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MÉLANGES EN HOMMAGE À PIERRE COLLAUDIN

1. D Figure 4 reproduction de figure d l ve Je donne le probl me chercher pour la fois suivante Mais les r sultats des recherches ne sont gu re satisfaisants Les l ves n ont fait qu un seul essai et s en sont content es les sommets du triangle ne sont pas quelconques sur les c t s du carr l un est au milieu d un c t et les deux autres sont tels qu un c t du triangle est parall le un c t du carr Quoiqu il en soit elles ont cherch trouv et sont contentes d elles 49 Figure 5 exemple de figure d l ve Aurait il fallu que je donne encore d autres consignes pour viter ce cas Je n ai pas voulu le faire et l exercice s est arr t l A posteriori je pense qu on pourrait organiser une s quence de recherche en utilisant les logiciels de g om trie pour que les l ves t tonnent en d pla ant des points sur les c t s ou qu ils cherchent un triangle semblable un triangle qui n aurait que deux sommets sur deux c t s cons cutifs du carr ou sur deux c t s oppos s du carr triangle qui r pondrait compl tement la question pos e Quelle que soit la position de M sur AB il est possible de construire N et P sur deux des autres c t s du carr tels que le triangle MNP soit quilat ral La construction sur papier tant ensuite rechercher Le logiciel permet de prouver qu une solution existe mais ne donne pas le moyen de la constru
2. R gle de trois Math matiques m di vales Arithm tique commerciale quations diophantiennes quations deux inconnues Congruences Restes des divisions Algorithme d Euclide G om trie Angles Maxima et minima Point particulier Point de Fermat Point de Torricelli Th or me de Viviani Triangle Carr Triangle quilat ral Triangle inscrit dans un carr Construction g om trique D monstration Baccalaur at professionnel Classe de cinqui me Classe de seconde Classe de Premi re L Classe de Terminale S sp cialit maths Travail en autonomie M thode par essais et erreurs Probl mes ouverts TICE G oplan Prix ISBN 2 913135 61 7 EAN 9782913135611 Directeur de la publication Patrick GABRIEL Directeur de l IREM Mise en page Fran oise BESSE D p t l gal n 186 2 semestre 2008
3. ce probl me en cours Nous leur proposons alors l activit suivante labor e en commun Attention il est essentiel de ne pas lire le texte dans son int gralit au d but de l activit mais de suivre scrupuleusement les tapes indiqu es Voir le texte en annexe 3 les lignes sont num rot es 1 a Lire les lignes 1 11 b Imaginer une m thode pour r soudre ce probl me On ne demande pas de le r soudre effectivement D roulement La plupart des l ves transforment l quation donn e en exprimant y en fonction de x Certains ne vont pas plus loin tandis que d autres tracent la droite correspondante et cherchent les points de cette droite qui ont des coordonn es enti res mais l exercice est peu pr cis avec ces coefficients Un l ve pense utiliser les congruences il constate que le probl me revient trouver x entier 6x 3 11 probl me est impossible Il sera quand m me satisfait de constater que la premi re tape de son raisonnement co ncide avec celle de B zout On le retrouvera dans son commentaire pour que le nombre soit entier mais il en d duit malheureusement que x 0 5 donc que le Commentaires C est toujours une activit difficile beaucoup d l ves ont du mal prendre des initiatives si le terrain n est pas balis Ils se d couragent tr s vite Il faut donc continuer 2 a Lire les lignes 12 20 b Une quation diophantienne est une qu
4. emploi ce qui donne un premier objectif l activit et vite un certain nombre de mais a sert rien Mais pas tous Il restera sans doute quelques irr ductibles adeptes du calcul lectronique qui seront convaincus que tout ce qui date d avant le t l phone portable est forc ment r trograde et a trouv une solution plus simple et automatis e C est pourquoi j ai pr vu quelques exercices en fin 19 d activit avec totale libert dans le choix de la m thode Il est vrai que le sch ma en croix pr sent la fin de la partie 2 est complexe au premier abord et peut rebuter on aimerait avoir une autre solution Qui plus est le probl me des m langes est de ceux qui semblent faciles r soudre par un peu de calcul mental et de logique mais qui exigent en fait qu on prenne crayon et papier ou calculatrice et qu on se gratte la t te un moment Je compte sur cette apparente facilit pour attirer mes irr ductibles et les perdre dans les m andres fumeux de calculs approximatifs pour les voir revenir vers ma m thode penauds et reconnaissants Quant aux jy comprends rien je compte sur la progression lente et accompagn e de la difficult des probl mes pour donner confiance aux l ves et leur montrer la fin qu ils ont r ussi r soudre un probl me a priori d licat et pos partir d un document difficile d chiffrer Comme quoi on ne soulignera jamais assez dans les IUFM le r
5. gale une sph re du diam tre de dix mille stades est plus petite que dix unit s des nombres cinqui mes Derechef une sph re du diam tre de cent myriades de stades est cent myriades de fois multiple d une sph re du diam tre de dix mille stades Donc si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de cent myriades de stades il est vident que le nombre des grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant dix unit s des nombres cinqui mes par cent myriades Et puisque dix unit s des nombres cinqui mes sont le trente quatri me nombre partir de l unit dans la progression et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression 1l est vident que le nombre qui a t form 15 en multipliant sera le quaranti me partir de l unit dans la m me progression Or de ces quarante nombres les huit premiers y compris l unit sont de ceux qui ont t appel s primes les huit suivants de ceux qui ont t appel s seconds les huit suivants de ceux qui ont t appel s troisi mes les huit qui suivent les troisi mes de ceux qui ont t appel s quatri mes enfin les huit subs quents de ceux qui ont t appel s cinqui mes et le dernier d entre eux est mille myriades des nombres cinqui mes Il est donc clair que la quantit de grains de sable dont le volume gale une sph re du diam tre de cent myriades de stades
6. les documents taient souvent accompagn s d images repr sentant Archim de ou certaines de ses machines et bien mis en page Les contenus taient souvent riches mais mal exploit s et surtout souvent sans m me une tentative d explication Sept ou huit l ves se limitent un listing de titres non d velopp s Nous nous sommes arr t s l avec cette classe et avons poursuivi avec une autre classe qui a t confi e une tude autour de l Ar naire 5 Deuxi me activit l Ar naire et les grands nombres a Premi re partie tude pr liminaire Une pr sentation pr alable rapide des syst mes de num ration a t effectu e en classe Sans entrer trop loin dans les d tails il est utile d expliquer que la Gr ce antique a utilis plusieurs syst mes de num ration certains simultan ment Le syst me d cimal y est utilis et pour lire un nombre il suffit d additionner les signes inscrits Prenons l exemple du syst me dit acrophonique en usage partir du VI me si cle av JC Les signes utilis s pour 1 10 100 et 1 000 sont respectivement I H et X Le nombre 1 324 s crit donc XHHHAAIIIL L criture est facile effectuer puisqu il suffit de mettre les symboles c te c te mais ne permet pas de r aliser des op rations simplement comme avec notre criture d cimale positionnelle De plus le symbole du plus grand nombre tant M la myriade gale 10 000 on per oit alors les
7. on vise un m lange 70 cts le litre Le principe du m lange est de prendre l un pour donner l autre plus mon vin A est loin du prix souhait plus je dois ajouter de mon vin B Ainsi les carts par rapport au prix souhait sont inversement proportionnels aux proportions respecter si on augmente le prix au litre d un vin on devra diminuer sa proportion dans le m lange et donc augmenter celle de l autre vin Le diagramme en croix permet donc de placer en vis vis des quantit s qui voluent dans le m me sens le prix du vin A et la proportion de vin B tout comme dans le diagramme de proportionnalit simple vu un peu plus haut Il s agit donc seulement d une commodit de pr sentation On pourrait penser en regardant le diagramme pour deux vins propos dans l activit document 1 que les fl ches symbolisent deux droites affines dont l intersection donne le prix du m lange C est presque une fa on de r soudre le probl me mais trompeuse Notons x 0 1 la proportion de vin B dans le m lange yg la contribution du vin B au prix d un litre de m lange et y4 celle du vin A Il vient alors Ya 0 6 1 x Yg 0 75x Chercher l intersection de ces droites n a gu re de sens on voudrait que la contribution des deux vins soit la m me Cela ne r pond pas la question et d ailleurs la r solution du syst me donnerait x 4 ce qui est absurde Non l quation qu appelle notre
8. AC est axe de sym trie de la figure et F est le sym trique de G de m me en ajoutant que AC est aussi axe de sym trie du carr ABCD H et I sont sym triques par rapport AC G F Figure 6 figure cl extraite de la figure 152 AFG est tel que AF AG De plus FCL et GCL tant quilat raux c est toujours la figure classique voir ci dessus avec deux cercles de centres respectifs L et C de m mes rayons s cants en F et G l angle au centre FLG mesure 120 et langle inscrit FAG mesure 60 Le triangle AFG est quilat ral de m me que le triangle AHI isoc le de sommet A et ayant un angle de 60 AHI est donc un triangle solution du probl me puisqu il est quilat ral inscrit dans le carr ABCD 53 ANNEXE 3 Diverses solutions obtenues avec GEOPLAN ou CABRI Sur GEOPLAN la figure qui suit a t con ue avec l aide de Sylvie Lanaud professeure au coll ge Bachelard Dijon Historique de la figure commentaire O point libre On construit un carr ABCD de centre O A point libre B image de A par la rotation de centre O et d angle 90 degr s C image de B par la rotation de centre O et d angle 90 degr s D image de C par la rotation de centre O et d angle 90 degr s M point libre sur la droite AB Ces points M et N pourront se d placer sur N point libre sur la droite BC les c t s AB et BC et m me sur les droites AB
9. Honsberger Cedic p 39 e Sujet du baccalaur at s rie E 1985 Dijon PROLONGEMENT En augmentant le nombre de points on se ram ne la recherche du proximal de n points voir pour n 4 le T P de terminale C et E de l IREM de Strasbourg intitul Les autoroutes de Monsieur Fermat et pour n points l article d E Ehrhart dans un bulletin de l APMEP Avec les l ves de terminale C nous nous sommes pos quelques questions sur une autre extension Ne sachant pas si le th me avait t tudi par commodit et aussi par amusement nous avons nomm certains l ments Etant donn s un triangle ABC et un r el a strictement positif Soit a l application du plan dans IR d finie par M MA MB MC Soient Ma les points tels que p M lt E M pour tout point M du plan Soit l ensemble des points Ma quand a d crit R M est appel point de Samuel d ordre de ABC est appel e courbe de Samuel du triangle ABC Nous avons trac quelques courbes de Samuel de triangles distincts en proc dant par encadrement de Ma pour diff rentes valeurs de a Nous avons observ les r sultats suivants dans le cas de triangles non isoc les e Sile triangle n a pas d angle obtus alors lim M M est le centre du cercle circonscrit T au triangle ABC et g M 3R o R A2 est le rayon de T e Sile triangle a un angle obtus alors lim M M est le milieu du plus gran
10. c elle est bien ma tris e les l ves proc dent ainsi Les nombres 17 et 11 tant premiers entre eux 1l existe deux entiers u et v tels que I7u 11v 1 En appliquant l algorithme d Euclide aux nombres 17 et 11 il est assez rapide de trouver des valeurs de u et v Diophante est un math maticien d Alexandrie qui v cut probablement entre 150 et 350 de notre re Etienne B zout est un math maticien fran ais n en 1730 Nemours o le lyc e porte son nom mort en 1783 aux Basses Loges pr s de Fontainebleau Il a enseign dans une cole militaire et crit un Cours de Math matiques l usage des Gardes du Pavillon et de la Marine en cinq tomes Le th or me de B zout sur les nombres premiers entre eux utilis dans cette activit est maintenant attribu au math maticien philosophe traducteur de Diophante Bachet de M ziriac 1581 1638 B zout l ayant appliqu aux polyn mes 33 17 1x11 6 donc 6 1x17 1x11 11 1x6 5 donc 5 1x11 11x6 1x11 1x 1x17 1x11 1x17 2x11 6 1x5 1 donc 1 1x6 1x5 x 1x17 1x11 1x 1x17 2x11 Finalement 1 2x17 3x11 En g n ral la m thode permettant d obtenir u et v est programm e sur les calculatrices des l ves voir l organigramme en annexe 1 Ayant obtenu 1 2x17 3x11 on obtient une premi re solution de l quation en multipliant par 542 17x1084 11x1626 542 Si x y est une autre so
11. crire leur vision du probl me juste c t J ai m me assist des d bats furieux par crit entre deux voire trois l ves qui contestaient le raisonnement de l autre et demandaient silencieusement aux l ves du premier rang de calculer pour eux des expressions la calculatrice voir image 7 Une grande coop ration totalement inattendue est n e de cette contrainte Enfin a m a permis de pouvoir relever tout ce qui a t dit en prenant des clich s du tableau avant de l effacer Il me semble a posteriori qu on a l une d marche qui participe de l essence de la pens e et de l criture math matique crire de fa on concise r fl chir par crit et donc justifier d battre s int resser 6 R solution d un autre probl me de 7 Un d bat entre l ves tout la craie les l ves du m lange binaire directement avec le premier rang arbitrent la calculatrice Les trois tableau bien compris par les l ves l ves sont de g d moyen d sinvesti faible et bons et moyens bon le jeu permet d oser Pour conclure sur la forme qu a prise cette s ance de deux heures il me semble que la contrainte du silence n a que tr s peu ralenti les l ves Elle les a surtout motiv s Avant toute chose il ne faut pas oublier qu ils ont d cid eux m mes de s imposer le silence je crois que si je l avais demand rien n aurait t possible Ensuite cette nouvell
12. de avec Conna tre Archim de La g om trie Le point de Fermat Torricelli qui contient en annexe quelques pages in dites crites par Pierre La g om trie pratique avec Inscrire un triangle quilat ral dans un carr C est avec un r el plaisir et une certaine motion que nous avons travaill sur ces sujets la fois pour les contenus trait s et l id e de faire vivre la m moire de notre ami c est pourquoi nous d dions cette brochure Marie Pascale Samuel S bastien et Antoine Le groupe d Histoire des Math matiques P S Nous adressons de tr s vifs remerciements R mi Langevin pour sa relecture sagace et profonde des articles qui nous a permis d am liorer consid rablement leur qualit Le Comit Scientifique des IREM avait en effet demand que chaque brochure fasse l objet d une relecture le choix de R mi Langevin paraissait judicieux et nous n avons pas t d us Nous tenons le remercier sinc rement pour sa patience sa pr sence et la stimulation qui en a d coul Sommaire Conna tre Archim de Patrick Guyot R gle des m langes et proportionnalit David Magnien Les quations diophantiennes chez B zout Jean Terreran Inscrire un triangle quilat ral dans un carr Marie No lle Racine Point de Fermat Philippe Regnard L arithm tique d Ortega de l obscurit la clart Fr d ric M tin 19 33 47 61 77 Conna
13. fentons par x le nombre de pieces de 17 liv amp par y celui des pieces de 11 liv en donnant x pieces de 17 liv on paiera x fois 17 liv au 17x en recevant y pieces de 11 liv on recevra giy par conf quent on aura pay amp puifqu on veut payer 542 liv on aura n0 aj Tirons la valeur de y c eft a dire de l in connue qui a le moindre co ffcient amp nous aurons y Comme on n a que cette quation on voit qu en mettant arbitrairement pour x tel nombre qu on voudra on aura pour y une valeur qui fatisfera f rement l quation ma is comme la queftion exige que x amp y foient des nombres entiers voici comm nt il faut s y prendre pour y parvenir dire te ment Toe La valeur de y fe r duit en faifant la divifion autant qu il eft poffible Ay x 49 il faut donc que r nA a foit un nombre entier foit v ce nom 17 542 bre entier on aura vy amp par conf Iru t ou en quent 6x 3 11u amp x faifant la divifion x il faut donc que si faffe un nombre entier foit 35 45 5 55 Go 6S 45 2 2 41 ce nombre entier on aura amp par s amp u il faut donc que Ga faffe un nom bre entier foit s ce nombre entier on aura s amp parconf quent Pop eft termin e ici parce qu il eft vi dent qu en pr
14. figure 8 soit par la 33 du livre IHI d Euclide soit de la fa on suivante Les trois points A B C tant donn s menons sur AB BC des triangles quilat raux d crivons des cercles autour des triangles qui se coupent l int rieur du triangle ABC en D ce sera le point D cherch En effet les deux angles BDC et BEC sont oppos s dans le quadrilat re inscrit dans le cercle Or l angle en E est de 60 donc le reste BDC sera de 120 et ainsi pour les autres Reste la limite du probl me qui n a pas t donn e par son auteur Ainsi le probl me n est pas r soluble toutes les fois que le point D des cercles ne tombe pas l int rieur de ABC ce qui arrive chaque fois que le triangle ABC aura un angle qui n est pas inf rieur 120 mais dans ce cas de figure le sommet de l angle cit pr c demment r pond la question bien qu improprement 68 Annexe 2 PROBLEME DE FERMAT Pierre COLLAUDIN Paray le Monial Fermat proposa Torricelli le probl me suivant D terminer un point M dans un triangle ABC tel que la somme MA MB MC soit minimale Ce probl me a servi construire les nonc s de plusieurs exercices d application des isom tries ou des propri t s des angles s appuyant sur une configuration tr s riche 0 ETUDE DE LA CONFIGURATION Soit ABC un triangle dont les angles ont une mesure ne d passant pas en valeur absolue 120 Soient 4 B C 3 points tels q
15. gle des m langes et proportionnalit en 5 David MAGNIEN Lyc e Hilaire de Chardonnet Chalon s Sa ne Email dmagnien yahoo com 1 Pr sentation Quand le groupe DESCO a d cid de faire une brochure reprenant les travaux de Pierre Collaudin j tais un peu emb t pour choisir parmi les nombreux th mes qu il a creus s J enseignais alors en coll ge et Pierre s est plut t concentr sur des travaux de haut vol applicables surtout en lyc e J ai alors repens l expos qu il avait donn lors du colloque Histoire des Sciences en 2003 Alliages Proportions et R gle des M langes Par exemple dans quelle proportion dois je m langer un vin A 80 cts le litre et un vin B 65 cts le litre pour obtenir un vin 70 cts le litre Je me suis dit que quitte forcer un peu on pourrait faire rentrer dans mon programme de 5 le peu de proportionnalit que le mot proportion faisait miroiter Tr s confiant j ai annonc aux membres du groupe que si si a devait bien marcher et que je pourrais sans doute produire une activit sur ce th me qui soit abordable en 5 et que d ailleurs je voyais peu pr s comment faire Bon Autant l annoncer tout de suite a marche Mais j ai quand m me eu besoin d un bon chausse pied pour tenir mon pari 2 Conception et pr paration des activit s Mon principal souci avant de donner l activit tait sa lisibilit Transformer en prin
16. leurs qui excedent la m me Comme dans ces exemples s PULCHIL Un marchand a de trois fortes de vins qui valent l un gf la pinte l autre 46 amp Pautre 3 Il voudroit f avoir ce qu il en doit prendre de chacun pour les m ler amp en faire un tonneau an Exercice 1 A PARIS hz L AUTEUR Et fi Vend A AMSTERDAM PIERRE MORTIER Libraire far le Vygendam Chez 4 DC XCIX Exercice 2 Un marchand veut acheter 355 aunes d tofte pour le prix de 4260 livres On lui en montre de cinq fortes qui lui plaifent f avoir 17livres 1g livres nlivres olivres 6 livres l aune Il voudroit feulement f avoir combien il en peut prendre de chacune pour avoir la quan tit de 355 aunes amp pour l argent qu il y veut employer Pour cet cffet il faut piemierement f avoir quel eft le prix de laune pof que les 355 valent 4260 livres Ce que lon fait en di vifant 4260 par 355 Car le quotient 12 eft lo prix de laune que l on demande La queftion c donc de f avoir combien il doit prendre d aunes de chaque efpece pour faire la quan tit de 36e aui reviennent 12 livres l une qu il p t debiter 6f la pinte 7 Exercice 3 Exemple d alligation Un orf vre a de l argent quatre sortes d aloi savoir 17 livres 19 24 amp 37 liv le marc un Seigneur le vient trouver qui veut faire faire 240 marcs de vaisselle d argent amp entend que le marc de la vaisselle ne lui revie
17. s adjacents l angle droit de deux triangles rectangles sont les uns gaux et les autres in gaux le rapport du plus grand au plus petit des angles compris sous les c t s in gaux est plus grand que le rapport de la plus grande la plus petite des droites oppos es l angle droit mais il est plus petit que le rapport de la plus grande la plus petite des droites adjacentes l angle droit D s lors le rapport de l angle compris sous les droites AA AZ l angle compris sous les droites O0 et OM est plus petit que le rapport de la droite OP la droite AT plus petit lui m me que le rapport de 100 99 en sorte que le rapport de l angle compris sous les droites AA AE l angle compris sous les droites OM O0 est aussi plus petit que celui de 100 99 De plus puisque l angle compris sous les droites AA et AZ est plus grand que la deux centi me partie de l angle droit l angle compris sous les droites OM et OO sera plus grand que les quatre vingt dix neuf vingt milli mes de l angle droit en sorte que cet angle sera plus grand que la deux cent troisi me partie de l angle droit D s lors la droite BA est plus grande que celle qui sous tend un segment de la circonf rence du cercle ABT divis e en huit cent douze parties Or le diam tre du soleil est gal la droite AB donc il est vident que le diam tre du soleil est plus grand que le c t du chiliagone Ces choses tant admises on peut d montrer aussi que le di
18. tre Archim de Deux activit s en bac pro tertiaire Patrick GUYOT LP Dumaine M con Avant de raconter en d tail les recherches et la s ance consacr es Archim de nous allons pr senter la gen se de cette double activit en commen ant par d crire les l ves puis la raison principale du choix du th me et les objectifs vis s On trouvera en annexe le texte complet de l Ar naire 1 Les l ves Le travail engag ici a t propos des l ves de Premi re baccalaur at professionnel tertiaire du LP Dumaine de M con Mais en raison de contraintes la fois p dagogiques et mat rielles une classe a travaill sur la premi re partie une autre classe sur la deuxi me partie La recherche concernant le personnage d Archim de a t confi e vingt sept l ves de baccalaur at professionnel secr tariat et comptabilit alors que les questions issues de la lecture partielle de l Ar naire ont t pos es dix huit l ves de baccalaur at professionnel commerce 2 Le choix du th me Archim de fut certainement le scientifique de pr dilection de Pierre Collaudin qu il avait lu approfondi et sur lequel il a produit plusieurs travaux et articles dans la Feuille de Vigne bourguignonne et ailleurs Cet investissement important nous a conduits naturellement envisager de proposer un article consacr Archim de ce qui est fait ici 3 Les objectifs Les contenus scientifiques rencontr
19. volume gale une sph re du diam tre de dix mille doigts est plus petite que dix myriades des nombres troisi mes Et comme une sph re ayant un diam tre d un stade est plus petite qu une sph re ayant un diam tre de dix mille doigts il est encore vident que la quantit de sable dont le volume gale une sph re du diam tre d un stade est plus petite que dix myriades des nombres troisi mes Derechef une sph re du diam tre de cent stades est cent myriades de fois multiple d une sph re du diam tre d un stade Donc si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de cent stades il est vident que le nombre de grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant dix myriades des nombres troisi mes par cent myriades Et puisque dix myriades des nombres troisi mes sont le vingt deuxi me nombre partir de l unit dans la progression et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression 1l est vident que le nombre form en multipliant sera le vingt huiti me partir de l unit dans la m me progression Or de ces vingt huit nombres les huit premiers y compris l unit sont de ceux qui ont t appel s primes les huit suivants de ceux qui ont t appel s seconds les huit subs quents de ceux qui ont t appel s troisi mes enfin les quatre restants de ceux qui ont t appel s quatri mes et le dernier d entre eux est mill
20. 16 gale le monde est plus petite que mille unit s des nombres septi mes donc il est vident que si l on composait une sph re de sable aussi grande que la sph re des toiles fixes imagin e par Aristarque le nombre des grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant ces mille unit s par dix mille myriades de myriades Et puisque mille unit s des nombres septi mes sont le cinquante deuxi me nombre partir de l unit dans la progression et que dix mille myriades de myriades sont le treizi me nombre partir de l unit dans la m me progression il est vident que le nombre qui a t form en multipliant sera le soixante quatri me nombre partir de l unit dans la m me progression Or ce nombre est le huiti me des nombres huiti mes ou mille myriades des nombres huiti mes par cons quent il est clair que la quantit des grains de sable dont le volume galerait la sph re des toiles fixes imagin e par Aristarque est inf rieure mille myriades des nombres huiti mes Je con ois roi G lon que ces choses para tront incroyables la plupart de ceux auxquels les math matiques ne sont point famili res mais ceux qui y sont vers s et qui ont m dit sur les distances et les grandeurs de la terre du soleil et du monde entier les admettront apr s ma d monstration Et c est pourquoi j ai cru qu il n tait pas hors de propos que toi aussi tu en prennes connaissance 17 R
21. Afefa f me groffe venfant tozdoneainfi que fil meurt et Nia pesta f mefaicevng fils q le fils aura les troyspars de fes biens et la mere lautre partie Et elle fait vne fille ta me feaura les troys pars de fes bi s 7 la fillelautreptie Auint apes lamoit on pere la feme fit veux enf s toutenf ble ceftaflauoir filz et flle Demande c men fe partirontles biens dudict oeffuncti par ainf dleteftam touperefoirobferue figure 6 Premi re r gle de testament fol XCIX r 3 o Voir la 3 note de la premi re page de cet article l illustration dont il est question se trouve la 50 vue au fol 24 v 10 Fol 99 r 80 Une traduction en fran ais moderne est n cessaire c est l objet de la premi re question du devoir trait e en classe oralement les mots difficiles sont expliqu s au pr alable quelques l ves donnent leur version Comme les lecteurs ne sont pas forc ment habitu s la lecture de ce genre de texte une transcription suit Le septi me chapitre qui traite des testaments lesquels se font par la r gle de compagnie Un homme fait son testament il poss de 3000 cus vaillant et laisse sa femme enceinte Il ordonne que s il meurt et que sa femme enfante un fils alors le fils aura les trois quarts de ses biens et sa femme un quart Et si elle fait une fille ce sera le contraire Il advient qu apr s la mort du p re sa femme donne naissance deux enfants un gar on et u
22. Philippe Regnard qui m a fourni les reproductions du manuel de Blondel Commentaires addenda et compl ments bienvenus sur mon email 21 3 Activit propos e Voici le premier document propos aux l ves Proportionnalit et m langes Ce probl me trouv sur la page de garde d un ouvrage d alg bre l mentaire de 1849 est une application type de la aa r gle des alliages et des m langes Cris pes RE ie at Na ue m nd Hs PE ata Ge F2 ee ATTS Combien faut il m langer de vin 80 c le litre 1 20 et y 1 60 pour faire 40 litres 1 30 Ce type de probl me pratique a t tudi depuis tr s longtemps on en trouve la trace dans un livre datant de 1202 crit par L onard de Pise qu on appelait aussi Fibonacci un rudit italien La m thode est la m me on utilise la proportionnalit mais aussi le bon sens Partie 1 un probl me plus simple tir de Jacquet et Laclef cours d arithm tique th orique et pratique Nathan 1904 On a du vin Ofr 75 le litre et du vin O fr 60 le litre Dans quelles proportions faut il les m langer pour avoir un vin qui reviennent 0 fr 70 le litre 1 Appelons vin A le vin 0 60F le litre et vin B le vin 0 75F le litre a J ai un litre de vin A Si je le vendais 0 70F combien aurai je en trop b J ai un litre de vin B Si je le vendais 0 70F combien me manquerait il 2 Combien de litres d
23. R s C2498 Oeuure tressubtille et profitable de lart et science de aristmeticque et geometrie translate nouuellement despaignol de Jehan de lortie en francoys par Glaude Platin Lyon E Balland pour Symon Vincent 1515 Cote 77004 RES Fonds ancien http biblioteca uv es La page de titre est manuscrite et fait r f rence un autre livre Tratado de arithmetica compuesto por el Bachiller Ioan Perez de Moya impresso en Granados a o 1563 en 8 dias de Abril mais le travail de Perez de Moya ne 11 compar e des deux textes permettra sans doute de comprendre une partie des obscurit s de la version fran aise Voyez plus bas l explication du probl me de la lance par exemple 1 Premi re activit pr sentation du texte et calculs l mentaires La richesse et l tranget du livre de Juan de Ortega m ont amen en proposer des extraits en classe de seconde en d but d ann e face des l ves frais et dispos et encore assez enthousiastes classe de Seconde option Cin ma Audiovisuel du lyc e Le Castel m me si le choc initial a t fort vous pensez bien commencer par la lecture d un texte espagnol du 16 si cle c est bizarre a Le texte et son auteur La page de titre de l ouvrage est pr sent e lenj Meny pel FIRI RERI RARER R Rex li sans pr paration lors d une des premi res s ances de S module figure 1 ci contre nous nous servons de la fitablevelar
24. b 4 lt a b c 4 a a b c Pr ciser les cas d galit En d duire le th or me de Ptol m e et sa r ciproque Pour tout triangle ABC et pour tout point D du plan AC x BD lt ABx CD AD x BC L galit n ayant lieu que si D appartient larc CA ne contenant pas B du cercle circonscrit au triangle ABC R solution du probl me D montrer que pour tout point M du plan MC MB lt MA En d duire que 44 lt MA MB MC l galit n ayant lieu que pour M 7 I METHODE 2 Cette m thode qui semble la plus rapide aurait t propos e par J E Hofmann en 1929 et par Tibor Gallai elle utilise principalement les propri t s des rotations et des angles R solution du probl me On consid re un triangle ABC d angle ne d passant pas en mesure 120 on effectue une rotation r de centre B et d angle de mesure 7 orient dans le m me sens que BC B i Soit M un point quelconque int rieur au triangle ABC et M son image par r Soit 4 l image de par r 1 Etablir que MA MB MC M A MM MC 2 Etablir que M 4 M et C sont align s si et seulement si M est l ment de la droite 4 C et l ment du cercle circonscrit au triangle ABA 3 En d duire une solution du probl me de Fermat 4 Quelles sont les propri t s de la configuration initiale 0 que l on peut d montrer l aide des questions pr c dentes II METHODE 3 Il semblerait que cette m thode ait t red couver
25. diam tre de la terre D autre part il est vident d apr s ce qui va suivre que le diam tre du monde est plus petit que cent myriades de myriades de stades En effet puisque l on a suppos que le p rim tre de la terre n est pas plus grand que trois cents myriades de stades et comme le p rim tre de la terre est plus grand que le triple de son diam tre parce que la circonf rence de tout cercle est plus grande que le triple de son diam tre il est vident que le diam tre de la terre est plus petit que cent myriades de stades Donc puisque le diam tre du monde est plus petit que dix mille fois le diam tre de la terre il est vident que le diam tre du monde est plus petit que cent myriades de myriades de stades Telles sont les choses que j admets au sujet des grandeurs et des distances et voici maintenant pour ce qui concerne le sable Si l on rassemble un volume de sable non sup rieur une graine de pavot le nombre des grains de sable ne d passera pas dix mille tandis que le diam tre d une graine de pavot n est pas inf rieur un quaranti me de doigt Ces donn es ont d ailleurs t relev es de la mani re suivante Des graines de pavot ayant t d pos es en ligne droite sur une r gle polie de mani re se toucher l une l autre vingt cinq de ces graines ont occup un espace sup rieur la longueur d un doigt D s lors j adopte pour la graine de pavot un diam tre plus petit que je suppose tre environ l
26. est la disposition des chiffres du r sultat probablement due davantage la fantaisie du graveur qu des consid rations scientifiques Je propose un diaporama reprenant et d taillant les tapes de cet exemple ainsi que le suivant figure 3 qui montre une multiplication ordinaire pas si ordinaire que a 10214000 32043 215 LS PEN DUE ENTE 17 90010 figure 2 multiplication par jalousie figure 3 multiplication ordinaire La difficult de compr hension r side ici dans le sens des multiplications partielles effectu es de gauche droite et non le contraire associ une technique de d calage vertical des ordres de grandeur permettant de sommer finalement en colonnes sans avoir poser de retenue au cours des op rations partielles ainsi les chiffres sont plac s dans la colonne appropri e mais pas n cessairement sur une m me ligne sans doute pour combler les vides au fur et mesure Par exemple on peut lire dans les deux premi res lignes des calculs interm diaires cf figure 4 ci contre les retenues ayant t ajout es les r sultats des produits de 4 premier chiffre de 4085 par 4 3 0 6 et O successivement c est dire 16 chiffres juxtapos s 12 chiffre des dizaines situ sur la seconde ligne en dessous du chiffre 6 des unit s du premier r sultat 00 dans mon explication de la figure 4 compl te mais pas dans la gravure originale de la figure 3 24 avec le m me
27. est plus petite que mille myriades des nombres cinqui mes D autre part une sph re du diam tre de dix mille myriades de stades est cent myriades de fois multiple d une sph re du diam tre de cent myriades de stades Donc si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de dix mille myriades de stades il est clair que le nombre des grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant mille myriades des nombres cinqui mes par cent myriades Et puisque mille myriades des nombres cinqui mes sont le quaranti me nombre partir de l unit dans la progression et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression il est vident que le nombre qui a t form en multipliant sera le quarante sixi me partir de l unit Or de ces quarante six nombres les huit premiers y compris l unit sont de ceux qui ont t appel s primes les huit suivants de ceux qui ont t appel s seconds les huit autres suivants de ceux qui ont t appel s troisi mes les huit autres qui suivent les troisi mes de ceux qui ont t appel s quatri mes les huit qui suivent les quatri mes de ceux qui ont t appel s cinqui mes enfin les six restants sont de ceux qui ont t appel s sixi mes et le dernier d entre eux est dix myriades des nombres sixi mes Il est donc clair que la quantit de grains de sable dont le volume gale une sph re du diam
28. et BC en dehors du carr P est l image de N par la rotation de centre M et d angle 60 degr s On a les 3 sommets d un triangle quilat ral MNP pour lequel M et N sont sur les c t s du carr ABCD T1 est le polygone MNP Cette cr ation permet de visualiser les c t s du triangle puis de le colorier ensuite Par la suite on peut rajouter long affichage de la longueur MN Cela permettra de v rifier si tous les triangles quilat raux inscrits dans le carr ont la m me taille Pour compl ter la recherche on sera amen construire N point libre sur la droite DC P image de N par la rotation de centre M et d angle 60 degr s T2 polygone MN P Le triangle MN P est quilat ral et a deux sommets sur des c t s du carr ABCD Figures de d part pour des recherches figures 7 amp 8 D dass N B C Pour r soudre le probl me on peut faire remarquer aux l ves qu il suffit de se cantonner un point D M BE N G M situ sur EB o E est le milieu du c t AB 54 Ce que peuvent alors faire les l ves Choisir un point M sur EB Pour faciliter la recherche initiale on peut demander aux l ves de choisir M assez pr s du milieu de AB comme sur la figure 8 En d pla ant le point N sur le c t BC et m me en dehors du carr sur la droite BC on constate que l on trouve bien un
29. g h celles de b qui expriment a et b en fonction de a et b a ae bfetb ag bh Au d but a a 1 b 0 et b a 0 b 1 q est le quotient de la division de a par b et r est le reste r a bq a e qg b f qh ces coordonn es sont not es i et j dans l organigramme 38 la fl che p permet d affecter une valeur A la fin r 0 et le reste pr c dent est le Plus Grand Diviseur Commun de a et b il est affect b g et h sont alors les coefficients u et v cherch s ici 1 2x17 3x11 valeur de a valeur de b 1 gt e 0 f 0 g 1 h Int a b gt a afficher b g h fin 39 Annexe 2 Le document l ves TS sp 05 06 T D Une quation e LES r solue par Ven 20 01 06 Objectifs Etudier une quation deux inconnues partir d un document du XVII si cle d Etienne B zout Activit Etienne B zout est un math maticien fran ais n en 1730 Nemours o le lyc e porte son nom mort en 1783 aux Basses Loges pr s de Fontainebleau Il a enseign dans une cole militaire et crit un Cours de Math matiques l usage des Gardes du Pavillon et de la Marine en cinq tomes 1 Lire le texte page 2 et compl ter les pointill s en effectuant les calculs n cessaires au fur et mesure 2 a Pourquoi tait on s r l avance de trouver des solutions au probl me b Les divisions euclidiennes successives utilis
30. le de la manipulation psychologique dans notre enseignement J ai soumis une bauche de cette activit aux membres du groupe pour avoir leur avis En fait deux bauches La premi re tentait de rester fid le l esprit historique du probl me et se voulait une explication pas pas de la r gle des m langes Si son int r t tait ind niable du point de vue historique elle ne faisait que peu appel la proportionnalit J ai donc retenu la seconde plus centr e sur la proportionnalit Elle pr sentait cependant une difficult apr s avoir r solu un exercice simple je demandais aux l ves en question ouverte comment expliquer l utilisation de la proportionnalit dans ce probl me ce qui ne manquerait pas de susciter des d bats et des explications Mais c est l qu est l int r t On est ici confront un probl me o maths et bon sens doivent s allier pour donner la solution avoir l opinion intuitive des l ves sur le probl me et argumenter pour leur montrer qu il faut un peu de formalisme est primordial surtout dans le cadre d une activit historique Je me suis d ailleurs perdu moi m me en devan ant les questions de mes l ves Finalement quoi sert la proportionnalit l dedans Elle est certes ind niable mais quelles sont les quantit s proportionnelles Je dois une fois de plus rendre gr ce au groupe qui m a donn l explication qui figure dans la partie pr c dente
31. liene les parties ppofezs icelluy nombre Mleefteentieremet lefqnels nombzes fus tuy tronnes toug hnfemblefansluyadiouftircepartiffentpar 1 moing gn fontceul efquels cevoibt faire La raifon T ce viendra ou par tementlieueenlesnombretrounes arla reftefera lenombe dicel f uv auioemadoit elle partie t quat tu foubftrais lenombiedeta po fition equireftera fera lenombzequetu venleg fauoir figure 8 pr sentation de la m thode de simple fausse position Le d but de l explication r pond la d finition courant de la m thode de fausse position on part d une valeur arbitraire pour la solution requise mais en principe la simple utilisation d une r gle de trois permet de trouver la valeur exacte Si l on cherche traduire la prose d Ortega en 1 Pour plus de pr cisions on consultera la r cente brochure de l IREM de Toulouse De l arithm tique l alg bre fausses positions et premier degr Toulouse 2008 14 Fol 160 v pagin par erreur 601 vue n 307 82 termes quasi compr hensibles il faut d abord remarquer que la m thode est appliqu e une certaine cat gorie de probl mes propos de sommes d argent poss d es par plusieurs personnes une compagnie et que l nonc donne syst matiquement la proportion de l argent des autres qu il manque chacun pour acqu rir un certain bien pour r soudre cette cat gorie de probl mes il s agit de choisir la pos
32. pr s la p riode o se d roulait la r flexion d crite ici javais voqu le nom d Archim de lors d une le on de sciences consacr e la statique des fluides avec des l ves de terminale BEP M tiers de la Mode et des Industries Connexes et leur manque voire leur absence totale d information sur le personnage d Archim de m a convaincu d aborder ce th me avec mes l ves de premi re bac sous un angle adapt aux objectifs cit s plus haut 4 Premi re activit recherche documentaire et synth se d informations a Le travail demand A partir des l ments d crits au paragraphe 3 j ai donc demand aux l ves d effectuer un travail de recherche personnelle avec des consignes pr cises Enqu te sur Archim de Rechercher sur Internet ou sur une encyclop die des informations sur ce savant Parmi les renseignements collect s extraire en dix lignes environ les informations qui vous semblent importantes pour caract riser ce personnage et son uvre Il est facile de constater que la t che propos e n est pas des plus simples Il suffit pour s en convaincre de demander sur un moteur de recherches comme Google une investigation partir du mot Archim de On obtient une liste de 2 070 000 sites j avais sugg r aux l ves une variante ventuelle en tapant Archimedes d nomination anglaise du savant grec 3 560 000 sites sont propos es et si on souhaite avoir une image part
33. probl me est ya yB 0 70 qui est une quation une inconnue dont la solution est x 2 3 En effet en raisonnant autrement l cart entre le prix du vin B et le prix vis est moiti moindre que celui du vin A donc la proportion de vin B doit tre double de celle de A pour compenser x 2 1 x d o x 2 3 Est il n anmoins possible de ramener le probl me une intersection de droites J en doute quelle autre inconnue choisir Le probl me appelle une solution qui est une proportion les donn es sont des prix au litre donc la mise en quation ci dessus s impose Qui plus est lorsqu on passe un m lange ternaire ou quaternaire on obtiendrait trois ou quatre droites qui devraient tre concourantes 23 Int ressons nous justement au probl me de d part avec trois vins qu on nommera respectivement A B et C L nonc demande des quantit s en litres mais la recherche des proportions permet de r pondre Comment l tudiant a t il proc d Il a utilis le m me principe que pr c demment plus l cart du prix d un vin avec le prix vis est grand plus il faudra augmenter les proportions des autres vins L tudiant a donc class les vins par ordre croissant de prix de haut en bas en les disposant de part et d autre du prix vis A et B dont le prix au litre est inf rieur 1 30 F sont au dessus C est lui en dessous et B devront contrebalancer son influence Ce n e
34. que IC IB 8 TA x 4 En d duire une r solution du probl me de Fermat BIBLIOGRAPHIE telle qu elle a t cit e par Pierre Collaudin en 1991 Paragraphe 0 Configuration e Recueil des probl mes des bulletins de l IREM de Besan on e _ Red couvrons la g om trie Coxeter Dunod p 95 e Math matiques 1 S et E g om trie Collection Terracher Hachette p 247 e Math matiques terminales C E g om trie Gauthier Royer Thierc Hachette p 196 e Cours de math matiques l mentaires F G M Mame 1905 Th 162 e G om trie classe de math matiques Leboss et Hemery Nathan p 206 e Sujet du baccalaur at s rie C septembre 1985 Paris Paragraphe I M thode 1 e Pr liminaire Red couvrons la g om trie Coxeter Dunod p 48 Alg bre et g om trie terminales C et E Sauser Ellipses p 36 e R solution Recueil des probl mes des bulletins de l IREM de Besancon Paragraphe IL M thode 2 e Alg bre et g om trie terminales C et E Sauser Ellipses p 164 e Joyaux Math matiques R Honsberger Cedic p 37 e Math matiques seconde Glaymann et Malaval Cedic p 241 Paragraphe HI M thode 3 e Math matiques 1 S E IREM de Strasbourg Istra p 273 e Joyaux math matiques R Honsberger Cedic p 33 e 100 greats problems of elementary mathematics Dorrie dover p 361 Paragraphe IV M thode 4 73 e Joyaux math matiques R
35. que la diff rence entre F x et F x e est infiniment petite par rapport e qui est suppos lui m me infiniment petit Mais comme cependant elle n est pas nulle il pr vient express ment qu il entend que l quation 2 F x e F x ou F x e F x n est pas rigoureusement exacte Cette relative stabilit autour d un extremum constat e par Kepler et Fermat est l une des premi res constatations qu ont fait les l ves en cherchant l aide de G oplan la position pr cise du point de Fermat d un triangle Dans la suite de son trait Fermat utilise sa m thode pour r soudre entre autre divers probl mes de tangentes la parabole l ellipse ou la cyclo de ainsi que de centre de gravit de partages de segments plus sophistiqu s que dans son premier exemple Comme il a t dit plus haut ce n est qu la fin qu il propose de trouver le point d un triangle tel que la somme des distances aux trois sommets soit minimum Si le corps du trait est l un des textes l origine du calcul infinit simal la question finale a souvent t exploit e et g n ralis e au 19 si cle par Steiner Son probl me consiste minimiser la liaison entre divers points du plan soit directement soit en utilisant des points suppl mentaires dits points de Steiner Par exemple avec trois points le point de Steiner est le point de Fermat Torricelli Avec quatre points on peut envisager une liaison comme dan
36. r solution des exercices de la derni re partie tir s des textes historiques sans traduction Je sais par exp rience qu ils sont prompts poser des questions sur les aspects historiques a comble leur soif d anecdotes et a permet de ne pas faire de maths pendant ce temps On pouvait aborder ce probl me sous d autres angles Une approche barycentrique par exemple le prix du m lange est un barycentre des prix des diff rents vins et il faut retrouver les coefficients d finis une constante multiplicative pr s Il serait int ressant d tudier la part que le probl me des m langes a jou e dans l laboration de la th orie des barycentres m me si cette th orie est essentiellement d origine m caniste la r solution barycentrique est assez naturelle pour qu on se pose la question On peut d ailleurs remarquer que la r gle des m langes utilise la proportionnalit ou la proportionnalit inverse depuis 1202 alors que le concept n a t formalis 20 que beaucoup plus r cemment On pourra aussi penser la r gle des leviers d Archim de si on a un poids A lourd et un poids B plus l ger il faudra accrocher A proche et B loin du point d appui pour obtenir l quilibre C est d ailleurs ainsi que Pierre Collaudin pr sentait la r gle des m langes dans son article Merci encore au groupe DESCO Histoire des maths pour m avoir aid d broussailler cette activit en en particulier
37. sait que sa m thode permettra d crire ce nombre et d autres encore beaucoup plus grands Quant leur avis personnel il est tr s vari depuis les l ves 7 qui ne savent pas jusqu ceux 10 qui sont en accord avec l auteur c est un nombre fini tr s grand Quelques commentaires int ressants ont t relev s l origine de discussions qui ont suivi 6 L infini n existe pas L infini c est abstrait c est th orique Un nombre est toujours fini m me tr s grand Apr s un d bat d une dizaine de minutes j ai distribu le texte suivant avec la consigne de lire les questions et de proposer des r ponses pour la semaine suivante Premi re Baccalaur at Professionnel Math matiques Archim de math maticien grec Partie 3 La suite du texte consiste d finir ce qu est le monde pour les Grecs du troisi me si cle avant J sus Christ l poque on pensait que le Monde avait la forme d une sph re dont le centre tait la Terre Aristarque contemporain d Archim de proposait comme Monde une sph re centr e sur le Soleil Ces derni res dimensions tant les plus grandes ce sont celles que va utiliser Archim de Afin d valuer le nombre de grains de sable il explique son syst me de num ration On s entend sur les noms qui nous ont t transmis pour les nombres allant jusqu dix mille et l on distingue suffisamment les myriades en non ant leurs nombres jusqu di
38. solution du probl me Commentaires Comme d habitude les l ves s int ressent d abord aux singularit s de l orthographe puis ils se lancent dans la r solution proprement dite avec un r el int r t d s qu ils commencent comprendre o B zout les emm ne La r criture des diff rentes quations diophantiennes interm diaires facilite la compr hension de la d marche Cependant les l ves ne voient pas de lien avec les congruences et personne ne remarque que l on retrouve dans l expression des solutions les coefficients 17 et 11 du d part On peut noter une r elle satisfaction chez certains d avoir r solu le probl me Devoir faire sur feuille 7 D apr s un probl me d annales Un astronome a observ au jour Jo le corps c leste A qui appara t p riodiquement tous les 105 jours Six jours plus tard Jo 6 il observe le corps B dont la p riode d apparition est de 81 jours On appelle J le jour de la prochaine apparition simultan e des deux objets aux yeux de l astronome Le but de cet exercice est de d terminer la date de ce jour J4 Soient u et v le nombre de p riodes effectu es respectivement par A et B entre Jo et J Montrer que le couple u v est solution de l quation E1 35x 27y 2 R soudre ce probl me par la m thode de B zout 8 Autre question pos e par B zout c est la Question seconde page 120 du l ouvrage Faire 741 liv
39. Institut de Recherche sur l Enseignement des Math matiques x IREM de Dijon M LANGES EN HOMMAGE PIERRE COLLAUDIN da z i fati he p a i 35 D cembre 2008 Pr face La pr sente brochure a t compos e par les membres du groupe d Histoire des Math matiques de l IREM de Dijon en rassemblant des tudes et activit s propos es en classe sur des th mes qui taient chers Pierre Collaudin Pierre nous a quitt s en 2003 nous avons choisi de publier ces m langes sa m moire la fois pour que son travail continue profiter au plus grand nombre et pour t moigner de l importance de ce qu il nous a apport Membre fondateur du groupe et de l association Math matiques en Bourgogne il participait activement tous ses travaux ainsi qu ceux de la Commission inter IREM Epist mologie et Histoire des Math matiques professeur et formateur 1l tait devenu un sp cialiste d Archim de dont il avait fait le th me central de ses derni res interventions mais s int ressait aussi l arithm tique l mentaire ou sup rieure la g om trie pratique et de nombreux domaines de l enseignement des math matiques Cette multiplicit des centres d int r t se refl te dans les diff rents articles qui suivent L arithm tique avec Les quations diophantiennes La r gle des m langes L arithm tique de Juan de Ortega Les travaux d Archim
40. M Yrdnom Propofition 50 Dans un quar infcrire un triangle equilateral Cenffrution s 1 1 2 Soit le quar BC D dans lequel of veuirinfcrire un triangle equilateral Cquiangle Soyenttirces les Disgon les A C amp B D s entrecoupans cn L u centre L a la diftance L A foit defcripr le cercle A B C D foiraufli icelle di nce mife de C fur la circonference en G amp en F C J amp defdits pont G amp F du poinr A foyent tirees les lignes A F amp A G qui coupcront le quare aux Points H amp 1 amp diceux tiree la ligne H L fera trouve le triangle rc quis Qu il foitainf il apart par ce que le cotte G F eftant paralelle au cofte HI que le triangle A G F cit proportionellc au triangle A H 1 amp d Remarque les carr s ABCD construits sur l nonc permettent aux l ves de faire des essais sans avoir construire ces susdits carr s ce qui leur permet de se concentrer sur le probl me r soudre 52 ANNEXE 2 Commentaires et solutions Question la reproduire cette figure Certes la figure est donn e page suivante mais 1l n est pas inutile de demander aux l ves de la reproduire car le langage de Marolois n est pas leur langage habituel et d autre part ils se familiarisent mieux avec les hypoth ses Question 1b un exemple de solution proposer Les deux cercles de la figure sont de m me rayon r de centres respectifs L et C la droite LC c est dire aussi
41. ait assez difficile D ailleurs sans leur sollicitation je n aurais sans doute pas essay de leur proposer ce texte l des Terminales auraient peut tre pu en tirer parti mais en ce qui concerne les Secondes le manque de familiarit avec l alg bre est un obstacle ainsi que le manque de d sir d aller au bout de la solution Certains d entre eux l ont pris pour un d lire de prof de maths attendant poliment la fin de l heure et oubliant imm diatement ces mauvais souvenirs Je ne tenais pas insister car ils en auraient con u une vision n gative des activit s de lecture de textes anciens trop ardus voire des math matiques en g n ral Les plus int ress s ont convenu qu ils avaient besoin de plus de temps pour tirer parti de l activit et nous nous sommes quitt s bons amis L extrait donn en interrogation la semaine suivante probl me de la lance plant e en terre r solu par fausse position simple revenait nos premi res amours Un des aspects regrettables des activit s de lecture de textes anciens en classe est de ne trouver de v ritable cho qu aupr s de bons l ves lorsque la compr hension des textes n est pas imm diate et n cessite un travail d laboration Pierre Collaudin avait exprim cette id e apr s avoir travaill avec ses l ves de Terminale sur des quadratures d Archim de sujet difficile mais combien exaltant pour qui cherche sortir des sentiers battus Le d
42. ait tenu l IREM de Lyon en 2002 Pierre Collaudin avait pr sent une tude sur les m thodes d alliages et de m langes utilis es dans de vieux livres d arithm tique d apr s un texte manuscrit communiqu par Henry Plane Patrick Guyot et moi avions propos une pr sentation de probl mes anciens galement issus d ouvrages d arithm tique commerciale Notre domaine principal de recherche jusque l centr sur la g om trie pratique et les fortifications prenait alors une nouvelle dimension et s tendait d sormais aux math matiques pratiques en g n ral Avec le recul je r alise que notre groupe de travail a souvent fonctionn sur ce principe de contagion positive par lequel un int r t personnel pour un certain domaine se transmet aux autres membres sans phagocytage pour autant Pierre qui tait curieux de tout et avait travaill de nombreux sujets a ainsi dessin pas mal de pistes de recherche dont l arithm tique pratique qui n ont pas forc ment toujours abouti des travaux communs mais au moins des recherches parall les donnant lieu de nombreux changes et enrichissements mutuels En ce qui me concerne l envie d tendre mon travail de recherche en DEA de Philosophie en 2003 puis en th se depuis la totalit des math matiques pratiques de la Renaissance est due en partie cet environnement positif et au d sir de prolonger l tude des th mes dont Pierre avait contribu n
43. am tre du monde est plus petit que dix mille fois le diam tre de la terre et que de plus le diam tre du monde est plus petit que cent myriades de myriades de stades En effet puisque l on a suppos que le diam tre du soleil n est pas plus grand que trente fois le diam tre de la lune et que le diam tre de la terre est plus grand que le diam tre de la lune il est vident que le diam tre du soleil est plus petit que trente fois le diam tre de la terre D autre part 12 puisque l on a d montr que le diam tre du soleil est plus grand que le c t du chiliagone inscrit dans le plus grand cercle du monde il est clair que le p rim tre du chiliagone en question est plus petit que mille fois le diam tre du soleil Or le diam tre du soleil est plus petit que trente fois le diam tre de la terre donc le p rim tre du chiliagone est plus petit que trente mille fois le diam tre de la terre D s lors puisque le p rim tre du chiliagone est plus petit que trente mille fois le diam tre de la terre tandis qu il est plus grand que trois fois le diam tre du monde car on t a d montr que le diam tre de tout cercle est plus petit que le tiers du p rim tre de tout polygone inscrit dans ce cercle ayant les c t s gaux et plus de six angles il en r sulte que le diam tre du monde est plus petit que dix mille fois le diam tre de la terre D s lors il est d montr que le diam tre du monde est plus petit que dix mille fois le
44. arque que ces fractions sont de la forme Or la propri t fondamentale de ce type de fractions est n l VneN 1x 1 autrement dit il suffit d ajouter sa n partie une telle fraction pour obtenir 1 c est ce qui est utilis ici dans les calculs pour chacun des marchands et il est ais de comprendre que la fausse position de d part est la diff rence entre le prix de la b te et la somme totale disponible S X A 1 b c a c i a b Ona alors 1 marchand A 1A 1 b c 1 b c b c S a 2 marchand A LA 2 a c 1x2 a c 2 a c 1 a c S b 3 marchand A 1LA a b 1x a b i a b 1 a b S c Il en d coule que la somme de ces trois quantit s est bien le double du montant total de l argent disponible b c a c a b 2x a b c 2 S ou S a S b S c 3 a b c 2 Le prix du cheval est X S A le bien de chaque marchand est donn par la diff rence entre S et le r sultat de chaque calcul respectivement S S a S S b et S S c De quoi r fl chir n est ce pas Un autre exemple permettra de consolider l acquisition Exemple 3 Quatre hommes veulent acheter un cheval comme dessus Le probl me est du m me tonneau avec quatre personnes comme il est dit dans l nonc Cette fois ci les proportions sont moiti tiers quart et cinqui me La traduction de la m thode utilis e est fort semblable celle de l exemple 1 Si l on 84 appelle a b c et d
45. ation lin aire coefficients entiers dont on cherche les solutions enti res Ainsi une quation diophantienne deux inconnues est de la forme ax by c avec a b c entiers Dans ce probl me on se limite aux solutions naturelles Donner cinq couples solutions de l quation diophantienne t 5s 3 3 a Lire les lignes 20 28 jusqu au symbole amp b V rifier que l quation de la ligne 25 est quivalente celle de la ligne 23 c Ecrire l quation de la ligne 27 sous la forme d une quation diophantienne 35 d Est il ais de trouver tous les couples solutions de cette quation Si oui les donner 4 a Lire les lignes 28 40 b V rifier tous les calculs de ce paragraphe c Expliciter les quations diophantiennes successives obtenues par B zout d Est il ais de trouver tous les couples solutions de la derni re quation comme l affirme B zout 5 a Choisir deux valeurs pour s et en d duire les valeurs de x et y correspondantes Ces valeurs r pondent elles au probl me pos b Exprimer successivement les inconnues f u x y en fonction de s c V rifier les r ponses la question pr c dente en lisant les lignes 41 51 6 a Lire la fin du texte b Donner les trois couples de solutions qui suivent ceux donn s par B zout D roulement en 1h30 Les l ves travaillent seuls ou avec leur voisin Ils ne rencontrent pas de difficult s pour mener bien la r
46. centre du monde le rapport de la terre avec ce que nous appelons le monde est le m me que celui de la sph re contenant le cercle autour duquel on suppose que la terre volue avec la sph re des toiles fixes C est en effet d une telle conception des apparences qu il fait d pendre ses d monstrations et il semble principalement supposer que la grandeur de la sph re dans laquelle il imagine que la terre se meut est gale celle que nous appelons le monde D s lors je dis que si l on composait une sph re de sable aussi grande qu Aristarque suppose tre la sph re des toiles fixes on d montrerait moyennant les donn es qui vont suivre que parmi les nombres de l expression desquels il a t question plus haut certains surpasseraient le nombre des grains de sable dont le volume serait gal celui d une pareille sph re Admettons d abord que le p rim tre de la terre ait une longueur de trois cents myriades de stades et pas davantage Il est vrai que d autres comme tu le sais ont tent de d montrer que cette longueur est de trente myriades de stades mais moi allant plus loin et regardant cette dimension de la terre admise par mes devanciers comme tant environ dix fois plus grande je suppose que son p rim tre est peu pr s de trois cents myriades de stades mais pas davantage Je pose ensuite que le diam tre de la terre est plus grand que celui de la lune et que le diam tre du soleil est plus grand que celu
47. cipe math matique une recette de comptable pour introduire une notion importante me paraissait d licat J ai donc voulu placer cette activit non pas en introduction la proportionnalit comme j en avais l intention au d part mais comme une application du concept pour r soudre des probl mes Dans ce contexte il me fallait transformer l nonc je devais abandonner l aspect d couverte et analyse d un document historique pour m orienter vers un nonc plus conventionnel une mise en forme plus proche des activit s et exercices du chapitre Ceci afin de les amener naturellement d couvrir par eux m mes les relations de proportionnalit cach es derri re le sch ma en croix J ai donc pass beaucoup de temps sur la mise en forme des questions Ma classe de 5 tant d un naturel contestataire je voulais susciter le moins possible de remises en cause du genre mais a sert rien c est bien plus facile avec la calculatrice ou jy comprends rien a m nerve qui constituent h las l ordinaire de leurs r flexions lorsque je leur parle d histoire des maths En particulier la l gitimit du sch ma en croix figure centrale de l article de Pierre a mis du temps venir J ai envisag une justification a posteriori en construisant toute l activit comme une explication guid e du document historique Ainsi les questions ont pour but de d cortiquer le document livr sans mode d
48. cours que j ai assimil e en premier la m thode de B zout plus tortueuse tant qu on ne trouve pas de nombre entier et qui fait intervenir plus d inconnues difficiles replacer dans la formule Je pr f re la m thode vue en cours que je trouve plus claire Je trouve en effet que la m thode de B zout est un peu longue et complexe cause de la succession d inconnues surtout qu il faut une fois qu on a trouv l entier remonter dans l autre sens pour exprimer en fonction de la derni re inconnue trouv e Pour ma part je pr f re la m thode de B zout certes elle est plus longue mais je trouve qu elle est plus simple comprendre pour quelqu un qui n a encore jamais vu les quations diophantiennes Des deux m thodes je pr f re la m thode de B zout car je trouve que l on trouve plus vite les solutions g n rales qu avec la m thode vue en cours Je pr f re la m thode vue en cours car celle ci est plus rapide que celle utilis e par B zout Personnellement je pr f re la m thode vue en cours car je l ai trouv e moins longue que celle de B zout mais il n emp che que j ai trouv celle de B zout int ressante tudier Je pr f re la m thode vue en cours car elle est plus simple et plus facile retenir Personnellement je pr f re la m thode de B zout elle est certes plus longue cause de la d multiplication du probl me mais plus simple
49. d calage et 00 La suite correspond au produit de 0 par les cinq chiffres successifs du multiplicande puis de 8 puis de 5 la r gle tant de remplir au fur et mesure 9 les colonnes en se d calant chaque fois d une position ce qui n est pas sans rappeler notre propre technique EN Fa U On amp 0 0 0 4 0 0 1 0 0100 figure 4 multiplication ordinaire compl t e 7 Au folio XV verso et aussi te fault noter que que par les deulx premieres exemples mis cy apres ne fault riens retenir mais poser tout au long 79 D s qu ils ont compris la m thode les l ves la trouvent g niale et s appliquent expliquer les chiffres donn s dans les lignes suivantes Cependant mon tableau ne correspond pas la gravure originale du texte d Ortega et il reste comprendre la disparition des 0 superflus Eh bien c est tout simplement qu ils sont superflus D abord ceux qui naissent du produit par 0 quand vous les faites dispara tre et que vous remontez les chiffres dans leurs colonnes respectives afin de ne pas laisser de place vide vous reconstituez la premi re ligne interm diaire du texte original puis vous supprimez le premier des deux 00 obtenus lorsqu on multiplie l un des chiffres significatifs du multiplicateur par le dernier O du multiplicande ce qui est effectuer trois fois et la remont e comble vide redonne la seconde ligne interm diaire e
50. d c t du triangle ABC do e Sile triangle n a pas d angle de mesure sup rieure 120 alors M1 est le point de Fermat du triangle ABC et il existe un r el lt 1 tel que pour tout a de 10 Al Ma est confondu avec le sommet du triangle ABC dont l angle est de plus grande mesure la courbe de Samuel pr sente alors un point d arr t ou un point limite nous n avons pas pu le d terminer e Sile triangle a un angle de mesure sup rieure 120 alors la courbe de Samuel pr sente comme point d arr t le sommet A d angle de plus grande mesure il existe galement un r el gt 1 tel que pour tout a si a lt alors Ma est confondu avec A Toutes les courbes de Samuel passent par M qui est le centre de gravit du triangle Question Comment d terminer en fonction des mesures des angles du triangle sans utiliser une m thode dichotomique 14 Triangle acutangle Points de la courbe de Samuel pour les valeurs de a suivantes en allant vers A 20 4 3 2 1 5 1 0 9 0 85 0 81 2 0 8 Triangle ayant un angle sup rieur 120 Points de la courbe de Samuel pour les valeurs de a suivantes en allant vers A 10 4 3 2 1 8 1 6 1 4 1 2 1 1 1 05 2 lt 1 012 75 Juan de Ortega de l obscurit la lumi re Trois tudes de textes en classe de seconde Fr d ric METIN Lyc e Le Castel Dijon Lors du colloque premier cycle Convergences qui s t
51. difficult s rencontr es pour crire de tr s grands nombres Avant de faire lire aux l ves une partie de l ouvrage d Archim de je leur ai propos de r fl chir l criture des nombres entiers l aide des chiffres ou de mots Ils ont eu r pondre aux questions du document suivant Premi re Baccalaur at Professionnel Math matiques Archim de math maticien grec Partie 1 L ar naire mot de la m me famille qu ar ne issu du latin arena qui signifie sable signalons qu en grec on employait comme titre le mot psammite provenant de psammos sable est un livre du grec Archim de 287 av JC 212 av JC dans lequel il pr sente un syst me de num ration qu il a invent Avant lui les Grecs utilisaient des nombres avec une criture complexe faite de lettres La lettre correspondant au plus grand nombre est M symbole de la myriade gale dix mille Avant d tudier une partie du texte de l ar naire r pondez quelques questions 1 Ecrire une myriade en chiffres puis sous forme d une puissance de dix 2 crire une myriade de myriades en chiffres puis sous forme d une puissance de dix Ce nombre est le plus grand qu on savait crire l poque d Archim de 3 crire en toutes lettres le nombre 999999999 4 Vingt cinq mots de la langue fran aise suffisent pour nommer tous les nombres de 1 jusqu 999 999 999 999 crire ces vingt cinq mots Commentaire de la pa
52. donn la d monstration de sa r gle diverses conjectures ont t faites sur le principe qui lui servait de base Essayons de fixer l opinion sur ce point Une remarque importante faire d abord c est qu il d clare express ment que les deux membres de l quation 1 ne sont r ellement pas gaux Il les consid re dit il tanquam essent aequalia licet 62 revera aequalia non sint et hujusmodi comparationem vocavi ad qualitatem comme si ils taient gaux bien qu ils ne le soient pas r ellement et j ai appel une telle comparaison ad galit Il est n cessaire encore de se rappeler un passage de la Nova Stereometria Doliorum de Kepler imprim e en 1615 c est dire plus de vingt ans avant la publication de la m thode de Fermat Ce passage se rapporte aux valeurs voisines de part et d autre d une valeur maximum il est ainsi con u Circ maximum vero utrinque circumstantes decrementa habent initio insensilia II pars theorema V corollarium IL Assur ment autour du maximum ils ont de part et d autre des d croissances insensibles au d but Il me para t vident par ce rapprochement que Fermat est parti de cette id e de Kepler admise comme g n rale sans d monstration que si pour une certaine valeur x F x est maximum et que l on consid re des valeurs tr s voisines x e le d croissement correspondant de F x sera incomparablement plus petit que l accroissement e de x en d autres termes
53. e BA la droite OK est plus petit que le rapport de 11 1148 et il s ensuit que la droite BA est plus petite que la centi me partie de la droite OK Or le diam tre du cercle XH est gal la droite BA parce que sa moiti c est dire la droite DA est gale la droite KP car les droites OK OA tant gales des perpendiculaires oppos es au m me angle ont t men es de leurs extr mit s Donc il est vident que le diam tre du cercle H est plus petit que la centi me partie de la droite OK Or le diam tre EOY est plus petit que le diam tre du cercle XH parce que le cercle AEZ est plus petit que le cercle XH par cons quent la somme des droites OY et K est plus petite que la centi me partie de la droite OK et il en r sulte que le rapport de la droite OK la droite Y est plus petit que celui de 100 99 De plus puisque la droite OK n est pas plus petite que la droite OP et que la droite Y est plus petite que la droite AT le rapport de la droite OP la droite AT sera donc plus petit que celui de 100 99 D autre part puisque dans les triangles rectangles OKP AKT les c t s KP KT sont gaux que les c t s OP AT sont in gaux et que le c t OP est le plus grand le rapport de l angle compris sous les droites AT AK l angle compris sous les droites OP OK est plus grand que le rapport de la droite OK la droite AK mais plus petit que celui de la droite OP la droite AT En effet si les c t
54. e d une graine de pavot n est pas sup rieur dix mille il est vident que si une sph re du diam tre d un doigt est remplie de sable le nombre des grains de sable ne sera pas sup rieur dix mille fois soixante quatre mille Or ce nombre vaut six unit s des nombres seconds plus quatre mille myriades des nombres primes il est donc inf rieur dix unit s des nombres seconds D autre part une sph re ayant un diam tre de cent doigts est cent myriades de fois multiple de la sph re ayant un diam tre d un doigt puisque les sph res sont entre elles dans le rapport du cube des diam tres En cons quence si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de cent doigts il est vident que le nombre des grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant dix unit s des nombres seconds par cent myriades Et puisque dix unit s des nombres seconds sont le dixi me nombre partir de l unit dans une progression dont les nombres sont en rapport d cuple et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression il est vident que le nombre form en multipliant sera le seizi me partir de l unit dans la m me progression car il a t d montr que ce produit est loign partir de l unit de la somme moins un des nombres dont les nombres multipli s sont loign s partir de l unit Or de ces seize nombres les huit premiers y com
55. e de ces nombres soit suffisante pour la chose qui nous occupe on peut aller encore plus loin En effet appelons nombres de la premi re p riode ceux que nous avons nonc s jusqu ici et appelons unit des nombres primes de la seconde p riode le dernier nombre de la premi re p riode Appelons de m me unit des nombres seconds de la seconde p riode dix mille myriades des nombres primes de la seconde p riode appelons de m me unit des nombres troisi mes de la seconde p riode le dernier des nombres pr c dents et continuons appeler de cette mani re les nombres successifs de la seconde p riode jusqu dix mille myriades de nombres de dix mille myriades Appelons encore de m me unit des nombres primes de la troisi me p riode le dernier nombre de la seconde p riode et ainsi de suite les nombres successifs jusqu dix mille myriades de nombres de dix mille myriades de la dix mille myriadi me p riode 13 Les nombres tant d nomm s de cette mani re si des nombres en proportion continue sont dispos s par ordre partir de l unit et si le nombre qui suit l unit est dix les huit premiers y compris l unit feront partie de ceux qui sont nomm s nombres primes les huit suivants feront partie de ceux qui sont nomm s seconds et les autres feront de m me partie de ceux qui sont appel s du nom m me du rang de leur octade de nombres partir de la premi re octade de nombres Il en r sulte que le huiti
56. e fa on tr s ludique de faire des maths leur a plu 30 6 Conclusion La r gle des m langes a t abord e comme je le pr voyais par t tonnements La m thode a t d gag e peu peu Quatre bons l ves ont trouv les calculs syst matiques faire pour trouver les proportions du m lange 1ls trouvaient compliqu e la m thode du tableau en croix Ils sont all s au tableau par deux fois crire et expliquer leurs calculs Les autres l ves ont compris mais pr f rent la m thode de la croix Quant aux r criminations que je redoutais le jeu les a occult es Je n ai pas eu le temps d aller au bout de l activit avec les exercices historiques au bout d une heure et demie nous finissions peine de syst matiser le m lange de deux vins Le m lange de trois vins a t abord mais pas termin de mani re satisfaisante malgr la fin du jeu apr s 1h 35 min il restait une quinzaine de minutes peine 8 Tentative d adaptation de la m thode un m lange ternaire c est plus difficile pour eux La lassitude s installe 31 Les quations diophantiennes 1 chez B zouf 2 Jean TERRERAN avec la collaboration de Thierry DASS et Micka l V DRINE Lyc e Catherine et Raymond Janot de Sens Une quation diophantienne est une quation lin aire coefficients entiers deux inconnues enti res par exemple 17x 11 y 542 Leur r solution a figur pendant longtemps au
57. e position de N telle que les sommets du triangle quilat ral MNP soient sur les c t s du carr ABCD Voici par exemple une figure finale l P E Figure 9 Cependant si l on choisit M plus proche de B comme sur la figure 7 le point N tel que P appartienne AD peut tre sur la droite BC mais en dehors du carr Ce qui ne fournit pas une solution au probl me pos Prenons M sur EB proche du point B On est alors amen s cr er un point N sur la droite CD puis terminer le triangle quilat ral MN P par un point P En d pla ant N sur la droite CD on trouve la position de N qui donne une solution MN P au probl me pos savoir un triangle quilat ral MN P inscrit dans le carr ABCD comme par exemple sur la figure suivante P D NN D B N C Figure 10 Compl ments Appelons E le milieu de AB trouver une solution pour tous les points M du segment EB r soudra le probl me pour tout point M sur les c t s du carr ABCD les autres demi c t s jouant des r les similaires Plus M est proche du milieu E de AB plus on a de chances de trouver le triangle MNP avec N sur BC plus M est proche de B et plus on a de chances de trouver le point N sur CD On 55 remarque que la position critique est telle que le triangle MNP aura son sommet N en C ce qui revient au cas tudi lors de la premi re partie de l exercice avec le
58. e quaranti me d un doigt mais pas moins car pour ceci je d sire galement d montrer ma proposition sans aucune contestation Voil donc les choses que j admets Cependant je crois utile de parler de la d nomination des nombres afin que s il n en tait pas question dans le pr sent livre on ne soit pas d rout au sujet d autres nombres encore qu on ne trouvera pas dans le livre que j ai crit pour Zeuxippe On s entend sur les noms qui nous ont t transmis pour les nombres allant jusqu dix mille et l on distingue suffisamment les myriades en non ant leurs nombres jusqu dix mille myriades D s lors appelons primes les nombres en question jusqu dix mille myriades appelons unit des nombres seconds dix mille myriades des nombres primes et comptons les unit s des nombres seconds les dizaines de ces unit s les centaines les milliers et les myriades jusqu dix mille myriades Appelons de nouveau unit des nombres troisi mes dix mille myriades des nombres seconds et comptons les unit s des nombres troisi mes les dizaines de ces unit s les centaines les milliers et les myriades jusqu dix mille myriades Appelons de m me unit des nombres quatri mes dix mille myriades des nombres troisi mes unit des nombres cinqui mes dix mille myriades des nombres quatri mes et continuons appeler de cette mani re les nombres successifs jusqu dix mille myriades de dix mille myriades Bien que la connaissanc
59. e unit s des nombres quatri mes Il est donc clair que la quantit de grains de sable dont le volume gale une sph re du diam tre de cent stades est plus petite que mille unit s des nombres quatri mes Derechef une sph re du diam tre de dix mille stades est cent myriades de fois multiple d une sph re du diam tre de cent stades Donc si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de dix mille stades il est vident que le nombre des grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant mille unit s des nombres quatri mes par cent myriades Et puisque mille unit s des nombres quatri mes sont le vingt huiti me nombre partir de l unit dans la progression et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression il est vident que le nombre form en multipliant sera le trente quatri me partir de l unit dans la m me progression Or de ces trente quatre nombres les huit premiers y compris l unit sont de ceux qui ont t appel s primes les huit suivants de ceux qui ont t appel s seconds les huit suivants de ceux qui ont t appel s troisi mes les huit subs quents de ceux qui ont t appel s quatri mes enfin les deux restants seront de ceux qui ont t appel s cinqui mes et le dernier d entre eux est dix unit s des nombres cinqui mes Il est donc vident que la quantit de grains de sable dont le volume
60. e vin A et de vin B faut il vendre pour que ces carts se compensent 3 Combien de fois plus de vin B faut il que de vin A 4 On peut r sumer ces calculs par le diagramme en croix suivant Prix au litre Prix souhait Diff rence avec le prix souhait Retrouve t on sur ce diagramme les proportions calcul es aux questions 2 et 3 Le diagramme en croix donne donc la r ponse sans avoir besoin de faire des calculs compliqu s On l appelle r gle des m langes Peut elle nous aider r soudre le probl me de d part 22 Une fois que les l ves ont fini l exercice et que la correction est faite on distribue le deuxi me document Partie 2 retour au probl me des trois vins Appelons Vin A le vin 80c Vin B le vin 1 20F et Vin C le vin 1 60F 1 a J ai un litre de vin 80c Si je le vends 1 30F combien ai je en trop b J ai un litre de vin 1 20F Si je le vends 1 30F combien ai je en trop c J ai un litre de vin 1 60F Si je le vends 1 30F combien me manque t il 2 Utilisons le diagramme ci dessous La derni re colonne donne t elle les bons r sultats V rifier avec un exemple 3 On veut obtenir 40 litres de m lange avec ces proportions Combien de litres de chaque vin doit on verser 25 Enfin apr s avoir corrig la partie 2 et expliqu la r gle des m langes et le sch ma en croix on passe la derni re partie o les l ves sont laiss
61. ein J insiste toujours par crit L ex 1 est facile Essayez Le fait que je rentre dans leur jeu leur pla t et ils se mettent au travail PARLE 2 P45 oK DAS ECRI V5 gt PEU IN l AR 1 Premi res r actions 2 Correction de la premi re partie jai v rifi sur chaque feuille que les l ves ont trouv la r ponse 28 Voil On tient un peu plus d une heure et demie sans un mot en communiquant uniquement avec le tableau et les craies Si un l ve a une question il l ve le doigt et vient l crire Si je veux solliciter leur attention un claquement de mains ou quelques petits coups sur le tableau suffisent leur faire lever la t te Les l ves communiquent entre eux par crit ou voix tr s basse d un groupe l autre ils s appellent en claquant de la langue puis communiquent avec force signes Je circule entre les tables pour contr ler l avancement de leur travail Quelques uns en profitent pour me demander des explications voix basse presque honteusement comme s ils avaient conscience de tricher au petit jeu que nous menons un l ve commence crire au dos de sa feuille une longue question dans une orthographe approximative je l interromps et lui r ponds l oral Je vois m me un l ve tr s d faitiste d ordinaire se lever et crire au tableau J abandonne c est trop compliqu 3 Deuxi me partie les l ves testent de
62. ement a b et c les prix au litre des vins A B et C et m le prix au litre du m lange On supposera a lt b lt c ce qui correspond la m thode de l tudiant qui classe les vins par ordre de prix croissant Etudions d abord l existence d une solution quelconque c est dire avec x y dans le carr unit Dans ce cas g n ral le probl me peut s crire c a m c x b c b c b m c m ti c a c a ax by c i x 7 m y et donne x y 0 17 x 0 1 A Premier constat le coefficient directeur est n gatif L intersection entre la droite et le carr unit VPR b m c m est r alis e si 0 1 Q est non vide Avec l hypoth se raisonnable a lt m lt c on trouve Ed c a c a C 0 1 et on a bien une solution Notons que cette solution existe que le prix du m lange soit c a inf rieur ou sup rieur au prix du vin B qu on ait deux vins plus chers ou moins chers que le m lange importe peu a m c Si on ajoute la condition x y on obtient x 0 1 m c lt 0 donc a b 2c aussi et a b 2c on doit donc avoir a b 2c lt m c lt Q soit a b c lt m lt c Ceci est toujours vrai et ce gr ce notre hypoth se raisonnable a lt m lt c en effet b c lt 0 donc a b c lt a lt m lt c On peut donc toujours choisir une solution o les vins A et B sont en p
63. enant pour s tel nombre entier qu on voudra on aura toujours pour un nombre entier tel que l exige la queftion puifqu il n y a plus de d nominateur Remontons maintenant aux valeurs de x t amp y puifqu on a trouv y en met H iv tant pour fa valeur s 3 on aura conf quent 5u 3 u amp puifqu on a 1 trouv x at gt en mettant pour y fa va leur on aura x r r 173 542 g enfin puifqu on a trouv y n en fubftituant pour x fa valeur on aura demie anfi les valeurs correfpondantes de x amp de y font x 11546 amp y 17s 40 Par la pre miere on eft libre de prendre pour s tel nombre entier qu on voudra mais la feconde ne permet pas de prendre s plus petit que en effet y devant tre pofitif il faut que 17s foit plus grand que ou que s foit plus grand que c eft dire plus grand que On peut donc fatisfaire certe queftion d une infinit de manieres diff rentes qu on aura toutes en mettant dans les valeurs de x amp de y au lieu de s tous les nombres entiers po tifs imaginables depuis 3 jufqu Pinfini ainfi pofant fucceflivement s 3 s 4 s s 6 s 7 amp c on aura les va Jeurs correfpondantes de x amp de y comme il fuit z 39 y H o 2 I 45 m72 62 c 8 amp e 79 Dont chacune eft telle qu en donnant le nombre de pieces de 17
64. es grains de sable dont le volume serait gal celui de la terre remplie de la mani re que nous avons dite mais encore le nombre de grains de sable dont le volume serait gal celui du monde Tu auras retenu que le monde est le nom donn par la plupart des astronomes la sph re dont le centre est le centre de la terre et dont le rayon est gal la droite situ e entre le centre du soleil et le centre de la terre car tu as appris cela dans les dissertations publi es ce sujet par les astronomes Or Aristarque de Samos a dans ses crits mis certaines hypoth ses dont les arguments feraient admettre que le monde est beaucoup plus tendu qu on ne l avait dit jusqu pr sent En effet il suppose que les toiles fixes et le soleil demeurent immobiles que la terre tourne suivant une circonf rence de cercle autour du soleil qui est situ au milieu de l orbite de la terre et qu enfin la grandeur de la sph re des toiles fixes dispos e autour du m me centre que celui du soleil est telle que le cercle la circonf rence duquel on suppose que la terre volue a le m me rapport avec la distance des toiles fixes que le centre d une sph re avec sa surface Mais il est vident que ceci est impossible car le centre d une sph re n ayant aucune grandeur on ne peut admettre qu il ait quelque rapport avec la surface de cette sph re On peut n anmoins croire qu Aristarque imagine que si l on consid re la terre comme le
65. es par B zout sont 17 11xl 6 11 6x1 5 Quel m thode B zout utilise t il 45e ia ds pad neue auditeurs t s se ti a tata c R soudre l quation 17x 11y 542 par la m thode tudi e en cours Trouve t on les m mes solutions r soudre sur feuille pour vendredi 27 janvier 3 Le but du probl me est de Faire 741 livres en 41 pi ces de trois esp ces savoir de 24 livres de 19 livres amp de 10 livres Pour cela Soient x y amp z les nombres de pi ces de chacune de ces trois esp ces a Que vautx y 77 Que vaut 24x 19y 10z b En d duire que y et z sont solutions de l quation 5y 14z 243 c R soudre cette quation par la m thode de B zout d En d duire toutes les solutions du probl me 4 De la m thode de B zout et de la m thode vue en cours y en a t il une que vous pr f rez Pourquoi 1 2 40 Ao AS 20 25 30 DE MATH MATIQUES A L USAGE DES GARDES DU PAVILLON ET DE LA MARINE Par M B Z OUT de l Acad mie Royale des Sciences Examinateur des Gardes du Pavillon amp de la Marine des Eleves amp des Afpitants du Corps Royal de lArtillerie amp Cenfeur Royal M DCC LAXY Y Aves Approbation amp Pririlege du Roi tome 2 page 118 Queftion premiere On demande en com bien de manieres on peut payer 542 livres en donnant des pieces de 17 liv amp recevant en change des pieces de 11 livres Repr
66. es qui ne voient pas quel est le probl me ou qui se d couragent vite N anmoins le plaisir de faire des math matiques c est le plaisir de trouver ou au moins celui d essayer des pistes de recherche C est ce qu ont v cu mes l ves pour deux d entre elles lors du devoir surveill et pour les autres lors du corrig quand il s est agi de trouver des contre exemples aux solutions avanc es notamment ou la maison M me s il a t frustrant pour moi d arr ter la recherche apr s le deuxi me cas particulier donn par les l ves une autre solution que celle de Marolois a t trouv e par les l ves et l activit leur a bien plu 50 ANNEXE 1 2 pages manuscrites d nonc Exercice h pome en AGAC Le matR maticin Samuel chances pee f fo pupos 50 A latpugant au ME Aa cona tuchim 452 comment AM Amathing Am eq an Set la quar A BCD dams on weubt inserire um bi equi gent Jines Le Diagenales AC ek BD A enkreceuqans em L du combe L a La distance LA aeit dasni unche ABCD Ant aussi icelle distance mise de C au La j mG eten ft et desdits oinls Get F du pant degnt es Les L SA eead Aiaia Het ZT De io requis Qu il st amai 2 ce que amp coke G F etant Aarallite au cent HT que L Kanale AGF anaia ou AHIL as hands ddont une conalructi n dans am cas _ Game dt A eap Aeus cola pa TA AGF jus ATH senk at RP nan ek Mae PRES 51 NO
67. et qui n est pas des plus simples pour des l ves de 5 J ai donc renonc faire appara tre la proportionnalit inverse dans l activit et j ai us d un subterfuge pour pouvoir utiliser la proportionnalit simple la proportion de B est proportionnelle l cart de A par rapport au prix souhait Je pose tout d abord un probl me tr s simple aux l ves avec un vin 80 cts et un autre 60 cts o 1l faut trouver la proportion pour du vin 70 cts La solution doit tomber assez vite car elle se base sur le bon sens plus que sur les maths Le second probl me a l air similaire mais s ils essaient de le r soudre de la m me fa on ils choueront Je compte sur l absence d indications pour les garer ils essaieront sans doute de t tonner et certains bons l ves d gageront peut tre la m thode Je leur distribuerai la deuxi me page de l activit ensuite pour ne pas qu ils regardent le diagramme en croix et qu ils puissent chercher et s approprier le probl me Cette seconde feuille comporte plus de questions qui sont l la fois pour guider et pour rassurer les l ves ce stade la tentation d abandonner face cet exercice peu conventionnel sera grande Les questions les remettent en terrain connu le contrat didactique le prof pose des questions je r ponds reprend ses droits J ai souhait susciter la curiosit des l ves en ne leur donnant pas de lexique pour la
68. eur de y F fe r duit en faifant la divifion autant qu il eft poffble ay x 49 22 il faut donc que r x foit un nombre entier foit v ce nom bre entier on aura u amp par conf quent 6x 3 110 k Hh ou en faifant la divifion x u EP il faut donc que E faffe un nombre entier foit 35 45 5 55 6S 45 542 livres 42 tant pour fa valeur s 3 on aura ce nombre entier on aura t amp par u Ea t il faut donc que a faffe un nom bre entier foit s ce nombre entier on aura i A E s amp par conf quent t s 3 lop se eft termin e ici parce qu il eft vi dent qu en prenant pour s tel nombre entier qu on voudra on aura toujours pour un nombre entier tel que l exige la queftion puifqu il n y a plus de d nominateur Remontons maintenant aux valeurs de x amp y puifqu on a trouv u en met H iv conf quent 5u 3 6t loH x D en aa 6s 3 amp puifquon a tiu trouv x ut gt en mettant pour u fa va 66s 343 leur on aura x FHB 115 6i 1732 54 enfin puifqu on a trouv y gt fubftituant pour x fa valeur on aura y BEA 175 40 ainfi les valeurs correfpondantes de x amp de y font x 11546 amp y 175 40 Par la pre miere on eft libre de prendre pour s tel nombre entier qu on voudra mais la feconde ne permet pas de prendre s p
69. fi reste lanc comment faire en sorte d impliquer tous les l ves dans des sujets d tude qui d passent la simple application de recettes Comment susciter chez eux l int r t pour des aspects difficiles de la discipline et le d sir d approfondir Une carri re enti re m me si sa dur e a tendance s allonger en ce moment suffira t elle pour tenter de relever ce d fi 85 I Auteur s Patrick GUYOT David MAGNIEN Fr d ric M TIN Marie No lle RACINE Philippe REGNARD Jean TERRERAN II Titre s M LANGES EN HOMMAGE PIERRE COLLAUDIN III Caract ristiques de l dition Edit par l IREM de DIJON en 2008 Format A4 85 pages IV Types de documents et supports Ouvrage papier V Mat riel utilis dans l ouvrage Ordinateur G oplan Cabri VI Public vis Tous enseignants de math matiques sciences histoire et philosophie VII Contenu Recueil d activit s r alis es en classe et inspir es des travaux de Pierre Collaudin concernant Archim de l arithm tique la g om trie tant pure que pratique Mots cl s Archim de 287 212 Etienne B zout 1730 1783 Samuel Marolois 1572 vers 1628 Fran ois Blondel 1618 1686 Juan de Ortega 1480 1568 Nombres entiers Puissances de 10 Ar naire Infini Myriades Num ration Grands nombres Proportionnalit R gle des m langes R gle des alliages Produit en croix
70. gle quilat ral dans un carr Une activit de coll ge de lyc e de sp cialiste Marie No lle Racine professeure lyc e le castel Dijon Inscrire un triangle dans un carr Facile Inscrire un triangle quilat ral dans un carr C est d j moins facile Si vous tentez quelques figures sur papier vous pouvez trouver quelques solutions en pla ant un sommet du triangle au milieu d un c t du carr voir figure 5 ou comme Marolois en pla ant un sommet du triangle sur un sommet du carr voir figure 152 ci dessous Ces solutions sont des cas particuliers faisant appara tre des propri t s de sym trie axiale Mais peut on obtenir un triangle quilat ral inscrit dans un carr en pla ant un sommet du triangle sur un point quelconque d un c t du carr Et les solutions trouv es on en a d j deux sont elles toutes isom triques Il m a sembl int ressant de poser la premi re question mes l ves de 1L option maths En 2005 au programme de l option figurent moult notions de g om trie plane constructions r solutions de petits probl mes et nonc s des justifications des tapes successives Ayant d j termin la partie cours et exercices je d cide de pr parer un sujet que je donnerai en devoir surveill lors des preuves longues L nonc propos aux l ves et reproduit en annexe 1 comporte une br ve partie de pr sentation de l ouvrage dont est tir e la proposition ainsi
71. h re des toiles fixes imagin e par Aristarque est inf rieure mille myriades des nombres huiti mes crivez mille myriades des nombres huiti mes en puissance de dix Commentaire de la partie 4 Les lecteurs auront devin que l encore les l ves ont t surpris par la formulation et chacun apr s avoir bataill pour faire coller la formule demand e avec le texte remarque l int r t de nos critures modernes et symboliques permettant d viter de tout dire avec des mots Apr s le travail pr liminaire de la partie 3 les l ves n ont pas eu de difficult pour r pondre la question finale 6 Conclusion Deux activit s tr s diff rentes ont t pr sent es dans cet article l une sur une recherche d informations et une synth se fournir l autre sur la compr hension d un texte L Ar naire qui a t per u comme dat par les l ves et parfois obscur a n anmoins permis de faire le point sur des connaissances pas toujours tr s pr cises sur les critures des nombres les calculs des puissances de 10 les propri t s de ces puissances mais aussi sur des questions plus g n rales et inhabituelles pour eux comme le statut de l infini l h liocentrisme La recherche sur Internet et le compte rendu qui a suivi ont mis en vidence les d rives qui peuvent se produire lors de telles recherches et permis d aider les l ves prendre conscience de la diff
72. i de la terre ce qui est conforme ce que la plupart des astronomes ant rieurs ont admis Je suppose encore que le diam tre du soleil est trente fois plus grand que celui de la lune mais pas davantage bien que parmi les astronomes qui nous ont pr c d s Eudoxe ait d clar qu il tait neuf fois aussi grand Phidias mon p re douze fois aussi grand et qu Aristarque ait essay de d montrer que le diam tre du soleil tait plus grand que dix huit fois et plus petit que vingt fois le diam tre de la lune Or moi je vais m me au del de ce dernier et afin que ma proposition soit d montr e sans contestation je suppose que le diam tre du soleil est peu pr s gal trente fois le diam tre de la lune mais pas davantage Je suppose en 10 outre que le diam tre du soleil est plus grand que le c t du chiliagone inscrit dans le plus grand cercle du monde Je suppose cela tant donn qu Aristarque aurait trouv que le soleil nous appara t comme tant peu pr s le sept cent vingti me du cercle du zodiaque et que moi m me j ai t ch de prendre l angle qui embrasse le soleil et a son sommet l il en le recherchant au moyen d instruments de la mani re suivante Toutefois cet angle n est pas ais prendre avec pr cision parce que ni la vue ni les mains ni les instruments qui sont n cessaires pour le prendre ne sont assez s rs pour nous le faire conna tre exactement Mais c est une chose au su
73. icult caus e par l exc s de donn es et la n cessit d tre rigoureux m me dans un r sum qui ne semble a priori pas poser de probl me Nous donnons en annexe le texte int gral de l Ar naire Archim de L ar naire in Les uvres Compl tes d Archim de traduites du grec en fran ais avec une introduction et des notes de Paul Ver Eecke librairie scientifique et technique Albert Blanchard 1960 D aucuns pensent roi G lon que le nombre des grains de sable est infiniment grand et ils visent ainsi non seulement le sable des environs de Syracuse et du reste de la Sicile mais encore celui qui g t dans toute contr e habit e ou inhabitable D autres soutiennent que ce nombre n est pas infini mais que l on ne pourrait pas en noncer un qui f t assez grand pour surpasser la multitude de ces grains de sable Cependant si ceux qui pensent ainsi se repr sentaient un volume de sable quivalent au volume de la terre en supposant toutes les mers et les vall es de la terre remplies jusqu au niveau des plus hautes montagnes il est vident qu ils comprendraient encore beaucoup moins que l on puisse noncer un nombre surpassant une pareille multitude de grains de sable Or je t cherai de te faire voir au moyen de d monstrations g om triques dont tu pourras suivre les raisonnements que certains nombres que j ai moi m me exprim s et expos s dans des crits adress s Zeuxippe surpassent non seulement le nombre d
74. imple attrayante et originale Mais avant d aborder ces solutions purement g om triques il faut pr ciser que dans son trait Fermat n envisageait pas ce type de probl me sous cet angle Le titre Methodus de Maxima et Minima nous fait d ailleurs davantage pens un trait d analyse Son premier exemple consiste diviser un segment en deux de telle sorte que les deux segments obtenus soient les c t s d un rectangle d aire maximal A C En posant AC b et AE a on aura EC b a Il faut donc que a b a ab a soit maximal La m thode Fermat est la suivante Lorsque le point E se d place l g rement a devient a e et b a devient quant lui b a e Le produit est alors a e b a e ab a be 2ae e Ce dernier est alors ad gal adaequari au pr c dent ab a ab a be 2ae e Il reste be 2ae e En divisant tout par e b 2a e Enfin en supprimant le e b 2a B est bien au milieu de 4C Fermat ne justifie pas plus sa m thode mais conclut qu il est impossible d en trouver une plus g n rale Dans son M moire sur la m thode des maxima et minima de Fermat et sur les m thodes des tangentes de Fermat et Descartes Paris Firmin Didot 1860 Jean Marie Duhamel tente d expliquer la d marche de Fermat Lorsque la g om trie de Descartes parut Fermat tonn ce n y pas voir sp cialement trait es les questions de maximum et de minimum fit c
75. ion est m me donn e en gravure figure 7 ci apr s qui induit peut tre l id e de s en tenir cette simple v rification C est galement ici que certains pensent utile de justifier l utilisation des fractions puisque la disposition de la somme les m ne ajouter ensemble ces parties fractionnaires pour obtenir finalement 26 treizi mes d cu soit 2 cus ce qui donne un compte rond et c est gagn ll Je vous laisse imaginer les r actions d l ves la lecture de femme grosse il faut leur rappeler que le mot grossesse existe toujours Ce qui est tonnant c est le manque de r action m me des filles l injustice sexiste dont sont victime l pouse et la fille 1 Le formalisme litt ral arrivera la fin du 16 si cle en particulier chez Vi te 81 J tais s rement un peu optimiste Mais quelques bons l ves semblent n anmoins avoir bien accroch l activit et se sont hiss s le pluriel masculin est commode mais trompeur car je dois l avouer ce sont essentiellement des filles un niveau plus g n ral La correction repose plut t sur l aspect r dactionnel des devoir car beaucoup de ces jeunes gens semblent n en avoir jamais vraiment fait par eux m mes et n ont aucune id e de la mani re de les pr senter ou de r diger avec soin Cependant pour insister sur le c t superficiel des r ponses donn es qui se limitent parfois de simples calcu
76. ir des m mes noms on obtient respectivement 30 800 et 38 700 images L adage selon lequel trop d informations tue l information semble bien d actualit ici les r sultats obtenus confirmant bien les difficult s pr visibles Les l ves ont bien entendu tous choisis Internet plut t qu une Encyclop die et ouvert les trois ou quatre premi res adresses propos es sans aller plus loin b D pouillement des productions des l ves Les vingt sept l ves de la premi re classe ont rendu une copie Pour les deux tiers d entre eux les informations ont t fournies sur un document tap l ordinateur huit l ves ayant crit une ou plusieurs feuilles manuscrites Cela est peut tre d l attirance irr sistible des jeunes vers les copier coller qu on retrouve dans tous les logiciels qu ils utilisent C est en tout cas ce qui s est produit avec quelques copies heureusement minoritaires trois qui reproduisent dans leur int gralit un document obtenu sur internet mais on constate aussi que des paragraphes entiers simplement transf r s d un site internet apparaissent sur une dizaine de comptes rendus La premi re remarque concerne la demande des dix lignes environ Elle n a t respect e que par une dizaine d l ves les autres ont plus tard justifi le fait qu ils ont crit beaucoup plus de lignes jusqu douze pages pour une l ve soit parce qu il leur tait difficile
77. ire C est un travail qui sera men une prochaine ann e avec des l ves voir en annexe 3 des pistes de travail Par ailleurs gr ce plusieurs solutions trouv es on constaterait rapidement que les triangles quilat raux inscrits dans un carr ne sont pas tous isom triques Conclusion reproduire une figure m me avec un texte contenant un vocabulaire d suet pour nos l ves du XXT si cle est tout fait un exercice la port e de nos jeunes R fl chir une construction est un exercice encore appr ci mais d montrer et r diger reste un art peu pris que nos l ves pensent r serv une lite scientifique Il a fallu pour ces litt raires que j insiste tout au long des deux ann es que j ai pass es avec elles 1 et Terminale en 2005 amp 2006 sur la r daction Toutefois je me suis chaque fois content e pour laisser aux l ves le plaisir de la recherche et de la d couverte de ne demander la r daction que pour quelques questions et non pas syst matiquement Notamment je me suis souvent content e de demander de laisser les traits de construction qui me permettaient de comprendre la d marche des l ves sans les obliger r diger une d monstration rigoureuse Utiliser ce texte du XVII si cle a permis de poser un probl me aux l ves et de leur faire chercher une solution Utiliser ce texte a aussi permis de donner une solution simple dans un cas particulier ce qui aide les l v
78. ition de d part de trouver des nombres dont on doit soustraire les proportions donn es et de diviser la somme des ces nombres par la quantit de personnes moins un En soustrayant le r sultat des nombres de d part on doit trouver les r sultats Bon courage Une difficult suppl mentaire provient d un probl me typographique que je n avais pas d cel la premi re lecture la troisi me ligne il est question d un nombre qui eeste compl tement Comme le verbe ester existe toujours en fran ais il tait plausible de croire une autre acception ancienne inusit e aujourd hui Mais quel rapport avec la justice La r ponse m est venue en plein TD en regardant l extrait projet au tableau il faut prendre en consid ration les premiers mots des lignes 2 3 et 4 dont les premiers caract res ont t intervertis Ainsi no m bres donne t il no m rres reste devient eeste et ensemble est remplac par bnsemble marrant non Mais cela ne nous avance gu re dans l intelligence de la m thode Comme souvent dans la lecture d ouvrages originaux pour comprendre ce prologue 1l va falloir se reporter l exemple qui suit ou aux quelques exemples qui suivent Exemple 1 Trois hommes veulent acheter un cheval amp le cheval co te tant Fou 2 Erempleveadiouf er Zroysb mes veullentacbeter vug cheualz lecteual couftetant q cbefcun deulr a tant darg t que nul oes 3 marcbas ne le peult ache ter apar foy Dai
79. jet de laquelle il n est gu re opportun de discourir davantage pour le moment car elle a t souvent signal e Au reste pour d montrer ma proposition il me suffit de prendre un angle qui ne soit pas plus grand que celui qui embrasse le soleil et a son sommet l il puis de prendre un autre angle qui ne soit pas plus petit que celui qui embrasse le soleil et a son sommet l il Ayant donc tabli une longue r gle sur un socle vertical je l ai dispos e en un lieu d o l on peut voir le soleil son lever Aussit t apr s le lever du soleil j ai pos verticalement sur la r gle un petit cylindre fait au tour Lorsque le soleil fut l horizon et que les yeux purent le regarder en face apr s avoir dirig la r gle vers le soleil j ai mis l il son extr mit tandis que le cylindre pos entre le soleil et l il cachait enti rement le soleil D s lors j ai d plac peu peu le cylindre par rapport l il jusqu ce que le soleil commen ant se montrer l g rement de chaque c t du cylindre ce dernier f t fix en place Si l il voyait r ellement d un point unique en menant de l extr mit de la r gle o l il est pos des droites tangentes au cylindre l angle compris sous ces droites serait plus petit que l angle qui embrasse le soleil et a son sommet l il parce que l on verrait quelque peu du soleil de chaque c t du cylindre Or comme les yeux ne voient pas d un point unique mais sous
80. l 8 83708333333333 2 83104166666667 C NP 217 21 NS 11 18 4 Pt 0 CN 0 VN 1 R W t DS 1 1 GT 1 V nSt Val 5 66164961930354 0 343961888366359 p 0 System S 0 C 3 Fa 0 D NP 481 17 NS 12 18 5 PReg 262145 CN 2 VN 6 R W t DS 1 1 GT 1 V nSt Const 3 4 p 0 System S 0 C 3 Fa 0 NAN CNP ATO 253 NS 10 18 6 PReg 1 CN 1 VN 0 RW EE DSt Iy GI Ip Vy nSE Const 5 p 0 System S 0 C 3 Fa 0 B NP 212 257 NS 12 18 7 PReg 2 CN 1 VN 0 Ro Wy DS 1 TL GTi V nst Const 5 p 0 System S 0 C 3 Fa 0 8 PolReg 0 CN 4 VN 0 Ve Wot SDSE LE GEV0 I Vp nSt Const 4 5 6 7 58 59 Le point de Fermat Torricelli Philippe REGNARD Lyc e Jules Renard Nevers Le trait de Pierre de Fermat Methodus de Maxima et Minima qui nous est parvenu par l interm diaire de Mersenne et des copies d Argobast se termine par l nonc du probl me suivant Etant donn s trois points trouver un quatri me tel que si l on m ne des droites aux points donn s la somme de ces trois droites soit minimum A MA MB MC minimum Pour Fermat nul doute que la m thode des maxima et des minima expos e dans ces quelques feuilles soit capable de r soudre une telle question Inform par un courrier de Mersenne le probl me fut d abord trait et r solu par Evangelista Torricelli On trouve en particulier la solution dans des lettres du sa
81. l expression d un l ve Comme d habitude il n y a rien d absolu et penser que la m thode de B zout peut tre une bonne introduction ou une bonne rem diation la r solution des quations diophantiennes Acte 3 Dans la classe de 2 de Jean Terreran en 2005 C est une classe sp cialit Arts Plastiques de trente deux d l ves de niveau moyen Ils ont d j travaill sur des textes ou des m thodes historiques La perspective leur a notamment t pr sent e conjointement par les professeurs d Arts Plastiques et de Math matiques Cette tentative s est sold e par un chec seuls trois l ves d un tr s bon niveau ont tudier un document voisin de celui pr sent en annexe 1 Les autres ont but d s la premi re tape Pourquoi et comment extraire la partie enti re x 49 de 17x 542 11 et pourquoi faut il que 6x 3 11 soit entier On observe cette occasion que la division euclidienne n est pas encore enti rement ma tris e Apr s cet chec l interpr tation graphique du probl me n a pas permis de remotiver des l ves vite d courag s Peut tre que la r criture des quations diophantiennes obtenues chaque tape du raisonnement clairerait celui ci A moins que ce ne soit d cid ment trop difficile ce niveau Annexe 1 Algorithme et organigramme Nous appellerons a et b les deux nombres initiaux ici 17 et 11 e f sont les coordonn es de a et
82. le Son objectif est de d nombrer les grains de sable contenus dans le Monde D aucuns pensent roi G lon que le nombre des grains de sable est infiniment grand D autres soutiennent que ce nombre n est pas infini mais que l on ne pourrait pas en noncer un qui f t assez grand pour surpasser la multitude de ces grains de sable Cependant si ceux qui pensent ainsi se repr sentaient un volume de sable quivalent au volume de la terre en supposant toutes les mers et les vall es de la terre remplies jusqu au niveau des plus hautes montagnes il est vident qu ils comprendraient encore beaucoup moins que l on puisse noncer un nombre surpassant une pareille multitude de grains de sable Or je t cherai de te faire voir que certains nombres surpassent non seulement le nombre des grains de sable dont le volume serait gal celui de la terre remplie de la mani re que nous avons dite mais encore le nombre de grains de sable dont le volume serait gal celui du monde 1 Quel est selon vous l avis d Archim de sur le nombre de grains de sable fini ou infini Donnez les arguments avanc s par l auteur 2 Quel est votre avis personnel Expliquez Commentaire de la partie 2 La plupart des l ves ont compris l essentiel de ce qu a voulu dire Archim de en traduisant que les Grecs ne sont pas capables d crire ce nombre de grains m me s ils pensent qu il n est pas infini Lui Archim de
83. le plus c l bre savant grec En ce qui concerne ses travaux de physique et de m canique en exceptant la Pouss e d Archim de et la vis sans fin voqu es plus haut on s y attarde peu Un seul l ve raconte de fa on d taill e le si ge de Syracuse et les machines utilis es pour lutter contre la flotte romaine Les r ponses sont par contre beaucoup plus bavardes dans le domaine des math matiques Ceci est en partie d au fait que le travail tait rendre au professeur de math matiques et qu il s agissait peut tre m me inconsciemment de lui faire plaisir ou tout au moins de traiter en profondeur ce qui relevait de son domaine Les l ves citent le plus fr quemment le calcul approch de 7 19 mais aussi le calcul de l aire du segment de parabole ou d un secteur de spirale ou l aire et le volume du cylindre et de la sph re 17 les parabolo des ou les ellipso des 16 la spirale d Archim de 12 Ce ne sont que des vocations aucun n essayant d expliquer l un ou l autre de ce qui ne constitue pour eux que des termes vides de sens comme j ai pu le v rifier lors d un questionnement ult rieur m me pour ceux qui d veloppent quelques contenus math matiques 13 l ves nomment la m thode d exhaustion et 3 la m thode de d monstration par l absurde Pour terminer sur ce sujet et anticiper sur la deuxi me partie de ce travail 8 l ves ont parl souvent sans le citer de l Ar
84. les sommes que poss dent respectivement les premier second et troisi me marchands et X le prix du cheval on peut transcrire la m thode de la mani re suivante La fausse position est A ppem 2 3 4 5 N i e AE GON on prend A 60k A 60 k 1 Calcul pour le 1 marchand A A 2A 120k soit 120 Calcul pour le 2 marchand A A 60k 30k 90k soit 90 Calcul pour le 3 marchand A LA 60k 20k 80k soit 80 Calcul pour le 4 marchand A A 60k 15k 75k soit 75 La somme des ces quantit s est 120k 90k 80k 75k 365k que l on divise par le nombre de marchands moins 1 365k 3 121 k Le prix du cheval est la diff rence entre ce r sultat et la position A 121 4 k 120k 61 k soit avec k 1 61 lt La somme que poss de chaque marchand est la diff rence entre le m me r sultat et celui de chacun des calculs initiaux que je laisse au lecteur en exercice Exemples suivants et conclusion Ils sont cinq hommes qui veulent acheter une pi ce de drap moiti tiers quart cinqui me et sixi me fausse position 60 Troys marchans veullent acheter une pi ce de vellours tiers quart et cinqui me fausse position 60 aussi quel succ s Et ainsi de suite L explication de ces probl mes est assez difficilement pass e je dois l avouer Bien peu d l ves ont pu la suivre jusqu au bout mais il faut convenir que c t
85. leure des deux Je pr f re la m thode du cours car je la trouve plus courte et plus simple utiliser M me si la m thode de B zout est int ressante et a des calculs simples effectuer je pr f re la m thode du cours car elle est beaucoup plus courte Je pr f re la m thode vue en cours car on n a pas besoin de changer autant de fois de variable J ai tendance pr f rer la m thode de B zout en effet cette m thode nous permet d obtenir directement le couple solution Les erreurs de signes sont moins probables et cette m thode permet des v rifications chaque pas Un b mol cependant cette m thode ne permet pas de calculer le Plus Grand Commun Diviseur nous ne savons pas si la solution que nous devons cherche rexiste Finalement je pr f re la m thode vue en cours celle de B zout En effet bien que ces deux m thodes utilisent des cheminements logiques le m thode de B zout m appara t beaucoup plus fastidieuse par l utilisation d inconnues successives dont le nombre varie selon la complexit du quotient L application de B zout me semble alors tre davantage propre chaque quation tandis que la m thode vue en cours est selon moi plus g n rale notamment par une utilisation d un nombre constant d inconnues qui sont toujours du type x y a b x0 y0 X Y Je pr f re la m thode vue en cours parce qu elle est plus rapide Je pr f re la m thode vue en
86. liv d fign par x amp recevant le nombre correfpondant de pieces de 11 liv d fign par y on paiera 542 livres Annexe 3 s y Ao AS COURS DE MATH MATIQUES A L USAGE DES GARDES DU PAVILLON ET DE LA MARINE Par M B Z OUT de l Acad mie Royale des Sciences Examinateur des Gardes du Pavillon amp dela Marine des Eleves amp des Afpirants du Corps Royal de lArtillerie amp Cenfiur Royal M DCG LXXV E Aves Approbation amp Privilege du Roi tome 2 page 118 Queftion premiere On demande en com bien de manieres on peut payer 42 livres en donnant des pieces de 17 liv amp recevant en change des pieces de 11 livres Repr fentons par x le nombre de pieces de 17 liv amp par y celui des pieces de 11 liv en donnant x pieces de 17 liv on pwera x fois 17 liv ou 17x en recevant y pieces de 11 liv on recevra piy par conf quent on aura pay 17x 11 amp puifqu on veut payer 542 liv on aura 17x 11y 542 Tirons la valeur de y c eft dire de Pin connue qui a le moindre co fficient amp nous aurons y L i Comme on n a que cette quation on voit qu en mettant arbitrairement pour x tel nombre qu on voudra on aura pour y une valeur qui fatisfera f rement l quation 3 mais comme la queflion exige que x amp y 20 foient des nombres entiers voici comment 25 30 il faut s y prendre pour y parvenir directe ment a La val
87. ls sans texte je pr sente la m thode de simple fausse position telle qu on en trouve dans de nombreux autres ouvrages de la m me poque poser arbitrairement un certain nombre la fausse position souvent prise gale 1 lui appliquer les op rations indiqu es par le probl me obtenir comme r sultat une valeur diff rente de la donn e initiale puis trouver la vraie solution par une r gle de trois appliqu e la fausse position Je pr cise que cette m thode s applique des probl mes lin aires du premier degr sans constante et que pour les probl mes affines il faut utiliser la double fausse position que nous n tudierons pas Mais les l ves les plus motiv s car 1l y en a veulent en savoir plus et demandent des exemples issus du livre d Ortega Rien de plus facile puisque j ai pr par un diaporama de correction et que j ai sous la main de nombreux extraits scann s du texte Mais les l ves vont s y casser les dents 3 Troisi me activit m thode de fausse position Effectivement c est l que l on s amuse car le texte devient franchement d sagr able surtout pour le professeur qui n y avait pas compris pas grand chose au premier abord Et pas question de chercher un clairage dans le texte en espagnol aussi obscur que celui ci sr A Soibs fanoiraquefautfepo itionneft aultre chofe que Pipofer vngnombie a ton plaifir fur lequel tucrounesns 1A nes vefquels
88. lus petit que 3 en effet y devant tre pofitif il faut que 175 foit plus grand que 40 ou que s foit plus grand ques c elt dire plus grand que 2 On peut donc fatisfaire cette queftion d une infinit de manieres diff rentes qu on aura toutes en mettant dans les valeurs de x amp dey au licu de s tous les nombres entiers pofitifs imaginables depuis 3 jufqu Pinfini ainfi pofant fucceffivement s 3 s 4 s s 6 s 7 amp c on aura les va leurs correfpondantes de x amp de y comme il en fuic x 39 y e 0 18 61 45 m72 02 m8 amp c 79 Dont chacune eft telle quen donnant l nombre de pieces de 17 liv d fign par x amp recevant le nombre correfpondant de pieces de 11 liv d fign par y on paiera Annexe 4 O comment B zout raccourcit sa m thode pages 123 124 du cours de B zout Dans le cours des divifions que l on fait z 1 Y pour r duire la valeur de l ind termin e un nombre entier rien n oblige prendre 124 Cours le quotient plut t au deffous de fa v ritable valeur qu au deffus ll eft m me quelque fois plus exp ditif de le prendre de cette derniere maniere Par exemple fi j avois L quation 19y i 52x 139 au lieu d en conclure y 2x 7 ES quotient de 2x divif par 19 en nombres entiers je conclurois y 3x Ta en prenant plut t 3x pour quotient parce que ce quotient eft plus ap
89. lution on a aussi 17xx 11xy 542 Et en soustrayant membre membre il vient 17x x 1084 11x 1626 y 17 divise donc 11x 1626 y Or il est premier avec 11 donc il divise 1626 y On obtient y 17k 1626 et apr s substitution x 11k 1084 avec k entier Mais beaucoup peinent montrer que l on obtient bien les m mes solutions l aide du professeur est souvent requise Commentaires Les l ves semblent bien comprendre la d marche de B zout Mais leurs doutes concernant l quivalence des deux m thodes n ont pu tre enti rement lev s par le raisonnement certains ont eu besoin d effectuer des calculs d taill s pour s en convaincre R sultats du devoir sur feuille Un l ve a fait une erreur en oubliant la premi re quation il obtient donc une infinit de solutions Plusieurs l ves ont t maladroits par exemple ils tirent la valeur de l inconnue qui a le plus grand coefficient ils font donc un tour pour rien Commentaires Les copies sont de bonne qualit l expression est soign e Certains l ves se prennent au jeu et r utilisent des expressions de B zout ainsi l expression en prenant pour s tel nombre entier qu on voudra a t pr f r e quel que soit le nombre entier s Mais nous tions curieux de d couvrir les r ponses la derni re question C est peut tre la premi re fois que les l ves peuvent s exp
90. maine avant de me rendre le devoir la construction leur a t dict e elles n ont pas eu l inventer et ont eu du mal identifier les hypoth ses des propri t s qu elles voyaient Alors que faire Dois je les forcer r diger une d monstration comme elles en ont fait jusqu pr sent Celle ci tait elle hors de leur port e et devais je les guider Je choisis cette deuxi me solution et on fait une recherche orale en classe puis une synth se Je pr f re qu elles concentrent leur nergie sur la troisi me question facultative lors du contr le pourtant abord e par les l ves les plus dynamiques en cours Pour cette question c il y a des essais comme Figure 1 reproduction de la copie d l ve Inspir de figure2 L l ve qui a propos la figure 1 ci dessus a tout de suite su me dire quand j ai rendu le devoir que sa m thode ne convenait pas ici Preuve qu elle avait r fl chi mais sans approfondir en rentrant chez elle sur son dessin fait la va vite pendant l preuve longue On exhibe d ailleurs rapidement un contre exemple voir figure 3 ci dessous 48 Figure 3 Une autre l ve a r ussi au pifom tre mais sa figure voir la reproduction ci dessous est tout de m me int ressante car cela donne penser qu il est possible de tracer un triangle quilat ral inscrit dans le carr en se fixant un sommet M quelconque sur AB Gua Ra postale 8 N
91. me nombre de la premi re octade de nombres est mille myriades et que le premier nombre de la seconde octade puisqu il est d cuple de celui qui le pr c de sera dix mille myriades Ce dernier nombre est d ailleurs l unit des nombres seconds tandis que le huiti me nombre de la seconde octade sera mille myriades des nombres seconds Le premier nombre de la troisi me octade sera de nouveau dix mille myriades des nombres seconds parce qu il est d cuple de celui qui le pr c de Ce dernier nombre est d ailleurs l unit des nombres troisi mes et il est vident que pour une octade quelconque il en sera comme nous venons de le dire Il est encore utile de conna tre ce qui sui t Lorsque des nombres sont en proportion continue partir de l unit et que certains de ces nombres sont multipli s entre eux le produit sera dans la m me progression loign du plus grand des nombres multipli s d autant de nombres que le plus petit des nombres multipli s l est de l unit dans la progression et loign de l unit de la somme moins un des nombres dont les nombres multipli s sont loign s de l unit Soient donc des nombres tels que A B T A E Z H I K A en proportion continue partir de l unit Soit A l unit multiplions A par et soit X leur produit Prenons dans la progression A aussi loign de que A est loign de l unit On doit d montrer que X est gal A En effet puisque parmi les nombres p
92. mes yeux Je pr f re la m thode utilis e en cours celle de B zout bien que cette derni re soit int ressante car je trouve la trouve plus courte 44 Annexe 6 Avis des l ves sur les deux m thodes de r solution Quand le cours a t trait apr s B zout La m thode 1 celle de B zout tait plut t int ressante faire divertissante sympa conna tre mais un peu longue et le risque d erreur pour ma part est plus grand avec cette m thode qu avec l autre L autre est plus rapide et comme c est celle que l on doit conna tre eh bien c est celle que je ma trise le mieux je pense Je pr f re la m thode du cours parce que je l ai mieux comprise m me si elle para t tre l g rement plus longue Ainsi je la pr f re car pour ma part j ai moins de chance de faire des erreurs Je pr f re la m thode vue en cours car l ayant d j vue l ann e derni re en classe de terminale il est plus facile pour moi de me souvenir de celle la plut t que d en apprendre une nouvelle Je pr f re la m thode du cours c est pourquoi je l gue mon vote la m thode du cours Comme toujours rien n est absolu la m thode de B zout a le m rite d tre simple appliquer avec un minimum d habitude je pense qu il doit tre tr s ais de trouver les solutions Cependant l autre m thode donne une expression des solutions assez claire et pour peu qu on trouve des sol
93. naire un l ve par exemple crit qu Archim de chercha le nombre de tous les grains de sable de l univers Il faut galement signaler les trois termes et phrases c l bres qui sont retenus donnez moi un point d appui pour quelques l ves un levier et je soul verai le monde 19 le fameux eur ka 18 et l nonc complet du principe d Archim de en hydrostatique 11 pr sent par la plupart de mani re traditionnelle Tout corps plong dans un liquide ou un gaz re oit une pouss e qui s exerce de bas en haut et qui est gale au poids du volume de liquide d plac On ne peut pas faire l conomie des perles qui se retrouvent souvent dans les copies des l ves Non pour se moquer m me si un nombre important parmi les professeurs sont friands de cette prose scolaire mais aussi pour montrer que la volont de comprendre ce qu on crit n est pas toujours pr sente A leur d charge on pourra dire que ceci prouve que les l ves ne sont pas tous des adeptes du copier coller Citons entre autres quelques phrases Archim de fut le fondateur de la statistique des solides Il d c de lors de l vasion de Syracuse Il avait appris le calcul int gral Il est l inventeur de la pouss e d Archim de Nous faisons un bilan plut t positif de cette recherche Tout d abord les l ves ont travaill avec beaucoup de bonne volont ont fourni une pr sentation de qualit
94. ne fille On demande comment seront r partis les biens du d funt afin que le testament soit observ respect La r ponse fournie par Ortega est tonnante pour les l ves car elle ne contient pas la r solution alg brique famili re qu ils attendaient Tu feras ainsi commence avec la fille car la fille a une partie La m re doit avoir trois parts donc pose 1 pour la fille et trois pour la m re Le fils doit avoir trois fois autant que la m re et seront 9 Ores ajoute ces trois sommes c est savoir 1 3 9 amp font 13 pour partiteur Ores tu diras par la r gle de trois si 13 me donnent 3000 que me donneront 9 Multiplie et partis ainsi que la r gle de trois le requiert amp tu trouveras 230 cus amp qui est la part de la fille Et la m re 13 692 cus et et il revient au fils 2076 cus et d cus Il s agit de partages proportionnels que les l ves ont d j rencontr s dans leur scolarit mais dont ils ne se souviennent que rarement du moins n ont ils pas l id e de mettre en rapport cette connaissance contemporaine avec le probl me ancien Au fond et quelques l ves proposent imm diatement cette interpr tation il s agit d exprimer la part de chacun en fonction de la plus petite mais on peut galement comparer la technique d Ortega celle qu on utiliserait de nos jours lors de la s ance de module j ai demand chaque groupe d effectuer la mise en quati
95. nne qu 21 livres d aloi on demande combien ledit Orf vre doit prendre de chaque sorte de son argent afin de composer les 240 marcs amp que le marc ne revienne qu 21 livres 4 Courte discussion th orique Voici le document qu a utilis Pierre Collaudin comme point de d part de son expos Il s agit Goutie vraisemblablement de notes prises par un tudiant mi r Bio A ATH sur la page de garde d un ouvrage d alg bre F l mentaire de 1849 L nonc demande Combien faut il m langer de vin 80 c le litre 1 20 et 1 60 pour faire 40 litres 1 30 men j Gi On verra quil s agit d un diagramme de proportionnalit inverse construit dans le m me tat d esprit que nos classiques raisonnements de r gle de trois Souvenons nous 25 L de vin co tent 40 F restons au Ile mill naire donc combien co tent 10 L de vin On peut videmment d gainer un tableau de proportionnalit mais le plus souvent et en particulier dans la litt rature scolaire du d but du si cle Bar me par exemple on trouve la pr sentation suivante 25L 40F Il ne reste plus qu trouver le coefficient de proportionnalit ou rs utiliser les produits en croix Dans ce cas pr cis la solution est unique Revenons notre probl me de m langes dans le cas de deux vins seulement m lange binaire un vin A 60 cts le litre et un vin B 75 cts le litre pour fixer les id es
96. ommet l il est pris de la mani re suivante le cylindre est loign de l il sur la r gle de fa on ce qu il cache enti rement le soleil et des droites tant men es de l extr mit de la r gle o est plac l il tangentiellement au cylindre l angle compris sous les droites men es ainsi n est pas plus petit que l angle qui embrasse le soleil en ayant son sommet l il Les angles relev s de cette mani re ayant t mesur s avec l angle droit l angle qui aboutit au point de rep re a t trouv plus petit que la cent soixante quatri me partie de l angle droit et le plus petit angle a t trouv plus grand que la deux centi me partie de l angle droit Il en r sulte videmment que l angle qui embrasse le soleil en ayant son sommet l il est aussi plus petit que la cent soixante quatri me partie de l angle droit et plus grand que la deux centi me partie de l angle droit Ces choses tant tablies je vais d montrer que le diam tre du soleil est plus grand que le c t du chiliagone inscrit dans le plus grand cercle du monde En effet imaginons un plan passant la fois par le centre du soleil le centre de la terre et par l il au moment o le soleil est un peu au dessus de l horizon le plan ainsi men coupe le monde suivant le cercle ABT la terre suivant le cercle AEZ et le soleil suivant le cercle H Soit 11 le centre de la terre K celui du soleil et soit A l il Menons des
97. on du probl me puis de le r soudre la moderne inspir s par le texte certains ont propos de nommer x la part la plus petite la moyenne tant alors 3x et la plus grande 3x3x soit 9x Le probl me s crit donc x 3x 9x 3000 et la r solution ressemble fort ce qui est fait dans le texte original car on obtient la plus petite part en divisant 3000 par 13 L explication de la m thode est l objet de la deuxi me question du devoir R sumez la solution et expliquez la m thode Mes expressions doivent tre ambigu s car la plupart des l ves refont le coup de la traduction mot mot sans se pencher sur le fond partage proportionnel ou division par la somme des coefficients d autre part aucun d entre eux n a jug utile d expliquer la forme des r sultats obtenus j avais pourtant pr sent la Disme de Simon Stevin et pr cis ce en quoi il s agissait d un texte r volutionnaire Ce qui sera fait d une autre fa on la troisi me question Troisi me question est ce vrai ou faux De m me que pour la question pr c dente tr s peu d entre les l ves de seconde prennent cette question un niveau g n ral malgr la comparaison voqu e ci dessus entre la m thode arithm tique et la m thode alg brique Il faut dire que la fin de l extrait propos est une v rification Ef pour veoir si tu as bien fait adjouste les 3 sommes ensembles et feront 3000 escus Une illustrat
98. ong du raisonnement Au contraire la seconde m thode mobilise plus de connaissances th or me de Gauss de B zout et sa r daction est plus rigoureuse dans le sens o 1l faut faire la r ciproque 45 Le cours sur la m thode de B zout permet de d couvrir les quations diophantiennes pas pas et de mani re autonome N anmoins j ai une pr f rence pour la m thode moderne qui me para t plus peut tre int ressante simple et plus compl te La m thode de B zout car c est une autre fa on de proc der mais je la trouve trop longue pour r soudre les quations diophantiennes La m thode actuelle me semble moins longue et plus facile Mais je pense qu il est int ressant de voir les deux m thodes M thode de B zout c est une bonne m thode simple mettre en uvre mais trop lin aire elle mous rend passif et induit des erreurs d inattention De plus le nombre de variables tant trop grand il est facile de s embrouiller M thode actuelle plus rapide tout aussi efficace et diversifi e on ne s ennuie pas avec et on n est pas submerg par les variables et c est plus facile programmer Je sais utiliser les deux mais la m thode avec Gauss me para t plus pratique car plus rigoureuse et rapide Les deux m thodes sont assez longues Mais la m thode vue en cours avec l algorithme d Euclide me semble plus simple car avec la m thode de B zout cela prend vite une page de calc
99. onna tre cet effet une r gle qu il ne d montra pas et sur laquelle il fondait d autres r gles pour la d termination des tangentes et des centres de gravit Elle peut tre nonc e de la mani re suivante en employant pour plus de clart le langage et les notations actuellement en usage Soit d sign e par F x l expression alg brique d une quantit variable d pendante d une quantit ind termin e x et de quantit s constantes donn es Pour trouver les valeurs particuli res de x qui donnent F x des valeurs maxima et minima il faut changer x en x e et galer les deux valeurs de l expression d sign e par F qui correspondent ces deux valeurs de l ind termin e arbitraire c est dire poser l quation 1 F x F x e En retranchant les parties communes aux deux membres il ne restera que des termes affect s de la premi re puissance ou de puissances sup rieures de e on divisera par la puissance de e qui sera commune tous les termes et l on obtiendra ainsi des termes d barrass s de la quantit e qui pourra rester encore dans certains autres diverses puissances On supprimera ensuite tous ces derniers et on ne conservera dans l quation que les termes qui ne renferment plus e Les valeurs de x tir es de cette quation seront celles qui correspondront tant aux valeurs maxima qu aux valeurs minima de F x mais la r gle ne donne aucun moyen de les distinguer les unes des autres Fermat n ayant pas
100. ou impossible trop fatigant d apr s quelques uns de s lectionner ce qui devait tre mis en avant parmi les travaux et d couvertes d Archim de soit parce qu ils croyaient bien faire en fournissant beaucoup plus d informations que ce qui tait demand la quantit tant gage de qualit pour ces derniers Il y aura donc une rem diation en classe au sujet du respect des consignes Certaines informations se retrouvent dans la majorit des copies nous les voquerons en premier et par ordre de fr quence d croissante Tout d abord les dates et lieux de naissance et de mort d Archim de 23 la Pouss e d Archim de sans obligatoirement l noncer 20 le pays d origine Gr ce 17 le principe du levier 15 non d taill pour 5 d entre eux les conditions de sa mort tu par un soldat romain Syracuse 15 le nom et la profession de son p re Phydias ou Phidias ou Phydius astronome 13 la vis sans fin 12 et son statut d ing nieur 12 Il est affubl par la quasi totalit des l ves de superlatifs tous plus impressionnants les uns que les autres parmi lesquels nous retiendrons brillant th oricien uvre scientifique consid rable le plus grand savant de l Antiquit le cr ateur de la physique math matique formidable math maticien fondateur de la statique g om tre de grande envergure savant excellent brillant physicien le p re de l hydrostatique grand scientifique
101. oupes en fonction des niveaux et des personnalit s en m langeant des l ments moteurs et des l ves plus faibles par affinit s pour obtenir des ensembles h t rog nes mais dynamiques et motiv s qui sont rest s fixes au cours de l ann e Je mets les l ves en groupes d s qu il s agit de r fl chir des probl mes ouverts ou de d gager des propri t s partir d exercices Je leur distribue donc l activit je demande ensuite un volontaire de bien vouloir me lire le texte de d part et le premier nonc Un seul accepte alors que d habitude ils sont tr s volontaires Malheureusement il ne brille pas par son locution et je dois lancer un nouvel appel volontaires C est l que le silence qui r gne dans la classe me frappe Surtout quand quelques filles commencent pouffer dans mon dos silencieusement Zut ils ont d cid une gr ve de la parole Et a devait tomber ce jour l Tant pis Je les l che sur l exercice 1 Quelques l ves commencent rechercher certainement parce que le probl me leur pla t Les autres n crivent rien et semblent attendre une r action de ma part Je vais au tableau et rentrant dans leur jeu j y cris en gros et en silence Ne dites rien OK mais crivez un peu quand m me Imm diatement les deux d l gu es se l vent et crivent leur r ponse au tableau Ah non pas moyen crit la premi re et la seconde C est cool h
102. ous faire saisir la finesse C est donc l occasion de recherches bibliographiques sur les math matiques pratiques que j ai d couvert le texte de Juan de Ortega d abord par des citations dans d autres livres puis dans l ouvrage lui m me dont j ai pu consulter un exemplaire la m diath que d Orl ans puis celle de Montpellier o le microfilmage a m me t possible J avais d abord tudi le livre pour ce qu il r v le de l aspect moral des pratiques commerciales les valeurs maximales de taux d int r t le pourcentage de b n fices admissible etc mais j ai d couvert ensuite des contenus math matiques aussi int ressants lors de l exploitation de certaines parties du texte en classe l occasion du travail sur la pr sente brochure Je remercie d ailleurs Roselyne Cases de l IREM de Toulouse qui a donn un int r t suppl mentaire ce travail en me signalant qu un exemplaire de la version espagnole de l ouvrage existe Barcelone car j avais oubli de m int resser la version espagnole Or la biblioth que universitaire de Valence met disposition en ligne le texte espagnol de l dition faite en 1563 par Juan Perez de Moya autre arithm ticien catalan et l tude Oeuvre tressubtille amp profitable de lartz science de aristmeticque arithm tique amp geometrie translat nouvellement despaignol en francoys Lyon Estienne Balland 1515 Cote
103. ppl ment d une trentaine de pages sur la conversion des monnaies c est voir Respectivement rompus fractions compagnies lancer des jetons compter et ce verbe qui n existe plus Chose entendue en seconde Moi j aime beaucoup les maths mais par contre je d teste la g om trie les maths ce sont les r solutions m caniques d quation 78 Apr s lecture du prologue du translateur Claude Platin et de celui de l auteur nomm par Platin fr re Jehan de lortie de l ordre de sainct dominicque acteur de ce livre nous tudions le premier chapitre consacr aux r gles de num ration criture des nombres entiers dans le syst me positionnel puis aux quatre op rations l mentaires Le paragraphe final de ce chapitre fait r f rence certaines m thodes alternatives de multiplication que l auteur se contente d illustrer sans texte Parmi les trois illustrations donn es la premi re montre la multiplication de 43060 par 4085 par jalousie cf figure 2 ci dessous Le grand avantage de cette technique est qu elle vite les retenues en cours de calcul puisque chaque cellule est divis e en deux parties correspondant deux ordres de grandeur ou puissances de dix successifs et que la disposition diagonale permet de ne pas se poser de question sur l appariement des nombres Des retenues sont quand m me n cessaires pour les sommes diagonales finales mais ce qui perturbe le plus les l ves
104. pris l unit font partie de ceux qui ont t appel s primes les huit suivants de ceux qui ont t appel s seconds et le 14 dernier d entre eux est mille myriades des nombres seconds Il est donc clair que la quantit de grains de sable dont le volume vaut une sph re du diam tre de cent doigts est plus petite que mille myriades des nombres seconds Derechef une sph re du diam tre de dix mille doigts est cent myriades de fois multiple d une sph re du diam tre de cent doigts En cons quence si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de dix mille doigts il est vident que le nombre de grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant mille myriades des nombres seconds par cent myriades Et puisque mille myriades des nombres seconds sont le seizi me nombre partir de l unit dans la progression et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression il est vident que le nombre form en multipliant sera le vingt deuxi me partir de l unit dans la m me progression Or de ces vingt deux nombres les huit premiers y compris l unit sont de ceux qui ont t appel s primes les huit suivants de ceux qui ont t appel s seconds les six restants de ceux qui ont t appel s troisi mes et le dernier d entre eux est dix myriades des nombres troisi mes Il est donc clair que la quantit de grains de sable dont le
105. prochant amp que Pexc dant 5x dont je tiens compte en lui donnant le figne a un co fficient plus petit ce qui ne peut manquer d abr ger le calcul Je fais enfuite HE 1 amp j en amp par la m me raifon en prenant 2x pour valeur du 6 19u conclus x x 1 qu EEE Faifant L tsja enfin u t 1 ce qui acheve la folution plus promptement que fi j avois pris chaque quotient au deflous de fa v ritable valeur Sion remonte comme ci deflus aux va leurs de x amp de y on trouvera x 5 191 amp y 21 2 qui en donnant pour valeurs tous les nombres n gatifs de puis z ro donneront toutes les folutions pofitives de P quation 43 Annexe 5 Avis des l ves sur les deux m thodes de r solution Quand le cours a t trait avant B zout B zout plus facile mettre en uvre La m thode que je pr f re est la m thode vue en classe car c est la premi re acquise par l esprit et donc la premi re utilis e lors d un probl me Cependant la m thode de B zout est utile si l on veut faire la d monstration quelqu un qui ne sait aucune des deux car elle est plus simple comprendre mais plus longue Je comprends mieux la m thode vue en cours Des deux m thodes je pr f re celle vue en cours car elle est plus simple et plus rapide De plus si c est celle qu apprennent les l ves c est logiquement la meil
106. programme de terminale C et aujourd hui elle est inscrite au programme d arithm tique de la sp cialit en terminale S La m thode tudi e en cours tait utilis e par Lagrange et Gauss Le texte de B zout plus ancien est extrait du tome 2 du Cours de Math matiques l usage des gardes du Pavillon et de la Marine disponible la Biblioth que Municipale de Sens Il met en uvre comme souvent chez cet auteur un proc d original qui bien que technique semble plus intuitif et donc plus lisible Il tait donc tentant d en proposer l tude aux l ves Acte I Dans la classe de Terminale S sp cialit de Thierry Dass en 2005 C est une classe de vingt et un l ves de niveau correct Nous leur pr sentons bri vement Etienne B zout et l objectif de la s ance Etudier une quation diophantienne partir d un document du XVIII si cle crit par ce math maticien Les l ves ont d j r solu ce type d quation en cours Ils se mettent rapidement au travail en suivant les indications fournies et en posant des questions aux deux professeurs voir en annexe 2 le document fourni aux l ves D roulement de la s ance 1h Pass l effet de surprise cr par la d couverte de l orthographe du fran ais du XVIIF si cle les l ves effectuent les calculs avec aisance et reconnaissent l algorithme d Euclide Quant la m thode tudi e auparavant en cours question 2
107. que l expos des motifs et donn in extenso le texte de la proposition elle m me de la description de la figure et en annexe au devoir une reproduction du livre texte et figure associ e cf annexe 1 de cet article La description permettra aux l ves de reproduire la figure question a ce que 71 des l ves ont parfaitement r ussi malgr certains mots un peu d suets employ s par Marolois les deux autres l ves sur sept au total n ayant absolument pas abord cet exercice de g om trie La d monstration demand e en b devait permettre de justifier la validit de la construction mes coll gues consult s ont d ailleurs trouv cette validation difficile et ont propos des solutions en annexe 2 Seules trois l ves sur les cinq qui ont commenc l exercice ont abord cette d monstration avec plus ou moins de bonheur Elles n ont pas pers v r c tait le dernier exercice de leur premier devoir de trois heures comme au bac pourtant certaines l ves sont sorties en avance pensant qu elles avaient suffisamment bien travaill pour le reste du devoir Aucune n a su donner tous les arguments pour valider la construction 352 Les droites GF IH DB ayant lair parall les ont fait envisager d utiliser le th or me de Thal s ou bien le cercle trac a fait penser des angles inscrits ou bien encore avec toujours les droites IH GF mais cette Ve h fois perpendiculaires AC et a
108. r Il aurait videmment pu prendre 1 1 et 2 puisque tout ceci est un calcul de barycentre on retrouve les leviers On obtient les quantit s en litres par proportionnalit Peut on choisir des proportions diff rentes pour A et B Essayons avec un coefficient 4 pour A et 2 pour B un rapide calcul donne 0 8x4 1 2X2 1 6x6 hi 12 qui ne convient pas On ne peut pas donc r partir n importe comment les 60 centimes d cart de C entre et B S1 on appelle x la proportion de vin A et y celle de vin B le probl me s crit ainsi 3 2x gt 08x L2y 1L60 x y 13 a a E ce qui donne apr s simplification x y 0 1 3 xE D qui est l quation d un segment de points solutions Ce segment est en fait l intersection de la droite pis 3 Sna d quation y 2x 7 et du carr unit 1 1 Mos l l re Le point de coordonn es 41 est situ sur ce segment il correspond au choix de l tudiant coefficient 3 sur un total de 12 ou 1 sur 4 Celui de coordonn es 1 1 i k 36 Qui correspond notre essai n y est pas On peut aussi se demander si la m thode qui consiste donner le m me poids deux vins situ s du m me c t du prix vis est toujours valable Il faut pour cela que le segment coupe la premi re bissectrice du rep re l int rieur du carr unit sa longueur et son quation peuvent donc faire qu aucune solution ne soit possible 26 Appelons respectiv
109. r second et troisi me marchands et X le prix du cheval on peut transcrire la m thode de la mani re suivante bizarrement la fausse position choisie n est pas une des quantit s recherch es mais elle correspond au montant total d argent disponible apr s l achat On cherche une fausse position A divisible par 2 3 et 4 on prend A 12k ici k 1 donc A 12 Calcul pour le 1 marchand A 1 A 2A 24k soit 24 Calcul pour le 2 marchand A 4 A 12k 6k 18k soit 18 Calcul pour le 3 marchand A A 12k 4k 16k soit 16 La somme des ces trois quantit s est 24k 18k 16k 58k que l on divise par le nombre de marchands moins 1 58k 2 29k Le prix du cheval est la diff rence entre ce r sultat et la position A 29k 12k 17k ici 17 La somme que poss de chaque marchand est la diff rence entre le m me r sultat et celui de chacun des calculs initiaux 1 29k 24k 5k c est dire 5 2 29k 18k 11k c est dire 11 3 29k 16k 13k c est dire 13 on obtient donc 5 11 et 13 dont la somme est gale 29 Cela fonctionne mais pourquoi Ma question favorite aux l ves leur hantise Une explication possible Outre les notations ci dessus on appelle S la somme totale disponible S a b c gt X On a X a t b c S 1T b c donc S X 1 b c de m me comme X b l a c et X c 1 a b on obtient successivement X a c et S X a b On rem
110. r la rotation de centre M d angle 60 est repr sent e en pointill s c est aussi la trace laiss e par le point P lorsqu on d place N sur BC Figure 11 56 2 cas M est proche de B N est sur CD La position de p est obtenue comme dans le cas 1 en d pla ant le point N le long du c t CD Sur la figure ci dessous la figure initiale pour la recherche est gris e la figure solution est le triangle Mnp la droite image de CD par la rotation de centre M d angle 60 est repr sent e en pointill s c est aussi la trace laiss e par le point P lorsqu on d place N sur CD p D Figure 12 Il existe une infinit de triangles MNP quilat raux inscrits dans le carr ABCD ils ne sont pas tous isom triques Peut on d terminer la position de M qui donnera le triangle d aire maximale ou le triangle d aire minimale Ceci est une autre histoire 57 Autre exemple de figure obtenue avec le logiciel CABRI Cette figure a t con ue par Victor DIAFERIA professeur au lyc e du Castel Dijon suite la pr sentation de cette activit IREM de Dijon en octobre 2006 FIGURE CabriII vers MS Windows 1 0 Window center x 0 370416666666667 y 3 4925 Window size x 26 6435416666667 y 16 430625 Pt 0 CN 0 VN 1 W DSSL TS CGTELA Ey 2 Axes 1 CN 1 VN 3 Giy W ty DSETL ul GT 0 I ASE Const 1 Val 1 0 0 T 35 Pt 0 CN 0 VN T Ra NW DSET 1 GTIT V NSt Va
111. res en 41 pi ces de trois esp ces savoir de 24 livre de 19 livres amp de 10 livres On notera x y amp z les nombres de pi ces de chacune de ces trois esp ces a Que vaut x y z Que vaut 24x 19 y 107 b En d duire que y et z sont solutions de l quation 5 y 14 z 243 c R soudre cette quation par la m thode de B zout d En d duire toutes les solutions du probl me 36 R sultats 7 Tr s peu d l ves justifient ou tentent de justifier correctement l quation E1 On cherche les entiers u et v tels que J1 JO 6 81 w et JI JO 105 v D o l quation 105 v 6 81 u qui conduit apr s simplifications l quation E1 La plupart en revanche obtiennent la bonne date JO 735 On obtient successivement u 35v 2 27 w 8v 2 27 x 3w 2 8 y 2x 2 3 et z y 2 soit y 2z D o en remontant v 27z 7 et u 35z 9 Il reste faire z 0 pour trouver la bonne date 8 La premi re partie est bien trait e On obtient successivement y 243 14z 5 u 3 4z 5 t 3 u 4 soit u 3 4t D o en remontant y 57 14t et z 3 5t Mais les m thodes pour trouver les quatre solutions sont tr s vari es Certains cherchent les conditions sur t y compris entre 0 et 41 impose t compris entre 2 et 4 D autres donnent des valeurs successives r jusqu obtenir 4 qui donne une valeur de
112. restes des divisions euclidiennes est tr s bien aussi mais celle ci est tr s rigoureuse et l nonciation du th or me de gauss est bien justifi c est pour cela que je pr f re cette m thode celle de B zout La m thode de B zout est longue et dans le cas o il n y a pas de solutions on ne le voit pas out de suite La deuxi me m thode est longue aussi mais avec une solution vidente c est d j plus court Un tableau de congruences ce serait encore mieux ax by c quivaut x c by a c est dire c by congru 0 a Je pr f re la deuxi me m thode car elle est moins longue et moins fastidieuse La premi re m thode me para t plus int ressante car elle est plus pratique que th orique Je pr f re la deuxi me m thode avec les solutions particuli res qui est plus facile comprendre et une fois qu on l a apprise elle est assez facile refaire si on ne fait pas d erreur de calcul La deuxi me m thode est plus facile faire et comprendre et est plus rapide que la premi re M thode n 1 je la trouve assez longue Impression que l on ne sait plus o on en est M thode n 2 plus simple moins fastidieuse donc je pr f re la deuxi me m thode Je trouve que la premi re m thode est plus int ressante que la seconde et que l on voit beaucoup plus o l on veut en venir Ensuite pour arriver au r sultat on utilise toujours le m me principe tout au l
113. ret ps fansaiamaisfaillir f gt A z 24 Getter cvterstrefoienvousmonftrera inconnus qu est ce que peuvent tre les r pus ou la Agrandbonneur vous fera paruenir EA r gle de compaignies Que signifie getter c pter Et le verbe apparoir P et croyez moi les jeunes d aujourd hui pr f rent les activit s bien balis es et ritualis es aux plong es dans l tranget La figure 1 frontispice difficult premi re est donc li e la d sagr able impression d tre men loin des chemins habituels Fuec prenilege KL LS ta page foyuate KEN efcript Les questionnements sur l expression am nent directement une interrogation sur l poque de r daction du texte et sur son auteur et bien que j aie peu de renseignements fournir ce sujet la lecture du privil ge royal et de la pr face sont tr s utiles le privil ge est accord au nom de Francoys par la grace de dieu Roy de france Symon Vincent libraire demourant a lyon et dat du onzieme jour de Janvier l an de Grace Mil cinq cens amp quatorze et de notre regne le premier Cette datation doit tre relativis e puisque qu il s agit en fait de janvier 1515 nouveau calendrier impos en France en 1564 par Charles IX ce qui permet aux l ves de situer ce Fran oys comme le num ro 1 celui qu ils associent L onard de Vinci gr ce la formule magique faisant r f rence la bataille de Marignan concerne qu un su
114. rimer sur des m thodes ils l ont fait tr s s rieusement en d veloppant souvent une argumentation int ressante pour expliquer leurs choix voir le d tail en annexe 5 Les r ponses peuvent se r partir en trois cat gories 1 Les l ves qui pr f rent la m thode vue en cours parce qu elle est plus courte l autre n cessitant trop de changements de variables Voir en annexe 4 comment B zout donne un moyen de raccourcir sa m thode 2 Les l ves qui pr f rent la m thode de B zout car on y voit mieux la d marche 34 3 Les l ves qui font confiance l Institution ils pensent que si l on utilise une autre m thode que celle de B zout dans les programmes officiels c est s rement parce qu elle est meilleure Cette derni re r ponse m a surpris elle n a pas surpris mon coll gue il s attendait ce que certains s en tiennent la premi re m thode tudi e L id e est donc venue de proposer l ann e suivante l tude de ce texte la classe de sp cialit mais cette fois avant que le professeur n ait trait ce sujet Acte 2 Dans la classe de TS sp cialit de Micka l V drine en 2006 C est une classe d une trentaine d l ves de niveau moyen Nous leur pr sentons bri vement Etienne B zout et l objectif de la s ance Etudier une quation diophantienne partir d un document du XVIII si cle ce math maticien Les l ves n ont pas encore abord
115. roportion gale Concluons sur le cas d un m lange de quatre produits voqu dans les derni res activit s historiques distribu es aux l ves On obtient une quation de plan qui jointe la condition sur les coefficients nous donne ou non un polygone fini de solutions Dans ce cas on peut avoir trois vins d un c t et un de l autre ou deux vins de part et d autre du prix vis et le choix d galiser les proportions de deux ou trois vins s interpr tera par l intersection du polygone avec le plan x y ou avec la droite x y z selon le cas et les choix des inconnues On peut nouveau aborder le probl me sous l angle de la th orie des leviers avec cette fois ci quatre poids sur l axe r partis de part et d autre du point d appui 27 5 Analyse et bilan En relisant les paragraphes sur la conception de l activit je constate que ma plus grande peur au moment o je les r digeais tait que mes l ves fassent capoter la s ance par trop de questions trop de contestation trop de digressions Bref j avais peur de ne pas pouvoir ma triser l espace verbal au cours du d roulement de l activit Je me trompais totalement En cette derni re semaine de l ann e juste avant le brevet j aurais d me rendre compte que mes l ves taient bien trop sages quand ils sont entr s Sans me m fier je les salue et les r partis en groupes Au d but de l ann e j ai form ces gr
116. roportionnels A est loign de A comme A est loign de O le rapport de A A est le m me que celui de A Mais A est le produit de A par A donc A est le produit de par A et des lors K est gal X Il est donc vident que le produit fait partie de la progression et qu il est aussi loign du plus grand des nombres multipli s entre eux que le plus petit est loign de l unit De plus il est clair que ce produit est loign de l unit de la somme moins un des nombres dont A et sont loign s de l unit car A B T A E Z H sont les nombres dont est distanc partir de l unit et I K A sont un nombre pr s ceux dont A est distanc partir de l unit Or en ajoutant on a la somme de ces nombres De toutes les choses qui pr c dent les unes tant admises et les autres tant d montr es je vais d montrer ma proposition En effet puisque l on a admis que le diam tre d une graine de pavot n est pas plus petit que le quaranti me d un doigt il est vident qu une sph re du diam tre d un doigt n est pas plus grande que pour contenir soixante quatre mille graines de pavot car c est de ce dernier nombre qu elle est un multiple de la sph re du diam tre d un quaranti me de doigt d autant plus que l on t a d montr que les sph res sont entre elles dans le rapport du cube des diam tres Or comme on a suppos en outre que le nombre des grains de sable contenus dans le volum
117. rtie 1 Les deux premi res questions n ont pas pos de probl me Mais une r ponse la troisi me question n a pas t obtenue facilement une des difficult s provenant de l criture propos e dans l nonc car le nombre n avait pas t crit avec un intervalle tous les trois chiffres Il a fallu proposer aux l ves de r crire le nombre en pla ant des espaces ce qui a facilit la lecture La quatri me question a galement montr que les l ves ne manipulent pas facilement le passage de l criture chiffres l criture mots et il a t n cessaire de leur demander d crire pr alablement les mots correspondants aux nombres entiers class s dans l ordre croissant b Deuxi me partie lecture et int r t de l ouvrage La discussion autour de l criture des nombres termin e le document ci dessous a t distribu aux l ves Premi re Baccalaur at Professionnel Math matiques Archim de math maticien grec Partie 2 Le texte donn ci dessous a t crit par Archim de Ce savant a crit ses livres en grec ancien ils ont t traduits en plusieurs langues au cours des si cles Parmi plusieurs traductions existant en fran ais celle que nous fournissons a t r alis e vers 1920 par monsieur Paul Ver Eecke l dition utilis e ici est publi e Paris en 1960 chez Albert Blanchard Archim de s adresse dans son livre l Ar naire G lon roi de Syracuse en Sici
118. s dans l uvre d Archim de pr sentent un caract re de difficult tel qu il les rend inadapt s nos l ves un tri s est rapidement fait par liminations successives Une seconde contrainte a ensuite guid nos choix les sections de baccalaur at professionnel tertiaire n ont ni physique ni g om trie leur programme ce qui limine la plupart des travaux de notre auteur Le sujet de l Ar naire s est donc vite impos Mais une autre id e est progressivement apparue Le programme officiel de math matiques insiste sur plusieurs capacit s transversales privil gier Voici les consignes plus particuli rement concern es d velopper les capacit s de communication qualit d coute et d expression orale de lecture et d expression crite prise de notes les travaux individuels de r daction mise au propre d exercices r solus en classe rapport de synth se sur un th me d tude analyse critique d un texte ventuellement rapport de stage visent essentiellement d velopper les capacit s de mise au point d un raisonnement et d expression crite l exploitation de documents individuelle ou en quipe peut contribuer notamment au d veloppement des capacit s d organisation et d expression crite r daction de rapport ou orale mise au point d un expos Programme de math matiques en baccalaur at professionnel Arr t du 9 5 1995 JO du 17 5 1995 peu
119. s en autonomie face aux exercices suivants Partie 3 d autres exemples historiques Ce proc d de calcul a l avantage de pouvoir se faire sans avoir de grandes connaissances math matiques et a donc bien servi le commerce de nombreuses poques On le trouve expliqu en particulier dans les livres de Nicolas Barreme publi s au XVIIe si cle et qui ont tant de succ s aupr s des professionnels que leurs ventes ont assur la fortune de son auteur et de sa famille Voici quelques exemples tir s de ces livres et d autres ouvrages semblables de la m me poque Pouvez vous les r soudre l aide de la r gle des m langes CHAPITRE VIL Regles d Alliage COURS MATHEMATIQUE Qui contient Cuar VII Regle d Al liage Es Regles d Alliage fervent cono tre uelle doit tre la quantit de chacune des chofes de differentes valeurs que l on veut meller ou allier enfemble de telle forte que leur L ARITMETIQUE SPECULATIVE ET L ARITMETIQUE PRATIQUE A L USAGE maffe devienne d un prix ou d une valeur dc termin e Ce qui fe fait en multipliant les prix ou valcurs qui excedent la propo ce par les DE MONSEIGNEUR LE DAUPHIN PAR MONSIEUR BLONDEI D le Academic Royale des Scien 7 Profefeur du Roy ca Mathe differences reciproques des prix ou valeurs qui defaillent de la m me amp multipliant les prix ou valeurs qui font moindres que la propof c par les differences reciproques des prix ou va
120. s la premi re figure mais aussi une autre comme dans la seconde en s autorisant deux points de Steiner Voil pr sent les diff rentes tapes du travail des l ves de seconde Premi re tape Dans le logiciel G oplan Cr er point points libres dans le plan B C et M Cr er ligne polygone polygone d fini par ses sommets ABC nom t Cr er segments segments d finis par 2 points MA MB MC Cr er num rique calcul g om trique longueur d un segment AB nom a Idem pour MB et MC Cr er num rique calcul alg brique a b c nom d Cr er affichage variable num rique d j d finie d 6 d cimales 63 Piloter piloter au clavier s lectionner M OK Piloter modifier param tre de pilotage au clavier 0 001 La souris permet alors un d placement rapide du point M tandis que les fl ches du clavier affinent les d placements de M On demande de ne pas modifier les emplacements initiaux de A B et C mais ventuellement de faire un zoom avant ou arri re avec gt et lt lorsque les points sont trop rapproch s On demande de d placer le point M de telle sorte que d soit minimum Sur les diff rents postes il y a environ deux fois plus de triangles ABC ayant un angle obtus que de triangles acutangles Et dans la mise en commun des r sultats le point M s est retrouv la plupart du temps au sommet de l angle obtus Dans ces ca
121. s m langes et me dictent avec les doigts Ils suivent bien les calculs k Je tiens tout de suite me justifier aupr s des puristes qui ne manqueront pas de m pingler pour l orthographe SMS des interventions au tableau dans un contexte o la spontan it crite prime il ne m a pas sembl idiot d adopter cette syntaxe moderne ch re nos jeunes que par ailleurs ils ma trisent tr s bien et qui participe du m me besoin de communiquer rapidement par crit J ai d cid de jouer le jeu pour plusieurs raisons Tout d abord c est super rigolo Ensuite a leur permet de bien penser leurs interventions de synth tiser leurs questions et a les force pr ter attention ce qui est dit chaque intervention impliquant un passage au Tableau avec la majuscule qui sied lieu de tous les dangers o l on s expose devant la classe et tout pr s si pr s du professeur tous suivent attentivement leur camarade qui s est lev pour poser une question ou donner une r ponse 4 Le test ne donne pas le bon prix pour le m lange Ils commencent sentir ce qu il faut faire En jaune un test calcul au tableau par mon l ve d faitiste 29 5 Apr s r solution par t tonnements successifs pr sentation m thodique sous forme de tableau Certains n attendent m me pas que leur camarade soit revenu sa place ni que j aie le temps de lui r pondre par crit et se l vent pour
122. s on a demand d afficher la mesure de cet angle obtus en degr s Cr er num rique calcul g om trique angle g om trique en degr nom an Cr er affichage variable num rique d j d finie an avec 6 d cimales Parmi ces l ves certains diminuent progressivement langle obtus et chaque tape v rifie la position du point M afin de savoir partir de quelle valeur il quitte le sommet tandis que d autres modifient leur triangle en le rendant acutangle et recommencent le travail Premier bilan Il semble que lorsqu un angle est sup rieur ou gal 120 le point M est confondu avec le sommet de cet angle Pour les autres triangles le point M est l int rieur du triangle La plupart du temps c est pour eux un centre connu centre de gravit orthocentre Mais quelques uns uns sugg rent l galit des angles de sommet M ce qu ils v rifient ainsi que les autres en cr ant et en affichant deux de ces angles On remarque qu un pas de pilotage tr s fin est n cessaire pour obtenir des angles gaux 120 alors que le minimum de d est atteint 6 d cimales pr s dans tout un domaine du triangle Images par rotation angle mesur Unit d angle degr Deuxi me tape Nom du centre Angle 60 En se pla ant dans un triangle dont les angles sont aigus on veut Points tde d part d montrer que le point M qui minimise MA MB MC est le point tel q
123. s petit que cent myriades de myriades de stades donc il est vident aussi qu une quantit de grains de sable dont le volume gale celui du monde est plus petite que mille unit s des nombres septi mes D s lors il est d montr que la quantit de grains de sable dont le volume gale le monde tel que se le repr sentent beaucoup d astronomes est plus petite que mille unit s des nombres septi mes Au reste je vais encore d montrer que la quantit de grains de sable dont le volume galerait une sph re telle qu Aristarque suppose tre la sph re des toiles fixes est plus petite que mille myriades des nombres huiti mes En effet puisque l on a suppos que le rapport de la terre au monde tel que je l ai d fini est le m me que celui du dit monde la sph re des toiles fixes telle que la suppose Aristarque les diam tres de ces sph res auront entre eux le m me rapport D autre part on a d montr que le diam tre du monde est plus petit que dix mille fois le diam tre de la terre donc il est vident aussi que le diam tre de la sph re des toiles fixes est plus petit que dix mille fois le diam tre du monde Or comme les sph res sont entre elles dans le rapport du cube de leurs diam tres il est clair que la sph re des toiles fixes imagin e par Aristarque est plus petite que dix mille myriades de myriades de fois la sph re du monde Or on a d montr qu une quantit de grains de sable dont le volume
124. se alors il pourra dans l arc de cercle DF y avoir une droite s appuyant sur le point D de telle sorte qu elle tombe dans un lieu qui est entre la section conique et sa tangente ce qui ne peut pas se produire d apr s la 36 du livre 1 des Coniques Qu on prenne un point I quelconque sur l arc de l ellipse intercept par le cercle il y aura des droites AD et DC les deux ensemble gales aux droites AI et IC les deux ensemble d apr s la 52 du troisi me livre des Coniques mais BI est plus petit que BD donc les 3 ensemble IA IB IC seront plus petits que les 3 les plus petits DA DB DC ce qui ne peut pas tre Donc quand les trois droites ensemble sont minima les trois angles au point D d o elles sont tir es sont gaux entre eux L arrangement du probl me est vident figure 7 Soient trois points A B C on demande de trouver le point D duquel les trois angles ADB BDC CDA sont gaux entre eux Je dis que les trois droites men es de D sont minima En effet si elles ne sont pas minimum que ce soit minimum en un autre point E et les trois angles en E sont gaux entre eux d apr s la d monstration pr c dente 1 1 3 3 7 de quatre droits Et pour ces raisons il y aura dans le quadrilat re BDCE plus de quatre angles droits ce qui est absurde C est un fait que AEB sera de quatre droits de m me AEC sera de quatre droits et par construction BDC sera aussi Trouver le point D est vraiment facile
125. slebmier dit auraultres 2 4lluy baill t la moy tieveleurargent auecques le fien ilaura afes pour acbeter ledice cbe nal Et le fecond ditaur aultres 2 quil luy baillent la tierce partiee leurarg t Tauecques le fien ilaura affes pour acbeter ledict cbenal Et le tiers ditaur aultres 2 quil luy baillentle quart deleur argent auecques le fien il aura afiez argent pour acbeter ledict cheual Des mande combien chefcun defdicts marchas auoit oargent combien valloit ledictcheual i Vous comprenez mieux N ayez pas honte de r pondre par la n gative et pensez aux pauvres l ves qui avaient voulu en savoir davantage Il s agit d un probl me assez classique dont on retrouve diverses versions travers l histoire et jusque dans les colles des journaux pour enfants une marchandise ici le mot est mal choisi puisqu il s agit d un cheval co te un certain prix et aucune des trois personnes pr sentes n a suffisamment d argent pour l acheter Mais chacune d entre elles n a besoin que d une portion de ce que poss dent les autres la moiti pour le premier le tiers pour le second et le quart pour le troisi me pour pouvoir acqu rir le bien 5 Les encouragements de Jean Terreran et une explication qu il avait donn e d une partie du probl me ont t essentiels pour moi Merci Jean 83 Traduction de la m thode d Ortega Si l on appelle a b et c les sommes que poss dent respectivement les premie
126. st pas par hasard que j utilise le vocabulaire des leviers chers Archim de en fin ex g te du grand homme Pierre Collaudin a voulu pr senter son article sous cet angle La proportionnalit inverse entre un poids et sa distance au point d quilibre est la base de la th orie des leviers d Archim de et on la retrouve exactement ici Le diagramme en croix peut se voir comme le sch ma d un probl me de leviers o les proportions des vins jouent le r le des poids et le prix vis est le point d appui de part et d autre duquel les vins sont plac s en fonction de leur prix au litre les carts de prix s interpr tent alors comme des distances au point appui Mais si et B contrebalancent C doivent ils le faire en gale proportion C est l option la plus simple qui a t choisie par l tudiant l extr mit de la fl che issue de C se subdivise en deux l une pour A et l autre pour B chacun devant alors contrebalancer les 30 centimes d cart sa fa on En bas du diagramme les carts de A et B sont ajout s et contrebalanc s ensemble par C La somme des carts du haut du diagramme l cart de C est compt deux fois car A et B doivent le compenser est donc de 60 centimes et celle du bas galement coup de chance on peut donc r soudre le probl me de t te L tudiant a choisi d affecter les proportions 3 3 et 6 sans doute en prenant le chiffre des dixi mes pour ne pas se fatigue
127. t ainsi de suite Il reste deux petits b mols 1 La gravure originale figure 3 a t faite apparemment sans souci de l alignement et un d calage horizontal rend les correspondances difficiles 2 Le texte espagnol tel qu on peut le consulter en ligne n offre pas exactement la m me illustration et la comparaison r serve quelques surprises vous de les d couvrir cf figure 5 La primera Zafegunda Zatercera 43060 403 1172240000 3444800 215300 47 5900100 figure 5 multiplications dans le texte espagnol En tout cas cette premi re activit si elle a d rout la plupart des l ves au d but n en a pas moins t un succ s cela nous encourage toujours poursuivre l exp rience non C est pourquoi je leur ai propos un second extrait en Devoir la Maison mais avec une pr paration en module car la premi re activit n tait pas suffisante pour que la plupart des l ves se sentent l aise en autonomie face au texte c est d ailleurs une technique que j utilise de plus en plus fr quemment afin que mes l ves aient moins la tentation de tout simplement recopier leur devoir sur celui du premier ne venu 2 Seconde activit Devoir la Maison pr par en classe R gles de testaments CZefeptiefmecbapitrequi traicteoes teftamens lefquelr fe font par la regle de compaignie PE A bome fait fon teftamet ta vaill t 30 00 efcus et laif A CH
128. t celui qui minimise la somme MA MB MC 2 Construire les perpendiculaires MA MB et MC passant par A B et C Ces trois droites se coupent pour former un plus grand triangle DEF 3 Montrer que le triangle DEF est quilat ral 4 Soient P un point l int rieur du triangle DEF 4 B et C les projet s de P sur les c t s de DEF Montrer que PA PB PC MA MB MC 5 Montrer que PA PB PC gt PA PB PC 6 En d duire que pour tout point P l int rieur de DEF PA PB PC gt MA MB MC Conclure Fig 5 67 Annexe 1 Extraits des lettres de Evangelista Torricelli Vincenzo Renieri du 8 octobre et du 8 d cembre 1646 Traduction personnelle Etant donn s trois points A B et C on cherche ce que les trois ensemble soient le plus pr s possible d un point D savoir AD BD CD je dis que les trois angles ADB BDC CDA doivent tre gaux entre eux Car s il est possible que deux quelconques d entre eux ne soient pas gaux supposons ADB et BDC faisons passer tout autour une ellipse par le point D o la tangente est EF figure 6 les angles EDA et FDC seront gaux par la 48 du livre 3 des Coniques Mais on a pos BDA BDC in gaux donc les restes BDE BDF seront in gaux C est pourquoi dans ces conditions le cercle de centre B et de rayon BD coupera et la droite DF et cette m me ellipse Parce que si le cercle ne coupe pas l ellip
129. t donc situ sur la droite CC joignant le sommet C au sommet C du triangle quilat ral ABC construit l ext rieur de ABC Mais comment le construire 65 Quatri me tape Sur une nouvelle figure construire dans G oplan figure 3 les trois triangles quilat raux ABC ACB et BCA ext rieurs ABC 1 D apr s l tape pr c dente sur quelles droites est situ le point de Fermat 2 En d duire que les trois droites CC 44 et BB sont concourantes et que les segments CC 44 et BP ont la m me longueur B Fig 3 Cinqui me tape Devoir maison Partie A Th or me de Viviani 1622 1703 Soient ABC un triangle quilat ral de c t a H est le pied de la hauteur issue de 4 et M un point l int rieur du triangle On appelle R S et T les projet s orthogonaux de M sur les trois c t s respectivement 48 BC et 4C 1 Faire une figure en prenant a 8 cm Voir figure 4 2 Calculer l aide de a AH MR MS et MT l aire du triangle ABC de deux fa on diff rentes 3 En d duire que AH PR PS PT Th or me de Viviani Partie B Le point de Fermat Torricelli figure 5 1 Soit M un point du plan construire un triangle ABC acutangle tel que AMB BMC CMA 120 Expliquer la m thode de construction On appelle M le point de Fermat du triangle ABC 66 On veut montrer que le point M ainsi construit es
130. t seulement utilis en g om trie Les l ves font le plus souvent des raisonnements par quivalence et ils confondent fr quemment il faut et il suffit C est peut tre pourquoi beaucoup d entre eux sont davantage rassur s par la m thode du cours dans laquelle ils identifient clairement deux tapes 1 la d termination d une solution particuli re gr ce l algorithme d Euclide qu ils ont d couvert en classe de troisi me et dont ils ont gard un bon souvenir 2 L expression de la solution g n rale gr ce un th or me qui plus est de Gauss que l on ne peut pas accuser de fantaisie On pourrait quand m me modifier quelque peu cette derni re de la mani re suivante sans savoir si cela ira dans le sens souhait par quelques uns 1 Rechercher une solution particuli re gr ce l algorithme d Euclide 2 Rechercher la solution g n rale de l quation sans second membre qui s exprimerait d ailleurs plus simplement 3 En d duire la solution g n rale de l quation propos e Les l ves pourraient ainsi reconna tre une m thode d j rencontr e lors de la r solution d quations diff rentielles avec second membre Ce serait l occasion d observer que certains probl mes touchant des domaines tr s diff rents peuvent se r soudre par la m me m thode sans n cessairement aller jusqu parler d espaces vectoriels Pour conclure on peut reprendre
131. tangentes au cercle XH du point A les tangentes AA AZ en N et en T du point les tangentes OM OO en X et en P et que les droites OM O0 coupent le cercle ABT aux points A et B D s lors puisque l on a suppos le soleil au dessus de l horizon la droite OK sera plus grande que la droite AK donc l angle compris sous les droites AA AZ sera plus grand que l angle compris sous les droites OM O0 Or l angle compris sous les droites AA AZ est plus grand que la deux centi me partie de l angle droit et plus petit que la cent soixante quatri me partie de l angle droit car il est gal l angle qui embrasse le soleil et a son sommet l il En cons quence l angle compris sous les droites OM O0 est plus petit que la cent soixante quatri me partie de l angle droit et la droite AB est plus petite que celle qui sous tend un segment de la circonf rence du cercle ABT divis en 656 parties Mais le rapport du p rim tre du polygone dont il a t question au rayon du cercle ABT est plus petit que celui de 44 7 parce que le rapport du p rim tre de tout polygone inscrit dans un cercle au rayon est plus petit que celui de 44 7 Tu sais d ailleurs que j ai d montr que la circonf rence de tout cercle est plus grande que le triple de son diam tre augment de moins de la septi me partie de ce diam tre et que le p rim tre du polygone inscrit est plus petit que cette circonf rence En cons quence le rapport de la droit
132. te par F Riesz Elle est bas e sur le th or me de Viviani Pr liminaire D montrer le th or me de Viviani 1622 1703 la somme des distances a b c d un point M int rieur un triangle quilat ral aux c t s de ce triangle est gale la hauteur A de ce triangle R solution du probl me Soit M un point quelconque int rieur au triangle ABC 1 D montrer que MA MB MC est sup rieur ou gal la somme des distances de M aux 3 c t s du triangle A B C 0 2 En d duire que MA MB MC IA IB IC IV METHODE 4 12 Cette m thode propos e au X1X si cle par Steiner utilise des propri t s de l ellipse Pr liminaire Soient une ellipse de foyers B et C et T la tangente cette ellipse en un point M de 1 D montrer que T est la bissectrice ext rieure de l angle MB MC 2 Soit 2a la distance entre les sommets du grand axe d montrer que pour tout point M de l ellipse MB MC 2a et r ciproquement R solution du probl me e Soit une solution du probl me de Fermat e Soitr IA e Soit E M eP MB MC k E est une ellipse de foyers B et C I est l ment du cercle T de centre et de rayon r 1 Montrer que si Z est solution du probl me de Fermat alors 7 est l ment de Tet de l ellipse de foyers B et C tangente J en Z 2 A l aide de la tangente commune I et cette ellipse d montrer que IB TA I4 1C z 3 Par une m thode analogue d montrer
133. texte de Marolois Prolongements possibles dans certaines classes comme en S par exemple Exp rimentalement avec le logiciel de g om trie on a trouv une solution pour chaque position de M sur AB Mais rien n a t justifi et on n a pas trouv de construction des sommets P et N connaissant M sur le c t AB On peut revenir la figure sur GEOPLAN pour cette fois par exemple demander la TRACE du sommet P lorsque N se d place sur le c t BC On constate alors que tous les sommets P sont align s Quelle est cette droite En fait dans la figure 11 il s agit de l image de la droite BC par la rotation de centre M et d angle 60 Si N est sur CD comme dans la figure 12 ce sera l image par la rotation de centre M et d angle 60 de la droite CD Cette constatation peut mener la construction du sommet P a priori par intersection de cette droite avec le c t AD puis celle de N 3 sommet du triangle quilat ral MNP avec N ant c dent de P par l une ou l autre des deux rotations cit es plus haut Il est alors ais de d montrer que le triangle MNP est une solution au probl me pos puisque par construction P est l image de N par une rotation de centre M d angle 60 Exemples de figures 1 cas M est proche du milieu E de AB N est sur BC La figure initiale pour la recherche est gris e la figure solution est le triangle Mnp la droite image de BC pa
134. tre classe Bilan Il est incontestable que la m thode de B zout a int ress beaucoup d l ves la concentration lors des activit s propos es en t moigne Certains ont m me mieux adh r la d marche propos e par B zout allant jusqu la recommander aux commen ants L une des raisons de la pr f rence pour la m thode moderne est sa rapidit pourtant l algorithme d Euclide comporte autant d tapes que l analyse du probl me faite par B zout Il faut s interroger en revanche sur les doutes de certains l ves quant la validit des raisonnements de B zout Dans la m thode actuelle des th or mes sont cit s ils sont souvent un gage de rigueur pour les l ves Dans sa m thode B zout proc de par analyse ou condition n cessaire mais sa remont e n est pas identifi e clairement juste titre par les l ves comme une r ciproque Il serait peut tre plus clair de remplacer dans l quation les inconnues par les valeurs des solutions exprim es en fonction du param tre plut t que de se contenter comme le fait B zout d affirmer qu on peut satisfaire cette question d une infinit de mani res diff rentes 37 qu on aura toutes en mettant dans les valeurs de x amp de y au lieu de s tous les nombres entiers positifs imaginables depuis 3 jusqu linfini Ce type de raisonnement par analyse et synth se n est pas reconnu par les l ves il es
135. tre de dix mille myriades de stades est plus petite que dix myriades des nombres sixi mes Une sph re du diam tre de cent myriades de myriades de stades est cent myriades de fois multiple d une sph re du diam tre de dix mille myriades de stades Donc si l on composait une sph re de sable aussi grande qu une sph re du diam tre de cent myriades de myriades de stades il est clair que le nombre des grains de sable serait plus petit que le nombre form en multipliant dix myriades des nombres sixi mes par cent myriades Et puisque dix myriades des nombres sixi mes sont le quarante sixi me nombre partir de l unit dans la progression et que cent myriades sont le septi me nombre partir de l unit dans la m me progression il est vident que le nombre qui a t form en multipliant sera le cinquante deuxi me partir de l unit dans la m me progression Or de ces cinquante deux nombres les quarante huit premiers y compris l unit sont de ceux qui ont t appel s primes seconds troisi mes quatri mes cinqui mes et sixi mes tandis que les quatre restants sont de ceux qui ont t appel s septi mes et le dernier d entre eux est mille unit s des nombres septi mes Il est donc clair que la quantit de grains de sable dont le volume gale une sph re du diam tre de cent myriades de myriades de stades est plus petite que mille unit s des nombres septi mes Or on a d montr que le diam tre du monde est plu
136. ts fcienceoe ariftmeahk version microfilm e Montpellier c est plus il ticque z geometrie tranflatenouk 213 4 p LS aa acllementoefpaignolenfrscops Pa amusant lorsque les l ves d couvrent la typographie ocmonftre par derndfi en a ee i 4 nr sen ln de i originale La premi re difficult est bien entendu de Ny regle occompaignice foubdefin toutealy parvenir lire les lettres et reconstituer les mots aultres chofes qui par gcometric z aritmag ar P ticque peuu t eftrecomprifcs commc apperilf c est un grand classique les s sont crits comme des ee par la tablecpapzes mife i A nee ous 3 f les v et les u ont la m me signification ce qui K ci cer or em perturbe norm ment les l ves au d but de la CR A poue nenpourres certes Amiculs valloir 6 lecture En outre le texte comporte de nombreuses atfquefopez trefbicn fcienten ce PART efpargnes np argentny cheuance Do abr viations typographiques Apr s plusieurs nchiffrer ouures lentendement H 1 A 1 1 ombrer pefer mefurerpar prudence tentatives les l ves arrivent lire haute voix en A fi Dousaprendra fansfaillir tuftement E donnant presque du premier coup le bon sens aux UN Etes celurezny faillesnullement SJ rmon vincentfi vous enfournira Hi mots nrucmercere tonil eftoemourant INA bonmarchc atousilenfera 12 IPNI Qeftvng grandbien qui vous vemourera Cependant il reste le probl me des mots P utvoft
137. ue AMB AMC BMC 120 Une construction sur G oplan est propos e Comme dans la premi re tape est demand e la cr ation d un triangle Ce Ce Cabo e e fee ABC d un point M et des segments MA MB MC l affichage de d MA MB MC ainsi que celui de deux des angles issus de M On construit ensuite l image M C B du triangle MAB par la rotation de centre B et d angle 60 voir figure 1 Cr er point point image par rotation angle mesur La figure se termine par la cr ation des segments MB C B CM et C A Comme dans la premi re tape on modifie alors la position du point M pilote au clavier ou non de telle sorte que d soit minimum c est dire lorsque les angles affich s sont de 120 Cette position co ncide avec l alignement des points C M M et C Pourquoi 64 Fig l Troisi me tape 1 Pourquoi les triangles BMA et BM C sont ils isom triques En d duire que MA M C 2 Montrer que MB MM Fig 2 3 Que vaut galement MA MB MC Conclure Le point M ainsi d fini satisfait 1l la conjecture de la deuxi me tape 4 Lorsqu il y a alignement des points C M M et C figure 2 montrer que l angle BMC mesure bien 120 5 Montrer que les triangles BAC et BMM sont quilat raux Montrer alors que M MA mesure 60 En d duire que AMB mesure bien 120 Le point M solution du probl me de Fermat es
138. ue les triangles 4 BC AB C et ABC soient quilat raux et ext rieurs ABC On d signe par G H K les centres de gravit respectifs de ces triangles Soient 1 C8 et c les cercles circonscrits ces 3 triangles s cants en un point I Soit A B C le triangle obtenu en tra ant les perpendiculaires ZA IB IC passant par A B et C Soit P un point quelconque de A ext rieur au triangle ABC Soient Q l intersection de C8 et de PC autre que C et R l intersection de O4 et de PB Propri t s d montrables e AA BB CC a C8 et c sont s cants en un point 7 appel point de Torricelli du triangle ABC e AA BB et CC sont concourantes en 7 appel aussi point de Fermat du triangle ABC e Les six angles en I d termin s par les trois droites concourantes ont la m me mesure e CHK est un triangle quilat ral appel triangle de Napol on e AA BB CC 0 ABC et 4 B C sont deux triangles ayant le m me centre de gravit e TA IB IC AA BB CC cos 44 BB cos BB CC cos CC 44 e GH 85 47 3 e Rest l ment de Cc POR est quilat ral e A B C est quilat ral e JP IQ TR est maximal pour IP maximal A B et C sont l ments respectifs de 4 C8 et c 70 71 I METHODE 1 Cette m thode utilise une extension du th or me de Ptol m e Pr liminaire D montrer que pour tous nombres complexes a b cet d a c
139. ues dont on dispose 7 aujourd hui pour crire les nombres sont nettement plus performantes Les r sultats obtenus ont dans l ensemble t corrects mais l entraide a certainement fonctionn Nous avons galement discut du g ocentrisme et de l h liocentrisme Un dernier document a t donn concernant une propri t des puissances de 10 afin de souligner encore plus l int r t des critures modernes et pour finir le r sultat obtenu par Archim de a t nonc Premi re Baccalaur at Professionnel Math matiques Archim de math maticien grec Partie 4 Archim de nonce une propri t importante concernant des nombres en proportion continue nous disons aujourd hui formant une suite g om trique Lorsque des nombres sont en proportion continue partir de l unit et que certains de ces nombres sont multipli s entre eux le produit sera dans la m me progression loign du plus grand des nombres multipli s d autant de nombres que le plus petit des nombres multipli s l est de l unit dans la progression et loign de l unit de la somme moins un des nombres dont les nombres multipli s sont loign s de l unit Retrouvez dans ce texte la formule du produit des puissances d un m me nombre prendre l exemple de puissances de dix Archim de conclut son ouvrage sur le r sultat suivant Il est clair que la quantit des grains de sable dont le volume galerait la sp
140. uls avec l autre on peut simplifier s il existe des racines videntes La m thode de B zout est efficace mais assez longue faire et crire La m thode n 2 est pr f rable car elle est plus simple Pai pr f r la deuxi me m thode qui est mon avis plus rapide plus compl te Je pense que la m thode de B zout est beaucoup trop longue et il y a des chances de se tromper dans les nombreuses variables que l on pose La m thode actuelle est beaucoup plus simple et ne comporte pas de grande difficult et surtout elle est beaucoup plus rapide ex cuter et la pr sentation est plus jolie Donc je pense que cette m thode est meilleure Certes la m thode de B zout est simple plus facile mais la deuxi me m thode en tant plus longue et un peu plus complexe est selon moi la meilleure car il y a l un vrai raisonnement On explique ce qu on fait alors que la m thode de B zout est une suite de calculs o il est plus difficile d expliquer ce qu on fait et pourquoi Pour r soudre ce type d quations la m thode moderne me para t plus simple et je pense que l on a moins de risque de faire des erreurs Le th or me de B zout est pour moi plus simple et plus rapide car il n y a pas la n cessit de calculer le Plus Grand Commun Diviseur avec l algorithme d Euclide et non plus besoin de se resservir de cet algorithme pour trouver le couple de solutions videntes 46 Inscrire un trian
141. une certaine dimension j ai choisi une dimension cylindrique telle qu elle ne soit pas inf rieure celle de la vision Cette dimension tant dispos e l extr mit de la r gle o se trouve l il et des droites tant men es tangentes la fois cette dimension et au cylindre l angle compris sous ces droites tait donc plus petit que l angle qui embrasse le soleil et a son sommet l il Une dimension non inf rieure celle de la vision se trouve d ailleurs de la mani re suivante on prend deux minces cylindres de m me paisseur l un blanc mais l autre pas on les place devant l il de telle sorte que le blanc en soit loign et que celui qui n est pas blanc soit rapproch de l il jusqu toucher le visage D s lors si les cylindres choisis sont moins larges que la vision le cylindre le plus rapproch est embrass par l il qui aper oit le blanc derri re le premier si les cylindres sont beaucoup moins larges le blanc est vu en entier et s ils ne sont pas beaucoup moins larges on aper oit une certaine partie du blanc de chaque c t de celui qui est le plus rapproch de l il On prend d ailleurs des cylindres d une largeur convenable pour que l un cache l autre sans cependant cacher un espace plus grand et il est donc certain que la dimension en grosseur des cylindres qui se pr sentent ainsi n est pas inf rieure celle de la vision L angle plus petit que l angle qui embrasse le soleil et a son s
142. utions videntes elle est finalement beaucoup plus rapide Tout d pend donc des cas Je pense que je pr f re la m thode du cours Je pr f re la nouvelle m thode car elle est plus courte L ancienne est plus longue mais elle fait appel moins de justifications Je pr f re la m thode actuelle car elle est plus rapide mais elle demande plus de justifications que l ancienne est plus longue mais elle fait appel moins Je pr f re la nouvelle m thode de B zout car l ancienne est plus longue il y a plus de calcul alors qu avec l autre on a juste faire l algorithme d Euclide et faire des remplacements Ma m thode pr f r e est la n 2 car elle est plus structur e que la premi re et donc plus simple assimiler De plus elle permet de r ellement trouver toutes les solutions enti res de l quation avec le justification qui convient Je trouve que la m thode de r solution des quations diophantiennes est plus simple l encha nement est clair et pr cis Elle est certes plus longue mais elle est plus claire pour moi Pr f rence la m thode de B zout car meilleur manipulation M thode du cours moins connue mais plus simple pour r soudre les probl mes La m thode de B zout est tr s bien pour trouver des solutions aux quations diophantiennes mais je la trouve trop longue et nous ne sommes pas s rs de trouver des solutions enti res La deuxi me m thode celle d tablir les
143. vant italien Vincenzio Renieri qui datent de la fin de l ann e 1646 Cavalieri puis Viviani trait rent le sujet vers la m me poque Vous trouverez en annexe 2 une traduction du latin d extraits de deux des lettres de Torricelli telles qu on peut les trouver dans les Opere de Torricelli dit s en 1912 et disponibles sur internet dans The Archimedes Project Le texte est tap sans les figures que j ai reconstitu es la suite de la traduction Alors que je lui demandais des renseignements sur ce probl me au d but des ann es 90 Pierre Collaudin m avait donn quelques pages qu il avait utilis es pour des stages de formation permanente Vous pouvez les lire en annexe 2 Elles se terminent par une activit en classe de terminale C o il introduit un point et une courbe dite de Samuel pr nom de son fils a n Les logiciels de g om trie dynamiques sont particuli rement adapt s au probl me du point de Fermat puisqu il faut conjecturer sa position avant d envisager une d monstration Dans une classe de seconde nous avons travaill essentiellement en salle informatique avec le logiciel G oplan afin e de proposer une conjecture caract risant le point de Fermat e de d montrer cette conjecture e de construire le point de Fermat 61 Ces activit s ont d une part permis aux l ves de se familiariser avec un logiciel de g om trie dynamique comme G oplan mais surtout de d couvrir une g om trie s
144. vec des j longueurs gales il y a sans la citer l id e de F AC axe de sym trie de la figure 152 47 Une l ve se placera aussi dans un cas particulier avec la m diane des c t s du carr droite joignant les milieux au lieu de la diagonale AC comme axe de sym trie de son triangle quilat ral solution dans la question c voir figure 5 Mais aucun des arguments avanc s n tait tay et aucun l ve n a pu conclure Pourquoi ont elles eu du mal d montrer que les triangles AGF et AIH sont quilat raux je l ai d j dit c tait le dernier exercice d un devoir long et les l ves ne sont pas habitu es chercher aussi longtemps c est le premier devoir de trois heures en maths ce ne sont pas des sp cialistes bien qu elles aient choisi l option Travailler et r ussir peu pr s de mani re intense pendant 2 heures cela leur a paru suffisant pour obtenir une note correcte au devoir surveill tant en section litt raire elles n imaginaient pas devoir justifier comme cela lors d un devoir Elles acceptent de le faire en cours mais sont r ticentes en ce qui concerne les devoirs surveill s les l ves sont habitu es chercher oralement discuter entre elles mais cette activit est diff rente d une recherche crite Dans les devoirs maison elles ont pu penser les choses au fur et mesure se poser des questions m en poser tout au long d une se
145. x mille myriades D s lors appelons primes les nombres en question jusqu dix mille myriades appelons unit des nombres seconds dix mille myriades des nombres primes et comptons les unit s des nombres seconds les dizaines de ces unit s les centaines les milliers et les myriades jusqu dix mille myriades Appelons de nouveau unit des nombres troisi mes dix mille myriades des nombres seconds et comptons les unit s des nombres troisi mes les dizaines de ces unit s les centaines les milliers et les myriades jusqu dix mille myriades Appelons de m me unit des nombres quatri mes dix mille myriades des nombres troisi mes unit des nombres cinqui mes dix mille myriades des nombres quatri mes et continuons appeler de cette mani re les nombres successifs jusqu dix mille myriades de dix mille myriades 1 crire dix mille myriades sous forme d une puissance de 10 2 crire l unit des nombres seconds sous forme d une puissance de 10 3 Continuer jusqu l unit des nombres huiti mes Archim de poursuit ensuite sa pr sentation beaucoup plus loin en prolongeant son raisonnement mais nous pouvons en rester l pour donner la r ponse sa question concernant les grains de sable Commentaire de la partie 3 Les l ves un peu d sar onn s au d but par cette criture ont eu une remarque g n rale pour dire que les choses taient bien compliqu es cette poque et que les techniq
146. y n gative Ils s arr tent alors sans plus d explication Ainsi pour t 1 quelques l ves obtiennent y 43 sans remarquer que y gt 41 ce n est qu en trouvant x 4 qu ils finissent par rejeter cette solution Beaucoup trouvent n anmoins les trois solutions 5 29 7 14 15 12 et 23 1 17 Commentaires Comme dans l autre classe le travail a t fait s rieusement mais la rigueur des raisonnements est insuffisante tant dans la d termination des solutions comme indiqu pr c demment qu en cours de r solution rares sont ceux qui ont rappel la condition pourtant essentielle et r p t e chaque tape par B zout Il faut donc que ce nombre soit entier Deux semaines plus tard la m thode officielle de r solution est pr sent e aux l ves Certains demandent s ils pourront utiliser la m thode de B zout le jour du Bac Ils pensent m me que cette activit et l article qui suivra ont pour but d imposer cette m thode le jour de l examen Compte tenu de la pr cision insuffisante des raisonnements constat e l occasion du devoir la maison et craignant des r actions de rejets de certains correcteurs le professeur le d conseille prudemment La semaine suivante le professeur demande chacun d indiquer sa m thode pr f r e L encore les l ves r pondent avec beaucoup de s rieux Voir annexe 6 et les arguments sont semblables ceux de l au

MÉLANGES EN HOMMAGE À PIERRE COLLAUDIN

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