Home

Habilitation

1. De la sorte si w est une uniformisante de l anneau de valuation O C ko y l id al engendr par p est a e ko v1Qp Voir par exemple 10 p 33 38 alors une constante c telle que xy lt c max 1 log deg B o le degr est relatif un plongement quelconque de A dans un espace projectif Il ne reste plus qu observer que log deg B est du m me ordre de grandeur que la hauteur de tg elle m me major e par c max 1 h Wo pour une certaine constante c 10 2 Proc d de Sn ER de variables de Chudnovsky Comme nous venons de le voir avec i 4 P e e i2 o certaines propri t s des coefficients de Taylor de fonctions analy tiques se d voilent l occasion d un changement de variables Au param tre z sur l espace tangent du groupe alg brique Gm s est substitu le param tre t e 1 sur le groupe alg brique lui m me En soi cette id e bien que r volutionnaire n est pas nouvelle puisqu il s agit d une version l mentaire du th or me d inversion locale Seulement ici le changement de variables modifie com n 1 pl tement les propri t s arithm tiques des coefficients de Taylor 4 pour t e 1 et u pour z log t 1 Pour illustrer la puissance de cette technique nous allons d montrer l nonc suivant qui bien que priv de toute g n ralit ici incarne la substantifique moelle de l ingr dient arithm tique essentiel des d monstrations
2. La pente maximale de WY est directement reli e la hauteur de W ainsi qu d autres quantit s qui ne d pendent que du groupe alg brique G Dans les temps anciens avant qu Hirata Kohno ne propose sa r duction apparaissait T fmax WE lt G T log Ici on a T lmax WY lt c G T c d que la hauteur de W est major e par une constante qui ne d pend que de G La raison est simple la hauteur de W est plus petite que la somme des hauteurs d une k base quelconque de W Or si e1 e est une base de tg alors A e1 9 1 A eg O eg est une base de W En toutes les places v du corps de nombres k la norme v adique de A e e est plus petite que 20 Pllesllo ev 1 si v est archim dienne et 0 sinon car A e v lt llejll la norme gauche tant la norme quotient La hauteur de e pe est donc plus petite que celle de e plus log V2 somme que l on peut mettre dans une constante qui ne d pend que de G et de la distance choisie sur ta Comme dans la pr sentation classique de la r duction d Hirata Kohno la quantit T log b a disparu Toutefois comme la mesure finale d pend n cessairement de la hauteur de Wo cette hauteur s est d plac e dans A jet F 0 Plus pr cis ment elle est dissimul e dans la hauteur du polyn me P qui sert b tir F hauteur qui en vertu du lemme de Siegel d pend du degr d Arakelov de l espace ad lique dans lequel vit P Une partie de cet esp
3. 0 1 appel taille de X relativement au mod le Gy de Gx d fini de la mani re sui vante Consid rons limage de not e encore X dans AL via le choix de coordonn es pr c dent Le groupe Aut A des automorphismes de AT s identifie l ensemble des g uplets de s ries formelles f f1 fy kv X1 Xg 2 tels que f 0 0 et la matrice jacobienne Dof Of 0x 0 soit inversible Pour p Y nens nX ky X et r gt 0 on note lllr sup lan for 0 00 neN3 et Gun f Aut Af Dof GL 0 et fll max fille lt r Alors par d finition la taille de X est Rg o X sup r 0 1 3f Galr f amp x 0 o d dim La borne sup rieure est prise dans 0 1 ainsi Rg X 0 si l ensemble pr c dent est vide Dans cette criture f d signe l image inverse de X par f Le nombre Rg X est stric tement positif lorsque X est analytique Observons galement que si provient d un sous sch ma de G x Spec Oy lisse le long de l origine alors Rg 1 Lorsque cette derni re condition de lissit n est pas remplie nous disposons parfois d une estimation un peu meilleure que seulement Rg gt 0 Supposons que X est le compl t formel le long de l origine d un sous groupe al g brique de Gr Rappelons que le groupe formel Gi poss de une exponentielle formelle qui en termes des coordonn es X s crit comme un g u
4. Lorsque Rg amp vaut 1 le jet jet s est entier sur O ce qui procure un analogue local du th or me qui ouvre le 10 1 C est dire si l on crit s x F z s0 x o x exp 7 et F analytique dans un voisinage de 0 de ta Cv on jet 8 jet F 0 so 10 OUTILS ULTRAM TRIQUES 37 10 1 2 Dans le cadre qui nous int resse ici l espace Wo est l espace tangent l origine d un sous groupe alg brique connexe H C G Nous silans prendre pour x le compl t formel l origine H du sch ma H x Spec k C est un sous sch ma formel lisse de Gus Quant la section s elle provient de la compos e d un polyn me homog ne et de l exponentielle de Gg vue valeurs dans un espace projectif De la sorte la d monstration de Gel fond Baker nous am ne faire un produit des normes jetz s se wy en les diff rentes places v de k En vertu du lemme de Bost ci dessus cela revient majorer la quantit xx d finie comme la somme finie en r alit 12 x Y lb leR A TER vtm v ultram trique Dans G4 nous avons montr l estimation uniforme suivante LEMME Il existe une constante c gt 1 qui ne d pend que de G en particulier ind pendante du corps k et du groupe H telle que xy lt c Cet nonc est trivial pour les groupes alg briques lin aires car l on dispose de la PROPOSITION Soit H un sous groupe alg brique connexe de G x G d fini sur un corps de nombres ko
5. l usage il arrive parfois que le cadre des fibr s vectoriels hermitiens sur Spec Oj dans lequel s applique la m thode des pentes s av re lui aussi trop rigide la suite des travaux de Zhang 26 Maillot 17 ou bien encore de Rumely et al 21 il est apparu que si l on souhaite construire une hauteur canonique sur les cycles d une vari t projective X munie d un fibr en droites ample M les m triques que l on doit mettre sur M ne sont pas en g n ral hermitiennes mais seulement continues Cela emp che alors de mettre en uvre la m thode des pentes telle quelle comme on aimerait le faire par exemple avec l espace vectoriel des sections globales H X M Ces observations nous ont amen examiner nouveau le formalisme des pentes pour des fibr s vectoriels munis d une structure plus souple que celle des fibr s vectoriels hermitiens sur Spec Ox La g n ralisation de la th orie des pentes de Bost au champ ad lique est le sujet de l article G6 La plupart des r sultats de cet article sont obtenus au moyen d une comparaison avec le cas des fibr s ad liques hermitiens comparaisons qui induisent un terme d erreur constitu de deux l ments le d faut de puret relatif aux places ultram triques de k et le d faut d hermitianit qui ne concerne que les places archim diennes Cette d marche comparative est courante dans l tude de la g om trie des espaces de Banach de dimension finie dite g
6. a ib E N zC a b E R on a rl lall loll e si v est ultram trique alors pour tout X1 2n C ona n 20 PT A Ale j 1 n Les normes aux places ultram triques ne d pendent pas du choix de la Z base w1 Wn de Q car une matrice de GL Z est une isom trie pour la norme du maximum ultram trique Sa structure enti re est donn e par Q i e Q xEN zQ Vufoo rl lt 1 Avec un l ger abus d criture on notera Q c le fibr vectoriel ad lique pur ainsi construit D fauts de puret et d hermitianit Soit v une place de k et E un fibr vectoriel ad lique sur Spec k de dimension n gt 1 tant donn une k base e1 e de E ES ku consid rons le nombre r el p e n d fini comme la borne inf rieure des produits ab o a et b appartiennent k et satisfont la condition suivante pour tout x D ziei E k ky on a 2 ale Em l2 0 rl lt bles 2n l2 0 3 DEGR D ARAKELOV ET HAUTEUR 15 De telles quantit s a b existent toujours par quivalence des normes en dimension finie Soit ko Q si k est un corps de nombres et ko F T si k est un corps de fonctions de caract ristique p On note ny ky ko v le degr local de k en la place v D FINITIONS i Le d faut de E en la place v est la quantit 6 E 5 d finie comme la borne inf rieure des do e1 en lorsque e1 e parcourt les k bases de E ii Le
7. il est possible de se passer d un lemme de Siegel dans la d monstration d une mesure d ind pendance lin aire de logarithmes En effet il existe la m thode des d terminants d interpolation de Laurent et la m thode des pentes de Bost qui ne requi rent aucune construction de fonction auxiliaire La premi re de ces m thodes s est r v l e extr mement int ressante pour les formes lin aires en deux logarithmes travaux de Laurent et al 34 36 gr ce la petitesse des constantes num riques qu elle fournit alli e la m thode de Schneider Waldschmidt L autre m thode a permis au doctorant que j tais d obtenir les premi res mesures d ind pendance lin aire de logarithmes sur une vari t ab lienne quelconque enti rement explicites en tous les param tres dont la hauteur de Faltings de la vari t G2 Pour ces deux m thodes la question du discriminant ne se pose pas car il n appara t pas de mani re naturelle Aux constantes num riques pr s toutes ces approches donnent en d finitive la m me estimation pour ce qui nous concerne 10 Outils ultram triques Toutes les d monstrations de transcendance exigent l estimation de nombres alg briques aux places p adiques formule du produit Parfois cette partie des preuves se r sume sa plus simple expression le nombre alg brique en question est un entier relatif par construction et donc ses valeurs absolues p adiques sont plus petites que 1 Il
8. valuation de d u Wo soit le m me que celui de d uo u W Nous verrons sur deux exemples tir s de nos articles G3 G4 G5 comment l on peut pr ciser ce concept g n ral de d formation Si a posteriori il est relativement ais de comprendre les avantages et les d savantages d avoir modifi les donn es de d part la v ritable compr hension de ce ph nom ne n est pas encore lucid e 12 1 Poids de la droite affine La d formation la plus simple et qui est aussi la premi re avoir t mise en uvre consiste ajouter G au groupe G et consid rer G x G Le point p devient q 1 p Ga x G Q et Wo est remplac par W ta Wo Il est clair que d 1 u W d u Wo A priori cela ne semble pas faire voluer le probl me de la minoration de d u Wo cela pr s que maintenant l on dispose d une variable suppl mentaire pour construire la fonction auxiliaire Cela va constituer un atout incroyable Pour simplifier la pr sentation et aussi parce que c est l exemple historique de Baker prenons G G Le polyn me auxiliaire P de la m thode de Gel fond Baker voir 8 et 9 appartient k Xo X1 X k corps de nombres C C Il est b ti de sorte que la fonction F 20 2n E O amp P zp e 7 satisfasse des conditions d annulation aux points m mu pour les entiers naturels m lt So La ruse not e par Fel dman 4 la fin des ann es soixante est que rien ne n
9. 1 De cette observation et du th or me Pon d duit Vexistence d une fonction c c n m M D gt 0 et d un vecteur x FA u E tels que Hokr Jla 0 lt Dal 22 Ha F 4079 o s max n1 nm A titre de comparaison le th or me 3 1 de 11 donne la borne H y 12 lt c Dy 7 22 Ha F Le gain est particuli re ment important lorsque tous les E sont des droites En effet si e1 em E 0 le th or me ci dessus assure l existence de x FA es k e tel que A m 1 A x lt H max 41 Ex lt ESRI o Par une argumentation encore plus simple que celle qui a conduite au th or me ci dessus R mond a montr un lemme de Siegel avec contraintes donnant un majorant uniforme en les E voir le 3 de G 7 et les pages 115 117 de 19 LEMME DE R MOND Soit E F E Ey comme ci dessus Supposons que s max n1 nm lt m Alors il existe x F U E tel que Hz x lt s 1 M As 1 P De nature g om trique cet nonc a l avantage de rester valide lorsque k est un corps de fonctions dans ce cas on peut supprimer le terme s 1 M De plus on pourrait obtenir un r sultat plus g n ral avec un ensemble alg brique de degr M ne contenant pas F la place de US Ei 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Bibliographie W BLascuke Uber affine Geometrie VII Neue Extremeigenschafte
10. E aussi petite que possible Si M 1 et E 0 il s agit du cas tudi par Bombieri amp Vaaler 2 voir p 31 Toujours si M 1 la r ponse la question est facile puisqu il suffit de travailler avec le quotient F E1NEF et d appliquer le r sultat pr c dent Cet argument ne fonctionne plus avec plusieurs sous espaces Pour y rem dier nous nous sommes inspir de la strat gie de Fukshansky qui a d j tudi ce probl me dans un cadre plus restreint 10 11 2006 Le principe est tr s simple tant donn un id le r r kk l existence d un vecteur x F 0 de hauteur plus petite que le module normalis r A est garantie d s lors que l on prend x 0 dans l intersection de F et de la boule ad lique B 0 r x 2 ESkka Vo zul lt lrolu de rayon r Et si l on veut que x a E il suffit de choisir r de sorte que M 4 gt card E N Bz 0 r lt card F N Bz 0 r i 1 Ainsi tout le travail consiste encadrer les cardinaux qui interviennent ici Il s agit de la variante ad lique du probl me classique de g om trie des nombres de l valuation du nombre de points d un r seau F dans un corps convexe Bx 0 r que nous avons abord au 4 La minoration de van der Corput du cardinal de FNBz 0 r et la majoration de Henk pour chacun des cardinaux des E N Bx 0 r apportent des r ponses ce probl me La condition 4 devient une contrainte polynomiale M S 7 as b
11. Il existe un sous sch ma en groupes H Go x Cres lisse sur Spec Ok et de fibre g n rique H DEMONSTRATION Il suffit de traiter les cas H C G et H C G Dans le premier cas on choisit le fibr vectoriel V ce H ko A OP Dans le second cas il existe un sous groupe facteur direct de ZU tel que si M Z et si Z M est la Z alg bre engendr e par M on a Spec Z M Xspecz Spec ko On choisit H Spec Z M Xspecz Spec Oko qui est lisse sur Spec Oko car M est sans torsion Le th or me de d composition de Chevalley que l on applique la composante neutre de G ram ne alors la difficult aux vari t s ab liennes Le lemme ci dessus appara t alors comme une cons quence du th or me suivant de Raynaud que l on trouve comme corollaire du th or me 4 de 9 7 5 p 187 TH OREME DE RAYNAUD Soit ko un corps de nombres et H C G deux vari t s ab liennes sur ko Soit H G leurs mod les de N ron respectifs sur Oko Soit v une place finie de ko de caract ristique r siduelle p et d indice de ramification e ko Qp Si e ko v Qp lt p 1 et si G a bonne r duction en v alors H a bonne r duction en v et l unique morphisme H G issu de la propri t de mod le de N ron de G est une immersion ferm e Ainsi dans la somme qui d finit xy les places qui posent probl me sont celles pour lesquelles l indice de ramification plus un est plus grand que la caract ristique r siduelle
12. aires en un loga rithme usuel sur Ga X Gm lorsque l on veut minorer 1 blog a avec a Q 0 Contrairement au r sultat du pr c dent l hypoth se b N est totalement superflue et l on pourrait prendre b ainsi que les coefficients de P dans le corps des nombres alg briques en adaptant la conclusion Les g n ralisations ad quates de cette m thode de changement de variables ont profond ment fait voluer plusieurs domaines de l approximation diophantienne cette derni re d cennie dont la th orie des formes lin aires de logarithmes L on doit probablement la th se de P Graftieaux 1998 28 d avoir d clench la reviviscence de ces techniques pour des groupes alg briques plus complexes que Gm comme les vari t s ab liennes techniques que l on retrouve formalis es pour les courbes elliptiques plusieurs endroits de l uvre des fr res Chudnovsky 14 16 Afin de mieux comprendre les solutions apport es aux complications techniques rencontr es lors de la mise en uvre du changement de variables dans le cadre d une vari t ab lienne regardons tout d abord Vanalogue de la s rie logarithme usuelle log 1 t pour une courbe elliptique E sur un corps de nombres k C Soit A le r seau des p riodes de E C et y 4x gox g un mod le de Voir par exemple le lemme 4 8 de G2 10 OUTILS ULTRAM TRIQUES 39 Weierstra de E L application exponentielle expg te C E gt
13. brique x1 x non nulle au syst me d inequations g 7 Vie 1 m Sas SE j 1 ici est un nombre r el strictement positif Un nonc qui garantit existence d une solution alg brique ce syst me d in quations est appel lemme de petites valeurs En voici un exemple extrait de l article de Philippon amp Waldschmidt 46 qui a servi la construction de la fonction auxiliaire de plusieurs articles marquants de la th orie des formes lin aires de logarithmes 31 32 46 47 aussi utilis dans G1 LEMME DE PETITES VALEURS Soit aij 1 lt lt m 1 lt j lt g une matrice de nombres complexes et A un nombre r el tel que max lt j lt m yA la lt A Soit p le rang de A Soit H N 0 et e 0 00 tels que 2p 1 lt H 1 Alors il existe x1 x Z9 0 tel que g JSH et Da pee A ne J C est dire lorsque u n est pas une p riode en un sens assez fort et que l on peut extrapoler sur les multiples de u 9 LEMMES DE SIEGEL 33 Tout comme pour le lemme de Siegel original la d monstration repose sur le principe des tiroirs S il est facile de g n raliser un corps de nombres au moyen d une Q base 1 p de ce corps ceci fait intervenir la hauteur de cette base Et souvent dans la pratique le corps consid r est le corps de nombres dans lequel vivent tous les nombres alg briques de la d monstration En particulier pou
14. des minorations explicites de d u Wo le groupe alg brique sous jacent est le groupe lin aire Ga x G La th o rie resta cantonn e pendant une quinzaine d ann es au cas d un groupe lin aire W stholz puis Philippon d velopp rent alors un outil fondamental appel lemme de multiplicit s obtenu par le biais de l alg bre commutative qui permit de g n raliser en partie les th or mes de Baker et al un groupe alg brique commutatif quelconque cadre dans lequel nous avons pos la probl ma tique quelques lignes plus haut L nonc de Baker ci dessus est un cas particulier du r sultat suivant 62 64 TH OR ME DE W STHOLZ Soit G un groupe alg brique commutatif d fini sur Q et u ta C tel que expa u G Q Alors le plus petit sous espace vectoriel de ta C d fini sur Q et qui contient u est l espace tangent l origine d un sous groupe alg brique connexe de G d fini sur Q Le lien avec le th or me de Baker repose sur le fait qu un sous groupe alg brique connexe de G est d fini par des quations monomiales an m r 1 o b1 b parcourt un sous groupe satur de Z Par ailleurs je disais g n raliser en partie pour l aspect quantitatif car si les articles fon dateurs de la th orie g n rale de Philippon amp Waldschmidt 46 47 fournissent des minorations de d u Wo ces derni res taient nettement moins bonnes que les mesures d j connues pour un grou
15. un th or me plus r cent de Henk 14 2002 qui est un des pivots de G7 TH OR ME DE HENK AD LIQUE Soit k un corps de nombres et E un fibr vectoriel ad lique sur Speck de dimension n gt 1 Alors pour tout r ka on a Q n_1T Irla card E N Bg 0 r lt 2357k Q n 1 II 1 i 1 EJEA 5 Pentes maximales et in galit s de pentes Dans le paragraphe 3 nous avons introduit la notion de pente d Arakelov d un fibr vectoriel ad lique sur Spec k Ici nous approfondissons un peu cette notion avec le regard port vers les ap plications diophantiennes Ceci implique que nous n voquerons pas la famille de n pentes associ es un fibr vectoriel ad lique de dimension n exception de la premi re la pente maximale Bien que cette famille et ses propri t s constituent la v ritable th orie des pentes mentionn e dans l introduction seule la premi re est utilis e actuellement dans les applications et dans nos articles diophantiens Le c l bre th or me de Northcott affirme que l ensemble des droites k x x E et Hz x lt a est fini pour tout nombre r el a De cet nonc l on d duit qu il n existe qu un nombre fini de sous fibr s vectoriels ad liques F de E tels que f F gt a Cela justifie la d finition suivante D FINITION La pente maximale d un fibr vectoriel ad lique E not e fimax E est le nombre r el limax E max fin F FC E La pente max
16. 199 1994 M LAURENT Linear forms in two logarithms and interpolation determinants II Acta Arith 133 4 325 348 2008 M LAURENT M MIGNOTTE et Y NESTERENKO Formes lin aires en deux logarithmes et d terminants d inter polation J Number Theory 55 2 285 321 1995 H W LENSTRA Jr Algorithms in algebraic number theory Bull Amer Math Soc N S 26 2 211 244 1992 F LINDEMANN Uber die Ludolph sche Zahl Sitzungber K nigl Preuss Akad Wissensch zu Berlin 2 679 682 1882 D W Masser Elliptic functions and transcendence volume 437 de Lecture Notes in Mathematics Springer Verlag 1975 D W Masser Polynomial interpolation in several complex variables J Approx Theory 24 1 18 34 1978 E M Matveev An explicit lower bound for a homogeneous rational linear form in logarithms of algebraic numbers Izv Ross Akad Nauk Ser Math 62 4 81 136 1998 Izv Math 62 4 723 772 1998 M MIGNOTTE et M WALDSCHMIDT Approximation des valeurs de fonctions transcendantes Indag Math 37 213 223 1975 L MoreT BarLLY Pinceaux de vari t s ab liennes volume 129 de Ast risque Soci t Math matique de France 1985 L Moret Batty Sur l quation fonctionnelle de la fonction th ta de Riemann Compositio Math 75 2 203 217 1990 P PHILIPPON et M WALDSCHMIDT Lower bounds for linear forms in logarithms New advances in transcendence theory Durham 1986 pp 280 312 Cambridge Univ Press Ca
17. D BERTRAND D cembre 2005 ViLLANI Mesures de transcendance pour les points alg briques de fonctions modulaires de Siegel C R Math Acad Sci Paris 344 1 1 4 2007 M WALDSCHMIDT Nombres transcendants volume 402 de Lecture Notes in Math Springer Verlag 1974 M WALDSCHMIDT Transcendance et exponentielles en plusieurs variables Invent Math 63 1 97 127 1981 M WALDSCHMIDT Fonctions auxiliaires et fonctionnelles analytiques I II J Analyse Math 56 231 254 255 279 1991 M WALDSCHMIDT Diophantine Approximation On Linear Algebraic Groups volume 326 de Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Springer Verlag 2000 K Wererstrass Zu Hrn Lindemann s Abhandlung Uber die Ludolph sche Zahl Sitzungber K nigl Preuss Akad Wissensch zu Berlin 2 1067 1086 1885 G W sTHoLz Some remarks on a conjecture of Waldschmidt In Approximations diophantiennes et nombres transcendants Luminy 1982 volume 31 de Prog Math 329 336 1983 G W sTHOLZ A new approach to Baker s theorem on linear forms in logarithms III New advances in trans cendence theory Durham 1986 pp 399 410 Cambridge Univ Press Cambridge 1988 G W srtHouz Algebraische punkte auf analytischen untergruppen algebraischer gruppen Ann of Math 129 3 501 517 1989 G W srHoLz Ed A panorama of number theory or the view from Baker s garden Articles issus de la conf rence Number Theory and Diophantine Geomet
18. Springer Verlag London Ltd 2002 L A SANTALO Un invariante afin para los cuerpos convexos del espacio de n dimensiones Portugal Math 8 1949 155 161 J L THUNDER An adelic Minkowski Hlawka theorem and an application to Siegel s lemma J reine angew Math 475 167 185 1996 J D VAALER The best constant in Siegel s lemma Monatsh Math 140 1 71 89 2003 S ZHANG Positive line bundles on arithmetic varieties J Amer Math Soc 8 1 187 221 1995 23 Th orie des formes lin aires de logarithmes 7 Introduction Peu apr s qu Hermite eut d montr en 1873 la transcendance de la constante de N per e 2 71 les travaux de Lindemann 1882 38 et de Weierstra 1885 61 aboutirent l nonc suivant TH OR ME DE LINDEMANN WEIERSTRASS Soit 1 a des nombres alg briques distincts et Bi Bn des nombres alg briques non tous nuls Alors on a Bie Bret ED Par contrapos e ce r sultat entra ne la transcendance de m car e 1 0 et plus g n ralement de toute d termination log a du logarithme d un nombre alg brique non nul Ces cons quences ont conduit Hilbert proposer au congr s international des math maticiens de Paris en 1900 le probl me suivant 7 sur la fameuse liste des 23 SEPTIEME PROBL ME D HILBERT Soit a Q 0 et u un logarithme non nul de a Soit BE Q Q Alors af ef g Q On peut reformuler cette question en termes d ind p
19. ces r sultats g n ralisent ceux comparables de David avec en particulier la pr sence dans le th or me principal d un groupe alg brique qui en variant induit de nombreuses mesures diff rentes Une caract ristique importante de la preuve est la mise en uvre pour la premi re fois dans ce contexte de la m thode des pentes de Bost et de certains r sultats de g om trie d Arakelov qui lui sont attach s G3 Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques multiplication complexe Soit une courbe elliptique C M d finie sur Q Consid rons une famille de formes lin aires sur l alg bre de Lie de E coefficients dans le corps de multiplication complexe de Dans ce cadre nous pr sentons une mesure d ind pen dance lin aire de logarithmes analogue aux estimations connues actuellement pour les tores commutatifs de type log b log a Ainsi l instar des r centes avanc es dans ce domaine travaux d Ably David Hirata Kohno cette mesure est optimale en la hauteur des formes lin aires consid r es log b et en outre elle est plus pr cise en la hauteur des points de la courbe elliptique log a avec la suppression d un terme en log log a G4 tude du cas rationnel de la th orie des formes lin aires de logarithmes Dans ce travail nous tablissons des mesures d ind pendance lin aire de logarithmes d un groupe alg brique commutatif dans le cas rationnel Plus pr cis
20. contribu cette aventure jusqu maintenant et d autre part comme l crit Lenstra 37 in his innermost self he the mathematician will know that in the end his own work will turn out to have the widest application range exactly because it was not done with any specific application in mind 8 DESCRIPTION DE LA M THODE DE GEL FOND BAK leal a 29 i Dans la litt rature ces r sultats ne sont pas tous crits avec Wo de dimension quelconque raison pour laquelle nous avons suppos Wo hyperplan Il en est ainsi de 1 sauf pour un groupe alg brique lin aire voir G5 et de 4 ii La r f rence G4 contient une hypoth se suppl mentaire sur u qui ne doit pas tre une p riode en un sens fort que je saurais supprimer aujourd hui avec les techniques de G5 iii Le cas elliptique C M signifie que G est une puissance d une courbe elliptique multipli cation complexe iv Le r sultat de Philippon amp Waldschmidt est encore plus pr cis car l on pourrait remplacer par log b par log b log a Les mesures que nous venons d crire sont des cons quences de th or mes beaucoup plus pr cis qui sont dans les articles originaux En effet crire un r sultat complet devient tr s rapidement sot rique en raison du nombre lev de param tres Toutefois voici titre d exemple un nonc raisonnable dans sa technicit et conforme dans sa pr sentation ceux que l on trouve dans la lit
21. de G de degr contr l et tel que u t C version faible mais quantitative du th or me de W stholz Cette d monstration simplifi e souffre de quelques inexactitudes dont une s rieuse est relative l emplacement du lemme de multiplicit s dans la preuve Ce lemme fournit l existence d un sous groupe G de G dont on contr le le polyn me de Hilbert Samuel Mais si on l utilise la fin comme je l ai affirm il n est pas possible de se d barrasser du groupe G qui appara t pour pouvoir conclure Aussi l astuce mise en place par Philippon amp Waldschmidt en 1986 consiste int grer d s le d part ce G dans la construction des param tres et de la fonction F comme si l on raisonnait avec un simili groupe quotient G G Si cette mani re de proc der permet de surmonter brillamment l obstacle technique sans co t significatif pour la qualit de la mesure elle contribue malheureusement rendre un peu plus difficile la lecture de la d monstration pour les non initi s La structure globale de la d monstration tant pr sent e nous allons maintenant d tailler les outils qui aident r aliser chacune des tapes 9 Lemmes de Siegel La plupart des d monstrations de transcendance requiert l utilisation d une fonction auxiliaire qui doit satisfaire un nombre fini de conditions lin aires En g n ral il s agit de conditions d an nulations en des points particuliers avec des ordres de multip
22. de ce lemme existent On peut demander que l l ment x EX 0 vite un nombre fini de sous espaces vectoriels de E Ceci constitue le fil directeur de notre article G7 voqu dans la premi re partie 6 Mais la variante la plus importante est celle qui permet de s affranchir de la d pendance en le discriminant du corps de nombres On recherche une solution x non nulle non pas dans E mais dans E Q Un tel lemme de Siegel est dit absolu Si le premier nonc de ce type est d Roy amp Thunder 51 nous pr sentons ici un raffinement signal par David amp Philippon 24 partir d une in galit de Zhang relative aux minima successifs d une vari t arithm tique 66 LEMME DE SIEGEL ABSOLU Soit E un fibr ad lique hermitien sur Speck de dimension n gt 1 Alors il existe x E Q 0 tel que Hz x lt Vni E L nonc de Roy amp Thunder fournit e au lieu de yn Il existe une g n ralisation qui donne une base e1 en de ES Q telle que Hy e1 Halen lt n H E Afin de combler une lacune de la litt rature qui ne fournit aucune d monstration de cet nonc nous prouvons cette in galit dans l appendice Si autrefois dans les d monstrations de mesures d ind pendance lin aire de logarithmes le discriminant du corps de nombres tait absorb par La notion de fibr ad lique hermitien sur Spec k est d finie dans la premi re partie de ce m moire p 14 Ici l o
23. en est ainsi des nombres GV Ses dy rem a 2 rues o leN beZet PE Z X Y Sous certaines hypoth ses l on peut dire beaucoup mieux et c est ce que nous allons expliquer dans les deux sections qui vont suivre 10 1 Tailles de sous sch mas formels et lemme de Raynaud Dans l introduction nous avons mentionn le fait que les mesures d ind pendance lin aire de logarithmes taient meilleures lorsque l espace vectoriel Wo est l espace tangent d un sous groupe alg brique connexe de G cas rationnel En effet dans ce cas l on peut supprimer le terme parasite log log a li la hauteur du point p qui est dans les mesures d ind pendances lin aires de logarithmes Lorsque G G2 l hypoth se de rationalit de Wo signifie que Wo est d fini par l annulation de formes lin aires en les coordonn es canoniques de tg dont les coefficients sont entiers relatifs Le cas rationnel le plus simple mises part les puissances du groupe affine G est G G et Wo Vhyperplan d fini par 22 bz b Z Sous sa forme la plus d pouill e le r sultat clef qui permet d exploiter l hypoth se b Z dans la d monstration de Gel fond Baker est le suivant Et en particulier les probl mes du cas p riodique sont dissous 10 OUTILS ULTRAM TRIQUES 35 TH OREME Soit P Z X Y et un entier naturel Supposons que l application analytique z P e e s annule l ordre en 0 Alors le nombre I eee Il y
24. formule du produit 1 v parcourt les places de K et n K Qo est le degr local Pour obtenir une contradiction on majore chacune des valeurs absolues v adiques de de mani re suffi samment fine pour que le produit soit strictement inf rieur 1 En g n ral Pon distingue trois sortes de places celles ultram triques celles archim diennes et mises part les places vy qui correspondent aux plongements complexes de K qui tendent l inclusion k C La distance d u Wo n intervient que pour l estimation de Sa petitesse influe directement sur celle de et l on aboutit alors une contradiction avec la formule du produit Le nombre n existe donc pas Par cons quent la fonction F construite nulle sur 0 Sou l ordre To le long de Wo s annule galement sur 0 Su l ordre T1 C est ce stade qu entre en action th oriquement dans la pratique c est plus compliqu le lemme de multiplicit s qui apr s plusieurs transformations assez techniques permet d aboutir une contradiction C est donc que la petitesse suppos e de d u Wo qui d bouche sur la non existence de est fausse ce qui donne une minoration de cette distance Si au d part u Wo la d monstration fonctionne quand m me mais la derni re tape o intervient le lemme de multiplicit s n aboutit pas une contradiction mais l existence d un sous groupe alg brique G
25. hauteur de a b Q 0 pour des entiers a et b premiers entre eux est simplement max Jal b Propri t s L article G6 d crit de mani re syst matique les propri t s de la hauteur et du degr d Arakelov relatives aux diverses op rations que l on peut faire sur la cat gorie des fibr s vec toriels ad liques sous fibr quotient d un fibr par un sous fibr somme directe dualit produit tensoriel produit sym trique produit ext rieur d terminant Plut t que de faire une longue liste de ces propri t s mentionnons simplement quelques difficult s et la mani re dont nous les avons r solues Dans cette discussion E d signe un fibr vectoriel ad lique sur Spec k Tout d abord un sous fibr ad lique de E est la donn e d un sous espace vectoriel F de E que l on munit des normes de E restreintes F Mais si E est l exemple Q c de la g om trie des nombres classique il faut prendre garde que si U est un sous groupe de Q le fibr ad lique U c nest pas a priori un sous fibr ad lique de Q c car les structures enti res ne coincident pas en g n ral Pour que cela soit le cas il faut et il suffit que U soit gal U 8z Q N Q i e que le quotient 0 1 soit sans torsion ou ce qui revient au m me que U soit facteur direct dans N C est la raison pour laquelle appara t parfois dans les calculs de hauteur Pindice U z Q NQ U Le dual E de E est l espace vect
26. id e originale d Hirata Kohno ainsi que Vinterpr tation g om trique que nous en avons faite dans G2 reprise en partie dans G5 Soit G un groupe alg brique commutatif de dimension g d fini sur un corps de nombres k Soit 21 24 des coordonn es sur tg en lesquelles l quation de Wo s crit 6121 9 0 avec bi k Ajoutons G G pour former G x G et consid rons l hyperplan W de ta tg d fini par Zo Dj Biz ici zo est la coordonn e canonique sur tg En posant u 0 u Pon dispose du logarithme d un point k rationnel p 0 p de Ga x G tel que les trois quantit s d u W d u Wo et Xs Bju sont gales peu de choses pr s Ces transformations que l on place sous l appellation g n rale de r duction d Hirata Kohno il y a plusieurs variantes vont jouer un r le mod rateur sur les d rivations Pour simplifier prenons maintenant G G2 dont l exponentielle est facile d crire 21 29 gt e e79 Dans la d monstration de Gel fond Baker apparaissent les d riv es le long de W au point 0 0 de la fonction F 20 29 CIH gt Plz e e 9 o P k Xo Xn D river le long de W signifie que Pon d rive application restreinte Fw 21 Zg gt Dll sue ee dans toutes les directions restantes En d veloppant en s rie chacune des exponentielles qui est dans cette fonction et en d veloppant ensuite tous les produits on montre que
27. liques sur Speck et y E F une application k lin aire La hauteur de p relative E et F not e h E F p est la somme h E F 9 EH D ny log llell ny ky ko v est le degr local La norme y est la norme d op rateur de l application induite Po E 8k ky F Qk ky et la somme ci dessus ne comporte qu un nombre fini de termes non nuls Par la simple observation que l in galit y x z lt 1 est satisfaite d s que x 5 lt pls on montre que si y est injective alors max E lt fimax F h E F Il y a plusieurs fa ons d tendre cette in galit et l une d entre elles est au c ur de ce que l on appelle la m thode des pentes L on consid re une filtration 0 Fy CFy 1 Cho F d un espace F par des k espaces vectoriels F On ne suppose pas que F est muni d une structure de fibr vectoriel ad lique En revanche chacun des espaces quotients G F 1 F 1 lt i lt N est Les difficult s pour d finir un produit tensoriel de fibr s ad liques voqu es au 3 ne se rencontrent pas ici car les fibr s sont hermitiens TUn fibr vectoriel ad lique E est dit semi stable si la pente d Arakelov normalis e de E est gal sa pente maximale La conjecture de Bost affirme que le produit tensoriel de deux fibr s ad liques hermitiens semi stables est encore semi stable 6 LEMMES DE SIEGEL AVEC CONTRAINTES 21 muni de normes aux places de k telles que
28. ment soit k un corps de nombres et vo une place quelconque de k Soit G un groupe alg brique commutatif d fini sur k et H un sous groupe alg brique connexe de G d alg bre de Lie Lie H Soit u Lie G Cu un logarithme d un point p de G k Dans le cas non p riodique le point p n est pas de torsion modulo certains sous groupes de G nous obtenons des minorations de la distance de u Lie H x Cu qui g n ralisent en partie les mesures d j connues dans le cas d un groupe lin aire Les principales caract risques de ces r sultats sont d une part d am liorer la d pendance en la hauteur log a du point p en supprimant une puissance de log log a et d autre part d tre valides dans un contexte tr s g n ral La d monstration utilise le formalisme des tailles de sous sch mas formels au sens de Bost en association avec un lemme arithm tique de Raynaud Nous avons galement recours un lemme de Siegel absolu et lorsque vo est ultram trique un lemme d interpolation de Roy G5 Minorations simultan es de formes lin aires de logarithmes de nombres alg briques Soit n N 0 k un corps de nombres et v une place de k Soit u1 Un Cy tels que e k pour tout j 1 n Soit bij 1 lt i lt t 1 lt j lt n une matrice t x n coefficients dans k et de rang t Soit B1 0 64 0 kt Posons A Bio Dr Bi juj Cy pour tout 1 t Le r sultat principal que nous pr senton
29. om trie de Minkowski source d inspiration pour notre travail Un aspect int ressant de cette approche est que les termes d erreurs induits sont tr s bien contr l s Ils sont born s par une fonction explicite de la dimension du fibr vectoriel ad lique et du degr de k De plus ils disparaissent dans le cas hermitien Ceci assure que les nonc s tablis dans l article G6 sont des g n ralisations du cas classique hermitien sur Spec Ox Dans les pages qui suivent nous donnons quelques l ments de la th orie des fibr s vectoriels ad liques sur Spec k k corps global sans d monstration pour lesquelles on peut se r f rer G6 et G7 Cette th orie rev t un aspect assez l mentaire et l on ne supposera connu du lecteur aucune connaissance particuli re relative la th orie des pentes classique 2 Fibr s vectoriels ad liques Suivant en partie Rumely et al 21 nous d finissons ici une notion de fibr vectoriel ad lique sur Spec k qui g n ralise celle de fibr vectoriel hermitien sur Spec Ox qui est la base m me de la g om trie d Arakelov Soit k un corps global et v une place de k On note C la compl tion d une cl ture alg brique de k Si K est une extension finie de k et w une place de K au dessus de v on a un isomorphisme topologique de corps values C C Soit E un k espace vectoriel Une norme sur E x C est une application E Cy R qui satisfait aux
30. p car pour les autres on a Rg H 1 Comme e ko Qp lt ko Q les mauvaises places ont toutes leurs caract ristiques lt ko Q 1 Il n y en a donc qu un nombre fini et en ces places on utilise la minoration simple Rg H gt p p 1 voqu e un peu plus haut pour conclure 10 1 3 En r alit pour d montrer les th or mes de G4 il n est pas n cessaire d avoir une estimation aussi fine de xp Lorsque nous laissons xy ind termin au cours de la d monstration nous constatons qu il appara t dans le facteur max 1 h Wo intervenant dans le param tre a qui devient alors max 1 h Wo xx Autrement dit il suffirait de montrer l existence d une constante c telle que xx lt cmax 1 h Wo pour obtenir exactement les m mes nonc s que les th or mes de G4 Et cela est possible de mani re l mentaire sans avoir recours au r sultat de Raynaud La d marche consiste se ramener comme ci dessus au cas ab lien puis comparer la structure enti re sur tg donn e par le mod le de N ron B de B et celle donn e par le module satur tg Nt 1 partir duquel se calcule la norme des jets le long de tg Le calcul du quotient tg N t4 tg fournit Ce th or me stipule qu un gro pe alg brique commutatif connexe est une extension d une vari t ab lienne par un groupe lin aire Ge 0 Gt apr s une ventuelle extension finie du corps de nombres de d finition ko de G m ko
31. satisfaire les plus exigeants de nos lecteurs 8 Description succincte de la m thode de Gel fond Baker La d monstration d une mesure d ind pendance lin aire de logarithmes comporte plusieurs tapes Le prototype d une telle d monstration s est simplifi au cours du temps en particulier gr ce aux progr s accomplis dans les ann es 80 avec les nouveaux lemmes de multiplicit s de W stholz et Philippon L esquisse que nous pr sentons ici est un point de vue moderne qui tient compte de la disponibilit d outils performants et qui omet certaines difficult s techniques comme le cas dit p riodique Soit k C C un corps de nombres sur lequel sont d finies toutes les donn es alg briques du probl me La d monstration ne met en jeu qu un nombre fini de quantit s alg briques suppl men taires Par cons quent l on peut choisir au pr alable une extension K k dans lequel vivent tous les nombres alg briques consid r s Les moyennes sur les diff rentes places de K que l on fait au cours de la d monstration permettent de faire dispara tre le degr relatif K k que l on ne contr le pas Ceci tant fait on commence par compactifier G et le plonger dans un espace projectif PY 30 au moyen d un diviseur ad quat compactification de Serre On peut alors voir l exponentielle de G C comme une application analytique exp CI PN C z o 2 On z dont on conna t l ordre de croissance analy
32. variety defined over Q which are totally explicit in function of the invariants of the abelian variety dimension Faltings height degree of a polarization Besides except an extra hypothesis on the algebraic point considered and a weaker numerical constant we improve on earlier results in particular David s lower bound We also introduce into the main theorem an algebraic subgroup that leads to a great variety of different lower bounds An important feature of the proof is the implementation of the slope method of Bost and some results of Arakelov geometry naturally associated with it G3 Diophantine approximation on elliptic curves with complex multiplication Let be an elliptic curve with complex multiplication defined over Q We consider linear forms on Lie E with coefficients in the CM field of Within this framework we present a new measure of linear independence for elliptic logarithms in log b log a Like recent advances in this domain works by Ably David Hirata Kohno our result is best possible in terms of the height of the linear forms log b while providing a better estimate in the height of algebraic points considered log a removing a term in log log a G4 Study of the rational case of the theory of linear forms in logarithms We establish new measures of linear independence of logarithms on commutative algebraic groups in the so called rational case More precisely let k be a number field and vo be an a
33. 7 et 1999 Bost a effectu une tude syst matique de ces nombres laborant ainsi une v ritable th orie des pentes De ces cours et de l article fondateur 3 est issue une m thode dite m thode des pentes destin e prouver des nonc s de transcendance et d approximation On demande souvent cet ensemble de poss der l origine comme point int rieur d tre compact et sym trique par rapport l origine C est alors une boule unit ferm e pour la norme jauge C d un Z module de rang n de R L ensemble des l ments x k pour lesquels il existe un polyn me unitaire P Z X tel que P x 0 est un sous anneau de k x appel anneau des entiers de k 2 FIBR S VECTORIELS AD LIQUES 13 diophantienne La grande force de la m thode des pentes est de s adapter naturellement un probl me de nature arithm tico g om trique Son utilisation renforce la clart de l argumentation en s parant distinctement les contributions tout en faisant ressortir les invariants naturels et g om triques des objets qui sont en jeu Par exemple elle a permis de mettre en lumi re et de d montrer un crit re d alg bricit de feuilles formelles 4 Nous l avons galement utilis e pour fournir des minorations de formes lin aires de logarithmes de vari t s ab liennes principalement polaris es minorations qui sont totalement explicites en la dimension et la hauteur de Faltings de la vari t G2
34. Gi v v soit un fibr vectoriel ad lique Soit E un fibr vectoriel ad lique sur Speck de dimension n et y E F une application k lin aire On pose vie l N 1 E 0 Fr Chacun des espaces F est pourvu de la structure ad lique E induite par E On pose Ey 41 0 Soit y E G la compos e de la restriction de y E et de la projection canonique F 1 F _ 1 F s PROPOSITION Avec les notations ci dessus si p est injective alors N dim E Ei 1 pe i Hit1 fa a jin E lt D max Gi h Ei Gi pi log An E bn F i 1 Pour tre utilis e en approximation diophantienne cette in galit requiert un mode d emploi voir 3 4 ou G2 par exemple 6 Lemmes de Siegel avec contraintes Le 9 de la seconde partie rassemblera plusieurs lemmes de Siegel utilis s en transcendance Dans ce paragraphe nous pr sentons une g n ralisation du lemme de Bombieri amp Vaaler extraite de G7 o l on exige du petit vecteur que l on produit de ne pas appartenir un nombre fini de sous espaces vectoriels Plus pr cis ment soit E un fibr vectoriel ad lique sur un corps de nombres k Soit M N 0 et F E Em des sous espaces vectoriels de E de dimensions respectives m n1 n q Par un argument l mentaire d alg bre lin aire la condition max n1 nm lt m entra ne F LE E La question que l on se pose alors est de trouver x F L E de hauteur relative
35. P C peut tre d crite au moyen des coordonn es 1 y l a y sizgA Vzetr C apse aa O sizeA o zx y et z sont reli s par la fonction elliptique de Weierstra 1 1 1 pA at Y Goa z Zee via les formules x p z et y p z La connaissance de exp repose sur celle des param tres ti a et s gt L quation de Weierstra fournit la relation s 1 ts 5 partir de laquelle il est facile de voir que s gt gt 3 ant avec an Re Z Y de degr lt n Le quotient t s s crit Ny Gnt t avec Rp et la forme diff rentielle 2dz a sd appartient Rgllt dt Par int gration la coordonn e locale z sur l espace tangent E C s exprime comme une s rie en t OO bn n z on avec bn Rp de degr lt n Cette s rie est l analogue de log 1 t pour les courbes elliptiques Elle est appel e logarithme formel du groupe formel l origine construit partir de E et de son mod le de Weierstra Le point important est que l arithm tique des coefficients de ce logarithme qui se lit sur b est connue avec pr cision On ne peut pas se contenter de savoir qu ils sont dans un corps de nombres de d finition de la courbe elliptique comme c est souvent crit dans la litt rature Pour une vari t ab lienne les choses deviennent nettement plus compliqu es pour au moins trois raisons Il n y a pas une unique quation aussi simple et explicite
36. Spec k de dimension n gt 1 Soit vol une mesure de Haar sur le groupe localement compact k 4 et dp E k un isomorphisme de k espaces vectoriels La hauteur normalis e de E est le nombre r el EB vol B amp 1 12 0 1 Tako H E v8 B 0 11 Le degr d Arakelov normalis que l on peut aussi appeler degr adelique normalis de E est deg E log H E La pente d Arakelov normalis e ou pente ad lique normalis e de E est fin deg E n Les d finitions de ces quantit s ne d pendent ni du choix de la mesure de Haar proportionnelles entre elles ni du choix de l isomorphisme amp formule du produit Le terme au num rateur dans H E est un terme de normalisation qui assure que la hauteur du fibr ad lique hermitien k 2 vaut 1 h ritage d Arakelov Par exemple la hauteur de Q c vaut Vn covol Q H 9 c vol C V d signe le volume de la boule euclidienne de R mesur par rapport la mesure de Lebesgue usuelle vol est une mesure de Haar sur R covol Q est la mesure du quotient R Q induite par vol De la m me mani re on a une notion de hauteur pour les vecteurs de E si x E la hauteur normalis e de x relative E est eral Ha TI la 2 dans ce produit v parcourt toutes les places de k Si E Q l l p p c d Q muni des valeurs absolues usuelles sur chacun de ses compl t s alors la
37. Universit Grenoble Institut Fourier Umr 5582 du Cnrs EPA adiligue Habilitation Diriger des Recherches sp cialit Math matiques NV feriunt cl soutenu fullguement te Le dcembre 2009 devant E jury comsfecde ade Yann BUGEAUD Professeur IRMA Strasbourg Sinnou DAVID Professeur IMJ Paris 6 Emmanuel PEYRE Professeur TF Grenoble 1 Patrice PHILIPPON Directeur de Recherches IMJ Paris 7 Ga l R MOND Ma tre de Conf rences habilit TF Grenoble 1 Antoine CHAMBERT LOIR Professeur IRMAR Rennes 1 Patrice PHILIPPON Damien RoY Professeur Universit d Ottawa Canada Remerciements Ce kerte eat ume aymthire de mes travaux de nechenche des sent denmi nes amm es L Institut Founien Je anis In s reconnaissant ce labenateine des excellentes conditions de trawail qu il maine ek je nemencie aon dinecteun actuel Michel Brion qui a AW poliemment et m thediquement me comvaimone d cnine ce texte aid il eat vrai pan Le omo qui m a g n newaememt allou ume d l gation d um semestre cette bin je eux d hemdne men Rabilitatien 4 De dois ausal aux bois napporteuns Am Eoime Clanmbent Poin Patrice Philippon ek Damien Troy qui ent biem Seala mendre De d tudien mes anticles et d em laine l amalyae les nemencie de s tre acquitt de David Emmanuel Fenne ek Gaal R mond de me laine l honneur de leun qm semce De joun de lo seutemamce et de Dimt r t qu ils portent mes trava
38. YTIQUE 41 et les quations 13 permettent toutefois d obtenir une majoration de la forme fm Nous sommes donc en presence d une fonction holomorphe f d une variable complexe telle que FO m est petit pour m 0 So et 0 To Ti L on veut montrer que f m est aussi petit pour m So 1 S1 C est pour cette phase d extrapolation qu intervient un lemme d interpolation De tels lemmes existent depuis les d buts de l analyse complexe avec la formule des r sidus de Cauchy dont la formule d interpolation d Hermite suivante est une cons quence soit Q z BEE z m T C CC le cercle de centre 0 et de rayon R gt z et Cm le cercle de centre m et de rayon 1 2 Alors on a lt d u Wo x un autre terme gros mais pas trop fie _ 1 ff dr 1 Ffm f e m de en Q z 2ri f Q x x z ri 2 gt L Q x x z l 0 ae De cette formule d coule le lemme d interpolation suivant extrait de l article 17 de Cijsouw amp Waldschmidt 1977 Si x est un nombre r el positif et si D 0 x d signe le disque ferm z C z lt x on note f la borne sup rieure des f z z D 0 x LEMME D INTERPOLATION Soit S gt 2 et T des entiers naturels strictement positifs et soit R gt r gt 2S des nombres r els Soit f une fonction analytique dans le disque D 0 R Alors on a r TS f TS Wim flr lt 2 flr 5 7 max E 0 lt m lt S Dans le contexte qui nous int resse
39. a au moins deux preuves assez diff rentes de ce r sultat La premi re utilise les polyn mes binomiaux est un entier relatif 9 ADS Ay EPS een a n qui prennent des valeurs enti res aux points entiers En consid rant un mon me X Y7 qui intervient dans P avec le coefficient p Z la d riv e divis e de z gt e i430 2 en 0 vaut i jb 4 On observe alors que ce terme est la somme de Ay i jb et d une combinaison lin aire des i jb avec h lt dont les coefficients ne d pendent que de L hypoth se d annulation de P se traduit alors par l galit t 10 gt P e e 7 jz 0 2 sde jb Le membre de droite est manifestement un entier ce qui conclut la preuve Aussi astucieux soit il ce proc d comporte n anmoins une limitation consubstantielle puisque b ne peut tre qu un entier ou au pire un nombre rationnel faute de quoi il est difficile d envisager une g n ralisation La seconde preuve du th or me que nous connaissons est bas e sur un changement de variables On pose t e 1 Comme b Z chacune des fonctions e 1 t 1 appartient l anneau de s ries formelles Z t Il en est donc de m me pour P e e L hypoth se sur P et l galit t z 0 z font que 7 ay P e e o est le coefficient de t dans la s rie d finie par P e e C est donc un entier Contrairement la d monstration pr c dente cette m thode pe
40. a borne inf rieure ABV FE de l ensemble des nombres r els positifs tel que EN Bx 0 r contienne i vecteurs k lin airement ind pendants o r d signe l ad le valant 1 aux places ultram triques et aux places archim diennes 3 Selon Roy amp THUNDER 20 et VAALER 25 la borne inf rieure A E des nombres r els pour lesquels il existe une famille libre de E i l ments et dont chaque l ment est de hauteur normalis e plus petite que La d finition 2 de Bombieri amp Vaaler n est possible que si k est un corps de nombres puis qu elle requiert existence d au moins une place archim dienne Avoir trois d finitions possibles et relativement naturelles pour les minima successifs peut sembler d routante au d but De ces d finitions d coulent imm diatement les in galit s 3 Vie l n A E lt X E lt VE Si E est pur on peut montrer que A1 17 Ai E De plus si k ko alors les trois in galit s de 3 sont des galit s Cela explique pourquoi dans le cas classique ko Q l on n a d gag qu une seule d finition de minima successifs C Q rappel e dans l introduction p 12 car dans ce cas tout coincide 49 llle A42 lo MO II lle A C 0 Mais l exemple suivant que m avait sugg r Ga l R mond montre que ce fait ne s tend pas en g n ral aux minima autre que le premier si k n est plus le corps de base EXEMPLE Soit k Q V2 et w w ses d
41. absolu approximation simultan e r duction d Hirata Kohno changement de variables de Chudnovsky th orie des pentes ad liques fibr s ad liques hermitiens distance de Banach Mazur in galit s de pentes ad liques minima successifs ad liques Coordonn es de l auteur ric GAUDRON Universit Grenoble I Institut Fourier UMR 5582 BP 74 38402 Saint Martin d H res Cedex France Courriel Eric Gaudron ujf grenoble fr 33 04 76 51 45 72 Page internet http www fourier ujf grenoble fr gaudron
42. ace qui donne naissance la partie polynomiale de F est l espace des sections globales HY Xo Ox Do o Xo P k O tg Wo est la compactification naturelle de Go Il est muni d une structure ad lique au moyen des m triques de Fubini Study Un calcul l mentaire montre alors que le degr d Arakelov du fibr ad lique hermitien H Xo Ox Do vaut Do log b plus une constante qui ne d pend que D et de G mais pas de log b On retrouve donc exactement le m me transfert de Tlogb Dylogb que dans la r duction d Hirata Kohno originale Quel que soit la forme sous laquelle on la met en uvre cette r duction ne fait pas dispara tre pour autant la quantit T log T qui vient du d nominateur T des d riv es consid r es ici estimations ultram triques Pour cela il faut utiliser en plus le proc d de changement de variable de Chudnovsky qui transforme T log T en T log Do voir 10 2 Voir proposition 4 2 de G2 13 APPENDICE 47 13 Appendice Nous d montrons ici le LEMME DE SIEGEL ABSOLU Soit E un fibr ad lique hermitien de dimension n gt 1 Pour tout nombre r el e gt 0 il existe une base e1 e de ESQ telle que 21 IL lt e H E i 1 y AL n 1 y 1 OU On 1 Der i 1 2 Une comparaison s rie int grale permet de montrer que 26 1 lt nlogn d s que n gt 2 Vin galit est n cessairement stricte car on Q contrairement logn Dans ce cas le choix
43. br vectoriel ad lique E E x quelconque sur Spec k l on peut l approcher d aussi pr s que l on souhaite par un fibr ad lique hermitien Plus pr cis ment pour tout e gt 0 il existe une collection de normes z telles que 1 Ee E l llz est un fibr ad lique hermitien sur Spec k 2 pour toute place v de k pour tout x E 8p ky on a lelg ev lt llzllz lt Eo liz O elle o Sy 0 1 est nul si et seulement si v est ultram trique Cette propri t permet d utiliser ponctuellement des m triques hermitiennes pour des d monstra tions de cas g n raux De plus la petitesse des termes d erreurs mentionn e dans la proposition ci dessus est souvent suffisante pour les probl mes d approximation diophantienne 3 Degr d Arakelov et Hauteur Dans ce paragraphe on introduit des quantit s qui permettent de mesurer la taille globale d un fibr vectoriel ad lique et la taille des vecteurs de celui ci Rappelons auparavant la d finition de boule ad lique vue dans l introduction pour r r ka on pose By 0 r 2 27 Ea Vu te Sirk Sir 1 1 on note plus simplement r 1 L entier ny vaut 1 resp 2 si v est une place archim dienne r elle resp complexe Si k est un corps de nombres et si v est ultram trique au dessus du nombre premier p on a ny ky Qp 16 DEFINITIONS Soit E un fibr vectoriel ad lique sur
44. ces mineurs avec l in galit d Hadamard le d terminant d une famille de vecteurs est plus petit que le produit des normes hermitiennes de ces vecteurs qui in fine fait ressortir la hauteur des a j Il arrive souvent que les a soient petits aux places archim diennes ce qui est tr s bien mais avec un d nominateur trop grand aux places ultram triques L astuce consiste alors trouver un syst me 9 6 Vie 1 m D diga 0 gt j 1 quivalent 5 et d finissant ainsi le m me espace vectoriel E mais o cette fois ci les nombres alg briques b sont petits aux places ultram triques et de tailles quelconques aux autres places Dans ce cas la partie archim dienne de la hauteur de E est valu e avec 5 et la partie ultram trique avec 6 Cette technique fonctionne assez bien avec le proc d de changement de variables de Chudnovsky qui fournit un syst me 6 ad quat voir 10 2 au moins dans le cas non p rio dique que nous avons pr sent Dans le cas p riodique le changement de variables n est pas licite et le syst me lin aire qui en r sulte n est plus quivalent au premier Une autre difficult est que les coefficients a qui se pr sentent naturellement ne sont pas alg briques m me apr s renormalisation Le syst me 5 ne poss de alors en g n ral aucune solution alg brique hormis 0 0 C est pourquoi il est plus raisonnable de demander au lemme de fournir une solution alg
45. d faut de puret normalis de E est 8 E TL 6 E Hevea dans ce produit v parcourt les places ultram triques de k iii Le d faut d hermitianit normalis de E est Ay E Il HL hea dans ce produit v parcourt les places archim diennes de k Ce produit vaut 1 lorsque k est un corps de fonctions v oo Ces quantit s mesurent la distance qui s pare E d un fibr vectoriel ad lique pur ou hermitien L on peut montrer que E est pur si et seulement si E 1 De m me le fibr ad lique E est hermitien si et seulement si A E 9 E 1 On a aussi un contr le assez fin de ces d fauts PROPOSITION i Soit v une place ultram trique de k et m une uniformisante de l anneau de valuation de ky Alors on a 6 E 5 1 rul De plus 6 Ev E p 1 si et seulement si E est v pur ii Soit v une place archim dienne de k Alors on a d E 5 1 V2n En particulier on a l encadrement 1 lt A E lt V2n Si le point i r sulte des d finitions le point ii repose sur le c l bre th or me de John 15 suivant Rappelons qu un ellipsoide de R est la boule unit ferm e d une norme euclidienne sur R THEOREME DE L ELLIPSOIDE DE JOHN tant donn un corps convexe C de R sym trique par rapport l origine il existe un unique ellipso de J C inclus dans C et de volume maximal De plus on a C C ynJ C Dans la pratique si l on dispose d un fi
46. d pas des param tres qui entrent en ligne de compte pour a et b mais qui peut d pendre de la dimension de G du degr d un corps de nombres de definition des objets alg briques etc Une telle mesure qui d coule de l in galit de Liouville est optimale en log a mais sa d pendance en log b la rend quasi inutile pour les applications sauf lorsque b est tr s petit Toutefois l un de ses m rites est de rendre en partie cr dible la version simplifi e de la CONJECTURE DE LANG WALDSCHMIDT Siu Z W 8C alors on a log d u Wo gt clog ab Graal de la th orie cette conjecture semble inaccessible aujourd hui d autant qu elle est li e la conjecture ABC Lorsque Wo est un hyperplan et u Wo les meilleurs r sultats connus sont les suivants g dim G 1 Cas g n ral log d u Wo gt c log b log a log log a 9 G1 2005 2 Cas rationnel g n ral log d u Wo gt c log b 9 log a G4 2007 3 Cas rationnel elliptique C M log d u Wo gt c log b log a G3 avec Ably 2003 4 Cas rationnel lin aire log d u Wo gt c log b log a Philippon amp Waldschmidt 45 Wiistholz 63 1986 REMARQUES Post rieur 1966 et l on ne tient pas compte des survols ou des articles qui utilisent seulement ces r sultats TEt elles sont nombreuses Dans ce texte nous avons pris le parti de n aborder aucune de ces applications car d une part nous n avons nullement
47. de E nlogn On_1 conduit au lemme de Siegel absolu que nous avons pr sent p 31 DEMONSTRATION On reprend l argumentation donn e dans la preuve du lemme 4 7 de 24 et la remarque qui la suit Soit X P E et L le fibr en droites hermitien sur X constitu du faisceau canonique Ox 1 et des m triques de Fubini Study induites par les normes de E La hauteur relative L sur les points de X Q est la hauteur relative au fibr ad lique hermitien E Pour tout entier 1 n consid rons les nombres r els e d finis par e sup inf H z x e X Q Y codim Y i o Y parcourt les sous vari t s ferm es de X Q de codimension i Le couple X L satisfait aux hypoth ses du th or me 5 2 de 66 hypoth se de semi amplitude arithm tique de L r sulte par exemple du th or me 3 5 ibid qui en termes des e ci dessus s crit alors 22 lei lt exp Hr X o Hr X deg a 8 x i 1 est la hauteur de Faltings de la sous vari t X au sens de 13 d finition 3 1 1 et 4 1 2 deg est le degr d Arakelov normalis Cette quantit se compare la hauteur de E via la premi re formule de la proposition 4 1 2 de 13 et la remarque qui lui succ de Hp X Hy E e En vertu de l in galit de Zhang 22 il ne reste donc plus qu prouver l existence d une base e1 n de E telle que n n 23 4a lt eT e i 1 i 1 Cela r sulte presque imm diatement de la d finitio
48. de 23 et de G1 G2 G5 THEOREME Soit P Z X Y de is partiel Do en la variable X Soit b N Soit d Do le ppcm des produits m m o Gas mi N 0 est de longueur m m inf rieure Ll eti lt Do Supposons que 2 Plbz e 0 0 pour he 0 1 Alors on a 6e D on ee Z Z el 0 X a de bz e7 z 0 E Z A priori cet nonc n a rien d vident En effet si p j d signe le coefficient de X Y de P la formule de Leibniz donne l galit 1 d al S P bz e e 0 D 1 ize dont seul le d nominateur na f semble convenir Par ailleurs le th or me des nombres premiers fournit l existence d une constante absolue c gt 0 telle que 6 Do lt cDo Aussi lorsque Do est beaucoup plus petit que le d nominateur 6 Do est meilleur que DEMONSTRATION Soit t e 1 D veloppons en s rie la fonction z gt P bz e en la variable t i 1 ds P bz e y t 1 Eno E een m 1 L hypoth se d annulation sur P ir le fait que t z o z permettent d affirmer que 2 me 4 4 P bz e o est le coefficient de t dans cette s rie Ce coefficient est une somme de termes de la forme q m m1 m o m m1 m N 0 est de longueur lt et q m Z Le th or me d coule de cette observation et de la d finition de 9 Do Le nombre i LE P bz e z 0 appara t dans l estimation des formes lin
49. e Weierstra function g z Izvestiya Akad Nauk SSSR Ser Mat 15 153 176 1951 Amer Math Trans Ser 59 2 246 270 1966 N I FEL DMAN An improvement of the estimate of a linear form in the logarithms of algebraic numbers Mat Sb N S 77 119 423 436 1968 Traduction anglaise Math USSR Sb 6 3 393 406 1968 H GILLET et C SouL An Arithmetic Riemann Roch Theorem Invent Math 110 473 543 1992 P GRAFTIEAUX Groupes formels et crit re d isog nie Th se de doctorat de l universit Paris 6 sous la direction de D BERTRAND Mars 1998 P GRAFTIEAUX Formal Groups and Isogeny Theorem Duke Math J 106 81 121 2001 P GRAFTIEAUX Formal subgroups of abelian varieties Invent Math 145 1 17 2001 N Hirata Kouno Formes lin aires de logarithmes de points alg briques sur les groupes alg briques Invent Math 104 401 433 1991 49 50 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 BIBLIOGRAPHIE N Hirata Kouno Approximations simultan es sur les groupes alg briques commutatifs Compos Math 86 69 96 1993 S LANG Diophantine approximation on abelian varieties with complex multiplication Advances in Math 17 3 281 336 1975 M LAURENT Linear forms in two logarithms and interpolation determinants Acta Arith 66 2 181
50. e la forme lab abr 1 a b Z est embl matique Mes travaux se situent de l autre c t de la rive moins explor e Reprenons les donn es du contexte g n ral dans lequel nous avons formul les probl mes pos s par la th orie des formes lin aires de logarithmes L on dispose d un groupe alg brique commutatif G sur Q d un l ment u ta C d exponentielle p expa u alg brique et d un sous espace vectoriel Wo de ta C d fini sur Q Soit log a resp log b un nombre r el qui mesure la taille du couple p u resp de Wo Le mot taille comprend la fois la hauteur logarithmique des donn es alg briques p et W et la norme de u Le lecteur n ophyte peut trouver trange d appeler log a log b ce que l on pourrait appeler plus simplement a et b La principale raison cela est historique Elle permet aussi de se souvenir que ces quantit s mesurent des hauteurs logarithmiques Nous allons donner quelques mesures clefs en fonction de log a et logb qui serviront de points de rep res la discussion qui va suivre Mais auparavant il peut tre utile de rappeler qu une minoration de d u Wo n est acceptable que si elle est petite la fois pour log a et pour log b Et l est l enclouure car il est assez facile de fournir m me dans le cas d un groupe alg brique commutatif quelconque la minoration log d u Wo gt cb log a ici et dans toute la suite c est une constante qui ne d pen
51. e pour E amp F Cela ne fonctionne pas si l on choisit les normes d op rateurs sur E p F Hom E FY Cette probl matique est en r alit du ressort de la g om trie des espaces de Banach de dimensions finies pour nous Comment faire naturellement le produit tensoriel de deux espaces de Banach La r ponse est qu il existe beaucoup de strat gies toutes plus naturelles les unes que les autres dont les descriptions tudes comparaisons requi rent de savants ouvrages par exemple 9 22 Heureusement nous avions deux atouts pour r soudre cette difficult Les espaces que l on consid re sont de dimension finie ce qui limine d embl e d affreux ennuis et d autre part les propri t s du produit tensoriel d espaces norm s que l on demande pour pouvoir travailler sont tr s modestes En r alit si E E e et F F F sont deux R espaces vectoriels norm s il suffit que la norme a E F sur E Qr F v rifie deux conditions i Pour tous e E et f F ona a e f E F lt llellel flle ii si u E E et v F F sont deux applications lin aires alors la norme d op rateur de u Qv est plus petite que le produit des normes d op rateur de u et v Ces conditions sont celles d une finitely generated uniform crossnorm selon la terminologie de Schatten voir 22 chap 6 On ajoute souvent une troisi me condition savoir que si E et F sont euclidiens alors a E F e
52. e probl me est que l on ne sait pas travailler efficacement avec des fonctions de plusieurs variables L on devrait donc s int resser fo C C z gt Dj F zu o T No est de longueur fix e lt T Mais la nouvelle difficult qui surgit est que les d riv es de fo VEEN f z DED F zu ne sont pas des d riv es de F le long de Wo mais le long de Wo C u et a priori u Wo puisque Von cherche pr cis ment valuer la distance d u Wo Par cons quent si l on essaye de travailler avec fo on ne sait pas utiliser les quations 13 La solution de Baker consiste a choisir w Wo tel que d u Wo lu w et poser f z Dy F zw La difficult voqu e juste avant dispara t car w Wo cette fois ci En revanche les d riv es de f f z Di Dip F zw ne s annulent pas a priori pour z 0 So et 0 To Ti L in galit des accroissements finis appliqu e la fonction d une variable r elle 0 1 C d finie par h x Df Wolf mu xm w u L hypoth se crite dans G2 est un peu plus faible en r alit Ce que du reste Graftieaux avait d j montr avant nous dans un autre contexte Il est tout de m me assez impressionnant d observer la diff rence de lisibilit entre l approche param tres effectifs de sa th se 28 et celle des articles 29 30 r dig s ensuite avec la m thode des pentes 11 LEMMES D INTERPOLATION ANAL
53. e via le choix d un mod le de N ron de A La perte de pr cision que Pon s autorise pour b par rapport Vapproche de David est rattrap e par ce calcul de Bost Ce tour de magie fait partie des charmes de la m thode des pentes Dans le second article issu de ma th se de doctorat j ai montr comment cette approche pouvait tre mise en uvre dans le contexte des formes lin aires de logarithmes sur A N anmoins cet article comportait une hypoth se technique sur le point p exp u voir Vintroduction qui stipule qu aucun des multiples entiers non nuls de p ne doit appartenir une sous vari t ab lienne stricte de A Q Gr ce au lemme de petites valeurs absolu que nous avons pr sent au 9 et qui est au c ur de notre texte G5 nous pouvons maintenant supprimer cette hypoth se travers cette discussion il est apparu que si l id e originale du changement de variables s av re tr s fructueuse sa mise en uvre pour des groupes alg briques quelconques peut se r veler d licate surtout dans la perspective de prendre en compte tous les invariants li s au groupe Les travaux de David amp Hirata Kohno 21 23 ont r solus toutes les difficult s techniques pour une courbe elliptique et donc aussi pour les vari t s ab liennes produits de courbes elliptiques Mais pour le passage une vari t ab lienne quelconque et plut t que de pers v rer dans une approche constructiviste nos articles G2 G5 t mo
54. en fonction de celles de E Im a et du rang de a Pour simplifier supposons que les normes v et Il 7 v sont hermitiennes hypoth ses b nignes Le choix de bases orthonorm es sur E y C et F 8 respectivement permet d identifier l application lin aire a une matrice A Mm g C Pour tout x E C de coordonn es x 1 g ona elle 5409 avec Ac Ig le AR Puisque E et E ne diff rent qu en la place vo la d finition de la hauteur d un fibr vectoriel ad lique donne la formule koy R 8 Ha Ee E vol x kg tx lt 1 a HA E vol xe ki xAex lt 1 vol est une mesure de Haar quelconque sur k En vertu de la d composition en valeurs singuli res de A il existe des l ments o1 A 0 A de 0 co et deux matrices orthogonales U U m k et V U g kv tels que UAV est la matrice diagonale non carr e dont le 5 me l ment sur la diagonale est o A sii 1 p et Osii p 1 min m g Le quotient 8 se calcule en fonction de ces valeurs singuli res ae kug R H E oi A 2 21 01 e II 1 3 mE H En particulier si lt 1 on a Hy E Plkoy R plkvo R HulBe lt RE 1 4 ptr FRA EE ae en Ces calculs et le lemme de Siegel absolu appliqu E conduisent au r sultat suivant LEMME DE PETITES VALEURS ABSOLU Soit k un corps de nombres et vo une place archim dienne de k Soit E et F d
55. ence and algebraic independence Dans Recent progress in Number Theory pages 11 82 Cambridge Univ Press 1980 G V CHupnovskY Contributions to the theory of transcendental numbers volume XI Providence R I American Math Soc 1984 Mathematical Surveys and Monographs P L Cusouw et M WALDSCHMIDT Linear forms and simultaneous approximations Compos Math 34 173 197 1977 J CoaTes On the analogue of Baker s theorem for elliptic integrals Texte non publi 1972 J Coatss et S LANG Diophantine approximation on Abelian varieties with complex multiplication Invent Math 34 2 129 133 1976 S Davip Fonctions th ta et points de torsion des vari t s ab liennes Compositio Math 78 2 121 160 1991 S Davip et N Hiratra Kouno Recent progress on linear forms in elliptic logarithms Dans 65 pp 26 37 S Davin et N Hirata Kouno Logarithmic functions and formal groups of elliptic curves In Diophantine equations pp 243 255 dit par N Saradha Tata Institute of Fundamental Research Narosa Publishing House New Delhi 2008 S Davip et N Hirata Kouno Linear forms in elliptic logarithms J reine angew Math 628 37 89 2009 S Davin et P PHILIPPON Minorations des hauteurs normalis es des sous vari t s des tores Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci XXVIII 4 489 543 1999 N I FeL DMAN The approximation of certain transcendental numbers II The approximation of certain numbers connected with th
56. endance lin aire de logarithmes Soit u uz C tels que e 1 e 2 Q Alors la famille u1 u2 est Q libre si et seulement si elle est Q libre l poque cet nonc semblait inaccessible Hilbert lui m me le pr sumait beaucoup plus difficile que le dernier th or me de Fermat ou l hypoth se de Riemann Mais il se trompait et en 1934 Gel fond et Schneider r solurent ind pendamment cette question L ann e suivante Gel fond obtint m me une minoration qui n est pas enti rement explicite de 3 u1 Goug pour 61 Bo Q Venait alors d tre d pos e la premi re pierre de la theorie des formes lin aires de logarithmes qui s int resse aux nombres de la forme ui Brun o Bi Q et u1 Un est le logarithme d un point alg brique Historiquement le point alg brique en question est un multiplet a1 a Q 0 Mais Pon peut regarder la question sous un angle beaucoup plus g n ral Soit G un groupe alg brique commutatif d fini sur Q de dimension finie g et p G Q Le groupe de Lie G C poss de un espace tangent l origine t amp C qui est un espace vectoriel de dimension g et une application exponentielle expg t amp C G C surjective Un logarithme u du point p est un vecteur u tg C tel que p expg u Pour simplifier nous avons convenu d s le d part que G tait d fini sur Q vu comme sous corps de C En r alit nous pourrions plonger Q dans Cp le corps a
57. et reprenons le sous espace Wo de ta et consid rons le groupe affine Go d fini comme le spectre de l alg bre sym trique du k espace vectoriel dual t amp Wo Go Spec S ta Wo L espace tangent l origine de Go s identifie ta Wo Soit tg gt ta Wo la projection canonique et W le sous espace de tg xq d fini par le graphe de W A y Oy y ta L encore on a d 0 u W d u Wo A u La difference est qu il n y a eu aucun choix de base Pour harmoniser la pr sentation intrins que la d riv e 19 est remplac e par le jet de F le long de W l ordre T en 0 que Pon notera jet F 0 Ce jet appartient naturellement au produit sym trique ST WY espace que l on peut munir d une structure de fibr adelique hermitien 46 ST WY en se donnant en amont une telle structure sur tg ce qui du reste est n cessaire pour parler de distance et de norme de vecteur sur cet espace Si la quantit jets F 0 n est pas nulle ce qu il est naturel de supposer dans la suite pour que la discussion ait un int r t elle v rifie une variante de la formule du produit 20 h jetfy F 0 gt fmax STW Dans cette in galit h est la hauteur logarithmique associ e au fibr ad lique hermitien ST WY et imax 5 TW est la pente maximale de ce fibr voir p 20 Or Pon peut montrer qu il existe une constante c g qui ne d pend que de g telle que fimax STW lt T fmax W 9
58. et qui vite un nombre fini de sous espaces donn s au pr alable lemmes de Siegel avec contraintes Les d monstrations reposent sur des r sultats de g om trie des nombres ad lique dont en particulier une variante ad lique d un th or me de Henk sur la fonction de d nombrement des points d un r seau dans un corps convexe sym trique 52 BIBLIOGRAPHIE Summaries of the articles G1 Linear independence measures of logarithms in a commutative algebraic group This work falls within the theory of linear forms in logarithms over a connected and commutative algebraic group defined over the field of algebraic numbers Q Let G be such a group Let W be a hyperplane of the tangent space at the origin of G defined over Q and u be a complex point of this tangent space such that the image of u by the exponential map of the Lie group G C is an algebraic point Then we obtain a lower bound for the distance between u and W amp C which improves the results known before and which is in particular the best possible for the height of the hyperplane W The proof rests on Baker s method and Hirata s reduction as well as a new arithmetic argument Chudnovsky s process of variable change which enables us to give a precise estimate of the ultrametric norms of some algebraic numbers built during the proof G2 Effective linear forms of logarithms in abelian varieties We prove new measures of linear independence of logarithms on an abelian
59. eur plus formelle les int grales tant remplac es par des fonctionnelles R cemment en 2002 Roy s est int ress ces questions et il a r solu quelques probl mes qui restaient en suspens L nonc suivant est un cas tr s particulier du corollaire 1 2 de 50 Si x est un entier naturel on note o x la somme des chiffres de x crit en base p LEMME D INTERPOLATION p ADIQUE Soit S T des entiers strictement positifs et R gt r gt 1 des nombres r els Soit g log p 1 logp Soit f D 0 R z Cp z p lt R Cp une fonction analytique Alors on a 7 ra S 1 T fO m fle lt o max 5 0 le PF man a 0 lt M lt S P Ce r sultat est utilis lors des phases d extrapolation de nos article G4 G5 12 Artifices suppl mentaires Nous venons de pr senter quelques ingr dients que l on trouve dans les d monstrations de mesures d ind pendance lin aire de logarithmes La liste n est pas exhaustive et plusieurs th mes n ont pas t abord s comme la th orie de Kummer abondamment utilis e par Baker et plus r cemment par Matveev 41 Mais si le lecteur arriv jusqu ici conna t la m thode g n rale et les outils principaux nous ne lui avons pas encore d voil les secrets de fabrication qui permettent d avoir une bonne mesure Car maintenant nous devons sortir du domaine de la raison pour p n trer Vantre de la sorcellerie D une mani re g n rale un des faits les plus myst rieux de la t
60. eux fibr s ad liques hermitiens sur Speck Soit a E 8u C gt F 8u C une application C lin aire de rang p et de norme de Hilbert Schmidt llallus Pour tout nombre 34 r el e gt 0 il existe x E Q 0 tel que kvg Ql 2 FRA 2 5 Hala lala lt va al Fe PT q o avec n dim E Cet nonc s tend sans grande difficult pour une place vo ultram trique ou des fibr s ad liques qui ne sont pas n cessairement hermitiens Bien qu un peu pre il s av re assez facile d utilisation Une caract ristique importante est que l exposant de e dans le membre de droite est proche de 1 lorsque le quotient p n est petit ce qui est le cas dans le contexte des formes lin aires de logarithmes Ce lemme de petites valeurs absolu est la cheville ouvri re de notre texte G5 Il permet de surmonter toutes les difficult s techniques voqu es ci dessus et l on b n ficie de la disparition du discriminant de k L usage d un lemme de petites valeurs n est pas confin la th orie des formes lin aires de logarithmes Il peut participer la construction d une fonction auxiliaire en une variable complexe petite sur tout un disque centr en l origine sans condition d annulation Parfois cette strat gie se montre efficace comme l atteste par exemple l article 58 de Waldschmidt qui a formalis ce type de construction cette occasion L on ne peut pas conclure ce paragraphe sans mentionner qu
61. eux places archim diennes a bV2 a bV2 et a bV2 y a bV2 Posons ro 1 V2 2 Soit E le fibr vectoriel ad lique sur k d espace 5 PENTES MAXIMALES ET IN GALIT S DE PENTES 14 vectoriel k et de normes max xlo lvlo 2 si v w V x y ke I x Wa max 2 2lylv si v w max Z v lylo si v est ultram trique Alors on a A E AM E ABV E 1 tandis que A2 E 1 A2 E yro et ABY E ro Mentionnons que ces diff rents minima m me s ils sont distincts en g n ral restent toutefois comparables comme l avaient remarqu avant nous Christensen amp Gubler voir lemme 2 11 de 7 La comparaison fait intervenir le discriminant ou le genre de k selon la caract ristique de k Gr ce l in galite d Hadamard on montre facilement que le produit A E An E est plus grand que H E An E n E Une majoration de ce produit est plus difficile obtenir Il s agit pour l essentiel d un r sultat de Bombieri amp Vaaler 2 si k est un corps de nombres et de Thunder 24 sinon SECOND TH OR ME DE MINKOWSKI AD LIQUE Soit k 2 Ql si k est un corps de nombres et k le cardinal du plus grand corps fini inclus dans k si k est un corps de fonctions Le produit des minima successifs de E v rifie E SY em vol B E Les r sultats que nous venons de pr senter sont les bases modernis es de la g om trie des nombres classique Voici une version ad lique d
62. h orie est que l on ne doit pas toujours travailler avec le groupe alg brique G que l on se donne au d part voir lintroduction mais avec une d formation de celui ci Si l on ne proc de pas un certain conditionnement des donn es originales G p u Wo les mesures d ind pendance lin aire de logarithmes que l on obtient sont souvent moins bonnes La plupart du temps la d formation du groupe G consiste lui attacher un groupe alg brique affine Go pour former le groupe Go x G Cela conduit adapter les autres donn es p u Wo Par exemple l on peut choisir po Go Q de logarithme uy Qui rappelons le est un l ve de Baker Pour les historiens la trace de cette id e est un texte non publi 18 de Coates pour les courbes elliptiques voqu dans l introduction des articles de Lang 33 1975 et de Coates amp Lang 19 1976 qui traitent le cas plus g n ral des vari t s ab liennes C M TUne exception est par exemple le groupe affine Ga pour lequel eXPa z z Le lecteur int ress par ces questions peut consulter le livre classique d Amice 4 qui est une tr s belle introduction au sujet 8Ce groupe de travail anim par Y Amice A Escassut et P Robba a eu lieu Paris de 1973 1988 12 ARTIFICES SUPPL MENTAIR un 43 et composer q po p Go x G Q Ensuite l on modifie Wo de mani re avoir un sous espace W de ta xa Q et tel que le probl me de l
63. ici ce lemme s applique avec S So 1 T To T r 2S et R er o e est un param tre libre gt e L on voit que cet nonc r sout le probl me de l valuation de f m lt f La petitesse de ce terme est donc conditionn e par celle de e 72 et celle de d u Wo qui contr le le maximum droite Dans la pratique comme nous l avons dit au 8 on raisonne par l absurde en supposant que 15 d u Wo lt e 252 Ainsi f m et l l ment alg brique qui est proportionnel f m sont petits La formule du produit qui ne s applique qu avec un nombre alg brique d o le passage par entra ne la nullit de puis de f m Le lemme de multiplicit s interdit cette possibilit ce qui contredit 15 Une minoration de d u Wo en d coule Le lemme d interpolation pr sent ici est devenu un classique de la th orie des formes lin aires de logarithmes Il existe plusieurs variantes Par exemple pour la d monstration des r sultats que nous avons obtenu dans G3 avec Ably nous avons utilis un lemme d interpolation de Masser 1978 39 40 qui permet de prendre les l ments m dans un r seau de C et non sur une droite comme ci dessus En voici une version extraite de l article d Ably 1 LEMME D INTERPOLATION POUR UN RESEAU Soit O un r seau de C Soit S T des entiers strictement positifs et R r des nombres r els tels que R gt 3r gt 0 etr gt S Soit f une fo
64. ignent que la th orie des pentes de Bost ventuellement accompagn e du th or me de Moret Bailly amp Bost voqu plus haut est d une aide pr cieuse pour d placer puis dissoudre le probl me 11 Lemmes d interpolation analytique Ce paragraphe traite de l tape d valuation fine de la norme archim dienne du nombre alg brique qui appara t dans la d monstration de Gel fond Baker voir 8 La description de la d monstration d une mesure d ind pendance lin aire de logarithmes selon cette m thode a mis en lumi re la n cessit de pouvoir donner une information sur les valeurs aux entiers d une fonction holomorphe qui satisfait certaines propri t s d annulations Pour mieux comprendre l int r t des lemmes d interpolation qui vont suivre il nous faut entrer un peu plus dans les d tails de la preuve les notations sont celles du 8 Apr s usage d un lemme de Siegel et via une repr sentation analytique ad quate de exp l on dispose d une fonction holomorphe F C9 C telle que les d riv es de F le long de W l ordre To en les multiples mu m 0 So sont nulles 13 Vm 0 S0 VreN Wo de longueur lt To Dy F mu 0 Et l on souhaiterait que ces d riv es soient encore nulles ou dans un premier temps tr s petites pour m 0 S1 avec S gt So quitte diminuer l ordre de d rivation disons nulles jusqu l ordre T lt To L
65. imale poss de un certain nombre de propri t s int ressantes Par exemple elle se comporte presque comme un maximum vis vis de la somme directe hermitienne de deux fibr s vectoriels ad liques 0 lt fimax E Do F max fimax E fimax F lt log max An EJ n E An F n F Le d terminant d une famille de n vecteurs de R est plus petit que le produit des normes euclidiennes de ces vecteurs La somme directe hermitienne E Ba F de E et F est l espace vectoriel E Y F muni des normes pour tous TrEESC yEF8C Ir 5e r 0 i max z z llyllz siv est ultram trique 1 2 2 2 Dr ei Il si v est archim dienne 20 Une autre caract ristique tr s utile de la pente maximale est son comportement par rapport aux produits tensoriel et sym trique Soit N 0 et Ej Ez des fibr s ad liques hermitiens sur Spec k La d finition de la pente maximale et l additivit de la pente d Arakelov par rapport aux produits tensoriels hermitiens permettent de montrer ais ment que Se max Es max 8 z i l i l Il y a m me galit si k est un corps de fonctions Si k est un corps de nombres on conjecture qu il y a encore galit ce qui d montrerait la conjecture de semi stabilit de Bost Chen a d montr une in galit inverse 6 THEOREME DE CHEN Soit E1 E des fibr s ad liques hermitiens sur Speck k corps de nombres Alors on a max 8 z l
66. ion 28 Waldschmidt 60 et de Baker amp Wiistholz 7 pour la p riode contemporaine Avant d noncer les r sultats que nous avons obtenus et de donner un aper u des techniques employ es il peut tre utile ce stade de mentionner quelques donn es chiffr es Les formes lin aires de logarithmes combien de divisions Sur environ 90 articles de la th orie des formes lin aires de logarithmes qui contiennent un r sultat original 90 traite uniquement le cas d une seule forme lin aire Wo hyperplan 10 concerne le cas d un groupe alg brique commutatif quelconque 13 le cas d une vari t ab lienne 12 le cas d un produit de courbes elliptiques 22 le cas d un groupe lin aire quelconque commutatif 33 le cas rationnel lin aire et 10 le cas de deux logarithmes usuels comme dans le th or me de Gel fond Schneider Le cas rationnel lin aire est le cas d une puissance du groupe multiplicatif Gm et o de plus les coefficients des formes lin aires sont des entiers relatifs Plus g n ralement le cas rationnel est celui o le sous espace Wo de t amp C que l on consid re est l espace tangent d un sous groupe alg brique de G travers ces pourcentages l on per oit que la th orie des formes lin aires de logarithmes a longtemps t d velopp e dans les directions qui m nent directement aux applications ce titre la popularit du cas rationnel lin aire qui permet de minorer les expressions d
67. ir carl lt Irie i 1 laquelle doit satisfaire le module de r avec a b c nombres r els positifs pour tout i 1 MY En observant que pour qu une in galit de la forme x 3u lt x soit satisfaite il suffit que x lt x 3M pour tout i 1 3M l on est parvenu d montrer l nonc suivant LEMME DE SIEGEL AVEC CONTRAINTES Soit k un corps de nombres de degr D et de dis criminant absolu Dy Soit E un fibr vectoriel ad lique sur Speck et F C E un sous fibr vectoriel ad lique de dimension m Soit M N 0 et E1 Em des sous espaces vectoriels de E de dimensions respectives n1 nm Posons H V4lm Dy PP MY H Py Qu il sied de retravailler pour remplacer les minima successifs des E par leurs hauteurs et premiers minima seulement 22 R H max 1 lt i lt M 1 n 1 1 pas H Ja HA Ei XA Ei les trois termes entre accolades sont remplac s par 1 lorsque n est nul Supposons que max n1 nm lt m Alors pour tout r ry y kx de module sup rieur R il existe LE FAURE E tel que pour toute place v de k on a xx lt role En particulier Pon peut trouver x F UE E tel que Hz x lt R Si tous les E sont nuls cet nonc redonne le th or me de Bombieri amp Vaaler la constante v41 pres On v rifie ais ment qu avec le fibr ad lique hermitien standard E k 2 tous les termes AE HP Hn E sont sup rieurs
68. le coefficient w er aa A est un polyn me en 1 8g de degr lt Do deg y P coefficients dans le Z module engendr par les coefficients de P Le point crucial est que le degr en les 3 ne d pend plus de l ordre de d rivation Sans r duction d Hirata Kohno on aurait t amen consid rer P e 1 e le long de Wo B z Gg2 0 c d que l on aurait regard a a Pen en Sie 21 rn Tg 1 OZg 1 au point 21 2 1 0 0 Et dans ce nombre la d pendance en les 3 est n cessairement polynomiale de degr T r la longueur de 7 L argument d Hirata Kohno se g n ralise 4 Wo de codimension t gt 1 en consid rant cette fois ci Gf x G et l espace W d fini par Zi t Pita BigZg 1 t In fine de cette r duction merge la contribution D log b au lieu de T log b Le choix des param tres autorise Do lt T et ce gain se r percute sur la mesure finale pour aboutir 18 La pr sence du facteur G a neutralis la pression de l ordre de d rivation sur le sous espace Wo Il y a eu un transfert de la hauteur de Wo sur la partie affine du groupe nouvellement cr Le regard que l on porte sur cet artifice volue consid rablement lorsqu on l crit sous une forme plus g om trique et intrins que comme dans G2 avec la m thode des pentes ou G5 avec une autre m thode que Pon pourrait appeler m thode de la section auxiliaire En eff
69. lg briquement clos qui joue le r le de C dans la th orie des nombres p adiques ici p est un nombre premiert Dans ce cas l exponentielle expg tg Cp G C n est plus n cessairement surjective ni m me d finie sur tout tg C Mais l on peut mimer la construction pr c dente en choisissant d abord u tg C de sorte que expg u p existe et appartienne G Q Il existe donc une th orie des formes lin aires de logarithmes p adiques similaire celle sur C la fois pour les r sultats et les techniques employ es pour les obtenir Une des diff rences qui induit une difficult suppl mentaire r side dans le rayon de convergence fini de l exponentielle p adique Dans la suite nous n voquerons ce cas que par allusion sans nous y attarder Revenons donc notre point p G Q et son logarithme u tg C La th orie des formes li n aires de logarithmes consiste tudier la distance d u Wo qui s pare u d un sous espace vectoriel Wo de tg C d fini sur Q Cette derni re hypoth se signifie qu il existe une base e e1 g de ta Q dans laquelle Wo est le lieu d annulation de formes lin aires de Q aat 2 9 Wo si et seulement si pour tout i 1 t Biazit Gig2 0 Vi j Bij Q et t g dim Wo Si Pon note u1 Ug les coordonn es de u dans la base e il revient au m me d tudier d u Wo ou maxi lt i lt 1 Pi 181 Bi gug Le verbe tudier signifie exp
70. licit s dans certaines directions on parle parfois de points paissis Aux pr mices de la th orie travaux d Hermite et Lindemann par exemple on exhibait hardiment une fonction auxiliaire explicite Toutefois sont rapidement apparues les difficult s et les limitations inh rentes cette approche presque impudique En fili grane dans les articles de Thue 53 54 l on doit Siegel d avoir conceptualis en 1929 l id e qu il suffisait de conna tre une estimation de la taille de la fonction auxiliaire Le mot g n rique taille Cependant ce proc d reste encore tr s actuel au travers par exemple des approximants de Pad et des fonctions hyperg om triques car comme l avait not Chudnovsky elle conduit souvent de meilleurs r sultats 9 LEMMES DE SIEGEL 31 peut signifier la hauteur d un polyn me coefficients alg briques utilis pour la construction de ladite fonction Dans le contexte des formes lin aires de logarithmes avec G2 p ex l exemple typique de fonction auxiliaire est F a g P e e s o P Q X1 X g Demander l annulation de F en un nombre fini de points paissis quivaut r clamer que les coefficients de P satisfassent un syst me lin aire 9 5 Vie 1 m Y ajja 0 j 1 d inconnues 21 Tg Lors de l tude de la transcendance des valeurs des fonctions de Bessel 52 Siegel formula l nonc pr cis suivant LEMME DE SIEGEL S
71. liquer quelles sont les raisons pour lesquelles l on peut avoir u Wo et si ce n est pas le cas donner une minoration de d u Wo en termes des invariants alg briques hauteurs de G p Wo analytique norme de u et des param tres L article de Gel fond est paru le 1 avril 1934 et celui de Schneider le 28 mai Bien que les deux m thodes soient diff rentes elles sont duales l une de l autre via la transform e de Fourier Borel comme l a expliqu Waldschmidt dans 59 tSoit k un corps commutatif Un groupe alg brique sur k est une vari t alg brique sur k munie de deux morphismes u Gx G G addition et G G inverse de k vari t s et d un l ment neutre 0 G k tel que G u 1 0 v rifie formellement les axiomes d un groupe En termes plus concrets si k est alg briquement clos comme l est Q par exemple et si G est connexe cela signifie que l ensemble G k est localement le lieu des z ros d une famille d quations polynomiales et qu il est dot d une structure de groupe Ne pas confondre le nombre p et le point p expa u 7 INTRODUCTION 27 secondaires comme les dimensions de G et Wo ou le degr absolu d un corps de nombres dans lequel vivent tous les objets alg briques consid r s Pour qualifier une minoration de d u Wo on parle aussi de mesure d ind pendance lin aire de logarithmes Soit Ga resp Gm le groupe alg brique ad ditif resp multiplicatif Les points K
72. lus la mesure de d u Wo que l on obtient la fin sera meilleure Le nombre m qui est dans la d finition est un entier relatif Mais lorsque G est une puissance d une courbe elliptique l on peut prendre m dans un r seau de C lie aux endormorphismes de la courbe Il me semble que le poids de G tel qu il est d fini est une grandeur sous jacente un grand nombre de r sultats sur les aspects quantitatifs de la th orie des formes lin aires de logarithmes A ma connaissance actuellement il n existe pas de proc d pour construire une base P i e qui soit la mieux adapt e aux donn es en minimisant le poids de Ga Toutefois Fel dman a remarqu qu il existait au moins une famille de tels polyn mes qui convenaient mieux que les polyn mes de la base canonique 26 Elle provient des polyn mes bino miaux que nous avons d j rencontr s au 10 1 voir 9 p 35 et se trouve mi chemin entre ces polyn mes et ceux de la base canonique Dans l article G4 nous avons utilis une variante de ces Il est pr f rable de choisir 1 p plut t que 0 p afin de rendre le point q moins vuln rable aux ph nom nes de torsion modulo des sous groupes particuliers G de Ga x G commencer par le sous groupe nul q n tant alors jamais de torsion Cela est particuli rement important pour le lemme de multiplicit qui fait intervenir le cardinal du quotient 24 5 G C G C o Eg S 0 q 2q Sa Rappelo
73. mbridge 1988 P PHILIPPON et M WALDSCHMIDT Formes lin aires de logarithmes sur les groupes alg briques commutatifs Illinois J Math 32 2 281 314 1988 P PHiLIPPON et M WALDSCHMIDT Formes lin aires de logarithmes simultan es sur les groupes alg briques commutatifs S minaire de Th orie des Nombres Paris 1986 87 volume 75 de Progress in Mathematics pp 313 347 Birkh user Boston Inc 1989 dit par Catherine Goldstein ReyssarT Approximation alg brique de nombres li s aux fonctions elliptiques et exponentielle Bull Soc Math France 108 1 47 79 1980 P RoBBA Lemmes de Schwarz et lemmes d approximations p adiques en plusieurs variables Invent Math 48 245 277 1978 D Roy Interpolation sur des perturbations d ensembles produits Bull Soc Math France 130 2 387 408 2002 D Roy et J L THUNDER An absolute Siegel s lemma J Reine angew Math 476 1 26 1996 C L SIEGEL ber einige Anwendungen diophantischer Approximationen Abhandlungen der Preu ischen Akad der Wissenschaften Nr 1 70 S 1929 A THUE Om en generel i store hele tal ulgsbar ligning Kra Videnskabens Selskabs Skrifter Mat Nat Kl 7 1 15 1908 A TuuE ber Ann herungswerte algebraischer Zahlen J Reine Angew Math 135 284 305 1909 ViLLANI Mesures d independance lin aire simultan es sur les p riodes d int grales ab liennes Th se de doctorat de l universit Paris 6 sous la direction de
74. n corps global Rend Sem Mat Univ Padova 119 21 95 2008 G 7 G om trie des nombres ad lique et lemmes de Siegel g n ralis s Manuscripta Math 130 2 159 182 2009 Les textes G1 G5 concernent la th orie des formes lin aires de logarithmes Les textes G6 et G7 portent sur la th orie des fibr s vectoriels ad liques Afin de rendre plus lisible les r f rences nos articles nous les noterons G1 comme ci dessus contrairement aux articles d autres auteurs r f renc s par un nombre entre crochets qui renvoie l une des deux bibliographies qui se trouvent la fin de chaque partie de ce m moire Table des mati res Th orie des fibr s vectoriels ad liques 1 Introduction 2 Fibr s vectoriels ad liques 3 Degr d Arakelov et Hauteur 4 G om trie des nombres ad lique 5 Pentes maximales et in galit s de pentes 6 Lemmes de Siegel avec contraintes Bibliographie Th orie des formes lin aires de logarithmes 7 Introduction 8 Description succincte de la m thode de Gel fond Baker 9 Lemmes de Siegel 10 Outils ultram triques 11 Lemmes d interpolation analytique 12 Artifices suppl mentaires 13 Appendice Bibliographie R sum s des articles Summaries of the articles 11 12 13 15 19 21 23 25 26 29 30 34 40 42 47 49 51 52 Th orie des fibr s vectoriels ad liques 1 Introduction La g om trie des nombres est un outil incontournable de l appro
75. n m me des e En effet on a en inf Hz 2 z X Q donc il existe e X Q E Q 0 tel que Hp e1 lt ene Soit Y l adh rence de Zariski de e1 dans X Q On a en 1 gt inf Hz 2 x X Q Y donc il existe eg X Q Y c est dire que e et eg vus comme vecteurs de E sont lin airement ind pendants tel que Hy e2 lt en_1e De m me la minoration e _2 gt inf Hz x x X Q Yo o Ya est le sous espace lin aire de X Q provenant de Q e 9 Q e2 entra ne l existence de ez etc Nous avons ainsi construit une base e1 e de E qui satisfait l in galit 23 et donc 21 Il faut noter ici que le degr g om trique de P E vaut 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Bibliographie M ABty Formes lin aires de logarithmes de points alg briques sur une courbe elliptique de type CM Ann Inst Fourier Grenoble 50 1 1 33 2000 M Ag y et M M Zar Polyn mes de Lagrange sur les entiers d un corps quadratique imaginaire J Th or Nombres de Bordeaux 10 1 85 105 1998 M Ag y et M M Zar Interpolation polynomiale sur un ordre d un corps de nombres Ramanujan J 17 2 281 304 2008 Y AMICE Les nombres p adiques Pr face de Ch Pisot Collection SUP Le Math maticien No 14 Presses Universitaires de France 1975 A BAKER Transce
76. n peut suivre la discussion en sachant seulement que E est la donn e d un k espace vectoriel E et de normes x sur E 8k Co en toutes les places v de k qui doivent satisfaire certaines conditions suppl mentaires 32 des termes plus gros aujourd hui les mesures sont devenues assez fines pour que ce discriminant devienne un facteur limitant Je m en suis aper u l occasion de ma th se de doctorat 2001 ce qui m avait oblig formuler l nonc principal de G1 au moyen d un maximum sur deux quantit s dont l une est directement due au discriminant de k Comme il supprime cette imperfection le lemme de Siegel absolu a pris une grande importance ces derni res ann es ainsi que le prouve son utilisation dans plusieurs articles r cents de la th orie des formes lin aires logarithmes 23 et G3 G4 G5 Le fait que l on ne ma trise pas le degr du corps de nombres dans lequel vit la solution x est sans cons quence car en d finitive l on est amen effectuer un produit sur les diff rentes places de ce corps produit duquel merge directement Hz x N anmoins quelques soucis techniques peuvent surgir Tout d abord la hauteur de E peut s av rer difficile valuer avec pr cision Si comme dans le lemme de Siegel original l espace vectoriel E est d fini par le syst me lin aire 5 la hauteur de E se calcule au moyen des mineurs maximaux de la matrice A a En g n ral on estime la taille de
77. n von Ellipse und Ellipsoid Ber Vehr S chs Akad Wiss Leipzig Math Phys Kl 69 306 318 1917 E BomBIERI et J VAALER On Siegel s lemma Invent math 73 1 11 32 1983 Avec un addendum ibid 75 2 377 1984 J B Bost P riodes et isog nies des vari t s ab liennes sur les corps de nombres d apr s D Masser et G Wiis tholz S minaire Bourbaki Volume 237 d Asterisque 115 161 Soci t Math matique de France 1996 J B Bost Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields Publ Math Inst Hautes tudes Sci 93 161 221 2001 J BOURGAIN et V MILMAN New volume ratio properties for convex symmetric bodies in R Invent Math 88 2 319 340 1987 H CHEN Maximal slope of tensor product of Hermitian vector bundles J Algebraic Geom 18 3 575 603 2009 C CHRISTENSEN et W GUBLER Der relative Satz von Schanuel Manuscripta Math 126 4 505 525 2008 J G VAN DER CORPUT Verallgemeinerung einer Mordellsehen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen II Acta Arith 2 145 146 1936 A DEFANT et K FLORET Tensor norms and operator ideals volume 176 de North Holland Mathematics Studies North Holland Publishing Co Amsterdam 1993 L FuksHanskY Integral points of small height outside of a hypersurface Monatsh Math 147 1 25 41 2006 L FuksHanskv Siegel s lemma with additional conditions J Number Theory 120 1 13 25 2006 A GROTHENDIECK R sum des r sultats esse
78. nction analytique dans le disque D 0 R Alors il existe une constante c c O gt 0 qui ne d pend que de O telle que 3r TS Je cR ers fO m Flo lt Fr 5 5 os Tr a me0O m lt s Ce lemme est int ressant car le premier terme du membre de droite fait appara tre une petitesse en e 1 0 en posant e R 3r meilleure que celle du lemme pr c dent qui donnait e 7 En contrepartie le maximum droite porte sur plus de termes Ce lemme s av re utile par exemple lorsque que le groupe G est la puissance d une courbe elliptique E d finie sur Q multiplication complexe Ceci signifie que l anneau des endomorphismes de E est l anneau des entiers d un corps quadratique imaginaire Il s identifie alors un r seau de C qui agit sur l espace tangent E en pr servant la structure alg brique de cet espace De la sorte l on peut extrapoler sur les L interpolation d Hermite consiste trouver un polyn me dont les d veloppements de Taylor en certains points des ordres fix s qui d pendent de ces points sont donn s l avance L interpolation lagrangienne est le cas particulier o l ordre est toujours nul 42 multiples mu avec m O dans la preuve de Gel fond Baker Utiliser la multiplication complexe pour augmenter le nombre de points disposition et am liorer ainsi la phase d extrapolation est une id e due Coates Pour conclure ce paragraphe nous allons voquer une troisi me
79. ndental number theory Cambridge University Press 1975 A BAKER et D Masser Eds Transcendence theory advances and applications Articles issus de la conf rence qui s est tenue l universit de Cambridge en janvier f vrier 1976 Academic Press 1977 A BAKER et G W STHOLZ Logarithmic forms and Diophantine geometry New Mathematical Monographs 9 Cambridge University Press 2007 E BomBIERI et J VAALER On Siegel s lemma Invent math 73 1 11 32 1983 Avec un addendum ibid 75 2 377 1984 S Boscu W L TKEBOHMERT et M RAYNAUD N ron Models volume 21 de Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Springer Verlag Berlin 1990 J B Bost P riodes et isog nies des vari t s ab liennes sur les corps de nombres d apr s D Masser et G Wiis tholz S minaire Bourbaki Volume 237 d Asterisque 115 161 Soci t Math matique de France 1996 J B Bost Intrinsic heights of stable varieties and abelian varieties Duke Math J 82 1 21 70 1996 J B Bost Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields Publ Math Inst Hautes tudes Sci 93 161 221 2001 J B Bost H GILLET et C SouL Heights of projective varieties and positive Green forms J Amer Math Soc 7 4 903 1027 1994 D V CHupnovskY et G V CHupnovskY Pad approximations and diophantine geometry Proc Natl Acad Sci USA volume 82 2212 2216 1985 G V CHUDNOVSKY Measures of irrationality transcend
80. ne immersion ferm e pour les mod les de N ron correspondants et il permet un contr le tr s pr cis de l entier m 10 1 1 Nous rappelons la notion de taille d un sous sch ma formel lisse telle qu elle a t d finie par Bost au 3 1 de 12 Soit k un corps de nombres de d finition de G et G SpecO un sch ma en groupes lisse de fibr g n rique G Soit v une place ultram trique de k et p la caract ristique r siduelle de v Si v ne divise pas m nous pouvons consid rer le compl t formel G de G x Spec O Porigine O tant l anneau de valuation du compl t k C est un groupe formel lisse sur Spec O et le choix de coordonn es locales tales au voisinage de Porigine fournit Ceci tant l galit 10 peut aussi tre utilis e aux places archim diennes de k en lesquelles les polyn mes binomiaux croissent plus lentement en un sens pr ciser que les mon mes divis s X Cette observation int gr e la d monstration d une mesure d ind pendance lin aire de logarithmes permet d am liorer la d pendance en log b remplac par log b log a dans le cas rationnel voir remarques iv p 28 Constante que l on dit effectivement calculable et qu effectivement l on ne calcule presque jamais 36 un isomorphisme de sch mas formels sur O G AS Specf O X1 Xgl Si X est un sous sch ma formel lisse de Ge eS 6 8 Spec k on dispose d un nombre r el Raw X
81. ns qu ici u log a1 logan est un logarithme d un point a1 an k O tant donn deux entiers a et la famille des polyn mes de Fel dman en question est 1 Ag X4 a2 0 lt 2 lt a 1 lt y lt B On v rifie qu elle forme une base de l espace des polyn mes de degr lt af 1 44 polyn mes imagin e par Matveev qui s av re plus maniable au moment du choix des param tres tout en conservant les avantages de la base de Fel dman tant donn io Die Do EN le polyn me de Matveev dp X io est A ps X 2A X o les entiers q et r sont respectivement les quotient et reste de la division euclidienne de y par DE Le degr de 6 D X io est io Par cons quent lorsque D est fix la famille Op X io lo I 0 Do forme une base de k X lt p On retrouve la base canonique en choisissant D 1 L int r t d une telle base peut se comprendre partir du LEMME TECHNIQUE Avec les notations ci dessus il existe une constante absolue c gt 1 telle 7 x 50 60 S D R lt e Dolog e min Do T D ps 1 0 16 La d monstration de ce lemme n est pas tr s difficile Elle d coule des estimations sur les polyn mes de Matveev qui sont donn es dans le livre de Waldschmidt 60 p 269 et suivantes Lorsque l on choisit D 1 l on trouve une estimation du poids de la famille X Jez log R RA er lt coDo 1085 En comparan
82. ntiels dans la th orie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucl aires Ann Inst Fourier Grenoble 4 73 112 1952 A GROTHENDIECK Produits tensoriels topologiques et espaces nucl aires Volume 16 de Mem Amer Math Soc 1955 140 p M HENK Successive minima and lattice points Rend Circ Mat Palermo 2 Suppl 70 I 377 384 2002 F Jonn Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions Studies and Essays Presented to R Courant on his 60th Birthday January 8 1948 Interscience Publishers Inc New York N Y p 187 204 1948 K MAHLER Ein Ubertragungsprinzip f r konvexe K rper Casopis Pest Mat Fys 68 93 102 1939 V MAILLOT G om trie d Arakelov des vari t s toriques et fibr s en droites int grables volume 80 de M moire de la soci t math matique de France S M F 2000 S RAMANAN et A RAMANATHAN Some remarks on the instability flag Tohoku Math J 2 36 2 269 291 1984 G R MOND In galit de Vojta en dimension sup rieure Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci 4 29 1 101 151 2000 D Roy et J L THUNDER An absolute Siegel s lemma J Reine angew Math 476 1 26 1996 Addendum et erratum ibid 508 47 51 1999 R RuMEty C F Lau et R VARLEY Existence of the sectional capacity volume 145 no 690 de Memoirs of the American Mathematical Society A M S 2000 R A Ryan Introduction to tensor products of Banach spaces Springer Monographs in Math
83. on n gt 1 Soit e E ka Soit vol une mesure de Haar sur Ea et covol E la mesure du quotient Ea E induite par vol Supposons que x Lcovol E lt vol Bx e 1 Alors il existe 1 points distincts e es de Bale 1 tels que pour tous i j 0 lj on a e e E Sik est un corps de nombres cet nonc reste vrai lorsqu il y a galit dans x Les d monstrations de ces r sultats suivent de pr s celles du cas classique Sir r ka nu k ko on note r a le produit parfois nul ro appel module normalis de r L in galit de van der Corput montre que pour tout r r ka tel que 1 covol E nko 90 nee acom il existe x E 0 tel que x lt rul pour toute place v variante du premier th or me de Minkowski Plut t qu un seul x on aimerait une base de E et cela conduit la notion de minima successifs de E La premi re propri t de la d finition d un fibr vectoriel ad lique l gitime une partie des trois d finitions suivantes de minima successifs que l on rencontre dans la litt rature D FINITIONS DES MINIMA SUCCESSIFS Soit 1 n Le 4 minimum normalis relatif E est 1 Selon THUNDER 24 la borne inf rieure A E de l ensemble des nombres r els positifs de la forme r a o r ka est tel que EN Bx 0 r contienne i vecteurs k lin airement ind pendants 2 Selon BOMBIERI amp VAALER 2 l
84. oriel dual EY Homz E k muni des normes duales de celles de E Si E est hermitien alors H E H E 1 Mais dans le cas g n ral cette galit west plus vraie a priori et nous savons seulement montrer que H E H E 1 c pour une certaine constante absolue c gt 1 qui n est pas connue Si la minoration par 1 est la cons quence d un th or me ancien de Blaschke Santal 1 23 la majoration r sulte du th or me suivant de Bourgain amp Milman 5 1987 Si C est un corps convexe de R le polaire de C est l ensemble 0 9 R p C lt 0 1 Si vol est la mesure de Lebesgue usuelle sur R alors covol Q det wi wn pour toute Z base w1 uwn de Q Toutefois l on peut montrer le r sultat explicite Hn E Hn E lt en l aide d un th or me de Mahler 16 4 G OM TRIE DES NOMBRES AD LIQUE 17 TH OR ME DE BOURGAIN amp MILMAN Soit vol une mesure de Haar sur R et vol la mesure adjointe sur le dual R Alors il existe une constante absolue c gt 1 telle que pour tout corps convexe C de R on a vol b2 vol b2 vol C vol C 7 o b est la boule unit ferm e de l espace euclidien R 2 Le produit tensoriel de fibr s vectoriels ad liques posent de s rieux probl mes La raison est que l on aimerait que le produit soit naturel et d fini de sorte que si E et F sont hermitiens alors il en est de m m
85. our tout p et tel que x Zp pour tout nombre premier p en dehors d un ensemble fini qui d pend de x Cette d finition se g n ralise un corps global k corps de nombres ou corps de fonctions et l ensemble ka des ad les de k poss de une structure d anneau topologique localement compact pour l addition et le produit composante par composante A chaque place v de k correspond un morphisme injectif de corps t k gt ky ky est le compl t de k en la place v qui permet de consid rer le plongement diagonal k gt ka gt ty 2 Via ce plongement l on montre que k est un sous groupe discret de ka tel que le quotient ka k est compact Plus g n ralement tant donn un k espace vectoriel E de dimension finie l espace E se pr sente comme un r seau de Ea E x ka analogue aux r seaux de la g om trie des nombres classique C est pour fournir un quivalent des corps convexes qu il est utile de consid rer la notion de fibr vectoriel ad lique sur Spec k Sans entrer dans les d tails pour l instant disons qu un fibr vectoriel ad lique E est la donn e d un k espace vectoriel E de dimension finie et de normes 5 sur chaque espace ES C soumises quelques conditions techniques tant donn un ad le r ro ka la boule ad lique B 0 7 z a Ea Vo Il ollz lt Irole a les propri t s d un corps convexe L on se trouve ainsi en pr sence de tous les ingr dients requis
86. ous oblige a choisir la base canonique des mon mes de k X pour crire P et que Pon a m me int r t choisir une autre base Soit P i er une famille libre finie de kLXo Lorsque l on crit a priori P piPo Xo Xy gt gt Xi i i0 in N et pi k de la d monstration de Gel fond Baker dans son ensemble se d gage une quantit mi arithm tique mi analytique qui mesure l influence du choix de la famille Pio iver sur la minoration finale de d u Wo que l on obtient C est ce que nous voulons voquer par la terminologie poids de la droite affine ou plus simplement poids de G concept que nous avons introduit dans G4 et pr sent ici sous une forme tr s l g rement diff rente de celle de l article original On d signe par la lettre h la hauteur de Weil logarithmique absolue DEFINITION DU POIDS Soit T S des entiers naturels et R gt 0 un nombre r el Le poids de Ga relatif la famille P iner aux param tres T S R est le nombre r el N P iner gal L ptr i0 l 1 I pt ES jan m acer 0 lt T lt T zI lt R Si le premier terme embrasse plusieurs tapes de la d monstration de Gel fond Baker le deuxi me terme quant lui ne concerne que la majoration analytique fine du nombre amp que l on tablit lors de la phase d extrapolation Le poids de G est la grandeur r siduelle qui provient de l introduction m me du groupe G dans la preuve Plus il est petit p
87. pe lin aire Ces petits d fauts de jeunesse ont depuis t supprim s en deux temps Tout d abord une am lioration spectaculaire a t obtenue dans les ann es quatre vingt dix gr ce une id e geniale d Hirata Kohno 31 32 Puis la combinaison de cette id e avec un argument plus ancien de Chudnovsky a permis David amp Hirata Kohno pour un produit de courbes ellip tiques 21 23 et au doctorant que j tais pour un groupe alg brique quelconque G1 de mettre la th orie g n rale un niveau comparable celui du cas lin aire En brossant succinctement ce tableau de la th orie des formes lin aires de logarithmes nous avons d omettre beaucoup de d tails et de noms de personnes qui ont contribu cette pop e comme Ably Anderson Bertrand Bosser Brumer Bugeaud Cijsouw Coates Denis Diaz Dong Fel dman Lang Laurent Loxton Masser Matveev Mignotte Nesterenko van der Poorten Ra machandra R mond Stark Shorey Urfels Villani Yu Les lecteurs int ress s par cette histoire peuvent consulter les livres de Baker 5 Baker amp Masser 6 pour la p riode d avant 1976 de Dans son habilitation Wuppertal 1983 Cet adjectif se justifie la fois par la simplicit et le caract re myst rieux de l argument sur lequel nous re viendrons au 12 2 La modestie de l auteure l a conduite mentionner les travaux de Fel dman 25 de Masser 39 et de Reyssat 48 comme source d inspirat
88. plet E E1 X E X de s ries formelles de k X telles que les coefficients de X n NY de Ej E sont de la forme an n avec Qn O On peut normaliser cette exponentielle de sorte que la diff rentielle l origine DoE soit Videntit Soit rp p P D Le g uplet E est un l ment de G rp puisque n gt riel t Au moyen de cette application exponentielle il est alors ais de construire un automorphisme f G r tel que f X Ad x 0 Ceci entra ne la minoration Rg gt r pour toute place v m Toutefois cette estimation n est vraiment utile qu en un nombre fini de places v puisque le produit infini rp diverge Revenons au cas d un sous sch ma formel lisse X quelconque de 6 k L espace tangent lori gine tx de X est muni d une structure enti re en consid rant le module tx Ntg z E tz C talko lle lt 1 sur l anneau O ce qui conf re l espace dual t puis l espace sym trique t de degr N une norme not e seg Ces d finitions conduisent alors directement au r sultat suivant lemme 3 3 de 12 LEMME Soit N Q un sous sch ma ouvert de G contenant la section nulle et s une fonction r guli re sur Q telle que sk s annule ainsi que ses d riv es d ordre lt le long de X en l ment neutre de Gk Alors le jet jetz s d ordre l le long de X en 0 vu comme l ment de Se tx v rifie 11 jetz sll secexy lt Ron
89. pour laborer une g om trie des nombres ad lique L article G7 pr sente les th or mes classiques de Blichfeldt Minkowski et van der Corput crits dans ce cadre Ce m me article compare plusieurs notions de minima successifs qui ne sont pas quivalentes entre elles Ce point est nouveau par rapport la th orie classique dans laquelle le 97 minimum relatif au corps convexe C et au r seau Q est la borne inf rieure des nombres r els r gt 0 tel que rC NQ poss de i vecteurs libres Toutefois au commencement ce n est pas la souplesse du langage de la th orie des fibr s vectoriels ad liques sur Speck qui nous a conduit l tudier La terminologie fibr vectoriel ad lique hermitien provient de la g om trie d Arakelov et plus pr cis ment des travaux de Bost des ann es quatre vingt dix qui mit en place le formalisme des pentes de fibr s vectoriels hermitiens sur le spectre de l anneau des entiers d un corps de nombres Un tel objet est la donn e d un Oz module projectif de type fini et d une collection de normes e aux places archim diennes v de k invariantes par conjugaison complexe On peut l interpr ter comme un cas particulier de fibr vectoriel ad lique A de tels fibr s sont associ s des nombres r els appel s degr s d Arakelov qui divis s par le rang de deviennent des pentes d Arakelov l occasion de cours de troisi me cycle donn s l Institut Henri Poincar en 199
90. que l quation de Weierstra il n y a pas de choix particuli rement vident pour les g dim param tres locaux t1 tg qui g n ralisent le param tre t s il est facile de voir que les coefficients du logarithme formel sont de la forme b n avec bn dans un anneau Ra Z g1 9m gi k il est difficile de relier ces l ments inconnus g qui d pendent de la vari t ab lienne un invariant comme la hauteur de Faltings ou une hauteur theta de la vari t La r solution de cette derni re difficult n est utile que si l on veut in fine avoir une d pendance explicite en tous les invariants de A Les deux premiers probl mes peuvent se r soudre finalement de mani re assez simple avec un argument de type fonctions implicites o l on surveille attentivement l anneau engendr par les coefficients des polyn mes qui remplacent l quation de Weierstra voir lemme 13 de G1 En revanche la troisi me difficult est beaucoup plus s rieuse Il revient ric Villani d avoir crit dans sa th se 2005 55 tous les d tails qui conduisent r soudre ce probl me pour les vari t s ab liennes principalement polaris es en s appuyant sur les techniques introduites par David th se 1989 voir aussi 20 et appendice A de 28 Bien qu int ressante en soi et aussi pour la th orie des groupes formels associ s aux vari t s ab liennes il me semble que cette question a un peu perdu de son a
91. r les formes lin aires de logarithmes la hauteur de 1 p est li e aux param tres log a et logb Pour faire dispara tre la d pendance en le corps de nombres ambiant l on peut imaginer crire un lemme de petites valeurs absolu J tais rest sur cette constatation au moment de ma th se de doctorat avant de m apercevoir quelques ann es plus tard qu un lemme de Siegel classique ou absolu donnait automatiquement un lemme de petites valeurs par d formation des normes On proc de de la mani re suivante Soit k un corps de nombres plong dans C et vo la place de k induite par ce plongement Soit E E l et F F Ul llz v des fibres vectoriels ad liques sur Speck Soit e gt 0 eta H gt F Qvo C une application C lin aire Sur E 9 C on consid re la norme tordue Va e EG C liella Mel all 1 2 i Si v est une place de k diff rente de vo on pose llla Alors le couple BaS E Il 5 u v forme un fibr vectoriel ad lique De plus six E on a Hy x lt Hz 1 et lla Ir Elle D s lors savoir majorer finement Hy x pour un vecteur x particulier revient tablir un lemme de petites valeurs Celui que nous avons pr sent ci dessus correspond au cas E Q9 l F Q oo et a x 9 G j2j lt i lt m L emploi du lemme de Bombieri amp Vaaler ou du lemme de Siegel absolu pour valuer Hz x pose le probl me de l estimation de la hauteur de E
92. rationnels de ces sch mas en groupes sont G K K et Gm K K 0 x respectivement ici K est un corps commutatif quelconque Dans la probl matique g n rale ainsi pr sent e le cas tudi par Hermite et Lindemann est G Ga x Gm p B e G Q et Wo est l hyperplan z1 z2 De m me le cas tudi par Gel fond est G G2 p e 1 et2 G Q et Wo l hyperplan 6121 8222 0 Ces deux cas concernent le cas dit lin aire o G est un produit G x G do n N Les logarithmes sont des nombres alg briques ou des logarithmes au sens usuel de nombres alg briques non nuls A la suite des travaux de Gel fond et Schneider et pendant 30 ans seuls quelques r sultats fragmentaires concernant des groupes G de petites dimensions ont t obtenus Et puis Alan Baker est arriv En reprenant le travail de Gel fond il surmonta la principale difficult situ e dans la partie analytique de la d monstration difficult semblable celles qui apparaissent lors du passage d une plusieurs variables en analyse complexe Par une m thode ing nieuse conque au milieu des ann es soixante et qu il perfectionna ensuite il obtint le fameux th or me TH OR ME DE BAKER Soit n NA 0 et u1 un des nombres complexes tels que e 1 e Q Alors la famille u1 u est Q libre si et seulement si 1 u1 Un est Q libre La m thode de Baker permet aussi d obtenir des nonc s quantitatifs c d
93. rbitrary place of k Let G be a commutative algebraic group defined over k and H be a connected algebraic subgroup of G Denote by Lie H its Lie algebra at the origin Let u Lie G C a logarithm of a point p G k Assuming essentially that p is not a torsion point modulo proper connected algebraic subgroups of G we obtain lower bounds for the distance from u to Lie H x Cug For the most part they generalize the measures already known when G is a linear group The main feature of these results is to provide a better dependence in the height loga of p removing a polynomial term in logloga The proof relies on sharp estimates of sizes of formal subschemes associated to H in the sense of Bost obtained from a lemma by Raynaud as well as an absolute Siegel lemma and in the ultrametric case a recent interpolation lemma by Roy G5 Simultaneous lower bounds for linear forms in logarithms of algebraic numbers This work falls within the theory of linear forms in logarithms over a commutative linear group defined over a number field We give a lower bound for simultaneous linear forms in logarithms of algebraic numbers treating both the archimedean and p adic cases The proof includes Baker s method Hirata s reduction Chudnovsky s process of variable change The novelty is that we integrated into the proof the modern tools of adelic slope theory building an auxiliary section of a metrized line bundle over a projective space G6 Slope
94. ry at the Gateway to the Millennium qui s est tenue Z rich du 28 ao t au 3 septembre 1999 Cambridge University Press 2002 S ZHanc Positive line bundles on arithmetic varieties J Amer Math Soc 8 1 187 221 1995 R SUM S DES ARTICLES 51 R sum s des articles G1 Mesures d ind pendance lin aire de logarithmes dans un groupe alg brique commutatif Soit G un groupe alg brique commutatif d fini sur le corps Q des nombres alg briques Soit W un hyperplan de l espace tangent l origine d fini sur Q et u un vecteur de ta c tel que l image de u par l application exponentielle du groupe de Lie G C est un point alg brique Dans ce texte nous obtenons une minoration de la distance de u W qui est optimale en la hauteur de W La d monstration repose sur la m thode de Baker la r duction d Hirata Kohno ainsi que sur un nouvel argument arithm tique le proc d de changement de variables de Chudnovsky G2 Formes lin aires de logarithmes effectives sur les vari t s ab liennes Nous tablissons de nouvelles mesures d ind pendance lin aire de logarithmes de points alg briques d une vari t ab lienne d finie sur Q mesures qui sont enti rement explicites en les invariants li s la vari t en question dimension hauteur de Faltings degr d une polarisation Moyennant une hypoth se suppl mentaire sur les points alg briques consid r s et une constante num rique moins bonne
95. s dirons que E est v pur si pour tout x E la norme x 5 de x appartient l image k de k par sa fonction valeur absolue Lorsque cette propri t est satisfaite en toutes les places de k nous dirons que E est pur Cette propri t est toujours vraie aux places archim diennes de k lorsqu il y en a HERMITIANIT Un fibr ad lique hermitien est un fibr vectoriel ad lique pur dont toutes les normes aux places archim diennes de k sont hermitiennes Exemples Pour tout p 1 00 on dispose du fibr vectoriel ad lique pur qui est hermitien lorsque p 2 o pour toute place v de k et tout vecteur 41 x de C ona i Den lay UP si v est archim dienne et p lt 00 E j Lou max y nlv sinon Au del de cette famille d exemples il y a aussi ceux qui tablissent le lien avec la g om trie des nombres classique Soit n un entier gt 1 et C R une partie convexe ayant 0 comme point int rieur compacte et sym trique par rapport l origine Cet ensemble est la boule unit ferm e de R muni de la norme jauge VER lalo inf A gt 0 c Soit Q un r seau complet de R Il existe une base w1 wWn de R telle que Q Bi Zw Le Q espace vectoriel Q amp z Q peut alors tre muni d une collection de normes index e par les places v de Q de la mani re suivante e Si v est la place archim dienne oo de Q alors pour tout x
96. s ici est une minoration de max A y 1 lt i lt t explicite en tous les param tres sauf n lorsque par exemple u1 un est une famille libre sur Q La d monstration repose sur la m thode de Baker Philippon Waldschmidt la r duction d Hirata Kohno le proc d de changement de variable de Chudnovsky repens s avec les outils modernes de la th orie des pentes ad liques G6 Pentes des fibr s vectoriels ad liques sur un corps global Dans les ann es 90 J B Bost a d velopp tout un formalisme des pentes des fibr s vectoriels hermitiens sur l anneau des entiers d un corps de nombres Au cours de ses recherches une nouvelle m thode d approximation diophantienne dite m thode des pentes a t labor e Cet article propose une g n ralisation de ces travaux une classe plus large de fibr s vectoriels dits ad liques d finis sur un corps global Ces fibr s poss dent aux places archim diennes des normes qui ne sont plus n cessairement hermitiennes Nous examinons galement le lien avec la th orie des minima successifs ad liques Pour parvenir ces r sultats nous avons recours plusieurs concepts de g om trie des espaces de Banach de dimension finie G7 G om trie des nombres ad lique et lemmes de Siegel g n ralis s Ce texte pr sente plusieurs nonc s qui assurent l existence d un vecteur non nul de petite hauteur dans un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de nombres
97. s of adelic vector bundles over global fields At the end of the twentieth century J B Bost deve lopped a slope theory of hermitian vector bundles over number fields A new method of diophantine approximation the so called slope method has emerged from his research Our article proposes a generalisation to adelic vector bundles over global fields The norms at the archimedean places are no longer supposed to be hermitian The link with adelic successive minima is also mentioned To get these results we use several concepts from the geometry of finite dimensional Banach spaces G7 Adelic geometry of numbers and generalized Siegel s lemma A Siegel s lemma provides an explicit upper bound for a non zero vector of minimal height in a finite dimensional vector spaces over a number field This article explains how to obtain Siegel s lemmas for which the minimal vectors do not belong to a finite union of vector subspaces Siegel s lemmas with conditions The proofs mix classical results of adelic geometry of numbers and an adelic variant of a theorem of Henk about the number of lattice points of a centrally symmetric convex body in terms of the successive minima of the body MSC 2000 11J86 11J68 11H06 11G50 11J13 11320 11J61 11R56 14G40 14L05 MOTS CLEFS Formes lin aires de logarithmes cas rationnel m thode de Baker groupe alg brique commutatif taille de sous sch ma formel lemme d interpolation lemme de Siegel
98. st la norme euclidienne usuelle sur le produit tensoriel E r F on dit alors que la norme a est euclidienne Un point crucial est que l on peut exhiber au moins une norme euclidienne a par exemple les normes de Chevet Saphar d ordre 2 conviennent voir 22 ou G6 p 34 Tout ceci se transpose aux fibr s vectoriels ad liques ce qui nous a conduit introduire la notion de norme tensorielle ad lique d ordre ventuellement hermitienne Le qui appara t est le nombre de fibr s dont on fait le produit tensoriel La conclusion est que pour faire le produit tensoriel de fibr s vectoriels ad liques il faut ces fibr s et le choix d une norme tensorielle ad lique d ordre En particulier les normes sur les produits sym trique et ext rieur d un fibr vectoriel ad lique d pendent elles aussi du choix d une norme tensorielle ad lique car elles sont obtenues par quotient de normes sur des produits tensoriels Une fois ces obstacles surmont s il n est pas difficile de voir que la pente d Arakelov d un produit tensoriel de fibr s ad liques F relatif une norme tensorielle hermitienne est la somme des pentes de chacun d entre eux plus un terme d erreur born par X log A E 6 E 4 G om trie des nombres ad lique Une des questions les plus courantes en g om trie des nombres est l estimation du nombre de points d un r seau dans un corps convexe Ici selon la correspondance men
99. t rature tant donn un nombre alg brique a on d signe par h a la hauteur de Weil logarithmique absolue de a Si x est un nombre r el alors x est la partie enti re de x TH OR ME G5 Soit ne N 0 Il existe une constante c gt 0 qui ne d pend que de n ayant la propri t suivante Soit k un sous corps de nombres de C de degr D sur Q Soit te 1 n et Bis asist Minlk une matrice de rang maximal t Pour tout j 1 n soit uj C tel que a e k Soit b a1 an e des nombres r els strictement positifs tels que e gt e E elu Vj 1 n logaj gt max Aloy sl log b gt D max 1 h Gi 1 lt j lt n Soit a l entier d fini par D D a log e log ai an 1 log e log e Si u1 un est une famille libre sur Q alors les formes lin aires de logarithmes Ai Pau inun STE ne sont pas toutes nulles et elles v rifient la minoration a ee log max Ai 2 ca dos aloso JT 1 load Toutes ces mesures s obtiennent au moyen de la m thode de Gel fond Baker m thode que nous allons pr senter avec les ingr dients qui la composent dans les paragraphes qui vont suivre Aupa ravant nous rappelons au lecteur que les exigences d intelligibilit d une habilitation diriger des recherches nous ont conduit ne pas pr ciser certaines donn es choix des m triques par exemple Nos textes publi s regorgent de d tails techniques qui devraient
100. t fimax Es log dim E i 1 i 1 La d monstration est difficile L on se ram ne au cas semi stable au moyen d une version explicite d un th or me de Ramanan amp Ramanathan 18 cas que l on traite ensuite au moyen de la th orie des invariants classique Il est beaucoup plus l mentaire de d montrer une version plus faible de ce r sultat o log dim E est remplac par 2 dim E log dim E r sultat de Bost dont une variante est d montr e dans G6 D clin sous la forme d un nonc pour les puissance sym triques d un fibr ad lique hermitien E Eines S E lt X ete do log n gt ce type de r sultat s av re indispensable dans les applications en transcendance car la puissance sym trique gouverne la partie d rivation des d monstrations voir la seconde partie de ce m moire Une des raisons d tre de la pente maximale est qu elle appara t dans plusieurs in galit s de pentes Deux de ces in galit s sont particuli rement remarquables La premi re affirme qu tant donn un fibr vectoriel ad lique E et un vecteur x E 0 ona Hz gt e7fimax E De d monstration imm diate partir des d finitions cette in galit est une reformulation savante du fait qu un entier x non nul v rifie x gt 1 Ceci n alt re en rien sa profondeur bien au contraire Pour noncer l autre in galit commen ons par une d finition Soit E F des fibr s vectoriels ad
101. t cette majoration avec 16 l on comprend que l on peut ajuster D de mani re minimiser le poids de Ga C est gr ce ce coup de ma tre que Fel dman a pu obtenir pour la premi re fois une minoration de log d u Wo lin aire en la hauteur logb de Wo pour un groupe lin aire Au del de l aspect technique du lemme ci dessus les raisons qui expliquent un plus petit poids de G pour les polyn mes de Matveev sont qu ils prennent des valeurs enti res aux points entiers tout en ayant une croissance analytique moindre que les mon mes standards En suivant le m me principe l on peut construire les polyn mes de Lagrange 17 vaso Apo po 2 zez i 0 leI lt R qui ont un bon comportement aux entiers de Gauss Z i Plus g n ralement Ably amp M Zari ont obtenus des lemmes techniques comparables celui que nous avons pr sent pour des polyn mes associ s un ordre O d un corps de nombres k t 2 3 Dans ce cas le nombre m dans la d finition du poids de G n est plus un entier mais un l ment de l ordre Formellement ces polyn mes sont d finis comme ceux de Lagrange mais le produit porte sur les x OY 0 tels que xl2 lt R ici 2 est la norme euclidienne sur R espace dans lequel se plonge k C est en partie gr ce ces polyn mes qu l instar de Fel dman Ably a obtenu une minoration de log d u Wo optimale en log b pour une puissance d une courbe elliptique multiplication comple
102. tionn e dans l intro duction cela revient s int resser l intersection EN Bz 0 r pour un fibr vectoriel ad lique E et un ad le r ka Cet ensemble est un ensemble fini car E est discret dans Ea et la boule est compacte Dans G7 nous avons tabli une minoration du cardinal de cet ensemble qui dans sa forme classique est attribu e van der Corput 8 Soit e e1 en une base de R Soit 2 C R l ensemble x1e1 Inen Vi 0 lt x lt 1 et PY C R l ensemble construit de la m me mani re avec la base duale de e Alors vol est unique mesure de Haar sur R Y telle que vol Z vo PY 1 Sauf si k est un corps de fonctions En r alit la discussion qui suit n est int ressante que si k est un corps de nombres c d si k poss de au moins une place archim dienne HI semble m me que ce soit Grothendieck qui ait v ritablement lanc le sujet avec une s rie de r sultats fondamentaux dont certains sont issus de sa th se voir par exemple 12 13 18 IN GALIT DE VAN DER CORPUT AD LIQUE Soit E un fibr vectoriel ad lique sur Spec k de dimension n gt 1 etr kx Alors on a vol B 0 r 2n k ko covol E lt card E N Bx 0 r o 6 vaut 1 sik est un corps de nombres et 0 si k est un corps de fonctions C est une cons quence directe du THEOREME DE BLICHFELDT AD LIQUE Soit l n N 0 et E un fibr vectoriel ad lique sur Speck de dimensi
103. tique plus petit que 2 Pour G Gy cette application est simplement z gt 1 e7 P C On construit un polyn me P K Xo Xn homog ne et de petite hauteur tel que l application F z gt P o z On z s annule l ordre To le long de Wo aux multiples mu m 0 So To et So sont des entiers strictements positifs Cette condition signifie que pour tout m 0 So pour toute base w wa de Wo l application Fm 21 24 gt F mu 2101 zawa s annule l ordre To en 0 0 Le principe de la m thode de Baker consiste observer par un argument du type principe du maximum pour une variable complexe que si la distance d u Wo est trop petite alors la fonction F ainsi b tie s annule un ordre T lt Ty en S gt So multiples de u Le point crucial qu a r ussi obtenir Baker est que le produit 7151 est plus grand que 7950 en g n ral on a 7 51 coTpSo avec co gt 1 une constante qui ne d pend que de la dimension du groupe alg brique Pour montrer cette propri t d annulation de F en d autres points paissis que ceux initialement utilis s pour sa construction on raisonne par l absurde On consid re le plus petit entier m pour lequel Fm ne s annule pas l ordre Ti en 0 et on note un coefficient de Taylor du premier jet de Fm non nul Apr s renormalisation ventuelle ce nombre s identifie un nombre alg brique non nul auquel s applique la
104. tre ami ric ses grands airs y peut s les cloquer dans 1 baba Il se peut qu il y ait un lien avec ma formation universitaire 1991 1994 Classes pr paratoires au Lyc e Descartes de Tours e 1994 1998 l ve l cole Normale Sup rieure tudes Paris VI et Orsay 1999 2001 Th se de doctorat l Universit Jean Monnet de Saint Etienne sous la direction de Sinnou David Guy Diaz et Michel Waldschmidt e 2002 x x x Ma tre de Conf rences l Universit Joseph Fourier de Grenoble Textes issus de la th se de doctorat soutenue en d cembre 2001 G1 Mesures d ind pendance lin aire de logarithmes dans un groupe alg brique commu tatif Invent Math 162 1 137 188 2005 R sultats annonc s dans C R Acad Sci I 333 1059 1064 2001 G2 Formes lin aires de logarithmes effectives sur les vari t s ab liennes Ann Sci cole Norm Sup 39 5 699 773 2006 Textes post rieurs la th se de doctorat G3 avec M ABLY Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques multi plication complexe C R Acad Sci Paris 337 S r I 629 634 2003 G4 tude du cas rationnel de la th orie des formes lin aires de logarithmes J Number Theory 127 2 220 261 2007 G5 Minorations simultan es de formes lin aires de logarithmes de nombres alg briques Texte au repos avant corrections 20 p mai 2009 G6 Pentes des fibr s vectoriels ad liques sur u
105. trois conditions i Yz E 8 C xls 0 x 0 ii Ve E 8 Cy VAE Cy Ar ll Alo lello iii Vx y E 8 Cy x ylle lt elle llyllv Commen ons par trois d finitions qui plantent le d cor de cette histoire FIBRE VECTORIEL ADELIQUE Soit n un entier naturel Un fibr vectoriel ad lique E E de dimension n sur Speck est la donn e d un k espace vectoriel E de dimension finie n et d une famille de normes sur ES Cy aux places v de k soumise aux contraintes suivantes 1 Il existe une k base e1 e de E telle que pour toute place v ultram trique en dehors d un nombre fini la norme sur E k C est donn e par n gt Le i l 2 Soit Gal C k l ensemble des automorphismes continus qui laissent invariants les l ments de k Alors est invariante sous l action de Gal C k tant donn une max jesle gt v 14 ky base a1 an de E 8k ky et 21 Tn CR o Gal C k on a lo az ay o0 taJanllo rio all 3 Si v est ultram trique alors Yr yE ES Co x ylly lt max leo lylo ultra norme selon la terminologie de Bourbaki Un fibr en droites ad lique est un fibr vectoriel ad lique de dimension 1 Pour mesurer les d fauts des normes aux places ultram triques d un tel objet nous avons besoin de la notion suivante PURET Soit E un fibr vectoriel ad lique sur Spec k et v une place de k Nou
106. ttrait depuis que Bost a introduit sa fameuse th orie des pentes arakeloviennes qui devient surpuissante lorsqu elle est aliment e par des r sultats profonds de g om trie d Arakelov Gr ce ces pentes l on peut d placer une grande partie du probl me de l arithm tique des coefficients b dans le calcul de la pente d Arakelov de l espace des sections globales d un fibr ample et sym trique L sur la vari t A Sans entrer dans les d tails en voici la fragrance THEOREME DE Bost Soit H A L le fibr adelique hermitien de dimension h A L obtenu au moyen d un mod le de Moret Bailly du couple A L Alors la pente d Arakelov normalis e de ce fibr vaut 1 1 h A L fin H9 A L hp 4 1 2 fin HCA ED 3hr A 108 ya hr A est la hauteur de Faltings de A Le logarithme formel du groupe formel obtenu partir d un groupe alg brique de dimension g par compl tion le long de l origine s identifie un g uplet de s ries formelles en les param tres t1 tg tC d quelque chose que l on peut th oriquement calculer si l on dispose d une description suffisante de la vari t 40 Ce calcul difficile a t effectu par Bost 11 Il repose sur les travaux de Moret Bailly 43 44 et sur le th or me de Riemann Roch de Gillet amp Soul 27 Dans cette approche arakelovienne la seule information n cessaire pour bn est que cet l ment peut tre choisi entier alg briqu
107. uc Bes denmi nes amm es ji Da lici du aculiem himamcien ek aciemtifique du projet amh Diophante quilote avec maestria pan Lucia di Vinjo Me ek Amktoime Chambent Loin qui tait lonigime du projet ent imdubitaMement combribuz A men comfort de nechenche kout em me sr serwant des exc s de la machine admimiatnative nic Pr sentation de l auteur Commen ons par une description extraite du film Le cave se rebiffe 1961 dite par le personnage qu interpr te Bernard Blier d un tenancier d une maison close qui s adresse son notaire v reux Parce que j aime autant vous dire que pour moi Monsieur ric avec ses costards tiss s en cosse Roubaix ses boutons de manchette en simili et ses pompes l italienne fabriqu es Grenoble eh ben c est rien qu un demi sel Et l je parle juste question pr sentation parce que si je voulais me lancer dans la psychanalyse j ajouterais que c est le roi des cons Et encore les rois ils arrivent l heure Parce que j en ai connu moi mon cher Maitre des Rois Et pis pas des p tits Des Hanovre Des Hohenzollern Rien qu du micheton garanti croisade Mais vous m voyez l maintenant mais moi j ai pas toujours tenu un cland Vous avez pas connu la rue du chalabais Soixante chambres Et y z ont fil tout a aux P tites Soeurs des Pauvres Quand j y pense tiens Alors c est pour vous dire que vo
108. upposons que m lt g et que pour tous i j on a aij Z Soit A max a Alors il existe une solution x1 2 ZI 0 au syst me 5 telle que max zi tgl lt 1 94 7 Ce r sultat d coule simplement du principe des tiroirs de Dirichlet Comme l a remarqu Mi gnotte il est possible de l tendre un syst me coefficients alg briques voir lemme 1 3 1 de 57 Cependant l on s est aper u qu un tel lemme n tait rien d autre qu une variante du premier th o r me de Minkowski sur les corps convexes voir la premi re partie p 18 Ce point de vue s est r v l f cond en d bouchant sur une version ad lique du lemme de Siegel d montr par Bombieri amp Vaaler 8 LEMME DE BOMBIERI amp VAALER Soit k un corps de nombres de discriminant absolu Dr Soit E un fibr ad lique hermitien sur Speck de dimension n gt 1 Alors il existe x EX 0 tel que Hale lt vn D CEAD q Ey les hauteurs sont normalis es Le lemme de Siegel original se retrouve en prenant k Q Dp 1 et EC Q9 d espace vectoriel sous jacent E d fini par le syst me 5 Dans ce cas la hauteur H x est la norme infinie de x une fois les coordonn es de x choisies enti res et premi res entre elles Le lemme de Bombieri amp Vaaler a connu un grand succ s la fois gr ce sa simplicit et sa pr cision sup rieure la version de Mignotte p ex Plusieurs d veloppements
109. ut tre g n ralis e un groupe alg brique quelconque Pour expliquer comment nous allons d crire un formalisme particuli rement adapt aux valuations ultram triques de tailles de jets introduit par Bost au 3 1 de 12 Le langage g om trique de ce formalisme qui s exprime en termes de tailles de sch mas formels lisses claire le r le exact jou par l hypoth se sur Wo Cependant une difficult technique chappe l analyse du cas d un tore telle que nous venons de la faire Dans le cas g n ral si Wo est l espace tangent l origine d un sous groupe alg brique connexe H de G nous avons besoin de mod les lisses des groupes G et H sur des spectres d anneaux de la forme O 1 m avec Op l anneau des entiers d un corps de nombres k et m un entier gt 0 Si pour le groupe G cela ne pose aucun probl me l entier m d pend de G et il finira dans la constante effective selon l expression consacr e le groupe H quant lui admet un mod le lisse mais sur un anneau plus gros O 1 mm o m est un entier qui d pend de H et qui exprime en partie l information en les places de mauvaises r ductions de H Par cons quent il est important de contr ler l entier m en fonction du mod le de H Si le formalisme de Bost clarifie le probl me l on doit un th or me de Raynaud de le r soudre Ce th or me donne une condition pour que Vinclusion entre vari t s ab liennes se prolonge en u
110. variante de lemme d inter polation qui s applique dans le cas ultram trique Dans l introduction nous avons fait allusion l existence d une th orie des formes lin aires de logarithmes p adique analogue la th orie archi m dienne Soit p un nombre premier et C le compl t topologique du corps value Qp p Dans cette expression Q est le corps des nombres p adiques Qp est une cl ture alg brique de Q et p est la valeur absolue p adique sur C normalis e par p p Soit G un groupe alg brique com mutatif d fini sur un corps de nombres inclus dans C Comme exp est de rayon de convergence fini en g n ral le logarithme u doit tre pris dans une boule ouverte de ta Cp centr e en l origine Une fois cette pr caution prise tout se d roule de la m me mani re que dans le cas complexe et l on a besoin d un lemme d interpolation p adique Les fonctions analytiques sur le corps valu ultram trique complet et alg briquement clos Cp p jouissent de bonnes propri t s principe du maximum en particulier analogues celles des fonctions holomorphes sur un ouvert de C Les travaux du groupe de travail d analyse ultram trique ont permis Robba sous l impulsion de Bertrand de donner un lemme d interpolation p adique 49 qui ressemble celui pr sent ci dessus dans le cas complexe La d monstration repose sur une formule d interpolation compa rable celle d Hermite mais avec une ten
111. xe 1 en travaillant avec Vordre constitu des endomorphismes de la courbe Dans notre article en commun G3 avec Ably qui se situe dans le m me cadre que 1 nous avons repris cette id e pour conserver une mesure optimale en log b 12 2 R duction d Hirata Kohno Au milieu des ann es quatre vingt Philippon amp Wald schmidt obtinrent pour la premi re fois une mesure d ind pendance lin aire de logarithmes vraie dans le cadre d un groupe alg brique commutatif quelconque 46 Ils montr rent que si Wo est un hyperplan et u Wo alors on a log d u Wo gt c log b 9 g est la dimension de G logb un majorant de la hauteur de Wo et c une fonction qui d pend de tous les param tres sauf Wo Puis en 1991 31 Hirata Kohno am liora cette minoration en Si x Zi alors il existe 6 N 0 plus petit que lt 103 R tel que JAr L x Zi tLe sous ensemble O de k est un ordre de k si O est la fois un sous anneau de k et un Z module de rang k Q Et ceci pour la premi re fois dans le cadre d un groupe qui n est pas lin aire avant les g n ralisations ult rieures 21 23 et G1 obtenues diff remment voir 10 2 en particulier 12 ARTIFICES SUPPL MENTAIR un 45 montrant que 18 log d u Wo gt c log b log log b 9 Ces deux mesures se g n ralisent W de codimension quelconque modulo une hypoth se plus forte sur u 32 47 Dans ce paragraphe nous expliquons l
112. ximation diophantienne comme nous le verrons dans la seconde partie avec les lemmes de Siegel par exemple Une des facettes de cette th orie s int resse la question de l intersection d un ensemble convexe de R avec un r seau complet de cet espace Cependant ces objets de base s av rent tre des carcans assez rigides l usage par exemple lorsque l on a un corps de nombres k qu il faut plonger dans RQ avant de pouvoir travailler De plus l analogie entre corps de nombres et corps de fonc tions d une variable c d une extension finie de Z pZ X ne peut pas se manifester dans ce contexte C est une des raisons pour lesquelles a t per ue au d but du vingti me si cle la n cessit de consid rer simultan ment toutes les places de k c d la fois les plongements de k dans les corps archim diens R et C les places l infini de k et les plongements dans les corps p adiques li s aux id aux premiers de l anneau des entiers Op de k les places ultram triques de k L essor de la notion d ad le travers les travaux de Hensel Hasse Chevalley Artin et Weil pour ne citer que quelques uns des math maticiens qui ont contribu cette entreprise a permis de concr tiser ce besoin Pour se rafra chir la m moire rappelons simplement qu un l ment x de l anneau des ad les Qa de Q est un multiplet x 1p p o p parcourt les nombres premiers de Q tel que z R x Qp p

Habilitation

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents