Au sujet de Maple - Université de Bourgogne
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1. end fib 1 1 5 ous forme r cursive fiboi proc n if n lt 1 then 1 else fiboi n 1 fiboi n 2 fi end fibo2 26 time fiboi 26 On peut viter certains appels r cursifs en utilisant options remember fibo2 proc n options remember if n lt 1 then 1 else fibo2 n 1 fibo2 n 2 fi end fibo2 26 time fibo2 26 exemple 6 proc dures imbriqu es gt 1st 8 8 2 16 une liste gt map x gt x 8 lst application de la fonction tous les termes de la liste E 97 VVVVVVRV VVVV VV V VVVVVVVV Allons y el proc x local v v x 1 map y gt y v x end el 1st VVVVVV e2 proc x local v v x 1 map proc y global v y v end x end e2 1st exemple 7 exponentiation rapide gt with linalg VVVVVV Cas scalaire essai proc x n local p y if n 0 then 1 else p n mod 2 X X if p 0 then essai y n 2 else x essai y n 1 2 fi fi end time essai 153 9231 essai2 proc x n local k u u 1 for k from 1 to n do u x u od end time essai2 153 9231 as matriciel essai proc x n local p y if n 0 then matrix 2 2 1 0 0 1 else p n mod 2 y evalm x72 if p 0 then essai y n 2 else evalm x amp essai y n 1 2 fi fi end time essai matrix 2 2 1 1 1 0 15 u matrix 2 2 1 1 1 0 for k from 1 to 14 do u evalm matrix 2 2 1 1 1 0 amp u VV VVVVVVVVV VV OV VV VV VV VV VV VV VV VV VV v o A T2. computing using Maple and Matlab Walter Gander Jir Hreb cek 1997 29 Rybowicz Marc Maple V release 4 Texte imprim un syst me de calcul formel PC Windows UNIX X Window Marc Rybowicz Jean Pierre Massias pr face de George Labahn 1997 30 Leicknam Jean Claude 15 le ons de Maple Jean Claude Leicknam pr f de Genevi ve Bi daud ouvrage publ sous la dir de Michel Quaggetto et Fran ois Xavier Testard Vaillant 1997 31 Donato Paul Maple 15 th mes math matiques Paul Donato 1997 32 Cornil Jack Michel Maple V release 4 Texte imprim introduction raisonn e l usage de l tudiant de l ing nieur et du chercheur Jack Michel Cornil Philippe Testud 1997 33 Programmer avec Maple V M B Monagan Keith O Geddes K M Heal et al 1997 34 Levine Albert Auteur Aide m moire Maple Texte imprim Albert L vine 1997 35 Rotaru Paul Math matiques avec Maple Paul Rotaru 1997 35 Krob Daniel Introduction au calcul symbolique et aux math matiques exp rimentales Tome 1 Le syst me Maple Daniel Krob et St phane Legros 1996 36 Heck Andr 19 math maticien Introduction to Maple Andr Heck 1996 37 Levine Albert Exercices pour Maple Albert Levine 1995 38 Cornil Jack Michel Auteur Maple Texte imprim introduction raisonn e l usage de l tudiant de l ing nieur et du chercheur Jack Michel Cornil Philippe Test
3. 1 pour nous simplifier le travail au niveau des calculs dans la r solution de probl mes 2 nous permettre d avoir une id e du r sultat que l on pourrait trouver ou tablir d marche de recherche Soyons prudents cependant Maple a souvent besoin de notre aide On ne peut ignorer les difficult s du probl me math matique ou autre sur lequel on travaille Maple vous apportera rarement la solution votre probl me en une simple ex cution gt 1 sqrt 5 2 40 un simple calcul 1 2 1 245 e gt expand notez l utilit du symbole 228826127 102334155 4 5 gt evalf donne une valeur num rique 0 0 gt evalf 4 donne un r sultat sens 0 000000004370130127 En fait on pourrait modifier d s le d part le nombre de chiffres significatifs la valeur par d faut tant 10 gt Digits 20 la valeur par d faut est 10 20 gt 1 sqrt 5 2 40 1 2 1 245 gt expand 228826127 102334155 us gt evalf 0 00000000437 gt Si on veut faire un peu de math matiques Maple est un formidable outil pour manipuler les expres sions gt restart Digits tt 1 sqrt 5 2 40 On travaille avec 10 chiffres significatifs et on affecte la variable tt 10 1 2 1 245 pe tt expand 228826127 102334155 2 2 v5 ttc op 1 tt op 2 tt on construit la quantit conjugu e 228826127 102334155 2 34155 5 tt ttc 3228826127 1023241
4. 55 V5 228826127 n 192354155 V5 expand 1 evalf tt evalf 1 ttc donc 0 0 0 000000004370130339 op Donnons un autre exemple de r sultat surprenant gt gt restart S solve x 3 1 x r solution de l quation 1 1 2 1 2iv3 1 2 1 2iV3 whattype type s quence exprseq map u gt u 3 S map agit sur les listes 1 1 2 1 243 1 2 1 21V3 evalc valuation complexe 1 1 1 b S 2 deuxi me l ment de la liste 1 2 1 2iV3 expand x b xt b 2 a x 1 restart b solve x 3 a x 2 a 1 simplify expand x b x b 2 que s est il pass z 2z2 1 n Il sera utile d crire des fonctions ou des proc dures On veut par exemple calculer 5 i pour diff i 1 rentes valeurs des entiers n et p gt somme proc p n calcul d sir gt local s k des variables qui n interviennent qu l int rieur de la proc dure gt s 0 on initialise la somme 0 gt for k from 1 to n do s s k p od une boucle gt s inutile gt end proc pn local s k s 0 forktondo s s 4k p end do send proc gt somme 2 10 un essai 385 gt Sum i 2 i 1 10 sum i 2 i 1 10 avec les commandes pr d finies S2 i 385 En fait c est la r flexion en amont par exemple sur la nature du probl me math matique et des m thodes envisag es pour le r soudre qui conduira une bauche d algorithme qui normalement moy
5. Au sujet de Maple L3 Projets 9 f vrier 2010 Table des mati res 1 Pourquoi Maple 2 Exemples 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 Un probl me de lieu g om trique Visualisation de la convergence uniforme D veloppement asymptotique d une suite Une suite r currente troublante La Suite de Fibon acti id a a AA AAA TA AR TB VE ETDE EA a NE es Exponentiation rapide 0 0 0 0 a Equation dela chaleur o spos 4522022 31 d 494 b a eue na eld 4 ace a ee eee 3 Corrig s 4 Ouvrages sur Maple la BU Universit de Bourgogne L3 Math matiques D OL OU Or ot e BB 11 1 Pourquoi Maple Tl n est pas ici question de faire une introduction Maple ni passer en revue toutes les fonctionnalit s de ce logiciel Nous renvoyons le lecteur la bibliographie qui se trouve la fin de cette note Le lecteur s astreint emprunter quelques ouvrages la BU et choisir ensuite les livres avec lesquels il se sent le plus l aise Pour faire un bon usage de Maple une voie est de traiter des probl mes math matiques qui se trouvent dans vos cours Maple est un logiciel de calcul formel d velopp Waterloo pas en Belgique Ainsi gt 1 2 1 3 calcul formel 5 6 gt 1 2 1 3 calcul num rique 0 8333333333 Nous utiliserons Maple dans au moins deux directions
6. ennant la connaissance de la syntaxe du langage devrait s crire simplement Comment aborder par exemple le probl me suivant d terminer l indice de la plus grande valeur d une suite finie indice le plus petit en cas de plus grande valeur atteinte plusieurs fois Une id e possible est de passer en revue les n termes de la suite on commence comparer uz et u1 Si par exemple uz gt u1 on compare alors uz avec uz On pourrait crire m Uq1 J 1 pour de 2 n faire si u gt m alors m u et j i crire le dernier j 2 Exemples 2 1 Un probl me de lieu g om trique 2 2 soit imaginaire pur On pourra mettre z et 22 31 alg brique puis utiliser la commande implicitplot Trouver les z tels que sous forme 22 31 2 2 Visualisation de la convergence uniforme Etudier la convergence uniforme de la suite de fonction f x n xexp nx sur 0 00 tant un param tre r el positif 2 3 D veloppement asymptotique d une suite On consid re la suite n d finie par n exp n 1 n gt 0 L objectif est de trouver un d veloppement asymptotique de n Que dit Maple quand on utilise la commande solve pour n 10 Que signifie le symbole donn par Maple Trouver par diff rentes m thodes un d veloppement asymptotique de n 2 4 Une suite r currente troublante Certaines r ccurrences peuvent tre r solues par la commande rsolve Utiliser cette comma
7. erminons par l quation de la chaleur Ecrivons l quation gt equa diff u x t t diff u x t x 2 equa Lu r t ent x t S parons les variables gt ur x t gt Phi x T t gt equa d o gt equa equa Phi x T t 2 x T0 _ equa TO 6 Les deux rapports ne peuvent tre que gaux une m me constante dont on va d terminer par la suite le signe ce quin est fondamental gt equal 1hs equa K equa2 rhs equa K equal O K Ola equa 2 BO K On r sout gt dsolve equa2 Phi x x _C1 esqart K x C2 e sart K x gt Phi unapply subs _Ci a C2 b rhs x x gt ae VE be VK gt dsolve equal T t T t gt she gt T unapply subs _C1 c rhs t T t gt cek gt u x t aesart K w be sari K a ceKt Danger priori K peut tre n gatif donc racine de K est complexe Utilisons les conditions aux bords gt Phi 0 0 a b 0 gt b a b a gt Phi pi 0 gesart K m _ ge sart K n 9 gt expr simplify lhs a expr e 9rt K r _ g_sart K r Si K gt 0 K e 2 gt assume e gt 0 expr1 simplify subs K e 2 expr expr1 ef e 7 gt solve expri 0 e 0 Il n y a pas de solution e strictement positive Ainsi K k 2 gt K k 2 K k gt simplify expr symbolic 2isin kr Ainsi k est entier gt equa4 diff y x x 2 kxx2xy x equa
8. ion des variables On trouvera des solutions du type Ansin na e qui malheureusement ne v rifient pas la condition initiale L id e est alors de superposer ces fonctions i e en faire la somme D terminer alors les A et la solution ainsi obtenue 3 Corrig s exemple 1 se donner des id es conjecturer traiter un cas particulier gt restart with plots gt e x I y 2 2 x I y 3 I gt implicitplot Re e x 2 2 y 3 1 grid 70 701 on veut Re e 0 Peut on conjecturer quelque chose Les zig zag sont ils possibles en th orie gt evalc Re e gt ee simplifty t est tr s utile gt a numer ee b denom ee gt b op 1 b factor on v rifie que le d nominateur ne s annule pas gt a 0 l quation gt evalb op 3 a expand x 2 y 3 2 2 9 4 on v rifie la conjecture exemple 2 essayons de visualiser la convergence uniforme gt fna x a n gt n a x exp n x suites de fontions param tre a gt plot seq fna x 2 k k 1 10 x 0 4 param tre 2 gt plot seq fna x 1 k k 1 10 x 0 4 param tre 1 gt plot seq fna x 0 5 k k 1 10 x 0 4 param tre 0 5 Conclusion exemple 3 gt solve x exp x 10 1 x r solution de l quation x 10 exp x 1 Qu est que la fonction Lambert W recherche avec l aide Maple puis sur Internet gt limit n LambertW 1 n n infinity Cherchons un d veloppement asymptotique de x_n gt serie
9. is 1999 11 18 Lescure Nicolas Chimie avec Maple 70 exercices et probl mes corrig s rappels de cours 1re ann e PCSI Nicolas Lescure Bruno Mombelli 1999 19 Rotaru Paul Auteur Math matiques avec Maple Paul Rotaru 1999 20 Levine Albert Introduction Maple Albert L vine 1998 21 Lescure Nicolas lectronique avec Maple et Pspice 66 exercices et probl mes corrig s rappels de cours Nicolas Lescure Bruno Mombelli 1998 22 Rambach Philippe Maple V en classes pr pas Philippe Rambach 1998 23 Durand Robert 1940 Probl mes de math matiques r solus avec Maple et Mathematica Robert Durand 1998 24 Ferrard Jean Michel Maths et Maple Jean Michel Ferrard 1998 25 Lescure Nicolas Auteur Electrocin tique avec Maple et PSpice ire et 2e ann es MP PC 68 exercices et probl mes corrig s rappels de cours Nicolas Lescure Bruno Mombelli 1998 26 Merceille Jean Bernard Exercices de Maple calculs traces programmation Sup et Sp Jean Bernard Merceille Alain F Nizard Marc Peronnet 1997 27 Dumas Philippe math maticien 19 Auteur Maple son bon usage en math matiques Phi lippe Dumas Xavier Gourdon 1997 absysNET Opac Universit de Bourgogne http scd u bourgogne fr ABNOPAC abnetclop exe O7056 1D13c9178 2 sur 4 12 12 2009 12 59 28 Gander Walter Solving problems in scientific
10. nde sur les exemples suivants Un 1 Un 4 Un 2 Un41 2Un Vo 4 v1 2 On s int resse a la suite r currente 9 1 1 1 Sk41 q g 8k 1 gt si 3 S2 12 Examiner la d un point de vue num rique en tracant la courbe de la fonction qui k associe Ig 2 sz Que s est il pass Pourquoi une telle courbe Essayons de comprendre Tout d abord donner l expression de sj Que devions nous en fait obtenir comme courbe 2 5 La suite de Fibonacci On consid re la suite de Fibonacci d finie par Un 2 Un 1 Un VN gt 0 uo wi 1 Donner les valeurs des premiers termes de la suite On pourra ensuite proposer une proc dure Maple pour ce calcul r cursive ou no r cursive Ce sera l occasion d utiliser les options remember et trace 2 6 Exponentiation rapide On veut calculer a n tant un entier naturel On peut faire bien s r x x apparaissant n fois On peut aussi proc der de la fa on suivante n A s E a xa si nest pair Q axa xa2 si n est impair En fait l id e sous jacente est d avoir d compos l entier n en base 2 2 7 Equation de la chaleur On s int resse l quation de la chaleur suivante u u aL Da u 0 t 0 u r t Vt gt 0 u x 0 1 Vx 0 r z C est une quation avec conditions aux bords temp rature maintenue z ro et condition initiale On cherchera tout d abord des solutions du type u x t P x T t s parat
11. s seg a k y a gt dsolve y x y xz _C1 cos kx _ C2 sin kz gt Phi unapply subs _C1 0 _C2 1 rhs x D x sin kx gt u x t sin kx ce t Au final pour tout entier k non nul on a la solution gt u unapply subs c A k u x t k x t u k x t gt sin kx A k e kt On superpose ces fonctions ceci n est pas farfelu car l quation est lin aire gt v x t gt sum u k x t k 0 infinity v x t Dulko On crit la consdition initiale gt v x 0 1 Yrcosin kx A k 1 Les A k sont les coefficients de Fourier de la fonction 2 pi p riodique impaire qui vaut 1 sur 0 pi gt A unapply 2 pi int sin k x x 0 Pi k a cos r k 1 gt A 4 A 5 assume p integer A 2 pt1 0 4 57 1 Are v x t gt sum A 2 p 1 sin 2 p 1 x exp 2 p 1 2 t p 0 infinity v 2 t gt DE A 2p 1 sin 2p 1 z e Cr t gt sp n x t gt sum A 2 p 1 sin 2 p 1 x exp 2 p 1 2 t p 0 n sp n z t gt L p 0 A 2p 1 sin 2p 1 e 2p 1 34 gt v x 0 sin 2p 1 x pai env 10 4 Ouvrages sur Maple la BU Les ouvrages ci dessous sont disponibles la biblith que universitaire recherche sur http scd u bourgogne fr R f rences 1 Puech Nicolas Auteur Maple Texte imprim r gles et fonctions essentielles Nicolas Puech 2009 2 Nicaise Florent Auteur L oral de math matiques aux CCP et aux cole
12. s militaires Texte imprim MP PSI PC 300 exercices d oraux avec indications et corrections d taill es 65 exercices d oraux aux coles militaires 11 planches MAPLE avec correction Florent Nicaise Mathieu Fructus Pierre Yves Jamet 2009 Balac St phane Auteur Analyse et alg bre cours de math matiques de deuxi me ann e avec exer cices corrig s et illustrations avec Maple St phane Balac Laurent Chupin 2008 3 4 Porcheron Lionel Auteur Maple Texte imprim cours et applications 1re et 2e ann es toutes fili res Lionel Porcheron pr fac par Jean Michel Ferrard 2006 5 M ller Karl Dieter Auteur Cours d optique Multim dia multisupport simulations et exercices r solus avec Maple Matlab Mathematica Mathcad Karl D M ller et Claude Belorgeot 2006 Goergen Alain Dynamique conomique Texte imprim solutions de probl mes avec Maple et Matlab Alain Goergen 2006 Porcheron Lionel Auteur Maple Texte imprim cours et applications 1re et 2e ann es toutes fili res Lionel Porcheron pr f par Jean Michel Ferrard 2004 Marcy Fran ois Auteur Introduction au savoir de l ing nieur Texte imprim calcul vectoriel ci n matique statique cin tique dynamique cours et 200 exercices corrig s compl ments Maple classes pr paratoires scientifiques Francois Marcy 2002 Scheidt Charles Maple en ph
13. s x LambertW 1 x x infinity ce qui est un peu facile et surtout n appelle pas g n ralisation On va proc der par substitution et identifiacation restart p 4 u 1 sum a k n k k 1 p tt series u exp u n n infinity tt tt op 6 tt solve fop i tt i 1 4 fa il i 1 4 subs u exemple 4 point de vue num rique V V V V V Digits 18 u 1 0 3 v 1 0 12 on initialise L 1 10g 2 u 2 log 2 v on d bute une liste de points for k from 3 to 50 do w 2 25 v 0 5 u u v iv w L Lop L k 10g 2 abs w 1lod on calcule les termes successifs de la suite et on compl te la liste gt plot L VVV V V Cherchons le terme exact de la suite gt rsolve g 1 1 3 g 2 1 12 g n 1 9 4 g n 1 2 g n 1 Perturbons l g rement les conditions initiales gt rsolve g 1 1 3 1 2 56 g 2 1 3 1 4 2 55 g n 1 9 4xg n 1 2 xg n 1 g Ceci explique cela remarque gt ee rsolve g 1 1 3 1 2xx 56 8 2 1 3x 1 4 2 55 g n 1 9 4xg n 1 2 g n 1 g gt si simplify log 2 op 1 ee gt s2 simplify log 2 op 2 ee gt fsolve si s2 n Exemple 5 suite de Fibonacci Calculons les premiers termes gt Ural vial gt for k from 2 to 5 do gt wisutviu vivi w print v 50d Sous forme de proc dure fib proc a b n local u v w k u a v b for k from 2 to n do W U V U V V W 0d print le n i me terme vaut
14. ud 1995 39 Gomez Claude Calcul formel mode d emploi exemples en Maple Claude Gomez Bruno Salvy Paul Zimmermanmn 1995 40 Leroux Alain 1949 Toutes les applications de Maple en physique en chimie en math matiques Alain Leroux Roland Pom s 1995 41 Douillet Pierre 1951 Maths avec Maple Tome 1 Pr sentation g n rale utilisant les exercices 1990 1995 du concours g n ral Pierre Douillet 1995 42 Gander Walter Auteur Solving Problems in Scientific Computing using Maple and MATLAB Texte imprim Walter Gander Jiri Hrebicek 1995 12 43 Levine Albert Introduction Maple Albert Levine 1994 absysNET Opac Universit de Bour gogne http scd u bourgogne fr ABNOPAC abnetclop exe O7056 1D13c9178 3 sur 4 12 12 2009 12 59 44 Fortin Philippe Premiers pas en Maple introduction l utilisation du calcul formel en math ma tiques physique et chimie classes pr paratoires scientifiques premiers cycles universitaires Philippe Fortin Roland Pom s 1994 45 REDFERN D The Maple handbook Maple V release 3 1994 46 BARBOUR D d The maple laugh forever 1981 47 Cook Ramsay 1931 Auteur The Maple leaf forever texte imprim essays on nationalism and politics in Canada Ramsay Cook 1977 48 Lawrence R D Maple Syrup 1972 13
15. ysique le ann e PCSI MPSI PTSI exercices corrig s Charles Scheidt Pascal Dor 2001 10 Kreyszig Erwin Auteur Maple computer guide Texte imprim a self contained introduction for Erwin Kreyszig Advanced engineering mathematics eighth ed E Kreyszig E J Norminton 2001 6 7 8 9 11 Gu nard Francois Auteur La m thode exp rimentale en math matiques Texte imprim exercices corrig s pos s l oral des concours d entr e aux grandes coles d ing nieurs partie exp rimentale r alis e en Mathematica Maple et TI92 89 Fran ois Gu nard Henri Lemberg 2001 12 Perrin Riou Bernadette Auteur Alg bre arithm tique et Maple Bernadette Perrin Riou 2000 13 Jeanneau Xavier Exercices de math matiques r solus l aide de Maple et Mathematica pr pas scientifiques Xavier Jeanneau Daniel Lignon Jean Louis Poss 1999 14 Porcheron Lionel Maple cours et applications Ire et 2e ann es toutes fili res Lionel Porcheron pr f par Jean Michel Ferrard 1999 15 Jussiaux Jean Michel Probl mes pour physiciens r solus avec Mathematica et Maple Jean Michel Jussiaux 1999 16 Heal K M D couvrir Maple V K M Heal M L Hansen K M Rickard avec la collab de J S Devitt trad par Nicolas Puech 1999 17 Le Bris Guy Auteur Maple Sugar texte imprim une initiation progressive Maple Guy Le Br
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