Statistiques
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1. 2 J ELUNE VS ag EE y 3C JtJ 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 99 DOU On a demand aux employ s d une entreprise pour quel parti politique ils avaient vot lors des derni res lections Voici les donn es brutes obtenues PS PRD PS PDC PS UDC PS UDC PRD PS verts PDC UDC PRD verts UDC UDC UDC PRD PS PRD PDC PRD PDC UDC PDC PS UDC UDC UDC a Identifier la population ainsi que la variable statistique v s b Donner l ensemble des modalit s De quel type est cette variable statistique DOUA Un professeur de l Uni a not le nombre de points obtenus par 80 tudiants lors d un test de statistiques 2 3 5 5 4 6 6 5 4 3 7 7 7 6 2 7 7 9 8 10 5 6 6 8 6 6 3 7 3 5 9 7 6 4 7 5 9 9 6 9 6 3 9 8 8 7 5 6 10 6 9 7 7 7 4 7 10 9 7 10 3 5 8 5 9 7 4 8 10 7 4 6 6 9 7 7 7 8 8 9 a Identifier la population ainsi que la variable statistique v s b Donner l ensemble des modalit s c De quel type est cette variable statistique Mod le 2 En reprenant les donn es de l exercice 20 1 on va sacrifier le caract re individuel de l information afin d obtenir un portrait d ensemble On calcule pour chaque modalit le nombre d individus ayant cette modalit l effectif n de la modalit Celui ci ne permet pas de comparer deux populations in gales Il sera alors naturel de calculer la proportion de la population qui une telle modalit On d finit alors la fr quence relative f par le rapp2. et A E e Eege ka S 2 5 5 usw SES E 8298 5222 22 2 005 SE EN 7050 REENEN DEENEN L u fr EN Bin E EN RE ars plis oh ns EE len pre SL E SIO X E a T de D E p Sa gr Zelle ge 225 VE D D er I I as E EE L Ee ee E NOG 2329005 P A e TW WO P P 3 E gt 226 PE en EE 290 fe EE 49 D ges D 1 I 1 1 I I 1 A e Ke e EE EE EE EE EE EE EE EEN Q S EWEN RENE 5 E 5 SEET EE S 5 e H gt g EE A PE EE E N E SE E e E EE d gt 2 D de BEE Ee D D en un La 1 1 I 1 1 1 1 1 1 go S v A T N E ts nn ses sis dr D I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E Ss v GE un H sl I 1 1 1 i 700 D O 20072442 324012214 2447 ol Ut AU Hi Ut die dia Ne nt QU de Ur 5 gt 9 5 GE EEN EE nes 5 32 122 14 72 709 22 79 05 PE 38 24 Z SES E
3. 1801 180 1901 190 2001 Calculer la moyenne et la m diane puis les repr senter sur l histogramme suivant Ach 130 140 150 160 170 180 190 200 taille cm 3C JtJ 2015 112 THEME 20 La m diane d une variable statistique continue peut galement tre interpr t e comme la valeur qui divise l histogramme en deux parties de la m me aire D terminer graphiquement sur l histogramme suivant la m diane de cette v s 36 32 28 3C JtJ 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 113 S20 7 Les mesures de dispersion d une variable statistique Introduction Le paragraphe pr c dent a t consacr l tude de deux mesures de tendance centrale Elles indiquent autour de quelle valeur se situent les donn es mais ne donnent pas une description suffisante de la variable statistique Par exemple 51 on d sire comparer les 2 groupes d l ves propos s dans les diagrammes ci dessous Mais pourtant les 2 distributions ne sont pas identiques Les distributions peuvent tre compar es une douche 51 elle est en position jet troit presque toute l eau est concentr e sur un seul point c est dire le jet n arrose pratiquement que la valeur moyenne 51 la douche est en position pluie l eau est dispers e plus largement 1l y a de grands carts par rapport la moyenne lt NM lt be bb SS 165 95 145 ge 155 45 195 155 195 Pour mettre en
4. fond Hockey Patinage Patinage Hockey Ski Hockey Ski Raquette Patinage Hockey Glissade Ski Ski Ski de fond Hockey Patinage Ski Patinage Hockey Hockey Patinage Ski Patinage Raquette a Identifier la population b Caract riser la variable statistique c Donner l ensemble des modalit s d Le tableau des distributions des effectifs et des fr quences e Faire un diagramme en secteurs POUPEE On tudie l tat civil des 30 employ s num rot s de 1 30 3C JtJ 2015 d une petite entreprise _6 C libataire 16 Divorc 26 Divorc 8 Mariee 18 Mari e 28 Mari 9 6 19 Mari 29 a Identifier la population b Caract riser la variable statistique c Donner l ensemble des modalit s d Le tableau des distributions des effectifs et des fr quences Proposer l histogramme des effectifs de cette v s f Proposer l histogramme des fr quences de cette v s Comparer ces 2 repr sentations graphiques 102 TH ME 20 520 3 Regroupement des donn es l int rieur de classes de valeurs Souvent lors d une tude statistique portant sur une variable statistique quantitative discr te ou continue les donn es recueillies diff rent peu pr s toutes les unes des autres et sont tal es sur un large intervalle de valeurs L objectif de la statistique descriptive tant de r sumer de la fa on la plus ad quate possible cet ensemble de donn es les mesures seront regroup es d
5. galement de celle est la plus homog ne Remarque Vos calculatrices admettent quelques fonctions statistiques pr programm es permettant sur une petite collection de nombres d en calculer la moyenne et l cart type N h sitez pas consulter votre mode d emploi Comparer les moyennes et les Ecarts types des s ries de quatre notes suivantes IA Ar Ar At 2 3 5 6 2 2 6 6 3C JtJ 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 117 3C JtJ 2015 118 TH ME 20 3C JtJ 2015
6. vidence cette diff rence 11 faut mesurer dispersion des donn es autour de cette mesure de tendance centrale Nous allons tudier deux mesures de dispersion 17 tentative si nous calculions la somme des carts la moyenne Illustrations de Peter Fejes Statistiques les stats en bulles Pearson Education 3C JtJ 2015 114 THEME 20 La variance L cart type Mod le 7 V S quantitative discr te T f 1011 TOTAUX 2 La variance d une variable statistique est la somme pond r e des carr s des carts la moyenne f x x L cart type est la racine carr e de la variance o V0 Alain qui est gardien de but de l quipe de hockey de son cole note videmment le nombre de buts encaiss s chaque match Il a r sum sa derni re saison dans le tableau ci dessous dont il s agit de compl ter quelques cases n 5 5 AH Aa ES ES 110000 0 222 0 519 0 611 0 158 007 0 444 0 389 0058 0 023 enr 0 370 2 389 0 177 0 423 0222 3389 0125 OMA 0 185 33 0315 59 0 574 48 0 722 30 0 852 74 0 926 37 0 963 9 0 981 0 9 1 SR Calculer les mesures de dispersion de cette distribution ISS ELDO En reprenant la situation d introduction D e og ep e 0 2 gt gt Th gt gt gt amp lt BS 1
7. 0 30 40 40 50 50 60 60 65 b Proposer un nouvel histogramme corrigeant cet effet visuel trompeur 20 4 Fr quences cumul es des v s quantitatives Dans une tude statistique si on souhaite conna tre la proportion de chaque valeur que peut prendre la variable statistique tudi e on regarde sa fr quence f S par contre on souhaite conna tre la proportion des individus qui pr sentent des valeurs inf rieures ou gales une valeur fix e on regarde la fr quence cumul e croissante F Observons ceci sur le mod le suivant 3C JtJ 2015 106 THEME 20 Mod le 4 Lors d un concours de p che dans le lac de Bret on a mesur en cm toutes les prises et regroup es par classe dans le tableau qui Suit a Compl ter le tableau que l on a obtenu Classe Centre Effectifs Fr quence 0 15 b Xi i Fr quence cumul e croiss F 110 151 6 25 15 20 rar 98 20 251 32 81 51 56 35 A0 98 44 40 601 1 56 Totaux b Repr senter le diagramme des fr quences cumul es 25 301 28 13 79 69 be EES eege SEENEN ee Ee ect EE ae Ee de een en eignen WEE EN De EE EE CSA DE RE sets ee ee RTE de ee ER DEE EE E EN Eeer 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 c D terminer la proportion des prises dont la longueur est plus petite que 30 cm d D terminer la proportion des prises dont la
8. 65 175 185 195 155 165 175 185 135 Calculer la variance et l cart type 3C JtJ 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 115 DOUAI La compagnie TEHOU r v l les chiffres des absences de ses employ s syndiqu s pour deux mois d hivers Nombre Nombre de jours d employes C H EEE 2 0 2 Ed Calculer la moyenne et l cart type d absence CSS 3 3 2 1 1 2 Mod le 8 Le magasin de v tements ROBA tudie depuis 90 jours ses ventes de jupes Les donn es recueillies ont t regroup es en V S quantitative continue classes En TOTAUX 90 0 778 3 911 1 0 889 4 533 0 933 Calculer les mesures de dispersion de cette distribution O X EME 26 8 3C JtJ 2015 116 THEME 20 Une tude des salaires annuels des employ s d une grande compagnie donn les r sultats suivants 20 000 22 000 80 26 000 28 000 28 000 300001 30 000 360001 a Calculer les mesures de tendance centrale b Calculer la variance et l cart type UPA Lise et Michel sont deux professeurs de statistiques du gymnase Chacun a fait passer un TE sur le sujet Voici le tableau des notes Classe de Lise 1 5 25 3 3 5 4 4 5 5 6 2 2 5 35 4 45 45 5 2 5 3 35 4 45 5 6 AQ AN Classe de Michel 2 3 3 A 4 5 5 5 5 2 3 35 4 45 5 6 2 3 3 5 4 5 5 5 6 D terminer la classe admettant les meilleurs r sultats S agit 1l
9. REECHEN zen n 6 EE EEN D q e D I Togs 55590 5555555 55 8 E EE 294 Y a N C 60 D I 1 1 1 1 1 1 S 3 325 242 E 2 5 EE E 20 ON O el 2 N Q un RE 2 D lt EE gt 8 gt Z gt Ce eo 5 8 2 mO MOSS EE E EE a E EH DE QE 9 E a et D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 SNE E EE E dE 55 40 45 50 39 30 25 Mod le 3 Suite 10 15 20 5 3C JtJ 2015 104 TH ME 20 DORE Une entreprise enregistr le salaire de tous ses vendeurs pour l ann e derni re Voici les donn es rang es CE _ 110000 150001 1250 2 RRE _ 2000025000 200 1130000 333000 20 00 _ 45000 500001 47500 2 Totaux a Compl ter le tableau des distributions des effectifs et des fr quences b Faire un histogramme c Const
10. STATISTIQUE DESCRIPTIVE 97 Th me 20 Quelques l ments de statistique descriptive 20 1 Introduction un peu d histoire Introduction Le mot statistique de l italien statista homme d tat LS RS var zo Deren Pyramide des ges Suisse 2000 MAN OP d Une page des donn es de l astronome Tycho Brah Analyse combinatoire Calcul des Statistique descriptive probabilit s Variables al atoires A Estimation Ajusiement lin aire Tests 3C JtJ 2015 d signait l origine la collecte et l valuation des donn es concernant un tat Cette science de l tat tait une repr sentation purement descriptive de faits g ographiques et sociaux comme le climat la population les coutumes les organisations conomiques etc l usage des hommes d tat l poque en France le roi et son conseil D s la plus haute Antiquit les dirigeants ont fait proc der des enqu tes sur la population l Empereur Yao vers 2200 av J C pour conna tre les productions agricoles les pharaons gyptiens d s 1700 av J C l Empereur Auguste Rome pour le nombre de soldats les revenus des citoyens Nous trouvons galement de multiples exemples d utilisation de statistiques dans les sciences Johannes Kepler 1571 1630 formula ses lois sur les mouvements des plan tes en utilisant l ensemble des donn es r colt es par l
11. ani re beaucoup plus succincte par une mesure de l emplacement du centre et une mesure de la dispersion des observations autour de ce centre Dans ce chapitre nous examinerons la premi re des deux caract ristiques d une v s quantitative soit les mesures de tendance centrale Nous distinguerons deux types de mesure relative au centre de la distribution qui sont utilis s les plus fr quemment la moyenne la m diane 108 TH ME 20 E E E La moyenne arithm tique x x A 2 727 k k n n n o sous la forme E La m diane M La m diane M d une variable discr te est la premi re modalit dont la fr quence cumul e croissante atteint ou d passe 50 Mod le 5 Consid rons le nombre de personnes par m nage dans le canton de Neuch tel en 1980 22 2934 _ o o o am 03 0606 Ir 4 Dans ce tableau nous avons x 1 x 2 les x repr sentent le nombre de personnes par m nage n 20734 n 20 798 les n indiquant le nombre de m nages comportant x personnes Calculons les mesures de tendance centrale de cette distribution 3C JtJ 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 109 Calculer la moyenne la m diane de la v s suivante Modalit s Effectifs o wo 2 Ill UL 3 e 20 6 Les mesures de tendance centrale d une variable continue La moyenne arithm tique x La moyenne arithm tique x d une variable sta
12. ans des intervalles de valeurs que l on appelle des classes du type b b est la borne inf rieure de la classe b est la borne sup rieure de la classe l t est le milieu de la classe L b est la largeur de la classe i Mod le 3 Des chimistes viennent de composer une nouvelle fibre synth tique qui devrait se caract riser par sa r sistance Afin de v rifier sa capacit de tension on pr l ve de la production au hasard un chantillon de 60 fibres qu on soumet des essais de r sistance Les r sultats en kg sont les suivants 35 65 71 75 77 80 81 82 84 86 87 89 91 97 100 48 69 72 75 78 80 81 83 85 86 88 89 94 97 103 53 69 73 76 79 80 681 83 85 87 88 89 95 99 104 63 71 74 77 79 81 82 84 86 87 89 91 97 99 114 On regroupe les donn es en 6 classes d amplitude 15 avec 30 comme valeur minimale Compl ter le tableau on en ml ml wos o moso Totaux 3C JtJ 2015 103 STATISTIQUE DESCRIPTIVE rectangles sont juxtapos s indiquant ainsi le caract re continu de la variable statistique Repr sentations graphiques L histogramme est un diagramme en colonnes o les Histogramme et polygone des fr quences Le polygone des fr quences est la ligne polygonale obtenue n O 0 D O
13. astronome danois Tycho Brah 1546 1601 e Les premi res tudes statistiques de Florence Nightingale infirmi re anglaise durant la guerre de Crim e de 1854 1856 permirent d identifier les causes de mortalit des soldats et conduisirent l am lioration des conditions d hygi ne des h pitaux militaires anglais Aujourd hui cette partie des math matiques a pris une grande place gr ce aux nouvelles techniques et la puissance des ordinateurs G ographie m decine sciences humaines sciences conomiques biologie politique aucun domaine n est pargn On peut d composer la m thode statistique en cinq tapes 1 Identification pr cise de la population et du des caract re s tudier R colte des donn es recensement ou chantillonnage Regroupement classification et pr sentation des donn es statistiques descriptives 4 Comparaison avec des mod les th oriques calcul des probabilit s et mod les probabilistes 5 Interpr tation conclusion pr vision inf rence statistique 08 TH ME 20 20 2 Vocabulaire Notation Mod le 1 En statistique le mot population repr sente un ensemble d objets de m me nature que l on va tudier analyser Les l ments de la population appel s individus peuvent tre des personnes mais aussi des choses des animaux des objets des faits des notes de TE etc Le nombre d individus est appel l effectif Souvent il n est pas possib
14. le de prendre en compte la totalit de la population Dans ces cas l tude se limite un chantillon pris au hasard partir duquel on peut tenter de d duire une tendance pour toute la population Une population doit toujours tre clairement d finie afin que l on puisse toujours d terminer si un l ment quelconque fait ou non partie de la population tudi e On pourra ainsi tudier une caract ristique que poss de chacun des individus on appelle cela une variable statistique v s Les diff rentes valeurs que peut prendre une variable statistique sont les modalit s de cette variable On note une v s par une lettre majuscule X Y et ses modalit s par la m me lettre minuscule affect e d indices X pour la variable X ou y y pour la variable Y On fait une tude statistique aupr s des l ves du gymnase de Morges On aimerait conna tre le sexe l ge au 1 Janvier la taille la voie ECGC ou EM de chaque l ve Population modalit des v s Y YE JHE VE IR Une v s est quantitative si les valeurs qu elle peut prendre sont num riques Une telle v s est dite quantitative discr te si les valeurs qu elle peut prendre sont isol es les unes des autres Par contre si celles ci constituent des intervalles de nombres la v s est appel e quantitative continue Si les valeurs d une v s sont descriptives ou nominatives la v s est dite qualitative A est Une 6
15. longueur est plus grande ou gale 20 cm La m diane L abscisse du point correspondant une fr quence cumul e croissante de 50 s appelle la m diane de la v s Dans le mod le pr c dent la m diane vaut 3C 7 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 107 DORE Compl ter la solution de l exercice 20 8 par Exercice 20 10 c Repr senter les courbes des fr quences cumul es croissantes et en d duire la valeur de 1 m diane d D terminer la proportion de ch meurs de moins de 40 ans e D terminer la proportion de ch meurs de plus de 20 ans f D terminer la proportion des ch meurs entre 20 et 40 ans Lors d un cours de statistique en 2008 20 tudiants ont t invit s indiquer leur taille et leur poids N taille poids N taille poids 13 168 60 15 181 80 6 170 60 7 170 68 8 160 63 9 187 93 a Regrouper les donn es de tailles et de poids en 6 classes de largeur gale b Repr senter l histogramme et le polygone des fr quences des tailles des 20 tudiants c le diagramme des fr quences cumul es croissantes des poids des 20 tudiants 520 5 Les mesures de tendance centrale d une variable discr te k modalit s 3C JtJ 2015 Introduction Nous avons vu dans les paragraphes pr c dents comment r sumer un grand nombre de donn es sous la forme de tableaux ou de diagrammes Il est pourtant souvent possible de caract riser une distribution de m
16. ort entre l effectif de chaque modalit et le nombre N d individus de la population f a 3C JtJ 2015 100 TH ME 20 Le tableau de distribution des effectifs et des fr quences permet une bonne synth se des informations mais n est pas tr s explicite On l accompagnera d un graphique permettant de repr senter ces donn es On utilise fr quemment a un diagramme en colonnes b un diagramme en secteurs histogramme en camembert Remarques La somme des effectifs est toujours gale au nombre d individus de la population n n n N La somme des fr quences est toujours gale 1 FL E 1 car Lors de l utilisation de la calculatrice il peut arriver que la somme des fr quences ne soit pas exactement gale 1 cause des arrondis de calculs DOUTE Reprendre les donn es de l exercice 20 2 afin d en proposer a le tableau de distribution des effectifs et des fr quences b un histogramme puis un diagramme en secteurs 3C 7 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 101 On a demand aux enfants de trois classes de 3 ann e primaire quel tait leur sport d hiver pr f r On a obtenu les donn es brutes suivantes Hockey Glissade Hockey Hockey Hockey Hockey Ski Hockey Ski Raquette Patinage Ski Ski Hockey Ski Ski Hockey Ski Raquette Ski Patinage Ski Hockey Raquette Raquette Ski Glissade Hockey Glissade Glissade Hockey Glissade Hockey Hockey Hockey Ski de
17. ruire le polygone des fr quences Keel En recevant les l ves qui d sirent faire partie d une quipe de foot du gymnase l entra neur pris note du poids de ces 60 Joueurs 72 6 819 84 7 88 1 89 4 91 6 93 7 95 4 99 1 103 2 75 4 826 854 88 1 90 2 92 4 939 96 6 99 4 103 9 77 5 829 86 2 88 3 90 9 92 5 944 971 998 104 0 78 3 83 0 86 9 88 7 911 92 8 94 7 97 2 100 4 105 2 79 6 83 5 87 3 890 912 930 948 97 5 101 7 106 1 81 5 84 1 87 8 891 91 3 93 3 95 2 98 3 102 1 118 7 a Identifier la population b Identifier la variable statistique c Cette variable statistique est elle discr te ou continue d En utilisant des classes de largeur 5 construire le tableau des distributions des effectifs et des fr quences valeur minimale 70 Vous admettrez une classe plus large l extr mit classe 105 120 f Construire le polygone des fr quences 3C JtJ 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 105 Le tableau r capitulatif suivant donne la statistique trimestrielle par classe d ges des ch meurs inscrits dans un office du travail dans le canton de Vaud en juin 2009 Ch meurs par classe d ges 15 20 20 25 25 30 30 40 40 SOI 50 60 60 651 Totaux 17288 a En quoi l histogramme suivant est 1l trompeur 2 Ch meurs par classe d ges 6000 5000 4000 3000 2000 1000 15 20 20 25 25 3
18. tistique continue est calcul e comme si toutes les donn es taient situ es au centre de la classe On retrouve donc LE REX La m diane M Comme d j mentionn pr alablement la m diane se calcule en utilisant le polygone des fr quences cumul es et le th or me de Thal s Fr quences cumul croissantes Al Te ege EEN P D EE KEE om LEE EE WE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1805 avec bh la borne inf rieure de la 1 classe dont la fr quence cumul e croissante atteint ou d passe 50 f la fr quence de cette 1 classe la fr quence cumul e croissante de la classe pr c dente L la largeur de la classe l 3C JtJ 2015 110 TH ME 20 Mod le 6 On consid re la v s continue donn e dans le tableau suivant SC D terminer la moyenne et la m diane de cette v s DOUBS Calculer la m diane de la v s continue suivante Cem 3C 7 2015 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 111 LESSER Le club PAD organise un grand tournoi de quilles Voici le tableau de distribution des scores babi PS EE 0201400 1 11 140 1601 160 1801 180 2001 L 1200 2207 12 Totaux D terminer la moyenne et la m diane des scores obtenus On a mesur la taille des 50 professeurs du gymnase de Morges Nombre de Taille en cm professeurs 130 1401 140 1501 150 160 7 160 1701 8 7 170
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