Mathémathiques 1ère S
Contents
1. Calculer la fr quence d apparition de l v nement A dans chacun des chantillons puis dans le total qui constitue un chantillon de 400 lancers 4 Comparer les fr quences obtenues avec le r sultat de la question 2 5 On consid re maintenant le jeu suivant Le joueur lance une pi ce trois fois de suite Il gagne 5 euros s il obtient exactement deux fois Pile et perd 2 euros dans les autres cas Pour chacun des quatre chantillons calculer la somme gagn e ou perdue la fin des cents parties Et pour le total de 400 Joindre les points On consid re les 5 points B C D et E dessin s ci contre ce sont A les sommets d un polygone convexe ABCDE bo mo 1 Combien peut on tracer de segments joignant A l un des autres 5 B points 2 Combien peut on tracer de segments joignant deux de ces points D Ne pas oublier que AB et BA sont un seul et m me segment 3 On crit le nom de chacun des 10 segments sur un carton et on met ces cartons dans un sac On tire au hasard un carton du sac Combien a t on de chances de tirer une diagonale du polygone ABCDE Et un c t Et un segment dont C est une extr mit Et un segment dont D est une extr mit 179 le Cours 1 Exp rience al atoire Alea est un mot latin signifiant jeu de d hasard Technique Pour simuler on peut utiliser une table de nombres au hasard la to2. FF est la m me que celle d obtenir FP ou PF B La probabilit d un v nement A est sup rieure celle de son v nement compl mentaire C La probabilit de A U B est gale P A P B D Si P A 0 5 et P B 0 3 on peut avoir P A NB 0 2 E La variable al atoire X prend les valeurs 2 3 et 4 avec les probabilit s 0 5 0 3 et 0 2 E X 0 7 F La variable Y prend les valeurs 5 et b avec la m me probabilit Si on a E Y 3 alors b 5 189 Exercices et Probl mes Pour approfondir Simulations et distribution de fr quences 40 On lance 50 fois une pi ce de monnaie bien qui libr e et on s int resse au nombre d apparitions de Face F ou Pile P 1 Indiquer des proc d s de simulation de cette exp rience al atoire 2 Donner des fr quences de F et de P pour des chan tillons de 50 lancers 3 Donner ces fr quences pour un chantillon de 200 lancers W Comment simuler quatre lancers successifs d une pi ce et compter les face F 2 Montrer que cette simulation donne aussi le nombre de filles dans des familles de quatre enfants si l on admet que les fr quences de naissance d une fille et d un gar on sont gales 3 notre poque en r alit il na t environ 105 gar ons pour 100 filles calculer dans ces condi tions la fr quence de naissance d un gar on et celle de la naissance d une fille 42 Dans une lettre de Nicolas Bern
3. 1 P B 1 0 15 0 85 2 A M B est r alis si la demande est 2 ou 3 P A N B 0 45 Utiliser la loi quir partie Dans un lot de 5 000 vis on a constat que 500 pr sentent le d faut a 400 Le d faut M thode b et 200 les deux d fauts On choisit au hasard une vis dans ce lot L expression choisirau m Soit A l v nement la vis pr sente le d faut a et B l v nement la vis pr sente le hasard conduit utili d faut b penis 1 Quelle est la probabilit que la vis pr sente au moins l un des deux d fauts 2 Quelle est la probabilit que la vis ne pr sente aucun des deux d fauts Solution 1 Le tableau ci contre fournit la r partition des vis suivant A T qu elles pr sentent ou non les d fauts a et b Il s agit de calculer la probabilit de l v nement A U B B 200 200 400 P A U B P A P B P A N B B 300 4300 4600 200 400 _ 200 _ 7 _ 014 500 4 500 5 000 5000 5000 5000 50 i 2 L v nement la vis ne pr sente aucun des deux d fauts est l v nement contraire de l v nement la vis pr sente au moins l un des deux d fauts Sa probabilit est donc gale 1 0 14 0 86 183 le Cours 4 Esp rance variance et cart type Technique Ces formules sont sem blables celles de la moyenne de la varian ce et de l cart type d une s rie statistique obtenue
4. apo 84375 oY V8 4375 2 905 185 Exercices et Probl mes Pour s entra ner Distributions de fr quences On rencontre quatre groupes sanguins O B et AB Pour chacun de ces groupes on trouve soit un rh sus positif soit un rh sus n gatif 1 Dresser l inventaire de tous les cas possibles 2 En Europe 45 des individus sont du groupe O et 85 de ces derniers sont de rh sus Dans une popu lation de 3 000 personnes combien rencontre t on de personnes du groupe O Quel est le pourcentage de ces personnes par rapport l effectif total FA On consid re deux roulettes A et B chacune d el les est partag e en 3 secteurs gaux marqu s 1 2 3 On fait tourner les deux roulettes l une apr s l autre et on note les deux num ros obtenus a b le joueur note alors X le plus grand des deux nombres a ou b s il ob tient a a ilnote X a lt D A y 1 Voici les r sultats pour 10 jeux successifs 1 2 G 1 G 3 1 3 2 1 3 2 2 3 2 2 1 71 1 3 Trouver la fr quence des diff rentes valeurs prises par X Calculer la moyenne 2 Par simulation on a obtenu les r sultats suivants pour des chantillons 100 jeux E 100 jeux E 500 jeux et E 1 000 jeux X 1 X 2 X 3 E 12 34 54 E 10 27 63 E3 51 144 305 E 101 313 586 Pour chacun de ces chantillons calculer la fr quence de chacune des trois valeurs de X
5. aide de la fonction random d une calculatrice l exp rience pr c dente Le tableau ci dessous rappelle le mode d emploi de diff rents mod les de calculatrices Avec TI 82 83 Avec CASIO 25 35 65 100 Pour obtenir la partie enti re d un r el Dans le menu MATH suivi de NUM utiliser la commande Int Dans le menu OPTN suivi de NUM utiliser la commande Int Pour g n rer un nombre de O n Dans le menu MATH suivi de PRB utiliser la commande Rand Dans le menu OPTN suivi de PRB utiliser la commande Ran Quelle s quence permet de simuler le calcul de la somme des nombres obtenus Donner sous forme d un tableau la distribution des fr quences correspondant 50 lan cers de deux d s obtenus par simulation 3 Recommencer une nouvelle s rie de 50 lancers de deux d s par simulation et donner la distribution des fr quences de la s rie de 100 lancers obtenue en regroupant les deux s ries pr c dentes 4 Calculer ces fr quences pour la s rie suivante de 1 000 lancers des deux d s Somme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre de fois 22 59 90 115 134 171 127 111 90 56 25 5 Recopier et compl ter ce tableau de 36 cases qui indique 11l213l4ls16 toutes les sommes possibles que l on peut obtenir en lan ant deux d s Les lancers 1 5 2 4 donnent la somme 6 Sur les 36 lancers possibles la somme 6 appara t 5
6. nement X 3 est r alis pour PPP PFF al atoire k b Pour cette variable Y les seules valeurs possibles sont 2 FPP Pour chaque v ne t4 ment X x d ter era EEE miner les issues qui lui L v nement Y 4 est r alis pour PPF ou PFP ou FPP FFP sont favorables L v nement Y 2 est r alis pour les cinq autres ven FFF tualit s Dans les lancers de pi ces trois fois de suite de l exercice pr c dent on suppose que les huit v nements l mentaires sont quiprobables a Trouver la loi de probabilit des deux variables al atoires X et Y b Calculer l esp rance la variance et l cart type de la variable Y Solution M thode _ a Pour la variable X Pour v rifier la loi de ILa probabilit de chacun des huit v nements l mentaires est z probabilit on peut i contr ler que la somme E 2 AA a 2 ER o babilit s fait 1 L v nement X 0 est l v nement FFF donc p PA 0 amp L v nement X 1 est l v nement EEE FPF FFP p 5 De m me I Iwj N GORE 3 1 NPC ag p ps3 e a P Pour la variable Y L v nement Y 4 est l v nement 7 2 PPE RERE EPP donc pO 4 p 5 aie 3 Pi L v nement Y 2 qui est l v nement contraire a pour pro 8 8 babilit p a 5 aa l gt E Y 2 x 4x b E Y 2 X2 4X2 2 5 I a o ao VON a 2 4 5 4
7. puis la moyenne et enfin pour les 1700 jeux 3 On dispose de deux jetons dont chacun a une face peinte en rouge et une face peinte en bleu On jette les jetons et on note les couleurs obtenues RR RB ou BB On r p te 20 fois ce lancer de deux jetons Voici les r sultats pour 5 chantillons de 20 lancers 186 RR RB BB El4l a 3 E 5 1015 E 4 8 8 E 6 10 4 E 3 1215 1 Pour chacun de ces 5 chantillons calculer la fr quence de chacun des trois v nements RR RB BB puis la fr quence pour les 100 lancers 2 Le joueur gagne 5 euros si les deux couleurs sont identiques et il en perd 4 si elles sont diff rentes Pour le premier chantillon de 20 lancers calculer la fr quence de l v nement le joueur gagne 5 et celle de l v nement le joueur perd 4 3 Calculer la moyenne des gains une perte de 4 est un gain n gatif 4 4 R pondre aux m mes questions pour les autres chantillons Ev nements 4 On consid re 15 jetons num rot s de 1 15 Les jetons portant un num ro pair sont rouges les autres sont bleus 1 Combien y a t il de jetons de chaque couleur 2 Combien y a t il de jetons dont le num ro est multi ple de 3 Combien de rouges Combien de bleus En 1 Combien peut on crire de nombres de trois chiffres diff rents au moyen des seuls chiffres 1 2 et 3 2 Combien peut on crire de nombre
8. 0 50 0 46 ces deux sports est 9 La proportion des adh rents ne pratiquant aucune de 0 28 0 25 0 54 0 72 ces deux activit s 10 La proportion des adh rents qui ne pratiquent pas la 0 50 0 17 0 28 0 45 natation est 11 La proportion des adh rents qui ne pratiquent que le 0 17 0 35 0 25 0 50 tennis est 12 La proportion des adh rents qui ne pratiquent que la 0 55 0 18 0 37 0 5 natation est 13 La proportion des adh rents qui ne pratiquent pas le 0 35 0 5 0 65 0 28 tennis est R ponses page 350 177 4 D couvrir 178 Familles On a relev le nombre d enfants de 300 familles Voici les r sultats obtenus Nombre d enfants 0 1 2 3 4 5 Nombre de familles 54 141 60 18 12 15 1 Calculer la fr quence de chacune des cat gories de famille Calculer la somme des fr quences obtenues 2 Quelle est la fr quence de l v nement La famille a plus de 2 enfants 3 Calculer la fr quence de l v nement La famille a moins de 3 enfants 4 Donner deux fa ons de calculer la fr quence de l v nement La famille a au moins deux enfants 5 Calculer le nombre moyen d enfants par famille D terminer la variance et l cart type de la s rie des fr quences pr c dentes Lancers de deux d s On lance deux d s on s int resse la somme des deux nombres obtenus 1 Quelles sont les valeurs que peut prendre cette somme 2 On se propose de simuler l
9. 10 fois de suite On s int resse l v nement B obtenir au moins une fois PILE Calculer P B et en d duire P B 56 Cinq l ves A B C D E prennent le d part d une course On suppose qu il n y a pas d ex aequo l arriv e 1 Combien y a t il d arriv es possibles 2 On s int resse aux trois premiers quelle est la pro babilit pour que les trois premiers soient A B C dans cet ordre Et pour C E D 3 Quelle est la probabilit pour que B soit en t te 4 Quelle est la probabilit pour que B figure dans les trois premiers BA Un sac contient 5 jetons marqu s 5 C3 1 2 et 6 1 On tire un premier jeton sans remise on note sa valeur a on en tire un second on note sa valeur b L v nement est r alis si a b est positif L v ne ment F est r alis si ab est positif Calculer P E P F P E U F P E A F 191 Exercices et Probl mes 2 Reprendre ces questions en supposant que apr s le premier tirage on remet le jeton tir dans le sac 58 On forme un num ro de t l phone dix chiffres les deux premiers tant 0 1 les huit autres choisis par mi les dix chiffres possibles dans un ordre quelconque 1 Combien peut on former de num ros 2 Combien de temps faut il pour les former tous si l on estime qu il faut 15 secondes pour en former un 3 Si Karim forme un tel num ro au hasard quelle est la probabilit qu il forme O 1 1 1 1111112 59 Un immeub
10. 65 0 5 0 25 0 55 7 P A U B 0 75 0 80 0 65 0 90 ri On ne peut rien affirmer 3 ET N sup rieure P 8 On a P C gale 0 65 inf rieure 0 65 0 65 pour P C 9 P A UB 0 3575 0 35 0 15 0 85 C Savez vous utiliser la loi de probabilit d une variable al atoire Un sac contient trois boules rouges et deux boules vertes On tire au hasard une boule du sac On note sa couleur et on la remet dans le sac On tire une deuxi me boule et on note sa couleur Chaque boule rouge tir e rapporte 2 euros Chaque boule verte fait perdre 1 euro Soit X la variable al a toire gale au gain du joueur l issue de deux tirages 1 6 12 1 10 P X 1 3 5 5 11 E X 1 6 1 0 1 8 12 V X 6 88 4 32 0 3088 2 08 R ponses page 351 199
11. E 2 Que repr sente l v nement A U E 3 Combien d l ves n apprennent ni l anglais ni l espagnol 4 Quel est l v nement contraire de 9 On crit chacune des lettres du mot TAUX sur un carton et on place ces quatre cartons dans un sac On tire un carton au hasard puis un second sans remettre le premier dans Le sac On forme ainsi un assemblage de deux lettres sans r p tition de lettre appel encore mot par exemple TA AT XT 1 Utiliser un arbre pour d terminer combien de tels assemblages peuvent ainsi tre form s 2 Soit E l v nement le mot obtenu commence par la lettre T et F l v nement le mot contient deux voyelles crire les issues qui r alisent puis celles qui r alisent E m me question pour F et F 3 Y a t il des issues qui r alisent E U F Y a t il des issues qui r alisent E N F 10 D un jeu de cartes on extrait 12 cartes le Roi la Dame et le Valet de c ur de m me pour les carreaux les piques et les tr fles On choisit au hasard une carte dans ce paquet 1 Combien d issues sont favorables chacun des v nements suivants la carte est une Dame B la carte est un Valet C la carte est un Valet noir D la carte est une Dame ou un Roi 2 Pr ciser l v nement contraire de chacun de ces v nements Simulation 11 On consid re l exp rience al atoire qui consiste lancer une pi ce de monnaie b
12. d bien quilibr deux fois de suite le nombre obte nu au premier lancer fournit le chiffre des dizaines et le second le chiffre des unit s Calculer la probabilit de chacun des v nements suivants le nombre form est pair le nombre contient deux chiffres pairs le chiffre des dizaines est le double du chiffre des unit s le nombre est strictement sup rieur 44 Piste pour visualiser tous les cas on peut dresser un ta bleau sur lequel apparaissent les 36 cas et colorier les cases qui correspondent aux issues favorables un v nement 45 Un nombre de cinq chiffres est compos unique ment des chiffres 1 et 2 Il peut ne contenir que des 1 ou que des 2 1 Combien y a t il de tels nombres 2 On choisit un de ces nombres au hasard A a Quelle est la probabilit qu il commence par 1 b Qu il se termine par 2 qu il commence par 2 et se termine par 2 Chap 8 Probabilit s 46 On jette trois fois de suite un d On note les trois nombres obtenus A est l v nement un des trois nombres au moins est multiple de 3 1 D finir l v nement A 2 Calculer P A et en d duire P A 47 On dispose d un tiroir trois cases comme indi qu sur le dessin gt 1 Montrer qu il y a six mani res de placer les trois nombres 1 2 3 dans ce tiroir un par case 2 On place au hasard ces trois nombres et on lit le nombre ainsi form a Quelle es
13. de tirer dans l ordre un jeton rouge puis un jaune est 5 26 On reprend le sac de l exercice 25 on tire cette fois un premier jeton que l on remet dans le sac puis un second jeton Quelle est la probabilit de tirer dans l or dre un rouge puis un jaune 27 Un sac contient cinq jetons marqu s avec les let tres P A R I S On tire un jeton puis un second jeton sans remise Quelle est la probabilit de tirer deux voyelles Deux consonnes Une voyelle et une con sonne dans un ordre indiff rent 28 Un lyc e compte 240 l ves en 1 S parmi les quels 130 demi pensionnaires Ces l ves tudient trois langues 66 l ves tudient l anglais 30 des l ves l allemand dont 40 demi pensionnaires 25 des l ves sont des demi pensionnaires qui tudient l espagnol 1 Reproduire et compl ter le tableau suivant anglais allemand espagnol Total Demi pensionnaires 130 Externes Total 66 240 2 Un l ve est choisi au hasard parmi Les 240 l ves de 1 S Calculer la probabilit de chacun des v nements suivants A l l ve tudie l anglais Chap 8 Probabilit s B l l ve est externe C l l ve est externe et tudie l anglais D l l ve n tudie pas l espagnol E l l ve est demi pensionnaire et n tudie pas l espagnol 29 Un sac contient six jetons num rot s de 1 6 On tire au
14. deux combinaisons qui donnent CROIX au premier coup Car d s qu une fois CROIX est venu le jeu est fini amp le second Questions Ligne 4 d crire ces quatre combinaisons avec un arbre Pile Ligne 11 expliquer ce que signifie 3 contre 1 O ou PILE L auteur conteste ici une certaine d marche pour un jeu de hasard coup est compt pour rien Ainsi il n y a proprement que trois combinaisons de possibles Croix premier coup 20 Pile Croix premier amp second coup Pile Pile premier et second coup Donc il n y a que 2 contre 1 parier S il jouait en trois coups on trouverait huit combi naisons dont une seule fait perdre et sept font 25 gagner ainsi il y aurait 7 contre 1 parier Mais dans ce cas de trois coups il n y a que 4 com binaisons gagnantes Croix Pile Croix Pile Pile Croix Pile Pile Pile Donc il n y a que 3 contre 1 parier 30 Ceci est digne ce me semble de l attention des calculateurs Extrait de l Encyclop die 1751 1772 Article CROIX ou PILE analyse des hasards R dig par Jean le Rond Alembert 1717 1783 retrouve t on cette expression notre poque Ligne 21 repr senter par un arbre les cas possibles en jouant en trois coups et trouver la probabilit de gagner Une r ponse de Laplace Laplace 1749 1827 commence par d montrer que la pro babilit d amener CROIX au moins une fois en deux coups est de 3 4 Pui
15. les produits possibles apr s trois lancers Calculer E Z F5 Promenade al atoire Un enfant se d place en ligne droite de mani re al atoi re de la fa on suivante Il effectue quatre d placements soit de 1 pas soit de 2 pas par exemple le trajet 1 1 2 1 ce qui fait un total de 5 pas Il revient au point de d part et recommence 100 fois 193 Exercices et Probl mes 1 S est la variable al atoire gale au nombre des pas effectu s au cours de chaque trajet Quelles valeurs peut prendre S 2 Simulation Pour simuler ces trajets on place 100 jetons marqu s 1 et 100 jetons marqu s 2 dans un sac on tire un jeton on note le num ro on le remet dans le sac et on effectue quatre tirages identiques et on fait la somme des quatre num ros obtenus On peut aussi utiliser un tableur a Voici les r sultats obtenus pour S dans trois chan tillons E4 E gt E de 100 trajets chacun 4 5 6 7 8 5 22 41 22 10 E 7 25 44 24 0 4 20 39 28 9 Pour chacun de ces chantillons calculer la fr quence de chaque v nement S 4 S 5 etc et calcu ler la moyenne b Voici les r sultats pour un chantillon de 500 tra jets puis un chantillon E de 1 000 trajets et enfin FE de 1 500 trajets S 4 5 6 7 8 E 35 118 196 118 33 Es 62 267 364 234 73 Es 103 392 559 336 110 Pour chacun de ces trois chantillons calculer la f
16. 2 1 0 1 2 3 Pi 0 1 0 2 0 25 0 25 0 05 0 15 1 La somme de ces probabilit s est elle bien gale 1 2 Calculer la probabilit de chacun des v nements A YZ 0 B Y lt 2 3 Calculer E Y et o Y 36 Un sac contient 26 jetons marqu s avec les 26 lettres B Z On tire un premier jeton puis un se cond sans remise du premier On gagne 5 euros par voyelle et on perd 1 euro par consonne 1 Quelles sont les valeurs possibles du gain 2 Trouver la loi de probabilit du gain 3 Calculer l esp rance du gain 37 Un jeu comporte 8 cartes marqu es 7 8 9 10 V D R et As On tire une carte au hasard la variable X prend la valeur 10 si on tire 7 8 9 ou 10 la valeur 15 pour V D R et la valeur 20 pour l As Donner par un tableau la loi de probabilit de cette varia ble Calculer l esp rance et l cart type de cette variable 38 Un sac contient un jeton marqu 1 et deux jetons marqu s 2 On tire un jeton on note son num ro on le remet dans le sac on effectue de m me un second tira ge et on fait la somme des deux nombres obtenus 1 Montrer qu il y a 9 issues possibles en compl tant le tableau ci dessous 1 2 2 1 2 2 2 2 S est la variable al atoire prenant les valeurs de cette somme Donner la loi de probabilit de S calculer E S et o S EX VRAI ou FAUX A Si l on jette deux pi ces la probabilit d obtenir
17. CHAPITRE Les notions tudi es dans ce chapitre 1 Exp rience al atoire 4 Esp rance variance et cart type 2 Loi de probabilit 5 Variable al atoire 3 Probabilit d un v nement 176 Avant de commencer TESTEZ VOUS Choisir la ou les bonne s r ponse s A Savez vous utiliser des fr quences On lance un d six faces 100 fois Le tableau fournit la fr quence de chacun des num ros f 0 19 0 20 0 13 0 14 0 16 0 18 A B C D 1 La fr quence de l v nement obtenir un nombre 0 31 0 5 0 333 1 multiple de 3 est 3 2 La fr quence de v nement obtenir un nombre 0 48 0 5 0 61 0 13 strictement sup rieur 3 est 3 La fr quence de l v nement obtenir un nombre au 0 81 0 19 0 61 0 20 moins gal 2 est 4 La moyenne de la s rie est 3 5 3 42 0 176 0 57 5 La variance de la s rie est 14 88 1 782 3 1836 2 7714 B Savez vous calculer des proportions Un club sportif propose ses 200 adh rents plusieurs activit s dont la natation et le tennis 110 pratiquent la natation 70 le tennis et 36 les deux activit s 6 La proportion des adh rents pratiquant les deux acti 0 25 0 18 0 75 0 36 vit s est 7 La proportion des adh rents pratiquant au moins 0 75 0 90 0 72 0 54 l une de ces deux activit s est 8 La proportion des adh rents pratiquant un seul de 0 75 0 54
18. bilit s p est gale 1 gt p 1 P pi P2 Pn i 1 A partir d une m me exp rience on peut d finir plusieurs variables al atoires B D finition L esp rance math matique not e E X la variance not e V X et l cart type not o X de X sont respectivement l esp rance la variance et l cart type de la loi de probabilit de X c est dire Ein in tEn E xpi VOO F pi EX Y xipi E9 AN f i Faf et o X V X On remarque que la variance et l cart type sont toujours positifs Chap 8 gt d es M th O d es Probabilit s gt D finir et tudier une variable al atoire L exp rience al atoire consiste lancer une pi ce de monnaie trois fois de suite on note P ou F selon qu appara t pile ou face a Soit X la variable al atoire qui prend pour valeurs le nombre de fois o pile appara t d terminer Les valeurs possibles pour X b Au cours du jeu Le joueur gagne 4 euros s il obtient deux fois pile et perd 2 euros dans les autres cas d finir une nouvelle variable al atoire Y M thode ____ Solution Bien comprendre quel m a L v nement X 0 est r alis si l on obtient FFF les sont toutes les is Sie E E PEK i L v nement X 1 est r alis pour PFF ou FPF ou FFP sues possibles de PPF l exp rience et Les va L v nement X 2 l est pour PPF ou PFP ou FPP PFP leurs de la variable Et l v
19. bles 2 Quelle est la probabilit d avoir P en premier Celle d avoir F en dernier Celle d avoir deux figures diff rentes 187 Exercices et Probl mes 15 est l ensemble des nombres entiers de 1 20 inclus On choisit au hasard un de ces nombres Quelle est la probabilit de chacun des v nements A le nombre est multiple de 2 B il est multiple de 4 C il est multiple de 5 D il est multiple de 2 mais pas de 4 E il est multiple de 4 mais pas de 2 Quelle est la probabilit de chacun des v nements ANB AUB ANCet AUC 16 Une urne contient 3 boules bleues 5 boules rou ges et 2 boules vertes On tire une boule au hasard dans cette urne Calculer la probabilit de chacun des v nements suivants A la boule est rouge ou bleue B la boule n est pas verte C la boule n est pas bleue EE soit e e e e es ec ez On consid re les v nements A e e3 4 B e3 e4 s e7 etC e es Les sept v nements l mentaires sont quiprobables Calculer P A P B P C P A NB P BU C P A P B 18 1 On donne P A 0 8 P B 0 4 et P A N B 0 3 Calculer P A P B P A U B 2 Peut on avoir une probabilit P telle que P A 0 8 P B 0 4 et P A AN B 0 1 ET D un jeu de 32 cartes on tire une carte au hasard Quelle est la probabilit de chacun des v nements suivants la carte est un c ur B la carte es
20. cette exp rience puis d terminer la distribution des fr quences associ e cet chantillon 3 Produire quatre autres chantillons de m me taille Donner la distribution des fr quences pour les 250 tirages pr c dents 4 Quelle loi de probabilit est associ e cette exp rience Solution M thode____ 1 Il faut trouver une fa on de tirer les nombres al atoires donn s par la fonction Pour simuler avec une m RANDOM de la calculatrice pour que la r partition 20 20 60 ou encore 1 1 3 soit res CIE er 3 pect e On obtient un nombre de 1 5 en proc dant ainsi t Votre Avec TI 82 83 taper la s quence Int Rand x 5 1 mod le Avec CASIO 25 35 65 100 taper la s quence Int Rand x 5 1 On d cide que si le nombre obtenu est 1 la boule est bleue s il est 2 la boule est rouge s il est 3 4 ou 5 la boule est verte On d nombre ensuite les apparitions du chiffre 1 puis du chiffre 2 et on additionne cel les de 3 4et 5 La simulation peut tre effectu e l aide d un tableur Voir page 198 2 Voici un chantillon de taille 50 et la distribution associ e pour cette exp rience Bleue Rouge Verte Effectif 6 14 30 Fr quence 0 12 0 28 0 60 3 Le tableau ci contre indique les fr quences pour quatre nouveaux chantillons de taille 50 Sur cinq chantillons concernant la m me exp rience on remarque une fluctuation de la distribution des fr quence
21. d quations d inconnues x et y 2x 4y 6 Les coefficients m n et q sont choisis au hasard dans l ensemble 11 2 3 4 5 6 de la fa on suivante On lance un d le num ro sorti donne m On le lance une seconde fois le num ro obtenu donne n Et une troisi me fois le num ro donne q 1 Quelle est la probabilit que le syst me admette pour solution le couple 3 0 2 Quelle est la probabilit que le syst me admette une solution unique 3 Celle que le syst me n ait pas de solution 4 Celle qu il ait une infinit de solutions 70 On consid re l quation x px q 0 On lance un d le num ro sorti donne la valeur du coef ficient p On lance le d une seconde fois le num ro donne alors q 1 Quelle est la probabilit que l quation donn e admette deux racines distinctes 2 Quelle est la probabilit que l quation admette une racine double 3 Quelle est la probabilit que l quation n admette pas de racine r elle n Les chapeaux Trois personnes A B et C ont pos leurs chapeaux a b c au vestiaire la sortie du restaurant A prend un chapeau au hasard B fait de m me et C prend le chapeau qui reste 1 Dessiner un arbre pour rendre compte de toutes les issues possibles 2 Quelle est la probabilit de chacun des v nements suivants M chaque personne retrouve son chapeau N une seule retrouve son chapeau P personne ne retrouve son chapeau 72 Reprendre le pr
22. es un jeton par case a combien y a t il de fa ons de les disposer b Soit X la variable al atoire gale au nombre de cases rouges recouvertes par ces deux jetons Calculer p X 2 et p X 0 et en d duire la loi de probabilit de X Calculer l esp rance et l cart type de X c Reprendre ces m mes questions pour la variable Y gale au nombre de cases blanches recouvertes par ces 2 jetons 83 Pour prendre des initiatives Probl me de Galil e Le prince de Toscane demanda un jour au physicien Galil e Pourquoi lorsque l on lance 3 d s obtient on plus souvent la somme 10 que la somme 9 bien que ces sommes soient obtenues chacune de 6 fa ons diff rentes 195 Exercices et Probl mes Un peu d histoire D ALEMBERT et les probabilit s l poque de d Alembert et de Pascal lorsqu on lance une pi ce on n obtient pas PILE ou FACE mais CROIX 1 On demande combien il y a parier qu on am nera CROIX en jouant deux coups cons cu tifs La r ponse qu on trouvera dans tous les auteurs amp suivant les principes ordinaires est 5 celle ci Il y a quatre combinaisons Premier coup Second coup Croix Croix Pile Croix Croix Pile 10 Pile Pile De ces quatre combinaisons une seule fait perdre amp trois font gagner il y a donc 3 contre 1 parier en faveur du joueur qui jette la pi ce Cependant cela est il bien exact 15 Car ne faut il pas r duire une les
23. fois la fr quence correspondante est donc 5 36 soit environ 0 139 comparer aux fr quences obtenues ci dessus Au vu de ce tableau calculer pour chaque somme la fr quence d appari tion laquelle on peut s attendre Alaj Row Chap 8 Probabilit s LUTTE Lancer des pi ces On lance une pi ce de 1 euro trois fois de suite et chaque lancer on note P pour pile et F pour face 1 Au premier lancer on a deux possibilit s P ou F Au second de m me P P ou F etc chaque issue correspond un chemin sur l arbre On note PFP P l issue correspondant la succession Pile Face Pile En compl tant l arbre ci contre donner l ensemble Q de toutes les issues possibles F 2 Soit A l v nement obtenir exactement 2 fois Pile crire les issues qui r alisent l v nement A Si la pi ce est bien quilibr e combien a t on de chances d obtenir l v nement 3 On simule l aide d un tableur 100 fois l exp rience qui consiste lancer trois fois de suite une pi ce de 1 euro Le tableau suivant donne les r sultats obtenus pour quatre fois 100 lancers On a aussi indiqu le total pour les 400 lancers chantillon PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF N 1 5 8 11 16 17 13 17 13 N 2 8 12 13 19 12 8 11 17 N 3 14 8 11 12 10 8 27 10 N 4 15 18 8 9 10 10 10 20 Total 42 46 43 56 49 39 65 60
24. hacune des issues e4 e e d une exp rience al atoire on associe un r el p4 p p avec les propri t s suivantes pour tout i O lt p lt 1et p 1 Mod liser une exp rience al atoire c est lui associer une loi de probabilit Pour une m me exp rience plusieurs mod les sont possibles Ainsi lorsqu on lance une pi ce on peut envisager les mod les obtenir Pile avec la probabilit 0 5 et Face avec la probabilit 0 5 ou Pile avec la probabilit 0 25 et Face avec la probabilit 0 75 On a vu en Seconde que si l on r p te l exp rience un grand nombre de fois les fr quences tendent se stabiliser La simulation de l exp rience pr c dente va donc permettre de valider le premier mod le E Loi des grands nombres Si l on r p te n fois la m me exp rience de mani re ind pendante dans les m mes conditions une loi de probabilit tant d finie si n tend vers l infini la fr quence d une issue tend vers la probabilit de cette issue La distribution des fr quences f f2 Pis Parcs Pr f tend vers la loi de probabilit Chap 8 gt d es M th O d es Probabilit s D Simuler une exp rience Un sac opaque contient 20 boules bleues 20 rouges et 60 vertes On tire une boule au hasard on note sa couleur et on la remet dans le sac 1 Simuler cette exp rience l aide d une calculatrice 2 Fournir un chantillon de taille 50 de
25. hasard deux jetons simultan ment 1 D crire l ensemble Q des issues possibles 2 Calculer la probabilit des v nement A et B d finis par obtenir deux num ros cons cutifs B obtenir deux num ros dont la somme est 6 Esp rance Variance cart type EJ Les observations faites propos du nombre de clients se pr sentent la caisse d un supermarch pen dant cinq minutes m nent la loi de probabilit donn e par le tableau ci dessous Nombre de clients Probabilit 0 1 0 25 0 3 0 15 0 2 0 1 2 3 4 Calculer l esp rance de cette loi de probabilit 31 Un d cubique bien quilibr a 2 faces marqu es 1 3 faces marqu es 2 et une face marqu e 6 On lance le d une fois 1 Donner la loi de probabilit associ e cette exp rience 2 Calculer son esp rance math matique et sa variance 32 Lors d une tombola les gains possibles sont 0 10 20 et 100 avec les probabilit s respectives 0 4 0 3 0 25 et 0 05 Calculer l esp rance math matique du gain Variable al atoire 33 Une variable al atoire X prend les valeurs 4 5 et 6 avec des probabilit s gales Calculer E X et V X 34 Voici la loi de X la valeur a est inconnue Trou ver a sachant que E X 4 7 X 4 5 a P 02 05 03 35 Voici un tableau donnant la loi de probabilit d une variable al atoire Y Y
26. ien quilibr e 1 Comment utiliser une calculatrice pour simuler cette exp rience 2 Simuler 50 lancers de la pi ce Noter le nombre de Pile obtenu 3 Quelle est la fr quence des Pile quelle est la fr quence des Face 12 On lance deux pi ces de monnaie simultan ment et on s int resse au r sultat obtenu Pile Pile PP Pile et Face PF Face Face FF 1 En utilisant une calculatrice fournir un chantillon de taille 100 de cette exp rience 2 Donner la distribution des fr quences associ es cet chantillon 3 Si les pi ces sont bien quilibr es autour de quelles valeurs vont se stabiliser ces fr quences si l on simule un grand nombre de lancers Probabilit s 13 Reprendre la situation de l exercice 2 1 Montrer qu il y a 9 couples a b possibles et com pl ter le tableau suivant en marquant dans chaque case la valeur de X Ex dans la case 1 2 on marque F 11213 la valeur 2 pour X 2 2 En supposant que les 9 v ne 1 2 ments ont la m me probabilit de gt se produire calculer la probabilit d obtenir X 1 puis X 2 et X 3 3 Comparer aux fr quences du n 2 3 Calculer la probabilit d obtenir au moins 2 pour X celle d avoir au plus 2 On lance une pi ce bien quilibr e deux fois de suite et on note P pour pile et F pour face 1 En compl tant l arbre ci contre mon trer qu il y a quatre issues possi
27. ier de 1 365 crire dans B3 la formule ENT ALEA 0 365 1 Recopier cette formule vers le bas jusqu en B30 Dans la colonne D on compte pour chaque jour de l ann e le nombre de fois o ce jour est une date anniversaire d un l ve de la classe On crit dans la cellule D3 la formule NB SI B 3 B 30 C3 puis recopier en bas Il y a co ncidence un jour donn si le nombre d l ves f tant leur anniversaire ce jour l est sup rieur strictement 1 Pour chaque jour le test est effectu au moyen de la formule SI D3 gt 1 1 0 qui est crite dans la cellule E3 puis recopi e en bas La somme des entiers de la colonne E fournit le nombre de co ncidences qui est crit dans la cellule F3 au moyen de la formule SOMME E3 E367 Expliquer pourquoi la formule SI F 3 0 NON OUI crite dans la cellule G3 fournit la r ponse pour l chantillon observ nombre de Deux l ves au moins ont ils l l ve naissance l ann e co ncidence le m me jour anniversaire 1 134 1 D 2 292 z Effectuer 100 simulations Quelle est la fr quence des OUI Le r sultat obtenu est il en accord avec l hypoth se faite d une probabilit de 0 077 environ Calcul de probabilit s On consid re maintenant des groupes de n personnes On note p la probabilit pour que ces n per sonnes aient des dates anniversaires diff rentes a On choisit n 3 Quelle es
28. it c est dire que les n v nements l mentaires ont tous la m me probabilit P e P e P e E Propri t Dans une situation d quiprobabilit pour tout i P e 1 Si l v nement A comporte k issues favorables on a P A nombre de cas favorables A _ nombre d l ments de A D UR nombre de cas possibles nombre d l ments de Q B D monstration Soit p la probabilit de chacun des v nements e gt p np d o np 1 et i l 1 _ k 1 pP gt Ona P A kp kx i n Chap 8 des M thodes Probabilit s D Calculer une probabilit La suite d une tude statistique dans un grand magasin on a not les r sultats suivants concernant la demande quotidienne de t l viseurs Demande 0 1 2 3 4 5 6 Probabilit 0 05 0 10 0 20 0 25 0 20 0 15 0 05 1 Quelle est la probabilit de chacun des v nements suivants A un jour donn la demande est strictement inf rieure 4 B un jour donn la demande est au moins gale 2 2 Quelle est la probabilit de l v nement A N B M thode __ Solution La probabilit de A est m 1 A 0 1 2 3 D oem Donc P A 0 05 0 10 0 20 0 25 soit P A 0 60 probabilit s des v ne s 3 ments l mentaires qui L v nement B est r alis si la demande est strictement inf rieure 2 pacena D o P B 0 05 0 10 0 15 Par suite P B
29. le comporte quatre tages Deux personnes et B prennent l ascenseur au rez de chauss e marqu en gris Chacune peut choisir l un des quatre tages 1 Combien y a t il de choix possibles 2 Quelle est la probabilit que les deux per sonnes descendent au m me tage 3 Reprendre les questions a et b si cinq personnes prennent l ascenseur PISTE Utiliser un arbre en pr cisant les choix pour A puis pour B 60 Soit A et B deux v nements quelconques d un univers Q On appelle B4 l ensemble des l ments de B qui ne sont pas l ments de A 1 Montrer que A U B A U B et que A et B sont disjoints En d duire P A U B4 2 Exprimer P B l aide de P B En d duire que P A U B P A P B P A NB Variable al atoire Esp rance et variance 61 Dans le sac n 1 on place les trois jetons marqu s 2 3 4 Dans le sac n 2 on place les jetons marqu s 3 4 et 5 L exp rience consiste tirer au hasard un jeton dans cha que sac On d signe par X la variable al atoire qui prend les valeurs de la somme des deux nombres obtenus 1 D terminer la loi de probabilit de cette variable 2 Calculer E X et o X Utiliser un tableau pour trouver les valeurs possi bles pour X 62 Reprendre l exp rience al atoire du 61 Le joueur gagne 3 euros si la somme S obtenue est paire et il perd 3 euros dans le cas contraire 1 D terminer la loi de probabilit de cette n
30. obl me de l exercice pr c dent avec quatre personnes A B C et D et quatre casquettes a b c etd 73 Jeux de roulettes Une roulette comporte deux secteurs gaux marqu s 0 et 1 Au d but du jeu on dispose de 9 euros On actionne la roulette si le 1 sort on triple son avoir si Le O sort on le divise par 3 1 On actionne la roulette une fois X est la variable al atoire gale ce que l on poss de apr s ce jeu Pr ciser la loi de X et calculer E X 2 On actionne la roulette deux fois de suite Y est la variable al atoire gal ce que l on poss de apr s ces deux actions Pr ciser la loi de Y et calculer E Y 74 Jeux de roulettes Une roulette est divis e en trois secteurs gaux Ces secteurs portent les num ros 0 2 4 1 On fait tourner la roulette on gagne la somme X marqu e sur le secteur Quelle est la loi de probabilit de X Calculer E X 2 On fait tourner la roulette deux fois de suite Le gain Yest alors gal au produit des nombres marqu s Quelle est la loi de Y Calculer E Y 3 On fait tourner la roulette trois fois de suite On d signe par Z le nombre gal au produit des trois nom bres obtenus Pour obtenir la loi de Z dresser un tableau La premi re ligne comporte les issues possibles pour les deux premiers lancers 0 0 0 0 0 4 8 8 16 La premi re colonne comporte les issues possibles pour le troisi me lancer 0 2 4 Marquer dans les 27 cases du tableau tous
31. oulli du 23 janvier 1713 on trouve le Catalogue des enfants de chaque sexe n s Londres de 1629 1710 En voici un extrait Ann e Gar ons Filles 1659 3 209 2781 1660 3 724 3 247 1661 4 748 4107 1662 5 213 4 803 1663 5 411 4881 1664 6 041 5 681 1665 5114 4 858 1666 4678 4312 1667 5 616 5 322 1668 6 073 5 560 Pour chaque ann e 1 Trouver l cart entre le nombre de gar ons et le nombre de filles 2 Calculer la fr quence du nombre de naissances de filles et du nombre de naissance de gar ons 3 Calculer le rapport entre le nombre de gar ons et le 190 nombre de filles 43 Un d comporte une face marqu e 1 trois faces marqu es 2 et deux faces marqu es 3 On jette ce d deux fois de suite et on fait la somme des deux num ros obtenus 1 Montrer que les valeurs de cette somme sont 2 3 4 5et6 2 Voici les r sultats obtenus pour trois s ries de 300 lancers Somme 2 3 4 5 6 1 s rie 9 45 120 96 30 2 s rie 6 54 114 102 24 3 s rie 8 49 128 84 31 Pour chaque s rie de lancers calculer la fr quence pour chaque valeur de cette somme puis la moyenne corres pondante 3 M mes questions pour l chantillon obtenu en regroupant ces trois s ries 4 Imaginer un mode de simulation de cette exp rience al atoire Probabilit d un v nement On forme un nombre de deux chiffres en lan ant un
32. ouvelle 192 variable al atoire Y une perte est une valeur n gative 2 Calculer E Y et l cart type de Y 63 Un jeu consiste lancer deux d s parfaits Un joueur mise 1 euro sur le num ro 5 Si ce num ro est obtenu sur chacun des deux d s le joueur re oit 4 euros S il appara t sur un seul des deux d s il re oit 3 euros Dans tous les autres cas il perd sa mise Le gain du joueur est la somme re ue diminu e de la mise c est une variable al atoire X 1 Quelles sont les valeurs prises par X 2 Donner la loi de probabilit de X 3 Calculer E X et o X 64 Un d comporte une face marqu e 1 trois faces marqu es 2 et deux faces marqu es 3 On jette ce d deux fois de suite et on fait la somme S des deux num ros obtenus 1 Quelles sont les valeurs prises par S 2 Quelles sont les six issues favorables l v nement S 3 Calculer la probabilit de S 3 3 Pour trouver la loi de probabilit de S dresser un tableau carr sur la premi re ligne marquer les six nombres 1 2 2 2 3 3 de m me pour la premi re colonne Donner la loi de S sous forme de tableau 4 Calculer E S et o S 65 Dix chevaux participent une course On s int resse aux trois premiers 1 Pour le cheval qui arrive premier il y a 10 possibilit s Combien y en a t il pour Le cheval qui est second Com bien y a t il d arriv es possibles pour les trois premiers 2 Le joueur paie 5 euro
33. propose d appliquer cette m thode l estimation de l aire de y la partie du plan colori e situ e sous la parabole d quation y x et dans le carr de c t 1 a Comment modifier le programme pr c dent pour r aliser une simu lation de lancers de fl chettes avec cette nouvelle cible b Simuler une s rie de 500 lancers En d duire une approximation de l aire sous la parabole x 197 Travaux Pratiques Les anniversaires On se propose de d terminer la probabilit pour que deux l ves au moins d une classe de 28 l ves f tent leur anniversaire le m me jour aucun n tant n un 29 f vrier On suppose que quelque soit le jour de l ann e la probabilit qu un l ve choisi au hasard f te son anniver 2 365 365 Pour v rifier cette hypoth se on va r aliser une simulation l aide d un tableur saire ce jour l est gale On peut penser que la probabilit cherch e est gale soit 0 077 environ Simulation Chaque l ve est num rot de 1 28 et chaque jour de l ann e de 1 365 Il s agit donc de choisir 28 nombres au hasard parmi les entiers de 1 365 et de d terminer les co n cidences des r sultats obtenus Ouvrir une feuille de calcul Dans les colonnes A et C crire respectivement les entiers de 1 28 et les entiers de 1 365 La colonne B associe chaque l ve son jour anniversaire obtenu par tirage au hasard d un ent
34. r quence des valeurs de S puis la valeur moyenne de S 3 Probabilit s a l aide d un arbre montrer qu il y a 16 possibilit s pour un trajet b D nombrer les trajets pour lesquels on a S 4 ceux pour lesquels ona S 5 et ainsi de suite jusqu S 8 c Quelle est la probabilit de chacun de ces v nements Comparer aux fr quences obtenues pour les chantillons E4 Es E d Calculer l esp rance puis la variance de cette variable S 76 D t tra drique On dispose d un d t tra drique c est dire quatre faces qui sont des triangles quilat raux marqu es 1 2 3 4 Lorsque l on lance ce d on note le num ro marqu sur la face qui est pos e sur la table 194 Il y a quiprobabilit d obtention de chaque face L exp rience consiste jeter ce d deux fois de suite on fait la somme S des deux nombres obtenus 1 Simulation a Quelles sont les valeurs possibles pour cette somme S b Pour un chantillon E4 de 100 exp riences puis un chantillon E de 500 puis E de 1 000 voici les r sul tats obtenus pour chaque somme possible S 2 3 4 5 6 7 8 E 7 8 20 26 24 12 3 E 33 59 97 123 90 64 34 E 64 111 206 260 182 114 63 Pour chacun de ces trois chantillons calculer la fr quence de chaque valeur de S Cumuler ces trois chantillons et calculer les nouvelle fr quences c Comment faire ces simulation
35. s B R V 0 18 0 22 0 60 0 16 0 18 0 66 0 28 0 16 0 56 0 20 0 22 0 58 En rassemblant les cinq chantillons la fr quence d apparition d une boule bleue est 0 188 En effet le nombre total de boules bleues obtenues est gal 50 x 0 12 0 18 0 16 0 28 0 20 soit 47 La fr quence correspondante est donc gale RIR soit 0 188 De m me la fr quence d apparition d une boule rouge est 0 212 et celle d une boule verte est 0 60 4 Les proportions des couleurs dans le sac sont respectivement 0 2 0 2 et 0 6 Il n est pas tonnant c est la loi des grands nombres que la distribution des fr quences se rapproche de cette r partition La loi de probabilit associ e cette exp rience est donn e dans le tableau ci contre Probabilit 0 2 0 2 0 6 181 le Cours 3 Probabilit d un v nement Vocabulaire ____ ACQ se lit A inclus dans Q A se lit A barre Vocabulaire est l v nement impossible Q est l v nement cer tain SiANB ondit que et B sont incom patibles Si l on conna t P A on peut calculer P A P A 1 P A Vocabulaire Une issue qui r alise A est souvent appel e cas favorable A L ensemble de toutes les issues est l ensemble des cas possibles 182 Soit Q l ensemble des issues possibles d une exp rience al atoire B D finitions e Un
36. s l aide d un tableur 2 Probabilit s a Pour cette exp rience pr cisez les 16 cas possibles en dressant un tableau double entr e D montrer les issues favorables chacun des v nements SES 2 S 354 5 S 8 b Donner la loi de probabilit de la variable al atoire S et comparer aux fr quences obtenues c Calculer E S et V S d Si S est paire le joueur gagne S jetons si S est impaire il perd S jetons Donner la loi de probabilit de cette nouvelle variable G correspondant au gain du joueur Calculer E G 77 Lancers de trois d s On lance trois d s un blanc un bleu et un noir on fait la somme des num ros qui apparaissent 1 Montrer que cette variable al atoire S peut prendre toutes les valeurs enti res de 3 18 2 Simulation Par simulation de 1 000 lancers de ces trois d s on a obtenu S 3 4 5 6 7 8 9 10 Ef 6 10 18 52 79 90 128 129 S 11 12 13 14 15 16 17 18 Ef 123 110 86 69 53 29 12 6 Calculer les fr quences pour chaque somme de la valeur moyenne 3 Probabilit s a Montrer qu il y a 216 issues possibles pour un lancer de 3 d s Chap 8 Probabilit s b La somme S 3 est obtenues d une seule fa on quelle est la probabilit de l v nement S 3 Quelle est celle de l v nement S 18 c Combien y a t il de fa on d obtenir le total S 4 Quelle est la probabilit de ce
37. s partir des fr quences B D finition Lorsqu une loi de probabilit P est d finie sur un ensemble Q d issues constitu es de nombres r els e on d finit l esp rance u la variance V et l cart type o de la loi de probabilit par MET i araa PC Dep ial V e1 u p e2 p e 4 X e u p et o W i l 5 Variable al atoire Une variable al atoire se note en g n ral X Y ou Z Dans le tableau les valeurs de X sont cri tes dans l ordre crois sant Vocabulaire Dans un jeu de hasard le mot esp rance fait penser espoir de gain Un jeu est quitable si l sp rance est nulle 184 Q est un ensemble sur lequel on a d fini une loi de probabilit P B D finition Lorsqu chaque v nement l mentaire de Q on associe un nombre r el on dit que l on d finit une variable al atoire sur Q La variable al atoire X prend un nombre fini de valeurs x x ment X prend la valeur x se note X x Xp l v ne Si cet v nement est r alis pour les seuls l ments d une partie A de Q la pro babilit de l v nement X x est la probabilit de A On crit p X x P A p B D finition La loi de probabilit de la variable X est la fonction qui toute valeur x de X associe P X x ou p Cette loi est en g n ral donn e dans un tableau z p Saa i aa 4e a La somme des proba
38. s de quatre chiffres au moyen de deux chiffres 1 un chiffre 2 et un chiffre 3 6 On jette un d rouge et un d bleu On crit dans le tableau ci dessous la diff rence entre Le nombre crit sur le d rouge et celui sur le d bleu RS A1 DAS 4 ls 6 1 0 2 11 3 4 5 6 Chap 8 Probabilit s 1 Recopier et compl ter ce tableau 2 Dresser la liste de toutes les ventualit s possibles EE Un jeu de 32 cartes comporte quatre couleurs c ur carreau pique et tr fle Les c urs et les carreaux sont rouges et les autres sont noirs Pour chaque couleur il y a 8 cartes 7 8 9 10 valet V dame D roi R et as A 1 Combien y a t il de cartes rouges Combien d as rouges Combien de rois De rois noirs 2 A est l ensemble des rouges B l ensemble des rois On d signe par A N B l ensemble des cartes communes et B combien y a t il de cartes dans A N B On d signe par A U B l ensemble des cartes qui appar tiennent au moins l un des deux c est dire soit A soit B soit aux deux ensembles Combien y a t il d l ments dans A U B 8 Dans une classe de 30 l ves 20 tudient l an glais et 15 l espagnol 8 l ves tudient les deux lan gues Pour un l ve donn on note A l v nement l l ve tudie l anglais et E l v nement l l ve tudie l espagnol 1 Que repr sente l v nement N
39. s il conteste le raisonnement de d Alembert 1 On peut ne compter ce jeu que trois cas diff rents Savoir Croix au premier coup ce qui dis pense d en jouer un second pile au premier coup et croix au second enfin pile au premier et au 5 second coup Cela r duirait la probabilit 2 3 si l on consid rait avec d Alembert ces trois cas comme galement possibles Mais il est visible que la probabilit d amener croix au premier coup est 1 2 tandis que celle des deux autres cas est 1 4 10 Maintenant si on ajoute la possibilit 1 2 d amener croix au premier coup la possibilit 1 4 de pile arrivant au premier coup et croix au second on aura 3 4 pour la probabilit cherch e Le on donn e l cole Normale en 1795 Questions Plusieurs auteurs dont Diderot et Laplace contestent la d marche erron e de d Alembert 196 Aux lignes 10 et 11 de son texte il consid re l v nement amener croix une fois au moins en deux coups comme la r union de deux v nements Lesquels Chap 8 Travaux Pratiques din Jeu de fl chettes et simulation On lance des fl chettes sur une cible carr e Cette cible comporte ga Ya lement un quart de cercle de rayon gal au c t du carr On effectue 1 plusieurs tirs et on d nombre les impacts se trouvant dans le quart de cercle 1 On simule cette exp rience l aide d une calculatrice Pour cela on 0 5 choisi
40. s pour jouer il propose trois chevaux dans l ordre Si son tierc est Le bon il gagne 2 000 euros si non il perd sa mise Quelle est l esp rance de son gain 66 Reprendre l exercice pr c dent avec 20 chevaux et un gain possible de 20 000 euros 67 1 Un sac E contient trois jetons marqu s 1 2 3 et un sac F contient les jetons marqu s 2 3 4 On tire un jetons dans et un jeton dans F Soit X la variable al atoire gale la somme des nom bres marqu s sur ces jetons D terminer la loi de cette variable son esp rance sa variance et son cart type 2 Les nombres crits sur les jetons sont multipli s par 10 et on op re de la m me fa on Y est la somme des nombres marqu s sur les deux jetons Calculer l esp rance et l cart type de Y 3 Montrer que E Y 10E X et o Y 106 X Chap 8 Probabilit s Pour aller plus loin 68 Les anniversaires Un sac contient 365 jetons num rot s de 1 365 autant que de jours de l ann e Pierre tire un jeton note le num ro et le replace dans le sac puis Jean tire son tour un jeton 1 Quelle est la probabilit qu ils tirent deux num ros pairs Deux num ros impairs 2 Quelle est la probabilit que Les deux amis soient n s tous les deux le premier mai 3 Quelle est la probabilit qu ils aient le m me jour anni versaire on ne tient pas compte de l ann e de naissance 69 Un syst me jou aux d s On consid re le syst me
41. t v nement M me question pour S 17 d Dans une r ponse au Prince de Toscane Galil e a montr qu il y a 25 fa ons d obtenir un total 9 et 27 fa ons d obtenir un total 10 Retrouver ces r sultats Quelles sont les probabilit s des v nements S 9 et S 10 78 D s pip s On consid re un d cubique dont les faces sont num rot es de 1 6 On lance ce d Quand il s est immobi lis on lit Le chiffre marqu sur la face sup rieure On a Q 1 1 2 3 4 5 6 d terminer la probabilit de chaque v nement l mentaire dans chacun des cas suivants 1 Le d n est pas pip les six v nements sont quiprobables 2 Le d est pip de fa on que la probabilit d appa rition de l v nement i soit proportionnelle i 3 Le d est pip de fa on que la probabilit d obte nir un nombre pair est le quart de celle d obtenir un nombre impair Chaque nombre pair a la m me probabilit de sortie Chaque nombre impair aussi 79 Une boule blanche Une urne contient une boule blanche et n boules rouges n 2 On suppose les tirages quiprobables 1 Calculer la probabilit P n de tirer une boule rouge dans un tirage d une boule au hasard La suite d finie par P n est elle monotone Quelle est la limite de P n 2 On admet que la probabilit P n de tirer deux boules rouges dans un tirage simultan de deux boules n au hasard est gale ee t
42. t au hasard un couple de coordonn es x y avec x et y compris entre 0 et 1 chaque lancer on fait le test suivant x y est il inf rieur 1 et on compte les coups pour lesquels c est r alis Voici des programmes permettant de r aliser cette simulation 0 0 5 1 x x7 y lt 1 Ti 82 83 Commentaires Casio 25 35 65 100 i x y gt 1 Input N Entrer le nombre de lancers gt N4J x7 y7 1 0 A 0O A For 1 1 N D but de la boucle For 1 gt IToN 4 Rand X Choisir au hasard un couple X Y Ran XJ Rand gt Y Ran gt Y J IX Y lt 1 Tester si l impact est l int rieur du quart If X Y lt 1 J Then de cercle Then A 1 gt A Calculer le nombre d impacts l int rieur A 1 A J End Next A N F Next Disp F Calculer la fr quence des impacts A N F End Disp F 4 a Simuler une s rie de 100 lancers Quelle est la fr quence observ e b Recommencer une simulation de quatre s ries de lancers Noter les fr quences obtenues Quelle est la fr quence observ e pour les 500 lancers aire du quart de cercle 2 Calculer le rapport SE PESTE aire du carr Comparer ce rapport la fr quence observ e On observe que lorsque le nombre de lancers devient tr s grand la fr s T 2 P P quence devient tr s proche de T Cette m thode appel e M thode de Monte Carlo permet d obtenir une approximation de laire du quart de disque 3 On se
43. t la probabilit d avoir form 231 b Quelle est la probabilit d avoir un nombre pair c Quelle est celle d avoir un nombre impair d Quelle est la probabilit d avoir un nombre ayant 2 comme chiffre des dizaines e Celle d avoir 1 comme chiffre des unit s 48 Dans un groupe de 120 personnes il y a 60 d hommes On sait que 15 des hommes et 20 des femmes parlent l espagnol On choisit une personne au hasard dans ce groupe Quelles sont les probabilit s des v nements suivants K c est un homme qui parle l espagnol L c est une femme qui ne parle pas l espagnol M c est une personne parlant l espagnol PISTE On peut utiliser un arbre 49 D un jeu de 32 cartes on tire une premi re carte puis une seconde sans remettre l autre dans le jeu 1 Quelle est la probabilit de chacun des v nements suivants A les deux cartes sont des c urs B les deux cartes sont des rois C seule la premi re carte est un c ur 2 Calculer P A N B et P A U B 50 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes on note cette carte et on la remet dans le jeu puis on tire une seconde carte Quelle est la probabilit de chacun des v nements d finis l exercice 49 51 Une urne contient 7 boules rouges et 6 boules bleues indiscernables entre elles au toucher 1 On tire deux boules l une apr s l autre et sans remise Quelle est la probabilit de chacun des v nemen
44. t la probabilit pour que deux personnes parmi ces trois f tent leur an niversaire le m me jour 365 n 365 Exprimer en fonction de p la probabilit q pour que parmi ces n personnes d eux d entre elles au moins f tent leur anniversaire le m me jour b Justifier l galit p p X On pose p 1 c Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer q3g Comparer avec l tude faite dans la question 1 b Conclure 198 Et maintenant Q C M TE STEZ VO U S 1 Tapie Choisissez la ou les bonne s r ponse s A Savez vous calculer une probabilit On lance deux d s bien quilibr s et on note les r sultats obtenus A B C D 1 La probabilit d obtenir 1 1 1 1 deux nombres identi 8 36 ques est 2 La probabilit d obtenir 1 gale la probabilit 1 sup rieure la probabilit une somme gale 10 T d obtenir une somme 5 d obtenir une somme est gale 4 gale 7 3 La probabilit d obtenir RP 1 3 1 2 un produit gal un 5 S 4 2 3 nombre pair est 4 La probabilit d obtenir 5 1 une somme gale un T 3 5 P nombre premier est 5 La probabilit d obtenir 1 1 1 1 un double six est 6 2 18 36 B Savez vous utiliser des probabilit s A B et C sont trois v nements de l ensemble Q muni de la loi de probabilit P On sait que P A 0 35 P B 0 55 P AN C 0 et P ANB 0 15 6 P A 0
45. t un roi C la carte est un roi rouge D la carte n est ni un roi ni un c ur 20 Une enqu te nous apprend que sur cent m na ges 20 ont un chien 25 ont un chat et 8 ont la fois un chien et un chat On choisit un m nage au hasard Calculer la probabilit de chacun des v nements suivants E le m nage poss de un chien et pas de chat F le m nage a un chat et pas de chien G le m nage ne poss de ni chien ni chat H le m nage n a qu un seul de ces deux animaux l il poss de au moins un de ces animaux 188 21 Un d six faces parfaitement quilibr com porte trois faces marqu es 6 une face marqu e 5 et deux faces marqu es 4 Quelle est la probabilit de cha cun des v nements A le nombre apparu est 6 B le nombre apparu est pair C le nombre apparu est sup rieur ou gal 5 22 Sachant que pour les v nements A et B on a P A 0 30 P A U B 0 8 et P A NB 0 1 calculer P B et P B On jette un d deux fois de suite Calculer la pro babilit d obtenir un double puis la probabilit d obtenir deux num ros diff rents 24 on jette un d deux fois de suite Quelle est la probabilit d obtenir un total de 4 celle d obtenir un total sup rieur ou gal 11 Un sac contient deux jetons rouges trois jaunes et cinq bleus On tire un premier jeton puis un second sans remettre le premier dans le sac D montrer que la probabilit
46. ts A On tire une rouge puis une bleue B On tire une bleue puis une rouge C On tire deux boules de couleurs distinctes D On tire deux boules de m me couleur 2 On tire une boule on note sa couleur et on la remet dans l urne On tire une seconde boule Quelle est la probabilit de chacun des v nements pr c dents B2 Un sac contient 2 boules rouges 2 noires et 10 vertes On choisit une boule dans le sac on note sa couleur et on la replace dans le sac et on recommence une seconde fois ce tirage Calculer les probabilit s des v nements suivants on a tir deux rouges on a tir deux vertes on a tir deux boules de m me couleur on a tir deux boules de couleurs diff rentes PISTE _ Calculer le nombre d issues possibles B3 On dispose au hasard trois drapeaux fran ais italien et espagnol l un c t de l autre en ligne 1 Quelle est la probabilit que le drapeau fran ais soit entre les deux autres 2 Quelle est la probabilit que le drapeau italien soit une extr mit 54 On lance un d quilibr deux fois de suite Quelle est la probabilit de chacun des v nements A la somme des r sultats est sup rieure ou gale 5 B le nombre obtenu au second lancer est strictement sup rieur au nombre obtenu au premier lancer C la valeur absolue de la diff rence des deux nombres est inf rieure ou gale 2 55 On jette une pi ce
47. uche RANDOM d une calculatrice un tableur avec la fonction ALEA des urnes contenant des boules de couleurs diff rentes etc B D finition Une exp rience al atoire est une exp rience qui peut conduire plusieurs issues es une seule issue se r alise sans que l on puisse la pr voir l avance Simuler une exp rience c est produire une liste de r sultats que l on pourra assi miler un chantillon de cette exp rience E Distribution de fr quences On r p te n fois l exp rience dont les issues sont e e Pour chacune des issues possibles on calcule ses fr quences fi f gt lt fp La distribution de fr quences est l ensemble fi fos fp Chaque fr quence est comprise entre Oetl 0 lt f lt 1 La somme de ces fr quences est 1 f fat f 1 Si l v nement A est r alis pour les issues e e et e la fr quence de l v ne ment est gale fi fa fx 2 Loi de probabilit C est Jacques Bernoulli 1654 1705 qui non a le premier cette pro pri t importante qui tablit un lien entre les statistiques et le calcul des probabilit s 180 On envisage des exp riences ne comportant qu un nombre fini d issues possi bles Pour une exp rience donn e d signons par Q l ensemble de toutes les issues possibles Q fe e e B D finition On d finit une loi de probabilit sur Q si c
48. udier la suite d finie par P n sens de variation et limite 3 Comparer P n et P n d terminer l ensemble des valeurs de n pour lesquelles on a P n P n lt 1 8 80 Tournoi de bridge 5 personnes A B C D E participent un tournoi de bridge A et B ont des chances gales de gagner C D E ont aussi la m me chance mais A et B ont deux fois plus de chances de gagner que C D ou E 1 Calculer la probabilit de gagner pour chacune des 5 personnes 2 Calculer la probabilit pour que ce soit A ou B qui gagne CouDouF AouD 81 Tirage de jetons 1 Un sac E contient trois jetons marqu s 1 2 3 et un sac F contient les jetons marqu s 2 3 4 On tire un jeton dans E et un jeton dans F Soit X la variable al atoire gale la somme des nom bres marqu s sur ces jetons D terminer la loi de cette variable son esp rance sa variance et son cart type 2 Les nombres crits sur les jetons son multipli s par 10 et on op re de la m me fa on Y est la somme des nombres marqu s sur les deux jetons Calculer l esp rance et l cart type de Y 3 Montrer que E Y 10E X et o Y 106 X 82 Des points et des jetons 1 On consid re 9 points A B C D I tels que trois quelconques ne sont pas align s On trace tous les seg ments joignant les points deux deux Montrer que le nombre de ces segments est 36 2 Sur le carr ci contre on place au hasard deux jetons identiqu
49. v nement A est une partie de Q on crit ACQ Si A e e on dit que e et e r alisent A ou sont favorables A L v nement contraire de A est constitu des issues qui ne sont pas dans on l crit A Un v nement l mentaire ne comporte qu une issue exemple e e7 Si A et B sont deux v nements l v nement A ou B not A U B est r alis si l un au moins des deux v ne ments est r alis l v nement A et B not A N B est r alis si A et B sont r alis s tous les deux e Soit P une loi de probabilit d finie sur Q La probabilit d un v nement A est la somme des probabilit s des v nements l mentaires r alisant A E Propri t s 1 P Q 1 P S 0 et pour tout v nement A 0 lt P A lt 1 2 Si A et B sont incompatibles alors P A U B P A P B 3 Si A et B sont quelconques P A U B P A P B P A N B 4 Pour deux v nements contraires A et A on a P A P A 1 E D monstrations La propri t 1 r sulte des d finitions Pour la propri t 3 voir exercice 60 2 Soit A a a et B b b On a P A p p et P B pi p AUB 4 4y b b puisque A et B sont sans l ments communs D o P A U B p p pi p P A P B 4 A et A sont incompatibles avec A U A Q D o P A P A P Q 1 B D finitionde la loi quir partie Faire l hypoth se d quiprobabil
Download Pdf Manuals
Related Search