Comportement d`une suite
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1. la suite peut tre croissante sans que la fonction le soit en effet f peut avoir des variations quelconques entre deux entiers cons cutifs Exemple 15 1 Soit u gt 0 d finie par un f n avec f x E R gt R telle que f x 5 f est d finie sur R 2 donc a fortiori sur R elle est galement d rivable sur R Pour tout x R4 on a f x EEN donc f x gt 0 et la fonction f est strictement croissante sur R4 La suite un n gt 0 est donc strictement croissante V rifions ce r sultat graphiquement On trace le graphe de la fonction les indices sont en abscisse et les termes de la suite en ordonn e ce graphique est coh rent avec notre affirmation Remarque 15 2 Attention ne pas confondre le gra phique ci dessus avec le graphique correspondant une suite r currente du type un f un o l on rebon dit sur la diagonale pour trouver le terme suivant voir exemple ci contre 3 U2 U3 131 Dans une suite r currente du type un 1 f u n ils se peut que la fonction soit croissante et la suite d croissante uo 3 Un 1 y Un d croissante Faisons un dessin Par exemple en posant l o la fonction affine x vyz est strictement croissante mais la suite un est 1 Placer uo sur l axe des abs cisses 1 5 2 Tracer en pointill s la premi re diagonale droite 1 4 d quation y x 3 Tracer en pointill le segment joi2. rique et l un r el On dit que un a pour limite l ou que un tend vers l lorsque n tend vers oo lorsque les termes de la suite sont aussi proche que l on veut de l partir d un certain rang On note lim tn Lorsqu un suite admet une limite finie on dit qu elle est convergente dans R Sinon on dit qu elle est divergente Si une suite est convergente sa limite est unique 133 B Exemples de limite infinie Il arrive que les termes de la suite ne s accumulent pas aupr s d une valeur mais deviennent de plus en plus grands exemple ci contre Dans ce cas on dit que un a pour limite oo Si les termes deviennent de plus en plus petits c est dire s il s agit de nombres n gatifs ayant des valeurs absolues de plus en plus grandes on dit que la suite un a pour limite oo On note lim un oo ou lim un c Une suite dont les termes tendent vers oo ou c lorsque n n 00 n OO tend vers 0 est dite divergente En effet le terme convergente est r serv aux limites l R or et c n appartiennent pas R Exemple 15 4 Cette suite est divergente elle tend vers 00 On note lim un 00 n C Exemples de dispersion de termes Enfin les termes de certaines suites se dispersent ils ne s accu mulent pas autour d une valeur et ne tendent pas non plus vers un infini exemple ci contre Dans ce cas on dit que un n a pas de li mit
3. restera toujours une distance non nulle parcourir la fl che n atteindrait elle donc jamais la cible Une telle d marche qui met en jeu des moiti s puis des moiti s de moiti s est appel e dichotomie Du grec ancien dikhotomia lt division en deux parties gt Les suites g om triques sont sous jacentes dans les paradoxes de Z non La limite de telles suites intervient aussi dans les l ments d Euclide Alexandrie env 300 avant J sus Christ L Analyse fit d normes progr s au cours des XVIIe et XVIIIe si cles Les math maticiens de cette poque avaient une intuition claire de la notion de limite On trouve l id e par exemple chez Leibniz dans le premier article qu il publia en f vrier 16822 L objet de cet article est de donner le nombre mn comme la somme suivante m All i s 3 5 5 S etc Et Leibniz d crire lt L ensemble de la s rie renferme donc en bloc toutes les approximations c est dire les valeurs imm diatement sup rieures et inf rieures car mesure qu on la consid re de plus en plus loin l erreur sera moindre que toute grandeur donn e gt Cependant les math maticiens de l poque n essay rent pas de d finir pr cis ment le concept de limite Ils se fiaient leur intuition et menaient souvent des raisonnements peu rigoureux qui parfois les induisaient en erreur mesure toutefois que s tendaient les recherches et les d couvertes
4. 1 gt Un amp HE gt 1 Une m thode d tude du sens de variation d une suite consiste donc tudier la position par rapport 1 du quotient dans le cas g n ral e Si gt 1 alors un est strictement croissante e Si lt 1 alors un est strictement d croissante e Si 1 alors un est constante a Si Un 0 on ne peut pas diviser et si un lt 0 diviser par un change le sens de l in galit En fait cette m thode s adapte aux suites dont les termes sont de signe constant Cette m thode est utilis e en particulier dans le cas d une suite g om trique voir Chapitre 11 Propri t 11 3 Mais elle peut galement tre utile dans de nombreux autres cas 132 2 Approche de la notion de limite A Exemples d accumulation de termes Exemple 15 3 Consid rons la suite an d finie pour n N n gt 1 par un Ses premiers termes sont 1 3 35 53 1201 Pla ons les termes sur une droite gradu e Lorsque n devient grand les termes s accumulent pr s de z ro On dit que la suite an a pour limite 0 lorsque n tend vers l infini Bien entendu les termes ne s accumulent pas toujours autour de 0 exemple d une suite de limite 2 suite de terme g n ral un 2 Il peut galement arriver que la suite oscille autour de sa limite en s en approchant suite de terme g n ral LLAU Un T D finition 15 2 Soient un une suite num
5. Comportement d une suite Transmath 2011 p 145 Objectifs e tudier le sens de variation d une suite e Approcher la notion de limite de suite e Etre capable d exploiter la repr sentation graphique des termes d une suite pour mettre des conjectures quant son sens de variation et sa limite e Traiter l aide d un tableur ou d un algorithme des probl mes de comparaison d volution ou de seuil Aper u historique Se r f rer au Chapitre 6 pour une introduction historique de la notion de suite Dans l Encyclop die Raisonn e de d Alembert et Diderot 1751 une grande part est laiss e aux suites et s ries dont le principal int r t semble tre leur convergence La convergence d une suite fait r f rence l existence ventuelle d une limite pour cette suite cette limite est une valeur dont se rapprocheraient les termes de la suite lorsque n devient tr s grand On peut faire commencer l histoire du concept de limite avec Z non d l e qui v cut autour de 450 avant J sus Christ et fut un disciple de Parm nide Il est surtout connu pour ses paradoxes qui pr tendent d montrer l impossibilit du mouvement par exemple pour qu une fl che atteigne sa cible il faut qu elle parcoure la moiti de la distance qui la s pare de celle ci puis la moiti de la distance restante soit 1 4 de la distance originelle puis la moiti de la distance restante etc si bien qu il
6. e C est un autre cas de suite divergente Exemple 15 5 uo 0 t Un 1 E 0 37 a Cette suite est divergente elle tend vers 020 On note lim un 00 n OO 134
7. en Analyse au cours de XIXe si cle la n cessit de d finir clairement les concepts et les termes mis en uvre se fit sentir Cette mise en ordre commence avec Louis Augustin Cauchy 1789 1857 qui fait de la limite une des notions centrales de l Analyse Il en donne la d finition suivante dans son Cours d Analyse de l cole Polytechnique Lorsque les valeurs successivement attribu es une m me variable s approchent ind finiment d une valeur finie de mani re en diff rer aussi peu qu on voudra cette derni re est appel e limite de toutes les autres gt Cependant c est l allemand Karl Weierstrass 1815 1897 que l on doit le langage tr s pr cis plus math matique qui seul permet de raisonner correctement Voici la d finition moderne du fait qu une suite admet une limite finie On dit qu une suite un de nombres r els admet pour limite le r el A si pour tout r el strictement positif aussi petit que l on veut il est possible de d terminer un entier naturel N tel qu au del du rang N tous les termes de la suite u sont loign s de A d une distance inf rieure ou gale Z non d l e Euclide Leibniz Cauchy Weierstrass 130 Pour tudier le comportement d une suite il peut tre tr s utile de travailler sur sa repr sentation graphique attention il ne faut pas relier les points pour obtenir une telle repr sentation on pourra utiliser un logiciel com
8. gnant uo et la diagonale puis rebondir sur la diago nale tracer en pointill s le 08 segment horizontal joignant la diagonale et la droite qui 0 8 correspond f x 4 Tracer en pointill s le seg ment qui redescend vers l axe des abscisses l abscisse obte nue correspond u1 0 4 5 R it rer le proc d 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 2 2 2 4 2 6 28 3 3 2 M thode 2 Diff rence de deux termes cons cutifs Pour n EN Un 1 gt Un amp Un 1 Un gt 0 Une m thode d tude du sens de variation d une suite consiste donc tudier le signe de la diff rence u 11 un dans le cas g n ral e Siun 1 Un gt 0 alors un est strictement croissante e Siun 1 Un lt 0 alors un est strictement d croissante e Siun 1 Un 0 alors un est constante Cette m thode est utilis e en particulier dans le cas d une suite arithm tique voir Chapitre 11 Propri t 11 1 Mais elle peut galement tre utile dans de nombreux autres cas vo 10 Un 1 un J r 1 Pour tudier les variations de vn on va calculer v 1 Vn Exemple 15 2 Soit vn n gt o la suite d finie par Un 1 Un Vn BUn 1 Un AU 1 vn 1 Or vn 1 gt 0 pour tout n N en tant que carr Donc la suite vn n gt 0 est strictement croissante M thode 3 Suites termes positifs Quotient de deux termes cons cutifs Pour n N si un gt 0 Un
9. me GeoGebra ou bien sa calculatrice se r f rer la fiche mode d emploi qui est en ligne ou au contenu du chapitre 6 en n oubliant pas de basculer en mode suites 1 Sens de variation d une suite A D finition interpr tation graphique D finition 15 1 On dit que la suite un n gt o est e strictement croissante si pour tout n N Uun 1 gt Un e strictement d croissante si pour tout n N Un 1 lt Un e constante si pour tout n N Un 1 Un Graphiquement lorsque la suite est croissante les points qui la repr sentent montent lorsqu elle est d croissante ils descendent et lorsqu elle est constante ils forment un plateau Remarque 15 1 On dit que la suite un n gt o est e croissante si pour tout n N un 1 gt Un e d croissante si pour tout n N Un lt Un B M thodes d tude et premiers exemples M thode 1 Suite d finie explicitement en fonction de n Si un n gt 0 est d finie par une formule du type un f n o f est une fonction donn e d finie sur R alors e Si f est strictement croissante sur R alors la suite un n gt 0 est strictement croissante e Si f est strictement d croissante sur R alors la suite un n gt 0 est strictement d croissante Ceci est vrai galement pour une fonction f croissante ou d croissante in galit larges la suite sera alors crois sante ou d croissante Attention la r ciproque est fausse
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