I – La conception des fiches
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1. Plest Si un triangle est rectangle le carr de l hypot nuse est gal la somme des carr s des c t s de l angle droit P2est Si dans un triangle ABC on a AB AC BC alors le triangle ABC est rectangle en A P3est Dans un triangle ABC si AB AC BC BC tant le c t le plus long alors le triangle ABC n est pas rectangle P4est Si un triangle ABC n est pas rectangle en A alors AB AC BC Triangle Mesures des Le carr des Nature du triangle Propri t utilis e C t s mesures des c t s DE 4 DE DEF DF 3 DF Rectangle en D EF EF EF 8 EF EFG EG 10 EG FG 6 FG RS 15 RS RST RT 9 RT ST 12 ST UV UV UVW VW 8 VW Rectangle en V UW 10 UW DK 0 5 DK DKM KM 1 2 KM DM 1 3 DM JI 4 JT JIL IL 5 IL JL 6 JL AC 5 AC ABC BC BC Rectangle en C AB 13 AB 1 31 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Fiche 4 Est ce le m me th or me TRAVAIL DEMANDE Regroupez les th or mes qui vous paraissent vouloir dire la m me chose en coloriant de la m me couleur les petits carr s des th or mes qui vont ensemble 1 Si un triangle ABC est rectangle en A alors AB AC BC 2 Si la somme des carr s des longueurs de deux c t s d un triangle est gal au carr de la longueu2. les longueurs des c t s ont t d sign s par des lettres a b c n a pas t compris par une majorit des l ves peut tre cause de la malencontreuse expression a pour longueur a qui figurait dans les premi res versions de nos fiches Dans Triangle es tu rectangle la place de la question lors de notre premi re version avait pos un probl me car la question tait mise apr s les textes d l ves et de ce fait certains avaient tendance chercher d abord si les d monstrations taient bonnes b Pr pond rance des calculs sur les mots Souvent devant un exercice sur Pythagore les l ves cherchent d abord faire des calculs attrait de la calculatrice sans se soucier de la propri t utiliser certains l ves ne s int ressent qu la formule ils ne diff rencient les textes que par l criture AB BC AC ou AB BC AC sans lire le texte qui l entoure Nous avons entendu par exemple dans la fiche Triangle es tu rectangle Ils ont tous utilis a a a De ce fait il y a souvent confusion entre les textes de Bastien et No mie alors que les textes de No mie et Guillaume ne sont jamais confondus c Et si on supposait En g n ral les l ves ont du mal faire la d marche de supposer pour commencer un raisonnement par l absurde on a observ le dialogue suivant entre deux l ves Cela pourrait tre Bastien car il
3. e on a observ la discussion Pourquoi mettre Guillaume la 4 et pas Bastien Guillaume fait d abord les calculs alors que Bastien fait en g n ral Je trouve que a correspond mieux Autre observation sur ce lien Bastien et Guillaume disent que c est pas vrai faisant allusion au fait que le triangle est rectangle No mie elle dit que c est vrai Pour le 2 c est rectangle c est No mie Il n est pas tonnant qu en 4 les l ves ne fassent pas le rapport entre la contrapos e et le th or me direct Bien entendu il n est pas question d employer le mot contrapos e avec les l ves et de d montrer l quivalence avec le th or me direct au coll ge ni m me au lyc e Ill Bilan des activit s 1 Compte rendu des exp rimentations Quelques mois apr s la le on sur Pythagore sans r visions particuli res nous avons test ces activit s dans plusieurs classes de 4 Voici le bilan de quelques unes de nos exp rimentations Pour l activit Propri t directe ou propri t r ciproque pr sent e dans une classe d un niveau moyen de vingt six l ves le r sultat est plut t positif six l ves avaient parfaitement r ussi et treize l ves avaient au plus deux fautes Dans l ensemble les l ves comprennent bien la consigne et ne sont pas d rout s par ce type d exercices Pour l activit Est ce le m me th or me pr sent e dan
4. ge Quelles t ches Quels outils On peut pr senter Triangle es tu rectangle sur format A3 pour que les l ves aient sous les yeux simultan ment copies d l ves et th or mes Pour bien observer l activit on peut organiser la classe par groupes de trois ou quatre faire d signer un secr taire par groupe distribuer une fiche de r ponses pour le groupe en plus de la fiche individuelle de r ponses figurant sur le format A3 qui sert de brouillon Ensuite on peut laisser les l ves chercher sans intervenir en coutant les discussions sauf si la discipline le n cessite Il faut laisser le temps aux l ves de comprendre la consigne par eux m mes et aussi de se tromper avant d aboutir un r sultat Les r ponses leurs questions seront donn es pour l essentiel dans une s ance suivante lors de l exploitation de la fiche Cette s ance d exploitation peut prendre la forme d un d bat en utilisant un r troprojecteur montrant les fiches sur lesquelles chaque groupe vient proposer sa r ponse en la commentant Pour Triangle es tu rectangle on peut compl ter l activit en demandant de regrouper les th or mes qui veulent dire la m me chose C est un moyen de faire mieux percevoir le rapport entre th or me et d monstration De plus cela favorise le d bat sur le lien entre le th or me sa contrapos e et le probl me r soudre IV Synth se Ces trois fiches ont permis de faire une bonne r
5. I La conception des fiches Le groupe a travaill sur le th me th or me et r ciproque nous avons mis au point trois activit s autour du th or me de Pythagore Propri t directe ou propri t r ciproque Est ce le m me th or me Triangle es tu rectangle Le but principal de ces activit s est d amener les l ves faire la distinction entre la propri t directe et sa r ciproque Nous savons que le th or me de Pythagore donne lieu 4 types d nonc s le th or me direct le th or me r ciproque la contrapos e du th or me direct et la contrapos e du th or me r ciproque appel s respectivement P1 P2 P3 et P4 dans l activit Propri t directe ou propri t r ciproque Au cours de la r alisation de la premi re activit Propri t directe ou propri t r ciproque la question s est pos e d introduire un triangle qui n est pas rectangle ce qui n cessite l utilisation d un raisonnement par l absurde ou de la contrapos e Les programmes ne parlent pas de ces pratiques les manuels ont une attitude tr s ambigu sur le sujet il n est pas toujours facile de s y retrouver comme on peut le voir dans l encadr de la page suivante Certains d entre eux institutionnalisent la propri t s il n y a pas l galit entre le carr du c t le plus long et la somme des carr s des autres c t s alors le triangle n est pa
6. Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils nonc s contenant une forme n gative Aussi apr s discussion l ensemble des l ves pense qu il vaut mieux faire 3 groupes th or me direct th or me r ciproque et contrapos e Pour l activit Triangle es tu rectangle il est rassurant de constater que le th or me direct est souvent associ de mani re correcte la d monstration par l absurde de Bastien Sur six groupes pour les cinq nonc s du th or me direct on a les r ponses suivantes Bastien Guillaume No mie Personne Tous nonc 3 4 1 1 0 0 nonc 5 3 0 2 1 0 nonc 6 2 1 p 1 0 nonc 7 2 1 2 0 1 nonc 9 5 0 1 0 0 Ce qui donne globalement une majorit pour le th or me direct Les r ponses les moins r ussies correspondent aux nonc s o soit les lettres sont diff rentes nonc 6 soit il y a une difficult particuli re de lecture nonc 6 le si un triangle et 7 forme inhabituelle pour eux L association de la d monstration de Guillaume avec le dernier nonc de la contrapos e a t mieux per ue par les l ves Ceci s explique par le fait qu il faisait partie de la bo te outils donn e par le professeur de la classe 2 Utilisation des fiches a Niveau Ces trois fiches conviennent parfaitement au niveau 4 Il nous semble pr f rable de pr senter les deux premi res fich
7. droit 10 D 2 D AE 1 FRET ans un triangle EAU tel que EA EU AU l angle AEU est droit 11 Si le carr de la longueur du plus grand c t n est pas gal la somme des carr s des longueurs des deux autres c t s alors ce triangle n est pas rectangle 34 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Il Difficult s des l ves a Lecture Dans la confusion entre th or me direct et th or me r ciproque le premier obstacle vient souvent de la lecture trop superficielle faite par les l ves des nonc s des th or mes qu on leur propose Par exemple pour le th or me de Pythagore ils savent que l id e importante c est qu il y a quivalence ils rep rent alors simplement dans un nonc de th or me qu il y a bien un triangle rectangle et l galit de Pythagore et souvent ils ne pr tent pas attention aux mots qui lient ces deux propositions Nous avons aussi observ des difficult s autour de certains mots ou expressions qui ont pos probl me Le mot v rifie n est pas compris dans l expression si un triangle ABC v rifie De m me le mot perpendiculaire semble certains sans lien direct avec le fait qu un triangle soit rectangle Le mot propri t semble plus familier aux l ves que th or me puisque certains ont fait imm diatement la traduction de cette mani re L nonc o
8. es Propri t directe ou propri t r ciproque et Est ce le m me th or me quelques mois apr s le cours sur Pythagore en fin de deuxi me trimestre ou au d but du troisi me trimestre en 4 La deuxi me fiche Est ce le m me th or me permet de s habituer diff rentes expressions des nonc s Quelques semaines plus tard la fiche Triangle es tu rectangle permet une bonne r vision de Pythagore Ces fiches conviennent aussi tr s bien en 3 ou en 2 titre de r vision lorsque l on travaille sur les d monstrations en g om trie Elles peuvent tre utilis es pour r activer les id es sur ce qu est un th or me et la r ciproque d un th or me par exemple lorsqu on aborde le th or me des milieux ou plus g n ralement Thal s On pourrait en concevoir dans le m me style sur ces chapitres b Temps Propri t directe ou propri t r ciproque et Est ce le m me th or me sont des activit s assez courtes une demi heure Pour Triangle es tu rectangle Il faut compter une heure dans une classe de 4 de niveau moyen car il faut le temps de bien comprendre la consigne et de lire avec soin et plusieurs fois les diff rentes d monstrations et les nonc s c Mode d emploi Les activit s Propri t directe ou propri t r ciproque et Est ce le m me th or me sont plut t individuelles 37 IREM de Rennes La d monstration au coll
9. lles t ches Quels outils Fiche 5 Triangle es tu rectangle Guillaume No mie et Bastien ont r dig des d monstrations pour des probl mes que le professeur leur a donn s Celui ci au moment de la correction leur reproche de ne pas avoir indiqu dans leur d monstration le th or me qu ils utilisent Guillaume Bastien et No mie en consultant leur livre et leur cahier trouvent les nonc s de th or mes qui sont dans le tableau Peux tu les aider compl ter leurs d monstrations en indiquant pour chaque nonc de th or me la d monstration dans laquelle il peut servir PROBL ME DE GUILLAUME ET DE BASTIEN Un triangle ABC a des c t s de longueur AB 3 AC 5 et BC 6 Ce triangle est il rectangle en A D MONSTRATION DE GUILLAUME Calculons AB BC et BC On obtient AB AC 9 25 34 et BC 36 On constate que AB AC BC Donc le triangle n est pas rectangle en A D MONSTRATION DE BASTIEN Supposons que le triangle ABC soit rectangle en A D apr s le th or me de Pythagore on aurait AB AC BC Or AB AC 9 25 34 et B 36 Il y a donc une contradiction On en d duit que le triangle ABC n est pas rectangle en A PROBL ME DE NO MIE Un triangle ABC a des c t s de longueur AB 65 AC 72 et BC 97 Ce triangle est il rectangle en A D MONSTRATION DE NO MIE Calculons AB BC et BC On obtient AB BC 65 72 4225 5184 9409 e
10. ltats AB AC BC 4 on conclut La relation de Pythagore n est pas v rifi e donc le triangle n est pas rectangle A la suite de cela cet nonc est institutionnalis comme Si ce n est pas le cas le triangle n est pas rectangle 20 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Pour la troisi me activit Triangle es tu rectangle il s agit cette fois d associer chacune de ces propri t s aux situations auxquelles elles s appliquent Pour cela la situation est r duite l expression la plus simple possible et les nonc s choisis pour les propri t s sont ceux qui sont les plus familiers aux l ves Dans ce contexte l nonc de la contrapos e nous para t avoir sa place notre souci tant d essayer de faire sentir aux l ves que la contrapos e est un nonc quivalent au th or me direct pour cela on leur propose de constater que ces deux th or mes sont utilis s dans le m me probl me celui de Guillaume et Bastien mais l un avec une d monstration directe et l autre avec une d monstration par l absurde Le th or me r ciproque en revanche ne convient pas ce probl me 30 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Fiche 3 Propri t directe ou propri t r ciproque TRAVAIL DEMANDE Compl ter le tableau La propri t utilis e sera not e P1 P2 P3 ou P4
11. proque comme peut le laisser penser le commentaire pour le professeur puisque c est la contrapos e du th or me direct EXTRAIT D UN LIVRE BELIN Activit s pr paratoires Trois exemples num riques sont propos s suivis de la question Dans chacun des cas calculer AB AC et BC puis mesurer l angle BAC Dans la marge un commentaire pour le professeur Point de d part pour aborder la r ciproque de la propri t de Pythagore Formulation l initiative du professeur Puis plus loin le livre propose un exercice r solu Je cherche la solution Si RT RS ST le triangle n est pas rectangle en S car dans un triangle rectangle le carr de l hypot nuse est gal la somme des carr s des deux autres c t s Je r dige RT RS ST le triangle RST n est pas rectangle D autres manuels enfin pr f rent pr senter la contrapos e comme une m thode sans expliciter le lien avec les nonc s direct et r ciproque Mais sur une copie d l ve un enseignant se contentera t il de cette r daction en termes de m thode ou exigera t il l nonc du th or me correspondant la contrapos e du th or me direct EXTRAIT DU LIVRE CINQ SUR CINQ Exercice r solu Deux exemples num riques calculs pr sent s en tableau 1 on calcule le carr de la longueur du plus long c t 2 on calcule la somme des carr s des longueurs des deux autres c t s 3 on compare les r su
12. r du troisi me c t alors ce triangle est rectangle et a pour hypot nuse ce troisi me c t 3 _ Si on sait que MNP est un triangle tel que MP MN PN alors on peut dire que MNP est un triangle rectangle en M 4 Si l on constate que BC AB AC alors le triangle ABC n est pas rectangle en A q 8 p 5 Siun triangle est rectangle alors la somme des carr s des c t s de l angle droit est gal au carr de l hypot nuse 6 Dans un triangle MNP rectangle en M et d hypot nuse PN on a MP MN PNP Ce r sultat est l nonc de Pythagore 7 Siun triangle ABC v rifie AB AC BC alors il est rectangle en A 8 Dans un triangle rectangle dont la longueur de l hypot nuse est a et dont les longueurs des autres c t s sont b et c on a l galit a b 9 Dans un triangle rectangle ABC o AB AC BC les deux c t s AB et AC sont 8 8 perpendiculaires 10 Dans un triangle rectangle le carr de l hypot nuse est gal la somme des carr s des deux c t s de l angle droit 11 Dans un triangle ABC tel que AB AC BC l angle BAC est droit 12 Si le carr de la longueur du plus grand c t n est pas gal la somme des carr s des longueurs des deux autres c t s alors ce triangle n est pas rectangle 32 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Que
13. rect avec le th or me direct avec sa r ciproque ou part Notre id e est donc de centrer le travail sur la lecture des nonc s en leur faisant regrouper ceux qui veulent dire la m me chose Les nonc s doivent pour ce type de travail tre le plus vari s possible mais pour rester pr s des usages ils ont t extraits de manuels scolaires plus ou moins r cents IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils LES TRIANGLES NON RECTANGLES DANS LES LIVRES Certains livres donnent un mod le de correction par l absurde sous le titre justifi de m thode Cette d monstration utilise le th or me direct nonc dans le cours EXTRAIT DU LIVRE BORDAS M thodes Si le triangle tait rectangle en B d apr s le th or me de Pythagore on aurait AB AC BC Or AB AC BC donc le triangle n est pas rectangle Dans d autres l attitude est beaucoup moins claire puisque pour chercher on peut raisonner par l absurde mais au moment de r diger on utilise la contrapos e qui n est pas un nonc du cours Ainsi dans l exemple suivant le texte sous le titre je cherche la solution est une r daction tout fait satisfaisante alors que le texte sous le titre je r dige n est en fait pas r dig et s appuie sur la contrapos e du th or me direct qui n est pas un nonc du cours De plus ceci n a rien voir avec le th or me r ci
14. s rectangle sous divers titres activit s m thodes ou exercices corrig s D autres proposent des r dactions par l absurde si BC AB AC le triangle n est pas rectangle car dans un triangle rectangle D autres encore mettent des triangles ne v rifiant pas la relation de Pythagore en exercice sans donner d nonc ni de m thode claire pour les r soudre cf page suivante et pour plus de d tails sur les manuels se reporter au chapitre Les manuels scolaires parlons en C est pourquoi nous avons tenu noncer le th or me appel P3 Dans un triangle ABC si AB AC BC BC tant le c t le plus long alors le triangle ABC n est pas rectangle et ceci pour aider les l ves mieux cerner le probl me Quant au th or me appel P4 Si un triangle ABC n est pas rectangle en alors AB AC BC nous l avons mis pour que les deux contrapos es soient pr sentes et aussi pour que les l ves comprennent que c est toujours sa r ciproque P3 qui sert Il est vrai que dans la pratique le th or me P4 ne se rencontre jamais on n a pas vraiment envie de montrer une conclusion comme celle de cet nonc Dans la deuxi me activit Est ce le m me th or me nous avons voulu tester la compr hension des diff rents nonc s que l on peut donner de Pythagore et de sa r ciproque et voir si les l ves allaient classer la contrapos e du th or me di
15. s une classe de vingt quatre l ves comme une t che de classement les l ves sont un peu d rout s par ce genre de travail peu habituel Un seul l ve a r parti les th or mes sans faute en deux groupes th or me direct et contrapos e d une part th or me r ciproque d autre part mais il n a pas r ussi expliquer pourquoi Sept l ves ont r parti sans faute les th or mes en trois groupes th or me direct r ciproque et contrapos e Sept l ves ont r parti les th or mes en deux groupes mais en mettant la contrapos e avec le th or me r ciproque Ces l ves n taient pas du tout convaincus que la contrapos e puisse aller avec le th or me direct Pour les autres l ves on note que deux l ves ont r parti les th or mes en deux groupes th or me direct et r ciproque d une part et contrapos e d autre part ils sont convaincus que leur classement est possible Huit l ves ont bien regroup les deux contrapos es du th or me direct Les deux derni res copies nous ont paru inexploitables Une discussion a t faite en classe l aide d un transparent de la fiche en coloriant celui ci avec des couleurs effa ables selon les r ponses des l ves Les copies n taient pas rendues au moment de la discussion Au cours de cette discussion la majorit des l ves a class les deux contrapos es ensemble Peut tre simplement parce que ce sont les seuls 36 IREM de
16. suppose que le triangle est rectangle Oui il suppose mais il ne sait pas Le deuxi me l ve ne semble pas m r pour accepter un raisonnement par l absurde qui n cessite justement de supposer L nonc 5 qui commence par si un triangle est rectangle para t pour certains ne convenir aucune copie puisque personne ne dit cela Personne au d but ne dit qu il est rectangle L encore le lien n est pas fait avec le supposons que le triangle soit rectangle du raisonnement par l absurde Cette difficult n en est pas une pour les autres l ves C est Bastien car il a dit tout suite qu il est rectangle Par contre certains supposent tort ce qu ils cherchent d montrer On va dire que le triangle est rectangle on va faire les calculs et on va voir qu il est bien rectangle 35 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils d Contrapos e La difficult vient de la pr sence de deux n gations dans la contrapos e ce qui conduit certains l ves mettre cet nonc part et regrouper le th or me direct et sa r ciproque ensemble Certains l ves trouvent que la contrapos e va mieux avec le th or me r ciproque qu avec le th or me direct car dans les deux cas on part de la longueur des c t s D autres l ves pr sentent un lien entre contrapos e et th or me direct Pour l nonc 4 contrapos
17. t BC 9409 On constate que AB AC BC Donc le triangle est rectangle en A 33 IREM de Rennes Triangle es tu rectangle Fiche de r ponses La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils nonc s de th or me A qui peut servir ce th or me 1 _ Si on sait que MNP est un triangle tel que MP MN PN No mie alors on peut dire que MNP est triangle rectangle en M 2 Si la somme des carr s des longueurs de deux c t s d un triangle est gal au carr de la longueur du troisi me c t alors ce triangle est rectangle et a pour hypot nuse ce troisi me c t 3 Si un triangle ABC est rectangle en A alors AB AC BC 4 Si l on constate que BC AB AC alors le triangle ABC n est pas rectangle en A 5 Si un triangle est rectangle alors la somme des carr s des c t s de l angle droit est gale au carr de l hypot nuse 6 Dans un triangle MNP rectangle en M et d hypot nuse PN on a MP MN PN Ce r sultat est l nonc de Pythagore 7 Dans un triangle rectangle dont l hypot nuse est de longueur a et dont les autres c t s sont de longueur b et c on a l galit a b e 8 Dans un triangle GAZ o GA GZ A7 les deux c t s GA et GZ sont perpendiculaires 9 Dans un triangle rectangle le carr de l hypot nuse est gal la somme des carr s des deux c t s de l angle
18. vision du th or me direct et du th or me r ciproque de Pythagore on a pu refaire le point et consolider ainsi les connaissances des l ves Il nous para t important de pratiquer tr s librement la contrapos e et le raisonnement par l absurde et en particulier de donner un nonc de la contrapos e comme th or me du cours car le statut des propositions doit tre clair quand on d bute dans la d monstration De plus cela permet aux l ves de travailler en harmonie avec les diff rents manuels ou enseignants En revanche il est trop difficile de convaincre hors contexte que la contrapos e est quivalente au th or me direct La fiche Triangle es tu rectangle peut tre le moyen d engager une discussion sur ce sujet Pour le raisonnement par l absurde le mieux serait que les l ves le trouvent naturellement On peut les y aider en leur disant d essayer de voir ce qui pourrait arriver si le triangle tait rectangle 38
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