CHAPITRE II : CRISTALLOGRAPHIE (TD) - mms2
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1. interm tallique ordonn TiAl qui fut largement tudi dans l objectif d applications a ronautiques Figure 1 Structure de TiAl perspective et projection cot e Ti en noir Al en gris a 4 07 noncer les caract ristiques g om triques de la maille repr sent e figure 1 quel syst me cristallin doit on rattacher cette structure Dessiner une autre maille qui mette en vidence le syst me cristallin trouv sans qu il puisse y avoir d ambigu t sur le choix de ce syst me 1 3 QUELQUES AUTRES EXEMPLES c Figure 2 Mailles de quatre structures diff rentes Ni en noir Al en gris Nb en blanc Les param tres de ces mailles ne sont pas pr cis s Donner en justifiant la r ponse le syst me de chacun de ces difices cristallins Cristallographie TD Donner la formule chimique de chacun des difices cristallins pr sent s figure 2 Pour l difice cristallin pr sent figure 2d on s aidera de la projection de la maille orthogonalement la direction b pr sent e figure 3 c Figure 3 projection orthogonalement b de l difice cristallin pr sent figure 2d Calculer la masse volumique des phases dont les mailles sont pr sent es figures 2c et 2d On donne pour la maille de la figure 2c a 3 62 c 7 41 Pour la maille de la figure 2d a 5 11 b 4 24 c 4 54 Les masses atomiques de Ni et Nb sont respectivement Myi 58 7 1g et Mw 92 91 g 2 R2. Ni Nb s crit Pynisne 2 3 x Mi Mre W a 0 2 G x 58 71 92 91 6 02 10 3 62 10 7 41 10 Cristallographie TD Pyxisne 2 447 107 3 62 10 87 7 41 10 2 4 47 10 7 97 10 10 9 20 g cm et celle de Ni3Nb aniano 2 3 x Mni Mro W a b 0 2 3 x 58 71 92 91 6 02 10 5 11 10 4 24 10 4 54 10 p Panino 2 4 47 10 5 11 10 4 24 10 4 54 10 2 4 47 10 98 36 10 9 09 g cm La phase y Ni Nb est plus dense que la phase amp Ni Nb 2 RESEAU RANGEES RETICULAIRES PLANS RETICULAIRES 2 1 RESEAU L examen d un assemblage de plusieurs mailles cfc figure 4 permet de v rifier que l environnement orient du centre d un atome plac au centre d une face d une maille est identique celui du centre d un atome plac un sommet d une maille Le centre des faces est donc homologue aux sommets de la maille Le r seau est un r seau Cubique Faces Centr es CFC Noter que des structures plus riches que la structure cfc poss dent un r seau CFC c est le cas du Silicium dont la structure qui est celle du diamant n est pas cfc mais dont le r seau est lui CFC Figure 4 Assemblage de huit mailles cfc Dans le cas de la figure 2b les atomes aux centres des faces tant de nature diff rente de ceux aux sommets de la maille ces centres de faces ne peuvent en aucun cas tre homologues aux
3. sommets Le r seau de NizAl n est pas CFC D ailleurs la structure de Ni AI n est pas une structure cfc Cette structure qui utilise les sites atomiques de la structure cfc a un r seau cubique simple on dit cubique primitif La structure de Ni Al porte diff rents noms en fonction du syst me de r f rencement utilis Dans l ancienne classification des structures interm talliques ordonn es appel e Strukturbericht cette structure a pour symbole L1 Dans la classification plus r cente dite de Pearson cette structure est r f renc e comme la structure de Au Cu qui est alors appel e structure type 2 2 RANGEES RETICULAIRES Les indices des directions des ar tes 100 010 001 ou leurs oppos s Les indices des directions des diagonales des faces de la maille 110 101 011 fi 10 fiot 011 ou les oppos s Les indices des directions parall les aux grandes diagonales de la maille 11 111 f11 f117T ou les oppos s 2 3 PLANS RETICULAIRES On s int resse par exemple la famille de plans r ticulaires parall le la face contenant les ar tes a et c 10 Mat riaux pour l ing nieur La normale ces plans a pour indices 0 1 0 Cependant l quation de l un des deux plans de cette famille voisins de l origine s crit hp kq lr 1 Ce plan passe en particulier par les n uds de coordonn es 1 2 1 2 0 et 0 1 2 1 2 On en d duit que A 0 k 2etr 0 Les indices de Miller d
4. suivant l ar te verticale de la maille en perspective de quatre mailles adjacentes les unes au autres permet de v rifier que les centres des atomes de Ti sont tous homologues Figure 1 Assemblage de quatre mailles projet sur le plan de base de la maille On en d duit que l on peut choisir comme maille le parall l pip de trac figure 2 dans l assemblage de deux mailles accol es l une l autre Figure 2 Assemblage de deux mailles et maille conventionnelle de TiAl Cette maille met bien en vidence l axe de sym trie d ordre 4 et ne pr sente plus la trompeuse g om trie cubique de la maille propos e dans l nonc Il est noter d ailleurs que cette g om trie cubique de la maille n existe qu une temp rature pr cise l anisotropie de la structure se traduit par des coefficients de dilatation thermique diff rents selon la direction de l axe d ordre 4 et selon les directions perpendiculaires celui ci Enfin on peut d cider de prendre l origine du r seau au centre d un atome d Al et construire la maille pr sent e sur la figure 3 8 Mat riaux pour l ing nieur Figure 3 Assemblage de deux mailles et maille conventionnelle de TiAl 1 3 QUELQUES AUTRES EXEMPLES La figure 2a de l nonc ressemble la figure 1 de ce m me nonc mais cette fois tous les atomes sont de m me nature Il appara t alors quatre axes d ordre 3 qui ont pour directions les grandes diagonales du cube une rotation
5. CHAPITRE Il CRISTALLOGRAPHIE TD L NAZ 1 SYMETRIES SYSTEME CRISTALLIN MAILLE 1 1 MODE D EMPLOI La cristallographie repose sur les deux concepts de p riodicit et de sym trie des difices cristallins Dans bien des applications de la cristallographie la science des mat riaux on se limite l emploi d une maille cristalline pour d crire un cristal et l on se contente d utiliser les dimensions de cette maille les sites atomiques qu elle pr sente et les sites interstitiels que l on peut y trouver On ignore bien souvent les sym tries pr sent es par l agencement des atomes dans l difice cristallin C est cependant le groupe constitu par ces sym tries qui d termine les caract ristiques de nombreuses propri t s macroscopiques du cristal En particulier c est ce groupe de sym trie qui est l origine de l anisotropie de nombreux ph nom nes physiques comme par exemples l lasticit ou la pi zo lectricit La classification des difices cristallins en syst mes cristallins est donc bas e sur les diff rentes combinaisons d axes de sym trie qui peuvent exister dans les structures cristallines Un axe de sym trie d ordre n est un axe autour duquel une rotation de 27 n laisse l difice invariant o pas d axe de sym trie syst me triclinique un axe avec rotation d ordre 2 ou une sym trie plan syst me monoclinique o trois axes L avec rotation d ordre 2 ou sym tries plans syst me orthorhomb
6. ESEAU RANGEES RETICULAIRES PLANS RETICULAIRES La structure consid r e dans cet exercice est la structure cubique faces centr es cfc qui est la structure de l difice cristallin du nickel pr sent e figure 2a D une mani re plus g n rale la structure cubique faces centr es correspond un difice cristallin d fini par une maille cubique dans laquelle les atomes tous de m me nature sont plac s aux sommets de la maille ainsi qu au centre de chacune de ses faces 2 1 RESEAU Par d finition les sommets de la maille sont tous homologues les uns aux autres Dans la structure cfc les centres des faces sont ils homologues aux sommets M me question pour la structure de l difice cristallin dont la maille est donn e figure 2b 2 2 RANGEES RETICULAIRES Dans cette partie de l exercice ainsi que dans la suivante on ne s int ressera qu au r seau CFC sans faire intervenir les atomes Dans le cas de la structure cfc cette fa on de faire est facile admettre puisque la structure cfc consiste en un r seau CFC avec un atome sur chaque n ud Une rang e r ticulaire est une rang e de n uds Les indices uvw avec u v w entiers premiers entre eux d une rang e correspondent aux coordonn es d un vecteur directeur de la rang e exprim dans la base d finie par les ar tes de la maille Donner les indices des rang es dont les directions correspondent aux ar tes de la maille aux diagonales des faces de la maille e
7. Travaux dirig s et travaux pratiques cole des Mines de Paris Direction des tudes cours TC2332 1995 1999 D Fargue J P H non K D Phan Cours de Cristallographie Diffraction des rayonnements par les cristaux cole des Mines de Paris Direction des tudes cours TC2332 1996 Cristallographie TD CHAPITRE II CRISTALLOGRAPHIE CORRIGE L NAZ 1 SYMETRIES SYSTEME CRISTALLIN MAILLE 1 2 APPLICATION La figure 1 de l nonc et sa l gende qui ne donne qu une seule valeur de param tre permettent de d affirmer que la maille de TiAl a la g om trie d un cube a b c a fB y 77 2 La classification en syst mes est bas e sur les l ments de sym trie que l on peut identifier dans l difice cristallin La maille de TiAl met en vidence un axe d ordre 4 l axe passe par les centres des atomes de Ti qui se trouvent au centre de chacune des deux faces sup rieures et inf rieures de la maille Une rotation de 7 2 autour de cet axe laisse la structure invariante Par contre bien que la maille pr sente une g om trie cubique l agencement des atomes dans l difice cristallin ne pr sente lui aucune sym trie d ordre 3 Le syst me de TiAl est donc le syst me quadratique ou t tragonal L axe d ordre 4 de TiAl est son axe de sym trie principal La direction de cet axe est galement une direction d axe de sym trie pour les propri t s physiques des monocristaux de TiAl La figure 1 qui est la projection
8. ayon de l atome de l esp ce consid r e Les atomes de la structure tant accol s selon la direction d une diagonale d une face de la maille on d duit que a V2 4R d o a 2V2R et R V2 1 R Les sites t tra driques dans la structure cfc sont situ s entre 4 atomes premiers voisins figure 6 Cristallographie TD Figure 6 Site interstitiel t tra drique dans la structure cfc
9. c est constitu e par l empilement de plans denses Ces plans denses sont form s par la juxtaposition des sph res atomiques chacune d entre elles tant exactement entour e par six autres sph res accol es chacune ses voisines La figure 4 montre deux vues de la structure cfc dans laquelle les plans denses empil s les uns contre les autres ont t color s successivement en noir blanc et gris b Figure 4 a Perspective de la maille de la structure cfc mettant en vidence l empilement des plans denses b vue dans la direction normale ces plans denses a Donner en justifiant les indices de Miller des familles de plans r ticulaires parall les aux plans denses de la structure cfc 3 SITES INTERSTITIELS DANS LA STRUCTURE cfc Dessiner sur la figure 5 qui pr sente une maille de la structure cfc le poly dre limitant un site interstitiel octa drique de cette structure Figure 4 Structure cfc En assimilant les atomes des sph res qui se touchent dans les directions des diagonales des faces calculer par rapport au rayon atomique de l atome constituant le cristal de structure cfc consid r le rayon maximal d un atome plac dans ce site interstitiel octa drique Sur la m me figure repr senter le poly dre limitant un site interstitiel t tra drique REFERENCE BIBLIOGRAPHIQUE K D Phan Cours de Min ralogie cole des Mines de Paris 1990 K D Phan P Podvin Cristallographie G om trique
10. de 27 3 autour de l un de ces axes laisse invariant l difice cristallin Le syst me de l difice pr sent figure 2a de l nonc est dont le syst me cubique La structure de la figure 2b de l nonc utilise les m mes sites atomiques que celle de la figure 2a mais la nature des atomes aux centres des faces est diff rente de celle des atomes aux sommets de la maille Cependant cet difice cristallin poss de galement les 4 axes d ordre 3 correspondant aux grandes diagonales du cube Le syst me de l difice pr sent figure 2b de l nonc est le syst me cubique La structure de la figure 2c de l nonc utilise les m mes sites atomiques que celles des figures 2a et 2b mais il faut cette fois presque deux fois plus de ces sites pour construire la maille On ne peut plus identifier d axe d ordre 3 mais on trouve facilement une direction d axe d ordre 4 parall le la direction des ar tes verticales de cette maille Le syst me est donc quadratique t tragonal La structure de la figure 2d de l nonc ne r v le ni axe d ordre 3 ni axe d ordre 4 On peut identifier une direction d axe d ordre 2 parall le la direction c ainsi que deux plans de sym trie dont les normales sont respectivement parall les a et b Ces trois directions d l ments de sym trie binaires permettent de classer cet difice cristallin dans le syst me orthorhombique L difice de la figure 2a correspond du Nickel pur Le Nickel adopte la s
11. e cette famille de plans sont donc 020 et non 0 0 comme l auraient laiss supposer les coordonn es de la normale cette famille de plans 2 4 PLANS DENSES Sur la figure 4a on peut remarquer que le plan de cette famille premier voisin de l origine passe par les n uds 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 et 0 1 2 1 2 On en d duit facilement que les indices de Miller de cette famille sont 711 On voit d ailleurs sur la figure 4b que la normale cette famille de plans est bien 111 La structure cfc poss de outre quatre axes ternaires caract ristiques du syst me cubique trois axes d ordre 4 de directions respectivement parall les aux 3 directions des ar tes de la maille On en d duit que la famille de plans 771 est quivalente par sym trie aux plans 11 1 t u 1 La structure cfc poss de donc 4 familles de plans denses Ces familles tant quivalentes par sym trie elles sont regroup es sous la notation 711 3 SITES INTERSTITIELS DANS LA STRUCTURE cfc On identifie facilement un site octa drique au centre de la maille cubique conventionnelle de la structure cfc figure 5 Figure 5 Site interstitiel octa drique dans la structure cfc Le calcul du rayon maximal de l atome que l on peut mettre en site octa drique dans la structure cfc est ais La sph re inscrite entre les atomes situ s aux centres des faces de la maille a pour rayon R a 2R 2 a tant le param tre de la maille et R le r
12. facile manipuler et mette en vidence un maximum d informations il a t conventionnellement convenu de choisir la maille la moins volumineuse qui r v le les sym tries caract ristiques du syst me cristallin auquel l difice appartient On obtient donc pour chaque syst me cristallin une g om trie de maille particuli re La maille tant d finie par les param tres a b c et les angles amp angle de b c P angle de c a et y angle de a b on obtient pour un syst me cristallin donn une g om trie de maille d finie comme suit o triclinique i a b c amp p yquelconques o monoclinique a a b c yquelconques p m2 o orthorhombique a b c quelconques amp P y m2 quadratique 9 a b c quelconque Pp y m2 a cubique a b c y m2 o trigonal et hexagonal a b c quelconque amp P W2 y 203 Attention les r seaux et les mailles relevant des syst mes cristallins trigonaux et hexagonaux pr sentent quelques subtilit s que l on ne peut pas pr senter ici 4 Mat riaux pour l ing nieur On retiendra donc que ce sont les sym tries de l arrangement des atomes qui d finissent le syst me cristallin Ces m mes sym tries imposeront les caract ristiques de la maille conventionnelle Il ne faut pas l inverse d duire le syst me des seules caract ristiques g om triques de la maille 1 2 APPLICATION La figure 4 pr sente la structure cristalline du compos
13. ique un axe avec rotation d ordre 3 syst me trigonal o un axe avec rotation d ordre 4 syst me quadratique t tragonal un axe avec rotation d ordre 6 syst me hexagonal o quatre axes d ordre 3 syst me cubique La p riodicit des difices cristallins est quant elle l origine du concept de r seau Une origine tant choisie arbitrairement dans l difice cristallin par exemple au centre d un atome le r seau est constitu des points au sens g om trique du terme qui sont homologues l origine c est dire des points autour desquels l environnement est identique l environnement de l origine y compris en termes d orientation Le segment de cristal inclus entre deux de ces points homologues que l on appelle n uds du r seau constitue donc la p riode du cristal dans la direction d finie par ces deux points En choisissant trois directions non coplanaires chacune de ces directions tant d finie par l origine et un n ud on peut construire un parall l pip de dont les sommets sont des n uds On construit alors le cristal par r p tition de ce parall l pip de appel maille dans les trois directions qui correspondent ses ar tes Pour repr senter un cristal on peut donc a priori choisir n importe quel parall l pip de dont les sommets sont des points homologues une origine choisie arbitrairement Cependant pour que la repr sentation d un difice cristallin l aide de sa maille soit
14. t aux grandes diagonales de la maille 2 3 PLANS RETICULAIRES Un plan r ticulaire passe par trois n uds L quation d un plan r ticulaire passant par l origine du r seau a la forme hx ky lz 0 1 Un n ud de coordonn es p q r appartient donc ce plan si hp kq lr 0 2 Les entiers h k et l sont appel s indices de Miller de la famille de plans et sont not s hkl Vectoriellement on peut consid rer que le triplet p q r d finit la rang e pqr passant par l origine et le n ud de coordonn es p q r Dans le r seau CFC et d ailleurs dans tout r seau cubique un triplet hkl correspond alors aux coordonn es de la normale au plan vectoriel consid r Attention cette remarque n est valable que dans un r seau cubique 6 Mat riaux pour l ing nieur En fait on consid re l ensemble que forment tous les plans r ticulaires parall les ce plan vectoriel Pour trouver les indices de Miller de cette famille de plans r ticulaires on s int resse en particulier l un des deux plans premiers voisins de celui qui passe par l origine celui dont l quation est donn e par 1 Son quation s crit hp kq lr 1 h k et l tant entiers 3 Les indices de Miller Akl de la famille de plans sont les coefficients de cette quation Dans le r seau donner les indices de Miller des familles de plans r ticulaires parall les aux faces de la maille 2 4 PLANS DENSES On peut montrer que la structure cf
15. tructure cubique faces centr es cfc comme de nombreux m taux purs Fe y Al Cu Pb Au Ag Pt La maille pr sent e figure 2b compte a amp atomes d Aluminium aux sommets de la maille qui chacun se partagent entre les 8 mailles poss dant ce sommet en commun 6 atomes de Nickel qui chacun se partagent entre les 2 mailles ayant cette face en commun Donc 8 x 1 8 AI 6 x 1 2 Ni Ni Al Le d compte des atomes de la maille de la figure 2c s tablit comme suit C8 x 1 8 1 Nb 8 x 1 2 4 x 1 4 Ni NisNb ou NiNb Le d compte des atomes de la maille de la figure 2d est C8 x 1 8 1 Nb 4 x 1 2 2 x 1 2 2 Ni NiNb ou NiNb En effet les centres des deux atomes de Nickel proches de la base de la maille ne se trouvent pas sur les ar tes parall les a car si c tait le cas cause de la p riodicit dans la direction c deux autres atomes de Ni appara traient galement sur les ar tes parall les a de la face sup rieure La figure 3 montre d ailleurs bien que le centre de ces atomes de Ni ne se trouve pas sur l ar te de direction a Ces deux atomes sont donc compt s comme tant plac s sur des faces de la maille et sont donc partag s entre deux mailles Les deux difices cristallins des figures 2c et 2d ont la m me composition chimique mais des structures diff rentes Ces deux polymorphes de Ni Nb s appellent respectivement y NiNb et amp NiaNb La masse volumique de
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