Page 103 12. INTRODUCTION AU LABORATOIRE
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1. conform ment 12 1 B b b A a a G g og 12 7 La valeur num rique de G s obtient bien s r en rempla ant et B par leur valeur num rique g f a b 12 8 Pour d terminer l incertitude g on peut proc der de deux mani res a M thode directe On calcule les valeurs de G aux bornes de l intervalle d incertitude Ainsi par exemple pour une fonction croissante en et d croissante en B les bornes de G sont Emax f a a b b Emin J a a b b 12 9 Cette m thode pr sente deux inconv nients Premi rement la valeur num rique de g d termin e par 12 8 n est par n cessairement au milieu de l intervalle d fini par les bornes 12 9 deuxi mement dans les cas compliqu s on doit d river la fonction par rapport chacune de ses variables pour savoir si elle est croissante ou d croissante On pr f re donc utiliser la m thode analytique b M thode analytique Consid rant que a et b sont petits on g n ralise la formule 12 4 en calculant au point 4 B gt la pente de la fonction f A B en faisant varier A mais en gardant B constant gt la pente de la fonction f A B en faisant varier B mais en gardant A constant En utilisant le symbolisme math matique on crit i of of dG dA dB Diff rentielle totale 2 2 E 12 10 2 se lit d riv e de f par rapport en en gardant B constant B CA2. En outre la pente et l ordonn e l origine de la meilleure droite obtenue constituent en g n ral une estimation d une ou deux constantes physiques intervenant dans la loi consid r e Cette estimation est optimale dans le sens qu elle tient compte de l ensemble des n mesures Exemple 1 On mesure la capacit C d un condensateur plan en fonction de l paisseur d de di lectrique entre ses plaques La loi physique est C avec S surface d une plaque et amp constante di lectrique du mat riau tudi Compl ter la figure ci contre pour obtenir une O droite de pente amp 5 Si l estimation des incertitudes est faite sur une base statistique par exemple si on prend l cart type alors il suffit que la droite passe par le 68 des intervalles d erreur INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 113 Exemple 2 On a r alis des mesures de l angle d incidence 0 et de l angle de r fraction 0 d un rayon lumineux p n trant dans un dioptre air plexiglas La loi physique est sin 0 nsin 0 Avec n indice de r fraction Compl ter la figure ci contre pour obtenir une droite de pente n O Exemple 3 On mesure la pression P d un gaz en fonction de son volume V temp rature constante La loi physique est PV cste Compl ter la figure ci contre pour obtenir une droite O Exemple 4 On mesure chaque demi p riode la valeur absolue de l amplitude
3. Si l on fait tendre le nombre de mesures n vers l infini et l intervalle A vers 0 alors l histogramme des mesures tend vers une fonction de probabilit f x appel e distribution normale ou distribution de Gauss lim f 409 F9 En LH 12 18 f x dx repr sente la probabilit qu une mesure individuelle soit comprise entre x et x dx En particulier pour un petit intervalle A la fr quence des mesures obtenues dans cet intervalle tend vers f x A La somme des probabilit s sur toutes les valeurs de x doit donner 1 tax 1 100 12 19 fx 1 4 0 8 F 0 6 F 0 27 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 Fig 12 4 Exemple de distribution de Gauss x 0 95 et o 0 3 Largeur mi hauteur L 2V2In20 2 350 12 20 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 117 12 9 LA M THODE DES MOINDRES CARR S 12 9 1 Position du probl me Soit un ensemble de mesures donn es par n couples de points x y On se propose de d terminer les param tres d une droite y a bx qui passe le mieux par l ensemble des points S il existe une relation entre x et y du premier degr y a bx on peut chercher la droite qui approche le mieux les mesures dans le sens des moindres carr s C est dire qu on cherche les coefficients a et b qui minimalisent l expression S S a bx 1 En g n ral chaque mesure y est entach e d une incertitude o Il est judicieux d en tenir com
4. texte sigma b num2str sigma b 3 text 10 125 texte print deps ressort eps R gression lin aire 160 T T T T 150 F y a b x avec a 84 1 b 0 555 140 F sigma a 0 272 130 F sigma b 0 00418 120 y mm 100 90 80 70f 3 60 i i i i i l 20 0 20 40 60 80 100 120 x N Fig 12 6
5. longueur l aide d une corde tendue Les erreurs accidentelles dites aussi al atoires Lors de la r p tition d une mesure ce sont des erreurs qui agissent tant t dans un sens tant t dans l autre Plus les cart entre les meures sont grands et moins la mesure est reproductible Les erreurs al atoires peuvent tre dues notamment gt des fluctuations de param tres ext rieurs la mesure mais susceptibles de l influencer temp rature humidit vibrations luminosit gt l observateur par exemple lors de l estimation de la position d une aiguille entre deux traits d une chelle gt l instrument dont les mesures sont plus ou moins reproductibles cause par exemple de bruits lectroniques INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 107 12 5 ESTIMATION DE L INCERTITUDE SUR UNE MESURE DIRECTE On a d j affirm 12 1 2 qu une indication de l incertitude est obligatoire pour toute mesure L valuation de l incertitude sur une mesure directe est une estimation En pratique cette estimation tient comptes des facteurs suivants gt La pr cision des instruments donn e ou estim e On d finit la classe d exactitude ou classe de pr cision comme tant le quotient de l incertitude absolue suppos e constante dans toute l tendue de mesure par l tendue de mesure Exemple un amp rem tre d tendue de mesure 20 A est de classe 1 5 Si sur c
6. 10 A B C D E F G H l Formules programm es dans les cellules 1 C6 ABS B6 A6 F6 ABS E6 F6 2 G6 3 A6 2 D6 3 16 2 C6 F6 4 H6 ABS G6 16 NN OO O1 BB D D INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 112 12 7 V RIFICATION GRAPHIQUE D UNE LOI PHYSIQUE Consid rons deux grandeurs observables G et A reli es par une loi physique G f A Admettons qu on ait r alis une s rie de mesures fa g i l n de ces grandeurs Au laboratoire un moyen simple de contr ler la pertinence de la loi physique en question est de le faire graphiquement Toutefois un tel contr le n est imm diat que si la courbe attendue est une droite Pour parvenir une repr sentation lin aire il est donc souvent indispensable de faire un changement de variable appropri pour nous conduire une formule du type suivant y mx ou y mx h 12 15 o m est la pente de la droite et h l ordonn e l origine Cette op ration n cessite le calcul des valeurs num riques x y des nouvelles variables partir des valeurs mesur es a g Il faudra aussi calculer les incertitudes correspondantes x 6y partir des incertitudes u 6g Ces calculs seront pr sent s sous forme de tableaux Dans le graphe de y x chaque point sera repr sent avec son incertitude selon les deux axes La loi physique tudi e est r put e v rifi e si une droite peut tre trac e qui coupe tous les rectangles d incertitude obtenus
7. Consid rons une grandeur G dont la valeur se calcule l aide d une formule faisant intervenir une ou plusieurs grandeurs B mesur es directement Puisque B ne sont pas connues exactement on peut dire que ce sont des variables et que G est une fonction de ces variables 12 6 1 Fonction d une variable Voyons d abord le cas o la mesure indirecte ne fait intervenir qu une mesure directe G f A 12 3 Le r sultat de mesure de A est not conform ment 12 1 A a a Pour la mesure indirecte notons G g g Il est clair que g f a L incertitude g d pend de l allure de f f A Fig 12 1 Pour un fonction croissante de a on pourrait d finir 8 max f a f a a f a ou bien f a 8 min f a f a a Par commodit comme a est petit on fait intervenir la pente de la droite au point a qui est gale la d riv e de f A en ce point L estimation de g est donn e par g f a a 12 4 La valeur absolue de f a assure que la formule est aussi valable si la fonction est d croissante en effet a et g sont des quantit s d finies positives Pour l incertitude relative INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 109 _ f a f a 6a f a a OSa z la 215 12 5 ur KO o fala e KO Den 12 6 2 Fonction de deux variables G f A B 12 6 Le r sultat des mesures de A et B est not
8. Soit une grandeur A Nous noterons ici a valeur num rique de la mesure de A a Valeur vraie de L erreur commise est la diff rence Aa a a On peut discuter des causes de l erreur toutefois sa d finition implique qu il est impossible d en donner une valeur exacte Si on la connaissait il suffirait de la soustraire la valeur mesur e pour obtenir la valeur vraie qui serait alors connue exactement donc sans erreur La pr cision de la mesure se donne plut t en indiquant la valeur de l incertitude absolue ou relative d finies comme suit Ce chapitre reprend pour l essentiel une notice de laboratoire PHY1 Introduction Mesures et incertitudes Prof Y Zeitoun EIVD 2002 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 104 12 2 INCERTITUDES 12 2 1 Incertitude absolue D f L incertitude absolue a de la grandeur A est la valeur absolue de l erreur maximum que l on a pu commettre en con ant le r sultat de la mesure On crit A a a 12 1 Bien entendu cette borne sup rieure ne devra tre ni sous estim e ni non plus surestim e Elle est en effet sens e repr senter au mieux l erreur On peut aussi crire par d finition de a la a lt a Exemple gt Mesure de la longueur d une feuille de papier L 297 1 mm gt Mesure de la longueur d une table D 1505 1 mm Si le r sultat comporte une puissance de 10 en facteur il faut mettre des parenth
9. d oscillation d un oscillateur amorti La loi physique est A t A exp y avec y coefficient d amortissement Compl ter la figure ci contre pour obtenir une droite de pente y O Une fois les mesures report es dans un graphe la d termination de la pente de la droite et de son ordonn e l origine peut se faire graphiquement ou bien num riquement par la m thode des moindres carr s 12 9 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 114 12 8 R PARTITION STATISTIQUE DES MESURES 12 8 1 Valeur moyenne Soit une grandeur X que l on cherche mesurer Dans ce but on effectu n mesures dans des conditions exp rimentales aussi identiques que possible Apr s avoir pris soin d liminer les erreurs syst matiques on a donc un ensemble de n valeurs fx fx Ne Xn La meilleure estimation possible de la valeur vraie de X est donn e par la moyenne arithm tique des valeurs mesur es 1 n X X 12 16 2 12 16 12 8 2 Variance et cart type Les valeurs mesur es s cartent toutes plus ou moins de la valeur moyenne La variance nous renseigne sur la distribution des mesures autour de la moyenne 1 Estimation de la variance S gt x I y 12 17 n l1 La racine carr e de la variance est l cart type ou cart quadratique moyen n VS Lorsque n est suffisamment grand on peut montrer que 68 des mesures se trouvent dans l intervalle x o Plus n est grand
10. et b 0 5548 0 0042 mm N 2 a 84 11 0 34 mm et b 0 5548 0 0052 mm N Si on d cide de ne garder qu un seul chiffre incertain 1 _a 84 1 0 3 mm et b 0 555 0 004 mm N 2 _a 841 0 35 mm et b 0 555 0 005 mm N 2 incertitudes sur y inconnues INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 123 12 9 6 3 Mise en uvre sur Matlab Traitons le cas o les carts types sur les mesures y sont tous gaux une valeur o 0 5 mm Traitement des donn es par r gression lin aire clear all close all format compact de valeurs mesur es x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 N y 84 3 89 7 95 2 100 8 106 1 111 6 117 2 122 5 128 3 135 4 140 3 144 1 mm sig 0 57 045 05 0 5 05 0 5 0 5 0 5 0 5 05 0 5 0 5 incertitude r gression lin aire y a bx sig2 sig 2 sx sum x sig2 sy sum y sig2 si sum 1 sig2 sxx sum x sig 2 sxy sum x y sig2 Delta s1 sxx sx 2 a sxx sy sx sxy Delta b s1 sxy sx sy Delta sigma_a sqgrt sxx Delta sigma _ b sqrt s1 Delta de tra age errorbar x y sig o hold on xfit 20 20 120 yfit a b xfit plot xfit yfit axis 20 120 60 160 grid box on title R gression lin aire xlabel x N ylabel y mml affichage des infos texte y a b x avec a num2stri a 3 5 b num2str b 3 text 10 145 texte texte sigma a num2str sigma_ a 3 text 10 135 texte
11. plus D 1 5 0 001 m On pourrait toutefois avoir comme r sultat d une autre mesure D 1 500 0 001 m AUTRES QUALIT S D UNE MESURE OU D UN INSTRUMENT DE MESURE Outre la pr cision de la mesure appel e aussi exactitude on d finit encore les qualit s suivantes Sensibilit La sensibilit est le quotient de l accroissement de la r ponse d un instrument de mesure par l accroissement correspondant du signal d entr e Exemple si au voisinage de 100 mA l aiguille d un milliamp rem tre analogique se d place de 5 divisions pour une variation de courant de 25 mA la sensibilit du milliamp rem tre 5 mA par division R solution La r solution d un instrument est la plus petite variation perceptible de la grandeur mesur e Sa valeur peut tre plus petite que l incertitude Exemple Pour mesurer une tension on utilise un voltm tre num rique affichant 4 chiffres Pour l chelle 0 100 V le fabricant indique une pr cision de 0 5 3d On mesure U 24 53 V Clairement la plus petite variation perceptible est de 0 01 V Donc la r solution vaut dans ce cas 0 01 V Un chiffre digit vaut d 0 01 L incertitude est gale 0 5 de la valeur mesur e soit 0 12 V valeur laquelle il faut encore ajouter 3 fois 0 01 Le r sultat de la mesure est donc 24 53 0 15 V Dans cet exemple le r solution est 15 fois plus petite que l incertitude Le pouvoir de r solution est le
12. ses L 297 1 10 m 12 2 2 Incertitude relative L exemple ci dessus nous montre qu une m me incertitude absolue ne signifie pas que la pr cision des deux mesures soit la m me Pour comparer la pr cision de la mesure de deux grandeurs on utilise l incertitude relative d finie de la mani re suivante a On crit E ll 12 2 L incertitude relative est volontiers donn e en ou en pour mille Pour l exemple ci dessus on obtient L 297mm 03 D 1505 mm 0 07 La pr cision de la mesure est d autant plus grande que l incertitude relative est plus faible Remarquons encore que la comparaison de la pr cision de deux mesures l aide de leur incertitude relative s applique m me si les deux grandeurs mesur es ne sont pas de m me esp ce Signalons enfin qu il est illusoire de donner l incertitude avec plus d un ou ventuellement deux chiffre significatif En effet on doit consid rer que l incertitude est une indication qui n a pu tre qu estim e INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 105 12 2 3 Chiffres significatifs 12 3 Dans l expression du r sultat de la mesure le nombre de chiffres significatifs doit tre raisonnablement limit Le dernier chiffre de droite ventuellement les deux derniers doit tre le seul incertain Exemple D 1 505m 0 07 1 505 0 001 m ou ventuellement D 1 5055 m 0 065 Ne pas crire D 1 505487 mm 0 07 mais pas non
13. 114 6 4216 7 6965 6 b 0 555 mm N a 84 11 mm Estimation des carts types de a et b Nous envisageons les 2 cas 1 les carts types sur les mesures y sont connus et tous gaux une valeur o 0 5 mm 2 les carts types sur les mesures y sont inconnus Dans ce cas on prend la relation 11 iiie 1 2 Te a bx Les estimations des carts types sur a et b sont alors donn s par l n a et 0 0 x a o 015 3 x X 1 incertitudes sur y connues et toutes gales sigma INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 122 No X y x carr Xy Estimation Poids allongement y a bx erreur erreur 2 N mm mm mm 1 0 84 3 0 0 0 84 1 0 2 0 04 2 10 89 7 100 897 0 89 7 0 0 0 00 3 20 95 2 400 1904 0 95 2 0 0 0 00 4 30 100 8 900 3024 0 100 8 0 0 0 00 5 40 106 1 1600 4244 0 106 3 0 2 0 04 6 50 111 6 2500 5580 0 111 9 0 3 0 06 7 60 117 2 3600 7032 0 117 4 0 2 0 04 8 70 122 5 4900 8575 0 122 9 0 4 0 20 9 80 128 3 6400 10264 0 128 5 0 2 0 04 10 90 135 4 8100 12186 0 134 0 1 4 1 84 11 100 140 3 10000 14030 0 139 6 0 7 0 50 12 110 144 1 12100 15851 0 145 1 1 0 1 09 Moyennes 55 114 6 4216 7 6965 6 Somme 3 84 b 0 55486014 mm N 84 1076923 a 1 mm sigma 0 5 sigma 0 62 sigma b 0 0042 sigma b 0 0052 sigma a 0 2715 sigma a 0 3367 R sultats finals en ne gardant que les chiffres significatifs 1 _a 8411 0 27 mm
14. 89 7 3 20 95 2 4 30 100 8 5 40 106 1 6 50 111 6 7 60 117 2 8 70 122 5 9 80 128 3 10 90 135 4 11 100 140 3 12 110 144 1 On estime l incertitude sur y 0 5 mm 12 9 6 1 Mise en uvre simple sur calculatrice Lorsque l on introduit les couples de valeurs x y une calculatrice comme la HP 325 calcule au fur et mesure les moyennes suivantes n _ 1l 211 1 LS ss mul n n i 1 4 i 1 n n t i l i Attention Les param tres de la droite de r gression sont programm s comme y mx b p m sur HP Fer a y bx bsur HP Utiliser les touches pour stocker les valeurs x y Ensuite les touches pour extraire les valeurs a et b Pour plus de d tails se r f rer au mode d emploi de la calculatrice On obtient a 84 11 et b 0 555 Le coefficient r 0 999564 permet de calculer les carts types par les relations 13 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 121 12 9 6 2 Mise en uvre sur Excel 2 Dans des colonnes on calcule x et xy Puis on calcule les moyennes et enfin a et b No x y x carr xy Poids Position N mm 1 0 84 3 0 0 0 2 10 89 7 100 897 0 3 20 95 2 400 1904 0 4 30 100 8 900 3024 0 5 40 106 1 1600 4244 0 6 50 111 6 2500 5580 0 7 60 117 2 3600 7032 0 8 70 122 5 4900 8575 0 9 80 128 3 6400 10264 0 10 90 135 4 8100 12186 0 11 100 140 3 10000 14030 0 12 110 144 1 12100 15851 0 Moyennes 55
15. INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 103 12 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Plusieurs travaux pratiques de physique proposent la v rification d une loi th orique s exprimant au moyen d une formule math matique Cette v rification doit naturellement tenir compte de la pr cision avec laquelle les mesures sont r alis es Le but de ce chapitre est de donner quelques indications au sujet de l estimation des erreurs de mesure et de leur propagation dans les formules 12 1 MESURES ET INCERTITUDES 12 1 1 D finition de la mesure D f Mesurer une grandeur physique c est la comparer avec une grandeur de m me esp ce prise comme talon En pratique on admet qu une telle comparaison est effectu e si on utilise un instrument de mesure talonn ou r put tel gt Lorsque la grandeur effectivement mesur e l aide d un instrument la mesure est dite directe gt Lorsque la grandeur mesur e est calcul e partir d autres grandeurs mesur es la mesure est dite indirecte Par exemple la mesure de l aire d un rectangle se mesure l aide de deux distances la longueur et la largeur Le r sultat d une mesure est n cessairement accompagn de l unit de mesure 12 1 2 Pr cision de la mesure Il est galement toujours obligatoire de donner la pr cision de la mesure Cette indication a pour but de nous renseigner sur la diff rence entre la valeur mesur e de la grandeur et sa valeur vraie
16. Zeitoun F Gaille 2002 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 119 12 9 4 Cas o les carts types sont inconnus Dans ce cas on calcule a et b au moyen des relations 6 et 7 puis on estime un cart type global au moyen de l expression suivante s s _aS bS 11 Cette expression est utilis e ensuite pour calculer les carts types par les relations 8 et 9 Note On peut mettre 11 sous une autre forme qui fait appara tre la somme des carr s que l on a minimalis s 11 12 9 5 D finition du coefficient de corr lation gt A Xi n4 i 1 On d finit le coefficient de corr lation comme De X y Y r i 1 DRE Avec les sommes calcul es pr c demment il peut se mettre sous la forme _S S A partir des moyennes l I Il 3j x lt S Xy F 2 2 12 s Se s z n n Les carts types sur a et b peuvent alors tre calcul par A 13 Cette formule donne les m mes valeurs que 8 et 9 lorsque est donn par 11 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 120 12 9 6 Exemples On se propose de v rifier que l allongement d un ressort est proportionnel la force appliqu e Pour cela on suspend au ressort diff rents poids et on mesure son allongement l aide d une r glette Les valeurs suivantes ont t relev es No X y Poids Position N mm 1 0 84 3 2 10
17. ette chelle une mesure donne 3 71 A il en r sulte que le r sultat de la mesure s crit 3 7 0 3 A On a int r t choisir une plage de mesure adapt e la grandeur mesur e Ainsi dans cet exemple si les plages 10 A et 5 A existent il faut choisir cette derni re Avec la m me classe de pr cision de 1 5 le r sultat de la mesure sera 3 71 0 08 A gt La pr cision de mesure de l observateur g n ralement l incertitude de lecture sur un instrument analogique Par ailleurs il est quelquefois recommand de r p ter plusieurs fois la m me mesure La moyenne des valeurs obtenues en donne une meilleure estimation L incertitude dans ce cas tre valu e comme tant l g rement sup rieure l cart entre la moyenne et celle des mesures qui s en carte le plus Estimation a posteriori de l erreur d apr s la r partition statistique des mesures Dans le cas o les erreurs syst matiques ont en principe t cart es et si on a pu r aliser un grand nombre de fois la mesure d une grandeur la distribution de l ensemble des mesures et l estimation des l incertitude peuvent se faire par des moyens statistiques Voir 12 8 Une certaine habitude des probl mes concrets permet de parvenir des estimations r alistes des incertitudes C est l un des buts des laboratoires de physique INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 108 12 6 PROPAGATION DES INCERTITUDES SUR UNE MESURE INDIRECTE
18. ou d riv e partielle de f par rapport INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 110 2 2 42 Exemple f A B 2 5 2 CE 2 B CA B Bj B Pour trouver g on utilise le m me calcul que 12 10 puis on value les d riv es en A a et B b En prenant leurs valeurs absolues on s assure que g est toujours positif OA jJ p A a B En all geant un peu l criture b a A B A B Formule de la propagation des erreurs 2 variables 12 11 Voyons maintenant ce que donne la formule de la propagation des erreurs dans quelques cas fr quemment rencontr s en pratique Addition ou soustraction G A B g a b 12 12 G A B Les incertitudes absolues s ajoutent Produit ou quotient G k AB k cste amp da ne En 12 13 el d H ons G k A B Les incertitudes relatives s ajoutent El vation des puissances quelconques G k A B X pl 12 14 el gt fl INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 111 12 6 3 Pr sentation des mesures sous forme de tableau En utilisant un tableur il est ais de mettre en forme les r sultats exp rimentaux et de calculer les incertitudes des mesures indirectes Exemple G 3A2 B mesure incertitudes mesure incertitudes G incertitudes absolue relative absolue relative absolue relative delta a delta a a delta b delta b b delta g delta g g 0 05 0 06 0 05 0 13 0 04 0 05 0 04 0
19. plus la moyenne x se rapproche de la vraie valeur de X On peut monter que Lo la vraie valeur de X a 68 de chance de se trouver dans l intervalle z 2 n 26 Dans le cas d une distribution normale voir 12 8 4 INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 115 12 8 3 Histogramme Consid rons un ensemble de n mesures fx dt Pour repr senter la distribution de ces mesures il est pratique de faire un histogramme On consid re l intervalle dans lequel sont situ es ces mesures et on le partage en un certain nombre d intervalles A identiques choisis de mani re appropri e ni trop grands ni trop petits Nombre de mesures n 100 0 5 1 0 1 5 2 0 Fig 12 2 Exemple d histogramme Deux histogrammes correspondant deux s ries de mesures en nombre diff rent seraient de surface in gale rendant la comparaison malais e C est pourquoi on pr f re reporter en ordonn e la fr quence des mesures c est dire leurs nombres dans chaque intervalle divis s par n Fr quence des mesures n 100 0 12 0 10 0 08 0 06 0 04 0 02 f OX Fig 12 3 Exemple d histogramme normalis avec ajout de la moyenne et de l cart type de part et d autre de la moyenne INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 116 12 8 4 Distribution normale distribution de Gauss La plupart des grandeurs physiques mesur es au laboratoire suivent une distribution de probabilit nomm e distribution normale
20. pte en pond rant chaque carr apparaissant dans la somme 1 de mani re donner moins d importance aux mesures impr cises On cherche donc plut t les coefficients a et b qui minimalisent l expression i 2 9 y a bx S Dee I pente b Fig 12 5 Droite de r gression Si les o repr sentent les incertitudes absolues la droite de r gression passe en principe par toutes les barres d erreurs Si les o repr sentent les carts types la droite de r gression ne passe en moyenne que par 68 des barres d erreurs INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 118 12 9 2 R sultat g n ral Math matiquement on trouve a et b en annulant les d riv es de S par rapport a et b En calculant au pr alable les sommes n n n LE 1 de do Yi 1 2 x 2 7 2 i 1 l i l a ss S S b ns s 5 1 2 Les carts types sur a et b sont donn s par o o G 4 Avec A S Sa s y 5 12 9 3 Cas o tous les carts types sont gaux Lorsque tous les o sont gaux o les expressions g n rales 1 5 se simplifient et peuvent tre mises sous la forme ci dessous On calcule au pr alable les sommes i l z i l i 1 i l on aboutit aux expressions suivantes a ss S 5 p ns 5 5 6 7 Les carts types sur a et b sont donn s par S n PEEN Goes 8 9 Avec A nS s 10 27 Voir notice de laboratoire PHY1 Mesures et incertitudes Y
21. quotient de la r solution par la pleine chelle Dans l exemple pr c dent le pouvoir de r solution est de 0 01 100 1 10 Les notions de sensibilit de r solution est d incertitude ne doivent pas tre confondues INTRODUCTION AU LABORATOIRE Page 106 12 4 Reproductibilit La reproductibilit d une mesure renseigne sur les diff rences entre plusieurs mesures successives d une grandeur ces mesures tant effectu es dans des conditions identiques Fid lit justesse La fid lit renseigne sur la pr sence ou non d erreurs syst matiques CAUSES D ERREUR On peut classer les erreurs de mesure en trois cat gories Les m prises Il peut y avoir une m prise sur la m thode de mesure ou par exemple sur la lecture d une chelle par exemple V la place de mV ou m me sur un chiffre mal copi Les m prises doivent tre limin es Les erreurs syst matiques Une fois toute m prise limin e des erreurs syst matiques peuvent subsister Plus elles sont grandes et moins la mesure est fid le Les erreurs syst matiques peuvent notamment tre dues gt l instrument imperfection de graduation talonnage inexact gt l observateur erreur de parallaxe retard syst matique du chronom treur gt des causes perturbatrices permanentes par exemple n gligence de la pouss e d Archim de lors d une pes e ou celle de la gravitation lors d une mesure d une grande
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