Sujets et corrigés du Rallye Mathématiques d`Alsace 2004
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1. gale et au plus gale 100 Or on peut voir que hormis l impossibilit de payer une somme de 1 euro avec 3 pi ces il est toujours possible de payer une somme de n euros avec un nombre de pi ces compris entre et 100 Une id e peut tre de partir du plus petit nombre possible de pi ces c est dire pi ces de 1 euro chacune et d op rer des substitutions pour augmenter ce nombre de pi ces Pour augmenter de 1 le nombre de pi ces on dispose de plusieurs possibilit s de base consistant remplacer 1 pi ce par 2 ou 2 par 3 ou 3 par 4 e 1 pi ce de 1 euro ou 100 centimes par 2 de 50 centimes e 1 pi ce de 20 centimes par 2 de 10 centimes e pi ce de 10 centimes par 2 de 5 centimes 1 pi ce de 2 centimes par 2 de 1 centime 1 pi ce de 50 centimes et 1 de 10 centimes par 3 de 20 centimes 1 pi ce de 5 centimes et 1 de 1 centime par 3 de 2 centimes e 3 pi ces de 50 centimes par 1 de 1 euro 2 de 20 centimes et 1 de 10 centimes e 3 pi ces de 5 centimes par 1 de 10 centimes 2 de 2 centimes et 1 de 1 centime 57 RALLYE MATH MATIQUE D ALSACE 2004 L ventail des possibilit s ainsi offertes permet de r soudre le probl me provenant du fait qu une conversion directe d une pi ce de 50 centimes ou d une pi ce de 5 centimes ne conduit pas augmenter le nombre de pi ces en jeu de 1 mais de 2 ou plus Seul le cas o la vari t des pi ces disposition serait quasiment inexistante c2. 2004 Exercice 1 Comment r gler l addition On dispose de pi ces de 1 2 5 10 20 et 50 centimes ainsi que de 1 en aussi grande quantit que l on veut On suppose qu il est possible de payer une somme de centimes avec pi ces Est ce que l on peut payer une somme de z euros avec pi ces Exercice 2 Construction d un pentagone On dispose de 5 points I J K L M du plan sommets d un pentagone convexe c est dire tels que 3 sommets parmi les 5 ne sont jamais align s et tout segment reliant 2 sommets parmi les 5 est contenu dans le pentagone Proposer une construction d un pentagone ABCDE tel que les points I J K L et M soient respectivement les milieux des c t s AB BC CD DE et EA Exercice 3 La somme constante On num rote les cases d un chiquier carr de 31 lignes et 31 colonnes par les entiers de 1 312 en d crivant successivement les 31 lignes de gauche droite On choisit 31 cases en en prenant une seule sur chaque ligne et sur chaque colonne Montrer que la somme de leurs num ros est ind pendante du choix des cases 56 SUJETS ET CORRIG S CORRIG S DES SUJETS DE PREMI RES Exercice 1 Comment r gler l addition Consid rons une somme quelconque en centimes r alis e par un certain nombre de pi ces Par exemple avec 3 pi ces de 5 centimes 4 de 2 centimes et 2 de 1 centime soit un total de 9 pi ces on obtient 25 centimes Rempla
3. le milieu de DC et KK Ca D apr s la r ciproque du th or me des milieux K est le milieu de DA On a la relation KA DA e Dans le triangle EDA L et M sont les milieux de ED et HA d apr s le th or me des milieux on a l galit LM DA Soit K A IM Le point A est l image du point K par la translation de _ vecteur LM Synth se Le point A est l image du point K par la translation de vecteur JI suivie de la translation de vecteur LM Pour obtenir les autres sommets il suffit d effectuer les sym tries centrales successives par rapport aux milieux des c t s Mais les conditions de l nonc ne nous assurent pas d obtenir toujours un v ritable pentagone Si on consid re un parall logramme IJKL et un point quelconque M qui peut donc tr s bien tre tel que IJKLM est un pentagone convexe la compos e des sym tries respectives par rapport I J K L et M n est autre que la sym trie par rapport M On tombe en tel cas sur A et E tous deux en M Le pentagone obtenu serait alors ABCDA 3 V Un dr le de pentagene Situation g n rale 59 RALLYE MATH MATIQUE D ALSACE 2004 Exercice 3 La somme constante Pour un chiquier 10x10 cases num rot es de 0 99 le r sultat serait vident puisque les colonnes correspondraient aux unit s de 0 9 et les lignes aux dizaines de 0 9 galement En prenant 10 cases raison d u
4. ons pr sent ces pi ces selon le mode d emploi suivant e chaque pi ce de 5 centimes j associe 5 pi ces de 20 centimes e chaque pi ce de 2 centimes j associe 2 pi ces de 50 centimes e chaque pi ce de 1 centime j associe 1 pi ce de 1 euro soit 100 centimes On a ainsi substitu chaque pi ce de d part la valeur de 1 euro r alis e par un nombre de pi ces gal la valeur en centimes de cette pi ce de d part Dans le cas pr sent on aboutira donc 9 euros r alis s par un nombre de pi ces gal la somme de d part en centimes c est dire 25 La proc dure est la m me pour le cas g n ral il suffit de compl ter l indication de substitution pour les pi ces qui ne figuraient pas dans l exemple tudi chaque pi ce de 1 euro 100 centimes j associe 100 pi ces de 1 centime chaque pi ce de 50 centimes j associe 50 pi ces de 2 centimes chaque pi ce de 20 centimes j associe 20 pi ces de 5 centimes e chaque pi ce de 10 centimes j associe 10 pi ces de 10 centimes La raison de la r ussite de l op ration est qu chaque valeur de pi ce en centimes il correspond une valeur dont le produit avec la premi re est gal 100 Compl ment La r alisation de 7 euros par pi ces est en g n ral loin d tre unique La valeur d une pi ce tant d au moins 1 centime et d au plus 1 euro soit 100 centimes la somme 77 en centimes que l on paye avec pi ces est au moins
5. RALLYE MATH MATIQUE D ALSACE 2004 31 DITION CLASSE DE TERMINALE 10 mars 2004 Exercice 1 Le triangle mill sim On forme un tableau triangulaire d entiers de la mani re suivante RON R Sd se 2001 2002 2003 2004 SON CR DT a aE s a 4003 4005 4007 SE LS 8008 8012 122 heat en dar 16020 Chaque entier du tableau est la somme des deux entiers de la ligne pr c dente qui encadrent Montrer que les entiers situ s au sommet de ce triangle sont tous les trois divisibles par 2004 Exercice 2 L aire minimale Deux demi droites du plan sont perpendiculaires et de m me origine O On consid re un point M dans le quart de plan qu elles d finissent et une droite D passant par M La droite D coupe les demi droites en deux points et B Comment choisir la droite D pour que Paire du triangle OAB soit minimale Exercice 3 La sph re et les cubes Au moyen de 216 petits cubes de 1 cm de c t on construit un grand cube de 6 cm de c t On note O son centre Combien la sph re de centre O et de diam tre 6 cm contient elle petits cubes entiers L OUVERT 109 2004 53 RALLYE MATH MATIQUE D ALSACE 2004 CORRIG S DES SUJETS DE TERMINALES Exercice 1 Le triangle mill sim Par r currence on d montre les deux r sultats suivants e La ligne de num ro n est une progression arithm tique de raison 2 e Le premier terme de la ligne num ro n est gal n 1 2r2 En
6. effet la somme des deux termes de rang k et k 1 d une progression arithm tique de premier terme a et de raison r soit a kr et a k 1 r est gale 2a r 2r publicit gratuite Pour une marque de d tachant On obtient de la sorte le terme de rang k d une progression de Premier terme 2a r et de raison 2r La premi re ligne tant la suite des entiers naturels Progression arithm tique de premier terme O et de raison 1 les r sultats nonc s s en d duisent Jacilement Le premier terme de la ligne de num ro 2005 attention au coup des arbres et des intervalles est par cons quent 2004x2203 C est bien un multiple de 2004 Exercice 2 L aire minimale Solution analytique On d finit un rep re orthonorm 0B d origine le point O pd PA otigine commune des deux demi droites perpendiculaires Le point M de coordonn es a b est donn soient A p 0 et B 0 g On suppose A et B distincts donc p etg non nuls e La droite AB passant par M on d termine q en fonction de p W q p a e On en d duit Paire du triangle OAB rectangle en O en fonction de p soit p paue CEE e En tudiant les variations de la fonction f sur l intervalle 0 on en d duit la valeur po de p qui minimise la fonction f On trouve po 2a puis g 2 54 SUJETS ET CORRIG S Solution g om trique On d finit les points suivants e M et M sont les projet s orthogonaux du point M respectiveme
7. ne seule sur chaque ligne et chaque colonne on obtiendrait toutes les valeurs d unit de 0 9 et toutes les valeurs de dizaine de 0 9 La somme des num ros serait donc gale 1x0 1 2 9 10X 0 1 2 9 11x 9x10 2 495 Le cas consid r est de m me nature ceci pr s que l on volue de 31 au lieu de 10 quand on passe d une ligne la suivante et que l on commence 1 au lieu de 0 On aboutira donc au r sultat 1x 1 2 31 31x 0 1 30 31 32x 30x31 2 14911 60
8. nt sur OA et sur OB e B et M sont les sym triques respectifs de B et M2 par rapport au point M e H est le projet orthogonal de M sur OA Les triangles MM B et MM B sont isom triques ils ont donc la m me aire Le rectangle OM M H a alors la m me aire que le trap ze OBB H aire OAB aire OBB H aire B HA aire OM M H aire B HA 2XOM XOM aire B HA ind pendan t de la droite AB Laire du triangle OAB sera minimale lorsque Paire du triangle B HA sera nulle pour cela il faut placer le point A en H Exercice 3 La sph re et les cubes La sph re de centre O et de rayon 3 est le lieu des points dont la distance O est gale 3 Consid rons un rep re orthonorm de centre O d axes parall les aux ar tes des cubes On peut restreindre la recherche des cubes enti rement int rieurs cette sph re l octant des points de coordonn es x y et z toutes positives Or dans cet octant trois sommets B C de cubes ont deux coordonn es gales 2 et une gale 1 Comme 2 22 12 9 32 ces trois sommets sont une distance de O exactement gale 3 La figure fait ainsi appara tre 7 cubes int rieurs la sph re dans l octant consid r En multipliant par 8 on obtient le nombre total de cubes int rieurs la sph re savoir 56 RALLYE MATH MATIQUE D ALSACE 2004 RALLYE MATH MATIQUE D ALSACE 2004 31 DITION CLASSE DE PREMI RE 31 mars
9. onstitue alors un obstacle Pour un nombre entier d euros il n y a impossibilit que si on est devant un nombre de pi ces de 50 centimes inf rieur 3 et s il n y pas de pi ce de 10 centimes en accompagnement c est la situation o l on est seulement en pr sence de deux pi ces de 50 centimes que l on ne pas remplacer par trois pi ces totalisant la m me valeur Comme on ne peut pas payer 3 centimes avec une seule pi ce la seule objection possible dispara t L tude g n rale montre que la convaincante d monstration pr c demment faite n avait finalement qu un int r t r duit En math matiques et pas seulement dans les arts pourrait il parfois y avoir une gratuit de l esth tique Suppl ment Pourrait on poser le m me probl me aux Etats Unis o le dollar est subdivis diff remment de l euro il y a par exemple une pi ce de 25 cents one quarter Exercice 2 Construction d un pentagone Partons d un pentagone ABCDE dont les milieux des c t s seraient les points I J K L et M et essayons partir des milieux de construire l un des sommets du pentagone D terminons les trois triangles ABC ACD et ADE e Dans le triangle ABC I et J sont les milieux des c t s BA et BC d apr s le th or me des milieux on peut affirmer que U CA e Soit K limage du point K par la translation de vecteur JJ Donc KK IJ CA 58 SUJETS ET CORRIG S e Dans le triangle DAC K est
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