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Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L`ALGEBRE ET

1. qui est le mode d emploi usuel du calcul alg brique A cet gard nous f rons encore ici une observation il existe plusieurs mani res classiques de nier la sp cificit de l alg bre enseign e La plus fr quemment employ e celle laquelle pourront recourir par exemple les enseignants qui se sentent bien dans la tradition d enseignement o ils doivent op rer c est que la diff rence entre _ l alg bre enseign e et l alg bre savante n est qu une affaire de niveau sans autre variation essentielle sans v ritable solution de continuit c est ainsi que l l ve n aura conna tre et utiliser qu un tr s petit nombre de produits remarquables simples tel a b a b a b tandis que dans s s propres travaux un math maticien comme Lagrange pour ne prendre que cette r f rence eut mettre en oeuvre des r sultat plus divers et plus comp eres tel par exemple l galit x ay x ay xx ayy a xy yx e A cette interpr tation banalisante et sereine s oppose une seconde interpr tation classique d nonciatrice et militante l alg bre enseign e contrasterait bien avec l alg bre savante et il en irait de m me d ailleurs propos de tout secteur d s math matiques en ceci que la premi re diff re de la seconde par son archaisme par son retard historique qu une r forme n cessaire et une mise jour volontaire permettraient de combler On o
2. Et tout d abord comment se fait il que nous nous trompions si souvent alors que nous croyons appliquer un r sultat exp rimental C est que les fronti res d un tel r sultat ne sont jamais bien connues quand nous disons une baguette de verre frott e attire de petits morceaux de papier ceci suppose remplies bien des conditions sous entendues et mal connues Il faudrait pouvoir pr ciser ce qu on appelle du verre du papier ce qu on appelle frotter pr ciser les temps les distances les masses et aussi les conditions atmosph riques etc L arithm tique elle n utilise qu un tr s petit nombre d exp riences dont chacune a t r p t e un nombre prodigieux de fois par chaque homme depuis qu il y a des hommes Aussi nous savons sans h sitation dans quels cas l arithm tique s applique dans quels cas elle ne s applique pas Dans ces derniers cas l id e d appliquer ne nous effleure pas un instant nous ne pensons appliquer arithm tique l que lorsqu elle s applique si bien que nous oublions qu il y a des cas o elle ne s applique pas deux et deux font quatre affirmons nous Dans un verre je verse deux liquides dans un autre deux liquides Je verse le tout dans un vase contiendra t il quatre liquides C est de la mauvaise foi dites vous ce n est pas une question d arithm tique Dans une cage je mets deux animaux puis encore deux animaux combien le cage contient elle d animaux Votr
3. nonc et utilisation de quelques propri t s Caract ristiques des figures pr c dentes Travaux num riques En dehors du paragraphe 7 les nombres utilis s sont positifs Techniques op ratoires mentales ou crites sur les nombres entiers t d cimaux Proc d s de calcui approch troncature et arrondi ordre de grandeur d un r sultat criture fractionnaire de d cimaux et op rations x Crit res de divisibilit par 2 3 5 9 Quotient de deux d cimaux criture approximations de ce quotient b Multiplication d un d cimal par avec a et b entiers b 0 4 Initiation aux critures litt rales exemples formules d aires II Rangement de nombres Equations du type 205 23 x C 471 5 ou 8 2 Exemples introduisant les nombres relatifs partir de probl mes vari s Somm et diff rence de deux entiers relatifs simples Exercices concernant le rep rage d un point sur une droite orient e munie d une origine et r guli rement gradu e Coordonn es d un point du plan en rep re orthogonal Organisation et gestion de donn es Fonctions Exemples issus d activit s A base num rique Application d un pourcentage une valeur relev s statistiques op rateurs constants d une calculatrice base g om trique Calcul du p rim tre et de laire d un rectangle du volume d un parall pip de rectan
4. En revanche la mention de la trigonom trie qui il est vrai n appara t ici que dans une r ponse pourrait tre mise en relation avec la pr sentation actuelle des notions trigonom triques qui fut introduite dans la noosph re d s le milieu des ann es soixante dix par le livre de Gustave Choquet L enseignement de la g om trie Hermann Paris 1964 8 Qu est que Palg bre 2 Le savoir savant 8 1 L examen du savoir savant met en relief un point essentiel le noyau primaire de l alg bre c est la th orie des quations telle que la cr e dans la premi re partie du IXe si cle al Khwarizmi H faut souligner tout de suite sur l exemple des probl mes que nous disons du premier degr en quoi l alg bre en ce sens se diff rencie de l arithm tique 8 2 Consid rons le probl me suivant emprunt un manuel d arithm tique publi en 1925 voir l annexe 3 Un n gociant ach te une pi ce de drap raison de 40 francs le m tre Il en revend le quart 54 40 francs le m tre 1 5 56 francs le m tre et le reste 50 francs le m tre Il retire de cette vente un b n fice de 1476 francs Combien y avait il de m tres dans la pi ce de drap La r solution de ce probl me par alg bre suppose d abord le choix de l inconnue on prendra ici le nombre cherch soit la longueur de la pi ce de drap achet e puis la 186 K Chevallard mise en quation
5. Enseignement de l alg bre 207 de nombres se trouve depuis longtemps d connect e de l outil alg brique 13 5 La principale difficult pour faire reconna tre ce domaine un droit l existence didactique tient videmment aux effets chez les enseignants eux m mes des pressions culturelles longuement voqu es Etant donn e la hi rarchie des valeurs dans laquelle on doit op rer comment faire accepter comme l gitime d s lors que l on sort d un cadre revendiqu et accept comme strictement exp rimental l usage du temps didactiquement si pr cieux et toujours mesur n cessaire l apprentissage d un emploi de l outil alg brique qui ne conduira gu re du point de vue de la manipulation formelle des expressions alg briques crit re que la tradition d enseignement fait accepter comm point de vue dominant voire unique qu des manipulations litt rales simplettes Ainsi un probl me tel le suivant Montrer que la somme des carr s de trois entiers impairs successifs augment e de I est un multiple de 12 qui se situe sans doute la limite de ce que l on peut esp rer la fin d un premier apprentissage fonctionnel de l alg bre ne supposera pourtant du point de vue formel qu un calcul relativement banal i e la d monstration d une galit du type 2a 1 2a 1 2a 3 1 12 a a 1 13 6 Soulignons au passa
6. ee et on aura 177 53 2 l quation 1 TT _ Eten r duisant on trouve x 35 En effet si l on 8 177 3 2 16 multiplie l quation 1 par 8 elle devient 8 177 3x ou 230 e a Y Chevallard 185 35 16r eten multipliant de nouveau tout par 7 on a enfin 1295 21x 167 ou 1295 da et en divisant par 37 on a x 35 Ainsi A fera 35 milles avant de rencontrer B Le m me probl me d une mani re plus g n rale On donne les vitesses de deux mobiles A et B on donne aussi la diff rence des temps et des lieux de d part on demande de d terminer le lieu o ils se rencontrent Supposez que la vitesse de A soit telle qu il parcoure l espace c pendant le temps f et celle du mobile B telle qu il parcoure l espace d dans le temps g supposez encore que la diff rence des points de d part soit e et la diff rence des instants de d part h n PREMIER CAS si les deux mobiles vont dans le m me sens et que poursuive B le chemin de A sera gal celui de B plus l intervalle qui s parait les deux mobiles au commencement du mouvement appelez x le chemin de A retranchez c de x et le reste x c sera le chemin de B Et comme A parcourt l espace c dans le temps f on trouvera le temps qu il emploie pour parcourir x par cette proportion l espace c au temps f l espace ciau temps Et commie B parcourt l espace d dans le gx ge temps g
7. il programme un ordinateur pour un traitement voulu que l obligation de pr cision doit lui appara tre comme une vidente n cessit 3 Programmes Pour toutes les classes les connaissances acquis s ant rieurement sont mobilis es et utilis es le plus souvent possible CLASSE DE SIXI ME Le travail effectu doit permettre l l ve d acqu rir et de parfaire l usage d instruments de mesure et de dessin de d velopper le calcul mental et de fa on conjointe d utiliser rationnellement des calculatrices de poche de s initier progressivement au rais nnement d ductif L emploi d un ordinateur peut n accompagner utilement ces activit s 1 Travaux g om triques 1 Reproduction de figures planes simples Comparaison d aires planes 2 Parall l pip de rectangle description repr sentation en perspective patrons 3 Dans les plan transformation de figures par sym trie orthogonale par rapport une droite en exploitant des probl mes n cessitant des manipulations des dessins et des mesures Construction de l image d un point d une figure simple Enseignement de l alg bre 218 Mise en vidence de la conservation des distances de l alignement des angles et des aires Exemples d utilisation de ces propri t s Construction d axes de sym trie m diatrice bissectrice Construction de triangles isoc les de quadrilat res poss dant des axes de sym trie rectangles losanges
8. dans la mesure exactement o ces partenaires n b n ficient pas de l autorit culturelle et sociale que suppose le pouvoir d investiture permettant de conf rer au projet et aux pratiques d enseignement concern s la l gitimit requise 4 4 Il en va ainsi en particulier avec le groupe multiforme et composite des parents Le rapprochement du savoir enseign avec le savoir des parents qui n est pas homog ne tant donn la stratification sociale mais que a ses repr sentants travers les associations de parents d l ves etc est en effet un pi ge non seulement le groupe des parents est jusqu TT r i mm Si 178 a y Chevallard aujourd hui d pourvu de la puissance d investiture et de l gitimation n cessaite mais n gativement ce rapprochement tend d qualifier socialement le travail de l enseignant en banalisant les objectifs assign s au syst me d enseignement l cole primaire fournissant ici le cas le plus visible mais non le seul du type de dysfonctionnement qu une telle volution en elle m me naturelle tend provoquer et qui peut la limite conduire les parents regarder les ensei gnants comme recevant mission de faire ce qu ils pourraient tr s bien faire eux m mes s ils en prenaient le t mps dans une perspective o les enseignants re oivent ainsi un statut social proche de celui de la femme de m nage 4 5 La solution spontan ment appo
9. qu elle en amoindrit la port e et en pervertit la signification et ceci d abord non pour l observateur ext rieur math maticien pist mologue didacticien ou enseignant des classes ult rieures mais pour l l ve Iui m me lors du premier apprentissage d abord dont le cadre artificiel est corr latif de l tablissement d un rapport au savoir alg brique minemment incertain lors de sa mise en oeuvre fontionnelle dans une tape ult rieure des tudes ensuite dans la mesure o le rapport labor jusque l appara t inadapt aux emplois fonctionnels qui seront alors requis ainsi qu on a tent de le montrer plus haut 10 6 Venons en maintenant ce que nous avons appel la place de l enseignant On peut reprendre i ici de ce point de vue les lements des analyses pr c dentes Op rant dans un cadre formel l enseignant doit la fois donner l l ve mati re agir par la mise en oeuvre des fameux algorithmes et contr ler son action afin de r duire selon une exigence proprement didactique que nous avons soulign e l espace math matiquement ouvert des comportements possibles jusqu n y enfermer plus que le comportement orthodoxe attendu Cette difficile mission ne peut r ussir que par le recours de multiples dispositifs visant isoler et fragmenter artificiellement les th mes enseigner afin d viter toute contamination entre eux en tiquetant cha
10. qui conduit ici crire 54 40 2 4 56 x 5 50 z 4 x 5 40x 1476 C est en ce point que l on doit recourir au calcul quationnel o l on trouve l tat de germe ce qui deviendra le calcul alg brique le plus g n ral lequel permet de r crire l quation obtenue sous des formes successives quivalentes en multipliant par 20 2725 224r 50 20x 5a 4x 800x 29520 en r duisant les termes semblables 496x 550r 800x 29520 soit encore 246r 29520 en divisant alors par 246 gz 120 8 3 Examinons maintenant la solution traditionnelle par larithm tique du m me probl me La m thode mettre en oeuvre est ici le proc d dit de fausse position ou de fausse supposition encore appel regula falsi Bien entendu il n y a pas alors mise en quation v ritable mais il sera utile pour la comparaison vis e de se r f rer l quation obtenue plus haut On choisit un nombre quelconque que l on regarde comme une fausse valeur du nombre cherch plus habilement pour viter les fractions il est judicieux de choisir i ici un multiple commun 4 et 5 par exemple 20 D s lors on peut d terminer par un simple calcul num rique ce que le n gociant aurait gagn s il avait effectivement achet une pi ce de drap de la longueur choisie savoir 5 fois 54 40 francs plus 4fois 56 francs plus 20 5 4 fois
11. La pens e sauvage Grenoble Deuxi me dition augment e 1991 FREUDENTHAL H 1973 Mathematics as an Educational Task D Reidel Dordr cht o TONNELLE J 1979 Le monde clos de la factorisation au premier cycle IREM d Aix Marseille IREM de Bordeaux MATERIELS BIBLIOGRAPHIQUES BELL A FISCHBEIN E GREER B 1984 Choice of Operation in Verbal Arithmetic Problems the Effects of Number Size Problem Structure and Context Educational Studies i in Mathematics 15 129 147 CHOQUET G 1964 L enseignement de la g om trie Paris Hermann LAPLACE P S 1812 Lecons de math matiques donn es l Ecole normale en d 795 Journal de l Ecole polytechnique septi me et huiti me cahiers tome II LEBESGUE H La mesure des grandeurs Blanchard Paris 1975 MINIST RE DE L DUCATION NATIONALE 1985 Coll ges Programmes et instructions BO et CNDP Paris MORTREUX X MORTREUX O 1925 Nouvelle arithm tique des coles primaires Belin Paris NEWTON I 1707 Arithm tique universelle traduite du latin en fran ais avec des notes explicatives par No l Beaudeux Bernard Paris 1802 SMITH D E LATHAM M L 1925 The Geometry of Ren Descartes with facsimile of the first edition Dover 1954 VAUZELARD J L 1630 L La nouvelle alg bre de M Vi te 2 Fayard Paris 1986 Enseignement de l alg bre 209 ANNEXE 1 Le nouveaux programmes de math matiques des coll ges f
12. bien des math matiques des math maticiens Mais cette l gitim a t peu de temps apr s remise en question sur ce point au moins la th orie des ensembles ayant t d nonc e comme trahissant la v ritable th orie des ensembles 4 La dialectique de la l gitimation sociale 4 1 Le caract re dominant de la contrainte de compatibilit avec le savoir savant constitue un important principe d conomie en ce qui concerne le processus global de n gociation par le syst me d enseignement lato sensu avec la soci t prise comme un tout complexe de la l gitimit sociale et culturelle du projet et des pratiques d enseignement Elle permet en particulier de mener cett n gociation avec un part naire privil gi le savoir savant en ses repr sentants et tend mettre distance les autres partenaires potentiels du d bat 4 2 Mais ce caract re dominant peut S affaiblir Il en est ainsi par exemple lorsque la communaut savante ne joue pas en telle ou telle OCCASION d termin e le r le de puissance d investiture et de l gitimation qui a t d crit plus haut situation qui s est produite en R publique F d rale d All magne en ce qui concerne le mouvement des math matiques modernes par exemple 4 3 Plus g n ralement toute volution qui tend mettre en avant d autres partenaires potentiels semble devoir affaiblir la place du syst me d enseignement au sein de la soci t
13. contient notamment les professeurs militants leur associations les producteurs et les d fenseurs de telle doctrine didactique etc 1 4 A l int rieur de la soci t et l ext rieur du syst me d enseignement lato sensu deux instances jouent un r le essentiel dans les m canismes examin s plus loin la communaut savante relative au savoir ensei gn ici la communaut des math maticiens d une part le groupe des parents d autre part 1 5 A ces deux groupes sociaux on peut adjoindre de multiples autres groupes dont 176 Y Chevallard l importance a t jusqu ici et en ce qui concerne l enseignement g n ral du moins relativement faible en particulier les groupes de m tier 2 L cologie du savoir enseign 2 1 Lorsqu on consid re un syst me didactique ou plus exactement une classe d t rmin e de syst mes didactiques on observe qu en ces syst mes se traite du savoir En premi re approximation on peut consid rer le th me de la transposition didactique comme une r ponse globale et qui demande tre approfondie en chaque cas particulier la question d o ce savoir vient il 2 2 Audel dela question de l origine ov plut t de la gen se du savoir enseign une autre question ou plus exactement une autre classe de questions doit tre pos e quelles sont les conditions qui permettent l existence de ce savoir ou de tel ou tel de ses l ments qui en expl
14. deux quations y a retz b x et on aura les valeurs de y et de z Par exemple si la somme de y et de z est 9 celle de x et z 10 et celle de y et z 13 alors substituez dans les quations 9 au lieu de a 10 au lieu de b et 13 au lieu dec eta b c sera gal 6 Et x atb _ 3 y a r 6b etz b d x 7 PROBL ME III Il s agit de partager un nombre donn en parties telles que chacune des plus grandes surpasse la plus petite d une quantit donn e Soit a la quantit qu il faut partager en quatre parties et x la premi re et la plus petite de ces parties b l exc s de la seconde sur la premi re c l exc s de la troisi me et d l exc s de la quatri me La seconde partie sera donc x la troisi me r c et la quatri me x d La somme de toutes ces parties sera 4x d c d qui Enseignement de l alg bre 229 doit tre gale a Donc 4r b c d a Retranchez de part et d autre b c d b c d et le reste sera 4r a b C d ou z PCT Par exemple qu il s agisse de partager une ligne de 20 pieds en uaire parties de mani re que l exc s de la seconde sur la premi re soit de deux pieds celui de la troisi me sur la premi re de 3 pieds et enfin celui de la quatri me de 7 pieds La a b c d _ 20 2 3 valeur de x sera z __m oU T To xr b 4 x c 5 r td 9 On suivra la m me marche pour diviser une autre quantit quelconque en un nombre de partie
15. dont la somme soit 20 T y ra 20 et la somme des quarr s 140 ET Da _ 10 y y Les deux quations y 7 20 et x y 140 tant r duites on en tirera les valeurs de x et de y Voici un autre exemple Un marchand augmente son argent d un tiers chaque ann e moins cent livresl qu il d pense dans le m me espace de temps pour les besoins de sa famille au bout de trois ans ses richesses sont doubl es on demande combien il avait d argent Voici toutes les propositions qui sont renferm es implicitement dans cette question et qui doivent tre exprim es pour parvenir la r solution du probl me 11 s agit ici comme on pense bien de livres sterlings ainsi cent livres font environ 2200 francs Enseignement de l alg bre 227 Question exprim e La m me en langage alg brique en langage ordinaire Un marchand a un certain nombre d cus sur lesquels il d pense cent livres la premi re x 100 ann e SE Il augmente ce qui lui reste d un x 100 n ou bien suli tiers n La seconde ann e il d pense 4e 400 _ 100 ou bien de 700 encore cent livres et il augmente ce Ax 700 4x 700 16g 2800 qui lui reste d un tiers o bien 3 9 Q La troisi me ann e il d pense 16x 2800 _ 100 ou bien 167 3700 encore cent livres et il augmente ce qui lui reste d un tiers et il se 16 3700 162 3700 ou bien 64x 148
16. il parcourra l espace x dans le temps Et comme on suppose la diff rence des temps gale h il suffira d ajouter A au plus petit pour les rendre gaux par exemple f si c est B qui a commenc se mouvoir le premier et on fe gr ge cge cdh aura l quation h et en r duisant il vient Si au contraire c est A qui est entr le premier en mouvement alors il faut ajouter h IT ge et le soleil le sera par B et gete lune Et si on substitue dans la formule 13 au lieu de c 1 au lieu de f d et g 90 au 13 x1x90 13x1x3 1209 lieu de e et 3 au lieu de h elle deviendra Gzizizsi 1007 Comptez donc ces cent degr s trois quarts depuis le commencement du b lier et vous sera la longueur du chemin que fera la arriverez 1095 au 10 45 du cancer EXEMPLE II Si deux messagers A et B loign s l un de l autre de 59 milles partent le matin pour aller leur rencontre mutuelle que fasse 7 milles en deux heures et B 8 milles en trois heures que B se mette en route une heure plus tard que on demande le chemin que fera avant de rencontrer B R p 35 milles En Enseignement de l alg bre 231 effet puisqu ils vont la rencontre l un de l autre et ce que c est A qui s est mis le _ cge cdh premier en route ce sera la formule qui d signera le chemin qu aura fait avant de rencontrer B Et si on substitue dans cett
17. le savoir enseign n existe pas de mani re immat rielle in vacuo Son existence suppose que des individus puissent entretenir avec lui certains rapports le rapport au savoir variables selon leur position au sein du syst me d enseignement Il faudra qu enseignant et nseign s puissent venir occuper par rapport au savoir enseign la place qui leur est formellement d volue On verra en examinant rapidement le cas de l enseignement de l alg bre qu il s agit l de conditions dont la r alisation S av re d cisive dans la survie et le faconnement du savoir enseign B SUR L ENSEIGNEMENT DE L ALG BRE LEMENTAIRE 7 Qu est ce que l alg bre l Programmes et enseignants 7 1 On examinera ici le sens attribu au mot alg bre par les acteurs du syst me d enseignement dans le cadre des coll ges francais soit la partie de la mati re enseign e qu ils subsument sous ce nom 7 2 Pr cisons d abord rapidement la signification qui semble tre donn e ce mot dans Enseignement de l alg bre 181 les programmes officiels ou encore dans les manuels qui sont leurs int rcesseurs aupr s des enseignants et d une mani re diff rente des l ves L tiquette alg bre a longtemps jou en France un r le structurant essentiel dans le corpus des math matiques enseign es de concert avec arithm tique et g om trie en laissant ici de c t l analyse mathema
18. lui fait encore prendre la distance n cessaire par rapport ses propres connaissances car son m tier ne consiste pas amener ses l ves sur un sujet donn un niveau voisin du sien Il sait identifier et pr voir les 212 Y Chevallard subtilit s qu il est pr f rable de taire les d marches rigoreuses qui sont remplacer par des arguments accessibles aux l ves les exigences pr matur es de formulation qui entravent une bonne progression 4 Le professeur est attentif au langage et aux signification diverses d un m me mot Il vite de fixer d embl e le vocabulaire et le notations seuls peuvent en profiter en effet les l ves qui ont une exp rience pr alable du sujet ou de fortes capacit s d anticipation Dans le cours du traitement d une question vocabulaire et notation s introduisent selon un crit re d utilit ils sont consid rer d j comme des conqu tes de l enseignement et non comme des points de d part Le professeur a le souci de faire mieux lire et mieux comprendre aux l ves un texte math matique Ce souci capital en sixi me ne doit jamais tre abandonn ensuite He Un moyen efficace pour faire admettre la n cessit d un langage pr cis en vitant que cette exigence soit ressentie comme arbitraire par les l ves est le passage des instructions pour l execution par autrui par exemple d crire pour la faire reproduire une figure un peu complexe ou lorsqu
19. par des pr ceptes je vais donner ici la solution de plusieurs probl mes 228 ne si Y Chevallard PROBL ME I Le somme de deux nombres gale a la difference de leur quarr est b on demande quels sont ces deux nombres Soit x le plus petit l autre sera a x leurs quarr s seront respectivement T et a 2ax g2 la diff rence de ces quarr s est a 2ax qu on suppose gale 6 On a pars cons quent l quation a 2ax b donc en r duisant a b 2ax ou a bo o 2a A EXEMPLE Si la somme des deux nombres que nous avons suppos e a est 8 bien ig UT 3 et a x 5 et la diff rence b de leurs quarr s 16 on aura x le deux nombres seraient donc 3 et 5 _ PROBL ME IL On a trois quantit s x y z On conna t le sommes de ces quanti t s prises deux deux on demande la valeur de chacune en particulier Soit a la somme des deux quantit s et y et b celle de x et z enfin celle de y et z Pour d terminer le trois quantit s T y et z ona donc le trois quations T y a c z b et y z c Maintenant pour liminer deux des trois inconnues y et 2 par exemple retranchez x dans la premi re et dans la seconde quation et vous aurez y a x et z b T substituez ces valeurs de y et z dans la troisi me y z 0 elle deviendra a r b x c eten r duisant et d gageant x vous a b aurez g atore tant trouv on substituera sa valeur dans le
20. peut se r v ler invalidant en fragilisant la place du syst me d enseignement au sein de la soci t 49 Il convient enfin de souligner que la tendance r guli rement explicit e de la no spli re rechercher de nouvelles alliances aupr s de nouveaux partenaires sociaux et qui semble proc der de l illusion que le syst me d enseignement peut s affranchir sans dommage de son lien de vassalit l endroit du savoir savant se manifeste sur le fond d une illusion selon laquelle le savoir enseign appara t comme naturellement identifiable a savoir savant ou une partie de cel i ci C est cette illusion de la transparence du savoir enseign qui se trouve d nonc e d s lors qu on tente d effectuer l analyse des processus par lesquels est produit historiquement le savoir enseign 5 Le processus de transposition didactique 5 1 D o vient le savoir enseign Pour l essentiel du savoir savant correspondant quoi il faut ajouter des l ments de savoir endog nes sp cifiquement produits l int rieur du syst me d enseignement lato sensu et qu on d signera ici comme des cr ations didactiques 5 2 La repr sentation que les acteurs du syst me d enseignement se font de cette gen se historique est fondamentalement ambivalente D une part l illusion de la transparence conduit percevoir les cr ations didactiques endog nes et plus g n ralement les ph nom nes l
21. pondez vous 1 Utilisation et sens d utilisation des lettres R solution des quations et in quations ler degr Identit s remarquables R soudre des probl mes faisant appel des factorisations et des d veloppements Fractions Racines carr es 2 Ecriture d expressions alg briques calculs transformations r le des parenth ses 3 Peu de diff rence avec le pass On calcule avec des d cimaux _ avec des fractions des rationnels avec des irrationnels calcul litt ral On essaie de traduire math matiquement des probl mes concrets sous forme d quations r soudre 4 R solution d quations Identit s remarquables etc 5 Etude des op rations X dans l ensemble des nombres r els Factorisation d veloppement Identit s remarquables Puissances 220 Y Chevallard 6 On essaie de d gager au travers de situations diff rentes math matiques o ventuellement autres des analogies de fonctionnement Ceci tant dit on doit retrouver en fin de compte les r sultats de l alg bre classique quations factorisations 7 Introduction progressive de variables lettres repr sentant les nombres Presque plus de notions ensemblistes 8 Calculs alg briques fonctions quations 9 aas D veloppements factorisations puissances 10 Les ensem
22. positif ou i n gatif criture des nombres en notation scientifique et en notation ing nieur ordre de grandeur d un r sultat Conventions et priorit s op ratoires G n ralisation des tudes pr c dentes aux calculs portant sur des critures litt rales D veloppement d expressions du style a b c d Exemples simples de factorisation R duction de sommes alg briques Ordre Comparaison de nombres relatifs en criture d cimale ou fractionnaire Effet de l addition et de la multiplication sur l ordre R solution de probl mes aboutissant des quations des in quations du premier degr una inconnue Organisation et gestion de donn es Fonctions Applications lin aires et proportionalit Repr sentation graphique d une application lin aire Notion de coefficient directeur de pente Exploitant de donn es statistiques Fr quences relatives et leur expression en pour cent Effectifs cumul s fr quent s cumul es Application aux percentage et aux indices base 100 pour Mise en oeuvre de la proportionnalit sur des grandeurs vitesse en km h d bit Enseignement de l alg bre 217 CLASSE DE TROISI ME Le travail effectu doit permettre l l ve de s approprier solidement l usage des instruments de mesure et de dessin d acqu rir d finitivement des techniques op ratoires mentales ou crits et conjointement d utiliser
23. soit 11 fois 50 francs moins 20 fois 40 francs soit encore 272 francs plus 224 francs plus 550 francs moins 800 francs c est dire enfin 246 francs Or on sait que ce n gociant a en fait gagn 6 fois plus puisque 1476 246 6 C est donc que la pi ce de drap qu il avait effectivement achet e tait de longueur 6 fois sup rieure la longueur pos e i e de longueur 120 m tres Enseignement de l alg bre 187 8 4 Si d une mani re historiquement non pertinente on met en oeuvre la m thode de fausse position en se guidant pour conduire les calculs num riques sur l quation telle que l tablit la m thode alg brique une diff rence frappante appara t dans la m thode arithm tique on ne manipule pas l quation on ne touche pas l quation et il n est donc pas n cessaire de l crire l nonc du probl me fournit en g n ral assez clair ment le fil conducteur des calculs num riques Dans la m thode alg brique au contraire c est la manipulation pertinente et math matiquement valide de l quation qui est la cl de la solution du probl me On notera ici que les probl mes propos s au titre de ja m thode arithm tique dans l enseignement d autrefois conduiraient s ils taient trait s pat la m thode alg brique des quations du premier degr dont la complexit est souvent sup rieure ce qu il est d usage de proposer aujourd hui aux l ves qui aborde
24. solution de probl mes 1 Mise en quation de probl mes concrets 3 6 18 19 184 Y Chevallard Fonctions lin aires et affines 3 14 17 23 Ensembles 7 10 16 Applications la g om trie G om trie sic 13 G om trie cartesienne et vecteurs 22 _ Angles 22 Trigonom trie 22 TABLEAU 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Equations 2 X 1 1 X Il X 1 X 2 2 Cal alg 3 3 1 1 2 1 1 1 2 X 1 Cal num 2 X 4 X 1 X X X X 1 X R s pb X 1 XX 1 X X X X x Fonct X X X X X X X 1 X X X Ens X X X X X X 1 X X 1 X Appl g o X X X X XX X_X_X_X Xx 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 Equations 1 1 X 1 4 2 1 5 1 2 2 Cal alg i 2 2 1 2 3 X X 3 1 Cal num 3 X X 1 4 X 1 X X 2 R s pb X X X XX 101 XX X x Fonct X X 1 X 1 X X X X X I Ens X X X 1 X X X X X X X Appl g o X DL X X X X X X X 3 X 7 10 Viennent ensuite les autres rubriques R solution de probl mes Fonctions Ensembles et Applications la g om trie dont les scores sont respectivement 5 5 4 4 3 3 et 2 4 Quelques remarques peuvent tre faites ici pour clairer le lecteur 1 La mention de la r solution de probl mes semble bien tre un cho du mouvement r cent et relativement insistant qui s est d velopp en France au sein de la noosph re au cours des derni res ann es autour de la doctrine de la p dagogie du probl me bien plus qu un vestige d une situation traditionnelle lami
25. va tout autrement en calcul alg brique D une part l objectif de simplification des expressions alg briques suppose fr quemment titre d interm diaire une complexification i e une factorisation pr alable ainsi afin de simplifier la fraction 28 322 2 3 2 2 6 devra t on d abord observer que l on a par exemple g 3x g 8 g x 1 3 r 1 x 3 x 1 et z x 6 r 3 2 D autre part c est en bien des cas une complexification qui appa rait pertinente Consid rons ainsi l expression 2x 3 x 1 2 x L habitus arithm tico de poussera ici l l ve qui serait demand sans plus de calculer cette expression la traiter comme il le ferait d une diff rence de deux fractions num riques Qx 3 x 1 2 5 2 3x 2 x 1 2 a 17 x 2 z x 1 Mais si Texpression en question repr sente une fonction dont il s agirait de d terminer une primitive le calcul devient fonctionnel et la conduite du calcul n est plus d s lors d termin e par une consigne formelle g n rale On sait en effet que l objectif pertinent assigner au calcul est dans l exemple examin celui d aboutir une forme complexifi e particuli re de l expression donn e sa d composition en l ments simples 2x 3 x 1 2 r 2 x 1 1 x 1 2 x 9 8 Le cadre formel l int rieur duquel s enferme le
26. valeurs de la culture dominante l alg bre l mentaire est math matiquement un authentique instrument de cr ation de concepts On a dit comment elle permettait de forger le concept de syst me des nombres n gatifs et donc de syst me des nombres relatifs mais semblablement elle fournit l outil qui permet de cr er le concept de syst me des nombres rationnels a et b tant des entiers naturels ou des entiers relatifs eta tant non nul I quation ax b a une solution unique que l on notera bja Si k est un entier non nul les quations ax b et kax kb sont quivalentes de sorte que kb ka b a un m me nombre rationnel a ainsi une infinit de noms de la forme b a Comme il en allait propos des n gatifs les r gles du calcul sur les rationnels en outre se d duisent alors enti rement de cette d finition qui ne fait appel aucun mod le extramath matique Pour d terminer b a d e consid rons ainsi les quations az b et cy d Multipliant la premi re par c et la seconde par a on obtient par addition membre membre ac x y ad be quation qui montre que b a d c ad de ac Et de m me pour la multiplication des rationnels Par un proc d identique encore on peut alors cr er les nombres irrationels Enseignement de l alg bre sa 203 Solutions d quations de la forme 2 a et d montrer que l on a Vavb vab etc voir Freudenthal 1973
27. 00 trouve deux fois plus riche qu au 9 27 27 64x 14800 commencement de la premi re 7 2x ann e Ainsi la question est exprim e par l quation Gaz 14800 _ 2r et en la r solvant on en tirera la valeur de x Multipliez la par 27 et vous aurez 64r 14800 54g retranchez de chaque membre 54x et le reste sera 10x 14800 0 ou bien 10x 14800 et en divisant par 10 il viendra x 14800 Ainsi 1480 est le nombre de livres qu il avait au commencement de la premi re ann e Vous voyez que dans le probl mes qui n renferment que des nombres ou des quantit s abstraites il n y a pour ainsi dire rien autre chose faire qu traduire la question du la gage ordinaire en langage alg brique c est dire exprimer ses conditions par des caract res propres peindre nos id es sur les rapports des quantit s Il arrive ass z souvent que le discours par lequel l tat d une question est exprim ne para t pas pouvoir tre traduit en langage alg brique mais on l y disposera facilement en op rant quelques changements et sur tout en s attachant plus aux sens de paroles qu aux paroles elles m mes C est ainsi que toutes les langues ayant leur idi me particulier lorsqu il faut faire passer un ouvrage de l une dans une autre ce ne sont pas les mots mais les pens es qu il faut traduire Au reste comme les arts s apprennent bien plus facilement par des exemples que
28. 08 Y Chevallard 13 7 Mais corr lativement l adoption d une perspective fonctionnelle une autre difficult surgit M me dans le cadre d un apprentissage fonctionnel du calcul alg brique le processus didactique doit m nager une place aux exercices d entra n ment au calcul aux drills est dire des exercices qui soient sinon du calcul pour le calcul du moins du calcul pour le calcul en vue de l emploi fonctionnel du calcul Or on bute sur un probl me de ressources temporelles limit es qui renvoie finalement comme le pr c dent auquel il est li et plus g n ralement un probl me majeur de choix d enseignement peut on au sein de la soci t d gager un consensus autour de l importance de la ma trise de l outil alg brique et de sa place corr lative dans l enseignement obligatoire C est l une question qui d passe par sa nature m me le registre de la recherche et la comp tence sociale du didacticien En tant que simple observateur des choses de l enseignement il me semble que pour ce qui concerne la France un tel consensus n a que peu de chances de se e produire dans un avenir proche REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES CHEVALLARD Y 1985a Le passage de l arithm tique l als brique dans l enseignement des math matiques au coll ge Petit x 5 51 94 CHEVALLARD Y 1985b La transposition didactique Du savoir savant au savoir enseign
29. Rend Sem Mat Univ Pol Torino Vol 52 2 1994 WALTI Y Chevallard ENSEIGNEMENT DE L ALGEBRE ET TRANSPOSITION DIDACTIQUE Abstract This paper brings together a number of developments that the author presented at the IRRSAE Piemonte and at the University of Torino in November 1986 In order to achieve readability a two part structure has been adopted the first part is conc rned with the basics of didactics transposition theory while the second pari focuses on the dicactic transposition of algebra SUR LE PROCESSUS DE TRANSPOSITION DIDACTIQUE 1 El ments structurels 1 1 L univers dans lequel le sch ma d crit ci apr s prend son sens est celui de la soci t au sein de laquelle on distinguera d abord le syst me d enseignement 1 2 A l int rieur du syst me d enseignement se forment vivent puis disparaissent les syst mes didactiques dont les composants essentiels sont l enseignant les enseign s un savoir On notera que le syst me d enseignement contient bien d autres l ments que les syst mes didactiques et notamment les dispositifs permettant la formation des syst mes didactiques par la r gulation des flux d enseign s 1 3 Autour du syst me d enseignement stricto sensu on trouve une zone d interfa age avec la soci t que l on appellera noosph re L ensemble du syst me d enseignement et de sa noosph re est d sign comme le syst me d enseignement lato sensu La noosph re
30. a r duction des termes semblables 2a 1 2a 1 2 2a 1 20 3 2a 2a 1 3 4a 4 La comparaison avec les diff rents traitement formels que l enseignant pourra obtenir de l l ve dans un cadre fonctionnel est par contrast clairante Voici un premier nonc dans tout ce qui suit les nombres consid r s sont des entiers naturels On consid re deux entiers impairs successifs Montrer que leur somme est un multiple de 4 c est dire un nombre de la forme 4A o Aestun entier La r r ponse cette consigne peut alors tre la suivante Soit 2a 1 le premier entier impair Son successeur impair est alors 2a 1 2 La somme des deux entiers impairs successifs est a 1 2a 1 9 soit encore 4a 4 4 a 1 expression montrant que la somme est bien un multiple de 4 Dans ce cas l l ve est conduit pour des raisons li es au probl me r soudre arr ter son calcul non pas sur la forme 4a 4 mais allant plus loin sur la forme 4 a 1 Mais voici maintenant un autre nonc mettant en jeu le cas ch ant la m me expression alg brique Soient deux entiers impairs successifs Montrer que leur somme est gale 2 fois entier pair compris entre eux Dans ce cas le calcul men d abord jusqu la forme 4a 4 se poursuit ma s autrement qu on ne l a fait dans le premier cas examin L l ve devrait en effet crire ici
31. aines des math matiques et trouve des champs d application nouveaux en g om trie Descartes et en th orie des nombres d abord puis en une extension illimit e dans l analyse math matique l analyse alg brique AVEC la cr ation la fin du XVIIe si cle du calcul infinit simal 9 La sp cificit de l alg bre enseign e 9 1 Jusqu un certain point l ensei gnement de l alg bre au coll ge puis au lyc e mais au coll ge surtout puisque C est l que se font les apprentissages fondamentaux cet gard r pond dans son organisation la description donn e ci dessus de l volution de l alg bre savante Les quations du premier puis du second degr y occupent une place non n gligeable et surtout le calcul alg brique s y trouve relativement fort d velopp Nous montr rons pourtant dans ce qui suit que au del de la permanence des domaines et des notions la perspective la probl matique dans laquelle ces th mes apparaissent vont changer 92 Le d veloppement du calcul alg brique historiquement est li d abord la th orie des quations Or l enseignement du coll ge nous montre une disproportion frappante entre les exercices de calcul alg brique propos s aux l ves d une part et les calcul alg brique effectivement exig s d eux dans le cadre de la r solution d quations _d autre part ceux ci sont g n ralement beaucoup plus simples qu
32. ait les consid rer comme lucidant la notion de nombre sans faire appel l exp rience Dans ces jeux logiques il faut en effet manier des collections de symboles r alis s ou pens s peu importe et c est alors qu interviennent toutes nos connaissances acquises gr ce l exp rience relatives aux collections c est dire aux nombres Yves CHEVALLARD IREM Universit de Marseille Luminy case 901 TO route L on Lachamp 13288 Marseille France Lavoro pervenuto in redazione il 15 12 1993 __ Finito di stampare nel gennaio 1995 presso la Lito Copisteria Valetto Torino per conto di Silvio Zamorani editore Torino
33. alement clair par les lumi res et plac trois pieds de distance de la plus faible mais en sens contraire du premier c est dire sur la droite qui joint les deux lumi res prolong e du c t la plus forte En effet il est visible que ce point tant trois pieds de distance de la _ plus faible lumi re et six pieds de distance de l autre il est galement clair par les deux lumi res Vous voyez par l que les valeurs n gatives satisfont comme les positives aux probl mes mais elles doivent tre prises dans un sens oppos celui des valeurs que l on consid re comme positives Ces solutions inattendues nous prouvent la richesse de la langue alg brique a la g n ralit de laquelle rien n chappe quand on la sait bien lire Enseignement de l alg bre 233 ANNEXE 6 Quand l addition des entiers s applique t elle Extrait de Lebesgue 1932 pp 5 6 O 3 Mais que devient alors la certitude math matique qui a fix de tout temps l attention des philosophes s il n y a plus que des math matiques appliqu es Elle d choit et n est plus que la moins pr caire de nos certitudes l Arithm tique dont les hommes dans leur aspirations vers l absolu avaient fait la science parfaite par excellence n est plus que la moins imparfaite de nos sciences Elle est la science humainement parfaite qui pratiquement ne nous trompe jamais d o lui vient cette sup riorit
34. argement Bell et al p 130 En fait l apparition de ce qu on peut bien baptiser mod les mais qui n en sont gu re dans la mesure o ils apparaissent comme consubstanciellement li s au concept dont ils sont regard s comme des l ments constitutifs ne r pond dans la plupart des cas qu une injonction culturelle trang re la praxis math matique on n aurait compris un concept math matique qu partir du moment o on s est familiaris avec l ensemble culturellement d fini et limit de ses emplois mod lisateurs conception qui g le le travail du concept et ne permet gu re de poser pleinement le probl me en droit Enseignement de l alg bre 205 comme en fait toujours ouvert de ses emplois Henri Lebesgue qui fut un math maticien minent tout autant qu un observateur attentif des choses de l enseignement a crit l dessus des lignes que le lecteur pourra de ce point de vue fructueusement m diter on y verra que m me les emplois des entiers naturels ne semblent aller de soi que par l illusion d une transparence culturellement acquise voir l annexe 6 12 6 Ajoutons encore que le point de vue de la mod lisation auquel on s est r f r plusieurs fois permet de rappeler quelques vidences qui pourraient dissiper bien des myst res que par exemple si tout dans une situation modeliser ne trouve pas sa traduction au sein du mod le math matique
35. avec s ret des calculatrices de poche de 8 entra ner constamment au raisonnement d ductif L utilisation d un ordinateur peut accompagner utilement ces activit s 1 Travaux g om triques 1 nonc de Thal s relatif au triangle Application des probl mes de construction moyenne g om trique Pyramide et c ne de r volution volume section par un plan parall le la base Effet d un agrandissement ou d une r duction sur longueurs aires et volumes masses 2 Angles Relations trigonom triques dans le triangle rectangle Angle inscrit dans un cercle et angle au centre 3 Dans le plan construction de transform es de figures par composition de deux translations de deux sym tries centrales de deux sym tries orthogonales par rapport des droites parall les ou perpendiculaires 4 Translation et vecteur galit vectorielle Dans le plan rapport un rep re effet d un d placement par translation sur les coordonn es d un point coordonn es d un vecteur 5 Distance de deux points en rep re orthonormal quation d une dro te sous la forme y mx y mx p x p Coefficient directeur parall lisme orthogonalit en rep re orthonormal 6 Addition vectorielle 2 Travaux num riques 1 critures litt rales Factorisation d expressions de la forme a 63 a 2ab b 2_2ab b a et b d signent des formes simples de nombres exprim s dans les diff rentes
36. axis sp cifique on w a de cesse qu elle n ait t traduite dans les termes de la pens e famili re laquelle on suppose sans que c tte hypoth se soit elle m me nettement explicit e et formellement rev ndiqu e par ses tenants que toute pens e devrait p pouvoir se r duire sauf renoncer exister comme pens e On atteridra donc ainsi pour accorder au concept de nombre n gatif son droit une existence culturellement l gitime que la r gle des signes puisse s imager selon les termes d un mod le concret ou autrement dit fasse l objet d une repr sentation mentale On cherchera comprendre pourquoi moins par moins gale plus et faute d un mod le ad quat qui emporterait ais ment l adh sion l enseignant devra se contenter d user de son autorit pour faire pr valoir enfin un point de vue que r sument bien ces deux vers attribu s parfois au po te W H Auden Minus times minus is plus The reason for this we must not discuss 12 Un laminage culturel et id ologique 12 1 Cet crasement culturel de l alg bre relay au sein m me de la noosph re on l a dit et qui p se sur les pratiques d enseignement se traduit dans les faits par au moins trois s ries de cons quences didactiques que nous examinerons tour tour 12 2 Tout d abord il fait perdre de vue ce fait que si elle manque de dignit au regard des
37. bles de nombres les op rations leurs propri t s Equations une inconnue lin aires deux inconnues quelques bricoles sur les ensembles 11 o Equations et in quations du premier degr Factoriser D velopper 12 Etude des nombres relatifs calcul dans quations du ler degr Etude des nombres r els Etude des fractions identit s remarquables 13 00 G om trie Produit remarquable R solution d quations Factorisation D veloppement 14 Calculs sur les polyn mes Factorisation D veloppements Etude de fonctions simples Enseignement de l alg bre 221 15 Des cours tr s construits o tout est parfaitement clair et assimilable Constructions de type modulaire Elaboration des r gles tr s d pendantes les unes des autres Acquisition d automatismes Ce cours requiert des bases solides et bien assimil es Pour l l ve il correspond souvent aux situations d chec Cours assimilables l outil math matique Cours tr s clarifi par les math modernes 16 Ensembles inclusion intersection r union propri t s des op rations quations nombres rationnels fractions Identit s remarquables 17 Alg bre R gle des signes Valeurs absolues Racines carr es Fractions Identit s remarquables Factorisation Fonctions du ler degr Equations du ler degr et syst mes d quations et d in quatio
38. bservera ici seulement que la volont de modernisation qui a conduit en l esp ce introduire dans l enseignement quelques unes des notions embl matiques de l alg bre moderne celles de groupe d anneau etc a laiss inchang le probl me de l enseignement du calcul e T rr men n _ reer e i qe cle L DS EL EL n 194 Y Chevallard alg brique d une part tandis que le constat d un cart entre savoir enseign et savoir savant pouvait tre enti rement repris propos de l alg bre moderne elle m me d autre part preuves s il en tait besoin que l analyse faite n tait pas enti rement pertinente En fait dans les deux explications cit es ici on ignor le fait fondamental qui est la base de ces ph nom nes d cart entre savoir savant et savoir enseign engendr s par le processus de transposition didactique dans les syst mes didactiques le savoir est soumis des contraintes sp cifiques d s contraintes proprement didactiques qu ignore largement le fonctionnement du savoir savant C est un point que nous examinerons maintenant 10 Contraintes didactiques internes 10 1 Revenons ici au point de d part de l ensemble des analyses du paragraphe pr c dent le d veloppement du calcul alg brique dans l enseignement donn au coll ge est sans commune mesure avec les usages qui en sont
39. ce faire emploi le secours de l alg bre ou le calcul des grandeurs en g n ral de sorte que ces deux 200 E ne XY Chevallard mots sont souvent regard s comm gt synonymes d Alembert crivait L analyse est l instrument ou le moyen g n ral par lequel on a fait depuis pr s de deux si cles dans les Math matiques de si belles d couvertes Elle fournit les exemples les plus parfaits de la mani re dont on doit employer l art du raysonnement donne l esprit une merveilleuse promptitude pour d couvrir des choses i inconnues ali moyen d un petit nombre de donn es amp en employant des signes abr g s et faciles pour exprimer les id es elle pr sente r entendement des choses qui autrem nt sembleraient tre hors de la sph re 11 3 Cette fervente d claration contraste avec le destin culturel de l alg bre de lanalyse alg brique D Alembert la pr sente comme terre d lection du raisonnement mais culturellement elle fut toujours t demeure jusqu ce jour rej t e hors de valeurs nobles de la culture exclue d l ordre de la pens e et trang re son plus beau fleuron le raisonnement rebours g om trie et arithm tique ont t m l es consubstanciellement d s l origine au terreau sur lequel s est lev e la culture occidentale prise ici comme un tout Que chacune d elles se soit trouv e cliv e et cela d s l origine e
40. ci dessus l expression de la d riv e obtenu en n est pas la plus appropri e et du point de vue du but poursuivi le calcul est pas termin il faut encore factoriser le num rateur afin de d terminer le signe de f x Mais en fait il eut t au moins aussi pertinent en l esp ce de ne pas c der l automatisme de d veloppement qui induit passer de mais d op rer d s cette tape une factorisation du num rateur suivie d une simplification de la fraction ou encore de simplifier directement par 1 sur la forme brute obtenue en pour arriver enfin 190 E Y Chevallard ra A 1 20 3 x 1 x E E gt 2x 4 x 1 o 2 2 2 2 1 9 5 Cet exemple permet d apercevoir deux faits essentiels D une part le premier apprentissage du calcul alg brique tal en France sur les ann es de quatri me et de troisi me se fait dans un cadre formel et non dans un cadre fonctionnel D autre part et en cons quence si du moins l l ve poursuit ses tudes g n rales dans le cadre de F enseignement du lyc e les acquis de ce premier apprentissage seront mis l preuve dans un cadre autre fonctionnel celui l et se trouveront donc retravaill s et remani s d s lors que l l ve sera amen faire usage du calcul alg brique titre de moyen ou d outil dans des domaines vari s des math matiques On ne s arr tera pas sur ce second aspect ic
41. conde nature par l l ve ne sont que par chance appropri s la sp cificit de la t che Nous donnerons de cela un exemple 94 Consid rons l exercice suivant Calculer la d riv e de la fonction f x 2x 3 x 1 2 On suppose que l l ve mette ici en oeuvre la formule u v wv uv er Dans cette hypoth se il obtient d abord P 2 2 1 A22 9 2 D Df La formule employ e ne conduit pas plus loin Ce sont alors les automatisme engendr s par le premier apprentissage du calcul alg brique qui prennent le relais et conduiront ventuellement l l ve d velopper le num rateur et pourquoi pas le d nominateur aussi peut tre pour obtenir alors en cartant toujours toute erreur de calcul er f a 2 22 3x 2 x 1 Imaginons maintenant un autre exercice D terminer le sens de variation de la fonction f x 2x 3 x 1 Ici l l ve est am n calculer la d riv e de la fonction f non pour elle m me mais avec une intention au service de laquelle ce calcul n est qu un moyen il s agit pour lui de d terminer le signe de la d riv e Or cett finalisation du calcul va influer le cas ch ant sur le calcul lui m m en fournissant un crit re de pertinence concernant la forme du r sultat obtenu et donc aussi les d cisions prendre au cours de la conduite d calcul Si par exemple l l ve proc de ainsi qu on l a d crit
42. critures d j rencontr es 218 E Chevallard 2 Calcul l mentaires sur les redicaux racines carr es Produit et quotient de deux radicaux Puissance d ordre 2 ou 4 d un radical 3 quations et in quations du premier degr M thodes graphiques de r solution d quations et d in quations du premier degr coefficients num riques M thodes de r solution d un syst me de deux quations ou in quations du pr mier degr deux i inconnues coefficients num riques Exemples vari s de probl mes se ramenant au premier degr 8 Organisation et gestion de donn es Fonctions 1 Application affines repr sentation graphique d une application affine 2 Exploitation de donn es statistiques Moyenne moyennes pond r es m diane 3 Mise en oeuvre de la proportionnalit sur des grandeurs quotients ou sur des grandeurs produits 4 R solution d quations par essais et corrections successifs 5 Analyse et construction d algorithmes comme suite d instructions aboutissant la r solution d un probl me donn Application num rique l aide d un ordinateur Enseignement de l alg bre 219 ANNEXE 2 R ponses de 24 enseignants de math matiques des coll ges la question Une personne ayant fait des tudes scientifiques mais qui a perdu contact avec l enseignement secondaire actuel vous demande ce que l on enseigne aujourd hui en alg bre au coll ge Que lui r
43. cun des micro mondes ainsi obtenus par des consignes rituelles fonctionnant selon une logique quasi pavlovienne On notera en particulier le probl me si aigu que propose le traitement du th me de la factorisation Dans un univers dont le tropisme fondamental import de l arithm tique pousse l l ve conduire son calcul vers du toujours plus simple la factorisation implique quant elle une complexification Trait e de mani re isol e comme il en va dans l cadre formel adopt la factorisation va exiger alors tout un ensemble de pr cautions afin de parvenir s affirmer dans un univers qui lui est a priori hostile le monde clos de la factorisation voir Tonnelle 198 Y Chevallard 1979 appara t pour cela plus encore que d autres micro mondes alg briques comme fait de rituels m ticul ux dans lesquels l enseignant ordonnateur d une liturgie qui ne trouve de justification nulle part ailleurs qu en elle m me doit craindre chaque instant qu un d rapage se produise tel par ex mple le mouvement r flexe connu qui peut induire un l ve apr s avoir factoris une expression la d velopper nouveau son insu m me selon l pente de l habitus le plus puissant 10 7 Dans ce premier apprentissage de l alg bre l enseignant entretient donc avec le savoir enseigner un rapport morcel au terme duquel Palg bre tend pour lui se dissoudre en un multiplicit de micro mond
44. da 4 2 2a 2 Enseignement de l alg bre 193 Si l on avait cru possible d objecter l examen d premier exemple que le comportement obtenu par la voie fonctionnelle qui conduisait la forme 4 a 1 aurait aussi bien pu tre obtenu par la consigne formelle Calculer l expression puis effectuer une factorisation on voit ici qu une telle consigne combinaison au demeurant artificielle de consignes d base recens es plus haut est alors incapable de produire le comportement engendr par le second nonc En fait bien d autres comportements pourraient tre obtenus par la voie fonctionnelle qui chappent toute consigne formelle sauf compliquer exag r ment de telles consignes Ainsi l nonc Montrer que la somme de deux entiers impairs successifs est sup rieure ou gale 4 am nerait crire 4a 4 4 4a tandis que l nonc Montrer que la somme de deux entiers impairs successifs est la somme d un multiple de 3 et d un entier sup rieur ou gal 4 conduirait quant lui 4a 4 3a 4 a etc 9 9 Toutes les analyses qui pr c dent avaient pour objet premier de faire appara tre en quoi il y a une sp cificit de l alg bre enseign e Cette sp cificit a t mise en avant en opposant ici un calcul alg brique formel qui a effectivement cours dans l apprentissage de l alg bre un calcul alg brique fonctionnel
45. dactique qui se noue autour de l alg bre doit faire une place l enseignant une place aux enseign s Nous examinerons d abord ce dernier probl me Dans le cadre formel qu on a pr c demment d crit l l ve se trouve devant une situation qui est essentiellement la suivante muni d une consigne d termin e r soudre I quation d velopper factoriser simplifier etc il doit g rer des expressions alg briques selon ce que nous nommerons un code d action C est sur la nature exacte de ce code qu il y a semble t il une ambigu t fondamentale On le d crit d ordinaire en disant que l l ve se voit enseign divers algorithmes qu il aurait ensuite utiliser de mani re la fois correcte du point de vue de la validit de l ex cution et pertinente du point de vue de la situation trait e Mais si la notion d algorithme ne fait pas v ritablement probl me lorsqu il s agit de l appliquer dans le domaine num rique il n en va plus de m me lorsqu on la transporte dans le domaine alg brique Il n est ainsi gu re possible de d crire par un algorithme le comportement attendu d un l ve en r ponse la consigne de factorisation S il s agit par exemple de factoriser l expression 3ry 6x on attendra qu il aboutisse l criture 196 Y Chevallard Sy 2 et des r ponses telles que 3ey 1 2 v o simplement a 6x y 2 1 seront regard es comme non conformes bien qu ell
46. de leurs r sultats tout en favorisant un nouvel enrichissement On y parvient par exemple en pr voyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons Le professeur doit donc proc der avec une attention particuli re au choix pertinent des situations tudier Il doit aussi veiller bien organiser les phases du d roulement de l activit Une condition premi re est de pr voir une dur e suffisante Pour le d veloppement complet de l activit formatrice de la phase initiale la mise en place des connaissances d sorma s consid r es comme acquises l chelle de temps est en heures voire en semaines comme dans l tude de la proportionnalit C est ce prix que l on peut Habituer l art d exp rimenter et celui de conjecturer donc d entra ner chercher M nager des s quences d ductives motivantes de plus en plus prolong es nombreuses et de difficult s progressives au long des quatre ann es du coll ge Souligner le sens l int r t la port e des connaissances math matieus en les enseignant en interaction avec les autres disciplines et avec la vie quotidi nne pourcentages chelles repr sentati ns graphiques et en utilisant les moyens modernes de communication informatique banques de donn es audiovisuel 3 Le professeur doit toujours distinguer l essentiel de l accessoire et percevoir les relations entre les diverses parties Il
47. dire et qu lle constitue une fin en 501 Dans la conduite du calcul I l ve ne peut gu re se fier qu une tradition v cue en ne s tayant que partiellement sur la consigne math matique donn e laquelle ce niveau des tudes math m tiques demeure impr cise faute d j de pouvoir se formuler l aide d s notions appropri es le lecteur aura remarqu que les deux factorisations non orthodoxes donn es plus haut auraient pu tre cart es a priori par la consigne Factoriser dans Z x y l expression Or cette tradition se nourrit essentiellement d une morale gestionnaire d un habitus de gestion des critures math matiques qui vient tout droit du calcul sur les expressions num riques tel que l l ve l a pratiqu ant rieurement son entr e dans le domaine alg brique Cette condition dessine pour l l ve une place au sein de la relation didactique dont l investissement se trouve d s lors largement facilit Car l l ve retrouve ici des gestes des valeurs des automatismies qui lui sont depuis longtemps familiers Il pourra faire fond entre autres sur l habitus de simplification qui r git l ensemble du domaine du calcul num rique un niveau l mentaire on sait par exemple que lorsqu ils d butent en calcul litt ral beaucoup d l ves se demandent comment effectuer c est dire simplifier l expression a b selon une habitude acquise
48. e B M thodes 1 Une appropriation math matique pour un l ve ne saurait se limiter la connaissance formelle de d finitions de r sultats de techniques et de d monstrations il est indispensable que les connaissances aient pris du sens pour lui partir de questions qu il s est pos es et qu il sache les mobiliser pour r soudre des probl mes Pour atteindre ces objectifs les s quences courtes information donn e par le professeur exercice d application directe r ponse et commentaire doivent se combiner avec des s quences plus longues Celles ci sont centr es sur l tude de situations mettant en jeu les outils vis s et utilis s selon les cas comme terrain d observation ou comme champ d intervention des connaissances Ces conditions sont essentielles si l on veut d une part amener les l ves d une classe la comprehension intuitive des concepts et leur mise en oeuvre appropri e dans des situations simples d autre part leur permettre d approfondir et d enrichir leur formation math matique Par exemple pour l acquisition des techniques op ratoires sur les nombres d cimaux il ne suffit pas de d crire des placements de virgule et d adjoindre ventuellement de z ros ad quats Il est n cessaire d tudier des situations dans lesquelles on a besoin d op rer sur des nombres d cimaux et d crire un m me d cimal sous plusieurs formes cela s est d j fait l c
49. e 20 fr Il revend le tout pour 10044 fr et gagne ainsi 1 3 du prix d achat De combien de moutons se gt composait le tout 1176 Pour payer 64500 fr on a donn des billets de 200 fr 500 fr et 100 fr Combien a t on employ de billets de chaque esp ce sachant que le nombre des billets de 500 fr est les 6 7 du nombre des billets de 1000 fr et les 3 4 de nombre des billets de 100 fr Enseignement de l alg bre 225 ANNEXE 4 La r solution de probl mes par l alg bre 1 Un extrait de Newton 1707 DE LA RESOLUTION M thode pour mettre une question en quation Lorsqu on ne sera suffisamment exerc transformer et r duire des quations il faut essayer ses forces en mettant des questions en quation Une question tant propos e une partie importante de l art du calculateur consiste exprimer par des quations chacune des conditions du probl me Pour y parvenir il examinera d abord si toutes ces conditions peuvent tre exprim es par des caract res alg briques de la m me mani re que nous peignons nos pens es par le moyen des lettres de l alphabet Si la chose est possible comme elle l est toujours lorsque la question roule sur des nombres ou sur des quantit s abstraites alors il donnera des noms aux quantit s connues de m me qu aux quantit s inconnues et le sens de la question sera exprim si on peut parler ainsi par un discours analytique Et le conditions ainsi traduites en
50. e ceux l Le th me des quations n suffirait donc pas justifier s il en tait besoin l importance donn e au calcul alg brique Si maintenant en se guidant i ici sur l hisoire de l alg bre on cherche se tourner vers d autres cadres qui pourraient requ rir une ma trise plus avanc e du calcul alg brique force est de constater qu on ne les trouve gu re au coll ge du moins 9 3 En r alit de tels cadres existent ou existent bien davantage au lyc e Le premier b n fice de l investissement r alis au coll ge en mati re de calcul alg brique l l ve va le recevoir en effet lorsqu il abordera le th me du calcul des fonctions d riv es d s lors qu il aura affaire aux fractions rationnelles par exemple Ce constat est corr latif d un autre trait g n ral de l enseignement de l alg bre l mentaire d faut de pouvoir disposer de domaines d interventions adapt s l apprentissage du calcul alg brique se fait Enseignement de alg bre 189 peu de choses pr s in vacuo de mani re intrins que sans relation avec un but math matiqu dans la poursuite duquel le calcul alg brique interviendrait comme un moyen et qui donnerait leur pertinence aux manipulations effectu es sur les expressions alg briques Et lorsque de tels domaines d intervention se rencontrent la ma trise acquise vide c est dire aussi les automatismes int rioris s comme une se
51. e de parfaire l usage des instruments de mesure et de dessin d acquerir d finitivement des techniques op ratoires de base mentales ou crits et conjointement d utiliser rationnellement des calculatrices de poche de s entra ner progressivement au raisonnement d ductif L utilisation d un ordinateur peut accompagner utilement ces activit s Son usage permettra de d gager progressivement les notions de codage et d algorithme 1 Travaux g om triques 1 Dans le plan projection sur une droite selon une direction Conservation du milieu par projection configurations triangulaires prenant appui sur cette propri t Projection orthogonale cosinus d un angle comme op rateur de projection orthogonale 2 Probl mes de plus courte distance In galit distance d un point une droite 16 Y Chevallard Triangle M dianes et centre de gravit hauteurs et orthocentre bissectrices et cercle inscrit Triangle rectangle cercle circonscrit propri t de Pythagore et sa r ciproque 4 Sph re section par un plan aire et volume Dans le plan transformation de figures par translation ou rotation translation et vecteur polygones r guliers Travaux num riques Nombres relatifs en criture d cimiale ou fractionnaire Multiplication r gle des signes Division approximations d cimales d un quotient Addition en criture fractionnaire Puissance enti res d exposant
52. e formule T pour 2 pour fi 8 TxX3x 59 7xBx1 pour d 3 pour g 59 pour e et 1 pour elle deviendra Dn 1295 a 3 232 se Y Chevallard ANNEXE 5 La r solution de probl mes par l alg bre 2 Un extrait de Laplace 1795 Proposons nous encore le probl me suivant Deux lumi res dont l une est quatre fois plus intense que l autre tant s par es par un intervalle de trois pieds d terminer sur la droite qui les joint le point qu elles clairent galement Si l on nomme x l distance de la plus faible lumi re ce point cette distance tant suppos e dirig e vers la plus forte lumi re 3 x sera la distance de ia plus forte lumi re au m me point or on sait que la force de la lumi re d croit en raison du carr de la distance en sorte que I sera la force de la plus petite lumi re la distance x et sera la force de la plus grande la distance 3 x ainsi ces 4 3 2 forces devant tre gales par la condition du probl me on a 1 4 xt 3 x ce qui donne apr s les r ductions convenables x x 3 d o l on tire r 1 2 _ Les deux valeurs de x sont donc x 1 et x 3 La premi re apprend que Je point galement clair par les deux lumi res et plac entre elles est un pied de distance de la plus faible La seconde valeur est n gative elle montre ce que l on pouvait ignorer d abord savoir qu il xiste un second point g
53. e mauvaise foi dites vous est plus clatante encore cela d pend de l espace de ces animaux l un d entre eux pourrait d vorer les autres il faut aussi savoir si le d compte doit avoir lieu imm diatement ou dans un an alors que des animaux pourraient tre morts ou avoir eu des petits En somme vous parlez de collections desquelles on ne sait si elles sont immuables si chaque objet y garde son individualit s il y a pas des objets qui apparaissent o disparaissent 234 Y Chevallard Qu est ce dire sinon que certaines conditions doivent tre remplies pour que l arithm tique s applique Quant la r gle pour reconna tre si elle s applique que vous venez de me donner elle est certes excellente pratiquement exp rimentalement mais elle n a aucune valeur logique Elle est l aveu que l arithm tique 8 applique quand elle s applique Et c est pourquoi on ne peut pas d montrer que deux et deux font quatre ce qui est pourtant la verit par excellence car jamais nous ne Nous trompons en l utilisant Dans les expos s purement logiques o arithm tique s occupe de symboles vid s de toute signification c est gr ce seulement un axiome que deux et deux font quatre Je n ai pas parler ici de ce genre d expos s mais je puis bien dire que si leur importance math matique est consid rable s ils nous ont beaucoup appris ils me paraitraient vou s un insucc s absolu si on voul
54. en arithm tique o elle r gle tout calcul Cette reconduction Enseignement de l alg bre 197 des r gles de gestion de l univ rs num rique de l arithm tique l mentaire au sein du domaine alg brique est en un sens facilitatrice en permettant l l ve de conserver et de r investir un acquis ant rieur sans le remettre en cause sinon tr s partiellement ainsi devra t il admettre qu on n effectue pas a Db elle contribue assurer la viabilit de la relation didactique ainsi d finie laquelle attribue l l ve une place qu il pourra plus facilement venir occuper parce qu on lui propose alors d entretenir avec le calcul alg brique un rapport dont une partie des termes lui sont d j largement familiers On a l du point de vue de la viabilit interne une solution apparemment stable fond e comme on l a vu sur un traitement d termin de la dialectique de l ancien et du nouveau les objets les expressions alg briques sont nouveaux le socle sur lequel se b tit le mode de traitement de ces objets est quant lui ancien puisqu emprunt l univers du calcul arithm tique On a montr plus haut que cependant cette solution didactique peut tre mise en question en assujetissant un domaine nouveau l alg bre un domaine ancien 1 arithm tique elle hypoth que en partie l avenir de l outil alg brique dont on peut juger nous en avons parl et nous allons y revenir
55. en rien la transcription crite d un discours oral qui serait premier par rapport elle Si la voix de l enseignant doit maintenir son fiux quand l enseignant manipule en les crivant des expressions alg briques le discours qu elle port n est qu un redoublement oral une oralisation du geste d la main qui crit une glose redondante gauche inutile en elle m me 3 Troisi me point enfin la solution qui s offre la g om trie est culturellement interdite l alg bre pour de raisons qui tiennent croyons nous l histoire des cultures occidentales dans leurs strates les plus profondes l alg bre le jeu avec les expressions alg briques se voit refus le statut de pens e derri re le mouvement de la main qui crit il n y aurait nulle raison faire valoir seulement l expression d une m canique r gl e mais d pourvue de raison L criture alg brique est le tombeau de la pens e Illusion d autant plus convaincante on l aura devin qu elle s attache une pratique de l alg bre conduite dans un cadre formel o les raisons d tre des d veloppements Enseignement de l alg bre 199 du calcul n appartiennent pas au registre math matique et ne peuvent s exprimer en S autorisant clairement d un projet ni d objets math matiques L enseignement de l alg bre bute ainsi sur une contrainte externe sur laquelle nous reviendrons plus loin qu
56. es juxtapos s plut t que coordonn s Mais pour d crire plus compl tement la place qu il pourra occuper il faut en outre prendre en compte un ph nom ne qui ce niveau est sp cifique de l alg bre par contraste avec l arithm tique et la g om trie l mentaires et qu on peut articuler en trois points 1 Premier point dans nos syst mes d enseignement la relation didactique de l enseignant vers l enseign S tablit et se maintient l int rieur d un univers d oralit et la phon la voix est son m dium Aussi toute exigence d criture impos e enseignant met elle en danger la relation didactique et risque de briser son cours Le discours du savoir auquel la relation didactique que nous connaissons est avant tout appropri e est un discours oral Il en est ainsi de l aritni tique traditionnelle dont la transcription crite est toujours seconde et lorsque en g om trie le graphisme intervient de mani re quasi n cessaire la voix de l enseignant peut continuer maintenir le contact parce qu elle peut commenter ce que fait la main dans une glose qui n est pas pure et simple paraphrase du dessin mais au contraire d veloppe les raisons qui le motivent et qu il exprime car le graphisme est vu ici comme t moin d ploiement et triomphe de la pens e 2 Deuxi me point l criture al g brique l inverse ne renvoie aucun discours oral pr alable elle n est
57. es nombres entiers pour simplifier nous ne pr ciserons pas le d tail de ces lois qui soient solutions des quations x n 0 o n est un entier naturel non nul quelconque On notera n le nombre solution de l quation z n 0 de sorte que n n 0 Comment calcule t on alors avec de tels nombres Soit par exemple effectuer 5 7 On a G TI 7 54 7 5 De l galit 5 7 7 5 on d duit alors que 5 7 2 0 soit donc que 5 7 2 De m me soit calculer La X 7 Partons de l galit 5 e 0 En multipliant par 7 il vient 5 x 7 5 x 7 0 soit encore 5 7 35 0 d o l on d duit que 5 x 7 35 De m me encore on obtiendra par de telles manipulations d galit s la valeur de 5 x 7 En multipliant 7 7 par 5 il vient 5 x 7 5 x 7 0 Comme 5 x 7 5 x 7 0 on obient enfin par addition de 5 x 7 aux deux membres de l galit pr c dente 5 x 7 5 x 7 La fameuse r gle des signes qui n est un casse t te qu au regard de la culture dominante trouve ici son origine elle est forc e en avant par une hypoth se du travail math matique le principe de permanence dans le passage des entiers naturels aux entiers relatifs des lois 202 Y Chevallard qui gouvernent les entiers naturels 17 C est en ce point pourtant que la culture fait sentir sa pression Au lieu de juger l activit math matique ses crit res propres internes une pr
58. es soient math rhatiquement correctes la premi re sous la condition y 0 toutefois En fait le comportement attendu et positivement sanctionn correspond ici non pas A un algorithme math matique au sens strict mais une certaine orthodoxie de comportement d finie par ce que nous appellerons un code de bonne conduite code longuement appris par l l ve au sein de la classe au sein des classes successives Si l on peut bien dire en effet que dans le passage de telle Expression telle autre il y a eu factorisation ou d veloppement ou simplification la consigne de factorisation par exemple n a pas un sens enti rement fix Or c est une contrainte didactique que la r ponse attendue orthodoxe une consigne d termin e soit elle m me d t rmin e Elle s ra donc ici surd termin e par le biais d habitus que l ordre didactique vient surajouter l ordre math matique lui m me Et c est l ensemble de ces surd terminations didactiquement n cessaires dans le cadre formel o l on op re mais math matiquement contingentes et souvent non pertinentes ou inopportunes d s lors que le calcul est conduit dans un cadre fonctionnel que le code de bonne conduite alg brique engendre et active 10 5 L intervention de ce code de bonne conduite formelle est videmment rendue n cessaire par le fait que la manipulation des expressions alg briques n a d autre but qu elle m me si l on peut
59. ge une difficult qui para t a priori de moindre importance L tude alg brique la plus l mentaire des nombres naturels ou relatifs telle que nous l avons illustr e se prolonge normalement par les premiers rudiments de la th orie l mentaire des nombres On pourra comparer de ce point de vue le probl me examin ci dessus au probl me suivant Les nombres a et b tant premiers entre eux montrer que les nombres a b et a b ab ont pour diviser commun I ou 3 Le premier pas de l tude est ici de r crire l expression a b ab sous la forme a b 3ab transformation qui met en jeu le calcul alg brique l mentaire avant de proc der une analyse supposant l emploi de r sultats de base en th orie des nombres si d gt 1 divise a d ne divise ni a ni b puisque a et b son premiers entre eux et divise 3ab puisqu il divise a 3ab donc divise 3 de sorte que d 3 etc Or alors que la p riode contemporaine voit un regain d int r t pour la th orie des nombres qui va bien au del des seuls sp cialistes il faut constater que l tude de ses th mes a pratiquement disparu des programmes des coll ges comme des lyc es o elle figurait encore il y a peu et cela d une mani re bien paradoxale si l on consid re leur r actualisation par l introduction r cente ou venir du point de vue algorithmique dans l enseignement des math matiques r vu 2
60. gitimit culturelle historiquement acquise des savoirs savants D autre part l articulation entre les groupes de m tier et les savoirs savants dont ils mettent en oeuvre des l ments se fait de mani re indirecte par le truchement de m diations nombreuses qui cr ent une constante opacit sociale et culturelle et emp chent ces groupes de d velopper une contestation argument e et non pas seulement globale et g n rale laquelle pour toujours renaissante qu elle soit dem ure galement peu cr dible des savoirs enseign s 4 8 On notera de ce point de vue que l intention actuellement fr quemment formul e au sein de la noosph re de ne plus donner aux savoirs enseign s que la seule r f rence des savoirs savants correpondants appara t cet gard comme un difficile ambition d s lors que ce rapprochement men avec d sinvolture entra nerait en m me temps l loignement par rapport aux savoirs savants Dans le dialogue qu elle voudrait instaurer cette fin la noosph re d couvre en effet que ses interlocuteurs sont introuvables ce qui la conduit en bien des cas d ailleurs se cr er des interlocuteurs imaginaires ou de toute fa on Enseignement de l alg bre 179 d munis du pouvoir de faire avaliser socialement les r sultats de la n gociation si celle ci pouvait tr men e son terme Avant de decouvrir sans doute combien le refus du bouclier constitu par le savoir savant
61. gle de la longueur d un cercle 214 Y Chevallard On se servira de ces exemples selon les cas pour D crire l situation par un tableau ou par des repr sentations graphiques Reconna tre s il y a lieu une proportionnalit D terminer une quatri me proportionnelle Effectuer un changement d unit CLASSE DE CINQUI ME Comme en classe de sixi me le travail effectu doit permettre l l ve d acqu rir et de parfaire l usage d instruments de mesure et de dessin de d velopper le calcul mental et conjointement d utiliser rationnellement des calculatrices de poche de S initier progressivement au raisonnement d ductif L emploi d un ordinateur peut accompagner utilement ces activit s Son usage permettra galement de d gager progressivement les notions de codage et d algorithme 1 Travaux g om triques 1 Prismes droits simples et cylindre de r volution Description repr sentation en perspective patrons Aper us l mentaires sur le parall lisme et l orthogonalit dans l espace 2 Dans le plan transformation de figures par sym trie centrale en exploitant des _situations probl mes n cessitant des manipulations des dessins et des mesures Construction de l image d un point d une figure simple Mise en vidence de la conservation des distances de l alignement des angles et des aires Exemples d utilisation de ces propri t s Caract risations angulaires du parall l
62. harge effective par l enseignant de la cr ation de conditions didactiques permettant que ce travail d extension de reprise d int gration se r alise pleinement Elle fera oublier par exemple que la ma trise du calcul vectoriel n entra ne pas automatiquement la ma trise de l emploi du calcul vectoriel pour mod liser math matiquement un syst me de forces 125 AU demeurant ce n est que dans la probl matique expos e plus haut comme contre point de vue que Ton peut parler v ritablement de mod lisation Dans les conceptions dominantes les emplois mod lisants d un concept math matique ne sont pas vus comme tels mais comme des aspects du concept indispensables pour permettre au sujet d attach r un sens au Concept ainsi qu il appara t par exemple on pourrait Sur ce th me multiplier ind finiment les citations dans le passage suivant d une tude consacr e aux difficult s d apprentissage des op rations arithm tiques l cole l mentaire this still leaves the question of what meanings the pupils can attach to the operations For 6 x 4 it is casy to think of 6 lots of 4 objects repeated addition and this can be extended to include repeated addition of measures e g 6 lengths of string each 4 1 metres long To find a situation modelled by 6 2 x 4 1 however one has to go to a conceptually very different context such as the area of a rectan gle unit price x quantity speed x time or enl
63. i s la transposition didactique comme n ayant que des effets contingents circonstanciels et donc non essentiels sur le statut pist mologique de tel ou tel l mient de savoir D autre part et en cons quence l illusion de l transparence conduit percevoir les possibilit s de modification apport es au savoir enseign comme infinies librement ouvertes l enseignant sans pourtant que se rompe le lien de filiation avec et d authentification par le savoir savant 5 3 On n analysera pas davantage ici les m canismes g n raux de la transposition didactique et on se contentera de souligner que la formation du savoir enseign partir du savoir savant r sout la fois le probl me de l origine du savoir enseign avec quoi fabriquer du savoir enseign et le probl me de l cologie sociale du savoir enseign comment faire pour que le savoir enseign soit cologiquement viable au sein d une soci t donn e en tant que savoir enseign dans la mesure o son origine pr pare de mani re particuli rement favorable sa l gitimation par le savoir savant n ms te n FERITA i Q ILDS LL mm note TS _ 4 4 _r_ ELIL _UlL r rc o A ri Li Eri r 2 siste i e a a T rr gt r 180 Y Chevallard 6 Contraintes internes et cologie didactique 6 1 En p n trant dans les syst mes didactiques en prenant vie dans le processus didactique le savoir e
64. i se contenant de souligner que dans cette seconde phase et au contraire de ce qui se passe dans la premi re il y aura apprentissage sans qu il y ait proprement parler enseignement i e sans qu il y ait intention d enseigner l l ve un autre type de rapport au calcul alg brique Les ensei gnants de lyc e pensent g n ralement la mise en ceuvre du calcul alg brique que suppose l ensei gnement qu ils donnent comme une simple application d un savoir d j constitu et en consequence s tonneront o s indigneront parfois de lP inhabilet des l ves cet gard 9 6 No s nous limiterons dans ce qui suit a une analyse rapide du premier apprentissage du calcul alg brique Cet apprentissage avons nous dit se fait dans un cadre formel Or on touche l une mani re de paradoxe l apprentissage des aspects formels des math matiques en l esp ce du calcul alg brique ne peut se r aliser que de mani re tr s inad quate dans un tel cadre formel Mais en fait il n y a l nul paradoxe Hs agit en effet de faire acqu rir l l ve la ma trise de la manipulation formelle des expressions alg briques or comme dans tout domaine soumis un syst me de r gles que l on songe ici un jeu tel les ches cette ma trise ne porte pas que sur les r gles prises comme sch mes d actions s par s des situations dans lesquelles elles pourront tre mises en oeu
65. i manifeste la pression que la culture exerce sur le syst me d enseignement Et s il est vrai que la contrainte g n rale d oralit qui ordonne la relation didactique tend faire qu en tout domaine enseign le travail d criture soit vers du c t de l l ve comme le montre cette image embl matique de la r lation didactique l enseignant dicte l l ve crit cela est si l on peut dire plus vrai encore s agissant de l alg bre l mentaire Aussi aboutit on cette situation o l enseignant pr tend enseigner ce qu il ne peut lui m me pratiquer et qu il ne pratique gu re devant les l ves o l enseign doit se saisir d une pratique dont il est le seul pratiquant Tout cela conduit une pr somption d indignit de l alg bre au sein d une situation verrouill e l image culturelle de l alg bre chass e du paradis de la pens e refoul e dans les basses terres de l criture m canique et sans gloire r pond en cho dans la r alit didactique la diff renciation asym trique des places de l enseignant et de l enseign vis vis du travail alg brique Nous ajouterons ici sans d velopper ce point qu on peut voir en cela une des sources non n gligeables de certains types d checs lectifs en math matiques 11 Contraintes externes 11 1 On peut d une mani re quelque peu abstraite dire que c est la soci t qui d finit son syst me d enseignement ses conte
66. ine partir du germe constitu par le th me donn C est ainsi que partant de l tude du trin me du second degr on a pu en arriver historiquement l inflation indentifi e en france sous le nom de trin mite au cours des ann es soixante Mais inversement il appara t que le d veloppement anarchique d un domaine ou sous domaine d termin conna t des limites qu il ne peut gu re outrepasser sans qu une r action se produise c est ainsi que la r forme des math matiques modernes a donn un coup d arr t l inflation du calcul alg brique et a radiqu en grande partie la trin mite qui s vissait jusque l voir Chevallard 1985a 10 3 Voyons alors en quelle mani re les deux types de contraintes mentionn es plus Enseignement de l alg bre 195 haut se trouvent satisfaites s agissant de l enseignement de l alg bre D une part l alg bre dont le noyau est la th orie des quations et qui est l origine un outil pour la r solution de probl mes s autonomise par rapport l arithm tique traditionnelle qui lui fournissait son corpus de probl mes r soudre Elle constitue pendant toute la p riode que l on peut appeler classique et qui s ach ve en France avec la r forme des math matiques modernes un domaine bien identifi aux fronti res nettement marqu es Mais l int rieur de ce domaine retranch de sous domaines galement bien tiquet s se mettent progressive
67. instant l id e d une initiation fonctionnelle l alg bre l mentaire telle qu on l a voqu e plus haut L une des conditions n cessaires une telle approche est bien entendu que soit cr et reconnu au moins un domaine d intervention de l outil alg brique disponible tr s t t dans le cursus des tudes et qui puisse intervenir pourtant dans cet apprentissage l instar du domaine mis en place ult rieurement avec le calcul diff rentiel et int gral l mentaire par exemple On a rencontr plus haut deux domaines possibles l un emprunt la tradition de l arithm tique l mentaire celui des probl mes concrets celui donc de la mod lisation alg brique de situations ou de syst mes divers li s la vie quotidienne ou diff rents secteurs de l tude de la nature etc l autre intramath matique inspir de certaines pratiques des math matiques savantes dans lequel l objet d tude est constitu du syst me des nombres entiers naturels 13 3 L articulation d un premier apprentissage de l alg bre autour de l un ou de l autre de ces domaines d intervention potentiels pose un ensemble consid rable de probl mes d ing nierie didactique dont les analyses pr c dentes permettent de se faire une premi re id e Nous ne retiendrons i ici que l exemple du second domaine mentionn dont nous avons donn plus haut une illustration la somme de deux nombres i
68. ions qui dominent les analyses explicites produites dans la noosph re autant que les pratiqu s d enseignement concernant la notion de nombre F apprentissage du nombre etc Afin d approfondir un peu plus ce th me nous donnerons d abord un contre point de vue partant pour cela de la question des nombres n gatifs Loin que ceux ci surgissent du rapport une r alit extramath matique ils apparaissent au sein d une pratique math matique d termin e la r solution d quations Le nombre entier naturel 3 est solution de l quation x 3 Or que se passe t il si l on rencontre l quation x 3 0 Aucun entier naturel n en est la solution Il y a l un myst re mais un myst re intramath matique Et la cl de ce myst re n est nullement rechercher dans la r alit extramath matique Il faudra en fait pr s de dix si cles des alg bristes arabes du IXe si cle jusqu aux alg bristes anglais du XIXe si cle et Hermann Hankel 1867 pour que soient explicit s les concepts pertinents non pas le nombre mais celui de syst me de nombres et le principe de permanence qui lui est associ Puisque en effet la solution d une telle quation ne peut tre un nombre entier naturel consid rons en adoptant ici un point de vue r aliste qui techniquement peut se traduire imm diatement selon un point d vue constructiviste qu il existe un syst me de nombres satisfaisant les lois usuelles d
69. iquent les modalit s d apparition de fonctionnement de changement et de disparition 2 3 C est l ensemble de ces conditions et des analyses qui les prennent pour objet que nous appellerons l cologie du savoir enseign 2 4 Le processus d transposition didactique appara t alors comme l ensemble des m canismes par lesquels est engendr ie savoir enseign dans des formes compatibles avec r ensemble des conditions qui lui sont impos es et au regard desquelles il devra prouver sa viabilit sauf dispara tre des syst mes didactiques disparition qui est au demeurant un ph nom ne banal et p riodiquement observable 3 La contrainte de compatibilit avec le savoir savant 3 1 Dans les syst mes d enseignement modernes issus des syst mes d enseignement form es en Europe occidentale partir du XVIe si cle la contrainte dominante est une contrainte de compatibilit avec le savoir savant correspondant au savoir enseign au sein de cet univers culturel qu est la soci t 3 2 L absence d un savoir correspondant qui soit regard dans la culture de la soci t consid r e comme v ritablement savant constitue une situation particuli re source de dysfonctionnements essentiels cette question sera laiss e de c t dans ce qui suit 3 3 La compatibilit av c le savoir savant prend la forme d une reconnaissance par la communaut savante correspondante du savoir enseign com
70. isme Construction et caract risation du parall logramme Exemples d autres figures simples ayant centre s et axe s de sym trie 3 Triangle somme des angles aire construction du cercle circonscrit 2 Travaux num riques 1 Nombres positifs Sur les nombres entiers et d cimaux conventions et priorit s op ratoires tude de k a b et k a b Comparaison et addition de deux nombres en criture fractionnaire de m me Enseignement de l alg bre 215 d nominateur multiplication de deux nombres en criture fractionnaire 2 Nombres relatifs en criture d cimale Comparaison et rangement Addition et soustraction R duction de sommes alg briques 3 quations num riques du type a x b ou ax b a 0 _ 3 Organisation et gestion de donn es Fonctions Exemples de fonctions avec Description traduction en tableaux ou par des repr sentations graphiques Reconnaissance s il y a lieu d une proportionnalit Ces exemples seront notamment issus d activit s 1 base num rique Calcul d un pourcentage d une vitesse moyenne relev s statistiques activit s propos es en paragraphe 2 ci dessus 2 base g om trique ctielles Calcul de l aire d un parall logramme d un triangle du volume d un prisme droit de l aire d un disque de l aire et du volume d un cylindre de r volution CLASSE DE QUATRI ME Le travail effectu doit permettre l l v
71. iti 0f 54 l un et le reste raison de 3 pour 14 30 De cette mani re elle gagne 226f 40 Combien a t elle vendu d oeufs C Compl 1171 On a achet des oeufs a 4 50 la douzaine on en revend 1 3 6 fr la douzaine 1 3 5 40 et le reste a 4 30 Le b n fice realis est de 613 fr Combien d oeufs avait on achet s E P S 224 Y Chevallard 1172 Oni a pay 2880 fr pour un certain nombre de m tres de velours e et de satin Le nombre de m tres de satin est double de celui de velours sachant que le m tre de satin co te 30 fr et celui de velours 36 fr combien a t on eu de m tres de chaque esp ce E P S 1173 Une pi ce de velours devait tre vendue 36 fr le m tre Par suite d un accident les 2 5 de la pi ce ont d tre c d s 24 fr le m tre et le reste 30 fr Il en r sulte une perte totale de 168 fr Quelle tait la longueur totale de cette pi ce C Compl 1174 Un n gociant achet un certain nombre de douzaines d oeufs 4f 20 la douzaine Il en vend d abord la moiti 4 50 la douzaine puis les 2 3 du reste a 5f 40 la douzaine et le reste final a 5f 70 la douzaine Il r alise un b n fice total de 25fr 20 Combien avait il achet de douzaines d oeufs Lgc et Col 1175 Un marchand ach te un lot de moutons trois prix Il a pay le tiers raison de 126 fr par t te les 2 3 raison de 115 fr et le reste raison d
72. langage alg brique donneront autant sd qhations Qu il on faut pour r soudre la question i Dar dt o Bi i da eu Par exemple qu on demande trois imbres en proportion continue dont la somme soit 20 et la somme des quarr s 140 je appell rair rtrois nombreb incorinus X Y z et la question sera traduite du langage ordinaire en langage alg brique en cette mani re Question nonc e en langage ordinaire La m me en langage alg brique On cherche trois nombres qui aient UE ces conditions a 1 Qu ils soient en proportion g yi ji z qu bien 22 y continue mie ASS o na 2 Que leur somme fasse 20 a y i 20 Que la somme de leurs quarr s O g y 22 140 tasse 140 Ainsi la question est r duite aux quations rz y2 y z 20 T y 22 140 l aide de ces quations et des r gles donn es pr c demment on trouvera les valeurs de x de y et de z 226 Y Chevallard Au reste il faut observer que la resolution des probl mes est d autant plus facile et plus l gante qu on emploie moins d inconnues Ainsi dans le probl me dont il 8 s agit en mettant x pour la premi re inconnue y pour la seconde la troisi me sera qui est en proportion continue avec le deux autres J nonce don la question en cette mani re En langage ordinaire En langage alg briq ue Cercher trois nombres en proportion Lr y y continue SA y
73. me digne de recevoir l tiquette le label que le syst me d enseignement entend lui attribuer en bref que ce qui s nseigne sous le nom de math matiques par exemple est bien reconnu par les math maticiens comme tant des math matiques 3 4 Cette reconnaissance ne se fait pas sur la base d un examen minutieux et rationnel mais r sulte chaque instant d une n gociation sociale o l intervention m diatrice de Enseignement de l alg bre se 177 la noosph re joue un r le structurellement et fonctionnellement d cisif et qui devient nettement et parfois spectaculairement visible dans les p riodes critiques dont le mouvement des math matiques modernes constitue l exemple caract ristique le plus r cent 3 5 Les r sultats de cette n gociation ne sont pas acquis une fois pour toutes ils sont r guli rement remis en cause tandis que la n gociation en sommeil pendant un temps doit alors tre activement reprise 3 6 C est ainsi que l introduction de la th orie des ensembles l cole primaire a permis de concert avec d autres l ments de l gitimer dans un premier temps aux yeux des _ math maticiens pris ici non comme un groupe homog ne mais comme un groupe dans lequels certains un moment donn entra nent plus ou moins massivement l ensemble de leur communaut le projet d enseignement propos par les math matiques modernes comme relevant
74. ment en place On observera que si historiquement le calcul alg brique d rive de la th orie des quations dont 1 appara t d abord comme un adjuvant n cessaire le processus d enseignement selon une disposition usuelle renverse l ordre de la gen se pose le calcul alg brique d abord et inscrit sa suite dans l ordre de la chronog n se la th orie des quations qui le suppose officiellement tout en l ignorant largement Chacun de ces deux sous domaines se d veloppe alors selon une logique qui lui est propre Le calcul alg brique prolif re autour de quelques th mes privil gi s d veloppement des expressions alg briques incluant notamment les puissances c est dire les r gles de manipulation des exposants factorisation identit s remarquables Quant la th orie des quations dont le d veloppement semble a priori limit d s lors que en cette tape initiale elle ne concerne que les quations du premier degr elle trouve un vaste domaine d extension par bourgeonnement fonctions affines droites du plan voire in quations du premier degr et m me programmation lin aire l mentaire en sont les prolongements naturels ph nom ne dont trouve un cho ainsi qu on l a vu dans l acception du mot d alg bre _ re ue parmi les enseignants 10 4 Un autre ordre de contrainte est li l existence de ce qu on a appel la topog n se La relation di
75. mot alg bre dont l emploi officiel comme on l a not se r duit tr s peu de chose il semble que l on puisse le r sumer en disant que ce mot tend appliquer informellement tout ce qui n est pas g om trie 7 6 On consid rera ci apr s les r ponses apport es par 24 enseignants de coll ge la 182 Y Chevallard question suivante Une p rsonne ayant fait des tudes scientifiques n mais qui a perdu contact avec Tr enseignement secondaire actuel vous demande ce que l on enseigne aujourd hui en alg bre au coll ge Que lui r pondez vous Les r ponses sont reproduites dans l ann xe 2 On notera que l une d elle la r ponse 15 est nettement atypige et qu une autre la r ponse 24 est une quasi non r ponse Dans ce qui suit on ne prendra donc en compte qu un corpus de 22 r ponses 7 7 Le tableau 1 pr sente sous une forme clat e qui fait perdre leur tonalit propre aux r ponses analys es les occurrences de diff rents traits descriptifs utilis s On notera d abord la large dispersion de ces descriptions de l alg bre enseign e au coll ge si on les regarde comme composants d un tableau d ensemble du domaine consid r Cela confirme la formule indiqu e plus haut l alg bre C est au moins fout ce qui n est pas g om trie Si l examen du tableau 2 montre qu aucun des 22 enseignants ne cite plus de 4 des 7 rubriques recens es on d
76. mpairs successifs est un multiple de 4 La mise en place de ce cadre fonctionnel d apprentissage de l alg bre a t tent e dans une recherche men e l IREM d Aix Marseille par Michel Jullien et l auteur Elle se heurte un certain nombre de contraintes didactiques que nous ne ferons i ici que signaler o 13 A Tout d abord la constitution de ce domaine comme secteur des math matiques enseign es suppose qu on lui donne une place qui en fait et contrairement au domaine des probl mes concrets n a jamais v ritablement exist dans l enseignement On est donc affront un probl me de cr ation didactique qui soul ve des difficult s cologiques d termin es La structure du temps didactique doit tre remani e en cons quence pour FAH faire droit un tout structur qui comporte une logique certaine mais qui entre en conflit avec l organisation des math matiques enseign es devenue traditionnelle C est ainsi par exemple que le processus adopt dans la recherche mentionn e et qui dans une premi re tape met d abord en place ces outils que constituent les quations du premier degr et le calcul alg brique l mentaire puis encha ne sur une second tape en laquelle ces outils sont alors mis en oeuvre pour cr er comme on l a dit le syst me des nombres rationnels entre en confit avec une organisation dans laquelle l introduction des diff rents syst mes
77. n e en son temps par la r forme des Enseignement de l alg bre 185 math matiques modernes o l alg bre tait d clar e plus que pratiqu e comme m thode de r solution de probl mes arithm tiques 2 Le th me des fonctions tait anciennement t notamment dans les programmes et les manuels d alg bre relatifs l enseignement du lyc e inclus dans l domaine de l alg bre Sa pr sence est ici plus probablement l effet de l apparentement des fonctions tudi es au coll ge les fonctions lin aires et affines avec des objets math matiques appartenant au noyau de l alg bre enseign e ce niveau quations et in quations du premier degr 3 Le th me des ensembles est cit par 2 enseignants sur les 3 qui le mentionnent comme r siduel voir dans l annexe 2 les r ponses des enseignants 7 et 10 en conformit avec ce que l on peut directement observer Apr s avoir en effet tenu une place essentielle dans les programmes et dans P enseignement des ann es 1970 les notions ensemblistes y occupent depuis la fin des ann es soixante dix une position tr s marginale Mais il est int ressant de noter ici ces vestiges qui soulignent l extension et le flou de l acception attribu e au mot d alg bre 4 Les applications la g om trie enfin se rattachent l alg bre pour partie dans le cadre du tryptique quations du premier degr fonctions affines droites
78. ngr dients d une situation de marginalisation pist mologique de l alg bre situation dont on examinera maintenant les possibilit s d volution dans la ligne du contre mod le esquiss tout au long des analyses pr c dentes o 13 Ens igner l alg bre 13 1 Ces analyses permettent de prendre la mesure de quelques unes des difficult s que peut proposer un enseignement de l alg bre qui chapp aux r ductions auxquelles la transposition didactique Fa jusqu ici soumis jusqu ne lui accorder plus que la portion congrue dans l enseignement fran ais d aujourdh hui Dans la situation actuelle un certain nombre de travaux ont mis en vidence ce que les enseignants savent bien d exp rience famili re la difficult prouv e par les l ves par exemple traduire par une quation ou un syst me d quations etc une situation probl me pr sent e sous forme verbale 206 Chevallard celle d un word problem Or on se trouve l devant une situation verrouill e cette difficult r elle ne peut gu re tre prise en compte dans la pratique de l enseignement dans Ja mesure pr cis ment o l alg bre est regard e a priori comme sans grande valeur sans _ dignit indigne du temps que n cessiterait en fait la double exigence didactique consistant poser le probl me de s s emplois et cr er les conditions d une ma trise de s s emplois 13 2 R tournons ici un
79. ns In quations 18 L alg bre au coll ge Calcul alg brique avec initiation progressive au maniement des lettres r duire ordonner factoriser des polyn mes mise en quation d un probl me r soudre des quations et in quations du ler degr une inconnue 19 R soudre des probl mes du ler degr et g rer des donn es simples dans l ensemble des r els 20 R solution d quations d in quations et syst me du ler degr plusieurs inconnues Eventuellement du second degr sans formalisme 222 Y Chevallard 21 Les techniques de calcul alg brique usage des parenth ses r gles op ratoires identit s remarquables quations du ler degr 22 n Calcul num rique sur les nombres r els Propri t s des op rations dans R et calcul alg brique Equations et in quations du ler degr une inconnue Vecteur g om trie dans un rep re cart sien Angles g om triques trigonom trie 23 Alg bre au coll ge calculs dans R avec d veloppements factorisations quations in quations tude de fonctions affines et lin aires 24 Je pose la question A quel niveau Suivant la r ponse de la personne je pr cise en 6 me on fait en 5 me on fait en 4 me on fait en 3 me on fait Enseignement de l alg bre 223 ANNEXE 3 Probl mes de fausse position Ext Mortreux 1925 p 130 M thode de suppositi
80. nseigner devient v ritablement savoir enseign Or en cette tape l existence ou la survie du savoir enseign suppose alors que soient satisfaites une somme de conditions internes au syst me d enseignement conditions dont le syst me d ensemble constitue l cologie didactique du savoir enseign 6 2 L existence du savoir enseign appara t alors suspendue sa capacit de satisfaire aux exigences du contrat didactique lequel fixe de ce point de vue la fois les performances et les limites des performances qui sont exig es de lui 6 3 Dans le cadre des contrats didactiques modernes ceux qui pr valent dans les syst mes d enseignement actuels en particulier ces exigences peuvent tre class es en deux cat gories solidaires l une de l autre D une part le savoir enseign doit pouvoir tre pr sent selon une progression argument e et d finir ainsi une norme temporelle de progr s dans le savoir que l on d signera sous le nom de temps didactique le processus de construction interne au syst me didactique du temps didactique tant lui m me appel chronog n se D autre part chaque segment du temps didactique doit dessiner deux places l une pour l enseignant l autre pour l enseign selon un processus appel topog n se 6 4 c est en ce point qu interviennent les lt sujets didactiques l enseignant et les enseign s Comme le savoir savant
81. nt l apprentissage de l alg bre l mentaire le lecteur pourra le v rifier en examinant les probl mes figurant dans l annexe 3 8 5 L emploi de la m thode alg brique suppose ainsi la ma trise au del des r gles de base du calcul quationnel ai jbr ou changement de mernbre d un terme al mugabala ou r duction des termes semblables de tout un calcul alg brique qui se d veloppe bient t hors du cadre strict des manipulations d quations directement sur les expressions alg briques Ce sont les successeurs d al Khwarizmi notamment al Karaji qui en seront les pionniers 8 6 Du point de vue qui est le n tre ici l volution historique de l alg bre savante peut etre r sum e par trois faits en laissant de cot pour le moment les probl mes du symbolisme alg brique qui se r glent pour l essentiel entre la fin du XVIe et le d but du XVIIe si cle d une part et le probl me qui ne sera vraiment r gl qu au XIXe si cle des _ syst mes de nombres d autre part 1 La relation de l alg bre comme secteur des math matiques savantes la r solution des probl mes arithm tiques traditionnels auxquels se r f rait toute la math matique ancienne de Babylone jusqu al Khwarizmi s estompe rapidement parce que de tels probl mes except s ceux qui constituent le corpus diophantien lesquels continueront longtemps d alimenter la r flexion math matique sont
82. ntre une partie noble et sp culative et une partie basse et appliqu e g om trie et arithm tique pratiques a seulement permis un jeu utile entre diverses perspectives d enseignement d une m me mati re la g om trie arithm tique 114 L alg bre au contraire a r sist la culture occidentale et dualement n a jamais t vraiment adopt e par elle apparaissant en son sein comme un corps tranger _ H ya ici une continuit d attitude frappante qui va des formes lev es du discours philosophique les philosophes ont glos sur la g om trie et peu pr s compl tement ignor l alg bre aux formes les plus ordinaires d la repr sentation sociale Or cette situation de alg bre dans la culture situation que nous n tudierons pas davantage ici a eu et continue d avoir des effets d termin s sur enseignement de l alg bre IL 5 Elle a des effets d j sur les math maticiens eux m mes c est ainsi qu on veut voir dans la querelle qui au XIXe si cle opposa les tenants d une g om trie pure ou synth tique tel J Steiner aux m thodes de la g om trie analytique l influence de la p joration culturelle de l alg bre sans bien s r que cela enl ve rien au renouveau apport par les travaux de g om trie pure Mais on notera aussi que ces effets se font sentir encore aujourd hui et d une mani re t
83. nus ses proc dures ou id alement et de mani re d s lors prescriptive que c est la soci t qu il choit de le faire L ad quation de l tat r el des choses avec cette conception ou ce voeu quant la fa on dont une soci t d termin e r gle ses rapports avec son cole n carte pas toutefois la possibilit que des contradictions ou des obstables etc se manifestent entre les buts officiellement assign s et les contraintes que la soci t fait peser sur le fonctionnement de l cole C est dans ce cadre g n ral que 1 l on situera les remarques qui suivent propos de l enseignement de l alg bre 11 2 L apparition de l alg bre en Occident a t salu e par les math maticiens comme l av nement d une re nouvelle le point le plus vident et longtemps le seul sur lequel les Anciens se voyaient d pass s Dans son Introduction en l art analytique 1591 Vi te pr sentait l alg bre comme permettant de donner solution tout probl me et quelque deux si cles de distance les r dacteurs de l Encyclop die ne seront pas moins logieux T Alg bre y lit on ainsi est la plus merveilleuse m thode que l esprit de l homme ait d couvert pour la r solution des probl mes article PROBLEME Dans l article consacr F ANALYSE laquelle est proprement la m thode de r soudre les probl mes math matiques en les r duisant des quations et qui pour
84. oit admettre pourtant que l usage informel du mot d alg bre dans le jargon professionnel des enseignants fran ais de coll ge peut recouvrir l ensemble des rubriques r pertori es ici la r ponse g om trie donn e par l enseignant 13 devant vraisemblablement tre entendue ainsi que nous l avons fait comme se r f rant l utilisation de l alg bre en g om trie 78 Le paysage que dessinent ces r ponses appara t toutefois fait de masses fortement dissym triques Le noyau central des descriptions est constitu comme on pouvait s y attendre par les th mes Equations et Calcul alg brique le premier tant cit 30 fois et par 17 enseignants Je second 32 fois et par 19 enseignants Les 5 enseignants qui n ont pas cit le th me Equations ont tous cit le th me Calcul alg brique inversement les 3 _ nseignants qui ne mentionnent pas le th me Calcul alg brique citent le th me Equations OT 9 La seconde masse est constitu e par l unique th me Calculs sur les nombres qui est cit par 10 enseignants sur 22 et re oit en tout 20 citations Ce positionnement des structures num riques dans le cadre de l alg bre ne doit pas faire illusion voir Chevallard 1985a alors qu il se justifierait d un point de vue th orique que nous d velopperons plus loin il est ici la manifestation de l aboutissement d une volution historique r cente qui par le truchement de l importation dans le sy
85. ole l mentaire mais doit tre am lior au coll ge Une construction de courbe point par point peut tre ainsi l occasion d une meilleure assimilation des techniques op ratoires 2 On devra donc privil gier l activit de chaque l ve Mais on n oubliera pas Enseignement de l alg bre 211 la n cessit d une p dagogie n assujettissant pas tous les l ves aux m mes rythmes sans que soit d laiss l objectif d acquisitions communes D s lors les professuers vont avoir choisir des situations cr nt un probl me dont la solution fera intervenir des outils c est dire des techniques ou des notions d j acquises afin d aboutir la d couverte ou l assimilation de notions nouvelles Lorsque celles ci auront t bien ma tris es elles fourniront leur tour des outils qui permetteront un cheminement vers une connaissance meilleure ou diff rente Les activit s choisies doivent d velopper l capacit de se poser des probl mes et de progresser vers leur r solution Elles doivent aussi Permettre un d marrage possible pour tous les l ves donc ne o donner que des consignes tr s simples et n exiger que des connaissances solidement acquises par tout le monde Cr er rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures Rendre possible la mise en jeu des outils pr vus Fournir aux l ves aussi souvent que possible des occasions de contr le
86. on Probl mes 1169 Un n gociant ach te une pi ce de drap raison de 40 fr le m tre Il en revend le quart 54 40 le m tre 1 5 50 fr le m tre et le reste 50 fr le m tre Il retire de cette vente un b n fice de 1476 fr Combien y avait il de m tres dans la pi ce de drap Analyse Si la longueur de la pi ce devenait 2 3 4 fois plus grande ou plus petite le b n fice deviendrait 2 3 4 fois plus grand ou plus petit c est dire que la longueur de la pi ce est proportionnelle au b n fice qu on retire de sa vente Solution Supposons donc que la pi ce de drap ait 20 m 20 tant le p p c m les d nominateurs 4 et 5 La longueur de la pi ce contiendra 20 m autant de fois que le b n fice total contient le b n fice r alis sur des 20 m 1 B n fice total 1476 fr 2 B n fice sur 20m 0 Sur 1 m 54 40 40 14 40 Sur 5 m 148 40 x 5 144 2 rafr Sur 1 m 567 40 16fr fond 4 m 16 x 4 64fr Sur 1 m 50 404 10fr Sur 20m Om ou 11m 10f x 11 110fr d En tout 72 G4f 110f 248fr a Sur le quart ou sur 5 m i b Sur ou 4 m c Sur le reste l R ponse Longueur de la pi ce 207 x E 20 x 6 120m Autre m thode La longueur de la pi ce est le quotient du b n fice total 1476 fr par le b n fice moyen sur 1 m 1170 Une marchande ach te des oeufs 36 fr le cent Elle en vend la mo
87. on de l enseignement Il existe pour chaque classe des dominantes de contenus et d activit s qui rendent possible une bonne organisation du temps disponible et permettent de r aliser la coh rence et la progression de l enseignement Il importe en effet d viter Re n n rr _ AI 210 Y Chevallard l miettement et de faciliter la bonne structuration des savoirs et des m thodes Une distinction claire doir tre tablie entre Les activit s prescrites par le programmes qui doivent tre aussi i riches et diversifi es que possible Les connaissances exigibles qui sont beaucoup plus restreintes que ce qui se fait en classe Les activit s compl mentaires ventuelles sur tel ou tel point Chaque sujet math matique n est pas un bloc d un seul tenant il n a pas tre pr sent de fa on exhaustive Il convient au contraire de faire fonctionner propos de nouvelles situations et autrement qu en reprise ayant un caract re de r vision les notions et outils math matiques ant rieurement tudi s il convient galement de pr ciser chaque tape de l apprentissage quelles connaissances sont d sormais en place il convient enfin de mettre en oeuvre des exercices de synth se pour coordonner des acquisitions diverses L tude d une notion un niveau d termin implique qu elle sera d sormais et le plus souvent possible int gr e syst matiquement l activit math matiqu
88. on ne retient que les l ments jug s pertinents inversement tout dans le mod le math matique n a pas n cessairement d interpr tation au sein de la situation mod lis e et qu on peut donc par exemple math matiser telle situation l aide du syst me des nombres relatifs comme la position d un point sur un axe muni d une origine sans que toutes les manipulations qu on peut tre amen faire subir aux nombres relatifs par exemple en les multipliant s interpr te concr tement dans la situation tudi e pas davantage que tel proc d de r solution de tel type d quation diff rentielle mod lisant tel type de ph nom ne physique ne s interpr te ordinairement dans les termes du ph nom ne physique tudi car il y a une logique sui generis du mod le math matique 12 7 Ainsi l alg bre se trouve ni e comme outil de cr ation de concepts et les concepts eux m mes se voient fig s en telle sorte que le travail de math matisation qu ils permettent et qui les enrichit comme concepts n est pas nettement identifi comme t che pist mologiquement et didactiquement ouverte Or troisi me type d effets ce double laminage tend refouler l alg bre l mentaire de la part vive de l activit math matique pour la r duire dans le cadre formel que nous avons d crit une activit automatique et en tout cas autonome sans r elle port e de cr ation Il y a l les i
89. pp 224 232 12 3 Seconde type d effets la m me illusion culturelle a conduit une confusion entre le concept et ses usages en particulier de ses usages comme outil de mod lisation math matique Cette confusion s est r cemment pr value en France du principe pist mologique selon lequel un concept ne saurait tre enferm dans une d finition formelle mais quivaut en droit comme en fait la somme de ses usages Il nous faudra d abord dire i ici quelques mots de ce principe qui constitue en effet une conqu te pist mologique essentielle Il conduit rejeter la notion de concepts constitu s une fois pour toutes d une mani re extemporan e et anhistorique aussi bien dans l histoire d une discipline que dans l histoire d un individu pour lui substituer la notion de travail du concept qui met en avant ce fait essentiel qu un concept n est pas une chose inerte mais une chose en devenir Consid rons nouveau ici la question des nombres n gatifs Chez les alg bristes italiens tel Cardano ils apparaissent comme des choses des nombres sur lesquels on sait calculer certes mais dont on ne sait trop que faire Cardano les appelle des nombres fictifs numeri ficti par opposition aux numeri ueri A partir de l on peut tenter soit n gativement de les liminer comme fondamentalement inutiles c est encore ce que voudront faire certains math maticiens tel Augustus de Mo
90. premier apprentissage de l alg bre pr sente un autre caract re d inad quation On a vu qu il induisait chez l l ve des comportements automatiques peu adapt s l emploi fonctionnel du calcul Mais de plus la gamme de ces comportements appara t troitement limit e en regard de la vari t des manipulations des expressions alg briques que l emploi du calcul alg brique suppose 192 Y Chevallard Cette limitation traduit la capacit qu a F enseignant lorsqu il op re l int rieur d un tel cadre formel d engendrer d s comportements de manipulation d expressions alg briques Travaillant vide sur ces expressions l l ve ne peut agir qu en se r f rant quelques consignes purement formelles calculer d velopper factoriser simplifier avec quelques variantes parfois calculer le plus simplement possible etc Pour mieux souligner en quoi la th matique des comportements induits est pauvre nous prendrons encore un exemple Consid rons l expression litt rale 2a 1 2a 1 2 Si l on se demande quel traitement formel de cette expression l enseignant va pouvoir obtenir de l l ve dans un cadre formel la r ponse est ais e La seule des consignes pr c demment cit es qui soit ici mobilisable est en effet calculer l expression consigne qui sauf erreur de l l ve produira un comportement de calcul du type suivant correspondant classiquement l
91. r s pr gnante au sein de la noosph re en particulier dans la recherche sur l enseignement des math matiques Sur ce point qui exigerait une tude s par e nous ne signalerons i ici que quelques indices l int r t port la question des word problems ou verbal arithmetic problems par la recherche am ricaine et plus largement par la recherche internationale situ e dans sa mouvance corr latif d un manque d int r t visible au faible volume des travaux qui luj sont consacr s pour le th me du traitement alg brique des probl mes en lequel nous Pavons dit Vi te ou d Alembert voyaient pourtant une r volution dans les math matiques le succ s de th ories Enseipnement de l alg bre 201 qui d une mani re ou d une autre accordant la pens e une extension et des modalit s r streintes par la tradition id ologique et culturelle restent fermement suspendues aux antiques conceptions mentalistes de la cognition en supposant par exemple comme il en va des information processing models l laboration par le sujet pr alablement toute action d un sch me mental exprimant l ensemble des informations apport es par l nonc du probl me sch me qui serait nsuite seulement ex cut par opposition un traitement s quenciel de l information etc 11 6 Rien n est sans doute plus r v lateur de cette pression de la culture sur l enseignement des math matiques que les concept
92. ran ais Minist re de l ducation nationale 1985 pp 77 91 MATH MATIQUES 1 Nature et objectifs L enseignement des math matiques comporte deux aspects Il apprend relier des observations du r el des repr sentations sch mas tableaux figures Il apprend aussi relier ces repr sentations une activit math matique et des concepts Cette d marche permet de b tir des math matiques partir des probl mes rencontr s dans plusieurs disciplines et en retour d utiliser les savoirs math matiques dans des sp cialit s diverses Elle accorde una grande place l activit de construction de r alisation de dessins de r solution de probl mes d organisation et de traitement de donn es de calculs Cela permet aux l ves de mieux prendre en compte le caract re d outil de math matiques Elle concourt la formation intellectuelle de l l ve et doit notamment D velopper les capacit s de raisonnement observation analyse pens e d ductive Stimuler l imagination Habituer l l ve s exprimer clairement aussi bien l crit qu l oral Affermir les qualit s d ordre et de soin Ainsi l enseignement des math matiques au coll ge favorise le d veloppement des capacit s de travail personnel de l l ve et de son aptitude chercher communiquer et justifier ses affirmations 2 Instructions g n rales Choix des m thodes Progressi
93. rgan au XIX si cle soit positivement de les apprivoiser en cherchant quels usages on peut en faire et la somme de tels usages n est en principe aucun moment close Pour un exemple l mentaire clairement pr sent voir l annexe 5 Au regard de l histoire des math matiques savantes et de leurs divers avatars sociaux y compris les math matiques enseign es il n y a l au fond rien que de tr s banal Or la position dominante vis vis des concepts tout au moins en ce qui concerne l enseignement tend ignorer le processus de travail des concepts et se m prend donc sur le sens r el du principe pist mologique pr cit pour se r f rer des concepts suppos s toujours d j constitu s et qu il s agirait de transmettre Tout autant que le travail des concepts ce point de vue correspond bien cependant une r alit il y a en effet une r ification culturelle des concepts qui les enferme non en une d finition mais en un certain nombre de leurs usage possibles Et dans cette ligne la ma trise sera r gard e implicitement au moins comme la ma trise d un certain nombre de s s usages culturellement reconnus 12 4 Il suffit pour l apercevoir de consid rer rebours un usage culturellement non classique Nous prendrons ici un exemple qui vaut au moins pour le cas fran ais Soit comparer les nombres rationnels 12 23 et 13 24 Si comme c es
94. rt e au probl me de l quilibre de ce rapport de forces se trouve pour r sumer dans l tablissement d une bonne distance qui rapproche le savoir enseign du savoir savant et qui l loigne suffisamment du savoir des parents Ces deux mouvements sont en fait solidaires et il faut nouveau souligner i ici l conomie de principe ainsi r alis e dans la mesure o tout rapprochement avec le savoir savant actuel ou r cent entra ne ipso facto un loignement par rapport au savoir des parents 4 6 La question des conditions de compatibilit sociale du syst me d enseignement se pose encore comme on l a not propos d autres groupes sociaux et notamment les groupes de m tier en relation avec l usage du savoir concern qui se trouve r alis dans tel oti tel de ces groupes S il est vrai que l instar du groupe des parents aucun groupe de m tier ne semble disposer aujourd hui du capital symbolique qui pourrait fonder la puissance d investiture requise le probl me cependant se pose ici diff remment 4 7 D une part le syst me des groupes de m tier est dot d une structure tr s l che atomis e en une multiplicit largement incoordonn e de groupes incapables de donner Vi impression de parler d une seule voix tandis que les contestations ponctuelles n ont que peu de chances d tre culturellement prises en compte d s lors qu elles ont s opposer la l
95. s telles qu on voudra PROBL ME IV Un homme veut distribuer de l argent des pauvres S ila avait huit deniers de plus il pourrait en donner trois chacun il ne leur en donne donc que deux et il lui en reste trois On demande le nombre des pauvres Soit x le nombre des pauvres Il s en faut de huit deniers que l homme ne puisse distribuer 3r Son argent peut donc tre repr sent par 3x 8 Il distribue sur cet argent 2x deniers par cons quent ce qui lui reste apr s la distribution sera repr sent par 3x 8 2r ou x 8 mais nous avons dit que ce reste tait gal trois deniers par cons quent x 8 3 ouzx 1l PROBL ME V Deux messagers et B sont loign s l un de l autre de 59 milles ils partent le matin pour aller leur rencontre mutuelle A fait 7 milles en deux heures et B en fait 8 trois heures mais A est parti une heure avant B On demande combien A fera de milles avant de rencontrer B Appelez ce nombre de milles x Alors 59 x sera le chemin qu aura fait B Et comme A fait 7 milles en deux heures il fera x de milles en na d heures ola i o 2T ce qu on trouve en faisant cette proportion 7 milles 2 heures x milles heures De m me comme B fait 8 milles en 3 heures il fera 59 z milles en 177 3 Lr 8e d heures Maintenant comme la diff rence de ces temps est 1 heure ils 8 deviendront gaux en ajoutant 1 au plus petit c est dire
96. st me d enseignement de la th orie des structures alg briques permis de penser d une mani re d termin e le th me des syst mes de nombres comme relevant de l alg bre moderne au d triment de l alg bre l mentaire classique devenue quant elle vanouissante sinon bien s r dans les pratiques comme on peut le constater du moins dans le libell des programmes officiels Enseignement de l alg bre 183 TABLEAU 1 Equations Equations 4 6 8 13 16 Equations du ler d gr l 3 10 il 12 17 18 19 20 21 22 23 In quations du ler d gr 1 11 17 18 20 22 23 Syst mes d quations du ler d gr 10 17 20 _ Syst mes d in quations du ler d gr 17 20 Equations du second degr 20 Calcul alg brique De Emploi de lettres 1 7 18 Parenth ses 2 21 Ecriture d expressions alg briques 2 Calcul alg briques 2 3 8 18 21 22 Calcul sur les polyn mes 14 Puissances 5 9 Identit s remarquables 1 4 12 13 16 17 21 Factorisations d veloppements 1 5 6 9 11 13 14 17 18 23 Calculs sur les nombres Ensembles de nombres et op rations 10 22 D cimaux 3 i Relatifs 12 Fractions 1 3 12 16 17 Rationnels 3 _ Racines carr es irrationnels 1 3 17 R els 5 12 19 22 23 R gles des signes 17 Valeurs absolues 17 R solutions de probl mes R
97. t le cas aujourd hui l l ve ne dispose pour ce faire que des r gles formelles de calcul sur les fractions il devra pour conclure calculer 12 x 24 et 13 x 23 puis comparer ces nombres Mais utilisant un usage non classique des rationnels comme outil de mod lisation il pourrait aussi recourir 204 Y Chevallard ce fait le nombre b a repr sente l proportion de boules rouges dans une urne contenant b boules rouges et a boules en tout ou encore la proportion de filles dans une classe de a l ves contenant b filles si l on ajoute une boule et si celle ci est rouge la proportion des boules rouges passe de b a 1 a 1 et on sait par ailleurs qu elle augmente on a donc b a lt b 1 a 1 d o l on d duit imm diatement que 12 23 lt 13 24 Si le mod le ici mis en oeuvre tait culturellement classique l incapacit l utiliser pour r pondre la question pos e des deux nombr s 12 23 et 13 24 quel est le plus grand serait vraisembiablement regard e comme l indice que l l ve ne ma trise pas le concept de fraction Dans un autre univers culture donc la quasi totalit des enseignants de math matiques eux m mes devraient selon ce crit re tre regard s comme ne ma trisant pas le concept de fraction La r ification culturelle des concepts tend ainsi laminer l id e du travail des concepts et oublier au sein du processus didactique la prise en c
98. th oriquement r gl s etn apparaissent plus gu re que comme de simples applications pour les commen ants Le lecteur trouvera dans l annexe 4 un choix de tels probl mes emprunt s l Arifhmetica universalis de Newton 1707 2 Les alg bristes s attachent prioritairement jusqu Descartes et sa G om trie 1637 d velopper la th orie des quations On conna t les grandes tapes de cette aventure les alg bristes italiens du XVIe si cle Scipione del Ferro Tartaglia Cardano Bombelli etc r solvent les quations g n rales de degr s 3 et 4 les math maticiens arabes n y taient pas parvenus leurs successeurs buteront longuement sur les quations 188 si Y Chevallard de degr sup rieur j jusqu ce que entre la fin du XVIlIe si cle Vandermonde Lagrange et le d but du XIXe Abel Galois l on parvienne une r ponse n gative impossibilit de ia r solution alg brique par radicaux des quations de degr sup rieur ou gal 5 en m me temps que se cr ent comme sous produits promis un magnifique avenir les premiers concepts de l alg bre moderne 3 L outil que constitue le calcul alg brique sous sa forme symbolique modern par opposition aux formes rh torique et syncop e que distinguait Nesselmann 1842 p n tr non sans r sistances parfois comme on T observe propos de la g om trie pure tous les dom
99. tique dans le cadre d une structure doublement oppositive repr sent e par la figure ci apr s Math matiques G om trie Non g cm trie espace nombre N Li SON Arithm tique Alg bre 7 3 Cette structure du savoir math matique enseign qui est la structure des math matiques que reconna t d j Descartes s est maintenue pour l essentiel jusqu la r forme des math matiques modernes qui entre officiellement en vigueur en France la fin des ann es soixante ou au d but des ann es soixante dix selon les classes Ma s au del elle se d fait m me si le mot d alg bre demeure vivant point sur lequel nous allons revenir et se trouve remplac e par une simple opposition g om trie structures num rique s Voir Chevallard 19852 TA Ce mouvement est poursuivi et confirm par la r cente r forme des programmes du coll ge rendue publique en 1985 et qui affecte la classe de sixi me la rentr e 1986 programmes structur s selon les rubriques oppos es des Travaux geom triques et des Travaux num riques auxquelles vient ajoindre une novation la rubrique inti tul e Organisation et gestion de donn es Fonctions Dans ce cadre les l ments q e l on pourrait assigner l alg bre se trouvent inclus dans le domaine du num rique ici dans la rubrique des Travaux num riques voir l annexe 1 7 5 En ce qui concerne l emploi par les enseignants du
100. v ritablement faits En r alit pourtant nous avons affaire ici un ph nom ne qui n est nullement sp cifique de l alg bre non plus que du calcul alg brique lui m me et qui r pond en fait deux contraintes majeures de l cologie didactique dans l origine desquelles nous n entrerons pas ici Un le processus d enseignement suppose un d coupage de la mati re enseign e en domaines 1 arithm tique l alg bre la g om trie la trigonom trie etc et en sous domaines les quations le calcul alg brique les syst mes de nombres etc jouissant d une autonomie relative les uns par rapport aux autres et qui finissent par n avoir plus entre eux que des liens putatifs plut t que r els Deux de tels domaines et sous domaines d s lors lib r s de P obligation de s articuler entre eux de mani re approfondie peuvent se d velopper pour eux m mes et tendent prendre la plus grande extension possible 10 2 On notera cet gard l existence d une contrainte corr lative pour qu un th me donn puisse tre enseign c est dire soit didactiquement viable il est n cessaire quoique non suffisant bien s r qu il puisse appara tre comme trouvant sa place au sein d un sous domaine suffisamment vaste ce que nous appellerons un tout structur Si un tel environnement n existe pas a priori il peut y avoir alors cr ation artificielle d un tel domaine o sous doma
101. vre elle devrait en son principe c est dire par r f rence l usage effectif des ces r gles dans le cadre de la pratique math matique porter tout autant sur la ma trise de l emploi pertinent fonctionnel des r gles formelles dont l apprentissage est vis C est un premier aspect que nous avons d j soulign plus haut et sur lequel on ne saurait trop insister 9 7 Car en r alit le calcul formel qui constitue le support du premier apprentissage du calcul alg brique suppose de toute fa on un cadre de r f rence A d faut d un cadre explicite fournissant un guide la conduite du calcul et par rapport auquel le calcul alg brique appara trait comme un outil aux emplois divers il existe bien un cadre de Enseignement de l alg bre IM r f rence mais qui demeure implicite ce cadre depuis longtemps familier l l ve est celui du calcul arithm tique qui va fonctionner alors comme un v ritable paradigme Or si l on peut bien consid rer que les r gles du calcul alg brique sont l expression des propri t s des op rations arithm tiques le fonctionnement de ces r gles en calcul alg brique n est pas superposable leur fonctionnement arithm tique En arithm tique en effet tout calcul op re constamment en simplification soit complexit ostensive d croissante on y verra par exemple fonctionner la transformation 2 3 5 jamais la transformation inverse 5 2 3 Or il en

Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L`ALGEBRE ET

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