CHAPITRE 2 CONTRAINTES , DE?ORMATIÛNS
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1. FE VR RU 2 31 SH _ Ea donc la relation 2 62 entre les contraintes de PK2 et de CAUCHY peut s crire m S det y ui R gru O apparaissent les contraintes corotationnelles T On a donc la relation 1 Sr 2 63 Entre les contraintes corotationnelles et de PK2 existe uniquement une transformation d chelle de taille Les deux mesures sont objectives Les contraintes corotationnelles ont une mesure vraie c est dire par UNIT de surface dans la configuration par opposition aux contraintes 2 2 2 7 Le tenseur contrainte de GREEN RIVLIN De fa on analogue au cas des contraintes de PK2 on peut transfor mer le vecteur contrainte et l aire l mentaire par l inverse du gra dient de d formation On obtient ainsi le tenseur de GREEN RIVLIN X x E GREEN associ de RIVLIN est un de nos Contemporains la diff rence de GREEN inventeur de la d formation qui porte son nom 40 116 au tenseur des contraintes corotationnelles par la relation ET ST 2 64 La m me proc dure peut tre poursuivie pour donner de nouveaux ten seurs Contraintes dont l int r t est g n ralement assez limit CURNIER 45 2 2 2 8 Analyse des tenseurs contraintes Choix Nous avons pr sent une s rie de tenseurs mesure des d formations et des contraintes Lequel faut il choisir Quelques crit res exis tent IT n est pas possible de choisir ind pendamment les tenseurs des cont2. La puissance virtuelle int rieure est donc V T au OH f Sp f M dv ri Sp F dv 25832 A y i ax L galit des puissances virtuelles ext rieure 2 81 et int rieure 2 83 lors de toute perturbation virtuelle des pressions des temp ratures assure l quilibre global du solide au point de vue coule ments transfert de chaleur sans que la moindre d pendance de la relation constitutive entre contraintes et d formations conjugu es soit apparue 5 2 L quilibre est ainsi exprim en un instant en toute ind pendance de l histoire du solide En particulier si de grandes d formations et rotations sont apparues 1 quilibre exprim dans la confiquration actuelle est rigoureux condition d avoir d fini les flux vectoriels f et les d formations g n ralis es M simultan ment dans l esprit de CAUCHY ou ventuellement selon d autres principes quivalents de telle sorte qu ils soient conjugu s c est dire dans la confiqura tion actuelle 2 4 CONCLUSIONS Ce chapitre nous a permis d crire les conditions de l quilibre entre forces et d placements contraintes et d formations dans 1 tu de des grandes d formations m caniques du solide de l coulement de fiuide en milieu poreux et de la conduction thermique dans les solides Les deux derni res analyses ont t envisag es dans un contexte de petites et de grandes d formations La g om trie des grandes d f
3. ques non orthogonaux et variant d un point l autre de la structure A premi re vue ces derniers sont peu int ressants Toutefois ils ont deux drands avantages jis sont li s aux fibres de la structure et suivent donc ais ment les grands d placements ils apparaissent naturellement lors du d veloppement d l ments fi nis 1soparam triques Il existe donc un grand nombre de mesures de contraintes toutes dif f rentes combinant les diverses possibilit s de configuration de r f rence et de syst mes d axes Tous les choix sont valables Lorsqu on a recours la technique des l ments finis certains de ces choix conduisent des matrices de rigidit non sym triques qui ont longtemps t consid r es avec m fiance Mais pour d autres rai sons nous serons souvent amen s r soudre des syst mes d quations non sym triques Cette appr hension dispara t donc Certains choix de contraintes sont galement plus proches de la perception physique de l ing nieur dans un cas ou l autre d analyse Ainsi lorsqu on analyse des barres de treillis des poutres des mem branes ou des coques donc des corps orient s il est tout fait na turel de prendre des axes de r f rence li s la fibre moyenne ou au plan moyen des corps Par contre lorsqu on tudie des volumes ven tuellement en tat plan ou axisym trique 11 est int ressant de tra vailler en coordonn es cart siennes globales afin de voi
4. _ Ainsi appara t le tenseur jacobien 3X 3X A x d SE 2 49 appel souvent gradient de d formation car il est le gradient dans r des coordonn es de y Supposons pr sent qu en point du corps dans la configuration initiale soient grav s des axes parall les aux axes globaux Si Ba ez Pendant la d formation ces axes s incurvent Leurs longueurs et leurs angles relatifs voluent Ils deviennent q4 Oo 9 dans y Le tenseur F est la matrice jacobienne transformant e pere Zi do 33 23 SE je 2 4 33 Es 21 Froure Lala 2 2 1 3 La mesure des surfaces Une surface orient e infinit simale est un parall lograme d limit Ee DEE CS GE par deux fibres distinctes dX et dx issues du point tudi Sa mesure initiale est dA gl dx 2 5 ou A repr sente le produit vectoriel Apr s d formation dans la confiquration actuelle la mesure est da dx dxb EX E di l aide de la notation indicielle on peut montrer que da det E ET dA 2 6 Cette quation est connue sous le nom de formule de NANSON 22 2 2 1 4 La mesure des volumes Le changement de volume peut pr sent tre valu Aux deux fibres CS EE E gie GE QA utilis es pour Ta mesure des surfaces joignons une troisi me dX De aans SC E 2 SA fibre dX distincte des deux pr c dentes et issue du m me point Un volume parall lipip de infinit simal peut tre construi
5. est loqi que de prendre en compte une d formation g n ralis e compl mentaire la d riv e temporelle de la pression m 2 74 a celos qui est scalaire et donc objective m s annule en r gime permanent condition de coh rence 2 3 3 Les forces et les contraintes L quivalent de la force en m canique est ici le d bit de chaleur ou de fluide Q soit une quantit de chaleur ou un volume de fluide par unit de temps C est un scalaire Consid rons en un point P du solide une facette d aire Aa dont l orientation est d termin e par sa normale unitaire n figure 2 9 47 Figure 2 9 Soit AQ le d bit traversant cette facette On d fini le fiux scalaire f dans la direction n en P par f lim 2 75 Aa 0 Etudions l quilibre du triangle QMN Figure 2 10 Les c t s ON et QM sont parall les aux axes Ga La facette MN d orientation n est attach e au m me point P si on avait fait un dessin pour un espace d 3 dimensions on aurait eu un t tra dre L quilibre exprime que la Figure 2 10 Somme des d bits traversant les facettes est nulle f da fi da fo da f3 da f da CNM Si on exprime les composantes de la normale n en axes globaux 2 47 ona da nada 2 48 48 f nfs nf 2 77 Par d finition f est le vecteur flux au point P Ses composantes sont relatives des facettes parall les aux axes globaux Dans un contexte de grandes d format
6. par unit de surface est quivalent au flux scalai re d fini plus haut 2 75 II est donc quilibr par le vecteur flux selon la formule 2 77 n ftg 0 2 78 nm o n est la normale ext rieure Au voisinage de la surface la composante du vecteur flux normale la surface est gale au d bit impos quelle que soit la fa on dont 11 est impos 2 3 4 3 L quilibre local en volume Consid rons un l ment de volume v d limit par la surface a de normale ext rieure n Il est en quilibre lorsque le bilan des flux Spatiaux provenant du reste du solide du flux impos en volume et du flux absorb par augmentation d nergie potentielle est nul n f da Q dv f av EG al a y V Le th or me de GAUSS permet de transformer l int grale de surface en int grale de volume En notation indicielle af 1 3X Q f dv ES 0 V 1 qui est valable quel que soit le volume consid r D s lors l qua tion d quilibre local int rieur est af 1 V 8 EA f E Q 0 2 80 2 3 4 4 L quilibre global Les puissances virtuelles Pour exprimer que l ensemble du solide tudi est en quilibre nous exprimons que lors de toute perturbation virtuelle arbitraire Sp de la pression de la temp rature la puissance virtuelle ext rieure est gale la puissance virtuelle int rieure La perturbation virtuelle on doit tre cin matiquement admissible elle doit respe
7. pour respecter l imposition Aucun d bit ne peut tre impos sur ces surfaces sur les surfaces d bit impos le d bit est connu et la pression ou la temp rature ne peut tre impos e 49 Enfin un troisi me type de surfaces doit tre consid r Sur celles ci on n impose ni le d bit ni la pression mais une relation entre eux IT en est ainsi des changes convectifs et radiatifs C est galement le cas de l alimentation d une nappe aquif re par un pian d eau travers un mur de perm abilit limit e et de taille fai ble par rapport au milieu poreux mod lis 11 existe alors une re lation entre le flux traversant le mur et la diff rence de pression entre le milieu poreux et le plan d eau Enfin un ph nom ne quiva lent au contact m canique unilat ral peut galement tre pris en compte le suintement aux fronti res d un milieu poreux au contact de 1 atmosph re IT en est ainsi du parement aval d un barrage ou de la paroi d un puits au dessus de la nappe figure 2 11 zones BC Figure 2 11 Fronti re avec suintement Sur ces fronti res la pression ne peut d passer la pression atmos pn rique Si elle atteint juste cette valeur alors un d bit peut appara tre Il s agit donc d une fronti re sur laquelle une condi tion unilat rale de d bit existe en fonction de la pression dans le milieu et de la pression ext rieure 90 2 3 4 2 L quilibre local en surface Le d bit impos
8. semble re marquable fondamental et strictement n cessaire dans l tude num ri que des solides La similitude du d veloppement th orique des trois ph nom nes tu di s nous semble galement remarquable Deux diff rences essentielles Subsistent Dans un cas les forces et d piacements sont des vecteurs les contraintes et d formations sont des tenseurs Dans l autre cas 11 s agit de scalaires et de vecteurs Dans l tude des grandes d formations nous supposons que les effets dynamiques sont n qligeables Dans l tude des coulements et de la conduction l aspect transitoire est pris compte 18 2 2 LES GRANDES DEFORMATIONS M CANIQUES DU SOLIDE IT est bien connu que Torsqu on quitte le domaine des petits d nla Cements et d formations des solides les d finitions de contraintes et de d formations infinit simales associ es doivent tre revues En ef fet 11 n est plus quivalent de travailler dans la configuration ini tiale ou dans la configuration d form s Les notions qui suivent ont t d velopp es par de nombreux auteurs commencer par CAUCHY LAGRANGE GREEN et KIRCHHOFF la fin du 188 si cle et au 19e si cle Les travaux consacr s aux grandes d forma tions ont connu une croissance consid rable pendant les derni res d cennies Depuis peu sont apparus quelaues travaux rassemblant et uni flant les diverses contributions souvent produites en ordre dispers Nous nous sommes ici
9. 3 vecteurs contraintes associ une facette de r f ren ce est d compos en ses 3 composantes selon les 3 axes de r f ren ce On obtient ainsi 9 composantes caract risant un tenseur con trainte Selon ce mode d emploi on voit qu il est possible de r aliser plu sieurs variantes 1 II est possible de multiplier le tenseur contrainte de CAUCHY par un facteur d chelle scalaire Ce facteur pour fournir un apport constructif ne peut tre constant 11 doit donc d pendre de la d formation 2 11 est possible de changer de syst mes d axes de r f rence La mo dification la plus int ressante consiste choisir un nouveau sys _ t me 116 d une fa on ou d une autre la structure Par exemple des axes subissant uniquement une rotation gale la rotation de Corps rigide de la structure donn e par la d composition polaire du gradient de d formation 2 31 Ou encore des axes grav s Sur la structure et se d formant avec elle base q gt Joe Ja 2 4 Ou encore des axes li s un syst me de coordonn es in trins ques sugg r par la formulation isoparam trique des l ments finis Le Syst me d axes de r f rence doit tre tel que dans la configura tion initiale les diverses mesures de contraintes soient senses et si possible coincident Ce changement d axes peut influencer soit le vecteur aire infinit si male da n da soit le vecteur contrainte soit les deux vecteurs Ces d
10. CHAPITRE 2 CONTRAINTES DEFORMATIONS EQUILIBRES 2 1 INTRODUCTION Dans ce chapitre nous avons pour but d tudier des solides en un instant sans relation avec l histoire Que le solide subisse de grandes d formations qu il soit le Si ge de transferts de chaleur par conduction ou de l coulement d un fluide au travers de pores nous essayons d exprimer les m mes id es selon un canevas identique et pour ce faire nous utilisons la plupart du temps le lanaaqe de la m canique du solide Nous d finissons donc dans les trois cas envisa ges les notions de forces de d placements de contraintes et de d formations A tout moment les forces et contraintes sont en qui libre Nous pr cisons ce que nous entendons par quilibre et nous 1 expri mons localement en surface et en volume La notion de puissance vir tuelle permet de passer du concept local au concept global d quilibre et est une tr s belle voie vers la discr tisation en l ments finis Nous crivons le principe des ouissances virtuelles en m canique et nous l tendons aux probl mes d coulements et de conduction Nous mon trons qu il constitue une relation entre les quatre grandeurs fonda mentales les forces les d placements les contraintes et les d for mations Ainsi nous montrons que les contraintes et les d formations sont conjugu es via la puissance virtuelle I en r sulte que le principe de la puissance virtuelle par Sa g n ralit nous
11. N est celui qui demande le moins de d veloppements math matiques puisqu il vaut T HE ED 2 39 E FO a I peut galement s interpr ter comme une variation de longueur et d angles En effet suivant des d veloppements pr c dents 2 13 4 Coros Ya LL Vient KAT o de dei 9 Dy ES x d rr E gt lt a mi A Ceci justifie probablement sa grande popularit dans les applications g om triquement non lin aires Les tenseurs de d formation ainsi d velopp s sont KE eeh CHE E Eu car ils d pendent uniquement de U qui est lui m me ind pendant d une rotation de corps rigide 1sotropes si Q est une rotation arbitraire a a I alors QE Q EQual En d autres termes une d formation U de valeurs propres donn es produit un tenseur de valeurs propres galement bien d termin es et ce quelque soient les directions propres de la d formation IT n y a donc pas de fibre privil gi e 28 coh rents Dans a configuration initiale U 1 et E I 0 r gulier 1 JE donc le tenseurde d formation est inversible la relation E E U est bien bi univoque Notons enfin que ainsi que le montre CURNIER il est galement possi bie de combiner les pr c dentes mesures Par exemple on peut obtenir ainsi le tenseur de MOONEY comme moyenne des tenseurs de GREEN et de KARNI E E qui videmment les propri t s pr c dentes Nous ne nous
12. a D 3IPIANS ap 9ILUN aed O aunjoA ap a3Lun sed Saquosqe SI1q9p Sal A 994058 ALLLLIS nii l LOL U nt AN99984 l O ey D s LL 4 MLP e9S nl ai JH dp j uoLss d e ap 31 sodwa JALA P Gi Xe de 7 UOLSSBAd ap JUSLPRAB l 9RUUOdUL 958 d uoissoud ey xnaJod nal u ua PLN 4 ap yu noIa d o2ejuns op 9 d au Ion ap E 0 O EL PT Sun oA ue 2890 94qL Lnba ELO lu d 998JANS US 8901 a4ql inba 1Lun aed PL Y un aed ssanbiidde saouo Sa LES y 3 2 AHONVI BP SJULRLAJUOS Anasuen l O lt ev We Ju ULE4JUOI ANDIIDA j Ea uslqosef unesuaz al SONUUOIUL Sat JUOS X SOQUUOPADO san sonb1uexau SUOLFEUMOJSP sapuedb sai A EN mu 54 Exe doe yo 19 de LL NJALA VOLJRUAOFODP gi ol IT APO E CS de Al m9 dope UN L4AJJUL LL NJMLA JuLessLNd ei e A ep de b Ap do Zus S4N8149IX9 3 9NJALA S9Uuessind ei PA bn la ll cl oo EE O A EZ Xn sod Nna Lu US apUn1l ap 4U4all9 no99 7 Xe dE ES Lo det age age I AHINVI op S LONIALA UO LFRUAOJ ap eL l L A XE Xe CE An E F ARLES S Ju ASE A9 l BAN LAJJUL LL NJMLA adUessind VL gt OR A ep An d AP A9 de 5 Ju BANS1ASIXS JLL NJULA adUESSINA e EE pp aq sanbLueoall SUO LI RWuOJap zapug D Sai 55
13. bas s essentiellement sur trois de ces synth ses dues CESCOTTO 1 CURNIER 45 et SIDOROFF 42 2 2 1 Aspects g om triques 2 2 1 1 G n ralit s Au fur et mesure du chargement par d finition des arandes d for mations la forme et la a om trie du solide tudi voluent de fa on significative Nous distinqguerons deux confiqurations fondamentales TP la configuration initiale fixe C est une r f rence g om trique G n ralement elle est non contrainte Toutefois dans certains cas en m canique des sols notamment la seule configuration initiale connue est le si ge de contraintes 7 y une Configuration arbitraire d form e soumise des forces et d placements impos s par rapport T Le champ de contrainte est non nul Nous exprimerons sous quelles conditions y est en quilibre et deux types de syst mes d axes de r f rence gt les syst mes orthogonaux fixes En pratique nous travaillerons la plupart du temps dans un tel syst me d axes global j Eos En effet dans l tude des solides tridimensionnels ventuellement en tat plan ou axisym trique de sollicitation ce sont les seuls axes significatifs pour l ing nieur Dans quel autre syst me exprimer les contraintes et d formations els 19 x Figure 2 1 les syst mes d axes mat riels li s aux fibres de la structure Ces syst mes voluent avec la structure dans toutes leurs composantes orientation pos
14. cter les conditions de pressions temp rature impo s es au contour et tre contin ment derivable La puissance virtuelle dl est la puissance d velopp e par les d bits impos s en volume Q et en surface q 51 SW Q Sp dv q p da 2 81 Er a veta sont le volumeet la surface dans la configuration actuelle Y Cette quation mesure la puissance m canique virtuelle fournie par les d bits de fluide lors d une perturbation vir tuelle des pressions Elle mesure galement l nergie thermique vir tuelle fournie en une unit de temps par les d bits de chaleur impos s lors d une perturbation virtuelle des temp ratures Elle implique qu aux d bits Q et q est conjugu e la pression la tem p rature par l interm diaire de la puissance Remarquons que les conditions aux limites de type convection radiation contact g n ra s etc sont prises en compte dans cette formulation Introduisons les expressions de 1 quilibre Toca 2 18 SE 2801 dans 2 81 En notation indicielle Be 7 QUE Gr ri Sp dv n f Sp da V a Par le th or me de GAUSS of SW rei Sp SR gt ae p dv V d n 1 ei Sp f x dv Ainsi appara t l expression de la puissance virtuelle int rieure en fonction des contraintes et d formations g n ralis es La d forma tion virtuelle associ e au flux spatial est bien le vecteur SM 2 gp 2 82 ainsi que nous l avons PRES Une 2 73
15. d placement riaide du corps tudi Si t est un param tre d volution par exemple Te temps X x lt gt lt Ch Smet E ETEA 2 19 C t mesure la translation Q t mesure la rotation C est un tenseur orthogonal v rifiant T T TE E 2 20 det Q 1 24 et donc gt o 0 2 21 Le tenseur jacobien est alors dx H a E 2 F X t dX Q t L 2 d et les tenseurs de CAUCHY GREEN C F E lt q00 1 2 23 B 00 1 Ainsi dans un mouvement de corps rigide le tenseur jacobien volue Par contre les tenseurs de CAUCHY GREEN restent constants Consid rons pr sent une d formation triaxiale homog ne sans rota tion translation ni cisaillement Gr A A M Xo An t X EE Xa K ch Aa Alors li t 0 o fe F Xt 0O A1 t 0 AIS 0 0 t et y KN 5 PS t p O C B 0 F E 0 2 26 0 0 S t La variation est donc purement diagonale Remarquons que si A Az gt on obtient une d formation triaxiale de r volution C est en particulier le cas lorsqu on r alise un essai triaxial id al en m canique des sois Enfin tudions le cisaillement simple X4 Aq y t Ko X CATA 2 Xa 25 alors T y t o F X t l O 2 28 0 0 A et 1 y t o C t 14 y t o O 0 0 1 L vii y t ol B y t 1 0 2 30 3 Cette fois les tenseurs de CAUCHY GREEN droit et gauche d
16. e p x T x prend donc la place d un vecteur Ki Dans la suite nous utiliserons uniquement la notation p x X tout moment elle peut tre remplac e par T x Nous parlerons uniquement de pressions 46 Au paragraphe pr c dent nous avons montr que les tenseurs mesures des d formations peuvent tre construits partir du gradient des coor donn es le tenseur jacobien IT en est de m me ici Toutefois le gradient de pression est cette fois un vecteur Le _ d M grad p M x p TAE Par commodit anticipant sur la suite nous l affectons de suite d un signe n gatif Le gradient M est nul Torsque la pression est uniforme Il est donc coh rent avec la seule d finition de configuration initiale r plausi ble Dans T le champ de pression est uniforme Le gradient M n est pas objectif Ses composantes varient lorsque le solide tudi subit une rotation de corps rigide En pr sence de grandes d formations et rotations m caniques 11 importe de garder l esprit cette propri t du vecteur d formation M Le vecteur d formation M est l quivalent du tenseur d formation de CAUCHY d fini au paragraphe pr c dents 2 44 11 sera toujours valu dans la configuration actuelle Ve Les ph nom nes de conduction et d coulement sont souvent de type transitoire La dimension temps joue donc un r le important de m me que dans les ph nom nes m caniques dynamiques D s lors il
17. e d placements impos s au contour et la continuit du solide c est dire tre contin ment d rivable en son Sein Soit sv la vitesse de perturbation La puissance virtuelle ext rieure SW est le travail accompli par E p p les forces de volume pP et de surface Di a Se Sc v dv D v da 269 V E Cette quation implique que les forces pP et p sont conjugu es aux vitesses v exprim es dans les m mes axes Peu importe quels sont ces axes orthonorm s Nous pouvons donc choisir diff rents syst mes se lon les forces tudi es condition d exprimer les vitesses dans le m me syst me que la force conjugu e En particulier le probl me de contact est inclus dans 2 69 p sont alors les forces appliqu es par une fond tion au solide exprim es en axes orthonorm s locaux la surface Sy peut tre consid r indiff remment comme une vitesse de perturbation des coordonn es de 1a Surface ou de la distance entre la fondation et la surface mesur e normalement celle ci fiqure Cause Introduisons les exnressions de l quilibre local 2 65 et 2 06 dans 2 69 Travaillons en notation indicielle IX J oasa SW O SV dv fs Ou SV de jy x Wh Transformons l int grale de surface en int grale de volume par le th or me de GAUSS db z f d S d i E ci sv dv y 1 1 Dia 2 dy CT 1 272 Ainsi appara t l expression de la puissance virtuelle en fonction des Contrainte
18. guration actuel le y Au cours de la d formation un triangle initialement rectangle UL Le Si dans T devient un triangle curviligne Q MN dans y Sur MN le vecteur force tda On transporte tda parall lement lui m me sur M e et on effectue sa d composition par quilibre l aide du e O Mo No gt tda Tda 1 day I da T dA T dA 2 54 Po Ins Lo Ta Sont donc des vecteurs contraintes fictifs agissant sur les facettes dA d dA respectivement perpendiculaires aux axes Ei Ep 3 Et est le vecteur contrainte par unit d aire initiale non d form e 37 en axes globaux ST on exprime les composantes de la normale n 8 o Ta E O M 9 Leg et f Gra ES N tda ET 1 D 4 n Figure 2 6 on dA pn dA Qj il vient T No l 2 25 On peut d composer T dans la base gt Cart sienne globale On obtient les contraintes c LAGRANGE di E Lij e 2 16 On a ainsi exprim le vecteurcontrainte t par des contraintes mesur es par 38 unit d aire non d form e Les contraintes de LAGRANGE sont donc des Contraintes nominales Nous pouvons relier le tenseur de LAGRANGE au tenseur de CAUCHY t da T da T n da C n dA Et 0 Or la formule de NANSON 2 6 donne l volution de la surface n da det F En di T T aT det Dal E meik Un A gt Le detF Fto det F UI Ro 2 57 Le tenseur jacobien
19. iff rent par leurs termes diagonaux 2 2 1 6 La d composition polaire du tenseur jacobien Nous avons vu que le tenseur jacobien est affect par la rotation de corps rigide II est possible de s parer de mani re univoque les rotations des d formations FE VR RU 26 o R est un tenseur de rotation orthogonal Y est le tenseur de d formation pure droit stretch tensor Y est le tenseur de d formation pure gauche U et V sont sym triques et d finis positifs En effet 11 vient alors C EFR UY Y 232 B EE VV y gt V Cet B sont donc des tenseurs coaxiaux deux deux et V ont pour valeurs propres les racines carr es de celles de et B Ayant ainsi trouv un moyen de construire U et V sym triques et d finis Tele positifs il en d coule R EU y a 26 A nouveau ceci montre que les tenseurs de CAUCHY GREEN C et B sont ind pendants de la rotation de corps rigide 2 2 1 7 Les tenseurs de mesure de d formations Une mesure des d formations doit avoir un certain nombre de qualit s pour tre utilisable ais ment par l ing nieur L objectivit la mesure doit tre ind pendante des rotations de corps rigide Nous avons vu que les tenseurs C B U V sont objec tifs au contraire de F L annulation dans la confiauration initiale r c s quatre tenseurs C B U Y sont gaux au tenseur unit I dans la configuration T On sera donc amen leur soustraire le te
20. ions et rotations m caniques le flux f n est donc pas objectif 11 est l quivalent du tenseur con trainte de CAUCHY d fini au paragraphe pr c dent ess L aspect transitoire des ph nom nes tudi s entra ne de m me que pour les d formations g n ralis es l adjonction au vecteur LUX E spatial d un flux scalaire f mesurant plus particuli rement le flux absorb par le solide en vertu de sa structure intime pour augmenter son nergie potentielle Ce processus se fait par gonflement des pores lors des coulements et par accumulation de chaleur lors des conductions f est scalaire et donc objectf 2 3 4 L quilibre Les d veloppements qui pr c dent nous ont permis de pr ciser les notions de forces et contraintes que nous avons transpos en d bits et flux vectoriel et scalaire Nous allons pr sent exprimer l qui libre de ces forces et contraintes globalement et localement 2 3 4 1 Les d bits appliqu s Le solide tudi peut tre soumis deux types d actions ext rieures des d bits par unit de volume Q par exemple la chaleur produite par la dissipation m canique lors de d formations irr versibles des d bits par unit de surface q Ces derniers se subdivisent en plusieurs cat gories selon les con ditions impos es la surface sur les surfaces pression ou temp rature impos e les d bits par unit de surface sont les r actions du milieu ext rieur sur le solide
21. ition de l origine longueur des vecteurs de r f ren ce angles entre les vecteurs de r f rence Dans de tels syst mes d axes on peut encore d finir des contraintes mais elles perdent leur signification physique habituelle De plus le calcul de l tat de d formation n cessite de distinquer les d riv es covariantes et contravariantes et le formalisme en est fort alourdi I est bien entendu possible de cr er d autres syst mes plus normaux Par exemple un syst me orthonorm vecteurs de r f rence orthoaonaux et de longueur unitaire 1i galement la structure Dans ce dernier seules l origine et l orientation voluent Un tel syst me est d une grande puissance dans l tude des corps orient s poutre et coques o les contraintes peuvent s interpr ter ais ment uniquement dans un syst me lj au corps De m me les d veloppements de conditions aux limites de type pression et frottement en surface demandent tre exprim s dans des axes mat riels Nous aurons l occasion d y revenir 20 2 2 1 2 Le tenseur jacobien Revenons l tude du solide dans des axes qlobaux Consid rons un point mat riel p et le petit voisinage qui l entoure Etudions ses d formations Le vecteur coordonn e est dans T gt lt x dans y La vitesse de p est Sur ax y de 20 Nous pouvons exprimer les coordonn es A et x dans le voisinage de p par dx F dX BE et invers ment dX pe dx ne
22. iverses possibilit s peuvent tre combin es volont mais seuls certains choix sont f conds Nous limitons notre pr sentation aux choix les plus populaires et les plus int ressants 36 2 2 2 4 Les tenseurs contrainte corotationnelle et de KIRCHHOFF Les contraintes de KIRCHHOFF sont semblables aux contraintes de CAUCHY si ce n est qu elles sont corrig es par le changement de volu me Soit t det F o 2 02 Les contraintes o de CAUCHY et t de KIRCHHOFF ont une particulari t commune elles sont exprim es en axes globaux dans la structure d form e Donc si celle ci subit une rotation de corps rigide les Contraintes changent Les contraintes de CAUCHY et de KIRCHHOFF ne sont pas objectives mais elles sont ais ment interpr tables Une premi re technique pour obtenir un tenseur contrainte objectif consiste exprimer les contraintes par unit d aire d form s dans des axes insensibles une rotation de corps rigide Soient ces axes les axes principaux de la d formation donn es par la rotation R avec E RU 2 31 Le tenseur contraintes corotationnelles s obtient par rotation du tenseur de KIRCHHOFF T R tR det F RI o R CAS Il est objectif 2 2 2 5 Le tenseur contrainte de LAGRANGE Exprimons pr sent le vecteur contrainte par unit d aire initia le Consid rons figure 2 6 le mouvement d une facette mat rielle donn e ON MN de la configuration initiale r la confi
23. le la contrainte vraie par unit de surface actuelle est ais ment inter pr tablie 47 2 2 3 1 Les forces appliqu es Le corps tudi peut tre soumis deux types d actions ext rieu res des forces par unit de masse ar exemple la gravit P P La force par unit de volume est donc SE des forces par unit de surface p eur Ces derni res se subdivisent en plusieurs cat gories selon les condi tions impos es la surface Sur les surfaces d placements impos s les forces par unit de surface sont les r actions du milieu ext rieur sur le solide tudi Sur les surfaces forces impos es la force est donn e en axes globaux et par unit de surface initiale ou en axes li s la struc ture et par unit de surface d form e Dans ce dernier cas les for ces ppiiqu es r sultent de la pression d un fluide ou d un frotte ment appliqu tangentiellement la surface Enfin un troisi me type de surfaces sera consid r Sur ces sur faces on n impose ni une force ni un d placement mais une relation entre forces et d placements Une fondation lastique se mod lise ainsi Une condition de contact unilat ral avec frottement entre ga lement dans cette cat gorie selon la distance de la structure une fronti re donn e que nous appellerons fondation voluant ventuelle ment le contact existe et des forces de surface apparaissent ou le contact n existe pas et a
24. n tant pas sym trique le tenseur de LAGRANCE ne l est pas non plus Ce tenseur est galement souvent appel tenseur de PIOLA KIRCHHOFF n 1 ou tenseur de BOUSSINESO 11 n est pas objectif 2 2 2 6 Le tenseur contrainte de PIOLA KIRCHHOFF n 2 Le tenseur de LAGRANGE a t obtenu par transformation de la sur face de r f rence l aide du facteur det F ET sans transformer le vecteur contrainte I en r sulte un tenseur dis sym trique Transformons pr sent le vecteur contrainte de la m me fa on que la surface ou de la m me fa on que le vecteur coordonn es de la con figuration actuelle vers la configuration de r f rence relation g om trique T d SE da 2 58 et d composons T comme pr c demment A 2 092 gei ER loi 7 S4j 2 60 ou el e n dA CATR S est le tenseur contrainte de PIOLA KIRCHHOFF n 2 DU PK2 ou enco re PIOLA LAGRANGE Nous pouvons le relier au tenseur de CAUCHY 39 T lat E Mo d B par la formule de NANSON z1 R S na EI al detras S denn Eier 2 62 pa Le tenseur S de PK2 est donc sym trique car il r sulte d une trans formation sym trique du tenseur sym trique de CAUCHY Remarquons que le tenseur contrainte de PK2 peut galement s inter pr ter comme la d composition du vecteur contrainte t dans les axes li s la structure et initialement globaux Rappelons nous la d composition polaire du gradient de d formation
25. nseur unit dans la confiqu ration initiale Ceci est absolument n cessaire pour obtenir une re lation simple entre les contraintes et les d formations Cette notion est appel e consistency par CURNIER 45 En francais nous parle rons de coh rence coh rence l hypoth se que la configuration ini tiale n est pas d form e On obtient sur base des propri t s nonc es pr c demment es ten seurs de d formation suivants Le tenseur de BIOT E u 1 2 33 et le tenseur de GREEN ou de GREEN LAGRANGE E 5 C I 4 1 1 GER Les inverses de U et C peuvent galement tre la base de bons ten seurs de d formation Le tenseur de HILL E 1 01 2 35 et le tenseur de KARNI K o 2 O E UN 2 36 Ainsi est apparue une famille de tenseurs DA Qu SZ m 2 1 1 2 CARTE appel e famille de SETH par CURNIER D autres tenseurs peuvent tre construits comme fonction du tenseur de base U Le plus connu est le tenseur d formation naturelle 27 G in U szIn C U 1 4 u 1 DER construit l aide des logarithmes naturels des valeurs propres et des vecteurs propres de U D autre part les m mes d veloppements peuvent tre effectu s par tir des tenseurs V et B Le tenseur d formation le plus connu est dans cette optique le tenseur d EULER ALMANSI A_ 1 ii B 1 T A o se f Se qui est proche du tenseur de KARNI Remarquons que le tenseur de GREE
26. on da dle da 2 48 d o EEN 2 49 j i On d compose maintenant les vecteurs t dans les axes globaux t Sie Es LA d o a 5j 2551 Par d finition les di forment le tenseur des contraintes de CAUCHY au point P Ces contraintes sont donc relatives des facettes QN QM parall les aux axes globaux dans la configuration d form e y Dans une autre configuration d form e E la facette MN devient MN et on d terminera les contraintes de CAUCHY l aide du triangle t tra dre L M N Il est fondamental de remarquer que les facettes L M et UNI pe r sultent pas de la d formation de QM et ON Ce n est donc pas sur les m mes facettes mat rielles que les contrain A Se tes di et gif Sont d finies dans y et Gu Les contraintes de CAUCHY sont souvent appel es contraintes vraies car elles sont d finies sur une surface vraie relative la confiqu ration dans laquelle les contraintes existent 35 Le cas du tenseur contrainte de CAUCHY nous montre quels sont les ingr dients de la construction d un tenseur contrainte 1 On tudie une facette infinit simale sur laquelle agit un vecteur contrainte limite de la force action du reste du corps lorsaue la surface de la facette tend s annuler 2 On projette la facette suivant les 3 axes d un r p re de r f rence et on projette le vecteur contraintes sur les 3 facettes de r f rence ainsi cr es 3 Chacun des
27. ormations a t d velopp e IT en r sulte une multitude de mesures de Contraintes et de d formations par mi lesquelles nous avons choisi le couple contraintes d formations conjugu es de CAUCHY La m me d marche a t utilis e dans le cas des coulements et de la conduction Les forces ou d bits impos s ont t pr sent s En particulier le cas du contact unilat ral a t pr sent en m canique et en coule ments Enfin l quilibre a t exprim l aide du principe de la puis Sance virtuelle La similitude d approche des trois probl mes est remarquable Les tapes se succ dent dans le m me ordre les principes et raisonne ments sont les m mes A un tenseur en m canique correspond un vecteur en coulement et en conduction A un vecteur en m canique correspond un scalaire en coulements et conduction Aux coordonn es dans la configuration actuelle en m canique correspon dent la pression en coulement ou 1a temp rature Celle ci peut donc tre consid r e comme une coordonn e g n ralis e tant dans les d ve loppe ments th oriques que dans la programmation d un code d l ments finis Afin de montrer plus clairement ce parall lisme g n ral nous avons r sum les quations fondamentales des grandes d formations m caniques et des coulements dans le tableau suivant 93 L A Lo X BS 4 0 SUN Lon US 8901 a4qL inba L L ye UU D Si 998445 U 8201 auqL inb
28. r ou perce voir l volution de l tat de contrainte dans les directions globales et permanentes de la structure Un trouvera une description fort compl te des divers choix possi bles dans 1 et 45 32 2 2 2 2 Le vecteur contrainte sur une facette Figure 2 4 Soit en un point du corps d form une facette d aire Aa dont Eu q ZS e gt l orientation est d termin e par sa normale unitaire n Soit AP l effort exerc au travers de cette facette par les mol cules du corps les unes sur les autres On d finit le vecteur eontralinte sur une facette d orientation n par AP t im Ces 2 45 Aa 0 2 2 2 3 Le tenseur contrainte de CAUCHY Les contraintes de CAUCHY sont exprim es en axes cart siens globaux immuables pendant la d formation Consid rons fig 2 5 le mouvement d une facette mat rielle donn e j A D D L Ko MN MN MN dans les configurations successives T gt v gt pa t 33 FIOUr 239 34 Dans la configuration d form e y on tudie l quilibre du triangle QMN si on avait fait un dessin pour un espace 3 dimensions on aurait eu un t tra dre Les c t s QN et QM sont parall les aux axes globaux e e crit 9 n L quilibre de ce triangle t tra dre t da t day t da E daz t da 2 46 Surf uns 51 on exprime les composantes de la normale n en axes globaux End f A n Mi No Mz n 2 47
29. raintes et des d formations un lien existe il sera d ve Iopp aux prochains paragraphes l aide du principe des travaux virtuels i est n cessaire que tous les tenseurs contraintes soient coh rents c est dire gaux dans un voisinage arbitrairement petit de la configuration initiale ll est utile pour la formulation qu un tenseur contrainte soit objectif Par contre il en r sulte souvent un r sultat peu lisible IT est utile que les valeurs propres soient toujours toutes r elles et que les vecteurs propres soient orthogonaux Ces propri t s ne sont v rifi es que dans le cas des tenseurs sym triques En particu lier ce n est pas le cas du tenseur de LAGRANGE Ceci justifie le peu d int r t port en g n ral aux tenseurs non sym triques Ces quelques aspects ont t abondamment tudi s par CURNIER 45 son tude est longue et ardue mais passionnante par les perspectives et l homog n it qu elle pr sente Nous basons notre choix sur la repr sentation des contraintes L objet principal de ce travail est l tude de solides En r gle q n rale nous n tudions pas de poutre plaque ou coque D s lors l orientation privil gi e de mesure des contraintes est l orientation des axes globaux Nous travaillerons beaucoup dans le domaine des grandes d formations La diff rence entre la taille actuelle d un petit l ment de surface et sa taille initiale peut donc tre importante D s lors seu
30. s C est la puissance virtuelle int rieure sW La vitesse de d formation virtuelle conjugu e aux contraintes de CAUCHY est donc DI KS 9X Comme le tenseur contrainte de CAUCHY est sym trique la puissance vir tuelle peut aussi s crire 45 L ensemble de ces arguments nous conduit donc naturellement fournir l utilisateur du programme Les contraintes de CAUCHY D S lors il est logique d exprimer l quilibre en contraintes de CAUCHY Par contre l tude de l voiution des contraintes doit tre objec tive Nous serons donc amen s par la suite utiliser les contraintes corotationnelles parce qu elles sont proches des contraintes de CAUCHY Les contraintes de PK2 et de HILL issues des pr c dentes par anamorphose ne seront donc pas utilis es 2 2 2 9 La d composition du vecteur force Dans 1 tude du solide apparaissent outre les d nlacements d formations et contraintes des forces De m me que le tenseur con tralnte le vecteur force peut tre exprim dans une multitude de sys t mes d axes de r f rence Selon le type de force l un ou l autre est plus int ressant Nous en retiendrons deux Les axes globaux forment le syst me fondamental d orientation fi xe II sera utilis pour repr senter des forces d orientation immua ble et donc non li es au solide par exemple la pesanteur D autres forces sont li es au solide par exemple la pression sur une surface fronti re o
31. s lors d une d formation triaxiale homog ne Soit ER LR ol x3 g d s lors Pa et E c 8 R 1 Dh US 0 o t o 0 t 0 0 t 0 0 AS t 30 et on obtient les tenseurs d formation de BIOT et de CAUCHY vi Ai o 0 e sE o ap t 1 o O 0 t 1 de GREEN AN gt Go Lo E7 O z as t 1 0 Keren 0 0 3 Aa3 t 1 de HILL r 1 K Ax 5 i i JL Ge Y g AS 0 alt l 1 9 0 1 T P Y d 3 G de KARNI et d ALMANSI 1 1 j pesg 00 ASES O 7 1 D F Alt 1 1 0 0 gt 1 E l 3 de MOONEY ER _ 0 O M bi br A 0 pa SIS gt rt a t naturelle ma 0 0 G 0 wa 0 0 O Inas t Ainsi nous voyons que lors d une d formation triaxiale homog ne tous les tenseurs mesure des d formations sont coaxtaux Seules leurs va 31 leurs propres changent 2 2 2 Tenseurs contraintes en grandes d formations basis troduction De m me que les d formations les contraintes existant dans la con E figuration d form e y peuvent tre exprim es par rapport des facettes lies la configuration initiale de la structure r ou une confiqura qu tion quelconque d form e en quilibre ou la configuration d form e actuelle y Les contraintes peuvent galement tre exprim es dans des axes car t siens fixes de r f rence pour toute la structure ou dans des axes intrins
32. t rieu re 2 71 Tors de toute perturbation virtuelle des coordonn es assure l quilibre global du corps Pour qu il en soit ainsi i est n ces salre de joindre tout vecteur force et tenseur contrainte un vecteur vitesse virtuelle et un tenseur vitesse de d formation virtuelle qui Eur soient conjugu s Ainsi le th or me des puissances virtuelles est un quide pour l tablissement des relations constitutives entre contraintes et d formations ou le cas ch ant entre forces et d placements Remarquons que l ensemble de ces d veloppements ont t pos s sans faire la moindre hypoth se sur le mat riau constituant le solide tu di ni sur l amplitude des d formations et rotations qu il subit 2 3 LA CONDUCTION THERMIQUE DANS LES SOLIDES ET L COULEMENT DE FLUIDES DANS LES SOLIDES POREUX 2 3 1 Introduction Les deux ph nom nes que nous an lysons ci dessous s ils sont physi quement bien distincts pr sentent de multiples analogies dans leur mod lisation C est la raison pour laquelle nous les traitons simulta n ment 2 3 2 Les d placements et les d formations Dans les probl mes de conduction la d termination du champ de temp rature T x permet la connaissance compl te de l tat du solide Dans les probl mes d coulement 11 en est de m me du Champ de pression p x La pression et la temp rature jouent ici le r le des coor donn es dans les probl mes de d formations m caniques Un scalair
33. t sur ces trois fibres riqure 2 3 Le volume initial est dv dal ob ol oan ax 2 7 le volume dans y est dv da dx elo det F dal axl dv det F du Kg Le d terminant du gradient de d formation mesure donc le changement de volume Il est clair que le volume est toujours positif det F gt 0 Ge Si le mat riau est incompressible son volume est constant det Fy Lads Lors de toute d formation la masse se conserve p p det F aadd o p est la masse sp cifique initiale p est la masse sp cifique dans y 2 2 1 5 La mesure des d formations Le carr de la longueur d une fibre infinit simale dx deform e est mesur par le produit scalaire KS 15 dl a 2 13 ai dr ai ol c dx 2 14 s S A B a De m me l angle entre deux fibres dx et dx est mesur par le m me produit scalaire ol a ol S qe avec CE 2 15 en Ainsi appara t naturellement C le tenseur de CAUCHY GREEN droit enco re appel tenseur de GREEN des dilatations ou mat riel des d forma tions li est galement possible de d finir la relation inverse B AT ET 1 B ax dX dx E F dx aile dx 2 16 avec 8 ir CRRA B EE B est le tenseur de CAUCHY GREEN gauche Les deux tenseurs de CAUCHY GREEN sont sym triaues E eg B 8 M bi CO Soeur alors que le tenseur jacobien ne l est pas FO at Consid rons le cas particulier d un
34. tendrons E sat EH pas plus sur ce type de d veloppement 2 2 1 8 Le tenseur d formation de CAUCHY Une autre technique de construction du tenseur de mesure des d for mations partir du tenseur jacobien est la suivante au lieu d en effectuer la d composition polaire aui est multiplicati ve d composons le par addition en ses parties sym triques et antim triques T F F IF Ce He lI Pol es Pol ESE 2 40 Ainsi appara t le pseudo tenseur de d formation pure sym trique VU U Y 2 41 et le pseudo tenseur de rotation Ar AT R R 2 42 VU Le tenseur d formation approch U tend vers le tenseur de d formation pure U lorsque les rotations disparaissent si R gt I E E las ET Ag R 0 29 Le tenseur est donc une approximation du tenseur U dans le cas des petites rotations Consid rons une rotation de corps rigide 2 22 E AY 1 Yo 2 Y R E Le tenseur Y CAUCHY a construit sur U un tenseur mesure des d formations a ho Po pu ae qui n est pas plus objectif que le pr c dent d formation approch U n est donc pas objectif 0 1 0 0 A ut b 2 44 Il n a donc pas de signification ohysicue dans le domaine des grandes rotations et grandes d formations 2 2 1 9 Un cas particulier la d formation triaxiale homog ne cvaluons pr sent la valeur des tenseurs pr sent s ci dessu
35. u un frottement tangentiel cette surface De telles forces sont avantageusement d compos es dans un syst me d axes orthonorm dont l orientation est i166 au solide Ainsi la d composition du vecteur force li e est ind pendante d une rotation de corps rigide elle est objective La rotation du syst me peut tre d termin e soit par la d composition polaire du tenseur jacobien 2 31 soit par la rotation d une fibre privil gi e Nous utilisons cette derni re solution pour la d composition des forces de surface le syst me est constitu de la normale de la tangente une fibre et d un troisi me axe orthogonal aux pr c dents qui n est li aucune fibre 2 2 3 L quilibre du solide Les d veloppements qui pr c dent nous ont permis d aborder les no tions de contraintes et de d formations L tat de contrainte dans un solide est en tout moment en quilibre avec les forces appliqu es L quilibre peut tre exprim pour tout petit volume arbitraire d cou p l int rieur du solide ou pres de sa surface mais aussi pour la totalit du solide tudi 42 1 3 d _ ON Gd gt ES Or x V WU dv Raa dag Ainsi le tenseur contrainte de CAUCHY est conjugu au tenseur vitesse de d formation virtuelle de CAUCHY 2 44 1 A6 V 90 dei z e F dites j j dont on a cit les d fauts plus haut L galit des puissances virtuelles ext rieure 2 69 et in
36. ucune force n est appliqu e fondation l S a S P S S T A d gt 0 d 0 pas de contact contact pana pl Figure 2 7 Le probl me de contact unilat ral 43 2 2 3 2 L quilibre local en surface Nous travaillons dans la configuration d form e actuelle Y Le vecteur force uo parunit de surface d form e est absolument 8quiva lent au vecteur contrainte t 2 45 I est donc quilibr Dar les contraintes int rieures la structure selon la formule fondamentale Fes H JT Pm MO O Wa A erf Oi 1 1j gt j o n est la normale ext rieure Cette quation exprime l quilibre d un petit volume infinit simal construit dans le solide autour de la portion infinit simale de surfa ce tudi e Figure 2 8 Equilibre en surface 2 2 3 3 L quilibre local en volume Consid rons un l ment de volume v dans le solide d form En exprimant son quilibre en translation et en rotation on trouve respectivement 9 _ oP eer nu 2 66 dE 2 67 2 2 3 4 L quilibre global Les puissances virtuelles Pour exprimer que l ensemble du solide tudi est en quilibre 1 suffit d crire que lors de toute perturbation virtuelle des coordon n es x dans la configuration d form e la puissance Virtuelle ext rieure est gale la puissance virtuelle int rieure 44 La perturbation virtuelle doit tre cin matiquement admissible elle doit respecter les conditions d
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