Home

Eléments finis tétraédriques de classe C1 et de degré deux

Contents

1. 00 90 09 ene s Ee s me ER mm s s E em FUNCTION 01400 VX VY VZ wa me wa wn en un q s x ma m AER ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE DE DEGRE DEUX C 16 PARAMETRES DONNEES PEUT PRENDRE LES VALEURS 1 2 3 O 4 Cuve 4 2 C 4wM 1 ET 4 DERIVEES PARTIELLES DX 7 3 115 Crus DY ET DZ AU SOMMET A M VY VZ UN VECTEUR Cww ww SORTIE DINOD DERIVEE DANS LA DIRECTION VX VY VZ Cw AU SOMMET DIMENSION C 28 IND E4 M 2 D1INODsVX C IND VY C IND 1 VZ C IND 2 RETURN END ss Qo Mmm war m C SUBROUTINE FE2P16 C 5 C Gear ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE DE DEGRE DEUX Cwwww 16 PARAMETRES Carex RESOLUTIUN DU PROBLEME D INTERPOLATION C ENTR ES 2 TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE A L AIDE DES SUBROUTINES ELENG Cross ELEMI Cuve 1 C 16 VALEURS DES PARAMETRES DE L ELEMENT SORTIES S 1 S 28 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTER Canet POLATION DANS LA D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI LES MEMOIRES C 17 weer C 28 SONT DES PLACES DE TRAVAIL REAL L
2. 29 2112911423112384 V Gy z 1 2 1 2 22 av d 12 2 11 2 av 13 2 Vii GI k x y 27xyz V V 0 1 3 Vis MAE Q jS CS pa i 1 i ES i P ud L l ment g n rique correspondant est de classe mais n est pas de classe 4 3 El ment polynomial seize param tres Dans l l ment polynomial de degr trois nous rempla ons les 4 param tres auxiliaires par 4 contraintes lin aires 56 4 3 EET NS K 7 PE 2 1 I d o Na Di 1 1 5 Fo 18 aa F23 v i j k 2 est une permutation cyclique de 1 2 3 4 i 1 1 4 D apr s 2 8 ce nouveau probl me d interpolation est unisolvant Sa base de Lagrange est Ee l x y z l x y z 2 x y z xy yz zx gt I zu d p41 X y z 1 2 1 5 2 n AV P15 x y z Y Z X p44 2 Din 2 d E 1 SE E Baar S e 2 0 1 3 1 l 1 4 D apr s 3 4 les contraintes lin aires sont satisfaites pour tous les polyn mes de degr 2 ainsi l espace d interpolation de ce probl me contient tous les polyn mes de degr lt 2 L l ment g n rique correspondant est de classe p mais n est pas de classe SCH 5 VARIANTE CONSTRUCTION Nous poursuivons la construction annonc e au paragraphe 1 et commenc e au paragraphe 4 5 1 Notations Afin de
3. Za V et 3 5 I lt iu lt pour i 1 1 4 et u 1 2 3 Puisque lt t Gi m gt lt ch et pour v 28 1 44 Li h P nous aurons finalement lt K 5 3 3 p h m p S QUPD B 3 p S 3 m lt h 5 9 4 167 9 4 Erreur d interpolation pour la variante II 3 Pour un t tra dre 5 donn et une fonction v W Ps gt gt nous notons I V V S l interpolant de v sur Le t tra dre S par l l ment fini de la variante D signons par h h S le diam tre de S et par 5 le diam tre de la sph re inscrite dans 5 Th or me 9 4 Soient p 5 o gt 0 Alors il existe une constante C c c o p telle que pour tous les t tra dres S avec 3 p V v 5 et pour m 0 1 2 lt h 5 vi GE 3 5 La d monstration de ce th or me est pr c d e par des rappels et par trois lemmes Rappelons quel est l l ment de r f rence utilis dans cette variante AV l espace des fonctions de r f rence de param tres D mE La E libres R satisfaisant ar f i 1 Pus l i 111 4 Bs est l espace engendr par 16 polyn mes Dinde et par 12 fonctions de r f rence y S I i E Wa os H sx y 2 1 1 1 4 J 1 2 3
4. ELEM2 ELEM3 1 1 21 X2 Y2 22 X3 Y3 23 4 4 74 sont les sommets du t tra dre Le cycle int rieur porte sur les points du t tra dre Chaque fois que l on veut calculer la base d Hermite en un point PX PY PZ du t tra dre on appelle la subroutine HERM PX PY PZ V ou V est d clar en dimension 16 A la sortie V 1 V 16 contiennent les valeurs vj PX PY PZ V PX EN D I Chaque fois que l on d sire valuer la d riv e des fonctions Vire V6 dans la direction 2 au point 2 on appelle la subroutine DHERM TX TY TZ PX PY PZ DV o DV est d clar en dimension 16 la sortie DV 1 DV 16 contiennent ies valeurs des d riv es directionnelles 9 9 t V P t TX TY TZ et PX PY PZ j 104 743 Remarque Une partie des communications entre les sous programmes se fait au moyen d un bloc commun nomm TETRAS Ce bloc commun ne d pend que du t tra dre consid r Il est initialis par les subroutines ELEM ELEM2 et ELEM3 Il est utilis par HERM et DHERM 7 3 Le programme FORTRAN Le programme suivant comprend 783 cartes imprim es raison de 60 lignes par page 105 d ROO Creed ode dee de Ve 6 de dde de de e HH ede od OR dd d de d dod d OO C t de dede de ee de dee de e de d de de e de de e e de d de ded de de e dede de de ed d de d OH C OH OON OE C
5. L d 1 1 19 W B yes DE u 17 1 GC 11 60 1 171 v 1 1 9 Wa Db led b SE j 2 Nino mood ll iy iz ix i V 1 1 9 W su vs Si j 3 Hag rM yr Hau 11 iz i 1 1 1 4 Par contre dans la face i et dans toute direction t lin aire ment ind pendante de m o la d riv e d 1 d W 11 Dm une fonction rationnelle deux variables ru Construction de 11 Nous partons fonction 2 2 3 ro x y Z x y xz fonction r satisfait i il iii d r 0 y z ES 2 2 et la premi re partie de vue de satisfaire deuxi me partie de iv calculons 2 2 gt r 2 _ 2y Zz _ 2XYZ__ O x x y x z x y xtz yz 2 2 3 z 2 ES y 2x z x x y x Z 7 7 Dans la face 1 nous avons 2y SE E 2XYZ 2 y I y 1 2 Posons TEM DE _1 LIYZ i x Ju Wee ES 22 Y 2x z L Z 2 1 Nous aurons d ro 2 l x y z 0 2 xyz 72 Nous corrigeons en lui ajoutant une fonction b A telle que la somme n 2 r X y z b Aix y z poss de toutes les propri t s i iv D finissons 222 x Z l x y z b A x y 2 Ie Nm Mr l x y 1 2
6. 1 7 7 47 2 1 5 6 1 2 X K 0 3 1 5 2 1 3 2 7 1 3 2 1 5 1 53 5 1 5 1 3 9 NZ I3 8NZ 1 3 8 Crew DIRECTION NORMALE DEPLACEE RELATIVE LA FACE 50 19 20 99 40 1 10 1 1 MUY 1 2 2 MUZ 1 5 50 70 50 20 2 3REF 2 MUY 2 3 MUZ 2 1 2 REF 3 GO TO 50 30 3 3 MUY 3 1 2 3 MUZ 3 1 G0 TO 50 40 4 1 2 3 MUY 4 1 MUZ 4 2 50 S sMUX I MUY I MUZ I MUX I 3MUX I S MUY I aMUY I S MUZCIJSMUZ I S 60 CONTINUE RETURN END C SUBROUTINE U28 PX PY PZ U C D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI C v VALEUR DE U 1 wwen AU POINT PX PY PZ DU TETRAEDRE C NFCT PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 OU 28 REAL LL MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS X 4 Y 4 Z2 4 1 4 3 4 3 2 4 3 MUX 4 MUYCA 4 2 4 5 35 05 12 01 12 16 T 28 16 LL C3 3 IPERM 3 DIMENSION U 28 GEN 3 REF 3 DATA NERR 0 EPS 1 E 03 1 2 1 DEN 3 2 2 1 CALL SOLVE 3 3 LL GEN REF IPERM 1 2 ZT REF 3 IF XT GT EPS AND YT GT EPS
7. CALL REFCT N X YZ RO R1 R2 R3 WT118uKQ Q MUX R1 MUY R2 MUZ R3 RETURN END C ma wo ss wa wa a wn w s s s G s s s u m s s s s C C SUBROUTINE UT28 NFCT XT YT ZT UT mmm wa un o qu w e pe gees em er wm er m em en Fm ER ep HP ume o m P u m m www C Cn Quee Crus BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE PSEUDO REFERENCE VALEUR UT 1 een AU POINT XT YT ZT DU TETRAEDRE DE PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 OU 28 LES DIRECTIONS NORMALES DEPLACEES MUY CI MUZ I Is1 1 4 DEPENDENT DU TETRAEDRE GENERIQUE REAL LL MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 42 7 4 NX 4 3 NYC 3 N2 4 3 4 4 2 4 0 4 3 3 05 12 01 12 16 28 16 LLC3 3 IPERM 3 DIMENSION UT 28 NFCSzNFCT YLSYT 21 527 ZL DO 90 Is1 4 BLOC 1 FONCTIONS NUMEROS 1 16 0 4 1 3 UTCIND s PT1 0 ML XL YL ZL UT IND 1 sPTI1 i WL XL YL ZL UT IND 2 PT1 1 WL YL XL 5 1 WL ZL XL YL IF NFCS LE 16 GO TO ag BLOC 2 FONCTIONS NUMEROS 17 28 INOs3wI 14 UTCIND 2 2sWTi11 MUX CI MUY IQ2 MUZ IQ NL XL 2L 80 90
8. un wm an Qa wn lt 599 99 09 s u Ga s 19 99 s lt u s mmm m m m mmm m C C SUBROUTINE ELEM2 ma e me s s Gs OD s s LES LL LL LL LL LL LL LL m s C www MATRICE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI Cwwwe INITIALISATION OU BLOC 01 DE A 10 1 2 REAL LL MUX MUY MUZ NZ COMMON TETRAS 4 4 2 4 4 3 NY 4 3 2 4 3 4 4 4 0 4 3 3 05 12 91 12 16 T 28 16 LLC3 3 IPERM 3 DIMENSION DU 28 DO 40 181 4 1 4 1 KsMOD J 4 4 BX S X K XCL BYsg SwCY K YCL BZ 0 5 Z K Z L CALL 0 28 16 1 1 1 1 852 1 1 8 8 2 0 IND E 3 I 2 DO 10 1 16 Q1 IND M sDU M CONTINUE 9 1 By ag 5 3 87 0 5 2 2 0 CALL 0U28 16 NX I 2 NYCI 2 2 1 2 BX 8Y BZ DU 13021301 00 20 1 16 114 01 201 20 CONTINUE 5 2 0 2 42 1 CALL 0DU28 16 NX CI 3 3 1 5 BX BY BZ DU INDSINO 1 DO 30 1 16 Qi CIND M aDUCM 30 CONTINUE 40 CONTINUE RETURN END mmm mmmmmmmmmmmmmmen quam m Dar ap UP s o READ 98 AP U
9. ZT GT EPS AND 1 1 XT YT ZT GT EPS GO TO 2A 112 7 3 Cwwww LE POINT PX PZ EST L EXTERIEUR DU TETRAEDRE GENERIQUE IF NERRelLTe1 PRINT 10 19 FORMAT 1U0X 40H w ERROR MESSAGE CALLED FROM 028 10X 1 33H THE POINT IS OUTSIDE THE ELEMENT 20 CONTINUE C VALEURS DES FONCTIONS DE BASE CALL UT28 NFCT XT YT ZT U RETURN END mmm mmmmmmmmmmmmmmwmaMa qam wm UA OUR s SR m 96 m SUBROUTINE 0028 VX VY VZ PX PY PZ DU C p r C BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE FLARGI Cwwww DERIVEE DE U 1 seer UCNFCT DANS LA DIRECTION VX VY VZ C AU POINT PX PY PZ DU TETRAEDRE GENERIQUE C PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 OU 28 REAL LL MUX MUY MUZ NX NY N2 COMMON TETRAS 4 49 7 4 4 3 4 3 87 4 3 MUX 4 MUY A4 MUZ 4 e 0 4 3 3 05 12 01 12 16 28 16 LL 3 3 IPERM 3 DIMENSION DU 28 GEN 3 REF DATA NERR U EPS 1 E 03 1 GEN 2 zVY GEN S sVZ CALL SOLVE S JI LL GEN REF IPERM TXsREF 1 TYsREF 2 25 3 1 1 GEN 2 1 GEN 3 2 7 1 CALL SOLVE 3 3 LL GEN REF IPERM 1 2 ZTSREF 3 IF XT GT EPS LAND YT GT EPS LAND ZT GT EPS 1 1 7 05 GO TO 2A Cwwww LE POINT PX PY PZ EST L EXTERIEUR DU TETRA
10. 0 v Ci 0 um v b VINC ud 0 j 1 2 3 par suite 943 161 L u x V I v I v II I v 1 v Bi P gt 4512 21 Vas Par rapport l abscisse curviligne le long des ar tes H V V est un polyn me de degr lt 3 donc nul Ainsi n ja V c MESI ij lt gt 9 Me iy B 1 lt gt ij H V lt n n gt v v 1 1 1 On a t naj an gt lt c 1 lt Par le th or me 9 1 2 pour gt 2 IG I lt c v H v ij a l S 3 RM 1 37 3ps Par le th or me 9 1 1 pour q 0 1 m 0 1 2 et v 17 1 28 3 9 5 NUS bo mE lt m Ainsi pour 2 4 0 1 et 0 1 2 1 AT 4 3 v H v S v a b 4 5 Git oI l 3 p 3 5 Avec l hypoth se 24 et en prenant p gt 3 IM v H v a b 3 5 Troisi me terme I V H v est un l ment U Nous l exprimons l aide des param tres et de la base de Lagrange de l l ment affine 162 Pour 1 1 1 4 H H v To H v 0 J 1 2 3 par suite 4 3 IER H v Par rapport l abscisse curviligne le b Pour w W d Mg ad 2 i l j 1 Pts notons 13 E de
11. 1 Finalement diag D lt n n gt lt L N n gt ACn 9 E AT 68 5 4 1 5 4 El ment t tra drique de classe de degr deux l6 param tres Nous sommes maintenant en mesure de donner une solution variante II du probl me l ment fini nonc sous 1 2 Dans l l ment g n rique largi 28 param tres nous allons rempla cer les 12 param tres auxiliaires par 12 contraintes lin aires Afin de satisfaire la condition de raccordement 1 2 iv nous exigeons que 5 4 1 restriction de d riv e normale du v la face i consid r e comme une fonction de deux variables est un polyn me de degr lt 1 i 1 1 4 En tenant compte du fait que pour u U la restriction de d u la face i est un polyn me de degr lt 2 deux variables i la condition 5 4 1 s crit de fa on quivalente sous forme de contraintes lin aires E 5 4 2 1 u 285 SCH u A 4 u A 11 11 1 G EE d A 9 P 2 9 5 d d 2 Kom RE mp i3 i3 o i j k 2 est une permutation cyclique des nombres L 2 3 4 i 1 1 4 Th or me 1 L espace lin aire II V u U u respecte les 12 contraintes 5 4 2 est une solution du probl me l ment fini 1 2 D monstration Les contraintes lin aires sont respect es par les polyn mes de degr lt 2 ainsi ye contient les polyn mes de degr lt 2 D
12. 3 1 LL 3 2 82 3 2 LL 1 3 X 4 X 1 LL 2 3 s sY 4 Y 1 LL 3 3 2 4 2 1 C x FACTORISATION DE LL CALL DECOMP 3 3 LL AUX IPERM DET Cwwww VOL ABS DET 6 EST LE VOLUME DU TETRAEDRE Cwwww SI LE TETRAEDRE EST V0Ls0 LA SUBROUTINE DECOMP C IMPRIME UN MESSAGE D ERREUR DO 10 1 4 4 4 1 4 Crew INITIALISATION DU VECTEUR MY I MX I Y K Y J Z L Z J Z K Z J Y L Y J MY I 83 2 K Z J X L X J X K X J Z L Z J MZ I X K X J w Y L Y J Y K Y J X L X J SsSQRT MX I ww2 MY I ww2 MZ I w 2 MX I s MX I S 1 3 2 3 2 5 Cre v VECTEURS NX I dd NZ 1 J 421 253 NXCI 1 8MYCIO Z L2 Z K9 MZ CIO CYCLO CKO 1 1 2 2 Lez 1 1 MY I X L X K 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 5 NY I 1 8NY CI 1 8 NZCI 125NZ2 1 1 8 1 2 2 13 2 MZ I w Y J YyY L 1 2 2 2 1 Z L 2 2 1 2 MY I X J X L 2 1 2 2 1 2 NX I 2 8NX I 2 8 NYCI 2 3NY I 2 8 NZ I 2 8NZ I 2 8S 1 5 2 2
13. va 90 en s s sn u ON s s D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE PSEUDO REFERENCE DU POLYNOME DE DEGRE TROIS PT 1 J DANS LA DIRECTION w www C wwe 10 11 20 ma wa me wn wo qp wa o s Ga 0 o Gn o me o sm 00 s sm s C lt wn wn o an o ne o on D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE DERIVEES DES FONCTIONS RATIONNELLES R R1 DANS LA DIRECTION TX TY TZ AU POINT XT YT 2T WTs 1 XT YT ZT NOUS SUPPOSONS QUE LE POINT XT YT ZT NE SOIT PAS SITUE SUR w x www Crest C w w x C W w UT 1 0 1 71 1 CMUY CI MUZ CI WL YL ZL XL UT 2 sNT11 MUZ 1 CI CI XL YL ChewL NL E XL XL ey YL zZL ZL CH CONTINUE RETURN FUNCTION 1 J TX TY TZ 2 AU POINT J PEUT PRENDRE LES VALEURS 0 OU 1 1 27 WWT Y YT Z ZT TisTX 2 T95sTZ T T1 T2 T3 IF J 10 10 11 Pei eh 2 27 7 7 2 Sal 2
14. ii on pose u u trouve u x x x x x h 2 4 Un th or me fondamental Soit Q W R un probl me d interpolation lin aire Alors les propri t s suivantes sont quivalentes i le probl me Q est W unisolvant ii dim W gt n et la solution 0 de Qw 0 est unique iii dim W lt n et Q une base d interpolation Pour d montrer ce th or me il suffit de le r crire dans la terminologie usuelle l alg bre lin aire i Q est un isomorphisme d espaces vectoriels ii dim gt n et Q est injectif iii dim W lt n et Q est surjectif 2 5 Compl tion d une base d interpolation l aide d un groupe d automorphismes Proposition Soit un groupe de automorphismes W relativement la composition d l ment neutre identit Fo F W RP Soit Q o G W qu For mp q Nous supposons que M 0 0 OU J re gt JO CONS ER ls 0 0 N M 24 28 M est une matrice pxp inversible N d signe une matrice qxp quelconque est une matrice inversible Alors 1 1 1 1 gt U rere r Eu est une d interpolation Q la matrice d interpolation relative cette base est de la forme N N sont des matrices qxp Cette proposition est galement valable pour q 0 D monstr
15. 1 2 97 72 20 7 9 73 2 7 GO TO 28 54 2 0 Tiw C W 0 85w Y 2 72973 2 5 RETURN END SUBROUTINE TX TY TZ WT XT YT ZT DRO DR1 0R2 0DR3 UNE ARETE DU TETRAEDRE WNaWT 2 7 T1sTX 2 3 DE P 2 2 7 2 7 1 7 2 12 2 13 H s Xe Y X 2Z w Pet 1 2 71 735 2 93 8 DE R 108 Tez lt 2 4 7 7 DP 2 4 7 TONY eZ 2 Ww YA 2 2 Q 05 4 2 1 1 2 R sP Q DR P TO T1 W X TO T2 CW Y CTO T3 W Z 1 eT2 1 9Y T3 1 Z2 22 0 Cwwww DERIVEE OE R1 sRwYwZw 1 X sSDRwY Zw 1 9X Re Ti YwZe 1 X T2w ZeT3wY Q 1 7Y 1 2 DR1sSeDR DP Bel 2 1 3 1 2 32 0 C DERIVEE DE R2 8RwZ w 2 X Y DP sDR Z 2 X Y Bet T1 2 4T2 Z T3 2 wX Y H 21 2 2 DP 3 0 0 DERIVEE DE R3 2 2 DP mDRwYw 2 X Z R Yw 2 T1 T3 T2 2 wX Z Q eh CA DP P T2 Q Q RETURN END en s w wa lt 90 s 8 0 s s WAR
16. 1 2 3 2 XwWwDV2 RETURN END FUNCTION TX TY TZ WT XT YT ZT C Leeememeeeeeeeememeeeegeeeemgegnmemeeeemenmeememeemmemgemoemeemeemeeemeememmee eme C w BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C DERIVEE DE LA FONCTION RATIONNELLE PAR MORCEAUX RT 1 0 DANS C w LA DIRECTION TX TY TZ AU POINT XT YT ZT WTzi 9XTeYT eZT C we 50 108 ww ww 150 Crus EEE 200 300 8 3 137 DATA EPS 0 5E 06 2911 IF X GT EPS Y GT EPS Z GT EPS GO TO 50 DANS LES FACES 2 3 4 ON 0 0 RETURN CONTINUE T3 TZ IF X GE Y AND Z GE Y GO 200 IF X GE Z AND Y GE Z GO TO 300 CONTINUE MORCEAU 1 IF W GT EPS GO TO 150 DANS L INTERSECTION DU MORCEAU 1 ET DE LA FACE 1 ON A 1 Tl1 T2 T3 3 wXwX RETURN CONTINUE DANS L INTERSECTION DU MORCEAU 1 DE L INTERIEUR DU DRT18980ST18 CT1 T2 T3 W X Y 2Z RETURN CONTINUE MORCEAU 2 X s Y Y CH CheTi 1 2 60 100 CONTINUE MORCEAU 3 X Z LSCH 11273 GO TO 100 END C me wa va wa o an s ue wa wa ne lt 0 M m 07 me s ano pp C C FUNCTION 05713 TX TY TZ MW
17. 2 ST1322 wX XwZMXwZMXwWwVAR RETURN END an sn en mmm s lt s Ne 99 aso m om m FUNCTION RT13 WT XT YT ZT Ceeegememeeesmeeegeeeeemeeeeeeememeremeenmememmeemeemmememmaeeememegmeememmeeemee BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C VALEUR DE LA FONCTION RATIONNELLE PAR MORCEAUX RT 1 3 AU C POINT 27 1 DATA 06 Xs XT YsYT 7377 IF 2 6 2 GO TO 340 IF X GT EPS Y GT EPS 1 2 AND W GT EPS GO TO 50 C SUR LE BORD DU TETRAEDRE 320 8 RETURN 50 CONTINUE Crew L INTERIEUR DU TETRAEDRE ON IF X GE Y AND 2 GE Y GO TO 209 134 8 3 100 CONTINUE MORCEAU 1 RT138ST13 W X Y Z RETURN 200 CONTINUE Cwww MORCEAU 2 CHzX GO 100 300 CONTINUE C MORCEAU 3 1350 0 RETURN END sm ns o w o 96 s o s Q s W lt lt un 99 EAD s m lt EH C SUBROUTINE UT44 NFCT XT YT ZT UT C Cmm mmm ee w BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C w VALEUR DE UT 1 ona UT NFCT AU POINT XT YT ZT DU TETRAEDRE C DE REF
18. 4 3 7 4 3 4 42 2 4 2 0 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 02 4 28 03 12 32 d 44 16 LL S 3 IPERM 3 DIMENSION DU 44 00 80 Is1 4 0 1 4 1 4 1 00 4 INITIALISATION DU BLOC 01 PX z0 5 X K X L PYaz0 S Y K Y L PZ Q 5 Z K Z L CALL DU44 16 NXCI 1 4NYCI 1 NZ CI 1 PX PY PZ DU IND 3 wI 2 UU 18 Mz1 16 Q1C IND M DU M 10 5 XCJ 1 1 PZs0 S9 Z J Z L CALL DU44 16 NX CI 2 NYCI 2 NZ I 2 PX PY PZ DU INDSINO 1 00 20 1 16 01 1 0 20 CONTINUE 0 Sw PY 9 4 1 0 5 7 Z J CALL 0044 16 1 3 1 3 7 1 33 2 01 DO 30 Ms1 16 Q1 CIND M sDU M 30 CONTINUE Cu INITIALISATION DU BLOC 02 PX X J X K X L 3 PYsCYCJ YCK Y L22 9 PZ8CZCJ 2 K 2 L22 3 CALL 0144 28 MX 1 MY CI MZ CI PX P Y PZ DU DO 40 Ma1 28 02 1 2 DU 40 CONTINUE w INITIALISATION DU BLOC 03 PXz da wXCJ X K X L2 6 PYa3 4ewY J Y K Y L 6 PZ2 4 4 Z J ZC K Z2 L2 6 CALL DU44 32 MX CI MY I MZCID PX PY PZ DU INDs3 I 2 DO 50 1 32 903 1 0 01 50 CONTINUE 4 1 4 er 1 PZs Z J 4 Z K Z L 6 CALL DU44 32 MX 1 MYCI MZ 1 PX PY PZ QU INDsIND
19. L _ l A pr dg D u aj u uv A 1 f Y a 4 d a lyl lol Y j RE 1 S c 1 4 p 9 Deuxi me r duction Notons P l espace lin aire engendr par tu erue y 0 11 F 12 16 Fase R voir 4 1 F5 YA d 1 1 3 u 9 0 185 r ru AT D apr s 4 3 le probl me d interpolation est P unisolvant UNA est la base de Lagrange de F Etant donn que pour 1 1 16 dech P nous aurons l6 u Tou H _ 9 o X av avec T s F 3 eu F 3 Par suite a B E s T _ 5 Si 0 lt u lt 16 H 1 H 16 ab J 000 si 0 lt v 16 uv 186 10 3 Il n est donc pas n cessaire de calculer et de m moriser ob Sg dans Les Cas lal 21 et u 16 ZA B gt 1 et v lt 16 Remarque Comme dans 1 4 il se peut que les ordres 0 0 1 0 et 2 0 N apparaissent pas tous dans P u v Cependant la deuxi me r duction peut faire appel des tableaux de ces ordres Tableaux r duits Le nombre d int grales calculer et m moriser pour d terminer les tableaux de r f rence s tablit comme suit r nombre de coefficients apr s les deux r ductions T voir remarque pr c dente nambre de tableaux or
20. jouer deux r les par la suite i Raccordement L l ment bidimensionnel associ aux faces du t tra dre doit correspondre un l ment fini connu de classe ct L l ment fini triangulaire est utilis afin d assurer la classe de l l ment t tra drique ainsi que la diff rentiabilit du raccordement le long des ar tes communes deux t tra dres ii Motivation Les l ments finis triangulaires vont servir de point de d part dans la construction des l ments t tra driques Nous avons mis en vidence les aspects architec turaux de la construction qui sont g n ralisables de la dimension deux la dimension trois Les fonctions de r f rence sur le triangle sont utiles pour trouver des fonc tions de r f rence sur le t tra dre 3 2 Notations triangle rique 2 Soit TcIR un triangle ferm non d g n r de sommets X Y 1 1 2 3 Notons B4 B B les milieux des c t s oppos s respectivement Soient n n n les vecteurs L 3 3 normaux aux c t s oppos s Auch respectivement 3 Y TW RIT T a n o 1 e E et i j k est une permutation cyclique de 1 2 3 i 1 2 3 ils pointent vers l int rieur si le triplet AJ A A est direct et vers l ext rieur si ce triplet est r trograde voir fig 3 2 1 Fig 3 2 1 Triangle g n rique 34 352
21. lt co h Vl3 p s Quatri me terme v v est un l ment U Pour i 1 1 4 v 0 grad I v 0 par suite pour les param tres rem 1 aurons aussi v 0 J 1 2 3 i 1 1 4 Par construction des espaces U U S et yt V S ev voir 6 4 la restriction de H V v une face du t tra appartient l espace vi d fini sous 3 7 comme les 9 pa ram tres de cet l ment triangulaire sont nuls il s ensuit que la restriction de v est nulle Nous exprimons H v l aide des param tres et de la de Lagrange de l l ment affine Il vient 164 9 43 4 Hl v Ha dg MS V og i 1 i i 4 3 1 EJ X Sy SQUE ve et 1 3 1 m C d 1 29 31 3 4 gt H U V H v a 151 47 ZS i c d 28 4 3 E D No ci ERO ux 4 lt 2 m m gt H H Y aq 151 i c 28 4 3 5 1 p lt R m mi gt H I P29 31 3 ES 74 i l 1 1 Nous utilisons maintenant les majorations obtenues pour le mier le deuxi me et le troisi me terme avec m l p gt 5 et v w P H H lt clv n vli es lt H Vli ss Vis 5 df Sek vli e g 3 h h lt i gb 3 P M a o7 a 3 lt gt
22. Pour tous les t tra dres S avec lt 0 il existe une con lt eto D monstration Introduisons les fonctions _ l l S A m h 5 diam tre de S 9 S h S lu S Deche ui S qui permettent d crire ux 5 S _ s sS i H z 5 S 5 170 h S 5 0 S Par le th or me 9 1 3 1 1 8 3 SI hie 27 m 1 1 lt a S ez d H lm C Se S lt C O Pour d montrer le lemme il suffit de montrer qu il existe une constante c o gt 0 telle que 10 5 gt c c pour tous les S h S p S avec Sg Puisque 9 est invariant pour les translations S nous pou vons supposer que 0 pouvons identifier S avec une application lin aire inversible 4 GL 3 IR comme suit 3 e 0 ere 214 base canonique R Lie p d 2 3 4 Soit i j k une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 nous avons amp e x amp e mg mmo E ej x ale h h 2 max x 2 y 3 gt L 4 1 0 2 lt m h e gt 4 poss de les propri t s suivantes 1 11 111 iv 9 4 171 0 0 e GL 3 R En effet 2 3 a hm 4 amp e ej z e e tant une base de IR il sera de m me pour 07 27 hm e e
23. de la d riv e directionnelle d face i consid r e i comme fonction de deux variables est un polyn me degr lt 2 i 1 1 4 60 22 Construction de la base d interpolation de l l ment de pseudo r f rence d d Nous construisons une OS J d un espace satis 28 faisant aux quatre conditions ci dessus Nous introduisons ces fonctions par blocs Cette partition de la base induit une tition en blocs de la matrice d interpolation Nous choisissons la base d interpolation de facon que la matrice d interpolation associ e soit triangulaire inf rieure par blocs Pour l l ment de pseudo r f rence les blocs diagonaux seront des matrices identit Pour l l ment g n rique largi 5 3 les blocs diago naux seront des matrices carr es inversibles Bloc 1 fonctions d interpolation num ros 1 16 Nous choisissons les l6 polyn mes de degr trois construit sous 4 3 av U 2 Pi j j 3 0 1 3 i 1 1 4 La condition ii est satisfaite Les conditions i et iv sont respect es Le premier bloc diagonal 16 16 la matrice d interpolation est l identit Bloc 2 fonctions d interpolation num ros 17 28 Nous cherchons une fonction W 2 d finie pour e m AS t m 0 x y z Pour chaque param tre A eR avec A X m Z 0 nous exigeons que Soit de 11 classe 8 et poss de l
24. 0 1 2 2 D I 2 3 Z K Z 1 0 1 3 1 5 1 1 09 1 3 202 7 6 1 5 5 2 4 2 1 w INITIALISATION DE 05 IND 3 I 2 D5 IND NX I 1 w 2 wX J X K X L NY I 1 2 Y J Y K Y L gg AE s 5 1 0 1 2 2 K mX 1 2 2 eNZ I 2 2 2 K 72 L 92 J 0 05 2 NX I 3 2 X XCJ XCK2 1 3 2 Y Y CJ NZ 1 3 2 wZ L Z J Z K INITIALISATION 06 06 1 3 1 9X CLO N Ga TO s 1 MY I w 3 Y I Y J Y K Y L 2 MZ I 3 wZ I Z J Z K Z L C ww ww INITIALISATION DE 07 INDz3 I 2 07 06 1 07 1 206 07 2 206 10 CONTINUE RETURN 144 8 3 END SP OD ON an DO eem us mmm s m SUBROUTINE ELEM2 C ns un s ss sa C ww MATRICE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI C INITIALISATION DES BLOCS SOUS DIAGONAUX DE LA MATRICE Q REAL LL 2 NZ COMMON TETRAS X 4 Y 4 2 4 4 3
25. 0 K 1 m v w P m pos i G IQ we w H B su 2 lt c det h IWl5 p T 2 gt 6 82 v pP Nous obtenons finalement 3 2 HL v T v Q m p T QUSE 3 p T 3 5 h m 0 1 2 9 3 Erreur d interpolation pour la variante I C Pour un t tra dre S donn et une fonction v wiren gt 5 nous notons V S l interpolant v sur le t tra dre par l l ment fini la variante D signons par h h S le diam tre S et par 5 le diam tre de la sph re inscrite dans S 9 3 159 Th or me 9 3 Soient p 12 4 gt 0 Alors il existe une constante telle que pour tous les t tra dres S avec Vv e W P lt et pour m 0 1 2 Iv H v lt c o h 5 3 5 D monstration Pour analyser l erreur v H v nous introduisons quatre autres interpolations a L l ment affine est l l ment sur S qui est affine quivalent l l ment de r f rence 6 2 notons U U S l espace cor respondant les param tres sont affines quivalents aux 44 tres de r f 6 H parame res e Fe erence qot ISA 43 Dre 43 qub ree 43 voir 6 1 d signons par HI v U l interpolant obtenu l aide cet l ment b L interpolation I w P s 7 0 est obtenue en rempla ant b dans les 28 premiers par
26. 1 3 3 5 De m me n3 lt pour i 1 1 4 j 1 2 3 CES 165 le th or me 9 1 1 pour v 29 1 44 3 p 1 h ck e IA n P lt m p Finalement pour m 0 1 2 et p gt 2 e 4 3 IM v H v v m p S 1 3 3 5 lt c o p v 3 p 8 Cinqui me terme Comme pour le quatri me terme on montre que v est un l ment U qui s annule dans les quatre faces ainsi 4 E 8 1 V IL e E 5 I v L T 1 i 28 i 1 Y2943itu e Pog i D gt LA N lt gt H T i l u 1l i i iu d V JE oi Comme pour troisi me terme notons l interpolant 1 de w P s p gt Soit i j k 2 une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 Par d finition de voir 6 4 P 166 9 3 1 1 lt H 15 v d 3 m 73 3 m V p l d 04 I On v C i i E 2 _ zl H H v H v WA 3 a 6 E Che d v 9 vi C i l 1 H Ha II v T v Ci 2 3 1 1 Nous utilisons le th or me 9 1 2 pour I avec n 3 k 1 2 s 0 gt gt pour v on w 9 v w P s i Ip H v T vii da iw lo cs y 2 c det 2 P n 2 3 e n 23
27. H V H 13 0 II IE Wem H v est un polyn me de degr d 1 b b lt gt G 4 1 grad VE v A H v C H J 0 long des ar tes P13 3i j 0 o L 3 donc nul Par suite v J v w l interpolation lin aire de w sur le t tra dre S avec les param tres w A4 w A Soit i j k 2 une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 D apr s 6 4 G1 4 Ul Nous utilisons le th or me 9 1 2 pour H 7 v I v C pour 9 V 13 2 N 2 1 219 19 1 219 11 12 13 51 v A A v 5 13 de IL d vil B 13 W ij 2 Pts ij R 1 n d n 11 12 13 v A v AL 2 j l II N j J 3 L 9 3 163 lI v vil ij b w H w B 3 JA Wlo c c A c det 77 h w p S ech Q V 3 p s A A Puisque lt gt lt et pour q 6 1 m 0 1 2 et 17 1 28 3 4 eL lt nous aurons V 4 5 3 3 lt e V 4 5 3 5 Hh vu vi Avec l hypoth se o 5 lt et en prenant q p gt SC E Vo
28. OD s 99 s mme lt w C C SUBROUTINE DUT44 TX TY TZ XT YT Z2T DUT T Ce Cw C www D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE DERIVEE DE 1 ese UT NFCT DANS LA DIRECTION AU POINT 27 PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 DIMENSION DuT 44 NsNFCT T2aTY T3 TZ TOReTleTt2r Tt3 YsYT Z ZT 2 DO 20 1 4 BLOC 1 INDa4 I J DUT IND sDPT1 O T1 T2 T3 W X Y 2 DUT CIND 1 8DPT41 1 T1 T2 T3 W X Y 2Z DUT INDe2 8DPT1 1 T2 T3 T1 W Y 2 X DUTCINO 3 8DPT4 C1 T3 T1 T2 W Z X Y IF N LE 16 GO TO 10 TX TY TZ 28 32 OU 44 FONCTIONS NUMERO 1 16 BLOC 2 FONCTIONS NUMERO 17 28 INDadwI 14 OUTOIND 8DWT411 T1 T2 T3 W X Y 2 DUT 1 0 1 1 T3 T1 W Y Z X DUT IND 2 8DWT11 T1 T2 W Z2 X Y IF N LE 28 GO TO 10 BLOC 5 FONCTIONS NUMERO 29 A 32 DUT I 28 sDRT1GO T1 T2 T3 W X Y Z IF N LE 32 GO TO 10 140 8 3 Cw BLOC 4 INDa3 I 30 DUT J ZDRT13 T2 T3 T1 W Y Z X DUT IND 1 DRT13 T3 T1 T2 W Z X Y DUTCINDe2 2DRT13 T1 T2 T3 W X Y 2 10 CHaw X Y ve ZaCH CHe TQ 1 2 28 CONTINUE RETURN END 0
29. gt S L x xh Nous choisissons la d interpolation d 1 u V L i l 1 4 o les V constituent la base d Hermite de l exemple 1 Remar quons que 28 247 258 o i j est une permutation cyclique de 1 2 Par rapport cette base la matrice d interpolation est diagonale dias 0 e 1 x 1 Gex Ja La base d Hermite s crit CS zl Vi L l m x H c 21 i j permutation cyclique de 1 2 i 1 2 2 7 Probl me d interpolation avec contraintes lin aires F F w RP Soit o H H m3 sont des appliquations lin aires Supposons que le probl me d interpolation gt REN n p q soit W unisolvant Alors le probl me F ker H RP est ker H unisolvant En effet Fw c et Hw 0 si et seule C ment si Qw En particulier dim ker H p Les qua 0 tions lin aires Hw 0 sont appel es les contraintes lin aires du probl me F ker H 2 8 Remplacement certains param tres par des contraintes lin aires F F W R Soit 0 W m sont des applications lin aires Supposons que le probl me d interpolation Q W q soit W unisolvant Soient 18 Ee homomorphisme et 189 E un automorphisme La construction ci dessous consiste remplacer les param tres G par les contraintes lin
30. s lt s 90 s s mn s 46 q s n m m C FUNCTION OWT11 TX TY TZ MUX MUY MUZ WT XT YT 2T C wa wa vw on en ne wo o lt SD o En e C D INTERPOLATION DE L ELEMENT PSEUDO REFERENCE C w DERIVEE DE LA FONCTION RATIONNELLE WT 1 1 MU DANS LA DIRECTION Cwwww CTX TY TZ AU POINT XT YT ZT DU TETRAEDRE DE REFERENCE Cwwww WT z1 XT YT ZT Cwwww LA DIRECTION NORMALE DEPLACEE MUY MUZ DEPEND DU TETRAEDRE C w GENERIQUE NOUS SUPPOSONS QUE MUX MUY MUZ 1 REAL DATA EPS 0 5 6 YsYT 2577 IF 6 5 W Y GT EPS AND 1 2 67 4 EPS 2 5 GO TO Cw DANS LES FACES 3 ET 4 DWT11z0 U RETURN 30 CONTINUE T2sTY T3sTZ IF X GT EPS AND W X GT EPS GO TO 44 C DANS LA FACE 2 ON A DWT1182 T1 wY Z RETURN 40 CONTINUE Cwwww A L INTERIEUR DU TETRAEDRE ET A L INTERIEUR DE LA FACE 1 A CALL DREFCT T1 T2 T3 W X Y Z0 DRO DR1 DR2 DR3 DWT1158DRO MUX DR1 MUYwDR2 MUZ DR3 RETURN END em w lt lt a m Q s G lt s s LE s s UP P 96 s s T OUO LL w s LE m m s C 109 SUBROUTINE DUT28 NFCT TX TY TZ XT YT ZT DUT mmm eo ene ener em mme op en er e en ep
31. s w s FE P Cr e Cru C x v n C wwww Cesu 10 D INTERPOLATION L ELEMENT REFERENCE VALEUR LA FONCTION RATIONNELLE 1 0 RESTREINTE AU MORCEAU 1 AU POINT WTz1 XTe9YTeZT NOUS SUPPOSONS QUE LE POINT XT YT ZT SOIT PAS SITUE SUR UNE DES CINQ ARETES DU MORCEAU 1 APPARTENANT AU BORD DU TETRAEDRE DATA EPS 0 5E 06 Y YT ZEZT YMX sY X MXsZ X IF YMX GT EPS ZMX GT EPS GO TO 10 SUR LA DROITE XsYsZ ON A 371033 RETURN CONTINUE DANS LE RESTE DU MORCEAU 1 ON VARS9eX W 3 1 3 2 Y ZMX VARZRMYMX ZMX 6 wX 2 wW 3 VAR VARSVAR ZMX Y WS YMX YMX 2 2 CYMX amp ZMX 2 CYMX ZMX VAR 1 93 X Y ZMX STIUSXe X W 3 VAR RETURN END SNR o o CM PM DEAE EE m EE Um OP POP PPP C C FUNCTION RT18 WT XT YT 2ZT gt 09 90 92 SER gt eem e w w w Cw 100 200 Crus BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE VALEUR DE LA FONCTION RATION
32. 07 e e 1 i amp hm e e te Js ege GL 3 IR est ouvert dans l ensemble des matrices 3x3 et 9 est une application continue i 1 1 4 9 est invariant par homoth ties effet Vr TR r Z 0 II 1 1 9 r lt i r rhm e gt 2 3 4 0 2 D signons par p le diam tre de la sph re inscrite dans t tra dre de sommets tes Ta j 0 1 4 Alors D h GL 3 TR et 2 5 20 J est compact dans GL 3 IR effet d apr s le th or me h 4 lt 9 1 3 pour les 2 GL 3 avec D D a il ht lt qui montre que est compact dans l ensemble des matrices 3x3 de plus det A deti 172 9 4 Des quatre propri t s pr c dentes nous tirons que 1 4 9 14 GL 3 R LR lt O est un compact de la droite r elle ne contenant z ro Par suite il existe une constante telle que 94 4 gt gt 0 pour tous les GL 3 avec o 2 lt Lemme 9 4 3 Consid rons les l ments de la base de Lagrange de l l ment fini de r f rence 5 1343143 av 2 M TEM 2 e S X Y Z 1 1 1 4 3 1 2 3 S d pend de S comme dans le lemme 9 4 2 Soient q 1 et m 0 1 2 Alors pour tout o gt 0 il existe une constante c o telle que pour n
33. 4 2 4 2 0 4 35 35 05 12 06 4 07 12 01 12 16 02 4 28 03 12 32 T 44 16 LL 3 3 IPERM 3 DIMENSION DV 16 DU 44 CALL 0044 44 2 2 0 0 DO 20 1 1 16 DO 10 Js1 44 1 51 T J I DU J 18 CONTINUE 1 1 20 CONTINUE RETURN END 150 8 4 8 4 Tests num riques Nous avons proc d des v rifications num riques du programme pr c dent sur l ordinateur CDC CYBER 73 de l Ecole polytechnique f d rale de Lausanne Nous d crivons bri vement les tests effectu s Test 8 4 1A Les fonctions de r f renc y d Y d r s fonctio sf rence uj 41 Tip gt 5 13 sont d finies par morceaux voir 6 2 Nous v rifions que ces l 9 fonctions sont de classe S Pour faire nous avons tabul ces fonctions et leurs d riv es partielles au voisinage des plans de raccordement x y Z Z x Test 8 4 1B et leurs d riv es par Ps av Les fonctions de r f rence Ugre 4 tielles poss dent des ind terminations du type 2 le long de certains segments les segments concern s sont les ar tes des trois Xs Ty 8 sur lesquels chaque fonc tion est rationnelle pour un i 1 2 3 4 voir 6 2 Dans le programme 8 3 ces ind terminations ont t lev es comme suit nous avons crit l expression analytique de la restriction de ces fonctions certaines faces des morceaux a 8
34. a 8 nous avons utilis cette expression dans un e voisinage de ces faces Nous avons v rifi par tabulation la continuit num rique du passage de l expression analytique g n rale l ex pression analytique limite Les tests 8 4 2 8 4 6 correspondent textuellement aux tests 7 4 2 7 4 6 9 151 5 9 ERREUR D INTERPOLATION Dans le cas o les dinis constituent une Camille affine des th or mes connus donnent des majorations l erreur d interpolation voir th or me 9 1 2 Quoique les l ments con sid r s dans ce travail ne constituent pas des familles affines nous pouvons quand m me obtenir des majorations analogues au cas affine voir th or me 9 5 Dans ce paragraphe c et c o d signent des constantes g n riques Soit un ouvert born dans R Les espaces de SOBOLEV sont not s w P g y v e PQ v e LP R pour lt m avec semi normes ul pon J 9 v P3 P j 0 1 1 dd a 723j wo sup ess la v x 3 0 1 al j x Q et les normes LA MES es P m em 1 j 0 4 max vi 2 m EN dE j o 1 m 2 Remarque Dans le cas particulier p 2 nous retrouvons la d finition 5 de 1 1 H 0 0 v jv J O 1 m iut ioa a vll q ll Vila ao 152 241 9 1 Interpolation par une famille affine d l ments D finitions Consid rons un
35. d 1 d u l 174 9 4 Remarquons que E est sous espace lin aire de particulier v v quelque soit pour tout a effet v est un P p l ment de dont valeurs aux sommets sont nulles et dont les gradients aux sommets sont nuls i 1 1 4 par unisolvance dans V v 0 L interpolation est effectu e au moyen l l ment largi l espace des fonctions est U et les param tres sont g n riques 5 Nous d composons l erreur d interpolation en quatre termes v v WAI v H v la s V 1 8 V v v o d signe l interpolation H avec le choix a 5 Premier terme 3 1 1 3 Soient p e q 1 0 1 2 tels que 2 eI P 3 p Par le th or me 9 1 2 Vv e W S h Iv H v lt c det 2 y p m q s pa 3 p S 343 lt E Iv m 3 P 3 5 Par l hypoth se lt et en choisissant q p gt 3 Iv lt h K N 9 4 175 Deuxi me terme On a v I V A 0 qrad m CH grad I a S V Ai 0 S 1 1 1 4 s V est un l ment de 5 que nous exprimons au moyen de la base de Lagrange 4 3 a S 1 Iv 3 H v I B et p Y Ta s Y 4 ug Up Y 7 Bi T134
36. dr TE v 1 i 1 1 4 Pour j 0 c est imm diat 2 t tra dre g n rique Soit S t tra dre donn de sommets X Y 2 1 1 1 4 Notons L S l application affine x X X X x X Xq x L E X4 Ya XT YA 21 2I 2 22 2 23 21 21721 Z 2 Appelons la partie lin aire L D signons par Dige L B les points milieu des ar tes J 1 2 3 i 1 1 4 Soit 1 3 une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 i 1 1 4 Les deux significations de ne peuvent pas pr ter confusion Consid rons le vecteur unit normal la i me face X A sod uA 1 1 1 4 A ainsi que les trois vecteurs parall les la i me face et normaux aux ar tes voir fig 4 1 2 54 4 1 Fig 4 1 2 T tra dre g n rique Les param tres g n riques sur nous consid rons les 16 param tres F w W A F w m wW Ai F w Ai 3 d W 1 1 1 4 4 2 El ment polynomial de degr trois Aux l6 param tres de r f rence introduits sous 4 1 nous ajoutons les 4 param tres auxiliaires K w i 1 1 4 Les 20 param tres ci dessus d finissent un probl me d interpo lation H unisolvant sur l espace d m v polyn me de degr lt 3 La base de Lagrange de ce probl me est d termin e au moyen de 2 5 CE 226 V
37. 1 71 71 2 2 22 5 3 73 4 4 74 o C wwww C x w III ELEMENT GENERIQUE ELARGI INITIALISATIONS RELATIVES AU TETRAEDRE GENERIQUE ENTR ES X1 Y1 231 2 2 72 X3 Y353 Z23 4 4 74 SOMMETS DU TETRAEDRE GENERIQUE SORTIES TETRAS BLOC COMMUN PAR LEQUEL FONT LES SORTIES 110 T B C w w k C w w w en t Cw C ww ww 9r ve Crus Ctt Cx Crus Cru LL PARTIE LINEAIRE DE L APPLICATION AFFINE L FACTORISEE SELON LA METHODE DE GAUSS IPERM VECTEUR CONTENANT LA NOUVELLE NUMEROTATION DES LIGNES DE LL CONSECUTIVE AU CHOIX DES PIVOTS NXCI J NY 1 J NZ 1 J 4 1 2 3 1 134 VECTEURS PARALLELES LA 1 FACE ET NORMAUX AUX ARETES DU TETRAEDRE 1 MUY I 7 1 Is1 1 4 DIRECTIONS NORMALES DEPLACEES CHAQUE VECTEUR ETE MULTIPLIE PAR UN SCALAIRE TEL QUE LE PRODUIT SATISFASSE 1 MUY I MUZ I 1 21 1 4 REAL LL MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS X 4 Y 4 Z 4 4 3 4 3 7 4 3 MUX 4 MUY 4 2 4 D 4 3 3 D5 12 91 12 16 T 28 16 10035 3 IPERM 3 DIMENSION GEN 3 REF 3 X 1 8X1 12 1 1 521 2 2 2 2 2 572 X 3 9X3 5 203 223 4 4 Y 4 4 2 4 24 PARTIE LINEAIRE L APPLI
38. 1315 A Pour morceau S nous partons de la fonction 2 2 z x 1 2 2 1 2 1 2 qui v rifie ER 2 12 2 1 2 0 fonction nous ajoutons D telle fa on que d cd a b 0 r 2 b 1318 Nous calculons d 9 2 Eos 0 4 2 1 2 X Y Z 1 1 1 I x z 123 1 4 22 2 q 7 15 2 Nous posons b X y z 2 2x z x 1 x z 2 2 1 2 2 82 _ 6 2 5 6 2 5 Sur Les polyn mes par morceaux AT ny Soit l espace des fonctions f 9 5 dont les restrictions aux douze morceaux suivants sont des polyn mes de degr x 3 9 fy digo f A A o Im j Ak 424 J p 3 S A C et 1 1 est une permutation des nombres 1 2 3 4 Nous allons montrer que chaque solution du probl me l ment d fini 6 2 n est pas incluse dans et que les fonctions de r f U m rence ne peuvent pas tre choisies dans I Lemme Soit f 8 31 R une fonction satisfaisant a f est de la forme E X Y4z oCbex vez qixy2 3 b est classe e 8 restrictions dp gt TP Ly 243 voir fig 6 2 2 sont E degr lt 2 gd Alors et g sont des polyn m
39. 2 1 MZ I Y K Y J NYCI 3 sMZCI C X K 9X J MX I Z K Z J NZ I 3 8MXCI Y K YCJ 1 Ss8SQRT NX I 3 ww2 NY I 3 2 NZ I 3 2 NX I 93 8NX I 3 8 NYC CI 3 8NY I 3 S NZ I 3 8NZ I 3 8 10 CONTINUE RETURN END mme qe W s gt s lt O lt s T C SUBROUTINE U44 2 U C sp s w s C BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI Lesen ENTREES 5 BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT tkw w INITIALISE L AIDE DE LA SUBROUTINE PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 28 32 O 44 Crus PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE Crus SORTIE z eser UCNFCT VALEURS DES PREMIERES Ce TIONS DE BASE AU POINT PX PY 2 REAL LL MX MY MZ NX NY NZ 142 8 3 COMMON TETRAS 4 4 7 4 1 4 3 4 3 NZ 4 3 4 4 7 4 2 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 82 4 28 03 12 32 T 44 16 LUCS 3 IPERM 3 DIMENSION U 44 GEN 3 REF 3 DATA NERR 0 EPS s 1 E 03 GEN 1 saPX X 1 GEN 2 sPY Y 1 5 3 2 7 1
40. Institut de math matiques de l Universit de Fribourg Suisse _ L MENTS FINIS T TRA DRIQUES DE CLASSE C ET DE DEGR DEUX THESE _ pr sent e la Facult des Sciences de l Universit de Fribourg Suisse pour l obtention du grade de docteur s sciences math matiques par MARCEL D L ZE de Nendaz Valais Th se No 790 Stettler DISS PRINT Fribourg 1979 par la Facult des Sciences de l Universit de Fribourg Suisse sur la proposition de les professeurs J DESCLOUX et A ANTILLE Fribourg le 13 d cembre 1978 Le Doyen P EMMENEGGER AVANT PROPOS En janvier 1976 M D l ze et J J 1 publi rent Le premier l ment fini de classe c d fini sur un t tra dre 6 Accompagn d un autre l ment de degr plus lev cet l ment fini fit l objet d un article dans International journal for numerical methods in engineering n Pour distinguer ce premier l ment des versions ult rieures nous l avons baptis variante Il s agit d un l ment 16 param tres ce sont chaque sommet du t tra dre la valeur de la fonction et de ses trois d riv es partielles Les interpolants sur un t tra dre sont d finis partir de 44 fonctions de r f rence savoir 16 polyn mes de degr lt 3 12 polyn mes par mor ceaux de degr lt 3 et 16 fonctions rationnelles par morceaux La forme de ces derni res fonctions est lourde et compli
41. P al Les param tres g n riques Nous utiliserons les douze param tres suivants w Ai d w A d A1 L Ore AQ 2 7 W A d ET P a d w B n4 3 Les trois derniers param tres sont des param tres auxiliaires 1762 65 d sign s par Le triangle de r f rence Le triangle T de sommets 0 0 LO A 5 0 1 3 est appel triangle de r f rence Soit L T gt T l application affine y Y47Yi Y47Yi y Yi AV ru Soit TE T l application affine effectuant une per mutation cyclique de la num rotation des sommets avec a i 2 3 X x x 1 x Y 0 Notons la partie lin aire de l application affine r L 225195 VU z e 2 X j D finissons 1 1 0 2 0 1 Ser Siaki i T2 d d D J ues n n n L L 2 3 VOIE 322 2 d signe milieu du c t oppos r E 3 Fig 3 2 2 Triangle de r f rence Les param tres de r f rence Nous utiliserons les douze param tres suivants P lo 11 av l v 12 M C T m P 20 d _ J i V E v 9v v Ai F J ij Zeie Ge lt 34 i i n Va de d j 1 2 ed n Go 3 Les trois derniers param tres sont des param tres auxiliaires 36 3 2 Nou
42. c vli es V Jl gy Vli e g 3 4 h h gt EETA vls ps Fes 2 37 M 2 3 lt h SP KE D apr s Le Lemme 9 4 3 a S _ 1 3 p m en L Deeg lt c o h p n 17 1 28 Finalement ID c V vi lt h lvl a S 5 3 5 E 3 h S o 0 1 2 gt et 9 4 177 Quatri me terme On a Ho v v 0 gradi v v A 0 i l 1 4 v I v est un l ment U 5 Q a mons au moyen de la base de Lagrange 4 3 S 2 1 2095 ug 01 Ps To i l 1 1 17 Comme v est un polyn me de degr lt 3 par rapport l abscisse curviligne le long des ar tes il s ensuit que s annule le long des ar tes Par suite Q 4 3 fs H _ Ii lt n n gt G II o V V D D ni ijt ech v Y 5 1 1343i j Soit w w P s gt gt Notons l interpolation lin aire de sur t tra dre S avec les param tres w A w A w A Soit i j k une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 Alors par d finition de I v voir 5 4 v I v ij Q 3 1 9 v A si Ho IT n D J il il 1 d v B v A t d v A si j 2 i2 2 i2 12 J 9 14 V A 9 V A si j 3 n 13 2 V J n k d i3 i3 13 ap NTM 17 1 Nous utilisons le th or
43. choisir librement ont t introduites dans le cal cul au moyen d un g n rateur de nombres pseudo al atoires Les tests ont t effectu s plusieurs fois avec des donn es diff rentes Test 7 4 1 b A Les fonctions rationnelles de r f rence u et leurs fu 1 17 7 28 LU ef a S nn 1 D 0 d riv es partielles poss dent des ind terminations du type o n le long des ar tes de 5 Dans le programme 7 3 ces ind termina tions ont t lev es comme suit nous avons crit l expression analytique de la restriction de ces fonctions certaines faces de et nous avons utilis cette expression dans un g voisinage de ces faces Nous avons v rifi par tabulation la continuit num rique du passage l expression analytique dans l int rieur de amp l expression analytique pour bord de CH Test 4 2 Soit S un t tra dre Nous avons v rifi que les param tres la base d Hermite v de V poss dent les valeurs voulues l E 120 7 4 A 44 3 m ES UD Il O m 43 1 2 E i 1 1 16 j 1 1 4 Test 7 4 3 Nous v rifions que tous les polyn mes degr lt 2 appartiennent 5 Soit p4 rer Pio une base des polyn mes de degr lt 2 Pour i 1 1 10 nous avons calcul les valeurs a des 16 param tres nous d termin l interpolant r solvant un probl me d i
44. de Co de tn C www w Chwerw 80 9g D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE PSEUDO REFERENCE DERIVEE DE UT 1 ween UT NFCT DANS LA DIRECTION TX TY TZ AU POINT XT YT ZT DU TETRAEDRE DE REFERENCE NFCT PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 OU 28 LES DIRECTIONS NORMALES DEPLACEES 1 DEPENDENT DU TETRAEDRE GENERIQUE REAL LL MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS X 4 Y 4 Z2 4 NX 4 3 NYCA 3 NZ 4 3 4 4 4 0 4 3 3 05 12 01 12 16 T 28 16 3 3 IPERM S3 DIMENSION DUT 28 XL XT YLeYyT 2 42 WLs1 7XL9YL ZL T22TY 8724 2 9 DO 94 181 4 BLOC 1 INDsde DUT IND J DPT1 0 T1 T2 T3 WL XL YL ZL DUT IND 1 DPT1 1 T1 T2 T3 WL XL YL ZL DUT CIND 2 3DPT1 1 T2 T3 T1 YL ZL XL OUT IND 3 1 CI T3 T1 T2 ZL XL YL IF NFCS LE 16 GO 80 MUY I MUZ I Is1 1 4 FONCTIONS NUMEROS 1 16 BLOC 2 FONCTIONS NUMEROS 17 28 INDsS I 14 DUTCIND 980WT11 T1 T2 T3 MUXCID 1 MUZ CID XL YL ZL DUTCIND 1 sDWT411 T2 T3 T1 MUY MUZ I ML YL ZL XL DUTCIND 2 28DWT41 TS3 T4 T2 MUZ ID 1 MUY I WL ZL XL YL WLzXL XL ert YL ZL ZL Ter T1sT2 2 CONTINUE RETURN Ue T L SUBROUTINE ELENG
45. l ment fini particulier appel l ment fini de r f rence cet l ment est d fini sur un ensemble polygonal AV n L ferm born dans IR l espace vectoriel des fonctions est un S y SE sous espace vectoriel de les param tres de r f rence Bai a Fires F ne font intervenir que des valeurs de fonctions des points ou bien des valeurs de d riv es d ordre lt en des Y d y A points c est dire u u ou bien u dE U A LS VV d d n ou bien F u D u A 145 65 r 576417 0184 ER l l r nous supposons que cet l ment de r f rence soit n U unisolvant notons sa de Lagrange Toute application affine bijective L Lx x induit un l ment fini sur K dont l espace des fonctions est d d d U U K er 0 et dont les param tres sont P v ver 1 l l r Par exemple si F u 5 n V LA L l ment ainsi obtenu est U unisol 1 alors P v 9 amp 5 vant et sa base de Lagrange est L n hm e L 1 ru _ effet F Y ol At E d 1 l l r dim U lt r et le th or me 2 4 est applicable On dit que les l ments ainsi construits partir du m me l ment de r f rence constituent une famille affine d l ments Deux l ments finis appartenant la m
46. lt 2 Par la premi re partie du Eum lt 2 10 1 181 S 10 REMARQUES SUR L UTILISATION PRATIQUE DES ELEMENTS 10 1 G n ralit s sur l int gration num rique Soit 5 un t tra dre vi ou ye une solution du probl me l ment fini 1 2 Pour u v V notons 3 u d V a B P u v At ole lt 2 o S R sont continus Nous consid rons la forme bi lin aire pour un l ment a V x V R a u v P u v 5 Nous nous int ressons au calcul des coefficients pv 1 1 1 16 o Vire Vie est la base d Hermite de V L int r t de ces coefficients appara t dans la r solution par la m thode des l ments finis de certaines quations diff rentielles aux d riv es partielles Par exemple pour l quation biharmonique voir 1 4 P u v Au Av et 1 si et 2 00 0 2 0 0 05220 15 ab 0 sinon Revenons au cas g n ral Par un changement de variables a v rV det 1 Ca QE e L Les int grales sur le t tra dre de r f rence sont approch es l aide d une formule de quadrature K d d a vj vj v det L dy P v V 10 182 10 2 Il existe de nombreuses formules de quadrature V U Gd pour le t tra dre de r f rence voir par exemple STROUD 131 On peut poser q i det S 2 Ge E L approximation s crit V d P virvu 0
47. me 9 1 2 pour Ho avec n 3 k 1 pour w 3 ve P s ij s 0 m 0 q p gt 5 178 9 5 G j o v H w B1 A Iw 0 5 JA yp 2 4 P h 5 2 3 lt gt 3 5 Le lemme 9 4 3 nous permet d achever la majoration du quatri me terme 3 3 p ES lore lt n vla p S r pour m 0 1 2 et p e gt 9 5 Th or me pour une suite r guli re de mosa ques D finition Soit 0 un poly dre born dans R Nous d finissons une suite r guli re de mosa ques sur Q de la fa on suivante i le n me l ment de la suite est une mosa que de K t tra dres K Q al S n voir 1 2 k 1 11 il existe une constante gt 0 telle que mi Vnem lt pour k 1 1 K P S n n iii la suite des mosa ques est telle que suite correspon dante des h max h S k 1 1 K k converge vers 0 9 5 179 Th or me I x 2 3 Soit 9 un poly dre born dans Nous consid rons une suite r guli re de mosa ques sur la n me mosa que 65 O la suite nous associons h max h S a et k 1 1 K_ d Va l espace de type l ment fini correspondant sur 0 nous supposons que les restrictions vle des fonctions v n k n appartiennent toutes la variante I C ou bien toutes la
48. par morceaux de degr lt 2 Les morceaux sont ceux de la figure 3 5 une transformation affine pr s Par suite la condition 6 4 1 s crit de fa on quivalente sous forme contraintes lin aires _ 1 6 4 2 6 1 u lt LD u A 3n u A 1 il il ub 5 GER u A 78 2 12 12 u _ 9 u A 9 13 2 n j n 13 13 E dub AR i 3 j 3 m k m DS i i 2 1 1 H u lt NS 6 d AL 1 1 1 1 2 1 Hao dap i in o We LE d _1 1 2 H u e 6 Chan 3 1 1 est une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 i 1 1 4 Th or me L espace lin aire u U u respecte les 28 contraintes 6 4 2 est une solution du probl me l ment fini 1 2 p monstration Les contraintes lin aires sont respect es par les polyn mes 2 de degr lt 2 ainsi contient tous les polyn mes de lt 2 D apr s 2 8 le probl me d interpolation 1 2 iii est 1 unisolvant La propri t 1 2 provient que notre construction privil gie aucun sommet Une v rification num rique sera effectu e dans 8 4 6 Il reste encore v rifier les conditions de raccordement Consid rons deux t tra dres 51 5 ayant une face commune de sommets AJ As As Pour 20 nombres r els donn s consid rons la fo
49. qu e Cette th se vise d terminer des fonctions de r f rence un peu plus simples Nous avons abouti deux l ments finis am lior s la variante et la variante Les m thodes que nous avons d velopp es sont assez g n rales et peuvent apporter une contribution la construction d autres l ments finis La construction t compl t e par l analyse de l erreur d inter polation dans les espaces de SOBOLEV Cette publication t faite avec l appui financier du Conseil de l Universit de Fribourg TABLE DES MATIERES 1 Introduction 2 6 CONSTRUCTION 2 Interpolation lin aire abstraite 3 El ments finis triangulaires de classe gu 4 El ment polynomial de r f rence de classe de degr deux 16 param tres 5 Variante construction 6 Variante I C construction 7 et 8 PROGRAMMES 7 Variante II programme 8 Variante I C programme 9 ERREUR D INTERPOLATION 10 Remarques sur l utilisation pratique des l ments Bibliographie 5 1 INTRODUCTION 1 1 D finitions Tous les l ments finis dont nous parlerons seront des l ments finis droits c est dire d finis sur des 1 de R D finition 1 Un l ment fini est un triplet K Q V o i est un poly dre compact de R dont l int rieur n est pas vide ii V est sous espace lin aire de c K 112 0 SR est une application dont les c
50. solution du probl me l ment fini 3 3 Selon le choix la variante I ou II dans I 3 5 mous obtiendrons un espace not V ou V Par construction nous avons d montr le th or me suivant Th or me Les espaces vi et qe sont deux solutions du probl me l ment LINI 333 50 4 1 S 4 ELEMENT POLYNOMIAL DE REFERENCE CLASSE DE DEUX 16 PARAMETRES Dans paragraphe nous effectuons la premi re partie La construction commune aux variantes II et Nous g n ralisons en dimension trois les r sultats du paragraphe 3 4 4 1 Notations Le t tra dre de r f rence n ru Le t tra dre ER sommets 0 0 0 1 0 0 1 est appel t tra dre r f rence Soit E l application affine effectuant une per mutation cyclique de la num rotation des sommets avec a NE E SE d 1411 4 d identit x 7 x 2 x Y x a 1 2 a y Z Z Y Z x 2 l x vez Notons la partie lin aire l application affine i 1 1 4 D signons par ns E j Le centre de gravit de face 1 et 6 1 1 1 4 A chaque sommet nous attachons trois vecteurs ru AV 1 0 0 ST 0 1 0 0 0 1 d PU A GER jJ 1 2 3 i 1 1 4 voir fig 4 1 1 Pour chaque face nous d finissons un vecteur parall le
51. variante II Soit 3 n W P o v 5 l interpolation globale sur 0 par une fonction de type l ment fini sur la n me mosa que Alors 1 il existe une constante c o c o p telle que pour v Q m 0 1 2 et n N I v v n n n m p a M I ii si p 13 et w alors Ve gt 0 iw tel que ev avec v w n our n gt N lw lt m 2 p Q D monstration i Nous utilisons les th or mes 9 3 et 9 4 Dans le cas lt v E Vaus YP K Cj jv k 1 Zn 3 c o h S _ k 1 p Vp k n A JYP A 3 m c o h C y n PR Q D 5 4 LA 180 Dans le cas 11 k 1 1 K lv IS max v Ha Vl k n lt max p 5 lt 1 1 lt SC v k 1 1 K Ken c o h 3 n 3 9 0 Soient 5 w P gt 0 donn s Etant donn que est un poly dre born et que lt C Q 2 est dense dans W 11 existe donc Wa C 9 tel que v 2 p Q th or me lim w w 0 n E nc il existe ainsi un tel que Vn gt N_ H w 5 n Posons prm H LAE nous aurons finalement lt Vn gt N wW ev et flv w n n n 2
52. x x 5 g Pour cet exemple E et 24 Comme x gt 0 dans xi x4 on peut affirmer que a gt 0 71 solution Fw w W et satisfait la contrainte lin aire pr cit e est w C V V Remarquons enfin que dans le cas particulier P constante gt 0 la contrainte peut s crire X X X X Gw A Fi 2 u 3 1 3 1 qui signifie que doit tre un polyn me de degr lt 1 32 3 1 6 3 ELEMENTS FINIS TRIANGULAIRES DE CLASSE 3 1 Introduction Dans paragraphe nous pr sentons la construction deux l ments finis triangulaires de classe ct neuf param tres Le premier l ment triangulaire poss de des fonctions de r f rence polynomiales par morceaux CLOUGH TOCHER 5 il ser vira construire la variante I de l l ment fini t tra drique Le deuxi me l ment triangulaire poss de des fonctions de r f rence rationnelles CHEUNG IRONS ZIENKIEWICZ 11 il servira construire la variante de l l ment fini t tra drique Nous aurions galement pu utiliser l l ment triangulaire quinze param tres de G BIRKHOFF L MANSFIELD 21 Mais il conduit une variante III de l l ment t tra drique qui ressemble beaucoup la variante et qui ferait double emploi avec celle ci Les l ments triangulaires de ce paragraphe seront appel s
53. 1 2 nous supposerons par la suite que 2 n n p e 15 e Comme on a seulement nous supposerons que m 0 1 ou 2 Th or me 9 1 3 d d signant une constante g n rique d pendant que de lt D A Dm det 2 lt E det 0171 D monstration Voir par exemple CIARLET 3 6 3 1 9 2 155 9 2 Erreur d interpolation pour Le triangle Nous consid rons maintenant l l ment fini triangulaire de classe c neuf param tres du paragraphe 3 voir 3 3 Pour un triangle T donn et une fonction v gt l nous notons I V V T l interpolant de v sur le triangle T Nous traitons les deux variantes simultan ment c est dire vi ou gt voir 3 7 D signons par h h T le diam tre de T et par p p T le diam tre du cercle inscrit dans T Th or me 9 2 Soient p e 1 gt 0 Alors il existe une constante c o telle que pour tous les triangles T avec 2 lt Oy Vve w P et pour m 0 1 2 v H v lt Iv m p T 3 D monstration Pour analyser l erreur v nous introduisons deux autres interpolations L l ment affine est l l ment sur T qui est affine qui valent l l ment de r f rence 3 5 notons U u m Ou l espace correspondant et I w P gt U l interpolation se lon les param tres affines
54. 1 tres de r f 3 ES ere G es param tres de r f rence son 1072117 ee r Aarbunrbuan ss 1643 voir 5 1 notons 192 Ed la base Lagrange correspon dante 168 9 4 Lemme 9 4 1 Dans l l ment de r f rence avec param tres libres B l l ment de la de Lagrange correspondant au param tre d est w 0 Q s 1343144 7 Hat 2 y 2 i 1 1 4 j 1 2 3 D monstration Nous avons vu dans 5 2 que la matrice d interpolation par rapport e d base est Cherchons la base de Lagrange 28 pes Y r us n 1 1 28 mn m m 1l VU D apr s 2 6 la matrice R est l inverse de e Ainsi Pour n 17 1 28 2 L l ment largi est d crit sous 5 3 Rappelons que l espace des fonctions est ru ru ny 5 9 4 169 o les param tres 5 B 6 1 6 1 6 8 5 sont d termin s par __ 1 les scalaires tant choisis tels que B S Bache S 1 i 1 1 4 les param tres de l l ment largi sont les 28 param tres g n riques See J 0 1 3 GE J 127375738 voir 5 1 La variante II est obtenue en rempla ant les param tres des contraintes lin aires dans l l ment largi voir 5 4 Lemme 9 4 2 5 0 6 stante c c ind pendante de S telle que pour i 1 1 4
55. 17 1 28 D monstration D apr s 5 2 a S _ v 2 Pi G4 S s EI Bi S ri 5 appartiennent 3 utilisant successivement le lemme 9 4 2 et le th or me 9 1 1 nous rons pour m 0 1 2 et q 1 gt 9 4 173 5 Pi ES T 1 1 1 zi us n q S FENE mas Im q s 153 s d e 3 4 i eh IFolm q p lee een 3 lt c o m p D une facon analogue on peut montrer qu il existe une constante g n rique c o ind pendante de S telle que pour n 17 1 28 3 q J h lt lt jm 5 P SS D monstration du th or me 9 4 Pour analyser l erreur d interpolation nous utiliserons trois autres interpolations L interpolation I est l interpolation au moyen de l l ment polynomial de r f rence 4 3 et de ses quivalents affines en particulier l espace des interpolants V est un sous espace lin aire des polyn mes de degr lt 3 sur le t tra dre S dim V 16 les param tres de Ze sont affines quivalents aux param tres de r f rence j 0 1 3 1 1 4 Pour des param tres libres B 02701 fix s ind pendem ment de S l interpolation est effectu e 1 famille des affines quivalents l l ment r f rence l espace des fonctions est
56. 2 0 Tiw Weg 5w Y Z 2 73 Ba 20 1 amp W DP RETURN m wa sa so gt am wo Que 08 un w 9 99 s un sa lt s s FUNCTION DWT11 TX TY TZ WT XT YT ZT C BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C w DERIVEE DU POLYNOME MORCEAUX WT 1 1 DANS LA DIRECTION C w TX TY TZ AU POINT XT YT ZT C WT EST INACTIF Y YT 1 7 IF X GEY Z GE Y GO TO 20 IF X GE Z AND Y 6E 2 GO TO Au C 1 XYZ X TY 2 Z X TZ 2 Y X RETURN MORCEAU 2 20 2 2 7 RETURN Cwww MORCEAU 5 30 DWT112Z TY Z TZ 2 Y 2 RETURN END Y 7727417 Qs FUNCTION 05710 TX TY TZ WT XT YT ZT C m mmmmmmmmmmmmmmmmm qm 96 e C BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE Cw ww DERIVEE DE LA FONCTION RATIONNELLE RT 1 U0 RESTREINTE AU C w MORCEAU 1 DANS LA DIRECTION TX TY TZ AU POINT XT YT 2T3 C w WT2z1 XT YT ZT C w NOUS SUPPOSONS QUE LE POINT XT YT ZT NE SOIT PAS SITUE SUR 136 8 3 Crau
57. CCIND 1 s0 5 C D1NOD NXCI 2 NY CI 2 NZ I 9 L C 1 0 1 1 2 NYC 2 2 4 CCIND 2 20 5w 1 1 3 1 5 2 1 3 1 01 00 1 3 NYCI 3 NZCYI 3 K C w CALCUL DES PARAMETRES C 29 A C 32 DJsD1NOD MX I MY I MZ I J C 0 1 MZ I K C 9 0 1 MYCI MZ ID L C C I 28 85 DJ DK DL 3 Chee CALCUL DES PARAMETRES C 33 A C 44 INDESwI 30 CCIND 3 4 D0DJ 0K DL 6 CCIND 1 2 DJ 4 DK DL 6 CCIND 2 2 DJ DK 4 DL 6 19 CONTINUE CALCUL DES COORDONNEES 5 4 T S 44 CALL FE2P44CC S RETURN END C FUNCTION FINT PX PY PZ S C s 92 1 99 q o 07 s Cww ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE DEGRE DEUX Cwwww 16 PARAMETRES Cw DONNEES TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE A L AIDE DE LA SUBROUTINE ELENG Cy 501 senar 5 44 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTER Ce POLATION DANS LA BASE D INTERPOLATION DE PPS L ELEMENT GENERIQUE ELARGI Cv PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE C SORTIE FINT VALEUR DE LA FONCTION D INTERPOLATION DE TUM COORDONNEES S AU POINT
58. CLASSE C1 DE DEGRE DEUX VX SORTIE DINOD VY V2 DIMENSION C 44 2 D1NODSVX C IND VY C IND 1 VZsC IND 2 RETURN END mmm up no wp o o o nn me o 97 ee C C SUBROUTINE FE2P16 C S E eeeemeeeeeeeenmergeeeeeeeememeegegeeeeeeeeeeeeeeeemeeeegemeeeeeeeeeemeeeee e em Crus ww w w C we w Cree w ve Ce Cr er Crus ELEMENT FINI GENERIQUE 16 RESOLUTION DU PROBLEME D INTERPOLATION DE CLASSE C1 DE DEGRE DEUX ENTREES BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE L AIDE DES SUBROUTINES ELEME ELEM ET ELEM2 C 1 seen 16 VALEURS DES PARAMETRES DE L ELEMENT SORTIE 501 5 44 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTERe POLATION DANS LA BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI LES MEMOIRES 17 weert C 44 SONT DES PLACES DE TRAVAIL REAL LL MX MY MZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 4 7 4 NX 4 3 NY 4 3 Nz 4 3 MX 4 MY 4 MZ 4 0 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 02 4 28 03 12 932 44 16 LL 3 3 IPERM S DIMENSION C44 8 44 DD 10 1 1 4 1 4 1 J 4 L3MOD K 4 1 CALCUL DES PARAMETRES 17 28 IND 3 I 14 CCIND 20 5 C D1NOD NX I 12 NYCT 1 7 1 1 K C 1 D1NOD NX I 1 NY 1 1 NZ 1 1 L C
59. ND dU W Bigla j 1 2 3 i 1 1 4 1 Ou u Eu H w W x L 1l y4 j y A P d LA Ww E J 1 2 3 1 1 4 Ces 44 param tres sont ordonn s comme suit hje H d 4 F2 Lu GK NO UJ ice m LA N H 11 12 gt LA Comme dans le lemme 4 1 montre que Wi ru Gate ea A H E H j 1 2 3 i 1 1 4 17 17 1 Les param tres g n riques d D finissons m E jJ 1 2 3 i 1 1 4 Aux 16 param tres g n riques de 4 1 nous ajoutons 28 param tres auxiliaires suivants 9 B CEL J 1 2 3 i 144 H w 3n C 1 1 1 4 1 is WD n w Bac j 1 2 3 i l 1 4 Ces 44 param tres sont ordonn s de la fa on suivante 43 Q ch tg m 74 6 2 6 2 El ment t tra drique de r f rence largi 44 param tres Probl me l ment fini de r f rence Nous cherchons un espace vectoriel de fonctions c cl 8 poss dant les propri t s suivantes 1 fonctions sont de classe c presque partout leurs d riv es partielles d ordre deux sont born es ii contient tous les polyn mes de degr lt 2 iii Les 44 param tres de voir 6 1 d finissent un probl me d interpolation U unisolvant 1 Les restrictions de u aux faces du
60. UNE DES CINQ ARETES DU MORCEAU 1 APPARTENANT AU BORD DU TETRAEDRE DATA EPS 0 5E 06 WaWT 2271 YMX EY X ZMX2Z2 X 1 2 Ant T s w T1 T2 T IF YMX GT EPS ZMX GT EPS GO TO 10 C SUR LA DROITE XsYsZ LA VALEUR ET LA DERIVEE DE C SONT NULLES 15 0 0 0 1 0 0 60 20 10 CONTINUE Cwww DANS LE RESTE DU MORCEAU 1 ON C VALEUR DERIVEE PLACEES DANS V1 DV1 3 X Wi DP 7 TOwX Vi Pw 3 1 m3 X 2 Y ZMX DV1893 DP Pf 3 T1 1 3 X 323 1 3 1 2 T2 T3 T1 Y ZMX CY ZMX VALEUR DERIVEE DE PLACEES DANS 2 0 2 P 56 2 0 3 1 Ve z YMX ZMXw P DV2z2as T2 T1 wZMX YMXw T3 T1 wP 2 6 1 2 0 1 C VALEUR DERIVEE DE PLACEES DANS V1 0 1 sZMX V2 13 71 2 ZMX Dv2 2 Yw W YMX Vi sP Q DV1 DP Bei T2 T392 T1 YMX ZMX T2 Y T2 T1 W YMX 92 0 YMXwV2 DP s T2 T1 V2 YMX DV2 Q s YMX ZMX Zw W ZMX V1 P Q DViaDv1 DP Pw T T3 2 T1 YMX ZMX T3 Z 1 0 3 712 8 2 33 0 20 CONTINUE C v VALEUR DERIVEE DE D PLACEES DANS v2 0V2 O YMXe ZMX V1 DP sTpw 2 YMX ZMX V1 Mel 2 72 73 2 719 0 1 H 1 5 4 2 V2 P Q w Pei w 3 wT1 1 3 wX T2 T3 T1 Y ZMX Q Cwwww DERIVEE DE 1 0 DST10zX
61. Une telle famille sera caract ris e par un l ment fini g n rique c est dire un l ment 5 0 5 5 o S e Y est un param tre libre D finition 2 Soient 5 0 5 V S un l ment fini g n rique solution Q un poly dre ouvert born dans R une mosa que t tra dres sur 0 l ensemble des sommets Diese e Bu nombres r els 1 1 donn s on fait correspondre une fonction Q gt R telle que V S pour m 1 1 et m uU RE SSC Se w A Ck 9 w A Cak Kk 14 L2 L ensemble W des fonctions w ainsi construites est appel espace de type l ment fini associ la mosa que D finition 3 La premi re partie de la propri t iv 2 cofncident sur 51 52 la cons quence suivante Vi et v pour toute mosa que de t tra dres sur un l espace de type l ment fini associ W est inclu dans c m On dit alors que l l ment fini g n rique S Q S V S est de classe c La propri t iv entra ne que pour toute mosa que de t tra dres sur SE l espace de type l ment fini associ est dans cta On dit alors que l l ment fini g n rique S Q S V S est de classe D finition 4 Soient 5 0 5 5 un l ment fini g n rique solution e EE une mosa que t tra dres sur Q l espace de type l ment fini associ
62. ZMX Q Cweww DERIVEE DE DST13 05713 2 2 2 TIwZMXeX T39T1 W F XwZMXw T0wF W DF RETURN END C FUNCTION 15 TX TY TZ WT XT YT ZT C mmm w Cwwww BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C DERIVEE DE LA FONCTION RATIONNELLE PAR MORCEAUX RT 1 3 DANS C LA DIRECTION TX TY TZ AU POINT XT YT ZT WMT 1 XT YT ZT DATA 06 YzYT 2527 IF X GE Z Y GE Z2 GO TO 300 IF X GT EPS LAND Y GT EPS Z GT EPS GO TO 50 C w DANS LES FACES 2 3 ET 4 ON A 8 RETURN 59 CONTINUE TisTX 2 T38TZ IF X GE Y Z GE Y GO TO 200 199 CONTINUE C we w 150 200 Chute 300 Cree x 139 MORCEAU 1 IF W GT EPS GO TO 159 DANS L INTERSECTION DU MORCEAU 1 ET DE LA FACE 1 DRT1384 w T1 T2 T3 wXw Z X RETURN CONTINUE DANS L INTERSECTION DU MORCEAU 1 ET DE L INTERIEUR DU TETRAEDRE 3 0 113 1 2 2 RETURN CONTINUE MORCEAU 2 Key V SCH CHeTi Ti T2 T28CH GO TO 100 CONTINUE MORCEAU 3 15 0 0 RETURN END m o en an wa us gt mR G ws
63. appeler les subroutines 1 1 21 X2 Y2 22 X3 Y3 23 X4 Y4 24 ELEM1 ELEM2 o X1 Y1 Z1 X2 Y2 22 X3 Y3 2Z3 X4 Y4 24 sont les sommets du t tra dre consid r Le cycle interm diaire porte sur les valeurs desparam tres Chaque fois que l on consid re une nouvelle fonction d interpo 128 8 2 lation doit appeler la subroutine FE2P16 C S o et 5 sont d clar s en dimension 44 et 44 l entr e 1 16 contiennent les valeurs des param tres de l l ment dans l ordre suivant 1 1 71 a 1 1 21 WOXI Yls Z2L 9 1 1 21 v X2 Y2 22 4 4 24 la sortie 5 1 5 44 contiennent les coefficients fonction d interpolation correspondante v y par rapport la base 4 2 e Haal de U voir 8 1 2 Le cycle int rieur porte sur les points du t tra dre Chaque fois que l on veut valuer la fonction un point PX PY PZ du t tra dre on appelle la fonction FINT PX PY PZ2 S Chaque fois que l on d sire calculer la d riv e de v dans 1 direction TX TY TZ au point PX PY PZ on appelle La fonction DFINT TX TY TZ 2 5 Remarque Une partie des communications entre les sous programmes se fait au moyen d un bloc commun nomm TETRAS Ce bloc commun ne d pend 8 2 1 29 que du t tra dre consid r Il est initialis par les subroutines ELEM ELEMI et ELEM2 Il est utilis p
64. bloc commun ne d initialis par les sub Il est utilis par cartes imprim es 8 3 131 e e e e e e ee de de e e eH de ede e de ode e e de e e e e e e e ee e e Ve e de e de e e Ye Se Ye d CC st sir e eee eee de eode de de e de debe ede ede Ve e e e e de de e e e de e e e de de e de e e e e e ee e de e de ede CC i e de e e de dee de hee e e e de de e de he ede e e e e e e de de de d de de de de e de de de e de e de ded dede dd d ER Cr e Cru Crus Crus Cr e Cr Cr Cru Cr Cr ELEMENT FINI TETRAEDRIQAQUE DE CLASSE C1 DE DEGRE DEUX SEIZE PARAMETRES VARIANTE Let MARCEL DELEZE INST DE MATH UNIVERSITE 1700 FRIBOURG FEVRIER 1978 SWITZERLAND ttot tr LEZ EL AAA run ede eo e de o dde dee de de e ee dee ee eee e dede de Ve Ye e e e e de e e C i e de e e echec ode e ded e e e dee ode e de e e de e he de de de de d dd ed e oe e d de de de d e 40 C Les programmes ont t num ris s sous la forme de fichiers textes h
65. f u non parall le la face 1 de 5 c est dire Pix S Piz 0 5 2 El ment pseudo r f rence largi 28 param tres Nous allons construire un l ment fini sur le t tra dre de r f rence dont l espace des fonctions d pend du t tra dre g n rique consid r Il ne poss de donc pas un espace r f rence au sens de 1 3 C est pourquoi nous l appellerons l ment de pseudo r f rence Nous observerons post riori que la variante II se laisse exprimer l aide de 52 fonctions de r f rence voir 5 4 th or me 2 Nous n avons pas d velopp ce point de vue La variante I C nous fournit un l ment de r f rence plus int ressant puisqu il ne comporte que 44 fonctions de r f rence Probl me l ment fini de pseudo r f rence Soit 5 un t tra dre g n rique donn de directions normales d plac es n V m 1 1 1 4 Nous cherchons un espace vectoriel de fonctions 8 poss dant les propri t s suivantes i Les fonctions de sont de classe presque partout leurs d riv es partielles d ordre deux sont born es ii contient tous les polyn mes degr lt 2 111 Les 28 param tres de voir 5 1 d finissent un probl me d interpolation U unisolvant iv Les restrictions u aux faces du t tra dre consi d r es comme fonctions de deux variables sont des fonc tions rationnelles de type p voir 3 6 La restriction D
66. interpola tion on doit appeler la subroutine 2 16 C S o et 5 sont d clar s en dimension C 28 et S 28 l entr e 102 1 16 contiennent les valeurs des param tres l l ment dans l ordre suivant 1 21 d 1 1 21 9 v XLl Y1 Z21 9 1 1 71 2 2 42 9 v X4 Y4 24 A la sortie S 1 9 28 contiennent les coefficients de fonction d interpolation correspondante v V par rapport la base de U voir 7 1 2 Le cycle int rieur porte sur les points du t tra dre Chaque fois que l on veut valuer 1 fonction v en un point PX PY PZ du t tra dre on appelle la fonction FINT PX PY PZ S Chaque fois que l on d sire calculer d riv e de v dans la direction TX TY TZ au point PX PY PZ on appelle La fonction DFINT TX TY TZ PX PY P2 S Remarque Une partie des communications entre les sous programmes se fait au moyen d un bloc commun nomm TETRAS Ce bloc commun ne d pend que du t tra dre consid r Il est initialis par les subroutines et ELEM2 Il est utilis par 2 16 FINT et DFINT 742 103 7 2 3 La base d Hermite Ce calcul est organis selon deux cycles imbriqu s Le cycle ext rieur porte sur les t tra dres Chaque fois que l on consid re un nouveau t tra dre on doit appeler les subroutines 1 1 71 2 2 72 3 3 73 4 4 74
67. les paragraphes 2 6 La construction des deux variantes comporte des parties communes le paragraphe 2 rassemble certains aspects de la construction qui rel vent de l alg bre lin aire le paragraphe 3 construit les l ments finis triangulaires de classe ct qui correspondront plus tard aux faces du t tra dre le paragraphe 4 construit seize poly n mes de degr lt 3 qui sont des fonctions de r f rence communes aux deux variantes D s lors la construction se ramifie le para graphe 5 ach ve la construction de la variante II le paragraphe 6 ach ve la construction de la variante I C La deuxi me partie de l expos est consacr e aux programmes FORTRAN paragraphes 7 et 8 Pour chaque variante le programme peut r soudre le probl me d interpolation 1 2 iii et peut d terminer la base d Hermite de V Chaque programme est pr c d d un mode d emploi Il est possible d aborder directement la lec ture de cette partie et d utiliser les programmes sans avoir pr alablement tudi la construction 18 1 4 La troisi me partie analyse l ordre l erreur d inter polation paragraphe 9 Nous montrerons que l ments finis satisfont aux majorations usuelles pour des l ments de degr deux L expos s ach ve par des remarques sur l int gration num rique au moyen de tableaux de r f rence paragraphe 10 1 4 Application l quation biharmonique Soit le probl me de la dynamique des fluide
68. matrices diagonales 12x12 D est diagonale 4x4 est une matrice 12x16 Q est une matrice 4x28 et Q 3 est une matrice 12x32 Construction voir 6 3 Programme initialisation de D D 1 7 voir ELEM1 initialisation de Q 9 0 voir ELEM2 r solution de voir FE2P44 8 1 3 L l ment fini variante La solution vi est un sous espace lin aire de dimension l6 de U ies i TEE l6 28 A l aide d une application lin aire Ej TR 18 nous d finissons 8 1 125 C 1 v edyan 1 e m Qv E image I zj 16 16 o 0 IR 0 Bi Construction voir 2 8 et 6 4 Le probl me d interpolation 1 2 111 Pour 16 nombres r els donn s trouver v vi tel que 16 1 1 1 4 La solution s exprime dans la base de U Les coefficients 5 5 sont obtenus en r solvant syst me 44 d 11 quations 1in aires C Ej C Programme calcul de s voir FE2P16 valuation de v voir FINT valuation des d riv es directionnelles de v voir DFINT La base d Hermite La base d Hermite de yt S TR 1 1 16 est d finie par les relations Vi e 126 8 2 Va Au 6 9 Il E ere 9 Va ua j 1 1 4 1 1 1 16 Ces fonctions s expriment dans la base U 44 We 02 16 54 j gi t ol Sg ei Programme ini
69. me famille affine sont appel s affines quivalents 9 1 153 L interpolation par une famille affine d l ments est d finie sur chaque K L K par r s er U vi D F v Wat Th or me 9 1 1 Soient p 1 et m N Il existe une constante c m n d ind pendante de telle que V v wr P v L lm yp VoL Im p K lt cll det IV Ip E d signe la norme spectrale D monstration Voir CIARLET 3 Theorem 3 1 2 Th or me 9 1 2 Consid rons une famille affine d l ments comme dans la d fini tion Soit s l ordre le plus lev des d riv es partielles inter venant dans les param tres de r f rence Nous supposons que tous les polyn mes de degr lt k soient contenus dans l espace de r f rence et que les nombres m IN p q 1 9 soient tels que C a R l on ait les inclusions Sea aa n PIR c CS P O c wd Alors il existe une constante c c m p q ind pendante de K k 1 telle que Vv ew k 1 _ v lt c det 4 4 n a m q K p V x41 p K o h diam K sup diam B B est une boule dans 154 941 D monstration Voir CIARLET 3 Theorem 3 1 4 Pour satisfaire les deux inclusions continues conditions Suivantes sont suffisantes Les l ments de r f rence consid r s dans ce travail satisfont 2 ou 3
70. reste born dans 0 On obtient des r sultats analogues pour SC m v et d V D finition 7 Soit un poly dre ouvert born dans R Nous appelons mosa que de t tra dres une d composition de un nombre fini de t tra dres ferm s S r r Sy satisfaisant ii pour 2 m s N S a est soit vide soit un sommet commun 5 et S SOit une ar te commune 5 S Soit une face commune S et S m D finition 8 Soient RQ un ouvert de R T un sous espace affine de R de dimension m avec V et 1 lt m lt n v Q IR une fonction continue Nous dirons que consid r comme une fonction de m variables est un polyn me de degr lt ou bien que est un polyn me de degr lt m variables si et seulement si pour une param trisation affine p R T la fonction ve p d finie sur pt TH R est un polyn me de degr lt k Notation n 1 Soient Q ouvert dans v C R A Q et Nous uti liserons la notation suivante v A Dv A c est dire Es V A 51 de Gu Zb di 1 2 du probl me l ment fini Soit S un t tra dre ferm d g n r de sommets dans R Nous cherchons un espace lin aire 145779 V S C ct 8 poss dant les propri t s suivantes i fonctions de V sont de classe c presque partout leur
71. u 2 9 4 H 9 20 22 S 2 INTERPOLATION LINEAIRE ABSTRAITE Nous d gageons ici certains aspects de l interpolation lin aire qui rel vent de l alg bre lin aire 2 1 Probl me d interpolation lin aire param tres soit W un espace vectoriel r el On appelle probl me d in terpolation lin aire abstrait une application lin aire Q W R Les composantes QO de sont des formes lin aires appel es param tres du probl me d interpolation Q Tout l ment fini comporte un probl me d interpolation 2 2 Probl me d interpolation unisolvant soit V un sous espace lin aire de Un probl me d inter polation lin aire Q W R est dit V unisolvant lorsque pour tout c e m il existe un et un seul v V tel que Qv En d autres termes la restriction de Q V est un isomorphisme d espaces vectoriels Les param tres 01 0 constituent une base du dual de V Exemple Soient A A ER 2 S l intervalle ferm d extr mit s AjrA iw S gt R polyn me de degr lt 3 W Ai 4 SS Os W TR w A Nous montrerons sous 2 3 que probl me est W unisolvant 4 zc lt c est dire pour R donn il existe un et un seul poly n me de degr lt 3 tel que c 2 3 Base d interpolation matrice d interpolation Soit gt R un probl me d interpolation lin aire tout
72. voir FE2P28 7 1 3 L l ment fini variante solution est un sous espace lin aire de dimension 16 de U l aide d une application lin aire RI qt nous d fi 1 1155015 ER Ae degt we Ei image I si zi 16 ou Q IR U Ej Construction voir 2 8 et 5 4 Le probl me d interpolation 1 2 111 Pour 16 nombres r els donn s c trouver v V H tel que VOU euius d c EE Ge 1 1 1 4 La solution s exprime dans base U 28 S u i J J J Les coefficients e EE sont obtenus r solvant le syst me 28 d quations lin aires Programme calcul de s voir FE2P16 valuation de v voir FINT valuation des d riv es directionnelles de v voir DFINT La base d Hermite La base d Hermite de 21 t S gt MR 1 1 16 est d finie les relations V e o Vi 0 a dx Vi US 35 v4 A4 8 44 1 m a j 1 1 4 1 1 16 100 7 2 Ces fonctions s expriment dans la base U 28 V jh tji 1 1 1 16 I o t T e E el Programme initialisation voir ELEM3 valuation de V r 1 1 1 16 voir HERM valuation des d riv es direction nelles de 7 1 l 1 16 voir DHERM 7 2 Mode d emploi du programme 7 2 1 Les subroutines DECOMP et SOLVE Le programme 7 3 doit tre compl t l aide des deux subrou tines suivant
73. 0 11 et d finition Soit un espace de r f rence de l l ment fini g n rique 5 0 5 5 Alors v V S peut se mettre sous la forme d une combinaison lin aire d v f S 1 91 E 2 U QW aee lue o us est un syst me g n rateur de fix ind pendamment de S Les fonctions sent 1 sont alors appel es fonctions de r f rence de l l ment g n rique Les solutions du probl me l ment fini Nous avons construit deux l ments finis g n riques 5 0 5 S variante 1 S Q S V S variante TI qui sont solutions du probl me l ment fini 1 2 La variante I C s exprime avec 44 fonctions de r f rence voir 8 6 Ce sont 16 polyn mes de degr lt 3 12 polyn mes par morceaux de degr lt 3 et 16 fonctions rationnelles par morceaux voir 6 2 Un espace de r f rence n appara t pas imm diatement lors de 1 construction de la variante II voir 6 5 Un l ment v vil s s exprime sous la forme 28 v 1 9 p 1 1 J J sont des polyn mes de degr lt 3 ind pendants de 5 et AT E sont des fonctions rationnelles qui d pendent encore de 5 Nous montrerons que la variante II se laisse expri mer avec 52 fonctions de r f rence voir 5 4 th or me 2 Plan de l expos La premi re partie de l expos est consacr e la construc tion des l ments finis Elle comprend
74. 1 DO 60 1 32 03 1 0 01 60 CONTINUE 2 4 1 6 PY z Y J Y K 4 Y L 6 PZ Z J Z K 4 Z L 6 CALL 0044 32 1 2 12 2 0 00 70 1 32 Q3 IND M sDU M 70 CONTINUE 80 CONTINUE RETURN weu lt ss s C SUBROUTINE FE2P44 C S C mmm mmm om rM lt s s s 9 s w ELEMENT GENERIQUE ELARGI RESOLUTION DU PROBLEME O INTERPOLATION Lesen ENTREES 3 TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT TIT INITIALISE A L AIDE DES SUBROUTINES ELEME Cra ELEMI ET ELEM2 1 sse 44 VALEURS DES PARAMETRES DE L ELEMENT Cwwww SORTIE S 1 5 44 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTERe POLATION DANS LA D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI Crew METHODE RESOLUTION DU SYSTEME LINEAIRE Q SsC REAL LL MX MY MZ NZ COMMON TETRAS X 4 YCA ZCA 1 NX 4 3 NY 4 3 NZ 4 3 4 4 MZ 4 2 D 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 02 4 28 03 12 32 3 7 44 16 3 3 3 D
75. 2 2 0 Nous posons x 1 z 2 c yz 2 1 2 2 2 2 e 90 6 2 4 6 2 4 Bloc 4 fonctions de r f rence num ros 33 44 d d Nous cherchons une fonction 8 poss dant les propri t s suivantes d 2 ET i est de classe presque partout ses d riv es tielles d ordre deux sont born es d d 11 restrictions de aux quatre faces S sont nulles nu iii La restriction de la d riv e normale de Cu 1 1 est un polyn me degr lt 2 par morceaux satisfaisant u PU u r ysi See y J gt D E 3 0 les restrictions des gradients de gt aux faces 2 3 et 4 sont nuls Une telle fonction nous permet de construire les douze fonctions d interpolation restantes av Av ri X y z C 3 y 2 x rio y 2 7 ri4 z x y y oQ 429 3144 11 11 j 1 2 3 1 1 4 Avec ce choix la matrice d interpolation prend la forme finale av Construction de Nous cherchons une fonction rationnelle par morceaux poss dant les sym tries suivantes I x z r v 2 13183 1376 T A r y 0 13 5 VU Pour obtenir la classe 8 nous exigeons que 9 9 r 0 y x 1315 d v 0 1354 2 0 n 9 3 y 102 Z X 13151 Il suffit de construire d
76. 2 i j 1 1 16 k 1 Cette formule pr sente l inconv nient de requ rir 256 valua tion de P pour chaque l ment 136K lorsque P u v est sym trique 10 2 Tableaux de r f rence Nous traitons maintenant le cas particulier vi variante I C et a IR coefficients constants par l ment a Pour calculer il suffit de calculer les tableaux d int grales aB _ a B ay u v 1 1 44 o b u HV d H V et 0220464041 sont les fonctions de r f rence voir 6 2 En effet 44 44 a V t t a u u Vi j D D vj u a u ru asa au H lt 2 6 lt 2 S 2 rou afu Ea sd uu e S u 10 2 183 u 7 pa 5 c a SECH 5 visit 16 18 E e f a u jer Y 1 P det L F cB vi Y HV 1619181 tableaux peu avec iet 8 j sont appel s tableaux de r f rence d ordre i j En tenant compte de la relation 9 8 _ Ba T uv vu RP 5 R le nombre de tableaux consid rer est au plus de 55 Pour l exemple 1 4 seuls les tableaux d ordre 2 2 apparaissent et le nombre de tableaux consid rer tombe 21 Remarque Les fonctions de r f rence 1 1 28 sont des polyn mes 2 av de degr lt 3 par morceaux Par suite les int grands 9 u 93 u Des for mules quadrature simples permetten
77. 2 soient des fonctions rationnelles poss dant les sym tries suivantes Tony er 1018 X Y 2 EIS 2 v 24992 sche MEE LE 3 1 Pour obtenir la classe ch nous exigeons que Pond F U 05759 J ES 4 V gt 0 y x 710 5 y x 0 Il suffit de construire r AG d 1015 n Pour le S nous partons de la fonction 2 Premi re correction la fonction nous ajoutons 2 2 _ 1 x y z 2 2 DIX y z 2 1 yrz x de telle que 9 8 72 a b 0 ytz 2x 0 Deuxi me correction la fonction atb nous ajoutons c de telle fa on que l 9 9 a b c 0 0 Dans le calcul Sa mettons en vidence le facteur y z 2x nous obtenons 1 2 2 2 2 2 O Y x y Z2 7 1 3xj y z x 8x 29 22 5 3 2 1 2 RECH y z x 1 Nous posons 2 2 2 x y z CAZ 1 2 i y 1 2x z y z 2x 2 Troisi me correction la fonction atb c nous ajoutons de telle fa on que 2 d 3 atb c c 0 2 0 et que fonction de r f rence r D c 0e 0 1 2 soit sym trique y et 2 Nous tirons des calculs de deuxi me correction que Y x y 2 2 et 9 9 2 0 1 2 2 2
78. 31 2 l ensemble des sommets S 309 On d finit l interpolation globale 1 T C RQ gt W par T f o w est la fonction type l ment fini satis faisant F AL ac w A f A gd 9 w A 1 1 K rh Se w A Proposition Soient 5 0 5 5 un l ment fini g n rique solution Dieser Du une mosa que t tra dres sur 0 l espace type l ment fini associ Les inclusions 2 5 H 5 1 1 1 C 0 entrainent que i W lt 9 _ 2 1 11 w 0 c H WVA H Q _ w 2 111 w W lo 0 c H 8 d signant la d riv e normale au bord du poly dre 0 D monstration Cette proposition est un cas particulier d un th or me connu Voir par exemple CIARLET 3 Theorem 2 1 2 N 1 3 Les solutions du probl me l ment fini D finition Soit S Q S V S un l ment fini g n rique solution du probl me l ment fini 1 2 Soit le t tra dre de r f rence de sommets ar 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Soit L S l application affine d finie par i 1 1 4 Nous appelons espace de r f rence de l l ment fini g n rique tout sous espace lin aire c cl 5 de dimension finie tel que pour tout 5 V S Her
79. 314 4 3 a S 1 9 d 1 o e Di E TCR p id MON ij T 134314j m l q lt P gt 5 v O i Ar Iv 1 vl us lt ch v I v 1 9 6 4 2o os gl glt 3 P 3 p S Avec d 0 m 0 1 2 q 1 7 d apr s le lemme 9 4 3 3 q 5 1 he em oL m q S lt c o e pour 17 1 28 Ainsi pour m 0 1 2 q 1 e gt P s h S et S lt 0 5 S 4 3 q IT v v set E 5 m q S 1 3 3 5 3 m D ts VIm p s lt c o h IVl3 p s 176 9 4 Troisi me terme On a m v Ai 0 0 g V a s Y 719 i 1 1 4 la s Y v est un l ment de que nous exprimons au moyen de la base de Lagrange 4 Luet Ho v 5 1 n i 1 4 1 ij Ti 1343143 P a s T 19 VY Bip P Comme les restrictions de la S v aux ar tes de S sont Q des polyn mes de degr lt 3 par rapport l abscisse curviligne le long des ar tes 11 s ensuit que H v s annule le 5 Q long des ar tes Par suite lt L gt G II T v 5 o 17 als Q ub ue 143 7733 ag ag o V Flit i l 3 1 4 3 fo _ S E ah D Poulet Pisas P Nous utilisons les majorations obtenues pour le premier et Le deuxi me terme avec m 1 et p gt 2 2 Gia UL gj V v lt
80. 7 3 C w SORTIE 5 FINT VALEUR DE LA FONCTION D INTERPOLATION DE COORDONNEES S AU POINT PX PY PZ DIMENSION 9 28 5 28 CALL U28 28 PX PY PZ U DO 10 1 28 VsVeSCI UCI 10 CONTINUE FINTsV RETURN END s FUNCTION DFINT VX VY VZ 2 S C us mn s m mmm mmm UP WM UE Q Q sn RUE s u 50 Wm om ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE C1 DEGRE DEUX C v A 16 PARAMETRES Cwwww DONNEES 2 TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE A L AIDE DE LA SUBROUTINE ELENG S 1 ese S 28 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTER WITT POLATION DANS LA D INTERPOLATION DE Cu L ELEMENT GENERIQUE ELARGI Cris VY VZ UN VECTEUR Ce PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE C w SORTIE DERIVEE DE LA FONCTION D INTERPOLATION DE Casse COORDONNEES DANS LA DIRECTION VY VZ C w www POINT 7 DIMENSION DU 28 5 28 CALL DURB 28 VX VY VZ PX PY PZ DU UV Sg Q DO 10 1 1 28 DVsDV SCI wDULCI 10 CONTINUE UF INTzDV RETURN END C we an a wa un an sn sn wa qp s s Em WU G m UR Ap SUBROUTINE C VC o om Cwwws ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE C1 DE
81. 8 u OR sm FONCTIONS NUMERO 33 44 SUBROUTINE ELENG 1 1 71 X2 Y2 22 X3 Y3 23 4 4 24 C C ELEMENT GENERIQUE ELARGI C w INITIALISATIONS RELATIVES AU TETRAEDRE GENERIQUE Dress ENTR ES X1 Y1 21 X2 Y2 22 X3 Y3 23 X4 Y4 24 SOMMETS DU GENERIQUE Lasep SORTIES 3 BLOC COMMUN PAR LEQUEL FONT LES SORTIES LL PARTIE LINEAIRE L APPLICATION L FACTORISEE SELON LA METHODE DE GAUSS Crus IPERM VECTEUR CONTENANT LA NOUVELLE NUMEROTATION DES LIGNES DE LL CONSECUTIVE AU CHOIX DES PIVOTS 1 VECTEUR NORMAL LA I EME FACE DU TETRAEDRE 1 1 1 4 Cra NXCI SJ NYCI J NZCI J Je1 2 3 VECTEURS PARAL Geseit LELES LA FACE NORMAUX AUX ARETES Du Cure TETRAEDRE I21 1 4 REAL LL MX MY MZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 4 7 4 NX 4 3 NYCA4 3 NZ 4 3 4 4 2 43 2 0 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 42 4 28 03 12 32 44 16 LLC S3 3 IPERM 3 DIMENSION AUX 3 X 1 2X1 Y 1 Y1 Z 1 221 2 2 2 2 2 2 72 K 3 5 3 Y 5 3 3 223 4 4 Y 4 4 7 4 24 PARTIE LINEAIRE DE L APPLICATION AFFINE L LL 1 1l X 2 X 1 LLC2 1 9Y C2 1 LL 3 1 Z 2 Z 1 LL 1 2 3 1 ww w w LL 2 2
82. BROUTINE ELEMI C mr oo Pp C ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE C1 DE DEGRE DEUX Cw ww A 16 PARAMETRES C w BASE D HERMITE INITIALISATION DE LA MATRICE T REAL LL MX MY MZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 4 2 4 1 4 3 4 3 57 4 3 4 4 2 4 2 0 4 5 5 05 12 06 4 07 12 01 12 16 02 4 28 803 12 32 d 7 44 16 LL S 3 IPERM 3 DIMENSION 44 S 44 DATA C 44 x0 0 DO 20 151 16 CALCUL DES COORDONNEES T 1 I or T 44 1 DU ELEMENT IIT DE LA BASE D HERMITE PAR RAPPORT A LA BASE D INTERPOLATION Cw DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI CC I 851 0 CALL 2 16 5 19 4 1 44 7 4 1 45 7 10 CONTINUE 0 0 28 CONTINUE RETURN END mm o 00 o ve op Y TTT o o GM o 00 98 ep OMM ee o en o 1111177711111144 1 C SUBROUTINE HERM PX PY PZ V C Che Cte C w w w Ce Cen Cie Cw ELEMENT FINI GENERIQUE 16 PARAMETRES DE CLASSE Ci DEGRE DEUX BASE D ERMITE ENTREES 3 TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE L AIDE DES SUBROUTINES ELENG 1 ELEM2 ELEM3 PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE SORTIE 5 VCL 16 VALEURS DES 16 FONCTIONS DE LA BASE D HERMITE AU POINT PX PY PZ REAL LL MX MY MZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 4 2 4 4 3 4 3 7 4 3 MX 4 M
83. Bi pelle eh 9 2 157 Par le th or me 9 1 2 pour p gt 1 G T lt c lv Vii T h SS gt elen Par le th or me 9 1 1 pour i 1 2 3 2 1 SA Poun moit 2 lt h 5 m p Finalement 4 2 In v I vl SA KE Q m p T 1 2 3 3 lt h M IN Troisi me terme est un l ment de U que nous exprimons l aide Q des param tres et de la base de l l ment affine Puisque v Il v 0 grad v v A1 0 1 1 2 3 a 1 H v l v do v Il v Bi Tara L 3 9 tma Comme v est un polyn me de degr lt 3 par rapport l abscisse curviligne le long des c t s de T v est Q nul le long des c t s Par suite Ea DUE Sp Q l Lo n lt R N n gt 9 Il v B 1 i 9 m I Cl G KA 35 V Gi Ho v Toi 158 o Par d finition de v voir 3 7 nous avons Dir G Ilo v e Phe tn de i j k d signe une permutation cyclique des nombres 1 2 3 Pour gt 1 notons l interpolation lin aire sur le triangle T avec les param tres W Ai w w A Ainsi G IQ v Le i Nous utilisons le th or me 9 1 2 pour Ho avec n 2
84. C C j e r p 1 3 0 d signant une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 Au moyen d une transformation affine nous utilisons le ee x u fU fy fy V V lemme pr c dent sur chaque t tra dre C e 5 7 VU Q E Ze Ay Q C nous concluons que h est un poly de degr lt 2 i 1 1 4 Par suite d riv e normale de f restreinte une face et consid r e comme une fonction de deux variables est un poly n me de degr lt 2 Par les hypoth ses et cette d riv e male s annule le long des trois ar tes de la face Ainsi la d riv e normale restreinte la face est nulle En tenant compte de l hypoth se c le gradient de f est nul sur le bord de S Corollaire S d A Les fonctions de r f rence Can CA ne peuvent tre av choisies dans Il Th or me d y Soit U une solution du probl me l ment fini 6 2 Alors U n est d inclu dans Il D monstration n Supposons par l absurde que la condition 111 du bl me l ment fini 6 2 il existe E tel que U HG CH 2 les 43 autres param tres de f tant nuls l d Soit une face de S D apr s condition iv du probl me fy l ment fini 6 2 la restriction r appartient l espace UT T 1 d d fini sous 3 6 Comme git est nul l
85. CALL SOLVE 3 3 LL GEN REF IPERM XTSREF 1 2 ZTSREF 3 IF XT GT EPS 6 5 AND 2 6 5 AND 1 L XT YT ZT GT EPS GO 28 Cw LE POINT 2 EST L EXTERIEUR DU TETRAEDRE GENERIQUE IF NERR LT 19 PRINT 10 10 FORMAT 1UX 40Hww ERROR MESSAGE CALLED FROM 144 wxw 10 1 33H THE POINT IS OUTSIDE THE ELEMENT 20 CONTINUE C weww VALEURS DES FONCTIONS DE BASE CALL UTAACNFCT XT YT ZT U RETURN END CET ETT ne SUBROUTINE DU 4 4 NFCT VX VY VZ 2 DU C mm mmm mmmmmmmmmmmm mm MA om IP I me Cwwww BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIGUE ELARGI C ENTREES TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE L AIDE DE LA SUBROUTINE ELEMA Curwx NFCT PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 28 32 DU 44 VY VZ UN VECTEUR Cursus PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE C SORTIE 0001 waan DUCNFCT DERIVEES DES PREMIERES Crew FONCTIONS DE BASE DANS LA DIRECTION 2 AU POINT PX PY PZ REAL LL MX MY MZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 7 42 2 4 1 NX 4 3 NY 4 3 NZ 4 3 4 4 2 43 2 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 02 4 28 03 12 32 5 7 44 16 LLC3 3 3 DIMENSION DU 44 G
86. CATION L LL 1 1 2 1 LL 2 1 57 2 1 LL 3 1 2 2 2 1 LLC1 2 3 1 LL 2 2 Y 3 Y 1 LL 3 2 8Z 3 Z 1 LL 1 3 8m8X 4 X 1 LLC2 3 2Y 4 Y 1 LL 3 3 Z 4 Z 1 CALL DECOMP 3 3 LL GEN IPERM DET VOL ABS DET 6 EST LE VOLUME DU TETRAEDRE SI LE TETRAEDRE EST DEGENERE VOLz0 LA SUBROUTINE DECOMP IMPRIME UN MESSAGE D ERREUR 00 69 1 1 4 JsMOD I 4 1 KsMOD 4 1 5 4 1 VECTEUR NORMAL FACE PLACE DANS GEN GEN 1 z Y K Y J Z L Z J Z K Z J Y L Y J GEN 2 Z K Z J X L X J X K X J Z L Z J GEN 3 X K X J Y L Y J Y K Y J X L X J VECTEURS PARALLELES LA FACE ET NORMAUX AUX ARETES NX 1 1 GEN 2 w Z L Z K GEN 3 Y L Y K NY 1 1 GEN 39 w X L X K GEN 1 Z L Z K NZ 1 1 GEN 1 Y L Y K GEN 2 w X L X K SszsSQRT NX I 1 w 2O NY 1 1 w2 NZ 1 2 NX I 1 8NX I 1 8 NYCI 1 8NY I 1 8 2 1 1 2 1 1 5 1 2 2 2 3 2 1 3 Y CLO 1 2 3 X L2 1 2 ZCL2 7 3 111 2 1 2 1 CJ Y LI 2 X CJ X CL 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 NXCI 9 5NX I 2 8 2 1 2 8 2 1 2 2 1 2 1 5 2 2 7 1 3 CY CK Y CJ2 NYCI 9 3 CX K
87. DEGRE DEUX Cwwwsr 16 PARAMETRES Cwww D HERMITE INITIALISATION DE LA MATRICE REAL LL MUX MUY MUZ NZ COMMON TETRAS 4 4 2 4 1 NX 4 3 4 3 NZ 4 3 MUX 4 MUY A 4 2 4 2 0 4 3 3 05 12 91 12 16 28 16 LL 3 3 IPERM 3 DIMENSION C 28 5 28 DATA C 28 0 0 DO 39 1 16 CALCUL DES COEFFICIENTS 1 1 28 1 DU I EME ELEMENT Cn DE LA BASE D HERMITE PAR RAPPORT A LA BASE D INTERPOLATION DE TP L ELEMENT GENERIQUE ELARGI C I 51 0 CALL FE2P16 C S DO 20 4251 28 1 5 4 20 CONTINUE 7 3 117 0 0 AN CONTINUE RETURN END TTT TTT TTT L SUBROUTINE HERM PX PY PZ V C mm Cwwww ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE DE DEGRE DEUX C A 16 PARAMETRES Cwwww BASE D HERMITE Cwwww ENTREES TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT Cw INITIALISE L AIDE DES SUBROUTINES C ELEM1 ELEM2 ELEM3 Crus PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE SORTIES 2 V 1 sse V 16 VALEURS DES 16 FONCTIONS DE LA BASE D HERMITE AU POINT PX PZ REAL LL MUX MUY MUZ NZ COMMON TETRAS 4 4 2 4 1 4 3 4 35 7 4 3 MUX 4 MUY 4 MUZ 4 e 0 4 3 3 05 12 81 12 18 28 16 LL S 3 IPERM 3 DIMENSION V 18 U 28 CALL U28 28 PX PY PZ U DO 20 151 16 SUM
88. EDRE GENERIQUE IF NERR LT 18 PRINT 10 10 FORMAT 10X 40H ERROR MESSAGE CALLED FROM 0128 10X 1 33H THE POINT IS OUTSIDE THE ELEMENT NERRSNERR 1 20 CONTINUE C DERIVEES DES FONCTIONS DE BASE CALL DUT28 NFCT Tx TY TZ XT YT 2 DU fes RETURN END C SUBROUTINE ELEMI C MATRICE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI C INITIALISATION DE L INVERSE DES BLOCS DIAGONAUX DE LA MATRICE Q REAL LL MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS 4 7 4 2 4 N gt N gt 7 3 113 NXC4 3 NY 4 3 NZ 4 3 4 MUY 4 4 MUZ 4 0 4 3 3 05 12 01 12 16 7 28 16 LLCS 3 IPERMQ3 DO 10 1 4 00 1 4 1 KsMOD J 4 10 L 3HOD K 4 INITIALISATION DE 01 02 03 OU 04 D 1 1 1 X J X I D 1 1 2 Y J Y 1I 0 1 1 3 5201 72 0 1 2 1 1 1 2 2 OCI 2 3 22 2 0 1 3 1 1 3 2 0 1 953 52 72 1 INITIALISATION DE 05 INDa3 I92 05 sNX I 1 2 X CJ XCK X CLO eNY I 1 2 Y CJ Y CK YCLO NZCI 1 2 2C J 2 Z L2 D5 IND 1 8NX I 2 2 X CK X LO eXCJ2 NYCI 2 2 Y K Y CL YCJ NZ 1 9 2 Z K 2CL29Z2 J 0 05 140 2 1 3 2 X L X CJ eh K NYC I 3 2 Y CJ YCK 7 1 3 2 2 2 7 2 14 CONTINUE RETURN
89. EN 3 3 DATA EPS 1 E 03 GEN 1 sVX GEN 2 sVY 3 CALL SOLVE S 3 LL GEN REF IPERM 1 TYsREF 2 2 3 GEN 1 PX X 1 GEN 2 z3PY Y 1 3 2 2 1 CALL SOLVE 3 3 LL GEN REF IPERM XTSREF 1 YT REF 2 ZTsREF 3 8 3 143 IF XT GT EPS AND YT GT EPS AND ZT GT EPS 1 1 2 6 5 GO TO 20 Cwwww LE POINT PX PY PZ EST A L EXTERIEUR DU TETRAEDRE GENERIQUE IF NERR LT 1 PRINT 10 10 FORMAT 10X 40Hw ERROR MESSAGE CALLED FROM 0444 www 10 1 33H THE POINT IS OUTSIDE THE ELEMENT 4 20 DERIVEES DES FONCTIONS DE CALL DUT44 NFCT TX TY TZ XT YT ZT DU RETURN END C SUBROUTINE ELEMI s s LL s sn G x s LL LL WO LL m I s Cw MATRICE D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI INITIALISATION DE L INVERSE DES BLOCS DIAGONAUX DE LA MATRICE Q REAL LL 2 COMMON TETRAS 4 4 7 4 1 4 3 4 3 2 4 3 4 4 2 4 2 0 4 3 3 05 12 06 4 07 12 01 12 16 042 4 28 095 12 52 d T 44 16 LL 3 3 3 DO 10 1 1 4 JaMDD 1 4 1 J 4 1 00 4 INITIALISATION 01 02 D3 04 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 3 2 7 2 1 1 2 1
90. ERENCE PEUT PRENDRE LES VALEURS 16 28 32 O 44 DIMENSION UT 44 X X T Y YT Zeit Wzl XeY Z DO 20 Is1 4 BLOC 1 FONCTIONS NUMERO 1 16 INDs4 I 3 UTCIND sPT1 0 W X Y 2 UTCIND 1 zPT1 1 W X Y 2 UT INU 2 8sPT1 1 W Y Z X UTC CINO 3 sPT1 C1 W Z X Y IF N LE 16 GO TO 10 C wwww BLOC 2 FONCTIONS NUMERO 17 28 0 3 1 1 4 sWT11 W X Y 2 UTCINO 12sWT11 W Y Zo X UTCIN0 2 3W4T11 W Z X Y IF N LE 28 GO TO 18 Cv BLOC 3 FONCTIONS NUMERO 29 32 1 28 3 10 4 2 IF 32 GO TO 10 BLOC 4 FONCTIONS NUMERO 33 44 3 1 30 UTCIND 13 8 2 UT CIND9 12 88RT13 W Z X Y UTCIND 2 3RT13 W X Y 2 10 X Y re Z3CH 28 CONTINUE RETURN END 8 3 135 C FUNCTION J TX TY TZ MT XT YT ZT C mme mmmmemmmmeommmmmammm me o su C D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C DERIVEE DU POLYNOME DE DEGRE TROIS PT 1 J DANS LA DIRECTION Cwwee 2 AU POINT XT YT ZT C e J PEUT PRENDRE LES VALEURS 0 O 1 WT 1 XT YTmZT WEWT YsYT Z8ZT TisTX TesTY 1 12 73 IF J 10 10 11 10 20 7 47 7 2 D 2 T1w 2 wX Y Z T2 2 wY Z X T3 2 Z X Y G TO 20 11 9
91. IMENSION C 44 8 44 Lesen CALCUL DE 5 1 weer 5 16 DO 10 Is1 4 S K K 1 20 1 1 0 1 pu 1 3 2 0 1 2 1 C K 1 D I 2 2 Jet 2 0 1 2 3 3 3 0 1 3 1 1 0 1 3 2 2 0 3 3 3 18 CONTINUE C CALCUL DE SC17 S 28 DO 30 Is1 12 SISA DO 20 1 16 SI3SI Q1 1 J S J 20 CONTINUE 1 16 AR CONTINU C CALCUL d 5 29 asar SC32 DO 50 Tei 4 5129 0 40 ww w w 69 70 146 DO 49 421 28 8171851 02 1 8 4 CONTINUE K 28 I S OORSDSCI CC K SI CONTINUE CALCUL DE 33 00 70 Is1 12 5150 9 DU 60 251 52 SI3SISQ3 I J S J CONTINUE 32 07 I 51 CONTINUE RETURN END 5144 C me a ma m w o wa wa un w ne m 90 98 Q Qa 08 s G w vs us s FUNCTION D1NOD VX VY VZ M C C www Ce Ceux Crus Chwyt ELEMENT FINI GENERIQUE 16 PARAMETRES DONNEES M PEUT PRENDRE LES VALEURS 1 2 3 O 4 4 2 C 4 Me1 ET C 4 M DERIVEES PARTIELLES DX DY ET DZ AU SOMMET A M VY VZ UN VECTEUR DERIVEE DANS LA DIRECTION VX AU SOMMET A M DE
92. IT PAS SITUE SUR UNE ARETE Du TETRAEDRE NENT Z ZT RO 2 wXw Y Y Z Z X Y X Z R s 2 wXwX Y Y ZwZ N W X w W Y W Z 1 Y 1 Z 1 e 7 1 1 1 2 2 2 2 2 1 RETURN END 9 69 99 C FUNCTION 11 MUX MUY MUZ WT XT YT 2ZT w w wa w ao um sn wa sm LILI u lt s s lt s mm p PW LL LL s Crewe Cwewww toe 50 Crus 40 BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE PSEUDOSREFERENCE VALEUR DE LA FONCTION RATIONNELLE WT 1 1 MU AU POINT XT YT ZT DU TETRAEDRE DE REFERENCE MWT 1 XT YT ZT LA DIRECTION NORMALE DEPLACEE MUX MUY MUZ DEPEND Du TETRAEDRE GENERIQUE NOUS SUPPOSONS QUE MUX MUY MUZ 1 REAL MUX MUY MUZ DATA EPS 0 5E 06 YsYT 2877 IF X GT EPS Y GT EPS LAND Z GT EPS GO TO 30 DANS LES FACES 2 3 4 71180 0 RETURN CONTINUE IF W GT EPS GO TO 40 L INTERIEUR DE LA FACE 1 NT11 2 wX YwYwZwZ X Y X Z RETURN CONTINUE A L INTERIEUR DU TETRAEDRE
93. L MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS X 43 Y 4 Z 4 1 4 3 4 3 7 4 3 MUX 4 MUY 4 MUZ 4 2 4 3 3 05 12 01 12 16 28 16 LL 3 3 IPERM 3 DIMENSION C 28 8 28 Lesee CALCUL DES PARAMETRES C 17 C 28 14 1 4 1 4 1 Ka3MOD 4 4 1 LzMOD K 4 1 024 1 1 4 CCIND 0 5 01 1 1 NYCI 1 2 1 1 K C 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 2 2 7 1 2 L C 1 D1NOD NX I 2 NY I 2 NZ 1 2 2 J C CCIND 2 80 5 01100 1 3 3 NZ I 3 J C 1 DINOD NX I S3 NYCI3 N2 1 3 K C 10 CONTINUE Cwwww CALCUL DES COORDONNEES 5 1 5 28 CALL FE2P28 C S RETURN END m a mm s w s m w s m C FUNCTION FINT PX PY PZ S C o s Qs 08 s HR m P m C w ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE C1 DE DEGRE DEUX Geesen A 16 PARAMETRES Cw DONNEES TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT C INITIALISE A L AIDE DE LA SUBROUTINE ELERO C rue S 1 veer S 28 COORDONNEES DE LA FONCTION DIINTERe Crew POLATION DANS LA BASE D INTERPOLATION DE Cree L ELEMENT GENERIQUE ELARGI Cwrw PX PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE 116
94. NELLE MORCEAUX 1 02 AU POINT XT YT ZT DU TETRAEDRE DE REFERENCE WT 1 XT YT ZT DATA EPS 0 5E 06 WEWT YsYT 2 77 IF X GT EPS LAND Y GT EPS LAND Z GT EPS W GT EPS GO TO 58 SUR LE BORD DU TETRAEDRE ON A 19 0 0 RETURN CONTINUE A L INTERIEUR DU TETRAEDRE ON A IF X GT Y Z GE Y GO TO 200 IF X GE Z AND Y GE 2 GO TO 390 CONTINUE MORCEAU 1 RTIOsSSTIU H X Y 2 RETURN CONTINUE MORCEAU 2 CHEX X Y 8 3 133 GO TO 100 300 CONTINUE Cw w MORCEAU X Z Z CH GO TO 100 END E wa wa ep o lt nn s on s o on o 90 u 9 65 L FUNCTION 5713 L w mmmmmmmmmmmmammmmmmpaememq m C mmm m mmm BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE C VALEUR DE LA FONCTION RATIONNELLE RT 1 3 RESTREINTE AU C w MORCEAU 1 AU POINT XT YT ZT WTzi XT YT ZT Cwwww NOUS SUPPOSONS QUE LE POINT XT YT ZT SOIT PAS SITUE SUR C UNE DES CING ARETES DU MORCEAU 1 APPARTENANT AU BORD DU TETRAEDRE DATA EPS 0 5E 06 Y YT 2 7 YMX Y X LMX Z X IF YMX GT EPS ZMX GT EPS GO TO 10 C SUR LA DROITE XsYaZ ON A 3571550 0 RETURN 10 CONTINUE C DANS LE RESTE DU MORCEAU 1 ON 1 1 3 1 W Y VARg lt A wX 2 42 X ZMXwVAR VARSW YMX VAR Y YMX ZMX w w 1 95 X VAREVAR 2
95. O 46 em p P UP eneen emm en OP ss s C SUBROUTINE FE2P28 C 5 C mm TY 00 Pa C ELEMENT GENERIQUE ELARGI Cwwww ENTREES TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR PREALABLEMENT Cuve INITIALISE L AIDE DES SUBROUTINES ELENG Crus 1 ET ELEM2 1 sae C 28 VALEURS DES PARAMETRES DE L ELEMENT Cwwwx SORTIES 8 1 5 28 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTER POLATION DANS LA BASE D INTERPOLATION DE C Yw ww L ELEMENT GENERIQUE ELARGI METHODE RESOLUTION DU SYSTEME LINEAIRE 045 s C REAL LL MUX MUY MUZ NX NY NZ COMMON TETRAS X 4 Y 4 2Z 4 1 4 3 4 3 7 4 3 4 4 07 4 2 0 4 3 3 05 12 01 12 16 T 28 16 LL 3 3 IPERM 3 DIMENSION C 28 S 28 C CALCUL DE 1 aaar S 16 DO 10 1 1 4 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 3 5 5 2 20 1 2 1 CCK 1 0 1 2 2 2 0 2 3 5 3 20 1 3 1 1 0 1 3 2 2 1 3 39 43 19 CONTINUE C w CALCUL DE S 17 S 28 00 30 1 12 Sis9 9 DO 28 451 16 SI SI Q1 I J sS J 20 CONTINUE 1 16 05 1 3 50 CONTINUE RETURN END qe GU
96. PX PY PZ DIMENSION U 44 S 44 CALL U44 44 PX PY PZ U 00 10 151 44 VsVeS I wU I 18 CONTINUE FINTsV RETURN END p 90 s lt s s s eem mm FUNCTION VX VY VZ 2 S C u o 07 o ss s 07 s E ss ee C vws ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE DEGRE DEUX Cwvws 16 PARAMETRES C ww DONNEES 3 TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE L AIDE DE LA SUBROUTINE ELENG 4444 511 wann S 44 COORDONNEES DE LA FONCTION D INTER POLATION DANS LA D INTERPOLATION DE L ELEMENT GENERIQUE ELARGI 148 8 3 Ww w w VY VZ UN VECTEUR Cuve PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE Cweww SORTIE DFINT OERIVEE DE LA FONCTION D INTERPOLATION DE Crau COORDONNEES 8 DANS LA DIRECTION VY VZ Crew AU POINT 2 DIMENSION DU 44 S 44 CALL DU44 44 VX VY VZ PX PY PZ DU DV Sg D DO 10 44 5 1 19 CONTINUE DF INT2DV RETURN END SU
97. Programme voir 11 et UT44 8 1 123 16 fonctions restantes bloc 3 et d 933 bloc 4 sont des fonctions rationnelles par 44 m morceaux Les morceaux consid rer sont les m mes que dans le bloc 2 Construction voir 6 2 3 et 6 2 4 Programme bloc 3 voir 5 RT19 0144 bloc 4 voir ST13 RT13 et 0144 Remarque we Les d riv es des 44 fonctions ont t calcul es nu 9 e u 1 744 sous forme analytique Pour les fonctions rationnelles nous avons utilis la formule _ e dg 9e An 1 di 8g 91 q 4122 45 o t em et S eR Programme voir DPT1 11 1 DRT1f DST13 DRT13 DUTA44 F dl 8 1 2 L l ment g n rique 61 Nous construisons un espace lin aire U de base u eL 3 u S R ze u L i 1 1 44J i i i Programme voir 044 Les d riv es de ces fonctions sont cal cul es au moyen de la formule d eL P 3 L P 175 v 3 o v ER P E S et L est la partie lin aire de l application affine L Programme voir DU44 On consid re un isomorphisme d espaces vectoriels Q u dont la matrice 9 Q u 0 u 124 8 1 est appel e matrice d interpolation l l ment g n rique largi Cette matrice est de la forme 1 sont des matrices 3 3 D Do 4 et D sont des
98. Q W R un probl me d interpolation lin aire Une base d interpolation v ZA est appel e base de une Lagrange lorsque sa matrice d interpolation Q v Q v est l identit En d autres termes 9 v i j 1 1 Les param tres Qq r lt lt lt Q constituent la base duale de la base v ZEE La solution de Qu se laisse imm diatement i primer au moyen de la base de Lagrange n u c v t 3 j Dans le contexte des l ments finis de classe k gt 1 la de Lagrange est de pr f rence appel e d Hermite Pratiquement la base de Lagrange est d termin e en r sol vant n quations Q Ms Se J 1 1 n o d signe la base canonique de R Exemple 1 D terminons la d Hermite l exemple d fini sous 2 5 Nous devons r soudre 8 e J 1 1 4 en tirant parti du fait que est diagonale et que E est lin aire il suffit de calculer l inverse d un bloc diagonal 511 i l identit 521 995 ru AT MER LAE CEP Y3 yo og 73 9 ad 1 1 Va v4 V4 095 r TN _ 1 Va V eQ e On trouve V u 3u x ssi l 1 2 n 2 V x u x 1 v x x easy v x Exemple 2 Calculons d Hermite de l exemple 2 2 Notons x n X47X4 Le 0 1
99. T XT YT ZT 58 so Gb s 08 ne 09 me 98 o qmm mS w w ERI Qv vede C w w D INTERPOLATION DE L ELEMENT REFERENCE DERIVEE DE LA FONCTION RATIONNELLE RT 1 3 RESTREINTE AU MORCEAU 1 DANS LA DIRECTION TX TY TZ AU POINT XT YT ZT 1 2 NOUS SUPPOSONS QUE LE POINT XT YT ZT NE SOIT PAS SITUE SUR UNE DES CINQ ARETES DU MORCEAU 1 APPARTENANT AU BORD DU TETRAEDRE DATA 5 0 5 6 138 8 3 2877 zY X 2 2 IF YMX GT EPS 2 5 GO TO 10 Cw w SUR LA DROITE XsYzZ ON A 0571340 0 RETURN 10 CONTINUE C DANS LE RESTE DU MORCEAU 1 ON TisTX 2 3 7 1 72 13 Cwwww VALEUR DERIVEE DE E P sXwZMX 1 2 X T3 lt T1 Q 51 43 E zP E w 3 T1 Q H W Y E 4 2 2 E P Q DEs 4 T1 2 T DE 2 9 2 0 C w w VALEUR ET DERIVEE DE P aW YMX E Ww T2eT1 E WwYMX DE Q wY YMX ZMX W YMX WeY w 1 93 X F zP Q Bel 2 72 73 2 71 2 2 T1 We YMX 1 3 T1 1 93 X 92 0 Q S WeX CW ZMX F aF 24 0 2 TO T1 W X T0 T3 T1 W
100. Y 4 M2 4 DCA4 3 3 D5 12 D6 4 07 12 801 12 15 82 4 28 803 12 32 d 7 44 16 170 44 3 IPERM 3 DIMENSION V 16 U 44 CALL U44 44 PX PY PZ U 5120 0 DU 10 141 44 31251 T J I wU J 18 CONTINUE V I sSI 20 CONTINUE RETURN END me mm mmm va 09 07 20 un us 7 9 Um OO Q s sn A ss SUBROUTINE DHERM VX VY VZ PX PY PZ DV C 90 s s mmm anne Qn DA OS ee C ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE C1 DEGRE DEUX 16 5 BASE D HERMITE Cwww ENTREES 5 BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT INITIALISE L AIDE DES SUBROUTINES ELENG Chess ELEM1 ELEM2 ELEM3 VY VZ VECTEUR Chwerw PX 2 UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE Cwww SORTIE 2 DV 1 aser DV 16 DERIVEES DES 16 FONCTIONS DE LA Ces D HERMITE DANS LA DIRECTION VY V2 AU POINT PX PY PZ REAL LL MX MY MZ NX NY NZ COMMON TETRAS X 4 Y 4 Z 4 1 4 3 4 53 2 4 3 4
101. YENHOFER Finite elements on tetrahedron International journal for numerical methods engineering vol 12 787 793 1978 188 8 J DESCLOUX Basic properties of Sobolev spaces ximation by finite elements Ecole polytechnique f d rale de Lausanne Switzerland 1975 9 DUPUIS J J GOEL Finite element with high degree of regularity Int J Num Meth Eng 2 809 820 1970 10 J J GOEL Construction of basic functions for numerical utilization of Ritz s method Numer Math 12 435 447 1968 11 J L GOUT Estimation de l erreur d interpolation d Hermite dans I Numer Math 28 407 429 1977 12 STRANG FIX An analysis of the finite element method Prentice Hall 1973 13 A H STROUD Approximate calculation of multiple integrals Prentice Hall 1971 189 J exprime toute reconnaissance Monsieur le pro fesseur Jean Jacques Go l 11 m a fait b n ficier de sa grande exp rience de la construction d l ments finis Gr ce sa disponibilit et ses encouragements il m a donn rapide ment les moyens de travailler de fa on autonome Mes remerciements vont aussi Monsieur le professeur Jean Descloux dont les pr cieux conseils m ont permis d achever et de pr senter cette th se 1948 1963 1963 1968 1968 1971 1971 gt 1979 1975 1978 191 CURRICULUM V IT AE Marcel D l ze est n Ne
102. a 2312187312 1 1 Q4 454 547751 14771 D e dom 232 1 3 7 47 D termination D Par construction des fonctions d interpolation de r f rence 1 2 3 nous aurons pour i m 8 Tu ny im i 94m Uy WE E GT i i t n 9m Bi lt R gt 7 Uo m B 1 lt De gt Ag oim l avant derni re galit se montre en crivant le vecteur AU S amp n dans une base orthonorm e t ni comme Ug im s annule le long du c t se trouve nous aurons B SC galit s pr c dentes signifient que D est une matrice dia gonale d l ments diagonaux d lt R n Due Jl 2 235 Dans cette expression on a L A SS 1 Dm 3 7 El ment triangulaire de classe de degr deux neuf param tres Revenons au probl me l ment fini 3 3 Dans l l ment g n b rique largi douze param tres 3 6 nous remplacons les trois param tres suppl mentaires 2 par les trois contraintes lin aires mentionn es sous iii 1 GJ r G dessous 48 34 Nous devons satisfaire la condition 3 3 iv i La restriction de la d riv e normale u au c t oppos est un polyn me de degr lt l une variable LE 142434 En tenant compte du fait que pour u U la restriction de d H au c t oppos est u
103. aires Gw Fw E BEE a l t Soient E E 5 Ej m H W EQ He Pot Le probl me d interpolation ker RP est ker H unisolvant En effet est un isomorphisme d espaces vectoriels et l on se trouve dans la situation de 2 7 Pratiquement la solution w ker H de Fw c E RP est d termin e en r solvant successivement les quations Ba QE C tO 5 II 30 2 8 Exemple d lt lt Soient X dans W iw X x IR polyn me de degr lt 2 w x 3 Le probl me Q 91IR est unisolvant Sa base de G Lagrange est v x x4 7x4 4 T 1 1 r 1 x x4 3 1 X x Soit ZEN R continue par morceaux n gative p x dx gt 0 FL Nous allons remplacer G par la contrainte lin aire l int grale de w par rapport la fonction de poids p satisfait la r gle du trap ze c est dire Ka 3 X47X 5 tp Gu w Gu 1 Introduisons les nombres 3 ds v gt L 22 x 1 Pour W l int grale s crit 1 w x p x dx a F W a a 1 Dans la contrainte prend la forme d une quation lin aire w F w 3 l 1 2 2 o e ze x si L x SH
104. am tres par les param tres g n riques correspondants 43 3 C L interpolation W P U est obtenue rempla ant pap ay voir 6 1 dans H les param tres G n aires voir 6 4 6 des contraintes 11 117 4 L interpolation 5 U est obtenue rempla ant dans I les 16 derniers param tres par les param tres g n riques correspondants eru Le tableau suivant rappelle quels sont les param tres utilis s pour chaque interpolation 160 93 Nous d composons l erreur d interpolation en cinq termes les 16 param tres aux sommets sont les 12 param tres aux milieu des ar tes sont les 16 param tres dans les faces sont v H v v H v I v t I v I v I v HV H V H v Premier terme Par le th or me 9 1 2 pour w P s gt 2 m 0 1 2 et 2 1 3 m q E 1 tel que q gt 37 nous avons h Iv v lt TIP 4 5 jn 3 5 3 3 fy 3 yD S h Avec l hypoth se 5 lt et en prenant p iv H_ v lt A 5 3 p S Deuxi me terme V ER v est un l ment de U Nous l exprimons l aide des param tres et de la base de Lagrange de l l ment affine Pour i 1 1 4 on a I V Ai 0 grad Il v Il b
105. apr s 2 8 le probl me d interpolation 1 2 111 est vil unisolvant La propri t 1 2 provient de ce que notre construction ne privil gie aucun sommet Une v rification num rique sera effectu e dans 7 4 6 Il reste encore EE les conditions de raccordement Consid rons deux t tra dres 91 8 ayant une face commune T de 2 sommets A A Pour 20 nombres r els donn s consid rons fonctions d interpolation correspondantes sur 5 Vo sur 52 E Classe et v consid r es comme des fonctions Ei 2 e de deux variables appartiennent l espace d fini sous 3 7 Les restrictions v pour le triangle Les 9 param tres de l l ment bidimensionnel 3 3 ont les m mes valeurs pour v et v E 2 Par suite v V 112 21 Classe Soit m un vecteur normal la face Les d riv es normales V et d v consid r es comme fonctions de deux variables m 1 m 2 m sont des polyn mes de degr lt l Ces deux fonctions affines co n cident aux trois sommets AJ A A Par suite d V v 70 5 4 Remarque La solution du probl me d interpolation 1 2 111 et le calcul de la base d Hermite seront explicit s au paragraphe 7 Th or me 2 La variante II se laisse exprimer l aide de 52 fonctions de r f rence D monstration D apr s les d finitions de 1 3 nous devons montrer que tout v vi s peut se mettre sous la form
106. ar 2 16 FINT et DFINT 8 2 3 La base d Hermite Ce calcul est organis selon deux cycles imbriqu s Le cycle ext rieur porte sur les t tra dres Chaque fois que l on consid re un nouveau t tra dre on doit appeler les subroutines ELEM Xl Y1 Z21 X2 Y2 22 X3 Y3 23 4 4 724 ELEMI ELEM2 ELEM ou 1 1 21 X2 Y2 22 X3 Y3 23 4 4 74 sont les sommets du t tra dre Le cycle int rieur porte sur les points du t tra dre Chaque fois que l on veut calculer 1 base d Hermite en un point BE BY DE du t tra dre on appelle 1 subroutine HERM PX PY PZ V V est d clar en dimension 16 A la sortie V 1 V 16 contiennent les valeurs vi PX PY PZ V PX PY PZ Chaque fois que l on d sire valuer la d riv e des fonctions v v l l6 dans la direction TX TY TZ au point PX PY PZ on appelle la subroutine DHERM TX TY TZ PX PY PZ DV DV est d clar en dimension 16 A la sortie DV 1 DV 16 contiennent les valeurs des d riv es directionnelles 130 9 V Vig P o t Remarque Une partie des communications entre les au moyen d un bloc commun nomm TETRAS que du t tra dre consid r Il est routines ELEM 2 et ELEM3 HERM et DHERM 8 3 Le programme FORTRAN Le programme suivant comprend 1124 raison de 60 lignes par page TX TY TZ et P 2 sous programmes se fait Ce
107. ation Pour d montrer la proposition nous calculons l image par Q des n vecteurs propos s sous i et nous montrons que la matrice d interpolation correspondante est de la forme ii donc inversible 11 suffit de consid rer le premier bloc diagonal mp x mp de Q les blocs diagonaux pxp de cette matrice sont 1 1 FE E Uj soo FPE up Fu M F Urin 5 1 2 49 25 les blocs diagonaux de cette matrice sont 1 1 FE E passa EE E Bel 1 5 0 en effet lorsque i 3 m x E ES n est pas l l ment neutre Pa Exemple Soient W lw 0 1 21 polyn me de degr lt Sch A 5052 0 1 gt posue a x X a x 1 2 E B W gt W w 1 12225 w 0 N m w 0 Nous consid rons le probl me d interpolation w 0 0 Qw 1 w 1 w 1 Nous choisissons la premi re partie d une base d interpolation 1 Nous obtenons 1 0 3 1 d d Q u Q u 0 0 0 0 1 0 o la matrice est r guli re 26 239 5240 La proposition ci dessus nous sugg re de compl ter la base d interpolation comme suit av _ 1 u x x e N l x Il 2 bes 9 gt x i x E gt x La matrice d interpolation s crit alors 2 6 Base de Lagrange et base d Hermite Soit
108. aux sommets sont d ordre lt 4 P nd u comme par exemple l expression d finie sur SJ x 1 x y z y 1 2x z 1 2 a n consid r e au sommet 2 6 6 Construction la variante La variante diff re de la variante par les fonctions fA fi de r f rence r et r lieu de construire ces fonctions 10 5 1318 par addition de termes correctifs nous utilisons variante II L valuation de l expression obtenue pour r comporte 1018 1 un peu plus d op rations arithm tiques que dans la variante 1 L expression obtenue pour 51319 poss de une forme tr s semblable 1 celle de variante param tres de r f rence I V I V Aux points Ci nous associons des vecteurs pointant vers A ned d 11 3 gt 34 12 g we S 727 2t X AV mes P Ca j 1 2 3 i 1 1 4 Nous rempla ons les param tres T de 6 1 par B Z 2 E j 1 2 3 i 1 1 4 1 Ceci pour effet de modifier la matrice D voir 6 3 qui devient _ diag D d 1 041550 3 951 u 13 lt 1 2200453 1 o Sen J 1 2 3 1 1 4 ion de a ir 6 2 3 Construction de Clo 5 voir 6 E 1 X s M b 8 1 Soient Lj S gt S Li y EN y 7 3 2 1 _ 3 v i E i 21 2 2 1 1 1 1 u V 3 3 3 3 3 1 3 v p 0 1 e
109. construire des fonctions auxiliaires permettant de corriger les d riv es normales des polyn mes de 4 3 sur les faces du t tra dre g n rique nous introduisons des param tres auxiliaires Les param tres de r f rence Aux 16 param tres introduits sous 4 1 nous ajoutons les 12 param tres auxiliaires d T ij P nn WE J 1 2 3 i 1 1 4 1 Ces 28 param tres sont ordonn s comme suit F 10 11 amp b N m Di d e e H GA N N Comme dans le lemme de 4 1 on montre que d SCH ij 3 1 2 3 i 1 1 4 Ge 58 Les param tres g n riques Aux 16 param tres 4 1 nous ajoutons les 12 param tres auxiliaires vag es 9 he J 12 3 T 14 1 Ces 28 param tres sont ordonn s comme suit Flo SE 42 2 43 TR 2 11 12 Q G i d Gao 43 Les directions normales d plac es Soit 5 un t tra dre g n rique donn Nous introduisons mainte nant des vecteurs qui d pendent 5 mais qui sont d finis sur le t tra dre de r f rence V m ze 9 vi 1 1 4 La normale m la i me face de S est transport e sur la y 1 face S au moyen nous obtenons un vecteur v non pa D s 161 la i me face de S vecteur transport d au moyen de Sur la face 1 de S nous obtenons un vecteur
110. d finissent un probl me d interpolation T unisolvant La base de Lagrange de ce probl me est d termin e au moyen de 245 2 55 40 3 4 k GG Y 2 Axy V 1 ki 5l x 3xy us Xx y k y XY k y 1 k y 1 k X y Kj 1 x y i x Y X D O L l ment g n rique correspondant n est classe Corollaire Les polyn mes de degr lt 2 satisfont ER L K p P io 18 Ee II ma W D monstration Nous crivons p dans la base de Lagrange de l l ment poly nomial de degr deux 3 A y U d d d P Kio P l 1 d d d d d k F P K k F F o p 3 1 1 ar 1 a ar Fio 18 ar Fip II Gi Go PS El ment polynomial neuf param tres Dans l l ment polynomial de degr trois remplacons le M m tre K par la contrainte lin aire 1 av av Fio 18 il fip V 3 Y D apr s 2 8 ce probl me est unisolvant base Lagrange est 10 Gt Y 1 1 x y 2 x 4xy p x l x y AU U P1206 Y Ee 13 1 v Dua Doe TJ 23 043424 D apr s le corollaire pr c dent l espace d interpolation de ce probl m
111. dre des tableaux sachant que nombre de co efficients apr s la premi re duction 1 11 44 3X 7 44 6 7 28 6 7 44 18 7 28 21 7 28 187 C 1 2 3 4 6 7 BAZELEY Y CHEUNG IRONS O ZIENKIEWICZ Triangular elements in plate bending conforming and nonconforming solution In Proceedings of First Con ference on Matrix Methods in Structural Mechanics AFFDL TR 66 80 Wright Patterson AFB Ohio Oct 1965 547 576 BIRKHOFF MANSFIELD Compatible triangular finite elements J Math Anal 1 47 531 553 P G CIARLET The finite element method for elliptic problems North Holland Publishing Company 1978 CIARLET and RAVIART mixed finite element method for the biharmonic equation In Mathematical aspects of finite element in partial differential equa tion edited by Carl de Boor Academic Press 1974 R W CLOUGH and J TOCHER Finite element stiffness matrices for analysis of plates in bending In Proceeding of First Conference in Matrix Methods in Structural Me chanics AFFDL TR66 80 Wright Patterson AFB Ohio oct 1965 515 546 M DELEZE et J J GOEL T tra dre comme l ment fini de classe seize param tres contenant les polyn mes de degr deux Institut de math matiques Universit de Fribourg Switzerland 1976 LL M DELEZE J J GOEL B ME
112. e contient tous les polyn mes de degr lt 2 L l ment g n rique correspondant est de classe C mais n est pas de classe Remarque La contrainte lin aire la plus connue consiste poser as dans l expression 2 2 a x a x xy as a xy a xy QY voir par exemple STRANG et FIX 12 Cette contrainte lin aire diff re de la n tre En effet pour la fonction de base pm nous avons 5 et a E 42 349 3 5 El ment triangulaire r f rence largi douze param tres Probl me l ment fini de r f rence Pour les douze param tres V A d 8 10 MM ME OT F F 20 217 02 P 307 317 997 2099 F 117 12 vor 3 2 nous cherchons un espace vectoriel de fonctions U 1 x poss dant les propri t s suivantes A 2 1 Les fonctions de sont de classe presque partout leurs d riv es partielles d ordre deux sont born es d ii contient tous les polyn mes de degr lt 2 iii Les douze param tres d finissent un probl me d interpola A tion U unisolvant v M C iv Les restrictions de u U aux c t s du triangle sont des polyn mes de degr lt une variable La restriction de d gd la d riv e directionnelle u au c t oppos est un polyn me degr lt 2 une variable i 1 2 3 AT AT 1 r
113. e d une combinaison lin aire 52 4 1 J J D d o fonctions uj 8 ne d pendent 5 52 Partant de forme 28 d 1 v s u c ho i i 11 nous pouvons uj d pour j 1 1 16 H1 nn posant Le dans 5 2 E oo U17 peut se mettre sous la forme 2 X 544453 o les fonctions r rry ror ne d pendent de 5 et les 3 efficients satisfont Ce ER 1x 3 iv Hiz On peut alors crire r r tyu u s Ip bere dp iav 3 53 et poser 015725 r rj Car U 9 Ar fu En continuant de facon analogue pour Uj greo or Ug nous parvenons au r sultat 2 S 6 VARIANTE CONSTRUCTION Nous poursuivons la construction annonc e dans le paragraphe 1 et commenc e au paragraphe 4 6 1 Notations En vue d introduire des fonctions auxiliaires permettant de corriger les d riv es normales des polyn mes 4 3 sur les faces du t tra dre g n rique nous introduisons des param tres auxiliaires Les param tres de r f rence Dans chaque face introduisons trois points AT It 12 673 x _ 211 ru Crises 1 Fig 6 1 T tra dre de r f rence 72 6 1 Aux 16 param tres introduits sous 4 1 nous ajoutons les 28 param tres auxiliaires suivants u M s
114. e long des trois c t s Tt 0 0 pour i 1 1 4 j 1 2 3 les douze param tres v g n riques de la section 3 2 sur T sont nuls pour r I voir th or me 3 6 i T Par unisolvance dans zu ar LE fonction satisfait maintenant aux hypoth ses la 1 d est de classe ctg r E T ie 0 ce qui contredit l hypo P nl 1 U proposition pr c dente savoir ri et 0 Ainsi grad th se 1 1 1 86 6 3 6 3 El ment t tra drique g n rique largi 44 param tres Pour le probl me d interpolation O C 18 5m voir 6 13 nous choisissons la base d interpolation d u u L i 1 1 44 AV les u sont les fonctions d interpolation l l ment r f rence Notons U l espace vectoriel engendr par ces 44 fonctions Th or me Le probl me d interpolation largi Q U m 14 est U unisolvant D monstration Par rapport la base d interpolation tu i 1 1 44 la ma trice d interpolation de Q 1 forme suivante o D4 D4 D4 D D est une matrice diagonale 12x12 sont des matrices 3x3 D est une matrice diagonale 4x4 est une matrice diagonale 12x12 est une matrice 12 16 0 est une matrice 4 28 et est une matrice 12 32 D termination de D p L CT calcul correspond point par point cel
115. ensemble ordonn de n l ments uj Uu de W on associe une matrice Q uj u Q ui Q u TE Q Qi Q u Lorsque cette matrice est inversible l ensemble ordonn est appel base d interpolation de 0 Dans ce cas la matrice oj Q ui 0 4 est appel e matrice d interpolation de Q relativement la base Relevons les propri t s suivantes Les l ments d une base d interpolation tu u sont lin airement ind pendants dans W Notons U le sous espace vectoriel de engendr par lu u d La restriction U m est un isomorphisme d espaces vectoriels La matrice d interpolation 0 est la matrice de Qu relativement la base ordonn e u ZA de U et la base canonique de R TER Pratiquement l quation Qu est r solue dans syst me de coordonn es ID ples o u d signe les composantes de u dans la base ordonn e u u 22 243 Exemple Reprenons l exemple 2 2 Notons E 2 9 Xq Pour les quatre l ments de W 1 u x xi u x u x la matrice d interpolation est triangulaire inf rieure 1 0 0 0 0 1 0 0 i 1 h n 0 0 1 21 h Dans cet exemple U W et le probl me d interpolation est W unisolvant Soit c 0 0 1 0 La r solution de Qu s op re en deux temps 1 on r soud o s on trouve s 0 0 h e m
116. es La SUBROUTINE DECOMP NX NN A SC IPS D effectue la d composition de Gauss de la matrice A avec choix du pivot par lignes Entr es NX dimension d clar e de la matrice A NX NX NN nombre de lignes de A A matrice carr e d composer Sorties A matrice sous forme factoris e IPS vecteur contenant la nouvelle num rotation des lignes de cons cutive au choix des pivots D d terminant de SC est un vecteur de travail 742 101 SUBROUTINE SOLVE NX NN A B X IPS r soud le syst me d quations lin aires A X B o A est sous la forme d compos e de Gauss Entr es NX dimension d clar e de A NX NX NN nombre de lignes de A A matrice carr e sous forme factoris e B membre de droite de l quation IPS vecteur contenant la nouvelle num rotation des lignes de A cons cutive au choix des pivots Sortie X solution de i quation 7 272 Le probl me d interpolation lin aire Afin d viter des calculs inutiles nous organisons le travail selon trois cycles imbriqu s Le cycle ext rieur porte sur les t tra dres Chaque fois que l on consid re un nouveau t tra dre on doit appeler les subroutines ELEM 1 1 21 X2 Y2 22 X3 Y3 23 4 4 74 ELEMI ELEM2 1 1 21 2 2 22 X3 Y3 23 4 4 74 sont Les sommets du t tra dre consid r Le cycle interm diaire porte sur les valeurs des param tres Chaque fois que l on consid re une nouvelle fonction d
117. es globalement sur S D monstration Nous d montrons que g est un polyn me Ecrivons x 2 xd 2 E Z 95 ZX 356 3 7 Ka 948 Y condition 41 2 92 2 implique 911 912 916 921 922 926 313 923 914 915 5 924 925 917 T 918 7 927 t 928 Jig 929 91 10 92 10 D signons par 9 2 10 les d riv es partielles par rapport d 3 la premi re deuxi me et troisi me variable respectivement La condition 957981 gi 2 34791 4 2 911 912 7924 922 9147 915 924 7 925 918 37 928 4927 De fa on analogue on crit les conditions 4 g4 9 9 4 9 9 4 4 gi 9 9 94 9 9 4 GG yx Les quations pr c dentes impliquent Jie Sag Uge T 2 84 6 2 5 Proposition Soit gt une fonction satisfaisant a f est de classe 8 ru b f c s annule sur le bord de a Alors le gradient est nul sur le bord de D monstration Par les hypoth ses b et c f est de la forme D 6 1 h 2 sur h X Y Z sur c 2 7 Y ha yz sur C S YY yY Z h x y z sur C o chaque h est un polyn me de degr lt 2 sur chacun des trois morceaux
118. es propri t s suivantes 1 EEN de classe presque partout ses d riv es partielles d ordre deux sont born es Les restrictions de aux faces 3 et 4 sont nulles De m me le gradient de Wie sur les faces 3 et 4 est nul iii s annule indentiquement sur la face 2 Pour chaque t e m la d riv e directionnelle Ww 0 y z est un polyn me de degr lt 2 en y z iv Dans la face on 2 2 SE x y 2 La restriction de d riv e directionnelle 31 Sca Deed la face 1 consid r e comme fonction de deux variables est un polyn me de degr 2 Avec la notation As be dy Ae x x Y 2 2 fonction nous permet de construire les douze fonctions d interpolation restantes Ww A A r L vu 2 11 PASE e 2 x d 2 Se Wii hu 2 d u AY 2 u W 7 WETTER 2 e Wij v J 1 2 3 i 1 1 4 v i ui est une direction normale d plac e voir 5 1 62 5 2 La matrice d interpolation prend alors la forme Remarque La fonction suivante restreinte une face du th tra dre rique et consid r e comme fonction de deux variables est un polyn me de degr lt 2 d 1 3n Va vir 1 d 1 9 vw u eL v i i i U 1 Sch dc
119. i 2 0 te jl Va E 2 Nous partons fonction 2 x iv qui v rifie LE 52442 6x l x y z 0 3 79 a Xi 6x l x y z 2 0 Consid rons les fonctions rationnelles de variante M 1 voir 5 2 sp cialement fonctions Wa 1 1 T 94721 utilisant formule 5 2 1 G IE et LI 9 79 W441 v45 3X 7xty x z Y y x 0 2 9 W Do di z x l x y z 3x H3 y x 0 6 1 2 3 3 3 x y x z 2 0 19 w1l 1 0 3 1 1 0 3 11 2 0 6x l x y z En utilisant la formule 5 2 2 9 9 0 1 9 3 2 2 0 2 9 1 911 ME 4 2 0 12 1 2 puisque 2 2 v4 2 0 3 9 9 W43 V 433X 7XtY XtZ Y 0 4 3 2 0 3 11 ax ay ttt y x 1 x y z 3x i 0 12 1 7 C est pourquoi nous posons d _ 1 NII EE 7105 5 5 Wa 7 Li c est dire r X Y Z 10151 T 11 vil 11 wle AT Construction de r V voir 6 2 4 13 5 Nous posons 1 85 932 00370 Ce c est dire VEL 3 2 1 3x x y x z VII 12 _ VII 1 0 3 2 1 2 gt 3 055522 2 2 2 9x z x l x y
120. i normes Sx J Label j 0 1 9 et norme m 2 2 i men d finit 9 comme tant l adh rence de Q dans Ht relativement la norme D finition 6 Soient 0 un ouvert born de R et gt 1 Une fonction v Q 1 est classe ch presque partout lt cfi et il existe dans R des ouverts disjoints bords lipschitziens Ure N k tels que U Q et v C U pour i l Na jb E Remarque Contrairement 1 d finition des fonctions de classe ch par morceaux nous n exigeons pas que v c 5 pour i 1 N 0 Sur le triangle e m x gt 0 gt 0 dree gt 0 consid rons fonction 2 v Gu ee 2 2 Nous allons montrer que v est de classe C presque partout que ses d riv es partielles d ordre deux sont born es mais que v n est pas de classe c n Remarquons d abord que dans 0 nous avons X x Y lt 1 et 0 lt Se 1 10 La Les d riv es partielles xy sin 9 V X y x y x x y 9 v x y y X y gas se laissent prolonger contin ment en 0 0 et par suite v ci Par contre 2 d AL X se laisse pas prolonger contin ment en 0 0 puisque 3 v 0 y 2 gt 0 e 2 v x 0 gt 0 Cependant a v
121. iante I A nous avions obtenu des formules explicites pour une partie des coefficients Su exprimant la base d Hermite par rapport la base d interpolation de l l ment g n rique largi 44 Var tji u i 1 1 16 Nous avons avantageusement remplac ces calculs explicites par un calcul num rique il s agit essentiellement de r soudre des syst mes d quations lin aires dont la matrice est triangulaire inf rieure par blocs voir paragraphe 8 Toute la construction s en trouve ainsi all g e La fonction de r f rence P voir 6 2 3 Dans la variante I A les 16 fonctions rationnelles par morceaux ont t introduites ensemble dans un m me bloc Nous avions 92 6 6 d impos la fonction Can a Je ES les trois conditions suppl mentaires e H 14 110 EE A 2 ce qui conduisit une fonction nettement plus compliqu e 10 que celle de la variante I C La fonction de r f rence Ee voir 6 2 4 U Dans la fonction de la variante I A des singularit s d ordre deux apparaissaient le long de certaines ar tes comme par exemple dans l expression 2 x 1 x y z 2 1 2 Dans la variante ainsi d ailleurs que dans variante toutes les singularit s de toutes les fonctions sont d ordre lt 1 le long des ar tes comme par exemple dans l expression x 1 x y z l y z de m me toutes les singularit s
122. l y z RA H 64 Due Nous avons 9 2 N XYZC X Y Z 1 Par suite la deuxi me partie de la condition iv est satis faite de la fa on suivante Formule 5 2 1 2yZ 3 w 2 x Vaq tr Y face condition iii la forme Formule 5 2 2 ru 11 POLY rZ E gt SS A Enfin nous pouvons mettre sous la forme suivante 11 Formule 5 2 3 W 2 MA gt 2 22 zu 2Xy Z OU x y X Z 22 2 2X y 2 l x y z 1 l x z l y z 1 1 2 ri x y z r x y z 5 1 TE Ge E ro X Y Z Y X V Z r y 2 2 ro X Y Z 2 1 Remarque 2 est homog ne en XYZ ro X Y Z Atc de x y 2 5 3 El ment fini g n rique largi 28 param tres Pour le probl me d interpolation 828 voir 5 1 nous choisissons la d interpolation inde o les d sont les fonctions d interpolation de l l ment de pseudo r f rence Notons U l espace vectoriel engendr par ces 28 fonctions Th or me Le probl me d interpolation largi Q U sp est U unisolvant D monstration Par rapport la base d interpolation fui 1 1 1 28 la matrice d interpolation de Q a la forme
123. la face AY U m 1 1 1 m mj 1 1 4 En chaque point milieu des ar tes nous introduisons deux d teurs parall les aux faces contenant le point Bi AU ee Brem 9142491 n ze 1 1 2 d d 1 1 1 4 Figure 4 1 1 T tra dre de r f rence Les param tres de r f rence Consid rons les param tres ni v V A AT PRE fy J i 1 1 4 52 4 1 En vue d utiliser construction 2 5 introduisons les change ments de variables 8 c E v aj 1 1 1 4 Notons l x y z le quadruplet w x y z repr sente les 1 gt A coordonn es barycentriques du point x y z 5 2 gt 0 2 1 En crivant la fonction v x y z en coordonn es barycentriques V W X y 2 les applications v vea effectuent la i me permutation cyclique des coordonn es barycentriques 2 1 V W X Yy Z 2 2 1 E 2 m 2 1 2 2 Relativement la composition qb est un groupe 3 cyclique isomorphe Z modulo 4 Lemme Les param tres de r f rence satisfont d d m Ge j 0 1 3 1 1 1 4 D monstration Pour j 1 2 3 d o d EE v Hijs vea 17 d V V a 1 AT
124. n polyn me degr lt 2 une la condition satisfaire s crit de facon quivalente T 11 u Bi 5 l u A da u i i i c est dire Tm v 111 u RC t ni Pate Ge u 12 tni F 1 u 05 FL u k i j k est une permutation cyclique des nombres 1 2 3 E Pr cisons comment se calcule la solution de ce probl me l ment fini avec contraintes voir 2 8 Probl me d interpolation Soit c e m donn Le probl me d interpolation 3 3 iii est r solu comme suit a Nous calculons la valeur des trois param tres remplac s _ 1 Er n mm T _ 1 4 Ee ss _ 1 5 n4 n4 03 Nous r solvons le probl me 12 param tres dans la base d interpolation du probl me 3 6 e Se e NE LM 512 512 solution s crit alors 12 u s U s Base d Hermite Pour chaque l ment de la base canonique de 18 lere nous r solvons le probl me d interpolation 3 3 iii comme ci dessus chaque vecteur e correspond l l ment Vi de la base d Hermite 1 1 1 9 Nous m morisons matrice T t m 1 lt 3 125 9 J des coefficients de la base d Hermite par rapport la base d interpolation de l l ment 3 6 La base d Hermite s exprime comme suit 1 Wow L espace engendr par Vo est
125. nction d interpolation v sur 51 et v sur S 1 2 2 Classe e Les restrictions v et v consid r es comme des fonctions 1 2 T de deux variables appartiennent l espace d fini sous 3 7 pour le triangle Les 9 param tres de l l ment bidimensionnel 3 3 ont les m mes valeurs pour v et v Par suite 1 21 T 9 LIT Classe cl Soit m un vecteur normal la face T Les d riv es normales d V et A v Consid r es comme des fonctions de deux m LIT m 2 T variables sont des polyn mes de degr lt 1 Ces deux fonctions affines cofncident aux trois sommets Aj Par suite m ilm m Y2 T Remarque La solution du probl me d interpolation 1 2 111 et le calcul de la base d Hermite seront explicit s au paragraphe 8 6 5 Comparaison avec la variante I A En 1976 D l ze et J J Go l publi rent le premier l ment fini t tra drique de classe ci de degr deux 16 param tres 6 Cet l ment sera appel variante par La suite Il fut republi 1978 dans International journal for numerical methods in engineering 7 il tait accompagn d un autre l ment de degr plus lev Les am liorations apport es cette premi re construction ont abouti la variante I C pr sent e ici Nous indiquons ci dessous les modifications les plus importantes Certains aspects relevant de l alg bre lin aire Dans 1 var
126. ndaz Valais dans sa commune d origine le 14 f vrier 1948 IL fr quente l cole primaire de Fully VS puis l cole secondaire de Martigny m Il entre l Ecole Normale des Instituteurs de Sion Il obtient le dipl me d enseignement primaire A l Universit de Fribourg il tudie les math ma tiques la physique la chimie la g ographie et la p dagogie Il re oit le dipl me d enseignement secondaire Il poursuit ses tudes dans le cadre du dipl me de math matiques Les branches principales choisies sont l analyse et les math matiques appliqu es L alg bre la physique th orique et la physique ex p rimentale ont t choisies comme branches secon daires Le dipl me de math matiques lui est d cern en avril 1975 Il est assistant aupr s de l Institut de math matiques de l Universit de Fribourg Il se sp cialise dans le domaine de l analyse num rique Il r dige cette th se sous la direction du professeur J J Go l Apr s la mort de ce dernier survenue en mai 1978 le professeur Jean Descloux de i Ecole polytechnique f d rale de Lausanne accepte de corriger le manuscrit et de devenir le premier rapporteur de la th se
127. ndition ii est ainsi satisfaite Le premier bloc diagonal 16 16 de la matrice d interpolation est l identit 6 2 2 Bloc 2 fonctions de r f rence num ros 17 28 Nous cherchons une fonction 5 poss dant les propri t s suivantes j n i 11 est un polyn me par morceaux degr lt 3 morceaux sont ceux de la figure 6 2 2 VU Zen 11 La restriction 11 face 1 correspond fonction wI du probl me bidimensionnel d I 1 x y x y voir 3 5 restrictions aux faces 2 3 et 4 du t tra dre sont nulles 111 Dans les faces 3 et 4 le gradient de wl est nul 76 6 2 2 Une telle fonction permet de construire douze fonctions d inter polation av ru 12 2 Wii Yrz X d d X y 2 11 2 ny fu d 1 21343i4j 514005149914 j 5 1223 La matrice d interpolation prend alors la forme Le polyn me par morceaux suivant poss de les propri t s requises x ee xz 2 2 dans d P d 8 2 1 41 X Y Z 2 5 y dans ER z 2 2 dans 3 3 Fig 6 2 2 M ts C ig Morceau 1 sommets 1 Bu ts C morceau 2 sommets 19154 555 AT A ny A morceau S de sommets 6 2 3 Bloc 3 fonctions de r f rence num ros 29 32 U ru Nous cherchons une fonction Can c
128. ns du probl me l ment fini de classe ct Q ciun mi voir 3 2 Nous choisissons la base d interpolation d a u u L i 1 1 12 4 LU 4 o les u sont fonctions d interpolation de r f rence Selon que l on adopte la variante ou II dans 3 5 nous obtenons 1 1 1 12 polyn mes par morceaux 1 1 12 fonctions rationnelles Notons ut et gt les espaces vectoriels engendr s par ces 12 fonctions Th or me Les probl mes d interpolation largis Q ul R et 12 s gt secca IR sont ut respectivement ull_unisolvants D monstration 12 I 12 Les matrices d interpolation de U gt R et de 0 0 gt Ce m par rapport leurs bases d interpolation respectives sont les m mes Cette matrice est triangulaire inf rieure par blocs 46 3 6 D D D sont des matrices 2x2 D une matrice 3x3 et R une matrice 3x9 D termination de D de lt Notons la partie lin aire de l application affine L Soient i j k une permutation cyclique des nombres 1 2 3 et d u u UV ru ru Wi Q 1 u F J u u L 11 E Re x 7x4 Q 7 u Y 7Y Q4 u De m me dg x x y y e Par construction des fonctions d interpolation de r f rence nous avons u u ru u rod 931 1 2 ru 33 1 44341 Dp
129. nterpolation nous avons v rifi que P 0 pour des points S Test 7 4 4 D signons par Ti la i me face de S perpendiculaire au vecteur m 1 1 4 Nous v rifions que Vvev 9 i est un poly m T n me de degr lt 1 deux variables Soit i j k 2 un permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 a rA Ti Choisissons 2 16 valeurs de param tres qui nous d terminent un v V choisis sons P Ti P A b ade gt 0 Si b b 1 calculons l interpolant lin aire de d v dans G b b nous avons v rifi que I d V d P 0 i 7 4 121 Test 7 4 5 Consid rons une mosa que de deux t tra dres 51 et S poss dant une face commune T En se donnant 4 valeurs de param tres chacun des 5 sommets nous d terminons V E V S et V En choisissant des points P T nous avons v rifi que V S5 v4 CP v P v4 CP 9 Vo P x v4 P 2m V P v P Vo P Test 7 4 6 Soit S un t tra dre En choisissant 4 valeurs de param tres chacun des 4 sommets nous d terminons un v V Nous v rifions que la solution v probl me d interpolation ne d pend de la num rotation des sommets de S Soient P S et t e m calculons v P et v P pour une num rotation A r des s
130. ommets nous avons r p t le calcul et v P pour les 24 permutations des sommets 5 122 8 1 S 8 VARIANTE PROGRAMME 8 1 Pr sentation g n rale de l l ment fini Une solution du probl me l ment fini 1 2 t construite au paragraphe 6 variante I C Afin de rendre possible l utili sation du programme FORTRAN sans avoir tudier toutela construc tion nous d crivons ici sans entrer dans les d tails 1 forme des fonctions l ment fini La solution y est un sous espace lin aire d un espace vectoriel de fonctions U dont connait explicitement une base d 1 u e L i 1 1 44 I La construction de V t effectu e en trois tapes 8 1 1 L l ment de r f rence Nous introduisons un espace vectoriel de base u R i 1 1 44 Ces fonctions ne d pendent de l l ment g n rique consid r Les 16 premi res fonctions bloc 1 sont des polyn mes degr lt 3 L espace engendr par Mon contient tous les polyn mes de degr lt 2 Construction voir 4 3 et 6 2 1 Pro gramme voir et UT44 Les 12 fonctions suivantes u bloc 2 sont des AT e e u 17 728 polyn mes par morceaux de degr lt 3 Le nombre de morceaux consid rer est de 3 pour une fonction de 8 pour une combinaison lin aire de deux fonctions et de 12 pour une c mbinaison lin aire quelconque Construction voir 6 2 2
131. omposantes 014 2 appel es param tres sont de forme Q v v Ai A K ou bien Q v 6 1 ou bien Q v Ee EECHER n 5177777545 ER i 1 N iv restriction 214 est un isomorphisme d espaces vectoriels D finition 2 L interpolation associ e un l ment fini K Q V est l applica tion lin aire 5 T C V Qu 08 D finition 3 D signons par lerese ren la base canonique R La base de Lagrange d un l ment fini K Q V d signe la base e J de V Lorsqu un des param tres est une d riv e d ordre gt 1 la base de Lagrange est aussi appel e base d Hermite D finition 4 Un l ment fini K Q V est dit de degr lt gt V contient tous les polyn mes p IR de degr lt Un l ment fini K Q V est dit polynomial lt gt tous les l ments de V sont des polyn mes D finition 5 Nous introduisons les espaces de SOBOLEV Soient un ouvert born de m D 2 C 9 support de compact dans 9 Pour les multi indices a 0 em nous notons l n a EN dE 9 X Soit v ja On dit que J v L o si et seulement si il existe une fonction de L Q not e 2 v telle que V D 9 Q Q L espace H Q v L ts J v L Q pour lt m est muni des sem
132. otor P les applications affines de T dans T qui d effectuent une permutation des sommets A v Soient P 4 004 ELSE Alors Vu e i 1 1 6 Construction de la base d interpolation de l l ment de r f rence Nous construisons la base de deux espaces u et EE satisfaisant aux cinq conditions ci dessus Un aspect fondamental du mode de construction que nous avons adopt est le suivant Les fonctions d interpolation sont intro duites par bl cs Cette partition des fonctions d interpolation induit une partition en blocs de la matrice d interpolation Nous choisissons les fonctions d interpolation de fa on que La matrice d interpolation associ e soit triangulaire inf rieure par blocs Pour l l ment de r f rence les blocs diagonaux se ront des matrices identit Pour l l ment g n rique largi 3 6 les blocs diagonaux seront des matrices carr es inversibles Bloc 1 fonctions d interpolation de r f rence num ros 1 9 Nous choisissons les 9 polyn mes de degr trois construits sous 3 4 Au 1 2 La condition ii est ainsi satisfaite Le premier bloc diagonal 9 9 de la matrice d interpolation est l identit 8 Bloc 2 fonctions d interpolation de r f rence num ros 10 11 12 1 u E Nous cherchons une fonction a ec T poss dant les propri t s Suivantes U 2 i Wi est de classe C presque partout ses d riv e
133. qui d pendent du t tra g n rique S consid r Construction voir 5 2 Programme calcul Dir Hir His voir ELEMQ valuation des fonctions voir WT11 et UT28 av d Les d riv es des 28 fonctions ont t calcul es sous forme analytique Pour les fonctions rationnelles nous avons utilis la formule d d TA EU dass dede q q 9 _ t 41 4 t o et pid LAT R Programme voir DPT1 DREFCT DWT11 et DUT28 7 1 2 L l ment g n rique largi Nous construisons un espace lin aire U dont la base est 1 tu S R uim 019120 1 1 28 Programme voir 028 Les d riv es de ces fonctions sont 1 cul es au moyen de la formule Ot 171 0 CUP o v e R gt P S et Y est la partie lin aire de l application affine L Programme voir DU28 On consid re un isomorphisme d espaces vectoriels Q U 128 dont la matrice 9 Q u 00u est appel e matrice d interpolation de l l ment g n rique largi Cette matrice est de 1 forme 98 Ted al s l SE Q1 De Y o D4 D4 D4 D sont des matrices 3 3 est une matrice diagonale 12 12 et est une matrice 12 16 Construction voir 5 3 Programme initialisation de D D voir ELEMI initialisation de Q1 voir ELEM2 r solution de ole
134. quivalents F j 0 1 2 1 2 3 i 1 2 3 voir 3 2 L l ment largi est d crit dans 3 6 l espace correspondant est U U T comme pour l l ment affine notons P 0 l interpolation selon param tres g n riques 01 9 voir 3 2 156 92 Nous d composons l erreur d interpolation en trois termes v H v v V I v U v I v La majoration des deux premiers termes V IL v v H I V v Q Q a t inspir e par l analyse de l erreur d interpolation sur le triangle d ARGYRIS voir par exemple CIARLET 3 5 6 1 Premier terme Par le th or me 9 1 2 V v e w P Im n v SS IVi3 p T pour m 0 1 2 et p 11 1 Par l hypoth se cf 0 Iv I v lt h v a m p T 3 P T o c 0 Deuxi me terme V v est un l ment U Nous l exprimons au moyen des param tres et de la base de Lagrange l l ment affine Comme I v A1 0 et grad v Ai 0 i 1 2 3 Q nous aurons 3 _ 1 L W L H v Pogg b Puisque V I v est un polyn me de degr lt 3 en l abscisse Q curviligne le long des c t s de T il est nul le long des c t s Par suite nS ST vos 1 v Bi lt L n n gt n Va V lt n gt G H n n gt A Y v v
135. s a u f dans 0 u 2u 0 sur 90 est un 1 ouvert born connexe dans R L Q et 3 est la d riv e normale au bord de 2 Ce probl me est con sid r sous la forme variationnelle trouver u H Q tel que H Q a u v b v z 2 2 o a H 9 x H Q a u v 2 Au 2 bs d divise T 2 Q La forme bilin aire continue a est H Q elliptique c est dire gt 0 tel que 2 2 Vv H Q a v v gt c g Pour une suite r guli re de mosa ques S r sur Q voir 9 5 d finissons h max diam S K l 1 K d signons par l espace des fonctions de type l ment fini ve associ es la n me mosa que et satisfaisant n Ian Le probl me discr tis selon la m thode de RAYLEIGH RITZ GALERKIN 0 s nonce trouver u V tel que Vv n n n n a u Vp b v A partir du th or me 9 5 on d montre le th or me suivant par des arguments classiques Th or me i lim u u ll g 0 n gt 11 il existe une constante d pendant que de et de la suite des mosa ques telle que si u H 9 n H Q alors Vn EN u u ll lt eh u 2 58 n 3 0 Remarque Dans 4 CIARLET et RAVIART ont d crit une m thode non conforme pour r soudre l quation biharmonique n variables Pour obtenir une majoration analogue ii ci dessus ils ont d supposer
136. s d riv es partielles d ordre deux sont born es ii V contient tous les polyn mes de degr lt 2 trois variables 12 2 iii Pour seize nombres r els C donn s il existe un et un seul l ment tel que 7 C44 2 Ba TAN d V A Cu i 1 1 4 iv Soient S et 5 deux t tra dres d une mosa que Soit AU l ensemble des sommets de 51 S Pour 4K nombres r els donn s le probl me d interpolation iii d termine une fonction Vi d finie sur SJ et V d finie 2 Nous exigeons que Vi et Vo colincident sur 51 15 et d finissent ensemble une fonction contin ment diff ren sur S tiable sur S U 5 v L espace V et la solution v V du probl me d interpolation iii ne d pendent pas de la num rotation des quatre som mets de S Remarque 1 La propri t i entra ne que V v V les d riv es partielles d ordre deux de v appartiennent L 5 En particulier V S c H S Remarque 2 D finissons 5 5m Qii 3 V v Ai La propri t iii exprime que 5 0 est un l ment fini En particulier dim V 16 Remarque 3 La propri t ii s nonce aussi l l ment fini S Q V est de degr deux D finition 1 Soit Y l ensemble des t tra dres d g n r s de R Une solu tion du probl me l ment fini ci dessus est une famille d l ments finis LX9 009 VS ser
137. s partielles d ordre deux sont born es Li L u il wf LI ef ii Les restrictions de Vu aux c t s du triangle de r f rence sont nulles d 111 restriction de la d riv e directionnelle Vi au c t 1 oppos est un polyn me de degr lt 2 une variable 1 av B et 0 Dour a A Ed 1 2 et 3 les restrictions des d riv es ov Wi au c t i prenant les valeurs 0 1 en Au sont nulles Une telle fonction permet construire les trois fonctions d interpolation restantes Nous donnons deux exemples de fonctions 1 poss dant les propri t s demand es Variante I CLOUGH TOCHER 51 5 1 2 7 7 5 16 5 dans A VI 2 1 ru x 3X dans 1 2 l y y x sy dans Y Q d Ee Les triangles TT et T4 sont d finis dans la figure 3 5 3 1 Fig 3 5 Triangle de r f rence divis trois triangles y fy fy l 1 T r r Ta de sommet commun 5 5 Variante BAZELEY CHEUNG IRONS ZIENKIEWICZ 1 2 VI Fr E 2 y 1 1 bey Remarque VII Le comportement de w 1 aux points 1 0 et 0 1 est analogue celui de l exemple donn dans 1 1 sous la d finition 6 BI 3 6 El ment triangulaire g n rique largi douze param tres Nous donnons maintenant deux solutio
138. s utiliserons galement un quatri me param tre auxiliaire 3 y l K v 5 vue d utiliser la construction 2 5 introduisons les ments de variables E che ct Notons w l x y le triplet w x y repr sente les coordonn es AT barycentriques du point x y T x gt 0 1 En crivant la fonction v x y en coordonn es barycentriques les applications E v ven effectuent i me permutation cyclique des coordonn es barycentriques 1 1 1 1 Relativement la composition E E est un groupe cyclique isomorphe Z modulo 3 Lemme Les param tres satisfont F q E 8a d o E i 1 2 3 1 1 1 D monstration Pour j 1 2 v F 13 mud V v a e j L AU V du N SE 1 1 1 1 4 Les autres galit s se d montrent de fa on analogue Z 3 3 du probl me l ment fini triangulaire de classe cl de degr deux neuf param tres Nous cherchons un espace vectoriel V V T de fonctions contin ment diff rentiables v T 3 R poss dant les propri t s suivantes i Les fonctions de V sont de classe presque partout leurs d riv es partielles d ordre deux
139. sQ O DO 10 Js 1 28 SUMSSUM T J I U J 10 CONTINUE V I SUM 20 CONTINUE RETURN END C SUBROUTINE DHERM VX VY VZ PX PY PZ DV C us C ELEMENT FINI GENERIQUE DE CLASSE C1 DE DEGRE DEUX Cwwww 16 PARAMETRES C ENTREES 3 TETRAS BLOC COMMUN QUI DOIT AVOIR ETE PREALABLEMENT Cw INITIALISE A L AIDE DES SUBROUTINES ELENG ELEM1 ELEM2 ELEM3 VY VZ UN VECTEUR PX PY PZ UN POINT DU TETRAEDRE GENERIQUE Ceeer SORTIES 0 1 DV 18 DERIVEES DES 16 FONCTIONS DE LA D HERMITE DANS LA DIRECTION VZ AU POINT PX PY PZ REAL LL NX NY NZ COMMUN TETRAS 4 7 4 7 4 1 4 3 4 5 7 4 3 MUX 4 MUY 4 MUZ 4 e D 4 5 3 05 12 801 12 16 T 28 16 LL 3 3 IPERM 3 DIMENSION DV 16 DU 28 CALL DU28 28 VX VY VZ PX PY PZ DU DO 20 1 1 16 0 00 10 721 28 SUMSSUM 204 4 10 CONTINUE 1 2SUM 118 155 20 CONTINUE RETURN END 7 4 119 7 4 Tests num riques Nous avons proc d des v rifications num riques du gramme pr c dent sur l ordinateur CDC CYBER 73 de l Ecole poly technique f d rale de Lausanne Nous d crivons bri vement les tests effectu s Remarque Nous utiliserons parfois les expressions soit S un t tra dre choisissons un point dans S etc Pratiquement les donn es num riques
140. sont born es ii V contient tous les polyn mes de degr lt 2 deux variables iii Probl me d interpolation lin aire Pour neuf nombres r els donn s 11 existe un et un seul l ment Jy ea Ca v de V tel que v A d D V A c3 1 2 3 Conditions de raccordement Les restrictions de v V aux c t s du triangle sont des polyn mes degr lt 3 une variable La restriction de la d riv e normale de V 1 au c t oppos est un polyn me de degr l une variable i 1 2 3 38 343 Passage du triplet r a au triangle T L espace V 2 et la solution v V du probl me d interpolation iii ne d pendent pas de la num rotation des trois sommets de T Remarque Comme nous l avons fait sous 1 2 pour le probl me l ment fini sur un t tra dre nous pouvons d finir ici de analogue ce que sont un l ment fini g n rique solution T Q T V T l espace de type l ment fini associ une triangulation k un l ment fini g n rique de classe 0 1 l interpolation globale associ e une triangulation Construction de l l ment fini La solution de ce probl me l ment fini est construite en quatre tapes Nous commen ons par r soudre un probl me d interpolation neuf param tres sur un espace purement polynomial 3 4 l l ment fini g n rique correspondan
141. suivante D DA D y D sont des matrices 3x3 est une matrice diagonale 12 12 et Q4 est une matrice 12x16 66 D termination D Li Soient n u Uo L u U alors o d d 9 R 1 2 721 P R T 28741 Qu De m me Qi o 9 4 u Z Z Q 54 7X4 1 u 1 4 1 1 une permutation cyclique 1 2 3 4 ze L 12 9 3 u gt u D Q 7 W u Uu y 7Yy Q 100 u U 0 4 1 9 u Par construction des fonctions d interpolation pseudo r f rence nous avons 0 1 2 341 2 Qui 9432 u Q 4j 2 41 Q 11 27 41 41 Gg SC o D X X Y Ya 2 724 i 114 Sg Ye Yi 2 741 Determination Dg Par construction des fonctions r 17 1 28 D est diagonale 5 En utilisant les propri t s des fonctions pseudo r f rence pour j 1 2 3 et i 1 1 4 nous aurons 1 d u d ij 3141414 B Q L 31 1 14 1 t n 31 3 14 ERO een EA LE lt R amp n n Q 11 17 31 5 14 23144414 l galit se montre en crivant le vecteur parall le la i me face dans une base orthonorm e 47044 comme 3414 14 s annule le long des trois c t s de la face i nous aurons
142. t 8 poss dant les propri t s suivantes 1 Can est classe presque partout ses d riv es tielles d ordre deux sont born es ru 11 Les restrictions de Can aux quatre faces de S sont nulles d iii restriction de d riv e normale de Can la face 1 consid r e comme fonction de deux variables est un poly n me de degr lt 2 par morceaux satisfaisant H r 10 il i 1 1 4 Une telle fonction nous permet de construire quatre fonctions d interpolation aV VU m GET Ke L rig 9 1 1 4 Avec choix la matrice d interpolation prend forme Remarque Nous avons d abord cherch les fonctions de r f rence parmi les polyn mes de degr lt 3 par morceaux Nous avons consid r les douze morceaux suivants ny n A A AV n n n e Apr x 1 1 1 n o C et i j k est une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 78 6 2 3 Nous avons constat qu il n est possible de r soudre Le probl me l ment fini 6 2 uniquement avec tels polyn mes par morceaux Ce r sultat n gatif fera l objet de 6 2 5 Nous LI d montrerons aussi que peut pas tre un polyn me de 10 degr lt 3 par morceaux au Construction de rig d Nous prescrivons que les restrictions de Can 8 5 et 55 voir fig 6 2
143. t tra dre consi d r es comme fonctions de deux variables sont des polyn mes de degr lt 3 par morceaux de type ut voir 3 6 La restric tion de la d riv e directionnelle u la face i consi d r e comme une fonction de deux veri est un polyn me par morceaux de degr lt 2 Les morceaux sont ceux de la figure 3 5 une transformation affine pr s dans v Soient applications affines de fi 24 ru X y qui effectuent une permutation des sommets 4 Alors eU i 1 1 24 Construction de la base d interpolation de l l ment de r f rence VU Nous construisons une base u J d un espace satisfaisant p 44 aux cinq conditions ci dessus Nous introduisons ces fonctions par blocs Cette partition de la base induit une partition en blocs de la matrice d interpolation Nous choisissons base d interpolation de fa on que matrice d interpolation associ e soit triangulaire inf rieure par blocs Pour l l ment de r f 6 291 6 22 75 rence les blocs diagonaux seront des matrices identit Pour l l ment g n rique largi 6 3 les blocs diagonaux seront des matrices carr es inversibles 6 2 1 Bloc 1 fonctions de r f rence num ros 1 16 Nous choisissons les seize polyn mes de degr trois construits sous 4 3 nj iui ij i 1 1 4 J 0 1 3 La co
144. t de calculer sont des polyn mes par morceaux de degr lt 6 7 u v 1 1 28 de fa on exacte Le nombre de morceaux consid rer est un si u lt 16 et v lt 16 Ce nombre est de trois dans Les six cas suivants 17 lt u lt 28 et v lt 16 u lt 16 et 17 lt 17 18 19 12021 22 Wv 12324251 26 27 28 lt 28 184 10 3 Dans tous les autres cas il faut consid rer huit morceaux divise d abord 5 quatre t tra dres ayant pour base les d 2 1 1 1 faces de 5 et poss dant en commun le sommet 71 41 p deux de ces t tra dres partiels doivent tre encore divis s ru en trois parties ayant le centre gravit d une face de pour sommet commun 10 3 Tableaux r duits Nous montrons maintenant qu il suffit de ne calculer qu une partie des 106 480 coefficients des tableaux de r f rence Premi re r duction Gt ll Soient I Il utilisant les automorphismes la r 01 du t tra dre de 1 2 3 4 17 18 19 29 33 34 35 r f rence voir 4 1 nous montrons qu il suffit de calculer ab avec o I et v I OV 1 nU En effet eT I peut s crire d une fa on unique sous la forme av 1 B 4299 Ii i 1 2 3 4 remarquant que HS peut se mettre sous la forme ru u u o UU L et que det B l nous aurons 10 3
145. t est de classe e mais n est pas de classe ct Sur le triangle de r f rence nous introduisons trois A Y PET G G et trois fonctions auxiliaires 2773 n n y Pd t 104511 et 412 3 5 L l ment g n rique corres pondant 3 6 est de classe ci de degr deux douze param tres A param tres suppl mentaires d polynomiales u Nous rempla ons les trois param tres g n riques suppl mentaires G par des contraintes lin aires et obtenons la solution 2754 du probl me sous 3 7 3 4 El ments finis polynomiaux El ment polynomial de degr trois Les dix param tres AAA 128 205721055220 32 voir 3 2 d finissent un probl me d interpolation unisolvant sur l espace v T R v polyn me de degr lt 3 La base de Lagrange de ce probl me est d termin e au moyen de 2 5 et 2 6 1 1 x y 2x 11xy 2y d 1 1 2 j 2 Vii d 1 Vij 714 Bou dom 1 22 20 12 27 1 3 O L l ment g n rique correspondant est de classe mais n est g pas de classe cl El ment polynomial de degr deux Les six param tres 10 restreints l espace 12 20 Pai 22 30 F31 F3 Il T 21 v polyn me de degr lt 2
146. tialisation de 1 voir ELEM3 valuation de Vi 1 l l i6 voir HERM valuation des d riv es direction nelles de Vi 1 1 1 16 voir DHERM 8 2 Mode d emploi du programme 8 2 1 Les subroutines DECOMP et SOLVE Le programme 8 3 doit tre compl t l aide des deux sub routines suivantes La SUBROUTINE DECOMP NX NN A SC IPS D effectue la d composition de Gauss de la matrice A avec choix du pivot par lignes Entr es NX dimension d clar e de matrice A NX NX NN nombre de lignes de A A matrice carr e d composer Sorties A matrice sous forme factoris e IPS vecteur contenant la nouvelle num rotation des lignes de A cons cutive au choix des pivots D d terminant de A 8 2 127 est un vecteur de travail La SUBROUTINE SOLVE NX NN A B X IPS r soud le syst me d quations lin aires A est sous la forme d compos e de Gauss Entr es NX dimension d clar e de A NX NX NN nombre de lignes de A A matrice carr e sous forme factoris e B membre de droite de l quation IPS vecteur contenant la nouvelle num rotation des lignes de A cons cutive au choix des pivots Sortie X solution de l quation 8 2 2 Le probl me d interpolation lin aire Afin d viter des calculs inutiles nous organisons le travail selon trois cycles imbriqu s Le cycie ext rieur porte sur les t tra dres Chaque fois que l on consid re un nouveau t tra dre on doit
147. ttp www deleze name marcel maths FORTRAN idex html 11 RETURN PT12XvW N Q 5 Y 2 RETURN END 111 T 171111 111 L L FUNCTION WT11 WT XT YT ZT ee mm em e mm Cr Cr Crus Cr e Cr e 20 30 BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE REFERENCE VALEUR DU POLYNOME PAR MORCEAUX WT 1 1 AU POINT WT EST INACTIF X2XT Y2YT 2817 IF X GE Y IF X GE Z AND MORCEAU 1 WTi11i X 2 wXw X 3 XwY X Z 2 wYw amp Z RETURN MORCEAU 2 WT11 Y Y Z Y 3 RETURN MORCEAU 3 NT11 Z Z RETURN END Z GE Y GO TO 29 Y GE Z2 GO TO 30 2 3 e u e gt vu gt 99 9 D so 59 es 5 98 lt gt 42 C C 132 FUNCTION 5710 WT XT YT ZT HP lt s WF p ss
148. ui de la variante voir 5 3 Nous obtenons Rom ro 23 24 D E XTX Y cy 2 72 e l 1 4 mc gef o i j k est une permutation cyclique des nombres 1 2 3 4 diag D lt DE n gt lt a n n Pg Py 5 11 11 12 12 E 2 D termination de D et 9 81 s annule dans la i me face S Par construction La fonction de r f rence Hn nous avons 1 HOD o 421410 2 M 92841 Ci ru lt Rimi m gt H d 2 m gt Q i 1 1 4 28 92841 88 6 4 D finissons fX d lt mj m gt ji l 1 4 Nous obtenons diag DE d d d d Par un calcul similaire diag D 4 41 4 4 4 4 4 4 4 4 4 E 6 4 El ment fini t tra drique de classe deux 16 param tres Nous sommes maintenant en mesure de donner une solution variante du probl me l ment fini 1 2 Dans l l ment g n rique largi 44 param tres nous allons remplacer Les 28 param tres auxiliaires par 28 contraintes lin aires Afin de satisfaire condition de raccordement 1 2 1 nous exigeons que 6 4 1 restriction de 1 d riv e normale d la face i consid r e comme une fonction de deux un polyn me de degr x 1 i 1 1 4 Pour u U restriction d u la i me face consid r e comme une fonction continue de e variables est un polyn me
149. ute Cr e Crus Cr Cru Cr Crus Cr er C www Cr e Cr Cr Cher ELEMENT DE CLASSE C1 VARIANTE II FEVRIER 1978 FINI TETRAEDRIQAQUE DE DEGRE DEUX SEIZE PARAMETRES MARCEL DELEZE INST DE MATH UNIVERSITE 1700 FRIBOURG SWITZERLAND tww www Ve e Ve r Se e e d de Ve Ye Ye Ye Ye de Se de Ck eoe de he Ve de HH ORO ee ON POOR ER e de er EE C C Les programmes ont t num ris s sous la forme de fichiers textes http www deleze name marcel maths FORTRAN index html RETU END RN 9 98 ee C C SUBROUTINE WT XT YT ZT RO R1 R2 R3 BASE D INTERPOLATION DE L ELEMENT DE PSEUDO lt SREFERENCE VALEURS DES FONCTIONS RATIONNELLES RA R1 R2 ET R3 AU POINT ZT MT 1l XT YT ZT Cr Crus Cut Crus Chur NOUS SUPPOSONS QUE LE POINT XT YT ZT NE SO
150. z 1 2 2 1 2x y 3 1 2 2 2 2x y 1 2x z 1 3 1 2 2 2 2 22 2 3 2 2 1 2 1 3X 96 Tad S 7 VARIANTE II PROGRAMME 7 l Pr sentation g n rale de l l ment fini Une solution du probl me l ment fini 1 2 t construite au paragraphe 5 variante possible l utili sation du programme FORTRAN sans avoir tudier toute struction nous d crivons ici sans entrer dans les d tails la forme des fonctions l ment fini La solution vH est un sous espace lin aire d un espace vectoriel de fonctions U dont on conna t explicitement une base Ju ze u eL i 1 1 28 La construction de t effectu e en trois tapes 7 1 1 L l ment de pseudo r f rence Nous introduisons un espace vectoriel de base R i 1 1 28 Les 16 premi res fonctions bloc l sont des polyn mes de r degr 3 L espace engendr par lU roon rU contient tous les polyn mes de degr lt 2 Construction voir 4 3 et 5 2 Programme voir PT et UT28 Les 12 derni res fonctions bloc 2 sont d une forme U logue celle de U17 V ru 015 X Y Z Wi Dir 2 2 ep 2 UH d iy r X Y Z M 2 o r et sont des fonctions rationnelles et His sont des nombres r els

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

downloaded - Environmental Monitoring & Control Limited  Si, viaggiare - Tutu Production    

Copyright © All rights reserved. Failed to retrieve file