De π en π
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1. D o N 4 nombre total de petits carr s D oO D D 4 x nombre de petits carr s rouges D 1 o 50 100 150 200 taille du grillage petit n La pr cision obtenue d pend bien s r du grillage choisi Plus n est grand plus l estimation de m sera pr cise Pour n 10 on estime x 3 2 pour n 50 on value m 3 1616 pour n 100 on cerne 7 3 144 et pour n 200 on approxime 7 3 1428 Cette m thode peut ais ment tre appliqu e la main avec un compas et du papier mil lim tr Elle pr sente cependant un gros risque celui de s endormir lors du comptage des petits carr s rouges C est pourquoi il est recommand de le faire faire par l ordinateur Il faut souligner qu il existe des m thodes plus chicaneuses qui consistent red couper les sous carr s travers s par le cercle en sous sous carr s mais nous avons pr f r ici ne pas nous couper les cheveux en 4 8Machine qui permet entre autres de compter des milliers de carr s plus vite que son ombre T M THODE DES POLYGONES D ARCHIM DE Dans son De la mesure du cercle Archim de propose une m thode polygonique qui sera encore exploit e pendant plusieurs si cles2. 23 aaee 1 tan a tan b 3 i 1 1 R On pose maintenant a 4 arctan 5 et b arctan 330 et on v rifie que 120 1 1 1 119 239 tan 4arctan arctan 1 24 an 4arc an z arctan Dan 720 1 24 119 239 14 Oui oui aussi tonnant que cela puisse para tre ce machin fait tout juste 1 Si vous nous croyez pas refaites le pour voir Si la tan vaut 1 c est que son argument vaut r 4 et on en d duit ce machin RP RE 25 n 4 arctan 5 arctan 239 Le machin est fini Et qu est ce qu on fait avec H bien on ressort 12 De DO a t E N A a E 26 arctan x x zty 7 to 26 et on n attend pas pour d velopper les 2 arctan E 1 1 7 1 1 M 1 M E 5 3x55 5x55 7x57 9x59 NE z x 27 239 3x239 5x239 7x239 9x239 Beau coup Cette double s rie converge beaucoup plus rardemment que celle de Greg Imaginez vous qu en 1706 John Machin a r ussi d terminer 100 d cimales de m sans machine Beaucoup plus tard avec l ordinateur cette s rie permettra de calculer des centaines et des centaines et des centaines de d cimales beaucoup plus vite Sur le ravissant graphe plant ci dessous on voit que les points bleus obtenus avec la s rie de Machin collent la ligne rouge x La superrapide convergence de la s rie saute aux yeux 3 143 3 1425F 3 142F 3 1415 somme des termes 3 141F 3 1405F 3 14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 nombre
3. 2n 2 sin cos uE an 2n 2n cog 2n T 4 DD 7 n sin on 7 En enracinant l quation on tombe sur ST 4 4n sin u Ee Son 2n 2n Attaquons maintenant la deuxi me quation de 6 2Snln Sn Th In si de LS n sin tan n n ZT T nsin n tan n n T En divisant par n et en multipliant par cos tous les tages on trouve n 2SnIn Sn Thn TE 2n sin n LKR 2n sin n T cos 1 n 2n T 2 cos 2n Sntan ntan 2n Ton BE 4n sin cos T T TC SIN COS sin n n n T 2n 10 Et le tour de passe passe est jou On peut maintenant passer l application pratique de ces formules en calculant et 7 en faisant doubler la valeur de n chaque tape Partons de notre hexagone pour lequel on a d j calcul S 3 et T5 3 464 Le joli petit tableau contient les valeurs successives des esses et des th s Apr s 10 it rations on a empolygon m avec des trichilioheptacontakaidigones 3072gones et encadr m la 5 me d cimale Sn 3 000000000000 3 105828541230 3 132628613281 3 139350203047 3 141031950891 3 141452472285 3 141557607912 3 141583892148 3 141590463228 3 141592105999 1 6 2 3 4 5 6 7 8 9 3 464101615138 3 215390309173 3 159659942098 3 146086215131 3 142714599645 3 141873049980 3 141662747057 3 141610176605 3 141597034322 3 141593748771 10
4. 2 y B l1 y 1 y 2y 2 y 2y 2 1 y 2y 1 l1 y 1 aoo 44 y 2y 2 1 y 1 4 o nous avons eu recours l galit bien connue 1 1 2 Apr s ces fractionnages puisants revenons nos moutons 1 y 1 16 f gt q o amaaa 1 2 y 1 y 4 dy 4 d 43 f u 1 1 1 af 22 nn zU af EE De 2 id par 44 2 in y 2y 2 Afarctan y 1 5 2 ln y A 2 ln 1 2 2 ln 2 4 arctan 0 arctan 1 2 ln 1 2 ln 2 2m1 2m2 0 4 7 2m1 21m2 A 45 La remarquabilit de cette formule r side dans le fait qu elle peut tre tritur e de mani re pouvoir calculer la ni me d cimale de m sans calculer les nes moins uni mes d cimales pr c dentes Nous vous offrirons la d monstration la Saint Nicolas si vous tes sage 13Dans son acception traditionnelle un mouton est un mammif re herbivore quatre pattes et au 19 sommes des termes nombre somme de termes des termes 4 2 1 1 47 convergence superrapide 3 141422466422466 4 102913 3 141587390346582 32760 3 141592457567436 3 141592645460336 3 141592653228088 3 141592653572881 3 141592653588973 3 141592653589752 3 141592653589791 1 2 3 4 5 6 T 8 9 1 E 1 a 3 5 6 Z 6 10 nombre de termes x avec 14 d cimales correctes Ps Rat TIO a Le 14 ll Pie in the Sky ADENIA March 14 1 59
5. Fran ois Vi te qui tait fran ais et non viet a trouv une formule avec tout plein de racines et o n appara t que le chiffre 2 2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 T Formule d embo tement de racines de 2 Un r arrangement des racines des 2s et une tendance vers l infinie limite nous conduit gentiment 55 T lim 2 k oo o k est le nombre de racines carr es embo t es 25 e Variante d la Greg s formule Une variante d la Greg s formule se pr sente comme une supers rie deux zindices Supposons que p soit l l ment j d un tableau D finissons alors la premi re ligne i 0 par J k 1 4 1 poj X 56 2k 1 k 1 ou de mani re quivalente mais plus jolie 4 1y Din gt 1 57 Po j Po 1 avec Poo 4 Cette r currence d bite les valeurs de la premi re ligne du tableau 4 Poi I 44 Po2 T 3 ner FRA APS UE On d finit alors les autres termes par un autre r curration Di Di 1 5 ie 58 Illustrons cette super s rie bi indic e l aide du tableau bi dimensionnel mono chrome ci dessous On installe confortablement 4 dans la premi re case Ensuite les autres l ments de la premi re ligne se calculent avec 57 en ajoutant b tement un terme la valeur de la case pr c dente Pour les lignes suivantes c est peine moins simple Pour chaque case partir de la diagonale des p on remplit en moyennant les deu
6. te de l indien pendant un r ve moins que ce ne f t un cauchemar La frappitude de la formule r side non seulement dans les nombres quelque peu exotiques qui la d corent mais aussi dans le fait que les premiers termes de la s rie produisent d j un grand nombre de d cimales correctes HUn nombre exotique est un nombre qu on n a pas l habitude de voir dans des formules math matiques comme 9801 ou 26390 En revanche m n est pas un nombre exotique 24 Si on prend seulement le premier terme k 0 on en d duit apr s un processus d inversion ea 9801 2 x 1103V2 Et ici le point d exclamation est un point d exclamation Il est en effet poustoufflant de constater que ce premier terme de la s rie contient d j 6 d cimales correctes 3 14159273001 Formules des fr res Chudnovsky En 1987 les brothers Chudnovsky ont sorti d un chapeau russe une formule encore plus crazy que celle de Ramanujan dans le sens o les numbers qui y apparaissent sont encore more exotiques 426880v 10005 T 1 6k 1 13591409 545140134k 3k k1 3 640320 5 e 53 x Il 0 Cette crazy formule livre 14 new d cimales de m chaque terme ajout A la fin des eigthies les brothers ont C er cette formule dans un computer qui a computa tionn des giga et des giga de digits et ils ont ainsi cass le record de digits de m comput es Formule de Fran ois Vi te Petit flashback N en 1540
7. valeur qui ne transcende point en conclut bien vite que 7 ne pouvait tre qu alg brique entra nant sa transcendantalitude Heureusement notre poque moins suspicieuse tente de r habiliter x en essayant de prou ver qu il est parfaitement normal c est dire que tout n uple de chiffres appara t dans ses d cimales avec la m me fr quence et cela dans toute base Trouverait on par exemple dans les d cimales de 7 27 trois au cube 1640 code postal de Rhode Saint Gen se 1995 ann e o Plouffe a d couvert la formule de Plouffe 3562951413 10 premiers chiffres de m l envers Y trouve t on aussi votre num ro de t l phone m me si vous avez pay pour avoir un num ro priv Il est bien probable que oui Et donc rien n est plus normal que 7 28 T L O ON NE L ATTEND PAS e Distribution normale En stat la distribution normale presque aussi connue sous le nom de distribution de Gauss est la distribution utilis e quand on ne sait pas quelle autre distribution choisir C est une distribution sym trique de moyenne y et d cart type o Gauss a montr que son quation est i E 2 63 o 7 appara t cach sous une racine avec son copain 2 e Formule de Stirling Les factorielles qui apparaissent en analyse combinatoire s exclament comme ceci n n n 1 n 2 1 64 D apparence anodine elles sont cependant horriblement horribles calculer car lorsque
8. apr s sa mort Son id e repose sur l observation indiscutable que tout polygone inscrit au cercle a un p rim tre plus petit que le cercle tandis que tout polygone circonscrit au cercle a un p rim tre plus grand que le cercle Calculer les p rim tres de tels polygones nous livre ainsi des bornes inf rieures et sup rieures de 7 On notera aussi que plus le polygone inscrit ou circonscrit peu importe a de c t s plus son p rim tre se rapproche de celui du cercle Prenons un cercle de rayon 1 et donc de p rim tre 27 Voyons ce que a donne avec des hexagones gones 6 c t s Consid rons d abord l hexagone inscrit au cercle Il est compos de 6 triangles quilat raux de c t 1 Le p rim tre de cet hexagone est donc gal 6 x 1 6 Consid rons ensuite l hexagone circonscrit au cercle Il est compos de 6 triangles quilat raux de hauteur 1 On peut v rifier par exemple avec Pythagore que la base de ce triangle est gale 2 43 et donc le p rim tre de cet hexagone vaut 6 x 2 43 On en d duit que 6 lt 2r lt 12 3 ou encore 3 lt m lt 6 V3 c est dire 3 lt m lt 3 464 Avec quelques formules magiques de trigono en t te on peut facilement g n raliser ce calcul au cas de ngones gones n c t s Le ngone inscrit se subdivise en n triangles isoc les dont 2 c t s valent 1 et l angle entre ces 2 c t s vaut 27 n Par Pythagore on trouve que le 3 me c t est ga
9. commentaires a commence bien par 3 on se rapproche une d cimale correcte a progresse d j deux d cimales correctes et de trois de plus en plus pr s Sg fait mieux que Tg voil la 5 me sans commentaire Nous pouvons admirer la convergence polygonique de m sur la magnifique figure copi e coll e ci dessous 3 6 h 7 SET 35 polygone circonscrit polygone inscrit u ro S 3 D gt re 3 u ro D O n z D a 0 1 2 8 4 5 6 it ration Enfin notons qu Archim de s est limit aux enn acontaka ihexagones 96gones et a montr que Le lecteur chicaneur aura d j sorti sa calculette et observ que ces fractions ne donnent pas exactement les valeurs obtenues ci dessus On pardonnera volontiers Archim de ces petites approximations de calculs qui ont t faits la main Que le lecteur qui fait mieux lui jette la premi re pierre carr e A PIECE OF Pi PLEASE AN ASHLEY COOPER LOODCARTOON 11 FORMULE DE MADHAVA GREGORY LEIBNITZ La l gende raconte que Madhava a trouv les num rateurs Gregory les d nominateurs et que Leibnitz a trac les barres de fraction et les signes Entre nous nous appellerons cette quation la Greg s formule Pour d river la Greg s formule souvenons nous que Taylor fan de s ries a montr que 1 n 2y 4 z Int grons le membre de gauche tout autant que le memb
10. continues Mat riel n c ssaire et suffisant 7 avec tout plein de d cimales une collection enti re de nombres entiers un kit de barres de fraction de toutes tailles Mode op ratoire 1 extraire soigneusement le premier 3 du x et le placer devant une barre de fraction 2 d poser d licatement un 1 au dessus de la barre de fraction 3 inverser m ticuleusement la partie restante de 7 4 extraire pr cis ment l entier localis devant la virgule du nombre obtenu en 3 le placer devant une barre de fraction mettez consciencieusement un 1 au dessus de cette barre et disposer le tout en dessous de la barre de fraction d j install e 5 inverser minutieusement la partie restante du nombre restant 6 refaire inlassablement les tapes 4 et 5 Apr s quelques it rations vous devriez obtenir le d but de la cascade fractionnaire nr 3 48 T ii 15 1 292 1 14 Un autre formulation due Brouncker permet d obtenir une cascade de fractions r guli res 4 E 32 52 72 g2 2 T Dat P 49 1 2 2 2 2 23 DES FORMULES EN VRAC Visiblement 7 n a jamais cess de fasciner les matheux depuis Archim de jusqu Schpot zermann amp Wienerschnitzel Le nombre de formules permettant de cerner les d cimales piennes est tout simplement d capsulant Les d montrer toutes serait fastidieusement la borieux et ferait exploser le nombre de pages de
11. de Taylor de 1 sur 1 plus x ainsi donc L 1 V2 1 V2 xrm E Er 16F 8k n baa 36 On peut maintenant faire agir 36 sur les 4 termes de la formule de Plouffe apr s tout c est ceux l qui nous int ressent DR L are 8k 1 8k 4 8k 5 8k 6 CO CO 2 1 1 1 1 SAN e A N miea ne gt 16 8k 1 16 8k 4 gt 16 8k 5 gt 16 8k 6 k 0 k 0 k 0 E E ee AG re a dr 2 d f d d LV 4 2 8r 42x4 8x5 X 3 On proc de maintenant au judicieux petit changement de variable suivant y V2x 38 On a alors dx dy V2 et les bornes se bornent y 0 S x 0 et y 1 S z 1 V2 et miracle les v2 se volatilisent 1 V2 4 9 8x3 41 9714 8x5 de 5 41 998 4 A ne i CE A oi 0 L 0 y 16 Ex cutons un petit r arrangement alg brique du d nominateur y 16 y 4 y 4 y 2 y 2 y 2y 2 y 2y 2 40 18 et du num rateur yY yt 2y 4 y 1 yf 2y 4y 4y 4 y 1 y 2 y 2y 2 41 En r associant le num rateur et le d nominateur l int grale 39 devient apr s d complexification 1 y 1 16 I dy 42 o y 2 y 2y 2 Cette derni re int grale n est pas piqu e des vers La fraction peut se fractionner en y 1 2 y y O A w y 2y 2 y 2 43 et la premi re fraction du terme de droite de 43 peut encore se m tamorphoser en
12. de termes 15 T FIBONACCI ET LE NOMBRE D OR De fascinantes relations entre m et les nombres de Fibonacci peuvent tre soulev es Reconnaissez vous la s rie de nombres 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 etc Ce sont les fameux nombres de Fibonacci d finis r curremment par F F _1 F 2 avec F 0 F 1eti gt 2 Avec un peu d astuces on peut d montrer la formule suivante 1 arctan arctan arctan 28 2n Pon 1 2n 2 Appliquons la en cascade pour voir d ferler les quations suivantes o tan1 arctan 4 t t arctan arctan 2 3 arctan arctan arctan arctan 5 arctan arctan arctan J arctan 5t arctan It arctan 21 1 1 arctan arctan arctan arctan arctan 2 5 13 34 55 29 On peut compresser 29 en S 2 D artan 30 Fok 1 On peut aussi ais ment montrer en 89 pages de calculs que T a 1 Fok 1 1 2 Ge pD 81 i 1 3 est le fameux nombre dor o Dans la vie il faut parfois faire des choix Certains choix sont difficiles et peuvent avoir des cons quences dramatiques On se souvient tous de bonne maman qui offre 2 cravates son petit fils pour la r ussite de sa licence en math matiques une cravate avec des cercles cyan sur fond jaune et l autre avec des polygones verts sur fond magenta Petit fils remercie bonne maman et choisit de porter la cravate cercl e Et l bonne mama
13. l orbe calcul e approchera D finira limite enfin l arc le limiteur De cet inqui tant cercle ennemi trop rebelle Professeur enseignez son probl me avec z le Tu n es pas rationnel Sois d abord r el 30 BIBLIOGRAPHIE Archim de De la mesure du cercle biblioth que de Syracuse Gr ce vers 250 avant J C Texte traduit retapp comment et rendupubliqu ici http remacle org bloodwolf erudits archimede cercle htm Johann Heinrich Lambert 1761 M moire sur quelques propri t s remarquables des quantit s transcendantes circulaires et logarithmiques dans Histoire de l Acad mie Royale des Sciences et des Belles Lettres de Berlin XVII pp 265 322 Picolopoulos Histoire de la Gr ce antique Ed Piketou 1994 4 Bailey Borwein et Plouffe On the rapid computation of various polylogarithmic constants dans Mathematics of Computation 1997 Lange LJ 1999 An elegant continued fraction for n The American Mathematical Monthly 106 pp 456 458 INTERNETOGRAPHIE 1 Wikipedia http fr wikipedia org wiki Pi 2 Wolfram http mathworld wolfram com Pi html 3 Binary m http www befria nu elias pi binpi html Nous vous recommandons chaudement ce site un magazine allemand l a class en 4 me position des sites www les plus inutiles 4 L univers de x http www pi314 net fr Tablette babylonienne http numberwarrior wordpress com 2008
14. n grandit n devient affreusement gigantesque Stirling a trouv la formule de Stirling qui donne une poustouflante approximation de n en termes de e et 7 n V2rn Cy 65 e La remarquabilit de 65 peut tre admir e sur la figure figurant ci dessous n x Stirling Z 1 Fa 10 ad 5 05 1 2 3 4 5 6 n 29 ETLOGUE Voil c est fini Snif Il ne vous reste maintenant plus qu couter le CD a rien de Kate Bush en particulier la 2 me plage du disque disque qui rappelons le a un rapport perim tre sur diam tre gal 7 Nous vous invitons aussi lire le beau po me tap ci dessous et compter le nombre de lettres de chaque mot Que j aime faire apprendre un nombre utile aux sages Immortel Archim de artiste ing nieur Qui de ton jugement peut priser la valeur Pour moi ton probl me eut de pareils avantages Jadis myst rieux un probl me bloquait Tout l admirable proc d l uvre grandiose Que Pythagore d couvrit aux anciens Grecs O quadrature Vieux tourment du philosophe Insoluble rondeur trop longtemps vous avez D fi Pythagore et ses imitateurs Comment int grer l espace plan circulaire Former un triangle auquel il quivaudra Nouvelle invention Archim de inscrira Dedans un hexagone appr ciera son aire Fonction du rayon Pas trop ne s y tiendra D doublera chaque l ment ant rieur Toujours de
15. que l on quotiente avec le nombre total d aiguilles Au plus qu il y a d aiguilles au plus que ce rapport se rapproche de 2 7 Mais pourquoi 38l 3 6 Al 3 2 2 8F 2 6 2 47 2 27 0 200 400 600 800 1000 nombre d aiguilles 21 Un petit dessin c est bien mais une d monstration c est mieux Nous choisissons donc la d mo Comme bonne maman s crie Quoi tu n aimes pas le dessin agr mentons pour lui faire plaisir notre d mo de quelques croquis craquants Nous allons donc calculer la probabilit qu une aiguille coupe une rainure du parquet en faisant l hypoth se qu aucune aiguille ne s y plante la verticale ce qui aurait pour effet de fausser le r sulat et d ab mer le parquet Faisons tout d abord connaissance avec les variables de Buffon croquis de gauche L est la longueur d une aiguille gale l cart entre deux rainures du parquet x est la distance entre une rainure du parquet et le centre de l aiguille et 0 l angle de l aiguille par rapport aux rainures du parquet On a0 lt x lt Let 0 lt 0 lt x 2 x L 2 sin 6 gt L ST x L 2 sin 8 lt 0 8 La distance verticale entre le centre de l aiguille et son extr mit est de L 2sin 6 L aiguille coupera donc la rainure du haut si x L 2sin 0 gt L et elle coupera la rainure du bas si x L 2 sin 0 lt 0 Dans l
16. 12 03 DISCOGRAPHIE 1 You tube A lecture on 7 http www youtube com watch v Lc _t9aY FuQ 2 You tube Kate Bush x http www youtube com watch v kZSHr5E7fZY 3 You tube The r melody http www youtube com watch v bLM305z5md4
17. De r en r Pierre Carr 31 avril 1592 Editions du KGB EDITORIAL Chers amis lecteurs fid les et infid les c est avec un bonheur et une joie incommensu rables que nous vous proposons cette nouvelle uvre de notre plus pur cru Nous vous livrons dans ce livret tous les secrets du cercle ainsi que toutes les d cimales de 7 Avertissement ceci n est pas une fiction Toute ressemblance des quations pr sent es ici avec les formules trigonom triques bien connues n est pas fortuite Les personnages comme Buffon Plouffe et Machin ont vraiment exist pour de vrai Et r lui m me n est pas imaginaire Il est parfaitement r el Corright Ce document n est soumis aucun droit Toute reproduction ou re distribution de tout de rien ou d 1 partie de ce document est permise mais nous vous serions hypergr de nous en informer pr alablement pierre carre hotmail be Tous vos commentaires r actions quations suggestions et autres affabulations sont ment les bienvenues Toute derni re mise jour 22 mai 2012 1Deux nombres sont dits incommensurables ssi leur rapport est irrationnel Par exemple 1 et v2 ou encore 3 et T PREMI RE EXP RIENCE Nous vous proposons de commencer par une petite exp rience Montez dans le gre nier de grand papa et prenez un vieux 33 tours la Neuvi me Symphonie de Beetho ven par exemple D poussi rez le Prenez ensuite un m tre gradu et une ficelle Pas trop cour
18. ancien qui lui m me pourrait bien avoir t rerecopi d un manuel encore plus ancien et ainsi de suite jusqu au manuel original On y trouve 87 probl mes plus nigmath matiques les uns que les autres Int ressons nous au probl me 16 non plut t au probl me 50 Il s nonce grosso modo Comment trouver l aire d un champ rond de diam tre 9 khet Soustraire 1 9 du diam tre c est dire 1 Il reste 8 Multiplier 8 par 8 ce qui donne 64 Et donc l aire du champ est 64 setja C est tout Le papyrus Rhindien ne fournit pas de d monstration pas de dessin ah si dans le probl me 48 on trouve une figure qui repr sente plus ou moins un octogone inscrit dans un carr Sans commentaire Sur cette base les arch omath maticiens ont avanc l hypoth se qui fera l objet du paragraphe suivant Les Egyptiens auraient eu l ing nieuse id e d enfermer un beau cercle de diam tre 9 dans un magnifique quadrillage de 9 carr s de c t Ils se seraient alors aper u avec stup faction que le cercle collait pas mal du tout avec l octogone tel que repr sent dans la figure ci dessous Ils auraient ensuite constat avec bonheur que les 4 triangles hors octogone couvrent une aire de 18 petits carr s qui peuvent se r arranger le long de 2 bords du grand carr avec un carr un peu redondant Ils ont donc construit avec succ s un carr d peu pr s m me aire que le cercle et donc r solu approximativement la q
19. ans les vapeurs math matiques Dans son illustre trait De la mesure du cercle il traita de la mesure du cercle On y trouve non seulement une estimation du rapport entre p rim tre et diam tre du cercle mais aussi des propri t s remarquables telles que le calcul de l aire du cercle C est ce que nous allons attaquer d entr e de jeu d s la page suivante du pr sent ouvrage Comme tout le monde nous allons nommer le nombre 3 141592 l aide de la lettre 7 y qui est la premi re lettre de mepiuerTpoC p rim tre grec r se prononce pi comme dans pigeons ou pissenlit ou trois quatorze ou encore constante d Archim de 2Central lectrique en fran ais 3Catherine Buisson en fran ais 4On ne sait pas quels cercles il a mesur s mais vraisemblablement pas des 33 tours et encore moins des DVD blue ray AIRE DU DISQUE Qui n a pas d j chantonn lair du disque Nous allons vous d voiler ici comment Ar chim de en personne a compos l aire du disque avec un orchestre de triangles Ouverture Allegro ma non troppo Prenons un cercle de rayon petit r Inscrivons y un polygone r gulier lui m me d coup en plein de triangles isoc les semblables se rencontrant au centre du cercle en prenant soin de grisonner en gris le bord du cercle non inclus dans ces triangles Valse des triangles Moderato R arrangeons ensuite ces triangles de mani re former un parall logramme com
20. bn An bn i tny tn Pn D Pn 1 2Pn 59 Encore un fois a ne saute pas du tout aux yeux mais le duo a prouv que indubi tablement D 2 An m lim Crt a 60 e Approximation de Schpotzermann Wienerschnitzel Assom s par les formules et r currences plus tordues les unes que les autres Schpot zermann amp Wienerschnitzel introduiront en 2024 leur propre formule d approxima tion de m qui vaut ce qu elle vaut V2 V3 3 14626 amp x 61 27 DE L IRRATIONNABILIT ET DE LA TRANSCENDANTALITUDE DE T Quel genre de personnage est m Examinons son caract re de plus pr s Comme il se pla t trainer derri re sa virgule une ribambelle de chiffres il n est pas tr s entier Mais il est loin d tre n gatif car aucun trait ne le signale Ce n est toutefois pas quelqu un de tr s complexe vu que sa partie imaginaire fait d faut Pourtant malgr son manque d imaginaire il n est pas du tout rationnel Il serait m me compl tement irrationnel Et malgr tout a il est enti rement plant dans le r el Voil un caract re bien perturb nous direz vous Depuis qu il existe on a pourtant cherch lui trouver quelque chose de rationnel en esp rant mettre jour une fraction qui s accorderait sa nature capricieuse Il y eu quelques belles tentatives avec 22 7 256 81 339 108 etc mais rien n y fit que nenni m finit toujours par para tre en d saccord au plus profond de ses d
21. cet ouvrage et la t te du lecteur Quoi qu en dise bonne maman nous nous contenterons de vous balancer ici en vrac quelques formules plus d coiffantes les unes que les autres e Produit de Wallis Le produit de Wallis a t produit par Wallis en s zcensinkantsinc On vous l a reproduit ici 2 A 244 Taje JI 2k e a AT 50 k 1 Notez que le grand m n a absolument strictement rien voir avec le petit x e Probl me de B le Pos en 1644 par Mengoli n en 1626 Bologne et mort en 1686 Bologne le probl me de B le a t r solu en 1735 par Euler n en 1707 B le et mort en 1783 Saint P tersbourg et inspirera plus tard Riemann n en 1826 Breselenz et mort en 1866 Selasca environ 314 km de B le Le probl me b lois consistait simplement calculer la somme des carr s des inverses des naturels o0 k 1 2 1 PS 51 1 27 E 3 1 1 EAN e Formule alambiqu e de Ramanujan Srinivasa Aiyangar Ramanujan est un math maticien indien du d but du XX me si cle n en Inde et mort en Inde et connu pour avoir pondu en Inde une flopp e de formules math matiques plus abracadabrantes les unes que les autres dont un bon nombre sont li es m Voici une de ses productions d lirantes D 2 4k 1103 26390k m 98012 k 43964k 52 Le point d exclamation n est pas un point d exclamation mais une factorielle Cette formule serait arriv e dans la t
22. cimales C est le grand psychamath maliste Johann Heinrich Lambert qui diagnostiqua l irrationalitude de r dans un rapport accablant mais tout ce qu il y a de plus rationnel Il recourut du d veloppement en fractions continues de tan a b un psychotest en vogue l poque tan 62 bo pa o 2 3b 5b a Tb et savait que lorsque a et b sont des entiers non nuls ce proc d produit toujours un irrationnel Or introduisant respectivement m et 4 dans sa machine en lieu et place de a et b il obtint tan r 4 1 qui est lui tout fait rationnel Sa d duction fut implacable de m ou de 4 un des deux devait tre irrationnel Comme 4 fut lav de tout soup on sa conclusion ne se fit pas attendre l irrationalitude de m tait prouv e et fit d s le lendemain la une de la presse r pel de l poque Comme si les psys de tous poils ne s taient pas assez acharn s sur ce pauvre m un certain Charles Hermite se plut en 1873 de rapporter qu il le pensait dot de pouvoir transcendantal sur la simple base que 7 se refusait d annuler tout polyn me coefficients rationnels quel qu il soit Sa preuve s appuyait sur une carte postale de Lindemann qui mentionnait qu il passait d excellentes vacances en Autriche que le d ner de l h tel tait tr s bon et aussi que si x tait alg brique alors e tait automatiquement transcandent Hermite ayant appris l cole que e 1
23. e croquis de droite nous avons colori en gris le domaine pour lequel l une ou l autre de ces relations est v rifi e dans un plan 6 x Puisque la distribution de probabilit de x sur l intervalle 0 L et de 0 sur l intervalle 0 7 2 est uniforme c est dire que toute position du centre de l aiguille et toute orienta tion de l aiguille sont quiprobables on peut en conclure que la probabilit que l aiguille coupe une des rainures est donn par le rapport entre l aire de la surface gris e et l aire du rectangle 0 7 2 x 0 L L aire du rectangle est Arectange L x 7 2 L aire de la surface gris e est 7 2 L 72 Agris 2 2 sin 0d0 L cos8 L 46 0 Donc la probabilit que l aiguille coupe une des rainures est Agris L 2 ZE 47 Arectangle Lr 2 T l Pour contrer les grincheux qui objecterons qu on se trouve rarement avec un paquet d aiguilles sur un parquet constitu de planches de m me largeur que la longueur des aiguilles on peut ais ment g n raliser ce r sultat pour des aiguilles de longueur a et un parquet dont les rainures sont espac es de b avec a lt b la proportion d aiguilles cheval est 2a xb 22 D VELOPPEMENT DE 7 EN FRACTIONS DE FRACTIONS DE FRACTIONS DE Nous vous d voilons ici le mode d emploi de construction de 7 en fractions de fractions de fractions de fractions de fractions de fractions de plus courtement appel es fractions
24. l 2sin a 2 2sin r n et donc le p rim tre de ce ngone est 2nsin r n Par ailleurs le ngone circonscrit se subdivise en n triangles isoc les dont la hauteur vaut 1 et l angle entre ces 2 c t s vaut galement 27 n On trouve alors que le 3 me c t est gal 2tan a 2 2tan r n et donc le p rim tre de ce ngone est 2n tan r n On d finit alors les demi p rim tres des ngones inscrit et circonscrit par Sn et Tn Sn on nsin n 3 Thn T n tan n LC SE SIN 2 2 ci L 2sinZ 1 L 2 tan L 2 L 2tan 2 U2 et on a donc coinc m dans l tau Sa lt r lt T 4 En faisant tendre n vers linfini les ngones sont de plus en plus proches du cercle et Sn et T vont se resserer autour de m A l infinie limite on a lim nsin r lim ntan 2 5 n n 00 n n 00 C est joli mais on se mord la queue on cherche m et on se retrouve avec m dans les quations Et c est d un coup de baguette trigonom trique qu on va faire dispara tre les 7 en prouvant les formules suivantes qui vont nous permettre de calculer les demi p rim tres des 2ngones en fonction de ceux des ngones Son y Sn Lan D o o 6 D CR T Rassurez vous ces formules ne sont pas sorties d un chapeau magique tel un lapin blanc Elles peuvent se d montrer Commen ons par la premi re quation T T oT T Salon nsin z 2n tan m 2n sin tan z gt TT sin
25. me le sugg re la figure ci dessous en alternant la position des triangles un sur ses pieds le suivant sur sa t te etc L aire de ce parall logramme est base fois hauteur o base est la base du parall logramme hauteur est la hauteur du parall logramme et fois est l op rateur commutatif de multiplication dans l ensemble R La base vaut peu pr s l h mi p rim tre du cercle c est dire 27r 2 mr et d faut de hauteur on voit que le c t oblique correspond au rayon du cercle petit r On s aper oit que on prend de triangles la zone gris e en gris est grande la base du parall logramme se rapproche de l h mi p rim tre du cercle le c t oblique est oblique et le parall logramme ressemble un rectangle Final Presto A l infinie limite a colle merveille Donc l aire du disque est gale laire du parall logramme rectangle et de fait mr x r mr Applaudissements Bis sectrice Tout disque a une aire quivalente celle du triangle rectangle pour lequel on a le rayon du disque gale l un des c t s adjacents l angle droit du triangle et le p rim tre du disque gal l autre c t adjacent l angle droit du triangle Le v rifier est un jeu d enfants Nous le laissons donc aux enfants Applaudissements 5Nous abuserons volontiers de langage et utiliserons accidentellement cercle disque rond ou lieu des
26. n lui dit tu n aimes pas la cravate polygonale Tout a pour dire que nous avons fait le choix de ne pas d montrer 31 au risque d en d cevoir quelques uns 10 A ce propos nous vous recommandons vivement l uvre mirifique de Schpotzermann amp Wienersch nitzel Du nombre d or 16 FORMULE DE PLOUFFE La formule de Plouffe 1995 aussi appel e BBP Ba ley Borwein Plouffe est une somme infinie de sommes de 4 fractions 1 TDT 8k 1 8k 4 8k 5 Au risque de d cevoir bonne maman nous choisissons cette fois cil de d montrer la BBP Et quand faut y aller faut y aller Jetons nous l H 0 Plouf Tout d abord montrons que 1 1 V2 2 n 1 8 2 16F 8k n va E 4 Ge En effet voyons a de plus pr s en d marrant adroitement par le membre de droite e 1 V2 i qr t8k 1 V2 V2 I aq V2 E 0 8k nl 1 n 8k 2 A v 8k n 1 n 1 8k da G FAVAL AVA v2 8k n 2 1 _ 2 8k n 1 __ 16 8k n 33 Sommons infiniment les termes de 32 lt 1 7 A a T n 4 2 16 84 n gt FFE 34 ne pas confondre avec 42 123 l aide d une loupe ou d un t l scope 17 Cette X d f peut s expliciter co 1 V2 1 V2 1 V2 1 V2 i a LE dr x ldx x tt8de f DE de k 0 0 g 1 V2 x lyg 1 gr Fe Vo z 1 V2 L1 z r Ndx 1 V2 al Il e e S o pour la derni re tape nous avons utilis le d veloppement en s rie
27. p rim tre Ils devaient savoir sans aucun doute que l aire tait proportionnelle au p rim tre du disque et de fait un calcul enfantin nous apprend que P 47 Si les babyloniciens le savaient il est naturel qu ils aient commenc par calculer P ce qui explique tout naturellement le 9 droite du cercle et obtenu 9 47 Comment expliquer le 45 Il faut savoir que les babylonieux comptaient en base 60 En faisant jouer une fois de plus notre imagination on peut supposer que 45 est en fait 45 60 une estimation de l aire du disque En comparant cette fraction avec 9 47 on en d duit que les babylonistes avaient d duit que m 3 Dans d autres tablettes on trouve des tables d aires pour divers polygones r guliers ainsi qu une estimation de m en comparant un cercle avec un hexagone y inscrit et qui a livr une valeur de x gale 3 1 8 25 8 3 125 Archim de a red couvert cette m thode Nous y reviendrons plus tard mais avant partons pour un petit voyage en Egypte 6Pour d coder les signes cun iformes sans tomber dans le panneau nous vous invitons consulter l ouvrage remarquable que nous allons crire prochainement ESTIMATION GYPTIENNE DE 7 Vers 1650 les Egyptiens aussi s taient pench s sur m Le fameux papyrus de Rhind contient le texte recopi vers l an 1650 avant notre R par le scribe gyptien Ahm s d un manuel de probl mes math matiques encore plus
28. p m p L vi 2 It s the ratio ol the circumference ol d circle to its diameter Pi 3 14159 and Exploratonomaisland ExploratoriU malaon eZ 20 TROUVER 7 PAR HASARD On peut trouver m en jouant au vogelrk Pour cela il vous faut une cible de forme carr e dans laquelle on coince un rond et des fl chettes Lancez les fl chettes dans la cible Comme vous ne jouez pas mal on supposera que toutes les fl chettes se plantent dans le carr de mani re uniform ment uniforme La proportion de fl chettes qui se planteront l int rieur du cercle sera gale au rapport entre l aire du cercle et celle du carr soit 7 4 Evidemment si on veut trouver m avec une bonne pr cision il faudra lancer tout plein de fl chettes ou la m me fl chette que vous lancerez tout plein de fois Avec 103 lancers on tombera sur 7m avec 3 d cimales avec 104 lancers on captera m avec 4 d cimales etc 3 8 3 6 3 47 3 2 3 28 2 6 24 2 2 o 200 400 600 800 1000 nombres de fl chettes Dans le m me genre d id e on peut aussi tenter l exp rience des aiguilles de Buffon que l on doit Georges Louis Leclerc Comte de Buffon Il s agit de lancer d un coup une flopp e d aiguilles identiques sur un parquet compos de planches parall les de m me largeur gale la longueur de l aiguille On comptabilise alors le nombre d aiguilles qui tombent cheval sur une rainure du parquet
29. points quidistants un point donn PREMI RES TRACES DE 7 DANS L ARGILE On trouve les premi res estimations de la constante d Archim de sur des tablettes ba byloniennes datant d environ 2000 ans avant A S o A S n est autre qu Archim de de Syracuse Les arch ologues ont d nich des tablettes d argile o est grav e en signes cun iformes cryptiques d crypt s une flopp e de calculs astronomiques et g om triques Nous en avons d terr e une rien que pour vous Il s agit de la tablette YBC7302 o Y n est autre que Vale B est bien entendu Babylonian C est videmment Collection et 7302 est un multiple de 6 Premi rement d codons le code babylonique Sur le panneau qui se trouve tout fait gauche nous avons copi coll la tablette sur laquelle on distingue un cercle et des traces en forme de clou Pour plus de clarification sur le panneau qui n est ni gauche ni droite nous avons simplement reproduit en clair les symboles cun iformes ainsi que le cercle tels que grav s dans l argile Enfin pour encore plus de clarification sur le panneau qui n est pas un des pr c dents nous avons traduit les nombres en arabef Maintenant tentons de comprendre ce que les babyloniens ont tent de faire subir cette tablette On peut imaginer que le 3 qui colle au bord du cercle est le p rim tre P du cercle Imaginons qu ils eurent voulu calculer l aire du disque partir de ce
30. re de droite de 0 t arctan t EEE 12 En particulier si t 1 il surgit aeia e a e 13 3 5 7 9 Mais on sait aussi que l angle dont la tangente vaut 1 n est autre que 7 4 kapi pr s arctan 1 T 14 et du coup _4 Erg Et pour faire plus chic on peut compacter cette s rie en lt 1 Lo 2 2k 1 16 Sur le graphe grav ci dessous nous illustrons la convergence de 16 Chaque terme suppl mentaire nous rapproche un peu plus de m qui est pointill en rouge On note aussi une alternance de valeurs plus grandes que et de valeurs plus petites que m C est cause du 1 Plus exactement Madhava de Sangamagrama qui comme son nom l indique contient beaucoup de a dans son nom 12 A w 9 3 6 2 34 N O TD 3 2 3 LIL E D 3 28 26 0 20 60 80 100 nombre de termes Cette s rie converge tr s lentement Avec 100 termes on trouve 3 1514 et apr s 1000 termes on trouve 3 1425 Seules 2 d cimales sont OK C est pas terrible Heureusement pour les impatients des variantes ont t propos es Ainsi une autre contribution de Madhava est r VED EE s L vVB i t3 75t 17 Vers 1650 avant A S avec 17 et sans ordinateur Madhava a r ussi se rapprocher de x avec 11 d cimales correctes Le tableau ci dessous permet de comparer les performances des Greg s amp Madhava s for mules On voit visiblemen
31. t que c est Madhava qui remporte haut la main la course 7 Chapeau l indien Greg s formule 16 Madhava s formule 17 2 3 4 5 6 7 8 9 4 0000000000000 2 6666666666667 3 4666666666667 2 8952380952381 3 3396825396825 2 9760461760462 3 2837384837385 3 0170718170718 3 2523659347189 3 0418396189294 3 4641016151378 3 0792014356780 3 1561814715700 3 1378528915957 3 1426047456631 3 1413087854629 3 1416743126988 3 1415687159418 3 1415997738115 3 1415905109381 13 plus grand que 7 plus petit que x plus grand que 7 plus petit que x plus grand que 7 plus petit que x plus grand que 7 plus petit que x plus grand que 7 plus petit que x FORMULE DE MACHIN TAJ i 1 R 1 i arc an arctan 730 Comment d montrer ce machin vous dites vous Eh bien on vous le donne en 1000 Nous allons calculer tan 4x en fonction de tan x Tout d abord il faut se rappeler que tan a tanb t b 18 Are 1 tana tan b e Par 18 si a b x on a 2tanx tan 2r 19 A D pepe 19 Et repar 18 on rea 2tan2x tan 4x tan 2 2 Z an 4x an 2 2x Do 2tanx E 1 tan i 4tan x 1 tan x __ 4tan ae tan a 20 1 6 tanf x tan x Consid rons maintenant l ixe suivant 1 x arctan 5 21 et faisons lui subir 20 1 1 A 1 1 120 tan arctan a 119 22 25 625 Par ailleurs on se souvient que tana tanb t b
32. te mais pas trop longue non plus Avec le m tre gradu mesurez le rayon du disque c est dire la distance du centre du petit trou central au bord du disque D duisez en le diam tre c est facile c est 2 fois le rayon Utilisez ensuite la ficelle pour mesurer le contour du disque et reportez le sur le m tre gradu C est le p rim tre du disque Sortez ensuite de votre poche une petite calculette et ex cutez le rapport entre le p rim tre du disque et son diam tre Vous devriez obtenir approximativement 3 1415926535897932384626433832795028841971693993751058 20974944592307816406286 20899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848 11174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482 3378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127 Vous pouvez ensuite recommencer avec un 45 tours de Kraftwerk Et vous constaterez que cela fonctionne aussi Vous pouvez m me tenter l exp rience avec un CD de Kate Bush les roues de votre bicyclette ou les cr pes de bonne maman et a marchera encore Eureka evpnka Maintenant calmons nous Cette exp rience a d j t r alis e quelques billions et une bonne dizaine de fois et ce bien avant que vous ne soyez n s Archim de de Syracuse vers 250 avant J C o J C n est autre que J sus Christ ne passa pas toute sa vie regarder des objets plong s dans les liquides des bains publics Il baignait aussi d
33. uadrature du cercle Et m dans tout ca On ne sait pas si les Egyptiens avaient conscience de l existence de m qui n apparait nulle part dans ces calculs mais nous pouvons d duire de leur construction une approximation de m D apr s leur quadrature du cercle on a 7 9 2 64 d o m 256 81 3 16049 ce qui n est pas trop mal TLe lecteur perspicace aura compris qu un setjat n est rien d autre qu un khet au carr M THODE DES PETITS CARR S Une autre estimation de x peut tre faite en comptant des petits carr s L id e est exces sivement simplissime Prenez un grand carr et grillez le en n x n sous carr s Comptez ensuite le nombre de sous carr s qui se trouvent encercl s dans le cercle inscrit dans le grand carr Un carr est consid r encercl si son centre est dans ou sur le cercle Pour bien les rep rer on va colorier ces sous carr s encercl s en rouge et on va les appeler carr s rouges 2 Puisqu on sait que l aire du disque est Asque 77 et que laire du grand carr est 2 i Arandcarr 2r On 2 Adisque MAN TT T PB a 1 yrandcarre 2r 4 l Comme l aire est proportionnelle au nombre de carr s on trouve que Fi 4 x nombre de carr s rouges 4 x nombre de carr s rouges mora e a a a nombre de carr s total n2 a w o N 7 w k
34. x cases de la ligne du dessus comme l explique si bien la formule 58 On constate alors que les valeurs sur la diagonale convergent vers 7 lim Pkk T k 00 Il est possible mais non n cessaire de remplir les cases hachur es sous la diagonale Vu la non n c ssairit de cette op ration on s abstiendra Il est en revanche impos sible mais n c ssaire de remplir les cases vides restantes au dessus de la diagonale Impossible car il faudrait tout d abord calculer les termes suppl mentaires sur la premi re ligne Or ce n est pas pr vu dans notre tableau Il est toutefois n c ssaire de les calculer pour avancer sur la diagonale et se rapporcher de m Nous laissons au lecteur calculateur le plaisir d agrandir et de compl ter notre remarquable tableau Il pourra ainsi v rifier que P10 10 3 141592653 26 ve ms a er per e ne na asw sarr arora ss a a au on na a an an es fanfare ns ara she ae EEE e R currence tarabisquot e de Salamin amp Brent En 1975 alors que Sir John Warcup Kappa Cornforth recevait le prix Nobel de Chimie pour son travail sur la sto chiom trie des r actions enzymatiques Salamin amp Brent ont avanc une quadruple r currence tarabisquot e bas e sur la moyenne arithm tico g om trique qui converge ind niablement vers m On prend comme valeurs initiales 1 ao 1 bo b msl 1 V2 et on r curre de la mani re suivante An bn An 3 2 ba An
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