Fleuves oscillants
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1. Viel me mne nu rn gt mit rni cf d veloppement de Puiseux Comme il a t dit pr c demment i limine les cas o Q X 1 Y est r duit un seul terme et n admettrait que la racine triviale Y 0 Nous allons voir en quoi les racines non nulles de QU X 1 Y sont importantes La preuve de chaque th or me comprend 3 parties a Le r sultat d existence de solutions asymptotes k X X b Le r sultat d existence d une s rie formelle c La s rie formelle est un d veloppement asymptotique d une solution du a La partie a se montrera l aide d outils classiques d tude qualitative des por traits de phase b preuve technique ne sera pas d taill e enfin c qui suit le m me sch ma pour chacun des 3 cas ne sera d taill e que pour le th or me 1 R alisons le changement Z Y X E devient dZ Bt XEIQUX 1 Z XO MIQUK1 Z OO XL ZNSNX LEZ Nous avons d compos le second membre en une succession de fonctions p rio diques en X et polyn miales en Z chacune pond r e par une puissance de X L id e est de d duire le comportement asymptotique en 00 des solutions partir du terme correspondant la plus forte puissance de X que l on qualifiera de terme dominant On utilisera dans nos preuves des tunnels ou antitunnels qui se d finissent de la fa on suivante 134 F Michel D finition soit y f x y une quation diff re2. avec ao X k X Il existe une infinit de solutions asymptotes k X X dans le cas attractif et une unique dans le cas r pulsif Ces solutions admettent la s rie x comme d veloppement asymptotique Th or me 2 Soientr Q kE R k 0 tels que i r est une copente de P 0 lt c lt 1 iii Q 1 k 0 iv Q9 1 k lt 0 iv QQ 1 k gt 0 On a alors la m me conclusion qu au th or me 1 en rempla ant k X par le r el k Th or me 3 soitr Q k X C k X 0 tels que i r est une copente de P c 1 iii k X est une solution p riodique de EP iv QP X 1 k X lt 0 iv QP X 1 k X gt 0 On a la m me conclusion qu au th or me 1 D finition on appelle fleuves oscillants attractifs ou r pulsifs les solutions voqu es dans les 3 th or mes ci dessus 3 2 Commentaires Expliquons bri vement la signification de chaque hypoth se les d tails math mati ques seront donn s au 4 et commentons les r sultats d un point de vue g om trique Consid rons tout d abord le th or me 1 Les conditions iii et iv ou iv assurent que k X X est l asymptotique d une branche d isocline 0 de l quation consid r e La condition i nous permet de ne consid rer que les valeurs de r pour lesquelles Q n est pas r duit un seul terme on vite ainsi les cas o seul un k X identiquement nul serait capable de satisfaire la conditio
3. Un Ho n q OS X Y Say OS AT QX Y aaa en al S XY QU S X Y 6Q S X Y 0Y QQ GY 0Q XY OY Soit l quation diff rentielle EP oO Q X 1 Y Enfin notons x un d veloppement de la forme i gt 0 a X X avec a X C D finition soit k X C k 4 0 Y X une fonction r elle d finie au voisinage de 00 r Q On dira que Y X est asymptote k X X et on notera Y X k X X si limy oo Y X X k X 0 Remarque si une fonction est asymptote k X X le terme k X est n cessairement unique 9 ce qui fait de C un espace appropri l tude asymptotique de nos so lutions D finition soit D l enveloppe convexe dans R de l ensemble form des demi droites m n o m lt m et n ni Soit P la r union de tous les segments non horizontaux de la fronti re de D Le rationnel r sera appel copente de P si le vecteur 1 r est orthogonal un des segments l ment de P 3 Fleuves oscillants 3 1 Les th or mes Les hypoth ses consid r es dans les th or mes ci dessous seront soit i ii iii et iv et l on parlera alors de cas attractif soit i ii iii et iv et l on parlera de cas r pulsif Th or me 1 Soient r Q k X EC k 0 tels que i r est une copente de P i eS 1 iti VX Q X 1 k X iv VX Q2 X 1 K X liv VX Q X 1 F X Fleuves oscillants 131 Il existe une s rie x solution formelle de E
4. agit de montrer que l on ne peut pas avoir la fois Z X asymptote k X et Z X non born On peut alors montrer de fa on tout fait similaire que l on ne peut pas avoir Z1 X a1 X tend vers 0 et Z2 X non born e et ainsi de suite jusqu n importe quel niveau n Il suffit alors de partir d une fonction Z X asymptote k X le Z X corre spondant sera born et d apr s le lemme 1 v rifiera Z1 X ai X tend vers 0 On continue ensuite avec Z X jusqu Zn et le lemme est d montr Revenons l expression de E donn e pr c demment comme Z UX 1 on peut r crire son second membre sous la forme XN OYK 1 K X QYX L K X Za XY 2 JZ Comme Z X 4 tend vers 0 le terme dominant est donc Q X 1 k X Il vient que Z est n cessairement born sans quoi une int gration donnerait un r sultat aussi grand que d sir car c 1 1 q gt 0 ce qui est incompatible avec le caract re born de U Notons qu il suffit pour que l int grale diverge que 1 1 q gt 1 ce qui sera le cas pour les 2 th or mes suivants o Fleuves oscillants 137 4 2 Preuve du th or me 2 On se place dans le cadre des hypoth ses du th or me 2 et l on tablit nouveau la preuve en 3 tapes 4 2 1 Existence des solutions De m me qu en 4 1 1 nous allons transformer l quation en une quation E dont il sera ais de faire une tude
5. Bifur cations pages 190 209 Springer Lecture Notes in Maths 1493 1991 F Michel Universit de Nice Sophia Antipolis Laboratoire CNRS Jean Alexandre Dieudonn Parc Valrose F 06108 Nice Cedex 02
6. de X sont g n ralement divergents mais toujours Gevrey Les r sultats ont t obtenus par des changements d chelle et des m thodes d analyse non standard voir 6 8 5 7 13 4 Received by the editors May 1994 Communicated by J Mawhin AMS Mathematics Subject Classification 34E05 34D05 84C25 Keywords differential equations asymptotic expansions river periodic solutions Bull Belg Math Soc 2 1995 127 141 Fleuves oscillants 129 1 2 Le mod le tudi Ces r sultats tablis pour des P X polyn miaux sont en fait galement valables pour les fonctions qui poss dent un p le l infini Par contre ceux ci ne conviennent plus si un des termes Pj y poss de une singularit essentielle Cette particularit n est pourtant pas forc ment un obstacle la pr sence de structures analogues comme en t moigne la figure 2 Cependant c est le caract re p riodique du sin X qui permet ici ce ph nom ne malgr l irr gularit de sa singularit Cel nous incite remplacer les coefficients des P X par des fonctions p riodiques et donc tudier les quations de la forme E Woai X X Y icl Mi Q ni N I ensemble fini a X C C tant l alg bre des fonctions p riodiques de classe C et de p riode 7 fix e L asymptotique de ces fleuves n est pas un corollaire du cas polynomial nous verrons qu il conviendra de distinguer 3 cas suivan
7. peut approcher 0 pour des grandes valeurs de X sans se faire pi ger dans un nouveau tunnel plus resserr autour de l origine Supposons donc par exemple que VX gt X4 on ait v lt U X lt a lt 0 On peut alors choisir un r el 3 gt 0 tel que Q X 1 U k X gt B tandis que l on utilise le caract re born des autres Q X 1 U k X Il vient U X U X1 gt L BX of K 1 dX Or le caract re divergent de cette int grale est incompatible avec le caract re born de U X On a la contradiction recherch e Montrons pr sent que dans le cas r pulsif il existe une unique solution tendant vers 0 Fleuves oscillants 135 Si l on remplace l hypoth se iv par l hypoth se iv v v forme un antitun nel de Or un antitunnel contient toujours au moins une solution dans un voisinage de oo voir 10 Consid rons un de ces antitunnels contenant une solution U X au voisinage de oo Montrons que U X est n cesairement unique Soit n X U X U X o U X est suppos e rester aussi dans l antitunnel on d rive le second membre de par rapport U et on obtient n x AQU ALT o XAT U X On peut bien s r minorer Q X 1 7 par une constante K gt 0 grace iv Il vient n X gt n X X K o 1 in galit clairement incompatible avec le caract re born de 7 X U X est donc n cessairement unique Enfin il est n cessaire que U X tende
8. D thesis Universit Paris 7 1989 Fleuves oscillants 141 3 J Callot Champs lents rapides complexes une dimension lente Ann Scient Ec Norm Sup t 26 S rie 4 149 173 1993 4 B Candelpergher J Nosmas and F Pham Approche de la r surgence Her mann 1993 5 F Diener Fleuves et vari t s centrales In Singularit s des quations diff rentielles Dijon 1985 pages 59 66 Ast risque 150 151 Soci t Math matique de France 1987 6 F Diener Propri t s asymptotiques des fleuves C R Acad Sci Paris 302 S rie 1 55 58 1986 7 F Diener and M Diener Fleuves 1 2 3 mode d emploi In M Diener and G Wallet editors Math matiques Finitaires et Analyse Non Standard pages 209 216 Publications Math matiques de l Universit de Paris VII 31 2 1989 8 M Diener and G Reeb Champs polyn miaux nouvelles trajectoires remar quables Bull Soc Math Belgique 38 131 150 1987 9 J Dieudonn Calcul Infinit simal Hermann 1980 10 J Hubbard and B West Differential Equations A Dynamical System Ap proach Volume I Springer 1991 11 J Mawhin First order ordinary differential equations with several periodic solutions J Appl Math Phys ZAMP 38 257 265 1987 12 A Neto On the number of solutions of dx dt gt aj t x 0 lt t lt 1 for which x 0 x 1 Invent Math 59 69 76 1980 13 I P Van den Berg Macroscopic rivers In E Benoit editor Dynamic
9. Fleuves oscillants Franck Michel Abstract We present in this article some results about the asymptotic of scalar ordinary differential equations We are interested in a family of equations for which asymptotic concentrations of oscillatory solutions occur With the following theorems the presence of these trajectories can be deduct from the structure of the fields The expression of their asymptotic expansion and the algorithm to use for computing the coefficients which are periodic functions are given Some studies for non oscillatory cases have already be done There are related to what is called the river phenomenon 1 Introduction 1 1 G n ralit s F et M Diener ont tudi r cemment des ph nom nes de concentration exponen tielle linfini de solutions d quations diff rentielles ordinaires Ces nouveaux types d attracteurs ont re u le nom de fleuve en raison de leur aspect sur les portraits de phase voir figures 1 et 2 Pour une quation scalaire de la forme D TP Pi X Y o P X est un polyn me au sens large i e les puissances de X sont prises dans Q on dispose d une m thode effective pour d tecter la pr sence de ces fleuves Ceux ci sont soit attractifs on a alors une infinit de solutions qui partagent un m me d veloppement asymptotique soit r pulsifs auquel cas une unique solution est asymptotiquement instable Les d veloppements de ces fleuves en puissances fractionnaires
10. Il suffit donc de choisir un tel Xo et un r el k tel que k majore U1 X et U2 X sur Xo 00 En l absence de terme P X U k et donc k peuvent tre choisis aussi grands que d sir ce qui montre la deuxi me partie du lemme et anticipe sur la preuve que l on donnera en 4 3 3 Cas r pulsif On choisit le couple U X U2 X o U X est l unique solution de L1 qui tend vers 0 en 00 de m me pour L De fa on similaire on peut montrer que ce couple forme un antitunnel au del d un certain Xo On conclut alors de la m me fa on qu en 4 1 1 4 3 2 Solution formelle Pour obtenir une solution formelle les coefficients a de x doivent v rifier les quations a X Q X 1 a0 a X QP X 1 ao an ao An 1 Si l on a choisi pour ao une fonction k X qui satisfait aux hypoth ses ii et iv alors les coefficients a X se d duisent comme unique solution p riodique d une quation p riodique lin aire 4 8 3 D veloppement asymptotique A nouveau on ne doit red montrer que le lemme 1 Z Q2 X 1 a0 Zn lao An 1 X En posant Un Zn an X E devient E de la forme ET Ul f X Un t On est ainsi ramen au cas trait en 4 3 1 o P X U 0 References 1 V Arnold Chapitres suppl mentaires de la th orie des quations diff rentielles ordinaires Mir 1980 2 F Blais Fleuves g n ralis s Ph
11. aire peut tre encadr par les champs de deux quations lin aires Les solutions de ces derni res se com porteront donc comme des sous ou des sur solutions de et nous permettront par encadrement de d duire le r sultat d sir Formulons cette preuve de fa on math matique Fixons un r el e tel que 0 lt lt f Soient les quations lin aires L1 U f x e U P2 X 0 X L2 U f x e U P2 X 0 X Cas attractif La preuve d coule du lemme suivant Lemme 3 pour tout k gt 0 suffisamment petit toute solution U X de E de condition initiale U Xo lt k o Xo est suffisamment grand tend vers 0 quand X tend vers 00 Si P X 0 0 alors k peut tre choisi aussi grand que d sir Preuve le principe de la preuve est illustr sur la partie droite de la figure 3 Soit U X la solution de L1 de condition initiale U Xo k et U2 X la solution de L2 de condition initiale U2 Xo k Le comportement asymptotique de ces 2 solutions est facile d duire vu la simplicit des quations L et L2 on a limx_ U X limx_ U2 X Il s agit maintenant de choisir Xo et k de fa on ce que U X soit une sur solution 140 F Michel de U X et U2 X une sous solution le lemme sera ainsi prouv Il est tout fait possible de prendre Xo et k tels que SURPA WASAK UABO lt eU Pi X pour tout X gt Xo et U tel que U lt ky
12. cation se fait pour 0 le probl me est celui de la recherche des solu tions p riodiques d une quation p riodique et l on pourra alors utiliser les travaux nombreux qui ont t r alis s sur ce th me pour essayer de d duire le nombre et la nature de ces fleuves voir notamment 12 et 11 3 4 D veloppabilit des fleuves Les hypoth ses des th or mes peuvent tre consid r es comme une m thode pra tique de calcul du premier terme du d veloppement asymptotique Le calcul des termes suivants se fait plus facilement car les quations r soudre sont lin aires il peut donc tre automatis l aide d un programme de calcul formel Il diff re cependant d un cas l autre Pr cisons que l on obtient directement a dans le cadre du th or me 1 mais seule ment a dans le cadre du th or me 2 la constante d int gration se d duit au niveau n q p de fa on ce que a _ soit de moyenne nulle Pour le th or me 3 a est l unique solution d une quation diff rentielle lin aire coefficients p riodiques Des pr cisions peuvent tre trouv es dans les preuves donn es au 4 un exemple simple qui illustre ces diff rences est l quation Y Y XY 1 sin X X X On peut alors choisir pour a les valeurs 0 1 et 3 2 Indiquons galement que la condition iv ou iv signifie que l on s int resse des cas r guliers de fleuves en fait
13. e une infinit de solutions resp une unique solution Z X telles que Z X a X tend vers 0 quand X tend vers oo De plus toute solution born e de E v rifie cette propri t Lemme 2 si Z X est asymptote k X alors Z X est une solution born e de En Preuve du lemme 1 On tudie en fait de la m me fa on que E L expression de E est de la forme dZn ax SKETI k X Zn 6 X Les points de suspension d signent des termes pond r s par des puissances plus petites de X On retrouve dans le terme dominant du second membre i e le terme pond r par X l quation que l on doit r soudre pour trouver le coefficient a X de la s rie formelle On fait Un Zn a X et on obtient une quation 7 qui poss de des tunnels resp antitunnels v v La suite identique celle en 4 1 1 permet de d duire la premi re partie du lemme Le deuxi me partie est une cons quence de la lin arit en Z du terme dominant de El on peut choisir v aussi grand que d sir On a vu que dans le cas attractif toute solution Z pi g e par un tunnel devait tre telle que Z X a X tend vers 0 tandis que dans le cas r pulsif toute solution ne v rifiant pas cette propri t ne pouvait pas rester dans un antitunnel Vu le caract re arbitraire que l on peut faire de v ces r sultats se transcrivent ici en terme de solutions born es o Preuve du lemme 2 Il s
14. il existe des cas d g n r s o le ph nom ne persiste malgr une d riv e premi re nulle Il y a alors plusieurs trajectoires de type fleuve qui partagent un nombre fini des premiers termes de leur d veloppement asympto tiques et diff rent partir d un certain niveau Il convient donc de d singulariser l quation en soustrayant successivement tous les termes qui apparaissent tant que les conditions ii et iii sont satisfaites jusqu ce que l on obtienne iv ou iv Cette m thode a t d crite dans 2 pour les quations polyn miales i e de la forme voqu e en d but d article Fleuves oscillants 133 3 5 Extensions Il est naturel de se demander si les r sultats ci dessus ne se g n ralisent pas l espace des fonctions presque p riodiques cependant on se heurte au probl me de la stabilit dans C des primitives des fonctions de moyenne nulle utilis e dans la preuve du th or me 3 Par contre il est tout fait possible de consid rer l ensemble Ca a X4 a C o d est un r el positif Il convient alors de modifier la condition ii de fa on comparer c d et non plus 1 On constate alors que les preuves nonc es au 4 s adaptent facilement ce nouveau cas Notons que le cas d 0 correspond aux quations polyn miales 4 Preuves La condition i des th or mes est la traduction g om trique de l existence de k et l dans I k l tels que
15. n iii Les conditions de r gularit iv ou iv pr cisent comment varie le champ au voisinage de cette branche cel d termine si les solutions auront tendance se rapprocher o s carter au voisinage de la branche en question Notons qu il existe aussi des ph nom nes int ressants dans des cas d g n r s voir commentaire en 3 4 Enfin le coefficient c mesure la force d attraction ou de r pulsion de la branche en question 132 F Michel Sic gt 1 le th or me 1 affirme que les fleuves sont asymptotes k X X c est dire g om triquement que les solutions suivent les oscillations de la branche d isocline Si 0 lt c lt 1 il convient de rechercher les isoclines 0 de l quation moyennis e les fleuves n oscillent plus en premi re approximation des termes oscillants se retrou vent dans le d veloppement mais pas devant X Le cas interm diaire c 1 correspond des oscillations k X X mais ce k X n est pas celui d une branche d isocline 0 Lorsque celle ci existe on observe en g n ral que nos fleuves sont d phas s par rapport elle ainsi que d amplitude moindre 3 3 Exemple L quation Y Y 2 sin X X est un exemple simple qui illustre le com mentaire ci dessus Le condition i implique que n cessairement r 0 On peut ensuite calculer que c 1 a Les asymptotiques sont 2 sin X si a gt 0 et 2 si 1 lt a lt 0 La bifur
16. nons le changement de variable simple utilis en 4 1 1 Z X Y X k X E devient dU B Q X 1 U k X k X XMIQHX 1 U k X D apr s l hypoth se iii on peut r crire QU X 1 U k X k X de la forme Q X 1 k X U P X U U o P X U est polyn mial en U et p riodique en X Pour all ger les notations on va d signer par f X la fonction Q X 1 k X et r crire E B D FOU P X WU P X U X On a galement simplifi l quation en ne consid rant qu un seul terme pertur bateur P X U X o P est polynomial en U et p riodique en X mais cette simplification n limine en rien le caract re g n ral de la preuve qui va suivre Il n est plus possible de faire une tude qualitative de E partir de simples sous solutions et sur solutions horizontales car la condition iv porte sur le signe de f Fleuves oscillants 139 Figure 3 Partie gauche la solution se fait pi ger dans une succession de tunnels embo t s Partie droite dans la r gion d limit e par le trait pais le champ de notre quation est encadr par les champs de 2 quations lin aires La r gion pointill e correspond une zone pi ge comprise entre 2 solutions d quation lin aire et non sur celui de f x On va donc montrer qu au voisinage de U 0 et pour des X suffisamment grands le champ de E priori non lin
17. ntielle r elle v_ v R v_ lt V4 et zo R On dira que v_ v est un tunnel resp antitunnel partir de zo si Vx gt zo f x v_ gt 0 f x v lt 0 resp f x v_ lt 0 f x v gt 0 Nous reprenons ainsi la terminologie utilis e dans 10 4 1 Preuve du th or me 1 On se place maintenant dans le cadre des hypoth ses du th or me 1 4 1 1 Existence des solutions On pose U Z k X U v rifie CES OO LOU k X k X RE MODE LU k X Selon l hypoth se ii c 1 est strictement positif le terme dominant du second membre est donc Q X 1 k X U Montrons que dans le cas attractif il existe une infinit de trajectoires U X tendant vers 0 On d duit des hypoth ses iii et iv que pout tout v gt 0 suffisamment petit Q X 1 k X v lt 0 et QUX 1 k X v gt 0 Cel implique qu il existe Xo suffisamment grand tel que v v forme un tunnel partir de Xo Xo peut tre d autant plus grand que v est choisi petit ce qui nous donne alors un jeu de tunnels embo t s voir la partie gauche de la figure 3 Soit U X une solution de E issue d un point quelconque de ces tunnels Il est clair que U X ne peut sortir d une telle structure montrons qu en fait U X tend vers 0 Raisonnons par l absurde si U X ne tend pas vers 0 alors il existe n cessairement un voisinage de 00 sur lequel inf U X gt 0 en termes plus g om triques U X ne
18. qualitative Cependant le changement de variable pr c demment utilis ne nous apporterait rien ici car k X serait le terme dominant du second membre On va par contre s inspirer d une m thode de moyennisation D l Soient A X des primitives quelconques des fonctions a X de Q on a A X C car les amp X sont de moyenne nulle On r alise le changement de fonction U Z DAX Z X diff omorphisme d s lors que l on choisit X suffisament grand U et Z dans des domaines born s U X v rifie alors une quation de la forme n dU c1 A c 1 HER OLD NAS toutes les puissances de X 4 4 j gt 1 tant pond r es par des polyn mes en U coefficients p riodiques donc born s Les hypoth ses iii et iv resp iv nous permettent de conclure des tunnels resp antitunnels de la forme k v k v La stabilit asymptotique dans ces structures se montre alors comme pr c demment 4 2 2 Solution formelle On calcule que les termes de la solution formelle v rifient les galit s suivantes a4 X 04 X a X 0 Ql p X QP X 1 ao Pourn gt q p an X T OIX 1 ao X Ontp q X F a0 ad Ontp q 1 Notons Ln le deuxi me terme de cette galit Si l on veut a C il faut que Ln soit de moyenne nulle L int gration de Ln nous donne alors amp n Le calcul de la solution formelle se fait donc de la fa on suivante chaque n se d duit pa
19. r int gration partir de Z qui est nul donc fortiori de moyenne nulle pour les premiers termes et se d duit partir de Ln q p comme unique constante rendant ce terme de moyenne nulle amp est une racine du polyn me Q9 1 les suivants i e pour n gt 1 sont racines de polyn mes de degr 1 de la forme Q 1 ao n 9 0 138 F Michel 4 2 3 D veloppement asymptotique La deuxi me partie de cette preuve le lemme 2 est tout fait similaire celle tablie dans le sous paragraphe 4 1 3 on ne va donc red montrer que le lemme 1 On a avec Z la place de a dans Lnig p Z Ln X Lnn X UE arp XP 4 Lent gp XP OM Pour pouvoir faire une tude qualitative de cette quation il faut liminer les p q premiers termes de ce second membre et moyenniser le terme suivant On calcule donc des de la fa on d crite dans la proposition pr c dente et on fait le change ment de variable Un Zn Hn ny Se EEO ENT Alors U v rifie une quation de la forme U X QT 1 U Un pour laquelle on montre facilement que An v v est un tunnel resp un antitunnel partir d un Xo suffisamment grand et ce Vv gt 0 en raison du caract re lin aire du terme dominant du second membre 4 3 Preuve du th or me 3 On continue cette fois dans le cadre des hypoth ses du th or me 3 4 3 1 Existence des solutions Nous repre
20. t la valeur d un coefficient c calculable partir des m et n Les m thodes employ es seront diff rentes il ne sera plus fait appel des pertur bations singuli res et des techniques non standard mais une tude qualitative des trajectoires par des sous et sur solutions 1 3 Plan Le paragraphe 2 pr sente des notations et d finitions qui seront employ es par la suite Le paragraphe 3 contient le r sultat principal de ce papier c est dire les th or mes correspondant aux 3 cas voqu s pr c demment Ces th or mes sont comment s et illustr s par des exemples Enfin le paragraphe 4 contient les preuves des th or mes nonc s au 3 2 Pr liminaires math matiques Notons Q S X Y ier ai S X Y Les fonctions a X sont des l ments de C diff rents de la fonction identiquement nulle J est un ensemble fini a est la moyenne de a X sur une p riode d X a X On g n ralise cette notation pour la moyenne pour le translat de moyenne nulle a toute fonction de X On utilisera dans le paragraphe 4 des fonctions celles ci d signent simplement des fonctions p riodiques dont on omet de pr ciser l expression sans int r t pour les calculs Soit r Q On note Ho max m rni et c 1 r po q est le plus petit entier positif tel que r n q n N prend toutes les valeurs 130 F Michel Mi rn i I et la valeur r 1 Soient alors p cq
21. vers 0 sans quoi cette solution ne pourrait rester dans l antitunnel On en d duit que U X est bien la solution recherch e En revenant la variable Y on obtient des solutions ou une solution asymptotes k X X conform ment aux conclusions du th or me 1 4 1 2 Solution formelle Montrons qu il existe une solution formelle de E de la forme Soit X ho Qn X XT 8 Pour tout p N Y X Q X X Y X ne doit pas avoir de terme en X de degr sup rieur uo p 1 On v rifie facilement que ao X k X condition iii On calcule que le terme a X v rifie une quation de la forme Qn X 1 k X Jan X d a0 X an 1 X X a _1 X et donc a X se d duit ais ment gr ce iv comme solution d une quation lin aire 4 1 3 D veloppement asymptotique On fait maintenant le lien entre les r sultats pr c dents en montrant que la s rie est le d veloppement asymptotique d une solution asymptote k X X Par commodit on raisonne avec la variable Z Soit Z X Z X ao X an 1 X X D a X Soit 7 l quation v rifi e par Z lorsque Z est solution de E On suppose n gt 1 On doit montrer que si Z X est asymptote k X alors Z X a X tend vers 0 quand X tend vers 00 La preuve est une cons quence des 2 lemmes suivants 136 F Michel Lemme 1 dans le cas attractif resp r pulsif l quation E poss d
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