ENVIRONNEMENTS INFORMATISÉS ET MATHÉMATIQUES
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1. et en g n ral pour tout mat riel di dactique pour assurer leur viabilit dans l enseignement Concevoir de tels syst mes c est le but de l ing nierie didactique Un syst me d exploitation didactique peut tre vu comme une suite de sc narios d exploitation di dactique Un sc nario d exploitation didactique organise la mise en sc ne de situations math matiques dans un environnement donn Cette mise en sc ne suppose de d finir les modes de gestion de la situation les diff rentes phases l organisation du temps de travail et pour chaque phase de la situation l orchestration instrumentale pr cisant l agencement des outils disponibles Concevoir des orchestrations instrumentales et plus g n ralement des sc narios d exploitation didactique est une n cessit dans les environne ments technologiques complexes Mais cela ne peut pas tre du ressort d un seul professeur L ing nierie didactique est un travail complexe qui devrait reposer sur la recherche d quipes pluridisciplinaires associant des informaticiens des didacticiens des math maticiens et des professeurs Le r le du professeur est d j extr mement complexe il doit pouvoir disposer de ressources p dagogiques adapt es 4 DES RESSOURCES P DAGOGIQUES ADAPT ES AUX ENVIRONNEMENTS INFORMATIS S 4 1 Assister les professeurs L int gration des technologies dans l enseignement des math matiques n cessite sans doute un renouve2. 3 De fa on g n rale la m diation d un outil Vygotski 1934 place toujours le sujet dans un monde de culture Chaque t che est ins r e dans une culture la culture math matique d une poque et d une institution scolaire pour ce qui concerne l en seignement des math matiques L activit des l ves se d ploie dans une communaut de pratique un professeur des l ves des modes d emploi des habitudes de travail partag es etc 190 LUC TROUCHE Les sch mes ont ainsi une part individuelle et une part sociale Comment le professeur peut il agir pour renforcer la part sociale des sch mes pour assister les gen ses instrumentales dans les environnements informatis s gen ses dont nous avons voqu la complexit et la diversit C est ce que nous allons voir maintenant 3 LE ROLE DU PROFESSEUR 3 1 Une prise en compte tr s faible des outils de calcul Malgr l introduction des outils de calcul dans les programmes d enseigne ment et malgr les pressions institutionnelles l int gration r elle dans les classes par les professeurs reste tr s faible en France comme dans de nom breux pays Guin et Trouche 2002 C est sans doute la manifestation de l id e fausse que les math matiques se d veloppent avec une grande conomie de moyens mat riels C est sans doute aussi la cons quence d une conception de l enseignement des math matiques qui aurait plus pour obj
3. comme limite 00 Il y a la une dialectique profonde entre l action et la pens e ce sont les gestes r alis s dans le cas de l tude de la limite le cadrage de la re pr sentation graphique de la fonction le plus loin possible et l valuation de sa croissance et de son oscillation qui installent certains invariants op ratoires en retour ce sont ces invariants op ratoires qui guident les gestes permettant la r alisation d une tache donn e 1 3 De Voutil Vinstrument Sur l exemple que nous venons de voir relatif l tude des limites de fonctions l outil une calculatrice graphique joue un r le essentiel Pour mettre en vidence ce r le des outils Rabardel 1995 propose de dis tinguer outil objet mat riel donn un sujet et l instrument qui est con struit au cours d un processus la gen se instrumentale Un instrument a deux composantes une composante mat rielle l outil et une composante psychologique les sch mes Un m me outil peut donner naissance des instruments diff rents un instrument de calcul de limite de fonction est constitu la fois par l outil une calculatrice dans le cas que nous avons tudi et le sch me de calcul qui s est construit au cours de l activit La construction de l instrument doit se comprendre dans un double mouvement cf Figure 2 un mouvement d instrumentalisation dirig vers l outil l usager met l outil sa mai
4. construction d un instrument le gen se instrumentale il met en lumi re la n cessit de l am nagement des environnements les orchestrations instrumentales pour assurer la viabilit des outils et le d veloppement des instruments La Pologne tant la patrie de Chopin je voudrais finir avec une note mu sicale en parlant d instrument et d orchestration nous n tions pas loin non plus du registre musical Jean Luc Godard un r alisateur fran ais a crit Cela m a toujours tonn que les gens de musique n aient pas besoin d images alors que les gens des images ont toujours besoin de musique 196 LUC TROUCHE Cela me semble tre une bonne m taphore pour nous math maticiens et enseignants de math matiques qui vivons dans un monde d outils d crans et d images Il s agit bien pour nous de composer la bonne musique les situations math matiques et de concevoir les orchestrations permettant tous les instruments de notre environnement de jouer leur partition NOTES 1 Originally given as a Keynote Lecture to the 55t CIEAEM Conference Plock Poland July 2003 2 Le nom a t choisi en r f rence la personne qui porte la charge dans les exp di tions himalayennes mais aussi aux diplomates qui servent de m diateurs dans les conf rences internationales 3 Le choix de relier la calculatrice d un l ve et pas celle du professeur la tablette de r troprojectio
5. de la conduite pour une classe de situations Il contient des buts et des anticipations et des invariants op ratoires Les in variants op ratoires sont des th or mes en actes c est dire des th or mes implicitement tenus pour vrais ils sont li es la situation construits par l activit elle m me Par exemple dans un environnement de calculatrices graphiques on peut rep rer Guin et Trouche 1999 un sch me d tude de limite d une fonction en 00 l l ve observe la repr sentation graphique de la fonction le plus loin possible sur l cran de sa calculatrice Si la fonction croit suffisamment vite et n oscille pas trop alors on peut conclure que sa limite est 00 voil un th or me en acte qui se constitue travers l activit et qui a une certaine validit pour un ensemble de fonctions de r f rence tudi es au lyc e 12 grade 184 LUC TROUCHE LOL Fey y v Zoom Figure 1 Une repr sentation de la fonction Inx 10sinx L utilisation de ce th or me en acte pour tude d autres fonctions par exemple la fonction Inx 10 sinx cf Figure 1 conduit 4 une r ponse erron e oscillation de la courbe donne aux l ves l impression que cette fonction ne peut pas admettre comme limite 00 alors que des r sultats th oriques simples par exemple la minoration par la fonction Inx 10 pourrait permettre de donner un r sultat exact cette fonction admet bien
6. l criture va permettre un d veloppement plus pr coce de l enseignement de l arithm tique et le remplacement de techniques purement mentales par des techniques crites L introduction de nouveaux outils permet le d veloppement de nou velles techniques de calcul qui vont se stabiliser sous la forme de routines Ce fait n est pas propre aux environnements informatis s il est au contraire constitutif de tout processus d appropriation d outil Bourdieu 2003 vo que ainsi les jarres perc es de trous qui permettaient aux Kabyles en Alg rie et depuis probablement des si cles de conna tre la quantit de bl qui restait Il note Le calcul on le voit se fait tout seul Ces ph nom nes ne sont pas nouveaux mais le foisonnement techno logique actuel g n ralisation de calculatrices de plus en plus complexes logiciels d di s la g om trie l alg bre la statistique ou importation dans l enseignement de logiciels non d di s logiciels de calcul formel ou tableurs rend n cessaire une approche permettant de penser de fa on g n rale l int gration des outils dans les environnements d apprentissage des math matiques 1 2 La notion de sch me Le premier pas de cette approche est sans doute bien connu des parti cipants cette rencontre de la CIEAEM il s agit de la notion de sch me introduite par Piaget 1936 et reprise par Vergnaud 1996 Un sch me est l organisation invariante
7. mon prof de cos x et sin x r ponses undef Remarque c est pour a que a bloque Commentaire On voit dans le travail du premier l ve la constitution d un sch me tr s riche pour le calcul de limite il y a une combinaison de diff rents outils papier crayon et calculatrice l utilisation de diff rentes applications de la calculatrice et l utilisation de diff rents registres le calcul alg brique et le graphique Le processus d instrumentalisation a permis l appropriation et la s lection de commandes pertinentes de la calculatrice le processus ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 189 d instrumentation a d velopp un sch me de calcul de limite qui permet de d passer assez facilement un blocage de outil premi re r ponse undef Il n en est pas de m me pour le deuxi me l ve il reste coinc dans l application de calcul symbolique il perd beaucoup de temps crire et re crire la fonction Le probl me est d compos en sous probl mes dont le traitement est confi la calculatrice alors qu il devrait s agir de r sultats connus s agissant des limites des fonctions racine sinus et cosinus en 00 Finalement la raison du blocage initial de la calculatrice est attribu e au fait que la fonction sinus n admet pas de limite en 00 Le sch me de calcul de limite appara t ici assez pauvre partir d un m me outil les processus d in
8. th orique permettant de comprendre l influence des outils pour l ac tivit humaine et en particulier pour les processus de formation professionnelle ou scolaire 2 Une analyse des caract ristiques des environnements informatis s d apprentissage mettant en vidence l importance du contr le par les l ves de leur propre activit instrument e 3 Des l ments permettant de penser l organisation du temps et de l espace de l tude dans ces environnements et de guider l activit des l ves 4 Une r flexion sur la conception des ressources p dagogiques n cessaires si l on veut faciliter une indispensable volution des pratiques professionnelles ABSTRACT Mathematics seen as a model of pure science often conveys the image of a science constructing itself in quite poor technological environments it nevertheless develops by elaborating and by exploiting powerful material and symbolic tools Actually mathematics teaching is closer to this image of mathematics than to mathematical practice its goal seems to transmit a form of culture rather than efficient computation tools and theoretical means of their control Kahane 2002 This situation is viable if the tools can be held at distance outside the classroom it is no longer viable when computation tools essentially calculators are imported by students themselves inside the classroom and integrated into their mathematical practice Thus established conflict b
9. CHE la fiche professeur donne l enseignant des informations sur l arri re plan math matique du probl me et sur les difficult s didactiques pos sibles le sc nario d usage Allen et al 1995 Laborde 1999 donne des l ments sur le sc nario d exploitation didactique et les orchestrations instrumentales directement exploitables par le professeur il propose une organisation du temps et de l espace de l tude et diff rentes modalit s d int gration des outils disponibles le compte rendu d exp rimentation permet au professeur de critiquer la ressource et de faire des propositions d volution ces critiques sont prises en compte au sein du SFODEM et permettent de r al iser une nouvelle version de la ressource apr s un nombre significatif d exp rimentations et apr s une discussion au sein de la communaut de pratique la fiche technique donne des informations sur les diff rents logiciels permettant de mettre en uvre la ressource Elle donne aussi des informations relatives leur mode d emploi certaines informations de ce type peuvent tre factoris es dans des fichiers satellites mis en commun pour plusieurs ressources Le bilan de la phase exp rimentale du SFODEM Guin et al 2002 a mis en valeur des r sultats encourageants le processus de conception et d exp rimentation de ressources p dagogiques dans le cadre d un dispos itif de formation appuy sur une plat
10. LUC TROUCHE ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES QUELS USAGES POUR QUELS APPRENTISSAGES RESUME Les math matiques vues comme parangon des sciences pures donnent souvent d elles m mes l image d une science se construisant dans des environnements techno logiques pauvres elles se sont d velopp es pourtant en forgeant pour elles m mes ou en exploitant des outils mat riels et symboliques puissants L enseignement des math matiques est en g n ral plus conforme l image des math matiques qu la r alit de leur pratique il semble avoir davantage l objectif de transmettre une forme g n rale de culture plut t que de proposer des outils de calcul efficace et les moyens th oriques de leur contr le Kahane 2002 Cette situation est viable tant que les outils peuvent tres tenus distance l ext rieur de la salle de classe elle ne l est plus quand les outils de calcul essentiellement les calculatrices sont import s par les l ves eux m mes dans la classe et int gr s dans leurs pratiques scolaires Le conflit qui se constitue alors entre la l gitimit sociale de ces outils et leur ill gitimit scolaire Chevallard 1992 d stabilise profond ment l enseignement lui m me Nous pr senterons dans cette conf rence un cadre g n ral pour penser l int gration des outils dans l apprentissage et l enseignement des math matiques Plus pr cis ment nous proposerons 1 Une approche
11. def la question ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 187 x sin x Ix cos Figure 3 Un r sultat dont l interpr tation n est pas imm diate copie d cran de TI 92 pos e Cette r ponse est probl matique la r ponse undef appara t aussi quand une limite n existe pas Voyons comment deux l ves diff rents se comportent dans cette situation El ve 1 Utilisation de l application de calcul symbolique de la calculatrice d finition de la fonction f puis lancement de la commande limit R ponse undef Encadrement sur papier de sinus cosinus puis de la fonction f pour x gt 0 Jx 1 Vx 1 lt f lt x 1 Utilisation de la calculatrice pour d terminer la limite des deux fonctions en cadrantes la calculatrice donne la bonne limite 0 Conclusion orale de l l ve D apr s le th or me d encadrement je sais que la limite de f est 0 Utilisation de l application graphique de la calculatrice pour voir les repr senta tions graphiques des trois fonctions a a bien l air de donner 0 Oralement Je peux aussi faire un changement de variable X 1 X2 1 Oralement Je peux conclure avec le th or me sur les limites des fonctions poly n mes mais je peux aussi le prouver avec les op rations sur les limites Sur papier X x f X X 1 1 4 Retour au papier ee x X l X et l j appliqu
12. e forme distance permet d aider les professeurs dans le difficile passage l acte p dagogique que suppose la prise en compte d outils complexes dans l enseignement En reprenant l approche instrumentale cf 1 3 on peut analyser les ressources p dago giques comme des outils disposition des professeurs dans une com munaut de pratique Ces outils deviennent des instruments au cours d une gen se instrumentale Le processus d instrumentation va se traduire par une volution des pratiques des enseignants impliqu s Le processus d in strumentalisation va se traduire par une volution des ressources p dago giques via la prise en compte des comptes rendus d exp rimentation 4 3 Les conditions de travail dans les tablissements scolaires Cette mutualisation des ressources p dagogiques et plus g n ralement le d veloppement du travail collaboratif des enseignants de math matique supposent aussi des structures adapt es dans les tablissements scolaires La cr ation de laboratoires de math matiques pourrait tre une avanc e dans ce sens Kahane 2002 De tels laboratoires semblent indispensables pour les professeurs de math matiques comme ils le sont pour les pro fesseurs de physique ou de chimie d s lors que l on ne se contente pas ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 195 d un crayon et d une feuille de papier et que l on prend en compte en math matiques aussi une grande var
13. e les th or mes d op rations sur les limites Question l observateur cela suffit comme cela ou vous voulez que je r dige cela proprement 188 LUC TROUCHE Figure 4 Copie d cran de l l ve 2 El ve 2 Utilisation de l application de calcul symbolique de la calculatrice en appliquant VX cos x x directement la commande limit la fonction ees l criture de la fonc sin x tion sur la ligne d entr e est tr s soign e et demande beaucoup de temps R ponse undef Zut je me suis tromp e dans l criture V rification soign e de l entr e machine puis re criture Relance de la com mande Toujours undef Perplexit puis clat Je suis b te j ai oubli de d finir la fonction pour la cal culatrice D finition de la fonction f cf Figure 4 et relance de la commande Encore un def Nouvelle perplexit et suggestion parfois quand une limite n est pas d finie on regarde gauche et droite je vais essayer droite de 00 comme a je serai vraiment le plus loin possible droite cf Figure 4 R ponse encore undef Nouvelles tentatives un peu erratiques essai de l entr e de 00 r ponse syntax error Pour terminer d composition du probl me toujours dans l application de cal cul symbolique de la calculatrice recherche des limites de x en apart l observateur cela ne retournera pas
14. ectif de transmettre une forme de culture que de proposer des outils de calcul efficace et les moyens de leur contr le Kahane 2002 En cons quence pour les l ves l apprentissage de l utilisation des outils se fait la plupart du temps seul ou entre copains Les communaut s de pratique pour cet apprentissage se constituent la marge de la classe L essentiel des gen ses instrumentales se d veloppe sans l assistance du professeur Cette situation ne favorise pas le contr le par l l ve de son action instrument e pour r aliser les t ches propos es dans le cadre du cours de math matiques 3 2 Les orchestrations instrumentales Pour marquer cette n cessaire prise en compte de la construction des in struments nous avons introduit la notion d orchestration instrumentale Les orchestrations instrumentales sont les dispositifs que le ma tre doit construire dans la classe pour guider la constitution des instruments des l ves et faciliter leur contr le Ces dispositifs r glent sur le plan de l espace et du temps l agencement des outils dans la classe Une orchestration se situe dans un environnement donn et pour le traitement d une situation math matique Brousseau 1998 donn e Elle est d finie par une configuration didactique et ses modes d exploitation Elle peut se situer plusieurs niveaux au niveau interne de l outil il peut s agir par exemple du param trage d un logiciel pour or
15. etween the social legitimacy of these tools and their school illegitimacy Chevallard 1992 deeply destabil ises mathematics teaching itself We present here a general framework to think about the d Educational Studies in Mathematics 55 181 197 2004 EN 2004 Kluwer Academic Publishers Printed in the Netherlands 182 LUC TROUCHE integration of the tools in the teaching and learning of mathematics More precisely we propose 1 2 A theoretical approach which allows us to understand the influence of tools on human activity and in particular on professional and school education processes An analysis of computerized learning environments which shows the importance of students control of their own activity Some elements that help to think about the temporal and spatial organization of study in such environments and to guide students activity A reflection about the conception of pedagogical resources which is all the more necessary if one wants to facilitate an evolution of teachers practices INTRODUCTION Il sera ici question d environnement informatis d apprentissage Pr cis ons d embl e ces termes La notion d environnement d signant un lieu avec des tres vivants et des objets induit d ja un type d approche cologique pour laquelle la viabilit Chevallard 1992 des objets introduits prend une import ance essentielle c est sans doute une bonne approche pour aborder les q
16. i t de mat riels didactiques CONCLUSION Les environnements informatis s ouvrent de nouvelles possibilit s pour l enseignement des math matiques Ils peuvent renouveler les conditions d apprentissage des math matiques en les rapprochant des conditions g n rales du travail math matique Trouche 1998 Mais ce renouvellement a un co t l informatisation des environnements d apprentissage rend la t che des l ves plus complexe le contr le de sa propre activit et la co ordination d un ensemble d outils sont plus difficiles que dans un environnement traditionnel elle rend aussi la t che des professeurs plus complexe la prise en compte de l environnement informatis suppose la conception d or chestrations instrumentales d finissant pour une situation donn e l agencement des outils disponibles et guidant les gen ses instru mentales des l ves l informatisation des environnements d apprentissage n cessite aussi un renouvellement des ressources p dagogiques con ues la fois pour faciliter l appropriation des outils et pour int grer l exp rience des usagers Le cadre th orique que nous avons utilis distinguant ce qui est donn l outil et ce qui est construit l instrument a deux avantages essentiels il permet de distinguer clairement les virtualit s d un outil et leur actualisation dans un environnement donn il met en vidence l importance du temps pour la
17. ie des situations didactiques collection blanche dir N Balacheff Editions La Pens e Sauvage Chevallard Y 1992 Int gration et viabilit des objets informatiques le probl me de l ing nierie didactique in Cornu ed L ordinateur pour enseigner les math matiques PUF pp 183 203 Guin D et Trouche L 1999 The complex process of converting tools into mathem atical instruments The case of calculators International Journal of Computers for Mathematical Learning 3 3 195 227 ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 197 Guin D 2001 Int gration des outils de calcul symbolique dans l enseignement des ma th matiques comment concevoir une formation mieux adapt e Actes de l Universit d Et Le m tier d enseignant de math matiques au tournant du XXI si cle APMEP 133 pp 77 93 Guin D Joab M et Trouche L 2003 Suivi de formation a distance pour les enseignants bilan de la phase exp rimentale 2000 2002 c d rom IREM Universit Montpellier Il Guin D et Trouche L eds 2002 Calculatrices symboliques faire d un outil un in strument du travail math matique un probl me didactique collection blanche dir N Balacheff Editions La Pens e Sauvage Joab M Guin D et Trouche L 2003 Conception et r alisation de ressources p dago giques vivantes des ressources int grant les TICE en math matiques in Desmoulins Marquet et Bouhineau eds ELAH 2003 p
18. ienter l activit des l ves ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 191 r Professeur Tableau LS OO ey Tablette de r troprojection KW El ve sherpa Figure 5 La configuration de l l ve sherpa au niveau externe de l outil au niveau m ta pour faciliter un retour r flexif des l ves sur leur propre activit Dans le cadre de cet article nous ne montrons qu un exemple de niveau externe de l outil d autres exemples dans Guin et Trouche 2002 Cette orchestration cf Figure 5 se situe dans un environnement sp cifique tous les l ves poss dent une calculatrice qui peut tre connect e sur une tab lette de r troprojection et peut prendre place dans diverses situations ma th matiques r solution de probl me introduction d une nouvelle notion etc La configuration repose sur l attribution d un r le sp cifique un l ve l l ve sherpa c est sa calculatrice qui est connect e la tablette de r troprojection gt Il va servir ainsi de m diateur entre le professeur et la classe de r f rence pour tous les acteurs de la situation De nombreux modes d exploitation de cette situation sont possibles en fonction de plusieurs variables le temps pendant lequel l l ve sherpa joue ce r le c est le m me l ve qui joue le r le de sherpa pendant toute la s quence d enseigne ment ou plusieurs l ves jouent ce r le successivemen
19. ils peuvent interroger distance en cas de probl mes ils peuvent concevoir des ressources adapt es leur classe enrichir ces ressources gr ce un travail collaboratif avec les autres professeurs impli qu s exp rimenter les ressources dans leurs classes les faire voluer en fonction des r sultats de l exp rimentation Une nouvelle communaut de pratique se constitue qui permet d accompagner l volution des pratiques professionnelles 4 2 Une nouvelle conception des ressources p dagogiques Le travail collectif r alis dans le SFODEM a permis de concevoir un nouveau mod le de ressource p dagogique facilitant leur appropriation par les enseignants et leur volution apr s exp rimentation Une ressource p dagogique est compos e de plusieurs l ments une fiche d identification permettant l indexation et la recherche de la ressource par des utilisateurs potentiels Elle fournit des informa tions sur le contenu de la ressource l environnement technologique n cessaire le niveau d enseignement les objectifs p dagogiques et les mots cl s elle donne acc s aussi des animations qui permettent d avoir une id e de la mise en uvre informatis e de la ressource m me si l on ne dispose pas du logiciel qui permettra une mise en uvre de la ressource en classe la fiche l ve fournit le document qui doit tre mis disposition des l ves l nonc du probl me 194 LUC TROU
20. llement des pratiques professionnelles Ce renouvellement suppose de fournir aux professeurs une assistance sp ci fique Cette assistance comprend n cessairement une formation continue qui est une cl Artigue 1998 du d veloppement des environnements ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 193 informatis s d apprentissage Cette formation continue est organis e en g n ral sous la forme de stages de quelques jours sans rapport direct avec les classes et sans r percussions effectives sur les pratiques profession nelles Guin 2001 De nouvelles exp riences se sont d velopp es r cemment proposant un accompagnement continu des professeurs dans le cadre de la formation distance Le SFODEM Suivi de FOrmation Distance pour les Ensei gnants de Math matiques est un dispositif mis en place par l IREM Insti tut de Recherche sur l Enseignement des math matiques dans I acad mie de Montpellier Joab et al 2002 Il regroupe depuis 2000 une centaine de professeurs de math matiques en service dans des coll ges ou des ly c es et une dizaine de professeurs formateurs experts dans les environne ments informatis s d apprentissage Le SFODEM propose en formation pr sentielle une premi re initiation aux outils puis via une plate forme distance un travail de conception d exp rimentation et de mutualisa tion de ressources p dagogiques Les professeurs peuvent ainsi trouver un appui continu
21. mpos IREM Universit Montpellier Il Vergnaud G 1990 La th orie des champs conceptuels Recherches en Didactique des Math matiques 10 2 3 133 170 Vygotski L S 1934 Pens e et langage Editions sociales 1985 IREM et LIRMM Universit Montpellier II France Copyright of Educational Studies in Mathematics is the property of Kluwer Academic Publishing and its content may not be copied or emailed to multiple sites or posted to a listserv without the copyright holder s express written permission However users may print download or email articles for individual use
22. n l adapte ses habitudes de travail et un mouvement d instrumentation dirig vers l usager les contraintes de l outil contribuent structurer l activit de l usager ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 185 Un outil Ses contraintes ses possibilit s Un sujet Ses connaissances ses m thodes de travail Gen se instrumentale Un instrument Une partie de l outil et les schemes constitu s dans le cadre de l activit Figure 2 La gen se instrumentale combinaison de deux processus Ces deux processus ne sont pas bien s r ind pendants l un de l autre mais leur distinction permet d analyser la gen se instrumentale de plus pr s Les processus d instrumentalisation sont des processus de diff renti ation des outils eux m mes Ils peuvent appara tre parfois comme un processus de d tournement de l outil l l ve par exemple stocke des dessins ou des programmes de jeux dans sa calculatrice modifie la barre des menus enregistre des listes de th or mes etc Mais ce pro cessus peut aussi tre compris comme une contribution des usagers au processus m me de conception des outils et int gr ainsi par le ma tre dans la conduite des instruments de la classe en montrant comment organiser le stockage des th or mes dans la calculatrice comment utiliser les logiciels de dessin pour traiter certains probl mes de g o m trie etc La compr hensio
23. n des processus d instrumentation suppose la con naissance des contraintes et des potentialit s d un outil donn De quelle fa on va t il pr structurer l activit d un utilisateur Dans le cas des outils informatiques ces contraintes sont li es la trans position informatique ce travail sur la connaissance qui permet d en donner une repr sentation symbolique Balacheff 1994 et aux choix des concepteurs Par exemple sur le clavier de beaucoup de calcu latrices les touches pour tude graphique des fonctions sont d un ac 186 LUC TROUCHE c s direct alors que les touches pour leur tude num rique sont d un acc s indirect on y acc de par une combinaison de touches on peut penser que cette diff rence d acc s favorisera les tudes graphiques aux d pens des tudes num riques Nous allons voir dans ce qui suit la complexit de ces processus dans les environnements informatis s d apprentissage pour les l ves comme pour le maitre 2 LE TRAVAIL DES ELEVES DANS LES ENVIRONNEMENTS INFORMATISES 2 1 Les outils informatiques Les outils informatiques qui se g n ralisent dans les classes proposent d sormais un ensemble d outils Ainsi une calculatrice symbolique int gre a la fois un logiciel de calcul formel un logiciel de calcul num rique un tableur un grapheur un logiciel de dessin un traitement de texte et un langage de programmation C est une manifestation d un ph n
24. n n est pas banal dans la plupart des classes o existe cet environnement c est sa propre calculatrice que le professeur choisit de relier la tablette de r tropro jection jouant ainsi le r le d homme orchestre plut t que celui de chef d orchestre qui devrait pourtant tre sa vocation essentielle 4 On trouvera des exemples de ressources p dagogiques ce format sur le c d rom faisant le bilan des deux premi res ann es du SFODEM Guin et al 2002 ou sur le site de l IREM www irem univ montp2 fr rubrique ressources p dagogiques REFERENCES Allen R Wallace M et Cederberg J 1995 Preparing teachers to use geometry ex ploration software Proceedings of the Seventh International Congress on Mathematics Education Artigue M 1997 Le logiciel DERIVE comme r v lateur de ph nom nes didactiques li s l utilisation d environnements informatiques pour l apprentissage Educational Studies in Mathematics 33 2 133 169 Artigue M 1998 Teacher training as a key issue for the integration of computer technologies in D Tinsley et D C Johnson eds Information and Communication Technologies in School Mathematics Chapman et Hall London pp 121 129 Balacheff N 1994 Didactique et intelligence artificielle Recherches en Didactique des Math matiques 14 1 2 9 42 Bourdieu P 2003 Images d Alg rie une affinit lective Actes Sud Brousseau G 1998 Th or
25. om ne social tr s g n ral de miniaturisation des outils et de concentration dans une m me enveloppe de fonctions diverses par exemple dans un m me objet un t l phone portable une calculatrice et un appareil photo Ces outils pr sentent une autre caract ristique ils peuvent se connecter entre eux ou un ordinateur C est ce fonctionnement potentiel en r seau que traduit l volution des m taphores technologiques de l arme de jet vers le filet Sfez 2002 il ne s agit plus pour l usager de concevoir un chemin pour aller chercher l information pertinente mais bien plut t d accumuler les informations pour trier ensuite l utile de l inutile Les potentialit s de ces outils ne sont pas n cessairement exploit es par les l ves Les recherches r centes ont m me montr que plus les outils sont complexes plus grande est la dispersion des comportements des l ves Guin et Trouche 2002 2 2 La vari t des gen ses instrumentales Voici une illustration de ce ph nom ne dans une classe de Terminale sci entifique 12 grade dont tous les l ves disposent d une calculatrice symbolique Il s agit de calculer la limite d une fonction en 00 cf Figure 3 Des th or mes simples permettent ce niveau de d montrer que cette limite est gale 0 Cependant ce r sultat n a pas t impl ment dans la bib lioth que de r sultats de la calculatrice elle r pond un
26. p 259 270 Kahane J P 2002 L enseignement des sciences math matiques Commission de r flex ion sur l enseignement des math matiques Centre National de Documentation P dago gique Editions Odile Jacob Laborde C 1999 Vers un usage banalis de Cabri G om tre en classe de seconde Analyse des facteurs de l int gration in Guin ed Calculatrices symboliques et g om triques dans l enseignement des math matiques Actes du colloque francophone europ en IREM Universit Montpellier II pp 79 94 Lavoie P 1994 Contribution une histoire des math matiques scolaires au Qu bec l arithm tique dans les coles primaires 1800 1920 Th se de doctorat Facult des sciences de l ducation Universit de Laval Qu bec Piaget J 1936 La naissance de l intelligence chez l enfant Delachaux et Niestl Rabardel P 1995 Les hommes et les technologies approche cognitive des instruments contemporains Armand Colin Rabardel P 2000 El ments pour une approche instrumentale en didactique des math matiques in Bailleul ed Les Instruments dans la Pratique et l Enseignement des Math matiques Actes de l cole d t de didactique des math matiques IUFM de Caen pp 203 213 Sfez L 2002 Technique et id ologie un enjeu de pouvoir Seuil Trouche L 1998 Exp rimenter et prouver faire des math matiques avec des calcu latrices symboliques 38 variations sur un th me i
27. strumentalisation suivant les l ves peuvent ainsi d boucher sur un largissement ou un appauv rissement de l instrument les processus d instrumentation peuvent produire un enrichissement ou un appauvrissement de l activit Dans les environnements informatis s la t che de l l ve est toujours complexe Il a affaire un ensemble d outils il doit contr ler chacun d eux et les articuler au cours de son activit Ces notions de contr le et d articulation sont sans doute essentielles Artigue in Guin et Trouche 2002 parle d intelligence du calcul Rabardel 2000 parle de d velop pement de syst mes d instruments Mais dans les environnements tech nologiques complexes autant l installation de routines et d automatismes semble tre naturelle autant le contr le de l activit requiert un apprentis sage sp cifique 2 3 La part sociale des sch mes Il peut para tre paradoxal d voquer un apprentissage propos des sch mes Un sch me pour Piaget est un moyen pour assimiler individuellement une situation Mais c est aussi le produit d une activit sociale C est dans ce sens que Rabardel 1995 parle de sch mes sociaux Les sch mes dans l activit instrument e sont sociaux plusieurs titres Les outils ont toujours une part sociale ils portent la marque de leur concepteur Leurs contraintes et potentialit s seront des facteurs cl s du processus d instrumentation cf 1
28. t le type d l ve qui est choisi pour jouer ce r le ce peut tre un bon l ve ou au contraire un l ve en difficult ce peut tre un l ve dont l instrumentalisation est riche ou au contraire peu d velopp e autonomie qui est laiss e l l ve sherpa le professeur peut lui indiquer les gestes r aliser sur sa calculatrice ou le laisser libre d agir sa guise D autres variables pourraient encore tre relev es Le choix de telle ou telle modalit d pend d objectifs p dagogiques sp cifiques du professeur La 192 LUC TROUCHE configuration en elle m me favorise une socialisation des gen ses instru mentales Elle permet de pallier la petitesse des crans les calculatrices qui induit une certaine intimit du travail des l ves Elle favorise aussi une articulation des diff rents outils ce que fait le professeur en combinant les r sultats du tableau et ceux de l cran aide les l ves combiner aussi a leur propre place les r sultats papier crayon et les r sultats de leur cal culatrice Enfin la projection sur un cran des r sultats d une calculatrice permet un contr le collectif de l utilisation de cet outil de calcul 3 3 Le probl me de l ing nierie didactique Les orchestrations instrumentales viennent combler un vide didactique Chevallard 1992 soulignait la n cessit de penser un syst me d exploitation didactique des outils informatiques
29. uestions du mat riel didactique dont il est question dans ce colloque Parler d environnement d apprentissage plut t que de salle de classe ou de cours de math matiques n est pas neutre non plus cela sous entend que l on va privil gier l initiative et l activit des apprenants on peut noter que dans la litt rature les mots environnement et apprentissage sont souvent li s on parle rarement d environnement d enseignement J emploie ici l expression d environnement informatis d apprentis sage dans un sens assez large il s agit d un environnement dans le quel des ressources informatiques sont disponibles pour soutenir I ac tivit des apprenants Ce ne sont en g n ral pas les seules ressources disponibles et elles ne sont pas n cessairement sollicit es ainsi un environnement d apprentissage pourvu de calculatrices toutes simples peut tre consid r dans ce sens comme un environnement inform atis d apprentissage ENVIRONNEMENTS INFORMATISES ET MATHEMATIQUES 183 1 UNE APPROCHE THEORIQUE POUR ANALYSER L INFLUENCE DES INSTRUMENTS 1 1 Les outils et la pratique des math matiques L influence des outils sur l apprentissage et l enseignement des math ma tiques ne fait pas de doute Lavoie 1994 montre par l exemple effet sur les curriculums au Qu bec au XIXe si cle du passage de la plume d oie la plume de fer la plus grande facilit de
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