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En cheminant avec Kakeya - Le Comptoir des presses d`universités

1. Dans le champ infini des figures possibles c est la double bulle repr sent e gauche qui donne la solution Il s agit de deux sph res accol es s par es par un film plat une configuration que l on observe facilement dans la nature La figure de droite repr sente une sph re ench ss e dans un tore c est une autre possibilit un peu inattendue mais non optimale pour s parer deux volumes gaux Contrairement la double bulle elle ne se rencontre pas dans la nature M me si cette solution de la double bulle est visuellement vidente il ne faudrait pas penser qu il est facile de le d montrer c est dire d carter tous les autres candidats Cette l g re variante du probl me de l isop rim trie s est av r e en r alit d une extr me difficult Les math maticiens n en sont venus bout que r cemment puisque la d monstration a t publi e en 2000 Il n y a bien s r aucune raison de se limiter deux bulles mais comme on s en doute le probl me de l isop rim trie pour trois volumes gaux reste BULLES DE SAVON 81 l heure actuelle sans r ponse L observation de la fa on dont s agglu tinent les bulles de savon sugg re une r ponse possible la triple bulle Bien entendu le fait que cette triple bulle puisse se r aliser effectivement dans la nature ne d montre nullement qu il s agit bien du partage opti mal de trois volumes C est l un des aspects frustra
2. Le paradoxe du peintre Peut on peindre un mur infini avec un nombre fini de pots de peinture Aussi surprenant que cela puisse para tre la r ponse est oui c est le c l bre paradoxe du peintre il est possible de construire un mur dont la longueur est infinie et dont l aire est finie Ainsi un peintre qui recouvri rait ce mur d une couche de peinture uniforme n aurait besoin que d un nombre fini de pots de peinture Comment cela est il possible La cl du paradoxe tient dans le fait que la hauteur de mur n est pas constante mais va en s amenuisant Par cons quent plus le peintre se d place vers la droite moins il a besoin de peinture pour couvrir une m me longueur de mur Cela dit il faut garder l esprit que le mur est infini et m me si l on a besoin d une quantit de peinture de moins en moins grande il reste tout a fait surprenant qu au total une quantit finie de peinture soit suffisante Le secret de ce mur paradoxal r side pr cis ment dans la mani re dont il s amenuise car il y a de nombreuses fa ons de construire un mur de plus en plus petit mais seules quelques unes d entre elles conduisent une aire globale finie En math maticien on peut voir le mur comme un domaine d limit par la courbe d une fonction il s agit alors de choisir une bonne fonction afin que la surface du mur soit finie Bien en tendu il y a une multitude de fonctions qui rev tent une telle apparence
3. 2 termes 4 termes 8 termes aa 1 al MS ak al 1 1 1 1 1 1 1 14 4 gt 4245454545454 454 54 4 54 Ce ey ETS CORRE CS 0 I a aks I alls A Les blocs qui suivent regroupent 16 termes 32 termes etc Lint r t de ces regrou pements est que la somme contenue dans chaque bloc est syst matiquement plus grande que F en effet lee sup rieur A F A sup rieur A qui font itatits sup rieur itatats qui font itotototetitits sup rieur Htets qui font et ainsi de suite Puisqu il ya une infinit de blocs tous sup rieurs la somme ar 3 ap 2 T ae peut en aucun cas tre finie Il existe de nombreuses r gles en math matiques qui permettent dans certains cas de d cider si une somme infinie donne ou non un r sultat fini Malgr cela l tude de ces sommes infinies demeure extr mement d licate voici deux r sultats qui illustrent la difficult du sujet Si l on raye un terme sur deux de la somme infinie des inverses Ve LA ad Th a on obtient nouveau la somme des inverses o chacun des termes serait divis par deux et par cons quent la valeur qui en r sulte demeure infinie En revanche si on limine seulement les fractions o appara t le chiffre 9 a ha ak al il 1 1 1 1 1 1 fetes a ST ee ee ee Sage on obtient tonnamment un r sultat fini LE PARADOXE DU PEINTRE 63 Plus subtilement le fait d ajouter des nombres qui se ra
4. Chacun sait que la quantit de peinture n cessaire pour peindre unifor m ment un mur est proportionnelle la surface du mur en question Il y a donc une correspondance entre l aire peinte et le volume de pein ture utilis la d termination d une aire est ainsi ramen e celle d un volume Par exemple sur le rectangle repr sent ci dessous laire ab s obtient en divisant le volume de peinture abx par l paisseur x de la couche On crit volume Aire Se paisseur Cette formule met bien en liaison l aire et le volume malheureusement elle devient caduque d s que l objet en question cesse d tre plan et en particulier elle ne permet pas d acc der l aire des sph res Au prix d un passage l infiniment petit il est cependant possible d adapter cette m thode des objets non plans et la rendre ainsi plus universelle Il suffit pour cela de reprendre la d marche pr c dente non plus sur une surface plate comme le rectangle mais par exemple sur une surface ondul e qui r sulterait d une simple d formation de ce m me rectangle Si l on cherche retrouver l aire de ce nouvel objet partir d un volume de peinture on constate cette fois que le r sultat obtenu a une allure bien diff rente selon l paisseur de la couche Plus cette couche est fine mieux elle pouse la surface On pressent que le quotient du volume par l paisseur n est pas tou jours le m me selon l paisseur
5. Endegeest et Egmond de Hoef Il meurt Stockholm aupr s de la reine Christine l ge de 53 ans Dans le domaine des sciences l apport le plus fondamental de Ren Descartes demeure sans conteste la c l bre g om trie alg brique qui met en correspondance les courbes g om triques et les quations alg briques Descartes commence par remarquer qu une quation al g brique entre deux variables d finit une courbe que l on construit point par point Chaque point peut tre rep r par deux nombres qui sont ses coordonn es sur chacun des deux axes l un et l autre tant reli s par une formule Il se trouve que pour la courbe que nous avons choisie cette formule est 2x x LA DECOUVERTE DE DESCARTES 33 X 0 5 Le graphique ci dessus donne le mode d emploi de cette formule Le point C est rep r par les deux nombres 0 5 et 0 75 que l on crit de ma ni re concise sous la forme 0 5 0 75 de m me A est rep r par 0 0 et S par 1 1 Dans ces critures le deuxi me nombre c est dire la ver ticale peut toujours s obtenir partir du premier pr cis ment au moyen de la formule il suffit pour cela de remplacer chaque fois l inconnue x par la valeur du premier nombre Il en est ainsi pour tous les points de la courbe le deuxi me nombre est toujours fonction du premier via la formule 2x x que l on appelle par cons quent une fonction On la d signe traditionnel
6. l aire du total pes mW La formule de Stokes offre un calcul direct de l aire emprisonn e par une courbe qui se referme sur elle m me Pour le probl me de Kakeya o Pon est sans cesse confront de tels domaines c est donc la formule id ale Elle donne celui qui chemine le long d une telle courbe l aire totale qu il aura circonscrite en retrouvant le point de d part Cette for mule s av re tr s int ressante d un point de vue conceptuel puisqu elle r v le toute la force du lien qui existe entre le contour et l int rieur d une figure Elle donne un clairage pr cis sur un fait qui est relativement in tuitif conna tre le contour d une figure c est conna tre son int rieur La m thode de l arpenteur Fort de ce principe comment dans un cas concret obtenir l aire d une figure au moyen d un simple parcours le long de son bord Voyons cela sur une figure faite de carr s l mentaires et pour laquelle le calcul de l aire ne pose aucun probl me 70 LA FORMULE DE STOKES On peut en effet d terminer celle ci en comptant le nombre de carr s mais ce faisant on s attache l int rieur de la figure et non son contour et l on reste par cons quent dans l esprit de la m thode d int gration et non de la formule de Stokes Il existe cependant un moyen de d ter miner cette aire en oubliant compl tement l int rieur de la figure on se contente d arpenter son contour
7. un v ritable foisonnement d id es La plus belle d entre elles est due l intuition extraordinaire de Newton lorsqu il comprit que le syst me solaire est en r alit r gi par une qua tion diff rentielle la tr s fameuse loi fondamentale de la dynamique Cette d couverte qui fut largement c l br e en son temps est l origine de l id al d terministe pr n par Laplace il s av re en effet que si l on sait r soudre cette quation diff rentielle et si l on conna t la position et la vitesse de toutes les plan tes un moment donn alors il est th ori quement possible d en d duire leurs mouvements pr cis aussi bien dans les temps futurs que dans le pass Et la pr diction partir d une seule et unique loi de grands v nements astronomiques comme les clipses 98 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ou le passage des com tes a profond ment marqu les contemporains de Newton Ces pr dictions par le calcul toutes extraordinaires qu elles fussent concernaient en r alit des v nements relativement proches dans le temps Elles r sultaient en effet de la fameuse quation de Newton mais moyennant certaines approximations en particulier en faisant abstrac tion des corps peu influents quant l v nement que l on tudiait D s lors que l on a commenc r fl chir l volution du syst me solaire sur des temps longs o des influences m me tr s modestes peuvent la longue avo
8. 2 27556 x x2 1 40924 xx 0 70477 d rivation l l l f 2 27556 x2x 1 40924 x1 0 Cette d rivation ne diff re de celle effectu e plus haut que par la nature des nombres qui composent la fonction f Ces nombres ne sont plus en tiers mais comportent une infinit de chiffres apr s la virgule ce qui maf fecte en rien le processus de d rivation D autre part ce calcul est aussi l occasion de rencontrer une nouvelle r gle de d rivation un nombre isol tel 0 70477 se d rive en 0 L expression de f qui r sulte de ce calcul est donc f x x 4 551 1 409 Cette expression est gale z ro lorsque x vaut 0 309 qui est le quotient de 1 409 par 4 551 Ainsi la plus petite aire r alisable avec ce genre de figures a lieu lorsque la longueur de la pale est gale 0 309 Il suffit ensuite de calculer l aire de cette h lice gr ce la fonction f pour obtenir enfin Aire de la plus petite h lice 0 48649 Ce nombre est plus petit que 0 5 l h lice correspondante est donc effectivement plus petite que le carr qui nous a servi de point de comparaison Ce r sultat est cependant loin d tre d finitif il peut tre am lior substantiellement en rempla ant par exemple la famille des h lices par celle des h lices triangulaires celles dont la partie centrale est un triangle quilat ral A AS we La mise en ceuvre de la d marche pr c dente pour cette n
9. on peut prolonger ind finiment d ailleurs c est un segment que l on dessine et c est l imagination qui fait le reste Dans le cas du pentagone au lieu de ce prolongement par extension le travail de imagination proc de en un videment r it r ind finiment l int rieur de la figure Ajoutons qu en toute rigueur cette figure tout comme la droite ne devrait pas tre visible son aire tant nulle Par ce m me proc d on peut fabriquer toutes sortes d objets dont l aire vaut z ro en voici un form partir du triangle Aire 1 Aire 0 8125 Aire 0 66015 Aire 0 l oppos de ce proc d d videment on peut imaginer un proc d d extension En effet cette id e initi e par P ano d une ligne ind fini ment repli e et qui ne cesse de se recouper ou de se ramifier donne lieu certaines figures dont l aire reste gale z ro contrairement celle de P ano mais dont la structure est plus riche que celle d une courbe ordinaire En voici repr sent un exemple que l on nomme arbre de Pythagore Ici tous les l ments qui se succ dent ont une aire gale z ro pourtant la figure qui en r sulte d aire nulle galement a une allure tr s ressem blante celle du triangle ou du pentagone vid s Oublions maintenant le mode de fabrication et pr sentons quelques uns de ces objets d pourvus d aire que l on vient de d couvrir En premier lieu se trouve repr
10. portant trois portions similaires la delto de Au cours de ce mouvement tout se passe comme si l aiguille roulait sur chacune des trois portions de la courbe successivement Le long de son trajet elle semble ainsi pouser le contour de la figure et utiliser au mieux tout l espace disponible d 2 2 2 2 2 2 P p La formule de Stokes appliqu e au contour de cette delto de donne une aire gale soit 0 39269 Il est remarquable que cette valeur soit exac tement la moiti de laire de la premi re figure qui vient l esprit quand on aborde le probl me de Kakeya le disque ayant pour diam tre Pai guille En r alit la delto de est la plus conome en aire de toutes les figures construites jusqu pr sent Par sa sym trie par la fa on dont l aiguille la parcourt on peut penser que c est elle qui r pond au probl me de Ka keya Il ne s agit l que d une conjecture c est dire d un fait dont on a quelques raisons de penser qu il est vrai mais qui cependant reste d montrer Pour fixer les id es on d cide de l appeler la conjecture de la delto de La delto de est la meilleure figure quant au probl me de Kakeya De prime abord face une telle conjecture deux directions s offrent nous soit on est convaincu de sa v racit auquel cas on s attache en trouver une d monstration soit au contraire on en doute et on cherche alors un contre exemple Dans le
11. une forme de rupture invisible dans le passage de la ligne droite l arc de cercle m me si ceux ci sont plac s dans la plus grande continuit possible Seul le calcul diff rentiel permet de mettre en vidence cette rupture et pro pose des courbes autres que le cercle qui s enchainent parfaitement la ligne droite Contrairement l arc de cercle prolong par la droite ces nouvelles courbes dites deux fois d rivables impriment une grande r gularit a la trajectoire du train et assurent tout a la fois le confort des voyageurs et une moindre usure du mat riel Bien entendu cet exemple de la courbure des rails de chemin de fer n est pas unique et il existe de nombreux autres domaines d intervention du calcul diff rentiel dans notre quotidien En fait toute la technologie actuelle ne peut s en abs traire il s applique tr s concr tement dans la ma trise des processus industriels dans l optimisation des investissements et des productions bref partout o il est question de trouver les meilleurs compromis De fa con plus universelle le calcul diff rentiel est la source d une multitude d id es et de th ories nouvelles Pour ne citer qu un exemple il a permis l mergence d une nouvelle g om trie dite g om trie diff rentielle qui s est r v l e par la suite tre le cadre indispensable dans lequel Einstein a pu d velopper sa fameuse th orie de la relativit g n rale Alors que de g
12. une int grale Avanc e sur la question de Kakeya Le paradoxe du peintre La formule de Stokes La m thode de l arpenteur La d couverte de Stokes Avanc e sur la question de Kakeya Bulles de savon Les quations diff rentielles La delto de Enveloppe de droites Avanc e sur la question de Kakeya Billards 11 13 18 23 25 31 35 38 47 50 53 56 58 67 69 71 76 78 85 87 89 92 97 6 Sommaire Le th or me de Besicovitch Le probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les La construction de Besicovitch L nigme des domaines toil s La conjecture de Kakeya Le monde des objets d aire nulle Une nouvelle jeunesse pour la question de Kakeya La conjecture Perspectives De Kakeya aux nombres premiers L approche de Bourgain Bibliographie 107 109 111 117 121 123 129 133 137 138 147 157 Remerciements Nous remercions chaleureusement toutes les personnes qui nous ont soutenus r confort s et aid s dans ces longues ann es de r daction Sarah et Sophie Damien Gayet R gis Goiffon St phane Lamy Jean Fran ois Quint Didier Rulli re Bruno S venec Shalom Eliahou et Bruno Yvonnet qui a g n reusement pr t ses mains et ses outils pour la r alisation des pieds de chapitres Nous adressons galement tous nos remerciements a S bastien Maronne pour sa patiente relecture du livre et ses nombreux conseils Avant propos Ce livre est le r cit d une aventure
13. de la d couper en morceaux puis de faire se chevaucher les morceaux de mani re r duire son aire tout le probl me tant d obtenir une figure o la rotation de l aiguille reste possible Afin de faciliter la construction on commence par examiner le probl me de Kakeya non plus pour le demi tour complet de l aiguille mais pour une rotation plus modeste un huiti me de tour par exemple Il suffira in fine d accoler quatre exemplaires de la figure ainsi cr e pour que le retournement complet de l aiguille soit possible La surface balay e par l aiguille lorsqu elle effectue un huiti me de tour en pivotant sur l une de ses extr mit s est le secteur angulaire de 45 degr s dont l aiguille est le rayon il est repr sent ci dessous gauche AK Bien s r si on coupe ce secteur en deux et que l on superpose les deux moiti s on aboutit a une figure dont l aire est nettement plus petite mais qui ne permet plus de tourner l aiguille de 45 degr s En effet pour effectuer son huiti me de tour l aiguille devrait sauter de la position 112 LE THEOREME DE BESICOVITCH verticale la plus a gauche celle la plus droite Telle qu elle est repr sent e ici cette figure ne convient pas il faut donc la compl ter pour rendre possible le transfert d une position verticale l autre Or deux verticales tant n cessairement parall les ce probl me de d placement de l aiguille entre ces deux positions n
14. m me imparfaites ces repr sentations sont indispensables pour soutenir le raisonnement La premi re tape dans la d marche de Bourgain est justement de pr senter la figure de Besicovitch sous une forme o elle sera plus facilement manipulable Cela commence par deux remarques intuitives premi rement on peut se contenter pour d terminer la dimension de ne s int resser qu une portion de la figure Dans notre cas on choisit de pr server une portion qui ne contient que des aiguilles assez verticales Cela revient en gros conserver la moiti de la figure c est dire comme le montre l illustration ci dessous se restreindre la partie centrale de l arbre La seconde remarque est que la dimension est insensible une dila tation de la figure On peut donc indiff remment agrandir ou r tr cir celle ci sans que sa dimension n en soit affect e Si on se donne une bande bord e par deux droites horizontales comme celle repr sent e ci dessus dans l illustration du milieu il est possible d augmenter la figure de mani re ce que toutes les aiguilles qui la composent coupent 148 PERSPECTIVES cette bande de part en part Ceci est r alisable car on a justement pris soin pr c demment de ne consid rer que la portion de figure contenant des aiguilles assez verticales comme repr sent droite sur l illustration pr c dente On r duit de nouveau la portion de figure dont on tudie la dimension la zone
15. nom nes observ s pr c dem ment par exemple la relative conservation de certaines trajectoires Ainsi les lignes ondul es correspondent a des trajectoires qui ont t pr serv es a l image de celle repr sent e a gauche dans l illustration qui pr c de ce diagramme En revanche d autres trajectoires ne suivent plus des lignes r guli res mais errent anarchiquement dans des certaines zones brouill es du diagramme Par exemple la trajectoire repr sent e droite dans l illustration pr c dente correspond dans ce portrait de phase a la zone de flou qui entoure les deux courbes ovoidales Cette simple observation r v le un fait inattendu alors que dans le billard la trajectoire parcourait chaotiquement la totalit de l enceinte elle reste dans le portrait de phase confin e dans une zone certes brouill e mais d limit e et relativement proche de la courbe en forme de huit qu elle aurait suivie dans un billard non perturb Le d sordre caus par la perturbation n est donc pas total le portrait de phase permet d en circonscrire le contour et d en visualiser l ampleur Il faut cependant rester prudent dans l interpr tation de ce portrait de phase il r sulte en effet de calculs num riques effectu s par une ma chine Finalement la figure que l on obtient peut tre entach e d erreurs dues aux arrondis successifs dans les calculs Elle pourrait galement se r v ler trop incompl te pour refl ter la
16. on applique plus particuli rement cette proc dure la sph re de rayon R on obtient bien s r son aire qui est 477R Le d tail de ce cal cul se trouve dans l encart color de la page pr c dente Cette valeur aujourd hui bien connue porte en elle m me le fameux r sultat d Ar chim de En effet l aire de la sph re peut se d composer en un produit de facteurs sous la forme ATR 27R x 2R Cette criture montre que la quantit 47R repr sente galement laire d un cylindre de rayon R et de hauteur 2R c est dire aussi haut que large En effet ce cylindre a pour base un cercle de rayon R donc de p rim tre 2TR lequel p rim tre multipli par la hauteur 2R donne bien pour le cylindre une aire gale 47R Ainsi 47 R repr sente tout aussi bien l aire de la sph re de rayon de R que celle de son cylindre circonscrit Les aires de la sph re et du cylindre qui l entoure sont gales tranche tranche nl TI LE THEOREME D ARCHIMEDE 43 Comment obtenir laire de la sph re a partir de son volume Tout repose sur la d termination d une fonction f qui donne le volume d une couche de peinture selon son paiseur On commence donc par recouvrir une sph re de rayon 1 d une couche de peinture d paisseur x On applique une couche de peinture OF Au premier abord le volume de la couche de peinture peut sembler tout aussi in accessible que l aire que l on recherche L
17. ponse semble aller de soi Mais les apparences sont trompeuses Loin d tre vidente cette question s av re en r alit riche et profonde et pour peu qu on se laisse guider son exploration conduit au coeur des math matiques les plus modernes Cette question si simple a t pos e pour la premi re fois au d but du XX si cle par le math maticien japonais S ichi Kakeya Quelle est la plus petite surface l int rieur de laquelle il est possible de d placer une aiguille de mani re la retourner compl tement De fa on plus concr te c est comme si Kakeya consid rant une aiguille pos e devant lui sur sa table de travail se demandait comment dessiner la plus petite zone possible l int rieur de laquelle il pourrait faire glisser cette aiguille jusqu a ce qu elle se retrouve dans sa position initiale la t te prenant la place de la pointe La premi re r ponse qui vient l esprit est le disque dont l aiguille serait le diam tre et qu une simple rotation suffirait alors a renverser compl tement Aussi surprenant que cela puisse paraitre cette solution l gante et simple ne r pond pas la question de Kakeya il existe d autres fa ons de d placer l aiguille qui balaient de plus petites surfaces Par exemple au lieu de faire tourner l aiguille autour de son centre on lui fait effectuer des rotations successives autour de ses extr mit s Une figure se dessine alors d elle m me le t
18. une boule est r duite une succession de points chacun de ces points donnant la position et langle d un rebond est un portrait de phase dans le cas pr sent c est celui du billard circulaire Bien entendu cette repr sentation est moins naturelle que le dessin naif des trajectoires mais elle offre l avantage d en r v ler les propri t s cach es Quel serait maintenant le portrait de phase du billard elliptique Contrairement au cas du cercle l angle de rebond varie au cours du mouvement et la s rie de points qui symbolise la trajectoire dans le portrait de phase ne sera plus dispos e sur une horizontale Une tude approfondie montre n anmoins que ces trajectoires demeurent sur des courbes d une grande r gularit quelques unes d entre elles sont 102 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES repr sent es dans le diagramme ci dessous On retrouve en particulier un ph nom ne d j observ plus haut les trajectoires se divisent en deux types celles qui sont confin es sur le bord du billard et qui cor respondent aux courbes ondul es en haut et en bas du diagramme et celles qui forment un faisceau vertical au centre du billard et qui corres pondent aux courbes de forme ovo dale Ces derni res sont associ es entre elles deux par deux de la fa on la plus vidente qui soit une courbe situ e gauche dans le diagramme correspond son sym trique situ droite La trajectoire de la boule ira visiter alternative
19. veloppe fa q f x x 1 fx 0 1 En r alit toutes les droites de l enveloppe sont aussi solutions R soudre le pro bl me de l querre c est dire trouver la courbe enveloppe d une s rie de droites c est aussi choisir la bonne fonction parmi toutes celles qui satisfont une cer taine quation diff rentielle Ici cette bonne fonction est la parabole x 94 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Cette nouvelle figure est elle plus conome que la delto de Il suffit pour le savoir de calculer son aire et de comparer Cette figure tant compo s e de deux moiti s identiques on peut se contenter de calculer l aire d une seule de ces moiti s celle de droite par exemple Si comme cela est indiqu dans l avant derni re illustration on appelle f la fonction de la courbe enveloppe laire sous cette courbe se calcule au moyen d une simple int grale selon la formule aire D i Comme d habitude le calcul de l int grale n cessite de conna tre l ex pression de f Les lignes qui suivent donnent sans entrer dans le d tail des calculs les grandes tapes qui conduisent cette fonction f La pre mi re d entre elles consiste en la d termination d une quation diff ren tielle Par un raisonnement g om trique similaire celui du paragraphe pr c dent on obtient l quation f y1 f Cette quation peut sembler bien compliqu e mais cela ma ici aucune importance l e
20. 3 on le retrouve en faisant des moyennes entre des l ments de et de B comme le montre le dessin ci dessus Par exemple sur l aiguille la plus gauche le point A est rep r par sa position sur l horizontale il se trouve deux unit s d une origine choisie arbitrairement Le point B de l aiguille lui est six unit s le point C qui est au milieu de A et de B se trouve donc quatre unit s ce qui est la demi somme de deux et de six De la m me fa on chaque l ment de s obtient en effectuant une demi somme d l ments de 7 et de B LAPPROCHE DE BOURGAIN 153 Pourquoi introduire un tel ensemble alors que ce sont les ensembles 4 et B dont on veut estimer la vitesse de croissance avec l espoir qu elle soit la plus grande possible Une id e souvent fructueuse pour r soudre une question math matique est de supposer l inverse de la conclusion esp r e puis de travailler sur le probl me jusqu mettre en vidence des l ments en contradiction avec cette supposition Ici sil on imagine que les ensembles et Z ont une croissance lente alors c est justement de la consid ration de l ensemble que va na tre la contradiction Cepen dant le cheminement qui y conduit est une des parties les plus d licates de la d monstration il est fond sur un th or me des math matiques qui donne une liaison entre le nombre d l ments de de Z et de d une part et le nombre d aiguilles d
21. DE STOKES hauteur L pa 9 2D 3D 3D 4D La hauteur en question doit tre en dehors de l espace d origine elle peut tre vue comme une fl che pointant angle droit hors de la page du livre Dans un tel espace qui sort du cadre de la page la repr sentation d un objet reste donc tr s d licate puisqu au final il faudra bien revenir sur la feuille pour le dessiner Dans les figures ci dessous on a repr sent un cercle une sph re et une hypersph re l analogue de la sph re pour la quatri me dimension Force est de constater que la repr sentation de cette derni re n est pas tr s clairante D ea Cercle Sph re Hypersph re Le lien qui unit ces trois objets est leur d finition m me seul l espace dans lequel ils sont consid r s change En effet chacun d eux est com pos des points qui sont quidistants d un m me point central En dimension 2 cela donne un cercle en dimension 3 une sph re et pour la quatri me dimension une hypersph re Comment donner mainte nant une repr sentation de l hypersph re qui soit plus loquente Pour r pondre cette question il est crucial de remarquer que ce n est pas tant l espace quatre dimensions qui pose probl me mais plut t le pas sage de la troisi me la quatri me dimension c est dire l ajout d une dimension Or ajouter une dimension est une op ration que l on peut ais ment r aliser dans
22. Th or me de Besicovitch Il est possible de retourner une aiguille dans une aire aussi petite que l on veut Ce r sultat va au del de tout ce que l on pouvait esp rer pour ce qui est de l amenuisement de la figure tel point qu il en devient difficile croire Que dit il au juste Il signifie que si l on se donne une aire m me toute petite par exemple gale 0 1 alors il existe une figure dans la quelle l aiguille peut se retourner et dont l aire vaut 0 1 de m me pour 0 01 pour 0 001 etc Au bilan l aire envisag e si minuscule soit elle est celle d une figure o le retournement a lieu Le probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les Il semble compl tement paradoxal qu il soit possible de d placer une aiguille dans une aire aussi petite que l on veut Pour mieux comprendre ce ph nom ne d routant on va le mettre en vidence dans une variante bien plus l mentaire du probl me de Kakeya celle des aiguilles pa rall les On prend cette fois comme situation de d part deux aiguilles plac es parall lement et on se demande simplement comment passer de l une l autre en couvrant le moins d espace possible La premi re so lution qui vient l esprit prend la forme d un parall logramme il s agit d un simple glissement de l aiguille que l on maintient bien parall le tout au long du mouvement Ce d placement est repr sent gauche dans l illustration ci dessous Dans le cas t
23. ainsi que la plupart des r compenses scientifiques dont le prix Nobel sont g n ralement d cern es aux savants vers la fin de leur carri re Pourtant bien souvent les grandes d couvertes en particulier en math matiques sont le fait de tr s jeunes gens Newton et Leibniz d couvrent le calcul diff rentiel l ge de 23 et 29 ans respectivement Et ce ne sont pas des cas isol s Descartes qui les a pr c d s n a que 23 ans lorsqu il pr sente son principe de g om trie analytique et Lindemann en a tout juste 30 lorsqu il d montre la fin du XIX si cle l impossibilit de la quadrature du cercle Plus pr s de nous Einstein publie pour la premi re fois sa th orie de la relativit l ge de 26 ans De nos jours c est souvent l apanage de personnes jeunes que d enle ver les questions math matiques laiss es par leurs a n s Et d ailleurs contrairement ce qui a lieu dans les autres sciences la plus haute distinction en math matiques savoir la m daille Fields a t con ue pour r compenser de jeunes personnes elle ne peut tre attribu e qu des scientifiques dont l ge ne d passe pas 40 ans Ce prix cr par le math maticien Fields est l quivalent du prix Nobel en math ma tiques Il est d cern depuis 1936 et r compense tous les quatre ans des math maticiens qui ont fait des d couvertes de premi re importance 24 LA DERIVATION La moyenne d age des laur ats
24. carr en trois parts gales Cet l gant partage dont l origine remonte Archi m de fait intervenir une courbe bien connue depuis l Antiquit la parabole Cette courbe l instar de la cycloide est l une des plus l men taire qui puisse se concevoir elle repr sente la fonction x et sa forme est celle d une cuvette En disposant judicieusement deux paraboles comme dans le dessin ci dessous on r alise un partage quitable du carr en trois parts parabole x cercle Le second dessin montre que ce partage r alis avec des arcs de cercles conduit trois parties d aires in gales En revanche les calculs men s LE PARTAGE D ARCHIMEDE 51 par Archim de permettent de montrer que le partage du carr avec deux paraboles engendre des aires rigoureusement identiques Le probl me se r sume s assurer que l aire de chacune des trois pi ces de ce puzzle vaut l aire totale du carr tant 1 Or on observe dans ce partage que les deux pi ces de couleur claire ont la m me aire par la sym trie de la figure Il suffit donc de montrer que l aire de l une de ces deux pi ces vaut pour qu il en soit de m me pour la seconde la pi ce centrale occupant alors le tiers restant du carr Toute la difficult consiste donc d terminer l aire de la partie situ e sous la parabole x c est dire sous une courbe qui n est ni un cercle ni une droite et pour laquelle les formules l mentaires du calcul de
25. cas de la conjecture de la delto de un tel contre exemple prendrait la forme d une figure plus petite que la del to de permettant n anmoins la rotation de l aiguille On propose d en construire un dans les lignes qui suivent ENVELOPPE DE DROITES 89 Enveloppe de droites Dans la deltoide et contrairement a toutes les figures pr c dentes l aiguille pouse dans son mouvement la courbe qui d limite le do maine Pour cette raison ce domaine para t plus conomique quant l aire qu il occupe On se propose de poursuivre dans cette m me veine et de rechercher des courbes qui collent ainsi au mouvement de l aiguille Une aiguille que l on fait glisser sur le plan en un mouvement continu dessine naturellement une courbe qui suit ce mouvement Les diff rentes positions de l aiguille peuvent tre vues comme autant de droites et la courbe ainsi cr e s appelle l enveloppe de toutes ces droites On voudrait maintenant employer ce type de courbes la construction de nouvelles figures aptes r pondre au probl me de Kakeya Jusqu pr sent on partait toujours du domaine l int rieur duquel on essayait de retourner l aiguille On se donne maintenant le mouvement de l ai guille comme point de d part et on se demande quelle est la figure qui l pouse le mieux possible Chacune des droites c est dire chaque position de l aiguille touche la courbe en un certain point Cela signifie que si l on regarde
26. d empiler les cercles qui composent ce film le long de la troisi me dimension de fa on re construire la sph re initiale LEC Des F De la m me mani re si on imagine une hypersph re qui traverse notre espace trois dimension le film obtenu est alors le suivant Lhabitant d un monde quatre dimensions pourrait sans peine empiler les sph res qui composent ce film le long de la quatri me dimension afin de reconstruire l hypersph re dans son int gralit et appr hender cet objet globalement Exactement comme cela se passe en dimension deux et trois il verrait un objet final qui englobe une partie de l espace am biant quatre dimensions Dans notre monde trois dimensions ce film 84 LA FORMULE DE STOKES constitue une repr sentation fid le de l hypersph re et offre ainsi une vue sur la quatri me dimension Plus que cela il montre que les objets qui habitent dans la quatri me dimension ne sont pas inaccessibles Les math maticiens savent cela depuis fort longtemps c est pourquoi ils ne limitent pas leurs raisonnements aux dimensions 2 et 3 mais envisagent galement la dimension 4 et les dimensions plus grandes Sans entrer dans l examen de ces grandes dimensions on peut simplement noter que le passage d une dimension la suivante est exactement analogue au passage de la dimension 2 a la dimension 3 Chaque dimension a son hypersph re qui peut se voir c
27. d une loi fondamentale les trajectoires des plan tes autour du soleil Plus encore elle a montr que la connaissance un instant donn de la position et de la vitesse de chaque plan te suffit pr dire leur trajectoire ad vitam aeternam Au XVIII si cle d bute alors une p riode de foi absolue en l id al d terministe il s agit de traduire chaque ph nom ne naturel sous forme d quations diff rentielles lesquelles permettent ensuite partir d une situation donn e de d crire l volution dudit ph nom ne pour tous les temps futurs et pass s La phrase c l bre du grand math maticien et philosophe Pierre Simon Laplace t moigne de l espoir immense suscit par ces d couvertes La courbe d crite par une simple mol cule d air ou de vapeur est r gl e d une mani re aussi certaine que les orbites plan taires Une intelligence qui pour un instant donn connaitrait toutes les forces dont la nature est anim e et la situation respective des tres qui la composent si d ailleurs elle tait assez vaste pour soumettre ces donn es l analyse embrasserait dans la m me formule les mouvements des plus grands corps de l univers et ceux du plus l ger atome rien ne serait incertain pour elle et l avenir comme le pass serait pr sent ses yeux 86 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Depuis son origine ce programme n a cess de conna tre des succ s spectaculaires Un des plus marquants est peut
28. d occuper toutes les directions au lieu d exiger son retournement on se laisse beaucoup plus de libert quant au choix de la figure Dans ces conditions le probl me de Kakeya s nonce de la fa on suivante Nouveau probl me de Kakeya Existe t il une figure de plus petite aire qui contienne l aiguille dans toutes ses directions Autrement dit au lieu d une figure permettant le retournement de l aiguille on se contente d une figure dans laquelle on puisse placer 132 LA CONJECTURE DE KAKEYA Vaiguille dans nimporte quelle direction du plan Ainsi lib r es de la continuit du mouvement les figures de Besicovitch peuvent tre d bar rass es de tous les l ments n cessaires a cette continuit c est a dire des fameuses antennes responsables de leur extension verticale Ces nouvelles figures qui r pondent au nouveau probl me de Kakeya demeurent cette fois confin es dans un domaine bien delimit elles ne s tendent plus linfini YYY Ainsi lagu e cette suite maboutit malheureusement pas davantage mais Besicovitch en a construit une seconde tr s similaire dans sa conception et qui cette fois conduit bien une figure finale La repr sen tation qui en est donn e ci dessous a peu voir avec la r alit mais sert uniquement fixer les id es cause de son extr me complexit la figure finale mest pas dessin e elle a le m rite d exister et cela nous suffit Avec elle l aire la p
29. de peinture choisie plus la couche est fine plus ce quotient s approche de laire r elle de la surface ondul e qui n est autre que celle du rectangle On retrouve exactement cette LE THEOREME D ARCHIMEDE 41 aire en calculant la valeur de ce quotient la limite quand la couche de peinture devient de plus en plus fine D une mani re condens e on crit i volume de la couche de peinture Aire limite paisseur de cette couche le mot limite signifiant que l on prend la valeur vers laquelle tend ce quotient lorsque la couche de peinture se fait de plus en plus mince Le rapport du volume par l paisseur qui fournit l aire du rectangle donne pour des objets dans l espace un r sultat qui varie selon la couche de peinture c est pourquoi il est n cessaire de prendre la limite de ce rapport pour acc der l aire On obtient ainsi une formule universelle qui permet de calculer l aire d objets de l espace comme la sph re ou la surface ondul e Maintenant si l on se souvient de ce qui a t fait plus haut concernant la pente d une courbe une analogie appara t volume distance verticale Pente d une droite paisseur Aire diuniobjenplani distance horizontale volume distance verticale paisseur Aire objet de l espace limite Pente d une courbe limite distancehotimontale Bien que l aire et la pente soient deux notions math matiques premi re vu
30. de surmonter cette difficult En effet cette fonction d riv e embrasse elle seule toutes les pentes en tous les points de la courbe en particulier elle donne acc s aux points pr cis o cette pente s an nule quoi pourrait bien ressembler une fonction capable d une telle prouesse Concr tement elle se pr sente comme une expression math matique c est dire une formule faisant intervenir une inconnue x et diff rents symboles math matiques On passe donc d un probl me purement g om trique un probl me de courbe et de pentes une for mule contenant une inconnue La clef de ce passage tient l existence d un lien cach entre les objets g om triques et les formules math ma tiques La d couverte de Descartes La mise en vidence de ce lien cach est l uvre de Ren Descartes et elle est aujourd hui consid r e comme l une des plus grandes d cou vertes de l histoire des sciences Pourtant au d but du XVII Descartes 32 LA DERIVATION lui m me n accorde que peu d importance celle ci elle repr sente un outil pour r soudre tous les probl mes g om riques h rit s de la g om trie des anciens Il faut dire que le projet de Descartes est d me sur il s agit de construire rien moins qu une mathesis universalis une math matique universelle qui tendrait son pouvoir tous les domaines de la connaissance humaine La r alisation de ce projet va occuper une grande p
31. droites Ces longueurs s valuent en comptant des points r guli rement r partis sur lesdites zones Dans le dessin ci dessous voir p 152 on d nombre six points au niveau sup rieur et seulement quatre au niveau inf rieur la diff rence tant due aux intersections entre les rectangles Les points du haut sont r unis en un ensemble que l on ap pelle et ceux du bas en un autre ensemble B A mesure que l on ap proche l ensemble de Besicovitch par des rectangles de plus en plus fins donc de plus en plus nombreux les ensembles et 4 vont contenir un nombre de points de plus en plus grand mais toujours inf rieur ce lui des rectangles cause des multiples intersections que ces derniers forment entre eux Tout le probl me est ensuite d estimer la fa on dont les ensembles et Z grandissent plus leur croissance est rapide plus la dimension sera grande LAPPROCHE DE BOURGAIN 151 Dimensions fractales Le terme de dimension fractale recouvre plusieurs fa ons diff rentes de g n rali ser la notion de dimension Lune d entre elles qui porte le nom de dimension de Hausdorff est au coeur de ce chapitre Nous allons en donner une id e informelle Le point de d part consiste recouvrir l objet dont on veut d finir la dimen sion par des objets dont on contr le la taille par exemple des disques si on est dans le plan ou des sph res pleines si on est dans l espace Dans les illustra tions
32. en effectuant quelques additions et soustractions simples 12345 67 Le long du parcours on effectue une addition ou une soustraction a chaque ar te verticale rencontr e chacune d entre elles tant num ro t e selon sa position en horizontale comme l indiqu dans l illustration de gauche A titre d exemple et avec un d part au point A la proc dure se d roule de la fa on suivante la premi re ar te est horizontale elle compte z ro on monte ensuite d une case sur la verticale n 2 on compte 1 x 2 puis vient une horizontale comptant 0 puis la verticale n 3 descendante de longueur 2 on compte 2 x 3 la suivante qui est horizontale compte 0 la verticale en n 4 monte de trois cases compte 3 x 4 etc On additionne le tout le nombre obtenu donne l aire de la figure Aire 2 6 12 5 7 6 2 2 12 Ce r sultat s av re tre galement le nombre de carreaux qui composent la figure Ainsi on a bien obtenu l aire du domaine partir de donn es recueillies le long du contour En fait il est possible de d montrer que LA DECOUVERTE DE STOKES 71 cette d marche peut s adapter n importe quelle figure compos e de carreaux et qu elle donne effectivement son aire Pour la suite on d cide de l appeler la m thode de l arpenteur Comment passer a des cat gories beaucoup plus larges de formes qui se raient d limit es non plus par une succession de petit
33. en particulier dans un billard qui serait une ellipse parfaite une r gularit appara t et se fait de plus en plus pr sente au fur et mesure des rebonds de la boule De mani re surprenante il semble qu une barri re invisible interdise la boule de s aventurer l int rieur du billard cette barri re invisible n est autre que la courbe enveloppe de la trajectoire Elle devient de plus en plus vidente avec le nombre des rebonds et rev t ici la forme d une ellipse Cette courbe enveloppe qui partage ainsi l int rieur du billard est ce que les math maticiens appellent une caustique elle signe invariablement la pr sence de r gularit dans le syst me tudi Ici cette r gularit provient de la forme g om trique de l enceinte du billard qui est une ellipse parfaite Une telle ellipse poss de en effet nombre de propri t s exceptionnelles qui forcent les trajectoires rester confin es dans des zones bien pr cises du billard Toutefois ces zones ne sont pas 100 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES n cessairement des corridors elliptiques elles peuvent aussi prendre une autre forme comme le montre l illustration suivante Ty INA A Dans ce cas le domaine dans lequel la boule est prisonni re est d limit par deux courbes les deux branches d une hyperbole et l encore ce sont les propri t s remarquables de l ellipse qui sont a l origine de ce ph nom ne Comment s op r
34. et la r alisation ou non de ce mur paradoxal va d pendre de la fonction que l on choisit Lun des choix les plus simples que l on puisse faire est LE PARADOXE DU PEINTRE 59 de prendre la fonction l inverse du carr c est dire celle dont l expres sion s crit f Le dessin ci dessous en donne sa courbe repr senta tive et le mur correspondant f 1 b Il s agit bien d une courbe qui d croit rapidement la raison en est la sui vante plus le nombre x est grand c est dire plus on est droite sur l horizontale plus son inverse est petit Et cet effet est encore accen tu quand le nombre x en question est lev au carr comme c est le cas ici On d cide arbitrairement que le mur d bute lorsque x 1 et qu il se prolonge ind finiment le long de l axe horizontal Tout le probl me est maintenant de calculer son aire La longueur du mur tant infinie il est n cessaire d effectuer ce calcul avec pr caution Imaginons pour com mencer qu au lieu d tre infini ce mur s arr te a une certaine valeur de x valeur que l on d cide de nommer b Laire de la tranche de mur com prise entre 1 et b peut alors tre d termin e au moyen du calcul int gral Pr cis ment il s agit du nombre b K D apr s la formule d int gration le calcul de ce nombre se r sume la simple d termination d une primitive c est dire d une fonction F dont la d riv e est la fonction f Ici cet
35. fonctions X et Y sont habituellement appel es courbes param tr es et en r gle g n rale l inconnue x qui repr sente en fait chaque instant du parcours est not e f et par cons quent les fonctions X et Y de la boucle s criraient res pectivement t t et 1 12 A l instant t 0 on se trouve donc au LA DECOUVERTE DE STOKES 75 point de coordonn es X 0 et Y 1 c est dire au sommet de la courbe au temps t 1 on atteint le point X 0 et Y 0 qui est le n ud de la boucle o l on se trouvait galement l instant t 1 Plus qu une simple courbe c est un d placement au fil du temps que d finissent les fonctions X et Y Cette d finition para m tr e des courbes int gre donc naturellement la notion de mou vement elle est donc particuli rement adapt e l application des grandes lois de la physique qu il s agisse de la course des plan tes ou d une trajectoire de particule relie les deux formules Ce lien qui n est pas vident au premier abord appara t plus clairement dans le tableau ci dessous M thode de l arpenteur Formule de Stokes on distingue parcours horizontal on code en deux fonctions X et Y et vertical on multiplie 4 chaque pas une on multiplie la fonction X par position X par une diff rence la d riv e Y d altitude on fait la somme le long du on fait une somme int grale parcours le long du parcours En particuli
36. grossissement pr s tous identiques Ae d Dans le cas d une courbe les choses se compliquent en effet ledit rapport ne sera pas syst matiquement le m me sauf a prendre une courbe en ligne droite Lexemple qui suit montre d ailleurs a quel point les triangles qui mat rialisent ce rapport peuvent tre dissemblables B B B A A A Impossible donc de parler dans l absolu de pente pour une courbe comme on peut le faire pour une droite Comment concilier malgr tout cette notion de pente telle qu elle s offre nous dans la vie de tous les jours avec ces courbes que l on d sire tudier Comme souvent en math matiques c est une id e simple qui va nous donner la clef Avant d en venir cette id e on peut reconsid rer en d tail l illustration pr c dente et constater en premier lieu que les triangles color s seraient moins dissemblables si la courbe ressemblait davantage une droite En second lieu on observe que plus les points choisis sont proches l un de l autre plus la courbe qui les joint ressemble une droite L id e est donc de rapprocher le point B au plus pr s du point A pour calculer le quotient de la distance verticale sur la distance horizontale 30 LA DERIVATION B A A A quotient 1 5 quotient 1 75 quotient 1 9 Si on poursuit le d placement du point B vers le point A les valeurs 1 99 1 999 1 9999 apparaissent ces nombres se rapprochant aussi pr s
37. jour entre le probl me de Kakeya et la r par tition des nombres premiers Ce lien n a pas permis la r solution de la conjecture mais a ouvert la voie une nouvelle fa on d aborder le pro bl me et a conduit les math maticiens Jean Bourgain Nets Katz Izabella Laba et Terence Tao a une solution partielle De Kakeya aux nombres premiers La branche des math matiques qui tudie les nombres entiers est ap pel e l arithm tique Une question centrale de cette science est celle de la compr hension des nombres premiers Les nombres premiers sont les nombres qui ne se divisent que par eux m mes et par un ils sont inscrits en gras dans la liste ci dessous 1234567891011 1213 1415 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Par exemple le nombre 15 qui peut s crire 3 x 5 n est pas un nombre premier alors que 7 en est un Le nombre 1 par convention n est pas premier On sait depuis Euclide qu il existe une infinit de nombres premiers mais cette infinit n est pas r guli rement r partie Il y a 168 nombres premiers entre 0 et 1000 il en reste 106 entre 10000 et 11000 et seulement 75 entre 1000000 et 1001000 Le ph nom ne de rar faction des nombres premiers que l on observe ici se poursuit ind finiment La d monstration rigoureuse de cette observation fut un grand probl me de l arithm tique du XIX si cle elle a finalement t r solue en 1896 par Jacques H
38. l espace ordinaire par exemple c est pr cis ment ce qui est fait dans les dessins ci dessus lorsque l on passe du cercle la sph re Un examen attentif de ce passage va permettre d aboutir l hypersph re par simple analogie Si avec un effort d imagination on con oit un personnage virtuel vivant dans un espace deux dimensions c est dire un tre sans paisseur et compl tement inclus dans le plan celui ci serait alors dans l incapacit de voir la sph re qui vit quant elle dans l espace de dimension 3 Cet tre imaginaire serait confront BULLES DE SAVON 83 en dimensions inf rieures a la difficult que l on peut prouver conce voir l hypersph re partir de la dimension 3 Il existe cependant un moyen pour ce personnage fictif de se faire une id e pr cise de la sph re a condition que celle ci entre en contact avec le plan ow il vit Plus pr cis ment il faut que la sph re traverse progressivement l espace plat o habite le personnage Elle s offrirait alors lui comme une succession continue de cercles wm 2000O0 Voici donc pour un habitant de la deuxi me dimension une mani re de voir la sph re un film qui se d roule et sur lequel appara t un cercle qui grossit puis r tr cit avant de dispara tre Ce proc d de repr senta tion est appel cin ma par les math maticiens Pour nous qui voluons dans un espace trois dimensions il est possible
39. la somme des aires de chacun des rectangles qui la composent il suffit donc de savoir calculer l aire d un rectangle quelconque ce qui est tr s facile titre d exemple l aire du rectangle le plus fonc est 0 2 x 0 16 pour la petite palissade et 0 2 x 0 36 pour la grande en r p tant ce calcul aux autres rectangles on obtient au final Aire de la petite palissade cinq lames 0 24 Aire de la grande palissade cinq lames 0 44 Ainsi laire du domaine se situe entre les valeurs 0 24 et 0 44 Dans le tableau qui suit ce m me calcul des aires des petite et grande palissades est r p t avec un nombre de lames de plus en plus grand les valeurs deviennent alors de plus en plus proches l une de l autre Petite palissade Aire du domaine Grande palissade dix lames 0 285 0 0 385 cent lames 0 32835 0 3____ 0 33835 mille lames 0 33283 0 33___ 0 33383 dix mille lames 0 33328 0 333__ 0 33338 Laire de la partie color e sous la parabole de la premi re illustration n a d autre alternative que de valoir 0 33333 c est dire de cette suite d approximations de plus en plus fines r sulte bien une valeur exacte Puisque cette valeur est justement un tiers la d coupe du carr selon des paraboles divise bien ce dernier en trois parties d aires gales QU EST CE QU UNE INT GRALE 53 Qu est ce qu une int grale Cette m thode des palissades n est pas sp cifique l exemple pr c d
40. m Une pente de 7 c est dire de i signifie qu a un d placement ho rizontal de 100 m tres correspond un d placement vertical de 7 m tres Bien entendu pour mesurer cette pente il n est pas n cessaire de par courir une distance de 100 m tres importe quel d placement suffit Par exemple un d placement de 50 m tres correspond en verticale une mont e de 3 5 m tres La pente sera tout simplement le quotient du d placement en verticale par le d placement en horizontale En math matique contrairement aux panneaux de signalisation routi re on fait la diff rence entre une route montante comme celle repr sent e ci dessus et une route de m me inclinaison mais qui serait descen dante auquel cas on affecte la pente d un signe n gatif De plus comme la route figure naturellement une droite on pr f re parler de la pente d une droite Cette pente ne d pend pas de l endroit o on la mesure si l on place deux points A et B sur une droite le rapport entre leurs carts en verticale et en horizontale est toujours le m me Ce fait bien vident nest qu une d clinaison du fameux th or me de Thal s On crit distance verticale de A B Pente de la droite _ _________ distance horizontale de A a B QU EST CE QU UNE D RIV E 29 et ceci pour nimporte quels points A et B choisis sur la droite Cela signifie en particulier que les triangles color s de l illustration suivante sont
41. math matique qui a pour point de d part une question apparemment anodine pos e au d but du XX si cle par le math maticien S ichi Kakeya et qui s est r v l e beaucoup plus profonde qu elle n y paraissait Apr s un si cle d avanc es math ma tiques le probl me pos par Kakeya est toujours l et il mobilise encore l attention de grands math maticiens Cet ouvrage pr sente les r ponses successives apport es au cours du temps Chacune de ces r ponses donne l occasion de d couvrir une nouvelle notion math matique replac e dans un contexte historique et illustr e par une application remarquable En fin d ouvrage nous abordons les recherches les plus r centes sur cette question en montrant le lien surprenant qui unit le probl me de Kakeya la th orie des nombres Nous avons souhait offrir au lecteur la possibilit de comprendre de fa on plus approfondie les notions expos es sans n anmoins rebuter le n ophyte Aussi pr sentons nous dans le corps du texte les formules qui expriment les notions math matiques convoqu es et dans des encarts s par s leur utilisation plus technique Cet ouvrage qui se veut une introduction aux grandes id es du calcul diff rentiel est accessible un lyc en int ress par les math matiques mais aussi un public adulte d sireux de s y replonger Le lecteur pourra travers les connaissances pr sent es faire le lien avec celles qu il a pu acqu rir au lyc
42. n anmoins suffisamment de place pour que l on puisse y retourner une aiguille Pour obtenir de telles figures qui ne recouvrent aucune surface tout en tant moins rudimentaires qu une simple ligne il existe un proc d tr s direct qui consiste en une suite de figures dont laire s amenuise par videments successifs jusqu l annulation Plus pr cis ment on r it re l infini une m me op ration d videment d cid e au d part Contrairement ce que pourrait laisser penser l intuition et en d pit du nombre infini d tapes l objet initial n a pas forc ment disparu il peut en rester une trace qui est alors un objet d aire nulle Aire 1 Aire 0 82498 Aire 0 68059 Aire 0 Dans l illustration ci dessus l objet initial est un assemblage de penta gones et l op ration d videment consiste remplacer chaque penta gone par une r duction ad hoc de la figure de d part Lobjet qui en r sulte en poursuivant ce proc d ind finiment a une aire gale a z ro A chaque tape l aire des constructions interm diaires est de plus en plus petite et a la limite elle vaut z ro Lobjet final tant le fruit d une infinit d tapes l esprit a du mal le concevoir dans sa totalit Cette situation se rencontre fr quemment en math matiques y compris pour 126 LA CONJECTURE DE KAKEYA les objets les plus simples une droite par exemple se con oit men talement comme un segment que l
43. on monte de deux etc Dans le cas d une boucle les mouvements ont lieu simultan ment et de fa on continue Si l on d sire repr senter chacun de ces deux mouve ments il appara t deux courbes c est dire en fait deux fonctions que 72 LA FORMULE DE STOKES l on appelle X et Y La figure ci dessous repr sente le d placement en horizontale c est a dire la fonction X lors du parcours d une courbe en forme de boucle X augmente X diminue X augmente temps La courbe la plus a droite reproduit la variation de X au cours du temps cette courbe monte puis descend puis remonte comme le fait X dans les trois premiers dessins En verticale le d placement se r sume a deux mouvements l un montant l autre descendant la courbe qui en r sulte a la forme d une parabole renvers e Y augmente diminue temps Ces fonctions X et Y vont jouer par la suite un r le crucial car ce sont elles qui interviendront dans la formule de Stokes et qui permettront de calculer l aire englob e par la courbe Les fonctions X et Y ont aussi un autre r le elles forment un codage de la boucle autrement dit la donn e de ces deux fonctions permet de reconstituer la courbe initiale elles la d crivent compl tement Dans le cas d une figure en escalier l application de la m thode de l arpenteur n cessitait une connaissance pas pas de son contour Dans le cas de la boucle cette connaissance pr cise du con
44. permet de prendre de la hauteur par rapport ce probl me puisqu il r pond une question plus g n rale peut on trouver un peu de structure dans des ensembles tr s d sordonn s Sous une condition tonnamment faible une densit qui n est pas gale z ro la r ponse est affirmative Il suffirait donc d tre capable de montrer que la densit des nombres premiers n est pas z ro pour en d duire automatiquement l existence de progressions arithm tiques de toutes longueurs Il s av re toutefois que l ensemble des nombres premiers a une densit gale z ro c est un r sultat c l bre connu depuis 1808 et que les math maticiens appellent le th or me de rar faction de Legendre Et pr cis ment le th or me de Sz m r di ne dit rien sur les ensembles dont la densit vaut z ro de tels ensembles DE KAKEYA AUX NOMBRES PREMIERS 145 peuvent tr s bien contenir des progressions arithm tiques ou n en contenir aucune Par cons quent au moyen du th or me de Sz m r di on ne peut rien conclure sur la r gularit de l ensemble des nombres premiers Quels sont malgr tout les enseignements que l on peut tirer de cette tude Tout d abord un renversement de perspective plut t que de se focaliser sur l ensemble des nombres premiers on travaille sur tous les ensembles qui contiennent des progressions arithm tiques et on se demande si celui des nombres premiers en fait partie Ce renvers
45. pr cieux cette somme infinie aboutit une valeur finie un r sultat nullement vident en soi En effet le calcul int gral a d j per mis plus haut de d terminer que l aire du mur infini occupant toute la partie situ e sous la courbe est pr cis ment gale 1 Par cons quent l escalier infini qui est tout entier contenu dans cette zone a une aire inf rieure 1 Apr s ajout du premier terme provisoirement occult la conclusion tombe d elle m me Lan l 1 1 l Po Pie los ac est plus petit que 2 Cette somme tant inf rieure 2 elle est donc finie Ce fait n est pas du tout une vidence et c est le calcul int gral qui en fournit une d mons tration clairante La formule de Stokes la fin du XVII si cle au moment de la naissance du calcul diff rentiel les math matiques ont un visage bien diff rent de celui que nous leur connaissons aujourd hui Elles n ont pas encore une place bien d finie dans la soci t et le m tier de math maticien n existe que pour de tr s rares exceptions L activit math matique se pratique soit comme un loisir pendant le temps libre soit comme un enseignement dans les universit s ou les coles Ainsi le grand math maticien Pierre de Fermat excerce la profession de juge supr me la cour souveraine du parlement Toulouse une fonction qui l am ne traiter d affaires mettant en jeu la vie des accus s John Wallis rapporte qu il n a pu rencontrer Fe
46. probl mes a t propos e Mais autres temps autres m urs chacun de ces probl mes a t assorti d un prix d un million de dollars offert par la fondation Clay qui les r soudra On l aura compris les difficult s que rec lent ces grandes questions sont consid rables la premi re d entre elles et non la moindre tant qu en g n ral il ny a pas de fil directeur qui puisse guider le math ma ticien dans sa recherche de solution Toute proportion gard e c est le m me type de difficult que l on rencontre avec le probl me de Kakeya le champ des figures possibles semble infini et rien n est l qui nous indique le chemin suivre Dans ces conditions le math maticien va tout d abord explorer un grand nombre de figures afin de se donner un premier panorama du vaste territoire des solutions possibles et acqu rir une exp rience des formes les plus concluantes Dans ces choix le math maticien privil giera souvent celles ayant les plus belles propri t s il sera sensible aux figures les plus sym triques et celles dont la construction semble le plus en harmonie avec le probl me pos Mais toute autre raison indirecte donnant penser qu une figure est la bonne peut aussi entrer en consid ration Une fois trouv e une telle figure il en fait son candidat favori et cherche ensuite d montrer que celui ci est effectivement la solution du probl me Il se trouve que Kakeya avait un tel candidat en t
47. r alit des choses puisque bien s r seul un nombre fini de trajectoires peut tre repr sent En fait la compr hension du portrait de phase des billards est loin d tre BILLARDS 105 achev e et il se pourrait que nos intuitions et nos interpr tations son sujet s av rent inexactes Il est cependant un ph nom ne important que lon rencontre dans les syst mes chaotiques et qui lui est fermement tabli c est celui de la sensibilit aux conditions initiales Les deux dessins ci dessous mettent justement en vidence cette sensibilit gauche on a repr sent un billard elliptique parfait et droite un billard elliptique d form Dans chacun d eux on fait partir d un m me point repr sent par un petit disque blanc deux boules avec deux angles d attaque presque identiques l issue de quelques rebonds ces deux boules sont encore tr s proches dans le billard parfait alors qu elles se mettent diverger dans le billard perturb Ainsi une petite pertubation des conditions initiales ici l angle d attaque entra ne dans un d lai tr s bref une grande divergence des trajectoires Autrement dit si on a une toute petite incertitude sur l angle de d part il est impossible de pr voir m me grossi rement la position de la bille apr s quelques rebonds Cette simple observation a de grandes cons quences dans la pratique puisque toutes les donn es dont on dispose concr tement ont forc ment un
48. r grination autour du probl me de Kakeya La grande invention la fin du XVII si cle une grande invention voit le jour le tr s fameux calcul diff rentiel invent ind pendamment par les deux plus grands savants de l poque Isaac Newton et Gottfried Leibniz Ce calcul dif f rentiel ou encore analyse des infiniments petits comme on l appelait alors ouvre non seulement la compr hension des courbes mais aussi celle plus concr te du mouvement des corps qu il se produise sur Terre ou dans l espace Autrement dit il permet tout la fois de r pondre aux questions de calcul d aire et aux pr occupations des astronomes d sireux de conna tre la course des objets c lestes Plus encore le calcul diff rentiel s est r v l tre le langage universel avec lequel s crivent les lois de la nature l exemple le plus c l bre tant la loi de la gravitation de Newton Avec cette invention on commence comprendre v ritable ment les ph nom nes naturels On a peine imaginer de nos jours l engouement extraordinaire que cette d couverte a pu susciter dans le monde rudit Des personnalit s aussi diff rentes que Fontenelle ou Buffon se passionnent pour cette invention la marquise du Ch telet ma tresse de Voltaire publie une impressionnante traduction des Principia l ouvrage fondateur de New ton M me Bougainville le c l bre navigateur est re u 25 ans la Royal Society pour un ouvrage
49. re ne peut se d rouler sur le plan on ne peut donc calculer son aire comme si il s agissait d un objet plat C est l un obstacle important la sph re est irr ductiblement un objet de l espace et diff re en cela radicalement du cylindre ou du c ne Comment face cette difficult acc der son aire Une observation tr s concr te va permettre de contourner cet obstacle il est paradoxalement plus facile de mesurer un volume qu une aire En effet pour acc der au volume d un objet il suffit de l immerger dans un r cipient gradu et d observer la variation du niveau de l eau et d en d duire le volume recherch En revanche lorsque l on r fl chit un moyen de mesurer son aire on se trouve d muni Lid e est donc d obte nir l aire d un objet en passant par un calcul plus accessible de volume Evidemment un volume n est pas une aire mais il y a un moyen de d duire l un a partir de l autre et la cl de cette correspondance on le verra est justement donn e par la d rivation Dans le cas l mentaire des ob jets plats cette correspondance est plus directement observable car le recours la d rivation n y est pas imm diatement apparent Elle se ma t rialise dans la vie de tous les jours au travers d une activit qui semble 40 LA DERIVATION bien loign e des consid rations d Archim de la peinture d une surface plane comme un mur par exemple r b
50. re sur la raison profonde de cette myst rieuse correspondance La d couverte d Archim de n en appara t que plus impressionnante d autant plus que l illustre savant ne pouvait b n ficier des notations et des concepts modernes qui clarifient consid rablement les diff rentes notions mises en jeu La d monstration d Archim de est g om trique et les calculs n cessaires se font dans le cadre de la th orie des proportions euclidiennes Il faudra attendre plus de deux mille ans pour que des LE THEOREME D ARCHIMEDE 45 notations alg briques op ratoires utilis es plus haut voient le jour dans le cadre du nouveau calcul alg brique puis infinit simal Ce th or me d Archim de est donc r ellement un exploit Le calcul int gral En 1593 l ambassadeur de Hollande Adrien Romain fut re u par le roi Henri IV en son palais de Fontainebleau Il affirma publiquement que la France ne comptait aucun grand math maticien le roi fit alors appe ler un de ses conseillers qu il savait f ru de math matiques Fran ois Vi te Lambassadeur qui persistait dans son opinion lan a ce der nier un d fi Saurait il r soudre une quation du 45 degr si complexe qu une seule page ne suffisait pas selon la formulation de l poque la contenir Il fallut moins d un jour Vi te qui est aujourd hui consid r comme le fondateur de l alg bre moderne pour r soudre cette quation Beau joueur Romain reconnut la grande
51. remarquable sur le sujet Tous sont unanimes pour c l brer la grandeur de cette d couverte Buffon parle de sublime M thode Voltaire de v rit sublime et le marquis de Hospital LA GRANDE INVENTION 19 Le remarquable trait de Maria Agnesi Le premier des ouvrages a populariser le calcul diff rentiel est celui du marquis de l Hospital Il est crit en fran ais la langue savante de l poque et porte le titre tr s loquent d Analyse des infiniments petits pour l intelligence des lignes courbes Ce titre rappelle que c est la compr hension des courbes qui est en jeu de celle ci naitra celle du mouvement et de tous les ph nom nes naturels qui y sont associ s Le livre conna t une grande renomm e et une suite lui sera m me donn e par le grand explorateur Bougainville Un autre ouvrage va galement conna tre un succ s immense celui de Maria Agnesi Institutions analytiques l usage de la jeunesse italienne Ce livre est bien post rieur celui du marquis de l Hospital mais il est le premier faire la synth se des id es de Leibniz et de Newton Il est si remarquablement crit que le pape Beno t XIV f licita publiquement Agnesi lui offrit une couronne et une m daille en or et lui proposa m me fait unique pour une femme un poste de professeur l universit de Bologne En r alit ce livre avait t crit initialement pour l ducation de ses vingt jeunes fr res dont elle s o
52. sont de plus en plus clairsem s parmi les nombres entiers Intuitivement on se rend bien compte qu un ensemble tr s clairsem a bien moins de chances de contenir des progressions arithm tiques qu un ensemble plus dense Le th or me de Sz m r di tablit un lien entre la densit d un ensemble et la pr sence de progressions arithm tiques il nonce Th or me de Sz m r di Si un ensemble a une densit qui west pas gale z ro alors on peut y trouver des progressions arithm tiques aussi longues que l on veut Ce th or me signifie que si les l ments d un ensemble ne sont pas trop dispers s alors celui ci contient forc ment des progressions arith m tiques de n importe quelle longueur Il va donc bien au del de ce que l on pressentait puisqu il peut s appliquer des ensembles de den sit extr mement faibles et garantir dans ceux ci la pr sence de suites de nombres r guli rement espac s de la longueur que l on souhaite Par exemple m me si la densit de l ensemble n est que de 0 01 en moyenne une case sur cent est color e dans la liste des entiers on y trouvera forc ment des progressions arithm tiques de mille dix mille ou m me un milliard d l ments L int r t du th or me de Sz m r di est donc qu il pr dit une certaine structure dans un ensemble d s que sa densit d passe z ro m me si les l ments sont choisis au hasard une certaine r gularit sera in
53. sph re avec le cylindre qui l entoure l galit des aires demeure On a coutume en hommage ce grand homme d appeler ceci le th or me d Archim de Cet nonc qui para t d j surprenant lorsque l on se place au niveau de l quateur devient tout fait inattendu au voisinage des p les puisque l on compare la surface d une calotte avec celle d un anneau Insistons bien sur le fait qu une portion de cylindre qui s apparente une portion de plan ne peut en aucun cas se d velopper sur la sph re En effet si l on essaie de rev tir ainsi la sph re des plis et des recouvrements apparaissent in vitablement Cette correspondance entre les aires est donc un petit miracle qu il est ais de v rifier avec l aide du calcul diff rentiel au moyen de la proc dure qui donne l aire d une surface partir d un volume Bien entendu les calculs pratiques sont un peu plus techniques que ceux n cessaires pour la sph re tout enti re mais ils sont accessibles quiconque veut s en donner la peine Toutefois m me s ils permettent de se convaincre de la validit du th or me d Archim de ces calculs n en donnent pas une compr hension globale Bien au contraire le cheminement suivi pour parvenir au r sultat semble tortueux il faut invoquer un passage la limite d couvrir une analogie avec la d rivation puis effectuer des calculs de volume On obtient certes le th or me mais bien peu de lumi
54. suivent en proposent un autre exemple Il s agit encore d un probl me bien concret comment partager un unique g teau entre une infinit de convives Puisqu il y a une infinit de convives la solution qui consiste d couper le g teau en parts gales ne peut convenir La cl du probl me un peu la mani re de ce qui se passait pour le mur infini r side dans un partage du g teau en des parts de plus en plus petites Voici une solution possible on d coupe le g teau en deux parts gales et on donne l une des deux parts au premier convive Il reste une part que l on d coupe encore en deux parts gales On distribue un des morceaux au deuxi me convive et ainsi de suite avec la part qui reste Aussi loin que l on se place dans la liste des convives il reste toujours du g teau le convive suivant a donc droit une part la moiti de ce qui reste De cette mani re non seulement la totalit du g teau est distribu e mais tous les convives bien qu en nombre infini auront t servis LE PARADOXE DU PEINTRE 61 Si l on consid re cela avec l il du math maticien et si l on d signe par le nombre 1 la totalit du g teau la part du premier convive correspond donc au nombre Z celle du deuxi me correspond au nombre i etc avo Puisque la r union de toutes les parts est gale au g teau tout entier cela signifie que la somme 1 1 1 1 1 1 HE 2 4 8 16 32 64 est gale 1 Un
55. surface qui n en est pas une ouvre une premi re fen tre sur un vaste territoire celui des objets d aire nulle En premier lieu ce monde des objets d aire nulle comporte certaines figures g om triques tr s famili res comme le point et la droite En effet ceux ci sont sans paisseur ils ne recouvrent aucune surface l aire qu ils occupent est gale z ro De la m me fa on des courbes que l on a l habitude de tracer comme une parabole une sinusoide ou bien une spirale ont galement une aire nulle Le cercle en tant que courbe c est dire en tant que ligne trac e sur le plan ne recouvre lui non plus aucune aire On pourrait croire na vement qu une courbe a forc ment une aire gale z ro les math maticiens eux m mes n en ont jamais dout jusqu l ann e 1890 o le math maticien italien Giuseppe P ano fit cette surprenante d couverte il existe des courbes qui remplissent compl tement toute la surface d un carr c est dire des courbes si tortueuses qu elles couvrent sans la moindre lacune fout le carr En particulier l aire occup e par ces courbes est exactement celle du carr elle ne vaut donc pas z ro Ce r sultat a norm ment frapp les esprits de l poque la certitude unanimement partag e selon laquelle une courbe et une surface sont deux choses de nature bien distincte tait ainsi remise en question Il est d ailleurs probl matique de repr senter ces
56. tion le math maticien hongrois Julius Pal d montre en effet en 1921 qu il n existe pas de domaine convexe plus petit que le triangle quilat ral et qui autorise le retournement de l aiguille Dans le cas des figures convexes le probl me de Kakeya est donc clos la solution est tout sim plement le triangle quilat ral ayant pour hauteur l aiguille Une autre cat gorie plus large de figures pour laquelle le probl me se pose est celle des domaines toil s Une figure est toil e s il existe un point de cette figure tel que tout segment qui relie ce point a un autre point de la fi gure est enti rement contenu dans celle ci Concr tement cela signifie qu il existe un point du domaine partir duquel un observateur pourrait voir tous les autres points du domaine C est le cas des deux premiers do maines repr sent s ci dessous un observateur qui se placerait au centre de l un d eux pourrait voir la totalit des points Ce n est pas le cas des deux autres domaines par exemple pour l anneau en effet o qu il soit plac l observateur ne peut voir le point qui lui est diam tralement op pos amp O toil toil Non toil Non toil Dans le cadre des domaines toil s le probl me de Kakeya n a toujours pas t r solu On sait seulement qu il n y a pas de th or me du type de celui de Besicovitch puisque Cunningham a montr en 1971 qu un tel domaine s il permet le retou
57. trajectoire brownienne forme une surface sans aire Un tel objet est un tre math matique paradoxal qui a tout d une surface mais dont l aire est pourtant gale z ro Il se trouve que les figures de ce type sont au c ur du probl me de Kakeya tel qu il se pose aujourd hui En effet alors que l affaire semblait class e apr s le remarquable r sultat de Besicovitch l irruption de ces figures inconnues va donner au probl me une nouvelle actualit Il en d coulera ce que les math maticiens appellent la conjecture de Kakeya Le monde des objets d aire nulle Le th or me de Besicovitch dit qu il est possible de retourner l aiguille dans une figure d aire aussi petite que l on souhaite Au vu de ce r sultat il est tr s tentant pour l esprit de simplifier la situation et de se poser une question plus directe existe t il une figure d aire nulle dans laquelle le retournement soit possible Si tel est le cas la r ponse au probl me de Kakeya tiendrait en quelques mots la plus petite aire c est z ro Cette simple formulation rec le une difficult conceptuelle importante par quel miracle certaines surfaces pourraient elles avoir une aire gale a z ro Comment une figure qui n est pas rien puisque l aiguille s y retourne pourrait elle ne recouvrir aucune aire C est alors que le 124 LA CONJECTURE DE KAKEYA mouvement brownien entre en sc ne Cette ligne qui est plus qu une ligne cette
58. tre la pr diction de l existence de la plan te Neptune puisqu il a suffit de pointer la lunette l endroit pr dit par les calculs pour observer cette nouvelle plan te Cependant c est cette m me tude du syst me solaire qui verra na tre les premi res incertitudes quant au bien fond de ce programme d terministe En effet en cherchant comprendre le comportement des plan tes sur des temps tr s longs le math maticien Henri Poincar a d couvert l existence de ph nom nes chaotiques Ces ph nom nes demeurent encore aujourd hui un s rieux obstacle aux pr dictions moyen terme Ils n offrent pas de contradiction th orique au d termi nisme mais en marquent les premi res limites Les quations diff rentielles sont par nature radicalement diff rentes de celles que l on tudie d s les ann es de coll ge les quations alg briques Ces derni res font intervenir une inconnue symbolis e par la lettre x que l on essaie de d terminer au moyen de calculs alg briques Par exemple l quation 2x 1 0 donne pour solution x Z Dans une quation diff rentielle inconnue mest plus un simple nombre mais une fonction tout enti re que l on symbolise par la lettre f De plus comme leur nom l indique ces quations font intervenir le calcul diff rentiel c est dire le calcul de d riv es titre purement illustratif on peut citer l quation diff rentielle 2f f 0 qui signifie que l on c
59. une surface Les objets pr sent s ici sont interm diaires entre la ligne et la surface par cons quent la 128 LA CONJECTURE DE KAKEYA dimension qui leur correspond est interm diaire entre un et deux c est la dimension fractale Cette dimension fractale traduit certes l id e intuitive d paisseur de ces figures mais c est avant tout une quantit math matique qui tout comme une aire ou une longueur r sulte de formules pr cises Nous nentrerons pas dans le d tail de ces formules car celles ci sans tre d mesur ment compliqu es n cessitent une certaine abstraction Quoiqu il en soit cette dimension fractale donne une prise sur ces figures g om triques compl tement nouvelles qui ne poss dent ni longueur ni surface La g om trie de notre enfance tait peupl e de cercles de triangles de carr s dont on pouvait justement calculer l aire ou la longueur Les objets fractals ne se laissent pas aussi facilement appr hender et la dimension fractale est l une des rares quantit s ayant un sens intuitif dans ce monde d une complexit inou e Un des ph nom nes les plus surprenants r v l s par la dimension fractale est l existence de ces fameuses surfaces sans aire En effet aussi compliqu s que puissent para tre des objets comme l empilement d Apollonius ou l arbre de Pythagore ils n en demeurent pas moins is sus de constructions parfaitement ordonn es et ne mettent en vidence qu un
60. valait 0 41296 est donc l g rement supplant Plus int ressant la valeur 0 40475 laisse entrevoir un nou veau d fi on se souvient que la toute premi re figure a laquelle on pense pour r pondre au probl me de Kakeya est le disque dont l aire est 7 l aire du demi disque vaut donc a 0 39269 Coincidence cette va leur est pr cis ment l aire de la delto de Trouver une figure d aire inf rieure au demi disque et dans laquelle on puisse retourner l aiguille re vient donc d couvrir une surface encore meilleure que ce que Kakeya imaginait de mieux A inf rieure a gt d Il se trouve que toutes les constructions d velopp es jusqu pr sent ne permettent pas de r pondre ce d fi Nous le rel verons donc dans le prochain chapitre 78 LA FORMULE DE STOKES Bulles de savon Des questions math matiques tr s profondes trouvent parfois leur ori gine dans des probl mes tr s anciens C est le cas du c l bre probl me de Visop rim trie dont on trouve la trace dans une l gende datant de la plus Haute Antiquit celle de la fondation de Carthage Cette l gende ra conte que Didon fille du roi de Tyr devenue reine la mort de ce dernier fut chass e par son fr re Pygmalion et dut s enfuir pr cipitamment avec une partie de l artistocratie tyrienne Apr s de nombreuses aventures ils finirent par accoster sur les c tes africaines et demand rent au roi Hiar bas de leur accorde
61. 1975 le math maticien Endre Sz m r di a d couvert un proc d qui permet d affirmer qu un ensemble donn poss de des progressions arithm tiques de toutes longueurs Ce proc d repose sur le calcul de la densit de l ensemble en question Si on visualise celui ci au moyen de cases color es dispos es sur une grille la densit est grosso modo le rapport entre le nombre de cases color es et le nombre total de cases On dit par exemple que la densit de l ensemble des nombres impairs vaut Z En g n ral pour des ensembles plus compliqu s la densit ne s obtient pas de mani re aussi directe et sa d termination demande plus d effort Voici sur exemple des puissances de 2 comment l on proc de BGG BRE 3 0 375 8 4 0 25 16 DE KAKEYA AUX NOMBRES PREMIERS 143 On crit chaque tape le rapport du nombre de cases color es sur le nombre de cases consid r es La valeur obtenue la limite est par d finition la densit de l ensemble Ici les trois premi res tapes font appara tre les valeurs 0 5 puis 0 375 et 0 25 la poursuite de ce pro c d donnerait successivement 0 15625 puis 0 09375 puis 0 05468 etc la limite on obtiendrait la valeur 0 La densit de l ensemble des puissances de 2 est donc z ro On constate au passage qu un en semble comportant une infinit de nombres peut avoir une densit gale z ro ceci traduit le fait que les l ments de cet ensemble
62. Kakeya force la figure de Besicovitch recouvrir l espace comme une surface M me si son aire est nulle sa dimension fractale doit tre gale a deux comme pour une surface ordinaire Dans ce probl me comme dans toutes les questions en math matiques il faut n anmoins rester m fiant face ses premi res intuitions qui aurait pens au d part de l ouvrage que la question de Kakeya nous aurait amen ces objets d pourvus d aire Pourquoi cette question ne conduirait elle pas maintenant des objets dont la dimension fractale serait plus petite que deux Un th or me d montr en 1971 par le math maticien britannique Roy O Davies met un terme cette nou velle interrogation toute figure d aire nulle r pondant au probl me de Kakeya doit avoir une dimension fractale gale deux Il y a donc une limite dimensionnelle la petitesse de la figure si l on veut qu elle satisfasse la condition de Kakeya c est dire contenir l aiguille dans toutes ses directions La conjecture Le probl me de Kakeya tant totalement r solu quel int r t peut il encore pr senter aux yeux des math maticiens d aujourd hui Il se trouve que certaines questions importantes des math matiques sont en connexion avec un probl me de Kakeya en dimension sup rieure qui lui n est pas r solu Ceci signifie que si l on savait r soudre ce probl me il en d coulerait des r ponses d autres questions importantes
63. Vincent Borrelli Jean Luc Rulli re En cheminant avec Kakeya Voyage au coeur des math matiques ENS EDITIONS En cheminant avec Kakeya En cheminant avec Kakeya Voyage au coeur des math matiques Vincent Borrelli et Jean Luc Rulli re ENS EDITIONS 2014 Cet ouvrage est publi avec le concours du labex Milyon et du CNRS Rh ne Auvergne Institut Camille Jordan El ments de catalogage avant publication En cheminant avec Kakeya voyage au c ur des math matiques Vincent Borrelli et Jean Luc Rulli re Lyon ENS ditions impr 2014 1 vol 160 p 24 cm Bibliogr p 157 158 ISBN 978 2 84788 415 9 Tous droits de repr sentation de traduction et d adaptation r serv s pour tous pays Toute repr sentation ou reproduction int grale ou partielle faite par quelque proc d que ce soit sans le consentement de l diteur est illicite et constitue une contrefa on Les copies ou reproductions destin es une utilisation collective sont interdites ENS DITIONS 2014 cole normale sup rieure de Lyon 15 parvis Ren Descartes BP 7000 69342 Lyon cedex 07 ISBN 978 2 84788 415 9 Sommaire Remerciements Avant propos Une question anodine La question de Kakeya La grande invention La d rivation Qu est ce qu une d riv e La d couverte de Descartes Avanc e sur la question de Kakeya Le th or me d Archim de Le calcul int gral Le partage d Archim de Qu est ce qu
64. a la noblesse Descartes tait de petite noblesse seigneur du Perron et aimait a le faire savoir Guillaume de l Hospital auteur du premier livre sur le calcul diff rentiel tait marquis de Sainte M me et comte d Autremont Quant a Pierre de Fermat il poss dait une noblesse de robe li e sa charge de magistrat Il est bien vident que l appartenance l aristocratie donnait toutes les facilit s et ce n est pas tout fait un hasard si c est un marquis qui le premier publia un livre sur les d cou vertes de Leibniz On peut n anmoins mentionner l origine modeste de Gilles Personne de Roberval De nos jours o le savoir est plus largement partag les origines sociales des math maticiens se sont bien diversifi es et l appartenance ou non la grande aristocratie n est plus r ellement un crit re d terminant On assiste d ailleurs un renversement de situation avec l anoblissement dans certains pays des grands math maticiens Ainsi Andrew Wiles qui est parvenu d montrer le tr s fameux th or me de Fermat a t nomm chevalier de l Empire britannique en l an 2000 par la reine d Angleterre Parmi les pr d cesseurs de Wiles il en est un dont le nom reviendra souvent dans ce chapitre il s agit de Stokes celui l m me qui a donn son nom la tr s c l bre formule de Stokes Georges Stokes est issu d une famille relativement modeste d Irlande son p re tait pasteur et sa m re fil
65. a une dimension de Hausdorff gale d o d est un nombre entre 0 et 2 si l on peut montrer que le produit N r x r a une limite finie et non nulle quand le rayon r d croit vers 0 Il existe n anmoins des objets pour lesquels une telle d marche n aboutit pas et c est la raison pour laquelle il est en r alit n cessaire de modifier l approche que nous avons suivie pour d finir rigoureusement la dimension de Hausdorff Nous ne le ferons pas ici 152 PERSPECTIVES En fait on peut montrer que leur croissance est comparable et pour simplifier l explication on va supposer que dans le cas o les rectangles se font nombreux ces deux ensembles ont le m me nombre d l ments DR 2 HEE Plut t que de s int resser et Z on aurait tout aussi bien pu en visager n importe quelle autre droite interm diaire l int rieur de la bande horizontale Il se trouve qu en consid rant pr cis ment la droite centrale sur laquelle on forme l ensemble repr sent ci dessous un ph nom ne math matique dit combinatoire a lieu et donne un lien entre les nombres d l ments de de Z et de et le nombre d aiguilles en pr sence Ce lien va imposer aux ensembles et 4 une certaine vitesse de croissance ce qui est le but recherch si l on souhaite montrer que la dimension n est pas trop faible Une des clefs de ce lien est que l ensemble n est pas ind pendant des ensembles y et
66. adamard et Charles Jean de La Vall e Poussin L examen de la liste de nombres ci dessus ne r v le aucun ordre parmi les nombres premiers ils semblent appara tre de mani re al atoire sans structure sous jacente Or les nombres premiers ne sont justement pas des nombres tir s au hasard puisqu ils ob issent une d finition pr cise Ils sont les briques l mentaires qui multipli es entre elles vont former tous les nombres entiers Il est donc naturel de penser qu un certain ordre doit tre pr sent dans la r partition de ces nombres La DE KAKEYA AUX NOMBRES PREMIERS 139 mise en vidence de structures dans l ensemble des nombres premiers est d ailleurs activement recherch e par les math maticiens Certaines d entre elles peuvent tre facilement entrevues en disposant les nombres entiers en colonnes judicieusement choisies Ci dessous l ensemble des nombres entiers est plac selon une grille comportant six lignes au sein de cette grille les nombres premiers mis en vidence par des cases color es dessinent certains alignements so 56 62 68 74 80 86 92 98 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99 94 Il est clairement visible que certaines lignes sont exemptes de nombres premiers il s agit des quatri me et sixi me lignes auxquelles s ajoutent si l on fait abstraction de la premi re case des deuxi me et
67. ajectoires irr guli res et incessantes Brown pensa tout d abord un ph nom ne biologique mais l observation de ces m mes trajectoires pour des par ticules min rales dans une eau parfaitement vierge le dissuada de cette premi re explication En fait la raison de ce ph nom ne a tenu en haleine les savants jusqu au d but du XX si cle En r alit ce mouvement r sulte de l agitation permanente des mol cules d eau qui en bombardant les particules leur impriment ces trajectoires d sordonn es Ces mol cules d eau ont une taille bien plus petite que celle des poussi res organiques et taient donc hors de port e des moyens optiques de l poque En revanche les poussi res sont elles observables au microscope et leur mouve ment perp tuel trahit la pr sence de ces invisibles mol cules d eau en constante agitation C est en comprenant que le mouvement des poussi res tait d l action de particules bien plus petites qu Einstein put en d duire l existence des atomes En 1906 il fera compl tement le lien avec la notion d j connue de mouvement brownien et il th orisa cette derni re Le physicien Jean Perrin se livrera jusqu en 1909 tout un programme d exp riences qui confirmera ces th ories Mais l histoire ne s arr te pas l Le mouvement brownien dont la cause tait enfin comprise commen a intriguer les math maticiens Ils se rendirent compte que ce mouvement tait l exempl
68. akeya aux dimensions 5 6 7 etc et cela conduit toujours au m me constat il semble que la dimension fractale ne peut pas tre diminu e Les math maticiens r unissent tout ceci en un unique nonc c est la fameuse conjecture de Kakeya Conjecture de Kakeya Dans l espace n dimensions la dimension fractale d un objet qui contient l aiguille dans toutes les directions est n En r sum il peut y avoir une r duction du volume jusqu l annula tion mais la dimension elle demeure incompressible Cette conjecture qui peut sembler tr s abstraite puisqu elle se place dans des dimen sions autres que celles de l espace tangible pr sente n anmoins un grand int r t pour les chercheurs car elle est en connexion avec d autres grandes questions des math matiques De sa r solution d coulerait celle de nombreux autres probl mes le chapitre suivant en propose un exemple Perspectives Depuis les ann es quatre vingt dix on assiste a un regain d int r t pour le probl me de Kakeya car des connexions inattendues ont t mises en vidence entre ce probl me et d autres questions importantes des ma th matiques De telles connexions sont tr s pris es par les math mati ciens car elles offrent un nouvel clairage donc souvent de nouveaux outils pour aborder la question de d part Par cons quent la mise en vidence de tels liens entre des probl mes a priori diff rents est souvent sour
69. animosit envers Leibniz N anmoins il appara t peu probable que Leibniz ait vol sa d couverte Newton Il est admis aujourd hui que ce fut ind pendamment que ces deux hommes d couvrirent le calcul diff rentiel ce propos si l on devait absolument attribuer une paternit cette d couverte il faudrait citer les nombreux autres math maticiens qui les ont inspir s comme par exemple Fermat ou Pascal dont les tra vaux contiennent tous les germes du calcul diff rentiel Leibniz qui est venu aux math matiques apr s avoir lu les uvres de Pascal a d ailleurs d clar que ce dernier avait eu les yeux ferm s comme par un sort tant celui ci touchait au but En fait comme cela est souvent le cas en science cette invention une fois r v l e para t aussi simple et naturelle qu elle a n cessit de labeur et de r flexion pour tre labor e Elle est en cela un peu comparable l invention du z ro qui fut en son temps une v ritable r volution et qui appara t aujourd hui dans QU EST CE QU UNE DERIVEE 25 toutes sortes de contextes sans m me que l on y pr te attention Ainsi le calcul diff rentiel apparait il lui aussi dans d innombrables situations souvent tr s loign es de celles dont se pr ocupaient Newton et Leibniz La question de Kakeya peut tre l une de ces situations elle nous donne l occasion d aborder cette grande invention Qu est ce qu une d riv e Le p
70. artant des nombres entiers conduit au nombre x Par son l gance et sa sim plicit elle n a cess d exercer sur les math maticiens une puissante fascination et elle est encore aujourd hui source de questionnements que se passe t il par exemple si on remplace les carr s par des cubes ou par des puissances cinqui mes Nul ne le sait Il s av re m me que le comportement de cette somme lorsque l on remplace les carr s par des puissances quelconques demeure encore aujourd hui l une des questions les plus profondes des math matiques 64 LE CALCUL INTEGRAL La d couverte de cette formule merveilleuse ne fut pas loin s en faut le seul coup d clat du math maticien suisse Leonhard Euler Ce savant exceptionnel a en effet contribu de mani re fondamentale a tous les domaines des math matiques de son temps Sa production est colos sale a ce jour la publication de ses uvres compl tes qui n est pas encore achev e a n cessit 76 livres de 600 pages auxquels il faut ajouter les 4000 lettres de sa correspondance scientifique Le volume mais surtout la profondeur de ses travaux en font l un des plus grands ma th maticiens de tous les temps Les t moignages de ses contemporains d crivent Euler comme un travailleur infatigable dot d une m moire effarante On raconte entre autres qu il connaissait les 9 000 vers de l En ide par c ur Tout cela n emp chait pas Euler selon les m mes t moigna
71. artie de sa vie et aboutira entre autres la r daction du Discours de la m thode Plus prosaiquement il est l origine de la notation x y et z pour les quantit s inconnues d une quation Il a aussi consid rablement simplifi les notations alg briques en introduisant en particulier la notation des puissances et en liminant toutes sortes de symboles compliqu s et redondants tir s des alphabets grec et h breu Sous son influence l criture des expressions math matiques devient plus coh rente et somme toute assez proche de celle que l on utilise au jourd hui des nombres des lettres de l alphabet latin et des op rations alg briques comme la racine carr e Bien s r l uvre de Descartes ne se limite pas la science il fait partie de ces savants l esprit universel qui se passionnent aussi bien pour l optique l anatomie ou l astronomie que pour la philosophie ou la th ologie Il se consacre d ailleurs pleine ment toutes ses recherches et s ing nie fuir les mondanit s qui len loignent Il m ne une vie itin rante commenc e l ge de 20 ans en s engageant comme gentilhomme volontaire dans l arm e hollandaise Il conserve toute sa vie ce go t de la mobilit puisqu on le trouve en l espace de quelques ann es r sidant en Italie Paris en Bretagne puis de nouveau en Hollande o il s installe successivement Franeker Amsterdam Leyde Deventer Sandport Hardenwijk
72. astuce est de remarquer que ce volume est tout simplement la diff rence des volumes entre la sph re peinte de rayon 1 x repr sent e droite et la sph re initiale de rayon 1 Sachant que le volume contenu dans une sph re de rayon R vaut SnR le volume de peinture f x s crit comme une diff rence 4 4 x 7 1 x 713 f x 3 x qui se simplifie en 4 ETS 3 4rx ATx En d rivant cette expression grace aux r gles de d rivation vues plus haut on ob tient f x fnxx Anxx 4nxx d rivation l l l TOSE 4nx2x Anxl ce qui s crit apr s simplification f x 47x 87x 47 Apr s avoir d termin l expression du volume de la couche de peinture puis la d riv e de ce volume il suffit d appliquer la petite proc dure d crite dans le texte principal pour obtenir l aire de la sph re volume de peinture sa d riv e en x 0 nx ATX2 ANTX gt 4nrx 8nx 4T AT Laire de la sph re de rayon 1 tant 47 celle de la sph re de rayon R est donc 47 R La d composition ci dessus met donc en vidence une co ncidence de formules mais il se pourrait que cette coincidence soit due au hasard et 44 LA DERIVATION ne soit pas le signe d une v ritable correspondance g om trique entre les deux objets En fait il n en est rien la coincidence des formules n est pas du tout fortuite elle cache un r sultat bien plus fort de quelque mani re que l on coupe en horizontale la
73. autre part Au fur et mesure des tapes B et ont des tailles de plus en plus comparables et comme le nombre d aiguilles ne fait qu augmenter la liaison donn e par le th or me interdit ces trois ensembles d avoir une croissance lente En r alit conna tre la fa on dont l aire des paississements rectan gulaires volue n est malheureusement pas suffisant pour calculer la dimension fractale d un objet En effet il faut que cette connaissance porte non seulement sur des paississements r guliers de l objet en question mais galement sur tous ceux que l on peut obtenir avec des disques de tailles disparates Le dessin ci dessus repr sente deux pais sissements de tailles diff rentes qui recouvrent une simple courbe En examinant la fa on dont les rayons de ces disques voluent lorsque ceux ci se resserrent autour de l objet les math maticiens en d duisent par des formules savantes sa dimension fractale Dans l illustration cette dimension est gale un mais pour d autres objets elle peut donner toutes sortes de nombres plus compliqu s Nous en avons rencontr quelques uns au chapitre pr c dent comme l le de Gosper dont la di mension est de 1 12915 ou encore le triangle vid dont la dimension est de 1 72367 Pour le probl me de Kakeya la consid ration de ces 154 PERSPECTIVES assemblages de disques de toutes tailles est source de difficult s suppl mentaires car cela mul
74. ccupait quotidiennement Maria Agnesi tait en effet d une intelligence d une nergie et d un d vouement exceptionnels Sa renomm e s tendait sur toute l Europe et des savants de tous les pays se pressaient chez la signora Agnesi pour avoir la chance de discourir avec elle de philosophie sciences naturelles litt rature ou math matiques l incroyable tendue de ses connaissances ainsi que sa parfaite loquence en faisaient un personnage r ellement exceptionnel Elle connaissait sept langues dont le fran ais qu elle parlait la perfection depuis l ge de 5 ans 20 ans elle publiait un recueil de philosophie et de sciences naturelles et 30 ans son fameux ouvrage sur le calcul diff rentiel cette occasion Fontenelle d clara que la candidature de Maria Agnesi l Acad mie des sciences e t t un triomphe si celle ci avait pu admettre une femme En d pit de son immense renomm e elle renoncera aux sciences quelques ann es plus tard pour entrer dans les ordres Elle terminera sa vie aider les malades et les n cessiteux apr s leur avoir l gu tous ses biens Les ouvrages du marquis de l Hospital et de Maria Agnesi peuvent tre consid r s comme les tout premiers livres de cours sur le calcul diff rentiel Bien s r beau coup d autres vont suivre le calcul diff rentiel investissant de plus en plus large ment toutes les domaines de la science Aujourd hui ce dernier est tr s largem
75. ce de progr s L exemple le plus c l bre d un lien particuli rement f cond est celui d couvert par Ren Descartes au XVII si cle ce lien qui rapporte la g om trie l alg bre est aujourd hui bien connu de tous c est cette fa on d associer une fonction sa courbe repr sentative dans un rep re appel cart sien Cette correspondance permet de rem placer un raisonnement de g om trie par un travail sur des nombres et des formules math matiques on parle ainsi de g om trie analytique Un autre exemple est la r cente r solution du grand th or me de Fermat Il s agit d un probl me d arithm tique que Fermat croyait avoir d montr et qui a r sist aux math maticiens pendant plus de 250 ans Ce n est qu en 1995 que le math maticien Andrew Wiles r ussit le tour de force d en faire la d monstration un exploit qui fut imm diatement salu par la presse On ne peut pas donner ici ne serait ce qu une vague id e de cette d monstration mais il est important de noter que celle ci repose sur la d couverte d un lien entre deux domaines distincts des math matiques les formes modulaires et les courbes elliptiques En fin un autre exemple particuli rement loquent de la f condit de ces 138 PERSPECTIVES connexions entre disciplines diff rentes est justement donn par le pro bl me de Kakeya En effet la fin des ann es quatre vingt dix un lien insoupconn a t mis au
76. ci dessus un segment de longueur un est recouvert par des disques dont les rayons sont divis s par deux d un dessin l autre d abord z puis 2 et enfin En cons quence le nombre de disques n cessaires au recouvrement augmente il est successivement gal 1 puis 2 puis 4 Si l on continue le proc d la taille des rayons tend devenir nulle et le nombre de disques se multiplie l infini Lobser vation importante c est que le produit du rayon r et du nombre de disques N r lui reste stable NG AIRA ee ee 2 4 8 2 La raison de cette stabilit est vidente un disque de rayon r recouvre une portion de longueur 2r sur le segment le nombre de disques n cessaires au recouvrement du segment est donc inversement proportionnel a 2r Si l on entreprend une d marche similaire avec un carr de c t 1 le nombre minimal de disques requis pour le recouvrir sera de l ordre de puisque chaque disque de rayon r couvre une surface de zr Le produit N r x r ne sera certes pas constant mais il variera peu au fur et mesure que r deviendra petit Autrement dit la limite de ce produit quand r tend vers z ro existe et elle est finie et non nulle Pour un objet g om trique du plan plus compliqu qu un segment ou qu un disque une figure de Besicovitch par exemple la d marche est la m me mais en g n ral le nombre N r n est pas inversement proportionnel r ou r On dit que l objet en question
77. cilement et on trouve l 8 Aire de la boucle f age cd Ce calcul est effectu dans tous les d tails dans l encart color Les prin cipes de la m thode de l arpenteur n apparaissent pas imm diatement la lecture de la formule de Stokes pourtant il existe un lien important qui 74 LA FORMULE DE STOKES Calcul de l aire de la boucle Une fois le codage effectu la formule de Stokes donne l aire de la boucle au moyen d une int grale 1 xy i o les fonctions X et Y sont respectivement x x et 1 x Or la fonction 1 x se d rive en 2x par cons quent le produit XY s crit x3 x x 2x c est dire 2x2 2x Dans un souci de clart on d signe par f le produit XY On a alors OI 2x Reste calculer l int grale de cette fonction f entre les valeurs 1 et 1 Pour cela il suffit de trouver une fonction F dont la d riv e est f La fonction dont l expression est F x 2x9 2x5 en est une comme cela se v rifie gr ce au diagramme 5 F x xe Z x d rivation l i fal 3x2 5x4 Laire de la boucle vaut donc F 1 F 1 413 14 4 1 2 1 4 Le dessin ci dessous illustre ce r sultat en donnant la comparaison des aires de la boucle et du carr de c t 1 Il montre que l aire de cette boucle est l g rement sup rieure la moiti de celle du carr os 15 we Les courbes d crites par deux
78. contours de cet ventuel objet final et le fait dispara tre l infini Cette 130 LA CONJECTURE DE KAKEYA situation est en fait tr s fr quente et l on peut plus facilement appr hen der ce ph nom ne en consid rant des exemples plus simples comme celui des anneaux pr sent dans l illustration ci dessous 0O Dans cette succession l paisseur des anneaux est divis e par trois et le diam tre multipli par deux chaque tape Laire de ces anneaux d cro t irr m diablement vers z ro mais leur diam tre tant chaque fois plus grand ils s tendent ind finiment dans l espace de la feuille L objet final sans cesse repouss dispara t ainsi l infini R trospectivement on constate que les suites pr sent es auparavant et qui aboutissaient aux fameuses figures fractales taient compos es d objets n exc dant jamais un certain p rim tre ce qui rendait impossible ce ph nom ne d extension infinie Encore une fois en s interrogeant sur la dimension fractale de la figure engendr e par la suite de Besicovitch on a br l les tapes et suppos comme allant de soi l existence d une figure finale En r alit le th o r me de Besicovitch donne simplement une suite d objets dont l aire d cro t montrant ainsi qu il ny a pas de limite la petitesse des figures o l aiguille se retourne sans qu il y ait d objet final Cette d convenue n est cependant que passag re car il est possible d obt
79. courbes de fa on intelligible puisque l image que l on obtiendra in fine sera toujours un carr uniform ment rempli On peut cependant les imaginer comme des sortes de gribouillis c est dire des courbes un peu analogues celle repr sent e droite ci dessus mais si denses qu elles recouvrent tout le carr et dont l aire par cons quent est celle du carr Il faut n anmoins prendre garde de telles repr sentations mentales induites par l observation d un dessin car une courbe au sens math matique du terme n a pas d paisseur et ne devrait donc pas tre visible Or sur un dessin toute courbe a une paisseur qui est celle du trait qui la LE MONDE DES OBJETS D AIRE NULLE 125 repr sente il devient ainsi facile sur un dessin de tracer une courbe qui recouvre tout le carr il suffit simplement de colorier ledit carr comme le ferait un enfant muni d un crayon Toute la difficult du travail de P ano a bien t de d couvrir une v ritable courbe math matique donc sans paisseur recouvrant le carr Cette courbe tant trop complexe pour pouvoir tre d crite ici on se contentera d en accepter existence Quoi qu il en soit l exemple de P ano montre qu il faut tre prudent si l on utilise les courbes pour construire des objets d aire nulle D autant plus que l on cherche construire des figures qui sont certes d aire nulle mais qui tout en n ayant pas d aire occupent
80. d es mai tresses de la d monstration de Besicovitch elle permet de contr ler le recoupement sur toute la hauteur des gerbes et de diminuer significati vement laire occup e Certes il est bien clair compte tenu de tous ces recoupements que la figure obtenue la fin a une aire inf rieure celle du triangle initial mais tout le probl me est de savoir de combien En fait un raisonnement l mentaire va montrer que cette aire ne d passe pas la moiti de celle du triangle LA CONSTRUCTION DE BESICOVITCH 115 IIIA Tout r side dans la comparaison astucieuse des aires des tages de la fi gure de Besicovitch et celles des tages d un triangle Dans les dessins ci dessus la figure finale est repr sent e en troisi me position elle est constitu e de quatre tages clairement visibles le troisi me tant mis en vidence par une zone plus fonc e Par construction le premier tage est la superposition du premier tage des quatres gerbes visibles l tape num ro un l une de ces gerbes est dessin e gauche son premier tage est figur en plus sombre Le premier tage de la figure finale a donc une aire plus petite que celle des quatres trap zes puiqu il r sulte de la super position de ceux ci De m me avec le second tage on compare son aire avec celles des trap zes qui forment ce m me second tage l tape nu m ro deux l un d entre eux est repr sent dans la seconde illustration Laire du
81. des ma th matiques qui premi re vue en sont tr s loign es Quel est donc ce probl me de Kakeya en dimension sup rieure Jusqu pr sent il tait question de retourner une aiguille l int rieur d une surface plane 134 LA CONJECTURE DE KAKEYA le plan ayant deux dimensions on aurait pu nommer cette question le probl me de Kakeya en dimension 2 Cette autre mani re de poser la question conduit tout naturellement s interroger sur le devenir de ce probl me dans l espace trois dimensions Dans un tel espace le probl me de Kakeya revient consid rer non plus des figures qui contiennent l aiguille dans toutes les directions du plan mais des objets tridimensionnels qui contiennent l aiguille dans toutes les directions de l espace Si en dimension 2 le disque est la premi re surface qui vient l esprit c est la boule que l on pense pour abriter en dimension 3 l aiguille dans toutes les directions Mais il existe bien d autres possibilit s par exemple le t tra dre repr sent ci dessus contient lui aussi l aiguille dans toutes les directions et son volume est moindre que celui de la boule Lanalogue en trois dimensions du probl me de Kakeya est donc le suivant existe t il un objet qui contienne l aiguille dans toutes les directions de l espace qui soit de plus petit volume La r ponse est tout aussi radicale qu en dimension 2 un tel objet existe et son volume est nul la construct
82. e gale a 5 0 57735 Pourtant il est possible de l am liorer de fa on d terminante tout en gardant ce m me type de courbes Mais pour cela il faut tre plus astucieux et reprendre la construction non plus en juxtaposant simplement deux morceaux mais en en r unissant un plus grand nombre de sorte que ceux ci se chevauchent le plus possible Par exemple on peut commencer par assembler trois l ments qui permettent chacun l aiguille d effectuer un sixi me de tour La construction et la composition de ces l ments sont tout fait semblables ce qui a t pr sent plus haut ce qui est r sum dans l illustration qui suit KK Laiguille depuis la verticale jusqu a la position oblique tout en bas effectue en tout une rotation de 60 au cours de son trajet soit un sixi me de tour Un assemblage de trois l ments de cette sorte permet l aiguille d effectuer un demi tour UA x Contrairement l assemblage pr c dent qui tait une juxtaposition de deux l ments il y a ici empi tement des l ments l un sur l autre 96 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Laire du total n est donc pas le triple de l aire de chaque l ment elle est bien moindre et c est l l int r t d un tel assemblage Un calcul de l aire donne Aire X ys 0 44843 Cette figure est nettement plus conome que la pr c dente bien que ce resultat ne soit pas tout a fait satisfaisant puisque il est encore sup
83. e Plus g n ralement cet ouvrage s adresse tous les esprits curieux qui souhaitent voir les math matiques sous un jour diff rent Une question anodine Les math matiques sont une composante active de la pens e humaine elles prennent racine dans la n cessit o nous nous trouvons de conna tre et de comprendre le monde dans lequel nous vivons Elles permettent par un travail de l esprit de repousser toujours plus loin les limites de l univers connu et proposent en demandant de s abstraire de la r alit sensible une voie pour atteindre la raison premi re des choses L activit math matique dont les premi res traces remontent l aube des civilisations s est consid rablement amplifi e depuis quelques si cles Une multitude de questions sont pos es quotidiennement dont certaines tr s difficiles n cessitent l exploration de domaines encore inconnus L exemple historique du probl me de la quadrature du cercle montre que cette exploration peut durer plusieurs si cles Rappelons qu il s agit partant d un cercle de trouver un moyen de tracer la r gle et au com pas un carr qui occupe la m me surface Ce probl me dont il est fait mention dans le papyrus Rhind datant de 1650 avant J C a suscit au cours des ges les efforts de tr s nombreux math maticiens Il ne fut finalement r solu qu la fin du XIX si cle par la n gative un tel trac est impossible Et pour parvenir ce r s
84. e Kakeya L nigme des domaines toil s Apr s cette solution de Besicovitch une question se pose en a t on termin avec le probl me de Kakeya On peut effectivement se satisfaire de cette construction et clore ici notre recherche Mais ce serait r duire l int r t du probl me de Kakeya la seule question qu il pose Or la force de ce probl me r side galement dans les perspectives et les nouvelles questions qu ouvre sa r solution Par exemple que se passerait il si nous restreignions la question de Kakeya des objets plus simples que ceux construits par Besicovitch On peut en effet trouver insatisfaisantes des figures compos es de milliards et de milliards de pi ces assembl es entre elles de mani re complexe C est pourquoi certains math mati ciens ont poursuivi l tude de ce probl me en se restreignant cette fois a des cat gories de figures plus simples Lune d entre elle tr s utilis e en math matique est celle des convexes Une figure est dite convexe si tout segment dont les extr mit s sont dans cette figure est enti rement contenu dans celle ci Lillustration ci dessous repr sente deux convexes suivis de deux non convexes Pour chacun de ces derniers ont t des sin s deux points de facon telle que le segment les joignant d borde du contour 118 LE THEOREME DE BESICOVITCH A Convexe Convexe Non convexe Non convexe Le probl me de Kakeya pour les domaines convexes admet une solu
85. e aussi petite que l on veut La situation est tr s similaire celle du th or me de Besicovitch mim porte quelle quantit m me toute petite correspond l aire d une figure qui permet la translation de l aiguille Par cons quent le probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les n a pas de solution il n existe pas de figure meilleure que toutes les autres On se trouve confront la notion d existence d une solution en r alit lorsqu on cherche r soudre un probl me il y a deux questions qui se posent Existe t il une ou plusieurs solution s Si oui quelle est elle ou quelles sont elles En g n ral on a tendance oublier la premi re question et s attaquer LA CONSTRUCTION DE BESICOVITCH 111 directement la seconde C est exactement ce qui s est pass dans ce livre jusqu pr sent nous avons cherch une solution sans jamais douter de son existence Pourtant rien n tait la pour garantir cette existence Le th or me de Besicovitch vient nous ramener la r alit le probl me de Kakeya ma pas de solution puisqu il n existe pas de fi gure plus petite que toutes les autres dans laquelle l aiguille puisse se retourner La construction de Besicovitch Comment diable Besicovitch s y est il pris pour d couvrir des figures dont la petitesse est sans limite mais qui permettent toutes le retour nement de l aiguille L id e est de partir d une figure simple
86. e certaine marge d erreur Loin d tre un ph nom ne anodin la sensibilit aux conditions initiales est en fait un obstacle la pr vision puisque tr s rapidement la marge d erreur va couvrir tous les v nements possibles on est alors condamn des pr dictions court terme Cette sensibilit aux conditions initiales existe non seulement dans des situations tr s simplifi es comme celle du billard mais aussi dans des situations plus complexes par exemple dans certaines r actions chimiques ou dans la dynamique de certaines populations N anmoins si cette sensibilit aux conditions initiales est bien pr sente jusque dans les grands syst mes physiques que sont la m t orologie ou la course des plan tes autour du soleil son impact sur la pr diction fait toujours l objet de d bats entre les scientifiques Il se pourrait que les quantit s globales celles auxquelles on s int resse concr tement comme la vitesse du vent ou la pression soient moins sensibles qu on pourrait le penser aux perturbations et que l espoir 106 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES d une pr diction plus long terme ne soit pas totalement perdu A Vheure actuelle cette pr diction n est que de quelques jours pour la m t orologie et de 100 millions d ann es pour la position de la plan te Terre Le th or me de Besicovitch Un nouveau sujet math matique a fait son apparition r cemment les math matiques des origamis La pratiqu
87. e de Descartes r v le un lien profond entre les courbes et les expressions alg briques Si l on revient au probl me de Kakeya d une famille infinie de figures les h lices r sulte une courbe celle qui donne leur aire Pour d terminer la plus petite des h lices il faut trouver le point le plus bas de ladite courbe et pour cela rechercher l endroit o la pente vaut z ro N anmoins afin de pouvoir effectuer les calculs il est tout d abord n cessaire d appliquer la grande id e de Des cartes et faire correspondre la courbe son expression alg brique Dans le cas de la courbe des aires il se trouve que cette expression est la fonc tion i x x 2 27556 x x 1 40924 0 70477 36 LA DERIVATION Comment on calcule l aire minimale Une d composition de l h lice en figures g om triques l mentaires un triangle de Reuleaux de hauteur 1 x et trois petits secteurs angulaires se r unissant en un demi disque de rayon x permet d obtenir l expression exacte de la fonction qui donne son aire fG T yet V3 n x CE V3 Le lecteur ne doit pas tre effray par les critures 7 4 ou 3 7 qui ne sont rien d autre que des nombres Une fois valu s ces nombres conduisent a la formule de l aire x x 2 27556 x x 1 40924 0 70477 dont on s est content jusqu pr sent Tout le probl me est de trouver la valeur de x pour laquelle la pente de la courbe est z
88. e des origamis est dans la tradi tion japonaise l art du pliage Oru d une feuille de papier Kami Tr s populaire en Extr me Orient elle s est propag e au fil des si cles dans le monde entier Lorigami rencontre aujourd hui de nouveaux adeptes car on s est rendu compte que les questions de pliage entrent en jeu dans de nombreux probl mes concrets Par exemple elles interviennent dans la r alisation d engins spatiaux propuls s par voile solaire Le principe de ce mode de propulsion est la mani re d un bateau voile d utiliser le flux de photons mis en permance par le soleil pour pousser le vaisseau Ce mode de propulsion a pour avantage de ne n cessiter aucune source d nergie embarqu e mais produit en contrepartie une pouss e tr s faible Une voile susceptible de mouvoir un appareil spatial doit donc tre de tr s grande dimension Tout le probl me est alors de plier cette voile de fa on optimale pour assurer la fois son logement dans la coiffe de la fus e et son bon d ploiement dans l espace C est donc en d finitive un probl me d origami auquel sont confront s les ing nieurs D ailleurs les meilleurs pliages que l on connaisse jusqu pr sent ont t trouv s de fa on exp rimentale par t tonnement partir de pliages c l bres d couverts par des ma tres origamis ils reposent donc sur des bases empiriques Par cons quent rien ne garantit qu ils soient optimaux m me si ils atte
89. e dessine l aiguille Il se trouve qu il est tr s facile de r aliser cette op ration r tr cir la boucle c est simplement r tr cir les fonctions X et Y Par exemple pour diviser la hauteur par quatre il suffit de diviser la fonction Y par quatre La boucle obtenue poss de alors la hauteur recherch e il ne reste plus qu r gler la largeur c est dire choisir par quel nombre diviser la fonction X Quelques essais montrent que le nombre 5 est une valeur qui convient bien X D 0 X t LED XO 0 En horizontale Hx x 2 x3 x Has x Au total la boucle que nous choisissons est donc d crite par les fonc tions 1 1 z0 x pour X et nie x pour Y AVANCEE SUR LA QUESTION DE KAKEYA 77 En pla ant une telle boucle en chaque sommet d un triangle quilat ral de hauteur trois quarts on obtient un triangle boucles qui permet la rotation de l aiguille Chacune de ces trois boucles est celle du paragraphe pr c dent r duite d un facteur 5 en horizontale et d un facteur 4 en verticale leur aire est donc divis e par 20 le produit de 4 par 5 Laire de la boucle initiale tant 8 gale l aire de la boucle ainsi construite est donc de 8 2 20 15 75 Laire de la figure est donc gale l aire des trois boucles augment e de celle du triangle soit Aire du triangle boucles 0 40475 Le triangle paraboles dont l aire
90. e la transition entre ces deux types de trajectoires Dans les deux s ries d illustrations ci dessus le point de d part de la trajectoire est identique il se trouve tout en haut de l ellipse en revanche l angle d attaque est diff rent il est rasant dans le premier cas et beaucoup plus franc dans le second En fait mesure que l angle augmente la courbe enveloppe s applatit jusqu n tre qu un segment de droite Pass ce cap une rupture se produit et la courbe enveloppe passe l hyperbole Une bonne fa on d appr hender la situation dans son ensemble est de r aliser ce que les savants appellent un portrait de phase Ce por trait de phase donne une image du comportement global du syst me plut t que de repr senter une une les trajectoires comme cela a t fait ci dessus on peut moyennant un petit effort d abstraction r aliser un diagramme symbolique qui les englobe toutes L int r t de cette repr sentation est qu elle permet de r pondre d un seul coup d oeil de nombreuses questions concernant le syst me dans son ensemble Par exemple que se passe t il quand on change de point de d part Quel est langle qui provoque la rupture Il permet galement de mettre en vidence une ventuelle r gularit de ce syst me ou au contraire la pr sence de chaos en son sein Comment se r alise un tel portrait de phase Pour le comprendre il est pr f rable dans un premier temps de se placer dans un
91. e qu une succession de figures de plus en plus petites en aire Ceci n est pas sans rappeler les diff rentes suites de figures rencontr es plus haut aboutissant toutes a des objets d aire nulle comme l arbre de Pythagore ou le pentagone vid Quel peut tre l objet final qui d coule de la succession de Besicovitch Qu en est il de sa dimension fractale Est on en pr sence d un objet plut t filiforme Plut t plein Ou m me pourquoi pas d une surface sans aire Une nouvelle jeunesse pour la question de Kakeya La premi re tentative pour r pondre ces questions r serve une bien mauvaise surprise la succession de figures propos es par Besicovitch n aboutit pas Certes l aire devient chaque tape plus proche de z ro pourtant ce processus peut se poursuivre ind finiment sans jamais trou ver son aboutisssement en un objet final Et bien s r celui ci n existant pas la question de sa dimension fractale ou celle de son allure g n rale est vide de sens Que s est il donc pass Les choses s clairent en r exa minant les figures de Besicovitch celles ci ne restent pas confin es dans une zone pr cise mais ont au contraire tendance s tendre ind fini ment vers le haut Ceci est bien visible sur la repr sentation sch matique ci dessous Le ph nom ne d extension permanente que l on voit ici emp che l ap parition d un objet final En effet il repousse toujours plus loin les
92. e selon laquelle une petite modification de la cause in duit une petite modification de l effet Dans la vie concr te si on r alise une table de billard en forme d ellipse cette derni re ne pourra pas tre par la force des choses une ellipse parfaite et ce seront les trajectoires perturb es repr sent es ci dessus auxquelles on aura affaire De fa on plus g n rale toute id alisation de la r alit l aide de formes math matiques pures m rite d tre consid r e avec une grande prudence Comment en d pit de ces ph nom nes d routants avancer dans la compr hension des trajectoires Une d marche fructueuse consiste les consid rer dans leur ensemble plut t que d essayer de les appr hender les unes apr s les autres Pour le dire d une mani re imag e on aimerait dresser un panorama g n ral de la situation en esp rant que celui ci se r v lera clairant et qu il puisse d voiler d ventuelles structures de l ensemble C est pr cis ment ce que permet de faire le portrait de phase il n cessite n anmoins de repr senter un grand nombre de trajectoires ce qui la main se r v le tr s fastidieux Il est donc indispensable de proc der une simulation informatique et c est elle qui est l origine de la figure repr sent e ci dessous 104 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le portrait obtenu garde grosso modo la structure de celui du billard elliptique parfait et rend compte des ph
93. e situation plus simple que celle du billard elliptique en substituant l ellipse l enceinte la plus sym trique qui soit le cercle La sp cificit d un tel billard circulaire est qu une fois la boule lanc e l angle chaque rebond BILLARDS 101 reste inchang il se perp tue ind finiment Dans la figure ci dessous il est toujours gal 50 50 180 a 50 S C 0 a b c b Position sur le cercle La trajectoire d une boule dans un billard n est autre qu une succession de rebonds et chacun de ces rebonds peut tre d crit math matique ment par sa position sur le cercle et l angle sous lequel il le frappe Pour repr senter cela math matiquement on d roule le cercle en une ligne horizontale et au dessus de chaque endroit o la boule a rebondi on place un point une hauteur qui correspond l angle de ce rebond Dans l illustration ci dessus cet angle tant toujours gal 50 tous les points vont se trouver la m me hauteur Plus g n ralement puisque langle de rebond est conserv chaque trajectoire va appara tre comme une succession de points r partis sur la m me horizontale C est la raison pour laquelle le portrait de phase est symbolis par une s rie de lignes horizontales Cette repr sentation met en vidence la r gularit des trajectoires cons quente la parfaite sym trie de ce billard Un tel diagramme dans lequel la trajectoire d
94. e telle somme constitu e d une infinit de nombres s ap pelle une s rie num rique ou encore une somme infinie Dans le cas du partage du g teau le r sultat obtenu est loin d tre anodin puisqu il s agit de la valeur 1 c est dire d une valeur finie On peut ainsi ajouter une infinit de nombres et obtenir un r sultat fini M me si ce ph nom ne peut para tre surprenant il se rencontre tous les jours dans l criture d cimale des nombres par exemple l criture 1 0 33333 3 signifie que la somme infinie 0 3 0 03 0 003 0 0003 0 00003 est gale au nombre E Ceci souligne une fois de plus que m me en pr sence de l infini on peut aboutir une quantit finie Ce n est videm ment pas toujours le cas Si on ajoute une quantit constante disons 1 pour fixer les id es la somme 1 1 1 1 1 1 62 LE CALCUL INTEGRAL n a pas une valeur finie En r alit si le nombre que l on ajoute chaque tape ne se rapproche pas de z ro la somme n a aucune chance d tre finie La somme de tous les inverses n a pas une valeur finie Contrairement ce que l intuition pourrait laisser penser la somme infinie des inverses est de m me nature que la somme eo a il 2o ae autrement dit il ne peut en r sulter une quantit finie Le lien entre ces deux sommes devient apparent si l on regroupe les termes de la somme des inverses en blocs comme indiqu ci dessous
95. e touche la courbe en un certain point inconnu mais qui est quand m me repr sent En ce point la pente de courbe est f x Selon le lien tabli plus haut cette droite et la courbe ont la m me pente en ce point Si on note p la pente de la droite cela se traduit par TOS Les triangles 1 et 2 qui ont les m mes angles sont semblables donc a_ f are D autre part dans le triangle 2 la pente p de la droite est le quotient de la distance verticale par la distance horizontale soit _ fe Does Le cumul des deux galit s pr c dentes permet d crire p a d o _ fx PS ee D La toute premi re galit permet ensuite de remplacer la pente p par f x On obtient en fin de compte une galit o interviennent les fonctions f et f SOSS G F EY Cette relation est inhabituelle elle ne donne pas f x seulement en fonction de x mais aussi en fonction de sa d riv e f x Autrement dit au lieu de trouver directement l expression f x on trouve une galit qui relie la fonction f et sa d riv e f C est une quation diff rentielle que l on crit de mani re condens e ee 92 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES se dessine est bien une parabole Les calculs explicit s dans l encart de la page suivante permettent de v rifier que la fonction inconnue est pr ci s ment la parabole 0 25x Avanc e sur la question de Kakeya Un aspect s duisant de la conjecture nonc e plus haut
96. e toute petite partie de l immense complexit du monde des objets d aire nulle En particulier et aussi incroyable que cela puisse para tre il existe des objets d aire nulle dont la dimension fractale est gale a deux par leur fa on d occuper l espace ils s apparentent des surfaces mais ils conservent une aire gale z ro La repr sentation mentale de telles figures est un d fi l imagination car rien ne semble plus paradoxal qu une surface qui serait d pourvue d aire La clef de ce paradoxe pro vient du fait qu une telle figure n est pas r ellement une surface au sens o on l entend habituellement elle occupe l espace comme une surface mais n en est pas une Plus surprenant encore ces objets a priori arti ficiels et tr s abstraits se rencontrent dans la nature et le mouvement brownien gr ce auquel Einstein a pu d montrer l existence des atomes en fait justement partie C est le math maticien Paul L vy qui a r v l cent ans apr s sa d couverte l appartenance du mouvement brownien au monde des surfaces sans aire UNE NOUVELLE JEUNESSE POUR LA QUESTION DE KAKEYA 129 Tout ceci peut paraitre fort loign du probl me de Kakeya Pourtant si on examine la surprenante r ponse de Besicovitch on se rend compte que celle ci fournit pour chaque aire aussi petite soit elle une figure permettant le retournement de l aiguille Ainsi ce que produit la cons truction de Besicovitch n est autr
97. e tr s loign es on constate une grande similarit des formules qui les d finissent Or la notion de d rivation d coule directement des formules qui expriment la pente Ce tableau laisse entrevoir que le calcul de l aire d un objet de l espace rel ve de ce m me principe de d rivation Si tel est bien le cas la premi re pr occupation est de savoir sur quelle fonc tion appliquer ce fameux principe Comme le volume d une couche de peinture recouvrant une surface donn e d pend videmment de l pais seur x de cette couche la fonction recherch e n est autre que celle qui donne ce volume en fonction de l paisseur Tr s pr cis ment si l on d signe cette fonction par f l aire de la surface s obtient alors en deux temps on d termine tout d abord la d riv e f on remplace ensuite x par z ro dans cette d riv e Le nombre que l on trouve n est autre que l aire recherch e La d monstration rigoureuse de ce r sultat sortirait du 42 LA DERIVATION cadre de cet ouvrage on se contente donc de visualiser cette proc dure au moyen d un diagramme qui met bien en vidence le r le central que joue la d riv e volume de peinture sa d riv e enx 0 f f Aire Ce diagramme re oit en entr e le volume de peinture et offre en sortie l aire de la surface il peut tre vu comme une proc dure m canique qui transforme un volume en aire et dont le rouage essentiel est un calcul de d riv e Si l
98. e universel du mou vement al atoire En effet rien d autre que le hasard ne semble r gir la course d une particule et ses incessants changements de direction De ce hasard r sultent des trajectoires particuli rement tortueuses qui ne ressemblent en rien aux courbes que les math maticiens avaient l habitude de rencontrer jusque l Un exemple de telle trajectoire est repr sent ci dessous diff rentes tapes on y observe un d but de trajectoire qui s enchev tre ensuite de plus en plus mesure qu elle se d veloppe Une telle trajectoire forme une courbe qui a la propri t LE MONDE DES OBJETS D AIRE NULLE 123 math matique de n avoir de pente a aucun endroit ce qui conduisit Jean Perrin crire c est un cas o il est vraiment naturel de penser ces fonctions continues sans d riv e que les math maticiens ont imagin es et que l on regardait tort comme de simple curiosit math matique puisque l exp rience peut les sugg rer La complexit des trajectoires browniennes a t source de grandes difficult s pour les math maticiens mais une fois ces difficult s surmont es le mouvement brownien est devenu un outil incontournable pour tudier les ph nom nes o le hasard intervient Aujourd hui il est au c ur de la science qui tudie le hasard la science des probabilit s L tude math matique du mouvement brownien a r v l un autre ph nom ne d routant dans un plan une
99. e x la limite le nombre obtenu est 2 x x c est dire 2 2x l expression de f AVANCEE SUR LA QUESTION DE KAKEYA 35 Le proc d qui permet de passer d une fonction a sa fonction d riv e est en g n ral tr s simple en voici un aper u sur quelques fonctions 42 x3 x4 d rivation l l l etc 2x 3x2 4x3 Une expression qui combine ces puissances de x se d rive ensuite de fa on la plus naturelle qui soit par exemple la fonction f 2x x se compose des fonctions x et x figurant dans la liste pr c dente et sa d rivation s effectue terme terme f 2x x d rivation l i f 2x1 2x On retrouve donc pour la fonction d riv e l expression f 2 2x an nonc e pr c demment La connaissance de cette fonction d riv e livre la pente de la courbe en tous ses points elle d noue elle seule la ques tion de l infini laquelle on se heurtait puisque celui ci est tout entier r sum en la pr sence de l inconnue x En d autres termes l infinit de va leurs possibles que l on peut assigner x entre en correspondance avec linfinit des pentes pr sentes sur la courbe Au final la s lection de celui de ses points o la pente est z ro ne r sulte plus que d un petit calcul la pente 2 2x s annule pour la valeur x 1 qui est bien la position en horizontale du point S le sommet de la courbe Avanc e sur la question de Kakeya La g om trie analytiqu
100. ement conduit penser que la pr sence de r gularit dans l ensemble des nombres premiers pourrait r sulter d un th or me valable pour toute une cat gorie d ensembles dont celui des nombres premiers Il fournit une voie d attaque qui consisterait raffiner le th or me de Sz m r di jusqu ce qu il puisse s appliquer une cat gorie d ensembles suffisamment large pour englober celui des nombres premiers C est justement gr ce un tel raffinement que les math maticiens Green et Tao ont r ussi en 2006 prouver cette pr sence de r gularit Quel est le rapport de tout ceci avec le probl me de Kakeya Il appara t justement lorsque l on s int resse de plus pr s au th or me de Sz m r di par exemple lorsque l on se demande quels endroits les progres sions arithm tiques vont figurer Autrement dit on ne se contente plus de se demander s il existe une progression arithm tique on veut aussi savoir o la chercher La r ponse est relativement ais e si l ensemble lui m me n est pas trop compliqu titre d illustration si on construit un ensemble de densit 0 5 en choisissant une case dans chaque barrette de deux cases on constate alors qu il est impossible de cocher plus de six cases sans qu apparaissent trois cases r guli rement espac es Le dessin ci dessus repr sente une configuration o il faut attendre la septi me case color e pour qu une progression arithm t
101. ements successifs et son int r t devient apparent quand le nombre de pi ces est assez grand L exemple qui suit pr sente ce proc d de Besicovitch dans le cas d une subdivision en seize pi ces du secteur angulaire fl Pour plus de facilit dans le dessin et dans le calcul ce proc d de sub division et de d placement des pi ces est appliqu non plus au secteur angulaire seul mais tout le triangle qui le contient Dans la figure de droite les seize pi ces de cette subdivision sont regroup es quatre par quatre La premi re tape dans la construction de Besicovitch est par tir de ce regroupement de former quatre paquets de pi ces assembl es selon leurs bases 114 LE THEOREME DE BESICOVITCH AAA Puis on r unit ces paquets deux par deux en paquets plus gros ce regrou pement se faisant non pas sur la base mais une certaine hauteur sur le dessin ci dessus le segment de jonction est repr sent en trait fort On r it re ce proc d avec les nouveaux paquets de nouvelles hauteurs jusqu n obtenir qu une seule figure La transformation propos e ici partir du triangle de d part compte en tout trois tapes JAY La construction de Besicovitch se r sume donc en une subdivision du triangle initial en lamelles qui sont ensuite assembl es en gerbes successivement par les pieds par la taille puis par les paules Cette man uvre qui peut sembler insolite est cependant une des i
102. enir malgr tout une suite de figures qui ait un aboutissement condition de s autoriser une petite modification dans la question de Kakeya Cette modification consiste en l abandon du mouvement proprement dit on ne demande plus l aiguille de se mouvoir l int rieur d une figure jusqu son retournement mais simplement de pouvoir tre plac e dans toutes les directions possibles l int rieur de celle ci Il s agit d un affaiblissement des exigences de la question de Kakeya puisque toute figure qui permet UNE NOUVELLE JEUNESSE POUR LA QUESTION DE KAKEYA 131 la rotation de l aiguille contient toutes les directions possibles de cette aiguille En effet au cours d une rotation compl te l aiguille balaie suc cessivement toutes les directions du plan c est ce que met en vidence le dessin ci dessous o sont repr sent es les diff rentes positions de l ai guille lors d un retournement ainsi que les directions correspondantes l inverse on peut concevoir des figures l int rieur desquelles l ai guille puisse occuper toutes les directions du plan sans pour autant que le mouvement de rotation complet y soit possible l illustration ci dessous en donne un exemple Le dernier dessin r sulte de la superposition de trois morceaux du disque initial si l on peut toujours y placer l aiguille dans nimporte quelle direction la rotation compl te y est interdite Ainsi en deman dant l aiguille
103. ent elle est en fait tr s g n rale et permet de calculer l aire d une zone d limit e par une courbe Regardons en guise d exemple les trois courbes ci dessous 0 1 0 1 0 1 On reconna t gauche la fameuse parabole x vient ensuite une simple droite puis une courbe plus g n rale On leur applique la m thode des palissades et on r unit les r sultats dans le tableau Aire la limite de Aire du Aire la limite de la petite palissade domaine color la grande palissade parabole 0 33333 1 3 0 33333 droite 0 49999 0 5 0 50000 courbe 0 74999 0 75 0 75000 La premi re ligne est un condens du paragraphe pr c dent les trois va leurs qui y figurent sont un seul et m me nombre qui est l aire du do maine situ sous la parabole Les deux lignes suivantes sont contrai rement aux apparences exactement de m me nature en effet on est confront ici une fac tie de la repr sentation des nombres il est des cas o un m me nombre peut admettre deux critures d cimales diff rentes par exemple 0 99999 et 1 ou encore 0 49999 et 0 5 La m thode des palissades donne donc sans aucune ambigu t laire situ e sous la droite et l aire situ e sous la courbe repr sent e en troisi me po sition Cela tant on peut se demander s il en est ainsi pour toutes les courbes autrement dit s il est des cas pour lesquels les aires qui r sultent des petite et grande palissades sont diff ren
104. ent enseign et on en apprend d s le lyc e l op ration la plus fondamentale savoir la d rivation des fonctions auteur du tout premier ouvrage en fran ais sur le calcul diff rentiel en 1696 parle dans son introduction de la beaut de ce calcul et de sa force pour s affranchir de difficult s qu on m aurait jamais os tenter 20 UNE QUESTION ANODINE auparavant Bref chacun est bien conscient de la r volution que toutes ces id es nouvelles sont en train de provoquer Aujourd hui plus de 300 ans apr s il est tr s facile de se rendre compte quel point cet enthousiasme initial tait justifi Non seulement le calcul diff rentiel a p n tr toutes les branches des sciences depuis l astronomie jusqu aux sciences du vivant mais il s est aussi introduit m me si nous n en avons pas toujours conscience jusque dans notre vie quotidienne Par exemple un simple voyage en train peut tre l occasion d observer une mat rialisation inattendue du calcul diff rentiel Celle ci concerne le trac des voies ferr es qui doit prendre en compte de sub tiles contraintes sur la forme des rails notamment dans la construction des virages En effet pour r aliser ces changements de direction on serait tent de faire succ der une ligne droite un arc de cercle qui la prolonge Mais cette solution certes naturelle provoquerait pourtant presque coup s r le d raillement du train Il existe en r alit
105. er une application la lettre de la formule de Stokes un contour en escalier restitue fort logiquement les m mes calculs que ceux de la m thode de l arpenteur Aire MJ xv 2 6 12 5 7 6 2 2 oe En r alit pour un domaine en escalier ces deux m thodes sont qui valentes mais bien entendu le champ d action de la formule de Stokes ne se r sume pas ce type de domaines On dit que cette formule g n ralise la m thode de l arpenteur qui peut alors s appliquer une tr s grande diversit de contours 76 LA FORMULE DE STOKES Avanc e sur la question de Kakeya Par sa grande g n ralit la formule de Stokes est l outil id al pour envisager de nouvelles figures r pondant a la question de Kakeya La meilleure figure trouv e jusqu pr sent le triangle a paraboles tire par tie d un nouveau mouvement de l aiguille au lieu d effectuer de simples rotations l extr mit de l aiguille glisse sur le long des c t s Lorsque l aiguille tourne autour de chaque sommet en balayant la totalit du tri angle ce sont trois petites boucles qui apparaissent chaque extr mit Dans la configuration repr sent e ci dessus le triangle central occupe les trois quarts de l aiguille et la hauteur des petites boucles un quart La formule de Stokes donnant facilement l aire d une boucle le pro bl me est donc maintenant d adapter les dimensions de notre boucle afin qu elle colle au mieux celle qu
106. es avec une aire de 0 39140 supplante la del toide Ainsi le candidat naturel pour r pondre a la question de Kakeya nest pas le bon La conjecture propos e tacitement par Kakeya s av re donc fausse le myst re s paissit Billards Les quations diff rentielles permettent de conna tre pr cis ment les contours d une figure lors d un mouvement complexe de l aiguille la connaissance de ces contours tant un pr alable indispensable au calcul rigoureux de l aire de la figure Mais leur r le ne s arr te pas l elles interviennent partout o l on cherche quantifier un mouvement et ce quelle qu en soit la nature trajectoire d une fus e croissance des populations r partition des courants marins conduction de la chaleur etc En fait elles interviennent dans toutes les situations qui connaissent une volution au cours du temps et que l on appelle par opposition aux syst mes statiques des syst mes dynamiques Parmi tous les syst mes dynamiques que l on peut imaginer il en est un qui a jou plus que tout autre un r le pr pond rant dans l histoire des math matiques il s agit du syst me solaire Celui ci occupe en effet une place fondamentale dans la vie sur Terre puisqu il est la cause premi re de l alternance des jours et des nuits de l existence des saisons et des rythmes annuels Le d sir constant des hommes de percer le myst re de cette m canique c leste a conduit au cours des temps
107. es s appliqueront tout naturellement et rendront accessibles un grand nombre de figures nouvelles Jusqu a pr sent les figures rencontr es sont en effet en nombre tr s restreint une petite r trospective en livre les principales en premier lieu le disque dont l aiguille est le diam tre puis le Reuleaux et le triangle et enfin les diff rentes familles d h lices LE CALCUL INTEGRAL 49 TTT Il est important de remarquer ici que ces surfaces ne font intervenir que des droites et des cercles ceci rend ais le calcul de leur aire mais limite les possibilit s d inventer des figures nouvelles En s autorisant des courbes plus compliqu es on se donne beaucoup plus de libert pour concevoir toutes sortes de figures Il est alors raisonnable de penser que dans ces conditions on puisse obtenir des figures d aire encore plus petite Mais ces figures tant d limit es par des courbes plus complexes un probl me de taille va surgir immanquablement comment d termi ner leur aire C est pr cis ment ici que le calcul int gral va intervenir car ce calcul qui r sout tr s simplement le probl me de la cyclo de s applique de la m me fa on toutes sortes de courbes complexes De telles courbes apparaissent immanquablement d s que l on r fl chit plus avant au probl me de Kakeya Par exemple en rempla ant les arcs de cercle de l h lice triangulaire par des courbes plus complexes il est possible d obtenir une fi
108. est autre qu un probl me de Ka keya pour les aiguilles parall les Il existe donc une figure permettant ce tranfert et qui occupe de surcroit une aire aussi petite qu on le souhaite Il suffit de la placer correctement sur les deux secteurs angulaires pour rendre au huiti me de tour sa continuit Dans les illustrations ci dessus le gain de place entre le secteur angulaire de 45 degr s et la construction propos e n appara t pas clairement il faut cependant imaginer une partie sup rieure extr mement tir e de sorte que l aire des parties color es soit infime Ce proc d de construction peut tre largi un d coupage du secteur angulaire en un nombre arbi traire de pi ces chaque augmentation du nombre de ces pi ces condui sant un amenuisement de l aire Lillustration ci dessous r sume cette construction dans le cas du d coupage en quatre pi ces du secteur ini tial LA CONSTRUCTION DE BESICOVITCH 113 av La simple multiplication du nombre de pi ces n offre malheureusement pas une r duction sans limite de l aire finale Une tude pr cise de cette construction montre qu il existe un nombre en de duquel l aire de la figure ne descendra jamais si nombreuses que soient les pi ces de la d coupe Pour surmonter cette difficult Besicovitch profite de l augmen tation du nombre de pi ces pour les regrouper de fa on de plus en plus ing nieuse Cette nouvelle fa on de faire consiste en des regroup
109. est de 35 ans Cette extr me jeunesse s accompagne presque immanquablement d une force de travail extra ordinaire L uvre compl te du philosophe et math maticien Gottfried Leibniz est si volumineuse que son dition entreprise au d but du XX si cle n est toujours pas achev e Sa correspondance elle seule se compose de 20 000 lettres de sa main et sa publication compl te n cessiterait une centaine d ouvrages Quant Newton vingt ans d une vie quasi monacale enti rement d di s au labeur le conduisirent une grave d pression nerveuse Pour prendre un exemple plus actuel la r cente d monstration du grand th or me de Fermat largement c l br e dans les m dias ne fut obtenue par le math maticien Wiles qu au prix de neuf ann es d isolement et de travail acharn Aussi la comp tition entre math maticiens est rude et la primaut d une d couverte prement disput e Ce fut le cas de l invention du calcul diff rentiel qui fut l occasion d un grave conflit entre Newton et Leibniz Newton en effet d couvre le calcul diff rentiel en 1665 mais ne le publie qu en 1687 soit vingt deux ans plus tard Leibniz de son c t le d couvre en 1675 c est dire dix ans plus tard que Newton mais le publie presque imm diatement une dizaine d ann es avant Newton Aurait il eu vent de la d couverte de Newton lors de son s jour a Londres en 1673 Certains l ont pens et il naquit chez Newton une f roce
110. et photo lectrique un ph nom ne physique qui met en vidence l existence de ces fameux grains de lumi re appel s photons les photons qui bombardent une surface m tallique sont capables d en arracher des lectrons Cette d couverte fondamentale lui vaudra le prix Nobel de physique N an moins c est la deuxi me de ces d couvertes qui a donn Einstein sa renomm e universelle il s agit de la tr s c l bre th orie de la relati vit et de la non moins c l bre formule E mc D sormais le temps nest plus absolu Mati re et nergie se confondent Quant la troi si me d couverte ce n est ni plus ni moins que celle de l existence des atomes Ceux ci totalement invisibles sous la lentille des microscopes de l poque ne pouvaient tre observ s et Einstein n a pu d duire leur existence qu partir de l interpr tation d un ph nom ne inexplicable jusqu alors le mouvement brownien 122 LA CONJECTURE DE KAKEYA La d couverte de ce mouvement comme celle de la p nicilline ou de la radioactivit fait partie de ces d couvertes fortuites qui ont jalonn Vhistoire de la science En 1827 le botaniste Robert Brown observe au microscope des poussi res organiques en suspension dans le fluide contenu dans un grain de pollen Il est imm diatement intrigu par l tranget de leur mouvement les particules se meuvent de fa on chaotique et impr dictible l int rieur du liquide en des tr
111. ges de manifester une grande gentillesse et une grande ac cessibilit envers ceux qui l ont c toy En particulier dans sa propre famille la patience et l attention dont il fit preuve l gard de ses treize enfants sont demeur es c l bres Devenu aveugle les douze derni res ann es de sa vie il ne ralentit pas pour autant son rythme de travail et dicta ses publications ses fils ou ses serviteurs Il meurt en 1783 l ge de 76 ans Pr c demment la repr sentation d une somme infinie sous forme d un g teau que l on partage a permis de saisir d un seul coup d ceil la valeur de cette somme En revanche pour la somme d Euler il n existe pas de repr sentation aussi simple N anmoins une visualisation graphique de cette somme est tout de m me possible au travers d une juxtaposition de rectangles dont chacun d eux figure par son aire un terme de la somme Plus pr cis ment on choisit des rectangles qui ont tous une largeur gale 1 et une hauteur successivement gale L z etc et on laisse provisoirement de c t le premier terme de la somme d Euler Sur cet escalier infini se superpose la courbe de la fonction f du mur infini LE PARADOXE DU PEINTRE 65 1 2 3 4 5 6 eee Cette visualisation ne permet malheureusement pas de percevoir le lien entre la somme des inverses des carr s et le nombre z mais elle per met n anmoins d obtenir au moyen du calcul int gral un renseigne ment
112. gure plus petite qui r ponde au probl me de Ka keya Cette am lioration repose sur l optimisation du trajet de l aiguille l int rieur de la figure Jusqu pr sent le trajet consid r l int rieur de la figure se composait d une suite de rotations et de glissements de l aiguille il est d crit dans les illustrations ci dessous Une observation attentive de ce mouvement permet d envisager un gain de place Au lieu de faire tourner successivement l aiguille autour des sommets du triangle on fait glisser chaque fois une de ses extr mit s le long d un c t Au total il r sulte bien de ce mouvement une rotation de l aiguille mais il appara t cette fois de petites zones d laiss es de part et d autre de chacun des trois petits secteurs 50 LE CALCUL INTEGRAL V On fabrique ainsi une nouvelle figure l int rieur m me de cette h lice donc plus petite dans laquelle on peut effectuer une rotation de l ai guille Cette nouvelle figure n tant plus exclusivement d limit e par des droites et des cercles mais galement par des portions de courbes plus complexes la d termination de son aire rel ve du calcul int gral Il se trouve que dans cet exemple ce calcul rec le quelques difficult s c est pourquoi nous allons pour commencer nous pencher sur un exemple plus simple Le partage d Archim de Il existe une fa on harmonieuse et inattendue de partager un
113. h or me d Archim de C est un th or me incroyablement novateur qui va nous permettre d ap pliquer les m thodes du calcul diff rentiel que nous venons d exposer Archim de d ailleurs semblait extr mement fier de cette d couverte Voici d ailleurs ce qu crivait de lui Plutarque dans La vie des hommes illustres au d but du II si cle Marcellus t moigna un regret extr me de la mort de ce grand homme Ne pouvant le sauver sa g n rosit se tourna du c t de ceux qui lui appar tenaient il leur rendit leurs biens et le corps de ce grand homme pour lui dresser un tombeau Archim de avait d sir qu on y grav t une sph re inscrite dans un cylindre en m moire de sa d couverte sur le rapport de LE THEOREME D ARCHIMEDE 39 ces corps Cela fut ex cut et c est a ce signe que Cic ron tant questeur en Sicile retrouva ce monument au milieu des ronces et des pines qui le d robaient a la vue Au premier abord il peut paraitre facile de v rifier le th or me d Ar chim de il suffit de calculer laire de la sph re et celle du cylindre et de constater qu elles sont gales Pour le cylindre qui n est autre qu un rectangle referm sur lui m me ce calcul d aire ne pose pas de r el probl me en revanche pour la sph re il se r v le d une grande difficult tant conceptuelle que pratique En effet contrairement certaines figures comme le cylindre ou le c ne la sph
114. herche une fonction f gale au double de sa d riv e La r solution de telles quations c est dire la recherche de la fonction inconnue f rel ve du savoir faire du math maticien Bien s r toutes les quations diff rentielles ne sont pas de la m me difficult si certaines assez simples rel vent de petites manipulations un peu similaires celles que l on effectue pour les quations alg briques d autres en revanche demeurent r tives toutes formes de r solution C est notamment le cas des quations de Navier Stokes Elles traduisent des ph nom nes naturels qui sont au c ur des pr visions m t orolo giques des tudes d a rodynamique et plus g n ralement de tous les mouvements de fluide Pourtant on est aujourd hui tr s loin de savoir traiter de mani re satisfaisante ces quations En fait il se trouve que les savants se heurtent un probl me qui peut sembler incongru mais qui est encore plus fondamental celui de savoir s il existe des solutions LA DELTOIDE 87 a ces quations En somme alors que l on peut observer sans peine toutes sortes d coulements dans la nature il est incroyablement diffi cile de les red couvrir math matiquement en partant des quations de Navier Stokes Ces probl mes font partie des plus grandes questions qui se posent en math matiques un des sept probl mes du mill naire dot par la fondation Clay d un prix d un million de dollars est juste
115. iguille de Kakeya site Choux Romanesco vache qui rit et int grales multiples http eljjdx canalblog com archives 2011 01 23 20181660 html S Tummarello Math matiques les fabuleuses d couvertes du surdou Terence Tao site Futura Science http www futura sciences com fr news t mathematiques 1 d mathematiques les fabuleuses decouvertes du surdoue terence tao_9730 1 Wikip dia Probl me de l aiguille de Kakeya http fr wikipedia org wiki Probl me_de_l aiguille_de_Kakeya Sujets abord s au cours des chapitres Chapitre 1 S Cantat Le triangle de Reuleaux site Images des Math matiques http images math cnrs fr Le triangle de Reuleaux html Chapitre 2 Math Pages Archimedes on Spheres and Cylinders http www mathpages com home kmath343 kmath343 htm 158 BIBLIOGRAPHIE Chapitre 3 J P Allouch Sommes de s ries de nombres r els site Images des Math matiques http images math cnrs fr Sommes de series de nombres reels html Chapitre 4 B Klockner L in galit isop rim trique site Images des Math matiques http images math cnrs fr L inegalite isoperimetrique html J Hass et R Schlafly Histoires de bulles et de doubles bulles La Recherche num ro 303 novembre 1997 Chapitre 5 B B Hubbard et J Hubbard Loi et ordre dans l Univers le th or me KAM Dossier Pour la Science Le Chaos janvier 1995 Chapitre 6 V Klee S Wagon Old and New Unsolved Problems in Planr Geometr
116. ine consid r C est justement ici qu interviennent les progressions arithm tiques En effet compter de telles aiguilles revient a d nombrer les progressions arithm tiques de trois l ments Dans le dessin de droite figurent deux progressions arithm tiques 2 2 0 5 0 5 2 4 6 10 gt 10 5 gt 11 mais seule la premi re correspond une aiguille dont les extr mit s et le centre sont dans la zone figur e en jaune En fin de compte tout le probl me se r sume a estimer le nombre de progressions arithm tiques LAPPROCHE DE BOURGAIN 155 d un ensemble en jaune situ l int rieur d un paississement rectan gulaire d aiguilles bleu clair Cet ensemble poss de une certaine densit qui repr sente simplement la proportion qu il occupe l int rieur des rectangles On est donc bien ramen la question des progressions arithm tiques dans un ensemble d une certaine densit Au del des progr s dont il est la source ce lien entre probl me de Kakeya et la recherche de r gularit dans les ensembles illustre un fait souvent remarqu en sciences la solution d un probl me passe parfois par des d tours inattendus Les r gularit s tudi es par Sz m r di dans le cadre des nombres premiers ont finalement abouti une avanc e significative sur la question de Kakeya Cette d couverte montre que les math matiques ne se r duisent pas un exercice d nu d imagination ma
117. ion de cet objet d coule en droite ligne de celle de la figure de Besicovitch en deux dimensions Une fois la question du volume r solue on s interroge tout comme en dimension 2 sur la densit des figures solutions c est dire leur dimension fractale De fa on tout fait similaire ce qui se passe pour les figures du plan il existe des objets de l espace interm diaires entre une surface et un solide et qui par cons quent auront une dimen sion fractale situ e entre deux et trois De tels objets peuvent s obtenir par exemple au moyen d un proc d d videment dans l illustration ci dessous la pi ce de d part est un cube et l objet obtenu la limite s appelle l ponge de Sierpinski sa dimension fractale est de 2 73 environ LA CONJECTURE 135 Vol 1 Vol 0 74074 Vol 0 54869 Vol 0 De m me qu en dimension 2 ce genre de construction aboutit des objets paradoxaux que l on peut qualifier de solides sans volume ils correspondent aux surfaces sans aires du plan ce sont des objets dont la dimension fractale vaut trois tout en ayant un volume gal z ro En par faite analogie avec la dimension 2 il s av re que tous les objets connus l heure actuelle qui ont un volume nul et qui r pondent au probl me de Kakeya sont de ce type Se pose alors la question de r duire la dimension fractale est il possible qu un objet solution ait une dimension inf rieure trois Cont
118. ique voie le jour 6 1 gt 7 13 146 PERSPECTIVES On dit pour cet exemple que le nombre 7 est la borne qui garantit la pr sence de trois nombres en progression arithm tique d s que sept cases sont coch es une telle progression est obligatoirement pr sente Si l ensemble envisag est plus compliqu il faut en g n ral cocher bien plus de sept cases pour avoir la certitude de rencontrer de telles suites Les bornes sont alors des nombres astronomiquement grands En 1999 le math maticien Jean Bourgain a mis en vidence un lien entre ces nombres et le probl me de Kakeya Cette d couverte importante lui a permis d effectuer une avanc e significative propos de la conjecture de Kakeya Selon cette conjecture une figure qui contient l aiguille dans toutes les directions f t elle de volume nul poss de une dimension fractale gale la dimension de l espace dans lequel on se place Par exemple dans l espace ambiant trois dimensions la conjecture pr voit une dimen sion fractale gale trois Ce r sultat ne r sout pas la conjecture mais permet de donner un nombre qui minore la dimension fractale Pour la dimension 3 ce nombre vaut 2 04 ce qui signifie que la dimension frac tale est n cessairement plus grande que 2 04 Le tableau suivant met en parall le pour d autres dimensions les pr visions de la conjecture et les r sultats obtenus par Jean Bourgain Selon la conjecture R sultat de Bou
119. ir de r els effets on s est alors heurt des difficult s si consid rables que toute pr diction devenait impossible Un exemple loquent de cette difficult est le probl me de la stabilit du syst me solaire l observation de la course des plan tes autour du soleil r v le un syst me r gulier compos de plan tes qui semblent r it rer ind finiment la m me trajectoire Mais cette impression pourrait bien tre trompeuse certes les plan tes tournent autour du soleil selon une ellipse mais ceci n est en r alit qu approximatif puisque toutes les plan tes exercent entre elles une influence mutuelle qui d forme leur trajet Il se pourrait que dans le futur ces trajectoires se modifient sensiblement jusqu ce que certaines plan tes chappent l attraction du soleil ou encore qu une collision se produise En d autres termes les toutes petites pertubations inflig es aux ellipses peuvent elles la longue menacer l quilibre du syst me solaire lui m me la fin du XIX si cle et apr s que de nombreux math maticiens et astronomes eurent tudi la question Poincar mit en vidence un ph nom ne qui allait changer radicalement le point de vue des scientifiques sur ces questions la nature chaotique de certaines trajectoires de la m canique c leste Cette apparition du chaos dans la r solution des quations diff rentielles est un obstacle majeur aux pr dictions moyen terme On n a par exe
120. is qu elles sont bien au contraire une science vivante o l invention tient une place primordiale La mise au jour de ces liens secrets claire de fa on extraordinaire des pans entiers de la science Quant la ques tion de Kakeya le lien tonnant avec les progressions arithm tiques ne marque pas le bout de nos surprises puisqu une connexion plus fasci nante encore a t d couverte par Jean Bourgain entre cette question et l nigme la plus c l bre des math matiques la myst rieuse hypo th se de Riemann Cette hypoth se dont les math maticiens tentent de percer le secret depuis cent cinquante ans offrirait si elle tait r solue une bien meilleure connaissance de la r partition des nombres premiers Les connexions insoup onnables du probl me de Kakeya avec les ques tions les plus profondes des math matiques sont la source de l int r t sans cesse renouvel que les math maticiens lui portent Qui aurait pu imaginer un tel destin pour une question aussi innocente C est l l une des facettes les plus s duisantes des math matiques qu une interroga tion presque enfantine sur une simple aiguille puisse tre le point de d part d une qu te touchant aux connaissances scientifiques les plus avan c es Bibliographie Pages Internet relatives au probl me de Kakeya J Angst Le probl me de Kakeya s minaire des doctorants http perso univ rennes1 fr jurgen angst seminaires semdoc_06 pdf El Jj La
121. ision par cinq de l aire trente tages et 12 393 906 174 523 604 992 pi ces garantissent une division par dix et ainsi de suite En r sum quitte le d couper en un tr s grand nombre de pi ces on peut r arranger le triangle initial de sorte que son aire de vienne aussi petite que l on veut Par cons quent d apr s ce qui a t dit en d but de paragraphe l aiguille peut se d placer entre les deux posi tions extr mes du secteur angulaire en balayant une aire arbitrairement petite Le th or me de Besicovitch est ainsi d montr puisque de tels secteurs angulaires mis bout bout permettent le retournement com plet de l aiguille Concr tement la repr sentation des figures ainsi obtenues pose pro bl me cause du nombre de pi ces qui devient tr s vite astronomique et cause des antennes qu il faut ajouter au bout de chacune d elles pour permettre le d placement de l aiguille de l une l autre Le dessin ci dessus repr sente gauche la figure quatre pi ces au grand complet et a droite une repr sentation plus sch matique Ensuite plus le nombre LENIGME DES DOMAINES ETOILES 117 de pi ces grandit plus les antennes s allongent de fa on ce que se poursuive la diminution de l aire Finalement le proc d de Besicovitch rend possible la construction d une succession infinie de figures dont l aire devient aussi faible qu on le souhaite et qui r pondent toutes au probl me d
122. l y a une infinit de figures interm diaires mais on ne peut en repr senter que quelques unes et c est l imagination qui fait le reste Chaque membre de cette famille infinie est constitu d un ensemble de trois pales dispos es autour d un Reuleaux central la totalit 26 LA DERIVATION rappelant la forme d une h lice Bien entendu l aiguille peut effectuer une rotation compl te dans chaque h lice qu elle soit situ e au d but ou la fin de la famille Les dessins ci dessous donnent le principe de ce mouvement Reste savoir maintenant quelle h lice poss de l aire la plus petite Pour cela il ne suffit pas de conna tre l aire d un seul objet mais celles de toute la famille infinie des h lices Jusqu pr sent on se livrait des essais sur des figures isol es Comment maintenant appr hender globalement une situation faisant intervenir une infinit d objets La r ponse est tonnamment simple cette infinit d objets va se r soudre en une courbe qui mat rialisera l aire de la famille des h lices dans son ensemble De m me qu une figure isol e correspond un nombre qui est son aire une famille de figures correspond toute une courbe la courbe des aires qui repr sente l infinit des aires possibles des membres de cette famille Aire 1 5 0 0 5 1 Longueur du secteur Cette courbe montre que l aire des h lices commence par d cro tre puis attein
123. la loupe autour de ce point la courbe et la droite se confondent au fur et mesure que le grossissement augmente Il y a donc un lien essentiel entre la courbe et les droites qui l enve loppent Au point de contact la pente de la courbe et celle de la droite sont gales 90 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Reste que cet nonc contient une difficult il ne donne pas l empla cement de ces points de contact On est en pr sence d une s rie de droites et d une courbe chaque droite touchant la courbe en un certain point dont on ignore tout la seule chose que l on sache c est l galit des pentes en ce point Dans le contexte du probl me de Kakeya cette courbe sert fabriquer un domaine dont il faut calculer l aire et cela n cessite de conna tre une fonction dont le graphe est ladite courbe C est ce passage de la condition d galit des pentes l expression de la fonc tion enveloppe qui va faire appara tre une quation diff rentielle dont la fonction inconnue f est justement la fonction enveloppe recherch e titre d illustration on va montrer au moyen d une quation diff ren tielle qu un certain mouvement d querre engendre une parabole Le mouvement est le suivant on fait glisser l angle droit de l querre sur une droite tout en astreignant un des c t s de l querre coulisser sur un point fixe A Les positions successives de l autre c t de l angle droit repr sente
124. lcul int gral Laire du triangle a paraboles s obtient partir de sa d compo sition en figures g om triques quatre triangles quilat raux un grand et trois petits et de trois petites calottes paraboliques A ovo Laire du grand et des petits triangles r sulte d un calcul l mentaire celle de la calotte du calcul int gral En effet cette derni re apparait comme tant l aire d limit e par la courbe de la fonction f 5 4x repr sent e ci dessous Cette aire est pr cis ment le nombre b j qui se calcule au moyen de la formule d int gration Pour ce faire il est n cessaire de connaitre non seulement une primitive F de f mais aussi les nombres a et b qui d limitent le domaine Or il se trouve que la fonc tion F sx x se d rive en f quant aux nombres a et b un calcul alg brique tr s simple en fournit la valeur a vaut 0 14433 et b vaut 0 14433 La formule d int gration donne alors l aire de la petite calotte b 1 Fb F a T s F 0 14 F 0 14 0 01603 58 LE CALCUL INTEGRAL et par suite l aire de toute la figure qui vaut 0 41296 On le constate et ce n est pas une surprise l h lice triangulaire ainsi tronqu e voit son aire diminuer l g rement Bien s r le gain est modeste mais il est d sormais possible grace au calcul int gral d envisager des figures aux contours complexes notre champ d investigation s largit soudainement
125. le d crit au d but de ce chapitre de lib rer un peu de place l int rieur de chaque secteur d une h lice triangulaire Tout le probleme est maintenant de calculer la nouvelle aire c est a dire la surface r ellement n cessaire au retournement de l aiguille dans chacun de ces secteurs Cette nouvelle surface est d limit e par une courbe et c est l aire situ e sous cette courbe que l on aimerait conna tre Malheureusement cette courbe conduit un calcul d aire relativement technique et il est pr f rable quitte perdre un peu de place de la remplacer par une courbe plus famili re la parabole Au final la figure que l on obtient est un triangle paraboles c est dire une h lice dans laquelle les arcs de cercles ont t remplac s par des arcs de paraboles Une premi re difficult pour construire cette figure est de choisir parmi toutes les paraboles la plus ad quate c est dire celle qui colle au mieux l h lice Elle ne doit tre ni trop large ce qui ferait perdre de la place ni trop troite ce qui emp cherait l aiguille de tourner ADT Trop large Ad quate Trop troite AVANCEE SUR LA QUESTION DE KAKEYA 57 Dans cet exemple o lon a pris pour simplifier une longueur de boucle gale au tiers de celle de l aiguille une tude particuli re montre que la parabole ad quate a pour formule _ 1 2 f Dp 4x C est donc sur cette fonction que vont s appliquer les principes du ca
126. le de pasteur Apr s des tudes brillantes il ne tarde pas devenir l un des plus grands physiciens du Royaume Uni Et tout comme Wiles il fut anobli et devint ainsi en 1889 le baronnet Sir Georges Gabriel Stokes Que dit la fameuse formule qui porte son nom Elle donne un moyen direct et l gant pour conna tre une aire partir du contour qui englobe cette aire En particulier elle est l outil tout indiqu pour aborder le probl me de Kakeya puisqu elle permet non seulement de retrouver toutes les aires des figures qui sont apparues jusqu pr sent mais elle LA METHODE DE LARPENTEUR 69 donne galement acc s l aire de figures aux contours bien plus com plexes Cette formule tout en se situant dans la veine du calcul int gral en repousse les limites L int gration en effet ne s applique qu des domaines tr s particuliers ceux qui se situent au dessous de la courbe d une fonction Or dans la notion de courbe d une fonction il y a l id e d un d roulement sans retour en arri re Les aires concern es par la m thode d int gration sont donc du type de celle qui est ombr e dans le dessin ci dessus Laire d un domaine reste en g n ral accessible mais elle n cessite de se livrer un d coupage fas tidieux afin d obtenir des morceaux d limit s par la courbe d une fonc tion Laire de chacun des morceaux se calcule ensuite par la m thode d int gration une simple addition conduisant ensuite
127. lement par la lettre f qui ne repr sente pas un simple nombre mais une quantit qui d pend de la valeur attribu e inconnue x Newton et Leibniz r volutionnent les math matiques de leur temps par une nouvelle d couverte on peut partir d une courbe et par un proc d syst matique trouver la formule qui donne la pente en chaque point de la courbe consid r e Appliqu la fonction 2x x ce proc d syst matique qui sera d taill plus loin donne pour la pente la formule pente 2 2x Par exemple on v rifie que lorsque x 0 5 c est dire lorsque l on se trouve sur le point C de la courbe la pente est 2 2 x 0 5 1 Mais bien s r cette formule se v rifie galement pour tous les autres points de la courbe Cette criture 2 2x qui donne la pente en chaque point de la courbe est aussi une fonction on l appelle fonction d riv e on la note f En fin de compte si l inclinaison d une droite est un simple nombre sa pente celle d une courbe est en revanche toute une fonction celle qui indique la pente pour chacune des valeurs de x et qui s appelle la fonc tion d riv e 34 LA DERIVATION De la pente a la fonction d riv e Le passage d une fonction a sa fonction d riv e n est pas si myst rieux qu il n y para t En r alit un raisonnement l mentaire permet de comprendre l origine des formules de d rivation rencontr es jusqu pr sent Ce raison
128. lus pe tite possible z ro est enfin atteinte En cette figure myst rieuse le nouveau probl me de Kakeya trouve enfin sa r solution ultime et le th or me de Besicovitch son dernier perfectionnement Nouveau th or me de Besicovitch T existe une figure d aire nulle qui contient l aiguille dans toutes ses directions Qu en est il de cette figure de Besicovitch qui offre une r ponse si claire et si directe au nouveau probl me de Kakeya Celle ci tant l aboutis sement d une succession infinie d objets ayant une aire toujours plus petite il se pose alors tout naturellement la question de sa dimension fractale En d autres termes la figure de Besicovitch a t elle un aspect plut t filiforme ou plut t plein Il s av re que la dimension fractale LA CONJECTURE 133 de cette figure est gale deux Tout comme le mouvement brownien cette figure fait donc partie de ces fameux objets extr mes rencontr s plus haut c est une surface sans aire Dans le monde des objets d aire nulle elle est aux antipodes des figures filiformes et rev t l aspect plein d une v ritable surface A posteriori ce r sultat parait assez raisonnable il semble en effet intuitivement naturel qu il faille une certaine place pour contenir l aiguille dans toutes ses directions et on imagine mal qu une figure filiforme puisse convenir En d autres termes la pr sence d une densit minimale pour r pondre au probl me de
129. ment de percer a jour le secret de ces fameuses quations La deltoide Une nouvelle fa on d aborder le probl me de Kakeya conduit tout natu rellement a une quation diff rentielle au lieu d envisager directement des figures l int rieur desquelles l aiguille peut se retourner on s int resse aux mouvements possibles de l aiguille afin d en extraire les figures qu ils engendrent Ainsi au lieu de prendre la figure comme point de d part on consid re un mouvement de l aiguille puis on cherche la figure qui colle au mieux ce mouvement Et pr cis ment au moment o il formule sa question Kakeya a d j en t te une fa on de retourner l aiguille particuli rement simple et harmonieuse tel point qu elle peut se d crire par un petit m canisme l mentaire Ce m canisme se compose de deux roulettes identiques et d un cercle trois fois plus grand On relie les axes des roulettes par une tige de sorte que cet ensemble puisse tourner l int rieur du grand cercle comme l indique la premi re des deux figures qui pr c dent On suppose que tout cet ensemble roule l int rieur du grand cercle et on fait abstraction de la tige de liaison On relie alors les deux roulettes par une aiguille conform ment au second dessin ci dessus et on suit le mouvement de l aiguille dans ce man ge 88 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES On observe que les extr mit s de l aiguille d crivent une courbe com
130. ment les deux courbes selon qu elle rebondira en haut ou en bas dans l enceinte elliptique La courbe en forme de huit renvers qui se trouve entre les deux mat rialise la fronti re qui s pare les deux types de mouvements Ce diagramme est certes moins l mentaire que celui du billard cir culaire mais il est tout de m me empreint d une grande r gularit qui signe la pr sence d un ordre global dans le syst me du billard elliptique Ce syst me n est donc en rien chaotique mais le chaos n est pas tr s loin Il suffit pour s en rendre compte de d former tr s l g rement l el lipse qui forme le contour du billard et de s int resser nouveau aux comportements des trajectoires On observe alors que certaines trajec toires s av rent relativement peu sensibles cette perturbation dessin de gauche alors que d autres en sont gravement affect es dessin de droite BILLARDS 103 Dans ces dessins la perturbation qui a t appliqu e l ellipse est presque imperceptible le contour de l enceinte est l g rement plus pointu qu une ellipse v ritable Pourtant certaines trajectoires s en trouvent compl tement boulevers es une toute petite modification a suffi briser l extr me r gularit que l on observait dans le compor tement du billard elliptique et on se trouve pour la premi re fois en pr sence d un ph nom ne qui semble chaotique Cela contredit une intuition naturell
131. mple aucune id e de la position de la plan te Terre un horizon de cent millions d ann es ce qui est peu comparativement aux 5 6 milliards d ann es d existence du syst me solaire On pourrait penser que cette apparition du chaos r sulte de l extr me complexit du syst me solaire due la pr sence de nombreux corps qui interagissent entre eux Mais en r alit il n en est rien et c est l une des grandes r v lations de l tude des quations diff rentielles le chaos BILLARDS 99 peut surgir dans des syst mes infiniment plus simples Il est m me pos sible d observer ces ph nom nes sur des syst mes tellement pur s que les quations diff rentielles semblent avoir disparu Un exemple saisis sant d un tel syst me est ce que les math maticiens appellent un billard c est dire un syst me compos d un seul corps dont la trajectoire est astreinte demeurer l int rieur d un espace bien d limit Le corps en question volue en ligne droite jusqu atteindre la limite du domaine o il rebondit selon la loi de la r flexion de Descartes c est dire comme un rayon lumineux frappant une surface r fl chissante ZO R En g n ral les trajectoires apparaissent de plus en plus enchev tr es au fur et mesure des rebonds N anmoins dans certains cas si on laisse la trajectoire se d velopper l infini une r gularit inattendue peut alors se r v ler C est ce qui a lieu
132. n Bien s r ces formules ne sont pas n cessaires pour des objets aussi simples qu un point ou une droite mais pour des figures plus complexes elles deviennent in vitables C est en particulier le cas pour des figures compos es d un m me objet qui se r p te l infini en s accumulant dans certaines zones 150 PERSPECTIVES du plan Par exemple dans les dessins ci dessous ce sont des points et des cercles qui par leur amoncellement font apparaitre des zones plus denses susceptibles d augmenter la dimension Pour trancher il est alors indispensable de proc der a un calcul rigoureux de dimension Un tel calcul montrerait pour les figures en question que ces zones denses n augmentent pas la dimension celle ci demeurant donc gale a z ro pour l illustration de gauche ci dessous et un pour celle de droite On veut montrer que la dimension d un ensemble de Besicovitch est grande il faut donc montrer que l aire d un paississement ne d croit pas trop vite c est a dire pour faire simple ne soit pas trop petite La r solution du probl me passe donc par une valuation de l aire des paississements successifs de l ensemble de Besicovitch repr sent s en bleu l int rieur de la bande d limit e par les droites horizontales re pr sent e en jaune Une tude math matique montre que cette aire est reli e aux longueurs des zones d intersection des aiguilles paissies avec ces deux
133. n fait jusqu pr sent la r ponse a toujours t n gative chaque figure nouvelle a toujours fini par tre supplant e par une construction plus astucieuse M me la delto de qui avait pourtant toutes les faveurs de Kakeya n y a pas r sist On semble donc engag dans une course dont on ne voit pas l issue A 0 78539 0 70477 0 57735 0 48649 0 41296 0 40475 0 39269 0 39140 Lillustration ci dessus donne en r sum les grandes tapes de cette course une succession de figures dont les aires sont de plus en plus petites Au fur et mesure de la progression il est de plus en plus difficile de gagner de la place chaque d cimale gagn e co te L observation de l ensemble de ces figures semble montrer que l on arrive un palier LE PROBLEME DE KAKEYA POUR LES AIGUILLES PARALLELES 109 qui laisse penser que l aire minimale se situe aux alentours de 0 38 ou 0 39 Mais ceci n est qu une vague intuition issue de la consid ration de quelques figures et de m me que pour les origamis seule une d mons tration permettrait de valider d finitivement cette intuition Tant qu il n est pas tay par une d monstration le r sultat pressenti peut s av rer compl tement faux et c est d ailleurs ce qui arrive ici En 1928 soit onze ans apr s que Kakeya eut pos son probl me un math maticien russe nomm Abram Besicovitch obtenait un r sultat totalement d con certant
134. nement est pro pos ici pour la courbe figurant dans le texte principal et qui repr sente la fonction f 2x x2 Afin de se familiariser avec ce raisonnement il est d abord d velopp dans un cas particulier celui du calcul de la pente au point C 1 B 0 96 0 84 B 075 D ec 0757 C OSs i 05 08 i 0 5 0 6 1 0 75 _ 0 96 0 75 __ 0 84 0 75 __ 1 0 5 0 5 0 8 0 5 0 7 0 6 0 5 0 9 Dans le tableau ci dessous sont port es pour diff rentes positions du point B les valeurs du quotient de la distance verticale par la distance horizontale entre B et C position x du point B Il 0 8 0 6 0 51 0 501 0 5001 alalimite valeur du quotient 0 5 0 7 0 9 0 99 0 999 0 9999 1 On lit tout au bout du tableau la valeur de la pente au point C savoir 1 Au prix d un petit effort d abstraction on peut appliquer la m me proc dure non plus au point C mais en un point quelconque P rep r en horizontale par l inconnue x Le r sultat de cette d marche ne sera plus un nombre mais une expression d pendant de x qui n est autre que la fonction d riv e de f 2b b 2x x Le quotient qui donne la pente s crit ici distance verticale de Pa B 2b b 2x x distance horizontale de P B b x L identit b x b x b x permet de simplifier le quotient en 2 b x Pour obtenir la pente de la courbe au point P il faut rendre b de plus en plus proche d
135. ns est tr s in gal la plupart d entre elles sont presque aussi vite oubli es que r solues d autres si elles ne sont pas oubli es ne d passent cependant pas le cadre d une communaut restreinte de sp cialistes enfin une infime minorit mobilise l attention de nombreux math maticiens et atteint le statut de grande question Certaines de ces grandes questions sont devenues c l bres le lecteur aura peut tre entendu parler par exemple du probl me de Fermat ou du th or me des quatre couleurs Ces grandes questions outre leur int r t propre agissent comme des points de rep re pour l ensemble de la communaut elles annoncent et d limitent clairement ce qui est consid r comme tant la fois fondamental et difficile D ailleurs les math maticiens se r unissent p riodiquement afin d en proposer de nouvelles L exemple le plus c l bre fut le congr s de Paris en 1900 o David Hilbert qui tait 16 UNE QUESTION ANODINE sans doute avec Henri Poincar le plus grand math maticien de son temps proposa une liste de vingt trois grandes questions qui eurent une profonde influence sur toutes les math matiques du XX si cle Sur ces vingt trois probl mes cinq restent encore en suspens et font toujours l objet de recherches en ce d but de XXI si cle l occasion du passage au troisi me mill naire un congr s exceptionnel s est tenu Paris o de nouveau une liste de
136. nt une famille de droites qui dans leur ensemble forment une courbe qui semble tre une parabole Un raisonnement simple faisant intervenir une quation diff rentielle va en donner la confirmation f Contrairement a tous les probl mes qui se sont pos s jusqu a pr sent ce west plus une simple valeur que l on recherche mais bien une fonc tion f celle dont la repr sentation graphique est justement la courbe enveloppe Afin de d terminer cette fonction inconnue f il est n ces saire de traduire en langage math matique l galit des pentes au point de contact Et puisque la pente d une courbe est donn e par la fonction d riv e f l galit des pentes se r duit donc a une galit faisant in tervenir la fonction f et sa d riv e f Apr s un calcul dont le d tail est donn dans l encart de la page suivante cette galit des pentes aboutit la relation fexf f Cette galit o l inconnue est la fonction f est un exemple d quation diff rentielle La r solution de cette quation montre que la courbe qui ENVELOPPE DE DROITES 91 Mise en quation du probl me de l querre Afin de traduire ce probl me en termes math matiques on place l querre dans un rep re et on d cide de choisir le point A l altitude 1 sur l axe vertical Pente p f x une position donn e a de l angle droit de l querre sur l axe horizontal la droite que l on trac
137. nts du probl me de Visop rim trie la visualisation des solutions probables ne semble tre d aucune aide pour la r solution N anmoins cet inconv nient n en est plus un lorsqu il s agit de passer la quatri me dimension c est dire si l on envisage le probl me d iso p rim trie non plus dans un espace sensible deux ou trois dimensions mais dans dans un espace quatre dimensions qui ne nous est pas directement perceptible Dans la quatri me dimension le probl me de la reine Didon s nonce de la m me mani re que dans un espace sensible deux ou trois dimensions comment d limiter de la fa on la plus conome possible une portion d espace en dimension 4 La quatri me dimension n tant plus celle de notre r alit quotidienne chaque terme de cet nonc n cessite un travail de l esprit Il est bien difficile d imaginer par exemple ce que pourrait tre ne serait ce qu une portion d espace et plus encore de mesurer son carac t re conome Il est cependant possible de se faire une id e de ce quoi ressemble un espace de dimension 4 non pas travers une vision v ritable mais au moyen d un raisonnement par analogie Un espace de dimension 2 est un espace plan pour le transformer en un espace de dimension 3 il suffit de faire pousser une hauteur Par extension l espace de dimension 4 est un espace trois dimensions auquel on aurait fait pousser une hauteur 82 LA FORMULE
138. omme un empilement d hypersph res de la dimension pr c dente Si l on revient au probl me de la reine Didon en toute dimension savoir rechercher la figure qui englobe la plus grande portion d espace possible une analogie avec les dimensions 2 et 3 conduit tout naturelle ment choisir l hypersph re comme candidat privil gi Cette intuition se v rifie bien le th or me g n ral de l isop rim trie s nonce en effet ainsi Dans un espace de dimension quelconque c est l hypersph re qui permet de circonscrire une portion d espace donn e de la mani re la plus co nome qui soit En prolongement de ce qui se passe en dimension 2 et 3 il existe une formule de Stokes en toute dimension qui permet de d montrer ce r sultat de fa on l gante Dans ce contexte la formule de Stokes pr sent e dans ce chapitre n est qu un cas tr s particulier d une formule de Stokes en toute dimension Il est d usage d appeler ce cas tr s particulier c est a dire celui de la dimension 2 formule de Green Riemann Les quations diff rentielles Les quations diff rentielles sont pr sentes dans tous les domaines de la science elles r gissent le mouvement des plan tes les lois de l lectricit la dynamique des populations etc La premi re d entre elles est apparue en m me temps que le calcul diff rentiel avec Newton et Leibniz aux alentours des ann es 1700 elle a permis de d duire partir
139. ouvelle famille nous apprend que l aire minimale vaut 0 42217 A titre de comparai son l aire de la delto de est de 0 39269 Autrement dit condition de choisir ses dimensions avec pertinence l h lice triangulaire qui est une 38 LA DERIVATION figure tr s simple compos e exclusivement de droites et de cercles par vient presque a galer la deltoide ch re a Kakeya Le th or me d Archim de La d rivation des fonctions est un concept universel qui offre tout a la fois une compr hension fine des courbes et une mise en vidence de liens insoup onn s entre notions a priori tr s diff rentes Le th or me d Archim de en donne un bel exemple Archim de qui vivait Syracuse au IIIe si cle avant J C est l un des plus grands savants de tous les temps Il est connu du grand public pour la pouss e qui porte son nom et le c l bre Eur ka qui aurait ponctu cette d couverte Esprit universel la fois astronome ing nieur et g om tre il est l origine de nombreuses d couvertes dont les plus marquantes sont la vis sans fin le principe du miroir ardent et un calcul r volutionnaire pour l poque des d cimales du nombre x Mais son r sultat le plus remarquable est la mise en lumi re d une correspondance cach e entre la sph re et le cylindre qui l entoure Cette correspondance tablit en particulier l galit entre laire de la sph re et celle de son cylindre circonscrit c est le t
140. pente vaille z ro Par LA DECOUVERTE DE DESCARTES 31 exemple le sommet not S ci dessus est le point o la courbe ne monte plus et ne descend pas encore la pente en ce point ne peut donc tre ni positive ni n gative elle est n cessairement gale a z ro Concernant l tude du probl me de Kakeya ce raisonnement s applique tout aussi bien pour le point le plus bas de la courbe des aires ce point est celui pour lequel la pente de la courbe est gale a z ro Le probl me est donc d plac plut t que de chercher le point le plus bas de notre courbe on va partir la recherche d un point o s annule la pente Ce changement de perspective peut sembler bien modeste pourtant il permet de faire un pas tr s important puisque l on passe d une condition g om trique le point le plus bas une condition num rique une valeur de pente gale z ro Jusqu a pr sent on raisonnait sur des objets g om triques on va maintenant pouvoir faire des calculs Reste qu ici encore on se trouve confront au probl me de l infini En ef fet la courbe des aires se compose d une infinit de points et il faudrait calculer une infinit de pentes afin de d terminer exactement l endroit o celle ci vaut z ro C est maintenant que la grande invention de Leib niz et Newton entre en sc ne la fameuse fonction d riv e C est elle qui en effectuant l ensemble infini des calculs de pente d un seul coup va permettre
141. pprochent ind finiment de z ro ne garantit pas pour autant que la somme soit finie Un exemple c l bre est donn par la somme des inverses des entiers l l1 l1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 dont on montre par un raisonnement assez simple pr sent page sui vante dans l encart en couleur qu elle n est pas finie Ceci met en vi dence la subtilit des sommes infinies m me si les termes tendent vers z ro le r sultat peut tre infini Il est donc difficile en pr sence d une telle somme d affirmer de visu si sa valeur est finie Il s av re que dans de nombreuses situations le calcul int gral permet de trancher et c est en particulier le cas avec la somme infinie la plus c l bre des math ma tiques savoir celle des inverses des carr s 1 1 1 1 1 l 4 4 9 16 25 36 La c l brit de cette somme tient non seulement a la simplicit des termes qui la composent mais aussi son r sultat qui voit l apparition tout a fait inattendue du nombre x une myst rieuse coincidence se fait jour entre les carr s des nombres entiers et le fameux nombre 7 celui la m me qui relie la circonf rence d un cercle son diam tre C est Euler qui par un raisonnement d une grande ing niosit a r v l cette coincidence en tablissant l galit merveilleuse 1 1 1 1 1 T 1 4 4 gt 4 9 16 25 36 6 Cette galit peut s interpr ter comme un chemin qui p
142. progressivement pr sent es au gr des rebondissements de l histoire L accent est mis sur la d rivation et le calcul int gral qui posent tant de probl mes aux lyc ens et aux tudiants Pr sent es en contexte ces notions incontournables deviennent videntes et donnent acc s au g nie de leurs d couvreurs Aux antipodes du cours r barbatif ce voyage au c ur des math matiques d aujourd hui entra nera le lecteur vers un monde trange et paradoxal o il sera confront de myst rieuses surfaces sans aire un surgissement inattendu du chaos ainsi qu aux insaisissables quatri me et cinqui me dimensions Ce livre est destin aux lyc ens et aux tudiants d sireux de saisir davantage le sens r el des notions qui leur sont enseign es Il conviendra galement toutes les personnes ayant un bagage scientifique ou technique qui voudraient comprendre la port e des math matiques Il s adresse plus g n ralement tous les esprits curieux qui souhaitent voir les math matiques sous un jour diff rent Vincent Borrelli est enseignant chercheur l universit Claude Bernard Lyon 1 et directeur de la Maison des math matiques et de l informatique Jean Luc Rulli re est agr g de math matiques et enseignant au lyc e fran ais de Bilbao 15 euros
143. que l on veut de la valeur 2 on dit que 2 est la valeur limite des nombres 1 99 1 999 etc et c est cette valeur limite qui est dite pente de la courbe au point A On abr ge ceci par la formule distance verticale de B distance horizontale de AaB Pente de la courbe au point A limite le mot limite signifiant que l on prend la valeur limite lorsque le point B se rapproche du point A Tout ceci ne vaut pas seulement pour le point A mais pour chaque point de la courbe Dans l illustration ci dessous le m me proc d est appliqu deux autres points le point S au sommet de la courbe et un point C interm diaire Contrairement la droite une courbe n a pas de pente globale mais une pente en chaque point S e pente 0 C B pente 1 A pente 2 Ainsi toute droite correspond un nombre appel pente qui est conforme l id e intuitive que l on s en fait il est d autant plus lev que la droite est pentue on lui affecte un signe n gatif pour diff rencier la droite descendante d une droite montante Une courbe quant elle poss de en chacun de ses points une pente mais celle ci est plus d licate valuer car elle n cessite de d terminer une valeur la limite en laquelle se r sume tout un infini Une des grandes vertus de cette pente est qu elle donne une condition pr cise pour qu un point soit au plus haut ou au plus bas sur une courbe il faut que la
144. quotient du carr de sa hauteur par le nombre v3 elle vaut donc ici 12 V3 ce qui est bien inf rieur 0 70477 0 57735 LA QUESTION DE KAKEYA 15 n est pas la solution au probl me de Kakeya Il se trouve que le Reuleaux ne l est pas davantage on peut en effet retourner une aiguille dans un triangle quilat ral dont l aire est plus petite que celle du Reuleaux Les dessins ci dessous donnent l id e du mouvement de l aiguille l int rieur d un tel triangle A A Le triangle est il lui m me la bonne solution au probl me de Kakeya Difficile d en tre s r car d s que l on d couvre une figure susceptible de r pondre au probl me il est toujours craindre qu une autre plus petite ne fournisse un meilleur candidat Kakeya s est d ailleurs trouv confront en son temps cette difficult et ne parvenant pas la d passer il d cida de proposer cette question l ensemble des math maticiens C est l une d marche naturelle pour les scientifiques que de pr senter leurs r sultats et soumettre les questions non r solues au reste de la communaut Cet change entre savants qui se fait par l in term diaire de revues scientifiques est particuli rement intense puisque ce sont de nos jours plusieurs centaines de milliers de r sultats et de questions qui sont ainsi publi s chaque ann e pour ce qui concerne les seules math matiques Le destin de toutes ces questio
145. r s particulier o les positions de d part et d arriv e de l aiguille se situent sur une m me ligne le d placement de l aiguille le long de cette ligne suffit relier ces deux positions Laiguille consid r e tant id ale c est dire sans paisseur 110 LE THEOREME DE BESICOVITCH celle ci parcourt par cons quent un segment de droite et l aire balay e est alors nulle On ne peut bien s r pas faire mieux cette solution est donc optimale En revanche dans le cas g n ral o les positions ne sont pas sur une m me ligne la solution du parall logramme n est pas la meilleure il est en effet possible de d placer aiguille de fa on tr s conome en combinant judicieusement deux rotations Le mouvement commence par un d placement horizontal de l aiguille il est suivi d une petite rotation qui place l aiguille sur une ligne oblique puis d une seconde qui la conduit a la hauteur voulue Laire n cessaire ce mouvement est figur e en couleur sur l illustration elle est visible ment inf rieure a celle que donnerait la solution du parall logramme mais l int r t majeur de cette nouvelle mani re de d placer l aiguille n est pas l Ce mouvement poss de en effet l tonnante propri t de pouvoir s allonger l infini en permettant un amenuisement sans limite de laire qu il occupe Il est ainsi possible de d placer l aiguille d une position une autre qui lui est parall le dans une air
146. r un probl me tel que celui du partage d Archim de au moyen de cette formule Comme on l a vu ce probl me se r duit montrer que le nombre 1 fr 0 vaut Pour appliquer la formule il est n cessaire de trouver une fonc tion F dont la d riv e est f c est dire x2 Un simple coup d ceil sur les d rivations fournies au chapitre pr c dent permet de constater que la d riv e de x est 3x2 Par cons quent la fonction F 4x convient comme on peut s en rendre compte en lui appliquant le proc d de d rivation F x x d rivation l fe eee ae Ainsi puisque sa d riv e est x cette fonction F peut tre utilis e dans la formule d int gration Le calcul de l aire se r sume alors une sous traction b fa F b F a E i l 1 F 1 F 0 415 20 2 0 Comme on le constate cette m thode est bien plus directe que les cal culs men s en d but de chapitre En contrepartie une difficult apparait 56 LE CALCUL INTEGRAL celle de trouver la fonction F dite primitive de f qui figure dans la for mule d int gration Pour simplifier la vie du math maticien il existe des tables qui donnent les primitives des fonctions les plus courantes ce qui lui permet d appliquer la formule d int gration m caniquement et d ef fectuer ainsi tr s rapidement de nombreux calculs d aire Avanc e sur la question de Kakeya Il est possible grace au d placement astucieux de l aiguil
147. r une terre pour s installer Perfidement celui ci leur promit autant de terre que peut contenir la peau d un b uf La reine Didon respecta scrupuleusement ces paroles elle d coupa une peau en lani res si fines qu elle put encercler en les mettant bout bout un vaste territoire Carthage tait n e Le probl me de la reine Didon une fois les lani res d coup es est donc d entourer avec la longueur form e par celles ci la surface la plus grande possible Le reine Didon a choisi selon la l gende de disposer ses lani res en arc de cercle alors que beaucoup d autres solutions s offraient elle wr e Le choix de la reine bien qu il paraisse vident n est pas si facile a justi fier il rel ve du probl me de l isop rim trie qui s nonce math matique ment de la fa on suivante avec un p rim tre donn quelle figure faut il former pour circonscrire la plus grande surface possible Le probl me du math maticien est donc un peu diff rent de celui de la reine Didon On dispose toujours d un p rim tre donn qui est la longueur totale des la ni res en revanche le contour que l on cherche former avec ce p ri m tre doit se refermer sur lui m me La raison de cette formulation est une certaine simplification du probl me la figure recherch e n a pas tre adoss e une forme particuli re la c te Le probl me devient alors libre de cette contrainte il est en quelque sorte pl
148. rairement au cas de la dimension 2 o le th or me de Da vies cl t d finitivement la question personne ne sait l heure actuelle si un tel objet existe Les math maticiens pensent que non ils noncent Conjecture de Kakeya pour la dimension 3 La dimension fractale d un objet qui contient l aiguille dans toutes les directions de l espace est trois Ainsi parmi les solides de volume nul ceux qui v rifient la condition de Kakeya seraient forc ment les plus denses possibles Cette conjecture n a jamais t valid e et le r sultat le plus avanc que l on connaisse est d trois math maticiens Katz Laba et Tao la dimension fractale d un tel objet est n cessairement sup rieure 2 5 C est un r sultat r cent qui a t publi en 1999 Le passage du probl me de Kakeya dans le plan au m me probl me dans l espace se faisant naturellement on peut tout fait envisager un passage similaire vers la quatri me dimension On recherche alors des figures qui contiennent l aiguille dans toutes les directions de l espace quatre dimensions et l on s interroge comme pr c demment sur leur dimension fractale L encore on n a jamais trouv de figures solutions 136 LA CONJECTURE DE KAKEYA dont la dimension fractale est plus petite que quatre On est donc confront mutatis mutandis a la m me conjecture que celle nonc e plus haut Tout aussi naturellement on peut extrapoler la question de K
149. randes avanc es de la connaissance humaine comme la loi de la gravitation universelle ou la th orie de l volution sont per ues LA GRANDE INVENTION 21 a leur juste valeur peu de gens connaissent la v ritable port e du calcul diff rentiel Cette relative m connaissance s explique sans doute par la distance qui s pare n cessairement une id e abstraite de la r alit tangible Le calcul diff rentiel requiert la maitrise d un infini et par cons quent se place d s le d part dans le domaine de l abstraction Son approche n est donc pas imm diate et demande in vitablement un travail de l esprit Il se trouve que le probl me de Kakeya fait intervenir les notions de courbe et de mouvement qui sont justement a la base du calcul diff rentiel La courbe est celle qui d limite le domaine l int rieur duquel l aiguille se retourne le mouvement est celui de l aiguille elle m me dans ce domaine C est ainsi que la question de Kakeya nous offre l opportunit de d couvrir en profondeur la grande invention de Leibniz et de Newton La d rivation La peinture classique associe volontiers sagesse et ge m r Les savants grecs dont on ne poss de aucun portrait d origine ont tous t re pr sent s sous les traits de nobles vieillards Plus proches de nous les portraits de grands penseurs comme Darwin Einstein Freud ou Pasteur donnent voir des hommes relativement g s Il est vrai que la recon naissance
150. recouverte par la bande horizontale Cette r duc tion une fois encore n affecte pas la dimension de la figure Parmi l infinit des aiguilles qui composent cette derni re on en s lec tionne quelques unes dont les directions sont r guli rement espac es Cela signifie que si l on reporte dans un disque les aiguilles ainsi s lec tionn es elles se r partiront uniform ment dans le secteur o elles se trouveront Dans l illustration ci dessus les directions de sept aiguilles ont t ainsi repr sent es dans un disque puis les aiguilles elles m mes ont t mises en vidence l int rieur de la figure de Besicovitch Enfin on d pouille cette derni re de toutes les autres aiguilles et on la restreint la bande horizontale pour n obtenir qu une collection de sept seg ments reliant les bords de la bande L tape suivante consiste paissir chaque segment en un rectangle dont la largeur correspond l espacement des directions des aiguilles l int rieur du disque Le r sultat de cette op ration est illustr ci dessous gt 4 YWZ Un des int r ts de cet ensemble de rectangles est qu il fournit Pin t rieur de la bande consid r e une approximation de la figure de Besicovitch Ceci peut para tre surprenant au vu du dessin ci dessus LAPPROCHE DE BOURGAIN 149 mais ce n est d qu au tout petit nombre d aiguilles que l on a s lection n es Une augmentation prog
151. ressive de ce nombre c est a dire un choix d espacement de plus en plus petit pour les directions conduit a des figures qui approchent de mieux en mieux celle de Besicovitch N oublions pas que notre objectif est de d terminer la dimension d un ensemble de Besicovitch Bien que la d termination d une dimension fractale soit une op ration math matique d licate le principe dont il d pend est quant a lui parfaitement accessible Pour les figures du plan ce dernier repose sur une succession de calculs d aire L id e est d pais sir l objet dont on d sire conna tre la dimension puis de faire diminuer cet paississement en calculant laire chaque tape La fa on dont l aire diminue donne grosso modo la dimension de l objet de d part plus cette aire diminue vite plus la dimension est petite 1 Le dessin ci dessus repr sente l paississement d un point et d un segment de droite on observe que chaque division par deux de cet paississement se traduit par une aire divis e par quatre dans le cas du point et par deux dans le cas du segment Cette aire diminue donc beaucoup plus vite pour le point que pour le segment et l on sait bien que la dimension de la ligne gale un est plus grande que celle du point qui vaut z ro Les math maticiens exploitent ce ph nom ne et ont des formules qui permettent en mesurant la vitesse de la d croissance de l aire de calculer pr cis ment une dimensio
152. rgain En dimension 4 4 2 56 En dimension 5 5 3 08 En dimension 10 10 5 68 En dimension 100 100 52 48 Ces derniers r pondent tous la formule 0 52 x dimension 0 48 qui assure une dimension fractale l g rement sup rieure la moiti de celle que l on recherche C est une avanc e remarquable qui a t rendue pos sible par la d couverte d un lien tout fait inattendu entre la dimension fractale de la figure de Besicovitch et les r gularit s d crites par Sz m r di dans les ensembles de nombres LAPPROCHE DE BOURGAIN 147 Lapproche de Bourgain Le cheminement math matique qui partant du probl me de Kakeya conduit aux progressions arithm tiques de nombres est loin d tre vident Pour que le raisonnement soit plus visuel il sera pr sent dans le cadre de la dimension deux Comme on l a vu dans ce cas tr s parti culier la conjecture n en est plus une le math maticien Roy O Davies a en effet montr d s 1971 que la dimension fractale d une figure de Besicovitch dans le plan est maximale autrement dit qu elle vaut deux Les id es qui vont tre pr sent es ici sont n anmoins valides pour les dimensions plus grandes o le probl me se pose r ellement Tout d bute avec une figure de Besicovitch c est dire un domaine contenant l aiguille dans toutes les directions possibles Comme pr c demment la repr sentation d un tel domaine sera plus illustrative que fid le mais
153. riangle de Reuleaux 14 UNE QUESTION ANODINE Un calcul rigoureux de l aire de cette figure montre qu elle est plus petite que celle du disque ce calcul est propos dans l encart color de la page suivante Ainsi la figure que l on pressent naturellement le disque Le triangle de Reuleaux et le triangle quilat ral Il est facile de montrer au moyen d un calcul d aire que le Reuleaux est plus petit que le disque Bien stir ce calcul n aura de sens que si l on fixe la m me longueur pour l aiguille dans le Reuleaux et dans le disque Pour simplifier les calculs on d cide que cette longueur est gale 1 on ne consid re pas d unit particuli re par exemple ce 1 peut signifier 1 m tre 1 pied 1 pouce 1 mile bref ce que l on veut Le disque ayant pour diam tre l aiguille a donc un rayon gal z l aire de ce disque qui s crit 7R vaut donc INA m 0 78539 2 4 Il peut sembler plus d licat de d terminer l aire du Reuleaux toutefois on peut ais ment d composer cette figure en formes l mentaires dont l aire est connue AAA A A Ici la d composition fait appara tre un demi disque d aire et deux triangles quilat raux de c t 1 dont chacun a une aire gale l aire du Reuleaux est donc n V3 2 Cette aire est effectivement plus petite que celle du disque 0 70477 Quant l aire d un triangle quilat ral c est le
154. rieur laire de la delto de c est dire 0 39269 Il se trouve toutefois que les deux figures qui viennent d tre construites ne sont pas isol es elles d coulent d un m me proc d de construction et peuvent donc engendrer en r it rant ce proc d toute une famille infinie de formes toil es Si on examine de plus pr s ces toiles on constate que l aiguille re pr sent e en noir dans l illustration de la page suivante conserve la possibilit de se retourner en effectuant des angles de plus en plus faibles r p t s de plus en plus de fois KKK Les toiles ainsi construites poss dent un nombre croissant de branches qui sont elles m me de plus en plus fines On assiste donc a un ph no m ne de comp tition entre le nombre de branches qui ne cesse de gran dir et l aire de chacune d elles qui ne fait que d croitre Au bilan ce pro c d de construction bien que syst matique ne garantit pas que les fi gures produites aillent en s amenuisant Ce n est d ailleurs pas le cas un calcul pr cis montre que l aire est en diminution jusqu une figure ayant 25 branches avant d augmenter de nouveau mais tr s lentement Il n est BILLARDS 97 cependant pas besoin d aller aussi loin que cette toile 4 25 branches pour d couvrir des figures plus petites que la deltoide celle repr sent e ci dessus a droite convient tout a fait Un calcul direct montre en effet que cette toile 11 branch
155. rmat car celui ci tait occup par une p nible affaire dans laquelle un pr tre tait convaincu d abus de pouvoir Fermat a fini par imposer une sentence qui a fait grand bruit la condamnation au b cher du pr tre fautif Le cas de Fermat n est pas isol Leibniz lui m me a excerc pour le prince de Hanovre la fonction de diplomate aupr s de Louis XIV sa mission tant de d tourner vers les Ottomans les intentions belliqueuses du Roi Soleil qui menagaient les tats allemands Bien entendu dans ce monde du XVII si cle l activit math matique ne pouvait concer ner qu une frange ais e de la population puisque l ducation n tait accessible qu cette minorit M me pour le grand Newton l acc s l universit n allait pas de soi Bien qu issu d une famille relativement favoris e de propri taires terriens il ne peut entrer l universit de Cambridge qu la condition d accepter le statut d tudiant valet Il est 68 LA FORMULE DE STOKES alors au service des tudiants plus nantis que lui il doit servir leurs repas nettoyer leurs chambres et m me vider leurs pots Ajoutons a ces r jouissances obligation d assister debout aux repas de ses condisciples de haut rang Ainsi se trouve consacr e jusque dans l Universit la struc ture pyramidale de la soci t de l poque De fait la grande majorit des savants sont issus de familles de notables appartenant a la bourgeoisie ou
156. rnement de l aiguille a forc ment une aire sup rieure 755 c est dire 0 02908 La meilleure solution que Pon connaisse l heure actuelle est celle de Bloom et Shoenberg et elle date de 1965 Elle s obtient partir d toiles r guli res construites sur le cercle comme expliqu dans le dessin ci dessous LENIGME DES DOMAINES ETOILES 119 AUX x Dans le cas de l toile cinq branches qui permet bien la rotation de l aiguille repr sent e droite on trouve une aire gale 0 31680 Si l on augmente le nombre de branches de l toile on observe alors une lente d croissance de son aire le tableau ci dessus en donne quelques valeurs Nombre de branches 11 101 1001 10001 Aire de l toile 0 29044377 0 2843301 0 2842589 0 2842582 Au fur et mesure que le nombre de branches s accroit l aire s approche aussi pr s que l on veut de la valeur 27 0 284258224 Ce nombre est le meilleur connu actuellement L nigme des domaines toil s est la suivante peut on descendre au dessous de cette valeur La conjecture de Kakeya L ann e 1905 marque un tournant dans l histoire de la science En effet quelques mois d intervalle trois r sultats majeurs viennent bouleverser la vision du monde qui tait celle des savants d alors et c est une seule et m me personne qui est l origine de ces trois d couvertes Albert Einstein La premi re d entre elles est celle de l eff
157. ro gressions arithm tiques ce sont elles qui sont l origine des alignements que l on observe dans les tableaux Par exemple l alignement mis en vi dence dans l illustration ci dessus repr sente une progression arithm tique de six nombres premiers espac s d une longueur 30 30 30 30 30 30 359 gt 389 gt 419 gt 449 gt 479 gt 509 La recherche d alignements parmi les nombres premiers se r sume ainsi a la recherche de progressions arithm tiques Une telle recherche peut sembler un objectif bien modeste au regard d une connaissance com pl te de la structure de l ensemble des nombres premiers Cet objectif est pourtant bien loin d tre atteint l heure actuelle et de nombreuses questions l mentaires restent sans r ponse Par exemple on ne conna t pas ce jour d alignements de plus de 26 nombres premiers En effet DE KAKEYA AUX NOMBRES PREMIERS 141 sur les grilles repr sent es plus haut ne figurent que les tout premiers nombres entiers et si l on prolongeait ces grilles on observerait un claircissement de plus en plus important qui traduit la rar faction des nombres premiers Dans ces conditions on peut s attendre a ce que les alignements de nombres premiers se rar fient norm ment et que la recherche de longs alignements soit une v ritable gageure Cette rar faction pourrait tr s bien galement limiter la taille des alignements peut on trouver des progressions ari
158. ro Or la fonction qui indique la pente de la courbe pour chaque position de x tant la fonction d riv e de f il nous faut donc d terminer f puis trouver en r solvant une quation la valeur de x pour laquelle f x vaut z ro Appliquons les r gles de d rivation vues plus haut fx m e W3 mx lr V3 d rivation l FO i 252 E 370 ly eee 0 Il s agit ensuite de r soudre l quation f x 0 c est dire 2x V3 x V3 72 0 et l on aboutit bien au r sultat d j annonc x E 0 30971 2n V3 T Cela est la valeur exacte de la longueur de chaque extr mit chaque pale de Vh lice pour Dane l aire est la plus ni En rempla ant x par cette valeur dans l expression 7 B x2 V3 7 x 5 i n V3 on obtient l aire minimale qui vaut par cons quent VB SET T T V3 7 n V3 Gore ae ave V3 7X ee Le A Une simplification de cette expression conduit am au r sultat TV3 Aire minimale mr V3 0 48649 4n 2 3 Bien stir cette expression ne doit rien au hasard et d coule d un calcul soigneux qui est voqu dans l encart color qui suit l inconnue x repr sentant sur la figure la longueur des pales Il ne reste plus maintenant AVANCEE SUR LA QUESTION DE KAKEYA 37 qu suivre le m me cheminement que celui pr sent plus haut et d terminer la pente en chaque point de la courbe au moyen des r gles de d rivation f
159. robl me de Kakeya s av re bien plus d licat que la simplicit de son nonc pouvait le laisser penser Comment en effet d terminer la plus petite figure dans laquelle on puisse retourner une aiguille alors que le champ des figures possibles est infini La grande g n ralit de nonc de Kakeya autorise en effet la consid ration des figures les plus diverses et les exemples rencontr s jusqu pr sent ne laissent entrevoir aucun fil directeur pour guider la r flexion Dans ces conditions une d marche d essais au coup par coup est assez naturelle et permet d effectuer une premi re prise de contact Un objectif raisonnable est par exemple d ex plorer un grand nombre de formes possibles afin de se donner un pre mier panorama de ce vaste territoire et acqu rir une exp rience des types de figures les plus concluants Dans ces conditions plut t que de regar der les figures une par une il est plus judicieux de les regrouper par fa milles et de les traiter en bloc L id e n est plus de consid rer une figure fixe comme un Reuleaux ou un triangle mais de partir d une figure et de la transformer de fa on progressive en une autre Par exemple on peut comme ci dessous construire partir du Reuleaux une s rie de formes g om triques qui permettent toutes le retournement de l aiguille mais qui occupent des aires diff rentes sur le plan TEPA Le Reuleaux se transforme peu peu en une figure trois secteurs Bien entendu i
160. rre Il s agit de r soudre l quation diff rentielle f x f f la diff rence des qua tions ordinaires rencontr es jusqu pr sent l inconnue est ici une fonction La r solution d une telle quation a donc pour but de trouver l expression de cette fonction inconnue et cette r solution fait appel toute une s rie de proc d s qui d passent le cadre de cet ouvrage On se contentera par cons quent de v rifier que la fonction f x x est une solution de l quation diff rentielle La pre mi re tape est de d terminer die f x de la d riv e de f f x E La seconde tape est de N f et f dans ae diff rentielle de d part x2 on d rive Toa L z par les expressions 3x et 5x f x xf E on remplace l T 7 5x GaP Apr s simplification on constate que l expression de gauche et celle de droite sont identiques La fonction f x 1x est donc une solution de l quation diff ren tielle Visuellement on observe que la courbe enveloppe a bien la forme d une parabole la fonction 1x semble tre la bonne Tout se complique cependant lorsque l on constate qu il y a une multitude d autres fonctions qui r pondent cette quation par exemple f x 0 f x x 1 f x 2x 4 f x x 1 comme on peut facilement le v rifier Cette quation fourmille de solutions Si l on repr sente ces derni res solutions on s aper oit qu il s agit de droites de l en
161. s segments verti caux et horizontaux mais par toute une courbe Autrement dit comment g n raliser la m thode de l arpenteur La formule qui permet une telle g n ralisation est pr cis ment la formule de Stokes elle est fond e sur le m me principe que la m thode de l arpenteur mais sa mise en uvre rec le une difficult il faut tre capable de d crire math matiquement ce que l on appelle arpenter une courbe La d couverte de Stokes Jusqu pr sent chaque courbe tudi e repr sentait une fonction et ceci interdisait tout retour en arri re lors du trac En effet chaque valeur x en horizontale correspond un seul point sur la courbe La premi re courbe ci dessous repr sente bien une fonction ce qui n est pas le cas des deux autres Nous allons maintenant tre confront s des courbes plus g n rales susceptibles de circonvolutions et de croisements dont la boucle repr sent e droite est un exemple Se pose alors le probl me de d crire math matiquement de telles courbes Vx a En particulier un contour comporte forc ment un retour en arri re si bien qu une seule fonction ne permet donc plus de le d crire Pour r soudre cette difficult on distingue comme on l a fait pour la m thode de l arpenteur le parcours en horizontale du parcours en verticale Au sein d un quadrillage les mouvements en verticale et en horizontale ont lieu alternativement on avance d une case puis
162. s surfaces ne s appliquent pas C est pr cis ment pour r pondre ce type de difficult que les math mati ciens ont mis au point le calcul int gral L id e ma tresse de ce calcul est d approcher la surface que l on ne conna t pas par des figures plus simples dont on peut ais ment calculer l aire Il en r sulte une valeur qui n est bien entendu qu une approxi mation de l aire recherch e mais en recommen ant ce proc d avec des approximations de plus en plus fines on obtient la limite l aire d sir e Concr tement pour mettre en uvre cette m thode on remplit le domaine de rectangles car ce sont des formes dont il est facile de calculer l aire La disposition de ces rectangles se fait comme pour une palissade la base de ceux ci se situant sur l horizontale A d Ces palissades successives sont int rieures au domaine on les ap pelle les petites palissades elles comportent sur le dessin cinq dix et quinze lames On peut de la m me mani re imaginer des palissades qui recouvrent compl tement le domaine ce sont les grandes palissades d i 52 LE CALCUL INTEGRAL Observons que les petites et grandes palissades approchent d autant mieux le domaine que les lames sont fines Il reste maintenant a d ter miner la surface recouverte par ces grandes et petites palissades ce que l on va faire concr tement sur exemple d une palissade cinq lames 02040608 1 Laire d une palissade est
163. sent un objet quasi filiforme connu sous le nom d ile de Gosper LE MONDE DES OBJETS D AIRE NULLE 127 Lempilement d Apollonius qui lui succ de semble un peu plus dense Viennent ensuite le flocon obtenu partir d hexagones et les fameux polygones vid s trois et cinq c t s suivis de leur cousin sept c t s La signification des nombres qui apparaissent en dessous de chacun d eux sera expliqu e dans les lignes qui suivent dim 1 12 dim 1 50 dim 1 72 dim 1 80 dim 1 83 Si ces figures sont bien toutes d aire nulle on observe cependant qu elles semblent occuper l espace de plus en plus dens ment Ainsi l empile ment d Apollonius appara t presque filiforme alors que la derni re figure noircit bien davantage l espace qu elle occupe L aire de ces objets qui r p tons le vaut z ro ne permet donc pas de rendre compte de cette diff rence de densit Pour mat rialiser cette impression visuelle on ne parle plus de l aire mais d une autre quantit appel e dimension fractale de la figure C est cette valeur qui est inscrite en dessous de chacun des exemples qui pr c dent Elle est d autant plus proche de un que la figure semble filiforme et plus proche de deux qu elle ressemble une surface et ceci est bien coh rent avec l id e intuitive que l on se fait de la dimension un objet de dimension un ressemble une ligne un objet de dimension deux
164. sion des courbes que l on se heurte ici Or le calcul diff ren tiel est justement le moyen de r soudre cette d licate ma trise de l infini et d acc der ainsi l intelligence des lignes courbes dont parlait le marquis de l Hospital Dans le cas de la courbe des aires cette intelligence doit conduire a la valeur pr cise du point le plus bas et par cons quent au candidat le plus conome en aire Comment traduire l vidence visuelle de ce point le plus bas en une d termination exacte de sa position Si l on chemine par la pens e le long de cette courbe on commence par descendre jus qu au point fatidique a partir duquel on entame une remont e Comme aurait pu dire La Palice le point le plus bas de la courbe est endroit o la courbe ne descend plus et ne monte pas encore Nous avons donc 28 LA DERIVATION besoin de quelque chose qui indique en chaque point de la courbe si on est en train de monter ou de descendre On peut m me tre un peu plus exigeant et demander ce quelque chose de mesurer l importance de cette mont e ou de cette descente c est dire de donner pour chaque point un nombre qui soit d autant plus grand que la courbe en ce point est pentue Ce nombre que l on cherche extraire de chaque point de la courbe ressemblerait dans l esprit celui que l on rencontre dans la vie de tous les jours sur les panneaux de signalisation routi re et que l on appelle la pente 100
165. ssentiel est que l on ait obtenu une relation entre la d ri v e et la fonction Pour la r solution de telles quations le math mati f xf cien dispose de toute une batterie de techniques et l application de ces techniques livre une expression de la fonction f f Q x3 Bien entendu comme le laissait supposer l criture de l quation diff rentielle cette fonction solution n est pas tout fait l mentaire elle fait intervenir des racines carr es et cubiques pr sentes sous la forme des puissances un demi et un tiers Les fonctions de ce type sont n anmoins bien connues et leur tude ne pose aucun probl me En particulier il existe des tables dans lesquelles il sera possible de trouver une fonction F dont la d riv e est f et il ne restera plus alors qu appliquer la c l bre formule d int gration pour obtenir laire recherch e Grace au calcul diff rentiel ce passage d un mouvement de l aiguille la valeur de l aire se r sume une proc dure qui ne repose plus en fin de compte que sur un certain savoir faire technique AVANCEE SUR LA QUESTION DE KAKEYA 95 Tous calculs faits on trouve 1 Aire b f F 1 F 0 0 29452 0 Apr s multiplication par deux on trouve une aire totale gale 0 58904 ce qui est tr s sup rieur l aire de la deltoide Ce r sultat peut sembler d cevant puisqu il ne parvient m me pas au niveau du triangle quila t ral qui occupe une air
166. stent d une efficacit certaine dans la pratique C est la qu intervient la n cessit de transformer ce probl me d origami en une question purement math matique car seule une d monstration peut garantir qu un pliage est bien le meilleur possible En effet chaque 108 LE THEOREME DE BESICOVITCH solution empirique est a la merci d une autre solution plus astucieuse d o la n cessit d un raisonnement g n ral qui embrasse toutes les possibilit s et permette de clore le probl me de fa on d finitive C est pourquoi les math maticiens des origamis recherchent un pliage valid par une d monstration qui serait alors sans contestation possible le plus appropri au logement de la voile dans la fus e Bien que le contexte du probl me de Kakeya soit diff rent de celui des origamis la d marche adopt e pour le r soudre est n anmoins tr s similaire celle que les concepteurs de voiles solaires ont suivie une approche empirique partir de formes g om triques d j connues Comme dans le cas des pliages cette fa on de proc der a l avantage de conduire rapidement la d couverte de figures de plus en plus petites mais elle ne l ve jamais l incertitude quant la solution du probl me global chaque nouvelle figure se pose la m me question a t on enfin trouv le contour optimal c est dire celui dont l aire est la plus petite et l int rieur duquel l aiguille puisse tre retourn e E
167. t son point le plus bas et se remet ensuite cro tre Le point le plus a gauche de cette courbe donne laire du Reuleaux et le plus a droite QU EST CE QU UNE D RIV E 27 l aire de la figure finale trois secteurs Aucune de ces deux figures extr mes ne poss de la plus petite aire de la famille Cette qualit revient a une figure interm diaire pour laquelle on peut lire en horizontale sur le dessin une longueur de pale approximativement gale a 0 3 On lit sur laxe vertical que l aire de cette h lice vaut environ 0 5 titre de comparaison ce nombre est aussi l aire du carr ayant pour diagonale l aiguille et dans lequel cette derni re serait bien en peine de faire un demi tour M me si elle constitue un premier pas cette approche tr s visuelle n est cependant pas compl tement satisfaisante la valeur trouv e est lue sur un graphique avec toute l impr cision que cela suppose Parmi l infinit de points qui composent la courbe lequel pr cis ment repr sente la plus petite figure et quelle est alors l aire exacte de cette figure Toute la difficult provient de ce qui fait pr cis ment la force de cette courbe sa plus petite portion rassemble encore une infinit de figures et cette omnipr sence de l infini se dresse comme un obstacle une d termination claire de la meilleure d entre elles bien y r fl chir et comme annonc plus haut c est en fait la question plus g n rale de la compr hen
168. te il s agissait d une courbe classique des math ma tiques qui a la forme d un triangle courb et qui est appel e delto de en raison de sa ressemblance avec la lettre A delta de l alphabet grec LA QUESTION DE KAKEYA 17 Contrairement au triangle de Reuleaux les c t s de cette delto de ne sont pas des arcs de cercles mais des courbes plus complexes obtenues a partir de cercles en mouvement Pr cis ment elles apparaissent lorsque l on suit le trajet d un point sur un cercle roulant l int rieur d un autre cercle une fois et demie plus grand Le rapport de trois pour deux entre les diam tres des cercles force la figure obtenue pr senter trois pointes Les courbes complexes qui d limitent la delto de font surgir une diffi cult outre qu elles ne sont pas aussi famili res que la droite ou le cercle elles ne r pondent pas aux formules l mentaires de calcul d aire telles qu on les conna t pour le disque ou le triangle par exemple Et si l on ne conna t pas l aire de la delto de il devient difficile de la comparer celle d autres figures et donc in fine d tre capable de montrer qu il s agit bien de la solution au probl me de Kakeya Bien entendu ce probl me ne s arr te pas la delto de toute autre figure permettant la rotation de l aiguille na aucune raison de poss der des c t s droits ou circulaires et par cons quent la d termination de son aire sera probl matique Pl
169. te d termination n est pas une chose difficile en soi il existe en effet des tables qui donnent l utilisateur les primitives de nombreuses fonctions et o il est possible de lire que la fonction F se d rive en f 4 Il ne reste ainsi plus qu soustraire F 1 F b pour obtenir l aire de la tranche de mur b 1 f 1 7 Ka L id e est maintenant d examiner l aire de portions du mur de plus en plus longues qui correspondent des valeurs de b de plus en plus 60 LE CALCUL INTEGRAL grandes Le point remarquable est que ces aires se rapprochent ind fi niment d une certaine valeur comme cela se manifeste sur le tableau suivant b 2 10 100 1000 10000 alalimite Aire de la tranche de mur 0 5 0 9 0 99 0 999 0 9999 1 On observe que lorsque b grandit l aire de la tranche de mur s approche d aussi pr s que l on veut de la valeur 1 A la limite quand tout le mur est recouvert cette valeur est pr cis ment 1 ce qui permet d affirmer que l aire de ce mur infini vaut 1 C est exactement celle d un mur carr de hauteur et de longueur gales 1 Pour peindre le mur infini il ne faut donc pas plus de peinture que pour peindre ce carr c est l une des nombreuses surprises de l infini Ce paradoxe apprend nous m fier de nos premiers r flexes ce n est pas parce qu un objet est infini que toutes les quantit s qui lui sont associ es seront forc ment infinies Les lignes qui
170. tes De fa on tout fait sur prenante de tels cas existent bel et bien mais ils font intervenir des fonc tions un peu excentriques qui chappent cette th orie Dans ces cas la notion m me d aire sous la courbe n a plus de signification vidente Pour toutes les fonctions usuelles celles qui nous int ressent les petites et grandes palissades conduisent au m me nombre qui est l aire situ e 54 LE CALCUL INTEGRAL sous la courbe qui repr sente la fonction f Pour crire ce nombre les math maticiens utilisent le symbole 1 fr 0 cette notation se lit int grale de 0 a 1 de la fonction f Par exemple pour le dessin le plus gauche de l illustration qui pr c de la fonc tion f est la fonction x et ce nombre vaut 0 33333 pour le dessin du milieu oti la fonction f est x ce nombre vaut 0 5 etc Le symbole qui intervient dans cette criture est un S allong tel qu on l crivait avant la R volution C est le S du mot Somme il rappelle que l on effectue une somme d aires de rectangles Bien entendu la m thode des palissades ne s applique pas exclusivement un domaine qui serait limit par les valeurs 0 et 1 on peut choisir d autres valeurs que l on appelle a et b La m me proc dure donne alors l aire d autres domaines comme le sugg re l illustration ci dessous M is de Cette aire est not e en toute logique b i La m thode des palissades est int ressante plus d un ti
171. thm tiques de cent mille ou dix mille nombres premiers La question a longtemps d fi les math maticiens et ce n est que tout r cemment que Ben Green et Terence Tao en sont venus a bout Ils ont montr qu il existe des progressions arithm tiques de nombres premiers aussi longues que l on veut En clair quel que soit le nombre de termes que l on se donne le th or me de Green et Tao affirme qu il existe un alignement de nombres premiers ayant pour longueur ce nombre de termes En particulier il existe bien des progressions arithm tiques de cent mille ou dix mille nombres premiers Il y a toutefois un b mol apporter au r sultat de Green et Tao leur th or me assure l existence de progressions arithm tiques mais il ne donne malheureusement aucune id e de celles ci et leur d termination concr te demeure hors d atteinte Ceci peut sembler bien paradoxal comment est il possible d tre s r de la pr sence d alignements si l on est incapable de les trouver L objectif affich tant de d tecter une certaine r gularit dans un ensemble celui des nombres premiers l id e est de prendre le probl me l envers et de se demander quels sont parmi tous les ensembles de nombres entiers ceux qui poss dent des suites de nombres r guli rement espac s Cette formulation bien plus g n rale et donc a priori bien plus difficile ouvre pourtant une nouvelle perspective s il s av re par exemple que to
172. tient au mou vement de l aiguille dans la deltoide En effet ce mouvement pouse parfaitement le contour de la figure ce qui signifie en langage math ma tique que la deltoide est la courbe enveloppe des positions successives de l aiguille Cependant on peut fabriquer bien d autres figures qui poss dent cette m me propri t et il se trouve que certaines d entre elles ont une aire plus petite que la deltoide Il n est pas n cessaire pour construire une figure meilleure que la del toide de faire appel des mouvements de l aiguille particuli rement compliqu s En fait on peut y arriver au moyen d un mouvement du type de celui d j d crit pour la parabole Pr cis ment on force chacune des deux extr mit s de l aiguille se d placer le long de deux direc tions fixes comme l indique le dessin ci dessus Une courbe enveloppe se dessine qui semble peu famili re Elle est pourtant bien pr sente concr tement puisque c est celle que d crit une porte de garage dont le haut est contraint de rouler sur une rampe horizontale et le bas sur une rampe verticale Cette courbe est d ailleurs bien connue des ing nieurs sous le nom d astro de Au final le r sultat du mouvement de l aiguille sous l astro de est une rotation d un quart de tour deux figures sem blables accol es permettent donc un retournement complet de l aiguille AVANCEE SUR LA QUESTION DE KAKEYA 93 R solution du probl me de l que
173. tions dans l espace trois dimensions savoir comment dans une aire donn e englober le plus grand volume possible nouveau toute la difficult du probl me r side dans le nombre infini de figures qui s offrent nous trois d entre elles ont t dessin es ici et nouveau la meilleure solution est la plus naturelle la sph re La d monstration de ce r sultat comme on peut s en douter est loin d tre imm diate elle n cessite de d couvrir un lien entre la surface des 80 LA FORMULE DE STOKES figures leur peau et le volume qu elles contiennent L outil ad quat serait donc une formule de Stokes en trois dimensions Vol D Formule de Stokes portant sur la surface C Oc Une telle formule existe qui est une g n ralisation a la dimension 3 de celle pr sent e dans ce chapitre Avec cette nouvelle formule la d mons tration l gante voqu e plus haut reste valide Encore une fois c est la formule de Stokes qui donne une cl pour r pondre au probl me de Visop rim trie dans la troisi me dimension L observation d une bulle de savon qui est bien sph rique comme chacun sait confirme ce r sultat Mais les choses se compliquent rapidement lorsque l on envisage deux bulles de savon c est dire lorsque l on pose le probl me de l iso p rim trie pour deux volumes comment avec une aire donn e enfermer deux volumes gaux les plus grands possibles amp
174. tiplie linfini le nombre de fa ons d paissir la figure de d part N anmoins les math maticiens ont r ussi a s affran chir des innombrables probl mes caus s par cette multiplicit infinie et sont parvenus une situation tr s similaire celle des paississements r guliers Dans cette nouvelle situation il faut consid rer non pas tous les disques de l paississement mais seulement ceux qui sont contenus dans une certaine fourchette de taille On superpose ensuite cette collec tion de disques aux paississements rectangulaires des aiguilles comme le montre l illustration ci dessous La d marche suivie est alors la m me que pour celle des rectangles une diff rence pr s cependant l aire que l on cherche valuer est celle des parties de rectangles couvertes par les disques en jaune sur le des sin Comme pr c demment la cl du raisonnement provient de l tude des ensembles B et issus des intersections de la zone jaune avec les trois horizontales Mais cette fois ci le domaine qui nous int resse tant diss min rien ne garantit que les extr mit s et les centres des ai guilles en fassent partie Par exemple sur le dessin de droite le centre de la deuxi me aiguille n est pas dans la zone color e en jaune Et si l on veut estimer laire comme pr c demment il est n cessaire de sa voir quel est le nombre d aiguilles dont les extr mit s et le centre font partie du doma
175. tour est donn e par les expressions math matiques des deux fonctions X et Y Sans entrer dans les d tails les expressions math matiques qui cor respondent a la boucle que l on tudie sont x x pour X et 1 x pour Y LA DECOUVERTE DE STOKES 73 codage Connaitre le contour c est connaitre le domaine lui m me La donn e de ces deux fonctions doit donc suffire calculer l aire de ce domaine c est exactement ce que propose la formule de Stokes dont voici un descriptif on commence par calculer la d riv e de la fonction Y on fait le produit de cette d riv e par la fonction X on obtient la fonction XY on calcule une int grale de cette nouvelle fonction De fa on plus math matique la formule de Stokes s crit b Aire du domaine f XY a Les valeurs a et b qui apparaissent dans la formule sont celles qui d limitent x dans les fonctions X et Y par exemple pour la boucle ces valeurs sont 1 et 1 On a galement l habitude d crire cette formule sous une forme qui exprime davantage ce lien entre contour et int rieur Aire xr et on lit int grale de XY le long du contour Ainsi connaissant les deux fonctions X et Y qui d crivent la boucle on est amen pour calculer son aire d terminer une int grale l int grale d une fonction f qui n est autre que le produit des deux fonctions X et Y Dans le cas de la boucle cette int grale se calcule fa
176. tre elle permet non seulement d obtenir l aire de toutes sortes de domaines mais elle s adapte aussi de nombreuses autres situations En revanche elle est fastidieuse le calcul de l aire d une seule palissade pouvant d j s av rer tr s long Heureusement comme dans le cas de la d rivation il existe une formule qui permet de s pargner tous ces calculs une formule d une importance capitale qui met en vidence un lien spectaculaire entre le calcul de laire et la d rivation Elle dit en substance que pour obtenir l aire d une tranche situ e sous la courbe d une fonction f il suffit de conna tre une autre fonction F qui lorsqu on la d rive donne QU EST CE QU UNE INT GRALE 55 nouveau la fonction f C est la fameuse formule d int gration b f f F b Fla ou F a et F b sont les deux valeurs que donne la fonction F lorsque l inconnue x est remplac e par le nombre a et par le nombre b Ainsi l aire sous une courbe s obtient directement en effectuant une simple soustraction faisant intervenir une fonction F reli e a f par une d riva tion Il n est plus n cessaire de se livrer au calcul des aires des grande et petite palissades puis de pousser ce calcul a la limite pour enfin obte nir la valeur de l aire C est l un des grands miracles de cette formule d int gration une proc dure laborieuse est remplac e par cette unique soustraction Voici titre d exemple comment traite
177. troisi me tage est bien s r inf rieure celle du trap ze qui le contient Quant au dernier tage il est plus petit que le quatri me tage du triangle initial En effet bien qu il soit assez complexe sur la figure fi nale ce dernier tage est compos des morceaux r organis s de la coiffe du triangle Tout compte fait on obtient donc Aire CW inf rieure 4 W 2 W W Dans cette construction le triangle choisi au d part a une hauteur gale sa base elle vaut 1 Si l on partage la hauteur en 32 segments gaux les tages se placent alors successivement aux altitudes 5 12 et 20 Avec ces donn es laire cumul e des huit l ments repr sent s plus haut vaut 0 23767 puisque celle du triangle est 0 5 on a bien abouti une figure qui ne d passe pas la moiti de celle de d part Dans ce cas pr cis ce proc d a permis de diviser l aire du triangle de d part par deux 116 LE THEOREME DE BESICOVITCH inf rieur a S De fa on plus g n rale en multipliant le nombre de d coupages du tri angle ainsi que le nombre d tages il est possible de diviser l aire non plus par deux mais par un nombre aussi grand qu on le souhaite Besico vitch propose une formule qui donne selon la r duction d aire que l on d sire le nombre de pi ces la hauteur de chaque tage et les regroupe ments effectuer Cette formule dit par exemple que onze tages et 24 117 248 pi ces assurent une div
178. troisi me lignes En effet ces lignes ne contiennent que des multiples de 2 et de 3 ainsi l exception de ces deux derniers nombres tous les nombres premiers sont regroup s dans la premi re et la cinqui me ligne Ils semblent alors former de petits paquets dont le plus long est compos des nombres 5 11 17 23 29 La pr sence de tels alignements c est a dire de nombres premiers r guli rement espac s conforte l intuition vague que la r partition de ces nombres r pond une certaine struc ture La disposition des nombres entiers en tableau de six lignes s tant r v l e encourageante il est tentant de poursuivre avec un nombre de lignes plus grand Les dispositions les plus probantes s obtiennent avec six trente deux cent dix lignes etc c est dire un nombre de lignes qui est un produit de nombres premiers cons cutifs 6 2X3 30 2x3x5 210 2x3x5x7 140 PERSPECTIVES Il se trouve en effet que de cette fa on les alignements de nombres premiers sont les plus longs comparativement au nombre de lignes utilis es Ainsi le tableau a trente lignes comporte des paquets de six nombres premiers j7 mmu ESS E E Pea EE mH He E De la m me mani re une grille de deux cent dix lignes laisserait appa ra tre des alignements de dix nombres premiers dont voici un exemple 199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2089 De telles suites de nombres r guli rement espac s s appellent des p
179. uelle une simple pomme tombant de son arbre aurait inspir Isaac Newton les grands principes de la gravitation universelle est r v latrice de la f condit attribu e cette d marche De fa on plus av r e c est l observation de colonies de pinsons tr s particuli res certaines les des Galapagos qui a sugg r Darwin sa th orie g n rale de l volution des esp ces Face une question qu elle soit annexe ou fondamentale le savant peut se trouver dans deux situations il peut avoir une conviction intime de la r ponse sans tre capable de la d montrer ou au contraire n avoir aucune id e de celle ci Bien entendu son travail est grandement faci lit s il se trouve dans le premier cas autrement dit lorsqu il dispose en ligne de mire d une id e de la r ponse qui soit suffisamment fon d e pour servir de guide la d monstration Cette id e ce moyen terme entre la question et la r ponse s appelle une conjecture c est une r ponse plausible une r ponse en suspens en attente d une d monstra tion Cette attente peut tre longue parfois plusieurs si cles et de tr s nombreuses conjectures demeurent encore aujourd hui sans r ponse c est l une d entre elles la conjecture de Kakeya qui nous accompagnera tout au long de cet ouvrage LA QUESTION DE KAKEYA 13 La question de Kakeya Lhistoire de cette conjecture d bute par une question si simple d ap parence que la r
180. ultat les math maticiens ont d se livrer une tude approfondie de la v ritable nature du nombre 7 Ainsi la r ponse une question math matique suppose souvent la compr hension en profondeur des probl mes qu elle soul ve Une fois le probl me r solu la solution prend la forme d une d monstration c est dire d un cheminement logique qui partant de faits consid r s 12 UNE QUESTION ANODINE comme vrais se d veloppe au moyen d une suite de d ductions pour aboutir la conclusion esp r e Ainsi tay par une d monstration non seulement le r sultat obtenu acquiert le statut de fait math matique mais il offre souvent une nouvelle perspective et une compr hension d passant le strict cadre de la question de d part En g n ral une question tant pos e il est difficile de d couvrir ce fameux cheminement qui m ne la solution ceci explique pourquoi de nombreuses questions tr s anciennes demeurent encore en sus pens Confront de telles questions le math maticien est souvent conduit s int resser des cas particuliers ou des questions annexes plus accessibles Ces questions particuli res qui peuvent para tre bien anecdotiques offrent parfois l histoire l a montr des lumi res d ci sives sur les questions les plus g n rales Ce passage du particulier au g n ral n est pas propre aux math matiques et se rencontre dans tous les savoirs cet gard la l gende selon laq
181. urbe tant toute nouvelle ses propri t s restaient a d fricher commencer par la question de l aire Celle d un disque est bien connue elle vaut TR mais quelle est la formule qui donne l aire situ e sous une arche de cyclo de Cette question s av ra tr s difficile et c est Roberval un des grands math maticiens de l poque c l bre en outre pour la balance qui porte son nom qui d couvrit cette fameuse formule Elle s crit 37 R laire d une arche est donc le triple de celle du disque qui l engendre Quant au d fi de Pascal il s agissait d une collec tion de nombreux probl mes toujours sur ce m me th me de la cyclo de Comme on le constate avec les d fis de Roberval et de Pascal le calcul des aires tait une question centrale qui pr occupait les plus grands es prits de l poque Cette question va conna tre une avanc e spectaculaire avec l apparition des principes du calcul int gral un calcul dont l mer gence n a t possible qu avec la d couverte pr alable du calcul diff ren tiel par Newton et Leibniz Avec ces nouveaux principes on a pu clarifier puis simplifier consid rablement toutes ces questions de calcul d aire au point qu aujourd hui les d fis de Roberval et de Pascal sont a la port e d un lyc en de classe de terminale les calculs ne requ rant que quelques lignes Dans le cadre de la question de Kakeya qui porte justement sur l aire des figures ces m mes princip
182. us g n ralement c est la question de la compr hension des courbes que l on se trouve confront ici puisqu une figure se r sume aux courbes qui la d limitent une connaissance approfondie de ces courbes doit suffire pour r pondre non seulement la question de laire mais aussi toute autre question g om trique Jusqu une poque relativement r cente cette connaissance approfondie des courbes n tait pas accessible Au d but du XVIIe si cle d immenses math maticiens comme Ren Des cartes Pierre de Fermat ou encore Blaise Pascal se heurtaient quotidien nement a des probl mes de calcul d aire relatifs ce type de courbes Un des probl mes de l poque tait justement de trouver l aire d une figure du m me type que la delto de appel e cyclo de 18 UNE QUESTION ANODINE Dans cette figure le petit cercle au lieu de rouler dans un cercle plus grand se d place tout simplement sur une droite Comme pour la del toide ce mouvement engendre un trajet qui n est ni une droite ni un cercle mais bel et bien une ligne courbe pour laquelle un v ritable pro bl me de calcul d aire se pose Bien des efforts et beaucoup de g nie ont permis au math maticien Roberval de mener ce calcul a bien en 1634 mais il manquait toujours la grande notion unificatrice qui permettrait une r elle compr hension des courbes C est cette grande notion que nous d couvrirons au fil des pages dans notre p
183. us absolu BULLES DE SAVON 79 La solution au probl me de l isop rim trie est la plus simple laquelle on puisse penser le p rim tre tant donn c est le cercle qui entoure la plus grande surface Toutefois l vidente simplicit de ce r sultat est trompeuse il fut extr ment d licat d montrer rigoureusement et mobilisa les efforts de nombreux math maticiens Toute la difficult r side dans l ventail infini des figures possibles comment tre certain qu il n existe pas parmi elles un candidat plus performant que le disque En qu te d une r ponse les math maticiens ont eu recours depuis l Antiquit de nombreuses fa ons de raisonner et ne sont parvenus une d monstration convainquante qu la fin du XIX si cle Il n est bien s r pas question de pr senter une telle d monstration mais plut t d imaginer une voie possible pour aborder ce probl me Les questions isop rim triques mettant en relation un contour et son int rieur c est bien entendu la formule de Stokes que l on pense Il se trouve en effet qu une des d monstrations les plus l gantes que l on connaisse l heure actuelle d coule directement de celle ci Elle a t d couverte par M Gromov en 1986 soit plus d un si cle apr s la premi re d mons tration rigoureuse l approche la plus naturelle n est pas forc ment celle qui aboutit le plus vite Mais que se passe t il si l on se pose les m mes ques
184. us les ensembles poss dent obligatoirement de telles progressions arithm tiques alors il en sera de m me pour l ensemble des nombres premiers La pr sence d ali gnements dans les grilles ci dessus naura donc pas tre interpr t e comme propri t particuli re des nombres premiers mais comme une propri t universelle vraie pour n importe quel ensemble de nombres Tel n est cependant pas le cas il existe de nombreux ensembles qui ne poss dent pas de progressions arithm tiques par exemple l ensemble 142 PERSPECTIVES compos de tous les nombres qui sont des puissances de 2 2 4 8 16 32 64 128 256 En effet dans cet ensemble entre un nombre et son suivant il y a plus d cart qu entre ce nombre et n importe lequel de ceux qui le pr c dent Par cons quent il nous est impossible de trouver ne serait ce que trois nombres r guli rement espac s dans l ensemble des puissances de 2 A l extr me inverse il existe des ensembles qui sont d une tr s grande r gularit comme par exemple l ensemble des nombres impairs L 35 4 9 11 15 15 17 19 Cet ensemble tant constitu d une progression arithm tique ind fini ment prolong e il contient bien entendu des progressions arithm tiques de toutes longueurs Comme on le constate il n y a pas de r gle g n rale certains ensembles en poss dent et d autres non mais il n est pas toujours aussi facile de les distinguer Cependant en
185. valeur du math maticien fran ais et devint son ami Au del de son caract re pittoresque sans doute quelque peu accentu dans la narration de l auteur qui l a transcrite Tall mant des R aux cette anecdote est r v latrice d une pratique alors tr s courante celle de se lancer des d fis math matiques Il s agissait de se mesurer au reste de la communaut en leur adressant des questions que l on avait soi m me r solues et en les dotant g n ralement d une forte somme d argent En 1658 un personnage c l bre Blaise Pascal lance un d fi qui met en jeu d apr s le mot de son auteur la courbe la plus naturelle apr s la droite et le cercle Malgr la tr s forte somme d argent promise au vainqueur personne ne r ussit r soudre la collection de probl mes propos s dans le d lai imparti Quelle tait donc cette courbe C est 48 LE CALCUL INTEGRAL celle que dessine un point situ au bord d un disque qui roule sur l hori zontale la c l bre cycloide d ja rencontr e au premier chapitre Y NO 41 0 Dans la vie de tous les jours on peut observer une telle courbe en suivant du regard une lumi re fix e sur la roue d un v lo Cette courbe a suscit l int r t des math maticiens car elle est issue d une combi naison tr s naturelle du cercle et de la droite En d pit de sa simplicit elle avait t ignor e par les Grecs et ne fut remarqu e qu au d but du XVIIe si cle Cette co
186. vitablement pr sente dans l ensemble ainsi fabriqu Pour saisir la force de ce th or me il faut se rendre compte que la disposition des l ments d un ensemble peut tre extr mement d sordonn e L exemple qui suit montre comment on peut construire partir d un ensemble tr s r gulier un ensemble d sordonn de m me densit 144 PERSPECTIVES i aoe Partant d une densit donn e par exemple 0 25 on commence par dis poser les l ments de la fa on la plus r guli re qui soit Afin d introduire du d sordre dans cet ensemble tout en pr servant une densit de E on d place les cases color es de l illustration ci dessus tout en veillant ce qu il y en ait une seule dans chaque barrette de quatre cases Bao Oo Il n est d j plus vident qu il existe dans cet ensemble des progressions arithm tiques de toutes longueurs On peut encore compliquer les choses en jouant par exemple sur des barrettes de seize cases au lieu de quatre ce sont alors quatre cases color es qui sont r parties au hasard dans chaque barrette La densit d un tel ensemble est toujours gale 1 et malgr sa complexit apparente la pr sence de r gularit est encore assur e par le th or me de Sz m r di CRE Ee Il est temps maintenant de revenir au probl me initial savoir la re cherche d une certaine forme de r gularit dans l ensemble des nombres premiers Le th or me de Sz m r di
187. y and Number Theory The Mathematical Association of America 1991 Chapitre 7 J P Kahane Le mouvement brownien et son histoire r ponses quelques questions site Images des Math matiques http images math cnrs fr Le mouvement brownien et son html Chapitre 8 J P Delahaye Tao l ducation r ussie d un surdou Pour la Science num ro 390 avril 2010 T Gowers Ponts inattendus entre trois univers La Recherche Sp cial Math matiques num ro 346 octobre 2001 B Rittaud Nombres premiers suites sans fins La Recherche num ro 409 juin 2007 Cet ouvrage a t compos avec les caract res Utopia Louvrage a t reproduit sur du papier Olin regular blanc naturel 90 g Ila t achev d imprimer par l imprimerie Jouve en juin 2014 D pot l gal juin 2014 Num ro d impression IMPRIME EN FRANCE N co N D SN 00 co En cheminant avec Kakeya Voyage au coeur des math matiques D couvrez ou red couvrez les grandes id es qui font la force des math matiques en suivant l incroyable destin e de la question de Kakeya Ou comment une devinette apparemment enfantine a pu croitre et se ramifier jusqu a se transformer en un v ritable d fi lanc aux grands math maticiens de notre temps Congu comme une p r grination autour de la question de Kakeya ce livre expose clairement et concr tement le pourquoi et le comment des r sultats math matiques Les grandes id es y sont

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