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1. MPILER DES CUBES Pierre Audin Unit math matiques du Palais de la d couverte Paris Je travaille au Palais de la d couverte de puis bient t vingt ans Auparavant j tais professeur de math matiques en France dans le secondaire c est dire pour des l ves de 11 18 ans Juste avant que je ne devienne un prof d froqu l ducation nationale s est enrichie en France d une nouvelle activit en classe de Seconde l ves de 15 16 ans prise sur les horaires officiels de la classe les modules Sur un horaire bizarre d heure par semaine il fal lait partager la classe en deux groupes pas forc ment quilibr s et le partage pouvait varier d une semaine l autre On ne savait pas ce qu il fallait y faire il tait seulement explicitement interdit de faire des modules de soutien en alternance avec des mo dules d approfondissement Sans doute cela devait tre un espace de libert pour les enseignants et donc les consignes des inspecteurs taient peu claires puisqu il n est pas dans les habitudes fran aises qu un inspecteur laisse un enseignant la libert de faire ce qu il veut Un peu par tout il y a donc eu des modules de soutien et d approfondissement en alternance modules qui ne disaient pas leurs noms modules 1 et 2 ou A et B De mon c t j ai cherch quelles activit s je pouvais tenter qui ne soient ni du soutien ni de l approfon dissement mais qui so2. car partir du 1er septembre j tais en poste au Palais de la d couverte dans le d partement de math matiques AU PALAIS DE LA D COUVERTE Pour une autre activit les menuisiers du Palais de la d couverte m ont fabriqu des cubes de 3 cm de c t Comme je dispo Figure n 4 mat riel disponible Math cole 219 avril 2013 Secondaire I sais aussi de plateaux en bois plaqu de for mica blanc quadrill de lignes rouges don nant un pavage de carr s de c t 3 cm la m moire du probl me pr c dent m est revenue et j ai propos l activit au public puis aux groupes scolaires Car d sormais l activit n tait plus entrav e par la ques tion de la repr sentation en perspective plus ou moins r ussie disposant d une cinquantaine de cubes de la bonne faille l exp rimentation consiste bien empiler des cubes et contr ler si les vues sont les bonnes Voici le mode d emploi disponible pour les l ves en visite en groupe ou pour le public Essayez de construire avec le moins de cubes possible une forme g om trique en trois dimensions dont la vue de face est et celle de profil Combien faut il de cubes au minimum pour la r aliser Lorsque j ai commenc cette activit la strat gie tait syst matiquement la m me qu avec mes l ves une exception pr s d abord la solution pl thorique utili sant vingt cubes Figure 7 Mais en disposant effec
3. erri re une pile de deux cubes viennent fournir la vue de profil Figure 11 Il y a clairement eu un changement de strat gie dont j ignore la raison La source se trouve peut tre dans un jeu t l vis ou dans l utilisation des t l phones mobiles ou des ordinateurs portables et autres tablettes graphiques avec lesquels une grosse part de l activit reste le jeu Qu est ce qui m int resse et qui m int res sait dans cette activit Ce n est pas la g om trie dans l espace assez l men taire somme toute puisqu elle ne met en jeu que quelques cubes empiler sur seule ment deux niveaux C est ce qui concerne la m thode utilis e pour s assurer qu on est bien au minimum Et de faire comprendre aux l ves ou au public que la solution ob tenue par une m thode est la solution que Math cole 219 avril 2013 Figure n 11 solution de d part avec 10 cubes la m thode permet d obtenir mais pas for c ment la solution du probl me tudi LE MINIMUM OU UN MINIMUM Comment tre s r que j ai trouv le mini mum Si je trouve une solution huit cubes je sais que le minimum est huit ou moins de huit mais s rement pas plus de huit Si j ob tiens une solution sept cubes le minimum est sept ou moins Si j obtiens une solution six cubes le minimum est inf rieur ou gal six Je n obtiens pas une galit mais une in galit Pour avoir finalement une galit j ai besoin d u
4. ient autres LA SITUATION La lecture d un article de Jan de Lange 1984 m a laiss en arr t et j ai adapt une des situations dont il tait question l intention de deux moiti s de classe les l ves tant tri s par ordre alphab tique Il s agissait a priori de g om trie dans l es pace L activit a t un grand ratage j y reviendrai Cependant je l ai reprise assez vite lorsque je suis arriv au Palais de la d couverte o elle est plut t r ussie A noter 36 Secondaire Il que d sormais il ne s agit plus du tout de g om trie dans l espace La situation est assez simple puisque tout le monde sait ce qu est un cube et tout le monde a jou avec des cubes depuis le plus jeune ge souvent m me avant de savoir marcher Les l ves connaissent le public conna t pas de probl me d acces sibilt cet objet L on demande de re constituer avec le moins de cubes possible un empilement de cubes dont on a deux vues l une de face l autre de profil sans pr ciser de quel profil il s agit d ailleurs La solution n est pas aussi simple qu on peut l imaginer premi re vue parce qu il faut quand m me comprendre qu il s agit de projections et que si l on voit un carr on ne sait pas quelle profondeur se situe le cube qu il repr sente Voici les deux vues propos es Figure n 1 vue de face Figure n 2 vue de profil La question n est pas seulement de trouve
5. lement de cubes avec le moins de cubes possible ou quand le visiteur obtient une solution lui demander si on ne peut pas en faire Une autre avec moins de cubes induit sans doute cette id e de retirer des cubes inutiles sans penser reprendre le probl me la mani re des l ves de lyc e professionnel par exemple La pr sence du m diateur scientifique que je suis ou de l enseignant que vous tes permet d aider le visiteur ou l l ve analy ser la solution obtenue Il est clair que dans la solution obtenue il n y a que deux cubes au niveau sup rieur chacun servant dans les deux vues de face et de profil Il est clair que ces deux cubes ne l vitent pas et sont donc obligatoirement port s chacun par un cube du niveau inf rieur Mais dans ce premier niveau les cubes utilis s ne servent pas tous dans les deux directions pour les deux vues Figures 12 et 13 Un cube qui ne sert que de face peut se trouver n importe quelle profondeur tant qu il est masqu par les autres cubes pour la vue de profil Si je le d place dans cette direction de la profondeur il arrive une position o il limine un cube qui ne servait lui aussi que dans une direction l autre di rection Ce deuxi me cube peut donc tre supprim Pour r ussir cette am lioration il a fallu changer de m thode C est bien la preuve que le minimum obtenu tait local et qu il tait le r sultat de la m thode utili s e et non la
6. ne autre in galit De toute vidence d apr s l nonc si je vois six carr s j aurais besoin de six cubes ou plus donc toute solution demandera au moins six cubes et le minimum est sup rieur ou gal six Si j ai une solution utilisant six cubes je sais donc que le minimum de cubes utili ser est la fois inf rieur ou gal et sup rieur ou gal six ce qui ne peut se faire que si le minimum est gal six En math matiques pour d montrer une galit il est souvent n cessaire de d mon trer deux in galit s de m me par exemple dans une recherche de lieu de points une galit entre deux ensembles n ces site souvent d tablir deux inclusions entre ensembles C est la premi re morale m thodologique PROBL ME DE M THODE Passons la deuxi me morale qui concerne la strat gie utilis e pour r soudre le probl me Vous partez d une solution et Math cole 219 avril 2013 Secondaire I vous enlevez les cubes inutiles un par un Il est clair qu au moment o vous ne pouvez plus enlever un cube vous avez toujours une solution et si vous en enlevez encore un n importe lequel ce n est plus une solu tion Le nombre de cubes obtenu est donc un minimum local pour la fonction qui une disposition de cubes satisfaisant les conditions sur les vues de face et de profil associe le nombre de cubes de cette dis position Le fait de demander au public de faire un empi
7. pris beaucoup plus de temps et d nergie Si premi re vue la situation propos e semble tre du domaine de la g om trie dans l espace elle n est finalement qu un pr texte pour mettre en place ou rappeler des principes utiles au raisonnement math matique Et pour une activit qui semble si famili re si facile imaginer empiler des cubes il s av re que disposer du mat riel et empi ler effectivement les cubes constitue une aide s rieuse C est la troisi me morale d ordre didactique ne pas croire qu on conna t bien ce qu on est cens bien conna tre Oui on empile des cubes d s le plus jeune ge mais cette activit se passe beaucoup mieux lorsqu on dispose concr tement des cubes qu il est question d empi ler R f rences De Longe J 1984 Geometry for all or no geometry at all Zentralblatt f r Didaktik der Mathematik 84 3 90 97 Math cole 219 avril 2013
8. r un empilement de cubes qui donne ces deux vues mais de trouver ceux qui n ces sitent Un minimum de cubes La strat gie de tout Un chacun est pourtant de commen cer par trouver un empilement de cubes qui donne les deux vues Lorsque j insiste sur la question de minimiser le nombre de cubes Utilis s la strat gie se poursuit en tentant d enlever les cubes inutiles de l empilement trouv EN CLASSE Lors de l activit en classe la recherche a t collective chaque l ve dessinant sur sa feuille Un empilement en perspective pendant qu un l ve le faisait au tableau ce qui permettait les discussions entre Math cole 219 avril 2013 l ves Evidemment la repr sentation en perspective n est pas chose simple pour les l ves elle tait remplac e par un quadril lage de quatre cases sur quatre utilisant un codage de type bataille navale dans une direction on utilise les lettres A B C D et dans l autre les chiffres 1 2 3 4 voir la figure 3 Figure n 3 repr senta tion en bataille navale Dans les deux modules la solution de d part utilisait vingt cubes ce qui correspond au maximum L activit durait 1h30 dans chaque module et elle s est arr t e sans qu on sache quel tait le minimum la meil leure solution trouv e a t de onze cubes Cela se passait en 1993 dans une classe de Seconde d un lyc e parisien C tait ma derni re ann e d enseignement dans le secondaire
9. solution du probl me pos De fa on surprenante pour le visiteur en menant Un autre raisonnement il a obtenu une solution avec moins de cubes que ce qu il croyait tre le minimum pr c dem ment 39 Secondaire JI Figure n 12 un des cubes change de profondeur Le Figure n 13 cette profondeur le cube n est plus masqu par les autres Figure n 14 un autre cube va pouvoir tre retir C est la deuxi me morale concernant cette activit A notre poque o il suffit de 40 cliquer sur Ok pour qu un ordinateur fasse le travail notre place il me semble utile de rappeler mes visiteurs vos l ves que l ordinateur ne calculera que ce qu il sait calculer et qu il faut faire d abord un peu de maths avant d utiliser son secours Une bonne histoire a toujours trois morales Si au cours de l exp rimentation le visiteur croit successivement en un minimum de 10 puis de 8 puis de 7 puis de 6 la n ces sit s impose d une d monstration que le minimum est bien 6 et qu on ne trouvera pas une solution avec seulement 5 cubes D avoir un peu souffert pour obtenir une so lution six cubes lui permet aussi de v rifier cette dure r alit quand on d montre une galit par deux in galit s inverses l une de l autre l une des deux est souvent plus difficile obtenir que l autre S il tait facile de savoir que le minimum tait sup rieur ou gal six l inverse a
10. tivement de cubes et en pouvant les empiler effectivement il y a d sormais possibilit effective d exp rimenter Assez rapidement on se rend compte que certains cubes sont inutiles et force d enlever des cubes on obtient une des trois solutions suivantes dans 10 des cas 8 cubes dans 80 des cas 7 cubes dans 10 des cas 6 cubes Chaque fois il n est plus possible d enlever un seul cube de l empilement obtenu Les onze cubes de mes l ves de Seconde sont largement battus 37 Secondaire JI figure n 8 solution avec 8 cubes Figure n 9 solution avec 7 cubes L exception notable concerne les l ves des lyc es professionnels pour une fois ils sont valoris s dans une activit math mar tique qui usinent des pi ces en atelier Ils ont l habitude de travailler des pi ces avec 38 Figure n 10 solution avec 6 cubes des vues de face de profil de dessus ils posent six cubes de fa on se conformer aux deux vues simultan ment et ils sont assez fiers d avoir r ussi en quelques se condes D sormais et depuis plusieurs ann es la premi re solution trouv e ne comporte que dix cubes pauvres l ves de modules n at teignant que le r sultat de onze cubes C est vrai pour les visiteurs comme pour les l ves la solution dix cubes se construit avec d abord six cubes en ligne tels qu on les voit sur la vue de face Puis quatre cubes compl mentaires cach s d
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