Pour réussir en Prépa HEC (voie économique)
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1. 3 Pour d terminer la somme d une s rie Quaid calcule e iia he OS alae Be EE b Quand S ne se calcule pas 2 e 4 Formulates a gaged Af A Race ee Bb hae a EE aga at LRU 4 ES Fonctions num riques r elles 1 Pour tudier une fonction 2 Pour prolonger une fonction par continuit en un point 3 Pour tudier la d rivabilit en un point 4 Pour lever une ind termination De la forme 2 SN UMPCC Gs EE BA A AE D Atte Re cae aie Wee ae Be teats b Dela forme GG La huh ken SKS ea SA ee ES Lit Res C ee a dd PR AR e Se AW ee lee d Dela forme a E del da do het te AA Dto da 5 Pour montrer une in galit ee Formules de Taylor AS 1 Pour obtenir le open d une incon DA RR EA a a A a Globalemnent gt 2 22444 20 22 IS nn En E A Nr b Localement tude d une branche infinie par exemple 2 Pour calculer des dl e Le ey ke e a A a A ee lo las e e Nee 3 1 Pour reussir EE Bed A SS ee a a eat 4 Pour lever une ind termination dans un calcul de limite 5 Formulaire ss a ee ee ee eal eee ee ES ASS at EA A de a Diem Ode 2 ss Sk side dede da rt db e E e a e atad b Bquivalentsen 0 Y tdt a EDO A e te ee a o a Int grales propres Lo E 1 Pour calculer une pita AA A e a RE edo ne ct a Dune2. 40 Ee e ERENNERT 40 Pr face Attention cet ouvrage ne remplace pas votre cours de Math matiques mais il vous guidera tout au long de son apprentissage et vous sera d une aide pr cieuse lors de vos r visions Mode d emploi Donner du sens aux encadr s Les m thodes expos es ne sont volontairement pas d taill es leur nonc est r duit au minimum pour tre appris par coeur H convient donc de leur donner du sens l aide de votre cours Faire les exercices Pour illustrer la m thode et vous entra ner un exercice accompagne la plupart des m thodes Apprendre par coeur les encadr s A V crit ou Voral il faut r agir assez vite devant un nonc et conna tre par coeur les grandes m thodes permet le plus souvent de s en sortir Bon courage Chapitre I Espaces vectoriels Pour montrer qu un sous ensemble est un sev Montrer qu il contient 0 et qu il est stable par combinaison lin aire Pour montrer qu un ensemble est un ev Montrer que c est un sev d un ev de r f rence Pour montrer que deux ev sont gaux En dimension quelconque Montrer la double inclusion En dimension finie Montrer une inclusion et l galit des dimensions Pour d terminer la dimension d un ev Compter les vecteurs d une base Utiliser un isomorphisme avec un ev de dimension connue Pour montrer que E F OG En dimensio
3. b Quand la matrice de taille n a n valeurs propres distinctes deux deux C est automatique c En g n ral Montrer qu il existe une base de vecteurs propres Exercice 10 Montrer que A est diagonalisable 15 4 Pour diagonaliser une matrice diagonalisable Passer de la base de d part une base de vecteurs propres Exercice 11 1 Diagonaliser 2 D terminer les puissances successives de 3 Montrer que est inversible et calculer son inverse 16 Chapitre V Suites 1 Pour tudier la monotonie d une suite a Quand u est une somme Etudier le signe de un 1 Un n Exercice 12 Etudier la monotonie de la suite d finie par un 5 k pour tout n N k 0 b Quand un est un produit Comparer et 1 condition que un gt 0 pour tout n Exercice 13 Etudier la monotonie de la suite d finie par un aka pour tout entier n gt 2 c Quand un f n Etudier la monotonie de f Exercice 14 Etudier le sens de variation de la suite d finie sur 2 3 par un GL 2 Pour tudier la convergence d une suite Utiliser le th or me de la limite monotone d DEN 1 Exercice 15 Soit u la suite d finie par uo De 2 Un 1 Un us pour tout n E N 1 Montrer que u est d croissante 2 Montrer que u est born e par 0 et 1 3 Que peut on en d duire Utiliser un th
4. 7 Pour montrer qu une matrice A M est inversible Montrer que 0 n est pas valeur propre de A Montrer que les vecteurs colonnes de A forment une famille libre ou g n ratrice de M 1 Revenir la d finition 8 Pour calculer l inverse d une matrice inversible 1 Utiliser A BE S z condition que ad bc 0 Cc C Utiliser la r duction de Gauss Exercice 8 Montrer que est inversible et calculer son inverse O N k F i Wry ND Diagonaliser 14 Chapitre IV Diagonalisation 1 Pour d terminer les l ments propres d un endomorphisme Revenir la d finition Utiliser une matrice associ e 2 Pour d terminer les l ments propres d une matrice 1 D terminer les valeurs propres D terminer une r duite triangulaire de XI D terminer les qui annulent un des coefficients diagonaux de cette r duite 2 D terminer les vecteurs propres pour chaque valeur propre R soudre l quation A AJ X 0 en utilisant la r duite Si P est un polyn me v rifiant P A 0 alors les valeurs propres possibles de A sont les racines de P 2 2 1 Exercice 9 D terminer les l ments propres de A 2 1 2 1 2 2 3 Pour montrer qu une matrice est diagonalisable a Quand la matrice est r elle sym trique C est automatique
5. b D une fonction rationnelle D composer en l ments simples puis primitiver les l ments simples Exercice 44 1 D composer war pe sous la forme a H te 2 En d duire une primitive de la fonction d finie sur R 1 par f x aie pee 2 Pour calculer une int grale Int grer a vue Int grer par parties Exercice 45 Pour diminuer le degr d une partie polyn miale 1 Calculer e dx 0 Exercice 46 Pour faire dispara tre les termes en In Int 2 Icule dt Calculer f Es Effectuer un changement de variable Exercice 47 Pour r tr cir l intervalle d int gration nT T Montrer qu une fonction T p riodique f v rifie FO dt n f u du 0 0 Exercice 48 Pour int grer les fonctions de la forme f x Vax b Calculer fre d 25 3 Pour borner une int grale Utiliser om o lt uge 4 Pour tablir une in galit entre deux int grales Int grer une in galit entre les deux int grandes valable sur l intervalle d int gration 5 Pour montrer qu une fonction continue est nulle Utiliser le cours d s que la fonction est positive d int grale nulle 1 1 Exercice 49 Que dire d une fonction continue f qui v rifie f t dt f f t dt 0 0 6 Pour transformer une int grale en une int grale exploitable Int grer par parties
6. 1 Exercice 50 Montrer qu une fonction f de classe C sur 0 1 telle que f 0 f 1 v rifie i f t f dt lt 0 0 Effectuer un changement de variable a T T Exercice 51 Montrer qu une fonction T p riodique f v rifie T ft dt f FO dt a ER 0 a b 7 Pour montrer qu une suite d finie par un fa t dt converge Utiliser le th or me de la limite monotone n 1 Exercice 52 Montrer que la suite d finie par un dt pour tout n N converge o 1 t2 p 8 Pour d river une fonction d finie par G x f t dt Utiliser G x v x f u x w x f u x d s que f est continue a T f t dt ie ft dt a ER Exercice 53 Montrer qu une fonction f continue et T p riodique v rifie i a 26 Chapitre X Int grales impropres 1 Pour tudier la convergence d une int grale une fois im propre a Quand f est prolongeable par continuit sur a b Exp dier le probl me l int grale est faussement impropre Dre sint Exercice 54 Montrer que d 7 dt converge 0 b Quand f est primitivable Revenir la d finition 1 Exercice 55 Montrer que Int dt converge 0 Exercice 56 Int grales de Riemann to dt 1 Montrer que J a converge ssi a gt 1 1 1 dt 2 Montrer que za converge ssia lt 1 0 c Quand f est positive Utiliser un th or me de comparaison majorer minorer ou donne
7. 05 loi densit esp rance variance 1 7 o E site la b a b b a ia gi 4 FF DA SS Je o f T sit gt 0 1 ENN F t 0 sinon A A7 EES N m 0 ae AE De m 0 N 0 1 GER 0 1 40 Bibliographie ML X MERLIN et C LEBOEUF METHOD H Ellipses 1996 41
8. tonction usuelle s e mers 4 ma Ae EE Pe a a A E b D une fonction rationnelle 2 Pour calculer une int grale 3 Pour borner une int grale 4 Pour tablir une in galit entre deux int grales 5 Pour montrer qu une fonction continue est nulle 6 Pour transformer une int grale en une int grale exploitable 4 XI XII XIII b 7 Pour montrer qu une suite d finie par un d Fnlt J de converge eric eS via 8 Pour d river une fonction d finie par G x ft Ob nou LEE Bk E Dee Gurdon u x Int grales impropres wae A oe 1 Pour tudier la convergence d une Se une Ge impropre a Quand f est prolongeable par continuit sur a b b Quand fest primitivable sit as Las one ae AI ee BE ee C Quand f est positive E aea a E ete i d Quand f n est pas de signe constant 2 Pour tudier la convergence d une int grale plusieurs fois impropre 3 Pour calculer avec des int grales impropres Fonctions num riques de deux variables d vgl Pour calculer les d riv es partielles d ordre 1 de EN LB da a E Pour montrer que f est de classe C ra A aa E AE Pour obtenir le DL de f en a b l ordre1 Pour calculer l
9. Pour r ussir en Pr pa HEC voie conomique RIDARD II HI Table des mati res Pr face TENEN Espaces vectoriels 1 Pour montrer qu un sous ensemble est un sev 2 Pour montrer qu un ensemble est un ev 3 Pour montrer que deux ev sont gaux En dimension quelconque b E dim nsion finie ari 4144 4 bdd BAMA e 4 Pour d terminer la dimension un ev bh Pour montrer que E FEO Ga uei e A ee ee a a En dimension quelconque b En dimetision me 44 es d la das ad dre due Renan a 6 Pour montrer qu une famille est libre 7 Pour montrer qu une famille est li e 8 Pour montrer qu une famille est g n ratrice 9 Pour montrer qu une famille est une base En dimension quelconque b En dimension finie connue Applications lin aires 1 Pour montrer que f est lin aire 2 Pour montrer que f L E F 3 Pour d finir une application lin aire 4 Pour d terminer le rang d une application lin air
10. alculer l inverse d une matrice inversible OO OO oon Se K kA ka k ka K H M HM k k k k FA 44HOO0OOOOOOO 12 IV VI VII VIII IX Diagonalisation us oF 1 Pour d terminer les Geer propres E un EE ere eebe A Oe toed 2 Pour d terminer les l ments propres d une matrice 3 Pour montrer qu une matrice est diagonalisable a Quand la matrice est r elle sym trique b Quand la matrice de taille n a n valeurs propres distinctes deux deux C En g n ral A eut mn dt eh dub d raie en e d A es 4 Pour diagonaliser une matrice Ni ue pate A RI E Ronan Act DP E Suites Sie de 1 Pour tudier la monotonie a Une SUITE oa lA KR SG le wep rer ete ele dk Qk A a Quand Uy est une somme b Quand Un ESCUDO produit e a nera a aD A A tie a a see d E tr le c Quand ur dE a in a a pari EE 2 Pour tudier la convergence d une suite 3 Pour tudier une suite r currente Quand elle est classique b Quand Una fu Las LME dbo A a a a a a S ries DE te La A A d 1 Pour ion ie qu une s rie diese rosier ST See E te oie oe e 2 Pour tudier la convergence d une s rie a E EENEG b A termes quelconques
11. antes d une exp rience a deux issues possibles a crac ie Eee en an ER et nf RAS ae de 2 Pour tudier le nombre d individus caract re donn au terme d un tirage simultan ou successif mais sans remise de n individus parmi N 3 Pour tudier lattente du premier succ s au cours de r p titions ind pendantes d une exp rience deux issues possibles Pour d terminer la loi de X Pour r soudre les problemes de couples Pour tudier X FY ou XY come ee A mme Pour d terminer l esp rance de USA E AAA AA NAS Cc OAS AAA EE EEN C APY A EE EE A A A oe E re e ora e as Se Bs Be Saree 37 92 A Formulaires ni hota Ske o e BAR Agee hate eed be amp ye Be 38 XIV Va continues approximations et estimations 39 1 Pour passer de la densit la fonction de r partition 39 2 Pour passer de la fonction de r partition la densit 39 d r Pour tudier 2648 Yo ns ete oh D e aa a VA MR EE EE ae GP eer ei 39 4 Pour d terminer une esp rance ou une variance 39 5 Pour majorer une probabilit 39 6 Pour approcher une probabilit 40 7 Pour estimer une proportion ou l esp rance d une loi normale
12. boules jusqu obtenir une blanche pour la deuxi me fois D terminer la loi du nombre X de tirages ainsi effectu s Exercice 84 Par un conditionnement complet On dispose de n urnes Ui D Purne Ur contenant k jetons num rot s de 1 k On choisit une urne et l on en extrait un jeton D terminer la loi du num ro X obtenu Exercice 85 Par r currence Une urne contient une boule blanche et une boule noire On effectue des tirages successifs d une boule selon le protocole suivant on note sa couleur puis on la replace dans l urne en y ajoutant une boule de la m me couleur D terminer le nombre Xn de boules blanches obtenues au cours des n premiers tirages 5 Pour r soudre les probl mes de couples Faire un tableau Exercice 86 On place au hasard trois objets dans un meuble contenant trois tiroirs et on note X le nombre d objets contenus dans le premier tiroir et Y le nombre de tiroirs vides 1 D terminer la loi du couple X Y 2 D terminer les lois marginales 3 D terminer la loi conditionnelle de X Y 1 4 Les va X et Y sont elles ind pendantes 6 Pour tudier X Y ou XY Utiliser le formulaire Utiliser P f X Y 2 5 P x x N Y y F 2 y 2 Exercice 87 On reprend l nonc pr c dent 1 D terminer P X Y 3 2 D terminer P XY 3 7 Pour d terminer l esp rance de a A Utiliser le formulaire Revenir a la d fin
13. c reste int gral ou de mani re moins pr cise l in galit de Taylor b Localement tude d une branche infinie par exemple Utiliser Taylor Young qui est la base des dl 2 Pour calculer des dl Utiliser les dl de r f rence et les r gles op ratoires somme produit compos e quotient et primitive Exercice 40 D terminer les dl suivants 1 dl3 0 de x cos x In 1 x 2 dl4 0 de x In cos x 3 dls 0 de x gt tan x 4 dl 0 de x tan x en raisonnant par r currence 3 Pour r ussir les dl Changer de variable quand ce n est pas au voisinage de 0 Exercice 41 D terminer les dl suivants 1 dl3 7 de x sin z 2 dl3 0 dereen Abandonner l inutile Exercice 42 D terminer le dl3 0 de gt 1 In 1 x 4 Pour lever une ind termination dans un calcul de limite Utiliser un dl seulement si un quivalent choue In cos x Exercice 43 D terminer lim 0 2 x 23 5 Formulaire a DlenO E 2 n l 2 4 5 0 2 ltata7 2 0 2 l a 2 1 2 o x x x a La n LAA 1 o x l ar A 2 4 2n or al PA 3 5 2n t 5 Taa Une x o x y El ora b Equivalents en 0 24 Chapitre IX Int grales propres 1 Pour calculer une primitive a D une fonction usuelle Utiliser les formules
14. de la fonction de r partition la densit D river Pour tudier X Y Utiliser le formulaire Pour d terminer une esp rance ou une variance Utiliser les m thodes donn es dans le cas discret Pour majorer une probabilit Utiliser l in galit de Bienaym Tch bychev Exercice 93 On lance 1000 fois une pi ce honn te Majorer la probabilit que la fr quence observ e de piles s carte de plus de 0 1 de la fr quence th orique 0 5 39 6 Pour approcher une probabilit Utiliser les approximations usuelles n gt 30 np lt 10 N gt 10n x P np H N n p B n p n gt 20 px0 5 N np ynp 1 p A gt 10 5 P A NO VA Exercice 94 On lance 1000 fois une piece honn te Approcher la probabilit que la fr quence observ e de piles s carte de plus de 0 1 de la fr quence th orique 0 5 7 Pour estimer une proportion ou l esp rance d une loi normale Utiliser la table de 0 1 Exercice 95 Pour estimer le r sultat d une lection deux candidats on effectue un sondage sur 1000 personnes et 540 d clarent voter pour A Au seuil de confiance de 95 peut on estimer que A sera lu 8 Formulaire loi de X loi de Y loi de X Y condition que X et Y soient ind pendantes 00 densit f densit g densit d finie par h t d f u g t u du N m1 01 N mo 02 N mi ma y 07
15. e 5 Pour montrer qu une application lin aire est injective En dimension quelconque b En dimensiones LU dus A Bas sand dite Renan eee ee di 6 Pour montrer qu une application lin aire est surjective En dimension quelconque b En dimension finie 2 4 Huet de A Ton ee ae de de en BS 7 Pour montrer qu une application lin aire est bijective En dimension quelconque b Bnydimension finie a A AMEL a NEIE ORE E RW eee Bae 8 Pour montrer que h est une homoth tie 9 Pour montrer que pest un projecteur 10 Pour montrer que s est une sym trie Matrices d endomorphismes fel hg ede dh 1 Pour d terminer Mg u ot B lechen 20 e e 2 Pour d terminer Mg u Av 3 Pour d terminer Mg U00 oie eh e LR oe a ei ae RS ES Ee eS 4 Pour d terminer les coordonn es de u x 5 Pour changer de base a a p a A e aa e e a a E a Au niveau de la matrice d un endomorphisme b Au niveau des coordonn es d un vecteur 6 Pour calculer une puissance de matrice 7 Pour montrer qu une matrice M est inversible 8 Pour c
16. es d riv es partielles d ordre 2 de f Pour montrer que f est de classe C Pour obtenir le DL de f en a b l ordre2 Pour d terminer les extremums de f beer et probabilit s classiques 1 Pour d nombrer ass sorora aaa Gin Ne a ge nue E A A nie a LI de EE EES a Avec ordre et r p tition b Avec ordre et sans r p tition C Sans ordre ni r p tition ooa a d Sans ordre et avec r p tition 2 Pour calculer EE DEER a Quand A et B sont incompatibles b Quand A et B ne sont pas incompatibles 3 Bourcalculer top er e la a Auge DE Een Bottin amp a Quand A et B sont ind pendants b Quand A et B ne sont pas ind pendants Ax Pour calcule P A 28 ts a CR UN SE ane ep A RS a Sous l hypoth se d quiprobabilit b Quand P A est plus facile calculer 3 2 4 a wees a So C Quand A est li un v nement B 5 Pour calculer P B A partir de P AJB 6 Pour montrer que des v nements sont mutuellement ind pendants Va discr tes 1 Pour tudier le eg d s succ s au ane de n petitions d pend
17. est 32 5 Pour calculer P B A partir de P A B Utiliser P B A HA formule de Bayes Exercice 75 On reprend l nonc pr c dent D terminer la probabilit qu une pi ce ayant pass le test soit d fectueuse Exercice 76 On dispose d un lot de 100 d s cubiques dont 50 sont pip s Pour un d pip la probabilit d obtenir la face not e 6 vaut gt On choisit un d au hasard dans le lot on le lance et on constate que l on obtient un 6 Quelle est la probabilit d avoir choisi un d pip 6 Pour montrer que des v nements sont mutuellement ind pendants Revenir la d finition Exercice 77 On lance deux d s un blanc et un noir et on note A le d blanc am ne un r sultat pair B la somme des points obtenus est paire C le d noir am ne un r sultat pair 1 Montrer que et B sont ind pendants 2 A B C sont ils mutuellement ind pendants 33 34 Chapitre XIII Va discr tes 1 Pour tudier le nombre de succ s au terme de n r p titions ind pendantes d une exp rience deux issues possibles Utiliser B n p o p est la probabilit de succ s Exercice 78 On lance n fois deux d s et l on note X le nombre de doubles obtenus D terminer la loi de X 2 Pour tudier le nombre d individus caract re donn au terme d un tirage simultan ou successif mais sans remise de n individus par
18. g om trique q converge ssi q lt 1 QS Y nd 1 n 1 ei n 1 _ nq converge ssi q lt 1 nq 3 ra TOS 5 S n n 1 q converge ssi q lt 1 5 n n 1 q E 1 4 iE GEN harmonique converge In2 que s De n RO x 4 P exponentielle 5 E converge pour tout x E R y N e n 0 20 Chapitre VII Fonctions num riques r elles 1 Pour tudier une fonction 1 D terminer l ensemble de d finition On rencontre des probl mes avec les d nominateurs les racines et les logarithmes 2 D terminer le domaine d tude D On tudie la parit et la p riodicit 3 Etudier la continuit 4 Etudier la d rivabilit Etudier les variations On tudie le plus souvent le signe de la d riv e al Etudier les limites aux bornes de D Dresser le tableau de variations Etudier les branches infinies ON Etudier la convexit On tudie le plus souvent le signe de la d riv e seconde 10 Tracer le graphe 2 Pour prolonger une fonction par continuit en un point Etudier la limite en ce point Exercice 31 Soit f la fonction d finie par f x xlnz pour tout x gt 0 Peut on prolonger la fonction f par continuit en 0 3 Pour tudier la d rivabilit en un point Revenir la d finition xlnx siz gt 0 Exercice 32 Etudier la d rivabilit en 0 de la fonction d finie par f x 0 siro Util
19. iser la limite de la d riv e Exercice 33 Etudier la d rivabilit en 0 de la fonction d finie par f x xy x pour tout x gt 0 21 4 Pour lever une ind termination a De la forme 2 en un r el a Factoriser puis simplifier al Exercice 34 D terminer lim 122 3x 2 Utiliser la limite d un taux d accroissement x i do et Exercice 35 D terminer lim d x 0 Ra b De la forme 00 co Mettre le terme dominant en facteur puis utiliser les croissances compar es Exercice 36 D terminer les limites suivantes 1 lim x Inz 00 2 lim ei e 00 c De la forme ES Mettre les termes dominants en facteur puis utiliser les croissances compar es Lo ine d Exercice 37 D terminer lim o el x Inx d De la forme 1 Passer au logarithme 1 Exercice 38 D terminer lim 1 z 00 XL 5 Pour montrer une in galit Utiliser les in galit s classiques triangulaires des accroissements finis Utiliser la convexit Exercice 39 Montrer les in galit s suivantes 1 e gt 142 pour tout e R 2 In 1 x lt x pour tout x gt 1 Etudier le signe de la fonction qui va bien 22 Chapitre VIII Formules de Taylor 1 Pour obtenir le comportement d une fonction a Globalement Utiliser Taylor ave
20. ition 36 Exercice 88 En reprenant l nonc de l exercice 82 d terminer E S b f X Utiliser le th or me de transfert Exercice 89 Montrer que E X N ep zi c aX bY Utiliser la lin arit de esp rance Exercice 90 On reprend l nonc de l exercice 82 Exprimer le gain alg brique G en fonction de S et en d duire E G d XY Utiliser E XY E X E Y condition que X et Y soient ind pendantes 8 Pour d terminer la variance de a A Utiliser le formulaire Utiliser V X E X B X Exercice 91 En reprenant l nonc de l exercice 82 d terminer V S et a S b aX b Utiliser V aX b a V X Exercice 92 En reprenant l nonc de l exercice 82 d terminer V G et o G Cc A LN V X V Y si X et Y sont ind pendantes Utiliser V X Y V X V Y 2cov X Y sinon 37 9 Formulaire loi de X loi de Y loi de X Y condition que X et Y soient ind pendantes B ni p Binz p Pin n2 p P A P u P A y loi esp rance variance B p p pq B n p np npq U 1 n nt G p A P A H N n p np npa X 38 Chapitre XIV Va continues approximations et estimations 5 Pour passer de la densit la fonction de r partition Int grer Pour passer
21. mi N Utiliser HUN n p o p est la proportion d individus caract re donn dans la population Exercice 79 On prend au hasard une poign e de 7 boules dans une urne contenant 10 boules dont 4 blanches et l on note X le nombre de boules blanches obtenues D terminer la loi de X 3 Pour tudier l attente du premier succ s au cours de r p titions ind pendantes d une exp rience deux issues possibles Utiliser G p o p est la probabilit de succ s Exercice 80 On lance une pi ce jusqu l obtention d un pile et l on note X le nombre de lancers D terminer la loi de X 4 Pour d terminer la loi de X Reconna tre une loi classique Utiliser la fonction de r partition Exercice 81 On tire une poign e de k jetons k gt 2 d une urne en contenant n num rot s de 1 n et l on note X le plus grand des num ros obtenus D terminer la loi de X 39 Proc der un calcul Exercice 82 Directement Une urne contient 10 jetons indiscernables au toucher dont 6 portent le num ro 0 8 portent le num ro 50 1 porte le num ro 200 On mise 20 euros on extrait simultan ment 3 jetons et l on empoche la somme en euros D terminer la loi de la somme S empoch e Exercice 83 Par un conditionnement unique Une urne contient a boules blanches a gt 2 et a boules noires On en extrait successivement et sans remise des
22. n quelconque Montrer E F Get FAG 0 En dimension finie Montrer dim E dim F dimG et F N G 0 ou E F G 9 6 9 a b Pour montrer qu une famille est libre Revenir la d finition Pour montrer qu une famille est li e Revenir la d finition Utiliser le lemme de Steinitz Pour montrer qu une famille est g n ratrice Revenir la d finition Pour montrer qu une famille est une base En dimension quelconque Montrer que c est une famille libre et g n ratrice En dimension finie connue Montrer que c est une famille libre maximale ou g n ratrice minimale 10 Chapitre II Applications lin aires Pour montrer que f est lin aire Montrer que f conserve les combinaisons lin aires Pour montrer que f L E F Montrer que f est lin aire apr s avoir v rifi que f tait valeurs dans F Pour d finir une application lin aire Utiliser tous les vecteurs Utiliser une base Utiliser des sev suppl mentaires Pour d terminer le rang d une application lin aire Utiliser la formule du rang Revenir la d finition Pour montrer qu une application lin aire est injective En dimension quelconque Montrer que son noyau est r duit 0 En dimension finie Montrer que s
23. nt le serveur b Avec ordre et sans r p tition Utiliser les arrangements Exercice 66 On reprend l nonc pr c dent mais avec p personnes prenant des menus tous diff rents A combien de situations peut tre confront s le serveur c Sans ordre ni r p tition Utiliser les combinaisons Exercice 67 On reprend l nonc pr c dent A combien de situations peut tre confront s le cuisinier d Sans ordre et avec r p tition D composer le probl me Exercice 68 Combien peut on obtenir de r sultats diff rents quand on lance trois d s identiques Exercice 69 Combien existe t il de mains diff rentes au Poker contenant exactement deux paires Le poker se joue avec un jeu de 32 cartes et une main en contient 5 2 Pour calculer P AUB a Quand A et B sont incompatibles Utiliser P AU B P A P B 31 b Quand A et B ne sont pas incompatibles Utiliser P A U B P A P B P ANB 3 Pour calculer P AN B a Quand A et B sont ind pendants Utiliser P AN B P A P B b Quand A et B ne sont pas ind pendants Utiliser P AN B P A P B A P B P A B Exercice 70 Une urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges On effectue n tirages successifs d une boule de cette urne selon le protocole suivant si on obtient une boule rouge on la remet dans l urne et si on obtient une bo
24. on noyau est de dimension 0 11 6 Pour montrer qu une application lin aire est surjective a En dimension quelconque Montrer que son image est l espace d arriv e tout entier b En dimension finie Montrer que son image et l espace d arriv e ont m me dimension 7 Pour montrer qu une application lin aire est bijective a En dimension quelconque Montrer qu elle est injective et surjective b En dimension finie Montrer qu elle est injective ou surjective apr s avoir v rifi que les espaces de d part et d arriv e avaient m me dimension finie 8 Pour montrer que h est une homoth tie Montrer que x h x est une famille li e pour tout x 9 Pour montrer que p est un projecteur Montrer que p est lin aire et que p pop p 10 Pour montrer que s est une sym trie Montrer que s est lin aire et que s sos Id 12 Chapitre III Matrices d endomorphismes 1 Pour d terminer Mg u o B ei i lt i lt n Ecrire la matrice dont la i i me colonne repr sente les coordonn es de u e dans la base P Exercice 1 Soit u l application de R dans R d finie par u x1 2 11 2x2 1 22 1 Montrer que u est lin aire 2 D terminer la matrice de u relativement la base canonique de R2 2 Pour d terminer Mg u Av Utiliser Mg u Av Mg
25. ontinues 3 Pour obtenir le DL de f en a b l ordre 1 Utiliser f a h b k f a b ph qk o h k o p 8f a b et q Sie H 4 Pour calculer les d riv es partielles d ordre 2 de f Figer une variable et d river par rapport l autre les d riv es partielles d ordre 1 5 Pour montrer que f est de classe C Montrer que les d riv es partielles d ordre 2 sont d finies et continues 6 Pour obtenir le DL de f en a b l ordre 2 Utiliser f a h b k f a b ph qk rh 2shk tk o h DIIP a of af a of o r DE a b s 285 a b Faby a b et t ab Egalit assur e par le th or me de Schwarz d s que f est de classe C 29 7 Pour d terminer les extremums de f Calculer les d riv es partielles d ordre 1 et 2 de f D terminer les points critiques de f Appliquer les r gles de Monge pour chaque point critique Points qui annulent les d riv es partielles d ordre 1 Exercice 64 D terminer les extremums de la foncion d finie sur R par f x y 2 y 3x 12y 30 Chapitre XII D nombrement et probabilit s classiques 1 Pour d nombrer a Avec ordre et r p tition Utiliser les uplets Exercice 65 p personnes se rendent au restaurant et le serveur propose n menus diff rents n gt p combien de situations peut tre confro
26. or me de comparaison 1x3x x 2n 1 2x4x x2n POUF tout n N Exercice 16 Soit u la suite d finie par un 1 Montrer que 0 lt Un lt Bes pour tout n N 2 Que peut on en d duire 17 Utiliser un quivalent Exercice 17 Discuter suivant la valeur de a R la convergence de la suite d finie sur N par un en 1 1 na Utiliser une somme de Riemann Exercice 18 Etudier la convergence de la suite d finie sur N par Sn 29 In k n Inn k 1 Revenir la d finition Exercice 19 Soit u nen une suite qui converge vers l R ui u2 u Montrer que lim LE Ua a 1 n 00 n 3 Pour tudier une suite r currente a Quand elle est classique Utiliser les formules u ER Un 1 aUn b neN Exprimer un en fonction de n dans les cas suivants 1 a 1etb 0 2 a 1etb 0 3 aZletbZ 0 Exercice 20 Soit u la suite d finie par avec a b E R b Quand u 1 f u Proc der par r currence en exploitant les propri t s de f Exercice 21 Soit f la fonction d finie sur R par f x x x Discuter suivant la valeur de uy R la convergence de la suite d finie sur N par un f un 18 Chapitre VI S ries 1 Pour montrer qu une s rie diverge grossi rement Montrer que son tg ne tend pas vers 0 2 Pour tudier la convergence d une s rie a
27. r un quivalent Exercice 57 Majorer ou minorer es dt Montrer que J 1 converge 1 t sin t 8 Exercice 58 Donner un quivalent 00 Montrer que f diverge 1 t vt Utiliser le comportement de 2 f x au voisinage du probl me oo Exercice 59 Montrer que f e dt converge 0 27 d Quand f n est pas de signe constant Etudier l absolue convergence to sint Exercice 60 Montrer que J ES dt converge 1 2 Pour tudier la convergence d une int grale plusieurs fois impropre D couper l int grale pour s parer les probl mes Exercice 61 Etudier la convergence des int grales suivantes ee dt 1 a E DEEN T sint 2 dt f t 2 3 Pour calculer avec des int grales impropres Utiliser la lin arit et Chasles a condition que les int grales convergent Effectuer un changement de variable version impropre 1 1 Exercice 62 Etudier la convergence de i sin F dt 0 Int grer par parties version propre puis passage la limite t sint Exercice 63 Etudier la convergence de d EE dt 1 28 Chapitre XI Fonctions num riques de deux variables 1 Pour calculer les d riv es partielles d ordre 1 de f Figer une variable et d river f par rapport l autre 2 Pour montrer que f est de classe C Montrer que les d riv es partielles d ordre 1 sont d finies et c
28. termes positifs Majorer ou minorer le tg 1 Exercice 22 Etudier la convergence de la s rie RETA n cosn Utiliser un quivalent du tg 1 1 Exercice 23 Etudier la convergence de la s rie 5 In 1 sin n n Utiliser un o Exercice 24 Etudier la convergence de la s rie 5 SN Comparer une int grale 1 ninn Exercice 25 Etudier la convergence de la s rie 5 b A termes quelconques Etudier la convergence absolue Utiliser un dl du tg 1 y Exercice 26 Etudier la convergence de la s rie 1 eae 1 n 19 3 Pour d terminer la somme d une s rie a Quand S se calcule Utiliser des dominos Exercice 27 Etudier la convergence et d terminer la somme des s ries suivantes 1 1 Ken La 2 In 1 3 l 3 5 n cos Z b Quand S ne se calcule pas Utiliser l int gration Um n 1 Exercice 28 Etudier la convergence et d terminer la somme de la s rie KS Utiliser la d rivation Exercice 29 Etudier la convergence et d terminer la somme de la s rie 5 nq avec 1 lt q lt 1 Utiliser une formule de Taylor 0 on Exercice 30 Montrer que y nier pour tout x R n n 0 4 Formulaire s rie condition de convergence somme 1 de Riemann y Ta converge ssi a gt 1 SE
29. u AMg v 3 Pour d terminer Mg uov Utiliser Mg uov Mg u Mg v Exercice 2 D terminer les matrices M telles que AM MA o A a 4 Pour d terminer les coordonn es de u x Utiliser Y AX Exercice 3 En reprenant l nonc de l exercicel d terminer les coordonn es de u 1 1 5 Pour changer de base a Au niveau de la matrice d un endomorphisme Utiliser A P AP o P est la matrice de passage de B B 1 2 Exercice 4 Soit u l endomorphisme de R tel que Mg u Sado o B e1 62 On consid re B e e o ef e1 e2 et eh e1 e2 1 Montrer que B est une base de R 2 D terminer Mg u 13 b Au niveau des coordonn es d un vecteur Utiliser X PX o P est la matrice de passage de B B Exercice 5 On reprend l nonc pr c dent D terminer les coordonn es du vecteur x 2e 3e2 dans la base B 6 Pour calculer une puissance de matrice Calculer directement D composer et utiliser le bin me de Newton 0 1 1 1 1 1 Exercice 6 Soit 1 0 1 et J 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Montrer que J 3J 2 En d duire que J 3 J pour tout n N 3 En remarquant que J I calculer A pour tout n N Proc der par r currence Exercice 7 D terminer les puissances succesives de M R Diagonaliser
30. ule blanche on l limine 1 Quelle est la probabilit d obtenir exactement une boule blanche quand n 2 2 Quelle est la probabilit d obtenir exactement une boule blanche 4 Pour calculer P A a Sous l hypoth se d quiprobabilit SE __ Card A _ nombre de cas favorables Utiliser P A Card Q nombre de cas possibles Exercice 71 On extrait simultan ment 3 boules d une urne contenant 4 boules blanches num rot es de 1 4 5 boules rouges num rot es de 1 5 et 3 boules vertes num rot es de 1 3 D terminer la probabilit d obtenir exactement deux boules de m me couleur b Quand P A est plus facile calculer Utiliser P A 1 P A Exercice 72 On reprend l exp rience pr c dente D terminer la probabilit de tirer au moins une boule num rot e 1 c Quand A est li un v nement D Utiliser P A P B P A B P B P A B formule des probabilit s totales Exercice 73 Une urne A contient un jeton blanc et un jeton noir une urne B contient deux jetons blancs et un jeton noir On choisit une urne au hasard et on en extrait un jeton Quelle est la probabilit d obtenir un jeton noir Exercice 74 Dans un atelier 90 des pi ces fabriqu es sont sans d faut 5 des pi ces avec d faut passent le test 98 des pi ces sans d faut passent le test D terminer la probabilit qu une pi ce prise au hasard passe le t
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