Rallye Mathématique de Franche-Comté - Irem de Franche
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1. Enonc Quelle distance peut on parcourir avec une voiture disposant de 7 pneus neufs sachant que chaque pneu peut faire 40 000 km Objectifs L nonc est court dr le veille la curiosit Il semble facile mais il n cessite un raison nement et une justification une fois que l on a obtenu une distance parcourir avec les 7 pneus il reste v rifier qu il s agit de la plus grande possible Il n y a pas de m thode vidente ni de contenu math matique apparent Les objectifs sont donc les suivants 1 Apprendre d velopper une strat gie permettant de r soudre un probl me plusieurs contraintes Savoir respecter des contraintes et les utiliser de fa on optimale 2 Formuler clairement son raisonnement Solution Une id e pour r soudre le probl me en effectuant des changements successifs d un pneu parmi 4 on r partit l usure due la distance parcourue sur l ensemble des pneus En changeant un pneu tous les 10000 km comme le sugg re le tableau ci dessous au bout du septi me changement tous les pneus ont parcouru 40000 km on peut donc parcourir 70000 km Dans le tableau figurent les kilom tres parcourus par chacun des pneus utilis s au moment du changement Pneu 1 Pneu 2 Pneu 3 Pneu 4 Pneu 5 Pneu 6 Pneu 7 IE changement 10000 10000 10000 10000 2 changement 20000 20000 20000 10000 3 changement 30000 300002. AASSILA M 300 d fis math matiques Editions Ellipses ARSAC G GERMAIN G MANTE M Probl me ouvert et situation probl me I R E M Acad mie de Lyon ARSAC G CHAPIRON G COLONNA A GERMAIN G GUICHARD Y MANTE M Initiation au raisonnement d ductif au coll ge IREM de Lyon Presses Universitaires de Lyon Comit International des Jeux Math matiques PanoraMath96 Panorama 1996 des com p titions math matiques CIJM Paris 1996 Co dition CIJM APMEP ACL Comit International des Jeux Math matiques PanoraMath 2 Panorama 2000 des com p titions math matiques CIJM Paris 1999 Co dition CIJM APMEP ACL Comit International des Jeux Math matiques PanoraMath 3 Panorama 2002 des com p titions math matiques CIJM Paris 2002 Co dition CIJM APMEP ACL ERMEL Vrai Faux On en d bat De l argumentation vers la preuve en math ma tiques au cycle 3 Institut National de Recherche P dagogique Paris 1999 FERACHOGLOU R FAFOND M 100 friandises math matiques IREM de Dijon Ellipse 2002 HALMOS P Probl mes pour math maticiens petits et grands Le sel et le fer CASSINI Paris 2000 La fraction du bicentenaire championnat de France volume n 5 Jeux math matiques et logiques Hatier collection jeux math matiques sous la direction de Gilles COHEN Le plaisir de chercher en math matiques et autres textes de didactique Publication de l LU F M de Nice Universit de Nice Sophia Antipolis Inst
3. l ve est nouveau appel puiser dans les configurations connues et manipuler avant de valider sa r alisation d marche d analyse synth se R sultats correction et analyse Cet exercice a obtenu 100 de bonnes r ponses avec quatre types de construction a la majorit s appuie sur la construction d un cercle de centre D passant par A et d un hexagone r gulier inscrit dans ce cercle b quelques r ponses reposent sur le m me principe mais partir d un demi cercle seulement 10 c une r ponse originale n utilise que des triangles quilat raux Ke Correction a Pour ce qui est de l hexagone r gulier on peut juger connu le fait que le centre de son cercle circonscrit est centre de sym trie du polygone donc le sommet C oppos A est bien son sym trique par rapport B b Dans ce cas de figure seul le demi cercle de centre B est trac partir de A puis le rayon est report trois fois ce qui revient en fait tracer trois triangles quilat raux isom triques Il peut sembler n cessaire alors de d montrer l alignement des points A B et C Cela se fait ais ment en invoquant les parall logrammes de la figure ou tout simplement en montrant que la somme des angles au centre vaut 180 c On trace deux triangles quilat raux de c t AB on obtient le losange AEBF puis on trace le triangle quilat ral EFC afin d obtenir le point C Dans un premier temps il fau
4. 20000 10000 4 changement 40000 30000 20000 10000 5 changement 20000 40000 30000 20000 6 changement 30000 30000 40000 30000 7 changement 40000 40000 40000 40000 L analyse des productions r v le une grande richesse dans la formulation des d marches Certains groupes ont pris beaucoup de soin pour communiquer celle ci 14 Typologie des productions 1 Pas de permutation des pneus La distance que l on peut parcourir est WO 000 ETO Votre d marche da volore peur parcourir WOOO Kn ear on A au d part U press qui roulenr en m me termes donc ils s usent Vous les amp en po Ame femps On AT preus au d part dons l o en reste que 3 ef la ETZ ne peuk Gas roul r avec 3 preas 2 R ponse qui n optimise pas l utilisation des pneus La distance que l on peut parcourir est 60 000 a au MUK Votre d marche m AISSA 20 009 be pe h preys meuh bug direan d M PUN uh 2C 000 hem Mmou wau eF an hang amp pam qui at kalahan AE deg adizu a em Cefai rd pra sati 3 Production sous la forme d une narration Dans les deux productions ci dessous on cherche d j utiliser un train de pneus sur 30000 km on utilise ensuite les trois pneus restant avec en compl ment un pneu us pendant 10000 km On r p te l op ration 4 fois La distance que l on peut parcourir est FOODS RM Votre d marche Nous kiss U pneus Din de Rouler SUK JUNG Sling de Er be DOE ditze Jes pren qui o
5. AB tel que AC 6 cm ce triangle existe On note T et J les milieux de AC et BC facilement rep rables avec les allumettes et on trace le losange CJOI de c t 3 cm On obtient alors une configuration qui est celle du sym triseur L inhabituel pour les l ves dans la justification de cette construction r side dans le fait de d montrer d abord que les points A O et B sont align s puis enfin que O est le milieu de AB Cela se fait en utilisant par exemple les parall logrammes de la figure g om triquement ou vectoriellement c On se base nouveau sur le segment r tr ci AEI mesurant 5 5 cm On trace le triangle isoc le AGE de base AEI tel que AC 6 cm et on note 1 le milieu de C B La construction est achev e en positionnant l extr mit d une allumette en I et l autre extr mit sur le segment ARI on obtient le point O milieu de AB La technique utilis e qui consiste appuyer une allumette sur deux autres peut sembler impr cise et poser un probl me de rigueur aux l ves Nous l avons consid r e valable estimant que les l ves utilisaient cette allumette comme un compas La justification peut tout de m me se r v ler d licate pour les l ves qui reconnaissent la configuration du th or me de la droite des milieux mais n en poss dent pas toutes les hypoth ses On peut proposer une d monstration en avan ant le fait que les triangles ACB et OE sont isoc les de bases LARI
6. mes la coh rence des unit s le d cim tre n ayant pas t cit On note h la hauteur de liquide en d cim tres et V le volume de liquide en litres Si 0 lt h lt 1 partie cylindrique alors V 7 x 1 x h rh et le volume total du cylindre vaut 7 litres h r 2 Sil lt h lt 2 alors V 7 4 as B SO et le volume total du r cipient est 10 Se litres 3 107 Finalement se donnant V nombre entier inf rieur ar on peut obtenir h V Si V 0 1 2 3 alors h situation de proportionnalit T 313 Si V 4 5 6 7 8 9 10 alors h A V 2 situation de non proportionnalit T 26 Cette d marche met en uvre la notion de fonction r ciproque applicable ici du fait que 107 la fonction V est bijective de l intervalle 0 2 dans l intervalle 0 Correction et analyse La d marche de mod lisation attendue a t rencontr e dans toutes les copies o l exercice a t abord les inconnues tant bien le volume et la hauteur de liquide vers En ce qui concerne la graduation de la partie cylindrique du r cipient la situation de proportionnalit a mis les l ves en confiance la relation entre V et h tant assez simple Dans quelques copies assez impr cises au niveau des justifications on note tout de m me une graduation approximative le volume du cylindre tant de 7 litres soit environ trois litres le partage du cylindre en trois a pu tre fait la main
7. 765 1 842 1 913 1 979 30 Vue de fe 31 Variante 2 Le r cipient est constitu d un pav droit base rectangulaire de c t s 20 cm et 10 cm et de hauteur 10 cm et d un prisme droit base trap zo dale de hauteur 10 cm et dont le trap ze de base admet un axe de sym trie des segments parall les de longueurs 20 cm et 40 cm et une hauteur de 10 cm On obtient alors les volumes suivants SiO0 lt h lt Lalors V 2 x 1 x h 2h et pour h 1 ona V gt 2 2h h 1 eu L pour une hauteur h de liquide la grande base du trap ze mesure 2h et sa hauteur h 1 et pourh 2 alorsV 5 La fonction volume est toujours bijective de 0 2 dans 0 5 on donne donc les expressions de h en fonction de V en dm et litres Si 0 lt V lt 2 alors h Si2 lt V lt 5 alors h VV I Les expressions trouv es sont dans ce cas ci tr s simples et on obtient le tableau de valeurs suivant V en litres 1 2 3 4 5 h en dm 0 5 1 1 414 1 732 2 2 h 1 en montrant nouveau que 32 Vue de ic eer D zke bro AGOR 34 Les sites web pr sentant des rallyes math matiques APMEP http www apmep asso fr BMjml html IREM de Lyon http www2 ac lyon fr enseigne math panorama concours html Rallye math matique de la Sarthe http www univ lemans fr benard rallye rallye html Le
8. de carreaux au hasard Seule la premi re exigence a t satisfaite Quatre classes ont bien analys le probl me une classe a utilis sans le d montrer le rapport des aires Chaque couleur represente V egwitaleat de O pebits GGA TZOA x une classe a pris les mesures sur le dessin h doie Un dm SE du MAR pu E IO d wk pou paul ewi mos Alm de cot pou un pubit c urs Ldi tu Gia de 446 a d i Arb m pa UM NE Mangu 256 em d aia Om PA MA rayah d wen GZ Ten 125 La gek b ki Z ngam ani jama biba SA Aa 3Sa yih 4 Ed OMC A eia dm Ch a de NFS edeki A On guei mul GAZ putih Lenis e GE EA de ES Ze LET A aum et Za i gt ag E pa Ge LAS 8 75 Le d eut i y mpina bea dar Qu din 24 deux classes ont essay de faire des calculs bk iez IE ta 0015 EEEREN hia d un pif ot Sp 4 de Vo dieza DE E opas pad Gia EEE Ziriza erka aitik per XS pole 2 eue dere coms eka Gei de Ricoh dk ekien e meune ef guk egik du Aa OO b ibe Zee pps bei Laon des Bas donc fe cole d kua perd a I D Ea dd eka guek ME ar ega ei berd GE et ek C US e CHE d un pam came uY zaa au doul amp J 44 J Je e Donc un and ame deei at deux pelih audi io ETT ed Soit Le c t d an com de pa ar t dez Exploitation ult rieure On peut essayer de rechercher un coloriage pour les deux carreaux de gauche permettant ensuite de colorier tout le panneau par translation On peut se poser la m me qu
9. emploi de la fonction cube Nous proposons ici deux variantes cet exercice reposant sur deux r cipients qui diff rent du premier par leur forme Le probl me reste toujours la graduation du r cipient de hauteur 2 dm tous les litres Les objectifs restent inchang s Variante 1 Le r cipient est constitu d un parall l pip de rectangle base carr e de c t 20 cm et de hauteur 10 cm et d un tronc de pyramide bases carr es de c t s 20 cm et 40 cm et de hauteur 10 cm On remarque nouveau que le sommet de la pyramide enti re est le centre du carr la base du r cipient ce qui facilite les calculs On obtient les r sultats suivants en dm et litres SiO0 lt die 1 alors V 2 x 2 x h 4h et pour h 1 on a V 4 Si 1 lt A lt 2 alors V 4 x 2h x 2h x h Zx 2 x 2 X 1 h par soustraction de volumes en d montrant que la grande pyramide de hauteur h a pour grande base un carr de c t 2h th or me de Thal s et pour h 2 on a V Ee donc on peut graduer le r cipient jusqu 13 La fonction volume obtenue est nouveau bijective de 0 2 dans 0 2 on en d duit donc la hauteur h en dm en fonction du volume V en litres Si 0 lt V lt 4 alors h Si 4 lt V lt 13 alors h ir On obtient le tableau de valeurs donnant la hauteur en dm des graduations V 1 2 3 J4 5 6 T 8 9 10 11 12 13 h 0 25 0 5 0 75 1 1 205 1 357 1 481 1 587 1 681 1
10. et JOB donc plusieurs angles ont m me mesure Notamment CAB DOE GEA donc les angles CAB et DOE sont correspondants et de ce fait les droites AC et OT sont parall les La r ciproque du th or me de la droite des milieux est alors applicable et O est bien le milieu de AR Dans une tape de restitution il peut tre int ressant de confronter les l ves ces deux derni res m thodes et de construire avec eux les d monstrations les probl mes d alignement ou de parall lisme non tablis pouvant amener des discussions entre groupes d l ves On peut aussi imaginer demander aux l ves d tablir un mode d emploi pr cis pour ce jeu d allumettes et proposer une banque d exercices simples de constructions qui am neraient ventuellement des modifications dans les r gles pr tablies L int r t de ce type d exercice serait par exemple de faire ressentir aux l ves la n cessit de rigueur dans l utilisation d une construction g om trique des fins d monstratrices aussi impr cis ou grossier que soit le mat riau utilis pour sa repr sentation visuelle Enfin pour rendre la manipulation r elle et plus ludique on peut galement fabriquer un jeu d allumettes de 3 cm exactement comme cela avait t r alis par l un des professeurs lors de l exp rimentation de cet exercice Quand 2003 se plie en 4 Enonc Le 31 d cembre 2002 au soir le programme qui g re l illumination de la tou
11. pouillement on constate qu il y a au moins un bulletin de vote pour chacun des six classements possibles De plus Jacques a t plus souvent class devant Michel que Michel devant Jacques Michel a t plus souvent class devant Richard que Richard devant Michel A la surprise g n rale Richard remporte l lection Donnez un exemple de r partition des 48 votes correspondant cette situation Objectifs de l exercice 1 Faire comprendre la d finition du mode de scrutin et parvenir la liste des six bulletins possibles 2 Faire d couvrir aux l ves comment en partant d une r partition quilibr e ou presque quilibr e on peut par t tonnement aboutir une solution correcte v rifiant les contraintes de l nonc 3 Faire percevoir aux l ves l imperfection de ce mode de scrutin qui semblait pourtant s duisant dans sa d finition Une solution possible Bulletins Nombre Richard Jacques Michel 10 Jacques Richard Michel 6 Michel Jacques Richard 8 Richard Michel Jacques 7 Michel Richard Jacques 7 Jacques Michel Richard 10 1 Richard est cit 17 fois en t te Jacques est cit 16 fois et Michel 15 fois Richard est donc lu 2 Richard a t cit 23 fois devant Michel mais 25 fois derri re Michel 3 Jacques a t cit 26 fois devant Michel et 22 fois derri re Michel Il semblerait donc que D apr s 2 Michel soit pr f r Rich
12. puis sances 44 x 4 x VA 444 4 nous n avons pas trouv de meilleure solution que celle ci utilisant moins de 8 fois le chiffre 4 ni la fa on de montrer qu il n en existe pas de meilleure le probl me reste ouvert Exploitation ult rieure Utiliser les diff rentes critures produites les comparer travailler sur les parenth ses les r gles de priorit Relancer le probl me avec un autre nombre 3 7 Les tonneaux Enonc Trois tonneaux ont des mesures proportionnelles On les a repr sent s en perspective avec la m me chelle Le tonneau central a une capacit de 2304 Evaluez la capacit des deux autres tonneaux Expliquez la d marche que vous avez utilis e et pr cisez vos calculs Objectif et correction Cet exercice rompt le contrat habituel il faut prendre les informations sur le dessin La connaissance de la proportionnalit est utile une des erreurs fr quentes est de croire la proportionnalit des capacit s des trois tonneaux Les connaissances concernant les rapports de volumes doivent tre disponibles Objectif Faire le lien entre les repr sentations des tonneaux les dimensions les rapports de leurs volumes Solution En notant hi ho et h3 les hauteurs des trois tonneaux repr sent s sur le dessin Vi V2 et V3 les capacit s en litres des trois tonneaux on a EO WNS OREO 2 2 h h L chelle tant conserv e les rapports e et peu
13. re Or 7 la courbe C a pour quation y f x EN Dans le rep re Oo 7 1 la courbe T a pour quation z g y gt Le rep re O3 2 3 facultatif permet de reporter le r el x de l axe O1 2 sur l axe O4 3 l aide de la droite A d quation y x rr dr Dans le rep re O4 2 3 on a trac la courbe repr sentative de go f dans O4 7 2 on a sa r ciproque 1 Construction En se r f rant des rep res de base 1 7 on place un point M x y sur C on obtient N z y sur I et I x x sur A On peut alors placer T 2 x dans Os v 7 avec z g f x 27 Sch mas Nous pr sentons ci dessous un exemple de report direct des graduations sur le r cipient l aide de la m thode graphique 2 Les fonctions utilis es sont f bra h sur 1 2 et g tra zr Lx sur 1 8 On obtient alors la courbe repr sentant h en fonction de V sur le troisi me graphique o V go f h sur 1 2 et V mh sur 0 1 Le report de h sur Take des ordonn es est ici fait sans utiliser la droite A 28 M thode num rique Eeendio den dotzu do bikiek gr bo ekial eiterik Ibe E eke PRESS ESS HEE 4 kurawa 2 2 Em D Ep MK Baga ovga TZ bere IK 640 T ym bla m da 29 Variantes L expression litt rale donnant V en fonction de h peut sembler compliqu e dans ce probl me notamment du fait de la pr sence du nombre m et de l
14. une proposition M Bricol sous forme de maquette en respectant ses voeux Cet exercice est inspir d un article du magazine Tangente Hors s rie n 14 p 12 et 13 la division sacr e des b tisseurs romains Objectifs Satisfaire la deuxi me exigence demande un travail d analyse on dispose de quatre couleurs et le nombre de carr s centraux n est pas un multiple de quatre Le probl me se ram ne donc comparer en proportion l aire d un carr central celle d un petit La comparaison des aires am ne les l ves effectuer du calcul alg brique avec galit s remarquables racines carr es cet exercice r investit des notions du programme de 3 22 Quant la partie coloriage de nombreuses solutions taient possibles ici que l on pouvait trouver facilement par t tonnement il s agissait plut t de donner un aspect un peu ludique l exercice N anmoins on peut chercher des m thodes plus syst matiques de coloriage de fa on pouvoir tendre le probl me au cas o le panneau central comporterait davantage de carreaux Solution Solution cod e E EEE e EE EO O Di l ie D d ebe eia a E GO D i BT KE a GS D ber LE GE apang Be KAT MAN PAN T E Le ee earra etzi peri E e ee Solution couleur 23 D marches utilis es par les l ves Beaucoup d l ves n ont pas compar les aires des diff rents carr s et ont colori un nombre
15. 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 D marche utilis e par les l ves ils ont tous trouv la solution ils ont limin certains types de nombres ils ont test les nombres restants Solution propos e en mai 2003 par les l ves de seconde 10 du lyc e V Hugo Besan on 19 Ex xerece Lienee paa jazm as a las d A Ng N 24 22 23 la les 2 z geziz 34 22 33 3L 35 be IS 32 3 ue lue us fut KE l ite ba eli 54 Se S3 Se SS ZIE 5 GZ 64 62 ZT Ar BJU B K ez zz SAT 187 g t a ZZ 196 8r 8 SO AM jas a as 3 ai 37 4 eke re JS Ch limine You b nombra deken a 5 non Compris can uns dakik eek compris dans k takau donc Runs chaines zerk forc ment pos p le Le On limine Low a nombre impairs MEOE E aaux a 33 can Hual on L mdkple par 3 e que Pon ajoute un d R nombre cenu compor 3 chiffre 30 On limine tous Ra nombres pairs qu beten ba ue par 2 donne un nombre impair sup rieur a 33 4e On limine Gk car A ect herraz datuisibk px 2 57 En eda a aurka mombreo fe eize dd ger Da gum a Le die granola charns Sad BO 50 25 76 39 19 58 29 88 4 4 97 11 34 1F 52_ gt 43 40 20 40 5 46 dead Remargues Dans la forme cette d marche peut rappeler le crible d Eratosth ne Mais s agissant du crible d Eratosth ne la m thode permet d liminer tous les nombres non pre
16. Les Publications de PIREM de BESANCON Rallye Math matique de Franche Comt Mai 2003 Action propos e par ILE EM de Franche Comt Institut de Recherche sur l Enseignement des Math matiques E COMT avec le concours de TA EME E R gionale de Franche Comt de l IUFM et de l Inspection P dagogique R gionale de math matiques EE EZE e U bi UNIVERSIT D FRANCH Presses Universitaires de Franche Comt Groupe Rallye Les Organisateurs du Rallye de Franche Comt 2003 Fran oise de Labachelerie Lyc e Duhamel Dole Susana Barata Lyc e Duhamel Dole Sylvie Dontenwill Coll ge G r me Vesoul Christine Grandjean Coll ge Stendhal Besan on Philippe Le Borgne lufm de Franche Comt Fort Griffon Besan on Michel Magnenet Professeur honoraire Besan on Alain Parmentelat Lyc e Hyacinthe Friant Poligny Patrick Walter Coll ge Gustave Courbet Grand Charmont IREM de Franche Comt D partement de Math matiques UFR des Sciences et Techniques 16 route de Gray 25030 Besan on cedex Contact mail Philippe leborgne fcomte iufm fr http www irem univ fcomte fr rallye index htm Pr ambule Un groupe de professeurs de l IREM de Franche Comt s est constitu durant l ann e 2002 2003 avec pour objectif d organiser un rallye math matique en Franche Comt L exp rimentation s est d roul e en mai 2003 aupr s d une dizaine de classes de troisi me et d une dizaine de c
17. Math matiques de Franche Comt mai 2003 Langage fran ais Caract ristique de l dition Edition premi re dition diteur presse universitaire de Franche Comt Diffuseur IREM de Franche Comt Ann e 2004 Format 21 x 29 7 cm A4 38 pages Support papier D p t l gal 1 trimestre 2004 ISBN 2 84867 051 7 Public Professeurs de math matiques enseignants en coll ge et en lyc e R sum nonc s des exercices du Rallye Math matique de Franche Comt mai 2003 Objectifs des exercices analyse a priori et pr sentations de solutions possibles Analyse des productions d l ves et propositions de variantes Mots cl s R solution de probl mes rallye math matique analyse productions l ves D marches prolongement Institut de Recherche sur l Enseignement des Math matiques De l Universit de Franche Comt D partement de Math matiques UFR Sciences et Techniques 16 route de Gray 25030 Besan on Cedex France T l 0381666225 Fax 0381666234 M l iremfc math univ fcomte fr http pegase univ fcomte fr 38
18. Pour ce qui est de la partie semi conique les l ves ont bien calcul le volume du c ne tronqu par soustraction de volumes de c nes mais peu de groupes sont all s au del de cette tape et sans r el succ s quant l obtention de la bonne formule litt rale On ne peut que remarquer le manque de confiance et d initiative des l ves lorsqu il s agit de manipuler des inconnues sans le guidage et la validation d un professeur Quelques incompr hensions ont t notifi es concernant le demi plan de coupe du cylindre et galement au sujet du positionnement des sommets des deux c nes formant le c ne tronqu Cet aspect purement g om trique n a pas t abord dans l nonc mais peut tre facilement r solu en consid rant justement le plan de coupe choisi les c nes sont alors repr sent s par des triangles dont les troisi mes sommets se confondent au centre de la base du cylindre ceci tant d aux dimensions choisies R solution graphique du probl me Consid rons deux fonctions connues f et g d finies sur deux domaines D et D tels que f D dE D Nous pr sentons ci dessous le principe de construction de la repr sentation graphique point par point de la fonction r ciproque de la fonction go f connaissant les repr sentations graphiques de f et g ere On place quatre rep res orthonorm s de bases 2 7 et d origines v rifiant OO 03014 colin aires et O304 colin aire 7 Dans le rep
19. ange de c t 3 cm s applique alors facilement on obtient un losange AC BD D Afin de minimiser le nombre d allumettes il faut alors pouvoir lier C et D par une seule allumette Or CD lt 3 si et seulement si 3V3 lt AB lorsque AB lt 6 d o la condition suffisante 11 2 lt AB lt 12 La longueur de 11 5 cm a donc t choisie en fonction de ce type de construction R sultats corrections et analyse La correction des copies a mis en vidence trois types de construction a le r tr cissement du segment puis l utilisation d un losange de c t 3 cm comme attendu b l utilisation d un triangle isoc le de base AB puis nouveau d un losange de c t 3 cm C Ee be gt w c le r tr cissement du segment suivi d une configuration rappelant le th or me de Thal s C A A O B B Ces deux derni res constructions restent marginales la d marche attendue ayant t largement majoritaire Elles utilisent n anmoins l alignement de deux allumettes nous avons choisi de supposer l emploi d une allumette de soutien pour l alignement r employ e pour la suite de la construction Correction a La justification de cette construction s appuie sur la propri t des diagonales d un losange qui se coupent en leur milieu On peut rev rifier le fait que CD lt 3 on a exactement CD 24 32 2 75 soit 2 39 lt CD lt 2 4 b On trace le triangle isoc le ABC de base
20. aram tres kilom tres parcourus gestion de l usure des pneus ELA G e D E GO d SOZIE La Snape que l on peut parcourir est 2 B h K i do Te O 056 l 5 Votre d marche ea GET EIF Soit A ENE GEA E G Tes eek d m E pue Eee D GET 40 060 km l LONG ne Gz Les l ves utilisent parfois des repr sentations litt rales La distance que lon peut parcourir est 29 o Ka Votre d marche Me s Pleneng G gt O 4 si 4 s i prets L e A ah OG 4 Gar bi matan b cr A e Ha ZO f du f L Ga ZZ Se Sop Kn aj KA s Foi dd Age Here H a see K p OG 2 O tO doa EE s 4 OG Sn k d ei 14 OO aL HE ea EA ZZ F 3 fanl E ba a 4 L 40 sos K 4 39 disa hS gaa 1 30 wo z 20 ces Les fractions repr sentent l tat du pneu la fraction de lt non usure gt 17 La distance que l on peut parcourir est 30 OOO Den Votre d marche GO mm dome ares 19 000 Km 10 ooo Erta d 3 NG Per Le SS 2 2 E dr Sant 0 We LO co Ke b N b ei E go per Fm TO oco Krr NENG f Oo D em TR Gizar TS b LATE e o O Me coo Fm 4 WA de i 4 Too de Bor EE 3 EZ Gei EEEn Ge NG beor Hun parce T G je KO oon Un datu Prolongements Et que se passe t il si les pneus peuvent parcourir 50000 km Et si nous disposons de 5 6 pneus 18 Encha nement d entiers Enonc On consid re un nombre entier n compris en
21. ard D apr s 3 Jacques soit pr f r Michel Pourtant Richard est lu d apr s 1 N y a t il pas l un r sultat paradoxal 12 En fait c est le mode de scrutin que l on doit mettre en cause Les choix effectu s par les lecteurs ne sont pas de m me importance ce qui compte avant tout c est le choix du candidat que nous mettons en premi re position Plus pr cis ment dans les 23 fois o Richard a t cit avant Michel il y a 17 premi res places alors que dans les 25 fois o Michel a t cit devant Richard il n y a que 15 premi res places Finalement cet cart de deux premi res places est plus important que par exemple l cart de 4 entre les cas o Richard et Michel ont t plac s en 2 et 3 position Math matiquement on dit que les choix ne sont pas transitifs les faits que Jacques soit pr f r Michel et que Michel soit pr f r Richard n impliquent pas que Jacques soit pr f r Richard 24 contre 24 dans notre exemple C est le philosophe et math maticien Condorcet 1743 1794 qui a le premier mis en vidence ces paradoxes et conclut qu il n existait pas de proc d parfaitement quitable de vote Pour une tude approfondie des diff rents syst mes lectoraux avec leurs qualit s et leurs d fauts n h sitez pas consulter le num ro 84 de la revue Tangente et le num ro 294 de Pour la science 13 Pneu pneu on fait sa route
22. ent d entiers Classe de seconde Division sacr e Classe de seconde Ras le bol Classe de seconde Pages Web Ressources sur les Rallyes 12 14 19 22 26 39 36 Construction avec des allumettes Enonc Pour construire des figures g om triques on ne dispose que de sept allumettes chacune mesurant exactement 3 centim tres Le but est de placer le milieu d un segment AB de longueur 11 5 centim tres avec pour seuls outils les sept allumettes Repr sentez en couleur la position des sept allumettes sur le dessin de la fiche r ponse Objectifs et analyse du probl me Le but de cet exercice est de faire en sorte que l l ve plonge dans la culture g om trique qu il a acquise au coll ge Il lui est notamment souhaitable de savoir rep rer des configurations mettant en jeu le milieu d un segment rep rer d autres configurations n utilisant que des segments de m me longueur triangle quilat ral losange mettre en vidence un point ici un milieu l aide de segments proc der par analyse et synth se au pr alable les l ves vont devoir manipuler leurs segments de 3 cm afin de lister ce qui leur est n cessaire de faire pour r soudre le probl me puis m me si la r daction n est pas demand e les l ves doivent se convaincre mutuellement du r sultat L originalit de l exercice r side dans l utilisation d allumettes la place des instrume
23. estion pour les trois carreaux du haut 25 Ras le bol E Enonc Un r cipient en plastique trans 40 parent Y PA a la forme ci contre Il est constitu d un cylindre droit de hauteur 10 cm et de diam tre 20 cm gt d un tronc de c ne droit de hau Kr 10 teur 10 cm et dont le diam tre sup rieur mesure 40 cm C O D On d sire graduer ce r cipient tous les litres Proposez une m thode Marquez les graduations sur le r cipient on reproduira le sch ma de la fiche r ponse l chelle r elle sur une autre feuille millim tr e si possible Objectifs et description de l nonc Les objectifs de ce type de probl me sont multiples et vari s l l ve devant pouvoir analyser une configuration de l espace et traduire des donn es sur un sch ma en coupe utiliser les touches de la calculatrice notamment les touches puissance et racine cubique mod liser un probl me avec un choix judicieux de l inconnue distinguer une situation de proportionnalit d une situation de non proportionnalit construire ventuellement des graphiques de fonctions La r solution de cet exercice passe par la recherche de l expression litt rale donnant le volume de liquide en fonction de la hauteur de celui ci Les unit s de longueur 1dm 10 cm et de volume dm ou litre ont t choisies de sorte que les calculs soient facilit s mais les l ves doivent veiller eux m
24. itut de Recherche sur l Enseignement des Math matiques et Institut Universitaire de Formation des Ma tres de l Acad mie de Nice mai 1996 36 Le Rallye math matique transalpin Quels profits pour la didactique Actes des journ es d tudes sur le Rallye math matique transalpin Brigue 1997 1998 Dipartemento di Matematica dell Universit di Parma Institut de Recherche et de Documentation P d agogique Neufch tel Editeurs responsables GRUGNETTTI L et JAQET F Evolution des connaissances et valuation des savoirs math matiques Actes des journ es d tudes sur le Rallye math matique transalpin Siena 1999 Universit di Siena Diparte mento di Matematica Roberto Magari Institut de Recherche et de Documentation P dagogique Neufch tel RMT Neufch tel 2000 Editeurs responsables GRUGNETTTI L Parma JAQET F Neufch tel CROCIANI C DORETTI L SALOMONE L Siena PEAULT Herv Un Rallye pour d battre de Math matique 4 ann es d exp rience du Rallye math matique de Maine et Loire preuves r sultats commentaires C R D P des Pays de la Loire C D D P de Maine et Loire 1989 1993 SOULAMI T B Les olympiades de math matiques R flexes et strat gies Editions Ellipses La revue TANGENTE et ses num ros sp ciaux Tangente Arithm tique Secrets de nombres Tangente hors s rie n 6 Editions Archim de 37 Auteur groupe de travail Rallye IREM de Franche Comt Titre Rallye
25. lasses de seconde des Lyc es d Enseignement G n ral Cette brochure document de travail regroupe les diff rentes preuves six exercices en classes de troisi me et six exercices en classes de seconde dont trois exercices en commun leurs objectifs sp cifiques ainsi que des analyses de productions et des prolongements possibles Quels sont les objectifs du Rallye Math matique de Franche Comt Permettre tous les l ves d une m me classe de s exprimer et de participer une activit math matique Motiver les l ves en posant les probl mes sous forme de jeux de d fis Favoriser l argumentation et la communication au sein d une classe D velopper chez nos l ves la pratique de la d marche scientifique Permettre la confrontation entre classes de troisi me et de seconde Quelles sont les modalit s Le Rallye de Franche Comt a pour but de faire participer les l ves des classes de troisi me et de seconde des Lyc es d enseignement g n ral de l Acad mie de Besan on La comp tition se fait en classe enti re et favorise les travaux de groupes Chaque classe s organise pour r soudre des exercices en s ance d une heure afin de produire une seule fiche r ponse Trois tapes durant l ann e scolaire La p riode d entra nement des l ves organis e par le professeur de la classe l aide des exercices de l ann e pr c dente ou d autres probl mes La p
26. miers les nombres non barr s constituant la liste des nombres premiers sans tude de la r ciproque Ici on limine certains nombres puis il reste d terminer la solution parmi les nombres restants D marche que l on retrouve dans la r solution de certaines quations en arithm tique Autre d marche possible Partir de 1 et remonter pour d terminer les cha nes aboutissant 1 128 32 64 21 dr 84 20 Exploitation ult rieure D terminer toutes les cha nes d une longueur donn e la deuxi me m thode propos e s av re efficace pour r pondre cette question On peut alors essayer de d terminer les termes qui ont deux ant c dents AA la calculatrice crire un programme pour tester la conjecture toutes les cha nes aboutissent 1 pour d terminer la longueur d une cha ne Exemple d algorithme 1 mettre 1 dans N compteur de la longueur de la cha ne 2 Demander le premier terme de la suite et le mettre dans U 3 Si U 1 afficher N Si U 1 remplacer N par N 1 et U par le terme suivant de la suite retouner 3 Exemple de programme pour calculatrice Casio 1 N VALEUR DE UO U Lbl 0 If U 1 Then LONGUEUR DE LA CHAINE N A Stop Else N 1 N If Int U 2 U 2 Then U 2 U Else 3XU 1 U Ifend Goto 0 Remarque on peut partir de deux entiers proches l un de l autre et avoir des cha nes de longueur
27. nt pas emae SE ZE zee Se EEA E Gei GE erre Gk GO luennt Ku gr ler oo Bam ay AAN egal Lannen ou maio arste at E MOSO eke dosus eamm pp ee EUN don 7 Encha nement d entiers ke Taie ce nes EA Ea ABS NGAOS Cu PESO erai 15 La distance que l on peut parcourir est 7 o 200 fre Votre d marche e Ca fee ee ges _ a Ge a Ba assi aller een fr T paraxes doe G ede Gare ce ATE ede era Fe Hp E bidi eiza A PT LE 7 ZO BA WA Bida ee bea ua agan e Ee d lt ar Lee eg arra d de area ENG erei erei pue E area change ZE ZE e gert Ma anal eee a Ga ea Ea EEEa EEA arri atarra ede GEO Tea C4 hatgo SEE e agan eriala EES owa GEO AE deda Sig a ee r j Se TA LA res n e ae FE EEE CRE aga pion PE gd E EE Ter ie Giza Le 4 ay e a JEU ONLA eer e zz EEEn EO EO gt fem oc accord LE SEO eee Ga Ge 2 y en E E 4 Utilisation de repr sentations symboliques Ici le codage symbolise l tat d usure des pneus La distance que l on peut parcourir est Sa ae Rer A 5 a lt Ee e ed Votre d marche TIMUN Eo Ga A GU d HAZ det RER E EE Tb Ler i ii d ENOS En L co DE No 06 C0 06 CS Q C z Bo ay D GO SZ 4 E Ger BE EE Arar ko A Dans la production ci dessous le changement d un pneu tous les 10000 km r partit la dis tance parcourue sur les 7 pneus L utilisation de ce tableau t moigne d une compr hension globale de la situation et fournit des l ments de contr le sur les diff rents p
28. nts g om triques habituels L l ve doit s adapter de nouveaux modes de construction et r fl chir la validit de ceux qu il choisit d utiliser Ainsi peut se poser la question de la validit d un point obtenu en posant une allumette sur une ou plusieurs autres De la m me fa on l alignement de deux points distants de plus de trois centim tres demande si l on veut vraiment tre rigoureux l utilisation dau moins une tierce allumette Dans ce cas de figure la possibilit de r employer la troisi me allumette une fois l alignement effectu peut galement tre prise en compte Le cadre d utilisation de ces allumettes est d lib r ment laiss flou afin que les l ves s interrogent et apr s discussion s accordent sur un mode d emploi l gitimant leur cons truction En ce qui concerne la longueur de 11 5 cm du segment AB AB gt 6 afin que les losanges de c t s 3 cm ne soient pas utilisables d embl e et AB lt 12 pour r duire le nombre d allumettes et de possibilit s le nombre maximal d allumettes est pr cis pour que la configuration du losange de c t s 6 cm soit abandonn e de suite 9 allumettes n cessaires au minimum et probl mes d alignement nonc est en fait bas sur un lt r tr cissement gt du segment par une allumette en A et une autre en B ce qui laisse un segment AEI de longueur inf rieure 6 cm et 5 allumettes La configuration du los
29. r Eiffel est pris d un virus hors du commun la quadrimania Il refuse d utiliser tout chiffre qui n est pas un 4 mais permet tous les calculs habituels que l on trouve sur une calculatrice addition soustraction multiplication division puissance racine carr e parenth ses etc Pour ne pas d cevoir les milliers de personnes qui attendent la nouvelle ann e devant la tour ainsi que les millions de t l spectateurs l informaticien propose dans l urgence le calcul suivant 4444 444 A 4 VE 4 Auriez vous t capable de programmer votre tour l affichage du nombre 2003 en utilisant le moins de chiffres 4 possible Proposez alors un affichage Objectifs et bilan des proc dures D une part cet exercice est accessible tous les l ves et d autre part il constitue un b probl me ouvert apr s avoir trouv une solution les l ves ne sont pas s rs que ce soit la meilleure Objectifs C est l occasion de faire du calcul mental d estimer des ordres de grandeur de travailler les diff rentes critures d un nombre somme produit puissance Solutions propos es par les l ves 442 43 4 4 4 solution ne respectant pas la contrainte de n utiliser que le chiffre 4 4Ax4x4 44Xx44 4 4 4 dans cette solution les l ves n utilisent que les op ra tions lt de base gt addition soustraction multiplica tion et division mais pas les racines carr es et les
30. rallye math matique du centre http www ac orleans tours fr maths 1 rallye ac_ral htm Rallye qu becois http station05 qc ca Partenaires APAME rallye html Le rallye math matique de Bourgogne http www u bourgogne fr IREM rallye html Le rallye math matique de Charente Poitou http irem campus univ poitiers fr apmep rallye irallye htm Le rallye math matique transalpin http www rmt sr ch Le rallye Math matiques sans fronti res http pedagogie ac aix marseille fr MSF generalites accueil html Le rallye Math matiques sans fronti res de PIREM de Toulouse http www irem ups tlse fr Groupes Rallye html Rallye Math matiques des Antilles et de la Guyane http calamar univ ag fr uag irem index1 html Rallye Math matique d Auvergne 2001 http crdp ac clermont fr pedago maths rallye rallyeO01 htm Le BOMBYX Rallye Math matique de Ganges et du Languedoc Roussillon http www ac montpellier fr pedagogie disciplines maths apmep activite bombyx htm Le Kangourou des Math matiques http www mathkang org liens construct html 39 Ressources sur les Rallyes http www univ irem fr http www apmep asso fr http www animath fr 250 probl mes pour nos l ves I R E M de Lyon Universit Claude Bernard Lyon 1 Mai 1983 A P M E P Fichier Evariste Co dition A P ME P les Editions du Kangourou A P M E P Jeux 4 lt de l int r t des probl mes de rallyes gt Publication de l A P M E P 1995 n 97
31. riode de qualification Les classes d sireuses de s impliquer dans une telle d marche s inscrivent aupr s du responsable du groupe Rallye de PIREM de Franche Comt avant les vacances de No l L inscription est gratuite mais la classe s engage envoyer sa production les frais de reprographie sont la charge de l tablissement L preuve de qualification a lieu courant du mois de f vrier dans l tablissement le m me jour et la m me heure pour toutes les classes inscrites Chaque classe participante re oit les exercices propos s par le groupe Rallye Les dix meilleures productions de chaque cat gorie troisi me seconde sont retenues pour la phase finale La phase de la finale a lieu courant du mois de mai Les classes de troisi me et de seconde sont regroup es si possible dans un secteur g ographique de proximit Les frais de reprographie et de d placement sont la charge de l tablissement auquel les classes participantes appartiennent Dans la limite du budget disponible des lots sont offerts aux classes pr sentes aux preuves de la finale Plan du document Introduction Construction avec des allumettes Classe de troisi me Quand 2003 se plie en 4 Classe de troisi me Les tonneaux Classe de troisi me SOS pour pirate manchot Classe de troisi me et de seconde Trio de t te Classe de troisi me et de seconde Pneu pneu on fait sa route Classe de troisi me et de seconde Encha nem
32. s tr s diff rentes Par exemple avec ug 26 on obtient une cha ne de longueur 11 et avec uo 27 on obtient une cha ne de longueur 112 Bibliographie La conjecture de Syracuse article de Jean Paul Delahaye paru dans POUR LA SCIENCE n 247 mai 1998 21 Division sacr e Enonc En Gr ce en Europe ou encore en Egypte on a retrouv des plans de villes ou des d cors construits selon la r gle de la division sacr e A partir d un carr on trace quatre quarts de cercle ayant chacun pour rayon la moiti de la longueur d une diagonale et pour centre l un des quatre sommets du carr ces quatre quarts de cercle coupent les c t s du carr en huit points que l on joint deux deux pour obtenir quatre segments parall les aux c t s du carr M Bricol veut mettre dans sa cuisine un panneau mural en carrelage Ce panneau sera un rectangle constitu de six carreaux Chaque carreau de forme carr e sera partag selon la lt division sacr e gt puis peint seuls seront peints le carr central et les quatre petits carr s chacun d une seule couleur M Bricol a galement les exigences suivantes sachant qu on ne dispose que de 4 couleurs diff rentes Dans le panneau deux carr s ayant un c t ou un sommet commun devront tre de couleurs diff rentes Sur le panneau rectangulaire chaque couleur devra recouvrir exactement la m me aire totale Faites
33. t justifier l alignement des points A B et C en fait ils sont tous les trois quidistants des extr mit s du segment EF donc ils appartiennent tous les trois la m diatrice de ce segment Ensuite il reste montrer que B est le milieu de AC ce qui peut se faire par d termination de longueurs gales on pose AB d et on note I le point d intersection des diagonales du losange Alors puisque les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu I est galement le pied de le la hauteur issue de E dans le triangle quilat ral AEB 3 On en d duit que EI Va donc EF OEI V3d I est galement le pied de la hauteur issue de C dans le triangle quilat ral ECF donc de 3 3 3 1 la m me fa on IC ZG x V3d 54 et finalement BC IC IB Sube 54 d AB Cette derni re construction pr sente un int r t certain pour une confrontation entre l ves lors d une recherche ult rieure en cours ou la maison de d monstration 11 Trio de t te Enonc On proc de l lection du pr sident d un club comptant 48 membres Il y a trois candidats Jacques Michel et Richard Chaque lecteur classe les trois candidats dans son ordre de pr f rence sur son bulletin de vote Le mode de scrutin retenu consiste lire le candidat cit en premi re position le plus grand nombre de fois En cas d ex quo le candidat cit le plus grand nombre de fois en deuxi me position est lu Au d
34. tre 2 et 99 En partant de n on construit une cha ne de nombres de la fa on suivante si un nombre k de la cha ne est pair le suivant s obtient en divisant k par 2 si un nombre k de la cha ne est impair le suivant s obtient en multipliant k par 3 et en ajoutant 1 La longueur de la cha ne est le nombre d entiers n cessaires pour atteindre le nombre 1 Exemple en prenant n 20 20 10 5 16 8 4 2 1 est une cha ne de longueur 8 Attention les nombres utilis s dans chaque cha ne ne peuvent s crire qu avec 1 ou 2 chiffres Quel est le nombre compris entre 2 et 99 qui poss de la cha ne la plus longue Donnez sa cha ne compl te Objectifs D une part cet exercice est accessible tous et d autre part il pr sente un aspect culturel int ressant en effet il a t construit partir de la suite de Syracuse d finie de la mani re suivante Soit uo un entier naturel non nul quelconque Pour tout n de N Si Un est pair Un 1 Un X 0 5 si Up estimpair Un 1 3Un 1 Il semblerait que quel que soit l entier ug choisi l on finisse toujours par aboutir au nombre 1 puis au cycle 4 2 1 Mais ce probl me toutes les cha nes aboutissent elles 1 pos en 1950 l universit am ricaine de Syracuse n a pas encore t r solu d o son nom de conjecture de Syracuse Solution La cha ne la plus longue commence 50 50 25 76 38 19 58 29
35. vent tre valu s A partir du dessin 2 2 On a b _ 1 7 hs _ 3 2 z x t Vi re 804 V3 5504 E OA DA gr Remarque une impr cision de 5 107 cm sur les longueurs entra ne une erreur relative de 10 Productions Proc dures utilisant la proportionnalit pour mod liser les rapports de capac it les donn es sont parfois trait es l aide d un tableau de proportionnalit Evaluation de la capacit du tonneau 1 16 35 L anam Evaluation de la capacit du tonneau Gun L anason buber KO E Ee Evaluation de la capacit du tonneau 1 AGU ezi aziz E TE MODA KIN UN s Evaluation de la capacit du tonneau 3 2020 konBnosta EO ha Productions justes la premi re production ci dessous exprime les rapports des volumes l aide d un nombre rationnel Evaluation de la capacit du tonneau 1 Gutunen et E Evaluation de la capacit du tonneau 3 environ CSS 2 gt N Evaluation de la capacit du tonneau 1 KA ge 3 S L Evaluation de la capacit du tonneau 3 x 5 Dans la production suivante le tonneau est remplac par un cylindre ce qui r v le une excellente analyse de la situation 6 L bl AL Evaluation de la capacit du tonneau 1 Evaluation de la capacit du tonneau 1 En cousid amt que Le buen es uu pab 5 bak woua Gu ng ME Merkez Opah du koueas 2 LoL Hesuue du Dawe iLa ZL LTAL u Howe da D haykurs 2 Go pek e dhelle Gz e x
36. x W 420 DZ elia 34 120 Ah eiz EEE gt A 3 4 re coll ul GE Mopoi eu Ea Segi da b gg du bee AKE DSa TT x A Hese du JEZ O 6 Heswe de A bukatze WG an IN 96 Coby KO Ex ee SM Ein Sua da 0 Ta ac ta Ze D aa du kewan 3 d Heswe du anou 7 AG o eue de b NA a tSc tJe CLEx Le TX LE SE BUZ A SOS pour pirate manchot Enonc Le pirate anglais Pad Barb tient sa vengeance il a enfin localis la cache secr te de son ennemi jur le corsaire fran ais Naquinheuil Il lui suffit de trouver sur sa carte la position sym trique du phare de lIle des Mouettes par rapport au vieux Ch ne des Pendus Mais il y a un os le pirate a perdu un bras lors de son dernier affrontement avec Naquinheuil il ne peut donc pas utiliser de r gle et n a que son vieux compas sa Er prl Aidez le trouver une m thode pour d busquer sur sa carte la cachette de son ennemi On prendra soin de laisser les arcs de cercles utiles la construction sur la fiche r ponse Objectifs et description de l nonc L nonc est r dig de fa on rendre le cadre de l exercice plus lt exotique mais se base en r alit sur un probl me classique de construction au compas seul connaissant deux points A et B construire le sym trique C de A par rapport B Si l on omet le trac des c t s le panel de figures constructibles au compas seul est assez large cercle parall logramme triangle donc l
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