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Logiciel d`´Econométrie Version 3 Russell Davidson

1. La notation scientifique est utilis e non seulement pour les grandes valeurs mais aussi pour certaines petites valeurs avec un exposant n gatif Toute fois toute valeur inf rieure ou gale TOL sera imprim e comme si elle tait strictement nulle Par exemple le r sultat de show TOL est toujours TOL 0 000000 o le nombre de z ros apr s la virgule d pend de la valeur de precision Si TOL et precision ont leurs valeurs par d faut de 1078 et 6 et si on fait set x 1 01E 8 show x On aura x 1 010000e 08 Une valeur non nulle est imprim e parce que x est plus grand que TOL kK Ok k Ok Dans toute cette section plus grand et plus petit signifient plus grand ou plus petit en valeur absolue kk k Ects version 4 Entr es et Sorties 97 La notation scientifique n est employ e que pour les valeurs plus petites qu un seuil d fini en termes de numdigits Si on note d la valeur de numdigits le seuil est gal 107 La r gle g n rale s exprime donc de la mani re sui vante Toute valeur plus grande que 10 est exprim e en notation scientifique ainsi que toute valeur plus petite que 107 et plus grande que TOL Toute valeur plus petite que 107 s exprime comme z ro Entre les seuils de 1074 et 10 les valeurs sont imprim es normalement La valeur de precision sert d terminer le nombre de chiffres apr s la virgule que ce soit en notation normale ou scientifique La souple
2. x x 300 x x x ve x x x x a F x x ee p x x X x H 200 a x xX xX x xx x x a a Be x xx x se x x 5 x x x x Xe 3g Xa ra kr xx X x X 100 gt x x Mi H 4X F x xt x x x x X SEX x X x x a x x XK x x X x P x x x Xe AK we x x o st x xX as ow x x ee x x X x xx TX or WOK x Ke X x x X Xk X a 1 x x x x X a X KOK x xx x x x X x x x amp 100 ss S x X x 200 id Figure 1 Le r sultat de plot y fit res 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 Pour chaque trac on a en Bil amp e indice de l observation En fait le mot observation se trouve en dessous de l axe horizontal et l on voit que les indices varient de 1 100 correspondant la taille de l chantillon En ordonn e on a la valeur de la variable en fonction de l observation Des couleurs diff rentes sont affect es chaque variable et en haut droite sont affich s les noms des variables avec la couleur correspondante Sans les couleurs mais avec des symboles diff rents la place des couleurs diff rentes le graphique affich est similaire ce qu on voit dans la Figure 1 Notez que juste au dessus de la commande plot il y a une commande set pr c d e du signe L effet du est le m me que celui de la commande rem C est dire que tout ce qui suit ce signe n est pas lu par Ects On obtient le m me effet d une troisi me
3. 1078 Voici les r gles de leur utilisation Supposons que l on veuille imprimer le r el x Soit n le nombre de chiffres non nuls avant la virgule d cimale Si n gt numdigits la valeur de x sera imprim e en notation scientifique Afin d illustrer cette notation prenons le cas o x 1234567890 Si on fait set x 1234567890 show a la ligne suivante s affiche x 1 234568e 09 ce qui signifie que z 1 234568 x 10 C est peu pr s juste Si avant de faire afficher la valeur de x on fait setprecision 9 on obtient Ects version 4 96 Autres Aspects Nouveaux x 1 234567890e 09 avec pr cis ment 9 chiffres apr s la virgule Si on se fiche de la pr cision on pourrait faire setprecision 1 avec pour r sultat x 1 2e 09 kok k Ok Si lon essaie d affecter precision une valeur de 0 la valeur par d faut de 6 sera utilis e moins que x soit un entier que l on peut exprimer en moins de numdigits chiffres sans virgule d cimale xok Ok Ok Dans les exemples que nous venons de voir la valeur de x donne lieu 10 chiffres avant la virgule Si maintenant on fait set numdigits 10 on obtient x 1234567890 000000 toujours avec 6 chiffres inutiles apr s la virgule La notation scientifique est abandonn e parce qu on s est autoris d avoir jusqu a 10 chiffres avant la virgule Si la valeur de precision gale 0 on peut finalement obtenir x 1234567890 comme on le voudrait
4. cro t tr s rapidement avec x entrainant ainsi la possibilit d une valeur plus grande que la valeur maximale permise par l unit d arithm tique flottante de l ordinateur M me s il n y a pas de d bordement on risque des erreurs d arrondi importantes kk k Outre les explicatives 7 1 2 3 on aura besoin de la constante not e iota Rappelons que les macros sont toujours d une tr s grande utilit pour la repr sentation des fonctions non lin aires On a donc gen iota 1 def X a iota x1 b1 x2 b2 x3 b3 def e exp X def F e 1 e def lhd y log F 1 y log 1 F def dldF y F F 1 F def dFde 1 1 e 2 La macro lhd permet de calculer la fonction de log vraisemblance dldF s interpr te comme la d riv e de par rapport F et dFde comme la d riv e de F par rapport e exp X6 kk k Ok Dans l ex cution de la commande ml et les autres commandes de sa famille que nous verrons tout l heure toutes les expressions sont valu es comme dans une commande gen Il en d coule qu il n est pas strictement n cessaire d utiliser le vecteur iota comme on l a utilis ici Mais si on a l habitude d expliciter la constante sous forme vectorielle on vitera beaucoup d ennuis dans l ex cution des commandes de la famille gmm o les expressions sont valu es comme dans une commande mat kk Ok Ok Les commandes suivantes qui s appuient sur la comma
5. 55 59 61 70 71 81 83 87 88 90 92 gnm 3 25 28 34 41 43 47 gmmhess 41 47 gmmweight 41 44 47 halign 97 100 help 100 102 hfil 98 99 hskip 98 99 invertlagpoly 62 68 iv 27 29 32 lagpoly 60 68 lhs 40 mat 18 19 34 41 51 52 55 61 79 87 88 90 92 message 99 ml 3 25 34 37 39 40 48 50 mlar 40 41 54 55 mlhess 38 41 53 mlopg 37 40 51 nliv 28 32 45 47 55 nls 3 25 28 55 75 noecho 104 ols 6 19 27 65 75 76 99 100 102 out 92 outnew 92 plot 6 11 13 79 80 print 95 procedure 4 48 55 put 95 putnum 95 100 putspace 100 quit 51 read 93 95 readmatrix 93 95 recursion 59 70 71 rem 7 restore 104 sample 42 51 70 second 38 55 set 7 18 20 21 26 50 53 55 61 71 84 87 88 95 setprecision 95 setseed 84 show 95 showall 55 56 showlagpoly 65 68 silent 104 sort 14 svdcmp 105 system 104 text 98 time 13 write 93 95 writematrix 93 95 Fichiers de commandes archdemo ect 70 74 argen ect 57 59 63 gmm ect 42 47 gv ect 75 83 integral ect 21 24 ivnls ect 28 logit ect 40 newlogit ect 33 41 48 100 nliv ect 28 32 42 47 nls ect 27 proclogit ect 48 56 testplot ect 6 11 var ect 65 69 Fichiers de donn es gv dat 74 75 ivnls dat 28 32 ols dat 6 11 18 33 65 69 Fichiers de texte errors txt 102 104 errorsfr dos 104 114 errorsfr iso 104 errorsfr txt 103 104 help txt 104
6. DM Estimation and Inference in Econometrics Oxford University Press New York Davidson R et J G MacKinnon 1999 Artificial Regressions DT num ro 99A04 GREQAM Efron B et R J Tibshirani 1993 An Introduction to the Bootstrap New York Chapman and Hall Golub et Reinsch 1970 Numerische Mathematik 14 pp 403 470 Gouri roux Chr et A Monfort 1989 Statistique et Mod les Econom tri ques Economica Paris Hamilton J D 1994 Time Series Analysis Princeton University Press Moshier S L 1989 Methods and Programs for Mathematical Functions Prentice Hall Plauger P J 1995 The Draft Standard C Library Prentice Hall New Jersey Press W H B P Flannery S A Teukolsky et W T Vetterling 1986 Nu merical Recipes Cambridge University Press Cambridge Press W H B P Flannery S A Teukolsky et W T Vetterling 1992 Nu merical Recipes in C Cambridge University Press Cambridge Stroustrup B 1991 The C Programming Language Second Edition Addison Wesley New York 10 I existe d autres versions de cet ouvrage o les programmes sont donn s en Fortran ou en Pascal 107 Index G n ral lt 81 81 Bi 7 98 99 104 7 104 104 105 98 99 44 amp 98 99 abs 85 acos 85 acosh 85 Alignement 97 100 alignnums 98 99 answer 49 51 AR 1 processus autor gressif 57 59 ARCH 1 processus ARCH d ord
7. emp che qu une proc dure n ait pas d arguments seulement une telle proc dure ne serait jamais ex cut e qu une seule fois L inconv nient voqu tout l heure se manifeste dans la commande mlhess Si les d riv es de la fonction de log vraisemblance sont sp cifi es normalement Ects est en mesure de calculer les d riv es secondes analytiquement au be soin Mais si elles sont d finies au moyen d une proc dure la diff rentiation automatique n est plus disponible Dans ce cas il faut sp cifier explicitement toutes les d riv es secondes Ceci peut se faire comme c est le cas ci dessus l int rieur de la m me proc dure ici logithess qui g n re la fonction de log vraisemblance et ses d riv es premi res et secondes Encore une fois une telle pratique permet d viter beaucoup de calculs r p t s Encore trois remarques sur le programme ci dessus Primo on voit que les valeurs des param tres sont r initialis es avant d entamer l estimation non lin aire afin que les performances de toutes les diff rentes commandes puis sent tre compar es directement Sinon chaque commande convergerait en une seule it ration parce que les param tres auraient d j les valeurs estim es par ML Secondo la proc dure logithess n est d finie qu avec un seul argu ment En g n ral les valeurs de tous les param tres changent d une it ration la suivante et il n est n cessaire de ten
8. esp rance de la s rie h4 si celle ci est stationnaire kk k Ok Pour de plus amples renseignements voir le chapitre 16 de DM koko k Ok Ensuite on a la r cursion qui correspond 19 de fa on tout fait explicite sample 2 n recursion gen h alpha gamma lag 1 u 2 gen u sqrt h v end On voit ici l un des avantages majeurs de la commande recursion Elle peut contenir un nombre arbitrairement grand de commandes gen dont chacune sera appliqu e r cursivement dans l ordre Il est important de noter que seule la commande gen peut para tre l int rieur d une recursion Toute autre commande donne lieu un message d erreur Il est aussi important de noter Veffet de la d claration de la taille de l chantillon par sample Pour viter de d faire l initialisation de h et u il faut commencer la r cursion la deuxi me observation Le fonctionnement de la commande gen l int rieur d une recursion est assez diff rent de son fonctionnement habituel En commen ant par l observation smplstart c est dire la premiere observation de l chantillon d clar par sample chaque commande gen l int rieur de la r cursion est appliqu e une seule observation en utilisant le mode de calcul employ par la commande Ects version 4 Processus ARCH et GARCH 71 set Apr s avoir travers toutes les commandes de la r cursion on passe Vobservation suivante jusqu ce qu on ar
9. et Vetterling 1986 Malheureusement la r dition de l ouvrage Press et al 1992 impose des conditions contraignantes sur l emploi dans les logiciels des programmes qui y sont expos s Par cons quent je n ai pas utilis ces programmes dans la version actuelle d Ects Heureusement on trouve sans difficult sur le Web d autres sources des algorithmes dont on a besoin pour les calculs conom triques J ai profit en particulier de la Cephes Mathematical Function Library une biblioth que de routines crites en C L auteur de la biblioth que est Stephen L Moshier moshier world std com qui est aussi l auteur d un manuel Moshier 1989 Les droits d auteur sont r serv s par M Moshier mais il permet l utilisation libre de ses programmes Je tiens a Ven remercier L algorithme de D composition par Valeurs Singuli res SVD qui est au c ur des estimations par moindres carr s a t fourni par Brian Collett bcollett hamilton edu Le code en C se base sur un algorithme crit en Algol publi par Golub et Reinsch 1970 La premi re version d Ects est crite en C la deuxi me est partiellement r crite en C et la version actuelle est compl tement r crite en C Vexception de quelques algorithmes purement num rique o la version en C tait d j largement suffisante Les auteurs du C s taient donn pour mission la cr ation d un C am lior a better C voir Stroust
10. s exprime en termes de la fonction gamma incompl te k Ok k Voir la section 7 1 de la documentation de la Version 2 d Ects pour plus d informations sur cette fonction On en parlera plus loin dans la section 4 1 lors de l expos des nouvelles fonctions reconnues par Ects kk k Ok Une repr sentation symbolique de cette fonction est cr e Dans un deuxi me temps cette repr sentation est pass e a la commande gen qui g n re un vecteur y dont les composantes sont les valeurs de la densit du x 2 la d riv e de la fonction de r partition en les composantes correspondantes de x On peut aussi utiliser la fonction diff dans une commande mat Consid rez le programme suivant sample 1 100 read ols dat y x1 x2 x3 ols y c x1 x2 x3 set a coef 1 set bi coef 2 set b2 coef 3 set b3 coef 4 def residu y atc bi xl b2 x2 b3 x3 def critere residu residu mat dbi diff critere b1 show dbi quit On se sert encore une fois des donn es du fichier ols dat Apr s avoir fait tourner la r gression on sauve les param tres estim s et on d finit une macro Ects version 4 La Diff rentiation Automatique 19 residu qui est l expression alg brique des r sidus de la r gression Notez bien qu une macro constitue pour Ects une expression plut t qu une matrice num rique Une seconde macro critere sert d finir la fonction crit re dont la minimisation donne l estimateur des m
11. soit deux fois plus rapide que la boucle explicite mais toujours beaucoup plus lent que la m thode avec conv La conclusion a tirer est bien claire Quand on trouve des astuces qui permettent d viter les boucles explicites ou m me la commande recursion il faut en profiter Comme les autres commandes qui s talent sur plusieurs lignes recursion doit tre termin e explicitement par end parce que on le verra plus tard on peut avoir plusieurs commandes gen dans une recursion Ceci est tr s utile dans les cas o il n existe pas d astuce pour viter une r cursion explicite 2 Processus ARMA Dans l analyse des s ries temporelles ou chronologiques les processus les plus couramment rencontr s sont les processus ARMA Ces processus sont trait s bri vement dans la chapitre 10 de DM et de mani re beaucoup plus compl te dans Hamilton 1994 Le processus ARMA p q s crit comme suit p q Yt D PiYt i Ut gt QjUt js 12 I j l o la s rie u est un bruit blanc Les p et a avec la variance o de uz sont les param tres du processus Il est pratique de noter un processus ARMA p q en termes de deux poly nomes A et B de la mani re suivante A L y B L uz 13 Ects version 4 60 Aide a la Simulation o A et B se d finissent comme p A x 1 pyr pot ppt 1 X pia et i 1 2 B x 1 t a agr 1 Y aja j 1 On note L l op rateur retard do
12. 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 1 000000 At lag 1 0 227360 0 038240 0 070657 0 064302 1 327870 0 526401 0 049297 0 211917 1 272313 0 227526 0 263922 0 369891 1 273761 0 022772 0 190848 0 654683 At lag 2 0 348915 0 046788 0 049145 0 016212 Ects version 4 Processus ARMAX et VAR 67 1 066620 0 277487 0 028368 0 168480 0 254965 0 213882 0 012838 0 116361 0 127309 0 013068 0 123233 0 542982 At lag 3 0 015650 0 032638 0 017103 0 014088 0 969398 0 278550 0 038755 0 093459 0 592363 0 085799 0 173043 0 164176 0 174623 0 068046 0 000404 0 256209 On voit que comme il se doit le polyn me a quatre termes dont le premier est la matrice identit les trois autres tant les matrices A i 1 2 3 Le polyn me cr par invertlagpoly est beaucoup plus compliqu parce que math matiquement il a un nombre infini de termes Heureusement on peut se passer de tous les termes qui n aurait d effet qu apr s la fin de l chantillon dont la taille est ici gale 100 Ce fait est annonc dans le fichier de sortie The number of terms in the lag polynomial is 100 At lag 0 1 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 1 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 1 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 1 000000 At lag 1 0 227360 0 038240 0 070657 0 064302 1 327870 0 526401 0 049297 0 211917 1 272313 0 227526 0 263922 0 369891 1 273761 0 022772 0 190848 0 654683 La liste continue inexora
13. 0 data gen data colcat y fit res gen data sort data write gnuplot 1 data Ensuite on se sert de n importe quel diteur de texte pour cr er le fichier gnuplot gnu dont le contenu sera similaire a set xrange 1 100 set xlabel observation set term postscript eps set out figi ps plot gnuplot 0 using 1 2 title y gnuplot 0 using 1 3 title fit gnuplot 0 using 1 4 title res Notez bien les deux commandes set term postscript eps set out figi ps La premi re est la commande qui sert s lectionner le format du fichier qui sera envoy par la suite l imprimante Le choix que j ai fait ici est celui qui convient pour l impression d une figure dans ce manuel savoir le PostScript encapsul D autres choix possibles auraient t set term hpljii 300 qui signifie le format requis par une imprimante HP LaserJet II une r solution de 300 points par pouce ou bien set term latex qui donnerait un fichier en format IATEX Ce ne sont l que deux exemples on trouve des centaines de possibilit s dans la documentation de gnuplot La commande set out figi ps demande gnuplot de cr er un fichier fig1 ps et de l utiliser comme fichier de sortie Etant donn que j avais demand un fichier PostScript je donne le nom d un tel fichier avec la terminaison ps Ects version 4 16 Fonctionnalit s Nouvelles Ensuite on lance gnuplot avec pour argument l
14. 000 1 000 1 000 0 000 0 000 0 000 0 000 Pour les 6 observations de l chantillon d clar on a 5 colonnes chacune tant une variable indicatrice dont un l ment sur 5 est gal 1 les autres l ments tant nuls kok k Ok ce point il convient de signaler que la diff rence des versions ant rieures d Ects la version 3 3 ne permet plus d utiliser la fonction seasonal sous mat kok k Ok Apr s la transposition de la matrice col la premi re ligne devient 1 000 0 000 0 000 0 000 0 000 1 000 d o on voit clairement que l on demande de s lectionner les colonnes 1 et 6 La fonction select permet de s lectionner simultan ment des lignes et des colonnes La syntaxe est illustr e par la commande mat B select r A col qui cr e une matrice B qui ne retient des l ments de A que ceux dont la ligne est s lectionn e par un l ment non nul de r et la colonne par un l ment non nul de col Un exemple avec la matrice A de l exemple pr c dent gen col seasonal 5 mat col col gen r seasonal 4 1 mat B select r A col On s lectionne les l ments des lignes 1 et 5 et des colonnes 1 et 6 de A EXERCICES V rifiez que tous les exemples de s lection marchent correctement Comment pourrait on cr er une matrice B dont les k lignes sont des tirages au hasard sans remise des n lignes n gt k d une autre matrice A Ects version 4 90 Autres Aspects Nouveaux Une op ration dont
15. Ects Sa valeur est bien s r 7 3 1415926535897932 Changez la taille de l chantillon par sample 90 180 et refaites plot y Vous verrez ainsi que le trac n est fait que pour l chantillon en cours 400 T T T T T T Fo fit F 300 L LL 4 J Poly ja 200 L ee d 4 bat i H t TES oo 44 7 100 H TT J po Pg par gh HS L t 4 tat 7 100 J a Figure 2 plot y fit avec des points 300 200 100 0 100 200 300 400 50C Ects version 4 y 400 300 100 100 200 Les Graphiques 9 Le deuxieme graphique obtenu par la commande plot de testplot ect serait donn a lui seul par la commande plot y fit Les parenth ses signifie que le graphique n aura plus observation en abscisse mais plut t la premi re variable trouv e l int rieur des parenth ses ici y En ordonn e on a fit en fonction de y L chelle de variation des deux variables est calcul e automatiquement par gnuplot On voit le r sultat de la commande dans la Figure 2 avec des points et dans la Figure 3 avec des droites Le troisi me graphique serait g n r par la commande plot y res Ce graphique est construit suivant le m me principe que le pr c dent Le quatri me graphique qui serait g n r par plot y fit res d montre qu on peut avoir plusieurs trac s sur le m me graphique tout comme dans le cas o on a observation en abscisse Le r sult
16. F F X et fr f X B F X B Pour le mod le logit F est donn par 7 et e er 2 Une macro qui permet d valuer f existe d j On s en est servi pour les d riv es secondes utilis es par mlhess La syntaxe d une commande mlar est illustr e par le programme suivant F x f z def arden sqrt F 1 F mlar lhd lhs y F arden deriv a f arden deriv bi f x1 arden deriv b2 f x2 arden deriv b3 f x3 arden end La deuxi me ligne d finit la r gressande de la r gression artificielle Elle est introduite par le mot cl 1hs La r gressande est le membre de gauche de la r gression et en anglais le membre de gauche est le left hand side Ensuite les lignes deriv donnent les r gresseurs de la r gression artificielle La macro arden facilite l expression de la r gressande et des r gresseurs Il est important de noter que en g n ral les r gresseurs bien qu introduits par deriv ne sont pas des d riv es Ects version 4 La M thode des Moments G n ralis e 41 Selon les r gles des r gressions artificielles une estimation de la matrice de covariance des param tres estim s est fournie par les r gresseurs de la r gression artificielle Si on note R G la matrice de r gresseurs la matrice de covariance estim e est inverse de R B R B Cette matrice invers e est accessible apr s l ex cution de la commande dans la variable XtXinv Si on effectue l esti
17. a b xi x2 b x1 x2 b 2 def fnreg def dbeta sample in gen rfn alpha beta x1 x2 beta set i 0 silent noecho while i lt B set i i 1 gen ys rfn sigma random set a alpha set b beta nls ys fnreg deriv a 1 deriv b dbeta end ols res CG x2 set tt i student 3 set nRR2 i n R2 end echo restore Ici on note B le nombre de simulations Pour des raisons th oriques on pr f re choisir B tel que B 1 soit un chiffre bien rond plut t que B lui m me d o le choix B 999 Les vecteurs tt et nRR2 sont cr es pour contenir les B statistiques simul es tant donn que l expression amp Ga 1 3 az est la m me pour toutes les simulations on la calcule une fois pour toutes dans le vecteur rfn En plus on d finit les macros fnreg et dbeta afin d acc l rer les calculs l int rieur de la boucle On fait ainsi une fois pour toutes le travail de l interpr tation des expressions qui repr sentent la fonction de r gression et sa d riv e par rapport 8 Les simulations proprement dites se trouvent l int rieur de la boucle Le vecteur ys repr sente y Dans le contexte des simulations que nous faisons ici les vraies valeurs des param tres c est dire les valeurs du PGD sont connues Vu que l algorithme d estimation non lin aire converge d autant plus vite que le point de d part est proche de l estimation il est prudent d initialiser les param tres de
18. dans la variable d environnement GNUTERM la valeur qu il faut Pour conna tre les modes graphiques reconnus par gnuplot tapez set term apr s avoir lanc gnuplot Il affichera une longue liste et vous y verrez les noms de plusieurs imprimantes On verra plus tard comment imprimer vos graphiques Cr ation de graphiques Pour cr er des graphiques on se sert de la commande plot La syntaxe de cette commande est assez souple et permet de cr er et d afficher un ou plusieurs graphiques l cran Consid rez pr sent le fichiers de commandes testplot ect dont le contenu est sample 1 100 read ols dat y x1 x2 x3 ols y c x1 x2 x3 set linestyle 1 plot y fit res y fit y res y res fit y fit y res quit On fait appel a l un de nos fichiers de donn es pr f r s ols dat La com mande plot dans ce programme fera afficher six graphiques un la fois Quand on veut passer au graphique suivant on appuie sur la touche Retour ou Entr e Le premier graphique serait donn par la commande plot y fit res qui donne lieu trois trac s de y fit et res KOK k Ok Apr s chaque commande ols Ects met les valeurs ajust es de la r gression dans la variable fit et les r sidus de la r gression dans la vari able res 5 Sous DOS et ou Windows il se peut qu on ait appuyer deux fois sur la touche Ects version 4 Les Graphiques 7 500 T T T T T T T T T y fit x res xX 400 4
19. deux syntaxes diff rentes Outre celle que nous venons de voir on a aussi writematrix ascii nom de fichier X o X est la matrice que l on souhaite sauver dans un fichier qui porte le nom de nom de fichier En mode binary binaire le fichier cr est un fichier binaire Un tel fichier n est lisible que par un ordinateur Qui pis est le format des fichiers binaires d pend la fois du mat riel PC Mac Station Sun etc et du syst me d exploitation Voil pr cis ment l inconv nient que l on vite en n utilisant que des fichiers texte La contrepartie est que si on se limite un m me mat riel et un m me syst me d exploitation la pr cision num rique n est pas perdue quand on stocke des donn es dans un fichier binaire En mode ascii le fichier est toujours un fichier texte La commande writematrix en mode ascii est tout fait similaire la commande write sauf qu il ne sauve qu une seule matrice la fois On a vu que pour lire une matrice d un fichier binaire il suffit de remplacer writematrix par readmatrix Il faut bien entendu que le fichier qu on lit ait t cr pr c demment par une commande writematrix sur le m me genre d ordinateur tournant sous le m me syst me d exploitation Sinon les r sultats sont impr visibles et probablement d sastreux La commande read matrix comme writematrix peut tre employ e aussi en mode ascii Dans ce cas on a acc s des poss
20. diff rents m me si on tient compte du facteur de 100 pour les carts type Les matrices de covariance sont galement diff rentes La raison est reli e aux diff rentes m thodes d estimation L estimation dans Man2 a t effectu e au moyen d une r gression artificielle alors que l estimation qu on vient de faire ici utilise l algorithme DFP voir Man2 qui ne fournit qu une approximation de la Hessienne de la fonction de log vraisemblance dont l inverse au signe pr s sert d estimation de la matrice de covariance des param tres estim s La matrice obtenue au moyen de la r gression artificielle est plus fiable kk k Il faut 22 it rations ici contre seulement 5 pour la r gression artificielle Trois raisons diff rentes expliquent ce ph nom ne D abord la r gres sion artificielle tant sp cifique au probl me trait est plus efficace que la proc dure polyvalente ml Ensuite notre point de d part o tous les param tres sont nuls est moins favorable que celui employ par l autre proc dure Finalement le crit re de convergence employ par m1 est plus strict que celui dont on s est servi avec la r gression artificielle kk ok Ok La matrice de covariance estim e par ml est disponible apr s l ex cution de la commande dans la variable invhess Le nom est quelque peu trompeur pour les raisons que nous venons de voir Les autres variables cr es ou mises jour par ml sont coef le
21. douter ces variables sont les quatre arguments de la proc dure En lisant l expression logit a b1 b2 b3 1 Ects affecte aux variables scalaires arg1 arg4 les valeurs des arguments trouv s dans l expression ici a b1 b2 b3 Le principal int r t d une proc dure est qu elle sert calculer plusieurs ex pressions la fois C est pourquoi apr s les quatre arguments on en trouve encore un l indice de l expression dont on a besoin Donc la fonction crit re est la premi re expression calcul e par la proc dure la d riv e par rapport a est la seconde celle par rapport b1 la troisi me et ainsi de suite Dans les commandes de la proc dure apr s la d finition de la macro on trouve une commande gen qui cr e une variable 1f dont la valeur est donn e par la macro Lhd qui repr sente la fonction crit re Sur la ligne suivante on fait ap pel la commande answer qui n est utilis e qu l int rieur d une proc dure Ailleurs elle donne lieu une erreur de syntaxe Elle sert rendre r ponses de la proc dure answer veut dire r ponse en anglais Comme le d montre la commande answer lf il faut un seul argument qui doit tre le nom d une variable existante Elle peut tre un scalaire un vecteur une matrice peu importe mais elle doit exister au moment o la commande answer est ex cut e Une proc dure Ects version 4 50 Les Estimations Non lin aires peut contenir un nombre
22. ectshelp 5 100 102 104 ectshelp exe 5 100 102 Index G n ral ectshelpfr 5 ectshelpfr exe 5 emptymatrix 92 end 45 48 49 59 98 99 equation 54 55 erf 86 erfc 86 errors txt 102 104 errorsfr dos 104 errorsfr iso 104 errorsfr txt 103 104 errvar 31 46 Estimation non lin aire 25 47 valuation d indices 83 95 exp 85 expand 56 Fichier binaire 94 95 de donn es 104 ex cutable 100 texte 92 95 fishcrit 87 fisher 86 fit 6 31 Flachaire Emmanuel 105 Fonction b ta incompl te 86 d erreur 86 d erreur compl mentaire 86 de Bessel d ordre 0 ou 1 87 digamma ou psi 86 gamma 86 gamma incompl te 18 86 logistique 33 Fonction de r partition 33 empirique 77 83 Fonction indicatrice 80 Fonctions math matiques 85 87 Free Software Foundation 2 ftp anonyme 4 gammp 86 gen 18 19 34 41 51 52 55 59 61 70 71 81 83 87 88 90 92 gln 86 GMM 41 47 gmm 3 25 28 34 41 43 47 gmm ect 42 47 gmmhess 41 47 gmmweight 41 44 47 GNR 27 74 78 GNU 2 gnuplot 3 5 16 109 gnuplot n 11 gnuplot gnu 11 12 GNUTERM 6 Golub et Reinsch 1 grad 19 20 43 47 Gradient d un scalaire 19 20 Graphisme 3 5 16 greatest 87 88 gv dat 74 75 gv ect 75 83 G n rateur de nombres al atoires 83 84 halign 97 100 HCCME 46 47 help 100 102 help txt 104 helpfr txt 104 hess 19 20 Hessienne d un scalaire 19 20 de la log vraisemblan
23. fonction crit re minimiser est donn e par l expres sion 3 En exprimant cette fonction et ses d riv es en termes de matrices la mani re d Ects on obtient sample 1 50 read ivnls dat y xi x2 w gen iota 1 gen W colcat iota x1 w mat WtWinv W W inv def resid y bO iota bi x1 b2 x2 gmm resid W WtWinv W resid deriv bO 2 iota W WtWinv W resid deriv bi 2 x1 W WtWinv W resid deriv b2 2 x2 W WtWinv W resid end sample 1 3 print grad ee k f Il est indispensable dans les commandes gmm et gmmhess d expliciter le vecteur constant iota Sinon les dimensions des matrices ne seront pas correctes pour les produits matriciels xo ok k Ok On v rifie ais ment que l expression resid W WtWinv W resid repr sente la fonction Q de 3 parce que Pw W W W tW De m me les expressions dans les lignes deriv repr sentent les d riv es de Q Le tableau de r sultats contient beaucoup moins d information que les ta bleaux g n r s par ols ml etc Le voici Minimising a Criterion Function Number of iterations 13 bO 0 166437 b1 0 586427 b2 2 732630 Number of estimated parameters 3 Minimised value of criterion function 0 000000 Estimate of Inverse of Hessian of Criterion Function Ects version 4 La M thode des Moments G n ralis e 43 0 100231 0 120279 0 108585 0 120279 0 213099 0 265844 0 108585 0 265844 0 408608 O
24. help if input interact invertlagpoly iv lagpoly mat mem message ml mlar mlhess mlopg nliv nls noecho ols out outnew pause plot print procedure put putnum putspace quit read readmatrix recursion rem restore run sample set setprecision setseed show showall showlagpoly silent svdcmp system text while write writematrix dont le sens est vident Les commandes help functions et help variables donnent des r sultats similaires Dans tous les cas on a une liste des themes pr cis sur lesquels on peut tre renseign La quatri me possibilit est illustr e par la commande help beep La commande beep est l une des rares commandes pour lesquelles une do cumentation est actuellement disponible dans le syst me d aide On obtient l aide suivante beep sans argument produit un bip sonore Avec deux arguments beep peut ventuellement selon le mat riel mettre des sons musicaux d une qualit parfois discutable Le premier argument est la fr quence en Hz cycles seconde du son souhait et le second est la dur e en millisecondes Les silences peuvent se produire en sp cifiant une dur e non nulle et une fr quence nulle Un exemple complet se trouve dans le Manuel pp 55 56 Le Manuel en question est bien entendu Man2 de Mars 1993 Si on essaie d aller plus loin avec la commande help set par exemple on n aura que Aucune aide disponible pour set r ponse bien d cevante Au fil du temps cette r p
25. helpfr txt 104 Fichiers ex cutables ects 103 ects3 5 ects3 exe 5 ects3fr 5 ects3fr exe 5 ectshelp 5 100 104 ectshelp exe 5 100 102 ectshelpfr 5 ectshelpfr exe 5 settexts 5 103 104 settexts exe 5 103 Fonctions Ects lt 81 81 gt 8 amp 1 abs 85 acos 85 acosh 85 asin 21 85 asinh 85 atan 85 atanh 85 betafn 86 cdf 79 80 chicrit 86 chisq 18 22 86 colcat 87 cols 52 87 colselect 88 89 conv 58 59 64 cos 21 85 cosh 85 det 87 diag 87 91 diff 17 21 26 digamma 86 erf 86 erfc 86 exp 85 fishcrit 87 fisher 86 gammp 86 gln 86 grad 19 20 greatest 87 88 hess 19 20 igam 86 int 21 24 j0 87 1 87 Ects version 4 Index Ects kron 91 lag 59 71 87 log 85 lowtriang 68 69 makediag 92 max 87 min 87 Phi 85 phi 85 polylag 60 66 69 product 72 73 random 8 66 69 82 84 reverse 90 rowcat 87 rows 51 87 rowselect 88 schur 91 seasonal 87 89 select 88 89 sign 85 sin 21 85 sinh 85 smallest 87 88 sort 87 sqrt 85 stdnorm 85 studcrit 87 sum 72 87 tan 85 tanh 85 time 79 87 tstudent 86 uptriang 68 69 87 y0 87 y1 87 LISEZ MOI 4 5 README 4 5 Variables Ects alignnums 98 99 arg 49 53 54 c 19 76 77 CG 27 30 37 41 47 78 coef 31 36 43 47 65 erit 30 37 43 47 errvar 31 46 fit 6 31 grad 43 47 HCCME 46 47 INTTOL 22 24 invhess 36 39 43 invOPG 37 lhat 37
26. l expression int grer a est la limite inf rieure de l int grale b la limite sup rieure et symbole le nom de la variable par rapport laquelle on int gre Par cons quent on peut interpr ter la commande set I int 1 0 3 x comme une demande d valuation de l int grale 3 f Fdz 0 int grale dont la valeur num rique est 3 En effet apr s la commande show I la r ponse d Ects est I 3 000000 De m me la commande set I int x 2 0 3 x value l int grale 3 x dx 0 et donne la r ponse I 9 000000 On v rifie ais ment que cette r ponse est correcte On sait que l int gration et la diff rentiation sont des op rations inverses Les commandes set I int diff chisq z 8 z 0 1 2 set J chisq 1 8 chisq 0 8 Ects version 4 L Int gration Num rique 23 servent d montrer ce fait Soit Fg la fonction de r partition d un x 8 degr s de libert La valeur de cette fonction en z s crit en Ects comme chisq z 8 Alors z 1 f oe Fa z _ Fa 1 Fa 0 0 z 0 o la derni re expression s crit comme chisq 1 8 chisq 0 8 En fait F3 0 chisq 0 8 0 Les commandes set maxintiter 10 set INTTOL 1E 8 set E 2 int z 1 chisq z 5 0 100 z int 1 chisq z 5 0 100 2 2 illustrent comment on peut modifier le fonctionnement de la fonction int On veut que la variable E contienne la valeur de la variance d un y 5 degr
27. la r gression c est dire le vecteur y B La matrice CG est A maintenant la matrice dont l expression alg brique est Pyw X 3 Si les condi A tions 2 sont remplies la r gression de res ou y x B sur CG ou PwX B donnera des estimations param triques nulles parce que les r sidus seront orthogonaux aux colonnes de PwX 6 On a pu remarquer que avant de lancer la commande nliv on a affect une valeur de 1 la variable showprogress Par cons quent en faisant tourner le programme on voit l cran le d fil des it rations crit 22 1712 newcrit 10 3901 crit 10 3901 newcrit 0 546993 crit 0 546993 newcrit 0 161842 crit 0 161842 newcrit 0 156805 crit 0 156805 newcrit 0 156803 crit 0 156803 newcrit 0 156803 Chaque ligne repr sente une it ration de la proc dure non lin aire qui cherche minimiser une fonction crit re Dans le cas pr sent cette fonction s crit comme Q B y x B Pw y x B 3 On v rifie sans peine que les conditions du premier ordre pour un minimum de 3 sont les quations 2 La valeur de la fonction Q B au d but d une it ration est donn e par la variable crit et la fin de l it ration par newcrit A chaque tape de la proc dure la valeur de Q B d croit jusqu ce que le minimum soit atteint la fin la variable crit contient cette valeur mini mum Ects version 4 Estimation Non Lin aire pa
28. le cas pour iv les instruments peuvent tre regroup s dans une matrice On peut m langer les variables et les matrices On aurait pu faire gen W colcat x1 w et pour la liste des instruments instr c W sans changer les r sultats Le programme ci dessus d montre galement qu une macro peut tre utile pour repr senter la fonction de r gression Elle permet aussi la diff rentiation automatique utilis e ici pour le param tre b1 Ects version 4 30 Les Estimations Non lin aires Apr s toute estimation non lin aire une v rification des conditions du premier ordre s impose Apr s une estimation faite par nliv cette v rification se fait de la m me mani re qu apr es une estimation nls La commande ols res CG sert encore une fois a faire tourner la GNR qui correspond a l estimation non lin aire que l on vient d effectuer Notons la r gression non lin aire comme d habitude de la fa on suivante y x f 4 voir DM chapitre 7 Soit W la matrice de variables instrumentales Les conditions du premier ordre s crivent alors comme X B Pw y x 8 0 2 o la matrice X est encore une fois la matrice des d riv es partielles des fonctions de r gression qui sont les composantes du vecteur 8 et la ma trice Pw est la projection orthogonale sur l espace engendr par les variables instrumentales La variable res contient comme on peut s en douter les r sidus de
29. les fichiers ex cutables comme gnuplot par exemple mais pas les fichiers texte D o la solution adopt e les textes doivent tre mis dans des fichiers ex cutables Pour le syst me d aide le fichier ex cutable est ectshelp ou un membre de sa famille pour le logiciel lui m me inutile de chercher plus loin que le principal fichier ex cutable ects L internationalisation est possible du moment que l on peut facilement changer la partie texte d un fichier ex cutable L outil qui effectue cette op ration est le fichier ex cutable settexts ou settexts exe Si vous lancez ce programme sans argument il affichera un bref descriptif de sa syntaxe Usage is settexts lt exefile gt lt idchar gt lt infile gt where lt exefile gt is the file into which text is put from lt infile gt and lt idchar gt is the character marking the insertion point xok Ok Ok On voit que settexts lui m me n est pas encore internationalis kk Ok Ok La commande qu il faut pour ins rer le contenu de errors txt dans ects est donc settexts ects errors txt o le caract re indique settexts qu il faut chercher une chaine de cara ct res comprenant au moins 30 C est tout de suite apr s cette chaine de caract res que settexts ins rera le contenu du fichier errors txt Tout le monde peut se servir de settexts pour ins rer le texte qui lui plait L op ration le plus simple est la francisation Il suffit de fair
30. lin aires Introduction Moindres Carr s Non lin aires Estimation Non Lin aire par Variables Instrumentales Le Maximum de Vraisemblance La M thode des Moments G n ralis e Les Proc dures Q amp ND DH Aide la Simulation Simulation R cursive Processus ARMA Processus ARMAX et VAR Processus ARCH et GARCH R chantillonnage et le Bootstrap O Ne Autres Aspects Nouveaux Fonctions Math matiques Autres Fonctions Entr es et Sorties Le Syst me d Aide Internationalisation du Logiciel Derniers D tails Derni res Remarques OO ND Bibliographie iii 16 21 25 25 25 28 32 Al 48 57 57 59 63 69 74 85 89 87 92 100 102 104 107 Introduction Ce manuel est con u comme la suite de la documentation de la version 2 d Ects dont la lecture au moins partielle s impose pour la bonne compr hension de ce qui suit Cette documentation ant rieure qui porte la date de Mars 1993 est disponible la Facult des Sciences Economiques Marseille Il est envisag de mettre disposition un jour une documentation compl te en un volume Ce jour l le pr sent manuel ne sera plus utile mais entre temps il est n cessaire si on souhaite utiliser les nouvelles fonctionnalit s de la version 3 Pour le d veloppement des versions pr c dentes d Ects je m tais appuy sur l ouvrage bien connu Numerical Recipes de Press Flannery Teukolsky
31. mani re en mettant le signe comme premier caract re d une ligne de commande kok k Ok Par premier caract re on entend le premier caract re autre qu un espace blanc ou une tabulation horizontale kok k Ok Les signes et sont utilis s a cette fin par plusieurs programmes et on m a demand qu il en soit autant pour Ects Si on efface le que se passe t il Tant que la variable linestyle n est pas d finie ou qu elle vaut z ro gnuplot met un gros point pour chaque observation Mais si la valeur de linestyle est diff rente de z ro des lignes droites sont trac es entre les observations Si une variable varie de mani re lisse d une observation la suivante les droites sont plus jolies que les points Ects version 4 8 Fonctionnalit s Nouvelles En revanche si une variable volue de mani re tr s irr guli re les points peuvent mieux rendre compte de ce fait EXERCICES G nerez quatre ou cinq variables par la loi normale centr e r duite en utilisant la fonction random gen yi random gen y2 random et affichez les avec la variable linestyle gale 0 et 1 De cette mani re vous verrez le comportement type d un bruit blanc Faites la m me chose avec d autres variables que vous g n rerez de mani re d ter ministe Essayez par exemple sample 1 180 gen y sin time 0 PI 180 plot y Notez que la variable PI est automatiquement disponible dans la version 3 3 d
32. moins la mission d Ects ne comprend pas de telles op rations Il n est pourtant pas tr s difficile de calculer num riquement les valeurs de certaines int grales et la version 3 3 d Ects est dot e d une fonction int qui effectue ces calculs Comme la diff rentiation l int gration op re sur des fonctions qui doivent tre repr sent es pour Ects par des expressions soit explicites soit sous forme de macro s A la diff rence de diff la fonction int ne peut tre utilis e que dans une commande set Ceci s explique par le fait que le r sultat d une int gration num rique est un scalaire Le fichier integral ect contient plusieurs exemples de l utilisation de la fonction int set showint 1 set I int 1 0 3 x show I set I int 1 3 0 x show I set I int x 0 3 x show I set I int x 3 0 x show I set I int x 2 0 3 x show I set I int x 2 3 0 x show I set I int sin x 0 PI x show I set I int cos x 0 PI x show I set I int asin x 0 1 x set J PI 2 1 show I J Ects version 4 22 Fonctionnalit s Nouvelles set I int diff chisq z 8 z 0 1 z set J chisq 1 8 chisq 0 8 show I J set maxintiter 10 set INTTOL 1E 8 set E 2 int z 1 chisq z 5 0 200 z Gimt 1 chisq z 5 0 100 2 2 show E quit On voit que la fonction prend quatre arguments qui s interpr tent comme suit int expression a b symbole o expression est
33. o at Nour 19 i 1 Sur la base d un bruit blanc v on construit la s rie u de mani re ce que la variance a de us soit une fonction des p premiers retards de ut Cette construction inspire la terminologie ARCH qui signifie Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity ou en francais h t rosc dasticit condition nelle autor gressive KO k Ok Un bruit blanc est un processus dont les l ments sont ind pendants d esp rance nulle et homosc dastiques c est a dire ayant tous la m me variance o Un bruit blanc est souvent normal surtout dans le contexte des simulations mais pas forc ment kk k Ok Ects version 4 70 Aide a la Simulation Dans le fichier archdemo ect on trouve plusieurs mani res de g n rer un processus ARCH 1 La premi re fait appel la commande recursion qu on a d j vue dans le contexte des s ries AR p Apr s des commandes pr liminaires set n 100 sample 1 n set gamma set alpha 0 4 1 qui servent d finir la taille de l chantillon et les param tres a et y du processus on commence par l initialisation de la s rie hy du bruit blanc vz et du processus uz qui sera un ARCH 1 gen h 1 set h 1 alpha 1 gamma gen v random gen u 0 set u 1 sqrt h 1 v 1 La commande set h 1 alpha 1 gamma n est pas n cessaire la mise en uvre Toutefois elle n est pas enti rement d pourvue de sens parce qu elle affecte h 1 l
34. on n a que rarement besoin mais qui s av re parfois in dispensable consiste inverser l ordre des lignes d une matrice La fonction reverse sert effectuer cette op ration On voit dans le programme suivant comment l utiliser sample 1 100 read ols dat x1 x2 x3 x4 gen X colcat x1 x2 x3 x4 gen XX reverse X mat Y reverse X sample 51 90 gen XXX reverse X Il appara t que la fonction est disponible sous gen et sous mat En effet les matrices XX et Y seront identiques La premi re ligne des deux sera la 100 e de X la deuxi me la 99M de X et ainsi de suite Mais si on d clare un chantillon qui ne coincide pas avec les dimensions de l argument de la fonction alors uniquement sous gen seules les lignes de l chantillon d clar sont prises en compte Dans l exemple la matrice XXX a la forme 90 x 4 Les 50 premi res lignes ont des l ments nuls la 51 ligne est la ligne 90 de X et la 9O ME est la ligne 51 de X kk k Ok Pour inverser l ordre des colonnes d une matrice il suffit de transposer d inverser les lignes de la transpos e et de retransposer kk k Ok Dans Man2 on parle du produit Schur de deux vecteurs Si on a deux vecteurs x et y leur produit Schur s crit comme xy et son l ment t est simplement y Ce genre de produit Schur est tres facilement obtenu par gen La commande gen z x y fait le n cessaire Si le vecteur est remplac par une matrice X
35. p t es inutilement Afin de faciliter 3 4 Fonctionnalit s Nouvelles cette limination Ects permet maintenant de d finir des proc dures Ces proc dures sont constitu es d un bloc d op rations qui servent a calculer une fois pour toutes tout ce dont on a besoin Le calcul ne sera relanc que si les arguments de la proc dure changent On verra plus tard comment l utilisation de la commande procedure permet d acc l rer certaines estimations Les progr s de l informatique font que l installation d Ects ne soit plus une longue histoire plein d cueils Toutefois il convient d en parler bri vement avant de nous lancer dans le vif de notre sujet 1 Installation La documentation de la version 2 d Ects d crit comment on installait le logiciel sur le mat riel fruste d il y a six ans Aujourd hui quand tout le monde ou presque a acc s l Internet les choses sont diff rentes De mani re g n rale Ects n est plus diffus sur disquette m me si rien ne l interdit Pour se procurer la version la plus r cente du logiciel connectez vous mon ordinateur par ftp anonyme Le nom de l ordinateur est russell cnrs mrs fr et pour se connecter on fait ftp russell cnrs mrs fr Quand la machine r pond elle demande un identificateur de session Vous r pondez ftp ou bien anonymous Ensuite on demande un mot de passe ce stade on peut taper n importe quoi mais il est d usage de donne
36. plus logique du point de vue de l utilisateur Ensuite on fait equation diffb1 b1 logitar a 3 equation diffb2 b2 logitar a 4 mlar lhd lhs logitar a 1 deriv a logitar a 2 deriv diffbl deriv diffb2 deriv b3 fxx3 logitar a 6 end On fait appel ici une nouvelle commande equation Cette commande n introduit aucune fonctionnalit nouvelle elle sert simplement faciliter les critures et ventuellement clarifier la structure d un programme Apr s equation on met un nom que l on pourra utiliser par la suite la place d une quation c est dire tout ce qui peut s exprimer comme lt variable gt lt expression gt Ainsi le nom diffb1 est associ l quation Ects version 4 Les Proc dures 55 bi logitar a 3 Une telle quation doit intervenir dans les commandes set gen mat def nls nliv et dans les lignes de toutes les commandes d estimation non lin aire qui commence par deriv ou second Une telle quation intervient dans la commande equation elle m me Si on souhaite donner deux noms une m me quation on peut faire equation nom2 nomi par exemple o nom1 est d j d finie EXERCICES Dans la commande mlar qu on vient de consid rer on trouve la ligne lhs logitar a 1 Cette ligne a la forme d une equation D finissez une quation appropri e et utilisez la dans la commande mlar la place de la ligne hs Dans le chapitre 14 de DM on
37. proc dure sont de nouveau ex cut es Lors d une estimation non lin aire quand les arguments de la proc dure sont les param tres estimer les valeurs des param tres ne changent qu la fin d une it ration Par cons quent on a pr cis ment ce qu il faut On recalcule quand il faut recalculer mais pas autrement et quand il faut recalculer on vite les calculs r p t s k Ok k Les arguments d une proc dure sont valu s chaque fois que l on fait appel la proc dure Cette valuation se fait comme si on tait dans une commande set assez logiquement parce que les arguments doivent tre des scalaires Le dernier argument qui correspond l indice de la r ponse souhait e est calcul de la m me mani re et ensuite interpr t comme un entier Si cet entier n est pas positif il y a erreur de syntaxe Le dernier argument une fois pris en compte si le nombre d arguments restants est inf rieur au nombre d arguments d clar lors de la d finition de la proc dure il y a encore une fois erreur de syntaxe En revanche s il y a trop d arguments les derniers apr s le nombre d clar sont simplement perdus sans commentaire de la part d Ects kk k Ok Ce n est qu apr s l ex cution des commandes de la proc dure que l on voit si ou non il existe une r ponse correspondant l indice demand Sinon un message d erreur s affiche Si une r ponse existe elle est transmise l
38. quelconque de commandes answer Chacune d finit l une des expressions calcul es par la proc dure A la variable trouv e dans la premi re answer on affecte l indice 1 la seconde l indice 2 et ainsi de suite Dans la proc dure logit la premi re variable est 1f qui contient l valuation de la fonction crit re Logiquement donc la variable dans la deuxi me commande answer doit correspondre la d riv e par rapport a cette d riv e tant donn e par logit a b1 b2 b3 2 En effet la variable DO qui figure dans la deuxi me commande answer est cr e par la commande gen DO dldF dFdexe exactement comme dans la commande du fichier newlogit ect Jusqu ici on a impression de n avoir rien gagn Mais ensuite la variable D1 cr e par la commande gen D1 DO x1 vite le recalcul de expression dldF dFde e en utilisant la variable DO d j valu e De m me pour les deux autres d riv es donn es par D2 et D3 Pour que la proc dure serve gagner du temps il faut qu elle ne soit ex cut e qu une seule fois par it ration de l algorithme de ml chaque fois qu on de mande une r ponse d une proc dure les valeurs des arguments sont compar es celles qui taient courantes lors de l appel pr c dent Si ces valeurs n ont pas chang la proc dure rend simplement la r ponse existante En revanche si au moins une des valeurs des arguments a chang toutes les commandes de la
39. r gress e sur la constante et les trois premiers retards des quatre variables pour un total de 13 r gresseurs Ensuite le vecteur amp et les trois matrices A i 1 2 3 sont extraits de la grande matrice coef mat alpha coef 1 1 1 4 mat A1 coef 2 5 1 4 mat A2 coef 6 9 1 4 mat A3 coef 10 13 1 4 Un mod le VAR peut s exprimer en termes d un polyn me matriciel en l op rateur retard Le polyn me qui correspond mod le 16 s crit comme P A L I1 3S AL i 1 d o on trouve que A L Y a Uk 17 Pour simuler un processus VAR on peut encore une fois se servir de la com mande lagpoly Dans var ect on a les commandes suivantes gen iota 1 mat Alpha iota alpha mat U Alphatres mat I A170 lagpoly I Al A2 43 gen UU polylag Y mat tt UU U mat tt tt tt show tt showlagpoly Ects version 4 66 Aide a la Simulation Les lignes de la matrice U transpos es repr sentent le membre de droite de 17 Notez que chaque ligne du produit matriciel Alpha dont la forme est 100 x 4 est gale au vecteur amp lui aussi transpos Pour cr er rapidement une matrice identit 4 x 4 on utilise le fait que toute matrice 4 x 4 la puissance 0 est cette matrice identit Si on fait tourner var ect on verra que tous les l ments de la matrice tt sont nuls Ceci d montre que la matrice UU cr e par polylag et la matrice U sont identiques Kk Ok Ok On voit mainten
40. rable de travailler sous un syst me d exploitation plus ad quat Celui qui se recommande le plus aux utilisations scientifiques est sans doute Unix Il existe une version enti rement gratuite d Unix pour PC et bient t aussi pour les Macs nomm e Linux C est sous Linux que la pr sente version d Ects a t developp e et je recommande vivement toute personne tudiant enseignant ou autre pour qui un environnement informatique convivial efficace et propice au calcul scientifique est impor tant mais qui n a pas encore fait la connaissance de Linux de se renseigner sur ses nombreux avantages par rapport aux produits du monopoleur dont je ne peux que murmurer le nom microsoft Pour mes amis fanas de Linux en France comme au Canada Ce volume a t l g rement modifi par rapport la documentation d Ects 3 de mars 1999 afin qu il puisse servir tout particuli rement aux utilisateurs d Ects 4 Le texte est quasiment inchang mais j ai rajout quelques notes o le texte d origine peut tre trompeur Il est noter aussi que la diff rence de la documentation de mars 1999 ce volume est prot g par la licence GFDL voir la section pertinente de la documentation de la version 4 Table des Mati res Avant Propos Table des Mati res Introduction Fonctionnalit s Nouvelles 1 Installation 2 Les Graphiques 3 La Diff rentiation Automatique 4 L Int gration Num rique Les Estimations Non
41. servir de base d une proc dure de maximisation de la log vraisemblance Cette r gression artifi cielle dont la mise en uvre est tr s simple est employ e par mlopg La poly valence de la r gression artificielle entra ne souvent un manque d efficacit En effet on constate que le nombre d it rations avec mlopg est plus lev encore qu avec ml Ce d faut est compens dans la plupart des cas par la simplicit de l algorithme et des calculs qu il n cessite La matrice de covariance estim e est naturellement celle qu on conna t sous le nom de l estimateur OPG voir le chapitre 8 de DM et Davidson et MacKinnon 1999 Elle est disponible sous le nom de invOPG Malheureusement elle est tr s peu fiable M me si la commande mlopg permet une estimation rapide il est souhaitable de recalculer la matrice de covariance par une autre proc dure si on veut faire des inf rences fiables kok k Ok La r gression ols iota CG utilis e pour la v rification des conditions du premier ordre est une r gression OPG kK ok k On peut remarquer qu il y a une discordance de signe entre la valeur maximis e de la log vraisemblance et les valeurs de crit et newcrit affich es l cran pendant l ex cution de m1 et mlopg si la valeur de showprogress est non nulle D une part on voit Maximised value of criterion function 28 246752 Ects version 4 38 Les Estimations Non lin aires et d autre part le logic
42. voit dans la proc dure argt Il est important de noter que l int rieur d une proc dure la commande sample n a qu un effet local l issue de la proc dure la com mande est oubli e et l chantillon qui tait en cours l entr e reprend son ef fet Mais les effets de toutes les autres commandes persistent apr s l ex cution de la proc dure Il y a pourtant une autre commande qui ne pourrait jamais fonctionner dans une proc dure quit Si on met un quit dans une proc dure il n aura pour effet que l affichage d un message d erreur On peut s assurer que la commande sample 1 2 l int rieur de la proc dure a eu son effet au moyen des commandes suivantes set i rows bb2 show i La fonction rows prend un seul argument le nom d une variable existante La valeur est simplement le nombre de lignes de cette variable Un row d une matrice signifie en anglais une ligne de la matrice De m me la fonction Ects version 4 52 Les Estimations Non lin aires cols renvoie le nombre de colonnes de son argument Utilis es sous set et mat la valeur de la fonction est un scalaire sous gen on obtient un vecteur dont chaque l ment compris dans l chantillon en cours est gal cette valeur scalaire Si la commande procedure peut conduire a des avantages non n gligeables elle peut aussi conduire a des inconv nients Consid rez la suite du fichier proclogit ect qui contient les commande
43. x 4 3 x73 2x72 3 x 4 x show y set y diff sin x x show y set y diff sin x 72 cos x 2 x show y donne les r ponses cons cutives y 131 000000 y 0 653644 y 0 000000 Calculons d Te 3a 2x 3a 4 Ar 9x do 3 z Cette expression valu e en x 4 vaut 4 64 9 16 4 4 3 131 qui est la premi re r ponse Si l on fait set y cos x show y Ects version 4 18 Fonctionnalit s Nouvelles on peut v rifier la deuxi me r ponse en effet on obtient 0 653644 La derni re r ponse est la cons quence de Videntit trigonom trique sin a cos x 1 La d riv e de la constante 1 gale 0 conform ment la r ponse d Ects Dans tous ces calculs Ects manipule les symboles de l expression diff rentier afin de trouver une repr sentation symbolique de la d riv e et la fin seule ment il value cette repr sentation symbolique selon les r gles de la commande courante Dans tous les exemples consid r s jusqu ici cette commande a t set On aurait pu tout aussi bien employer gen Par exemple si on ex cute sample 1 100 gen x 0 1 time 0 gen y diff chisq x 2 x plot x y on fera afficher un graphique de la densit de la loi du khi deux y deux degr s de libert sur l intervalle 0 10 Le processus est le suivant Dans un premier temps Ects d termine que la d riv e de la fonction de r partition du x 2
44. x2 set t student 3 set nR2 n R2 set Pt 2 1 tstudent abs t n 3 set PnR2 1 chisq nR2 1 show Pt PnR2 Pour viter des ennuis il est prudent d affecter au param tre 5 une valeur non nulle avant de lancer la commande nls Sinon on aura des probl mes num riques reli s des d nominateurs nuls La commande qui fait tourner la GNR est la suivante ols res c Rb x2 et voici les r sultats pertinents extraits du fichier de sortie ols res c Rb x2 Ects version 4 76 Aide a la Simulation Ordinary Least Squares Variable Parameter estimate Standard error T statistic constant 31 165705 17 686371 1 762131 Rb 5 511348 3 566145 1 545464 x2 6 505508 3 586173 1 814053 Number of observations 10 Number of regressors 3 R squared uncentred 0 319780 centred 0 319780 Les deux derni res commandes servent calculer les P values asymptotiques associ es aux deux tests c est dire les niveaux de significativit marginaux Les valeurs affich es l cran sont Pt 0 112545 PnR2 0 073737 Ces valeurs sont assez diff rentes La diff rence t moigne du fait qu une ap proximation asymptotique peut fonctionner assez mal si la taille de l chan tillon n est que de 10 Avant d aller plus loin une remarque s impose concernant le R d une r gres sion lin aire Le coefficient de d termination qu on appelle souvent simple ment R peut tre d fini de plusieurs mani re
45. 0 9 set a alpha set b beta nls ys fnreg deriv a 1 deriv b dbeta end ols res CG x2 set tt i student 3 set nRR2 i n R2 end Le vecteur us contient les r sidus modifi s et le r chantillonnage se fait par la commande gen ys rfn us random 0 9 n 0 9 le reste de la proc dure tant identique au bootstrap param trique Voyons pr sent comment et pourquoi l expression us random 0 9 n 0 9 constitue un tirage avec remise dans l urne des r sidus modifi s Le r sultat de la commande gen B A expn o est une variable d j pr sente dans la m moire de l ordinateur est une matrice dont le nombre de lignes correspond l chantillon en cours et dont le nombre de colonnes gale celle de A Chaque ligne de B est une des lignes de A choisie de la mani re suivante L argument expn est valu selon les r gles de la commande gen avec pour r sultat une matrice de la forme smplend x m Ects version 4 R chantillonnage et le Bootstrap 83 m gt 0 dont seule la premi re colonne sera prise en compte Correspondant a chaque l ment de cette colonne on calcule un entier selon la r gle d ja nonc e dans Man2 pour l valuation des indices Soit x l l ment i de la colonne l indice est alors le plus grand entier n tel que n lt x 0 1 Ensuite on affecte la ligne 7 de B la ligne n de A Si on utilise deux indices comme par exemple dans la co
46. 00045678 set alignnums 8 9 654321 halign hfil amp hskip2 hfil amp hskip2 hfil amp hskip2 hfil cr Label 1 hfil amp Label 2 hfil amp Label 3 hfil amp Label 4 hfil cr amp amp amp cr Next 1 amp Next 2 cr amp amp amp cr end text halign Ects version 4 98 Autres Aspects Nouveaux Dans ce programme un role crucial est jou par la matrice sp ciale alignnums Avant d employer la commande halign on met toutes les valeurs num riques du tableau dans cette matrice dans l ordre d impression Le nom de la commande halign occupe lui seul une ligne du fichier de commandes La ligne suivant fournit le mod le des lignes qui la suivent jusqu la fin de la commande signal e comme d habitude par end Dans le mod le un di ze signifie l endroit o quelque chose un bout de texte ou un chiffre sera mis dans les lignes du tableau Entre chaque paire de on doit trouver quelque part le signe amp qui s pare les colonnes du tableau la fin du mod le et aussi la fin de chaque ligne du tableau proprement dit on trouve obligatoirement le symbole cr Dans les cases du mod le s par es par amp on trouve outre le des indications de l espacement souhait La notation hskip suivi d un entier n signifie qu il faute ins rer n espaces blancs cet endroit La notation hfil dans la terminologie de Knuth signifie qu il faut mettre de la colle cet endr
47. 23 sous la forme d une r gression augment e par rapport 22 On v rifie sans peine que les r gresseurs de la r gression y Bx 1 6 z2 bat bg a1 1 8 2 b5 2 r sidus 24 engendrent le m me espace lin aire que ceux de 23 et que 24 est simple ment la GNR 22 valu e en et avec un r gresseur suppl mentaire a2 On a chang le nom du param tre fictif associ ce r gresseur parce que le param tre fictif ne correspond plus au param tre y Si on fait tourner les deux r gressions artificielles ainsi obtenues on peut utiliser les deux sommes des carr s des r sidus afin de calculer un Fisher Mais vu que le test n a qu un seul degr de libert on peut utiliser le Student associ au param tre fictif bs donn par 24 et se passer ainsi de la GNR 22 correspondant hypoth se nulle Il existe une autre possibilit due au fait que la GNR 24 est valu e en les valeurs amp et B estim es sous l hypoth se nulle Cette deuxi me possibilit est le nR de 24 o n 10 est la taille de l chantillon et le R est non centr Les premi res commandes du fichier gv ect servent effectuer les op rations d crites ci dessus Les voici set n 10 sample in read gv dat y x1 x2 set beta 1 nls y alpha beta xi x2 beta deriv alpha 1 deriv beta x1 x2 beta 2 end set sigma sqrt errvar gen Rb x1 x2 beta 2 ols res c Rb
48. Ects Logiciel d Econom trie Version 3 Russell Davidson Mars 1999 Ects Version 3 Russell Davidson Mars 1999 Tous droits de reproduction de traduction d adaptation et d ex cution r serv s pour tous les pays Permission is granted to copy distribute and or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License Version 1 2 or any later version published by the Free Software Foundation with no Invariant Sections no Front Cover Texts and no Back Cover Texts A copy of the license is included in the section entitled GNU Free Documentation License AVANT PROPOS Le but de ce petit manuel est de permettre aux utilisateurs d Ects de se servir des nouvelles fonctionnalit s de la version 3 du logiciel Vu que la version 3 existe depuis assez longtemps en version pr liminaire je pr cise ici que la version d crite dans ce manuel est la version 3 3 Il ne constitue pas un guide complet La documentation de la version 2 parue en 1993 et encore disponible a la Facult des Sciences Economiques de Marseille s applique tout aussi bien a la nouvelle qu l ancienne version du logiciel quelques rares exceptions pr s On se limite ici noter ces exceptions et a d crire les fonctionnalit s qui n taient pas fournies par les versions pr c dentes Les principales nouveaut s de cette version du point de vue de l utilisateur concernent le graphisme les estimations non lin
49. Ects version 4 56 Les Estimations Non lin aires aimez d chiffrer les r bus vous pouvez essayer de deviner le sens de cette repr sentation Ensuite on a la liste des proc dures dont voici un extrait Procedures currently defined are argt logit et finalement les quations Equations currently defined are diffbi diffb2 kk Ok Ok Si vous voulez tudier la repr sentation interne des expressions il existe une commande expand qui affichera la repr sentation d une seule macro sur demande Si vous faites def X a bi xl b2 x2 expand X Ects affichera X is a bl x1 2 2 b2 x2 2 2 Cette commande n a pas beaucoup d int r t pour la plupart des utilisa teurs Tout ce qui figure dans les listes affich es par showall peut tre d truit c est dire limin de la m moire de l ordinateur par la commande del Les ordinateurs modernes ont tr s souvent beaucoup de m moire vive mais sur une machine moins moderne il est parfois n cessaire de faire un peu de nettoyage au moyen de del EXERCICES Rajoutez une commande del la fin du fichier proclogit ect par exemple del diffbi lhd logit et refaites showall Vous verrez que les objets qui figurent dans la liste qui suit del ne sont plus reconnus par Ects Ects version 4 Chapitre 3 Aide a la Simulation 1 Simulation R cursive L norme puissance des ordinateurs modernes a fait que la simulation est de venue un outi
50. S ne suivent la loi de Student qu asymptotiquement sous les hypoth ses nulles qu ils testent Par cons quent les inf rences bas es sur ces Students ne sont qu approximatives Afin de voir comment le bootstrap peut am liorer cette circonstance prenons un cas concret Soit la r gression non lin aire y at Pa 1 8 2 u 20 o on note z le vecteur constant dont chaque l ment gale 1 Le fichier gv dat contient 10 observations des trois variables y x1 et 2 Sur la base de ce tr s petit chantillon on souhaite tester l hypoth se de la bonne sp cification du mod le 20 contre l alternative lin aire y al Ba yao U 21 avec un y non contraint Le mod le 20 peut tre estim par les NLS d o on obtient des estimations et 8B des param tres La r gression de Gauss Newton GNR qui correspond au mod le 20 s crit comme y a Ba 1 8 2 bat bg 1 1 8 x2 r sidus 22 voir le chapitre 6 de DM Celle qui correspond au mod le 21 s crit naturelle ment comme y a Ba yx bat bg 1 by 2 r sidus 23 Afin d obtenir une statistique de test on value toutes les variables des deux GNR 22 et 23 en les valeurs obtenues par l estimation de l hypoth se Ects version 4 R chantillonnage et le Bootstrap 75 nulle savoir a a 8 6 y 1 6 Les deux GNR ont ainsi la m me r gressande Ensuite on exprime la GNR
51. a bilit d avoir observ la valeur yz Le mod le logit est un cas particulier d un mod le r ponse binaire o la fonction F est la fonction logistique ev FRE Te 7 On v rifie que avec cette d finition F est une fonction croissante de son argument En fait F a toutes les propri t s d une fonction de r partition Savoir lim F x 0 lim F x 1 F x gt 0 T Co T OO La loi de probabilit caract ris e par la fonction de r partition logistique s appelle la loi logistique On trouve dans le fichier newlogit ect les commandes n cessaires l estima tion d un mod le logit Pour les donn es on se sert encore une fois du contenu du fichier ols dat On g n re les variables qui seront utilis es par les com mandes suivantes sample 1 100 read ols dat y x1 x2 x3 gen x1 x1 100 gen x2 x2 100 gen x3 x3 100 gen Y y 100 gen y 0 5 sign Y 1 Ects version 4 34 Les Estimations Non lin aires La variable dichotomique y est g n r e par les deux dernieres lignes La variable qualitative y est gale 1 si la variable quantitative Y est sup rieure a 100 et 0 sinon Par cons quent la probabilit que y 1 est gale la probabilit que Y gt 100 kk Ok Ok Les explicatives 1 2 et x3 sont toutes divis es par 100 Ceci est une mesure de pr caution pour viter des difficult s d ordre num rique La valeur de la fonction exponentielle e
52. a dldF dFdexe deriv bi dldF dFde e x1 deriv b2 dldF dFde e x2 deriv b3 dldF dFdexe x3 Ects version 4 Les Proc dures 49 par une commande o on fait appel la proc dure comme suit ml logit a b1 b2 b3 1 deriv a logit a b1 b2 b3 2 deriv bi logit a b1 b2 b3 3 deriv b2 logit a b1 b2 b3 4 deriv b3 logit a b1 b2 b3 5 end Voyons pr sent comment cela marche et comment on vite ainsi les calculs r p t s La commande procedure avec les lignes suivantes jusqu au end final n a pour effet que la d finition de la proc dure Aucune commande Ects trouv e l int rieur de cette d finition ne sera ex cut e ce stade Apr s quand la commande m1 est lanc e le contenu de la d finition est ex cut au moment o l expression deriv bi logit a b1 b2 b3 3 par exemple est valu e au cours des it rations de l algorithme employ par ml De telles expressions sont valuer cinq fois par it ration une fois pour la fonction crit re dont la repr sentation Ects est donn e tout de suite apr s la commande m1 et quatre fois pour les quatre d riv es de la fonction Normalement la fonction elle m me sera valu e avant les d riv es ce moment on entame l ex cution des commandes trouv es l int rieur de la proc dure La premi re est la d finition d une macro X qui fait appel quatre variables qu on n a d finies nulle part arg1 arg4 Comme on peut s en
53. a commande qui avait fait appel la proc dure Si cette commande est set ou Ects version 4 Les Proc dures 51 une commande assimil e comme procedure elle m me quand elle est en train d valuer ses arguments seul le premier l ment de la r ponse est utilis Sous gen ou assimil seules les lignes de l chantillon en cours de validit d fini par la commande sample sont modifi es Sous mat ou assimil la matrice donn e par la proc dure est utilis e telle quelle La prochaine estimation que l on trouve dans proclogit ect avec la proc dure qui la pr c de illustre quelques uns des points cit s au dernier para graphe Voici les commandes procedure argt 4 sample 1 2 answer a answer bl gen bb2 b2 answer bb2 answer b3 end mlopg logit argt a b1 b2 b3 1 argt a b1 b2 b3 2 argt a b1 b2 b3 3 argt a b1i b2 b3 4 1 deriv a logit a b1 b2 b3 2 deriv bi logit a b1 b2 b3 3 deriv b2 logit a b1 b2 b3 4 deriv b3 logit a b1 b2 b3 5 end La proc dure argt n a d utilit que pour cette illustration Elle sert sim plement a rendre les quatre arguments a b1 b2 et b3 Elle sert aussi a d montrer qu une proc dure peut faire appel a une autre proc dure Vu que la proc dure logit en lisant ses arguments fait comme la commande set seul le premier l ment de la troisi me r ponse bb2 est conserv En fait bb2 a deux l ments grace la commande sample 1 2 que l on
54. actuelle du logiciel Pour bien comprendre comment les utiliser on pourra consid rer l estimation d un mod le logit La variable d pendante d un tel mod le est une variable binaire ou dichotomique c est dire une variable qui n a que deux valeurs possibles 0 et 1 Pour l observation t la probabilit que la variable d pendante y soit gale 1 est donn e par Pr y 1 F X B Ects version 4 Le Maximum de Vraisemblance 33 o F est une fonction dont les valeurs se situent dans le segment 0 1 X est un vecteur 1 x k de variables explicatives et B est un vecteur k x 1 de param tres estimer La th orie des mod les r ponse binaire est donn e dans le chapitre 15 de DM et un exemple d une estimation logit se trouve dans la section 5 3 de Man2 Nous reprenons ici cet exemple afin d illustrer comment mettre en uvre les diff rentes m thodes d estimation ML qu on peut employer La fonction de log vraisemblance du mod le s crit comme la somme des con tributions correspondant chacune des observations L y B N hly B o la contribution de l observation t se d finit comme suit Lilyn B vt log F X 8 a Lay log 1 F X B 6 On voit qu il n y a jamais qu un seul terme par contribution Si y 1 le deuxi me terme s annule et si y 0 c est le premier terme qui s annule Dans tous les cas la valeur de la contribution est le logarithme de la prob
55. aires et la diff rentiation automatique Pour le reste on a largement tendu la gamme des fonctions connues Ects et on a introduit une proc dure d int gration num rique Pour les utilisateurs qui n auront pas ce manuel sous la main chaque in stant un syst me d aide permettant d obtenir des descriptifs des commandes fonctions et variables employ es par Ects est en cours d laboration Les deux premi res versions d Ects se sont av r es utiles non seulement dans un cadre purement p dagogique mais aussi pour nombre d applications pratiques Dans cette nouvelle version j ai essay de profiter des exp riences des six derni res ann es pour cr er un outil plus souple plus facile adapter aux besoins des probl mes divers que l on rencontre dans la pratique de l co nom trie et mieux adapt surtout la mise en uvre des simulations qui sont de plus en plus demand es par les techniques r centes L volution du mat riel informatique exige une volution parall le des logi ciels Pourtant Ects existe toujours pour les malheureux qui n ont pas en core pu se lib rer du vieux syst me d exploitation qui est DOS Son fonction nement exige la pr sence sur le syst me d un serveur DPMI Il est rare qu un tel serveur soit absent sous Windows en particulier le serveur DPMI est fourni en standard Mais pour b n ficier plus largement des avantages des ordina teurs modernes il est pr f
56. angez la d finition de la macro residu en imposant la contrainte b3 b1 Evaluez la macro critere par mat la valeur sera sup rieure a la variable ssr parce que cette variable contient la valeur minimis e de la somme des carr s des r sidus Finalement valuez db1 de nouveau et v rifiez que sa valeur est maintenant diff rente de z ro Il existe deux autres fonctions qui se servent de la diff rentiation automatique Ces fonctions grad et hess ne sont disponibles que dans les commandes mat Elles servent a calculer respectivement le gradient et la hessienne d une expression matricielle qui doit tre un scalaire m me si elle est compos e d l ments non scalaires En tendant l exemple ci dessus consid rez le code suivant mat gr grad critere a b1 b2 b3 sample 1 4 show gr mat H hess critere a bi b2 b3 mat H 2 H inv show H XtXinv Ects version 4 20 Fonctionnalit s Nouvelles La macro critere est toujours la somme des carr s des r sidus sous forme matricielle La valeur est pourtant scalaire parce que critere d finit un produit scalaire La commande mat gr grad critere a b1 b2 b3 demande le calcul du vecteur 4 x 1 des d riv es partielles de la fonction somme des carr s des r sidus par rapport aux quatre variables a b1 b2 et b3 La commande mat H hess critere a b1 b2 b3 demande le calcul de la matrice 4 x 4 des d riv es secondes de la fonction par rapport aux m mes varia
57. ans que le chiffre soit suivi d un saut de ligne La commande putspace sans argument est encore plus simple Elle ins re un espace blanc dans le fichier de sortie 4 Le Syst me d Aide Au moment de la r daction de ce manuel le syst me d aide d Ects est en core largement d faillant Le systeme m me est en place mais il ne contient que peu de choses Le principe est le suivant Il y a un fichier ex cutable nomm ectshelp ou ectshelp exe sous DOS Windows qui se charge de tout On peut s en servir directement mais le plus souvent on fera appel a la commande help d Ects Si on lance Ects en mode interactif on voit Vinstruction suivant Type quit to exit help for help ou en fran ais Tapez quit pour quitter help pour l aide Si justement on tape help le message suivant s affiche Tapez help suivi de commands functions ou variables pour afficher des listes de celles ci ou bien tapez help suivi du nom d une commande fonction ou variable afin d tre renseign e sur un th me pr cis Ects version 4 Le Syst me d Aide 101 k k Ox Je donne le message en fran ais afin d viter des traductions d taill es du message anglais kok Ok Ok Voyons maintenant les quatre possibilit s Si on tape help commands on voit Les commandes disponibles dans cette version d Ects sont batch beep def del differentiate echo else end equation expand gen gmm gmmhess gmmweight groupname halign
58. ant que la raison pour laquelle les commandes lagpoly et invertlagpoly lisent leurs arguments la mani re de la commande mat est que ceci permet d utiliser des polyn mes matriciels Kk k Ok L op ration inverse qui permet de simuler la matrice Y est plus int ressante Pour l effectuer il suffit d utiliser invertlagpoly la place de lagpoly invertlagpoly I A1 A2 43 gen YY polylag U mat tt YY Y mat tt tt tt show tt showlagpoly Encore une fois tous les l ments de tt sont nuls On peut donc reproduire Y l identique partir de la matrice U qui contient les constantes et les al as Il en d coule que le processus VAR d fini par les param tres et peut tre simul en rempla ant la matrice res par une matrice al atoire qui pourrait tre g n r e par random par exemple Apr s chacune des commandes show tt on trouve la commande showlag poly Cette commande existe surtout pour les fins du programmeur plut t que pour celles de l utilisateur d Ects mais elle permet ici de voir la nature des polynomes en l op rateur retard cr s par lagpoly et invertlagpoly qu ils soient scalaires ou matriciels Le polyn me m moris grace la com mande lagpoly est d crit dans le fichier de sortie de la mani re suivante The number of terms in the lag polynomial is 4 At lag 0 1 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 1 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 1 000000
59. ar les estimations SUR voir la section 3 3 de Man2 et le chapitre 9 de DM xok k Ok La matrice de covariance contemporaine peut tre estim e par la matrice X de la forme m x m donn e par y ie Oa Oe o U est la matrice n x m des r sidus de la r gression vectorielle 16 Afin d effectuer une simulation de 16 il faut g n rer une matrice U d al as simul s dont chaque ligne U est un tirage de la loi normale multivari e N O KOO k Ok Ici et plus loin l toile signifie qu il s agit d une grandeur simul e kk k Comment faire Soit A une matrice m x m telle que AA 5 18 Si le vecteur z m composantes est un tirage de la loi N 0 I on calcule que Var Az E Azz A AE zz A AIA AA 5 Il en d coule que Az est un tirage de la loi N 0 X La premi re tape consiste donc trouver la matrice A On explique dans Man2 que la fonction uptriang fait le n cessaire la commande mat A uptriang Sigma g n re une matrice A de forme triangulaire sup rieure qui v rifie la rela tion 18 Dans la version 3 3 d Ects on a rajout la fonction lowtriang identique uptriang sauf que la matrice g n r e est triangulaire inf rieure Les commandes suivantes trouv es dans var ect illustrent l utilisation de ces deux fonctions mat Sigma res res 100 mat B uptriang Sigma mat A lowtriang Sigma show A B mat M1 B B mat M2 A A show Sigma Mi M2 Ect
60. at de la commande est pr sent dans la Figure 4 T fit Figure 3 plot y fit avec des droites 300 200 100 0 100 200 300 400 50C Il y a encore deux graphiques produits par testplot ect Ils seraient g n r s s par ment par les commandes plot y fit plot y res Ects version 4 10 Fonctionnalit s Nouvelles 400 T T T T T T T 300 Af 200 100 200 a i _ Figure 4 plot y fit res Bed 200 100 0 100 200 300 400 50 Pour les deux observation est en abscisse et en ordonn e on a y et soit fit soit res Pourquoi cr er plusieurs graphiques au moyen d une seule commande plot plut t que plusieurs commandes plot et un seul graphique par commande Le deuxi me choix est videmment enti rement possible mais dans ce cas Ects fera autant d appels gnuplot que de commandes plot trouv s Ceci n est pas trop g nant mais on remarquera que les graphiques s affichent plus lentement Pour s parer les diff rents graphiques dans une commande plot on se sert d une virgule Toutefois si on ferme une parenth se il va sans dire que ce qui suit doit constituer un nouveau graphique et par cons quent on peut facultativement se passer de la virgule A nsi dans la commande plot y fit res y fit y res y res fit y fit y res on a mis une virgule apres y fit mais pas apr s y res et y res fit En revanche si on supprime la virgu
61. blement jusqu a ce que 100 matrices aient t im prim es Mais on peut constater que les matrices tendent finalement vers z ro En fait on voit At lag 43 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 0 000000 et du 43 M retard jusqu au 100 toutes les matrices sont nulles Ceci est d au fait que le polyn me est stationnaire Dans d autres cas les termes successifs pourraient tendre vers linfini EXERCICES Inversez des polyn mes scalaires simples au moyen de la commande invertlagpoly 1 rho pour des valeurs diff rentes de rho Pouvez vous caract riser les valeurs qui pro duisent des polyn mes stationnaires dont les termes tendent vers 0 et celles qui donnent lieu une explosion des termes du polyn me Ects version 4 68 Aide a la Simulation On a d montr que les commandes lagpoly et invertlagpoly marchent cor rectement en v rifiant que les s ries contenues dans la matrice Y peuvent tre reproduites partir des r sidus Dans une vraie simulation il y a un autre aspect du probleme prendre en compte M me dans l absence d une auto corr lation des r sidus on peut s attendre a ce que les m r sidus d une ligne U soient corr l s entre eux On parlerait alors d une corr lation contemporaine des r sidus xo ok k Ok Le ph nom ne de corr lation contemporaine est prise en compte p
62. bles L valuation du gradient de la somme des carr s des r sidus en l estimateur des moindres carr s devrait tre nulle cause des conditions du premier ordre de la minimisation Si on ex cute les commandes ci dessus on peut v rifier que tel est le cas Quant la hessienne en termes des notations habituelles on a construire la matrice des d riv es du gradient 2X y XB et cette matrice s crit simplement 2X X Deux fois l inverse de cette matrice est X X 1 et les deux matrices H et XtXinv sont donc identiques EXERCICES Si on d rive une expression par rapport une variable dont elle ne d pend pas le r sultat doit tre z ro Ects permet de d river les expressions par rapport a des variables qui n existent m me pas Calculez les d riv es des macros residu et critere par rapport une variable b4 Dans tous les cas le r sultat sera un simple scalaire 0 Ensuite cr ez la variable b4 par une commande set par exemple V rifiez que les r sultats de la diff rentiation sont inchang s Changez la valeur de b3 afin que le gradient de critere ne s annule plus Ensuite calculez le gradient et la hessienne de critere par rapport aux variables a b1 et b4 La on obtiendra un vecteur 3 x 1 et une matrice 3 x 3 mais avec des l ments nuls correspondant aux d riv es par rapport a b4 On peut calculer les d riv es secondes troisi mes etc en faisant appel diff plus d une fo
63. bootstrap kk k Ok Rappel L utilisation des signes d galit ou d in galit lt et gt dans une commande gen cr e des valeurs bool ennes c est dire 1 si galit ou l in galit est v rifi e et 0 sinon kk k Dans la pratique si on ne s int resse qu la P value bootstrap il est inutile de stocker les valeurs de l ensemble des statistiques bootstrap comme on l a fait dans le vecteurs tt et nRR2 Il suffit de d finir des variables scalaires initialis es 0 et de les incr menter chaque fois que la statistique bootstrap est plus loin dans la queue de la distribution que la vraie statistique Quoiqu il en soit les valeurs calcul es pour notre exemple sont Pt 0 090090 PnR2 0 090090 On a eu de la chance en trouvant deux valeurs identiques mais ce fait indique clairement qu une inf rence bas e sur l une ou l autre est plus fiable qu une inf rence asymptotique Le bootstrap non param trique Consid rons maintenant le bootstrap non param trique Cette version du bootstrap ne fait pas d hypoth se pr cise sur la loi de probabilit des al as A la place d une telle hypoth se on effectue un r chantillonage des r sidus donn s par l estimation de l hypoth se nulle Le terme r chantillonnage peut s expliquer en termes de la fonction de r partition empirique de ces r sidus Alors que le bootstrap param trique tire les al as simul s d une loi nor
64. ce 38 hfil 98 99 hskip 98 99 igam 86 Impression de matrices 97 100 de tableaux 97 100 de valeurs num riques 95 97 Imprimante HP LaserJet II 15 PostScript 16 Indices valuation 83 95 Initialisation des param tres d un mod le non lin aire 26 Installation 4 5 instr 29 45 int 21 24 integral ect 21 24 Internet 4 INTTOL 22 24 Int gration num rique 21 24 invertlagpoly 62 68 invhess 36 39 43 invOPG 37 isolatin 103 iv 27 29 32 ivnls dat 28 32 ivnls ect 28 j0 87 j1 87 Kelley Colin 3 Ects version 4 110 Knuth Donald E 97 kron 91 lag 59 71 87 lagpoly 60 68 IATEX 15 Lecture de donn es 92 95 lhat 37 lhs 40 linestyle 7 8 79 Linux iii 2 5 103 LISEZ MOI 4 5 log 85 Logit 32 41 logit ect 40 Loi de probabilit Fisher 86 khi deux x7 18 77 86 logistique 33 normale centr e r duite N 0 1 77 normale centr e r duite N 0 1 85 normale multivari e 68 69 Student 86 lowtriang 68 69 1t 36 Luchini St phane 105 Macro 16 makediag 92 Maple 21 mat 18 19 34 41 51 52 55 61 79 87 88 90 92 Mathematica 21 Matrice de pond ration pour la GMM 44 max 87 Maximum de vraisemblance ML 32 41 maxintiter 22 24 maxiter 26 27 message 99 M thode de Newton 38 M thode des Moments G n ralis e GMM 41 47 min 87 ML 32 41 ml 3 25 34 37 39 40 48 50 mlar 40 41 54 55 mlhe
65. cile de d montrer que la matrice V est une estimation convergente de la matrice de covariance de si les composantes de f sont homosc dastiques et non autocorr l es et Al est proportionnelle a la matrice de covariance des moments Plus g n ralement on peut supposer que les composantes de f sont h t ro sc dastiques mais toujours non autocorr l es Soit la matrice de covariance du vecteur f la matrice diagonale 2 Dans ce cas on d montre que la bonne forme de la matrice de covariance asymptotique de B est VX WAW 2QW AW XV o on a supprim les chapeaux dans cette expression th orique Notons d abord que la matrice V est disponible sous le nom de XtWAWtXinv La deuxi me matrice de covariance estim e dans le tableau celle qui figure sous le nom de Heteroskedasticity Consistent Estimate ou en fran ais Es timateur Robuste l H t rosc dasticit est justement donn e par l expression VX WAW 2QW AW XV 10 o 2 est une matrice diagonale dont l l ment diagonal type est f 8 Le chapitre 17 de DM donne les d tails de cet estimateur Comme l indique Vavertissement dans le tableau de r sultats pr c dent lui seul est valable en pr sence d h terosc dasticit ou dans le cas o la matrice de pond ration A n est pas proportionnelle l inverse de la matrice de covariance des moments La matrice 10 est disponible dans la variable HCCME Ects version 4 La M thode des Moments G n ral
66. cite est plus important pour le processus ARCH 1 que pour le processus AR 1 Pour les processus ARCH 1 il existe une astuce qui permet de les g n rer tr s rapidement Malheureusement l astuce ne s applique qu aux processus ARCH 1 et ne se g n ralise pas On la trouve dans archdemo ect o elle est utilis e pour la troisi me m thode de g n ration dans ce fichier Le code pertinent est comme suit sample in gen v random gen x gamma v v set x 1 x 1 1 gamma gen b lag 1 x set b 1 1 gen tmp product 1 b gen h alpha sum tmp tmp set h 1 alpha 1 gamma gen u sqrt h v On peut remarquer l emploi de la fonction product disponible pour la premi re fois dans la version 3 3 d Ects La syntaxe est la m me que celle utilis e par sum mais un produit est calcul plut t qu une somme kk Ok Ok Si on n a pas la version la plus r cente d Ects on peut obtenir le r sultat de la commande gen tmp product 1 b par la commande gen tmp exp sum log b Vu que tous les l ments de la s rie b sont positifs les logarithmes ex istent Mais dans d autres applications il faut veiller ce qu il n y ait pas d l ments n gatifs EXERCICES Utilisez la fonction product pour calculer les factoriels des entiers de 1 10 Ects version 4 Processus ARCH et GARCH 73 Le programme qui g n re un ARCH 1 peut tre utilis comme une recette de cuisine Dans
67. d un fichier de sortie afin d en utiliser un autre ou pour passer en mode interactif par exemple Ou bien on pourrait vouloir rajouter des r sultats suppl mentaires un fichier d j existant Pour toutes ces raisons la commande out n crase plus un fichier existant Les r sultats nouveaux sont simplement rajout s la fin de l ancien contenu du fichier Si on pr f re craser un fichier qui pourrait exister on peut employer la commande outnew dont le comportment est identique celui de out dans les versions pr c dentes Normalement Ects ne manipule que des fichiers texte Ce syst me a des avantages et des inconv nients Le principal avantage provient du fait que les Ects version 4 Entr es et Sorties 93 fichiers texte existent sous tout syst me d exploitation que l on peut rencon trer et sont facilement convertibles entre les diff rents formats qui existent Un second avantage est tout simplement qu un fichier texte est lisible non seulement par les ordinateurs mais aussi par les utilisateurs d ordinateurs Le principal inconv nient est illustr par le programme suivant sample 1 20 gen x random gen y 2 x 3 random ols ycx write tmp dat y x read tmp dat y x ols y c xX Parmi les r sultats de la premi re commande ols on trouve Sum of squared residuals 232 275424 Explained sum of squares 40 106680 mais la seconde donne Sum of squared residuals 232 275408 Explain
68. d pendante Cette r gle s applique aux mod les non lin aires comme aux mod les lin aires Avec les versions pr c dentes d Ects il tait n cessaire d utiliser la commande gmm pour effectuer une estimation non lin aire par variables instrumentales Voir la section 4 3 de Man2 pour les d tails Cette proc dure quoique possible exige des manipulations de matrices peu videntes La version actuelle du logiciel fournit une commande sp cifique pour ce genre d estimation Le fichier nliv ect contient un programme Ects qui sert illustrer l utilisa tion de la commande nliv Les donn es n cessaires aux estimations se trou vent dans le fichier ivnls dat et on trouve dans le fichier ivnls ect un programme qui tourne sous la version 2 du logiciel On constatera que non seulement la nouvelle commande est plus facile utiliser mais qu elle donne galement de meilleurs r sultats Les premi res commandes dans nliv ect sont comme suit sample 1 50 read ivnls dat y x1 x2 w iv y x1 x2 exi w set bO 1 set bi 1 set b2 1 nliv y bO c bi xl b2 x2 instr c xi w deriv bO c deriv bi x1 deriv b2 x2 end Apr s la lecture des donn es contenues dans le fichier ivnls dat on effectue une r gression lin aire par variables instrumentales au moyen de la com Ects version 4 Estimation Non Lin aire par Variables Instrumentales 29 mande iv Ensuite on refait la m me estimation en se servant de la comma
69. de M Plauger publi dans l ouvrage cit et que l auteur m en donne la per mission M me si un jour je pourrai simplement employer une biblioth que devenue vraiment standard j exprime ici ma reconnaissance a M Plauger dont le travail a beaucoup aid le mien Il reste remercier tous les gens r unis sous l gide de la Free Software Foun dation qui ont cr le compilateur C de GNU Il est difficile d exprimer combien et a quel point les logiciels GNU ont transform le monde de Vinformatique scientifique Meme le systeme d exploitation Linux n existerait pas sans le support de ces logiciels Je m en sers tous les jours et c est grace a eux que le d veloppement d Ects a t possible J esp re dans un avenir proche pouvoir rajouter Ects a la liste des logiciels mis gratuitement a la disposition de la communaut scientifique sous les conditions libres de GNU Ce manuel n est pas un manuel d conom trie C est pourquoi a plusieurs reprises je fais r f rence un vrai manuel d conom trie quand il s agit d un point conom trique dont l expos n aurait pas sa place ici Le manuel en question est Davidson et MacKinnon 1993 je me r f re d sormais simple ment DM Il est aussi n cessaire de temps en temps de se r f rer au manuel de la version 2 la r f rence est simplement Man2 2 Note de la version 4 La version 4 utilise en effet la librairie standard et n a p
70. de donn es correspond un point d un trac gnuplot construit ses trac s dans l ordre des lignes du fichier Par cons quent si la premi re colonne du fichier de donn es n est pas tri e par ordre croissant ou d croissant les points du trac seront con struits d une mani re irr guli re Si chaque point est represent par un point ceci n a pas d importance mais si les points successifs sont connect s par des lignes droites ces lignes droites constitueront une excellente repr sentation du Chaos Pour g n rer directement le fichier gnuplot 1 donc on proc de comme suit gen yf colcat y fit gen yf sort yf write gnuplot 1 yf La commande sort sert a trier les lignes de la matrice yf par ordre croissant des l ments de la premi re colonne c est dire les l ments de la variable en abscisse y Ects version 4 Les Graphiques 15 R sumons pr sent la proc dure qui permet d imprimer un graphique Un premier point est qu il est toujours pr f rable de n imprimer qu un seul graphique la fois Sinon on peut s exposer des difficult s de pagina tion difficiles surmonter Ici on se limite l impression des graphiques cr s par les deux commandes plot y fit res plot y fit res Ces graphiques apparaissent dans les Figures 1 et 4 D abord pour cr er les fichiers de donn es on fait gen observation time 0 gen data colcat observation y fit res write gnuplot
71. de la forme n x k la commande gen Z X y donne lieu une matrice galement de la forme n x k dont les colonnes sont les produits Schur des colonnes successives de X avec le vecteur y kk k Pour la clart de l expos on suppose que smplstart 1 et que smplend n xok k Ok Si maintenant on remplace y par une matrice Y de la forme n xl la commande gen Z X Y cr e une matrice de la forme n x k dont les colonnes sont les produits Schur des colonnes de X avec la premi re colonne de Y Les autres colonnes de Y Ects version 4 Autres Fonctions 91 ne jouent aucun role Il se peut que l on souhaite cr er le produit Schur des deux matrices X et Y dans le sens habituel o l l ment i j du produit est le produit des l ments i j de X et de Y Dans ce cas on utilise sous mat uniquement la fonction schur Si on fait mat Z schur X Y o X a la forme n x k et Y a la forme m x l la matrice Z aura la forme min n m x min k l et son l ment i j 1 lt i lt min n m 1 lt j lt min k l sera gal x y dans une notation vidente EXERCICES Comparez les r sultats des commandes suivantes read ols dat x1 x2 x3 x4 gen X colcat x1 x2 gen Y colcat x3 x4 mat Z schur X Y gen ZZ X Y Refaites l exercice avec des sous matrices de X et Z de dimensions diff rentes L conom trie des mod les multivari s fait appel parfois au produit Kro necker Soit une matrice n
72. e settexts ects errorsfr txt pour que les textes fran ais remplacent les textes anglais On peut inverser Vop ration tout aussi facilement en relan ant settexts avec errors txt la place de errorsfr txt Si on se donne la peine de traduire les textes en italien on peut cr er un fichier errorsit txt en respectant l ordre et le format du fichier original errors txt attention aux 44 4 et ins rer son contenu dans ects ou mieux dans une copie de ects koko k OX Malheureusement les langues autres que l anglais pose un petit probl me concernant les accents Les codes utilis s pour les caract res avec ac cent d pendent du syst me d exploitation Sous Unix et Linux on utilise le standard nomm isolatin mais sous DOS Windows les car act res sont encod s diff remment Pour les textes anglais ce fait n a Ects version 4 104 Autres Aspects Nouveaux aucune importance Pour les textes francais deux fichiers sont fournis errorsfr iso et errorsfr dos L utilisateur peut choisir entre les deux selon son syst me d exploitation pr f r Si on se trompe ce n est pas grave Il suffit de relancer settexts avec l autre choix kk kx Ok Pour les fichiers ex cutables du syst me d aide les fichiers contenant les mes sages d aide sont help txt et helpfr txt En ce moment ces fichiers sont tr s courts Des mises jours devront tre bient t disponibles Si on le souhaite on peut facilement rajouter d
73. e ici la variable artifi cielle observation En effet l chantillon est d fini de 1 100 Le xlabel est l tiquette label en anglais affich e en dessous de l axe horizontal La commande suivante m rite un peu d attention La syntaxe est la suivante plot nom de fichier using n m title var o la place de nom de fichier on met le nom du fichier qui contient les donn es afficher Ce fichier qui dans notre cas porte le nom de tmp gnuplot 0 contient plusieurs colonnes de chiffres Chaque ligne du fichier correspond un point du graphique Les indices n et m sont les num ros des colonnes utiliser pour les coordonn es horizontales n et les coordonn es verticales m des points qui constituent le graphique Finalement var est le nom ou l tiquette associer au trac Comme on peut le constater les informations n cessaires au trac de la vari able y sont contenues dans les colonnes 1 et 2 du fichier La colonne 1 donne Ects version 4 Les Graphiques 19 la variable observation qui est l abscisse de tous les trac s La colonne 2 cor respond la variable y De m me le trac de la variable fit est construit sur la base des colonnes 1 et 3 du fichier et celui de res sur la base des colonnes 1 et 4 Si on travaille sous DOS on ne peut pas b n ficier de la construction au tomatique d un fichier de donn es par Ects et on aura construire le fichier tmp gnuplot 0 directement C
74. e nom du fichier de comman des gnuplot gnuplot gnu Apr s l ex cution de cette commande on devrait trouver le fichier de sortie dans le r pertoire courant Pour moi ce fichier porterait le nom de fig1 ps La derni re tape est bien s r d envoyer le fichier ainsi cr l imprimante La commande pertinente d pend du syst me d exploitation Sous DOS par exemple elle serait copy b figi ps prn Pour que ceci marche correctement il faut bien entendu que le format du fichier corresponde l imprimante Pour figi ps par exemple il faudrait une imprimante PostScript La proc dure pour l impression du graphique cr par plot y fit res est tr s similaire Les donn es tri es existent d j dans le fichier gnuplot 1 Seul le contenu de gnuplot gnu est changer On a set autoscale set xlabel y set term postscript eps set out fig2 ps plot gnuplot 1 using 1 2 title res gnuplot 1 using 1 3 title fit Apr s l ex cution de ces commandes par gnuplot le fichier fig2 ps peut tre envoy une imprimante PostScript EXERCICES Cr ez un fichier contenant les donn es n cessaires un trac du graphique de la fonction sin x pour x 0 27 Si vous avez acc s une imprimante crivez un programme gnuplot qui permettra d imprimer le graphique Sinon modifiez le programme de mani re ce qu il affiche le graphique l cran de l ordinateur 3 La Diff rentia
75. e r partition F des B l ments de cette Ects version 4 80 Aide a la Simulation 1 00 1 00 0 80 0 80 0 60 0 60 0 40 0 40 0 20 0 20 0 00 T T 0 00 T T T T 4 0 2 0 0 0 2 0 4 0 0 0 20 40 60 8 0 tt et Student 7 nR et x 1 Figure 5 Fonctions de r partitions empiriques et th oriques colonne est comme suit 1 B F x D I0 lt 2 25 o la valeur de la fonction indicatrice I b lt x gale 1 si l in galit qui sert d argument la fonction est v rifi e et 0 sinon La somme dans la d finition 25 est donc le nombre d l ments by inf rieurs ou gaux x En divisant par B on obtient la proportion La cons quence de la d finition 25 est que l l ment i j de fre est la valeur de la fonction de r partition des l ments de la colonne j de stat en x l l ment i de abscisses Il est int ressant de comparer les r partitions empiriques avec les lois de prob abilit donn es par la th orie asymptotique Ces lois sont celle de Student a n 3 7 degr s de libert et celle du x 1 degr de libert Dans le pro gramme on value les fonctions de r partition correspondantes en les m mes points que les r partitions empiriques et on affiche les r sultats par la com mande plot On voit ces r sultats dans la Figure 5 o les trac s en pointill sont les fonctions empiriques et les trac s pleins les fonctions th oriques Il para t que la loi de Stud
76. e v Sous gen soit n smplend smplstart 1 A est alors une matrice diagonale n x n dont les l ments diagonaux sont les l ments de v a partir de smplstart jusqu a smplend Il reste a d crire une fonction matricielle qui est utile quand on veut d finir une matrice qui ne contient rien Consid rez le programme sch matique suivant mat A emptymatrix set i 0 while i lt n set i i 1 gen x expn mat A colcat A x end On souhaite rajouter des colonnes une matrice A chaque it ration d une boucle Au d but de la boucle il faut que la matrice A soit d finie mais vide On voit que la fonction emptymatrix qui ne n cessite aucun argument permet une telle d finition 3 Entr es et Sorties Les modalit s d entr e et de sortie de donn es et de texte sont largement tendues et assouplies dans la version 3 3 d Ects Nous commen ons la di scussion par un point mineur avant d aborder les changements plus impor tants Dans Man2 il est expliqu comment on peut cr er un fichier de sortie au moyen de la commande out Malgr la grande utilit de cette commande il avait un d faut dans les versions ant rieures d Ects Si on cr e deux fois dans un m me fichier de commandes un fichier de sortie dont le nom est le m me chaque fois le premier fichier est cras par le deuxi me lors de la cr ation de celui ci Or on pourrait tr s bien vouloir interrompre momentan ment l utilisation
77. eau de pr cision de la machine Ceci s explique par le fait que la vraie m thode de Newton celle qui utilise les d riv es secondes analytiques con verge plus rapidement dans le voisinage du maximum que les m thodes ap proximatives employ es par ml et mlopg Dans le cas pr sent la convergence est globalement plus rapide dont t moigne le plus faible nombre d it rations 8 en l occurrence contre 22 24 pour les autres m thodes toujours avec le m me point de d part La conclusion tirer est que quand il faut une grande pr cision mlhess est la meilleure commande utiliser Le co t se paye en termes soit de temps de calcul soit du calcul analytique des d riv es secondes Dans le fichier logit ect distribu avec la version 2 d Ects l estimation est faite au moyen de la r gression artificielle connue sous le nom de BRMR pour Binary Response Model Regression voir la section 15 4 de DM La m me proc dure l g rement modifi e se trouve tout la fin de newlogit ect Comme l article de Davidson et MacKinnon 1999 le d montre des r gres sions artificielles existent pour plusieurs classes de mod les et elles conduisent souvent des m thodes d estimation efficaces On peut profiter de ce fait au moyen de la commande mlar o le ar signifie Artificial Regression La BRMR pour le cas g n ral du mod le caract ris par 6 s crit comme y Fy Xe i b r sidu F 1 F fin o
78. eci n est pas du tout difficile La variable observation peut tre g n r e directement par gen observation time 0 et le fichier de donn es par write gnuplot 0 observation y fit res Notez que si on cr e le fichier de donn es directement il n est pas n cessaire de le mettre dans le r pertoire tmp La ligne pause 1 est un signal gnuplot qui le fait arr ter apres l affichage du graphique jusqu ce qu on appuie sur la touche Retour ou Entr e Pour des raisons videntes cette ligne est inutile si on souhaite imprimer un graphique Dans le fichier gnuplot gnu cr par Ects le caractere n est pas utilis parce que toute la commande plot du mot plot au mot res n occupe qu une seule ligne Il serait impossible d imprimer une telle ligne dans ce manuel et il est souvent souhaitable dans la pratique d viter des lignes trop longues gnuplot permet d taler une commande sur plusieurs lignes si l on met un la fin de chaque ligne sauf la derni re de la commande et c est ce qu on a fait ici pour que le programme soit plus lisible kK Ok X Ok La m me pratique est possible avec Ects m me voir la section 2 5 Ok k Les deux derniers graphiques ceux qui peuvent tre g n r s par plot y fit plot y res sont cr s en donnant gnuplot les commandes suivantes set xrange 1 100 set xlabel observation plot tmp gnuplot 4 using 1 2 title y t
79. ed sum of squares 40 106692 Les chiffres sont tr s similaires mais ils ne sont pas identiques La raison en est que quand les donn es sont crites dans le fichier tmp dat ce fichier texte ne conserve que les 6 premi res d cimales apr s la virgule La petite perte de pr cision se manifeste par les petites diff rences que nous venons de constater Le probl me est d autant plus grave que les valeurs des l ments des vecteurs sont proches de z ro Par exemple si on divise y et x par 10 000 on trouve Sum of squared residuals 0 000002 Explained sum of squares 4 010668e 07 avec les donn es elles m mes et Sum of squared residuals 0 000002 Explained sum of squares 4 008570e 07 apr s le filtrage effectu par write suivi de read Un coup d il dans le fichier tmp dat explique pourquoi Le premier observation enregistr e dans le fichier est 0 000036 0 000062 o seuls deux chiffres ont t conserv s Si lon divise par 1 000 000 le probl me s aggrave davantage Donn es Binaires Pour viter cet inconv nient on se sert des deux commandes writematrix et readmatrix Si on remplace les commandes write et read par mat X colcat y x Ects version 4 94 Autres Aspects Nouveaux writematrix binary tmp bin X readmatrix binary tmp bin X mat y XX 1 20 1 1 mat x XX 1 20 2 2 les r sultats de la r gression seront identiques avant et apr s cette op ration La commande writematrix admet
80. en deuxi me et troisi me arguments respe ctivement La diff rentiation automatique permet de calculer les d riv es des fonctions de r partition et de leurs inverses mais uniquement par rapport a l argument principal La d riv e par rapport un argument degr s de libert est nulle Grace la biblioth que standard du C Ects est en mesure de calculer les valeurs des fonctions de Bessel d ordre 0 ou 1 Ces fonctions s crivent en math matiques comme Jo x et Ji x pour les fonctions dites de premi re esp ce et comme Yo x et Yi x pour les fonctions dites de deuxi me esp ce kok k Voir Abramowitz et Stegun 1964 chapitre 9 kok k Ok Ects ainsi que la biblioth que du C utilisent pour ces fonctions les noms j0 j1 y0 et y1 respectivement Leurs d riv es qui sont elles aussi des fonctions de Bessel peuvent tre obtenues par la diff rentiation automatique 2 Autres Fonctions Outre les fonctions math matiques Ects fournit plusieurs fonctions qui per mettent de manipuler les matrices de diff rentes fa ons Les utilisations de colcat diag lag rowcat seasonal sort sum time et uptriang sont d crites dans Man2 Elles sont inchang es depuis la version 2 du logiciel Dans la section 2 6 on a vu les fonctions rows et cols qui prennent un seul argument dont elles renvoient le nombre de lignes ou de colonnes Le comportement de la fonction det qui renvoie le d terminant de son argument a
81. ent 7 degr s de libert reste une assez bonne appro ximation mais que celle du x 1 l est moins Ceci peut expliquer la diff rence entre les P values asymptotiques donn es par les deux statistiques Le plus souvent on ne s int resse pas tous les d tails de la fonction de r partition empirique d une statistique Pour faire des inf rences ce qu il faut est la P value bootstrap Toute P value est une mesure de la masse de probabilit dans la ou les queues d une distribution au del de la valeur r alis e de la statistique Pour le test en y cette masse de probabilit est 1 moins la valeur de la fonction de r partition du x en la statistique r alis e Pour le Student elle est 2 fois 1 moins la valeur de la fonction de r partition de la loi de Student en la valeur absolue de la statistique r alis e du moins Ects version 4 R chantillonnage et le Bootstrap 81 pour un test bilat ral Le calcul des P values bootstrap pour l exemple dans gv ect se fait comme suit sample 1 B gen Pt abs tt gt abs t gen PnR2 nRR2 gt nR2 gen iota 1 mat Pt iota Pt B mat PnR2 iota PnR2 B show Pt PnR2 Les vecteurs Pt et PnR2 ont des l ments 1 si la statistique bootstrap est plus loin dans la queue de la distribution que les statistiques calcul es avec les donn es r elles et 0 sinon Ensuite on additionne les l ments de ces vecteurs et on divise le r sultat par B pour avoir les P values
82. er les fichiers pertinents en les copiant ailleurs Il est important de faire ceci pendant l ex cution parce que les fichiers seront effac s la fermeture d Ects Alternativement si on fait set savegnu 1 avant de lancer la commande plot les fichiers ne seront pas effac s et on pourra les retrouver dans le r pertoire tmp apr s la fermeture d Ects kk Ok Ok Mais attention on ne retrouvera que les fichiers correspondant au dernier graphique Les fichiers pr c dents portant les m mes noms que ceux du dernier seront cras s lors de la cr ation de celui ci kk Ok Ok Si on travaille sous DOS on n aura pas la possibilit de faire quoi que ce soit pendant l ex cution d Ects sauf regarder le d roulement d Ects parce que DOS n est pas un syst me multi tache A moins d utiliser la variable savegnu donc il sera n cessaire de cr er les fichiers soi m me M me sous d autres systemes d exploitation il est utile de savoir comment proc der Voyons ici a titre illustratif le fichier de commandes gnuplot gnu cr par la commande plot y fit res y fit y res y res fit y fit y res qu on a tudi e plus haut Pour le premier graphique on a set xrange 1 100 set xlabel observation plot tmp gnuplot 0 using 1 2 title y tmp gnuplot 0 using 1 3 title fit tmp gnuplot 0 using 1 4 title res pause 1 Le xrange d finit les limites des valeurs de l absciss
83. es de la loi empirique d finie par les l ments du vecteur us comme on l avait souhait Les P values bootstrap donn s par le bootstrap non param trique sont encore une fois identiques pour les deux statistiques consid r es et tr s similaires celles donn es par le bootstrap param trique Pt 0 100100 PnR2 0 100100 Sur la base de 999 simulations bootstrap les valeurs de 0 090090 et 0 100100 ne diff rent pas de mani re significative Vu que toutes les simulations font appel au g n rateur de nombres al atoires il convient ici d en parler un peu plus longuement Comment un appareil Ects version 4 84 Aide a la Simulation d terministe comme un ordinateur peut il g n rer des nombres al atoires La r ponse directe la question est que l ordinateur se sert de ce qu on appelle en math matiques le chaos d terministe qui g n re des nombres qui selon les apparences sont al atoires Pour les fins des simulations les apparences suffisent largement Il reste que le processus de g n ration est d terministe et par cons quent reproductible Si on veut g n rer deux fois de suite les m mes nombres al atoires il suffit de pr ciser le m me point de d part Le point de d part du g n rateur d Ects consiste en deux chiffres contenus dans la variable seed Les deux l ments de cette variable sont mises jour apr s chaque appel la fonction random on peut les examiner tout ins
84. es de la fonction de r gression sous forme Ects Nous r sumons rapidement ici la syntaxe de la commande nls et quelques d tails de son fonctionnement Le mod le conom trique qui fait l objet d une estimation par nls est le mod le de r gression non lin aire qui s crit sous la forme y x B u o y est la variable d pendante u est le vecteur d al as et x 3 est le vecteur des fonctions de r gression voir les chapitres 2 et 3 de DM pour de plus amples informations sur ce mod le ainsi que le chapitre 4 du manuel de la version 2 d Ects Si nous reprenons pr sent le mod le qui sert d exemple dans Man2 la fonction de r gression associ e l observation t s crit comme 1 a Be a La commande utilis e dans Man2 pour l estimation de ce mod le est 20 26 Les Estimations Non lin aires nls y alpha beta xxi 1 beta x2 deriv alpha 1 deriv beta x1 x2 betaxbeta end Si l on pr f re se servir de la diff rentiation automatique une autre mani re de proc der est comme suit def fctreg alpha betaxxi 1 beta x2 nls y fctreg deriv alpha diff fctreg alpha deriv beta diff fctreg beta end On d finit d abord une macro fctreg qui repr sente la fonction de r gres sion Ensuite dans les lignes deriv il suffit de faire appel a la fonction diff pour que la d riv e soit calcul e automatiquement par Ects Les r sultats seraient identiques si la
85. es diff rences importantes La premi re est due au fait que Veffet des commandes noecho silent echo et restore est r troactif Par cons quent avec le sch ma ci dessus on verrait Ects version 4 Derniers D tails Derni res Remarques 105 noecho affich l cran et noecho silent dans le fichier de sortie La seconde diff rence importante est que ne s applique qu la commande elle m me et non aux r sultats ventuellement produits par l op ration de la commande Ainsi les r sultats de la commande Cols y c x1 x2 se trouvent comme d habitude dans le fichier de sortie alors que si on fait silent ols y xl x2 tout les r sultats sont perdus la limite on pourrait faire noecho silent afin d viter l effet r troactif Mais pourquoi kok Ok OX Ensuite une petite correction apporter une chose incorrecte dans Man2 la page 35 concernant la commande svdcmp Cette commande permet d effectuer la d composition par valeurs singuli res SVD d une matrice X Le r sultat de la d composition consiste en trois matrices dont une not e W contient les valeurs singuli res elles m me Dans Man2 j ai dit tort que les valeurs singuli res taient les valeurs propres de la matrice X X En r alit elles sont les racines carr es positives des valeurs propres de X X En arrivant la fin de cette nouvelle documentation force est de constater qu elle est plus
86. es messages d aide ces fichiers et les ins rer dans les fichiers ex cutables de la famille de ectshelp l aide de settexts Le caract re sp cial qu il faut donner comme deuxi me argument settexts n est plus mais plut t 6 Derniers D tails Derni res Remarques Il reste une commande dont on n a pas encore discut system Cette com mande ne r pond aucun besoin pr cis mais elle a t tr s facile program mer et elle peut s av rer utile La syntaxe system commande sert transmettre la commande au syst me d exploitation Par exemple si on fait system dir le contenu du r pertoire courant s affichera Les commandes ex cut es par le syst me d exploitation peuvent renvoyer un code dit code retour au syst me Ce code si on en a besoin est retransmis Ects qui le stocke dans la variable scalaire retcode Dans la section 1 2 il a t remarqu que les lignes qui commencent par un ou un ne sont pas lues par Ects Cette r gle s tend la lecture des fichiers de donn es On a donc la possibilit d intercaler des remarques ou des commentaires dans ces fichiers sur la nature ou la provenance des donn es par exemple Si on pr c de le nom d une commande par le caract re la commande ne sera ni affich e a l cran ni imprim e dans le fichier de sortie L effet est similaire a celui de noecho silent commande restore noecho mais avec quelqu
87. ession de Gauss Newton qui correspond au mod le estim voir le Chapitre 6 de DM Il est toujours souhaitable de faire tourner la GNR apr s une estimation par NLS afin de s assurer que les conditions du premier ordre soient bien v rifi es La r gressande de cette r gression artificielle est le vecteur de r sidus du mod le non lin aire et les r gresseurs sont les d riv es de la fonction de r gression par rapport aux param tres du mod le Ceci tant on aurait pu se servir du fait que les r sidus sont disponibles dans la variable res En lancant ols res ralpha rbeta on peut se passer de la variable e dans le listing ci dessus Pour faciliter davantage la mise en uvre de la GNR apr s une estimation par n1s la version courante du logiciel recycle la variable CG Apr s une commande nls cette variable contient la matrice not e X B dans les d veloppements alg briques des d riv es des fonctions de r gression par rapport aux param tres valu es en le vecteur de param tres estim s Il s ensuit que le bout de programme ci dessus peut tre remplac par une seule commande ols res CG tout de suite apr s l ex cution de l estimation non lin aire Il est rappel que si les conditions du premier ordre sont v rifi es les param tres estim s de la GNR ainsi que les Students sont gaux z ro aux erreurs d arrondi pr s Pour des raisons diverses on s int resse parfois la moyenne de la variab
88. expression dldF dFde e doit tre calcul e quatre fois chaque it ration de Valgorithme Si on ne fait qu un petit nombre d estimations ceci n est pas g nant Mais si on a beaucoup d estimations non lin aires faire lors d une exp rience de simulation avec beaucoup de r p titions par exemple le fait de refaire plusieurs fois le m me calcul peut entra ner des temps de calcul excessivement longs Dans la version 3 d Ects il existe un m canisme qui permet d viter ces calculs r p t s Ce m canisme est illustr dans le fichier proclogit ect o on reprend quelques unes des estimations de newlogit ect Afin de se servir du m canisme on utilise la commande procedure comme suit procedure logit 4 def X argi iota xl arg2 x2 arg3 x3 arg4 gen 1f lhd answer lf gen DO dldFx xdFdex e answer DO gen D1 DO x1 answer Di gen D2 DO x2 answer D2 gen D3 DO x3 answer D3 end Le nom de la commande procedure est suivi du nom de la proc dure ici logit et le nombre d arguments de la proc dure ici 4 Les arguments de la proc dure qui doivent tre des scalaires vont correspondre aux param tres estimer Ensuite il y a plusieurs lignes parmi lesquelles on voit des com mandes Ects ordinaires La fin de la d finition de la proc dure est signal e comme d habitude par end Le but de la proc dure est de remplacer la commande suivante qu on trouve dans newlogit ect ml lhd deriv
89. fin de chacune sauf la derni re La nouvelle commande gmmweight est tres diff rente de gmm et gmmhess D abord comme sous les commandes de la famille ml les expressions sont valu es comme dans une commande gen avec prise en compte de la taille de l chantillon telle qu elle est d finie par smplstart et smplend Un autre aspect important de la commande gmmweight est qu elle ne s applique qu a des mod les d une forme sp cifique La fonction crit re minimis e quand on effectue une estimation non lin aire par variables instrumentales est donn e par 3 dont la forme est celle requise par gmmweight si on explicite la matrice de projection Q B y 8 W W W W y x 8 8 Si on se sert du langage de la GMM le vecteur W y x B est un vecteur de moments c est dire un vecteur dont chaque composante est une fonction des donn es et des param tres du mod le Si on utilise les vrais param tres dans l valuation des moments les esp rances de ceux ci sont nulles La fonction crit re est une forme quadratique d finie par les moments et une matrice de pond ration ici la matrice W W qui doit tre une matrice d finie positive L estimateur GMM est efficace si la matrice de pond ration est proportionnelle asymptotiquement l inverse de la matrice de covariance des moments valu s en les vrais param tres On v rifie que sous les hypoth ses d homosc dasticit et non autocorr
90. h matiques connues par Ects a t largement tendu Maintenant Ects reconnait la quasi totalit des fonctions trouv es dans la biblioth que standard du langage C Dans ce domaine le C repose enti rement sur le C de sorte que l on ne perd ni ne gagne rien en passant d un langage l autre Dans Man2 on donne une liste de fonctions d un argument scalaire renvoyant une valeur scalaire Cette liste comporte les fonctions log sqrt sign abs exp sin cos et tan En plus on r pertorie la fonction phi la fonction de r partition de la loi normale centr e r duite Attention Cette fonction est maintenant disponible sous le nom de Phi avec un P majuscule La fonction phi existe toujours mais elle donne la densit de la loi N 0 1 Si on pr f re se passer compl tement d une fonction dont le sens d pend de la version d Ects qu on utilise la densit est aussi disponible sous le nom de stdnorm dont la d finition formelle est 1 12 olr 5x XP 3s f Le changement au sein d Ects s inspire du fait que la notation standard veut que x soit la fonction de r partition et x la densit de la loi N 0 1 Aux fonctions trigonom triques sin cos et tan viennent se rajouter les fon ctions hyperboliques sous les noms de sinh cosh et tanh Ces fonctions peuvent se d finir en termes de la fonction exponentielle sinh z e e coshz s e e tanhz sinh g cosh z Les inverses de toute
91. ibilit s Veut on afficher des graphiques l cran de l ordinateur Dans ce cas quelles sont les capacit s de l cran et de la carte vid o Quelle r solution faut il choisir Comment mettre l cran en mode graphique Pour chaque r ponse possible ces questions des inconv nients se manifestaient en grand nombre Si on souhaite sortir des graphiques sur une imprimante les questions et les inconv nients se d multiplient davantage Finalement il m est venu l esprit que j utilisais chaque jour ou presque un logiciel nomm gnuplot disponible librement et gratuitement pour mes pro pres besoins en graphisme que ce soit l cran ou l imprimante Les auteurs de ce logiciel avaient en effet d j r solu tous les probl mes auxquels je faisais face Le d veloppement du logiciel a t un effort coop ratif avec le concours de plusieurs programmeurs de talent Ceux qui d tiennent les droits de la version courante sont Thomas Williams et Colin Kelley Il arrive souvent dans le calcul d un ensemble de fonctions ou de d riv es que l on ait recalculer plusieurs fois la m me expression C est particuli rement vrai des d riv es qu il faut fournir nls et ses cousins Refaire plusieurs fois la m me chose est toujours fastidieux et peu efficace mais dans le cadre d une estimation non lin aire proc dure lente de par sa nature il y a un grand profit tirer en liminant des op rations r
92. ibilit s qui ne sont pas disponibles avec la sim ple commande read Pour read chaque colonne doit constituer une seule variable laquelle il faut affecter un nom En revanche readmatrix peut lire une matrice de dimensions quelconques qu il faut fournir la fin de la commande Par exemple readmatrix ascii tmp dat X 20 2 permet de cr er une matrice X de la forme 20 x 2 dont les l ments sont trouv s sous format texte dans tmp dat Le m me fichier de donn es peut tre utilis pour cr er des matrices de dimensions diff rentes La commande readmatrix ascii tmp dat X 8 5 rangerait les 40 chiffres trouv s dans tmp dat dans une matrice 8 x 5 Ces chiffres sont affect s successivement d abord aux l ments de la premi re ligne ensuite ceux de la deuxi me et ainsi de suite Si on arrive la fin du fichier avant de remplir la matrice les l ments restants sont nuls S il reste des chiffres dans le fichier apr s la constitution de la matrice compl te ils sont perdus Ects version 4 Entr es et Sorties 95 EXERCICES Faites tourner un programme o les variables x et y sont divis es par 1 000 000 et sauv es par write et relues par read Les r sultats de la r gression de y sur x avant et apr s seront assez diff rents Refaites le m me exercice en utilisant writematrix et readmatrix en mode binaire Les r sultats des deux r gressions seront maintenant identiques La difficult voqu e ci de
93. iel affiche par exemple crit 28 2471 newcrit 28 2468 La raison est banale dans les tripes d Ects toute fonction crit re est mi nimis e Afin de s accommoder ce fait on minimise l oppos de la log vraisemblance La valeur imprim e dans le tableau de r sultats est la bonne Plus loin encore dans le fichier newlogit ect on utilise la commande mlhess pour refaire l estimation de notre mod le logit Comme le nom le sugg re l algorithme derri re cette commande utilise la Hessienne de la log vraisemblance Le principe de base de la plupart des algorithmes de maximi sation minimisation de fonctions est la m thode de Newton Sous sa forme d origine cette m thode s appuie sur les deriv es premi res et secondes de la fonction maximiser Autrement dit il faut la fois le gradient et la hessi enne de la log vraisemblance pour la mise en uvre de la m thode Ceci se voit clairement dans la premi re estimation par mlhess def f e 1te 2 mlhess lhd deriv a y F deriv bi x1 y F deriv b2 x2 y F deriv b3 x3 y F second a a f second a bi x1 xf second a b2 x2 f second a b3 x3 f second bi b1 x1 x1 f second bi b2 x1 x2 f second bi b3 x1 x3 f second b2 b2 x2 x2 f second b2 b3 x2 x3 f second b3 b3 x3 x3 f end Grace la macro f les l ments de la hessienne sont assez facile a ex primer alg briquement La syntaxe n est pas compliqu e Par l utili
94. ion 4 R chantillonnage et le Bootstrap 77 Asymptotiquement et sous l hypoth se nulle le Student que nous venons de calculer est un tirage de la loi normale centr e r duite et le nR un tirage de la loi du y un degr de libert En chantillon fini les statistiques sont des tirages d autres lois g n ralement inconnues analytiquement Mais on peut les tudier par simulation La d marche est comme suit On tablit d abord un processus g n rateur de donn es PGD dit PGD bootstrap Ce PGD bootstrap doit imp rativement v rifier l hypoth se nulle Ensuite on utilise le PGD bootstrap pour tirer des chantillons artificiels simul s de la m me taille que l chantillon de donn es r elles Pour chacun de ces chantillons simul s on calcule une ou plusieurs statistiques de test exactement comme on les a calcul es pour les donn es r elles Finalement on construit ce qu on appelle la fonction de r partition empirique des statistiques simul es La fonction de r partition empirique est la version simul e de la vraie fonction de r partition inconnue des statistiques en chantillon fini sous l hypoth se nulle Quand le nombre de simulations tend vers l infini l cart entre la fonction empirique et la vraie fonction inconnue tend vers z ro Une difficult pratique r sulte du fait que l hypoth se nulle n est pas en g n ral limit e un seul PGD Dans notre exemple sous l hypoth se nulle i
95. ion de Man2 comme une m thode sophistiqu e est devenue maintenant un outil standard de l conom trie Le chapitre 17 de DM est toujours une r f rence incontournable dans la mati re Du point de vue d Ects la commande gmm disponible dans la version 2 du logiciel viennent s ajouter deux commandes nouvelles gmmhess et gmmweight La premiere gmmhess comme mlhess fait appel aux d riv es secondes analytiques de la fonction crit re La deuxi me gmmweight est d une nature diff rente que nous verrons plus tard Par rapport la famille de commandes ml la principale diff rence dans l utilisation de gmm et gmmhess est que les expressions sont valu es comme si on tait dans une commande mat plut t que dans une commande gen Ects version 4 42 Les Estimations Non lin aires Ceci signifie par exemple que les variables smplstart et smplend dont les valeurs sont affect es par la commande sample n ont aucun effet Une autre diff rence est que la fonction crit re est minimis e On pourra tudier les performances de gmm et gmmhess en regardant le fichier de commandes gmm ect Dans ce fichier on utilise les m mes donn es et les m mes mod les que dans nliv ect Bien entendu la GMM ne se limite pas aux mod les de r gression estim s l aide de variables instrumentales mais la simplicit de ces mod les les rend utiles pour la clart de l expos des commandes d Ects Rappelons nous que la
96. ique Kk k Ok Le nombre maximal d it rations est contr l par la variable maxiter Nor malement si l optimisation n est pas termin e la fin de l it ration maxiter Ects s arr te en posant la question n iterations without convergence Continue y n ou en fran ais n it rations sans convergence On continue y n Ects version 4 Moindres Carr s Non lin aires 27 o n est le nombre d it rations effectu es Si l on r pond par n non la commande s arr te tout de suite meme si le crit re de convergence n est pas encore satisfait Dans certaines circonstances il n est pas souhaitable que lutilisateur doive obligatoirement donner son oui ou non Par exemple si on a lanc un grand nombre de simulations au moyen d une boucle on pr f rerait que le pro gramme continue jusqu la fin sans interruption Dans de tels cas on peut se servir de la variable noquestions Si une estimation non lin aire arrive la fin de l it ration maxiter et si la valeur de noquestions est diff rente de z ro l ex cution de l estimation s arr te et le logiciel passe sans question ni commentaire la commande suivante Dans le fichier nls ect dont on a d j modifi quelque peu le contenu Vestimation par NLS est suivi par les commandes suivantes gen e y alpha beta x1 1 beta x2 gen ralpha 1 gen rbeta x1 x2 betaxbeta ols e ralpha rbeta Il s agit de la GNR R gr
97. ir compte que de l un d eux pour d clencher le recalcul de la proc dure au d but de chaque it ration Ce fait permet de simplifier les critures Pourtant il est important de noter que nous ne pouvons plus nous servir des variables arg2 etc parce que seul argi est d finie Mais ceci ne nous concerne pas ici parce que logithess ne fait pas appel ces variables pr f rant un emploi direct des param tres Ects version 4 54 Les Estimations Non lin aires a bi etc Tertio il s av re n cessaire de red finir la macro X La d finition donn e l int rieur de logit est justement en termes des variables arg qui n interviennent pas dans logithess Passons maintenant la derni re estimation trouv e dans proclogit ect effectu e par mlar Elle permet d illustrer encore quelques points d int r t g n ral Voici la proc dure procedure logitar 1 sample 1 100 gen D 1 sqrt F 1 F gen Dl y F D answer D1 gen DO f xD answer DO gen Di x1 DO answer Di gen D2 x2 D0O answer D2 gen D3 x3 D0O answer D3 answer D end On voit qu il est parfaitement possible de g n rer une variable ici D au d but de la proc dure de utiliser pour la g n ration d autres variables et de la d clarer comme la toute derni re r ponse On a une libert compl te en ce qui concerne l ordre des r ponses On pourrait faire d abord tous les calculs et ensuite d clarer les r ponses dans l ordre le
98. is On fait par exemple mat d2f diff diff f x x pour calculer la d riv e seconde d une macro f par rapport x Calculez les l ments de la hessienne de critere de cette mani re et v rifiez que les r sultats sont les m mes que ceux donn s par hess L utilisation la plus importante des fonctions diff grad et hess est dans le contexte des estimations non lin aires On en parlera plus longuement au chapitre suivant kok k Il existe une derni re commande associ e la diff rentiation automa tique differentiate La syntaxe qu elle utilise est Ects version 4 L Int gration Num rique 21 differentiate lt expression gt lt variable gt o l lt expression gt a diff rentier peut comprendre des macros et la diff rentiation se fait par rapport la lt variable gt Cette commande ne donne rien dans le fichier de sortie mais il affiche des choses l cran Si je ne pr cise pas davantage c est parce que ces choses la ne se lisent pas simplement tant crites en une repr sentation interne Ects Cette commande est beaucoup plus utile pour moi que pour vous kk Ok Ok 4 L Int gration Num rique Il existe aujourd hui des algorithmes tr s puissants permettant l int gration symbolique d un grand nombre de fonctions Ces algorithmes sont imbriqu s dans des logiciels comme Mathematica et Maple qui effectuent des op rations symboliques sur des expressions alg briques Jusqu ici au
99. is e 47 Les conditions du premier ordre pour la minimisation de la fonction crit re 9 s crivent comme X B W AW f 8 0 11 Dans les calculs d Ects on fait appel une matrice B de forme triangulaire sup rieure telle que B B A La matrice BW X de dimension x k se trouve apr s l ex cution de gmmweight dans la variable CG De m me la matrice BW f de la forme x 1 se trouve dans grad Les commandes sui vantes extraites de gmm ect permettent de v rifier les conditions du premier ordre sample 1 2 mat t CG grad print t sample 1 3 ols grad CG En effet le produit matriciel CG grad est gal a XWB BW f qui d apr s 11 doit s annuler si l algorithme a converg Si l on tient ce que la v rification se fasse par r gression artificielle la r gression de grad sur CG peut servir Parmi les autres variables cr es ou mises jour par gmmweight les scalaires nobs nreg ninst et niter ont leurs sens habituels c est a dire respective ment n k l et le nombre d it rations Les vecteurs k x 1 coef stderr et student contiennent B et les carts type et Students associ s aux com posantes de celui ci en utilisant la matrice de covariance vcov qui n est pas forc ment la bonne Si on pr f re HCCME il faudra effectuer un calcul explicite des carts type et des Students Le n vecteur res est l analogue du vecteur de r sidus c est dire f f y 3 Le
100. iser des boucles pour g n rer des s ries de mani re r cursive L exemple le plus simple est une s rie AR 1 c est dire une s rie qui constitue un processus autor gressif l ordre 1 Ce genre de processus est trait dans la section 6 4 de Man2 L quation d finissante d une s rie AR 1 y est Yt PYt 1 Ut o uz est un bruit blanc et p est un param tre dont la valeur absolue est inf rieure a 1 Consid rez le fichier argen ect On y trouve quatre manieres de g n rer une s rie AR 1 La premi re est celle propos e dans Man2 57 58 Aide a la Simulation set N 1000 set NREP 100 set rho 0 5 sample 1 N gen u random set i 0 while i lt NREP set i iti gen t time 1 gen rhot rho t gen y conv rhot u end Ce bout de programme sert cr er une s rie AR 1 de 1 000 observations avec p 0 5 La boucle qui fait la m me chose 100 fois n a d autre but que de mesurer le temps de calcul Sur un Pentium 166 l ex cution de cette boucle prend 5 secondes environ avec la version 3 contre plus de 15 secondes avec la version 2 On voit clairement l acc l ration due au fait que la boucle n est lue qu une seule fois La m thode que nous venons d utiliser n est pas compl tement transparente gr ce l emploi de la fonction conv Une m thode plus na ve se servirait d une boucle explicite plut t que de cette fonction set NREP 20 set i 0 while i
101. itement pos yo y_1 y 2 0 En revanche en faisant sample 1 20 gen y 0 set y 1 3 set y 2 4 set y 3 5 lagpoly 1 0 2 0 3 0 1 gen u polylag y sample 4 20 gen u random sample 1 20 invertlagpoly 1 0 2 0 3 0 1 gen y polylag u on sp cifie explicitement les trois premiers l ments de y et le processus de g n ration al atoire ne commence qu partir du quatri me l ment En sp cifiant les trois premi res composantes de y on d finit implicitement les trois premi res composantes de u Pour expliciter cette d finition implicite il suffit d utiliser une commande lagpoly et ensuite de g n rer u en fonction de y Apr s on met dans u des l ments ale toires partir de la quatri me composante On peut v rifier le bon fonctionnement du programme par les commandes gen uu y 0 2 lag 1 y 0 3 lag 2 y 0 1 lag 3 y print u uu On constatera que les vecteurs u et uu sont identiques Ects version 4 Processus ARMAX et VAR 63 EXERCICES Servez vous de l quation 14 pour l valuation directe de l inverse du polyn me A L aux coefficients 1 0 2 0 3 0 1 Au besoin Ects peut vous aider faire les multiplications de polyn mes Le polyn me invers peut tre repr sent par une s rie de 20 l ments qui seront les 20 premiers coefficients Notons cette s rie r D montrez que la commande gen y conv r u g n re la m me s rie y que celle obtenue par
102. l de la toute premi re importance dans beaucoup de disciplines dont l conom trie n est pas la moindre Le chapitre 6 de Man2 est consacr aux exp riences Monte Carlo qui sont bien entendu bas es sur les m thodes de simulation Dans ce chapitre je fais tat des nombreuses fonctionnalit s nouvelles de la version 3 d Ects qui peuvent aider la mise en uvre de simulations de toutes sortes La quasi totalit des simulations font appel une boucle qui sert faire un grand nombre de fois une suite d op rations avec des r alisations diff rentes des l ments al atoires des op rations chaque fois Le mode d op ration d Ects est de lire chaque ligne du fichier de commandes et ensuite d ex cuter la commande trouv e sur cette ligne Avec un tel mode d op ration l ex cu tion des boucles est fatalement beaucoup plus lente que si on crivait un programme directement en C ou tout autre langage de programmation ap propri Dans les versions ant rieures du logiciel les commandes d une boucle sont lues et relues pour chaque it ration de la boucle d multipliant ainsi les lenteurs intrins ques entra n es par la boucle Les boucles de la version 3 sont d j beaucoup plus rapides parce que maintenant les commandes ne sont lues qu une seule fois Mais malgr cette am lioration il reste que les boucles donnent lieu des lenteurs M me en dehors du contexte des simulations il faut parfois util
103. l y a trois param tres inconnus a 3 et o la variance des al as Afin de sp cifier le PGD bootstrap il faut affecter des valeurs pr cises ces param tres La solution la plus simple et la plus efficace est d utiliser les estimations des param tres sous l hypoth se nulle Un autre aspect que l hypoth se nulle ne pr cise pas compl tement est la loi de probabilit suivie par les al as On r soudra ce dernier probl me de deux mani res totalement diff rentes mais qui conduisent des r sultats tr s similaires La premi re approche est de faire l hypoth se que les al as sont g n r s par la loi normale La seconde est de pratiquer un r chantillonnage des r sidus de l estimation de l hypoth se nulle La premi re approche constitue le bootstrap param trique la seconde le bootstrap non param trique ou semi param trique Le bootstrap param trique On jette un coup d oeil d abord sur le bootstrap param trique dont la mise en uvre est un peu plus facile Le PGD bootstrap peut s crire de la mani re suivante 7 7 y t Bai 1 B x2 60 v N 0 1 Encore une fois les toiles signifient des grandeurs simul es Les explicatives 1 et 2 suppos es exog nes sont les m mes pour chaque simulation Il est clair que ce PGD v rifie hypoth se nulle Dans la suite de gv ect on trouve set B 999 sample 1 B gen tt gen nRR2 I Ects version 4 78 Aide a la Simulation
104. la commande polylag La g n ration d une s rie ARMA p q peut se faire en deux tapes D abord on construit la partie MA c est dire la s rie B L u Soient b1 bq les coefficients du polyn me B L Apr s avoir cr la partie MA on obtient la s rie ARMA en appliquant l inverse du polyn me A L la s rie MA Soient ai ap les coefficients de A L On a donc gen u random lagpoly 1 bi bq gen u polylag u invertlagpoly 1 al ap gen u polylag u Alternativement on peut g n rer la partie MA directement sans faire appel la commande lagpoly On aurait gen u u bixlag 1 u bp lag p u la place de la commande lagpoly et la commande gen qui la suit imm diate ment Bien entendu on peut g n rer une simple s rie AR 1 au moyen de la com mande invertlagpoly la fin du fichier argen ect on trouve les deux commandes invertlagpoly 1 rho gen y polylag u La premi re mise en uvre de la fonction invertlagpoly a t excessivement inefficace de sorte que le temps de calcul du programme ci dessus tait tr s long 15 secondes environ Maintenant la m thode qui se sert de invert lagpoly est presque aussi rapide que celle qui se sert de la fonction conv 3 Processus ARMAX et VAR En conom trie il est rare qu un mod le univari m ait que les retards de la variable d pendante comme explicatives Un cas de figure plus courant est 7 Un mod le est dit u
105. la m me valeur est affect e tous les l ments d un vecteur colonne qui sont compris dans cet chantillon Sous mat on obtient une valeur scalaire qui est le maximum ou le minimum de l ensemble des l ments de l argument Dans certains cas on souhaite s lectionner des lignes ou des colonnes d une matrice donn e Trois fonctions existent cette fin rowselect colselect et select Toutes les trois sont disponibles uniquement sous mat Soit une matrice n x m Alors le r sultat de la commande mat B rowselect r A est une matrice B de la forme k x m o k est le nombre d l ments non nuls de la premi re colonne de r Les k lignes de B sont pr cis ment celles qui corre spondent une ligne de r dont le premier l ment est non nul Dans l exemple suivant on extrait d une matrice X de la forme 100 x 4 contenant des donn es trimestrielles une observation par ligne les observations qui correspondent la premi re saison sample 1 100 read ols dat xi x2 x3 x4 mat A colcat x1 x2 x3 x4 gen r seasonal 4 1 mat B rowselect r A La matrice B a exactement 25 lignes qui sont les lignes 1 5 9 97 de A Sion s lectionne des lignes apr s la ligne n de la matrice A la ligne correspondante dans B sera cr e avec des l ments nuls La s lection des colonnes se fait de mani re similaire mais avec une syntaxe qui est en quelque sorte la transpos e de celle employ e par rowselect La c
106. la suite je donne les calculs pr cis mais uniquement pour ceux et celles qui souhaitent comprendre son fonctionnement qui n est pas tout fait vident De la d finition 19 pour le cas o p 1 on voit que D 2 hi a qui ha av En r solvant r cursivement on trouve que 2 ha yhavi hg a aryus yvsuzhi ha a ayu aguz V ususvi ha Pour t gt 2 soit x yu Pour t 1 x yv h1 a On trouve alors que pour t gt 1 t 1 s 1 T ED I s 1u 0 On peut simplifier cette expression si on adopte la regle selon laquelle tout produit qui n a aucun facteur est gal 1 On obtient ainsi pour t gt 1 t 1 t 1 hsg J I iy s 0 u t s qui apres quelques manipulations alg briques s crit galement comme TI 1 tosol y hy amp i Tu s 1 LI Tu Dans le programme Ects la s rie x correspond a x Il en d coule que la s rie tmp repr sente IL Tu au sens o l l ment t de tmp est gal ce produit le premier l ment tant simplement gal 1 Il est important que le premier l ment de la s rie b qui est la s rie x retard e soit gal 1 afin d viter les divisions par z ro qui se produiraient si on gardait la valeur par d faut 0 La s rie tmp une fois d finie on voit que l l ment t de sum tmp est t t s 1 1 gt tmp I ay s 1 s lu 1 4 Maintenant on voit sans trop de peine que alpha sum tmp tmp repr
107. lation des r sidus y x B cette condition est v rifi e par la fonction 8 Il arrive souvent dans la pratique que les moments soient d finis en termes d un vecteur f y B fonction des donn es y et des param tres 3 dont la dimension est la taille de l chantillon Dans le cas pr sent ce vecteur est simplement le vecteur des r sidus y x B Les moments sont construits comme les produits scalaires de ce vecteur et de variables qu on appelle assez g n ralement des variables instrumentales Il est clair que pour le cas de l estimation d un mod le de r gression par variables instrumentales les colonnes de la matrice W sont les instruments non seulement dans la terminologie usuelle mais aussi dans la terminologie sp cialis e de la GMM On peut d montrer voir DM chapitre 17 que si on d finit les moments comme W f y B alors avec n importe quelle matrice de pond ration d finie positive de la forme x l la minimisation de la fonction crit re f y B WAW f y B 9 conduit une estimation convergente mais en g n ral non efficace des para m tres du mod le Pour utiliser la commande gmmweight il faut sp cifier les trois ingr dients de la structure qu on vient de d crire savoir le vecteur f les instru ments W et la matrice de pond ration A En anglais weight signifie Ects version 4 La M thode des Moments G n ralis e 45 poids ou pond ration Les commandes sui
108. le d pendante d un mod le de r gression La moyenne se calcule sans peine mais sa valeur est maintenant disponible sans calcul explicite dans la variable ybar Cette nouvelle variable est aussi disponible apr s l ex cution des commandes ols et iv Si lon se sert de ces commandes pour effectuer des estimations Ects version 4 28 Les Estimations Non lin aires lin aires multivari es avec plus d une variable d pendante la variable ybar devient un vecteur ligne avec un l ment pour chaque variable d pendante Une derni re remarque sur les variables mises jour par nls Pour des raisons qui rel vent plus de l histoire de l conom trie que du bon sens il est de coutume d afficher un R non seulement pour les r gressions lin aires mais aussi pour les r gressions non lin aires Ects s incline devant les v ux de Vhistoire et la valeur affich e et disponible dans la variable R2 est gale a sse ssetssr ou sse est la somme des carr s expliqu es et ssr la somme des carr s des r sidus Une cons quence de cette d finition est que 0 lt R lt 1 Il est rappel que l quation sse ssr sst o sst est la somme des carr s totaux n est pas v rifi e par les mod les non lin aires 3 Estimation Non Lin aire par Variables Instrumentales Il est n cessaire de recourir aux variables instrumentales chaque fois que les explicatives d un mod le sont d termin es simultan ment avec la variable
109. le entre y fit et y res la fin de la com mande on aura un seul graphique la place de deux et dans ce graphique la variable y sera trac e deux fois Si l on met des virgules l int rieur d un en semble de variables entre parenth ses les cons quences sont impr visibles et en toute vraisemblance diff rentes de celles auxquelles vous vous attendiez M me si on peut se passer de la virgule apr s la fermeture d une parenth se elle reste obligatoire avant l ouverture d une parenth se Si on l oublie en faisant par exemple plot y fit res y fit Ects version 4 Les Graphiques 11 rem ERREUR Ects sera perturb par la non existence de la variable y Jusqwici tous les arguments qu on a soumis plot sont des vecteurs repr sentant chacun une seule variable On peut galement avoir comme arguments des matrices plus d une colonne Par exemple si on fait gen yfr colcat y fit res plot yfr plot yfr Veffet est identique celui de plot y fit res plot y fit res sauf pour les noms des variables affich s par gnuplot la place des noms explicites y fit res on aura le nom de la matrice suivi de l indice de la colonne yfr1 yfr2 yfr3 On peut faire plot yfr yfr pour viter une interruption entre l affichage des deux graphiques La r gle est simplement que tout argument matrice est d compos en colonnes avant d tre trait par gnuplot EXERCICES Re
110. linestyle 7 8 79 1t 36 Index Ects maxintiter 22 24 maxiter 26 27 ninst 32 47 niter 32 36 43 47 nobs 32 36 47 noquestions 27 nreg 32 36 43 47 numdigits 95 97 pir 92 PI 8 precision 95 97 99 PwX 32 R2 28 76 R2c 76 res 6 19 27 30 31 47 65 66 retcode 104 savegnu 12 seed 84 115 showint 21 24 showprogress 26 30 37 39 smplend 42 44 62 71 92 smplstart 42 44 70 92 sse 31 76 ssr 19 31 47 sst 31 76 stderr 31 36 47 student 31 36 47 tabskips 99 100 TOL 95 97 tcov 31 46 47 XtPwXinv 31 XtWAWtXinv 46 47 XtXinv 41 ybar 27 28 31 Ects version 4
111. longue que l ancienne documentation pr vue pour la version 2 Il me semble que la raison en est que dans le courant des six derni res ann es le nombre de fonctionnalit s nouvelles greff es sur le logiciel de 1993 est plus important que le nombre total de fonctionnalit s de la version ant rieure Je ne peux pas terminer mon r cit sans remercier les nombreux tudiant e s qui m ont propos les modifications qui voient le jour dans la version 3 3 Deux d entre eux m ritent une mention explicite pour l attention soutenue qu ils ont port e au d veloppement et m me la programmation du logiciel Que Emmanuel Flachaire et St phane Luchini trouvent ici le t moignage de ma reconnaissance Et maintenant cher lecteur ch re lectrice il ne me reste qu vous souhaiter bonne utilisation du logiciel et de vous inciter me communiquer toute diffi cult que vous prouveriez dans son fonctionnement Mes coordonn es email russell ehess vcharite univ mrs fr en France Russell Davidson mcgill ca au Canada Ects version 4 106 Autres Aspects Nouveaux Notez s il vous pla t que adresse canadienne n est plus la m me que celle que vous trouverez dans Man2 Note de la version 4 Et l adresse fran aise a aussi chang Ects version 4 Bibliographie Abramowitz M et I A Stegun 1964 Handbook of Mathematical Functions National Bureau of Standards Washington Davidson R et J G MacKinnon 1993
112. lt NREP set i itl set j 1 set y 1 u 1 while j lt N set j j 1 set y j rho y j 1 u j end end Ici on n a refait la g n ration de la s rie que 20 fois mais le temps de calcul est d j proche de 30 secondes Par rapport la premi re m thode le calcul est presque 30 fois plus long EXERCICES V rifiez que les deux m thodes g n rent exactement la m me s rie Pour viter une attente trop longue il est conseill de faire set NREP 1 avant de lancer le programme On n a pas toujours la possibilit de trouver une astuce comme celle qu on exploite dans la premi re m thode pour faire une simulation r cursive Ce qu on aimerait faire est crire une commande comme gen y rho lag 1 y u Ects version 4 Processus ARMA 59 Mais l op ration de cette commande n est pas r cursive Si la variable y existe avant que la commande ne soit lanc e elle est d abord retard e par la fonction lag Le r sultat est ensuite multipli par rho et rajout u Sinon il y a tout simplement erreur de syntaxe Dans l un comme dans l autre cas on n a pas d op ration r cursive Le r sultat souhait peut tre obtenu si la commande est ex cut e l int rieur d une commande recursion Dans le cas le plus simple on ferait set NREP 100 set i 0 while i lt NREP set i itl recursion gen yy rhotlag 1 yy u end end Le temps de calcul est maintenent d environ 80 secondes
113. lus besoin de la bibliotheque de M Plauger 3 Note de la version 4 Ceci est le cas de la version 4 Ects version 4 Chapitre Premier Fonctionnalit s Nouvelles Dans ce premier chapitre nous verrons comment utiliser quelques unes des fonctionnalit s propres a la version 3 d Ects Quoique les estimations non lin aires ne soient trait es qu au Chapitre 2 on parlera ici d un nouvel outil qui facilite largement la mise en uvre de ces estimations savoir la diff rentiation automatique Parmi les erreurs commises en crivant des programmes Ects les plus fr quentes taient sans aucun doute les erreurs dans la sp cification des d riv es des fonctions Or pour lancer les comman des d estimation non lin aire nls ml et gmm il est n cessaire de pr ciser les d riv es d une fonction de r gression ou d une fonction de logvraisemblance ou de toute autre fonction objectif par rapport aux param tres qu on cherche estimer Maintenant on peut d l guer cette t che Ects La plupart des logiciels d conom trie disponibles dans le commerce se van tent de leurs capacit s en mati re de graphisme Jusqu ici Ects tait compl tement d faillant cet gard Malgr les demandes fr quentes et insis tantes de la part des tudiants j ai longtemps h sit sur la meilleure mani re de r aliser une interface graphique pour Ects L une des difficult s tait sim plement qu il y a trop de poss
114. macro n tait pas d finie et si sa place on mettait alpha beta x1 1 beta x2 Il est clair qu une macro est beaucoup plus pratique du moment que la fonction de r gression est un peu compliqu e Avant la version 3 il tait obligatoire que les param tres ici alpha et beta soient d finis par des commandes set par exemple avant de lancer la com mande nls La raison en tait qu il fallait aussi affecter chacun des para m tres une valeur de d part Il est maintenant admissible de se passer de Vinitialisation des param tres auquel cas leurs valeurs de d part seront nulles Ceci s applique galement toutes les estimations non lin aires non seulement aux estimations nls Il est maintenant possible de suivre le d roulement du processus de minimi sation ou maximisation de la fonction crit re d une estimation non lin aire Si la valeur de la variable showprogress est diff rente de z ro la valeur de la fonction crit re est affich e l cran la fin de chaque it ration de la boucle qui met en uvre l optimisation de cette fonction xo ok k Plus pr cis ment la valeur est crite sur le fichier d annonce Dans la plupart des cas ceci revient l cran voir le Chapitre 5 de Man2 Une redirection de ce qu on appelle le standard error d Ects permettrait de faire autrement Si cette phrase ne vous dit rien ne vous inqui tez pas Elle n est destin e qu aux friands de l informat
115. male un r chantillonnage tire les al as de la loi caract ris e par la fonction de r partition empirique des r sidus On dit r chantillonnage parce que chaque al a bootstrap est gal un des r sidus de l estimation d origine Ce qui change est que l ordre des r sidus n est plus respect et un m me r sidu peut tre tir z ro une ou plusieurs fois Afin que chaque al a bootstrap soit Ects version 4 82 Aide a la Simulation un tirage de la m me loi empirique le tirage se fait avec remise On entend par la que si le tirage se faisait en tirant un morceau de papier d une urne il faudrait remettre le morceau apr s chaque tirage Notons la r partition empirique des r sidus donn s par l estimation de la r gression 20 Alors le PGD du bootstrap non param trique s crit comme g g y Ga 1 6 o u u F a La pratique moderne pr f re ce PGD bootstrap classique une version am lior e o les r sidus sont multipli s par n n k 10 7 avant de faire Vobjet du r chantillonnage La raison en est que la variance de la loi em pirique des r sidus ainsi modifi s est gale 6 SSR n k l estimateur sans biais de la variance al atoire Le bootstrap non param trique par r chantillonnage s effectue au moyen des commandes suivantes trouv es dans gv ect gen us res sqrt n n 3 while i lt B set i iti gen ys rfn us random 0 9 n
116. mation par mlar on constatera que les r sultats sont par faitement quivalents ceux donn s par mlhess Ceci n est pas un accident mais plut t la cons quence d une propri t tr s sp cifique de la BRMR ap pliqu e au mod le logit EXERCICES Soit R G la matrice des r gresseurs de la BRMR pour le mod le logit D montrez que R 8 R B est gale au signe pr s a la hessienne de la log vraisemblance Pourquoi ce fait explique t il l quivalence des r sultats de mlhess et mlar La v rification des conditions du premier ordre se fait un peu diff remment apr s l ex cution d une commande mlar En effet les param tres estim s et les Students de la r gression artificielle elle m me doivent s annuler apr s la convergence de la proc dure Voici les l ments qu il faut gen r y F arden ols r CG La r gression artificielle s effectue par la commande ols r CG parce que la matrice CG suite une commande mlar n est plus la matrice CG mais plut t la matrice des r gresseurs de la r gression artificielle valu s en 6 EXERCICES Utilisez la commande mlar pour estimer un mod le de r gression non lin aire par la GNR On peut essayer celui qu on a consid r dans la section 2 de ce chapitre Pour la fonction crit re on utilisera moins le carr du r sidu pourquoi 5 La M thode des Moments G n ralis e La m thode de moments g n ralis e GMM consid r e lors de la r dact
117. me du binomial permet d obtenir l expression explicite de A L AL a 14 k 0 Dans cette criture il est entendu que a L 1 Il est donc possible d valuer explicitement le membre de droite de 14 afin d obtenir un r sultat de la forme AL 1 Don 15 La somme apparemment infinie dans cette expression ne l est pas dans la pratique parce que pour i gt n n tant la taille de l chantillon Liy 0 pour tout t 1 n et pour tout vecteur y Le calcul du membre de droite de 15 n est qu un probl me d alg bre simple que l on peut r soudre de plusieurs mani res Ects version 4 62 Aide a la Simulation Pour l utilisateur d Ects la mani re la plus simple est de confier la t che Ects m me Pour ce faire on utilise la commande invertlagpoly La syntaxe est identique celle reconnue par lagpoly En faisant invertlagpoly 1 0 2 0 3 0 1 on met en m moire l inverse du polyn me A L 1 0 2L 0 3L 0 1L Bien entendu la somme infinie qui figure dans l quation 15 est tronqu e apr s les smplend premiers termes Si par la suite on fait gen y polylag u la s rie y v rifie l autor gression Ut U 2Yt 1 0 3Yt 2 r 0 lyt 3 Ut Pour d marrer une telle autor gression il faut les valeurs des trois premiers l ments du vecteur y Si on fait sample 1 20 invertlagpoly 1 0 2 0 3 0 1 gen u random gen y polylag u on a implic
118. mmande gen C AC eapn ezpn la variable C sera un vecteur colonne dont l l ment i est l l ment A n mi o n et m sont respectivement les indices calcul s partir des l ments des premi res colonnes des matrices obtenues par l valuation de ezpn et expno k k k k A chaque fois que l on demande un l ment inexistant au moyen d un indice nul ou n gatif par exemple les l ments de la ligne correspondante du r sultat sont nuls La syntaxe d crite dans les deux paragraphes ci dessus n est pas comprise par les versions pr c dentes d Ects kok k Ok Quand l expression random 0 9 n 0 9 est valu e le r sultat est un vecteur dont chaque l ment est un tirage de la loi uniforme sur l intervalle qui s tend de 0 9 n 0 9 On voit que toute r alisation de la loi uniforme comprise dans le segment 0 9 1 9 donne lieu un indice gal 1 que toute r alisation dans 1 9 2 9 donne un indice gal 2 et ainsi de suite Le dernier segment a 1 0 9 n 0 9 donne un indice gal an La loi uniforme affecte chacun des segments de longueur 1 la m me probabilit gale 1 n Il s en suit que la probabilit que chacun des indices 1 2 n soit s lectionn est gale 1 n Ce fait en combinaison avec la mani re dont la commande gen interpr te les indices signifie que chaque l ment de us random 0 9 n 0 9 est un tirage ind pendant de tous les autr
119. mp gnuplot 4 using 1 3 title fit pause 1 set xrange 1 100 set xlabel observation plot tmp gnuplot 5 using 1 2 title y tmp gnuplot 5 using 1 3 title res pause 1 Ects version 4 14 Fonctionnalit s Nouvelles Ici le seul l ment a noter est que les graphiques successifs se servent de fichiers de donn es diff rents M me si les variables trac es dans ces graphiques sont les m mes que celles du premier graphique Ects cr e de nouveaux fichiers Voyons maintenant les commandes gnuplot qui g n rent les autres graphi ques ceux ou on a autre chose que la variable observation en abscisse set autoscale set xlabel y plot tmp gnuplot 1 using 1 2 title fit pause 1 set autoscale set xlabel y plot tmp gnuplot 2 using 1 2 title res pause 1 set autoscale set xlabel y plot tmp gnuplot 3 using 1 2 title res tmp gnuplot 3 using 1 3 title fit pause 1 La commande set autoscale demande gnuplot de d terminer lui m me les valeurs extr mes des variables Elle se substitue donc la commande set xrange des graphiques pr c dents Le xlabel n est plus observation mais plut t y parce que y est la variable en abscisse Afin de g n rer les fichiers gnuplot 1 2 3 directement il faut une manipu lation suppl mentaire qui n est pas n cessaire quand la variable en abscisse est observation On sait que chaque ligne d un fichier
120. n constate quelques diff rences par rapport au tableau de la page 47 de Man2 Certaines sont dues simplement la division par 100 des variables Les autres sont d une importance mineure elles rel vent de la nature approximative de la hessienne de Q Il y a relativement peu de variables cr es ou mises jour par gmm Comme d habitude les param tres estim s se trouvent dans la variable coef nreg contient le nombre de param tres estim s niter le nombre d it rations et crit la valeur minimis e de la fonction crit re L inverse de la hessienne approximative de la fonction crit re se trouve dans invhess et le gradient dans grad Cette derni re variable est l afin de permettre la v rification des conditions du premier ordre Normalement avec gmm on ne peut plus faire appel une r gression artificielle simple Mais le gradient doit tre nul si les conditions sont respect es Vu que l estimation non lin aire n est jamais exacte il faut normalement se contenter d une nullit approximative Ici encore on peut se servir de la diff rentiation automatique On trouvera cette version de la commande dans gmm ect ainsi que l estimation par gmm du mod le soumis la contrainte non lin aire G2 1 61 La commande gmmhess a exactement la m me syntaxe que gmm Dans la suite de gmm ect on l utilise pour refaire l estimation du mod le non lin aire avec et sans diff rentiation automatique Avec gmmhess bien en
121. nde nliv La syntaxe est tr s similaire celle qu on utilise avec la commande nls Tout de suite apr s nliv on crit l quation lin aire ou non lin aire dont on souhaite estimer les param tres Sur la ligne suivante on met le mot instr suivi de la liste de variables utiliser comme instruments La seule diff rence par rapport ce qu on fait pour une estimation lin aire est que la liste des instruments figure sur une ligne a part plut t que dans une parenth se tout de suite apr s la liste des explicatives La suite de la commande suit les m mes r gles que la suite d une commande nls On donne les d riv es partielles de la fonction de r gression par rapport aux param tres estimer une ligne par d riv e Vu que la r gression est lin aire la diff rentiation automatique n est pas n cessaire parce que les d riv es sont simplement les explicatives EXERCICES Faites tourner les commandes Ects ci dessus et d montrez que les commandes iv et nliv donnent des r sultats identiques On passe ensuite une vraie estimation non lin aire En imposant la con trainte 62 1 61 le mod le devient yY Bot Bit1 t2 B1 U 1 La version Ects de ce mod le s crit comme set showprogress 1 gen W colcat c x1 w def fctreg bOxc bixxi x2 b1 nliv y fctreg instr W deriv bO deriv bi end ols res CG c diff fctreg b1 Plusieurs choses sont remarquer ici D abord comme c est
122. nde ml marcheraient avec la version 2 du logiciel set a 0 set bi set b2 set b3 ml lhd deriv a dldF dFdexe deriv bi dldF dFde e x1 deriv b2 dldF dFde e x2 Il O Ects version 4 Le Maximum de Vraisemblance 35 deriv b3 dldF dFde e x3 end ols iota CG La version 3 accepte les m mes commandes Toutefois il n est plus n cessaire d initialiser les param tres a b1 etc surtout si les valeurs de d part sont nulles comme c est le cas ici Mais une initialisation explicite ne fait aucun mal et dans certains cas affecter une valeur nulle un param tre peut tre dangereux kk k Ok La derni re commande ols iota CG est la v rification habituelle et n cessaire des conditions du premier ordre xok Ok Ok Le calcul analytique des d riv es par rapport aux param tres de la fonction de log vraisemblance de notre mod le n est pas d une difficult insurmontable La forme explicite de la fonction logistique permet une simplification Si nous notons F la fonction F X B et e la fonction exp X 3 on a OL _ OL OF de _ Ut F 1 0 OF e 0B F F 0 F e etX ti o X est la valeur de l explicative pour l observation t Or Ct 1 Ct F 1 F e 1 1l e 1l e 1 e si bien que Ol Xi y F3 DB ti ye Fi Les lignes deriv peuvent tre remplac es donc par deriv a y F deriv bi x1 y F deriv b2 x2 y F deriv b3 x3 y F Mai
123. nique d estimation tr s couramment utilis e en conom trie re pose sur l id e d une autor gression vectorielle ou VAR pour Vector Auto Regression Une VAR s crit comme suit p Y a SAM ET 16 i 1 o le vecteur Y est de la forme m x 1 ainsi que le vecteur constant a et le vecteur U des al as Les matrices A sont carr es de la forme m x m On pourrait rajouter un terme BX avec un vecteur X de la forme k x 1 constitu e d explicatives exog nes et une matrice de param tres B de la forme m x k mais ceci est plut t rare dans la pratique sauf si X ne contient que Ects version 4 Processus ARMAX et VAR 65 des variables purement d terministes telles des variables saisonni res ou des tendances temporelles L estimation des param tres d un mod le VAR est tr s simple parce qu elle peut tre effectu e par un simple OLS comme l illustre le fichier var ect On utilise les donn es du fichier ols dat soit 100 observations de 4 variables L estimation d un mod le VAR avec ces 4 variables et avec 3 retards p 3 est effectu e par les commandes suivantes sample 1 100 read ols dat yl y2 y3 y4 gen Y colcat yl y2 y3 y4 gen Y1 lag 1 Y gen Y2 lag 2 Y gen Y3 lag 3 Y ols Y c Y1 Y2 Y3 La commande ols accepte une matrice plusieurs colonnes comme variable d pendante ici la matrice Y dont les 4 colonnes sont les 4 variables du mod le Chacune des colonnes de Y est
124. nivari si la variable d pendante est un scalaire Les mod les o la variable d pendante est un vecteur se disent multivari s ou encore bivari s si le vecteur a deux composantes Ects version 4 64 Aide a la Simulation fourni par un mod le de la forme p q Y X B D PiYt i Ut D AgUt q o le vecteur ligne X contient des explicatives exog nes Ce mod le fait appel un processus ARMAX ou plus pr cis ment un ARMAX p q Le X correspond la notation X pour la matrice des explicatives exog nes Num riquement il n y a pas de raison de distinguer le terme exog ne X 3 des terms al atoires u La g n ration du processus peut se faire donc de la mani re suivante gen u random lagpoly 1 ai aq gen u polylag u gen Xu xi betal xk betak u invertlagpoly 1 rhol rho2 gen y polylag Xu Si p 0 le processus peut tre g n r directement sans l utilisation des commandes lagpoly et invertlagpoly Si p 1 on obtiendra un temps de calcul beaucoup plus court en utilisant conv gen u random gen u u al lag i u ag xlag q u gen Xu xi betal xk betak u gen t time 1 gen rhot rho t gen y conv rhot Xu EXERCICES G n rez un processus ARMAX p 0 selon la proc dure d crite ci dessus et v rifiez le bon fonctionnement de la proc dure en comparant le vecteur al atoire uz l expression yt piyt i Xt Une tech
125. nt la propri t d finissante s crit comme Ly y 1 De m me Liy y On v rifie ais ment que 12 et 13 sont deux formulations quivalentes Le processus AR p est une sp cialisation du processus ARMA p q avec q 0 L quation d finissante est donc A L y uz Pareillement le pro cessus MA q est un ARMA avec p 0 d fini par l quation y B L uw Simuler un MA q ne pr sente aucune difficult parce qu aucune r cursion n est n cessaire Il suffit de faire gen u random gen y u al lag i u ag xlag q u Il existe un autre moyen plus compliqu de faire la m me chose On le d crit ici non pas parce qu il est pr f rable dans le cas que nous traitons mais parce que dans d autres cas il permet de faire des choses int ressantes Le programme suivant dans lequel on g n re un processus MA 3 a partir d un bruit blanc u variance 1 illustre les deux approches sample 1 20 set ai 0 2 set a2 0 3 set a3 0 1 gen u random gen y u alxlag l u a2 lag 2 u a3 lag 3 u lagpoly 1 ai a2 a3 gen yy polylag u La deuxi me approche fait appel la commande lagpoly Le nom de la commande s inspire de polyn me en l op rateur retard o retard lag Le polyn me B L du processus MA 3 est ici B L 1 a1L a2L a3L La commande lagpoly 1 ai a2 a3 met en m moire pr cis ment ce polyn me kok k Ok Il y a un petit danger dans la form
126. oindres carr s c est dire la somme des carr s des r sidus L expression diff critere b1 donne lieu une repr sentation de la d riv e de la fonction crit re par rapport l un des param tres b1 Si on explicitait cette repr sentation on aurait quelque chose comme x1 y a c b1 x1 b2 x2 b3 x3 y a c b1 x1 b2 x2 b3 x3 xx1 Si cette expression est valu e par une commande mat le r sultat est une matrice 1 x 1 c est dire un scalaire La valeur du scalaire devrait tre z ro gr ce aux conditions du premier ordre de la minimisation Si on ex cute le programme ci dessus on verra que en effet db1 gale 0 Une remarque s impose Dans la d finition de la macro residu on fait appel explicitement au vecteur constant c Sous gen on aurait pu crire simplement y a bixx1 b2 x2 b3 x3 sans le vecteur c Mais sous mat il y aurait une incoh rence due au m lange des vecteurs avec le scalaire a Dans le processus de diff rentiation automa tique la d riv e de a par rapport a est 1 un scalaire mais la d riv e de a c est c un vecteur conform ment aux r gles du calcul matriciel EXERCICES Ex cutez le programme ci dessus afin de v rifier que db1 0 Evaluez la macro residu par une commande gen et v rifiez que le r sultat est identique au vecteur res cr par la commande ols V rifiez aussi que ce r sultat est inchang si la macro residu est valu e par mat Ensuite ch
127. oins a la pr cision du r sultat affich La premi re ligne du fichier integral ect n a pas d effet parce qu elle commence par le caract re Si on enl ve ce caract re on verra que les valeurs calcul es par les it rations successives s affichent l cran Ceci est la cons quence de la valeur non nulle de la variable showint EXERCICES Jouez avec les valeurs de maxintiter et INTTOL jusqu a ce que la r ponse ne soit plus la bonne Vous pouvez faciliter la tache en regardant les valeurs interm diaires affich es si la variable showint est diff rente de z ro Ects version 4 Chapitre 2 Les Estimations Non lin aires 1 Introduction La version 3 d Ects offre un plus grand choix de proc dures d estimation non lin aire que son pr d cesseur qui n avait que trois commandes permettant d effectuer une telle estimation nls ml et gmm Ces trois commandes existent toujours mais elles sont compl t es par six nouvelles commandes qui tendent les possibilit s d estimation non lin aire et a facilitent des proc dures dont la mise en ceuvre tait auparavant un peu difficile 2 Moindres Carr s Non lin aires La commande nls n a chang e que tr s peu depuis la version 2 du logiciel La principale diff rence du point de vue de l utilisateur est la possibilit de se servir de la diff rentiation automatique vitant ainsi les erreurs parfois trop fr quentes dans la formulation des d riv
128. oins que le nombre n cessaire la convergence des algorithmes employ s par gmm et gmmhess Minimising a Quadratic Form Number of iterations 7 Parameter Parameter estimate Standard error T statistic bO 0 014659 0 069393 0 211248 b1 0 328674 0 014647 22 439041 Number of observations 50 Number of estimated parameters 2 Number of instruments 3 Sum of squared residuals 4 316909 Estimate of residual variance with d f correction 0 089936 Mean of squared residuals 0 086338 Standard error of regression 0 299893 Minimised value of criterion function 0 156803 Estimated covariance matrix 0 004815 0 000805 0 000805 0 000215 Ects version 4 46 Les Estimations Non lin aires Heteroskedasticity Consistent Estimate Note Estimate above valid only with efficient weightmatrix 0 006719 0 001158 0 001158 0 000262 On a remarqu que l estimation par GMM est efficace si la matrice de pond ration est proportionnelle l inverse de la matrice de covariance des moments Sinon la premiere des deux matrices de covariance estim es n est plus correcte Cette matrice disponible sous le nom de vcov est donn e par Vexpression matricielle suivante CV 6 X WAW X o 1 n k f y 8 f y 6 et X X X tant la matrice des d riv es partielles des composantes de f par rapport aux k composantes de 8 La valeur de 6 est sauv e dans la variable errvar Il n est pas trop diffi
129. oit Pour que les colonnes d un tableau soient correctement align es il faut mettre des nombres variables d espaces blancs dans certaines lignes Ces espaces blancs seront ins r s la o on met de la colle Si une case contient plus d une goutte de colle les espaces blancs seront r partis entre les plusieurs gouttes de mani re aussi quitable que possible Le mod le de notre programme s interpr te donc comme suit Chaque ligne du tableau comportera quatre colonnes La premi re termin e par le pre mier amp commencera par le nombre d espaces blancs qu il faut pour que la fin du vrai contenu de la colonne le premier soit align e avec les fins des premi res colonnes des autres lignes du tableau La deuxi me colonne com mencera dans tous les cas par deux espaces blancs le hskip2 qui suit le premier amp ventuellement suivis d autres espaces n cessaires l alignement et en dernier lieu le vrai contenu texte ou chiffre de la colonne Les deux derni res colonnes sont identiques la deuxi me Les lignes qui suivent le mod le repr sentent les lignes du tableau Le format de ces repr sentations est le m me que celui du mod le la diff rence pr s qu il faut maintenant mettre le vrai contenu des cases du tableau Tout ce qui est texte apparait textuellement tout ce qui est chiffre est not et sera remplac par le prochain l ment de alignnums On voit qu il est admissible d incorpore
130. ommande mat B colselect A col o A a la forme m xn cr e une matrice B de la forme m x k les k colonnes de B tant les colonnes de A correspondant un l ment non nul de la premi re ligne de col Voici un exemple o on s lectionne la premi re colonne d une matrice et la derni re sample 1 6 gen a time 0 mat a a gen col seasonal 5 mat col col mat B colselect A col Cet exemple n a pas d interpr tation conom trique Il sert uniquement il lustrer quelques propri t s d Ects On cr e d abord une matrice A de la forme 6x6 dont on souhaite extraire les colonnes 1 et 6 Afin d effectuer la s lection Ects version 4 Autres Fonctions 89 on fait appel a une utilisation nouvelle de la fonction seasonal Dans la ver sion 3 3 d Ects cette fonction est surcharg e L utilisation habituelle se voit dans l exemple de s lection de lignes Le vecteur seasonal 4 1 est la vari able saisonni re qui s lectionne la premi re de 4 saisons Mais si on ne donne qu un seul argument la fonction gen S seasonal m on cr e une matrice de la forme smplend x m dont les m colonnes sont les variables saisonni res avec une p riodicit de m Ici si on fait show col on verra on n imprime que 4 chiffres par l ment col 1 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 1 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 1 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 1 000 0 000 0 000 0 000 0 000 0
131. onse deviendra de plus en plus rare et les messages d aide de plus en plus fr quents kk Ok Ok Un site Web a t cr grace aux efforts de Christian Raguet o le syst me d aide est bien mieux d velopp Il se trouve en ce moment Ects version 4 102 Autres Aspects Nouveaux http russell cnrs mrs fr pub ects3 aide mais il pourra tre d plac dans un avenir proche EN Dans la section 1 1 on a mentionn les versions francis es des fichiers ex cutables En effet c est la version fran aise de ectshelp qui a produit les messages reproduits ci dessus On verra dans la section suivante com ment les versions fran aises ont t cr es et comment cr er une version italienne par exemple ou allemande Une version arabe en revanche qui utiliserait un alphabet tout a fait diff rent devra attendre la finalisation de Vinternationalisation du C lui m me 5 Internationalisation du Logiciel Le statut linguistique d Ects est paradoxal depuis la cr ation de sa toute premi re version en 1991 La documentation est r dig e en francais mais le logiciel lui m me ne parle qu en anglais Le paradoxe s explique par des raisons p dagogiques Il fallait absolument que la documentation soit en fran ais pour que les tudiants marseillais qui elle tait destin e puissent s en servir En m me temps un logiciel qui ne parlait qu anglais comme la quasi totalit des autres logiciels d conom
132. prenez les donn es du fichier ols dat et programmez une boucle qui permet de faire estimation ols y c x1 x2 x3 pour tous les chantillons d finis par sample in pour n 10 100 Au f r et mesure sauvez les estimations param triques et les estimations 6 dans cinq variables a b1 b2 b3 et s2 Ensuite cr ez un graphique dans lequel vous tracez l volution des estimations en fonction de la taille de l chantillon n 10 100 Impression de graphiques Les fonctionnalit s graphiques d Ects ont t con ues surtout pour l affichage l cran de l ordinateur Si on souhaite imprimer des graphiques c est plut t gnuplot qui s en occupe Selon le syst me d exploitation il est plus ou moins facile de fournir gnuplot les informations n cessaires Lors de l ex cution d une commande plot Ects cr e des fichiers qu il met dans le r pertoire tmp Le premier de ces fichiers est un fichier de commandes destin a gnuplot Ce fichier porte le nom de gnuplot gnu Ensuite selon le nombre de graphiques demand s il cr e des fichiers de donn es qui portent les noms gnuplot n pour n 0 1 m 1 o on note m le nombre de Ects version 4 12 Fonctionnalit s Nouvelles graphiques qu il faut Si on travaille sous un syst me d exploitation multi t che on peut lancer Ects et pendant l affichage l cran d un graphique aller dans le r pertoire tmp pour retrouver et sauvegard
133. product 72 73 Produit Kronecker 91 Produit Schur 90 91 Projet GNU 2 put 95 putnum 95 100 putspace 100 PwX 32 quit 51 R 28 76 77 centr 76 77 non centr 76 77 R2 28 76 R2c 76 Raguet Christian 101 random 8 66 69 82 84 read 93 95 readmatrix 93 95 README 4 5 recursion 59 70 71 R chantillonnage 74 77 81 83 R gressande d une r gression artificielle 40 R gresseur d une r gression artificielle 40 R gression artificielle 36 40 41 75 R gression artificielle BRMR 40 41 R gression de Gauss Newton GNR 27 74 78 rem 7 Repr sentation interne des expressions 21 55 56 res 6 19 27 30 31 47 65 66 restore 104 retcode 104 reverse 90 rowcat 87 rows 51 87 rowselect 88 R pertoire racine 5 tmp 5 11 13 I sample 42 51 70 savegnu 12 schur 91 seasonal 87 89 second 38 55 seed 84 Segmentation faute ou erreur 5 select 88 89 S ries temporelles ou chronologiques 59 74 Serveur DPMI iii set 7 18 20 21 26 50 53 55 61 71 84 87 88 95 setprecision 95 setseed 84 settexts 5 103 104 settexts exe 5 103 show 95 showall 55 56 showint 21 24 showlagpoly 65 68 showprogress 26 30 37 39 sign 85 silent 104 Simulation 57 84 r cursive 57 59 sin 21 85 sinh 85 Site Web 101 smallest 87 88 smplend 42 44 62 71 92 smplstart 42 44 70 92 sort 14 87 sqrt 85 sse 31 76 ssr 19 31 47 sst 31 76 Statisti
134. que de sur identification 32 stderr 31 36 47 stdnorm 85 Stroustrup Bjarne 1 studcrit 87 student 31 36 47 sum 72 87 Sur identification statistique de 32 svdcmp 105 SVGA 6 system 104 Syst me d aide 100 102 Syst me d exploitation 93 94 103 104 DOS 5 12 103 Linux 5 103 multi t che 12 Ects version 4 112 Unix 5 103 Windows 5 103 Tables internes 55 56 tabskips 99 100 tan 85 tanh 85 testplot ect 6 11 TEX 97 text 98 time 13 79 87 tmp 5 11 13 TOL 95 97 tstudent 86 Unit d arithm tique flottante 5 Unix iii 5 6 103 uptriang 68 69 87 Valeur bool ene 81 Valeur singuli re 105 VAR Autor gression vectorielle 64 69 var ect 65 69 Variable Ects version 4 Index G n ral binaire 32 33 dichotomique 32 33 qualitative 34 Variables instrumentales 28 32 44 veov 31 46 47 weightmatrix 45 Williams Thomas 3 Windows iii 5 6 100 103 write 93 95 writematrix 93 95 zii 6 X B 27 30 46 47 xlabel 12 14 xrange 12 XtPwXinv 31 XtWAWtXinv 46 47 XtXinv 41 y0 87 y1 87 ybar 27 28 31 Index Ects Commandes Ects 7 98 99 104 h 7 104 104 105 98 99 44 amp 98 99 answer 49 51 beep 101 cr 98 def 16 55 del 56 deriv 26 38 40 42 45 55 differentiate 20 21 55 emptymatrix 92 end 45 48 49 59 98 99 equation 54 55 expand 56 gen 18 19 34 41 51 52
135. r Variables Instrumentales 31 Voyons pr sent les r sultats de la commande nliv tels qu ils se trouvent dans le fichier de sortie Nonlinear Instrumental Variables Estimation Number of iterations 6 Parameter Parameter estimate Standard error T statistic bO 0 014659 0 069393 0 211248 b1 0 328674 0 014647 22 439042 Number of observations 50 Number of estimated parameters 2 Number of instruments 3 Mean of dependent variable 2 030593 Sum of squared residuals 4 316909 Explained sum of squares 293 919327 Estimate of residual variance with d f correction 0 089936 Mean of squared residuals 0 086338 Standard error of regression 0 299893 Overidentification statistic 1 816150 Estimated covariance matrix 0 004815 0 000805 0 000805 0 000215 Ce tableau comporte les l ments habituels Les param tres estim s dispo nibles comme d habitude dans le vecteur coef ainsi que les carts type et les Students disponibles respectivement dans les vecteurs stderr et student La matrice de covariance imprim e comme toujours tout la fin du listing est la matrice 6 X PywX o X X 8 et 6 ly 8 4 Cette matrice se trouvera sous le nom de vcov La valeur de 6 peut tre retrouv e dans la variable errvar Le choix entre un d nominateur de n k ou de n n a pas d importance majeure pour les estimations par variables in strumentales La Mean of squared residuals c est dire la mo
136. r des hskip et des hfil suppl mentaires dans ces lignes La premiere ligne et la troisieme contiennent du texte exclusivement la deuxi me et la quatri me des chiffres exclusivement mais on peut tout aussi bien panacher La deuxieme ligne montre aussi qu il est possible de terminer une ligne pr matur ment avant de remplir toutes les cases Dans tous les cas la notation cr signifie la fin de la ligne Une ligne vide entre deux lignes du tableau s obtient si la ligne ne contient que cr La commande halign ne sert qu m moriser le tableau Il faut demander son impression explicitement Ceci se fait par la commande text halign si l on veut que le tableau soit imprim e dans le fichier de sortie ou par Ects version 4 Entr es et Sorties 99 message halign pour que le tableau soit affich l cran Bien entendu les commandes text et message peuvent tre employ es comme dans les versions ant rieures pour imprimer ou afficher du texte explicite Mais les deux utilisations diff rentes des deux commandes s excluent mutuellement Si on met halign rien d autre n est admissible et m me le end que l on trouve habituellement la fin de la commande est supprim Le tableau cr par notre exemple est imprim dans le fichier de sortie Voici son aspect final Label 1 Label 2 Label 3 Label 4 34 760000 8 765430e 09 0 000457 8009 654321 Next 1 Next 2 234 768900 0 000000 20 000457 9 654321 On peu
137. r qu un programme comme Ects se plante si les donn es qu on lui fournit sont suffisamment bizarres pour donner lieu des exceptions au niveau de l unit d arithm tique flottante Pourtant ceci ne devrait se produire que rarement En revanche tout programme donnant lieu une faute ou erreur de segmentation est me signaler afin que je puisse liminer le bogue qui l a produite M me si ce genre d erreur est inoffensif sous Unix d autres syst mes d exploitation moins privil gi s doivent tre relanc s dans certains cas suite une telle erreur 2 Les Graphiques Avant de cr er des graphiques il serait prudent de v rifier la configuration de gnuplot Tapez la commande Ects version 4 6 Fonctionnalit s Nouvelles gnuplot Si le syst me r pond qu il ne peut pas le trouver on sait que le fichier ex cutable de gnuplot n est pas dans le chemin d acc s Mais s il est trouv gnuplot affiche un message d accueil et ensuite une ligne qui aura l aspect suivant Terminal type set to x11 Ceci signifie que le mode graphique par d faut de gnuplot est x11 Sous Unix le graphisme est confi au syst me de fen trage X dont la version courante en 1998 est la 11 d o x11 Sous DOS Windows le mode graphique sera diff rent le plus souvent il sera SVGA gnuplot est normalement en mesure de d tecter automatiquement le mode graphique qui convient mais en cas d erreur on peut mettre
138. r son adresse email Un message d accueil bilingue s affiche Ensuite vous vous mettez dans le r pertoire pub ects3 par la commande cd pub ects3 Vous pouvez maintenant faire afficher la liste des fichiers contenus dans ce r pertoire au moyen de la commande dir Parmi ces fichiers il y aura LISEZ MOI et README Selon votre pr f rence linguistique vous pourrez lire dans ces fichiers les informations sur la version 4 Note de la version 4 Les adresses de tous les ordinateurs de la Vieille Charit ont chang En plus il est aujourd hui pr f rable de vous connecter par http au site http russell vcharite univ mrs fr o vous trouverez des liens vers les r pertoires d Ects 3 et d Ects 4 Ects version 4 Les Graphiques 5 la plus r cente Si vous pr f rez vous pourrez vous connecter par netscape L URL qu il faut lui donner est ftp russell cnrs mrs fr pub ects3 Vous pourrez lire directement les fichiers LISEZ MOI et ou README dans lesquels vous trouverez un mode d emploi Les fichiers ex cutables dont vous aurez besoin d pendent du syst me d ex ploitation que vous utilisez et de la pr f rence linguistique Pour Linux vous trouverez ects3 la version anglophone et ects3fr la version francophone Le syst me d aide utilise aussi ectshelp et ectshelpfr Le fichier settexts n est n cessaire que si vous souhaitez modifier les r ponses des autres fichiers ex cutables par exemple si vous voule
139. re 1 70 74 archdemo ect 70 74 arg 49 53 54 argen ect 57 59 63 ascii 94 asin 21 85 asinh 85 atan 85 atanh 85 Autor gression vectorielle VAR 64 69 beep 101 betafn 86 binary 93 94 Bootstrap 74 83 non param trique ou semi para m trique 77 81 83 param trique 77 81 Boucles 57 59 BRMR 40 41 Bruit blanc 69 70 c 19 76 77 C langage de programmation 1 2 biblioth que standard 85 87 C langage de programmation 1 2 57 102 cdf 79 80 Cephes Mathematical Function Library 1 CG 27 30 37 41 47 78 108 Chaos 14 Chaos d terministe 84 Chemin d acc s 5 6 103 chicrit 86 chisq 18 22 86 Code retour 104 coef 31 36 43 47 65 colcat 87 Collett Brian 1 cols 52 87 colselect 88 89 conv 58 59 64 Corr lation contemporaine 68 cos 21 85 cosh 85 cr 98 etit 30 37 43 47 D composition par valeurs singuli res SVD 105 def 16 55 Degr s de libert de la loi de Fisher 87 de la loi de Student 87 du x 86 del 56 deriv 26 38 40 42 45 55 det 87 diag 87 91 diff 17 21 26 differentiate 20 21 55 Diff rentiation automatique 3 16 21 25 26 38 39 43 53 Diff rentiation automatique 86 87 digamma 86 DOS iii 5 6 12 13 16 100 103 DPMI iii D riv es automatiques 3 16 21 D terminant 87 criture de donn es 92 97 ects 103 ects3 5 ects3 exe 5 ects3fr 5 ects3fr exe 5
140. rive l observation smplend la derni re observation de l chantillon d clar C est pour cette raison que la fonction lag dont l utilisation est cruciale la r cursion trouve chaque fois la valeur appropri e Si on essayait de faire une r cursion en marche arri re avec des valeurs avanc es plut t que retard es la d marche serait vou e l chec parce que les valuations proc dent toujours de smplstart smplend La d finition du processus GARCH p q est donn e par l quation p q Ut hi v IID 0 1 hi 0 a du S jhi i l j l Comme pour les processus ARCH on part d un bruit blanc v que l on mul tiplie par un cart type hy E d fini cette fois ci d une mani re plus complexe h d pend non seulement du pass du processus u mais aussi de son propre pass On remarque qu un ARCH p est un GARCH p 0 En effet le G de GARCH signifie Generalized ou g n ralis EXERCICES Dans le programme ci dessus la s rie u a t initialis e de mani re avoir exactement 100 l ments Quelles sont les cons quences si la s rie u est initialis e avec un plus petit ou un plus grand nombre d l ments D montrez que si d abord il y en a trop peu les l ments manquants seront cr s et que s il y en a trop ceux qui ne sont pas compris dans l chantillon d clar de 2 100 restent inchang s crivez un programme permettant de g n rer un proces
141. rup 1991 Je confirme pour ma part que la programmation en C m me si elle exige une p riode d apprentissage et de r orientation intellectuelle est mille fois plus agr able que la programmation en C et elle conduit en plus a des pro grammes beaucoup plus lisibles que ceux crits en C Une partie int grante du C moderne est la biblioth que standard qui facilite norm ment un grand l Note de la version 4 Le stock est puis et on pr f re maintenant diffuser le documentation sur l Internet sous format PDF Tous les volumes de documen tation sont disponibles sur mon site la Vieille Charit de Marseille 1 2 Introduction nombre d op rations courantes de la programmation La biblioth que stan dard n est pas encore compl tement r alis e dans le compilateur que j utilise et en attendant la version d finitive je me suis servi largement d une version draft ou provisoire publi dans Plauger 1995 Le code de cette version est publi dans cet ouvrage il ne peut tre diffus librement mais il est permis de l utiliser gratuitement dans les logiciels On demande aussi que la phrase suivante soit imbriqu e dans le logiciel et imprim e dans la documentation Portions of this work are derived from The Standard C Library copyright c 1995 by P J Plauger published by Prentice Hall and are used with permission Cette phrase signifie que je me suis servi dans la cr ation du logiciel du code
142. s dont les versions ant rieures d Ects ne reconnaissent qu une seule le R dit non centr qui est le rapport de la somme des carr s expliqu s en Ects sse la somme des carr s totaux en Ects sst On acc de au R non centr par la variable R2 Quoique le R n ait pas d interpr tation statistique formelle en g n ral il est utile comme dans l exemple que nous traitons pour le calcul de certaines statistiques de test Si la constante figure parmi les r gresseurs d un mod le estim par les OLS on pourrait s int resser au R dit centr Cette deuxi me version du R est le R fourni par une r gression o toutes les variables non constantes y compris la variable d pendante sont remplac es par les carts par rapport leurs moyennes respectives et la constante est supprim e Dans la version 3 3 d Ects si la constante c figure parmi les r gresseurs d une commande ols le tableau de r sultats contient deux R le premier non centr le second centr comme on les voit dans le listing ci dessus Le R centr est disponible sous le nom de R2c kk k Pour que le R centr soit disponible il faut que la constante soit d sign e par le nom c Si on d finit la constante explicitement sous un autre nom par exemple par gen iota 1 alors la commande ols y iota x ne fournit pas le R centr EXERCICES Expliquez pourquoi les deux R sont identiques pour la GNR que nous venons d estimer Ects vers
143. s si l on pr f re se passer compl tement des calculs analytiques la diff rentiation automatique est toujours disponible On aurait tout simple ment deriv a diff lhd a deriv bi diff lhd b1 deriv b2 diff lhd b2 deriv b3 diff lhd b3 EXERCICES Essayez les trois techniques d estimation avec les d riv es simplifi es non sim plifi es et la diff rentiation automatique Les r sultats devraient tre identiques mais les temps de calcul seront assez diff rents Ects version 4 36 Les Estimations Non lin aires Voyons maintenant le format des r sultats On a Maximising a Sum of Contributions Number of iterations 22 Parameter Parameter estimate Standard error T statistic a 2 535442 1 712046 1 480943 bi 8 625195 2 306146 3 740090 b2 13 131199 2 791365 4 704222 p3 4 078517 1 329014 3 068830 Number of observations 100 Number of estimated parameters 4 Maximised value of criterion function 28 246752 Estimated covariance matrix 2 931102 3 238547 1 800739 0 895411 3 238547 5 318312 4 811321 0 502940 1 800739 4 811321 7 791716 1 838118 0 895411 0 502940 1 838118 1 766278 Ce tableau est comparer celui qui se trouve la page 58 de Man2 La constante estim e est identique et les autres param tres estim s sont 100 fois plus grands que ceux de l ancien tableau c est normal on a divis les ex plicatives par 100 Les carts type et les Students sont quand m me un peu
144. s ces fonctions sont disponibles sous les m mes noms pr c d s d un a On a donc les six fonctions asin acos atan asinh acosh et atanh Il existe en math matiques deux sortes de notations standard pour ces fonctions On crit par exemple soit sin x soit arcsin r La deuxi me notation est celle qui inspire les noms employ s par Ects qui sont identiques a ceux employ s par la biblioth que du C 85 86 Autres Aspects Nouveaux On trouve des d finitions de la plupart des autres fonctions de cette biblio th que dans plusieurs r f rences dont celle que je pr f re est Abramowitz et Stegun 1964 On y trouve les fonctions erf et erfc qui sont fortement reli es la distribution de la loi N 0 1 Les d finitions formelles sont erf x exp t dt et erfc x f exp t dt 1 erf x Ces fonctions s appellent la fonction d erreur et la fonction d erreur compl mentaire respectivement D autres fonctions sont reli es la loi du khi deux x La fonction de r partition de cette loi est fournie par la fonction chisq qui exige un deuxi me argument le nombre de degr s de libert La fonction inverse que l on peut utiliser pour valuer les seuils critiques est not e chicrit Elle aussi prend les degr s de libert comme deuxi me argument On rappelle ici que la dis tribution du y est d finie en termes de la fonction gamma not e T x dont le logarithme est disponible
145. s de libert KO k La variance d un x n degr s de libert est 2n Si le calcul est correct on devrait obtenir une valeur de 10 kk k Si l on note F5 la fonction de r partition de cette loi on a 2 2 2 2 Var x3 E P 208 2 F z dz z Fe 2 az 0 0 2 2 a1 FG dz fF La derni re ligne r sulte d une int gration par parties Pour la deuxi me int grale notez que 2 GR 1 F z 2F et que Z 00 a r 0 z 0 parce que F5 00 1 La premi re int grale se justifie de la m me mani re L expression fournie la commande int est donc correcte sauf qu il a fallu remplacer l infini par une valeur finie ici 100 L int gration num rique est r alis e par un algorithme it ratif Cet algorithme est contr l par l action des variables maxintiter qui d termine le nombre Ects version 4 24 Fonctionnalit s Nouvelles maximal d it rations et INTTOL qui d termine le crit re de convergence em ploy par l algorithme Les it rations s arr tent quand la valeur calcul e de Vint grale differe de moins de INTTOL d une it ration a la suivante ou bien quand maxintiter it rations ont t effectu es m me si la convergence n est pas encore acquise Dans le cas de la variance du x on voit en faisant tourner integral ect que les choix de maxintiter et de INTTOL ainsi que de l infini permettent d obtenir la bonne r ponse de 10 du m
146. s le nom de oir est fournie non seulement par nliv mais aussi par iv Remarquons ici que dans la version 3 d Ects la commande iv cr e une nouvelle variable matricielle qui porte le nom de PwX La matrice de la forme n x k est celle qu on exprime alg briquement par PyX EXERCICES Refaites l estimation du mod le 1 avec les donn es du fichier ivnls dat en util isant b1 1 comme point de d part Vous verrez que l algorithme converge vers un autre point que celui de la premi re estimation On verra que ce ph nom ne provient du fait que la fonction crit re Q B poss de deux minima locaux dont un seul est le minimum global Pour faciliter l tude des deux minima d montrez que si les variables y 1 x2 et w sont centr es par exemple par l action de la projection M qui annule la constante l estimation du mod le Miy b M x M 2 b1 u 5 avec les deux instruments M a 1 et M w donne la m me estimation de 81 et les m mes r sidus que l estimation du mod le 1 La fonction crit re associ e au mod le 5 ne d pend que d un seul param tre 81 Cr ez un graphique o on trace le graphe de la fonction crit re sur l intervalle 0 2 2 5 de 61 Vous devrez voir clairement les deux minima de la fonction 4 Le Maximum de Vraisemblance Les fonctionnalit s offertes par Ects pour l estimation des mod les par le maximum de vraisemblance ML ont t largement tendues dans la version
147. s par le mod le s parent la fin du mot constant fin de la premi re colonne du d but du mot Parameter d but Ects version 4 100 Autres Aspects Nouveaux de la deuxi me colonne avec 0 espaces suppl mentaires de la fin du chiffre 0 116872 deuxi me colonne la fin du mot estimate il y a 6 espaces de la fin de 0 104444 troisi me colonne la fin de error 3 espaces et de la fin de 1 118992 quatri me colonne la fin de la ligne le c final de Statistic 1 espace Le premier tableau fran ais s organise de mani re identique Le second tableau fran ais en revanche utilise les valeurs 0 4 1 2 Pour obtenir le second tableau il suffit de faire sample 1 4 gen tabskips 0 set tabskips 2 set tabskips 3 set tabskips 4 Il Nhe A avant de lancer la commande ols EXERCICES la fin du fichier de commandes newlogit ect on trouve une utilisation non triviale de la commande halign dans une reprise de l exercice de la section 5 3 de Man2 Si vous faites tourner la totalit des commandes du fichier newlogit ect vous verrez que le r sultat est bien plus joli que celui obtenu par le programme de Man2 Une tude attentive des commandes n cessaires l obtention de ce r sultat permettra de ma triser les subtilit s de halign On y voit galement des emplois de la commande putnum qui sert tout simplement imprimer dans le fichier de sortie un chiffre donn comme l argument de la commande s
148. s param tres estim s stderr les carts type student les Students nobs la taille de l chantillon nreg le nombre de param tres estim s niter le nombre d it rations 1t le vecteur de contributions la Ects version 4 Le Maximum de Vraisemblance 37 log vraisemblance valu es en B Ihat la log vraisemblance maximis e dont la valeur gale la somme des l ments de 1t et bien s r CG la matrice CG A des contributions au gradient dont l l ment t i est 0 06 B EXERCICES Refaites l estimation du mod le sans diviser les explicatives par 100 Vous prouverez probablement des difficult s num riques Essayez de les r soudre en divisant par 10 plutot que par 100 Dans la suite du fichier de commandes newlogit ect on refait les estimations avec une nouvelle commande mlopg la place de ml Sur la plupart des ordinateurs actuels cette commande s ex cutera plus vite Les r sultats sont toutefois tr s similaires mais la matrice de covariance estim e est encore une fois un peu diff rente Estimated covariance matrix 2 883893 3 140939 2 172086 1 122439 3 140939 5 613164 6 148303 0 672352 2 172086 6 148303 10 784860 2 342453 1 122439 0 672352 2 342453 2 318406 La th orie des r gressions artificielles est expos e dans un article de Davidson et MacKinnon 1999 On y voit que pour la quasi totalit des mod les que Von estime par ML la r gression artificielle OPG peut
149. s r gressions simul es a et b la place de alpha et beta par les vraies valeurs Pour la GNR on utilise le fait que la commande NLS cr e les variables c et Rb automatiquement comme les deux colonnes de la variable CG La commande ols res CG Rb sert donc a faire tourner la GNR apres quoi on sauve les deux statistiques simul es dans les vecteurs pr vus cet effet A ce stade on est pr t construire les fonctions de r partition empirique des deux statistiques Ceci se fait ais ment si l on se sert de la fonction Ects version 4 R chantillonnage et le Bootstrap 79 cdf disponible pour la premi re fois dans la version 3 3 d Ects Le nom de la fonction provient de l expression anglaise pour signifier une fonction de r partition la Cumulative Distribution Function La suite du programme montre comment utiliser sample 1 101 set linestyle 1 gen x 4 8xtime 1 100 mat edft cdf tt x gen lstud tstudent x n 3 plot x edft 1stud gen x 10 time 1 100 mat edfR2 cdf nRR2 x gen lchi2 chisq x 1 plot x edfR2 lchi2 On cherche construire une repr sentation graphique des fonctions de r parti tion empirique des 999 r alisations de chacune des deux statistiques Ces r alisations sont contenues dans les vecteurs tt et nRR2 Afin de tracer les graphiques des deux fonctions de r partition il faut d abord choisir les points en lesquels les fonctions seront valu es Les choix doivent
150. s suivantes set i 3 procedure logithess i 2 sample 1 100 gen 1f lhd answer lf gen DO dldFxdFde e answer DO gen Di DO x1 answer Di gen D2 DO x2 answer D2 gen D3 DO x3 answer D3 gen DOO f answer DOO gen D01 x1 xDO0 answer DO1 gen D02 x2 D00 answer D02 gen D03 x3 xD00 answer D03 gen D11 x1 D01 answer D11 gen D12 x2 D01 answer D12 gen D13 x3 D01 answer D13 gen D22 x2 D02 answer D22 gen D23 x3 D02 answer D23 gen D33 x3 D03 answer D33 end set a 0 set bi 0 set b2 0 set b3 0 def X axiota xi bi x2 b2 x3 b3 mlhess logithess a 1 Ects version 4 Les Proc dures 53 deriv a logithess a 2 deriv b1 logithess a 3 deriv b2 logithess a 4 deriv b3 logithess a 5 second a a logithess a 6 second a b1 logithess a 7 second a b2 logithess a 8 second a b3 logithess a 9 second b1 b1 logithess a 10 second b1 b2 logithess a 11 second b1 b3 logithess a 12 second b2 b2 logithess a 13 second b2 b3 logithess a 14 second b3 b3 logithess a 15 end A la lecture des deux premi res lignes de ce programme on constate que Vargument qui donne le nombre d arguments de la proc dure n est pas forc ment une simple constante num rique Cet argument comme les in dices des r ponses est calcul comme sous set et la valeur est interpr t e comme un entier Si l entier est n gatif un message d erreur s affiche En revanche rien n
151. s version 4 Processus ARCH et GARCH 69 En faisant tourner var ect on voit que A et B ont les formes souhait es et que les matrices M1 et M2 sont gales a la matrice de covariance estim e Sigma La matrice A une fois en main la simulation se fait en trois lignes gen Us colcat random random random random mat Us Us A gen Ys polylag Alpha Us La matrice Us de la forme 100 x 4 est g n r e en faisant appel 4 fois a la fonction random Ensuite la matrice est multipli e droite par A la transpos e de A Finalement la matrice simul e Ys est cr e par la fonction polylag EXERCICES Pourquoi faut il utiliser la transpos e de la matrice dans la simulation Comment peut on cr er des matrices et B triangulaires sup rieure et inf rieure telle que ATA B B X Cr ez des graphiques permettant de comparer les 4 s ries simul es aux 4 s ries de base dans le fichier ols dat Quelle est la principale diff rence entre les s ries simul es et les s ries de base Pouvez vous expliquer cette diff rence 4 Processus ARCH et GARCH On ne peut pas faire ici un expos utile sur les processus ARCH et GARCH actuellement beaucoup utilis s en conom trie surtout en conom trie fi nanci re Le lecteur peut se r f rer au chapitre 16 de DM et la litt rature abondante qui y est cit e La d finition formelle d un processus ARCH p s crit comme p hi vi IID 0 1 hy
152. sation du mot cl second la place de deriv on signale qu il s agit d une d riv e seconde Ensuite il faut deux param tres plut t qu un seul parce qu il faut deux d rivations pour une d riv e seconde tant donn que l ordre des deux d rivations n a pas d importance on peut se contenter de la d riv e second a b1 par exemple Ects sait que cette d riv e sert aussi pour second b1 a EXERCICES D montrez analytiquement que les d riv es secondes du programme repr sentent bien les d riv es secondes de la fonction 6 Ects version 4 Le Maximum de Vraisemblance 39 La diff rentiation automatique o est elle dans tout ceci Jusqu ici nulle part videmment Mais on obtiendrait les m mes r sultats avec le programme suivant mlhess lhd deriv a y F deriv bi x1 y F deriv b2 x2 y F deriv b3 x3 y F end o aucune d riv e seconde n est sp cifi e Ects est en mesure de formuler lui m me les d riv es secondes dont il a besoin En fait on peut panacher Si l utilisateur fournit un sous ensemble des d riv es secondes n cessaires l estimation seules celles qui manquent seront fournies automatiquement Pourquoi ne laisse t on pas tout le travail des d riv es premi res et secondes Ects On a le droit de le faire Le programme mlhess lhd deriv a diff lhd a deriv bi diff lhd bi deriv b2 diff lhd b2 deriv b3 diff lhd b3 end donnera exactemen
153. scalaire ssr est la somme des carr s des l ments de res Finalement le scalaire crit est la valeur minimis e de la fonction crit re EXERCICES Pour le mod le de nliv ect et gmm faites tourner une estimation par gmmweight et ensuite construisez explicitement la matrice X La matrice B peut tre obtenue par lacommande mat B lowtriang A D montrez que les d finitions donn es ci dessus de CG grad vcov XtWAWtXinv et HCCME sont correctes Refaites toutes les estimations dans nliv ect et gmm ect sur un sous chantillon consistant en les 25 derni res observations Pour les commandes nliv gmmweight et celles de la famille m1 il devrait suffire de faire sample 26 50 Pour gmm et gmmhess il sera n cessaire de s lectionner des blocs des matrices contenant les variables Dans tous les cas vous saurez si les manipulations sont correctes si les r sultats sont tous les memes Ects version 4 48 Les Estimations Non lin aires 6 Les Proc dures Si on regarde de nouveau dans le fichier newlogit ect on constatera qu il y a beaucoup de calculs qui doivent tre effectu s plusieurs fois On commence par d finir des macros d1dF et dFde qui d pendent leur tour d autres macros F e et X Par la suite dans les proc dures d estimation non lin aires dans le calcul de chaque d riv e de la fonction de log vraisemblance on fait appel a l ensemble de ces macros Dans la premi re estimation par ml par exemple V
154. sente h sauf pour le premier l ment Mais parce qu on sait que cet l ment est alpha 1 gamma il suffit de pr ciser ce fait Le F Dans le fichier archdemo ect on trouve encore une m thode qui permet de g n rer un processus ARCH 1 mais elle est d conseill e Elle s y trouve pour servir d avertissement Pas toutes les m thodes possibles ne sont d une grande utilit Ects version 4 74 Aide a la Simulation EXERCICES Comparez le temps de calcul de la m thode que nous venons de d crire avec celui de la proc dure par r cursion L astuce n est peut tre pas tr s l gante mais elle s av re tr s efficace 5 R chantillonnage et le Bootstrap Le bootstrap est une m thode tr s g n rale qui permet de faire des inf rences statistiques sur la base de simulations L id e au c ur de la m thode est que si l on ne conna t qu approximativement la distribution sous l hypoth se nulle qu on teste d une statistique de test on peut souvent en obtenir une meilleure approximation en faisant des simulations sous l hypoth se nulle Une introduction aux m thodes du bootstrap se trouve dans Efron et Tibshirani 1993 On va maintenant consid rer des exemples qui devraient clairer la m thode et qui devraient en m me temps illustrer des fonctionnalit s d Ects qui facilitent sa mise en uvre On sait que les Students calcul s lors d une estimation par moindres carr s non lin aires NL
155. sous le nom de gln La fonction gamma in compl te qui prend deux arguments porte en Ects le nom de gammp tandis que la fonction b ta incompl te qui a besoin de trois arguments porte le nom de betafn k Ok k Ces fonctions sont d finies aux pages 74 75 de Man2 Une erreur s est gliss e dans l ancienne documentation La fonction b ta incompl te porte le nom de betafn et non pas de betacf kk Ok Ok Dans la version 3 3 du logiciel la fonction gammp est aussi disponible sous le nom de igam En plus la fonction digamma qu on appelle fonction digamma ou aussi fonction psi renvoie la d riv e du logarithme de la fonction gamma _ d logl x T x dx T x y x Cette fonction m rite une remarque concernant la diff rentiation automatique La d riv e de Y x ne s exprime pas sous forme analytique sans appel des suites infinies Pour cette raison la valeur d une expression comme diff digamma x x est toujours nulle quelle que soit la valeur de x Les lois de Student et de Fisher sont servies par les fonctions tstudent et fisher qui fournissent les fonctions de r partition et les fonctions inverses 8 Note de la version 4 Ceci n est plus le cas Voir la documentation Ects version 4 Autres Fonctions 87 studcrit et fishcrit Pour la loi de Student il faut les degr s de libert en deuxieme argument pour celle de Fisher il faut les degr s de libert du num rateur et du d nominateur
156. ss 38 41 53 mlopg 37 40 51 Mod le r ponse binaire 33 bivari 63 logit 32 41 multivari 63 91 pour halign 98 102 univari 63 Ects version 4 Index G n ral Moindres Carr s Non lin aires NLS 25 28 74 Moshier Stephen L 1 Moyenne de la variable d pendante 27 28 netscape 5 newcrit 30 newlogit ect 33 41 48 100 ninst 32 47 niter 32 36 43 47 nliv 28 32 45 47 55 nliv ect 28 32 42 47 NLS 25 28 74 nls 3 25 28 55 75 nls ect 27 nobs 32 36 47 noecho 104 Nombre d it rations 26 27 Nombres al atoires g n rateur 83 84 noquestions 27 Notation scientifique 95 nreg 32 36 43 47 numdigits 95 97 oir 32 ols 6 19 27 65 75 76 99 100 102 ols dat 6 11 18 33 65 69 Op rateur retard L 60 out 92 outnew 92 P value 76 bootstrap 80 83 Phi 85 phi 85 PI 8 Plauger P J 2 5 plot 6 11 13 79 80 polylag 60 66 69 Polyn me en l op rateur retard 60 63 matriciel 65 PostScript 15 16 encapsul 15 precision 95 97 99 Press et al 1986 1 Press et al 1992 1 print 95 procedure 4 48 55 Processus ARCH 69 74 ARCH p 69 ARMA 59 63 ARMA p q 59 60 ARMAX 63 64 Index G n ral AR p 60 autor gressif l ordre 1 57 59 GARCH 69 74 GARCH p q 71 MA q 60 63 VAR 64 69 Processus g n rateur de donn es PGD bootstrap 77 83 proclogit ect 48 56 Proc dures 3 4 48 55
157. sse permise par la version 3 3 d Ects dans l impression des chiffres a n cessit une reprogrammation totale des m thodes d impression des tableaux et des matrices Les tableaux imprim s dans un fichier de sortie suite l ex cution d une commande qui lance une proc dure d estimation ols iv nls ou autre sont quelque peu modifi s depuis les versions ant rieures du logiciel Personnellement je les trouve plus beaux maintenant j esp re que d autres utilisateurs partageront mon avis Quoi qu il en soit et toutes fins utiles le m canisme qui est utilis dans les tripes du logiciel est aussi mis la disposition de l utilisateur Le m canisme est tr s largement inspir du m canisme d alignement horizon tal employ par le logiciel TEX cr ation du c l bre informaticien D E Knuth et qui m a permis de cr er ce manuel ainsi que son pr d cesseur et dont l utilisation est largement r pandue dans le monde des scientifiques Le nom de la commande qui permet de cr er des tableaux halign est emprunt une commande de TFX Le programme suivant n a pas une grande utilit scientifique Il sert toutefois illustrer le mode d emploi de halign set alignnums 0 mat alignnums alignnums 1 8 1 1 set alignnums 1 34 76 set alignnums 2 8 76543e 9 set alignnums 3 0 00045678 set alignnums 4 8009 654321 set alignnums 5 234 7689 set alignnums 6 8 76543e 9 set alignnums 7 20
158. ssus est due au fait que quand on sauve des donn es dans un fichier texte on ne conserve que 6 chiffres apr s la virgule Avec la version 3 3 du logiciel on a la possibilit de choisir le nombre de chiffres apr s la virgule non seulement dans les op rations write et writematrix en mode ascii mais aussi dans les op rations effectu es par les commandes print show put ainsi que par une commande nouvelle putnum et dans les affichages des r sultats d une estimation Ects utilise la variable precision pour d terminer le nombre de chiffres apr s la virgule Sa valeur par d faut gale 6 On peut la changer soit directement par une commande set soit par Vutilisation d une commande sp cifique setprecision dont la syntaxe est simplement setprecision expn o la valeur de expn est calcul e selon les r gles d valuation des indices voir la section 2 1 de Man2 et la section 3 5 du pr sent manuel Contr le de l impression de chiffres et de texte La discussion qui suit sur les possibilit s offertes par Ects pour l impression de chiffres et de texte est forc ment assez technique Ceux et celles pour qui impression n a pas un grand int r t sont invit s sauter a la section suivante Outre la variable precision il y a encore deux variables prises en compte quand Ects veut imprimer une valeur num rique Elles sont numdigits et TOL dont les valeurs par d faut sont respectivement 6 et 1 0E 8 c est a dire
159. sus ARCH p pour p 3 et un processus GARCH p q pour p 3 q 4 Prenez soin d initialiser correctement et de commencer la r cursion la bonne observation apr s l initialisation Il est enti rement possible de g n rer un G ARCH au moyen d une boucle explicite Une telle boucle est m me n cessaire avec les anciennes versions du logiciel o la commande recursion n existe pas Pour l exemple d un processus ARCH 1 on trouve dans archdemo ect un bout de code similaire ce qui suit sample in gen v random gen h 0 gen u 0 set h 1 alpha 1 gamma set u 1 sqrt h 1 v 1 set j 2 while j lt n set h j alpha gamma u j 1 2 set u j sqrt h j v j set j jtl end Ects version 4 12 Aide la Simulation La structure logique est identique celle du code qui utilise recursion Cette fois ci il faut que les s ries h et u soient d finies pour tout l chantillon avant de lancer la boucle sinon les commandes set n auraient pas d effet en dehors de l chantillon d clar au moment de la cr ation de h et u EXERCICES Comme on l a fait pour les diff rentes m thodes de g n ration des processus AR 1 construisez des boucles qui g n rent plusieurs fois un processus ARCH 1 d abord au moyen d une recursion apr s par une boucle explicite afin de comparer les temps de calcul des deux m thodes L avantage de la r cursion par rapport la boucle expli
160. t l g rement modifi pour tre exactement conforme celui de rows et cols Sous set et mat la valeur du d terminant est scalaire sous gen cette valeur est affect e a chaque l ment de l chantillon en cours d un vecteur colonne Deux autres fonctions qui se comportent diff remment maintenant sont max et min l origine ces fonctions prenaient exactement deux arguments mais maintenant elles en admettent un nombre arbitraire S il n y en a pas le r sultat est un z ro scalaire sous set et sous gen un vecteur colonne dont chaque l ment de l chantillon en cours est nul Ces fonctions ne sont toujours pas disponible sous mat S il y a un seul argument seul son premier l ment est conserv sous set et sa premi re colonne sous gen Avec plusieurs arguments chaque l ment du r sultat scalaire ou vecteur est la plus grande ou la plus petite dans le sens alg brique des l ments correspondants des premi res colonnes des arguments Les deux fonctions greatest et smallest le plus grand et le plus pe tit comme max et min servent trouver le maximum ou le minimum d un Ects version 4 88 Autres Aspects Nouveaux ensemble de valeurs mais leur syntaxe est assez diff rente Un seul argu ment est admis Sous set la valeur scalaire renvoy e est le maximum ou le minimum selon le cas des l ments compris dans l chantillon courant de la premi re colonne de l argument Sous gen
161. t les m mes r sultats que nos programmes pr c dents avec mlhess Seulement le temps de calcul sera beaucoup plus long Ects dans son avatar actuel sait tr s bien d river mais il ne sait pas simplifier les expres sions parfois tr s longues des d riv es qu il calcule La cons quence en est que m me si on arrive au m me r sultat le chemin suivi par la diff rentiation automatique est beaucoup moins direct que celui qui se base sur des expres sions courtes et simples des d riv es secondes La matrice de covariance estim e par mlhess est disponible sous le nom de invhess Cette fois ci la diff rence de ce qui se produit avec ml c est l inverse de la vraie hessienne plut t que d une approximation EXERCICES Faites tourner les quatre estimations par mlhess que vous trouverez dans le fichier newlogit ect sur votre ordinateur habituel et comparez les temps de calcul Si la valeur de showprogress est non nulle vous pourrez observer le temps n cessaire pour chaque it ration Si on regarde de pr s les r sultats des r gressions OPG ols iota CG utilis es pour la v rification des conditions du premier ordre apr s les estima tions qu on a faites au moyen de ml ou mlopg on verra que les valeurs des Students sont tr s petites par exemple 1 216695e 10 mais non nulles En revanche les Students obtenus apres une estimation par mlhess sont nuls au Ects version 4 40 Les Estimations Non lin aires niv
162. t remarquer qu une cons quence de l alignement est que pour une precision donn e les chiffres sont align s de sorte que les virgules ou les points en notation informatique sont align es sauf pour les chiffres exprim s en notation scientifique Il y a un autre aspect du format des r sultats Pour illustrer cet aspect prenons un cas simple les r sultats d une commande ols En anglais on a par exemple Variable Parameter estimate Standard error T statistic constant 0 116872 0 104444 1 118992 xl 0 106970 0 128790 0 830577 mais en francais on aurait plutot Variable Param tre estim cart type T de Student constante 0 116872 0 104444 1 118992 y 0 106970 0 128790 0 830577 A mon sens le tableau suivant Variable Param tre estim Ecart type T de Student constante 0 116872 0 104444 1 118992 x1 0 106970 0 128790 0 830577 serait plus joli M me en anglais le tableau serait nettement moins beau si la valeur de precision n tait pas la valeur par d faut de 6 L alignement du tableau est contr l par la variable tabskips Seuls les quatre premiers l ments de cette variable sont pris en compte Ils d terminent le nombre d espaces blancs mettre la fin des quatre colonnes des lignes du tableau apr s la premi re Les valeurs par d faut sont dans l ordre 0 6 3 1 elles ont t choisies pour la beaut du tableau anglais avec une precision de 6 On v rifie que seuls les 2 espaces pr vu
163. tant en faisant show seed Au moment o Ects est lanc la variable seed contient les valeurs par d faut 20000 et 987654321 Pour changer le point de d part du g n rateur de nom bres al atoires on utilise la commande setseed La syntaxe est simple setseed expn expno Ects affecte au premier l ment la valeur de expn calcul e selon les r gles de la commande set au deuxi me la valeur de ezpn En m me temps la variable seed est mise jour Il est important de noter qu il ne suffit pas de changer les l ments de seed parce que le changement n est pas r percut l int rieur du g n rateur lui m me Seul setseed permet de changer les valeurs du g n rateur EXERCICES Le but de cet exercice est de d montrer les deux facettes du chaos d terministe D abord l aspect d terministe G n rez une s rie de nombres al atoires par la com mande random apr s avoir pris note des valeurs dans la variable seed Ensuite remettez les m mes valeurs au moyen de setseed et g n rez une deuxi me suite de nombres al atoires V rifiez que les deux suites sont identiques Ensuite l aspect chaotique Refaites l exercice mais changez la valeur de seed 1 en y rajoutant 1 avant de g n rer la deuxi me suite Calculez la corr lation entre les deux suites Elle sera assez proche de z ro Ects version 4 Chapitre 4 Autres Aspects Nouveaux 1 Fonctions Math matiques Le nombre de fonctions mat
164. tendu la hessienne n est plus approximative Une comparaison des r sultats donn s par gmm et gmmhess d montre que l approximation utilis e par celui l est assez grossi re On constate aussi que le nombre d it rations n cessaires pour la convergence de gmmhess est inf rieur celui dont a besoin gmm 11 contre 16 Les variables cr es par gmmhess sont les m mes que dans le cas de gmm Comme mlhess gmmhess permet l utilisateur de d finir ses propres d riv es secondes Plus loin dans gmm ect on trouve def dresdi x1 x2 b172 gmmhess residual W WtWinv W residual deriv bO 2 iota W WtWinv W residual deriv bi 2 x1 x2 bi b1 W WtWinv W residual second b0 b0 2 iota W WtWinv W iota second b0 b1 2 iota W WtWinv W dresdi second bi bi 2 dresdi W WtWinv W dresdi 4 x2 b1 3 W WtWinv W residual end o tout est explicite Les r sultats sont inchang s Dans le programme ci dessus on s est servi de la possibilit de prolonger une ligne sur la ligne suivante au moyen du caract re Si lors de la lecture d une ligne d un fichier de commandes par Ects le dernier caract re est Ects version 4 44 Les Estimations Non lin aires le contenu de la ligne suivante est lu et rajout la ligne pr c dente Il est possible ainsi de faire lire Ects les commandes les plus longues en les talant sur plusieurs lignes avec un la
165. tion Automatique Les donn es manipul es par Ects sont des tableaux de chiffres qui repr sentent des scalaires vecteurs et matrices Quand on calcule une d riv e c est la d riv e d une fonction Or Ects ne permet pas de repr senter les fonctions Toutefois les macros cr es par la commande def permettent de repr senter des expressions alg briques susceptibles d tre valu es par Ects C est sur la base de cette fonctionnalit que le m canisme de diff rentiation automatique de la version 3 d Ects est construit Prenons un exemple tr s simple On sait que la d riv e de la fonction x est 2x On pourrait esp rer qu une construction comme Ects version 4 La Diff rentiation Automatique 17 aiff xz 2 5 repr senterait la d riv e de x par rapport x En effet si l on fait set x 4 set y diff x 2 x show y la r ponse affich e par Ects est y 8 000000 On trouve que y gale deux fois la valeur de x Il est important de comprendre que les d riv es calcul es par Ects sont obtenues par des manipulations symboliques Si par exemple on ex cutait set x 4 set x2 x72 set y diff x2 x show y la r ponse serait y 0 000000 parce que x2 de d pend pas de x Il faut l expression x 2 donn e en termes de x pour que la d riv e soit autre chose que z ro On peut mettre n importe quelle fonction de x la place de x Quelques exemples le programme set y diff
166. tre diff rents pour les deux statistiques parce que le Student peut prendre des valeurs n gatives mais non le nR Pour le Student on choisit une grille de 101 points espac s r guli rement sur l intervalle 4 4 Pour le nR la grille s tend de 0 10 Le meilleur moyen de cr er les grilles est d employer la fonction time parce que formellement les grilles ne sont que des tendances temporelles La fonction cdf utilis e dans une commande mat prend deux arguments kk Ok Ok Ce fait signifie que la r gle nonc e dans Man2 selon laquelle toute fonction utilis e dans une commande mat ne prend qu un seul argument sous peine d erreur de syntaxe a d tre assouplie dans la version actuelle du logiciel Dans le chapitre suivant on trouvera d autres fonctions nouvelles qui elles aussi enfreignent la vieille r gle ok k L effet de la commande mat fre cdf stat abscisses o le premier argument stat est une matrice B x m et le deuxi me ab scisses une matrice n x 1 est de cr er une matrice fre de la forme n x m avec autant de lignes que abscisse et autant de colonnes que stat Notons i i 1 n l l ment i de abscisses Alors l l ment i j de fre pour i 1 n j 1 m est la proportion des l ments de la colonne 7 de stat qui sont inf rieurs ou gaux zi Notons bk k 1 B l l ment k de la premi re colonne de stat La d finition formelle de la fonction d
167. trie d ailleurs permettait aux tudiants d apprendre la terminologie anglaise ou mieux internationale sans trop de peine l poque la d cision que le logiciel serait anglophone une fois prise il m aurait t difficile de cr er une version francophone Entre temps le d veloppement aussi maigre soit il du syst me d aide m a sugg r des astuces de programmation qui m ont permis de franciser non seulement le syst me d aide mais aussi le logiciel lui m me sans difficult Si vous regardez le con tenu du fichier errors txt vous trouverez au d but du fichier Ects Version 3 3 February 1999 hhh Type quit to exit help for help hhh Ects terminated hhh File hhh not found hhh Tous les textes utilis s par Ects et non seulement les messages d erreur comme le nom du fichier pourrait laisser entendre se trouvent dans ce fichier kok Ok Ok On y trouve non seulement les textes mais aussi les mod les utilis s pour les tableaux de r sultats cr s par ols etc Ects version 4 Internationalisation du Logiciel 103 xok k Ok Il aurait t possible mais peu efficace que chaque lancement d Ects ce fichier soit ouvert et son contenu mis dans la m moire de l ordinateur Parmi d autres difficult s si javais adopt cette solution il aurait fallu que le fichier soit toujours pr sent dans le r pertoire courant Le chemin d acc s PATH d un utilisateur permet de trouver
168. tudie une r gression artificielle longueur dou ble c est dire une r gression qui a deux fois le nombre d observations du vrai chantillon Mettez en uvre l une des proc dures longueur double que vous trou verez dans ce chapitre Vous constaterez pourquoi il est important de permettre une taille d chantillon diff rente l int rieur et l ext rieur d une proc dure Finalement la toute derni re commande de proclogit ect avant quit est tout simplement showall Au moyen de cette commande on peut savoir l tat des tables internes d Ects D abord on a une liste de toutes les variables connues au moment de lancer la commande showall Les l ments de la liste apparaissent comme suit on ne donne qu une petite s lection Variables currently defined are Dl dimensions 100 x 1 PI dimensions 1 x 1 R2 dimensions 1 x i TOL dimensions 1 x i XtXinv dimensions 4 x 4 On y voit les noms des variables avec leurs dimensions matricielles kk Ok Ok Toutes les variables d Ects sont des matrices Un scalaire est une matrice 1 x 1 et une variable est un vecteur n x 1 pour un entier n gt 1 xo ok k Apr s on trouve la liste des macros d finies par def on ne donne qu une seule macro Macros currently defined are F e 1 e 2 2 La premi re ligne est le nom de la macro et sur la ligne suivante on a sa repr sentation interne comme celle donn e par differentiate Si vous
169. ulation des polyn mes par lagpoly Par exemple si on faisait 6 Note de la version 4 Cette commande n existe pas dans la version 4 On a trouv un bien meilleur moyen de g n rer les s ries ARMA voir la documen tation de la version 4 pour les d tails Ects version 4 Processus ARMA 61 lagpoly 1 0 2 0 3 0 1 cette commande serait interpr t e par Ects comme lagpoly 1 0 2 0 2 parce que en effet 0 3 0 1 0 2 On peut viter cet inconv nient soit en utilisant des variables ou des macros la place d une expression arithm tique soit en s parant les arguments par des virgules Donc la commande lagpoly 1 0 2 0 3 0 1 ou m me lagpoly 1 0 2 0 3 0 1 marcherait correctement Kk k Pour se servir du polyn me ainsi mis en m moire on utilise la fonction poly lag Cette fonction est disponible dans une commande gen mais pas dans set ou mat o elle donne lieu une erreur de syntaxe polylag prend un seul argument ici la s rie u La valeur de la fonction s crit comme polylag u aOu aluzg_1 a2uz_2 a3uz_s qui est pr cis ment la s rie qu on a not e B L u o ok k La lecture des arguments de lagpoly se fait comme dans une commande mat pour une raison que l on verra plus tard kk k Pour une s rie AR p on a A L yg w Formellement ceci devient y A L uw Le terme constant du polyn me A est toujours 1 nous pouvons donc crire A L 1 a L Le th or
170. vantes extraites de la fin du fichier gmm ect servent a illustrer la syntaxe sample 1 50 def residual y bO iota bi xx1 1 b1 x2 gen W colcat iota x1 w gmmweight residual instr W weightmatrix W W inv deriv bO iota deriv bi diff residual b1 end Le nom de la commande est suivi par le vecteur f qu on repr sente ici par la macro residual Sur la ligne suivante exactement comme pour la commande nliv on met le mot instr suivi d une liste d instruments qui peut m langer vecteurs et matrices Ensuite sur la ligne suivante le mot cl weightmatrix est suivi du signe d galit et une expression qui repr sente la matrice de pond ration A Cette expression et elle seule est valu e selon les r gles de mat plut t que gen Apr s comme d habitude on a une suite de lignes introduites par deriv une par param tre estimer o on donne les d riv es partielles de f par rapport aux param tres Finalement les lignes de la commande sont termin es par end Regardons pr sent le tableau des r sultats de la commande Gr ce la struc ture sp cifique du mod le estim les informations contenues dans le tableau sont beaucoup plus riches que dans ceux donn s par gmm et gmmhess On constate que les valeurs num riques sont identiques celles donn es par nliv pour le m me mod le et que le nombre d it rations est similaire au nom bre utilis par nliv et par cons quent m
171. x k et B une matrice m x l Le produit Kronecker se note A amp B Ce produit est une matrice nm x kl que l on peut exhiber sous forme partitionn e comme suit a11B sa ar B ASB 0 An1B ankB La matrice est donc constitu e de nk blocs de la forme m x l chacun propor tionnel la matrice B Le bloc en position i j est multipli par l l ment i j de A Le produit Kronecker s obtient encore une fois sous mat uniquement au moyen de la fonction kron On fait simplement mat C kron A B pour obtenir le r sultat souhait EXERCICES Le produit Kronecker n est pas un produit commutatif Cr ez une matrice identit n xn I et une colonne quelconque y de la forme n x 1 Calculez les deux produits Kronecker de la matrice avec le vecteur et du vecteur avec la matrice et expliquez les diff rences que vous observez La fonction diag sert extraire d une matrice ses l ments diagonaux et de les ranger dans un vecteur colonne Voir la section 3 3 de Man2 Il peut s av rer utile de ranger les l ments d un vecteur sur la diagonale principale d une Ects version 4 92 Autres Aspects Nouveaux matrice carr e dont les autres l ments seraient nuls La fonction makediag permet de faire cette op ration Le r sultat de mat A makediag v o la matrice v a n lignes est une matrice diagonale A de la forme n x n dont l l ment diagonal est l l ment de la premi re colonne d
172. yenne des r sidus au carr donne la valeur de 4 o n k est remplac par n Apr s une estimation lin aire par variables instrumentales on sauve sous le nom de XtPwXinv la matrice X PwX Pour une estimation non lin aire l expression alg brique de la matrice sauv e sous ce nom est X PywX 7 Pour le reste les variables res et fit contiennent respectivement les r sidus A A y B et les valeurs ajust es x B de la r gression On trouve dans les variables scalaires ssr sse sst et ybar les expressions suivantes ssr y 2 8 sse sst y yoar n Dm t 1 Ects version 4 32 Les Estimations Non lin aires La taille de l chantillon n est donn e par nobs le nombre de param tres k par nreg le nombre d instruments par ninst et le nombre d it rations par niter La derni re ligne du listing avant la matrice de covariance donne la Overiden tification statistic ou statistique de sur identification Cette statistique est gale a Q B amp c est dire la valeur minimis e de la fonction crit re 3 divis e par une estimation de la variance des al as celle dont le d nominateur est n plut t que n k Sous l hypoth se nulle selon laquelle E u W 0 la loi asymptotique de la statistique est un x 1 k degr s de libert o l est le nombre d instruments de sorte que l k gale le degr de sur identification La statistique disponible sou
173. z rajouter des remarques aux descriptifs des commandes ou si vous voulez changer de langue Pour DOS Windows les fichiers ex cutables portent les m mes noms plus la terminaison exe On trouve ects3 exe ects3fr exe ectshelp exe ectshelpfr exe et set texts exe Si jamais vous souhaitez utiliser Ects sous un autre syst me d exploitation il sera n cessaire de compiler le logiciel pour ce syst me partir du code source Le code source est fourni avec les ex cutables sauf la partie de la biblioth que pour laquelle je me suis servi du code trouv dans Plauger 1995 De toute mani re il serait plus simple de me joindre par mail de pr f rence avant de vous plonger dans une telle compilation Pour le graphisme il faut le programme gnuplot Ce programme est disponible librement et gratuitement et il peut tre compil pour au moins autant d architectures qu Ects Le fichier ex cutable de gnuplot doit tre trouv dans le chemin d acc s PATH de l utilisateur En plus il faut un r pertoire nomm tmp dans le r pertoire racine Les systemes Unix y compris Linux sont fournis d office de ce r pertoire configur de mani re donner tout utilisateur la permission d criture Sous d autres syst mes d exploitation le r pertoire doit tre cr s il n existe pas de mani re ce que tout le monde puisse crire c est dire cr er des fichiers dans ce r pertoire Il est impossible d vite

Logiciel d`´Econométrie Version 3 Russell Davidson

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