Découvrir et démontrer en géométrie avec des pièces de puzzle
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1. Quatre pi ces 14 recouvrent le carr jaune pi ce 1 Si l on construit par pliages le carr d aire 1 4 partir du carr jaune initial d aire unit on voit bien que l on retrouve notre premi re construction Ces activit s de renforcement sont tr s utiles pour installer chez l l ve le concept de diff rence entre les rapports de longueurs et les rapports d aires Plus tard on pourra poursuivre ce type d activit avec les rapports de volumes Pour une seconde activit de renforcement nous pouvons demander aux l ves connaissant un carr sans conna tre la mesure de ses c t s de construire un deuxi me carr d aire double Ensuite d expliquer leur raisonnement Ils pourront utiliser les pliages et la r gle non gradu e Par exemple Nous avons obtenu un carr de mesure d aire moiti en rabattant les sommets du carr en son centre Maintenant il faut faire l inverse Nous faisons deux plis pour d terminer les diagonales du carr celles ci ont pour mesure d apr s notre activit pr c dente la mesure du c t construire Il suffit donc de reporter gr ce au pli repr sent sur la figure de droite le long d un c t du carr d origine cette mesure Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 30 On le fait2. Toujours pour les plus grands il pourra tre int ressant de compl ter cette construction par un calcul alg brique des lignes trigonom triques intervenant dans la construction du Triangle d Or Nous avons d velopp ce th me dans notre brochure Nouvelles pratiques de la g om trie Chapitre VII les polygones sons 7 25 En effet nos calculs nous indiquent que les angles du Triangle d Or sont 108 et deux fois 36 Si l on suppose que ses deux c t s gaux sont de mesure 1 sa hauteur est 10 245 4 alg briquement des angles de mesure 36 et 54 qui sont compl mentaires _ Vi0 2Y5 4 sont cos 36 PE sin 36 tan 36 _ 410 245 LENS La troisi me expression se simplifie en tan 36 y5 INS V10 245 e D cos 54 in 54 _ 45 4 tan 54 1 V25 10V5 SES Nous pouvons compl ter le tableau propos en page 16 5 mesure sinus cosinus tangente 15 LE 0 26 hB 2 3 je P 2 valeur approch e 0 96 0 27 au centi me 30 1 V3 KE 2 2 3 36 V10 2V5 145 5 2V5 4 4 valeur approch e 0 59 0 81 0 73 45 J Z l 2 2 54 1 V5 10 245 25 1045 4 4 5 60 3 1 y3 72 2 4 75 V2 43 2 3 DEN 2 2 2 valeur approch e 0 97 0 26 3 73 Il s en suit que les lignes trigonom triques exprim es Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R
3. quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 8 Ensuite de d couper ces deux triangles rectangles on note ces pi ces 5 et Sbis pe Nous posons la m me question que pour le triangle gris ainsi nous leur demandons s il est possible par pliage du triangle rectangle bleu sans marquer les plis de v rifier comme pour le triangle rectangle isoc le que la somme des trois angles du triangle rectangle est 180 La r ponse est encore oui comme nous le montrons ci dessous droite deux plis y Triangle rectangle bleu dont k les angles on rabat deux angles rabattus gene Triangle quilat ral gris dont on rabat les trois angles les angles rabattus Nous reprenons un carr gal au pr c dent d une autre couleur par exemple turquoise et nous posons dessus le triangle quilat ral pour qu il serve de patron nous d coupons les parties turquoise non couvertes par le triangle gris Nous plions les parties de feuille turquoise sur elles m mes comme sur la figure suivante c est le m me type de pli que celui qui a servi construire le triangle quilat ral mais sans glissement puisque le triangle existe d j Ensuite nous d coupons les deux pi ces turquoise selon les deux traits ajout s afin de r aliser deux cerfs volants turquoise la partie enlever est indiqu e en gris bleu traits nt compl mentaires Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om
4. BOURSIN Didier LAROSE Val rie Pliages et math matiques Paris ACL Les ditions du kangourou 1997 DEBART Patrice Descartes et les math matiques en ligne http www debart fr EVEILLEAU Th r se Construction du pentagone par une m thode des Compagnons en ligne http therese eveilleau pagesperso orange fr pages truc_mat textes compagnons htm MARTINEZ LABROUSSE Isabelle Un essai de synth se entre le th or me de Pythagore et la proc dure gou gu in Colloque Circulation transmission h ritage Compte rendu dit par l IREM de Basse Normandie para tre courant 2011 MOLLER Anders Pape La nature pr f re la sym trie en ligne http www larecherche fr content recherche article id 19025 RODRIGUEZ HERRERA Ruben La p dagogie des math matiques est elle moderne Th se de Doctorat en Sciences de l ducation Universit de Caen 1978 RODRIGUEZ HERRERA Ruben Une autre gestion du puzzle de Guy Brousseau en ligne sur le site de l I R E M de Basse Normandie http www math unicaen fr irem spip php article23 RODRIGUEZ HERRERA Ruben SALLES LEGAC Danielle Du dessin per u la figure construite Paris Ellipses 2006 RODRIGUEZ HERRERA Ruben SALLES LEGAC Danielle Les sym triseurs in Le miroir des math matiques n 6 D cembre 2010 Caen LR E M de Basse Normandie et en ligne http www math unicaen fr irem RODRIGUEZ HERRERA Ruben SALLES LEGAC Danielle Practica
5. I R E M de Basse Normandie 12 II 1 Calcul des angles pour les plus grands Toujours dans l ordre de num rotation des pi ces indiquer et ou calculer la mesure des angles de chaque pi ce l crire au crayon mine sur chaque pi ce Remarque le triangle rectangle bleu n est pas un triangle remarquable en effet ses angles non droits ont pour tangentes touche tan de la calculatrice respectives 2 et 2 il faut recourir la fonction ArcTan ou tan de la calculatrice pour calculer leurs mesures c est l occasion de re voir les fonctions trigonom triques et leurs r ciproques et de montrer aux l ves l utilit de ces fonctions On pourra partir de cette pi ce pour construire un vrai triangle scal ne voir le paragraphe suivant Afin de faciliter les notations nous allons coder les sommets des diff rentes pi ces puis donner quelques indications de calculs pour les calculs alg briques destin s aux plus grands Nous indiquons ci contre la mesure des angles des pi ces de puzzle que nous r capitulerons dans un tableau Carr AEFG jaune Triangles rectangles isoc les AGF et AEF rouge Triangle quilat ral GJF gris Petits triangles rectangles non isoc les GHJ et FHJ vert Grands triangles rectangles non isoc les GAC et FEC bleu Cerfs volants ABJG et EDJF turquoise Trap ze isoc le GMNF gris clair Trap ze rectangle AGHI et Le losange gris fonc n est pas repr
6. est dire pour la plupart d entre nous des figures sym triques on pourra ce sujet consulter MOLLER Anders Pape voir la bibliographie Nous demandons donc aux l ves de construire un triangle qui ne soit ni isoc le ni rectangle Pour cadrer le travail nous leur demandons que le plus grand c t du triangle ait pour mesure 1 c est dire le c t du carr jaune Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 10 Ce triangle accompagn de deux copies sera utilis dans le paragraphe suivant deuxi me phase 3 Voici un triangle scal ne non rectangle Nous demandons maintenant aux l ves de v rifier par superposition des pi ces que leurs reproductions sont bonnes au plus un millim tre pr s puis ventuellement am liorer voire de refaire les pi ces inexactes le fond est chaque fois constitu du carr jaune de mesure de c t l unit pi ce 1 voir paragraphe II lt _ Pour terminer cette activit de construction de triangles et quadrilat res usuels nous demandons aux l ves s ils ne l ont pas d couvert seuls si nos pi ces repr sentent la totalit des triangles et quadrilat res qu ils connaissent La r ponse est il manque le trap ze rectangle et le trap ze isoc le ainsi que le losange et le delto de Nous leur demandons alors de construire un trap ze isoc le pi ce 7 avec une copie gris clair du triangle qui
7. om trie de l IL R E M de Basse Normandie 24 Exercice facultatif pour les plus grands Expliquer un camarade comment construire un Rectangle d Or avec une r gle et trois triangles rectangles bleus Nous demandons chaque l ve de r diger un petit texte pour envoyer un camarade lui expliquant comment construire les rectangles bleus puis comment les positionner afin que leur contour ext rieur dessine un Rectangle d Or Rappelons que ce type d exercice est appel metteur r cepteur et qu il est particuli rement profitable pour la mise en forme de l expression crite ou orale d une activit math matique Voici un exemple de r daction Il te faut trois triangles rectangles bleus ceux dont un petit c t de l angle droit est de longueur moiti de l autre c t de l angle droit Tu poses la r gle sur le bureau tu mets deux triangles bleus bout bout du m me c t de la r gle le premier triangle gauche de la r gle avec son hypot nuse le long de la r gle et son petit c t gauche de la r gle le deuxi me avec son petit c t de l angle droit le long de la r gle et son grand c t droite de la r gle il servira de bord au Rectangle d Or Les deux sommets des deux triangles doivent se toucher Tu places le troisi me triangle bleu avec son petit c t le long de la r gle au dessus du premier triangle le sommet de son angle droit confondu avec le sommet le plus gauch
8. on adonca gt b gt c gt 0 Le c t du carr a donc pour mesure b c son aire est donc b c L aire du grand carr jaune est a celle des quatre triangles est x 4 2bc Donc a b c 2be b 1 Nous demandons alors ce r sultat est il valide pour un triangle rectangle quelconque d hypot nuse a et de c t s de l angle droit b et c La r ponse est oui puisqu il est toujours possible de positionner quatre triangles rectangles identiques comme sur la figure pr c dente car les angles non droits de ces triangles sont compl mentaires donc si l on place les triangles comme sur la figure pr c dente le grand quadrilat re obtenu est un carr de c t a et le petit carr central a pour c t b c La formule 1 est applicable et nous avons d montr le th or me de Pythagore V Une construction facile du Rectangle d Or Nous rappelons que le Nombre d Or ainsi appel par les math maticiens grecs cause de ses relations avec l esth tique des constructions la fa ade rectangulaire colonnes de l Acropole Ath nes est un Rectangle d Or c est dire que le rapport de la largeur de la colonnade sa hauteur est le Nombre 1 45 a d Or est le nombre R alisation de l activit Nous demandons aux l ves si ce nombre appara t dans le tableau de la page 9 ou la figure de la page 16 Nous remarquons que 2 est la mesure de l hypot nuse du triangle bleu pi c
9. trie de l I R E M de Basse Normandie 9 Nous demandons aux l ves de noter sur leur cahier une d finition d un cerf volant ce n est pas la plus rigoureuse mais c est la plus simple Un cerf volant est la figure g om trique constitu e de deux triangles isoc les accol s par leur base sans qu il y ait chevauchement des deux pi ces Si les deux triangles sont gaux le cerf volant est un losange Une d finition plus rigoureuse pour les plus grands connaissant la notion de m diatrice ou d axe de sym trie est Un cerf volant est un quadrilat re dont l une des diagonales est la m diatrice ou axe de sym trie de l autre diagonale Commentaire p dagogique et activit compl mentaire Cette activit tant de d couverte d une situation nous pouvons faire une pose pour observer nos pi ces ventuellement am liorer leur d coupage Voici une r capitulation des diff rentes pi ces chelle r duite p 5bis py q p N le 5 Nous pouvons aussi puisque nous avons envisag a priori tous les triangles remarquables pr senter le terme scal ne utilis pour d signer les triangles non isoc les Il est int ressant de d couvrir qu il n est pas si vident de tracer un triangle qui soit non seulement non isoc le mais de plus non rectangle Notre culture nous ayant donn un go t prononc pour la sym trie nous avons tendance tracer ce que nous appelons de belles figures c
10. 43 a EE 50 fi B 5 2 D 3 45 J2 J2 1 2 FA 0 1 E EF 2 4 75 2 3 2 43 2 V3 2 2 2 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 21 Pour terminer nous demandons aux l ves de regrouper dans un tableau les valeurs exactes des lignes trigonom triques des angles indiqu s sur la figure pr c dente Nous demandons aux l ves de v rifier que les valeurs approch es d livr es par la calculatrice correspondent bien ces valeurs exactes IV Le th or me de Pythagore avec des pi ces de puzzle Il existe de nombreuses d monstrations g om triques du th or me de Pythagore vous pourrez consulter par exemple le site de notre ami Patrice Debart tr s bien document debart pagesperso orange fr Celle que nous vous proposons ci dessous s inscrit tout fait dans notre d marche de d monstration de propri t s g om triques avec des puzzles Elle est connue sous le nom de Construction de Bhaskara Indes XII me si cle Nous demandons aux l ves de se regrouper par deux afin de disposer de quatre triangles rectangles verts pi ce not e n 4 qui sont des demi triangles quilat raux Ensuite de les disposer de telle sorte qu ils soient adjacents et sans recouvrement selon la figure suivante sur la carr jaune Nous demandons alors aux l ves pourquoi ce pavage partiel du carr jaune par les quatre triangles rectangles verts sans chevauchement et
11. E M de Basse Normandie 26 Comme d habitude nous demandons aux l ves de v rifier que la calculatrice donne bien les valeurs approch es de ces r sultats exacts Nous avons indiqu entre parenth ses quelques r sultats avec les deux calculs la valeur de la fonction trigonom trique directe d livr e par la calculatrice qui est approch e et la valeur alg brique avec des radicaux calcul e avec la m me calculatrice le tout au centi me pr s Application la construction du pentagone pour tous voir aussi le site de Th r se veilleau dans la bibliographie Nous d coupons alors le Triangle d Or repr sent par la partie hachur e sombre que nous nommons pi ce num ro 12 Nous demandons alors aux l ves de mesurer langle au sommet du Triangle d Or d coup avec le rapporteur Nous trouvons 106 alors que l angle au sommet du Triangle d Or doit mesurer 108 nous faisons les calculs explicites dans notre brochure Nouvelles pratiques loc cit soit une erreur de moins de 2 ce qui nous para t acceptable Nous regroupons les l ves par cinq et leur demandons de poser leurs 5 pi ces partiellement chevauch es comme sur la figure ci dessous afin de construire un pentagone 7 A Les imperfections dans les ajustements qui induisent des inexactitudes dans les bords du pentagone ainsi construit sont dues bien entendu aux erreurs de d coupage des pi ces et l erreur qui en r sulte
12. bleu sert de patron pour en d couper deux identiques avec du papier gris not pi ce n 3 et du papier vert Figure page pr c dente droite Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 7 Le triangle gris est conserv intact Nous leur demandons s il est possible par pliage du triangle quilat ral gris sans marquer les plis mais en s aidant de la pi ce 3 de v rifier comme pour le triangle rectangle isoc le que la somme des trois angles du triangle quilat ral est 180 La r ponse est oui condition d utiliser la propri t des droites un angle d fini par deux demi droites port es par une droite est un angle plat de mesure 180 voir figure page suivante Le triangle vert est pli en deux suivant une de ses m diatrices ou un de ses axes de sym trie et coup en deux parties gales selon celle ci On obtient deux triangles rectangles superposables not s 4 et 4bis donc gaux nous remarquons qu ils ne sont pas isoc les Nous reprenons les pi ces bleues inutilis es lors du d coupage du triangle quilat ral qui ont la forme de la figure suivante et demandons aux l ves de tracer sur chaque pi ce avec la r gle plate l hypot nuse de deux triangles rectangles dont le grand c t de l angle droit est de m me mesure que le c t du carr jaune pi ce 1 Restes de d coupe feuille bleue Danielle SALLES LEGAC et l
13. du triangle Par pliage les l ves constatent que la somme des deux angles gaux aigus recouvre exactement l angle droit donc que la mesure de chacun d eux est 45 et que la somme des angles du triangle est 180 Nous soulignons qu il s agit d une conjecture il peut tre n cessaire d expliquer ce mot c est une propri t observ e qui a des chances d tre vraie mais qu il faudra d montrer chaque fois que c est possible selon le niveau des l ves Nous distribuons ensuite une feuille A4 d une autre couleur par exemple bleue nous d coupons de nouveau un carr gal au pr c dent nous demandons aux l ves de le v rifier en superposant les deux carr s Nous demandons alors aux l ves de construire par pliage de la feuille bleue un triangle quilat ral Nous leur demandons de noter sur leur cahier une d finition du triangle quilat ral par exemple galit des mesures des trois c t s Pour les aider nous leur demandons de plier le carr bleu en deux pour obtenir deux rectangles gaux superposables figure gauche page suivante puis d ouvrir la feuille Nous leur demandons d utiliser le bord sup rieur de la feuille pour reporter par un deuxi me pliage le sommet du rectangle qui se trouve en haut et gauche sur ce 1 pli Pour les plus grands nous en demanderons une d monstration dans le cas des triangles scal nes dans le paragraphe II 3 Utilisatio
14. la moiti de celle du carr jaune Quatre autres plis sur le carr jaune On pourra demander aux l ves de d couper la pi ce hachur e et l appeler pi ce 13 Nous demandons alors aux plus grands de calculer la mesure du c t du triangle hachur Les quatre carr s jaunes ont des c t s de mesure 1 2 d apr s le th or me de Pythagore la mesure de leur diagonale est a L A Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 29 2 1 1 L aire du carr hachur est donc L z Ce qui tait demand Activit de renforcement pour tous Nous avons observ lors du premier pliage que nous avions obtenons un carr d aire 4 au lieu de 2 Le dernier carr jaune hachur a bien une aire de 2 comme cela tait demand Nous l avons appel pi ce n 13 Il est donc facile avec le m me proc d en pliant les coins de cette pi ce d obtenir une pi ce d aire moiti c est dire 1 4 que nous nommerons pi ce n 14 Nous demanderons donc aux l ves de se regrouper par 4 et de v rifier que quatre des pi ces 14 recouvrent bien le premier carr jaune d aire unit quatre plis
15. pour faire un petit carr cela fait 1 petit carr Ce qui fait en tout 9 petits carr s Nous n obtenons pas la moiti de 16 petits carr s mais 14 Pour les plus grands nous demandons puisque nous avons d cid pr c demment que le grand carr jaune pi ce 1 repr sente l unit d aire quelle est l aire du carr hachur L aire de chaque petit carr mesure 1 16 de l aire unit L aire de chaque rectangle mesure la moiti d un petit carr soit 1 32 de l aire unit L aire de chaque tout petit carr mesure le quart d un petit carr donc 1 16 4 1 64 de l aire unit La somme des rectangles et des carr s hachur s est donc 4x y 8x L 4x Len gt gt Nous approchons de la r ponse mais chacun 32 64 16 2 sent bien que si l on proc de par approximation successive sur les plis le r sultat va tre peu pr cis 2 proposition Quelqu un peut proposer de rabattre les coins du carr jaune comme ci dessous en s aidant des plis joignant les milieux des c t s on peut aussi s aider comme pr c demment d une r gle et d un crayon Nous demandons alors Quelle est l aire du carr hachur Les l ves observent que les c t s rabattus recouvrent exactement ce qui reste du carr jaune et le justifient par le fait que les quatre plis sont des diagonales des petits carr s jaunes La conclusion est L aire du carr hachur est
16. res Nous disons selon la terminologie introduite par Ruben Rodriguez dans sa th se de doctorat La p dagogie des math matiques est elle moderne Caen 1978 que nous faisons un psychomorphisme de l univers des actions directement exp rimentables les actions scientifiques que nous pouvons mat rialiser avec des instruments des logiciels dans celui des tres math matiques notions de g om trie par exemple L utilisation d objets physiques comme les puzzles permet l l ve de se mettre dans les mains ces objets en les manipulant et surtout sentir avec son intelligence haptique c est dire la structuration de son univers tactile leurs propri t s math matiques L l ve pourra comme nous l avons conseill en d but de brochure conserver ses pi ces la maison et les manipuler chaque fois qu il a oubli les propri t s de la pi ce ou m me sa forme Ainsi 1l peut avoir une sensation de familiarit qui fait que l objet ne lui est plus tranger ce qui peut le rassurer dans sa relation avec les objets math matiques et de ce fait l int resser Un commentaire Je pense que c est une m thode concr te qui permet de mieux comprendre les diff rences et les propri t s des figures g om triques Raoul B l ve de troisi me stagiaire l IREM de BN d cembre 2011 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 35 Bibliographie
17. sans vide entre les triangles sauf le petit espace central fonctionne c est dire suit bien les bords du carr jaune Indication rappelons que les triangles rectangles verts que nous avons construits sont des demi triangles quilat raux de c t de mesure 1 donc l hypot nuse de ces triangles mesure aussi 1 D autre part les angles non droits de ces triangles mesurent respectivement 30 et 60 degr s Le petit c t de mesure 3 d un triangle peut donc s appliquer sur le petit c t de mesure du triangle pr c dent dans le sens trigonom trique Nous demandons alors quelle est la nature du quadrilat re central et quelle est la mesure de ses c t s Par la position respective des quatre triangles les quatre angles de l espace V3 P 1 jaune sont droits le quadrilat re est un carr La mesure de son c t est CS Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 22 Nous demandons alors si l on peut faire une construction similaire avec d autres triangles rectangles par exemple les triangles bleus ils sont un peu particuliers puisque la mesure de leurs petits c t s sont et 1 Les l ves essayent et remarquent qu il faudrait un carr plus grand en jaune fonc Nous leur demandons alors de d signer les mesures des triangles rectangles par a l hypot nuse b le grand c t de l angle droit et c le petit c t restant
18. sont diff rentes pour des raisons de lisibilit Le calcul de l aire du cerf volant JDEF est facile puisque celui ci est constitu de deux triangles rectangles DEF et DJF gaux dont les c t s de l angle droit mesurent 1 et 2 V3 L aire du cerf volant est donc 2 V3 Pour calculer laire du delto de JLEF nous devons calculer l aire du triangle JDE Nous appelons K l intersection des deux diagonales JE et DF du cerf volant JDEF Nous allons tout d abord calculer laire du triangle JDK en utilisant les calculs des mesures alg briques des longueurs i e avec des radicaux ainsi que les mesures d angles indiqu es sur la figure Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l L R E M de Basse Normandie 34 V2 43 A Nous avons calcul pr c demment le cosinus de l angle de 75 soit LA aa 2 V2 43 Les Donc JK 2 2 J3 2 V3 2 Dans le triangle DKJ nous avons DK A2545 Donc DK JT 0 cos 75 De m me sin 75 2 V3 L aire du triangle DJE est donc DKXJK Pour obtenir celle du delto de il suffit de soustraire deux fois celle du triangle DJE celle du cerf volant JDEF nous obtenons Aire du delto de 2 43 E A a 2 2 43 2 2 V3 3 Conclusion didactique Rappelons que pour installer chez l l ve une notion qu elle soit g om trique ou plus g n ralement math matique il faut la traiter de diff rentes mani
19. une deuxi me fois le long du c t oppos et on obtient deux points qui d terminent un c t du carr recherch On trace ce c t avec la r gle II suffit de renouveler l op ration pour obtenir un deuxi me c t du carr repr sent avec des gouttes Nous v rifions en mesurant les c t s la r gle gradu e et avec la calculatrice que l aire du grand carr est bien double de celle du petit carr z hass sheers T ssjesseerenseene no dransrerensnnee sf sr mesure dela 3 J J dik gele Ei VIII Une exp rience de pavage d une partie du plan avec toutes les pi ces pour tous en r vision des mesures d angle suivie de la construction du Cadran toil Ce travail distrayant de consolidation peut tre propos d s que toutes les pi ces sont d coup es Nous pouvons donc demander aux l ves de placer c te c te leurs pi ces pour r aliser un pavage du plan le plus joli possible Nous leur demandons de bien v rifier que le pavage est correct c est dire que les mesures des angles et les longueurs des c t s adjacents co ncident bien qu il n y a ni chevauchement des pi ces ni espace entre elles En voici un exemple Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 31 Nous remarquons que les sommets du triangle bleu 5 et du cerf volant turquoise 6 droite de la figure ont lair d tre align s Nous demandons a
20. 0 non isoc le l Dir Cerf volant Turquoise 6 1 1 2 43 2 4 3 30590 905150 Trap ze Gris clair 7 T RS a 60 60 120 120 isoc le D 72 Trap ze Rouge 8 1 7 60 90 90 120 rectangle fonc l 2 D Losange Gris fonc 9 1 1 1 1 60 120 60 120 Delto de Vert fonc 10 1 1 2 43 2 43 30 60 60 210 IT 3 Utilisation des pi ces de puzzle pour constater visu et tactu avec la vue et le toucher quelques grandes propri t s g om triques des angles et des polygones On pourra ensuite utiliser les pi ces en les posant c te c te en utilisant les mesures not es dans le tableau pr c dent pour red couvrir ou d couvrir des propri t s g om triques l mentaires par exemple on pourra regrouper plusieurs l ves pour avoir plus de pi ces mais la fin de l activit chaque l ve conservera ses propres pi ces L angle plat a pour mesure 180 La somme des angles d un triangle est 180 La somme des angles d un quadrilat re convexe est 360 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILR E M de Basse Normandie 14 R gle plate TE Triangle quilat ral gris 2 exemple v rification avec la r gle plate la somme des angles d un triangle 1 exemple v rification avec est 180 Avec un triangle rectangle bleu on la r gle plate l angle plat pourra aussi construire un vrai triangle scal ne et v rifier la m me
21. 80 en effectuant des rotations du triangle scal ne on obtient facilement l angle plat il suffit donc d utiliser six triangles identiques pour entourer le point P en effectuant les rotations convenables Nous invitons alors les l ves construire eux m mes des figures trompeuses en proc dant comme nous il suffit bien entendu d introduire de l g res diff rences dans les mesures d angles ou de longueur Voir aussi le chapitre O est pass le petit carr de notre ouvrage Du dessin per u chapitres 1 6 et 2 6 Remarque cette activit nous remet en m moire celle qui est propos e par Didier BOURSIN et Val rie LAROSE dans leur jolie brochure Pliages et math matiques Ils proposent de construire un angle de tangente c est dire de mesure 26 6 par pliage puis un angle de 45 et obtiennent ainsi un angle de 71 6 qui est presque l angle de 72 requis pour construire le pentagone Nous disposons d j des pi ces n cessaires donc nous allons pouvoir en regroupant les l ves par cinq construire un pentagone presque r gulier Nous obtenons une figure qui ressemble aux moulins vent des enfants Pour obtenir un presque vrai pentagone il suffit de couper les pointes rouges et un peu de triangles bleus suivant les pointill s comme sur la figure suivante Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 18 Nous demandons alo
22. LR E M de Basse Normandie Universit de Caen Pour le coll ge et la classe de seconde avec les patrons pour le professeur Danielle SALLES LEGAC et l Equipe G om trie de PI R E M Novembre 2011 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 2 Le cadran toil construit la main Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 3 D couvrir et d montrer avec des pi ces de puzzle Activit s de calcul de la mesure des angles et de reconnaissance de figures g om triques Introduction L id e de ces activit s nous est venue la lecture d articles de conf renciers du Colloque d Histoire des Math matiques qui s est tenu l IREM de l Universit de Caen les 28 et 29 mai 2010 notamment celui d Isabelle Martinez Labrousse qui d crivait des m thodes de d monstrations de th or mes par les savants chinois elle y voque la possibilit d utilisation de pi ces de puzzle color es nous ajouterons au terme color es le terme tr s important calibr es car les dimensions des pi ces sont soigneusement choisies Ces m thodes nous ont parues particuli rement int ressantes dans l optique des techniques de l apprentissage par les mains qui nous sont ch res voir la bibliographie RODRIGUEZ Ruben SALLES Danielle En effet celles ci profitent tout autant aux l ves ayant des probl mes de repr sentation de
23. a somme des angles du triangle ABC est gale la somme des angles DHC DHE et EHB qui est langle plat CHB Nous avons le r sultat recherch Cas o une des hauteur est ext rieure au triangle Remarquons tout d abord qu un triangle ne peut avoir plus d un angle obtus car dans ce cas ses c t s ne se rejoindraient pas Il suffit alors de remarquer que si la hauteur est ext rieure l un des c t s c est que l angle correspondant ce c t et au pied de la hauteur est obtus En cons quence les autres angles sont aigus et le pliage peut tre effectu partir d un des deux angles aigus premier pli A B Les demi droites Ax et By ne peuvent se rencontrer pour former un triangle Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 16 On pourra aussi comme nous l avons sugg r plus haut construire un triangle scal ne partir du triangle bleu qui est le quart de l aire du carr jaune La calculatrice nous indique que les angles de tangentes respectives 2 et 2 sont les angles respectivement 26 7 et 63 3 au dixi me de degr pr s Nous remarquons comme durant la construction des pi ces que ces mesures sont tr s proches de celles des triangles rectangles verts 30 et 60 et il sera amusant de demander aux l ves de construire par exemple un faux pavage voir RODRIGUEZ R et SALLES D Du dessin per u afin de leur faire bien prendr
24. anielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 4 Mat riel feuilles A4 de papier fort 160 g de diff rentes couleurs ciseaux r gle plate gradu e calculatrice et rapporteur pour les comparaisons de r sultats Premi re phase d coupage des pi ces Nous distribuons aux l ves des feuilles A4 de la m me couleur par exemple jaune et nous leur demandons de construire par pliage du papier un carr Les l ves trouvent qu il suffit de rabattre un coin de la feuille de telle sorte qu un petit c t de la feuille vienne le long du grand c t On coupe alors aux ciseaux la partie qui reste repr sent e en jaune plus fonc On peut alors demander aux l ves de noter sur leur cahier les propri t s du carr et de la feuille qui ont t utilis es pour d couper le carr Par exemple La feuille A4 est un rectangle donc comporte quatre angles droits pour obtenir un carr il faut construire un rectangle dont les quatre c t s sont de m me longueur Il suffit donc de reporter la mesure du petit c t du rectangle le long du grand c t on peut le faire par pliage On d coupe le rectangle qui d passe du pliage et on obtient un carr not pi ce n 1 Les quatre axes de sym trie du carr Le carr jaune not 1 Nous demandons ensuite aux l ves de plier leur carr jaune en quatre parties gales de toutes les fa ons possibles afin d en v rifier les a
25. arr jaune de c t unit pi ce 1 Nous leur demandons de comparer les aires du grand carr et du petit en comptant les petits carr s qui apparaissent par pliages qui sont rep r s sur la figure par des traits pointill s Ils comptent 12 carr s non hachur s et 4 carr s hachur s le carr entier compte donc 16 carr s Nous leur demandons Quel est le rapport des aires du grand carr et du carr hachur C est quatre Nous n avons pas r pondu la question Ils peuvent alors sugg rer on va plier moins par exemple on va diminuer la bande non hachur e de moiti Ce qui donne C est un peu difficile compter et nous donne l occasion de revoir l addition des fractions pour les plus grands Pour les plus jeunes nous allons d tailler les diff rents morceaux de la bande que nous allons ter pour obtenir un carr plus petit Nous allons compter avec les petits carr s que nous avons construits dans l activit de la page pr c dente Dans la bande non hachur e il y a 8 rectangles qui sont des moiti s de petits carr s 12 tout petits carr s qui sont des quarts de petits carr s Le m me carr pli diff remment Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 28 Nous demandons Combien cela repr sente de petits carr s Il faut deux rectangles pour faire un petit carr cela fait 4 petits carr s Il faut quatre tout petits carr s
26. de Certains manuels consid rent que la notion de delto de s ins re dans celle de cerf volant et disent un delto de est un cerf volant concave Il nous semble pr f rable de conserver les deux termes cerf volant pour le quadrilat re convexe et delto de pour le quadrilat re concave Les l ves sont plus habitu s manipuler les quadrilat res convexes et ainsi il sera ais d introduire les deux notions s par ment le cerf volant qui est la plus facile pour eux en premier le delto de ensuite Il sera pratique au cours des activit s de demander aux l ves de noter toutes les mesures qu ils connaissent au crayon papier sur chacune des pi ces I Observation des pi ces et tude de leurs propri t s Nous d cidons que la mesure du c t du carr jaune pi ce n 1 est la mesure unit II Reconnaissance des figures et tude des mesures caract ristiques Nous leur demandons alors de successivement Observer les pi ces dans l ordre de leur num rotation Nommer chaque pi ce triangle ou carr ou autre Donner pour chaque pi ce la mesure de ses c t s et de ses angles ainsi que ses propri t s ventuelles pour les plus grands Donner la mesure de la diagonale du carr la hauteur du triangle quilat ral et l hypot nuse des triangles rectangles bleus Plus tard ventuellement calculer les aires des diff rentes pi ces Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l
27. e 5 de petits c t s de mesure Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 23 et 2 Il nous manque la longueur 72 pour faire appara tre le Nombre d Or a Nous sugg rons de placer les deux longueurs bout bout de la fa on la plus jolie possible Les l ves peuvent ainsi s apercevoir que si l on place deux triangles bleus align s nous avons utilis la r gle comme sur la figure suivante non seulement on obtient le Nombre d Or mais aussi puisque les triangles bleus sont rectangles un Rectangle d Or Nous avons utilis un troisi me rectangle bleu pour mieux mat rialiser le Rectangle d Or que nous avons hachur Si l on craint que les l ves peinent un peu chercher sans aide on peut leur proposer la construction du Nombre d Or avec une devinette Si l on dispose de trois triangles rectangles bleus pi ce 5 peut on en utilisant seulement la r gle non gradu e d finir un Rectangle d Or c est dire un rectangle dont le rapport du grand c t au petit est le Nombre d Or Les l ves peuvent aussi proposer la solution suivante qui permet ensuite avec une superposition de deux des trois triangles d obtenir le contour d un Rectangle d Or nous avons repr sent les deux triangles qui se chevauchent avec deux tons de bleu diff rents afin de bien distinguer leurs r les respectifs Danielle SALLES LEGAC et l quipe G
28. e conscience que voir n est pas d montrer Nous montrons page suivante un exemple de triangle scal ne construit partir d un triangle bleu ayant un c t de mesure 4 et une hauteur de mesure 1 Par exemple ce pavage du plan autour d un point P r alis avec le triangle scal ne pr c dent en 5 exemplaires de c t de mesure 3 4 et de hauteur correspondante ce c t de mesure l est il un vrai pavage du plan c est dire sans chevauchement des pi ces ni espacement de celles ci Cet exercice qui sera propos aux plus grands ne peut tre v rifi que par le calcul que nous donnons ci dessous Comme nous l avons dit plus haut l angle de tangente 2 mesure 63 3 De m me la calculatrice nous indique pour l angle de tangente 4 un angle de mesure 76 Le troisi me angle mesure donc 180 63 3 76 39 3 au degr pr s Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 17 Pour construire le pavage du plan autour du point P nous avons pos successivement c te c te quatre angles de 76 puis un angle de 63 3 soit un total de 76x4 63 3 367 3 ce qui repr sente une erreur de 7 3 degr s environ Question subsidiaire peut on construire un vrai pavage du plan autour d un point avec ces triangles scal nes Combien faut il de triangles R ponse puisque la somme des mesures des angles d un triangle est 1
29. e du premier triangle Son grand c t gauche de la r gle va former le deuxi me petit c t du Rectangle d Or Tu joins les sommets des triangles bleus qui ne sont pas sur la r gle par un segment de droite Tu joins par un segment de droite les sommets des trois triangles bleus qui se trouvent le long de la r gle Tu obtiens ainsi les deux grands c t s du Rectangle d Or Les petits c t s du Rectangle d Or sont obtenus avec les c t s des triangles bleus qui sont orthogonaux la r gle Ce texte tant assez compliqu on pourra le corriger tous ensemble pour obtenir un bon mode d emploi Prolongation de cette activit pour les plus grands Les plus grands peuvent d couper le Rectangle d Or ainsi obtenu et le consid rer comme une nouvelle pi ce de puzzle que nous noterons pi ce 11 Nous proposons alors aux l ves d utiliser la m thode de construction du triangle quilat ral pour construire le Triangle d Or Ce dernier triangle a ses 1 4 5 ER Il suffit alors de marquer le milieu des deux grands c t s du rectangle gr ce un pliage puis de rabattre successivement chacun des petits c t s de telle sorte que leurs extr mit s se rencontrent au m me point de la droite des milieux Nous obtenons ainsi le Triangle d Or not pi ce 12 deux c t s gaux de mesure 1 et sa base de mesure le Nombre d Or Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie
30. e m me mesure la somme des angles du quadrilat re a pour mesure 360 Nous leur demandons alors s il est n cessaire de construire un vrai quadrilat re scal ne pour se convaincre que la somme de ses angles a pour mesure 360 La r ponse est non bien sur puisque l on pourra toujours plier le quadrilat re selon une de ses diagonales et ainsi obtenir deux triangles dont la somme des angles a pour mesure 180 Tout de m me nous demandons pour bien se convaincre de construire un quadrilat re convexe scal ne et de le plier suivant une de ses diagonales Ensuite de d couper par groupe de quatre l ves le m me quadrilat re scal ne et de constater par superposition des quatre angles distincts sur un point du plan que la somme de ces quatre angles mesure bien 360 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 19 Enfin nous demandons aux l ves d utiliser le rapporteur pour v rifier la conjecture la propri t pr c dente est vraie pour le delto de II Le m me type d activit s sans couleur Si l on ne dispose pas de papier couleur ou si l on dispose de moins de temps avec des l ves plus grands on peut r aliser une variante conomique des activit s pr c dentes avec un papier fort blanc ce qui ventuellement peut d boucher sur d autres activit s tout aussi int ressantes Cependant nous insistons comme toujours sur l int r t d
31. gles les triangles et les quadrilat res remarquables ainsi que leurs propri t s L aspect manuel et ludique de ces activit s permet de les proposer d s la classe de sixi me ou cinqui me en initiation puis dans les classes sup rieures en consolidation de connaissances Cette brochure est aussi disponible en Espagnol le lecteur int ress par la version espagnole la recevra sur demande Elle peut donc tre utile aux Professeurs de classes europ ennes hispanisantes ainsi qu aux professeurs des pays de langue espagnole en particulier d Am rique Latine avec lesquels nous collaborons dans le cadre du r seau international des I R E M Mots cl s aire double aire moiti activit g om trique arc tangente calcul alg brique angle plat angle droit angle aigu angle obtus cerf volant cosinus d coupage delto de quilat ral formalisation isoc le ligne trigonom trique losange Nombre d Or pavage du plan pentagone pliage pliage avec glissement polygone psychomorphismes puzzle radical rectangle Rectangle d Or sinus somme des angles d un triangle somme des angles d un quadrilat re superposable sym trie orthogonale tangente th or me de Pythagore trap ze trap ze isoc le trap ze rectangle triangle quilat ral triangle rectangle triangle rectangle isoc le triangle scal ne Membres de l quipe G om trie de PI R E M de Basse Normandie Anne Marie Bock Professeur Certif
32. i retrait Olivier Longuet Professeur Certifi Ruben Rodriguez Herrera Professeur Agr g Docteur en Didactique des Math matiques Danielle Salles Legac Ma tre de Conf rence honoraire Docteur es Sciences Professeurs relecteurs Au P rou Carlos Aparcana Aquije Carlos Sabino Escobar Eladio Oca a Silvia Sanchez d Arigo En France Evelyne Adam ric Lehman salles math unicaen fr ruben rodriguez unicaen fr Format A4 Nombre de pages N ISBN Prix 4 5 Exemplaire en fran ais 36 978 2 002498 07 9 chaque brochure patrons Exemplaire en Juin 2011 en couleurs espagnol 36 patrons 8 les deux
33. ir d un carr Nous essayerons de donner chacune des pi ces au moins un c t de m me mesure que celui du carr Nous appellerons cette mesure la mesure unit de longueur En quelque sorte les pi ces seront calibr es afin de pouvoir les juxtaposer en puzzle On peut sugg rer de donner un nom cette mesure le boulga le chou a Ensuite nous utiliserons les pi ces de puzzle pour faire des d monstrations Connaissances requises L angle plat l angle droit galit des angles par superposition les professeurs hispanisants pourront consulter l ouvrage de Ruben Rodriguez et Danielle Salles Practicar la geometr a pages 14 et suivantes voir la bibliographie galit des figures g om triques par superposition Les notions de carr triangle isoc le rectangle quilat ral seront n cessaires et les l ves devront les int grer au fur et mesure des d coupages et des tudes de figures la notion de sym trie orthogonale d s le premier pliage Pour cette derni re notion on pourra consulter utilement en ligne sur le site de l IREM de Basse Normandie l article de R Rodriguez Les sym triseurs dans Le Miroir des Maths N 6 Circulation transmission h ritage Actes du colloque dit s par IREM de Basse Normandie Ao t 2011 I Martinez Labrousse crit page 54 peut tre aussi avaient ils des pi ces color es de puzzle pour expliquer le texte D
34. lat ral 3 et un trap ze rectangle pi ce 8 avec une copie rouge fonc du triangle rectangle rouge pi ce 2 Nous indiquons sur les figures les plis utiles ces constructions Nous demandons ensuite aux l ves d indiquer les mesures d angles et de longueurs qu ils peuvent calculer d P 1 pli p P 3 EN E EP D 4 7 D Db D 2 me pli D Une copie gris clair du triangle quilat ral gris fonc une copie rouge fonc du triangle rectangle isoc le rouge Un losange peut tre construit ais ment avec deux triangles quilat raux joints par un de leurs c t s il sera not pi ce 9 remarquons qu il est particulier puisqu une de ses diagonales a m me mesure que ses quatre c t s Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 11 Nous effectuons une copie du cerf volant pi ce 6 en papier vert fonc Le cerf volant tant constitu de deux triangles isoc les ayant une base commune nous replions le plus petit des deux triangles le long de cette base Nous d coupons la pi ce le long des deux c t s gaux du petit triangle Nous obtenons un delto de not pi ce 10 Remarquons de plus que la partie du cerf volant d coup e pour obtenir un delto de est aussi un losange pli _ d coupage Un losange avec deux triangles quilat raux gris Un cerf volant vert fonc d coup en delto de Remarque propos de la notion de delto
35. main en d pla ant les pi ces avec les fonctions d placement et rotation de l ordinateur Voici titre d exemple quelques propri t s du Cadran toil qui peuvent tre tudi es Compter les sommets du polygone toil Justifier en utilisant les mesures d angles pr c demment calcul es que le polygone couvre bien le plan autour du centre indiqu par un petit cercle Calculer le nombre d axes de sym trie du polygone Calculer la surface du polygone toil et celle du polygone convexe ext rieur et celle du polygone convexe int rieur Cette derni re activit plus d licate sera propos e aux plus grands partir de la seconde Nous allons donner quelques indications sur les calculs alg briques n cessaires Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 33 Reprenons le motif de base servant la construction du cadran toil Il est constitu de deux pi ces num ro 4 le triangle rectangle moiti du triangle quilat ral d une pi ce 6 le cerf volant et d une pi ce 10 le delto de Calculer l aire du triangle rectangle est facile ses c t s tant de mesures V3 respectives 1 et z Calculer celle du cerf volant est plus difficile car nous ne connaissons pas encore la mesure de ses deux diagonales Nous allons donc reprendre les caract ristiques de cette pi ce sur le dessin r capitulatif de la page 18 Les chelles des deux figures
36. n des pi ces de puzzle pour constater visu et tactu avec la vue et le toucher quelques grandes propri t s g om triques des angles et des polygones Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l IL R E M de Basse Normandie 6 Remarque ce travail s inscrit dans la G om trie des pliages voir notre article bibliographie SALLES Pour ce faire nous rabattons le c t sup rieur du carr parall le au 1 pli de telle sorte que son extr mit gauche rencontre la trace du 1 pli Nous effectuons le m me travail avec un 3 pli sur le c t oppos du carr de telle sorte que les deux extr mit s des deux c t s pli s soient confondues sur le 1 pli Nous obtenons ainsi avec le c t droit du carr perpendiculaire au premier pli un triangle quilat ral c est dire un triangle dont les trois c t s ont la m me mesure Par les pliages successifs les trois c t s du triangle quilat ral ont m me mesure que celle du carr Nous groupons les l ves par trois nous leur demandons de superposer trois triangles quilat raux puis de les faire tourner et les superposer de nouveau afin de comparer les angles Ils v rifient que les trois angles de ces triangles sont gaux et ils le notent dans leur cahier Nous leur demandons alors de d couper le triangle quilat ral et de garder les deux morceaux de papier bleu restants pour une activit ult rieure Le triangle quilat ral
37. oil Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 32 Sur la premi re figure ci dessus nous v rifions que les pi ces 6 et 5 du haut du puzzle s ajustent bien car les deux c t s jointifs mesurent 1 Nous observons que le creux entre les deux pi ces 5 a l air de d finir un angle droit Nous demandons donc aux l ves de le v rifier en reprenant ventuellement le tableau de la page 10 Nous trouvons 93 3 sur la deuxi me figure ce qui ne convient pas et demandons aux l ves de chercher si l on peut placer une autre pi ce afin que le creux d finisse un angle droit Sur la troisi me figure nous avons abandonn le triangle bleu et utilis 4 triangles verts Nous demandons aux l ves de v rifier que cette fois nous avons un vrai pavage d une partie du plan la figure obtenue est constitu e de deux nouveaux cerfs volants qui peut donner lieu un d veloppement int ressant dans le style du joli diamant tudi dans notre ouvrage Du dessin per u paragraphes 1 14 et 2 14 voir bibliographie Nous pouvons ainsi demander aux l ves de se regrouper afin de construire le polygone r gulier pr sent page 2 et de l afficher dans la classe Puisqu il contient un polygone toil qui comporte douze sommets nous l appellerons le Cadran toil Remarquons que la figure de la page 2 n est pas parfaite car elle a t construite la
38. propri t voir la construction suivante pour mesure 180 3 exemple trois triangles V rification avec une r gle la somme des scal nes gaux gris perl trois angles d un triangle scal ne mesure 180 On peut comme dans l activit pr c dente constater par pliage que la somme des angles d un triangle scal ne est aussi 180 voyez les figures suivantes ler pli PE 2 me pli PRE 4 me pli i 3 me pli Remarquons que nous obtenons un rectangle dont l aire est la moiti de celle du triangle D monstration pour les plus grands de la propri t La somme des angles d un triangle a pour mesure 180 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 15 Les l ves codent les sommets du triangle le premier pli passant par A et rabattant le c t BC sur lui m me a permis de tracer la hauteur AH celle ci servira de guide pour rabattre A sur CB Le deuxi me pli rabattant en H le sommet A sur le c t CB a permis de tracer la droite DE des milieux des segments AC et AB Les triangles CDH et HEB par la sym trie orthogonale d finie par le deuxi me pliage sont isoc les donc ont leurs angles la base gaux galement par la sym trie d finie par le deuxi me pliage le triangle ADE est gal au triangle HDE Les angles DHC et DCH EHB et EBH DHE et DAE sont gaux deux deux L
39. r la geometr a De las acciones directamente experimentables a sus formalizaciones matem ticas Caen I R E M de Basse Normandie 2010 SALLES LEGAC Danielle RODRIGUEZ HERRERA Ruben Nouvelles pratiques de la g om trie Caen I R E M de Basse Normandie 2006 SALLES LEGAC Danielle et l quipe de g om trie de PI R E M de Basse Normandie Histoires de cerfs volants et autres quadrilat res Historias de cometas y otros cuadril teros en espagnol et en fran ais Caen I R E M de Basse Normandie 2008 SALLES LEGAC Danielle et l quipe de g om trie de PI R E M de Basse Normandie G om trie des pliages in Le miroir des math matiques n 5 D cembre 2009 Caen I R E M de Basse Normandie et en ligne Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 36 I R E M de Basse Normandie quipe de G om trie Universit de Caen France avec le soutien des I R E M du P rou Universit s de Ica Lima Tumbes D couvrir et d montrer en g om trie avec des pi ces de puzzle les propri t s des triangles et quadrilat res usuels Nous pr sentons aux Professeurs de coll ge et de classe de seconde en formation initiale et ou continue des activit s g om triques r alis es l aide de mat riel simple et peu co teux pliages d coupages constructions de pi ces de puzzle afin de d couvrir et se mettre dans les mains les figures g om triques fondamentales que sont les an
40. rs aux plus grands quelle est la mesure des c t s des 5 triangles bleu et rouge d angle au sommet au centre du pentagone de mesures 71 6 degr s Ces c t s sont les hypot nuses des triangles bleus de petits c t s de mesure 2 et 1 Le th or me de Pythagore nous donne cette nouvelle mesure TERS 1 4 2 Il faut remarquer que le pentagone approch que nous venons de construire n a pas ses c t s de mesure 1 et de ce fait ne v rifie pas la propri t des pentagones de c t de mesure 1 dont les diagonales ont pour mesure le Nombre d Or 1 V5 4 exemple V rification de la propri t la somme des angles d un quadrilat re convexe est de mesure 360 Nous observons tout d abord les quadrilat res que nous avons construits le carr les deux trap zes le losange et le cerf volant Nous constatons ensemble qu en pliant ces quadrilat res le long d une de leurs diagonales on obtient deux triangles accol s dont la somme des mesures des angles est 180 nous pouvons conclure que la somme des mesures des angles de ces quadrilat res est 360 Dans le cas d un quadrilat re convexe n ayant pas de propri t particuli re nous dirons qu il est scal ne nous demandons aux l ves d accoler deux triangles pi ces de puzzle diff rents ayant un c t de m me mesure selon ce c t Nous remarquons alors que par construction du quadrilat re par deux triangles ayant un c t d
41. s objets g om triques et des raisonnements abstraits sur ces objets qu ceux qui n en ont pas Les activit s qui vous sont pr sent es ici peuvent tre propos es d s que les notions g om triques de polygones classiques doivent tre abord es triangles isoc les triangles rectangles triangles quilat raux carr s trap zes isoc les rectangles losanges cerfs volants delto des Elles peuvent tre pratiqu es en introduction ou en consolidation de ces notions certaines d entre elles sont plus difficiles et sont signal es pour les plus grands c est dire partir de la classe de quatri me parfois lorsqu elles exigent des calculs alg briques ou trigonom triques partir de la classe de seconde Elles sont g n ralement trait es de fa on ind pendante et le professeur peut puiser selon ses besoins d s que les d finitions et propri t s ont t abord es par le biais de la construction et de la manipulation des pi ces de puzzle Nous conseillons fortement au professeur de laisser ses pi ces l l ve afin qu il puisse les manipuler loisir tant l cole qu l ext rieur et les conserver en souvenir I Construction de lunivers des pi ces de puzzle Nous expliquons aux l ves que nous allons travailler sur les mesures d angles et les figures sans utiliser le rapporteur mais avec des pliages Pour ce faire nous allons construire des pi ces de puzzle particuli res part
42. sent il EFHI rouge fonc est constitu de deux triangles quilat raux gris Delto de JFEL vert fonc Pour le professeur voici page suivante le tableau des mesures calculables le tableau pourra tre construit en classe en grand format chaque l ve venant remplir une ou plusieurs cases selon ses d couvertes Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l I R E M de Basse Normandie 13 Indication pour le calcul de la mesure du petit c t du cerf volant les deux cerfs volants sont obtenus de fa on naturelle lors de la construction du triangle quilat ral en rabattant les sommets A et E du carr sur la m diatrice CH commune des c t s AE et GF du carr L angle DEF tant droit il en est de m me de l angle DJF L angle HJC est plat l angle HJF mesure 30 car c est la moiti de l angle au sommet GJF du triangle quilat ral GJF donc la mesure de l angle CID est 60 Le triangle JCD est un demi triangle quilat ral de V3 hauteur CD de c t JD 2CJ Or CJ CH JH 1 E donc AB BJ JD DE 2 43 Nom Couleur Num ro Mesures de ses c t s Mesures de ses angles de la figure de la pi ce en degr s Carr Jaune l l 90 Triangle rectangle Rouge 2 1 1 V2 45 45 90 isoc le Triangle Gris 3 1 60 quilat ral Triangle rectangle Vert 4 ENET 30 60 90 non isoc le Lise J2 Triangle rectangle Bleu 5 V5 1 26 7 63 3 9
43. sur la valeur de langle au somment du Triangle d Or mais l ensemble nous para t assez satisfaisant N SN A N gt KN VII Une question classique de g om trie au coll ge Une question classique et fondamentale de g om trie au coll ge est celle du rapport entre l agrandissement ou la r duction des mesures de longueur et des mesures d aires R RODRIGUEZ Une autre gestion voir la bibliographie Nous allons voquer cette question dans le cadre de nos pi ces de puzzle Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 27 Consid rons de nouveau la premi re pi ce le carr jaune Nous demandons aux l ves d en faire une copie qui peut tre jaune elle aussi Nous leur demandons Pouvez vous construire en pliant le carr jaune un carr de surface deux fois plus petite 1 Proposition Les l ves peuvent avoir l id e de plier le carr parall lement ses c t s pour enlever des bandes Ils obtiennent par pliages successifs le carr hachur deux premiers pliages joignent les points milieux des c t s du carr ensuite quatre pliages joignent les points qui indiquent le quart de chaque c t Nous leur demandons de justifier le fait que c est un carr et de l crire sur leur cahier Remarque pour que les pliages soient bien nets les l ves peuvent s aider d une r gle et d un crayon Un c
44. une mise dans les mains des objets g om triques par le biais de 1 intelligence haptique intelligence sensorielle tactile Nous distribuons une feuille A4 de papier fort de couleur claire chaque l ve et leur demandons de faire successivement des plis sur cette feuille en ouvrant le pli entre chaque op ration et en passant un trait l ger au crayon papier et la r gle sur chacun des plis 2 me pli e 3 me pli S deux trac s r compl mentaires 7 4 mepli 5 s me pli Nous demandons alors sachant que nous avons d cid de donner au c t du carr la mesure unit de coder la figure d indiquer toutes les mesures gales et les angles gaux puis leurs mesures si elles sont facilement calculables Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l ILLR E M de Basse Normandie 20 Ensuite pour les plus grands de calculer les lignes trigonom triques de ces angles sous forme alg brique c est dire avec des radicaux Nous donnons ci dessous quelques r sultats et mesures Pour calculer les mesures gales AB BJ JD et DE il est commode de remarquer que les triangles gaux BCJ et CDJ sont des demi triangles quilat raux donc V3 AB BJ ID DE 2 1 2 2 V3 Voyez les calculs pages 11 et 12 Tableau des valeurs exactes des lignes trigonom triques angles en sinus cosinus tangente degr s 13 2 3 V2 3 2
45. ux l ves de le v rifier par le calcul Les trois angles concern s appartenant au triangle bleu 5 au delto de vert fonc 10 et au cerf volant turquoise 6 mesurent respectivement 26 7 30 et 90 en degr s leur somme n est pas 180 donc le trait suivant le bord des pi ces n est pas un segment de droite malgr les apparences De m me l autre c t ext rieur du triangle bleu 5 et le c t ext rieur du triangle vert clair 4 semblent former un segment de droite v rifions le La somme des angles concern s est 60 30 90 180 en degr s les c t s forment un segment de droite Les pi ces 4 5 6 et 10 peuvent donc tre utilis es pour construire un faux rectangle comme nous le proposons ci dessous afin de renforcer l esprit critique des l ves Nous faisons ainsi mieux appara tre l cart entre le triangle bleu et le cerf volant turquoise fente Nous demandons alors aux l ves s il est possible de construire une vraie figure g om trique sans chevauchement ni espace entre les pi ces Ceux ci peuvent proposer la construction de droite et dire Nous avons construit un vrai cerf volant Nous les laissons r fl chir et trouver qu ici encore il y a un probl me de fente entre le c t commun aux deux triangles bleus et le sommet commun aux delto des vert fonc Nous proposons alors l arrangement page suivante puis une activit un peu diff rente la construction du cadran t
46. xes de sym tries puis de les noter sur leur cahier Ceci sera un r investissement utile de ces propri t s si elles ont t d j tudi es voir Rodriguez R Autour des syst mes opus cit On pourra aussi traiter d s maintenant avec les plus jeunes une partie de l activit VII Une question classique de g om trie au coll ge p 26 28 Danielle SALLES LEGAC et l quipe G om trie de l LLR E M de Basse Normandie 5 Nous distribuons une deuxi me feuille A4 de couleur par exemple rouge nous d coupons un carr de la m me fa on que pr c demment le pli diagonal qui nous sert construire le carr est d coup afin d obtenir deux triangles rectangles isoc les not s 2 et 2bis Nous demandons aux l ves de noter sur leur cahier une d finition d un triangle rectangle isoc le il pourra tre int ressant de discuter au tableau les diff rentes d finitions propos es par les l ves En pliant sans marquer le pli les deux petits angles de la pi ce 2 l un sur l autre nous v rifions que les deux petits angles sont gaux car superposables D autre part nous leur demandons de rabattre les angles non droits d un des deux triangles sur son angle droit comme sur la figure ci dessous droite les angles rabattus pli Deux triangles rectangles isoc les rouges Nous leur demandons alors quelle est la mesure des deux angles gaux aigus et quelle est la somme des mesures des angles
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