Pavages autosimilaires du plan et quasi-cristaux.
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1. F Dyson Random matrices neutron capture levels quasicrystals and zeta function ze ros Workshop on random matrix theory Berkeley California 2002 Sept 23 A Hof On diffraction by aperiodic structures Comm Math Phys 169 1995 25 43 Johannes Kellendonk and Lorenzo Sadun Meyer sets topological eigenvalues and Can tor fiber bundles 2012 Richard Kenyon On the characterization of expansion maps for self affine tilings with B Solomyak To appear Richard Kenyon and Boris Solomyak On the characterization of expansion maps for self affine tilings 2009 20 21 22 23 24 2 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 76 J C Lagarias Meyer s concept of quasicrystal and quasiregular sets Comm Math Phys 179 1996 365 376 J C Lagarias Geometric Models for Quasicrystals I Delone Sets of Finite Type Discrete amp Computational Geometry 21 1999 161 191 J C Lagarias Geometric Models for Quasicrystals II Local Rules Under Isometries Discrete amp Computational Geometry 21 1999 345 372 J C Lagarias Mathematical Quasicrystals and the Problem of Diffraction Directions in Mathematical Quasicrystals CRM Monograph Series 13 American Mathematical Soci ety 2000 61 93 J C Lagarias P A B Pleasants Repetitive Delone Sets and Quasicrystals Ergod Th Dyn Sys 23 2003 831 867 Jeong Yup Lee When do se2. Meyer set il existe tou jours un ensemble modele M et un ensemble fini F tels que X C F Lemme 7 1 Soit OK la frontiere de K Alors tout ensemble modele A tel que OK N p T 0 est un ensemble r p titif 8 LES NOMBRES DE PISOT VIJAYARAGHAVAN ET DE SALEM Definition 11 Un nombre de Pisot Vijayaraghavan est un nombre reel gt 1 ayant les propri t s suivantes a 0 est un entier alg brique de degr n21 b les n 1 conjugu s 07 On de verifient a Nous crirons dans ce suit nom bre de Pisot au lieu de nombre de Pisot Vijayaraghavan Par exemple les entiers naturels 2 3 sont des nom bres de Pisot et la condition b est vide dans ce cas Quand le nombre de Pisot n est pas un entier son polyn me min imal s crit Pla z aa an O 4 an 2 Alors les conjugu s 07 On de sont les autres solutions de P z 0 et ce titre sont soit r eeles solent complexes Le nombre d or o Bs est un nom bre de Pisot Le polyn me minimal de est z x 1 et le conjugu de y est E Le nombre d or y n est pas le plus petit nombre de Pisot Le plus petit nombre de Pisot 1 324717 est la solution r elle de l quation a x 1 0 Les deux autres solutions z et 29 de cette quation sont com plexes On a 21 29 et 2129 2112 29 1 p ce qui d montre que p est un nombre de Pisot
3. N Definition 2 Un pavage P du plan est repetitif si pour tout entier N et pour tout ensemble fini Ty compos de N tuiles appartenant P l ensemble des x tels que les tuiles translat es Ty 1 lt k lt N appar hennent encore P est relativement dense Definition 3 Soient P et deux pavages du plan On crit Q si les deux conditions suivantes sont v rifi es a Q est un raffinement de P toute tuile de P est une r union finie de tuiles de b si deux tuiles T T P v rifient p euge grr est un d placement du plan alors pour chaque tuile 5 Q apparaissant dans la d composition de T on a S g S o S est l une des tu iles qui apparaissent dans la d com position de Un pavage du plan est autosimilaire au sens strict sl existe un nombre r el ou complexe C gt 1 tel que C P Definition 4 Un pavage P est au tosimilaire au sens large s il existe un nombre r el ou complexe 64 gt 1 tel que l ensemble des sommets des tuiles du pavage v rifie A Un pavage P n est pas d termin de fa on unique par l ensemble des som mets de ses tuiles et les deux notions d autosimilarite different Theoreme 2 1 Le pavage de Pen rose est autosimilaire au sens large avec C T exp 3mi 5 14 5 7 est le nombre d or l aide des proto tuiles utilis es dans le pavage de Penrose nous construirons section
4. YA T 4 FU AJO Y MINI Me N e 37 Ar W wh x PER 37 A 37 Al x FA af c FA 37 ue x fr x Yo IA EAS ASAS AAA A SO SOS SU X X DVG non aF 4 Pb y FO AY d AR NY EM MNT Robert Ammann 1946 1994 tait un mathematicien amateur qui apporta des contributions spectaculaires la th orie des quasi cristaux et des pavages non p riodiques Ammann commenca ses tudes l Universit de Brandeis qui est situ e 20 kilom tres de Boston mais le plus souvent il n assistait pas aux cours et il finit par abandonner ses tudes Il travailla alors comme pro grammeur pour la firme Honeywell Li cenci ensuite par Honeywell Ammann trouva un emploi dans un centre de tri postal En 1975 Ammann lut l annonce par Martin Gardner d une decouverte faite par Roger Penrose Penrose avait decouvert un pavage non periodique du plan obtenu en utilisant seulement deux losanges Penrose ne voulait pas publier avant de prendre un brevet sur son invention de sorte que la description de Gardner tait volontairement vague Ammann envoya une lettre a Gardner en y decrivant son propre travail qui fournissait la meme construction que l un des pavages de Penrose D autres lettres suivrent et Ammann devint un correspondant de nombreux math maticiens professionnels 36 Ammann d couvrit de nombreux pavages non p riodi
5. Commen ons par un contre exemple L ensemble A des sommets du pinwheel tiling n est pas un Meyer set comme on le v rifie sans peine J Lagarias a demontre le theoreme suiv ant Theoreme 7 1 Un ensemble de De launay A est un Meyer set si et seulement si A A est galement un ensemble de Delaunay L autosimilarit des Meyer sets est d crite par le theoreme suivant Th or me 7 2 Soit 0 gt 1 un nom bre r el et un Meyer set Si l on a C A alors est soit un nombre de Pisot sott un nombre de Salem R ciproquement en toute dimension n et pour tout nombre de Pisot ou de Salem 0 il existe un Meyer set A tel que A CR etOACA La d finition g n rale dun ensemble modele A C R est illustr e par le dessin de la page suivante 62 Cut and proge etim l s a Lattice yer r S 0 PS D is one to one n n ts dente m R s 00 re elyek 63 Un r seau CRY est un sous groupe discret a quotient compact En d autres termes A Z o A est une ma trice inversible N x N Pour definir un modele on fixe un entier m gt 1 on poe N n m RY R x et Von consid re un r seau RV Pour x y X R x R on pose x p X et y pX X On suppose que p gt est une application injective et que est un sous groupe dense dans R Un ensemble compact R est int grable au sens de
6. gt 1 v rifiant 0 gt 1 et dont les n 2 conjugu s 0 autres que 0 et 0 v rifient Par exemple 0 2 1 est un nombre de Perron La d finition d un nombre de Perron r el est semblable les con ditions portent alors sur les n 1 con jugues Les entiers naturels les nom bres de Pisot ou de Salem sont des nom bres de Perron Le th oreme qui suit est du a W P Thurston R Kenyon et B Solomyak Th or me 5 2 Soit P un pavage du plan r p titif et de type fini Soit 0 un nombre complexe tel que 0 gt 1 et que OP C P Alors 0 est un nombre de Perron R ciproquement pour tout nombre de Perron 0 il existe un pavage P du plan qui soit repetitif de type fini et tel que OP CP Nous esquissons la preuve en dimen sion 1 dans le cas du nombre de Perron 0 3 2 Alors on pose a 1 b y2 1 et Pon a 4a b db a 2b ce qui permet un d coupage it ratif d intervalles que nous allons d crire main tenant Ce d coupage produit un ensemble Z1 d intervalles bleus et un ensemble 7 d intervalles rouges Tout intervalle bleu J Z4 de longueur donne naissance cinq inter valles contigus J4 I5 qui forment une partition de Z les intervalles J4 Lo La et I5 ont pour longueur 0 et seront bleus L intervalle 3 a le m me centre que a pour longueur longueur 1 1 0 et sera rouge b Tout intervalle rouge J 7 de longueur l donne naissance trois
7. Acad Press 1997 403 441 R V Moody Uniform Distribution in Model Sets Can Math Bull 45 No 1 2002 123 130 R V Moody Mathematical quasicrystals a tale of two topologies ICMP 2003 Edited by Jean Claude Zambrini University of Lisbon Portugal Published by World Scientific Publishing Co Pte Ltd 2006 R Salem Algebraic numbers and Fourier analysis Boston Heath 1963 M Schlottmann Cut and Project Sets in Locally Compact Abelian Groups Quasicrys tals and Discrete Geometry ed Patera J Fields Institute Monographs vol 10 AMS Providence RI 1998 247 264 41 42 43 44 45 46 47 48 77 M Schlottmann Generalized Model Sets and Dynamical Systems Directions in Math ematical Quasicrystals eds Baake M and Moody R V CRM Monograph Series AMS Providence RI 2000 L Schwartz Theorie des distributions Hermann Paris 1966 Senechal Quasicrystals and Geometry Cambridge University Press 1995 paperback edition 1996 Senechal What is quasicrystal Notices of the AMS 886 887 September 2006 D Shechtman I Blech D Gratias and J W Cahn Metallic Phase with Long Range Ori entational Order and No Translational Symmetry Phys Rev Lett 53 1984 1951 1953 Boris Solomyak Tilings and Dynamics 2000 William Thurston Groups tilings and finite state automata Summer 1989 AMS Col loquium Lectures Boulder N Wiener The Fourier Integral and certain
8. Raphael Salem a d montr que l ensemble 5 de tous les nombres de Pisot est ferm Les nombres de 5alem sont d finis de fa on analogue La condition a est conserv e tandis que b est remplac e par avec au moins une galit Alors le degr n de 0 est pair Quitte permuter les conjugu s de 6 on a 07 7 et 031 61 1 Avant d enoncer notre r sultat prin cipal commencons par traiter un ex emple Soit le nombre d or et l anneau des entiers du corps de nom bres engendr par 0 On definit 5 O comme l ensemble des v rifiant 8 lt 1 On a alors C est vident Si 6 5 alors on a O et B 1 Ensuite le conjugu du produit LE est le produit des conjugu s ce qui conclut la preuve 9 IMAGES DE DIFFRACTION Le theoreme suivant claire le travail de Daniel Shechtman Soit A un ensemble modele defini par un r seau R x IR et une fen tre CR Soit le r seau dual de Ce r seau dual R est l ensemble 70 des y tels que l on ait expliy x 1 Va ET On a videmment T Soit K une partie compacte de R Supposons que K soit int grable au sens de Rie mann et de mesure positive Soit o OS IR et supposons que s annule hors de K On d finit des poids wfA A sur A par w pi y e po y y T Si pouvait etre la fonction indica trice de K on aurait w A 1 o
9. Riemann si sa frontiere est de mesure nulle La fronti re de est K o L est l int rieur de L int rieur de AK est le plus grand en semble ouvert contenu dans K Si K est int grable au sens de Riemann alors 64 est de mesure positive si et seulement si l int rieur de n est pas vide Definition 10 Soit K C R un en semble compact int grable au sens de Riemann Alors l ensemble modele A d fini par et K est construit comme suit 5 A pi y ET poly K Un sous ensemble A de R est un en semble mod le si soit A est un r seau ou si l on peut trouver un entier m un r seau r seau et un compact K int grable au sens de Riemann tels que A soit le mod le d fini par 5 L ensemble compact K est la fen tre de l ensemble mod le A 65 Voici un exemple Soit En et considerons le reseau du plan defini comme l ensemble des x 21 29 tels que 6 MHN 29 m n 2 Alors l ensemble des nombres r els 71 tels que 11 19 ro 1 est un ensemble modele Les ensembles mod les ne sont pas p riodiques mais ont suffisamment de presque p riodicit pour avoir une image de diffraction discr te Cela correspond aux pics de Bragg que l on observe dans l image de diffraction aux rayons X des vrais quasi cristaux E Arthur Robinson Jr Theoreme 7 3 Un ensemble modele est un Meyer set En sens inverse si A est un
10. in tervalles J4 Jo et J3 L intervalle Jo a pour longueur V2 1 1 0 son centre est celui de J et il sera bleu Les deux intervalles J1 et J3 ont pour longueur 1 0 et sont rouges Pour construire le pavage P on part de l intervalle bleu J 0 1 On le decompose iterativement en intervalles bleus et rouges A la premiere etape on obtient cinq intervalles quatre bleus et un rouge la seconde tape on ob tient 17 intervalles bleus et 6 intervalles rouges On s arr te la N ieme tape Le point essentiel est alors que tous les intervalles bleus de cette N i me tape ont la m me longueur ly 07 et que tous les intervalles rouges ont pour longueur 4 2 1 I y On dilate la fig ure obtenue dans un rapport 9 passer ensuite la limite L ensemble A des sommets de ce pavage n est pas un Meyer set sinon serait un nombre de Pisot ou de Salem Pour obtenir un pavage autosimilaire du plan il suffit de consid rer les rectangles I x J o I et J sont les intervalles d limit s par 54 6 MOTIFS PRESQUE PERIODIQUES Une fonction continue f R est presque p riodique au sens de Bohr si pour tout nombre positif e il existe un ensemble de Delaunay Az tel que pour tout T Az on ait 1 sup fa r f z lt TER Soit f une fonction presque p riodique La boule centr e au point x de rayon est not e B x et la constante est l invers
11. of its applications Cambridge University Press 1933
12. or me 6 1 est plus subtil qu il ne semble les motifs presque p riodiques ont une structure arithmetique tres pr cise comme le montre le theoreme suivant Th or me 6 2 Soit Ag 0 gt 2 l ensemble de tous les nombres r els qui s crivent sous la forme de sommes finies gt 0 ee 0 k20 Alors Ag est un motif presque p riodique si et seulement si 0 est un nombre de Pisot Vijayaraghavan Que O gt 2 soit un nombre de Pisot ou non la densit de Ag est nulle La r union Ag U Z donne un exemple d un ensemble dont la densit uniforme est gale 1 et qui selon la nature de 0 est ou n est pas un motif presque p riodique 58 7 MEYER SETS ET MODEL SETS Boris Nikolaievitch Delaunay De lone ot Petersburg 1890 Moscow 1980 Definition 8 Un ensemble de De launay est d fini par les deux condi tions suivantes a Il existe un B gt 0 tel que VX A VA A Az eR SS b Il existe un nombre y lt oo tel que sup distance x y lt oo TER oi l on applique la triangulation de De launay un ensemble de DelaunayA on obtient un pavage du plan l aide de triangles dont les sommets sont les points de A Les Meyer sets C IR sont les en sembles de points qui generalisent les r seaux Definition 9 Un Meyer set A est un ensemble de Delaunay tel que ait A ACA F o F est un ensemble fini Si F 0 A est un r seau comme Z
13. une homoth tie ayant pour centre 0 et pour rapport pen On obtient ainsi un recouvrement Py de Sy par des triangles isom trigues a A ou B On d signe par 5 le secteur an gulaire d fini par S 0 lt 0 lt 7 5 et SONATE Par passage a la limite on obtient une partition Poo de tout le secteur angu laire 0 lt 0 lt 7 5 par des triangles gaux a A ou B En effectuant une sym trie par rapport a l axe horizontal on pro longe cette partition en une partition du secteur angulaire double defini par 0 lt 0 lt 5 On complete cette par tition en un pavage du plan en effectu ant les quatre rotations d angles 27 5 47 5 61 5 87 5 On obtient ainsi un pavage de la famille du pavage de Penrose Cette construction du page de Penrose permet de demontrer le theoreme suiv ant 49 Th or me 5 1 Il existe un pavage P du plan ayant les propri t s suiv antes a les tuiles composant P sont des triangles isom triques A ou b b P est invariant par rotation d angle 27 5 c l ensemble des sommets de nest pas un quasi cristal La preuve du th or me repose sur une nouvelle d finition de la notion de presque p riodicit pour une mesure de Radon Nous exposons ceci dans la section suiv ante Voici un r sultat plus profond base sur la notion de nombres de Perron Definition 5 Un nombre de Perron complexe est un entier alg brique 0 C de degr n
14. 5 un ensemble non d nombrable R de pavages P qui sont tous invariants par rotation d angle 27 5 Certains de ces pavages ne sont pas des quasi cristaux Cette construction d bute par une mod ification du pavage de Penrose illustr e par la figure suivante Chaque losange du pavage de Penrose est d coup en deux triangles isoceles SITE EEE A AP A A SNL SL NTE STL EU AAA O AA ASAS SUSANA ANT LA SAET SANA AIN AAA NAT INR RUE PVO VAS KULTUS EA 16 3 LE PAVAGE EN MOULIN A VENT PINWHEEL TILING Le magnifique pavage qui figure sur la page suivante est le pavage en moulin a vent a t cree par John Conway et Charles Radin 1994 Ce pavage est de type fini sans etre de type fini au sens strict et il n est pas repetitif SEN ANGES RS 18 Federation Square a building complex in Melbourne Australia features the pin wheel tiling 20 LAB architecture skabo Bates SZA federation sure along finders a1 photognagphy Fevor man 21 DET m BD Dy iv u ph Lee gi wo Va vg oe etr ri MO s k s nt ul st be Me urs en t t fox Y a Las 22 Pour construire le pavage en moulin a vent on utilise une m thologie g n rale d velopp e syst
15. 9023 39 5 M Baake R V Moody and P A B Pleasants Diffraction from visible lattice points and k th power free integers 1999 Discr Math 6 M Baake R V Moody and M Schlottmann Limit quasi periodic point sets as qua sicrystals with p adic internal spaces J Phys A Math Gen 31 1998 5755 65 7 M Baake and R V Moody Self Similar Measures for Quasicrystals Directions in Mathematical Quasicrystals eds M Baake and R V Moody CRM Monograph Series AMS Providence RI 2000 8 M Baake A Guide to Mathematical Quasicrystals Quasicrystals eds Suck J B Schreiber M and Hauler P Berlin Springer 1998 M Baake and R V Moody Multi component model sets and invariant densities Aperi odic 97 ed Verger Gaugry J L Singapore World Scientific 1998 9 20 10 E Bombieri and J E Taylor Quasicrystals tilings and algebraic number theory some 11 12 13 14 15 16 17 18 19 preliminary connections The legacy of Sonya Kovalevskaya A M S Contemp Math Ser 84 1987 241 264 A C rdoba La formule sommatoire de Poisson C R Acad Sci Paris 306 1988 373 376 A C rdoba Dirac combs Lett Math Phys 17 1989 191 196 M Duneau N dimensional crystallography and the icosahedral group Lectures on qua sicrystals eds F Hippert and D Gratias Les Editions de Physique 1994 153 186 M Duneau and A Katz Quasiperiodic patterns Phys Rev Lett 54 1985 2688 91
16. A SITE EEE A AP A A SNL SL NTE STL EU AAA O AA ASAS SUSANA ANT LA SAET SANA AIN AAA NAT INR RUE PVO VAS KULTUS EA Les pavages auto similaires P R du plan que nous allons construire sont obtenus en utilisant ces deux triangles comme proto tuiles On retrouve le pavage de Penrose en effacant certaines fronti res entre les triangles de l un des pavages de cette famille Cette construction est due a John H Conway Roger Penrose et Rafael Robinson Elle permet de construire une infinite non denombrable de pavages apparentes au pavage de Pen rose Cela vient de ce qu il y a deux facons de d couper les triangles A Le decoupage indique sur la figure s appelle le d coupage droit il part de l extr mit droite de la base de Le d coupage gauche conviendrait aussi bien 44 46 Alexander Braun Voici le mode d emploi de cette con struction On d signe par le nombre d or La base horizontale du triangle obtus B de d part est par hypothese l intervalle 0 6 de l axe r el les deux autres c tes de B valent alors 1 Au bout de N d coupages on obtient un miettement du triangle B de d part en py triangles isom triques NA et qw triangles isom triques D Les bases de ces triangles isoc les sont parall les aux c t s du pentagone r gulier On effectue ensuite
17. Pavages autosimilaires du plan et quasi cristaux Yves Meyer ADyendo Alan Le but de cet expose est 1 de construire des pavages du plan invariants par rotation d angle 27 5 comme le pavage de Penrose 2 de r pondre la question suivante ces pavages sont ils des quasi cristaux ou des structures plus complexes L autosimilarit du pavage de Pen rose fournit la cl de ces constructions Un quasi cristal est il un pavage ou un ensemble de points 1 PAVAGES DE PENROSE NL SNL RER 5 I RER 555592 AL 55 FE lt lt FAX NE LT RL ANZ REIT ES TENS OO NA OS ERES 9 SY ERS ee A 4 4r dy KCN d de YD ORA C iei f NS L A ng ope SELS LISE LC AAA AAA RE ANDAR IH Ne IN ay 4 0 Van ENS Roger 1974 Penrose Role of aesthetics in pure and applied research a Le pavage de Penrose est invariant par rotation d angle 27 5 autour de 0 b Le pavage de Penrose est de type fini c Le pavage de Penrose est r p titif d Le pavage de Penrose est auto similaire en un sens qui sera pr cis L ensemble A des sommets du pavage de Penrose est un model set N G de Bruijn 1981 L image de diffrac tion de est invariante par rotation de 27 5 tout comme les images de diffraction obtenues par D Shechtman prix Nobel de Chimie 2011 Theoreme 1 1 Le pavage de Pe
18. acteur d agrandissement est 5N 2 On a alors videmment o Ty On obtient ainsi une suite croissante o Py de pavages emboit s qui con vergent vers le pavage en moulin vent P Cette magnifique construction est l oeuvre de John Conway et de Charles Radin Soit l ensemble des sommets d un pavage de Conway Radin Un sommet d un pavage est simplement un sommet d une des tuiles du pavage Dans le cas du de Conway Radin est un ensem ble de Delaunay et nous avons 2 1 Ceci pr figure les propri t s d autosimilarite des quasi cristaux Mais A n est pas de type fini En effet Charles Radin demontra que l ensemble des orienta tions des c t s des triangles composant P est infini Cela d coule de l irrationalit de Arctg 1 2 r La construction analogue conduisant au pavage de Penrose est due John H Conway et Penrose 9 75 REFERENCES 1 J P Allouche M Baake J Cassagne and D Damanik Palindrome complexity Theo ret Comput Sci 292 2003 9 31 2 P Arnoux V Berth Hiromi Ei and Shunji Ito Tilings quasicrystals discrete planes generalized substitutions and multidimensional continued fractions Discrete Math and Theoretical Computer Science Proceedings AA DM CCG conference 59 78 2001 M Baake Diffraction of weighted lattice subsets Preprint 2001 A M Baake and R V Moody Diffractive point sets with entropy J Phys A Math Gen 31 1998
19. e du volume de la boule unit Alors la limite 2 M f lim nR f y dy R 00 B x R est atteinte uniform ment en x Selon Laurent Schwartz une mesure de Radon u est presque p riodique si pour toute fonction continue g a sup port compact le produit de convolution uxg est une fonction presque p riodique au sens de Bohr Cette definition est trop exigeante et c est pourquoi nous avons introduit les mesures g a p Com mencons par le cas des fonctions Definition 6 Une fonction borelienne f valeurs r elles d finie sur IR est une fonction g a p si pour tout e gt 0 on peut trouver deux fonctions presque p riodiques ge et he telles que 3 ge lt f he et 4 M he m gc lt Une mesure de Radon u sur est si pour toute fonction continue g a support compact le produit de convo lution u g est une fonction g a p Definition 7 Un ensemble de points A CR est un motif presque p riodique si la mesure de Radon D est g a p On a alors Th or me 6 1 Tout model set en semble modele d fini ci dessous est un motif presque p riodique Dans la d finition des model sets nous supposons que la fenetre K est un ensemble compact integrable au sens de Riemann et il serait interessant de savoir si cette derniere condition est n cessaire En g n ral un Meyer set n est pas n cessairement un motif presque p riodique Le th
20. gues La d couverte des quasi cristaux en 1982 r volutionna le statut des pavages non p riodigues et les travaux d Ammann cesserent d tre de simples r cr ations math matiques Ammann accepta de rencontrer des math maticiens professionnels et finalement participa des congr s Amann mourut d une crise cardiaque quelques ann es plus tard La nouvelle de son d c s passa compl tement inapercue 37 5 LE PENTAGONE REGULIER ET LE PAVAGE DE PENROSE TODD we en 0 us eue 3 es El Sy Saa 24 4 4 CT 2556 wu 54 ENS alle y y 9 LA 6970 34 7 Ed y B RS 5 SREY ER Vd Az g e ADK gt ay gu AY de y y SAN PL 54 Roger 1974 Penrose Role of aesthetics in pure and applied research Deux types de losanges sont utilis s les blancs nomm s B et les bleus nomm s A Le pavage est invariant par rota tion de 27 5 de sorte que les angles aux sommets de valent 27 5 et 37 5 De m me les angles aux sommets de A va lent 7 5 et 47 5 On d coupe chaque losange B en deux triangles gaux dont la base commune est la grande diagonale de B Tous ces triangles obtus seront affect s du la bel B On d coupe chaque losange A en utilisant cette fois la petite diagonale et l on obtient deux triangles gaux qui sont aigus et seront affect s du label
21. lf affine tilings have the Meyer property 2010 Jeong Yup Lee and Boris Solomyak Pisot family self affine tilings discrete spectrum and the Meyer property 2010 B Matei and Y Meyer Quasicrystals are sets of stable sampling Complex Variables and Elliptic Equations 55 2010 947 964 Y Meyer Nombres de Pisot et analyse harmonique Proceedings on the International Congress of Mathematicians Nice France 1970 663 665 Y Meyer Trois problemes sur les sommes trigonom triques Ast risque 1 1973 SMF Y Meyer Nombres de Pisot nombres de Salem et analyse harmonique Lecture Notes in Math 117 1970 Springer Verlag Y Meyer Algebraic numbers and harmonic analysis 1972 North Holland Y Meyer Quasicrystals Diophantine Approximation and Algebraic Numbers 1972 Beyond Quasicrystals F Axel D Gratias eds Les Editions de Physique Springer 1995 3 16 Y Meyer Adeles et s ries trigonom triques sp ciales Ann Math 2 97 1973 171 186 R V Moody Uniform Distribution in Model Sets Can Math Bull 45 No 1 2002 123 130 R V Moody Model sets A Survey From Quasicrystals to More Complex Systems eds F Axel F D noyer J P Gazeau Centre de physique Les Houches Springer Verlag 2000 R V Moody Meyer Sets and Their Duals The Mathematics of Aperiodic Order Pro ceedings of the NATO Advanced Study Institute on Long range Aperiodic Order ed R V Moody NATO ASI Series C489 Kluwer
22. matiguement par G rard Rauzy sous le nom de substitutions rules Diwid this triangle le Live ASO truangtes xu a 1 iP ES 2 gt LL 3 ASOmeL i follower by a notation or a na faction SS SEN ANGES RS X ARIAS On divise le triangle rectangle 7 de d part en cinq morceaux Ces cing morceaux A B C Det E sont gaux Plus pr cis ment chaque morceau A B C D et E est isom trique 5 27 Le morceau sera appel le de T On itere cette d composition sur chaque morceau A B C D et E La suite des coeurs T J 0 est d finie par 10 T et est le c ur de T On continue et on it re N fois cette d composition Alors T est d compos en 5 triangles rectangles tous gaux entre eux ce sont des copies isom triques de 5 N T Le pavage de T par ces SN triangles rectangles est not Py Les c urs associ s tendent vers le point 1 2 1 2 On appelle 5 la similitude de centre 1 2 1 2 de rapport V5 et d angle argtan 1 2 En utilisant les nombres complexes on S z 2 i z i Lemme 3 1 On a S Ty41 Ty et S Ty T On fait alors un zoom c d on dilate la figure en utilisant les similitudes SY Le facteur d agrandissement est 5N 2 On a alors videmment S Ty On obtient ainsi une suite croissante S Py de pavages emboit s qui con vergent vers le pavage en moulin vent P Cette mag
23. n rose a une infinit non d nombrable de variantes qui ont les proprietes a et b mais n ont pas la propriete e Corollaire 1 1 Les pavages du plan a l aide de deux losanges et ayant la sym trie pentagonale peuvent fort bien ne pas tre des quasi cristauz 2 PAVAGES DE TYPE FINI Paver le plan l aide d un nombre fini M de proto tuiles est un probleme qui avait d ja fascin Johannes Kepler Har monia Mundi D finition 1 Un pavage de type fin P du plan est une collection de tuiles Tj J J ayant les propri t s suiv antes 1 Le plan est la r union des tuiles 1j JE d 2 Les fronti res des tuiles Tj sont des polygones 3 Si j k l intersection T NT est vide ou bien cette intersection est un segment qui est alors l un des c t s de T et aussi l un des c t s de Th 4 Chaque tuile est la translat e Tj 13 Im d une proto tuile TR n On dira par abus de langage que les tuiles T5 j J composant P sont deux deux disjointes On peut g n raliser la d finition 1 en modifiant 4 On demandera que 2 o gj est un d placement et Fm Le Pour definir un pavage repetitif on commence par d finir les ensembles rel ativement denses au sens de Besicov itch Un ensemble A de points de est relativement dense s il existe un R gt 0 tel que toute boule de rayon R quelque soit son centre contienne un point
24. n A Avec ces notations on Th or me 9 1 Les poids w A sont d finis comme ci dessus Soit u gt wA mesure u est donc une somme de masses de Dirac sur l ensemble mod le A Alors la transform e au sens des distributions de u est la mesure atom ique v par u 53 l 1785 ny gere 10 APPENDICE Voici les d tails de la construction du pinwheel tiling On part du triangle rectangle T dont les sommets sont 0 0 2 0 et 0 1 On divise ce triangle rectangle T en cinq morceaux gaux Ces cinq morceaux 72 A B C D et E sont isom triques 571 27 Le morceau C sera appel le c ur de T On it re cette d composition sur chaque morceau A B C D et E La suite des c urs T5 7 gt 0 est d finie par r currence par les conditions T Ti C et est le coeur de T On continue et on itere N fois cette d composition Alors T est d compos en 5 triangles rectangles gaux entre eux ce sont des copies isometriques de 5 NPT Le pavage de 1 par ces SN triangles rectangles est not Py Les c urs associ s tendent vers le point 1 2 1 2 On appelle o la similitude de centre 1 2 1 2 de rapport V5 et d angle arctangent 1 2 En utilisant les nombres complexes on a o z 2 1 2 i Lemme 10 1 Avec ces notations on a o TNa1 IN et ON TN EC On fait alors un zoom c d on dilate la figure en utilisant les similitudes c Le f
25. nifique construction est l uvre de John Conway et de Charles Radin L ensemble A des sommets d un pavage jouera un role essentiel dans ce qui suit Un sommet d un pavage est simplement un sommet d une des tuiles du pavage Dans le cas du pavage de Conway hadin nous avons 2 et pr figure les propri t s d autosimilarite des quasi cristaux Mais A n est pas un quasi cristal En effet Charles Radin demontra que l ensemble des orientations des c t s des triangles composant P est infini 4 ROBERT AMMANN UN OUBLIE DE LA SCIENCE TR CARE JE A A Re ECC IC RA REY Een een MPA bee tat E The set of vertices of the Ammann tiling is a Meyer set Il y a deux tuiles de base la bleue et la rouge A est la carr e du nombre d or Les c t s de la tuile rouge sont en ordre d croissant X A 2 1 La tuile bleue est A fois plus grande 2 A HAS MAA COMIN MOM ED Mola S n n allele Memon ale 3 NI TAT FEA PIC AY PCI NT AK 3 B 4 JAJ DT a HART A 5 AR TE d AP d Mer sr e A VENEN AI ES MNT EUM Mr Mr NM PM I NI de Nu AN dA a Y AT A 4 NEN HAS allele MOS D INSI N s lr N INICIAN ICI MEN I IN SERA RIA IM VI NIN DI MN gt lt Ni NI N GA AS FAS FA
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