Dimensionnement dynamique d`un banc d`essai de voie ferrée à
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1. partir de ce fichier le programme COND_ABS cherche des n uds dans la couche absorbante et ajoute des l ments d amortissement ponctuels SP3A ces n uds Les nouvelles donn es sont cri tes dans un deuxi me fichier prob_abs data Ensuite le programme CHMOB lit les donn es dans le fichier prob_abs data et ajoute des donn es pour simuler des charges qui se d placent suivant une ou plusieurs ligne droite Les amplitudes des charges peuvent tre constantes ou varier en fonction du temps CHMOB cr e un nouveau fichier prob_mob data que l on peut lancer avec CESAR pour obtenir les r sultats La description d taill e des outils COND_ ABS et CHMOB est pr sent e par la suite La couche absorbante est construite par un ensemble de plusieurs blocs Chaque bloc est d fini par 8 n uds dont les n uds 1 2 3 et 4 d finissent la fronti re int rieure sur laquelle n nmin et les n uds 5 6 7 et 8 d finissent la fronti re ext rieure sur laquelle n nmax Fig 7 Dans un bloc i on d finit n couches L outil CONDABS va chercher les n uds qui se trouvent chaque couche et ajouter ces n uds les l ments d amortissement SP3A La valeur d amortissement sur une couche j d finie par 4 n uds A B C et D est constante et est d finie par l quation 8 o x et d sont res pectivement les distances des centres de ABCD 1 234 et de 5 678 1 234 En pratique l utilisation de l outil CONDABS se fait2. ta a ba mE DET TE kia e 7 g d 1 WE 1 i sem EE TE EE sisi sis mi sms a 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Fr quence Hz TABLEAU Valeurs des caract ristiques des mat riaux Mat riaux Coefficient de Poisson Sable 10 0 25 champ d acc l ration et en appliquant la charge mobile M 100 m s l chelle r elle L utilisation de la couche de sable 2 5 m permet d avoir une plate forme proche de la plate forme r elle Les carac t ristiques physiques et m caniques des mat riaux sont donn es dans le tableau I Premier crit re de dimensionnement Du fait que l on ne s int resse pas aux comportements des blochets on peut liminer les traverses dans la mod lisation en l ments finis pour des raisons de simplicit afin de r pondre au crit re 1 Toutes les couches sont mod lis es par des l ments volumiques de type MTH8 hexa dre 8 n uds avec trois degr s de libert par n ud Le portique constitu d un ensemble de poutres est mod lis par des l ments de poutres PT2 six degr s de libert par n ud Les deux types d l ments sont assembl s l aide de poutres dix fois plus raides que celles du portique qui servent transformer les degr s de libert de rotation 0 0 et 07 en degr s de libert de d placement u v et w Fig 11 Les v rins sont simul s par des l ments sp ciaux de type masse SP3M Conditions aux limites On bloque tous le
3. chelle r duite avec une vitesse Van 100 V3 m s X 0 64 et Y 0 38 faca charg s de ballast Sf amp E E i5 E 0 r 2 3 l FR F s E E a f i i 05 F m aoi 002 00 004 008 000 007 00 oa ol 0 001 og oo oo 005 ow ar ooa 00 dd temps s temps 5 O Figure 14 Acc l ration verticale Deuxi me crit re de dimensionnement Afin de r pondre au crit re 2 on remplace la fondation en b ton qui supporte la structure pour des raisons de simplicit par une barre semi infinie lastique lin aire Cette barre a les m mes caract ristiques m caniques que le b ton Une force longitudinale F t est appliqu e en x 0 repr sentant les r actions sur le fond encastr du mod le Cette force qui est fonction du temps peut tre d termin e en multipliant la contrainte verticale maximale o sur le fond par sa surface S E t 6 5 La transform e de Fourier de l acc l ration en x 0 sera projet e sur les courbes pr sent es sur la figure 10 pour valuer l influence de la vibration verticale sur le confort humain L quation d quilibre dynamique d une barre homog ne dans le cas lastique lin aire un point x s crit comme suit BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 U x 2 2 U x t w EE a ot ox G 0 t S Es fU t F t ox 0 xef0 o et t gt 0 13
4. o U x t est le d placement longitudinal l instant t du point M situ en x et o 0 t la contrainte x 0 t c la c l rit de l onde c VE p E et p sont respectivement le module d Young et la densit de la barre et S la section de la barre 1 Notons x w f U x t e tdt la transform e de Fourier de U est alors solution du pro 27 bl me suivant J U Xw w n an U x w 0 ox c 14 ES TON fw ox La solution peut tre crite sous la forme suivante x w tuie 15 En se servant de la condition aux limites on peut crire oo ee 16 LE o v w est la transform e de Fourier de la vitesse en x 0 En effectuant la transform e de Fourier inverse on obtient la vitesse en x 0 en fonction du temps F t v t 17 an JE 17 Et l acc l ration en x 0 est donn e par la formule suivante mE dv t __1 dF t 18 dt SpE dt Comme la force F t est sous une forme num rique l acc l ration et sa transform e sont d termin es num riquement L acc l ration sur la figure 15 est obtenue en d rivant la vitesse par rapport au temps l aide de la s rie de Taylor sa transform e de Fourier est d termin e en utilisant la transfor mation de Fourier rapide En tra ant le module de la transform e de Fourier de l acc l ration en x 0 O Figure 15 Acc l ration en x 0 base de la structure acc l ration m s 0 01 0 02 0 03 0 04
5. Dans le cas 2D on traite un demi espace infini soumis une charge harmonique fixe 10 Hz appli qu e sa surface libre La solution analytique de ce probl me qui permet d avoir les d placements en un point x y en r gime stationnaire est d finie par Achenbach 6 Un deuxi me exemple est abord avec une charge constante qui se d place sur la surface libre d un demi espace infini dont la solution analytique est donn e par Eringen 7 Les m mes exemples trait s dans le cas 2D sont aussi abord s en 3D La solution analytique en 3D est obtenue gr ce une m thode semi analytique qui permet de r soudre le probl me lin aire de la propagation des ondes dues aux forces appliqu es sur la surface en r gime permanent dans un milieu solide multicouche 8 Dans les cas 2D et 3D les calculs en l ments finis avec des l ments d amortissement pour simu ler le demi espace infini donnent de bons r sultats d placements et contraintes verticaux en com paraison avec ceux d termin s partir des solutions analytiques BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 La figure 8 montre un maillage 3D d une moiti d un demi espace infini Dans ce maillage les paisseurs des couches absorbantes dans les directions horizontales ox et oy sont identiques et valent 25 m La figure 9 pr sente les courbes de d placements obtenues au niveau z 0 6 m pa
6. 0 05 0 08 0 07 0 08 0 09 i temps s BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 aq TFlac ninon SEUIL DE PERCEPTION D EPLAISANT INTOLERABLE Pks d acc l rathon g Le TFlacc l ration mw 4 fi 20 40 a Ba 100 120 140 180 iag 200 3 Fr quence Hz O Figure 16 Module de la transformation de Fourier de l acc l ration sur la m me figure repr sentant les courbes d valuation de la sensibilit humaine une vibration verticale Fig 16 on constate que cette acc l ration ou bien cette vibration ne sera pas per ue par l homme Comparaison num rique banc d essai mod le de voie chelle r elle Une comparaison num rique en utilisant la m thode des l ments finis CESAR est envisag e entre un mod le de voie chelle r elle et le banc d essai chelle r duite avec des bords limit s L int r t de cette comparaison est de v rifier si l on reste toujours dans le m me ordre de grandeur de d pla cement de contrainte et d acc l ration en passant de l chelle r duite l chelle r elle Le mod le chelle r elle sur la figure 17 est repr sent par quarante huit traverses Des couches absorbantes constitu es d l ments d amortissement sont utilis es dans le calcul dynamique afin d absorber les ondes incidentes et les ondes r fl chies En consid rant que la voie
7. AK Perfectly matched layers for time harmonic elastodynamics of unbounded domains theory and finite element implementation Computer methods in applied mechanics and engineering vol 192 Issues 11 12 14 mars 2003 pp 1337 1375 6 ACHENBACH J D Wave Propagation in Elastic Solids North Holland 1973 7 ERINGEN E S SUHUBI A C Elastodynamics vol 2 Linear theory Academic Press 1975 8 NGUYEN V H Comportement dynamique de structures non lin aires soumises des charges mobiles Th se de doctorat Ecole Nationale des Ponts et Chauss es janvier 2002 9 Code CESAR LCPC 3 3 Mode d emploi deuxi me partie LCPC Service m canique section mod les num ri ques juillet 2001 10 HARRIS M CREDE E Shock and vibration handbook McGraw Hill 1961 11 ATHANASOPOULOS G A PELEKIS P C Ground vibrations from sheetpile driving in urban environment measurements analysis and effects on buildings and occupants Soil dynamics and earthquake engineering vol 19 Issue 5 juillet 2000 pp 371 387 12 Code CESAR LCPC 3 1 Manuel th orique LCPC Service m canique section mod les num riques 1983 1984 13 BATHE KJ Finite element procedures in engineering analysis Prentice Hall 1982 BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242
8. consists of applying realistic boundary conditions in particular infinite half space conditions Simple computations using the CESAR LCPC finite element code were performed by considering that all test bench components exhibit linear elastic behavior and under a mobile M shaped load at 100 m s at real scale in order to respond to the set of dimensionnement R os design criteria DOMAINE Sciences de l ing nieur FIELD Engineering sciences INTRODUCTION Depuis l existence des voies ferr es ballast es les chercheurs essaient de mieux conna tre la r ponse de la voie aux passages des trains en tudiant les comportements de chaque constituant de la voie et plus pr cis ment celui du ballast la composante qui r siste la plupart des efforts exerc s sur la voie Plusieurs types d tudes exp rimentales sont men s dans ce cadre les essais classiques les essais chelle r elle et ceux chelle r duite Les essais classiques comportent des essais la bo te de Casagrande et l appareil triaxial Une des premi res tudes chelle r elle est celle de Vienne Arsenal 1 En 1999 le LAMI a d velopp un essai chelle r duite 1 3 appel BETTER 2 repro duisant une portion de voie constitu e d une traverse Il labore actuellement un essai chelle r duite 1 3 repr sentant une portion de voie constitu e de cinq traverses bi blocs afin de simuler le passage d une charge roulante Tr
9. e repr sente le transpos est le i i me pulsation amp le taux d amortissement qui correspond au i i me mode propre et repr sente le symbole de Kronecker En substituant l quation 9 dans l quation 10 et en s appuyant sur le fait que les vecteurs propres sont K et M orthogsonaux on obtient pour i An B 20 11 Pour calculer A et B il suffit donc de conna tre deux fr quences propres convenables et les taux d amortissement correspondants On consid re que le mod le a le m me taux d amortissement E s 615 10 pour le cinqui me et le quinzi me modes propres Fig 12 Calcul en vibration forc e Les forces exerc es sur le banc d essai par les v rins sont simul es par des forces verticales ayant la forme de la lettre M selon le troisi me degr de libert w Deux types de force sont appliqu s Le premier type est repr sent par des forces concentr es aux n uds sur les quels les v rins sont situ s force de r action Le deuxi me est de type pression forces surfaciques uniform ment r parties sur dix surfaces correspondant aux cinq traverses o chaque surface est gale celle du fond d un blochet l chelle r duite 1 3 0 28 x 0 097 m2 Toutes les forces ont le m me module mais avec un d calage de temps jd v o j repr sente le num ro de la traverse La r sultante de la force appliqu e sur la traverse j galement sur la position du v rin j lors du passage
10. po ee 5 La transformation de Fourier de la charge dans l quation pr c dente est donn e par wd 2 2v InX iw N 1 W L a i nd 2v 7inX 2V 20 F t Q v N x 104 TFIF t Q v I N 3 5 180 160 140 120 Lo A222 22222222 LLb CEE E E E ed ed ae oa E POE EEE ITE SEERE EE PEE EE A ESAE S N S IE OE ER E P E OL Aaa a Le a a 610 BRUN E T ER N LE EE EP ETE OEE RE ES AO AA Re benN banna L aa Ale dE da dde de L ET 0 O 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 0 14 0 16 0 18 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temps s Fr quence Hz O Figure 3 Passage d un bogie sur un blochet la force appliqu e et sa transform e de Fourier MOD LISATION PAR L MENTS FINIS CODE CES AR Technique de description d une charge mobile Pour les probl mes de charges mobiles il n y a pas seulement l amplitude de charge recalculer apr s chaque pas de temps mais aussi sa position Dans la mod lisation par l ments finis il faut repositionner chaque pas de temps les n uds qui sont concern s par la charge Si ce pas de temps la position de la charge ne correspond pas celle d un n ud elle peut n anmoins tre repr sent e par des charges quivalentes aux n uds du voisinage La figure 4 donne ainsi un exemple dans lequel on consid re une charge mobile d amplitude P t qui se d place sur deux l ments cons cutifs d finis par les n uds 1 2 et 2 3 apr s u
11. pos sur un massif contenant plusieurs couches de mat riaux diff rents afin de bien simuler un demi espace infini La couche de ballast est limit e d un c t par un plan inclin talus qui repr sente le bord libre du ballast alors que sur la face oppos e se trouve un plan vertical qui est le plan de sym trie de la plate forme Fig 2 Le portique est solidaire de la dalle et supporte les v rins paliers hydrostatiques Trois traverses sont charg es par l interm diaire d une pi ce de r partition en acier de mani re pouvoir obtenir un niveau de chargement vertical identique sur les deux blochets de la m me traverse Afin de simu ler le passage d un train le signal de force est appliqu sur les traverses avec un d calage en temps Le massif comprend du haut vers le bas une dalle en acier 0 07 m d paisseur une couche de b ton 1 m entour e par des plaquettes de polystyr ne une ou plusieurs couche s d terminer selon les crit res d finis plus loin Tous les constituants du banc d essai portion de voie massif sont sup port s par une fondation en b ton arm e capable de supporter le poids du banc V rins hydrauliques Blochet Ballast Sable Dalle en acier B ton Couches d terminer CO Figure 1 CO Figure 2 Traverse chelle r duite 1 3 Essai chelle r duite 1 3 Lois de similitude conservation du champ d acc l ration Du fait que l on s int resse a
12. Dimensionnement dynamique d un banc d essai de voie ferr e chelle r duite avec le code CESAR LCPC Ali AL SHAER Denis DUHAMEL Karam SAB Vu Hieu NGUYEN Gilles FORET Institut Navier LAMI ENPC LCPC Erick MERLIOT Laboratoire Central des Ponts et Chauss es Laurent SCHMITT SNCF Direction de la Recherche et de la Technologie ABSTRACT DYNAMIC DESIGN OF A REDUCED SCALE RAILWAY TEST BENCH USING THE CESAR LCPC COMPUTATION CODE Le LAMI est en train d laborer un essai chelle r duite 1 3 repr sentant une portion de la voie ferr e cinq traverses dont trois sont mises en charge l aide de v rins hydrauliques simulant le passage des trains Une des difficult s dans la r alisation d un tel essai est l application de conditions aux limites semblables la r alit en particulier les conditions de demi espace infini Des calculs simples avec CESAR LCPC ont t r alis s en consid rant que tous les constituants du banc d essai ont un comportement lastique lin aire et sous l action d une charge en forme de M 100 m s l chelle r elle afin de r pondre aux crit res de The LAMI laboratory is in the process of deriving a redu ced scale test 1 3 scale representing a portion of a railway track with five sleepers for which three sleepers have been loaded using hydraulic jacks that simulate the rolling of trains One of the difficulties encountered during development of such a test
13. IE TEF Ear e E e TRAA T TTT AE ES E EET E S IN s DET EE F Li LTT 4 Y 10 m CT Sable Amortisseur File de rail Demi entretoise En Ballast E Sable 385m Maillage d une moiti de la voie ferr e r elle 43 646 n uds Ain hs O Figure 18 Maillage d une moiti du banc d essai 27 794 n uds O Figure 17 BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 La figure 19 montre le d placement l instant t sur une ligne passant par le fond des blochets et parall le l axe de d placement de la charge t repr sente pour le banc d essai l instant auquel le deuxi me pic de la force M arrive la troisi me traverse t 0 0665 s pour v 100 m s Pour le mod le chelle r elle avec deux forces t est l instant auquel la deuxi me force concentr e arrive la onzi me traverse parmi les traverses charg es t 0 0915 s pour v 100 m s Pour le cas du mod le chelle r elle avec une seule force concentr e t d signe le temps auquel la force arrive la onzi me traverse charg e t 0 0615 s pour v 100 m s Autrement dit la traverse 11 parmi les tra verses charg es du mod le chelle r elle est repr sent e par la traverse 3 dans le cas du banc d essai Les courbes des contraintes et des acc l rations appartiennent au n ud situ sur le fond du blochet num ro 3 dans le cas du ban
14. c l ration maximale sur la surface sup rieure de la dalle en acier ne d passe pas 0 5 de l acc l ration gravitationnelle L acc l ration dans la fondation en b ton arm reste toujours en dessous du seuil de perception de l homme et avec trois traverses sollicit es une vitesse de 100 m s l chelle r elle on obtient une acc l ration tr s proche de celle obtenue dans le cas du mod le de voie chelle r elle Cela est bien justifi par la loi de similitude adopt e et assure que le banc d essai chelle r duite est une bonne repr sentation de la voie r elle Les r sultats num riques montrent une diff rence entre le banc d essai et le mod le r elle au niveau des d placements et des contraintes qui peut provenir des effets de la loi de similitude qui conserve le champ d acc l ration de la force approximative de forme M et d un essai avec des bords limit s R F RENCES BIBLIOGRAPHIQUES 1 BALSAN M Un mod le math matique de la voie ferr e moderne Th se de doctorat cole Nationale des Ponts et Chauss es ENPC 1980 2 BODIN V Comportement du ballast des voies ferr es soumises un chargement vertical et lat ral Th se de doc torat Ecole Nationale des Ponts et Chauss es 19 juin 2001 31 SAUVAGE G Railway track vertical static behaviour INRETS LTN janvier 1993 4 ALAOUI A NACIRI T Les voies ballast es EUROBALT CERAM ENPC Rapport technique 1995 5 BASU U CHOPRA
15. c d essai et sur le fond du blochet num ro 11 dans le cas du mod le chelle r elle Pour le banc d essai E 3 on constate des d placements positifs cf Fig 19 et des acc l rations qui d passent l acc l ration gravitationnelle Fig 20 Cela peut tre expliqu par le fait que l on utilise des mat riaux avec des modules d Young trois fois plus faibles ce qui rend l acc l ration plus lev e En outre on obtient un bon accord entre les acc l rations dans le cas du banc d essai E et celles dans le cas voie r elle 2 forces D placement vertical m x 107 v 100 m s 10 v 100 m s a5 T fa p i i mu irit te i tr r er DA A kii Rrini _ 05 i Fa g Le e j E E 13 i E m 1 j 25 LU i i F i ih ri J 1 E j ae Eh 4 35 E 0 02 0 04 ags 0 08 ai 0 12 0 14 0 18 0 18 2 Abscisse m Temps 3 O Figure 19 Cas dynamique vitesse de chargement v 100 ms v 100 m s vois r elle 2 forces volareellks 1 force banc d essai E banc d essar E3 Cl Figure 20 Cas dynamique acc l ration verticale v 100 m s Acc l ration verticale m s o 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 Temps 8 BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 La diff rence entre les r sultats dans le cas du mod le chelle r elle et ceux obten
16. d un bogie est donn e par la formule suivante Fig 13 OY es 3vt jd a L 2 F pat Qv SX X d te 0 73 12 En utilisant le module d ex cution DYNI calcul par int gration directe en temps de la r ponse d une structure soumise une sollicitation dynamique 9 12 13 on peut calculer le d placement l acc l ration et les contraintes sur n importe quel n ud de ce syst me En regardant les courbes d acc l ration sur la figure 14 on trouve une acc l ration maximale de l ordre de 2 6 m s 26 de l acc l ration LE sur la surface charg e de ballast Par contre on a une valeur de l ordre de 0 05 m s 0 5 de l acc l ration gravitationnelle sur la surface sup rieure de la dalle en acier ce qui assure que la dalle est rigide par rapport au comportement de la portion de voie BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 Premi re traverse 0 08 0 09 0 1 Deuxi me traverse 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 0 0 06 0 07 0 08 0 09 0 1 Troisi me traverse 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 1 4000 2000 An EEEE j u i pa E a e A te E De LT HR EE T a E M a ei 0001 00 003 004 065 ooe 007 ooa ooo 0 10000 7 T i i 3 3 3 3 3 3 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 1 Temps s O Figure 13 Passage d une force M sur cinq traverses l
17. de la fa on suivante 1 DONN ES a Nom de fichier CESAR fichier data cr par MAX3D b Nom de fichier donner un nom pour le fichier d crivant les amortisseurs de la couche absor bante c Nom de fichier de donn es pour la couche absorbante Donner le nom d un fichier texte o l on d finit la structure des couches absorbantes de la fa on suivante i nzone coefabs nombre de blocs et Ngy FOR i 1 nzone ii P j i 1 8 j 1 3 coordonn es x1 X2 x3 de 8 n uds pour chaque bloc iii ncouche end 2 R SULTAT L outil CONDABS corrige le nombre d l ments le nombre de groupes de mat riaux ajoute les l ments SP3A et cr e un nouveau fichier de donn es Validation num rique Afin de valider le fait que les l ments d amortissement peuvent tre utilis s pour mod liser un demi espace infini des calculs en l ments finis en 2D et 3D sous chargement harmonique fixe et mobile sont effectu s Ces calculs permettent d avoir les d placements verticaux comparer avec ceux d termin s analytiquement Les crit res de validation sont les suivants gt le d placement obtenu par le mod le d l ments finis doit tre coh rent avec la solution analy tique On s int resse surtout au d placement vertical gt les r sultats num riques doivent tre valid s avec plusieurs valeurs de fr quences de la charge cas d une charge harmonique et de vitesses cas d une charge mobile
18. e cette couche Fig 5 Les amortissements introduits dans la couche absorbante doivent v rifier les deux crit res suivants Ils sont suffisamment visqueux pour que l influence des fronti res soit n gligeable Ils voluent suffisamment lentement pour qu il n y ait pas d ondes r fl chies cause des chan gements brusques d amortissements Dans la pratique l volution de l amortissement du deuxi me ordre 5 suivante peut tre utilis e afin de satisfaire ces deux crit res neo n 8 o x est la distance entre le point consid r et le bord int rieur d est l paisseur de la couche absor bante et no d signe la valeur maximale d amortissement aux points se trouvant la fronti re ext rieure no vaut 1 du module d lasticit du milieu On souligne que ce type d amortissement qui varie en fonction de l espace ne repr sente pas un vrai mod le physique Il est introduit simplement dans le but d obtenir des r sultats num riques corrects BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 Sch ma g n ral La figure 6 pr sente une proc dure pour mod liser une structure non born e soumise des charges mobiles La premi re tape est de cr er le maillage en utilisant le pr processeur MAX3D de CESAR Le maillage doit tre crit sous le format texte qui l on donne par exemple le nom prob_calcu data
19. e en acier qui supporte la portion de voie doit se comporter comme un demi espace infini Autrement dit il faut bien v rifier qu il n y a pas d ondes r fl chies pouvant per turber les mesures dans la portion de la voie et s il y en a elles doivent avoir des influences n gli geables sur la r ponse dynamique de la portion Pour cela une comparaison entre la r ponse de la portion et celle de la voie r elle en utilisant la m thode des l ments finis les ondes sont absorb es par des couches absorbantes l ments d amortissement sera utile afin de v rifier si la taille du mas sif est suffisante pour simuler un demi espace infini et si avec trois traverses sollicit es on reste dans le m me ordre de grandeur de r sultats que dans le cas de la voie r elle Mod lisations et r sultats Dans les calculs suivants on consid re en premier lieu une couche de sable situ e au dessous de la couche du b ton qui supporte la dalle en acier en se fondant sur la loi de similitude conservant le BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 SEUIL DE PERCEPTION im DEPLAISANT 11 INTOLERABLE 11 O Figure 10 Les seuils d acc l ration plusieurs fr quences pour lesquels les sujets per oivent la vibration la trouvent d plaisante ou refusent de la supporter Expositions pour une dur e de 5 20 minutes a Pis d acceleration g
20. est sym trique par rapport un plan perpendiculaire l entretoise et situ au milieu entre deux blochets correspondant la m me traverse une moiti du mod le est trait e pour la voie chelle r elle ainsi que pour le banc d essai chelle r duite afin de diminuer la taille du probl me Les d placements normaux au plan de sym trie sont bloqu s afin de simuler cette sym trie La file du rail et les entretoises sont mod lis s par des l ments massifs en conservant leurs rigidit s en flexion et la distribution de leurs masses Les fonds des deux mod les voie chelle r elle et banc d essai sont bloqu s selon les trois degr s de libert condition d encastrement Le massif du banc d essai tant entour par les parois de la fondation les d placements transversaux ont t bloqu s Pour la portion de la voie la partie situ e au dessus de la dalle en acier on bloque les d placements normaux aux deux plans verticaux repr sentant le d but et la fin de la portion Fig 18 On utilise le module d ex cution DYNI de CESAR qui permet de calculer les d placements les con traintes et les acc l rations sur tous les n uds Quatre cas sont trait s un modele chelle r elle avec des couches absorbantes et deux forces concentr es voie r elle 2 forces qui se d placent avec une vitesse constante sur une distance de 15 m de rail 25 traverses un mod le chelle r elle avec des couches abs
21. n intervalle de temps t t At Dans ce cas les charges nodales quivalentes ces trois n uds aux instants t et t At peuvent tre calcul es en utilisant une interpolation lin aire et sont donn es par EM TPE Pa t PO P t 0 EH AE Pj E At 0 Po t At 1 72 P E At Pa t At 72P t At 2 2 Couche absorbante Lorsque l on simule un probl me de propagation d ondes dans un milieu infini par la m thode des l ments finis les conditions normales d placements ou contraintes impos es aux fronti res BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 VAI P P t P t P t At P3 t Cl Figure 4 Distribution de la charge aux n uds aux instants t et t At Surface int rieure Structure LL Bord int rieur Amortissement Bloc i 1 Couche absorbante Bord ext rieur Surface ext rieure 7 Cl Figure 5 CO Figure 6 Couche absorbante Introduction de la couche absorbante provoquent des r flexions d ondes qui n ont pas de sens physique r el Il faut donc introduire des conditions sp ciales aux fronti res afin d viter ces ph nom nes On choisit ici d utiliser une couche absorbante pour absorber les ondes La couche absorbante utilis e est une couche lastique dans laquelle l amortissement en un point augmente en fonction de la distance du point consid r au bord int rieur d
22. ois traverses sont mises en charge l aide de trois v rins hydrau liques qui fournissent des signaux ayant la forme de la lettre M et appliqu s sur les traverses avec un d calage en temps Cet article traite du dimensionnement dynamique du banc d essai et plus pr cis ment de celui du massif qui supporte la portion de la voie Il d bute par la description g n rale de l essai les consti tuants les lois de similitude et le type de force appliqu e Ensuite on pr sente les deux outils num riques qui sont utilis s afin d introduire la charge mobile et les l ments d amortissement dans le BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 mod le par l ments finis CESAR Enfin on propose des crit res de dimensionnement et on essaie de r pondre chaque crit re par des calculs en l ments finis ou des calculs analytiques unidimen sionnels DESCRIPTION G N RALE DE L ESSAI l ments constitutifs L prouvette comporte une couche de ballast chelle un tiers micro ballast reposant sur une cou che de sable repr sentant la couche d assise Cinq traverses bi blocs en b ton arm reproduction chelle un tiers d une traverse bi blocs chelle r elle Fig 1 sont pos es sur 10 cm de micro ballast quivalent 30 cm chelle r elle et sont entour es de micro ballast jusqu leurs surfaces sup rieures L ensemble est
23. orbantes et une seule force concentr e qui se d place avec une vitesse constante sur une distance de 15 m de rail voie r elle 1 force le banc d essai avec des mat riaux naturels not banc d essai E et une force surfacique de forme M appliqu e sur les trois traverses avec des d calages en temps la m me description que le cas 3 mais avec des mat riaux artificiels not banc d essai E 3 Les calculs dynamiques sont r alis s avec une vitesse v 100 m s l chelle r elle La matrice d amortissement du mod le chelle r elle est d termin e par la formule C A x K B x M amor tissement de Rayleigh o les param tres A et B sont d duits partir des param tres calcul s dans le cas du banc d essai en passant de l chelle r duite l chelle r elle BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 a e Ballast EE Dalle en acier Blochet Sable EM B ton 1 i ZONE D AMORTISSEMENT Lam se Leu zn a r pra e EEL E A E U O a A se M a U a MS gt Se a u m u e e a e e a e e e aeii a A A ARA AN D KI 4 EH 18 m ANP KIKKI AAV M ES ES EE EE ER YA a HHE TS XX AL NO CT aF a x a Es AT x JR ui LS T ee a M i R es w ITS H BEC
24. r la m thode des l ments finis et la solution analytique pour une force fixe harmonique F 1 N 20 Hz appliqu e sur la surface libre d un demi espace infini z 0 Charge mobile En pratique l utilisation de l outil CHMOB se fait de la fa on suivante 1 DONN ES a Nom de fichier CESAR fichier data cr par MAX3D b Nom de fichier donner un nom pour le fichier d crivant la charge mobile c Niveau de la charge coordonn e en x3 de la charge d Position initiale position du point de d part de la charge e Position finale position du point final de la charge f Nombre de lignes permet de d finir le nombre de lignes parall les de charge g Coordonn es en y de ces lignes donner n valeurs r elles pour n lignes h Nombre de pas de temps variable NPAS1 i Pas de temps variable DT s j Amplitude amplitude de la charge N k Fr quence fr quence de la charge Hz 2 R SULTAT L outil CHMOB cr e un nouveau fichier en gardant les m mes valeurs au niveau du maillage et des caract ristiques physiques et en modifiant les donn es des mots cl s CHAR position de chargement et CFT variation de la charge dans le temps 9 La vitesse v de la charge est d termin e par position finale position initiale 9 Ver ere nombre de pas de temps 1 x pas de temps PROBL ME Cr e le maillage pour le probl me consid r FICHIER prob_calcu data CONDABS Ajou
25. s caract ristiques intrins ques sont conserv es on en d duit que le tenseur des contraintes doit tre conserv ce qui est en contradiction avec l qua tion de la dynamique qui impose que ce tenseur doit tre divis par 3 En pratique deux ph nom nes aident s affranchir de cette contradiction d une part le caract re non lin aire du comportement du ballast est tel que le module tangent maximal apparent chelle r duite est tr s inf rieur celui chelle r elle puisque le niveau de chargement est beaucoup plus faible d autre part les d forma tions dues au ballast sont faibles et c est la raideur de la plate forme qui gouverne essentiellement les d placements mesur s La force appliqu e charge cyclique Les essais r aliser consistent simuler le passage d un train sur trois traverses en appliquant un signal sur chaque traverse avec un certain d calage en temps reproduisant le passage d un bogie Comme le train comporte plusieurs bogies il faut appliquer successivement plusieurs signaux Le signal appliqu a la forme de la lettre M Les pics du M repr sentent les essieux du bogie D apr s les calculs de Sauvage 3 qui ne tiennent pas compte des surcharges dynamiques et leur adaptation par Alaoui et Naciri 4 sous forme d une relation analytique continue on peut repr senter la force ver ticale exerc e par le rail sur un blochet lors du passage d un bogie par la forme analytique s
26. s d placements selon les trois degr s de libert u v et w des n uds qui constituent le fond du mod le condition d encastrement Calcul des modes propres Dans un premier temps on d termine en utilisant le module d ex cution MODE de CESAR 9 12 13 les vingt premi res fr quences et modes propres Les modes et les fr quences propres permettent d avoir une estimation de la ou des fr quences avec lesquelles le sys t me va tre sollicit en appliquant certaines charges De plus comme on tudie la vibration verticale du syst me en connaissant deux modes propres convenables modes verticaux on peut calculer la matrice d amortissement globale d un mod le de type Rayleigh L amortissement de type Rayleigh est donn par la formule C A x K B x M o K et M sont res pectivement la matrice de rigidit et la matrice de masse A et B repr sentent les coefficients de BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 ji 4 AA 72 FA Z gt WA LT J K f PE j CO Figure 11 CO Figure 12 Maillage du mod le 21 233 n uds Modes propres retenus 5 et 15 pour calculer la matrice d amortissement Rayleigh En se fondant sur l analyse modale et en consid rant que les vecteurs propres sont C ortho gonaux on peut crire pi Co 20 co o et sont respectivement le i i me et le j i me vecteurs propres
27. te des l ments d amortissement SP3D FICHIER prob_abs data ai i ns E CHMOB Ajoute des donn es pour la charge mobile aa se Len iT FICHIER prob_mob data CESAR R SULTAT Cl Figure 7 O Figure 8 Sch ma global du calcul Maillage 3D pour un demi espace homog ne BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 DE PLACEMENT VERT EAL AU NIVEAU Z 0 6m 106 g i 0 2e 06 O Figure 9 o J Comparaison des solutions d l ments E finis EF et analytiques F 4 08 5 06 06 7e 08 g DIMENSIONNEMENT DU BANC D ESSAI Crit res de dimensionnement du banc d essai Le dimensionnement du banc d essai consiste identifier la ou les couche s mat riau et paisseur situ e s sous la couche du b ton afin de bien satisfaire les trois crit res suivants La dalle en acier doit tre rigide par rapport au comportement de la portion de voie Le rapport entre l acc l ration sur la surface sup rieure de la dalle et celle sur la surface charg e de la portion doit tre faible Dans ce but on effectue des calculs simples en l ments finis on suppose que tous les constituants de l essai suivent des lois de comportement lastiques et lin aires en appliquant une charge en forme de M afin de d terminer l acc l ration maximale sur la surface de la dalle en acier Le module de l acc l ra
28. tion sur la surface de la dalle ne doit pas d passer 1 de l acc l ration gravitationnelle ce qui assure que la dalle et les couches au dessous restent peu pr s rigides par rapport au comportement de la portion lors du fonctionnement de l exp rience La vibration induite par la propagation des ondes dans l environnement lors de l exp rience ne doit pas menacer le confort des gens dans les locaux voisins Dans ce but on d termine l acc l ration dans le b ton constituant la fondation de l essai situ sous le massif en se servant d un mod le uni dimensionnel simple qui remplace la couche de b ton L acc l ration est ensuite compar e avec les crit res d crits ci dessous afin d valuer l influence de cette vibration Du fait que plusieurs para m tres comme l acc l ration la fr quence le mode d application la dur e et la situation du sujet peuvent intervenir dans l valuation des effets de la vibration sur l homme il est difficile de trouver une m thode simple et d finitive permettant de bien caract riser les r sultats En g n ral il existe trois crit res simples et approximatifs pour valuer la r ponse de l homme une vibration le seuil de perception ou de sensibilit le cas d sagr able d plaisant et la tol rance 10 11 La figure 10 pr sente les trois crit res dans le cas d une exposition une vibration verticale pour une dur e de 5 20 minutes Le massif y compris la dall
29. u comportement dynamique de la voie il est important de reformuler une loi de similitude conservant le champ d acc l ration Dans cette loi de similitude on se fonde sur deux options gt faire des essais chelle r duite 1 3 gt r aliser des essais avec des mat riaux naturels dont les masses volumiques et les caract ristiques intrins ques sont conserv es BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 L quation de la dynamique peut tre crite sous la forme div o f p U dans Q 1 o p est la masse volumique U repr sente l acc l ration est le tenseur des contraintes div o repr sente l op rateur de divergence f est la force volumique et Q repr sente le domaine tudi L homog n it de la formule pr c dente impose que le produit p force d inertie soit dans le m me rapport d chelle que la force volumique f et que la d riv e des contraintes par rapport aux longueurs La dimension de div o est o L 1 et comme p et sont conserv s et L est divis par 3 rapport de similitude des longueurs le tenseur des contraintes doit tre divis par 3 Le temps doit tre divis par 4 3 chelle r duite afin de conserver l acc l ration Par un raisonnement simple les autres r gles de similitude pour le respect des quations de la dynamique sont d duites Du fait que l on utilise des mat riaux naturels dont le
30. uivante Vt a vt a L REQS a 4x 2 o Q est la charge par essieu N 17 tonnes v est la vitesse du train m s D t est le temps s d est la distance entre les traverses d 0 6 m a est une distance critique a 3 m qui est quivalent 5d L est la distance entre les deux essieux d un bogie L 3 m X Y sont des variables sans dimension comprises entre 0 et 1 qui d pendent du module d Young E du sol En supposant que la r partition de charge est la m me sur les deux files de rail l expression de la force exerc e par le v rin sur un blochet dans la similitude conservant le champ d acc l ration est Vavt a VJ3vt a L QY o q aE x X Jtef0 T 3 3 _ Li _ dp D 2 2 1 3 J3 a o dy 18 7 m repr sente la distance entre deux bogies cons cutifs et c est le facteur d chelle associ la force la force et la masse ont le m me facteur d chelle c cm 27 La transform e de Fourier de la charge exerc e sur un blochet l chelle r elle lors du passage d un bogie est donn e par Fig 3 qe 2 QYde v7rX wL L a F w Q v 0cos e2 4 2vV 7rIn X 2v 66 iw f fetat BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS ES 256 257 JUILLET AO T SEPTEMBRE 2005 R F 4545 PP 227 242 La charge exerc e sur un blochet lors du passage de N bogies peut tre crite sous la forme N 1 vt nd ah vt nd a L KESE a 2 n 0 a X d te
31. us dans le cas du banc d essai avec des mat riaux naturels peuvent s expliquer par quatre raisons gt l utilisation d une force de forme M qui est une approximation analytique des efforts support s par un blochet lors du passage des trains grande vitesse gt l adoption d une loi de similitude qui conserve les champs d acc l ration avec des mat riaux natu rels ce qui permet d avoir des bons r sultats au niveaude l acc l ration mais pas au niveau du d pla cement Les r sultats au niveau du d placement peuvent tre am lior s en augmentant le nombre de traverses dans le banc d essai chelle r duite gt le banc d essai repr sente une portion de la voie r elle avec des bords limit s ce qui favorise la r flexion des ondes gt le probl me num rique ventuel qui peut provenir d un maillage qui n est pas assez fin et ou du choix de pas de temps et qui peut tre aussi impos par la capacit optimale de l ordinateur et de la dur e du calcul La taille moyenne d un l ment de maillage est choisie d une mani re qu elle soit inf rieure la longueur d onde de Rayleigh divis e par 5 Le pas de temps est choisi tel que la charge roulante soit distribu e sur tous les n uds constituant les lignes sur lesquelles passe la charge CONCLUSION Les r sultats obtenus avec une couche de sable de 2 5 m de hauteur sont satisfaisants Lors du pas sage d un bogie simul par le signal en M l ac
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