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UMR ADEF Théorie Anthropologique du - Yves Chevallard

1. Traduction Fran ais Anglais one billion En anglais un billion serait donc gal un trillion La chose est surprenante Elle ne sera pas tudi e durant cette s ance 14 m L intervenant propose alors l cran une URL que les participants doivent copier dans la zone d adresse de leur navigateur http correcteurs blog lemonde fr 2008 1 0 13 mibitri mimibi La d erreurs copie est laborieuse entach e peu peu limin es Les participants sont invit s 4 lire ce qu on y trouve ci apr s Mibitri Mimibi Traducteurs journalistes correcteurs 14 Ici c est l intervenant qui apporte un document fles autres taient dus aux l ves En nous faisant p n trer dans les coulisses de l affaire ce document confirme l hypoth se formul e On notera un type de travail qui sera une constante de l atelier prendre connaissance du contenu d un document qui n a pas t fait pour cela 55 tout le monde s est pris les pieds dans le tapis avec les billions et les trillions et les lecteurs qui savent compter en anglo francais ne manquent pas de le faire savoir au Monde et au Monde fr Prenons le texte de Francis Fukuyama The Fall of America Inc traduit dans Le Monde La chute d America Inc En version originale l auteur crit au d but The vanishing of more than a trillion dollars in stock market w
2. C est un h licopt re C est un manifestant C est un journaliste On vous a dit C est une expression alg brique On dit plut t au coll ge litt rale la man uvre n est pas innocente mais passons Voici ce qu ric crit alors J aurai voulu savoir ce que tu entends par pas innocente Est ce simplement la volont en coll ge de ne pas avoir se frotter au terme alg brique vrai dire comme je pense qu il y a s rement une autre 21 raison ce que tu qualifies de man uvre je pr f re te contacter pour te poser la question b Je m arr te d abord un instant sur le fait que je commente dans l article cit l usage de calcul litt ral l o on pourrait attendre calcul alg brique Le texte intitul Le socle commun des connaissances et des comp tences qu officialise le d cret n 2006 830 du 11 juillet 2006 on le trouvera l adresse http media education gouv fr file 51 3 3513 pdf ne contient pas les mots alg bre ou alg brique Voici en revanche ce qu on peut y lire Les l ves doivent connaitre e pour ce qui concerne les nombres et le calcul eles nombres d cimaux les nombres relatifs les fractions les puissances ordonner comparer e les quatre op rations et leur sens e les techniques l mentaires du calcul mental e les l ments du calcul litt ral simple expressions du premier degr une variable
3. Une technique ne saurait se dire compl tement travers un discours En effet pour un appareil lectrom nager on dispose d un mode d emploi tr s d taill pour faire fonctionner Vappareil Or cela ne repr sente pas la technique pour faire fonctionner mais simplement une partie si importante soit elle Car il y a le savoir faire de la personne qui entre en compte C est ainsi que l on qualifie les techniques d indicibles copie 21 Cette th se est g n ralis e encore dans la r ponse que voici Lorsqu on affirme qu une technique est par nature indicible on entend par l que pour accomplir une t che t d un type T il y a une seule technique qui ne pourra tre dite de fa on efficace et fiable Cependant l tre humain est plus complexe il est capable parfois de mettre en place d autres techniques qu il adapte sa fa on de percevoir les choses et son monde copie 17 On peut aller plus loin lorsqu une personne s est ainsi appropri e une technique l a mise sa main l indicibilit est consomm e par sa routinisation et sa naturalisation subs quente la technique en vient peut on dire a faire corps avec la personne et d s lors ne peut pas plus que la personne elle m me tre dite de fa on exhaustive Les trois r ponses suivantes illustrent cette th orisation spontan e Une technique est par nature indicible En effet on ne peut pas la d
4. mod le de la recette de cuisine La technique permet l accomplissement d une certaine tache elle s acquiert au sein d une institution et est individualis e L acquisition d une technique nous permet d accomplir une recette en fonction de notre mani re de faire Dans une recette les l ments indiqu s nous permettent de faire un g teau toutefois ces derniers n auront pas le m me go t et aspect puisque chacun sa propre technique copie 9 Elle est de ce fait indicible car une technique ne se dit pas elle se fait On n Jaura pas forc ment le m me r sultat avec une recette qu elle soit dite ou crite copie 18 De fa on clairante une autre r ponse oppose recette et mode d emploi Cependant il existe des diff rences car en effet une recette de cuisine peut tre modifi e r adapt e en fonction des individus Alors qu un mode d emploi n est pas modifiable On doit s y tenir pour arriver l objet ce qui est crit copie 14 L explication invoqu e appara t ainsi ancr e dans une exp rience particuli re de la cuisine et de l emploi de recettes la technique r ellement mise en uvre pour pr parer un plat serait indicible parce qu elle serait le produit toujours diff rent de la rencontre d une recette et d une personne Mais avan ons sans voquer le mod le de la recette la r ponse suivante le g n ralise en nous en livrant la cl
5. grace au lien fournit par le texte examin soulign dans ce qui pr c de l adresse suivante http www huffingtonpost com 2008 10 04 f rancis fukuyama the fall n_131962 html Cet article commence ainsi The implosion of America s most storied investment banks The vanishing of more than a trillion dollars in stock market wealth in a day A 700 billion tab for U S taxpayers The scale of the Wall Street crackup could scarcely be more gargantuan On recherche aussi l article en traduction francaise Pour cela les participants sont invit s a saisir dans la zone de recherche de Google par exemple et entre guillemets pour rechercher Vexpression exacte un passage suffisant du d but de la traduction fran aise tel celui soulign ci apr s Implosion des plus anciennes banques d investissement am ricaines volatilisation de plus d un trillion de dollars de valeurs boursi res en un seul jour addition de 700 milliards de dollars pour les contribuables am ricains l ampleur de la d b cle de Wall Street pourrait difficilement tre pire Les dans participants s emp trent l ex cution de cette t che en commettant 15 Le lien contenu dans le texte apport par lintervenant permet d acc der l article original en anglais et donc de s assurer que l auteur y mentionne bien a trillion dollars ce qui tait affirm mais n tait pas prouv dans le t
6. on non d naturante La deuxi me condition est un postulat didactique et a son si ge au niveau de l cole m me s il diffuse dans la plupart des institutions de la soci t tout discours prax ologique peut s apprendre par c ur force de rab chage prax ologique pour tre ensuite d bit de m moire volont afin par exemple de r aliser un faire d termin Dans le cas d un faire le rabachage prax ologique prend la forme d une r p tition sati t de ce faire et du discours qui en structure et en soutient la r alisation C est cela m me que rapporte l auteur le ma tre ou la ma tresse fixe la t che quelle soustraction l l ve va t il tenter de faire et laisse faire l l ve Le topos du r gent on le voit est fort troit et son quipement didactique bien sommaire L l ve quant a lui reste enferm dans la r p tition rosa rosa rosam rosae rosae rosa Mais tout cela n est possible que parce que en outre il y a quelque chose a r p ter a savoir cette petite machine discursive que nous avons d couverte au d but du texte examin C est parler ici on laura compris du probl me de l infrastructure math matique comme partie de Vinfrastructure didactique Car il a fallu produire sp cifiquement cette partie de l infrastructure sur laquelle roulent l cole primaire que l on nous d crit et la p dagogie de r gent qui y pr vaut sans elle l une et
7. 4 10 8 2 3 8 7 On voit ici une construction prax ologique un rien plus savante qui donne tout la technique et refoule la technologie On saisit mieux alors je pense que la petite machine discursive examin e plus haut est le fruit d une construction transpositive visant sp cifiquement a constituer une infrastructure qui sans trahir la discipline arithm tique soit bien adapt e une certaine p dagogie avec ses contraintes et ses conditions f Revenant ici au texte sur l apprentissage de la soustraction vers 1850 je note enfin que ce que l auteur nous donne voir para t bien relever du moment du travail de la technique Il nous laisse en revanche dans une cruelle ignorance du mode de r alisation du moment de la premi re rencontre avec la petite machine discursive moment que nous imaginerions volontiers comme mobilisant de fa on cruciale un tableau noir qui ici n existe pas 3 Analyses didactiques a Je compl te ce qui pr c de en consid rant le texte offert la sagacit des tudiants dignois le voici Texte Comment aider l enfant l ve de CP relire S il conna t par c ur la phrase relire modifier la t che En d but d ann e quand les parents demandent l enfant d ouvrir son livre et de lire la ou les phrase s tudi e s en classe ils sont parfois surpris de le voir s ex cuter sans m me jeter un il sur sa page il la sait par c ur pourquoi ferait
8. ces questions taient tir es d une liste de 128 questions diminu es des 19 derni res questions pour tenir compte de certaines contraintes particuli res ayant pes sur l enseignement prodigu Digne Ces 128 questions avaient t excrites par moi m me de mon Cours de didactique fondamentale donn A x et repris Digne Les candidats disposaient depuis de longs mois tout la fois du texte de ce cours de la liste des 128 questions et d indications pr cises sur la structure et le contenu de l examen on trouvera tout cela l adresse suivante http es chevallard free fr spip spip article php3 id_article 136 c La premi re des deux questions tait celle ci Qu est ce qu une technique relative un type de t ches donn Quelle est l origine du mot de technique Quelle relation et quelles diff rences existe t il entre la notion de technique et celle de mode d emploi d un objet ou de recette en cuisine par exemple Que veut on dire en affirmant qu une technique est par nature indicible Je rappelle la consigne En n utilisant que les l ments disponibles dans le cours de didactique fondamentale y compris le Forum des questions r digez une r ponse chacune des deux questions suivantes Le Forum des questions voqu ici se trouve l adresse suivante http es chevallard free fr spip spip article php3 id_article 139 Pour r pondre a l
9. de t ches ne peut encore tre nonc que formellement chercher des r ponses des questions essentiellement l aide des ressources de l Internet l atelier doit s attacher construire ce type de t ches En pr ambule certains d veloppements qui suivent je reproduis ici ce passage de l Unit 7 de mon Cours de didactique fondamentale 2008 2009 Cette p dagogie de l enqu te suppose l entr e de l cole de ses X et de ses Y dans un type de t ches que nous noterons Ho et qu on peut noncer ainsi enqu ter sur la question Q pour lui apporter une r ponse R satisfaisant certaines contraintes La lettre H est l initiale du grec historia enqu te Il s agit l d un type de t ches coop ratif l instar du type de t ches didactique fondamental Ay introduit dans l Unit 6 c est a dire que Vaccomplissement des t ches de ce type suppose la coop ration la synergie du grec sun ensemble et ergon travail de X et Y et plus pr cis ment lorsque X ou Y n est pas r duit 4 une personne la coop ration des xe X et des ye Y Dans lenqu te sur Q chacun des acteurs du syst me didactique S X Y Q doit conna tre son r le et disposer des moyens de l exercer ce qui implique tout un syst me de conditions cr er En ce point donc l atelier pose le pied sur une terre inconnue La docilit instill e par l ducation scolai
10. e chercher le sens d un mot pic e par ce d tail le chercher sur Internet 5 On voit ici l atelier rouler sur le contrat scolaire traditionnel quel que soit le type de t ches scolaire en jeu le topos de l l ve n inclut pas la t che assign e la classe ici apporter une r ponse R Q mais seulement une t che partielle au mieux contributive l l ve n est pas avec les autres l ves co responsable de la construction de la r ponse RY ce qui lui est demand par le contrat usuel c est d effectuer un geste particulier ce qui lui assurera d avoir remplir son contrat d l ve Si rupture il doit y avoir elle commence ici dans la continuit ce qui p sera lourdement dans la suite chacun est son poste de travail cherchant rapporter une r ponse sous entendu qui satisfasse le professeur sans souci vident de ce qui en sera fait et par qui Les trois d clarations d intention des l ves s lectionn es dans le journal de la s ance s inscrivent dans cette perspective solipsiste Elles montrent trois postures distinctes le recours un geste d avant Je dictionnaire l interrogation d un moteur l Internet vais consulter un de recherche comme sil s agissait d un 46 6 m Apr s quelques minutes on revient ensemble pour faire un bilan des trouvailles Plusieurs participants sont arriv s sur une
11. e d semestrialis e ce qui en principe n est autoris que dans le cas de formations universitaires professionnelles Voici donc ce qu tait en ce cas le texte ci dessous comme l appelle l nonc du sujet On l abordera ici avec en t te cette question que permet d y faire appara tre l outillage prax ologique actuel de la TAD outillage dont les candidats a l examen pour leur part ne disposaient qu en partie bien s r L analyse propos e ci apr s rel ve a l vidence de l analyse a posteriori ou ex post et a a a at Ct cam i Ct a Ca tc a me i Cwm Sion Voici le raisonnement qu on employait encore vers l an 1850 pour faire une soustraction Soit 450 263 187 On faisait dire a l l ve et il n avait pas le i droit de changer un mot Qui a z ro et veut payer 3 ne peut pas j emprunte une dizaine ou 10 au i chiffre 5 et je dis alors qui de dix en paie 3 reste sept i i Comme jai emprunt une dizaine a 5 ce 5 ne vaut plus que 4 par i cons quent qui de 4 en paie 6 ne peut jemprunte une centaine ou dix i i dizaines au chiffre 4 et je dis 10 et 4 valent 14 qui de 14 en paie 6 reste 8 i i Donc qui de 3 paie 2 reste 1 i L absence de tableau noir rendait l enseignement peu anim et peu fructueux i Le maitre ou la ma tresse crivait les op rations faire en t te du cahier de i l l ve On avan ait fort lentement il arriva
12. e le calcul de la valeur d une expression litt rale pour diff rentes valeurs des variables e les identit s remarquables e pour ce qui concerne l organisation et la gestion de donn es et les fonctions Si on l a oubli je rappelle que l infortune de la r f rence a l alg bre dans les programmes de coll ge est ancienne l alg bre l mentaire a jadis t phagocyt e en grande partie par la rubrique des travaux num riques le reste entrant dans la rubrique Organisation et gestion de donn es Fonctions Si donc il existait bien c t des travaux num riques des travaux g om triques on ne voyait nulle part mentionn e la notion de travaux alg briques bien que les programmes de math matiques du coll ge aient continu d employer parcimonieusement alg bre et alg brique Dans les programmes parus dans le BOEN sp cial n 6 du 28 ao t 2008 qui entreront en vigueur partir de la rentr e 2009 j ai relev sauf erreur l ensemble des occurrences de ces termes les voici voir http media education gouv fr file special_ 6 52 5 Programme math 3352 5 pdf Sur deux points importants le socle commun se d marque de fa on importante du programme dans le domaine du calcul litt ral les exigences du socle ne portent que sur les expressions du premier degr a une lettre et ne comportent pas les 22 techniques de r solution alg brique ou graphique de l
13. enqu te ou plus exactement de l enqu te non finalis e L action mise en uvre par ce qu on nomme ici l intervenant d coule d un guide didactique crit avant chacune des s ances et d signant a priori quelques unes des tapes possibles du parcours d tude et de recherche que pourrait suivre l enqu te en cours Comme on le verra ce sc nario visait permettre de cr er les conditions d une activit d enqu te partag e entre l intervenant et les autres participants l ves ou co intervenants et en particulier permettre la manifestation d une partie au moins de l quipement prax ologique des participants et l volution ventuelle de cet quipement dans un sens souhait ou non le but premier tant cet gard d observation et d analyse Un mot encore concernant la figure de l intervenant qui est au fond l exp rimentateur du sch ma exp rimental classique d j voqu Quel son r le dans le traitement consistant conduire des personnes ici des l ves de 4 dans une certaine enqu te codisciplinaire Avant de r pondre je voudrais reprendre ici un petit d veloppement pr sent lors de la s ance 7 de ce s minaire le voici D aucuns par exemple vont attendre de l action voqu e ici comme ils attendent au vrai de toute ing nierie didactique qu elle r alise le fantasme de toute puissance didactique port par ce qu il y a d infantile dans
14. il semblant de la d coder Que faire dans ce cas l Plusieurs solutions peuvent tre retenues lui faire relire la phrase en pointant chaque mot avec son doigt et en v rifiant qu il associe bien le mot prononc et le mot d sign la technique du doigt qui accompagne le regard et la voix ne doit pas tre syst matique mais cest n anmoins une technique de bon sens dont on aurait tort de se priver elle met en sc ne de mani re pertinente les relations entre oral et crit encore mal assur es en d but d ann e lui demander de faire voir o se trouve dans la phrase un mot donn par l adulte relire le d but de la phrase s interrompre et demander l enfant d indiquer le mot qui suit l endroit o on s est arr t lui faire lire le dernier mot de la phrase en lui demandant de le montrer puis l avant dernier et ainsi de suite lecture reculons masquer la phrase par une bande de papier et la d masquer progressivement pour qu elle apparaisse mot par mot puis ventuellement syllabe par syllabe Faire relire ensuite de mani re fluide sugg rer l enfant de relire en commettant volontairement une erreur que Vadulte devra d tecter permutation oubli ou ajout de mot inversion de syllabe changement de lettre Puis inverser les r les c est l adulte qui se trompe et l enfant qui d tecte sourire garanti S il a un peu de mal l a
15. interventionniste 9 Rvo Ko Co 8 Uo I 3 o II Uo Quand on inscrit son travail dans la probl matique primordiale le premier principe heuristique qu l convient de mettre en uvre est celui ci les prax ologies v rifiant S Io Uo sont pour nombre d entre elles inapparentes dans les expos s touchant Io en particulier parce que s agissant notamment des prax ologies math matiques elles en ont t refoul es parfois depuis longtemps dans la g n alogie de lexpos Je prendrai ici un exemple d j rencontr celui de l enqu te sur la question d un programme d tudes de la biodiversit voqu e lors de la s ance 7 Nous avions retenu alors dans ledit programme la question des indicateurs de biodiversit Nous avions rencontr cette derni re expression dans le dossier biodiversit du CNRS mentionn alors L enqu te sur les math matiques utiles pourrait partir de la et plus pr cis ment de la table des mati res que je reproduis ci apr s http www cnrs fr cw dossiers dosbiodiv index php pid plan site Qu est ce que la biodiversit Erosion de la biodiversit cri extinction de quoi s agit il En cliquant sur Quelques indicateurs pour mesurer l rosion de la biodiversit on arrive ceci 32 Quelques indicateurs pour mesurer l rosion de la biodiversit e Mesurer l rosion de la biodiversit Indice d abondance e Le t
16. jeu dans des conditions inhabituelles De tels exercices de lecture peuvent para tre arides comme l est souvent le travail de la technique malgr cela soulignent les auteurs le type de t ches 77 qui inverse les r les habituels devrait susciter une certaine jubilation chez x Bien entendu on peut toujours imaginer m me si une telle issue para t tr s improbable que la technique didactique pr conis e ne vienne pas bout de la propension de x mis devant une t che t du type T recourir la technique t1 alors m me que par ailleurs x aurait appris tr s rapidement accomplir fort bien les t ches des types Ti c cette analyse j ajouterai encore deux remarques La premi re fort br ve concerne le probl me de l infrastructure pour le SDA S x Y vw tout d abord ce probl me ne se pose pas s agissant du mat riel de phrases utiliser puisque celui ci est suppos provenir du SDP mais on n oubliera pas une autre condition infrastructurelle aujourd hui assez largement v rifi e dans notre soci t mais qui ne l a pas toujours t la capacit de Y mettre en uvre la prax ologie avec ses diff rents types de t ches T 1 lt i lt 7 ce qui suppose chez Y au moins un d but d alphab tisation en fran ais La seconde remarque ouvrirait sur des d veloppements qui ne trouveront pas leur place ici elle a trait la notion de genre de t ches Calculer lire renvoi
17. l arithm tique raisonneuse la froide m canique de l alg bre 2 ce raisonnement arithm tique qui guide l ex cution de la technique est l unique moyen de contr le du calcul et du r sultat du calcul qui soit int gr dans la technique de calcul ce qui est un point faible traditionnel des prax ologies math matiques scolaires e La mise en vidence de cette fiabilit r duite de la technique participe de l analyse prax ologique de la situation sociale d crite dans le texte examin l enseignement de la soustraction l cole primaire vers 1850 dans les Alpes de Haute Provence Peut on dire un mot de la th orie de cette prax ologie arithm tique Le postulat th orique essentiel est ici que la soustraction mod lise ad quatement l op ration financi re consistant lorsqu on d tient une certaine somme d argent So payer une somme d argent S plus petite le r sultat de la soustraction de S a So donnant le solde de l op ration financi re On postule donc que ce type d op rations financi res est arithm tisable par la soustraction et que l op ration arithm tique de soustraction peut se r gler sur ces pratiques financi res elles m mes cens es plus ou moins connues culturellement sinon techniquement des l ves Cela not le texte est clair sur le fait qu il pr sente en premier lieu l organisation arithm tique relative a la soustraction organisation qu il d signe au re
18. l autre deviendraient impossibles titre de comparaison voici une autre technique de soustraction pour l op rateur humain je l extrais du livre d arithm tique de Franc s Pellos paru en 1492 Nice sous le titre de Compendion de l abaco ouvrage dont l dition moderne 1967 est due au grand occitaniste Robert Lafont 1923 2009 qui vient de dispara tre Lo exemple de la pratica 4 3 1 O 3 2 N Jo U1 WIW OJA A ajo o Resta Exemple leva prumierement in lo prumier ordre a la man destra la sotrana de la sobrana coma O de 5 resta 5 impero pausa 5 apres leva la segonda sotrana coma 4 de la segonda sobrana coma de 4 resta O impero pausa en drech O desota apres leva la tersa de la tersa resta 3 que pausa en drech desota apres leva la quarta de la quarta et troberas que non pot fayre impero leva la sotrana coma 8 de 10 et resta 2 que 2 ajustas ambe la sotrana coma ambe 5 seran 7 que 7 pausa in drech desota et reten 1 punch per amor que aves levat de 10 et aquel 1 ponch ajustas ambe la sequenta figura sotrana que es 0 e digas 1 ambe sero es 1 impero leva un de la sobrana figura que es 3 et resta 2 que 2 pausa in drech desota apres leva la sessena figura sotrana de la sessena sobrana en ven 3 aquellos 3 pausa desota he sera facha la dicha sostration coma apar clar in lo dich exemple 6975 3 8 4 2 3 8 8 7 0 7 3 9 Resta 3 0 8 8 3 1 0 3 4 7 1 3 09 5 0 6 0 4 8 5 6 3 Resta
19. la culture de la profession On attendra donc qu un miracle se produise que les l ves concern s qui appartiennent une population en forte difficult scolaire deviennent par enchantement des demi dieux de l enqu te 42 codisciplinaire sur Internet et occupent pleinement un topos attestant une autonomie qui leur est refus e partout ailleurs Bien entendu il y a la l effet d un d ni de r alit celle des contraintes de tous niveaux qui concourent a d finir l tude scolaire ordinaire et que la cr ation de conditions encore mal identifi es ne saurait contrebattre dans certains de leurs effets qu en revanche elles r v lent largement comme il se doit en un terrain clinique Je reviens maintenant au r le de l intervenant Qui pilote le travail d un groupe d l ves engag dans une enqu te sur une question Q donn e doit se comporter non comme un professeur non directif qui n oserait pas intervenir mais comme le responsable d une quipe de recherche un responsable que l on supposera d mocrate et non pas tyrannique mobilisateur et non pas inhibiteur voire r pressif mais qui n en assumera pas moins clairement son r le montrer le chemin aider a le parcourir apporter un l ment la recherche etc C est nantis de ces remarques donc que nous examinerons maintenant titre d unique chantillon pour le moment le journal de la 1 s ance que je reproduis ci apr s co
20. le calcul effectuer Qu est ce que vous voulez calculer monsieur demande une participante L intervenant Essayez de trouver combien de fois un milliard de milliard est 15 000 plus grand que milliards 12 Beaucoup de participants ont des difficult s transcrire sur la calculatrice le calcul demand L intervenant propose criture qui reste l cran cette approximative milliards de dollars avec le PIB des tats Unis en d terminant combien de fois la somme d un milliard de milliards de dollars est sup rieure au PIB de 15 000 milliards de dollars ils se r fugient alors dans des d rivatifs classiques y compris le far niente Toutefois le groupe progresse bien que ce soit l une premi re pour ces l ves on trouve tr s vite une calculatrice en ligne m me si certains sont tent s de recourir leur calculatrice habituelle et on en trouve m me en tout huit diff rentes Mais l usage de ces calculatrices leur est inconnu une aide minimale leur permet d en tirer partie condition qu ils aient Le projet de calcul avanc par l intervenant souvenir de l op ration effectuer reste tranger certains l ves comme le dit cr ment cette question lanc e la cri e Qu est ce que vous voulez calculer monsieur La d volution du projet est inaboutie 12 L pisode permet aux l ves de d couvrir comment
21. me Trouver trois nombres dont la somme soit 164 tels que le second surpasse le premier de 14 et que le troisi me soit la somme des deux premiers Il en donne d abord la solution tout court c est dire la solution par l arithm tique puis il passe une solution plus simple par l emploi de signes en quoi nous reconnaitrions une solution par Valg bre si le premier nombre est x le second est x 14 et le troisi me est x x 14 on obtient ainsi apr s calcul alg brique l quation 4x 28 164 dont la solution est y 164 28 _ 136 _ 34 ce qui fournit les trois nombres cherch s 34 34 14 48 34 48 82 Mais tr s classiquement l auteur consid re alors une troisi me solution qu il introduit ainsi 25 Imperfection de la deuxi me solution Emploi des lettres dans l nonc du probl me La seconde m thode d j bien sup rieure a la premi re n est cependant pas encore parfaite Elle fournit en effet un r sultat isol dont rien ne r v le Vorigine les donn es ont disparu dans les r ductions successives que l on a faites pour d couvrir l inconnue et l on est oblig de recommencer le m me raisonnement pour r soudre tout autre probl me analogue ne differant du premier que par les valeurs des nombres contenus dans l nonc Mais si l on repr sente les nombres par des lettres les calculs ne peuvent plus s effectuer et le r sultat obtenu fourn
22. me didactique principal SDP qu est une classe de CP Ce SDA peut tre crit S x Y w ou x est un enfant l ve de CP et o Y sont ses parents L enjeu didactique v est une certaine prax ologie de relecture T t 8 o le type de t ches T consiste dire a haute voix des phrases crites d j tudi es en classe tandis que la technique t pour ce faire consiste simplement a lire ces phrases crites La prax ologie 0 adress e a Y se veut alors une r ponse la question suivante que peut faire Y s il arrive que x substitue la technique t une autre technique t consistant non pas a lire les phrases qui lui sont pr sent es de nouveau mais a se les rem morer apres les avoir apprises par coeur en classe Quelles conditions Y peut il cr er qui contraindraient x lire r ellement ces phrases Un premier ensemble de conditions consiste imposer x de dire la phrase en pointant chaque mot avec son doigt au fur et mesure de sa lecture suppos e tandis que v rifie que x associe bien le mot prononc et le mot d sign Cette technique didactique pour Y contraint x adopter une technique de lecture ou le doigt accompagne le regard et la voix qui semble critiqu e sans doute comme trop na vement m caniste aussi les auteurs en proposent une justification minimale au plan technologique mais explicite cette technique avancent ils met en sc ne de mani re p
23. me r f rerai ici un ouvrage sign d un sp cialiste Alain Pav paru en 2007 chez EDP Sciences sous le titre La n cessit du hasard avec ce sous titre prometteur Vers une th orie synth tique de la biodiversit Pour en pr ciser le propos je reproduis d abord un extrait de la 4 de couverture Le hasard est essentiel aux syst mes vivants et leur volution C est un facteur externe mais aussi et surtout le produit de m canismes internes on le retrouve a tous les niveaux d organisation du monde vivant du g ne la biosph re Alain Pav nous montre comment ces m canismes internes v ritables roulettes biologiques et cologiques de nature d terministe fonctionnent dans des domaines chaotiques en produisant des r sultats de type al atoire Face un environnement changeant impr visible et souvent agressif ils engendrent la diversit qui permet aux organismes aux populations ou aux cosyst mes de subsister de s adapter et d voluer Ces m canismes sont aussi des produits de l volution C est ce prix que la vie a pu se maintenir sur notre plan te le hasard n est pas subi il est tout simplement n cessaire la vie On d couvre ainsi en passant qu il existerait un lien organique entre le concept de biodiversit et certaines notions math matiques Mais je reproduis maintenant un bref passage de l ouvrage lui m me J imagine que le lecteur simplement math mati
24. milliards et le PIB des Etats Unis environ 15 000 milliards de dollars ne va soit pas de soi pour ces l ves Cet pisode a le m rite de montrer un type classique de situations plusieurs l ves n ont pas fait leur le projet port par l intervenant de d un milliard de comparer une perte 51 15 000 milliards de dollars l intervenant souligne m Arrondissant la somme qu l est tr s peu vraisemblable que Wall Street ait perdu un milliard de milliards de dollars en un jour Il demande aux de l aide calculatrice sur l ordinateur combien de l ves calculer a d une fois la somme d un milliard de milliards de dollars est sup rieure au PIB de 15 000 milliards de dollars La Quelques uns font autre chose Un l ve majorit des l ves cherchent s attarde sur la page de r sultats de Google sans aller voir les sites propos s Un autre regarde des images L intervenant s efforce de mobiliser les participants autour de la tache propos e en les incitant a trouver une calculatrice sur Internet Certains l ves prennent leur calculatrice dans leur cartable Plusieurs ont trouv des calculatrices en ligne dans l ensemble du groupe 8 calculatrices diff rentes sont affich es Tr s souvent pourtant n ayant jamais utilis de telles calculatrices ils ne savent comment s y prendre Ce cafouillage fait perdre de vue
25. n ral plusieurs techniques possibles mais sauf exception dans une institution donn e o sont accomplies des taches du type T celles ci le sont a l aide d une technique pr f rentielle propre a l institution Une technique est une r alit prax ologique qui tant de l ordre d un faire peut se d crire mais ne saurait se dire int gralement elle est litt ralement indicible Des descriptions peuvent en tre donn es dans les institutions visant faire conna tre telle ou telle technique ainsi en va t il avec les modes d emploi ou en cuisine les recettes Mais il s agit l de simples mises en texte n cessairement r ductrices de la technique partir desquelles on devra tenter de reconstituer cette technique sans tre s r d y parvenir Le travail demand aux candidats propos de la question 1 comme de la question 2 revient accomplir une t che d un type que nous avons pratiqu nagu re dans la formation des l ves professeurs stagiaires de math matiques expliciter la r ponse qu apporte tel expos une question donn e ou pour le dire autrement tant donn un expos E et une question Q pr ciser la r ponse R que E apporte Q si du moins une telle r ponse existe Or il semble que la capacit accomplir des t ches de ce type participe d une discipline intellectuelle peu cultiv e chez les l ves et tudiants d aujourd hui Dans l exp rience clinique accu
26. on peut sur Internet effectuer des calculs num riques y compris avec Google il y a l un apport modeste mais r el la 52 1000 000 000 15 000 1000 000 15 Certains participants voient s afficher le r sultat du calcul comme il en va dans le de calculatrice du site ActuFinance que l on cas reproduit ci apr s celui la trouve l adresse suivante http www actufinance fr outils calculatrice html 66666 66666666667 Co MA aaa AOA TOG w OOO w amp w L intervenant demande aux participants s ils se sont d j servi d une calculatrice en ligne La majorit r pond par la n gative L intervenant leur signale qu ils peuvent utiliser Google comme une calculatrice en tapant le calcul dans la zone de recherche comme suit Google France 1000000 15 Recherche Google J ai de la chance hercher dans Web Pages francophones Pa On clique alors sur le bouton Recherche Google ou on appuie sur la touche Entr e Google affiche le r sultat du calcul ci apr s 11 Google 1000000 715 Rechercher dans Web O Web amp 1000 000 15 66 666 6667 Plus d infos sur la fonction calculatrice connaissance de l Internet et qui s accorde sans doute avec l id e que certains l ves se font de l atelier peut tre au d triment de la probl matique de l enqu te qu il
27. quation du premier degr a une inconnue assimiler progressivement le langage alg brique et son emploi pour r soudre des probl mes en particulier distinguer galit identit et quation L acquisition des priorit s op ratoires est un pr alable au calcul alg brique Les r gles de suppression de parenth ses l int rieur d une somme alg brique sont tudi es en classe de quatri me En particulier la suppression des parenth ses dans une somme alg brique est tudi e La d termination d un ant c dent partir de l expression alg brique d une fonction n est exigible que dans le cas des fonctions lin aires ou affines D terminer Vexpression alg brique d une fonction lin aire partir de la donn e d un nombre non nul et de son image C est en d veloppant notamment des activit s o le calcul litt ral pr sente du sens et o il reste simple effectuer que l on am ne l l ve recourir a l criture alg brique lorsqu elle est pertinente Factoriser des expressions alg briques dans lesquelles le facteur est apparent R soudre alg briquement un syst me de deux quations du premier degr deux inconnues admettant une solution et une seule en donner une interpr tation graphique Les activit s de comparaison d aires d une part et de volumes d autre part de figures ou d objets obtenus par agrandissement ou r duction sont en particu
28. que a fait 18 z ros donc 9 Lintervenant demande aux participants sils ont tudi les puissances de dix Plusieurs mains se l vent qui correspondent une r ponse positive Mais ces participants sont minoritaires dans le groupe m Plusieurs des participants proposent r ponses se r f rant aux nombres de z ros Des conclusions diverses sont exprim es une participante ainsi trouve d abord dans un cas 18 z ros dans l autre et par erreur 12 Z ros On finit par s accorder sur les faits suivants un milliard a s crit avec 9 z ros donc un milliard de milliards c est dire un milliard multipli par un milliard cela fait 9 z ros et 9 z ros soit 18 z ros un million a s crit avec 6 z ros donc un million de millions de millions c est a dire un million multipli par un million multipli par un million cela fait 6 z ros et 6 z ros et 6 z ros soit 3 fois 6 z ros ou 18 z ros On arrive ainsi la conclusion qu il y a accord entre les deux d finitions 9 Le calcul sur les puissances de 10 est une uvre math matique qui n est pas v ritablement disponible dans l atelier m me si certains disent ne pas lui tre totalement trangers Spontan ment l atelier se rabat sur un protocalcul dont le geste cl consiste compter les z ros et les additionner Cette technique n est pas interrog e quant sa j
29. sont une source importante de variabilit g n tique et c est par l interm diaire des plasmides que passent des g nes de r sistance aux antibiotiques pp 40 41 Cette certaine connaissance de la g n tique suppose une infrastructure sp cifiquement con ue et en particulier ici une r l mentation appropri e des connaissances en g n tique facilitant leur diffusion aupr s des publics concern s Mais m me dans ces conditions on ne doit pas esp rer que l int gration prax ologique utile sera peu co teuse du point de vue didactique Les uvres apparaissent ainsi comme des conditions et des contraintes du travail d enqu te 2 De l outil l uvre un exemple aussi a Les uvres existantes appellent ainsi fr quemment un travail nouveaux frais pour devenir des outils au service d une enqu te donn e Lorsque par contraste une uvre est abandonn e certains usages limit s et ainsi se monumentalise elle subira des volutions trahissant ce semi abandon ce propos ric Hakenholz m a adress une petite question qui a trait un court passage d un article qui n aura pas paru dans un mensuel qui n y aura pas surv cu je plaisante bien str je veux dire le Monde de l ducation article que j ai pr sent dans le cadre de la premi re s ance de ce s minaire voici le passage en question Tout adulte sait dire un enfant qui d couvre son monde C est un l zard
30. the fraction of all organisms which belong to the ith species then Simpson s diversity index is most commonly defined as the statistic S D p 1 This quantity was introduced by Edward Hugh Simpson If nj is the number of individuals of species i which are counted and N is the total number of all individuals counted then S nini 1 gt NN 1 1 is an estimator for Simpson s index for sampling without replacement Note that O lt D lt 1 with values near zero corresponding to highly diverse or heterogeneous ecosystems and values near one corresponding to more homogeneous ecosystems Biologists who find this confusing sometimes use 1 D instead confusingly this reciprocal quantity is also called Simpson s index Another response is to redefine Simpson s index as 35 S 1 D 1 p2 i 1 This quantity is called by statisticians the index of diversity In sociology psychology and management studies the index is often known as Blau s Index as it was introduced into the literature by the sociologist Peter Blau Avec cela nous touchons donc du doigt un ph nom ne banal mais essentiel quant au destin institutionnel et culturel des math matiques hors des institutions qui ne se veulent pas vou es aux math matiques c Je serai enclin a sch matiser en trois moments le travail ou plut t les travaux que peut appeler une enqu te sur une question Q donn e 1 s effor ant de le
31. ve permet y d intervenir aupr s de x pour lui donner le travail faire et pour examiner le r sultat obtenu La contrainte d absence de tableau qui renvoie chaque l ve son travail personnel au d triment du travail collectif appara t solidaire d une autre qui touche cette fois la discipline et traverse les si cles le caract re oral des techniques de calcul On notera que sous le nom de soustraction ce qui est voqu est uniquement le calcul de la diff rence entre deux nombres entiers le probleme de l usage de la soustraction comme outil de mod lisation math matique n est pas mentionn comme tel Pour calculer donc on d bite au mot pr s pr cise l auteur un petit discours arithm tique que l on a pr alablement appris par c ur La chose est bien connue et je n y insisterai pas plus ici Je note simplement ce d tail de Valgorithme de soustraction enseign dans le cas d un emprunt on diminue le chiffre de rang sup rieur du nombre dont on soustrait alors que l algorithme classique que l on retrouvera plus loin proc de en ajoutant la retenue au chiffre que l on va soustraire ensuite Je note aussi et surtout que la petite machine discursive utilis e int gre tout la fois la technique qui s ex cute au fur et mesure que l on d bite le discours en donnant les valeurs ad quates aux param tres qu il comporte et la technologie de cette technique q
32. EBRE tive c est dire affect e du signe nous aurons bien soin de changer son signe en signe et c est ainsi que 5 nb an abc an deviendra nb an abc an Dans cette derni re expression je remarque que jai la fois an et an ces deux quantit s se d truisent et il ne reste que nb abe mettant 6 en facteur commun puisqu il multiplie n et ac j aurai finalement qui multiplie n ac ce qui s crit b n ac Voil pour le num rateur Ajoutons le d nomina Aeur a b au dessous et nous aurons la valeur de la seconde part que nous avons obtenue en retranchant x de n Donc n x ou part Aie b a Ainsi 1re part 2 part a bc n b n ac b a b a Ces deux expressions offrent une cerlaine sym trie dans la forme et sont faciles retenir 74 Quel nombre faut il ajouter aux deux termes de la fraction 23 40 pour ewelle devienne gale 2 3 P Un dernier mot enfin sur l histoire de cette alg bre l mentaire de plein exercice je l emprunte au livre classique de D E Smith History of Mathematics vol II 1953 29 Literal Equations The equations considered by the ancient and medieval writers were numerical Even the early Renaissance algebraists followed the same plan their crude symbolism allowing no other It was not until the close of the 16th century that the literal equation made its appearance owin
33. UMR ADEF JOURNAL DU SEMINAIRE TAD IDD Th orie Anthropologique du Didactique amp Ing nierie Didactique du D veloppement There is a phrase I learned in college called having a healthy disregard for the impossible That is a really good phrase Larry Page 1973 Ceux qui prennent le port en long au lieu de le prendre en travers Marcel Pagnol 1895 1974 Le s minaire TAD amp IDD est anim par Yves Chevallard au sein de l quipe 1 de UMR ADEF dont le domaine g n ral de recherche s intitule Ecole et anthropologie didactique des savoirs Ce s minaire a solidairement une double ambition d une part il vise mettre en d bat des recherches achev es en cours ou en projet touchant a la TAD ou dans ce cadre a des probl mes d ing nierie didactique du d veloppement quel qu en soit le cadre institutionnel d autre part il vise faire merger les probl mes de tous ordres touchant au d veloppement didactique des institutions et notamment de la profession de professeur de math matiques Deux domaines de recherche sont au c ur du s minaire un domaine en mergence la didactique de l enqu te codisciplinaire un domaine en devenir la didactique des savoirs math matiques La conduite des s ances et leur suivi se fixent notamment pour objectif d aider les participants tendre et approfondir leur connaissance th orique et leur ma trise pratique de la TAD et des outils de divers
34. a question il convenait en premier lieu de rep rer le passage du cours d o ladite question avait t excrite Pour cela en premier lieu la chose avait t indiqu e aux candidats on pouvait d terminer grace au fichier Question de cours le num ro de cette question on trouvait en l esp ce ceci QC4 Qu est ce qu une technique relative un type de t ches donn Quelle est l origine du mot de technique Quelle relation et quelles diff rences existe t il entre la notion de technique et celle de mode d emploi d un objet ou de recette en cuisine par exemple Que veut on dire en affirmant qu une technique est par nature indicible Il s agissait donc de la question QC Le fichier propos de l examen comportait un tableau de concordance dont je reproduis le passage pertinent 2 4 Le didactique introuvable deux exemples ordinaires 7 q 2 5 Observer le didactique un exemple i Unit 3 Types de t ches et techniquesT i 28 a 324 3 1 Point d tape iq 3 2 2 q 3 3 Analyse didactique rappels et prolongements 1 1 Il fallait donc rep rer dans le texte de l Unit 3 du cours le passage d o la question de cours 40 avait t excrite La chose ne pr sentait pas de difficult seul un candidat semble ne pas y tre parvenu voici ledit passage 3 4 Un quelque chose a faire apprendre la notion de technique 3 4 1 Da
35. actions entre populations et habitats position dans la chaine alimentaire etc et les scientifiques ne peuvent pas d finir un indicateur unique de la biodiversit regroupant tous ces param tres C est pourquoi plusieurs indicateurs sont n cessaires pour mesurer son rosion 1 1 749 577 esp ces recens es en 2006 d apr s Lecointre G Le Guyader H 2006 Classification phylog n tique du vivant 3 dition Belin Science dition On saisit l insistance du texte sur les aspects culturellement biologiques l tat physiologique des foies de poissons voire naturalistes truites rossignols Il s agit l semble t il d une loi d airain quand un expos non 33 savant s inscrit dans un champ disciplinaire donn il tend mettre en avant les objets regard s comme embl matiques de ce champ et a refouler ceux qui ne le sont pas les objets math matiques en particulier Mais poursuivons La page examin e comporte une rubrique Sources de l article Celle ci fait appara tre tout d abord louvrage d j mentionn en note la Classification phylog n tique du vivant de Guillaume Lecointre et Herv Le Guyader puis est r f renc l article suivant Cahier de VIFB Quels indicateurs pour la gestion de la biodiversit Harold Levrel 2007 Cet article se trouve tre accessible en ligne http www gis ifb org content download 1961 10169 version 9 file IFB Indicateurs B
36. ais qu est ce qu un trillion de dollars R ponse eEn francais actuel un trillion est un milliard de milliards ou un million de billions ou un million de millions de millions 1018 Un billion est un million de millions ou mille milliards e En anglais am ricain un trillion vaut mille milliards soit un billion en francais actuel en anglais un billion vaut un milliard en fran ais e Dans le dictionnaire de Littr un billion tait synonyme de milliard 109 il avait donc le m me sens qu a le mot billion en anglais am ricain De m me le mot trillion 1012 avait le m me sens qu a ce mot en anglais am ricain d aujourd hui e En fran ais il y a eu un changement entre le syst me de Littr et le syst me actuel on a suivi la proposition non adopt e par elle de la conf rence g n rale des poids et mesures de 1948 C est ainsi que le mot trillion qui d signait autrefois 1012 s est mis d signer ensuite 1018 e Le mot trillion a re u en fran ais le sens l gal de 1018 par un d cret du 58 premier ministre du 3 mai 1961 entr en vigueur le let janvier 1962 Depuis cette date parler par exemple de 3 69 trillions c est parler selon la loi du nombre qu on crit aussi 3 69 x 1018 c J ajouterai ici un ultime commentaire Si l on refait aujourd hui les gestes consistant demander Google la traduction en fran ais de l anglais trillio
37. art d un probl me qui se traduit par une quation num rique on en g n ralise l nonc par l introduction de lettres ce qui conduit a une quation litt rale on r sout l quation pour obtenir des formules donnant la solution en fonction d un ou plusieurs param tres les lettres Et c est dans ce processus d tude que l on se trouve confront a des probl mes de calcul alg brique notamment ici au calcul de l expression alg brique litt rale n bc n b a Repartons du probl me num rique propos Partager 77 en deux parties telles que la somme des quotients de l une par 8 et de l autre par 5 soit gale 13 On peut imaginer que ce probl me soit engendr par la situation suivante on dispose de 77 euros partager entre 13 personnes en prix de 8 euros et de 5 euros combien de prix de 8 euros et combien de prix 30 de 5 euros peut on distribuer Dans le cas de l nonc de d part on prend pour inconnue le montant x distribu en prix de 8 euros on aboutit ainsi a l quation Io he x n qui se g n ralise en c Mais on pourrait aussi prendre pour a b inconnue le nombre X de prix de 8 euros celui de 5 euros est donc 13 X et plus g n ralement c X l quation s crit alors 8X 5 13 X 77 ou plus g n ralement aX b c X n Cette derni re quation a pour solution nouveau o
38. aux d extinction e L indice Liste Rouge Les indicateurs Oiseaux communs Quand on clique alors sur Mesurer l rosion de la biodiversit on arrive a un texte d o est bannie toute r f rence math matique apparente le voici Les indicateurs dans le monde de la biologie sont tr s vari s Certains d entre eux permettent de d finir l tat d un milieu en fonction de la pr sence et de la sant des esp ces animales ou v g tales qui y vivent C est par exemple le cas de l tat des truites dans les r servoirs d eau qui indique sa potabilit ou bien le chant des rossignols dans les mines de charbon qui renseigne sur la teneur de l air en grisou m thane ou encore l tat physiologique des foies de poissons signe de la pollution chimique globale de l eau de mer D autres indicateurs servent appr cier l tat de sant de la biodiversit Cependant une grande partie de celle ci reste encore inconnue En effet m me si plus de 1 7 million d esp ces 1 ont t d couvertes jusqu maintenant certains scientifiques estiment plusieurs millions le nombre total d esp ces sur Terre Il faut souligner que l tat de la biodiversit ne se mesure pas comme on mesure une distance De nombreux param tres interviennent nombre d esp ces maintien ou baisse de la diversit g n tique au sein d une m me esp ce de la taille des populations inter
39. cien se dira le lire qu il serait bon pour en saisir le d tail d avoir une certaine connaissance de la g n tique Chez certains micro organismes des g nes appel s g nes SOS sont d volus la r paration des mutations ponctuelles Mais ils peuvent voir leur activit changer et au contraire acc l rer les modifications Ce changement d activit qui peut tre de plusieurs ordres de grandeur multipli par 10 100 1000 voire m me 1 million s observe lorsque ces organismes sont plong s dans des milieux hostiles Cette acc l ration conduit lever la fr quence des mutations et ainsi accro tre rapidement la diversit g n tique de la population Il en r sulte une augmentation de la probabilit d apparition d un variant r sistant ou m me adapt au milieu 20 Il existe aussi des m canismes d change d ADN entre cellules bact riennes en particulier de morceaux d ADN les facteurs F dits de fertilit appel s plus g n ralement des pisomes dont l int gralit ou seulement une partie peuvent s int grer au chromosome bact rien et inversement s en extraire Ils sont dupliqu s avec le g nome Les plasmides sont des unit s circulaires d ADN qui se r pliquent de fa on autonome et qui ne s int grent pas dans le chromosome bact rien Des changes avec le chromosome bact rien sont cependant possibles par exemple par des m canismes de type crossing over Ces m canismes
40. de millions alors un trillion vaudrait un million de millions de millions m Un probl me se pose d apr s une source un trillion ce serait un milliard de milliards d apr s une autre source ce serait un million de millions de millions Est Bien entendu il y a ici une rupture forte En majeur il ny a pas de source indiscutable sous entendu pas m me le cours du professeur en mineur nous aussi sommes faillibles et nous devons nous m fier de nous m mes 8 La situation se noue autour de la rencontre de deux r ponses R et R qui ne sont pas formellement identiques On doit souligner ici que ce nouage n a t ni tout recherch ni anticip il survient simplement L analyse compar e des r ponses doit permettre de les d clarer identiques ou au contraire contradictoires Mais cela est mis dans le topos des participants l ves ce qui dans le contrat usuel ne va pas de soi sauf s il s agissait d une enqu te finalis e et plus pr cis ment si le PER suivi avait t voulu pour provoquer la rencontre des l ves avec l alg bre des puissances de 10 ce qui n est nullement le cas 48 ce pareil A t on l galit un milliard de milliards un million de millions de millions C est intervenants d apporter la r ponse une aux participants non aux r ponse prouv e Une participante Monsieur sur un site j ai vu
41. e page du site du quotidien conomique Les Echos lit http commentaires lesechos fr comment aires php Pid 4781344 On y ceci jbmattret 07 10 2008 06 26 Aer dit 62 trillions de creances douteuses Grace l article intitul The end of prosperity douteuses 62 trillions de dollars Pour m moire atteignait 540 trillians de dollars A cette aune le plan de sauvetage am ricain est dans un oc an de cr ances douteuses N B Un trillion mille milliards de dollars 10 La relance de la mise en commun de r ponses R a ici deux cons quences contraires la premi re r ponse confirme le r sultat acquis un trillion ce serait 1018 soit 1 suivi de dix huit z ros la seconde r ponse est un pav dans la mare un trillion ce serait mille milliards et non un milliard de milliards On tient la un d saccord crucial On pouvait penser a priori que la chose surgirait sans bien str savoir comment le scandale allait clater ici travers une note appendue un court article des Echos 50 Ce qui est remarquable ici c est que le trillion est pr sent comme valant mille milliards Il y aurait donc d saccord entre ce qu on avait tabli jusqu ici un milliard de milliards et ce que l on trouve l mille milliards 11 Apr s avoir demand aux participants s ils connaissent la notion de PIB la r ponse est affirmative mais on a un peu de
42. ealth in a day traduit ainsi dans le journal volatilisation de plus d un trillion de dollars de valeurs boursi res en un seul jour Pan sur la calculette un trillion US n arrive m me pas la cheville d un trillion fran ais Un lecteur a tr s bien expliqu la chose dans le Courrier des lecteurs du Monde dat 12 13 octobre Trillion en anglais ne donne pas trillion en francais mais billion En effet si en anglais on passe de million a billion puis trillion mille milliards en fran ais on passe de million milliard puis billion billiard et enfin trillion soit un milliard de milliards Ainsi lorsque Barack Obama parle d une dette de 10 trillions de dollars il faut bien entendu traduire billions c est dire dix mille milliards de dollars et non fort heureusement pour les Etats Unis dix milliards de milliards R sumons e Million anglais Million fran ais e Billion anglais MIlliard fran ais e TRillion anglais Blllion fran ais mille milliards de picaillons L accord se fait sur la conclusion tirer de ce texte elle confirme le fait que un trillion en anglais un billion en francais 56 mille milliards Selon ce m me texte le traducteur en francais aurait bien traduit le texte en anglais a trillion dollars par un trillion de dollars 15 Pour en avoir le c ur net on visite Varticle en anglais
43. enir les acteurs d une p dagogie de l enqu te atteint familiariser les l ves avec les principes et les savoir faire d un usage raisonn d Internet atteint initier des professeurs la conception et la r alisation d actions p dagogiques de ce type non atteint 5 Ce qui a favoris et ou ce qui a entrav l action Accueil bienveillant de la direction de l tablissement et moyens d volus l action salle multim dia cr neau horaire adapt bonne volont des l ves concours sans faille d une petite quipe dont les membres ext rieurs et int rieurs ont vite appris travailler ensemble Ergonomie de la salle multim dia utilis e qui con ue pour le travail individuel des l ves a pu freiner le travail collectif vis C est de l que je partirai en m attachant a la question suivante dans quelles conditions et par quelles volutions des contraintes existantes une p dagogie de l enqu te est elle possible En l esp ce le milieu dont nous allons commencer d couter la r ponse cette question est latelier Enqu tes sur Internet qui a exist en 2008 2009 au coll ge Vieux Port de Marseille Au plus large cette r ponse est celle que l on peut observer a travers les corpus de donn es recueillies savoir 1 les notes prises pendant les s ances 2 les vid os des s ances 3 le journal des s ances distribu aux participan
44. ent en effet des genres de t ches et en l esp ce des genres sanctifi s par l cole de l instruction obligatoire chacun sait bien tout le lui hurle qu il lui faut apprendre calculer lire et crire situation qui constitue une contrainte lourde sur la diffusion scolaire des prax ologies correspondantes Il est vraisemblable qu une telle contrainte en forme d injonction insistante et incroyablement violemment g n ralisante que faut il apprendre calculer au juste par exemple quels types d expressions num riques qui mane de la soci t et se trouve reprise fermement par l cole joue un r le important la fois positif et n gatif dans l cologie du didactique en mati re de lecture Par contraste il en va sans doute autrement pour d autres genres de t ches tel par exemple celui qu exprime le verbe cat goriser voir l article l adresse http www educationprioritaire education fr dossiers maternelle SylvieCe be XYZep pdf peut tre faut il apprendre cat goriser mais l cologie de cet apprentissage est sans doute assez diff rente de celle de la lecture ou du calcul Quoi qu il en soit obligation d instruction et corr lativement l offre prax ologique formul es en termes de verbes d action il faut apprendre nager chanter etc donc en termes de genres de t ches cr e des situations qui pr figurent les probl mes pos s pa
45. ertinente les relations entre oral et crit encore mal assur es en d but d ann e D une mani re g n rale la technique didactique propos e Y par les auteurs revient a changer momentan ment le type de t ches T que x devra accomplir de fa on qu une t che t du nouveau type T ne puisse tre accomplie si x n effectue pas un certain rep rage dans la phrase crite ce rep rage tant lui m me cens ne pouvoir se r aliser qu travers la lecture par l enfant d une certaine partie de la phrase Outre le type T d j pr cis ils proposent successivement les types de t ches suivants x doit montrer o se trouve dans la phrase un mot donn par l adulte T5 Y lit haute voix le d but de la phrase puis sinterrompt x devant alors montrer le mot qui suit l endroit o on s est arr t T3 x doit lire la phrase reculons en pronon ant et en montrant simultan ment le dernier mot puis l avant dernier etc T Y d voile progressivement les mots ou les syllabes dont la succession constitue la phrase et x doit les lire au fur et mesure de leur d voilement T x doit lire la phrase en commettant une erreur volontaire que Y devra identifier T Y doit lire la phrase en commettant une erreur volontaire que x devra identifier T5 l instar du type T lui m me ces diff rents types de t ches participent du moment du travail de la technique de lecture qu ils mettent pour cela en
46. es seuls commettre cette erreur qui ignore une distinction cl en TAD nombre de chercheurs la commettent aussi parlant de t che lorsque en fait ils se r f rent un type de t ches Mais je me centrerai maintenant sur un fait moins banal et si j ose dire plus profond dans la question qui tait propos e aux candidats la sous question relative a l indicibilit d une technique tait sans doute la plus d licate or cette difficult a suscit l appel a des l ments technologico th oriques trangers a l expos dont il fallait rendre compte Voici par exemple ce qu crit l auteur de la copie d j cit e On peut affirmer qu une technique est indicible car elle ne peut tre reconstitu e de mani re totalement exhaustive Elle est une r alit mais qui est indescriptible elle ne peut tre transmise de facon fiable et efficace car chacun aura sa technique pour r aliser une certaine t che Bien entendu il fallait crire in fine pour r aliser des t ches d un certain type Cela not on voit ici que si la premi re partie de ce passage s inspire d l ments effectivement pr sents dans l expos de r f rence la seconde partie car chacun aura sa technique pour r aliser une certaine t che est introduite en fraude voulant en quelque sorte expliquer cette indicibilit dont l origine semble lui chapper le candidat invoque l individu et sa suppos e sin
47. est quivalent au programme nonc initialement Tu prends le prix qui est marqu et tu le multiplies par 0 89 Par exemple si le prix est de 109 euros le programme de calcul retourne 97 01 euros On a ici parcouru le chemin suivant Programme de calcul rh torique J Expression alg brique du programme L Calcul de l expression alg brique 4 Programme de calcul quivalent au programme initial Par contraste parler de calcul litt ral c est accepter les inconv nients des avantages que l on cherche obtenir D abord il est vrai cela permet de m nager aux l ves un passage en douceur culturellement y compris au plan linguistique du calcul num rique au calcul litt ral en faisant comme si celui ci n tait qu un prolongement du calcul num rique il se fait avec des lettres pas seulement avec des nombres Mais du m me mouvement cela fait rater la re conceptualisation qui permettrait de regarder une formule num rique telle par exemple 109 109 x 11 100 comme 24 Vexpression alg brique quoique sans lettres d un programme de calcul qu on peut g n raliser par l expression alg brique x xx a 100 par exemple ou m me par x xx a b expression que l on trouvera quivalente x 1 a b ou x el La continuit douce du calcul num rique au calcul litt ral se r alise ainsi souvent au prix du refoulement de la dialectique entre pr
48. exte des correcteurs du Monde On notera le travail sur des textes en anglais qui sera un fait fr quent dans cet atelier la technique de d codage mise en uvre s explicitera peu peu au fil des s ances de l atelier sans jamais tre formalis e L pisode de la recherche de l article paru dans le Monde fait appara tre comme avant lui l pisode de la copie de 1 URL du blog des correcteurs du Monde met en vidence une faiblesse dont on n attendait pas la manifestation ici ce que le journal de la s ance appelle pudiquement une insuffisante sensibilit orthographique des l ves 57 de nombreuses erreurs de copie li es sans doute a une insuffisante sensibilit orthographique Peu peu chacun y arrive 16 m Le temps allou tant puis la s ance est arr t e La prochaine fois on effectuera une synth se comportant un bilan des r sultats obtenus et un inventaire des r sultats qu il resterait tablir ou confirmer 16 En fait il faudra encore beaucoup de temps et plusieurs rebonds de l enqu te pour que l atelier r dige sa r ponse l enqu te ne prendra fin qu la s ance 5 On lira donc la r ponse d finitive ci apr s en gardant a Vesprit le fait que certains des d tails qui y apparaissent ont demand une recherche longue et d licate Question Un milliard de dollars c est mille millions de dollars m
49. ez un certain nombre de candidats d une th orie de la personne qui constitue une donn e non n gligeable de la r ception de l enseignement prodigu L examen qui a eu lieu le 15 juin 2009 avait le m me format que celui propos a Aix en janvier la fin du premier semestre Tous les documents possibles taient autoris s aux candidats et le format du sujet tait le suivant SUJET L preuve comporte trois parties Le traitement de l ensemble de ces parties ne doit pas occuper plus d une copie double La pertinence des r ponses doit donc se conjuguer avec la concision la pr cision et la clart de l expression Partie 1 En n utilisant que les l ments disponibles dans le cours de didactique fondamentale y compris le Forum des questions r digez une r ponse chacune des deux questions suivantes gt ae Partie 2 R digez une analyse didactique relative aux situations voqu es dans le texte ci dessous intitul Comment aider l enfant l ve de CP relire Partie 3 Pr sentez une situation que vous choisirez librement dans le domaine d activit scolaire ou non scolaire de votre convenance et donnez en une analyse didactique Texte Je m arr terai ici sur la premi re partie uniquement les questions et plus pr cis ment sur la premi re des deux questions propos es Comme cela avait t annonc aux futurs candidats
50. g largely to the influence of the new symbolism invented by Vieta and his contemporaries For example Adriaen van Roomen published in 1598 a commentary on the algebra of al Khowarizmi in which he distinguished between two types of equation the numerosa and the figurata The former was applied to problems with numerical data while the latter resulted in general formulas Van Roomen asserts that writers on algebra up to his time used the numerosa method only whereas he was the first to use the figurata one although as a matter of fact Vieta seems to have preceded him The actual dates of invention but not of publication are however obscure p 435 Derri re l usage de litt ral en lieu et place d alg brique il y a ainsi l effacement de toute cette histoire et plus encore de ce qu elle a produit d utile Par cet effacement l adjectif litt ral devient disponible contre alg brique justement parce que l alg brique se trouve amput de ce qui tait le litt ral au sens traditionnel qui devrait lui donner sa pleine puissance Le calcul litt ral dont on parle alors au coll ge est ainsi un usurpateur coup de ses racines et qui appara t trop souvent comme un jeu formel sans rime ni raison 8 Enqu tes et math matiques a L exemple tir de l ouvrage d initiation de Th Moreux met en sc ne une technique d tude finalis e d un savoir ici l tude du calcul alg brique On p
51. gularit qui expliquerait tout ici comme ailleurs Sur le corpus des 22 copies recueillies on peut dire plus g n ralement que d s lors que l auteur a voulu s expliquer l indicibilit affirm e par l expos il a ainsi recouru l invocation de suppos s singularit s prax ologiques de l individu La technique mise en uvre par une personne est indicible semble t on nous dire parce que en tant qu individu cette personne est elle m me indicible elle ne peut tre dite int gralement une part d elle chappera toujours a toute description et a tout commentaire La personne reste ainsi fonci rement inconnaissable car une part d elle est vou e par nature demeurer ind finiment vierge inviol e quelque effort que l on fasse pour mettre la personne en mots Il y a sans doute plusieurs mani res d tayer ce postulat th orique l une d elles prend appui sur l exp rience commune de l emploi de recettes de cuisine ainsi que le sugg re la r ponse suivante Par contre une technique reste par nature indicible dans le sens qu on ne peut pas expliciter tous les gestes On peut essayer mais rien n assure que le message sera bien recu et la technique bien r alis e De plus en g n ral chaque personne met la technique 4 sa main De ce fait deux personnes qui suivent la m me recette de cuisine n auront pas le m me r sultat au final copie 16 Voici deux autres r ponses centr es sur ce m me
52. ider beaucoup Texte extrait de Goigoux R amp C be S 2008 Apprendre lire l cole Tout ce qu il faut savoir pour accompagner l enfant Paris Retz b Ce texte qui propose une prax ologie didactique con ue pour les parents peut tre regard comme le fruit d un travail d ing nierie didactique L analyse qu on peut en faire ici est une analyse ex ante ou a priori Je me contenterai cet gard de reproduire le corrig pr par l intention des candidats pr c d du rappel qu il n existe pas une analyse didactique d finitive d une situation voqu e dans un texte Le texte examin doit tre consid r de deux points de vue solidaires D une part ce texte est porteur d un enjeu didactique possible pour les parents Y d un enfant x l ve de CP son ambition est de nourrir un syst me autodidactique S Y d le symbole d rond d signant ici une certaine prax ologie didactique que les auteurs du texte s efforcent de faire conna tre aux parents concern s Sur le fonctionnement possible du syst me S Y d afin d excrire la prax ologie 0 inscrite par les auteurs dans leur texte celui ci est muet peut tre doit on comprendre en ce cas que pour ces auteurs Vexcription de ne devrait pas poser Y de probl me particulier D autre part et cons quemment le texte se r f re a un possible syst me didactique auxiliaire SDA du syst
53. ier les variables que l on observe Ici je m en tiendrai un exemple qui rel ve de la clinique du prax ologique L observation des quipements prax ologiques personnels et institutionnels est videmment une cl de l analyse didactique a priori ou plut t elle joue un r le crucial dans la dialectique a priori a posteriori ou pour parler comme les conomistes ex ante ex post les quipements prax ologiques existants voire indur s apparaissent relativement toute intention didactique comme des contraintes qui peuvent tre d terminantes Pour cela et plus g n ralement la cr ation ou l lection par catachr se de terrains cliniques est donc un acte cardinal de la recherche en didactique ce qu on ne voit pas toujours quand on pr tend aller directement exp rimental sans passer par la clinique J illustrerai cela par l exemple d un terrain clinique constitu en marge d un enseignement de didactique que depuis deux ans je m efforce de donner en licence de sciences de l ducation l universit de Provence c J ai donn cette ann e ledit enseignement Digne o une licence avait t ouverte et tait accueillie dans les locaux de l IUT La prise d information clinique laquelle je me r f rerai a t r alis e travers l examen final de l unit d enseignement dont j ai eu la responsabilit elle montrera ainsi qu on pourra le v rifier l existence ch
54. io diversit C3 A9_Fr pdf long de 99 pages publi dans les Cahiers de l Institut fran ais de la biodiversit IFB il ne contient lui m me aucune r f rence un usage quelconque des math matiques hormis dans le passage suivant La principale diff rence entre les savoirs profanes et les savoirs experts concerne leur origine des connaissances tacites pour les premiers et des connaissances explicites pour les seconds Cowan et Foray 1998 La diff rence entre ces deux formes de connaissances est li e au niveau de codification sur lequel elles reposent Les connaissances explicites sont bas es sur un niveau de codification important livres donn es statistiques mod les math matiques qui permettent de les formaliser Les connaissances tacites appartiennent souvent au monde des repr sentations sociales du savoir faire et de l exp rience Elles sont donc difficiles formaliser et consid r es comme subjectives La notion de codification qui aplatit le r le des mod les math matiques dans le travail de constitution des concepts pourrait tre interrog e mais ce serait une autre question l auteur renvoie ici un travail de Dominique Foray et Robin Cowan intitul Economie de la codification et de la diffusion des connaissances publi l origine en anglais dans la revue Industrial and Corporate Change qui s inscrit dans le champ du knowledge management Si Von poursuit l examen des source
55. ion une technique est une r alit qui ne peut exhaustivement tre mise en mots Tout ce qu on peut esp rer c est de pouvoir reconstituer de fa on relativement fid le dans une certaine institution cible une classe etc une technique vivant dans une certaine institution source et cela partir d une description d une recette d un mode d emploi moyens de transmission et de contr le de la technique a transmettre toujours quelque peu incertains Une technique est ainsi une r alit litt ralement indicible ce qui interdit en principe de transmettre une technique de fa on efficace et fiable simplement en tentant de la dire d Voici maintenant le corrig que j ai r dig l intention des tudiants concern s en pr cisant bien qu il ne s agit l que d une r ponse possible parmi quelques autres On gardera en t te l exigence de concision impliqu e par l obligation de faire tenir l ensemble du travail demand dans une copie double d examen tant donn un type de t ches T on appelle technique t relative T une mani re r gl e d accomplir les t ches t du type T le grec tekhnikos signifie propre une activit r gl e et le mot tekhn d signe un savoir faire On pourra ainsi parler d une technique de r solution des quations du second degr ou d une technique de pr paration d une omelette au fromage etc Pour un type de t ches T donn on conna t en g
56. ion des l ves 1 Fonctions 1 1 Fonctions 2 Fonctions 2 3 G om trie 1 2 G om trie 4 G om trie 2 5 Statistiques et probabilit s 1 3 Statistiques et probabilit s 6 Statistiques et probabilit s 2 7 Algorithmique Algorithmique objectifs pour le lyc e Notations et raisonnement math matiques Notations et raisonnement math matiques objectifs pour le Th mes d tude lyc e Cryptologie et codage Utilisation des graphes Ph nom nes d volution b Je me limiterai ici quelques remarques rapides Tout d abord on aura not la disparition des th mes d tude propos desquels le programme de mars pr cisait ceci le programme est constitu d une partie commune 37 et d un theme obligatoire au choix a choisir parmi trois themes d tudes permettant une ouverture vers d autres domaines des math matiques et d autres types de probl mes Le th me choisi devait faire l objet sous la direction du professeur d un travail des l ves en classe d une dur e de 15 20 heures s tendant sur une grande partie de l ann e scolaire prolong par des travaux individuels ou en groupes Le programme prescrivait encore ceci L entr e dans le th me doit privil gier une activit de recherche et d exp rimentation autour d un questionnement Les th mes ainsi pouvaient tre un lieu d une p dagogie de l enqu te mani re de faire une place ven
57. ire ou l exprimer car c est quelque chose acquis naturellement par l exp rience Cela se fait sans que l on r fl chisse copie 1 Si on dit que t est par nature indicible c est lorsqu elle est cr e et install e dans l institution consid r e cela fait partie d une routine elle s automatise se naturalise appara t comme naturelle Ex effacer le tableau copie 5 En affirmant qu une technique est par nature indicible cela signifie qu elle est routinis e incr e allant de soi ayant toujours t l copie 14 La naturalisation des techniques accomplit ce que leur appropriation individuelle avait amorc e leur indicibilit croissante Le r le cr ateur diff renciateur de l individu est ici la cl de vo te de l explication de lindicibilit La r ponse suivante remarquable cet gard articule ensemble le mod le de la recette de cuisine et celui de l appropriation personnelle naturalisante La recette reste un guide assez g n ral d ex cution d une tache la technique sous entend un investissement personnel de l individu qui accomplit la tache un quelque chose qui diff rencie les techniques pour une seule et m me t che suivant les individus qui l ex cutent L on peut parler d une technique indicible lorsque celle ci est devenue routini re la technique une fois automatis e est difficile voire impossible 4 dire car elle devient un allant de soi
58. isant sans doute la partie intitul e Algorithmique la premi re motion d clare ceci Ce projet introduit sans pr paration ni concertation des contenus nouveaux dans des domaines peu familiers la plupart de nos coll gues et qui n ont jamais t enseign s dans le cadre du cours de math matique ce niveau Ils ne peuvent valablement tre inscrits au programme sans une formation pr alable et sans la cr ation de ressources adapt es Or le temps manque et les cr dits affect s la formation continue seront l an prochain une fois de plus en baisse importante 39 De fait cet organe de la profession qu est l APMEP doit se d fendre ici contre un tat de fait permanent ayant quasiment force de loi la d n gation du probl me infrastructurel fond e elle m me sur le postulat imm morial que de m me que le com dien est cens savoir jouer la com die quelle qu elle soit de m me l enseignant peut tout enseigner et enseignera donc ce que l institution dont il est le mandataire lui commande d enseigner En r pliquant ainsi qu on l a vu la profession sous les esp ces de l APMEP reprend pourtant en partie son compte ce postulat si elle souligne la n cessit de ressources soit en particulier de moyens infrastructurels elle rabat cette exigence sur la profession au sens restreint les enseignants et leurs entours imm diats au sein des IREM ou de l APMEP Dans cette perspective notons
59. it la marche a suivre pour r soudre tous les probl mes qui ne different que par la valeur num rique des donn es L nonc du probleme prend alors la forme g n rale suivante Trouver trois nombres dont la somme soit S tels que le deuxi me surpasse le premier de a et que le troisi me soit la somme des deux premiers L alg bre donne l sa pleine mesure le premier nombre tant x le deuxi me est x a et le troisi me x x a 2x a en sorte que l on doit avoir x x a 2x a S soit 4x 2a S ce qui donne apr s calcul _ S 2a 1 X L auteur commente ce r sultat Une telle expression qui indique la s rie des op rations faire sur les donn es pour trouver l inconnue est une formule Elle contient la solution de tous les probl mes de m me nature f Les lettres ici ce sont a et S L expression x x a 2x a est une expression litt rale cause de la pr sence de a et S et l quation x x a 2x a S est de m me une quation litt rale Sur ce mod le dans son livre Pour comprendre l alg bre 1926 l abb Th ophile Moreux r sout d abord le probl me suivant Partager 77 en deux parties telles que la somme des quotients de l une par 8 et de l autre par 5 soit gale 13 Puis sous l intitul Solution g n rale avec des lettres il le g n ralise en ces termes Partager un nombre n en 2 parts de mani re que la somme des qu
60. it qu un l ve pr sentait au i maitre deux ou trois jours de suite la m me op ration et se la voyait rendre chaque fois pour la recommencer a cause des erreurs de simple calcul I i I I j I 1 I I I I 1 I I I I I 1 1 I 1 I I I I I I I I 1 1 I I I i Les 4 centaines n en valent plus que 3 cause de l emprunt de une centaine i I 1 i i 1 i i 1 1 1 1 1 1 1 1 I i I i I I 1 1 I 1 i l Extrait de Dauthuile P 1900 L cole primaire dans les Basses Alpes depuis la I 1 I I R volution jusqu nos jours Digne Vial c Le texte examin se r f re de fa on peine implicite un syst me didactique S X y o X est une classe d l ves de l cole primaire o y est le maitre ou la ma tresse et o la soustraction La soci t o ce type de syst mes didactiques a fonctionn est la soci t fran aise vers 1850 plus pr cis ment il s agit de la petite soci t du d partement des Basses Alpes lequel ne deviendra qu en 1971 d partement des Alpes de Haute Provence L cole est l cole primaire celle qui aura plus tard a dispenser ce qu on nommera a partir de la loi Jules Ferry du 28 mars 1882 l instruction obligatoire http dcalin fr textoff loi_1882 vo html Ce que le texte indique donc c est que la soustraction tait tudi e dans ce type d coles en cette soci t cette poque Un autre l ment d info
61. l unit ou 4 5X4 ae gt et l on a red D m me ici b a tant le d no PES b a minateur l unit sera 7 donc la place de n er nous aurons b a n b a nb an n ou SS x b a b a b a et finalement 27 PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE 63 ne pre ae nb an abe an b a Lb a b a b a J ai mis 6 a en d nominaleur commun comme si J avais dit 5 6 5 6 soi el je wai pas supprim les d nominateurs comme nous l avions fait bien des fois parce que je mai pas ici une quation mais une simple diff rence des deux fractions valuer 70 Voyons d abord a transformer le num rateur nb an abc an Je remarque que de nb an il faut enlever abc an J enl ve d abord abc Ici pas de difficul t s ilime suffira d crire nb an abc c est dire d ajouter abc en mettant le signe de la soustraction z an est bien diminu de abc dans l expression pr c dente mais il faut maintenant enlever encore an c est dire une quantit n ga tive puisque an a le signe Rappelez vous l exemple des dettes n 9 car enlever une dette c est ajouter quelque chose son avoir Oter moins 3 fr d un avoir c est en somme payer une dette donc ajouter si bien que toutes les fois que nous aurons retrancher une quantil n ga 28 64 POUR COMPRENDRE L ALG
62. le ici elle trouve m me une utilit aux th mes d tudes puisque la seconde motion indique Nous demandons le report de l introduction de l algorithmique faute de pr paration son introduction parmi les th mes permettrait d exp rimenter son enseignement en seconde Les th mes d tudes font ainsi l objet d une judicieuse catachr se ils devraient permettre si peu que ce soit une mise l essai Le probl me infrastructurel est donc pos mais il l est incompl tement M me pour visiter l algorithmique il faut des ressources que la bonne volont et Vardeur au travail des enseignants en leurs IREM ne peuvent ais ment cr er La revue Rep res IREM a lanc cet gard un appel contributions qui montre la difficult qu a la profession au sens restreint tendre franchement le champ dans lequel elle se situe voici donc cet appel http www dma ens fr culturemath actu actu htm L algorithmique va appara tre pour la premi re fois dans les programmes de seconde qui seront en vigueur a la rentr e 2009 La revue des IREM Rep res IREM souhaite accompagner cette nouveaut des programmes en proposant rapidement ses lecteurs des articles sur le th me de l algorithmique notamment par exemple autour des questions suivantes dont la liste non exhaustive peut tre compl t e Quelle probl matique et quels objectifs proposer une enseignement de Valgorithmique en clas
63. lier autant d occasions de manipulations de formules et de transformations d expressions alg briques Malgr cela l adjectif litt ral semble aujourd hui pr f r dans l usage des classes Consult le 2 juillet 2009 vers midi le moteur de recherche Google annon ait ainsi 5360 r sultats pour la requ te calcul alg brique coll ge mais 14 800 pour calcul litt ral coll ge c Je reviens a la question qui m est pos e pourquoi ai je d sign le recours dominant a l adjectif litt ral et la mise a l cart corr lative de l adjectif alg brique comme une man uvre qui plus est non innocente autrement dit coupable Je n entrerai pas ici dans une digression historique pour rappeler d abord que le langage alg brique n est pas que litt ral il comporte surtout les signes op ratoires x etc et des signes pr dicatoires tel le signe d galit qui n entraient pas dans l ancienne arithm tique Du m me coup il en d coule qu une expression alg brique ne comporte pas n cessairement de lettres De cela t moigne au reste la vieille expression de somme alg brique toujours employ e officiellement ainsi l expression num rique 3 7 2 o ne figure aucune lettre est elle 23 une somme alg brique qui s effectue dans l ensemble de ce qu on a longtemps appel les nombres alg briques devenus ult rieuremen
64. lonne de gauche avec quelques commentaires colonne de droite Enqu tes sur Internet Journal de la s ance 1 Vendredi 28 novembre 2008 Commentaires 1 N B La s ance a dur deux heures 1 Un fait sans doute non sp cifique de environ entre 13 h 30 et 15 h 30 lalcet atelier le diff rencie pourtant sonnerie de la fin de la premi re heure un radicalement d une classe ordinaire Tout certain nombre de participants ont d d abord ce n est qu partir de la 3 s ance quitter l atelier leur classe de 4 avait en que le groupe des l ves se stabilisera dix effet cette heure une s ance de cours de l ves suivront d s lors fid lement l atelier SVT Ensuite pendant longtemps encore nous les croirons issus de trois classes de 4 diff rentes avant de r aliser que tous provenaient d une m me 4 Cette apparente atopie institutionnelle para t significative du statut un peu sibyllin de l atelier 2 Pr sentation g n rale du travail dans 2 C est la le premier temps d une mise en l atelier Enqu tes sur Internet chercher place d une p dagogie de l enqu te des r ponses des questions d clarer le type de t ches directeur de essentiellement l aide des ressources de l atelier H initiale du grec historia l Internet enqu te restreint aux ressources de 43 l Internet ce qu on peut noter Hi m me si ce type
65. mal retrouver ce que le sigle signifie l intervenant propose de comparer la somme qui aurait t perdue en un jour un milliard de milliards de dollars ou seulement mille milliards de dollars avec le PIB de la France ou des tats Unis ou m me du monde Les recherches conduites sont assez souvent inabouties on trouve par exemple tel texte voquant 1 2 du PIB d un pays mais pas le PIB de ce pays Plusieurs participants parviennent toutefois l article conomie des tats Unis de l encyclop die Wikip dia http fr wikipedia org wiki C3 89cono mie des C3 89tats Unis o on lit ceci Les tats Unis sont la premi re puissance conomique mondiale Avec un Produit int rieur brut PIB de 14 545 milliards de dollars en 200818 repr sentant environ un quart du PIB mondial 9 si l on ne classe pas l Union une puissance europ enne comme unitaire Ce texte appara t d autres adresses telle http wapedia mobi fr C3 89conomie des_ C3 89tats Unis celle ci 11 L un des obstacles ici est que la perte d un milliard de milliards de dollars en un jour n appara t pas aux l ves comme tellement norme que c en est impossible alors que on va le voir cela va faire r agir du Monde alors certains des lecteurs L intervenant introduit un raisonnement non spontan de la part des l ves comparer cette somme avec le PIB des princi
66. mul e l IUFM pendant quelques ann es cet gard nous avons presque constamment rencontr deux d rives solidaires de la part d Ego 1 mentionner ce que d autres expos s d nich s et propos s par Ego r pondent pr tendument la question Q 2 dire leur mot sur la question Q Bien entendu ceux qui n ont pas cette exp rience clinique l peuvent s interroger sur la r alit de ces d rives Le mat riel constitu par les r ponses des candidats l examen du 15 juin m rite donc cet gard un examen attentif On peut certes s attendre ne pas rencontrer ici les divagations que certains d entre nous ont pu constater lorsque l exercice tait demand aux PCL2 de math matiques E tant alors les archives du s minaire adress audits professeurs stagiaires au fil des ann es Qu en est il donc e Ce qui m int resse est de rep rer l influence sur les r ponses formul es de certains assujettissements des candidats C est ainsi qu un assujettissement non myst rieux et sur lequel je ne m arr terai pas conduit nombre d entre eux nommer t che ce qui est en v rit un type de t ches voici de cela un exemple copie 10 tout type de t che il y a une fa on de faire appel e la technique On ne pourra pas par exemple r aliser la t che fabriquer un cerf volant sans avoir auparavant laborer sic une technique Ces tudiants anonymes ne sont pas l
67. n et en sens inverse la traduction en anglais du fran ais billion on obtient ceci Traduire du texte une page Web ou un document Saisissez du texte ou l URL d une page Web ou importez un document Traduction anglais fran ais trillion trillion anglais gt fran ais D seine Dictionnaire amp nbsp nom 1 trillion 2 billion Traduire du texte une page Web ou un document Saisissez du texte ou l URL d une page Web ou importez un document Traduction fran ais anglais billion one billion rechercher fran ais v gt anglais re Dictionnaire nom 1 billion 2 trillion Sans doute doit on voir dans les changements constat s ici l expression de l emprise qu a acquise dans le fran ais des m dias de masse le sens anglais de trillion a Voccasion de la crise financi re telle est du moins mon hypoth se Du point de vue de la conduite de l enqu te aujourd hui serait donc diff rent d hier sur ce point une enqu te n est nullement crite a l avance ce qui ne signifie pas que men e en des temps diff rents et selon des parcours diff rents elle ne parvienne pas une m me conclusion That s all folks 59
68. n est confront ici un calcul non trivial pour des d butants La raison d tre ou du moins une raison d tre du calcul alg brique est l Par contraste ce qu il en survit au coll ge sous le nom de calcul litt ral fait songer un a roport apparemment entretenu mais dont aucun avion ne d colle plus depuis longtemps b Comment poser la question des math matiques Nous verrons en fait que les l ments de r ponse avanc s vaudront aussi mutatis mutandis pour d autres savoirs On a illustr ci dessus une des quatre probl matiques de la didactique la probl matique de base si en effet on d signe par o les prax ologies du calcul alg brique on a mis en vidence travers la tradition la plus classique un ensemble C de conditions v rifiant sous des contraintes Ko appropri es et pour une instance Up idoine la relation Rva Ko C Mo Uo qui est au fond on l a dit la seule probl matique famili re au monde enseignant Mais la probl matique premi re est cependant la probl matique que nous avons appel e pour cela primordiale qui conduit tudier un ensemble 3 Ilo Uo criture o je rappelle que le symbole S 31 signifie utile ou indispensable Je rappelle ici les quatre probl matiques que nous envisag es Probl matique de base Probl matique primordiale C Rvo Ko C Mo Uo S To Uo Probl matique possibiliste Probl matique
69. ns une institution donn e on n accomplit pas n importe comment une t che t d un type T pour cela on met en uvre une certaine technique a Faire une omelette au fromage est un type de t ches et l on doit disposer pour accomplir les taches de ce type d une certaine mani re de faire ou technique Ainsi dira t on par exemple Il a une technique lui pour faire une omelette au fromage Ou encore Elle utilise une technique que je ne connaissais pas pour r soudre les quations du second degr b Le grec tekhnikos signifie propre a une activit r gl e et le mot tekhn d signe un savoir faire Pour des raisons videntes dans tout ce qui suit une technique d termin e relative un certain type de t ches 7 sera d sign e par la lettre grecque Tt tau une technique relative T pourra ainsi tre not e tr 3 4 2 Une technique 7T peut toujours se d crire partiellement Traditionnellement une technique pour pr parer tel plat une omelette au fromage par exemple sera d crite sous la forme d une recette De m me la technique pr conis e par le fabricant pour utiliser un certain objet du commerce sera explicit e dans un mode d emploi a Pour r soudre une quation du second degr ax bx c 0 o a 0 on peut par exemple proc der comme indiqu ci apr s admettons le du moins Technique 71 1 r crire l quation donn e en y rempla ant l inconnue x pa
70. ogrammes de calcul et expressions alg briques Elle g ne en outre la cr ation de l outil cl de cette dialectique le calcul alg brique lui m me Le calcul arithm tique conduit en effet crire ceci 109 109 x 11 100 109 1199 100 109 11 99 97 01 Par contraste c est le calcul alg brique qui conduit crire ce que voici 109 109 x 11 100 109 109 x 11 100 109 109 x 0 11 109 1 0 11 109 x 0 89 Ce dernier calcul en effet ne fait qu instancier le calcul alg brique qui en est le vrai ressort savoir x xxa b x xx a b xxx x 1 b b L usage de litt ral en lieu et place du mot appropri alg brique tend a faire apparaitre un outil improbable a quoi sert il au juste le calcul litt ral dont la raison d tre est ainsi largement gomm e en m me temps qu il appara t comme une simple g n ralisation formelle Des lettres en plus des nombres du calcul arithm tique alors que en v rit il est un nouveau calcul qui int gre le calcul arithm tique en lui donnant une vie largie e Il me semble utile d ajouter un d veloppement sur l usage qui fut traditionnel en alg bre l mentaire de l adjectif litt ral Dans son Trait l mentaire d alg bre 22 dition s d F licien Girod consacre le premier chapitre du premier livre a des Notions pr liminaires Selon l usage il part d un probl
71. ordres que cette th orie apporte ou permet d laborer Sauf exception les s ances se d roulent le vendredi apr s midi de 15 h 17 h puis de 17h 30 19 h 30 cette seconde partie pouvant tre suivie en visioconf rence CLINIQUE DU DIDACTIQUE 1 coute et preuves cliniques a Le mot de clinique est parfois usit de fa on restrictive dans une acception un peu fig e la clinique aurait pour objet des personnes C est videmment le sens originel qui conserve la trace du malade alit que le m decin vient visiter Dans l usage m dical moderne ce qui semble insister dans le discours sur la clinique c est l id e d observation directe du malade ou de la pathologie mode d acc s quoi il faut bien ajouter aujourd hui toutes sortes d examens paracliniques Bien entendu lorsqu on parle ainsi que je l ai fait de clinique des PER il s agit de l observation directe de PER de sc narios et de r alisations de PER Plus g n ralement encore je parlerai de la clinique d une certaine population d individus en prenant cette notion au sens de la statistique il pourra donc s agir d une population de classes scolaires de professeurs de DM etc Plus abstraitement je parlerai de populations de syst mes l observation directe d un syst me portant sur certaines variables d tat du syst me b Bien entendu pour d finir la clinique didactique il faut sp cif
72. otients de l une par a et de l autre par b soit gale c En d signant par x la premi re part l quation s crit 26 La r solution de cette quation donne x Ss L auteur s engage alors a a bc n PA dans le calcul de la seconde part soit n ape mais il met en garde son a lecteur Le lecteur peut n gliger ce num ro une premi re lecture car les transformations deviennent ici un peu plus difficiles saisir On a en effet ceci n lbe n _bn an_albc n _ bn abc _ b n ac b a b a b a b a b a Tout cela est alors nouveau et l auteur n pargne pas sa peine pour montrer son lecteur le travail alg brique raisonn et soigneux que ce calcul suppose comme on le verra sur le document ci apr s 62 POUR COMPRENDRE L ALGEBRE Le lecteur peut n gliger ce num ro une pre mi re lecture car les transformations deviennent ici un peu plus difficiles saisir Nous avons vu que _ a be n se ha b a ou z b a C est toute cette expression entre parenth ses qu il faut retrancher de n pour avoir la valeur de n x c est dire qu on aura AR b a Voil la 2 part R duisons z au m me d nomina teur que la partie entre parenth ses il suffira de Fas m lique v 4 le on que pour r duire 5 en quarts multiplier z par Car nous avons vu en arith a 4 je suppose il suffit de multiplier 5 par
73. out que de la crise financi re et l on peut penser que cela n a pas chapp aux l ves La pr sentation de la question est la fois concr te le num ro du Monde voqu est physiquement pr sent aux l ves et complexe le nom de Francis Fukuyama connu dans le monde intellectuel francais pour son livre La Fin de Uhistoire et le Dernier Homme est sans doute non seulement inconnu des l ves mais est surtout peu rep rable dans leur culture On cr e donc momentan ment une zone d opacit relative acceptable car conforme au r gime usuel auquel sont habitu s les l ves L enregistrement vid o montrerait sans doute que l auteur est voqu par lintervenant par comme tant un monsieur important tr s connu aux tats Unis etc 4 La lecture du d but de la traduction parue dans le Monde ressemble un exercice scolaire classique en elle m me elle n est pas trang re la culture des l ves Il va de m me de l explication des quelques mots contre lesquels peut venir buter la lecture collective En m me temps il ne s agit pas d tre trop longtemps arr t s par ces opacit s le but n est pas d apprendre des mots nouveaux En particulier l intervenant ne demande pas aux l ves de rechercher dans un dictionnaire en ligne le sens de tel ou tel mot comme il le fera ensuite d autres propos Il s agit de faire merger la ques
74. page du site linternaute com page dont l adresse est la suivante http www linternaute com dictionnaire f r sens trillion On y lit les pr cisions suivantes ictionnaire de la langue francaise aa Rechercher un r Th me Usage Mot au hasard Ab c daire Top recherche T trillion CMS trillion nom masculin Un milliard de milliards trillion Selon ce dictionnaire en ligne un trillion ce serait un milliard de milliards On note que cette page donne pour traduction en anglais du fran ais trillion le mot anglais trillion 7 Il ne faut jamais arr ter une recherche sur un r sultat plusieurs r sultats doivent interlocuteur humain Je vais taper la trillion enfin une posture voisine de la pr c dente question Qu est ce qu un mais apparemment inform e de I internettement correct Sur plusieurs moteurs de recherche je demande d finition de trillion Cette derni re observation sera confirm e plus g n ralement par la suite sauf exception les l ves participant l atelier ont eu une acculturation effective l Internet et ce qui s en dit commun ment 6 Ici va se situer un point tournant dans le contrat usuel l l ve pourrait attendre que son r sultat soit directement valid ou au contraire rejet par celui qui n est pas le professeur Or en l esp ce rien de tel ne se
75. pales puissances du monde La recherche sur Internet du PIB des Etats Unis ici ne va pas de soi on tombe facilement sur des indications relatives la variation du PIB comme on le voit ci dessous pour la France France chute confirm e du PIB de 1 2 au premier trimestre Le produit int rieur brut PIB de la France a bien baiss de 1 2 au premie sous le coup de la crise conomique a confirm vendredi www lesechos fr info france 300358426 htm Pages similaires France nouvelle chute du PIB au 1er trimestre 2009 1 2 tft Le portail LCL des entreprises propose des solutions adapt es leurs besoin comptes placements financement commerce international https entreprises Icl fr point de vue 2009 05 15 1 En cache Pages sirr Baisse de 3 du PIB de la France pour 2009 Le PIB fran ais a d j recul de 1 2 au premier trimestre 2009 et cette ch Pour ce deuxi me trimestre la baisse serait de 0 5 et www finance banque com baisse 3 pourcent PIB 2009 html En cache Pagi France 24 Le PIB fran ais en baisse de 1 2 au premier 26 juin 2009 L Insee a confirm la contraction de 1 2 du produit int rieur France au premier trimestre Elle a galement r vis e 1 4 www france24 com 20090626 pib produit interieur brut insee lagarde eco baisse premier trimestre 2 E Pages similaires Mais Vid e de comparer un milliard de
76. passe On observe d abord R on ensemble une r ponse celle d un dictionnaire en ligne l analyse sommairement on n en est pas encore l valuer dans la perspective de produire RY en francais comme en anglais ce serait un si ce dictionnaire disait vrai un trillion milliard de milliards Mais la r ponse attendue reste en suspens 7 Ce sont l les deux grands principes qui servent de moteur principal l atelier 47 tre compar s entre eux confront s les uns aux autres et cela pour au moins deux raisons 1 le r sultat affich peut tre erron 2 m me quand le r sultat n est pas entach d erreur l utilisateur nous peut ne pas bien comprendre ce qu il nous dit il faut donc s assurer que l on a bien compris 8 Autre trouvaille le dictionnaire en ligne MEDIADICO donne la d finition reproduite ci apr s http www mediadico com dictionnaire definition trillion 1 gt trillion r n u L Ecouter la d finition Un million de billions Selon ce dictionnaire un trillion c est un million de billions Mais qu est ce qu un billion Le m me dictionnaire r pond ce qu on voit ci apr s gt billion inom masculin L Ecouter la d finition Un million de millions HOMONYMES PARONYMES billon Si un trillion vaut un million de billions et si un billion vaut un million
77. ploy le mot trillion dans l original en anglais et si ce faisant il n a pas commis de lapsus ce mot ne peut pas signifier en anglais un milliard de milliards Une hypoth se compatible avec cette conclusion est alors formul e trillion signifierait en anglais mille milliards Cette avanc e de l enqu te est cruciale si les l ves n en sont certes pas les seuls protagonistes ils la suivent et Vacceptent sans fa on certains ajoutent des l ments de preuve en recourant spontan ment au service de traduction de Google qu ils connaissent pour des raisons qu on peut imaginer La technique des Z ros permet de v rifier qu un trillion am ricain serait bien un billion fran ais mille milliards ou un Quant l anomalie de n invalide pas l hypoth se faite million de millions constat e propos billion elle 54 Si un billion est un million de millions un billion est il bien gal mille milliards On compte les z ros 6 et 6 dans le premier cas soit 12 3 et 9 dans le second cas soit 12 On aurait donc bien un trillion en anglais un billion en fran ais Une participante a song a utiliser le service de traduction de Google dans le sens inverse du fran ais vers l anglais en demandant la traduction de billion en anglais Voici ce qu elle obtient Texte a traduire Texte original billion Fran ais Anglais Traduire
78. pour l individu qui l applique copie 20 C est le quelque chose voqu ici que l auteur de la copie d signe d ailleurs en collant les mots il crit quelquechose qui est la part inviolable de la technique individuelle Voila comment des l ments th oriques trangers a l expos E se trouvent import s pour combler ce qui apparait sans doute aux candidats concern s comme un silence ou une lacune de cet expos Cela bien str seule la clinique du discours tudiant peut l tablir rigoureusement m me si la chose ne fait que confirmer des faits trop connus Dans une perspective d ing nierie didactique visant ce type de publics tudiants propos de cet enjeu didactique on a mis ainsi en vidence une contrainte que l enseignement prodiguer doit prend en compte en cr ant des conditions ad quates qui en diminuent les effets de distorsion prax ologique 2 Quels outils cliniques a Comme le montre ce qui pr c de en mati re d analyse prax ologique et didactique les tudiants observ s sont g n ralement porteurs d un quipement prax ologique dont nous avons mis au jour l un des fondements th oriques l individu en sa singularit chappe en partie si peu que ce soit la connaissance discursive Cet quipement nous le savons est susceptible de parasiter la r ception d une offre prax ologique allog ne celle en l esp ce de la TAD trang re au
79. r otyp e est r alisable ou m me souhaitable pour toutes Je souligne un point de d tail dans la probl matique originelle des PER en classe de math matiques on ne pr tend pas organiser l enseignement des math matiques au coll ge et lyc e autour de grandes questions on pr tend en revanche que un programme tant fix il doit tre possible de couvrir l essentiel de ce programme par le moyen de quelques PER au lieu d accumuler les AER sans lendemains Cela not le fumet r actionnaire de ce texte qu on attendrait davantage d une association de sp cialistes sur la d fensive plut t que d instituts de recherche n est qu en partie l effet de cette pression barbare sur les marches romaines celle qu exercerait la p dagogie d investigation sur l antique paradigme de la visite des savoirs Car bien d autres aspects de l incertaine dynamique en cours sont la cible de l Avis C est ainsi qu est fustig e la pluridisciplinarit qui selon l Auis ajoute a la difficult des math matiques puisque les notions n apparaissent pas pures mais m lang es d autres notions ext rieures Pures ou m lang es n en jetez plus c LAPMEP a mis en ligne sur son site deux motions adopt es l unanimit par son comit le 22 mars 2009 o elle se r f re au programme rendu public le 16 mars http www apmep asso fr spip php article2803 V
80. r la nouvelle inconnue y gr ce la formule b X y J 2a 2 P quation en y a laquelle on arrive tant de la forme y k ses solutions sont obtenues en calculant les expressions fk et Vk si k gt 0 3 pour obtenir les solutions en x former alors safe 2 2 Vk oat VE 2a b Consid rons maintenant le type de t ches To crire un compte rendu d une s ance de cours Il semble ici beaucoup plus d licat d crire une fiche technique analogue celle relative aux quations du second degr Mais il n est pas interdit de tenter de mettre en mots une certaine technique permettant d accomplir les t ches de ce type Voici le fruit d une telle tentative pour d crire une technique de prise de notes 1 Voir http www ext upmce fr urfist cerise p81 htm Comment prendre des notes de cours Lorsque vous assistez un cours ou une conf rence apr s avoir crit le th me et la date notez le plan tel qu il se d roule les id es essentielles les exemples et i citations qui vous paraissent int ressants ainsi que les r f rences i i bibliographiques qui vous permettront d enrichir l information I I I j 1 j I 1 i I l I l I I I I I 1 1 I I i i I a a 7 ee I Pour bien suivre l argumentation et ne pas vous laisser d border par la rapidit de i R rere i l expression orale forgez vous un syst me d abr viations pour les mots courants et ae as 2 i pour des
81. r un certain usage moderne de la notion de comp tence Je n irai pas plus loin l dessus aujourd hui MATH MATIQUES EN JEU 1 De l uvre l outil un exemple a J ai parl de paradigme de l tude scolaire en distinguant d une part le paradigme de l inventaire et de la visite des savoirs ou des uvres d autre part le paradigme de questionnement du monde Bien entendu le questionnement du monde inclut le questionnement des uvres et des savoirs l av nement du paradigme questionnant va ainsi de pair avec la revitalisation de l tude finalis e des uvres et des savoirs C est ce que j ai exprim un peu maladroitement dans la s ance 5 de ce s minaire en notant que le paradigme inventoriant n est nullement destin dispara tre avec l mergence encore venir du paradigme questionnant car celui ci suppose celui l qui en devient un organe cl b Pour qui a une formation math matique le risque n est pas mince de minorer la place que peut prendre l tude toujours partielle car toujours finalis e d uvres math matiques qui se trouvent impliqu es par une enqu te donn e ou un type donn d enqu tes Pour augmenter le relief de cette remarque je prendrai ici une comparaison avec une discipline autre que les math matiques J ai voqu lors de la derni re s ance la question de la biodiversit en quoi consiste t elle et quoi est elle due Je
82. re ordinaire une compatibilit culturelle apparente chacun sait par exemple ce qu est une question et ce que peut tre une r ponse la mention de l Internet laquelle les l ves pouvaient s attendre sont autant de 44 3 Aujourd hui Pr sentation du quotidien Le Monde 10 octobre 2008 num ro du Monde contient page 20 la dition du vendredi ce traduction en francais d un article de Francis Fukuyama professeur d conomie politique internationale a la School of Advanced International Studies L article est intitul Johns Hopkins La chute d America Inc 4 On lit ensemble les premi res lignes de cet article sur l cran Implosion des plus anciennes banques d investissement am ricaines volatilisation de plus d un trillion de dollars de valeurs boursi res en un seul jour addition de 700 milliards de dollars pour les contribuables am ricains l ampleur de la d b cle de Wall Street pourrait difficilement tre pire Brefs commentaires explicatifs dialogu s sur la crise financi re sur la notion de banque d investissement sur les mots facteurs favorisant une r ception sereine par les l ves participant l atelier de cette d claration d intention didactique 3 L atelier premi re question entre d embl e dans une dont le choix n est justifi e que par l actualit du moment on ne parle alors part
83. rmation est discr tement apport y est un ma tre ou une ma tresse on peut en d duire partir des contraintes de l poque que X est une classe de gar ons ou une classe de filles m me si la distinction civilisationnelle entre les sexes est alors marqu e au certificat d tudes primaires il y a ainsi fr quemment des questions pour filles et des questions pour gar ons tous les l ves tudient donc la soustraction C est du moins ce que l on peut conclure sur la base des informations apport es par le texte examin d Le fragment d analyse qui pr c de nous fait passer du niveau de la civilisation la distinction filles gar ons au niveau de la discipline la soustraction en passant par les niveaux de la soci t et de l cole La description propos e voque au reste une contrainte scolaire que le lecteur d aujourd hui n a sans doute pas en t te l absence de tableau noir dans la salle de classe c est dire l absence d un dispositif didactique qui sera ult rieurement au c ur de l activit des classes scolaires Cette contrainte a des cons quences p dagogiques l absence d un tableau noir diminue la possibilit de pratiquer un v ritable enseignement simultan En fait l enseignement para t ici essentiellement individuel l l ve x passe une partie de son temps attendre que y s occupe de lui la pr sence d un cahier de l l
84. s agit d y faire vivre 53 13 Un dialogue bref mais un peu confus Wall Street avait perdu un milliard de milliards aboutit cette conclusion si de dollars en un jour il aurait perdu une valeur plus de 65 000 fois sup rieure celle que les Etats Unis cr ent en une ann e il est donc raisonnable de penser que la perte par Wall Street d un trillion de dollars signifierait plut t la perte d un millier de milliards de dollars plut t que d un milliard de milliards de dollars m Que penser de tout cela L id e a circul et revient au devant de la sc ne que le sens du mot trillion d pend des pays que ce sens changerait d un pays l autre On peut formuler l hypoth se suivante v rifier en anglais l auteur aurait employ le mot trillion qui signifierait mille milliards et le traducteur aurait traduit ce mot par trillion qui en fran ais signifie semble t il milliard de milliards soit un million de fois plus Spontan ment plusieurs de Google l anglais trillion y est traduit en participants utilisent le service traduction de francais par billion Texte a traduire Texte original trillion Anglais Fran ais Traduire Traduction Anglais Fran ais billion 13 Dans l enqu te en cours on arrive un point tournant Le calcul pr c dent conduit penser que si l auteur a bien em
85. s des autres sous rubriques on arrive cependant a une r f rence savante Butchart et al 2005 Using Red List Indices to measure progress towards the 2010 target and beyond Philosophical Transactions of the Royal Society B n 360 pp 255 268 qui se r v le tre accessible en ligne et o le calcul des Red List Indices RLI fait notamment l objet du d veloppement suivant http rstb royalsocietypublishing org content 360 1454 255 full 34 further details Mathematically the method can be described as follows where 7 is total score No is the number of species in category c at time t where is the year of the i th assessment assessments are not necessarily made every year W is the weight for category c is proportional genuine change L is the value of the index at time t Cat t s is the category of species s at time Weis the weight for category c G 1 if the change from 1 to t in category of species s is genuine otherwise G 0 T X WNa c P YOW Wet GsVTe ss sS Z Ze Pa where Ir 100 for the first year of assessment Ainsi donc derri re les indicateurs de biodiversit il y a bien des math matiques si simples soient elles Un acc s direct ces derni res est offert par exemple dans l article Diversity index de l encyclop die Wikipedia dont je reproduis ci apr s une partie seulement Simpson s diversity index If pi is
86. se de seconde Quelle formalisation attendre dans cet enseignement Quelle diff rence entre algorithmique et programmation Quelle traduction sous forme de programme envisager pour une machine Quelle activit quelle d marche p dagogique privil gier en classe Tout article m me court sera bienvenu Faites nous part de votre exp rience Les professeurs de lyc e les inspecteurs IG IPR IEN les universitaires ou formateurs intervenant en formation initiale ou continue IUFM rectorats IREM les didacticiens sont particuli rement invit s r pondre ou susciter des r ponses cet appel contribution 40 Les didacticiens parmi d autres sont particuli rement invit s a r pondre ou du moins comme si la chose ne les concernait qu obliquement a susciter des r ponses cet appel dont je ne commenterai pas davantage le texte Quant au probl me de l infrastructure d un enseignement de Valgorithmique selon la p dagogie de l enqu te nous y reviendrons l ann e prochaine si vous le voulez bien ING NIERIE CLINIQUE 1 L atelier Enqu tes sur Internet a J ai eu r cemment remplir une fiche d auto valuation de l action conduite au coll ge Vieux Port dont j ai parl lors de la s ance pr c dente Voici les r ponses apport es deux des questions qui y tait propos es 4 Objectifs permettre aux l ves de dev
87. ste par synecdoque comme un raisonnement On passe ensuite une description tr s d pouill e de l organisation didactique grace a laquelle les l ves sont suppos s int grer leur quipement prax ologique la petite machine discursive de la soustraction voici nouveau ce passage L absence de tableau noir rendait l enseignement peu anim et peu fructueux Le ma tre ou la ma tresse crivait les op rations faire en t te du cahier de l l ve On avan ait fort lentement il arrivait qu un l ve pr sentait au ma tre deux ou trois jours de suite la m me op ration et se la voyait rendre chaque fois pour la recommencer cause des erreurs de simple calcul Que cette organisation didactique si fruste soit elle elle rel ve d une p dagogie de r gent soit possible et viable suppose r alis es des conditions fondamentales tant au niveau de l cole que de la soci t ou m me de la civilisation qui aujourd hui ne le sont plus gu re mais qui ont longtemps form une part essentielle de l infrastructure p dagogique disponible Une premi re condition est que la soci t ait produit et fait sien le postulat pist mologique que toute r alit prax ologique y compris les savoir faire peut se mettre en mots de fa on ad quate et authentique y compris pour soutenir r guler contr ler un faire bref que tout savoir peut se mettre en texte ou en discours de fa
88. t nombres relatifs En v rit au lieu de calcul alg brique on pourrait parler ici de calcul symbolique les symboles en question tant ceux de Valg bre Cela not l emploi de litt ral aujourd hui en lieu et place de l adjectif alg brique appara t solidaire d une volution qui en quelques d cennies a gomm l apport essentiel de l alg bre l mentaire alors m me que les programmes encore en vigueur par la promotion donn e la notion de programme de calcul ont tent de r agir contre cette d vitalisation de l alg bre enseign e C est du moins cela que je voudrais tenter d expliciter sommairement dans ce qui suit d Consid rons le programme de calcul rh torique suivant Tu prends le prix qui est marqu tu le multiplies par 11 et ce que tu trouves tu le divises par 100 tu retranches alors le nombre que tu trouve au prix qui est marqu L expression symbolique alg brique de ce programme de calcul ne fait intervenir qu une lettre x pour d signer le prix qui est marqu il s crit par exemple ainsi x xx 11 100 Quand on conna t un tant soit peu le calcul alg brique on peut calculer d abord que l on a xx 11 100 0 11x et qu il vient donc x xx 11 100 x 0 11 x 0 89 x L expression alg brique 0 89 x laquelle on parvient quant elle exprime le programme de calcul suivant dont on vient de prouver qu il
89. termes sp cifiques utilisez des sauts de ligne et des d crochements de i I L i paragraphes ainsi que des signes convenus pour identifier des liens logiques i I I i Quelques exemples i I I l I l I l I Abr viations Signes logiques avt avant gt cons quence cf confer se reporter lt cause ou origine svt souvent diff rence ou opposition Gardez le principe d une marge utile pour noter les digressions ou remarques m thodologiques de l enseignant et pour inscrire des signes exploitables en relecture concernant vos propres interrogations critiques ou commentaires Choisissez de noter en particulier ce que enseignant cherche mettre en valeur soyez attentifs aux r p titions et variantes d une m me id e aux intonations plus fortes aux indications d importance aux pauses pour vous permettre d crire En cas de perte du fil de Vexpos sautez des lignes sans paniquer vous compl terez ult rieurement vos notes en changeant vos questions avec d autres tudiants pour le passage que vous n avez pas suivi ou pas compris c On peut imaginer une description beaucoup plus longue d taill e etc Ce qui importe cependant c est de souligner qu une technique ne saurait se dire compl tement a travers un discours On peut tenter de d crire comment on fait une omelette au fromage par exemple mais la technique correspondante ne peut se r duire a une telle descript
90. tion 45 implosion et d b cle etc Un mot inconnu trillion On conna t million milliard mais on ne connait pas trillion m Ce sera la question du jour qui est montr e l cran Question Un milliard de dollars c est mille millions de dollars mais qu est ce qu un trillion de dollars 5 D bat comment chercher une r ponse cette question Comment faire pour trouver ce que cela veut dire sur Internet sont formul es et m Des propositions annonc es l ensemble du groupe Je vais taper la question Qu est ce qu un trillion Je vais consulter un dictionnaire Sur plusieurs moteurs de recherche je demande d finition de trillion m Sans consigne particuli re chaque participant travaillant seul un poste se lance dans la recherche d une r ponse la question sur laquelle va porter Venqu te Celle ci oppose des termes bien connus million milliard un terme certainement tout fait inconnu trillion lequel n appara t gu re en fran ais qu en tant que mauvaise traduction de l anglais La question tant accept e s ouvre un pisode a priori critique la recherche d une r ponse Mais l entr e dans cet pisode lequel durera beaucoup plus les longtemps que participants pouvaient le penser est facilit e par la familiarit avec le type apparent de la t che assign
91. tion de probl mes et les situations de recherche dans l enseignement Ces travaux montrent en particulier que ces dispositifs ne sont porteurs d apprentissages que dans des conditions sp cifiques de contenus et d organisation qui n cessitent une tude approfondie exp rimentations analyse des apprentissages S il est vident que les l ves doivent r soudre des probl mes encore faut il qu ils soient consistants du point de vue math matique D autre part mettre l accent sur le seul entra nement la r solution de probl mes ne r soudra pas la question de l incoh rence des programmes ni celle de l apprentissage des techniques et des connaissances n cessaires pour 38 faire des math matiques Pour reprendre une formule de D Duverney il peut y avoir une tromperie dans la p dagogie d investigation Ainsi organiser l enseignement des math matiques au coll ge et lyc e autour de grandes questions ne suffira pas r soudre toutes les difficult s Donner du sens aux math matiques enseign es passe par un programme coh rent sur le long terme Les math matiques sont un ensemble d axiomes d finitions th or mes qui fondent des th ories susceptibles de permettre de r pondre des questions naturelles Il est possible que cela se traduise pour certaines notions par une organisation de l enseignement en grandes questions mais nous ne disons pas que la m me d marche st
92. ts En fait ici je me r f rerai seulement au journal document de 41 88 pages qui donne un acc s simple quoique s lectif la chronique des s ances b Toutefois avant de prendre contact avec le milieu interrog certains claircissements l mentaires doivent tre apport s L observation et l analyse de r ponses une question d examen de licence qui a occup le d but de cette s ance fournit un exemple de constitution et d exploitation d un terrain clinique en didactique L atelier Enqu tes sur Internet constitue un autre de ces terrains cliniques mais la diff rence du pr c dent il a t con u et r alis d embl e comme tel m me si comme il en va toujours il l a t sous diverses contraintes port es par l institution qui lui a servi d habitat le coll ge Vieux Port avec au del le syst me Ambition r ussite etc ou par ses sujets l ves etc Le sch ma g n ral dans lequel s inscrit cette clinique est le suivant s tant m nag un acc s ad quat au milieu vis on lui applique un certain traitement et on observe et analyse comment ce milieu r agit l action men e sur lui c est dire l effort pour y cr er certaines conditions Le traitement appliqu la variable ind pendante du sch ma exp rimental classique est d termin e ici par la volont d interroger le milieu sur sa capacit devenir le th tre d une p dagogie de l
93. tuelle au paradigme du questionnement tout en acceptant implicitement d abandonner la partie commune du programme au paradigme de la visite des savoirs Le 15 mai tait alors publi dans le cadre de la consultation lanc e le 16 mars un Avis de l Assembl e des directeurs d IREM on le trouvera l adresse suivante http www univ irem fr spip phpParticle236 Ce texte la tonalit obsidionale marqu e est empreint d un fort conservatisme S agissant des th mes d tudes on y lit par exemple ceci Les propositions de th mes d tudes sont superficielles mal reli es au programme et surtout inefficaces car le cadre propos ne laissera pas le temps n cessaire pour de telles activit s ou alors elles p seront sur le besoin de rem dier au d ficit des savoirs de base On saisit l assez clairement je pense ce postulat que le travail de la classe sur un th me d tudes ne saurait tre un lieu de renforcement des savoirs de base savoirs au demeurant d sign s comme tels a priori et non parce quls r pondraient aux besoins prax ologiques apparus dans l tude de questions d termin es Plus largement en un passage qui vaut d tre lu l Avis de l ADIREM tentera de faire barrage la pression croissante d une p dagogie de l enqu te ou des PER qui se fait sentir au sein m me des IREM 3 Sur la r solution de probl mes De nombreux travaux des IREM portent sur l utilisa
94. u plut t la question formul e dans la s ance 2 son propos Est il vrai que l on rencontre plus de 1 que de 9 comme chiffre non nul le plus gauche dans l criture des nombres qui peuplent la vie sociale Pourquoi en est il ainsi Faute de temps je nirai malheureusement pas plus loin sur ce sujet cette ann e 36 4 Math matiques en Seconde a Le 16 mars 2009 le minist re de l Education nationale mettait en ligne un projet de programme de math matiques pour la classe de seconde g n rale et technologique Apr s consultation de la profession le minist re publiait de la m me fa on le 19 mai 2009 une nouvelle version du programme pr c dent Notons que les deux textes sont pr sent s sous un m me titre Programme de math matiques pour la classe de seconde Ann e scolaire 2009 2010 J ai tabli ci dessous dans un tableau a deux colonnes les sommaires de ces deux textes actuellement accessibles a l adresse http eduscol education fr D0015 consult_Maths htm Projet de programme Projet de programme du 16 mars 2009 du 19 mai 2009 Introduction Introduction Objectif g n ral Objectif g n ral Raisonnement et langage Raisonnement et langage math matiques math matiques Utilisation d outils logiciels Utilisation d outils logiciels Diversit de l activit de l l ve Diversit de l activit de l l ve Organisation du programme Organisation du programme valuat
95. ui repose sur au moins certaines connaissances quant l criture d cimale des entiers le fait que par exemple l criture 375 d signe la somme de trois centaines sept dizaines et cinq unit s C est la un caract re important du discours arithm tique examin ici il porte en lui et la technique de soustraction et une technologie de cette technique en terme de payer et d emprunter Faisons fonctionner cette machine discursive a propos d une autre soustraction 342 276 voici ce que en ce cas l on doit dire Qui a 2 et veut payer 6 ne peut pas j emprunte une dizaine ou 10 au chiffre 4 et je dis alors qui de douze en paie 6 reste six Comme j ai emprunt une dizaine 4 ce 4 ne vaut plus que 3 par cons quent qui de 3 en paie 7 ne peut j emprunte une centaine ou dix dizaines au chiffre 3 et je dis 10 et 3 valent 13 qui de 13 en paie 7 reste 6 Les 3 centaines n en valent plus que 2 cause de l emprunt de une centaine Donc qui de 2 paie 2 reste z ro R sultat 342 276 66 Refaites un essai par vous m me vous constaterez que l utilisation de cette technique orale exige une certaine attention et un petit apprentissage Deux aspects m ritent en outre d tre not s car ils sont typiques plus g n ralement de l arithm tique scolaire 1 d biter le petit discours fait raisonner ce qui on le sait a conduit certains dont le philosophe Alain pr f rer
96. ustification elle est fond e d une part sur les connaissances relatives au produit de d cimaux 1000 multipli par 10 000 par exemple donne le nombre qui s crit 1 suivi de trois z ros suivis de quatre z ros et entre les r sultats obtenus et certaines l accord progressivement construit autres r ponses R L introduction de la notation 10 par Vintervenant compl te surcharge la ou peut tre petite prax ologie de calcul mobilis e 49 rencontr es dans des dictionnaires en ligne un trillion ce serait un milliard de milliards ce qui est gal a un million de millions de millions m Lintervenant propose un petit calcul pour confirmer cette conclusion en utilisant la notation exponentielle avec un exposant comme moyen st nographique sans calculer sur les exposants un milliard de milliards 1 000 000 000 x 1 000 000 000 1018 un million de millions de millions 1 000 000 x 1 000 000 x 1 000 000 1018 10 Lintervenant souligne que jusqu ici nous n avons consult que deux sources D autres sources ont t visit es Un participant lit ce qu indique l article Trillion de l encyclop die Wikip dia en fran ais http fr wikipedia org wiki Trillion un trillion repr sente le nombre 1018 1 000 000 000 000 000 000 soit un milliard de milliards c est a dire Une participante est arriv e sur un
97. ver le refoulement toujours possible de prax ologies d une certaine nature math matique ou autre un premier moment de l enqu te voit celle ci porter sur l ensemble S Ilo Uo o Mo Io est le projet d tudier la question Q 2 un deuxi me moment est celui de l tude finalis e par l enqu te sur Q de tel ou tel Mo tel que 3 o Ilo Uo 3 un troisi me moment est celui de la mise en jeu en uvre de fo dans l enqu te sur Q Un quatri me moment doit tre mentionn mais dont l cologie est bien incertaine il peut ne pas exister du tout ou au contraire finir par tout envahir arr tant l enqu te il rel ve de la probl matique interventionniste et conduit tudier l ensemble II 3 o I Uo Le premier moment on l a dit rel ve de la probl matique primordiale tandis que le deuxi me participe de la probl matique de base Le troisi me moment active la probl matique possibiliste sous jacente l examen des prax ologies g que la mise en jeu de go dans le cadre de l enqu te lequel d finit Ko et Co peut faire rencontrer comme possiblement utiles En chacun de ces moments le probl me infrastructurel appara t en filigrane il est pr sent dans le rep rage des prax ologies f pertinentes premier moment dans leur tude finalis e deuxi me moment dans leur mise en uvre troisi me moment J aurais aim cet gard prendre comme exemple la loi de Benford o
98. x th orisations indig nes Au del de ce constat on peut conclure encore que ce type de publics tudiants ne manquent pas d outils cliniques toujours d j la pour analyser le didactique Bien entendu ce sont des outils qui tr s g n ralement sont eux m mes non analys s parce qu ils proc dent d une th orie du didactique aussi profond ment naturalis e que le sont selon cette th orie m me les techniques mises en oeuvre par les individus b Comme il en va pour d autres th orisations la TAD trouve ainsi en partie occup le terrain qu elle tente de viabiliser a sa mani re L outillage prax ologique qu elle propose doit donc tre clairement pr cis et offert Je voudrais ici illustrer cette offre a partir de ce qui constitue les parties 2 et 3 de l examen mentionn plus haut parties dont je rappelle d abord l nonc Partie 2 R digez une analyse didactique relative aux situations voqu es dans le texte ci dessous intitul Comment aider l enfant l ve de CP relire Partie 3 Pr sentez une situation que vous choisirez librement dans le domaine d activit scolaire ou non scolaire de votre convenance et donnez en une analyse didactique Je m arr terai en premier lieu sur la partie 2 non de cet examen la mais de celui propos aux tudiants du centre d Aix le 12 janvier 2009 a la fin du premier semestre la licence dignoise tait cette ann

UMR ADEF Théorie Anthropologique du - Yves Chevallard

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