De l`astrolabe au télém`etre
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1. l ments constitutifs d un astrolabe la seconde le mode d emploi pour les mesures astronomiques la troisi me celle qui nous int resse directement concerne les usages g o m triques de l instrument Je fais videmment totalement abstraction de la seconde de ces parties KKK De la premi re partie je me borne extraire ce qui est utile pour comprendre les usages d crits dans la troisi me La figure 1 repr sente un d tail agrandi de la figure 2 Sur cette derni re on voit un cercle gradu in utile pour nos mesures partag en quatre quadrants par deux axes perpendiculaires l un vertical l autre horizontal Au centre du cercle les deux quadrants inf rieurs sont occup s par deux carr s sym triques La figure 1 repr sente l un d entre eux Deux de leurs cot s sont gradu s en douze parties gales les cot s horizontaux sont nomm s umbra recta les verticaux umbra versa termes qu il faudrait sans doute traduire par projection droite et projection renvers e ce qui pourra se justifier plus bas Une alidade fig 3 tournant autour du centre du cercle permet de faire les vis es Fig 3 L instrument est muni d un anneau de suspension qui permet l op rateur de le tenir dans la position verticale Fig 2 Usages g om triques de l astrolabe I Mesure de la hauteur d un difice dont la base est accessible L observateur taille T p2. surface du triangle A AF A A Fig 7 Tout le monde sait qu elle est egale au demi produit de la base par la hauteur hxd 2 Moins connue est la formule de H ron d Alexandrie Si p est le p rim tre du triangle p t y d On pose p 2q alors selon la formule de H ron S q q x q y q d D o S 2 h y ala x a yla d moins de savoir extraire une racine carr e il nous faudra le secours d une calcula trice car le t l m tre n a pas en m moire le programme qui permettrait ce calcul Le probl me sera un peu plus compliqu si la tour dont il faut mesurer la hauteur est rig e sur une minence inaccessible Dans ce cas il faudra r p ter les mesures d crites ci dessus une premi re fois pour le sommet la seconde pour la base Nous aurons donc faire quatre vis es ou quatre mesures t l m triques J ai reproduit la page suivante la figure qui illustre le cas pr c dent dans le livre de Johann Stoffel et au dessous l enluminure peinte par Geoffroy Dumonstier pour illustrer une dition fran aise de ce livre peut tre destin e au duc d Anjou Hercule Francois de Valois Elles nous donnent une id e de ce qu aurait t notre travail de mesureur si nous tions n s cinq si cles plus t t Conclusion Et si nous devions choisir entre astrolabe et t l m tre Que ferions nous Un senti ment de modernit conduirait
3. De l astrolabe au t l m tre laser Mesurer la hauteur d une construction est une tape essentielle dans la constitution d un dossier d inventaire souvent embarrassante ou que l difice soit trop haut pour une mesure directe ou que sa position sur le terrain le rende pratiquement inaccessible Le hasard de mes lectures m a fait recemment d couvrir que ce probleme avait trouv sa solution il y a au moins cing si cles Je vais donc vous raconter cette d couverte et la commenter Pour cela il me faudra faire un peu de g om trie mais tr s l mentaire Cependant je m excuse aupr s de ceux chez qui cette mati re provoque de l urticaire ils trouveront leur salut dans la fuite KKK Le Mus e du Louvre et les ditions Hazan viennent de publier juillet 2011 un superbe catalogue de la collection d enluminures que le mus e conserve et qui couvre une p riode allant du Moyen ge la Renaissance sont reproduites parmi de nombreuses autres une dizaine d enluminures peintes par Geoffroy Dumonstier un enlumineur n Rouen une date inconnue mort Paris le 13 octobre 1573 destin es illustrer un livre Eluci datio fabrice ususque astrolabi d di l empereur Maximilien publi en latin en 1512 dont l auteur Johann St ffel tait astronome l universit de T bingen Cet ouvrage disponible en ligne sur internet comprend grosso modo trois parties la premi re d crit les
4. lac en A une distance D du pied de la tour vise son sommet et il mesure sur umbra versa la projection invers e PQ de la partie de la tour de hauteur h qui se trouve au dessus de sa tete On lit 5 3 __B f Fig 4 Selon St ffel la hauteur h s obtient de la mani re suivante on divise 12 par 5 3 ce qui donne 2 26 on divise 40 par ce nombre ce qui donne h 17 67 m Il suffit alors d ajouter la taille 7 disons 1 80 m h pour avoir la hauteur totale de la tour soit H h T 19 47 m Cette m thode de calcul qui rel ve des recettes de cuisine se justifie cependant aise ment par application du th or me de Thal s selon lequel h D PQ AP Mais si h est sup rieur D le calcul faire est un peu different Tombra verja Fig 5 Ici on lit la projection horizontale PQ sur umbra recta soit 4 nombre par lequel on divise 12 ce qui donne 3 que l on multiplie par D 20 Le r sultat 60 m est la hauteur h cherch e En effet selon le th or me de Thal s h AP D PQ Le telemetre laser mesure directement les distances D et AB et calcule par simple pression sur une touche la hauteur h par application du th or me de Pythagore II Mesure de la hauteur d un difice dont la base est inaccessible On peut envisager ici le cas d une tour construite sur une minence qu il est difficile d escalader mais aussi celui de la mesure d une hauteur au faitage d
5. une construction a l int rieur de laquelle il est impossible d entrer Ces cas correspondent a des situations o on ne peut mesurer m me avec un t lemetre laser la distance D d finie sur les figures pr c dentes Ay i JR A 54 1 ER N 8 a ii E a E 5 E d a 3 JA 3 Fig 6 Reportons nous la figure ci contre et suivons la recette de St ffel Plac en Aj on lit 9 sur umbra versa et 4 7 en Ay On divise 12 par ces deux nombres ce qui donne 1 333 et 2 553 respectivement On soustrait le plus petit de ces nombres du plus grand et on obtient 1 220 La distance d des positions o sont faites les deux mesures tant de 10 m la hauteur h cherch e est gale 10 1 22 8 2 m Il me faut bien maintenant justifier ce calcul Reportons nous au paragraphe I Plac en A il permet d crire h Dy PQ 12 et en A h Dg P2Q2 12 avec Do D d Mais 12 12 D xh et D2 PQ P2Q2 ce qui donne bien 12 12 ___ x P2Q2 PQ ou bien 10 2 553 1 333 xh 1 22 h c est a dire le r sultat Stoffel d D D h Posons l astrolabe et saisissons nous du t l m tre laser Il nous est toujours impossible de mesurer D et D mais on pourra mesurer les distances s parant A de F puis As de F soit respectivement x et y Il faut donc trouver le moyen de calculer h a partir de x y et d Il y a deux mani res de calculer la
6. videmment la majorit d entre nous choisir aveugl ment le t l m tre En regardant de pr s et uniquement pour ce que nous avons faire il y pourtant mati re r flexion Chacun de nous pourrait se bricoler un astrolabe qui couterait infiniment moins cher que l achat d un t l metre L argument d cisif se tire de la pr cision qui est videmment bien meilleure avec un t l m tre Mais une telle pr cision n est elle pas en r alit illusoire Les dimensions des monuments qui font l objet de nos inventaires ne sont souvent cause des d gradations et de l usure des temps d finies qu quelques centim tres pr s dans les meilleurs des cas sauf restaurations vigoureuses et indiscr tes En d finitive tout le monde optera pour le laser mais le probl me du choix m ritait d tre pos Jean Darrin 2012
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