fichier Pdf - IREM de Rennes
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1. 5 Ka D H EX AE PRI Com A cm A ect et a a o Aa 7 A a ran a Taan a d e rm o Du point de vue math matique les relatifs recouvrent deux id es d une part ils permettent de se rep rer sur une droite d s que l on choisit une origine d autre part ce sont des nombres qui donnent du sens des op rations comme 3 8 et donc la possibilit d effectuer des soustractions dans tous les cas Ces deux id es sont si diff rentes que les exemples choisis pour les illustrer aupr s des l ves sont distincts pour le rep rage sur une droite les temp ratures les dates les tages seront des exemples types mais ces exemples ne peuvent pas contribuer donner du sens l addition ou la soustraction pour aborder ces op rations le th me choisi sera le plus souvent gains et pertes mais cette fois d s qu il y a plus de deux nombres manipuler la repr sentation sur une droite n est gu re efficace L organisation actuelle des programmes est de ce point de vue favorable Dans un premier temps en sixi me c est l aspect rep rage qui est l objet de l apprentissage Pour viter des confusions ult rieures il est sans doute pr f rable de ne pas parler de nombres relatifs cette occasion l introduction de nombres comme 4 ne le demande pas Dans un deuxi me temps au d but de la cinqui me on aborde l addition et la soustraction des nombres relatifs Notre hypoth2. 3 ai s e p D DTN wr ETTE t 40 65 6 Geini re UU 4 23 HOT 5 Vle lenez L Ke SO Tour cen 2 renne if Ca Li rame e A AUS Sms me men rn Conclusion la soustraction de nombres n gatifs ne correspond pas a une op ration concr te C est la raison pour laquelle les l ves la contournent tranquillement en employant des proc dures intuitives le moins moins n a vraiment rien de naturel 32 IIl REGROUPEMENT DE LA CLASSE Cinqui me activit V rifions les comptes Objectifs e soustraction d un nombre n gatif e int gration des bons l ves Descriptif cette activit permet de faire le bilan de l activit pr c dente et d imposer la soustraction des nombres n gatifs gr ce la quatri me ligne L ordre des enfants correspond une progression de la difficult crire les bonnes op rations Les quatre premi res lignes mettent en vidence la soustraction crire et la ligne de Toto permet la g n ralisation par le professeur Les trois derni res lignes conduisent crire la soustraction d un nombre n gatif D roulement cette fiche est tr s guid e par le professeur Les bons l ves sentant leur retard sont tr s attentifs et rentrent vite dans la danse Les questions 1 et 2 ne posent pas de probl mes particuliers les quelques mauvaises r ponses sont rapidement limin es La troisi me question est mieux accept e par les bons l v
3. jet de Benjamin Elle note les autres jets A la fin de la partie Benjamin et Karim s exclament nous sommes ex aequo Cindy peut elle retrouver quelle face a obtenu Benjamin lors de son 1 jet A le 4 3 nar et Gen Famn cox i a 45 0 e Karv m 2 2 le Scone du T t el de Ben am n en 5 Conclusion la somme de plusieurs nombres relatifs s effectue en g n ral correctement En particulier le regroupement des nombres positifs d une part et des nombres n gatifs d autre part se fait assez naturellement 28 IREM de Rennes Pr parer plut t que rem dier KARIM ET BENJAMIN Le lendemain Benjamin arrive l cole avec un nouveau d dont les 12 faces sont num rot es de 1 12 1 A la r cr ation du matin Benjamin propose une partie son camarade Karim Ils se mettent tous les deux d accord pour compter les points comme l indique le tableau Lumen rmi Ems Eme cm xe pz Es Par exemple si le d tombe sur la face 6 tu gagnes 150 points si le d tombe sur la face 9 tu perds 225 points Ils jettent chacun 5 fois le d et obtiennent les r sultats suivants Bepamn 8 u 2 9 12 Karim 9 10 7 5 12 Donne le score de chaque joueur Qui a gagn la partie 2 Le soir la sortie de l cole ils jouent une nouvelle partie en 5 jets Cindy arrive en cours de partie et manque le 1 jet de Benjamin Elle note les autres jets A la fin de la partie Benjamin et Karim s ex
4. se est que pour cela on ne peut s appuyer de mani re vraiment utile sur le travail fait en classe de sixi me concernant le rep rage Dans un troisi me temps sans doute en fin de cinqui me ou au d but de la quatri me les deux points de vue sont rapproch s l occasion d exercices on peut en particulier s appuyer sur la similitude des notations introduites dans les deux cadres La s quence dont nous allons parler correspond l introduction au d but de la classe de cinqui me de l addition et la soustraction des nombres relatifs Nous avons donc cherch des activit s qui permettent d effectuer ces op rations sans imposer de r gle pr alable ni m me de notation Ainsi l criture simplifi e apparait d s l introduction des op rations Les notations habituelles ne sont pas les seules possibles cependant leur s lection se fera dans l action par un d bat et non pas de mani re impos e Deux difficult s principales Quelles sont les difficult s principales rencontr es sur ce sujet par les l ves de cinqui me L id e d introduire les nombres relatifs n en est pas une pas plus que l addition d un nombre positif et d un nombre n gatif ayant une valeur absolue plus petite Les deux principaux obstacles semblent tre e les l ves rechignent crire une op ration de la forme 5 12 Il s agit sans doute d un obstacle didactique c est dire cr par l enseignement ant rieur Cette criture a en ef
5. 8 devient 11 8 L criture Valeur sup rieure plac e d abord est tout de suite limin e ainsi que l criture Op ration en colonnes puis c est au tour de l criture Addition exprim e car in l gante Sont donc maintenues les critures Ecriture directe des lanc s et Somme de relatifs Finalement ce d bat fonctionne tr s bien et peut durer assez longtemps une demi heure veiller conserver au moins vingt minutes pour l activit Karim et Benjamin 26 Troisi me activit Karim et Benjamin la suite du d bat pr c dent Objectif somme de grands nombres relatifs Descriptif texte remani plusieurs reprises dans un but de clarification et dans l espoir de voir apparaitre la soustraction d un n gatif Le choix des valeurs beaucoup plus grandes que pr c demment a pour but de remplacer l usage de la r glette par des calculs D roulement un groupe s est encore servi de la r glette pour r pondre la premi re question Le calcul se fait soit pas pas soit en regroupant les points gagnants d une part et les points perdants de l autre Il est noter que l on trouve plus d erreurs avec la premi re m thode L encore les fiches sont ramass es pour en exploiter les r sultats R sultats la premi re question a t r ussie par trente quatre groupes A la deuxi me question les scores de Karim et de Benjamin ont t en g n ral bien calcul s mais les s
6. de d bicolore douze faces L int r t de la coulisse est d associer op rations et mouvements Ne voulant pas leur imposer de notation particuli re seule la partie fixe de la r glette est gradu e avec un z ro central en l absence de celui ci les l ves ont tendance placer le z ro l extr mit gauche ce qui engendre des difficult s mat rielles insurmontables Dans le m me esprit nous avons introduit les couleurs bleue et rouge pour caract riser les points gagnants et les points perdants Au cours d une s ance pr alable on aura distribu la fiche Confection d une r glette coulisse montr une r glette r alis e et demand chacun d en fabriquer une la maison Une autre formule consiste en faire soi m me une quinzaine que l on r cup rera la fin de chaque s ance et qui pourront servir pour d autres classes L analyse suivante porte sur 44 groupes d l ves en difficult dont un constitu uniquement de redoublants provenant de dix classes Confection d une r glette Bordas 6 1992 Toutes les dimensions donn es sont en centim tres D couper dans une feuille de carton pais un rectangle de 6 x 32 Z un rectangle de 3 8 x 32 M deux rectangles de 2 x 32 I quatre rectangles de 1 x 32 ZIP R aliser alors la r glette dont un sch ma est donn par la figure Pour cela coller les rectangles 7 sur le rectangle D en bordure de chaque c t Coller ensuite les
7. et de mieux ancrer la bonne d marche 2 Les r sultats Les signes l un des grands avantages de cette approche est d introduire d embl e plusieurs critures pour les op rations sur les nombres relatifs Ce sont en effet les l ves qui cr ent leur propre mani re d crire et chacun d eux va choisir celle qui correspond le mieux sa fa on de voir Les uns vont naturellement proposer 8 ou 8 pendant que d autres criront 8 Des expressions comme 11 8 ou 10 7 vont apparaitre On constate que chacun s appuyant sur l criture qu il a choisie va vite comprendre les critures des autres les formes erron es ou dangereuses seront le plus souvent rejet es d un commun accord Ce n est videmment pas le cas quand l enseignant commence par imposer une criture avec de nombreuses parenth ses certains l ves peuvent tre d rout s par des expressions du type 4 5 et la situation ne s arrangera pas quand l enseignant devra introduire la notation dite simplifi e Il n est pas surprenant que dans ces conditions l quivalence de 2 12 et de 2 12 soit ressentie par trop d l ves comme une convention d criture Au contraire apr s cette s quence la plupart des l ves en comprennent le bien fond Ces difficult s de l enseignement viennent de ce qu il n y a pas de notation canonique c est dire s imposant tous comme la plus efficace Par exemple pour d signer un nombre posit
8. gagne Gem vx Re Lun gen de e T A P Uivornie a Lie ane Qanad eet beu on SUBNCe quon ciel voug on recue On avance eu Gu r cuk a ver cda chi Etre qui eN marque Qur lo Sce clu de Vu cher on com mence par le O Conclusion cette activit fonctionne bien quand les l ves ont r ussi associer mouvement de la coulisse et gain ou perte Il ne faut donc pas laisser un groupe chercher sans succ s pendant plus de vingt minutes et lui donner des conseils dans ce sens en temps utile 23 Deuxi me activit La r cr ation toujours dans la m me s ance Objectif addition de deux nombres relatifs Descriptif d douze faces num rot es de 1 12 deux jets et pr sentation des r sultats sous forme d op rations Les nombres sont choisis pour que tous les cas d addition de deux nombres relatifs se pr sentent D roulement la r glette coulisse a souvent t abandonn e apr s le calcul des r sultats des premiers joueurs Cependant elle a parfois servi comme moyen de contr le en cas de d saccord dans le groupe cela permet de d montrer un camarade quel est le bon r sultat Les fiches sont ramass es la fin de la s ance une par groupe afin de pr parer le d bat qui suivra R sultats vingt six groupes ont trouv les bons scores et les huit autres n ont fait qu une ou deux erreurs 77 8 3 1 10 9 7 1 aulieude 7 I Huit groupes n ont pas eu le temps de terminer cet
9. pensent pas tout d autres d pensent plus qu ils n ont regu gr ce aux parents qu il faudra h las rembourser plus tard A la fin de chaque mois on doit faire les comptes Voici le tableau r capitulatif des mois de Mai et de Juin Etat du compte Etat du compte Variation pendant la fin Mai la fin Juin le mois de Juin gt le In Inn 34 40 28 50 Fabien 37 10 65 6 Ad A 2 Diane 23 7 11 4 n 1 123 g Ad u 25 1 43 48 42 36 A924 42 1 Diane affirme qu on effectue toujours la m me op ration pour trouver le r sultat de la 37 colonne Ecris cette op ration pour les 4 premi res lignes du tableau 36 2 Quelle est cette op ration qui permet d obtenir le r sultat de la 3 colonne O AN E A D E oa o Etod du comple re sun dat du compis Hun weng ye 3 Ecris maintenant cette op ration pour les 3 derni res lignes du tableau f 4 Observe les 3 derni res op rations crites et r dige une r gle pour les effectuer E pi Le 2 mombre pt m atif on Ke thwvpor lt A Ra fame af ono ve M qe vaw Sen Le signe de souatraction et celui qui es devant el ze va Le Voy ovum e un fang additionmame Au Lieu de mettre on peut Le rmplace por Conclusion la r gle du moins moins gale plus n est pas vidente mais le d roulement de cette s ance en permet une bonne acceptation par l ensemble de la classe 34 IREM de Rennes Pr parer
10. plut t que rem dier VERIFIONS LES COMPTES Les 7 enfants de la famille D penstrop regoivent de l argent de poche tous les mois Certains ne d pensent pas tout d autres d pensent plus qu ils n ont re u gr ce aux parents qu il faudra h las rembourser plus tard A la fin de chaque mois on doit faire les comptes Voici le tableau r capitulatif des mois de Mai et de Juin Variation pendant le mois de Juin Etat du compte la fin Mai la fin Juin ll Ed 1 Diane affirme qu on effectue toujours la m me op ration pour trouver le r sultat de la num colonne Ecris cette op ration pour les 4 premi res lignes du tableau 2 Quelle est cette op ration qui permet d obtenir le r sultat de la 3 colonne 3 Ecris maintenant cette op ration pour les 3 derni res lignes du tableau 4 Observe les 3 derni res op rations crites et r dige une r gle pour la soustraction d un nombre n gatif 35 Pr parer plut t que rem dier IREM de Rennes DES CALCULS A LA PELLE 1 Calcule a 10 15 9 6 ec 12 18 d 3 7 e 17 10 f 27 13 g 3 15 8 h 19 232 43 i 7 12 13 j 37 68 71 k 11 23 4 7 m 9 12 17 n 33 17 14 5 33 14 9 p 15 6 12 5 q 11 18 5 13 17 r 32 21 53 32 21 2 Ecris toutes les r gles que tu utilises pour effectuer ces calculs 36 Sixi me activit Des calculs la pelle Objectif nonc des r gles d addition
11. point de plus que Paul a se voit bien sur les r glettes Paul et Virginie continuent jouer et ils jettent en tout chacun dix fois le d Les r sultats des dix jets sont not s dans les tableaux suivants Paul a On peut connaitre le vainqueur sans faire de calculs en utilisant seulement la r glette coulisse comme l ont fait Arthur et Chlo Fais comme eux et trouve le vainqueur b R dige maintenant ton propre mode d emploi de la r glette coulisse tu pourras crire des nombres sur la r gle fixe et sur la coulisse 21 Pr parer plut t que rem dier IREM de Rennes LA RECREATION A la r cr ation suivante une nouvelle partie s organise entre 6 joueurs Ils lancent chacun 2 fois le d et obtiennent les r sultats suivants Daniel Elodie Pierre I WIEN EE Julie Marc B R E XS gt ui O Sophie e _B B_ lt F 1 Trouve le score de chacun puis tablis un classement tu pourras utiliser la r glette 2 Peux tu pr senter ces scores sous forme d op rations 22 Exemples de travaux d l ves Au d pont om mes Cautin ke de A conse fun V Ce uamd ge ape ge vo va la qox che mn SE de peints game Gr en suo tomben uma Nate hen eton apond de mouut posilam mand on paniom ya vus Le Ae be e deve ie des pois padu Grand m om he A ume fole Hen Grand en entr mme MUT Cus Qu el quan an been SN d de de pans ba teme d Hal
12. rectangles 27 sur les rectangles 177 de fa on r aliser un guide dans lequel coulissera le rectangle M La r glette marqu e M est mobile Le rectangle M est appel r gle mobile l autre partie est appel e r gle fixe Maintenant sur la r gle fixe marque un trait tous les centim tres et place le nombre 0 au milieu de la r gle fixe 19 Premi re activit La r glette qui calcule Objectif introduction l addition des nombres relatifs Cette activit peut tre abord e par des l ves n ayant pas encore rencontr les nombres relatifs Descriptif d douze faces rouges points perdants ou bleues points gagnants et r glette coulisse Le choix des nombres respectent trois contraintes e commencer par un nombre n gatif c est dire par une perte pour d clencher d s les premi res op rations une r flexion sur le traitement de ces nombres e choisir des nombres qui pour toutes les proc dures de traitement soient assez petits pour tre repr sent s sur la r glette e obtenir un r sultat final n gatif pour que le probl me de la comparaison de deux n gatifs soit pos D roulement la mise en route de cette partie de la s quence est celle qui nous semble susciter le plus de difficult s Plusieurs facteurs interviennent familiarisation avec la r glette compr hension du jeu acclimatation un mode de travail nouveau Une fois cette mise en place r alis e la suite de
13. De plus pour viter des graduations inadapt es soit trop larges emp chant de r aliser les op rations de nos exercices soit trop troites posant des probl mes de lecture soit irr guli res nous avons impos une graduation Mais nous laissons aux l ves la libert de choisir les nombres qu ils vont disposer sur cette graduation Nous avons construit notre s quence pour qu interviennent naturellement et simultan ment deux langages diff rents celui de la r glette et le langage alg brique Chacun de ces langages a en effet ses avantages e la r glette permet une repr sentation ais e d un gain ou d une perte et le traitement de l addition de deux nombres relatifs en revanche elle est mal adapt e la soustraction des relatifs le langage alg brique est efficace pour repr senter une situation complexe Il est au d part inconnu des l ves donc inappropri pour effectuer des op rations C est l articulation entre ces deux langages qui va permettre peu peu l l ve de cr er dans le langage alg brique des m thodes de traitement adapt es Le langage alg brique devient alors pour l l ve un outil performant la r glette n tant plus qu un moyen de contr le utile dans les cas difficiles La pr sentation des donn es pour viter de privil gier une notation ou une pr sentation des op rations nous avons choisi de pr senter dans les premi res fiches les donn es dans des tableaux peu adapt s au
14. clament nous sommes ex aequo Cindy peut elle retrouver quelle face a obtenu Benjamin lors de son U jet 29 Pr parer plut t que rem dier IREM de Rennes L ARGENT DE POCHE Les 7 enfants de la famille D penstrop regoivent de l argent de poche tous les mois Certains ne d pensent pas tout d autres d pensent plus qu ils n ont regu gr ce aux parents qu il faudra h las rembourser plus tard A la fin de chaque mois on doit faire les comptes Voici le tableau r capitulatif des mois de Mai et de Juin Etat du compte la fin Mai Etat du compte la fin Juin 1 Diane a remarqu que l on effectue toujours la m me op ration pour trouver le r sultat de la 3 colonne Quelle est cette op ration Variation pendant le mois de Juin 2 Pour chacun des 7 enfants cris l op ration qu il faut effectuer 30 Quatri me activit L argent de poche Objectif pr paration la soustraction d un nombre n gatif Descriptif le but initial de cette activit tait de faire apparaitre la soustraction d un n gatif Malgr de nombreux essais nous n avons pas r ussi mettre au point une fiche qui conduise suffisamment d l ves proposer cette soustraction C est pourquoi nous op rons en deux temps d abord l activit L argent de poche propose une familiarisation avec une situation ou elle pourrait tre utilis e puis dans un second temps sur la m me situati
15. e Se e SES c A Jedlnia baes elfe Se s ere i gx l SSES EE mu TEC a EE 41 E Sbancl ES e leur lena lt TEON R fe nisufkor est n tt i SUUS usos l fes deuk pum ce 2 AC 42322 84 ELA BEI EE m MEER bt gent LAE qu B meode E2 EE Kafe MER Equ eet bra megan a Que pate ZERO HA TETES ALECA 200 e ad Cen apoLe eux om mes oppose Ye nesu AS TE AREZ HS E TSH E HIlCS95z z S2 2 568 te el i l EN GAP CORN IN A ERE SS Lime comme afge Due St ume eis alien e cle eoustboctcoms cle mom baeo ne Pate D Sermo de Quse uus sermones m LCE 42 gEjemres Sain ER A FOME Qe Rusteuno momies CONES emm eeu wt Ammon Pes ombres opos o PV mer x egrepez er add L emmer o mom aee siefotips da m me stone pos ue ek ve Soe bt emerques 5 pO TI A 0 q 3594 8 X afru 40 3 E o ETENTRE L SEN GE ume eiert 2f q dk Om lasci cens Len pora ens de ciojesbren megolik 3 em adel Celos gd RE uod y em ER e Daf on Lese Kaff enc Bceepke Lat 43
16. es La quatri me question conduit la r daction de la r gle par quelques l ves et son adoption par l ensemble de la classe R sultats la r ponse la deuxi me question est souvent incompl te une soustraction alors qu on attend Etat du compte fin Juin Etat du compte fin Mai La comparaison avec les r sultats de l activit L argent de poche rappel s sur un transparent par exemple permet de d couvrir que 37 28 est quivalent 37 28 Les l ves r digent alors une r gle pour la soustraction d un nombre n gatif et un nonc final est adopt par l ensemble de la classe Exemple de travail d un l ve en difficult 1 Diane affirme qu on effectue toujours la m me op ration pour trouver le r sultat de la 3 colonne Ecris cette op ration pour les 4 premi res lignes du tableau 2 Quelle est cette op ration qui permet d obtenir le r sultat de la 3 colonne La aus t o c 10 e ARALAR Caloexe tod ah e anne D too DT 3 Ecris maintenant cette op ration pour les 3 derni res lignes du tableau 4 Observe les 3 derni res op rations crites et r dige une r gle pour les effectuer el Faut que le NOMBRES Ngak P de la colone a Jeurennes ol eo No mGnre s pos Hif Ex 33 1o 27 50 gt 3Td0o42950 33 Exemple de travail d un bon l ve Se P en ants de la famille D penstrop regoivent de l argent de poche tous les mois Certains n d
17. et de soustraction des relatifs Descriptif progression des difficult s partir de calculs vari s abordant les diff rents aspects de la somme alg brique D roulement les op rations a b c e et f se font facilement Des l ves en difficult ont demand travailler avec la r glette coulisse et d autres parmi les bons ont souhait faire de m me pour effectuer les calculs Le r sultat du d se justifie bien avec le d placement de la r glette Le g le h et le i obligent un rappel sur la priorit des op rations Il est important de faire r diger les r gles par les l ves puis de s lectionner les meilleures productions pour aboutir l nonc final Il est normal que dans une formule il puisse y avoir des parenth ses en trop cela ne pr sente aucun inconv nient ni pour la lecture par les l ves d expressions alg briques ni pour la ma trise de l criture par exemple 3 1 12 pour 3 1 12 A noter qu on peut pr f rer int grer la correction de cette activit au cours lui R sultat la r gle concernant la somme de nombres de m me signe ne pose pas de probl me Pour la somme de deux nombres de signes contraires la formulation de la r gle est plus d licate mais la signification est correcte Quant la r gle de soustraction d un nombre n gatif elle est issue de l activit V rifions les comptes Exemples de travaux d l ves Reen eM uns wm po V Ses egt or Jet a
18. euxi me activit Celui ci se place au d but de la deuxi me s ance Les diff rentes op rations produites par les l ves sont rassembl es au tableau ou sur un transparent et servent de base la discussion Celle ci permet quelques mises au point o les bonnes pr sentations sont finalement accept es de tous Toutefois le d bat peut tre difficile amorcer certains l ves n tant pas habitu s prendre la parole devant leurs camarades a fortiori s ils viennent de classes diff rentes Mais il se r v le rapidement f cond les l ves ont beaucoup de remarques faire soit pour valider leurs critures soit pour liminer celles qui leur paraissent trop complexes ou fausses A ce propos l usage de la r glette permet de r gler des conflits et de montrer l quivalence d critures diff rentes exemple 8 3 et 8 11 aussi 25 Voici le genre d op rations pos es par les l ves Ecriture directe des lanc s 11 8 3 Valeur sup rieure plac e d abord Initialisation avec z ro 0 11 8 3 0 2 12 10 Addition exprim e 11 8 3 2 12 10 Somme de relatifs 11 8 3 2 12 10 Op ration en colonnes L criture Initialisation avec z ro a la cote car elle fait r f rence la r gle coulisse TI faut bien savoir d o l on part sinon cela pourrait tre 1 11 ou 5 11 ou autre chose Cependant en rappelant la priorit des op rations 0 11
19. fet t consid r e comme impossible et sans signification pendant tout le primaire 17 e l introduction d op rations du type 4 12 et la mise en vidence que cela fait 4 12 est difficile On peut penser qu il s agit cette fois d un obstacle pist mologique Soustraire un nombre n gatif n est jamais r ellement n cessaire pour r soudre un probl me concret Ce sont des raisons th oriques qui le justifient la n cessit d avoir un ensemble de nombres sur lequel toutes les op rations sont possibles Il faut donc que d une mani re ou d une autre l l ve comprenne cette n cessit pour qu il se d cide crire cette soustraction Cette deuxi me difficult est peut tre l origine de la pr occupation de beaucoup d enseignants le besoin de clarifier dans chaque cas la nature de l op ration associ e telle ou telle situation concr te est ce une addition est ce une soustraction Cependant cela ne nous semble pas pertinent par exemple devant une situation concr te peuvent apparaitre les critures 5 7 et 7 5 elle sont toutes deux l gitimes et correspondent pratiquement des points de vue semblables Et pourtant l une sera consid r e comme une addition et l autre comme une soustraction C est m me le constat du fait qu une soustraction peut se r duire une addition qui est le principal point d appui pour surmonter lobstacle CA En fait la distinction addition soustraction est essentie
20. if il est aussi l gitime d employer une notation comme 8 qui identifie le nombre relatif positif avec le nombre naturel que la notation 8 qui les distingue Les op rations gr ce la manipulation de la r glette coulisse la grande majorit des l ves en difficult a pu passer sans heurt de la notion d abscisse d j acquise celle d addition des nombres relatifs Les bons l ves qui n ont pas eu cet apprentissage ont montr qu ils acc daient facilement l utilisation de cette op ration Malheureusement la soustraction de nombres n gatifs n ayant rien de naturel est syst matiquement d tourn e Cela n emp che pas les r sultats justes donn s par beaucoup d l ves gr ce leur bon sens 40 Soustraire un nombre n gatif c est effectivement la difficult centrale Comme nous l avons d j dit aucune situation concr te ne conduit cette criture car elle est remplac e imm diatement par une addition Celle ci ne se justifie que pour une situation o intervient une variable et ou l on veut exprimer les diff rents cas par une formule unique C est bien dans cet esprit que les activit s L argent de poche et V rifions les comptes ont t conques L exp rience montre que apr s les h sitations des l ves au cours de ces activit s la difficult semble tre surmont e 3 Le cours Pour clarifier les r gles d op rations sur les relatifs il est indispensable de les no
21. ignes ne sont pas souvent exprim s Nombreux sont ceux qui ont crit 150 125 25 ou 25 125 150 ce qui indique qu ils ont r solu une op ration trou D autres ont simplement calcul 150 25 125 Cela ne les a pas g n s pour annoncer la face 5 alors qu aucun n a fait apparaitre de scores n gatifs On n a pas observ de calculs de la forme 150 225 125 donc pas de soustraction de nombres n gatifs Exemples de travaux d l ves 235 250 Ws ins S neo 42 ae z FEE Karim tts se e es Soliz Gui CPndq peuk rebrouver La Lace lenus Nors de aen JA Y de Renomi i 27 Benjamin EE E EE ab Donne le score de chaque Joueur de gagnant esr benjaninz t 50 iN 245 2 Le soir la sortie de l cole ils jouent une nouvelle partie en 5 jets Cindy arrive en cours de partie et manque le d jet de SE Elle note les autres jets A la fin de lar partie po et m s exclament nous Id ex aequo Cindy peut elle retrouver quelle face a obtenu Benjamin lors de son 1 jet Beemen 725 et KARUM 150 Mais comh Us sort EX dequo 254 NS 50 pour Be n AN dent le soltau d 5 datz le polat A legatos zas ENTIENDA Karim 9 Tio 7 15 TE 1260 615 1597 Gg Donne le spore de chaque joueur dd a gagn la partie Gen da MEN Benjon 50 Kanin 35 2 Le soir ia sortie de l cole ils jouent une nouvelle partie en 5 jets Cindy arrive en cours de partie et manque le 1
22. la s ance se d roule tr s ais ment R sultats sur quarante quatre groupes trente deux ont respect la consigne et utilis la r glette Ils ont en g n ral bien associ le z ro central avec d placement de l extr mit de la coulisse qui reste non gradu e Ils ont ainsi choisi les d placements qui caract risent les points gagnants et les points perdants gauche droite ou haut bas L emploi de r sultats n gatifs n est pas syst matique les r ponses sont alors donn es sous forme de points perdants gagnants ou rouges bleus On remarque toutefois que certains r sultats sont donn s sous forme de nombres n gatifs m me si les relatifs n ont pas t employ s dans les manipulations Notons cependant qu apr s une bonne manipulation quelques l ves pour lire le r sultat final sur la r glette commettent l erreur de compter en partant de l extr mit de la r gle fixe au lieu de partir du z ro Trois groupes difficult ou manque de travail ont eu besoin de plus de temps Trois autres groupes dont celui des redoublants tr s difficiles motiver et qui n ont m me pas pens aux nombres relatifs n ont pas r ussi cette activit ce sont les seuls qui n ont pas su manier la r glette coulisse Six groupes ignorent la r glette certains ajoutent les points perdants puis les points gagnants et calculent la diff rence ils obtiennent en g n ral les bonnes r ponses Les autres calculent pas pas mais se trompe
23. llement une pr occupation th orique et l objet de la construction des relatifs est justement de la supprimer avec l introduction de l id e de somme alg brique I PROGRESSION PEDAGOGIQUE ET ORGANISATION DES SEANCES Les trois premi res s ances ne concernent que les l ves en difficult et les deux suivantes se font en classe enti re Chaque s ance dure cinquante cinq minutes Pendant toutes ces s ances les l ves travaillent en groupes de trois ou quatre 1 s ance Premi re activit La r glette qui calcule 30 minutes Deuxi me activit La r cr ation 2 s ance Bilan des deux premi res activit s d bat 30 minutes Troisi me activit Karim et Benjamin 3 s ance Corrig rapide de la troisi me activit 10 minutes e Quatri me activit L argent de poche 4 s ance Cinqui me activit V rifions les comptes 30 minutes Sixi me activit Des calculs la pelle 5 s ance Corrig de la sixi me activit de a jusqu 1 25 minutes e Ecriture des r gles utilis es partir du corrig pr c dent 75 minutes Exercices d finir par le professeur 18 II DESCRIPTION DE LA SEQUENCE POUR LES ELEVES EN DIFFICULTE Pr paratifs S appuyant sur la repr sentation des relatifs sur une droite bien accept e par les l ves nous leur avons propos l usage d une r glette coulisse dans une situation ludique un jeu
24. ncer Dans un cours traditionnel les nonc s de ces r gles qui ne sont pas obtenues partir du travail des l ves sont souvent complexes Dans notre d marche il est possible de choisir parmi les productions des l ves des nonc s beaucoup plus elliptiques il ne s agit pas en effet de tout expliquer mais d exprimer en quelques mots les points sur lesquels l ensemble de la classe s est mis d accord l issue d un d bat approfondi L enseignant s assure naturellement qu aucune id e essentielle n a t oubli e Les nonc s choisis finalement vont videmment d pendre de l enseignant Si celui ci a l habitude de s exprimer de mani re tr s pr cise il modifiera les propositions d nonc s des l ves pour les compl ter Si au contraire il souhaite mettre plus l accent sur la signification que sur la pr cision il pourra accepter des expressions d l ves incompl tes mais parlantes Il est important de bien comprendre qu un nonc incomplet qui est aux yeux de certains enseignants incorrect peut dans la classe ou il a t introduit avec les pr cautions indiqu es se r v ler tr s performant aussi bien sur la forme car il est plus simple que J nonc traditionnel que sur le fond car il a plus de sens pour les l ves qui savent tr s bien ce qui est sous entendu A titre d exemple on trouvera ci apr s ce qui a t not dans le cahier de cours d un l ve sur la base de leur production ndi baes ht
25. nt morra tora bo dt am um an HE QURE un Y bu y v port wn Pt en och l it deux een H Uode NES on ang Son odd bieene den z n emendi on E unt 37 je gamas A Como ds An Aus anomde Zell Ae cl GE cles valur nega GC les amp 2 Fla e positif le ces ut bat est Conclusion la m thode qui consiste d finir les r gles concernant l addition et la soustraction des nombres relatifs partir des productions d l ves nous parait plus motivante et plus performante d autant plus qu il s agit ici de les substituer des r dactions qui sont habituellement d une complexit bien d courageante On constate que les l ves pr f rent noncer plusieurs petites r gles plut t qu une r gle synth tique 38 IV OPPORTUNITE DE CETTE APPROCHE DES RELATIFS 1 Les raisons de nos choix Les avantages de la r gle coulisse la repr sentation des nombres relatifs sur la droite des r els n est pas un acquis quand il s agit d une situation de gains et pertes Plut t que l imposer aux l ves il nous semble pr f rable de les aider se construire ce type de repr sentation Dans cet esprit nous avons cherch fournir aux l ves un outil leur laissant le maximum de libert Cependant nous avons plac le z ro au milieu de la graduation car l exp rience nous a montr que les l ves le placent plus naturellement l une des extr mit s ce qui les conduit des manipulations impossibles
26. nt plus facilement Quant aux modes d emploi crits par les l ves propos de l utilisation de la r glette coulisse s ils manquent de rigueur ils n en sont pas moins acceptables Ils montrent que les l ves en ont compris le fonctionnement Par exemple Quand on perd on va vers la gauche et quand on gagne on va vers la droite A noter toutefois qu un groupe a confondu le mode d emploi de la r glette et la r gle du Jeu 20 IREM de Rennes Pr parer plut t que rem dier LA REGLETTE QUI CALCULE A la r cr ation Paul et Virginie jouent avec un d 12 faces Certaines faces sont bleues et d autres sont rouges Les points marqu s sur les faces bleues sont des points gagnants et les points marqu s sur les faces rouges sont des points perdants Arthur et Chlo qui les regardent jouer utilisent chacun une r glette coulisse pour suivre l volution du score Arthur dit je m occupe de Paul et Chlo lui r pond d accord je prends Virginie Paul et Virginie commencent jouer et jettent chacun une premi re fois le d Paul obtient une face rouge marqu e 11 et Virginie une face rouge marqu e 12 Arthur dit c est Paul qui gagne car il perd moins Paul et Virginie jettent chacun une deuxi me fois le d Cette fois Paul obtient une face bleue marqu e 8 et Virginie une face bleue marqu e 10 Chlo dit Pour l instant c est Virginie qui gagne car elle a au total un
27. on un sc nario l activit V rifions les comptes force cette criture L observation ne porte que sur seize groupes provenant de quatre classes D roulement apr s un corrig rapide de l activit Karim et Benjamin partir des travaux d l ves et au bout de quelques minutes de r flexion sur la fiche L argent de poche il est n cessaire d apporter une explication aux titres des colonnes partir de l exemple d Annabelle R sultats douze groupes ont r pondu correctement la premi re question sans pr ciser obligatoirement les termes de la soustraction trois groupes ne r pondent pas et un groupe r pond qu il y a des additions et des soustractions A la deuxi me question deux groupes sont r ticents crire 12 48 la premi re ligne Les difficult s apparaissent surtout partir de la troisi me ligne On constate beaucoup d critures fausses associ es des r sultats exacts Un seul groupe crit et effectue la bonne op ration 11 4 23 7 12 3 Cinq groupes effectuent la soustraction habituelle 23 7 11 4 12 3 Voici le genre d critures fausses constat es _11 4 23 7 12 3 23 7 11 4 12 3 12 3 11 4 23 7 Exemples de travaux d l ves gone ME 36 p doc i E ARS I AA 4 Bro ER Emile pr Z Eelde i 3x 401115 a rene 4j LAA RARO 4 49 T ms 0 Y 4 On fait paor Rad Les aliit Le Ais det clase 31 IT
28. te activit Le groupe de redoublants n a pas su faire Un groupe soustrait syst matiquement les nombres en valeur absolue le plus grand moins le plus petit et ne donne donc que des scores positifs Un autre r pond en terme de bleu et rouge Les groupes ont pr sent leurs op rations sous des formes diff rentes e en ligne avec ou sans parenth ses e en colonne avec ou sans signe d op ration en plus des signes des nombres avec le signe moins plac parfois apr s le nombre Des critures fausses accompagnent parfois de bons r sultats 7 1 8 11 8 3 ou 7 1 6 11 8 3 donc 3 i Exemples de travaux d l ves 1 Ha Cagle CXodie ope Pere Don ess Xe 5 u 2 EU Eire 10 4 5 ho plie ENEE Se O 4 15 Darro 8 14 5 Hare 4 Rulle 2 je io 24 je KZ SEX m D imi a 5 M M LEN VEU AQ io 2 Gm HE PAI Meer Conclusion on constate que les couleurs sont abandonn es et que les signes arrivent spontan ment L criture de certaines op rations d stabilise un peu les l ves par exemple 2 12 tait jusqu alors consid r e comme une op ration impossible Cette activit est int ressante car elle donne lieu des critures diff rentes Elle permet aussi des proc dures diff rentes comptage en valeur absolue avant restitution ou non du signe addition des nombres accompagn s de leur signe Le d bat sur la d
29. traitement et avec un code de couleur pour d signer les points gagnants et les points perdants Ce n est qu avec l activit Des calculs la pelle que l on retrouve les notations habituelles dans l nonc Les t ches d criture le but de ces t ches n est pas d obtenir des textes parfaits mais d obliger les l ves expliciter certaines d marches plus ou moins implicites Cela rend plus fructueux les d bats les textes produits pouvant servir de point de d part Les calculs sont parfois effectu s avec un certain automatisme et le sens des op rations est souvent d termin par intuition L criture impose une r flexion sur la d marche suivie permettant d liminer des proc dures fantaisistes et de conforter les bonnes options 39 Les d bats on a choisi de placer les d bats en d but de s ance En effet cela permet d tudier auparavant les productions des l ves r cup r es la fin de la s ance pr c dente et de pouvoir les utiliser en rassemblant par exemple les plus pertinentes d entre elles sur un transparent De plus s il est facile d courter un d bat qui traine il est regrettable d interrompre un change riche par la sonnerie de fin de cours L int r t de ces d bats est de faire s lectionner par les l ves eux m mes les bons calculs et les bonnes critures et de r v ler la multiplicit des formulations quivalentes Cette vari t permet de rep rer les solutions les plus simples
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