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GLMA202 CONCEPTS FONDAMENTAUX EN ANALYSE

1. LE VRAI ET LE FAUX 17 Le vrai et le faux Le raisonnement math matique ne trouve de l int r t que lorsque l on introduit les valeurs de v rit dans le paysage sans cet aspect il ne s agirait que de constructions formelles compl tement abstraites Il s agit d une donn e suppl mentaire par rapport aux principes de construction des assertions math matiques il ne s agit en effet plus de syntaxe avec le m me sens que lorsqu on apprend la langue fran aise l ensemble des r gles qui permettent de construire des phrases grammaticalement correctes mais de s mantique c est dire que le sens des phrases entre d sormais en consid ration En nous fondant sur les paragraphes pr c dents nous pouvons expliciter de mani re d sormais satis faisante le principe du tiers exclu voqu au tout d but de chapitre Le cas le plus simple est celui des assertions ferm es Principe num ro 1 tiers exclu Toute assertion ferm e est soit vraie soit fausse Elle est forc ment l un ou l autre et ne peut tre les deux la fois Malheureusement comme nous l avons vu le monde math matique n est pas aussi simple car il n est pas peupl que d assertions ferm es De nombreuses autres assertions poss dent galement une valeur de v rit bien d finie On rencontre par exemple fr quemment les cas suivants des assertions ouvertes comprenant des variables non muettes pour lesquelles il a t
2. lt E puisque b a 2n Saa u y PAE 2n 2mo 2 m D s lors pour tous entiers m et n plus grands que mo 2m gima 2mM_1 b b EA lt 3 sal gt 5 lt Y Ge lt b a e k 0 t 0 k 0 QU De S E le La suite 2 f 1en est donc bien de Cauchy o Ce r sultat permet donc de montrer l existence de l int grale de n importe quelle fonction continue 4 3 INT GRALES 87 Exercices Exercice 4 3 7 Montrer qu une fonction unifom ment continue est continue et que la r ciproque est fausse Exercice 4 3 8 Montrer qu une fonction uniform ment continue n est pas n cessairement lipschitzi enne Exercice 4 3 9 Montrer qu une fonction d rivable et dont la d riv e est born e est lipschitzienne En d duire qu un fonction de classe C est n cessairement lipschitzienne sur tout segment Exercice 4 3 10 Soit f une fonction d finie sur R et uniform ment continue Montrer qu il existe deux r els positifs a et b tels que Vx ER f x lt alx b Exercice 4 3 11 Soit f R R une fonction telle qu il existe une autre fonction p R R v rifiant les propri t s suivantes a w 0 0 et y est continue en 0 b pour tous x y dans R f x FON lt y x y Montrer que f est uniform ment continue sur R Question subsidiaire montrer que si f est une fonction uniform ment continue sur R alors il existe toujou
3. g f x 0 si f x h f x tandis que gCFC h ef gx h 8 f x Ah TL h f x h f x h 80 g x si f x h f x Par d rivabilit de g et annulation de g f x il existe gt O tel que ai pour tout y tel que ly f x lt et y f x De plus par continuit de f en x cf paragraphe pr c dent il existe gt 0 tel que f x h f x lt si A lt B ce qui entra ne donc que pour tout A lt B EEC h eil fG h fx d s que f x h f x et 0 sinon Enfin comme f est d rivable en x il existe gt O tel que pour tout Il lt 6 et non nul lt D un ran On en d duit que pour tout h lt min 6 ELA re h Reste tendre au cas o g ne s annule pas en f x mais cela se fait en consid rant la fonction d finie par h y h 20 g f x y ce qui ach ve ais ment la preuve O Exercices Exercice 3 4 10 Soit f une fonction continue d finie sur R et croissante sur une partie A dense dans R Montrer que f est croissante sur R Exercice 3 4 11 Soit f la fonction d finie par f x O si x est rationnel et f x x si x est irra tionnel Etudier la continuit de f Exercice 3 4 12 Soit f R R continue et p riodique de p riode 1 c est dire que Vx R f x 1 f x Montrer qu il existe t R tel que f t a i Exercice 3 4 13 Soit f la fonction d fini
4. En guise d introduction rappelons qu une suite d lements de R on dit aussi suite num rique est une application de N dans R On note u 1en la suite qui est donn e par l applica tion u NOR n Un D finition 3 1 1 Soit un nen une suite de r els et soit R On dit que la suite un nen con verge vers f si Ve gt 0 IN eN tel que Yn gt N lu lt e On note alors lim u gt 00 Cette d finition donne une interpr tation pr cise des phrases floues du type la suite se rapproche de lorsque n tend vers l infini Concr tement dire que un nen converge vers consiste affirmer une propri t d approximation quelle que soit la pr cision que l on se donne le nombre e gt 0 il suffit d attendre sufisamment longtemps pour trouver un instant partir duquel toutes les valeurs de la suite se trouvent distance plus petite que e de sont une approximation de e pr s 3 1 LIMITES DE SUITES 57 Proposition 3 1 2 unicit de la limite Soit unen une suite et et des r els Si un neN con verge vers et vers l alors D monstration Par l absurde supposons et posons e A Alors d apr s la convergence de Un nen vers il existe un entier N tel que pour tout n gt N lun lt e Nous pouvons faire de m me avec ce qui nous donne un N tel que pour tout n gt N ju
5. Soit f une fonction et Z un intervalle contenu dans son domaine de d finition On dit que f est lipschitzienne sur I s il existe un r el K gt 0 tel que Vrel Vyel f fO lt Klx yl le r el K est appel rapport de Lipschitz de la fonction f Lemme 4 3 4 Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle I est uniform ment continue sur I D monstration Soit f une fonction lipschitzienne de rapport K sur I Si K 0 la fonction est constante et il n y a rien d montrer Sinon prenons e gt 0 et posons Soient de plus x Jet y 1 tels que x y lt 6 Alors F fOI lt Klx y lt K e Ainsi f est uniform ment continue sur O 4 3 2 Initiation l int gration D finition 4 3 5 Soit f une fonction d finie sur un segment a b On appelle somme de Riemann d ordre n attach e f E WA A Ge S a kt k 0 La somme de Riemann d ordre n est une tentative et pour l instant seulement une tentative d ap proximation de l int grale de la fonction f sur le segment a b pour ce faire on remplace la fonction f sur chacun des 2 petits segments a La a k 1 52 ba 2n stante gale f a ktt c est dire la valeur de f en l extr mit gauche de chaque petit segment On notera par ailleurs qu on d coupe en 2 intervalles chaque tape ce choix est commode car le nombre de segments est multipli par 2 chaque pas
6. VA gt 0 Ho gt 0 leue Ya e D Alko xo l SEN gt A On dit que la fonction f tend ou diverge vers co lorsque x tend vers xo si vi gt 0 gt 0 tiae vx e Diko 0m el SE A On note alors lim f x 00 c dans le premier cas co dans le second X X0 D finition 3 3 16 Soit f une fonction num rique v rifiant H resp H_ On dit que la fonc tion f tend ou diverge vers 00 lorsque x tend vers co resp lorsque x tend vers oo si VA gt 0 3B gt 0 telque Yx gt B f x gt A resp VA gt 0 3B gt 0 tel que Yx lt B f x gt A On dit que la fonction f tend ou diverge vers lorsque x tend vers 00 resp lorsque x tend vers oo si VA gt 0 3B gt 0 tel que Yx gt B f x lt A resp VA gt 0 3B gt 0 tel que Vx lt B f x lt A On note videmment lim f x c le choix des signes devant les deux symboles oo tant X 00 pr ciser en fonction de celle des quatre situations possibles qui est envisag e 3 3 5 Propri t s des limites un bilan Les propri t s des limites infinies sont un peu plus d licates manipuler en raison de l existence de formes ind termin es Plut t que de les d tailler ind pen damment des pr c dentes nous donnons ci dessous un tableau qui r sume toutes les propri t s nonc es jusqu ici plus celles concernant les cas o les limites ont des valeurs infinies Afin d noncer les r sultats de mani re
7. a Le syst me a une infinit de solutions b Le syst me a une unique solution c Pour toute valeur de Y le syst me n a jamais une et une seule solution Exercice 10 Pour une famille V V fix e de vecteurs de R avec n gt 1 crire sous forme formalis e la deuxi me partie de l quivalence suivante la famille V V est une base de R si et seulement si on peut crire tout vecteur de R de mani re unique comme une combinaison lin aire des da Donner ensuite la n gation de cette deuxi me partie de l quivalence 1 Exercice 11 On consid re un sous espace vectoriel F de R9 et on veut prouver que sa dimension n est pas gale 7 Enoncer la d finition de la dimension d un sous espace vectoriel Au vu de cette d finition qu allez vous tenter de d montrer exactement Exercice 12 On consid re une famille 41 i2 3 de vecteurs et F un sous espace vectoriel de R4 Quelle est la d finition formalis e de l espace vectoriel engendr par 1 i2 13 Ecrire sous forme formalis e la phrase suivante le plus petit pour l inclusion sous espace vectoriel contenant la famille de vecteurs est F Exercice 13 Enoncer la n gation de chacune des assertions suivantes on pourra ajouter des paren th ses bien choisies le cas ch ant Sont elles vraies ou fausses a Yxe N Jy EeN y gt x b dx N Yy N y gt x ei Yne N IN
8. des aires d unions de rectangles approximant la r gion qui nous int resse ii nous devons tre capables d identifier des fonctions f pour lesquelles ces suites d aires de rectan gles convergent et telle que l aire limite obtenue soit la m me quelle que soit la suite d approxi mations rectangulaires choisie Afin de mener bien ce programme il nous faut prendre quelques minutes afin de d finir une classe particuli re de fonctions 4 3 1 Fonctions uniform ment continues fonctions lipschitziennes D finition 4 3 1 Soit f une fonction et Z un intervalle contenu dans son domaine de d finition On dit que f est uniform ment continue sur si Ve gt 0 16 gt 0 tel que Vx I Yy I x y lt 6 f x FO lt e Cette propri t ne doit pas tre confondue avec la continuit de f elle est beaucoup plus forte puisqu elle affirme que pour un e gt O donn il existe un r el gt O valable pour tous les points de a b c est le sens du mot uniforme tel que la propri t qui suit et qui est similaire la continuit soit v rifi e La simple continuit de f s crit Ve gt 0 Vxe a b 46 gt O tel que Yy a b x y lt 8 f x f lt e Autrement dit le 9 gt O fourni d pend du r el x o on se trouve dans la continuit ce qui n est pas le cas dans la continuit uniforme Un exemple typique de fonction qui n est pas uniform ment contin
9. 1 gt 0 ou bien 0 n est pas gal 1 Nous savons bien que c est la deuxi me situation qui est vraie donc l implication est vraie Un corollaire de ce discours est que la v racit de l implication A B n a aucune cons quence sur la v racit de la conclusion B En effet l implication est en particulier vraie d s que l hypoth se est fausse et la valeur de v rit de la conclusion est alors sans importance En revanche et c est souvent l le point important une implication de ce type n a en g n ral aucun int r t pratique puisqu elle ne nous apporte aucune information sur la la conclusion Nous retiendrons donc qu affirmer la v racit d une implication n implique pas la v racit de sa conclusion Par exemple ce n est pas parce que l implication 0 1 1 gt 0 est vraie que l on peut en d duire que la conclusion 1 gt 0 est vraie Pour obtenir la v racit de B partir de la v racit de l implication A B il nous faut disposer non pas de une mais de deux informations la v racit de l implication A B et la v racit de l hypoth se A MUne plaisanterie classique en milieu math matique consiste r pondre simplement Oui la question qui suit in vitable ment toute annonce de naissance C est une fille ou un gar on De mani re g n rale la v racit d un nonc et son int r t sont deux notions compl tement distinctes il exist
10. Comment exprime t on xou partir des connecteurs habituels Quelle est leur table de v rit Montrer que ces connecteurs permettent de retrouver les diff rents connecteurs usuels Quelle est la table de v rit de net Exercice 6 Soient P Q et R trois assertions math matiques a Montrer que P et Q ou R e P et Q ou P et R b En d duire que si A B et C sont trois parties d un ensemble E alors AN BUC ANB U ANC c Dans a peut on changer les et et les ou Obtient on une propri t similaire b Exercice 7 Pour trois assertions math matiques P O et R donner la table de v rit de D MONSTRATIONS 23 a non P et O et R pr ciser les parenth ses si besoin b non P ou Q ou R pr ciser les parenth ses si besoin c non P ou O et R d P gt Q et Q R P gt R e non P et non P Exercice 8 Pour quatre assertions P Q R et S montrer l quivalence P ou O et R ou S amp P et R ou P et S ou Q et R ou O et S 1 2 0 Quel rapport avec le syst me d quations suivant portant sur des r els x et y LR x 20 3 0 Exercice 9 Soit un syst me lin aire de la forme MX Y o M est une matrice et X et Y des vecteurs colonne de tailles ad quates Ecrire avec des quantificateurs les trois assertions suivantes puis leurs n gations puis retranscrire ces derni res en des phrases en fran ais
11. de Cauchy affirme alors l existence d un entier N tel que pour tous p gt N etq gt N lu el lt e Fixons maintenant un p gt max N N d s lors pour tout p gt po Up Ely et lu upl lt e ni 8 on en d duit que tous les up pour p gt po se trouvent dans le segment 7 41 y N tpo Up El qui est inclus dans de longueur inf rieure 4 La r currence est donc termin e Nous disposons donc l issue de cette construction d un couple de suites adjacentes form par les extr mit s dy nen et bn nen de la suite des segments ew qui poss dent donc une limite commune que nous notons d sormais f Il reste montrer que est la limite de un nen De fait soit 8 gt O Alors il existe ny N tel que e lt 6 et il existe M N tel que up In pour tout p gt M Les propri t s de croissance et d croissance des suites adjacentes assurent que Iy pour tout entier k donc up est inf rieur la longueur de J pour tout p gt M c est dire que lu lt 6 pour tout p gt M O gt Remarque La convergence des suites de Cauchy constitue la troisi me propri t caract ristique de l ensemble des nombres r els sur le m me plan que la convergence des couples de suites adjacentes ou que l existence de la borne sup rieure de toute partie non vide major e Pour crire un nonc pr cis il faut introdure la notion de corps ordonn c
12. partir d assertions d j connues par l interm diaire des r gles logiques de d monstration que nous venons d esquisser Ce ph nom ne extr mement surprenant a t d couvert et tudi depuis le milieu du XX si cle Mais que le lecteur se rassure ces nonc s sont extr mement peu fr quents font intervenir de mani re profonde les fondements des math matiques et ne se rencontrent pas sinon titre culturel dans les math matiques de premier cycle universitaire lt D MONSTRATIONS 22 Conclusion Nous en savons maintenant assez pour revenir la pratique des math matiques Que retenir de ces consid rations Les points suivants peuvent tre mis en avant e Tout d abord nous poss dons des l ments pr cis permettant de formaliser de mani re satisfaisante les raisonnements math matiques que nous allons tenir nous utiliserons cette fin les connecteurs logiques et les quantificateurs afin de combiner entre elles des assertions simples et aboutir des nonc s plus labor s e En second lieu nous connaissons d sormais les r gles de base qui permettent de mani puler les valeurs de v rit de nos assertions complexes en fonction de celles des assertions simples qui les composent e Enfin nous disposons d un certain nombre d outils pour nous guider dans la pratique des d monstrations math matiques et ainsi accroitre notre stock d assertions connues pour tre vraies Ces r gles doivent t
13. 0 c On suppose que inf n N montrer que Dm 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 65 3 3 Limites de fonctions 3 3 1 Limites en un point Les consid rations pr c dentes s appliquent galement des fonctions Cependant si f est une fonction num rique c est dire d finie sur une partie de R et valeurs dans R un pr liminaire indispensable consiste comprendre en quels points on peut prendre une limite La question ne se pose pas pour une suite puisque la seule limite que nous pouvions consid rer tait n cessairement lorsque n tendait vers 00 D finition 3 3 1 Soit A une partie de R et a un r el On dit que a est adh rent A si Ve gt 0 Axe A tel que x al lt e Autrement dit a est un point adh rent de la partie A s il existe des points de A distance aussi petite que l on veut de a En particulier les points de A eux m mes sont bien videmment adh rents A Les seules limites que l on puisse consid rer pour une fonction sont les limites en les points adh rents son domaine de d finition et les limites ventuelles en co que nous tudierons un peu plus loin En effet dire qu un point a est adh rent au domaine de d finition d une fonction f signifie que l on trouve des points du domaine de d finition aussi pr s que l on veut du point a Autrement dit la fonction f n est peut tre pas d finie en a mais elle l est proximit
14. 1 2 ENTIERS RELATIFS 32 1 2 Entiers relatifs Le passage aux entiers relatifs est la premi re tape des constructions qui vont nous emmener jusqu aux r els Contrairement aux entiers naturels dont la plupart des humains poss dent une con naissance intuitive le concept d entier relatif et plus pr cis ment de nombre n gatif est le fruit d une v ritable processus math matique Dans notre soci t les nombres n gatifs sont introduits d s l cole l mentaire ils semblent donc n offrir plus de myst re pour personne Il est n anmoins instructif de savoir que leurs premiers utilisateurs syst matiques se sont heurt s une franche opposition jusqu la fin du XVII si cle les nombres n gatifs tant accus s d exercer une influence n faste sur la morale de part leur utilisation dans les m canismes bancaires calcul de taux d int r ts et de dettes notamment Nous avons heureusement pour les math matiques largement d pass ces querelles aujourd hui mais dans l optique qui est la n tre r fl chir leur construction rigoureuse n est pas d pourvu d int r t 1 2 1 Une construction Une mani re na ve de proc der la d finition des entiers relatifs serait de produire une copie des entiers naturels non nuls que nous appellerions videmment N et de d cider que l on nomme Z l ensemble N U N Cette approche est maladroite car elle oblige traiter par la suite de mani re diff
15. 2 On en d duit que GEren converge vers 1 Appliquons maintenant cela au cas g n ral soit un nen une suite convergente vers un r el et qui satisfait 1 et 11 Alors nen converge vers 1 d o l on tire que uen converge galement vers 1 En conclusion uen converge vers H o n n sol ES E Un La d finition pr cise de la limite que nous avons nonc e et ses propri t s permettent de justifier ventuellement avec un peu d efforts toutes les limites classiques connues depuis le secondaire voir les exercices pour des exemples 3 1 3 Limites et in galit s Nous noncons ici trois r sultats extr mement importants autant par leurs contenus que par les m thodes utilis es dans les preuves Proposition 3 1 9 Soit u eN une Suite convergente de limite gt 0 Alors il existe un entier N EN tel que pour tout n gt N un gt 0 D monstration Soit e Alors gt O et donc il existe un N N tel que pour tout n gt N lun l lt ce qui est quivalent lt Un f lt On en d duit que pour tout n gt N L f 37 lt Un lt t gt et donc pour tout n gt N un gt gt 0 o Remarque 3 1 10 La preuve de cet nonc fournit l l ment manquant dans la preuve de la Propo sition 3 1 7 Il peut d ailleurs tre renforc de la mani re suivante preuve laiss e au lecteur si Un nen est une suite convergente de limite gt 0 et 0
16. BI Enfin comme pour les suites pr c demment nous tirons d une in galit portant sur les valeurs de la fonction un contr le sur la limite Proposition 3 3 21 Soient a R et RU co Supposons que bm f x et de plus que dans le cas o a est fini il existe un r el e gt 0 tel que pour tout x D Nla e a El f x gt a dans le cas o a il existe un r el A gt Q tel que pour tout x E A co f x gt a dans le cas o a 0 il existe un r el B lt 0 tel que pour tout x BL f x gt a Alors gt a Remarque 3 3 22 Comme pr c demment le fait que l hypoth se soit renforc e en f x gt a pour tout x dans un intervalle ad hoc n entra ne pas une conclusion renforc e on ne peut pas obtenir mieux que gt a Exercices Exercice 3 3 23 Reprendre la d finition de la convergence et les propri t s des limites et les tendre au cas des suites ou des fonctions valeurs dans C Exercice 3 3 24 Soit f une fonction et xy un point adh rent son domaine de d finition Montrer que si f admet une limite droite et une limite gauche en x et que ces limites coincident alors f admet une limite en x et que cette limite est gale aux pr c dentes Exercice 3 3 25 Soit f une fonction et xy un point adh rent son domaine de d finition On suppose qu un r el n est pas limite de f en xy Montrer quon p
17. Il reste donc montrer que la diff rence des deux suites tend bien vers 0 Or pour tout n entier 2 1 b f KRIER sup f In k 0 arche ateo art ZK 4 3 INT GRALES On fixe maintenant e gt 0 Alors d apr s le lemme il existe m N tel que pour tous x et y tels que x y lt Ai l int rieur de a b on a f x f lt e donc pour tout intervalle J de longueur strictement plus petite que Ga O lt supf inff lt e J J Ainsi pour tout entier n plus grand que mo 2 1 b a 0 lt SA s lt 2 e b a e k 0 Ainsi la diff rence tend bien vers 0 La preuve du fait que toutes ces suites ont une m me limite est laiss e en exercice au lecteur O L histoire ne s arr te pas l bien au contraire En effet on peut montrer que si f est une fonc tion simplement born e et non plus continue alors la convergence des sommes de Riemann ou de Darboux sont des nonc s quivalents Ceci a pour cons quence fondamentale qu il existe un sous ensemble de l ensemble des fonctions born es bien plus large que les fonctions continues pour lesquelles les suites des sommes de Riemann et de Darboux convergent Ces remarques datent de 1854 et sont dues Bernhard Riemann 1826 1866 math maticien extr mement prolifique du XIX si cle Pour ces fonctions que nous appellerons d sormais int grables au sens de Riemann on peut donc d finir l int grale comme la limite commune de toutes ces somme
18. Montrer que l expression le k i me lement de A a un sens 2 Construire par r currence une suite d entiers UG Luet v rifiant OYn EN Xa 1 gt Xp et 11 Vn e N x n est pas gal au n 1 i me l ment de An 3 Montrer que X xp x1 X2 est une partie de N qui n est pas dans l image de we Conclure 1 5 Nombres rationnels Les nombres rationnels s obtiennent assez facilement partir des entiers relatifs Leur d finition sera n anmoins l occasion de rappeler certaines subtilit s que l on a tendance oublier 1 5 NOMBRES RATIONNELS 38 1 5 1 Une construction La construction de Q partir de Z ressemble beaucoup celle de Z L id e est de partir de l inexistence de la division dans Z et de d finir un rationnel comme le r sultat dune division virtuelle d un entier relatif par un entier relatif non nul Bien entendu deux telles divisions peuvent donner le m me r sultat il nous faut donc disposer d une notion d quivalence entre fractions repr sentant le m me rationnel Pour coller l usage traditionnel nous d cidons ici de noter un lement de Z x Z plut t que a b Un tel l ment de Z x Z sera appel une fraction Nous nous permettrons donc partir de maintenant d crire des phrases du type soit une fraction plut t que d crire soit a b un l ment de ZXxZ A ce stade l criture sous forme de quotient n est rien d autr
19. Par construction la premi re est croissante la seconde d croissante et on a x lt x pour tout n N De plus il est ais de v rifier faites le avec la d finition de la convergence que la suite Xn A nen C est dire 107 en converge vers 0 Soit maintenant 7 y z un intervalle ouvert contenant x On note b 1en et Cn nen les d veloppements d cimaux de y et z et an nen celui de x Comme y lt x il existe un entier p tel que a b pour tout j N tel que j lt p et bp lt ap et comme x lt z il existe un entier q tel que a c j pour tout j N tel que j lt q et a lt cq Alors pour tout n gt p y lt Xy do 0 4 4 dy lt Z Le cas de Gr ken se traite de mani re analogue o Comme l addition ou la multiplication des d cimaux ne pose pas de probl mes pas de retenues infinies il suffit donc pour d finir l addition ou la multiplication de deux r els de commencer par additionner ou multiplier leurs approximations puis de montrer que les suites obtenues convergent Bien entendu cette derni re tape n a rien d vident et n cessite une preuve approfondie La premi re tape qui est la plus d licate est la suivante Proposition 2 1 9 Soient x yen et yen deux suites de d cimaux formant un couple de suites adjacentes Alors il existe un r el x tel que les deux suites convergent vers x Remarque 2 1 10 Jusqu la fin de cette section 2 1 3
20. infini ou encore le fait que formellement une juxtaposition infinie d assertions reli es par des et n est pas une assertion les points de suspension ne sont pas autoris s QU EST CE QU UN TEXTE MATH MATIQUE 15 qui se lit il existe au moins un x dans l ensemble E v rifiant Q x Le langage ensembliste les connecteurs logiques les quantificateurs et une quantit ventuellement tr s lev e de symboles utiliser pour d signer les variables et les constantes suffisent la Logique des Logiciens toujours avec des majuscules pour construire toutes les assertions math matiques Nous n irons pas plus loin dans cette voie et en particulier nous n essaierons pas de traduire tout nonc en des termes ensemblistes Beaucoup plus modestement nous retiendrons que le langage math matique manipule au d part des assertions simples ventuellement exprim es dans la langue naturelle mais qui lorsqu on les traduit en langage formalis recouvrent des relations ensemblistes compos es de variables de constantes et des symboles ensemblistes usuels C Ces assertions sont ensuite combin es entre elles pour former de nouvelles assertions plus complexes l aide des connecteurs logiques et des quantificateurs L usage des quantificateurs au sein d un langage au moins partiellement formalis est syst matique dans tous les raisonnements math matiques un peu labor s et il est donc essentiel de l
21. loign des objets du monde sensible et les m thodes utilis es en math matiques depuis longtemps au moins depuis Euclide se sont cart des autres modes de connaissance D autres l ments importants bien que plus contingents sont la complexit et la longueur croissante des raisonnements rencontr s au cours des tudes universitaires bien plus lev es que dans le secondaire Aussi il n est pas inutile partir de la familiarit acquise au cours des ann es de pratique des math matiques de l enseignement secondaire de prendre un peu de recul et de r fl chir sur la nature des objets rencontr s et sur les m canismes de raisonnement utilis s De faire en quelque sorte en math matiques l quivalent de l apprentissage de la syntaxe et de la grammaire chose finalement banale tout au moins en ce qui concerne l usage de la langue fran aise Qu est ce qu un texte math matique 2 2 Vu de loin un texte math matique se compose de 3 types d nonc el des d finitions qui comme leur nom l indique d finissent les objets du discours math matique partir d autres objets d j d finis des propositions appel es aussi lemmes th or mes corollaires o sont affirm es des pro pri t s des objets pr c demment d finis des d monstrations o l on trouve la preuve des propri t s nonc es ant rieurement MS ajoute cette typologie tout ce qui fait la saveur d un te
22. lt Ainsi par in galit triangulaire pour n gt max N N CI E un un EN lt lun lun lt 2e lt E r Comme O ceci est impossible et nous avons bien obtenu la contradiction souhait e o Remarque 3 1 3 On notera que cette preuve repose sur deux l ments qui jouent un r le tr s impor tant dans l analyse 1 Pin galit triangulaire outil essentiel d estimation majoration minoration Va R Yb R la b lt la b qui est une cons quence de la compatibilit entre les op rations et l ordre 2 la remarque suivante d aspect banal mais qu il importe de bien comprendre si un r el x v rifie We gt 0 x lt e alors x O exercice La n gation de la propri t de convergence vers le r el est Je gt 0 tel que YN EN Jn gt N tel que lu gt Elle signifie donc qu il existe une distance un e gt 0 telle que aussi longtemps qu on attende on trouvera toujours des valeurs de la suite en dehors de la bande IC e el Attention au vocabulaire on dit qu une suite est convergente lorsqu il existe un r el tel que la suite converge vers au sens de la d finition pr c dente Autrement dit HER Ve gt 0 IN EN tel que Yn gt N lu lt e Une suite qui ne converge pas est dite divergente cela signifie donc qu il n existe pas de r el tel que la propri t pr c dente soit v rifi e Autre
23. pr cis au paravant qu elles taient gales certaines constantes ou dont leur domaine de d finition a t ex plicit cas typique l assertion 2n est pair est videmment vraie si elle a t pr c d e quelques lignes ou pages auparavant de Soit n 4 ou m me simplement de Soit n un entier des assertions ouvertes comprenant des variables non muettes qui v rifient des relations introduites pr alablement dans le raisonnement cas typique l assertion V x y A x y gt 0 est ouverte mais elle devient vraie si l on a pr cis auparavant que A x y R x y 2 des assertions apparemment ouvertes mais o un quantificateur suppl mentaire est pr sent de mani re implicite on trouve souvent ce type de situations dans les nonc s de th or mes qui commencent par exemple par Soit E un espace vectoriel de dimension finie ou Soit f une fonction ici le mot Soit cache en r alit un quantificateur Pour tout espace vectoriel E de dimension finie Pour toute fonction f Les tudiants doivent donc tre attentifs d tecter quelles assertions peuvent h riter de mani re d finitive d une valeur de v rit et lesquelles ne le peuvent pas Une attitude utile consiste faire marcher son esprit critique en face de toute assertion et v rifier en premier lieu si elle est ferm e Si oui tout va bien Si non il faut alors part
24. renci e les nombres positifs et les nombres n gatifs Nous proposons ici la construction traditionnelle de l ensemble des entiers relatifs au sens o on la trouve dans tous les bons livres de math matiques et m me les mauvais de premier cycle universitaire Quoiqu un peu moins intuitive que l approche na ve elle pr sente l int r t de bien pr parer le terrain pour la construction des nombres rationnels qui va suivre Elle trouve son origine dans la limitation que constitue l absence d une soustraction au sein des entiers naturels on ne peut pas soustraire 7 5 en restant dans N gt L id e est alors d enrichir N en lui ajoutant tous les r sultats pour l instant purement virtuels de ces soustractions impossibles Autrement dit on d finit un ensemble de nombres de la forme a b o a et b parcourent l ensemble des entiers naturels pour l instant le signe n est pas autre chose qu une simple notation En proc dant ainsi on retrouve tous les entiers naturels par exemple 1 est 1 0 et on en cr e de nouveaux les futurs entiers n gatifs Evidemment nous savons bien que deux soustractions tr s diff rentes peuvent donner le m me r sultat il faut donc disposer en plus d un crit re permettant de d cider que deux nombres a b et c d sont gaux On commence donc par consid rer l ensemble N x N et on d cr te que deux l ments a b et c d de N x N s
25. 0 Il a donc un pr d cesseur c qui est n cessairement 1 1 ENTIERS NATURELS 31 hors de B c est dire dans A Mais si c est dans A alors c 1 b est aussi dans ce qui est la contradiction cherch e D Il existe de multiples raffinements du principe de r currence qui permettent de justifier les d mon strations par r currence dont l amorce on dit aussi l initialisation se situe un cran diff rent de O par exemple n 1 etc Elles se ram nent toutes la pr c dente Par exemple le lecteur pourra s amuser d montrer en utilisant les m mes arguments que si C est une partie de N v rifiant les deux propri t s C est non vide et Yn C n 1 C alors C est gal n N n gt m pour un certain m dans N lt Exercices Exercice 1 1 4 Soit A une partie de N non vide telle que Yn N n 1 A Montrer qu il existe no N tel que A N 0 1 2 no n Exercice 1 1 5 Calculer par r currence pour tout n N la somme S Y i i 0 Exercice 1 1 6 Montrer que le chiffre des unit s de toute puissance non nulle de 6 est un 6 Exercice 1 1 7 Dans une cit dont les habitants sont d excellents logiciens 40 hommes trompent leur femme on suppose que le r gime matrimonial est la monogamie De plus les femmes sont au courant de l infid lit de tous les hommes de la ville sauf de leur mari Le maire de la ville d cide de mettre fin cette situa
26. Attention il n est pas vrai que les suites deviennent p riodiques d s que l on ren contre pour la premi re fois une r p tition d un chiffre dans le d veloppement c est dire d s qu il y a une r p tition des quotients C est la r p tition des restes qui assure que le d veloppement devient p riodique mais il peut y avoir des r p titions occasionnelles de chiffres dans le d veloppement sans que l on ait encore atteint le rang o apparait la p riodicit C est le cas par exemple du rationnel x D dont le d veloppement est 0 113 il y a deux 1 mais le d veloppement ne devient p riodique qu avec l apparition du premier 3 1 6 2 Approximations d cimales d un rationnel Le d veloppement d cimal permet d obtenir de bonnes approximations des rationnels par les nombres d cimaux Consid rons d abord le cas o x est lui m me un d cimal positif Alors il existe s N tel que q 10 x soit entier Autrement dit on peut crire x er et utiliser cette fraction pour calculer son d veloppement d cimal Il est alors facile de voir que les premiers chiffres du d veloppement d cimal de x sont les chiffres composant l entier q et qu une fois ceux ci puis s on trouve une suite infinie de O Il s agit donc heureusement de l criture usuelle de x Exercice 1 6 9 Le but de cet exercice est de v rifier ce qui vient d tre affirm a Etant donn un entier relatif ay et une sui
27. Hubbard Vector Calculus linear algebra and differential forms a unified ap proach chapitre 0 section 0 4 2 1 Construction 2 1 1 D finition Le chapitre pr c dent a conduit repr senter les rationnels comme des suites constitu es d un entier relatif et de chiffres Nous avons n anmoins constat que les d veloppements d cimaux des rationnels sont tr s particuliers non seulement ils ne peuvent pas pr senter de suites infinies de 9 mais surtout ils sont p riodiques La premi re de ces deux restrictions est comme nous l avons vu in vitable une suite qui partir d un certain rang n est plus constitu e que de 9 ne peut tre associ e cf le chapitre pr c dent qu un nombre d cimal mais le d veloppement d cimal de celui ci donn par l algorithme du chapitre Den prenant garde que la preuve de la proposition 4 5 de ce livre est malheureusement erron e une d monstration correcte de cet nonc est donc donn e en d tails dans le pr sent polycopi 2 1 CONSTRUCTION 48 pr c dent n est pas cette suite et se termine au contraire par une suite infinie de 0 Nous appellerons d sormais d veloppement d cimal propre une suite constitu e d un entier relatif en premier terme et de chiffres qui ne se conclut pas par une suite infinie de 9 Nous retiendrons de plus qu au sein des rationnels les nombres d cimaux poss dent un d veloppement propre comme tous les autres rationnels
28. Op rauOns aii AA di AA 38 EXEC eta A a ii 40 1 6 D veloppement d cimal d un nombre rationnel 40 1 6 1 Ecriture d cimale ovina cani ia iii 40 1 6 2 Approximations d cimales d un rationnel 43 1 63 Suites Infintes de Dic esters a va sde de ane ere 45 1 6 4 Les rationnels vus travers leurs d veloppements d cimaux 45 2 Les nombres r els 5 5568 oies trancas 47 2 1 Construct h Age geb E Et Ae E EE A eet AE 47 SEN EN RT e EE 47 2 1 2 Intervalles eo ad EE A RTE KE H Ae 49 2 1 3 Suites E ori A A AAA 49 2 2 OP TATIONS aid an 53 2 3 Le COMP EE 54 EXET CE renier baston di dense ia a E 55 3 Limites de suites et de fonctions num riaues n usuusuusnurnarurn rererere 56 3 1 Limites de SUITeS cc nio residir ee 56 3 1 1 D finitions iii da antenne de bre ire 56 3 1 2 Op rations sur les limites de suites 58 3 13 Limites et in galit s snarere A tt 59 EXCFCIC S a EE 60 3 2 Borne Sup rieure sise ENEE eee NEE EEN 62 Te ee adoos 64 3 3 Limites et EE 65 3 9 1 Limites ei UA pot carr da dede 65 3 3 2 Op ration sur les limites de fonctions en UN point 67 3 3 3 Limites en des bornes mbnies 69 TABLE DES MATI RES 7 3 34 Limites TEE ER 70 3 3 5 Propri t s des limites un bilan iii a 70 3 3 6 Limites de fo
29. Par ailleurs ce d veloppement semble n cessiter un nombre infini d op rations En r alit il n en est rien Th or me 1 6 6 Pour tout rationnel x la suite ay Falen obtenue l aide de l algorithme pr c dent est p riodique partir d un certain rang Autrement dit il existe N N et T N tels que pour tout n gt N An T An et faut fo D monstration On commence par remarquer que si pour un couple d entiers n p N x N avec p gt nonar rr alors la division euclidienne de 10r par b est la m me que celle de 10r par b donc Ap 1 An 1 t Fp 1 Fn 1 Les deux suites deviennent donc p riodiques partir du rang n 1 on peut donc prendre N n 1etT p n Il suffit donc de montrer qu il existe deux rangs n et p diff rents tels que r rp Or par nature les restes r prennent leurs valeurs dans 0 1 b 1 donc dans un ensemble fini Ainsi au bout de b 1 tapes au plus tard on doit retomber sur un reste d j rencontr O 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 43 Ce r sultat a la cons quence fondamentale suivante Corollaire 1 6 7 Le d veloppement d cimal d un rationnel est toujours p riodique partir d un certain rang Cette particularit permet d crire tout d veloppement de rationnel sous une forme compacte x dn 0 412 Gin Qn T 1 gt la barre de soulignement d signant le motif qui se r p te l infini Remarque 1 6 8
30. Th or me 3 3 8 Soient f et g deux fonctions xo un point adh rent au domaine de d finition de go f et deux r els l et tel que f x converge vers lorsque x tend vers xy et g y converge vers L lorsque y tend vers Alors g o f x converge vers L lorsque x tend vers xo D monstration Soit e gt 0 Comme g y converge vers L lorsque y tend vers f il existe un 9 gt O tel que pour tout y D N 6 l lg y L lt e De plus comme f x converge vers lorsque x tend vers xp il existe 7 gt O tel que pour tout x DfN xo n xo NL f x lt e Alors pour tout x DeopMlxo 9 xo NL x est dans DfN xo n xo nfl donc f x lt e donc g f x Ll lt e et le r sultat voulu est d montr O En utilisant le m me raisonnement on d montre galement le r sultat utile suivant exercice Proposition 3 3 9 Soit f une fonction un point adh rent son domaine de d finition et un r el L tel que f converge vers L lorsque x tend vers Soit par ailleurs u eN une suite convergente vers t Alors la suite Un ey tend vers L En particulier si f est d finie en f alors on a L f et f un nen tend donc vers TOL 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 69 3 3 3 Limites en des bornes infinies Nous tendons maintenant les consid rations pr c dentes au cas o la limite est prise non pas en un r el xy adh rent au domaine de d finiti
31. absolument pas vident que les nombres entiers ainsi d finis forment bien un ensemble La raison est assez subtile et une fa on de la comprendre peut s noncer ainsi la construction d crite l instant est une construction par r currence des entiers Or pour utiliser la notion de r currence il nous faut d j avoir une connaissance intuitive des en tiers En r alit on peut donner un sens la d marche d crite plus haut en vitant le recours aux entiers mais cette construction n cessite quand m me de postuler quelques axiomes parmi lesquels on trouve l existence d au moins un ensemble infini plus quelques autres que nous ne d crirons pas mais qui sont plut t plus banals au sens o ils formalisent des propri t s qu il est raisonnable de voir apparaitre dans la th orie des ensembles En second lieu toute tentative de construction rigoureuse des entiers ne peut faire intervenir qu un nombre fini de propri t s Mais nous poss dons par ailleurs une vision intuitive on dira aussi na ve des entiers qui est bien plus riche que celle laquelle peut conduire une construction finie Toute construction rigoureuse de ces derniers passe donc c t de certaines propri t s des entiers intuitifs La construction que nous avons esquiss e permet de repro duire l essentiel des propri t s usuelles de l ensemble N ce qui est d j beaucoup et permet d obtenir l essentiel des math matiques Mais comme no
32. addition donne toujours le m me r sultat Dit autrement si a1 b1 c1 d1 et a2 b2 c2 d2 alors a1 b1 a2 b2 doit tre quivalent c1 d1 c2 d2 Or a a2 di d2 az di a2 d2 b c1 b2 c2 b b2 c1 c2 Conclusion on a bien a a2 b1 b2 c1 c2 d d Les r sultats suivants se d montrent ais ment quoique ce soit parfois un peu fastidieux Proposition 1 2 3 L addition dans Z que nous venons de d finir est associative et commutative Elle tend l addition des entiers naturels au sens o la somme deux entiers naturels est la m me on on la voie dans N ou qu on ait plong N dans Z L l ment O de Z est un l ment neutre pour l addition c est dire que z 0 z pour tout z dansZ et chaque l m nt z de Z poss de un inverse c est dire qu il existe un autre entier relatif z tel que z z 0 En particulier si m N l inverse de m est m et l inverse de 0 est 0 cela justifie donc de noter en g n ral z l inverse de l entier relatif z Remarque 1 2 4 Attention ici on a appell inverse d un l ment z pour une certaine op ration un l ment z tel que lorsqu on effectue l op ration de z avec z on trouve l l ment neutre de l op ration Donc un inverse pour l addition est un lement z tel que z z 0 ce qu on appelle d habitude un oppos dans le langage courant alors qu un invers
33. au math maticien John Von Neumann 1903 1957 en 1923 sans entrer dans les d tails Elle consiste partir de l ensemble vide et poser les notations suivantes pour certains ensembles bien particuliers 0 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 0 Autrement dit O est l ensemble vide 1 est l ensemble un seul lement qui est l ensemble vide 2 est l ensemble deux l ments form de l ensemble vide et de l ensemble que nous venons d appeler 1 3 est l ensemble trois l ments dont les l ments sont les ensembles 0 1 et 2 pr alablement d finis etc Exercice qu est ce que 4 Cette d finition est videmment tr s formelle mais elle aura au moins le m rite de convaincre le lecteur qu elle ne fait bien intervenir que le langage ensembliste Le lecteur int ress pourra se reporter aux amusants premiers chapitres du livre de vulgarisation d Alex Bellos Alex au pays des chiffres une plong e dans l univers des math matiques paru aux ditions Robert Laffont en 2011 pour quelques indications sur ce point 1 1 ENTIERS NATURELS gt M me pr sent e sous cette forme la construction de l ensemble des entiers naturels n est pas en ti rement satisfaisante et ce pour au moins deux raisons En premier lieu et bien que ce ne soit pas apparent elle repose encore sur des actes de foi en math matiques science min ment rationaliste on parle plut t d axiomes En effet il n est
34. c l bre en math matiques est celui de hypoth se du continu postul e par Cantor toute partie infinie de R est soit d nombrable soit de m me cardinal que R On sait maintenant que cette hypoth se est ind cidable on ne peut la d duire des axiomes de la th orie des ensembles 1 5 NOMBRES RATIONNELS 37 et de la construction de N que nous avons esquiss e ni en d duire une contradiction si on l adopte Cette affirmation n est pas incompatible avec le principe du tiers exclu voqu au chapitre pr c dent Nous sommes pr cis ment en face d une propri t ind montrable ce qui ne signifie pas qu elle ne poss de pas de valeur pr cise de v rit mais que cette derni re nous chappe au sens o elle reste inaccessible aux r gles des d monstrations math matiques Aussi surprenant que cela puisse paraitre il existe des techniques math matiques tr s sophis tiqu es qui permettent de d montrer qu une certaine assertion est ind montrable Pour ce faire il faut naturellement pr ciser quels sont les assertions plac es au fondement de la th orie c est dire celles dont on dispose initialement et les valeurs de v rit s qui leur sont affect es et partir desquelles on essaie de d duire toutes les autres S agissant de la th orie des ensembles et des entiers naturels il existe un choix usuel de tels axiomes avec quelques variantes et l ind cidabilit de l hypoth se du continu voqu e
35. convergente Pourquoi faut il ajouter born e Exercice x 4 2 16 On appelle valeur d adh rence d une suite un nen un r el qui est la limite d une suite extraite de un nen Soit l ensemble des valeurs d adh rences d une suite Un nen a Montrer que si un nen est born e alors A est born b Montrer que sup et inf sont dans Exercice x 4 2 17 On utilise les m mes notations que dans l exercice pr c dent et on fait ici l hy poth se que la suite un uy 1 nen tend vers 0 Montrer que A est un intervalle indication on pourra utiliser le crit re suivant si Z CR Z est un intervalle S Vxe1 VyEel VzEeR x lt z lt y zel Exercice 4 2 18 Cet exercice utilise les notions introduites dans les deux exercices pr c dents Don ner des exemples de suites n ayant aucune valeur d adh rence puis donner des exemples de suites diver gentes ayant une et une seule valeur d adh rence puis deux valeurs d adh rence Exercice x 4 2 19 Soit rn new une suite de rationnels donn s sous forme irr ductible r Zi pour tout n N On suppose que rn nen converge vers un irrationnel Montrer ou alors la suite qn neN tend n cessairement vers l infini 4 3 INT GRALES 84 4 3 Int grales L objectif de cette section est de donner une application extr mement importante au moins sur le plan th orique mais pas seulement comme on essaiera de l expliquer plus loin d
36. de v rit de A et de B Une telle assertion s appelle une tautologie et celle que nous venons de consid rer qui porte le nom de modus ponens constitue le plus important outil sous jacent tout travail de preuve en math matiques D monstrations Afin d affecter aux assertions qu ils utilisent une valeur d finitive de v rit les math maticiens ne disposent que d un seul outil la d monstration Faire une d monstration c est utiliser de mani re en cha n e les principes logiques pr c dents pour d cider de fa on certaine de la valeur de v rit d une assertion Le modus ponens que nous venons de rencontrer est le premier de ces outils permettant d a vancer dans un raisonnement de fait qu est ce qu une d monstration sinon partir d un ou de plusieurs nonc s que l on sait vrai et utiliser des implications que nous savons par ailleurs vraies pour obtenir de nouvelles assertions vraies l aide du modus ponens Les raisonnements math matiques se fondent parfois sur d autres principes qui reposent galement sur des tautologies En voici quelques unes qui sont tr s utiles i A ou non A principe du tiers exclu ii A B A B et B A les deux critures de l quivalence 111 non A B amp A et non B existence d un contre exemple iv A B e non B non A contrapos e Exercice Ecrire les tables de v rit de ces assertions et v rifier qu
37. dient essentiel aussi bien des constructions des op rations que des preuves aff rentes et de nombreux autres raisonnements math matiques est la Proposition 1 1 2 principe de r currence Soit A une partie de N v rifiant les deux propri t s suivantes i 0EA ii Ine A n 1 A Alors A N Sans tre excessivement difficile la d monstration est un peu technique On note B le compl men taire de A dans N le but est donc de prouver que B On raisonne alors par l absurde Supposons que B soit non vide D apr s les propri t s nonc es au d but il existe alors un plus petit l ment b de B Comme nous savons que 0 est dans A on a n cessairement b gt 0 La suite de la preuve repose sur le lemme suivant Lemme 1 1 3 Tout l ment de N distinct de O poss de un pr d cesseur Yn N dm N tel que s m n Preuve du lemme Soit n dans N distinct de 0 Alors l ensemble p N p lt n est non vide car il contient 0 et est major par n Il a donc un plus grand l ment que nous allons appeler m Par nature onam lt n et de plus m 1 n est pas dans p N p lt n donc m 1 gt n Par ailleurs n est un l ment de l ensemble q N q gt m dont m 1 est le plus petit l ment donc m 1 lt n Conclusion m l n o Revenons maintenant la preuve du principe de r currence Nous avons appel b le plus petit l ment de B et nous savons qu il est distinct de
38. donn e plus haut est tr s satisfaisante d un point de vue th orique Du point de vue pratique il est difficile de l utiliser si on ne connait pas la valeur de la limite ce qui est souvent le cas dans une situtation concr te Un exemple typique de cette situation survient lorsque les valeurs de la suite sont des valeurs mesur es par un dispositif exp rimental par exemple u est la valeur lue sur l appareil au bout de n secondes Si les valeurs mesur es ont tendance se stabiliser nous sommes enclins dire que la suite des valeurs converge Motiv s par ces remarques nous introduisons la d finition suivante D finition 4 1 1 On dit qu une suite 4 en est une suite de Cauchy si Ve gt 0 IN N tel que Yp gt N Vq gt N lu ul lt e Th or me 4 1 2 Soit u eN une suite convergente Alors elle est de Cauchy D monstration Soient u en une suite convergente sa limite et e gt O Alors il existe N N tel que lu lt a pour tout n gt N D s lors pour tous m gt Netn gt N ba Un lt l m ll lun lt 5 5 ce qui conclut la preuve O Nous allons maintenant tudier plus en d tail les suites de Cauchy La propri t suivante est un bon point de d part Proposition 4 1 3 Soit Un Jen une suite de Cauchy Alors Un went est born e D monstration Soit e 1 Alors il existe N N tel que pour tous p et q plus grands ou gaux N lu
39. ensemble de ces techniques plus d autres sur lesquelles nous reviendrons par la suite comme par exemple le raisonnement par r currence permettent d affecter de mani re s re une valeur de v rit aux assertions dont nous aurons besoin Remarque Il est utile ce stade de revenir sur la m thode de d monstration de la v racit d une implication Comme nous l avons vu la v racit d une implication n implique pas que sa conclusion soit vraie N anmoins si l hypoth se est fausse alors l implication est automatiquement vraie et il ny a rien prouver En cons quence si l on veut montrer que B est vraie il suffit de montrer que B est vraie d s que l on se place dans une situation o A est vraie Ceci explique pourquoi lorsque l on veut prouver une implication A B on fait l hypoth se que A est vraie et on essaie d en d duire la v racit de la conclusion B partir de cette information gt En r alit d montrable et vrai sont deux notions diff rentes Les d monstrations suites d assertions vraies d duites les unes des autres en respectant les r gles logiques que nous venons d noncer permettent de prouver la v racit d assertions nouvelles en partant d assertions vraies d j connues Une assertion d montrable est donc n cessairement vraie mais il pourrait exister et de fait il existe des assertions ind montrables au sens o on ne peut d duire leur v racit
40. est dire d ensemble disposant la fois des op rations d addition de multiplication similaires celles de R et d un ordre avec les compatibilit s usuelles entre ordre et op rations On a alors quivalence entre 1 le caract re archim dien et la convergence des couples de suites adjacentes dans ce corps 2 l existence de la borne sup rieure de toute partie non vide major e de ce corps 3 le caract re archim dien et complet de ce corps Nous avons en fait d j vu l quivalence entre les deux premi res et une relecture attentive de la preuve du Th or me 4 1 4 montre que la convergence des suites adjacentes y joue un r le crucial ce qui montre l implication 1 3 On peut de plus facilement montrer que la convergence des suites de Cauchy entra ne l existence de la limite commune des couples de suites adjacentes Prenons en effet un tel couple 4 kent et Vr new Alors on a pour tout n N et pour tous q gt p gt n Un lt Uy Uy S Vq S Vp E Vn Ainsi si une in galit du type un vn lt a est v rifi e pour un certain n N et un certain a gt 0 on a 0 lt uq Uy lt a pour tous q gt p gt n et donc up Mal lt a pour tous p gt n et q gt n Cette remarque entra ne facilement que les deux suites un nen et Dia luet sont de Cauchy donc convergent et comme leur diff rence tend vers 0 leurs limites sont gales 4 1 SUITES DE CAUCHY 79 Il existe au moins trois co
41. est en r alit P Q et R et non P S Pour compl ter notre tour d horizon des proc d s de fabrication d assertions math matiques il nous faut maintenant introduire un dernier outil les quantificateurs Il arrive fr quemment que les assertions auxquelles on s int resse contiennent des param tres comme pr c demment nous parlerons de vari ables et que l on doive les tudier pour toute une s rie de valeurs de ces param tres On ne peut alors crire notre assertion sous une forme finie que si les valeurs possibles sont en nombre fini Par exemple on peut traduire le fait qu une propri t P x est vraie pour tous les entiers naturels inf rieurs ou gaux 4 par P 0 et P 1 et P 2 et P 3 et P 4 En revanche si P n doit tre consid r e pour tous les entiers nous sommes conduits introduire le symbole Y pour tout appel aussi quantificateur universel Ainsi si P x est toujours une assertion concernant la variable x on crira VxeE P x si l on souhaite consid rer l assertion P x lorsque l ensemble des valeurs possibles de x est l ensemble E Enfin le quantificateur existentiel 1 il existe conduit des assertions du type Jx E tel que Q x En r alit il y a d autres raisons pour cela par exemple le fait que l ensemble de valeurs possibles puisse tre tellement gros qu il soit impossible d num rer ses l ments voir la suite du cours sur l
42. est justifi e par notre choix pr c dent vrai signifie absence de contre exemple Or l ex istence d un contre exemple signifie pr cis ment que l on dispose d une situation o l assertion A l hy poth se est vraie et l assertion B la conclusion est fausse Si l assertion A est d finitivement fausse nous n avons aucune chance de trouver une situation o A est vraie et B est fausse donc nous pouvons abandonner tout espoir de mettre la main sur un contre exemple Par cons quent il nous faut accepter que l implication A B est vraie En conclusion une implication A B est donc fausse si est vraie et B est fausse vraie si est vraie et B est vraie ou bien si A est fausse et la v rit de B est sans importance La r gle que nous venons d adopter pour la v racit d une implication peut se comprendre plus ais ment si on l interpr te sous la forme d un contrat ou d un engagement Pour prendre un exemple simple mais vocateur personne ne vous traitera de menteur si vous affirmez le lundi demain s il pleut je prends mon parapluie et que vous vous promenez les mains vides le mardi sous un beau soleil En math matiques cette r gle m ne cependant des affirmations un peu surprenantes pour l intui tion Ainsi l assertion 0 1 1 gt 0 est vraie Ce qui signifie simplement que l on se trouve dans l une des deux situations suivantes ou bien O 1 et
43. et dans celle l seulement nous noterons maintenant les suites de r els x ex avec le rang n entour de parenth ses et plac en exposant et non pas en indice comme habituellement La raison en est la suivante un r el est lui m me une suite son d veloppement d cimal il est approxim par des suites les approximations d cimales par d faut et par exc s etc Nous serons donc amen s consid rer par exemple le k i me chiffre a du d veloppement n d cimal de x ou son approximation d cimale par d faut Xx 107 pr s 01 s agit pr cis ment de l nonc dont la preuve est erron e dans le livre de Daniel Perrin dont nous avons donn plus haut la r f r nce ce point mis part il s agit d un excellent ouvrage dont nous recommandons la lecture 2 1 CONSTRUCTION gt Attention Cette proposition affirme beaucoup plus que la Proposition 2 1 8 pr c dente pour tout couple de suites adjacentes de d cimaux qui ne sont pas n cessairement des approximations par d faut et par exc s de quelque chose il existe un r el d terminer qui est la limite commune des deux suites Comme nous ne connaissons pas encore la limite le but de la preuve est justement de montrer qu elle existe il nous faut d abord l identifier avec pr cision On montre donc que les coefficients des d veloppements d cimaux des termes des deux suites se stabilisent lorsque n devient grand donnant a
44. f R R d finie par f 0 1 et f x 0 pour tout x 0 Comme nous venons de le voir il n est pas possible d affirmer que la limite en O vaut O avec notre d finition de la limite la seule limite qui peut exister vaut n cessairement f 0 c est dire 1 La bonne notion de limite est la limite point e on dit que la fonction f converge vers lorsque x tend vers x avec x xo et on note lim FG f si XFX0 Ve gt 0 16 gt 0 tel que Vx Delen 6 xo f x xo gt f tl lt ce qui s crit galement Ve gt 0 J gt 0 tel que Vx Dote 6 xo ixo f lt e Bien entendu cette notion n a de sens que si xo est dans le domaine de d finition de f Si ce n est pas le cas la limite point e et la limite usuelle coincident 3 De la m me fa on que l on a d fini la limite point e en se limitant aux l ments de l ensemble Delen xo 6 xo on peut galement d finir des limites droite et gauche la fonction f converge gauche vers lorsque x tend vers xp ce qu on note lim f x si X0 X lt X0 Ve gt 0 16 gt 0 tel que Vx Delen xol f x l lt e et la fonction f converge droite vers lorsque x tend vers xp ce qu on note Jim f x si 0 X2X0 Ve gt 0 6 gt 0 tel que Vx e DA xo xo L If l lt e Il existe videmment des versions point es de ces deux notions en rempla ant x lt
45. ferait plus intervenir que des 9 partir d un certain rang Proposition 2 1 2 L ensemble R poss de les premi res propri t s suivantes 1 Q est inclus dans R 2 R poss de un ordre naturel l ordre lexicographique qui co ncide sur les rationnels avec l ordre usuel dans Q avec ses propri t s vis vis des op rations dans Q 3 Q est dense dans R autrement dit Vx R Vy R Jr e Q tel que x lt r lt z 4 Tout r el est encadr par deux suites de d cimaux Xn neN et xf nen o pour tout n N x et x sont les approximations d cimales par d faut et par exc s de x 10 pr s Ainsi 1 Xn EX lt Xan x Vue Remarque 2 1 3 Rappelons encore une fois ici que nous avons choisi une convention un peu inhab ituelle pour l criture d cimale des nombres n gatifs Plus pr cis ment nous crivons tout r el x comme x ay 0 ajaa3 o ay est la partie enti re de x et l autre partie la partie fractionnaire est n cessairement positive ou nulle ainsi par exemple le r el not usuellement 3 5 s crit 4 0 5 dans nos conventions Ce choix a en revanche pour avantage que l ordre des l ments de R est naturellement l ordre lexicographique ce n est pas le cas pour l criture usuelle ce qui justifie son utilisation dans le cadre d une construction de R et de ses op rations Cela ne nous emp chera pas d utiliser la notation usuelle par la suit
46. il s agit bien de tautologies D MONSTRATIONS 21 A l exception de la premi re qui est de nature essentiellement th orique toutes les tautologies de cette liste ont un grand int r t pratique dans les d monstrations Ainsi la deuxi me donne une m thode pour prouver une quivalence il faut prouver les deux implications qui la composent La troisi me montre pr cis ment ce que signifie la fausset d une implication si nous savons que A gt B est fausse alors nous savons que A est vraie et B est fausse La derni re tautologie de la liste indique que pour d montrer la v racit d une implication A B il suffit de d montrer la v racit de son implication contrapos e non B non A ce qui est parfois beaucoup plus facile Cette d marche est reli e celle qui porte le nom bien connu de d monstration par l absurde mais elle est diff rente Lorsque l on souhaite d montrer par l absurde la v racit d une implication A B on fait l hypoth se que A est vraie et B est fausse et on cherche d duire de ces informations une contradiction c est dire qu une autre assertion appelons la C est fausse alors que nous savons pertinemment que C est vraie Lorsque l on souhaite d montrer par contrapos e la v racit d une implication A B on fait l hypoth se que B est fausse et on cherche en d duire que A est fausse ce qui n est pas tout fait la m me chose L
47. l ment de B est simplement b U egx Bien s r dans les deux derniers cas il faut s assurer que le plus petit et le plus grand l ment sont bien des l ments de N lt Parmi les cons quences les plus imm diates on trouve le fait que N lui m me poss de un plus petit l ment qui est bien videment 0 Plus int ressant il est possible et m me souhaitable de construire P addition l aide d applications successives de l op ration successeur Nous nous contenterons ici de donner quelques id es ainsi si l on d cide que pour tout n N n 0 n et n 1 s n alors il est raisonnable de poser n 2 n 1 1 s s n n 3 n 1 1 1 s s s n etc Un peu d imaginaton montre alors que l on peut d finir l addition des entiers Attention n anmoins avec cette construction il n est par exemple pas vident que m n n m pour tous m et n dans N ce point comme d autres n cessite donc une d monstration La multiplication n est pas beaucoup plus difficile par exemple en posant Oxn 0 1lxn n 2Xn n n etc De nouveau les propri t s classiques de la multiplication commutativit associativit et leurs liens soit entre elles distributivit de la multiplication sur l addition ou avec l ordre par exemple la propri t classique V a b c d N4 a gt cet b gt d a b gt c d doivent faire l objet d une d monstration 1 1 2 D monstrations par r currence L ingr
48. lt a lt f alors il existe un entier N N tel que pour tout n gt N un gt a Bien entendu ces nonc s vaut aussi pour les suites dont la limite est strictement n gative en inversant le sens des in galit s 3 1 LIMITES DE SUITES 60 Rappelons maintenant qu une suite un nen est dite major e s il existe un r el M tel que un lt M pour tout n N minor e s il existe un r el m tel que un gt m pour tout n N et born e s il existe un r el A tel que ul lt A pour tout n N Cette derni re propri t est quivalente il existe deux r els a et b tels que a lt un lt b pour tout n N Th or me 3 1 11 Soit un nen une suite convergente Alors elle est born e D monstration Appelons la limite de la suite et prenons e 1 De la convergence on tire l exis tence d un entier N tel que pour tout n gt N lu lt 1 ce qui est quivalent a 1 lt un lt 1 Consid rons alors A max 1 1 et A2 max Jual un 1l ce nombre existe puisqu il s agit de la plus grande parmi un nombre fini de valeurs Soit alors n N Alors de deux choses l une ou bien n gt N et dans ce cas u lt A1 ou bien n lt N et dans ce cas el lt A1 En conclusion si on note A max A A2 on a lu lt A pour tout n N 2 Nous renevrsons finalement la perspective les deux nonc s pr c dents extrayaient de la conver gence de la suite des in
49. majorant de A un plus grand l ment de A est un minorant de A qui est dans A on dit que A est minor e s il existe un lement m de R tel que a gt m pour tout a de A un l ment m de R tel que a gt m pour tout a de A s appelle un minorant de A un plus petit l ment de A est un minorant de A qui est dans A on dit que A est born e s il existe un lement C de R tel que la lt C pour tout a de A cette propri t est quivalente il existe deux lements C et C2 de R tel que C lt a lt C2 pour tout a de A AA A OS Toutes les parties de R ne sont pas major es minor es ou born es M me parmi celles qui sont par exemple major es il n existe pas n cessairement de plus grand l ment exemple A 0 1 Une propri t tr s particuli re de R est que m me s il n existe pas de plus grand l m nt il existe quand m me un r el qui est le meilleur le plus pr cis des majorants possibles De plus l existence de ce r el est une propri t caract ristique de R au m me titre que la convergence des couples de suites adjacentes par exemple la partie de Q donn e par x Q x lt 2 n a pas de borne sup rieure dans Q Th or me 3 2 1 Soit A une partie non vide et major e de R Alors l ensemble form de tous les majorants de A a un plus petit l ment D finition 3 2 2 Soit A une partie non vide et major e de R Le plus petit l ment de l ensemble des
50. majorants de A est appel borne sup rieure de A et est not sup A Remarque 3 2 3 Si B est une partie non vide et minor e de R alors on dispose bien s r de la notion sym trique de borne inf rieure qui est le plus grand l m nt de l ensemble des minorants de B Preuve du Th or me 3 2 1 Soit A une partie non vide et major e de R Nous allons construire par r currence un couple de suites x wen et Di luet adjacentes qui v rifient les propri t s suivantes 1 Ve N x A 2 Yn N y est un majorant de A 3 Vn EN xs ynl lt clm yol Pour n 0 il suffit de prendre zu A possible car elle est non vide et yy un majorant de A possible car A est major e Supposons maintenant les deux suites construites jusqu au cran n et montrons que nous pouvons construire Xn 1 et yn 1 v rifiant les propri t s voulues Soit c le milieu du segment x yn Si c est un majorant de on pose yn 1 C et Xn 1 Xn On alors Xy Xp 1 lt C Yn 1 lt Yn et de plus xn ynl Lx Mal lt sarl yol Si c n est pas un majorant de A alors il existe a A tel que a gt c Comme y est un majorant de A on a de plus a lt y Alors on pose Yn 1 Yn et Xn 1 a On alors x lt C lt Xn 1 4 lt Yn 1 Yn et de plus xs yn lt Lx Mal lt ser yol 3 2 BORNE SUP RIEURE 63 Nous avons donc construit ainsi un couple de suites adjacentes qui poss de donc une limite c
51. ment de f a b Exercices Exercice 4 2 8 Soit Un nen une suite divergente vers 00 Montrer que toute sous suite est gale ment divergente vers 00 Exercice 4 2 9 Soit Un new une suite On suppose que la sous suite paire 42 nen et la sous suite impaire U2n 1 nen Convergent vers la m me limite Montrer que un nen converge vers Exercice 4 2 10 Soit un nen une suite de r els non major e Montrer qu il existe une suite extraite qui tend vers 00 Exercice 4 2 11 Soit f une fonction continue et a b un intervalle ferm born contenu dans son domaine de d finition prouver que f a b est un intervalle ferm born Exercice 4 2 12 Soit Un new une suite de r els positifs tendant vers 0 a Donner un exemple d une telle suite un nen qui n est pas d croissante b Dans le cas g n ral montrer qu il existe une suite d croissante extraite de Un nen Exercice 4 2 13 Donner des exemples de suites n ayant aucune sous suite convergente Exercice 4 2 14 Soit f une fonction continue Soit x un point de son domaine de d finition prouver que si f tend vers O en x alors M h ER LA tend vers O lorsque A tend vers 0 Exercice 4 2 15 On consid re une suite born e us nen qui v rifie la propri t suivante il existe un r el Z tel que toute sous suite de un nen qui est convergente converge vers Montrer que u en est une suite
52. n gation de 1x E tel que Q x est Yx E non Q x Lorsque plusieurs quantifications sont emboft es un usage m canique des principes 3 et 4 permet d identifier ais ment la n gation d une assertion plus complexe ainsi la n gation de l assertion con tenant un quantificateur universel suivi d un quantificateur existentiel Yx E Jy W x tel que R x y est x E tel que Yy W x non R x y Il est important de noter que ces choix pour la n gation d une assertion quantifi e d finissent le vrai comme une notion extr mement exigeante Elles reviennent en effet un poser le principe suivant Principe num ro 5 volontairement flou Une assertion est vraie seulement lorsqu elle ne poss de pas de contre exemple Le cas o le principe pr c dent se comprend le mieux est celui o l assertion consid r e commence par un quantificateur universel Yx E P x Dire que cette phrase est fausse signifie donc que l on peut trouver au moins un l ment dans E mais ventuellement seulement un appelons le xp tel que P x0 soit faux Autrement dit la n gation Jy E tel que non P y est vraie Inversement affirmer que Wx E P x est vraie consiste clamer haut et fort une propri t tr s exigeante quoi qu on fasse et quelles que soient les circonstances dans lequelles on se situe il n y a aucun moyen de trouver un x tel que P xp soit faux et ceci re
53. non born 0 oo et la suite des entiers naturels il est clair qu elle n admet aucune sous suite convergente 3 Si l intervalle est born mais n est pas ferm il est videmment contenu dans un intervalle ferm et born obtenu en lui ajoutant les ventuelles extr mit s manquantes la suite te Luet admet toujours une sous suite convergente mais la limite se situe dans l intervalle ferm et born qui contient l intervalle initial et pas n cessairement dans ce dernier exemple la suite d finie par Un 1 pour tout n N dans l intervalle 0 1 4 Enfin on notera que l nonc peut tre r crit de la mani re tr s utile suivante de toute suite born e on peut extraire une sous suite convergente Ce th or me est parfois d sign comme le th or me de compacit des segments Seront en effet introduits plus tard dans vos tudes math matiques une classe d ensembles qui v rifient la propri t d existence de sous suite convergentes appel s ensembles compacts D monstration La d monstration repose une fois encore sur les propri t s des couples de suites adjacentes Nous allons construire par r currence la fois une sous suite c est dire une application strictement croissante y N N et une suite de segments 1 pe emboit s et de longueur tendant vers 0 de telle sorte que Yp N Man Ip Les extr mit s des Z forment un couple de suites adjacentes qui converge donc ver
54. ou d veloppement d cimal c est dire l criture qui fait intervenir des chiffres et une virgule D finition 1 6 1 Un nombre d cimal est un nombre rationnel qui peut tre repr sent par une frac tion dont le d nominateur est une puissance de 10 L ensemble des nombres d cimaux est not D Dit autrement x Q est d cimal si et seulement si il existe n N tel que 10 x soit entier Attention tous les rationnels ne sont pas des d cimaux exemple En anticipant un peu les d cimaux sont les rationnels dont l criture d cimale est finie c est dire que lorsqu on liste les chiffres apr s la virgule on finit par ne plus rencontrer que des 0 Exercice 1 6 2 La somme de deux d cimaux est un d cimal L oppos d un d cimal est un d cimal Le produit de deux d cimaux est un d cimal L inverse d un d cimal non nul n est pas n cessairement un d cimal 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 41 Le r le essentiel des d cimaux est de fournir de bons outils d approximation des rationnels et plus tard des r els Commen ons tout d abord par rechercher une approximation enti re d un rationnel prenons x Q repr sent par la fraction o nous pouvons supposer que b gt 0 La division euclidienne nous assure alors que a aob ro avec ap Z et 0 lt ro lt b Ainsi a ro E a0 aan b b o le dernier terme est positif ou nul est strictement plus petit q
55. qui par d finition de U peut se r crire comme suit il existe ny N tel que e lt un Comme la suite est croissante on a de plus e lt un lt pour tout n gt ny Nous avons donc trouv un rang ny tel que pour tout n gt no lu lt e o 3 2 BORNE SUP RIEURE 64 Remarque 3 2 7 On peut en fait d montrer l aide de ce dernier r sultat que la convergence des couples de suites adjacentesvers une limite commune et l existence d une borne sup rieure pour toute partie non vide major e de R sont des propri t s quivalentes En effet les deux suites sont convergentes car croissante major e resp d croissante minor e et comme leur diff rence tend vers O les limites doivent tre gales Nous retiendrons donc que l existence d une borne sup rieure pour toute partie non vide major e de R est donc une propri t caract ristique de R au m me titre que la convergence des suites adjacentes Exercices Exercice 3 2 8 Soit a R Etudier la limite de la suite a ey en fonction de la valeur de a Exercice 3 2 9 Donner les bornes sup rieures inf rieures plus grand l ment plus petit l ment s ils existent des parties suivantes de R a 0 1 e N b 0 11 f Q c 0 1 g neN d 1 o h E ne N Exercice 3 2 10 Soit u ts wett la suite d finie par un Al a Montrer que u est monotone c est dire soit c
56. tout i gt io alors t est constante partir du rang N 1 Par r currence il est facile d en d duire que s il n Vi gt io Yn gt Np b 9 Or n fix la suite CT ey est le d veloppement d cimal de y donc elle ne peut pas ne contenir que n des 9 partir d un certain rang On peut noter que l on ne peut pas appliquer le m me raisonnement la suite a jey car x en est une suite croissante et non d croissante donc l in galit reliant les 51 2 1 CONSTRUCTION 52 qe est dans le mauvais sens et ne permet pas de conclure un chiffre inf rieur ou gal 9 peut tre diff rent de 9 Etape 3 On montre maintenant que soit a a pour tout N soit il existe N tel qu on ait la fois a a pour tout j lt io d ai 1 et az 9 a 0 pour tout k gt io L in galit cl est Yx y e x lt y gt E Et lt Ey x 1 facile montrer On tire par exemple de cette in galit que pour n gt No a a EP E x lt Ey d in 1 donc af dy lt 1 en passant la limite Par croissance de la partie enti re on a de plus a gt ao En conclusion soit ay ag Soit a ap 1 On obtient alors par r currence ais e en r p tant ce raisonnement que soit a a pour tout i N soit il existe ip N tel que a a pour tout j lt ip et di ai 1 Il reste alors montrer dans ce dernier cas que nous sommes en pr sence de de
57. un cardinal plus petit que ou gal celui de F s il existe une injection de E dans F et que E a un cardinal plus grand que ou gal celui de F s il existe une surjection de E sur F D finition 1 4 2 Un ensemble non vide E est infini si pour tout a dans E E a est en bijection avec E gt Ces d finitions n cessitent une justification nous admettrons les deux r sultats suivants Lemme 1 4 3 Soient A et B deux ensembles S il existe une injection de A dans B il existe une surjection de B sur A et vice versa Th or me 1 4 4 Cantor Bernstein Schr der 1896 Soient A et B deux ensembles S il existe deux applications injectives f A B et g B A alors A et B ont m me cardinal Ces r sultats assurent au passage que les parties 1 m et 1 n de N avec notre d finition formelle des entiers comme des ensembles on aurait pu se contenter de dire m et n sont en bijection si et seulement si m n ce qui conduit une d finition alternative de la relation d ordre dans N m lt n si et seulement s il existe une injection de m dans n On peut de plus montrer avec cette d finition que N s injecte dans n importe quel ensemble infini et que les ensembles non infinis au sens o ils ne v rifient pas la d finition donn e plus haut sont exactement ceux en bijection avec une partie finie de N c est dire les ensembles finis au sens intuitif lt Le cas des ensembles
58. x gt 3 Ici la propri t caract ristique est P x x gt 3 Alors F V3 on note que pour y 5 P y est v rifi e mais y n est pas un l ment de F car F a t d fini comme une partie de R les r els positifs Proposition Soit E et F deux ensembles Alors F est contenu dans E si et seulement si tout l ment de F appartient E Autrement dit FCE gt Vx EF xe E Proposition Soit E et F deux ensembles Alors F est gal E si et seulement si F est contenu dans E et E est contenu dans F Autrement dit F E ECF et FCE En cons quence pour montrer que F est contenu dans il faut montrer que tous les l ments de F appartiennent E et pour montrer que deux ensembles sont gaux il faut montrer que tous les l ments du premier appartiennent au second et que tous les l ments du second appartiennent au premier L intersection de deux ensembles E et F not e EN F est l ensemble des l ments qui sont la fois dans et dans F Ainsi xeENF gt xeEetxeF ANNEXE QUELQUES RAPPELS SUR LES MANIPULATIONS ENSEMBLISTES 25 La r union de deux ensembles E et F not e E U F est l ensemble des l ments qui sont dans E ou dans F Ainsi xeEUF es xeEouxeFr Ces deux critures formalis es donnent galement un principe pour d montrer qu un certain l ment x est dans l intersection ou la r union de E et de F La notation E F est utilis e pour d signer l ensemble
59. 1 1 4 pour tout n gt 1 a Montrer que la suite est croissante b Prouver que pour tout n gt 2 gt lt l n 1 c En d duire que pour tout n N uy lt 2 1 et conclure que la suite converge L n Exercice 3 1 27 th or me de Cesard Soit u Uun nen une suite On d finit la suite c par uo u u En 2 VneN n 1 Montrer que si u est convergente de limite 0 alors c est convergente de limite 0 puis tendre au cas d une limite quelconque Que dire de c quand u tend vers 00 Et lorsque u diverge c diverge t elle Exercice 3 1 28 Soit u Un new une suite de r els On d finit les suites d riv es u uy cy Par n a EEN H k 1 _ k k Uy Mal Un Uy Up Un ces Un eau Ma a Exprimer yo en fonction de Uy Un 1 Hait X X 1 X m 1 b Calculer af pour la suite a an nen d finie par an P n o Pm X Al pourra remarquer que Pip 1 X 1 Pm 1 X Pin c Montrer que la suite un est polynomiale si et seulement s il existe k N tel que Yn N ue 0 on 3 2 BORNE SUP RIEURE 62 3 2 Borne sup rieure Commengons par rappeler quelques l ments importants de vocabulaire que nous avons d ja crits mais qu il est bon de r p ter Si A est une partie de R on dit que A est major e s il existe un lement M de R tel que a lt M pour tout a de A un l ment M de R tel que a lt M pour tout a de A s appelle un
60. 1 n a pas pour limite O lorsque x 1 tend vers 0 En effet il existe une suite de points tendant vers O donn e par x nz et telle que F xn 1 pour tout n N Ainsi on peut prendre e 3 par exemple et on alors pour tout 4 gt O un point choisi parmi les x dans JO al dont l image par f vaut 1 donc est distance au moins J de 0 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 66 Remarque 3 3 3 La d finition de la limite appelle plusieurs commentaires 1 Tout d abord il est remarquer que si x est un point du domaine de d finition de f et si f tend vers l lorsque x tend vers xp alors n cessairement f xo En effet fixons donc un e gt 0 Alors Pexistence de la limite implique qu il existe un r el 9 gt O tel que l image par f de DN xo 6 xo soit contenue dans H e Comme xo lui m me est dans D N x0 6 xo t on en d duit que f xo doit tre dans H e el De plus cette propri t est vraie pour tout e gt O donc f xo Ainsi la question de la convergence d une fonction f en un point xy du domaine de d finition se r sume l alternative suivante soit la fonction converge vers f xo soit la fonction ne converge pas 2 Il arrive n anmoins que des fonctions aient un comportement tel autour d un point de leur domaine de d finition que l on ait envie de dire qu elle converge vers quelque chose de diff rent de f xo C est le cas par exemple de la fonction
61. 1 6 Soit k 0 1 et 8 R On d finit vn 1 cos 1 kcos 0 k cos pour tout n N En s inspirant de l exercice pr c dent montrer que cette suite est convergente Exercice 4 1 7 Soit Un len une suite de r els On suppose que la suite d finie par S Am Uk pour tout n N converge Montrer que un nen tend vers 0 Exercice 4 1 8 Soit Un 1 J 1 pour tout n N Montrer que pour tout n N U2n Un gt 1 En d duire que la suite 4 1eN ne converge pas Exercice 4 1 9 Soit un nen une suite v rifiant la propri t suivante il existe k R tel que k lt 1 et pour tout n N lu 1 Mal lt Kluy un 1 Montrer que la suite est de Cauchy Exercice 4 1 10 Donner un exemple de suite born e qui n est pas de Cauchy Exercice 4 1 11 Etendre la notion de suite de Cauchy aux limites de fonctions Montrer que si une fonction est de Cauchy en un point adh rent son domaine de d finition alors elle admet une limite en ce point Exercice 4 1 12 Montrer que si f est une fonction num rique d finie et d rivable sur 0 1 telle que f converge vers un r el a en 0 alors f admet une limite droite en O indication montrer avec le th or me des accroissements finis que pour toute suite u en positive tendant vers 0 f un nen est une suite de Cauchy puis utiliser l exercice 3 3 25 Exercice x 4 1 13 Soit Un Jen une suite d cr
62. 16 Soient A et B deux parties d un ensemble Montrer que CEAN CEB Cel UB etque CrA U CEB CHAN B Exercice 17 Soient A et B deux parties d un ensemble E On appelle diff rence sym trique de A et B l ensemble AAB A B U B A faire un dessin Montrer que AM0 0AA A AAB BAA AAB AC AA BAC AN BAC ANB A ANC Exercice 18 Soient E F et G trois ensembles et f E F et g F G deux fonctions 1 Montrer g o f injective f injective g o f surjective g surjective Que dire des implications r ciproques 2 Montrer g o f injective S f injective et g injective g o f surjective amp mt surjective Exercice 19 Si f E3 F est une application et Y une partie de F on d finit l image r ciproque de Y comme F O re Elf EF et on rappelle que si X est une partie de l image f X de X a t d finie plus haut Montrer les propri t s suivantes pour toutes parties A1 de E et B1 B2 de F ANNEXE QUELQUES RAPPELS SUR LES MANIPULATIONS ENSEMBLISTES 27 s1A1 C Az alors f A1 f A2 si B4 C Ba alors 714 B cf UB FAJUA2 FAJ U F A2 fQA1 N 4 f A1 A F A2 montrer par un exemple que l on n a pas forc ment galit FUBLUB f B1 U f UB F7 Bi A B2 f7 B1 A fF B2 pour tout BC F BC f wi f B montrer par un exemple que l on n a pas forc ment galit pour tout BC F f f7 UB BN f E D
63. E 16 Exemples On consid re les assertions suivantes 1 VxER x gt 0 2 Jx Z tel que x y 7x 3 Pour toute fonction f de R dans R V x y ER Lt FO lt lx yl gt Ve gt 0 16 gt 0 tel que V x y R x y lt 0 f x f lt e 4 V u v E 11 R tel que u Av L assertion 1 est clairement ferm e l ensemble R des r els est une constante de m me que 2 et 0 L assertion 2 est videmment ouverte qu est ce que y L assertion 3 est ferm e v rifiez le Enfin prise isol ment l assertion 4 est ouverte car E n est pas ici une variable muette gt Remarque Affirmer que Yx E P x est vraie ne signifie pas que l on dispose d un l ment de E qui porte le nom x mais simplement que d s que l on prend un l ment dans E il a une certaine propri t Pour pouvoir raisonner sur un l ment x ou y ou a bien identifi de E il faut avoir pr alablement d cid de qui il s agit c est dire ce que d signe exactement le symbole x ou y ou a et ventuellement comment cet l ment a t choisi Cette subtilit joue un r le tr s important lorsque l on commence attribuer une valeur de v rit aux assertions A nsi dans le raisonnement on sait que Vx R x gt 0 donc x gt 1 car 0 gt 1 la variable x est muette dans la partie de la phrase qui pr cede le donc On peut alors remplacer le symbole x par
64. EN n gt N gt Ta 0 ve d Iane N YNEN n gt N gt zz H Exercice 14 Pour une famille suppos e fix e de vecteurs it Gol de R n gt 1 laque lle lesquelles des trois assertions suivantes affirme nt que la famille de vecteurs est libre Comment crit on de fa on formalis e que la famille est li e a K i A K 0 O b I 41 An E R Vi 1 n A D et X 44 0 c V A1 An ER GZ 414 0 Vie 1 n 4 0 ANNEXE QUELQUES RAPPELS SUR LES MANIPULATIONS ENSEMBLISTES 24 Annexe quelques rappels sur les manipulations ensemblistes Les d finitions et propri t s suivantes font partie du bagage de base de tout apprenti math maticien et doivent donc tre parfaitement maitris es N B les tudiants suivant l UE GLIN201 Fondements de l informatique seront amen s au cours de cette UE la reprendre plus en d tail ce vocabulaire dans un contexte plus tourn vers l informatique nous nous contentons de r p ter rapidement ici les principes qui servent de base l ensemble de l difice commun partir duquel d une part s est d velopp le foi sonnement des math matiques et d autre part s est cr e l informatique th orique avant de se constituer en discipline autonome Les ensembles consid r s en math matiques sont constitu s d l ments Lorsqu un l ment x ap partient un ensemble E on note x E Si x n appartie
65. ERDO E ORES EE 2 Nous commen ons par montrer que si h et k sont des fonctions convergentes vers O lorsque x tend vers xo alors hk converge vers O lorsque x tend vers xo Soit e gt 0 Alors comme pr c demment il existe deux r els gt 0 et gt 0 tels que Yx Duilio 6 xo l 0 4 lt Ve Yx E DiMlxo 1 xo ni lgGo lt ve et donc toujours en posant p min 6 7 on a pour tout x D N D N xo p xo pL A x k x lt Donc hk converge bien vers 0 Prenons maintenant f et g des fonctions convergentes vers et respectivement On pose alors pour tout x Df resp x Dg h x f x resp k x g x CL et on raisonne comme dans la preuve de la Proposition 3 1 6 O 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 68 Preuve de la Proposition 3 3 6 Nous prouverons plus loin que la fonction F est bien d finie au moins au voisinage de xy sur tous les points de DfN xo xy of Par ailleurs existe Comme pr c dem ment on traite d abord le cas 1 en remarquant que dans ce cas il existe 9 gt O tel que pour tout x DfA xo xo l f x 1 lt 3 ce qui implique que pour tout x DfN xo 6 xo pour tout f x gt 2 Prenons maintenant e gt 0 il existe donc un 7 gt 0 tel que pour tout x DN xo 7 xo NL I lt 5 Ainsi si p min 6 n o pour tout x DfN xo p xo pl 1 f 1 F e HH a
66. IA LD P D ra Exercice 20 Avec les notations de l exercice pr c dent montrer l quivalence entre les propri t s suivantes 1 f est surjective 2 pour tout y F F D D 3 pour tout Y CF f f Y Y 4 la seule partie Y de F telle que f 1 Y 0 est 0 Essayer de mettre en vidence des propri t s analogues en rempla ant la surjectivit par l injectivit Exercice 21 Soit E un ensemble A toute partie A de E on associe sa fonction caract ristique not e ici fa cf plus haut Prouver les propri t s suivantes 1 Si X et Y sont des parties de E X C Y est quivalent fx lt fy 11 Si X et Y sont des parties de E X Y est quivalent fx fy iii Si X est une partie de E fax 1 fx iv Si X et Y sont des parties de E fxny fx fr et fxuy fx fr fxfr Exercice 22 Soient A et B deux parties d un ensemble E A quelle condition existe t il une partie X de E telle que A N X B Si oui d crire toutes les solutions Exercice 23 M me question que dans l exercice pr c dent avec l quation AUX B Exercice x 24 Montrer qu il n existe pas de surjection de E dans P E Indication on pourra supposer l existence d une telle surjection w et faire intervenir l ensemble X x Elx f x prendre le temps de bien comprendre cette d finition CHAPITRE 1 UN RAPIDE PANORAMA DES ENSEMBLES DE NOMBRES L objectif de ce chapitre est d
67. Jen sont deux suites de rationnels convergentes vers des rationnels let alors un Vn nen converge vers ce r sultat sera g n ralis dans le chapitre suivant gt La raison pour laquelle nous venons de laisser en exercice ce stade ces propri t s est qu une fois la construction de R et de ses op rations effectu e elles seront g n ralis es dans le chapitre suivant avec des outils beaucoup plus efficaces Mais il est en r alit imp ratif pour la validit de la construction de d montrer ces propri t s avant de disposer des outils plus efficaces d o leur pr sence ici lt D finition 2 1 7 On dit que deux suites de rationnels is Luet et Vn nen forment un couple de suites adjacentes si les propri t s suivantes sont v rifi es 1 Un nen est une suite croissante 2 Vn nen est une suite d croissante 3 pour tout n N un lt Vn 4 la suite v un nen tend vers 0 Les suites adjacentes sont les briques de base de la construction des op rations addition multiplica tion de R L id e sous jacente toute la construction a pour point de d part la propri t suivante Proposition 2 1 8 Les approximations d cimales par d faut et par exc s d un r el x forment un couple de suites adjacentes compos es de d cimaux qui convergent vers x D monstration Soit x un r el et xXn neN X nen les suites de ses approximations d cimales par d faut et par exc s
68. Universit Montpellier 2 Facult des Sciences Semestre 2 du portail MIPS 2011 2012 GLMA 202 CONCEPTS FONDAMENTAUX EN ANALYSE Universit Montpellier 2 Facult des Sciences Semestre 2 du portail MIPS 2011 2012 GLMA202 CONCEPTS FONDAMENTAUX EN ANALYSE Universit Montpellier 2 Facult des Sciences Semestre 2 du portail MIPS 2011 2012 TABLE DES MATI RES AVETLISSeMENT EE 8 E Fr ier dan RE a EE 12 De larisueur en math mati US elos is 12 Qu est ce qu un texte math matique 12 L vraretl TAUX e dia 17 aere e te EE 20 EXCHCICES ir engine ds denied ren A dia da aaa 22 Annexe quelques rappels sur les manipulations ensemblistes 24 X TCICRS 24 sus tue docs midmeoseiiebr EE 26 1 Un rapide panorama des ensembles de nombres 28 1 1 Enters E Siurana dada ire ed dee 28 1 1 1 Propn t s de Dase meocionada rat add 29 LL D monstrations par T CUTTENCE de ENEE E a see tu 30 EXOTIC vir ada 31 1 2 Enters T lAUS aii de fiat EE Eed dere 32 12 1 Une CONSUME Ne een Se ne 32 1 2 2 Addition multiplication issus anne honda 33 1 3 Un rapide tour au pays de l arithm tique 35 L Entr l intel di ais 36 Ee 37 TABLE DES MATI RES 6 1 5 Nombresrationnels s a Gas 37 1 5 1 Une Gouetruetteht das NEES EE EEN AAR KEE die poutres 38 15 2 Les
69. aison des remarques faites aux paragraphes qui pr c dent on aurait pu se contenter d crire que la limite existe puisque si c est le cas alors elle vaut automatiquement f x0 Nous pouvons d sormais retranscrire cette d finition de la mani re suivante D finition 3 4 1 Soit f R R une fonction et xy un point de son domaine de d finition D On dit que f est continue en xp si Ve gt 0 Ja gt 0 tel que Yx Dr lx xol lt a f x f xo l lt e Il est important de connaitre la traduction formalis e de la discontinuit d une fonction f en un point xo de son domaine de d finition Elle s crit Je gt 0 tel que Va gt 3x Dy tel que x xol lt et f x f xo l gt e Ce crit re de discontinuit peut se r crire en terme de construction d une suite particuli re d l ments du domaine de d finition D Proposition 3 4 2 Soit f R R une fonction et x un point de son domaine de d finition Dr La Jonction f est discontinue en x si et seulement s il existe une suite Xn nen d l ments de Dr telle que Im Lal x et telle que la suite f xn nen ne converge pas vers f x On notera que dans cet nonc la suite f x en ne doit pas converger vers f x Elle peut donc diverger ou bien converger vers un autre r el En prenant la n gation nous obtenons bien s r un crit re de continuit Proposition 3 4 3 Soit f R R une fonction et x un point de s
70. ans la pratique on n explicite bien entendu quasiment jamais cette interpr tation On peut de plus fabriquer de nouvelles assertions partir de celles d j connues en les reliant l aide de l un des 5 connecteurs logiques suivants 1 non si P est une assertion alors non P est une assertion appel e n gation de P 11 et si P et O sont deux assertions alors P et O est une nouvelle assertion Gii ou si P et O sont deux assertions alors P ou O est une nouvelle assertion iv implique souvent not si P et O sont deux assertions alors P implique Q ou si P alors O not P O est une nouvelle assertion v est quivalent souvent not amp si P et O sont deux assertions alors P est quivalent O souvent not P amp O est une nouvelle assertion Remarque Afin de rendre plus compr hensibles les assertions math matiques il est souvent utile de les doter de parenth ses qui aident en expliciter la nature et le sens Ainsi P amp Q ou R signifie t elle P amp Q ou R ou bien P Q ou R De m me xP gt O R est incompr hensible s agit il de P Q R ou bien de P Q R Et l assertion c de tout l heure qui s crivait l hypoth se de Riemann g n ralis e entra ne la conjecture faible de Goldbach et l hypoth se de Lindel f mais ne prouve pas la conjecture abc
71. avers leurs d veloppements d cimaux L algorithme pr c dent per met de d finir une application d veloppement d cimal D Q P valeurs dans l ensemble P form des suites a ex telles que le premier terme ao est un entier relatif les termes suivants a sont des chiffres pour tout i gt 1 pour tout n gt 1 il existe p gt n 1 tel que a 9 pas de suite infinie de 9 De plus les d veloppements d cimaux des rationnels sont tous valeurs dans le sous ensemble Pper de P form des suites a ex qui sont p riodiques partir d un certain rang Th or me 1 6 16 L application d veloppement d cimal D Q Pier est une bijection 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 46 D monstration La preuve de l injectivit repose sur une propri t de monotonie D est en effet une application strictement croissante lorsque l on munit l ensemble P d un ordre bien choisi D finition 1 6 17 L ordre lexicographique sur P est d fini comme suit si ai ien et bi ien sont des l ments de P on dit que a ex lt bi ien Si ag lt bo ou s il existe un entier j N tel que ax bz pourtoutk lt j etaj Brot Prenons maintenant deux rationnels x et y tels que x lt y et notons a ex et b en leurs d veloppe ments d cimaux La fonction partie enti re est une fonction croissante donc ao lt bo Si ao lt by alors le r sultat voulu e
72. bre complexe z C tout nombre w C tel que w z Certaines d finitions fondamentales sont de plus mises en valeur de la mani re suivante D finition 0 0 1 Le module du nombre complexe z est les nombre r el not z d fini par la Va VRe 2 Im 2 Attention crire toutes les d finitions de cette mani re aurait rendu certains passages peu lisibles Il ne faut donc pas croire que seules les d finitions num rot es et encadr es m ritent d tre retenues et il est crucial de conna tre pr cis ment toutes les d finitions donn es R sultats Les r sultats sont nonc s sous forme de Lemmes Propositions Th or mes Corollaires La plupart des nonc s sont sous la forme de Propositions les r sultats les plus importants sont appel s des Th or mes un Corollaire est un nonc qui d coule d un r sultat qui vient d tre tabli un Lemme est un r sultat pr paratoire pour d montrer une Proposition ou un Th or me Preuves Les math matiques ne se limitent pas des d finitions et des r sultats que l on applique sans r fl chir d une certaine mani re l essentiel des math matiques se trouve dans les preuves des nonc s La plupart de celles que l on trouvera ici sont relativement courtes et instructives elles clairent le r sultat qu elles d montrent elles utilisent des notions d j vues ou d autres r sultats d j d montr s elles illustrent des te
73. chaque segment apparaissant l tape n est divis en deux pour l tape n 1 7 de longueur 5 par une fonction con 4 3 INT GRALES 86 Th oreme 4 3 6 Soit f une fonction d finie et continue sur un segment a b Alors la suite des sommes de Riemann n f nen est une suite de Cauchy On appelle sa limite int grale de f sur a b qu on note E 2 D monstration Soient m et n deux entiers tels que n gt m Alors on peut ranger les 2 segments apparaissant dans 2 par paquets de 2 segments successifs de telle sorte que 2m1 2 1 Es a Y lara E k 0 t 0 que l on peut alors comparer 2 1 b z mn A Ge S a t kE k 0 De fait la diff rence entre X f et 2 f fait apparaitre une double somme 2 1 SE SS 52 f a 2k pa SS zial k 0 0 qui peut se r crire comme 2 1 Dm DE 57 f a k pl f a vil k 0 0 ou encore comme 2 1 27m DE pm f a k 0 S a vil k 0 t 0 Soit maintenant e gt 0 Comme nous sommes sur un segment a b la fonction f n est pas seulement continue mais est uniform ment continue sur a b Ainsi il existe m0 N tel que pour tous x et y tels que x y lt l int rieur de a b on a f x f y lt e Ainsi pour tous entiers m et n plus grands que mo et pour tous k et entiers tels que 0 lt k lt 2 et 0 lt lt 2 ona j a k De f a tf
74. chniques de calcul ou de raisonnement etc Travailler les preuves est donc important car c est faire des math matiques Exercices Des exercices num rot s apparaissent au cours du texte Ils permettent de s entra ner sur le cours et leur tude fait partie int grante du travail sur le cours Certains exercices plus difficiles techniquement ou plus avanc s conceptuellement sont signal s par une toile x Exercice x 0 0 2 Ceci est un exercice un peu plus difficile Notations Le symbole signifie que le terme de gauche est d fini comme tant gal au terme de droite Par exemple Les racines n mes de l unit sont exactement les n nombres complexes 1 w Di o w i ein 2in n Dans cet nonc on pose w e et on utilise le symbole w pour d crire les racines de l unit AVERTISSEMENT 11 Commentaires Enfin comme au premier semestre le texte propose toujours deux niveaux de lec ture le corps principal du texte o l accent est cette fois ci mis sur la formation de base les concepts et leurs d monstrations un second niveau qui fournit aux tudiants port s vers les math matiques des compl ments souvent titre essentiellement culturel gt Afin d identifier ais ment les objectifs des diff rentes sections de ce polycopi les portions de texte correspondant au second niveau de lecture sont plac s en caract res plus petits et dans des paragraphes encadr s par des symbo
75. ci dessus est donc relative ce choix d axiomes lt Exercices Exercice 1 4 6 Montrer que l ensemble N a le m me cardinal que N Montrer que le compl men taire de toute partie finie de N a le m me cardinal que N Exercice 1 4 7 Montrer que toute partie infinie de N est d nombrable En d duire que s il existe une injection d un ensemble E dans N alors E est d nombrable ou fini Exercice 1 4 8 Montrer que Z a le m me cardinal que N Exercice 1 4 9 Si E et F sont deux ensembles d nombrables montrer que E x F est d nombrable Exercice 1 4 10 Utiliser l exercice pr c dent pour montrer qu une union d nombrable d ensembles d nombrables est d nombrable Exercice 1 4 11 Montrer que l ensemble dont les l ments sont les parties finies de N est de m me cardinal que N Indication on pourra utiliser ici l criture d cimale des entiers et la fonction qui une partie finie A de N associe l entier 3 xa 10 i 0 Exercice x 1 4 12 Soit X un ensemble infini et D une partie d nombrable de X Montrer que si X D est infini alors il est en bijection avec X Exercice x 1 4 13 L objectif de cet exercice est de montrer qu il n existe pas de bijection de N sur l ensemble P N de toutes les parties de N Par l absurde on suppose qu on dispose d une bijection y N PN et on note A y n pour tout n N 1 Soit A une partie de N et k un entier
76. commode nous d cidons des r gles conventionnelles suivantes Conventions de calcul E 00 00 OS 00 00 0 ECO x 00 et co x 0 pour tout xER A 00 et A 00 pour tout A R 00 et u pour tout u R De plus les situations suivantes sont appel es formes ind termin es acea X 00 00 00 00 0x 00 SS et 0 pour tout x R TOO 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 71 Soient maintenant f et g deux fonctions qui convergent respectivement vers f RU 00 et RU 00 en a RU 00 tel que a soit adh rent aux domaines de d finition de f et de g s il est r el ou tels que H soit v rifi si a est infini Les r sultats sont alors les suivants Fonction Limite Commentaire Ifl l Af AER I A sauf si forme ind termin e f e 7 sauf si forme ind termin e fe ZC sauf si forme ind termin e z sauf si forme ind termin e N B 7 doit tre bien d fini Ce tableau doit tre compris de la fa on suivante par exemple pour la troisi me ligne si la limite de f est et celled e g est alors celle de f g est sauf si la forme est ind termin e c est dire sauf si on se trouve dans le cas o 00 co auquel cas on ne peut pas conclure Remarque 3 3 17 Dans le cas d une forme ind termin e du type il est par
77. de 1 7 avec celui de 8 7 puis avec celui de 3 7 Expliquer les ph nom nes observ s on pourra aussi s int resser 10 7 Exercice 1 6 19 On consid re l entier n dont l criture d cimale est abcd c est dire que a b c et d sont des chiffres et que n 1000a 100b 10c d Quel est le d veloppement d cimal de 5555 Exercice 1 6 20 Trouver une fraction irr ductible repr sentant le rationnel dont le d veloppement d cimal est 12 0 59123 o 123 se r p te ind finiment M me question avec 209 0 83758 Exercice x 1 6 21 En s inspirant des deux exercices pr c dents essayer d imaginer une m thode g n rale qui montre la surjectivit de l application D d finie dans le cours Exercice 1 6 22 On consid re le rationnel r as o N et on suppose que son d veloppement d cimal commence par 3 141 et la suite est inconnue pour le moment Calculer a et comparer r et x Un ordinateur donne ensuite un d but de d veloppement plus pr cis r 3 14159292 o la suite est toujours inconnue Donner un argument montrant que la suite du d veloppement n est pas 92929292 CHAPITRE 2 LES NOMBRES R ELS L ensemble des nombres r els est un des ensembles voire l ensemble les plus importants des math matiques Mais qu est ce qu un nombre r el Cinq minutes de r flexion montrent vite qu il ne s agit pas d une question si ais e La r ponse la pl
78. des l ments de E qui ne sont pas dans F Ainsi E F xeE x F Pour utiliser cette notion il n est pas n cessaire que F soit contenu dans E cf plus haut l ensemble EN F est d fini par la propri t caract ristique x F qui a un sens pour n importe quel l ment x mais comme il s agit des l ments de E qui v rifient cette propri t E Y F est une partie de EL Le compl mentaire d un ensemble A dans un ensemble E est en revanche une notion qui n a de sens que s il a t pr alablement v rifi que A est une partie de E Il est alors not A on trouve parfois A et d fini comme suit C A EVA xe ElxgA La maitrise du vocabulaire sur les applications et les fonctions est galement imp rative Une appli cation est d finie par un ensemble de d part ou ensemble de d finition ou encore source E un ensemble d arriv e ou encore but F et une recette on dit parfois aussi relation fonctionnelle qui n est pas n cessairement donn e par une formule explicite permettant d associer tout l ment de E un l ment de F La notation usuelle est f E F x gt fx Le mot fonction est parfois utilis comme synonyme d application mais il est plus fr quemment em ploy dans un contexte un peu plus large Ainsi une fonction de E dans F d signera le plus souvent une application d finie sur une partie de E appel e domaine de d finition de la foncti
79. e 2 1 CONSTRUCTION 49 D monstration Seule la troisi me propri t n cessite une preuve Soient donc x et y deux r els distincts tels que x lt y et notons a ien et b en leurs critures d cimales L in galit x lt y implique soit que ay lt by soit qu il existe un rang j N tel que az br pour tout k lt jet aj 1 lt Bi Dans le premier cas on note p le premier entier strictement positif tel que a lt 9 existe toujours et on pose r ay 0 aj ay 19 Ce rationnel qui est en fait un d cimal est effectivement strictement plus grand que x et strictement plus petit que y donc il convient Dans le second cas on raisonne de mani re presque identique en notant p le premier entier strictement plus grand que j tel que a lt 9 et on pose de m me r ao 0 aj ap 19 o 2 1 2 Intervalles L ordre dans R nous fournit imm diatement la notion d intervalle Nous d finis sons donc pour x et y dans R x gt aceR a lt x aeR x lt a 00 x a R a lt x x real x oo aeR x lt a x yl a ER x lt a lt y x yl aeR x lt a lt y lx y fa R x lt as lt y y x y a e R x lt a lt Parmi ceux ci nous distinguerons les intervalles ouverts qui sont du premier troisi me ou cinqui me type parmi les 8 types d intervalles que nous venons de lister 2 1 3 Suites adjacentes La d finition des intervalles nous
80. e Kin Vn CHENE lun 4 va 1 lt 7 NI 3 1 LIMITES DE SUITES 59 2 Nous commen ons par montrer que si Sn nen et tn nen sont des suites convergentes vers 0 alors Sntn nen converge vers 0 Soit e gt 0 Alors comme pr c demment il existe deux entiers N et N tels que Yn gt N sal lt Ve YVn gt N l l lt Ve et donc pour tout n gt max N N Srta lt e La suite Sntn nen converge donc bien vers O Prenons maintenant un nen et Vn nen des suites conver gentes vers et respectivement On pose alors pour tout n N Sn Un f et tr vn t Ces deux suites tendent vers 0 et pour tout n N uy Sn Vn tn C et UnVn Sntn tn C Sn EL Or le pr liminaire nous apprend que Sntn nen tend vers O et la Proposition pr c dente que tn nen et C Sn nen tendent galement vers O On en d duit que int uwen converge vers o Preuve de la Proposition 3 1 7 Nous d montrerons plus loin Proposition 3 1 9 l existence de l en tier N tel que la suite CDN soit bien d finie Par ailleurs 1 existe Comme pr c demment on com mence par un pr liminaire qui est le cas 1 Dans ce cas il existe Ny N tel que pour tout n gt No lun 1 lt 2 ce qui implique que pour tout n gt No un gt 3 Prenons maintenant e gt 0 il existe donc un N N tel que pour tout n gt Ni lu lt gt Ainsi pour tout n gt max W No Ni 1 Un Ju
81. e continue si elle est continue en tout point de son domaine de d finition Il est facile faites le de transposer au cas des fonctions continues sur un ensemble les r sultats issus des op rations sur les limites Les r sultats suivants ont t vus sans d monstration au premier semestre Leurs preuves montrent qu ils font profond ment intervenir la nature de l ensemble des nombres r els et la notion de limite 3 4 3 Valeurs interm diaires Ce r sultat est directement reli l existence de la borne sup rieure de toute partie de R non vide et major e Th or me 3 4 6 Soit f une fonction continue sur un intervalle a b et telle que f a lt Oet f b gt 0 Alors il existe c a b tel que f c 0 D monstration On d finit J t a b f t lt 0 Le point a est dans J donc J est non vide et de plus J a b donc J est major Il admet donc une borne sup rieure que nous appelons c et qui est dans a b Il existe alors une suite x ex de points de J qui converge vers c Par continuit f xn nen tend vers f c ce qui implique que f c lt O au passage on voit ainsi que c lt b puisque f b gt 0 Si f c lt 0 nous avons vu que f doit tre strictement n gative sur un intervalle ouvert contenant c donc c ne peut pas tre la borne sup rieure de J Conclusion on a n cessairement f c 0 o Remarque 3 4 7 Rappel il faut que tout l intervalle a b soit dans
82. e de de r pondre aux questions a quoi sert cette notion dans quel s context e intervient elle comment l utilise t on et quelles sont ses limites AVERTISSEMENT 9 soient pr sent s comme deux documents disjoints ils doivent tre pens s non seulement comme com pl mentaires mais comme deux parties d un m me document L objectif de Concepts fondamentaux en analyse est en effet d apporter les bases math matiques permettant de d montrer avec toute la rigueur n cessaire les r sultats nonc s dans Alg bre lin aire et analyse 1 L tudiant devra donc au cours du second semestre mener un travail de retour sur les enseignements ayant eu lieu quelques mois plus t t afin de s assurer qu il comprend en d tail pourquoi le contenu de la seconde UE lui fournit tous les l ments qui lui manquaient au premier semestre A une exception notable pr s celle du calcul int gral comme expliqu au d but du chapitre qui lui tait consacr dans le polycopi du premier semestre AVERTISSEMENT 10 Mode d emploi Un texte math matique comporte des d finitions des exemples des r sultats des preuves des com mentaires Le pr sent polycopi ob it aux principes suivants D finitions Lorsqu un terme est d fini ou plus g n ralement lorsqu il est introduit pour la premi re fois et que son usage est pr cis il appara t en gras Par exemple 2 On appelle racine carr e d un nom
83. e des milliards d nonc s vrais mais totalement creux D MONSTRATIONS 20 En effet la v racit de l implication signifie ou bien A et B sont vraies ou bien A est fausse Comme nous savons par ailleurs que A est vraie nous sommes dans le premier cas et B est n cessairement vraie L ensemble des principes nonc s ci dessus permet de fabriquer pour toute assertion construite l aide des connecteurs logiques une table de v rit qui indique la valeur de v rit d une assertion en fonction de celles des briques l m ntaires qui la composent tout choix de valeur de v rit pour ces derni res un tel choix s appelle une interpr tation conduit une unique valeur de v rit pour l asser tion compos e Nous donnons ci dessus la table correspondant aux connecteurs logiques en y ajoutant l quivalence A amp B qui est A B et B A A B nonA AetB AouB A gt B AS P Viv F V V V V VIF F F V F F FIV V F V V F F F V F F V V A titre d exercice construisons par tapes successives la table de l assertion A B et A B la v racit d une implication et de son hypoth se implique la conclusion A B A BjetA A gt B etA B m m lt lt gt zl lt m lp lt lt j lt mmm lt lt lt lt lt Nous constatons que cette assertion est toujours vraie quelles que soient les valeurs
84. e la notion de suite de Cauchy la construction de l int grale Il importe en premier lieu de bien comprendre pourquoi la notion d int grale n est pas vidente Pour cela nous reprenons un paragraphe pr sent dans le polycopi du premier semestre La d finition la plus commun ment admise de l int grale d une fonction en tout cas celle le plus fr quemment rencontr e dans le secondaire consiste d clarer que l int grale d une fonction positive entre deux r els a et b est gale l aire de la r gion d limit e par l axe des abscisses la courbe repr sentative de la fonction entre a et b et les deux droites verticales d abscisses a et b Cette d finition tr s satisfaisante au premier abord ne r siste malheureusement pas tr s longtemps un examen plus approfondi En effet qu est ce donc que l aire d une r gion d limit e par des courbes Et comment la calcule t on Nous pouvons calculer ais ment l aire d un rectangle et justifier ais ment ce calcul Mais l aire sous la courbe D finir l int grale d une fonction non constante est donc un objectif complexe et cette section a pour objectif de donner quelques id es dans cette direction Nous aborderons le probl me de la d finition rigoureuse de l int grale des fonctions num riques en suivant les principes suivants 1 Paire situ e sous la courbe d une fonction f pas n cessairement de signe fix doit tre la limite
85. e par f x 1 x si x est rationnel et f x x si x est irrationnel Etudier la continuit de f En d duire une construction d une fonction de 0 1 dans 0 1 qui soit discontinue partout et bijective Exercice 3 4 14 Soit f une fonction continue sur R et strictement positive Est il vrai qu il existe un r el c gt 0 tel que f x gt c pour tout x r el Exercice x 3 4 15 Soit f une fonction continue sur R et telle que lim JE 29 a Montrer que X Test d rivable en 0 on pourra commencer par le cas a 0 3 4 FONCTIONS CONTINUES 76 Exercice x 3 4 16 1 Soit R gt R la fonction d finie par h x 2x si x lt 0 et h x x si x gt 0 Montrer que h est continue que sa restriction Q est injective mais que h elle m me n est pas injective 2 Soit f R R une fonction continue dont la restriction R Q est injective Montrer que f est injective Exercice x 3 4 17 Soit f une fonction continue R R et surjective On suppose de plus que pour tout y R f y est born 1 Montrer que pour tout R il existe A gt O tel que ou bien f A Cl real ou bien FLA oo 2 Onfixe t R et on suppose que c est la premi re des deux ventualit s pr c dentes qui est vraie montrer que Dm en f x 00 CHAPITRE 4 SUITES DE CAUCHY ET SUITES EXTRAITES 4 1 Suites de Cauchy La d finition des suites convergentes que nous avons
86. e pour la multiplication est un z tel que zz 1 qu on appelle effectivement inverse dans le langage courant L existence de l inverse de toute entier relatif permet de d finir la soustraction comme suit Y Z1 Z2 z 21729 2 a L existence de la soustraction permet alors de d finir l ordre des l ments de Z D finition 1 2 5 Soient z z deux entiers relatifs On dit que z gt z si et seulement si z z est positif Exercice 1 2 6 Montrer que l addition et l ordre sont compatibles c est dire WU Bas zi 2 ez si z 22 22 alors z z 22 2 Exercice 1 2 7 Montrer que l on peut d finir de la m me mani re une multiplication dans Z qui est associative commutative et distributive par rapport l addition Si z Z on appelle inverse de z pour la multiplication un entier relatif z tel que zz 1 montrer que seul 1 poss de un inverse dans Z Exercice 1 2 8 Montrer que Me Dua El er si 2 2 Zi etz gt 2 alors z z n est pas forc ment sup rieur ou gal z z Comment corriger cet nonc 1 3 UN RAPIDE TOUR AU PAYS DE L ARITHM TIQUE 35 1 3 Un rapide tour au pays de l arithm tique Nous avons d sormais d fini de mani re totalement satisfaisante l ensemble des nombres relatifs L arithm tique peut alors entrer en sc ne Le coeur de ce domaine est la notion de divisibilit on dit que l entier relatif a divise l entier relatif b
87. e qu une notation sans possibilit d usage calculatoire Soient 7 et 5 deux fractions On dit qu elles sont quivalentes si ad bc La classe de 5 est alors d finie comme l ensemble de toutes les fractions quivalentes D finition 1 5 1 Un nombre rationnel est une classe de fractions quivalentes On dit alors que chaque fraction l int rieur de la classe repr sente le rationnel L ensemble form par tous les nom bres rationnels est not Q Attention une fraction n est pas un rationnel mais une facon de le repr senter comme un quo tient Chaque rationnel poss de une infinit de repr sentations diff rentes comme fraction et le rationnel est le r sultat commun de tous ces quotients phrase qui n a pas vraiment de sens pour l instant car nous n avons pas encore d fini de division En principe donc nous ne devrions pas crire lorsque nous voulons signifier que les rationnels repr sent s par ces deux fractions sont gaux L histoire a priv il gi un usage contraire consistant utiliser des expressions du type le rationnel gt plut t que le rationnel repr sent par la fraction 5 Notre objectif n tant pas de changer des habitudes bien implant es nous nous comporterons conform ment l usage mais le lecteur devra tre conscient que ce choix pr sente un risque lorsque nous tenons un raisonnement portant sur ce que nous appelerons d sormais le rat
88. e quel r el non nul condition encore une fois d tre attentif En premier lieu on sera amen consid rer les suites dont les termes sont les inverses des approximations d cimales du r el que l on souhaite inverser Il convient donc de s assurer qu elles ne pr sentent aucun risque de s annuler Par ailleurs les termes de ces suites sont des inverses de d cimaux donc en g n ral pas des d cimaux Il faut donc utilisr le Th or me g n ral 2 1 12 pour conclure leur convergence alors que nous nous tions content jusque l de la Proposition 2 1 9 Enfin la compatibilit avec l inverse des rationnels est galement plus d licate Une cons quence de l existence de l inverse est bien s r la division Exercice x 2 2 5 Donner les grandes tapes de la construction de l inverse d un r el non nul 2 3 Le corps R Les principales propri t s de l ensemble des nombres r els que nous venons de d finir sont r sum es dans les nonc s suivants dont une petite partie n cessite des preuves faciles et qui sont encore une fois laiss es au lecteur consciencieux Th or me 2 3 1 L ensemble R est un corps commutatif c est dire que 1 l addition et la multiplication sont associatives et commutatives 2 l addition poss de un l ment neutre 0 et tout l ment de R poss de un oppos 3 la multiplication poss de un l ment neutre 1 et tout l ment non nul de R poss de un in
89. e reprendre un certain nombre de connaissances connues sur les en sembles de nombres que l on rencontre le plus souvent en math matiques l exception de l ensemble des nombres complexes qui a t revu au premier semestre Nous en profiterons pour insister plus qu il n a pu etre fait dans l enseignement secondaire sur la construction et les propri t s structurelles de ces ensembles A la fin du chapitre nous serons en mesure de souligner les r elles difficult s auxquelles on doit faire face si on souhaite donner une d finition pr cise de l ensemble des nombres r els qui fera l objet du chapitre suivant 1 1 Entiers naturels L ensemble N des entiers naturels est celui des ensembles de nombres que notre cerveau humain con oit depuis le plus longtemps A l exception de quelques peuplades isol es l tout tre humain pos s de et ce tr s t t dans son existence une conscience claire de la suite num rique et des principes l mentaires du d nombrement A l oppos de cette compr hension intuitive la t che consistant d finir proprement ce Ou est l ensemble des entiers naturels est ardue et ce parce qu elle touche aux fondements des math matiques ce qui comme nous l avons entraper u au chapitre pr c dent n est pas forc ment une mince affaire Des constructions issues de la seule th orie des ensembles ont t propos es la fin du XIX si cle Nous allons en d crire rapidement une due
90. ec x comme d fini plus haut Indication on pourra commencer par montrer que pour tout n e N Taxi n ost puis en d duire les deux in galit s souhait es en utilisant les propri t s de la division euclidienne Exercice 1 6 14 Montrer a donn s x un rationnel et n N il existe effectivement un unique entier q tel que si on note x f alors Xn lt X lt Xp IF 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 45 1 6 3 Suites infinies de 9 Les consid rations du paragraphe pr c dent mettent en vidence un ph nom ne tr s important parmi les suites a ey d entiers telles que a soit un chiffre pour tout i gt 1 et p riodiques partir d un certain rang les candidates tre un d veloppement d cimal de rationnel certaines sont interdites Prenons en effet la suite on 0 et Vi gt 1 a 9 S il existe un rationnel x tel que cette suite soit le d veloppement d cimal de x c est dire s il existe un rationnel x tel que l algorithme d fini plus haut donne comme r sultat les a alors pour tout n gt 1 ao paraz 00 0 0 9 90 e et 1 1 1 nm sel ze 1 Donc 1 SC lt x lt l pour tout n N On en d duit donc que x 1 puisque 1 est le seul rationnel qui v rifie cet encadrement pour tout n s il en existait un second mettons y alors y lt 1 et la distance 1 y entre y et 1 est strictement positive donc il existe un en
91. end vers 00 Alors 1 la fonction f converge vers lorsque x tend vers 00 2 pour tout R Af converge vers A lorsque x tend vers 00 Proposition 3 3 13 Soient f et g deux fonctions v rifiant LD ler des r els et l tels que f et g convergent respectivement vers et lorsque x tend vers 00 Alors 1 la fonction f g converge vers lorsque x tend vers 00 2 la fonction fg converge vers Cl lorsque x tend vers 00 Proposition 3 3 14 Soit f une fonction v rifiant H et un r el 0 tel que f converge vers lorsque x tend vers 00 Alors 1B gt 0 tel que Yx gt B f x 0 et la fonction gt converge vers 1 lorsque x tend vers 00 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 3 3 4 Limites infinies Cette notion ne doit pas tre confondue avec la pr c dente Nous n envisa geons plus ici le cas o le domaine de d finition comprend un intervalle allant jusqu l infini mais celui o les valeurs de la fonction tendent vers l infini Pour d finir la limite il nous faut distinguer le cas o celle ci est prise en un point adh rent au domaine d d finition de celui o elle est prise en 00 auquel cas on suppose que l une des deux hypoth ses H est v rifi e D finition 3 3 15 Soit f une fonction num rique et xy un point adh rent au domaine de d fini tion D de f On dit que la fonction f tend ou diverge vers 00 lorsque x tend vers xo si
92. ens du symbole est universellement connu par exemple dans Yx R P x Une assertion qui comprend une variable non muette ou plusieurs est dite ouverte dans le cas contraire on parlera d assertion ferm e ou close Les assertions ferm es comprennent donc des sym boles ensemblistes des quantificateurs des constantes des variables muettes uniquement et des con necteurs logiques assembl s selon les r gles nonc es plus haut La plupart des assertions math ma tiques utilis es dans un cours ou un raisonnement ne se pr sentent pas naturellement sous une forme ferm e En effet il est fr quent que le sens de certaines variables ait t pr cis auparavant dans le raison nement Une phrase math matique n est en g n ral jamais isol e de son contexte et ce contexte a une influence notamment sur la r alit recouverte par les variables Les tudiants doivent donc tre extr me ment attentifs ce point lorsqu une variable apparait dans un nonc quelle est sa nature A t elle d j t rencontr e auparavant Lui a t on fix une valeur explicite ou alors l ensemble auquel elle appartient a t il t pr cis WA condition de remplacer absolument toutes les occurences de x par le nouveau symbole Ainsi on crira indiff rement Yx E P x ou Va E P a car elles sont identiques mais Yx E P y est une assertion diff rente QU EST CE QU UN TEXTE MATH MATIQU
93. ertion A ou B est vraie dans les trois cas suivants A vraie et B vraie A vraie et B fausse A fausse et B vraie Elle est fausse si et seulement si A est fausse et B est fausse Les quantificateurs sont parfois bien cach s Ainsi l nonc le nombre de vecteurs d une famille libre dans un espace vectoriel de dimension finie est inf rieur ou gal la dimension doit tre r crit comme pour tout espace vectoriel de dimension finie et pour toute famille libre de vecteurs au sein de celui ci pour faire apparaitre des quantificateurs LE VRAI ET LE FAUX 19 Comme pour le non le cas du et ne doit pas provoquer de surprise il s agit de l usage des langues naturelles Le cas du ou est d j plus d licat il s agit d un ou inclusif c est dire que l on consid re comme vraie une assertion o chacun des deux termes est vrai alors que le fran ais a souvent tendance privil gier le ou exclusif c est dire le ou bien ou bien fromage ou dessert sl L implication est le morceau d licat Pour bien comprendre la r gle la concernant il nous faut revenir au principe flou num ro 5 non existence de contrexemple Appliqu e l implication cette exigence conduit la r gle suivante Principe num ro 8 Une implication du type A B est fausse si et seulement si A est vraie et B est fausse Elle est donc vraie dans tous les autres cas Cette r gle
94. es manipuler avec aisance Par exemple l ordre des quantificateurs n est pas innocent comme le montre l exercice suivant Exercice On consid re sur l ensemble F des femmes l assertion suivante P x y x est la fille de y Formaliser avec des quantificateurs les phrases suivantes a On peut trouver deux femmes dont l une est la fille de l autre b Il y a une femme qui est la fille de toutes les autres c Toute femme a au moins une fille d On peut trouver une femme m re de toutes les autres e Toute femme a une m re Toute femme est fille de toute femme Dans les assertions Yx E P x ou Jx E tel que Q x la variable x jouit d un statut particulier celle ci est en effet dite variable muette car on pourrait remplacer toutes ses occurrences par un autre symbole par exemple y z mais aussi ou pourquoi pas sans changer la nature de l assertion Ainsi dans l assertion Yx Ry x gt 0 la variable x est muette et l assertion est la m me que Va R a gt 0 En revanche on voit bien que les assertions Yx gt a x gt 0 et Yx gt B x gt 0 sont diff rentes L ensemble des valeurs possibles d une variable x peut tre lui m me une variable muette dans certains cas si elle est elle m me soumise un quantificateur ou non ainsi dans nos exemples ci dessus le symbole E d signe une variable non muette ou une constante si le s
95. et aussi des d veloppements impropres qui se terminent par une suite infinie de 9 et qui sont donc de moindre int r t Les rationnels non d cimaux par exemple D ne poss dent qu un seul d veloppement d cimal qui est le d veloppement propre La seconde restriction est plus int ressante en effet la partie Pper form e des d veloppements d ci maux propres et p riodiques partir d un certain rang ne repr sente qu une toute petite partie de l ensem ble P des d veloppements d cimaux propres Mais quel sens donner tous les d veloppement d cimaux propres p riodiques ou non La r ponse est simple il s agit des nombres r els D finition 2 1 1 L ensemble P des d veloppements d cimaux propres est d sormais appel en semble des nombres r els et not d sormais R Un r el est donc donn par une suite a en telle que ao Z a est un chiffre pour tout i gt 1 et la suite ne se termine pas par une suite infinie de 9 c est dire que pour tout n N il existe p gt n tel que a 9 Un tel r el x peut donc s crire x ay 0 ajaa3 bien noter qu il n y a plus de p riodicit ici donc plus de barre de soulignement Nous avons donc retrouv l les nombres r els na fs c est dire ceux donn s par une criture avec des chiffres apr s la virgule La seule subtilit est que nous devons comme nous l avons d j vu nous interdire toute criture qui ne
96. eut construire une suite x en d lements du domaine de d finition de f et tendant vers xy telle que f x en ne tende pas vers En d duire que si pour toute suite x en d l ments du domaine de d finition de f et tendant vers xy on a lim f xn alors f tend vers lorsque x tend vers xo Exercice 3 3 26 Soit A une partie de R et x un point de R adh rent A et qui n est pas de A Montrer que tout intervalle ouvert contenant x contient une infinit de points de A En d duire qu il existe une suite de points de convergente vers x Exercice 3 3 27 Essayer de prouver toutes les limites n cessaires pour justifier le tableau donnant les d riv es des fonctions usuelles du polycopi du premier semestre Exercice x 3 3 28 Soit f une fonction un r el adh rent son domaine de d finition et L un autre r el On suppose que pour toute suite Dis Jaen telle que lim un on a lim 00 f un L Montrer alors que lim _ e f x L 3 4 FONCTIONS CONTINUES 73 3 4 Fonctions continues 3 4 1 Continuit en un point Ayant en main une d finition correcte de la limite d une fonction en un point nous pouvons maintenant produire une d finition rigoureuse de la continuit Au premier semestre nous avons crit qu une fonction f R R tait continue en un point x de domaine de d finition si la limite en vu de la fonction existe et vaut f x0 Le lecteur attentif notera qu en r
97. finis ne rec le pas de myst res m me si calculer le cardinal d un ensemble donn n est pas forc ment facile Nous dirons bien s r qu un ensemble est fini si et seulement s il n est pas infini Parmi les ensembles infinis ceux qui sont en bijection avec N m ritent un nom particulier D finition 1 4 5 Un ensemble qui a le m me cardinal que N est dit d nombrable Les ensembles d nombrables sont ceux dont on peut lister les l ments en affectant chacun un num ro un entier naturel ou encore les ranger dans une suite Comme le montre l exercice 1 4 13 ci dessous il existe des ensembles notablement plus gros que N c est dire infinis mais qui ne sont pas en bijection avec les entiers naturels L ensemble des parties de N est un exemple d un tel ensemble On ne peut donc pas num rer un un ses l ments Cette d couverte surprenante pour l intuition est d e au math maticien allemand Georg Cantor en 1874 mais a mis du temps s implanter solidement parmi les math maticiens en commen ant par son auteur lui m me Un corollaire de la d couverte de Cantor est donc qu il existe plusieurs sortes d ensembles infinis les ensembles d nombrables en tant les plus simples Nous montrerons plus loin dans ce cours que l ensemble des parties de N est en bijection avec R R est donc sensiblement plus grand que N De la m me fa on les parties de R forment un ensemble plus gros que R Un probl me
98. fois possible de con clure C est le cas en particulier si le num rateur tend vers x gt O et si le d nominateur tend vers O par valeur strictement positives on dit qu une fonction f tend vers O par valeurs strictement positives si sa limite est O et la fonction reste strictemen positive sur tout un intervalle ouvert autour du point o la limite est prise Dans ce cas on peut conclure que la limite du quotient vaut 00 un r sultat similaire est obtenu si f tend vers O par valeurs strictement n gatives on obtient alors co De fa on tout fait similaire ce qui a t nonc pr c demment on obtient une propri t de com position des limites de fonctions qui s tend la fois aux cas o les limites sont infinies et au cas o elles sont prises en linfini les parties de la preuve qui n ont pas t faites lors de l tude du Th or me 3 3 8 sont laiss es en exercice Th or me 3 3 18 Soient f et g deux fonctions et a RU 00 si a est fini on suppose que a est un point adh rent au domaine de d finition de g o f et si a est infini on suppose que H est v rifi e Si lim f x 0 amp E L o f LeRU ou g v rifie H si est infini alors lim gt 342g o f x L 3 3 6 Limites de fonctions et in galit s Nous non ons maintenant les trois r sultats analogues ceux d j not s pour les suites dont nous laissons les d monstrations en exercice Dans tout ce para gra
99. formations sur les termes de la suite Nous montrons maintenant comment une information sur les termes de la suite implique un contr le de la limite Proposition 3 1 12 Soit un nen une suite convergente de limite et soita R Si un gt a pour tout n E N alors gt a D monstration Par l absurde supposons que lt a On consid re alors une nouvelle suite d finie par vn a u pour tout n N Elle converge vers a qui est donc strictement positif On peut alors appliquer la proposition pr c dente qui affirme l existence d un entier ny tel que pour tout n gt n Vn gt 0 c est dire u lt a Contradiction o Remarque 3 1 13 Cet nonc appelle plusieurs remarques En premier lieu si l hypoth se est ren forc e en u gt a pour tout n N la conclusion n est pas renforc e pour autant on ne peut pas obtenir mieux que gt a Autrement dit une in galit stricte sur les termes de la suite se transforme touijours en une in galit large la limite En guise de contre exemple le lecteur m ditera le cas de la suite d finie par un pour tout n N En deuxi me lieu il n est pas n cessaire que un gt a pour tout n N en r alit exercice il suffit qu il existe un N N tel que un gt a pour tout n gt N Enfin comme pr c demment un r sultat similaire est obtenu si l hypoth se est de la forme ue lt b en renversant le sens de
100. h matiques contiennent de nombreuses constantes comme les diff rents chiffres les nombres x ou e etc La cinqui me assertion contient l expression si alors autrement dit une implication outil logique d usage essentiel en math matiques La derni re assertion est la plus complexe elle contient non seulement une implication en fait plusieurs mais aussi une n gation et un mot comme et L im plication la n gation etc sont des connecteurs logiques qui servent fabriquer de nouvelles assertions partir d anciennes On peut par exemple d couper l assertion f en sous unit s lementaires qui sont elles m mes des assertions en notant P l hypoth se de Riemann g n ralis e O la conjecture faible de Goldbach R l hypoth se de Lindel f et S la conjecture abc Elle devient alors P entra ne O et R mais P ne prouve pas S ou encore en utilisant un langage plus usuel en math matiques P implique Q et R et P n implique pas S D finir pr cis ment ce Ou est une unit de base d une assertion est une t che plus d licate comme on l a vu les assertions sont compos es de sous unit s qui sont elles m mes des assertions et 2 e H P P H Dans un cours de math matiques on rencontrera quelquefois des nonc s admis mais ils sont rares et par principe la d monstration existe et est accessible au prix d un peu d efforts par exemple la lecture d une p
101. i et on voit que cette d finition ne d pend pas du repr sentant choisi exercice quel r le joue ici le d nominateur positif De la m me fa on que pr c demment on d cide que tant donn s deux rationnels r et r on ar gt r si et seulement si r r est positif Th or me 1 5 4 L ordre des lements de l ensemble des nombres rationnels Q v rifie Yir r Q4 r r gt 0etrr gt 0 De plus Q est un corps archim dien c est dire que V r r Q4 In N tel que nr gt r Par nature on a toujours b 0 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 40 D monstration La premi re partie ne pr sente aucune difficult et est laiss e au lecteur Pour le caract re archim dien on prend deux fractions et g repr sentant r et r et d nominateurs strictement positifs Alors a et a sont strictement positifs et quitte changer de repr sentants on peut supposer que b b Il suffit alors de trouver un n dans N tel que na gt a ce que nous savons vrai dans N par exemple en remarquant que l ensemble des entiers de la forme na est infini tandis que celui des entiers inf rieurs strictement a ne l est pas O Nous avons donc d fini de mani re totalement satisfaisante l ensemble des nombres rationnels A partir de maintenant nous nous en servirons comme l habitude et sans nous poser plus de questions Exercices Exercice 1 5 5 Soit r et s deux
102. ier naturel r une famille finie p1 p de nombres premiers une famille a d entiers naturels non nuls et un entier e 1 1 tels que a ep py De plus cette criture est unique Lemme 1 3 5 Euclide Soit p un nombre premier et a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux Si p divise ab alors soit p divise a soit p divise b Exercice 1 3 6 N B les divisions dont il est question ici sont des divisions euclidiennes a On divise un entier par 15 le reste est 3 quel peut tre le reste de la division par 5 M me question si le reste est 13 b On divise un entier par 5 le reste est 3 quel peut tre le reste de la division par 15 G Le lecteur curieux remarquera que le passage des entiers naturels aux entiers relatifs ne pr sente pas de r elle difficult nous ne retrouvons pas ici les probl mes de d finition que nous avons mentionn titre culturel pour les entiers naturels Si l on accepte l existence des entiers naturels les entiers relatifs n ont que peu de myst res 1 4 ENTRE LE FINI ET L INFINI 36 1 4 Entre le fini et l infini La d finition des nombres entiers permet de donner un sens au d nombrement des ensembles L id e fondamentale est la suivante D finition 1 4 1 On dit que deux ensembles E et E ont le m me cardinal on dit aussi aussi qu ils sont quipotents si et seulement si il existe une bijection de E sur F On dira galement que E a
103. imm diate L int r t de cette d finition est de traiter dans un m me cadre les limites de f en les points qui sont dans son domaine de d finition et en des points qui ne sont pas dans le domaine de d finition mais qui y sont adh rents L exemple typique de cette derni re situation est le cas o le domaine de d finition est un intervalle ouvert une de ses extr mit s et o l on veut tudier la limite de la fonction en cette extr mit D finition 3 3 2 Soit f une fonction num rique xp un point adh rent au domaine de d finition D de f et un r el On dit que la fonction f converge vers lorsque x tend vers xo si Ve gt 0 gt 0 tel que Ve Dix 00 01 ha ee On note alors lim f x X gt Xo Autrement dit f converge vers lorsque x tend vers xp si chaque fois que l on choisit une bande ouverte de valeurs autour de ou encore un invtervalle de la forme e el il existe un intervalle ouvert autour de xy dont l image par la fonction f est l int rieur de la bande J e el Il est important de comprendre ce qui signifie ne pas converger vers Formellement cela s crit ale gt Del que Yo 0 me D A0 0 0 ol elque CEE Autrement dit il existe une distance e gt O telle que aussi pr s que l on se situe de xp il y a des points qui sont envoy s par f en dehors de la bande f e el 1 Exemple La fonction f R R d finie par f x sin
104. insi naissance un r el x qui sera leur limite commune ce ph nom ne tait vident dans le cas pr c dent o nous savions que les deux suites taient les approximations par d faut et par exc s d un r el d j connu Subtilit suppl mentaire nous verrons dans la suite de la preuve qu en r alit seul la suite sup rieure y ex conduit un d veloppement propre donc un r el il nous faut donc d montrer que l autre suite donne naissance un d veloppement qui est soit propre et gal au pr c dent soit impropre mais galement reli au pr c dent D monstration pr cise Nous commen ons par noter pour tout n N aien et bien les chiffres du d veloppement d cimal des r el x et y Etape 1 On prouve que pour tout N il existe un entier N tel que pour tout n plus grand que N a e et pa pon autrement dit le me chiffre de chaque d veloppement est constant apr s le rang N rang qui d pend videmment de la place i du chiffre choisi Pour cela fixons un N et notons ge l approximation par d faut 107 pr s de dl autrement dit ay 0 da po 1 1 d A n d n d det et nous faisons de m me pour y ce qu donne naissance une suite H approximations par d faut des y Alors 107 E 10ix pour tout n ici E d signe la partie enti re et de m me pour s La croissance de la fonction partie enti re la mono
105. ionnel 5 et que nous d rivons des conclusions partir des valeurs de a et b l usage tend nous faire oublier que l criture n est qu une des repr sentations possibles du rationnel et donc qu il nous faut v rifier soigneusement que les r sultats obtenus sont bien ind pendants du choix de ce repr sentant Le monde n tant pas compl tement mauvais il existe n namoins un repr sentant privil gi de chaque rationnel non nul le rationnel nul que nous noterons videmment 0 est la classe form e de toutes les fractions du type avec q Z Lemme 1 5 2 Soit r un rationnel non nul Alors il existe une unique fraction a repr sentant r telle que p Z q EN et p et q soient premiers entre eux Une telle fraction est dite irr ductible Lorsque le d nominateur de la fraction irr ductible repr sentant notre rationnel est gal 1 nous retrouvons bien videmment les entiers relatifs que nous noterons comme d habitude c est dire sans l aide d une fraction de d nominateur gal 1 1 5 2 Les op rations Les fractions irr ductibles ne rendent malheureusement pas autant de ser vices que le lecteur pourrait croire S il accepte pendant quelques instants de faire comme si nous avions d j d fini l addition des rationnels le lecteur se convaincra ais ment que l addition de deux rationnels donn s sous forme irr ductible ne donnera pas toujours naissance une fraction irr duc
106. ir en chasse de tous les l ments qui permettent de s assurer qu on peut sans danger lui attribuer une valeur de v rit Remarque Il se peut que l on soit incapable de d cider de la valeur de v rit d une assertion m me ferm e faute par exemple d informations compl mentaires ou d incapacit faire la preuve de la v racit ou de la fausset de la dite assertion Ce fait ne remet pas en cause notre principe Il nous faut maintenant expliquer comment partir des valeurs de v rit d assertions l mentaires suppos es connues on peut en d duire la valeur de v rit d assertions compos es l aide des con necteurs logiques Le cas de la n gation est le plus simple Principe num ro 2 La n gation d une assertion est vraie exactement lorsque l assertion d origine est fausse elle est fausse exactement lorsque l assertion d origine est vraie LE VRAI ET LE FAUX 18 La n gation d une assertion quantifi e est une source in puisable de difficult s Appliquons la r gle que nous venons de d finir l assertion Yx E P x elle est fausse si et seulement s il existe un l ment x de l ensemble E pour lequel l assertion P x n est pas v rifi e Inversement dire qu elle est vraie signifie qu on ne pourra jamais trouver un tel x En r sum Principe num ro 3 La n gation de Wx E P x est x E tel que non P x Principe num ro 4 La
107. le domaine de d finition de f sinon la borne sup rieure de J risquerait d tre en dehors du domaine de d finition De plus il faut que f soit continue sur tout a b car nous ne savons pas d embl e o se situe cette borne sup rieure et il est imp ratif que f soit continue en ce point 3 4 4 D rivabilit entra ne continuit R sultat d apparence simple mais incompr hensible sans une clarification de la notion de limite Th or me 3 4 8 Soit f une fonction d rivable en un point x Alors f est continue en x D monstration On note d abord qu il existe gt O tel que pour tout A lt et non nul h SEDO rejea soit encore pour tout Il lt FG h FON lt AF O 1 Al Il est facile de conclure que f est continue en x partir d ici O 3 4 FONCTIONS CONTINUES 75 3 4 5 D riv e d une compos e Une fois encore bien comprendre la notion de limite est imp ratif pour d montrer cette formule Proposition 3 4 9 Soient f et g deux fonctions de R dans R On suppose que f est d rivable en x et que g est d rivable en f x Alors g o f est d rivable en x et sa d riv e vaut go FPO FO D monstration Il nous faut d montrer que la quantit arnes od tend vers f x g f x lorsque h tend vers 0 Nous commen ons par traiter le cas o la d riv e de g en f x s annule c est dire que S UO 0 Soit e gt 0 Pour touth R on a g f x h
108. les triangulaires comme ceci lt Un dernier point comme tout polycopi ce document est perfectible Il est encore en cours d lab oration et son contenu est donc destin voluer non seulement au cours des ann es et des enseignants qui assureront la responsabilit de UE mais m me au cours de ce semestre N h sitez pas faire part de vos remarques marc herzlich O math univ montp2 fr pour signaler une erreur poser une question soumettre une suggestion ou pour tout commentaire CHAPITRE 0 PR LIMINAIRES De la rigueur en math matiques L un des aspects les plus nouveaux du moins pour beaucoup d tudiants de cet enseignement Con cepts fondamentaux en analyse est l attention port e la rigueur des raisonnements Il est donc utile sinon n cessaire de faire une description concise de la forme attendue pour un texte math matique et de l usage de la logique qui pr vaut dans cette discipline Tout comme l apprentissage de la parole par les enfants proc de par imitation de leurs a n s sans qu il soit n cessaire de leur expliquer les structures du langage l apprentissage des math matiques se fait au d part sans que soit n cessairement tudi es les r gles de raisonnement logique qui les sous tendent Il arrive n anmoins un moment o cette derni re tude devient indispensable en premier lieu parce que les objets du discours math matique se sont au cours de l histoire progressivement
109. lles fournit un outil essentiel pour P analyse Ce n est en effet que dans R que les techniques classiques de l analyse parmi lesquelles l tude des limites donc toutes les consid rations d coulant de celles ci comme la continuit la d rivabilit etc peuvent fonctionner Nous verrons de multiples exemples de ce ph nom ne par la suite parmi lesquels on peut d j citer le th or me des valeurs interm diaires ou le th or me des accroissements finis Exercices Exercice 2 3 5 Montrer qu il est impossible qu il existe un l ment x de Q tel que x 2 cet exercice est la formulation correcte de la propri t V2 n est pas rationnel Exercice 2 3 6 M me exercice avec yp pour p un entier premier Pourquoi ne peut on pas g n raliser yn avec n entier arbitraire Exercice 2 3 7 On rappelle que R Q est l ensemble des nombres irrationnels Montrer que R Q est dense dans R cf la Proposition 2 1 2 pour la d finition de dense utilis e ici Exercice 2 3 8 Montrer que l ensemble des nombres rationnels de la forme est dense dans R Exercice 2 3 9 Soit p N p gt 2 On d finit les suites u Disk et v Va n gt 1 Par 8 1 1 S 1 A EA et Ke er Montrer que les suites u et v sont adjacentes Exercice x 2 3 10 Montrer que R n est pas d nombrable Indication on pourra raisonner par l absurde et supposer que R est d nombrable donc ranger ses l ment
110. lt Une fois cette tape acquise nous obtenons le r sultat qui pilote le comportement des couples de suites adjacentes de rationnels et non plus de d cimaux dans R Th or me 2 1 12 Soient x nex et 0 res deux suites de rationnels formant un couple de suites adjacentes Alors il existe un r el x tel que les deux suites convergent vers x 2 2 OP RATIONS 53 Esquisse de d monstration Nous d finissons deux nouvelles suites par un Die et Vn ym autrement dit u est l approximation d cimale par d faut de x 107 pr s et v est l approximation d cimale par exc s de y 107 pr s attention la co ncidence entre le n en indice et en exposant pour chaque terme de la suite on gagne une puissance de 10 dans la qualit de l approximation On peut assez facilement montrer qu elles forment un couple de suites adjacentes attention les propri t s de monotonie dans la d finition des suites adjacentes ne sont pas si videntes d montrer D apr s le r sultat pr c dent comme ces deux suites Uun neN et Vn nen Sont form es de d cimaux elles convergent vers un r el que nous noterons d sormais Par ailleurs en utilisant des raisonnements analogues ceux indiqu s plus haut cf Exercice 2 1 5 cette convergence implique celle de 1 rey et OM new puisque ces deux derni res suites diff rent des pr c dentes de au plus 107 O 2 2 Op rations Nous appliquons maintenant
111. ment dit V R Je gt 0 tel que YN N Jn gt N tel que lu gt Il existe de multiples fa ons pour une suite de diverger D finition 3 1 4 On dit qu une suite tend ou diverge vers 00 resp diverge vers co si VA gt 0 IN eN tel que Yn gt N u gt A resp VA gt 0 IN N tel que Yn gt N un lt A Attention une fois encore au vocabulaire diverger et diverger vers 00 sont deux choses diff rentes Une suite qui diverge vers c est une suite divergente mais une suite divergente peut tr s bien ne pas diverger vers oo 3 1 LIMITES DE SUITES 58 3 1 2 Op rations sur les limites de suites Les propri t s suivantes sont bien connues mais leur preuve n cessite d utiliser la d finition pr cise de la convergence Proposition 3 1 5 Soit Un nen une suite convergente vers un r el Alors 1 la suite u l 1e converge vers Wl 2 pour tout A R Aun nen converge vers Af Proposition 3 1 6 Soient Un nex et Vn nen des suites convergentes respectivement vers des r els et l Alors 1 la suite Un Vn nen converge vers 2 la suite UnVn nen converge vers Cl Proposition 3 1 7 Soit Un nex une suite convergente vers un r el 0 Alors il existe un entier sa 1 N tel que Yn gt N u 0 et la suite E converge vers 5 Remarque 3 1 8 Il est important de noter dans la derni re propri t qu il n y a aucune raison pou
112. n importe quel autre symbole par exemple y Notre raisonnement est donc identique on sait que Yy R y gt 0 donc x gt 1 car 0 gt 1 o la variable x restante n est pas muette et nous n avons pas pr alablement attribu de sens cette notation On ne peut donc pas attribuer de valeur claire de v rit notre raisonnement car il ne pr csie pas o vit x et sans pr cisions on pourrait tr s bien imaginer par exemple que x 2i Pour obtenir un raisonnement acceptable il faut crire 2 on sait que Yy R y gt 0 prenons un r el x alors x gt 1 car 0 gt 1 Ces m mes remarques valent pour le quantificateur existentiel si l on suit de mani re tr s rigoureuse les r gles de la logique affirmer que l assertion Jx E tel que Q x est vraie ne signifie pas non plus que l on dispose d sormais d un l ment x de E qui v rifie O x et comme pr c demment il faudrait en toute rigueur crire Jx E tel que Q x soit un tel x alors x est Dans la pratique le lecteur prendra garde au fait qu on ne respecte en g n ral pas cette contrainte il est n anmoins bon de la garder en m moire ne serait ce que pour bien distinguer les notations qui d signent des objets d finis de mani re pr cise intangibles donc des variables muettes qui peuvent donc tre librement modifi es lt On crira donc souvent Ax E tel que Q x alors x est
113. nctions et in galit s 71 EXEC ii A A dune des uma 72 3 4 Fonctions continues eee 73 3 4 1 Continuit en un point 44 73 3 4 2 Continuit sur un ensemble 74 3 4 3 Valeurs imt rm diaires a ANERE aie 74 3 4 4 D rivabilit entra ne continuit 74 3 4 5 D riv e d un COMPOS eg DEIER dE TEE a ER 75 Exercises ace 75 4 Suites de Cauchy et suites extraites 77 4 1 Suites de Cath EE 77 LS EE 79 4 2 Suites CXITAITES oir RI a dd EE decias 80 42 1 D finitions ota ii A a 80 4 2 2 COMPACIT eiii e a A a AR 81 4 2 3 Application preuve de l existence des extr ma 82 IS ee fee ete 83 4 3 tE Stale Sona e aie a a Da eu 84 4 3 1 Fonctions uniform ment continues fonctions lipschitziennes 84 4 3 2 Initiation a IMAN ia canards due dau 85 ER ee 87 AVERTISSEMENT Ce texte est un polycopi d accompagnement de l Unit d Enseignement UE Concepts fonda mentaux en analyse semestre 2 du portail MIPS de la premi re ann e de Licence de la Facult des Sciences de Montpellier et doit tre compris comme la seconde partie d un enseignement d analyse couvrant les deux semestre
114. nfinit de termes de la suite on pose alors p n 1 m Comme pr c demment les suites ap pen et bp pen des extr mit s des segments ap bp for ment un couple de suites adjacentes Il existe donc une limite commune f Soit maintenant e gt 0 Il existe donc un entier N tel que pour tout n gt N Zeen e Das LE ce qui implique n cessairement E EK lt Uyn lt E E prouvant donc la convergence de la sous suite vers O 4 2 3 Application preuve de l existence des extr ma Commen ons par rappeler que pour toute fonction f sup f d signe la borne sup rieure de l ensemble des valeurs prises par f sur A i e A sup f sup ze R 1xe A tel que z x A Cette notion n a videmment de sens que si f est major e sur et que contient des points du domaine de d finition de f On d finit de m me la borne inf rieure L nonc suivant est alors bien connu Th or me 4 2 6 Soit f une fonction continue sur un intervalle a b Alors f est born e et il existe deux points c et d de a b tels que fc sup f f d n a b D monstration Il suffit de montrer que f est major e et que la borne sup rieure de l ensemble de ses valeurs est atteinte Par l absurde supposons f non major e il existe donc une suite Xn nen de points de a b telle que f xXn nen tende vers 00 montrez le Mais cette suite est born e donc il en existe une sous suite convergente vers un poi
115. nm 2 ai DS for 3 On en d duit que 5 converge vers 1 Le cas g n ral en d coule facilement O On peut de plus tudier les limites de compos es de fonctions Rappelons que le domaine de d fini tion naturel d une compos e g o f de deux fonctions f et g est l ensemble Doof x Df f x Do On commence par d montrer un r sultat pr liminaire qui permet de consid rer sans danger des compo sitions de limites Lemme 3 3 7 Soient f et g deux fonctions et xy un point adh rent au domaine de d finition Dr de go f Si de plus f tend vers lorsque x tend vers xp alors est adh rent au domaine de d finition de g Ce lemme permet de s assurer qu tudier la limite de g lorsque y tend vers est un probl me qui a un sens se souvenir que l on ne peut prendre de limites qu en des points adh rents au domaine de d finition de la fonction consid r e D monstration Soit e gt 0 Alors comme f converge vers quand x tend vers xp il existe gt O tel que pour tout x DN xo 6 xo f x lt e Par ailleurs xp est adh rent au domaine de d finition de go f il existe donc x dans Dgo y tel que x1 xo lt Comme Dar Dr on a x1 DyN xo 6 xo 6 et donc f x1 lt e Nous avons donc trouv un l ment y de D cet l ment est y f x1 tel que ly lt e Ceci tant vrai pour tout e gt 0 on en d duit que est adh rent D o
116. notre programme afin de d finir l addition Soient donc deux r els x et y et nous notons X nen gt Xen gt Onnen et O Jney leurs suites respectives d approximations d cimales par d faut et par exc s On en d duit que x Yn nen et UD EM nen forment un couple de suites adjacentes en vertu du lemme suivant dont la preuve est laiss e au lecteur Lemme 2 2 1 Si uy neN et Vn nen forment un couple de suites adjacentes de rationnels resp de d cimaux et Wn neN et Ui luet en forment un autre alors Un Wn neN et Vn tn nen forment leur tour un couple de suites adjacentes de rationnels resp de d cimaux Cela conduit imm diatement la d finition de l addition D finition 2 2 2 La limite commune des suites Xn Yn nen et x Melen est appel e r sultat de l addition de x et de y Elle est not e x y Afin de s assurer que cette construction a un sens il ne nous reste plus qu s assurer que lorsque Pon consid re des rationnels o l addition est d j connue nous n obtenons pas un r sultat aberrant De fait le r sultat de l Exercice 2 1 6 garantit ce point On peut construire de la m me mani re l oppos de n importe quel r el Si x est un r el et Xn neN et x nen sont ses suites d approximations d cimales par d faut et par exc s alors les suites Luet et Xn nen prises dans cet ordre forment nouveau un couple de suites adjacentes attention il n y a a
117. nstructions classiques de R toutes quivalentes mais dont chacune met en vidence l ensemble des nombres r els comme un ensemble poss dant une de ces trois propri t s Nous avons fait le choix dans le chapitre pr c dent de d crire celle conduisant la premi re via les d veloppements d cimaux illimit s Celles conduisant aux deuxi mes et troisi mes caract risations sont historiquement les plus importantes celle associ e la deuxi me propri t s appelle consruction par les coupures et est due au math maticien allemand Richard Dedekind en 1872 Celle conduisant la troisi me propri t est peut tre la plus riche du point de vue de sa descendance math matique elle permet en effet partir de n importe quel ensemble raisonnable dans lequel certaines suites de Cauchy n ont pas de limite d en fabriquer un compl t c est dire un espace plus gros mais dans lequel toutes les suites de Cauchy trouvent une limite L histoire de cette derni re construction est plus complexe elle trouve son origine dans les travaux d Augustin Louis Cauchy vers 1821 mais n a t formalis e rigoureusement que par Charles Meray vers 1869 et ind pendamment par Georg Cantor que nous retrouvons pour la troisi me fois en 1872 lt Exercices Exercice 4 1 5 Soit q gt 1 etu 1 A KE 8 pour tout n N Montrer que cette suite est de Cauchy Quel r sultat bien connu retrouve t on ainsi Exercice 4
118. nt croissante alors p n gt n pour tout n N D monstration du lemme On raisonne par r currence D j ei gt 0 De plus si p n gt n alors n 1 gt y n gt n done p n 1 gt n 1 o Fin de la d monstration de la propri t 4 2 2 Appliquons le lemme pour tout n gt N y n gt N et donc vn l ierg l lt e aA 4 2 SUITES EXTRAITES 81 Cette preuve montre nouveau que la suite d finie par un 1 pour tout n entier ne peut pas converger En effet si elle convergeait la suite extraite u2n nen et la suite un nen auraient la m me limite c est dire 1 tandis que la suite extraite 42541 nen et Un nen auraient la m me limite donc 1 Contradiction 4 2 2 Compacit S agissant des suites extraites le th or me fondamental est le suivant Th or me 4 2 4 Soit a b un segment intervalle ferm born et soit Un nen une suite dont tous les termes sont dans a b Alors il existe une sous suite qui converge et la limite est dans a b Remarque 4 2 5 1 Attention le th or me affirme l existence d une sous suite convergente mais il ne donne aucune indication sur la nature de cette sous suite et sur les moyens de la trouver Il ne dit galement rien sur le comportement de la suite 4 en tout enti re 2 Par ailleurs il est fondamental que tous les termes de la suite restent dans un intervalle born A titre d exemple consid rons l intervalle
119. nt pas E on note x E L ensemble vide est un ensemble qui n a aucun l ment il est not Lorsqu un ensemble F est contenu dans un ensemble E on note F C E Les notations et C tout comme le vocabulaire associ ne doivent pas tre confondues Un ensemble qui est contenu dans un autre ensemble est souvent appel partie de ce dernier ensem ble L ensemble des parties d un ensemble est un ensemble not P E On remarquera que l ensemble vide est contenu dans n importe quel ensemble donc P E pour tout ensemble E Pour d finir un ensemble on peut soit donner la liste de ses l ments encadr e par des accolades on dit que l ensemble est d fini en extension par exemple E 1 3 6 98 x e 27 soit le d finir par une propri t caract ristique auquel cas on dira qu il est d fini en compr hension La notation usuelle est F x El POJ o P x est une assertion math matique portant sur une variable x L ensemble F d crit de cette fa on est alors compos exactement des l ments x de E qui v rifient la propri t P x Il est important de noter qu un ensemble d crit en compr hension toujours d fini comme une partie d un ensemble d j connu Ainsi il peut arriver que des l ments d un troisi me ensemble G v rifient la propri t P x mais si ceux ci ne sont pas par ailleurs des l ments de E alors ils ne sont pas dans F Exemple Soit F x R4
120. nt x de a b car a lt f xn lt b pour tout n Par continuit les valeurs de f en les points de la sous suite doivent n cessairement tendre vers f c ce qui contredit le fait que f xn nen tend vers 00 La fonction f est donc major e De la caract risation de la borne sup rieure on d duit de nouveau l existence d une suite Xn neN de points de a b telle que f xn nen tende vers sup y f Mais comme l instant il en existe une sous suite convergente vers un point c de a b et par continuit on doit avoir f c sup p f O Remarque 4 2 7 Rappelons que le contenu du th or me est double en premier lieu il assure que la fonction est born e et en second lieu qu il existe effectivement des points o le maximum et le minimum de la fonction sont atteints Le fait que l intervalle consid r soit ferm born est essentiel le caract re born sert extraire une sous suite convergente dont la limite existe donc et doit tre dans l intervalle d o l importance qu il contienne ses bornes 4 2 SUITES EXTRAITES 83 Lorsque la fonction est continue sur un intervalle ferm born comme dans le th or me pr c dent on trouve parfois les notations max f min Ze SE pour d signer les bornes sup rieures et inf rieures des valeurs prises par f ce qui permet d insister sur le fait que chacune de ces bornes est effectivement atteinte et constitue donc le plus grand plus petit l
121. nte n e 2n Par la suite lorsque nous parlerons d une suite extraite nous ne donnerons pas obligatoirement un nouveau nom la suite extraite et n expliciterons pas n cessairement l application y Le cas le plus fr quent est videmment celui o cette derni re est vidente comme c est le cas dans l exemple pr c dent on se contente alors d crire la suite sous la forme 2 luet plut t que de pr ciser qu il s agit d une nouvelle suite v en et que celle ci est d finie par vn uzn pour tout n Il s agit d un abus de notation et il faut garder en m moire que la suite extraite est une nouvelle suite qui se d duit de la premi re et qui devrait donc h riter d une nouvelle notation Une autre notation couramment rencontr e est la suivante l application p k w k est elle m me interpr t e comme une suite it Iren d finie par ngk k YkeN ce qui conduit donc noter la suite extraite Uy ren Proposition 4 2 2 Soit Un new une Suite convergente Alors toute suite extraite de celle ci converge vers la m me limite D monstration Soit Un ney une suite convergente vers gy une application strictement croissante de N dans N et vn nen la sous suite associ e d finie par v Mea pour tout n Soit de plus e gt 0 Alors il existe un entier N tel que pour tout n gt N u lt e Par ailleurs on dispose du lemme suivant Lemme 4 2 3 Sig N gt N est stricteme
122. ntier p gt 1 t q pour tout entier n Un p Un Exercice 3 1 21 On dit qu une partie A de R est dense dans R si Vx R Ve gt 0 Ja A tel que lx al lt e Montrer que si A est dense dans R alors pour tout x R il existe une suite d l ments de A convergente vers x Exercice 3 1 22 En utilisant la construction de R donn e au chapitre pr c dent montrer que Q est dense dans R et que R Q est aussi dense dans R Exercice 3 1 23 Montrer que les deux propri t s suivantes sont quivalentes 1 Ye gt 0 IN E N tel que Yn gt N lu lt 11 Ye gt 0 IN EN tel que Yn gt N Ju lt e Autrement dit on peut utiliser tout aussi bien ii pour d finir le fait qu une suite converge vers Montrer en revanche qu elles ne sont pas quivalentes 111 Ve gt 0 IN EN tel que Yn gt N lu lt e Exercice 3 1 24 Soit a Ri Montrer que les deux propri t s suivantes sont quivalentes G Ve gt 0 IN E N tel que Yn gt N lu lt ii Ye gt 0 AN N tel que Yn gt N lu lt 2e 111 Ye gt 0 IN EN tel que Yn gt N lu lt ae Exercice 3 1 25 Soit P e une assertion dans laquelle apparait une variable non muette r elle e Montrer que les deux propri t s suivantes sont quivalentes 1 Ye gt 0 P e et ii Ye gt 0 PQe Exercice 3 1 26 Soit un nen la suite d finie par uo 1 et un
123. oissante de r els positifs tels que la suite d finie par Sn D uz pour tout n N converge a En utilisant le fait que S n nen est une suite de Cauchy montrer que pour tout e gt 0 il existe N N tel que pour tout p N O lt p 1 uy p lt b En d duire que la suite nun nen tend vers 0 4 2 SUITES EXTRAITES 80 4 2 Suites extraites Consid rons quelques instants la suite d finie par un 1 pour tout n entier Nous savons qu elle est divergente mais tout lecteur moyennement observateur aura remarqu que l on a uzn 1 et uns 1 pour tout n On trouve donc l int rieur de cette suite deux autres suites qui elles sont convergentes vers deux limites diff rentes d ailleurs Il peut donc tre int ressant lorsque l on se trouve confront une suite d tre capable d extraire une suite d une autre afin de mieux en tudier les propri t s Le but de ce paragraphe est de donner un sens solide cette id e 4 2 1 D finitions Soit te keen une suite num rique et y N N une application strictement croissante D finition 4 2 1 La suite extraite ou sous suite associ e la donn e de y est la suite d finie par Vn Uyn Vn EN Exemple Pour une suite un nen la suite u2n nen est une suite extraite Il s agit en effet de la suite d finie par v 42 pour tout n soit encore la suite extraite associ e l application strictement croissa
124. ommune propri t caract ristique de R Il reste montrer que est un majorant de A et que c est le plus petit des majorants De fait soit d abord a A Alors y lt a pour tout n N car ce sont des majorants donc gt a passage la limite d une in galit ce qui indique exactement que est un majorant de A Soit maintenant b un majorant de A Alors x lt b pour tout n N donc lt b Donc il existe un plus petit l ment de l ensemble des majorants de A qui est pr cis ment O Exemple On tudie A i n N Alors A est non vide et born e major e et minor e Elle admet donc une borne inf rieure qui vaut O et n est pas dans A et une borne sup rieure qui vaut 1 et qui est en fait le plus grand l ment de A Le r sultat suivant est une caract risation commode de la borne sup rieure d une partie de R Proposition 3 2 4 Soit A une partie de R non vide et major e et soit R Alors les deux propri t s suivantes sont quivalentes i sup A ii est un majorant de A et pour tout e gt 0 il existe a A tel que e lt a D monstration Dans le sens direct d abord si sup A alors est un majorant de A Soit de plus e gt 0 alors e n est pas un majorant de A car il est strictement inf rieuer donc il existe a A tel que e lt a on notera au passage que a lt puisque est un majorant R cip
125. on et valeurs dans F Le domaine de d finition de la fonction est alors en g n ral la plus grande partie de E sur laquelle la relation fonctionnelle donn e garde un sens L image d un l ment x de l ensemble E de d part est l l ment f x de l ensemble d arriv e F L image de la fonction f souvent not e f E est la partie de l ensemble d arriv e F form e des l ments qui sont effectivement images d un l ment de E on dit aussi atteints par f Autrement dit FUE y F dx E tel que f x y On peut galement d finir l image d une partie A de E comme suit FA y F dx A tel que f x y D finition Les trois notions suivantes sont fondamentales 1 Une fonction est injective si la propri t suivante est v rifi e Yay E E Has f0 x y 2 Une fonction est surjective si la propri t suivante est v rifi e Yz F dx E tel que z f x 3 Une fonction est bijective si elle est injective et surjective ANNEXE QUELQUES RAPPELS SUR LES MANIPULATIONS ENSEMBLISTES 26 Il est clair que l injectivit et la surjectivit ventuelle d une fonction d pendent fortement des en sembles de d part et d arriv e d o l importance de les avoir identifi s avec pr cision Exemple Soit E un ensemble A une partie de E et I4 E 0 1 la fonction d finie par I x 1 sixeA I1 xX 0 six A Cette fonction est appel e fonc
126. on domaine de d finition D La fonction f est continue en x si et seulement si pour toute suite Xn nen d l ments de D telle que Jm el Dal x la suite f Xn nen converge vers f x Les op rations connues sur les limites nous permettent de conclure imm diatement que si f est continue en un point x les fonctions f et Af pour tout R sont continues en x si f et g sont continues en un point x les fonctions f g et fg sont continues en x si f est continue en un point x et f x Q la fonction gt est continue en x On notera que la preuve de la derni re propri t n cessite de d montrer l nonc suivant que nous avons d j rencontr lors de l tude des limites Compte tenu de son importance il vaut la peine d tre r p t Proposition 3 4 4 Soit f une fonction continue en un point x de son domaine de d finition tel que f x 40 Alors il existe 9 gt O tel que Vve DAM x x fO 0 3 4 FONCTIONS CONTINUES 74 3 4 2 Continuit sur un ensemble La continuit comme on vient de le voir est une notion locale on parle de continuit en un point et pour la v rifier il suffit de connaitre le comportement de la fonction au voisinage de ce point seulement D finition 3 4 5 Soit f une fonction et A un ensemble inclus dans le domaine de d finition de f On dit que f est continue sur A si elle est continue en tout point de A Une fonction est simplement dit
127. on mais en 00 Hypothese Pour simplifier nous supposerons dans tout ce paragraphe que toutes les fonctions f consid r es satisfont l une des deux hypoth ses suivantes H aC gt Q tel que IC oo c D ou bien H aD lt 0 tel que o D C Df la premi re permet de poser la question d une limite de f en co la seconde de poser la question d une limite de f en co D finition 3 3 10 Soit f une fonction num rique v rifiant H et un r el On dit que la fonction f converge vers f lorsque x tend vers 00 si Ve gt 0 14 gt 0 tel que Vx gt A f l lt Soit f une fonction num rique v rifiant H_ et un r el On dit que la fonction f converge vers lorsque x tend vers oo si Ve gt 0 JA gt 0 tel que Vx lt A f x l lt e On note alors lim f x resp lim f x X 00 x gt 00 Remarque 3 3 11 Le lecteur notera la similarit formelle mais aussi les diff rences entre cette d finition et celle de la limite en un r el adh rent au domaine de d finition Il n est pas difficile de d montrer les propri t s suivantes que nous non ons par souci de simplicit uniquement dans le cas des limites en 00 exercices noncer les propri t s analogues pour les limites en 0o puis prouver toutes ces propri t s Proposition 3 3 12 Soit f une fonction v rifiant H et un r el tel que f converge vers lorsque x t
128. onc s ici pour les parties de N mais qui s tendent videmment toutes les situations o l on dispose d un ordre total c est dire d une fa on de comparer n importe quel couple d l ments d un ensemble Soit une partie de N NAPA On dit que A est major e s il existe un lement M de N tel que a lt M pour tout a de A Un l ment M de N tel que a lt M pour tout a de A s appelle un majorant de A Un plus grand l ment de A est un minorant de A qui est dans A On dit que A est minor e s il existe un lement m de N tel que a gt m pour tout a de A Un l ment m de N tel que a gt m pour tout a de A s appelle un minorant de A Un plus petit l ment de A est un minorant de A qui est dans A L ensemble de ces d finitions doit tre parfaitement bien compris et elles ne doivent surtout pas tre m lang es 1 1 ENTIERS NATURELS 30 Toutes les propri t s nonc es plus haut se d duisent de la th orie des ensembles et de la d finition formelle des entiers Ainsi la d finition du successeur est s n n U n pour tout n N On d cide ensuite que l assertion m lt n signifie m n ou m n ce qui dote N de ce que l on appelle une relation d ordre Le plus petit l ment d une partie A non vide de N est l ensemble a N e4x Enfin dire qu une partie non vide B est major e signifie qu il existe m N tel que x m pour tout x B et le plus grand
129. ont quivalents si a d b c noter que si la soustraction avait un sens dans les entiers naturels cela reviendrait a b c d Par simplicit nous noterons a b c d si les couples a b et c d sont quivalents On d finit alors pour chaque l ment a b de N x N ce que l on appelle sa classe c est dire l ensemble des couples d entiers naturels qui lui sont quivalents E a b c d ENXN a d b c Nous avons alors presque fini de d finir les entiers relatifs En effet comme nous avons une connaissance intuitive de ces derniers nous pouvons tout de suite remarquer que chaque ensemble C a b a exactement les propri t s que nous attendons d un entier relatif nous pouvons de fait penser l ensemble C a b comme le r sultat de la soustraction a b qui est le m me que le r sultat de la soustraction c ds sia d b c G Pour les tudiants savants nous sommes bien s r ici en train de d finir une relation d quivalence et l ensemble Z apparaitra comme l ensemble de toutes les classes d quivalence c est dire le quotient de N x N par la relation d quivalence 1 2 ENTIERS RELATIFS 33 D finition 1 2 1 Un entier relatif est une classe de couples d entiers naturels autrement dit un C a b pour a b N x N On d finit l ensemble Z des entiers relatifs comme l ensemble form par toutes les classes de la forme C a b o a b parcourt les couple
130. ortion d ouvrage en BU QU EST CE QU UN TEXTE MATH MATIQUE 14 en juxtaposant deux assertions ou plus avec des mots comme et ou si alors on peut fabriquer de nouvelles assertions Autrement dit le serpend se mord all grement la queue Sans entrer trop loin dans le territoire de la Logique Math matique avec des majuscules en tant que sous domaine constitu au sein des math matiques nous nous contenterons modestement de dire qu une assertion math matique exprime toujours une relation ensembliste c est dire l appartenance symbole e d l ments un ensemble l inclusion symbole C d un ensemble dans un autre et l galit symbole entre deux l ments ou entre deux ensembles Pr cisons les choses avec certains exemples pr c dents les as sertions d et e expriment bien l appartenance d un entier naturel l ensemble des entiers pairs quant au th or me de Pythagore e il peut se r crire comme suit si le triplet de nombres r els x y z est un l ment de l ensemble des longeurs des c t s et de l hypot nuse de l ensemble des triangles rectangles alors il fait galement partie de l ensemble des nombres r els qui v rifient x y z Il n est pas difficile d imaginer partir de cet exemple comment de mani re plus g n rale on peut interpr ter toute formule galit in galit etc comme une relation ensembliste meme si d
131. permet de disposer d une premi re no tion de suite convergente Commen ons par rappeler qu une suite d lements d un ensemble E est une application de N dans E une suite de r els est donc une application de N dans R On note fr quemment u N R n gt Uy et la suite elle m me sera d sign e par un nen plut t que u D finition 2 1 4 On dit qu une suite de r els un nen converge vers un r el x si pour tout inter valle Z ouvert non vide et contenant x il existe un entier n tel que Ym gt non a um I Autrement dit la suite converge vers x si pour tout intervalle ouvert autour de x il existe un moment partir duquel les l ments de la suite sont tous dans l intervalle Cette d finition sera tudi e plus abondamment par la suite et r crite de multiples mani res lorsque nous disposerons de toutes les propri t s de l ensemble des nombres r els ce qui permettra de la manipuler de mani re beaucoup plus efficace Exercice 2 1 5 La suite OO ken converge vers 0 de mani re plus g n rale tant donn e une suite Un nen de rationnels et un rationnel si pour tout n N 10 lt un lt 10 alors its luet converge vers Attention Il faut en particulier regarder avec attention comment se distinguent les d veloppements d cimaux de deux rationnels qui ne diff rent de 107 au plus 2 1 CONSTRUCTION 50 Exercice 2 1 6 Si Un nen et Vr
132. phe nous supposons que f est une fonction et que a est un l ment de RU 00 qui est adh rent au domaine de d finition de f si a est dans R et tel que l hypoth se H soit v rifi e s il est infini Proposition 3 3 19 Soit RU 00 Si limx gt a f x gt 0 alors dans le cas o a est fini il existe un r el e gt O tel que pour tout x DNla e a el f x gt 0 dans le cas o a il existe un r el A gt Q tel que pour tout x E A oo f x gt 0 dans le cas o a 0 il existe un r el B lt 0 tel que pour tout x BL f x gt 0 Nous rappelons qu une fonction f est dite major e sur un ensemble U s il existe un r el M tel que f x lt M pour tout x U minor e sur U s il existe un r el m tel que f x gt m pour tout x U 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 72 et born e sur U s il existe un r el A tel que f x lt A pour tout x U Cette derni re propri t est quivalente il existe deux r els a et b tels que a lt f x lt b pour tout x e U Th or me 3 3 20 Soit R donc qui n est pas infini Si limx gt 3a4 f x alors dans le cas o a est fini il existe un r el e gt 0 tel que f soit born e sur D Nla amp a el dans le cas o a il existe un r el A gt Q tel que f soit born e sur A 00 dans le cas o a 0 il existe un r el B lt 0 tel que f soit born e sur oo
133. principe est le m me et nous tendons ainsi aux nombres rationnels la multiplication des entiers relatifs On constate alors que l oppos pour l addition d un rationnel est sa aal latian par 1 Par ailleurs puisque tous les repr sentants d un rationnel non nul sont de la forme avec a 0 6 on constate ais ment qu il poss de un inverse pour la multiplication b qui n est autre que le rationnel repr sent par la fraction On r sume toutes les propri t s des deux op rations et x dans l nonc suivant que le lecteur pourra s amuser d montrer soigneusement Th or me 1 5 3 L ensemble Q est un corps commutatif c est dire que 1 l addition et la multiplication sont associatives et commutatives 2 l addition poss de un l ment neutre 0 et tout l ment de Q poss de un oppos 3 la multiplication poss de un l ment neutre 1 et tout l ment non nul de Q poss de un inverse 4 la multiplication est distributive sur l addition L ensemble Q est galement muni d un ordre Tout rationnel pouvant tre repr sent par une fraction d nominateur strictement positif nous dirons que le rationnel repr sent par la fraction d nomina Sec da A teur positif est positif ou nul si et seulement si a gt 0 Si repr sente le m me rationnel toujours avec d nominateur positif alors ab ab donc a b est positif ou nul donc a l est auss
134. r que un soit non nul pour tout n entier En revanche le fait que O entra ne l existence d un entier N tel que u O pour tout n gt N en cons quence il est toujours possible de consid rer la suite 2 on HJH oubliant ainsi uniquement un nombre fini de termes Preuve de la Proposition 3 1 5 1 Prenons une suite un nen convergente vers un r el Soit e gt 0 alors il existe un N N tel que pour tout n gt N u lt e Pour n gt N on a alors ul IE lt lun lt e nous utilisons ici l in galit d riv e de l in galit triangulaire la b lt a b pour tous a et b r els Nous venons donc de prouver qu il existe un N N que l on peut ici prendre gal N tel que pour tout n gt N Ind Iel lt e La suite unl nen converge donc vers 2 Soit e gt 0 Si 1 0 il n y a rien prouver une suite constante est convergente nous supposons donc 0 De la convergence de un nen On tire alors qu il existe N N tel que pour tout n gt N lu lt e Ainsi pour tout n gt N Mun Alz 12 lun l lt A et lu Jen converge bien vers Af o Preuve de la Proposition 3 1 6 1 Soit e gt 0 De la convergence de un nen et Vn nen vers e on tire qu il existe deux entiers N et N tels que Yn gt N un l lt gt Ya gt NI EI Ainsi pour tout n gt max N N Il M 14 14
135. rationnels distincts tels que r lt s Montrer qu il existe un rationnel t tel que r lt t lt s En d duire qu entre deux rationnels distincts on peut toujours trouver une infinit de rationnels distincts Exercice 1 5 6 Montrer que Q est d nombrable Montrer en revanche qu il n existe aucune applica tion bijective et croissante de N dans Q autrement dit on ne peut pas num roter dans l ordre croissant les l ments de Q M me question avec Q4 Exercice 1 5 7 Soit un entier n gt 2 Montrer que la somme de 7 nombres impairs cons cutifs n est pas un nombre premier Exercice x 1 5 8 Soit un entier n gt 2 a Montrer qu il existe un entier naturel tel que 2f lt n lt 2 b Montrer que pour tout entier k tel que 1 lt k lt n il existe un entier j tel que O lt j lt n v rifiant k 2 p avec p impair c Montrer que si j dans la question pr c dente alors k 2f d D duire des questions pr c dentes que 1 z n est pas un entier indication on pourra exercer son intuition en mettant sous forme de fraction irr ductible les r sultats de ces sommes pour n 2 3 4 5 1 6 D veloppement d cimal d un nombre rationnel 1 6 1 Ecriture d cimale Nous disposons pr sent d une d finition compl te des rationnels mais un l ment nous manque encore pour faire coincider celle ci avec notre vision intuitive des nombres ce l ment est l criture d cimale
136. re comprises la fois comme des guides et comme des garde fous dans tous les nonc s et d monstrations que nous crirons elles sont contraignantes mais en s attachant les respecter nous sommes assur s de ne pas commettre d erreurs de logique Exercices Exercice 1 Ecrire les n gations des assertions suivantes a xeAetyeB b dx A tel que Yy B P x y c 1 x A tel que P x 3 signifie il existe un unique sl d x gt 1 et Jn N tel que x gt 1 ou x gt 10 Exercice 2 Soient P et O deux assertions Montrer que non P et Q et non P ou non Q sont des assertions quivalentes Faire de m me pour non P ou Q et non P et non Q Exercice 3 Soient P et O deux assertions Donner la table de v rit de P O de O P implica tion r ciproque et de non P non Q contrapos e de la r ciproque Ou en pensez vous Exercice 4 Un tudiant crit dans une copie On sait que si s est un r el n gatif alors s est inf rieur ou gal 1 et son carr est positif ou nul Prenons maintenant un r el tel que 1 soit positif ou nul alors t est n gatif ou alors f est positif et strictement plus grand que 1 Qu en pensez vous Exercice 5 On consid re les connecteurs logiques xou qui est le ou exclusif ou bien ou bien nou qui est d fini par A nou B non A ou B et net qui est d fini par A net B non A et Bis
137. rer une certaine coh rence entre des groupes de Cours TD distincts il n a jamais t pens comme contraignant la chronologie et le d roulement des cours qui seront d livr s dans les diff rents groupes Ceux ci s en carteront donc tr s certainement certains moments pour y revenir par la suite traitant certaines notions dans un ordre l g rement diff rent ou avec un point de vue quelque peu alternatif Ce ph nom ne est normal mais la fin du semestre tous les groupes auront trait de mani re coh rente l ensemble des notions au programme Ce texte est destin tre utilis par des tudiants ayant choisi une formation n cessitant une tude approfondie des math matiques Ses objectifs sont donc plus lev s que ceux du premier semestre De ce fait il fait naturellement suite l ensemble du contenu du polycopi d Alg bre lin aire et Analyse 1 du premier semestre y compris ce qui y tait pr sent en petits caract res et dont la compr hension est maintenant une n cessit et ne saurait tre omise Bien que les polycopi s pour des raisons pratiques DL auteur de ces lignes profite de cette mise en garde pour rappeler qu une th orie math matique sans exemples est une th orie vide il est donc essentiel pour chaque tudiant de se constituer un stock d exemples d crivant chaque notion ou technique tudi e suffisamment riche pour couvrir tous les aspects de celles ci et d tre en mesur
138. roissante soit d croissante et converge b Majorer uzn avec un puis d terminer la limite de u Exercice 3 2 11 Soient A et B deux parties non vides de R On d finit A B a blaeA beB Montrer que si A et B sont born es alors A B l est aussi et sup A B sup sup B Exercice 3 2 12 Soient A et B des parties non vides de R telles que Ve gt 0 Ja A 3b B tels que la b lt et Ya A Vb B a lt b Montrer que sup inf B Exercice 3 2 13 Soit A C R v rifiant VxeR 3 a b A a lt x lt b 2 a b V a b AF PEA Montrer que A est dense dans R Exercice 3 2 14 Soit J une partie non vide de R v rifiant la propri t VxeJ Yy J x y CJ Montrer que J est un intervalle indication on pourra distinguer suivant que J est major ou non minor ou non et si oui suivant que sa borne sup rieure ou inf rieure est ou non dans J Exercice 3 2 15 Soit Un ney une suite born e et telle que 2u lt uy 1 Un 1 pour tout n gt 1 On pose pour tout n gt 1 Vy Un Un 1 a Montrer que vn nen converge puis que Uun nen converge b Enn d duire que la limite de vr new vaut n cessairement 0 Exercice 3 2 16 Soit Un nen une suite num rique On suppose qu il existe p N tel que Maan lt Un up pour tout n N a Montrer que pour tous n k N Un kp lt Un kup b On suppose que inf n e N 0 montrer que lim H
139. roquement il suffit de d montrer qu un r el v rifiant ii est le plus petit des majorants de A De fait soit m un majorant de A et soit e gt 0 Alors il existe a A tel que e lt a seconde partie de la propri t ii donc l e lt as b Cet argument montre que pour tout e gt 0 b gt e ce qui implique que b gt 0 O Cela peut tre r interpr t de la mani re suivante preuve laiss e en exercice Proposition 3 2 5 Soit A une partie de R non vide et major e et soit R Il y a quivalence entre 1 est la borne sup rieure de A et 11 est un majorant de A et il existe une suite croissante de points de A qui converge vers Une cons quence de ces r sultats est Corollaire 3 2 6 Convergence des suites monotones Une suite croissante et major e con verge De m me une suite d croissante et minor e converge D monstration Si toutes les suites croissantes major es convergent alors toutes les suites d crois santes minor es convergent en passant l oppos Soit donc un new une suite croissante et major e nous appelons U l ensemble des valeurs prises par la suite i e U xeR nEe N tel que x un Cet ensemble est videmment non vide et major par n importe quel majorant de la suite Donc il admet une borne sup rieure Soit maintenant e gt 0 D apr s la caract risation plus haut il existe w U tel que e lt w ce
140. rs une application y R R v rifiant a et b une telle fonction s appelle un module de continuit pour f gt Une autre mani re de proc der pour construire l int grale pour les fonctions born es D finition 4 3 12 Soit f une fonction d finie et born e sur un segment a b On appelle sommes de Darboux inf rieure et sup rieure d ordre n attach es f 2991 991 z b pa SU A 2 inf fl ZU A sup b a a b a b a en art akel CO ark 5e aro On a alors de mani re similaire ce qui pr c de Th or me 4 3 13 Soit f une fonction d finie et continue sur un segment a b Alors les suites des sommes de Darboux inf rieures et sup rieures S fren et LN ZU Vuen forment un couple de suites adjacentes qui convergent vers l int grale de f sur a b D monstration I est clair que 5 f lt S f pour tout n entier De plus en organisant les sommes comme dans la d monstration de 1 on a pour n gt m 2m_1 2nm_1 SS E DW b a b a Ett A E jw mal mm k o Cu aH mke a lut Zei ont D c est dire en ym b a b a SOLA y inf ft int k 0 0 ak e GE a il leet S i a k 1 Ge Or si Z et J sont des parties de R telles que Z J on a n cessairement inf f gt inf f donc il s ensuit que sin gt m alors S f S f gt O En raisonnant avec des bornes sup rieures on en d duit aussi que NZ S A lt O0sin gt m
141. s Il est destin fournir un cadre g n ral un programme tr s d taill et en tout cas beaucoup plus d taill qu il n est d usage pour le contenu de cette UE enseign e en Cours TD int gr s Il a t r dig dans l optique de fournir aux tudiants un compl ment aux s ances de cours leur permettant de disposer d un document de r f rence et ventuellement d approfondir leur compr hension du cours oral Il est utile de mentionner ici qu un polycopi n est pas un livre d o la pr sence dans le paragraphe inroductif du mot accompagnement ce texte n est absolument pas un cours complet et auto suffisant couvrant le programme de l UE M ne se substitue donc en aucun cas au cours oral qui doit rester la base du travail d apprentissage L enseignant choisira ainsi de d velopper plus longuement certains points en traitera plus rapidement d autres et enfin passera les derniers compl tement sous silence De nombreux exemples commentaires et applications des notions ici d crites seront apport s par l enseignant qui les choisira en fonction de leur pertinence mais aussi de vos choix d tudes et de vos objectifs professionnell De plus vous constaterez peut tre que l enseignant de votre groupe ne respecte pas totalement l encha nement des notions privil gi par ce texte Si le r le de ce polycopi est aussi de d finir pour les enseignants le p rim tre en termes de contenu de I UE et d assu
142. s L int r t conceptuel de cette d couverte est fondamental elle a en effet ouvert la porte l id e que l int grale pouvait avoir un sens pour une tr s large classe de fonctions comprenant en partic ulier de nombreuses fonctions tr s irr guli res c est dire tr s loign es des fonctions continues Quelques 70 ans plus tard 1928 le math maticien fran ais Henri Lebesgue 1875 1941 introduisait une nouvelle classe de fonctions int grables encore plus large en modifiant radicalement le proc d de construction de l int grale voir le polycopi du premier semestre pour quelques indications tr s sommaires La th orie de Lebesgue allait se r v ler d une importance consid rable y compris du point de vue pratique Les fonctions couvertes par cette th orie se retrouvent dans la mod lisation de tr s nombreux ph nom nes physiques et les outils d velopp s la suite de celle ci interviennent dans de nombreuses applications des math matiques Les citer toutes serait totalement impossible elles couvrent des domaines aussi divers que l imagerie m dicale la recherche p troli re et mini re la mise au point de structures pour l a ronautique la compression de donn es en informatique les formats d images et de sons JPEG et MP3 etc lt
143. s il existe un entier relatif c tel que ac b attention l ordre On dit alors que a est un diviseur de b Rappelons sans en donner les d tails que l on peut partir de cela d finir le PGCD de deux entiers relatifs non nuls attention il faut le choisir positif pour qu il soit d fini sans ambigu t et la notion d entiers premiers entre eux c est dire dont le PGCD est gal 1 Ces notions ont t en g n ral amplement tudi e dans le secondaire et nous supposerons donc connus les r sultats suivants qui seront replac s dans un cadre plus g n ral en deuxi me ann e D finition 1 3 1 Un nombre premier est un entier naturel p diff rent de O et de 1 qui n est divisible que par 1 1 lui m me et son oppos Th or me 1 3 2 division euclidienne Soit a Z et b N Alors il existe un unique couple q r Zx N tel que a bq r avecO lt r lt b Le nombre q est le quotient de la division euclidienne de a par b et r est le reste Les applications classiques de ce r sultats sont l algorithme d Euclide pour le calcul du PGCD le th oreme de Bezout ou encore les r sultats fondamentaux suivants dont nous nous servirons librement par la suite Lemme 1 3 3 Gauss Soient a b c trois entiers relatifs non nuls tels que a divise bc et soit premier avec c Alors a divise b Th oreme 1 3 4 d composition en facteurs premiers Soit a un entier relatif Alors il existe un ent
144. s d entiers naturels La complexit de cette d finition provient bien s r du fait que nous d finissons un entier naturel comme un ensemble Chaque entier relatif peut donc se repr senter par un couple d entiers naturels mais il y a une infinit de fa ons diff rentes de repr senter ainsi un m me entier relatif Nous avons donc d cid et cela n cessite il est vrai un petit effort intellectuel d identifier un entier relatif un ensemble l ensemble des tous ses repr sentants possibles Par suite l ensemble Z est un ensemble dont les l ments sont eux m mes des ensembles Le lien avec la repr sentation usuelle des entiers relatifs est vite fait il suffit de remarquer que parmi tous ses repr sentants possibles un entier relatif en a forc ment un de la forme m 0 ou bien un de la forme 0 n et que l un exclut l autre sauf si l entier relatif consid r est CO 0 Les premiers sont les entiers relatifs positifs nous continuerons noter N la partie de Z constitu e des entiers positifs et nous d cidons d appeler les autres entiers naturels n gatifs gt Prouvons ce dernier fait Soit a b un repr sentant d un entier relatif Alors on a soit a lt b soit b lt a soit a b Prenons maintenant c d un autre repr sentant du m me entier relatif Si de plus a lt b alors a d b c gt a c donca d gt a cce qui implique c lt d Autrement dit on a une in galit dans le m me
145. s dans une suite uy nen puis faire intervenir un r el x tel que pour tout k e N le k i me chiffre du d veloppement d cimal de x n est pas gal au k i me chiffre du d veloppement d cimal de uz Exercice 2 3 11 D duire de l exercice pr c dent que R Q est en bijection avec R utiliser aussi l exercice 1 4 12 Exercice x 2 3 12 Montrer que R est en bijection avec P N indication utiliser les d veloppe ments en base 2 et les fonctions caract ristiques CHAPITRE 3 LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS NUM RIQUES Ce chapitre constitue le coeur du cours La notion de limite d une suite ou d une fonction num rique est en effet le concept le plus important de l analyse sur lequel repose un grand nombre d outils et de notions comme la d rivation l int gration etc Par rapport l enseignement du premier semestre l accent est mis ici sur la compr hension con ceptuelle sur la pr cision des nonc s et sur la rigueur des d monstrations plut t que sur la technique d utilisation Nous retiendrons du chapitre pr c dent les propri t s des nombre r els l ensemble R est un corps commutatif ordonn et archim dien et tout couple de suites adjacentes converge vers une limite com mune Nous avons donn au chapitre pr c dent une premi re d finition de la convergence d une suite Notre objectif est ici de d velopper abondamment cette notion 3 1 Limites de suites 3 1 1 D finitions
146. s de d finir proprement les op rations sur les entiers relatifs en respectant le souci de rigueur nonc au d but de ce chapitre Que les tudiants ne se m prennent donc pas il ne sera bien videmment pas question de remplacer l usage intuitif qu ils ont des entiers relatifs par l criture lourde que nous avons introduite depuis quelques pages L objectif est plut t de mettre en vidence un mod le de construction de nouveaux objets math matiques qui servira de guide pour des situations futures plus compliqu es typiquement les nombres r els Il s agit donc d un jeu intellectuel que nous l esp rons les tudiants trouveront amusant et qui est loin d tre gratuit Accepter d y jouer appporte une r elle compr hension des m canismes en jeu dans les math matiques Comprendre on peut crire tout entier relatif comme la diff rence de deux entiers naturels 1 2 ENTIERS RELATIFS 34 Revenons maintenant l addition On commence par la d finir en premier lieu sur les couples d en tiers naturels Comme on s y attend il suffit de poser V ai b1 a2 b2 N a1 b1 a b2 a a bi bi Avant de passer aux entiers relatifs une v rification s impose n anmoins un entier relatif peut tre repr sent de tr s nombreuses mani res par un couple d entier naturels Il faut donc s assurer que si on additionne des couples d entiers naturels repr sentant les m mes entiers relatifs Y
147. s domaines de d finition converge vers l lorsque x tend vers xo 2 la fonction fg d finie de m me converge vers l lorsque x tend vers xo Proposition 3 3 6 Soit f une fonction xy un point adh rent son domaine de d finition et un r el 0 tel que f converge vers lorsque x tend vers xp Alors il existe o gt 0 tel que pour tout x dans DN xo xo o f x 0 et la fonction gt d finie sur DyN xo xo ol converge vers 1 lorsque x tend vers xo Preuve de la Proposition 3 3 4 1 Prenons une fonction f convergente vers un r el en xo Soit e gt O alors il existe un gt 0 tel que pour tout x DyN xo 6 xo f f x lt e Pour x D N x0 xo l on a alors comme pr c demment f x MII lt f x lt e donc flang converge vers ll 2 Si A 0 il n y a rien prouver Sinon soit e gt 0 De la convergence de f on tire alors qu il existe gt O tel que pour tout x DN xo 6 xo l f x l lt i Ainsi pour tout x DfN xo xo l MIG A4 A AA g 8 et Af converge bien vers Ji O Preuve de la Proposition 3 3 5 1 Soit e gt 0 De la convergence de f et g vers e l on tire qu il existe deux r els gt 0 et 7 gt 0 tels que Vx Dino n z tat 4 lt 5 Ve Dino mxo mL le l lt Ainsi en posant p min 7 on a pour tout x Df N D N xo p xo pl TORTOR
148. s in galit s Exercices Exercice 3 1 14 Soit x pour tout n N Donner N explicite tel que Yn gt N x 1 lt 106 Exercice 3 1 15 Montrer soigneusement que la suite donn e par un Vu N tend vers 0 Exercice 3 1 16 Soit un nen la suite d finie par un pour tout n N Soit e gt 0 trouver un entier N explicite en fonction de e tel que pour tout n gt N un 1 lt e En d duire soigneusement que un tend vers 1 si n tend vers linfini Exercice 3 1 17 Montrer qu une suite qui diverge vers 00 est une suite divergente 3 1 LIMITES DE SUITES 61 Exercice 3 1 18 Prouver les faits suivants 1 La suite d finie par un converge vers 1 lorsque n tend vers l infini 2 La suite d finie par u 1 diverge 3 La suite d finie par u Inn diverge Exercice 3 1 19 th or me des gendarmes Soient une Vn nen et Wn nen trois suites telles que is wen t D luet convergent vers une m me limite Si de plus un lt Vn lt wn pour tout n N alors Va nen converge vers Exercice 3 1 20 Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses Justifier par une d mon stration o un contre exemple a toute suite convergente est born e b toute suite born e est con vergente c toute suite p riodique est born e d toute suite p riodique est divergente On dit qu une suite Uy nen est p riodique s il existe un e
149. s une m me limite et nous en d duirons que la sous suite associ e p converge alors n cessairement vers la m me limite Plus pr cis ment nous consid rons une suite un nen dont tous les termes sont dans un segment fix a b et nous notons M b al Nous construisons maintenant par r currence une application strictement croissante y N N concr tement nous construisons en fait la suite d finie par np p p pour tout p N et une suite de segments 1 pew tels que 1 pour tout p N Ip 1 C p 2 pour tout p N la longueur de 7 est 2P M 3 pour tout p N il y a une infinit d entiers n tels que un Ip 4 pour tout p N u p Ip 4 2 SUITES EXTRAITES 82 On note que par embo tement successif des intervalles la derni re condition entra ne en fait que Haan Ip pour tout q gt p L amorce consiste bien s r poser ly a b et amp 0 0 Supposons maintenant 0 1 et 0 p n construits Ecrivons alors I J U J2 o J et J2 sont deux segments de longueur moiti de celle de et ayant pour seule intersection le milieu de Un de ces deux intervalles contient alors n cessairement une infinit de termes de la suite 4 new nous le choisissons donc pour tre le segment Ir 1 sa longueur est donc bien gale 2 1 M Il ne reste plus qu choisir un m N tel que m gt y n et Um ln 1 Ce qui est toujours possible puisque contient une i
150. sens pour tous les repr sentants d un m me entier relatif une preuve tr s similaire vaut aussi dans le cas a gt b et dans le cas a b On peut alors partager les l ments de Z en trois cat gories ceux qui sont repr sent s par des a b avec a gt b ce sont les entiers strictement positifs et un repr sentant possible est videmment de la forme m 0 ceux qui sont repr sent s par des a b avec a lt b ce sont les entiers strictement n gatifs et un repr sentant possible est videmment de la forme 0 n et celui qui est repr sent par les a a donc par 0 0 et qui est l l ment nul de Z Nous avons donc bien d montr le r sultat souhait lt Exercice 1 2 2 Montrer que l application qui tout entier naturel m associe Gm 0 est une applica tion injective et non surjective de N dans Z Nous allons abandonner sous peu ces notations minemment lourdes et d cr ter que nous noterons d sormais comme le veut l usage m l entier relatif repr sent par m 0 avec m N et n l entier relatif repr sent par 0 n avec n N Nous prions cependant le lecteur de conserver ces notations encore quelques instants Elles se trouvent en effet justifi es lorsqu il s agit de d finir proprement les op rations 1 2 2 Addition multiplication Les constructions que nous allons faire ici ont un int r t purement th orique il s agit de montrer que nous sommes capable
151. seul d cimal de la forme e avec q entier v rifiant cette propri t On appelle ensuite approximation d cimale par exc s l ordre 107 pr s le d cimal x x Autrement dit cette FER se double d une propositio qui affirme qu il existe un et un seul entier A 1 tel que si on note x et x E alors q IF TOT MELK Le lecteur pourrait s tonner de la pr sence d une in galit stricte droite et large gauche Ce ph nom ne est en r alit fondamental car c est lui qui assure l unicit de l approximation d cimale par d faut 107 pr s c est dire l unicit de l entier q cf les exercices ci dessous pour une preuve Pour s en convaincre consid rons le cas o x est lui m me un d cimal Alors y x est gale ment d cimal et on a 1 X lt X lt X et ySx lt y Ir SxS re Il existe donc deux d cimaux diff rents x et y tous deux de la forme a avec q entier au moins si n est assez grand qui encadrent x 107 pr s avec des in galit s larges des deux c t s Si en revanche on SE l in galit de droite d tre stricte et bien s r que l on se restreint aux d cimaux de la forme avec q entier alors il n y a qu une seule solution qui est le d cimal x d fini plus haut e Exercice 1 6 12 Montrer que pour tout n N Xn 1 Xn Cr Exercice 1 6 13 Montrer soigneusement que Yn N x lt x lt Xp av
152. st d montr Sinon on peut montrer facilement par r currence que pour tout n N An bn implique que an 1 lt b1 1 toujours en utilisant la croissance de la partie enti re Deux situations sont alors possibles 1 pour un certain j N on a az bz pour tout k lt jet a 1 lt b 1 et on a fini la preuve 2 les deux suites a ex et bi ien sont gales Dans le second cas les approximations d cimales par d faut x obtenues en tronquant les d veloppe ments d cimaux de x et de y sont gales tout ordre n N donc 1 Xn SX lt Ant 70 Yn E N soit encore i i X lt X lt x VneN et de m me y 10 S 7 To puisque x est aussi l approximation d cimale par d faut de y l ordre n En utilisant la premi re in galit de la premi re ligne et la seconde in galit de la seconde ligne on obtient lt Xn lt y VneN 1 Tor lt y tandis que la seconde in galit de la premi re ligne et la premi re in galit de la seconde ligne fournit 1 Y To lt Xx Ces deux r sultats se r sument en i lx y lt 107 et ceci vaut pour tout n N ce qui assure que x y Comme nous avons fait l hypoth se que x lt y cela n est pas possible et donc nous sommes dans le premier cas c est dire que a i jex lt bidien La preuve de la surjectivit est laiss e au lecteur cf les exercices 1 6 19 1 6 20 et 1 6 21 O Exercice 1 6 18 Comparer le d veloppement d cimal
153. stera vrai pour toujours dans le futur Autrement dit pour qu une assertion soit fausse il suffit de trouver un seul contre exemple c est dire un seul cas m me tr s particulier ou compl tement pathologique o l assertion est fausse L une des forces des math matiques est de fournir des outils incroyablement robustes pour l ensemble des disciplines scientifiques Le prix payer pour cette efficacit est la difficult mettre la main sur des assertions vraies il suffit d un seul contre exemple pour faire s crouler tout l difice et ne se retrouver qu avec des nonc s faux Une cons quence de ce choix est aussi la n cessit imp rieuse d identifier avec pr cision le champ d application d un nonc Faute de ce travail il s av re impossible de lui attribuer une valeur fiable de v rit La plupart des nonc s math matiques commencent par un quantificateur universel Yx E P x ou alors affirment une existence Jx E tel que Q x 6 ce qui suffit appr hender le vrai dans la plupart des nonc s Passons maintenant aux autres connecteurs logiques Les r gles concernant le et et le ou sont faciles accepter Principe num ro 6 L assertion A et B est vraie si et seulement si A est vraie et B est vraie Elle est donc fausse dans les trois cas suivants A fausse et B fausse A vraie et B fausse A fausse et B vraie Principe num ro 7 L ass
154. te finie de chiffres o gel montrer qu il existe un d cimal x tel que son d veloppement d cimal soit x ap 0 a1a2 a50 b Soit maintenant q un entier positif crit sous forme d cimale q Hit Hin o chaque n est un chiffre et soit de plus s N et x ve On suppose r gt s on crit q _ 1n 10 o ni 10 et on pose ay nn ni 1075 aj n5 1 42 Ns 2 As no et a 0 pour tout p gt s Montrer que x ao 0 aja gt as0 D i S c On suppose au contraire que r lt s on note q nt 10 avec n 0sir 1 lt i lt s dans ce cas on pose alors ay 0 a 5 1 42 Ns 2 As No Et ap 0 pour tout p gt s Montrer que x 0 a1a2 45s0 Passons maintenant au cas g n ral Soit x un rationnel auquel nous appliquons l algorithme pr c dent nous obtenons donc un d veloppement p riodique partir d un certain rang X 4 0 aja et pour tout entier n gt 1 nous d cidons d appeler x le nombre d cimal obtenu en tronquant ce d cimal l ordre n c est dire Xn 40 0 agin gell 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 44 Lemme 1 6 10 Yn EN Xn lt X lt Xn D monstration Facile et laiss e au lecteur o D finition 1 6 11 On appelle approximation d cimale par d faut l ordre 107 pr s du ra tionnel x un d cimal x tel que 1 VneN Xn SX lt Xn S 10 Il n existe qu un
155. tible En con s quence pour d finir l addition il nous faut recourir une m thode tr s proche de celle que nous avons employ e pour les entiers relatifs plut t que de nous reposer sur les fractions irr ductibles 1 5 NOMBRES RATIONNELS 39 Addition Nous commen ons par d finir l addition de deux fractions comme Pi P2 _ PIR PA o q q192 puis nous v rifions en si la fraction repr sente le m me rationnel que a et si la fraction 22 e repr sente D repr sente le m me rationnel que ro calculs 14 laiss s au lecteur Cos pr c demment cette proc dure d finit de mani re non ambig e une addition dans Q qui tend aux nombres rationnels l addition des entiers relatifs cette derni re phrase signifie que comme Z est une partie de Q on obtient le m me r sultat quand on multiplie deux entiers relatifs puis qu on voit le r sultat comme un rationnel ou quand on op re dans l ordre inverse le m me rationnel que alors la fraction Il est videmment facile de voir que le rationnel nul est l ment neutre pour l addition que tout rationnel poss de un oppos si un rationnel est repr sent par la fraction alors la fraction fournit cet oppos Comme pr c demment il s ensuit que nous avons notre disposition une soustraction Multiplication Elle se d finit de m me en partant des fractions Les calculs tant plus fastidieux nous les laissons de nouveau au lecteur mais le
156. tier n tel que lt 1 y ce qui peut se r crire y lt 1 en contradiction avec les 1 107 10 in galit s qui doivent tre v rifi es par y Or il est facile faites le de v rifier que le d veloppement d cimal de 1 tel qu obtenu par l algorithme est bien celui que l on attend savoir 1 1 0 0 Cet exercice manipulatoire peut tre r p t pour toute suite a ex qui ne comporte plus que des 9 par tir d une certain rang on trouve toujours que le rationnel candidat est en r alit un d cimal et que son d veloppement obtenu via notre algorithme n est pas celui donn par la suite oc len mais son d veloppe ment usuel en tant que d cimal c est dire celui qui se termine par une suite infinie de O faites le sur d autres exemples On en conclut que les suites infinies de 9 ne sont pas des d veloppements d cimaux acceptables Exercice x 1 6 15 Si x est un rationnel donn par une fraction et que son d veloppement d cimal obtenu par notre algorithme est x d 0 aja montrer que pour tout n gt 1 il existe p gt n 1 tel que a 9 Indication raisonner par l absurde en supposant que pour un certain n N Vp gt n ap 9 au fait pourquoi est ce la n gation de la proposition prouver et en d duire alors que la suite des restes partir du rang n c est dire rp p gt n est positive et strictement d croissante 1 6 4 Les rationnels vus tr
157. tion caract ristique de la partie A Cette fonction est surjective si et seulement si A est non vide et A est non vide Elle est injective si et seulement si A a au plus un l ment et CA a au plus un l ment Elle est donc bijective si et seulement si E a exactement deux l ments et que est une partie de E contenant exactement un l ment Si F est une partie de l ensemble de d finition d une fonction f la restriction de f F souvent not e fr ou fir est une nouvelle fonction dont l ensemble de d part est F l ensemble d arriv e est inchang et qui tout l ment x de F associe toujours f x Enfin l op ration de composition entre fonctions est d finie comme suit si E F G et H sont quatre ensembles et f E F et g G H deux fonctions alors la composition not e g o f est d finie par les l ments suivants son ensemble de d finition est J x Df f x D o D d signe l ensemble de d finition d une fonction h son ensemble d arriv e est H pour tout l ment x de J on pose g o f x g f x On notera que l ensemble de d finition J peut tr s bien tre vide Dans ce cas la compos e neiste pas Par ailleurs les fonctions g o f et f o g si elles existent n ont en g n ral rien voir Exercices Exercice 15 Soient A B et C trois ensembles Montrer que A N BU C A A B U AN C et que AU BNAC AUBIMN AUC Exercice
158. tion insupportable et publie un dit tenant en deux articles 1 Il y a au moins un homme adult re dans la ville 2 Toute femme qui aura acquis un jour la certitude que son mari la trompe devra le mettre mort le lendemain au petit jour Que se passa t il quelques temps apr s la publication de cet dit Exercice 1 1 8 Montrer que pour tout n N 25 divise 6 20n 24 on pourra proc der par r currence ou utiliser la formule du bin me n 1 Exercice 1 1 9 Soit un nen une suite de r els tels que uy 1 et pour tout n gt 1 uy lt E wa k 0 Montrer que pour tout n gt 1 u lt 20 D2 Exercice 1 1 10 On d finit pour tout n p Nx N C E sip lt net N 0 sinon a Montrer que CC Bei C pour tout n p N x N b Que vaut b Montrer que E N pour tout n p E N x N Exercice 1 1 11 Soit a N a Montrer par r currence que 2 divise a a a est impair b Montrer par r currence que a 1 a 1 To a 1 puis retrouver le a Exercice 1 1 12 Soit P le polyn me d fini pour tout x R par P x ER E Montrer par r currence que Vx R P x gt 0 Exercice 1 1 13 Soit f Ri R une fonction C n N et g KR R d finie par gn x xl f E pour tout x 0 Montrer que D n l Vre br gPa an OJI s agit d une vieille l gende que nous nous contentons de rapporter sans mettre de jugement moral
159. tonie des suites nen et sen et leur caract re adjacent assurent que 10 r a est une suite croissante et major e et 10 70 a est une n n suite d croissante et minor e dont les termes sont des entiers en fait des chiffres d s que i gt 1 Nous laissons la preuve du r sultat suivant au lecteur ce qui conclut cette tape Lemme 2 1 11 Une suite croissante et major e d entiers est constante partir d un certain rang on dit qu elle est stationnaire et de m me pour une suite d croissante et minor e d entiers Etape 2 On note alors pour tout i N Ni ai a et d HI Ces deux suites vont nous servir mettre en vidence le r el qui sera la limite commune des suites GO nen et Gen En premier lieu montrons que la suite a rewy peut tre consid r e comme un d veloppement d cimal propre c est dire n est pas form e que de 9 partir d un cetrain rang En effet si a a 9 pour un certain i N alors pour tout n lt Nun 10 s gt Joi en d croissance de cette suite lorsque n varie d j remarqu e dans l tape 1 Si n est compris entre N et Nu cette in galit se traduit par l in galit suivante entre deux entiers donn s en criture d cimale mi b ef af af O ad H gt Ou 99 d o l on d duit que be H pour tout n compris entre N et N donc pour tout n gt N puisque n la suite ar existe jn N tel que a 9 pour
160. ucune raison pour qu elles soient les approximations d cimales d un r el et leur limite commune est appel oppos de x Encore une fois cette construction ne donne bien s r rien de nouveau lorsqu on l ap plique un rationnel Cette construction permet videmment d obtenir imm diatement la soustraction des r els Une fois celle ci connue nous pouvons donner une d finition d finitive de la notion centrale de ce chapitre D finition 2 2 3 On dit que deux suites de r els un nen et Vn nen forment un couple de suites adjacentes si les propri t s suivantes sont v rifi es 1 un nen est une suite croissante 2 Vyhnen est une suite d croissante 3 pour tout n N un lt vn 4 la suite vn UnJnen tend vers 0 2 3 LE CORPS R 54 La construction de la multiplication se fait de la m me mani re mais est l g rement plus complexe en raison des subtilit s dues aux signes des suites des approximations d cimales connaitre le signe de ces termes est imp ratif par exemple pour d terminer lesquelles des quatre suites X Yn nen LAV huett Any nen O Xy n nen doivent tre prises pour former le couple de suites adjacentes souhait Un ana logue de l Exercice 2 1 6 permet alors de montrer que la multiplication ainsi construite est une extension de celle de Q Exercice 2 2 4 Donner les grandes tapes de la construction de la multiplication On peut enfin construire l inverse de n import
161. ue 1 Nous pouvons en d duire que ay est la partie enti re de x c est dire le plus petit entier inf rieur ou gal x Attention avec cette d finition qui est la d finition usuelle la partie enti re de 5 est 2 Exercice 1 6 3 Nous venons de d finir la partie enti re d un rationnel repr sent par la fraction avec b N comme le quotient de la division euclidienne de a par b Montrer que si la fraction e avec b N repr sente le m me rationnel alors le quotient de la division euclidienne de a par b redonne le m me r sultat indication utiliser l unicit de la division euclidienne Le r sultat de cet exercice justifie que les r sultats de tous les calculs qui vont suivre ne d pendent que du rationnel et pas de sa repr sentation sous forme de fraction Pour trouver le d veloppement d cimal d un rationnel il suffit d it rer ce processus En effet partant d un rationnel x nous venons de trouver ay Z tel que a GS lt a w l ce qui se lit galement comme ro Usel Tb Le chiffre suivant dans le d veloppement d cimal de x n est autre que la partie enti re de 10 qui s obtient en appliquant la m me m thode on fait la division euclidienne de 10ro par b soit 10r ajb ri avec aq EZet0 lt ri lt b l Alors la partie enti re de 10 est a En r p tant ce raisonnement ad libitam nous pouvons mettre sur pied l algorithme suivant Pour tro
162. ue sur son domaine de d finition est la fonction x x d finie sur R tout entier exercice Th or me 4 3 2 Th or me de Heine Soit f une fonction d finie et continue sur un segment a b Alors f est uniform ment continue sur a b Wet donc de nombreuses autres figures qui se d duisent d un rectangle comme les triangles les losanges les trap zes etc 4 3 INT GRALES 85 D monstration Par l absurde supposons qu il existe e gt O tel que pour tout n N il existe xn et yn dans a b tels que ra yn lt 1 et f xn fOn gt e Alors il existe une sous suite Xn Jen de Xn nen qui est convergente Comme x yn lt 1 pour tout n N la sous suite Yn en est galement convergente et de m me limite Par souci de simplicit nous ne consid rerons maintenant que ces sous suites et les appellerons donc Xn nen et Dia luet et leur limite Comme a b et que f est continue il existe gt 0 tel que pour tout z dans a b k 4 lt 6 IO PE lt SS Prenons alors N N tel que x lt et y lt pour tout n gt N Alors pour n gt N LG FO lt f amp n 4 Om 4 lt gt gt 8 Ceci contredit les hypoth ses ayant donn naissance aux suites X nen et Yn nen et prouve donc le Th or me de Heine a On dispose d un crit re commode pour identifier certaines fonctions uniform ment continues D finition 4 3 3
163. ugl lt 1 En particulier Vp gt N lu unl lt 1 donc la suite up p gt n est born e pourquoi Comme il ny a qu un nombre fini de termes avant le cran N on en d duit que la suite 4 ney est born e o 4 1 SUITES DE CAUCHY 78 Th oreme 4 1 4 Toute suite de Cauchy converge dans R La convergence syst matique des suites de Cauchy s appelle compl tude On dit que R est complet D monstration Pour d montrer le th or me nous allons construire un couple de suites adjacentes tel que leur limite commune dont nous savons qu elle existe soit galement la limite souhait e Prenons donc un nen une suite de Cauchy Nous savons qu elle est born e notons alors A gt O un majorant de sa valeur absolue de telle sorte que pour tout p entier up est dans A A Nous construisons ensuite par r currence une suite de segments an bn pour tout n N qui v rifient les propri t s suivantes 1 pour tout n N la longueur de est au plus se 2 pour tout n N In 1 C 1 les segments sont embo t s 3 pour tout n N il existe N N tel que pour tout p gt N up ln Les suites oe luet t bn nen formeront alors automatiquement un couple de suites adjacentes Pour la construction on pose bien s r J TA A qui convient Par la suite supposons Ju In construits Il existe donc un entier N tel que pour tout p gt N up In On choisit alors e i la propri t
164. ui sera pour nous celui donn par l algorithme et aucun autre Afin de disposer d une criture qui distingue criture d cimale et multiplications des chiffres a entre eux on notera souvent x ay 0 a1a243 Attention il est important de r aliser que cette criture n est qu une notation En effet nous ne sommes pas en mesure de faire des calculs avec des critures d cimales notamment cause du ph nom ne de retenues infinies cf plus loin Remarque 1 6 5 Le lecteur sera attentif au fait que le d veloppement donn ici correspond bien au d veloppement usuel lorsque le rationnel est positif mais ne l est pas lorsqu il est n gatif En effet la premi re tape de l algorithme consiste prendre la partie enti re ay de x puis d velopper le rationnel positif x ao Explicitons le cas de x 4 la partie enti re est ag 1 donc x ay 3 Le d veloppement obtenu est 1 1 0 66666 et pas 0 33333 comme l usage le voudrait Pour obtenir le d veloppement usuel d un rationnel n gatif il suffit d appliquer l algorithme pr c dent son oppos Ce choix pourra sembler maladroit au lecteur mais il est coh rent avec un objectif g n ral de ce chapitre obtenir une bijecton entre Q et un ensemble de suites d entiers et de chiffres le d veloppement usuel ne donne pas une telle bijection car il faut disposer d une information suppl mentaire le signe
165. us le verrons plus loin il peut exister des propri t s qui chappent cette d finition formelle Ces commentaires sont naturellement subtils Sans chercher les comprendre vraiment en d tails le lecteur pourra au moins retenir qu une construction de N ne peut tre enti rement satisfaisante lt 29 1 1 1 Propri t s de base Les premi res propri t s de l ensemble N des entiers naturels se d duisent facilement de cette construction Listons en cinq qui sont la base de toute l arithm tique 4 5 notation que nous abandonnerons bient t au profit d un n 1 classique et de bon go t Tout entier naturel n poss de un successeur que nous noterons encore pendant quelques lignes s n L ensemble N est totalement ordonn c est dire que l on peut toujours comparer entre eux deux nombres entiers Toute partie non vide de N poss de un plus petit l ment c est dire que dans toute partie A de N il existe a A tel que a lt x pour tout x de A diff rent de a Toute partie non vide et major e de N poss de un plus grand l ment c est dire que dans toute partie non vide et major e B de N il existe b B tel que b gt y pour tout y de B diff rent de b Pour tout entier n le successeur de n est le plus petit l ment de l ensemble p N p gt n Remarque 1 1 1 Profitons de ces propri t s pour rappeler quelques l ments importants de vocab ulaire n
166. us loin qu une assertion math matique bien construite ob it la r gle du tiers exclu c est dire qu elle ne peut tre que vraie ou fausse qu elle doit tre l un ou l autre et qu elle ne peut pas tre les deux la fois Pour bien comprendre ce que signifie cette affirmation il nous faudra cependant passer un peu de temps sur ce que bien construite veut dire Nous renviendrons donc un peu plus loin sur l attribution d une valeur de v rit chaque assertion Mais en quoi consiste une assertion Pour mieux le comprendre prenons des exemples a O 1 b Tout chien est un animal c 2 est un nombre pair d n est un nombre pair e si x y et z sont les longueurs des c t s et de l hypot nuse d un triangle rectangle alors x y 22 l hypoth se de Riemann g n ralis e entra ne la conjecture faible de Goldbach et l hypoth se de Lindel f mais ne prouve pas la conjecture abc Parmi celles ci la quatri me et la cinqui me sont int ressantes elles contiennent ce que nous appellerons des variables les lettres n x y et z dont les valeurs peuvent varier d o leurs noms Ici la zone dans laquelle ces valeurs se situent n est pas ici pr cis e de fa on explicite L assertion c se distingue de la d par la pr sence du chiffre 2 la place de la variable n ce symbole 2 n est pas une variable mais une constante un symbole dont le sens est connu sans ambigu t Les mat
167. us naturelle consiste r pondre et nous nous fonderons par la suite sur cette id e les nombres qui s crivent avec des chiffres apr s la virgule c est dire un d veloppement d cimal illimit Certes mais est ce si simple En particulier tes vous vraiment capable d additionner deux r els donn s sous cette forme Si les nombres sont des d cimaux pas de probl me mais si les d veloppements sont vraiment illimit s comment faire alors que l on peut se convaincre facilement qu is donnent ais ment naissance une infinit de retenues De fait cette question d licate n a t tranch e que relativement r cemment dans l histoire des math matiques la fin du XIX si cle suite aux efforts de Georg Cantor que nous avons d j rencontr au chapitre pr c dent et surtout Richard Dedekind La construction que nous donnons ci dessous n est pas la construction originale de Dedekind 1872 mais une autre qui pr sente l avantage de s appuyer sur notre tude des nombres rationnels Remarque L ensemble de ce chapitre est d un niveau d exigence plus lev que le reste du cours Pour conserver ce texte une longueur raisonnable nous ne donnerons donc ci dessous qu une version abr g e de la construction Le lecteur pourra trouver la construction compl te dans les deux r f rences suivantes Daniel Perrin Math matiques d cole chapitre 3 annexe BW Barbara and John
168. uver le d veloppement d cimal d un rationnel x donn sous forme de fraction on effectue les tapes suivantes 0 la division euclidienne de a par b a agb ro ay est la partie enti re de x 1 la division euclidienne de 10r par b 10r aib r1 2 la division euclidienne de 10r par b In ab r2 n la division euclidienne de 10r 1 par b 10rn 1 anb rn etc Le d veloppement d cimal de x est donn par la suite ai ieN Pourquoi cet algorithme fournit il bien un d veloppement d cimal Nous pouvons d j noter qu P exception de ay qui est la partie enti re de x et est donc un entier relatif les a sont des chiffres Lemme 1 6 4 D s que i gt 1 a 0 1 2 9 1 6 D VELOPPEMENT D CIMAL D UN NOMBRE RATIONNEL 42 D monstration Pour tout i gt 1 a est le quotient de la division euclidienne 10r _1 aib ri Or 10r 1 ab ri gt ab car ri gt 0 d o l on tire ri Si b a lt 10 lt 10 car r _1 lt b Par ailleurs 0 lt 10r 1 a b e a b b car ru gt 0 etr lt b d o l on d duit que a 1 b gt 0 et donc a gt 1 car b gt 0 o Le r sultat de cet algorithme sera d sormais appel le d veloppement d cimal du rationnel x il faut bien comprendre cette phrase si une criture d cimale est obtenue pour un rationnel x par un autre proc d elle n a aucune raison d tre le d veloppement d cimal de x q
169. ux d veloppements le propre et un impropre du m me r el De fait pour tout n gt N 1 At 107 9 4 107 D a 8 ya 107 cu 10740 D Dio 1 N o e et 7 sont des rationnels plus petits que 1074 D D s lors 1 Dio 1 Gi 1 10 10071 d o l on tire en r organisant le terme de droite M ym y 1 8 gut bi 100 ez y 4 107 7 eil 10 10 x y0 10 7 8 Comme y x en tend vers 0 en restant positive il existe un rang n tel que 0 lt y vim lt 10760 2 i in galit que l on peut injecter dans la pr c dente pour obtenir gu bau gt 10 IO OCI 100 7 ei gt 10 1064110742 100 107 1 1 10 1 9 10 S 10 l in galit interm diaire obtenue en utilisant les informations connues sur e et 7 Comme gut et bi 1 sont des chiffres cette in galit n est possible que si a 1 9 et b 1 0 En utilisant le m me argumentaire on montre ensuite par r currence que az 9 et bg 0 pour tout k gt io Etape 4 Soit maintenant x le r el dont le d veloppement d cimal est donn par len D apr s l tape pr c dente soit la suite oke est gale la suite ko soit x est un d cimal et a jey en est un d veloppement impropre Il ne reste plus qu prouver que x est la limite commune des suites x nen et Gen Mais cela s ensuit facilement de la d finition de x et de liens entre les suites b ex et aidien
170. verse 4 la multiplication est distributive sur l addition Th or me 2 3 2 Le corps R poss de un ordre qui est l ordre lexicographique sur les d veloppe ments d cimaux L ordre est compatible avec l addition et la mutiplication au sens o V x y E R x y gt 0 et xy gt 0 De plus R est un corps archim dien c est dire que W x y Ri ln N tel que nx gt y Th oreme 2 3 3 Le corps R des r els contient le corps Q des rationnels Ce dernier est dense dans R cf la Proposition 2 1 2 Th oreme 2 3 4 Tout couple de suites de r els formant un couple de suites adjacentes possede une limite commune Les pages qui pr c dent ont d crit une construction du corps R En r alit on peut montrer que tous les ensembles poss dant les m mes propri t s que R sont quivalents voir par exemple le livre de Daniel Perrin d ja cit pour un nonc plus d taill Par ailleurs il faut bien mesurer l importance du Th or me 2 3 4 La singularit de l ensemble des nombres r els vient en effet de cette propri t on peut noter par exemple que le corps Q lui m me v rifie 2 3 LE CORPS R 55 toutes les propri t s nonc es dans les trois autres th or mes Il s agit de ce que l on appelle souvent la propri t caract ristique de R Nous verrons au chapitre suivant qu il existe plusieurs formulations possibles de cette propri t caract ristique et que chacune d entre e
171. xp par x lt xo et x gt xo par x gt xo Exemple Reprenons le m me exemple que pr c demment f x sin 1 pour tout x 0 et ajoutons y que cette fois ci f 0 0 D apr s le 1 de la Remarque 3 3 3 f n a pas de limite lorsque x tend vers 0 puisque cette limite ne peut tre que O si elle existe or nous avons d j vu que f n admet pas 0 comme limite lorsque x tend vers 0 Nous pouvons nous demander maintenant si elle admet une limite point e lorsque x tend vers O En r alit ce n est toujours pas le cas car pour tout dans R nous pouvons trouver des points aussi proches que l on veut de O et distincts de O dont l image est distance au moins f de exercice 3 3 LIMITES DE FONCTIONS 67 3 3 2 Op ration sur les limites de fonctions en un point Comme pr c demment les propri t s suivantes sont bien connues Proposition 3 3 4 Soit f une fonction xy un point adh rent son domaine de d finition et un r el tel que f converge vers lorsque x tend vers xp Alors 1 la fonction f converge vers Jl lorsque x tend vers xo 2 pour tout R Af converge vers Af lorsque x tend vers xo Proposition 3 3 5 Soient f et g deux fonctions xy un point adh rent l intersection de leurs domaines de d finition et des r els et tels que f et g convergent respectivement vers et lorsque x tend vers xo Alors 1 la fonction f g d finie sur l intersection de
172. xte math matique exemples motivations commentaires etc dont la pr sence est souvent indispensable pour la compr hension mais au moins formellement n est pas n cessaire pour la coh rence logique du discours QU EST CE QU UN TEXTE MATH MATIQUE 13 Les d finitions se reconnaissent ais ment Bien que parfois d guis es elle peuvent toujours se r crire sous la forme suivante Un objet qui v rifie telle et telle propri t est appel suivi d un mot nouveau c est dire en principe qui n est jamais apparu pr c demment Les propositions et les d monstrations math matiques se ressemblent elles sont constitu es de ce que nous appellerons des assertions math matiques Les assertions math matiques sont des nonc s respectant certaines r gles de construction et qui de plus poss dent ce que nous appelerons une valeur de v rit vrai ou faux Propositions et d monstrations se distinguent par la fa on dont le vrai et le faux y interviennent Lorsque l on nonce une proposition on affirme arbitrairement c est dire sans justification ce stade qu une certaine propri t est vraie Lorsque l on fait une d monstration on part d une ou plusieurs propri t s que l on sait vraies des propositions nonc es et d montr es pr c dem ment et on progresse gr ce l usage de r gles logiques bien identifi es jusqu parvenir la proposition souhait e Nous verrons pl

GLMA202 CONCEPTS FONDAMENTAUX EN ANALYSE

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