De la construction de diagrammes
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1. d approximations successives La consti tution d un fichier de macros r alisant la composition automatique de diagrammes s est donc av r e imp rative aux yeux de plusieurs auteurs De nombreuses personnes ont cr leurs propres macros pour composer rapide ment un triangle ou un rectangle en nu m rant simplement comme arguments les noms des sommets et des fl ches qui le composent Mais la vraie difficult r side bien s r dans la mise au point d un v ritable programme capable de traiter des diagrammes de taille et de complexit ar bitraires Comme par exemple un cu be du genre B b D O A se h f g F H E 7 G Diagramme 2 A ma connaissance la priorit dans la mise au point de fichiers labor s de ma cros traitant ce genre de probl mes re vient Michael BARR professeur au d partement de math matiques de l univer sit Mac Gill Montr al Partant de ma cros simples permettant de dessiner des carr s et des triangles il regarde un dia gramme complexe comme une juxtapo sition de carr s et de triangles qu il at tache en divers points d un environne ment picture certains macros facilitent cette mise en page notamment gr ce a l introduction d l ments fant mes qui n apparaissent pas l impression Le principe m me sur lequel sont construits 42 les macros indique suffisance que des diagrammes un peu complexes requi rent2. n n smon0 g nn n n a n eepI f n C diag L instruction DIAG entre bien d au tres choses ouvre un environnement cen ter puis un environnement picture de dimensions formelles 0 0 C est dans cet environnement picture que le dia gramme est construit le coin sup rieur gauche du diagramme coincidant avec l origine du dessin L instruction diag entre autres choses cl ture l environne ment picture introduit un espacement horizontal et un espacement vertical cal cul s en fonction des nombres de colonnes et de lignes puis ferme l environnement center C est donc l instruction diag qui positionne le diagramme sur la page elle peut tre remplac e par l instruction diagv t 1 b qui ajoute des espace ments respectifs de points en haut du diagramme l points gauche et b points droite La proc dure pr c dednte de mise en page d un diagramme implique notam ment que pour ins rer plusieurs petits diagrammes c te c te sur une m me 45 F Borceuz ligne il convient de les consid rer comme un seul grand diagramme dans le quel certaines colonnes sont enti re ment vides 4 Les calculs de mise en page Lorsqu ils sont introduits dans un dia gramme les divers l ments le consti tuant sont soit des formules math ma tiques repr sentant un sommet soit des fl ches soit le vide Certains de ces l ments ont des dimensions formelles nulle
3. cette option a t utilis e pour introduire les fl ches horizontales et verticales dans le dessin du cube pr sent au diagramme 2 la 47 F Borceuz longueur impos e ces fl ches tait donc de 50 2 40 130 points Signalons encore l existence de fl ches courbes introduites par une instruction du genre necurve 80 ou encore Wscurve f 160 dans le cas d une courbe nomm e f La premi re fl che ci dessus prend la forme suivante o le point indique le centre formel de la fl che CY De telles fl ches sont g n ralement tra c es horizontalement ou verticalement le long d un diagramme Le radical curve est pr c d de deux lettres e la premi re indique la position de la fl che par rapport au diagramme e la seconde indique la direction g n rale de la fl che La longueur de la fl che doit tre don n e comme dernier argument ce sera g n ralement un multiple de 40 De telles fleches sont normalement introduites via une instruction cross sans qu aucune ligne ou colonne suppl mentaire ne soit ajout e au diagramme Le programme ne tient pas compte de leur pr sence dans le positionnement du diagramme sur la page l usage de l instruction diagv peut donc s av rer n cessaire pour corri ger l espacement autour du diagramme Enfin tous les types de fl ches utilis s dans les diagrammes peuvent galement tre ins r s dans une ligne de text
4. est le cas notamment de l alg bre ho mologique de la th orie des cat gories de la topologie alg brique etc R aliser un diagramme simple tel que 0 4 B res T E ne pose en soi gu re de probl mes Il suffit de s armer d un peu de patience et de programmer tout cela dans le jargon de l environnement picture de IATEX X Diagramme 1 Les choses deviennent d j moins vi dentes lorqu il s agit de dessiner des fl ches obliques comme dans le diagram me 1 et elles se compliquent franche ment lorsque pour d terminer la longueur d une fl che il faut tout d abord estimer la taille qu occuperont l impression les sommets du diagramme qu elle est cens e joindre o A pes C9 ea 0 A A DS du D 0 Et l histoire ne s arr te pas l Il est fr quent que les sommets soient joints par des doubles triples voire n uples fl ches ou encore que les fl ches en question soient affubl es de marques conventionnelles indiquant qu il s agit d une inclusion d un quotient ou d un isomorphisme Par exemple A Pis JO NS h A 0 Lorsqu un document contient de nom breux diagrammes cumulant les diverses difficult s voqu es ci dessus le recours direct l environnement picture de ATpX devient rapidement fastidieux et le fait d arriver finalement un r sultat esth tiquement satisfaisant est souvent le fruit 41 F Borceux
5. la construction de diagrammes qui d place le nom f de la fl che de 4 points vers la droite et 3 points vers le haut Des commandes analogues movevertex et movearrow permettent de d placer les sommets et les fl ches d une mani re compatible avec les proces sus de calcul mais il ne m est jamais ar riv d avoir les utiliser Les commandes cross et movename ont t utilis es dans le dessin du cube pr sent au dia gramme 2 A c t de la commande cross une autre option parfois utile est la possibilit d imposer au programme la longueur d une fl che Cela se fait en faisant suivre la commande du suffixe v et en donnant la longueur de la fl che comme argument Par exemple Earv f 130 trace une fl che de longueur 130 uni t s Pour rappel l unit par d faut est le point ventuellement multipli par un facteur d chelle via l instruction DIAG n L usage d une telle option est imp ratif lorsque une fl che fix e en un point du r seau est appel e joindre deux points non adjacents dans la direc tion o elle est trac e Pour une fl che ho rizontale ou verticale la longueur impo ser dans ce cas est donn e par la formule 50 n 40 o n est le nombre de points vides du r seau que la fl che doit traverser Dans le cas d une fl che trac e dans une direction secondaire de la rose des vents la formule devient 58 n 40 Le lecteur remarquera que
6. rapidement de nombreuses manipu lations l mentaires de g om trie analy tique plane Michael BARR a annonc l existence de sa liste catmac de macros au d but 89 via un message TEXhaz Des versions pr liminaires de ce fichier existaient depuis quelque temps Le pr sent article d crit le fichier dia gram qui est une collection de macros per mettant de composer des diagrammes sur un principe radicalement diff rent L id e fondamentale est que chaque sommet ou chaque fl che n est ni plus ni moins qu un l ment du diagramme sans qu aucune distinction ne soit faite entre ces divers l ments L utilisateur nonce les divers l ments constituant le diagramme com me il le ferait dans le cas d une matrice et c est le programme qui se charge d ef fectuer les divers calculs de mise en page La version actuelle de diagram est op rationnelle depuis le d but 89 mais aucune annonce publique 4 ce propos n avait jamais t faite le fichier se transmettait simplement de bouche oreille si j ose me permettre cette expression d un autre ge l heure o les bouches et les oreilles prennent surtout la forme de terminaux reli s au courrier lectronique Le succ s de ces macros dans le cercle toujours grandissant de ses utilisateurs fit germer l id e que GUTenberg 90 pourrait tre l occasion de les rendre publics En fait un utilisateur enthousiaste a fait para tre leur prop
7. a tracer horizontale verticale oblique vers le haut vers la gauche etc L op tion choisie a t de retenir comme direc tions fondamentales les seize directions principales de la rose des vents encod es via l abbr viation anglaise correspondan te Les quatre abbr viations fondamen tales sont donc n Nord s e Est Sud w Ouest partir desquelles on peut consid rer les seize directions suivantes nnw nne nw ne Wnw ene w e wsw ese sw se SSW s sse La commande d crivant une fl che est alors obtenue en faisant pr c der le nom de la fl che de sa direction ndotar une fl che pointill e orient e vers le nord swbiar une double fl che orient e vers le sud ouest enear une fl che orient e vers l est nord est etc En fait toutes les vari t s de fl ches existent dans les huit directions principales de la rose des vents mais seules les fl ches ordinaires ont t programm es dans les huit directions tertiaires 43 F Borceuz Le lecteur observateur aura constat que notre rose des vents ferait dresser les cheveux sur la t te au plus pi tre des g ographes En fait les directions tertiaires de notre rose des vents sont celles de co fficient angulaire et 2 c est a dire les diagonales de rectangles de c t s 2 et 1 Ce sont en effet ces directions et non celles du type k5 qui s imposent lors d un pavage du plan au moyen de cellules carr es Or ce s
8. cahiers CG U 1 enberg DE LA CONSTRUCTION DE DIAGRAMMES Francis BORCEUX Cahiers GUTenberg n 5 1990 p 41 48 lt http cahiers gutenberg eu org fitem id CG_1990__5_41_0 gt Association GUTenberg 1990 tous droits r serv s Lacc s aux articles des Cahiers GUTenberg http cahiers gutenberg eu org implique l accord avec les conditions g n rales d utilisation http cahiers gutenberg eu org legal html Toute utilisation commerciale ou impression syst matique est constitutive d une infraction p nale Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pr sente mention de copyright Cahiers GUTenberg n 5 Mai 1990 sp cial congr s GUTenberg 90 De la construction de diagrammes Francis BORCEUX D partement de math matiques UCL 2 chemin du Cyclotron 1348 Louvain la Neuve Belgique e mail FBORCEUX OBUCLLN11 bitnet R sum L ensemble diagram de macros r alise la mise en page automatique de diagrammes cons titu s de fl ches de types divers joignant des som mets prenant la forme d expressions math matiques Le programme calcule automatiquement la longueur et la position de chaque l ment L utilisateur peut imposer pour chaque diagramme un facteur d chelle sa convenance 1 Introduction Diverses disciplines des math matiques font un abondant usage de diagrammes commutatifs constitu s d expressions math matiques reli es par des fl ches c
9. e dans les deux directions horizontales La commande pour une fl che vers la droite est simplement le radical correspondant 48 mono pour Mono f pour le On obtient une fl che dirig e vers la gauche en faisant pr ceder le radical du pr fixe bk bkbiar pour 2 Ces commandes peuvent indiff remment se donner en mode texte ou en mode math matique D autres options sont d crites dans le mode d emploi des diagram macros cf 2 6 Mise en garde Les diagram macros n cessitent la mise en m moire de 28 295 mots et 736 commandes Combinant cela avec IATFX et le style article on atteint 53 971 mots et 2816 commandes Ceci peut amener des d passement de capacit sur certains ordinateurs personnels Pour se tirer d affaire il faut donc r duire le fichier diagram par exemple supprimer toutes les commandes contenant un radical peu utile l utilisateur tri quadri quinti mono epi bimo R f rences bibliographiques 1 Francis Borceux Latex la perfection dans le traitement de terte ARTEL Bruxelles 1989 2 Francis Borceux User s guide for the Dia gram Macros D partement de math mati ques Louvain la Neuve 3 Donald Knuth The TxXbook Addison Wesley 4 Leslie Lamport IATEX user s guide and reference manual Addison Wesley
10. ent picture autonome de di mensions formelles 0 0 le dessin est centr par rapport l origine de la figure 2 la longueur d une fl che est laiss e sous forme d un param tre que le programme calculera en temps utile en fonction des autres l ments du diagramme Notons encore que les noms des fl ches sont automatiquement trait s en mode math matique 3 La conception d un diagramme Un diagramme doit donc tre pens comme une matrice dont les divers l ments sont soit un sommet soit une fl che soit le vide En fait la construc tion d un diagramme ne se fait pas au moyen d un environnement array mais bien au moyen d un environnement pic ture plus adapt aux calculs un peu fins de mise en page C est particuli rement vrai lors d agrandissements ou de r duc tions automatiques des diagrammes Il y a cependant un prix payer les symboles amp et de tabulation doivent tre rem plac s par des commandes d o la n cessit d inclure entre accolades les argu ments de celles ci Un diagramme est d s lors construit partir d un r seau carr formel de points deux lignes du r seau tant s par es par une distance laiss e au choix de l utilisateur la valeur par d faut est 40 points Chaque l ment du diagramme est alors attach en un point du r seau et centr par rapport celui ci L exemple suivant montre le diagramme 1 et le r seau de po
11. era pr cis ment l l un de nos principes de base pour la construction de diagrammes Avant de commenter la mani re dont les commandes ci dessus ont t construi tes pr cisons encore qu il est possible de donner un nom une fl che Pour ce faire il suffit de donner comme argument la commande le nom de la fl che en question en ayant pris soin e de frapper en majuscule la premi re lettre de la commande si l on veut imprimer le nom au dessus de la fl che gauche dans le cas d une fl che verticale e de frapper en majuscule la derni re lettre de la commande si l on veut imprimer le nom en dessous de la fl che droite dans le cas d une fl che verticale Des r gles analogues existent pour les doubles ou triples fl ches avec cette fois deux ou trois arguments Par exemple Nwepi f trace un epimorphisme dans la direction Nord Ouest cette fl che porte le nom f imprim au dessus de la fl che De m me semon0 g trace un monomorphisme dans la direction Sud Est cette fl che porte le nom g im prim en dessous de la fl che Enfin Eadjar f g trace deux fl ches ad jointes horizontales nomm es f et g 44 En fait il n y a pas grand chose dire sur la d finition des diverses commandes qui viennent d tre d crites Relevons quand m me quelques points qui auront leur importance dans la suite 1 Chacune des commandes ci dessus r alise le dessin escompt dans un en vironnem
12. es trac es autour d un sommet ont leur extr mit sur un cercle de rayon 15 points autour de celui ci Ceci laisse 30 points pour crire le nom d un sommet si un tel nom d passe 28 points le programme r duira la longueur des fl ches horizontales adjacentes pour laisser un cart de 1 point entre le som met et la fl che Une difficult inh rente la proc dure expos e ci avant est que la longueur donner une fl che ne pourra tre d ter min e qu apr s avoir pris connaissance de l l ment suivant du diagramme C est la raison pour laquelle au moment o un nouvel l ment est introduit dans le dia gramme 1 cet l ment est tout d abord me sur au moyen de la commande settowidth 2 fort de cette information le pro gramme calcule la longueur donner l l ment pr c dent du diagramme au cas o il s agirait d une fl che puis il imprime cet l ment 3 enfin la d finition du nouvel l ment est m moris e gr ce une instruction renewcommand en vue de son im pression ult rieure Ces divers calculs requi rent l usage de trois compteurs contenant les dimensions de l l ment pr c dent de l l ment imprimer et de l l ment suivant Ces diverses valeurs glissent d un compteur l autre lors de chaque impression d un l ment Le programme ne faisant pas la diff rence entre les divers l ments d un diagramme ces ca
13. ints correspondant La frappe de ce diagramme en taille par d faut se fait par exemple selon le sch ma suivant DIAG nn n n nn n n nt Hat nn n n n n nn n n n n diag o les accolades successives contiennent les divers l ments du diagramme La commande n next joue donc le r le du symbole amp dans l environnement array tandis que la commande nn joue le r le du double backslash Les deux commandes DIAG et diag indiquent le d but et la fin de la d finition du diagramme Pour varier la taille d un diagramme il suffit de remplacer la premi re instruction par DIAGV n et la taille globale sera multipli e par n On notera que les nombres de lignes et de colonnes du diagramme ne sont pas pr cis s En fait les instructions n et nn impl mentent deux compteurs comptant le nombre de lignes et de colonnes En De la construction de diagrammes particulier il n est pas n cessaire que toutes les lignes aient le m me nombre d l ments quand une ligne ne contient plus que des l ments vides on peut directement passer la ligne suivante Le compteur des colonnes retient le nombre maximum d l ments qu il a rencontr s dans une m me ligne Le diagramme pr c dent peut donc se frapper DIAG x nn n Sedotar z n Esear y nn n sseaR x n P n Eepi k n B nn n n Smono h
14. lculs sont effectu s chaque tape mais le r sultat final n est finalement utilis que lors de l impression d une fl che horizontale Ajoutons encore que agrandissement ou r duction d un diagramme via l ins truction DIAGV n est obtenu en modi fiant l unit de longueur des environne ments picture dans le cas de fl ches mul tiples il faut effectuer certains endroits le changement d chelle inverse pour vi ter d alt rer l cartement entre les fl ches Des remarques analogues concernent la taille des marques indiquant les inclu sions et les quotients ou encore l car tement entre une fl che et son nom 5 Quelques options Citons en vrac quelques options permet tant de r aliser des effets sp ciaux dans un diagramme Ces options ne sont en g n ral que semi automatis es et requi rent une certaine interaction de l utilisateur Il arrive que l on souhaite superposer deux l ments distincts en un m me sommet du r seau par exemple deux fl ches ou bien un sommet et une fl che Cela doit se faire au moyen de la commande cross qui veillera ce que ceci ne perturbe pas les calculs de mise en page Il faut donc frapper par exemple n cross Notez que cela risque d avoir pour effet que par exemple le nom d une fl che se trouve travers par une autre fl che Un tel d faut peut se corriger par une instruction du genre Ear movename f 4 3 De
15. os un avis dans 7EXhaz en janvier 90 ce qui mon grand regret prive GUTenberg 90 de la primeur de l annonce Parmi les autres fichiers de Macros pour dessiner des diagrammes je citerai celui de Paul TAYLOR Imperial College Londres op rationnel depuis janvier 90 De la construction de diagrammes 2 Les l ments d un diagramme Un diagramme est donc constitu de sommets et de fl ches trait s sur le m me pied et consid r s simplement comme les l ments du diagramme Un sommet est g n ralement une ex pression math matique qu il suffit de composer selon les r gles habituelles Dans l usage du fichier diagram chaque l ment d un diagramme est comme une formule math matique ce qui vite la frappe de symboles Pour ce qui est des fl ches voici les divers types disponibles et l abbr viation anglaise correspondante sous laquelle le trait programme les reconnait fl che ar fl che pointill e dotar e monomorphisme mono epimorphisme epi bimorphisme bimo isomorphisme iso double fl che biar lt egalit eql s fl ches adjointes adjar triple fl che triar 3 fl adjointes triadjar quadruple fl che quadriar aoe 4 fl adjointes quadriadjar 7 quintuple fl che quintiar ZT 5 fl adjointes quintiadjar Pour ins rer une fl che dans un dia gramme il faut bien entendu pr ciser au programme dans quelle direction il doit l
16. s le vide bien s r mais aussi les fl ches d autres ont des dimensions non nulles tels les sommets Le programme ignore ces diff rences et m me les sup prime en centrant chaque l ment dans une boite de dimensions formelles 0 0 qu il positionne au point voulu du r seau de r f rence Pour r aliser valablement le dia gramme il reste au programme calculer la longueur la plus ad quate donner chacune des fl ches Ces calculs sont r a lis s partir de certaines hypoth ses de travail e une fl che ins r e en un sommet du r seau joint les deux points adjacents du r seau dans la direction o la fl che est trac e e un sommet du diagramme poss de un nom pouvant s tendre horizonta lement d une longueur ind finie mais ayant verticalement la hauteur nor male d une lettre ventuellement af fubl e d indices ou d exposants Ces hypoth ses de travail impliquent en particulier que la longueur d une fl che verticale ou oblique peut tre d termin e partir des seules connaissances de sa 46 direction et de l cartement entre les mailles du r seau Le cas des fl ches horizontales est beau coup plus d licat la longueur d une telle fl che d pend bien s r de l cartement entre les points du r seau formel mais elle doit ventuellement tre adapt e en fonction des longueurs des noms des deux sommets adjacents L option par d faut est que toutes les fl ch
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