4 r 3 b 5 nsim 1000 1 tabloeffec nsim urne lt rep c 1 0 c r b 0 1 2 3 4 DistSim lt vector length nsim 0 154 0 336 0 355 0 135 0 020 tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n for i in l nsim vectepreuv lt sample urne n replace T vectexpe lt sum vectepreuv DistSim i lt vectexpe effec lt table DistSim tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec HXXAXEKEXEAKKX Affichage des r sultats ikk d dkk kd kkk k print tabloeffec nsim 2 print tabloeffec nsim 350 J 300 1 250 200 Effectif 150 1 100 1 0 barplot tabloeffec xlab Nombre de boules rouges o 1 2 3 a ylab Effectif Nombre de boules rouges Utilisation de la fonction rbinom r sultat de 1000 simulations
34. simul e d une geotronkd function n 6 r urne lt seq l m premrouge lt vector length tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n for j in l nsim expe lt sample urne n replace T if min expe gt r premrouge j lt 0 else premrouge j lt min which expe lt r 1000 nsim effec lt table premrouge tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec HXXAXEKEXEAKKX Affichage des r sultats ki dd dkk k dk kkk k print tabloeffec nsim print tabloeffec nsim barplot tabloeffec xlab Rang de la premi re rouge ylab Effectif geotronkd 1 tabloeffec nsim 0 1 2 3 4 5 6 0 113 0 320 0 209 0 153 0 084 0 071 0 050 300 J 250 1 200 fi Effectif 150 1 100 L 50 1 Rang de la premi re rouge Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 6 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt 7 Simuler le probl me du QCM Un QCM comprend 20 questions Pour chacune de ces questions QUATRE propositions de r ponse sont faites dont UNE seule est la bonne Une bonne r ponse vaut 1 point une mauvaise vaut 0 Quelle est la probabilit qu un l ve r pondant toutes les questions au hasard ait la moyenne laborons une strat gie de simulation pour estimer cette probabilit Estimation de la probabilit d
35. un v nement qcmp qcmp function nquest 20 nrep 4 k 10 nsim 1000 1 Une estimation de la vectexam lt vector length nsim probabilit d avoir au for i in l nsim moins 10 bonnes r ponses vectepreuv lt sample 1l nrep nquest replace T sur 20 vaut 0 013 vectexam i lt sum vectepreuv 1 effeve lt sum vectexam gt k HXXAXEKEXEAKKX Affichage des r sultats ikk ded kkk k d kkk k cat Une estimation de la probabilit d avoir au moins k bonnes n r ponses sur nquest vaut effeve nsim n Distribution simul e d une variable qcmd 5 1 tabloeff nsim qcmd function nquest 20 nrepon 4 k 10 i 5 L L 5 s nsim 1000 0 002 0 018 0 064 0 130 0 189 0 222 0 165 0 122 0 057 0 024 0 006 LE 12 13 14 15 16 ar 18 19 20 vectexam lt vector length nsim 0 001 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 tabloeff lt rep 0 nquest 1 1 cumdecroi nsim m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 names tabloeff 0 nquest 1 000 0 998 0 980 0 916 0 786 0 597 0 375 0 210 0 088 0 031 0 007 for i in l nsim LL 12 13 14 15 16 17 18 19 20 vectepreuv lt 0 001 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 sample 1 nrepon nquest replace T vectexam i lt sum vectepreuv 1 eff lt table vectexam tabloeff as numeric names eff 1 lt eff cumdecroi lt cumsum tabloeff nquest 1 1 nquest 1 1 0 1 23 4 5 6 7 8
36. variable parent uniforme main paste Echantillons de taille n histsom lt hist somexpe breaks seq 4 4 8 nbclass right F freq F xlab variable somme centr e r duite main paste Sommes d chantillons de taille n points x ygaus type 1 centralimitel n 5 centralimitel n 100 Echantillons de taille 5 Echantillons de taille 100 D o N A 2 pi o f T T T T 1 f T T T T 1 0 0 02 04 06 08 10 00 02 04 06 08 10 variable parent uniforme variable parent uniforme Sommes d chantillons de taille 5 Sommes d chantillons de taille 100 ES 2 i 24 N o A gt r 5 o1 Z A m Ha e a noe o wi 41 li N PTE l T T T 1 o f T T T 1 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 variable somme centr e r duite variable somme centr e r duite Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 15 sur 45 R_SimulEtProbal odt 17 Simuler la distribution des moyennes et des variances d chantillons al atoires simples et ind pendants C est une illustration du th or me central limite avec une distribution parent uniforme On peut faire varier la taille de l chantillon le nombre de simulations les bornes de l intervalle le nombre de classes pour la construction de l histogramme On peut aussi choisir une population parent exponentielle de param tre r Distribution simul e de variables centralimite0 function a 0 b 1 r 1 n 4 nsim 1000 nbc
37. xlab paste Nombre de succ s chantillons de taille n main Histogramme d une variable binomiale histbinocr lt hist vectbinocr freq F breaks seq infbinocr supbinocr etendbinocr right F xlab paste Nombre de succ s Variable centr e r duite chantillons de taille n main Histogramme d une variable binomiale centr e r duite lines xgauss ygauss windows par mfrow c 3 1 barplot tabloeffec xlab Nombre de succ s ylab Effectif main paste Diagramme en barre d une variable binomiale n n p r m histprop lt hist vectprop freq F breaks seq infprop supprop etendprop right F xlab paste Proportion de succ s chantillons de taille n main Histogramme d une variable proportion de succ s histpcr lt hist vectpcr freq F breaks seq infpcr supper etendpcr right F xlab paste Proportion de succ s Variable centr e r duite chantillons de taille n main Histogramme d une variable proportions centr e r duite lines xgauss ygauss Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD S 84200 CARPENTRAS page 13 sur 45 R_SimulEtProbal odt Simuler la distribution des proportions tir es d chantillons al atoires simples et ind pendants suite Diagramme en barre d une variable binomiale n 50 p 0 3 Effectif 60 100 20 sl Le _ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 4 3 38 40 42
38. 0 urne 1 2 nbsim 2000 nblongMax lt vector length nbsim for i in l nbsim expe lt sample urne tirages replace sT rexpe lt rle expe nblongMax i lt max rexpe length tablemax lt table nblongMax StatL lt sum tablemax as numeric names tablemax gt L nbsim etendtablemax lt max as numeric names tablemax min as numeric names tablemax tabloeffec lt rep 0 etendtablemax 1 names tabloeffec lt min as numeric names tablemax max as numeric names tablemax tabloeffec as numeric names tablemax min as numeric names tablemax 1 lt tablemax FRRELELELLLEELSE SSL He e He e e He e He e ke He ke He ke LS ke ke Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk cat Une estimation de la probabilit de chaines de longueur L ou plus cat vaut StatL n n print Distribution de la longueur maximale des chaines runs print tabloeffec print tablemax barplot tabloeffec xlab paste Longueur maximale de chaine dans les tirages tirages ylab Effectif cha inesd Une estimation de la probabilit de chaines de longueur 6 ou plus vaut 0 963 500 j 1 Distribution de la longueur maximale des chaines runs 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 73 326 540 434 281 177 86 40 22 11 5 1 2 1 400 fi 300 fi Effectif 200 1 100 1
39. 04 fr quence sumul e 0 0 1 3 gain en Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD F 84200 CARPENTRAS page 19 sur 45 R_SimulEtProbal odt 2 2011 S Mars Nouvelle Cal donie villages sport Probabilit s conditionnelles et loi binomiale Estimation de la probabilit d un v nement velorollerp function urne c V R P L urneL c 7 2 1 nbsim 20000 velo lt 0 roller lt 0 pied lt 0 veloETjetonL lt 0 for j in 1 nbsim jeton lt sample urne 1 replace T if jeton V velo lt velo 1 if jeton R roller lt roller 1 if jeton P pied lt pied 1 if jeton L tirage2 lt sample c V R P 1 prob urneL replace T if tirage2 V velo lt velo 1 veloETjetonL lt veloETjetonL 1 if tirage2 R roller lt roller 1 if tirage2 P pied lt pied 1 rkkkkkkkkkkkkkkkk Affichage des r sultats kdk kkk kkk kkk kk cat Une estimation de la probabilit de velo velo nbsim n cat Une estimation de la probabilit de roller roller nbsim n cat Une estimation de la probabilit de pied pied nbsim n cat Une estimation de la probabilit sachant velo de jeton L veloETjetonL velo n Estimation de la probabilit d un v nement sixannees function n 6 p 1 3 k 1 nbsim 5000 vecnbannee lt vector length nbsim for j in 1 nbsim vec
40. 100 52 seq 0 100 1 plot pbinom 0 100 100 52 seq 0 100 1 Distribution de X R partition de X 0 08 fi 1 0 a sosrcenennoaenenrnencenooanenennoao 0 06 dbinom 0 100 100 0 52 0 04 1 pbinom 0 100 100 0 52 0 00 1 seq 0 100 1 5 Approximations de probabilit s binomiales par la loi de Gauss BinoClocheBernard Cette fonction permet de faire varier n et p volont en saisissant les valeurs voulues lors de l appel de la fonction BinoCloche Les valeurs par d faut sont n 10 et p 2 pour en changer il suffit de saisir BinoCloche n 20 ou BinoCloche p 5 ou BinoCloche n 50 p 8 ou BinoCloche 100 3 C est l illustration du th or me de Moivre Laplace BinoCloche function n 10 p 2 mu lt n p sign lt sgrt n p 1 b probabino lt dbinom 0 n n p ak lt 0 n 1 mu sigm etendue lt ak 2 ak 1 2 bk lt ak etendue probagauss lt rep NA n l for i in 1 n 1 probagauss i lt pnorm bk i 1 pnorm bk i cat Distribution binomiale n print probabino cat Distribution de Gauss n print probagauss x lt t as matrix data frame BINO probabino GAUSS probagauss barplot x beside T legend T names arg O n xlab Valeurs de la variable discr te ylab Probabilit s title paste Approximation de la loi binomiale n n p p ee 10 p 2 Dist
41. 2431262 0 09126043 8 9 0 9590748 0 9861356 L IF exact des comptages m thode inspection est 2 9 de probabilit 0 961823 L IF exact des proportions m thode inspection est 0 1 7 0 45 Hypoth se p population 0 25 confront e p observ 0 15 ACCEPT E L IF exact des comptages m thode Brigitte et Claudine est 1 9 de probabilit 0 9829644 L IF exact des proportions m thode Brigitte et Claudine est 0 05 0 45 L IF asymptotique des proportions formule premi re est 0 0602273 0 4397727 exemple 3 IFexact n 100 ppop 2345 kobs 30 proba 95 Tableau partiel de la r partition de X 14 15 0 01374957 0 02608588 31 32 0 9681745 0 9810043 L IF exact des comptages m thode inspection est 15 32 de probabilit 0 9672547 L IF exact des proportions m thode inspection est 0 15 gt 0 32 Hypoth se p population 0 2345 confront e p observ 0 3 ACCEPT E L IF exact des comptages m thode Brigitte et Claudine est 15 31 de probabilit 0 954425 L IF exact des proportions m thode Brigitte et Claudine est 0 15 7 0 31 L IF asymptotique des proportions formule premi re est 0 1514591 0 3175409 L IF asymptotique des proportions formule seconde est Probabilit d IF binomial n 100 p 0 52 IF m thode Brigitte et Claudine 8 2 5 3 z inal amp 2 42 4 46 48 50 52
42. 3 15 17 19 Nombre de points fixes Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 07 09 11 84200 CARPENTRAS page 12 sur 45 R_SimulEtProbal odt 15 Simuler la distribution des proportions tir es d chantillons al atoires simples et ind pendants C est l illustration du th or me central limite avec une distribution parent binomiale On peut faire varier la taille de l chantillon le nombre de simulations les param tres n et p r m dans l urne de la distribution binomiale le nombre de classes pour la construction de l histogramme Le th or me de Moivre en est le cas particulier historique dans lequel p 0 5 et celui de Moivre Laplace pour p quelconque Distribution simul e de variables binocentral function n 50 r 30 m 100 nsim 1000 nbclass 20 mucpt lt n r m sigmacpt lt sqrt n r m 1l r m muprop lt r m sigmaprop lt sqrt r m 1 r m n xgauss lt seq 4 4 1 ygauss lt dnorm xgauss urne lt l m vectcpt lt vector length nsim vectprop lt vector length nsim vectbinocr lt vector length nsim vectpcr lt vector length nsim tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n for i in l nsim vectepreuv lt sample urne n replace T vectcpt i lt sum vectepreuv lt r vectprop i lt vectcpt i n vectbinocr i lt vectcpt i mucpt sigmacpt vectpcr i lt vectcpt i n muprop sigmaprop effec lt table
43. 3 55 57 59 61 63 65 67 69 Nombre de succ s Effectif R barplot tablominmax xlab Nombre de succ s ylab z neno Bffectif barplot cuminmax xlab Nombre de succ s ylab 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 Nombre de succ s Effectif cumul s 1 Quantiles 0 5 1 2 5 5 25 50 75 95 97 5 99 99 5 37 995 39 42 43 48 52 56 60 62 63 64 10 Simuler le probl me du match France Irlande par le XV de France anniversaires 10 supporteurs sont r unis pour f ter la victoire du XV de France contre l Irlande Quelle est la probabilit qu au moins deux d entre eux aient le m me jour anniversaire M me question avec 20 30 puis 40 supporteurs Estimation de la probabilit d un v nement simanivp function n 10 nsim 1000 annee lt 1 365 tousdiff lt 0 for 3j in l nsim vecexpe lt sample annee n replace T if length vecexpe length unique vecexpe tousdiff lt tousdiff 1 aumoinsdeux lt 1 tousdiff nsim HXXAKEKEXEAKKX Affichage des r sultats ik dkk k kdk kkk k cat Une estimation de la probabilit qu au moins deux personnes n cat aient le m me jour anniversaire dans une assembl e de n n cat personnes vaut aumoinsdeux n simanivp 47 Une estimation de la probabilit qu au moins deux personnes aient le m me jour anniversaire dans une assembl e de 47 personnes vaut 0 961
44. 44 46 48 50 Nombre de succ s Histogramme d une variable binomiale 0 08 012 Density 0 04 10 15 20 25 n 3 Nombre de succ s chantilons de taile Histogramme d une variable binomiale centr e r duite 0 4 Density 0 2 03 01 Nombre de succ s Variable centr e r duite chantilons de taile 50 Effectif Density Density O 20 40 60 80 2 3 4 5 6 1 0 2 03 0 4 00 01 Diagramme en barre d une variable binomiale n 50 p 0 3 __ 4 bn o 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Nombre de succ s Histogramme d une variable proportion de succ s 02 03 04 05 Proportion de succ s chentilons de taille 50 Histogramme d une variable proportions centr e r duite Proportion de succ s Variable centr e r duite chantilons de taille 50 binocentral Moyenne des comptages comptages 10 87404 Moyenne des comptages centred 0 02900903 Variance des comptages centred 1 035623 Moyenne des proportions 0 29812 Variance des proportions 0 004349615 Moyenne des proportions centred 0 02900903 Variance des proportions centred 1 035623 14 906 Variance des Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 14 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt 16 Simuler la distribution de la somme de n variables al atoires uniformes continues sur a b ind penda
45. 65 i 365 kkkkkkkkkkkkx x x Affichage des r sultats d dkk kd kkk k cat nLa probabilit qu au moins deux personnes aient le anniversaire dans une assembl e de n personnes est cat n Graphe de la probabilit d au moins 2 personnes barplot vectdist xlab taille de l assembl e ylab panniv n 10 d La probabilit qu au moins deux personnes aient le m me jour anniversaire dans une assembl e de 10 personnes est de 0 1169482 Graphe de la probabilit d au moins 2 personnes en fonction de la taille de l assembl e 0 10 j 0 08 1 0 06 1 probabilit 0 04 L 0 02 L 0 00 L taille de l assembl e Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 23 sur 45 R_SimulEtProbal odt Quel est le nombre minimum de supporteurs r unir pour que la probabilit qu au moins deux d entre eux aient le m me jours anniversaire soit sup rieure ou gale 95 calcul d une valeur seuil de n tailleanniv function probmini 95 paumoins2 lt 0 n lt while paumoins2 lt probmini proba lt 1 n lt n 1 for i in 1 1 proba lt proba 365 i 365 paumoins2 lt 1 proba E H ke ke k ke k ke de ke ke k kek k ke Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkk cat nIl faut au moins n personnes dans l assem
46. Distribution 1 de la variable al atoire X 0 1 2 0 3 0 6 0 1 Esp rance de X Il Proba de A 0 4 Distribution des probabilit s 2 des paires r sultats VV VR RV RR 0 10 0 30 0 24 0 36 Proba de B seule la premi re est verte 0 3 Proba de C une seule est verte 0 54 Sachant une seule verte Proba que ce soit la premi re 0 5555556 2 tirages sans remise vv VR RV RR Paires de couleurs Probabilit s 000 010 020 030 Protocole de tirage particulier vv VR RV RR Paires de couleurs 015 030 Probabilit s 0 00 2 tirages sans remise vV VR RV RR Paires de couleurs Probabilit s 900 010 Protocole de tirage particulier vy VR RV Paires de couleurs 030 Probabilit s 015 0 00 Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 40 sur 45 07 09 11 x R_SimulEtProbal odt 4 2010 S Septembre Antilles Bovins malades et test d pistage probabilit s conditionnelles loi binomiale Probabilit d v nements et distribution d une variable MaladBovins function M 01 TsM 85 TsNonM 05 1 arbrepond lt c M TsM M 1 TsM 1 M TsNonM 1 M 1 TsNonM names arbrepond lt c MetT NonMetNonT PdeT lt arbrepond 1 arbrepond 3 PdeMsachantT lt arbrepond 1 PdeT AuMoinsisur5 lt 1 1 PdeT 5 distcout lt c arbrepond 4 arbrepond 1l arbrepond 3 arbrepond 2 na
47. MONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 30 sur 45 R_SimulEtProbal odt 4 m thodes de calcul d IF 2 binomiales 2 asymtotiques IFexact function n 100 ppop 52 kobs 43 proba 95 FRRELELELLLL SSL LS ESS IF binomial m thode inspection kkkkkkkkkkkkkkkk a lt 0 bep repartil lt pbinom 0 n n ppop lower tail T names repartil lt O n p lt 0 while p lt 1 proba 2 1 p lt pbinom a n ppop lower tail T a lt a 1 p lt 0 while p lt 1 1 proba 2 p lt pbinom b n ppop lower tail T D lt o S a l probaab lt sum dbinom a 1 b 1 n ppop if kobs gt a 1 amp kobs lt b 1 hypothese lt ACCEPT E else hypothese lt REFUS E AE H ke e ke ke k de e He de ke ke k ke k ke IF binomial m thode Brigitte et Claudine k x k kk k k kk kkk probabil lt vector length n 1 names probabil lt O n esper lt round n ppop p lt dbinom esper n ppop probabil esper 1 lt p if p gt proba cat nIl n existe pas d IF solution au probl me pos stop a3 lt esper 1 b3 lt esper 1 if as lt 0 b3 gt cat Algorithme ne g rant pas encore les probl mes particuliers aux bornes 0 et n stop p lt sum dbinom a3 b3 n ppop probabillc a3 1 b3 1 lt c p p while p lt proba as lt a3 1I y b3 lt b3 1 if a3 lt 0 b3 gt n cat Algorithme ne g
48. Z X np racine np l p ylab Densit main paste X est de loi binomiale n n p P Subdivision de nbbornes 1 intervalles d tendue 1 sigma nHistogramme de Z en jaune densit gaussienne courbe rouge nLes probabilit s binomiales sont indiqu es en haut des rectangles for i in 1 nbbornes 1 polygon c x i 1 2 sigma x i i 1 c 0 g x i g xlil 1 2 sigma 1 2 sigma x i 1 1 2 sigma 0 col yellow1l text x i l round g x i l 2 01 labels round g x i sigma 4 cex 8 points x dnorm x 0 1 type l col red colors grep grey colors bingausshub n 64 p 5 binf 3 5 bsup 3 5 X est de loi binomiale n 64 p 0 5 Subdivision de 28 intervalles d tendue 0 25 Histogramme de Z en jaune densit gaussienne courbe rouge Les probabilit s binomiales sont indiqu es en haut des rectangles 5 LE An S 2 D pa MES 5 ES sd a S 2e 04 5e 04 0 0011 0 0011 5e 04 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 3 50 3 25 3 00 275 250 225 200 1 75 1 50 1 25 100 075 0 50 0 25 0 00 0 25 0 50 0 75 1 00 1235 1 50 1 75 2 00 2 25 2 50 2 75 3 00 3 26 3 50 variable Z X npyracine np 1 p 1 Extrait du tableau des valeurs de Z X probabilit s binomiales densit s 2 5 2 25 2 1 75 1 5 1 25 1 0 75 0 5 0 25 0 x
49. ariance main paste Variances d chantillons de taille n print histmoy breaks print histmoy counts print histvar breaks print histvar counts Echantillons de taille 4 Echantillons de taille 10 Q N o 5 5 g z S o i E E d 1 o 5 E 5 T T T T 1 0 2 04 06 06 02 04 06 08 10 variable parent uniforme variable parent uniforme Moyennes d chantillons de taille 4 Moyennes d chantillons de taille 10 o o gt gt 7 5 8 Mm Eg 8 g 8 2 F til DB N o o mn T T 1 T T T T T T 1 02 04 06 08 02 03 04 05 06 07 08 variable moyenne variable moyenne Variances d chantillons de taille 4 Variances d chantillons de taille 10 8 8 o O 8 9 a 2 2 lt i ee CL o ETES ji T T T T 1 f T 1 0 00 0 05 010 015 0 20 025 0 05 010 015 variable variance variable variance Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 16 sur 45 R_SimulEtProbal odt 18 Simuler la distribution de la moyenne de n variables al atoires exponentielles ind pendantes MOYENNE DE n variables exponetielles ind pendantes de param tre r Attention pour n 10 il peut arriver que le deuxi me histogramme ne se fasse pas je n ai pas fait de gestion fine des bornes des domaines graphiques centralimite3 fu
50. ation ppop confront e p observ kobs n hypothese n cat nL IF exact des comptages m thode Brigitte et Claudine est n a3 b3 de probabilit p nL IF exact des proportions m thode Brigitte et Claudine est n e3 n b3 n 1 n cat nL IF asymptotique des proportions formule premi re est n asympt1 bsymptl n cat nL IF asymptotique des proportions formule seconde est n asympt2 bsympt2 n Les r sultats sont repr sent s ci dessous Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 31 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt exemple 1 IFexact Tableau partiel de la r partition de X 41 42 0 01772803 0 02857444 61 62 0 9718881 0 9826766 L IF exact des comptages m thode inspection est 42 62 de probabilit 0 9649486 L IF exact des proportions m thode inspection est 0 42 0 62 Hypoth se p population 0 52 p observ 0 43 ACCEPT E confront e L IF exact des comptages m thode Brigitte et Claudine est 42 62 de probabilit 0 9649486 L IF exact des proportions m thode Brigitte et Claudine est 0 42 0 62 L IF asymptotique des proportions formule premi re est 0 4220802 0 6179198 L IF asymptotique des proportions formule seconde est 0 42 0 62 exemple 2 IFexact n 20 ppop 25 kobs 3 proba 95 Tableau partiel de la r partition de X 1 2 0 0
51. bl e pour n qu il y ait une probabilit d au moins qu il se trouve n au moins deux personnes avec le m me jour anniversaire n probmini tailleanniv Il faut au moins 47 personnes dans l assembl e pour qu il y ait une probabilit d au moins 0 95 qu il se trouve au moins deux personnes avec le m me jour anniversaire tailleanniv 99 Il faut au moins 57 personnes dans l assembl e pour qu il y ait une probabilit d au moins 0 99 qu il se trouve au moins deux personnes avec le m me jour anniversaire 3 Calcul de probabilit s de distributions g om triques tronqu es C est la loi d une variable al atoire X prenant pour valeur le rang du premier succ s lors de n preuves ind pendantes de probabilit de succ s p P X 0 1 p et P X kk 1 n 1 p xp Exemple du calcul de P A lt X lt B geotronk function n 6 distribX lt vector length names distribX lt O n distribX 1 lt 1 p n distribX 2 n 1 1 lt 1 p Lin 1 p if A 0 amp B 0 geot lt 1 p n else if A 0 amp B 0 gaot lt 1 p n sum l p 1 B 1 p 10 p 3 A 2 B n 1 else geot lt sum 1 p A B 1 P FRREELELELLESE ELLES k ke Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkk cat Distribution de la g o tronk n n p p n print distribX cat n Probabilit de A lt X lt B
52. c 4 1 FE H He e e de He He ke e e ke e k e ke ke ENAR des r sultats 3 3 40 k k k k k kkk kk k k print tabloeffec nbsim print tabloeffec nbsim barplot tabloeffec xlab COUPLES TIR S ylab Effectif cat Estimation de la probabilit de seule la premi re est verte tabloeffec 2 nbsim n cat Estimation de la probabilit de une seule verte tabloeffec 2 tabloeffec 3 nbsim n cat Estimation de la probabilit que sachant qu une seule verte a t tir e ce soit la premi re tabloeffec 2 tabloeffec 2 tabloeffec 3 n simurnsansd 1 tabloeffec nbsim 0 2 0 3006 0 6034 0 0960 Estimation de la probabilit de 0 verte 0 3006 Moyenne de la distribution simul e du nombre de vertes 0 7954 Estimation de la probabilit de 2 boules de la m me couleur 0 3966 Effectif 1500 2000 2500 3000 f nl 1000 500 fi o 1 2 Nombre de vertes simavecsansd 1 tabloeffec nbsim VV VR RV RR 0 1068 0 3022 0 2334 0 3576 Estimation de la probabilit de seule la premi re est verte 0 3022 Estimation de la probabilit de une seule verte 0 5356 Estimation de la probabilit que sachant qu une seule verte a t tir e ce soit la premi re 0 564227 o m i vv VR RV RR COUPLES TIR S 1500 1000 Effectif 500 1 Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 21 sur 45 07
53. cat n Distribution 1 de la variable al atoire X n print distriblx cat Esp rance de X esperancelX n cat n Proba de A P1A n cat n Distribution des probabilit s 2 des paires r sultats n print distrib2paires cat n Proba de B seule la premi re est verte distrib2paires 2 n cat Proba de C une seule est verte distrib2paires 2 distrib2paires 3 n cat Sachant une seule verte Proba que ce soit la premi re P2sach n par mfrow c 2 1 barplot distribilpaires xlab Paires de couleurs ylab Probabilit s main 2 tirages sans remise barplot distrib2paires xlab Paires de couleurs ylab Probabilit s main Protocole de tirage particulier cingboules vertes 20 rouges 30 Proba de 0 verte 0 3551020 Distribution des probabilit s 1 des paires r sultats VV VR RV RR 0 1551020 0 2448980 0 2448980 0 3551020 Distribution 1 de la variable al atoire X 0 1 2 0 3551020 0 4897959 0 1551020 Esp rance de X 0 8 Proba de 0 5102041 Distribution des probabilit s 2 des paires r sultats VV VR RV RR 0 1551020 0 2448980 0 2400000 0 3600000 Proba de B seule la premi re est verte 0 2448980 Proba de C une seule est verte 0 484898 Sachant une seule verte Proba que ce soit la premi re 0 5050505 cinqgboules Proba de 0 verte 0 3 Distribution des probabilit s 1 des paires r sultats VV VR RV RR 0 1 0 3 0 3 0 3
54. e 2 nbsim n cat Estimation de la proba de gagner en 2 lancers o 1 2 3 tablogagne 3 nbsim p n rang du lancer gagnant cat Estimation de la proba de gagner en 3 lancers tablogagne 4 nbsim n cat Estimation de la proba de gagner sum tablogagne 2 4 nbsim n cat Estimation de la proba degagner au moins une partie sur 6 AuMoinslsur6 n cat n Distribution sumul e de la variable al atoires X n print distribX cat Esp rance de X esperanceX n par mfrow c 2 1 barplot tablogagne nbsim xlab rang du lancer gagnant ylab fr quence sumul e barplot distribX xlab gain en ylab fr quence sumul e flechesD gagne 6 Distribution simul e du rang du lancers gagnant sur 3 lancers 0 1 2 3 0 5005 0 0000 0 2490 0 2505 04 06 fr quence sumul e 02 06 fr quence sumul e 02 04 2 1 3 00 gain en 04 02 Estimation de la proba de perdre apr s 3 lancers 0 5005 mn Estimation de la proba de gagner en 1 lancer 0 Estimation de la proba de gagner en 2 lancers 0 249 o 1 3 Estimation de la proba de gagner en 3 lancers 0 2505 Estimation de la proba de gagner 0 4995 Estimation de la proba degagner au moins une partie sur 6 0 984281 fr quence sumul e 00 rang du lancer gagnant Distribution sumul e de la variable al atoires X 2 1 3 0 5005 0 2505 0 2490 Esp rance de X 0 0035 0 2
55. e couleur 2 On effectue deux tirages successifs d une boule en respectant la r gle suivante si la boule tir e est rouge on la remet dans l urne si elle est verte on ne la remet pas a En utilisant un arbre pond r calculer la probabilit des v nements suivants B seule la premi re boule tir e est verte C une seule des deux boules tir es est verte b Sachant que l on a tir exactement une boule verte quelle est la probabilit que cette boule verte soit la premi re tir e 4 2010 S Septembre Antilles Bovins malades et test d pistage probabilit s conditionnelles loi binomiale Un test est mis au point et essay sur un chantillon d animaux dont 1 est porteur de la maladie On obtient les r sultats suivants e si un animal est porteur de la maladie le test est positif dans 85 des cas e si un animal est sain le test est n gatif dans 95 des cas 1 Construire un arbre pond r mod lisant la situation propos e 2 Un animal est choisi au hasard a Quelle est la probabilit qu il soit porteur de la maladie et que son test soit positif b Montrer que la probabilit pour que son test soit positif est 0 058 3 Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif Quelle est la probabilit pour qu il soit porteur de la maladie 4 On choisit cinq animaux au hasard La taille de ce troupeau permet de consid rer les preuves comme ind pendantes et d a
56. e de 1000 simulations du jet d une pi ce quilibr e pour estimer la probabilit d obtenir pile cod 1 piecel lt sample c Pile Face 1000 replace TRUE Diagramme en varre de 1000 mors distpiecel lt table piecel g ooo piecel Face Pile 465 535 u barplot distpiecel Sa sum piecel Pile 1000 estimer une probabilit 1 0 535 Une estimation de la probabilit d obtenir pile est 535 1000 D Exemple de 1000 simulations du jet d un d 6 faces quilibr es pour estimer la probabilit d obtenir la face 4 de1l lt sample c 1 6 1000 replace TRUE Diagramme en barre ds 10 din distdel lt table de1 del 1 2 3 4 5 6 i 180 175 165 177 146 157 7 barplot distdel ss sum del 4 1000 estimer une probabilit 1 0 177 Une estimation de la probabilit d obtenir la face 4 est 177 1000 Num ro de la face du d 2 Simuler la somme des valeurs des faces obtenues en lan ant 2 d s 6 faces quilibr es L exp rience consiste lancer deux d s 6 faces quilibr es et faire la sommes S des valeurs obtenues Il s agit alors de d terminer la distribution simul e de S et d en d duire une estimation de la probabilit d obtenir la somme 7 Exemple de 1000 simulations del lt sample c 1 6 1000 replace TRUE z de2
57. es d croissantes de la variable nombre de points l issue de 3 lancers n print cumsum distpoint nbpoint 1 nbpoint 1 cat n Probabilit de perdre la partie probaperdre n cat Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P g1 pgl n cat Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 pg2 n cat Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 pg3 n cat Probabilit de gagner la partie probagagner n n cat En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire n qu il n y a pas d apprentissage n la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 1 1 probagagner 6 n n cat La distribution de X est n print distribX cat L esp rance de X est esperanceX n par mfrow c 3 1 barplot distpoint ylab Probabilit s barplot cumsum distpoint ylab Probabilit s cumul es barplot cumsum distpoint nbpoint 1 nbpoint 1 ylab Probabilit s cumul es xlab Total des points sur 3 lancers Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 35 sur 45 R_SimulEtProbal odt R sultats 2011 S Avril Pondich ry fl chettes pas d interruption des lancers lorsque la partie est gagn e Partie A 2 4 Tout l arbre Distributions d une variable al atoire discr te troislancers Distribution de la variable nombre de points l issue de 3 la
58. eurs comme indiqu sur la figure ci contre On suppose que les lancers sont ind pendants et que le joueur touche la cible tous les coups 1 Le joueur lance une fl chette On note po la probabilit d obtenir 0 point On note p la probabilit d obtenir 3 points On note p la probabilit d obtenir 5 points On a donc po p p 1 Sachant que ps p 2 et que ps po 3d terminer les valeurs de po p et ps 2 Une partie de ce jeu consiste lancer trois fl chettes au maximum Le joueur gagne la partie s il obtient un total pour les 3 lancers sup rieur ou gal 8 points Si au bout de 2 lancers il a un total sup rieur ou gal 8 points il ne lance pas la troisi me fl chette On note G2 l v nement le joueur gagne la partie en 2 lancers On note G3 l v nement le joueur gagne la partie en 3 lancers On note P l v nement le joueur perd la partie On note p la probabilit d un v nement A a Montrer en utilisant un arbre pond r que p G2 5 36 On admettra dans la suite que p G3 7 36 b En d duire p P 3 Un joueur joue six parties avec les r gles donn es la question 2 Quelle est la probabilit qu il gagne au moins une partie 4 Pour une partie la mise est fix e 2 Si le joueur gagne en deux lancers il re oit 5 S il gagne en trois lancers il re oit 3 S il perd il ne re oit rien On note X la variable al atoire correspo
59. ffichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkk cat Estimation de la probabilit d au moins k malades parmi 05 nbsim 5000 5000 testbovmal Proba estim e de malade et test positif 0 0084 Proba estim e de test positif 0 0584 Proba estim e de bovin malade sachant test positif 0 1438356 cinqgbovins Estimation de la probabilit d au moins 1 malades parmi les 5 0 253 les n nbaumoinsk nbsim n Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 22 sur 45 R_SimulEtProbal odt C CALCULER DES PROBABILIT S PAR LES MOD LES MATH MATIQUES 1 D nombrer les sommes obtenues avec plusieurs d s Certains exercices de probabilit font intervenir les sommes des valeurs des faces obtenues en lan ant plusieurs d s Il s agit de d nombrer toutes les sommes possibles sommes utiles dans les calculs de probabilit s La fonction table renvoie un tableau avec la valeur des sommes et leurs effectifs Distribution des sommes obtenues avec 2 d s a lt matrix 0 6 6 for i in 1 6 for j in 1 6 a i j lt i j table a a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 sum table a 1 36 Distribution des sommes obtenues avec 3 d s a lt array 0 dim c 6 6 6 for i in 1 6 1 for j in 1 6 for k in 1 6 af i 3 k lt i j k table a a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 su
60. h nbsim tabloeffec lt rep 0 n 1 names tabloeffec lt O n for i in l nbsim vectepreuv lt sample urne n replace F vectexpe lt sum vectepreuv DistSim i lt vectexpe effec lt table DistSim tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec E k He e k de ke He de ke ke k ke ke k ke Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkxk print tabloeffec nbsim print tabloeffec nbsim barplot tabloeffec xlab Nombre de vertes ylab Effectif cat Estimation de la probabilit de 0 verte tabloeffec 1 nbsim n cat Moyenne de la distribution simul e du nombre de vertes mean DistSim n cat Estimation de la probabilit de 2 boules de la m me couleur tabloeffec 1 tabloeffec 3 nbsim n Distribution simul e d une variable qualitative simavecsansd function n 2 r 3 v 2 nbsim 5000 urnel lt rep c 0 1 c r v urne2 lt rep c 0 1 ctr v 1 tabloeffec lt rep 0 4 names tabloeffec lt c VV VR RV RR for i in 1 nbsim tiragel lt sample urnel 1 if tiragel 0 tirage2 lt sample urne1l 1 else tirage2 lt sample urne2 1 if tiragel 1 amp tirage2 1 tabloeffec 1 lt tabloeffec 1 1 if tiragel 1 amp tirage2 0 tabloeffec 2 lt tabloeffec 2 1 if tiragel 0 amp tirage2 1 tabloeffec 3 lt tabloeffec 3 1 if tiragel 0 amp tirage2 0 tabloeffec 4 lt tabloeffe
61. ile la lecture des algorithmes Les fonctions R ont une structure plus simple que les algorithmes LARP Fonction auxiliaire quatrejets function unsixouplus lt 0 jeu lt sample 1 6 4 replace T nbsix sum jeu 6 if nbsix gt 1 unsixouplus lt 1 return unsixouplus Fonction auxiliaire vingtquatrejets function undoublesixouplus lt 0 del lt sample 1 6 24 replace T de2 lt sample 1 6 24 replace T nbdoublesix lt sum del which del de2 6 if nbdoublesix gt 1 undoublesixouplus lt 1 return undoublesixouplus Estimation de la probabilit d un v nement meresix function nsim 2000 aumoinsunsix lt 0 aumoinsundoublesix lt 0 for j in 1 nsim aumoinsunsix lt aumoinsunsix quatrejets aumoinsundoublesix lt aumoinsundoublesix vingtquatrejets HrxkkxkkXkkKKXAX Affichage des r sultats i dkk kkk kkk k cat Fr quence des six aumoinsunsix nsim n cat Fr quence des doubles six aumoinsundoublesix nsim n meresix Fr quence Fr quence 0 4815 des des meresix Fr quence Fr quence 0 485 des des 5215 six six 0 doubles 5125 six six 0 doubles Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 4 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt 5 Simuler le probl me historique du croix ou pile de d Alembert gt Il s agit de trouver la probabilit d amener cro
62. ix gagnant en deux coups au plus La partie s arr te d s que l on a gagn elle peut donc comporter un ou deux coups Le fait que la partie s arr te d s que l on gagne rend la mod lisation moins facile Par contre la simulation reste assez simple Estimation de la probabilit d un v nement croixpile croixpile function nrep 1000 1 Une estimation de la statcroix lt 0 probabilit de croix en for i in 1 nrep jouant au plus 2 fois croix lt 0 jeu lt sample c 0 1 1 o if jeu 1 croix lt 1 else i jeu lt sample c 0 1 1 r i if jeu 1 croix lt 1 croixpile 5000 1 Une estimation de la statcroix lt statcroix croix probabilit de croix en jouant au plus 2 fois kkkkkkkkkkkkkkkk Affichage des r sultats ik di dkk kkk kk kkk vaut print Une estimation de la probabilit de croix en jouant au 1 0 7496 plus 2 fois vaut print statcroix nrep gt On peut g n raliser le croix ou pile et simuler pour estimer la probabilit de gagner croix en au plus k lancers au sens de d Alembert c est dire dans un jeu de n coups au plus le jeu s arr tant quand on gagne Estimation de la probabilit d un v nement croixpilegenep croixpilegenep function n 6 k 4 nrep 1000 Une estimation de la statkcroix lt 0 probabilit de gagner statOcroix lt 0 en 4 coups au plus en for j in l nrep jouant au plus 6 fois EC S est 0 925 croix
63. ix lt sum jeu 10 Fr quence des neuf AA K k k k k k k k k SE Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkk Fr quence des dix cat Fr quence des neuf neuf nsim n toscanep 10000 cat Fr quence des dix dix nsim n Fr quence des neuf Fr quence des dix 0 137 0 116 0 115 0 136 0 1182 0 1272 0 1169 0 128 4 Simuler le probl me historique du chevalier de M r Est il avantageux lorsqu on joue au d de parier sur l apparition d un 6 en lan ant 4 fois le d Est il avantageux de parier sur l apparition d un double six quand on lance 24 fois deux d s Le chevalier de M r qui tait un grand joueur avait remarqu que le premier jeu tait avantageux Il pensait que le deuxi me aussi tait avantageux Avait il raison Pr cisions strat giques avantageux signifie plus de 50 de chance de r alisation et obtenir 6 lors du jeu c est obtenir au moins une fois 6 sur tous les lancers La fonction principale meresix utilise deux fonctions annexes quatrejets et vingtquatrejets qui renvoient 1 si il y a eu respectivement au moins un six dans les 4 jets d un d ou au moins un double 6 dans les 24 jets de deux d s ou 0 sinon Il est instructif de noter qu il n y a pas eu besoin de boucles dans ces fonctions annexes R poss dants des fonctions vectorielles labor es permettant d viter les boucles tr s consommatrices de temps de calcul et rendant plus diffic
64. la loi binomiale n 50 p 0 5 m BM0 m ENO m BM0 D GAUSS D GAUSS na D GAUSS CE 5 Ra S S 2 8 5 o 5 gt g g 51 SA 3 3 3 5 3 amp F E g 8 8 3 2j 5 3 8 5 2 8 5 8 a 5 5J 5 8 IE 3J l FEES 8 Ai h X 5 S 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0128456789 11 13 15 17 19 0 3 6 9 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Valeurs de la variable discr te Valeurs de la variable discr te Valeurs de la variable discr te Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 26 sur 45 R_SimulEtProbal odt 6 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss version Hubert BinGaussHub bingausshub lt function n 64 p 5 binf 3 5 bsup 3 5 sigma sqrt n p 1 p nbbornes bsup binf sigma 1 x lt seq binf bsup length out nbbornes probino lt matrix data NA ncol nbbornes nrow 3 dimnames list c X Probabilit s bino lt function v dbinom floor v 5 n p g lt function v sigma f n p sigma v probino l lt floorin p sigma x 5 probinof3 lt g x HXXKKKKEEEEKKKX Affichage des r sultats et des graphiques k kkk kk kkk kx print Tableau des valeurs de Z X probabilit s binomiales densit s print probino Densit s x probino 2 lt g x sigma plot x probino 3 type n lty 2 xaxp c binf bsup nbbornes 1 ylim c 0 max g x cex axis 8 xlab variable
65. lass 25 moyennes lt vector length nsim variances lt vector length nsim for i in 1 nsim expe lt runif n min a max b expe lt rexp n rate r moyennes i lt mean expe variances i lt var expe par mfrow c 3 1 infexpe lt floor min expe 100 100 supexpe lt ceiling max expe 100 100 etendexpe lt supexpe infexpe nbclass infmoy lt floor min moyennes 100 100 supmoy lt ceiling max moyennes 100 100 etendmoy lt supmoy infmoy nbclass infvar lt floor min variances 100 100 supvar lt ceiling max variances 100 100 etendvar lt supvar infvar nbclass E H He e He e e He e He e He He e He e He He He He e He e He He ke He e He He ke ke ke ke ke ke Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxkkkkkk cat etendmoy etendvar n cat Moyenne des moyennes mean moyennes Variance des moyennes var moyennes n Moyenne des variances mean variances Variances des variances var variances n histexpe lt hist expe breaks seq infexpe supexpe etendexpe right F xlab variable parent uniforme main paste Echantillons de taille n histmoy lt hist moyennes breaks seq infmoy supmoy etendmoy right F xlab variable moyenne main paste Moyennes d chantillons de taille n histvar lt hist variances breaks seq infvar supvar etendvar right F xlab variable v
66. llustrer ces propos je vais vous pr senter quelques exemples pris dans le domaine de la simulation d exp riences al atoires et dans le domaine du calcul des probabilit s Ces exemples restent dans le cadre des programmes du coll ge et du lyc e Pour chaque exemple j ai presque toujours pr sent les deux alternatives de r solution simulation et formalisation math matique Lorsque c est possible et pertinent j ai mis l accent sur les distributions desquelles on peut d duire les valeurs ponctuelles solutions des probl mes pos s Mode d emploi Les textes en orange contiennent les lignes de commande R Ils peuvent tre copi coll directement dans la console R Lors du coll toutes les lignes sont ex cut es sauf la derni re il suffit alors de valider pour l ex cuter et voir se terminer l affichage des r sultats Attention dans R il faut respecter la casse Les lignes en vert sont des parties de r ponses de R ne pas coller dans la console Les textes en turquoise contiennent le code des fonctions R c est un langage fonctionnel c est dire que la meilleure fa on de le programmer est sous forme de fonctions au sens informatique du terme Un fa on simple d ex cuter une fonction est de copier coller son code dans la console R en validant pour terminer le coll de la derni re ligne On ex cute ensuite la fonction en saisissant sont nom suivit sans espace de Ce nom figure obligatoirement en d but du code
67. lt 2 9 2 1 5 i 0 5 0 0 5 Xx 3 2 1 0 000000000 1 00000000 2 0000000 3 0000000 4 0000000 5 0000000 6 0000000 Probabilit s bino 0 0 0 0 003777893 0 02361183 0 0708355 0 1357680 0 1866811 0 1960151 0 1633459 Densit s 0 0 0 0 007555786 0 04722366 0 1416710 0 2715361 0 3733621 0 3920302 0 3266918 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 X 7 0000000 8 00000000 9 00000000 10 00000000 11 000000000 12 000000000 1 300000e 01 Probabilit s bino 0 1108419 0 06234855 0 02944237 0 01177695 0 004014869 0 001171003 2 927509e 04 Densit s 0 2216837 0 12469711 0 05888475 0 02355390 0 008029738 0 002342007 5 855017e 04 On rappelle que X suit une loi binomiale de param tres n et p et que Z X n p racine n p 1 p Voici quelques couples n p tels que sigma racine n p 1 p soit entier dont certaines valeurs de 1 sigma fournissent des valeurs d cimales pour les bornes des intervalles des subdivisions entre 4 et 4 L tendue de chaque intervalle d une subdivision est 1 sigma n 4 25 36 48 64 100 100 100 144 150 192 196 p 0 5 0 2 0 5 0 75 0 5 0 2 0 5 0 9 0 5 0 4 0 75 0 5 sigma 1 2 3 3 4 4 3 3 6 6 6 7 mu 2 5 18 36 32 20 50 90 72 60 144 98 Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 28 sur 45 R_SimulEtProbal odt 7 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss version Robert BinoGaussRob binogausrob lt function n 30
68. m table a 1 216 Distribution des sommes obtenues avec 4 d s a lt array 0 dim c 6 6 6 6 for i in 1 6 1 for j in 1 6 1 for k in 1 6 for L in 1 6 ali j k 1 lt 2 73 k 1 table a a 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4 10 20 35 56 80 104 125 140 146 140 16 17 18 19 20 21 22 23 24 125 104 80 56 35 20 10 4 1 sum table a 1 1296 2 Le probl me France Irlande par le XV de France probl me des anniversaires 10 supporteurs sont r unis pour f ter la victoire du XV de France contre l Irlande Quelle est la probabilit qu au moins deux d entre eux aient le m me jour anniversaire M me question avec 20 30 puis 40 supporteurs panniv function n 20 d F if d F proba lt 1 if n 0 n 1 proba lt 1 else for i in l n 1 proba lt proba 365 i 365 paumoins2 lt 1 proba m me jour n paumoins2 n else vectdist lt vector length n 1 names vectdist lt 2 n for s in 2 n proba lt 1 paumoins2 lt 1 proba vectdist j 1 lt paumoins2 m me jour n de paumoins2 n en fonction n de la taille de l assembl e print vectdist Na probabilit Probabilit ponctuelle et graphique en fonction de n cat La probabilit qu au moins deux personnes aient le anniversaire dans une assembl e de n personnes est de for i in 1 j 1 proba lt proba 3
69. mes distcout lt c 0 100 1000 esperancecout lt sum distcout as numeric names distcout troupeau200 lt 200 esperancecout HXXAKEEELEAKEEEKXEX Affichage des r sultats k kd kkk kk kkk k cat n Probabilit s au bout des branches n print arbrepond MetnonT NonMetT cat n Proba de M et T arbrepond 1 n cat Proba de T PdeT n cat Sachant T Proba de M PdeMsachantT n cat n Au moins T un sur les cinq n cat n Esp rance de la variable co t e n cat Esp rance de co t pour un troupeau de 200 bovins troupeau200 n barplot arbrepond 1 3 xlab v nements Probabilit MaladBovins TsM 95 TsNonM 01 Probabilit s au bout des branches MetT MetnonT NonMetT NonMetNonT 0 0095 0 0005 0 0099 0 9801 AuMoins1sur5 esperancecout ylab Proba de M et T 0 0095 Proba de T 0 0194 Sachant T Proba de M 0 4896907 Au moins T un sur les cinq 0 0933087 Esp rance de la variable co t 2 44 Esp rance de co t pour un troupeau de 200 bovins 488 MaladBovins Probabilit s au bout des branches MetT MetnonT NonMetT NonMetNonT 0 0085 0 0015 0 0495 0 9405 Proba de M et T 0 0085 Proba de T 0 058 Sachant T Proba de M 0 1465517 Au moins T un sur les cinq 0 2582552 Esp rance de la variable co t 7 3 Esp rance de co t pour un troupeau de 200 bovins 1460 0 04 0 03 1
70. nbannee j lt sum runif n lt p nbaumoinsk lt sum vecnbannee gt k AEA K k k k k k k kek k k k kk k k Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkk cat Estimation de la probabilit d au moins k non cycliste gagnant n au cours des n prochaines ann es nbaumoinsk nbsim n velorollerp Une estimation de la probabilit de velo 0 42095 Une estimation de la probabilit de roller 0 3006 Une estimation de la probabilit de pied 0 27845 Une estimation de la probabilit sachant velo de jeton L 0 4154888 sixannees Estimation de la probabilit d au moins 1 non cycliste gagnant au cours des 6 prochaines ann es 0 9114 Distribution simul e de variables qualitatives velorollerd function urne c V R P L urneL c 7 2 1 nbsim 20000 j distexpe lt vector length 6 ou rep 0 4 g names distexpe lt c V R P LV LR LP e for j in 1 nbsim jeton lt sample urne 1 replace T if jeton V distexpe l lt distexpe l 1 da 8 if jeton R distexpe 2 lt distexpe 2 1 v R P LV LR LP if jeton P distexpe 3 lt distexpe 3 1 if jeton L tirage2 lt sample c V R P 1 prob urneL replace T if tirage2 V distexpe 4 lt distexpe 4 1 if tirage2 R distexpe 5 lt distexpe 5 1 3 3 if
71. ncers 020 Probabilit s 910 0 3 5 6 8 9 0 12500000 0 25000000 0 12500000 0 16666667 0 16666667 0 03703704 8 10 11 13 15 i 0 04166667 0 05555556 0 02777778 0 00462963 R partition de la variable nombre de points l issue de 3 lancers 0 3 5 6 8 9 10 0 1250000 0 3750000 0 5000000 0 6666667 0 8333333 0 8703704 0 9120370 s 11 13 15 04 0 9675926 0 9953704 1 0000000 Probabilit s cumul es o o Proba cumul es d croissantes de la variable nombre de points l issue de 3 lancers 0 3 5 6 8 9 1 00000000 0 87500000 0 62500000 0 50000000 0 33333333 0 16666667 10 11 13 15 2 0 12962963 0 08796296 0 03240741 0 00462963 Probabilit s cumul es 4 Probabilit de perdre la partie 0 6666667 Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P gl 0 Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 0 1388889 Total des points sur 3 lancers 0 3 5 8 10 Li 13 15 ee 0 3 5 6 8 3 10 11 13 15 2 T __ 3 5 6 8 3 10 11 13 15 Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 0 1944444 Probabilit de gagner la partie 0 3333333 En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire qu il n y a pas d apprentissage la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 0 9122085 La distribution de X est 2 1 3 0 6666667 0 1944444 0 1388889 L esp rance de X est 0 7222222 Que se passe t il lorsque le total de points pour gagner change troislancers
72. nction n 40 r 1 nsim 1000 nbclass 40 expon lt NA moyennes lt rep NA nsim mu lt 1 r sigma lt 1 r sgrt n for i in l nsim expe lt rexp n rate r expon lt c expon expe moyennes i lt mean expe moyecr lt moyennes mu sigma x lt seq 5 5 10 nbclass ygaus lt dnorm x HXXXXXkXkkkkkAffichage des graphiques et des r sultats kkxkkxkkx xx par mfrow c 2 1 histexpe lt hist expon right F freq F xlab variable parent exponentielle main paste nsim Echantillons de taille n histmoye lt hist moyecr right F freq F breaks seq 5 5 10 nbclass xlab variable moyenne centr e r duite xaxp c 5 5 10 main paste nsim Moyennes d chantillons de taille n points x ygaus type 1 centralimite3 n 10 centralimite3 n 50 1000 Echantillons de taille 10 1000 Echantillons de taille 50 lt o _ _ oO WO J L e J O D amp Kg T Kig T 3 3 w S oO Oo o j COI a J 2 T T T 1 2 T T T T 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 variable parent exponentielle variable parent exponentielle 1000 Moyennes d chantillons de taille 10 1000 Moyennes d cha
73. ndant au gain alg brique du joueur pour une partie Les valeurs possibles pour X sont donc 2 I et 3 a Donner la loi de probabilit de X b D terminer l esp rance math matique de X Le jeu est il favorable au joueur 2 2011 S Mars Nouvelle Cal donie villages sport Probabilit s conditionnelles et loi binomiale Chaque ann e deux villages et B organisent un concours sportif Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapt Pour le tirage on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher Sur un premier jeton figure la lettre V sur le second la lettre R sur le troisi me la lettre P et sur le dernier la lettre L Un concurrent tire au hasard un jeton s il tire le jeton sur lequel figure la lettre V il effectuera le trajet v lo s il tire le jeton sur lequel figure la lettre R Il effectuera le trajet en roller s il tire le jeton sur lequel figure la lettre P il effectuera le trajet pied s il tire le jeton sur lequel figure la lettre L il choisira librement son mode de transport parmi les trois pr c dents On observe que lorsqu un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L il choisit le v lo dans 70 des cas il choisit le roller dans 20 des cas il d cide de faire le parcours pied dans 10 des cas 1 Construire un arbre
74. ntes C est une illustration dans le cas particulier d une distribution de la variable parent uniforme 0 1 qui est une distributions sym trique En faisant passer le de la ligne 6 la ligne 7 peut tr s facilement illustrer le cas d un variable parent distribution dissym trique comme la distribution exponentielle centralimitel function a 0 b 1 r 1 n 4 nsim 1000 nbclass 40 sommes lt rep NA nsim mu lt n a b 2 sigma lt sgrt n b a 2 12 for i in 1 nsim expe lt rexp n rate r expe lt runif n min a max b sommes i lt sum expe somexpe lt sommes mu sigma x lt seq 4 4 8 nbclass ygaus lt dnorm x HXXXXXXXXkXkAffichage des graphiques et des r sultats k kik dk dkk k cat Moyenne des sommes mean somexpe Variance des sommes var somexpe n par mfrow c 2 1 histexpe lt hist expe breaks seq a b b a nbclass right F freq F xlab
75. ntillons de taille 50 To o om gi zo 7 gt 2 gd EE a hi A il a jJ ns e 2 J N 2 T T T T T T T T T 1 2 T T T T T T T T T 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 2 3 4 5 variable moyenne centr e r duite variable moyenne centr e r duite Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD y 84200 CARPENTRAS page 17 sur 45 R_SimulEtProbal odt 19 Simuler quelques exercices d annales de bac 1 2011 S Avril Pondich ry fl chettes preuves successives r p t es trois issues Partie Les 3 lancers de chaque partie sont effectu s sans flechesD interruption Distribution simul e de variables et estimation de probabilit s flechesD function cible c 0 3 5 proba c 3 6 2 6 1 6 n 3 gagne 8 nbsim 2000 1 vectgagne lt vector length nbsim tablogagne lt rep 0 n 1 names tablogagne lt O n for i in l nbsim partie lt sample cible n proba replace T if sum partie lt gagne vectgagne i lt 0 else if partie 1 gt gagne vectgagne i lt 1 else if sum partie 1 2 gt gagne vectgagne i lt 2 else vectgagne i lt 3 Distribution simul e du rang du lancers gagnant sur 3 lancers 0 1 2 3 0 6685 0 0000 0 1350 0 1965 Estimation de la proba de perdre apr s 3 lancers 0 6685 Estimation de la proba de gagner en 1 lancer 0 Estimation de la proba de gagner en 2 lancers 0 135 Estimation de la proba de gagner
76. ons binomiales ere 24 5 Approximations de probabilit s binomiales par la loi de Gauss BinoClocheBernard 25 6 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss version Hubert BinGaussHub 27 7 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss version Robert BinoGaussRob 29 8 Calcul d un intervalle de fluctuation IF bilat ral binomial exact et asymptotique 30 9 Calcul de l intervalle de confiance IC d une proportion terminale S ss 34 10 Les probabilit s dans un mod le d urne chantillonnage sans remise 35 11 Calculer les probabilit s dans quelques exercices d annales de bac 35 1 2011 S Avril Pondich ry fl chettes preuves successives r p t es trois ISSUES 35 2 2011 S Mars Nouvelle Cal donie villages sport Probabilit s conditionnelles et loi binomiale 39 3 2010 S Novembre Nouvelle Cal donie urne boules tirages avec et sans remise probabilit s conditionnelles 40 4 2010 S Septembre Antilles Bovins malades et test d pistage probabilit s conditionnelles loi binomiale 41 D R CHANTILLONNAGE OU BOOTSTRAP POUR D TERMINER UN
77. op gt ICGauss lower amp ppop lt ICGauss upper hypothese lt ACCEPT E else hypothese lt REFUS E cat nIC proba approximation gaussienne classique de la loi binomiale selon R n print ICGauss cat Hypoth se ppop ppop hypothese n kxkkkkkkkkk IC exact binomial au seuil de proba selon R kdk dk kkk kk k ICExact lt binom exact kobs n conf level proba if ppop gt ICExact lower amp ppop lt ICExact upper hypothese lt ACCEPT E else hypothese lt REFUS E cat nIC proba binomial exact selon R n print ICExact cat Hypoth se ppop ppop hypothese n ICGaussEx IC 95 approximation gaussienne de la loi binomiale selon programme Term S 0 33 0 53 Hypoth se ppop 0 52 ACCEPT E IC 0 95 approximation gaussienne classique de la loi binomiale 0 3329669 0 5270331 Hypoth se ppop 0 52 ACCEPT E IC 0 95 approximation gaussienne classique de la loi binomiale selon R x n proportion lower upper conf level 1 43 100 0 43 0 3329669 0 5270331 0 95 Hypoth se ppop 0 52 ACCEPT E IC 0 95 binomial exact selon R x n proportion lower upper conf level 1 43 100 0 43 0 331391 0 5328663 0 95 Hypoth se ppop 0 52 ACCEPT E ICGaussEx kobs 42 IC 95 approximation gaussienne de la loi binomiale selon programme Term S 0 32 0 52 Hypoth se ppop 0 52 ACCEPT E IC 0 95 approxima
78. partie en 2 lancers P g2 pg2 n cat Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 pg3 n cat Probabilit de gagner la partie probagagner n n cat En supposant toutes les parties ind pendantes ce qui voudrait dire n qu il n y a pas d apprentissage n la probabilit de gagner au moins une fois en 6 parties est 1 1 probagagner 6 n n cat La distribution de X est n print distribX cat L esp rance de X est esperanceX n barplot distribX xlab variable al atoire gain en ylab Probabilit s Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD S 84200 CARPENTRAS page 37 sur 45 R_SimulEtProbal odt R sultats 2011 S Avril Pondich ry fl chettes interruption des lancers lorsque la partie est gagn e Partie B 4 4 Arbre partiel Distributions d une variable al atoire discr te L algorithme arr te le parcours de l arbre quand la partie est gagn e flechearret Branches gagnantes et points obtenus au moins gaux 8 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 0 0 0 O 8 O 810 O0 O 8 O 9 8 8 810 O 810 8 11 24 25 26 27 8 10 8 10 Probabilit de perdre la partie 0 6666667 Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P gl 0 Probabilit de gagner la partie en 2 lancers P g2 0 1388889 Probabilit de gagner la partie en 3 lancers P g3 0 1944444 Probabilit de gagner la partie 0 3333333
79. probl me des chapeaux de Montmort ou permutations sans point fixe 12 15 Simuler la distribution des proportions tir es d chantillons al atoires simples et ind pendants 13 16 Simuler la distribution de la somme de n variables al atoires uniformes continues sur a b ind pendantes 15 17 Simuler la distribution des moyennes et des variances d chantillons al atoires simples et ind pendants 16 18 Simuler la distribution de la moyenne de n variables al atoires exponentielles ind pendantes 17 19 Simuler quelques exercices d annales de bac sense 18 1 2011 S Avril Pondich ry fl chettes preuves successives r p t es trois ISSUES 18 2 2011 S Mars Nouvelle Cal donie villages sport Probabilit s conditionnelles et loi binomiale 20 3 2010 S Novembre Nouvelle Cal donie urne boules tirages avec et sans remise probabilit s conditionnelles 21 4 2010 S Septembre Antilles Bovins malades et test d pistage probabilit s conditionnelles loi binomiale 22 C CALCULER DES PROBABILIT S PAR LES MOD LES MATH MATIQUES 23 1 D nombrer les sommes obtenues avec plusieurs d s ses 23 2 Le probl me France Irlande par le XV de France probl me des anniversaires 23 3 Calcul de probabilit s de distributions g om triques tronqu es 24 4 Calculs de probabilit s de distributi
80. probs 1 proba 2 amp ppop lt quantile vectprop probs 1 1 proba 2 hypothese lt Accept e else hypothese lt Refus e infprop lt floor min vectprop 100 100 supprop lt ceiling max vectprop 100 100 etendprop lt supprop infprop nbclass histprop lt hist vectprop breaks seq infprop supprop etendprop right F plot F kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk Affichage des r sultats 3 4 4 ke d d diek ded dkk de d dekek ke de k k k cat nTableau des quantiles n print quantiles cat n La proportion dans l chantillon observ est kobs n n La d cision est l hypoth se ppop ppop est hypothese n par mfrow c 2 1 plot histprop xlab paste Proportion de succ s chantillons de taille n ylab Effectifs main Distribution simul e d une variable proportion de succ s plot histprop breaks ecdf vectprop histprop breaks type 1 xlab paste Proportion de succ s Echantillons de taille n ylab Fr quences cumul es main R partition simul e d une variable proportion de succ s abline h c 025 05 lt 25 5 75 1957 975 ICpropboot ICpropboot proba 90 Pour un test unilat ral Tableau des quantiles Tableau des quantiles 2 5
81. ranceX n g par mfrow c 2 1 k barplot tablogagne nbsim xlab rang du lancer gagnant ylab fr quence sumul e barplot distribX xlab gain en ylab fr quence sumul e gain en flechesD gagne 6 Distribution simul e du rang du lancers gagnant sur 3 lancers 0 1 2 3 0 504 0 000 0 259 0 237 04 02 Estimation de la proba de perdre apr s 3 lancers 0 504 IE Estimation de la proba de gagner en 1 lancer 0 Estimation de la proba de gagner en 2 lancers 0 259 3 3 Estimation de la proba de gagner en 3 lancers 0 237 Estimation de la proba de gagner 0 496 Estimation de la proba degagner au moins une partie sur 6 0 9836098 fr quence sumul e 00 rang du lancer gagnant Distribution sumul e de la variable al atoires X 2 1 3 0 504 0 237 0 259 Esp rance de X 0 006 02 04 fr quence sumul e 00 Y 3 gain en Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD F 84200 CARPENTRAS page 18 sur 45 R_SimulEtProbal odt Simulation de 2011 S Avril Pondich ry fl chettes suite Partie B On arr te les lancers d s que la partie est gagn e flechesD Distribution simul e de variables Distribution simul e du rang du et estimation de probabilit s Dour lt b si ice S 3 is flechesD function cible c 0 3 5 proba c 3 6 2 6 1 6 n 3 gagne 8 nbsim 2000 0 662 0 000 0 139 0 199 vec
82. re boule rouge tir e tirage SANS remise Mod le d urne Une urne contient m boules dont r rouges On tire successivement sans remise n boules dans l urne et on note leurs couleurs dans l ordre La variable al atoire X tudi e est le rang de la premi re rouge tir e 0 si aucune rouge tir e au bout de n fois Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 10 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt 13 Simuler le probl me des chaines de longueur 6 Il s agit de trouver un algorithme pour estimer la probabilit d obtenir au moins 6 piles ou 6 faces qui se suivent on dira une chaine de longueur au moins 6 en jouant 200 fois pile ou face avec une pi ce quilibr e La solution math matique n est pas triviale Estimation d une probabilit chainesp cha inesp function L 6 tirages 200 urne 1 2 nbsim 2000 1 Une nblongL lt vector length nbsim estimation de la for i in l nbsim probabilit de expe lt sample urne tirages replace T 1 chaines de rexpe lt rle expe 6 ou plus vaut if sum rexpe length gt L gt 0 nblongL i lt 1 1 0 968 StatlongL lt sum nblongl HXXAKEKEXEAKKX Affichage des r sultats i dkk k k d kkk k print Une estimation de la probabilit de print chaines de 6 ou plus vaut print StatlongL nbsim Distribution simul e d une variable chainesd function L 6 tirages 20
83. ribution binomiale 1 0 1073741824 0 2684354560 0 3019898880 0 2013265920 0 0880803840 6 0 0264241152 0 0055050240 0 0007864320 0 0000737280 0 0000040960 11 0 0000001024 Distribution de Gauss 1 9 378654e 02 2 284764e 01 3 073672e 01 2 284764e 01 9 378654e 02 6 2 122462e 02 2 641643e 03 1 802910e 04 6 726783e 06 1 368005e 07 11 1 512320e 09 Approximation de la loi binomiale n 10 p 0 2 Approximation de la loi binomiale n 20 p 0 2 Approximation de la loi binomiale n 50 p 0 2 E BNO O GAUSS 8J 5 o d l 0 30 J 0 14 I E ENO g E BNO D GAUSS Ra O GAUSS 0 25 fi 0 12 L 0 20 fi Probabilit s 015 fi Probabilit s 0 10 fi 0 05 1 0 04 0 05 fi fi 0 05 fi 0123456789 MN 13 15 17 18 p FF 0 0 D 0 1 2 3 4 5 6 T 8 g 10 0 00 L 0 00 L 0 00 Valeurs de la variable discr te Valeurs de la variable discr te 0 3 6 9 12 16 20 24 28 31 36 40 44 48 Valeurs de la variable discr te Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 3 84200 CARPENTRAS page 25 sur 45 R_SimulEtProbal odt Approximation de la loi binomiale n 10 p 0 5 Approximation de la loi binomiale n 20 p 0 5 Approximation de
84. s exactes et asymptotiques disponibles dans R et avec l IF Reprenons l exemple 1 des 52 de la d claration de Monsieur Z que l on veut confronter aux 43 personnes favorables dans un chantillon al atoire et simple de 100 Quelle conclusion si on observe 42 personnes ICGaussEx function n 100 kobs 43 ppop 52 proba 95 x x IC asymptotique gaussien au seuil de 95 formule terminale S xxxxx fobs lt kobs n aasympt lt fobs 1 sqrt n absympt lt fobs 1 sqrti n if ppop gt aasympt amp ppop lt absympt hypothese lt ACCEPT E else hypothese lt REFUS E cat nIC 95 approximation gaussienne de la loi binomiale selon programme Term S n aasympt absympt Hypoth se ppop ppop hypothese n xkxxxkxkx x x IC asymptotique gaussien au seuil de proba Classique xkxxx c lt qnorm 1 1 proba 2 0 1 sqrt fobs 1 fobs n basympt lt fobs c bbsympt lt fobs c if ppop gt basympt amp ppop lt bbsympt hypothese lt ACCEPT E else hypothese lt REFUS E cat nIC proba approximation gaussienne classique de la loi binomiale n basympt bbsympt Hypoth se ppop ppop hypothese n HXKXXKXXKXXXX IC asymptotique gaussien au seuil de proba selon R k xkxxxxx require epitools quietly T warn conflicts F ICGauss lt binom approx kobs n conf level proba if pp
85. s petit entier tel que P X lt a gt 0 025 o b est le plus petit entier tel que P X lt b 2 0 975 L exemple exemple 1 Monsieur Z choisi est une B 100 0 52 ce qui donne un IF 0 42 0 62 La proportion observ e de personnes faisant confiance de 0 43 appartient cet intervalle On peut donc accepter l hypoth se p 0 52 gt Brigitte et Claudine proposent une autre d finition L TF de la variable proportion F au niveau de probabilit de 95 proba est le plus petit intervalle de la forme p amp p q tel que P p a lt F lt p a 2 0 95 o la loi de probabilit utilis e est une loi binomiale de param tres n et p ppop Pour mettre en uvre cette d finition j ai choisi arbitrairement comme point central de l intervalle et de d part du calcul de la probabilit la valeur enti re arrondie de n p D Il y a aussi deux fa ons de d terminer un IF en utilisant deux approximations asymptotiques de la loi des proportions celles figurant dans les programmes de seconde et de terminale La fonction R suivante met en uvre ces 4 modes de calcul Il est tr s int ressant de remarquer qu aucune m thode ne fournit le meilleur IF coup s r parfois on peut m me trouver la main un meilleur intervalle au sens de la d finition de Brigitte et Claudine exemple 1 Monsieur Z Je pr sente quelques exemples o les d finitions pr c dentes donnent des r sultats diff rents Hubert RAY
86. sachVelo lt vectProba 4 vectProba 1 vectProba 4 AuMoinsiNonVelo lt 1 1 2 3 6 HXXAKEREXLEAKEEXKXX Affichage des r sultats ki d dkk kd kkk k cat n La distribution des probabilit s sur l univers est yor print vectProba cat La distribution des probabilit s sur V R P est Ka print ProbaVRP cat n cat La probabilit de v lo est probaVelo n cat La probabilit de jeton L sachant v lo est plsachVelo n cat La probabilit d au moins un non v lo en 6 ans est AuMoinsiNonVelo n par mfrow c 2 1 barplot vectProba xlab modalit s de la variable qualitative ylab probabilit barplot ProbaVRP xlab modalit s de la variable villagesport La distribution des probabilit s sur l univers est V R P LV LR LP 0 250 0 250 0 250 0 175 0 050 0 025 La distribution des probabilit s sur V R P est V R P 0 425 0 300 0 275 La probabilit de v lo est 0 425 La probabilit de jeton L sachant v lo est 0 4117647 La probabilit d au moins un non v lo en 6 ans est 0 9986283 0 20 probabilit 0 10 0 00 v R P Lv LR LP modalit s de la variable qualitative vV R P modalit s de la variable qualitative probabilit 00 01 02 03 04 qualitative ylab probabilit Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD y 84200 CARPENTRAS page 39 sur 45 R_SimulEtProbal odt 3 2010 S Novembre Nouvelle Cal donie urne
87. ssimiler les tirages des tirages avec remise On note X la variable al atoire qui aux cinq animaux choisis associe le nombre d animaux ayant un test positif a Quelle est la loi de probabilit suivie par X b Quelle est la probabilit pour qu au moins un des cinq animaux ait un test positif Hubert RAYMONDAUD 07 09 11 LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 45 sur 45 R_SimulEtProbal odt
88. tgagne lt vector length nbsim tablogagne lt rep 0 n 1 names tablogagne lt O n for i in l nbsim nblancers lt 0 CumParties lt 0 while CumParties lt gagne amp nblancers lt n partie lt sample cible 1 proba replace T CumParties lt CumParties partie nblancer lt gt nblanccs do Estimation de la proba de gagner if nblancers n amp CumParties lt gagne vectgagne i lt 0 else a da ds sb des du PARU T RSS moins une partie sur 6 0 9158318 Estimation de la proba de perdre apr s 3 lancers 0 662 Estimation de la proba de gagner en 1 lancer 0 Estimation de la proba de gagner en 2 lancers 0 139 Estimation de la proba de gagner en 3 lancers 0 199 tablogagne as numeric names table vectgagne 1 lt table vectgagne AuMoinsisur6 lt 1 tablogagne 1 nbsim 6 Distribution sumul e de la variable distribX lt c tablogagne 1 tablogagne 4 tablogagne 3 nbsim al atoires X names distribX lt c 2 1 3 2 1 3 esperanceX lt sum distribX as numeric names distribX 0 662 0 199 0 139 cat n Distribution simul e du rang du lancers gagnant sur 3 lancers n print tablogagne nbsim cat n Estimation de la proba de perdre apr s 3 lancers tablogagne 1 nbsim n HkAkREKEKKKEKEEKEEEX Affichage des r sultats eei dd iiki k k k Esp rance de X 0 708 cat Estimation de la proba de gagner en 1 lancer tablogagn
89. tie est gagn e flechearret function point c 0 3 5 proba c 1 2 1 3 1 6 gagne 8 PtsLancers lt array 0 dim c 3 3 3 ProbLancers lt array 0 dim c 3 3 3 pg1 lt 0 pg2 lt 0 pg3 lt 0 for i in 1 3 if point i gt gagne pgl lt pg1l proba i for M in 1 3 for N in 1 3 PtsLancers i M N lt point i else f r j in 1 3 if point i point j gt gagne pg2 lt pg2 proba i proba j for N in 1 3 PtsLancers i j N lt point i point j else for k in 1 3 if point i point j point k gt gagne pg3 lt pg3 proba i proba j proba k PtsLancers i j k lt point i point j point k point3lancers lt as vector PtsLancers names point3lancers lt 1 27 tablopoint lt table point3lancers nbpoint lt length tablopoint probagagner lt pgl pg2 pg3 probaperdre lt 1 probagagner distribX lt c probaperdre pg3 pg2 names distribX lt c 2 1 3 esperanceX lt sum distribX as numeric names distribX rkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk Affichage des r sultats 4 4 de ddk dede dkk de de dekke de dekke HR k k cat n Branches gagnantes et points obtenus au moins gaux gagne n print point3lancers cat n Probabilit de perdre la partie probaperdre n cat Probabilit de gagner la partie en 1 lancer P g1 pgl n cat Probabilit de gagner la
90. tion gaussienne classique de la loi binomiale 0 3232643 0 5167357 Hypoth se ppop 0 52 REFUS E IC 0 95 approximation gaussienne classique de la loi binomiale selon R x n proportion lower upper conf level 1 42 100 0 42 0 3232643 0 5167357 0 95 Hypoth se ppop 0 52 REFUS E IC 0 95 binomial exact selon R x n proportion lower upper conf level 1 42 100 0 42 0 3219855 0 5228808 0 95 Hypoth se ppop 0 52 ACCEPT E Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 34 sur 45 07 09 11 R_SimulEtProbal odt 10 Les probabilit s dans un mod le d urne chantillonnage sans remise Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules noires On tire au hasard 4 boules SANS remise Quelle est la probabilit d obtenir 3 boules rouges On peut utiliser les fonction de calcul des combinaisons Calcul de P X 3 Pour v rification proba lt choose 3 3 choose 5 4 3 choose 3 5 4 proba lt dhyper x 3 m 3 n 5 k 4 1 0 07142857 1 0 07142857 11 Calculer les probabilit s dans quelques exercices d annales de bac 1 2011 S Avril Pondich ry fl chettes preuves successives r p t es trois issues Partie A 1 4 Tout l arbre Distributions d une variable al atoire discr te L algorithme parcourt tout l arbre des r sultats possibles sans s arr ter quand la partie est gagn e troislancers function point c 0 3 5 proba c 1 2 1 3
91. tirage2 P distexpe 6 lt distexpe 6 1 E e 5 5 E distdep lt c distexpe 1 distexpe 4 distexpe 2 distexpe 5 Ea distexpe 3 distexpe 6 PE A T names distdep lt c VELO ROLLER PIED kkkkkkkkkkkk x x x Affichage des r sultats ikk d dkk kk kkk k cat Une estimation de la probabilit de velo velorollerd distexpe 1 distexpe 4 nbsim n cat Une estimation de la probabilit de roller Une estimation de la probabilit de distexpe 2 distexpe 5 nbsim n velo 0 4264 cat Une estimation de la probabilit de pied Une estimation de la probabilit de distexpe 3 distexpe 6 nbsim n roller 0 30075 cat Une estimation de la probabilit sachant velo de jeton L Une estimation de la probabilit de distexpe 4 distexpe 1 distexpe 4 n pied 0 27285 nn er Une estimation de la probabilit barplot distexpe nbsim ylab Fr quences relatives barplot distdep nbsim ylab Fr quences relatives sachant velo de jeton L 0 4152205 Hubert RAYMONDAUD LEGTA LOUIS GIRAUD 84200 CARPENTRAS page 20 sur 45 07 09 11 R SimulEtProbal odt 3 2010 S Novembre Nouvelle Cal donie urne boules tirages avec et sans remise probabilit s conditionnelles Distribution simul e d une variable quantitative simurnsansd function n 2 r 3 v 2 nbsim 5000 urne lt rep c 0 1 c r v DistSim lt vector lengt
92. vectcpt tabloeffec as numeric names effec 1 lt effec infcpt lt floor min vectcpt 100 100 supcpt lt ceiling max vectcpt 100 100 etendcpt lt supcpt infcpt nbclass infprop lt floor min vectprop 100 100 supprop lt ceiling max vectprop 100 100 etendprop lt supprop infprop nbclass infbinocr lt floor min vectbinocr 100 100 supbinocr lt ceiling max vectbinocr 100 100 etendbinocr lt supbinocr infbinocr nbclass infpcr lt floor min vectpcr 100 100 supper lt ceiling max vectpcr 100 100 etendpcr lt suppcr infpcr nbclass FRRELLLEELEE He de He He e He e He e He He e He He He He ke He e He e ke LL SL Affichage des r sultats kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxk cat Moyenne des comptages mean vectcpt Variance des comptages var vectcpt n cat Moyenne des comptages centred mean vectbinocr Variance des comptages centred var vectbinocr n cat Moyenne des proportions mean vectprop Variance des proportions var vectprop n cat Moyenne des proportions centred mean vectpcr Variance des proportions centred var vectpcr n graphics off par mfrow c 3 1 barcpt lt barplot tabloeffec xlab Nombre de succ s ylab Effectif main paste Diagramme en barre d une variable binomiale n n p r m histcpt lt hist vectcpt freq F breaks seq infcpt supcpt etendcpt right F

ALGORITHMES PROBABILITÉS ET SIMULATIONS AVEC R

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

ALGORITHMES PROBABILIT&Eacute;S ET SIMULATIONS AVEC R

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

ALGORITHMES PROBABILITÉS ET SIMULATIONS AVEC R