Exercices probabilités
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1. tablir que p 1 p 2 p 3 p 4 et p 1 4p 3 1 Calculer ces 4 probabilit s l mentaires 2 On jette un astragale 5 fois de suite Calculer les probabilit s d obtenir 3 fois exactement la face n 1 3 fois exactement la face n 3 3 fois exactement une m me face au moins une fois la face n 4 uniquement les faces n 1 ou n 2 17 La chauve souris inspir du sketch de J M Bigard Une porte est munie d un clavier portant les touches 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B C D La porte s ouvre lorsqu on frappe dans l ordre 3 chiffres et 2 lettres qui forment un code Les chiffres sont distincts les lettres peuvent tre identiques On suppose dans tout l exercice que les manipulateurs connaissent le mode d emploi du dispositif 1 Quelle est la probabilit pour qu une chauve souris ouvre la porte au 1 essai si a Elle ignore le code b Elle se souvient seulement que les 3 chiffres du code sont pairs c De plus elle se souvient que les deux lettres sont identiques 2 La porte est quip e d un syst me d alarme se d clenchant lorsqu aucun des 3 chiffres tap s ne fait partie du code Une chauve souris ignorant le code tente de d clencher l alarme a Quelle est la probabilit pour qu elle provoque l alarme au premier essai b Elle effectue 4 essais successifs et ind pendants Quelle est la probabilit pour qu elle d clenche l alarme au moins une fois au cours des 4 essais 18 Bo t2. 2 Sur ce quadrillage 4 x 4 combien y a t il de chemins minimaux de A vers B 3 Quelle est la probabilit pour qu un chemin minimal choisi au hasard passe par O centre du quadrillage passe par P 1 2 15 Bandit manchot Dans une salle de jeux un appareil comporte 4 roues chacune portant sa p riph rie 8 images de fruits diff rents Ananas Bananes Cerises Dattes Fraises Groseilles Poires Raisins Une mise de 1 d clenche le fonctionnement de l appareil pour une partie Chacune des 4 roues elo affiche au hasard dans une fen tre un de ces fruits e200 n 215 3 On admettra que tous les v nements l mentaires ec sont quiprobables 1 Calculer la probabilit des v nements suivants E On obtient 4 fruits identiques F On obtient 3 fruits identiques et trois seulement G On obtient 4 fruits distincts 2 Certains r sultats permettent de gagner de l argent 50 pour 4 fruits identiques 5 pour 3 fruits identiques 1 pour 4 fruits distincts 0 pour les autres r sultats Soit X la variable al atoire qui chaque r sultat associe le gain indiqu Calculer l esp rance math matique de X 16 L astragale de Cassiop e Les Grecs et les Romains utilisaient la place des d s des osselets d agneaux appel s astragales Ces astragales pouvaient retomber sur une de leurs 4 faces num rot es 1 2 3 4 Des exp riences statistiques ont permis d
3. Le nombre est form d au moins deux chiffres identiques P Le nombre est pair E Le nombre est impair et est form de quatre chiffres distincts F Le nombre est pair ou est form d au moins deux chiffres identiques on note I Le nombre est impair 6 D s 5 On lance deux d s non truqu s X est la variable al atoire gale au plus grand des deux num ros obtenus 1 A l aide d un tableau double entr d terminer toutes les possibilit s et en d duire la loi de probabilit de la variable al atoire X 2 Calculer E X o X 7 Chemises On place au hasard trois chemises de couleurs bleue blanche et rouge dans quatre tiroirs a b cetd 1 Combien y a il de r partitions possibles 2 Calculer les probabilit s des v nements suivants toutes les chemises sont dans le tiroir a M Toutes les chemises sont dans le m me tiroir V Les tiroirs b et c sont vides V Seuls les tiroirs b et c sont vides 3 V d signe la variable al atoire qui une r partition associe le nombre de tiroirs vides Quelle est la loi de probabilit de V 4 En moyenne combien de tiroirs restent vides lors d un grand nombre de rangements 8 Graines Un paquet de graines de potiron contient 12 graines Le pouvoir germinatif de chacune des graines est 0 8 la probabilit qu une graine mise en condition germe est de 0 8 1 On s me 8 graines Quelle est 107 pr s la probabilit p
4. elle va au hasard vers B D ou E De B elle va vers D ou E De C elle va vers E De D ou E elle sort du circuit 1 Faire un sch ma du circuit indiquant tous les trajets possibles 2 Les choix de chacune des portes tant quiprobables calculer la probabilit du trajet A B D 3 Calculer la probabilit de chacun des trajets 4 Soit X la variable al atoire Nombre de points marqu s lors du trajet Donner la loi de probabilit de X et calculer son esp rance math matique 13 Urnes Une premi re urne renferme 8 boules vertes une de ces boules porte le nombre 1 trois portent le nombre 2 et quatre le nombre 4 Une deuxi me urne renferme 6 boules rouges une de ces boules porte le nombre 3 deux portent le nombre 5 et trois le nombre 6 1 On extrait au hasard une boule de chaque urne On note X le nombre port par la boule verte et Y celui port par la boule rouge Calculer la probabilit de A X Y gt 8 2 On effectue dix fois ce tirage en repla ant dans les urnes les boules tir es avant chaque nouveau tirage Soit Z la variable al atoire qui prend pour valeur le nombre de fois o A est r alis lors de ces 10 tirages Calculer l esp rance math matique de Z 14 Chemins n AU 7 1 Sur ce quadrillage 2 x 2 un chemin minimal de A vers B est la succession de 4 vecteurs ou j dont la somme est AB Combien y a t il de chemins minimaux diff rents de vers B A gt
5. Premi re S Exercices probabilit s statistiques 1 Boules 22 Billes 2 Pi ces de monnaie 23 Urnes 3 Tennis 24 Chemins 4 Premi re langue 25 Bandit manchot 5 Urnes 26 L astragale de Cassiop e 6 Cin ma 27 La chauve souris inspir du sketch de J M 7 Football Bigard 8 D s sp ciaux 28 Bo tes et boules 9 Une population active 29 Lip ou Swatch 10 Tir Parc 30 Malade or not malade 11 Etude de march 81 Avis Hertz et les autres 12 D s 1 32 Rhesus 13 D s 2 33 Do you speak english 14 D s 3 34 Au soleil 15 D s 4 35 Statistiques 1 16 D s 5 36 Statistiques 2 17 Chemises 37 Statistiques 3 18 Graines 38 L cartement interpupillaire 19 S cu 39 Les b b s 20 Mots 40 Radar 21 Fl chettes 41 Etude d un minimum 1 Boules Une urne contient une boule blanche num rot e 1 deux boules rouges num rot es 1 et 2 et trois boules vertes num rot es 1 2 et 8 Les boules sont indiscernables On extrait successivement deux boules de l urne sans remise dans lurne de la premi re boule tir e Trouver la probabilit de chacun des v nements suivants A les deux boules sont rouges B les deux boules sont de couleurs diff rentes C le tirage comporte au moins une boule rouge D le tirage comporte exactement une boule verte E le tirage comporte une boule verte et une boule num rot e 1 F le tirage comporte une boule rouge ou une boule num
6. b D terminer la probabilit de l v nement B la montre pr sente le d faut y c D finir par une phrase l v nement A NB Calculer sa probabilit d Calculer la probabilit d obtenir une montre sans d faut
7. es et boules Une bo te contient 6 boules vertes et n boules blanches Un jeu consiste tirer simultan ment deux boules de la bo te Si les deux boules sont de m me couleur le joueur gagne 1 si elles sont de couleurs diff rentes le joueur perd 1 1 Nous supposons que n 3 Calculer les probabilit s d obtenir deux boules de m me couleur deux boules de couleurs diff rentes 2 Nous supposons n quelconque et sup rieur ou gal 2 On note X la variable al atoire qui chaque tirage de deux boules associe le gain alg brique du joueur Exprimer en fonction de n les probabilit s de A X 1 etB X 1 Calculer l esp rance math matique de X not e E X Pour quelles valeurs de n a t on E X 0 E X lt 0 19 Lip ou Swatch Un usine d horlogerie fabrique une s rie de montres Certaines montres peuvent pr senter un d faut x ou un d faut y Des tudes statistiques men es sur 10000 montres ont donn les renseignements suivants 10 des montres pr sentent le d faut x parmi les montres pr sentant le d faut x 12 pr sentent le d faut y parmi les montres ne pr sentant pas le d faut x 5 pr sentent le d faut y 1 Reproduire et compl ter le tableau suivant 2 On choisit au hasard une des 10000 montres chacune de ces montres ayant la m me probabilit d tre choisie a D terminer la probabilit de l v nement A la montre pr sente le d faut x
8. me ligne 2 Maintenant pour remplir les cases de la premi re ligne on tire un jeton parmi les douze on crit la lettre dans la premi re case on remet le jeton et on recommence l exp rience pour chacune des 3 autres cases Soit X le nombre de obtenus sur cette premi re ligne D terminer la loi de probabilit de X et son esp rance math matique 11 Fl chettes Un joueur lance des fl chettes sur une cible circulaire form e de 4 r gions marqu es 1 2 5 et 10 Nous admettons que la probabilit que le joueur atteigne la cible est de 0 6 et que la probabilit d atteindre la r gion j est inversement proportionnelle 1 Calculer la probabilit d atteindre la r gion pour i 1 2 5 10 2 Si le joueur atteint la r gion il marque i points et 0 point s il n atteint pas la cible Soit la variable al atoire X nombre de points marqu s lors d un lancer Calculer l esp rance math matique de X 3 Le joueur lance deux fl ches de suite les lancers tant ind pendants Soit Y la variable al atoire Somme des points marqu s lors des deux lancers Calculer l esp rance math matique de Y 4 Le joueur lance trois fl ches de suite Quelle est la probabilit qu il marque au moins 25 points 12 Billes Un jeu consiste lancer une bille dans un circuit comportant 5 portes A B C D et E rapportant respectivement 1 2 3 4 et 5 points Au d part la bille passe au hasard par A B ou C De A
9. our que a 5 graines exactement germent b Au moins 7 graines germent 2 Quand une graine est germ e la probabilit pour que les limaces d truisent le jeune plan est 0 5 a Calculer la probabilit pour qu une graine sem e donne un plan bon repiquer b Combien devra t on semer de graines pour que la probabilit d avoir au moins un plan bon repiquer soit sup rieure 0 99 9 S cu Une tude des fichiers de la S curit Sociale concernant une r gion montre qu en 1990 17 des personnes de moins de 70 ans ainsi que 75 des personnes g es de 70 ans ou plus ont t vaccin es contre la grippe On sait que les personnes de 70 ans ou plus repr sentent 12 de la population de cette r gion 1 a On prend une personne au hasard Quelle est la probabilit pour qu elle soit vaccin e b On prend une personne vaccin e Quelle est la probabilit pour que ce soit une personne de moins de 70 ans 2 On choisit 10 personnes de moins de 70 ans au hasard Calculer la probabilit pour que trois d entre elles exactement soient vaccin es 10 Mots On dispose de douze jetons indiscernables au toucher et portant les lettres de A L On place au hasard ces douze jetons sur une grille de 3 lignes de 4 cases 1 a Quelle est la probabilit de lire le mot AIDE sur la deuxi me ligne b Quelle est la probabilit de lire la fois le mot BAC dans la premi re colonne et le mot AIDE dans la deuxi
10. rot e 1 2 D s 1 On lance deux d s cubiques quilibr s dont les faces sont num rot es de 1 6 1 Calculer la probabilit des v nements suivants obtenir exactement un 1 obtenir aucun 1 obtenir au moins un 1 obtenir deux nombres pairs B C D obtenir au plus un 1 F obtenir une somme sup rieure ou gale 8 2 Expliciter l v nement EXF et calculer sa probabilit 3 D s 2 Un d cubique parfaitement quilibr a trois faces marqu es 1 une face marqu e 10 et deux faces marqu es 100 On lance le d une fois D terminer la loi de probabilit correspondant cette exp rience son esp rance et sa variance 4 D s 3 On joue avec un d pip six faces num rot es de 1 6 Soit A Il sort un nombre pair et B Il sort un nombre impair nous avons P A p avec quiprobabilit entre les num ros pairs et galement quiprobabilit entre les num ros impairs 1 Calculer la probabilit d obtenir 1 2 6 2 Soit X la variable al atoire Num ro sorti Calculer l esp rance math matique de X 5 D s 4 On lance au hasard un d quilibr quatre fois de suite et on consid re le nombre form par les quatre num ros pris dans l ordre de sortie Q d signe l ensemble des issues possibles Calculer les probabilit s des v nements suivants A Le nombre est 4211 B Le nombre est form de quatre chiffres distincts C
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